Trigo 3°

Dado los puntos P(x; y1) y Q(x; y2), entonces la

CLASE 1: GEOMETRIA ANALITICA

distancia vertical (DV), se calcula restando las DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos A x ; y y B x ;y

(

1

1

)

(

2

2

ordenadas de P y Q.

)

; la distancia

Þ D  y  y , donde y > y V

2

1

2

1

entre ellos es calculada así: 1. Hallar la distancia vertical entre A(–4; 5) y B(–4; – 3).

A ( x 1 ; y 1)

Þ D  5  (3)

B (x 2 ; y 2)

d(A,B) 

(x

2

) (y 2

x

1

2

V

y

1

)

\ D 8 V

2

2. Hallar la distancia vertical entre R(2; 16) y S(2; 4).

Ejemplo: Þ DV  16  4

Y

B (- 2 ;2 )

\ DV  12

A (1 ;5 )

5 2

-2

PARA LA CLASe: X

1

1.

Indicar las coordenadas de cada punto.

Y 2

d(A;B)  éë1  ( 2) ùû  ( 5  2)

A

7 4

A(1; 5) y B(–2; 2) 2

-8

F

C

1

-3 -1

-1

G

d(A;B)  9  9  18 ®\ d(A;B)  3 2

-9

DISTANCIA HORIZONTAL (DH)

B D

1 3

5

6

X

E

Rpta.:...........................................................

Dado los puntos P(x1; y) y Q(x2; y), entonces la distancia horizontal (DH), se calcula restando las

2.

abcisas de P y Q.

Þ

D x x H

2

1

¿En qué cuadrante se ubica P(-3;2)?

Rpta.:...........................................................

, donde x > x 2

3.

¿El punto P(4;0) se ubica en el IC?

1

Rpta.:...........................................................

Ejemplos:

4.

¿Cuál es la distancia del punto P(3;6) al eje X?

1. Hallar la distancia horizontal entre P(–4; 3) y Q(5; Rpta.:...........................................................

3) 5. Þ DH  5  (4)

\ DH  9

DISTANCIA VERTICAL (DV)

¿Cuál es la distancia entre P(1;-2) y Q(4;2)?

Rpta.:...........................................................

6.

¿Cuál es la distancia entre A(3;5) y B(3;-4)?

Rpta.:...........................................................

Y

(-3 ; 7 )

7.

¿Cuál es la distancia entre M(-2;6) y N(4;-2)?

Rpta.:........................................................... ( - 3 ;- 2 )

8.

9.

Dado los puntos P(-6;2), Q(4;2); R(1;5) y T(1;-5).

Calcule: PQ E RT

Rpta.:...........................................................

En el gráfico. Calcule PQ.

(9 ;-2 )

Rpta.:...........................................................

15. Si dos vértices de un triángulo equilátero son A(3;1) y B(7;4). Calcular su perímetro.

Rpta.:..........................................................

Y

P ( - 4 ;3 )

X

a

Q (5 ;3 )

TAREA: X

Rpta.:...........................................................

1.

¿Cuál es la distancia del punto P(3; 4) al eje X? A)

10. En el gráfico. Calcule DC. Y

3

B)

5

D) 2

E)

7

C)

4

X D ( - 5 ;- 4 )

2.

C (6 ;-4 )

B(2; 5)?

Rpta.:...........................................................

11. En el gráfico. Calcule EF. Y

E (2 ;2 ) X

¿Cuál es la distancia entre los puntos A(-1; 3) y

3.

A)

B)

D)

E)

C)

Calcule la distancia horizontal:

F (2 ;-3 )

Y D

(-4 ; 4 )

H

(6 ; 4 )

Rpta.:...........................................................

12. En el gráfico. Calcule MN. M ( - 4 ;1 )

X

Y X

4.

A) 10 B) 8 C) D) 5 E) 4 Calcule la distancia vertical:

6

Y

(3 ; 4 )

N ( - 4 ;7 )

Rpta.:...........................................................

D

V

X

(3 ; -2 )

13. Determine el perímetro de la figura:

A) 5 D) 2

Y (6 ;5 )

5.

X

B) E)

8 0

Calcule: (x0 + y0).

( - 5 ;- 2 )

A

C) 6

Y

(-3 ; 3 )

B ( 4 ;y 0 ) X

Rpta.:...........................................................

