Apostila de raciocínio lógico para inss 2015 professor joselias grátis

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Cortesia do curso www.paraconcursos.com.br

APOSTILA DE RACIOCÍNIO LÓGICO PARA O CONCURSO DO INSS 2015

Professor Joselias joselias@uol.com.br www.paraconcursos.com.br www.cursoprofessorjoselias.com.br www.youtube.com/user/profJoselias

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RACIOCĂ?NIO LĂ“GICO PARA O INSS

PRINCĂ?PIO DO TERCEIRO-EXCLUĂ?DO Uma proposição sĂł pode ter dois valores lĂłgicos, isto ĂŠ, ĂŠ verdadeira (V) ou falsa (F), nĂŁo podendo ter outro valor. PRINCĂ?PIO DA NĂƒO-CONTRADIĂ‡ĂƒO Uma proposição nĂŁo pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

1 - Conceitos båsicos de raciocínio lógico: proposiçþes; valores lógicos das proposiçþes; sentenças abertas; número de linhas da tabela verdade; conectivos; proposiçþes simples; proposiçþes compostas.

Logo, voltando ao exemplo anterior temos: a) “O Lula ĂŠ o presidente do Brasil.â€? ĂŠ uma proposição verdadeira. b) “O Rio de Janeiro fica na Europa.â€? ĂŠ uma proposição falsa. c) “Elvis nĂŁo morreuâ€?, ĂŠ uma proposição falsa.

LĂ“GICA

As proposiçþes serão representadas por letras do alfabeto: A, B, C, ....

Veremos nas próximas linhas a definição do que vem a ser uma proposição, bem como o seu cålculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que Ê estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposiçþes denominadas premissas ou conclusþes.

As proposiçþes simples (åtomos) combinam-se com outras, ou são modificadas, atravÊs de operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de molÊculas(ou compostas). CONECTIVOS

LĂ“GICA PROPOSICIONAL Os conectivos serĂŁo representados da seguinte

PROPOSIĂ‡ĂƒO

forma:

Chamaremos de proposição ou sentença todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos.

ďƒ˜ corresponde a “nĂŁoâ€? (Alguns autores usam o sĂ­mbolo “ ~ â€?, para representar a negação). ďƒ™ď€ ď€ ď€ corresponde a “eâ€? (conjunção)

Exemplo: a) O Lula ĂŠ o presidente do Brasil. b) O Rio de Janeiro fica na Europa. c) Elvis nĂŁo morreu.

ďƒšď€ ď€ ď€ corresponde a “ouâ€? (disjunção) ď‚Žď€ ď€ corresponde a “se ... entĂŁo ...â€? (condicional)

As proposiçþes devem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realidade, e uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, portanto pode ser expressa por distintas oraçþes, tais como: “O JoĂŁo ĂŠ mais novo que o Pedroâ€?, ou podemos expressar tambĂŠm por “O Pedro ĂŠ mais velho que o JoĂŁoâ€?. ConcluĂ­mos que as proposiçþes estĂŁo associadas aos valores lĂłgicos: verdadeiro (V) ou falso (F).

ď‚Ť corresponde a “...se e somente se...â€? (bi-condicional) ⊝ corresponde a “... ou ..., ou ..., mas nĂŁo ambos (disjunção exclusiva) Assim podemos ter: • Negaçþes: ~ đ?’‘ (lĂŞ-se: nĂŁo p)

Exemplo: Se a proposição p = “O Lula ĂŠ o presidente do Brasilâ€? ĂŠ verdadeira entĂŁo representaremos o valor lĂłgico da proposição p por VAL(p) = V.

Exemplo: Seja a proposição p = “LĂłgica ĂŠ difĂ­cilâ€?. A proposição “LĂłgica nĂŁo ĂŠ difĂ­cilâ€? poderĂĄ ser representada por ~ đ?’‘.

Se a proposição p = “O Lula nĂŁo ĂŠ o presidente do Brasilâ€? ĂŠ falsa entĂŁo representaremos o valor lĂłgico da proposição p por VAL(p) = F.

• Conjunçþes: p ďƒ™ď€ q (lĂŞ-se: p e q)

Sendo assim a frase “ParabĂŠns!â€? nĂŁo ĂŠ uma proposição, pois nĂŁo admite o atributo verdadeiro ou falso. Portanto tambĂŠm nĂŁo serĂŁo proposiçþes as seguintes expressĂľes:

Exemplo: Sejam p e q proposiçþes tal que: p = “Trabalhoâ€? q = “Estudoâ€?, entĂŁo temos que: p ďƒ™ď€ q = “Trabalho e estudoâ€?

Exclamaçþes: “Oh!â€?, “Que susto!â€?.

• Disjunçþes: p ďƒšď€ q (lĂŞ-se: p ou q)

Interrogaçþes: “Tudo bem?â€?, “Que dia ĂŠ hoje?â€?, “VocĂŞ ĂŠ professor?â€?.

Exemplo: Sejam p e q proposiçþes tal que: p = “Trabalhoâ€? q = “Estudoâ€?, entĂŁo temos que: p ďƒšď€ q = “Trabalho ou estudoâ€?

Imperativos: “Seja um bom marido.â€?, “Estude para concursos.â€? Paradoxos: “Esta sentença ĂŠ falsaâ€?. Teremos dois princĂ­pios no caso das proposiçþes: RaciocĂ­nio LĂłgico para o INSS – Professor Joselias

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Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br • Condicionais: p q (lê-se: Se p então q)

c) Tabela verdade da conjunção (pq) (p e q) A conjunção será verdadeira quando todas as proposições simples forem verdadeiras, caso contrário será falsa. Assim teremos a seguinte tabela:

Exemplo: Sejam p e q proposições tal que: p = “Trabalho” q = “Estudo”, então temos que: p q = “Se trabalho então estudo”

p

q

pq

• Bi-condicionais: p  q (lê-se: p se e somente se q)

V

V

V

Exemplo: Sejam p e q proposições tal que: p = “Trabalho” q = “Estudo”, então temos que: p  q = “Trabalho se e somente se estudo”

V

F

F

F

V

F

F

F

F

• Disjunção exclusiva: p ⊻ q ((lê-se: ou p, ou q, mas não ambos)

d) Tabela verdade da condicional (p q) (Se p, então q) A condicional somente será falsa quando p for verdadeira e q for falsa, caso contrário será verdadeira.

Exemplo: Sejam p e q proposições tal que: p = “Trabalho” q = “Estudo”, então temos que: p ⊻ q = “Ou trabalho, ou estudo, mas não ambos” PRIORIDADES DOS CONECTIVOS Podemos usar parênteses para evitar ambiguidades, considerando a seguinte prioridade em ordem decrescente:

(A prioridade mais alta)

    (A prioridade mais baixa)

a) Tabela verdade da negação (p) (não p) Se a proposição é verdadeira, sua negação será falsa. Se a proposição é falsa, sua negação será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela:

p F V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

q

p q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

A disjunção exclusiva será verdadeira quando as proposições simples, p e q, tiverem os valores lógicos diferentes, caso contrário será falsa.

p q V V V F

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p

f) Tabela verdade da disjunção exclusiva (p ⊻ q)

b) Tabela verdade da disjunção (pq) (p ou q) (ou p, ou q) A disjunção será falsa quando todas as proposições simples forem falsas, caso contrário será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela:

q V F V F

p q

A bi-condicional será verdadeira quando as proposições simples, p e q, tiverem o mesmo valor lógico, caso contrário será falsa.

O valor lógico de cada proposição composta depende dos conectivos contidos nela. Cada conectivo possui uma regra para formar o valor lógico da proposição composta, conforme a descrição abaixo.

p V V F F

q

e) Tabela verdade da bi-condicional (p q) (p se e somente se q)

TABELA VERDADE

p V F

p

2

p

q

p⊻q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

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Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br Exemplo Determinar o valor verdade da proposição R  (P  Q), sabendo-se que VAL (P) = F, VAL (Q) = F e VAL (R) = F.

Assim teremos abaixo a tabela verdade para as proposições compostas pelas proposições simples p e q: TABELA VERDADE

p

q

p

pq

pq

p q

p q

p⊻q

Solução P

Q

R

PQ

R  (P  Q)

V

V

F

V

V

V

V

F

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

V

F

V

F

F

V

V

V

F

V

F

V

V

F

V

F

F

F

V

V

F

F

F

F

V

F

F

V

V

F V

F

F

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

F

F

F

F

F

F

V

Exemplo: Sejam as proposições p e q, tal que: p = ”Corre” q = ”O bicho pega” Descrever as seguintes proposições abaixo: a) p b) p  q c) p  q d) p  q e) p  q f) p ⊻ q Solução: a) p = “Não corre”

Logo o VAL(R  (P  Q)) = V Exemplo: (STF-2008) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases acima, julgue o itens seguintes como certo(C) ou errado(E).

b) p  q = “Corre ou o bicho pega” c) p  q = “Corre e o bicho pega”

a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção.

d) p  q = “Se corre, então o bicho pega” b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. e) p  q = “Corre se e somente se o bicho pega”

c) A terceira frase é uma proposição lógica composta.

f) p ⊻ q = “Ou corre, ou o bicho pega, mas não ambos”

d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. Solução

Exemplo: Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

p

q

pq

pq

p q

p q

a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. Errado. A sentença não é proposição. b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. Certo. A sentença “A resposta branda acalma o coração irado” é uma proposição simples. c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. Errado. Trata-se de uma oração com o sujeito composto, formando uma proposição simples.

Solução: pq p q

p

q

p

q

p  q

p  q

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F

V

V

V

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d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. Errado. A sentença “Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade” apresenta apenas o conetivo condicional. Exemplo: Sabendo que a proposição “se A, então B” é falsa, podemos concluir que: a) a proposição A é verdadeira e B é verdadeira. b) a proposição A é verdadeira e B é falsa. c) a proposição A é falsa e B é verdadeira. d) a proposição A é falsa e B é falsa. 3

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Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br e) A proposição (p  q)  (q  p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. Vamos deixar para o leitor a verificação pela tabela-verdade. A tautologia (p  q)  (q  p) é conhecida como contrapositiva.

e) A proposição A é sempre falsa. Solução Teremos “se verdade, então falso”. Logo A é verdadeira e B é falsa. Resposta: B

2 - TAUTOLOGIA f) A proposição (p  q)  (p  q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. Vamos deixar para o leitor a verificação pela tabela-verdade. A tautologia (p  q)  (p  q) é conhecida como tautologia de Morgan.

