Teoría de los puentes colgados

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DE LOS

PIIIIII CDllllOI, po•·

DON EDUARDO SAAVEDRA, 1:-;GE:-¡JERO PRlMERO DE CAMl'NOS, CANALES \' , l'UEI\TOS, PllOfESOR DE MIWÁNICAAPLICADA DE LA ESCUELA ESPECIAL DEL CUERl'O.

MADlllD. l111pl'e 11la

de O. Jos1~ C.

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PE~.\; Atocha, 149.

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TEORIA DE LOS

PUENTES COLGADOS. ,

TEORIA DE LOS

PtiENTES DON EDUARDO SAAVEDRA, ll'iGE."IIERO PRIMERO DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS , PROFESOR DE MEcÁNIC!

APLICADA DE LA ESCUELA ESPECIAL DEL CUEIIPO.

MADRID. Imprenta de D. JosÉ C.

DE LA PEÑA;

48S6.

Atocha, U9.

1

Esrn trabajo,

•

que es el resúmen de las lecciones que he esplicado en el curso de 1854 á ·1855 á los alumnos de la clase de mecánica aplicada á las construcciones, no saldría á luz, si no me hubiesen asegurado :.dgunos amigos que podrá ser útil á los ingenieros que se han de ocupar de proyectos de puentes colgados.

Me he guiado principalmente por la obrn de Navier, separándome de ella solo en algunos puntos secundarios. En el capitulo primero no he incluido la ecuacion exponencial de la cadenaria, ni la longitud exacta de la parábola, porque estas formulas son mas complicadas y no aproximan mas que los desarrollos en série que presento como mas útiles para la práctica del cálculo de estos puentes; y con el mismo objeto he añadido las construcciones gráficas por el método de Boudsot. En los capítulos tercero y cuarto h~ reducido algunas discusiones relativas al pandeo del fiador y á la deformacion accidenlal del cable ; y para discutir los efectos de las vibraciones, objeto del capítulo quinto, he seguido el ele-

11 11

1,

1

l

1

gante método de Poncelet. Los trabajos <le otros ingenieros eminentes, como Endres, Noyon, Carvalho, etc., me han servido en otras muchas parles menos notables de esta teoría.

Mi objeto princ-ipal ha sido reducir todas las fórmulas y discusiones á lo necesario para la práctica de los proyectos. y de tal modo, que bnslen parn entenderlas algunos conocimientos elementales de cálculo integral y de mecánica, que pueden decirse vulgares en el dia. Tambien he procurado guardar en la esposicion de la teoría el órden que se ha de seguir en la formacion de un proyecto, marcando la importancia y objeto de cada fórmula y de cada resultado; y aunque creo, á pesar de todo, que mi trabajo es muy imperfecto, puede escusarme si lo publico la falla que sienten los ingenieros de un tratado sobre esta materia, de la que apenas se ha e~crito na<la completo desde la memoria de Navier, que se va haciendo mas escasa cada dia .

INTRODUCC ION.

Aunque sea bien conocido el sistema ue ruentes llnmados colgantes, colgados ó suspendidos, asi como las partes principales de que se compone una obra de esta naturaleza, no estará demas para la mejor inteligencia <le este escrito que empecemos poi· hacer una sucinta descripcion de dichas partes mas notables, con lo cual ademas de fijar las denominaciones de las diferentes piezas, haremos ver las circunstancias y las condiciones e.n que se encuentran.

El sistema de puentes que nos ocupa es el que ofrece mas estabilidad y menos 1·igidez entre todos: para hacer esto bien c'\a-· ro, es necesario observar que todo puente está compuesto de · dos partes, á saber, el tablero cuya posicion y dimensiones son un elato comun á todos los sistemas, y In cercha, armadura ó cuchillo que sostiene con su resistencia y estabilidad al tablero; y que las diversas combin;iciones en_tre la posicion de una y otra parte dan' origen á una clasificacion de los puentes. La cercha ó cuchillo puede tener su convexi<lad ó su concavidad dirigidas al tablero, y puede ser superior á él ó inferior, de donde nacen cuatro géneros de puentes que sou los 1·epresentados en las figs. 1, 2, 5, 4. En

-8los dos primeros, los arcos a han de ser rígidos ó susceptibles de sufrir flexion y compresion, ni paso que en los otros dos han de ser flexibles y capaces solo de sufrir tensiones.

La estabilidad de cada género depende de la posicion del tablero respecto del centro de gravedad del arco, de lo que se sigue que el que la tiene mayor es el de la fig. 4: (puentes colgados), y _el que la tiene menor es el de la 1: La rigidez depende de la naturaleza de las piezas que se han de emplear para formar e~ arco, así como para referir á él las presiones del tablero: el género de la fig. 1.ª (puentes ordinarios de madera ó hierro) en que ademas de ser rígido el arco a tienen ·que serl•) las piezas bb que lo unen al tablero, es el que la ofrece mayor; y en el de la fig. 4.ª es In menor. Los de las figs. 2 y 5 son en ambas propiedades un intermedio, y nos ocuparemos Je ellos, aunque ligeramente, en el ' último capitulo.

Las figs. 5 y 5A representan las dos proyecciones de un puente colgado.

El arco flexible es el conjunto de cadenas AOB, A'O'B', cuyos estremos se lijan en la par·te superior de los apoyos AC, BD. Antes ::se constrnian siempre de eslabones de hierro forjado, d~ lo que es un ejemplo el puente de Aranjnez; pero ahora se hace nn uso casi esclusivo de los cables de alambre, que es mas barato y se acomoda mejor á las exigencias de las obras, y asi son los arcos de los puentes de Arganda y Fuentidueña, y otrns muchos conslrnidos en España.

El tabl ero e compone de una Lablazon apoyada en largueros, y estos descansan en viguetas trasversales, suspendidas directamente de los cabl es y arriostradas entre sí. Sobre ellas va tnmhien el antepecho ó barandilla, que puede disponerse de modo que contribuya con su rigidez á la resistencia de la obra.

La suspension de la viguetas se verifica por medio de varillas verticales pp que se llaman pendola,; y son de hierro forjado ó de

-9 ,-

alambre. Ln union de eslns dos piezas se verifica con un esu·iho de hiera·o (fig. G) ó atravesando con un tornillo la vigueta (fig. 7). La péndola se asegura al cable con un caballete (fig. 8) ó un lazo (figura 9), que no resbalan por impedírselo una ligadura que se coloca inferiormente. Tambien se usa un caballete en los puentes de cadenas de hierro forjado.

Los apoyos pueden ser pilas de mampostería como en la figura 5,_en cuyo caso se reunen á veces formando un pórtico para que tengan mas estabilidad. ó columnas de hierro fundido (fig. 10) ginilorias alrededor de una rodilla colocada en su base a y reunitl.is por un tirante en lo alto .. Como ni unas ni otras son susceptibles de resistir la lension de los cables, se consolidan por medio de tirantes AE, BF (fig. 5)que se llaman fiadores, fijos en el interior <leljlerreno ó del cimiento <le la obra. Los pozos y galerías que se construyen para llenar este objeto se llaman de amarra.

Cuando los apoyos son movibles, eJ cable y el fiador se unen invariablemente á su punto mas alto, pero cuando son fijos se unen entre sí apoyántlolos de diversas maneras. Unas veces viene cada uno á sujetarse á un pasador que forma parte de un caballete movible de hierro (fig.' H), y otras son un cable continuo que corre sobre unos rodillos macizos ó huecos (fig. f 2). Tambien podrían quedar intlep¡ndientes uniéndose cada uno á un barrote de amal'l'a empotrado en la fábrica <lel macizo (fig. f 5), disposicion que se usa especialmente en las prlas intermedias.

En lo que sigue consideraremos á los cables reducidos á uno solo de seccion equivalente á la suma de las de todos, y lo representaremos por su eje de figura. Consideraremos al tablero reducido á la línea cd (fig. 5), que pasa por los paramentos superiorns de todas las viguetas. Reduciremos tlcl mismo modo á su eje á las pén·<lolas y fiadorns.

Siendo flexibles las partes principales que constituyen un puente de esta cla-:c, será útil qnc rccflrdemo · suciutamenle las pro2

'

JO -

pieJades nias nolahles de los polígonos funiculares sujetos á pesos, que srm las fuerzas que en nuestros ejemplos han de obrar casi siempre.

Para que tres fuerzas que concurren en un punto ·ei.tén en equilibrio, es necesario, i.º que sus direcciones estén en 11n mis• mo plano, y 2 .º qne cada unn S!!a igunl y conlrnrin á la resullanle <le las olras dos. Por consiguieote, si un peso P (fig. H) eslá sos• tenido por dos hilos ó cordones AC, BC fijos en sus estremos A, B, · el plano de la figura será el vertical que ·pasa por A y B, y las tensiones 1le cada hilo, que son las resistenr.ias que opone el siste• ma á que el e11uilibrio se alte1·e, <leben ser respectivamente las componentes Ca, Cb, del peso representado por la magnitud CP. De aquí se deduce claramente que un sistema de hilos AC,, C4 C5 , ... C's B (fig. 17í) sometido en sus punlos de union á pesos l\, Ps, .. .P\ y fijo en sus dos estremos A, B, lomará por sí mismo una figura c.onlenida en el plano verlir.al que pase por A y U; y que cada peso deLe se1· igual á la resultante de las tensiones de los dos cordones a<lyacenles.

Corno el equilibrio <le un sislema de forma variable no se altera porque se fije una pnl'te de él, un lado cuÚlquiera del polígono funicular no cambiará ele tension ni de posicion porque se supongan fijos todos ó parle Je los restantes. Si hacemos está suposiciou respecl.o de tocios los lados tlel polígono menos los .-los AC~, C',B, encontra,·emos que la 1·esultante de sus tensiones Jebe ser igual y co11l.raria ú la de to<los los pesos comprcndidos desde C hasta C'. : esla resull.a11le, por consiguie111.e, debe pasar por la interseccion C de los dos Indos prolonga<los, y su mngnit.ud CH será la resultante de sus tensiones respectivas Ca y Cb. Lo mismo que hen10s hecho respecto ele loa lados eslremoi, pud,iéramos haberlo hecho respec• Lo tle ol1·0s dos cualesquiera, y de esto deducimos que siempre que se conozca la 1,:nsion en magnitud y direccion, de un lado <lel polígono, ln:i de utr o cualquiera han de ser la l'esu'llante ele la oada y 4

'

-Hde la suma tle peMs aplicados al polígono entre. los dos la,los que ·,ile consideran. Por esto, la componente tle la tension de todos los lados del ·polígono paralelamente á uno de ellos es i¡;ual á la tensiou de este; siendo la otra componente vertical, é igual á la suma de los pesos intermedios.

Supondremos siempre que hay un lado horizontal en el polígono, como C, C', y su tension, que es la mínima, será la que _ _ tomemos por punto de comparacion para las demas. Así, una vez P tconooida esta, la de cada lado es la 1·es,nltanle de los pesos que ¡r-.. actuan desde él hasta el punto mas bnjo. y de la tension de Cl C'; por lo que se ve tambien que la componente, hol'izontal ele la ten. :sion es c1>nstante é igual á la del lado Cl C', y se llama tension h(Jriiontal. Representando por esta tcnsion horizontal .. por T la e~ un lado cualquiera AC., por P la suma de todos los ·pesos compl'en,lidos desde este lado hasta el horizontal, P•, P5 , P2 , P l; y pot· tJ. el ángulo que forma la direccion de AC. con la horizontal, tendremos las ecuaciones siguientes entre estas cantida<les

p

T=-ºcos. ¡J.

P=Tsen.tJ.

p = Q tang.

¡J.

[11

Cuando se conozca la repai·Licion de los pesos en l.os vértices del polígono se conocerá por estas ecuaciones su figura. Si en lodo ó parte del polígono hay pesos repartidos segun una ley de conli• nuidad, el polígono ó parte de él se convertirá en una curva. De -todos modos, siempre se verificará que si se representa la tension de un lado por su longitud, sus pl'oyecciones horizontal y vertí. cal representarán respectivamente la tension horizontal y la suma de pesos que actúan sobre él.

Cuando la fuerza P (fig. f4) no esté uni,la fijamente al pun. lo C, sino que por medio de un anillo actúe en un hilo continuo ACB, no habrá equilib1·io mientras la direccion CP no divida en dos pa1·tes iguales el ángulo ACB; porque el punto C tiende á

.-

J~ -

describir un arco de elipse cuyos focos son A y B, -y la fuerza P . tiene que ser normal á la curva para quedar destruida, lo que exige que sean iguales los ángulos de los dos rádios vectores AC y CB con la recta CP. En este .caso ,son iguales la~ tensiones Ca, Cb, Si se estiende un hilo sobre una .supel'f,cie, la presion que ejerce es-normal en Lodos sus pu·ntos á- su direccion, y la tension ·debe.ser constante por esto en toda la longitud. Ln presion varia de un punto á otro en razon inversa del rádio de curvatura, y para demostrarlo, representemos por AC, BC (fig. i 6) los dos elemen• tos consecutivos de la cm·va que afecte el hilo, y por ACBF el circulo osculador en .el punto C: las tensiones, por ser iguales, pueden tambien estar representadas. por las longitudes AC, BC, y la -presion en este punto, que es la resultante CE de estas dos tensiones, es el doble de la proyeccion CD de una de ella sobre ln normal CF. En el cÍl'culo CBF se verific'a que

en~ CD= CF

y-como CF es el doble del rádio de curvatura, la presion eones. pon diente á la unidad de longitud, que es ~:, es T p

suponiendo que no haya rozamiento ninguno de la- superficie con el hilo.

'

CAPITULO PRHIERO. De lo» ()l\bles ó catlc11as.

ARTICULO PRIMERO.

Cadenas sometidas á

t.

sii

propw peso.

Si un hilo ó cadena AB (fig. ·17) de espesor uniforme, se

suspende por sus estremida,des de dos puntos A, B, que estén en una horizontal, tomnrá una forma curva AOB, stmétrica respecto de la vertical Oy equidistante de A y B, pues siendo el mismo P á un lado que á otro de esta línea y Q constante, {J. debe ser ta~bien el mismo. Tomemos por origen de coordenadas el punto mas bajo O, y por ejes la horizontal y la vertical que por él pasen; si llamamos x é y las coordenadas de un punto m, ~ el arco Om y p el peso de la unidad de longitud de cadena, la última de las ecuaciones['/) da

dy

dx

=

ps -Q

ecuaqion de la tangente á la cadenaria , que es horizontal en el punto O.

44-

-

~a abscisa y la ordenada se obtienen en íuncion <le-1 arco por las fórmulas

2:

!: =(

- 'j.

!+

(~f]

de las que se deduce, desarrollanuo ti integrando,

y=S [ A/! ( -ps ) - - t ( -ps 2.4 Q Q

ps

ps )º :5 ( ·)l+-

8.6

Q

5 - .. 6.s <o)+ .................. _

X=$

]

1

5 ( ps ) s 5 ( ps ) , ·f ( ps ) ! [ f-~.5 Q +85 Q -i6.7 •Q +

...

]

5.

Estas ecuaciones contienen la tension horizontal, que es desconocida· para eliminarla, hasta deducir de una de ellas el valor de

~ por el método inverso de las séries, y sustituido en la

otra: cada una de ellas dá respectivamente:

[2 ]

=~-y s

s~-y, .......................... .

-

~

=Vn'

8

t5

x[ i+l.550(', x)+i.559(' • x)' [ 3]

S-X)i + ...... ~ ..... .... . ....... . ] +t,60'2 (-.';y sustituyendo en la otra ecuacion. tenemos para cada coordenada la espresion siguiente: $=S

• ( - y )'- ~fu ( y y )~-··fu [ f-~/s ( 8 8 8 y=

V

s s$

[

l,225-0,i8515(.

)6-... ] [

4]

'X)

-O,?l960(s x}-O,t54t4(s s x)5-.]

8

-4. Cu:rndo se quiera saber la flecha f que tomará una cadena de longitud 2L conoci1la, suspendida entre <los puntos cuya dis tancia horizontal es 2H, los tres términos primeros de la ecuacion [ 4 ] darán t

/ -5+1

r 'LV

/

v

55-50..!!.. .L 2

[51

5. La tension horizontal se determina por medio <le una de las <los ecuaciones l 2] é, [ 3 ]. Ln tension en cualquier otro punto se halla por la fórmula

deducida de ln s <los primerns l 1] .

-

Hi-

6. Estas fórmulas no se aplican mas que á la colocacion del cahle et1 obra f al eslablecimiento de la pn~n1lera ó bamba de servicio, en cuyo caso es suficiente atribuirle u11a tension uniforme igual á Q, poniendo por p el peso de la unidod de longitud del cable y de la parte de tablero que sostiene.

ARTICULO

2.

0

Cadenas &ometidas á un peso repartido uniformemente sobre su proyeccion horizontal . .

