Sumas

SUMAS DE RIEMANN Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f  x= x 2, x=0, x=2 y el eje x mediante el cálculo del límite de las sumas de Riemann: SOLUCION:

2−0 2  x= = Primero dividimos [0,2] en n subintervalos de igual longitud: n n 2 i x i =ai  x=0i =2 La enésima suma de Riemann es n n n n n n n nn12 n1 i 2 i 2 2 f  x  x= f 2  = 2 ] ∑i=1 i ∑i=1 n n ∑i=1 n   n =∑i=1 n83 i 2= n83 ∑i=1 i 2= n83 [ 6 el área de la región es el límite de las sumas de Riemann: n 4n12 n1 8 lim n  ∞ ∑i=1 f  x i  x=lim n  ∞ [ ]= 3 3 n2 Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f  x= x−122, x=−1, x=2 y el eje x mediante la búsqueda del límite de las sumas de Riemann.

SOLUCION: Se divide [-1,2]:  x=

;

2−−1 3 = n n

x i =ai  x=−1

3i n

La enésima suma de Riemann es n

∑i=1

2

n n i 3 i 3 f  x i  x=∑i=1 f −13  =∑i=1 [−13 −1 2] n n n n

= = n

∑i=1 f  x i  x

n

3i

2

3

n

9 i2

∑i=1 [ n −2 2] n =∑i=1  n2 − n

∑i=1 27

12 i 3 42 n n

i 2 36 18 27 n 2 36 n 18 n − 2 i = 3 ∑i=1 i − 2 ∑i=1 i ∑i=1 1 3 n n n n n n

n1 2 n1 = 27 nn12 n1 36 nn1 18 [ ]− 2 [ ] n=9n1 n −18 18 3 6 2 n 2 n n n

el área de la suma de Riemann: n

lim n  ∞ ∑i=1 f  x i  x=lim n  ∞ [9n1

2 n1 2 n1 n −18 18] = 9 -18 + 18 =9 2 n

Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f  x=2 x23 , x=−2, x=0 y el eje x mediante el cálculo del límite de las sumas de Riemann.

SOLUCION 2 2i Se divide [-2,0]:  x= ; x i =−2 la énesima suma de Riemann es: n n 2 2 2 3 n n n n1 2i 2 32 i 3 32 n 3 32 n n1 ∑i=1 f  xi  x=∑i=1 2−2 n 2  n =∑i=1 n4 = n4 ∑i=1 i = n4 [ 4 ]=8 n2 se halla el límite : n

lim n  ∞ ∑i=1 ✔

n12 f  x i  x=lim n  ∞ 8 =8 n2 n

Evaluar lim n  ∞ ∑i=1  x i2−2 x i  x , donde de la integral apropiada.

x o=1 , x 1=1 x , ... , x n=3 mediante el análisis

SOLUCION x i se convierte en x

Esta suma de Riemann se debe cambiar a una integral:  x se convierte en dx, y el intervalo de integración es [1,3].

3

3

3

3

x 3 1 2 2 2 2 lim n  ∞ ∑i=1  x −2 x i  x=∫1  x −2 x dx= −x  = −3 − −1 = 3 3 3 3 1 n

Evaluar

3

2 i

2

 6

n

lim n  ∞ ∑i=1  x i1 −x i cos x i , donde x0=0,...,xn=

.

SOLUCION Se reconoce que n

x i1−x i = x y se obtiene n





lim n  ∞ ∑i=1  x i1− x i cos x=lim n  ∞ ∑i=1  x cos  x=∫06 cos x dx= sen x06 =sen

 −sen 0 6