São as proposições compostas sempre verdadeiras, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. Para verificar se uma proposição é uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposição composta. Exemplos: a) A proposição (p  p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p.

p

p

p  p

V

F

V

F

V

V

g) A proposição (p  q)  (p  q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. Vamos deixar para o leitor a verificação pela tabela-verdade. A tautologia (p  q)  (p  q) também é conhecida como tautologia de Morgan. h) A proposição  (pq)  (p  q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. Vamos deixar para o leitor a verificação pela tabela-verdade.

b) A proposição (p  p) é uma tautologia, pois é verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p.

p

pp

V

V

F

V

LISTA DE TAUTOLOGIAS MAIS COMUNS a) (p  p) b) (p  p) c) (p  p) d) (p  q)  (p  q) e) (p  q)  (q  p) f) (p  q)  (p  q) g) (p  q)  (p  q) h) (p)  p i)  (p  q)  (p  q)

c) A proposição (p)  p é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p.

p

(p)

(p)

(p)  p

V

F

V

V

F

V

F

V

q

pq

p

pq

(pq)  (pq)

V

V

V

F

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

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(Contra-positiva) (Morgan) (Morgan) (Negação dupla)

CONTRADIÇÕES São as proposições compostas sempre falsas, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradição basta fazer a tabela verdade da proposição composta.

d) A proposição (p  q)  (p  q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q.

p

(Identidade)

Exemplo: A proposição (p  p) é uma contradição, pois é sempre falsa para qualquer valor lógico da proposição p.

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p

p

p  p

V

F

F

F

V

F

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Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br CONTINGÊNCIA

Exemplo: Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com três proposições simples possui 23 = 8 linhas.

São as proposições compostas em que os valores lógicos dependem dos valores das proposições simples. Para verificar se uma proposição é uma contingência basta fazer a tabela-verdade da proposição. Se na tabela-verdade alguns valores lógicos forem verdadeiros e outros falsos teremos uma contingência. Exemplo: A proposição (p  q) é uma contingência, pois a proposição pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores lógicos de p e q. p

q

q

(p  q)

V

V

F

F

V

F

V

V

F

V

F

F

F

F

V

F

r

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

1) (2013-ESAF-Analista Técnico-Administrativo – MF) Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição ~ P Λ P é: a) uma tautologia. b) equivalente à proposição ~ P V P . c) uma contradição. d) uma contingência. e) uma disjunção.

Exemplo: Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Das alternativas abaixo, a única que é tautologia é: a) se filosofamos, então filosofamos. b) se não filosofamos, então filosofamos. c) Lógica é fácil, mas é difícil. d) ele é feio, mas para mim é bonito. e) eu sempre falo mentira. Solução A única proposição sempre verdadeira é “se filosofamos, então filosofamos”, pois é a tautologia (p  p). Resposta: A

2) (2014 – IBFC - Qualquer Nível Médio – SEPLAG/SEDSMG) De acordo com os conectivos lógicos podemos afirmar que: a) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p conjunção q é verdade. b) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p disjunção q é verdade. c) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p condicional q é verdade. d) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p bicondicional q é verdade.

NÚMERO DE LINHAS DA TABELA VERDADE O número de linhas da tabela verdade de uma pro-

3) (ESAF – 2009 – EPPGG - MPOG) Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é:

n posição composta com n proposições simples é 2 .

a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França. b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França. c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França. d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra. e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra.

Exemplo: Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com uma proposições simples possui 2 1 = 2 linhas. p V F Exemplo: Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com duas proposições simples possui 22 = 4 linhas.

4) (2014 – IBFC - Analista e Pesquisador de Saúde e Tecnologia I - Administração – FUNED-MG) Com relação aos conectivos lógicos, a única alternativa incorreta é:

q V F V F

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q

Exercícios propostos

Exemplos: a) (p  p)  (p  p) é uma tautologia, pois a proposição composta é sempre verdadeira. b) (p  p)  (p  p) é uma contradição, pois a proposição composta é sempre falsa.

p V V F F

p

a) o valor lógico da conjunção (e) entre duas proposições é falso se pelo menos um dos valores lógicos de uma das proposições for falso. b) o valor lógico da disjunção (ou) entre duas proposições é verdade se pelo menos um dos valores lógicos de uma das proposições for verdade. 5

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RaciocĂ­nio LĂłgico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br c) o valor lĂłgico do condicional (se, entĂŁo) entre duas proposiçþes ĂŠ verdade se ambos os valores lĂłgicos das proposiçþes forem falsos. d) o valor lĂłgico do bicondicional (se, e somente se) entre duas proposiçþes ĂŠ falso se ambos os valores lĂłgicos das proposiçþes forem falsos.

c) se os valores lĂłgicos de duas proposiçþes sĂŁo falsos entĂŁo o valor lĂłgico da disjunção entre elas ĂŠ falso d) se o valor lĂłgico de uma proposição ĂŠ falso e o valor lĂłgico de outra proposição ĂŠ verdade, entĂŁo o valor lĂłgico do bicondicional entre elas ĂŠ falso. 11) A proposição (ďƒ˜p ďƒšď€ q) ď‚Ťď€ ď€ (p ď‚Žď€ q) representa um: a) Contradição b) ContingĂŞncia c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

5) (2009 – CESGRANRIO - Engenheiro Civil – CAPES) Chama-se tautologia Ă proposição composta que possui valor lĂłgico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lĂłgicos das proposiçþes que a compĂľem. Sejam p e q proposiçþes simples e ~p e ~q as suas respectivas negaçþes. Em cada uma das alternativas abaixo, hĂĄ uma proposição composta, formada por p e q. Qual corresponde a uma tautologia?

12) (CESGRANRIO – Analista de Planejamento – Adm. Escolar - IBGE – 2013) Sejam đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?3 , đ?‘?4 , đ?‘?5 e c proposiçþes verdadeiras. Assim, ĂŠ FALSA

(A) p ˅ q (B) p ˄ ~q (C) (p ˅ q) → (~p ˄ q) (D) (p ˅ q) → (p ˄ q) (E) (p ˄ q) → (p ˅ q)

(A) đ?‘?1 Ë„ đ?‘?2 Ë„ đ?‘?3 Ë„ đ?‘?4 Ë„ đ?‘?5 → c (B) ÂŹc → ÂŹđ?‘?1 Ë… ÂŹđ?‘?2 Ë… ÂŹđ?‘?3 Ë… ÂŹđ?‘?4 Ë… ÂŹđ?‘?5 (C) ÂŹđ?‘?1 Ë… ÂŹđ?‘?2 Ë… ÂŹđ?‘?3 Ë… ÂŹđ?‘?4 Ë… ÂŹđ?‘?5 Ë„ c (D) ÂŹđ?‘?1 Ë… ÂŹđ?‘?2 Ë… ÂŹđ?‘?3 Ë… ÂŹđ?‘?4 Ë… ÂŹđ?‘?5 Ë… c (E) đ?‘?1 Ë… đ?‘?2 Ë… đ?‘?3 Ë… đ?‘?4 Ë… đ?‘?5 Ë… ÂŹc

6) (ESAF – 2009 – APOF - SEFAZ-SP) Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9 b) Se 3 = 3, entĂŁo 3 + 4 = 9 c) Se 3 = 4, entĂŁo 3 + 4 = 9 d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9 e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9

13) A proposição (p ď‚Žď€ q)ď€ ď€ ď‚Ťď€ ď€ (ďƒ˜q ď‚Žď€ ďƒ˜p) representa um: a) Contradição b) ContingĂŞncia c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

7) (2014 – IBFC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa Grande-PB) Sejam as proposiçþes p: 15% de 30% = 45% e q: a quarta parte de uma dĂşzia ĂŠ igual a 3, e considerando os valores lĂłgicos dessas proposiçþes, podemos afirmar que o valor lĂłgico da proposição composta (p→q)↔~p ĂŠ:

14) (2013 – IBFC - Oficial Administrativo – SUCEN) O raciocĂ­nio lĂłgico trabalha com proposiçþes, que ĂŠ um conceito fundamental no estudo da lĂłgica. Dadas as proposiçþes abaixo: p: 16,5% de 200 = 32; q: a quarta parte de 300 ĂŠ igual a 80 É correto afirmar que:

a) falso b) verdadeiro ou falso c) verdade d) inconclusivo

a) a disjunção de p e q ( p v q ) Ê verdadeira. b) a disjunção de p e q ( p v q ) Ê falsa. c) Não existe a disjunção das proposiçþes dadas. d) O valor lógico de p Ê diferente do valor lógico de q.

8) (FGV) A proposição ďƒ˜(p ďƒ™ď€ q) ď‚Ťď€ (ďƒ˜p ďƒšď€ ďƒ˜q) representa um: a) Contradição b) ContingĂŞncia c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

15) A proposição (p ďƒš ďƒ˜p)ď€ representa um: a) Contradição b) ContingĂŞncia c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

9) (FGV) A proposição ďƒ˜(p ďƒšď€ q) ď‚Ťď€ ď€ (ďƒ˜p ďƒ™ď€ ďƒ˜q) representa um: a) Contradição b) ContingĂŞncia c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 10) (2014 – IBFC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa Grande-PB) Dentre as afirmaçþes, a Ăşnica incorreta ĂŠ:

16) A proposição (p ďƒ™ ďƒ˜p) representa um: a) Contradição b) ContingĂŞncia c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

a) se os valores lógicos de duas proposiçþes são falsos então o valor lógico do condicional entre elas Ê falso. b) se o valor lógico de uma proposição Ê falso e o valor lógico de outra proposição Ê verdade, então o valor lógico da conjunção entre elas Ê falso.

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17) (2013 – IBFC - Oficial Administrativo – SUCEN) Dentre as afirmaçþes: 6

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RaciocĂ­nio LĂłgico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br I. Se duas proposiçþes compostas forem falsas entĂŁo o condicional entre elas ĂŠ verdade. II. Se duas proposiçþes compostas forem falsas entĂŁo o bicondicional entre elas ĂŠ falso. III. Para que uma disjunção entre duas proposiçþes seja verdadeira ĂŠ necessĂĄrio que ambas proposiçþes sejam verdadeiras. IV. Para que uma conjunção entre duas proposiçþes seja falsa ĂŠ necessĂĄrio que ambas proposiçþes sejam falsas. Pode-se dizer que sĂŁo verdadeiras:

p V V F F

q V F V F

? F F F V

A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação Ê

a) Todas b) Somente duas delas c) Somente uma delas d) Nenhuma

a) (p ďƒ™ď€ q) b) (~p ďƒ™ď€ ~q) c) (p ďƒ™ď€ ~q) d) (~p ďƒ™ď€ q) e) (p ď‚Žď€ q)

18) A proposição ďƒ˜ (ďƒ˜p)ď€ ď€ ď‚Ťď€ p representa um:

Gabarito

a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

1–C 5–E 9–C 13 – C 17 – D 21 – E

19) A proposição ďƒ˜ (ďƒ˜ (ďƒ˜p))ď€ ď€ ď‚Ťď€ ď€ ďƒ˜p representa um:

2–B 6–C 10 – A 14 – B 18 – C 22 – B

3–C 7–C 11 – C 15 – C 19 – C

4–D 8–C 12 – C 16 – A 20 – D

3 – Operaçþes com conjuntos Conceitos

a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

Um conjunto ĂŠ uma coleção de objetos bem definida. Quando x ĂŠ um dos objetos que constituem um determinado conjunto A, chamamos x de elemento do conjunto A, e dizemos que x pertence ao conjunto A, escrevendo da seguinte maneira x ∈ A. Se x nĂŁo ĂŠ um elemento do conjunto A, dizemos que x nĂŁo pertence ao conjunto A, e escrevemos x ďƒ? A. A relação entre um elemento e um conjunto ĂŠ chamada de relação de pertinĂŞncia. Geralmente representamos os conjuntos por letras maiĂşsculas (A, B, C, ...), e os elementos por letras minĂşsculas (a, b, c,...). Os conjuntos, na maioria das vezes, sĂŁo definidos atravĂŠs de uma regra com a qual podemos decidir se os objetos pertencem ou nĂŁo ao conjunto.