C

A) 14. Calcule tg

a

, si:

1

B)

3

(x 0 ;-4 )

C)

5

D) 7 E) 9

6. El punto (1; -2) está ubicado en el: a) I C

b) II C

c) III C

d) IV C

e) eje X

d)

e) 53

146

7. ¿Qué punto se encuentra más lejos del origen del sistema cartesiano? a) (4; -2) d) (3; -2)

b) (3; 4) e) (4; -1)

c) (5; 1)

8. Determine la distancia del punto A(-5; 3) al punto B(1; -5). a) 5 u

b)

d) 10

a) 4 d) a y b

2

e) 15

9. Hallar la distancia entre los puntos: A(3; 7) y B(-2; 4) b) 7

c) 34

c) 3

Si dos vértices consecutivos de un cuadrado son A(1; -2) y B(3; 4), calcular el área de dicho cuadrado. a) 20 u2 d) 50

a) 2

b) -3 e) a y c

EL COLECCIONABLE:

c) 3 10

10.Si la distancia del punto P(a; a - 1) al origen es igual a 5, ¿cuál es el valor de "a"?

10

b) 30 e) 60

c) 40

CLASE 2: PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Y BARICENTRO DE UN TRIANGULO

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO y

P 2(x 2 ; y 2) M (x0 ; y 0) P 1(x 1 ; y 1)

x

Las coordenadas del punto medio M(x0; y0) de un segmento cuyos extremos son: y son: x0 

x1  x2 2

y0 

y1  y2 2

Baricentro de un triángulo Dado el triángulo ABC, de vértices conocidos, se determina su baricentro (G) de la siguiente manera:

x=

y=

x1  x2  x3

y1  y2  y3

3

3

o también: G=

A BC 3

ó

G=

M NP 3

No olvide que el baricentro es el punto de intersección de las medianas de un triángulo.

2.

PARA LA CLASE: 1.

segmento cuyos extremos son: P(8;2) y Q(-2;6)

Calcule las coordenadas del punto medio del segmento

Calcule las coordenadas del punto medio de un

Rpta.:...........................................................

cuyos extremos son: A(3;2) y AB

3.

Calcule las coordenadas del punto “M” B (9 ;8 )

B(9;10)

M

Rpta.:...........................................................

A (1 ;0 )

Rpta.:...........................................................

10. Calcule las coordenadas del punto medio “M” 4.

Calcule la suma de coordenadas del punto “M”

( 5 ;1 0 ) (1 0 ; 8 )

Q (1 0 ;7 ) M

M P (2 ;5 )

(-3 ; 0 ) (1 6 ; -2 )

Rpta.:...........................................................

5.

Del gráfico, calcule “y0 - x0”: Y

Rpta.:...........................................................

11. Calcule

las

coordenadas

del

centro

de

la

circunferencia.

B (1 ;8 )

(x 0;y 0 )

Y

(4 ;3 )

A ( – 5 ;2 ) X

C

X

( 1 ;– 3 )

Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

6.

Calcule: E

b a

12. Calcule el área del triángulo: B ( 6 ;6 )

Y ( – 4 ;7 )

(a ;b )

A (4 ;2 )

(6 ;3 ) X

Rpta.:...........................................................

7.

C (8 ;2 )

Rpta.:...........................................................

13. Calcule la distancia horizontal: (6 ;1 2 )

Calcule las coordenadas del punto “P”

(2 ;7 )

Q (8 ;1 2 )

D

M (6 ;9 )

H

(– 8 ;2 )

Rpta.:...........................................................

P (x ; y )

Rpta.:...........................................................

14. Calcule la distancia vertical: M (– 6 ;5 )

8.

Calcule las coordenadas del punto “N” N (x ; y )

(2 ;5 ) D

Q (4 ;3 )

V

(x ;– 3 ) (6 ;2 )

Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

9.

Calcule las coordenadas del punto “N” B (4 ;1 0 ) M

15. Dos vértices de un triángulo son A(1; 1) y B(-1; 3). Si el baricentro es el origen de coordenadas, ¿cuáles son las coordenadas del tercer vértice "C"?

P (1 0 ;7 ) N

A (- 4 ;-4 )

Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

TAREA:

1.

Calcule las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son: NP N(3;5) y P(7;7) A)

2.

(5;6)

B)

(3;6)

D) (6;5)

E)

(6;6)

C)

(6;3)

Calcule las coordenadas del punto “M” A (4 ;7 )

8. En un triángulo ABC de coordenadas: A(x + 1; 0); B(x - 1; x - 3) y C(x; y - 1), su baricentro tiene como coordenada (3; 2). Hallar: E = x/y. a) b) 5 c) -5 1 5 d) -

1 5

M

e)

3 7

B (1 0 , 3 )

A)

3.

(5;10)

B)

(7;5)

D) (7;10)

E)

(5;7)

C)

(10;7)

Calcule las coordenadas d el punto “A” M ( 1 2 ;1 0 )

A

9. Los vértices de un triángulo son A(-3; -3), B(-3; -1) y C(1; 3). Hallar la mediana relativa al lado BC. a)

b) 2 5

B (8 ;6 )

A)

4.

