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APOSTILA DE MATEMÁTICA CONCURSO ESCREVENTE TJ-SP – INTERIOR Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br www.paraconcursos.com.br
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MATEMÁTICA
II- a+(b+c) = (a+b)+c e a.(bc) = (ab).c Dizemos então que a soma e o produto são operações associativas.
1 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM.
III- a(b+c) = ab + ac Dizemos então que o produto é distributivo em relação à operação soma.
1.1- NÚMEROS NATURAIS
IV- a+0 = a Dizemos que zero é o elemento neutro da operação soma.
Os números naturais surgiram quando as primeiras civilizações começaram a contar os seus rebanhos. Então, surgiram os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... À representação dos números chamamos de numeral, por exemplo: 19 é o numeral representado pelos algarismos 1 e 9.
V- a.1 = a Dizemos que um é o elemento neutro da operação produto. VI- Para cada inteiro a, existe um inteiro x, tal que x+a = 0. Este valor de x será representado por –a, e será chamado de simétrico ou oposto do número a.
1.1.2- CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
Exemplos: -2 é simétrico de 2 -3 é simétrico de 3 -2 é oposto de 2 3 é simétrico de -3 3 é oposto de -3
Representaremos o conjunto de todos os números naturais por:
1.1.3- NÚMEROS PARES E NÚMEROS ÍMPARES
1.2.2- MÓDULO (OU VALOR ABSOLUTO) O módulo (ou valor absoluto) de um inteiro não negativo a e de seu oposto –a será o próprio valor inteiro a. Representare-
Chamaremos de números pares aos números múltiplos de 2, isto é: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,... Chamaremos de números ímpares aos números naturais que não são pares, isto é: 1, 3, 5, 7, 9,...
mos o módulo do inteiro a como sendo Isto é:
a.
a, a 0 a a, a 0
1.2- NÚMEROS INTEIROS
Observe que:
Estudamos no ensino fundamental que os números inteiros são: ...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...
0 0 2 2
1.2.1- PROPRIEDADES E OPERAÇÕES DOS NÚMEROS INTEIROS
2 2
Se a, b e c são números inteiros, então:
3 3
I- a+b = b+a e ab = ba Dizemos então que a soma e o produto são operações comutativas. Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
3 3
1
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1.2.3- CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
1.4- NÚMEROS PRIMOS E NÚMEROS COMPOSTOS
Representaremos o conjunto dos números inteiros por:
Dizemos que um número inteiro n, maior do que um, é primo se seus divisores são -1, 1, n, n. Nesse caso os números primos serão: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... . Podemos dizer também que os números primos são os números inteiros maiores do que um que possuem apenas dois divisores positivos (o número 1 e ele mesmo). Os números inteiros maiores do que um que não são primos serão chamados de números compostos.
Teremos então os seguintes conjuntos derivados do conjunto dos números inteiros: = conjunto dos números inteiros não positivos:
= conjunto dos números inteiros não negativos:
1.5- DIVISIBILIDADE (Critério de divisibilidade)
= conjunto dos inteiros negativos:
Vamos verificar os critérios de divisibilidade para alguns números.
= conjunto dos números inteiros positivos:
DIVISIBILIDADE POR 2 Um número é divisível por 2 quando é par (termina em 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ). Exemplo: 14, 36, 2658, 3100,...
1.3- MÚLTIPLOS E DIVISORES Sejam a e b números inteiros. Dizemos que a é múltiplo de b, se a é o produto de b por um número inteiro c.
DIVISIBILIDADE POR 3 Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos produz como resultado um número múltiplo de 3.
Exemplos: a) 18 é múltiplo de 3, pois 18 = 3 x 6. b) 18 é múltiplo de 6, pois 18 = 6 x 3. c) -12 é múltiplo de 4, pois -12 = 4 x (3). d) 0 é múltiplo de 5, pois 0 = 5 x 0.
Exemplos: a) 42(4+2=6) b) 126(1+2+6=9)
Observamos que se a e b são números inteiros tal que a é múltiplo de b ou c (isto é a = b . c) então, b e c são divisores de a.
DIVISIBILIDADE POR 4 Um número é divisível por 4 quando os 2 últimos algarismos formam um número divisível por 4.
Exemplos:
i. ii. iii. iv.
3 é divisor de 18. 6 é divisor de 18. 4 é divisor de -12. - 4 é divisor de 12.
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Exemplos: a) 3128(28 é divisível por 4) b) 9744(44 é divisível por 4)
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DIVISIBILIDADE POR 5 Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou cinco.
DIVISIBILIDADE POR 11 Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar é divisível por 11.
Exemplos: a) 735 b) 950
Exemplos: a) 23639 é divisível por 11, pois, • soma dos algarismos de ordem par: 3 + 3 = 6 • soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 6 + 9 = 17 Diferença: 17 – 6 = 11 é divisível por 11.
DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6, quando é divisível por 2 e 3, simultaneamente. Portanto, tem que ser par e divisível por 3. Exemplos: a) 138 b) 714
b) 919193 é divisível por 11. • soma dos algarismos de ordem par: 1 + 1 + 3 =5 • soma dos algarismos de ordem ímpar: 9 + 9 + 9 = 27 Diferença: 27 – 5 = 22 é divisível por 11.
DIVISIBILIDADE POR 8
1.6 - NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS
Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número divisível por 8.
Suponha que temos uma pizza e a dividimos em 5 pedaços iguais.
Exemplos: a) 12240 é divisível por 8, pois 240 é divisível por 8. b) 95.880 é divisível por 8, pois 880 é divisível por 8. 1 (um quinto) da piz5 2 za. Isto é, 2 pedaços representam dois 5 quintos. Portanto quero dizer que uma fração significa uma parcela(ou várias parcelas) de um todo. Deste modo representaremos uma a fração como , onde a é chamado de numeb rador e b de denominador.
Cada pedaço representa
DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos formam um número divisível por 9. Exemplos: a) 567 é divisível por 9, pois 5 + 6 + 7 = 18 é divisível por 9. b) 2124 é divisível por 9, pois 2 + 1 + 2 + 4 = 9 é divisível por 9. c) 8793 é divisível por 9, pois 8 + 7 + 9 + 3 = 27 é divisível por 9.
Exemplos:
1 fração ordinária 5 2 b) fração ordinária 7 1 c) fração decimal 10 9 d) fração decimal 100 a)
DIVISIBILIDADE POR 10 Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero). Exemplos: a) 54800 é divisível por 10. b) 71350 é divisível por 10.
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1.7 – NÚMEROS RACIONAIS E FRACIONÁRIOS
Multiplicando a expressão acima por dez temos: 10x = 1,111... Subtraindo as duas expressões temos 10x – x = 1,111...- 0,111.... 9x = 1
Dizemos que um número é racional se ele pode ser escrito na forma: p tal que e . q Isto quer dizer que um número é racional se ele pó ser escrito como uma fração. Os números que não podem ser representados como um fração serão chamados de Irracionais.
1 x= 9
0,111... =
b) Podemos aplicar o mesmo raciocínio do item a, e chegaremos a
Exemplos:
x = 0,222 ... =
4 é racional. 9 12 b) 0,121212... é racional. 99 a) 0, 4444...
c) 0, 231231...
3 9 4 d) 0,444 ... = 9 6 e) 0,666 ... = 9
231 é racional. 999
2 é racional. 7 2 é irracional e)
2 9
c) 0,333... =
d)
f)
1 9
f) 0,121212 ... =
12 99
é irracional 4) Calcule: (0,333...)² Solução:
QUESTÕES RESOLVIDAS 1) Calcule
2
3 1 (0,333...)² = 0,111... 9 9
de 160. Solução
de 160 =
2) Calcule
5) (PROMOTORIA-SP-VUNESP) A mãe de Lígia e Flávia deu a cada uma quantias iguais para que elas comprassem presentes para o Dia dos Pais. Das quantias recebidas, Lígia gastou na compra de seu presente, e Flá-
.
de .
via gastou na compra do seu, sendo que restou para uma delas R$ 27,00 a mais do que a outra. O presente que Lígia comprou para o seu pai custou a) R$ 108,00 b) R$ 120,00 c) R$ 135,00 d) R$ 150,00 e) R$ 162,00 Solução Seja x a quantia que cada uma recebeu. Se Lígia gastou 3/4 de x, então restou 1/4 de x. Se Flávia gastou 3/5 de x, estão restou 2/5 de x. Logo 2x/5 - 1x/4 = 27
Solução de =
.
3) Transforme em fração: a) 0,1111... b) 0,222... c) 0,333... d) 0,444 ... e) 0,666 ... f) 0,121212 ... Solução a) 0,1111... x = 0,111.... Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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Total 6.929 algarismos Resposta: E
3x/20 = 27 x = R$ 180,00 Logo o presente de Lígia custou 3.180/4 = R$ 135,00. Resposta: C
1.8 - Radiciação A raiz enésima de a é igual a b
6) Dona Maria resolveu fazer compras. Inicialmente visitou a loja A e gastou a metade do dinheiro que havia em sua carteira, e na saída resolveu dar R$ 10,00 de gorjeta para a vendedora. Mais tarde visitou também a loja B e gastou a metade do dinheiro que ainda havia em sua carteira, e na saída resolveu dar R$ 10,00 de gorjeta para a vendedora. Poucos instantes depois entrou na loja C e gastou a metade do dinheiro restante em sua carteira, e na saída resolveu dar R$ 10,00 de gorjeta para a vendedora, ficando após isso sem dinheiro. Podemos concluir que a quantia inicial que a Dona Maria possuía em sua carteira quando saiu para as compras era: a) R$ 30,00 b) R$ 60,00 c) R$ 90,00 d) R$ 120,00 e) R$ 140,00 Solução Como ela sempre deixa R$ 10,00 para a vendedora, temos que R$ 10,00 era a metade do valor na carteira antes de entrar na loja C, portanto, possuía R$ 20,00 antes de entrar na loja C. Como deu R$ 10,00 para a vendedora da loja B, ela possuía R$ 30,00 após ter gasto a metade do dinheiro na loja B. Sendo assim, possuía R$ 60,00 quando entrou na loja B. Continuando o raciocínio temos que a dona Maria possuía R$ 140,00 quando saiu para as compras. Resposta: E
=b n – Índice - Radical a – Radicando Considere um número real não negativo a, e n um número natural positivo. Então =b onde
1.8.1 – Propriedades 12-
3456Observação:
1) Se a < 0 e n é um número ímpar, então =b 2) Exemplo Calcule Exemplo Calcule
7) Escrevi a seguinte seqüência 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12, 13, ..., 2009. Então o número de algarismos escrito foi: a) 2700 b) 3025 c) 6312 d) 6925 e) 6929 Solução De 1 até 9 9 números 9 algarismos De 10 até 99 90 números 180 algarismos. De 100 até 999 900 números 2700 algarismos De 1000 até 2009 1010 números 4040 algarismos Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
Exemplo Calcule
=
ExercíciosResolvidos 1) Calcule:
28 75 2 27 7 12 Solução = .
= 5
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2) Simplificando-se ( 1125) a) 1 25 b) 1 25 c) 25 d) –25 e) 25 1 Solução
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2 3 1
obtém-se :
2 5 5 2 Solução:
=
=
. /
3) Racionalize os denominadores de: a)
1 5 2 Solução:
10 3 5
3 3 2
e)
Todo número inteiro, maior que um, pode ser decomposto como um produto de dois ou mais fatores primos.
3 3 2
Exemplos: a) O número 45 pode ser decomposto como 32x51. b) O número 72 pode ser decomposto como 23x32. Esperamos que todos os leitores tenham visto no ensino fundamental a seguinte regra prática para decomposição dos números em fatores primos:
. .
1 ab c 1 ab c
1.9 - DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
10 . 3 5
d)
g)
=
c)
f)
b)
Decomposição do 72 em fatores pri-
ab c
mos.
ab c ab c ab c ab c
1ª Passo: Dividimos o número 72 pelo menor divisor primo de 72.
2ª Passo: Dividimos o quociente obtido no 1ª Passo pelo menor divisor primo desse quociente.
2 3 1
Solução
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6
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3ª Passo: Continuamos conforme o 2ª Passo, considerando os quocientes obtidos no passo anterior até chegarmos ao quociente igual a um, quando poderemos escrever o número decomposto como o produto dos fatores primos obtidos.
Exemplo: Calcule o MDC(132,120) Vamos decompor os números.
Exemplos: a) Vamos decompor o número 72 em fatores primos:
Logo temos: 132 = 22x31x111 120 = 23x31x51 Então MDC(132,120) = 22x31 MDC(132,120) = 12.
1.11 - NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Logo temos: 72 = 23x32.
Dizemos que dois inteiros positivos são primos entre si, quando o MDC entre eles é um.
b) Vamos decompor o número 40 em fatores primos:
Exemplo: 16 e 25 são primos entre si, pois o MDC(16,25) = 1
1.12 - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Dados dois inteiros a e b, não nulos, o mínimo múltiplo comum entre a e b, é o menor número inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente de a e b, e representamos por MMC(a,b).
