LAS SUMAS DE RIEMANN PARA DETERMINAR EL ÁREA DE UNA FIGURA GEOMÉTRICA ES NECESARIO EFECTUAR OPERACIONES YA CONOCIDAS. SIN EMBARGO, CUANDO SE DESEA CALCULA EL ÁREA BAJO LA CURVA DE UNA FUNCIÓN O UN CONJUNTO DISCRETO DE DATOS EL CÁLCULO SE PUEDE COMPLICAR MUCHO. CONSIDEREMOS UN CASO SENCILLO, EL ÁREA BAJO UNA CONSTANTE, COMO EN LA FIGURA 1. EN LA FIGURA SE HA REPRESENTADO A LA FUNCIÓN CONSTANTE (f(x) = y = h) Y SE DESEA CALCULAR EL ÁREA BAJO LA CURVA EN EL INTERVALO (a, b). ES FÁCIL NOTAR QUE SE TRATA DE UN RECTÁNGULO Y QUE CONOCEMOS EL ÁREA DEFINIDA DENTRO DEL RECTÁNGULO.
FIGURA 1.
LA LONGITUD DE LA BASE (b−a) MULTIPLICADA POR LA ALTURA, h, DEL RECTÁNGULO DA COMO RESULTADO EL ÁREA DEL MISMO: (b−a) x h = A. CONSIDEREMOS AHORA OTRA FUNCIÓN, POR EJEMPLO UNA RECTA QUE PASA A TRAVÉS DEL ORIGEN DEL SISTEMA DE COORDENADAS: f(x) = c x. COMO PUEDE OBSERVARSE, ES CLARO QUE EL ÁREA QUE SE BUSCA ES EQUIVALENTE A LA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO, POR LO QUE EL ÁREA ES [(b−a) x cb]/2 = A O, COMO SUELE HACERSE EN LA GEOMETRÍA, A = (BASE x ALTURA) /2. COMO PUEDE OBSERVARSE, EL ÁREA BAJO LA CURVA (RECTA) SE CALCULA CON FACILIDAD.
FIGURA 2.
COMO SIGUIENTE EJEMPLO SE TIENE A UNA RECTA QUE NO PASA A TRAVÉS DEL ORIGEN DEL SISTEMA DE REFERENCIA. EN ESTE CASO, EL ÁREA BAJO LA CURVA ES UN TRAPECIO, COMO SE VE EN LA FIGURA 3,POR LO QUE EL ÁREA ES (b−a) x [f(a)+f(b)]/2. HASTA AQUÍ, HA SIDO SENCILLO CALCULAR EL ÁREA BAJO LA CURVA, PUES EL CÁLCULO SE HA REDUCIDO A CONSIDERAR FIGURAS GEOMÉTRICAS CONOCIDAS.
FIGURA 3.
CUANDO LA FUNCIÓN DIFIERE DE LA DE UNA RECTA, EL CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA CURVA ES MÁS COMPLICADO Y SE REQUIERE DE LAS SUMAS DE RIEMANN PARA EFECTUAR DICHO CÁLCULO. LAS SUMAS DE RIEMANN NOS CONDUCIRÁN AL CONCEPTO DE LA INTEGRAL DEFINIDA COMO EL ÁREA BAJO LA CURVA EN UN INTERVALO DADO.
1
EN LA FIGURA 4 SE OBSERVA UNA CURVA QUE NO ES UNA RECTA, POR LO QUE HACER APROXIMACIONES USANDO TRAPECIOS ES LO RECOMENDABLE. COMO EN LOS CASOS ANTERIORES, DEBE ESTAR DEFINIDO UN INTERVALO EN EL QUE SE DESEA HALLAR EL ÁREA BAJO LA CURVA DE LA FUNCIÓN ESPECIFICADA. SEA EL INTERVALO (b−a) EN EL QUE SE EFECTUARÁ EL CÁLCULO DEL ÁREA BAJO FIGURA 4. LA CURVA. HAGAMOS UNA PARTICIÓN REGULAR DE DICHO INTERVALO, PARA OBTENER EL MISMO NÚMERO DE TRAPECIOS CUYA BASE SEA LA MISMA PARA TODOS. SI DESEAMOS QUE LA PARTICIÓN SEA DE TAMAÑO 10, ENTONCES, LA ANCHURA DE CADA TRAPECIO SERÁ ∆x=(b−a)/10. LUEGO, ETIQUETEMOS A CADA SEGMENTO DE LA PARTICIÓN EMPEZANDO CON x0=a, Y xi=x0+i ∆x, con i=1, 2, ..., 10 (el tamaño de la partición). A CONTINUACIÓN, SE EVALÚA f(xi) PARA DEFINIR A CADA TRAPECIO QUE SE USARÁ EN EL CÁLCULO, DE MODO QUE EL ÁREA BAJO LA CURVA SE PODRÁ APROXIMAR SUMANDO LAS ÁREAS DE TODOS LOS TRAPECIOS CONSTRUIDOS DE ESTE MODO. n
FINALMENTE, EL ÁREA SE CALCULA DE ACUERDO CON A = å i=1
f (x i ) + f (x i - 1 ) Dx . 2
-1 x- 6 2
æ ö ç ÷ 100 CONSIDEREMOS A f (x ) = e 2 è 2.5 ø Y CALCULEMOS EL ÁREA BAJO LA CURVA EN EL 2.5 2 p INTERVALO (2, 9). CONSIDEREMOS UNA PARTICIÓN DE TAMAÑO 14, POR EJEMPLO. ASÍ QUE ∆x=(9−2)/14=0.5.
DE AQUÍ QUE xO=2 Y xi = 2+i 0.5, POR LO QUE, i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
xi
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
f(xi)
4.437
5.989
7.767
9.679
11.588
13.329
14.731
14.731
13.329
11.588
9.679
7.767
n
ASÍ, A = å i=1
15.642 15.958 15.642
9 f (x i ) + f (x i - 1 ) Dx = 82.876, en tanto que ò f (x )dx =83.0131 2 2
2