Libro Sugerido: Ă LGEBRA LINEAL, Una introducciĂłn moderna. (3era. ediciĂłn) David Poole. Cengage 2011.
Vectores 
Un vector es un segmento de recta dirigido o CaracterĂsticas:  Magnitud 
DirecciĂłn (radianes)
o Notacion:  đ?‘Ł ⃗⃗⃗ = [đ?‘Ž, đ?‘?]  a y b son los componentes del vector o RelaciĂłn entre vectores: 
Vectores iguales  Misma magnitud y dirección

Vectores paralelos  Son multiplos escalares mutuos

Vectores ortogonales  Forma un ångulo de 90° entre ellos
o Vector unitario  Es un vector de magnitud 1  Normalizar un vector:  Proceso de encontrar un đ?‘Ł ⃗⃗⃗ đ?‘˘đ?‘›đ?‘–đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ en la misma direcciĂłn que el đ?‘Ł ⃗⃗⃗ đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ.
Operaciones de Vectores
Operación de componentes o Suma ⃗⃗⃗ = [ 𝑣1 , 𝑣2 ] 𝑣
⃗⃗⃗ = [ 𝑢1 , 𝑢2 ] 𝑢
⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ 𝑣 𝑢 = [ 𝑣1 + 𝑢1 , 𝑣2 + 𝑢2 ]
𝑢 ⃗ 𝑣
o Resta 𝑣 = [ 𝑣1 , 𝑣2 ] 𝑢 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = [ 𝑢1 , 𝑢2 ] ⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗ 𝑣 𝑢 = [ 𝑣1 − 𝑢1 , 𝑣2 − 𝑢2 ] 𝑣 𝑢 ⃗
𝑣− 𝑢 ⃗
o Multiplicación escalar ⃗⃗⃗ = [ 𝑣1 , 𝑣2 ] 𝑣 𝑐 = 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑐∗ 𝑣 ⃗⃗⃗ = [ 𝑐 ∗ 𝑣1 , 𝑐 ∗ 𝑣2 ]
𝑣
𝑐∗ 𝑣
o Magnitud de un vector ⃗⃗⃗ = [ 𝑣1 , 𝑣2 ] 𝑣 ||𝑣 ⃗⃗⃗ || = √𝑣12 + 𝑣22
o DirecciĂłn de un vector ⃗⃗⃗ = [ đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ] đ?‘Ł đ?‘Ł2 đ?œƒ = đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›âˆ’1 ( ) đ?‘Ł1 o Distancia entre vectores ⃗⃗⃗ = [ đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ] đ?‘˘ đ?‘Ł ⃗⃗⃗ = [ đ?‘˘1 , đ?‘˘2 ] đ?‘‘(đ?‘Ł ⃗⃗⃗ , đ?‘˘ ⃗⃗⃗ ) = ||đ?‘Ł ⃗⃗⃗ − đ?‘˘ ⃗⃗⃗ || o Producto punto entre vectores ⃗⃗⃗ = [ đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ] ⃗⃗⃗ đ?‘Ł đ?‘˘ = [ đ?‘˘1 , đ?‘˘2 ] đ?‘Ł ⃗⃗⃗ ∙ đ?‘˘ ⃗⃗⃗ = đ?‘Ł1 ∗ đ?‘˘1 + đ?‘Ł2 ∗ đ?‘˘2 o Ă ngulo entre vectores ⃗⃗⃗ = [ đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ] đ?‘Ł
Encuentra mĂĄs en: https://www.youtube.c om/watch?v=QRR8StRhx Z4&list=PLVEkI8DcwbMtX W1Ug8HklcTKLzoiDVn2F
đ?‘˘ = [ đ?‘˘1 , đ?‘˘2 ] ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗ đ?‘Ł đ?‘˘ đ?œƒ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ −1 ( ) ||đ?‘Ł ⃗⃗⃗ || ∗ || ⃗⃗⃗ đ?‘˘ || Encuentra mĂĄs en: https://www.youtube.co m/watch?v=QRR8StRhxZ4
đ?‘˘ ⃗ đ?œƒ đ?‘Ł
o Proyeccion de un vector sobre otro ⃗⃗⃗ = [ đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ] đ?‘˘ đ?‘Ł ⃗⃗⃗ = [ đ?‘˘1 , đ?‘˘2 ] ⃗⃗⃗ ∙ đ?‘˘ đ?‘Ł ⃗⃗⃗ đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Śđ?‘Łâƒ—đ?‘˘âƒ— = ( )đ?‘Ł ⃗⃗⃗ ∙ đ?‘Ł đ?‘Ł ⃗⃗⃗
đ?‘˘ ⃗
đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Śđ?‘Łâƒ—đ?‘˘âƒ—
đ?‘Ł
⃗ o Vector unitario đ?‘ˆ ⃗⃗⃗ = [ đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ] đ?‘Ł 1 ⃗⃗⃗ đ?‘ˆ = ∗ đ?‘Ł ⃗⃗⃗ ||đ?‘Ł ⃗⃗⃗ ||
Encuentra mĂĄs en: https://www.youtube.com/watc h?v=S2Ri8FaP7zo
o Producto Cruz entre vectores (solo se puede con vectores de 3 componentes) đ?‘Ł ⃗⃗⃗ = [ đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 ] đ?‘˘ ⃗⃗⃗ = [ đ?‘˘1 , đ?‘˘2 , đ?‘˘3 ] đ?‘Łđ?‘‹đ?‘˘ ⃗ = (đ?‘Ł2 ∗ đ?‘˘3 − đ?‘Ł3 ∗ đ?‘Ł2 ), (đ?‘Ł3 ∗ đ?‘˘1 − đ?‘Ł1 ∗ đ?‘Ł3 ), (đ?‘Ł1 ∗ đ?‘˘2 − đ?‘Ł2 ∗ đ?‘˘1 )
NOTAS IMPORTANTES

