Refutación del célebre problema de la duplicación del cubo de Juan de Gajano y el Rivero

1

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1

' 1 1 1

lOPEZ VALENCIA '1ADRID·MEXICO

-

l/J)

REFUTACION ~"DEL CELEBRE PROBLEMA:

'DE LA VU·PLICACIO:A( VEL _CU730?, QUE D. JUAN DE GAJANO-Y EL RIVERQ PRESUMIO HA VER RESUELTO POR GEOMETRIA INFERIOR

EN

S U P A P E L I N TI T U L AD O:

A PE N DI C .E .

DE

LA

.

.

MATHEMAT~K ANTORCHa. . . . . ..

POR (J)ON HEN.fl(IQJ!E GA~IA (j)E S. MA(J(TlN,_ OJ!.cial de· la C?ntaduda Principal de, 2 ~ V ~ntas Provinciales. ~W. ~M~ -~

CON LAS pCENCIAS NECESSARTA$.

MADRID : Por Jo~cmN l!ARR~, Año MDCC, LXUL

~~~}q!~~)P!~~~~~~~~~--!10!~~~

~kx:k:x~:iJ,:~.: k:s\~~k~:kx ¡t~:k:st:k~k,'t

PROLOG O. L Papel publicado en la Gaceta del Martes 3 r. de Mayo de eíl:e año , en el que Don Juan de Gajano y el Rivero nos publico c0mo refüelto por Geometria inferior el cé/ebre Problema de la Duplicacion del Cubo ( por otro .nombre llamado el Problema Deliaco, por haver fido propueíl::o a los de Delos por fo Oraculo, para que con fü refolucion merecieífcn el remedio contra la pefte, que les in~ feftaba ) me hizo grande harmonla , por tenerfe como Problema defauciado de todos los Geometras antiguos, y mo-dernos; y mas me admiro el ver fe convidaba con premio a qualquiera que falíificaífe fu refolucion, y al que le vin-dicaífe.

Con efta admiracion lelle , y halle, que era fu arcano un Paralogifmo grandemente enredado. Pareciome de empeño para los Mathematicos el defengaño de efte error ; y penfando que los grandes no lo harian por fu gravedad, y férias ocupaciones , y porque para ello nos tendrían por baf. tantes a los pequeños , he tomado la pluma , en medio del corto tiempo , que mi Oficina , y otras ocupaciones me permiten, para impugnar dicho Efcrito, refutando fu invento , y notaneo en el las faltas de Mathematica , que fe han hecho vifibles a mi corta inteligencia. Si en el modo no difguftáre a los Leélores, ya que ala accion la d__ifculpa el convite, fera quanto debo defear.

Los defeélos , que no fon de Mathematica , efpecial~ mente fi no inducen a error , los perdono de acuerdo , por~ 4ue fe me perdonen los mios.

En los trozos de letra baíl:ardilla incluyo por fu orden: todo el Papel del Autor , excepto el Titulo , la Dedicato-ria, y la Nota del fin, en que fe ofrece los mencionados premios ; lo que me ha fido precifo , por haver hallado que notar en todos füs parrafos. Me he efmerado en copiarlo con la fidelidad que correfponde , íin variar letra, ni cofa, _fino lo que el Autor previene que enmendemos en la Fe de Erratas, que ·es unicamcnte aquellas dos palabras paralela, paralelifmo, de la operacion del Lemma, en las que decía parallela , parallelifmo. Las tres Figuras I. II. y IIT. de la Lamina fon las que nos da el Autor en fu Papel, copiadas fin otra diferencia mas , que la del tamaño , por no

aumentar Laminas inutilmente. ,_. ~

RE

~f

~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~

REFUTACION DEL PROBLEMA DELI.ACO.

sEe e Io N DE

LOS

p R I M E R A.

PRELIMINARES.

a

- --: A principio nueftro Inventor fu Pa..; pel por fiete Theoremas de Euclides, que propone como Preliminares : no fi fed. porque los juzga , o porque los juzguemos , como los principales fundamentos de fu defcubrimiento ; y fon los que fe íiguen, la letra. copiados §. r .

se

a

~~~~~~~~

P 'R_E L I MI :J{_A:R.p S

DE LAS CONTINVAS NOCIONES, . o Hypothejis innegables por la Geometr)a.

s

I qualquier numero de planos femejantes faeren continuos , lo feran tambien fus ratees, olados homologos entre sz; y filo faeren fus ratees , lo f eran fts planos.

2.

Los planos, que tienen ra'tces ~ales , fon igua~ ..le.si y filas razces fon iguales, lo faran fus- planos.

1.

·-

El

,...., %

EJ. quadrado de qualquier linea es quadruplo del de Ju.mttaa.

4. Si un quadrado fuere quadruplo de otro ~ la rak.. del quadruplo Jera dupla de el de la raíz de el otro.

5. Si qualquier numero de potencias homogeneas fueren du,plaf ae otra ~e igual grado, ~endran_razces iguales.

6. Si qualquzer numero de lmeas faeren continuas, lo [eran tambien las dt{erencias entre los antecedentes, y confequentes ; y Ji lo faeren eflas difirencias , lo feran fus todos.

7. Si qualquier numero de lineas faeren continuas, la razon que tenga la primera con la quarta , tendra e,l Cubo de Za,frimera con el de la fegunda. .. · 3·. .

C R I S I S. .

Lo primero que noto en eíl:os Preliminares .es, que haíl:a en fu titulo fe encierra un raro invento de eíl:os días; pues aunque por los Philofophos Cabemos que cofas fon NOCIONES, o conocimientos, y por los Mathematicos que cofas fean cantidades CONTINUA S , ninguno nos havia di~ cho haíl:a ahora que eran continuas nociones.

3. Lo fegundo que noto es la equivocacion en que me dexa la palabra continuos del Preliminar 1.º ( que aun... que defpues (e continúa en el 6. 0 , en el 7 .º , en el Lem.. ma , y en otros lugares , en éíl:e la juzgo mas nota... ble) procedida de haver en la Mathematica cantidades continuas, a diíl:incion de las difcreta·s , como las lineas, fuperficies ·, y sólidos , . a diíl:incíoq de los numeros; de havei: cantidades continuas proporcionales Geometricas , y conti-nuas_proporcionales Arithmeticas. Pero fe dexa conocer por el aifumpto del Papel , que habla ~~ los .continuos propor~ 2..

y

'

.

. ~¡º~

3

cionales geométricos ( aunque no añade íiquiera el PROPORCIO NALES , como fe ufa en los AA.), ytambien porque fi hablára de otros , no ferla verdadero fu Preliminar; y afsi , efta nota mas paífe por de Coment o, que de Criüs.

4. Lo tercero que noto es aquella repericioó de la Eropoficion primaria , por decir fu con ver fa., en que flaquea el ?- •0 , las quatro letras que de{mienten al 4. º , y la palabrilla impropri a del quinto. Pero advierto, que fi en eftas coüllas me detengo , tardare mas en llegar al fin principal con que cómo la pluma ; y afsi las defpreciare ya en lo figuiente. ·s. Es-Jo quarto que noto 1a falfedad del Preliminar 6. 0 en fu converfa ; no porque· tenga refultas en efte efcrito, (pues efta en el fuperfluo ., como tambien el+·º ) fino porque no crean en el los que no le conozcan.

Coníifle fu fal{edad en que aunque fiempre que fueren las cantidades continuas proporcionales , lo feran tambien fus diferencias , ( lo que puede fer corolario de la 1 7. ·del .s.º de Euclides ) no por eífo vale la converfa ; eflo es , no fiempre que las diferencias de las cantidades fean continuas proporcionales , lo feran las cantidades. Lo que demueftro afsi: Sean las cantidades continuas pro- 1.ª y > A . . . q · porcionales A, B, C, D, &c. y A, v. g. .2.ª ••••• B ... q Ja mayor (a); tendran fos diferencias 3.ª .••. C ... q proporcionales (b); y añadiendoles (c) 4.ª .... D .. . q partes iguales , o una mifma q, que&c. darán las compueftas con las mifmas diferencias (d); con que

pro.. (a) Por fupoficion, 1cho. (b) Por la primaria del Prelimi- . (e) Por preparacion. nar fexto, que es cierta por lo di,- .(d) Ax. 16, del 1. de Euclid.

4

proporcionales (e). Digo , pues, que ün embargo de ello, no quedarán proporcionales dichas compueíl:as ; porqne (i lo quedaífen , ferlan l.º ( f) A+q a B+q , co'"'. mo B+qaC+q; y (g)A+qxc+q =:B+qxB+q; y (h) A+q xc+A+q Xq, eíl:o es, AC+qc+qA+qq ~ BB+ 2Bq+qq. Tambien fon ( i) A a B, como B a C, y (k) AC .::::= BB : con que eíl:os iguales , reíl:ados de los precedentes , dexarian ( l) iguales los reCtos qC+qA+ qq .:::= 2.Bq+qq; y de efl:os re!lada la parte mi[ma qq, quedarian tambien qC+qA::::::: 2Bq, efto es, (m) q xc+A ::=qX2B: con que ferla (n) c+A== 2B; pero eíl.o es falfo por la 2 5. del 5 .º de Euclides; luego tambien el que fean proporcionales las compueíl:as A+q , B+q , c+q_, cuyas diferencias lo fon. Y pudiendofe demoftrar lo mif-mo de las otras tres B+q, c+q, D+q,y afsi de mas que hu.. viera,tenemos falíificada la converfa del Preliminar 6. 0 Q p. h.

Q!.lien por verlo mas claro no lo quiera general, haga el examen en numeros: 1.º , poniendo una férie de conti--. nuos proporcionales , y vera , que fus diferencias tambien lo fon: 2.º , añadiendoles atodos un mifmo numero, con lo qual experimentará 1 que, fin perder las diferencias propor--. cionales , pierden la proporcionalidad.

6. Noto por ultimo en efl:os Preliminares, que con tanto defeo de referirnos verdades Mathematicas, ( o nociones continuas ) como al parecer mueíl:ran , pues haíl:a dos fuperflilas nos relatan, ( (i es que las otras no lo fon) fe han de..

I

(e) PGr demofrrado. (f) Def. 9. del 5. (g) Pr. I 7. del 6. y 2.0. del 7• ,' (h) Pr. 1. y 4. del 2.

¡

Por la fupoficiof!-

.

(i )

(k) Pr. I 7. del 6.

(1) Ax. 3. del 1. (m) Pr. I. del 2, (n) Pr. ¡. del

·

6•

·s dexado en Gtencio fas demás , que tambien el E(ctito cita,

y fon de Euclides , es a faber, Del 1.º Libro el Poíl:ulado 1.º y 3.º el Axioma 2.ª Y. las Propoíiciones 3.ª 1 o. 1 1. 3 I. 3 4. 43. 46. y 47 • Del 2. confequenúa de la 4.a Del 6.º las Propoficiones r ;. y r 7. ( ya que de la z.6. no hacen mencion , por fer la deftruidora del invento ( §. 1 3.

0

J..

14. y 28.)

Del 7. º la 3 3. ( y es del 1 1. º ) ( §. 3 7. ) Y del 12. con}equencia de la 1 s.

Si aquellas no eíl:uvieran ( bien que fin los lunares) en Euclides , aeíl:o lo achacaria ; pero eftandolo , no se aque achacarlo , y afsi fufpendo la nota, y paífo al Lernrna.

S E C C I O N

II.

Del Lemma.

7.

Sigue el Autor defpues de los Preliminares con fu

Lemma , que es el figuiente.

LEMMA GENERAL. Dado qualquier quadrado, hallar entre el lado, .J la quarta parte de Ju diagonal dos medias continuas. ,

EXPLICACJON

Sea qualquier quadrado A BCD. Pidife , que entre A B , y B 7 == D B fe hallen dos medias, continuas.

Figura

1.

•

.

--1--

.

_

OPERACION. ' Tomefe D H= D B_,y haciendo centro e el pu~i

• _.i '.

D.

,/

."6

.'

to D , cottenfe de los lados DA, D C ( Euclides 3.:i del 1 .º ) las partes iguales D E, D R , y por el punto R tirefe una paralela a el lado C B, ( Euclides 3 1. del I • que por raznn de la equid,fiancía de el paralelifmo, cortara la diagonal D B en el punto F, y ael lado opueflo A B en S, quedando formada la fuperjicie reflangula A R ; y tiraaa fu diagonal D S, Je tirara igualmente · otra paralela por el punto E , que por la mi/ma razon cortara dicha diagonal en el mifmo punto F ,y a el lado C B en el punto z. Hecho ~(lo, dividanfe los mifmos la.dos DA, D C en dos partes iguales, ( Eucltdes 1 o. del r.º ) que Jera en los puntos G, T; y tirefe por el punto T -otra paralela ael lado DA, que cortara la diagonal D B en 0

)

2,

el punto H, centro de A B, y a el lado A B, en el punto 3, quedando formada otra Juperjicie reflangula AT; y tirada tambien Ju diagonal D 3 , Je tirará otra paralela por el punto G ,- a el lado A B, que cortara la diagonal D B en el centro H, y a el laáo C B en el punto 5.

Hecho eflo , fe tomara B 7 ::=:: D B; y haciendo cen--.

4

tro en D , Je cortarán tambien de DA , y D C las partes igt-eales DK, DP; y tirando finalmente por los puntos K, y P dos paralelas a Jus lados coraterales DA, AB, qtie fe cortaran en el punto L , uno de los que Je pueden confiderar fobre la diagonal DE, y a los lados opue(j_os AB, C-[3, en lo-s puntos Q, y 6. digo lo primero , que AB es me• . d;a proporcional entre DB ,y-EF-::::=DH. ·

DEMONSTRACION. Los reéiangulos AC, ER, GT, K P, fon q_uadra~ dos, (1-Eucl. confequencia de la f.:i del 2.º ) y la iizag~1 \

7

DB eflá di1;idida en dos partes iguales por la operacion. En el punto H, jiendo el lado BA-=:: AD por lados de un mif mo quadrado, y por confec¡uencia el triangulo DBA, rec2.

tangulo en A: luego (Eucl. 47. del

1.

0

)

2

== B A

DB

2

2

+ AD: luego por fer BA :::::=AD, Jera DB duplo de ~

7.

2,

A E; pero n·B c¡uadruplo de DH: ( Preliminar 3. º ) lue-2.

7.

7.

go A B , duplo de D H

== E F; pero DH:::::. DE, por 2

2,

la operacion ( luego Prelim.

2

D H ==DE== E F:

2." )

2

2,

de que fe Jigue , que por fer DE quadruplo de D H 2

2

2

==

2

EF, refulta fer A B duplo de E F; efto es , DB duplo de

:!f.B ; afsi como A B lo es de EF. Luego (Prefiminar 2,

;z,

2,

1. 0

)

fiendo continuos los planos, lo /eran fus ratees; eflo es, ,:: DB: BA:: EA: EF, y por confequencia ·AB media porporcional entre DB ,y EF. Digo lofegundo, c¡ue EF es media proporcional entre AB, y GH. DEMONSTR.ACION. 2,

2,

2,

Por lo demonflrado es DE duplo de AE, y A B du2.

plo de E F; pero AB · duplo de A 3 , por la operacion , y ·A 3 == GH: ( Eucl. 3 4. del 1. º ) luego ( Preliminar 3. º) 2

2,

A B quadruplo · de G H; pero

2,

ABduplo ;B z

2

de E F po11 lq

ya

i

!.

ya repetido :

7,

2,

l'uego E ·F duplo de G H; ef!o es , A ff du..

:z.