7. Como el pes~ del tablero del puente es muy grande com• parado con el de la caden ú, podremos en muchas ocasiones admitir que la figura que esta Lome sea la correspondiente á una carga repartida unifor'memente segun la horizontal, sin tener en · cuenta el peso repartido sobre_su longitud. En este caso, la tercera ecuacion [1] dá, designando ahora por p el peso repartido en la unidad de longitud horizontal dy

[6]

dx

tomando por ejes horizontal y vertical los que pasan por el punto mas bajo O (fig. -18), medio de la longitud AOB. Desde lu ego se conoce que esta curva debe ser una parábola, porque en el triiingulo mpt formado por la tension, el peso y la tension horizontal, es el lado mp proporcional siempre á la abscisa mp', por consi• guiente la subnormal t'p' lo será á la tension horizontal tp, y como esta es constante, tambien lo será la subnormal, propiedad que caracteriza á la parábola. De esta consideracion, lo mismo que Je la ecnacion [1J] deducimos la de la curva (e

px"

v=20

l 7]

{7 -

-en la cual se 1lctermina Q cuan1lo se conoce el valo1· de las variables para un punto, ó una <)ondicio11 cualquiern á que la curva haya de sntisfncer.

8. En In práctica del eslublecimicnto de los puentes colgados, es preciso no solo conocer , sin o lnmbi en saber calcular con faciliuai"l los diferentes elem entos de que se compone la construccion. de la man era Por es ta rnzon, vamos á ocuparnos detnllarlamente . . de hallar los mas importantes. Estos son: 1.º las ordenadas, que marcan las ,lirr~ ensiones rle las péntlolas: 2. º la · longitnd il e la c urva, c¡u e <l.i la del cable y sus parles: 5.º la tensiurJ,, y 4.º el gru eso del cnhle. n. Las ordenadas se obtienen por la e.cuncion [ 7 ] pnrn un pu11to cunlquiern, -pero como las péndolas se 'colocan á distnncias igual es entre sí, conviene cal cuhrlas solo para estos puntos detr.nninnd os . Suponiendo que sea /,, la separncion de <los inmedia1íl S, y q11 e no llílyn ninguna en el punto mas bajo <le la curva, la p1.:t1tl 1> lu qu e oc11¡rn e l lugar n ;Í contar desd1~ el medio tendrá por c1bscisn h :r.n= 9., ~• su

lonp:i! 11 d

+

(n- 1) h= h. (11-- 1/ 2 )

,:N;'1

ph'

[ 8]

!In = 8(} (2n- i )1

-l O Aunque esta fórmula se presta con comodidad al cálculo, puede este simplifi ca rse, obsc 1·vnnd o que la diferencia segunda de ?/ 0 es

5

48 '--:-

y si sa hace crecer ú n por unidades, esta difernncia será

ph'

l9 1

Q

q11e es constnnte é igual al doble del coeficiente de x' en la ecua• •cion [8) Je la curva. Esto nos conJucil'á á efectuar el cálculo ·de las péndolas partiendo <le l~s valores de yl y JJ~! , al que designamos por A, en la forma siguiente:

NUMERO DE. LA PENDOLA.

DIFERENCIA PRIMERA,

DIFERENCIA SEGUNDA.

1

ORDENADA CO!\RESPOriDIENTE.

1

'

1

A

o

2

A

A 1

A

8 9_!_

8

A

2,

°>5- 8

3

A

4

A

5A

49~

5

A

4A

81~ 8

n

A

(n-1)A

. A (2n-1t8

' 1

1

.

s

1

y de este modo el cálculo de todas las péndolas se reduce á sim-

ples sumas.

-

19-

-l f. El valor de Q que entra en el de A se determ~na ordinarinmenle por la cond~ciorJ do que la cadena lome una flecha dada con la abertura que ha Je tener: llamanJo f á esta flecha y H ú la mitad de la abertura,

i¡ ::.

[10 ]

la ecuacion [ l ] de la parábola se reduce á

[ 11 ]

y el valor de la Jiferencia conslanle [ 9]

representando por N el número de órden que corresponde á la última pénJola, en que

Si correspondiera una péndola al punto mas bajo ó vértice de la curva, no hnbria mas que reemplazar N- 1/ 51 por N, quedando todo lo demas lo mismo. f 2. A la longitud Yn de cada péndola ha de nñadirse la distancia desde la horizontal Ox . (fig. 19) al tablero. Segun mas adelante se verá, la forma de este es tamLien parabólica; Je moJo que la longitud de cada péndola se compone de tres partes: nn_a que es la ordenada de la curva del cable, otra la de la del tablero. y otra la distancia con.stante. entre la~ tangentes horizontales á

-20-

ambas cul'Vas. Siendo f" la flecha del Lablero, la parle t¡ue á esle corresponde se calculará por la diferencia segunda

y efectuando las opera ciones (10) con la suma A+A' en lugar de A, tendremos de una vez las dos partes vnriables Je In péndola , y sumaJas á la distancia constante e entre los vértices O, O' de las dos cmvas, su longiLml total.

'15. Puede ser útil averiguar In suma S de las longitudes Je todas las pénJolas antes Je calcularlas una á unn.

Para esto ouservaremo:.- que el área Jel espacio OBx, segun la fórmula de Simpson, es aproximadamente

y siendo este espacio terminado por unn pnró~ola, su área tarríbien equivale á y resulta

(12] Pan.1 la parte correspondiente á la curvatura del tablero, tendremos S' = t / s f (N+1) y por consiguiente, la suma total de las longitudes de las péndolas correspondientes á la mitad de la abertura, será

t/, (f+f)

(N+1)+Ne

( 13 ]

-

21 -

14. El grueso Lle cndn pcr11loln se delerminad por !a rníly w eargn que pueda nctuar en un mismo momento en el espacio /, alen<lienJo á la composicion y enlílce de lns piezas del lnblero, ·. á la dislribucion de la carga Je prueba. Si es P este peso y R :. mayor lension que se quiera hacer soportar al material, la se ,· cion será [ 1!

15. La longitud de la curva desde el origen hasta un pnn :,, cuyas coordenadils senn x, y, será

1:

s=

clx [ 1+

(

P; )•] 'l.

ó

1 ( px ) 1

s=x [ i+2.5_Q

1 ( px ) o 1 ( px ) , +16.7 Q -8.5 Q

' .5-::.

y poniendo por Q su valor en H y f,

s=x

-[1 + , /~

Jo

)e

1.

-¿t

r

fx ) fx )'+ '/ ( fii (fa;)~ H1 - 1¡ ( H' 5

]

...

1

6

··· ]

[ 15 ]

y desde O hasta el punto estremo B,

La aproximacion será suficiente casi siempre tomando los do~ primeros términos.

-

22 -

16. De esta fórmula podemos deducir la siguiente para la flecha de una cadena de longitud y abertura da<las:

) ( :}j__ H

1=

6[ (L-H) ~ (L-H)~- ~ (L-H), +

H

+

10

•H

175

H

;~~-(L H H)'-................. ..... ]

[ 11 ]

17. La tension en un punto cualquiera se obtiene por la primera fórmula [1] que dá t= Q -

ds

dx

ó

pH~ l /

( 2fx )

l=2{v 1+ W

~

[ 18]

y haciendo x=H obtendrnmos la tension máxima, que se verifica en el punto mas alto,

Siendo Q la lension mínima, vemos que t oscila entre dos J¡: miles, cuya diferencia es próximamente

siendo

el valo1· de p. correspondiente al punto de suspension.

18. El grueso del cable debe calcularse por la fórmula [ 14 ] en la que es R la mayor tension que se puede hacer sopor• r.c

-

25 -

ta1· con seguridaJ ú las barras ó alamb1·cs que lo forman. Siendo la tension t variable para cada punto, la seccion trasversal que así resultase val'ia1·ia tambien, disminuyendo desde los estremos al vértice; pero esta va1·iacion es poco considerable en las circunstancias ordinarias, en que á lo mas tang. a. = 0,4, y por consiguiente la-mayo1· tension-T = i ,08 Q (t 7). Por esta razon siempre se le dá una seccion capaz de 1·esistir en toda la longitud del cable á una tension uniforme é igual á la mayor T. En lugar de p se <leberá poner el peso correspondiente al tablero, carga de prueba y péndolas en la unidad ele longitud, pero como el peso del cable produce tambien un aumento en la tension, será preciso suponer el peso hallado para él repartido en la proyeccion horizontal, y añadiéndolo á p hacer una nueva sustitucion que dará otro valo1· de la seccion mas aproximado.

• t 9. Estas operaciones pueden escosarse introduciendo como incógnita en el valor de p la seccion desconocida w. Si es '1t el peso de la unidad de volúmen ele la materia de que se ha de cons• truir el cable, el peso de la mitad de la longitud será L w 1t y si p designa el peso de la unidad de la longitud del tablero, aumentado de la paiite correspondiente á las péndolas, que se tomará por un término medio deducido de la fórmula [13}. el peso que obra en el punto mas alto de la curva es

P=pH+Lwr.: y como por las fórmulas (1]

T= pH+Lwr.. sen.

a.

resulta por fin

Rw= pH+Lw-1t sen.

«

~4 -

y

pH R sen. a-L1t

w=--"'---- -

( 191

20. Cuando se calcula un proyecto, estas fórmulas darán todos 1 ,s elementos necesarios para redactarlo; pero al pasar á la eje,·ucion, es indispensable reducirlas á trazados fáciles aplicables á I, montea de la obra.

Siendo OP11 (fig. 20) una longitud que represente el peso 1¡ue actúa en toda la semiabertura de la cadena, si desde el punto P11 trazamos una recta que haga con la horizontal un ángulo ex cuya tangente es ~[, la distancia OQ será la componente Q: si tomamos ahora Qh=h y levantamos una perpendicular, tomamos tambien sobre la recta OP11 distancias OP 1 ph, OP 1 =2ph ..... y unimos los puntos P1 , P1 , etc. con el Q, las rectas QO, QP 1 , QP 1 , QP 5 . . . . . QP11 , representarán las tensiones de los lados del polígono, la mnyor de las cuales será QP.; la longitud de cada lado será Qh, Ql 1 , Ql 1 . . . . . Ql" y la diferencia primera de las ortlenadas lns rectns hl 1 , hl,, hl, .. .. .hl•. Con estos datos podremos construir t i polígono 0l 1 l! .... .l0 (fig. 21), conociendo la magnitud y direccion de cada lado. Pero este-procedimiento, que men• cionamos por ser aplicable á todos los casos de d1stribucion de carga que se puetlen presentar, no es bastante espedito para el presente, en el que hemos de ,~arcar desde luego, no los incrementos, sino las ordenadas mismas. Pa,:a obtenerlas, observaremos en In formula (8] y en el cuadro lle! núm. 10, que los valores de y crecen como los cuadl'íldos de los números impares; por lo que si sobre una horizontal (fig. 22) ;;e toman distancias 0(1f, 0(5)\ 0(5)', 0(7)2, etc., y sobre la última 0(11)' se levanta una perpendicular igual á la flecha f, la recta Of cortará á las ordenndas evantadas pur los puntos de division según las longitudes pedidas de las péndolas. Si ademas se quiere trazar la curva, se refiere

-

~5 -

cada una á los punlos 1, 2, 5... .. 6 á que corresponde en la figura del puenle, resultando los y,, y,. y 1 . . . . . y 6 • La longitud de cada lado ó arco de la curva, puede obtenerse tomando en cada division la distancia h, por ejemplo en la (9)', y por la perpendicular hl., tendremos la longitud l 5 l,.

21 . La longitud constante que se ha de añadir á cada péndola se obtiene trazando á una distancia O O' una paralela á la 0(11 )' y la parle correspondiente á la curvatura del tablero por una recta O' /" análoga á la anterior y en sentido inverso. Asi se tiener, en una misma linea !ns tres partes, y por consiguiente el total de la longitud de cada péndola.

22. Hasta ahora se ha supuesto que la curva es simétrica: cuando los puntos de apoyo no estén á una misma altura, bastará conocer su vértice para considerarla dividida en este punto en dos partes de abertura y flecha distintas cada una: Este problema se resuelve con mucha facilidad sabiendo de antemano la naturaleza de la curva. Lo mas frecuente es que conociendo los puntos de suspension A, Il, (fig. 25) se tenga la horizontal tangente ab, y entonces la media proporcional OC=aC'=ac entre Aa y aB' =Bb nos da la posicion del vértice O. Siendo f, y f, las flechas conocidas Aa y Bb, y H la ahertnra ab, las semiaherturas Oa y Ob son res pre Li vn mente

H- H

vr

· VT.+\/r~

.

V

H=

HVT.

' VT.+Vr,·

25. Por fin, en el caso frecuente de que el punto de apoyo A (fig. 24) esté distante de la primera péndola aa'. loda In parle de cable comprendida Aa queda de figura rectilinea y la semi-luz y la flecha se encuentran disminuidas en las cantidades Ab, ab.

Como esto poede inducir á un error grave cuando sea In distancia Ab consitderable, es preciso conocer á qué quedan reducidos .(

26 -

los elementos del trazado y del cálcYlo de la curva. Sea a el espacio conocido Ab; H, f, las ~l istancias dadas AC, CO; la semi-luz Terdadera ac será H'=H-a y siendo

2a /"-{H'· f' , ,

f'=f ~-a

ó

H+a

y la tangente <le a. disminuye en la 1·elacion de H+a á H, aumentando en la misma el valor <le Q, lo cual hace ver la influencia desfavorable que este error puede eJercer en la determinacion del grueso ó :-eccion de los cables .

AH'l'ICULO

JJe lct cnrvn

i·P.til

cfo

3."

equilibrio de las cadenas de colgado.

11n 1Hteule

24. Aunque la curva que afeclnn los cables se aprnxima mucho á la parábola, y aun se confunde sensiblemente co r~ ella en los puentes de pequeña luz, cuando esta aumente puede separarse bastante tic esa forma y ofrecer diferencias que debemos estudiar, para conocer cuáles son apreciables y deben tenerse en cuenta.

La resolucion directa del problema seria sumamente dificil , pero sabiendo que la curva ha de diferi1" muy poco de la parnbola, supoudremos que los pesos del cable y de las péndolas son los correspondien-tes á un cable parabólico de ig1rnl flecha y aberturs, en lo qne se comete un error cle8precinble, y entonces veremos

-

27 -

qué val'rnc1011es notables ofrece respecto 1le esta última la cuna real de equilibrio.

25. El peso P col'l'espondienle á un punto cualquiera m (figu• ra 25) se compone de tres parles. La principal y preponderante, es el peso px que obra propol'cionalmente á la abscisa, y en el que están compremlidos el pei.o del tablero, el de la carga y el de la parte Je péndolas que está debajo Je la horizontal Ox. La · segunda es el peso de la parte vari.able de In~ péndolas desde O hasta m, la cual supondremos que obra repartid:i en toda la superficie OAx, de tal manern que el peso de esta lamina continua tomado desde O hasta un punlo cualquiera m sea igual al Je la suma de todas las péndolas comprendidas hasta el mismo punto: siendo -:t el peso de la unidad de superficie OAx, el peso de la parle correspondiente hasta m será '/s n x y, ó [ 11 ]

y si el peso de todas las péndolas es r (que se conoGerá por la fó1·mula [ 121) haciendo x=H resulta

3r fH

1 t = --

y por consiguiente el peso buscado es

La última parle es el peso del arco Om, que considerado como parabólico y llamando s al peso de la unidad de longitutl. ·será [ 15 1

-

28 -

26. Sabiendo el Yalor de P, la ecua cion de la curva se deduce de la Jiferencial

1 [ dy= Q dx lf ll8

1

af ) x' -] (p+a)x+(r-t-,/ Hª s H '

tla para fa ordenada

[20 ] Como para X=H, y={, esta ecuacion da la tension horizontal 1 [ (p+a) W+(-=+'/ ~r ) H -] Q= 'l.f 1 2

[ 2-f ]

cuyo valor, sustituid( en las dos anteriores, determina completamente la ordenada de cada punto y la direccion de la tangente.

27. La longitud de la curva se conocer.'.! por el método seguido antes (15), y es

y la tension en el punto mas alto se puede saber por los valores correspondientes de Q y lang. a sustituidos en las férrmulas [ 1 ] 28. Con los valores numéricos de p, a y 't, las fórmulas anteriores dan con sencillez y aproximacion suficiente los elemento~ necesarios para establecer la cadena. Como la longi Lml ele las pén-

•

-

~9 -

dotas es lo mas importante, diremos cómo debe ser modificada la conslruccion del artículo anterior.

Si hacemos

P+a '=--xt

Y

2Q

't+ •¡ ' -ar H

y"

,

2Q

la ordenada de la curva que buscamos será la suma de las de dos parábolas, una de segundo grado y otra de cuarto. Para construirlas obsel'Varemos que si x=H, cada una de las dos ecuaciones debe dar un valo1· para la respectiva ordenada eslrema tal que, llamándolos {' y

f'", f=f' +f'".

Aunque {' y /'" son l'u11cio11es de Q, podemos conocer su re• lacion, que es

[24 ] y entonces las ecuaciones [ 231 se cambian en estas olrns

x•

Y'=f''-H· '

"

a;

,.,,

•

y=--¡¡;--

29 . Sean (fig. 26) OB=H, Oa=f la abertura y la flecha de la cadena: para determinar las dos parles f', f", lomemos AP=2H (p+ª), es decir, el peso de todo el tablero, de la parle de péndolas comprendida debajo de la tangente horizontal á la curva del cable, y de una longitud de este i~ual ú su proyeccion ✓ horizontal; tomemos despues Ap='t+• /,

ª'

1 ,

es decir, el peso

-

50 -

de las péndolas y de lil parle de cable sobrantes del término an• terior, correspondientes solo á la mitad de la nl.1erlun1; unamos p y P con O y a y trazando por la inlerseccion D la recta DA, Oa' y aa' serún las dos longitudes f' y f" de las fl echas de lns dos pa• rábolas cuya semiaberlura comun es A' a' =H, consl.ruitlas con arreglo á la rela cion [24] . Tomando luego sobre.una recta o~1 (figura 27) distancias proporcionales ii los cuadrad os de los números impares, y la distancia /'' en la última division destle (H )9 hallla y.', la recta Oy/ da las ort.lenadas y/, y/, y/ ele. i.levandocn sentido opuesto desde (H )' lwsta y/', AA'={", y trazando una parábola de segundo g1·ado Oy/', tendremos del -mismo modo las ordenadas y i", Y.", y,", etc., y las longitudes de las , péndolas serán

Y1=Y/ (i )'+ (i / y/'=y/y," Y,= Y.' (5)' + (5)' y," = !Is' y/' Y.