20) Na tabela-verdade abaixo, p e q sĂŁo proposiçþes. p q ? V V F V F F F V V F F F A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação ĂŠ a) (p ďƒ™ď€ q) b) (~p ďƒ™ď€ ~q) c) (p ďƒ™ď€ ~q) d) (~p ďƒ™ď€ q) e) (p ď‚Žď€ q)

Exemplo Seja A o conjunto das mulheres de olhos verdes. Notamos que o conjunto A estå bem definido, pois o objeto x pertence ao conjunto A quando for uma mulher e alÊm disso tiver olhos verdes. Por outro lado, se x não for uma mulher ou se x for uma mulher que não tenha olhos verdes então x não pertence ao conjunto A. Usaremos a notação A = {a, b, c, d, ...} para representar o conjunto A cujos o elementos são os objetos a, b, c, d,... . O conjunto dos números naturais 0,1,2,3,... serå representado pelo símbolo N. N = {0,1,2,3,4,...}

21) (2009 – CESGRANRIO - Agente Administrativo – FUNASA) Denomina-se contradição a proposição composta que ĂŠ SEMPRE FALSA, independendo do valor lĂłgico de cada uma das proposiçþes simples que compĂľem a tal proposição composta. Sejam p e q duas proposiçþes simples e ~p e ~q, respectivamente, suas negaçþes. Assinale a alternativa que apresenta uma contradição.

O conjunto dos nĂşmeros inteiros serĂĄ representado pela letra Z, logo, Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}

(A) p Ë„ q (B) q Ë… ~q (C) p Ë… ~q (D) ~p Ë„ q (E) ~p Ë„ p

O conjunto dos nĂşmeros racionais, que ĂŠ formado pelas frap çþes , onde p e q pertencem a Z, com q ≠0, ĂŠ representado q

pela letra Q 22) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposiçþes.

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đ??Š đ??? = { |đ??Š ∈ đ??™ đ??ž đ??Ş âˆˆ đ??™ đ??ž đ??Ş â‰ đ?&#x;Ž} đ??Ş

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Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br Lê-se: Q é o conjunto das frações

p q

Seja A= {1, 2, 3} Então todos os subconjuntos de A são: ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3}, {1, 2, 3} Logo P (A) = { ∅ , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

tal que p pertence a Z e q

pertence a Z e q é diferente de zero. Um conjunto pode também ser representado por uma propriedade P, comum a todos os seus elementos, neste caso escrevemos: A = {x | x possui propriedade P}

Observação: • Se um conjunto A possui n elementos, então P(A) possui 2 n elementos. • A ∈ P(A) e ∅ ∈ P(A)

Lê-se o símbolo “|” como “tal que”. Se, no entanto, a propriedade P se refere aos elementos de um determinado conjunto C, escrevemos: A= {x ∈ C | x possui a propriedade P}

Exemplo Seja A = {a, b, c} Para a visualização dos conjuntos utilizamos o chamado diagrama de Venn.

Exemplo Seja A o conjunto dos números inteiros maiores que zero. Então podemos escrever A = {x ∈ Z | x > 0} Lê-se: A é o conjunto dos x pertencentes ao conjunto dos números inteiros, tal que x é maior que zero. Isto é: A = {1, 2, 3, 4, ...} Exemplo Seja B o conjunto dos números pares. Podemos representar B da seguinte forma: B = {x | x = 2K e K ∈ N} Isto é B = {0, 2, 4, 6, 8, ...}

Exemplo

Exemplo Seja C = {x | x é ímpar e 5 < x < 20} Podemos representar por: C = {7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} Pode ocorrer que não existam elementos que satisfaçam a propriedade P, neste caso dizemos que o conjunto é vazio e denotamos por ∅. Deste modo, definimos conjunto vazio, e denotamos por ∅, ao conjunto que não possui elementos. Exemplo {x ∈ N | 0 < x < 1} = ∅

Exemplo Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}; B = {3, 4, 5}; C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Faça o Diagrama de Venn e assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F). a) ( ) A ⊂ B b) ( ) A ⊂ C c) ( ) B ⊂ C d) ( ) B ⊂ A e) ( ) {1, 4} ⊂ A f) ( ) ∅ ⊂ A

Exemplo O conjunto dos dias da semana que começam com a letra A (no idioma português) é o conjunto vazio (∅). Exemplo O conjunto dos homens que já geraram um ser humano (conceberam um parto), até hoje, é o conjunto vazio. Obs.: No cálculo de probabilidade o conjunto vazio é chamado de evento impossível.

Solução

Dados os conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento de A é também elemento de B. Escrevemos A ⊂ B (A é subconjunto de B). Observação: • Se A ⊂ B, dizemos que A está contido em B ou que A é parte de B. • A relação A ⊂ B chama-se relação inclusão. • O conjunto vazio (∅) está contido em qualquer conjunto (isto é, ∅ é subconjunto de qualquer conjunto). • Chamamos de conjunto dos números irracionais, e representamos por I, ao conjunto dos números que não podem ser p escritos na forma tal que p ∈ Z e q ∈ Z e q ≠ 0. Um número

a) (F) pois A  B (A não está contido em B) como vemos 1  B e 2  B. b) (V) evidente que A  C, pois todos os elementos de A são também elementos de C. c) (V) pois B  C, pois todos os elementos de B são também elementos de C d) (F) pois B  A (B não está contido em A), como vemos 5  A. e) (V) evidente que o conjunto {1, 4}  A. f) (V) pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.ABBA

q

não pode ser racional e irracional ao mesmo tempo. Seja o conjunto A, chamamos de conjunto das partes de A, e denotamos por P(A), ao conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Exemplo Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias

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Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br União entre conjuntos

Algumas propriedades importantes

A uniĂŁo dos conjuntos A e B, ĂŠ o conjunto A ďƒˆ B, cujos os elementos sĂŁo tambĂŠm elementos de A ou de B. Isto ĂŠ, se x ∈ A ďƒˆ B entĂŁo x ∈ A ou x ∈ B. A ďƒˆ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}

1. A âˆŞ ∅ = A 2. A âˆŞ A = A 3. A ∊ ∅ = ∅ 4. A ∊ A = A 5. A âˆŞ B = B âˆŞ A 6. A ∊ B = B ∊ A 7. (A âˆŞ B) âˆŞ C = A âˆŞ (B âˆŞ C) 8. (A ∊ B) ∊ C = A ∊ (B ∊ C) 9. (AC)C = A 10. A ďƒŒ B se somente se A âˆŞ B = B 11. A ďƒŒ B se somente se A ∊ B = A 12. A ďƒŒ B se somente se BC ďƒŒ AC 15. A ∊ AC =∅

AďƒˆB

Exemplo Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}

Intersecção entre conjuntos A intersecção entre os conjuntos A e B ĂŠ o conjunto A ∊ B, cujos elementos sĂŁo simultaneamente elementos de A e de B. Isto ĂŠ, se x ∈ A ∊ B entĂŁo x ∈ A e x ∈ B. A ∊ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

A

B

Exemplo Seja A = {1, 2, 3, 4} e B= {3, 4, 5} A âˆŞ B = {1, 2, 3, 4, 5} A ∊ B = {3, 4} B – A = {5}

A∊B

Exemplo Seja A = {1, 2, 3}; B = {2, 4, 5}, C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Calcule: a) A ∊ B b) A âˆŞ B c) (A ∊ B) âˆŞ C d) (A âˆŞ B) ∊ C

Complementar de um conjunto Seja um conjunto A. Chamamos de complementar de A, e denotamos por AC, ao conjunto dos elementos que nĂŁo pertencem ao conjunto A. Isto ĂŠ, AC = {x | x ďƒ? A}

Diferença entre os conjuntos A e B

Solução a) A ∊ B = {2} b) A âˆŞ B = {1, 2, 3, 4, 5} c) (A ∊ B) âˆŞ C = {2} âˆŞ{1, 2, 3, 4, 5, 6,} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} d) (A âˆŞ B) ∊ C = { 1, 2, 3, 4, 5} ∊{1, 2, 3, 4, 5, 6,} = { 1, 2, 3, 4, 5}

Chamamos de diferença entre os conjuntos A e B, e denotamos por (A – B), ao conjunto cujos elementos pertençam ao conjunto A, mas nĂŁo pertençam ao conjunto B. Isto ĂŠ, A–B = {x | x ∈ A e x ďƒ? B} = A ∊ BC

Exemplo Seja um conjunto A com 300 elementos, um conjunto B com 500 elementos. Suponhamos que hĂĄ 100 elementos comuns em A e B. Quantos elementos possui: a. somente o conjunto A b. somente o conjunto B c. o conjunto A âˆŞ B

Observação • Quando B ⊂ A, a diferença A – B chama-se conjunto complementar de B em relação a A e denotamos por đ??śđ??´ đ??ľ. Logo se B ⊂ A entĂŁo A – B = đ?‘Şđ?‘¨ đ?‘Š.

