Estudio sobre los grandes viaductos by FUNDACIÓN JUANELO TURRIANO

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GRANDES VIADU.CTOS ,,.

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ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO

Calle de Pizar ra, núm. 15

DE G, JUSTE

BIBLIOTECA DE LA ccREVISTA DE OBRAS PÚBLICAS>>

ESTUDIO SOBRE LOS

GRANDES VIADUCTOS POR

D. JOSÉ EUGENIO RIBERA INGENIERO DB CAMINOS ' CANALES y PUER'rOs

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MADRID REVISTA

OBRAS

9 - Puerta del Sol - 9

1897

PÚBLICAS

INTRODUCCIÓN

, En el prólogo que á los compañeros dediqué en mi obrita sobre Puentes de hierro económicos, mitelles y faros sobre palizadas y vilotes metálicos, anunciaba ya que si el resultado del modesto trabajo que entonces ofrecía al ptí.blico respondía al buen deseo oon que lo daba á luz, continuaría la impresión de mis estudios, publicando otros dos libritos que tenía prepar ados sobre Cálc-ulos y proyectos de tramos metálicos y sobre Piientes metálicos en arco para grandes luces, siempre inspirado en el único propósito de ser íitil á todos mis compañeros y colegas. El pr:wnero de estos dos trabajos ya casi no tiene objeto, por haber recientemente publicado el distinguido Ingeniero D. Luis Gaztelu su obra Práctica -u.siial de los cálculos de estahiliclad de los puentes, en la que expone extensamente con método clarísimo y abundancia de elatos los procedimientos de cálculo de las soluciones más corrientes. Aunque no sea aquí su lugar, permítame mi estimado compañero elogiar calurosamente su trabajo, que á mi juicio es superior por su claridad y espfritu práctico á cuantas obras análogas hemos l eído, sintiendo su tardía aparición, pues hubiera tenido gusto en aplicará mi proyecto las fórmulas y métodos que en su libro se explican.

IN'l'R.ODUOOION

Pero corno Gaztelu ha prescindido en dicha obra de los puentes metálicos de arco inferior, por entender que es su aplicación muy limitada, me ha dejado este hueco por llenar, aunque sólo sea como apéndice de su obra, y me decido gustoso á ordenar los datos y cálculos reunidos con motivo de mi proyecto de puente de Pino sobre el Duero, que puede constituir un pequeño Estudio sobre los _grandes viaductos. Habiéndome encargado la Dirección general en Abril de 1894 de la comisión de estudios de dos carreteras: la de ]~onfría á la de Ledesma á Portugal y la d~ Ledesma á Fermoselle, ambas afectando á las provincias de Zamora y Salamanca, me encontré con los pasos forzosos de los ríos Duero y Tormes en emplazamientos tan extraordinariamente abruptos, que me obligaron á un det~nido estudio de los viaductos necesarios para salvarlos. Los ríos Duero y Tormes se encuentran tan embarrancados en las proximidades del trazado que resultan desniveles de 300 y 400 metros respectivamente desde la planicie en que se desarrollan las carreteras, al nivel de dichos ríos. Para evitar, pues, la bajada y la subida que forzosamente habría quei hacer por laderas escarpadísimas con 5 y 6 kilómetros de pendiente continuada (si se atravesaron estos ríos con puentes de poca altura), era preciso buscar los emplazamientos más favorables para pasar el talweg con la mayor rasante posible. En las Memorias de los proyectos de carreteras respectivas justifiqué la elección de los emplazamientos y rasantes adoptados, con los que consigo salvar alturas de 90 y 100 metros respectivamente con viaductos de 180 y 126 metros de longitud, ahorrando la molestia y el gasto de cerca de tres kilómetros de carretera en fuerte rampa en cada uno de los casos. Pero para que estas soluciones fueran aceptables desde el punto de vista económico, era preciso que el cosb de los viaductos no excediera de unas 400.000 pesetas, por lo que el estudio de dichas obras adquiría una importancia excepcional.

INTRODUCCION

VII

Sabia.o es la gran variedad de soluciones que se presentan al espíritu del Ingeniero para la rnsolución de este probl~ma. Tanto es así, que suelen en el extranj ero someter el proyecto y la· ejecución de obras análogas á concursos entre fabricantes é Ingenieros, como ha procedido, poi· ejemplo, el gobierno portugués para los dos grandes viarluctos recientemente construídos en Oporto sobre el río Duero, que presenta allí concliciones topográficas muy parecidas á las de nuestros emplazamientos(") y el gobierno suizo para una gran parte ele sus viaductos. Pues si entre tantos Ingenieros eminentes y reputadas fábricas como tomaron parte en estos concursos hubo diferencias muy sensibles de apreciación y de cálculo, natural parecerá mi vacilación ante problema tan superior á mis facultades. Así es que, á pesar de mis simpatías naturales por la solución de viaducto completamente de acero sobre arco metálico empotrado, no me consideré con autoridad y conocimientos suficientes para proponerla desde luego, decidiéndome por estudiar todas las so].uciones aplicables al caso presente, aunque simplificando l os proyectos á medida que fuera penetrándome de la cuestión. Por de pronto, la elección entre el empotramiento y la articulación de los arcos me ofrecía muchas dudas, pues los libros más modernos que consulté no estaban conformes sobre esta importante cuestión, que modifica por completo el cálculo y puede influir en el costo. Hasta ahora, la mayor parte de los constructores, Eiffel entre otros, se decidían sin discusi_ó n por los arcos articulados, y sin embargo, hánse construído recientemente en Suiza algunos arcos empotrados de singular ligereza. Resal, en su Tratado ele puentes, se decide por una solución mixta, con la que cree

(*} En lo · números de Enero 1886 y Septiembre y Octubre 1878, de 13s Memorias de la sociedad de Inge nieros civiles franceses, se pre e11l..i n los proyectos de csl..is dos obras, comparadas con los \J proyectos prese11t.1dos par¡¡ el viaducto de ferrocarril, que se acljllClicó á Eiffel y con los 7 p1·ese11tados para el de carretera r¡ue fué otorgado á Seyrig.

VIII

INTRODUOCION

r eunir las ventajas ele una y otra; pero nadie se ha molestado en calcular ambas soluciones con iguales datos, único modo á mi juicio de establecer la comparación económica entre los dos sistemas. Como este último punto de vista es siempre para mí el más importante y creo que asi debería serlo para todos los Ingenieros, me resolví á emprender esta tarea pesada por la extremada complicación de los cálculos ele cada una de las soluciones' de arco, pudiendo entonces deducir conclusiones precisa,s, que creo serán interesantes para todos. Además, se me presentaba en este proyecto el problema ele calcular una viga continua ele 26 tramos, para la que los métodos corrientes resultan muy complicados, prefiriendo emplear el novísimo procedimiento ele las líneas de influencia, que el Sr. Gaztelu no explica, por consiclerarlo sin eluda algo sublime y de escasa aplicación, y también me ha parecido interesante publicar el desarrollo y cálculo práctico de esta teoría, digna de ser empleada en toclos los casos de vigas ele más de cuatro tr~mos. Por último: también puede ser útil el estudio comparat.ivo de varias otras soluciones de arcos y de fábricas, aunque sólo fuera con el objeto de evidenciar la superioridad económica de los viaductos completamente metálicos. Quizá pueda parecer excesiva la cantidad de trabajo y el número ele soluciones estudiadas; _pero basta observar que ninguna de ellas es absurda, puesto que se han ejecutado obras semejantes, y si se examinan y se comparan los importes ele los presupuestos ele las doce solnciones que figuran en las dos primeras láminas, oscilando entre 1.727.000 y 260.000 pesetas, se evidencia que en obras de estas dimensiones cualquier pequeña variación ele detalle puede determinar economías importantes. Yo, por mi parte, doy todo mi trabajo y mis v\ajes á Suiza y Oporto por muy bien empleados si con ello consigo ahorrar al Estado algún centenar ele miles de pesetas y si logro ser útil á

1· .

INTRODUCCION

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mis compa:fieros con la exposición de estos cálculos comparativos, que someto á su juicio al mismo tiempo que á la aprobaciónde la superioridad. Réstame, por último, dar aquí las gracia~ á mis eminentes colegas y amigos Mr. Prob t, aulor y constructor de la mayor parte de los viaductos suizos en arco empotrado y á Mr. A . Henry, Ingeniero que fué ele la fábrica Valentín et C.ie (Villebroeck, Bélgica) qus construyó el viaducto de Dom Luis en Oporto, por lo · utili. irnos dato é idea que verbalmente y por intere ante y amistosa corre pondencia se han servido facilitarme. Qyicdo, Octubre 1897.

EUGENIO RIBERA .

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ÍNDICE DEL TEXTO Páginas.

CAPÍTULO PRIMERO. -Consideraciones generales..... . . . . . . . . . . l. InJecisión del problema en los grandes viaductos . -2. Solución general más indicada.-3. Ventajas de los tableros de pequeños tramos. -4. Ventajas del empotramiento de los arcos.-5. Puente de San Luis.-6. Montaje sin cimbra de los arcos empotrados. -7. Viaductos suizos.-8. Viaducto de Javroz.-9. Viaducto de Schwartzwasser.-10. Disposición general de la primera solucién.-11. Inclinación y rigidez de los timpanos.-12. Sistema de pavimento preferible. -13. Condiciones de trabajo y de fabricación del acero. -14. Sobrecarga estática. -15. Sobrecargas dinámicas., 16. Variación de temperatura.-17. Acción del viento. CAPITULO U.-Cálculo de los tramos............ . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Resumen de las cargas y esfuerzos de prueba y cálculo. -18. Largueros interiores. -19. Largueros laterales.-20. Largueros de los andenes. -21. Viguetas. 22. V(qas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. Líneas de influencia. -24;. Momentos sobre los apoyos.25. Carga permanente. - 26. Sobrecarga de 300k por m•.27. Sobrecargas móviles.-28. Resistencia de las vigas á la flexión. . 29. Esfuerzos cortantes de las vigas principales... .... ........... 30. Trazado de las líneas de influencia.-31. Carga permanente. -32. Sobrecarga de 300k por m!.-33. Sobrecargas móviles. 34. Celosías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . 35. Vigas de alma llena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CAPÍTULO III.-Cálculo de las palizadas... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § I. Cargas verticales.-36. Carga permanente.-37. Sobr eca rga de 300k por m!.-38. Sobrecargas móviles. § II. Esfuerzos lwrizontales................ . . . . .. . . . . . . . . . . . . 39. Superficies actuadas por el viento. -40. Reacciones horizontales. -41. Cálculo gráfico de las palizadas bajo la acción de los empujes horizontales. § III. 42. Resistencia de los montantes al pandeo (flambaje).... . . IV. 43. Estabilidad de las palizadas de avenidas. . . . . . . . . . . . . . . § V. 44. Presiones máximas sobre las pilas de sitlerla ........... § VI. Pesos de las palizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CAPÍTULO lV.-Cálculo del arco empotrado. § I. Fórmulas generales...................................... 45. Descripción general del arco empotrado. -46. Elemer.tos

72 74 77 81

87 88 91 92 93

XII.

ÍNDICE

• de resistencia.-47 . Establecimiento de las fórmulas .-48. Expresión de d• .-49. Expresión de d~.-50 . Expresión de d•. -51. Cálculo de los valores de a,, b,, c , a~, b~, c., etc.-52. Líneas de influencia de las reacciones del apoyo izquierdo - 53. Calculo del momento flector de la compresión longitudinal y del esfuerzo cortante en un punto cualquiera.5-!. Polígono de las pr~siones.-55. 1Iomento flecto r en un punto cualquiera.-56. Compresión longitudinal y esfuerzo cortanie en un punto cualquiera. §. II . Ca111apermanente... .. .. . .. . . .. .. . . .. . .. . .. .. . . . . .. . . . 57. Determinación de las cargas.- 58. Cálculo de las reacciones de los apoyos. § lll. Sobr~carga estática de 300k por m! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 . Generalidades.-60. Cargas de las palizadas. - 61. Reacciones de los apoyos del arco - 62. :Momentos flectores . 63. CompresionP.s longitudinales y esfuerzos cortantes.6!. Trabajo en las cabezas y en las diagonales. § IV. 65. Sob,·ecarga dinámicas ó de carros móviles. . . . . . . . . . . . . § V. 66. Bferto de la va,·iación de temperatura .. ............ . .. . § VI. 67. Acción del viento . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 68 . .Establecimiento de las fórrnulas. -69. Aplicación de las fórmulas.-70. Cálculo del momento flector en la clave del arco. - 71. Ct'~lculo de los momentos flectores y de torsión. -72. Trabajo del metal en las cabezas .-73. Trabajo del metal en las celosías del arco.-7-!. Trabajo del metal en los arriostramientos § VII. 75. JJeterminaci ,i del traba/o total e1i el arco empot,,adu... § VI!I. 76. Amarres ó anclados del arco erapott·ado.... . . . . . . . . . . § IX 77. Presiones máa;ima$ sobre los apoyos...... . . . . . . . . . . . . § X. -;s. Peso del ar,;o empotrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CAPÍTULO V.-Cálculo del arco articulado. § I. Consideraciones y J órmulas generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79. Ventajas é inconvenientes de los arcos empotrados.SO. Disposición adoptada para el arco articulado. -81. Condicion es de cálculo. - 82. Establecimiento de las fórmulas. -83. Reacciones de los apoyos.-84. Líneas de influencia del empuje.-85. Línea de influencia de la reacción vertical. § II. 86 Car,r¡a permfl.ne,ite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § IU. 87. Sobreca,·ga estática de 300k por m'... . . . . . . . . . . . . . . . . 88. Línea de intersección de las reacciones.-89. Determinación de las cargas desfavorables para las cabezas.-90. Cálculo de los morr,entos flectores y compresiones. -91. Trabajo máximo en el trasdós.-92. Trabajo máximo en el intradós.-93. Cargas desfavorables y trabajo máximo en la celosía de los arcos. § IV.' 94. Sobrecargas dinámicas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § V. 95. Acción de la 1Jariaczó1i de temperatu1·a..... . . . . . . . . . . . . § VI. Acción del viento.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96. Fórmulas.-97. Cargas del viento de 270k .-98. Cálculo del momento flector en la clave. -99. Momentos de flexión

Páginas.

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INDICE

XIII Página

J torsión en un punto cualquiera.-100. Trabajo del metal en las celosías de los arcos.-l0l. Trabajo del metal en los contravientos de trasdós é intradós. . § VII. Cálculo del t?-abajo total e1i et arco artici&lado............. 102. Trabajo máximo total en las cabezas. -103. Trabajo máximo total en las diagonales y pandeo en las mismas. § VIII. Estabilidad dei entramado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }04. Tendencia del arco al levantamiento.-105. Tendencia de los apoyos al deslizamiento.-106. Presiones máximas sobre los apoyos. § IX. 107. Peso det arco articulado............................ CAPÍTULO VI.-Soluciones varias de arcos metálicos. § l. PRIMERA SOLUCIÓN.- Viaductos enteramente metálicos de pequeños tramos obre arcos empotrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108. Disposiciones generales.-109. Precios del acero. -110. Presupuesto. § II. SEGUNDA soLucróN.-Arcos metálicos empotrados con avenidas de j'ábrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111. Disposición general.-112. Decoración.-113. Cálculo de las dimensiones de la obra de fábrica.-114. Bóveda de 15 metros de luz, taludes de pilas y estribos, espesor en la pila, estribos de tramos metálicos, muros de los tímpanos y de acompañamiento, salmeres de los arcos metálicos, elección de los materiales y clase de obra, materiales para las bóvedas.-115. Importancia de los morteros ea los grandes viaductos. -llo. Presupuesto de la segunda solución. § III. TERCERA sOLUCIÓN.-.Arcos metálicos articulados co1i avenidas de fábrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118. Puente de la Barca (Pontevedra). -119. Pu ente ,Vashiagton(Nueva York).-120.-Disposicióngeneral de la tercera solución. -121.Cálculo de espesores .-122. Valoración. § IV. CUARTA SOLUCIÓN (adoptada). - Viaductos enteramente metálicos, de peqi&eños tramos, S1Jbre arco, articula los.. . . . . . . . . 123 Disposición general. - 124.-Presiones de las fáb ricas. 125. Resistencia de los hormigones á la compresión. - 126. Economía producida por el hormigón. § V. Qu1NTA SOLUCIÓN.- Viaductos metálicos de grandes tra'Tlws sobre arcos a1·ticulados, tipo E~/.'/et ..... ... .............. .. 128. Puente de Oporto sohre el Duero. - 129. Viaducto de Garabit. -130. Disposición general de la quinta solución.131. Tramos.-132. Pilas.-133. Arco.-L34. F á bricas.135. Valoración. § VI. SEXTA SOLUCIÓN.- Viaductos metálicos de gr.¡,ndes tramos sobre arcos er11,potrados, tipo sitizo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136. Viaducto de Kirchenfeld.-137. Viaducto de Paderno. 138. Sexta solución. § VII. SÉPTIMA so LUCIÓN. - Viaductos metáticos de gra1ides tramos sobre arcos artici&lados, tipo Seyrig...... . . . . . . . . . . . . . . 139. Puente de Trezzo sobre el Adda.-1 lO. Puente de Don Luis, en Oporto.-14l. 'éptima solución .

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224 225

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XIV

ÍNDICE Páginas

CAPÍTULO VII.-Soluciones diversas de viaductos. § I. OCTAVA SOLUCIÓN.- Viaductos completamente defábrica..... 142. Obras construídas de este tipo. -143. Disposión general de la octava solución.-144. Dimensiones. -145. Clase de materiales.-146. Ornamentación. -147. Valoración.-148. Viaducto de hormigón. § NovENA sOLUCTÓN. -Puentes 'Oiaductos de tramos rectos conti• nuos sobre pilas ae fábrica ó metálicos. . . . . . . . . . • . . . . . • . . . . 149. - Obras construídas de este tipo. - 150. Tramos metálicos. -151. Coste de esta solución con pilas de fábrica.152. Tramos rertos sobre pilas de hormigón. -153. Tramos rectos sobre pilas metálicas. § III. Otras soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154. DÉCIMA sOLUCIÓN.-Vigas parabólicas ó bow-strings. 155. UNDÉCIMA SOLUCIÓN.-Viaductos con tramos, tipo americano . . 156. DuoDÉCIMA sowcróN.-Puentes colgados. CAPITULO VTII.- Conclusiones. .. .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 157. Importancia del aspecto económico en los proyectos de grandes viaductos. 158. Conveniencia de la reducción de las obras de fábrica. 159. Conveniencia de la substitución de las sillerías y mamposterías concertadas, por hormigones y mamposterías ordinarias. 160. Conveniencia del estudio de repetidas soluciones. 161. Inconvenientes de los arcos metálicos de gran flecha. 162. Ventajas del arco articulado sobre el empotrado. 163. A reos semi-empotrados y pilas articuladas. 164. Comparación entre las demás soluciones. 165 Comparación del peso del arco adoptado con los construídos hasta el día. 52 cuadros resúmenes de los cálculos de tramos, palizadas y arcos.

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INDICE DE LAS LAMINAS

Lámina

I. [l.

III. IV.

VI. VII. VIII. IX.

X. XI. XII. XIII. XIV. XV. XVI. XVII. XVIII. XIX. XX. XXI. XXII.

Soluciones de arcos metálicos, comparadas con los mayores viaductos construidos. Soluciones diversas comparadas con las obras más notables. Alzado general de la primera solución. Viaducto metálico de pequeñas luces sobre arco empotrado. PRIMERA SOLUCIÓN.-Conjunto de los tramos con vigas de alma llena. Idem íd.-Detalle de ídem íd. íd. Idem íd.-Conjunto y detalles de los tramos con vigas en celosía. PRIMERA SOLUCIÓN. Oálc-1,lo g,-ájico de los tramos.-Determinación de los focos, líneas de cierre, momentos y esfuerzos cortantes sobre los apoyos. PRIMERA SOLUCIÓN. Idem íd. íd.-Determinación de las lineas de influencia. Idem íd. íd. íd.-Determinación de los momentos máximos. Idem íd. íd. íd.-Determinación de los esfuerzos cortantes máximos. Detalle de las palizadas. Cálculo gráfico de las palizadas. Alzado general de medio arco empotrado y distribución de platabandas en las cabezas. Detalles de los arriostramientos del arco empotrado. Detalles del arco empotrado en los arranques. Detalles del arco empotrado en los riñones y en la clave. Oálculo gráfico del arco empotrado.-Líneas de influencia de las reacciones sobre el apoyo izquierdo. ídem íd. íd.-Determinación de la carga permanente. Idem íd. íd.-Determinación de la sobrecarga estática. Idem íd. íd.-Determinación de la sobrecarga dinámica. A.Izado general de la cuarta solución (adoptada). Viaducto enteramente metálico de pequeños tramos sobre arco articulado. Arco articulado.-Alzado de un semi-arco y distriimción de las platabandas.

XVI Lámina

ÍNDICE XXIII. XXIV. XXV. XXVI. X1..'VII.

XXVIII. XXIX.

XXX. XXXI.

Arco articulado.-Detalles de los arriostramientos y contra vientos. Idem íd.-Detalles del arco en los arranques. Idem íd. - Detalles del arco en los riñones y en la clave. CálC'l¿lo gráfico del arco articulado. -Elementos geométricos y líneas de influencia. Idem íd. íd. íd. - 1Determinacicín de la carga permanente. Idem íd . íd. íd.-Sobrecarga estática de 301Jk por m•. SEGUNDA. soLucróN.-Arco metálico em¡,otrado con avenidas de fábrica . TERCERA. soLuCIÓN. - Arco metálico articulado con avenidas de fábrica. ÜCTA.VA. soLUCIÓN.-Viaducto enteramente de fábrica.

ESTUDIO SOBRE LOS GRANDES VlADUCTOS

U.A. Pl'rULO PRIMERO CONSIDERACIONES

GENERALES

.. Indecisión del problema en los grandes viaductos. -

i bien en el paso de cualquier río la variedad de solucione que se pre ·en tan es ya muy grande, aumenta la incleci:;ión del proyccti ·ta :í, meLlicla que el vano crece y que el puente llega á considerarse como viaducto. Entre un viaducto ele fábrica y otro completamente metálico caben en primer lugar, multitud de soluciones intermedias en que intervenga uno y otro material, en mayor ó menor proporción .. Y aun decidiéndose por el empleo casi exclusivo del hierro ó acero, son casi tanta las dispo. iciones como obras, habiendo no sólo la variedad en la di ·tribución de luces, ino en el si tema de tramo , pues desde las antigua· vigas recta tí lo Oantilever, y entre el arco inferior y el puente colgado on infinita· la soluciones que se pre entan al espíritu del Ingeniero. Para evidenciarlo basta examinar la do primera láminas 1

GRA DE ' VIADUC'l'OS

de este tomo, en las que hemos croquisaio nna docena de soluciones po ·ibles de mi pro,yect.o de puente sobre el Duero, comparindolas con lo viaductos más notables de análogas disposiciones construíclos ha ta el día (1). No puedo caber mayor variedad ni mis grande indecisión, pues claro es que todas estas obras, proyectadas y con. truídas por eminentes Ingenieros¡ deben haberse justificado en cada caso. Y, sin embargo, también es • seguro que la variedad de disposiciones ha de producir diferencias sensibles ele costo .e n obras de tan considerables proporciones ; as[ o que un ele acierto en la elección puede ocasionar un gasto inútil cJnsiclerable, que debe el Ingeniero evitar por medio de numerosos anteproyectos que le permitan aproximarse al l[mite de gasto. Como hemos dicho ya, en obras de estas dimensiones, cualquier pequeña variación de detall0 puede irrogar una economía considerable, como ocurre, p or ejemplo, con la segunda y cuarta solución (:figuras 5.U y 10 ele la lámina I ), en la· que :ólo con coner ol eje del puente sieto metros y reélncir las luces do lo · arcos de fábrica de 15 :i 12 metros se obtiene una <l.iferencia de co te ele 58.000 pesetas.

2. Solución general más indicada. --Dada la clispo. ición del terreno que constituye el emplazamiento de la obra, la solución que me p!lreció m{1,s indicada e: la del arco metálico inferior, ·osteniendo un tablero completamente metálico , por considerar mucho m~s económico el empleo del hieno, y sobre todo del acero, á cualquiera solución que entrara en la fábrica.

(1) He dihuj,tdo lodos cslos al1.aclos en escala de 1 por 1.000, que es la mis1m adoptada por Croezellc-De,noyer · en u álbum de puenlcs, pira la mayor facilidad de comp1ración. Debo adverlir que algunas lle eslas obras, como son los puenles de Ponlel'edra, Washinglon, Paderno, Trezzo y Dom Luiz, no figuran aún, que yo sepa, en ningún Lralado de puentes. He sa~ado cslos dalos de numerosas Revista ·, por lo que considero de algún interés el haberlas agrupldo y c!lmpamdo entre si.

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CONSIDERACIONES GE:NERALES

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La muy considerable altura ele la rasante sobre el río (90 metros), que obligaría á pilas ele extraOl'clinaria altura; el ancho clel Duero, que alcanza más ele 40 metros con gran profundidad y corriente, lo que hace difícil pensar en fundar allí pilas; la gran inclinacióú de las laderas, al mismo tiempo que su formación en roca, aconsejan clescle luego establecer un arco apoyado en las mismas, sobre cuyo arco descanse á su vez un tablero metálico. Pero aun dentro ele la solución ele arco inferior puede acloptarse una de las cinco soluciones ele la lómina I. En primer lugar, puede el tablero tener luces peque:i'ias sobre palizadas sencillas, en cuyo caso necesita el arco ser muy reba jado, lo que aumenta su luz total, ó puede, en cambio, preferirse reducir la luz del arco, aumentando su flecha, lo que obliga á disponer un tablero con grandes trnmos. En segundo lu¡?;ar, aunque los arcos más notables se han cons'" truído articulados en sus extremos, hanse ejecutado, además del antiguo de San Luis (fig. 4), recientemente, y muy particularmente en Suiza (figuras 1 y 2), arcos ele gran luz empotrados por sus extremos, que, aparte la elegancia ele su disposición, presentan una ligereza notable. Desde el primer momento me incliné á esta última clisposición, que me pareció presentar las siguientes ventajas.

3. Ventajas de los tableros de pequeños tramos.-Es sabido la gran economía ele metal que se obtiene reduciendo al límite posible las luces ele los tramos, y desde el momento que la resistencia y, por lo tanto, el peso del arco deben ser proporcionales al del tablero que sobre él se apoya, se comprende la influencia que puede tener la distribución de luces de un tablero. Además, siendo peque:i'ios los tramos, las pilas que los sostienen pueden reducirse á simples palizadas muy ligeras, en lugar ele las graneles pilas prismó,ticas que se necesitan para graneles

GRA DE

VIADUCTO

luces, reduciénclo e también por este concepto la carga que ha de actuar ·obro el arco. Pero para que e tas palizada puedan ser ligeras, se precisa que no oxcoJan ele uno · 20 metro ele altura, pue pa ado e te límito. r osi. ten difícilmente al pandoo (flambage) , y como consecuencia re. ulta la nece idad de robajar el arco, lo que á su vez arrastra un aumento de luz, si e quieren evitar- e tribo. demasiado altos y costo os. D espué de varios tanteos de trazado, que consideramos inútil presentar, acloptamo como más conveniente el arco ele 120 metros ele luz, con 24 metros de :flecha, es decir, rebajado al '/ 5 , que nos permite distribuir el tablero en tramos de 6 á 10 metro sm que la palizada más alta exceda de lo: 20 metro que con icleramos como límite. :Un arco ele menor luz con igual di ·po ·ición no· obligaría á dar exce iva altura é importancia i lo e tribo , ú menos de aumentar la :flecha, en cuyo caso se entra en las solucionos ele las figuras 13 y 16, que llevan con igo los graneles tramos Jol tablero.

4. Ventajas del empotramiento de los arcos .-Si con ideramo una viga recta sabemos que cuando e. tá empotrada el momento Fig-1 producido por una carga P actuando sobre u punto medio, es la mitad del que la mi. ma carga produciría en la viga simzs zs plemente apoyada. i la ca rga estuviera uniformemen te repartida el momento on la primera sería lo •¡c. del ele la S"gumla, doduciénc.lo:e de aquí ln mayor r esistencia que produce ol empotramiento ó una economía. ·i se qtúere igualda<l de re ·i tencia. Lo mi:mo ocurre con la pieza. verticale comprimida. por

00 SIDERAOIONES GENERALES

sus extremos; cuanclo están ernpotraclar; resi. ten más que cuando están simplemente apoyadas. ¿Por qué no ha de ocurrir análoga proporción de resistencia entre una viga en arco empotrada en sus extremo y un arco, apoyánclo e sencillamente en el estribo por medio ele una articulación? Pero en una viga ele arco la cue ·tión se complica necesariamente por las sobrecargas y, sobre todo, por los efectos ele la temperatura. En un arco, cle cansando libremente sobre su apoyos la distancia d cle las cm·yas ele presiones extremas, debe necesariamente ser mayor que en el arco empotrado, puesto que en este lÜtimo la tangente á la ctu·va en los apoyos se fija; sienclo los momentos proporcionales á esta distancia d, será, pues, necesario dar una mayor sección al arco articulado que al empotrado. U na cosa análoga ocmTe en las columnas de baser; reclon- . cleada y ele base plana; estas últimas pueclen .·oportar una carga doble, por lo menos, según las experiencia ele Hoclgkin on (teóricamente e cuatro vece· mayor). Queda la cuestión de temperatura, cuyas vanac10nes detei·minan, segün Kmchlin, esfuerzos tanto más considerable. ·, cuanto má,r; roducicla es la :fleclia por lo que este Ingeniero da la preferencia á, los arcos articulados (1). (1) Application de la statique graphiqu.e, pág. 225. Hay que .ifiadir, sin embargo, que Krechlin, que e el Ingeniero de la ca,;;1 l~ifTcl, que h:i. calculado lo viaductos de Porlo y Garabil, licue que lcncr forzo,a111entc siu1palias por la dispo ·ición caracleríslica de csla · obras.

GRA DE

VIADUCTOS

Sin embargo, ya durante la construcción clel puente ele Areola , en Parí ·, Mr. Ouc1ry observó que, apretanclo mó.s ó menos las cuna· inferiores ó superiores, se obtenía una elevación ó descenso del vértice del arco mucho mayor que la deformación ejercida

p or la temperatura, ele lo que declujo que este último efecto no podía tener la importancia que se le atribuía generalmente. R esal viene á tener, en definitiva, esta misma opinión, puesto que en su obra de puente. metálicos (pág. 184) propone el semiem potrami e nto para la ¡ - - - - - - - - - - - - -- - -~ sobrecarga y la temperalfg-5 t ura y el pivote central sólo para la carga permanente. Fnnda esta solución mixta en las di:ficul tades ele m<;mtaje ocurrida.- en los arcos empotrado· del puente ele San Luis; pero, en verdad, no

00 JSIDERACIO E

GE ERALES

nos extraña lo ocurrido en aquella obra, acerca ele la que conviene cligamo algunas palabras.

5. Puente de San Luis sobre el Mississipí (lámina I , :fig. 4).-Reproducimos parte del alzado ele esto puente en la :fig. ,1 de la lá-

mina l. Con arcos muy r ebaj ados (pues que llegan á 1 / 1 , ) se salvan luce · de l 53 metros y 15801 ,5 ). Da paso á dos vía · do ferrocarril y á una carretera. En su montaje se suprimió por primera vez el empleo de las cimbra , efectuándolo al aire por meclio de cables. A p esar ele haberse construido con acero una gran parte del puente (e. te metal entra en nna proporción del 67 por 100 u.el peso total) y de someter el acer o á un trabajo do 20k por m/m\ ol

peso por metro lineal alcanzó la cifra de 14.400 kilogramos y su costo excedió de 32 millone: ele peseta·. Los arcos estaban constituíclos por tubos de acero que ·e empalman por medio ele manguitos atornillados á sus extremos, después de sujetar invariablemente los primeros tubo · á los arranques, por medio ele fuertes p ernos empotraclos en los estribo · ó pilas. Se comprende fácilmente que con o. ta disposición de tubo. ele acero muy dm·o y con insuficiente huelgo en los empalme fuera casi imposible colocar al aire y ·in cimbra los tubos de intradós

GRANDES VIADUC'ros

y tra ·Lló en la situación exacta ele cálculo. lo qne obligó {¡, forzar mucho · de e.;;to tubos. ometiéndolo. á cleformacione. · exageradas El vicio ori.ginal de e ta obra que obligaba á suj etar invariablemente los tubos ele arranques en el intradó8 y en el trasdó , consiste en la pequeña di.-tancia de lo8 dos tubo · de cada arco. Si e hubie e aumentado e ·ta di tancia de tal manera que ninguno de lo e fuerzo · R, R, etc. repre entando la ·urna del peso permanente, obrecarga más de favorable, temperatura y viento, pucli.era salir ·e fuera del espacio comprendido entre la dos cabeza · y ha ta qnedar e como se ·uele hacer en puente. de fábrica, á, una cli. tanci.a 1 / 6 h ele la fibra media, hubiera bastado un acuñado si.n amanes, pue to que en ningún caso quedarían la· cnñ.as libre obteniéndo e así un empoiramiento natU1·al. En una • ota ·obre lo. tipo fundamentale · de vigas metálicas y obre el ·istema Oantilever • , por Mr. Jule · Gaudard, profesor en Lau anne (Stúza), publicada én los Ann,;¡,les des ponts et chaus és, Mar. 1891 , manifiesta cliclio señor •que tanto como en el puente ele , an Lui ·, es incli pen ·able el amarre de de los puentes ·uizos, de arco empotrado, si .-e quiere a. egurar sin peligro; el contacto permanente de la cabezas con el e.-tribo• . Y sin embargo en el reconocimiento minucio o qne yo mi mo practiqué de lo · arranques de lo viaductos de Kircltenfeld (B erna) y chwartzwasser, pude ob ervar que e n ninguna ele las pieza ·e ob1:;erva la más insignificante deformación (lo que ·e aprecia fácilmente en la pintnra): que la. cmía no parecen haber ·e movido, y me a.-egtu-ó del modo más terminante el constructor de esas obras .Mr. Probst, que me acompai1aba, que en 108 mucho reconocimientos que practicó en los once anos que llevaban de edad, en lo8 días mú frío y má · caluro o·, nunca pudo mover ninguna de las ctuí.as. E to demuestra que cuando la distancia de la · cabezas e8 sufi·iente no deben producir tensione8 negativas, si.enclo entonces inútil el amarrrdo de lo · arco.-.

