Apostila de raciocínio lógico para o escrevente tj interior professor joselias

2015 Cortesia do Curso: www.paraconcursos.com.br

APOSTILA DE RACIOCÍNIO LÓGICO ESCREVENTE TJ-SP - INTERIOR Professor Joselias www.paraconcursos.com.br www.cursoprofessorjoselias.com.br

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Apostila de Raciocínio Lógico – Escrevente - Interior

Se a proposição p = “O Lula não é o presidente do Brasil” é falsa então representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = F. Sendo assim a frase “Parabéns!” não é uma proposição, pois não admite o atributo verdadeiro ou falso. Portanto também não serão proposições as seguintes expressões:

RACIOCÍNIO LÓGICO ESTRUTURAS LÓGICAS. LÓGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL). PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS. TABELA VERDADE.

Exclamações: “Oh!”, “Que susto!”.

LÓGICA

Interrogações: “Tudo bem?”, “Que dia é hoje?”, “Você é professor?”.

Veremos nas próximas linhas a definição do que vem a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposições denominadas premissas ou conclusões.

Imperativos: “Seja um bom marido.”, “Estude para concursos.”

Paradoxos: “Esta sentença é falsa”.

Teremos dois princípios no caso das proposições:

LÓGICA PROPOSICIONAL PRINCÍPIO DO TERCEIRO-EXCLUÍDO PROPOSIÇÃO Chamaremos de proposição ou sentença todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos.

Uma proposição só pode ter dois valores lógicos, isto é, é verdadeira (V) ou falsa (F), não podendo ter outro valor.

PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

Exemplo: a) O Lula é o presidente do Brasil. b) O Rio de Janeiro fica na Europa. c) Elvis não morreu.

Logo, voltando ao exemplo anterior temos: a) “O Lula é o presidente do Brasil.” é uma proposição verdadeira. b) “O Rio de Janeiro fica na Europa.” é uma proposição falsa. c) “Elvis não morreu”, é uma proposição falsa.

As proposições devem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realidade, e uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, portanto pode ser expressa por distintas orações, tais como: “O João é mais novo que o Pedro”, ou podemos expressar também por “O Pedro é mais velho que o João”.

Concluímos que as proposições estão associadas aos valores lógicos: verdadeiro (V) ou falso (F).

As proposições serão representadas por letras do alfabeto: A, B, C, ....

As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas, através de operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas(ou compostas).

Exemplo: Se a proposição p = “O Lula é o presidente do Brasil” é verdadeira então representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = V.

CONECTIVOS Os conectivos serão representados da seguinte forma:

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ďƒ˜ corresponde a “nĂŁoâ€? (Alguns autores

• Bi-condicionais: p  q (lê-se: p se e somente se q)

usam o sĂ­mbolo “ ~ â€?, para representar a negação).

Exemplo: Sejam p e q proposiçþes tal que: p = “Trabalhoâ€? q = “Estudoâ€?, entĂŁo temos que: p ď‚Ť q = “Trabalho se e somente se estudoâ€?

ďƒ™ď€ ď€ ď€ corresponde a “eâ€? (conjunção) ďƒšď€ ď€ ď€ corresponde a “ouâ€? (disjunção) ď‚Žď€ ď€ corresponde a “se ... entĂŁo ...â€? (condicional)

• Disjunção exclusiva: p ⊝ q ((lê-se: ou p, ou q, mas não ambos)

ď‚Ť corresponde a “...se e somente se...â€? (bicondicional)

Exemplo: Sejam p e q proposiçþes tal que: p = “Trabalhoâ€? q = “Estudoâ€?, entĂŁo temos que: p ⊝ q = “Ou trabalho, ou estudo, mas nĂŁo ambosâ€?

⊝ corresponde a “... ou ..., ou ..., mas nĂŁo ambos (disjunção exclusiva) Assim podemos ter: • Negaçþes: ~ đ?’‘ (lĂŞ-se: nĂŁo p)

PRIORIDADES DOS CONECTIVOS

Exemplo: Seja a proposição p = “LĂłgica ĂŠ difĂ­cilâ€?.

A proposição “LĂłgica nĂŁo ĂŠ difĂ­cilâ€? poderĂĄ ser representada por ~ đ?’‘.

Podemos usar parĂŞnteses para evitar ambiguidades, considerando a seguinte prioridade em ordem decrescente: ďƒ˜ (A prioridade mais alta) ďƒ™ď€ ďƒšď€ ď‚Žď€ ď‚Ť (A prioridade mais baixa)

• Conjunçþes: p ďƒ™ď€ q (lĂŞ-se: p e q) Exemplo: Sejam p e q proposiçþes tal que: p = “Trabalhoâ€? q = “Estudoâ€?, entĂŁo temos que: p ďƒ™ď€ q = “Trabalho e estudoâ€?

TABELA VERDADE O valor lógico de cada proposição composta depende dos conectivos contidos nela.

Cada conectivo possui uma regra para formar o valor lógico da proposição composta, conforme a descrição abaixo.