Logo temos: 40 = 23x51.
Exemplo Calcule o MMC(3,4) Múltiplos de 3: ..., -15, -12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ... Múltiplos de 4: ..., -16, -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ... Observamos que o menor número inteiro positivo que é múltiplo simultâneo de 3 e 4 é 12. MMC (3,4) = 12.
1.10 - MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Dados dois inteiros a e b, não nulos, chamamos de máximo divisor comum e indicamos por MDC(a,b), ao maior número inteiro positivo que é divisor comum de a e b simultaneamente. Exemplos: Sejam os inteiros 30 e 24. Então, temos: Divisores de 30: ...-30, -15 , -10, -6, - 5, -3, -2, -1, 1 , 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Divisores de 24: ..., –24, –12, –8, –6, –4, –3, – 2, –1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. O máximo divisor comum será o maior divisor simultâneo de 30 e 24. Logo temos; MDC (30 , 24) = 6.
Observação: O MMC será o produto de todos os fatores primos elevados aos maiores expoentes. Exemplo Calcular MMC(16, 18) Solução
Observação: O máximo divisor comum será o produto dos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes. Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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16 = 24
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18 = 21x32
Exemplo Calcule o MMC(4,6,10) a) 60 b) 54 c) 50 d) 48 e) 44 Solução: 4 6 10 2 2 3 5 2 1 3 5 3 1 1 5 5 1 1 1
MMC(16,18) = 24x32 = 16x9 = 144 Outra solução é decompor simultaneamente os números, e o MMC será o produto de todos os fatores primos:
MMC(4,6,8) = 23 x 3 x 5 = 60 Resposta: A Exemplo Calcule o MDC(45, 108) Solução
MMC(16,18) = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 144
Teorema: Sejam a e b dois números inteiros não nulos. Então
MMC (a, b)
a.b . MDC (a, b) 45 = 32 x 51 MDC(45,108) = 32 = 9.
Exemplo A raiz quadrada do produto entre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números n e 20 é 30. A razão entre o MDC e o MMC é 1/36. Então, a soma dos números vale: a) 30 b) 45 c) 65 d) 70 e) 75 Solução
Exemplo Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá uma volta completa na pista em 10 segundos, o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terão dado cada um, respectivamente, até o momento em que passarão juntos na linha de saída? a) 66, 60, 55 b) 62, 58, 54 c) 60, 55, 50 d) 50, 45, 40 e) 40, 36, 32 Solução: 1º corredor → 10 seg. 2º corredor → 11 seg. 3º corredor → 12 seg.
MDC (n, 20) xMMC (n, 20) 30 MDC (n, 20) xMMC (n, 20) 900 nx 20 900 900 n 45 20
10 5 5 5 1 1
Logo a soma dos números é n + 20 = 45 + 20 = 65 Resposta: C Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
108 = 22 x 33
8
11 11 11 11 11 1
12 6 3 1 1 1
2 2 3 5 11
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MMC(10,11,12) = 22 x 31 x 51 x 111 = 4 x 3 x 5 x 11 = 660
de documentos que poderá ser colocada em cada caixa é (A) 8 (B) 12 (C) 24 (D) 36 (E) 48 Solução Seja x a quantidade de documentos colocados em cada caixa. Então x = MDC (192, 168)
Logo, em 660 seg. A - será 660/10 = 66 voltas B - será 660/11 = 60 voltas C - será 660/12 = 55 voltas Resposta: A Exemplo (FUVEST/91) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes “piscam” com freqüências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30 Solução 1ª → 15 vezes por min. → 60/15 → Pisca a cada 4 segundos. 2ª → 10 vezes por min. → 60/10 → Pisca a cada 6 segundos. 4 2 1 1
6 3 3 1
Logo a maior quantidade de documentos que poderá ser colocada em cada caixa é x = 24 documentos. Resposta: C Exemplo (MPU-2007-FCC) Ao longo de uma reunião, da qual participaram o presidente de certa empresa e alguns funcionários, foram servidos 28 salgadinhos em uma bandeja. Sabe-se que: – todos os participantes da reunião sentaramse ao redor de uma mesa circular; – o primeiro a ser servido dos salgadinhos foi o presidente e, após ele, sucessivamente, todos os demais também o foram, um a um, a partir da direita do presidente; – a cada passagem da bandeja, todas as pessoas se serviram, cada qual de um único salgadinho; – coube ao presidente ser servido do último salgadinho da bandeja. Considerando que as pessoas podem ter comido mais de um salgadinho, o total de participantes dessa reunião poderia ser (A) 4 (B) 9 (C) 10 (D) 13 (E) 15 Solução Seja x o número de funcionários presentes na reunião. Portanto temos (x+1) pessoas presentes na reunião (x funcionários mais o presidente).
2 2 3
MMC(4,6) = 22 x 31 = 4 x 3 = 12. Portanto voltarão a piscar simultaneamente após 12 segundos. Resposta: A Exemplo (TRF-2ªREGIÃO – FCC) Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos: 192 unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execução dessa tarefa recebeu as seguintes instruções: – todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas, de modo que todas fiquem com a mesma quantidade de documentos; – cada caixa deverá conter apenas documentos de um único tipo. Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as instruções, a maior quantidade
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O presidente retirou o primeiro salgadinho. Então sobraram 27 salgadinhos, que serão dividos entre os funcionários e o presidente. Como a mesa é circular a bandeja passa várias vezes em torno dela. A cada volta da bandeja em torno da mesa são retirados (x+1) salgadinhos. Como o presidente retirou o último salgadinho temos que (x+1) é um divisor de 27. Portanto os valores possíveis para (x+1) são 1,3, 9, 27, e o total de participantes dessa reunião (x+1) pode ser 9, conforme as alternativas. Resposta: B
Exercícios propostos: 1) (FCC-Téc.Ministerial-Admin.-2012-MPEPE) Existem três caixas idênticas e separadas umas das outras. Dentro de cada uma dessas caixas existem duas caixas menores, e dentro de cada uma dessas caixas menores outras seis caixas menores ainda. Separando-se todas essas caixas, tem-se um total de caixas igual a: (A) 108. (B) 45. (C) 39. (D) 36. (E) 72. Resposta: B 2) (FCC-Téc.em Gestão Prev.-2012SPPREV) O dono de um armazém adquiriu 82 kg de feijão embalados em pacotes de 2 kg e 3 kg, totalizando 30 pacotes. É correto afirmar que o número de pacotes de 3 kg é (A) 22. (B) 20. (C) 18. (D) 15. (E) 12. Resposta: A 3) (FCC-Prof.Educ.Bás.-AIEF-2012-SEEMG) Um pai tem 34 anos e seus filhos 5, 6 e 8 anos. Daqui a 8 anos a soma das idades dos 3 filhos menos a idade do pai será (A) 1. (B) 3. (C) 9. (D) 11. Resposta: A
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4) (FCC-Prof.Educ.Bás.-AIEF-2012-SEEMG) Um prédio recebe correspondência todos os dias ímpares do mês e a entrega do botijão de gás é feita nos dias múltiplos de 3. No mês de agosto essas entregas coincidiram (A) 3 vezes. (B) 4 vezes. (C) 5 vezes. (D) 6 vezes. Resposta: C 5) (FCC-Assistente Adm. Jr.-2012-Metrô) Sabe-se que, atualmente, os tempos de serviço de Acácio e Bia na empresa onde trabalham somam 42 anos. Se a diferença entre o tempo de serviço de Bia e o de Acácio é de 6 anos, há quantos anos o tempo de serviço de Acácio era a terça parte do de Bia? (A) 9. (B) 10. (C) 15. (D) 18. (E) 20. Resposta: C 6) (FCC-Assistente Adm. Jr.-2012-Metrô) A soma de todos os números inteiros que satisfazem a sentença é igual a (A) 20. (B) 19. (C) 18. (D) 17. (E) 16. Resposta: A 7) (2013 - Cesgranrio - Técnico de Contabilidade Júnior – PETROBRAS) Ao comprar seis balas e um bombom, Júlio gastou R$ 1,70. Se o bombom custa R$ 0,80, qual é o preço de cada bala? (A) R$ 0,05 (B) R$ 0,15 (C) R$ 0,18 (D) R$ 0,30 (E) R$ 0,50 Resposta: B 8) (2013 - Cesgranrio - Técnico Administrativo – BNDES) Mauro precisava resolver alguns exercícios de Matemática. Ele resolveu dos exercícios no primeiro dia. No segundo dia, resolveu dos exercícios restantes e, no 10 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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terceiro dia, os 12 últimos exercícios. Ao todo, quantos exercícios Mauro resolveu? (A) 30 (B) 40 (C) 45 (D) 75 (E) 90 Resposta: C 9) (2012-ESAF -Técnico Administrativo Administrativa – DNIT) O valor numérico da expressão a) 3 b) c) 5 d) e) 4 Resposta: E
é igual a:
10) (ESAF - 2013 - EPPGG – MF) Se a operação π y é definida como o triplo do cubo de y, então o valor da expressão representada pelo produto entre π 21/3 e π 20,5 é igual a: a) 18 b) 36 c) d) 0 e) 1 Resposta: B 11) (ESAF – 2009 – EPPGG - MPOG) Se uma companhia telefônica cobrasse uma taxa de assinatura básica de R$100,00 mensais mais R$ 0,50 por cada pulso excedente à franquia, que é de 20 pulsos, quanto um assinante pagaria se telefonasse o equivalente a 50 pulsos no mês? a) R$ 50,00 b) R$ 100,00 c) R$ 80,00 d) R$ 115,00 e) R$ 125,00 Resposta: D 12) (2009-ESAF-Assistente Técnico Administrativo(ATA) – MF) Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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curso com outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações? a) 40% b) 33% c) 57% d) 50% e) 25% Resposta: C 13) Um fiscal deveria visitar várias empresas constantes em sua lista. Pela manhã, ele fez 1/4 das visitas programadas, à tarde, conseguiu fazer 1/2 das restantes. Sabendo-se que no fim do dia ainda sobrou 9 empresas a serem visitadas, a quantidade inicial de empresas que havia na sua lista era: a) 8. b) 12. c) 15. d) 24. e) 30. Resposta: D 14) Na aula de Matemática havia um certo número de alunos e alunas. Após iniciada a aula, um aluno se retirou, e o número de alunas presentes ficou sendo o dobro do número de alunos. Posteriormente, o aluno que havia saído retornou. Em seguida, saíram seis alunas, e o número de alunos e de alunas presentes ficou igual. O número total(de alunos e alunas) presentes quando a aula foi iniciada era a) 14. b) 16. c) 18. d) 20. e) 22. Resposta: E 15) Numa prova de vinte questões, valendo cinco pontos cada uma, três questões erradas anulam uma certa. Podemos concluir que a nota de um aluno que errou nove questões em toda essa prova é: a) quarenta pontos. b) quarenta e cinco pontos. c) cinqüenta pontos. d) cinqüenta e cinco pontos. e) sessenta pontos. Resposta: A 11 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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16) A raiz quadrada do produto entre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números n e 15 é 30. A razão entre o MDC e o MMC é 1/4. Então, a soma dos números vale: a)30 b)45 c)65 d)70 e)75 Resposta: E 17) Três satélites artificiais giram em torno da Terra, em órbita constante. O tempo de rotação do primeiro é de 42 minutos, o do segundo 72 minutos e o do terceiro 126 minutos. Em dado momento eles se alinham no mesmo meridiano, embora em latitudes diferentes. Eles voltarão a passar, em seguida, simultaneamente, pelo meridiano depois de: a) 16 h e 24 min b) 7 h e 48 min c) 140 min d) 126 min e) 8 h e 24 min Resposta: E 18) (Tacil/Vunesp) A multiplicação de 2a x 5b tem como produto o número 400, sendo que a e b são números naturais. A soma de a + b é igual a? a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 Resposta: B 19) Se a × b = 1.792 e MDC (a, b) = 8, então o valor do MMC (a, b) é? a) 180 b) 192 c) 210 d) 224 e) 230 Resposta: D 20) (FATEC/90) Um certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B; o planeta gira em torno do Sol e os satélites em torno do planeta, de forma que os alinhamentos: Sol - planeta - Lua A ocorre a cada 18 anos e Sol - planeta - Lua B ocorre a cada 48 anos. Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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Se hoje ocorrer o alinhamento Sol - planeta - Lua A - Lua B, então esse fenômeno se repetirá daqui a: a) 48 anos b) 66anos c) 96 anos d) 144 anos e) 860 anos Resposta: D
2 - RAZÃO E PROPORÇÃO. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA. 2.1- DIVISÕES PROPORCIONAIS 2.1.1- GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas serão ditas diretamente proporcionais quando a razão entre os valores que cada uma delas assume é sempre constante. Exemplo Sejam as grandezas X e Y, tais que cada uma delas assume os seguintes valores: X: 1, 2, 3. Y: 4, 8, 12. Portanto as grandezas X e Y são diretamente proporcionais, pois a razão entre os valores que elas assumem é sempre igual a
.
