ESTADISTICA DESCRIPTIVA
• La estadística tiene que ver con la recopilación, presentación, análisis y uso de datos para tomar decisiones y resolver problemas.
• Cualquier persona recibe información en forma de datos a través de los periódicos, la televisión u otros medios; y a menudo es necesario obtener alguna conclusión a partir de la información contenida en los datos.
• Los métodos empleados para resumir y organizar datos se denominan estadística descriptiva; mientras que los métodos para tomar decisiones se denominan inferencia estadística.
• El término población se refiere a los elementos del universo respecto al cual se quieren obtener conclusiones o tomar decisiones. A cada elemento se le puede asociar una medición que bien puede ser numérica o cualitativa dependiendo de la característica que se quiera estudiar. El término muestra se refiere al subconjunto de observaciones seleccionadas de la población de interés
Variables: • A cada característica de los elementos de una población se le llama variables. Nos encontraremos con varios tipos de variables: cualitativas y cuantitativas. • Las variables cualitativas son aquellas que se refieren a categorías o atributos de los elementos (individuos) estudiados. Las variables cuantitativas son aquellas cuyos datos son de tipo numérico.
• TIPOS DE VARIABLES CUALITATIVAS • Dicotómicas: Sólo hay dos categoría, que son excluyentes una de la otra • Ejemplo: enfermo-sano, muerto-vivo, mujer-hombre • Nominal: tiene mas de dos categorías y no hay orden entre ellas. • Ejemplo: color de los ojos, grupo sanguíneo • Ordinal: tiene varias categorías y hay orden entre ellas. • Ejemplo: grado tumoral, calificación del riesgo en anestesia.
• TIPOS DE VARIABLES CUANTITATIVAS • Continuas: números infinito no numerables de elementos. Tiene asociado el concepto de medida • Ejemplo: Presión arterial, Edad, peso. • Discretas: números finitos o infinitos numerables de elementos. Se asocia con el concepto de conteo. • Ejemplo: N° de hijos, N° de casos de tuberculosis por estado.
• Hay ocasiones en las que las medidas cuantitativas continuas son transformadas en ordinales mediante la utilización de uno o varios puntos de corte. • Ejemplo: La variable peso es codificada en varias categorías y se utiliza en términos como: Bajo-peso, peso-normal, Sobrepeso, Obesidad
• Las descripciones numéricas de datos suelen ser importantes. Dado un conjunto de n observaciones
x1 , x2 ,....., xn • La estadística descriptiva nos puede ayudar mediante resúmenes numéricos, que son medidas de tendencia central, o también llamadas de posición y medidas de dispersión
• Las medidas descriptivas más comunes de tendencia central o localización son: la media aritmética y la mediana (existen otras medidas de tendencia central que en ocasiones pueden resultar de interés: la moda, los cuartiles, los deciles, los percentiles, la media armónica, la media geométrica y la media ponderada.)
• La media aritmética o simplemente promedio (también llamada media muestral ya que generalmente se calcula en relación a una muestra) se calcula de la siguiente forma: si las observaciones de una muestra de tamaño n son x1, x2,…,xn entonces n
x
x 1 x 2 ... x n i 1 X n n
i
• Característica de la Media • Es intuitiva y fácil de calcular. • Su valor puede que no coincida con ninguno de los valores de la muestra • La suma de las diferencias de cada valor de la muestra con la media su resultado es cero, es decir, n
(x x) 0 i 1
i
• La mediana se suele definir como el valor “más intermedio” una vez que los datos han sido ordenados en forma creciente. Se suele denotar por Me. La forma más general de calcular la mediana es la siguiente:
x n 1 2 Me x n 2 x ( n 2) 1 2
si n es impar si n es par
• La mediana es aquel valor que deja el cincuenta por ciento de los datos por debajo y otro cincuenta por encima. • Cabe destacar que es preferible el uso de la mediana como medida descriptiva del centro cuando se quiere reducir o eliminar el efecto de valores extremos en un conjunto de datos (muy grandes o muy pequeños).
• Moda: • Es una medida de tendencia central que se puede utilizar sea cual sea el tipo de variable a estudiar. La moda de un conjunto de observaciones es el valor que más se repite, aquel cuya frecuencia absoluta es máxima. Puede ser única, que haya más de una, o que no exista.
• Media Geométrica: • Se define como la raíz n-ésima del producto de todos los valores numéricos, es decir, • n
X G x1.x2 ....xn n ( xi ) n
i 1
• La media armónica: • Se define como el número de observaciones de la muestra dividido por la suma del inverso de cada una de las observaciones, es decir,
XA
n n
(1 / x ) i 1
i
• La localización o tendencia central de un conjunto de datos no necesariamente proporciona información suficiente para describirlos adecuadamente. Debido a que no todos los valores son semejantes, la variación entre ellos se considera importante. Se puede decir que un conjunto de datos tiene una dispersión reducida si los mismos se aglomeran estrechamente en torno a alguna medida de localización de interés y se dice que tiene una dispersión grande si se esparcen ampliamente alrededor de alguna medida de localización de interés.
• Las medidas descriptivas más comunes de dispersión son: el rango, la varianza, la desviación estándar y el rango intercuartílico.
• El rango de la muestra es la medida de variabilidad más sencilla entre todas las mencionadas; y se define como la diferencia entre la observación más grande y la más pequeña :
r xmax xmin
• Aunque es una medida muy fácil de calcular, ignora toda la información de la muestra entre las observaciones más grande y más pequeña. Sin embargo, vale la pena resaltar que el rango se utiliza mucho en aplicaciones estadísticas al control de calidad, donde lo común es emplear muestras con tamaños n = 4o • n = 5 ya que en estos casos la pérdida de información no se considera relevante.
• En general, se desea una medida de variabilidad que dependa de todas las observaciones y no sólo de unas pocas; así que parece razonable medir la variación en términos de las desviaciones relativas a alguna medida de localización (generalmente esta medida es la media)
Para el conjunto de datos x1, x2,….,xn Las diferencias ( x1 x ), ( x2 x ),....., ( xn x ) Determinan las desviaciones de la media. Dado que la suma de estas desviaciones es cero, se utiliza como medida de variabilidad el promedio de los cuadrados de tales desviaciones.
n
s 2
(x x) i 1
2
i
n
Sin embargo, como sólo hay n-1 desviaciones independiente se conviene en dividir entre n-1, es decir,
n
S
2
(x i 1
i
x)
2
n 1
Esta última será la fórmula que emplearemos.
• Esta medida de variabilidad se denomina varianza. Como S2 no tiene las mismas unidades que los datos, se define la desviación estándar como la raíz cuadrada (positiva) de la varianza a fin de tener una medida en las mismas unidades de los datos; La desviación estándar es útil para comparar dispersión entre dos poblaciones, pero también lo es para calcular el porcentaje de la población que pueden localizarse a menos de una distancia específica de la media.