• Disjunçþes: p ďƒšď€ q (lĂŞ-se: p ou q) Exemplo: Sejam p e q proposiçþes tal que: p = “Trabalhoâ€? q = “Estudoâ€?, entĂŁo temos que: p ďƒšď€ q = “Trabalho ou estudoâ€?

a) Tabela verdade da negação (ďƒ˜p) (nĂŁo p) Se a proposição ĂŠ verdadeira, sua negação serĂĄ falsa. Se a proposição ĂŠ falsa, sua negação serĂĄ verdadeira. Assim teremos a seguinte

• Condicionais: p ď‚Žď€ q (lĂŞ-se: Se p entĂŁo q)

tabela:

Exemplo: Sejam p e q proposiçþes tal que: p = “Trabalhoâ€? q = “Estudoâ€?, entĂŁo temos que: p ď‚Žď€ q = “Se trabalho entĂŁo estudoâ€?

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p

ďƒ˜p

V

F

F

V

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f) Tabela verdade da disjunção exclusiva (p ⊻ q) A disjunção exclusiva será verdadeira quando as proposições simples, p e q, tiverem os valores lógicos diferentes, caso contrário será falsa. Assim teremos abaixo a tabela verdade para as proposições compostas pelas proposições simples p e q:

b) Tabela verdade da disjunção (pq) (p ou q) (ou p, ou q) A disjunção será falsa quando todas as proposições simples forem falsas, caso contrário será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela: p q p q V V V V F V F V V F F F

p V V F F

c) Tabela verdade da conjunção (pq) (p e q) A conjunção será verdadeira quando todas as proposições simples forem verdadeiras, caso contrário será falsa.

Assim teremos a seguinte tabela:

p

q

V V F

V F V

pq V F F

F

F

F

TABELA VERDADE

d) Tabela verdade da condicional (p q) (Se p, então q) A condicional somente será falsa quando p for verdadeira e q for falsa, caso contrário será verdadeira. p q p q V V V V F F F V V F F V

p q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

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q

p

pq

pq

p q

p q

p⊻q

V

V

F

V

V

V

V

F

V

F

F

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F

Descrever as seguintes proposições abaixo: a) p b) p  q c) p  q d) p  q e) p  q f) p ⊻ q Solução:

A bi-condicional será verdadeira quando as proposições simples, p e q, tiverem o mesmo valor lógico, caso contrário será falsa. q

p

Exemplo Sejam as proposições p e q, tal que: p = ”Corre” q = ”O bicho pega”

e) Tabela verdade da bi-condicional (p q) (p se e somente se q)

p

p⊻q F V V F

q V F V F

a) p = “Não corre” b) p  q = “Corre ou o bicho pega” c) p  q = “Corre e o bicho pega” d) p  q = “Se corre, então o bicho pega” e) p  q = “Corre se e somente se o bicho pega” f) p ⊻ q = “Ou corre, ou o bicho pega, mas não ambos” 3

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o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases acima, julgue o itens seguintes como certo(C) ou errado(E). a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.

Solução a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção.

Errado. A sentença não é proposição.

Exemplo Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

p

q

pq

pq

p q

p q

Solução: p

q

p

q

pq

p q

p  q

p  q

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

V

V

b) A segunda frase é uma proposição lógica simples.

Certo. A sentença “A resposta branda acalma o coração irado” é uma proposição simples.

Exemplo Determinar o valor verdade da proposição R  (P  Q), sabendo-se que VAL (P) = F, VAL (Q) = F e VAL (R) = F. Solução P

Q

R

PQ

R  (P  Q)

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

F

F

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

F

F

F

F

F

F

V

c) A terceira frase é uma proposição lógica composta.

Errado. Trata-se de uma oração com o sujeito composto, formando uma proposição simples. d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.

Errado. A sentença “Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade” apresenta apenas o conetivo condicional.

Exemplo Sabendo que a proposição “se A, então B” é falsa, podemos concluir que: a) a proposição A é verdadeira e B é verdadeira. b) a proposição A é verdadeira e B é falsa. c) a proposição A é falsa e B é verdadeira. d) a proposição A é falsa e B é falsa. e) A proposição A é sempre falsa.

Logo o VAL(R  (P  Q)) = V Exemplo (STF-2008) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então Apostila de RaciocínioLógico – Escrevente TJ-SP-Interior

Solução Teremos “se verdade, então falso”. Logo A é verdadeira e B é falsa.

Resposta: B

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ARGUMENTOS E DEDUÇÕES É um conjunto de proposiçþes em que algumas delas implicam outra proposição.

Chamaremos as proposiçþes p1, p2, p3, . . . , pn de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento. Representaremos os argumentos da seguinte maneira: p1 p2 p3 . . . pn

A noção de argumento indutivo gera a idÊia de transportar o particular para o geral, portanto a conclusão não Ê derivada apenas das premissas.

Exemplo O argumento abaixo Ê indutivo, pois o conteúdo da conclusão não Ê conseqßência apenas das premissas.

Segunda-feira choveu.

Terça-feira choveu.

Quarta-feira choveu.

Quinta-feira choveu.

ď œ AmanhĂŁ vai chover.

ď œq Exemplo Se chover entĂŁo fico em casa.

Choveu.

Para os argumentos dedutivos haverå uma classificação como vålidos ou não vålidos. Os argumentos dedutivos vålidos são raciocínio corretos, e os não vålidos são raciocínio incorretos. A classificação da validade não se aplica aos argumentos indutivos.

ď œ Fico em casa.

Exemplo Todas as mulheres sĂŁo bonitas.

Maria ĂŠ mulher.