CONSIDERACIONES GF,NERALES

6. Montaje sin cimbra de los arcos empotrados.-La: dificultades ocasionadas por el montaje al aire ele lo · arco.· empotrados clel puente do San Lui:, aconsejó á 7\fr. Probst el montaje ele sus puentes por medio de cimbras. No cabe cludar que este sistema es el mús seguro; pero como en el viaducto sobre el Duero habría de .resultar c~. to ·o y difícil (por lo. 90 metros de altura de la ra~ante) establecer una cimbra completa, sería preferible emplear el sistema de montaje en volailizo, pero modificando el procedimiento empleaclo en Sa.n Luis. Para e ·to bastaría montar el arco en voladizo sobre la cabeza inferior ele intradós, no colocando la cuña superior del trascló.· . ino después ele cerrado el arco, en lo que no puede existir seria dificultad, pue. to que durante el montaje sólo actúa una parte relativameente pequeña clel p eso permanente y puede casi decirse que es el procedimiento seguido p :lr Se_yrig en el montaje u.el puente de Dom Luis (fig. 18; lámina I), que se explica en el número ele Enero de 1886 ele las Memoria de la Socieclad do Ingenieros civiles france. e . No creemos, pues , que este sistema u.e montaje puecla producir las dificultades que presume Resal en su obra do Puentes (pú.gina 482), siempre y cuando en anchemos suficientemente la clistancia entre la. cabezas que es la base de la ostabilitlacl natural de e8 te sistema de arco empotrado, que con tanto é:s:ito como economia, ha resucitado el eminente Ingeniero suizo Mr. Probst. 7.

Viaductos suizos.-Las obras proyectadas

:r con. truídas en

GRANDES VIADUC'l'OS

lo · talleres que clirigo dicho señor . on las siguientes, cuyos alzado clibuj amos en la ltímina I: ]'ig. 1. Viaducto ele J avroz, carretera ele Bulle á Boltingen, terminado en 1880. Fig. 2. Viaducto Sclnrnrtzwas er, carretera ele Berna á Schwa~·tzemberg, terminado en 1882. Fig. 11. Viaducto ele Kirchenfelcl, en Berna, carretera ele Berna á 'l'hou.ne, terminado on 1883. Viaducto ele 1\luhlebach, ferrocarril ele Vierge~á Zermatt, terminado en 1891. El año 1888 un colaboraclor de Mr. Probst, el Ingeniero mo]J.sieur Rothlisberger, actualmente Dirnctor ele los tallerns ele Savigliano (Piamonto), ha proyectado y ej ecutado el viaducto de Paclerno (:fig. 12) ele] 50 metros de luz, calculado y montado por los mismos procedimiento.· ele lo · viaductos suizos, aunque varía la disposición de los tramos que tienen grandes_luces. Por último, se construye en e. te momento en la capital Suiza otro egundo viaducto ele arco empotrado, muy parecido al ele J avroz, de 127 metros de luz, 30 metros ele flecha, 4 metros de separación ele las cabezas en los arranques y 2 metros en el vértice, teniendo todos los tramo: del viaducto la luz constante ele 7m,50. Estas son las únicas obras que 1;e han construido hasta ahora, según el principio inauguraclo por J:\fr. Probst, ele aumentar la separación ele las cabezas de intradós y trasdós para evitar los esfuerzos negativos y, por con.-iguionte, lo· amarre·, y hay que confesar que todas las críticas que puedan dirigirse al istoma, se estrellan ante la incleformabilidad de estas obras, su elegante aspecto y la economía que en ellos se ha obtenido. No· inclinamos, pues, desde el primer momenLo á estudiar esta solución antes que ningtma otra, adoptanélo tma disposición muy parecida ú. la de los viaductos ele Javroz y Schwartzwassor, por lo que creemo · conveniente decir alguna.- palabras :obre estas do: intere:antes obras.

CONSIDERACIONES GENERALES

8. Viaducto de Javroz (lámina I, fig.1).-Pertenece ú. la carretera ele Bulle ú. Boltingen. El Gobierno suizo mandó e ·tucliar en 1877 once proyectos: clos Je piedra, cinco de hierro, le los cuales cuatro con viga rectas y uno con arco y, por último, cuatro puentes colgados. Se aceptó primeramente y en principio al tipo en arco, proc~diéndose á un concurso entre vario constructores, otorgándose por fin al más ventajoso, que fu,é el tipo con a1·co empotrado, que ejecutó su autor Mr. Probst. Las luces de los tramos son ele 7 y 8 metro:; la altura mú,xima ele las palizada ele 1 - metros. El peso resultante fué de 205 toneladas ele hierro, que corresponde ó, un peso por metro lineal de 1900k y por metro superficial ele piso de 396.k 9. Viaducto de Schwartzwasser (lámina I, fig. 2).-También esta hermo a obra, destinada á una carretera que sale de Berna, fué obj eto ele un concurso, del que resultó nuevamente victorioso el proyecto de Mr. Prob. t, que se ejecutó en 1882. Am1que la disposición es muy semejante á la ele Javroz, tiene una cuarta parte más <l.e luz; los tramos son todos iguales (ele om,7fi), pero las pn.lizadas alcanzan alturas do 1Sm,8(). E l peso por metro lineal de viaducto resultó ser de 2575 k, que corre ponde á un peso por m • de 429 k. Las cargas ele prueba y de có1culo fueron 300k por m•, como ·obrecarga estática, el pa ·o ele un carro de 10 tonelada: como dimímica y un e fuerzo de viento de 150k por m•, inclinado á 15°. El peso por motro linea,l ele viaducto resultó ser de 2575", que corresponde á un peso por m• ele 429 k, Habiendo comparado los pesos por metro :upor:ficial de puente obtenidos por Mr. Prob ·t en esta.- elos últimas obras, con las de otros muchos puentes en arco articulado de menores luces, observamos que á, p esar del mayor vano salvado, ]os pesos Lle los viaductos suizos resultaban menores.

GRANDES VIADUCTOS

Como por otra parto el detenido examen que l~ice sobre el terreno de todas las piezas de esta obra, me demostró que eran infundados los temores y críticas quo contra el .-istema S!} han formulaclo y, como por ültimo, quedé encantado del aspecto elegan tísimo que presentan estas obras, do cuya disposición e.- quizá la única <l.e todos los sistema · metálico ·, que reune condicione.- estéticas, me decidí por estuiliar primeramente e. ta solución. 10. ·Disposición general de la primera solución (lámina III).-La luz adoptada para el arco, después de algunos tanteo , e · la tle 120 m etros,comprenclida entrela del viaducto do Schwartzwasser (114 metros) y el que se construye actualmente en Berna (127 metros) . pues con esta luz y una .fl.echa do 24 metros, quo r epresenta un r ebajamiento de 1 / 5 (comprendido también entre los rebajamientos 1

de aquellos dos viaductos que son respectivamente de a,., _ _ ·y 4,2 ~ ) se apoyan los arranques de los arcos, casi di.l'ectR.mcnte sobre las laderas , con lo que r educimos al mínimo la obra de fábrica de los estribos. D esde luego adoptamos para el arco la forma parabólica, que . egún demuestra Resal (pág. 331, tomo I ) y seg ún ha acloptauo Eiffel en sus puentes, es la forma más económica, puesto que produce el trabajo mfaimo on cada sección. Con esta ilisposición del ar ·o, ro.-ultarían palizada.- de más de 20 metros de altura cerca ele los arranques y, como por otra parte, conviene no exceder de esto límite , para evitar el pandeo de lo montantes, h emos admiticlo una luz de 10 metros para el tramo del tablero, que no. permite mantenernos en el límite :fi.ja<l.o, si bien disponiendo unas pequ eña · pilas de sillería encima de los estribos para ganar la iliferencia <l.o altura . .A.hora bien; como las demá.- palizadas van clisminuyendo progresivamente de alttu-a por uno y otro lado ele los arranques, hemo::; creído conveniente ir reduciendo también las luces ele los

CO JSIDERACIONES GENERALES tramos, hasta 6 metro como mínimo, combiná.nu.olos con los montantes e.le la viga en arco. Entre varios tanteos que hemos examinado comparativamente, y que es inútil r eproclucir aquí, de diferentes distribuciones ele luces, y disponiendo los montantes verticalmente como en J avroz, ó normalmente al arco como en Schwartzwasser, hemos adoptado la representada en la lámina III, que es la que más ha satisfecho nue tra vista por sus buenas proporciones. Asimismo hemos adoptado para las cli tancias ele intradós y trasclós del :arco en los arranques y clave, las mismas dimensiones que el viaducto nuevo .de Berna: 4m,00 y 2m,OO, con lo que creíamos evitar los esfuerzos. negativos (1). El tablero estó. constituído por Llos vigas continuas de 180 metros de longitud, de alma llena, porque según luego demostraremos, resulta algo más económica que las ele celosía. El piso e intermeLlio, con andenes de 0m,75 en voladi.zo, lo que permite r educir el ancho de las palizada en su parte superior; se establecen viguetas ele dos en do · metrns, uniu.as á las vigas pol' montantes que fas refuerzan, completando el entramado clel tablero con larguero ú, 1 m, 175 ele distancia, distribución que nos parece fa, más económica y que se combina bien con la de las palizadas, y con la que sa obtiene un ancho total ele seis metros entre barandillas, que conesponde á las carreteras clo t ercer orden (2).

11. Inclinación y rigidez de los tímpanos.-Los planos ele los montantes de las palizadas y ele la· clo · únicas viga· en arco que sostienen ol tablero, presentan un talud trasver ·al do 1/1e (0,0833),

(1) Veremos más adelanto, como á posar del ancho de 4- 1110Lros en los arranques, e prorucen eslo esfuerzos negativo que obligan á amarrar la · cabezas. La cau:t que dolormina e ta tensión inesperada es el esfuerzo del vionlo que suponemos de 270k, mientras que los viaducto ~uizos sólo cslán calculado· para 150k por m2 • (2) Propusimo · á la ·uporioridacl reducir esto ancho á 4- metros, con objeto do di,minuir el coste do la obra, no habiendo sido acoplada esta propuesta.

GRANDES VIADUCTO,'

comprendido entre •¡,, que tiene el viaducto de 'chartzwasser y 1 / 11 que tiene el de Garabit. E te talud tiene por objeto aumentar la estabilidad de la obra contra ] os efectos del viento que pueden ser muy en ible · en un emplazamiento tan embarrancado y determina o:cilacionc sensibles, ya que no peligrosas, egún apreciamo per onalmente en aquellos viaducto , en los que, como en el de Kirchenfeld, no se ha dado talud á los arcos. De e te modo la distancia de los arranques, entre las dos viga del arco, es de gm,OO, que se reduce á 4m,70 en la clave. A causa de la gran longitud (180 metro·) del tramo continuo, habíamos primeramente pen ado en c1i poner las palizada · como la pila de algunos viaductos noruegos, con dos articulaciones en u· extremo , que permitieran la libre dilatación de la · tra mas y las deformacione · del arco, ó por lo menos una sola articulación en su base inferior, como acon eja y ha dispue ·to Resal en su puente obre el Loira de antes. ~ éase 8U obra de puentes, pág. 486, tomo I .) Pero á la verdad habiendo obsen·ado que las pequeña.- cleformacione producida.· en los ,iacluctos de Sclt,,·artzwa ser y Kirchenfeld, no han proelucido efecto sensible ele tor ión en ninguna ele la palizadas ele esta obras, que e tán rígidamente empalmadas 0011 los arcos y los tramos, hemos preferido también .·eguir la mi ma c1i ·po ición, 1 bien calculando la ·occión de lo montante. ele las palizadas, como simplemente apoyadas. La única precaución adoptada ha iclo la reelucción en lo posible dol ancho ele los montantes (el má:xi:mum e· Qm,50) por ·er la tensiones ecunclaria · quo se producen en estas barras proporcionales ú dicha dimen ión. Con e ·ta c1i po ición ele viaducto, queda la obra de fábrica reducida á los apoyos indispen ables para los arco y las palizadas do orilla, y á dos pequciío muros de avenida á uno y otro lado, pudiendo considerar e ol conjunto como un tablero recto de pe-

CONSIDERACIO IBS GENERALES

quenas luces, apoyado por simples palizaJ.a · i:iobrn el teneno y sobre un arco que lo sustituye en la parte media . Para terminar estas consideraciones generales, . ólo nos resta j u ti.ficar el sistema de pavimento au.optado, el metal que se ha elegido, sus condiciones de fabricación y trabajo y las cargas y esfoorzos c.1e pr ueba y cálculo.

12. Sistema de pavimento preferible.-En nuestro librito sobre Piientes de hierro económicos, hemos ya evidenciado las ventajas del entarugado sobre los demás si temas de pavimento· que puedan emplearse para las calzadas de los puentes metálicos. Pueden aquéllas rnsumirse en los siguientes: 1. 0 Tienen mejor aspecto que los entablonados y firmes. 2.0 Evitan los choques y vibraciones que producen los afirmado. y empedrados. 3.0 Es menos pesado que estos 1.í.ltimos y mucho más dm·adero que los entablonados. La Superioridad también lo ha estimado así, al aconsejarnos ol empleo del entarugado en el puente de Ri-v-adesella, y así lo proyectamos y se está ejecuta.ndo en esta importante obra. hn ol -viaducto de Pino, aún tiene má8 importancia que en cualquier otra obra la reducción J.el peso muerto ele los tramos, pues que así e disminuye la carga que ha de soportar el arco; otroce también en este caso el entarugado la ventaja muy apreciable en una obra de tan gran longitud y sujeta ú o ·cilaciones sonsiblei:i J.o que :e suprimen los choquo8 y -vibraciones que en ella hubiera producido un pa-v-imento de piocha. Por osta · razones no hemos vacilado en adoptar el entarugado con la clisposición que se representa en la8 lámina· 4 y 5, que es análoga 6, la empleada en las calles de Madrid y á la del puente de Rivau.esella. Se compone de tarugos c.1e 15 c¡m de altma con sus fibras vei·-

c+RA.NDR8 VL!\.DU0'1'08

ticale ·, colocado.· ·obro una capa ele un centímetro ele e:pesor de arena gruesa (1). Rsta capa ele arena se extiende sobre una contrarosca de hormigón hidráulico, á la que se tla preYiamente el necesario bombeo y que forman con la placa · bombeada ele acero del tablero un pi o muy resistente duradero y rígido. Como el hormigón tiene por principal objeto el repartir uniformemente obre el entramado la· sobrecarga· que pasen en la calzada pudié~a ·e en rigor reducir alÍ.n más . u espesor, pero no podría a egurarse entonces una buena ejecución de esta argamasa. Para evitar que e agriete el hormigón y formar con él una verdadera bóveda on rincón de claustro, quo por sí ola soa capaz de resi tir el tránsito de los vehículo · e preci a darle un e. pesor mínimo en la clave de estas bóveda de 8 c/m, que es el que herno adoptado. Qtúzá lmbiérase podido suprimir en absoluto las placas bombeada ele acero aumentando el espesor de las bovedillas de hormigón que forman la contrarosca, pero no se obtendría un piso ele hormigón seguro sin.aumento sen ible de espesor y de peso muerto del tablero. Este e r educe aíí.adiendo :'.i la contraro:ca proyEictacla las placas bombeadas ele acoro do 6"'/m, que no solo bastan por sí solas para re i ·tir toda la sobrecargas, sino que son el rnayor y más rígido arriostramiento qite puede adoptarse para el tablero (2) , que queda así completamente indeformable.

(1) En el puenle de Rh·ade ·ella proycclamos esla capa de ;1rena con 3 c/m ele espesor, pero c1·eemo que puede reducirse:. 1 c/111 sin inconveniente alguno. (2) Sería muy conveniente hacer un esluúio compar;,tivo de pesos y resistencias de lodo· lo~ ·islemas de pi ·os que pueden aclopt.11-sc para los tablero de puentes, para carreteras, combina.ocio lo· parimento ele afirmado y enlaru¡,,aclo, con boreclillas de hormigón y ladrillo · hueco in placa bombeada · ó combinadas con ellas. En la imposibilidad de retrasar más mi trabajo con este estudio, que merece detenidos cálcu-

CONSIDERACIONES GENERALES

Adqptamos el espesor ele 6 m/m para estas pl_acas, no porque sea necesario, pues ya hemos visto que las bovedillas ele hormigón contribuirán en gran parte á repartÍT las cargas sobre el entramado, sino porque lb consideramos com·o el límite práctico <le _espesor para piezas sujetas á la oxidación y difíciles de pintar ó sustittúr. Para obtener con el afirmado un piso tan resistente como el proyectado, sería nec1:1sario emplear chapas ele 8 m¡m, en cuyo caso el peso por metro cuadrado podría calcularse: Firme (O, m 23 ele espesor medio á 2.300~' _por m º}. . . . . Placas bombeadas de 8 m¡m . . . .... . . . . ... . . . ... .. . . .

460k 76k

Peso por mi del piso con afirmado. . . . . . . .

535k

En cambio , con el entarugado que se proyecta el peso se reduce: Entarugado 0 01 , 14 ele espesor por 900"- el mº... .. .... . .. . Arena Om ,01 ídem á 1.800"-. .. ... . . .. . . . . .. ... . .. .. . . ... Con trarosca de hormigón, espesor meilio 0 111 , 12 á 2.000"-

135k 18k 240k

P lacas bombeadas de Gm/m ... . ... . . . . . . . ... ........ . . . ..

48k

Peso p or mi del pisq con entaruga,do. ... ..... .. . .. . . . . ...

441k

es decir, que se obtiene una reducci6n en el peso <le cerca ele 100 k. por metro cuadrado, con un piso mucho más r esistente, y con las ventajas propias del entarugado que antes enumeramos. En cuanto á los andenes, no me parece cludosa la elección de chapas estriadas, de 7m /m de espesor, que es la solución más ligelos y experiencias, que á mi juicio debieran hacerse en la Escuela, bajo la inteligente dirección de mi compañero el profesor de puentes Sr. Gaztelu, me limito á proponer la solución proyectada, que sólo la experiencia me acon eja, obteniendo ya con ella vent.1ja · y economías aprecia-bles, c1uc quizá puedan afinarse más. 2

GRANDE

, ~IA.DUC1'0

ra y económica, que cacla d.ía se generaliza más en lo puentes metálicos.

13. Condiciones de trabajo y de fabricación del acero.-~ ntes de comenzar lo cálculo ele mi puente, propuse á, la uperioriclacl el empleo clel ace1'0 con coeficientes ele trabajo ele 9 y 10 kilogramos por m/m 2 a ( como algunas otras modifi.cacione: clel modelo oficial del pliego ele condiciones, ele que luego nos ocuparemos. La Junta consultiva encontró ju tifi.cada mi propue ta poro no oxistienclo en España reglas precisas para las concliciones ele tra,bajo y clo fabricación de este metal, atí.n no empleado en obras clol Estado, hube ele estudiar esta cuestión, para lo que consideré com·eniente formular un cue tionario sobre el que me informaron todas las fabricas españolas. Uniendo á esto el estudio ele los Reglamentos de Francia, Austria,, Rusia, A l emania, Inglaterra y Bélgica, y el examen e.le las concliciones con que se han calculado y ejecutado los puentes ele acero recientemente construíclos en el extranjero, pude formar un juicio completo que he e:s:pue to en mi Estndio sobre el empleo del acero en los puentes, pub]icaclo on los ntí.meros 7, 9 y 10 d.el Boletín de la Revista de Obras públicas del año 1896. No considero, pues, necesario, repetir lo que en dichos artí:culos expuse y me limitaré á re um.ir aquí la conclu iones de aquel trabajo, que aplicaré al proyecto actual. Límites del trabajo.-Los elementos del puente deberán calcularse de tal manera, quo teniendo en cuenta las condiciones más Llesfavorables, en ningtí.n caso supere el trabajo c.lel metal, en las diferentes partes de la obra, á los . iguientes coeficiente : 10 kgr .. por m/n/ en la vigas principales y cabezas ele arcos. 8 kgrs. por m/m 2 en viguetas, celosías, arriostramientos y palizaclas. 5 kgrs. por m¡m 2 on los roblones. Los e.los primeros coeficientes se entienden por milímetro cua-

uo_ 8IDERAOIONE '

GE ERALE

clraelo de sección neta, es decir, descontándose los agujeros de roblones y pernos. Condiciones del metal.-El metal que ha ele emplear e en la obra, ·erti acero muy dtllce, fabricado por el procedimiento Mart,ín-Siemens, y ofrecerá las siguientes coneliciones ele resistencia, probadas en barretas ele 200 m¡m. Carga mínima ele rotura . . . . . .. .. ; ... . .. 40k por m/n/. Alargamiento mínimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 por 100 Límite elástico. . ..... ...... . Entre 20 y 26K por m/rn 2 •

Roblones.-Serán ele acero extra-dulce,que reunirá las siguientes condiciones ele prueba: Carga mínima ele rotura .. ... . . .... . . .... 3Sk p or m/rn 2 • Alargamiento mínimo... . ... .. ........ . . 2 por 100 Aun en el montaje, eleberá ejecutarse el rnblonaelo á máquina1 oxceptuándo. e solamente aquella unione. secundaria , como, por ejemplo, las de las placas bombeada· del piso, en que sería . imposible efectuar el cosido á máquina. Unicamente para estos caso se empleará roblón de hierro extra:fino con las siguientes condiciones de resistencia: Carga mínima de rot::ll'n ............ ·... . 36k por m/m1 , Aiargamiento ....................... .. . 16 por 100 Por último, los agujeros ele los roblones deberán alisarse á. máquina en un espesor mínimo ele 3m /m, para asegurar la perfecta superposición do todo · los agujero · que deban coserse.

14. Sobrecarga estática. - En los antiguos formulario. para puentes ele lú-erro ele carreteras (ele 16 de Julio de 1878), se prescribe una sobrecarga do prueba de 300k por metro cuadrado ele puente, y esta misma cifra os la que admitimos para el caso presente.

· · GRANDES VIADUC'l.1O

Bien es verdad, que el Reglament'o suizo e.le 1892, sen.ala 450k por m 2 para la sobrecarga e tática en los puentes ele oa1:reteras de primer orden de mucho tráfico, p~ro reduce esta carga á, 350k p0r m 2 para las carreteras auxiliares de mucho)ráfico y {¡, 250k por m • para todas las demás carretera . Asimimo en Austria (1), se reduce la sobrecarga estática de 400k ó 340k por m 2 , para las carreteras de 3.ª clase. io~· último, en el art. 17 del Reglamento é Instrucción, aprobado en Francia el 29 de Agosto del 91, se autoriza á los IngenierÓs par'a reducir la carga estática de 400 á 300k por m 2 como mí1'lim"o, en carreteras de fuertes pendientes 6 de · escaso tráfico. Una y otra de estas últimas circunstancias reune nuestro puen..: te, q:ui-_e -no sólo se encuentra en un emplazamiento completall\ente despoblado y á má _de_un ~ómetro de los insignificantes pueblos de Pino y. Villa de Pera, sino que tiene su acceso y salida por me. . dio de tramos de carretera con penclientes de 6 por 100 en longitudes de 2 y 3 kilómetros por una y otra margen. · ·No puede, pues, suponerse que el puente sea nunca invaJ.iclo por una masa tan compacta de muchedumbre, quo produzca una sobrecarga de 400 ó 450k por m•, lo que representa de 7 á 8 personas por metro cuadrado, y creemos ser suficientemente previsores admitiendo como máx_imo el paso de cinco personas por metro cua(Ú-a~o, que á razón ele 6Qk por persona, dan la sobrecarga ele 300k por m 2 • · Y en ültimo ca. ó, si por una circunstanéia complotainénte irnprevi ta, llegara la sobrecarga á exceder de esta cifra, alcañ.zarrdo 400 ó 500k por m• en algunos puntos, no por eso éreomos que había de oca ionar ninguna catástrofe, pues aun con sobrecarga dobles no alcanzaría el trabajo de ninguna pieza al límite elástico del acero, que como hemo visto, es má del e.lo ble dol coeficiente 1náximo de trabajo del metal. (1 J Orden del ministerio de Comercio de Austria, de 15 de eptiem~re de 1887.

CONSIDERACIONES GENERALES

15. Sobrecargas dinámicas. -También prescribe el modelo oficial de pliégo· de condiciones del año 1878, que los carr0 · de prueba han de pesar 9 ó 12 toneladas, según que sean ,de dos ó étiatro r uedas, pero en varias ocasiones la Junta consultiva ha consentido la reducción de estos pesos, .que difícilmente pu13den encontrarse en España. Si ten,emos, sobr~ ·todo, en cuenta la cireunstan_cia antes indicada, de que nuestro viaducto se encuentr~ entre dos rampas cle .6 pot ' 100 clE1 pendiente de 2 y 3 kilómetros de longitud , ~ería ab~urdo ·dar al puente una resistencia muy superior á la necesaria para los carros que puedan Cil'Cular en una vía tan accidentada. ·No creemos que el peso ele los carros que sobre el puente lcir1 culen, exceda nunca ·de 4000 kilogramos; pero para mayor s,gnriclad, propusim9s á la Junta que nos permitiera calcularlo tara ca:i:ros de 5 y 8 toneladas de dos y cuatro ruedás rnspectivamente. • • 1 La superioridad estimó que debían elevarse estos pesos á 6 y 9 to~elaclas, y á estas cifras nos hemos atenido (1), pudiendo observarse que dichos pesos superan á los de los trenes de sitio de :más peso que circulen en España, y que según los datos que me han sido facilitados por el Ingeniero militar afecto á la comisió~ de ¡ este estudio son: l Pes9 del obus más pesado (de 21 de bronce) . . ... . 3 .0201 Peso ele u cmena. . . .. . . .. . .. .... .... ..... . ... . 2.500-

ToTAL............. . 5.520

·Aunque este peso no se reparta por igual entre las cuatro rue(1) En Suiza se admiten para las sobrecargas estática , carros de cuatro ruedas, con 20, 12 y 6 toneladas de peso respectivamente, para las carreteras de las tres clases, pero suponiendo

que sólo circula tm carro á la vez . . En Austria, los carros de prueba y cálculo, de cuatro rueda ·, pesan 12, 6 y 3 toneladas respectivamente. · La instrucción francesa, ya citada, adm ile carros de 6 y 16 toneladas, según que can de du ó cuatro rnedas, pero autorizando la red ucción de estas ~.irgas en carreteras de fuet·tes pen· · · .. diente· (art. 17).

GRANDES VIADUO'ros

das de la cureña y avantren, se ve que nunca alcanzará las 6 toneladas sobre dos ruedas, que aclmitimos como carga móvil. Ahora bien, como estos carros necesitan para moverse ser

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l.217 ••

arrastrados por un gran mí.mero de caballerías, es preciso fijar el peso de estos y su distribución, para obtener así el diagrama móvil de pesos que han ele circular sobre el puente, teniendo ademtí.s

CONSIDERACIONES GENERALES

en cuenta que deberán ponerse clos filas ele velúculos, cruzándose en el tablero. La antigua instrucción francesa clel afio 1877, que prefijaba los diagramas ele los diforentes trenes, asignaba á cada caballo un peso ele 400". La instrucción del afio 1891 eleva este peso á 700k. En España no se encuentran caballería::itque pesen más ele 500k y á esta cifra máxima nos atenemos. Suponiendo que para anastrar el cano ele 6 toneladas, se precisen como mínimo 3 caballerías (r educiendo el mí.mero ele caballerías resulta más desfavorable para el puente la sobrecarga móvil) y cinco caballerías para el carro da 9 toneladas, admitimos para el cálculo las distribuciones de la fig . 8, muy parecidas á las de la antigua instrucción francesa.

16. Variación de temperatura. -Sobre todo en los puentes en arco de grandes luces, es muy sensible el efecto de una variación de temperatura, teniendo los arcos que deformarse bajo el efecto de la dilatación ó contracción que produzcan, por la sujeción á que están sometidos sus arranques. Así es que deben calcularse estas deformaciones para añadir su trabajo al producido por las cargas permanentes, á las sobrecargas y á las clel viento. Aclmitiremos una variación ele+ 30° por debajo ó por encima ele la temperatura ele montaje, que es la que ordinariamente se acepta en estos graneles viaductos. 17. Aooión del viento. -Sabiclo es que la catástrofe ocurrida durante un violento huracán on el puente sobre el Tay (Escocia), se aribuye al esfnerzo lateral del viento, que no se había tenido en cuenta. Así es que en todos los puentes ele alguna importancia construidos posteriormente, se han calculado u· elementos de modo á poder resistir el empuje del más clesencaclenaclo ciclón.

GRANDES VIADUO'ros

En el puents clel Forth se ha aclmiticlo, por ejemplo, una presión lateral ele 273k por metro cuadrado ele superficie. Los viaductos suizos solo se han calculado para un esfú.erzo ele 150k por m', obranclo con una inclinación ele 15°. En el viaducto ele Paclerno se supuso un viento ele 250k ·por m 2 oon el puente clescarg~clo y ele 150k cuando la obra estuviese cargada. El Re,qlamento francés de 1891, art. 5. 0 , supone para estos mismos casos y en puentes ele ferrocarriles, presiones ele 270 y 170 k respectivamente, aclmitienclo entonces -un trabajo del metal superior en un kilogramo, ó. los limites ele trabajo prescritos para las demás pruebas. En el art. 18 del mismo Re,qlamento, se ·c1ice que •En puentes para carreteras no se tendrá en cuenta la presencia ele vehículos encima clel puente.• Sin embargo, en nuestro viaducto, para mayor seguriclacl, · calcularemos el esfuerzo clel viento á razón ele 150k por m•, obrando simultáneamente con la variación ele temperatura, y cualquiera ele los casos antes inclicaclos. Solo en el caso ele un viento huracanado de 270k por m', supondremos que se i:a terrumpa el tránsito, pero afiacliremos sus efectos á, los ele la variación ele temperatura, con la q-i.10 pudiera coincidir. V amos á proceder· ahora á la exposición ele los cálculos que nos han servido para determinar las dimensiones ele t.oclas las piezas del viaclucto, en el orden siguiente-: I. 'l'ablero. II. Palizadas. III. Arco empotrado.

,,, 11

,, 1

OAPI1,ULO II ' f

CÁLCULO DE LOS TRAMOS

¡,

I!:

li ¡, I'

,, ' '

17. Resumen de las cargas y esfuerzos de prueba y cálculo.-La obra tendrá que resistir á los esfnerzos siguientes: 1.0 A su peso propio. 2. 0 A las sobrecargas siguientes: , (a) Sobrecarga uniforme estática ele 300k por m• sobre la calzada y -sobre los andenes, extendida en toda la longitud del puen .t,e ó sobre una parte cualquiera ele su longitud. (b) Sobrecarga dinámica p1~oclucicla por dos filas ele carreta~ ele dos ruedas ele 6000k ele peso, cuyos esfuerzos supondremos elistribuíclos en la disposición anteriormente deducida. (e) Sobrecarga dinámica prouucicla por el paso y cruce ele , dos filas de carros ele euatro rueelas ele 9000k ele peso, distribuíclos ambién según el diagrama antes deelucido. 3.0 A la variaci6n ele temperatura ele 30 grados en más ó en menos con relación á la temperatura del montaje y acunado de los arcos. 4.0 Al esfuerzo producido por un viento horizontal normal al puente, ejerciéndose con las dos hipótesis siguientes: (a) Viento ele 270k por m• ele .superficie chocada, obrando simultáneaD?-ente con la variación ele temperatura cle•30º, pero suponiendo el puente sin sobrecarga . . (b) Viento ele 150k por m•, puclienelo ejercerse simultánea-

GRANDES VIADUO'l'OS

mente con la variación de temperatura y con cualquiera ele las sobrecargas antes enumeradas. Por ü.ltimo, ya dijimos que el peso por metro cuadrado ele pavimento con entarugado, puede calcularse como sigue: En ta.rugado .. . Arena ....... . Hormigón ... . .

