CAPACITACIÓN DOCENTE CHICLAYO
RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO Prof. Jorge W. Coronel Chávez
SUCESIONES 1.
DEFINICIÓN :
Antes de definir lo que es una sucesión, observa los siguientes casos: i.
¿Qué mes continúa? en: Enero, febrero, marzo, abril, …
ii.
¿Qué hora sigue? En: 2:00 PM; 2:50 PM; 3:40 PM; 4:30 PM; …
iii.
¿Cuántas esferas habrán en el grupo 5?, ¿Cuántos en el grupo 30?
Grupo 1 Grupo 2
Grupo 3
Grupo 4
Con frecuencia encontramos conjuntos ordenados de figuras, palabras, de números, etcétera, en el que los elementos aparecen con cierta regularidad u orden. En ellas el orden de sus elementos se puede describir mediante una función cuyo dominio es un subconjunto ordenado de los enteros positivos ( Z+).
Una SUCESIÓN es un conjunto ordenado de elementos (números, letras, figuras) tales que cada uno ocupa un lugar establecido de modo que se puede distinguir el primero, el segundo, el tercero y así sucesivamente, acorde con una LEY DE FORMACIÓN, CRITERIO DE ORDEN O FÓRMULA DE RECURRENCIA. A los elementos de una sucesión se les denomina TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN.
2.
TIPOS
2.1. SUCESIONES NUMÉRICAS Una sucesión numérica es un conjunto de números, en el que cada uno de ellos tiene un orden designado , es decir que a cada uno de ellos les corresponde un número ordinal, de tal manera que uno de ellos es designado como el primero, otro como el segundo, otro como el tercero, y así sucesivamente. . Jorge W. Coronel Chávez CEL. 97 9497997
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Definición: UNA SUCESIÓN ES EL RANGO DE UNA FUNCIÓN CUYO DOMINIO ES EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS, DONDE Ran f R. Sea la sucesión: 1; 3; 6; 10; 15; 21; …
n (n 1) n (n 1) o mejor dicho tn = 2 2
Z f
Graficando la función
Dom f
R
1
1
2
3
3
6
n
n (n 1) 2
Ran f
SUCESIONES NUMÉRICAS NOTABLES SUCESIÓN
NOMBRE
TÉRMINO ENÉSIMO
De primer orden, lineal
tn = n + 5/2
o aritmética
En general tn = an + b
7/2; 9/2; 11/2; 13/2; 15/2; …
De segundo orden o
2; 5; 10, 17; 26: …
cuadrática
tn = n2 + 1 En general tn = an2 + bn +c tn = n3 + 2
3; 10; 29; 66; 127; …
De tercer orden o cúbica
En general tn = an3 + bn2 + cn + d
2; 10; 50; 250; 1 250; …
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Geométrica
tn = 2 . 5 n - 1
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SUCESIONES ESPECIALES SUCESIÓN
NOMBRE
TÉRMINO ENÉSIMO
1; 3; 6; 10; 15; … Números triangulares
1; 1; 2, 3; 5; 8; 13 …
Sucesión de Fibonacci
1; 1; 2; 4; 7; 13; 24; 44 …
Sucesión de Feinberg
1; -1; 1; -1; 1; -1; 1; -1; …
Sucesión oscilante
1; 2; 3; 4; 6; 9; 13; 19; 28; …
Sucesión JC
Ejemplo: En la siguiente sucesión ¿Cuál es el valor de x?
tn =
n (n 1) 2
tn= tn-1 + tn-2 ; t1=1; t2=1 ; n 3
tn= tn-1 + tn-2 + tn-3; t1=1; t2=1; t3=2 ; n 4
tn = (-1) n+1
tn= tn-2 + tn-3 + tn-4; t1=1; t2=2; t3=3; t4=4; n 5
0; 1; 2; 3; 6; 11; 20; 37;
68; x SOLUCIÓN Observa que : 3= 0+1+2, 6= 1+2+3, 11 =2+3+6, entonces x = 20+37+68 = 125 Rpta
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2.2 SUCESIONES LITERALES En este tipo de sucesiones se emplean las letras de nuestro alfabeto, excepto la CH , la LL y la RR.
A=1
B=2
C=3
D=4
E=5
F=6
G=7
H=8
I=9
J=10
K=11
L=12
M=13
N=14
Ñ=15
O=16
P=17
Q=18
R=19
S=20
T=21
U=22
V=23
W=24
X=25
Y=26
Z=27
Ejemplo ¿Qué letra continúa? B ; G a) V
; L ; P ; U ;… b) W
c) Y
d) Z SOLUCIÓN
Los números correspondientes a las letras: B ; G
; L ; P ; U ; ?
, son: 2 ; 7 ; 12 ; 17 ; +5
+5
+5
+5
22 ; … +5
Observamos que el número que sigue es 22 + 5 = 27, que corresponde a la letra Z Rpta “d” 2.3. SUCESIONES GRÁFICAS En este tipo de sucesiones intervienen objetos agrupados que contándolos se obtiene una sucesión. Ejemplo: ¿Cuántas peces habrán en la cincuentava pecera?
… . Jorge W. Coronel Chávez CEL. 97 9497997
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Luego que contamos, los números que se forman son: 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; … t50 Analizando los números obtenidos: 1 ; 3 ; 6 +2
+3 +1
;
+4 +1
10 ; … t50 +5
+1
Podemos deducir que es una sucesión de 2º ORDEN i.
Procedemos a determinar la FÓRMULA DE RECURRENCIA O LEY DE FORMACIÓN de la sucesión
ii.
Como una sucesión de segundo orden es cuadrática, se tiene que: tn = an2 + bn + c …(*)
iii.
Damos valores para n=1, n=2, n=3 y reemplazamos en (*), teniendo en cuenta que t1=1, t2=3, t3=6, etc. Si n=1, entonces: t1 = a + b + c = 1 …. (I) Si n=2, entonces: t2 = 4a + 2b + c = 3 …. (II) Si n=3, entonces: t3 = 9a + 3b + c = 6 …(III)
iv.
Resolviendo las ecuaciones simultáneas, se obtiene que a = Luego: tn =
1 1 ,b= y c=0 2 2
1 2 1 n + n, que es la fórmula de recurrencia o ley de formación 2 2
de la sucesión. Como queremos el elemento que ocupa el lugar 50, tenemos finalmente que: t50 =
1 1 (50)2 + (50) = 1275 2 2
Rpta: EN LA CINCUENTAVA PECERA HABRÁN 1 275 PECES.
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