(16;14)

B)

(12;14)

D) (12;12)

E)

(14;12)

Calcule : E

C)

(16;12)

a b

a) 6 d) 3

(a ;b )

X

1

B)

2

D) 4

E)

5

C)

3

5k (7 ;7 )

D

B (3 ; -3 ) V

a)

(x ;– 2 )

1

C)

9

D) 5 E) 7

6. Si el punto medio del segmento cuyos extremos son A(1; -2) y B(a; b) es M(-2; 0), calcular "a + b". a) 1 d) -6

b) 2 e) -3

c) 4

7. Halle la suma de coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son A(3; 5), B(4; -1) y C(8; 2). a) 3 d) 8

b) 5 e) 10

C

2k P (a ; b )

M ( – 3 ;7 )

B)

c) 8

Del gráfico, halle "a + b".

A (-1 ; 5 )

Calcule la distancia vertical:

3

b) 7 e) 2

EL COLECCIONABLE:

( – 4 ;– 2 )

A)

e) 5

10.Si los vértices de un triángulo son A(-1; 5), B(1; 1) y C(4; 5), calcular la longitud de la mediana relativa al menor lado del triángulo.

M (4 ;2 )

5.

5

5

Y

A)

d) 4

c) 3 5

c) 7

15 7

d) 4

b)

e)

20 7 25 7

c) 3

CLASE 3: ECUACION DE UNA RECTA

m =

NGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA

L

y2 - y1 x2 - x1

P 2( x 2; y 2)

La dirección de una recta “L” se indica por el ángulo “ ” que forma con el eje “x”. El ángulo de q inclinación “ ” se mide en sentido antihorario q desde el eje “x” hasta la recta “L”.

Y

Y

+ L 30°

Y

L

Ejemplo: Calcule la pendiente de la recta “L” que pasa por los puntos P1 ( 2;3) y P2 ( 5;6)

L 90°

X

P 1( x 1; y 1)

Resolución: X

m

6  ( 3) 5 2



9  3 3

Y L

X

ECUACIÓN DE UNA RECTA

180°

Si P(x;y) es un punto cualquiera de una recta “L” y P(x1;y1) es un punto conocido de ella, entonces la

X

PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente de una recta “L” se denota por «m» y se define como la tangente de su ángulo de inclinación “”. Es decir: m  tgq

recta “L” queda determinada mediante la ecuación: forma punto-pendiente y  y0  m( x  x0 ) Esta ecuación la convertimos a una expresión lineal y resulta: forma general Ax  By  C  0

Ejemplos: Ejemplo:

Y L 30° o

Calcule la ecuación de una recta que pasa por los puntos A(4 ; -3) y B(7 ; 9).

X

Resolución Primero; calculamos la pendiente con los puntos A(4;– 3) y B(7 ; 9).

m  tg30° m

L

3 3

m

9  (3) 12  4 7 4 3

Segundo; reemplazamos la pendiente “m” y el punto conocido A(4 ; -3) en la ecuación punto pendiente, así:

Y

X

y =– (–3) = 4 . (x - 4) m  tg120°

0 = 4x - 16 - y - 3

m  3 Si una recta “L” pasa por los puntos

P2 ( x2;y2 )

P1 ( x1;y1 )

la pendiente “m” se calcula como sigue:

y

® ®

y + 3 = 4x - 16

0 = 4x - y - 19

forma general 4x  y  19  0

Si reemplazamos como el punto conocido a B(7; 9) la ecuación resulta la misma.

Rpta.:...........................................................

4x  y  19  0

3.

PROPIEDADES I.

Dada la ecuación de una recta: Ax + By + C=, su pendiente “m” se calcula como sigue: A m  B

Rpta.:...........................................................

4.

Ejemplo: Calcule la pendiente de la recta cuya ecuación es:

3 3x  4y  12  0 Þ m   ( 4) \ m

5.

3 4

II.

Si un punto (a;b) pertenece a una recta “L” de ecuación: , entonces debe Ax+By+C=0 satisfacer su ecuación, es decir: (a;b) L: Ax+By+C=0

7.

8.

Resolución: (a;5) L: 2x – 3y – 12 = 0 2a – 3(5) – 12=0 Î OBSERVACIÓN PARA RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES I)

Si L1 // L2 : m1 = m2

II)

Si L1

L2 : m1 x m2 = -1

PARA LA CLASE: Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3;2) y (7;5) Rpta.:...........................................................

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1;3) y (7;15).

Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es y pasa por el punto (2;5).

Rpta.:...........................................................

Aa + Bb + C=0

Ejemplo: El punto (a;5) pertenece a la recta de ecuación: 2x - 3y - 12 =0. Calcule el valor de “a”.

Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es – 3 y pasa por el punto (5;8).

Rpta.:...........................................................

Î

Þ

Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (3;4).

Rpta.:...........................................................

6.

2.

Determine el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos (-1;3) y (7;9).

Rpta.:...........................................................

3x - 4y -12 =0 Resolución:

1.

Si el ángulo de inclinación de la recta con la horizontal es 45º. Calcule la pendiente de dicha recta.

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3;4) y (4;7).

Rpta.:...........................................................

9. Calcula “n” si la rectas son perpendiculares: L1 : (n-1)y=5x+n-7, L2 : 3y=2x+n-nx+3

Rpta.:...........................................................

10. La pendiente de una recta es 6 y pasa por los puntos (6 ; b) y (8 ; 9)“b”. Calcule “b”.

Rpta.:...........................................................

11. La pendiente de una recta es y pasa por los puntos (a ; 4) y (-3;2). Calcule “a” Rpta.:...........................................................

12. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2;4) y (6;12).

D) Rpta.:...........................................................

13. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-5;1) y (7;3).

3.

Rpta.:...........................................................

14. Si el ángulo de inclinación de la recta con la horizontal es 60º. Halle la pendiente de dicha recta.

Rpta.:...........................................................

5.

15. Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 5 y pasa por el punto (2;5)

5 3

Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (6;9).

A)

4.

E)

3 4

x-y-9=0

B)

3x-y-9=0 C)

3x+y-9=0

D) 3x-y+9=0 E) x-3y-9=0 Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2;7) y (6;13) A) 2x – 3y+8 = 0 B) 3x – 2y +8=0 C) 3x– y – 8 = 0 D) 3x – 2y – 8=0 E) 2x – 3y – 8 =0 Calcule la ecuación de la recta .

Y

4

Rpta.:...........................................................

X

–3

16. Calcule la ecuación de la recta y 3

-2

A) 3x - 4y + 12 = 0 B) 3x + 4y - 12 = 0 C) 3x - 4y - 12 = 0 D) 3x + 4y - 4 = 0 E) 3x - 4y + 4 = 0 x

6. Señala la ecuación de la recta que pase por (0,1) y (-3,0)

Rpta.:...........................................................

17. Calcule la ecuación de la recta

Y

5

a) 4/3 d) –3/4

X

Rpta.:...........................................................

TAREA: Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2;5) y (4;11).

A)

2.

b) x-3y+3=0 d) 3x+y=1

7. Halla “a” para que las rectas : L1 : 2x – 3y+7=0 L2 : ax+2y+1=0 ; sean paralelas

6

1.

a) x+3y-3=0 c) 3x-y=1 e) N.A

1

B)

2

D) 4

E)

5

C)

3

Si el ángulo de inclinación de la recta con la horizontal es de 37º. Calcule la pendiente de dicha recta.

A) B) C) 4 5 4 3 4 5

b) 3/4 e) 1

c) –4/3

8. Halla “a” para que las rectas: L1 : 2x+5y+7=0 L2 : ax-y+1=0 ; sean perpendiculares a) 5/2 d) –2/5

b) –5/2 e) N.A

c) 2/5

9. Halla la ecuación de la recta cuyos intercepto con x e y miden 3 y 2 respectivamente. a) 2x + 3y=6 c) 3x+2y=6

b) 2x-3y=6 d) 3x-2y=6

e) x+2y=12

10. Cuál es la pendiente de: L: 3y-2x+1=0 a) 3/2 d) –2/3

b) –3/2 e) –1/3

EL COLECCIONABLE:

c) 2/3

Calcula el área del triángulo que forma la recta: L : 2x-y+18=0; con los ejes cartesianos. a) 18

b) 9

c) 81

d) 27

e) N.A

CLASE 4: R.T DE ANGULO EN POSICION NORMAL ANGULO EN POSICION NORMAL: Llamada también en posición canónica o standar; es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado final se ubica en cualquier región del plano, siendo el que indica a que cuadrante pertenece el ángulo.

Y a q

 

X

En el gráfico, por ejemplo  no es un ángulo canónico (note donde se inicia). Como a, q y  son ángulos canónicos; decimos: a IIC, q IIIC;  IVC. Î Î Î

PROPIEDAD Si q es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta, entonces se cumple que: Si q Î IC

Ejemplo: Si: q IIIC, ¿en qué cuadrante está

Î

2q 3

?

Þ

0°  q  90°

Si q Î IIC Þ

90°  q  180°

Si q Î IIIC Þ

180°  q  270°

Si q Î IVC Þ

270°  q  360°

Resolución: Si: q IIIC Þ Î

180°<q<270°

2 2 2 × 180°  q  × 270° 3 3 3

120°  Como

2q 3

2q  180° 3

está entre 120° y 180° entonces:

2q Î IIC 3

Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo canónico, tomamos un punto que pertenezca a su lado final.