135k 18 240

0m,1_ 5 X 900" por m 3 0m,l X 1800k

0m;l2 X

200"

•

393k Supondremos en números redondos que sea de 400kpor m' y vamos á proceder ahora al cálculo sucesivo de los diferentes elementos que constituyen el tablero, es decir, largueros interiores y laterales, viguetas y vigas. 18. Largueros interiores.-Tienen 2m,00 ele luz y están separados ele lm,17. Puede admitirse que estos largueros sostienen los'/. del peso de la calzada, suponiendo qne_la otra tercera parte queda directamente soportada por la vigueta. Carga permanente. - La carga permanente por metro lineal _ele larguero, puede entonces calcularse como sigue:

Calzada •¡ 3 400 X 1,17......... .. . . . .. .... Placas bombeadas •;. 48 X 1,17.. . . . . . . . . . . Peso propio del larguero (según cubicación) p

312K 37

= 383k por m . l.

El momento fl.ector máximo producido por esta sobrecarga, se determina por la conocida fórmula: n.'

1 8

-2

= - pF = - 383 X 2 =

192

Sobrecargas.-El caso de sobrecarga más desfavorable entr e

CALCULO DE LOS TRAMOS

todas las hipótesis que hemos aél.miticlo, es evidentemente el de una rueda ele carro de 3.000k . No t1;1ndremos en cuenta el reparto de esta carga por meclio de las boveclillas éle hormigón y éle acero y la supondremos clirectamente aplicada en el punto meclio del larguero. El momento producido será:.

m'' = _!._ Pl =_!._ 3000 X 2 = 1500

El momento total será, pues: m

•

= m' +m'' =

192

+ 1500 = 1692

Algunas veces hemos visto emplear estos largueros y confesamos haberlos empleado también, hierros en '11 unidos tí los bordes ele las placas bombeadas. Suponiendo que empleáramos la sección mayor que slÍ.ele lami. . d o que narse en 1as f a'b neas y que es ele 12o x 120, y aun aclmi t1en 13

formen una viga continua ele un número indefinido ele tramos ele 2 metros ele luz, y suponiendo que la presión ele la rueda ele 3.000k, antes considerada, se reparta uniformemente en una longitud ele 1 metro, se obtiene fácilmente con las tablas de Bresse el momento total ele 745. Como para esta sección

0,0000389 el trabajo del metal

será: 745 - = lni-~ v ' ;J por R= 38,9 '

/ .-

que como se ve es un coeficiente inadmisible. Debemos, pues, constituir los largueros con vigas ele ba ·tante altura para que puedan unirse sólidamente á las viguetas; :fijamos ésta en om,250.

GRANDES VIADUCTOS-

:. Para-aseguta1: también 1~ Ú.ni.ó n con las placas bombeadas convien"e que las cabezas de estas vi.: ·gas 'tengan un saliente mínimo ·ele 50m / m y el alma de la viga no debe tener menos de 6m/ m de espesor, por ser este el límite práctico qu~ se admite en pilen.tes metálicos. Adoptamos, pues, la sección

del margen que nos da para Vun valor de 0,000265 (descontando -los aguj eros de los roblones de

15m/m.) Por el momento máximo anteriorménte calculado de 1.692 el t r abajo del metal se deduce p0r medio J.e la conocida fór mula:

RI -

R . T X 106 de donde

- 169~ 6 k 38 , m¡ • 265- ' por m·

I · - -x lOº V

Claro e que hubiéramos podido reducir algo el pesb de estos largueros para que alcanzaran un trabajo ele 8k por lo menos; pero la e_conomía sería insign,ificante y redundaría en pe ·j uicio ele 7 la duración de estas· piezas, que por encontrarse debajo del tablero, son difíciles ele visitar y reparar. Esfiierzos co1·tantes y roblones.-El esfuerzo cortante máximo se produce cuando la rueda de 3.000k se encuentra sobre la extremidad del larguero, y tenemos entonces: · · ·1 · . r · Carga perm¡,m ente: 'l" = - p 1 = -:-- 383 X 2 = . . · 383" 2 ,2 : Sobrecarga rodada T'' = P ·= ... . .. . . . .. .. . . . . 3 . ()()()k 0

'1' = '11 '

+ T" = . . . ... . . ·.

3: 383k

CALCULO DE ,LO

'.l1RAMO

. ·, •Lá ·unión con la vigueta. se efectúa por .medio .de seis roblone,s de 15m¡m, de donde se deduce que la secciÓJ?. del alma en el extre~ mó .d el laTguero es: Q = (250 X 6) - (3 X 6 X 15) = 1500 - 270 = 1230 El trabajo máxim_o al esfuerzo cortante será, pues:

_ 3383 _ k ~ R -1230 - 2 '7b .

La sección total do los r oblones ·ci.e unión os: -2

=. 6 X 3,l 4 X4 15 = 6 X. 177. = 1062

El trabajo máximo de 1os roblones será:

3383 .. 3 k 19 1002

Coe:fi.ci~nte muy reu.ucido, como· se ve. 19. Largu·eros laterales. -Estún tmiJ.os á los· montantes ·de las vigas\ y forman una viga continua de-un número indefinido de tramos ele 2 111 ,ele ~luz. Ca~ga permanente.-Tendremos:

· ( calz~da. y plác;cts bomb~adas: l2 1,18 Cái'ga . ~ (400 48) X - 2 = · . · . · · ·

permanente( Peso propio (según cub~;~ció~~-

176k . 20 196k por m. l.

El momento en el medio del tramo, la viga siendo continu.a y todos los tramos igualmente cargados por la carga pe:i:_mane1:te, será:

.. 1 1 M == p' l' = 196 24 24

x 2

= 33

Sobrecargas.-El caso más elesfa.v.orable es el de una rueda de

GRANDES VIADUCTOS

carro de 3.000" próxima al borde del andén, en la disposición representada por el croquis. La parte de la carga ele 3.000" que actúa sobre el larguero lateral es:

P" =3000

l,lS-0 ,20 = 2490 "

1,18

/?Jg. ltl J.ootJ K J.PooK

-U= íl ¡e ¡ ..... _;

¡:

~-! j

t~~.7,78..... 7.1'7. .... 77.... ✓, .18...•. ~ . ....... ...... .... . .... ...... ~,70 ........ ..................... .i

L ..

L ..,.

El momento máximo producido en una_viga continua de tramos iguales por una fuerza única P'' aplicada en el punto medio <lo un tramo precedido y seglúdo de un número inde:fi,nido de tramos es: M" = 0,17076 P''l (·) = 0,17076 x 2490 x 2M,OO = 850 M = M' + M'' = 850 + 33 = 883 La sección que hemos adoptado para estos largueros está representada por el croqlús y da:

I v=o,000113 de donde se deduce: (*) Este coeficiente de 0;17076 se obtiene por medio ele ~1blas ele Dresse, calculadas para las Yigas continuas simétrica~. Para algunos ele los t1'amus ele 2111 ,00 próximos á la extremicladas de la viga el coeficiente no tiene el mismo valor de R. Pero hay que tener en cuenla que las cargas no actúan ai~Jadamente, pue · se reparten siempre obre una cierla longitud; así que el trabajo efectivo es menos elevado que el deducido por el cálculo. Por esta r::zón conslc!er:imos inneces:irio reforzar las secciones de los largueros extremos.

CALCULO DE LOS 'J1RAMOS

883 R = - = 7k81 por m/m! 113 20.

Largueros de los andenes.-Los largueros que sostienen los andenes solo tienen que resi tir á su peso, al ele una <?hapa estriada en 0m,40 ele ancho y á la sobrecarga ele 300k por m! que le conesponda, es decir , unos 150k en totalidad por metro lineal. El trabajo á que e tán sometidos es, pues, insignificante, y las dimensionas que lo hemos dado, aunque excesivas desde el punto ele vista ele la resistencia, son los mínimos que prácticamente pueden adoptar e. No conviene reelucir la altura ele 111 0 20 porque presenta1·ía un a ·pecto demasiado raquítico. Aíiadimos dos angu1ares ele 55 X 55 que f acil'1tan el 6 empalme con la baram1illa, elándole una sujeción.más r obusta que si empleáramos un hierro en U e.le una sola pieza. o creemos eleber comprobar la re ·i tencia de estas pieza , á simple vista más aue suficiente. 21. Viguetas.-Están separadas de 2 ,00; su luz ele eje á eje e· e.lo 4m 70; su cabezá superior está ligeramente encorvada con objeto ele reducir el peso del hormigón, u.o manera que su altura varía entre 0,55 y 0,65. Car_qa, permartente.-Una parte de la carga permanente se apo-

GRANDES VIADUCTOS

ya sobre la vigueta, el resto actúa en los largueros. Hemos admitido que á la vigueta le corresponde además de su peso propio

del peso de la calzada; los otros

aplicándose en los puntos

ele .empalme de los largueros. _ .earga unif.or- \ calzada y placas: . ·1 : me~ente re- . 2m,oo (400 48) ......... . =298k

partidQ..

(.Pes·o propio (según cubicac:~

66 =365k por 'In. l. ~~ momento máximo producido por esta sobrecirga es: , ).'

m',

.½p' z• . ½365 X 4,-70

ª\

O ar g .. trar¡. s -

·:o~tic~~ l P" . da lar-r guero. \

,,, ,,,

2m,00 X 383

1008 ·

776k (Véase cálculo de largueros)

El momento en el medio producido por esta carga es (véase figura): · -· '

1;:.-TóóK

/ÓÓK

/'ÓÚK

4 +

.¡.

r¡;---

.,.

+ ~

! . 78 : 7. : : i ...... 7, ............ , 18............ 7,78... ..;. .....7,78 ..... ~ i+ ........................•.... 4,71? ........................... .

M ''

= _Q_ 776 X 4,7Q- 776 X 117 = 18042

CALCULO DE LOS 'J.'RAMOS

El momento total producido por la carga permanente será, pnes:

= m'

ni" =

1008 + 1804 = 2812

Sol1·eca1-gas.-El caso d"e sobrecarga más desfavorable es el del paso por encirra de la vigueta de <los ejes de carros de 6000k de

i ---¡-,

.~ ....1..2fJ ... ;A2S~.o,TS . ' .. ~' ....7,.RtJ ....,.

•

r···· ...... .:l, JS ............ :_ ....... ..... 2,JS .............~

¡. ..... ................ ... ... ,4,7~......... ... ................. ,¡

peso y la posición más <l.esfavorable de estos ejes, sobre ol <l.e la vigueta, ostá representu<l.o por la figura ad.junta. El momento máximo se produce sobre la rueda más próxima del punto medio <l.e la vigueta, y es: 2

x 3000

(

4 70 T - º?5) -

3000

x 1,20 = 7G58

4,70 El momento total se obtiene sumanclo los dos momentos máximos que acabamos de calcular y resulta ser: N = M, + l\I2 = 2812 + 7658 = 10470 La sección que hemos adoptado, representada por el croquis, 3

GRA DES VIADUC'.l!O '

en_su punto de unión con los largueros y descontando los agujeros de los roblone , nos da:

V R

= 0,001306 de donde

= 10470 = k ,01 por rn /n/ 1306

· · ··. i;.;~ !

/?fi./S

Ir""" ........!3/J

···:ao

·············•i

;::

✓,¼r,~ ,le /5/m

lb.sa

El precedente cálculo supone que las cargas de 3000k se trasmiten á la vigueta como fuerzas aisladas. En realidad, la rigidez del hormigón tiene por efecto repartir las cargas sobre una cierta longitud de vigueta, y de aquí se u.educe que el trabajo efectivo del metal en estas piezas es algo inferior al que acabamos de calcular.

Esfuerzos cortantes y roblones. -El esfuerzo cortante on la extremidad de la vigueta se determina como sigue: Carga per-\ Carga uniformemente r epartida: ; 365x4,70 = 858k manente

¡\

Oarga tran mitida por los largueros: 3 766

= 1.149k

'J.''= 2.007k

Sobreca1·,c¡as.-El esfuerzo cortante máximo se produce cuando los carros se acercan del borde del andén, conforme :í la situación repre. entada por el croquis; tenemos entonces:

4x300x 4,70~l, 90 470

4 x 3000 x 0595 7140k ' -

CALCULO DE LOS TRAMO El esfuerzo c01·tante total será T = 'l'' + T'' = 2007

r·j .,:,· ... 1.20 ..,;..i

+ 7140 =91-!7k.

•

.,¡.. .¡.. .. ,1,20 ... J ¡o,,?o o,S¡;,¡o,5o f···· ·· ····?. 9/J ··········~

k•• ······· · ·· ··············· 4,'7tJ ....... ..................... ,i

La sección del alma de la vigueta que es de 550 X 7, deduciendo 6 agujeros de roblone <l.e 17 m/ m es Q = (550 - 6 X 17) X 7 = 3136 m¡m de donde R =

:~:!

= 2k ,91 por

m¡m!

La ·ección total de lo· roblones de unión es 2 W = 12 X 227 /m = 2724 m/m!j el trabajo de rectos roblones erá

= 91±7 --- =

2724

3 k 3-D por '

• m/m-,

22. Vigas principales .-Las vigas son continuas y divididas por las palizadas en 26 tramos de 8"',00 - lOm,OO - 7111 ,00 y 6m,OO. Excepto el pe o propio <l.e la viga y de una chapa de pala tro estriado que pueden considerarse como uniformemente repartí-

GRANDES VIADUO'l10S

dos, todas las demás cargas se trasmiten á las vigas por las viguetas, os üecir, on puntos fijo s situaelos á 2 111 de distancia. Como el peso propio de la viga es muy pequoíí.o, con relación á las demás cargas, principalmente al peso de l a calzada y al de los carros ele prueba, podemos admitir que t'.lclas las ca1:· gas, sm excepción, se trasmiten' á las vigas, cómo cargas aisladas en los puntos ele empalme de las viguetas. El problema consiste en calculir los momentos fl.ectores y esfuerzos cortantes máximos que se desarrollan en una viga continua ele 26 tramos, bajo la acción ele fuerzas cortantes (carga permanente) aplicadas en puntos deter minados de la viga y bajo la acción ele fuerzas variables (sobrecarga de 300k por m 2 y sobrecargas móviles) aplicadas en l os mismos puntos. La complicación del problema producida por el gran número de tramos, no nos permite emplear el método generalmente seguido para el cálculo de las vigas continuas, que por lo demás, no ofrece soluciones fáciles, por lo que se r efiere á las cargas móviles. Por otra parte, la n ecesielad de conocer l os ulteriores cálculos üe las r eacciones sobre l os apoyos desanollados por las diversas posiciones de las sobr ecargas , nos ha llevado á adoptar el nuevo métoél,o de cMculo, fundado sobr e el empleo de las lineas de infiiiencia.

' 1

23. Líneas de influencia.-Consideramos un cierto número de tramos KL, LM, MN, etc., de una viga continua, y especialmente uno el e l os apoyos N. · Supongamos que un peso ele 1 kg. circula sobre la viga y que en cada posición del móvil, se lleve en ordenada una longitud proporcional al momento fl.ector que se produce en el punto N para esta posición ele la carga, poniéndose los momentos positivos encima ele la horizontal y por debajo ele ella los momentos n eg·a tivos; la curva que se obtiene uniendo los extremos ele las ordenadas es la línea de infiuencia del momento sobre el apoyo N.

CAL CULO DE LOS 'l1RA.l'1OS

U na ordenada cualquiera m, n ele esta curva, representa, pues en la escala adoptada, la magnitud y el igno del momento que el peso ele 1 kg. actuando en el punto 1n, desarrolla sobre el apoyo N ele la viga; un peso ele P kg. producirá un momento P veces mayor. La curva e extiende á derecha é izquierda N, hasta los extremos de la ' viga· pero se observa que us ordenada , alternativavento positivas y negativas, clisminuyen muy rápiclamento á medida quo nos alejamo ele N y se hacen muy pronto despreciables con relación á las ordenadas mús próximas clo N . Si se suponen encima ele los tramos considerados, un cierto número <.le cargas móviles ó :fija P , P~ P 0 correspondientes á uno ó varios veh ículos ó constituyendo la obrecarga de 300k ó la carga permanente, nos ba tará ·uma1· algebrúicamentela · or<.lenaclasmultiplica<.la. cada una ele ellas por la carga corresponclionte P, P, P a···· para obtener en la e cala el momento :fiector producido en N p or el ó p or l os vehícul os en la posición que con icleramo · ó por la sobrecarga ele 300k ó por la carga per,. manen e. En el ca o on que las cargas e transmitan LÍ, la viga por ol intormoclio clo vigueta· abe ..., la línea clo in:fiueneia, en lugar clo ser una curva, como en ol

GRANDES VIADUC'l'OS

'¡

•.

caso en que las cargas se apoyan directamente sobre las vigas, será una línea poligonal inscrita en la curva continua. En efecto, cuando la carga se encuentra encima de una de las viguetas b ó e, por ej emplo, se transmite íntegramente (1), ninguna parte de esta carga se transmite á las viguetas próximas y la ordenada es la misma, es clecir, b b' - ó e e' , que si la carga actuara directamente sobre la vigueta. Si, por el contrario, la ca,rga ocupara una posición intermedia tal como ni, s:i transmite por el larguero en parte á la vigueta b, en parte {1, la vigueta e;, y por éstas á"la viga. Ahora bien , la viga ya no recib a la carga P = lk aplicada en m, sino dos cargas: 1 kg X

aplicada en b

l-d 1 kg X - - aplicada en e 8

y el momento producido en N es:

b b'

x T

l-d + e e' -l= e e' + ( b b' -

e e' ) T

que es precisamente la longitud de la ordenada nin del poJígono inscrito, el cual es, por consiguiente, la línea de influencia en el caso en que las cargas se transmitan por las viguetas. Para .construir esta línea de influencia, basta, pues, conocer las vértices, tales como a· b' e', etc., y unirlos por líneas rectas. Supongamos trazadas todas las líneas de influencia de todos los apoyos; será fácil determinar entonces el momento flector producido por un apoyo cualquiera para una posición cualquiera de las cargas; conocidos de esta manera los momentos flectores

• (1) Despreciando por supuesto la rigidez ele la unióu y la de las bovedillas ele hormigó u. En realidad una parte de la carga ·e transmite á las viguetas próximas, pero es imposible de calcular y además probablemente pequeña. Esta circunstancia favorece la resistencia de la viga y podemos, por consiguiente, no tenerla en cuenta.

CALCULO DE LOS 'l.'R.AMOS

sobre dos apoyos contiguos M y N, por ejemplo, producidos por las cargas P ,P,P 5P 4 , para obtener el momento en un punto cualquiera del tramo MN, nos bastará llevar aquellos momentos en la escala Ma y Ne: y trazar_po_;r deqaj Q._ de 1~ cuerda ae: el polígono funicular a ~ y ó e:, c1iágrama representativo Je los momentos que se ptoducirían en el tramo MN por las fuer zas P 1 P~ y Ps si el tramo fuera . c1iscon tin uo, es decir, si formara tma viga aislada apoyándose por sus extremos en los apoyos simples M y N_- El momento :flector producido por las cargas consideradas en un punto cualqtúera l del tramo está 1:epresen tado en mst,gnitud y signo por la ordenada lle medida entre el contorno del diágrama y la horizontaldelosapoyos(fig. 2'ü). Pero como todas las cargas se transmiten por los pt-iptos a b e de empalme con las viguetas, debemos introducir en este diágrama la modificación de que antes hablamos. El contorno poligonal a~ y oe: está, pue ·, ustituídopor el inscrito a a' b' c' e' y el momento en l está representado por lk' en lugar de lk.

GRA JDES VIADUCTOS

24. Trazadú de las líneas de influen cia de los momentos sobre los apoyos.-Indicada someramente la teoría en que hemos fundado nuestros cilculos, pasemos á aplicarla para determinar las líneas de influencia de los momentos sobre los~apoyos en la viga de 26 ·tramos que sostiene el tablero de nuestro viaducto, y que hemos tmzado gráficamente en el primer diágrama e.le la lám. 7.ª

Ji[g. 20

cJomo se ve, sólo hemos considerado los diez primeros tramos de la izquien1a. En la parte siguiente de la viga, presenta ésta un gran número ele tramos iguales e.le 6m de luz y los resultados obtenic1os para lo diez primeros tramos se reproducirían sin modificación apreciable. Aunque la distribución ele los tramos ele la derecha es algo diferente ele la izquierda, no hay inconveniente en aplicarles los re ultaclos obtenidos en los diez tramos ele la izquierda que comprenden todas las categorías de luces empleadas gm - 1Qm- 7m Y 6m. Por tí.ltimo, hemos limita,c1o la línea de influencia ele cada apoyo á los tres tramos contiguos á~c1erecha é izquierda, pues las or-

CALCULO DE LOS TRAMOS

denadas en los tramos más alejados son tan pequeñas que pueden despreciarse. Para determinar las ordenadas de las líneas de influencia, es decir, los momentos sobre apoyo. producidos por u.na fuerza única de 1 k actu.an do sucesivamente en los empalmes de las viguetas con las vigas, hemos seguido el método gráfico, cuyas teorías se desarrollan ampliamente en los tratados de estática gráfica (1). Para evitar, sm embargo, al lector un estudio completo de aquellas teorías, expondremos ligeramente las diferentes operaciones seguidas para determinar las líneas de influencia.

-·- --e.:;---------------· ,.:::r-

í -,. ------ ---~ ~

1.0 Determinación de los focos.-Línea roja en la parte superior del cliágrama n.\-1 (Hoja 7.1i ele los Planos.) Los focos son los círculos azules. Cada uno de los tramo · A B -BC-CD- etc., se divide en tre · (1) lle1J10J · C3nsulhdo prindp.tlmenle para el t:álcu'o de vigJS continu t · 'a seg und,L pa.rte de la Statique graphique de Maurice Le:vy.

GRANDES VIADUCTOS

partes iguales por los puntos g' y g". A partir de g" y hacia la derecha se llevan distancias iguales á la 1 /. parte del tramo siguiente, obteniéndose así los puntos K, K 2 K., etc., es decir, que g'' K 1 = Bg'; g" K 2 = Cg'; .e/' K 0 = D,q' ..... Los puntos K , - K, - K 0 etc., so encontrarán á la derecha ó á la izquierda, ó coincidirán con los·apoyos, según que el tramo dfl la defocha del apoyo sea mayor, menor ó igual al tramo de la iz),quierda. : Arrancando del primer apoyo A con una línea cualquiera Ae 1 s~ trazan sucesivamente f 1 k 1 h , y h; e,. El punto F , en que la última línea encuentra á la horizontal, es el fo co de la izqiiierda del 2¡° tramo. '. Partiendo de F I se procede del mismo modo, arrancando con una inclinación cualquiera la línea]', e, y trazando después F, k:'l h. - h, e,, obteniéndose el foco F 2 y así sucesivamente. Partiendo de la extremidad derecha de la viga y hacia la izquierda, se obtendrían del mismo modo los focos de la derecha, superponiéndose las dos series ele traza¡los. Debemos, sin embargo, advertir, que es inútil arrancar desde la extremiJ?[g.22 dad ele la derecha; basta ha' .,~,... = cerlo desde uno ele los tra_lll'---'.,--'-----'-j,;:._v _,.---_ .d__/,~ V_ ' mos ele 6m ,00 hacia el me¡ ! dio ele la viga, pues á causa ~. ~ . : ..l..(lt!.L~Pllt..:>,tA .. ~.2,0Q..~ del gran número de tramos iguales de esta luz, el foco .,4,(A ... .l.. .......6,0P ........... J ¡ ¡ de la derecha es simétrico ~ .... ................. 10,IJP................. ..... J. del de la izquierda. 2. 0 Diágrama de los momentos sobre los tramos con1

l .....

siclemdos como aislados, ó sea trazaclo do los :polígonos funiculares de las cargas. Se ha empleado la escala ele Om,05 por kilogramo-metro y se

CALCULO DE L08 '11RAMOS

representan en la hoja 7.ª de los Planos con triángulos en línea gruesa negra. Ejemplo: la ca1'ga ele 1 kilogramo se encuentra sobre la vigu,eta b del cuarto tramo.

Mb = 1"

=2",4 ó sea en la escala 0,05 X 2,4 = Qm,120 3. 0 D eterminación de las líneas de cierre (línea negra enel tramo cargado, línea azul en los a:: tramos contiguos). Supongamos un tramo cualquiera MN. Se lleva por el vértice S anteriormente determinado la horizontal 'l,T,, se trazan las cliagonales 'l,N y 'I"M, las paralelas á éstas SR y SR 1 y se unen R á, N y R' á M. Las rectas RN y R'M encuentran las vertical e1:¡ de

L_____'--------~

GRANDES VIADU01'0S

los focos F y F 1 en dos puntos y y y1 que forman parte ele la línea de cierre. Por lo tanto-, a.M y BN r epresentan los momentos sobr e los apoyos del tramo considerado, para una carga de 1 kg. actuando en b. La línea de cierre se prolonga á derecha é izquierda en los tramos próximos, haciéndola pasar por los focos más alejados; así, por ejemplo, de~ va á cp' obteniéndose en Oo el momento sobre el apoyo O; y así sucesivamente se obtienen en P~ - L ¡.,. - K). los momentos sobre los apoyos P-L y K producidos por la fuerza ele ·1 kg. aplicado en b. ·En los tramos extremos uno ele los focos coincide con los apoyos de estribos; las líneas ele cierre pasan por estos puntos. 4. 0 Jl,lfedicla de los ino1nentos sobre los avoyos correspóndientes á cada posición de la ca1~qa y trazado de las líneas de infiiiencia (líneas negras de la figura en la parte inferior de la lámina VII y hímina Vill).-Basta para esto tomar con el compás los segmentos determinado sobre una vertical ele apoyo por todas las líneas ele cierre que la cortan ó que terminan en ella y llevarlas sobre las verticales de las posiciones conesponclientes ele la carga.

25. Carga permanente. - La carga permanente aplicada en los puntos de unión de las viguetas separados él e 2m,OO y resultando del peso ele la calzada (400k por m!) y del peso del metal (500 k por metro lineal de viga), deducido de la cubicación, os la siguiente: Calzada

2,00

x 4

,;o

X 400

= ....

]?arte metálica 2,00 X 500

1880" 1000k

TOTAL . .•• . . ..

2880k

ósea 2900" en números redonJoi:;. Para obtener el momento sobre un apoyo cualquiera proclucido por la carga permanente, nos bastaní sumar algebníicamontc

CALCULO DE LOS '11RAMOS

todas las ordenadas de la línea de influencia ele este apoyo, calcular el momento total protluciu.o por 1 kg. en la escala y multiplicarlo por 290Uk . Los momentos así obtenidos se han llevado al diágrama de la lám. I X, en la escala de 5 m¡m por tonelada-metro (3? línea.) Para mayor claridad, r:a3olvamos, por ejemplo, el problema para el apoyo IV, para el cual deducimos el cuadro siguiente: I!

I NUMER03 de

los

tramos. 2,º

---

SUMA DE ORDENADAS

Posilh·ns.

01 /m

tegalivas.

3.º 4 .º

5.º

+ 133,0

124,2,'m

6.º 7 .º

,,,________

+ 4,0 + 273,2

m/111 23 ,1 '

15,0

38, l

Ordenada total = 273,2 - 38, 1

= 236 01 /m, l en l_a escala de 0m,05

por kg. rp . 4.kgm,702 y para fuerzas de 2 .900k M,v = 4.702 X 2.900 = 13636. Este momento, llevado al díagrama (lám . IX) en escala de 5m/m po r tonelada métri ca, está r epresentado por una línea de 68m/m ,2,

En vez de efectuar esta serie de operaciones para cada apoyo, será más fácil construir de una vez una escala graduada suelta, que hemos dibujado en la lámina IX, .:fig. A, de tal manera que Qm ,05 corresponde á 2900 k. Las sumas y re tas de ordenadas se hacen entonces con el compás en el düígrama de la lámina VIII, y basta llevar entonces la abertura final clel compás sobre la escala y leer en ella el valor del momento. Obtenidos así los momentos producidos por la carga permanente sobre los apoyos, nos resta determinar los que corresponden á los puntos intermedios de las vigas. P ara ello basta trazar los diágramas de los momentos en una

GRANDES VIADUO'l'OS

sene de vigasโ ข simplemente apoyadas y cargadas con peso 'ele 2.900 k. aplicados ele dos metros. Los ordenados de los iliรกgramas son los siguientes:

l?fg, 24 t

12900

b'l

2900

e'! 2900

'11RAMOS

CALCULO DE LO

Tramo ele 8rn,o·J

a a' = e e' =

2 2900 X 2m,00 = 8700, es decir, á la

escala de 5m/rn por tonelada metro ........ . ...... . .. b' ll' =

;

43 5m/m

2900 X 4rn,00 - 2900 X 2rn,00 = 11600 ósea 58 rn¡m

'I'ramo ele 1Qm ,00

= d' d" = 2 X 2900 X 2,00 = 11600 ó sea.. . . . . 58 m¡m b' b'' = e' e'' = 2 X 2907 X 4.00 - 2900 X 2,00 = 17400 .. , , .. • • , ,, , ., • •,,, . .. • .... . .. . . . .. ... .. . . . .. 87 mJm

a' a"

'l'ramo de 7m,OO a· a'' = 3 X 2900 X

;

b' b'' = 3 X 2900 X ;

2,00 = 7457 ósea . . . . . . . . . . . . X

4,00 -

37,3rn/m

2900 X 2rn,0Q =

9114..... . .... . .. . ..... .. . . . . .. .. .. . ........ . ... .. 4 -.:.. 4971. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e' e'' = 3 X 2900 X

45,6 24,9

Tramo de 6,oo·

a' a" = b' b" = 2900 X 2,00 = 5800 ósea.... .. .. . . . . . 29 m/rn 26.

Sobrecarga de 300k por m. ~-La sobrecarga se extenderá

sobr(;' uno ó varios tramos, cargándose por tramos entero ; procede, pues, investigar las combinaciones ele sobrecarga que produce momentos máximos, ya en los apoyos, ya en el medio de los t r amos. Bajo la acción de la sobrecarga, las viguetas transmitirán á cada viga una fu erza de 2m 00 '

,OO 2

300

= 1800k

1. 0 JJtiáximo sobre apoyos.-Las líneas de influencia de los mo-

GRANDES VIADUC1'0S

mentos sobro apoyos evidencian inmediatamente cuál es la combinación mñ,s desfavorable de sobrecarga, es decir, cmí.les ·son los tramos que se u.eben cargar para obtener el máximo mo1nento: son aquellos cuyas or denadas son positivas, u.ebiendo quedar vacíos aquellos tramos de ordenadas negatiyas. Se sumarán , pues, las ordenadas positivas y se multiplicará por 1800. Los momentos máximos así calculados se han llevado á la escala de 5m/m por tonelada-metro sobr e el diágra.ma de la lám. IX (1.ª línea). Se encuentra fácilmente para el mismo caso de sobrecarga los momentos sobre apoyos próximos de derecha é izquierda, pudiéndose entonces trazar los diágra.mas de los momentos en ·los dos tramos de la derecha é izquierda del apoyo (líneas negras llenas de la 1.ª línea). Ejemplo: Apoyo I V.-El momento ser á máximo cuando se carguen los tramos. 2.0 , 4.0 , 5. 0 y 7.0 , quedando vacíos los tramos 3.0 y 4. 0 La ordenada total es :

/?ig. 25 3°

2~ 11

5~' 1\/

111

(,'."

7."

,l!"

VII

VIII

( 7,0 124,2 138,0 4,0) = 273m/m2 6 sea á la escala de 5m / m por kgm. 5,464 kgm. y para P = 1800k p. máx. en IV = 5,464 X 1800 = 9835 Este momento, llevado sobr e el diágrama n. 0 2 á la escala de 5m/rn por tonelada metro, da una longitud de 49m/m,2, Idénticamente á lo que hemos hecho para la carga permanente, es preferible construir una esca.la graduada de tal manera que una longitud de 0m,05 r epresente 1800 kg. y llevar sobre esta escala las longitudes acumuladas de las ordenadas positivas, medí-

O.A.LOULO DE LOS TRAMOS

das con el compás (la hemos dibujado en la figura B de la lámina I X). Encontraríamos análogamente para la misma combinación de sobrecargas: p.· ID=

fJ·

2830 ósea á la escala del diágrama nº 2-14,2m/m

= 230

11,5

Las ordenadas de los diágramas representativos de los momei.;i.tos producidos por la sobrecarga de 300 kg. en los tramo~ supuestos aislados son las ordenadas antes calculadas para la carga

. ' 1800 . 1·10acl as por 1a re1a01on p ermanen t e, mu1t1p 2900

Tramo de 8m ,00

1800 ' ' 8700 x--aa=cc= 2900 ó sea á la escala de 5m /m 1800 = 7200 h h' = 11600 X 2900

5400

por ton. metro •

ó sea

27,nm/ B(i.( 1

GRANDE

:--o

a a'

d el'

~:~ =

11600 X

b b'= e e'= 17400 X

VIADUCTOS

1800 2900

7200

ósea

36,0

10800

ósea

54.0

•

ó ea

22,1

ósea

15.4

•

Ó sea

18,0m/m

'lramo do 7m,CJO

a a'= 7457 X.

