Trigo 1°

1° SEC – III BIMESTRE CLASE 1: APLICACIONES DEL TRIANGULO RECTANGULO NOTABLE DE 37° Y 53° SABIAS QUE: JOSEPH LOUIS LAGRANGE (1736-

Þ

x = a•sen37°

es decir

1813) Lagrange es considerado uno de los dos matemáticos más importantes del siglo XVIII siendo el otro Leonardo Euler. Nació en Turín, Italia, donde su padre era un próspero negociante.

A los 23 años escribió su obra maestra: Mécanique analytique, una publicación que hizo época, catalogada de "poema científico", y que inspiró a Einstein para su teoría de la relatividad.

æ 3ö x = aç ÷ è 5ø

3 \ x = ga 5

*Nótese que la razón trignométrica se forma con x

En 1766, cuando Euler renunció a su puesto de la Universidad de Berlín, el rey Federico el Grande escribió a Lagrange diciendole que el rey más grande de Europa quería tenet en su corte al matemático más grande de Europa. Lagrange aceptó la invitación y durante 20 años ocupó el puesto que había dejado Euler. En 1797 se creó en Francia I’Ecole Polytechnique, cuna de los más grandes matemáticos franceses, Lagrange fue quien organizó los programas de matemáticas y fue su primer profesor.

El padre de Lagrange era muy rico, pero

(incógnita) y a (valor conocido).

perdió toda su fortuna en negocios especulativos y

2.

PARA LA CLASE: 1.

Calcule x 20

37° x

Rpta.: ......................................................

Calcule y

su hijo sólo heredó grandes deudas. Lagrange refería a ese desastre financiero de su familia como el acontecimiento más feliz de su vida; "si

25

y

hubiera heredado una fortuna" decía "nunca me 53°

habría dedicado a las matemáticas".

Rpta.: ......................................................

3.

Calcule x

PRINCIPIOS TEÓRICOS: 15

x

Resolución de Triángulo Rectángulo: Tenemos el siguiente triángulo

37°

Rpta.: ......................................................

x

C .O .

a (H )

4.

Calcule el valor de x + y.

Si:



53°

Donde: a : valor conocido

x

y

 : 37° ó 53° 16

Þ del triángulo: sen =

Þ

x Þ x=asen a

pero como =37° ó 53° (tomemos 37°)

5.

Rpta.: ......................................................

Calcule el perímetro del triángulo.

20

a

37°

53°

b

18m

Rpta.: ......................................................

6.

Rpta.: ......................................................

Calcule x si:

12. Del gráfico calcule x 10

x

60m

37°

37° x

Rpta.: ......................................................

7.

Rpta.: ......................................................

Calcule el área del triángulo 53°

TAREA:

a

1.

8

Calcule la altura del muro si:

Rpta.: ......................................................

8.

Calcule

H 53°

si: G=

x- 3

12m

A) D)

35

2.

20m 16m

B) E)

18m 10m

C)

17m

Calcule la longitud de la escalera apoyada: e s c a le r a

37° x

9.

Rpta.: ......................................................

Calcule x 2

1 ,2 m

A) D) 3.

30

x

53°

1,5m 1,8m

B) E)

1m 3m

C)

2m

C)

32m

C)

2m

Calcule el valor de x:

37°

Rpta.: ......................................................

37°

10. Calcule la distancia entre un observador y un muro de 9m. de altura:

x

A) D)

24m 72m

B) E)

1m 36m

m u ro

4.

Calcule el valor de h:

37° d

37°

Rpta.: ......................................................

h

12m

11. Calcule la altura del edificio si:

48m

A) D)

15m 76m

B) E)

48m 3m

5.

Calcule la altura del edificio.