Exemplo Dividir o número 150 em duas partes diretamente proporcionais a 3 e 7. a) 25 e 125 b) 30 e 120 c) 35 e 115 d) 40 e 110 e) 45 e 105 Solução x + y = 150
x y k 3 7 x = 3k y = 7k Somando-se as duas equações temos: 3k + 7k = 150 12 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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10k = 150 k = 15 Logo:
x = 3 15 = 45 y = 7 15 = 105 Resposta: E 2.1.2- GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas serão ditas inversamente proporcionais quando o produto entre os valores que cada uma delas assume é sempre constante. Exemplo Sejam as grandezas X e Y, tais que cada uma delas assume os seguintes valores: X: 1, 2, 3. Y: 30, 15, 10. Portanto as grandezas X e Y são inversamente proporcionais, pois o produto entre os valores que elas assumem é sempre igual a 30. Exemplo Dividir o número 380 em três partes inversamente proporcionais a 2 , 5 e 4 . a) 80, 125 e 175 b) 100, 80 e 200 c) 200, 80 e 100 d) 80, 130 e 170 e) 130, 150 e 170 Solução x + y + z = 380
2x 5 y 4z k k k k 380 2 5 4
19k 380 20 20 k 380. 19 k = 400
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x
400 200 2
z
y
400 80 5
400 100 4
Resposta: C Exemplo (Vunesp) O setor de limpeza de uma empresa prepara um produto utilizando detergente e água, nessa ordem, em quantidades diretamente proporcionais a 2 e 7. Se, no preparo desse produto, são usados 72 litros de detergente, então a diferença positiva entre as quantidades de água e de detergente, em litros, é igual a: a) 154 b) 160 c) 168 d) 175 e) 180 Solução Seja x a quantidade de água em litros. Temos que x litros de água é diretamente proporcional a 7, e 72 litros de detergente é diretamente proporcional a 2. Sendo assim, temos:
x = 252 litros de água. Portanto a diferença positiva entre as quantidades de água e de detergente, em litros, é igual a 252 – 72 = 180 litros. Resposta: E
2.2- RAZÃO E PROPORÇÃO 2.2.1- RAZÕES Chamamos de razão entre dois números a e b (b 0) ao quociente de a por b e representamos por
a , e dizemos que a está para b . b
2.2.2- RAZÃO E PROPORÇÃO Sejam quatro números a, b, c, e d números inteiros e não nulos. Dizemos que a, b, c, e d formam uma proporção se a razão entre a e b 13 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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é igual à razão entre c e d e indicaremos a proporção por:
a c b d
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Exemplo Calcular a e b na proporção do que a+b = 4. Solução
e dizemos que a está para b; assim como c está para d.
a b 4 12
Se Obs.: Chamamos também a e d de extremos da proporção e b e c de meios da proporção. Além disso, dizemos que a e c são antecedentes da proporção; b e d são conseqüentes da proporção. Exemplo
1 4 , e 3 12
dizemos que 1 está para 3 assim como 4 está para 12.
é
uma
proporção,
então,
a b ab 4 1 4 12 4 12 16 4 Logo:
Na proporção 1, 3, 4, e 12 temos:
a b , saben4 12
a 1 4 4
onde a = 1 e
b 1 12 4
onde b
=3.
III - Se
a c m ... então b d n
a c m a c ...m ... b d n b d ...n
Antecedentes: 1 e 4 Conseqüentes: 3 e 12 Meios: 3 e 4 Extremos: 1 e 12
2.2.3- PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA PROPORÇÃO I - Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Exemplo
a c a) então a X d = b X c b d b)
1 4 então 4 X 3 = 1 X 12 3 12
II - Quando somamos (ou subtraímos) os antecedentes e os conseqüentes a proporção não se altera. Isto é: Se
a c é uma proporção, então: b d
Exemplo Calcular x,y e z sabendo que 8xy = 5xz = 2yz e x + y + z = 150 a) 20, 50, 80 b) 10, 60, 80 c) 30, 40, 80 d) 30, 60, 60 e) 50, 50, 50 Solução
8 xy 5 xz 2 yz Dividindo-se tudo por xyz temos:
8 5 2 852 15 1 z y x x y z 150 10
Logo
8 1 z 80 z 10
5 1 y 50 y 10 e
2 1 x 20 x 10
Resposta: A
a c ac a c b d bd bd
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2.3 - REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 2.3.1 - REGRA DE TRÊS SIMPLES Os problemas que envolvem grandezas diretamente ou inversamente proporcionais são chamados de problemas de regra de três simples. Iniciaremos esta seção com um exemplo simples: Exemplo 12 operários fizeram 30 metros de um muro. Quantos operários, nas mesmas condições, farão 45 metros do mesmo muro? Solução Para obter a solução do problema devemos primeiramente descobrir quais são as variáveis envolvidas no contexto. É fácil observar que as variáveis são operários e metros do muro. Temos então que: quanto mais (menos) metros de muro tiverem que ser construídos, mais (menos) operários serão necessários. Isto é quanto mais cresce (ou diminui) a variável metros do muro mais cresce (ou diminui) a variável operários. Portanto quanto maior for o muro mais operários serão necessários. Sendo assim vemos que as duas variáveis tem o mesmo sentido. Neste caso, já que possuem o mesmo sentido, fixamos um sentido para a variável que possui a incógnita (veja a figura), e como possuem o mesmo sentido repetimos o sinal da figura. Operários 12 x
Metros de Muro 30 45
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Temos que as variáveis são Operários e dias. Quanto mais operários trabalham menos dias serão necessários para terminá-lo. Temos então que o sentido das variáveis é oposto. Logo escolha um sentido para cada variável. Operários Dias 12 40 15 x Como o sentido das variáveis é oposto invertemos uma das razões
40 15 x 12 logo: 15x = 40 x 12
x = 32 dias
2.3.2 - REGRA DE TRÊS COMPOSTA Os problemas de regra de três que possuem mais de duas variáveis serão chamados de problemas de regra de três simples. Iniciaremos então resolvendo um exercício. Exemplo Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários trabalhando 6 horas por dia, o restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10 horas por dia, em quantos dias? Solução Evidente que teremos:
Como as variáveis possuem o mesmo sentido mantemos a razão:
12 30 x 45 Agora é só resolver 30x = 12x45 x = 18 operários Exemplo 12 operários fazem um serviço em 40 dias. Em quantos dias 15 operários farão o mesmo serviço? Solução Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
Observe que: • Quanto maior for a obra mais dias serão necessários. • Quanto mais operários estão trabalhando menos dias serão necessários. • Quanto mais horas por dia trabalharem menos dias serão necessários.
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40x = 1600
x=
1600 40
x = 40 Resposta: A
Exemplo Para proceder auditoria, 6 técnicos previram sua conclusão em 30 dias. Tendo sido observado a ausência de um dos componentes da equipe, o trabalho agora poderá ser executado em: a) 36 dias b) 40 dias c) 35 dias d) 45 dias e) 25 dias Solução Técnicos 6 5
Operários 24 20
Serviço 2/5 3/5
Horas/dias 7
6
10 10 x 21 10x = 210 Resposta: D
x=
Dias 10 x
10 20 2 6 x 24 3 7
Dias 30 x
30 5 x 6 5x = 180
Exemplo 24 operários fazem 2/5 de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído em uma hora por dia? a) 8 b) 11 c) 12 d) 21 e) 18 Solução
180 5
x = 36
Resposta: A Exemplo Um automóvel consome 8 litros de gasolina quando funciona durante 40 minutos seguidos. Se funcionasse durante 3 horas e 20 minutos, quantos litros de gasolina consumiria? a) 40 b) 60 c) 38 d) 55 e) 72 Solução Litros de gasolina Minutos 8 40 x 200
8 40 x 200 Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
x = 21
Exemplo Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários trabalhando 6 horas por dia, o restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10 horas por dia em: a) 7 dias b) 6 dias c) 2 dias d) 4 dias e) 3 dias Solução Obra
Dias
2/3 1/3
5 x
Operários
8 6
Horas/dia
6 10
5 2 / 3 6 10 1 5 5 x x 2x x x 1/ 3 8 6 4 1 2 5x = 10 Resposta: C
x = 2 dias
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Exemplo Trabalhando 8 horas por dia, os 2 500 operários de uma indústria automobilística produzem 500 veículos em 30 dias. Quantos dias serão necessários para que 1200 operários produzam 450 veículos, trabalhando 10 horas por dia? a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 65 Solução Horas/dia Operários Veículos Dias 8 2500 500 30 10 1200 450 x
30 500 1200 10 x x x 450 2500 8
30 2 x 3 2x = 90 Resposta: A
x = 45 dias
Exercícios propostos: 1) (FUNDAÇÃO CASA – VUNESP – 2011) A soma das idades de dona Margarida e de sua filha Rose é de 88 anos. A razão entre suas idades é de 3/5. Dona Margarida deu à luz sua filha Rose quando tinha (A) 20 anos. (B) 22 anos. (C) 24 anos. (D) 26 anos. (E) 28 anos. Resposta: B 2) (FUNDAÇÃO CASA – VUNESP – 2011) No dia 04 de outubro, uma piscina estava vazia devido a um conserto. No dia seguinte, colocaram na piscina 9 000litros de água pela manhã e mais 15 000 litros de água à tarde. Toda essa água não foi suficiente para encher a piscina, pois faltava ainda da capacidade total da piscina. A quantidade de água que cabe nessa piscina é de (A) 36 000 litros. (B) 38 000 litros. (C) 40 000 litros. (D) 42 000 litros. Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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(E) 44 000 litros. Resposta: A 3) (POLÍCIA MILITAR – VUNESP – 2012) Em um restaurante, a razão entre o número de facas e o número de garfos, nessa ordem, é 2/3 . Sabendo-se que no total, entre garfos e facas, há 240 talheres, pode-se concluir que a diferença entre o número de garfos e o número de facas é (A) 52. (B) 48. (C) 44. (D) 40. (E) 36 Resposta: B 4) (POLÍCIA MILITAR – VUNESP – 2012) Para servir suco a algumas crianças, foram compradas duas garrafas de suco de uva com 1,5 litros cada uma. Como o suco era concentrado, foi feita uma diluição em água na seguinte proporção: 5 partes de suco para 3 partes de água. Depois de diluído, todo o suco foi servido em copos de 200 mL cada um. O número máximo de copos que puderam ser servidos foi (A) 16. (B) 18. (C) 20. (D) 22. (E) 24. Resposta: E 5) (TRF-4-ANALISTA-FCC-2010) Um prêmio em dinheiro é repartido entre 3 pessoas em partes inversamente proporcionais às suas idades, ou seja, 24, 36 e 48 anos. Se a pessoa mais nova recebeu R$ 9.000,00 a mais que a mais velha, então a pessoa que tem 36 anos recebeu (A) R$ 9.000,00. (B) R$ 12.000,00. (C) R$ 15.000,00. (D) R$ 18.000,00. (E) R$ 21.000,00. Resposta: B 6) (TRF-4-ANALISTA-FCC-2010) Oito trabalhadores, trabalhando com desempenhos constantes e iguais, são contratados para realizar uma tarefa no prazo estabelecido de 10 dias. Decorridos 6 dias, como apenas 40% da tarefa havia sido concluída, decidiu-se contra17 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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tar mais trabalhadores a partir do 7o dia, com as mesmas características dos anteriores, para concluir a tarefa no prazo inicialmente estabelecido. A quantidade de trabalhadores contratados a mais, a partir do 7o dia, foi de (A) 6. (B) 8. (C) 10. (D) 12. (E) 18. Resposta: C 7) (TRF-4-TÉCNICO -FCC-2010) A expressão N ÷ 0,0125 é equivalente ao produto de N por (A) 1,25. (B) 12,5. (C) . (D) 80. (E) . Resposta: D 8) (TRF-4-TÉCNICO -FCC-2010) Considere as seguintes equivalências de preços, em reais: o de 2 cadernos equivale ao de 30 lápis; o de 3 canetas equivale ao de 5 cadernos. Se 5 canetas custam R$ 40,00, quantos lápis poderiam ser comprados com R$ 32,00? (A) 102. (B) 100. (C) 98. (D) 96. (E) 94. Resposta: B 9) (TRF-4-TÉCNICO -FCC-2010) Sejam x , y e z três números inteiros e positivos, tais que x < y < z. Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a (A) 1, 3 e 6. (B) 1, 4 e 6. (C) 1, 5 e 6. (D) 1, 6 e 7. (E) 1, 7 e 8. Resposta: C 10) Uma dívida será paga em 20 parcelas mensais fixas e iguais, sendo que, o valor de cada parcela representa 1/4 do salário líquido mensal do devedor. Hoje, o salário líquido mensal do devedor representa, do valor total da dívida, Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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a) 1/10 b) 1/9 c) 1/8 d) 1/7 e) 1/5 Resposta: E 11) Face a uma emergência, uma pessoa emprestou R$ 1.200,00 de um amigo, R$ 1.080,00 de outro e R$ 920,00 de um terceiro amigo, prometendo pagar a todos em uma determinada data, sem juros. Na data combinada, essa pessoa dispunha de apenas R$ 2.800,00, e decidiu pagar a cada um deles quantias diretamente proporcionais aos valores emprestados. Dessa maneira, ao amigo que emprestou a maior quantia ela continuou devendo a) R$ 170,00 b) R$ 165,00 c) R$ 150,00 d) R$ 135,00 e) R$ 125,00 Resposta: C 12) Numa seção do TRE trabalham 32 funcionários dando atendimento ao público. A razão entre o número de homens e o número de mulheres, nessa ordem, é de 3 para 5. É correto afirmar que, nessa seção, o atendimento é dado por: a. 20 homens e 12 mulheres b. 18 homens e 14 mulheres c. 16 homens e 16 mulheres d. 12 homens e 20 mulheres e. 10 homens e 22 mulheres Resposta: D 13) Numa fábrica, 5 máquinas, de igual capacidade de produção, levam 5 dias para produzir 5 peças, se operarem 5 horas por dia. Quantas peças seriam produzidas por 10 máquinas iguais às primeiras, trabalhando 10 horas por dia, durante 10 dias? a. 10 b. 15 c. 20 d. 25 e. 40 Resposta: E 14) Se 34 m de um tecido custaram R$ 136.000,00, quanto custarão 48 m do mesmo tecido? 18 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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a. R$ 192.000,00 b. R$ 185.000,00 c. R$ 176.000,00 d. R$ 198.000,00 e. RS 174.000,00 Resposta: A
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b) 25% de 400 = 25% x 400 =
25 x 400 = 100
100
15) Se 12 operários fazem 72m de muro em um dia, quantos metros farão 20 operários em um dia? a.120 m b.115 m c. 118 m d. 124 m e. 139 m Resposta: A
3 – PORCENTAGEM; JUROS SIMPLES.