= y/

(5)'

+

(5)'

y/' = y/ y/ '

y.= y/(H)' +(Hr y/'= y/ y/' L:-i segunda parábola puede construirse tomando en la prolon gacion de O(i 1)' distancias equivalentes á los cuadrados de las ab$c isas, ó sea las cuartas polenciils de los números impares y tra• zando una recta Of' con la sagita AA'. Puede reducirse el dibujo á la longitud de la primera construccion tomando por unidad i para esta, otr~ que sea de la primera la fraccion ( N-i )' . Tras2 ladando los puntos y/, y,.' ..... y/', y," ..... á las péndolas cmTespondienles, se podrán trazar las dos curvas Oy / y,.' .. .A', y Oy/ ' y/' ... A" (fig. 26), y colocando las distancias y /y/', Y.'Y.''

-

5l -

.. . A" A'. 1\e.;dc el eje 08 hncia arriba, queda determinada la curva real de equilibrio Oy 1 y 2 y 3 . . . . A. 50. En lugar de construir la parábola Oy/' por la parle inferior del eje, puede hacerse ch~ modo que sea langenle á la recta Oy/ (fig. 28) y corle á la (H) 1 y/ en un punto J/ 6 lal que y/y 0=

AA'=f'. En la\ caso bastnr·á hacer la conslruecion por medio de la recla Oy 6 , haciendo las divisiones en la O(f f )', y refiriendo por Paralelas á la Oy 6 ' los 1rnntos y l " , y " y 3 " ' y 4 " ' y 5 " ele . , á y 1 , y,, y s. y, etc., en las ordenaJas de la recta Oy s'. Las priralelas horizontales y 1 y 1 , Y.Y. etc.~ darán en la fig. 29 los puntos de In cmva inmediatamente.

Ln fig. 28 nos ofrece destle luego una comparacion de la curva real de equilibrio con la parábola d~ igual flecha y abertura, pues para una misma abscisa 0 (0)', por ejemplo, la recta Oy. da las 01·Jenadas de la última, y la curva Oy,y 1 y3 . . . y8 las de la pl'imera. Por ser la curva de segundo graJo, la mayor separacion está en la mitad de la distnncia Oy 0 , <tue corresponde en la Og. 29 cerca del punto y,.

3f. Estas figurns nos permiten apreciar y construir con facilidad la tension ho1·izontat Q: la fórmula [ 21 ] puede reducit·se á esta forma (29) tJ

'

H

0=-¡¡¡· (AP+Ap) y uniendo el punto A (fig. 26) con el C en que Ca=4. Oa las horizontales PQ y pq dan las dos parles de que se compone esta tension, una relativa á la carga uniforme y olra á la variable.

52. Las fórmulas [ 21] y [22] y la construccion anterior nos hacen ver que la longitud y la tension horizontal difieren tan poco de las correspondientes á una parábola de la misma flecha y abertura, que seria un trabajo inútil calcularlas de otra manera. No sucede lo mismo con 1·especto á la longitud de las péndolas, pues

-

52 -

ademas de ser mas sensibles las Jiferencias de longitud, sobr'l todo hácia el tercio de la al.,erlura mas inmedint.o á los apoyos (50), es mas importante el exacto arreglo de su di111ension anles de colocarlas en obra, porque las deformaciones q1.:1e resulten rle una falla de esta clase en el tablero, no se corrigen sino corrienJo mas ó menos las luerctts tlel estribo que abraza la vigueta, y como estas no están tan libres que el movimiento de una no tenga influen• cia en la inmedinla. es imposible que al hacerse las correccio• nes se dej en igualmente tirantes todas las varillas, y de esto resulta un estado violento que no puede aparecer á la vista hasta que el esceso de lension l'f)mpe ó deforma a,lgunas de ellas con grave peligro del puente.

55. De las consiJerJciones espueslas en este capitulo ~e deduce que lns ecuaciones de la cadenaria solo servil'án pura calculnr la longituJ, flecha y Jimensiones de las bambas de servicio, y la flecha de fabricacion del cable; las de la parábola para la longitud, tension y grueso de los cables, y las de la curva real de equilibrio para construil' la iongitud de las péndolas, á no ser que el puente sea de pequeñns dimr.nsiones, en cuyo caso ser;', tarnbien S\1ficienle suponer que se confunde con la par(1bola.

CAPITULO 11.

De J.os apoyos.

34. Cuando se puede disponer de un macizo, natural ó a1·tificial, capaz de resistir por sí solo á la tension horizontal d.e los cables de un puente, no es menester mas que asegurar la ín!ima union de estos con aquel para la completa estabilidad de la obra.

Pe,·o esto suele suceder raras VP,ces, siendo la disposicion mas general que se sujeten á un pilar ó apoyo, con un fiador que se introduce en el terreno, y este es el que sirve las mas veces de verdadero estribo. · 55. Sea A (fig. 50) et punto de suspension de un cable cuya tangente es AT, AF el fiador sujeto invariablemente en el punto l• y AB el apoyo. 'f,ean 6 el ángulo que forma AF con la horizontal y o el que forma AB con la vertical, F la tension del fiador y G la p1·ei.ion que sufre el apoyo AB. Las fuerzas T, F y G, que concurl'en en el punto A deberá,n hacerse mútuamente equilibrio, para lo cual es preciso que dada T. que se conoce por el capítulo anterior (17) las resistencias del fiador y del apoyo sean F=Tco,s. ( (q;+o ) cos. ( 0 -·8 )

[ 25]

G-Tsen. (a·+~ ) cos. ( 6-0)

[ 26] 5

-

54-

que nos indican, al mismo tiempo que la menor resistencia que deberán tener la cadena ó cable AF y el apoyo AB, las reacciones c¡ue sufrirán los puntos F, B del terreno: de este modo se arreglarán las dimensiones de una y otra pieza.

Las fórmulas y la figui·a nos indican que cuanto mayor sea G ó o mas pequeño, tanto mayor ~erá la tension del fiador y la presion del apoyo, llegando á ser infinitas cuando sus dos direcciones se confundan. Lo contrario sucede si G disminuye ó 8 aumenta.

56. Las longitudes de AF y AB dependen de la magnitud de los ángulos G y o, y como su seccion trasversal depende de los tnismos ángulos, pero de diferente modo, puede ser conveniente saber cual será la direccion en que su volúmen sea un mínimo, y ¡:>0r consiguiente mas económico su establecimiento. Dichas longitudes son, llamando a á la altura de A sobre la horizontal FB

AF

a sen. S '

AB

a cos.i._'

y como el área de la ~eccion trasversal depende de los valores de F y. G, el volúmen _se rá proporcional respectivamente á las espres10nes

1 sen. Seos-:-(

6 -

O) '

cos.

8

cos. ( G -

o) '

que serán un mínimo cuando AF divida en dos partes iguales el ángulo CAB ó AB divida del mismo modo el ángulo DAF. Pero este resultado no tiene uso práctico, porque otrns considel'aciones, como la fácil construccion del apoyo y el amarrado del fiador obligan á disminuir los ángulos considerablemente.

57. Para que todas estas relaciones sean ciertas, es preciso que el fiador esté unido al apoyo independientemente de la cade• na; pero puede suceder que no se verifique así, sino que el fiador sea la prolongacion de esta, simplemente apoyada en el punto

-

55 -

A. En esle caso, no considerando el rozamiento que puede desarrollar la parte de cadena que está en contaclo con el apoyo cuando tienda á ejecular un rnovirnienlo cualquiera, es evitlenle que la Lension T se trasrnitil'á inLegra al fiador y se Lendrá

corno la resulLante de estas dos fuerzas iguales será bisectriz del ángulo F T, si el apoyo eslá articulado en el punto B no porlr:i eslar en equilibrio si no son iguales los irngulos FAil, BAT. y siendo esta posicion inestable á causa <le la rnovilitlad de la obr;>, es inadmisible un apoyo articulado sin que el fiador esté sujeto á él.

58. Es, pues, necesario en Lal caso un apoyo fijo ABDC (figu• ra 51) que suele terminarse por una curva AC tangente en sus es• Lremos á AT . y FC. La resultante EG formará siempre ángulos iguales con las componentes, y su valor será 6

G=2Tsen. ( - + -- - ) 2 y sus componentes, horizontal y vertical, T (cos.

a. -

cos. 6),

T (sen. a.+sen. 6).

Si el eje del apoyo tiene la direccion de la re.sulLante EG, La Lará que pueda resistirá esa presion; pero por lo que acabamos de decir, este caso no se pre enta en la práctica, porque la direccion de la resultante varía conlinuamenle á causa de la movilidad de la construccion, que aumenta ó disminuye el ángulo TAO (figura 50), por lo cual siempre que sea independienle la cadena continua FCAl\1 (fig. 51) del apoyo, esle debe poder resistir á una accion oblicua á u eje, cuya direccion é intensidad dependen r1c las de las tensiones de CF

AT.

-

56 -

59. Consideremos ahora el rozamiento que hay en J.a esten .... sion AC al tiempo de moverse la cadena hácia M con el fin de equilibrar la tension en sus dos ramas. El efecto del rozamiento será disminuir la tension de CF, que reswltará menor que T; si. el movimiento tuviera lugar en sentido contrario, por efecto de una contraccion del fiador ú otra cualquier causa, la tension F sa encontraría aumentada en la misma proporcion en que antes estaba disminuida. En el primer caso, el apoyo sufrirá una accion horizontal ademas de la que antes hemos dicho. Para apreciar estos efectos, observaremos que cuando un hiro flexible se apoya en una superficie curva, la tension en cada punto guarda con la p1·esion que ejerce la proporcion del rádio de curvatura del hilo con la unidad: llamando t á la tension variable de los elementos de la curva AC, s á la longitud del arco contada desde A, p al rádio de curvatura, y r á la relacion del rozamiento á la presion para las materias que componen el cable y el apoyo, la pi'esion en un punto cualquiera habrá de ser, por lo que acabamos de de~ir, tds p

y el 1·ozamiento que esta presion ocasiona

tds

r--

•

p

por consiguiente, la tension que queda á la cadena en el punto que se considera, será disminuida de la cantidad ds

dt=-rtP

-

57 -

y la tension efectiva se deducirá integrando esta espresion desdo O á s, de lo que resulta

1.-t-=--rfs cls

T

o P

y en el punto C, llamando S al arco AC

l.~

=-rfso ds. p

Esta curva se hace si~mpre circular, y entonces como es constante el rádio de curvatura se obtiene

' (

F _

rS

·y---p-. rS p

[ 211

y

sienuo e la base de los logaritmos neperianos.

La tension F es meno1· y la magnitud de la resultante G será tambien mas pequeña, pero aumentará su oblicuidad en el ángulo GEG'. Si el apoyo es vertical. la presion disminuye, pero el empuje horizontal aumenta, lo que hace preciso aumenta,· el ancho de su base DB. Las componentes horizontal y vertical de G son ahora rS

rS

- - pT (cos. ex-e 40.

cos. 6),

p

T (sen. cx+e

sen. 6)

(28]

Por el mismo método se demuestra que si el Q}ovimiento

-

58 -

tle la cadena tientle á hacerse de A hácia C, el fiador sufre una tension

[ 29]

que es la fórmula por la que se ha de calcular el grueso de este cable: la carga del apoyo aumenta disminuyendo su empuje horizontal.

4f . . Cuando este apoyo es una simple columna de hierro, ha de resistir á la presion que ocasiona ,Ia componente de G paralela á su eje, y á la flexion á que está solicitado por la otra componente perpendicular. ~n el caso en que sea una pila de fábrica, la resultante de su peso y de la fuerza G debe pasar entre los puntos D y B de la base y á alguna distancia de las aristas. Ad'emas de esto es preciso que la presion final que resulte en la base 08 quede destruida por la resistencia del cimiento en que se npoya la obra.

42. Aunque bajo el punto de vista de la economía son preferibles los apoyos articulados en su punto mas bnjo, no es posible que el puente tenga la rigidez ni la seguridad convenientes si no se hacen pilas capaces de' resistirá un esfuerzo horizontal algo consideralJle que provenga de las tensiones horizontales del fiador y de la cadena, ó de las cadenas de <los tramos adyacentes cuando la pila es intermedia. La buena constrnccion exige que el fiador y el cable sean tle una pieza: pero aunque el rozamiento aumente un poco el empuje contra la pila, es sin embargo mas cunveniente dejal'lo suusisti1· para aumentar la rigidez de los arcos, que disminuirlo con roJillos, sectores ele., cuya rotura ha ocasionado á veces la ruina tle toda la obra.

43. La sujecion tlel punto F, que hem os supue lo indefinida, se obtiene por el amurratlo del fiador en el interior del terreno,

-

59 -

·que puetle hacerse ele <los modos principales. Por el primero (figura 52), el fiador AF se introduce en su misma direccionen el terreno hasta cierta profundidad, en donde se termina por una placa M : en este caso, la tension queda <lestruida por la com ponente paralela á ella del peso del volúmen <le tierra que tien<le á desprenderse de la masa total, y para calcular la profundidad á <[Ue ha de ponerse la placa, se buscará el prisma Cl\'J D de minima resistencia del macizo de tierra, de mo<lo que esta sea doble por lo menos que la tension F. Si se hace varia1· la tlireccion del fiador en el punto F (fig. 55) es preciso ademas que la re ultanle de FA y FE quede destruida por la resistencia del terreno á la compres1on.

44. La segunda di posicion consiste en asegurar el fiador á un punto Je la fábrica inferior de las pilas (üg. 54) dand9 . la vuelta por debajo de sus cimientos hasta el paramento anterior en E. En este caso la íuerza T y el peso del macizo se han de hacer equilibrio alrededor del punto E, y los H y F deben resistir las presiones que resulten de las tensiones de las parles AF, FH, HE. Lo mismo sucede si el fiador se amarra en el punto H ó cualquiera otro de la fábrica infe1·ior.

Los problemas que para el establecimiento de esta fábrica resulten, pertenecen á la teoria de los macizos, y no daremos sobre ellos mas pormenores. :Muy variadas son las disposiciones que se observan en el amarrado de los puentes construidos; pero todas , pueden reducirse á las dos anteriores, teniendo presente que los t1·ozos de bóveda que se suelen hacer en el interior del terreno no tienen mas objeto que aumentar la resistencia á la compresion en los puntos en que el cable de amarra muda de direccion. En el caso en que esta se confie al macizo de tierra, :se ha de ver si es posible que el terreno se inunde por las crecidas del río, pues entonces el peso de las tie1-ras disminuye y su cohesion y rozamiento se anulan.

.

CAPITULO 111.

Determinacion tle la flecha 1u·ovisional ,Iel cable.

ARTICULO

1.

0

Variaciones de flecha dependientes solo del cable. r

45. Si entre dos puntos Je nivel A, B (fig. 55) colocamos un cable suspendido y sin carga, la forma que afecte será una cadenaria, cuya flecha CO" estará determinada por la abertura y la longitud. Si des pues colocamos la carga permanente en ese cable, su forma se alterará sin cambiar su longitud y tomará la real de equilibrio A O' B que se puede considerar como una parábola; este cambio habrá qcasiunaJo un aumento en 1~ flecha con que el cable se colocó, y por consiguiente, esta diferencia será menester restarla de la flecha proyectada para obtener la de colocacion. Ademas, una vez colocado el tablero,, su pe'so estenderá en cierta longitud la primitiva de los elementos de la curva, cambiándola en otl'U AOB de mayor flecha y cuya diferencia jun~a con la anterior deberá restarse de la fleoha Je! proyecto.

46. Para hacer estos cálculos es preciso saber ante todo el aumento de longitud que proviene de la elasticiJad Jel cable y conocer qué alteracion causa en la flecha un aumento pequetio c11 la longitud. Como la curva de equilibrio se confunde sensiblemente G

-42 -

con la parabola de igual flecha y luz, deducimos de la fórmu• la [17] que dando un incremento pequeño :i. á L, el correspon: diente á fes con bastante aproximacion

[30] resultado que nos indica que unn \rnt•iacion pequeña en la longitud puede ocasionarla muy grande en la flecha.

