CAPACITACIÓN DOCENTE 2010 CHICLAYO
RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO Prof. Jorge W. Coronel Chávez
RAZONES Y PROPORCIONES 1. RAZÓN Es una cantidad que resulta de comparar dos cantidades homogéneas mediante una sustracción o una división. 2. RAZÓN ARITMÉTICA La razón aritmética de dos cantidades es la diferencia entre dichas cantidades a–b = r
a antecedente b consec uente r razón aritmética
Los siguientes enunciados se plantean mediante una razón aritmética: La edad de Jorge excede en 5 años a la edad de Carlos Si J es la edad de Jorge y La edad de Jorge es 5 años más que la de Carlos C es la edad de Carlos, según estas afirmaciones se cumple J C 5 Carlos es 5 años menor que Jorge
3. RAZÓN GEOMÉTRICA La razón geométrica de dos cantidades es el cociente entre dichas cantidades. A antecedente A k B consec uente B k razón geométricao constan te de proporcionalidad
Los siguientes enunciados se plantean mediante una razón geométrica. La edad de Jorge respecto de la de Carlos es como 8 es a 7 La edad de Jorge es como 8 y la de Carlos como 7 La relación de las edades de Jorge y Carlos es como 8 es a 7
Si J es la edad de Jorge y C es la edad de Carlos, según estas 8 afirmaciones se forma la razón 7
3.1 RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES (RGE) Son aquellas que teniendo términos diferentes su razón geométrica es constante ( k ) a1 a 2 a 3 a n k b1 b 2 b 3 bn
(
k
= razón constante o constante de
proporcionalidad )
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PROPIEDADES DE LAS RGE: En una serie de RGE, la suma de sus antecedentes entre la suma de sus consecuentes es igual a la constante de proporcionalidad ( k ). a1 a 2 a 3 an k b1 b 2 b 3 bn
En una serie de RGE el producto de sus antecedentes entre el producto de sus consecuentes es igual a la constante de proporcionalidad k elevada a una potencia igual al número de razones de la serie. a1 a 2 a 3 an kn b1 b 2 b 3 bn
En una serie de RGE, la suma de los productos de los antecedentes por distintos números, entre la suma de los productos respectivos de los consecuentes por los mismos números es igual a la constante k. a1 m a 2 n a 3 p an z k b 1m b 2 n b 3 p b n z
En una serie de RGE la suma de las potencias m - ésimas de los antecedentes, entre la suma de las potencias m – ésimas de los consecuentes es igual a la potencia m – ésima de la constante de proporcionalidad k a1 m a 2 m a 3 m an m b1
m
b2
m
b3
m
bn
m
km
3.2. RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES CONTINUAS: Sus términos medios son iguales, tienen la siguiente forma: b1 b 2 b 3 b 4 b b n 2 n 1 k b2 b3 b 4 b5 b n 1 bn
4. PROPORCIÓN Es la igualdad de dos razones del mismo tipo. 4.1.PROPORCIÓN ARITMÉTICA (PA) Es la equivalencia de dos razones aritméticas. Notación: a – b = c – d Equidiferencia, donde: a, d: Términos extremos y b, c: Términos medios Jorge W. Coronel Chávez CEL 97 9497997
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Propiedad fundamental: En toda proporción aritmética, la suma de sus extremos es igual a la suma de sus términos medios. a–b= c–d a+d=b+c Clases: PA discreta: Todos sus términos son diferentes: 19 -15 = 17 -13 En esta clase de proporción cualquiera de sus términos recibe el nombre de Cuarta diferencial PA continua. Sus términos medios son iguales: 7–5=5–3 Su término medio recibe el nombre de Media diferencial o Media aritmética y su segundo extremo es Tercera diferencial. Por ejemplo: Tres es tercera diferencial de siete y cinco (en es orden), en el que cinco es la media diferencial. Propiedades Cuarta diferencial d = ( b + c ) – a a – b = c – d a–b= b–c Tercera diferencial: c = 2b – a ac a–b= b–c Media diferencial b 2
4.2.PROPORCION GEOMÉTRICA (PG) Una proporción geométrica es la igualdad de dos razones geométricas Notación:
a; c : antecedent es ; b; d : con sec uentes a c = k a; d : extremos ; b; c : medios b d
Propiedad fundamental: En toda proporción geométrica el producto de sus extremos es igual al producto de sus términos medios. a c b d
ad = bc
Clases: PG discreta :Todos sus términos son diferentes
3 9 . En este 7 21
ejemplo 21 es cuarta proporcional de 3, 7 y 9 (en ese orden). PG continua: Sus términos medios son iguales
2 4 4 8
. En este
ejemplo, 4 es media geométrica o media proporcional de 2 y 8(en ese orden). Y el número 8 es tercera proporcional de 2 y 4(en ese orden)
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4.2.1 PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS: 1.