đ?‘˝ĂĄđ?’?đ?’Šđ?’…đ?’?đ?’” đ?‘Ťđ?’†đ?’…đ?’–đ?’•đ?’Šđ?’—đ?’?đ?’” { đ?‘¨đ?’“đ?’ˆđ?’–đ?’Žđ?’†đ?’?đ?’•đ?’?đ?’” { đ?‘ľĂŁđ?’? đ?’—ĂĄđ?’?đ?’Šđ?’…đ?’?đ?’” đ?‘°đ?’?đ?’…đ?’–đ?’•đ?’Šđ?’—đ?’?đ?’”

ď œ Maria ĂŠ bonita.

Exemplo JoĂŁo ganha dinheiro ou JoĂŁo trabalha JoĂŁo ganha dinheiro.

Pelo princípio do terceiro-excluído temos que uma proposição Ê verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele Ê vålido ou não vålido.

ď œJoĂŁo nĂŁo trabalha ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS

A validade Ê uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lógica das suas proposiçþes (premissas e conclusþes) e não do conteúdo delas.

Sendo assim podemos ter as seguintes combinaçþes para os argumentos vålidos dedutivos: a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa.

Os argumentos sĂŁo divididos em dois grupos: Dedutivos e indutivos.

A noção de argumento dedutivo gera a idÊias de transportar o geral ao particular, isto quer dizer que a conclusão apenas ratifica o conteúdo das premissas.

Exemplo O argumento abaixo Ê dedutivo, pois o conteúdo da conclusão Ê conseqßência apenas das premissas.

Todas as mulheres sĂŁo princesas.

Todas as princesas sĂŁo bonitas.

ď œ Todas as mulheres sĂŁo bonitas.

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Podemos dizer que um argumento ĂŠ vĂĄlido se quando todas as suas premissas sĂŁo verdadeiras implica que sua conclusĂŁo tambĂŠm ĂŠ verdadeira. Portanto um argumento serĂĄ nĂŁo 5

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vĂĄlido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusĂŁo falsa.

Nesse argumento a afirmação da condição suficiente garante a conclusão da condição necessåria.

Exemplo Se ama, entĂŁo cuida.

Ama.

Exemplo No exemplo anterior observamos nĂŁo precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento acima ĂŠ vĂĄlido. Vamos substituir mulheres, princesas e bonitas por A, B e C respectivamente e teremos: Todos A ĂŠ B. Todo B ĂŠ C.

ď œ Cuida.

Exemplo Se Ê divisível por dois, então Ê par. É divisível por dois.

ď œTodo A ĂŠ C

ď œ É par.

ARGUMENTOS DEDUTIVOS Và LIDOS Sabemos que a classificação de argumentos vålidos ou não vålidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e tambÊm que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores lógicos das proposiçþes do argumento. Sabemos tambÊm que não podemos ter um argumento vålido com premissas verdadeiras e conclusão falsa.

Veremos agora alguns argumentos dedutivos vĂĄlidos importantes.

b) Negação do consequente(modus tollens) O argumento vĂĄlido chamado de negação do consequente possui a seguinte estrutura: đ?‘?→đ?‘ž ďƒ˜q ∴ ďƒ˜p

a) Afirmação do antecedente(modus ponens)

Nesse argumento a negação da condição necessåria garante a negação da condição suficiente.

O argumento vålido chamado de afirmação do antecedente possui a seguinte estrutura: Se p, então q. p

Exemplo Se ama, entĂŁo cuida.

NĂŁo cuida.

ď œq

ď œ NĂŁo ama.

Ou đ?‘?→đ?‘ž đ?‘?

Exemplo Se ĂŠ divisĂ­vel por dois, entĂŁo ĂŠ par.

NĂŁo ĂŠ par.

∴đ?‘ž

ď œ NĂŁo ĂŠ divisĂ­vel por dois.

c) Dilema Apostila de RaciocínioLógico – Escrevente TJ-SP-Interior

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Outro argumento vĂĄlido ĂŠ o dilema.

Geralmente este argumento ocorre quando a escolha de algumas opçþes levam a algumas consequências, e nesse caso a conclusão serå pelo menos uma das consequências.

Observe que o raciocĂ­nio ĂŠ incorreto, pois fato de nĂŁo amar nĂŁo garante que nĂŁo cuida.

p ou q.

Se p entĂŁo r.

Se q entĂŁo s. ď œ r ou s

ď œ NĂŁo ficarei em casa.

Exemplo Se chover, ficarei em casa.

NĂŁo estĂĄ chovendo

Observe que o raciocĂ­nio ĂŠ incorreto, pois fato de estĂĄ chovendo nĂŁo garante se ficarei ou nĂŁo em casa.

Exemplo JoĂŁo estuda ou trabalha.

Se JoĂŁo estudar serĂĄ feliz.

Se JoĂŁo trabalhar serĂĄ rico.

Exemplo Se eu for eleito, acabarĂĄ a misĂŠria.

NĂŁo fui eleito.

ď œ JoĂŁo serĂĄ feliz ou rico.

ď œ A misĂŠria nĂŁo acabarĂĄ

ARGUMENTOS DEDUTIVOS NĂƒO-VĂ LIDOS

Observe que o raciocĂ­nio ĂŠ incorreto, pois fato de nĂŁo ser eleito nĂŁo implica que a misĂŠria nĂŁo acabarĂĄ.