Solução

• Representamos n (A) - nĂşmero de elementos do conjunto A n (B) - nĂşmero de elementos do conjunto B n (A ∊ B) - nĂşmero de elementos do conjunto A ∊ B n (A âˆŞ B) - nĂşmero de elementos do conjunto A âˆŞ B EntĂŁo

a. 200 elementos b. 400 elementos

n (A âˆŞ B) = n (A) + n (B) – n (A ∊ B) RaciocĂ­nio LĂłgico para o INSS – Professor Joselias

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RaciocĂ­nio LĂłgico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br c. n (A âˆŞ B) = n(A) + n(B) - n(A ∊ B) n (A âˆŞ B) = 300 + 500 - 100 n (A âˆŞ B) = 700 elementos. Exemplo (MACK-SP) Se A e B sĂŁo dois conjuntos tais que A ďƒŒ B e A ≠∅, entĂŁo: a) sempre existe x Ďľ A tal que x ďƒ? B. b) sempre existe x Ďľ B tal que x ďƒ? A. c) se x Ďľ B entĂŁo x Ďľ A d) se x ďƒ? B entĂŁo x ďƒ? A e) A ∊ B = ∅ Solução Pelos dados do problema temos: A opção A ĂŠ totalmente absurda pois A ⊂ B. A opção B, a palavra sempre força o caso de que A nĂŁo possa ser igual a B. A opção C, desde que B ⊂ A. A opção D, ĂŠ correta, basta ver a propriedade 12 (se A ⊂ B ⇒ BC ⊂ AC) A opção E, ĂŠ absurda. Resposta: D Exemplo (MACK-SP) Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7}, entĂŁo o complementar de B em relação a A ĂŠ: a) ∅ b) {8} c) {8, 9, 10} d) {9, 10, 11, ...} e) {1, 5, 8} Solução Observe que B ⊂ A logo đ??śđ??´ đ??ľ = đ??´ − đ??ľ = {1, 5, 8} Resposta: E

3. Podemos fazer o seguinte diagrama de Venn R

4. Sejam dois conjuntos A e B. Dizemos que A e B sĂŁo disjuntos se e somente se A ∊ B = ∅ Exemplo A = {0, 1, 3, 4, 6} e B = {2, 5, 7} A ∊ B = ∅ logo A e B sĂŁo conjuntos disjuntos. NĂšMEROS NATURAIS Os nĂşmeros naturais surgiram quando as primeiras civilizaçþes começaram a contar os seus rebanhos. EntĂŁo, surgiram os nĂşmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... Ă€ representação dos nĂşmeros chamamos de numeral, por exemplo: 19 ĂŠ o numeral representado pelos algarismos 1 e 9.

CONJUNTO DOS NĂšMEROS NATURAIS (â„•) Representaremos o conjunto de todos os nĂşmeros naturais por:

â„• = {đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘, đ?&#x;’, ‌ } NĂšMEROS PARES E NĂšMEROS Ă?MPARES Chamaremos de nĂşmeros pares aos nĂşmeros mĂşltiplos de 2, isto ĂŠ: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,... Chamaremos de nĂşmeros Ă­mpares aos nĂşmeros naturais que nĂŁo sĂŁo pares, isto ĂŠ: 1, 3, 5, 7, 9,...

Produto Cartesiano Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de pares ordenados (a, b), tal que a ĂŠ um elemento de A e b ĂŠ um elemento de B. Simbolicamente teremos. AĂ—B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B} Exemplo Seja A = {0, 1, 2} e B= {1, 2, 3} AĂ—B = {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)} Para o caso de trĂŞs conjuntos A, B e C o produto cartesiano serĂĄ definido analogamente. AĂ—BĂ—C= {(a,b,c) | a ∈ A e b ∈ B e c ∈ C}

Conjunto dos NĂşmeros Reais Chamamos de conjunto dos nĂşmeros reais a uniĂŁo entre o conjunto dos nĂşmeros racionais e o conjunto dos nĂşmeros irracionais. Isto ĂŠ,

R=QâˆŞI Observação: 1. Podemos concluir que: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R 2. Podemos concluir que: I ∊ Q = ∅

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NĂšMEROS INTEIROS Estudamos no ensino fundamental que os nĂşmeros inteiros sĂŁo: ...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...

PROPRIEDADES E OPERAÇÕES DOS NUMEROS INTEIROS Se a, b e c sĂŁo nĂşmeros inteiros, entĂŁo: I- a+b = b+a e ab = ba Dizemos entĂŁo que a soma e o produto sĂŁo operaçþes comutativas. II- a+(b+c) = (a+b)+c e a.(bc) = (ab).c Dizemos entĂŁo que a soma e o produto sĂŁo operaçþes associativas. III- a(b+c) = ab + ac Dizemos entĂŁo que o produto ĂŠ distributivo em relação Ă operação soma. IV- a+0 = a Dizemos que zero ĂŠ o elemento neutro da operação soma. V- a.1 = a Dizemos que um ĂŠ o elemento neutro da operação produto. VI- Para cada inteiro a, existe um inteiro x, tal que x+a = 0. Este valor de x serĂĄ representado por –a, e serĂĄ chamado de simĂŠtrico ou oposto do nĂşmero a. 10

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Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br Exemplos: -2 Ê simÊtrico de 2 -3 Ê simÊtrico de 3 -2 Ê oposto de 2 3 Ê simÊtrico de -3 3 Ê oposto de -3

x% 

CONJUNTO DOS NĂšMEROS INTEIROS

Quando efetuamos a divisĂŁo do numerador por 100, temos como resultado a taxa unitĂĄria. Exemplo

Representaremos o conjunto dos nĂşmeros inteiros por: ℤ = {‌ , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ‌ }

a)

Teremos entĂŁo os seguintes conjuntos derivados do conjunto dos nĂşmeros inteiros:

b)

25 100 25 100

= 25% (taxa percentual) = 0,25 (taxa unitĂĄria)

ℤ− = conjunto dos nĂşmeros inteiros nĂŁo positivos: ℤ− = {‌ , −4, −3, −2, −1,0} ℤ+ = conjunto dos nĂşmeros inteiros nĂŁo negativos: ℤ+ = {0, 1,2,3,4, ‌ } ℤ∗− = conjunto dos inteiros negativos: ℤ∗− = {‌ , −4, −3, −2, −1}

PORCENTAGEM Calcular a porcentagem de um número significa multiplicar a fração percentual pelo número. Exemplo Calcular: a)

ℤ∗+ = conjunto dos nĂşmeros inteiros positivos: ℤ∗+ = {1, 2,3,4, ‌ }

NÚMEROS RACIONAIS E FRACIONà RIOS, REPRESENTAÇÕES EM FORMA DECIMAL Dizemos que um número Ê racional se ele pode ser escrito na forma:

p q

tal que đ?‘? ∈ ℤ e

đ?‘ž ∈ ℤ∗

Isto quer dizer que um número Ê racional se ele pó ser escrito como uma fração. Os números que não podem ser representados como uma fração serão chamados de Irracionais. Exemplos: a)

b)

4 Ê racional. 9 12 0,121212...  Ê racional. 99

c)

d)

2 7

e) f)

600 2 2 de 300 = x 300 = = 120 5 5 5

b) 25% de 400 = 25% x 400 = 25 x 400 = 100

100 Exemplo Um capital foi aplicado por um certo período a uma taxa de 4% no período, tendo recebido no final do prazo R$ 600,00 de juro. Qual o valor do capital aplicado? Solução Sejam os dados: C = capital aplicado i = a taxa de juro J = o juro obtido no final do prazo. Então teremos: i = 4% no período aplicado J = R$ 600,00 A taxa de juro serå o valor do juro aplicado expresso como porcentagem do capital.

0, 4444... 

231 0, 231231...  999

ď °

i

J C 600 C 600  C 600 x100 4 60000  R$15.000, 00 4

4%  4 100

ĂŠ racional.

C

ĂŠ racional.

2

x 100

C

Resposta: R$ 15.000,00

ĂŠ irracional ĂŠ irracional

COMPARAĂ‡ĂƒO DE DOIS NĂšMEROS

4 - CĂĄlculos de Porcentagens TAXA PERCENTUAL E TAXA UNITĂ RIA

A fração Taxa Percentual Ê a fração cujo denominador Ê igual a 100. Temos então que fração

25 100

a b

representa a porcentagem que o nĂşmero a

representa de um nĂşmero b. ĂŠ uma taxa percentual e serĂĄ

indicada por 25%, logo: Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias

Exemplo Que porcentagem o nĂşmero 2 representa do nĂşmero 5? 11

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Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br Solução Basta efetuar a fração:

Exemplo Um produto é comprado por R$ 150,00 e é vendido por R$ 300,00. Qual foi o lucro sobre o preço de custo? Qual foi o lucro sobre o preço de venda? Solução PC = R$ 150,00 PV = R$ 300,00 Lucro sobre o preço de custo:

2  0, 4  40% 5

Resposta: 40% Exemplo Numa classe com 80 alunos, 28 foram aprovados em matemática. Qual a porcentagem de aprovados nessa matéria? Qual a porcentagem de reprovados? Solução Total de alunos na classe: 80 alunos Quantidade de alunos aprovados: 28 alunos Logo, a porcentagem de alunos aprovados é:

PV  PC 300  150 150    1  100% PC 150 150

Lucro

Suponha que um produto seja adquirido pelo valor PC, e seja vendido pelo valor PV. Isto é: PC = “preço de custo do produto” PV = “preço de venda do produto” L = “lucro obtido com a venda do produto” Então temos que o lucro obtido com a venda do produto é:

venda:

PV  PC PV  PC 1  PV  PC  20% 0,2     0,25  25% PC 0,8PV 0,8  PV  0,8 0,8 Resposta: 25%

L = PV – PC Sendo assim temos: Lucro sobre o preço de custo:

Lucro sobre o preço de venda:

TAXA DE VARIAÇÃO PERCENTUAL

L PV  PC .  PC PC

Chamamos de taxa de variação percentual a medida percentual de quanto a variável aumentou ou diminuiu. Sendo assim, temos: Vant= Valor antigo da variável. Vnovo = Valor novo da variável. Δ = Taxa de variação percentual

L PV  PC .  PV PV

Exemplo Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$ 500,00? Qual foi o lucro sobre o preço de custo? Solução PC = R$ 400,00 PV = R$ 500,00 Lucro sobre o preço de custo:



Resposta: 25%

preço

de

venda:

Vnovo 1 Vant



Vnovo  Vant Vant



525  500 25 5    5% 500 500 100

Resposta: 5%

Resposta: 20% Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias

ou

Exemplo O preço de um produto aumentou de R$ 500,00 para R$ 525,00. Qual foi a taxa de variação percentual do preço? Solução Vant = R$ 500,00 Vnovo = R$ 525,00

Exemplo Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$ 500,00? Qual foi o lucro sobre o preço de venda? Solução

PV  PC 500  400 100 20     20% PV 500 500 100

Vnovo  Vant Vant



PV  PC 500  400 100 25     25% PC 400 400 100

o

de

Lucro sobre o preço de venda = 20% PV  PC  20% PV PV – PC = 0,2 PV PV – 0,2 PV = PC 0,8 PV = PC PC = 0,8 PV Lucro sobre o preço de custo:

LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA E LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO

PC = R$ 400,00 PV = R$ 500,00 Lucro sobre

preço

Exemplo Um produto é vendido com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual foi o lucro sobre o preço de custo? Solução

A porcentagem de alunos reprovados será: 100% - 35% = 65% Resposta: 35% e 65%

b)

o

Resposta: 100% e 50%

28  0,35  35% 80

a)

sobre

PV  PC 300  150 150 50     50% PV 300 300 100

12

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Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br Exemplo Um comerciante comprou um produto por R$ 1.500,00, e o revendeu um mês depois por R$ 1.725,00. Qual foi a taxa de variação percentual no mês? Solução Vant = R$ 1.500,00 Vnovo = R$ 1.725,00



Vnovo  Vant 1725  1500 225 15     15% Vant 1500 1500 100

Resposta: C Exemplo (VUNESP) A diferença entre o preço de venda anunciado de uma mercadoria e o preço de custo é igual a R$ 2.000,00. Se essa mercadoria for vendida com um desconto de 10% sobre o preço anunciado, dará ainda um lucro de 20% ao comerciante. Determine seu preço de custo. Solução PV – PC = 2000. Como a mercadoria foi vendida com um desconto de 10% e teve um lucro de 20%, temos:

0,9 PV  PC  20% PC 0,9 PV  PC  0, 2 PC 9 PV  12 PC

FATOR(OU COEFICIENTE) DE ACUMULAÇÃO Vimos no item anterior que a variação percentual é dada por: Temos o sistema:

 PV  PC  2000  9 PV  12 PC

V V   novo  1  novo  1    Vnovo  Vant 1    Vant Vant

e

Vant

V  novo 1 

O fator ou coeficiente de acumulação denotado por 1 + Δ, é o valor que multiplicado pelo valor antigo produz o valor novo. Notamos que para varias taxas de variação percentual consecutiva Δ1 , Δ2 , ... Δn aplicadas sucessivamente obtemos a fórmula: Vnovo = Vant (1+ Δ1)(1+ Δ2) ... (1+ Δn) que será chamado de fator de acumulação total dos n períodos consecutivos. Temos portanto que: Δ = (1+ Δ1)(1+ Δ2) ... (1+ Δn) – 1 Será chamada de taxa de variação total dos n períodos consecutivos.

Multiplicando a 1ª equação por 9, temos: 9PV – 9PC = 18000 12PC – 9PC = 18000 3PC = 18000 PC = 6000 Resposta: R$ 6.000,00 Exemplo Em outubro de determinado ano, o Tribunal Regional do Trabalho concedeu a uma certa categoria profissional um aumento salarial de 80%, sobre o salário de abril, descontadas as antecipações. Se os trabalhadores receberam um aumento de 20% em setembro, qual o aumento percentual a ser recebido em outubro, considerando o salário recebido em setembro? a) 66,67% b) 60% c) 50% d) 40% e) 36,66% Solução   1  1 1   2   1

80%  1  20% 1   2   1 1, 2 1   2   1,8

Observação: Se Δ1 = Δ2 =.... = Δn = Δ a fórmula será Vnovo = Vant [1+ Δ]n

1, 2  1, 2 2  1,8

1, 2 2  0, 6 Exemplo 0, 6 Um comerciante aumentou o preço de um certo produto em 30%. 2    2  0,5   2  50% Como a venda do produto caiu, o comerciante arrependido, pre1, 2 tende dar um desconto no novo preço de modo a fazê-lo voltar ao Resposta: C valor anterior ao aumento. Nesse caso, o comerciante deve anunciar um desconto de, aproximadamente: a)15%; b) 19%; c) 23%; 5 – Problemas Resolvidos d) 28%; e) 30%. Solução Nesse tópico vamos resolver exercícios que envolvem racioTemos duas variações: cínios quantitativos, tais como aritméticos, geométricos, matriA primeira de 30% . ciais, sequenciais etc. O leitor deve tentar resolver as próxiA segunda no valor ∆2 . mas questões e procurar entender as soluções apresentadas A variação total será zero, pois o preço voltará ao anteriaqui nos próximos exemplos. or.   1  1 1   2   1 1) Em uma turma há 18 homens e 15 mulheres. Vinte e oito 0  1  30% 1   2   1 alunos dessa turma inscreveram-se para participar de um concurso. Quantas mulheres, no mínimo, estão inscritas para 1, 3     2   1 participar desse concurso? 1, 3  1 3 2  1 (A) 14 1, 3 2  0, 3 (B) 13 (C) 12 0, 3 2    2  0, 23 (D) 11 1, 3 (E) 10  2  23% Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias

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Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br Solução Para ter a menor quantidade de mulheres precisamos que todos os 18 homens se inscrevam. Logo o número mínimo de mulheres inscritas será 28 – 18 = 10 mulheres. Resposta: E

x=8 y = 14 Logo o número de presentes na reunião foi 22 pessoas (8 homens e 14 mulheres). Resposta: E

2) Uma prova com 240 questões diferentes foi distribuída a três estudantes, A, B e C, de modo que cada estudante recebeu um bloco com 80 questões distintas. A apresentou 80% de acertos nas suas respostas; B respondeu corretamente a 90% do seu bloco e C errou 70% de suas questões. Desta forma, o número total de questões erradas, pelos três estudantes, na prova é de: a) 24 b) 48 c) 56 d) 80 e) 192 Solução Temos que: A  16 erradas B  8 erradas C  56 erradas

5) Estou matriculado no curso de Administração de Empresas. Para trancar a matrícula em qualquer disciplina, tenho um prazo máximo de 90 dias a contar de hoje, que é terça-feira, vencendo o l.ª dia, portanto, amanhã, 4a feira. Então, esse prazo vencerá em uma (A) segunda-feira. (B) terça-feira. (C) quarta-feira. (D) quinta-feira. (E) sexta-feira. Solução 90 dividido por 7 tem como quociente 12 e resto 6. Portanto os 90 dias vencem em uma segunda-feira. Resposta: A

Total: 80 erradas Resposta: D 3) 12 homens estavam perdidos no deserto. Eles possuíam água para 30 dias, porém na noite do sexto dia encontraram um outro grupo de homens perdidos, que se juntaram a eles. Sabendo-se que a água durou apenas mais doze dias, a quantidade de homens no grupo encontrado foi a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 Solução Na noite do sexto dia possuíam água para mais 24 dias. Como a água só durou 12 dias (metade do que deveria), concluímos que o número de homens dobrou. Logo, no grupo encontrado havia 12 homens. Resposta: C 4) Na reunião de um condomínio compareceram homens e mulheres. Após iniciada a sessão, um homem se retirou, e o número de mulheres presentes ficou sendo o dobro do número de homens. Posteriormente, o homem que havia saído retomou. Em seguida, saíram seis mulheres, e o número de homens e mulheres presentes ficou igual. O número de pessoas presentes quando a reunião foi iniciada era (A) 14. (B) 16. (C) 18. (D) 20. (E) 22. Solução Início Homens Mulheres

 y  2( x  1)  x  y  6

x y

Etapa 1 x-1 y

Etapa 2 x y

Etapa 3 x y-6

 y  2( x  1)  y  x  6

Logo: 2(x-1) = x + 6 2x – 2 = x + 6 Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias

6) Uma lanchonete oferece aos seus clientes as seguintes opções para montar um sanduíche: 2 tipos de patês, 3 tipos de queijos, 4 tipos de frios e 3 tipos de folhas de saladas. Se uma pessoa quiser montar um sanduíche com apenas um ingrediente de cada tipo, o número de maneiras diferentes que ela poderá montar esse sanduíche será (A) 80. (B) 72. (C) 63. (D) 50. (E) 44. Solução Temos: 2 tipos de patês 3 tipos de queijos 4 tipos de frios 3 tipos de folhas de salada Logo pelo princípio fundamental da contagem temos 2  3  4  3 = 72 maneiras diferentes de montar o sanduíche. Resposta: B 7) Para presentear amigos, uma pessoa irá montar caixas com bombons sortidos e, para isso, comprou 500 g de bombons com licor, a R$ 36,00 o kg; 1,2 kg de bombons ao leite, a R$ 25,00 o kg, e 1,3 kg de bombons com recheio de frutas, a R$ 30,00 o kg. O preço médio de um kg de bombom comprado por essa pessoa saiu por (A) R$ 26,00. (B) R$ 27,00. (C) R$ 28,00. (D) R$ 29,00. (E) R$ 30,00. Solução Temos as seguinte quantidades: 0,5kg de bombons com licor  R$ 18,00 1,2kg de bombons ao leite  R$ 30,00 1,3kg de bombons com recheio de frutas  R$ 39,00 Logo: 1 caixa com 3 kg custa R$ 87,00. Portanto o kg da caixa será:

R$87, 00  R$29, 00 3

Resposta: D 8) (Vunesp-AgEscVigPen-V1-2012) De mesada, Julia recebe mensalmente do seu pai o dobro que recebe de sua mãe. Se em 5 meses ela recebeu R$ 375,00, então, de sua mãe ela recebe, por mês, (A) R$ 15,00. (B) R$ 20,00. 14

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RaciocĂ­nio LĂłgico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br (C) R$ 25,00. (D) R$ 30,00. (E) R$ 35,00. Solução Pai MĂŁe 10x + 5x = 375 15 x = 375 375 x= ∴ x = 25 15 Logo de sua mĂŁe recebeu R$ 25,00 por mĂŞs. Resposta: C

36 − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + 14 − đ?‘Ľ + 4 = 45 54 − đ?‘Ľ = 45 đ?‘Ľ=9 Resposta: C

9) (Vunesp-AgEscVigPen-V1-2012) Valdomiro cronometrou as voltas que correu em uma pista de 400 m e anotou os tempos na tabela a seguir.

Pode-se afirmar que o tempo mĂŠdio dessas quatro voltas foi, em segundos, de (A) 80. (B) 82. (C) 84. (D) 86. (E) 88. Solução 15 + 18 + 23 + 24 = 20 4 1 min 20 seg = 80 segundos Resposta: A 10) (Concurso Petrobras - 2011) JoĂŁo tem 100 moedas, umas de 10 centavos, e outras de 25 centavos, perfazendo um total de R$ 20,20. O nĂşmero de moedas de 25 centavos que JoĂŁo possui ĂŠ (A) 32 (B) 56 (C) 64 (D) 68 (E) 72 Solução Seja x o nĂşmero de moedas de 25 centavos, e (100 - x) o nĂşmero de moedas de 10 centavos. Temos que 25đ?‘Ľ + 10(100 − đ?‘Ľ) = 2020 25đ?‘Ľ + 1000 − 10đ?‘Ľ = 2020 15đ?‘Ľ = 1020 1020 đ?‘Ľ= 15 đ?’™ = đ?&#x;”đ?&#x;– đ?’Žđ?’?đ?’†đ?’…đ?’‚đ?’” đ?’…đ?’† đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’„đ?’†đ?’?đ?’•đ?’‚đ?’—đ?’?đ?’”. Resposta: D 11) (Concurso Petrobras - 2011) Conversando com os 45 alunos da primeira sĂŠrie de um colĂŠgio, o professor de educação fĂ­sica verificou que 36 alunos jogam futebol, e 14 jogam vĂ´lei, sendo que 4 alunos nĂŁo jogam nem futebol nem vĂ´lei. O nĂşmero de alunos que jogam tanto futebol quanto vĂ´lei ĂŠ (A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11 (E) 13 Solução Seja x o nĂşmero de alunos que jogam tanto futebol quanto vĂ´lei.