~

2,

?,

P!o _de E F, afi como E F lo es de G H: luego ( Pre• limm~r 1.º ) --:-:-_ AB: El(:: EF: GH,y por confequencia EF media proporcional entre AB , y GH Digo lo tercero, que GH es media proporcional entre EF, y

KL.

-

DEMONSTRACION. ..

Por lo repetidamente demonflrado en los anteriores ca• :z.

fosDB

-

:z.

.B 7

==

2,

/

2,

-

·2,"--

2,

~

ABX2:==DH:.::=:.DE==EFX4= ~

KL X

?,

:z.

16 :

-luegq A B

?,

= KL 2,

Xs ;

efto es,

?,

1,

.A B oélupfo de KL; pero .A B quadruplo de G H _: ?,

?,

( Preliminar 3 .º ) luego G H duplo de KL; pero fiendo :z.

l,

1,

?,

l,

?,

GH==AB, 1 EF=:AB, refultaEF== GH

-4

-

:z.

2,

2,

X z; eflo es, E F duplo de G H, afsi como GH lo es :z.

de K L: lu;go ( Preliminar 1.

EF: GH: : GH: KL , -y por . confequencia GH media proporcional entre EF, y KL ; pero fiendo por el cafo primero'-:-:- ·DB: AB :: AB: EF, por el fegundo ~ AB: EF:: EF: GH, y por éfle--:-:- EF: GH:: GH: KL ,Jera unida la proporcion-:-:- DB: A~:: AB: EF:: EF: GH:: GH: J(L. Exclqyafe el primer antecedente DB de efla pro• porcion,y fa tendra +. AB: EF:: EF: GH:: G# KL, 0

) --:-:-

9

. KL , obien afu igual B 7 , quarta parte de la diagonal

DB , 1ue era lo que fe bufcaba.

DE OTRO MODO. fue es el general, que fe adapta a todos los cafos de las continuas , Jujetanaofe Jiempre ajemejante operacion , que la anterior , y demonfiracion, que figue ; en c,rya confequencia digo lo primero , que las áos re8as E 2, y T 3 Je cortan fobre la diagonal DS en el punto indicado por O. DEMONSTRACJON. Los imaginarios puntos ? que ~omponen qua/quiera diagonal , ejtan fobre una mifma /mea reEfa ; porque de lo contrario, no dividiría aquella afu correfpondiente paralelogramo en dos trianguios iguales , lo que fe opondría a el principio generalmente admitido : ( Eucl. 3 4.del 1.º ) luego todos los puntos , que Je pueden conjiderar Jobre qualquiera diagonal DS, eftdn fobre una mi.fma lmea recta: es afsi, que qualquiera dos recias fofo fe pueden cortar en un punto ; porque a no fer afsi~ -cerrarían efpacio , lo que es abfurdó : luego las dos rectas E2, DS, fojo Je pueden cortar en un punto, que por la operacion, que origina a la equidifiancia de el paralelifmo , no puede fer otro , que en el denominado O de la diagonal DS, cortandola por la mifma razon la T 3 en el mifmo O , por originar con fu corte los triangulas ifoceles reclangulos , y por confer¡uencia Jemejantes DTQ, .S30 , cuyas alturas 30, TO fon las que indican las equidiflancias, que guarda la paralela E2 con los la. áos AB , DC, terminando el punto O Jabre la diagonal DS: lufgo cortando la E ~ por lo demonflrado ala dia. . go~

10

gonal DS en el den omi1Jado punto O, y por igual razon la T 3 a dicha diagonal DS en el citado pumo O; Je figue, que las dos reEtas E2 , T 3 Je cortan en el mifmo punto O de la di·agonal DS, cortandofe tambien por la citada raz.on las dos G5 , y Pf2. en el punto Z, otro de los que fe confideran fobre la mifma diagonal DJ', como tambien las P.Q , y E 2, a la diagonal D 3 en el punto.x_, que era_ lo primero. Digo lo Jegundo, qr,e EF es media proporcional entre AB, y GH. DEMONSTRACJON. Por lo dicho en la demonflracion primera , los rec--tangulos AC, ER, GT, K P, fon quadrados ; y por el 'ca:fo anterior las reEtas E z , T 3 fe cortan fobre la diagonal DS e1J, el punto O; de que fe jigue , ( Eucl. 4 3. ael 1 .º ) que en c¡_~alquier pa~ale{ogram:_o AR, el complemento A.O== OR: luego anadiendo a entrambas par--tes el paralelogramo comun OD,fera OD+OA== OD+ OR; pero on+oR es el quadrado• de la fupuefla medía EF, y OD+OA, el reEtangulo de DAXA3 ,·o bien de Jus iguales las extremas de e(le caJo· ABXGH: lue-. go ( Eucl. 17. del 6.º ) -:-:-AB: EF:: EF: GH,y por confequencia EF medi·a proporcional entre AB , y G H, que era lo f egundo. Digo lo tercero, que GH es medi" proporcional entre EF, y K L. DEMONSTRACJON. Por la mifma razon , que en el cafo anterior en ✓ _qua_lquier pralelogramo ET, EZ :::::= ZT: luego ( EucL axiom.2.ª) ZD+ZE::=:ZD+ZT==GT, que es el quadrado. de la f upuefla media G H en efle fo; y

·ca

y Z D-I-ZE

11

el reélangulv de DEXEX,

obien de Jus

iguales las extrem~s de efle cafo EFXKL : luego ( Eucltd. 17. del 6.º )-.-. EF: GH:: GH: KL ,y por confequencia GH media proporcional entre EF, y KL, que era lo tercero ; pero Jiendo po~. el cafo Je.gt!ndo ~ ~:JB: EF:: EF: GH, y por efle -.. EF: Gít:: GH: KL, Jera unida la próporcion -:-:---AB: EF:: EF: GH:: GH: KL, y por confequencia las EF, y GHmedias continuas proporcionales entre AB , y KL , que es lo que Je havia de demonfirar.

C R I S I S.

8. Lo primero que noto de efl:e Lemma es fu titulo, y que nos dice folas dos falfedades , porque no dice mas pa• labras. En la primera palabra fe nos vende por Lemma , porque le creamos muy neceífario en el Problema ; y de nada le firve mas que de ponerle en mal concepto con fu poco aliño, y formalidad ( §§. 1 3. 1 4. y 2 3. ) . En la fegunda fe nombra general, y no es Gno mµy particular ; pues en facarie del lado del quadrado , y la quarta parte de fu diagonal , o de otras dos lineas , cuya razon fubtriplicada fea fabida, ya fe le apuro fu habilidad. Eílo fe manifiefta en lo figuiente ( §. 16.), donde le defcubriremos fus mañas.

9. Saben bien los Ma,thematicos , que todo Problema· 1, coníl:a de tres partes principales , que fon , 1a Propofición con fu expoúcion , o aplicacion , Ia Refolucion con fus operaciones , y la Demonfüacion con fu Preparacion , fi es que la necefsita.

Saben , que en la Propoficion propone hacer, o haifar con unas cofas dadas 'Otras que fe deféan ; que en la RefoJucion lo enfeña a hacer ; y en la Demoníl:racion convence, de que haciendo con los DADO~ Jo que .manda la Refo.lu-

cion, fe tendran infaliblemente los PEDIDOS.

Sa-

IZ

Saben tambien , que es gata de fu Refolucion fer ta mas facil , y limpia de füperfü1íd::1des ; y que por eíl:o las lineas , que fin fer de ella fe necefsitan para la demonftra.. cion , fe mandan tirar en éíl:a con el titulo de Preparacion.

Y afsimi[mo, que es necefsidad en fu Demoníl:racion fun-: daríe en todo lo que manda llacer en la Refolucion.

Cada Problema de los AA. es un teíl:igo de eíl:o, que por fer muy del cafo para nueíl:ro intento, lo traygo a la memoria, aunque parezca digrefsion ; y quiero hacerlo patente en uno de ellos, que fea v.g. en el de hallar la me• dia proporcional.

ES LA PROPOSICION DE ESTE PROBLEMA: J?ig. 4.a

Hallar la media proporcional ( DC) N. 1.º entre dos rell:as dadas ( AD y DB).

En ella fe ve la enunciacion , calladas las letras de entre parenteüs; y no callando las, fe tiene la expofi• cion: fe ven los DADOS, que fon las AD, y BD, t lo PEDIDO, que es fu media la DC.

ES LA R E S O LUCIO N. Poner las dadas AD , y DB N. 2.º en una reéb '.A B, (a). z.º Sobre ella, como diametro, defcribir el femicit~ culo ACB (b).

3.º Y en el punto de fu union D levantar la perpendi~ • cular DC (e) , y éfta fera la media.

En ella fe ve la limpieza de no mandar fino lo pre.. ci• ·1.º

•(a) •Po/l.2.yPr.3.del1.

110. del 1. (b) ¡>oíl:. 3. Def. 17. y Pr. (e) Pr. l_l• del

1!

I3

cifo para tener la pedida DC , y el mas facil modo con que fe halla; y de no mezclarfe con el tirar las AC y BC , que es 1a preparacion para la Demonftracion , la qual no tiene parte en el hallar la DC. ES LA DEMONSTRACION Deípues de tiradas por la preparacion las AC y CB defde· los extremos del diamerro AB al punto C, donde la perpendicular toca al femicirculo (d).

Convencer, de que por fer AECB femicirculo (e), y la CD perpendicular a fu diametro AB en la union D de las reél:as dadas (e), es neceífario que el triangulo ACB , que con 1a preparacion nace, fea reétangulo en C ( f) , y en el 1a hallada DC perpendicular a fü bafa AB, y las dadas AD, DB partes, que fu perpendicular hace en la bafa ; de lo qual nos arguye la 8. va del 6. º fer dicha DC la media proporcio-. , nal entre las dadas A'D y DB. En la qua! fe v~ como Ia preparacion pertenece a la Demoníl:racion , como fu ayuda ; que éíl:a fe dirige aprobar, que la operacion hecha con los dados dá lo pedido ; y que el fondamenro , y prin.._ ., cipio de fü argumentacion lo faca, y debe facar, de las operaciones de la Refolucion, que fon de quienes va a. deducirlo. ·1 o.

Entrando , pues , con eíl:os conocimientos de lo que es Problema aexaminar el Lemma del Autor , noto lo primero la extravagancia ( G es que no es otra cofa) de mezclar, y confundir la preparacion con la operacion; fiendo C a~ --,.---=-,-------------------- - - (d) P·oíl:. 1. del r. f) Def. 7. y Pr. ·31. del (e) Por la operacion.

l( 3.

14 , afsi , que debiera íepararia de ella , y ponerla , como hacen mdos los AA , con la demoníhacion a quien pertenece; para dexarnos limpia , facil , inteligible 1a operacion, y no dár ocaíion a que con ella fe equivoque, y al paralogifmo de fu invento , de quien efta mezcla es la primera bafa , como defpues fe dekubre (§.2 8).

Pareceme poner aquí 1a operacion de eíl:e Lemma feparada de la preparacion , con el rnérhodo machemacico, que íe ufa en los AA, para que comparada con la de nuef~ tro Inventor , le de[cubra mejor füs calidades.

e

PROBLEMA. '

.

Fig. I.ª .

PROPOSICION : Hallar las dos medias proporciona• les continuas entre el lado (DA) del quadrado ( DABC), y la quarra pare~ (D8) de fu diagonal (DB) . · RESOLUCION: 1.0 Tomefe la DH mirad de la dia~ gonal DB (a), que ferá la mayor de dichas medias.

2.º Tomefe 1a DG mitad del lado DA (a), y [era la menor de ellas. Solo eíl:o es la ope¡acion.

DEMONSTRACION: Por preparacion éfta , corten-fe (b) de los lados DA y DC, las DK y DP iguales a la menor dada Ds; las DE y DR ignales a la DH, y la DT igual la DG. Y por los puntos K, G, E tirenfe de puntos (e) las K 6, G 5 , y E 2 paralelas al lado DC ; y por los P, T, R las PQ, T 3 , y R. S paralelas al DA. Y rirenfe tambien (d) las diagonales DS, y D 3. Y efta es la preparacion , que el Au~ tor nos la tambien por operacion.

1 1.

En las demoníl:raciones noto , que pudiendofele dár al Problema otras mas faciles , y de poca preparacion, y (e) Pr. 3 1. del r. (a) Pr. 10. del 1. (d) Poíl:. 1. del 1. (b) Pr. 3. del 1.

a

a

da

j

·y f

y mas proprias por los triangulos ptoporcionales ( §. 1 5.), por fer del calo para fu paralogico invento , nos introdu~ ce ellas tan largas , y efcrabofas , que cada una tiene tres jornadas.

12.

La fegunda Demonftracion no merece nueftro defprecio por [eguada, pues es muy primera, y principal en el aífumpto del Efcrito. Entra informandonos ames, de que

fu modo de demon(lrar es el general, y que fe adapta todos los cafos de las continuas , fujetandofe Jiempre femejante operacion, que la de fu Lemma. Mucho decir

a

a

es ello ! porque yo advierto, que folo con que fe adap ..

a

a

taífe las dos operaciones de fu efcriro, la del Lemma, que nos halla las medias entre el lado del quadrado , y la quarca parte de fu diagonal , y a la del Problema , que no¡ las pienfa hallar entre dicho lado del quadrado, y fu mitad; y aun con menos , folo con que fe fujetaífe a la de aquef. te , teníamos por feguro ya el invento: y afsi prevengo, que no fe le crea eíl:a generalidad , pues folo es cierto, q 11e fi la operacion le halla las medias , quizá las demuellre ella; p-ero fi no, fin qniza, no: y eíl:a generalidad qualquier mo~ do de demollrar la tiene. · 1 3.

Examinada eíl:a Demonfüacion tan decantada, noto en ella mas trabajos , que en la precedente; pnes aquella, aunque confufa, y larga, era demonflracion, mas eíl:a no lo· es ; porque el primer cafo no Jo dexa demoíl:rado, y__ los otros dos tampoco , por fundarfen en el. Y afsi , eíl:e defaformnado Lemma , ya que fe le adapta eíl:a demoníl:racion generalifsima , no la logra.

Q!e no queda demoíl:rado el primer cafo, lo conoce la razon, atenta lo que en fe expone, pues lo halla todo inconíequente; porque ni el que eíl:en en una mifo1c1 reél:a los imaginarios puntos , que , fegun nos dice, co1I1ponen qualquiera diagonal ( aunque eíl:a compoficion de lo qµe ez tie~

a

el

16

a:

tiene parl:es con lo que no las tiene 110 fe la hará creer todos); ni el que dos rell:as fe corten en un punto; ni el que guarden paraleliímo las T 3, E 2 con los lados DA, Fig.I.ª AB; ni el que la T 3 haga con la diagonal DS triangnlos fe mejan tes DTO , S 3 O ( que el Autor llama ifofceles reflan• gulos, fin íerlo ) ; ni el que fos alturas 3 O , TO indiquen las equidiíl:ancias de la E2 con los lados AB , DC : nada de efro, que fon todas las razones de fu Demonftracion, convence. de que las T 3 y Ez. fe corten en la diagonal DS ( lo mifo10 digo de las O5 , PQ_ , &c. ) ; pues las miünas cofas fe verifican eQ dicha diagonal DS , y otras paralelas , como P~ y E z. , aun• que eíl:as fe corten fuera de ella, como en X. . 1 +· El modo legitimo de demoíl:rar eíl:e primerlafo; . a-efto es, de demoíl:rar, que dichas T 3 y E2 íe cortan en la dia Fig.I. gonal DS en O,y lo miíi.110 las PQy G 5 en Z,y las PQ y E i en la diagonal D 3 en X,es deduciendolo de la operacion, afsi: r.º Por fer DK== DP, DG :=:: DT, DE ==DR; iten las K6 , G 5 , E2 paralelas a la DC , y las P~ T 3 , RS paralelas a la bA (a); y aísimiímo DA== DC (b), feran los DL, DH , DF, y DB paralelogramos de un angulo co ... mun D , y fus lados proporcionales (c) : luego todos ferán f~mejames (d), efto es, quadrados como el DB (b); y los cor• tara en losangulos L,H,F,B el mifmo diametro DB (e); y tendrán KL ==::: KD, GH GD , EF ;:::::=:·ED ( f); y tambien KL E X ::::: G Z , G H .:::: E O, y E F AS (g). ~.º Es DH ==::: DE (h), y AS:= EF ::= DE (i); con que 4

==

==

==

tam~ (a) Todo por la preparacion (§. 10.).

( f) Def. 29. del 1.

(b) Por los dados. (e) Def. 3 5. del 1, y Def. 7• eel 5.

~d) Def:

1 (e) Pr. 26. del 6.

J.

d~ ~t

1

(g) Pr. 34. y 33. deh,;,

(h) Por la operacíon. ( i) Por lo 4emQfüadQ•

_,

.,

•

,.1

tambien AS ~ DH (k) ,

a

17

y OA aAS, tomo DA~ DH (I}; a

efto es, DA AS, como el lado del quadrado fu íemidiagonal (m).

GH :== DG (o), Por fer DE== DH (m), y EO ferán DE a EO, como DH a DG (p), o como fus duplos _ DB aDA (q); pero es DB aDA, como DA a DH (r); luego tambien DE a EO, como DA a DH (f); efto es, como el lado a la mitad de la diagonal.

Es GZ :::= KL ;::::= DK ( t) , --;- D 8 :::= f DH ( v) ; Juego DG a GZ , como DG a ~ DH (x) ; efto es , como el lado a la mitad de la diagonal (y).

Tenemos con efto demoftrado fer en virtud de la ope. racion , y preparacion , como el lado a la mitad de la diagonal, afsi la DA a•AS, afsi la DE a EO, y afsi la DG a GZ ; por lo qual los paralelogramos DS, DO, DZ del angulo comun D (z), tienen tambien fus lados homologos pro~ porcionales (a); y afsi los cortara el mifo10 diametro DS por . fus angulos O y Z (b) .

3.º Tambien por fer EX::= KL ::= KD (c), '¼DH (d), y fer DE :=:DH (d), ferá EX :=f DE ( f); tam• GH :::= DG (g) , y DG ::= ~ DA (h); luego bien es A 3 A 3 ::=. ~ DA (i): con que DA A3, como DE

==

=

==-

!(k) Ax. 1. del 1. (l ) Pr. 7. del 5. (m) Por la operacion.: (o) Por demoíl:rado. (p) Pr. 7. del 5. (q) Pr. I5 del 5. (r) Corolario de 8.ª del 6. · ( f) Pr. II. del 5. (t) Por demoíl:rado. (v) Por la operacion.

,x). Pr. 7. del

l~

a

(y )

a

EX

Por demoílrado.

(z) Por preparacion. (a) Pr. 11. del 5.

1 (b) 1

1

Def. 1. y Pr. :z.6. dd ~. (e) Por demofüado. (d) Por operacion. (f) Ax. 7. del 1. (g) Por demoíl:rado~ (h) Por operacion. i) Ax., 1. del 1~

1(

tS

Fig. I.a EX (k) ; por lo que tambien los paralelogramos DX y D 3 del angulo comun D (1), fon femejantes (m) ; y afsi los corcará el miG.no diamerro D3 por fus angulos 3 y X (n). Y qL1eda demoíl:rado el primer cafo , que no lo dernueíl:ra el Autor.

Conviene notarfe eíl:a Demoníl:racion , que no da el Au• tor aqui, y la alega en fu Problema ( §. z.1. y 2 s.) ; y advertir, que no tiene lugar , fi en virtud de la operacion no falen femejames los paralelogramos DS, DO, DZ, y los D 3 , DX; y que fin antes probar eílo , no puede pafiarfe a p1obar lo demás.

I 5.

Ultimamente noto en eíl:e Lemma , ( que mi in~ temo es norar tambien lo bueno ) que en medio de fus tachas no falta á -la realidad, ( y eíl:o andá un poco efcafo en el E(crito ) por lo que es acreedor á nueíl:ra eíl:imacion , y juzgo , que G. Euclides nos viviera , lo pondria á la diefi:ra de la 1 3. ª de fu 6. 0 • • ' Por fi gufraífe á alguno , como á me ha gnflado , y no lo quiGere con aquel titulo de Artífice , fe lo prefénto aquí con el de Maeíl:ro , que , fegun mi juicio , ~e es ma~

m1

proprio.

T -HEOREMA. fi . r .a PROPOSlCION: El lado (AB) del quadrado (DB) , la g mitad (BH) de fu diagonal (BD), la mitad (B 3) de dicho la--

do , y la quarca parre (B7) de· dicha diagonal , fon quatro continuas proporcionales.

DEMONSTRACION : Tiradas por 'preparacion las AH , H 3 , y ~. 7. perpendiculares a las BD, AB , y BH (o):

co(k) Pr. 15. del 5. ( 1 ) Por preparacion.

(m) Def. 1, del 6~

(n) Pr. 26. del 6.

1

(o) Pr.

u. del 1.

,

19

.romo el triangulo PAB ~ . ifofceles reél:angulo (p), lo feran tambien los ABH, HB3 , y 3B7 (q); luego tambien equiangulos (r) ; y fus· lados honiologos proporcionales ( f); efto es , AB BH en el grande , como BH .B 3 en el mediano, y ~H a B3 en el mediano·, como 3 B a ~~ en el menor; y como dichas perpendiculares las bafas de los ifofceles las dividen eí.las igualmente (t) , ferá BH initad de 1a diagonal BD, B 3 mitad del lado BA , y B7 mitad.de la media díago• ,_nal BH, o quarta parte de la toda BD (v); luego el lado (AB) del, &c. ~e propuíimos demoftrar.

a,

a

a

a

OTRA

DEMONSTRACION POR EL CALCULO de las proporcionales.

AB

=

B7

= ¾Vspp

La AB

1. • porporcional , y lado del quadrado (x), fea 2 p (y); efto es. , . 1.ª Sera fu quadrado AB2. ==-(2pY, ~- 4PP (z) ; el de la diagonal , DB,. · que es::== 2AB2. (a), fera== 2X4pp (b) :::=:: 8pp (d); con que la mifma di~gonal DB fera ==: Vspp (c), y fu ¼ parte B 7, y 4.ª proporcional (x), fera ·::::::: ¼J/spp (b). . . . . • 4. 11 !ten la 1.ª de las medias BH '¼BD (x), fera ::=:f Vspp (b).... .2.ª Y la i.ª B3 ~ AB (:ic), fera 'i" (Z p) =:: I p (b) . . . . . . . 3.ª

=

==

==

l

.2p

BH·::= ~

B3

J/spp

=: I p Sien-

(p) Por fupoGcion, y por Def. (x) Pio r l.i fup~Gci?n· r 2.9. 26. y 24. del I. (y) , Por denommac1on. · (q) Pr. 8. del 6. · (z) Def. 18. del 7. (r) Def. 1. del 6.

1 (a) Def. 29. y Pr. 47. del 1_. . (f) Pr.4.del6.

-· (b)Ax.6.del1.0Pr.15 . del5. (t) Se infiere de la Pr.2.6.del I. , (e) Coro!. de la Pr.4 6. del I, (v) Ax. 2,0. del 1. (d) Por las ret1,las de LogiíHca.

2.0

Siendo, pues, de las Iin~s • AB

• ; . BH .•• ~ •

B 3 • • • B7

~V8pp ... 1p.:. !VSpp

fig.;.a Los valores hallados ••• 2p •.

1 Los de fus quadrados •• AB,. • . • BH:. •... B3 ,. •••• B7 ·

Seran ellos (d) .••••.(2pt .. (f/Xspp •. (1p)'- .. (¼tX8pP, Eíl:o es • . • • • • • • 4PP • ~ • • i Xspp •. . 1 pp . . -/6 Xspp Eíl:o es . . • ••.••

4PP ...• 2pp ..... I pp .... fpp

Pero eíl:os valores de los quadrádos de las lineas fon quatro continuos proporcionales, como lo denotan fus coe• ficientes 4, 2, 1, f, y el ferio de la mi(ina cantidad pp ; y Jo convence el fer el quadrado de cada medio igual al produél:o de fus laterales (e) ; r,

{I.º

Eíl:o es e11er

2ppX2pp

::::=:' 4ppX 1pp ..

==

' o 4p 4== 4p 4

4 4 , X1 0 2 pp -;:-pp .. O I p == I p 1 pp 1 pp 2.

Luego porque tambien fon quatro continuas propor-i cionales dichas lineas ( f) . Q_ p. d. por elcalculo , &c.

SCHOLIO : (l!!iero prevenir , para el quepo fe Je 1 6. prevenga , que el Lem11:1a en lo que hace no merece mas gloria , que Ja de fer un Operante de lo que el Theorema precedente le eíl:a diciendo ; por lo que íi aquel prefume de Inventor de media~ proporcionales , mas bien debiera prefumirlo éíl:e ; y no obftante conoce , que el querer fer juzgado por tal , . era ~~~editarfe de ignorante ; porque fabe muy bien, que lo que dice no es por haver difcurrido las medias por las extremas, fino al reves, las extremas , Cabiendo antes las medias: Efto es , ha viendo obfervado dicho Theorema, que las AB y BH, lado, y mitad de diagonal en el quadrado BD, fon diagonal , y lado en el AB ; que las BH , ·y B 3 fon diagonal , y lado en el BH; y que las B 3 y B7 (e) Pr. 17. del 6. , _(d) Porlas reglas de la Logif t¡~

,

X

l

( f) Pr, u. del 6.

oPrel.

1.

,

.2 l

B7 fon diagonal y lado en el 3'B ; es a faber , que la razon

de AB a BH eíl:a tres veces en la de AB a B7, y que fe continua por las BH y B 3 ; de eíl:o nos arguye fer quatro continuas las BA, BH, B 3 , y B7. Pero bien conoce, que efto no es faber con las extremas AB y B7 fus medias BH y B 3 , no es faber con la razon triplicada , u de lls AB a BT, , fu fubtriplicada la de las AB a BH; Gno muy al reves , es fa,ber las extremas por las medias , la ra:z;on triplicad.i por fu fubtriplicada : aquello es el Problema defeado aun par la Geometrla Elementar ; y eíl:o otro es una repeticion de la 11.ª del 6,º que es muy facil.

SECCION

III.

De los Corolarios , y Scholio del Lemma.

I 7.

Sigue el Autor defpues del Lemrna con fus tres ~orolarios , y un Scholio , que fon cíl:os:

C O

R

O L A

R I O._

Como la proporcion continua no fe opone a lo pro-p~rcional , fe injiere , 'fU~ afsi en el ant~rior Lemma general, como en qualquzera otra propojicton femejame, a mas de la proprieda-d aemonfirada en los dos cafos pre-. cedentes , en 1ue fe verifica, que cada uno de los qua-. drados de las medias, es igual a fu correfpondiente rectangulo de las extremas : debe fer el reEtangulo de las e:i;tremas igual ·a el de las mediqs, tomftndo la proporczon <;omo un falo cafo; eflo es, ABXKL ~ EFXGH.

DEMONS'TRACION 2 ( por lo demonflraao)

Las dos reélas PQ., y E

D

cor-.

2,2

cortan_ la diagonal D 3 en el punto X,, de que r~fulta (Euclid. 43. ael 1. )AX:== XT: lueJ!.O (Euclid. axiom.

2. " ) XD+XA.==XD+XT;pero XD+XA es el rectanzulo de DAXAQ, o~ien de fui iguales las extremas A B X K L , y _X D XT == ET es el reclangulo de DEXEO, o bien _de fus iguales las -medias EFXGH: 0

+ :z.

:z.

==

luego a mas de fer EF :::::= A B X G H_, y _GH EFXKL· es ABXKL EFXGH, que erq, lo que fa havia de demonftrar. ·

=

COROLARIO

J'EGVNDO.

lnfterefe , que la diagonal de qualquier quadrado ts media proporcional entre la rak. de otro quadrado,, que le Jea quadruplo ; y la mitad de dicha raiz , que Jera el lado del quadrado , que arbitramente Je tome; efio es, DH ===DE::::::. EF, es media proporcional en tre AB ,y GH; lo que es .claro por lo demonftrado en el anterior Lemma general.

4

COROLARIO TERCERQ Infiere/e tambien , que el exponente de la , raz:..,on,, que conferva la proporcion de el precedente Lemma gene .. ral, es la Jorda que hay entre la diagonal , y el lado, :z.

:z.

:z.

por fer AB, o bien fu igual D F duplo de E F por lo demonfirado: luego (Preliminar 5 .º ) DF ===. 4B; · efto

es, la diagonal DF, que lo es~de E F,Jubduplo de AB, 2

--

2

es igual AB ·: luego fu,bfiituyendo en lugar de DFfu igual la ratz.,;AB ,Jera AB dia(!onal, y EF lado; pero AS===

º

.

.

EF

'

23

EF: ( Eucl.

del 1.º ) luego S B es la difirencia entre :AB DF diagonal , y el lado EF, Jiendolo por la mifma razon OF fobre GH, y ZH fobre KL: luego el exponente de la razon , que guarda la; precedente proporcion , es la forda que hay entre la diagonal , y el lado, expreflada por J'B, OF, &c.

==

3 4.

S CH OLIO. ~nfeña el reflexivo ente racional, _que ft en~re qua~ lefquiera dos reEtas fe hallajfe una med¿a proporctonal ,y la razon media fe pudieffe fubdividir proporcionalmenu en dos, excluyendo aquella, refultarian dos medias continuas entre las dadas ; eflo es , /i entre AB , y KL fe diejfe una media proporcional DV, ( la que fe ha facado parte por ahorrar figuras) éfia fe aumentaffe una parte VE ,ferza DE==. EF la primera media; y Ji de la mifma DV Je quitajfe otra VG, quedaría DG ;::::= GH por fegunda media entre AB, y KL: advirtien: do, que- no Je puede dar un pajfo fin eflar primero enterado _a fondo de -lo d(cho hafla aqui, fobre la infalible refolucton de el anterior Lemma general, en donde fe le da continuado exponente a las razces de que trata, po obflante fer incommenfurables.

a

ya

CRISIS. ·1 s.

Al primer Corolario Jo juzgo fuperfluo por fola una razon, y es, porque ni firve, ni fe cita en adelante para nada : pero a fu Demonftracion por dos razones , por la dicha , y porque los Corolarios , ni 1a necefsitan , ni

la ufan.

Bien ~ que

ºº eftara aqui· del todo en vaºo , pues_parece · o·¡ ·echa. . .

,I

2+

de

la fégunda Demoníl:racióri del Lémma , con echadiza el animo de que nos reduzca, o confirme en la falfa creen~ cia de fu generalidad , y de que al Problema le Grva de cor-· roborante luego quando la p~de ( ~- 22.). Y la pobre pade4 ce de un Parenthe(is, que la hace claudicar de la miú11a parte que fu precedente.

Lo que el {egundo Corolario infiere , es , que la 1 9. diagonal del quadrado es media proporcional entre el lado y fi.1 duplo. Y é(le no es del todo fuperfluo , pues le fir4 ve al Problema para cita , ya que no para el Invento ( §. 2 2.).

La propneíl:a del tercer Corolario ( que la dice 20. al principio , y repite en el fin ) no se a qual nos da por 1a razon , quien fordo ~ fi al exponente, de quien habla , affenfo, tomarle para (e lo llama. Por eíl:o juzgo, que debía ,ñadirfele antes de la Jorda aquel el de, que le fobra :al Preliminar 4. o ii no , quitarle aquellas palabras el ex-:

oa

a

o

ponente de.

En lo <lemas del Corolario , que es donde debia indicarfe la razon de la iJacion de fi.1 propuefia , o de que ·di~ cha razon de las lineas proporcionales continuas del Lemma es la irracional , que fe halla entre la diagcmal , y lado probar-7 del quadr~do, fe muda de medio i pues fe paífa que dicha razon irracional fe expreífa con las lineas SB., OF'; &c. que fon fus diferencias : Gn que en eíl:e extrav10 fe nos adelante nada ; porque las diferencias de las lineas continuas geometricas no expreífan la razon de diverfo. modo, que las rnifi11as lineas , aunque eíl:as fean mayores; ni fon exponen""'. tes de las razones de ellas 5 ni tampoco de[cubren 1a irracionalidad de fu razon , pues éfia folos los numeres la hacen manifieíl:a , como fe fabe por el libro 1 o. de Euclides. , ( Defin. 1. y 2. Prop. 7. y 8. &c.)

Lo primero que he llegado notar de. efte Altifo.2 1.

a

a

a

nan-:

2

5'

ninté Schollo' ( qüe pára ,mi

ha fido E(collo) 'es , que el Maeftro de fu Mathematica es el reflexivo ente racional: no le coriozco ·por efte noLnbre ; pero mas valiera que füeffe Euclides, o que !1º.enfeñára fino como éíle. Lo que dice ( o por mejor decir., quiere decirnos ) es un nuevó principio, que lo juzga por uti.1 al Invento ; y yo noto ., que .defpues de tener que adivinarfelo .aqui, po;que no' fe explica , allá en el Problema ( ~- 24.) fe encuentra efiar de mas , por no fer íino efell:o indirell:o , y fecundario de fo Operacion.

Hafta el primer punto y coma nos quiere proponer dicho principio en abftrall:o , y en vez de edo--; nos ~díce una repugnancia ; porque ni en la Mathematica fe ltama raz.on media la de dos rell:as dadas ; ni con hallar la media pro7 porcional entre dos rell:as,nos refülta raz.on media alguna, que poder defpues fubdividir proporcional.mente ,eB do·s: lo que refulta, (i , hallada dicha media entre dos reél:as, fon dos razones iguales, en que con ella fe divide la de dichas rectas : con que hafta aqu~ aun no fe explica, fino nos embrolla.

- Defde el primer ptmto y coma alo~ dos puntos,buelve FigJ.1 querer decir lo mifmo en concreto, aplicado a las lineas': aqui fe le adivina ya lo que quiere expreífar, que· parece es: ~e fi entre las extremas (DK y DA) de las quatro continuas proporcionales ( DK, DG, DE, DA) fe hallaífe la media proporcional (DV), y fe pudieífe faber la parte (VE), que debía añadirfele para tener la mayor de las dos medias (DE), y la {VG), que debía quitarfele para tener la media menor (DG), fe tendrían halladas las dos medias proporcionales.

Por cierto es gran principio ! no merecía tenerfe por .o cio fo el que procuraífe a qui decirlo , fi defpues nos enfeñá~ ra á cxecutarlo ! ( §.2.2. y 24.).

Defde los dos puntos haíl:a el fin nos hacia una, buena .

a

1

a

o

adverte[!cia! fi en aquellas pala~f~_s: fm eflar primero 'entera-

.

-

do

26

.a,fondo, 'dixeife : SINl CREER PRIMER.O JA CIE~ , • • ,. r , " GAS. .Las palabras·con que acaba la advertencia, y el Scholio, me din que fofpechar fobre el Corolario precedente ( quien · parece.~.lt?den )·, ddi lo havre bien adivinado; o íi acafo fer~ lo qme..nos-.._ha.ya · queri~o, decir, que las reél:as ,SB , QF-; Zhl, &c; (011 to_ntinuado. exponente de las p.r.oporcionales conri~ nuas·AB, EF , GH, KL , halladas en fu Lemma : Pero ola! no valga eíl:a fofpecha ; que le hacia poca merced : porque continutJdfJ e'xponente es un HYRCO-CERVO en las Mathematic,as. ,Yo ló que en efto alcanzo. ( no se (i ferá lo que fe quiera decir ) , es , que una fola linea , como la SB , bien · podia hacer veées de exponente comun ( no continuado ) de las razones de_dichas lineas; mas para efto era ·menef-fu confequente·, la OF , los Tirulos de ter antes darle ,1 • . ,unidad.

Al Parentheíis, p.o rque Je noto, que no feria tan fuperfiuo, íi . omitiera todas fus palabras ; ni tan confufo , íi_ nos dixera: la c¡uefe ha HALLADO FUERA DE LAS LAMINAS~ por ahorrar figuras EN ELLAS, debo alabarle lq .bien que remeda en eftas dos Partidas-a fu Scholio!. do

a

a

sEe e

I

o

N

IV,

..

Del Problema.

Défpues del Lemma, con fus Corolarios, y Sclio.. 'lio , íigue nuefrro célebre In_ventor con fu Problema , en quien nos comunic~ fL~ ~maginado Invento, el qua! es de .efta fuerte: ., 2.2.

PRdB ,L EMA.

p ,a,qas t¡ualejc¡uiera dos reélas , tales , que la untt,

,

Jea

27

\fea 1?1itad de la_otra , hallair ·entre ellas dos mtdias contmuas.

EXPL/CACION. -

' Sea qualc¡uier linea AB, J Ju mitad .Lt.Q, ( Fig.2.) entre las quales Je piden dos medias continuas.

OPERACION.

, · Sobre la toda .4B formefe un quadrado, ( Eucl. 46. del 1.º ) que fer.a A BCD, y ttrefe la diagonal BD: ( Eucl. Po/lulado 1.º) dividaJe el lado AD en aos partes ,iguales (_Eu~l. 1 o. del 1.º ) q,ue Jera el punto K, por el 'fUe Je tirara una paralela a los lados opue(los·DC, AB, ( Euclides 3 r. del 1.º ) que cortara a el lado CB en el punto 5 ; y dividido ya el lado AB en dos partes iguales fn el punto Q., Je tirara por efle punto otra ael lado AD, que cortara a el lado DC en el punto P, las que cortando :z.

l!Z diagonal DB en el punto L, centro de 4 B,le dividiran en_qu4tro quadrados iguales AL, LB, LC, LD, y en dos reEtangulos iguales , duplos de los quadrados refultados, 'JUC fon As , 5 D, obien AP, PB. ~e{ho eflo ,, tomefe l~ . :z.

:z. '

\

•

diagonal _D L, que lo es de Kf.:,~ AB,, y ha~iendo cen.:.· "

4

)

fro en D , _corteje de,los lados DA , DC ( Euclid. 3. del 1.º. ) las partes iguales D V, D9. Tiren/~ po~ .e[los puntoS'V, 9 dos par4.le~tfs de puntos a fus lt;t,dqs corateralts' ·c¡ue cortaran alos opueffos en los puntos I ' s ,y tendremos fer V:A, 9 C, sBJ4 ~ifirencia entre DL ,,Y qual4

•

,

,

,~

.

r

'

...,

2,

'

-L - -

\

/

..

•

,

...

•

<¡uiera d'e los lado/ eje 4 B. ,. Tomdl efl°J ; difer.;1.Jcia Y.A,

'

y·

28

y haciend?

cefltro en el piinto K, . -corteje de j(¡j, y KA las partes iguales K 6 , KE, y refultaran las compueflas A6, DE, que lo fon de DK, -AB. ,y de VA, difi· 2.

;·encía entre la diagonal DL, j qu.alquicra de los ládos de 2.

~B ; y tomand~ una de las compueftas DE , A 6 , haciendo ~entro en D, corteje d~ los lados DC, y DA las part~s ~gu;l'le~ D!{, DE, t_ tt!efe por efle pu1:to R untt. p-aralela a DA, que cortara a el lado AB en el puntoS, y que~ara formada la /upe~ficie reElangula AR; J ~irada fu diagonal DS, _Je tirara p~r el punto E, equidi(tantc ·del punto D , afst como lo efla R -de el mifmo punto D, otra pt1:_ralela a e.l lado DC, que por la equidifiancia de el paralelifmo cortara la diag,mal DB -en el punto F; y a el lado· BC en el punto 2, fufpendida la operacion jabre la Ftg. 2. fe tirara a parte otra rella a difcrecion , que fer a AN, ( Fig. 5.) y colocando Jabre ella la compuéfta Fig.i.."

-

A¿·; fe terminara en el punt<f D; y defde efle, colocan-. do _eambien ácia N ( Fig. 3.) el lad? KL, ( ~ig. 2.) tfn~ dremos la nueva compuefta AB ( Ftg. 3.) : dtvidafe eft_a en dos paites 'igua_le! .' q-ue fer1 _en el punto G:, y defde efle punto fe 4,efc.rtbira un Jemictrculo, t Poflulado ,3-º) que

fertt 21.CB', y fe Uvantara una perpendicular· en el pq.nto p, (Et~cl. 1 1. del 1. q1e Jera_DC. .To'?"'e fe tambien !ª toda AB, (-Fig.2.) y pongafe Jabre la mifma AN, (Ftg. 3'.) que fe terminara en·el punto H; j aña,diendo acontinuacion la·ptrpendícul(4r DC ( Fig. 3.) refultada, tendre'mos otra compuefia AE AH+HE; y figuiendo la opcracion como en la primera, refultara la perpendicular HL. (.Fig. 3.,.) TomeJ.e la p,erpéndicular DC, ( Fig. 3. ) y hacienao' centro en D~·( Fig. '2.) fe cort~ra de DC la 0

),

==

.

~~

%9

parte DT, fu igutt,l ;y tirando por el punto T una para- .

a

a

lela DA, que cortará el lado AE en el punto 3 , tendremos la Juperjicie rellangula AT. Tire{e la diagonal . /J 3 ; y por el punto G, equiaiflante de D , afsi como lo , efla T, de el mifmo D tirefe otra paralela, 9ue por raz.on de la equidiflancia de el paralelifmo, cortara la diagonal DE en el punto H,y a el lado CE en el punto 4. Conclur.• da la operacion, que por la jemejam:...a es indifirente ato• Fig.2-.•

t/,os los cafos de las continuas, digo, quefi ala DV :==.DL, media proporcional entre AB, y KL (Corol. 2 .º Lemma ge• ,zeral ) fe le añade VE , drferencia de AV, fobre KV, J a la mifma DV .fe le quita VG, que es lo que le correfponde , por fer DG fºr la operaciqn media proporcional entre DE, y DK ,Jeran ( Scholio, Lemma general) DE E F , y DG === GH, medias continuas entre DA AB ,y DK:=::. KL.

= .=

DEMONSTRACION. Los reélangulos AC, ER , GT, KP , fon. iuadrados por loya repetido, y por la operacion equidiJtantes entre s1 qualc¡uier número de puntos, de que fe confideraffe compuefla ltt: reéla Ez. , c~n fus correjpondzentes, de que fe confidere compuefla fu igual, y paralela DC, como los de fu parte DT, con los correfpondientes de fu igual , y . paralela EO : luego ejlando por lo demonjlrad(I .todos los .Punto~ ., de _que fe puede confderar . compue(la iuaz-· quiera diagonal DS fobre una mifma linea reéta; je fi· gue ( Lemma general, cafo 1.º de fu -Demonjlracion ge-, rJ~ral) que las reflas E2, y T 3 fe cortan en el punto O, uno de los ~onfiderados fobr~ la. diagonal DS: lueg~ ( cafo 2. de la dschai Demon/lr4.e1on general) EE meaia pro-.

0

•

·

~

por'!

~~º

porcional entre AB ,' y GH; eflo es,-:-:- AB: EF:: EF: GH; pero por la mifma razon, que E2 ,y T3 fe cortan tn el nominado punto O , uno de los que Je puede conjiderar tompue(ia la diagonal DS, fe cortan las dos re8as G 4, PQ en el punto Z, otro de la mif'ma diagonal DS: luego ( cafo 2.º de la mtfma DemonJiracion general) GH media proporcional entre EF, y KL; e(io es, -:--:- EF: GH: :.GH: KL; pero por el cajo anterior ~ .AB: EF:: EF:GH,y pore(ie~EF: GH:: GH: KL: luego unida la proporcion-:-:- AB: EF:: EF: GH:: GH: KL, y_por.conjequencia EF, y GH medias continuqs propor-ctonales entre AB, y KL, que es lo que fe havta de demonftrar _; jiguiendofe ta1!1bie": aqui la corroborante Dem,onflracton de el.CorolarJ.o primero de el preéedente Lem'"" ma general. ~ C R l S l S. i 3. Lo primero que noto de eíl:e Problema , es , que tambien nos. .confunde Ja Operacion con la Preparacion, como alla el Lemma ( §. 1 o. ) ; y conviene , para mejor conocer, y probar fu falfedad, ,que la feparemos., y refuma~ mos · de .efia -fuerte: · Separada la Operacion de la Preparacion; y 1otra mucha l=ig.II.y borra, viene a fer eíl:a: III. 1.• Formar el quadrado de la mayor dada DA, y cor~ tarde ella la menor dada DK., que es fu.mitad. . 2. º ·Cortar de dicha DA la DV igual a la femidiagonal DL, que es aqui media entre las dadas.

3.º Tomar la VA, diferencia entre eíl:a media DV, y la mayor dada ·DA, para que poniendola defde Ka E ( odefde K ,a·6. ) fe tenga la DE ( o la A6 ) compuefta de ella , y la menor dada DK (-0 AK) .

t·º _Hallar .la media ·proporcional DG -entre ,Ja -dicha com~

}1'

compue!l:a DR, y la menor dada DK (que.fe hace en Ja Fig. III, hallando la CD entre las AD y DB, ignales 1 ellas).

5.º Hallar la media HL ( tarnbien Fig.111.) entre la precedente media DG y la mayor dada DA ( oentre fus igua~ les las HE , y AH Fig. III. ) .

Y decirnos defpues de eí.to= , 1.º Q1e fi dicha DV, media entre las d~das, fe fe añade la VE, d1fi::rencia de V A o KE fobre KV, eíl:o es., di-,. ferencia de las diferencias , que luy entre las dadas y fq media , fe cendra la DE,=:: EF, mayor de las dos me• dias.

2.º Y que (i la mifo1a DV, media entre las dadas, fe le quita VG, que es en lo que excede dicha DG, media yá hallada por la operacion entre la DK menor dada , y DE . mayor de las dos medias , fe tendrá dü::ha DG , GH, menor de las dos medias ..

24. Noto tambien en efla Operacion, que lo 5.º de ;hallar la media HL es fuperfluo , por quanto ya entre las nG y•DA , ( o fus iguales HE y AH Fig. III. ) fe hallo la me:dia mayo.r DE, quien correfponde dicha HL.· Y tarnbien en lo 1,º y 2 ~º que nos dice al fin , nóto el grande empeño del Autor en hacernos creer , que es uril fu invento el Principio de allá del Scholio ( §. 2 r.) ; pues lo introduce conclu1da 1a Operacion , pefar de- éíl:a , que. no ha querido acordarfe de ~l; y a pefar nueíl:ro, porque mas nos la embrolla: Veafe fi es afsi, que la DE, que nos la ha dado en la ;Qperacion por la union de DK y KE, nos dice en lo r .º que la tendrémos ( como fino fe tuvieífe ya ! ) por las DV y V~, que es mucho mas rodeo.

Y Qun es m~s raro lo qu~ nos-dice e_n lo 2.º _que es ., qu~ con la GV, quitada de DV, tendremos la · DG : y es al i:cvcs1 c¡ue fin antes tener[e la DG, no puede conocerfe b G V•

a

a

a

===

a

a

.::

a

·.

Ez

Re-:

32 -.

2

s.

Refümida la Operacion con rus· fuperfluidades, fe

· cxpreifa en eíl:e THEOREMA : La media proporcional (DV) entre las dos reéhs dadas ( DK y DA), junta con la (VE) diferencia de las diferencias (KE ( o V A) y KV) entre las dichas dadas con fu media, ferá la mayor (DE) de las dos medias conti-nuas ( DE y DG) entre ellas. Y la menor (DG) de dichas dos medias , fera la media proporcional entre efta (DE) mayor ha~ llada y la (DK) menor dada. z 6. Y omitidas las fuperfluidades , queda en eíl:e THEOREMA : La menor (DK) de dos reél:as dadas (DK y DA), junta con la diferencia ( KE o VA) entre lamayor (DA) y media entre ellas (DV), es igual ala mayor (DE) de fus dos medias continuas proporcionales ( DE y DG ) • Y por conGguiente , la menor de eftas ( DG ) , fera la media proporcional entre la mayor hallada (DE) y la menor dada (DK) . ¡ Que bellos Theorernas , fi no nos engañáran!

27. A la Demonftracio n no quiero notarle mas, que el fer un tefügo falfo de la Operacion. Verdad es , que eftc delito ·en ella juzgo que ferá impenfado , y folamente nacido de fu fatisfaccion ; pues como alfa en el Lemma , tuvo forru .. na de dár con una Operacion verdadera, que k; difsimulo. fus ·faltas, fe creyo ya muy general ( y perfeaa), y echofe á bufca de Problemas. Y no, no fe iba á los de por ah1 : ni que-. ria hacerfe menos general , que para demoftrar lo verdadé-: ro , y lo falfo ! ( §§. 7. y 1 5 , 2 2. y 2 s. ) Haciendo la vifta gorda otras cofillas del Proble2 8. ma , no muy menudas para los Mathemarico s, fufpendo las notas , éntro ya dár mis demoftraciones de la falfedad de fu dolhina ; y fea la primera fal(ificarle la Demonftracion,

a

y

a

baciendo ver l que no eft~ den~oftf~do ~ de ~fta fuerte;

33

FALSIFICACION ~E LA Dl!MONSTRACION del Problema.

Lo que en los Problem:is fe demuefira, como latamente expficamos en el §. 9. es , que ~on la Operacion fe configue lo pedido en la Propoficion ; por lo que debe fu Demoníl:rac~on fundarfe en la Operacion , que es 1a que vá a bonificar. ' Pero. en efie Proble_ma del Autor fe ve, que no fucede afsi ; pues fu Demoníl:racion la funda , como la del Lemma (§. 1 3 .) , en folo aquel emretegido de lineas paralelas , y diagonales , que no es la Operacion, aunque por tal 1a cita,. fino la Preparacion ,( como manifeíl:amos ~- 1 o; Gn acordarfe en fu Demoníl:racion de nada de lo que es la Operacion.

Luego es claro , que fu dicha Demonfl:racion no prueba la Operacion , porque no recae en ella , fino en fola la Prepa• racion, que fe acomoda tanto a la mala, como ala buena operac10n. .

Los §§. 1 3. y 1 4. no dexan genero de duda en eíl:a verdad , la que manifiefto cambien de eíl:a otra fuerte: La dtcha Demoníl:racion del Problema , fegun lo que en s1 dice , y íegun la fegunda del Lemma, a quien cita , y en todo fe refiere , nos á probar por 1 •º fer 1a EF media Fig. II. entre las.AB y GH ; efio lo infiere immediatameme de q~e el quadrado Dr es ig~al al reé;tangulo D 3 ; efio lo infiere de fer los complementos AO y ORiguales; efio, de que los DO , y DS fon paralelogramos , · que ~ ambos corra por fus angu~ , los el diámetro OS: [hafla aqui _bien infiere; pero figamos halla llegar a la Operacion, que cotno todo lo dicho fueífe cierto , y procedido de_· ella , _pt(?ba~á _quedaria ( §. 9.)

Y pregunto : <El que los paralelogramos DO y DS' Jos ,one el mifmo diametr~ DS po, fu~ angulos -~ de donde

va

a

J.

!l0$

34 nos lo infiere ~ Nos Jo infiere , como la fegunda Demonítracion del Lemma ,- á quien fe refiere , de aqüel!as razones~ que hicimos ver §. 1 3, que no lo prueban ; porque todas fo verifican tambien en los paralelogra mos DS y DX, a quie~ nes no corra el miíino diamerro DS ; y a mas de no probarlo dichas razones, no fe fundan , ni infieren de la Opera• cion ,, que es Jaque ván bonificar, Gno foJamente de lo que los ojos ven en la figura , tirada aquella Preparacion ; y como eftos no pueden vér los defdlos pequeños , tampoco diíl:inguir,el que la DS no corta, al paralelogra mo DO por , fu. angulo O. .. Con que vi11o eíl:e tropiezo ·del Autor ; y conociend o por el ~- 14, que el que a los DO y DS los corte el mifino· día metro, lo debiera inferir-.unicamente ·de qne fos lados DA y AS, DE y EO fueifen proporcionales ( fegun la Defin. r .... y P.ropof. 2 6. del 6. ) , y efto lo•debiera inferir de la Operacion del Problerna ; pues que no lo hace, ni puede hacerlo ( §. 3 1.), es claro, que no nos la demueftra. De lo qual, y de fer un Problema defauciado de Antigúos , y Modernos ; y faber todos los Mathemati cos , que eíle nombre merecen, qué es Pi:oblema CUBICO , que bufca á un tiempo dos inc9gnitas , y que efras no pueden hallarfe por la RECTA y ClRCULO ( Regla y Compas), con que opéra la Geo-metria reél:ilinea , fe convence , fin genero de duda , que el Problema no queda refuelto. Y éfta es la primera prueba, con que fe le fa!Gfica direél:amente la Demoníl:racion , in.. direél:amente la Operacion .

Y pá(fo la fegunda prueba, en la que por el calen lo 2 9. de las proporcion ales, con el que verifique la Operacion del Lemma (§.1 5.), falGfico aquí la del Problema , demoflran do no fer quatro c_ontinuas proporcionales las lineas , que nos

a

e

a

dá po~ tales. ·' •.

'

DE~

35

D E M O NS T R A C I 0-N DE L A FA L S E DA D del Problema por el Calculo de las proporcionales , que c:s comuna toda cantidad continua, y diícreta, comenfürable , incomenfurable.

e

La 1.~ y menor proporcionál Fig.II.ª DK fea p (a), eíl:o es . . . .- . . . { Menor dada DK 1p Y la 4.ª DA fu dupla(b),íera 2p (c) , eíl:o es . • . • . . . • • ~ .. • • SMayor dada 2p Y la DV media proporcional {_DA entre ellas , que es tambien igual a la femidiagonal DL (d) , fera como media ::= V( 1pX2p) ( e), l uno, a otro como femediago-J( ;::Vzp"(g,h). DV:: V.ip~ nal ¼Vsp 1 (f) ConqueAV(==:.DA- DV) (d) , fera -:::: 2 p - J,,,.1.p 2. (g,h) ...

Y tambien KE, fu igual (d), fera .== 2 p - V 2 p 1 ( i ) ••••.• 0 ~~} z_p -J/zp¡· Y la mayor de las dos medias DE:::: D¡<+KE (d) y(~. 2 6.), fera ==1p-l-2p -V1.p2.=3p-V2.pi T Mayor media .( g, h ) . • . • . • • . • • • • lDE 3P -V.2p')'

=

=

¡

==

=

y

=

.(a) Pordenominacion.

1 (f) Def. 2.9.yPr.47.delr. (b) Por lo dado. (g) Por la denominacion, y lQ (e) Ax.6.del 1.0Pr.r5.del 5., hallado. (d) Por la operacion ( §, 2, 2., (h) Por las reglas de la LogiC. y.2.3.. . .. . jtica. (e) Pr,17,del6! . .. . (i.) Ax,·1,dell~

36 ,_ Y queriendo hallar dicha DR por el modo m;;ts largo, que dice Ja Operacion ·, y §. .2 5, por no aparearnos de ella , ni aun eo lo · fuperfluo: La DE ~ DV [VE] ==:: ov+ ' DV+[KE -(KV) J (KE -(--l:DV -DK)J=:::ov+ [KE, -DV,+DKJ(d),fera(g, h) J/2p=--l-{2p -V2p,'" - V2p...: +1pJ== 2p- V2.p:.+1p::::::: 3P - V2p. z., que es lo ~ifmo que fe ha facado poco ha por el modo mas facil del §. 2. 6.

Y porqne la menor de las dos medias D G ( DC Fig. Ul. ) es media entre las DE y DK ( o fus iguales AD y DB Fig.111.) (d), fera DKXDE (e), y DO== DGz. V(1pX V(DKXDE) (k),

+

==

=

=

==

==

(3p-Vi.f))-= J/(3p.:.1pV2.pz.) ::=: V(~ p'=-. J/ 2p 4 ) ( g, h), ef- · to es . . . . . . . . • . . • ••• -

Con Jo qual tenemos Cabidos los valores de DI< .

Las 4. continuas ... DA .• : • DE....•..... DG·•• 4 1p •• ) 2p V(3p-=-V •• 2p& -V p 3 Los quales fon •••• .2p .• Digo , pues , que fi ellas quatro lineas fueifen conri--

>.

nuas

1

gifücá. _. (d) Por la operacion. (e) Pr. 17. del 6. lo y (g) Por la denominacion, ( k) Coro!, de la Prop. 46. . hallado. <h) Por las · reglas de la Lo- l del

1~

·

57

nuns proporcionales ·, fambien Jo ferlan Las tres primeras . . • . DA. · . . . . . . . . . DE ; . ; ••.. DG , Y fus valores (g) . . . . . zp ....... 3p-J/2p', .. J/(3p..:V2p\ : Y tambien los quadra-} i 1 // 1 , 1/ .4 .os de ellos /l. (l),que 10n r. (h) ..

4p , · • • • 9p-6p .z.p .z.p ..

3p-Y .z.p . .

• , d

i.+

Y el produéto de1 . extremos igual al gua- ~4p'" X(3p.:.V2.p 4 ):.::. (9p.:. 6pV.z.p,.+2p1):. rada del medio (e).

J

Eíl:oes(h) .. . . 4fX(3p.::.V2p 4 ) =(11p.:.6V2p 4 ) 1 ,, 1 4 4 Efro es(h) . . . • 12p~4p1V.2p = 11.1p~22X6p J/2p'\+36X2p 8 Eíl:o es (h) • • • • . • 12 p ~ V 32 p == 1 9 3p~ 13 zV 2 p 8 =193p~33X4V2p 8 ' 8 = 1 9 3p~ 3 3V( 1 6 X2 p ) = l 9 3p~ 33 V3 2 p 8 .

Eíl:oes(m) ..• ; .. tzp.±.V32p 3 =12P 4 +1s1p~1V32p!32V32p·1; Y añadiendo a ellos iguales la cantidad 32V32pª+V32p 8 ~· Se tendrían igua-1 8 4 e-s las fumas (n), ~12p 4 +32V32p ;:: 12p4+1s1e ue_ fon(h) .... . J Y reíl:ando de éíl:as 1a cantidad 12p 4 Qiedarian iguales} V s 4· · ll ( ) ,,32 32P =I8Ip OS le OS O • • • • Cuyos quadra- 1 . . . .ºs tambien lo fe-~ .• (3 2) 1 X32p 8 = (r s 1) 1 X(p 4r" 1an (p) .•..•. .J Eíl:oes(h) ...... 32X32X32p 8 ::::::181X181Xp 8 Efro es, ferian (h) ..... 32768p 8 = 3 2761p 8 Pero eíl:o es falfo , porqne el todo (3 2 7 6 8 p 8) es mayor que fu parF te (g) Por la denominacion , y lo hallado, (1) Pr. 22.. del 6. (e) Pr. 17. del 6. y . 2.0. del 7.

(h) Por las reglas de la Logifi:ica.

,

¡ l

(m) Ax.19.del1. (n) Ax. 1. del 1.

(o) Ax. 3. de 1 1. (p) Pr. 11. del 8. y H• del

5•

·, lS

e(3 z¡61p!) (q); luego tambien·rera falfo· aquello de quien fo há ~edu ciclo , como es , qué 1 fean tres continuas proporcionales· las lineas DA DE, DG; y afsi, ni tampoco lo [eran las- quatro DA, DE, DG , DK Q}e es 10 que propufimos demoí.har por el calculo ·de las propor cionales.

I

L

MI S M A , D ·E M O 'N 5' T •R· A· C I O N· por otro rermmo.

, Si fuefüm comimjas proporcional.es dichas .D : ..

DG··: . .. . . . . .

DE . . . . . .

DA . . . . . as · quatro re ofus valores hallados.; 2p ..... 3p-V2p1 .. V(3 p.: 1 pV2p2) .. 1 Tambi~npr ,porcio-J _z p : 3p-Vzp1 nales fenan(r1,eflo es, 1

== V( 3p.:. 1pV2 p

9p::. 6pV2p1+2p1 = ;p: 1pV2p

Efro es ....• 4p1: 11p:: 6pV2p 1

):

1p

··

.

Y afsimifmo fusquadrado I 4f: (f),que fon(h)

1

1 :

'1p"·

3p~rpVip'" : 1p,.

::::

_ .

Y el produRo de extre-, 1 ~os feda igual al de me- ~ ••• 4p1 X 1'f ~· = ( i I p:..6p~2p )X(3 p.: I pV2f) . . _. dios (t) • • • • • • • • •J

Efro es (h) ........• 4p 4 ::::3ip~11p 1 V2p~18p 3 V2p1 +6p1X2p i , EO:o es • . . . . . . . . . . 4p 4 = 45P~ 29piV2p1 Y añadi ,ndoles fa mifma 'tantidad ~2'9p 3 V í. f Se tendrian igua-} les las fumas v),

•

4p 4 +29p'V2p = 45p 4 1

que fon (h).. . .

a •ellas la m;fma ·parte

, Y· rellanSoles

J1

4P'. .

- , (q) Ax. 9. del 1. (r) Dd:_7. r, 9. (f) Pr. 22. ¡del 6.

d~J 5• •· !

(h) Por bs reglas de l'a Logiíl:ica. . (t) Pr. 19. del 7. ; t (v) Ax. 2.del 1.

5

39

Serían igúales}'· · 1 V: 1 29p 2p := 41 p4 _ los reftos (x), y (h) Y fus multiplican tes (y). 2 9V2 p1 ::::: 41 p

x

. Cuy~s ~u adrados cam-} 2 9 X 2 9 2 p 1 := 4 IX 4 I bien fenan iguales (z),y(h)

Efto es, ,ferla (h) . . . • • 16 82p :z. :::::

Xp 1

I 6 SI pi.

o_fegun la d~1'.omi-} .. I 6 82DK 2. := I 6 s 1DK nac1on que h1c1mos. _ · .-Pero eílo es falfo, por no poder fer el todo (1 6 s zDK 1.) igual a fu parte ( l 6 8 I DK 1 ) (a); luego cambien es falfo, que dichas quacro lineas DA, DE, DG, DK fean continuas pro- . porcionales. ~e propuGmos demoílrar por el otro termi no. X pudiera aun demofüar_fe por orros , íi no fuera prolixidad.