Chamaremos de falĂĄcias aos argumentos com estruturas nĂŁo vĂĄlidas. Os argumentos dedutivos nĂŁo vĂĄlidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusĂŁo. Assim podemos ter, por exemplo, argumentos nĂŁo-vĂĄlidos com premissas e conclusĂľes verdadeiras, porĂŠm as premissas nĂŁo sustentam a conclusĂŁo.

b) FalĂĄcia da afirmação do consequente Afirmando o consequente em uma condicional nĂŁo podemos obter conclusĂŁo sobre a afirmação do antecedente, sendo assim o argumento nĂŁo vĂĄlido conhecido como falĂĄcia da afirmação do consequente possui a seguinte estrutura: đ?‘?→đ?‘ž q ∴p

a) Falåcia da negação do antecedente Negando o antecedente em uma condicional não podemos obter conclusão, sendo assim o argumento não vålido conhecido como falåcia da negação do antecedente possui a seguinte estrutura:

Exemplo Se ele ama, entĂŁo cuida.

Ele cuida.

đ?‘?→đ?‘ž ďƒ˜đ?‘? ∴ ďƒ˜đ?‘ž

ď œ Ele ama.

Observe que o raciocĂ­nio ĂŠ incorreto, pois fato de ele cuidar nĂŁo garante que ele ama.

Exemplo Se ama, entĂŁo cuida.

NĂŁo ama.

Exemplo Se chover, ficarei em casa.

Fiquei em casa

ď œ NĂŁo cuida.

ď œ Choveu.

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tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”.

Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato ficar em casa não garante que choveu.

Exemplo Se eu for eleito, acabará a miséria.

Acabou a miséria.

 Fui eleito Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de acabar a miséria não implica que fui eleito.

Silogismo categórico de forma típica PROPOSIÇÕES UNIVERSAIS E PARTICULARES

O silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) será argumento formado por duas premissas e uma conclusão, tal que todas as premissas envolvidas são categóricas de forma típica ( A, E, I, O ).

Podemos classificar algumas sentenças como proposições universais ou particulares.

Nas proposições universais o predicado refere-se a totalidade do conjunto.

O silogismo categórico de forma típica apresenta os seguintes termos: • Termo menor – sujeito da conclusão.

• Termo maior – predicado da conclusão.

• Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na conclusão.

Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que contém o termo menor.

Exemplo “Todas as mulheres são vaidosas” é universal e simbolizamos por “todo S é P”.

Exemplo “A mulher é sábia” é universal e simbolizamos por “todo S é P”.

Nas proposições particulares o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto.

Exemplo Todos os brasileiros são alegres.

Todos os alegres são felizes.

Exemplo “Algumas mulheres são vaidosas” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.

Todos os brasileiros são felizes.

Termo menor: os brasileiros Termo maior: felizes Termo médio: os alegres Premissa menor: Todos os brasileiros são alegres.

Premissa maior: Todos os alegres são felizes.

Proposições afirmativas e negativas As proposições podem ser classificas como afirmativas ou negativas.

Exemplo “Nenhuma mulher é vaidosa” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S é P”.

DIAGRAMAS LÓGICOS Exemplo “Algumas mulheres não são vaidosas” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não é P”.

a) Universal afirmativa (A) “Todo S é P”

Chamaremos então de proposição categórica na forma típica as proposições dos Apostila de RaciocínioLógico – Escrevente TJ-SP-Interior

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A negação da sentença “Todas as crianças são levadas” é “Algumas crianças não são levadas”, que é equivalente a “existe pelo menos uma criança que não é levada”.

Resposta B.

Observação: - A negação de “Todo S é P” é “Algum S não é P”. b) Universal negativa (E) “Nenhum S é P”

Exemplo A negação da proposição “Todo A é B” é, no ponto de vista lógico, equivalente a: a) algum A é B. b) nenhum A é B. c) algum B é A. d) nenhum B é A. e) algum A não é B. Solução A negação da proposição “Todo A é B” é “Algum A não é B”.

Resposta A.

Observação: - “Nenhum S é P” é equivalente a ” Nenhum P é S”.

- A negação de “Nenhum S é P” é “Algum S é P”. c) Particular Afirmativa (I) “Algum S é P”

Exemplo A negação da proposição “Nenhum A é B” é, no ponto de vista lógico, equivalente a: a) algum A é B. b) algum A não é B. c) algum B não é A. d) nenhum B é A. e) todo A é B. Solução A negação da proposição “Nenhum A é B” é “Algum A é B”.

Resposta A.

Observação: - “Algum S é P” é equivalente a ” Algum P é S”.

- “Algum S é P” é equivalente a ” Pelo menos um S é P”.

- A negação de “Algum S é P” é “Nenhum S é P”. d) Particular negativa (O) “Algum S não é P”

Exemplo A negação da proposição “Todas as mulheres são bonitas” é: a) Nenhuma mulher é bonita. b) Todos os homens são bonitos. c) Algumas mulheres são bonitas. d) Algumas mulheres não são bonitas. e) Todas as mulheres não são bonitas Solução A negação da proposição “Todas as mulheres são bonitas” é “Algumas mulheres não são bonitas”.

Resposta D.

Observação: - A negação de “Algum S não é P” é “ Todo S é P”.

Exemplo A negação da sentença “Todas as crianças são levadas” é: a) nenhuma criança é levada. b) existe pelo menos uma criança que não é levada. c) não existem crianças levadas. d) algumas crianças são levadas. c) existe pelo menos uma criança levada.

Solução Apostila de RaciocínioLógico – Escrevente TJ-SP-Interior

Exemplo Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que: a) todo matemático seja louco. b) todo louco seja matemático. c) Algum louco não seja matemático. d) Algum matemático seja louco.

