Dado los puntos P(x; y1) y Q(x; y2), entonces la
CLASE 1: GEOMETRIA ANALITICA
distancia vertical (DV), se calcula restando las DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos A x ; y y B x ;y
(
1
1
)
(
2
2
ordenadas de P y Q.
)
; la distancia
Þ D y y , donde y > y V
2
1
2
1
entre ellos es calculada así: 1. Hallar la distancia vertical entre A(–4; 5) y B(–4; – 3).
A ( x 1 ; y 1)
Þ D 5 (3)
B (x 2 ; y 2)
d(A,B)
(x
2
) (y 2
x
1
2
V
y
1
)
\ D 8 V
2
2. Hallar la distancia vertical entre R(2; 16) y S(2; 4).
Ejemplo: Þ DV 16 4
Y
B (- 2 ;2 )
\ DV 12
A (1 ;5 )
5 2
-2
PARA LA CLASe: X
1
1.
Indicar las coordenadas de cada punto.
Y 2
d(A;B) éë1 ( 2) ùû ( 5 2)
A
7 4
A(1; 5) y B(–2; 2) 2
-8
F
C
1
-3 -1
-1
G
d(A;B) 9 9 18 ®\ d(A;B) 3 2
-9
DISTANCIA HORIZONTAL (DH)
B D
1 3
5
6
X
E
Rpta.:...........................................................
Dado los puntos P(x1; y) y Q(x2; y), entonces la distancia horizontal (DH), se calcula restando las
2.
abcisas de P y Q.
Þ
D x x H
2
1
¿En qué cuadrante se ubica P(-3;2)? Rpta.:...........................................................
, donde x > x 2
3.
¿El punto P(4;0) se ubica en el IC?
1
Rpta.:...........................................................
Ejemplos:
4.
¿Cuál es la distancia del punto P(3;6) al eje X?
1. Hallar la distancia horizontal entre P(–4; 3) y Q(5; Rpta.:...........................................................
3) 5. Þ DH 5 (4)
\ DH 9
DISTANCIA VERTICAL (DV)
¿Cuál es la distancia entre P(1;-2) y Q(4;2)? Rpta.:...........................................................
6.
¿Cuál es la distancia entre A(3;5) y B(3;-4)? Rpta.:...........................................................
Y
(-3 ; 7 )
7.
¿Cuál es la distancia entre M(-2;6) y N(4;-2)? Rpta.:........................................................... ( - 3 ;- 2 )
8.
9.
Dado los puntos P(-6;2), Q(4;2); R(1;5) y T(1;-5). Calcule: PQ E RT
Rpta.:........................................................... En el gráfico. Calcule PQ.
(9 ;-2 )
Rpta.:........................................................... 15. Si dos vértices de un triángulo equilátero son A(3;1) y B(7;4). Calcular su perímetro. Rpta.:..........................................................
Y
P ( - 4 ;3 )
X
a
Q (5 ;3 )
TAREA: X
Rpta.:...........................................................
1.
¿Cuál es la distancia del punto P(3; 4) al eje X? A)
10. En el gráfico. Calcule DC. Y
3
B)
5
D) 2
E)
7
C)
4
X D ( - 5 ;- 4 )
2.
C (6 ;-4 )
B(2; 5)?
Rpta.:........................................................... 11. En el gráfico. Calcule EF. Y
E (2 ;2 ) X
¿Cuál es la distancia entre los puntos A(-1; 3) y
3.
A)
B)
D)
E)
C)
Calcule la distancia horizontal:
F (2 ;-3 )
Y D
(-4 ; 4 )
H
(6 ; 4 )
Rpta.:........................................................... 12. En el gráfico. Calcule MN. M ( - 4 ;1 )
X
Y X
4.
A) 10 B) 8 C) D) 5 E) 4 Calcule la distancia vertical:
6
Y
(3 ; 4 )
N ( - 4 ;7 )
Rpta.:...........................................................
D
V
X
(3 ; -2 )
13. Determine el perímetro de la figura:
A) 5 D) 2
Y (6 ;5 )
5. X
B) E)
8 0
Calcule: (x0 + y0).
( - 5 ;- 2 )
A
C) 6
Y
(-3 ; 3 )
B ( 4 ;y 0 ) X
Rpta.:...........................................................
