Antiderivada

UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO GUIA 1 ANTIDERIVADAS OBJETIVO: Aprender el concepto de antiderivada e integral indefinida y resolver integrales usando las formulas básicas.

Concepto: Dada una función, sabemos como hallar su derivada, este problema lo estudia el cálculo diferencial. Cuando se conoce la derivada de una función y se desea conocer la función original, se usa el cálculo integral.

La antiderivada o primitiva de una funcion f(x)

es otra función F(x)+C donde C es una constante. Si al derivar F(x)+C nos da como respuesta f(x) Es decir F’(x) = f(x) A la funcion F(x) se le llama una antiderivada de la una funcion f(x).

Ejemplo ¿Qué se derivo para que la derivada sea f ' ( x ) = 4 ?

Por el método de Ensayo y Error se puede ver que la funcion que se derivo es: F1 (x)=

4x pero también las funciones F (x)=4x+5 F (x)=4x-2 F (x)=4x-12 F (x)=4x+15 F (x)=4x+8 F(x) = 4x+C 2

3

4

5

6

Es decir que la funcion cuya derivada es 4 es una familia de funciones en este caso lineales cuyos miembros todos tienen pendiente de +4 pero diferentes intersecciones con el eje y como vemos en las graficas para los diferentes valores de la constante C C =0 C=5 C=-2 C=12 C=15 C=8

Se puede afirmar que la funcion F(x)=4x+C es la antiderivada de f(x)=4

2 EJEMPLO Hallar la antiderivada de f ( x) = 3x 2 La funcion que se deriv贸 es F(x)= x 3 pero tambi茅n

x +5 F (x)= x +9 F (x)= x -2 3 F (x)= x + 2 F(x)= x +C F1 (x)=

3

3

2

3

3

3

4

3

Pues todas tienen pendientes 3x es decir se puede afirmar que la funcion F(x)= x3 +C es la antiderivada de f ( x) = 3x con 2

2

diferentes intersecciones con el eje y como vemos en las graficas para los diferentes valores de la constante C C =5 C=9 C=-2 C=3/2

INTEGRALES INDEFINIDAS

INTEGRACION Al proceso de hallar las antiderivadas se le llama integración y a la familia de funciones que se obtiene mediante este proceso se llama integrales indefinidas y se representa mediante los símbolos

∫

o signo de la integral ,

dx indica la variable respecto a la cual se lleva el proceso de integración los símbolos siguientes siempre van juntos y en el cuadro va la funcion f(x) que se debe integrar así:

∫

f ( x ) dx

donde f(x) es la derivada de la funcion desconocida llamada integrando y la respuesta es una familia de funciones así

∫

f ( x ) dx = F ( x ) + C

A la constante C se le llama constante de integración Por lo tanto en los 2 ejemplos anteriores la antiderivada de se escribe mediante una integral indefinida así:

f ( x) = 4

∫ 4dx = 4 x + C y la antiderivada de

f ( x) = 3 x 2 se escribe

2 3 3 x dx = x +c ∫

REGLAS BASICAS DE INTEGRACION A continuación se presenta un conjunto de reglas para encontrar la integral indefinida de una funcion

1- INTEGRAL DE UNA FUNCION CONSTANTE F(x)=K donde k es un numero real

∫

kdx

= kx + C

EJEMPLOS

∫ − 9dx = −9 x + C 1 1 dx = x+C 2- ∫ 8 8 3- ∫ πdx = πx + C 1-

∫ 52dx = 52 x + C 5- ∫ m dx = m x + C 4-

2- INTEGRAL DE UNA POTENCIA n

f ( x) = x

∫

x

n

dx

x n +1 = + C n + 1

n ≠ − 1

con

Cuando el integrando es x elevado a algún exponente real se aumenta el exponente de x en 1 ,se divide en el nuevo exponente y se suma la constante de integración EJEMPLOS 1-

∫

2-

∫

3-

∫

x5 x dx = +c 5 x −6 −7 x dx = +c −6 4

3 2

x dx =

5 2

x +c 5 2

es decir después de efectuar el producto de

medios y extremos resulta así:

4-

∫

x

−7 3

dx =

− 3x 4

−4 3

∫

3 2

x dx =

+c

2x 5

5 2

+c

5

∫

x dx =

∫

1 2

3

2 2 x dx = x +c 3

cada vez que aparece una integral con radical, se vuelve a reescribir la integral con el radical en forma de potencia fraccionaria como en el último ejemplo Cuando la potencia esta en el denominador se reescribe subiendo la potencia con exponente negativo