Luego: Y

P (x ; y ) r

q

Y: ordenada 2

Además: Ejemplo:

2

cosq  x r

secq  r x

y x

ct gq  x y

r: radio vector

r =x +y Y

cscq  r y

tgq  X

Donde: X: abscisa

y r

senq 

2

X

P (– 4 ; – 3 )

Se observa del gráfico: 2

2

2

x = –4; y = –3 r = (-4) + (-3) r=5 Luego: ; ; sen   3 cos   4 tg  3  3 5 5 4 4 Y

PARA LA CLASE: 1.

(1 2 ; y0)

13

Calcular la longitud de

, si: P(3; 4) y ‘‘O’’ es

X

OP el origen del sistema.

Rpta.:...........................................................

2.

Rpta.:...........................................................

4.

(– 2 ; 4 )

Calcular el radio vector del punto P(8; 6)

Hallar “y0”

Y a X

Rpta.:...........................................................

3.

Hallar seca

Rpta.:...........................................................

5.

Calcular: E = sena + cosa

Y

( 3; 2) a

X

10. Calcular: E  senq 1  cosq Y

Rpta.:...........................................................

6.

(– 3 ; 4 )

Calcular: E = tga+ ctga

q

X

Rpta.:...........................................................

11. Calcular m, si ctga = –2 Y

(m – 5 ; m – 2 ) a Y a

X

X

Rpta.:...........................................................

12. Calcular tga

(– 6 ; – 8 )

Y

(– a, 2 a)

Rpta.:...........................................................

7. Calcular: E = ctg – csc

a X

Y X



Rpta.:...........................................................

(1 5 ; – 8 )

TAREA: Rpta.:...........................................................

8.

Hallar:

1.

Calcular la longitud de

, si: P(12; 5) y “O” es OP

M  5 ( cosq  senq )

el origen del sistema.

Y 3

q

A) 12 D) 13

X

2.

–6

B) E)

15 20

C)

18

C)

–10

Hallar “x0” Y q

9.

Rpta.:...........................................................

Del gráfico, calcular: E = 8(secq – tgq)

X 13

( x 0; – 5 )

Y

A) –7 D) –12

X

q (8 ; – 1 5 )

Rpta.:...........................................................

3.

Hallar sena

B) E)

–8 –9

A)

B)

1 2 3 3 Y

C)

1

(– 1 ; 2 )

a)

5 D)

a

E)

d)

X

1 4 2

e)

1 5

c) -

7 5

1 5

3 5

8. Sea P(-2; -3) un punto del lado final de un ángulo "a" en posición normal. Hallar "Csca".

5

a) 4.

b) -

7 5

Calcular tga

Y

2 3

b)

c) -

2 3

13 2

(– 2 ; 7 )

d) (4 ; 3 )

a

e) 13 2

13 3

X

A) –2 D) 5

B) E)

–3 –6

C)

–4

9. Si "q" es un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por (-2; -). Calcular: E= Ctgq + Secq 5

5.

Hallar: M = 5(cosa – sena) A) B) C) D)

–1 –5 –7 1

E)

7

a

a) 1

Y

c)

X

d) (– 3 ; – 4 )

6. Del gráfico, hallar "Tgq".

x -5

b) -1,4 e) -3,5

1 2

e) -

1 2

3 2

10.Si los puntos (1; -2) y (b; -4) pertenecen al lado final del ángulo en posición normal "a", hallar "b".

y 7

a) 1,4 d) -0,7

b) -1

c) 0,7

7. Hallar "Sena - Cosq", según los datos de la figura adjunta.

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

EL COLECCIONABLE:

Si ABCD es un cuadrado, calcular: E= Sena - 4Ctga 65

a) 12 d) 15

b) 11 e) 16

c) 14

CLASE 5: R.T DE ANGULO EN POSICION NORMAL

CUADRANTE

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CADA Y - x

x

r

r

y –y

y

r

r

–x

x

–y

X

Primer Cuadrante En el primer cuadrante todas las razones trigonométricas son positivas porque la abscisa (x) y la ordenada (y) y el radio vector (r) son positivos.

Segundo Cuadrante En el segundo cuadrante el seno y la cosecante son positivas porque la ordenada (y) y el radio vector (r) son positivos. Las demás razones trigonométricas son negativas.

Tercer Cuadrante En el tercer cuadrante la tangente y la cotangente son positivas porque el radio vector (r) es positivo. Las demás razones trigonométricas son negativas.