H 37° 60m

A) D)

30m 18m

B) E)

1m 75m

C)

45m

CLASE 2: TRIANGULO RECTANGULO NOTABLE DE 45°

cos 45° =

Y 45° SABIAS QUE: LA BRUJA DE AGNESI Así se llama la curva de ecuación y=

a3 x2 + a2

8 x2 + 4

2

Þ sec 45° = 2

tg 45º = 1 Þ c tg 45º = 1

PARA LA CLASE: 1.

dibujada aquí para a=2 y =

1

Calcule: P P = 2• cos45°

2 .5 2

Rpta.: ......................................................

1 .5 1

2.

0 .5

Calcule: 2

2

K=sec 45°•csc 45°

En su libro, Agnesi confundió la palabra "versoria" con "versiera", otra palabra latina que significa "abuela del diablo" o "bruja", de ahí viene el nombre de la curva: "La bruja de Agnesi".

Cuenta Flarian Cajori, en su A history of

Rpta.: ......................................................

3.

Q = sen45°•sec45°•ctg45° Rpta.: ......................................................

Mathematics, que María Gaetana era sonámbula: "muchas veces le ocurrió ir sola a su sala de estudio en estado sonámbulo, encender una

4.

Calcule: M

M = sec2 45° + 3tg45°

lámpara y resolver algún problema que había dejado sin terminar estando despierta; por la

Rpta.: ......................................................

mañana se sorprendía a ver la solución cuidadosamente explicada en sus cartillas".

Determinar el valor de:

5.

Calcular x si:

x = sec2 45° + 2tg45°

PRINCIPIOS TEÓRICOS: Para definir las razones trigonométricas de 45º utilizaremos el triángulo:

Rpta.: ......................................................

45º K

K

6.

2

Calcule la expresión: A = sen245° + cos2 45° + csc2 45°

45° K

Entonces: C.O. K 1 sen45° = Þ sen45° = \ sen45° = H K 2 2

Rpta.: ......................................................

7.

De la misma forma podemos calcular las demás razones trigonométricas.

Formemos el siguiente cuadro: sen cos tg

45º 1 2 1 2

c sc

1

c tg

Calcule: Q = tg45° + ctg45°

Rpta.: ......................................................

8.

Calcule:

T = (sec2 45° + csc2 45°)2tg45°

se c

NOTA: El símbolo indica que los valores de las R.T. que lo tienen, deben ser invertidos.

Ejemplos: 1 sen45° = Þ csc 45° = 2 2

Rpta.: ......................................................

9.

Calcule el valor de:

M = sec2 45° + tg45°

Rpta.: ......................................................

10. Calcule el valor de:

M = csc2 45° + sec2 45° + 4sen2 45°

Rpta.: ......................................................

11. Calcule: A = sec2 45° - csc245° Rpta.: ......................................................

12. Calcule: T = sec2 45º +csc245º - sen45° × cos45° Rpta.: ......................................................

TAREA: 1. Calcular: P=

A) D) 2.

sec45° • csc45° • tg45° ctg45°

2 1

B) E)

4 3

C)

6

Calcular x si: x • sec2 45° = csc2 45° + 2tg45°

A) D) 3.

B) E)

18 20

C)

2

2 5

C)

3

18 19

C)

20

12

C)

3

Calcule x: xtg45°=sen45°sec45° A) D)

4.

9 12

1 4

B) E)

Calcular M + N Si: 2

M = 4cos 45° 2

N = 8csc 45° A) D) 5.

16 17

B) E)

Determinar: 2

P = (6cos2 45°)sec

A)

45°

9

B)

D) 10

E)8

CLASE 3: RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 30° Y 60°

5.

SABIAS QUE: LOS CATETOS Y LA HIPOTENUSA ¿Sabía Ud. que Pitágoras y los demás geómetras griegos se ocuparon tanto del triángulo, porque lo usaban mucho en la construcción?. Así fue ellos los que inventaron las cubiertas de dos aguas.

Eso les permitió ensanchar mucho las naves de los templos y los grandes salones.

Descubrieron la manera de repartir el peso de la techedura entre tres vigas, de tal manera que el trabajo

que

realizaba

conjuntamente,

era

cada muy

una

al

inferior

trabajar que

Rpta.: ......................................................