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12) Considere que, independentemente do tipo de demanda, o tempo gasto com o atendimento a cada cliente por um atendente, em minutos, seja sempre o mesmo, q que, em 4 horas de trabalho, ele atenda 64 clientes. Nessa situação, o tempo utilizado por esse atendente, no atendimento a cada cliente, ĂŠ a) inferior a 3 minutos. b) superior a 3 minutos e inferior a 4 minutos. c) superior a 4 minutos e inferior a 5 minutos. d) superior a 5 minutos e inferior a 6 minutos. e) superior a 6 minutos. Solução 240 min 64 48 min 3 min e 45 seg Ă— 60 2880 seg 320 00 Resposta: B 13) Em uma empresa, os empregados tĂŞm direito a descanso remunerado de um dia a cada 15 dias trabalhados. Em determinado ano, os dias trabalhados e os dias de descanso somaram 224 dias. Com base nessa situação, ĂŠ correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias de descanso desses empregados foi a) superior a 12 e inferior a 16. b) superior a 16 e inferior a 20. c) superior a 20 e inferior a 24. d) superior a 24. e) inferior a 12. Solução 224 16 64 14 00 Resposta: A 14) (TRT 15ÂŞ REGIĂƒO – FCC 2010) Certo dia, EurĂ­dice falou a JosuĂŠ: - Hoje ĂŠ uma data curiosa, pois ĂŠ dia de nosso aniversĂĄrio, sua idade se escreve ao contrĂĄrio da minha e, alĂŠm disso, a diferença entre as nossas idades ĂŠ igual ao nosso tempo de serviço no Tribunal Regional do Trabalho: 18 anos. Considerando que JosuĂŠ tem mais de 20 anos, EurĂ­dice tem menos de 70 anos e ĂŠ mais velha do que JosuĂŠ, entĂŁo, com certeza, a soma de suas idades, em anos, ĂŠ um nĂşmero (A) divisĂ­vel por 9. (B) menor que 100. (C) maior que 100. (D) quadrado perfeito. (E) mĂşltiplo de 11. Solução Sejam ab e ba as idades. Logo temos: ab = 10a + b ba = 10b + a A soma das idades serĂĄ: ab + ba = 11a + 11b = 11(a + b). (MĂşltiplo de 11) 15

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RaciocĂ­nio LĂłgico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br Resposta: E 15) (BANCO DO BRASIL – FCC – 2010) Em um banco, qualquer funcionĂĄrio da carreira de Auditor ĂŠ formado em pelo menos um dos cursos: Administração, CiĂŞncias ContĂĄbeis e Economia. Um levantamento forneceu as informaçþes de que I. 50% dos Auditores sĂŁo formados em Administração, 60% sĂŁo formados em CiĂŞncias ContĂĄbeis e 48% sĂŁo formados em Economia. II. 20% dos Auditores sĂŁo formados em Administração e CiĂŞncias ContĂĄbeis. III. 10% dos Auditores sĂŁo formados em Administração e Economia. IV. 30% dos Auditores sĂŁo formados em CiĂŞncias ContĂĄbeis e Economia. Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados ĂŠ (A) 58% (B) 56% (C) 54% (D) 52% (E) 48% Solução

Solução Observe que no total sĂŁo 32 pessoas, temos que: Casimiro Domitila Inicialmente 1ÂŞ Etapa 2ÂŞ Etapa 16 16 Observe que na 2ÂŞ etapa, da fila de Domitila para a de Casimiro, foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fila de Casimiro. Logo na etapa anterior a fila de Casimiro possuĂ­a a metade de pessoas (8 pessoas) Casimiro Domitila Inicialmente 1ÂŞ Etapa 8 24 2ÂŞ Etapa 16 16 Observe que na 1ÂŞ etapa, da fila de Casimiro para a de Domitila, foram deslocadas tantas pessoas quantas havia na fila de Domitila, logo a fila de Domitila possuĂ­a na etapa anterior a metade de pessoas (12 pessoas). DaĂ­ temos: Casimiro Domitila Inicialmente 20 12 1ÂŞ Etapa 8 24 2ÂŞ Etapa 16 16 Portanto inicialmente, o nĂşmero de pessoas na fila de Casimiro era 20. Resposta: E 17) (TRT 15ÂŞ REGIĂƒO – FCC 2010) Um TĂŠcnico JudiciĂĄrio 4 iniciou a digitação de um texto quando eram decorridos de 9

20% + x + 20% - x + x + 10% - x + 10% + x + 30% - x + 8% + x = 100% 98% + x = 100% x = 2% Substituindo-se os valores temos:

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certo dia e terminou essa tarefa quando eram decorridos 96 do mesmo dia. Se ao longo desse intervalo de tempo ele interrompeu seu trabalho apenas por 55 minutos, quando, entĂŁo, foi almoçar, o tempo que ele gastou na digitação de tal texto foi de (A) 2 horas e 30 minutos. (B) 2 horas e 45 minutos. (C) 3 horas e 20 minutos. (D) 3 horas e 40 minutos. (E) 3 horas e 45 minutos. Solução 4 4 96 InĂ­cio: đ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ž = đ?‘‘đ?‘’ 24 â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ = â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ = 9 9 9 10 â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ 40 đ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ . TĂŠrmino: 61 61 61 đ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ž = đ?‘‘đ?‘’ 24 â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ = â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ 96 96 4 = 15 â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ 15 đ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ .

A probabilidade serĂĄ: 18% + 2% + 8% + 28% = 56% Resposta: B 16) (TRT 15ÂŞ REGIĂƒO – FCC 2010) Certo dia, no inĂ­cio do expediente de uma unidade do TRT, foram formadas duas filas diante de um balcĂŁo, onde dois TĂŠcnicos JudiciĂĄrios Casimiro e Domitila - prestariam atendimento ao pĂşblico externo. Para que, naquele momento, as duas filas ficassem com o mesmo nĂşmero de pessoas, foram adotados os seguintes procedimentos: – primeiramente, da fila de Casimiro para a de Domitila, foram deslocadas tantas pessoas quantas havia na fila de Domitila; – em seguida, da fila de Domitila para a de Casimiro, foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fila de Casimiro. Se, apĂłs esses dois procedimentos, ambas as filas ficaram com 16 pessoas, entĂŁo, inicialmente, o nĂşmero de pessoas na fila de (A) Domitila era 15. (B) Casimiro era 24. (C) Casimiro era 18. (D) Domitila era 14. (E) Casimiro era 20. RaciocĂ­nio LĂłgico para o INSS – Professor Joselias

O tempo que ele gastou na digitação de tal texto foi de: đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’‰đ?’?đ?’“đ?’‚đ?’” đ?’† đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’Žđ?’Šđ?’?đ?’–đ?’•đ?’?đ?’” − đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?’‰đ?’?đ?’“đ?’‚đ?’” đ?’† đ?&#x;’đ?&#x;Ž đ?’Žđ?’Šđ?’?đ?’–đ?’•đ?’?đ?’” − đ?&#x;“đ?&#x;“ đ?’Žđ?’Šđ?’?đ?’–đ?’•đ?’? = = đ?&#x;‘ đ?’‰đ?’?đ?’“đ?’‚đ?’” đ?’† đ?&#x;’đ?&#x;Ž đ?’Žđ?’Šđ?’?đ?’–đ?’•đ?’?đ?’”. Resposta: D 18) (TRF 2ÂŞ REGIĂƒO – FCC – 2007) Pelo controle de entrada e saĂ­da de pessoas em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, verificou-se em certa semana que o nĂşmero de visitantes na segunda-feira correspondeu a este correspondeu a

3 do da terça-feira e 4

2 do da quarta-feira. Na quinta-feira e 3

na sexta-feira houve igual nĂşmero de visitantes, cada um deles igual ao dobro do da segunda-feira. Se nessa semana, de segunda Ă sexta-feira, o total de visitantes foi 750, o nĂşmero de visitantes na (A) segunda-feira foi 120. 16

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RaciocĂ­nio LĂłgico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br (B) terça-feira foi 150. (C) quarta-feira foi igual ao da quinta-feira. (D) quinta-feira foi igual ao da terça-feira. (E) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira. Solução Suponhamos que a quantidade de visitantes na quarta-feira foi x. Temos entĂŁo que o nĂşmero de visitantes na terça-feira

Temos 343 funcionårios. Seja x o número de homens e (343 – x) o número de mulheres. Logo:

2 x. Sendo assim o nĂşmero de visitantes na 3 3 segunda-feira corresponde a do nĂşmero de visitantes da 4 3 2 x terça feira, isto ĂŠ: ď‚´ x . 4 3 2