Cuarto Cuadrante En el cuarto cuadrante el coseno y la secante son positivas porque la abcisa (x) y el radio vector (r) son positivos. Las demás razones trigonométricas son negativas.

Complete usted: Y 

X 13 P (1 2 ; – 5 )

tenemos:

sen 

x = 12

y = –5 r = 13

y  r

cos  x  r tg 

y  x

SIGNOS DE LAS R.T. En los ejemplos anteriores algunas razones trigonométricas resultaron positivas y otras negativas. Esto dependerá del cuadrante en el que se ubique el ángulo considerado, en el cuadro adjunto se aprecia un criterio para recordar los signos; entendiéndose que están indicadas las que son positivas y sobreentendiendo que las no mencionadas en cada cuadrante, son negativas.

Y se n (+ ) csc

P o s i ti v a s to d a s

tg (+ ) c tg

co s (+ ) se c

X

Ejemplo: ¿Qué signo tiene la expresión?

4.

E

sen100º × cos200º tg300º

Determinar a que cuadrante pertenece q, si senq>0 tgq<0. Ù

Rpta.:...........................................................

Resolución: Y

Y

Y

5.

200°

IIC

X

100°

IIIC

X

300°

X IV C

Si q es un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por el punto P(1; 3). Calcular: E  10senq  tgq

Rpta.:...........................................................

Aplicamos la regla práctica: 100º IIC

Î

Þ

200º IIIC

Î

Þ

300º IVC

Î

Þ

sen100º es (+) cos200º es (–)

6.

Si el punto M(–3; 4) es un punto que pertenece al lado final del ángulo a en posición normal.

Calcular: E  sena × cosa × tga Rpta.:...........................................................

tg300º es (–) 7.

Si:

Reemplazamos en E E

, calcular el valor de:

Rpta.:...........................................................

8.

\E  

Si: tg = 2,4 y

 Î IIIC

.

Calcular cos Rpta.:...........................................................

PARA LA CLASE: 9.

Determinar el signo de: E = sen100º×cos220º Rpta.:...........................................................

2.

q Î IIIC

R  8 ( secq  tgq )

(  ) ( ) ( )

( ) E ( )

1.

y

1 senq  3

Si:

1 cosq  2

;

q Î IIC

.

Calcular tgq

Calcular el signo de tg230º ×sen205º E tg320º

Rpta.:...........................................................

10. Si: ; senq × cosq  0 ¿En qué cuadrante podría estar ubicado q?

Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

3.

Si:

sena>0

Ù

cosa<0,

determinar

a

que 11. Si: 5senq – 3 = 0

cuadrante pertenece a Rpta.:...........................................................

Calcular:

Ù q Î IIC

E  secq  tgq

Rpta.:..........................................................

A)

.

12. Si el lado final de un ángulo canónico q pasa por P(1; –3); calcular: K  secq  cscq

Rpta.:...........................................................

13. Si:

3 senq  5

Calcular:

B)  2

D)

Si:

y

A)

E  secq  tgq

D)

2tgq 3

y

q Î IV

,

y

a Î IIIC

5 4

Del gráfico determine: M  12tga  5sena

Y

D) + ó – 2.

E)

N.A.

Si: cos 

B) E) 1 ;  Î IVC 3

B) –10

(+)(+)(+) (+)(-)(+) (+)(-)(-) (-)(-)(-) (+)(+)(-)

c) C)

±

IIC C) Ninguno

C) –12 E) –15

–20

6. Determine el signo de cada letra: T = Sen100° + Tg250° R = Cos200° + Sec150° C = (Sen140° + Cos350°)(Tg110° + Csc210°)

e) 7. A qué cuadrante pertenece "

Determine a qué cuadrante pertenece a, si: tga <0 cosa >0 A) IC D) IVC

3.

(–)

–6 D)

a)

Señale el signo de: P = sen124ºcos110º B)

X

A)

M  seca  csca

(+)

(4 ; 3 )

a

.

TAREA:

A)

3 4

E) 5 3

5.

Rpta.:...........................................................

1.

C) 5 2

E  Secq  Tgq

5tga1  125

Calcular:

, calcular:

B) 5

Rpta.:...........................................................

15. Si:

q Î IIIC

y q pertenecen al tercer cuadrante.

8tgq  ( sec45º)

Calcular:

2 3

3tgq1  27

Rpta.:...........................................................

14. Si:

2 2

E) 3 2

4.

C)  3

Sec

IIIC

a) I d) IV

a

a

", si:

< 0 y Sen

a

>0

b) II c) III e) No se puede precisar

8. A qué cuadrante pertenece "

Calcular tg

Tg

a

a

", si:

> 0 y Sec

a

<0

b) d)

a) I d) IV

b) II e) Ninguno

c) III

9. Si: a [210°; 300°], hallar el signo de: Î Tg

æaö ç ÷ è2ø

.csc

a

a) + d) + y -

b) e) F.D.