1800 2900

b b' = 0114 X

;~~

= 5656

4422

1800

e e = 4971 X 2900 = 3084 Tramo ele 6 m 00

et a'

b b'

.·3800 X

1800 2900

3600

2.0 JJiáximo entre apoyos.-Sabemos que para obtener ol mo mento máximo hacia el medio e.le un tramo, hay que extemler 1n. sobrecarga sobre este tramo y sobre toclos los demás do dos en

dos. 'umando algebráicarnente ó por modio del compás las orclenadas de los tramos ·argado. se obtienen ]os momentos en los apoyo de la derecha é izquierda del apoyo que se con: iclera; se traza entonces el cliágrama de los momento. , que nos da lo: momento. en todos los puntos clel tramo, y entre ello: el rnomento má.xirp.o (trazo negros : - - · - de la primera línea ele la lám. IX). E,jemplo: 1'.Iomonto máximo en el 4.0 tramo. La combinación ele . obrocarga que la produce se representa. en la fig, 27 .

C'ALCULO DE LO

'J'HA1\[0,.1

/?~_27 2 '.'

5º

4º

111

Sº

6º

7-º

8 .º

VII

9 .º

VIII

La línea e.le influencia del apoyo III no,· e.la: Ordenadas del 2. 0 tmmo = 24,1m /m) Or~lenada total= 12417• • • J.º º-~ea en la escala del 1 -±4.0 = + ' ) c.liagrama 1 = 2k .49-~ » • 6. 0 » = + 48 ' ' · · para fu erzas de 1 k . Para fuerza de 1800 kgrs f!· 111 = 2,494 X 1800 = 4449 quo llevados sobre el c.lití.grama mí.m. 2 dan una longitud de III 'Y.= -:1:,4-±9 X 5m /m = 22,m/ 111 2

La línea de influen cia del apoyo IY nos da igualmente:

+ +

Ordenadas del 2.ºfrarno = 7,0 :1 ó _ • = • » :1 _ on1enac.1a tota 1 16 ,·2 . ea 24 2 40 _ ,r 2,k/32-:1:paralk • • 6 .0 • = - 1 o,d y para P = 1800; ¡.i. '" = 2,32-:1: X 1800 = L.l:183 que lleyados sobre ol diágrama 2 dan una longitml IV~= 4183 X 0,005 = 2Q,m/ rn9 E l cliágrnma (/. a' b' e'-~ trazado por debaj o ele a. ~ da el momento máximo en ol 4.0 tramo b b' = 32 111 /111 3 = 64GO

GRANDES VIADUO'J.10S

E stas operaciones pueden efectuarse con mucha facilidad con el compás y la escala graduada de que ya hemos hecho merito. 27 . Sobrecargas móviles.-No puede pr:ecisar se á priori cmíl Je los dos casos de sobrncarga móvil prou.uce los mayores momentos fl.ectores, pues :unas veces será el carro de dos r uedas, otras el de cuatro ruedas. Así que se precisa proceder á las dos pruebas. Los mayores esfuerzos se producen cuando los vehículos de · las dos filas circulan en el mismo sentido y se aproximan lo más p osible al borde de un anden. Suponu.remos que entonces el plano de la rueda se encuentra á Qm,20 u.el ej e el e la viga.

,----------------------------J?ft 2!)

¡.. ..................1,90................... "'!

he ,1 :'·

1 ~p

1 ll

~ ¡:

¡ p

1; !!

~º~~·· ··········1,20.... ....... ~ .. o,so........ o.so... .i,..... ......1,20............~

j... ............... .. ............ .... .... .4,70...... ... ............................... ..... ........... ......• ¡

En estas condiciones, el centro de gravedau. do las cargas se encuentra á 1m ,90 Je la viga iná.s próxima, y dos pesos de ej es ó de caballos que designamos por·P, actúan sobr e la viga más cargada en una proporción: ·

=2p X

4,70 -1,90 l,lg p 4,70 E l conjunto de los dos canos de dos ó cuatro ruedas con sus . tiros, deberá, .pues, sustituirse por los vehíeulos ficticios de la figura 30. Las líneas de influencia permiten determinar los momen1t

CALCULO DE LOS TRAMOS tos sobre los apoyos, y enseguida los • momentos entre apoyos correspondientes á una posición cualquiera ele las sobrecargas. • Basta colocar ol ó los vehículos previamente clibujaclos en una tira ele papel (que hemos dibujado on la :fig. H de la lám. IX) encima ele la línea ele üi.fluencia, y sumar las orc1enac1as,multiplicac1as cada tma ele ellas por la fuerza correspondiente, ó mejor ati.n llevar estas ordenadas medi:¡, ...... .. das con el compás en escalas graduad das (que dibujamos en las :figs. C, o 1~ D, E y F ele la lámina IX), de tal manera que: Fig. C. Para el ej e del carro de dos ruedas ~ -r··· O, mo5 repre1 sen ta ........ . 7140 kgr. metros. o· o Fig. D. Para el 1~ o eje · del carro 1 .... á de cuati:o rueg das........... 5355 ( ri ]'ig. E. Para el 1 r--· peso de dos caQ o. ballos, O, m05 t"l r epresenta.... 5190 L .. Fig. IP. Para el peso ele un caballo . .. .. .. . 595 • y ele sumar 108 momentos parciales así meclidos.

.... -

"".,.,

---· ·

Ci)

~.\-.,t

.. . . . X

o)-..

.,'g

GRANDE' VIADUO'l'OS

Oonocienclo para una posición cletorminada de los vehículos los momento · en lo clos extremo de un tramo, el trazado del diagrama ele los momentos para este tramo snpuosto aislado nos dará lo· momentos en un punto cualquiera. No conocemos ú pr'iori la po. ición más do ·favorable de las sobrecargas móvile ·. pero el examen de las líneas de influencia nos permite reclucir los tanteos y hasta evitarlo ·. Para los ip.omentos miximos sobre apoyos, hay que cargar lo má · po ible los tramos le ordenadas positi-'rns colocando la ·obr ecarga más pesada (ej es) en la zona on que sean mayores la· ordenada.-·, y ninguna carga ó las cargas m,í. débiles (caballos) encima de los t.ramo de ordenada. negativas. Ejemplo: Máximo sobro apoyo IV. Es el producido por seis carros (sobre dos filas de frente), en la posición indicada por la~fig. 31.

tll

~II

t. i 1

VII

Los momentos decluciclo.-; 1 como hemos clicho anteriormente, por meclio ele las oscahs grnclnadas, son: p. 1v = 10560 ósea 52m f,,,, 8 tÍ la osc'..tla del di,ígrama núm. 2. p.v = 4600 Ósea 23'"/m,O. El dití.grama ele los momento: proüuciclo.- en el tramo IV con siderado aislado, os el polígono u. ri' k 1,;' ~, quo se reclnco al polígono inscrito C/. ci' b' e' el' ~' á ca1tsa <le la influencia do las .-iguetas.

•

CALCULO DE LO ' TRAMOS

.,., , "'' ;; ¡ -'---'---' V

Para los momentos máximos entre apoyos, hay que cargar lo más posib] e el tramo que e considera. Para obtonor este efecto ele :obrecarga máxima, se upondrá un ojo sobr e una ele la: viguetas próximas al punto medio del tramo, y se cargarán los demás tramos ele clos en clos, correspondiendo á los tramos interm~clio: ]a cargas más débiles (caballos). · Los -.;-ehículos cir cularán en un sentido ó en otro para obtener la hipótesis menos favorable. La clistancia de ej e á eje ele los vehículo , no ·erá en ningün caso inferior ó. 12m,oo para los carros de dos 1·uedas, ni á 15m,OO para los clo cuatrn rueda·. Ejemplo. Máximo en el 4. 0 tramo.- J~: el producido por la hipótesis ele ei · carros do clos ruedas circulando en dos :filas do frente, en la posición indicada por la :fig. 33.

-o 1

2'.lr. 11

---

fiiq. 33

3'.'t1: 111

-O -4~ l,r

1vj

1 V

5º L1:

-o r-t ! ! '

V 6~ll:

VI i'.Lr:

VII

GRANDES VIADUO'I'OS

Se obtiene: p. 1v = 4830 ósea 24,m/m 2 sobr e el diágrama núm. 2 p. 111 = 6460 ó sea 32, 3 » »

El diágramo, entre apoyos es

b''b'= 7140~4X6

b' e' d', tal que

+ 595 x

3~4

17136 714 = 17850 sea S9m/m, 3 El momento máximo entre apoyos, medido sobre el cliágrama, es b b' = 12040 La segunda línea de la lám. IX cla los resultados para los momentos máximos sobre apoyos (líneas azules llenas) y para los máximos entre apoyos (líneas azules do trazos y puntos). Solo se ha representado la posición del vehículo más próximo del apoyo consicloraclo ó dol modio lol tramo considerado. Los momentos máximos producidos por las carga · móviles hacia el medio ele los =

CALCULO DE LOS 'l'RAMOS

tramos y sobre los apoyos son, como se ve, superiore·s en todas partes á los momentos procluciclos por la sobrecarga ele 300k. Los momentos máximos sobre apoyos y entre apoyos producidos por ]as sobrecargas, se han añadido en el cliágrama de la lám. IX (3.o. línea) á los momentos máximos proclucidos por la carga permanente (los monrnntos negativos e han levantado por encima de la horizontal). El contorno exterior del conjunto representa ele esta manera los valores de los mayores mo~entos ele flexión que han de sufrir las vigas, bajo la acción ele las hipótesis ac1miticlas. 28. Resistencia de las vigas á la flexión.-Veamos al1ora silascabezas ele las vigas proyectadas, cuya sección hemos hecho constante en tola la longitud (porque sus escasas dimensiones no aconsejan una r aducción de dimensiones) r esisten á esto· esfuerzos flectorns. El coeficiente ele trabajo que admitimos para estos elementos es de 10 kilgr. por m/m 2 de sección neta. La rngión que sufre mayores esfuerzos, según se aprecia en el cliágrama de la lám. IX, línea 3.0., es el 5. 0 tramo. Carga perma-•

nen te. . . . . So bree ar ga Momento máxi- 1 de 300k . . . roo en el pun-, Sobrecargas to e del 5.º m 6 vi 1 es tramo .. •••••• (carros de dos ruedas)....... I Carga permanente..... Sobrecarga Momento máxi-, de 300k . . . mo en el apo- Sobrecargas yo 1v ..... .• . I m 6 v i 1 e s (carros de cuatro ruedas)... . . . .

p.' e =

76001

(p." c) 1

7000

El momento máximo total es: ( 1 c) 5 = p.' e+ (p." c) 2 = 7600 12900 = 20500

(p." c) 2 (p.' 1v) (p."

1y) 1

12900

136401 9840 '·

Momento máximo total:

/ fJ•I V

\ (p."

10560 /

= + fJ= 136-iO + 10560 1

fJ· IV

(

= 24200

)

IV 2

GRANDES VIADUC'l'OS

La sección adoptada para las cabezas de las vigas, que son los elementos que se supone siempre que han de resi. tir á, los momento· flectores, es la presentada por el croqui adjunto, que como hemos dicho corre en toda la longitud del viaducto: de:contando tres aguj erns lle roblones de 17m/m en cada cabeza, esta

sección nos da para -

un valor de

-V = 0,002461 . De donde se deduce que el trabajo máximo en el 5.0 tramo os 20500 R = - - - = Sk 33 por mi • 2461 ' ¡m y el trabajo máximo en el 4.0 apoyo es 242 R = 00 = 9k ,83 por m¡m~ 2461

29. Esfuerzos cortantes de las vigas principales.-El método de la lfaeas de fi[g. 3S influencia empleado para la inyestigación de los momento · flectoro IDáximos, se aplica análogamente para determinar lo · esfuerzos cortantes máximos. La línea de influencia del esfuerzo cortante á la dereclia ó á la izquienla de un apoyo es una línea tal que su ordenada en un ptmto cualquiera 1n da el tamafio y el signo del esfuerzo prnduci' 1 : 11 i::·m do á la derecha ó á la izquierda de un L d, 6Sx C5' apoyo, por un peso único u.e 1 kg1·. apli~---!!_tl(-s cado en el punto m. La línea de influencia se extiende hasta lo extremos de la viga, pero como su. ordenadas di ·minuyen muy rápidamente de un tramo al igtúente, es inútil tra;z;ada en una gran longitu l.

: // ~J

CAL CUL O DF, LO,' TRAMOS La figma 36 indica el a pecto general de la línea de influencia del esfuerzo cortan e en los e:s:tremo O y P de un tramo cualqtúera OP. Lo · trozo 1I:NO y PQR de la línea de influencia dan el esfuerzo cortante producido entre O y P por un pe o de 1 kgr. situado fuera clel tramo. El trozo Od'P repre enta el e fuerzo cortante producido á la izqtúerda clo P por un pe o de 1 kilogramo ituado dentro del tramo OP y el trozo Oa"P el e ·fuerzo cortante á la derecha ele O por la mi:;ma fuerza, de tal manera que a a' + ci S" = b b' + b b'' = e e' + e e" = el '' + d d" = lk (1). 'i ·e razan la:; lúiea · de influencia para todo · los tramo · proceclionclo ele análo-

(1) En el caso de ca.rg,1s. actuando díreciamente . obre la viga, la línea de iníl uencia estaría for111ada por la· curl'as ~INO'I'' y 1''' PQR, r¡ue se lran ·for111an en las línea· poligonal · in..scrila ~!NO ,p y O •,;>QR, en el caso en r¡ue ~e ad111il;1 como aquí, que las ~obrecargas ·e lran ·milen por las viguct.1·•

,f-- - - - - - - - - :::::--,11--

- - --

-.., ···--------- ..,____ __ :._, :o --------- ------------ :.:,

GRANDES VIADUO'l10S

ga manera á lo que hemos hecho para los momentos fl.ectores, se cl~terminarán los esfuerzos cortantes en los extremos de los tramos, procluciclos por un grupo cualquiera ele fuerzas, carga permanente, sobrecarga ele 300k ó sob;recarga móvil. El esfuerzo cortante en una sección cualquiera ele un tramo siendo igual al esfuerzo cortante f}n el extremo clisminuíclo ele todas las fuerzas situadas entre dicho extremo y la sección, r esulta que del esfuerzo cortante sobre los apoyos, se deducen los esfuerzos cortantes en un punto cual~uiera situado entre los apoyos. La reacción de un apoyo siendo igual á la suma de los esfuerzos cortantes á la derecha y á la izquierda del apoyo tomados con el 1 :--------.jy mismo signo y de la carga clir ectamen te ~p ¡..... ~ aguantada por el apo yo, las líneas de inl.1.-.<1!!:.j fluencia permiten determinar las reacciones para todas las hipótesis de sobrecarga.

l. . s.. ..

30. Trazado de las líneas de influenoia. -Los esfuerzos cortantes pueclen declucil'Se fácilmente por ~edio del diágrama ele la figura VII, línea 2.ª 1. 0 La carga de 1 k,c;r. se sitúa en el tramo considernclo MN (figura 37). El esfuerzo cortante es en valor' absoluto:

T=~

et X

dµ p ero entr e. M y N = constante. et X Para obtener el esfuerzo constante á la izquierda de N, produ-

CALCULO DE LOS '1.'RAMOS

cido por la fuerza ele 1 kilogramo aplicado en m, basta trazar una vertical á una distancia de 1m á la izquierda de N y trazar por el punto de encuentro R, una paralela R'( á la línea ele cierre a.~Tendremos:

N '( _ N ~ _ d p. 1,00 - -0- - el X

_ -

izqui erda . N

Llevando esta l ongitud N'( como ordenada en m, se obtiene en un punto ele la línea de influencia. El punto correspondiente m'' ele la línea ele influencia r elativa al extr emo M del tramo, se obtiene llevando por clebajo ele m' una _distancia m'm'' = 1 kgr . . 2.º La carga de 1 kilogramo se sitúa f'uera del tramo considerado MN. (Fig. 38.) Siendo N~ el momento en N producido por la carga de un ki•logramo situada en m, pudiera emplearse la construcción anterior; pero á causa de la gran oblicuiclacl de a~, es preferible proceder 111,'

como sigue:

C··· •• ········ ····•· ···':1~·· ····.. ~

1 1

({HANDE • VIADUCTOR

. . l a ele N E sf uerzo cortante a'1a 1zqmerc

N~ = cp'. N = M ª·

Mase obtiene en aa' en la línea ele influencia ele lo momentos para el apoyo anterior M; cp" Mes la 6'' clel foco ele la derecha al apoyo M. Se obtiene, pue.-

izquierda

= a a' ~,,

El cociente de e ta c.livisi~n so llevará á escala, en la vel'tical ele la posición m obteniéndose así un punto ele la línea de influencia del esfuerzo cortante. Si la carga, en vez de estar en m,_e tu viera en n en el tramo LM, se obtendría: n- izquierda .L

b b' · = -.-, y 6

. e llei"ana el valor de este co-

ciente en la vertical de N, etc., etc. Si la carga estu,iere en un tramo á la derecha de N, se mecliría la ordenada sobre la línea ele influencia ele lo.- momentos en N y se dividiría por 6' Observación. Es inútil con ·truir estas líneas ele influencia e.lo los esfuerzo.- cortantes (1), pue to que ns ordenado · son proporcionales á las de las lín~as ele influencia ele los momento.s ya con. tnúclos; para obtener el esfuerzo cortante proclnciclo por una fuerza ó un grupo ele fuerzas fnera del tramo, e.· preferible medir las ordenadas conesponclientes sobre las líneas de influencia ele los momento , teniendo en cuenta los ·igno , calcularlos sobre las escalas graduada · ya construíclas y reducir su suma algebráica en la relación ele 1 á 6" ó 6'.

(1) o e han h.lzado en el diágrama núm.1, más que en los lre· primero tramos y contó ejemplo.

ALCULO DE LO ' 'l'RANO '

31. Carga permanente.-Los esfuel'zo col'tante · sobre .los apoyos se obtienen aí1ac.1ienclo los esfuel'zos col'tante proclucido pol' la fuerza· ele 2.900k aplicado · en todos lo puntos cle unión de las viguetas. El e. fuerzo col'tante en tm ptmto intermedio es igual al esfuerzo cortante obre el apoyo di minuído en 2.900k multiplicado por el ntí.mero ele viguetas que haya entre el apoyo y el punto examinado. • Los resultados ·e han llevado sobre el c1iágrama cle la lám. X: en ,alor ab ·oluto á la e cala de 5m¡m por tonelada (trazo negro de la 3.ª línea). Ejemplo: E fuerzos cortante. en el 4.0 tramo procluciclo por la cal'ga pel'manente.

o 8 o ~

¡> w. ¡:;::¡ i:=1

..,ji

¡ Cargas situadas en el 4. 0 tramo (ordenadas de la línea de influencia cel esfuerzo cortante á la izquierda de IV) .• . . . •••••.• • ••..

= +

126,5 ó sea J Esfuerzo cortante =

7340k

53Ok

-f f>720

980

+ 6140k

+ 6 , 7340 = _ + 7175

- 42lek 4216 6"=7,90 =

ga permanente, dim .......... . .... .

98~/m,6 que llevados sobre la escala de la car-

____

+ 137,5

Cargas situadas en los tra- \ mos de la izquierda, l. 0 , A la izquierl.º: - 9m/m,5( 2. 0 y 3. 0 (ordenadas de la 2 o. + 24,0 · = - 72 01 /m,7, 6 sea da del apo- , línea de influencia de los .3.º: JO IV ....•• - ~~'~ Esfuerzo cortante= momentos sobre el apo... yo III) ..•••.•.•• • ••.••. .. ~~ -.:t'O Cargas situadas en los tra-¡ mos de la derecha, 5.º, 6. 0 y 7. 0 (ordenadas de la lí- 5 .º: nea de inffuencia de los

6 ·º= -V5,o + 4,00

~º~~-~~~~. ~~~~~- -~1- -~~~~ )7·º=

Esfuerzo cortante, total

ALCULO DE LO

'J'RA.l\10

Lo· esfuerzo· cortante.· en el -:1:.º tramo son pue · (:fig. A la izquierda del apoyo IV : + 614) k, que Jlevad · al diagrama núm. 2 por debajo de la horizontal ú la escala de 5m/m por tonelada, dan. . . . . . . . . . . . . . . . . A la izquierda de la vigueta el : 6:140 - 2900 = 3240 que dan . . . . . . . . . . . . . . . e : 61-:l:O - (2 X 2900) = 340, quo clan . . . . . . . . 71: G1-:l:0 - (3 X 2900) = lle,an - 2560, que un Yalor absoluto por 1kbajo d la horizontal y dan. . .. . . .. ....... . . CI, : (i]40 - (-± X 2900) = - ,3640 ídem íd..... .. .

39 \:

30,7m/m

1G.2

J .7

1:..R :27.:1

Sobrecarga de 300k por m2 .-Análogamente á lo que . npnsimos en el cálculo de los 1110men tos máximos. la solll brecarga (1 00k por Yigueta ¡ se :upono extenclicla por tramos en teros. Las combinaciones má. de. fa Yorahl es ;;on las mismas par,1 lo: esfuerzos 1:ortantcs qne para los momento: flectoro:;. Para obtener el e fuerzo corümt-.. máximo :obre nn apoyo. e. mene ter cargar los do · tramo: contiguo. al apoyo y lo demás üe dos en do . Las medidas ele las ordenada · tomada anteriormente para la carga p ermanente. pueden utilizarse para la i1wostigación del e. fuerzo cortante 11111:s:imo prodncic1o por la obrecarg;a . con tal de no tener "11 cuenta las ordenada. qu dan un rsfuerzo ·ortantc negati,o y dr medir la:- onlrna1las sobr la escala de la so hrccarga do 300 1, • .J

GRANDE

VIADUCTO

Ejmnplo.-Esfuerzos cortantes en el 4.0 tramo producido por la obrecarga de 300k por m•. La combinacione desfavorable.- se repre entan en el adjunto croquis:

11¡.40 tªtramo

111

V 5~

111

Sº

5º

VII

VI 6~

7º

VII

.lt. iramo. IV

Lll a

·1d

·~

~ ~

O\!

'.:t

Carga situadas en el 4.0 tramo: + 98,om/m ó sea á la e. cala ele la :obrJcarga ele 300 k por m.~ ....... .. . . ....... ... .. ... ... .... . . . . . ..... + 3550 k Uarga. en los tramos ele la izquierda: \ ó .·ea xSG-:1:k ... . .. ... . . ... .. .. ... . 2. 0 tramo+ 24,0/ 1

E . fuerzo cortante=

SG-:1: ,, = 7,!:JU =

Cargas en lo.· tramos de la derecha: _ \ = + 141.5 ó . ea 5100 k o.0 ramo + 137 o ; ' 61 OU 7.0 tramo + 4 O/ Esfuerzo cortante= , .., r _

110

660

4320 k

C::, = I D

'J.'OT.A.L • • • . . • . . . . • • . • •

re-presentados por 21 .Gm/m en ol diagrama

CALCULO DJ!} LOS 'J'RAnIOS

Análogamente encontraríamo · para la segunda combinación: Esfuerzos cortantes máximos á derecha ele IIl = 4.lG0k ó ·ea 20 8m/m sobre el diagrama nüm. 2. I dem íd. íd. íd. de a= 4.160 - 1.800 = 2.360k ó sea 11,8m/m sobre el cliagrama núm. 2. Idem ícl. ícl. :i izquierda ele d = 4.320 - 1.800 = 2.520k ó sea 12,6m/m sobre el diagrama núm. 2. Idem íd. íd. íd. e= 4320 - (2 X 1800) = 720" ósea 3,6m/m sohre el diagrama número 2. Conociendo los esfuerzos cortantes en lo dos extremos de cada tramo, se obtenc1rún los esfuerzos cor tantes en los puntos intermedios, re. ·t{mcloles 1800 k. multiplicuclo por el m'tmero ele ,Tiguetas que haya entre el punto consicleraclo y uno ú otro ex tremo. Los r esultados así determinados se han llevado en valor ab oluto sobre el diagrama el e la lám. X, i la escala ele om/m por tonelada (primera línea ""' trazo negro.)

33. Sobrecargas móviles.- Habiénclo. o colocado las carga · móYiles en fas posiciones mis desfavorabl es. se m.ed.irúu las orclenada .·. ya sea :obre la línea de influencia del esfuerzo cortante para las cargas situadas al interior del tramo con icleraJ.o, ya sobre la línea ele influencia ele los momentos para las cargas situaJas fu era del tramo; se eyaluarñn las onlenaclas sobre las escala. correspÓnclient.es y se :umarin algebníicamento los esfuerzo obtenidos, J espués de dividir por 6 ' ó 6'' los esfuerzos que SC' r efieran :i la· cargas sitnadas fuera del tramo. P ara obtener fa hipótesis que determine el esfnerzo cortante máximo en un punto dot"nninado 111, os menest er cargar lo mú.posiblo la parte mM del tramo, y para ello so supone un ej e ·obro Ja vigueta próxima by ninguna carga ele b á .i también se cargar á lo m:is posible el tramo más contiguo JO y todos ]9s demás de dos en do .. es decii:, KL PQ, etc.; los tramos intcrnwclios - 11 ,,anín solamente las caba1lería · (fig. 4] ).

(:i8

<lH.-\NDES

Y LAD

"l'l),'

Para obtener l máximo en 11. Ita bdn qu<' en rgar la pn rto n N. ·itnanclo un eje en a, ninguna fuerza tlr a á .:)L cargar el tramo contiguo más próximo LM y totlos ]os dC'más tle dos en dos,

es tlecir HT{. OP. <~R. etcétera. ---,-+

Eje111plos: Esfoerzos

cortante máximo proclnciclos C'll el enarto

L Cl

·ión má.- desfavorable e tá representacla en e l croqui. adjunto (figura 42). , e obtiene:

~~r

.....1

> " .h

tramo por las r-argas mó...-i le;;. Para el esfuerzo c-ortanto máximo á ln i.zquiercla tle JY, la posi-

~¡

Ejes del carro ~

+ 66 m/111,0

ó sea en la escala de los carros ....... .

+ 7070k

} + 16,5

ósea 37, 111 /ml en el di ágrama.

))

I0J0 1 200 '9" - - + 520

+ 1770 1 1 caballos Y'9" -

))

= + 7420k

520 6, " = 7 ' 90 = +

'J' OT ,IL., •• . . . . . . . . . . . . ·. • . · • · · • • · · · · · · · · · • · · · · · . .

C,cg., ,;tu,d" •• lo, trnmo, d,l la izquierda (ordenadas de la línea de influencia de los momentos Caballos {- 4.J.,0 sobre el ~poyo III) • • • • • • · • · · · · · · del carro a _ 16,-!

'"'º'

Ejes del

2,sf

Ca bailas del Í + 65,0 ! 6 sea en la escala ( + 1550 \ · carro ~ ~ + 26,2 ) Cargas situadas en los tramos de la j '9"1 -+ - 3lfl de caballos derecha (ordenadas de la línea de + 1860 , 2160 •-== +280k influencia de los momentos sobre Ejes del sea en la escala 6 = 7.75 el apoyo lV) ... . ...... . . ...... . . + ó carro ·r + 300 de carros --2160 ,

Cargas situadas en el tramo III-lV , (~rdenadas de la línea de mfluen-t c1a del esfuerzo cortante) ...... .

<:O

J¡

ü.

>-~ o

cr..

....

'--'

r o

> r

GRANDES VIADUCTOS

Se obtend.Tía del mismo moclo el esfuerzo coTtante mú,x imo en los diferentes puntos ele la viga, paTa las hipótesis ele sobrecargos Tepresentad.os poT los si~uient% croquis;

a¡.

111

-¡-- -

/¡.050

,5000

7J'l'O

/,.75'0

7lV

?4:/{T

CALCULO DE LOS TRAMOS E sfuerzo cortan te\ máximo á la iz- f quierc1a de d (ca- > nos de cuatro \ ruedas) .. ... .... . )

4760k

r epresentados en \31 diagrama número 2 por

23m/m,8

Esfuerzo co rt ante ) máximo á la iz- r quierc1a ele e (ca- 1 = 3050 nos de dos rue- ~ das) .. ........ .. . J

15,3

Esfuerzo co r tante máximo á la der echa ele III ( carros ele cuatro ruedas) ... . ... .. .... ,

7510

37,6

= 5000

25,0

Esfuerzo cortan te~máximo á la derech a ele a (carros d e c u at ro ruedas) . . .......... . j

Los máximos así obtenidos se han llevado á la escala de 5m/m por tonelada sobre el diagrama ele la lám. X (2.:' línea trazo azul). Los esfuerzos cortantes máximos producidos por las cargas móviles r esultan, como se ve, superiores siempre á los conespondientes á la sobrecarga de 300 k. Son, pues, los que deben añadirse á los esfuerzos cortantes debidos á la carga permanente (3.ª línea.) El contorno exterior obteni<lo da el esfuerzo cor tante má,ximo que puede producir se en un punto cualquiera. Las almas de las vigas son las que deben resistir á esLos esfuerzos.

•

GRANDES VIADUO'l'OS

Estudiaremos las clo.· soluciones que preceden presentan,e: las · celosfos ó el alma llena.

34. Celosías.-El coeficiente máximo ele trabajo que se admite en la:; celosías es de 8 k. por m/m'. Si ll,1mamos '11 el esfuerzo cortante máximo en un cuadro éle fa viga, los esfuerzos en las barras de la celosía de este cuadro son:

'l'

F = - - -: co:; (l. = O, 7242; ele donde F = 0,345 1' 4

CO.' f/.

·············· ··· ····· ......2,ou:::............. .

En el cuadro núm. 1 consignamos los esfuerzos cort.antes máximos totales, los esfuerzo s que conesponden á las barras de cel osía, las secciones adoptadas para resistirlos y el t r abajo R clel metal que se produce, tanto en ellos como en sus róblones. E xcusado nos parece justificar la disposición adoptada para e:;ta celosía: en nuestro librito de Piientes de hierro económicos, cap . XIII, hicimos un estudio comparativo de las disposiciones ele tramos metálico:;, y dedujimos en conclusión las proporcione:; y élisposiciones que h emos adoptado en nuestro proyecto, con. ·tit uyendo la celosía con angular es en la cara (;lxterior y con llantas en la interior, y no poniendo montantes sino en el aplomo de las viguetas, colocadas de dos en dos metros.

CALCULO DE LOS TRAi"\íOS

En la lá,m. IV se presentan los detalles de e;;tos tramo;; y ;;e obser,a que hemos evitado en lo posible toda complicación ele estructura1 empleando exclusivamente chapas y angulares ele dimensiones corrientes, con tma estereotomia sencilla y cosido fácil para todos los elementos, que facilita la construcción, montaje, pintura y conservacíón. Los perfiles ele las bana inscrito· en el cuadro ntí.m. 1, ·on los ele los extremos ele cada tramo contiguos á los apoyos. Las secciones ele las bana. · de todos los demás cuadro · cen trales on:

Bcirras inte1·iores: Llanta de 65 X 8, con rnblón de17m/m••·· · · · · · · · ··· · ·· ··· · · · ·· ···· ·· ·· · · · w=384m_;m• 55 x55 Bar1··as exteriores: Angular de con ro 6

blón ele 17 m/m •. . ... ........ . .. . . ....... . . . ..