2.
3.
a c a b c d k p b d ab c d
4.
a c ab c d k q b d b d a c a c b d k m b d a c b d
a c a b k n b d a b d c
5.
a c a c k r b d b a d c
6.
a c a c a c k k b d bd b d
7.
a c a c a c k k b d bd b d
PROBLEMAS RESUELTOS 1. A parir del conjunto { 4: 7: 12 } hallar la cuarta proporcional si se sabe que es un número entero. Cuántas soluciones existen? SOLUCION Primera posibilidad: Segunda posibilidad:
4 12 7 x
4 7 12 x
x 21
x 21
Cualquier otro arreglo no produce una cuarta proporcional entera. RESPUESTA: Existe una sola solución 2. Hallar la cuarta proporcional de: la media proporcional de 45 y 5; la tercera diferencial de 25 y 17 y, la tercera proporcional de 245 y 35. SOLUCION Sea “m” la media proporcional de 45 y 5
45 m m 5
m 45 x5
m 15
Sea “d” la tercera diferencial de 25 y 17 25 – 17 = 17 – d d =9
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SEA “c” la tercera proporcional de 245 y 35
245 35 35 c
35 2 c 245
c5
S e pide hallar la cuarta proporcional de m; d y c
m c 15 5 45 x x 3 d x 9 x 15
3. En una proporción geométrica continua, el producto de sus antecedente es 400 y el producto de sus consecuentes es 6 400. Hallar la suma de los cuatro términos. SOLUCION ab 400 ( ) bc 6400 ( )
a b k donde: b c
Sea la PGC: Por propiedad: ab k2 bc
400 k2 6400
k
400 6400
Reemplazando en la proporción:
k
a b 1 b c 4
4 64
k
1 4
b 1 c 4
b
c 4
Reemplazando en (β): b c = 6 400 c c 6400 c 2 64 x4 x100 c 64 x4 x100 4
Por tanto si b
c 4
b
160 4
Sustituyendo en ( α ): a b = 400
= 160
b = 40 a ( 40 ) = 400 a = 10
SUMA = a + b + b + c = 10 + 40 + 40 +160 = 250 4. Si
a
2
b 2 es a
a
2
b2
como
3 es
a 1, entonces la razón geométrica
es: SOLUCION Jorge W. Coronel Chávez CEL 97 9497997
a b
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El enunciado propone la siguiente proporción geométrica:
a2 b2 a b 2
2
3 1
Por una propiedad de las proporciones:
a a
a
2
b2 a2 b2
2
b
2
2
b
Finalmente:
2
3 1 3 1
2a 2 2b
2
4 2
a2 b2
2
a 2 b
5. La cuarta proporcional de tres números a; b y c proporcionales a 6; 9 y 15 es 270. Hallar la suma de b y ( a + 2 c ) SOLUCION Los tres números forma la siguiente serie de razones: a 6 k a b c k b 9k 6 9 15 c 15k
La a c b 270
cuarta Re emplazando
6k 15k 9k 270
9k 15k 270 45k 540 6k
proporcional:
Luego: k = 12 a = 6 ( 12 ) = 72; b = 9 ( 12 ) → b = 108; 15( 12 ) → c 180 Se tiene que : a + 2c = 72 + 2 ( 180 = 72 + 360 → a = 432
c=
SUMA → b + ( a + 2c ) = 108 + ( 432 + 2 x 180 ) = 900
6. En un corral el número de gallina excede al número de patos en 75. Además, se observa que por cada 8 gallinas hay 5 patos. Cuál es el número de gallinas y patos que hay en el corral? SOLUCION 1ª Condición: GALLINAS ( G ) - PATOS ( P ) = 75
2ª Condición:
G 8 G 8k P 5 P 5k
Reemplazando
8k – 5k = 75 k 25
G 8(25) 200 P 5(25) 125
============= TOTAL 325
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