SUMAS DE RIEMANN Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f x= x 2, x=0, x=2 y el eje x mediante el cálculo del límite de las sumas de Riemann: SOLUCION:
2−0 2 x= = Primero dividimos [0,2] en n subintervalos de igual longitud: n n 2 i x i =ai x=0i =2 La enésima suma de Riemann es n n n n n n n nn12 n1 i 2 i 2 2 f x x= f 2 = 2 ] ∑i=1 i ∑i=1 n n ∑i=1 n n =∑i=1 n83 i 2= n83 ∑i=1 i 2= n83 [ 6 el área de la región es el límite de las sumas de Riemann: n 4n12 n1 8 lim n ∞ ∑i=1 f x i x=lim n ∞ [ ]= 3 3 n2 Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f x= x−122, x=−1, x=2 y el eje x mediante la búsqueda del límite de las sumas de Riemann. SOLUCION: Se divide [-1,2]: x=
;
2−−1 3 = n n
x i =ai x=−1
3i n
La enésima suma de Riemann es n
∑i=1
2
n n i 3 i 3 f x i x=∑i=1 f −13 =∑i=1 [−13 −1 2] n n n n
= = n
∑i=1 f x i x
n
3i
2
3
n
9 i2
∑i=1 [ n −2 2] n =∑i=1 n2 − n
∑i=1 27
12 i 3 42 n n
i 2 36 18 27 n 2 36 n 18 n − 2 i = 3 ∑i=1 i − 2 ∑i=1 i ∑i=1 1 3 n n n n n n
n1 2 n1 = 27 nn12 n1 36 nn1 18 [ ]− 2 [ ] n=9n1 n −18 18 3 6 2 n 2 n n n