CONAMAT 4TO SECUNDARIA

1.

5.

Calcule el mayor perĂ­metro del rectĂĄngulo compacto que se obtiene juntando de manera conveniente los

Si tenemos un cubo de 5 cm de arista pintado de azul, el cual se divide en cubitos de un centĂ­metro

8 rectĂĄngulos iguales.

de arista, ÂżcuĂĄntos cubitos que no tienen ninguna de sus caras pintadas habrĂĄn?

A) 32 B) 47 C) 42

A) 25

D) 52

D) 27

B) 16

C) 5 E) 64

E) 54

6.

2.

Si I P Q =

P + Q + P − Q

P + Q − P − Q

;

el valor aproximado de

ÂżCuĂĄntas bolitas blancas habrĂĄ en la figura 30?

f(1;1)+f(2;3)+f(4;9)+f(8;27)+...... es

A) 480

B) 465

D) 470

3.

D)

C) 460 E) 411

En una reuniĂłn familiar se observa a 1 abuelo, 1

7.

abuela, 2 padres, 2 madres, 2 hijos, 1 hija, 1 nieta,

4.

A)

B)

progresiĂłn aritmĂŠtica tal que

suegro, 1 nuera y 2 hermanos. ÂżCuĂĄntas personas

a+b+c=0 ∧ a2+c 2=5(c–a) ,

como mĂ­nimo se encuentran en dicha reuniĂłn?

calcule la razĂłn de la progresiĂłn

A) 12 D) 8

A) 3

C) 6 E) 14

E)

Sean a,b,c tres tĂŠrminos consecutivos de una

1 sobrina, 1 tĂ­o, 1 cuĂąado, 1 cuĂąada, 1 suegra, 1

B) 10

C)

B) 2

D) 4

C) 5 E) 7

La diferencia del nĂşmero de caramelos que poseen

8.

Juan y Carlos es el doble de la diferencia de sus edades. Si se sabe que Juan tenĂ­a 8 aĂąos cuando

Si a2; (a+2)2; 43 son los tres primeros tĂŠrminos de una progresiĂłn geomĂŠtrica de tĂŠrminos enteros,

Pedro cumpliĂł 4 aĂąos; y ĂŠste es mayor que Carlos

calcule la suma de los 10 primeros tĂŠrminos.

por 1 aĂąo. ÂżCuĂĄntos caramelos mĂĄs tiene Juan con respecto a Carlos?

A) A) 8 D) 14

B) 12

C) 10 E) 5

−

D) 410

P–1

B)

−

C) 410–1 E) 411–1

9.

En una progresiĂłn geomĂŠtrica de tĂŠrminos positivos, el segundo y quinto tĂŠrmino es 6 y 162, respectivamente, entonces el primer tĂŠrmino aumentado en la razĂłn es A) 2 D) 1

10.

C) 5 E) 10

B) 3

C) 4 E) 5

Sabiendo que b>1; sume

6 = + + + + E E E E A) b2

B) b2+1

D) b2 – 1

12.

En el grĂĄfico, calcule x.

Si en una progresiĂłn geomĂŠtrica de tĂŠrminos W +W

enteros positivos se cumple que =

W W calcule W + W + .

A) 7 D) 2

11.

B) 6

15.

A) 30Âş D) 25Âş C) E)

16.

E +

B) 45Âş

C) 20Âş E) 15Âş

En el gråfico, se muestra un juego de escuadras tal que AB ≠BC y AB=BE. Si AD= + ,

E −

calcule CD.

Sean las progresiones

á −

m: a: b: c: .............. de razĂłn r1 1: m: n: p: .............. de razĂłn r2

Si c=p y ademĂĄs r1=2r2+2 , r2>0, calcule c.

A) 20 D) 27

13.

C) 15 E) 18

A)

B) 4

17.

C) 6 E) 1

18.

C) E)

En un triĂĄngulo se traza la mediana BM y la bisectriz interior AN, tal que 01 $% . Calcule la m ) ANB. A) 100Âş D) 90Âş

Del grĂĄfico, un futbolista en A efectua un cĂłrner en forma razante, el futbolista en F recibe el balĂłn y patea en forma razante en primera al balĂłn, chocando este con la vertical 34 y saliendo el balĂłn fuera de juego por C. ÂżCon quĂŠ ĂĄngulo (medida) respecto a $) hubiese pateado el futbolista en F para anotar su gol?

A) mayor que a C) igual que a D) menor que a/2

B)

D)

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Si (AC) 2 – (CD) 2=8(BC) y AB=BD, calcule AD. A) 2 D) 8

14.

B) 25

B) 80Âş

C) 60Âş E) 120Âş

En el grĂĄfico, se tienen cuadrados de centros O1 y O2, siendo AB=a y MN=b. Calcule la distancia del punto medio de 2 2 a 13 .

D + E

D + E D)

A)

B) menor que a E) menor que 2a

P–2

B)

D + E

D+E

D + E E)

C)

19.

23. SegĂşn el grĂĄfico, T es punto de tangencia y R=3r=3.

En la figura, las regiones sombreadas son congruentes. Si %& $' y AP=10, ÂżcuĂĄnto distan

Calcule AT.

los puntos medios de $& \ %' "

A) A) 10

B) 7,5

D)

20. En

B)

D)

C) 5 E)

24. En

C)

E)

el grĂĄfico, m %/ =60Âş, m $% =150Âş, AB=4.

ÂżCuĂĄnto dista H de $/ "

el polĂ­gono convexo ABCDEF ....... se trazan

$& \ $( , determinando tres polĂ­gonos donde

su nĂşmero de lados estĂĄn en progresiĂłn aritmĂŠtica. Calcule el nĂşmero de lados del polĂ­gono inicial.

A) 9

B) 7

D) 8

21.

C) 6 E) 10

En la figura, P y Q son puntos de tangencia. Calcule

o

la P 3/4 .

A) −

A) 120Âş

B) −

D) −

B) 135Âş

25. En

C) 140Âş

C) − E) −

el grĂĄfico, P y T son puntos de tangencia,

CP=PO, AB=BC y AQ= . Calcule r.

D) 150Âş E) 100Âş

22.

En el grĂĄfico, AP=PQ. Si AC+QE=26 y AB+QD=24; calcule BE. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12

A) 4

E) 15

D) 8

B) 2

C) E) 9

Domingo, 14 de setiembre de 2003

P–3

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2005

Secundaria

TEMA

CUARTO AÑO 1. ¿Qué figura continúa en la secuencia mostrada?

P

5. Se tiene cierto número de ovejas, que no sobrepasan

de 368 ni son menos de 354, si cuando se acomodan las ovejas en grupos de 2; 3; 4 y 5 siempre sobra 1 y cuando se les coloca en grupos de 7 sobran 4, ¿cuántas ovejas hay?

A) 365 D) 366

B) 355

C) 361 E) 362

6. Los elementos del conjunto {t1; t2; t3; … tn} forman una progresión geométrica de razón q, tal que 5 5 31 ∏ t i = 32 y ∑ ti = 4 i =1 i =1

2. Determine qué figura corresponde al recuadro en blanco.

Nota n

∏ t i = t1.t 2 .t 3 .… t n ;

i =1

n

∑ t i = t1 + t 2 + t 3 + … + t n

i =1

Calcule el valor que toma q5 + q3 − q 2 − 1 q5 − q3 + q 2 − 1

3. Han colocado exactamente una cabina telefónica a

B) a 50 m

D) a 12 m

C) a 30 m

C)

39 23

E) −

39 23

B) 196 m

C) 204 m E) 198 m

8. Regina observa que su cosecha de papa en el año

las regiones determinadas por ellos 100 cm2 y 49 cm2, respectivamente. Si la base del triángulo mayor es 20 cm, ¿cuál es la base del triángulo menor?

D) 17 cm

35 23

A) 202 m D) 200 m

E) a 0 m

B) 14 cm

D)

39 B) 30

están ubicados a lo largo del borde de una chacra.

Si los árboles están ubicados equidistantemente a (x+1) m entre sí y la distancia del pozo al primer árbol es de 2 metros, determine la distancia del pozo hasta el último árbol. Considere que las distancias del pozo a cada uno de los árboles forman una progresión aritmética de razón 2.

4. Se tiene dos triángulos semejantes siendo el área de

A) 12 cm

35 27

7. Un pozo subterráneo y una plantación de 100 árboles

200 m al sur y 100 m al oeste de la puerta de mi casa y otra cabina a 600 m al norte y 300 m al este.

Cuando tiendan el cable que une, dichas cabinas directamente al ras del suelo, ¿a qué distancia de la puerta de mi casa pasará dicho cable?

A) a 10 m

A)

2001 fue de 30 000 kg, pero en el año siguiente disminuyó en siete décimos de la cosecha del año anterior. Si por cada kg recauda n soles, ¿cuánto recaudará este año?

C) 16 cm

A) S/.245 n D) S/.81 n

E) 13 cm

P-1

B) S/.162 n

C) S/.729 n E) S/.243 n

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2005 A) 15º D) 30º

d2 x2 1 , {d; x} ⊂  :…: 3 3 3 de razón entera, indique el menor valor de d 2 + x2.

9. En la progresión ÷ : a : b : c : A) 64 D) 68

B) 25

B) C) D) E)

−1

219

211 − 1 24 210 − 1 29 211 − 1 210 29 − 1 24

C) 10º E) 12º

cevianas interiores AP y CQ secantes en L. Si AQ = AL y mACQ = 20º, calcule mAPB.

A) 160º D) 130º

de 5 pisos. Si una araña se encuentra en el punto A y se desplaza hacia la azotea, determine la distancia recorrida por la araña hasta llegar al punto B. A) 2

B) 20º

14. En un triángulo ABC (AB = BC), se trazan las

C) 74 E) 70

10. En el gráfico se observa el perfil de una estructura

20

Secundaria

B) 150º

C) 140º E) 100º

15. Se tiene un triángulo escaleno ABC, tal que AC = 4 y BC = 7. ¿Cuántos valores enteros puede tomar AB?

m

A) 7 D) 6

m

B) 5

C) 4 E) 8

16. Del gráfico, AB = EC y AD = 5. Calcule ED.

m m

m

11. En una recta se ubican los puntos consecutivos

A; B; C y D. Si AB; AC y AD están en progresión BC aritmética, calcule .

CD

A) 1/2 D) 1/3

B) 1

A) 6 D) 7

C) 2 E) 2/3

B) 2,5

C) 5 E) 8

17. Según el gráfico, L es mediatriz de AC; MN = MP. Si 2α + θ = 90º y BN = 4, calcule AM.

12. En

el gráfico, una persona se desplaza rectilíneamente de la ciudad A hasta el punto M (M equidista de las ciudades A y C) y otra persona a partir de la ciudad D hasta el punto N (N equidista de las ciudades B y D). Si las ciudades A y D distan 20 km, además M y N distan 8 km, calcule la distancia entre las ciudades B y C.

A) 5 km D) 7 km

B) 6 km

A) 4,5 D) 5

C) 3 km E) 4 km

B) 3

C) 3,5 E) 4

18. En las siguientes proposiciones, indique la veracidad o falsedad.

I. Si en un paralelogramo, sus diagonales son perpendiculares, entonces dicho paralelogramo es un cuadrado.

II. Si una recta biseca a un segmento, entonces dicha recta es mediatriz del segmento.

III. Un trapecio es aquel cuadrilátero que tiene solo un par de lados opuestos paralelos.

13. Del gráfico, γ – β = 10º. Calcule φ – ω.

A) VVV D) FVF

P-2

B) FVV

C) FFF E) FFV

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2005 19. Según el gráfico, BC // AD y AP=BP .

A) 2r D) 4r

Si PQ = 9 y BC = 6, calcule AD.

Secundaria B) r 3

C) 3r E) 2r 3

23. En el gráfico, mBM = mMC y AQ = a. Calcule

A) 10 D) 12

B) 11

AP PM

C) 13 E) 18 a A) r

20. Según el gráfico, el triángulo ABC es isósceles.

Calcule m AT .

B)

2a r

a D) r − a

C)

r −a a

E)

2a r −a

24. Según el gráfico, ABCD es un rectángulo.

Si 2(BM) =

A) 100º D) 140º

B) 150º

3 (NC), calcule x.

C) 120º E) 135º

21. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado, de centro O. Si ND = 2 y R = 10 , calcule NC. A) 25º

B) 37º

D) 15º

C) 30º E) 45º/2

25. Según el gráfico, AN = 2 u. Calcule el área de la región triangular NDC.

A)

11

B) 2 5

D) 2 3

C)

10

E) 4 3

22. Según el gráfico, P y T son puntos de tangencia.

Si BH = r, calcule BP.

A) 3 2 u2 D) 4 u2

B) 6 2 u2

C) 4 2 u2 E) 6 u2

Domingo, 18 de setiembre 2005

P-3

Cuarto año

Examen Eliminatorio

TEMA

CUARTO AÑO 1. Cada punta de la estrella tiene un número, uno de ellos no debería estar donde está, porque no guarda relación con los demás. El número del centro te ayudará a encontrarlo.

P

4. Se ha producido un choque trágico de cinco microbuses. Tras el choque los vehículos han quedado tal como se muestra en la fotografía aérea (las flechas indican el sentido en que viajaban) los testigos afirmaron que los microbuses A y D corrían ambos a gran velocidad. ¿Cuál de ellos impactó último y quién provocó el choque múltiple?

E

C

D A B

A) A y E D) A y C

Indique cuál es la suma de los números que no deberían estar en las puntas de las estrellas.

A) 104 D) 176

B) 470

B) 11

su bisabuelo nació más la raíz cuadrada del año en que murió, es igual a la edad que tenía cuando murió. ¿A qué edad murió su bisabuelo? (Considere que el abuelo murió en el siglo XX).

A) 72 D) 85

B) 9

B) 89

C) 87 E) 98

6. Al lanzar dos monedas y un dado se observan sus resultados, calcule la probabilidad de obtener una cara, un sello y un número primo impar.