2 x  1715  5 x 7 x  1715 1715 x 7

x 5  343  x 2 2 x  5  343  x 

corresponde a

Como o nĂşmero de visitantes na quinta–feira foi igual ao nĂşmero de visitantes na sexta-feira, e igual ao dobro da segunda-feira, temos que na quinta-feira foi x. Logo temos: Segunda-feira ďƒ Terça-feira ďƒ

x visitantes 2

2 x visitantes 3

Quarta-feira ďƒ x visitantes Quinta-feira ďƒ x visitantes Sexta-feira ďƒ x visitantes Logo o nĂşmero de visitantes na quarta-feira foi igual ao da quinta-feira. Resposta: C 19) (TRT 15ÂŞ REGIĂƒO – FCC 2010) Num dado momento, observou-se que o volume de ĂĄgua no interior da caixa d’ågua 1 de um edifĂ­cio ocupava de sua capacidade e que, se lĂĄ fos3 sem colocados mais 0,24m3 de ĂĄgua, o volume de ĂĄgua na 2 caixa passaria a ocupar os de sua capacidade. Conside5 rando que nĂŁo foi colocada ĂĄgua no interior da caixa, entĂŁo, no momento da observação, o nĂşmero de litros de ĂĄgua que seriam necessĂĄrios para enchĂŞ-la era (A) 1 800 (B) 2 400 (C) 2 500 (D) 3 200 (E) 3 600 Solução Seja x a capacidade total. EntĂŁo temos: 2 1 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ = 0,24 5 3 đ?‘Ľ = 0,24 15 đ?&#x;‘ đ?’™ = đ?&#x;‘, đ?&#x;” đ?’Ž = đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?’?đ?’Šđ?’•đ?’“đ?’?đ?’” Logo o nĂşmero de litros de ĂĄgua que seriam necessĂĄrios para enchĂŞ-la era: đ?&#x;? đ?’…đ?’† đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?’?đ?’Šđ?’•đ?’“đ?’?đ?’” = đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?’?đ?’Šđ?’•đ?’“đ?’?đ?’”. đ?&#x;‘ Resposta: B 20) (TRF 2ÂŞ REGIĂƒO – FCC – 2007) Dos 343 funcionĂĄrios de uma Unidade do Tribunal Regional Federal, sabe-se que o nĂşmero de homens estĂĄ para o de mulheres assim como 5 estĂĄ para 2. Assim sendo, nessa Unidade, a diferença entre o nĂşmero de homens e o de mulheres ĂŠ (A) 245 (B) 147 (C) 125 (D) 109 (E) 98 Solução RaciocĂ­nio LĂłgico para o INSS – Professor Joselias

x

245 homens. Temos 245 homens e 98 mulheres. A diferença entre homens e mulheres ĂŠ 245 – 98 = 147. Resposta: B 21) Uma pessoa faz um depĂłsito de R$ 950,00 para abrir uma conta em um banco. ApĂłs alguns dias, retira R$ 500,00. Uma semana depois, surge um imprevisto e ela necessita retirar R$ 475,00. Sabendo que ao final dessas transaçþes serĂŁo retirados da conta R$ 3,70 de CPMF (imposto obrigatĂłrio em movimentaçþes financeiras), o saldo final dessa pessoa serĂĄ de (A) R$ 28,70. (B) R$ 25,00. (C) – R$ 25,00. (D) – R$ 26,30. (E) – R$ 28,70. Solução DepĂłsito inicial Retirada Retirada CPMF Saldo Final Resposta: E

ďƒ ďƒ ďƒ ďƒ ďƒ

R$ 950,00 (R$ 500,00) (R$ 475,00) (R$ 3,70) (R$ 28,70) ...NEGATIVO

22) Um funcionĂĄrio recebeu, no mĂŞs de maio, R$ 1.170,00 de salĂĄrio lĂ­quido (jĂĄ com os descontos). Desse valor, 1/3 foi gasto para pagar o aluguel. Do restante, Âź foi gasto em alimentação e, do que sobrou, 1/5 foi utilizado em despesas extras. Assim, do salĂĄrio lĂ­quido inicial, restaram apenas (A) R$ 702,00. (B) R$ 468,00. (C) R$ 375,00. (D) R$ 326,00. (E) R$ 289,00. Solução SalĂĄrio inicial ďƒ R$ 1170,00 Aluguel(1/3 do salĂĄrio) ďƒ (R$ 390,00) Saldo ďƒ R$ 780,00 Alimentação(1/4 do saldo) ďƒ (R$ 195,00) Saldo ďƒ R$ 585,00 Despesas extras(1/5 do saldo) ďƒ (R$ 117,00) Saldo Final ďƒ R$ 468,00 Resposta: B 23) Para revestir o piso de um pĂĄtio, sĂŁo utilizadas lajotas brancas e cinza. A razĂŁo entre a quantidade de lajotas cinza e lajotas brancas estĂĄ indicada na tabela:

Se forem colocadas 432 lajotas brancas, o total de lajotas utilizadas serĂĄ de (A) 216. (B) 288. (C) 332. (D) 496. 17

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RaciocĂ­nio LĂłgico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br (E) 576. Solução Seja c a quantidade de lajotas cinza. Seja b a quantidade de lajotas brancas. Observe que b = 3c. Como b = 432, temos:

x 3x ďƒ¨ restaram 4 4 3 x 3x 2x 2ÂŞ Etapa ďƒ¨ foram eliminados ďƒ¨ restaram .  5 4 20 54 2 3x 3ÂŞ Etapa ďƒ¨ foram eliminados .  ďƒ¨ restaram 3 20 1 3x x   30 3 20 20 1ÂŞ Etapa ďƒ¨ foram eliminados

x = 20.30 x = 600 candidatos.

O total de lajotas utilizadas serĂĄ 432+144 = 576 lajotas. Resposta: E

Resposta: A

24) Certa empresa, investindo na melhoria das condiçþes de trabalho, adota o seguinte critÊrio: para cada 1 hora de trabalho, o funcionårio descansa 10 minutos. PorÊm, na hora anterior ao almoço e na última hora de trabalho do dia, não hå 10 minutos para descanso. Se um funcionårio começa a trabalhar às 7 h e 20 min e trabalha 8 horas por dia com 1 hora de almoço, seu horårio de saída serå às (A) 17 h e 20 min. (B) 17 h e 30 min. (C) 17 h e 40 min. (D) 17 h e 50 min. (E) 18 horas. Solução 6 horas de trabalho + 60 minutos de descanso : 7 horas. 2 horas de trabalho (antes do almoço e última hora): 2 horas. 1 hora de almoço: 1 hora. Total de horas na empresa: 10 horas. Logo seu horårio de saída serå às 7h20min +10h = 17h e 20 min. Resposta: A

27) Somando-se 4% de 0,6 com 9% de 0,04, obtÊm-se: a) 0,0216 b) 0,0256 c) 0,0276 d) 0,0286 e) 0,1296 Solução 4% de 0,6 + 9% de 0,04 =

25) Numa prova de vinte questĂľes, valendo cinco pontos cada uma, trĂŞs questĂľes erradas anulam uma certa. Podemos concluir que a nota de um aluno que errou nove questĂľes em toda essa prova ĂŠ: a) quarenta pontos. b) quarenta e cinco pontos. c) cinqĂźenta pontos. d) cinqĂźenta e cinco pontos. e) sessenta pontos. Solução Valor total da prova: 100 pontos. Errou 9 questĂľes ďƒ perdeu 12 ď‚´ 5 = 60 pontos. Nota final ďƒ 40 pontos. Resposta: A 26) Um concurso foi desenvolvido em trĂŞs etapas sucessivas e eliminatĂłrias. Do total de candidatos que participaram da 1ÂŞ etapa, 3/4 foram eliminados. Dos candidatos que participaram da 2ÂŞ etapa, 2/5 foram eliminados. Dos candidatos que foram para a 3ÂŞ etapa, 2/3 foram eliminados, e os 30 candidatos restantes foram aprovados. Sabendo-se que todos os candidatos aprovados em uma etapa participaram da etapa seguinte, pode-se afirmar que o nĂşmero total de candidatos que participaram da 1ÂŞ etapa foi a) 600 b) 550 c) 450 d) 400 e) 300 Solução Seja x o total de candidatos que participaram da primeira etapa.

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ď‚´ 0,6 + 9% ď‚´ 0,04 = 0,04 ď‚´ 0,6 + 0,09 ď‚´ 0,04 = 4%

0,024 + 0,0036 = 0,0276 Resposta: C đ?&#x;’

28) Calcule o valor da expressĂŁo: ( √đ?&#x;Ž, đ?&#x;’đ?&#x;’đ?&#x;’ ‌ )đ?&#x;? a) 0,222... b) 0,333... c) 0,444... d) 0,666... e) 0,1212... Solução 2 4 2 4 ( √0,444 ‌ ) = √0,444 ‌ . = √ = = 0,666 ‌ 9 3

Resposta: D 29) Sabendo-se que o algarismo 2 aparece 181 vezes na numeração de pĂĄginas iniciais e sucessivas de um livro, podemos afirmar que esse livro possui: a) 181 pĂĄginas. b) 200 pĂĄginas. c) 280 pĂĄginas. d) 392 pĂĄginas. e) 402 pĂĄginas. Solução De 1 atĂŠ 99 -----ďƒ¨ 20 vezes De 100 atĂŠ 199 ďƒ¨ 20 vezes De 200 atĂŠ 299 ďƒ¨ 120 vezes De 300 atĂŠ 399 ďƒ¨ 20 vezes No 402 -----------ďƒ¨ 1 vez TOTAL -----------ďƒ¨ 181 vezes Resposta: E 30) Um julgamento envolveu trĂŞs rĂŠus. Cada um dos trĂŞs acusou um dos outros dois. Apenas um deles ĂŠ culpado. O primeiro rĂŠu foi o Ăşnico que disse a verdade. Se cada um deles (modificando sua acusação) tivesse acusado alguĂŠm diferente, mas nĂŁo a si mesmo, o segundo rĂŠu teria sido o Ăşnico a dizer a verdade. Conclui-se que: a) O primeiro rĂŠu ĂŠ inocente e o segundo ĂŠ culpado b) O primeiro rĂŠu ĂŠ inocente e o terceiro ĂŠ culpado c) O segundo rĂŠu ĂŠ inocente e o primeiro ĂŠ culpado d) O terceiro rĂŠu ĂŠ inocente e o primeiro ĂŠ culpado 18

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Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br e) O terceiro réu é inocente e o segundo é culpado Solução: No primeiro caso, como cada um acusou um dos outros dois, e o primeiro foi o único que disse a verdade, concluímos que o primeiro é inocente. No segundo caso, concluímos geralmente que o segundo réu é inocente. Logo, o culpado é o terceiro réu. Resposta: B 31) Suponha que eu e você temos a mesma quantidade de dinheiro. Quanto tenho que te dar para que tenha R$ 10,00 a mais do que eu? A) R$ 5,00 B) R$ 10,00 C) R$ 15,00 D) R$ 20,00 E) R$ 25,00 Solução: Questão fácil pois temos a mesma quantidade de dinheiro. Para que tenhas R$ 10,00 a mais do que eu basta dar-te R$ 5,00. Resposta: A 32) Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é (A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44. Solução:

n = 20 + 7 + 8 + 9 n = 44 Resposta: E 33) Continuando a sequência 4, 10, 28, 82, . . . , temos (A) 236. (B) 244. (C) 246. (D) 254. (E) 256. Solução: Observe que: 3 x 4 – 2 = 10 3 x 10 – 2 = 28 3 x 28 – 2 = 82 3 x 82 – 2 = 244 Resposta: B 34) Se, para numerar as páginas de um livro, um tipógrafo usou 747 algarismos, então o número de páginas desse livro é (A) 350 (B) 315 (C) 306 (D) 298 (E) 285 Solução: Basta contar os algarismos: - da página 1 até a 9 temos 9 algarismos. - da página 10 até a 99 temos 90 x 2 = 180 algarismos. Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias

- da página 100 até a 199 temos 100 x 3 = 300 algarismos. Logo, até a página 199 contamos 489 algarismos. Para o tipógrafo escrever 747 faltam 258 algarismos, que representam

258  86 números. Portanto o número de páginas é 3

199 + 86 = 285. Conforme opção E. Resposta: E 35) Considerando-se que 10 vacas consomem 10 arrobas de ração em 10 dias, em quantos dias 1000 vacas irão consumir 1000 arrobas de ração? A) 01 dia B) 10 dias C) 100 dias D) 1000 dias E) 10000 dias Solução: Se 10 vacas consomem 10 arrobas de ração em 10 dias, então 1 vaca consumirá 1 arroba de ração em 10 dias. Portanto temos que 1000 vacas consumirão 1000 arrobas de ração durante os mesmos 10 dias. Resposta: B

36) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite, disposto em 4. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então dos números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o A) 8 B) 12 C) 18 D) 22 E) 24 Solução: 1ª Prateleira ==> 2x 2ª Prateleira ==> 2x + 2 3ª Prateleira ==> 2x + 4 4ª Prateleira ==> 2x+6 Total ======> 8x + 12 = 68 8x = 68 - 12 8x = 56, dividindo a expressão por 4 temos: 2x = 14. Então temos: 1ª Prateleira ==> 14 2ª Prateleira ==> 16 3ª Prateleira ==> 18 4ª Prateleira ==> 20 Resposta: C 37) (TRE/AC-FCC-2010) Relativamente ao total de registros de candidaturas protocolados certo mês por três Técnicos 8 5 Judiciários, sabe-se que: foi protocolado por Alciléia, por 15 12 Berenice e os demais por Otacílio. Assim sendo, a quantidade protocolada por Otacílio corresponde a que parte do total de registros protocolados nesse mês? (A) 5%. (B) 12,5%. (C) 15%. (D) 17,5%. (E) 20%. Solução 8 Alcileia  dos registros 15

Berenice 

5

12

dos registros 8

5

Otacílio  1 − = 15 12 Resposta: A

30−32−25 60

=

3 60

=

1 20

= 0,05 = 5%

38) (TRE/AC-FCC-2010) Diariamente, no refeitório de uma empresa são preparados 40 litros de refresco e, para tal, são usados suco de frutas concentrado e água em quantidades que estão entre si assim como 3 está para 5, respectivamente. Se, mantida a quantidade habitual de suco concentrado, a 19

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RaciocĂ­nio LĂłgico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br proporção passasse a ser de 2 partes de suco para 3 partes de ĂĄgua, entĂŁo poderiam ser preparados (A) 1,5 litros a mais de refresco. (B) 1,5 litros a menos de refresco. (C) 2,5 litros a mais de refresco. (D) 2,5 litros a menos de refresco. (E) 2,75 litros a mais de refresco. Solução đ??ś 3 = e C + A = 40 đ??´ 5 đ??ś 3 đ??ś 3 = ∴ = ∴ đ?‘Ş = đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?‘¨ = đ?&#x;?đ?&#x;“ đ??ś+đ??´ 5 40 8 đ??ś 2 15 2 Por outro lado, se = â&#x;š = â&#x;š A = 22,5 L đ??´ 3 đ??´ 3 EntĂŁo terĂ­amos 2,5L a menos de refresco Resposta: D 39) (TRE/AC-FCC-2010) Na Ăşltima eleição, ao elaborar o relatĂłrio sobre o comparecimento dos eleitores inscritos numa Seção Eleitoral, o presidente da mesa de trabalhos observou que 40% do total de inscritos haviam votado pela manhĂŁ e 75% do nĂşmero restante no perĂ­odo da tarde. Considerando que foi constatada a ausĂŞncia de 27 eleitores, o total de inscritos nessa Seção era (A) 108. (B) 125. (C) 150. (D) 172. (E) 180. Solução X = total de leitores ManhĂŁ ďƒ 40% x Tarde ďƒ 75% (x – 40%x) = 75% . 60% = 45% x Votaram ďƒ 40 x + 45% x = 85% x NĂŁo votaram ďƒ 15% x = 27 đ?&#x;?đ?&#x;• X= ďƒ x = 180 eleitores đ?&#x;Ž,đ?&#x;?đ?&#x;“

Resposta: E 40) (TRE/AC-FCC-2010) Considere que em 1990 uma Seção Eleitoral de certa cidade tinha apenas 52 eleitores inscritos − 18 do sexo feminino e 34 do sexo masculino − e que, a partir de entĂŁo, a cada ano subsequente o nĂşmero de mulheres inscritas nessa Seção aumentou de 3 unidades, enquanto que o de homens inscritos aumentou de 2 unidades. Assim sendo, o nĂşmero de eleitores do sexo feminino se tornou igual ao nĂşmero dos eleitores do sexo masculino em (A) 2004. (B) 2005. (C) 2006. (D) 2007. (E) 2008. Solução đ?‘šđ?‘˘đ?‘™â„Žđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ → 18 52 đ?‘’đ?‘™đ?‘’đ?‘–đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ { â„Žđ?‘œđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ → 34 ApĂłs n anos temos:

18 + 3n = 34 + 2n 3n – 2n = 34 – 18 n = 16 anos

Logo 1990 + 16 = 2006 Resposta: C

Exercícios propostos 1) Um aluno estava fazendo esta prova, quando viu que seu relógio parou. Então acertou o relógio em 16h e 30min e foi atÊ o banheiro. Chegando lå verificou que eram 16h e 20min, lavou o rosto e saiu de lå às 16h e 30min. Quando chegou na sala verificou que seu relógio marcava 16h e 45 min. Então resolveu acertar o seu relógio as: a) 16h e 32 min e 30 seg. Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias

b) 16h e 35 min e 60 seg. c) 16h e 40 min e 30 seg. d) 16h e 45 min e 60 seg. e) 17h e 45 min 2) “Se vocĂŞ estudar, entĂŁo serĂĄ aprovadoâ€?. Assim sendo, a) o estudo ĂŠ condição suficiente para ser aprovado. b) o estudo ĂŠ condição necessĂĄria para ser aprovado. c) se vocĂŞ nĂŁo estudar, entĂŁo nĂŁo serĂĄ aprovado. d) vocĂŞ serĂĄ aprovado sĂł se estudar. e) mesmo que estude, vocĂŞ nĂŁo serĂĄ aprovado. 3) (VUNESP-2013-PCSP-AgentePolicial) Observe a sequĂŞncia numĂŠrica: đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? , , , đ?&#x;? đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;? đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;? Sabendo-se que o 1Âş elemento dessa sequĂŞncia ĂŠ ,o đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž

2.o elemento ĂŠ , e assim sucessivamente, o primeiro đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž nĂşmero natural dessa sequĂŞncia corresponderĂĄ ao (A) 8Âş elemento. (B) 7Âş elemento. C) 11Âş elemento. (D) 91Âş elemento. (E) 10Âş elemento. 4) Quarta-feira, dezoito de setembro de mil novecentos e noventa e seis, oito horas e doze minutos, parado em um semĂĄforo, faltavam apenas setecentos metros para o expresso “Barrinhaâ€?, vindo de Barra do PiraĂ­ com noventa trabalhadores a bordo, chegar Ă Estação de Japeri. Ao mesmo tempo, a quatro quilĂ´metros de distância, um cargueiro desgovernado a cem quilĂ´metros por hora vinha no sentido contrĂĄrio, descendo a Serra das Araras. O resultado foi a morte de dezesseis pessoas e mais de sessenta feridos Ă s oito horas e dezesseis minutos. De acordo com o texto: a) Ă€s oito horas e doze minutos, um cargueiro desgovernado a cem quilĂ´metros por hora estava se dirigindo Ă Serra das Araras e iria colidir com o “Barrinhaâ€?. b) No momento do acidente, o “Barrinhaâ€? estava a quatro quilĂ´metros de distância da Estação de Japeri, seu destino, com noventa trabalhadores a bordo. c) O cargueiro, com noventa trabalhadores a bordo, colidiu com o “Barrinhaâ€? Ă s oito horas e dezesseis minutos do dia dezoito de setembro, causando dezesseis mortes e mais de sessenta feridos. d) O cargueiro, indo para Barra do PiraĂ­, desgovernado, acabou colidindo com o “Barrinhaâ€?, quando este estava parado em um semĂĄforo, a setecentos metros da Estação de Japeri, matando dezesseis pessoas e ferindo mais de noventa. e) Em quatro quilĂ´metros e em quatro minutos se desenvolveu a cena do acidente narrado do dia dezoito de setembro de mil novecentos e noventa e seis. 5) Recebi um cartĂŁo onde estavam impressas 4 afirmaçþes: - Nesse cartĂŁo exatamente uma sentença ĂŠ falsa. - Nesse cartĂŁo exatamente duas sentenças sĂŁo falsas. - Nesse cartĂŁo exatamente trĂŞs sentenças sĂŁo falsas. - Nesse cartĂŁo exatamente quatro sentenças sĂŁo falsas. Quantas dessas afirmaçþes sĂŁo falsas? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) impossĂ­vel 6) Escrevendo-se a seqßência de letras, formada pela palavra RACIOCINIO, temos: RACIOCINIORACIOCINIORACIOCINIO..... A letra que representa o termo de ordem 2008ÂŞ ĂŠ: a) A b) C c) I d) O e) N 7) (VUNESP-2013-PCSP-AgentePolicial) Considere verdadeiras todas as afirmaçþes a seguir sobre os grupos A, B e C de profissionais de um estabelecimento bancĂĄrio: I. O Grupo A tem 12 elementos. II. O Grupo B tem 11 elementos. 20

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Raciocínio Lógico para o INSS – Professor Joselias www.paraconcursos.com.br - joselias@uol.com.br III. O grupo C tem 10 elementos. IV. Apenas Ana Lúcia faz parte dos três Grupos, e todos os demais profissionais fazem parte exatamente de um Grupo. Decorre dessas afirmações que o número total de elementos da união desses três Grupos é (A) 33. (B) 32. (C) 34. (D) 30. (E) 31.

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8) Uma torneira enche completamente um tanque em 4 horas. Há um registro de saída no fundo do tanque e, quando aberto, esvazia esse tanque em 8 horas. Se a torneira for totalmente aberta com o tanque vazio, e o registro estiver totalmente aberto, o tanque estará completamente cheio em (A) 12 horas. (B) 10 horas. (C) 8 horas. (D) 6 horas. (E) 5 horas.

1) A 6) E

2) A 7) E

3) B 8) C

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Gabarito 4) E 5) D

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