 La dirección de un vector SIEMPRE se da en radianes El producto cruz entre vectores SOLAMENTE se puede operar con vectores de 3 componentes  Un punto SIEMPRE se denota con parÊntesis (x,y)
Propiedaddes de Vectores 𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑢 ⃗ ,𝑣 𝑦 𝑤 ⃗⃗ 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑅 𝑛 𝑦 𝑐, 𝑑 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 1. 𝑢 ⃗ +𝑣 = 𝑣+ 𝑢 ⃗ CONMUTATIVA 2. 𝑣 + (𝑢 ⃗ + 𝑤 ⃗⃗ ) = (𝑣 + 𝑢 ⃗)+𝑤 ⃗⃗ ASOCIATIVA 3. 𝑢 ⃗ + ⃗0 = 𝑢 ⃗ ELEMENTO NEUTRO 4. 𝑢 ⃗ + −𝑢 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0 INVERSO ADITIVO 5. 𝑐 ∗ (𝑢 ⃗ + 𝑣) = 𝑐 ∗ 𝑢 ⃗ + 𝑐 ∗ 𝑣 DISTRIBUTIVIDAD 6. (𝑐 + 𝑑) ∗ 𝑢 ⃗ =𝑐∗𝑢 ⃗ +𝑑∗𝑢 ⃗ DISTRIBUTIVIDAD 7. 𝑐 ∗ (𝑑 ∗ 𝑢 ⃗ ) = (𝑐 ∗ 𝑑) ∗ 𝑢 ⃗ 8. 𝑢 ⃗ ∗1= 𝑢 ⃗
EjercitaciĂłn Dados los vectores a = [-1,-1], b = [3,-2] y c = [0,-4]. Encuentre: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Magnitud de a DirecciĂłn de b Vector paralelo a c Vector ortogonal a b Vector unitario en direcciĂłn opuesta a a Ă ngulo entre vectores a y b Distancia entre a y c ProyecciĂłn de b sobre a Encuentre 2a+3c-b
Respuestas:
1. √1.41 2. tan ∅ =
−2 3
= −0.59
3. D =[0.-12] 4. E = [2,3] 5. đ??š =
1 ‖�‖
6. cos ∅ =
∗đ?‘Ž =
1
∗ [−1, −1] = [
√2 [−1,−1]∙[3,−2] √2∙√7
1
,
1
√2 √2
]
= 1.84 đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘
7. ‖đ?‘Ž − đ?‘?‖ = √10 =3.16 ⃗⃗⃗ ∙ đ?‘˘ ⃗⃗⃗ đ?‘Ł
⃗
8. đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Śđ?‘Žđ?‘?⃗ = ( đ?‘Łâƒ—⃗⃗ 9. x =
−3đ?‘Ž+4đ?‘?−4đ?‘? −4
⃗⃗⃗ ∙ đ?‘Ł
)đ?‘Ł =
=[
−15 −11 4
,
4
−1 2
1 1
∗ [−1, −1] = [2 , 2]
]
Ejercicios del libro sugerido:
Sección 1.1) Despejar X x-a = 2(x-2a) x+2a –b = 3(x+a) -2(2a-b) Pågina 49) Calcular a x v
U = [1,1,1], V=[1,2,3]
Rectas y Planos Ecuaciones de Rectas en R2 
General đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś = đ?‘?