C) 40 E) 13

A) 1/12 D) 1/3

3. Dentro de 8 años la edad de Paulo será la que José tiene ahora. Dentro de 15 años, Paulo tendrá 4/5 de la edad que tendrá José en ese entonces. ¿Cuál es la edad actual de Paulo?

A) 25 D) 13

C) E y A E) E y B

5. Milagros tiene x años, la raíz cuadrada del año en que

C) 174 E) 168

2. En una caja, se tiene 8 tizas blancas y un número de tizas amarillas, que es 3 veces más que el número de tizas blancas. ¿Cuántas tizas debo extraer al azar como mínimo para tener la certeza de obtener 5 tizas de cada color?

A) 37 D) 21

B) B y E

B) 1/6

C) 1/2 E) 2/7

7. Se tiene un polígono equiángulo ABCDEF... cuyo

número de lados se quiere conocer, sabiendo que ED y BC determinan un ángulo de medida 120º.

C) 17 E) 14

A) 4 D) 12

P-1

B) 5

C) 10 E) 15

Concurso Nacional de Matemática CÉSAR VALLEJO 2006 8. De la figura mostrada, calcule x.

A) 70º D) 100º

B) 110º

14. En el gráfico, T es punto de tangencia. Si (PC)(AB) = 36, calcule el área de la región sombreada.

C) 140º E) 105º

A) 6 D) 15

9. En un triángulo ABC en BC y AC se ubican los puntos P y Q, respectivamente, tal que PC = 2(BP), AB = 12 y mPQA + mBAC = 180º. Calcule PQ. A) 6 D) 9

B) 8

B) 8

C) 12 E) 10

A) 12 D) 25

B) 127º/2

C) 10 E) 2 13

A)

2

D)

10 3

B) 39

C) 143º/2 E) 53º/2

Y A

B) 9/π

B)

10 2

C)

4 2 3

E)

10

L P

B

C) 36 E) 24

13. En un triángulo ABC se circunscribe una circunferencia y se inscribe otra circunferencia a dicho triángulo, determinándose una corona circular. Si el perímetro del triángulo ABC es numéricamente igual al área de dicha corona, calcule BC. A) 16/π D) 12/π

C) 15 E) 24

17. En el gráfico, OABC es un cuadrado y OPBD es un trapecio isósceles. Halle la ecuación de L .

12. En un trapecio rectángulo ABCD recto en A y B se ubica el punto P en AB. Si AP = PB y mCPD = 90º, BC = 4 y AD = 9, calcule el área de la región triángular CPD. A) 33 D) 18

B) 18

16. En una pirámide regular M - ABCD sus caras laterales son regiones triangulares equiláteras en AM se ubica el punto N, tal que AN=NM; CN = 5 . Calcule el volumen de dicha pirámide.

11. En un trapecio ABCD, BC//AD en AB se ubica el punto E, tal que AE = 2(BE), mBCE = 45º y mECD=90º. Calcule mCED. A) 37º/2 D) 36º

C) 9 E) 18

15. En un prisma ABC - DEF el área de la cara ACFD es igual a 12 y la distancia de E hacia dicha cara es 4.

Calcule el volumen del prisma.

10. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BD, tal que AB = BD, AD = 8 y DC = 5 y mABD = 2mBCA. Calcule AB. A) 6 D) 2 2

B) 12

O

A) B) C) D) E)

C) 4/π E) 25/ π

P-2

2x – 2y + 7 = 0 2x + 2y – 7 = 0 x+y–7=0 x + y – 14 = 0 x–y–9=0

C

D (7; 0) X

Cuarto año

Examen Eliminatorio 18. En el gráfico, T, P y Q son puntos de tangencia. Si la pendiente de L 2 es 3 y BC = AC, halle la pendiente de L 1

22. Dadas las progresiones I. ÷ a; b; c; d ...

II. ÷ x; y; z; w ...

De elementos enteros positivos. Si las sucesiones cumplen a2; b2; c2; d2 y x2; y2;

z2; w2

+s + t + u

+m +n +p

+50 +50

+32 +32

Halle la suma de las razones de las progresiones (I) y (II).

A) – 3/2 D) – 1/3

B) – 1

C) – 1/2 E) – 2

23. Sean las funciones f y g, tal que f(x) = x2 + 3; g(x) = – x2 + 8x – k Si el máximo valor de g(x) es igual al mínimo valor de f(x), halle el valor de k.

19. Dada la progresión ÷ 20a2; ... ; – 20a2 De 41 términos, halle la suma de todos sus términos.

A) 20a2 D) 0

B) – 20a2

A) 10 D) 12

C) a2 E) 1

20. Sea la sucesión ak = a1 + a2 + a3 + ...+ak–1 + 1; k ≥ 3

x . tan37º – 5sec230º = x . tan

10

Σ a2k k=1

A) a12 – 1 D)

A) {86} D) {– 74}

B) a11 + a10

21

C)

a12 3

+1

21. Dada la progresión ÷ a; b; ... ; x De 501 términos. Si la suma de los términos del lugar 125 y 377 es 1 504, halle el término de lugar 251.

A) 800 D) 792

B) 750

37º x + tan45º + 2 cot 53º 2

B) {– 86}

C) {74} E) {– 72}

25. Siendo α ∧ β ángulos agudos que cumplen tanα = cos37º cotβ = senα señale el valor de cosβ . sec2β

a –a E) 12 10 4

2 –2 3

C) 3 E) 9

B) 13

24. Resuelva la ecuación

donde a1 = 1 ∧ a2 = 2 Halle

C) 8 E) 10

B) 7

A) 6 D) 9

C) 752 E) 852

P-3

A)

57 41

D)

57 4

B)

41 5

C)

57 4

E)

41 6

Cuarto año

Examen Eliminatorio

TEMA

Cuarto año 1. Ubique un número en cada círculo, de tal manera que sea igual al único número inmediatamente encima de él o igual a la suma de los números que están encima y a la vez, en contacto con él. Dé como respuesta el número ubicado en el círculo sombreado.

P

5. Reemplace cada letra por una cifra, si se sabe que letras iguales significan cifras iguales, además, O: cero. Dé como respuesta L+E+A. A L E A O + F I E L 2 7 9 7 6 A) 12 C) 15

B) 13 D) 11

6. Un campanario demora 6 segundos en tocar 3 campanadas. ¿Cuánto tiempo le ocupará tocar 12 campanadas?

A) 35 C) 20

B) 29 D) 32

A) 24 segundos C) 33 segundos

2. ¿Cuál de las siguientes figuras no guarda relación con las demás?

B) 20 segundos D) 36 segundos

7. Alberto ubica 7 puntos en una hoja, de los cuales 3 solamente son colineales. ¿Cuántos triángulos podrá formar Alberto, tomando como vértices los puntos indicados?

A) 31 C) 33

8. La mamá de Jorgito va al mercado y compra frutas; al llegar a su casa en su canasta tenía 4 manzanas, 2 peras y 5 membrillos. Si Jorgito selecciona al azar 3 frutas, ¿cuál es la probabilidad de que resulten de la misma clase?

3. Se define la siguiente operación matemática:  x +1 ; x es impar  x =  2  x − 2 ; x es par  2

A)

Calcule A) 0 C) 3

C)

B) 1 D) 10

14

B)

165 16

D)

105

15 198 13 198

9. Dada la sucesión numérica 1 2 3 {an } = ; ; ;...;1;... n n n

{

4. Cuatro hermanos se reparten 40 canicas de la siguiente manera: Andrés recibe la mitad de Bruno; César recibe el triple de Andrés, y Daniel recibe el doble de Bruno. ¿Cuánto recibe Bruno?

A) 4 C) 10

B) 32 D) 34

}

si la suma de sus n primeros términos es 10, calcule el valor de n.

B) 8 D) 16

A) 10 C) 17

P-1

B) 14 D) 19

Concurso Nacional de Matemática CÉSAR VALLEJO 2007 10. Dada la progresión aritmética ÷ a1;...;0; a2+b2;...;an

16. Si en el gráfico mostrado AB=BC y DE=EF, calcule x.

m términos

la expresión

an m

equivale a

A) m(a2+b2).

C) a2+b2.

B) (m–1)(a2+b2).

D) 0.

11. Si el primer término de una progresión geométrica es 3 y su razón es 2, ¿cuánto será su décimo término?

A) 3072 C) 1024

A) 40º C) 50º

B) 1536 D) 512

B) 35º D) 80º

17. Según el gráfico mostrado, a+b+c=110º. Calcule x.

12. Dada la función f={(3;7), (x+1;2), (2x–1;4), (3;2x+1), (–1; x)} Halle la suma de los elementos del rango.

A) 9 C) 13

B) 11 D) 16

13. Sea f una función real definida por f(x)=

1; x ∈ Q

A) 70º C) 55º

–1; x ∈ I

[Q: racionales ; I: irracionales] Luego, podemos afirmar que A) Domf=Q∩I. C) Ranf=Q∪I.

18. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo, BD//AE y EF=FC. Calcule x.

B) Domf={1; –1}.

D) Ranf={1; –1}.

14. En el gráfico, calcule x si se sabe que

L 1// L 2.

A) 100º C) 60º A) 130º C) 120º

B) 35º D) 110º

B) 75º D) 90º

19. Del gráfico se sabe que O es centro del rectángulo ABCD. Si se sabe CD=2(OM) y PM=MC, calcule x.

B) 100º D) 110º

15. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la altura BH y la bisectriz interior AQ se intersecan en P; luego, en el triángulo PBQ se traza la mediana BM. mQBM Calcule . mQAB 1 A) 1 B) 2 2 3 C) D) 3 4

A) 40º C) 50º

P-2

B) 30º D) 45º

Cuarto año

Examen Eliminatorio 20. Del gráfico se sabe que P y Q son puntos de tangencia.

23. Si PC=6, calcule el área de la región sombreada.

Calcule θ.

A) B) C) D)

A) 36º B) 45º

8 18 9 12

C) 37º D) 60º

24. A partir del gráfico, ¿qué ángulo gira AB alrededor del punto A de tal manera que B descanse sobre el

21. En el gráfico, Q es punto de tangencia. Si PQ//AC,

plano inclinado siendo AB=12 y PA=4 3 ?

calcule x.

A) 30º

B) 37º

C) 45º

D) 15º

A) C)

22. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y AED es un triángulo equilátero. Si el perímetro de la región

π 3 π 4

rad.

B)

rad.

D)

π 6 π 5

rad. rad.

25. La longitud de los catetos de un triángulo rectángulo

sombreada es 10, calcule el área de dicha región.

es igual a 2sen30ºtan45º y sec60ºsec245º. Determine A) 4 – 3

la tangente del menor ángulo agudo.

B) 2+ 3 A)

C) 5– 3 D) 2 3 – 4

C)

1 2 1 4

B)

1 3

D) 2 Domingo, 14 de octubre de 2007

P-3

( p ↔ q)

Prueba Eliminatoria - Cuarto Grado de Secundaria

10. Resuelve la inecuación cuadrática.

7. Carmencita recibe una herencia de su abuelo

César y decide depositarla en tres bancos diferentes de la siguiente manera: en el primer banco deposita los 3/7 de lo que no deposita de la herencia a una tasa de interés del r% durante 2 cuatrimestres; en el segundo deposita el 9 por 14 del resto, al r% cuatrimestral durante 2 años y el resto en el tercer banco al r% semestral durante 3 años, de modo que la diferencia de intereses en los últimos bancos equivale al monto del primero. Calcula la menor parte, si se hubiera depositado todo el capital a la menor tasa durante 3 años se obtendría una utilidad del S/.(a + 1)ab(b –1), además los capitales que se depositan en cada banco son enteros, y 1< b <a.

A) S/.2120 C) S/.2210

x2 +

A)

−59 59

; 61 61

B)

−61 59 ; 59 61

C)

−59 61 ;

61 59

D)

−61 61 ; 59 59

1 una expresión tal que x f( x ) ≤ − x ↔ x ∈ S .

Halla la longitud del conjunto R– \ S.

B) S/.1220 D) S/.1022

A) 1 C) No existe

exista en el conjunto R.

log

q2 p

( p2 q ) = log p ( pq ) ,

halla el equivalente de

A) –1 ≤ x < 0

1 C)  −1;   {0}  2

{0}

{ {

}

2 A = ( x + 1) ∈R ≤ 1 , x B = ( x − 1) ∈R

3 − log q p

.

B) –1 D) 1

x2 − 1 2 − x = , x +2 x −1

indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si x0 es solución, entonces x03 – x0 = 3.

II. Presenta 2 soluciones.

III. Una solución se encuentra en el intervalo 〈1; 2〉.

IV. Tiene más de 3 soluciones.

}

1 ≥1 , x −2

entonces se cumple que A) A ∪ B = R– {1} C) A ∩ B = φ

1 + log p q3

13. En la siguiente ecuación

9. Dados los conjuntos

q

A) logpq C) logqp

B) 〈–∞; –1] ∪[2; +∞〉



B) 0 D) 2

12. Si se cumple la igualdad logaritmica

garantizan que 1 1 f( x ) = 2 − − 2 x x

D)  − 1 ; 1  2 

x <1

11. Sea f( x ) = x 2 +

8. Determina el conjunto de valores de x que

240 ( 59 )( 61 )

A) VVVF C) VFFF

B) A ∩ B = {1} D) A – B = 〈2; 3]

P - 2

B) FVVF D) VFVF

Concurso Nacional de Matemática CÉSAR VALLEJO 2009

14. Del gráfico, ABCD y AECS son trapecios isósceles,

17. En un triángulo ABC obtuso en B, se ubica el punto

AB = CD, AE = CS. Calcula x, en función de α y β.

D exterior y relativo a AC, mBCA = 3(mCAD),

mBAC = 30º y AD = DC = BC. Calcula mDAC. A) 27º C) 16º

B) 29º D) 15º

18. Según el gráfico, AB = 2 2 . Calcula el área de la

región sombreada.

A) β + α C) 2α + β

B) 2β – α D) 2(β – α)

15. En el gráfico, AP = 3 y QC = 6. Calcula

AF .