4 7. Veamos ahora qué alteracion producen en la longitud del cable AOB las tensiones o~iginadas por la carga permanente. Si llamamos s' al arco de longitud aumentada y s al <le la primitiva, la ·relacion dél alttrgamie'nto

ala longitud p1•ifuitivn sé1 & :;' 1

-1,

que deberá igualarse á la relacion de la tension por unidad de s~coion tl'ásV~rsal al coeficiente de elasticidad de la materia de que . s'é tompóh~ el cable. Siendo E este coeficietlté, debe'tá 've'tifié~t·sé ht ecliacia'f\

y ~oniendo en vez de t y ds sus valores en funcion de x (i 7)

Pudiendo tomarse la curvn A'OB como una paróbola, seró fiícil hacer la integracion, que dá con toda exactitud

Qx [ (. 71.fx \~] s'~ s=ir::-['+11~ ·w , 1

-45 -

(32}

En vi1'lud de la ecuacion ( 30] el descenso clel vértice ele la curva será

ó p~mitmdo p.<u· Q ~u v¡¡!(:ff l 1O1

48. El descenso ocasionado por una sobrecarga p' se obtendria sustituyendo p' en lugar de p en esta fórmula. Considerando á w . l'Q ~ . IP como proporc10na a , estos desc'ensos son como la 1racc10n

T,

de modo que son mayores cuando aumenta fa 'luz ó disminuye la flecha.

40. Calculado el vJ)lor .de cp par.a la curva AOB y restado de CO, se obtiene la flecha CO' del cable antes de haberse dilatado sus elementos ( • ). Fal~a ¡ive.ri~uar la flecl;ia que corre,spondt á la cadenai·ia AO"H, ele la misma longitud y abertura que la para bola AO'B: la semiluz H y la flecha CO' dan la longitud por la fórmu-

(') La carga de prueha produce un alargamiento ,lel cual quccla permanente una tercera parle, segun los C8per(,111cnlos de Vic¡¡l y Lclilanc. En cs~e casp, á la

Jp1¡gi1,ud L',,.•.,. e~ 1lrcciw .inllilir

1

p' 114 (. {" ) 1/s tf,w -;- + 4/, u2' sioedo p' e1 peso por unidad de ipngitud de dicho carga de prueba.

-

44-

la [ 16 ], en la que se debe apreciar hasta el tercer término (46), y sustituyendo su valor en la ecuacion [ 5] o~tendremos la flecha CO" que nos ha de .dar el patron para fabricar los cables en su mismo sitio, que es el método que está mas en uso.

ARTICULO 9 ... o

Variaciones de flecha debirlas al fiador.

50. Si suponemos unido el cable con el fiador, tambien este se dilatará por la accion del peso de la obra, produciendo un tercer aumento de flecha que será preciso descontar al marcar la provisional. La tension máxima T del cable se trnsmite íntegra á todo el fiador, y si llamamos a á la proyeccion horizontal de este, el alargamiento final será

Ta E w cos. fl

ó poniendo T en funcion de Q

..

Q ~ cos.

a a.

cos. f5

[34]

y la fórmula [ 30] dá el descenso del vértice de la curva [ 351 51. Si la tension T fuese capaz de mantener en línea recta al fiador, los tres aumentos Je flecha calculados darían con exactitud suficiente la difernn cia entre la provisional y la definitiva, pero el peso de este hace que tome una ligera curvatura, cuyo efec-

·-45 -

lo es hacer pasar una parte de la cadena desde' el claro hácia el otro lado de los apoyos.

52. Para calcular este aumento de longitud del fiador, nota•, remos que por separarse poco de la línea recta, su peso se puede considerar como proporcional á la longtlud de la cuerda AF (figu• ra 36) y la cmva AOF como una parábola de eje vertical. La ,recta (O trazada verticalmente por el' punto medio de _la cuerda AF será un diámetro de esta parábola, y la tangente Ox en O paralela á AF. Tomando el punto O por origen y por ejes las rectas Ox, Oy, si llamamos t la tension en el punto O, paralela á AF y a el peso de la unidad de longitud de fiador, las ecuaciones [ 1] nos dan

ax dy dx--t-, de donde deducimos

y si se representa por 2H 1 la distancia AF, la flecha vertical

Of será

[36 ] cuya fórmula nos indica que cuanto mayor sea la tension que ha de sufrir el fiador, tanto menor será su flecha ó pandeo.

55. Para hallar la diferencia de longitud entre AOF y AfF, supondremos- que esta parábola se confunde sensiblemenle con otra de la misma abertura y cuya flecha en sentido perpendicular á AF es la proyeccion de O{ sobre {O', cuya longitud es a

II

~

cos.

O'f=2t .t

b;

.

-46 llamando 2L 1 á la longitud de la cul'va. y suslituyendo cslu último flecha en la fórmula [16), ' G 2(L-H )-t/ ª-"H t.- e ~ t

t ~

t2

S

'

y como t cos. G.es la componente horizontal constante de la tension, que podemos llamal' q, la difel'encia es

que atendiendo á que lit cos. 6= 1 / 2 AD= 1/ 2 a, puetle ponerse Lajo esta otra forma mas usada [ 37 )

de t.londe se detluce pol' la fórmula [ 30) a

2

a• cos.

G

[38)

54. La fuerza q se obtendrá en el caso presente observando que en el punto A, el ángulo que forma .con la horizontal el elemento de la curva dei finolor :tiene por tangente

y por el valor [.361 de fa flecha~

- -

47 -

siendo la tension en dicho punto la misma que la del cable, ha de ser

y eliminando ", entre estas dos ecuaciones, se obtiene por fin con suficiente, aproximacion

q=T cos.

aasen. 6 {í

ARTICULO

2

5.

0

Variaciones debidas á la movilidad del apoyo.

55. En el artículo anterior hemos examinado el caso en q~ie las variaciones del fiador se trasmiten ínteg1•as á la cadena, que es lo mns frecuente; pero cuando el apoyo no puede suí1•it· una accion oblicu4 á su eje, el fiador ya no es prolongncion ele ella y sus alteraciones hacen que la estt·emidad superior del apoyo se mueva horizontalmente, variando !la flecha por- las variaciones de la abertura y no de la longitud, que permanece la misma.

56. La fórmula que liga el aumento de abei·tura oon la dis• minucion de flecha es con aproximacion suficiente, [ 39 1 siendo 1l iel aumento de abertura, que se deduce como la [ 30] de las [ 16] ó [ 17].

57. La dilatacion elástica, en lugar de estar producida por la tension T, lo está por la tension F propia riel fiado,·, y su magnitud será en este caso

-

48 -

Q

a

Ew

cos. 2 6

poniendo en vez de F su valor [ 25], y suponiendo que el apoyo es vertical ó o=o. Este alargamiento, que está representado por· Aa (figura 57) hace tomar al punto A la posicion A', y suponiendo que los arcos <le círculo A'a, A'A se confunden con sus tangentes en a y A, la separacion AA' es

Q

a

Ew

cos. • 6

11=--

y por último

-¡

Q

CD- ª

.-

4

Ew

La f'cos. 0 6

[ ,H]

58. Si luego se abandona el cable á su propio peso, el punto A' marchará hácia A por efecto del acortamiento que sufre la cuerda del fiador, dado por la fórmula [ 37 ]. La cantidad q es ahora igual á la tension horizontal Q del cable de suspension, y poi· consiguiente el aumento de luz será'

que da

[42] En el caso que es tamos discutiendo, en vez de descontar de la flecha definitiva la cantidad [ 35] y aumentar la [ 38] <lel articulo anterior, será preciso quitar la [41] y aumentarla [42 ].

CAPITULO IV. ·va1•iaciones acei,Ieutales de la ffecltm •lefinitiva.

ARTICULO

1.º

Influencia de las variaciones de_temperatura.

59. Por ser el hierro una sustancia muy dilatable poi· el calor, . las variaciones ordinarias de la temperatura deben alargar ó acortar sensiblemente las partes de que se compone el puente, y sü efecto principal es altera1· la flecha definitiva con que se ha establecido el cable.

60. El alargamiento de un cuerpo prismático es proporcional á su .longitud y aLnúmero de grados que la temperatura se eleva.

Siendo 8 el coeficiente de dilatacion para un grado de tempel'atura, resulta que cada unidad de longitud del cable, del fiado!' ó de los apoyos se dilatará en la cantidad 80, siendo o el número tle grados que mide la tliferencia de tempernturas, y dando á o el yalo1· que segun la materia de que estén compuestos les co1:responda. Multiplicando este factor por la longitud respectiva, obtendremos los alargamientos ). , :i. 1 , A2 correspondientes al cable, al fia<lo1· y al apoyo.

61. Empecemos por el caso eu que siendo el apoyo mi'tvil, b 7

-

50-

cadena y el fiador están unidos á su estremo superior A (figu. ra 38). Si

el efecto de las dos dilataciones simultáneas será trasladar el punto A á A', interseccion de los arcos de círculo que trazarian los puntos a, a', y que se confunden sensiblemente con las perpendiculares a' A', aA'. La distancia aA', en que se disminuye la luz por esta causa, es r¡=Ab-cb : -A1- - -:>-!I tang. cos. G

¡:,

y la flecha habrá aumentado por esta causa la cantidad [ 391

s¡. -L,( 62.

:>- 1 ¡:, -:>-!I tang. 6) .

cos.

Por el aumento de longitud del cable habrá otro [ 30]

siendo el total debido á estas tres dilataciones 3/

'

[_!!_f

;i_

+

L

f cos.

;i_ _

G

t

L lang. 6;i_ ] ,

f

['4S]

!I

y como todos los puntos de la curva se elevan la distancia Aa', el descenso total del medio del_arco será _

'!' -

5/

H ,7-

( 3 / L tang. 6 i) L· s A+/,{ cos. GA1- ,--,-+ A2

-

51 -

65. Si la posicion del tablero fuese la recta BB', por efecto del descenso [ 43) tomaria la figura parabólica BDB', y por el alargamiento vertical Aa', esta curva se trasportaria á bdb', separando los bordes del nivel de las avenidas; pero las péndolas sufrirán ta~bien una dilatacion que irá aumentando desde el centro en que será muy pequeña, hasta los estremos en que será casi igual á la de los apoyos; por lo cual la curva, del tablero se trns formará en la BD'B', cuya flecha ~erá la anterior aumentada de la dilatacion de la péndola central, lij_Ue es

ooe

[45)

Por esta razon, para que el tablero no baje nunca de la horizontal, es preciso darle un bombeo de forma parabólica, cuya flecha sea 'f+ 0 oe, dando á o el mayor valor que pueda tener en la localidad ó la diferencia entre el máximo y el mínimo de la temperatura en el año.

64. Si la cadena está solo apoyada sobre la pila, el alargamiento del fiador se trasmite al claro y resulta un alargamiento total pero si se dilata tambien el apoyo, el fiado1· habrá de aumentar .en la cantidad por consiguiente, el alargamiento total es

el descenso del vértice de la curva

·/,-¡-(:\ + :\ ;

1 -

:\_

sen. 6)

-

52 -

)' el del centro del tablero

65. Si el fiador hubiera de rozar sobre la pila para moverse de un lado á otro cuando se dilata ó se contrne, su tension no será constante, y oscilará entre los límites [ 271 y [29'} del capílu• lo 2.º, produciendo. en el apoyo un empuje horizontal en m:10 ú ot1·0 sentido espresado por la fórmula [ 281- Si ambas piezas se han calculado con las reglas dadas allí, estaremos seguros de que los cambios de temperatura no influirán en la resistencia de las piezas de la obra.

66. Estos efectos no son mas que un límite, porque la es-tensi()n elástica y el pandeo del ftado-r los disminuyen. Variando la rS p

tension horizontal en la relacion de 1 n: e cuando haya dilatacion, la estension· elástica dada por la fórmuln [ 34] disminuirá en la cantidad 1

Q

a

Ew

cos. a cos. b

la cont1·accion debida al pandeo dada por la fórmula [ 37] aumentará en la cantidad 2rS

i/

a

24

a;;

co·s. 6 ( - - P- _ ()2 ~

e

.

1

) J

por consiguiente, el fiado1· tendrá que tomar de la cadena una longitud

-

55 -

21·S

aa:; cos.B

24 Q

2

( e~-P

-1)+__g_ Ew

a

cos. ex cos. B

(

•;S )

t -e

.que compensará casi en su totalidad el efecto de los alargam ientos ).i y' Ag siempre que los aumentos de temperatura no sean estraordinarios.

Cuando hay contraccion basta mudar el signo al esponente de e para obtener el valor absoluto del alargamiento que le corresponda.

67. Deducimos de estas consi~eraciones que.en el caso en que lns cadenas pasen con rozam iento por encima de pilos fijus, los efectos de la variacion de temperatura qued~n reducidos, en cuanto á la figura de la obra, á la dilatacion de la cadena y de fas péndolas; resultando un pequeño aumento de fatiga en las pilas y los fiadores, pero que es ventajoso en vista de la mayor rigidez que proporciona á la obra en general.

ARTICULO

2.

0

De las variaciones producidas por 'l.lna carga accidental.

68. Si á un cable parabólico en equilibrio bajo la accion de un peso p por unidad de proyeccion horizontal, se suspende un , peso P en un punto m (fig. 59) la fu1·ma del cable variará presentando en ese punto un ángulo finito, y alteranuo la curvatura de las dos partes Am, mB, que sin embargo seguirán siendo parabólicas. Este fenómeno, que se verificará indispensablemente siem• pre que una carga cualquiera atrnviese el puente, nos interesa de dos maneras: por el ·aumento de tension que sufren los cables y los apoyos, y por el descenso del punto correspondiente del tablero. Un aumento en las uimensioncs de estas partes resistiría

- 54los efectos del aumento de tension, si In carga de prueba no los pl'oclujera siempre superiores; pero la deformacion del tablero no puede evitarse, y solo por un bombeo mayor que el que corresponde á la variacion de temperatura se ·puede e vital' que tome una cul'vatura inversa.

69. Para aplicar las fórmulas ( 1] es preciso saber antes la posicion del punto mas bajo de la curva. Sea D este punto, y lla• . memos a á la abscisa OE, siendo O el punto medio de AB. Si llamamos Q' á la tension horizontal, tendremos en el punto B, por dichas relaciones

tang. «

p(H-a)+P .

Q'

la p1·esion vel'tical en el punto B deberá ser el resultado de la des-, composicion del peso total que aGlÚa en el claro entre las dos verticales que pasan por A, B, y por esta razon

lang. a

pH+P(H+x') 2H Q' .

siendo x'. la abscisa OG; de donde resulta, teniendo que ser idén• ticos los <los valores de tang. a. a-

P(H-x') 2pH

[ 47]

70. Sabiendo la posicion del punto D, podemos oblenel' la ccuacion de cualquiera de las dos curvas, que será para la parte ·Am cly

p(x-a)

dx

Q'

-

55 -

y=/o,(x+H) (x-H-2a)

[48)

y para la parte Bm

dy _ p(x-a)+P dx -

Q'

·

y= [ iQ,(x+II-2a)+ ;

l..

] (x-H).

[ 49]

El valor de Q' se ha de deducir de la condicion de que las longitudes Je los arcos Am, Bm sean las mismas antes que despues de haber col ocado el peso P en m. Esta condicion nos daria Q' en funcion de x' ; pero como cualquiera que este sea, la diferencia entre sus valores es pequeña, nos contentaremos con hallar el máximo, pudiéndolo mirar como constante para todas las posi· ciones del punto m.

71. En cuanto al descenso de este punto, que mide la clefor-macion de la. curva, se encuentra sustituyendo en la ecuaoion [ 48] ó en la ( 49] x' en lugar de x, y en lugar de a su valo1• [ 47], de modo que su ordenada Gm será

,=1pH+P) (H2 ,~) -x 2Q'H

y

[50]

ecuacion que demuestra que prescindiendo de las pequeñas variaciones de Q'; la envolvente de las posiciones del punto m en virtud del movimiento de la carga P desde 'B á A, es una parábola cuyo eje es OC, y como la forma primitiva de la curva es otra parábola del mismo eje, las diferencias de las ordenadas y' con las y coi-respondientes á esta curva formarán una parábola que será la envolvente de las posiciones que tomará el tablero deformado ¡:ior

-

56 -

debajo de la horizontal. D~ndo á e~te una flecha de bomben igual al clescenso <le! medio, se evitará que en ningun punto baje <le la .horizontal que le sirve de cuercla; por lo que nos fonitaremos á hallar el aumento de la fle?lrn cuando la carga está en el punto medio.

72. Si llamamos(' al valo!' de y' para el punto O, la mayor tension horizontal será por la ecuacion ( 50] Q'=·pff+PH

2f'

Para calcular f' observaremos que la longitud de la curva AO' (íig. 40) ha de ser igual á la semilongitud del cable parabóli• co AOB. La longitud de AO' SP, deduce d'e la fórmula ( 15], reslando lo comprendida desde el punto mas bajo hasta él O' de la qu~ hay entre dicho punto mas bajo y el A, y es, atendiendo á la fórmula [ 6] .

QI (tang.

L' = II+¡¡'up

a -

tang. -• a. ' ) ,

.

limitándonos al segundo término y llamando a' al ángúlo que forma con el eje horizontal la tangente á la curva en O'. Sustituyen.do por Q' su valór, las fórmulas [ 48] y [ ,f.9] dan, hac ien<lo suce¡¡;ivamenle x=H, x=o y x'=o,

2{' 2pII+P tang. ª =H 2pH+2P'

tan 0rr <

ri' • ·

= ~{' H

p 2pll+-2P

y despreciando las potencias sQperiores á la _primera de la frac-

cion

;II

2

la longitud de la cmrva AO" viene á ser

- -57 1

_ [

L =H

P ) ] 1 (2{')e ( 1- 2pH 1+2.:5 H

La longitud AO de la pa1·ábola primitiva era 1 L=H [ 1+2.3

(2/')t] H

y como ambas deben ser iguales, sale con aproximacion suficiente

~

f '-.f

p ) ( f -t-- - 4pll· '

[ 51

mayor flecha que por el descenso debido á una carga accidental P puede tener el punto medio del cable.