C
A) 14. Calcule tg
a
, si:
1
B)
3
(x 0 ;-4 )
C)
5
D) 7 E) 9
6. El punto (1; -2) está ubicado en el: a) I C
b) II C
c) III C
d) IV C
e) eje X
d)
e) 53
146
7. ¿Qué punto se encuentra más lejos del origen del sistema cartesiano? a) (4; -2) d) (3; -2)
b) (3; 4) e) (4; -1)
c) (5; 1)
8. Determine la distancia del punto A(-5; 3) al punto B(1; -5). a) 5 u
b)
d) 10
a) 4 d) a y b
2
e) 15
9. Hallar la distancia entre los puntos: A(3; 7) y B(-2; 4) b) 7
c) 34
c) 3
Si dos vértices consecutivos de un cuadrado son A(1; -2) y B(3; 4), calcular el área de dicho cuadrado. a) 20 u2 d) 50
a) 2
b) -3 e) a y c
EL COLECCIONABLE:
c) 3 10
10.Si la distancia del punto P(a; a - 1) al origen es igual a 5, ¿cuál es el valor de "a"?
10
b) 30 e) 60
c) 40
CLASE 2: PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Y BARICENTRO DE UN TRIANGULO
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO y
P 2(x 2 ; y 2) M (x0 ; y 0) P 1(x 1 ; y 1)
x
Las coordenadas del punto medio M(x0; y0) de un segmento cuyos extremos son: y son: x0
x1 x2 2
y0
y1 y2 2
Baricentro de un triángulo Dado el triángulo ABC, de vértices conocidos, se determina su baricentro (G) de la siguiente manera:
x=
y=
x1 x2 x3
y1 y2 y3
3
3
o también: G=
A BC 3
ó
G=
M NP 3
No olvide que el baricentro es el punto de intersección de las medianas de un triángulo. 2. PARA LA CLASE: 1.
segmento cuyos extremos son: P(8;2) y Q(-2;6)
Calcule las coordenadas del punto medio del segmento
Calcule las coordenadas del punto medio de un
Rpta.:...........................................................
cuyos extremos son: A(3;2) y AB
3.
Calcule las coordenadas del punto “M” B (9 ;8 )
B(9;10)
M
Rpta.:........................................................... A (1 ;0 )
Rpta.:........................................................... 10. Calcule las coordenadas del punto medio “M” 4.
Calcule la suma de coordenadas del punto “M”
( 5 ;1 0 ) (1 0 ; 8 )
Q (1 0 ;7 ) M
M P (2 ;5 )
(-3 ; 0 ) (1 6 ; -2 )
Rpta.:...........................................................
5.
Del gráfico, calcule “y0 - x0”: Y
Rpta.:...........................................................
11. Calcule
las
coordenadas
del
centro
de
la
circunferencia.
B (1 ;8 )
(x 0;y 0 )
Y
(4 ;3 )
A ( – 5 ;2 ) X
C
X
( 1 ;– 3 )
Rpta.:...........................................................
Rpta.:........................................................... 6.
Calcule: E
b a
12. Calcule el área del triángulo: B ( 6 ;6 )
Y ( – 4 ;7 )
(a ;b )
A (4 ;2 )
(6 ;3 ) X
Rpta.:........................................................... 7.
C (8 ;2 )
Rpta.:........................................................... 13. Calcule la distancia horizontal: (6 ;1 2 )
Calcule las coordenadas del punto “P”
(2 ;7 )
Q (8 ;1 2 )
D
M (6 ;9 )
H
(– 8 ;2 )
Rpta.:...........................................................
P (x ; y )
Rpta.:...........................................................
14. Calcule la distancia vertical: M (– 6 ;5 )
8.
Calcule las coordenadas del punto “N” N (x ; y )
(2 ;5 ) D
Q (4 ;3 )
V
(x ;– 3 ) (6 ;2 )
Rpta.:...........................................................
Rpta.:...........................................................
9.
Calcule las coordenadas del punto “N” B (4 ;1 0 ) M
15. Dos vértices de un triángulo son A(1; 1) y B(-1; 3). Si el baricentro es el origen de coordenadas, ¿cuáles son las coordenadas del tercer vértice "C"?
P (1 0 ;7 ) N
A (- 4 ;-4 )
Rpta.:...........................................................
Rpta.:........................................................... TAREA:
1.
Calcule las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son: NP N(3;5) y P(7;7) A)
2.
(5;6)
B)
(3;6)
D) (6;5)
E)
(6;6)
C)
(6;3)
Calcule las coordenadas del punto “M” A (4 ;7 )
8. En un triángulo ABC de coordenadas: A(x + 1; 0); B(x - 1; x - 3) y C(x; y - 1), su baricentro tiene como coordenada (3; 2). Hallar: E = x/y. a) b) 5 c) -5 1 5 d) -
1 5
M
e)
3 7
B (1 0 , 3 )
A)
3.
(5;10)
B)
(7;5)
D) (7;10)
E)
(5;7)
C)
(10;7)
Calcule las coordenadas d el punto “A” M ( 1 2 ;1 0 )
A
9. Los vértices de un triángulo son A(-3; -3), B(-3; -1) y C(1; 3). Hallar la mediana relativa al lado BC. a)
b) 2 5
B (8 ;6 )
A)
4.