FC

A) 2 C) 4

A) 1/3 C) 1/2

B) 3 D) 5

19. Si AM = 3(MO), ON = 4 y NB = 14. Calcula AO.

B) 2/3 D) 3/4

16. Del gráfico, MNCP es un trapecio isósceles y

ABCD es cuadrado de centro O. Si PD = 6(NC), calcula x.

A) 16º C) 53º

B) 45º D) 37º

P - 3

A) 12 2

B) 10 3

C) 6 2

D) 9 3

Prueba Eliminatoria - Cuarto Grado de Secundaria

20. Del gráfico, AB = MN. Halla x.

23. Sea G baricentro del triángulo ABC, además se

ubican E y R sobre AB y BC, respectivamente, tal que G ∈ ER y AERC es inscriptible. Si AC = 12, EG = 2, halla GR. A) 4 C) 8

B) 6 D) 3

24. Si se cumple que AB – CD = 8 y sena = 3/5,

calcula 9 BD. 4

A) 10º C) 20º

B) 15º D) 25º

21. Se sabe que las longitudes de los lados AB, BC

y AC de un triángulo ABC son 13, 15 y 14. Si el incentro es I y el baricentro G, calcula el área de la región IBG. A) 4/3 C) 3/4

A) 24 C) 32

B) 5/3 D) 5/4

25. En el gráfico, se tiene que cot θ =

AH .

HC

22. Las áreas de las regiones OQC y OPA son S1 y

S2, respectivamente, AP = a y QC = b y ABCD es un cuadrado, calcula S1 – S2.

ab ( b − a ) A)

2 C)

b 2 − a2

2

A) 2 5

ab ( a + b ) B) 2 D)

B) 30 D) 40

a2 + b 2 2

C)

3 . Calcula 2

B) 2 3

3

2

D)

3 5

Domingo, 20 de septiembre de 2009

P - 4

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo

Tema

P Cuarto Grado de Secundaria 1. En julio, Karin ! "#$%&%'! ()*+,+-! .#! /" 0%1$ $%'2*! 34#/5! decide dividir ese dinero en tres partes enteras: la mayor parte la deposita al r% bimestral, la menor al r% trimestral y la otra al r% cuatrimestral, durante 2; 2 y 3 años, respectivamente (r

! Z+). Se sabe que los

dos menores intereses producidos son S/.288 y S/.405; además, el otro interés es equivalente al menor capital. ¿Cuál es el interés total producido?

A) S/.1643

B) S/.1523

C) S/.1431

D) S/.1413

2. En una reunión se encuentran cuatro amigos que comparan sus pesos en kilogramos. Y aunque no todos sus pesos son iguales, observan que la media, mediana

!

(#!8 &#!@4#!$4 2.5!8#!#2$%#2.#!42!;5$5!.#!: !1: !A, este 94#.#!8#"! A4:!5!B#".#!6!9 " !: !1: !B puede ser amarillo o "5C5D!6!$4 2.5!8#!#2$%#2.#2!:58!;5$58!.#!: !1: !A, siempre hay 2 de color azul y 8 de color verde que se distribuyen aleatoriamente. En cambio, cuando se encienden los ;5$58! .#! : ! 1: ! B, siempre hay 3 de color amarillo y 7 de color rojo que se distribuyen aleatoriamente. Si se #2$#2.%#" 2!8%74:0?2# 7#20#!:58!;5$58!.#!: 8!1: 8!A y B, ¿cuántos tipos de señales se podrían obtener?

A) 4320 C) 5400

B) 2700 D) 9240

4. Un juego consiste en lanzar un dado varias veces y se gana cuando hayan salido todos los resultados posibles del dado (1; 2; 3; 4; 5 y 6). ¿Cuál es la probabilidad de ganar en el séptimo lanzamiento?

6! 75. ! .#! #8058! 9#858! 852! :58! 7%8758*! 34#/5! ::#/ 2! dos amigos más, cuyos pesos son menores que los de los cuatro primeros. Ahora se observa que el menor y mayor de los pesos están en la relación de 4 a 5; además, la media de estos pesos es 68 y los valores de la mediana y moda son impares consecutivos. Calcule el menor de los cuatro pesos iniciales.

A) 67 kg

B) 69 kg

C) 68 kg

D) 71 kg

3. Se va a fabricar un aviso luminoso que consta de 20 ;5$58!.#!%/4 :!0 7 <5!.%80"%&4%.58!#2!.58!1: 8=!A y B, de >-!;5$58!$ . !42 =!0 :!$575!8#!74#80" !#2!#:!/"?1$5* A B

A) 25/648 C) 25/1296

B) 25/216 D) 5/108

1 1 5. Si el intervalo S = x − ; x + ⊂ R+ no es vacío, x x halle todos los valores reales de x.

A) x > 0 C) x > 1

B) 0 < x < 1 D) x 1

6. Respecto al sistema lineal de incógnitas x e y ( λ + 1) x + λy = 1; λ ≠ 0   λx + ( λ − 1) y = λ , indique lo correcto.

A) Es incompatible.

B) Si (a; b) es solución, entonces ab < 0.

C) Si !=– 1 " (a; b) es solución, entonces a+b < 0.

D) Si (a; b) es solución, entonces a > b > 0.

(Chiclayo - Trujillo - Huacho) Zona Norte

P-1

Prueba Eliminatoria - Cuarto Grado de Secundaria 7. Halle el conjunto S.

12. G2! #:! /"?1$5=! ABCDE es un pentágono regular; BP=a, PQ=b y EF=c. Calcule FG.

x −1 1   S =  x ∈R 2 − ≤ 0 x +1 x   A) S=R+ C) S=R– 8. Sea f

n (x)

B A

B) S=#– 1; 1$ D) S=R – {0}

=

P C

x + n una expresión matemática. Si existe x

x !R!tal que f

1

(x) < f

2

Q

( x ), calcule el menor valor entero

F

G

E

de x.

D

A) – 2 C) 2

B) – 1 D) 1

9. Respecto a la ecuación exponecial 1 2 x ⋅ x 2 + x 2 − 2 x −2 = , 4 indique lo correcto.

A) Sus soluciones son positivas.  1 EF! 3 !847 !.#!85:4$%52#8!#8!log   . 2 C) El producto de soluciones es negativo.

D) No tiene solución.

2 2 B) a + c − ab c

2 2 C) a + ab − c c

2 2 D) a + bc − c b

13. Dado un sector circular AOB, de centro O, m AOB=60º y radios OA y OB. En las prolongaciones de OA y OB se ubican los puntos P y Q respectivamente, tal que PQ//AB; además PQ interseca al arco AB en E y F. Calcule la longitud del radio de dicho sector circular, si PE=a y EQ=b.

A) a2 + b2

10. Dada la siguiente sucesión 9 29 81 {an } = 0 ; 1; 4 ; 8 ; 16 ; a6 ; ...; an ; ... , halle el término a6 .

{

2 2 2 A) a + b + c c

}

C)

a2 + b2 − ab

B)

b2 − a2

D)

a2 + b2 + ab

14. H#:!/"?1$5=!T y K son puntos de tangencia, AM=MT y A) 209/32 C) 155/32

B) 207/32 D) 257/64

O es el centro de la circunferencia. Calcule x.

11. G2! #:! /"?1$5! 7580" .5=! APQC es un trapecio tal que 10(BQ)=5(QT)=2(TC); AH=14 y FC=25. Calcule HF.

A 20º

B M

P

Q

K

T

T O x

A A) 15 C) 17

P-2

H

F

C B) 16 D) 18

Zona Norte (Chiclayo - Trujillo - Huacho)

A) 20º

B) 25º

C) 30º

D) 32º

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 15. !" #$" %&'(co se muestra un trapecio isósceles PBRQ, PQ//BR. Si AP=2(PM) y PQ=2, calcule el área de la región APQ.

19. !" #$" %&'()*" 2ostrado, el cono es circular recto; la generatriz BC"/!4#&1#),","$,"1.5#&()/#"1#2/#167&/),"#!"#$" punto P, si OC es un diámetro de la semiesfera. Calcule el volumen del cono si OB · PC · AB=36.

B B M P

R

P

Q 45º A

H

O

A

C

O1

C

A) 4 C) 8

A) 36 C) 18

B) 6 D) 12

16. !"#$"%&'()*"+,+*-"),$).$#"#$"'&#,"+#"$,"&#%/0!"1*23&#,+," BPC, si el cuadrilátero ABCD es inscriptible y el radio de la circunferencia es 24. (O es centro de la circunferencia).

B) 24 D) 12

20. El cilindro mostrado es circular recto y el área de la región ATO"#1"89":,$).$#"#$"'&#,"+#"$,"1.5#&()/#"$,4#&,$"+#$ cilindro.

O

A P 24

T

B O

C 74º

53º

O1

B

D

C

A A) 12 C) 4 A) 300 C) 360

B) 320 D) 400

17. En un decágono regular ABCDEFGHIJ, en la diagonal AF se ubica el punto Q, tal que BQ=DF. Calcule la medida del ángulo DJQ. A) 18º C) 24º

21. !"#$"%&'()*"2*14&,+*-"),$).$#"#$"'&#,"+#"$,"&#%/0!"ABC, si las ecuaciones de las rectas son: L 1: AX+BY+C=0; L 2: BX+AY+C1=0 y B (b; 3 ) .

Y

B) 6º D) 22º

18. En un polígono regular ABCDEF..., las mediatrices de AB y DE son rectas perpendiculares. Determine el número de diagonales de dicho polígono.

A) 35 C) 54

B) 6 D) 24

B) 44 D) 65

B

A O

A) 1 C) 3

L1

30º

C

L2

X

B) 2 D) 2 3 (Chiclayo - Trujillo - Huacho) Zona Norte

P-3

Prueba Eliminatoria - Cuarto Grado de Secundaria 22. Calcule la ecuación de la recta L , si ABCD es un cuadrado y C(6; 4).

(6; 4)

4 − sen2 x cos 2 x 1 − sen x cos x 2 (sen x − cos x ) + 3 2

B T

A) 1/2 C) – 1

D 62º F

O

A

17º

A) X – Y – 2=0 C) X – 2Y+2=0

B) 1/5 D) 1/7

24. !"#$!%&'()$*)+!,'!(-.()(/#0(+!1-2

C

Y

A) 1/4 C) 1/6

X

B) 2X – Y – 8=0 D) 3X – 2Y – 10=0

B) 1 D) –1/2

25. 3-) ($) ,04%567) ABCD es un romboide. Si CM=MD y 5(AP)=4(BC), calcule cotx.

B x

23. !"#$"%&'()*-"AB=25, ED=16 y AB//CD. Calcule tan!

N P

C

E

M

A

B

D

D

37º A

P-4

C

Zona Norte (Chiclayo - Trujillo - Huacho)

A)

21 2

B)

23 23

C)

23 6

D)

23 4

a

m Te

P Cuarto grado de secundaria

1. El 50% de un capital se deposita durante 2 años a interés

4. Un sistema electrónico está conformado por tres com-

simple del 10%, el 70% del resto al 20% durante un año

ponentes: A, B y C. Dicho sistema funciona cuando al

(capitalizable semestralmente) y el resto a interés conti-

menos dos de sus componentes funcionen correcta-

nuo durante 4 años. ¿A qué tasa de interés aproximada

mente. Si la probabilidad de que A, B y C no funcionen

se coloca esta última parte, si el monto que esta genera

correctamente es 0,2; 0,1 y 0,4, respectivamente, ¿cuál es

es igual al interés del primero sumado al monto obteni-

la probabilidad de que el sistema no funcione?

do por la segunda parte? Considere que ln(3,49)=1,25.

A) 20,25%

A) 0,124

B) 0,240

C) 0,320

D) 0,280

B) 25% 5. ¿Cuál de los siguientes enunciados no es una propiedad

C) 27,5% D) 31,25%

del conjunto R?

2. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en las siguientes proposiciones.

I. De dos datos, sus promedios aritmético, geométrico y armónico forman una proporción geométrica continua.

II. Si b = MA(a; c) y c=MH(b; d) a c → = b d A) VV

B) VF

C) FV

D) FF

A) Es ordenado.

B) Es completo.

C) Es finito.

D) Es denso.

6. Dado el sistema de ecuaciones lineales

( )

( )

a1x + b1 y = c1  a2 x + b2 y = c2

donde a1b1a2c2 ≠ 0 ∧ a1b2 ≠ a2b1,

indique su representación gráfica.

A)

Y

B)

Y

X

X

3. ¿Cuántos numerales de seis cifras del sistema nonario existen, tal que el producto de sus cifras posea tres diC)

visores?

A) 60

B) 66

C) 84

D) 72

Y

D)

Y

X

Sede Trujillo - Huancayo - Puno - Tacna - Huacho

X

P-1

Prueba eliminatoria - Cuarto grado de secundaria

7. Sea {a; b; x} ⊂ R. Si se cumple que logaba = x ∧ logaba · logabb = – 2,

calcule el mayor valor de x.

12. En un rectángulo ABCD, en la región exterior relativa a BC y CD se ubican los puntos M y N, respectivamente, tal que sean simétricos respecto del punto C. Si BM//AN y 3(AB)=2(BC), calcule la mSBAN.

A) 1 C) –2

B) 2 D) –1

8. Resuelva la inecuación cuadrática  1 x2 + a −  x −1 ≤ 0  a

e indique la menor longitud que puede tener su conjunto solución.

A) 2 C) 1/2

B) 1 D) 4

9. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en las siguientes proposiciones. ( ) I. Si x <–2 ∧ y > 2, entonces |x – y|=x – y.

II. Si – x > 0, entonces |x|+x = 0. ( ) 1 ( ) III. Si |x – 1| = – x, entonces x = .

2 A) VVV C) FVF

A)

143º 2

B)

135º 2

C) 75º D) 153º 2 13. En un triángulo ABC se traza la altura BH, tal que AH=2, HC=3 y la mSABC=45º. Calcule la longitud de BH. A) 4

B) 5

C) 6

D) 10

14. En la prolongación del diámetro AB de una semicircunferencia se ubica el punto P; desde este punto se traza la tangente PT a dicha semicircunferencia (T es punto

B) FVV D) VVF

de tangencia) y desde T se traza TH perpendicular a AB (H en AB). Si PB=2(BH)=2µ, calcule AH.

