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UNIDAD III
3.2
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
La aplicación esencial de la integral definida es encontrar el área de una región en el plano; de ésta se derivan otras aplicaciones más, como son: la longitud de arco, el volumen del sólido de revolución y el área de una superficie de revolución, mismas que estudiaremos a continuación. Dada una función f (x) derivable en [a, b]. La longitud L de la curva de f (x) considerada desde ( a , f ( a ) ) hasta la llamada longitud de arco, está dada por la fórmula: Fórmula de la longitud de arco:
L = ∫a 1+( f '( x ) )2 dx b
Presta atención al ejemplo:
Hallar la longitud de arco de la curva f (x) = x3/2 desde x = 0 hasta x = 4. Hacer la representación gráfica. Solución Calculamos f '(x): 1 f ' ( x ) = 23 x 2 = 23 x
Aplicando la fórmula de longitud de arco, tenemos: 2 4 4 L = ∫0 1+ 3 x dx = ∫0 1+ 9 x dx 4 2
Encontramos una antiderivada F (x) (integración por sustitución): 1
4 9 2 9 4 2 9 F ( x ) = ∫ 1 + x ⋅ dx = ⋅ 1 + x 9 4 4 9 3 4 8 9 = 1+ x 27 4
3
3
2
2
Aplicando el teorema fundamental del cálculo a la integral definida: