TALLER 8 DIFERENCIACION NUMÉRICA
Elaborado por: Juan Camilo García – Alejandro Rafael Guerrero Presentado a: Marvin Molina
Asignatura: Análisis Numérico Curso: 7AN
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR PROGRAMA INGENIERÍA DE SISTEMAS
Barranquilla, miércoles, 20 de noviembre de 2013
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA 1. Use las formulas de tres puntos para determinar la derivada de las siguientes funciones en cada uno de los puntos. Complete la tabla:
X 2.1
F(x) -1.709847
F´(x) 3.767315
F´´ (x) -8.1415
2.2
-1.373823
2.953165
-8.1415
2.3
-1.119214
2.2868400
-5.14093
2.4
-0.9160143
1.8609585
-3.42077
2.5 2.6
-0.7470223 -0.6015966
1.5720885 1.3364255
-2.35663 -2.35663
ℎ = 0.1 
Primera derivada
�(0) = 2.1 �´(�0) =
−3đ?‘“(đ?‘Ľ0) + 4đ?‘“(đ?‘Ľ0 + â„Ž) − đ?‘“(đ?‘Ľ0 + 2â„Ž) 2â„Ž
�´(2.1) =
−3(−1.709847) + 4(−1.373823) − (−1.119214) = đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;“ 2(0.1)
�(0) = 2.2 �´(�0) =
đ?‘“(đ?‘Ľ0 + â„Ž) − đ?‘“(đ?‘Ľ0 − â„Ž) 2â„Ž
�´(2.2) =
−1.119214 + 1.709847 = đ?&#x;?. đ?&#x;—đ?&#x;“đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;“ 2(0.1)
đ?‘Ľ(0) = 2.3
𝑓´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ) 2ℎ
𝑓´(2.3) =
−0.9160143 + 1.3733823 = 𝟐. 𝟐𝟖𝟔𝟖𝟒𝟎𝟎 2(0.1)
𝑥(0) = 2.4 𝑓´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ) 2ℎ
𝑓´(2.4) =
−0.7470223 + 1.119214 = 𝟏. 𝟖𝟔𝟎𝟗𝟓𝟖𝟓 2(0.1)
𝑥(0) = 2.5 𝑓´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ) 2ℎ
𝑓´(2.5) =
−0.6015966 + 0.9160143 = 𝟏. 𝟓𝟕𝟐𝟎𝟖𝟖𝟓 2(0.1)
𝑥(0) = 2.6 𝑓´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 − 2ℎ) − 4𝑓(𝑥0 − ℎ) + 3𝑓(𝑥0) 2ℎ
𝑓´(2.6) =
−0.9160143 – 4(−0.7470223) + 3(−0.6015966) = 𝟏. 𝟑𝟑𝟔𝟒𝟐𝟓𝟓 2(0.1)
Segunda derivada
𝑥(0) = 2.1 𝑓´´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0) − 2𝑓(𝑥0 + ℎ) + 𝑓(𝑥0 + 2ℎ) ℎ2
𝑓´´(2.1) =
−1.709847 – 2(−1.373823) + (−1.119214) = −𝟖. 𝟏𝟒𝟏𝟓 0.12
𝑥(0) = 2.2 𝑓´´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 − ℎ) − 2𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥0 + 2ℎ) ℎ2
−1.709847 – 2(−1.373823) + (−1.119214) = −𝟖. 𝟏𝟒𝟏𝟓 0.12
𝑓´´(2.2) = 𝑥(0) = 2.3 𝑓´´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 − ℎ) − 2𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥0 + 2ℎ) ℎ2
𝑓´´(2.3) =
−1.373823 – 2(−1.119214) + (−0.9160143) = −𝟓. 𝟏𝟒𝟎𝟗𝟑 0.12
𝑥(0) = 2.4 𝑓´´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 − ℎ) − 2𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥0 + 2ℎ) ℎ2
𝑓´´(2.4) =
−1.119214 – 2(−0.9160143) + (−0.7470223) = −𝟑. 𝟒𝟐𝟎𝟕𝟕 0.12
𝑥(0) = 2.5 𝑓´´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 − ℎ) − 2𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥0 + 2ℎ) ℎ2
𝑓´´(2.5) =
−0.9160143 – 2(−0.7470223) + (−0.6015966) = −𝟐. 𝟑𝟓𝟔𝟔𝟑 0.12
𝑥(0) = 2.6 𝑓´´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 − ℎ) − 2𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥0 + 2ℎ) ℎ2
𝑓´´(2.6) =
−0.9160143 – 2(−0.7470223) + (−0.6015966) = −𝟐. 𝟑𝟓𝟔𝟔𝟑 0.12
X -3.0
F(x) 9.367879
F´(x) -5.8775575
F´´(x) 2.043675
-2.8
8.233241
-5.4688225
2.043675
-2.6
7,180350
-5.0672800
1.971750
-2.4
6.206329
-4.6501125
2.199925
-2.2
5,320305
-4.2322800
1.978400
-2.0
4.513417
-3.8366000
1.978400
H=0.2 𝑥(0) = −3.0 𝑓´(𝑥0) =
−3𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 + 2ℎ) 2ℎ
𝑓´(−3.0) =
−3(9.367879) + 4(8.233241) − (7.180350) = −𝟓. 𝟖𝟕𝟕𝟓𝟓𝟕𝟓 2(0.2)
𝑥(0) = −2.8 𝑓´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ) 2ℎ
𝑓´(−2.8) =
7.180350 − 9.367879 = −𝟓. 𝟒𝟔𝟖𝟖𝟐𝟐𝟓 2(0.2)
𝑥(0) = −2.6 𝑓´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ) 2ℎ
𝑓´(−2.6) =
6.206329 − 8.233241 = −𝟓. 𝟎𝟔𝟕𝟐𝟖𝟎𝟎 2(0.2)
𝑥(0) = −2.4 𝑓´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ) 2ℎ
𝑓´(−2.4) =
5.320305 − 7.180350 = −𝟒. 𝟔𝟓𝟎𝟏𝟏𝟐𝟓 2(0.2)
𝑥(0) = −2.2 𝑓´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ) 2ℎ
𝑓´(−2.2) =
5.320305 − 7.180350 = −𝟒. 𝟐𝟑𝟐𝟐𝟖𝟎𝟎 2(0.2)
𝑥(0) = −2.0 𝑓´(𝑥0) =
−3𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 + 2ℎ) 2ℎ
𝑓´(−2.0) =
6.206329 – 4(5.320305) + 3(4.513417) = −𝟑. 𝟖𝟑𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎 2(0.2)
Segunda derivada
𝑥(0) = −3.0 𝑓´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0) − 2𝑓(𝑥0 + ℎ) + 𝑓(𝑥0 + 2ℎ) ℎ2
𝑓´(−3.0) =
(9.367879) − 2(8.233241) + (7.180350) = 𝟐. 𝟎𝟒𝟑𝟔𝟕𝟓 0.22
𝑥(0) = −2.8 𝑓´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 − ℎ) − 2𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥0 + ℎ) ℎ2
𝑓´(−2.8) =
9.367879 − 2(8.233241) + 7.180350 = 𝟐. 𝟎𝟒𝟑𝟔𝟕𝟓 0.22
𝑥(0) = −2.6 𝑓´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 − ℎ) − 2𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥0 + ℎ) ℎ2
𝑓´(−2.6) =
8.233241 − 2(7.180350) + 6.206329 = 𝟏. 𝟗𝟕𝟏𝟕𝟓𝟎 0.22
𝑥(0) = −2.4 𝑓´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 − ℎ) − 2𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥0 + ℎ) ℎ2
𝑓´(−2.6) =
7.180350 − 2(6.206329) + 5.320305 = 𝟐. 𝟏𝟗𝟗𝟗𝟐𝟓 0.22
𝑥(0) = −2.2 𝑓´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 − ℎ) − 2𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥0 + ℎ) ℎ2
𝑓´(−2.2) =
6.206329 − 2(5.320305) + 4.513417 = 1.9784 0.22
𝑥(0) = −2.0 𝑓´(𝑥0) =
𝑓(𝑥0 − ℎ) − 2𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥0 + ℎ) ℎ2
𝑓´(−2.0) =
6.206329 − 2(5.320305) + 4.513417 = 1.9784 0.22
2. Con los datos de la siguiente tabla y la fórmula de diferenciación numÊrica de mayor exactitud posible, determine los siguientes valores: a) f ’(0.09)
X
-0.75
-0.65
-0.33
-0.12
0.09
0.2
0.51
0.78 0.93
1.05
F(x) 1.350 1.700 2.050 2.400 2.750 3.100 3.450 3.80 4.150 4.500 h=0.42 Valores: − 0.75, −0.33, 0.09, 0.51, 0.92 đ?‘“´(đ?‘Ľ0) =
đ?‘“(đ?‘Ľ0 − 2â„Ž) − 8đ?‘“(đ?‘Ľ0 − â„Ž) + 8đ?‘“(đ?‘Ľ0 + â„Ž) − đ?‘“(đ?‘Ľ + 2â„Ž) 12â„Ž
�´(0.09) =
1.350 − 8(2.050) + 8(3.450) − (4.150) = 1.6666667 12(0.42)
b) f ’’(0.2) h=0.85 Valores: − 0.65, −0.2, 1.05 đ?‘“´´(đ?‘Ľ0) =
đ?‘“(đ?‘Ľ0 − â„Ž) − 2đ?‘“(đ?‘Ľ0) + đ?‘“(đ?‘Ľ0 + â„Ž) â„Ž2
�´´(�0) =
1.700 − 2(3.100) + 4.500 =0 0.852
3. Utilice las fórmulas de diferenciación numÊrica de mayor precisión posible para aproximar f’(3) y f’’(5), con los siguientes datos:
X F(x)
1.2 1.807
3 0.747
3.2 0.652
5 0.168
Valores 3, 5,7 H=2 �´(�0) = �´(3) =
−3đ?‘“(đ?‘Ľ0) + 4đ?‘“(đ?‘Ľ0 + â„Ž) − đ?‘“(đ?‘Ľ0 + 2â„Ž) 2â„Ž
−3(0.747) + 4(0.168) − (0.032) = −0.40025 2(2)
�´´(�0) = �´´(5) =
đ?‘“(đ?‘Ľ0 − â„Ž) − 2đ?‘“(đ?‘Ľ0) + đ?‘“(đ?‘Ľ0 + â„Ž) â„Ž2
0.747 − 2(0.168) + 0.032 = 0.11075 22
7 0.032