= 622 •

El esfuerzo cortante máximo en e. ·tos cuadros centrales, se produce en el segundo cuadro á la izquierda del tramo 5. 0 (véa e el diagrama de la lám. X ) y nos da: 1' = 8600. Esfuerzo en las banas F = 0,345 T = 2970 k . El trabajo del metal e , pue : Barras interiores exteriorns :3 roblones de l7m /m w = 681 :

R = , 7,1< 7-:1: µo r m/m" R = -,k69 R = -:1:,k36

A 1'u1 hubieran pocliclo rnclucu:se teóricamente algunas :accione¡; de angulares, pero para la duración del puente no conviene des. , el 55 X 55 c1 · • • • . cen d er el e l a seccwn e - --. - que a ID.1t1mos como mmrmo. 6

F,n resumen, el trabajo máximo y mínimo que ·e obtendrá, es de bar ras planas interiores: T rabajo máx. 8,00; - trabajo mín. 6,05 • angulares exteriores: 6, 52 4.70 Roblones: 5,59 3,76

GRANDES VIADUC'ros

35. Vigas principales de alma llena. -Aunque el aspecto ele vi-

gas de celosía es más ligero, y para alguno~ Ingenieros más elegante, puede ocurrir, sin embargo, que en tramos de estas luces, el peso de las vigas de alma llena resulte, sin embargo, menor. Por esta razón, hemos creído conveniente estudiar esta solución, y ver emo::; como, en efecto, resulta para el caso que nos ocupa, algo más ligera el alma llena, que la celosía que antes calculamos. Aclmitiremos la misma carga permanente que para la celosía, pues la pequeña c1iferencia que pudiere haber, no influye sensiblemente en los esfuerzos cortantes máximos. Por lo tanto, los momentos y los esfuerzos cortantes máximos totales, son los que anteriormente determinamos, es decir: =24200 Momento de flexión máx. total (apoyo IV) Esfuerzo cortante máx. total (á la derecha del apoyo IV)= 1377úk La sección que puede adoptarse como límit~ (pues no sería prudente ni práctico reducir más los espesor es ele los hierros) es la adjunta, qne deberá correr de un extremo á otro del puente. Descontando las secciones ele los roblones nos da l~n móelulo ele resistencia

I V= 0,002547. Por lo tanto, el trabaj o máxin10 á la fl:exión será

R =

24200 = 8" ,50 por m/m' 2547

CA.I ,CULO DE LOS TRAMOS

La reiústencia a.l esfuerzo cortante, aclmitiendo como suele hacerse, que sólo el alma ha de resistir á este es fnerzo, es:

Sección neta del alma= 7163m/m~ R =

13770 = 1k ,92 por 7163

m/m

trabajo muy inferior al que hemo · encontrado para las celo:;ías. Cubicando separadamente los do· :istemas de vigas que se trata de comparar, nos resultan la.· siguientes cifras: P eso total ele los tramos rectos con viga · en celosía • con alma llena

180.540k 173.437K

Se obtiene, pue ·, con el alma llena una economía de pe, o de siete toneladas de hierro (cerca de 4.000 pesetas) nada despreciable, con la ve,ntaj a de presentar mayor facilielad de construcción y pintura, mayores garantías ele duración y mucha mayor rigidez para resistir á los esfuerzos cortantes. No cabe, pues, vacilación, y proponemos la viga ele alma lle-

na (1). T eniendo el ta blero una longitud total ele 180m, r esulta para 173437 el metrÓ lineal un p eso de - - - - = 963k , y para el m etro su 180 per:ficial un peso de

9 3

= 160k

Comparando este peso con el que Uroizette-D esnoyers consigna en su s tablas para los tramos de carretera ele 10m de luz, y que e· de 121 k., parece á primera vi. ta que nuestro p eso es excesivo;

(1) A quien parezca extraño que la viga ele alma llena pese meno · que la celosía, bastará hacerle observar, c¡ue con la primera quedan suprimidas l.1 · almas ele larguero de andén y que además la celosí,l requiere para los enlace una superposición ele hierros inú tile · y 111uclios fo1Tos, lo que no ocurre con el alma llena. Consideramos que, ·ólo á partir de 15 melros de lu z, puede la celosía producir una sensible economía de metal.

,·

pero hay que 1.ener en cuenta que en la cubicación ele nuestl'O ta blero incluímos el peso de las placas bombeadas de piso que representan 48 k. por m'; mié1~tras que los pesos ele Croizette-Des~ noyers, conesponc1ientes á los puentes franceses que generalmente emplean bovedillas de ladrillo, no incluyen estas placas. Descontando su peso de los 160 k. que o~tenemos para el m• resulta un peso de 112 k. por m 2 inferior al ele l as tablas, lo qne no es de extrañar, porque hemos empleado acero y vigas continuas, circunstancias ambas que contribuyen á aligenir los tramos.

GRANDES VI.ADUC'J'OR

OAPI'l'ULO UI CÁLCUJ,O DE

"L AS .PALIZADAS

Las palizadas, cuyos detalles r epresentamos en la lámina XI, tienen que r esistir : _ 0 1. A las cargas verticales l'esultantes de su p eso propio, del peso del tablero y del de las sobrecargas que actúan sobre el tablero. 2. 0 A los esfuerzos. horizontales determinados pór la acción del viento sobre la superficie lateral clel tablero y sobre la ele las palizadas. § I.- Cargas verticales.

Las r eacciones ele las palizallas producidas por la carga pel'manente clel tablero ó de l::1s sobrecargas, se obtienen por medio d0 las líneas ele influen cia. ya trazadas. En efecto, la r eacción ele un apoyo á un sistema ele carga,s es igual á la suma Lle los esfu erzos ·col'tantes Ll~sarrollados á der echa é izquierda del apoyo y ele las cargas que actúan directamente sobre el apoyo. La i1w 0stigación ele las reacciones se r educe, pues, ú ser la ele los esfuerzos cortante:,;.

36 . Carga permanente. --Las cargas ele 2.900k aplicadas en los empalmes ele las viguetas con las vigas, determinan esfuerzos cortantes ya calculado_.; las cargas directam ente aplicadas son igualmente ele 2.90Qk y resultan do ]a acción Lle 1n vigueta colocada en

GRANDES VIADUC'l'OS

el aplomo mismo de la palizada (salvo en la palizada núm. VI, correspondiente al tramo de siete metl'Os, en la que la carga directa es nula, por no tener viguetas encima). En el cuadro siguiente se consignan las reacciones así determinadas, es decir, las cargas permanentes aplicadas en los capiteles de cada palizada. Debemos aíí.aclir {¡, estas cargas el peso pl'Opio de la palizada, que, aunque casi uniformemente repartido en su altlU'a ó longitud, suponclremos también aplicados en los capiteles de los montantes. Ejemplos: Pcilizada IV.- Carga permanente. Esfuerzo cortante á la izquierda del apoyo IV . . . . . . . . . 6140k derecha . .. .... . 6280 Carga directamente apoyada .................... : .. '. 290Qk

. , ) .. . .. . .. . .. . cub.1camon

15320k 2700

Carga en el capitel de cada montante de la palizada rv.

18020k

. ( 5400 P eso prop10 - - ) 2

k (

ÍJ

segt

Pcilizadci VI. Esfuerzo cortante á la izqtúenla del apoyo VI ... . ... . derecha .. . .... . Carga clirectamente aplicada ... .......... ..... ..... .

5000" 4930

o 9930

í b. . , 2730 . P eso prop10, segt n cu wac10n -

... • ••••• •• •· ••·

Car_qa en la cabeza de cada montante de la palizada VI. 37.

1360 ll290k

Sobrecarga de 300k por m.~-La combinación que procluco

los esfuerzos cortantes máximos 6, de1·echa é izquierda ele un apoyo (láminas IX y X) pl'Ocluce también la mayor reacción, que os igual á la stwa de estos esfuerzos cortantes y do la carga clirectamente transmitida (1.800" en el capitel de cada montante de palizada menos en la núm. VI).

CALCULO DE LAS P ALIZADAtl

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'-:J-

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t o

• Los cargas proc1uciclas por la sobrecarga estática en los capiteles de cada montante de palizacla tam bien se indican en el cuadro siguiente y se han calculado c1el siguiente .mo.-do para cada apoyo. Ejemplo.-Palizacla ITT.-Sobreca1·ga de 300k . Esfuerzo cortante máximo á la izquierda de rv (sobre diagrama núm. 2), 21m/m,6, ó sean. . . .... 4320k Idem íd. á la der echa, con la misma combinación de sobrecargas 21m/m3, ó sean.. .. . . .. . . .. .. ... 4260k Carga directamente aplicada . . . . . 1800k

Carga en el capitel de cada montcmte . . . . ... .. .. .. .... .• . . . . . . . 10380k 38. So brecargas móviles. -Para obtener la carga máxima en el capitel de cae.la mont ante de palizada hay que determinar por medio de las líneas de influencia y de las escalas los esfuerzos cortantes producidos en los e.los lados de cada palizada por las sobrecargas móviles colocadas en la posición más ele. ·fa vorable y añadir á su suma la carga trasmitida di rectamente. La hipótesis más desfavorable es evidentemente aquella en que los ej es do los vehículos :ficticios se encuentran en el aplomo de la palizada (ej e de carro de cuatro ruedas 5.955k; de c1os r uedas 7J 40k ). Los carros de adelante

y at.r is deberán ocupa1· los tramos que produzcan es-fuerzo.- cortantes positivos sobre el apoyo que so consitlera.

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¡ f~g t

_ _1970 _ __

Eje del carro P, en el tramo III-IV . ..................... .. .. . 1

-x

+ _

•

13 ~~

50 4200

= 8,15

= 7,85

14200 6"

1010

en el tramo de la izqui erda (ya calculado )... . . .

1970 6' = 7,75 ·r en el tramo de la derecha (ya calculado). ..... .... .

Esfuerzosá la cor tantea iz - Caballos de P, en el tramo IV-,r . . . . . quierdade IV.~ Carro Carro

/ Caballos de P, en el tramo IV-Y ....

/°""°'

Cargas en los tramos de la. derecha,) + - 1050 40 / carro Y caballos de ·r · · · · · · · · · · · º / + 1010 \ (S Eje trasero de p,. + 4050 500 300

m~, la .." . . qmert'~- ..

1Ca1·gas en los t~a- \ .

Esfuerzos cortantea á la de-\ recha de IV.· \

Carga directa (eje delantero del carro P, .. • . .• • . .• ..• .....• ..... . •. . . .....

3.820

11.800

5.355

= 2.015

260 l = 4.430 280' 70

¡~~~

}

Total: Carga máxima en el extremo del montante más cargadu... . ... . . ... . . ..

CALCULO DE LAt-3 PALIZADAS

81.

Calculando ele esta manera los esfuerzos procluciclos en cada paiizacla p or la. · sobrecargas móviles se obtiene con los demás elatos calculados ante.·, el cuadro núm. 2, que figura al final de esta i\lemoria. Lo· esfuerzos debidos á las sobrecarga· móviles son, como so observa en dicho cuacll'O, siempre superiores á los do la sobrecar ga estática; son, pues, los quo deben sumarse con el total ele la car ga permanente y dan así los totales mó,ximos ele la últ ima columna del cuadrn.

1: I'

,,'

IF.- Esfuerzos horizontales.

H emos admitirlo las dos hipótesis siguientes: :l." El viento sopla horizontalmente con una fuerza ele 270 k por metl'O cuadrado, en cuyo caso 01 via lncto no llevan't ninguna sobrecarga. Los efectos ele este viento huracanado deben, pues, . uperponer se únicamente á la earga permanente. 2. 1' E l viento actúa con una fuerza ele 150" por m.'; pero en este caso puede e:tar el puente cargado con la sobl'Ocarga ele 300 k ó la ele los vehículos. Los efectos clol viento ele 1 ~ok deben, pues, superponerse á los do Ja carga permanente y ú, los ele la sobrecarga más desfavorab le.

39. Superficies actuadas por el vie nto. -Aclmitirnmos que la viga pl'Íncipal ele adelante tapa y protege cornpletament e] resto del tablero contra la acción ele un viento horizontal; en cambio, se supone que el viento actúa con la misma intensidad sobre ]a. uperficie ele las dos barandillas y 'solJre los dos montantes ele cada palizada. En estas condiciones, la carga ele viento por metro Jinea] ele tablero y la posición ele estas ca rgas son : 6

GRAN'DES VIADUC'l'08

Sup e rfi ci es po r m e lro lin eal

Altura de acciú11 1 por en cima Mame I1- res~~-~~\! c~o~\ n-¡' de los cima de la los . cabeza inferior de angulares i"feriores de las la vi.,aa. vigas.

2 barandillas 2 X 0m",0172=0 111 2,344 [Viga. l 111 S,05G

l.776 0;528

1 111 ',400

-o 84

0,§!1 -1,169 0,bb8 l.40 -

1,169

R esultan, pues, las cargas siglÚentes: Cargas ele viento por metro ( Viento ele 270k: 1,40 X 270 = 378k lineal ele tramo .......... ( • 150k : 1,40 X 150 = 210k Del mismo moclo que h emos admitido para la carga permanente, supondremos quo los esfuel'Zos del viento act.ú::m sobrn los montantes ele la viga, r esultando entonces: Carga en cada montan- f Vient o ele 2?0k: zm,00 X 378k = 756 k t e ...... . ..... _. ....... l • foük: 2"',00 ~X 210k = 42ük 40. Reacciones horizontales. -Aunquo lo. · cap iteles ele las palizaclas no constit uyen apoyos absolidamente fijo s) elosclo ol punto de vista ele los desplazamientos horizontales, puede aclmitfrse que el conjunto ele los 26 t ramos constituyo una viga continua, no sólo baj o el efecto ele la8 cargas vertic:1l0s, sino también do lo8 empuj es horizontales, <l.esde el momento on que las dos vigas están convenfEmtemente arriostrau.as por las placas bombea<l.as y las viguetas. Consideraremos, pues, estos tramo: bajo la acción clol Yionto, como una sola viga continua do 180 m. ele longitud, doscansrmclo horizontalmente sobro apoyo.· á 10 m., 8 m., 7 m. y G m., et c. u.e

CALCULO DE LA.' P ALIZADAR distancia y r ecibiendo un empuj o horizontal clo pkg por m etro lineal, r epartido uniformemente sobrn toda la Yiga (*). Los momentos flectore ·, los esfuerzos cortantes y las Teacciones ele los apoyos clesarrollac.las ho1·iwntalmente en esta Yiga son proporcwnales á lo,· momentos, esfuerzos cortantes y reacciones de los apoyos clesarroJlacla ·rerticalmente por el pe ·o propio ó carga perman ente y ertical 17' que os también una carga uniformemente r epartida en toda la long it ud ele la viga. En uno y otro caso so :mpone la ·carga uniformemente r epartida, c011eentracla en la yortical de los montantes, e· decir, que se sustituye por fu er zas· ai ·ladas P = 2 111 ,00 XJJ y P ' = 2 111 00 xp', aplicadas ele do en clos m etro ·. Las rnacciones ele las palizadas bajo la acción clel \Tiento son las fuerzas que buscam o3, que t ienden al girn (renversement) Lle las palizadas. Reacción ele la palizada n baj o la acción del viento. .

= R eacción del apoyo n baj o X el peso propio . .... . . . .

p' P ara el viento ele 2 70 1' P Para el \Tiento ele 150k

P P' =

756 2900

o,;e,'"'61 •

420 = 0,145 ( '). 2900

Las r eacciones ele los apoyos bajo la acción do la carga perman ente son conocidas y resultan ele los cál culos que antes desarrollamos para la celosía; ademá. · figuran on el cuadro núm. 2 (segunda columna). (*) Puede objetarse á este razonamiento que los capiteles ele las palizadas no so n punto absolidamente fij os, aun meno horizontahnente que 1·erlic.1 lmenle, y que por lo tanto no pue-

de considerarse el conj unto de lo · 26 tramos como una viga continua Pero quizá sc.1 meno exacto aun, considerar el tablero como di· ontinuo, es deci r, cortado sob re cada palizada. La ve rdad cslá ent.t·e estas dos hipótesis, pero no afecb111 :e • sihlemente iL la cuestión y si hemos adoptado la primera, ha ·ido por su sencillez y porque nos permite aprovechar elementos ya clet.erminados en el cálculo de los tramos. (*~) P• = 2!J00k 11ue es, según antes Yimos, la parle de la c.t rga permanente aplicada en cada montante de la viga .

c+HA DE' VI DUC'IO ' Aplicando un ejemplo {1, la palizada V tendremos: arga horizontal en el vértice de la palizada V con viento de 270" = :l 1.r)20" x 0,261 = 3.110k . Calculando de la mi ·ma manera toda· la palizac.1a ·, obtenemo lo ro.-ultado que se consignan en el cuadro núm. 3.

41. Cálculo gráfico de las palizadas bajo la acción de los empujes horizontales. -En la lámina núm. XII pre ·en tamos el cálculo gráfico ele las palizadas bajo la ·acción ele los empuj es horizontales, que acabamos c.1e calcular, y de lo. empl~jes del viento obre la uper:ficie de los montantes. Sólo hemos h echo el cálculo para las palizac.1as I, Il, IV, VI, IX y X, que son las que para igual altura sufren la carga· máximas, extendiendo los resultados obtenidos para estas palizadas á la · clemás, aunque en realidad sufran menare · esfuerzos; también hemos aplicac.1o el cálculo do la palizada lY á la mun. V, ele la que apenas difiere. hn ste cálculo h emos , eguido en un todo el método de las ·ecciones perfectament~ explicado por Koechlin en ·u Tratado de E tútica ,r;nífica (' ). Las carga. qne rc.-ultan e.Le la acción del viento e.Lo 27Qk sobro el tablero y las palizaJ.as e tán en el dibujo en su po;;ición verdadera. , 'u ponemos q ne la. seccione.· e hacen . ucesiyamonte en lo.- c.lifermüe · cuaclros. Un polígono ele fuerzas y un polígono funicular (línea azul ) c.1etermi.nan la.- posicione· do las fnerzas e:s:tcriore.- correspondiente ó, las sucesi-va.- secciones. La palizacla e.Le ce]o ·ía doble se ·onsiLLera como la .-uperpo.-ición de dos palizadas c.1e celo.-ía .-imple. La Llescomposición do la f norza exterior, según la ba1·1·a d0 celosía y cgün los montante.-. no.- da ]os e.-fuorzos 0n Jo · m1. mos.

('')

.Applicatio11.q de la Sta/igue graphique, par 11auri~c Ko•chlin-ílamlry el l'.ic. Pa-

rí,, Jll80.

CALCULO DE LAS P ALIZATJA8

Para mayor claridad e:s:.plicaremos un ej emplo de nuestl'o cรกlculo:

GRANDES YIADUC'l'OS

Supongamo · qno sea XY la línea do acción de la fuerza exterior (cp' + </'" + cp'") que obra en el cuadro inferior ele la palizada ac.~junta. Si con icleramo · el sistema ele simple celosía <l.ibujaclo con lí-

~, + '/ + ,,, <:' cp__

nea llena, la fuerza exterior aplicada al sistema es '

2 que tiene por componentes: el esfuerzo TQ en la barra AB' y la fuerza QV, dirigida según 'l'S; esta última se descompone á su vez y nos da el esfuerzo QR en el montante AB y el esfuerzo RV en el montante A'B'. c.'+,--''+c;,'''

Aplicando la otra mitad ' -

de la fuerza exterior ,

al sistema con líneas ele trazos, encontraríamo : E sfu erno en el montante AB = MN (illN = RV por simetría.) Iclem íel. A'B' = 1\TP (NP = QR ítl. Superponiendo las dos mitades ele la fuerza exterior y los dos sistemas ele palizaLlas tenemos: Esfuerzo ele compresión en el montante A'B' = Esfuerzo ele extensión en el montante AB

= RV + NP = R 'í + QR Es inútil trazar toda la parte de la izquierda que resulta simétrica á la ele la derecha. Los esfuerzos máximos así calculados se sefialan en los cliágram as ele la lám. XII y se reproducen en el cuadro núm. 4-. En este cuadro :figuran también los esfuerzo · máximos ele compresión, ejercido: sobre los montantes por el viento ele 150k , ol tenidos,. multiplicando los del viento ele 270 por el coeficiente 150 270 . También se incluyen los esfuerzos cleterminaclos por la carga permanente y por la sobrecarga, y por último, los esfuerzos totales de compresión que resultan ele la superposición en las dos hipótesis que se consideran.

CALCULO DE LAS P ALIZ DAS

Se clcduce, cle.-de luego,c.lel examen del cuadro nüm. -:1:, que la '2.ª hipótesi.-, es decir, el viento de 150k con las sobrecargas máximas, es la más desfavorable en todas las palizaclas. § III.- Resistencia de los montantes al pandeo (flambaje).

42. A pesar ele que los montante · se empalman fuertemente por sus extremos al arco y al tablero, no sería prudente asimilarlo: á piezas pri wáticas comprimidas en la dirección de sus ejes, empotradas por sus eYtrenws y no admitiendo má deformación q.ue la ele sus bases en el sentido del eje y paralelamente á sí misma·. Esta · condiciones no se 'podrán cumplir á causa de la dilatación posible do los tramos y do las deformaciones del arco y del tablero bajo la acción de las sobrecargas; así es que teniendo en cuenta la gran importancia de esto· montantes y con obj eto ele evitar en ellos el más insignilicante pandeo (' ) que podía anastrar la ruína ele la obra, lo· hemos asimilado á pilare · descansando sobre bases plana , calculando-sus dimensiones por la conocida fór mula de Rankine (Re.-al, t . I pág. II.) en la que

fl O

KL"

1+-. rN = Esfuerzo límite, á partir del que pudiera ocurrir la rotura por pan deo. Q = Sección de la pieza. L = Longitud entro bases. 1·•

= R aclio de giración de )a :ección =

("-) Ad111ili111os esta palabra pand,o, pur ser la única ~ue nus p,lrecc definir claramente la palahra francesa: jlambage.

GRANDES VIADUCTOS

C = Coeficiente que para el acero es = 30 X 106

K = otro coeficiente ídem ícl. =

~ 36 00

Poniendo valores en la fórmula tendremos: l\T .1.~

Qx30 X10 6 l I/ Q l + 36000 X - I -

108 X 10'º 36000 L2 Q

El esfuerzo F que actúa sobrn el montante más cargado debe ser inferior á N, siendo el coeficiente de seguridad

En el cuadro núm. 5, h emos calculado las secciones de los diferentes montantes, la carga límite N caiculada por la fórmula anterior, el coeficiente ele seguridad

el trabajo clel metal

por m/m 2 ele sección neta, en los montantes y en la celosía. Como se observa en el cuadro núm. 5, el trabajo máximo de los montantes es de 4k ,7 y el ele las celosías 3k ,8 por m/m 2 , muy inferior á los límites ele trnbajo admitidos. Pero hay que tener en cuenta que es una consecuencia de la gran longitud ele estas piezas que las expone al pand00. Por otra parte, no puede adoptarse prácticamente para las ce, ., J 60 X 60 l 1osias una seccion menor CLe - - - - , pues aunque 1ay an8 gulares de menor sección, la economía sería im,ignificante y rnsultarían piezas demasiado endebles. !\\ IV.- Estabilidad de las palizadas de avenidas.

43. La estabilidad de Las palizaclas que se apoyan solJre el arco está, asegm·aclo, por su empalme rígido, en sns dos e:s:t.rnmos. Pero hay que comprobar la ele la · palizadas ele las dos aveni-

CALCULO DE LAS .PALIZADAS

89.

das que se apoyan inferiormente sobre pequeña~ pila.- de fábrica. 1. 0 Pcilizada de J 0m,B0.-La primera hipótesis de viento es evidentemente la más desfavorable en esta palizada.

2 750 K

' ''

10(::, 0

86 0:,-

J<---- - - -- -= -i :..- - -----6.42-- _____.,,: El momento de giro bajo la acción del viento de 270k es:

2.750 X (10,30 + 0,84). ....... 430 X 10,30 . . . . . . . . . . . . . . . . 860 X 5,15 . .. .. .. .. . . .. . . .

30.635 4.429 4.42~

TOTAL, ... .

39.493

La presión vertical es en este ca.-o la carga permanente nada más, que es: 2 X 1l.58Qk

= 23.160 k .

El momento de estabilidad e·, pues: 23160k X

6 42 m• 2

= 74343k

ca ·i el doble d~l momento de giro, por cuya razón es completa la estabilidad,.

GRANDES VIADUC'l'OS

Sin embargo, para may or seguridad convendrá fij ar la base de los montantes por medio de cuatro pernos de 25m/m empotrados en las pilas de ·sillería. 2. 0 P al-izaclas de 2 0 111 ,00.- 'l'ambién en e?te caso es la primera hipótesis de viento la más desfavo.rable,

Ftff l

4000

1~~!40 K. i 0.84- .

----------r-1 4i7º 1 1

- - - - - - --- - -- -- k ,

----------------~- ?foo ,' ' ,' ' sJ10

s,¡10 1

--------------L_l'. ;.. _ ~ - - - - - - - - - --8, o3 - - - - - - -- -- __ ,.,:

•

CALCULO DE LAS PALIZADAS

Calculando, pues, el momento de giro para dicho viento de 270k , tendremos:

4.000 X 630 X 1.260 X 1.350 X l.450 X

(20 + 0,84) 20,00 fo,30 10,60 5,50

83.360 12.600 19.278 14.310 7.975

El momento de giro es

137 .523 kgm.

A su vez el momento de estabilidad es: Carga permanente = 2 X 18.020 = 36. }1-0 8 3 ,~ = 144.700 kgm. Momento de estabilidad= 36.040 X un poco mayor como se ve que el momento de giro. Así es que aunque la estabilidacl esté asegurada, conviene con mayor razón que en la palizada anterior, asegurar la fijeza de la palizada con 4 pernos de 25m/m en cada montante. §

V.- Presiones máximas sobre las pi las de silleria.

44. La presión má,xima sobre la pilas ele fabrica se produce con el viento ele 150k combinado con la.· sobrecargas. PALIZADA II.-El esfuerzo de compresión máxima es:

150 39493 X 9_,,_ 0

----- + 6,42 = 3420

carga permanente

+ 22680 =

sobrecarga

26100

La base el.el montante tiene: Om,33 x om,50 8 = 53 X 50 = 2650 c/m2, de el.onde rei,mlta que la presión es de: _) l:u

= 26100 _ 2650 -

nk n i.J ,v

. e¡ e

por

GRANDES VIADUC'l'OS

Fal-izacla IV.-El esfuerzo de compresión mó,xima e. : 13r:J3 b ..

150 270

- - -8,03 - - - + 29820 = 9510 + 29820 = 39330" . La superficie ele apoyo, siendo: S R =

= 50 X 73 = 3670 c¡m~ 39330 = 10" ,8 por c¡m•. 3650

Ambos coeficientes de trabajo son mu y aceptables, pues que dichos montante· se apoyan sobre pilas de granito ó ele l1ormigón, cuya resistencia alcarnr,a 3(J()k por c¡m•. ~

YI.- Pesos de las -palizadas.

Cubicadas todas las palizada. cuyas dimensiones acabamos de calcular, nos clan los siguientes pesos: 2 Palizadas I y a', ele 7m,60 de altura, sección tipo número 3 á 1670 1c . ....... . .... . ..... . . .. ........ . .. .. .. . 3.340 1 ídem II de 1Qrn,30 ícl. íd. íd. á 2083 .. . .. ... . 2.083 3 ídem ID, IV y IV' de 20m,00 id. íd . íd. núm. 1 á 5392 . 16.176 ele 1Sm,35 íd. íd . íd. á 4623 ........ . 9.246 2 ídem V y V' de 14m,03 íd. íd. íd. núm . 2 ú 2732 . 5 .464 2 ídem VI y VI' 2 ídem VII y VII' ele lQm,30 íd. íd. íd. nüm. 3 á 1770. 3.540 2 ídem VIII y VID' ele 7m ,60 ÍL1. íd. íd. á 1374 ........ . 2.7L.l:8 2 ídem IX y IX' ele 5m,·35 íd. íd. íd. núm. 4 ó, 790. :1.580 2 ídem X y X' ele . 3m ,56 íd. ícl. íd. á, 605 ... . ... . . . 1.210 950 2 íJ.em :XTy Xl' de 2m,21 íc1. íd. íd. á 475 ......... . 940 2 ídem XII y XIT' ele lm,31 íd. íd. íd. á 470 .... ..... . 770 2 ídem Xill y Xill' de 0m ,86 íd. íd. íd. á 385 .......... . :t.HK) 1 ídem b (de orilla) de -m,35 íd. ícl. ícl. núm. 3 á 1190. 463 Pernos de empotramiento ..... ..... ... ... . . .. • • • • • • • • •

Pe:o total ele las palizaclas.-Kilogramo

49.700

CAPÍTULO IV CÁLCULO DEL ARCO EMPOTRADO

§ I.-Fórmu las generales .

45. · Desc~ipción general del arco empotrado.-El arco esttí, constituído por dos vigas en axco con celosía en N, empotradas en los arranques y enlazadas por un cloble sistema ele contravientos que aniostran longitudinalmente el trasdós é intradós de las vigas y por bastidores normales al eje del puente que aniostran transversalmente el conjunto. La fibra media del arco entero, es decir, la intersección del plano medio con el cilindro horizontal que pasa por las fibras meclias de las dos vigas en arco, es una paníbolci ele 120m de cuerda, medida entrn paramentos de salmeres y 24m de flecha. Las intersecciones del plano medio con los dos cilindros de trasdós é intradós son también pcirúbolas separadas una de otra de 2 01 ,00 en la clave y de 4 01 ,00 en los arranques. l1'inalmente, las vigas en arco están situadas en dos planos inclinados de '/ ,. con rnlación al plano vertical medio, de tal modo que su separación, contada entre fibras medias, que es de 5 111 ,00 en la cla,re, es

2X24

+ - i 2- - = 9 ,0U en los ananqhes. 111

46. Elementos de resistencla.- El arco debe calcularse para resistir: l.º A la carga permanente, resultado ele su peso propio, del

GB.ANDER VLI\_DUCT08

peso de las palizadas y del correspomliente al tablero transmitido por las palizaJ.as. 2.0 A la sobrecarga de 300k por m" extendida sobre todo ó parte de la longitud del tablero. 3. 0 Al paso de dos fila. Lle carretas ele dos ruedas de.6000k de peso, ú dos filas de carros de cuatro ruedas pesando 9000k , con las condiciones anteriormente definidas. 4.0 A la variación ele temperatura ele 30° en más ó en menos, con relación á la temperatura media ele montaje. o.º A la acción <le un viento horizontal ele '270k por m• actuando solo, ó á la ele un viento de 1i50k por m• actuando imultáneamente con una de las sobrecargas 2.'1 ó 3.ª admitidas.

47. Establecimiento de las fórmulas -Para el cálculo ele los arcos bajo la acción de las cargas verticales y ele la variación ele temperatura, prescindiremos de la pequeña inclinación ele los planos de cabeza, que uponclremos verticales.

hg. so.

.s. .D.

., , 'I C'í.[X,J.S/

j. '

~A: Q,A /} QB. : ~---=------------------ ------- -- ----- -- t. --- ----------------- --------- -- --~

-:x

Referiremos el eje vertical á un sistema coordenado AX,. AY, cuyo origen sea el extremo izquionlo del arno; se supondrán las cargas directamente aplicadas á la fibra media ASE.

CALCULO DEL ARCO EMPOTRADO

En todo lo que igue consideniremo · . iempre la acción do la par te J e la izquierda sobre la pal'te de la der ech a; esta acción se resume para cada punto del arco tal como O en un momento fl.ector p., positivo en el sentido de las agujas de un r eloj , negativo en el sentido contrario, una compresión longitudinal N tlirigi<la según la tangente del arco y poSLtiva cuando el arco está realmente comprimido, negativa cuando e:s:iste tensión y un esfuerzo cortante T dirigido según la normal, positivo cuando se ejerza ele arriba á abajo, negativo en el sentido contrario. En los arranques, las reacciones de los apoyos son igualmente: un momento :flector ó momento de empot ramiento, una compresión longitudinal y 1.m esfuerzo cortante; pero para facilitar el cálculo, se sustituyen estas últimas fuerzas, por sus componentes verticales y horizontales, ele tal manera qne la reacción total del apoyo A , por ej emplo, comprern1e:

el momento de empotramiento . . . . . . . . . . .

P. A

la r eacción vertical ........... • • • • • • • • • • • R A y la reacción horizontal ó empuje . . . . . . . . QA

Esto supuesto, designemos por n' el de plazamiento sobre el P,Í o ele las X do un punto cualquiera C' cuyas coortlenaclas sean x' e' y', y cuya cli tancia al origen, medida :obre el arco, sea S', es decir, longitud al arco ASO' = S'. v' el desplazamiento dei mismo punto proyectado sobro el oj o de las Y, 0' la rotación de una sección, pasando por el mismo punto, ii A , v A, ~ A , las mismas cantidades relativas al e:s:tr emo A d2l arco cuya coordenadas son x A, YA, sA .

: i

i '

' ' ' :

' l

·sean!'- , N , T el momento flector , la compresión longituclinal y el esfuerzo cortante en un punto cualquiera O, . ituac1o entre el origen A y el punto O' y definido por sus coordenadas x· y y p or su distanria S al origen (longitud arco AO = S);

GRAN.DES VI A.DUC'l.'OS

I y Q el momento de inercia y el {1,rea de la sección normal, pasando por CE el coeficiente de elasticidad longitudinal del metal y (q E ) el coeficiente de elasticidad transversal; 't la variación de temperattua; oel coeficiente de dilatación. Las fórmula generales ("') que nos clan los desplazamientos u', v', 9' del ptmto C', en función de los desplazamientos uA, vA y

6A del punto A, son las siguientes: (1)

ii'

iiA.

+ 9A (y' -yA) -

N -dx E"º •• '

a;I

•

a; A

¡·

'}_1

' •

BA (x ' -

1iA -

v' N - ,- d 'lj

11 A

}:!.,Q

EI "

(y ' -y)ds -

( E )O dy + 0't (x -XA ). _q

••

(2)

_µ._

t..

XA )

• -if s'

'J.

(x ' - x) d

R -

'l' + •-, . x' -(gE) - ll X + O't (y' Q

- YA ).

a;A

(3) •

s' sA

E¡J.I ds. 1;

En el ca.·o particular que nos ocupa) el ongen ele los e,1 es) coincidiendo con el del arco, tenemos:

El apoyo A, no :iendo susceptible del menor movimiento (inebranlalile, dicen los franceses), tendremos además:

(*) EsL1s fórmulas gcncr:iles son clásica· y se ncucnlran on una 1·1 olra forma en Lodos lo. lralarlo de Mecán ica gráfica. Véase, enlre olros, la Estdtica-gráfica, de Maurice Lévy. ·

i'.

11 l.