10. Resuelva la inecuación fraccionaria de incógnita x. x −a x +b

+ ≥ 0 ; a < b < 0. bx ax A) S = [a – b; 0〉

A) µ

B) 2µ

C) 3µ

D) 4µ

15. Si O es el centro del cuadrado ABCD, calcule la medida del arco DPO1.

B) S = [b – a; 1] C) S = 〈0; b – a]

D

D) S = [a+b; 0〉

C Q

11. Se ubica un punto E en la región interior de un triángulo ABC, tal que AB = AE = EC y la mS BAE=2(mSBCE).

P

Calcule la medida del ángulo entre AC y BE. A) 30º B) 45º

A

O

O1

C) 60º

A) 90º

B) 75º

D) 50º

C) 108º

D) 120º

P-2

Sede Trujillo - Huancayo - Puno - Tacna - Huacho

B

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2012

16. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana AQ, tal que la mSBAQ = mSACQ. Si AQ = a, BQ = b y QC = c, halle la relación correcta entre a, b y c.

2

20. En un rombo ABCD se ubica el punto P en AD, tal que AP=1 y PD=3. Si la mSBCP = 3(mSPCD), calcule (CP)2.

2

A) b = (2b+c)a C) a2 = (2b+c)b

B) c = (2a+c)b D) a2 = bc

17. En el gráfico, ABCD es un cuadrado de lado a. Si AN = 3(CM), calcule CF.

A)

7

3

B)

7 2

C)

5

3

D)

5 2

21. Del gráfico, AB=26, BG=25, AG=17, ED=13, DF=15 y

C

EF=14. Calcule x y la razón de alturas trazadas desde B y D hacia AF.

F M

B

B D

N

D

A

x

A)

a

3

B)

a 2

C)

2a

3

D)

3a 2

A

E

G

F

A) 16º; 3 B) 18º; 2

18. Sean AB = 26, BC=25 y AC=17 las longitudes de un triángulo ABC. Calcule la mayor altura.

A) 21 C) 23

B) 22 D) 24

C) 19º; 3/4 D) 21º; 2 22. Del gráfico, T y Q son puntos de tangencia. Si AQ=QB, calcule x.

19. En el gráfico, BL = NL, BM = MC, AN = NM y NC = 12.

Calcule PL. x

B P

L

T

30º

Q

B

M

N A

A) 1 C) 3

C B) 2 D) 4

A A) 30º

B) 45º

C) 53º

D) 60º

Sede Trujillo - Huancayo - Puno - Tacna - Huacho

P-3

Prueba eliminatoria - Cuarto grado de secundaria

23. Si se cumple que sen2x – sen4x=1/8, calcule el valor de 2

2

tan x+cot x.

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

4 3 3

A) 2 3

B)

C) 7 3 3

D) 5 3 3

25. El punto O es el centro de la semicircunferencia mostrada. Si cot α =

24. Si el triángulo ABC es equilátero, calcule tana. Considere que M, N y P son puntos de tangencia.

3 −1 , entonces sec2q es igual a 2

P B

θ

α

M

P-4

A

C

N

Sede Trujillo - Huancayo - Puno - Tacna - Huacho

A) 2.

C) 4.

α O B) 3.

D) 5.

30º

a

m Te

P Cuarto grado de secundaria

1. ¿Cuál es la tasa aproximada de interés simple mensual equivalente a una TEM del 3% durante un trimestre?

A) 3,02% C) 3,09%

B) 3,05% D) 3,15%

B) Ib, IIa D) Ib, IIc

xi

fi

Fi

[ - 〉

( )

las siguientes proposiciones.

1 I. ∀ x ∈ R: ∈R x II. ∀ x ∈ R: x0=1

III. ∀ x ∈ R: x2 > 0

( )

IV. ∀ x ∈ R: – x < 0

( )

A) VVVV

B) VFVF

C) FFVF

D) FFFF

( )

L 1 : a1x+b1y=c1

L 2 : a2x+b2 y=c2

tiene como solución gráfica

hi(%)

22

20

b

c

10

[ - 〉

a

[ - 37〉

b

L 1//L 2

55

L1

Calcule la media de los datos.

A) 22,750 C) 23,525

D) 0,62

a

[ - 〉 [ - 〉

C) 0,55

6. El sistema de ecuaciones lineales

3. La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias con igual ancho de clase.

Ii

B) 0,48

5. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en

2. Relacione los siguientes esquemas moleculares según corresponda.

I. (p → q) ↔ q

II. (∼p ↔ q) ↔ (p ↔ ∼q)

a. tautología

b. consistencia

c. contradicción A) Ia, IIb C) Ic, IIa

A) 0,42

B) 22,250 D) 23,575

4. De una baraja de 52 cartas se extraerán al azar 3 de ellas.

Se define la variable aleatoria x como el número de palos diferentes que hay al extraer las cartas. Calcule P(x=2).

L2

Indique lo correcto.

A)

a1 b1 c1 = = a2 b2 c2

B)

a1 b1 ≠ a2 c2

C)

a1 b1 c1 = ≠ a2 b2 c2

D)

a1 b1 c1 ≠ = a2 b2 c2

Sede Arequipa - Chiclayo - Huánuco - Cusco - Chincha

P-1

Prueba eliminatoria - Cuarto grado de secundaria

7. Si log62=m ∧ log63=n, calcule el valor de x que verifica

11. Del gráfico, AF+AE=8 y BE=6. Calcule BC.

x

la ecuación (36) =324.

B

A) m+n

B) 2m+n

C) m+2n

D) 3m+2n

θ

A

8. Sean x1 la mayor solución negativa y x2 la menor solución entera positiva de la inecuación fraccionaria ax − b ≤ 1; 1 < a < b. bx − a

Calcule el valor de x1+x2.

A) – 2

B) 0

C) 1

D) 2

F A) 12

B) 6 5

C) 6 10

D) 10

do y relativo a BC se ubica el punto Q, tal que BQC es un triángulo equilátero. Calcule la mAQD.

S={x ∈R/| x –1|+| x+1| ≤ 2},

indique lo correcto.

A) S={–1; 0; 1} B) S ⊂ [1; +∞〉

C

E

12. Sea ABCD un cuadrado; exteriormente a dicho cuadra-

9. Respecto al conjunto

2θ

x

A) 35º

B) 15º

C) 20º

D) 30º

13. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado, BMNP es un romboide y AB = 2 2 ( MN ) . Calcule la mMBC.

C) S=〈–1; 1〉 D) S ∩ Z={–1; 0; 1}

M B

10. Sean los conjuntos

x +1    A =  x ∈R ≥ 0 −x   

P 45º

 B ( x − 1) ∈R 

C={x ∈R/x ∈A ∧ x ∉B}.

A) C=[–1; 0〉 1 B) C = − ; 0 2

A

D

A) 53º/2

B) 45º

C) 37º/2

D) 15º

14. En un triángulo ABC se traza la altura BH y AQ, tal que

C) C=〈– ∞; –1〉 1  D) C =  −1; − 2 

P-2

N

 x −1 ≥ −1 x 

Halle el conjunto

C

Sede Arequipa - Chiclayo - Huánuco - Cusco - Chincha

dichas alturas se intersecan en P. Si la mABC=45º y AC=6, calcule BP. A) 6

B) 2

C) 4

D) 5

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2012

19. En el gráfico, A, B, C y D son puntos de tangencia.

15. Del gráfico, calcule x.

Calcule x.

t a

a

x

A E

a+2t

C

F A) 69º/2

B) 53º/2

C) 45º

D) 37º

H B

x

D

16. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan la

A) 72º

B) 75º

mediatriz de AC y la bisectriz exterior desde B, que se

C) 36º

D) 60º

P

intersecan en P. Calcule la mPCA. 20. En el gráfico, ABCD y BEFH son cuadrados. Si AD=5 y A) 60º

B) 75º

C) 30º

D) 45º

BH=3, calcule DF. A) 10

D

C

B) 110

17. Del gráfico, calcule x.

C) 116

E

D) 136 x A

B

F

a

H 21. En el gráfico, M, N, P y Q son puntos de tangencia. Si MN=a, calcule el área de la región MNPQ.

b

Q a+b 2

A) ab

B)

C) (a + b) a

D) (a + b) b

P 60º

18. En un rombo ABCD, obtuso en B, se ubica el punto P en

M

AC, de modo que la mPBC=20º, BP=4 y la distancia de

P a la AD es 2 3. Calcule la mBAC. A) 10º

B) 20º

C) 30º

D) 40º

N

A)

a2 3

4

B)

a2 3 3

C)

a2 3

2

D)

a2 2 4

Sede Arequipa - Chiclayo - Huánuco - Cusco - Chincha

P-3

Prueba eliminatoria - Cuarto grado de secundaria

22. Calcule la razón de volúmenes de dos hexaedros regu-

A

2 A) 5−2 2

lares (cubos), si la diagonal de uno de los hexaedros es

45º

igual a la diagonal de una de sus caras del otro.

B B)

6 A) 3 B)

2 C) 5−2 2

2 3

C) 1 D)

2 5+2 2

D)

2 6 9

M x

C

N D

2 5+2 2

25. En el gráfico se cumple que MN=MC=1 y AD=3.

23. Si x ∈ IIIC, además tanx+cotx=16, calcule

Calcule cotq.

sen x tan x + cos x cot x .

A) 1 A) 4

B) – 4

B) 2

C) 16

D) –16

C) 3

24. En el gráfico se cumple que AM=MD y AB=2(BC); además, MDN es un sector circular. Calcule tanx.

P-4

Sede Arequipa - Chiclayo - Huánuco - Cusco - Chincha

B

N

M

C

D) 2 A

θ

D

a

m Te

P Cuarto grado de secundaria

1. Se deposita un capital en un banco; por la cantidad entera de centenas de soles se paga el 20%, por la cantidad entera de decenas se paga el 15% y por la cantidad de unidades se paga el 10%. Si se depositó S/.aaba durante 2 años y se obtuvo un interés total de S/.23,60, calcule a+b.

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

A={(2x+3) es primo / x < 10 ∧ x: primo},

indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en las siguientes proposiciones.

I. ∀ x ∈ A; ∃ y ∈ A / x ≤ 2y

( )

II. ∃ x ∈ A / ∀ y ∈ A: x+y = 10

( )

III. ∀ x ∈ A; ∀ y ∈ A: x+2y < 50

( )

o

A) VFF

B) VFV

C) FFV

D) VVV

3. ¿Cuántos numerales de tres cifras de base n existen, si la suma de sus cifras es (n+1)?

A)

n2 +3n − 4

2

B) n2+3n – 4

C)

n2 +3n + 2

2

D)

A) 1/6 C) 1/12

B) 1/3 D) 1/2

5. ¿Cuál de las siguientes proposiciones no es un axioma de los números reales?

2. Dado el conjunto

mero impar. Si de la urna se extraen dos dados uno por uno, sin reposición, y se lanzan, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea par?

n2 +3n 2

4. En una urna se tienen dos dados legales y uno cargado; además, en este último, la probabilidad de obtener un

A) Para cada número real x, existe –x ∈R, tal que x+– x = 0 = – x+x.

B) Para cada número real x , existe 1 ∈R, tal que x · 1= x =1 · x.

C) Para cada número real x, existe x –1 ∈R, tal que x · x –1=1= x –1 · x.

D) Para cada número real x , existe 0 ∈R, tal que x · 0 = 0 = 0 · x.

6. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales 2 x − y = 4  x + 2 y = 7

e indique su representación gráfica.

A)

Y

B)

Y X

X

C)

Y

D)

Y X

X

número par es k veces la probabilidad de obtener un núSede Lima - Ayacucho

P-1

Prueba eliminatoria - Cuarto grado de secundaria

7. Si se cumple que

x

Q

x

3 = a ∧ 5 = b,

P

calcule el valor de

B

S=log3alogb5.

A) 1

B) 3

C) 5

D) 15

8. Halle el cardinal del conjunto

{

}

2 2 A = x ∈Q −1 ≥ + 1 > 2 − ∧ x ∈Z . x x

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

9. Indique lo correcto respecto al conjunto

{

A

}

S = x ∈Z x 2 − 1 + x 2 − 4 = 3 .

A) S ⊂ [1; 2] B) S=[–2; –1] ∪ [1; 2] C) S={– 2; – 1; 0; 1; 2}

A) 5 C) 9

M

C

B) 6 D) 8

12. En el triángulo ABC, las medidas de los ángulos BAC y ABC son 60º y 90º, respectivamente; además se trazan las bisectrices de los ángulos interiores que se intersecan en D, tal que DM es la mediana del triángulo ADC. Calcule la m  MDC. A) 20º C) 45º

B) 30º D) 60º

13. Sea ABC un triángulo rectángulo, recto en B, donde se ubican los puntos M y N en CB y AC, respectivamente, tal que AB+MB=MC y AN=NC. Calcule la mSNMC.

D) S={– 2; – 1; 1; 2} 10. Si S es el conjunto de valores admisibles de la expresión b irracional f( x ) = a − ; b < a < 0 , indique lo correcto. x A) S ⊂ 〈0; 1] B) S = 0;

a b 

C) S = 0;

b

a 

D) S ⊂ 〈1; +∞〉 11. En el gráfico, si M es punto medio de AC, además AM=MC=MP, PQ=2 y AB=5, calcule BC.

P-2

Sede Lima - Ayacucho

A) 53º C) 37º

B) 30º D) 45º

14. En el triángulo ABC se traza la ceviana interior BD; además BD=AC, mSABD=2(mSDBC) y mSBDC=2(mSABC).

Calcule la mSABD. A) 20º C) 18º

B) 36º D) 54º

15. Se tiene un cuadrado ABCD; en AC y en la región exterior relativa a CD se ubican los puntos M y N, respectivamente, tal que MC=3(AM); luego se traza el cuadrado MCNP. Calcule la medida del ángulo entre DN y AP. A) 53º

B) 37º

C) 30º

D) 45º

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2012

16. Según el gráfico, C, E y F son puntos de tangencia. Si la

20. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BM, tal

distancia entre los centros es 13, calcule R/r.