75. De aquí se deJuce el valo1· final de Q', que es aproximadamente 3P , ' pH' Q =2f(t+ 4pH)

y el a1,1mento de tension horizontal Q'-Q=s/ 4

7-4.

_!!_p 2{

La flecha cp del tablero correspondiente al aumento <le

temperatura, sumada á

la diferencia 1:;H

que proviene del paso

de la carga P, es. la total que ha de afectar la parábola del table, ro; pel'O á esta última diferencia ha de aumentarse la que ocasiona el cambio de forma del fiador y de los alargamientos elásticos de este y la cadena, por causa ele la carga accidental.

8

-

58 -

75. La fórmula [ 31] oplicada á este caso, da con mucha aproximacion para el alargamiento total del cable, debido· á la carga permanente junta con la accidental.

y restándole P,1 que corresponde á la carga permanente sola [ 32 ], 1·es11lta

3/ PH' . sEwf'

para el alargamiento accidental debido únicamente al paso de la cnrga P, que produce un descenso en el centro del tablero

[52] 76.

El alargamiento elástico del fiador se obtendrá de las

fórmulns [ 34] ó [ 40] poniendo Q'-Q

@ 5/

8

P;-I

en lugar de Q, y

de una mnnera análoga se halla la <lisminucion de pandeo; pero estas alteraciones son l.an pequeñas que no es menester tenerlas en cuenta ni estudiarlas detenidamente.

77. El paso de la cnrga acciuental influye tambien en los arcos inmediatos rle un puente compuesto de muchos tramos. Suponga· mos para mayor sencillez que en el claro AB (fig. 41.) hay una carga p' por unidad de longitu<l, mayor que la p que obra sobre el inmediato AC. Si cuando sobre los dos obraba un peso igual eran iguales las flechas y las abel'luras, ;-1hol'a habnín variado aquellas porque las tensiones que producen en A <los pesos clistintos Je cada tramo no serán iguales si lo sem las inclinaciones

bs

-

59 -

de lns tangentes AT, ATl, poi· consiguiente, tendl'á que bajar el , cable AOB y su bit· el AO l C, hasta que las co01ponentes de las presiones respectivas en sentido de AT' y AT / se equilibren; si el cable puede resbalar sobre la pila, esto se verificará pasando ciel'ta longitud de cadena de Ol á O; si no puede resbalal' y el apoyo es movible, se hará gil'ando este y disminuyendo la aberlui·a AB en lo que aumenta la AC, y solo en el caso en que la cadena no pueda resbalar y el apoyo pueda resistirá su accion trasversal, sel'á cuando la obra no sufra deformacion ninguna. Examinaremos el caso en que la cadena pueda resbalar sobre una pila fija.

78. Siendo el alargami•rnto de la cm;va AOB igual al acorta· . miento de la AO l C., la fórmula ( 301 nos indica que el aumento d~ flecha 00' será igual sensiblemente á la disminucion Oi O/. El valor de esta ,·ariacion deberá ser tal, que haga iguales las tensiones de los cables en los dos claros. El aumento de la tension hori• zontal por un aumento pequeño de flecha es, diferenciando con relacion á f la fó1·mu\a [ 1O1

p'H'

- 2t

't

y el de la inclinacion de la tangente en A, que es

ri,

de dom.le se deduce que la tension de la cadena AOB será, despues de la deformacion, [ 11

T'- p'H~ ({-

- 2r

cr

)'

/ 1+ 4 ({~

V

.

w

La disminucion do la flecha de AC produce en Q y tnng·. vanac10nes,

«

las

l.iO -

2ip ---i¡--,

r por consiguienle

. 2, . V

T '= pll' ({+ o)

/ 1+ 4 (f- •'f )'

t

w

tle modo que si no hay rozamiento, el valor' de les á T' y T.' es

f ,p=

<¡>

que hace igua•

p'!-pt

- 2--'co'-s-."-.Gt-

·¡;,- +f · 2

Si se alendiern al rozamienlo bostorio mulliplicar á p' 1·S p

(39). poi; e 79. Si eles pues del chu·o AC hubie1·a olro igual y cargado de a misma manera, no podria existir el equilibrio sin que disminuyera tambien la flecha del tercero, siendo In suma de las disminuciones de las dos igual ni aumento de la del primero. Atlemas, el equilibrio exige que las tensiones sean iguales en los tres arcos, por consiguiente se habrá de verificar que

T'=T 1'= T• ', ~i endo estas tension es

T'

= p'W 2r

T/=

~~

'f,'=

I[" ~/':

(/'-o. )\/

i +

4

({+,, )' fl'1

4 (f-•f'

({+ •' ) \ / l +

(/'+<r")

\/ i

H!

t

4 (f'- •f'') +

II'

;

[53 )

\ 1

1

-tH-

y de l!slas ecuaaiones se deduce el valor de la val'iacion de Hecha.

'f

~'='f''

(1

2p''t-2pº "1.p''J+pl-

CI

p''J-p!

2p'"+p2

f 2 cos.

f 2

COS.

Si no se considera el rozamiento, 'f' es el doble de 'f' ó ,p''. que son iguales; para tenerlo en cuenta, basta afectar del facrS p

al primer miembro de las ecuaciones [ 53 ]. tor e 80. Esto hace ver la mala influencia que ejerce la movilidad de las cadenas sobre las pilas intermedias, disposicion que debe proscribirse enteramente, sin lo cual no es posible hacer una obra rígida y segura.

Si en vez de resbalar la cadena pudiese girar el apoyo, habria que iguala1· los valores de Q en vez de hacel'lo con los de T, atendiendo á las variaciones de la luz y no de la longitud.

,) 1

"

_J

CAPITULO V. JJiovh11ie11tos de oscilacio11.

ARTICULO

1.

0

Oscilciciones ocasionadas por la elasticidad de las péndolas !J el cable.

81.

Se han estudiado hasta ahorá la forma que afectan y las tensiones que sufren cmla una de las parles de un puente colgado, suponiendo eslablecitlo el equilibrio entre las fuerzas que 1:.is solicitan y las resistencias que ellas oponen; pero las cargas accidentales no acluan segun hemos supneslo ele modo que no se ve• rifique ningun sacudimiento, sino que bien sea al rodar los carruages por las desigualdarles del tablero, bien al marchar sobre él los hombres ó los an imales, se originan choques que pueden aumentar consiLlerablemenle en toda la obn, los efectos que antes hemos calculado.

82. Dos clases de alteraciones produce en la cadena un peso, cayendo con cierta velocidatl sobre un punto cualquiera del tablero: unn deformacion, análoga á la que hemo~ estudiado en el articulo 2. º del anterior cnpit.ulo, y una eslension ó Jilalacion elástica, como la Je los capítulos 3.º (47) y 4.º (75). La deformacion irá creciendo, cualquiera que sea su especie, con velocidad varia. da hasta lanlo que la fuerza viva de la masa que se mueve quede destruida por las re i lencias f)_Ue opone el sistema, desde cuyo

-Mpunto el movimiento se convertirá en oscilatorio: se llaman OfJ• cilaciones verticales á las primeras y longitudinales á las segundas, y las estudiaremos con entera separacion, empezando por estas últimas.

85. Sea AB (Og. 42) una varilla .que bajo la accion condante de un peso P ha tomado un alargamiento BC: si otro cuerpo <le peso P' viene á chocará este, la varilla se alargará hasta que la resistencia elástica haya ·de~Lruido la fuerza viva del choque, y despues se acortará oscilando á un lado y otro, hasta que la resistecia del aire y otras causas destruyan este movimiento inicial: s:endo cada vez menores segun esto las oscilaciones, la estension de la primera es la que nos inleresa conocer.

84. En el curso de este artículo llnmaremos L á la longitud primitiva de la varilla, z á la distancia variable de su estremo al punto B, z' á la distancia BC, v0 y v 1 las velocidades del cuerpo P' antes y des pues del choque, y ~1 á la suma de las masas P y P'.

El principio de las fuerzas vivas, ó sea la igualdad entre la fuerza viva adquirida, y el dobl e lle la cantidad de trabájo desarl'Ollada proporciona In ecuncion

en que el primer término del segundo miembro representa el trabajo de los pesos, y el segundo el de la fuerza elástica de la varilla desde el punto C en adelante ( ·)

(")

La fuerza elástica tle la varilla AB es (47) Ew

~ , cuando ,llega rn es-

tremo á un punto cualquiera D. y el trabajo desarrollado desde el punto l: será

Ewf:;

-L-

· ::clz,

:;' tJUt

es el 1Hlimo término rlc In fórmula 1541.

65 -

-

Multiplioando la ecuacion poi· ;~ y obse1·vando que

PL

--=Z

,

Ew

y haciendo

P'L -_ :z;"-CO _ E ltJ

(alargamiento que equilibraria al peso P' en reposo), resulta V'

(z'+z") ( - -

g

V ' =2 (z'+z") (z-z')-z +z' _t_) g 2

2

•

[55]

85. El ma¡or alargamiento Z se obtendrá buscando el valor de z que hace á v cero. Este valor es

Z=z'+z" ± \ / z" haciendo

le=\/

2

+ ~;:

[ 56]

z' g

86. La interpretacion geomélrica de este resultado conduce á soluciones fáciles y elegantes. Si sobre CM perpendicular á AC tomamos una magnitud_CM igual '

i,

y con el rádio OM b·azamos

una circunferencia euyo centro sea O, los puntos N y N' serán los estremos de la oscilacion de la varilla, correspondiendo cada uno á uno de los dos valores tic la fórmula [ 56]. La oscilacion aseen• dente puede ocasionar compresion si N' cae mas arriba que B, sino no hace mas que disminuir la lension. !)

-

66 -

87. La misma construccion nos permite apreciar !ns demas circunstancias del movimiento. La velocidad COl'l'esponuiente á una posicion cualquiera O del eslremo de la varilla es la ordenada del circulo mulliplicada por k, porque el lriángulo rectángulo ODE da

-,é- -(z-z'-z"t Q

-a

-a

-a

DE-=OE--Off=z" 2 +

V -

~

\

resullado á que se llega .despejnndo ~2 • de la ecuacion [55]. El máximo c01Tesponde al punlo O, cenlro de las oscilaciones, en que es el rádio u.el circulo.

88. El Liempo tan.lado eo .pasar de un punto cualquiera C á olro D eslá medido por el ángulo MOE que forman los rádios OM, OE. Para demostrarlo lomemos una distancia Dd infinitamente pequefia, Jurante la cual el movimiento se pueda consitlerar como uniforme: los triún~ulos semejantes OED, Ee' e, dan

Ee

ee'

-•E

DE

ee' y como DEXk es el elemento de espacio dividido por la velocidad, que es el elemento de tiempo, la esp1·esion de este es

kdt=

i~ =

ángulo EOe, .

por consiguiente el tiempo tardado en pasai· de una posicion cualqu¡era M á otra E es

t

ang. MOE k •

-

67 -

el espacio recorrido al fin de un tiempo cualquiera

z=z'+z"-OE cos. N'OE, y como V

N'OE=N'OM+MOE; OE sen. N'OM=--f; OE cos. N'ff'l1=z'',

z=z'+z" (1~cos. kt)+

T sen. kt.

V

El tiempo que dura una oscilacion completa es

T=27t k y el número de oscilaciones en un segundo

1" k n=-= T 21t esprcsioncs ambas independientes de la velocidad inicial y de la amplitud d(las oscilaciones.

89. Prescindiendo como hasta aquí de la inercia de los puntos materiales de la varilla AB, las leyes del movimiento para un punto cualquiera b se hallarán trazando una circunferencia que tenga con la l\fEN una tangente comun, que pase por A. Si el peso del prisma se hubiera de tener en cuenta, se podria hacer con mucha aproximacion sumando al peso P la mitad del de la barra AB, lo cual produciria un pequeño aumento en z' y disrninucion en v • , 1 90. Las consecuencias que se deducen de esta teoría, aplicables á nuestro objeto, son las siguientes: 1. ª La influencia del choque es tanto mayor en la resistencia

-

68 -

cuanto mas corta es la varilla, pues siendo próximameute (85) el alargamiento absoluto debido al ,choque

v =V Vz'+z'' Z'=fJ k

ti

1

i

i

V

(P+P')L fJ E w

...

(57]

la proporcion segun la cual se haya alargado la varilla, será

._ i' -

l

'L-1-V1

V

/

(P+P') 9E L (l)

y la tension por unidad de superficie_de la seecion trasversal de .. bida al choque ademas de la correspondiente al equilibrio, será

Ei=v l / (P+P' )~ gwL

1V

2.ª Si la masa P, animada <le una velocidad inicial cualquie• ra oscilase sujeta á la eslremidad de la varilla, el centro de la os• cilacion seria el punto C (fig. 45) en que BC=z'; y si se supone que al llegar al fin de la semioscilacion ascendente ó á B se coloca un nuevo peso P' sin velocidad inicial ninguna, la oscilacion descendente tendrá por centro el punto O en que CO=z" y por rádio la distancia 0B, de modo que la amplitud de la oscilacion entera se habrá aumentado en la cantidad NN ,=2C0=2z". Si al llegar á NI se quita el peso P', el centro de oscilacioh setá el punto C como antes, y la oscilacion ascendehte habrá aumentado nuevamente en la cantidad BB 1 =2z"; y si se continúa poniendo el peso al acabar la semioscilacion ascendente, quitándolo al fin de la descendente las amplitudes irán aumentando en una progl'esion por diferencias

2z11 ,

4z" , 6z" .. ... 2nz"

-

69 -

tanto por debajo del punto C como por encima, de modo que al cabo de un número corto de alternativas de accion del peso P', el límite de elasticidad se habrá traspasado, la progresion crecerá mas rápidamente aun y la varilla se romperá. Estos efectos se proJucirian con mas ene1·gía si en: lugar de colocar el peso P' sin velocidad inicial, se dejase caer produciendo choque, pues los rádios de las oscilaciones descendentes serian mayores, aunque no varíen los centros.

5. ª Si por el contl'ario, el peso P' se colocase al llegai· el Pal punto mas bajo y se quitase al llegar al mas alto, las oscilaciones irian decreciendo en las cantidades BB 11 1 NN 2 , etc., siguiendo la misma ley de diferencias, pudiendo pasar á ser los términos negativos, en cuyo caso las· contracciones serian las que disminuyesen la elasticidad de la varilla hasta romperla.

91. Bagamos aplicacion de estos principios al cálculo y construccion de los puentes colgados.

Para tomar el caso mas t.lesfavornble y que en nada se mQzclen en estas vibraci1:mes las del artículo siguiente, suponuremos que el cuerpo chocante actúa en toda la estension del tabl ero.

Siendo p' el peso de la unidad tle longiLud de este cuerpo y v0 su velocidad, la inicial de todo el sistema será

La 1·esultante de las resistencias elásticas del cable, cuamlo haya bajado su vértice una altura z se puede conocer por el descenso que una carga dada ocasiona, quees proporcional á ella (47), y por esta razon la ecuacion [ 54] y las que de ella se deducen se podrán aplicar ahora, con solo pone1· por z y z' los aumentos de flecha que ocasionarían las cargas p y p' en reposo. Haciendo esta sustitucion en la fórmula ( 51 ], resulta

-

Z'=v1

70-

• /5H().+A') 4fg ,

V

de modo que el alargamiento del cable, debido al choque será [80}

. d .

alen dten o a que lang.

V 1

2f a=·n•

2 tang.

"-'. \ / üg

A')

a). ( +

alendienJo ahol'a á que en el valol' [ 32] de >-+>-', (18) y

r

i

~ = R cos.

a

2

(1+'/.w)=ii~ [16],

/2 sen. a RV

vlv i

queda·

5gEH

y mulliplicando por { --, se obliene la fatign que surre In uniJarl

de seccion trasversal del cnble, que es ·

v,v

1 /

'2RE

3g.

sen.

a

H

Resultndo que nos manifiesta que las oscilaciones longitudinales son mas pequeñas cuanto mayor es la luz de los cnbles, y me• nor la amplitud tang. a con que eslán estnblecidos.

92. Falta ver la influencia del choque en la resislencia, y cuan lo se ha de disminuir el coeficiente que corresponde al mate• rial de que se formen los cables; pero es inútil hacer cálculos acei·ca de estos, porque las péndolas •se hallan en circunstancins

-

71. -

mas <lesfavorables. En efecto, la péndola mas larga, sujeta al peso permanente ph y recibiendo el choque de otro p'h, sufrirá un aumento de tension .

Ei=v 1

\ / (p+p')hE

gw f

y como (14)

(p+p')h {t)

R

compat'ando esta espresion con la anterior, se ve que el aumento de tension de la péndola mas larga es mayor que el que sufre el c.ible y está con él en la rnlacion de

1

2 f sen.

5H

=vt /

y poniendo en vez de sen. mente

a

a

su esp1·esion en

f

y H, sale próxima-

1.L H .t.

de modo que si la péndola mas larga tiene suficiente resistencia, la tiene igualmente el cable. Ademas, tambien las péndolas restantes la t~ndrán, pues si bien son mas corlas, en cambio su estremo supe1·ior no está fijo, y cederá á la accion del Ghoque hasta que el cable no pueda deformarse ,mas, en cuyo caso queda ya muy poca fuerza viva á los pesos que la solicitan.