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e) Algum matemático não seja louco.

Solução A negação de todos pode ser Algum..., Existe um ..., Pelo menos um... etc. Sendo assim para que a afirmação “Todo matemático é louco” seja falsa basta que “Algum matemático não seja louco”.

Resposta: E Exemplo Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C Solução Pelas premissas podemos ter, por exemplo, o diagrama abaixo:

Assim concluímos que algum A é C. Resposta: C

Exercícios propostos 1) (2013 – IBFC - Oficial Administrativo – SUCEN) Analisando as afirmações abaixo, a alternativa correta é: I. Todo aluno desta escola é inteligente. Marcos é um aluno desta escola. Logo, Marcos é inteligente.

II. Todo x é y. Logo, todo y é x. a) I e II são argumentos válidos. b) Apenas II é um argumento válido. c) Apenas I é um argumento válido. d) Nenhum dos dois argumentos é válido.

2) (2014 – Vunesp – Perito Criminal – PCSP) Das alternativas apresentadas, assinale a única que contém uma proposição lógica.

(A) Ser um perito criminal ou não ser? Que dúvida!

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(B) Uma atribuição do perito criminal é analisar documentos em locais de crime.

(C) O perito criminal também atende ocorrências com vítimas de terrorismo!

(D) É verdade que o perito criminal realiza análises no âmbito da criminalística?

(E) Instruções especiais para perito criminal.

3) (2014 – IBFC - Agente Administrativo Pref. Alagoa Grande-PB) A frase “O candidato foi aprovado ou escolheu o curso errado” equivale logicamente a: a) O candidato não foi aprovado ou não escolheu o curso errado b) Se o candidato foi aprovado então escolheu o curso errado c) Se o candidato não foi aprovado, então escolheu o curso errado d) O candidato não foi aprovado e escolheu o curso errado 4) (2014 – IBFC - Qualquer Nível Médio – SEPLAG/SEDS-MG) A frase “Osvaldo anda de bicicleta ou Ana não comprou uma TV” equivale logicamente a: a) Se Ana comprou uma TV, então Osvaldo não anda de bicicleta. b) Se Osvaldo não anda de bicicleta, então Ana comprou uma TV. c) Ana comprou uma TV e Osvaldo não anda de bicicleta. d) Se Ana comprou uma TV, então Osvaldo anda de bicicleta.

5) (2014 – Vunesp – Perito Criminal – PCSP) Considere as seguintes proposições, em que o valor lógico da proposição I é verdade e o valor lógico da proposição II é falsidade: I. Um perito criminal atende ocorrências com vítimas de desabamento e examina elementos em locais de crime.

II. Um cidadão comum manuseia e analisa drogas psicoativas.

III. Se um cidadão comum manuseia e analisa drogas psicoativas, então um perito criminal examina elementos em locais de crime.

IV. Um perito criminal atende ocorrências com vítimas de desabamento se, e somente se, um cidadão comum manuseia e analisa drogas psicoativas.

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V. Um perito criminal atende ocorrências com vítimas de desabamento ou examina elementos em locais de crime.

Os valores lógicos das proposições III, IV e V são, respectivamente, (A) verdade, falsidade, falsidade.

(B) falsidade, falsidade, falsidade.

(C) verdade, verdade, verdade.

(D) falsidade, verdade, verdade.

(E) verdade, falsidade, verdade.

6) (2014 – ESAF – ATA – Ministério da Fazenda) A negação da proposição “se Paulo trabalha oito horas por dia, então ele é servidor público” é logicamente equivalente à proposição: a) Paulo trabalha oito horas por dia ou é servidor público. b) Paulo trabalha oito horas por dia e não é servidor público. c) Paulo trabalha oito horas por dia e é servidor público. d) Se Paulo não trabalha oito horas por dia, então não é servidor público. e) Se Paulo é servidor público, então ele não trabalha oito horas por dia.

7) (2014 – IBFC - Analista e Pesquisador de Saúde e Tecnologia I - Administração – FUNED-MG) Dizer que “Joaquim é músico ou Sheila é médica” é logicamente equivalente a dizer que: a) Se Joaquim é musico, então Sheila é médica. b) Se Sheila não é médica, então Joaquim é músico. c) Joaquim é músico se e somente se Sheila é médica. d) Sheila não é médica e Joaquim não é músico.

8) (2014 – Vunesp – Perito Criminal – PCSP) Considere a afirmação seguinte: O local do crime não foi violado e o exame pericial foi realizado.

Uma negação lógica para essa afirmação está contida na alternativa: (A) O local do crime não foi violado ou o exame pericial foi realizado.

(B) O local do crime foi violado e o exame pericial não foi realizado.

(C) O local do crime foi violado, mas o exame pericial foi realizado.

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(D) O local do crime foi violado ou o exame pericial não foi realizado.

(E) O local do crime não foi violado, mas o exame pericial não foi realizado.

9) (2014 – IBFC - Analista e Pesquisador de Saúde e Tecnologia I - Administração – FUNED-MG) De acordo com o diagrama abaixo não é correto afirmar que:

a) não existe Aster que é Brok. b) há Brok que não é Aster. c) há Aster que não é Brok. d) pode haver Aster que é Brok.

10) (2014 – Vunesp – Perito Criminal – PCSP) Considere verdadeiras as seguintes afirmações: • Se Clóvis é perito criminal, então ele porta arma e dirige viatura.