F

R

12 E

que 2(BC)=5(BM) y 3(AM)=2(MC). mBAC + mBCA Calcule . mABM A) 0,5

B) 2

C)

D) 1

2

r 21. En un hexaedro regular ABCD-EFGH se traza desde B

C

la perpendicular BM hacia la diagonal AG (M en AG).

A) 3/2

B) 4/3

C) 9/5

D) 9/4

Calcule la razón de volúmenes de las pirámides M-ABCD y M-FGH.

17. Si la base mayor de un trapecio isósceles mide igual que su diagonal y la base menor mide igual que su altura, calcule la razón entre la base menor y la base mayor de dicho trapecio.

A) 1

B) 2/3

C) 3/4

D) 2

22. En un cono de revolución, el área de la superficie lateral es el doble del área de su base. Calcule la longitud del menor recorrido a través de la superficie, partiendo de

A) 1/2

B) 3/5

un punto del perímetro de la base hacia el punto medio

C) 2/3

D) 2/5

de la generatriz diametralmente opuesta a la generatriz

18. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado, O es centro de la circunferencia, BQD es un cuadrante y Q es punto . de tangencia. Calcule la mPC

que contiene a dicho punto, si se sabe que el radio de la base es 5 cm.

A) 2 5 cm

B)

10 cm D) 10 cm

C) 5 cm B

C 23. Si el triángulo ADE es equilátero, BM=NC=1 y MN=2, Q

P

calcule tanx.

E

O A

B

D

A) 45º

B) 60º

C) 75º

D) 72º

M

N

C

x A

D

19. En un paralelogramo de lados a y b, calcule la suma de cuadrados de las diagonales.

A) 2(a2+b2)

B) a2+b2

C) a+b

D) 2(a+b)

A)

2 3

7

B)

3 3 7

C)

2 3

9

D)

3 6

Sede Lima - Ayacucho

P-3

Prueba eliminatoria - Cuarto grado de secundaria

24. A partir de la condición mtanq+bcotq=m, halle el equi-

25. Si AD=8 y BC=3, calcule secacsca.

valente de

A)

B) C) D)

P-4

tan θ − sec 2 θ m cot θ − b cot 2 θ

D .

30º

b−m

m

C

b−m 2

m

b+m m2

A

b−m 2m

Sede Lima - Ayacucho

α

B

25

2

B)

25 12

C) 17 4

D)

5 2

A)

a

m Te

P Cuarto grado de secundaria

1. La tercera parte de un capital se impone al 5% anual, la quinta parte del resto al 4% semestral y el resto al 12%. Si al cabo de 15 meses el monto es S/.40 110, calcule el interés obtenido por la mayor de las partes.

A) S/.2440 C) S/.2880

B) S/.3460 D) S/.4110

2. Las edades de los cinco integrantes de una familia son 2b; a; bb; 1a; b6, (2 < b < 6). Además, la media aritmética excede a la mediana en 1,6.

Calcule a+b.

A) 5 C) 6

B) 4 D) 7

3. La probabilidad de que dos aviones que salieron desde Lima, uno rumbo a Chiclayo y el otro rumbo a Tacna, lleguen a la hora programada a sus destinos es independiente. Si se sabe también que la probabilidad de que el vuelo rumbo a Chiclayo llegue a la hora programada es 0,6; mientras que la probabilidad de que el avión rumbo a Tacna no llegue a la hora programada es de 0,3, halle la probabilidad de que por lo menos uno de los aviones llegue a la hora programada.

A) 0,42 C) 0,90

B) 0,46 D) 0,88

A) 1 C) 4

5. En la progresión aritmética

÷ ... ; 20; m; 26; ...

la suma de los siete primeros términos es 77. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto al primer, tercer y decimoprimer término.

3

7+ x + 37− x = 2

I. Suman 42.

II. Forman una progresión geométrica.

III. Su producto es 512.

A) VFV C) VFF

B) VVV D) FFV

6. Considere el sistema

(α − 1) x + y = 1  2 2 (α − 1) x + (α − 5α + 7) y = α − 6α + 9

Sean A y B dos conjuntos definidos por

A={a ∈ R / el sistema (*) tiene infinitas soluciones}

B={a ∈ R / el sistema (*) no tiene solución} Halle B – A. A) {1} C) {2; 3}

B) {2} D) {1; 3}

7. Indique el número de soluciones luego de resolver.

4. Determine el número de soluciones en la siguiente ecuación irracional.

B) 5 D) 2

x −3 + A) 4 C) 2

1 + 4

3− x +

17 =4 4

B) 6 D) 1 Sede Provincias

P-1

Prueba eliminatoria - Cuarto grado de secundaria

8. Resuelve la ecuación exponencial e x − e− x 1 =

x −x 3 e +e

{ C) {ln

} 3}

{ D) {ln

A) ln 2 + 3 3−

12. En un triángulo rectángulo ARO, recto en R, se traza la altura RN. Si RN=AN+4=NO – 8, calcule RN.

} 3}

A) 6 C) 4

B) ln 1 + 6 1+

9. En el gráfico, NA=2, AM=MT=3, calcule ZY. Z N

B) 9 D) 8

13. En el gráfico, MR // SI . Si AH=a y SI=b, calcule el área de la región sombreada.

A

J Y M

A

M

T

B) 2/5 D) 4/5

α

α

I

ab A) ab B) 2 ab C) D) a(a+b) 4

10. En el gráfico, MARI es un romboide. Si AR=2 e IS=6, calcule IR. A

R

S

A) 2/3 C) 4/3

H

14. En el gráfico, se indican las áreas de las regiones triangulares respectivas. Calcule x.

R

x–2

x+1

x M

I

S

A) 2 2 C) 2 3

B) 3 D) 4

A) 12 C) 6

11. En el gráfico, LI // US // DY y UV // RS // AD .

Si VI=SR=2(LI)=2(IU)=4 y US=9, calcule A L

V

I

D A) 5/6 C) 8/9

P-2

Sede Provincias

LA .

LD

B) 9 D) 8

15. En el gráfico, se muestra un cono de revolución.

Si MS=SA y (SB)(AI)=9, calcule el área de la superficie lateral del cono.

A

A) 18p S

U

x+4

R B) 7/8 D) 4/5

Y

B) 9p 9 C) ≠ 2 D) 6p

S

M

B

I

R

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2013

16. Se tiene el triángulo ABC, cuyos vértices son A(–1; 0), B(0; 7) y C(7; 0). Halle el punto de intersección entre la mediatriz y la recta que contiene a la bisectriz interior relativa al lado AC. A) (–3; 3) C) (3; –1)

B) (3; – 3) D) (3; – 2)

A) 1 C) 2 2 19. De la condición

cos227º – xcot27ºcos27º=xcot27º – sen27ºcot27º Calcule x.

A) sen 27º B) – sen 27º C) cos 27º D) – cos 27º

5 17. Si se cumple que AC=26, AD=24 y tan θ = , 12 calcule tana.

B

C

20. Si ABCD es un rombo, en el cual

AB=3 y CE=1, además m  BAE=2x

y m  DAE=x.

Calcule sen2x – senx.

θ A

A) 12/5 C) 6/5 18. Si 0 < x <

B) 2 D) 4

α

B

D

E

B) 12/7 D) 3/2 π , calcule el valor de 4

Z = ( 2sec x − 2)(sec x − tan x ) + ( 2sec x + 2)(sec x − tan x )

C

A

A) 1/2 C) 2/3

D B) 1/3 D) 1/6

Sede Provincias

P-3

a

m Te

P Cuarto grado de secundaria

1. Ena dispone de un capital de C nuevos soles que lo ha dividido en dos partes para imponerlas al a% mensual y al b% bimestral. Si luego de un año ambas partes le produjeron igual interés, ¿cuánto es el dinero que colocó al a%?

A)

bC 2aC B) b + 2a b + 2a

C)

bC 2 bC D) b+a b + 2a

2. De las edades de seis personas, se sabe que la mediana es 14,5, la moda equivale a 12 y la media aritmética es 17. ¿Cuál es la mínima edad que puede tener el mayor de todas las personas?

A) 32 C) 29

B) 26 D) 25

3. El fotógrafo Vladimir sabe que si toma una foto desde un auto que está en movimiento, la probabilidad de que la foto salga mal es de 0,8.

Si hoy tomó 4 fotos desde un auto que estaba en movimiento, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos tres de esas fotos salgan bien?

A) 2,72% C) 40%

A) 〈–1; 1〉 B) 〈–11; 3〉 C) [3; 11] D) 〈–11; 11] 5. Si el sistema 2 x + ay = 1 

 9 3 3 x + 2 y = 2 es indeterminado, entonces del valor de a se puede afirmar que A) a < 0.

B) a ∈ 〈0; 1〉.

C) a ∈ 〈1; 2〉. D) a ∈ 〈2; 3,2〉.

6. Indique el número de soluciones de 1

x2 + x = x + 3 − 1+ 2 x A) 2 C) 3

  2− x B =  x ∈R  ∈[− 3; 4〉    3   

   x + 1 C =  x ∈R   ∈ (〈− 5; 2〉 − {0; 1})  2  

B) 1 D) 0

7. Luego de resolver la ecuación en 2 incógnitas, determine el número de soluciones.

2

4|x – 8x+12| – log47=72y –1 A) 1 C) 3

B) 3,45% D) 60%

4. Dados los conjuntos

A={x ∈ R / x – 2 < 2x+1 < 3x –1}

Determine el conjunto D=(A ∩ B) – C.

B) 2 D) 4

8. Luego de resolver la inecuación 35  1

log 5  x 2 − 3 x +  < 0 2 8

determine la suma de soluciones enteras.

A) 2 C) 6

B) 4 D) 8 Sede Lima

P-1

Prueba eliminatoria - Cuarto grado de secundaria

9. En el gráfico, NY=2(AT)=12 y LJ=4. Calcule TM .

MY

A) 10 u2

B) 8 u2

C) 6 u2

D) 12 u2

12. En el gráfico, DR=3(VI)=12. Calcule AV. A

L

α

α

T A

J

M V

α

N

Y

A)

7 9 B) 5 6

C)

5 6 D) 4 5

10. En el gráfico, la circunferencia está inscrita en el trapecio. Si 3(AR)=2(MI)=6, calcule AM. A

I

α

α α

D

R

A) 2

B) 4

C) 6

D) 10

13. En el gráfico, IL=5 y LM=4. Calcule WA. I

R

α L

M

A)

I

8 12 B) 7 5

7 6 C) D) 5 3

11. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior

α

W

A)

9

2

C) 6

α A

B) 9 15 D) 2

14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana interior BR.

Si la m  BAR=m  BRA y AR=2(RC)=4, calcule BR.

BF. El área de la región triangular ABF es 8 u2, AB=4t y BC=6t. Calcule el área de la región

A) 8

triangular BFC.

C) 2 6 D) 2 3

P-2

Sede Lima

M

B) 6

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2013

15. En el gráfico, se muestra un cono de revolución.

Si MA=2(M I )=16 y R M=20, calcule el área de la superficie lateral del cono.

A)

4

3

B) 4

7 7 C) D) 4 3

19. Si AN=MN y BM=MC, halle el valor de sena.

A

B

I R

M

A) 160p

B) 375p

C) 320p

D) 300p

M N

16. Se tienen los puntos A(0; 5), B(12; 0) y C ubicado en el primer cuadrante. Si AC=CB y la m  ACB=90º. Halle la ecuación de la recta que contiene a la bisectriz exterior en el vértice C del triángulo OCB, donde O es el origen de coordenadas.

A) 10x+24y – 289=0 B) x+5y – 51=0 C) 2x+8y – 85=0 D) 2x+12y – 119=0

α

A

C

1 1 A) B) 2 3 1 1 C) D) 6 4

20. Se muestra una circunferencia inscrita, donde 3( A P )=PC; m  BAT=a y m  T AC=q. cos α + sen θ Calcule cos α − sen θ

17. Si se cumple que tan210º+tan280º=m,

halle csc210º+csc280º.

B T Q

A) m B) m+2 C) 2 – m D) m – 2 18. De la condición sen29ºcos x – sen272º=sen218º – sen61ºsen x donde x ∈ 〈0; 90º〉

calcule tan2(x – 16º)+tan2(x – 31º).

H

A

P

C

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

Sede Lima

P-3

Tema

P

Cuarto grado de secundaria 1. Determine la relación de dos capitales para que colocado uno de ellos al 9% trimestral durante un año y el otro al 16% cuatrimestral durante un año y 4 meses se obtengan intereses que estén en relación inversa con la de sus capitales.

A) de 3 a 1 C) de 3 a 5

B) de 2 a 5 D) de 4 a 3

2. Al analizar las edades de los cinco integrantes de la familia Jiménez, se obtuvo que la media, mediana y moda resultaron 27,6; 18 y 15 años, respectivamente. Halle la edad de la madre si se sabe que el padre tuvo a su primer hijo cuando tenía 26 años.

A) 48 C) 44

B) 46 D) 45

3. ¿Cuántas palabras diferentes que terminan en O, sin importar si la palabra tiene sentido o no, pueden obtenerse con todas las letras de la palabra CONAMAT? A) 720 C) 360

B) 120 D) 180

5. Indique lo correcto respecto a la inecuación lineal mx2 + nx+m ≤ –1 cuyo conjunto solución es R+ – 〈0; 2〉.

A) 2n + m = 1 C) 2m + n = 1

B) mn = 1 D) n2 = 1

6. Calcule la longitud del conjunto solución S de la inecuación cuadrática 3 x2 − x +1≤ 0.

2 A) (CS) = 1 C) (CS) =

B) (CS) = 2

1 2

D) (CS) = 2

7. Resuelva la inecuación irracional 2

1  x − 2  x −  ( 2 − x )5 x − 1 ≤ 0 ,  x

3

e indique su conjunto solución.

