CAPACITACIÓN DOCENTE CHICLAYO
RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO Prof Jorge W. Coronel Chávez
MAGNITUDES Y REGLA DE TRES MAGNITUD: Es todo aquello susceptible de ser medido o sufrir “variación“, ya sea aumentando o disminuyendo sus dimensiones: Ej. peso, precio, Nº de objetos, velocidad, nivel de dificultad, etc. Estas variaciones se expresan mediante una o CANTIDAD. La magnitud temperatura se expresa mediante cantidades como 37 C, o 40 k, la magnitud precio mediante cantidades como S/. 0,30 ; S/.15 , etc.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
(DP): se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el COCIENTE de sus valores correspondientes es contante. Se observa que conforme aumenta (o disminuye) una de ellas la otra también aumenta (o disminuye) de manera proporcional. Si dos magnitudes son tales que a mitad, doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, doble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales. Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla: Magnitud 1ª a b c d Magnitud 2ª a’ b’ c’ d’ son directamente proporcionales si se cumple que:
... ...
a b c ... k a' b' c' Ejemplo : Un saco de papas pesa 60 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos? ¿Cuántos sacos se necesitan para transportar 1 560 kg? medida 2 medida 3 MAGNITUD medida 1 Peso en kg 60 120 180 Número de 1 2 3 sacos Observa que
…
medida 26
…
...
1560
...
...
x
...
PESO (Kg) 60 120 180 1560 ... k 60 Nº DE SACOS 1 2 3 x
Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es K = 60, quiere decir que el peso es al número de sacos como 60 es a 1. Resolviendo el problema:
1560 60 x 26 x
Rpta: se necesitan 26 sacos para transportar 1 560 kg de
papas.
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP): se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el PRODUCTO de sus valores correspondientes es contante. Se observa que conforme aumenta (o disminuye) una de ellas la otra disminuye (o aumenta) de manera proporcional. Si dos magnitudes son tales que a un tercio, doble, triple...cantidad de la primera corresponde un triple, la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.
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Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla: Magnitud 1ª a b c ... Magnitud 2ª a’ b’ c’ ... son inversamente proporcionales si se verifica que: a.a’ = b.b’ = c.c’ = ... Ejemplo
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto las magnitudes son inversamente proporcionales. Formamos la tabla: Nº de hombres Nº de días
3
6
9
...
18
24
12
8
...
y
Observa que Nº DE HOMBRES X Nº DE DÍAS 3x24 6x12 9x8 ... 18.y k 72 Las magnitudes número de nº de hombres y nº de días son inversamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es K = 72. Resolviendo el problema: Vemos que los productos 3.24=6.12=9.8=72. Por tanto 18.y=72, entonces y = 4 Rpta: Los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo 1. REGLA DE TRES SIMPLE Es el procedimiento de cálculo que permite hallar un cuarto valor cuando se conocen tres valores correspondientes a dos magnitudes: Se define como la operación aritmética que consiste en determinar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres. Por la relación entre las dos magnitudes se clasifica en:
1.1. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA (RTSD) La RTSD es directa si las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales, es decir, si una magnitud aumenta, la otra también aumenta de manera proporcional y, si una magnitud disminuye la otra también disminuye en forma proporcional. ESQUEMA: Sean a1, a2 y b1 las cantidades conocidas y x la cantidad desconocida MAGNITUD A B
valores a1 b1
valores a2 x
Como las magnitudes son directamente proporcionales
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SON DIRECTAMENTE PROPORCIONALES: El peso de un producto y su precio. El espacio recorrido por un móvil y el tiempo empleado. La fuerza que se aplica a un cuerpo y la aceleración que le produce.
b .a a1 a2 x 1 2 b1 x a1
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1.2 REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (RTSI) La RTSI es inversa si las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales, es decir cuando una aumenta la otra disminuye, o viceversa, en forma proporcional. ESQUEMA: Sean c1, c2 y d1 las cantidades conocidas y x la cantidad desconocida MAGNITUD C D
valores c1 d1
Como las magnitudes son inversamente proporcionales
GRÁFICAS DE PROPORCIONALES
LAS
MAGNITUDES
valores c2 x
SON INVERSAMENTE PROPORCIONALES: La velocidad de un móvil y el tiempo empleado. La presión de un objeto y el área de contacto. Nº de obreros y Nº de días.
c .c c1 . c 2 d1 . x x 1 2 d1 DIRECTA E INVERSAMENTE
1.3 REGLA DE TRES COMPUESTA (RTC) Una regla de tres es compuesta cuando se da una serie de “ n “ valores correspondientes a “ n “ magnitudes y una segunda serie de ( n – 1 ) valores correspondientes a dichas magnitudes. El objeto de la RTC es hallar el valor desconocido de la segunda serie de valores. Ejemplo 1: Si una casa puede ser construida por 12 obreros en 40 días. ¿Cuántos obreros se requieren para construir 4 casas en 20 días en un terreno doblemente difícil que el anterior? SOLUCIÓN MAG Nº de Nº de Nº de Nivel de NITUD casas obreros días dificultad SERIE
1RA 01 12 40 d 2DA 04 x 20 2d Para resolver problemas aplicando la RTC, te presento el siguiente MÉTODO DE LOS SIGNOS (aunque funciona también para resolver problemas con RTSD y RTSI): 1º Se elige una magnitud cualquiera, preferentemente aquella donde se encuentra la incógnita. 2º Comparamos esta magnitud con c/u. de las restantes, dos a dos.
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3º Si las magnitudes son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP), al valor de la PRIMERA SERIE de la magnitud que se compara se le asigna el signo NEGATIVO y al otro valor (de la segunda serie) el signo POSITIVO. 4º Si las magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP), se procede de modo contrario que en el paso 3º. 5º El valor de la magnitud que acompaña a la incógnita siempre lleva signo positivo. 6º El valor de la incógnita “x” es igual al cociente formado por los valores asignados con signo POSITIVO y los valores asignados con signo NEGATIVO. (Los signos negativos son solo referenciales, no se multiplican) En el ejemplo en cuestión, luego de comparar (dos a dos) las magnitudes el cuadro quedará de la siguiente manera: MAG NITUD
Nº de casas
Nº de obreros
Nº de días
Nivel de dificultad
-01 +04
+12 x
+40 -20
-d +2d
SERIE
1RA 2DA
OBSERVA: Nº DE OBREROS ES DP CON Nº DE CASAS, Nº DE OBREROS ES IP CON Nº DE DÍAS Y Nº DE OBREROS ES DP CON NIVEL DE DIFICULTAD.
4 . 12 . 40 . 2d = 192 obreros. 1 . 20 . d RESPUESTA: Se necesitan 192 obreros para construir 04 casas en 20 días en un terreno de doble dificultad respecto de un anterior.
Entonces x =
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