95. Los resultados del número 90 nos indican que es imposi-

-

72 -

ble de todo punto dar á las péndolas la resistencia suficiente pnra recibir sin alterarse una sé1·ie continuada de cl1uques, por lo que debe evitarse que en el paso de las tropas por los P.Uentes colga• dos entren muchos hombres á la vez, y prohibirse absolutamente que marchen con paso uniforme. La otra consecuencia que deducimos es que la resistencia del alambre ó hierro empleado debe cuidarse mucho de que esté calculada para poder sufrir el choque de un carruage cargado cayendo de una pequeña altura, y algunos pasos de hombres q_ue llenen el puente ,

ARTICULO

2.º

Oscilaciones debidas á lti flexibilidad de la cons~1'ttccion.

94. Las oscilaciones verticales, debidas á la flexibilidad de la cadena de suspension, en nada perjudican directamente á la esta· bilidad ni á la resistencia del puente; pero conviene saber qué influencia tienen en su eslension las dimensiones de este, pues si son muy grandes y rápidas, fatigan y destruyen los ensamblages y articulaciones de todas las piezas, y si crecen á medida que son mayores las dimensiones del puente, no se podrá nunca pasar de aberturas medianas ó pequeñas. El caso mas desfavorable es aquel en que un peso P choca en el punto medio del cable O (fig. 40) con la carga permanente, llevando una velocidad inicial 11 0 , y es el que vamos á examinar.

95. El efecto inmediato del choque es imprimir al punto O un movimiento descendente, resultado de la velocidad adquirida por el peso P y la carga pe·rmanente por un ladoi y la resistencia del cable á variar de ·figura por el otro. CUílndo el punto O se halla en otro O' distante de su primera posicion la distancia z, esta última resistencia estará medida por el esfuerzo necesario pam

'

-

75 -

~anlener el cable en la posicion de equilibrio AO'B, que por la fórmula [51] está espresada por

cuya cantidad es proporcional á z, y por consiguiente se hacen aplicables á este caso las ecuaciones [ 54] y [ 57], en la última de las cuales rondremos el valor de z" deducido de la [ 51 ], siendo z'=o por no haber antes ningun peso que deforme el cable, de lo quP, resulta el descenso debido al choque , que es con muy corta diferencia

Z'=v' ó

Z'=vo

V

P{

PVf 2pHV2g

4pHg ,.

(1--p-) 4pH

en cuya fórmula se ve que la amplitud de las oscilaciones es mas pequeña cuanto mnyor es la luz y menor la flecha del puenle.

Conservnndo la misma su relacion, las oscilaciones se estienden en razon inversa de la raiz cuadrada de H, y conservando constante á H, disminuyen en razon directa de la raíz cuadrada de f. Esto nos demuestra la ventaja que ofrecen los cables de grande abertllra y pequeño ángulo de suspension respecto de las oscilaciones debidas á su flexibilidad.

fO

-

74-

ARTICULO

3.c•

Osci laáones horizontales.

96. Las oscilaciones horizontales son producidas por In accion del viento. Cualquiera que sea su direccion, pudiendo añadirse la componcnle vertical al peso de la obrn, solo tendremos que considerar la horizontal.

97. Su nccion horizontal ejerce un efecto casi nulo en el tablero, lanto por su grande anchura como por la pequcñh superfi cie lrasve :snl que presenta. El efecto mayor es el causado en 1:rs péndoln.s y cables, que sin emhargo, retenidos por el lnblero que queda inmóvil, reducen sus oscilaciones á pequeñas distancias á un Indo y otro del plano vertical que los contiene en el estado de equilibrio. Obtendremos un límite suponiendo que el cable puede girar libremente alrededor de la recta que une los puntos de suspens1on.

98. La cadena tomará lu forma de equilibrio correspond iente, á la accion de la resultante de lús pe:;os y de la impulsinn dcd viento. Suponiendo que este actua proporciona1ment.e a la abcrluríl del puente, y llamando q á su intensidad por unidad de longitud, las resultantes serán todas parale\as á la diagonal del rectángulo formado sobre p y q y su intensidad

" . r=V p-+q-' la curva será plana y parabólica, siendo la flecha en su p'lano igual ú la flecha v.ertical f antes del movimiento, y la lension horizontul ( 10]

rw 1-12 V p,i+.q . º'~='if='i{

--

75

~

Como la inclinacion del plano de la cu1·va sobre el horizonlal Liene por langenle :

las proyeccioues de las flechas serún

con las cuales se pueden ll'azar las .p,n·ábolas proyeceio11cs Je fo del cable.

99. La fuerza q, segun la lcuria Lle lu resistencia del uil'e, es <le la forma

en que v es lu velocidad del aire, b el grncso Je la c..ideuu, peso especifico del aire y /e un cocficienle práclico.

Cuando q es pequeño respeclo de p, puede lomarsc

TC

el

</. ) , f"=/·_!1_(1 - </ . ) f'=f'(1-- 2zr Q'=Q(1+~), '2pp .

2pde modo que pueden despreciarse la separacion horizonlal y el aumento de empuje de las cadenas, y la separacion verlical es proporcional á la flecha de equilibrio. Debiendo eslos rcsullados disminuirse por la resistencia del tablero, vemos cuánta debe ser la pequef1ez de este efecto, lo que confirma In esperiencía. No sucede así con la accion vertical sobre el tablero que es á veces <le gran consideraeton, tanto por la parle superio1· como por la inferior, y debe tenerse en cuenta al calcular las Jimensiones- de los cables y péndolas.

100. Como la accion vertical dirigida de abajo á arriba que

-

76 -

puede tener á veces el viento no está contl·arrestada por los ca• bles ni las péndolas, y el peso del tablero no será siempre suficiente para destruirla, se añaden á veces en los puentes colgados cables inferiores invertidos, como en la figura 44, que se colocan casi siempre en un plano inclinado respecto del horizontal, é impiden así el movimiento hácia arriba del tablero, y ademas contribuyen poderosamente á disminuir el efecto de las oscilaciones elásticas, que tan perjudiciales hemos demostrado que son.

CAPITULO VI_.

De las p1•oporclones de los puentes col~a•los.

101. En los capítulos anteriores se han supuesto conocidas algunas de las principales dimensiones de los puentes colgados, como el número de tramos, la luz y la flecha de cada uno etc.; y con estos datos se ha esplicado el modo de proceder al cálculo de las diferentes partes de que la obra se compone. Es menester examinar ahora las relaciones que eslas cantidades han de guardar entre sí, y los límites en que deben estar comprendidas para que la obra proyectada reuna todas las circunstancias de economíu y · seguridad apetecibles.

102. En algunas de las discusiones que siguen hace falta saber ' el volúmen de hierro que entra en las péndolas y cadenas · de un puente colgado. Para hacer este cálculo con exactitud, se ha de considerar al cable, no como curvilíneo, sino poligonal y trazado por las reglas dadas en el capítulo 1.º (20), en cuyo caso, la figura 20 hace ver que la tension de un lado cualquiera, que ocupa el lugar n á partir del medio es

y la longitud del mismo lado, á causa de la semejanza de los ti·ión• gulos OQPN y OhlPI es

...- 78 htl(

Q de modo que el voh~men de cada lado, que es el pl'Oduclo de esla "" última espresion po1· la seccion trasversal s.erá (18) !l_

y el de la mitad del cable será la suma <lel de los n lados de que está compuesto , roas la mitad del de enmedio , que 1.3s

•.

Qh . le a· 2R; 1, y equiva . es dectr. hor1zontá .,

¡~ [ (n+

1

/ll) a~+1l h~ (1-t.:4+9 .. ,+n

2 ) ]

1

9 h' n(n+·I) ] _ h(n+ /!) [ Q' .

5 +.p RQ ...

-

.

'

Segun la significaciou que se ha atribuido á 1~ Jeo,c e~istir la relacion y ademas se ha de observar ctue eh la hipótesis· en que estamos, la mitad de la po1·túon Aa del tublel'O (fig. 21) está sostenida por el estribó, y no por la tehsión de ta cadena, por cuyo motivo el va\or ( rn] de Q ha de dismihui1·se de lá parte correspomliente á la mitad Aa' de la primera division. E\ momento de esta porci?n respecto del punto de su~pension llf es 1 / 8 ph~, y por consiguiente el valor de Q deberá ser en ,est.e caso.

pH~ ( · t - ( - h ) ' ) .

2H 2(

tr.:

-

79;..:;;.

Sustituyendo las dos últimas esprésiones en la ecuacion anterior, resulta

fórmülíl ·que coincide en el lim.ite, ó cµand.o h=o con el factor variable de la [ 32 }.

Teniendo presente que en el pünto .de suspension es innecesaria la.péndola, y que todas están sometidas á una tension igual ph, su volúmen se obtendrá por-la ró'rmula [ 121 disminuida de f, y ~s

Sustituy~ntfo el valoi· <le n que se ha dado n·nteriormente, resuft,a

. p1-1 (1;3 Rf

r~- r2H1i ) '

fórmula que t-ambfon coincide en el límite con 1a det pátrafo (~5).

Sumando este volúmen ~on ert que se haHó paro el cable~ resulta -e'I -que se buscaba que es /

fH ·(f2+ lP _ Rf'

105.

2

fh _ ~ \ 8 I

[58]

2H

Esta 1fórrnuta nos indica que 1~ relacion

fi

·que ha:e 1 mas e.conórnica la constru.ccion, atendiendo solo .al cable y las péndolas, es próx.imamente 1 /,. ó 1/ 3 ; pero nuncase.haadoptado porq~e se origina·r~ran gastos mayores en los apoyos y en los fiadores, y ndemM .de esto el puente no seria bastante rígi<lo, segun se ha visto en el anterior capitulo, ni las péndolas se po.drian

V2

-. 80 -

mantener bien en su sitio en las porciones mas inclinadas de los cables. Por esta razon se hacen siempre estos con una flecha de i/ ;0 ó t/ts de la luz, y á veces de 1 /~ 0 • 104. Conservando 1a mi:sma relacion entre f y H, la espresion [58] es sensiblemente proporcional á H2: de esto se deduce que el coste de \·os cables y péndolas de un puente de longitud dada está en razon inversa del número de tramos en que se divide,

Ht

He

. , el de los m será - .- .

Pues si el coste de cada uno ha <le set· m- · m Con esta obse1·vacion ,se puede comparar la economía que resulta ele subdividir la longitud del puente con el aumento de gasto que ocasiona el establecimiento de mayor número <le pilas intermedias.

Algunas veces se hacen medios arcos con el objeto de economizar en los apoyos y fiadores, como en la figura 44, en este caso se consideran los <los medios arcos como unn entero de doble luz, y se hace la comparacioñ con arreglo á los mismos prin• cipios. ·105. La luz Lle un puente colgado no puede pasar Je ciertos límites que dependen de la resistencia ·del hierro, pues se concibe que puede haber .un alambre <le tal longitud, que suspendido de sus dos estremos rn rompa por su propio peso, y lo mismo sucederá con un conjunto de alambres, cualquiera que sea su número, y con mayo'r razon _si soportan una carga ademas. Pero antes de este limite hay otro á partir del cual el . aumento de seccion que se habrá <le dar á los cables crece con tanta rapidez cuando aumenta un poco la luz, que equivale á'hacer im• posible la construccion de puentes colgados, á lo menos con la economía que preside siempre á la eleccion de este género de obras, y las propo1·ciones de flecha _y abertura convenientes.

106. Para hacer esta discusion, sustituiremos en la ecua• cion [ 19] el valo1· de L en funcion de H y CI. [ 16], de lo que resulta

81 w

R sen.

a. -

'lt

pH (1+'/ 6 tang/

a.- ... )tI

'

y si para mayor sencillez haeemos R sen.

a.'

b,

l•l

pII b-aH

y p,oniéndolo bajo forma entera aw H-b w+pH=o;

ecuacion que nos m.inifiesta que la luz y la seccion trasve1·sal son entl'e si como las coordenadas de un mismo punto rle uoa hipérbola equilátel'a. La potencia de esta hipérbola será distinta para cada sistema de valol'es de p, a. y R, pero las propiedades de todas serán comunes. , 107. Para examinarlas, tomemos como eje~ las rectas OH, OT (figura 45), y tracemos la curva, cuyo centro estará en C, l;ln In interseccion de las dos asíntotas, Jistantes del oríg.en l,1s longi~ Ludes

OH'=_!_, a

de las cuales la primera es constante para lodos los valores de JJ · mientras se conserven los mismos los de R y a., y la segunda es proporcional á p. Claro E.s que cuando H=

_!__ no a

será posible· ha'.

cer el puente. pues la seccion debe ser infinita, pero aun con luces mucho menores será tan grande, que se ~rnede decir 'Jll-B P-s impo1,J

-

82 -

ihle ó por lo menos inconveniente en la pl'(Íclica su conslrnccion. Por el contrario, 9uando los valores de H son pequeños, los de w les serán casi proporcionales, y la seccion de los cables aumentará poco aun cuando aumente la luz. No hay límite fijo que separe estas dos tendencias de w á aumentar proporcionalmente á la luz, como en los puntos próximos al origen O, y á aumel'ltar considerablemente pm·a variaciones insensibles de H, como en los puntos próximos á H'; pero si tiramos la tangente OD segun la cual crecerían con rigorosa proporcionalidad w y H. y observamos que_en el infinito son tangentes la curva y la recta CD, segun la cual w es independiente de H en todos sus valores, podemos cliviaír á la curva en dos arcos ó porciones, desde O hasta M y desde M hasta el infinito, en los que las tendencias de la curva se aproximarán mas á las ele la tangente respectiva que á las de la otro. El punto M obtenido por la horizontal DM, tiene por coordenadas 1 y ON= / ~0H' porque Nll=H'D, ademas segun las propiedades de la hipérbola, 0D=OE, poi· consiguiente, H'D=OT'; debiendo ser constante el producto de las distancias á las asíntotas, lambien se ve1·ifica que MDx DC=0H'><0T'

y como DC=20T',

Je modo que ON se puede consi<lerar como un limile del cual no conviene pasar para la semiabertu_ra del puente, aunque no s~a imposible hacerlo. El limite a que no se puede llegar absolutamente es OH', doble del anterior. t08. En cuanto á la mayor longitud (JUC pue<le tene1· un hilo

-

85-

si_n peso adicional. la obtendremos de la ecuacion [ 19), en qus haciendo p=o resulta R sen.<>: L ·-'lt En ·1os puentes colgados, los ,,atores mas grande.~ .que suelen darse á R y ex son R=18 000 000 kilóg. por met. cuad.; lang. cx=0,4;

el valor de

'lt

para el hierro es con poca diferencia

'lt=7800 kilóg. por metro cúbico de modo que los límites buscados serán los siguientes: L=5428m ,57 Para un hilo sin carga Para el límite absoluto de la semi:1bertura H= 832m ,50 Para el límile conveniente H= 416m .25 Estos resultados manifiestan cómo la abertura de los puentes colgados no puede ser ili"mitada, á_menos que se aumentase indefinidamente la altura de los apoyos y el ángulo d~ suspension, aunque puede esceder á las .que hasta ahora se han usado.

109. La tension máxima permanente á que se debe someter el hierro es una cuestion de la mayor importancia. y cuyo descuido ó mala inteligencia ha producido los ma5 funestos resultados.

Las costumbres de muchos constructores y las prescripciones legales que á ellas se han ajustado, juzgan segurn una obra de esta clase cuando la tension mayor que sufre el hierro eu' el momento de la prneba no p'lsa de la cuarta parle de la que produce la rotura, tension que suele ser para las Larrns de hieno de 12 kilógramos por milímetro cuadrado, y de 18 para los cables de alambre. Estos límites. sin embargo, lomilJos absolutomenle comq siempre sucede, no pueden dar seguridad ninguna ncerca de la solidez de la obra por las razones siguienles:

•

-

1,

84-

,1. º Fijándonos en los cables de alambre, puede haber algunos que carezcan de la resistencia absoluta de rotura de 72 kilógra• mos poi' milímetro cuadrado, en cuyo caso follaría la regla <le la Lension legal de los 18 kilógramos.

2.º Suponiendo que se ensaye préviamente segun se acostumbra la resistencia absoluta del material empleado, y sea esta suficiente, cabe aun gran variedad en la carga que hace pasar el lim ite de la elasticidad perfecta en las diferentes clases de alambres; de ·modo que, aun cuando un cable de alambre sufra la carga ele prneba sin alteracion, y por consiguiente pueda sufrir cargas iguales ó menores indefinidamente , otro cable de la misma resistencia absoluta sufrirá una alteracion, insensible si se quiere en el acto de la prneba, pero habiendo perdido algo de sus propiedades elásticas, por poco que sea, caminará' cada vez mas rápiuamente hácia su alteracion completa; y aunque el limite de rotura estuviese mas distante que en el primero, llegaria mas pronto á él. Bien es verdad que el alambre dulce tiene la ventaja de manifestar por una gran deformacion un pequeño deterioro de esta clase (40); pero esto no sirve mas que para aminorar el mal y de 11ingun moJo para rnmediarlo.