Exemplo Um capital foi aplicado por um certo período a uma taxa de 4% no período, tendo recebido no final do prazo R$ 600,00 de juro. Qual o valor do capital aplicado? Solução Sejam os dados: C = capital aplicado i = a taxa de juro J = o juro obtido no final do prazo. Então teremos: i = 4% no período aplicado J = R$ 600,00 A taxa de juro será o valor do juro aplicado expresso como porcentagem do capital.
i
PORCENTAGEM
600 C 4 600 100 C 600 x100 C 4 60000 C R$15.000, 00 4 4%
TAXA PERCENTUAL E TAXA UNITÁRIA Taxa Percentual é a fração cujo denominador 25 é igual a 100. Temos então que fração é 100 uma taxa percentual e será indicada por 25%, logo:
x%
x 100
Quando efetuamos a divisão do numerador por 100, temos como resultado a taxa unitária. Exemplo 25 a) = 25% (taxa percentual) 100 25 b) = 0,25 (taxa unitária) 100 PORCENTAGEM Calcular a porcentagem de um número significa multiplicar a fração percentual pelo número. Exemplo Calcular:
2 2 600 a) de 300 = x 300 = = 120 5 5 5 Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
J C
Resposta: R$ 15.000,00 COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS A fração
a b
representa a porcentagem que
o número a representa de um número b. Exemplo Que porcentagem o número 2 representa do número 5? Solução
2 0, 4 40% Basta efetuar a fração: 5 Resposta: 40% Exemplo Numa classe com 80 alunos, 28 foram aprovados em matemática. Qual a porcentagem de aprovados nessa matéria? Qual a porcentagem de reprovados? 19 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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Solução Total de alunos na classe: 80 alunos Quantidade de alunos aprovados: 28 alunos Logo, a porcentagem de alunos aprovados é:
28 0,35 35% 80
A porcentagem de alunos reprovados será: 100% - 35% = 65% Resposta: 35% e 65% LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA E LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO Suponha que um produto seja adquirido pelo valor PC, e seja vendido pelo valor PV. Isto é: PC = “preço de custo do produto” PV = “preço de venda do produto” L = “lucro obtido com a venda do produto” Então temos que o lucro obtido com a venda do produto é: L = PV – PC Sendo assim temos: a) Lucro sobre o preço de custo:
L PV PC . PC PC
b) Lucro sobre o preço de venda:
L PV PC . PV PV
Exemplo Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$ 500,00? Qual foi o lucro sobre o preço de custo? Solução PC = R$ 400,00 PV = R$ 500,00 Lucro sobre o preço de custo:
PV PC 500 400 100 25 25% PC 400 400 100
Resposta: 25% Exemplo Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$ 500,00? Qual foi o lucro sobre o preço de venda? Solução
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PV = R$ 500,00 Lucro sobre o preço de venda: PV PC 500 400 100 20 20% PV 500 500 100 Resposta: 20% Exemplo Um produto é comprado por R$ 150,00 e é vendido por R$ 300,00. Qual foi o lucro sobre o preço de custo? Qual foi o lucro sobre o preço de venda? Solução PC = R$ 150,00 PV = R$ 300,00 Lucro sobre o preço de custo:
PV PC 300 150 150 1 100% PC 150 150
Lucro
sobre
o
preço
de
venda:
PV PC 300 150 150 50 50% PV 300 300 100
Resposta: 100% e 50% Exemplo Um produto é vendido com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual foi o lucro sobre o preço de custo? Solução Lucro sobre o preço de venda = 20%
PV PC 20% PV
PV – PC = 0,2 PV PV – 0,2 PV = PC 0,8 PV = PC PC = 0,8 PV Lucro sobre o preço de custo:
PV PC PV PC 1 PV PC 20% 0,2 0,25 25% PC 0,8PV 0,8 PV 0,8 0,8 Resposta: 25%
TAXA DE VARIAÇÃO PERCENTUAL Chamamos de taxa de variação percentual a medida percentual de quanto a variável aumentou ou diminuiu. Sendo assim, temos: Vant= Valor antigo da variável. Vnovo = Valor novo da variável. Δ = Taxa de variação percentual
PC = R$ 400,00 Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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V V novo ant Vant
O fator ou coeficiente de acumulação denotado por 1 + Δ, é o valor que multiplicado pelo valor antigo produz o valor novo.
ou
Notamos que para varias taxas de variação percentual consecutiva Δ1 , Δ2 , ... Δn aplicadas sucessivamente obtemos a fórmula:
Vnovo 1 Vant
Vnovo = Vant (1+ Δ1)(1+ Δ2) ... (1+ Δn)
Exemplo O preço de um produto aumentou de R$ 500,00 para R$ 525,00. Qual foi a taxa de variação percentual do preço? Solução Vant = R$ 500,00 Vnovo = R$ 525,00
V V novo ant Vant
525 500 25 5 5% 500 500 100
Resposta: 5% Exemplo Um comerciante comprou um produto por R$ 1.500,00, e o revendeu um mês depois por R$ 1.725,00. Qual foi a taxa de variação percentual no mês? Solução Vant = R$ 1.500,00 Vnovo = R$ 1.725,00
Vnovo Vant 1725 1500 225 15 15% Vant 1500 1500 100
FATOR(OU COEFICIENTE) ACUMULAÇÃO
DE
Vimos no item anterior que a variação percentual é dada por:
Vnovo V 1 novo 1 Vnovo Vant 1 Vant Vant
e
V Vant novo 1
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que será chamado de fator de acumulação total dos n períodos consecutivos. Temos portanto que:
Δ = (1+ Δ1)(1+ Δ2) ... (1+ Δn) – 1 Será chamada de taxa de variação total dos n períodos consecutivos. Observação: Se Δ1 = Δ2 =.... = Δn = Δ a fórmula será Vnovo = Vant [1+ Δ]n Exemplo Um comerciante aumentou o preço de um certo produto em 30%. Como a venda do produto caiu, o comerciante arrependido, pretende dar um desconto no novo preço de modo a fazê-lo voltar ao valor anterior ao aumento. Nesse caso, o comerciante deve anunciar um desconto de, aproximadamente: a)15%; b) 19%; c) 23%; d) 28%; e) 30%. Solução Temos duas variações: A primeira de 30% . A segunda no valor ∆2 . A variação total será zero, pois o preço voltará ao anterior. 1 1 1 2 1 0 1 30% 1 2 1 1, 3 2 1 1, 3 1 3 2 1 1, 3 2 0, 3 0, 3 2 0, 23 1, 3 2 23% Resposta: C 2
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Exemplo (VUNESP) A diferença entre o preço de venda anunciado de uma mercadoria e o preço de custo é igual a R$ 2.000,00. Se essa mercadoria for vendida com um desconto de 10% sobre o preço anunciado, dará ainda um lucro de 20% ao comerciante. Determine seu preço de custo. Solução PV – PC = 2000. Como a mercadoria foi vendida com um desconto de 10% e teve um lucro de 20%, temos:
JUROS SIMPLES Chamamos de regime de capitalização à maneira como o montante evolui através de vários períodos, aos quais a taxa se refere. Sendo assim, teremos dois conceitos: Regime de capitalização simples É o regime em que a taxa de juro incide somente sobre o capital inicial. Portanto, em todos os períodos de aplicações, os juros serão sempre iguais ao produto do capital pela taxa do período.
0,9 PV PC 20% PC 0,9 PV PC 0, 2 PC 9 PV 12 PC
Exemplo Seja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de juro igual a 10% a.m., durante 3 meses. Qual os juros totais e qual o montante dessa aplicação, se o regime é o de capitalização simples?
Temos o sistema:
PV PC 2000 9 PV 12 PC Multiplicando a 1ª equação por 9, temos: 9PV – 9PC = 18000 12PC – 9PC = 18000 3PC = 18000 PC = 6000 Resposta: R$ 6.000,00 Exemplo Em outubro de determinado ano, o Tribunal Regional do Trabalho concedeu a uma certa categoria profissional um aumento salarial de 80%, sobre o salário de abril, descontadas as antecipações. Se os trabalhadores receberam um aumento de 20% em setembro, qual o aumento percentual a ser recebido em outubro, considerando o salário recebido em setembro? a) 66,67% b) 60% c) 50% d) 40% e) 36,66% Solução 1 1 1 2 1 80% 1 20% 1 2 1 1, 2 1 2 1,8 1, 2 1, 2 2 1,8 1, 2 2 0, 6 2
0, 6 2 0,5 2 50% 1, 2
Resposta: C Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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Regime de Capitalização composta É o regime em que a taxa de juro incide sobre o montante obtido no período anterior, para gerar juro no período atual. Exemplo Seja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00 à taxa de juro igual a 10% a.m., durante 3 meses, no regime de capitalização composta.
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Exemplo Qual o valor dos juros obtidos por um empréstimo de R$ 2.000,00, pelo prazo de 3 meses, sabendo- se que a taxa de juros simples cobrada é de 5% ao mês? Solução C = R$ 2.000,00 i = 5% a.m. n = 3 meses
Exemplo Um capital de R$ 500.000,00 aplicado durante 5 meses, a juros simples, rende R$ 10.000,00. Determinar a taxa de juros cobrada. Solução C = R$ 500. 000,00 n = 5 meses J = R$ 10.000,00
CÁLCULO DE JUROS SIMPLES E MONTANTE Seja C um Capital (ou Principal) aplicado à taxa i por período, durante um prazo de n períodos consecutivos, sob o regime de capitalização simples.
J=C•i•n Para o Montante teremos: M=C+J M=C+C•i•n
M=C•[1+i•n] Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
Exemplo Calcular o montante da aplicação de R$ 100.000,00, pelo prazo de 6 meses, à taxa de juros simples de 5% a.m. Solução C = R$ 100.000,00 n = 6 meses i = 5% a.m. M = C • [1 + i • n] M = 100.000 • [1 + 5% • 6] M = 100.000 • [1 + 30%] M = R$ 130.000,00 TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas são ditas proporcionais se mantiverem entre si a mesma razão que os períodos de tempo a que se referem. 23 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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Exemplo Qual a taxa mensal proporcional à taxa de 36% a.a.? Solução
(B) R$ 125,10 (C) R$ 65,24 (D) R$ 62,55 (E) R$ 62,16
36% a.a. é proporcional a
Solução C = R$ 400,00 n = 3 meses i = 36% a.a. = 3% a.m. Juros Simples M = C (1 + in) M = 400 (1 + 3% 3) M = 400 1,09 M = R$ 436,00 Novo capital aplicado = R$ 436,00 i = 3% a.m. n = 2 meses Juros compostos: M = C (1 + i)n M = 436 (1 + 3%)2 M = 436 1,0609 M = R$ 462,55 Portanto, o valor dos juros foi de R$ 62,55. Resposta: D
TAXAS EQUIVALENTES JUROS SIMPLES Duas taxas são ditas equivalentes, a juros simples, se aplicadas a um mesmo capital e durante um mesmo intervalo de tempo, produzem os mesmos juros ou montantes. Obs.: Observe que no regime de capitalização simples, as taxas equivalentes produzem o mesmo conceito que as taxas proporcionais. Exemplo Qual a taxa semestral simples equivalente à taxade 10% a.m.? Solução 36% a.a. é equivalente a
Exemplo Calcular o juro simples de uma aplicação de R$ 1.000,00, à taxa de juro de 36% a.a., durante o prazo de 6 meses. Solução C = R$ 1.000,00 i = 36% a.a. n = 6 meses Obs.: Observe que o período a que se refere a taxa (ano) não é o mesmo período de aplicação (mês). Portanto, a taxa mensal equivalente a 36% a.a. será 3% a.m.
