Unidad iii2

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UNIDAD III

3.2

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

La aplicación esencial de la integral definida es encontrar el área de una región en el plano; de ésta se derivan otras aplicaciones más, como son: la longitud de arco, el volumen del sólido de revolución y el área de una superficie de revolución, mismas que estudiaremos a continuación. Dada una función f (x) derivable en [a, b]. La longitud L de la curva de f (x) considerada desde ( a , f ( a ) ) hasta la llamada longitud de arco, está dada por la fórmula: Fórmula de la longitud de arco:

L = ∫a 1+( f '( x ) )2 dx b

Presta atención al ejemplo:

Hallar la longitud de arco de la curva f (x) = x3/2 desde x = 0 hasta x = 4. Hacer la representación gráfica. Solución Calculamos f '(x): 1 f ' ( x ) = 23 x 2 = 23 x

Aplicando la fórmula de longitud de arco, tenemos: 2 4 4 L = ∫0 1+ 3 x  dx = ∫0 1+ 9 x dx 4 2 

Encontramos una antiderivada F (x) (integración por sustitución): 1

4  9 2 9 4 2 9  F ( x ) = ∫  1 + x  ⋅ dx = ⋅  1 + x  9  4  4 9 3 4  8  9  = 1+ x  27  4 

3

3

2

2

Aplicando el teorema fundamental del cálculo a la integral definida:


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Unidad iii2 by José Isaias Cardeña - Issuu