CALCULO DJiJL ARCO EMPO'J'RADO

Apliquemos las fórmulas (J ), (2) y (3) á los movimientos del extremo ele la der echa B, para el cual

x' = l; y' = O;

ii'

O; v'

O; ú'

¡,,

Si además elespreciamos las deformaciones del orden elel esfuerzo cortante, que son pequen.as con relación á las producidas por la compresión longit11 clin al y, sobro toclo, por el momento :flector, pueden suprimirno los términos que tengan T por factor. Las tres fórmulas anteriores quedan entonces redu cidas á

(] ) t

r•B

¡.,. ],,,1 - y el s -

N . ~ J""Q d :e + ti,l ,,.

= O.

[

¡.,.

(l - x) ds- ¡ ·n_J~Q lly=O.

(3) •

1-'·

El !.,

éls

1, .

Si expresamos el momento :flector ¡.,. y la compresión Nen un punto cuaJquiel'a, en función de las cargas conocidas que acttí.an sobro el arco y ele las reacciones incógnitas¡.,. A' RA y (~A' se obt endrán tres ecuaciones que no.· permitirán obtener e ·tas incógnitas. Determinada.· ¡.,.A, RA, QA, se deduce entonces el momento :flector, la compresión longitudinal y el o.·fuer zo cortante en un punto cualquiera. En efecto, para ol punto cualquiera C tenemos: f'-

f'·A

RA :r -

QA y - 11n

N = RA sen a.+ QA cosa. - sen a.~ P.

'l'

RA cos a. - QA sen

a -

cos

a }:

1 P representa la suma ele las cargas que obran sobrn el arco entro o] apoyo izquierdo A y el punto C que so consiLlom; 7

GRANDES VlADU01'0S

~ rn s la suma ele los momentos ele estas cargas con r elación al punto O, es decir, ~?n = ~ P (x - A). a. es el t'm gulo ele la t angente en O con la horizontal (sen a. es positiv o en la mitad izquierda del ar co y n egativo en fa otra mitad; cos a. es positivo en toda la extensión del ar co.) Llevando los valores anteriores ele .1-'· y N en las r elaciones 1), (2) y (3) obtenemos: {) ;

11_

R ( A \

¡·

j'BAyell s

(2)

,r:

f'· A

,B A

(l - x) d l

(JB

~ 1n y d s

l •

QA .

s _¡n _s~1::

e B A-

yd s l -

~?n

A-

y (l - x) d s

•

j' A x (l - x) d s _ f' l

R (

Q ,B

el x ') =

cos a. d y )

•

sen a. ~p d x - E otl = d

B A

,n (1- x) ds _ Q

f'· A

J (3)

{ ' 13 sen e

A,Al

x. y iJ.!__ _

¡·B d · + ¡·B cos~cl :,r; ) +

_ Q (

sen a. d y )

a._~P d V

_ 2

RA '

r·BA-1x dg .-

el s

= d •.

Se pueden simplificar los primeros miembr os de estas r elaciones y tomar las integrales desde el arranque A hasta el vértice, en lugar de tomarlas en toda la ext ensión u.el arco.· Para ello nos basta observar que:

f Ay ld s 13

Js y [ x + l(l A

= 2

x) ] ·d

JsAy ld s

8. _ l Js

; Ju x .lJ ~ s = º Al yds ,

JB ·

sen a. el x _ ú. Q

UALOULO DEL ARCO EMPO'l'RADO

y" s . Jª cos a. x J y s = 2 JsAl "Al 2 JAS cos a. d = 2 Js cose a. d s º JA(l - !l d s = .JsA[(l - l+ Jd s = l JsA-~l JAs x (l - l x) el s l .Js x ld ~ _ 2

x•

X )

= 2

s x" d s

Js sen a. el y 2 Js sen a. el s JsA[y (l ·) ,-y x dls l JsAly el s '

sen a. d y = 2 Q

y (l JAl B

x) d· S=

•

cos a. el V

]

-- ·

x s Js[x + (l - x).]-ls = = •A J A-l--s = JsA-ls ;JªA-ll f sd s ; Jª V d s = Js d_!_ "Al Al Al B

transformando por medio ele estas igualdades los primeros miemb1·os ele las ecuaciones (1) (2) y (3), tenemos: (l ) 2 u. :A

Js y Id s _

R l A

f2)

P·A

d; -

x s ._,. I 2

Js y" Id s . +2 Js cos"a.cl s ] + A

y cl s =d

J: t

.2 fs - el- -- 2

+ RA

[

·JsAº sen· a. ds] -_ el2

GRA.r DES VIADUC1'0S

100 (3)

1,.A

Js-d s AI

Q 2 A

Js - d s- + R l Js -d1s- = d.,. y

•

..._

Todos los coeficiente de f-l·A, QA y RA solo dependen ele las dimensiones ele la obra y se calculan por cuaclratm·as. Lo · egnnclos miembros el, , d, y él; en cambio, son fnnciones no sólo ele las dimensiones clel arco, si que también ele las cargas que se le aplican; :e pueclon sacar los signo. ~ do la.- integrale y si aclemá.- :e observa que elescl e el orLgen A hasta el punto ele aplicación D de una fuerza P, se tiene para esta fuerza in= O, P = O, .·e pueden transformar los segunLlos miembros :c10 lns ecuaciones bajo la forma siguiente:

hg. Si.

!! ------~-

C--.r---

-----

(:r0'.

.s:.°9 ! !

!.JJ.

~--·-··-··· ----·-· -----------------·-· ✓. ----------------------------..:

el ,

= -

vJi.1 -;,;

+ ,:."'(JB •

ll . -:-- ~ -

(f.B •n

m .lJ. d s I

(l - x) d s _ .J:>

I el. •

JB senº

a. lil --

r ·)

sen

rJ.

·un

cly )

(J.13 Iel_!_). _1!_'1,_

•

Los segumlos miembros se componcld.n éla tanta~ oxpros10nes

CALCULO DEL ARCO EMPOTRADO

101

análogas á las expre ·iones entr e par éntesis, com o cargas.c.l istiiúas, t ales como P . 'l'ratemos ele transformar est.as expresiones de tal manera que sólo sea necesario integrar la mitacl izquierda clel arco, como lo h emos h echo anteriormente. 48. Expresión de d1 .- (a) L a carga P se aplica en el semiar co izquierdo. Designemos est a fuer za cualquiera aplicada á la izquierda del arco por P ; ; tendremos 1n = P i (x - A)

IB ~·1 s - P . AJB y I [JB x y s _ Iº x y s ] - ),[JBy s _ . JDy els ] = P; [zfs yel~ _ Iº x y els ] p ), l.- Js y el s _ ID y

y d s = P.

~-el

•

d!_

•

d.!_ ] I

(véa::;e la t ransfor mación e.le la página 99) P.

1· sena.el x 8

i .D

P; (o-f·º '

•

= P.

[JB "

-Iº

sen f/. d X - Q

sen f/. el x

_ p

i .

sen f/. d x ·

senf/.el x ] =

sen

cos

el s

(J.

ele dond e el ,

= - E O, l + ~ P . I

[(z- 2 ),) Js

y el s I

sen

(J.

cos Q

(J.

IDxyels + I

•

el s ] .

GRANDES VIADUO'l'OS

1)2

(b) La carga P. e aplica en el semiarco derecho; la designamos por Pct

X .

A!¡(---------------- --- -_________________./.. _----- -- --- -------- ----- -- --J1 -~

!_ __ _______________

Sea D' un punto simétrico de D y ~ituado, por consiguiente, en la mitad izquierda; tenemos:

• u

x yds =

Jº' (l - x)r yds = •Jº' -ryd s A

Jº' x yd s

¡ ·-r--

designando por x la abscis~ de ·un punto cualq niera del trozo de arco AD'; tenemos ademá ·

siendo y la ordenada ele un punto cualquiera ele AD'; ele donde

m y !!,_f!.._

= p

[zJº.y Id s _ JD' x yI d s ] A

p ), d

JD' Jj_Id.!_

•

CALCULO DEL ARCO R fPO'rRADO

sen ad ~

= _ p

103

d a-·

·D'· sen a. cos a as

_ P

. d.

Resulta de esta tran:formación: ~ Pd

= - Eo'tl +

el ,

J.n· sen a~cos A

P. l

m (l -

_ p

x) el s

[

J.B

A)_

JBn-I-el s

;.7, •

]

(x -- A). (l - x) d

, JBn_I Xel___s -

(7.

J.Bsen a. d y •

.ll el

La carga P se aplica on el semiarno

I D

:J'

a. d ·].

m fl -:1· ) el

.B J

•

••

49. Expresión de d2 .-(a) izquierdo

•

_ 1·u·

.o· lJ el¡; u- ),)_ fA · 1

JB XId S ] = 2

- · o

[(l + ),)c1·B ~ - •Jº,\ ~I) - ) , l (JB~ I I x d -)l J elI s ) _ .JB .1./ dr s _ •Jº_ .\. I -· •

D A

•

P. l

[(7, + ),)( l JsAl ~ - J'D º

JD_ds_)

+ 2

(l -

x• d s + i~

J.s (2 x A

Js _d s- ·

),l ( 2

f 5.\.I !:..!_ 0

el_:__

el s .xJ] -y =

(J.s [a-· + (l - :rr]

El penúltimo término e ·:

s J [x

:J'el ¡;

JD A

x ds )]· I

el s 1 - =

l• -

Js ..!:.i!.!..... I

2 l a-·)

104

GRANDES VIADUO'l'OS

Por otra parte tenemos:

JBsen

P 1.

•-

[IB

a Gy l __ p .

[ Is

sen a Gy l _ n ~~

•

JD -sen-

sen a dy-

- n-

'Y.

0 "A•-

"A~¿

ID •

sen a

]

el y ]

ID --d sen•a s sen" a. s] [ 2I --dsQ . Q A

•

el,

En definitiva la expresión cuando la carga P está á la izquierda es, una vez simplificados todos los téi·minos:

el,= ~P. [ 2 zis ds _ ( l +):) ID x ds] _ ), l [Is el s _ :J.'

-el I

[ 2 I s -x •-ds- JD -x • el- s] ~

[-2 Is .

sen• a el

sen• a

ds]

(b) La fuerza P se aplica en el semiarco der echo.

el_s _ J DB m (l -I x) ds = p [ (l + ),) ·IBDxIds _ A zIB ·nI I B x• el s] - -:- p [ (l + ),) ID' (l - X) el s - n ID' .!!!_ d

·DI

·A

•Al

xéts') I D' (l-x;)I éls ]= P [ (z+),) ( lID' ds_JD' I I A l JD' el s _ l ID' el s - ID' x • el s + 2 z ID' x el s] . 2

•

JB sen a d y= dD

· .\.I P

Jº' sen

a el y Q

"Al,

= p d

Jº' A

sen• a el Q

Por consiguiente, la expresión del segundo miembro de la ecuación (2) cuando la carga esttí. tí. la clorncha ser ,í.:

CALCULO DBL ARCO E .M PO'l'RADO el. = ~ p [ ( l - ), ) d

.D'

•

105

ID' X - JD'A x. lcl s 2

el s ·Al sen 2 a. d s ]

50 . Expresión de d;;-(a) L a carga P se aplica en el semiarco izq nierclo.

J: x: s _J: x: s) _ A ( J: c~s _ et/ )l= s )] P. [(l s- el s - JD - d -s ) - ), ( .2 Js - d s - JD -el J ·A.l A l Al · Al

pi [ (

ele donde se deduce: el. =

~ p ¡

[(z _ 2 A) •JsA_3:!_ _ Jº x el s + ), JD él s ] l Al · Al

(b) L a carga P se aplica en el semiarco derecho.

Xd s _ ), JB !!:__s_) JBnmlel s p d(B ol ol p [JD (l - x) el s _ ), JD' _j!,_!_] = l . I =

•

p [(l d

Jº' _j!,_!__ _ JD' d s)_ ),Jº' ~ ] A

. .'~

ele· donde

et. = ~ p

[(l- A) Jº' !!.___.:__ I •

Jº' :x; Iel s ]

lOG

GRANDES VlADUO'l'OS

En resumen; de todas las transformaciones que acabamos ele desarrollar, las tres ecuac10nes fundamentales pueden ponerse bajo la forma:

ª1fJ·A + b,

e2)

+ C¡ RA = el , ª• fJ·A + b, QA + e, RA = d,

e3)

as flA -/-- b5 QA-/-- C,; RA = ds

e1)

en las cuales los parámetros y términos independientes son: y ds

al -- 2 Js

= _ [ 2 Js •

+ 2 Js cos'a.els ]

y ds

l-Js

yds

el = I

Eód +~P. [el - 2),) JsA y ld s l

), JDAy ld s

+ 1·D sen

(J.

b,=-l

el, = ~P.

JD Xyl d s +

CO?...:: d s]

a, = l

+ ~ p [el _ ),) Jº'Ay ld s JD'_ !!._Y e?,_~_ + JD' sen a. cos u. el s] A

C=2l

s els

JI A

s y ds

JA - I -

2 x ds - 2 Js -x ds -2 Js sen2 a. el s sJ Al Al A Q

s -el[( 2 l JAl s X

el + ),)

JDAl -d-s ) - ). l (JsAl -d s ·X

CALCULO DEL ARCO EMPOTRADO

I D!}I~ ) _ ( ,f s A

I Dsen•

(J.

d s )]

+ ~ p [el-

ID'

•

I ?,'

•

ds -

Is _!}Is_ ,Z •Is 1 A

A--

S A

yds

+ A·IºAl ~] +

[cz-

JD' x •1el s

J -I= ~ P. [el - 2A )Js ~ - ID x · Al · Al ~P

•

Ua = C5

sen• a. d s _

sen• a d s ]

a-=

JD ~• d!... ) _ ( 2 A I ·

x• d s _

•

107

Iº'i!:!..._ _ID'~] I

· A l

·A

Lo · coeficientes a , e,, a, b, c., a, b, e, sólo dependen ele la · dimensiones clel arco y se calculan ele tma vez para siempre; Los término inclep enc.l ientes d, el. el, son en cambio y como hemos ya dicho, funciones ele la magnitud y posición ele las so brecargas. Conociendo los valores le todos e. tos términos, la tres ecuaciones ele primer grado (1) (2) y (3), permiten deducir las tres incógnitas: (ex.)

_ 11 A

Q 'A

('( )

._) I :)

d, (c ,b.;, - b,cs) c 1 (b,a, - a,b.)

+ d, (bies -

+ e, (a b, 1

cA)

+ d3 (c,?

b,a.)

+ c. (b a 1

~ b1 c, ).

2 -

a,b,).

d, (a 2 c, - c2 ~, ) + d 2 (c ,a. _- a,c.) + d, (a,c, - c1a 2 ) . (el mvmo clenommador que en P. A

__ d 1 (b,a" - a,b, ) + el, (a,b. - b,a 3 ) + el. (b,a. - a 1 b2 )

(el mismo denominador que para P. A)

ORANDE ' VIADUO'l'O

108

A consecuencia ele la variabilidad ele I y ele

y la.· integrales

JDó 0 ' A

n, las

integrales

que entran en los valores ele a , b1

•••

d. etc., no pueden resolverse y para calcular el valor de esto.· términos elebe proced01·.·e por cuadratura. Consiste el procedimiento en clivichr la :fibra media del semiarco AS en trozos ele longitud conocida 6 ', en los cuales se supone que no varían las caracterí. ticas x, y, I, Q , 'J. correspondientes á la sección media del trozo. Se calcula entonces para cada

6 s y 6 s :x· 6 s cos 2 1 1

trozo la · expres10nes I ' - - , - - -,

6 s

etc.,y se srn:;-

ituyen las integrales por las sumas tomadas entre los límites A y S ó A y D ó JJ', según los casos. Así, por ej emplo, el valor ele et, es igual á 2S ~ y

Olarn es que debe adoptarse para esta división en trozos, la mi.-ma ele lo bastidores del arco clivicliclo por lo · montantes.

51. Cálculo de los valores de a 1 b1 e,, a2 b2 c2 , etc. - La :fibra meclia del arco e· una parábola ct1ya ecuación, refericla al si.-tema de ejes que hemos adoptado, es:

4f' x ( 1 - - y- l l

y para

f' = 24m,00 y l y=

120m,00 .-erá X 100

(

2 ) 80 - - 3-::r

La inclinación ele la tangente en un punto cualquiera se obtiene: -cty - = t a.a . = -1-

clx

100

( 80- · -4- x) 3

CALCULO DJ~L A:R.00 J1~MP0'11 BADO

lOSJ

En el cuaclro núm. 6, que va al final ele esta Memoria, lo. · trozos ó bastidores se designan por los números ele los montantes que los limitan. Para cada uno ele ellos, se l1an medido ó calcu1aclo: La longitud 6 s del trozo; Las coordenadas x é y conesponclientes á la. sección media; Las líneas trigonométricas sen a. y cos a. El mqmento ele inercia Ido la. sección meclia; • El área Q ele la mi. ma sección; ,. • 6s x!),s Por ultimo, los valores e1e -- - , --- , etc., qu e ent r an en las 1 1 expresiones ele a, a, .. ., etc. Las suma.s :5.: se obtendrán por simple suma, ya sea ele toda la 8

columna, si se trata ele obten er s A , ya hasta el extremo clel tro -

. zo que co1Tesponcl a a1 punto D o' D' s1' se qmere

"'DóD' ~A

Las alturas medias aproximadas clel a.reo, en el medio ele cada trozo se hai1 inscrito en la columna h . J:>or último, haremos ob3ervar que los momentos ele iner cia y ]as áreas n conesponclen i'.t las secciones completa:, sin cl escontar los aguj eros ele los roblones. Poniendo lo. valores ele las integrales calculadas en el precedente cuadro, en las anteriores expresiones de ci, ci,, etc .. tendremos: lL,

= 2 ~~

b __ ( i

= 2 X 15623 = 31246

y• 6 s 2 "'s ~A I

e1 = l ~s Y 6 A

~ '5'.s

+,<¡~ A

cos• a. d s ) Q

2 (322934 + 1037) = - 647942

= -

cii

l ~s

6 s

= 120 X 15623 = 1874760 = 120 X 81G,i5 = 97980

GRANDES VIADUCTOS

110 b,

= -

z ys x 6 s _ ~s x • 6 s _ ~ sen• Cl. 6 s 2 ,;., A 2 -',._, A I I Q

e,, ·- 2 =

~s y 6 s .t.JA I = - 120 X 15623 = - 1874760

2 (120 X 30633 - 1334435 - 177)

ª· = 2 ~s

4682696

6 s - I - = 2 X 816,5 = 1633

b-, = - 2 ~sA y 6. I C;;

= - 2 X 15623 = - - 31246

8 = l ~: 6 I = 120 X 816,5 = 97980

Introduciendo estos yalores en las fórmulas (Cl.) (~) y (y) anteriormente determinadas obtenemos, :finalmente, después de efectuados los cálculos: (Cl.) p. A = - 0,000382089 d, + 0,000050163 d, + 0,00491353 d3

(~) ('()

= - 0,000019969 d, + 0,000382089 d;; RA = - o,oooooo83n05 d2 + o,ooon5orn28 d. QA

Estas expresiones nos dan los Yalores de las reacciones de .los apoyos de lá izquieréla, producidos por un . istema cualquiera de cargas, simétricas ó no con relación al ej e del arco y aplicadas en los extremos e.le los trozos, os decir, en los montantes; para obtenerlos bastará. sustituir d 1 , el, y d,.. por lo. valores correspondientes á cada punto calculado· por el medio del cuadro anterior, que -1 1a· sumas,;.,_.. ,s srno . . tamb'' ,D' no o'l o ua ien 1as sumas ~D ,;.,A y ,;.,A que corre. panden á los extremos de lo trozos. Si una ó varias fuerzas no coincidieran con uno e.le los extremo· del trozo, se obtendrán fácilmente los valore. correspondiente. ele el, el, d., cal culando las "Y,D ~D• . l ., suma: ,._, A y .... A por 1nt.erpo amon.

52.

Líneas de influencia de las reacciones del apoyo izquierdo.-Es-

CALCULO DEL AR UO K\IPOTR.A DO

111

tas líneas ele influencia, son tres curvas pa.·anclo por los extremos del arco, cuya ordenada: en un punto cualquiera son-rnspectivamente proporcionales al momento fl.ector sobre el apoyo A, lÍ la reacción vertical sobre el mismo apoyo y al empuje horizontal, todas produciclas por una fuerza de 1k aplicada en el punto que se considera.

:fJJ. 1 1

~y :

:C- _-· -- -------- --------- _. 120"'- ____ -- -- ---------- - --- ~

Si, por ejemplo, una carga 1 k so mueve sobre el arco, cuando llegue al punto M'; La ordenada N' m' medida con la escala del diagrama, será. el momento :-,. A; La orclenacla N'·1n 1 ' , será el empuje Q,_\

Y la orclonada

'm'·' erá la reacción vertical RA.

Para obtener ln. · r eacciones producida por un i tema ele fuerzas Yerticales, bastará sumar la. ordenadas corresponcliente., multiplicándolas por la fuerza. Las lfoea. de influencia e trazarán por puntos, calculando un número suficiente ele ordenada· por medio c1 la exprns10nes

112

GRANDER VIAJJUO'l'OS

(a.) (~) y (y) y ele ]as expresiones ele d , d, y d" en bs que ), r e-

presenta la abscisa ó la posición de la carga de 1k y en la que p ¡ = pd = 1 k. Se pueden simplificar los cálculos, obsel'vanelo que las ordenadas correspondientes á un punto M simétrico ele M', se deelucen focilmente ele las de este punto, sin n ecosiclacl do calcular los nuevos valores ele d , d! y d, . En efecto, las reacciones del apoyo izquierdo A, prnclucidos · por la carga colocada en M son evidentem ente las mismas, salvo el signo, que las rnacciones prnducidas sobro el apoyo der echo B por la carga situada en JYI' y vicever:a . Estas ültimos son fáciles ele calcular, conociendo las reacciones ele la izqtúercla. Por eon.-iguiente, una vez calculacla. la · r eacciones· ele la izquierda (P.A ):rvI' ( Q A)w

(R A) M' , correspondientes á M', se obtendrán las r eaccio-

nes de la derecha correspondientes al punto simétrico M, por las l'elaciones:

(P·A)M= - (1.,·B)~1• =

(1.1. A)w

+ l (R A):rvr• -- 11. x

(l - } ).

(R A):rvr = (R n)M' = jk - (RA)M··

L as líneas e.l e influencia ele ]as reacciones clel apoyo izquierdo se h an t razado en e] eliágrama ele la ltím. XVII por el proceelimiento que acabamos ele indicar, adoptando las escalas ele Om,10 por kilogramo para las fuerza.- y Om,02 por kilográmetro para los momentos. Se ha supuesto que la carga ele 1 kg. se ha movic.1o sobrn el semiarco ele la dorec] 1a (por ser más sencillas las exprnsiones de d 1 d 2 d" en esto semiarc-o que en e] el e la izquierda); las posicion es sucesivas corresponden á los montantes normale · al arco.

CALCULO DEL ARCO EMPOTRADO

113

Los resultados numéricos figuran en el cuadro núm. 7 y por ah ora ;no hemos tenido en <_:menta la influencia ele la variación ele temperatura, que estudiaremos por separado más adelante. Daremos un ej emplo: Las ordenadas ele las líneas ele influencia clel semiarco ele la derecha se han calculado, como hemos dicho, por medio ele las expresiones (o:) (~) (A) y se han deducido ele estos resultados las orclenaclas <le los puntos simétricos del semiarco izquierdo, del modo siguiente:

(P. A)s = (P.A)s' +(RA)s' Xl-(l-Aj

5,124 + 0,08968 X 120 - 27,55 = - 11,664.

(QA)s = (QA)s' =

0,478.

(R A)s = 1 - (RA)s' = 1 - 0,08968 = 0,91032. Para cargas verticales cualesquiera, aplicadas en los montantes 1-2-3..... 6-8-10 ....., las relaciones (a) (~) (A) ó sean las curvas ele influencia que son su traducción gráfica, permiten calcular las reacciones del apoyo izquierdo. Si las cargas se aplican en puntos cualesquiera, las curvas citadas permiten 1m método ele interpelación suficientemente aproximado. Por consiguiente, se calculará, por la escala las ordeI}_adas relativas á las divernas cargas verticales situadas en sus posiciones verdaderas y se multiplicará cada una ele ellas por la fuerza correspondiente. La suma de todos estos productos es fa, reacción que se busca.

53 . Cálculo del momento flector, de la compresión longitudinal y del esfuerzo cortante en un punto cualquiera.- Calculaclos como acabamos ele ver las reacciones sobre el apoyo izquierdo, correspondientes á un sistema de cargas, se determinan los elementos de la fuerza elástica en un punto cualquiera ele la fibra media, ele abs8

•

i14

GRANDJ<JS VIADUO'l'O. 1

cisa x, ele ordenada y ele inclinación a p or n1.eclio clo las expres10nes siguientes, anteriormente establecidos (pig 97,. Momento fl.ector: !-'·

fJ-A

+ RA x -

Compresión longitudinal:

fJ-

y -

= RA sen

111.

cos a -

en a ~P. E sfuerzo cortante: T = RA cosa - QA sen a - cosa ~P . Pero como será "más rápido un método gráfico por medio clel polígono ele presiones, vamos á explicar el empleado para determinar los elementos P., N y T. Polígono de presiones.-Oonsicleremos nu arco empotrarlo AB, cargado por fuerzas P' P" P'".

/!t{? . J

54.

'''

' 1ll

' ,, ,n

----------------------------1 Las r aaccionos clel apoyo izquierdo se obtien en micliemlo las onlenacla~ ele las líneas d influencia.

•

¡,

CALCULO DEL ARCO E:MPOTRADO

115

La resultante en las reacciones QA y RA es una fuerza A V. La resultante ele las tres reacciones fl·A QA y RA, es decir, la reacción total clel apoyo A, es aquella misma fuerza, desplazada paralelamente á sí misma, según la dirección cim', á una distancia o tal queAVxo = fl·A, óloqueeslomismo,talqueQAxzA =fJ.A. 1

El punto ele paso a de la resultante se encu entra á una c1istancia vertical ZA = ; : , y por encima ó por debajo del apoyo A, según que fJ. A sea positivo ó negativo. La línea am' paralela á A V es la línea ele acción ele la fuerza exterior que actúa

ele A á m. La resultante de esta

! fuerza exterior y ele la carga P'

i 1

>P'

es la fuerza exterio que actúa sobre el arco ele ni tí n, y se dirige según m' n'. Del mismo modo, la resul tante ele todas las fuerzas que actúan á la izquierda ele n, se dirige según n' p', etc. El polígono a m' n' p' b', cuyos lados son las líneas ele acción ele las fuerzas exteriores que actúan sobre el arco, es el polígono de presiones. El polígono auxiliar de las fuerzas MNPRSTSM, en el cual los esfuerzos P'P"P'" y las reacciones Q.A y RA, QB y RB han

sido trazadas en escala y según sus clirecciones verdaderas, nos da inmediatamente el tamaüo y dirección de las fuerza · exteriores sucesivas. En efecto, en ~ste polígono 'l'M es en magm-

GRANDES VIADUO'ros

116

tud y sentido la resultante de _QA y de RA; TN es la resultante de la primera fuerza exterior TM y de la carga P'; es decir, que la resultante de QA RA y P' es la fuerza exterior que actúa de m á n; del mismo modo TP es la resultante de QA R AP' y P'', etc. E l punto de paso a estando determinado por la relación p. A ,

Q.A

para obtener el polígono de las presiones relativo ~ las car-

gas P'P"P"', nos bastará trazar por a una paralela cim' á TM; por el pu nto de encuentro m' de am,: con la primera carga P' una paralela á TN y así sucesivamente; como comprobación de esta construcción debe el último lado pasar por el punto b situado por encima ó por debajo ele B, según que el momento ele empotramiento del apoyo B sea negativo ó positivo y á una distancia verp.

tical de este apoyo

= (~

Paraestacomprobación se determinarán los valores ele P.B, Y

QB ,

que son fáciles ele calcular una vez conocidos f'·A y QA, pues: P·B

= - ( P· A +!R , A

l - ~MB P )

En el caso en que las cargas sean simétricas con relación al eJ e del arco, tendremos: · P.A

= -

P.B

y, por consiguiente,

ZB.

55. Momento ·flector en un punto cualquiera. - Una vez trazados, como ·a cabamos de explicar, el polígono ele las presiones y el polígono auxiliar de las fuerzas, para obtener el momento fl.ector en un punto cualqlúera O, ba:sta multiplicar el empuje por la

]

CALCULO DEL ARCO EMPOTRADO

117

distancia vertical Z desde el punto C al polígono de presiones, distancia Z que se mide sobre el diágrama con la escala de longitudes. En efecto, el lado m' n ' es la línea de acción de la resultante de todas las fuerzas exteriores (cargas y reacciones) que actúan á la izquierda del punto C. El momento :fl.ector en Ul1 punto, siendo la suma ele los momentos con r elación á este punto ele todas las fuerzas (cargas y reacciones) que actúan á la izqtúercla ele este punto, ó lo que es lo mismo, el momento ele su r esultante, tendremos: fl· = Momento de F con relación á C = Momento componente vertical ele F Momento componente horizontal ele F

de donde p. será positivo ó negativo, según que Z sea positivo ó negativo, es decir, según que el polígono de presiones se encuentre por encima ó por debajo de la fibra media del arco.

-56. Compresión longitudinal y esfuerzo cortante en un punto cualquiera.-La compr esión longitudinal en el punto cualquiera C . siendo la suma ele las proyecciones de las fuerzas que actúan á la izquierda de C sobre la tangente á la :fibra media en este punto, la compresión longitudinal que se busca será la proyección de su resultante F sobrn la tangente en C, y para obtenerla nos bastará trazar en el polígono auxiliar la línea TW paralela á, la tangente en C y medir la proyección TK de la fuerza exterior F = TN, ele tal manera que: Compresión lon,qitiidinal en U: N = TK medida en la escala del polígono auxiliar. El esfuerzo cortante en Ces la proyección de la fuerza exterior sobre la normal á la fibra media en C y está representado

1-18

GRANDES VIA.DUOrros

sobre el polígono de las fuerzas por NK, proyección ele la fuerza exterior F = 'rN sobre la perpenüicular NK 6, la tangente, es decir, sobre la normál al arco, ele tal moclo que:

T=NK

Esfuerzo cortante en C:

A. causa ele la convención admitida anteriormente pa:rn los signos, el esfuerzo cortante es positivo cuando se dirige de abaj o arriba y negativo en el sentido contrario, ó lo que es lo mismo, que es positivo cuando la proyección KN ele la fuerza exterior se encuentra por 011.cima de la paralela á la tangente TW y negativo cuanto está por debajo. La construcción de las paralelas á las tangentes clel arco puede hacerse muy sencillamente, si tenemos en cuenta la sigtü~nte observación: Siendo la fibra meclia una parábola, puede considerarse como un polígono funicular ele una carga uniformemente repartida de 1 k por metro corriente, extendiéndose sobre toda la longitud ele la cuerda del arco, considerado como viga recta simplemente apoyada en 2 puntos; en este caso los radios vectores sucesivos del polígono auxiliar son paralelos á las tangentes sucesivas de la _parábola. Si 6 es la clistancia polar clel polígono funicular, que coincicliera con la fibra media clel arco, y v la carga :ficticia de 1 k por metro corriente, extendida sobre la cuerda del arco, se clecluce, en virtud de las propiedades conocidas ele los polígonos funiculares: 6 X :flecha clel arco=

p ze ósea 6 X 24

-e

= -8- 120

120 de üoncle: 6 = -=-- -=-:- = 75m,OO 8x24 Se trazará una línea vertical MR, que represente en una escala cualquiera Z = 12 )m ,00 y descle el medio S una horizontal SO representando en la misma escala 6 = 75m,OO.

GALCULO DEL ARCO EMPO'l'RADO

119

OJYI ser á paralela á la tangente en el origen, y para obtener la tangente en tm punto cualquiera C ele abscisa x, e llevará sobre la vertical MN = x en la escala elel polígono auxiliar: el radio ·---·-¡

, ,

~--- - 5:-----=;

~--.---~ !f!ccÍla:= 24':'00 1

_______,', __

~'- - - - - - ' - '

A k------------- ------· _,f. 120~ ---------- -------~ B. :<'

/1M·:,r -T - 1 1

:,. : :

•

1...\.

1 1

- - :JI

60"'

--- ---1 l'Z•O"' 1 1

'·~,,,,¡s•

. '

6:0"' vector O será paralelo á · ~ la tangente que :;e busca. Para obtener la normal á la paralela en el ptmto C, bas1 -- -- _y_ __'f.. ta llevar elesde un punto cualquier a /{ una paralela á ON. Aplicando el proceelimiento que acabamos ele exponer á los cliferonte ca ·os de: carga permanente; sobrecargas y acción ele temperatura, se determinan los mo:

120

GRANDES VIADUCTOS

mentos flectol'es, comprensión longitudinal y esfu erzos cortantes producidos pol' aquellos datos, que son los el ementos que necesitamos obtener pal'a determinal' las dimensiones necesarias de l_as distintas pal'tes de la obra. 1 Expondremos á continuación el desarrollo de estos cálculos. SI II.- Carga permanente.