5. º El éxito de la prueba deja en el ánimo del cnnstructor y el Je sus inspectores, una gran confianza acerca de la solidez del puente; pero no siempre estará bien fundada esta opinion, pues la carga de prueba, por grande que sea, está en reposo. y se coloca poco á poco, al paso '. que una carga mucho mas pequeña, pero que caig:i chocnntlo sobre el tablero, ¡melle producir un efecto mayor y por la repetir,ion de esos choqu es ya hemos visto que la masa mas pequeña puede producir la rui,ia de la obra mas fue1'le y mejor constrnida. Seria imposible, é in conveniente aJemns, pre~ len<ler que un puente tuviese la resistencin necesnria para sufrir 1111 número con8ide1·nble Je choques repetidos uniformemente y coincidentes con lus o::;cilnciones de la suspension, pero es necesa-

- . 85

rio y será muy prndente disponer los gruesos de modo que en las ci.rcunstnncias ordinarias, como es el paso ó cruzamiento de dos carruajes pesados ó en el de un cierto número de hombres, puedan resistir las cadenas y péndolas un corto número de choques.- sin alterar su -elasticidad.

HO. De aqui se deduce que en los alambre;; de hierro, para emplear-se en los puentes, es preciso que la tension máxima permanente ó de prneba no esceda de la cuarta parte de la que produce el alargamiento límite de elasticidad, y esta condicion exigirá por lo comun que en los cables no esceda la tension permay que la nente ó R de 9 á 1O kilógramos por milimetro cuad.rado, ,1 carga de rotura R' sea de 70 á 80. El pliego de 'condiciones del puente debe exigir las dos prnebas, no siendo ninguna de ellas suficiente por s(sola para asegurar la solidez de la obra. Para las banas de hierro deberán limitarse mas los valores citados en las condir,iones, haciendo R=5 ó 6 kilógramos, y R'=5Ókilógramos. ·l 11. La carga de prueba, á la cual se arregla el cálculo de todas las dimensiones, está prescrit-a por las disposiciones reglamentarios de la administracion, y suele ser la de la misma obra, mas un peso de 200 kilógramos por metro cuadrado del taLlel'O, lo cual equivale á suponer el piso lleno enteramente de hombres. Esto no es suficiente para calcular las dimensiones de las péndolas, que por el paso de dos carruages cargados p1J1eden sufrir la tercera ó la cuarta parte del peso de uno de ellos que es mayor muchas veces que el tanto que le corresponde por la carga de prueba. En los ferl'O•Carriles, la prusba consiste en llenar todas lns vías con trenes de locomotoras en reposo y con diferentes velocidades. A ,,eces tambien se observa el efecto del paso del lren sobre una cuña situnda en el carril.

112. Las necesidades de la localidad fijarán el ancho del puente entre las barandillas ó antepechos; determinando si 1m tle tener ó no aceras ó banquetas para los peatones, y si lu vía de

-

86 -

cal'l'uages ha <le ser sencilla ó doble. Estas dimensiones y la sepa• racion de las péndolas, que nunca suele esceder de 1,5 metros, sirven de base para hacer la composicion del tablero y sus acce• sorios, que es la primera operacion del proyecto. La construccion y proyecto del tablero no es <le modo alguno de este lugar; pero como hay alguna diferencia en los efectos sufridos por esta parle <le la obra en los puentes colgados _y en los sostenidos ú ordinarios, no dejaremos ele hacer algunas adv.ertencias dirigidas á evitar algunas faltas que han conlribuido al descrédito de esta clase de obras en algun tiempo.

H 5. La pt'ip.f era condicion que debe llenarse es que todas las piezas del armazón estén perfectamente trabadas entre si, con lo cual se conseguirá que el esfuerzo de las cargas accidentales se reparta en un número mayor de viguetas, péndolas y cables, haciendo menor de este modo la deformacion general del sistema esplicada en el capítulo 4.º (71 y 72). Esta misma trabazon hará menos flexible al tablero, y las oscilaciones verticales, asi como las longitudinales y las ocasionadas por el viento quedarán destrnidas por la rigidez de esta parte, que contribuirá indudab lemente á que se amortigüen con prontitud las de las demas de la suspension: por jgual razon conviene unir sólidamente á los estribos los estremos de los largueros. Los antepechos pueden llenar el mismo objeto y aumentar este efecto si se les da la forma de celosías.

114. La segunda condicion que es e:;encial en nuestra opinion, es que el tablero no sea de un peso poco considerable comparado tanto con el de la suspension como con el <le las cnrgas ac• cid en tales que mas comunmente hayan de pasar por él. Bien es verdad que esto ocasiona un gasto mayor por la cantidad Je hierro que se necesita de mas para los cables y las péndolas; pero este gasto es mucho menor de lo que aparece á primera vista, pues aunque el peso permanente aumenta, tambien sucede que siendo enlonces menor la intensi dad de los cboqnes producidos por una

-

87

misma masa (9i ), el coeficiente de resistencia puede ser algo mas elevado, produciendo po1· su parte economía en el mato1·ial que se ha de emplear al paso que se aumenta la duracion, seguridad y beneficios de la obra.

H5. Una vez compuesto· y cubicado el tablero y conocidas lambien la luz y fleclia del arco ó arcos que hayan de establecerse, segun los datos que suministre el emplazamiento que se haya eiegido para la obra, se puede pasa1· á determinar las dimensiones de la suspension. f t6. El grueso de una péndola se hallará por la regla del númel'O i4: el volúmen y peso de todas se calculará en seguida por la fórmula [13), ó con bastante aproximacion por la ( 12 ). En eguida se puede calcular la longitud del cable por la fórmula (16 ) ,, por la construccion gráfica (20) y el grueso por la [ 19 ), de las cuales se deducen su volúmen y su peso. En lugar de estas cuatro fórmulas, pod1·ia usarse la (58). Solo queda que determinar In longitud de las péndolas, que se puede hacer por la fórmula ( 20 ] ó la conslrnccion (28-50), una. vez conocidas ya las cantidades que enll·an en ella, aunque es preferible calcula!' antes el bombeo del tablero. , El grueso de las cadenas, mayor que el de las barras de hierro de que se podia disponer para formarlas, obligaba al principio á multiplicar su número hasta el punto de haber puesto 64 ,' repartidas en tres órdenes ó haces, ~n el puente de Menai, en Inglaterra. El uso de los cables de alambre hü contribuido á disminuir este inconveniente ; pero no se recomendará nunca bastante esta reduccic,n de cables, pues cuando hay varios que sostienen un tablero, es muy fácil que el trabajo no se reparta sobre ellos por igual, sobre todo en las vibraciones. y resultando uno de ellos mas cargado, corre pelig1·0 de romperse. Así, la igualdad ó uniformidad de resistencia y la trabazon y rigidez exigen que los cables se hngan gmesos y poco numerosos, que sus flechns sean

88 -

-iguales, y que los de un mismo lado se fijen por lazos ó eslabones á la distancia mútua conveniente. f f 7. En cuanto á los apoyos, pueden ser fijos ó movibles. En el primer caso, el grneso del fiado!' se calculará por la fórmula ( 291, y el del apoyo por las ( 281. La solidez del amarn1do se comprobará por las reglas de los párrafos 43 ó 44. En el segundo es menester empezar poi· este último esLuJio para fijar el ángulo G (56) y despues las dimensiones del fiador y del apoyo por las fórmulas (251 ,Y (261 .

Al proyectar los apoyos será preciso tene1· pres,ente que los sectores ó los rodillos (figs. H y 12) ó las baiTas (fig. 15) han de sufrir una accion igual al peso de la mitad del puente. Si hay muchos tramos deben hacerse apoyos fijos, y en caso de sei· nece~ario adoptarlos movibles, se .deben reunir por un tirante en la parte superio1•, desde A á By C (fig. 41).

118. El bombeo del tablero tiene por objeto prevenir las alteraciones accidentales que tiene que sufrir el sistema por su flexibilidad, La fórmula ( 46) ó las (44) y ( 45) segun su caso, darán la flecha correspondiente al aumento de temperatura, teniendo en cuenta la de la época de la construccion. A esta se añadirá la que dé la fórmula [ 51) y para mas exactitud se puede tener en cuenta la [521. .

119. Al hacer la obra se ha de calcular la flecha ó la longitud provisionales del cable segun que se construye en su sitio ó fuera de él, es decir, la flecha ó la longitud que tendrá ·abandonado á su propio peso entre los dos puntos de suspension, y de tal manera que despues de colocadas todas las <lemas partes resulte la forma proyectada ..Las fórmulas (51 y [33) y las (351 y [38) ó lns (41} y (42), segun los casos darán el efecto de la dilatacion y de! pandeo en la flecha. En el segundo caso, que ocurre cuando ln cadena se hace de eslabones, la fórmula ( 32) y las ( ?4) y [ 37) serán las que nos sirvan.

CAPITULO VII. ••e los 1n•l11("1pale1' slste111as tic 1•ne11tes colgados.

l 20. El sistema de cables con péndolas verticales no es el u nico que se ha adoptado para la construccion de puentes colgados, y aunque tiene mas ventajas y se ha usado con mas frecueneia que los demas, es indispensable dur uoa idea de los principales de estos y compararlos con el primero. Nos limitaremos á hacer d ·exárnen de los siguientes: t.º El de tirantes.

2.º El de Dredge.

3." El 11~ cadenas in fe ri ores.

4. º El de Vergniais. i 2i. En el primer sistema, el pilen le esta sostenido por tirantes, que parlie1lllo de diferentes puntos del tablero se reunen en _el estremo superior del apoyo (fig. 46), en el cual un fiador equilibra su le~sion horizontal. La teoria <le estos puentes se funda en la consideracion de que un reso P, que actúe en el punto M, se descompon e en sentido del Lirante y del tablero en las tensiones 1\f t y Mq, la cual es igual á Pt; de modo que para hacer un proyecto segun este sistema basta unir los puntos de division del tablero con el estremo del apoyo correspondiente, lo que da la flgura del puente y la longitud de los cnhl es; y para hallar sus ten iones, ú 12

-

90 -

la· que ~e habrán lle arreglnr las secciones trasversales, se tomará desde A ha~ta a una longitud igual ni peso de una de las divisiones del tablero, que deben ser igual s, y la horizontal tra,,,, zada por a da por su interseccion con cada tirante AM su tension Am, igual á Mt, y la reaccion horizontal sobre el tablero am, igual á Mq. 122. Se ha pretendido que estos puentes son mas económicos que los ordinarios, pero vamos á demostrar que carecen de esta ventaja. Conservando las denominaciones del capitulo 1. º, la longitud de un tirante cualquiera AM podrá representarse por la espre ion

y su lension Am por •

AM AaAC

Al\l ph-f'-.

<l e moJo que u volúmen erá el prouuclo de esl.i. do~ cnnlidad e ·,

dividido por el coeficiente de resistencia R. El volúmen total de los tirnntes que hay desde el medio ha ta el qu e ocupa el lugar n inclusiYe e

t:. [

n(r+(H+

1

/,ht )

- 2(íl+ '/ ,h) (1+ 2+5 .... +n) h+ h'(-1 +4+9 .. .n' ) ]

. -

91 -

cuya 8Uma equivale á h [ PRf

nr+n(H+ /,h)' --2h(H+ /,h). n(n+f) 1.2 1

1

+

h' n(n+i) (2n+i) ]

1.2.5

'

y el ele todos los tirantes de la mitad del puente hasta el AF in-

clusive, resultará de la espresion última haciendo n----:- \~ -

1 / . ,

y es

Pero las tensiones horizontales que se ejercen en los puntos de union rle los tirantes con el tablero exigen que se afiada en la direccion de este otra série de aquellos que se unan en el punto E con los que pertenecen á la otra mitau del puente, equilibrándose mútuamente. La tension Jd que co1Tesponde á un punto cuulquiera M es

MC

ph

am=Aa-¡;c=f [H-(n-

1

/,)h],

su longitud es h(n- 1 / , ) , de mouo qua su volúmen habrá de ser

• la suma de todos los comprendidos desde E hasta M será

p:;· [- /,n(H+ /,h)+(H+h) (t+2+5 ... +n) 1

1

-h(1+4+9 ... +n_')

]=

-

.

=ph' [-_!!'.._(H Rf 2 +

l/ /)

~i+

92-

(H

+

l)n(n+i)_¡ n(n+1)(2n+1) ] i L2 t 1. 2. 5

y hasta el punto F

y este volúmen, sumado con el .de los tirantes inclinados, da para el total de hierro necesario pH . Rf'

(l/ H'+t•:1_ ~

r2H, _

_l 1 fi!) ªt

,

espresion que coincide exactamente con la [581 correspondíente al sistema ordinario, cualesquiera que sean la .luz, la flecha, y el número de divisiones del table1·0.

123. Si se observa que la direccion en que el tirante exige un volúmen menor es la inclinada con el horizonte 45ª (56), se podria creer que disponiendo el puente con Lirantes paralelos_. como en la figura 47, se ha de en_contrar la economía que en el caso anterior no existe, pero vamos á hacer ver que el coste de los dos puentes será el miamo, á igualdad de luz y de flecha. La longitud de un tirante cualquiera será

y su tension, igual para todos,

de modo que su volumen será

-

95 -

el de los n primeros tirantes es entonces

~,h [

n(H+ h)-h(t+2+5 ... +n)] 1

/ 1

,

=2ph [ n(H-J:- 1 //i)-h

n(~;f)]

y el de todos los de la mitad del puente

La tension horizontal es igual en cada punto á ph, y la longitud del tirante que la destruye es la misma que en el otro caso, de modo que el volúmen del que termina en un punto cualquie- · ra &erá phi ( '/ ) R n- ' ,

la auma de un número n de ellos h'

PR . ('/.+s/ 1 +1/,+n-'/,) y la de todos los de la mitad del puente

, _L(H-'/1 h)' 2R '

pn'h' 2R

-9-4 -

cuyo volúmen, sumado con el de los tirantes inclinados, da

espres10n que no es mas que el resultado de sustituir f H en la [58).

1.24 . El empuje horizontal que sufren los apoyos y fiadores en los puntos A y B (tig. 46), es la suma de todos los que se ejercen en cada punto M, la cual es (122)

p; [n(H+'/,h)-(1+2+5 ... n)h]=p;h (H- ":)

=p: [1-( 2~r]= en el caso de la figura 47, este empuje es igual á ph en cada pun·to de union de lgs tirantes con el apoyo AB, y corno su distancia al punto B es igual á la mB comprendida en el tablero, su momento respecto de él será phXBm ó ph [H-(n-'/.)h]

y el momento del empuje total

que es idéntico al que corresponde al caso anterior, de modo que siempre hay la mas absoluta igualdad de gastos en el sistema ordina1·io y el de tirantes .

,

-

95 --,

Sin emh,ll'go, es preciso observar que en vez de añadir r,iezas de hierro al tablero, se podria destruir el empuje horizontal que se ejerce en cada uno de sus puntos aumentando la seccion tras• versal de los largueros lle madera, lo cual producirá economía siempre que la relacion de los precios de la unidad de volúmen de estas dos materias sea una fraccion mucho menor que la de los coeficientes de resistencia que se les deban aplicar. Pero todas estas consecuencias no son mas que un caso particular de una proposicion general que se demostrará un poco despues.

El pandeo que habrian de tener los tirantei:i centrales es un inconveniente de gran consicleracion que hace muy movibles y 1lcsvcntajosos estos puentes, y es el motivo principal porque se han abandonado.

125. En el sistema de Dredge, el tablero se une á la ~adena por medio de péndo'las inolinadas (fig. 48), lo que permite disminuir en una proporcion considerable el espesor de aquella, á partir de los estremos (fig. 49), en que tiene el mismo que en la de un puente ordinario, ni paso que en estos la diferencia de tensiones es muy pequeña (-18). Aunque en la cadena se economiza mucho materia\, es menester no olvidar que las péndolas son mas largas y sufren una tensioo mayor, y que en el tahlero se ejercen tensiones horizontales que va.rían precisamente al contrari0 (figura . 50), de modo ,que sumada la secc-ion ele un eslabon cualquiei:a de la caden:;i coA 1a del que se ha de añadir al tablero en la division correspondiente par.a resistir lá Jichas tensiones horizo,ntales, el resultado será la misma área en todos los puntos.

126. Para establecer un puente de este sistema ae observará que el empuje horizontal que, se ejerce en el medio E tiene que hacer equilib1·io alrededor del punto A á todos los pesos que cargan en la estension EB del tablero, y que por esto la ecuacion de momentos <lará para dicho empuje la mismaespresion (10}. Si se construye un triángulo QOP (fig. M) igual al ,de la ligur~ 20,

-

96-

en que QO sea el empuje horizontal en E y OP el peso de la mitad

del puente, y se divide este último lado en pnl'lt's iguales entre sí y al peso de cada una de las divisiones del tablero, que rleben ser tambien iguales, se pueden trazar con facilidnd lasdirecciones y magnitudes de las tensiones de todas las piezas del puente.