(16;14)
B)
(12;14)
D) (12;12)
E)
(14;12)
Calcule : E
C)
(16;12)
a b
a) 6 d) 3
(a ;b )
X
1
B)
2
D) 4
E)
5
C)
3
5k (7 ;7 )
D
B (3 ; -3 ) V
a)
(x ;– 2 )
1
C)
9
D) 5 E) 7
6. Si el punto medio del segmento cuyos extremos son A(1; -2) y B(a; b) es M(-2; 0), calcular "a + b". a) 1 d) -6
b) 2 e) -3
c) 4
7. Halle la suma de coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son A(3; 5), B(4; -1) y C(8; 2). a) 3 d) 8
b) 5 e) 10
C
2k P (a ; b )
M ( – 3 ;7 )
B)
c) 8
Del gráfico, halle "a + b". A (-1 ; 5 )
Calcule la distancia vertical:
3
b) 7 e) 2
EL COLECCIONABLE:
( – 4 ;– 2 )
A)
e) 5
10.Si los vértices de un triángulo son A(-1; 5), B(1; 1) y C(4; 5), calcular la longitud de la mediana relativa al menor lado del triángulo.
M (4 ;2 )
5.
5
5
Y
A)
d) 4
c) 3 5
c) 7
15 7
d) 4
b)
e)
20 7 25 7
c) 3
CLASE 3: ECUACION DE UNA RECTA
m =
NGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA
L
y2 - y1 x2 - x1
P 2( x 2; y 2)
La dirección de una recta “L” se indica por el ángulo “ ” que forma con el eje “x”. El ángulo de q inclinación “ ” se mide en sentido antihorario q desde el eje “x” hasta la recta “L”. Y
Y
+ L 30°
Y
L
Ejemplo: Calcule la pendiente de la recta “L” que pasa por los puntos P1 ( 2;3) y P2 ( 5;6)
L 90°
X
P 1( x 1; y 1)
Resolución: X
m
6 ( 3) 5 2
9 3 3
Y L
X
ECUACIÓN DE UNA RECTA
180°
Si P(x;y) es un punto cualquiera de una recta “L” y P(x1;y1) es un punto conocido de ella, entonces la
X
PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente de una recta “L” se denota por «m» y se define como la tangente de su ángulo de inclinación “”. Es decir: m tgq
recta “L” queda determinada mediante la ecuación: forma punto-pendiente y y0 m( x x0 ) Esta ecuación la convertimos a una expresión lineal y resulta: forma general Ax By C 0
Ejemplos: Ejemplo:
Y L 30° o
Calcule la ecuación de una recta que pasa por los puntos A(4 ; -3) y B(7 ; 9).
X
Resolución Primero; calculamos la pendiente con los puntos A(4;– 3) y B(7 ; 9).
m tg30° m
L
3 3
m
9 (3) 12 4 7 4 3
Segundo; reemplazamos la pendiente “m” y el punto conocido A(4 ; -3) en la ecuación punto pendiente, así:
Y
X
y =– (–3) = 4 . (x - 4) m tg120°
0 = 4x - 16 - y - 3
m 3 Si una recta “L” pasa por los puntos
P2 ( x2;y2 )
P1 ( x1;y1 )
la pendiente “m” se calcula como sigue:
y
® ®
y + 3 = 4x - 16
0 = 4x - y - 19
forma general 4x y 19 0
Si reemplazamos como el punto conocido a B(7; 9) la ecuación resulta la misma.
Rpta.:...........................................................
4x y 19 0
3.
PROPIEDADES I.
Dada la ecuación de una recta: Ax + By + C=, su pendiente “m” se calcula como sigue: A m B
Rpta.:........................................................... 4.
Ejemplo: Calcule la pendiente de la recta cuya ecuación es:
3 3x 4y 12 0 Þ m ( 4) \ m
5.
3 4
II.
Si un punto (a;b) pertenece a una recta “L” de ecuación: , entonces debe Ax+By+C=0 satisfacer su ecuación, es decir: (a;b) L: Ax+By+C=0
7.
8.
Resolución: (a;5) L: 2x – 3y – 12 = 0 2a – 3(5) – 12=0 Î OBSERVACIÓN PARA RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES I)
Si L1 // L2 : m1 = m2
II)
Si L1
L2 : m1 x m2 = -1
PARA LA CLASE: Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3;2) y (7;5) Rpta.:........................................................... Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1;3) y (7;15).
Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es y pasa por el punto (2;5). Rpta.:...........................................................
Aa + Bb + C=0
Ejemplo: El punto (a;5) pertenece a la recta de ecuación: 2x - 3y - 12 =0. Calcule el valor de “a”.
Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es – 3 y pasa por el punto (5;8). Rpta.:...........................................................
Î
Þ
Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (3;4). Rpta.:...........................................................
6.
2.
Determine el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos (-1;3) y (7;9). Rpta.:...........................................................
3x - 4y -12 =0 Resolución:
1.
Si el ángulo de inclinación de la recta con la horizontal es 45º. Calcule la pendiente de dicha recta.
Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3;4) y (4;7). Rpta.:...........................................................
9. Calcula “n” si la rectas son perpendiculares: L1 : (n-1)y=5x+n-7, L2 : 3y=2x+n-nx+3
Rpta.:........................................................... 10. La pendiente de una recta es 6 y pasa por los puntos (6 ; b) y (8 ; 9)“b”. Calcule “b”. Rpta.:........................................................... 11. La pendiente de una recta es y pasa por los puntos (a ; 4) y (-3;2). Calcule “a” Rpta.:........................................................... 12. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2;4) y (6;12).
D) Rpta.:........................................................... 13. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-5;1) y (7;3).
3.
Rpta.:........................................................... 14. Si el ángulo de inclinación de la recta con la horizontal es 60º. Halle la pendiente de dicha recta. Rpta.:........................................................... 5. 15. Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 5 y pasa por el punto (2;5)
5 3
Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (6;9). A)
4.
E)
3 4
x-y-9=0
B)
3x-y-9=0 C)
3x+y-9=0
D) 3x-y+9=0 E) x-3y-9=0 Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2;7) y (6;13) A) 2x – 3y+8 = 0 B) 3x – 2y +8=0 C) 3x– y – 8 = 0 D) 3x – 2y – 8=0 E) 2x – 3y – 8 =0 Calcule la ecuación de la recta . Y
4
Rpta.:...........................................................
X
–3
16. Calcule la ecuación de la recta y 3
-2
A) 3x - 4y + 12 = 0 B) 3x + 4y - 12 = 0 C) 3x - 4y - 12 = 0 D) 3x + 4y - 4 = 0 E) 3x - 4y + 4 = 0 x
6. Señala la ecuación de la recta que pase por (0,1) y (-3,0)
Rpta.:........................................................... 17. Calcule la ecuación de la recta
Y
5
a) 4/3 d) –3/4
X
Rpta.:...........................................................
TAREA: Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2;5) y (4;11). A)
2.
b) x-3y+3=0 d) 3x+y=1
7. Halla “a” para que las rectas : L1 : 2x – 3y+7=0 L2 : ax+2y+1=0 ; sean paralelas
6
1.
a) x+3y-3=0 c) 3x-y=1 e) N.A
1
B)
2
D) 4
E)
5
C)
3
Si el ángulo de inclinación de la recta con la horizontal es de 37º. Calcule la pendiente de dicha recta. A) B) C) 4 5 4 3 4 5
b) 3/4 e) 1
c) –4/3
8. Halla “a” para que las rectas: L1 : 2x+5y+7=0 L2 : ax-y+1=0 ; sean perpendiculares a) 5/2 d) –2/5
b) –5/2 e) N.A
c) 2/5
9. Halla la ecuación de la recta cuyos intercepto con x e y miden 3 y 2 respectivamente. a) 2x + 3y=6 c) 3x+2y=6
b) 2x-3y=6 d) 3x-2y=6
e) x+2y=12
10. Cuál es la pendiente de: L: 3y-2x+1=0 a) 3/2 d) –2/3
b) –3/2 e) –1/3
EL COLECCIONABLE:
c) 2/3
Calcula el área del triángulo que forma la recta: L : 2x-y+18=0; con los ejes cartesianos. a) 18
b) 9
c) 81
d) 27
e) N.A
CLASE 4: R.T DE ANGULO EN POSICION NORMAL ANGULO EN POSICION NORMAL: Llamada también en posición canónica o standar; es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado final se ubica en cualquier región del plano, siendo el que indica a que cuadrante pertenece el ángulo. Y a q
X
En el gráfico, por ejemplo no es un ángulo canónico (note donde se inicia). Como a, q y son ángulos canónicos; decimos: a IIC, q IIIC; IVC. Î Î Î
PROPIEDAD Si q es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta, entonces se cumple que: Si q Î IC
Ejemplo: Si: q IIIC, ¿en qué cuadrante está
Î
2q 3
?