Exemplo (TRF – 2ª REGIÃO-FCC) Um capital de R$ 5.500,00 foi aplicado a juro simples e ao final de 1 ano e 8 meses foi retirado o montante de R$ 7.040,00. A taxa mensal dessa aplicação era de (A) 1,8% (B) 1,7% (C) 1,6% (D) 1,5% (E) 1,4% Solução C = R$ 5.500,00 n = 1 ano e 8 meses = 20 meses M = R$ 7.040,00 Juros simples J = R$ 1.540,00 J=C.i.n 1.540 5.500.i.20 154 1, 4 i 11.000 100
i 1, 4%a.m.
Resposta E Exemplo (TRF – 2ª REGIÃO-FCC) Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, à taxa de 36% ao ano. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos, à taxa de 3% ao mês, por um bimestre. O total de juros obtido nessas duas aplicações foi (A) R$ 149, 09 Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
Exercícios propostos 1) (BANCO DO BRASIL) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? a. 6% 24 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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b. 5% c. 4% d. 3% e. 2% Resposta: B 2) Da quantia total recebida pela venda de um terreno, João emprestou 20% para um amigo por um prazo de 8 meses, a uma taxa de juro simples de 18% ao ano, e aplicou o restante, também por 8 meses, a uma taxa de juro simples de 27% ao ano. No final, o total recebido de juros, considerando-se empréstimo e aplicação, foi igual a R$ 3.360,00. Pela venda do terreno, João recebeu um total de (A) R$ 32.000,00. (B) R$ 30.000,00. (C) R$ 28.000,00. (D) R$ 25.000,00. (E) R$ 20.000,00. Resposta: E 3) Um investidor aplicou a quantia total recebida pela venda de um terreno, em dois fundos de investimentos (A e B), por um período de um ano. Nesse período, as rentabilidades dos fundos de A e B foram, respectivamente, de 15% e de 20%, em regime de capitalização anual, sendo que o rendimento total recebido pelo investigador foi igual a R$ 4.050,00. Sabendo-se que o rendimento recebido no fundo A foi igual ao dobro do rendimento recebido no fundo B, pode-se concluir que o valor aplicado inicialmente no fundo A foi de (A) R$ 18.000,00. (B) R$ 17.750,00. (C) R$ 17.000,00. (D) R$ 16.740,00. (E) R$ 15.125,00. Resposta: A 4) Em um mesmo dia, 1/3 de certo capital foi aplicado por 8 meses a uma taxa de juro simples de 18% ao ano, e o restante foi aplicado também por 8 meses, mas a uma taxa de juros simples de 21% ao ano. No final, obtevese um total de R$ 6.800,00 de juros pelas duas aplicações. O valor total aplicado foi a) R$ 51.000,00 b) R$ 48.000,00 c) R$ 45.000,00 d) R$ 42.000,00 e) R$ 40.000,00 Resposta: B Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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5) Um usuário da internet recebeu em outubro uma conta telefônica de R$ 336,00, valor esse 140% superior ao da conta do mês anterior. A soma dos algarismos do valor da conta anterior é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resposta: E 6) Alberto consome parte de sua renda mensal e poupa o restante. Se em determinado mês sua renda for de R$ 9.000,00 e seu consumo for 150% do valor da poupança, então a diferença entre o consumo e a poupança será: a) R$ 1.500,00 b) R$ 1.600,00 c) R$ 1.700,00 d) R$ 1.800,00 e) R$ 1.900,00 Resposta: E 7) Em um escritório, a razão entre o de homens e o de mulheres é 3/5. A tagem de homens em relação ao total soas (homens mais mulheres) é: a)32,5% b) 35% 37,5% d) 40% e) 42,5% Resposta: C
número porcende pesc)
8) Clementino aplicou R$ 50 mil em fundos A e B pelo prazo de 1 ano. O fundo A rendeu no período 12%, ao passo que o fundo B rendeu 18%. Sabendo que ele ganhou R$7,8 mil de juros, podemos dizer que a diferença (em valor absoluto) entre valores aplicados em cada fundo foi de: a) R$7 mil b) R$9 mil c) R$10 mil d) R$11 mil e) R$8 mil Resposta B 9) (FCC-Aux.Jud.-Adm.-2007-TRF2ªR) Calculando os 38% de vinte e cinco milésimos obtém-se (A) 95 décimos de milésimos. (B) 19 milésimos. (C) 95 milésimos. 25 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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(D) 19 centésimos. (E) 95 centésimos. Resposta: A
4.1.2 - MEDIDA DE SUPERFÍCIE(ÁREA) A unidade padrão da medida de superfície é o metro quadrado e será representada por m2.
10) (FCC-Aux.Jud.-Adm.-2007-TRF2ªR) Um capital de R$ 5 500,00 foi aplicado a juro simples e ao final de 1 ano e 8 meses foi retirado o montante de R$ 7 040,00. A taxa mensal dessa aplicação era de (A) 1,8% (B) 1,7% (C) 1,6% (D) 1,5% (E) 1,4% Resposta: E
4 - SISTEMAS DE MEDIDAS USUAIS 4.1 - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL E NÃO DECIMAIS 5.1.1 - MEDIDA DE COMPRIMENTO A unidade padrão da medida de comprimento é o metro e será representada por m. Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro Km 1000m
hm 100m
dam 10m
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m 1m
dm 0,1m
cm 0,01m
mm 0,001m
Exemplos a) 5,38 m representa quantos decímetros? Solução 5,38 m = 53,8 dm (andamos com a vírgula uma posição para a direita). 43,8 mm representa quantos metros? Solução: 43,8 mm = 0,0438 m (andamos com a vírgula três posições para a esquerda). b)
Exemplo Complete: a) 2,5 hm = ...................................cm b) 234,5 mm = ................................ m c) 0,3457 km = ............................ dm d) 47,3 dam = ................................ m Solução a) 2,5 hm = 25.000 cm b) 234,5 mm = 0,2345 m c) 0,3457 km = 3457 dm d) 47,3 dam = 473 m
Quilômetro quadrado km2
Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
Exemplo a) 5,38 m2 representa quantos decímetros quadrados? Solução 5,38 m2 = 538 dm2 (andamos com a vírgula duas posições para a direita). 578 m2 representa quantos hm2? Solução 2 578 m = 0,0578 hm2(andamos com a vírgula quatro posições para a esquerda). b)
Exemplo Complete: a) 4200 m² =..................................dam² b) 437653 m² =..............................hm² c) 0,37 m² =....................................cm² d) 0,389 dm² =...............................mm² Solução a) 4200 m² = 42 dam² b) 437653 m² = 43,7653hm² c) 0,37 m² = 3700 cm² d) 0,389 dm² = 3890 mm2
4.1.3 - MEDIDA DE VOLUME A unidade padrão da medida de volume é o metro cúbico e será representada por m3. Quilômetro cúbico
Hectômetro cúbico
Decâmetro cúbico
Metro cúbico
Decímetro cúbico
Centímetro cúbico
Milímetro cúbico
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
Exemplo a) 5,38 m3 representa quantos decímetros cúbicos? Solução 3 3 5,38 m = 5380 dm (andamos com a vírgula três posições para a direita). b) 578 m3 representa quantos hm3? Solução 578 m3 = 0,000578 hm3(andamos com a vírgula seis posições para a esquerda). Exemplo
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Complete a) 3,21789 hm³ =..........................m³ b) 2,3456789 km³ =......................m³ c) 0,000345 m³ =..........................mm³ d) 0,0002 dam³ =..........................dm³ Solução a) 3,21789 hm³ = 33178980 m³ b) 2,3456789 km³ = 2345678900 m³ c) 0,000345 m³ = 345000 mm³ d) 0,0002 dam³ = 200 dm³
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c) 0,35 dm³ = 0,35 = 3,5 dl d) 0,347 cm³ = 0,347 ml e) 0,34 m³ = 340 L f) 3,457 m³ = 3457 L g) 3,3 L = 3,3 dm³ h) 4,37 L = 4,37 dm³ i) 2345 L = 2,345 m³ j) 1000 L = 1 m³ k) 2456789 L= 2,456789 = 2,456789 dam³
4.1.5 - MEDIDA DE MASSA 4.1.4- MEDIDA DE CAPACIDADE(VOLUME) A unidade padrão da medida de capacidade é o litro e será representada por L.
A unidade padrão da medida de capacidade é o grama e será representada por g. Quilôgrama Hectôgrama Decagrama Grama Decigrama Centigrama Miligrama
Quilôlitro Hectôlitro Decâlitro kl hl dal 1000L 100L 10L
litro L 1L
Decílitro dl 0,1L
Centílitro cl 0,01L
Milílitro ml 0,001L
kg 1000g
hg 100g
dag 10g
g 1g
dg 0,1g
cg 0,01g
mg 0,001g
Exemplo a) 6,42L representa quantos decílitros? Solução 6,42L = 64,2dl (andamos com a vírgula uma posição para a direita).
Exemplo a) 6,42g representa quantos decigrama? Solução 6,42g = 64,2dg (andamos com a vírgula uma posição para a direita).
23,4 ml representa quantos litros? Solução 23,4ml= 0,0234L (andamos com a vírgula três posições para a esquerda).
b) 23,4 mg representa quantos gramas? Solução 23,4mg= 0,0234g (andamos com a vírgula três posições para a esquerda).
b)
Observação: Podemos demonstrar as seguintes relações: 1 dm3 = 1 L 1 m3 = 1000 L 1 cm3 = 1 ml Exemplo Complete: a) 2 dm³ =. ...................................... L b) 35 dm³ = ..................................... L c) 0,35 dm³ = .................................. dl d) 0,347 cm³ = .............................. ml e) 0,34 m³ = .................................... L f) 3,457 m³ = ................................... L g) 3,3 L =....... .............................. dm³ h) 4,37 L = ................................... dm³ i) 2345 L = ..................................... m³ j) 1000 L = .................................... m³ k) 2456789 L= ........................... dam³ Solução a) 2 dm³ = 2 L b) 35 dm³ = 35L Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
4.1.6 - MEDIDAS AGRÁRIAS São medidas especiais para expressar áreas de terrenos e fazendas. A unidade padrão é o are e será representada pelo símbolo a. Teremos então o hectare(ha) como múltiplo e o centiare(ca) como submúltiplo. Sendo assim podemos apresentar as seguintes relações: 1 are = 100 m2 ( isto é, 1 a = 100 m2) 1 ha = 100 a ( isto é, 1 há = 10000m2) 1 ca = 0,01 a (isto é, 1 ca = 1m2)
5.1.7 - MEDIDA DE TEMPO 1 dia = 24 horas 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos O ano comercial possui 360 dias O ano civil possui 365(ou 366 dias) O mês comercial possui 30 dias. O mês civil possui o número exato de dias (28, ou 29, ou 30, ou 31). 27 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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Exemplo Um litro de formol foi acondicionado em um recipiente cilíndrico de 20 cm de altura e 10 cm de diâmetro. Assumindo = 3 e volume do cilindro = .r².h, a fração do recipiente que ficou sem formol é: a)1/2 b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e)1/6 Solução 1 litro de formol
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e) R$ 95,00 Solução 1L de leite → R$ 1,20 - 1L de groselha → R$ 2,40
75% de leite 25% de groselha 60 litros da mistura custo?