10.Si: q Î II C y Cos2q=

c) + ó -

2 9

Hallar "Cosq" a)

b) 3 3

c) 2 3

d)

2

e) 3 2

3

EL COLECCIONABLE: Si: Ctgq = 3 (q Î IIIC), calcular: Q = 2Senq - Cosq a)

b) -

1 4

d)

-

1 10

c)

1 4

e)

1 10

-

5 10

CLASE 6: RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS CUADRANTALES Y COTERMINALES ÁNGULOS CUADRANTALES Son aquellos ángulos canónicos, cuyo lado final coincide con cualquiera de los semi-ejes cartesianos. Su medida es siempre múltiplo de 90° y no pertenecen a ningun cuadrante.

Son aquellos ángulos trigonométricos no necesariamente canónicos que tienen el mismo lado inicial y final; motivo por el cual también se les llama ángulos cofinales. Las medidas de estos ángulos se diferencian siempre en un número entero de vueltas; o dicho de otra manera, la diferencia de sus medidas es siempre un múltiplo de 360°.

Y

Y

a



180° –180°

a y  : n o c a n ó n ic o s y c o te r m in a le s

medida de un ángulo  90ºn, n Î  cuadrantal

R.T. DE LOS ÁNGULOS CUADRANTALES

sen cos tg ctg sec csc



X

X

–90°

®

a

O

90°

0°;360° 90°; 180°; 270°; 2 /2  3 / 2 0 1 0 1 1 0 1 0 0 N.D. 0 N.D. N.D. 0 N.D 0 1 N.D. 1 N.D. N.D. 1 N.D. 1

S i a y  : c o te r m i n a le s Þ a –  = 3 6 0 °. n ; n Î

PROPIEDAD Las razones trigonométricas de los coterminales son respectivamente iguales.

Por ejemplo; para hallar las R.T. de 90°, tomamos al punto P(0; 1) Y

ángulos

a  R .T . ( a ) = R . T .(  )

N.D.: no determinado

CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES:

a y  : c a n ó n ic o s y c o te r m in a le s

1.

PARA LA CLASE: Calcular: cos0° + sen0° Rpta.:...........................................................

2.

P (0 ; 1 )

Simplificar: 3sen90° + 2cos0° Rpta.:...........................................................

90° X

3.

reconocemos: x  0üï ýr  1 y  1 ïþ

Rpta.:...........................................................

4.

luego: y sen90°   1  1 r 1 cos90°  x  0  0 r 1 tg90° 

y 1   N .D. x 0

ÁNGULOS COTERMINALES

Reducir: 7cos0°  5sen90° E 4tg45°

Calcular: E = 2sen90° + 3cos360° Rpta.:...........................................................

5.

Simplificar: M = 8cos0° – 6sen270° Rpta.:...........................................................

6.

Reducir: E  18cos0°  7sen90°

Rpta.:...........................................................

15. Si: f(x) = sen2x – cos4x – sec8x Calcular: f(45°)

Rpta.:...........................................................

7.

Rpta.:...........................................................

Simplificar:

E  7sen90°  9cos0°

Rpta.:...........................................................

8.

Simplificar:

E

sen 90°  tg0° cos0°  tg180°

16. Si los ángulos ‘‘a’’ y ‘‘q’’ son coterminales, calcular: E

Rpta.:...........................................................

2

Rpta.:..........................................................

9. Los ángulos que miden 120° y 480°. ¿Son coterminales?

Rpta.:...........................................................

TAREA: 1.

2.

2

2

3.

C)

3

C)

3

Simplificar: 3sen90º 4cos0º M 2cos2180º A) 1,5 D) 3,5

Rpta.:...........................................................

11. Reducir la expresión

Reducir:

E = 2sen 90º + cos 360º A) 1 B) 2 D) 4 E) 5

10. Los ángulos que miden 50º y 770º. ¿Son coterminales?

M

sen a cosq  sen q cosa

B) E)

2,5 2

Del gráfico, calcular:

( a  b) 2 sen90°  4abcos180°

P

asen90°  bcos180°

sena ctgq  senq ctga

Y

Rpta.:...........................................................

12. Reducir: E

( a  b) 2 sen90°  ( a  b) 2 cos180°

q

a

csc90°  sec0°

X

A) 1 D) 4

Rpta.:...........................................................

B) E)

13. Simplificar la expresión: 4.

2

C)

3

1 2

Calcular: R  ( a  b) sen4 90º  ( a  b) cos3 180º 2

P

sen270°  cos90°  tg0° 1  sen180°  cos90° A)

Rpta.:...........................................................