Y queda probado , que . dicha,Operacion del Proble ma es faifa , porque las lineas, que nos halla-, no fon las que nos ofrece.. · 3 o._, SCH(?LIO: De eíl:as demonftraciones por efle Cal• culo ufan mucho los AA ; efpecialmenre en las Propoficio nes, que tratan de proporcionalidad de lineas incomenfurables. Son,legitimas , por fundarte eíl:e Calculo en los Libros de Euclides, efpecialment~ en dll.ºV.º y. X.º y fer· comun toda camidad _geomerrica, arithmerica. Y fon ta1i1bien exaél:as, por np eílár el Calculo fujeto a las apariencias de los ojos , ni a las torpezas del pulfo , !ino a los Axiomas y Theoremas infalibles.

• 3' r. COROLARIO : Efi.a precedente Demonílracfon de que dichas lineas DA, DE, DG no fon continuas ·pro- Fig. n.

F2 • po~1.

4

4

4

a

(x) Ax. 3. del

y

1.

·

·,

(h) Por las J reglas de la Logifüca.

-

l 1

(y) _ Pr.18. del 7.

(Z) Pr. 11. del 8. y 34. del j ." (a) . Ax. 9• cM 1!1 :-- 1'

40 porcionales, nos defcnbre taro bien, que la diagonal DS del paralelogramo AR no corta al ET poi fu angulo O. Porque no íiendo DA DE como DE a DG (b), no fiendo fus iguales DA DR, como DE DT (c), tampoco feran femejanres los paralelogramos AR y ET (d). Y no lo fiendo , tampoco el diametro DS pel mayor AR paífara por el angulo, O del menor ET (e).

Por íi dieífe con alguno tan efcrupulofo, que le pare• ciere, que las dos ultimas citas de eíl:e Corolario fuplen de · mala gana por fus negativas equivalentes , quiero forjar el · figuiente THEOREMA: Si los paralelogramos ( AR, ET) de un Fig.6'.ª angulo comun (D), no tienen proporcionales fus lados 4o• rnologos ( DA a DR, como DE a DT ) , tampoco el díametro (DS) del mayor (AR) paífara por el angulo (O) del menor, (ET).

DEMONSTRAC ION : No fiendo DA a DR, como DE DT, ( f) fera DA DR mayor DE DT, DA DR menor DE DT .(g) Siendo I.~ DA aDR mayor DE a DT; fera DR a DA Fig. 0 N.1.º menor DT a DE (h). Y haciendo como DR DA, afsi DT De (i) , fera DT De menor DT DE (k); por lo que tambieq fera DE menor De (1), y tirada ef paralela a DT (m), que. lo fera tambien a EO (n), fe tendra el paral~logramo

a

a

a

a

a

a

a

o

a

a

a

o

a

a

Te

(b) Por dicha Demoíl:racion.

(e) Por la preparacion, y Pr.7. · del 5. (d) Def. 1. del 6. (e) Pr. 26. del 6. (f) Por la fupoficion. (g) Def. 4. del 5.

(n) Pr: 26. ~el 5. ....

.

(i) Para preparacion por la 1 2.. del 6. ·ck) ' Ax. I. del l. (l) Pr. 10. del 5• (m) Para preparacion por la ' 3 I. del 1. (n) Pr. 30. ~el 1.

l ·t

41

Te femejante al RA (o); luego tambien fu diametro DJ eftara en el DS (p) ; pero• por fer ef paralela aEO (q, n) eílará.

O fuera de f (r) ; luego tambien el diametro DO fuera Fig. .a del Df(f), o del DS (t), et1:o es, no parara DS por O. 6 0 N.:i..º a DR fera DT, a DE Y fiendo ll. DA a DR menor DA mayor DT aDE (v). Y haciendo como DR a DA, afsi Dt a DE (x), fe tendra Dt aDE mayor DT a DE (k): con que tambien Dt mayor DT (y). Y tirada la tf paralela a DE (z), la que tambien lo fera aTO (a), fe· tendra el paralelogramo tE femejante al RA (b); luego tambien fu diametro Df eíl:ará en el DS (e). Pero por fer tf paralela a TO (d, a), cíl:ara O fuera · de J (e); luego tambien el diametro DO fuera del Df (f) , o del DS (g), eílo es , tampoco en eíle IV cafo paífará DS por O. Y afsi , íi los Paralelogramos ( AR, .

ET)&c. ~p.d.

Y queda tambi_en condenado el pa{fo de DS por O, como paífo foñado, que ni 1a Operacion del Problema lo abrio, ni fu Demonfrracion lo defcubrio ; y como era el Lazarillo del Invento, tambien efre pobrete fe <¡ueda á buenas ner.

ches.

(o) Por fa preparacion, y Def. del 6. (p) P1·. 26. del 6. ( q) Por preparacion. (n) Pr. 3o. del r. (r) Def. 34. del 1. . ( f) Pr. 2.2. del 1. (t) Por lo demoíl:rado. . (v) Corolario de la Prop. 26.

1.

del 5.

· (x) Para preparacion por la.u, del 6,

l

SEC:(k) Ax. r. del

1.

(y) Pr. 10. del f •

(z) Para preparacion por la 3t •.

1del r.

· (a) Pr. 3o. del I. ( b) Por prepan1cion, y Def. , del 6. . (e) Pr.. 2:6. del 6 • (d) Por prep:¡.racion .. (e) .Def. 34. del 1. ( f) Pr. 22.. deb ~ · (g) Por lo demofirado.

11.

j

sEe e Io

v.

N

De los Corolarios del Problema~· 3 z. Seis Corolarios figuen al Problema , que. fon ~nos: . .

A R I o.

C O R ·O L '

. . . De la operacion de el anterior Problema fe infiere, ( Eucl. 1.3· del 6.º ) que no· foló EF, y GH ( Fig. _2.) fon medias continuas entre AB, y KL ,fino tambien DC, y HL entre AH ,y BD, ( Fig. 3.) lo' que es claro, por fer D(¡media proporcional entre AD ,y BD, afsi como lo es . .

F-'.n •ª

HL entre AH, y HE,o al contrario ; eflo es,-:-:AD--:. . :z..•

2..•

.

:z..4

:z..<1

· 3 ,4

3·"

:z..4

A6 .: =DE -==: EF: DC==DG:== GH::::= HE en 3. 4

3·ª 3.•

3• 4

:z..•

una parte ,y en la otra ""7:-AH-AB: HL :: HL: HE: luego Geometrza )-fiendo infalible en ··la proporcion, ·que feme;antes , eiguales razces , producen razces femejantes,

e

3·

4

2,,

3·

4

4

3·"

iguales ,fe figue , que fiendo AH== AB , y DC == HE 3.4 .

J.,4

:::= GH ,Jera HL

= EF: luego en proporcion afeen..

1."

:z..•

3...

3.4

3 ·4

.

1. 4

,

3 •4

dente-:-:- ·BD==KL: iJC:= HE;__ GH:: DC; ·o 3.•

3.•

.

~ -4

2,, 4

== EF: HA ::=::; A B 2..•

:· luego :z..• afsi como EF, y GH fon medias continuas entr.e .A B,.

bien Ju igual HE : HL .

2.•

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3·4

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3·"'

y KL , lo fon DC, J HL entre AH,y BD, qúe era ,.&c. .

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.

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·coROLARIO SEGVNDO..

43

lnfterefe de lo demonflrado la refolucion de el célebre Ploblema de la duplicacion de el Cubo ; porque jimdo -;:- AB : EF: : EF: GH:: GH: KL ,( Demonflraciones anteriores )Jera-:-:- KL _: GH._:: GH: .EF: :- EF: AB: luego ( Prelim. 7 .º ) ji qu,atr_o linea_s fueren continuas proporcionales, el Cubo de la pr~mera 4 el Cubo de la {egunda tendra la mifma ra~on, c¡ue/a primera ala c¡uarta; de que Je Jigue, que fiendo AQ_, ohten KL,mitad de AB,Jera 3

3

3

3

KL mitadde GH,ypor confequencia GH duplo de K L. COROLARIO TERCERO. _ Tambien fe infiere fer general efla refolucion partJ duplicqr con indiferencia qualquier Cubo , que fe de; porque dado qua/quiera de mas , o mmJs longitud de laáo, fiempre tendrá una bafa Jemejante aKL : luego hecha otra Jemejante AC, ( la que jiempre debe fer quadr.upla d~ la de el Cubo ., que arbitrariamente .fe .de) tendre.mos, por medio de la operacion ,y demonfiraciones de los cafos antecedentes , lo que Je defea. .

'CóROLÁRIO .Q_VÁRTO. Infterefe tamhien ,, qu~,~tCubo 4~ qf,f~lqµi~r linea es ocluplo ~e el de Ju mitad, es evidente, porque -la ·continuada raz,.on Geometricd Je pr_oduce por un mifmo expo..

,

.

, --1_ .

_3_

nente: luego fiendo por lo_demonflrado GH duplo. de K L, 3

3

l

fer.á, E F duplo de G H, y por confequencia qu~druplo · de

4+

3

3

3

.

3

3 '

de K L ,y AB duplo de E F: luego A B oéluplo de KL, &c.

COROLARIO QVJNTO.

lnjierefe cambien la duplicacion general de todos los cuerpos femeyantes, como fon los paralelepidos , efpheras, C:!rc. los primeros por tener ( Euclid. 3 3. de el 7. º ) la razon triplicada de la de fus lados homologas; y las fegundas, ( Eucl. confec¡uencia de La 1 8. de el 1 z. ) por tener entre sz la mifma razon , que los Cubos de fus diámetros.

COR,OLARIO SEXTO.

Finalmente fe infiere, que el Cubo duplo de qualquiera que Je de' ,.ferá aquel , que Je forme fobre una media proporcúmal hallada entre el lado de el Cubo , que fe proponga, y otra linea compuejla de la diagonal de la bafa de el Cubo propueflo, y de la diferencia que haya entre dicha diagonal, y el lado de otra bafa quadrupla de aquella; lo que no necefsita demonflracion , por conftar ae l'!S anteriores : y queda refuelto el celebre Deliaco, l por el innumerables, que hafta hoy fe han juzgado por maccepibles. Per.o como el mfeñar de una vez el mas.pron-to camino de la claridad , que m~nifiefie {a rej'olu~ion de un Arcano, es mas proprio ae la inteligencia Angeltca , que de la_ tenaz inv efligacion humana, conft_a el Aut?r en la gratttud ~el Publico , que aunque en efle Apendtce ha)~ Jaltado a la elegante colocacion de los termmos, f upltra efle defeélo , por hojarafca de lo Jubjtancial , atendiendo a la utilidad del empeño, como ael .facrijicio de la voluntad, con que ha defeaqo el mayor '!cierto, y aclualmente el calificar fu conflancia con obfequio de mucha mayor ex· tenfion.

CRl· 1

C R I SI S.

45

·3 3. At primer Corolario no fe Je coda el boJlo , efpe• r.ando que fu ~roblema acabaife ; porque como éfte allá en fu.Operacion le hizo la cama- con la conf:lruccioncilla,que no• támos de ociofa (§. 2 4.) , que. fue haHar (Fig. III.) la media HL. entre·las AH y HE , iguales (Fig.IL) de, las AB y GH, pen1ando que la echaríamos en olvido , la recogio; y cabilan_do en ella, ha podido inferir, que fon ( Fig. III.) las HL y DC-tan-medias continuas entre las AH y DB , como (Fig.11:) las EF y GH entre ]as dadas AB y KL. Y la. razon que quiere dár de c{b fu ilacion ( fi es que fe Ja he adivinado), es efta: Q_ie por fer por la Operacion del Problema (Fig. III.) las DB, DC, DA, y AH iguales (Fig.ll.) a las KL, GH, EF, y AB. . Y por fer tambien, por ]a mifma, tres continuas (Fig. III) las EH, HL, HA;; y afsimifrno ferio (Fig.II.) Jas GH, EF, AB; y las extremas EH y-HA de aquellas, fer iguales a las ex-. . tremas GH y AB de eflas: • Infiere de eíl:o, que tambien 1a media HL de aquellas , fera igual ala media EF de efias : y por coníiguiente, que afsi como (Fig.11.) GH y EF fon medias continuas entre KL y AB, por .fu Pro.blema, lo ferán tambien (Fig. III.) las CD _y HL , iguales ~e aqueJlas, ·entre las DB y AH , iguales d~ eílas. . .

Defpues dé nueftro trabajo de adivinar efte -Corolario, vémos que le corre la fortuna que a fu Proqlema; fin que · fe la haga mejorar el gi;ande arrimo de fu pofüera cita.

3 4~ El fegundo.Corola,¡;io , -noto, que nos infiere lo que el Papel nos ofrece; pero corno infiere de lo yá den;iofüado falfo ( §. 2 8. y 2 9. ) , tal ~s ello. Yo ,.-para enmendar.. . lo tal qual , fin borrar, ni efcribi.r mucho , . le pondría el N~ m~?,ia docena de vec~s. 7 en , los l~gares dpnde ·el Lec-

.

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1

G.

toi;

1 1

46'

tor vera que le hace?falta.

El Corolari o tercero pienfa , á mi ver, que no he4' 3 5. mos entendido fu preceden te, que éíl:e no,fe ha explicado baftante, pues nos .repite lo mifino; bien que prefumien". do de que nos lo dice 1mas general, y de que fe acredita, de mas fabio, cón'explicar 'por las bafas,de los cubos lo que el orro ha explicado .por los lados.

El Corolari o quarto no empieza engañand onos, ni 3 6. acaba : en' el medio es donde Jo hace. Y es laftima ! porque no ·es fuya la culpa, fino de las malas compañias. 1 Lo que . infiere es muchifsima verdad; pero íiento que la defacredi· te,por no inferirla de la Prop. 3 3. del 1 1 º . y Def. ro. del 5<>.

3 7. Hizome harmorila la primera· cita ·del Corolari o qninro; efi:o es, el que Euclides hablaífe de part1;lelepidos . ( 6 como yo les llámo , P ARALEL EPIPED OS ) en fu 7 .º Libro, que trata de ·los numeros primos ~y compueí l:os; y aunque no examine las citas haíl:a aqu1, me eíl::i111ulo la curioGdad a hacerlo en éíl:a , y le encomre la errata , de que debe mudarfele el Euclid. en TOSCA , o el 7º. en . 1 1 º.

Ojala como eíl:e yerro fueífen los paífados ! para que 00 nos quedáramos con el de[eo de duplicar el Cubo. En lo demás, no hace Gno engañarnos con las mifmas cartas , que fu Problema: 3 s. El Corqlari o fexto , y ultimo , noto, 'q ue nos di<;e una falfedad nueva, diferente de la ·del Problema , y fu C0• .. rolario fegundo ; y pienfa que dice la miíina, pero no es · , · · · afsi: Porque fiendo KL el lado del Cubo dado ; la diagonal .Fig.II. de fo bafa ferá DL o DV; el lado de otra bafa quadtupl a fera. DA ; y fa diferencia de éfras , diagonal y lado de bafa KE por la.operacio n ). Y aísi , la quádrupla·~fe~a la V A ( linea compueíla de la diagonal de la bafa del Cubo propuef. to, y-de la difere.ncia que· hay entre dicha diagonal y ~el

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47

lado de otra bafa · quadrupla, fera la DV+V A, o la DA: con que la media entre KL, y DV+V A, o entre KLy DA, que es la mifma diagonal DL o DV, es la que, efie Corolario nos dice , [era lado del cubo duplo del que renga por lado la KL ; pero alla el Corolario fegundo dexa dicho; que fera la G H o GD, por fer la fegunda de las quatro, que nos dá. por continuas : con que efta es fal[edad nueva , apareada con la del Problema~ Yo a la nuev~ bien la corregiría, enfeñandole a decir afsi: El lado del cubo duplo de otro dado , fera la media proporcional (GH o GD) entre el lado (KL oKD) del dicho cubo dado, y la compuefta (EF oED) de eíl:e mifü10 lado (KL o KD), y del exceffo (KE o VA) que fu duplo (AB o AD) tiene Cobre la diagonal (DL oDV) de fü quadrado (KP), que es bafa de fu cubo. Pero enmendada éfra , queda por enmendar 1a que le tañe a fu Problema, y éfta es la incorregible ( §. 2 s.

3 9.

y 2 9. ).

Acabo mi Criíis , previniendo , que nadie vitupere el haver ca1do en efie paralogifino; porque folo el penetrar ambas Geometrias , y el faber , que los mas grandes Geometras lo J:>ufcaron en vano , puede librarnos de el. · 40. Y conclLÍyo mi Papel, diciendo alos que quedaren defconfolados , porque fe nos fruftro el Invento : ~e aunque la Geometría reél:ilinea no alcanza a darnos la conftruccion geometrica de eíl:e Problema , nos da de el diverfas conO:mcciones mechanicas , como fon ]a que invento Platon , la de Heron , la de Apolonio , la de Philon , la d~ Eratoíl:henes , la de Archytas , la de Sporo , la de Wernero , y otras, que fe pueden ver en Eutocio , y otros AA. Las quales., aunque mechanicas en la operacion , tienen demonftracion rigurofa ; y baftan para 1a praél:ica , por quanto éfia fe contenta·con una exaétitud,que fatisfaga alos femidos,aunque no .á la !azom la' qual fe con!igue con dichas conftruccioG z. n~s

48

nes mechanicas ; afsi como fe conügue , y fatisface , en· el fonnar , y tomar los angulos con el tranfportatorio , y otros infrrumentos ; y en el tomar la mirad , tercia, o quana parte de una linea , tanceandola con el compás hafta tenerla , &c. Gendo operaciones mechanicas.

4 r. Y rambieu la Geometrb fübllme,que paffa mas alla del NON PLUS ULTRA de la inferior, nos dádiveríos modos de refolvcr eíl:e Problema, y los <lemas fólidos como el. Se vale para ello de la inrerfeccion de dos curbas, y eípecialmente de dos de las Secciones canicas; por lo que la com• binacion del Circulo con cada una de las otras tres Paraba-. la , Elire, o Hiperbola, y la de cada dos de eíl:as entre s), es un diverfo modo geomecrico de refolver eíl:e Problenu, y füs femejanres. Tambien por las otras rnrbas lo refoelven los AA. como Diocles por fu Ci(foide; Nicomedes por fu Conchoide ; Dino(hates por la ~adratriz; el Pa~ dre Villalpando por la Proporcionatriz , &c.

4:z. A eGas reroluciones por las curbas nos abrieron el camino los Antiguos , que huvieron de recurrir a ellas , de(pues que , con- muchos fudores, no pudieron lograrlas de la Geomecrla inferior. A las coníl:rucciones hechas por las Secciones conicas , las Ilamab,111 geomerricas; y a_las que por las otras curbas, mechanicas. CAR TESIO reCuelve eíl:os Pro• blemas fólidos por fu regla general , llamada CARTESIAN A, combinando la Parabola , y el , Circulo que pa!fe por fo verrice; y prefiere eíl:as dos curbas a las otras, porque fos equaciones fon las mas rencillas. BAKERO hace lo mifono con fo REGLA CENTRAL, que es aun mas general , y por las mifo1as dos cnrbas. NEWTON es de parecer , que no fe prefieran las curvas de mas rencilla equacion, Gn0 las tde mas facil de[cripcion; por lo que u(a de la Conchoide en la refolucion de ef\:os Problemas fÓ!idos , aunque es curba de tércer genero; y no reprueba el que para.la diviíion •del · a~1-· gu: . ,,

49

guTo fe uíe de la Cydoide, annque no es algebraica, por fer facil fu defcripcion con una rueda, y 1a regla.

4 3. Efta Geometd.a füb!Ime , y el Cakt1To con qt1ien empezaron a cafarla CAR TESIO (a) y SLUSIO (b), han defcubierto de figlo y medio a efta parte tamo campo en las Marhematicas , defpues de los limites en que las dexaron los Antiguos , que ya no las conocieran dl:os.

Muchas curbas, á mas de las Secciones conicas, que los Antiguos refpetaban por folas las geometricas, nos hallo CARTESIO , que fe podían definir por equaciones algebraicas , á las que llamo tambien geomecricas , dexan~ do yá por rnechanicas. folamente a las no algebraicas. Y defpues LEIBNICIO ( c) y BARROWlO ( d), paffando mas adelante, nos defcubrieron el Calculo diferencial 1 con el que fe definen las rnechanicas de CARTESIO por equaciones diferenciales , como las algebraicas por las ordinarias ; y nos Grven á la coníl:ruccion de utilifsimos Pro~ blemas de Geornetda , y de Mechanica.

44. De fuerte , que aunque ni Antiguos , ni Moder-nos (a) En fu Geometda publicada en Frances la primera vez año 16 37. Derpues en la latin, con Comentarios de Schooten, año 16 5.9. Y derpues en frances, mejor comentada por el P-. Rabuel, año 1 7 3o. (b) En fu Mefolabo impreífo en Licja año 166 8. con varios Mircelaneos del Autor , donde empezo aaplicar el Algebra ala quadratura de las curbas , a las queiliones de maximas y mini-

mas , al méthodo centrobarico de Guldino , &c. (c) Public6lo año 1684- en las 1· ACTAS DE LOS ERUDITOS, pag. 467. (d) En fu Obra de las Lecciones Geometricas , impreífa en Londres año 1674. donde empezo tratar con univerfalidad la Geometrh de las curhas, y dio muchos nuevos In• vemos~

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50

nos nos han hallado las dos medias proporcionales , ni la trifeccion del angulo, &c. con la Geometrla elementar, porque éíl:a no tiene in(lrumentos para ello ; nos las han hallado con la Geometd.a fubllme , que los tiene ; y á mas de eíl:o , innumerables adelantamientos mas neceffarios, ;y utiles , que faben bien los -GEOMETRAS SUBLIMES.

O. S. C. S. R. E.

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SUPLEMENTO A L!A RE FU TA CI ON 1

DE L CE LE BR E PR OB LE MA PE LA DUPLICACION DE L CUBO, EN Q!JE SE DESVANECE LA GEOMETRICA ,Vindicacion, que ha publicado contra ella Doa Ju~n Francifco de la Riba .Herrera , Capican del Regimiento de Infanteda de Toledo.

POR DO N ENR ~§[ !/ E GARCJA DE S.M AR TI~ 1

·Oficial de la Contaduna principal de Rentas Provinciales.

IN TR OD UC CI ON .

•s ALI _&a pLLblka luz el dia 13. de OB:ubre de eíté aifo .

una,, Geometrica Vindicacion del Apendice de la Antor-. chr1 Mathematica , dirigida contra mi Refutacion prht, . dpal men te , y en nombre de Don Juan Francifco de la Ri-ba Herr era ,Cap itan del Regimiento de lnfan teda de. Tole clo. La lel., y , enco ntre tan diftante de fer Vind ica~ on, · c-0mo de fer Geometrica.. Porq ue fin vindicarles una letra a los errores Mathematicos, que mi Refütacion hace vifible-$, que los que no deftruyen al Inve nto, dan errada doll: rina a principiantes, cott general defprecio de las dificultad es, que uo admite otras fuen~es, que la no inteligencia en cono cerlas , o. la- indocilidad en -confeífarlas , divierte fu cuida- ~ 'do a diftracciones , prob ando cofas que mi Refü tacion nQ le. ha neg_,ado ,_ ~o¡, llº EP~,r ~roba.i:_ ¡as ~u~ l~ niega ; y lo

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~ 'donoíida4ue es -tñáS eftr ~o , eí'gcimicn·clo tu pluma contra ra un Inve n'd es del decif , s_ue a la mia ac;udieron 2 cont falfo, (aunque fóbredorado)' que por un disfrazado fe nos n fazon comuniéaba; y no quifo efcufai;las~ porque · daba gea?an con ~í_agrad_o ·a !~ fequeda~ de la mat eria , y lifon del affi.tn. u poco "la verdad , fin llegat a. ofenfivas , ni falir to c;:on fus gracia._s. inteli·Efto me hi-ze peAfar , ·que fu-Defenfa era entre e. de(sentes la ªBologla ~as fiua.. de mi fefu taci on , :y quif algunas cir· prec iarla , como fe mer ecia ; pero coníiaeradas de die"\ unftancias , y refpetos , que han podido mudarme en mi Refutame n ·, he tóma do la. pluma para ratificarme Vindíca.. tacion ~on dl br!~ e S 1plf.Ili~Q~ ,' y ap!i<¡ r ·a la d>co.... cion algunos. CORRECTIVOS, de que tiene necefsida ár mo tuvo ol Ióvento. Siendo.-en efto mi anhelb defengañ ~ mere y os, los Principiantes , no difguftarido a los adctlantad ciendo at9dos, que ful'.lan los. deslice_s, de mi ~luma.,

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-

-

.

-

§. t ~óRRÉCTIVO At. ~ROLCT~d;

Es él•Prologo fa tnen~~ rnala pieza ·'d e fa Defenfa .. ·solo

que no defp reciá r io ~l fabe apreciar la bien parlado., ta la not.icia mal trah ldo; ·Pero_ le hizo gran falta al Prologif tacion ef~e que los§ §. 28. 2,9 y 31. de mi ofendida Refu defe ndid o tan darido 'por: impofsible la refolucion del mal onflraPr0hlem~, (fe entiende) eón 'las. incontraftablc Dem miémo fatcionés rMathématicás , que · tienen por teftigo al , que na. dide s; y · no (como. nos dice) fin otro fundamento • , · lu,verle potJ.ido rifolvtr b.ajla aqui. "ha,iJ. e-argo de las •✓ Vayafo el Difcreto a.-did;ios. §§. y fe

ya

Dtpnfa. Y 1i1ill'azoneJ , dtmoftradas iñ,otifiqu~néitl-1' de • fa ha... v.ayafe umb ien el lgño~ank, úbu.fcare au;,eilidres , para alo tan tct11 j/11 tr~bajo vzBimt1,. del dejpreclo J tan bumilde, 1 s: a ellos-2 ttlvp rft?,o de algu noi alfos ele ap1-ic11cio11.' Yayan todo

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y veran de[-ayr,.1da. Ja ·.pofsi{?ipdad f,ie; nuoilro móclei:110 ventor , y, ao-7r9(a .la irppof~ibilid,4 ge los antiguos Babios. confirmado aqueJ.,1eririmient9 del Sé\tyrico (a), -y -el •die~ i;l~ San .Aguftin _(b). _, · - ., J•

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. §. II. 'CORRECTIVO A,t·,JUICIO DFJ.d?ROBLEMA:. ,l

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El Juicio. ~tl •Pwblema no es el 1que menos mcr~e fer llamado a_j.J.ticio ; no ipo!Ci}UC alaba aPl~tan , :y.a Phi..i.

Jhn , fobre utros vai:fos f que QQimet.ecert ntell!)S en .el' ídbif iio affunto ; íinó por-el falto ~ que· da defde dos rndimentás i{ó un~ foplada hiftocia " ·qúé le ,-d1n buen principio , hafta Jo mas recondito de una ele..ada Mathematica , que le def~ ;aftra _el fin .,-: no .por pro'Lijo 'Comentador -del parenteíis- de ~i Prologo ·; fino P,O'r dimmulaüo_C:Oqtnadifu.?r (de lbs ulti4 rnos §§. de mi Refutacion ; y porque pretende deslucir los \huñca~bafü\nte alabados adel~ntarnientos de_los Antiguos,-y los Cartefianos con o.ej-e.ciooes ·cohfiúas , y preñadas , que las hace mas fofpechofas, con efconderfa:s tanto de la luz. ~

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§• .JU•. CORRECTIVO A

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tA NOTA PRIMEllA': .. l

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'En dfa Nota es mucho do que brilla ei ·rieg-t? 4:mor,~e .el Señor Defenfoir mue.fká al .Invento; -.pnesaio·Jle ídexa lot-'f..

Jembar~zado fo buet.1 quicio., 1para n<1>tar fa. diftincion , .que lmi Refutaci0n .pone entre las equivocaciriRes del Apendice , que ni al no Mathem-at:ico ~ puede haverfe;ocult,idG. Previene ·en ella ., no iran ctJrrtgláas las frlvolas equiflo$tition,n 4el Apmáic.t. ; y ningunas ·.c orrigé:: l éon .q~e ,todas lo fon , y mi Refutacion.es friolera ? Defayre es grande de · .: _ .. .

A2 . ~~ la e

• (a) Dif6cile efi non c~dere. his,guos Defind~t numeren Junéi~'J.ue ~ f:Je pbalanger.

• . ,. (., . ('b) ·Mutare fintenilam·, '1.Ullm deftnd-e~e 'ne~ueun, J erubefiun~f

la Retufacío¡, , pa:ra Io's no 1::acukativos ~ pero gran'de es tambien el correfri~o de que puedo, -y querre dexada ay.: roía en pú.blicai P.alefua : de ' que puedo moíl:rar Aprobado .. nes muy honrofas de dos grandes Mathem<\ticos de nueftra Efpaña, feñalados por fus efcritos , fama , y fervicios al ·Reyno ': y dé que e 1tre los otros , no he dado con ningutlo , que no la haya elogiado , no falo porque en füs §§•.

2:8. z 9 y 3 1. <la por . el pie al Invento ; fino tambien por·q ue en _los .. 5 y 38 vindica a la Geometrla de errores perjudiciales,.,,. y en los demas, y en todos hace a los Prindpfantes · lnveritores ,aunque al Inventor lo dexa Principian te;_ Jin·.haver merecido de eftos Sabios otra Cenfüra, que el ha.. verfe ocupado contra un Invento tan digno. de defprecio, acoidando fe_mas de hacer a los Principiantes .el obfequiO) · s_ue de st, Y, .de aquello de Seneca (a).

,, §.. .IY! .c oiiocTI V0 A LA PRIMERA ADDICIO N

·ae Controverúa.

•·· ,

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_f'

~ eila primera Controver íia refponde el Defenfor comG

pues dice , 'que.ao1111irando la aprubacion, tj!ra,.

H11 la conflquencla : fi es efte fu diébmen , lo venero., y lo fi.go. Aísi padiera yo tan facilmente reducirme a berm'anar:,

un 'a°uclides ;

aprohAdo. ¡Y afsi no me vimieran unos fuertes impulfos de borrar aquel Je nueflra. BfpañiJ , que de fer madre de tak s. Aprobantes,. bien poca gloria fe le originara.

"en' las primeras Jineas, aquel lnteligmte.1 con el han

l\•

·s. V.- C0RREGFIVO .,A; LA DEFENSA CONTRA u ·

L~

Cenfura..

La éenfur~ del Señor. Profeífor Mere la difi~ultad dif·, · - :

crc;-· _.,.

)' 1 ,.... .....;.,......

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1

- - - - - - - - - . -

(a) ~it.( te tor~ues in i/Ja ,'J.u~ft~one,. t¡_u'1m fubtilius ejl_ coritempjijfe 'J..Uam · · · · · · · , · ; folvere,,

deíd~

A;:_

alióra, pór cretamente : -yo r~ efrdo en. juiéio - bacion de los §§. I .3, 14 :Y 2. 8. de mi Refutacion, porque los faca .de lcl opinion de frfvolos & t le dedico ep agradtJ;:imiento los 19 y j r.