1 dx n x

∫

=

∫

x

− n

dx

EJEMPLOS 1-

2-

2-

x −8 1 −9 ∫ x 9 dx = ∫ x dx = − 8 + c 1 x −42 − 43 ∫ x 43 dx = ∫ x dx = − 42 + c

∫

1 x

2 17

dx =

∫x

2 − 17

x dx = −

3- INTEGRAL DE UNA POTENCIA

−

15 17 15 17

+c=

− 17 15

x

− 15 17

+C

CONSTANTE MULTIPLICADA POR

xn + 1 n n +C ∫ kx dx = k ∫ x dx = k n +1

n ≠ −1

Las constantes salen de la integral y multiplican por las potencias

UNA

EJEMPLOS 5

x 5 10 x dx = 10 + c = 2 x +c 1- ∫ 5 10 x − 7 10 9 − 7 x dx = − 7 + c = x 2- ∫ 10 10 5 − 12 5 x − 11 x dx = +c 3- ∫ 8 8 ( − 11 ) 4

4-

∫

6 5

5x 2 x dx = 2 11

11 5

10 +c = x 11

11 5

+c

INTEGRAL DE UNA SUMA O RESTA DE FUNCIONES Se integra cada sumando es decir se distribuye el símbolo de la integral y se suma una sola constante C

∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ]dx = ∫

f ( x ) dx ±

∫ g ( x ) dx

EJEMPLOS 1-

∫ (8 + 3 x + x

3

− 2 x − 6 ) dx = ∫ 8 dx + ∫ 3 xdx + ∫ x 3 dx − ∫ 2 x − 6 dx

Por lo tanto integrando cada termino se tiene :

3 x 2 x 4 2 x −5 + + +C 8x + 2 4 5 INTEGRAL DE LA POTENCI A n=-1

1 con n = −1 x f ( x ) = x −1

f ( x) = O

∫

1 dx x

= ln

x

+ C

INTEGRAL DE LA FUNCION EXPONENCIAL (BASE E) Es la misma funcion exponencial

∫

e

x

=

dx

EJERCICIOS BASICAS

e

x

+

RESUELTOS 2

3 1- ∫ (6 x + 5x

c

APLICANDO

LAS

REGLAS

− 8)(4 x5 − 3x)dx

primero se efectúa el producto indicado y se obtiene la integral de una suma de constantes por potencias 7

8 5 4 3 ∫ (24 x + 20 x − 32x − 18 x − 15 x + 24 x) dx se reducen términos semejantes si los hay y después se integra cada termino aplicando las formulas básicas de integración en este caso suma de constantes por potencias

24 x9 + 20 x8 − 32 x6 − 18 x5 − 15 x4 + 24 x2 + C 5 9 8 6 4 2 Simplificando se obtiene:

24x9 + 5 x8 −16x6 −18x5 −15x4 +12x2 +C 5 9 2 3 4 --------------------------------------------------------------------------5 2 2- ∫ (4x + 7) dx se desarrolla el binomio indicado 10 5 ∫ (16x + 56x + 49)dx

Ahora se integra cada término y se obtiene:

16 11 56 6 x + x + 49 x + C 11 6 --------------------------------------------------------------3 5 3se cambia el radical por ∫ 5 ( 4 x + 7 ) dx x fraccionaria y luego se sube la potencia y se efectúa el producto

∫ ∫

potencia

−1 3x 5 (4x5 + 7)dx

24 −1 (12 x 5 +21x 5 )dx

5 (12 ) x 29 60 x 29

29 5

29 5

Se integra cada término

4

5 + ( 21) x 5 + C Simplificando 4 4

105 5 + x +C 4

ACTIVIDAD I MATEMATICAS II

INTEGRAL INDEFINIDA OBJETIVOS 1. Afianzar el concepto de integral indefinida resolviendo integrales.

2. Aplicar las formulas básicas de integración después de resolver operaciones algebraicas Actividades.

1) Halle la antiderivada de las siguientes funciones 4 − 5 −1 7 c) 8 x d)123 x e) 5 x 3 a) x b) x 2) Calcule las siguientes integrales indefinidas –

1

2-

∫ (x

−3

x2 + 2 dx x +1 1

∫

4-

∫x

678-

3 4 x )dx 4

x 4 + 53 x − 3 x x − 2 dx ∫ 4x

3-

5-

+

x2 + 2

2

dx

∫ (1 + x + 1 − x )dx x 4 + 5 3 x − 3x x − 2 dx ∫ 4x e x ∫ x + e dx

(

)

x2 − x ∫ (x − 1)2 dx

(1 + x )3 dx

9-

∫

10-

∫ (x − x )

x

−3

x x x dx