Þ
0° q 90°
Si q Î IIC Þ
90° q 180°
Si q Î IIIC Þ
180° q 270°
Si q Î IVC Þ
270° q 360°
Resolución: Si: q IIIC Þ Î
180°<q<270°
2 2 2 × 180° q × 270° 3 3 3
120° Como
2q 3
2q 180° 3
está entre 120° y 180° entonces:
2q Î IIC 3
Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo canónico, tomamos un punto que pertenezca a su lado final. Luego: Y
P (x ; y ) r
q
Y: ordenada 2
Además: Ejemplo:
2
cosq x r
secq r x
y x
ct gq x y
r: radio vector
r =x +y Y
cscq r y
tgq X
Donde: X: abscisa
y r
senq
2
X
P (– 4 ; – 3 )
Se observa del gráfico: 2
2
2
x = –4; y = –3 r = (-4) + (-3) r=5 Luego: ; ; sen 3 cos 4 tg 3 3 5 5 4 4 Y
PARA LA CLASE: 1.
(1 2 ; y0)
13
Calcular la longitud de
, si: P(3; 4) y ‘‘O’’ es
X
OP el origen del sistema. Rpta.:........................................................... 2.
Rpta.:........................................................... 4.
(– 2 ; 4 )
Calcular el radio vector del punto P(8; 6)
Hallar “y0”
Y a X
Rpta.:........................................................... 3.
Hallar seca
Rpta.:........................................................... 5.
Calcular: E = sena + cosa
Y
( 3; 2) a
X
10. Calcular: E senq 1 cosq Y
Rpta.:........................................................... 6.
(– 3 ; 4 )
Calcular: E = tga+ ctga
q
X
Rpta.:........................................................... 11. Calcular m, si ctga = –2 Y
(m – 5 ; m – 2 ) a Y a
X
X
Rpta.:........................................................... 12. Calcular tga
(– 6 ; – 8 )
Y
(– a, 2 a)
Rpta.:........................................................... 7. Calcular: E = ctg – csc
a X
Y X
Rpta.:........................................................... (1 5 ; – 8 )
TAREA: Rpta.:........................................................... 8.
Hallar:
1.
Calcular la longitud de
, si: P(12; 5) y “O” es OP
M 5 ( cosq senq )
el origen del sistema.
Y 3
q
A) 12 D) 13
X
2.
–6
B) E)
15 20
C)
18
C)
–10
Hallar “x0” Y q
9.
Rpta.:........................................................... Del gráfico, calcular: E = 8(secq – tgq)
X 13
( x 0; – 5 )
Y
A) –7 D) –12
X
q (8 ; – 1 5 )
Rpta.:...........................................................
3.
Hallar sena
B) E)
–8 –9
A)
B)
1 2 3 3 Y
C)
1
(– 1 ; 2 )
a)
5 D)
a
E)
d)
X
1 4 2
e)
1 5
c) -
7 5
1 5
3 5
8. Sea P(-2; -3) un punto del lado final de un ángulo "a" en posición normal. Hallar "Csca".
5
a) 4.
b) -
7 5
Calcular tga
Y
2 3
b)
c) -
2 3
13 2
(– 2 ; 7 )
d) (4 ; 3 )
a
e) 13 2
13 3
X
A) –2 D) 5
B) E)
–3 –6
C)
–4
9. Si "q" es un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por (-2; -). Calcular: E= Ctgq + Secq 5
5.
Hallar: M = 5(cosa – sena) A) B) C) D)
–1 –5 –7 1
E)
7
a
a) 1
Y
c)
X
d) (– 3 ; – 4 )
6. Del gráfico, hallar "Tgq".
x -5
b) -1,4 e) -3,5
1 2
e) -
1 2
3 2
10.Si los puntos (1; -2) y (b; -4) pertenecen al lado final del ángulo en posición normal "a", hallar "b".
y 7
a) 1,4 d) -0,7
b) -1
c) 0,7
7. Hallar "Sena - Cosq", según los datos de la figura adjunta.
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
EL COLECCIONABLE:
Si ABCD es un cuadrado, calcular: E= Sena - 4Ctga 65
a) 12 d) 15
b) 11 e) 16
c) 14
CLASE 5: R.T DE ANGULO EN POSICION NORMAL
CUADRANTE
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CADA Y - x
x
r
r
y –y
y
r
r
–x
x
–y
X
Primer Cuadrante En el primer cuadrante todas las razones trigonométricas son positivas porque la abscisa (x) y la ordenada (y) y el radio vector (r) son positivos. Segundo Cuadrante En el segundo cuadrante el seno y la cosecante son positivas porque la ordenada (y) y el radio vector (r) son positivos. Las demás razones trigonométricas son negativas. Tercer Cuadrante En el tercer cuadrante la tangente y la cotangente son positivas porque el radio vector (r) es positivo. Las demás razones trigonométricas son negativas. Cuarto Cuadrante En el cuarto cuadrante el coseno y la secante son positivas porque la abcisa (x) y el radio vector (r) son positivos. Las demás razones trigonométricas son negativas. Complete usted: Y
X 13 P (1 2 ; – 5 )
tenemos:
sen
x = 12
y = –5 r = 13
y r
cos x r tg
y x
SIGNOS DE LAS R.T. En los ejemplos anteriores algunas razones trigonométricas resultaron positivas y otras negativas. Esto dependerá del cuadrante en el que se ubique el ángulo considerado, en el cuadro adjunto se aprecia un criterio para recordar los signos; entendiéndose que están indicadas las que son positivas y sobreentendiendo que las no mencionadas en cada cuadrante, son negativas.