A) CS = R – {0} B) CS = [2; + ∞〉 ∪ {– 1} C) CS = R – {1; 0; – 1} D) CS = [1; +∞〉 ∪ {– 1}

4. Dado el sistema lineal ( n − 1) x + 2 y = −1  − x + ( n − 1) y = 1

si su conjunto solución es

S = {(x0; y0)}, donde x0 · y0 > 0, halle los valores de n.

A) n ∈ 〈– 3; 0〉 ∪ {1} C) n ∈ 〈– 1; 2〉

B) n ∈ 〈– 2; 0〉 ∪ {1} D) n ∈ 〈0; 3〉 – {1}

8. Si x0 es solución de la ecuación logarítmica x b (log b x − 1) = ; b > 1, calcule logb x0. b A)

b +1

2

B) b + 1

C)

b −1

2

D) b – 1

Sede Provincia

P-1

Prueba eliminatoria - Cuarto grado de secundaria

9. En el gráfico, ABC es un triángulo rectángulo, recto en B, donde AB = BC; PB = 2 2; PC = 3 y PA = 5. Calcule la m  BPC. A

B A) 120º C) 127º

A) 3 2

B) 4 2

C) 5

D) 5 2

14. En el gráfico, ABC es un triángulo rectángulo, recto en B, además BCD y ABE son triángulos equiláteros. Si AB = 3 y BC = 4, halle el área de la región cuadrangular ACDE.

P x

13. En los lados AB y AD de un cuadrado ABCD, se ubican los puntos P y Q, respectivamente, de modo que la m  PQC = 90º. Si PQ = 3 y QD = 4, calcule PB.

C

D

B) 135º D) 143º

E

B

10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana BM, de modo que AB = MC y la m  BAC = 2(m  ABM). Calcule la m  ACB. A) 30º C) 60º

B) 45º D) 37º

A

C

A) 9 + 6 3 11. En un paralelogramo ABCD, en la prolongación de DC se ubica el punto E, luego se traza DH perpendicular a AB (H en AB), que interseca a AE en F. Calcule EF si BC =  y la m  DAE = 2(m  BAE).

3 A)  2

B) 2

5 C)  2

D) 3

12. Una de las plazas de la ciudad de Chiclayo es un hexágono regular ABCDEF. Si desde un punto P de la región interna se observa que la suma de la distancia de P a los lados AB; CD y EF es d, halle la longitud del perímetro de dicha plaza.

B) 2d 3

A) 3d C)

P-2

3d 3

Sede Provincia

D)

4d 3

C) 9 + 25

3

4

B) 9 + 15

3 4

D) 8 + 25

3 4

15. Halle el volumen de una esfera que está inscrita en un prisma recto de 18 aristas sabiendo que el área de la base del prisma es 6 3.

A) 4π 3

B) 3π 3

C) 2π 3

D) 4p

16. Un participante del 17.º Conamat observó que al desarrollar la superficie lateral de un cono de revolución, este resulta ser un semicírculo de área S, entonces halló el área de la superficie total del cono. ¿Cuál es el área que calculó el participante?

A) S (1 + 3 ) C) S

3

3

B) S

3 2

3 D) S 2

Concurso Nacional de Matemática César Vallejo 2014

17. Los números de grados sexagesimales de los ángulos a y b están en la relación de 2 a 7. Si la suma de los números de grados centesimales de los mismos es 50, calcule el menor ángulo en el sistema radial. π A) 16

π B) 18

π C) 20

π D) 40

18. Si (covx + versx – 1)2 = exsecx,

sec x 1 + senx + . calcule cov x cos 3 x A) 4 C) 1

B) 2 D) 0

19. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la mediana CM, M en AB, tal que m MCA = θ y AM=1. Calcule BC para que el ángulo q sea máximo.

A)

2

2

C) 3

B) 2 D)

3 2

20. Simplifique la siguiente expresión:

cot 6 2 + 3 csc 2 2 ⋅ cot 2 2 + 1 tan 6 2 + 3 sec 2 2 ⋅ tan 2 2 + 1

.

A) tan 4 2

B) cot 4 2

C) cot 6 2

6 D) tan 2

Sede Provincia

P-3

Tema

P

Cuarto grado de secundaria 1. ¿Cuál es el capital que debe depositar Vilma el día de hoy al r % para que luego de 2 años y medio obtenga como monto S/.M ?

M

A) S/.

1000 + 25r

1000 M B) S/.

25r

1000 M C) S/.

1000 + 25r

100 M D) S/.

100 + 25r

2. Si al determinar la moda de 5 números naturales resulta la tercera parte del mayor, y la mediana de estos mismos números resulta la mitad del mayor, halle la suma de cifras del mayor de los números sabiendo que la media de los 5 números es 25.

A) 10 C) 5

B) 9 D) 6

5. Resuelva la inecuación cuadrática

A) CS = m; C) CS =

B) 9 D) 3

4. Sean S = 〈- 2; 3] × [- 1; 2] y f: S → R

una función tal que f(x; y) = 2x + 3y + xy +1.

Calcule el mayor valor de f.

A) 19 C) 15

B) 24 D) 21

−1

m

B) CS = − m; 1 −

1 ;−m m

1 m

D) CS = R

6. Dados los conjuntos

 M =  x ∈R 

 N = ( x + 1) ∈ R 

halle M - N.

 x −1 ≥ 0 y x   x −2 ≤ −1, x 

A) [1; + ∞〉 B) 〈2; + ∞〉 ∪ {1} C) [2; + ∞〉 ∪ {1} D) 〈2; + ∞〉

3. Se lanza un dado tres veces, y al sumar los puntos de los tres lanzamientos se obtuvo 15. ¿De cuántas formas diferentes pudieron darse los puntajes en los lanzamientos?

A) 10 C) 5

1  x 2 +  m −  x − 1 < 0; m < −1  m e indique su conjunto solución.

7. Respecto al sistema de ecuaciones

 x − y = 1   x − y = 2

indique lo correcto.

A) Su conjunto solución es unitario.

B) Su conjunto solución es nulo.

C) Su conjunto solución es infinito.

D) Tiene dos soluciones.

Sedes: Lima - Huánuco - Puno

P-1

Prueba eliminatoria - Cuarto grado de secundaria

8. Resuelva la ecuación logarítmica

ln( ex 4 )

(1 + ln x )

B

= 2,

4

N

B) 0 D) 1

H

9. La suma de las medidas de los ángulos interiores de dos polígonos es 1800º y la diferencia del número de lados es 2. Calcule la diferencia del número de diagonales de dichos polígonos.

A) 10 C) 12

B) 11 D) 13

A

D

A) 1 C) 5

B) 2 D) 3

13. En el gráfico, O es centro y ABCD es un trapecio

= m ADO = 20°. isósceles. Calcule x si la m BC

10. En un triángulo ABC, BC = 2AB y la m BAC = 3(m ACB). Calcule la m ABC. A) 45º C) 60º

C

x

e indique el valor de ln(e · x ).

3

A) e- 1 C) -1

M

B C

B) 53º D) 72º

A

11. En un terreno para vivienda como se muestra en la figura, se desea calcular el área poligonal ABCD si la longitud de su perímetro es 16 y (AB)(CD) + 8(AD) = 50.

x H

E

O

A) 15º C) 30º

A

D

B) 20º D) 40º

14. Calcule el área de la región sombreada si el lado del cuadrado ABCD es 6, y E y F son puntos medios de AB y AD. D B B

C

C E

A) 14 C) 16

B) 15 D) 18

12. En el gráfico, ABCD es un cuadrado de lado 3 + 5 , M y N son puntos de tangencia y BH ⊥ AN. Calcule el radio de la circunferencia que pasa por M; N y H.

P-2

Sedes: Lima - Huánuco - Puno

A

A) 12 C) 18

F B) 15 D) 20

D

Concurso Nacional de Matemática - UCH 2014

15. En el gráfico, se muestra un cilindro de revolución, que contiene un líquido que ocupa el 25% de su capacidad. ¿Cuánto debe inclinarse el recipiente para que el nivel de la superficie del líquido sea el que se muestra en el gráfico?

18. De la condición

senx(1 + tan2x) + tan2x = 1; 0 < x < 90º,

calcule el valor de cos2x - sen2x.

4 6

1 A) 2

B)

3 C) 4

D)

3 2 2 3

19. En el gráfico, ABCD es un trapecio en el que AB = CD = 4; BC = 2 y AD = 8. Calcule tanx. x

A) 30º C) 37º

B

C

B) 36º D) 45º

16. Calcule el área de la región limitada por las rectas L1: 3x + 4y - 12 = 0; L2: 4x + 3y = 24 y los ejes coordenados (en u2).

A) 18 C) 24

x

B) 20 D) 36

17. Si a y q son ángulos complementarios, cos α cos θ = , m n

además

calcule el valor de tana + tanq.

A)

2m

n

B)

C)

m2 + n 2

mn

D)

A

D

A)

7

6

B)

7 9

C)

7

10

D)

7 11

20. Calcule el máximo valor de la expresión

2n m mn 2

m +n

2

2sen4x + cos4x - sen6x - cos6x.

1 2

A) 0

B)

3 C) 4

D) 1

Sedes: Lima - Huánuco - Puno

P-3

Tema

P

Cuarto grado de secundaria 1. ¿Durante cuántos meses se debe imponer

5. Los números reales x; y y z verifican la ecuación

un capital al 10 % mensual para que el monto 9 obtenido represente del capital?

5

x2 + y2 + z2 = 4z. Halle el máximo valor entero de

A) 8 C) 6

A) 2

B) 4

C) 6

D) 7

B) 10 D) 3

2. Si el siguiente esquema molecular

P → (r ∧ s) es falso

¿cuáles de los siguientes esquemas moleculares son verdaderos?

I. (s ∨ r) → P

II. (s → ∼r) ∨ (∼P)

III. ( s →  r ) ∨ s  ∨ P A) solo I C) I y II

B) todos D) I y III

3. Sea el experimento aleatorio extraer 4 cartas al azar de una baraja de 52 cartas y que las 4 cartas extraídas sean de figuras diferentes. ¿De cuántas formas se realiza dicho experimento?

Dé como respuesta la suma de cifras.

A) 18 C) 19

B) 22 D) 20

2x – y + z.

6. Si la inecuación cuadrática 2x2 + mx + n – 1 > 0 tiene conjunto solución S = R −

{

}

k ; k − 1 , halle 2

el valor de mn + k.

A) 6

B) 12

C) 15

D) – 10

7. Dada la ecuación log2(x – 1) = 1 + log4x. Si la solución es el número

(

a + 1) , halle el valor 2

de a2 + a + 1.

A) 3

B) 7

C) 13

D) 17

8. Dadas las expresiones con valor absoluto 4. Si (x0; y0) es solución del sistema lineal

5 x + 2 y = 5  2 x + y = 1

ción M(N(t)) = |t|. Dé como respuesta la suma de las inversas de las soluciones.

2

x  halle el valor de  0  .  y0 

A) 0,20 C) 0,36

M(x) = 2|x| – 1; N(x) = x + |2x|, resuelva la ecua-

B) 0,25 D) 0,49

A) 4

B) 2

4 C) − 5

D) 3

Sedes: Provincia

P-1

Prueba eliminatoria - Cuarto grado de secundaria

13. Si ABCD es un cuadrado y AEC y CDF son triángulos equiláteros, halle la razón de áreas de las regiones sombreadas.

9. Si AD = DC y BE = ( AB ) 2, calcule x.

B

B

E

A

D

A) 30º C) 45º

x

F

A

10. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC recto en B. En la región interior se ubica el punto P, de modo que la m  ABP = m  BCP, y M es punto medio de AC. Halle la m  MPC. B) 37º D) 60º

11. En un papel de forma rectangular ABCD y de centro O, mediante un doblez, se hace coincidir el vértice D con el centro O, formándose una superficie pentagonal ABCGF. Si 3(AB) = 4(BC) GC AF y FG = 5, halle − .

4 3 1 A) 4 C)

B)

5

12

1 3

7 D) 12

B

C

M

T

A

P-2

P E

Sedes: Provincia

C

A) 1

B)

3 4

4 C) 5

D)

5 6

14. En un tetraedro regular, la distancia de su centro (centroide) a cada uno de los vértices es .

Calcule la distancia del centro a cada una de sus caras.

 A) 2

B)

 3

 C) 4

D)

 6

15. En un prisma triangular regular de volumen V se ubican los centros de todas sus caras, los cuales son vértices de un hexaedro. Calcule el volumen de dicho hexaedro.

12. En el gráfico se muestra un cuadrado ABCD. Calcule el área de la región sombreada si el lado del cuadrado es 20 cm, T es punto de tangencia (CT tangente a la semicircunferencia) y M es punto medio de TC. A) 30 cm2 B) 36 cm2 C) 40 cm2 D) 45 cm2

D

C

B) 37º D) 60º

A) 30º C) 45º

E

D

A)

V

12

B)

V 6

C)

3V

5

D)

3V 8

16. Se tiene un cilindro de altura h y radio del círculo de las bases igual a 3. Calcule el máximo número de cilindros de altura h y diámetro del círculo de su base igual a 2 que se puede introducir en el primero. Desprecie el espesor de la superficie que limitan los cilindros.

A) 6 C) 8

B) 7 D) 9

Concurso Nacional de Matemática UCH 2015

17. En el lado CD de un cuadrado ABCD, se ubican los puntos M y N, tal que CM = MD = 7, ND = 2, AN ∩ BD = {P}, m  AMP = α. Calcule cot(α – 15º) – cotα.

3

3

B) 3 − 1

C) 3 + 1

D) 1 − 3

A) 1 −

18. El ángulo de depresión del horizonte de un determinado punto de observación ubicado a una altura h sobre la Tierra es α. Calcule el radio de la Tierra en términos de h y α.

A)

h

cos α + 1

B)

h cos α − 1

C)

h

csc α − 1

D)

h sec α − 1

19. A partir de la siguiente igualdad

a – cos4x=sen2x · (sen2x+b · cos2x)

a no depende de x, entonces el intervalo al que pertenece b es A)

1 ;1 2

B) 1;

C)

3 5 ; 2 2

D)

3 2

1 5 ; 2 2

20. En la división exacta

2 x 3 + x ⋅ tan α + 4 x 4 + tan β 1 − 3x + 2x 2 el valor de sen(α + β) + 6cosα · cosβ es A) – 6 C) 0

B) – 3 D) 3

Sedes: Provincia

P-3

Tema

P

Cuarto grado de secundaria 1. Calcule durante cuánto tiempo habría que colocar un capital al 20 % trimestral para que el monto sea 5 veces el capital.