Por quanto la J?ifenfa tambicn puede e11tenderfe .contra - mis dichos§§. ,no h~ .de dar' .que notar,por no notarle a1g.o. . , Quiere pt:obar . 1.. ~ · qu, ria¡ -Jine•s .de "/JU! fo·11'Att1 {en fu Problema, y en la Geo~e:tria) no_fa_n p1D'am.entt nut11phyficas. Y íi at'i,uá p,ro.lta-rlo., la Ge0metda ,nos necha con · la trampa ! Porque dex_and.ola {in .fus púntQs, lineas., y fo. perficies geome.tricas , m.atheroa.ti..~s , o mc:taphfficas (puts to.do es un@) , .que -Con las pdmeras _difinkiories del I. o de ,Eudides , ¿ en .que haNic! dé fund·ar la pobre fus conocímientos cientificos, 1/ e~all:os ; que no fe cumplen ea lás (que llaman) .phyíicas , p@rque fon q1erpos, y no tienen ninguna de las propriedades de li,ne~s?

Ld 2.0 que propón~ }\)robar es, IJ.U.e /11 lin.ea phyjica puede far gtometrica. Mas claro : que · la linea .pu~de fer ancf1a , y .grueífa , íin fer ancha , y ,gruetfa; y ~ O(i) hav.erlo imp-edi,do .el que trov,o la p.afahra g(.01mtrica , .entendiendo por d1~ la me_dia ,proporcio.rial., n~s dexa bien cómpueftas 11ueftra$ · · · · !lineas!

Va>.t pró6ar lo 3.~ qui no /da la linea , fino ,tam}im h 'Ítlf~tficie ft puede tp11-fid4y.ti,, ,compuefla de -pJJ,,Ítoi («(l·N'.Í ' no alcanzo por que per.dona al íólido) ; aífadicm<lio ,Jdelante, ..qae eftriva· en e11o lQ. ifencia,•y c.l aprecio de l~s cálculos (ef.. t.a fe va a Leibnido, -que no havia el de quedarfe íin ert1mienda,haviendola ,ten:ido fus mayores). -Mas tambien la -for\tuna fupo dexar .burlada efia tremenda prueoa ; pues a.·no ~haver fido efio , tenian ~que.ir'·fos Geornetrars -a buféar otros .punros por el Mundo ; ique íirvíeffen de termino a los que ,corripuGeíTen la linea.; vy-otras lineas, que íirvieffen de ter~ ,mino a las .que co~~püíie~en .la fuperficic.

Eu l~ 1? ~ru~bª ·l}e~a ,ya el D.efenfe>¡ fil ~unto criticd,_

a

A.3:

s.u~

~

1

(lUe es I probar' fue Ías íl11s relias E1;; r3 (Fig.ll.) fl (01'• t&n en la diagonal-DS en O. Sorp rehen_diome con fu Prop oL Crificion-, por'v erla- dtr~c hame nte opuefta al § 3-1 de mis

{is; pero alegrome luego con las habilidades· de fu.D emof en to, inten que ·es· muy dieftra en no prob at el - traci oñ, priel pedir princ ipio '(.tomandofelo ella! ), y en-hacer con del • mor los circulosNiciofos , y aun fe le entie nde algo ., , IMPL ICAR E IN 'TERMINIS. Entra a prob ar 1. 0 que IAs G4, P Q_fl cort11n .fabr1 Ir., i unte Z. Pone fe a ello , y. pierd e el ca1 ~i•goneil D S m el p_ ftrar,. ' mino ; torna el de fuponer por ciert o lo que v_a a demo alli,. ,'(EJ.ue pór incie rto, no fuera cofae ftrañ a) y ahil~ndo por to, inten _;vino a, prob ar (inad verti dame nte) lo que no er~ fu D O;, ~ni nadie le ha. negado , como es , que fe corta n en la di·e quivo cand o la diagonal D O con la D S. íin haver enten do al Profeífor , ni al § 3 1 de mis Crifis.

Y figuiendo ,\'probarnos lo 2. 0 de que fl cortan las T3 y , el .f.Bi fabre la diagon11l D Sen el punto O. que es donde efia arnfa, Defe la 1 que mueftra fu .filis· _ buíil is del Inven to , y en va ·g uye de efta fuerte : fupone que fe corta n , (y es lo que DS _a prob ar!) y infiere de ello los paralelogram?s DO , y el fer •c irca diam etrum ; la igualdad de fus complementos ; ~EF" · igual A_ B X G H ; ·y la E F media entre A B G H; y acaba, deduciendo de eíl:a ultima la que iba proba~, qüe es, de quien ha deducido dicha ultima.

Conq ue-(recopilando las do"él:rinas) el Inve ntor nos di1 es fu .'ce arla, que el fer E F media entre A B y G H, (que Sen · Inve nto) es por cortarfe l_as T3 y E2 en la diagonal D 3y O, Y el Defenfor _nos dice aqui , que el cortarfe las T1 1 entre a medi la E F é. E2 en la diagonal D S en.O , es por fer 1 retor tero, y acreal fe es anda+ , A B ·y G H ; íin ver que efto ica. 'd itar a fu Defenfa de rhem atica ,mas que de Mathernat ,2. o efte ar Sobr e aque l otro modo con que figue _a prob punto,. (olal!lente dire, (P,orqu~ digo bailante¿ ~ue e~ s~. .

la

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-

a

y

noi; 1

7 ñor Defe111or !lº Íe pudo acordar de tantos pnhtos , como la T3 tiene donde la corte la Ez , fin irlos a bufcar en lo& ·rel\:angulos , donde es implicatorio el encontrar a 1a T 3. :

,§. VI. COR~ECTIVO A LAS DIS'¡RACCIOijES DE _.-

.. ·:

la Defenfa cont,a la Refutacioo.

. ;.

[a p~fsion del Invento,mas qu,e ae fa verélad,que rey~a

-rtifiblemente en el S5!ñor Defenfor,fe manifiefia mas de bul~ ·'l:o en efia Defenfa contra mi Refutacion ; pues ya que en los .conceptos no ha podido impugnarla con folidez geome.trica ·, la ofende con dil\:erips, y con trovar fus gracias pu e.. _rilmente , afeando fu perfon-~ , por ofender la mia , con fus. :1:10 decorofas ~xprefsione~: n9 quiero darles la pena del Ta... _lion ; porque fuera desfigurar mi efcrito, y mi perfona (a) ;_ :Y afsi folo pro figo defvaneciendo fu impertinente , y falfa· .Mathematica, de qae deben huir los Principiantes , defen-: _rcndiendome de todo fo <lemas, que es lenguage incivil , y .t,lebeyas interpretac.iones. Y antes expreífare al imparcial ,Lell:or ,los motivos privados de mi Refutacion, para que fu ~Hcrecion juzgue mi Caufa. ¡ Mi principal motivo fue el zelo nacional. El vencio mi _·embarazo , y mi moleftia de falir enmendando el engañofo Invento,que p,or fus circunfiancias,y por tan dcfpredado de los nuefiros,pedia ya avotes la critica de los Efirangeros. -Lo hice con entereza,movido de confejos del Efpiritu Santo (b), ·Y (a) Prov. 16, v.4. Ne refpondea1 ftu/10 juxta flulti1i11m fuam, ne efjiciaris · ,; Jimili1, Et illud Ciceronis contra Salluftium: · · 1' 'Mihi rAtio habenda eft non quiá S.iliuftiu, merito debeat audire , ftd ut ta Jicam , qute ego h~neji~ efferi prjfum, · (b) Prov. i 6. v. s. Refponde jiu/to juxta ftultitiam fua,n , ne Jibi fa-

<

p'ien, ejfe videatur. ·

Et illud moni;um Siracidis c. 13. v. 11.

Nali efe humilis in Jap_ientia tua~ ne bumiliatu; ;n ft.ultitiam fedurari,,

·

g

úlencio a ningupos errores Ma-them~ticosiaun. que no deil:ruyeífen e1 Invento ; porque -pude en ml mas el zelofo dcfe0 de dcíengañar los Pril'lcipiantes, , fin dexarles tropiezos , que el reparo filtil de corregir los yerros pnblL ·che lo 'agradecieífe. Ni fuzgo,qw: t~dás de-quien ju:Zgue mi modo fe falg.a del tono .:~ula,: de la ci:ifputa, en que los Sabios encuentran cortesla , fin que la defconozcan los ;Idiotas. Ni áquaila tal qual gracia , e¡ue· la pafsion ...de la· ,v erdad trahe a mi plum~, ·tiene otro objeto, que el error.

Mathematico , que tira a hacer vifible con un decir no in.:.

-1ulfo, fi.n tranfcender -en nada a Jo ·1í1oral.

A las fupoíiciones, que :yicrte el Señor Defeufor,de-qu= ,es mi Refutacion obra de muchos,que la compufe con quá-...1 'dernos agcnos , íiendo un alucinado copiante : por atajarle fus fofpechas; y .porque fo malo , o bueno de mi Refuta.: .ti01a no fe le impute a G>tro, debo decir a· todos, que para .ella, Y. otros varios efcritós qe Ma-thematica, que tengo ar...

-ri1;1conados., no he · tenido mas compañero que mi pluma~ ;ni ,necefsito auxilio de Prefidente para -defenderlos , y exp-li:canlas .en ,púb"Jica :Pa.leftra ; de.feando con anGa· , gáe lle... gaífe eíle cafo , para que vieífe. etl Sei:íor D¡;:t:cnfor, y loS' que ,clifcurren con· el , , que · n<:> es · incompatible con mi Emp,leo el eftudio de l~s Matherriaticas; y que el addan- .

-tamiento de las Oienoias , ,ql:le ,f0lo pide -tákntos ap-lica.<fos•. (no deben fepararle de los fiugetos p0cG> afortunados. Y~n~ lo 9-igt, .ell:o, pe~fando .IN Ml:RABI-LIBUS SUP-ER ME.:· ·

y íin guardar

que

· §. VII. CORRE CTIVO ~L LEMMA.

El piclente Lernma , €q11e yo ·,le añado ·RR@, por fer eÍ l>analó.f'M.zante .en el lnvent<9) , y •el tr-anJfiJPm·ado (por mal formado) Efcolio fon las. unicas piezas del Ap~ndice , po( quienes fac'a 1a cara el Señor Defenfor contra •mi R.efuta.~ion ~ porque ~on ello· logra -mere~ en fu ofen!iva Defenfa . .

.

yga

9·

una poca Matnematíca bien eng:iñofa , y mal trahlda , que. aunque no atina a deftrulr los errores , que fin enfadarle le ofenden , bafta para poder decir , que no fe ocupa toda e11 zaerir el efüh;> , qrn:: fin ofenderle le enfada. .

Su defenfa del Lemma no puede haver hombre de juicio que no la apode de impertinente , y vana ; viendola por una parte tan fatisfechamente ocupada en demoftrar la verdad Ae dicho Lemma , cofa que mi Refutacion concede (§ 1 5); y aun de_mueftra,y fin la :6 del I • 0 (§ 14) ((o fin la 26 del 6. 0 (§ .15 ), que harto yerra la cita fin material errata)); y cofa que el ,nifino Inventor dexa ya hecha en fu ·1. • Demoftracion. Y por otra parte viendola tan olviaada de defender al.dicho Lemma de todas aquellas tachas,que mi Refutacion advierte al Prind,. piante , corno fon la falf~dad de fu titulo (§ 8 y 16) ; fü defaliño, y poco rigor Mathernatico (§ 9 y 10); la cuidadofa , o defcuidada , eleccion de fus Demoftraciones (§ 1 1) ; la falfa generalidad de fu 2. ª Demoftracion (§ I 2) ; y los defaciertos de ~fta (§ 1 3) ; y fu enmienda (§ 14).

Si. el Señor Defenfor huviera leido el alma ·los parrafi~ tos 12 y 27 , fupiera donde le hiere el zapato al Lemrna; cu-ya verdad no fe niega, ni fe dice que deftruya al Invento con fus tachas; con lo que lo deftruy"e, es, con no fer fu 2.ª De.. moftracion mas general que la I.ª y por tanto no fe apropria al Problema, Y a fé , que fi , por fortuna , fe le huviera apropriado , debía el Apendice partir con mi Refutacion la gloria del Invento; pues ella le enfeño la tal Demoftracion (§ 14), ,q ue no le fupo dar(§ 13 ·y 28). . Al fin fe queda muy pagado el Señor Defenfor de la Demoftracion que ha dado al Lemma, y íin valerfe de la '26 que menciona: no lo quedara tanto fi k viera la pobre fus acha.... ques, que mi Refütacion le m1;1eftra (§ 9), le nota (§ 11), y enmienda (§ 1 5); por fer los rnifrnos que padece la I. ª del In-• ventor , cop mas el nuevo, que ha contrabldo por baxarfe ped!r. a la Ari~hmetic~ los numeres pr.eftado~ , , Tarnbien me iJnruta el Señot Defeníor, que vengo tl con..

1eder con fuma violenci¡i la refolucion del Lemma par un cafo. particular •••• del general de las continuas. No entendió fu rner, ced el§ 8 de mis CriGs,ni el 1ó, que es la cola del 1 s, que a tntendedos , no me hi<;iera tal impuíidon ; antes conocer~ -~.Í:'a }·:.,..

•• - oue

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a.

2,

§. Ultimo. JUICIO ·nEL INVENTO. , Por no fer mi defeo , que fe prive al Problema de alguna. e1Hrnacion que fe merece , aéabare diciendo : Que aunque no es la refoludon geometrica de la Duplicadon del Cubo,,Rue es por lo qúe fe nos vende , es una praética geometrica,.. :que limpia , como la da el § 26 de mi Refutadon , ocomo la corrige el 38 , es facU lo bafrante , y fe aproxima a la ve:rdacl no poco. Porque al primer examen , que hice de ella , ave• .rigue , que a la menor media DG o GH ( que es la principal de la Quefüon , p.or fer lado del Cubo duplo, que fe bufca) le faltaba para fer la jufta menos que fu..!._ ava parte, y-ma.~ l '" l.961~ue fu-ava.

I-965 L

Y que a la mayor media DE oEF le faltaba para fer la ;ufta menos que fu...:. ava parte, y mas que fü..:.ava . .98:z. ,

.98¡

Y afsi , fe le debe colocar entre las praéücas geometrkai .aproximantes, que füplen por las jufras , que no tiene la geo.; nietrla elementar. Como fon aquellas de que éfta fuele echar mano ., para tener .aproximantes, ya que no puede juftos, el lado del eptagono , del nonagono , undecagono , &c. inf~rip-:tibles en el .circulo ; y como es la regla general de Renaldino , y otras, en cuya da!fe teAdra entrada el Invento. Y en efta inteligencia , fi no fe huvie!fe tropezado con dicha operac~on del Problema e9 alguno .de los AA. que el Def~nfo.c nos dice haver tomado por garantes de .la empre/fa , y fe hu~ vie!fe ve~dido por Aproximacion , fe debiera a fü hallazgo .a~gum. gloria ; Y, a~n pudiera falir fuera del R~yno, fin de(-1 credito de .nueftras ~abricas; mas efto no es ya dable, por~ue la fina Critica faliera difputandolo , diciendo , que fon mencfrer fuertes tragaderas , para creer que es Invencion, y no pillage, la que no fe conoce, ni fupo darfe el nombre, y aun quiere con porfia le concedarnos·pa!fo ·en la Aduana do Euclides , donde fon c;ontravando las aproxirríat:ioues., .

O.. S. C. S. R. E. F I N. -

------·---·------------------CON LICENCIA. En Madrid: En la Imprenta de Manuel Martin i CaJ!e d~ la. C.rl.IZ.t Año de. MDCCWilll,.

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