Y se n (+ ) csc
P o s i ti v a s to d a s
tg (+ ) c tg
co s (+ ) se c
X
Ejemplo: ¿Qué signo tiene la expresión?
4. E
sen100º × cos200º tg300º
Determinar a que cuadrante pertenece q, si senq>0 tgq<0. Ù
Rpta.:...........................................................
Resolución: Y
Y
Y
5.
200°
IIC
X
100°
IIIC
X
300°
X IV C
Si q es un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por el punto P(1; 3). Calcular: E 10senq tgq
Rpta.:...........................................................
Aplicamos la regla práctica: 100º IIC
Î
Þ
200º IIIC
Î
Þ
300º IVC
Î
Þ
sen100º es (+) cos200º es (–)
6.
Si el punto M(–3; 4) es un punto que pertenece al lado final del ángulo a en posición normal. Calcular: E sena × cosa × tga Rpta.:...........................................................
tg300º es (–) 7.
Si:
Reemplazamos en E E
, calcular el valor de:
Rpta.:........................................................... 8.
\E
Si: tg = 2,4 y
Î IIIC
.
Calcular cos Rpta.:...........................................................
PARA LA CLASE: 9.
Determinar el signo de: E = sen100º×cos220º Rpta.:...........................................................
2.
q Î IIIC
R 8 ( secq tgq )
( ) ( ) ( )
( ) E ( )
1.
y
1 senq 3
Si:
1 cosq 2
;
q Î IIC
.
Calcular tgq
Calcular el signo de tg230º ×sen205º E tg320º
Rpta.:........................................................... 10. Si: ; senq × cosq 0 ¿En qué cuadrante podría estar ubicado q?
Rpta.:........................................................... Rpta.:........................................................... 3.
Si:
sena>0
Ù
cosa<0,
determinar
a
que 11. Si: 5senq – 3 = 0
cuadrante pertenece a Rpta.:...........................................................
Calcular:
Ù q Î IIC
E secq tgq
Rpta.:..........................................................
A)
. 12. Si el lado final de un ángulo canónico q pasa por P(1; –3); calcular: K secq cscq
Rpta.:........................................................... 13. Si:
3 senq 5
Calcular:
B) 2
D)
Si:
y
A)
E secq tgq
D)
2tgq 3
y
q Î IV
,
y
a Î IIIC
5 4
Del gráfico determine: M 12tga 5sena
Y
D) + ó – 2.
E)
N.A.
Si: cos
B) E) 1 ; Î IVC 3
B) –10
(+)(+)(+) (+)(-)(+) (+)(-)(-) (-)(-)(-) (+)(+)(-)
c) C)
±
IIC C) Ninguno
C) –12 E) –15
–20
6. Determine el signo de cada letra: T = Sen100° + Tg250° R = Cos200° + Sec150° C = (Sen140° + Cos350°)(Tg110° + Csc210°)
e) 7. A qué cuadrante pertenece "
Determine a qué cuadrante pertenece a, si: tga <0 cosa >0 A) IC D) IVC
3.
(–)
–6 D)
a)
Señale el signo de: P = sen124ºcos110º B)
X
A)
M seca csca
(+)
(4 ; 3 )
a
.
TAREA:
A)
3 4
E) 5 3
5.
Rpta.:...........................................................
1.
C) 5 2
E Secq Tgq
5tga1 125
Calcular:
, calcular:
B) 5
Rpta.:........................................................... 15. Si:
q Î IIIC
y q pertenecen al tercer cuadrante.
8tgq ( sec45º)
Calcular:
2 3
3tgq1 27
Rpta.:........................................................... 14. Si:
2 2
E) 3 2
4.
C) 3
Sec
IIIC
a) I d) IV
a
a
", si:
< 0 y Sen
a
>0
b) II c) III e) No se puede precisar
8. A qué cuadrante pertenece "
Calcular tg
Tg
a
a
", si:
> 0 y Sec
a
<0
b) d)
a) I d) IV
b) II e) Ninguno
c) III
9. Si: a [210°; 300°], hallar el signo de: Î Tg
æaö ç ÷ è2ø
.csc
a
a) + d) + y -
b) e) F.D.