• Clóvis porta arma.

• Clóvis não dirige viatura.

Conclui-se corretamente, das afirmações apresentadas, que Clóvis (A) não é perito criminal.

(B) não é policial civil.

(C) é perito criminal.

(D) dirige carro que não seja viatura.

(E) é policial civil.

11)) (2014 – IBFC - Agente Administrativo Pref. Alagoa Grande-PB) O argumento válido “Se Paulo é motorista então trabalha muito, mas Paulo não trabalha muito” implica em: a) Paulo não é motorista. b) Paulo é motorista. c) Paulo pode ser ou não motorista. d) não é verdade que Paulo não é motorista.

12) (2014 – Vunesp – Perito Criminal – PCSP) Sabe-se que, em determinada região, • os policiais civis são funcionários públicos; • todo perito criminal é policial civil.

Logo, é correto concluir que, nessa região,

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(A) os peritos criminais são funcionários públicos.

(B) os funcionários públicos são peritos criminais.

(C) os policiais civis são peritos criminais.

(D) os funcionários públicos são policiais civis.

(E) algum perito criminal não é funcionário público.

13) (2012 – IBFC - Administrativo – FUNED) A negação da frase “Celso é médico e Paula é enfermeira” é: a) Celso não é médico ou Paula não é enfermeira. b) Celso não é médico e Paula não é enfermeira. c) Se Celso não é médico então Paula não é enfermeira. d) Celso não é médico mas Paula não é enfermeira.

14) (2012 – IBFC - Administrativo – FUNED) A proposição composta que é equivalente à proposição “ Se Marcos está feliz, então Mara foi à escola” é: a) Marcos está feliz ou Mara não foi à escola. b) Marcos não está feliz ou Mara foi à escola. c) Marcos não está feliz ou Mara não foi à escola. d) Marcos não está feliz se, e somente se, Mara foi à escola.

15) (2014 – Vunesp – Perito Criminal – PCSP) Considere a afirmativa: Se André tirou uma ótima nota na prova preambular, então ele fará a prova de aptidão psicológica.

Contém uma equivalente da afirmativa apresentada a alternativa: (A) Se André fará a prova de aptidão psicológica, então ele tirou uma ótima nota na prova preambular.

(B) André tirou uma ótima nota na prova preambular e fará a prova de aptidão psicológica.

(C) Se André não tirou uma ótima nota na prova preambular, então ele não fará a prova de aptidão psicológica.

(D) André fará a prova de aptidão psicológica se, e somente se, ele não tirou uma ótima nota na prova preambular.

(E) Se André não fará a prova de aptidão psicológica, então ele não tirou uma ótima nota na prova preambular.

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16) (FCC-2014-Tec. Jud. Área Adm. Segurança-TRT 2ª) Cinco irmãs, discutindo sobre a festa que aconteceria na cidade no final do mês, fizeram as afirmações abaixo. − Se a Paula for à festa, então a Bruna também irá. − Se a Renata não for à festa, então a Laura irá. − Se a Flávia não for à festa, então a Bruna também não irá. − Se a Laura for à festa, então a Paula também irá.

Sabendo que as quatro afirmações são verdadeiras e que Paula não foi à festa, pode-se concluir que, necessariamente, (A) Bruna não foi à festa.

(B) Flávia não foi à festa.

(C) Flávia foi à festa.

(D) Renata não foi à festa.

(E) Renata foi à festa.

17) (FCC-2014-Tec. Jud. Área Adm. Segurança-TRT 2ª) Cinco irmãs, discutindo sobre a festa que aconteceria na cidade no final do mês, fizeram as afirmações abaixo. − Se a Paula for à festa, então a Bruna também irá. − Se a Renata não for à festa, então a Laura irá. − Se a Flávia não for à festa, então a Bruna também não irá. − Se a Laura for à festa, então a Paula também irá.

Sabendo que as quatro afirmações são verdadeiras e que Paula não foi à festa, pode-se concluir que, necessariamente, (A) Bruna não foi à festa.

(B) Flávia não foi à festa.

(C) Flávia foi à festa.

(D) Renata não foi à festa.

(E) Renata foi à festa.

18) (2010 – CESGRANRIO - Agente Censitário Municipal – IBGE) Z é mais velho que Y, mas tem a mesma idade de X. X é mais novo que W. Desse modo, (A) W é mais novo que Y. (B) W é mais velho que Y. (C) Z é mais velho que W. (D) X é mais novo que Y. (E) Y e W têm a mesma idade.

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19) (2014 – CESGRANRIO – Técnico Científico – TI – Análise de Sistemas – Banco da Amazônia) Considere a seguinte afirmação: Jorge se mudará ou Maria não será aprovada no concurso.

Tal afirmação é logicamente equivalente à afirmação: (A) Se Maria não for aprovada no concurso, então Jorge se mudará.

(B) Se Maria for aprovada no concurso, então Jorge não se mudará.

(C) Se Maria for aprovada no concurso, então Jorge se mudará.

(D) Jorge não se mudará ou Maria será aprovada no concurso.

(E) Jorge se mudará se, e somente se, Maria não for aprovada no concurso.

20) (2009-ESAF-Assistente Técnico Administrativo(ATA) – MF) X e Y são números tais que: Se X ≤ 4, então Y>7. Sendo assim: a) Se Y ≤ 7, então X > 4. b) Se Y > 7, então X ≥ 4. c) Se X ≥ 4, então Y < 7. d) Se Y < 7, então X ≥ 4. e) Se X < 4, então Y ≥ 7.

