LAS SUMAS DE RIEMANN PARA DETERMINAR EL ÁREA DE UNA FIGURA GEOMÉTRICA ES NECESARIO EFECTUAR OPERACIONES YA CONOCIDAS. SIN EMBARGO, CUANDO SE DESEA CALCULA EL ÁREA BAJO LA CURVA DE UNA FUNCIÓN O UN CONJUNTO DISCRETO DE DATOS EL CÁLCULO SE PUEDE COMPLICAR MUCHO. CONSIDEREMOS UN CASO SENCILLO, EL ÁREA BAJO UNA CONSTANTE, COMO EN LA FIGURA 1. EN LA FIGURA SE HA REPRESENTADO A LA FUNCIÓN CONSTANTE (f(x) = y = h) Y SE DESEA CALCULAR EL ÁREA BAJO LA CURVA EN EL INTERVALO (a, b). ES FÁCIL NOTAR QUE SE TRATA DE UN RECTÁNGULO Y QUE CONOCEMOS EL ÁREA DEFINIDA DENTRO DEL RECTÁNGULO.
FIGURA 1.
LA LONGITUD DE LA BASE (b−a) MULTIPLICADA POR LA ALTURA, h, DEL RECTÁNGULO DA COMO RESULTADO EL ÁREA DEL MISMO: (b−a) x h = A. CONSIDEREMOS AHORA OTRA FUNCIÓN, POR EJEMPLO UNA RECTA QUE PASA A TRAVÉS DEL ORIGEN DEL SISTEMA DE COORDENADAS: f(x) = c x. COMO PUEDE OBSERVARSE, ES CLARO QUE EL ÁREA QUE SE BUSCA ES EQUIVALENTE A LA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO, POR LO QUE EL ÁREA ES [(b−a) x cb]/2 = A O, COMO SUELE HACERSE EN LA GEOMETRÍA, A = (BASE x ALTURA) /2. COMO PUEDE OBSERVARSE, EL ÁREA BAJO LA CURVA (RECTA) SE CALCULA CON FACILIDAD.
FIGURA 2.
COMO SIGUIENTE EJEMPLO SE TIENE A UNA RECTA QUE NO PASA A TRAVÉS DEL ORIGEN DEL SISTEMA DE REFERENCIA. EN ESTE CASO, EL ÁREA BAJO LA CURVA ES UN TRAPECIO, COMO SE VE EN LA FIGURA 3,POR LO QUE EL ÁREA ES (b−a) x [f(a)+f(b)]/2. HASTA AQUÍ, HA SIDO SENCILLO CALCULAR EL ÁREA BAJO LA CURVA, PUES EL CÁLCULO SE HA REDUCIDO A CONSIDERAR FIGURAS GEOMÉTRICAS CONOCIDAS.
FIGURA 3.
CUANDO LA FUNCIÓN DIFIERE DE LA DE UNA RECTA, EL CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA CURVA ES MÁS COMPLICADO Y SE REQUIERE DE LAS SUMAS DE RIEMANN PARA EFECTUAR DICHO CÁLCULO. LAS SUMAS DE RIEMANN NOS CONDUCIRÁN AL CONCEPTO DE LA INTEGRAL DEFINIDA COMO EL ÁREA BAJO LA CURVA EN UN INTERVALO DADO.
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