75 60 45 100 25 60 15 100
d = 10cm = 1dm r = 0,5 dm h = 20cm = 2dm =3 1L = 1dm3
v = . r2 . h v = . 0,52 . 2 v = 3. 0,25 . 2 v = 1,5 dm3 = 1,5 L Logo a parte vazia ocupa a capacidade de 0,5 L (um terço da capacidade total). Resposta: B
Exemplo (FESP-RJ) Uma carrocinha de refresco comporta 35 litros. Estando a carrocinha totalmente cheia, a quantidade de copinhos de 350 ml de capacidade (cada um) que pode ser vendida é de: a) 10.000 b) 1.000 c) 500 d) 150 e) 100 Solução Carrocinha → 35L e 35000ml Copinhos → 350ml
R$ 1,20 . 45 = R$ 54,00 R$ 2,40 . 15 = R$ 36,00 Logo o custo total será R$ 90,00. Resposta: D Exemplo Um retângulo com 18 m² de área tem comprimento igual ao dobro da largura. O perímetro desse retângulo é: a) 36m b) 21m c) 18m d) 16m e) 9m Solução A = 18m2 A=L.C A = L . 2L A = 2L2 C = 2L 2L2 = 18 L2
35000 100 350
L2 = 9 L=3 P=3+6+3+6 P = 18
Resposta: E Exemplo (Oficial de Promotoria-2001-Vunesp) Um litro de leite custa R$ 1,20 e um litro de groselha, R$ 2,40. Precisa-se preparar uma mistura com 75% de leite e 25% de groselha. Se for preparada uma quantidade de 60 litros dessa mistura, o seu custo será: a) R$ 75,00 b) R$ 80,00 c) R$ 85,00 d) R$ 90,00 Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
=
18 2
Resposta: C
Exercícios propostos 1) (FCC-Prof.Educ.Bás.-AIEF-2012-SEEMG) Misturando 9 litros de água com 3 litros de suco concentrado, a porcentagem de água na mistura é de (A) 75%. (B) 60%. 28 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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(C) 50%. (D) 45%. Resposta: A
5 – MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA
2) (FCC-Ag.Saneam.Amb.I-2012-SABESP) Um senhoracomprou 20 m de tecido para confeccionar uma cortina, pagando R$ 10,50 o metro. Se este tecido foi medido com uma régua que era 2 cm menor que o metro verdadeiro, então essa senhora sofreu um prejuízo no valor de (A) R$ 4,20. (B) R$ 4,80. (C) R$ 5,25. (D) R$ 6,30. (E) R$ 6,75. Resposta: A
Sejam x1, x2, x3, ..., xn dados estatísticos. Chamamos de média aritmética a:
3) (FCC-Assist.Adm.-2012-SEPLAG-PM-MG) Um automóvel está no quilômetro 127 de uma rodovia e percorre 1,5 km por minuto com velocidade constante. Após 8 minutos, esse automóvel estará no quilômetro (A) 135. (B) 137. (C) 139. (D) 141. Resposta: C
Exemplos: Calcule a média aritmética dos dados: a) 1, 9, 7, 3, 5, 11
4) (FCC-Aux.Jud.-Adm.-2007-TRF2ªR) Godofredo mora a 11 000 metros de seu local de trabalho. Se ele fizer esse percurso a pé, caminhando à velocidade média de 8 km/h, quanto tempo ele levará para ir de casa ao local de trabalho? (A) 1 hora, 15 minutos e 20 segundos. (B) 1 hora, 22 minutos e 30 segundos. (C) 1 hora, 25 minutos e 20 segundos. (D) 1 hora, 32 minutos e 30 segundos. (E) 1 hora, 35 minutos e 20 segundos. Resposta: B 5) (FCC-Ag.Saneam.Amb.I-2012-SABESP) Um investidor comprou um terreno retangular cujos lados medem 250 m e 60 m. Para ser vendido, esse terreno será dividido em 12 lotes iguais. Sendo assim, a área de cada lote, em metros quadrados, será igual a (A) 1 000 (B) 1 250 (C) 1 500 (D) 2 250 (E) 2 500 Resposta: B Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
Média Aritmética Simples( x )
x
x1 x2 x3 ... xn n
ou n
x
x i 1
i
n
1+9+7+3+5+11 6 36 x 6 6 x
b) 14, 10, 4, 2, 8, 12, 6
14+10+4+2+8+12+6 7 56 x 8 7 x
Média aritmética ponderada ( ) Sejam x1, x2, x3, ..., xn dados estatísticos. Chamamos de média aritmética a:
Exemplo Considere os valores e os respectivos pesos de uma determinada variável Xi Pi 1 3 4 2 6 4 9 1 Calcule a média aritmética ponderada. 29 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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Solução A média aritmética ponderada será
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(oito), no 4.º. Nesse caso, pode-se afirmar que sua média final em Matemática é igual a (A) 7. (B) 6. (C) 5. (D) 4. (E) 3. Solução A média ponderada será:
6 1 6 1 7 2 8 2 6 6 14 16 42 7. 11 2 2 6 6
Exemplo (Guarda Civil Municipal – Vunesp Diadema/SP-2011) Uma rede de farmácias foi avaliada segundo quatro critérios, conforme indicado na tabela.
Como a nota final foi obtida por média ponderada, a nota obtida no critério “Instalações” foi (A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (E) 6. Solução Seja x a nota obtida no critério “Instalações”. A média ponderada será
Resposta: A Exemplo Em um colégio de Ibiúna a média final em qualquer disciplina, é obtida através da média ponderada das notas dos quatro bimestres do ano letivo. Os pesos são respectivamente, 1(um), 1(um), 2(dois) e 2(dois). Lucas, em Matemática, por exemplo, tem 6 (seis) no 1.º bimestre, 6 (seis), no 2.º, 7 (sete), no 3.º e 8 Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
Resposta: A Exercícios propostos: 1) Calcule a Média Aritmética dos números: 5, 9, 7, 1, 3. a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8 2) Calcule a Média Aritmética dos números: 8, 2, 4, 6, 0. a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 3) Calcule a Média Aritmética dos números: 17, 15, 1, 3, 7, 6, 8, 11, 13. a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 4) (Auditor do Tesouro Municipal - Recife – 2003) Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 30 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.
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Se a > 0 então a função é crescente. Se a < 0 então a função é decrescente. a>0 y
5) (EN-70) A média aritmética de 50 números é 38. Se dois dos números, 45 e 55, são suprimidos, a média aritmética passa a ser: a) 35,5 b) 37 c) 37,2 d) 37,5 e) 37,52 6) Se a média aritmética dos números 6, 8, X e Y é igual a 12, então a média aritmética dos números (X + 8) e (Y - 4) será: a) 9,5 b) 13 c) 19 d) 20 e) 38 7) (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) A estatura média dos sócios de um clube é 165cm, sendo a dos homens 172cm e a das mulheres 162cm. A porcentagem de mulheres no clube é de: a) 62% b) 65% c) 68% d) 70% e) 72% GABARITO: 1) A 2) A 4) A 5) D 7) D
crescente
• 0 • b
a<0
decrescente y
•b • 0
Exemplo a=3
b = 12
Raiz:
3) A 6) C
12 •
6 - EQUAÇÃO DE 1º E 2º GRAUS; SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU; RELAÇÃO ENTRE GRANDEZAS: TABELAS E GRÁFICOS FUNÇÕES E EQUAÇÕES DO 1º GRAU Chamamos a função f(x) = ax + b, onde a, b são números reais e a ≠ 0. A raiz da função f(x) = ax + b será a solução da equação do primeiro grau.
• -4
0
Exemplo a = -5
b = 15
Raiz: Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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Vamos encontrar a solução do seguinte sistema de equação do 1º grau.
Vamos expressar a variável x em função da variável y, na primeira equação. (*) Substituindo a expressão da variável x na segunda equação teremos
•15 • 0
Sistema de 1º grau
Encontramos o valor da incógnita y (y = 2)
Um sistema de equações de 1º grau com n variáveis, é um conjunto de equações do tipo onde i ϵ N* e são números reais. Vamos concentrar nossa atenção somente com duas variáveis.
Substituindo y = 2 na equação (*) temos
Exemplos:
Exemplo Encontrar a solução do sistema de equação do 1º grau.
a. b. Queremos, no caso de duas variáveis, achar os valores de x e y que satisfazem a todas as equações, simultaneamente.
Logo, a solução do sistema é:
e
(*) Substituindo (*) na segunda equação temos:
Métodos de resolução 1) Método de substituição Expressamos uma das variáveis em função da outra, então substituímos esta função na outra equação.Teremos então uma equação com apenas uma incógnita. Resolvendo esta equação chegamos a solução parcial do sistema, bastando apenas substituir o valor encontrado na expressão inicial para encontrar a solução final.
Substituindo o valor de y (y = 2) na equação (*) temos:
Logo, a solução do sistema é:
e
2) Método da comparação
Exemplo Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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Expressamos a mesma incógnita em todas as equações e igualamos as expressões. Encontramos assim uma das incógnitas. Para encontrar a solução da outra incógnita basta substituir o valor encontrado em uma das expressões anteriores. Exemplo Vamos encontrar a solução do seguinte sistema de equações do 1º grau.
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Após obter esta solução procedemos como no caso anterior. Alguns exemplos para facilitar a compreensão. Exemplo
Multiplicando a primeira equação por 2 teremos:
Somando as equações: +
Substituindo y = 2 em (*) temos
Logo a solução é:
e
Substituindo
na primeira equação:
A solução é:
e
Exemplo Vamos encontrar a solução de seguinte sistema de equações do 1º grau.
Exemplo Igualando (*) e (**) temos: Somando as duas equações: +
Substituindo
em (*) teremos:
A solução é
e
Substituindo
na primeira equação:
A solução é:
e
3) Método de redução ao mesmo coeficiente Comparamos as duas equações de modo que possuam o mesmo coeficiente para a mesma incógnita. Eliminamos então esta incógnita obtendo assim a outra. Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
Exemplo
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c) Sistema impossível Calculando o MMC (6, 4) = 12, vemos que basta multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda equação por 3. Obtemos então:
Neste caso o sistema não possui solução. As equações representam retas paralelas. y r s
r//s
Subtraindo as equações temos: x -
Substituindo na primeira equação. Obtemos: Exercícios Propostos Resolva os sistemas: a)
Resposta:
e
b)
Resposta:
e
c)
Resposta:
e
d)
Resposta:
e)
Resposta:
Tipos de Sistemas a) Sistema possível e determinado É o sistema que possui apenas uma solução possível. Podemos representá-lo por duas retas concorrentes. y (x,y) é a solução
e
r s y x
e
x f)
b) Sistema possível e indeterminado O sistema é possível e indeterminado quando uma equação for resultado da multiplicação da outra por uma constante. Neste caso cada equação representa a mesma reta. Há infinitas soluções.
Resposta:
;
Resposta:
e
Resposta:
;
;
e
g) ou
e
h) y
;
e
r=s i)
Resposta:
e
x
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j)
Resposta: Impossível
FUNÇÃO E EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU Chamamos de Trinômio do Segundo Grau a função y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes e . Os valores de x que tornam a função igual a zero são chamados de raízes do trinômio, e denotaremos por x1 e x2. Exemplo y = x2 – 5x + 6. Temos que os valores de a, b e c são a = 1, b = -5, c = 6. Observe que se x = 2 ou x = 3, então y = 0. Logo as raízes do trinômio são: x1 = 2 e x2 = 3
As raízes do trinômio do 2º grau são:
b 2a
e
x2
Exemplo Calcule as raízes dos trinômios abaixo: a) y = x2 – 5x + 6 Solução x2 – 5x + 6 = 0 a = 1 b = -5 c = 0
= b2 – 4ac = (-5)2 – 4 . 1 . 6 = 25 – 24 = 1 > 0 possui duas raízes reais e dis-
tintas
x
b 2a
x
5 1 2 5 1 4 2 2 2 5 1 6 3 2 2
5 1 2.1
x
Fórmula de Bhaskara Chamaremos de discriminantes ao valor =b2 – 4ac.
x1
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b 2a
x1 = 2 e x 2 = 3 As fórmulas acima são conhecidas como fórmulas de Bhaskara.
- se > 0, o trinômio possui duas raízes reais e distintas que podem ser calculadas com
as
fórmulas:
x2
b 2a .
x1
b 2a
e
x
- se ais.
x1 x2
= b2 – 4ac = (-8)2 – 4 . 1 . 7 = 64 – 28 = 36 > 0 possui duas raízes reais e dis-
tintas
- se = 0, o trinômio possui duas raízes reais e iguais que são calculadas com a fór-
mula:
b) y = x2 – 8x + 7 a = 1 b = -8 c = 7
b 2a .