4. Determine el valor de m2 si el sistema es compatible.

A) 60 meses

B) 4 años

C) 8 años

D) 40 meses

2. Si el siguiente esquema molecular

m 2 x + 3 y =  m+5 x − y = x + y = m −1  A) 4 C) 16

B) 9 D) 25

(p ∧ ∼ q) → (r → ∼ s)

5. Sean a y b números reales positivos, tales que

2

es falso, determine el valor de verdad para p, q, r y s.

A) VVFF

B) VVVV

C) VFVV

D) FFFF

2

 a   b    +   = 1.

2016 2016  1 1 Halle el menor valor de + . a b 1 1 A) B) 2 2016

3. ¿De cuántas maneras diferentes se puede llegar de A hacia B sin retroceder ni ir por el mismo camino?

A

C)

2 2 D) 2016 1008

6. Halle la suma de los valores de p si la inecuación cuadrática x2 – px+71 – p ≤ 0 tiene como conjunto solución a [x1; x2], donde x1 y x2 son números primos.

A) 50 C) 61 7. Dados los conjuntos = A x ∈Z x < 4 →

B

A) 12 870

B) 12 880

C) 2880

D) 11 920

{ {x ∈ Z

B) 55 D) 70

}

x +1 > 1

}

= B x2 < 4 → x < 1 determine el conjunto A ∩ B.

A) N B) Z C) N ∪ {0} D) N – {1} Sede Lima - Huánuco - Cusco - Huacho

P-1

Prueba eliminatoria - Cuarto grado de secundaria

1 1 ≥ . Si el 2 2x  1 complemento del conjunto solución es  a; ,  b

8. Resuelva la inecuación 2016 x +

12. En el gráfico, M, N, P y Q son puntos de tangencia, AB es diámetro, AP=4, PQ=5 y QB=3.

Halle la medida del arco MN.

M

halle el valor de 2a+b+1.

N

O1 A) 1

B) 65

C) 126

D) 2017

A 9. En el gráfico que se muestra, calcule x.

B 2x D β a

β

F 3x θ

a

A

3θ

P

B) 36º

C) 24º

D) 54º

10. En un triángulo rectángulo ABC, se traza desde B un rayo que interseca a AC y divide al ángulo ABC en dos ángulos de medida 53º y 37º con AB y BC, respectivamente. Si AB=5 y BC=20, halle la distancia del punto medio de AC al rayo mencionado.

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

11. En un rombo ABCD, la m  ABC=2(m  BCD), y en BC y CD se ubican los puntos M y N, respectivamente. Si la m  MAN=30º, BM=5 y DN=3, halle MN.

Q

A) 106º

B) 74º

C) 90º

D) 120º

B

C

E

A

F

D

A) 7/12

B) 7/11

C) 8/11

D) 1

14. Un participante del Conamat notó que al cortar dos trapecios isósceles congruentes hechos de cartulina, por una de sus diagonales, se forman 4 piezas, con las cuales él puede formar un cuadrado. Luego, manifestó que esto solo se puede cumplir porque la medida del ángulo que forman las diagonales con sus bases tiene un valor constante. ¿Cuánto mide el ángulo mencionado por dicho participante?

A) 5

B) 6

A) 30º

B) 37º

C) 4 3

D) 7

C) 45º

D) 60º

P-2

Sede Lima - Huánuco - Cusco - Huacho

B

13. En el gráfico se muestra un trapecio ABCD. Si E y F son puntos medios de AB y AD, respectivamente, y AD=2(BC), halle la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región sin sombrear.

C

A) 18º

O2

Concurso Nacional de Matemática UCH 2016

15. ¿Cuántos tetraedros regulares y octaedros regulares de arista 1 se necesitan para formar 19 tetraedros regulares de arista 2?

A) 76 y 19 C) 38 y 19

18. Si tan2x – 3tanx+1=0,

B) 57 y 19 D) 38 y 38

16. Pedrito construye la superficie de un sólido con cartones que tienen forma de un cuadrado de lado 6, dos triángulos isósceles congruentes y dos trapecios isósceles congruentes. Si la distancia entre las bases de los trapecios es 5, halle el área de la sección recta del sólido (tronco de prisma).

calcule el valor de 3(tanx+cotx)–1+1.

1 A) 2

B) 1

C) 2

D) 3

19. Si tan3x+tan3y+tan3z=0, calcule el equivalente de S. S=

3tan x·tan y·tan z tan x(tan y − tan x ) + tan y·(tan z − tan y) + tan z(tan x − tan z )

Considere que x+y+z=3p y tanx · tany · tanz ≠ 0.

A) tanx+tany – tanz B) tanx tany tanz C) cotx coty cotz

A) 10 C) 15

B) 12 D) 16

D) – tanx tany tanz 20. Si tanqsenq=

17. En un país se utiliza un sistema de medición angular cuya unidad de medida es el grado z (1z), donde 1z equivale a 60º. ¿Cuántos grados z ≠ equivale rad?

5 A) (0,1)z C) (0,6)z

B) (0,2)z D) (0,3)z

= E

1 2

cos q

+

5 − 2 , calcule el valor de E. 1

sec 2 q

A) 2 B) 5 C) 5 − 2 D) 1

Sede Lima - Huánuco - Cusco - Huacho

P-3

Tema

P

Cuarto grado de secundaria 1. Se deposita un capital a interés compuesto con capitalización semestral. Si al cabo de 1 año se cuadruplica el capital, ¿cuánto tiempo más se debe dejar para que dicho capital se transforme en 8 veces su valor?

A) 4 meses C) 8 meses

B) 6 meses D) 1 año

2. Si la siguiente proposición (r p) ∨ ∼ (p → q) es falsa, determine el valor de verdad de r, p y q, respectivamente, si al menos una de ellas es falsa y una verdadera.

A) VFF C) FFV

B) FVV D) FFF

3. Un estante tiene una capacidad para 5 libros de matemática de pasta azul, 3 de estadística de pasta roja y 4 de probabilidades de pasta amarilla. ¿De cuántas maneras puede ordenarse los libros según el color?

A) 27 920 C) 22 970

B) 27 720 D) 79 202

4. Luego de resolver el sistema de ecuaciones 1 10 x + 11y =  1 99 x + 100 y =

halle el valor de x2016 + y2016.

A) 2

B) 1

C) 0

D) −

5. Dada la expresión f(x) = 8x –1, halle la cantidad de valores enteros de f( f(− x) ) para todo x ∈ 〈– 2; 5].

A) 100

B) 291

C) 448

D) 515

6. Dada la inecuación cuadrática

x2 – (m + 1)x + m < 0 ; m ∈ Z+

halle el menor valor de m si hay dos soluciones enteras cuya suma es 10.

A) 5

B) 6

C) 7

D) 9

7. Determine el menor número primo que verifica la inecuación

2 x − 3 − x − x − 1 ≥ 10.

A) 29

B) 59

C) 61

D) 67

8. La función C(x) = ax + b|x – 90| + 5 expresa el costo en soles por x minutos consumidos. Si por un consumo menor o igual a 90 minutos solo se paga una renta básica de S/35, determine el costo a pagar por un consumo de 180 minutos.

A) S/90 B) S/92

1 2

C) S/95 D) S/100 Sede Provincia

P-1

Prueba eliminatoria - Cuarto grado de secundaria

9. En un triángulo ABC, se traza la altura BH que interseca a la circunferencia inscrita en dicho triángulo en M y N. Halle MN si AB =13, BC =15 y AC =14.

13. En un trapecio isósceles ABCD de bases AD y BC, se ubica el punto medio M de AB. Si MBCD es un trapezoide simétrico, halle la medida del ángulo MDA. A) 30º

A) 6 B) 8

53º  3 C) arccos   D) 4 2

C) 2 15 D) 30 10. En el gráfico que se muestra, A, B y C son puntos de tangencia. Halle la medida del arco AB.

14. Halle la altura de un tetraedro regular si la distancia del punto medio de la altura a una cara lateral es 1.

A 2 O1 C O

O2 1

B

6

A) 3 2

B) 3 3

C) 3 6

D) 6

15. En un hexaedro regular ABCD-EFGH (cubo), el área de la superficie total es 6 u2. Si M, N, P y Q son puntos medios de AB, CD, GH y EF, respectivamente, halle el área de la superficie total del prisma NMBC-HEQP. A) 5 + 1

A) 30º

B) 36º

C) 37º

D) 53º

11. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubican en BC y AC los puntos P y Q, respectivamente. Si AB =1 y la m ACB = 30º, halle el valor de AP + PQ + QB si es mínimo.

B)

1 ( 5 + 1) 2

1 ( 5 + 2) C) 2 + 5 D) 2 16. En un cilindro de revolución, el área de su sección axial es A y la longitud del perímetro de una base es L. Halle el volumen de dicho cilindro.

1 B) A · L 2 1 1 C) A · L D) A· L 4 3 A) A · L

B) 6

A) 2

7 B) arccos   8

C) 7 D) 8

17. Para los ángulos agudos α y β, se cumple que 12. En un triángulo ABC se traza la altura AH, y en el triángulo AHC se inscribe la circunferencia de radio r. Si BC = AC + 2r, halle la mABC.

sec β 4 5 sec α 2 5 = y = . csc α csc β 5 3

Calcule 64cos2β + 9sen2β.

A) 37º

B) 45º

A) 15

B) 20

C) 53º

D) 60º

C) 25

D) 30

P-2

Sede Provincia

Concurso Nacional de Matemática UCH 2016

18. La carga del cañón de un barco destructor alcanza una velocidad de 720 km/h. La distancia,

19. Calcule el valor de

3

tan 2 15º − sen 2 15º cot 2 15º − cos 2 15º

en metros, que recorre la carga está dada por v 2 sen 2θ , donde v es la velocidad inicial de g carga (en metros por segundo) y θ es el ángulo

A) 5 − 2 3

d=

de inclinación del cañón. ¿A qué ángulo debe

B) 7 − 2 3

C) 7 − 4 3 D) 7−5 3 20. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y T es punto de tangencia. Calcule el valor de 2tanθ – 3cotθ.

estar el cañón para que haga blanco en un B

transportador enemigo que se encuentra a dos

A

kilómetros del destructor?

T

Considere que g es la aceleración de la grave-

O

θ

dad (10 m/s2).

A) 12º B) 15º C) 30º D) 45º

D

C

5 2

A) – 2

B) −

C) – 3

D) – 4

Sede Provincia

P-3

Tema

P

Cuarto grado de secundaria 1. Miguel y Elisa depositan sus ahorros en diferentes bancos, Miguel al 4% y Elisa al 6%, ambos a un interés anual. La diferencia de sus ahorros al momento de realizar los depósitos es S/1200 y,

1 A) 2

B)

1 3

1 C) 5

D)

1 6

al cabo de 4 trimestres, los intereses obtenidos por ambos resultan iguales. ¿Cuánto dinero de-

4. Si la siguiente sucesión es una progresión aritmética, halle el valor de x2 + y2 + z2.

positaron ambos?

A) S/4800

B) S/6000

C) S/5400

D) S/7200

2. En la siguiente tabla de frecuencias, los intervalos de clase tienen la misma longitud, además,

(an) = (x; y; z – 1; y + 6; 3x; ...)

A) 100

B) 181

C) 286

D) 348

5. Si a, b y c son números reales positivos, entonces calcule el menor valor de

la diferencia entre la moda y mediana es 2,5.

Calcule la moda.

Intervalo

[

;

[

; 60

[ [

; ;

Fi

Fi

a 2 + b2 + c . abc

A) 1

B) 2

C) 2

D) 2 2

10 20 80

]

100

A) 70,5

B) 72,5

C) 60,5

D) 68

6. Dado el conjunto   x −1 A = ( x − 2 + 1) ∈ R ≤ 0

x −2  

halle el menor valor de k, tal que k ≥ a; ∀ a ∈ A. A) 1

B) 3

C) 5

D) 7

7. Halle el valor de M = log x + log 5 si se cumple que 3. En una urna, se tiene 4 esferas rojas y 6 esferas blancas; luego, se extrae al azar una por una, sin

(

)

(7 x 2 + 1)log4 x +21 5 x +1

= 5x + 1

reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que en la

A) 1

B) 2

tercera extracción la bola sea roja?

C) log 20

D) 3

Sedes: Cusco, Huacho, Puno, Chiclayo, Huancayo, Huánuco y Lima

P-1

Prueba eliminatoria - Cuarto grado de secundaria

A) En el primer caso.

8. Resuelva la siguiente inecuación irracional:

1−

1 1+

1 x

≥ 1−

B) Los volúmenes son iguales.

1 x

C) En el segundo caso.

D) No es posible conocer los volúmenes.

A) 0; 1]

B) 0; 2]

C) 0; 5 

D) 0;

1+ 5   2 

11. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la mBAC = 45º; sobre su altura BH, se toma el punto L; y en AH, el punto P, de modo que

9. De los gráficos mostrados, se sabe que

CL ∩ BP = { M }, BM = 3, ML = 1 y LC = 8. Calcule

AB = MN = 1, CD = PQ = 3, T y S son puntos de

la razón de las áreas de las regiones ABP y PML.

tangencia, BD ≠ NQ, TH = BT 3, SJ = NS 3.

Calcule DH/QJ.

r

D H

T

P M

A) 1

Q

S

J

B)

C) 6

C) 9

D) 3

12. Se sabe que M es un punto de la diagonal AC

R

N

B) 8

C

A B

A) 4

3r R

D) R – r

de un cuadrilátero ABCD, ubicado de modo que

mDBC = mABM y mADM = mBDC.