1–C 5–E 9–A 13 – A 17 – E

Gabarito: 2–B 3–C 6–B 7–B 10 – A 11 – A 14 – B 15 – E 18 – B 19 – C

4–D 8–D 12 – A 16 – E 20 – A

SEQUÊNCIAS LÓGICAS ENVOLVENDO NÚMEROS, LETRAS E FIGURAS. RESOLUÇÃO DE SITUAÇÕES-PROBLEMA. SEQUÊNCIA DE FIBONACCI A sequência de números naturais 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... é chamada de sequência de Fibonacci. Cada termo da sequência, a partir do terceiro, é igual a soma dos dois termos anteriores, e o termo geral (an) da sequência de Fibonacci será:

, se n = 1 0  a n = 1 , se n = 2 a +a  n-2 n-1 , se n = 3,4,5,6,...

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Exemplo Qual o próximo termo da sequência: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ....? a) 15 b) 17 c) 21 d) 22 e) 25 Solução Somando os dois temos anteriores da sequencia de Fibonacci temos 8 + 13 = 21.

Resposta: C

Exemplo Se a e b são termos da sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, a, b, 55, 89, ... ), podemos afirmar que a soma a+b é: a) 21. b) 34. c) 50. d) 55. e) 89 Solução Somando os dois temos anteriores da sequencia de Fibonacci temos a + b = 55 Resposta: D Exemplo Qual o próximo termo da sequência: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, . . . .? a) 30 b) 34 c) 42 d) 44 e) 50 Somando os dois temos anteriores temos que 16 + 26 = 42 Resposta: C Exemplo (ASSEMBLEIA LEGISLATIVA-SP-FCC-2010) sequência de números inteiros (F1, F2, F3, ..., Fn−1, Fn, Fn+1, ...), cujos termos são obtidos utilizando a lei de formação F1 = F2 = 1 e Fn = Fn−1 + Fn−2, para todo inteiro n ≥ 3, é chamada Sequência de Fibonacci − famoso matemático italiano do século XIII. Assim sendo, a soma do quinto, sétimo e décimo termos da Sequência de Fibonacci é igual a (A) 73 (B) 69 (C) 67 (D) 63 (E) 81 Solução Considerando os primeiros termos da sequência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...., temos 5 + 13 + 55 = 73.

Resposta: A

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SEQUĂ&#x160;NCIA DE NĂ&#x161;MEROS TRIANGULARES A sequĂŞncia de nĂşmeros naturais 1, 3, 6, 10, 15, 21,... ĂŠ chamada se sequĂŞncia de nĂşmeros triangulares, e o termo geral(an) da sequĂŞncia de nĂşmeros triangulares ĂŠ:

n(n+1) an = 2 Exemplo Qual o prĂłximo termo da sequĂŞncia: 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . . ? a) 18 b) 20 c) 24 d) 26 e) 28 Solução Queremos o sĂŠtimo termo da sequĂŞncia de nĂşmeros triangulares. Considerando n = 7 na fĂłrmula do termo geral temos: đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;&#x203A; + 1) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 2

e) 29 Solução Basta observar a seqßência: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 Resposta: B Exemplo (FCC) Das cinco palavras seguintes, quatro estão ligadas por uma relação, ou seja, pertencem a uma mesma classe.

MANIFESTO - LEI - DECRETO - CONSTITUIĂ&#x2021;Ă&#x192;O - REGULAMENTO A palavra que NĂ&#x192;O pertence Ă mesma classe das demais ĂŠ a) REGULAMENTO b) LEI c) DECRETO d) CONSTITUIĂ&#x2021;Ă&#x192;O e) MANIFESTO Solução A Ăşnica opção que nĂŁo pertence Ă mesma classe das demais ĂŠ â&#x20AC;&#x153;MANIFESTOâ&#x20AC;?.

Resposta: E

ExercĂ­cios propostos

7(7 + 1) 7 Ă&#x2014; 8 56 = = = 28 2 2 2 Resposta: E

1) (INVESTIGADOR DE POLĂ?CIA â&#x20AC;&#x201C; IP 1/2009 - PROVA PREAMBULAR) Toda sentença declarativa que pode ser classificada, unicamente, como verdadeira(V) ou falsa(F) ĂŠ a) proposição. b) contradição. c) conjunção. d) conectivo. e) axioma.

Exemplo Qual o prĂłximo termo da sequĂŞncia: 0, 6, 12, 18, 24, 30, . . . a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) 39 Solução Ă&#x2030; sĂł somar 6 ao seu antecessor: 30 + 6 = 36.

Resposta: D

2) A ciência provou que, se os pais têm olhos verdes, então seus filhos tambÊm terão olhos verdes. Joselias tem olhos verdes. Podemos concluir que: a) A filha do Joselias tem olhos verdes b) Os pais do Joselias têm olhos verdes c) Um dos pais do Joselias tem olhos verdes d) Os pais do Joselias não têm olhos verdes e) Nenhuma das opçþes anteriores podem ser concluídas.