10.Si: q Î II C y Cos2q=
c) + ó -
2 9
Hallar "Cosq" a)
b) 3 3
c) 2 3
d)
2
e) 3 2
3
EL COLECCIONABLE: Si: Ctgq = 3 (q Î IIIC), calcular: Q = 2Senq - Cosq a)
b) -
1 4
d)
-
1 10
c)
1 4
e)
1 10
-
5 10
CLASE 6: RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS CUADRANTALES Y COTERMINALES ÁNGULOS CUADRANTALES Son aquellos ángulos canónicos, cuyo lado final coincide con cualquiera de los semi-ejes cartesianos. Su medida es siempre múltiplo de 90° y no pertenecen a ningun cuadrante.
Son aquellos ángulos trigonométricos no necesariamente canónicos que tienen el mismo lado inicial y final; motivo por el cual también se les llama ángulos cofinales. Las medidas de estos ángulos se diferencian siempre en un número entero de vueltas; o dicho de otra manera, la diferencia de sus medidas es siempre un múltiplo de 360°. Y
Y
a
180° –180°
a y : n o c a n ó n ic o s y c o te r m in a le s
medida de un ángulo 90ºn, n Î cuadrantal
R.T. DE LOS ÁNGULOS CUADRANTALES
sen cos tg ctg sec csc
X
X
–90°
®
a
O
90°
0°;360° 90°; 180°; 270°; 2 /2 3 / 2 0 1 0 1 1 0 1 0 0 N.D. 0 N.D. N.D. 0 N.D 0 1 N.D. 1 N.D. N.D. 1 N.D. 1
S i a y : c o te r m i n a le s Þ a – = 3 6 0 °. n ; n Î
PROPIEDAD Las razones trigonométricas de los coterminales son respectivamente iguales.
Por ejemplo; para hallar las R.T. de 90°, tomamos al punto P(0; 1) Y
ángulos
a R .T . ( a ) = R . T .( )
N.D.: no determinado
CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES:
a y : c a n ó n ic o s y c o te r m in a le s
1.
PARA LA CLASE: Calcular: cos0° + sen0° Rpta.:...........................................................
2.
P (0 ; 1 )
Simplificar: 3sen90° + 2cos0° Rpta.:...........................................................
90° X
3.
reconocemos: x 0üï ýr 1 y 1 ïþ
Rpta.:........................................................... 4.
luego: y sen90° 1 1 r 1 cos90° x 0 0 r 1 tg90°
y 1 N .D. x 0
ÁNGULOS COTERMINALES
Reducir: 7cos0° 5sen90° E 4tg45°
Calcular: E = 2sen90° + 3cos360° Rpta.:...........................................................
5.
Simplificar: M = 8cos0° – 6sen270° Rpta.:...........................................................
6.
Reducir: E 18cos0° 7sen90°
Rpta.:........................................................... 15. Si: f(x) = sen2x – cos4x – sec8x Calcular: f(45°)
Rpta.:........................................................... 7.
Rpta.:...........................................................
Simplificar:
E 7sen90° 9cos0°
Rpta.:........................................................... 8.
Simplificar:
E
sen 90° tg0° cos0° tg180°
16. Si los ángulos ‘‘a’’ y ‘‘q’’ son coterminales, calcular: E
Rpta.:...........................................................
2
Rpta.:.......................................................... 9. Los ángulos que miden 120° y 480°. ¿Son coterminales? Rpta.:...........................................................
TAREA: 1.
2.
2
2
3.
C)
3
C)
3
Simplificar: 3sen90º 4cos0º M 2cos2180º A) 1,5 D) 3,5
Rpta.:........................................................... 11. Reducir la expresión
Reducir:
E = 2sen 90º + cos 360º A) 1 B) 2 D) 4 E) 5
10. Los ángulos que miden 50º y 770º. ¿Son coterminales?
M
sen a cosq sen q cosa
B) E)
2,5 2
Del gráfico, calcular:
( a b) 2 sen90° 4abcos180°
P
asen90° bcos180°
sena ctgq senq ctga
Y
Rpta.:........................................................... 12. Reducir: E
( a b) 2 sen90° ( a b) 2 cos180°
q
a
csc90° sec0°
X
A) 1 D) 4
Rpta.:...........................................................
B) E)
13. Simplificar la expresión: 4.
2
C)
3
1 2
Calcular: R ( a b) sen4 90º ( a b) cos3 180º 2
P
sen270° cos90° tg0° 1 sen180° cos90° A)
Rpta.:........................................................... 14. Calcular x cos2 360° sen270° 3 x × cos180°
2
2
a +b 2
2
D) a –b 5.
