- - 1 - -CURSO ALBERT EINSTEIN
Números binomiais
Se n e p são dois números naturais, com n ≥ p, chamamos de número binomial n sobre p, indicado por
n
n , ao número definido por:
n! Onde: n é o numerador e p é o denominador.
=
p
p
p! n - p !
Exemplos: 6
6!
a)
6!
= 2
= 2! 6 - 2 !
10
2! 4!
10!
b)
= 6! 10 - 6 !
= 15 2.1.4!
10!
= 6
6.5.4! =
10.9.8.7.6! =
6! 4!
= 210 6!4.3.2.1
Decorar: n
n =1
0
n =2
1
=1 n
1.0 Números binomiais complementares Dois números binomiais de mesmo numerador são chamados de complementares quando a soma dos denominadores for igual ao numerador. Exemplos: 9 a)
9 = 126 e
=126, pois 4+5= 9
4
5
10
10
b)
= 252 e 5
= 252 , pois 5+5= 10 5
Observação: Note que dois números binomiais complementares são iguais. Um foi 126 e outro 252.
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2.0 Propriedades dos números binomiais n
n
1ª) Se
= p
ou seja se dois números binomiais são iguais é porque os q
denominadores são iguais ou a soma dos denominadores é igual ao numerador. Exemplos: 9 a)
9 = 126 e
=126, pois 4+5= 9
4
5
10
10
b)
= 252 e 5
= 252 , pois 5+5= 10 5
Exercícios
5 1º) Resolver a equação
5 =
x
2
Resolução: Aplicando a primeira propriedade x=2
ou
x+2=5 x=5-2 x=3
Comentários : Para que esses dois números binomiais sejam iguais das duas uma ou as duas. → x=2 ou x=3 5 ● Se x=2
5 =
2
2
5
5
● Se x=3
= 3
onde 10=10
Veja que 2=2
onde 10=10
Veja que 3+2=5
2
Lembrete: O resultado do termo desconhecido tem que ser um número natural não se esqueça!!!
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10 1º) Resolver a equação
10 =
2x Resolução: 2x=x+2 2x-x=2 x=2
x+2
2x+x+2=10 Comprovando: 3x=8 Substituindo 2x fica 2(8/3)=16/3 x=8/3 Como 16/3 não é um número natural esta resposta não serve. S={2} 18
2º) Resolver a equação
= 6
Resolução: 6=4x-1 4x=6+1 4x=7 x=7/4 6+4x-1=18 4x=18-5 4x=13 x=13/4
18 4x-1
Comprovando: Substituindo 4x-1 fica 4(7/4)-1=6 Como 6 é um número natural esta resposta serve.
Comprovando: Substituindo 4x-1 fica 4(13/4)-1=12 Como 12 é um número natural esta resposta serve. S={7/4,13/4}
3.0 Propriedades do triângulo de pascal P1 Em uma mesma linha dois binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.
Observe que os elementos iguais representam números binomiais complementares. Lembrete: Elementos é o resultado do número binomial.
- - 4 - -CURSO ALBERT EINSTEIN P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é
.
De modo geral temos:
P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 1 + 4 + 10 + 20 = 35 n+1 S= p+1
Note que se pegarmos o último elemento da coluna e somar +1 ao numerador e +1 ao denominador resolvemos o número binomial e descobrimos o elemento.
P4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.
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1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35
P5 Relação de Stifel: A soma de dois elementos consecultivos de uma mesma linha é igual ao elemento situado abaixo do segundo elemento. Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:
n
n +
p
= p+1
n+1 p+1
Exercícios
m 1º) Sabendo-se que
m+1 =x e
p
m = y , então
p+1
é: p+1
Resolução : m m
m +
p
m+1 =
p+1
Logo, x + p+1
p+1
Resposta: m =y
=y-x p+1
- - 6 - -CURSO ALBERT EINSTEIN 2º) Seja n um número natural tal que 10
10 +
4
11
n +1
10
Arrumando tanto faz 2 +3 como 3 + 2
= 4
10 +
n+1
Logo n + 1 = 3 n=3-1 n=2
= 4
11 4
3º) Qual o valor da soma 3
4 +
0
5
12
+ 1
+...+ 2
? 9
RESOLUÇÃO: Como está em diagonal aplicamos a 4ª propriedade 13 = 715 9 4º) Quando somamos 5
6 +
3
20 + ...+
3
que valor obtemos ? 3
RESOLUÇÃO: Como está em coluna aplicamos a 3ª propriedade duas vezes uma na frente da coluna e outra atrás e no final é só subtrair já que não começa do 0(zero). 21 = 5985 Aqui é na frente da coluna. 4
5 = 5 Aqui é atrás da coluna 4 Conclusão: 5985 – 5 = 5980