6.

ctg30°

Rpta.: ......................................................

7.

Calcule E = 2cos60°

-

tg30° 3

les

Y según el trabajo

que hacen, así las nombraron: a la dos vigas que

Rpta.: ......................................................

8.

Calcule : M=

sostienen la llamaron catetos, porque tiende a ir hacia abajo (Kaziemi);

Calcule M Si: M = sec60° 3

correspondería si se distribuyese entre las tres colocadas como vigas planas.

Calcule M : M = 8sen60°

tg60° tg30°

y a la viga de abajo la

llamaron hipotenusa porque es la que tira (tenosa)

Rpta.: ......................................................

por abajo (hipo) de las otras dos para que no se 9.

abran.

Calcule : R=sec60°

+

csc60° 3

TRIÁNGULO NOTABLE Se denominará triángulo notable, a aquel triángulo rectángulo cuyos ángulos son conocidos y además sus lados son proporcionales.

60°

Triángulo Notable (30º - 60º)

a

2a 30° 3a

R .T .

30%

60°

S eno C o se n o T a n g e n te C o ta n g e n te S e c a n te C o s e c a n te

½

3 /2 3 /2

½

3 /3 3

3 3 /3

2 3 /3

2

2

2 3 /3

Rpta.: ......................................................

10. Calcule x en: x =csc30°+4sen30° Rpta.: ......................................................

11. Calcule y en: y=2sen30°+cos30° Rpta.: ......................................................

12. Calcule x en: x=sen30°+

ctg30° 3

PARA LA CLASE: Rpta.: ......................................................

1.

Calcule E = 3cos60° Rpta.: ......................................................

2.

Calcule R =

ctg60° 3

TAREA: 1. Calcule: E = 3sen30° - 5cos60° A) 1 B) -1 C) 0 D) -3/2 2.

Rpta.: ......................................................

3.

Calcule : M=2cos60°

3.

Rpta.: ......................................................

4.

2

Calcule: N=5cos 60° Rpta.: ......................................................

4.

Calcule M Si : M = sec60° - 1 A) 2 C) 1 Calcule y y= cos60°+sen30° A) 1/2 C) 1 Calcule x en:

B) 3 D) 0

B) -1/2 D) 0

xtg60° = 2ctg30°– 3

A) C) 5.

0 –1

B) 1 D) 2

Calcule y en: y=sec30°cos60° A)

–2

B)

C)

4/3

D) 2

–1

CLASE 4: APLICACIONES DEL TRIANGULO RECTANGULO NOTABLE DE 45° - 30° Y 60° SABIAS QUE: En una construcción de carreteras, puentes, canales y edificaciones, observamos que los topógrafos manipulan instrumentos como teodolitos, el metro y las reglas graduadas con el objeto de medir ángulos y distancias generalmente en triángulos, ya que la triangulación es muy empleada en la topografía que son indispensables en la preparación y ejecución de proyectos de ingeniería.

5.

Calcular: x .

60º 40

x

Rpta.: ......................................................

6.

Calcular: x .

RIÁNGULO RECTÁNGULO DE 30º y 60º

60º x 8

K

K

3

60º

30º

Rpta.: ......................................................

2K

TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 45º

7.

Calcular: x .

60º

K

K

45º

x

45º K

1.

20

Rpta.: ......................................................

2

Calcule: x

8.

Calcular: T=

x2 - y2

10 x

60º 6

y

30º

Rpta.: ......................................................

2.

30º

x

Rpta.: ......................................................

Calcular: x.

9.

5

Calcular: x

x

x+ 2

6 -x

30º 45º

Rpta.: ......................................................

3.

Calcular: x

x+ 3

Rpta.: ......................................................

10. Calcular: C=x+y.

20

x

y

45º

30º 2

Rpta.: ......................................................

4.

Calcular: x .

20

2

Rpta.: ......................................................