57. Determinación de las cargas.-El peso del tablel'o y ele la calzada y el de las palizadas se transmiten al a1:co por las paliza"' das V, VI, VII.. ... , XI, XII, XIII y simétl'icas. Las cargas transmitidas á cada arco por las bases de los montantes de las palizadas se calcularon en el cuadro núm. 2. 8e aplican en el vértice de los montantes normales al arco números 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 1? y 18, y hemos consignado sus valores anteriormente deducidos en el cuadro núm. 8. El peso propio del arco, con la mitad de los a1Tiostramientos ele trasdós é intradós, se ha repartido en un cierto número ele cargas aplicadas en el medio de los montantes O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, que corresponden á los arriostramientos transversales de los arcos y á los extremos de los marcos ele arriostramiento longitudinal. 'l'ambién se consignan los resultados de esta distribución de pesos en el cuadro núm. 8. 58. Cálculo de las reacciones de los apoyos.-Sienclo la carga permanente simétrica, es evidente que la reacción vel'tical es igual á la mitad del peso total y, que por lo tanto, no es necesario calcularla por medio de las ordenadas de la línea de influencia; tenemos, pues: RA

= I~ P.

CALCULO DE];; ARCO EMPOTRADO

121

La línea de influencia del empuje, siendo también simétrica, sólo necesitaremos calcularla para un semiarco y doblar el resultado: Q A= 2

~! P

qA,

siendo q A la ordenada de la línea de

influencia correspondiente á P, medida sobre el c.1iágrama, ó deducido clel cuadro núm. 7. En cuanto á los momentos de empotramiento, la línea de influencia no es simétrica, pero si se consideran dos puntos clel arco simétricamente colocados y cargados por dos fuerzas iguales, y si llamamos m' A y m"A las ordenadas correspondientes (en magnitud y signo) de la línea de influencia del momento, tendremo : 11-A

~! (m'A + m"J.

En el cuadro rní.m. 8 se resume el cálculo ele las reacciones del apoyo bajo la acción de Ja carga permanente. Los coeficientes m' A' m" A y qA se han medido sobre el diágrama ele las líneas de influencia, y también pueden deducirse del cuadro anterior mí.mero 7. Las reacciones del apoyo izquierdo son, pues: p. A

= - 236315 ..... .. ..... ) la ordenada del punto de paso, es: = 2 x 78937 = 157874k ., lz = _11- A = _ 2:16315 = _ tm 497.

R A= 14346011. . . . . .. ....... \ A A

157874

Estos elementos nos permiten construir la curva de presiones que figuran en la lámina XVID, y por consecuencia, determinar . el momento flo'Ctor en cada punto. Como toclas las cargas son simétricas, solo hemos construído el diágrama correspondiente á un semiarco. El polígono auxiliar (línea negra de la parte inferior), superpuesto al haz de la paralelas á las tangentes (línea azul) está en la e ·cala de 2m/m por tonelada; no· permite determinar inmediatamente la compresión longitudinal y el esfuerzo cortante en el

122

GRANDES VIADUCTOS

origen de cada uno de los marcos del ar co, para lo que basta proyectar los r adios v ectores sobre las t angentes y las normales. Conociendo v, N y T en un punt o cualquiera, el trabajo r e7 sultan te para el m etal, producido por la carga p erman ente, es:

= sección del arco en el punto considerado, deduciendo los agujeros de los roblones. N v' v" son los módulos de resisQ" T y -I- tencia.

En el trasdós

R'= v'¡.i.

+ ~!2.

En el intradós R"

v"¡.i. -I_

7ig. 57

En el montante

= 2_

R ro

•

= sección neta del montante.

= sección neta de la diagonal.

T ,. d . En la diao-onal R = ---=- \~ = ángulo de la diagonal con la fibra º d w d sen ~ · media del arco. 1

Como wm difiere poco de Wct , resulta que wm es siempre mayor que wct sen~ y que, por lo tanto, el trabajo en los montantes es inferior al de ]as diagonales. A sí es que solo calculamos est e trabajo en estas últimas piezas. Los m om entos ele iner cia, módulos de r e8istencia y secciones

CALCULO DEL ARCO ElYIPOTRADO

123

del arco en los empalmes con los montantes, asi como las secc10nes ele las diagonales, se consignan en el cuaclro núm. 9. La sección O es la sección del apoyo del arco sobre las zapatas; está formada por la reunión ele los extremos ele las cabezas. En esta sección puede aclmitirse que la presión es uniforme en cada una de las cabezas. (Véanse láms. 13, 15 y 16.) Las cifras de dicho cuadro permiten calcular el trabajo clel metal en el trasdós, en el intradós y en las diagonales. Res11mimos este cálculo en el cuadro núm. 10. Los momentos fl.ectores f-'· = QA Z, las compresiones longitudinales N y los · esfuerzos cortantes '11 producidos por la carga permanente y que se consignan en dicho cuadro, resultan ele las mediciones hech as sobre el cliágrama ele la lám. 18. A h ora bien, los coeficientes cle trabajo ele las cabezas y clia~onales inscritos en el cuadro núm. 10, sólo se refieren á los esfuerzos procluciclos por la carga permanente. Para obtener el trabajo clel metal, en las circunstancias más desfavorables en que pueda encontrarse el puente, es menester anaclir á estos coeficientes el trabajo producido por los caso. más desfavorables cle sobrecargas, el ejercido por la variación de temperatura y el que pueda determinar la acción del viento . · Vamos, pues, á calcular ahora los efectos ele estas sobrecargas y acc10nes. §

m.-Sobrecarga estática de 300k por m.•

59. Generalidades.-La sobrecarga ele 300k por m .2 se transmite 6, los arcos p or las palizadas; se supone extemlida sobre una parte cle l tablero, variable en posición y longitucl, cle tal manera que lleg ue 6, realizar el trabajo má,ximo en todos los puntos del trasdós, del intradós y de las diagonales. En todos los casos se supone la sobr ecarga extendida en todo

•

124

GRANDES VIADUCTOS

el ancho del tablero, l o que produce para cada viga y para cada . 600 arco una carga de - '-- X 300 = 200k por metro corriente de 2 tablero cargado. La longitud de tablero cargado se supone comprendida entr e el

โ ข

punto medio de un tramo hasta el punto medio de otro tramo. Anรกlogamente รก lo que hemos hecho para la carga permanente, calcularemos el trabajo mรกximo en las secciones corr esponclientes รก los montantes y en todas las diagonales. P ar a cada secciรณn determinaremos el trabajo mรกximo de compresiรณn y el trabajo mรกximo de extensiรณn en el trasdรณs y en el intradรณs, y procederemos del mismo modo para cada cliagonal. Para esto necesitamos calcular el efecto producido separadamente por cada una de las palizadas V, VI, VII ..... V', VI' ..... , supuestas cargadas solas, sobr e todas las secciones y sobre todas las cliagonales de la mitad izquierda del arco. Sumando todos los trabajos positivos producidos en un punto determinado รณ en una diagonal dada, se obtiene el trabajo mรกximo total de compresiรณn

":f 58. -~

______ /.:___ __ .....โ .''. .......

en este punto y en esa diagonal y el conjunto ele las partes de sobrecarga que producen trabajos positivos forma el caso de sobrecarga estรกtica mรกs desfavorable para la compresiรณn.

CALCULO DEL ARCO EMPO'l'RADO

125

Del mismo modo, la suma de trabajos negativos es el trabaj o máximo de extensión, y el conjunto ele las sobrecargas parciales correspondientes, constituye el caso desfavorable de sobrecarga para la extensión.

60. Cargas en las paliza~as. -Presciniliremos de la continuidad de las vigas suponienclo qne la zona de sobrecarga que se extiende descle el medio clel tramo situado á la izquierda de una palizada, hasta el meclio clel tramo siguiente de la derecha, se transmite exclusivamente al arco por meclio ele esta palizada. Su valor es entonces: P

= 900 X

- -- -

Ejem,plo. Carga transmitida por la palizada VII:

VII

= 900 X 7,00; b,OO = 5850k .

En el cuadro núm. 11 se consignan todas la cargas, trasmiticlas al arco por cada una de las palizadas.

61. Reacciones de ·1os apoyos del arco.-Las reacc10nes producidas por las sobrecargas de las palizadas se obtienen, como anteriormente hemos calculado, las de la carga permanente, por medio ele las líneas ele influencia, ó de los coeficientes ya determinadas para la carga permanente. Ejeinvlo. Para la carga 5850k trasmitida por cacla pié ele la palizada VII tendTemos: ( Q A )vu = 0,28 X 5850 = 1638k (véase el cuadro núm. 8)

(R.A)vu =

0,952 X 5850 = 5569k (el coeficiente ),952, se mide obre la línea ele influencia. Lám. XVII)

126

GRANDES VIADUC'l'OS

(P·A)vn = -

12,05

X 5B50 = -

70492 (el coeficiente 12,05 está en

el cuadro nüm. 8). El pm~to de paso ele la reacción en A se encuentra á una clis. tancia vertical del apoyo

70492 1638

= -· 43m,04.

Los resultados ele este cálculo se consignan en el cuadro nümero 11. 62 . Momentos flectores. -En la lámina mu:n. XIX, hemos trazado los polígonos ele las presiones, separadas· ele todas las cargas trasmitidas por las palizadas, ó más bien la parte ele estos polígonos que se encuentran encima ele la mitad izqtúercla del arco; el otro semiarco es evidentemente simétrico. El momento en un pu nto· es igual al producto de la distancia vertical del punto al polígono de las presiones, mult iplicado p or el empuj e correspondiente. Ejem-plo. Momento fl.ector producido por la carga de la palizada X en el punto 6. Se mide sobre el cliágrama Z 6 = - 1m,98. El empuj e producido por 1~ carga X es: QA

4644k (véase cuadl'O nüm. 11).

El momento buscado es: ( fJ·G

)x =

Zu (

)o = -

1,98 X 4644

9200.

Para trazar los polígonos de las presiones, es necesario constnúr los polígonos auxiliares ele las fuerza· y ele las rnacciones · con el empuje como distancia polar, y trazar los polígono. funi_/

CALCULO DEL ARCO EJYIPOTRADO

--❖ - ----r

X-

1 1 1

1 1

:1r.

'il

iP.

o :/2'

' B. 1

--~---}-- - -'.>'

:. 1

1 1 1 1

:JJ' 1

\ \

\ \"

\ !/'

-- -- _:JI

127

GRANDES VIADUCTOS

128

culares de estas fuerzas pasando al origen por los puntos tales como a situados á una distancia vertical del origen

zA =

p.A

-Q . A

El polígono amb pasando por a y cuyos lados son paralelos á los radios vectores OT y OU del polígono auxiliar, es el polígono de.las presiones correspondiente á la carga P aplicada en M. Para la carga simétrica aplicada en M', el lado a' m' es paralelo al lado O'l" del polígono auxiliar OT'U' simétrico del primero. Por el punto a

se trazará, pues, am paralela á

µ ~)

OT y desde m, se trazará mb paralela á OU. Del mismo modo para el polígono de la palizada M', por a' ( Z' A

~~:

) se tra-

za a' m' paralela á OT'. Como comprobación las líneas a' m' y m b deben cruzarse en el eje del arco, por razón de simetría. En la lám. XIX se han construido los polígonos auxiliares de las cargas V á XIII; y solamente lo lados OT' de los polígonos correspondientes á las carga · simétricas de XIII' á V', que por lo demás son simétricas á los lados OU. Se podrí~n construir los polígonos de las prnsiones, determinando por cálculo los puntos a, a' m y W: Para el punto a :

fl·A

Q ; A

para el punto m:

+ y) =

RA_}+¡.,.A

----QA

Q':; p.'

Para el punto a': . Z'A para el punto W y=

60 RA

+ p.A

CALCULO JJEL AT:'00 E:MPO'l'RADO

129.

63. Compresiones longitudinales y esfuerzos cortantes.-Los radios vectores tales como OT, OU, O'r' de lo polígonos auxiliares, representan en magnitud y dirección las fuerzas exteriores resultantes que actúan sobre el arco. Superponiéndose estos polígonos al h az de las tangentes al arco (haz azul, trazado como explicamos al ocuparnos ele la carga permanente) basta proyectar las fuerzas exteriores sobre dichas tangentes y sobre las normales á éstas, para obtener las compresiones longitudinales y esfuerzos cortantes. Se facilita el trazado con los arcos ele círculo construídos sobre las fuerzas exteriores como diámetro. En la figura adjunta, On r epresenta la tangente al arco.en un

fLf · ÓO.

{).

punto cualquiera n, O'l' la fuerza exterior actuando en el punto á ]a carga e.le una cierta palizada M, OT' la

n correspondiente

]30

GRANDE,' VIADUC'l'OS

fuerza exterior resultante producida en el mismo punto n por ]a carga ele la palizada ·imétrica M'; tendremos: Compresión longitudinal en el punto n producida por ]a palizada M = ON (que se mide con la escala en el diágrama). Esfuerzo cortante íd. íd. ícl. ícl. 1Vl = N'l' (ícl. íd.). Compre ·ión longitudinal en el punto n íd. íd. M' = ON' (ídem ídem). Esfuerzo cortante íd. íd. íd. íd. '[' = NT' (íd. ícl.). Si ol pnnto considerado n se encontrara situado entre la palizada y el eje en lugar de estar á la i_,-:quionla ele la palizada, las fuerzas exterior es resultante· s rían OU para la palizada M y OT' para la palizada M'; las compresiones longitudinales se-rían O " y O J' y lo. esfuerzos cortantes N''U y "l" . Ejeinplo numérico: Compresión y esfu erzo cortante en la sección 6 producidas por las cargas aplicadas en las palizadas XyX'. Se miden directamente (teniendo en cuenta la escala ·obre el polígono auxiliar correspondiente á las palizadas X y X' (lámina XIX.) Compresión longitudinal en 6 producida por la carga de 5400 k aplicada en X : .r = 6100k. Compresión logitudinal en íJ. íd. íd. íd. X' : N' = 4-640k . E fuerzo cortante en 6 íd. íd. íd. ícl. X : 'l' = 1720k . Esfuerzo cortante en ícl. íd. ícl. íd. X': T' = - :l 140" . El cuadro núm. 11 no.· da todos los elementos necesario. para construir los polígonos ele las presione.- .Y auxiliares, y por consecuencia, para determinar los momento.- fl.ectorcs compre.-iones longitudinales y esfuerzos cortantes en ]a·· diferentes .-e· ·iones.

64. Trabajo en las cabezas y en las diagonales.-Conociclas por medio <l.el diágrama de la lám. XIX Jo. ,al oros do¡,. y 'l', LleterminaJo.- en cada sección por cada una <l.o :las cargas eparaclas, se

CALCULO DEL AB.OO EMPOTRADO

J 31

calcula el trabajo como lo h emos l1ech o precedentementr por me- . dio de las fórmulas. En el trasdós: R'

110··º

( v'I¡.i.

~ Q )•

En el intradós:

R ,,

= _J_ .10u

( -

+ - Nf1- ) .

En las diagonales:

•. r)

=-r_ · (

10" w sen~ · E_jemplo niim.é1·ico.-Acción u.e la carga aplicada en X sobre la sección 6 y sobre la cliagonal 6 - 7. d

Para esta sección tenemos: f'·

= - 9200; - } - = 18,56;

+ 6100·' ~ = I T =

J5 30·

+ 1720

= 23,17

l = 333,9 sen~

u.e donde: En el trasdó ·: R' =

]~'; (_:_ 19,56

9200

+ Glüü X

23.17)

- 0k ,039 por m/m".

En el intradó8: R" =

l~ij (

+ 16,B0 x

f)2Ul)

+ (j] üli X 23,J 7) = + 0k ,282.

En las diagonales: Rd=

J~r (+J720 x333,H)= + 0k,574.

Calculando de Ja misma manera todos los elementos para las distintas palizadas, obtenemos Jos cuadros número J 2, 13 y J4,

132

GRANDES VIADUCTOS

1 1

r-:7,:

i ... L.t- ··-·····~ ~

'...~_:.'J 1 1

J, l

,.. J ,,

,, ~---~ ~:r-------t-, -1 '.. r . • i

L.-- -

1 l_ ·tJ).

º'f"/~

l ~

1 ':d

l 1 l

w -----·······Jf! 1 1

I•

1 ~ ¼,--+--_,,.__ -' __ ____ lf '

I ~

>-i--,.--t~- -'

t.~ ""'-1 cq

: l

qº

L1)

;

------f :

:~Lf) [Lf)..,,

'1J 1

-+-+-+-.-"'~",.. . -- -i 1

•'¡

--+-+--+--+-- - .- - - ;_ - - 'i

----,,~

· ••1 ci o, ,.:, "''

---4 'º •º·

·=-·01"'·

.: ,

que nos clan el trabaj o proelucido por cada rma de la · palizadas en los diferentes trozos de cabezas ele trasclós é intradós y en las diagonales. Las tensiones y compresiones máxjma. cleducidas en dicl10s cuadros deben combinarse con los resultados ele la carga permanente, ele la varjación ele temperatura y ele la acción clel viento, para obtener a. í en cada punto la mayor fatiga clel metal. En lo que se refiere al lí.1timo cuadro (de las diagonal e··), debemos ob ·ervar que para obtener el trabajo máximo positivo ó negativo en las diagonales, no es necesario calcular separadamente los Yalore · ele R para cacla sobrecarga parcial; nos bastaría medir los esfuerzos cortan tes parciales, sumar en cacla diagonal los términos positivos y negativos y multiplicar esto.· resultaclos por

---4~

. .. .. ,; º ...

en~ · En los tres cuadros nlÍ.meros :12, :13 y 14, la. partes 1J>

: 1

CALCULO · DEL ARCO EMPOTRADO

133

comprendidas entre las líneas horizontales gruesas escalonadas, indican las zonas del tablero que deben cubrirse con la sobrecarga ele 3OOk por m.2 para obtener el trabajo positivo máximo en cada sección ele cabeza ó en cada diagonal. Las sobrecargas complementarias producen el trabajo negativo máximo. § IV.-Sobrecargas dinámicas ó de carros móviles.

65. Supondremos que los dos carros que caben á lo ancho en el pavimento del tablero, cir culan en el mismo sentido y aproximándose lo más posible al borde del anden, aclmitienclo que la • carga máxima que así actúa sobre la viga correspondiente á este anclen, se transmite íntegra al arco correspondiente. El caso más desfavorable es el ele dos filas do carros de cuatro ruedas, que proclucen, según ya vimos, una mayor carga que las dos filas de carretas de dos ruedas. Al calcular en el capítulo II la resistencia de los tramos dijimos que el conjunto ele e.los carros de frente, dispuesto. transversalmente, según indica la figura 61, es equivalente al sistema :ficticio de fuerzas r epresentado en lamisma. Calcularemos los efectos producidos en las cabezas y en las cliagonal~s del semiarco ele la izquierda, por los siguientes casos de sobrecarga dinámica: 1. 0 El semiarco izquierdo está cargado con cuatro canos de cuatro ruedas, suponiendo que el eje trasero a. del primer carro coincida con la palizada XII (véase el diágrama de la lám. XX). 2. 0 El sell/iarco derecho está cargado simétricamente al primer caso. . 3.0 La parte central ele 60m está cubierta por dos filas de cuatro canos dispuestos simétricamente con relación al eje (aunque esta disposición no puede veri:ficaTSe en la práctica, pues en el centro del puente no pueden superponerse los tiros de cuatro canos, la admitiremos para nuestros cálculos, porque los simplifica mucho y da resultados suficientemente aproximados á la verdad).

1,. 1,

l 1 '

134

GRA.l~DE ' VIADUO'l OS

4. E l arco entero se carga con clo1; :filas ele ocho carros dispuesto · simétricamente.

1 1

_J Q,..Q9_ -), l'<--- - - - - - - - - - 1fD~- - - - - - - -- - """

5. 0 Los do.- extremos del arco se cubren con dos :filas ele dos canos en cada lado, clispu01;tos también simétricamente al ej e. 'l'odas estas hipóte. i.- se dibujan con más detalle en la lámina XX. La c1istribución de estas cargas obre la.· distintas palizada.· se determina con suficiente aproximación por medio de las línea¡; de influencia de los esfuerzos cortantes (véase cap. II). La carga sobro una palizada es igual á la suma c\e los e. fuerzo¡; cortantes á derecha é izquierda. de la palizada. Se miden estas cargas sobre el diágra.ma, segün ya explicamos al ocuparnos del cálculo ele los tramos, colocando lo1; vchfonlos en la· posicione¡; de la cinco hipótesis admitida1;. En el cuadro núm. 15 consignamos la1; carga¡; aproximadas así determinadas, que acLúan sobre el arco en cada u na ele Ja1; hipótesis.

CALCULO DEL ARUO En{PO'l'HADO

135

Su examen nos demu estra: 1. 0 Que á consecuencia ele la simetría, admitida, las cargas del segundo caso son simétricas ele las del prímer caso. 2.0 Qu e las cargas del cua1·to caso (carga sobre todo el arco) son iguales á las snmas ele las cargas conespondientes al primero y segundo caso. 3.0 Que las cargas clel quinto caso son iguales á la diferencia ele las cargas correspondientes del cuarto y del tel'cer caso. E stas r elaciones entre las cargas existen igL1almente entr e los efectos ele las car gas y, por lo tanto, si calculamos el t r abajo del metal procluciclo en las cliver.sas secciones y en las diagonales del semi-arco izquierdo para los tres primeros casos de sobrecarga dinámica, . e dedu cirán por simple suma ó r esta, el trabaj o en los mismos puntos resultante ele las hipótesis 4.'i y 5.'t, pues trabajo en el punt o n proclucido por la carga completa (cuarto caso):

El proceelimiento que h emos empleado para determinar los efectos de los tres primeros casos ele sobrecarg~ dinámica, es el mi moque explicamos para la sobrncarga estática, es decir: OonHt rucción de los trns polígonos ele presiones (en la par te ele ellos que se encuentra en cima del semi-arco izquierdo); medida ele las distan cias Z ele estos polígonos á la fibra media y cálculo ele los valores del momento p.; construcción ele los valores ele N y T por por mecho ele lo· polígonos au xiliar es y, en :fin, cálculo ele los trabajos del metal por las fórmulas: R'

R" = -

1 v" I

'l'

_B_ Q

GRANDES VIADUCTOS

136

L os resultados obtenidos par a los t r es primeros casos, nos dan por suma y resta los efectos ej er cidos en los casos 4.0 y 5.0 E n el cu aélJ.·o núm. 16 consign am os las r eacciones y l os elem entos par a la construcción de los políg on os de presiones y políg onos auxiliares. D e dich o cu adro se deducen las r eacciones del apoyo izquierdo, que son: Momento de empotramiento ... p.A Primer Empuje horizont al . . . ..... ... QA caso ... Reacción ver ti cal . .... ... , .. RA

3196*3 34264k

.El punt o de paso de la curva de pr esiones está á una dist ancia vertical del ori( gen:

lz A

4b382k \ }

fL A = _ 319643 Q ;\_ 34244 .:__ 9m,939.

Momento . . . . . . . p. A = -!- 272036 / Punto de paso : Segundo Empuj e ..... . .. Q = 34264k .1 z _ 2, 2036 caso.. . .4 34264 = Reacción ... . . .. R A = 9418 \ '-' A -

Momento ... . . .. p.A = Terce r E mpu¡e · . . . . . . . . Q A -caso .. \ Reacción . . . . . . . R A =

+ 152474 56910 27350

+ 7m,939.

/ P unto de paso: _ = 1524~ _ m l A 569 10 - + 2 ,679.

Midienclo sobre el diágr ama de la lám. X X los v alores de Z , N y '11 para cada caso de sobrecarga, y teniendo en cu enta las secciones corresp ondien tes adoptadas, se calculan los trabaj os del m etal en las cabezas y diagonales, cálculos q ne se r esumen en los cuadros n úms. 17, 18 y 19, correspon diente á los tres primer os casos de sobrecargas. Por últ imo, y según ya d\jimos, sumando los r esultados de las hipótesis 1.ª y 2.ª se obtien en los trab ajos ej er cidos por la 4.ª h ip ótesis de sobrecar ga, y restando de estos últimos los resultados del ter cer caso, se obt ien en los t r ab aj os correspondientes á la 5.ª y última hipótesi. ·. Estos cálculos aparecen r esumidos en el cuadro n úm. 20.

UALCULO DEL ARCO EMPOTRADO §

107

V.-Efecto de la variación de temperatl.lra.

Las reacciones de los apoyos producidas por una vanación de temperatura de 'to se determinan por las expres10nes generales (a) (~) y (y) del § I. Como vamos á calcular el efecto de la variación de temperatura independientemente ele las cargas y sobrecargas, tendremos que en los valores ele dt d, y cl 0 que entran en l as ecuaciones fundamentales: 66.

P ¡ = O y P d = O; de donde d 1 = - E í3 d1 = O d5 = O

Resulta, pues, que las reacciones del apoyo izquierdo serán en este caso: Momento de empotramiento: p. A = Einpi~je horizontal: QA

0,000382089 E

+ 0,000019969 E o

o't l

Reacción vertical R A = O. Sustituyendo en estas expresiones E, o't y l por sus valores, que son: . E coeficiente elástico = 17 X 10°. o coefi ciente ele clilata.ción = 0,000012. 't variación ele temperatm·a con relación á la temperatura media de montaje=+ 30. l longitud ele la cuerda del arco = 120m,00, tendr emos que las r eacciones del apoyo izquierdo serán: µA

= + 280606 / El signo

corre?onde ~ un aumento de

QA = + 14665k ( temperat1u-a, el signo - a un descenso. La curva ele presiones se r educe á una recta horizont~l, cuya clistancia vertical al origen es:

138

GRANDES VIADUC'l.10S ZA =

p. A

Q,A

+ 280606 . f- 10m 13 + 14665 - - v ' .

El momento flector, la compre. ión longituelinal y el e:;fuerzo cortante en UJ? punto cualquiera :-;erán entonce:-;:

= QAZ = QA (19,13 = QA COS 'l' = QA sen

f'·

Cf.

(f.

Del mismo modo que hemos hecho anteriormente, se mielen e:::;to:-; elementos :-;obrn el cliágrama ele la lá,m . XX, deduciéndose en consecuencia los trabajos clel metal en las cabezas y eliagonale:-;. Suponiendo un aumento ele temperatura, hemos rn:-;umitlo e:::;to.- mí.lculos en el cuaelro núm. 21; para obtener los trabajos correspondientes á un descenso de temperatura, hay que cambiar los signos de los valores de R' R" _y-Rd . ~

VI.-Acción del viento .

67. Supondrnmos que el viento es normal al plano medio clel puente y que actúa con la misma intensidad sobr e toda la sup erficie de cada uno ele ] os dos arcos. Debemos estudiar dm; hipótesis: 1. 0 Presión ele 270k por m~ ele ::;uperficie normal. En este caso el puente puede sufrir la variación de temperatura, pero no rncibe ninguna sobrecarga. 2. 0 Presión de 150k por m 2 de superficie normal. El puente puecle entonces estar sometido á cualquiera ele los casos de sobr ecarga que acabamos de estudiar, simultáneamente con la variación de temperatura. Lo.- .cálculo· que á continuación e:s:ponemo::; ::;e han hecho con la hipó te:::; i.- del viento ele 270" . Multiplicando esLo:::; resultados

CALCULO DEL ARGO EMPOrrRADO por la relación

150

270

138

:_ 0,555, se obtendrán los resultados co-

rrespondientes a] viento ele 150k por m\

68 . Establecimiento de las fórmulas .-Aunque la mayo1· parte ele las fórmulas y cálculos empleados se justifican y desanollan con detalle en la Estática gráfica de Kmchlin en los capítulos que este libro dedica al estudio de la acción del viento sobre los arcos y cálcido de los arriost?-amientos de las vigas metas, creemos conveniente y útil desanollar los ·álculos que h emos aplicado en el puente que nos ocupa. Para el estudio del viento consideraremos, no ya un arco indiferente, sino el conjunto de los clos arcos enlazados por los contravientos de trasdós é intradós y por los aniostramientos trm;versales. Las cargas horizontales CJontinuas ejercidas por el viento 80 ::mpondrán sustituídas por fuerzas horizontales aisladas que se aplican: unas, las que resultan ele la acción elel viento sobre el tablero á la altura del tablero en el aplomo ele las palizadas; otras, las resultantes de la acción clel viento sobre las palizadas, aplicadas en la altura media de cada una de éstas; otras, en fin, re,mltantes de la acción del viento sobre los ar cos, aplicadas sobre la fibra media de éstos, en '?l centro de los aniostramientos trasversales . • El conjunto de los dos arcos debe considerarse como empo trado en los apoyos, bajo la acción ele estas fuerzas horizontales que producen en cada sección trasversal normal á la fibra media del conjunto, los efectos siguientes: 1. 0 Un esfuerzo cortante horizontal t. 2.0 Un momento flector Mr en el plano tangente al cilindro medio (que es el cilindrn parabólico engendrado por las dos fibras meclias élel arco.)

GRANDES VIADUCTOS

140 3.0

Un D1omento de torsión Mt ahec1ec1or ele la tangente á la

fibra media y mediana. Siendo las cargas simétricas con relación al ej e vertical, el esfuerzo cortante y el momento de torsión sen nulos en la sección del vértice c1el arco, pero el momento flector tiene un valor desconocido que llamamos (Mr)v . El sentido positivo de los momentos es el de las agnj as ele un reloj .

Ftff 6S }' (x ,Y) f

V ,<;_(r,.'J,d,) . J.

·. --- - - -~ ,_

,.B.

J! ,e :v ·- ·-• - - ·- - -- -- •,t-.;.-• - --

- ·- ·- · . -· - ·

.Consideramos aquí la acción de la parte de la derecha VC, sobre la parte de la izquierda CA, suponiendo que el viento sople adelante ]1acia atrás. Sea C una sección cualquiera cuyas coordenadas son x, y y su inclinación . Sea P una cualquiera de las fuerzas situadas entre C y el vértice del arco, aplicada en un punto de coor denadas X é Y, (1. _

CALCULO DEL ARCO E:ñ'IPOTR.ADO

141

Si 1n' r y m' t representan los momentos ele flexión y ele torsión ejercidos en C por las fuerzas tales como P si estuviese el arco cortado en S, tendremos: m'r 1n't

= - cosa.~: P (X -

= - sen

a..~: P (X -

x ) - sen a.~: P (Y -- y ) x ) - cosa.~: P (Y - y ) ( ·).

Los momentos totales, teniendo en cuenta la continuidad clel arco en el vértice, serán:

(1) (2)

+ (Mr )v cos a.. (Mt)c = m't + (Mr )v sen a..

(lYif )e

1n' f

El esfuerzo cortante en el punto Ces igual á la suma de las cargas desde S hasta C, ele tal manéra que: (3)

Los momentos ele flexión y de torsión en .el punto cualquiera O serían conocidos si tuviéramos el momento flector en el vértice (Mr ) v· Para determinarlo, escribiremos que la suma de las rotaciones alrecleclor clel eje Ay ele las secciones sucesivas desde el vértice V hasta el ananque A, es nula, puesto que esta rotación alrededor de Ay es nula para la sección del vértice, que no puede moverse sino en un plano vertical por razón de simetría, y que también es nula para la sección de empotramiento A, que es fija. Para la sección cualquiera C, la rotación total alrededor de Ay, es decir, la proyección sobre Ay del desplazamiento angular producido por separado en C por la flexión y por la torsión es, en virtud ele la.s fórmulas generales de deformación:

(*) Para darse cuent..1 de cst..t proyocciono de momentos conviene considerar los ejes de los parns ~ proyectarlos como si fueran fuerza·. (Véase Statique graphiqi,e, de Krechlin.)

✓

142 úr.

í::.

(Mt)6,

(Mr )6s EI

cos a. +

sen a.

en la que 6s l'epresenta las longitudes ele los trozos que clivic1en la fibra media elel conjunto ele los elo · arcos, en cuyos trozos Mr Mt a. I y G- pueden considerarse como constantes, I es el momento ele inercia con relación al ej e situado en el plano mediano, r elativo :i la flexión y G- un término análogo rnlativo á la torsión y cuya expresión determinaremos más adelante. Sustituyendo Mr y Mt por sus valores en función ele (Mr) v y ele las fuerzas clel viento y extenelienclo la suma Rotación ele ia sección del apoyo: 0 A

al semial'co:

O= ~~[(m'r + (Mr )v cos a.) 6s cosa. + V EI

(m' t + (¡Mt )v sen a.) 6s sen a. ] E Gde donde: ~A [

(4)

m' r 6s cos a.

(!Y[r)v = ~A (

""'v

I 6s cos• a. I

+ +

m't

6 s sen a.

G 6s sen" a. G

]

)

Designando por Q la sección bl'uta ele un arco y pol' Z la separación media de los arcos en el punto consielera.do, el momento ele inercia I es aproximadamente: .

Q l"

I = -2

Para cletel'mina1· el valor de G hay que expl'esar la rotación éle una sección bajo la influencia del momento ele torsión 1VIt en función de las dimensiones ele ]a sección.