< 0, o trinômio não possui raízes re-
b 2a
x 8
86 2 8 6 2 2 2 1 8 6 14 7 2 2
2.1
36
x
x1 = 1 e x 2 = 7 Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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c) y = x2 – 4x + 4 a = 1 b = -4 c = 4
f) y = 9x2 - 24x + 16 9x2 - 24x + 16 = 0
= b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 1 . 4
a=9
= 16 – 16 = 0 possui duas raízes reais e distintas Logo:
x1 = x2 =
b 2a
= x1 = x2
4 4 2 2.1
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c = 16
= b2 – 4ac
= (-24) – 4 . 9 . 16 = 576 - 576 = 0 possui duas raízes reais 2
x1 = x2 =
2
b = -24
b 2a
d) y = x2 + 2x + 2 a=1 b=2 c=2
( 24) 2.9 24 4 x1 = x2 = 18 3 4 x1 = x2 = 3
= -4 não possui raízes reais
Exemplo Um retângulo tem perímetro igual a 18 cm e área igual a 20 cm2. Calcule as dimensões desse retângulo. x
x1 = x 2 = 2
x1 = x2 =
= b2 – 4ac = 22 – 4 . 1 . 2 =4–8
e) y = 6x2 + 5x - 1 a = 6 b = 5 c = -1
y
= b2 – 4ac = 52 – 4 . 6 . (-1) = 25 + 24 = 49 possui duas raízes reais x
b 2a
x 5 x
57 12
49
2.6
5 7 2 1 12 12 6 5 7 12 1 12 12 1 x1 = e x2 = -1 6 Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
y
x Sabemos que o perímetro é igual à soma de todos os lados. Logo: 2x + 2y = 18 Dividindo-se a equação por 2, temos: x + y = 9 y=9–x Sabemos que a área do retângulo é igual ao produto da largura pelo comprimento, então temos: x . y = 20 x (9 – x) = 20 9x – x2 = 20 9x – x2 – 20 = 0 -x2 + 9x – 20 = 0 (-1) x2 - 9x + 20 = 0 a = 1 b = -9 c = 20
= b2 – 4a = (-9) – 4 . 1 . 20
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= 81 – 80 = 1 possui duas raízes reais b x 9 x
2a
9 1 x 2
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SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES Seja o trinômio y ax bx c 2
1
2.1
9 1 10 2 2 5 9 1 8 4 2 2
(a 0) . Sejam x1 e x2 as raízes do trinômio. Então a soma e o produto das raízes serão: a) Soma (S):
b a
S x1 x2 b) Produto (P):
P x1.x2
Resposta: As dimensões são 4 cm e 5 cm Exemplo Determine dois números naturais e consecutivos tal que a soma de seus quadrados é igual a 113. Sejam x e x + 1 os números procurados, então: x2 + (x + 1)2 = 113 x2 + x2 + 2x +1 = 113 2x2 + 2x + 1 = 113 2x2 + 2x + 1 = 113 = 0 2x2 + 2x - 112 = 0 x2 + x - 56 = 0 a = 1 b = 1 c = 56
= b2 – 4ac = 12 – 4 . 1 . (-52) = 1 + 224 = 225 > 0 possui duas raízes reais e
distintas
b x 2a x
c a
Exemplo Calcular a soma e o produto das raízes dos trinômios abaixo: a) y 3x 18 x 36 a=3 b = 18 Soma (S): 2
S x1 x2
b 18 6 a 3
Produto (P):
P x1.x2
c 36 12 a 3
b) y 2 x 10 x 12 a=2 b = -10 2
Soma (S):
1 225 x 2.1
1 15 2
c = 36
S x1 x2
c = 12
b 10 5 a 2
Produto (P):
P x1.x2
c 12 6 a 2
1 15 14 7 2 2 1 15 16 8 2 2
GRÁFICO DO TRINÔMIO DO
x1 = 7 e x2 = -8 não convém Resposta: 7 e 8
O gráfico do trinômio é chamado de parábola, e sua concavidade depende o sinal de a.
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Seja
o
trinômio
GRAU
y ax 2 bx c
(a 0) . Sejam x1 e x2 as raízes do trinômio.
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Chamamos de vértice da parábola ao ponto cujas coordenadas são:
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2) Se
a0 e 0
( Possui um mínimo)
b , yv e o vértice será en2a 4a b , ) . tão o ponto V ( 2a 4a b A reta com a equação x é chamada 2a xv
de eixo de simetria. O valor
yv
4a
será o valor máximo ou
mínimo do trinômio. - Se
a 0 , então
mínimo
e
a
yv
imagem
do
4a
é um valor
trinômio
3) Se mo)
a0 e 0
( Possui um míni-
será
( yv , ) . - Se
a 0,
máximo
e
a
então yv
é um valor 4a
imagem
trinômio
do
será
(, yv ) . Assim poderemos ter os seguintes gráficos: 1) Se mo)
a0 e 0
( Possui um míni-
4) Se mo)
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a0 e 0
( Possui um máxi-
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5) Se a ximo)
0 e 0
( Possui um má-
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5 1 V ( , ) . O gráfico O vértice será o ponto 2 4 será:
0
1) Se a ximo)
e
0
( Possui um má-
Exemplo Qual o valor máximo do produto de dois números, sabendo-se que a soma é igual a dez? Solução Seja x e (10 –x) os números. O produto será y = x(10-x), para os valores de x nos reais. Temos então: Raízes do trinômio:
x1 0
e
x2 10 . Vértice:
xv
0 10 5 2
Para achar yv basta substituir o valor xv 5 Exemplo Faça o gráfico de
y x2 5x 6 Solução
Temos que a = 1
b = -5
na equação y x (10 x ) 5(10 5) 25 . Portanto o valor máximo do produto será 25. Veja o gráfico:
c=6
b2 4ac (5)2 4.1.6 25 24 1 0 .
xv
5 5 2.1 2
e
yv
1 1 4.1 4
(Valor mínimo da parábola)
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Exemplo (VUNESP) Numa escola, o campo de areia de 21 m2 para as brincadeiras foi aumentado de uma mesma quantidade para os lados, passando a ter uma área de 51 m 2. Dado:
210,25 14,5 3,5 m
x
9,5 14,5 2 1
24 2 12 (não convém) x 5 2,5 (ok) 2 Resposta: 2,5 m (C).
Exercícios propostos
6m O aumento das dimensões do campo de areia foi de: a) 1,5m b) 2,0m c) 2,5m d) 3,0m e) 3,5m Solução
x
3,5 m
6m
x
( x 3,5)( x 6) 51 x 2 9,5 x 21 51 x 2 9,5 x 30 0 a=1
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b = 9,5
c = -30
b 2 4ac (9,5) 2 4 1 (30)
90, 25 120 210, 25
1) (FCC-Téc. em Gestão I-SABESP-2012) Lucas tem que resolver uma equação em que um dos denominadores das frações é numérico, porém, saiu borrado e ilegível, conforme mostra a imagem a seguir.
Se a solução da equação que Lucas tem que resolver é 2, o número que saiu borrado no denominador da fração, em decimal, era (A) 2,6 (B) 2,8 (C) 2,4 (D) 3,1 (E) 3,2 Resposta: A 2) (FCC-Téc.Adm.-2009-Metrô-SP) Certo dia, três ônibus foram usados para transportar simultaneamente 138 operários que trabalham nas obras de uma Linha do Metrô de São Paulo. Sabe-se que no primeiro ônibus viajaram 9 operários a mais do que no segundo e, neste, 3 operários a menos que no terceiro. Nessas condições, é correto afirmar que o número de operários que foram transportados em um dos ônibus é (A) 53. (B) 51. (C) 48. (D) 43. (E) 39. Resposta: B
Logo:
x
b 2a
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3) (FCC-Téc.Jud.-Adm.-2010-TRE-AC) Em uma papelaria, Romeu gastou R$ 312,00 na compra de algumas unidades de certo tipo de caneta esferográfica que estava em promoção e, como bonificação, recebeu mais 8 unidades iguais a elas. Com isso, Romeu percebeu que 40 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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cada caneta que tinha comprado havia saído por R$ 0,80 a menos, ou seja, cada caneta saiu por (A) R$ 6,20. (B) R$ 6,00. (C) R$ 5,80. (D) R$ 5,20. (E) R$ 5,00. Resposta: D 4) (FCC-Téc.em Gestão Prev.-2012SPPREV) Pensei em um número e dele − subtraí 3 unidades; − multipliquei o resultado por 5; − somei 9 unidades; − obtive 24 como resultado. É correto afirmar que o quadrado desse número é (A) 1. (B) 4. (C) 16. (D) 25. (E) 36. Resposta: E 5) (FCC-Prof.Educ.Bás.-AIEF-2012-SEEMG) O quadrado e o retângulo da figura abaixo têm a mesma área.
A medida do lado do quadrado vale (A) 10 cm. (B) 12 cm . (C) 14 cm . (D) 16 cm. Resposta: B 6) (2014 – CESGRANRIO – Ajudante de carga/descarga – Liquigás) Um pátio dispõe de 34 vagas para caminhões. Na última segunda feira, havia 15 caminhões estacionados quando outros 7 chegaram. Logo depois, 6 caminhões saíram. Quantas vagas permaneceram vazias? (A) 14 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) 22 Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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Reposta: C 7) (2014 – CESGRANRIO - Técnico de Operação Jr. – Petrobras) Certo reservatório continha 1.000 L de água quando foi aberta uma torneira de vazão constante. Cinquenta minutos mais tarde, sem que a torneira fosse fechada, um ralo foi destampado acidentalmente, permitindo o escoamento parcial da água. O Gráfico abaixo mostra a variação do volume de água dentro do reservatório, em função do tempo.
Qual era, em litros por minuto, a capacidade de escoamento do ralo? (A) 20 (B) 12 (C) 6 (D) 4 (E) 2 Resposta: D 8) Paulo acertou 75 questões da prova objetiva do último simulado. Sabendo se que a razão entre o número de questões que Paulo acertou e o número de questões que ele respondeu de forma incorreta é de 15 para 2, e que 5 questões não foram respondidas por falta de tempo, pode-se afirmar que o número total de questões desse teste era a) 110. b) 105. c) 100. d) 95. e) 90. Resposta: E 9) (2014 – VUNESP – Auxiliar de Promotoria I-Administrativo – MPSP) Contando-se o estoque de certa camiseta, constatou-se que para cada 5 unidades do tamanho M havia 4 unidades do tamanho P, sendo que, no total, havia 35 unidades a mais de M do que de P. 41 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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O número total dessas camisetas de tamanho P no estoque, nesse momento, é igual a (A) 140. (B) 160. (C) 150. (D) 175. (E) 145. Resposta: A
Ângulos
10) (2014 – VUNESP – Auxiliar de Promotoria I-Administrativo – MPSP) De uma placa quadrada de madeira, de lado y, foram recortadas, em cada canto, regiões quadradas congruentes, de lados iguais a 3 cm, conforme mostra a figura.
Obs.: Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma abertura. Exemplos:
A soma das medidas dos lados do polígono (sombreado na figura) resultante, após os recortes, pode ser corretamente expressa por (A) 4 y – 24. (B) 4 y. (C) 4 y + 12. (D) 2 y + 18. (E) 2 y – 36. Resposta: B
7 - NOÇÕES DE GEOMETRIA: FORMA, PERÍMETRO, ÁREA, VOLUME, ÂNGULO, TEOREMA DE PITÁGORAS. RACIOCÍNIO LÓGICO. RESOLUÇÃO DE SITUAÇÕES-PROBLEMA. Algumas formas geométricas
Ângulos complementares Soma (medida) 90º
Círculo
Triângulo
Quadrado
Cubo
Retângulo
Cilindro
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Ângulos suplementares Soma (medida) 180º
y + z = 180º
x=y
Reta transversal
Bissetriz A bissetriz de um ângulo é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos convergentes.
A reta t é uma transversal de r e s
Retas coplanares Duas retas contidas no mesmo plano são chamadas de coplanares. As retas coplanares podem ser: a) Concorrentes Quando possuem um único ponto em comum.
são correspondentes são correspondentes são correspondentes são correspondentes Obs.: Em duas retas paralelas os ângulos correspondentes são congruentes.
b) Paralelas Quando não possuem pontos em comum.
x
r
r // s x = y y
s
Obs.: Os ângulos z e y são chamados de alternos internos. r Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v)
z y s Obs. :Os ângulos alternos internos em duas retas paralelas são congruentes. x
r
x=y z Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. x + z = 180º Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
x=z
z
y y
s
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Exemplo Se r//s, qual é a medida do ângulo x?
Solução x = 600 + 200 x = 800 Resposta: 80º
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Triângulo obtusângulo 1 ângulo obtuso
Triângulo equilátero
Triângulos A soma dos ângulos de um triângulo é 180º.
Triângulo isósceles 2 lados iguais
Classificação dos triângulos Triângulo acutângulo 3 ângulos agudos.
Triângulo escaleno 3 lados diferentes
Triângulo retângulo
Propriedades
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Em todo triângulo qualquer ângulo externo tem medida igual a soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes.
x + y + z = 180º E + z = 180º => E = x + y Exemplo Calcule a medida do ângulo x
Os polígonos recebem os nomes conforme o número de lados. 3 lados triângulo 4 lados quadrilátero 5 lados pentágono 6 lados hexágono 7 lados heptágono 8 lados octógono 9 lados eneágono 10 lados decágono 11 lados undecágono 12 lados dodecágono 16 lados hexadecágono 20 lados icoságono Soma dos ângulos internos de um polígono Triângulo
Solução x = 300 + 200 x = 500 Resposta: 500 Exemplo Calcule a medida do ângulo x.
Solução x = 500 + 900 x = 1400
Quadrilátero
Observe que podemos obter dois triângulos no quadrilátero.