11. Calcular: H= x.y

x -1 0

y

3

30º

Rpta.: ......................................................

x

45º

Rpta.: ......................................................

12. Calcular:

A)

x I= y

26

B)

C)

52

2 3 D)

E)

30

52 2 x

5.

Calcular:

E= x 2-y

45º y

Rpta.: ......................................................

1

y

TAREA: 45º

1.

x

Calcular: T=x+10

A)

1

B) 2

C) 2

x

D) 30º 40

A) D) 2.

10 40

B) E)

20 45

C)

30

Calcular: E=x 3

x

30º 12

A)

6

B)

C)

12

6 3

D) 3.

18

E)

20

Calcular: A=x.y

x

y

60º 2

A)

1

B)

C) 3

D)

E)

2 3

3

3 3

4.

Calcular: M=x+y x

y

45º 52

2 +1

E) 6

CLASE 5: GEOMETRIA ANALITICA SABIAS QUE: RENE DESCARTES (1596 - 1650) Filosofo y matemático francés nació en la Haya el 31 de Marzo de 1596 y murió en Estocolmo (Suecia) el 11 de Febrero de 1650. Descartes uso su nombre latinizado Renatus Cartesius; pues el latin era el lenguaje erudito y esta costumbre era muy común. Tuvo problemas con una tos crónica y cuando fue al colegio se le permitió permanecer en cama cuando lo desease, mantuvo durante toda su vida la costumbre de trabajar en la cama.

Es esta enfermedad que lo llevó a la tumba.

Cuando en 1633 tuvo noticia de la condenada de Galileo por herejía, abandonó por el momento el libro que estaba escribiendo sobre el universo en el que aceptaba la teoría de Copérnico. Es el padre de la Filosofía moderna y contribuyo principalmente a la ciencia con sus matemáticas inventando el sistema de coordenadas que lleva su nombre.

SISTEMA UNIDIMENSIONAL Los números reales se pueden ubicar en una recta numérica por convención los números positivos se ubican a la derecha del cero (0) y los números negativos a la izquierda de este.

Debido a la gran densidad de los números rales, estos pueden estar ubicados en la recta numérica.

2 o ..... - 3

-2

-1

0

5

A 1

N e g a ti v o s

2

3 .....

R

P o s i ti v o s

Existiendo una relación biunívoca entre los números reales y cada punto de la recta; es decir, a cada punto de la recta le corresponde un sólo número real, asimismo a cada número real le corresponde un punto de la recta.

Como se puede ver en la figura, el punto “o” corresponde al cero (0) el punto “A” corresponde al dos (2) al punto “C”, le corresponde el tres (3).

En general si al número real x le corresponde el punto “P”, entonces de denota como P(x), que se lee como “el punto P con coordenada x”.

Entonces, si tenemos: P1

P2

x1

x2

R

Se podrá calcular la distancia entre P1 y P2 la cual se define como:

rectas perpendiculares cuya intersección será el origen de coordenadas.

A la recta HORIZONTAL se le conoce como EJE DE ABCISAS (x), mientras que a la recta VERTICAL se le denomina EJE DE ORDENADAS (y).

En la figura adjunta podemos observar al plano cartesiano cuyas características son las siguientes: y II

I o

x’

x

III

IV y’

Se observa también que el plano está dividido en 4 regiones denominados cuadrantes y numerados como se indica en la figura.

También se determina: : Semieje positivo de la abscisas :

Semieje negativo de las abscisas

:

Semieje positivo de las ordenadas

:

Semieje negativo de las ordenadas

UBICACIÓN DE UN PUNTO: La ubicación de un punto en el plano cartesiano se representa mediante un par ordenado (x; y), en donde a este punto se conoce como «Coordenadas del Punto».

Entonces: a «x» se le denomina Abscisa del punto P. a «y» se le denomina Ordenada del punto P.

Entonces: P(x,y) se lee: El punto P de coordenadas x, y.

PIC se lee: El punto P pertenece al primer cuadrante.