14. Calcular x cos2 360°  sen270°  3  x × cos180°

2

2

a +b 2

2

D) a –b 5.

2

B)

2ab

E)

4ab

Del gráfico calcular tga

C)

2

2

b –a

Del gráfico, calcular: E=

Y

a

37° X

A) 3/4 D) –4/3

B) 4/3 E) 3/5

C)

2Sena  Sen 2Cos  Cosa

–3/4

y x

6. Diga usted qué ángulo no es cuadrantal. a) 630º d) 1100º

b) -450º e) 900º

a)

7. Calcular: Q = (3Cos180º - Cos90º)2 + (2Sen180º - Sen90º)2 a) 12 d) 9

b) 11 e) 8

8. Calcular:

E

c) 10

3   4C sc 2 2  C os 0°  Tg 4

C os -Sen

a) 1 d) -1

b) 2 e) 3

c) -2

9. Calcular el valor de:

é æ 3 ö ù êSen ç ÷ú è 2 øû ë

C sc

 2

æ 3 ö Ctg ç S ec( ) ÷ è 2 ø - éC sc æ 3 ö ù  ê ç ÷ú C os( ) ë è 2 øû

a) 0 d) 2

b) -1 e) -2

c) 1

10.Reducir: 2

C

a) n + m

d)

2

m n mn

7

2

4

n Cos 180°  m Sen 90° mSen90°  nCos0°

b) m - n

2

e)

EL COLECCIONABLE:

2

m n m-n

(-1 2 ; 5 )

c) 1170º

c)

2

m-n mn

3 4

b)

c)-

5 8

d)

5 12

12 5

e) 1

CLASE 7 : REPASO

6.

1.

de "P", si A(-4; -12), B(4; 4) y C(6; -2)

El punto (-7; -5) está ubicado en el:

a) I C

b) II C

d) IV C

e) eje X

B

c) III C

M A

2.

Indicar

verdadero

(V)

o

falso

(F)

De la figura mostrada, determinar las coordenadas

P

según

C

corresponda: Rpta.:...........................................................

I. El punto A(-3; 4)

Î

II. El punto B(-2; -3) III. El punto P(0; 2) IV. El punto Q(-3; 0)

II C

Î

Î Î

7.

IV C

prolonga hasta "C" tal que BC = 3AB. Calcular las eje Y

coordenadas de "C".

eje X

Rpta.:...........................................................

8.

3.

a) VFFF

b) VFVV

d) FFVV

e) VVVV

Del triángulo mostrado, calcular "a + b".

B (2 ; 5 )

c) FFFV

A (-4 ; 7 )

Calcular el punto "A" y sumar sus coordenadas.

B (9 ; 8 )

A

El segmento que une A(-2; -1) con B(2; 2) se

2k

P (a ; b ) k

C (6 ; -1 )

Rpta.:...........................................................

M (5 ; 4 )

9.

Si: P(a; a + 1) es un punto que equidista de A(2; 1)

y B(-6; 5). Hallar el valor de "a".

Rpta.:...........................................................

4.

Halle la distancia del punto A(1; -2) al punto

B(4; 2).

Rpta.:...........................................................

5.

Calcular la distancia entre los puntos:

Rpta.:...........................................................

10. Dos vértices de un triángulo son A(1; 1) y B(-1; 3).

Si el baricentro es el origen de coordenadas, ¿cuáles son las coordenadas del tercer vértice "C"?

A(x - 3; x + 3) y B(x + 7; x + 9)

Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

11. De acuerdo al gráfico, calcular: K = Secq - Tgq

y

16. Indicar el orden creciente dados los siguientes valores.

(-1 2 ; 5 )

a = Tg2

b = Csc

x

c = Sen

3 2

 2

Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

12. Del gráfico, calcular: L = 2Cosq + Senq

17. Calcular: E = 3Sen

y (-4 ; 3 )

 2

+ 2Cos



- Csc

3 2

+ Tg2

x

Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

18. Calcular: 13. Si "a" es un ángulo en posición normal cuyo lado

E = Tg(Sen ) + Cos(Tg2 )  

final pasa por (3; -4). Calcular: E = Seca - Tga

Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

19. Calcular: 14. El punto Q(-1; 3) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal "q"; calcular: K=

P

  2Cos-Tg2 2 3 Csc -Sec0° 2

Sen

Secq - Tgq 10

Rpta.:...........................................................

15. Siendo "q" un ángulo en posición normal cuyo lado

Rpta.:...........................................................

20. Calcular:

final pasa por (-3; 2), determine: E=

Senq + 12Ctgq 13

Rpta.:...........................................................

E

S ec 2-C os   Sen Tg

 3 -Sen 4 2

 2

Rpta.:...........................................................