2
B)
2ab
E)
4ab
Del gráfico calcular tga
C)
2
2
b –a
Del gráfico, calcular: E=
Y
a
37° X
A) 3/4 D) –4/3
B) 4/3 E) 3/5
C)
2Sena Sen 2Cos Cosa
–3/4
y x
6. Diga usted qué ángulo no es cuadrantal. a) 630º d) 1100º
b) -450º e) 900º
a)
7. Calcular: Q = (3Cos180º - Cos90º)2 + (2Sen180º - Sen90º)2 a) 12 d) 9
b) 11 e) 8
8. Calcular:
E
c) 10
3 4C sc 2 2 C os 0° Tg 4
C os -Sen
a) 1 d) -1
b) 2 e) 3
c) -2
9. Calcular el valor de:
é æ 3 ö ù êSen ç ÷ú è 2 øû ë
C sc
2
æ 3 ö Ctg ç S ec( ) ÷ è 2 ø - éC sc æ 3 ö ù ê ç ÷ú C os( ) ë è 2 øû
a) 0 d) 2
b) -1 e) -2
c) 1
10.Reducir: 2
C
a) n + m
d)
2
m n mn
7
2
4
n Cos 180° m Sen 90° mSen90° nCos0°
b) m - n
2
e)
EL COLECCIONABLE:
2
m n m-n
(-1 2 ; 5 )
c) 1170º
c)
2
m-n mn
3 4
b)
c)-
5 8
d)
5 12
12 5
e) 1
CLASE 7 : REPASO
6.
1.
de "P", si A(-4; -12), B(4; 4) y C(6; -2)
El punto (-7; -5) está ubicado en el:
a) I C
b) II C
d) IV C
e) eje X
B
c) III C
M A
2.
Indicar
verdadero
(V)
o
falso
(F)
De la figura mostrada, determinar las coordenadas
P
según
C
corresponda: Rpta.:...........................................................
I. El punto A(-3; 4)
Î
II. El punto B(-2; -3) III. El punto P(0; 2) IV. El punto Q(-3; 0)
II C
Î
Î Î
7.
IV C
prolonga hasta "C" tal que BC = 3AB. Calcular las eje Y
coordenadas de "C".
eje X
Rpta.:...........................................................
8.
3.
a) VFFF
b) VFVV
d) FFVV
e) VVVV
Del triángulo mostrado, calcular "a + b". B (2 ; 5 )
c) FFFV
A (-4 ; 7 )
Calcular el punto "A" y sumar sus coordenadas.
B (9 ; 8 )
A
El segmento que une A(-2; -1) con B(2; 2) se
2k
P (a ; b ) k
C (6 ; -1 )
Rpta.:...........................................................
M (5 ; 4 )
9.
Si: P(a; a + 1) es un punto que equidista de A(2; 1)
y B(-6; 5). Hallar el valor de "a". Rpta.:...........................................................
4.
Halle la distancia del punto A(1; -2) al punto
B(4; 2). Rpta.:...........................................................
5.
Calcular la distancia entre los puntos:
Rpta.:...........................................................
10. Dos vértices de un triángulo son A(1; 1) y B(-1; 3). Si el baricentro es el origen de coordenadas, ¿cuáles son las coordenadas del tercer vértice "C"?
A(x - 3; x + 3) y B(x + 7; x + 9)
Rpta.:...........................................................
Rpta.:...........................................................
11. De acuerdo al gráfico, calcular: K = Secq - Tgq
y
16. Indicar el orden creciente dados los siguientes valores.
(-1 2 ; 5 )
a = Tg2
b = Csc
x
c = Sen
3 2
2
Rpta.:........................................................... Rpta.:...........................................................
12. Del gráfico, calcular: L = 2Cosq + Senq
17. Calcular: E = 3Sen
y (-4 ; 3 )
2
+ 2Cos
- Csc
3 2
+ Tg2
x
Rpta.:........................................................... Rpta.:...........................................................
18. Calcular: 13. Si "a" es un ángulo en posición normal cuyo lado
E = Tg(Sen ) + Cos(Tg2 )
final pasa por (3; -4). Calcular: E = Seca - Tga
Rpta.:........................................................... Rpta.:...........................................................
19. Calcular: 14. El punto Q(-1; 3) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal "q"; calcular: K=
P
2Cos-Tg2 2 3 Csc -Sec0° 2
Sen
Secq - Tgq 10
Rpta.:...........................................................
15. Siendo "q" un ángulo en posición normal cuyo lado
Rpta.:...........................................................
20. Calcular:
final pasa por (-3; 2), determine: E=
Senq + 12Ctgq 13
Rpta.:...........................................................
E
S ec 2-C os Sen Tg
3 -Sen 4 2
2
Rpta.:...........................................................