OBSERVACIÓN:

y

P1 P2 = x2 - x1

II

I

x< 0; y> 0

SISTEMA BIDIMENSIONAL A partir del concepto de un sistema unidimensional se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano y pares ordenados de números reales.

Lo cual permtie denominar lo que es el “PLANO CARTESIANO” que es un sistema formado por dos

x> 0 ; y> 0

o III x< 0; y< 0

1. Si: P(x;y)

Î

IC

Þ

IV

x

x> 0 ; y< 0

x>0; y>0

Si: P(x;y)

Î

Si: P(x;y) Si: P(x;y)

IIC

Þ

IIIC

Î

IVC

Î

x<0; y>0

Þ Þ

Rpta.: ...................................................... x<0; y<0 4. x>0; y<0

Calcula la DH de los puntos: P(–5; 4) y Q(–6; 4).

Rpta.: ......................................................

DISTANCIA HORIZONTAL (DH) Dado los puntos y , entonces la P (x1 ;y) Q(x 2 ;y)

5.

5)

distancia horizontal (DH), se calcula restando las abcisas de P y Q. , donde x 2 > x1 Þ DH = x 2 - x1 Ejemplos: 1. Hallar la distancia entre P(-4;3) y Q(5;3) Þ DH = 5 - ( -4) \ DH = 9

Calcula la DV de los puntos: R(–7; 2) y S(–7; –

Rpta.: ......................................................

6.

Calcula la DV de los puntos: T(–5; 4) y V(–5; 9).

Rpta.: ......................................................

7.

Calcula la DV de los puntos: C(–5; 4) y D(–5; 8).

DISTANCIA VÉRTICAL (DV) 2

Dado los puntos P(x; y) y Q(x; y ), entonces la distancia vértical (DV), se calcula restando las

Rpta.: ......................................................

ordenadas de P y Q. : donde : DV = y2 - y1

y2 > y1

8.

Calcule la DH de los puntos : M y N. y

Ejemplo:

M (-4 ; 2 )

M (9 ; 2 )

Calcula la distancia entre p(1; 2) y q(1; 4) DV= 4 – 2

y

\ DV = 2

Rpta.: ......................................................

PARA LA CLASE: 1. Ubicar los siguientes puntos en el plano cartesanio.

A (–2; 4)

E (–2; –3)

B (4; 5)

F (–5; 0)

C (3; –5)

G (0; 0)

D (0, 6)

H (–3; –3)

Rpta.: ......................................................

2.

Calcula la DH de los puntos: A(2; 4) y B(5; 4).

Rpta.: ......................................................

3.

Calcula la DH de los puntos: M(–2; 5) y N(–7; 5)

9.

Calcule la DH de los puntos: P y Q. y

P

Q

(2 ; 5 )

(1 9 ; 5 )

x

Rpta.: ......................................................

10. Calcule la DH de los puntos G y H.

y

y

G

H

(-2 ; 5 )

(7 ; 5 )

(1 0 ; 5 ) x

x

(a ; b )

Rpta.: ......................................................

Rpta.: ......................................................

11. Calcula la DV de los puntos E y F.

TAREA

y

E (3 ; 9 )

1.

Ubicar los siguientes puntos en el plano cartesiano.

F (3 ; 1 )

x

Rpta.: ......................................................

2.

A (-5; -2)

B (-5; 0)

C (0; 0)

D (-7; -9)

E (0; -2)

F (-1; -2)

Calcula la DH de los puntos: A(3; 5) y B(-10;5)

12. Calcula la DV de los puntos C y D Rpta.: ......................................................

y

C (5 ; 9 )

3.

D (5 ; 1 )

Calcula la DV de los puntos: M(1; 8) y N(1; -8) Rpta.: ......................................................

x

Rpta.: ......................................................

4.

Calcula la DH de los puntos C y D. y C (-6 ; 3 )

D (1 1 ; 3 ) x

13. Calcula la DH de los puntos E y F y

E (9 ; 2 3 )

Rpta.: ......................................................