Normal đ?‘›âƒ— ∗ đ?‘Ľ = đ?‘›âƒ— ∗ đ?‘?

Vectorial đ?‘Ľ = đ?‘?+đ?‘Ąâˆ—đ?‘‘

ParamĂŠtrica đ?‘Ľ= đ?‘? ⃗⃗⃗1 + đ?‘Ą ∗ ⃗⃗⃗⃗ đ?‘‘1 đ?‘Ś = ⃗⃗⃗⃗ đ?‘?2 + đ?‘Ą ∗ ⃗⃗⃗⃗ đ?‘‘2
EjercitaciĂłn: Encuentre la ecuaciĂłn de la recta que pasa por los puntos P(-3,1) y Q(4,-2) en todas las formas Respuestas: Vectorial: x = (-3,1) + t(7,-3) Normal: [3,7]*[x,y] = [3,7]*[-3,1] General: 3x+7y =-2 Ec. Parametricas: x = -3 +7t, y= 1- 3t
Ecuaciones de Rectas en R3 
General đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ??śđ?‘§ = đ?‘‘

Normal đ?‘›âƒ— ∗ đ?‘Ľ = đ?‘›âƒ— ∗ đ?‘?

Vectorial đ?‘Ľ = đ?‘?+đ?‘ ∗đ?‘˘ ⃗⃗⃗ + đ?‘Ą ∗ đ?‘Ł

ParamĂŠtrica đ?‘Ľ= đ?‘? ⃗⃗⃗1 + đ?‘ ∗ ⃗⃗⃗⃗ đ?‘˘1 + đ?‘Ą ∗ ⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 đ?‘Ś = ⃗⃗⃗⃗ đ?‘?2 + đ?‘ ∗ ⃗⃗⃗⃗ đ?‘˘2 + đ?‘Ą ∗ ⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 đ?‘§ = ⃗⃗⃗⃗ đ?‘?3 + đ?‘ ∗ ⃗⃗⃗⃗ đ?‘˘3 + đ?‘Ą ∗ ⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2
Encuentra mĂĄs en: https://www.youtube.com /watch?v=YVEFXfDr6cY
Ejercicios del libro sugerido: SecciĂłn 1.3) 20. Encuentre la forma vectorial de la ecuaciĂłn de la recta en R2 que pasa atravez de P = (2,-1) y es perpendicular a la recta con ecuaciĂłn general 2x-3y =1.
Operaciones de Rectas y Planos 
Distancia desde un Punto F(fuera de la recta) hasta una recta l ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ − đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ś đ?‘ƒđ??š đ?‘Ľ = ||đ?‘ƒđ??š || đ?‘‘
F ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘ƒđ??š
đ?‘Ľ
P
EjercitaciĂłn: F = (6,4) P = (-3,1) ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘ƒđ??š = (−9, −3) ProyecciĂłn = [-72/29,-168/29] Distancia = 6.3