đ?&#x2018;&#x17D;7 =

Exemplo Qual o prĂłximo termo da sequĂŞncia: 1, 3, 3, 7, 5, 11, 7, 15, 9, 19, 11, 23, 13, 27, . . . a) 14 b) 15 c) 25 d) 28 Apostila de RaciocĂ­nioLĂłgico â&#x20AC;&#x201C; Escrevente TJ-SP-Interior

3) (INVESTIGADOR DE POLĂ?CIA â&#x20AC;&#x201C; IP 1/2009 - PROVA PREAMBULAR) Toda proposição composta, cuja Ăşltima coluna da sua tabelaverdade encerre somente a letra V ( Verdade ) chama-se a) trepanação. b) tanatologia. c) teologia. d) tenacidade. e) tautologia.

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4) (FCC) Um programa de computador faz aparecer pontos luminosos no monitor. Inicialmente escuro, conforme padrão préestabelecido. Na 1ª etapa surgem 2 pontos luminosos, na 2ª etapa surgem 4 pontos ( totalizando 6 pontos na tela), na 3ª etapa surgem mais 12 pontos. Assim, a cada etapa, surge o dobro do número de pontos luminosos existentes na tela ao final da etapa anterior. Se esse padrão for mantido, ao final da etapa k tem-se, na tela, um número de pontos luminosos igual a : a) 4k2 – 8 k + 6 b) 2k2 – 12 k + 12 c) 2 . 3k-1 d) 3 . 2k-1 k (k – 1) e) 2 + 3 5) (INVESTIGADOR DE POLÍCIA – IP 1/2009 - PROVA PREAMBULAR) Cabe ao motorista verificar os fluídos da viatura. A probabilidade de ser verificado o óleo do motor é 0,30; a probabilidade de verificar a água do radiador é 0,15 e a probabilidade de verificar ambos é 0,05. Qual é a probabilidade do motorista não verificar nenhum dos dois fluidos? a) 0,60 b) 0,40 c) 0,30 d) 0,10 e) 0,20

6) Em uma festa havia três casais que usavam roupas das seguintes cores: um branco, outro verde e outro azul. Quando os três casais dançavam, o rapaz de branco dançava de costas para a moça de verde, e virou a cabeça para ela e falou: - Nenhum de nós está dançando com o parceiro vestido da mesma cor.

Sendo assim, concluímos que o rapaz que está dançando com a moça de branco veste a cor: a) azul b) branco c) verde d) impossível saber a cor e) há mais de uma solução 7) (INVESTIGADOR DE POLÍCIA CIVIL – PARANÁ – 2010) Considere as seguintes proposições: q → p e q → r ambas verdadeiras.

Nessas condições, a) se p é verdadeira, então r é verdadeira. b) se r é verdadeira, então q é verdadeira. c) se p é verdadeira, então q é verdadeira. d) se q é verdadeira, então p ∨ r é verdadeira.

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e) se p ∧ r é verdadeira, então q é verdadeira.

8) (AGENTE DE POLÍCIA – PCDF – FUNIVERSA - 2008) Uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição “se o cão mia, então o gato não late” é a proposição (A) o cão mia e o gato late.

(B) o cão mia ou o gato late.

(C) o cão não mia ou o gato late.

(D) o cão não mia e o gato late.

(E) o cão não mia ou o gato não late.

9) (AGENTE DE POLÍCIA – PCDF – FUNIVERSA - 2008) Um trielo é uma disputa entre três participantes, a exemplo do duelo, em que participam duas pessoas. Suponha que, certa manhã, os senhores X, Y e Z encontram-se para resolver uma disputa, em que, a igual distância uns dos outros, atirarão com pistolas, um após o outro, um único tiro por vez, obedecendo a certa ordem, até que apenas um permaneça vivo. Sabe-se que o senhor X acerta um tiro em cada três, que o senhor Y acerta dois tiros em cada três e que o senhor Z nunca erra. Para ser justo, o trielo será iniciado com o senhor X atirando, seguido do senhor Y, se ainda estiver vivo, depois pelo senhor Z, se ainda estiver vivo, e assim sucessivamente até restar vivo apenas um desafiante.

Para aumentar suas chances de sobrevivência na disputa, o melhor que o senhor X deverá fazer, do ponto de vista lógico, é (A) atirar no senhor Z, pois o senhor Z nunca erra um tiro, e é melhor eliminá-lo primeiro.

(B) atirar no senhor Y, pois, se errar, o senhor Y escolherá atirar no senhor Z. (C) atirar em si mesmo.

(D) atirar no senhor Z, pois o senhor Y tem maior probabilidade de acertar o primeiro tiro que o senhor X. (E) atirar para o ar ou para o chão, sem acertar nenhum adversário, pois, assim, na próxima rodada, ele poderá ser o primeiro atirador de um duelo.

10) (VUNESP) Existem quatro cartões em uma mesa, colocados um ao lado do outro.

Cada cartão tem a fotografia de uma pessoa em uma das faces e a foto de um animal na outra. André disse: “se uma face de um cartão tem a foto de uma mulher, então no verso há uma foto de um mamífero”. A face voltada para cima do cartão 1 mostra a foto de uma mu15

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lher. O cartão 2 mostra a foto de um pavão, ao passo que os cartões 3 e 4 mostram respectivamente as fotos de um homem e de uma ovelha. Para verificar a veracidade da afirmação de André é necessário apenas que se olhe o verso dos cartões (A) 1, 3 e 4.

(B) 1, 2 e 3.

(C) 1 e 4.

(D) 1 e 3.

(E) 1 e 2.

Gabarito: 1) A 2) E 7) D 8) A

3) E 9) E

4) C 10) E

5) A

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6) C

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