5.

F (9 ; 5 ) x

Calcula la DV de los puntos: P y Q. y P (3 ; 4 )

Rpta.: ...................................................... x

14. Calcula : M = a+b y (-5 ; 4 )

Q (3 ; -5 ) (a ; b )

Rpta.: ......................................................

x

Rpta.: ......................................................

15. Calcula : N = a+b

CLASE 6: PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO NOCIONES BÁSICAS El punto medio de un segmento divide a éste en dos partes iguales; es decir se ubica en el centro del segmento dado. Con lo cual, conociendo las coordenadas de los puntos extremos del segmento podemos calcular las coordenadas del punto medio.

(3 ; -2 ) (x ; y ) (1 5 ; -6 )

Rpta.: ......................................................

7.

Calcula : E = x.y

(-1 ; -1 )

Tenemos: A (x ; y ) (x ; y )

M (x ; y ) (-5 ; -3 )

Rpta.: ......................................................

B (x 2; y2)

Þ x=

\

x1 + x2 2

Ù y=

y1 + y2 2

8.

Calcula : E= x/y (-1 4 ; 6 )

æ x + x2 y1+y2 ö Mç 1 ; ÷ 2 2 ø è

(x ; y ) (-2 ; 2 )

PARA LA CLASE: 1. Calcula las coordenadas del punto medio si los extremos son A(2;4) y B(8;10).

Rpta.: ......................................................

9.

Calcula: E=x.y (x ; y )

Rpta.: ......................................................

2.

Calcula las coordenadas del punto medio si los extremos son P(-5; 4) y Q(-1; 2).

Rpta.: ......................................................

3.

Calcula las coordenadas del punto medio si los extremos son M(-6; -8) y N(-4; -2).

(5 ; 7 ) (2 ; 4 )

Rpta.: ......................................................

10. Calcula: x-y

(1 ; -1 )

Rpta.: ......................................................

4.

Calcula las coordenadas del punto medio si los extremos son R(6; -4) y T(8; O).

Rpta.: ......................................................

5.

(4 ; -3 )

(x ; y )

Rpta.: ......................................................

11. Calcula: x.y

Calcula : a= x + y (1 2 ; 8 )

(x ; 3 )

(x ; y ) (2 ; 4 )

Rpta.: ......................................................

6.

Calcula : N= x – y

(-1 0 ; y )

(-2 ; 1 )

Rpta.: ......................................................

12. Calcula: x/y

(x ; 3 )

(x ; 0 )

(3 ; 1 )

(-5 ; -3 ) (1 1 ; y )

(-1 0 ; y )

Rpta.: ......................................................

13. Calcula: x+y

A)

–5

B) – 1

C)

–6

D) – 4

(9 ; 7 )

4.

Calcula : M= x.y

(1 7 ; 3 )

( x ;y )

(-2 ; 5 )

(1 ; 1 )

(2 ; 1 )

(-6 ; y )

(x ; -1 )

Rpta.: ......................................................

14. Calcula: x–y

Rpta.: ......................................................

(-2 ; 2 )

(x ; y )

(7 ; -1 )

5.

Calcula: P=x+y (7 ; 3 )

(-8 ; -4 )

Rpta.: ......................................................

15. Calcula: x.y

(1 0 ; 4 )

(-6 ; 0 )

Rpta.: ......................................................

TAREA: Calcular las coordenadas del punto medio si los extremos son A(1; 2) y B(11; -8).

2.

A)

(6; 5)

B) (6;-3)

C)

(5;5)

D) (5; -3)

Calcula M=x+y (1 3 ; 9 )

(x ; y )

(1 ; 5 )

3.

A)

7

B) 14

C)

21

D) 28

Calcula : M= x – y

(x ; o )

(-8 ; 0 )

(1 ; y )

Rpta.: ...................................................... (x ; y )

(-2 ; -6 )

1.

(-2 ; 0 )