Distancia de un Punto F hasta un plano ⃗⃗⃗⃗⃗
đ?‘‘ (đ??š, đ?‘ƒ) = ||đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Śđ?‘›đ?‘ƒđ??š ⃗ d
F d
đ?‘›âƒ—
d d
⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘ƒđ??š P
dd

Distancia entre 2 planos paralelos
Si los Q y P son paralelos su vector normal serĂĄ el mismo, por lo que la distancia de obtiene de: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘„đ?‘ƒ
đ?‘‘ (đ?‘„, đ?‘ƒ) = ||đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Śđ?‘›âƒ— 
||
Distancia entre dos rectas paralelas ⃗⃗⃗⃗⃗ ) o Encontrar vector que va de un punto d1 al otro vector (đ?‘ƒđ??š ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
đ?‘ƒđ??š o Encontrar đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Śđ?‘‘1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ |−đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ś đ?‘„đ?‘ƒ o đ?‘‘ = |đ?‘ƒđ??š || ⃗ đ?‘›

IntersecciĂłn entre dos planos o Resolver el sistema lineal tomando por las ecuaciones de los dos planos o La intersecciĂłn son las ecuaciones paramĂŠtricas de la recta de intersecciĂłn entre los planos

Intersección entre dos rectas o Pasar las ecuaciones de ambas rectas a la misma forma e igualarlas o Pueden ser dos resultados:  1 punto  Infinitos puntos en el caso que las rectas sean iguales
Encuentra mĂĄs en: https://www.youtube.com/wat ch?v=DKz-aTMJsuA
Ángulo entre dos planos o Se encuentra al obtener el ángulos entre los dos vectores normales
Ejercicios del libro sugerido: Sección 1.3) 43. Encuentre el ángulo entre los plano X+y+z = 0 y 2x+y-2z = 0 46. Demuestre que el plano y la recta con las ecuaciones dadas se intersectan y luego encuentre el ángulo agudo de intersección entre ellas. Plano dado por x+y+2z = 0 y la recta dada por x= 2+t y= 1-2t z = 3+t
Ángulo entre dos rectas o Se encuentra al obtener el ángulos entre los dos vectores de dirección
Entretenimiento Crucigrama Horizontales
Verticales
2. Se denota con paréntesis “ (x,y) “
1. Resultado del producto punto entre dos vectores
4. Vector que siempre tiene la misma longitud = 1
2. Resultado de la operación = (u*v/v*v)*v - (sean u y v, vectores)
6. Forma de un plano en R3 que de denomina por x = p + su + tv (sean x,p,u,v vectores)
3. Forma de una recta en R2 que se denomina por n · x = n · p (sean n,x y p, vectores)
9. Propiedad de la suma donde u+v = v+u - (sean u y v, vectores)
5. Resultado de la operación = ||u-v|| (sean u y v, vectores)
11. Posición en la cual el vector inicia en 7. Dimensional de la dirección de un el origen vector 12. Resultado del producto vectorial entre dos vectores
8. Es el resultado entre la intersección de dos planos en R3
13. Segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde un punto A hasta un punto B
10. Característica de un vector referente a su tamaño
12. Resultado de la multiplicación de un vector por un escalar.
Respuestas: Horizontales: 2) Punto. 4) Unitario. 6) Vectorial. 9) Conmutativa. 11) Estandar. 12) Vector. 13) Vector. Verticales: 1) Escalar. 2) Proyeccion. 3) Normal 5) Magnitud. 7) Radianes. 8) Recta. 10) Magnitud. 12) Vector