Para esto se tirarán por los puntos de division Pl , P! , Ps• etc. del lado OP rectas paralelc1s á OQ, y :í partir de P se formnrá un polígono cuyos lados sean sucesivamente paralelos á la direccion tle eada una de las péndolas (empeznndo por la mas inmediata al apoyo) y cuya longitud esté comprendida entre dos paralelas con• secutivas: asi, siendo la distancia p 1 q!, por ejemplo, igual al peso que actua en el punto e~ del tablero (fig. 48), representada en la figura 5i por P! P, , la tension ocasionada en la péndola será p,p~ en magnitud y Jireccion (12t ), y la componente horizontal que corresponde á este punto p 1 q1 • De aqui se deduce la direccion de cada lado del polígono que ha de formar la cadena y su tension, pues debiendo equilibra1· la resultante de cada dos de estas al esfuerzo que ejerce la péndola que comprenden, las tres fuerzas deben cerrar un triángulo con sus magnitudes y direcciones; y como se conocen la~ de cada una de las últimas, que son los lados del polígono Pp,p 6 p5 . . . . . p1 , y una de las primeras, que es 1~ QP, direccion del lado adyacente al punto A (fig. 48) (por ser resultante de las fuerzns QO y OP) se unirá el punto Q con los p,, p 5 . . .p,, y las rectas Qp,. Qp! ... Qp,, QP,_marcarán la direccion de cada lado del polígono á pártir de E y la magnitud de su tension. Las di tancias P,p,, P,ps representan las tensiones horizontales que se ejercen en toda la estension de las divisiones e1 e1 , e! e, , etc., y son proporcionales al número de barras que serian necesarias en cada eslabon, si se pusiese en el tablero una cadena de refuerzo (fi 0 ura 50): el empuje horizontal del · puente se descompone en dos partes; una Qq que sufre el eslabon central de la cadena, y otra Oq que ha Je resistir el tnblero.

-

97 -

127. Con estos datos es muy fácil construir la figura del puen· te. Como las péndolas tienen demasiada inclinacion en los puntos próximos al estribo para unirse á la cadena, se hacen partir del punto A dos ó tres como Ae 8 , Ae,, á las cuales serán respectiva• mente paralelos los primeros lados Pp 1 • p.,p 6 del polígono de la figura 51, y luego se empezará trazando un lado Al 6 paralelo á Qpc y una péndola e0 l 5 paralela á p 6 p5 ; desde el punto de inlerseccion 16 se trazará un lado lA paralelo á Qp 5 y de de e5 una péndola e5 l 5 paralela á p4 p5 , continuando de este modo hasta el punto l~, Jcsde el cual una paralela á Qp 1 pa ará por el punto e1 en <lonrle termina el polígono.

128. Comparando la figura 51 con la 20, -e ve la gran diferencia que hay en las tensiones de los elementos mas bajos de una cadena del sistema de Dredge y las del sistema ordinario. Cnda e labon, en dicha ca<lena, se disminuye de una barra, y pnra que las tensiones siguiesen rigorosamenle la misma progresion por diferencias seria preciso que el polígono Pp 1 p6 . . . p~p 1 estm:iesc inscrito en una curva de segundo grado, cuyo foco fuese el pnnto Q; porque entonces las distancias á este de cada uno de los Je la curva aumentaria proporcionalmente á las del mismo á la recta OQ. Si esta curva fuese una parábola la diferencia de Lension de tlos eslabones inmediatos eria exactamente igual al peso que sostiene la péndola que comp1·enden, y el ángulo que cadn una de estas formase con la vertical seria doble que el del lado adyacente.

Es menester observar que toda la parle Pp, del polígono que corresponde á las péndolas concurrentes en el punto A no se puetlc sujetará ninguna condicion, porque ya está <leterminaJo, y el lugar geométrico de us vértices es siempre un arco <le parábola, que prolongado pasaria por el punto Q. 129. Lns construcciones de la figura 51 pueden considerarse como el método general para proyeetar un puente colgado, cual1:;

- 98 quiera que sea el sistema que se auopte, y ahora vamos á demoslrm· que á igualdad de luz y de flecha, el coste del puente será siempre el mismo aunque se varíe la disposicion mútua de las piezas que lo componen.

Antes es menester observar que un hilo AB (fig. 55) solici• lado por una fuerza P necesita para resistirla el mismo volúmen que el que exigen reunidos otros dos hilos AC, AD, proyecciones rectangulares de este, sometidos cada uno respectivamente á una fuerza Q ó R, proyeccion de la misma P. En efecto, el volúmen de este hilo ha de ser proporcional á AB><.P, el de cada una de sus proyecciones lo ha de será ACxQ y ADXR, y como estos productos están con el primero en la relacion de los cuadrados de los cosenos <le los ángulos comprendidos, y los dos son com• plemcntarios, la suma de los dos volúmenes será equivalente al primero.

Para demostrar ahora el teorema enunciado, sean QB y BA (figura 54) la luz y la flecha de un p-uenle, cuya cadena es OmA, y mala péndola correspondiente al punto a, tómese BC= :;. , y lr~cese· la curva C o' E cuyos elementos o'p' sean perpendiculares á la direccion de las péndolas am: Lodos les elementos de la figura CDEO estarán con los de la figura 51 en la relacion de f :p y serán por consiguiente proporcionales á las cantidades que estos últimos representan. El elemento mn de la curva, que corresponde al ab del tablero, se proyecta vertical y horizontalmente en qr y q'r', la tension Oo' de este elemento se proyecta segun qo y q'm', de modo que su volúmen estará 1·epresentado por la suma de las áreas rqop y q' 1·' m' n', y por consiguiente, el volúmen de todo el cable será la suma de las dos áreas OopAF, OEm'n'CB. La péndola am se proyecta venical y horizontalmente segun ao y o'm', las proyecciones de su tension o'p' son ab y o's, por consiguiente, su volúmen será la suma de las áreas abpo y o'p'n'm', y el volúmen

-

99 -

de todas ellas sel'á la suma de las áreas OopAB y Eo'p' Cn' m'. Finalmente, la tension total que sufre el tablel'o en el punto a es o'a', la longitud Jel ilemento que la destl'uye ~s a'b', por consiguiente su volúmen está represen Lado por a' b'p' o' y el de todas las piezas de refuerzo por el área Cp' o'ED. La suma de todas eslas áreas compone la del rectáng~lo invariable ACDF, que multiplicada por el factor ~ .l'eproduce la fól'mula [ 58] corl'espondient@ á los puentes del sistema ordinario.

150. Toda la economía que puede l'esultar de poner las péndolas mas ó menos inclinadas ha de pl'ovenir de que el empleo de la madel'a pa1 a reforzar el suelo sea menos costoso que el del hierl'o, economía que será proporcional á la eslension superficial del área Co'ED; pe1·0 á medida que esta área es-mayor, pierde el puente el carácter esencial y la principal ventaja de los colgados, que consiste en permanecer siempre en la posicion de equilibrio que les corresponde segun el modo con que están cargados. Lo que suele hacerse en todos los casos en _que se colocan péndolas inclinadas es trasmilÍl' los empujes á los estribos por medio de la resistencia á la compresion del table1·0, pero entonces, el volúml3n que se ha de añadir está representado por el árna Co'EG, mayor por lo comun que la adyacente; y el estado del tablero es mas violento, tendiendo siempre á tomar la forma señalada con la línea de puntos en la figura 46.

15L Los puentes de cadenas inferiores (fig. 52) tienen en el día muy poco uso, porque a\)n cuando •se economiza en ellos la construccion dé apoyos y una parte del fiador, tienen poca estabilidad y en el resto de la obra son mas costosos que los ordinarios.

Para demostrarlo se observará que en uno de estos de la misma J.uz flecha, las péndolas ocupan el '.área AOC, que es el ter· cio del rectángulo AEOC, al paso que en los primeros ocupan el área AOE, doble de la anterior; por consiguiente, en

r

;

\.

-100-

igualdad <le cil'cunstancias, la suma <le las longitudes de las péndolas es doble en los puentes apoyados en las cudenas que en los suspendidos de ellas: y ademas, como por su manera de resistir su seccion trasversal ha de ser mayor, 1·esulta que · el volúmen total de las péndolas es mas que doble. Por otra parte, para que estos puentes sean estables y puedan resistir la accion de las vilJracioI?ei;;, que tienden á producirse con mas intensidad, es meuester darles una flecha muy pequeña, apartándose así mas de la rclacion mas económica ('I Oá) señalada para los puentes suspendidos.

El proyecto de e lo puentes se ha de hacer por las mismas l'eglas del capitulo 1. º, sustituyendo 2,: en lugar de ,: en las fórmulas [ 20 ] y [21 ] y aumentando lambien el valol' de a segun lo que haya tenido que añadirse á p en la fórmula [ 19] por el mayo,· peso de las péndolas.

Hi2. Entre los puentes suspendidos de arcos rígidos nos ocupamos olo de los del istema Vergniais (fig. 53) pol'que se ha establecido ciel'to paralelo entre ellos y los de cadenas, pretendiendo que están destinados á reemplazar á estos.

Fol'man estos puentes un arco AOB, de dovelas de hiel'ro funuido unidas por pernos, sobre el cual se apoyan otros dos medios arcos FC, DG, compuestos de la misma manera: el lablel'o HI se suspende de la parle GOF del arco centl'al, y de los dos laterale . El objeto de esta disposicion es proporcionill' al al'co principal puntos de apoyo ha Lante bajo , para no dnrle una cul'vatura demusiado pequeüa, que causaría un empuje considernble en las grandes luces, sin dejar por eso de mantener al piso s~spendido en toda su estension, como medio de darle la mayol' estubilidad posible co11 l'elacion á los arcos.

Ninguua analogin existe entre estos puentes y los colgados, de cualquiel' sistema que sean, pues el mouo <le resi ti,· de cada una de sus pal'tes difiere totalmente en unos y en otros. En efecto, la

-'101-

parle GOF no liene semejanza con un polígono funicular ó arliculado que toma por si mismo la forma de equilibrio que conviene en cada caso, sino· que esta es invariable para que el arco tenga la rigidez que es necesaria para la estabilidad del sistema; lo mismo sucede con los arcos DG ·y FC; los-apoyos CI y DH han de resistir á una presion vertical pequeña y ni empuje horizontal de los arcos laterales en los puntos C y D, y en fin, la irregulDrida<l tle las péndolns hará que en g y en f tenga el tnblero dos puntos sin·gulares respecto de -los efectos de la variacion de temperatura y de \as vibrnciones de elasticidad . El único punto c,omun que presentan ambos sistemas, es la posibilidad de sálvar grandes espacios con un-solo tramo. · 13·5. Para proyectar un puente de esla clase se pueden considernr los arcosGOF, DG, CF, como cargados de pesos uniforme. ' mente repartitlos en su proyeccion horizontal: el empuje en D se calculará de modo que su momento respecto del punto G sea igual al de todos los pesos que cargan en la estension DG respecto del mismo punto, y el empuje en B deberá hacer equilibrio alrededor del punto O al empuje anterior y al peso de toda la mitad HE del puente. Entonces se podrán calcular las dimensiones de dichos arcos comparóndolos con piezas elásticas de forma parnbólica ó circular, y las parles IlG, AF como piezas cmvas fijas en un estremo, y sujetas á una fuerza oblícua respecto de su eje en el olro.

152. Se ve por lo espueslo que tanlo los arcos como los np(lyos exigen una cantidad de mnterial mucho mayor que los de un _ puente colgado, y que por tnnto no sG pueden compnrar con estos en punto ú la economía; y en cunnto ú la cslé1bilida<l no la tienen mayor que ellos, pi nun fj!le lo·s puentes rígidos ordinarios (figura 1.3), pues para evitar el giro alrededor de los puntos A y n (figura 53) hacen falta t.ambien los nrcos laterales que fijen olros dos C y D, cuyo objeto se consigue en los otros con solo asegurar

-t02-

e\ tablero á los esll·ibos. Tambien ofrecen desventaja respecto de la resistencia, porque los puntos G y F sufren una fotig_!l estrao1·di• naria, siendo imposible que en ellos no presente el arco principal una solucion de continuidad, y ademas, cualquiera que sea lapo• sicion de la carga en el tablero, este arco sufre siempre su efecto hácia la parle media, que es la mas débil, y el punto O tiende alternativamente á subir y á bajar, movimiento cuyo efecto inmediato es aflojar los tornillos y destruir la rigidez del sistema. Esto no puede evitarse mas que proyectando todos los arcos como bóvedas y no como sólidos elásticos; pero el gasto de material seria entonces eslraordinario.

11

-105-

Propiedades físicas de los materiales que se emplean en la construccion de puentes colgados.

j MATERIALES.

Peso ,specinco

Coeficiente de elasticidad

Máxima tension : permanente

"7t

E

R

20000 -18000 -16000 8000 980 H50

6 iO

Coeficiente de dilatacion

¡¡

kilóg. por metro kilóg . por milim. kilóg. por milim. por cien grados de cúbico. cuadrado. cuadrado . temperatura. ~

Hierro forjado ..

Alambre. . • .

Palastro .•. . .

Hierru fundido.

Encina . • . • • Pino . . .

Piedra.

.. . ....

7783 7800 7800 7202 870 559 ))

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

6 3 0,4 0,4

))

))

-122 -124 123 iH 080 08-1 050

1

Coeficiente de rozamiento.

Hierro dulce sobre hierro fundido.

Hierro dulce sobre piedra caliza.,

0,20 0,50

1

Luz. 1 Flecha.

Hammersmilh (Inglaterra). \Jenai (ídem) . . . . . . . rweed (idem) . . . . . .

Seraing (Bélgica) .... .

Isla da Borbon, de dos tramos. [l.lmberg (Alemania) . . . . . .

Graelz (ídem) . . . • • . . . • Pocliebracl (idem) .. . . . • . .

Praga, (ídem) de dos tramos.

Peslh (Hungria).

8,96

·1176,(J 13,07 . 131,7 8,00 • 105,0\ 7,00

. 11 2J,8

40,2 7,40 64,3 4,31 6,47 63,8 99,8 7,39 •1 ·132,8 9,83 . 1202,41 !4,41

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Puentes •le cadena§.

11------------------1---1---

PUENTES .

2.ª

Dimensiones de los JJUentes colgados mas notables.

'f.,JJLA

.,._

~

19,28 Hí,20 12,00 14,34 18.50 13,60 2~,80 18,00

265,2 i98,2 i09,0 183,6 307,7

füágara (ídem) .. . . . . . . . ·/ 3t6,8 iNiágara (ferro-carril del Canadá) .. 250,0

1

231,5

melros

metros

Fríburgo (Suiza). . . . . . .

La Roche Bernard (Francia) ..

Cubzac (ídem), de 5 tramos ..

Lorienl (idem). . . . . . . .

Weeling (Estados-Unidos) . . . . . 1 cat~ralas del Niágara (idem) .. 1

Flecha.

t 11 1..

i/1-s ,9

t / t 3,9

I /11

1 / 12 ,S 1/ 16 ,t;

'/u

1 / 13,0i

1/13,s

Relacioll de la flecha á la luz . ·

1056 1408

202 1650

/j

2 G

1~ 1

250 3640

550 2 mas gruesos J juntos 8 menos 1767

1

-1 Diámetro de !os cables.

))

))

))

))

))

0,25

))

0,13

))

))

5,00

2,00

))

))

4,09

3,30 4,70

~:!

llelacion la resistencia absoluta á la iension de prncba .

0,14 0,i7 0,16

melros

3,08 :J,33 4,QO 3,01 1

m1' I'1ms. 1

¡_____ _____

N-Ílmcro Diametro ele :ilamde los 1brcs de ca- alambres.

1 ~ ca bl ~

2 2

_ __ _ _ _

'Número de cables de cada lado .

P11cnte!i tic ala1uln-c.

.... o

<:TI

INDltE.

Píiiau.

INTRODUCCION.

•

CAPITULO 1.-De los eable11 ó cadena11.

ARTICULO t .• Cadenas sometida, á su propio peso. ÁftTlCULo 2.º Cadenas sometidas á un peso repartido uniformemente ,obre tu proyec• 'cion horizontal. .

ARTICULO 5.º De la curva real de equilibrio de las cadenas de un puente colgado. .

CAPITULO 11.-De los apoyos. .

CAPITULO 111.-Determlnaclon de la flecha provisional del eable.

ARTICULO Lº Variaciones de flecha depen• . , ·dientes solo del cable. ÁRTiéoLO 2.º Variacionei de flecha debidas al fiador. . , .

ARTICULO 5.• Va,·iaciones debidas á la movi• lidad del apoyo.

.'J

f5

16 26

ll

.u 44 47

- ,J 08-

C1\.PITULO IV .-·variaciones accitlentale!!i de la ftecl1a definitiva. t' ARTICULO 1.º Influencia de las variaciones de 49 temperatura. .

ARTICULO 2. º Variaciones proditcidas por una 55 carga accidental. .

CAPITULO V.-1'.iovimieutos de oscilacion.

AnTICULO 1. º Oscilaciones ocasionadas por la 65' elast-icidad de las péndolas y el cable.

ARTICULO 2.º Oscilaciones debidas á la flexi72 bilidad de la constritccion. .

74 ARTICULO ¡:,. º Oscilaciones horizontales.

CAPITULO Vl.-De las ¡,roporciones tle los 77 puentes_ col,;ados. . . ·, CAPITULO VIL-De los principalea, sistemas 89 de puentes colgados. .

TABLA 1.• Propiedades físicas de algunos ma • teriales empleados en la construccion de 105 puentes colgados. .

TAnu 2,ª Dimensiones de los puentes col104 gados ma& notables.

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S.e vende en la Adrninist1·acion de la Revista de Obras públicas • .Carrera de San Gc1·67},imo., núm. 22 , segundo.

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