Luego, calcule

AM · MB + MC · MD BM · MC + MA · MD A) 3

B) 4

1 C) 2

D) 1

13. En el gráfico mostrado, si PQ = 3MN, determine la mMPQ. B

10. Se tiene una cartulina rectangular de dimensiones a y b con a > b. Se desea construir la super-

P

ficie lateral de un cilindro de revolución para cu-

N

brir la superficie lateral de un vaso, para ello se obtienen dos superficies con la misma cartulina:

A

Q

M L 45º

H

la primera cuando la generatriz es a y la segunda cuando la generatriz es b. ¿En cuál de estos

A) 45º

B) 37º

casos el vaso a usar tendrá mayor volumen?

C) 53

D) 60º

P-2

Sedes: Cusco, Huacho, Puno, Chiclayo, Huancayo, Huánuco y Lima

C

Concurso Nacional de Matemática UCH 2017

14. En el cubo adjunto ABCD – EFGH, se tiene el

A) 3 + 3

sistema cartesiano x – y como se muestra. Si

B) 3

la ecuación de la recta L 1 en dicho sistema

C) 2 + 3

es y = x, halle la ecuación de la recta L 2 en di-

D) 1 + 3

cho sistema cartesiano. Considere además que MG = 8 y LB = 3LA. (M en la cara FBCG).

B

17. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se verifica que

C

L Y

M D

A

sen 2 B + cot B + sen 2 A + 2csc A = 6(cos 2 A + cos 2 B)

Calcule el valor de 5cos B + cos A − sec A.

X

F

G

E

H

L2

L1

A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

18. Si sen 3x + sen x − cosx = 0

calcule el valor de 2 tan x + cos 2 x − sen4 x.

A) 3 y + 4 2 ( x − 8 ) = 0 B) y + 2 ( x − 1) = 0

A) 4

B) 3

C) 3 y + 2 ( x − 1) = 0

C) 2

D) 1

D) y − 4 2 ( x − 3 ) = 0 19. Si la media armónica de las tangentes de dos 15. En

un

triángulo

ABC,

se

tiene

ángulos no cuadrantales es igual a 4 sen a sen b,

que

calcule el seno de la suma de los dos ángulos.

mBAC = 2mBCA = 2q. Si E es el excentro del triángulo ABC relativo a BC; y M, el punto medio de AC; además, ME ∩ BC = {P}; calcule

A)

mMAP.

1 C) 4

q 4

A) q

B)

q C) 2

q D) 3

1

16

B)

1 8

D)

1 2

20. Si csc(q – a – b) = csc a sec(b + q)

calcule el valor de

tan θ − tan α . tan β + tan α

16. Se tiene un cuadrilátero ABCD, donde AB = 1, BC = 1 y CD = 2. Si el área de la región ABCD es

A) – 2

B) – 1

máxima, calcule AD.

C) 1

D) 2

Sedes: Cusco, Huacho, Puno, Chiclayo, Huancayo, Huánuco y Lima

P-3

Tema

P

Cuarto grado de secundaria 1. Elabore la tabla de verdad para el siguiente

4. Si el siguiente sistema lineal

esquema molecular:

( p ∧  q)

∨  p ∧ (  p ∨ q )

Dé como respuesta la cantidad de (V) que aparece en su matriz principal.

10 x + 3ny = m   4 x + 6 y = 3n + 3

es compatible indeterminado, halle el valor de

m+n 2

A) 1

B) 3

A) 4

B) 5

C) 2

D) 4

C) 7

D) 10

2. Un capital se deposita en un banco y se sabe que en 8 meses produce un interés que es el 40% del monto. ¿Durante cuánto tiempo se

5. Si se tiene el conjunto M definido por

debe imponer dicho capital a la misma tasa para que genere un interés igual al 60% del monto?

{

}

M = ( a 2 + b 2 ) ∈ R / a; b; ∈ R; 2a + b = 1 halle la alternativa correcta.

A) 0,1 ∈ M

B) 1 ∈ M

C) 10 ∉ M

D) R + ⊂ M

6. Determine el valor de log ( α 2 + α + 4 ) si α es una

4 A) años 3

1 solución de la ecuación log ( 2 x + 1) = 1 + log   .  x

B) 2 años C) 1 año D) 1 año y medio 3. Se tiene una urna con 6 bolas blancas, 3 bolas

B) 2

C) 3

D) 5

7. Resuelva la inecuación irracional P   2

negras y 3 bolas rojas. Determine de cuántas maneras se puede extraer 4 bolas tal que por lo menos 3 sean del mismo color.

A) 1

2

 P 1 − 1 +  2

2

<

P +4 2

A) 153

B) 171

A) [– 2; 0〉

B) 〈0; 1〉

C) 135

D) 140

C) [– 2; 1〉 – {0}

D) 〈0; 2] Sede Arequipa

P-1

Prueba eliminatoria - Cuarto grado de secundaria

8. A tres de los elementos del conjunto {2; 4; 5; 7}

A) 4 u2

B) 5 u2

se les suma un mismo número primo, y con

C) 6 u2

D) 2 5 u2

estos tres nuevos números se forma una progresión geométrica creciente. Halle la razón de dicha progresión.

estudia tiene la forma de un paralelepípedo

7 4

A) 2

B)

3 C) 2

5 D) 4

recto (rectoedro). Si la suma de los cuadrados de 3 de las diagonales de caras diferentes es 200, halle la longitud de una de las diagonales del aula.

9. Se sabe que ABC, BDE y BFG son triángulos equiláteros, donde C ∈ BD y E ∈ BF; además A, B y G son colineales. Si AB = a y BG = b, halle ED. Considere DF // CE y b > a.

A) b – a C) a · b

12. Juan observó que el aula de clases en el que

A) 5

B) 10

C) 15

D) 20

13. Un gato se encuentra en la mitad de una

b+a B) 2

escalera, que está apoyada verticalmente

D) a 2 + b 2

resbalar hasta quedar en posición horizontal

en una pared. Luego, la escalera empieza a en el piso. Indique la gráfica que describe el

10. En un paralelogramo ABCD, en la prolongación de DC se ubica el punto E, tal que AE interseca

lugar geométrico del gato si este siempre se encuentra en el punto medio de la escalera.

a BD y BC en F y G, respectivamente.

Además, desde F se traza FH ⊥ CD (H en CD) y la mAGH = 90º. Halle la mHAE si la mBAE = 20º.

A) 20º

B) 40º

C) 35º

D) 70º

posición inicial de la escalera

11. En el gráfico, ABCD es un rectángulo e I es incentro del triángulo ABC. Si el área de la región

posición final de la escalera

2

ABCD es 20 u , calcule el área de la región sombreada en u2.

B

C I

F

A) arco de elipse B) arco de parábola C) cuadrante

A

P-2

G

Sede Arequipa

D

D) segmento de recta

Concurso Nacional de Matemática UCH 2017

14. En un tetraedro regular, se ubica el punto P

17. Una torre de alta tensión se encuentra ubicada

en la región interior del sólido. Si la suma de

en la cima de un cerro. A 24 m de la proyección

distancias de dicho punto a cada una de las

perpendicular de la cima del cerro sobre la

caras del tetraedro regular es 20 u, calcule la

superficie horizontal, los ángulos de elevación

suma de las alturas de dicho tetraedro regular.

hacia la parte más alta de la torre y la cima del

A) 20

B) 40

C) 60

D) 80

cerro son de 45º y 37º respectivamente. Calcule la altura de la torre.

15. En un cilindro de revolución, las dimensiones del desarrollo de su superficie lateral están en la razón

A) 2 m

B) 4 m

C) 6 m

D) 8 m

de 1 : π. Halle el área de la sección determinada en el cilindro por un plano secante paralelo al eje si una de las dimensiones de la sección es r.

18. Si cos 2 x + cos x − sen x ≤ 0, entonces halle el valor de 2cot x – cos2 x.

(r : radio de la base del cilindro) A) r 2

B) 2r 2

C) 3r 2

D) 4r 2

16. Said recuerda que una recta interseca a los ejes

A) – 1

B) −

1 C) 2

D) 1

1 2

coordenados a distancias 6 u y 8 u del origen de coordenadas y que pasaba por un punto de

19. Determine un equivalente que carezca de la

coordenadas positivas, de modo que la abscisa es el doble de la ordenada. Indique qué coordenadas tiene dicho punto.

variable real x, considerando que

csc2 x + sen 2 x = a · cos2 x

2sec2 x – cos2 x = b · sen2 x

Y A) a – b = – 2 B) a – b = 2 C) a – b = – 1 6

D) a – b = 1

H

20. Si se define la igualdad 0

X

8

A) (4; 2)

B) (6; 3)

C) (2; 1)

 24 12  D)  ;   5 5

sec(x + y + z) – sec x · sec y · sec z = 0,

entonces el valor de cot x + cot y + cot z es

A) – 1.

B) 0.

C) 1.

D) 2.

Sede Arequipa

P-3

Cuarto grado de secundaria l.

Cintia depositó, hace 8 meses, un capital cuyo

4.

monto actuai es 5/4650, pero dentro de un año

Si a > 1, resuelva

"" '<4x+5 la

el monto se¡á 5/4875. Calcule cuánto tiempo debe dejar su capital si quiere comprarse una

_ l\t

máquina que en aquel ticmpo costaba S/4680

.rr

<

y que sufre un aumento mens.ral de S/15.

7

-5a

4a1

B) r>i--la A)

130 días

C)

36 meses

B) D)

1a

24 meses

-7

^. rr<-7 -5a Lt

48 meses

4a+1

Milaeros rendio

-3

\cnla perdio '7

I

de ru mercadena

I de.u

!

1<.

D)' x>' -4a1

cn csta

co.to. ;Oue lraccion d.-l

5.

Indique la cantidad de soluciones que tiene la ecuación

costo deberá ganar en el resto de la mercade-

x+!x+5=/

ría para que en la venta de toda su mercadcrÍa

A)

0

c)2

B)

1

D)

5

gane la quinta pafte de su inversión?

Si la ecuación

A) 11 35

c)g1t

B) D)

l!1l

^11+

mx

=x+-ll-mt

tiene solüción, encuentre la vadación de los valores que toma rr-

g

¿Cuántos números de 10 cifras existen tal que el producto de sus ciftas sea 49?

A)

|

s)

f0; 1l

l;

1l

. [],rl .'12

A)

995

B)

1440

c)

360

D)

4s

o) [r "D] P-1

7.

Dada a

la

t=a 2=

l,

c)

€l.

.1

ademAs,

PaÉ todo

A)

4r, tal que lO.

sucesión de númercs

r

a

n+2 =

an*t

+

En el gráfico, ABCD, BEGF y CE/r/ son cuadmdos. Si la m <

a

BfC-

142". calcule

¡.

n-

-

natural, encuentrc el valor de

20171

220\6.1oo8l2 20171

220t7 tooge

20181

B)

22017.1oogl2

D)

20181 22016 .

loo8l2

D

Halle los números enteros a; ú; c; d tales que a

A) s2"

B)

sso

c)

D)

58o

45"

+b^lc

[.

En los lados,4B y BC de un cuadradoá,BCD, se ubican los puntos Q y

P respectivamente,

de modo que la m<PQD=goo. Si AQ=2 y PC=3, hale QC.

Luego, encuente el valor de abcd..

A\ 12 c) 20

9.

B)

18

A)s

q

D)

10

c)4

»3.,

un cuadro de forma rectangular sostenido en sus esquinas supe ores. Si este se Se üene

t¿

desprende de una de sus esquinas, halle el va-

lor de

¡.

2Ja

En el griáfico,,4BCD es un cuadrado; además,

HBl

y EDF son tdángulos equiláteros. Calcule

HI si el radio EDF es r

de la circunferencia inscdta en

D

A

A)

1200

c)

1550

B) D)

B

1270

A)/

B)

1430

C) 2r

D) t(2"1a -L)

;

P-2

Concurso Naciona de N,,latemática, UCH 2018

13. En el gráfico, ,ABCD, AEFG y CFIH son c:uadrauo\ SiX. V. Z.on las area\ de la. -eg;one\ sombreadas; halle el área de la región FCIll en ténninos de X, Y y z.

B

A)

B) D)

45,r

c) 18nJi0

18ñJ5 54,r

t7. En un triángulo rcctángulo ,4-BC, rccto en B,

se traza la mcdiana,4,4{. Si m<EAC=0 y m<AMB=Lx. halle el valo¡ de tanutano+1.

Considere que AC=12 u

A

B

B) 2(z-x-v) D) 2(z+V x)

A) X+V+z C) 2(x+v-z)

A)

1

B)2

c)

3

D)

Se define el operador matemático

a#b Un octaedro regular M-áBCD-N se proyecta originalmente sobre un plaÍo perpendicular a la5 ari.ra. A-B y

D(

dro en función de s

A)

B)

c)

D)

2sJ3

tan Éo tan

ú"

B) 3 D)2

5

c)4 2sJ2 2sJ6

A partir de 1a siguientc división exacta: ,xa + (cosó)¡2 (2senó).r 16

ts. En una piráñide pentagonal reguiar V-ABCDE, las aristas laterales tienen igual longitud que

t-2 calcule J5scn(O +15")+ cos2 ó si 6 es ]a medida dc un ángulo definido en (0o; 90o).

las diagonales de la base. Si el área de la región

ACD cs S, calcule el área de la super.ficie latetal de 1a pirámide.

A) 25

R) ,2!§

c)

D)

3s

5siseca"> [1si seca'<

(30#4s)+ j (60#37) (4s#60)

superficie del octae

A) 25

=

#.

Calcule

Siela.eadelaproJeccion

es S, calcule el área de la

,1

2

B)

3

c)1 '2

D)

l

A)

?O. A pal1ir dc la regla de corrcspondencia definida por l(x) = (cscü)¡2+ (secp)rv+,+.

ss

16. El radio de la base de un cilindro de ¡e volución es 5; adcmás, AB=4, BC=8 y la m<OBC=60". Halle el volumen de dicho cilindro

P-3

Se cumple que l(2)=6;

lt

rt=7t y (x; Calcule cl valor de 20ser(c+0)+q.

A) ,t

c)

3J7

ü

D)

2,h -4.17

B

e IIC.