Capítulo 4: Aplicaciones de la integral definida Solución De ser posible asignar un volumen V al sólido resultante, éste debe ser el valor de la integral impropia:
V =∫
+∞ 1
π [ f ( x)]2 dx, siempre y cuando sea convergente.
Pero,
∫
+∞ 1
π [ f ( x)]2 dx = ∫
+∞ 1
π⋅
∈ 1 1 dx = lim ∫ π 2 dx 2 1 ∈→+∞ x x
∈
⎡ 1⎤ = lim π ⎢ − ⎥ ∈→+∞ ⎣ x ⎦1
⎡ 1⎤ = π ⋅ lim ⎢1 − ⎥ = π . ∈→+∞ ⎣ ∈⎦ Como la integral impropia converge al real π, se sigue entonces que el volumen V del sólido resultante es V = π .
20.2 Método de la corteza (cascarones) cilíndrica Para el cálculo del volumen de un sólido de revolución se tomaron, en la sección anterior, elementos rectangulares de área perpendiculares al eje de revolución, lo cual dio origen a elementos de volumen en forma de anillo circular o disco. En esta sección se tomarán elementos rectangulares de área paralelos al eje de revolución, los cuales al rotar generan un elemento de volumen que llamaremos corteza cilíndrica (figura 20.11), que se puede asociar con la parte sólida de un tubo.
Figura 20.11
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