Resposta: 1400 Polígonos São regiões do plano cujos contornos são segmentos de retas. Os polígonos podem ser:
Logo a soma é Pentágono
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Podemos calcular o ângulo interno de um polígono regular pela fórmula:
Podemos obter 3 triângulos no pentágono. Logo a soma dos ângulos é Sendo assim, podemos dizer que a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados pode ser calculada pela fórmula:
No caso do hexágono regular os ângulos internos medem:
Quadriláteros notáveis a) Trapézio Dois lados paralelos Polígonos regulares Dizemos que um polígono é regular quando todos os seus lados têm o mesmo tamanho, e seus ângulos têm a mesma medida. Exemplos: a) Triângulo equilátero
b) Quadrado
c) Hexágono regular
Obs.: Trapézio retangular (1 lado transversal perpendicular aos lados paralelos.
b) Paralelogramo Quadrilátero com lados paralelos congruentes.
Lados opostos côngruos Ângulos opostos côngruos Diagonais se cortam ao meio c) Retângulo É o paralelogramo que tem os quatro ângulos retos
Soma dos ângulos internos: d) Losango Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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É o paralelogramo que tem os quatro lados iguais.
Lados iguais Diagonais perpendiculares Diagonais são bissetrizes
Losango A área do losango é o produto das diagonais divido por dois.
e) Quadrado É paralelogramo com quatro lados iguais e os quatro ângulos retos. Trapézio A área do trapézio é o produto da base média pela altura.
PERÍMETRO DAS FIGURAS PLANAS O perímetro é a soma das medidas dos lados.
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Retângulo A área do retângulo é o produto da base pela altura.
Triângulo A área do triângulo é o produto da base pela altura dividido por dois.
Quadrado A área do quadrado é o lado ao quadrado. Círculo A área do círculo é o produto do quadrado do raio por π.
Paralelogramo A área do paralelogramo é o produto da base pela altura.
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Coroa circular
Paralelepípedo
a
c b
V = a.b.c
Relações Métricas do Triângulo Retângulo (Teorema de Pitágoras) A
h
B
m
H
n
C
a=m+n AH = h a = hipotenusa h = altura a) b2 = an b) c2 = am c) b2 + c2 = a2 (Teorema de Pitágoras) d) ah =bc
Exemplo A água contida em um recipiente em forma de um paralelepípedo reto retângulo ocupa 80% de sua capacidade total. Sabendo-se que as medidas internas desse recipiente são 15 cm de comprimento, 10 cm de largura e 40 cm de altura, pode-se afirmar que o volume de água contido nesse recipiente, em litros, é igual a (A) 6,0. (B) 5,6. (C) 5,4. (D) 4,8. (E) 3,8. Solução Volume do recipiente (V): V 15 10 40
V 6000 cm3 V 6 litros Logo o volume de água contido no recipiente é:
80% 6 0,8 6 4,8 litros
Resposta: D
e) Exemplo (SPPREV/TécGestãoPrevidenciária) Usando, como base, uma placa quadrada de vidro, Carlos quer construir um aquário que tenha a forma indicada na figura, com a capacidade total de 50 litros. Para que esse aquário tenha a altura de 0,8 metro, a medida x da base deve ser de
Volume(V) Cubo
a a a
V = a3
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(A) 62,5 cm. (B) 50 cm. (C) 40 cm. (D) 25 cm. (E) 16,5 cm.
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Exercícios propostos 1) Calcule a área da região sombreada.
Solução O volume será: Logo:
m ou Resposta: D
cm Resposta: (4 - cm2
Exemplo Brincando com um pedaço retilíneo de arame, João foi fazendo algumas dobras, até que o arame ficasse conforme mostrado na figura. Dobrou primeiramente no ponto B, em seguida no ponto C, e por último, no ponto D, formando o segmento DB. Sabendo-se que após formar a figura não houve nenhuma sobra, pode-se afirmar que o comprimento desse pedaço retilíneo de arame é
2) Calcule a área da região sombreada.
Resposta: /2 cm2 3) (Prof. Ens. Basico – Louveira – 2007 Vunesp) O último trecho de uma descida por cabo de aço de uma tirolesa, em um acampamento juvenil, está representado na figura:
(A) 37 cm. (B) 35 cm. (C) 32 cm. (D) 31 cm. (E) 29 cm. Solução Aplicando Pitágoras no triângulo BCD temos: x 2 82 102 x 2 64 100 x 2 36 x 6 cm. Portanto o arame mede 5 cm + 8 cm + 10 cm + 6 cm = 29 cm. Resposta: E
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O cabo de aço, na árvore mais alta, está fixado a 16 m do solo e, na mais baixa, a 7 m. Se essas árvores estão niveladas entre si a uma distância de 12 m, então o comprimento do cabo de aço nesse trecho final, entre as árvores, é de (A) 11 m. (B) 12 m. (C) 13 m. (D) 14 m. (E) 15 m. Resposta: E 49 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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4) Em um palco, dois refletores R1 e R2 foram instalados de modo que, quando ambos focalizam um mesmo ponto P no chão, as distâncias, em metros, entre os refletores e esse ponto são as seguintes.
(A) 60° e 55°. (B) 50° e 50°. (C) 45° e 40°. (D) 40° e 50°. (E) 40° e 40°. Resposta: E A distância entre os pés das colunas suportes de R1 e R2, em metros, é igual a (A) 4,1. (B) 3,5. (C) 2,6. (D) 1,8. (E) 1,6. Resposta: C
8)
6) Na figura, os pontos G, A e B pertencem à mesma reta, ou seja, estão alinhados.
A figura acima mostra uma peça de metal de espessura constante. Todos os ângulos são retos, e as medidas em centímetros são: AB = 12, BC = 3 e AF = FE = 8. Essa peça deverá ser cortada na linha tracejada AP de forma que as duas partes da peça tenham a mesma área. A medida, em centímetros, do segmento EP da figura é (A) 1,0 (B) 1,5 (C) 2,0 (D) 2,5 (E) 3,0 Resposta: B
Se o ângulo CÂE mede 90º, então as medidas dos ângulos DÂE e GÂF, respectivamente, são (A) 70º e 14º. (B) 71º e 15º. (C) 72º e 14º. (D) 74º e 15º. (E) 74º e 14º. Resposta: E 7) Os ângulos sombreados na figura são congruentes e medem 50°. Para tanto, as medidas dos ângulos x e y são, respectivamente, Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
RESOLUÇÃO DE SITUAÇÕES-PROBLEMA. 1) Observando-se o quadrado mágico, no qual o resultado da soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal é sempre o mesmo, e considerando-se que alguns desses números estão representados pelas letras a, b, x e
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y, pode-se afirmar que o valor numérico da b2 a b expressão é igual a x y 8 13 12 a 11 y b
9
x
a) 4 b) 9 c)10 d) 15 e) 16 Solução Observe que a soma da segunda linha é 33. Logo usando as duas diagonais é fácil concluir que b = 10 e x = 14. Observando a seguir a primeira coluna e a última coluna concluímos que a = 15 e y = 7. b2 a b Logo o valor da expressão é: x y
102 15 10 100 25 100 5 105 15 14 7 7 7 7 Resposta: D 2) João destinava 1/5 do seu salário para pagamento do aluguel. Neste mês, porém, o valor do aluguel teve um aumento e passou a representar 1/4 do seu salário, que não teve nenhuma alteração. Portanto, pode-se concluir que o aluguel de João teve um aumento de a) 5% b) 8% c) 15% d) 20% e) 25% Solução Seja x o salário de João. O novo salário é 1/4 de x ===> 0,25x . O salário antigo era 1/5 de x ===> 0,20x . Dividindo-se o salário novo pelo salário antigo temos 0,25/0,20 = 1,25. Logo o aumento foi de 25%. Resposta: E. 3) O piso de uma cozinha quadrada, cuja medida do lado é igual a 3,6m, será revestido com lajotas quadradas, com 40 cm de lado, que são vendidas somente em caixas fechadas contendo um total de 0,96 m 2 de lajotas Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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em cada uma. Dessa maneira, para executar totalmente o serviço, o responsável terá de comprar, no mínimo, a) 82 lajotas b) 84 lajotas c) 86 lajotas d) 92 lajotas e) 94 lajotas Solução Área da cozinha em centímetros quadrados 360x360 cm2. Área de cada lajota em centímetros quadrados 40x40 cm2. Dividindo-se os dados acima temos que: Vamos usar 81 lajotas com 1600 cm2 cada. Como a caixa possui 0,96 m2 = 9600cm2 de lajotas, concluímos que em cada caixa temos 9600/1600 = 6 lajotas. Logo precisamos comprar 14 caixas com 6 lajotas, isto é 84 lajotas. Resposta: B. 4) A mãe de Lígia e Flávia deu a cada uma delas quantias iguais para que elas comprassem presentes para o Dia dos Pais. Das quantias recebidas, Lígia gastou ¾ na compra de seu presente, e Flávia gastou 3/5 na compra do seu, sendo que restou para uma delas R$ 27,00 a mais do que a outra. O presente que Lígia comprou para o seu pai custou a) R$ 108,00 b) R$ 120,00 c) R$ 135,00 d) R$ 150,00 e) R$ 162,00 Solução Seja x a quantia que cada uma recebeu. Se Lígia gastou 3/4 de x, então restou 1/4 de x. Se Flávia gastou 3/5 de x, estão restou 2/5 de x. Logo 2x/5 - 1x/4 = 27 3x/20 = 27 x = R$ 180,00 Logo o presente de Lígia custou 3.180/4 = R$ 135,00. Resposta: C 5) No café, Pedro e Fernando conversavam sobre o aumento salarial de 20% que cada um havia recebido, sendo que o novo salário de Pedro passou a ser igual a 85% do novo salário de Fernando. Se a soma dos salários dos dois, após o aumento, é igual a R$ 6.660,00, 51 Professor Joselias – www.paraconcursos.com.br
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então antes do aumento o salário de Pedro era de a) R$ 3.600,00 b) R$ 3.060,00 c) R$ 3.000,00 d) R$ 2.550,00 e) R$ 2.450,00 Solução Sejam P e F os salários de Pedro e Fernando depois do aumento de 20%. Logo temos: P + F = 6660 Como P = 0,85F Temos na equação anterior 0,85F + F = 6660 1,85F = 6660 F = 6660/1,85 F = 3600 Então o salário do pedro é: P = 0,85F P=0,85x3600 P = 3060 (Depois do aumento) Logo antes do aumento o salário do Pedro era: 3060/1,20 = R$ 2.550,00 Resposta: D
6) Se toda a produção de um lote específico de um determinado perfume fosse acondicionada em frascos de 50 mL, o número de frascos necessários superaria em 500 unidades o número de frascos que seriam necessários se toda a produção fosse acondicionada em frascos de 75 mL. Assim, pode-se concluir que a produção total desse lote de perfume foi igual a a) 20 litros b) 25 litros c) 35 litros d) 50 litros e) 75 litros Solução Seja x o número de frascos de 50 mL. A produção total será: 50x = 75(x-500) 50x = 75x – 37500 25x = 37500 x = 1500 frascos. Portanto a produção total é 50x = 50x1500 = 75000 mL = 75 Litros. Resposta: E.
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7) Uma pequena empresa produz 200 bolas a cada três dias, trabalhando com uma equipe de seis funcionários. Para ampliar a produção para 600 bolas a cada dois dias, mantendo-se, por funcionário e para todos eles, as mesmas produtividades, condições de trabalho e carga horária, ela precisará contratar mais a) 23 funcionários b) 21 funcionários c) 18 funcionários d) 15 funcionários e) 12 funcionários Solução Bolas Dias Funcionários 200 3 6 600 2 x 6 200 2 4 . x 600 3 18 4x = 6.18 4x = 108 x = 27 Então precisa contratar mais 21 funcionários. Resposta: B
8) A capacidade total de um reservatório é de 3000 litros, sendo que ele possui duas válvulas de entrada de água, A e B. Estando o reservatório completamente vazio, abriu-se a válvula A, com uma vazão constante de 15 litros de água por minuto. Quando a água despejada atingiu 2/5 da capacidade total do reservatório, imediatamente, abriu-se também a válvula B, com uma vazão constante de 25 litros de água por minuto, sendo que as duas válvulas permaneceram abertas até que o reservatório estivesse totalmente cheio. Como não houve nenhuma saída de água durante o processo, o tempo gasto para encher totalmente o reservatório foi de a) 80 min b) 115 min c) 125 min d) 140 min e) 155 min Solução A enche 15 litros do reservatório por minuto. Então 2/5 da capacidade do reservatório representa
2 x3000 1200 litros que levou 5
1200 80 minutos para encher. 15 Apostila de Matematica – Escrevente TJ-SP-Interior
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Ainda falta encher os 1800 litros, que será cheio pelas duas válvulas (que enchem 40 litros por minuto). Portanto as duas válvulas 1800 45 minutos. levarão 40 Logo o tempo total para encher o reservatório foi 80 + 45 = 125 minutos. Resposta: C.
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