CALCULO DEL ARCO EMPO'l'RADO

j 4B

El momento de torsi6n Mt se reparte en los planos ele los a.reos

~ - - - - - - - - - - - - - ·--

- - --'

y en los planos de trasclós é intradós en dos pares desconocidos

( + Pv

- Pv ) y (

+Ph -

p 11 ) tales que

Pv l

+ ph

El desplazamiento que ~·estüta de esta torsión para la sección entera, que suponemos indeformable gracias á su arriostramiento transversal, depende de la rigidez de las celosías del arco y ele las celosías ele los contravientos ele trasclós é intradós y también, aunque en pequeña proporción, ele la rigidez transversal de las cabezas. Despreciaremos esta rigiclez· transversal ele las cabezas, lo que equivale á suponer que la rotación de la sección sólo depende de la deformación ele los montantes y diagonales ele la celosía de los arcos y de las cliagonale ele los contravientos de trasdós é intraclós. 1.º Deformación en el plano de los arcos bajo la acción clel esfiierzo coi-tante Pv·

144

GRANDES VIADUC'J1 0S

Longitud acumulada ele las diagonales -del trozo Esfuerzo en las diagonales

t::,s r:i.

cos t-'

= - --

sen~

Deformación en las diagonales) ele secci?n w d ••• •• • • • • , • • • • •

Desplazamiento correspondiente del extremo del trozo, según la dirección ele Pv .... ,., ....... , .. . .. . .. , .. .... . Longitud acumulada ele los dos montantes del trozo Esfuerzo en los montantes

= 6s tg ~-

= 1\ ·

Desplazamiento conespondiente del extre- ( mo de trozo según la dirección p V . . ... •..

6s tg

E wm

CALCULO DEL ARCO EMPOTRADO

to-1·

Desplazamiento tal del extremo del trozo en su 6 = -plano (diagonales v + montantes) ...

6s p

wct

cos ~ sen - ~

145

6,S

~ Pv

Ewm

2. 0 Deformaciones en el plano de los contravientos de trasdós é intra,dós bajo la acción de ph .

~'----------Ll s _______ ...,.¡

i(•·····•.As ···--·>

Longitud de una diagonal

= - 6s --

2 sen y

cos y

(para la fig. a).

Esfuerzo en cada diagonal. __ -,-l-~_h_ )

4 sen y

(para la fig. b). 10

GRANDES

IAJJUC'l10S

Deform ac ión de / una diagonal (la 1 6 s ph sección t otal del 2 las diagonal es wc siendo w e' la do ~ E cos y sen y

)

, 1

cada diagonal es <, 6 s Pt, ; en la :fi.g. a y Ó - ~ - -w c _ _ _ _ _ __ 4 w 1 - - E cos y sen y , 4 en la :fi.g. b.) \

E cos

sen ·,'

Ftg. 67. I

,----- - -- ,1 ~

I I

1 1 1

________ __ ¿__/ --f-----=--=::::-:..-=.~ '

1 .;.

0. ':'

1 1 1

1 1

--- --.J

Desplazamiento con ~spomlien te c1cl ex- ¡ t r em o del trozo según p 11 ••••

••• •• ••• •

cos y son' y

E sfuerzo en los m ontan tes del aniostramien to longitudinal = O. Desplazamiento total del extr emo élel / marco completo de arriostramien t o · 6 c o .. . .. .... ... .. ... . . . . . . \ en :St lp lan

6S 1)11 E wc cos ',' . en •,,'

El ángulo 8 en que se h a t orcido el t rozo 6,1;, alreéledor de su

CALCULO DEL ARCO EMPO'I'RADO

147

centro, bajo la acción del par lYlt y cuyn expresión gen eral rs ÍJ

Mt 6s

= - - - , os t ambi én EG

igual tí.

-f- =

¡:;:-

e.le doncle:

ro)

ÍJ=

6s pv

E J_

(-- 1__ +-t_g_~) wu cos ~sen"~

cúm

6sph ( l' h

!;2

1 we

)

cos y sen• y

E sta relación puede escribirse on la forma siguiente:

6s1\ x h X

E -2

- - --------,--

wc cos y sen" y

-2

z2 ( W m W d t,)ID

+ JJ11 h he _ + -~t,>

Pv l cos ~ sen e ~ ~ t,)d senº ¡.J

Pero puesto que Pv Z-+- p 11 h (6 bis)

]

)

:,,

cos v sen - .,,

= M , tendremos:

•

148

GRANDES VIADUCTOS

__0_ X E

- - - - - - ~ - - - M _ t_________ 2 z2(wmwdcos~ sen ~) h,! t -2 1 s A ~ w cos y sen y wm ,· wd sen r' <J e

de donde se deduce la expresión de G: (7)

z2 (

d cos ~ sen ~ A wm wd senº r' 2

W ID W

+ -h,22

)

cos y sen - y

G que depencl e ú nicam ente ele las dimensiones del ar co es fácil de calcular para cada tJ:ozoj del mismo modo que el momento ele iner cia l. La relación (4) da en ton ces el momento fl.ector en el vértice y por m edio de las r elaciones (1) y (2) los moment os fl.ectores y ele tor sión en un punto cu alquiera. El momen t o fl.ector proclucirá en las cabezas ele los ar cos t en siones y compresion es que vendrán á sumar se ó r estarse á las dem ás causas ele fat iga. El mom ento de t orsión ej er cer á , únicam en te su efecto en las cel osía: y en los cont r avient os, según la hipótesis aclmiticla; los de trasdós estarán som eticl os á l as fuerzas suplem entarias ph , mientras que l os ele intradós quedar án aliviados de otro t anto. D el mismo m odo, l as cel osías de los arcos estarán, en uno carga do, en el ot ro descar gado por las fu er zas Pv . Los esfuerzos cortantes adicional es Pv y ph se deducen de las rel aciones (b) y (úbis) en la forma siguiente:

llJm Wt.1

cos (:l sen 2 ~ WJ sen'~

G -

(9) p

cos

sen 2 ,,

2 e Mt h ____G _ _ __

CALCULO DEL. ARCO EMPO'l'RADO

149

APLICACIÓN DE LAS FÓRMULAS

69. Aplicación de las fórmulas. - El conjunto de los clos arcos se divide en trozos corresponclientes á los marcos ele arriostramiento t ransversal y comp1;enden ·ea uno, sea dos cuaclros ele celosías. Las fuerzas del v ien to ele 270k se calculan del siguiente modo: A.cción del viento sob1·e el tablero siiperior.-Estas fuerzas se han evaluado en el capítulo III cuando calculamos las palizadas; tle aplican en el plano de estas palizadas á 'una alt ura ele Qm,84 por en cima ele la platabanda inferior ele la viga. Se r esumen en el cuadro nt'tm. 22. Acción del viento sobre las palizadas.-La fuerza total para cada palizada r esulta ele la presión ele 270k por m• multiplicada por la superficie lateral ele los clos montantes; su punto de aplicación se encuentra á la mitad ele la altura de la palizada. Se resumen en el cuadro núm. 22. 40Qk Ejemplos: P alizada X : P = 2 X 3m,56 X 0m,20 X 270k = 50 k Forros superiores é inferiores (aproximadamente) ... 'J.'OTAL .• •.••.•. : • ....•• , •• , •••

450 k

Palizada V: P = 2 X lSm,35 X 0,50 X 270 = .......... .

4950 k

Acción del viento sobre la siiperficie de los arcos ..-Se supone que las fuerzas se concentran en los extremos de los trozos, es decir, en el plano y en el centro de los arriostramientos transversales. Las fuerzas que se han inscrito en el cuadro núm. 22, resultan ele la acción del viento ele 270k sobr e las superficies de los dos semi-trozos ele arcos situados á derecha é izquierda ele cacla marco ele arriostramiento.

70. Cálculo del momento de flexión en el vértice ó clave del arco.Hay que determinar para.cada trozo ni' r, m't, x, y, cos (1. sen a,

GRANDES VIADUC':ti0S

150

I y G, correspondientes al m edio del trozo y aplicar la fór mula (4). Los momentos parciales ni' r, y m't, en el medio de los t rozo s

16 - 18; :J.4 - 16, 12 - 14, ... etc., son los momentos en los montantes 17, 15, 13 ..., etc. Los momentos en el medio ele los trozos 5 - 6, 4 - 5, 3 - 4 .. ., etc., son aproximadamente el tér mino m edio ele los momentos en los extremos ele l os trozos, es decir, en los montantes 6, 5, 4..... , etc. Los valores ele ni' f y 1n 't en los montan tes del semiarco se han calculado y se detalla este cálculo en el cuadro núm. 23. El momento ele inercia I en el medio ele los trozos tiene por

. d o: I = valor aproxuna

Q l ~

d es1gnanr . 1o por Q la sección bruta

de un ar co y l la separación ele los do. · arcos al nivel ele la fibra m edia. L a expresión G anál oga á un momento ele inercia es: G

z (

= ·-')-, ci

cos ~ sen ~ ) - - - - - - - - e - -5 ,,---wro wd sen ~ wm wd

cos y 1:,en' y

Los ángulos ~ y y de las celosías y de las barras ele los contramentos con el ej e longitudinal son ca.si constantes ele un extremo al otro del arco; se pnecle, pues, tomar para~ y y sus valores meclios. · Si ponemos G = K' z• + K" h 2 los coeficientes K' y k" son: Valores de K' .- Trozos O - l y l - 2. Inclinación meclia ele las cliago- ~ cos ~ = 0,78 aprox imadamente. nales ele la celosía sobre la fibra meclia .... . ............. . sen ~ = 0,63 íd. Sección bruta de las diagonales (dos chapas ele 165 X 9 y 4 angular es ele 90 X 90) : w d = 0,0090. 9

CALCULO DEL ARCO EMPO'l'RADO

151

90x90

Sección bruta ele ]os montantes (2 angularns de ·J .<,¡

el e 100 X J2 100 )

= () ,008~

.<.J.

Se encuentra entonces: 2

K' =

1 0,0082 X 0,0090 "- 0,78 X 0,.__63 1 2 0,0082 + 0,009() X 0,63

= O,O()l 09.

Trnzos 2-3 y 3-4:

í cos ~ Inclinación ele las diagonales, valores medios. 1 ~ tSen .

= 0,78 = 0 '63

Sección ele las diagonales (2 chapas ele 125 X 8 y 4 angularns

,., de 80x80) :·wd = 0,00,4. 9 '75 X 7b

Sección de los montantes (2 angulares ele

y 2 de

80 X 80) __ , Ub 2: . wm = 00 9 K'

ele clonde

= 0,00082.

Trozos sig'liientes hastci Za clave: ~

Inclinación ele las diagonales, valores m edios. Sección ele las diagonales (4 angulares ele

lcos~=081 r., '_ sen¡-,= 0 ,o 9

soxso) : wti 9

0,0054. Sección: ,ele los montantes (2 angulares ele

soxso) 9 de doncle

: wm

= 0,0052; K'

= 0,00063

75 X 75 9

y 2 de

152

GRANDES VIADUCTOS

V .A.LORES

K".-Trozos 0-1 y 1-2:

Inclinación meelia de las barras de los contra- \ cos A = O, 76 vientos con el eje .. ..... . ................... l sen), = 0,65' Sección total de las 4 barras ele contravientos ele traselós é intradós:

4 angu1ar es de

100 X 100 10

= 4 X 0,00190 = 0,007600:

de donde

1 = 2 0,0076

0,76 X 0,65

0,00122.

Trozo 2 -3: Inc:inación media de las barras de contra- f cos ), = 0,74 v1entos . ........ . . . . .. ................ - l senA = 0,67. Sección total ele las 4 barras ele trasdós é intradós: 4 angulares ele

80 X 90 10

wc = .4 X 0,00154 = 0,00616·

Trozos 8-4 y siguientes hasta la clave: . ., ¡cos y= 0,74 . . l I ne l 1nac10n mee11a aprox1mac a,... • • i ,., \Sen y= O,6 (, Sección total 4 angulares de

º'. w

= 4

O,00136

0,00544; ele elonde

0,0090

E l cuadrn núm. 23 da el cMculo de los valores de

ni' f

y •, n' t en

los montante:; del arco cuyas expresiones se han establecido anteriormente, y que son:

CALCULO DEL ARCO EMPOTRADO

L: P (X -

m'f

m' t

= - sen a. ~: P (X -

cosa.

a.~: P (Y -

+ cos rx. L: P (Y -

y ).

x) x)

153

sen

Aunque pudiéramos determinar gráficamente estos valores por medio ele dos polígonos funiculares y ele la proyección de sus lados sobre las tangente¡; y las normales al arco, creemos más fácil calcularlos analíticamente.

El cálculo de los momentos horizontales y verticales s P (X - x) y~ P (Y - y ) se ha hecho separando cada una de lafl expresiones en otras clos: ~

P (X - x) =

P (Y - y ) ==~ PY - y ~P.

PX - x ~p

Por ejemplo, en la :figura adjunta, los momentos horizontales y verticales ejercidos en C por las fuerzas P' y P" situadas entre C y son:

P (X - x)

1:: P (Y -

= (P'X' + P"X'' ) = (P'Y' + P"Y'') -

+ P ') y (P' + P ''). x (P'

Yf 6/J.

~ '*

-- - - - - - - - · -- - - - ·

t4~ll '¿¡::11,3/ :

:,:: l o,36 ¡

i:r::

,J' 18,79

TJ' 20••s

f'=!jlO Ki.r,2/

' 1

•

°$' · 2D,2~

J':- 21, f l;

j'Z°2J,l1J:

,.u.,,:

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P. :r t 7n

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,•

(io , oo. - _ .. ___ . _. _ ...... _. _ _ _ _ _ . . ___ . _ _ . .. .. ___ . .)1 . ·:

{ ri6,f9

'tr=Jd,~!I•

~.J&,3,t,

(r:::"1. 1!1 '

:_J¿'.. V: ··v

J'. 2270

'r::,8.16'

Vzenlo de 21o~pm?

P. 2280 K

.fsh1erzos lzorizonlales. -

}', Jo.o :,.·,

~ y= 16,63

,A4-g5/1 :r•l,00

:-··'\

¡....,.

º'

¡.¡:,..

CALCULO DEL ARCO EMPOTRADO

165

Por último, en el cuadro núm. 24 calculamos los elementos ele la exprn ·ión (±) anteriormente establecida, que nos permite calcular el momento flector en el vél'tice del arco, que e. ·:

(Mr )v = -

m' r 6s co, a + m ·t 6Gs sen a ) V\ I ------------)..,A 6s cos" a + 6s sen• a ... V I G A(

27362200 - 1-2521-000 66,1.6 + 23-:.1:,1-8

+ 132700.

71. Cálculo de los momentos de fl exión y torsión.- Conociclo el momento flector en el vértice ó clave, los momentos ele flexión y torsión en un punto cualquiera se determinan por las relaciones (1) y (2) que establecimos al principio (1)

(Mr)c =

(2)

(Mt)c =

+ (Mr)v cos a m' t + (Mr)v sen a.

m' f

En el cuadro núm. 25 resumimos el resultado clel cálculo ele estas fórmulao, en las que sustituimos ni' r y in' t por los valores deducidos en el cuadro núm: 23.

72. Trabajo del metal en las cabezas.-El Lrabaj o en las cabe½ati e::;tá producido por la flexión y es proporcional al momento Mr ' teniendo por expresión general V Mf R=--

on la que I representa el momento ele inercia (cleducido.· lo.-· agujeros de roblones) de la sección completa con relación al ej e situado en el plano mediano, y v la distancia ele la :fibra considerada al plano mediano.

156

GRANDES VIADUC'l10S

Si ú\ y wi representan las secciones netas ~e las cabezas de trasdós y ele intradós; Zt y Zi las separaciones ele dich as cabezas en el trasdó é intradós, y .·i suponemos que el trabajo del metal se reparte u n iformemente en cada cabeza, tendr emos aproximadamente:

.Fzg. 70 te=---- -

wJ/

---¡4-----3-f

4r't

! · !1

/ /

\. 1

! / /

'\ \

"i. w_t_ Z_/_ I= 2

_k,

Í.:- - -- --- - - -

+ wi Z¡" 2

...el,r ___ ---- --- ~

y como los valores de v on:

En el trasdós

En el intradós

zt 2

l.l 2

<leducimos de aquí el valor del trabajo: En el trasdós

R' = Mr _w_t_ Z....,/_+__w _¡--,,-Z¡...,..2-

CALCUL O DEL ARCO EMPOTRADO En el intradós

R ''-M r

157

l. wt

zt-·•

l!1

Conociendo el trabajo R ' ó R'' para un viento de 270k se deduce el producido por un viento ele 150k multiplicando el primero por 150 270

= o,55-D.

En el cuadro núm. 26 clamps_l os valores de R ' y R" en las cabezas del arco, cal culados por las fórmulas anteriores. Los trabajos en las cabezas ej ercidos por el viento y determinados en dich o cuadro deberán combinarse con los trabajos producidos por las L1omis causas ele sobrecar·ga. Pudiendo el viento soplar en un sentido ó en el otro, l os valores ele R' y c1e R" deben tomarse con el signo ó -, según el caso desfavorable.

73. Trabajo del metal en la celosía de los arcos.-Hemos admitido que el efecto ele torsión se ejercía por entero en las celosías de l os arcos y sobre los contravientos ele trasdós é intradós. La expresión clel esfuerzo cortante Pv en el plano ele los arcos se ha determinado anteriormente, siendo sn valor absoluto:

1 (8)

wm wd

cos ~ sen 2 ~

2 tvm + wd sen'~ Mt z _____G _ _ _ __

Este esfuerzo cortante determina en la ba1Ta co1Tesponcliente del arco de aclelant~ que forma un ángulo ~ con la fibra media, un esfuerzo -

Pv sen I"

- -A-, que pro uce un traba10

Para el arco ele at.rás ol traba.i o está repre entado por la misma expresión, con el .-igno

158

GRA..i~DES VIADUO'l'OS

Los valores de K' y de G se han calcu]ac1o anteriormente en el cuaclrn núm. 24. Las di tancias medias l, son las meclia8 ele las clistancias lt y l¡ del cuadro núm. 26. En el cuadro núm . 27, :;e 1'08UIDe el calculo de los esfuerzos cortantes Pv de8anolladm; en 108 arcos bajo la acción del viento de 270k, así como el trabajo de las diagonales que resulta de este viento y del ele 150k por m'. Lo · e ·fuerzos en las diagonales ::;iendo positivos en uno de los arco. y negativos en el otro, lo,; valores de R deberán tomar e con el signo desfavorable.

74. Trabajo del metal en los contravientos de trasdós é intradós. El esfuerzo del viento produce en cada sección del conjunto ele los dos arcos: 1.º Un e ·fuerzo col'tante t, igual á la suma de las cargas compremliclas entre la sección considerada y la clave.

Fz.Sí 71.

'"F···-+ --, J

1 1

,·

•

\ t

__. . . ; , . _ - - - 1 - - - - - ; , ~ .

_¡_ _ _ ~ J _________J_ -Pf

:2. 0

Dos e:fuerzos cortantes acliciona]e · + ph

cido.· por la torsión del arco.

:r -

ph, produ-

CALCULO DEL ARCO EMPO'l'RADO

15!1

Puede admitirse que el esfuerzo cortante t se distribuye igualmente entre los dos contravientos. En el trasclós ph tiene el mismo sentic.lo que el esfuerzo cortante principal. El esfuerzo cortante total Tes: En el trasclós

T'= 2t + Pn

En el intradós 'l'"

Los valores de t se han calculado en el cuadro núm. 23. La expresión e.le vh, que hemos establecido también anteriormente es: -

(9) ph

•

y tien - ¡'

COS

K'' 2 e h - - - - G - . , - - - =Mth G

Los valores de K'' y de G se encuentran en el cuacll'O número 24:' los ele lo. · momentos de torsión M t y las alturas h son tambien conocidas; con toclos estos elato · calculamos en el cuadro rní.m. 28 los esfuerzos col'tantes y el trabajo-en las banas de contravientos por medio e.le las fórmulas siguientes (según que el aniostramíento longitudinal sea doble ó sencillo):

En el trasclós:

2 + ph = -4 - - ó F" = sen y

t _¡_p

----(véase pá2 sen y

gina J 47) e.le clomle

•

F' R'=-w' e

2 En el intradós e.le donde

-'l)h

F'' =

4- sen)' :B''' R''=-,-,- , w

- P11

2 sen;

160

GRANDES VIADCTC'ros

representando w' e y w"c las secciones ele las barras ele estos contravientos. Ni las cargas verticales (peso propio y sobrecarga), ni la variación de temperatura, ejercen efecto alguno en los aniostramientos longituclinales ele trasdós é intradós. Por lo tanto, no es menester calcular en ellos la acción del viento de 150k, puesto oue no hay que combinar su trabajo con el de las sobrecargas. Examinando el cuadro núm. 2.8 se eviclencia que en ninguna de las barras de contraviento alcanza el trabajo á 10k por m/m (el trabajo máximo es de 8k ,86). § VII.-Cálculo del trabajo total en el arco empotrado. 75. Hemos calculado separadamente el trabajo ejercido en las cabezas y celosías del arco, por la carga permanente, los diferentes casos ele sobrecargas, la variación de temperatura y la acción del viento. Debemos ahora superponer estos efectos para obtener así el trabajo total produciao por la combinación ele las cargas que resulten ele las dos hipótesi · admitidas, y que son, como hemos dicho: variación de temperatura + acción 1." Carga perman!3nte clel viento de 270k . 2.ii Carga permanente± variación ele temperatura+ acción del viento ele 150k + sobrecargas. Para las sobrecargas se considerará el caso más desfavorable de las dos sobrecargas: estática ó dinámica. En cuanto á los esfuerzos producidos por la variación ele tem peratura y por la acción del viento, que pueden ejercerse alter,nativamente en los dos sentidos, se les dará el signo más desfavorable (generalmente será el ele la carga permanente). Para la sección ele apoyo O, aclemás de los mayores esfuerzos

CALCULO DEL ARCO E1YIPOTRADO

161

absolL1tos, hemos determinado los mayores esfuerzos negativos producidos por la cargn, permanen t ·, que es positiva, por lamayor sobrecarga negativa y por las acciones de la temperatura y viento, tomadas negativamente. En los cuadros nlÍ.meros 29, 30 y 31 se r esumen los rnsultaclos de los cuadros anteriorns, que permiten obtener por suma los trabajos máx.imos en los punto,· O, l, 2 ... .. , en las cabezas de trasc.lós e intradós y en la: diagonal es de .las celosías de arcos. En el cuadro núm. 28 ya h emos calculado el trabajo máximo de las diagonales de contravientos. El examen de dichos cua dros e.la lugar á las siguientes observac10nes: l? El trabajo máximo tota.l en las cabezas de trasclós es inferior en tou_os los puntos á lük por m/m e.le sección neta. Ln seglmda hipótesis (vien to de 150k y sobrecarga) es siempre más desfavorable que la primera hipótesis (viento de 270k sin sobrecarga). L a hipótesis más desfavorable de sobrecarga es la de 3üük por m..", salvo en alguno· puntos, para los que ol primer ó tercer caso e.le sobrncarga dinámica produce mayor trabajo. El cuac.lro nlÍ.m. 29 demuestra que el trabajo en la cabezn, de tmselós en la sección O, es deci.i·, sobre el apoyo, _puede se1· ne,r¡ativo, y que por consiguiente, la cabeza tiene.le á levantarse. El trabajo negativo en este pL1nto os, en el caso más desfavo rable, ele ,1k ,48 por m/m 2 ele sección n eta. 2." El trabqjo máximo total en las cabezas de intrndós e, inferior á lük, salvo en el apoyo, en el q~10 alcanza 10k ,56 por m/m2 ele sección neta. Admitimos e ·te coeficiente, que exceéle muy poco al límite supuesto, para evitar un aumento del espesor, ya considerable, de las cabezas, tanto má:; cuanto q11 e se trata de una comprnsión y que en e:;to caso :;ería lógico no descontar los agujeros ele roblone.-, porque la compresión total se transmite en el cuerpo clel roblón del mismo modo que en el metal que lo rodea. 11

GRANDES VlADUC'rOS

162

El trabajo verdadero del metal en esta sección sería entonces (no descontando los cinco aguj eros ele 23 m/m):

R= 10 55 X '

sección neta = 10 5 ~0 500 - 5 X 23 = Sk ,l2. seccción bruta ' b 500

El trabajo máx imo del m etal en las cabezas de intradós corresponde también á b segunda hipótesis (viento ele 150k y sobrecarga), siendo la sobrecarga .estática ele 300k por m. 2 la, más desfavorable. · La sección O ele los apoyos puede sufrir un esfuerzo negativo ele Qk ,88 por m¡ I]/ e.le sección neta; por lo tanto, también tiene la cab eza de intradós tendencia á levantarse. 3.ª El trcibajo 1náximo total en las diagonciles es positivo ó n egativo, según las diagonales; la hipótesis m ás desfavorable es también, como en las cab ezas, la del viento ele 15ük , actuando simultáneamente con la sobrecarga más ele ·favorable, qu_e es á su vez para todas las diagonales la ele 300k p oi· m. 2 lGl coeficiente de trabajo en estas diagonales sólo excecle en una barra (la 1-2, que cla R = 8k ,54) al límite de 8k que habíamos adoptado para las celosías. En general, es b astan t:i inferior á este límite, pues }-remos tenido que tener en cu enta el pandeo posible on las piezas sometidas á compresión. La resistencia al pandeo (flam bage) se ha calculado para las ocho barras mayores, pues en las demás es evidente, por las fórmulas siguientes: P erpendicularmente al plano clel arco. E s fuerzo límite: n 2 El F =--l2-

En el plano clel ar co: 4 n 2 El F=---l"

en cuyas fórmulas

•

CALCULO DEL ARCO El\fPOTRADO

163

E = coeficiente elástico = 17 X 10 ; I = momento de inercia con relación al eJ e perpendicular al plano de :flexión considerado; l = longitud de la pieza. Lo· esfuerzos máximos de compresión se obtienen por medio de la expresión 9

/' = wct X

en la _que R ct es el trabaj o positivo máximo obtenido en el cuadro nümero 31 y w ct la sección n eta de la barra. Lo.· r esultados ele este cálculo se resumen en el cuadro ntí.mero 32, y su examen demuestra que en todas estas barras, el coeficiente de seguridad al pandeo

es superior á 2.

§ Vill.- Amarres ó anclados del arco empotrado.

76. D esde el momento en que las cabezas ele trasdós é intradós t ienen tendencia á levantarse bajo la acción combinada del viento, de la t emp eratura y ele las ·obrecargas desfavorables, es necesario, para r ealizar la hipótesis de empotramiento y amoldarse á las condiciones ele cálculo, asegurar el contacto permanente entre las cabezas y los apoyos. A este fin cada extr emo ele cabeza quedará :fijo á la zapata ó placa ele apoyo, por dos perno~ anclados en el macizo del estribo. Los esfuerzos máximos ele levantamiento, es decir, las tensiones máximas á que han ele resistir los pernos, se obtienen multiplicando la sección neta de la cabeza en su extremo por el trabajo máximo negativo, que se obtiene en el cuadro núm. 30.

En el tmsdós: Sección neta ele la cabeza Trabajo negativo máximo R' luego tendremos:

=33110 m/m'•

= ·- 4k ,48 por m/m';

GRANDES VIADUC'l'OS

164

Esfuerzo do levantamiento máximo= 33110 X 4,48 = 148330 1;_ Esta tensión resulta de las acciones simultáneas do la carga p ermanente, clel descenso ele temperatura ele 30°, lel viento ele 150k y ele una sobrecarga ele 300 k por m! es.tendida sobre el tablero encima ele las palizadas V á, XI (véase cuadrn núm. 12). Como hemos proyectado para suj cta1· cacla cabeza dos tirantes de 85 m/m de diámetro, qne dan una sección ele w = 5674, tenclremos que la tensión máxima que han ele sufrir éstos será:

148330

:,:; X .-,J ,J07 •J:,1 -

13 ' poi

/m'

que, aunque algo elevado, apenas si excede ele la mitad del límite elástico del m etal,~debiendo tener, sobre todo, en cuenta que es muy improbable se acnmulen las circunstancias desfavorables que h emos previsto, y en toclo caso será sólo en un momento determinado y no una acción continuada. Como h emos dado á la placa Lle anclado d1:ü tirante una superficie de S = '),55 X 0,80 = 0m',4± la co:npresión máxima sobre la fábrica ele granito del estribo será:

148330 _ k 4400 - 33 ' 7

presión que es m enor del del pais (350k por e / m • ) .

1 / 10

, pOl

/,r,'

de la carga de rotura del granito

En el intradós: Sección neta ele la cabeza: w_1 = 38500m,' m2 • Trabajo negativo máximo R'' =0'' ,88 por 01 /111". Esfuerzo ele levantamiento máximo = 38500 X 0,88 = 33880k . Esta tensión se procluce por la acción sinrnltánea ele la carga permanente, ele lma elevación ele temperatura ele 30° y clel viento de 270k.

CALCULO DEL ARCO E~D?OTRADO

165

Dando á los tirantes ele intradós el diámetro ele 60 m/m, la tensión má,:s:ima que han de snfrir sení,:

aún inferior á la ele los tirantes de tra. ·c1ós. J:,lecesidacl de estos amarres.- Debemos confesar que nos ha sorprendido e] resultaelo ele nuestros cálculos, acusanelo en las cabezas elel arco ten iones negativas tan con ·ielerablos, como son las apuntadas ele 1118 y 34 t.onelaelas respectivamente en el trasclós é i11.traelós, .sienclo así que en el puente e.le Schartz,vasser, que tiene proporciones y luces muy parecidas al nuestro, están los arcos simplemente empotra<l.os, sin aman;:is ele ninguna clase y sin que haya habido en los catorce año.· que lleva de existencia síntoma alguno que hiciera nponer qne lo: nece. itara. ':L'anto es a. í qüe revisamos todos los cálculos sin haber encontraelo en ello. e1To1· numérico ó ele criterio. Consultamos entonces el caso con el constrnctor d Jo: puentes suizo 1\Ir. Prob t, resultando que aquellos ,iaclu ·to. están calculados para presione· de viento inferiore. á las hipótesis que h emos admitido, pues que sólo ·e admite 1 )Ok por m.~ para el puente cargado y 150" para el puente sin sobrecarga, mientras que nue:tros cálculos han . upuesto respectivamente 160" y 270k para lo.· dos casos, cifra· que son las comunmente admitidas en grandes viaducto·, según demostramos en el capítnlo ·primero :r que, aunque improbable ·. pueden er alcanzadas, en tempe ·tuosos ciclone:. No cabe cluelar que esta cliferencia de coeficientes justifica las tensiones negativa: que encontramo y que en SLliza no se han tenido en cuenta; pero no quiere esto decir que estén en peligro los puentes snizos, pue: aunque JJegara á levantar ·e alguna ele las cabezas ele su apoyo. es segm·o que la otra cabeza, actuando como una articulación, basLaría para sostener el puente sin que 0

166

GRANDES VIADUC'I'OS

alcance el trabajo accidental á que estuviern someti.cla la cabeza la cifra de 25", que es el limite elástico del metal. Pero tratándose de una obra que por su sola situación y altura res"ulta imponente, paréceno · prnforible y más prudente atenernos al resultado de nuestro · cálculos y garantir la estabi ,idacl absoluta de la obra, contra la. lúpótesis más desfavorables que puedan racionalmente prnversc, tanto má: cuanto que el costo total del anclado no pasa ele 4.000 peseta . 'l'ambién nos manifiesta hlr. Prob.-t que para evitar la · pre. ·iones negativas, aun en hipótesis tan improbables como las que - - - - - ~ W. h emos aceptado, bastaría aumentar ligeramente la 1 ,. di tancia de las cabezas en los ananques, de modo :h que la resultante de todas las fuerzas pasara iom prn entre las dos cabezas; --- ·-- b __ ___ __ _ pero son tan considera+-'---v. bles las tensiones negativas que obtenemos en el caso presente, que creemos :ería necesario un aumento muy grande en la separación de las cabezas, que os ya de 4 m ., Jo que no sólo perjudicaría al a pecto hien proporcionado ele nue ·tro arco, . i:no que produciría un aumento de obra en los estribos, que sería seguramente superior al coste e.le los amarre ·. Por último, parece rni:mltar de la: explicaciones que se ha servido darme Mr. Probst, que en Suiza se sustituye la acción del 1

CALCULO DEL ARCO EMPOTRADO , :

167

viento sobre el tablero y las palizadas por el par Qb = "\Vh, y si bien es verdad que existen estos esfuerzos suplementarios - Q y + Q, también actúan en el pie de las palizadas las dos fuerzas

V =

que, como los empuj es del viento, tienden á torcer el

entramado, á doblarlo y, en una palabra, á t irarlo por levantamiento de los apoyos situados en el lado clel viento. Quizá influya también en el resultado de los cálculos de los puentes suizos la omisión del efecto ele estas fuerzas V, que á nuestro juicio existen, no sólo en los arcos empotraclos, sino en los articulados, por lo que pudiera darse el caso de que también en éstos fuera necesario el amarre de sus cabezas, según veremos en el capítulo siguiente. § IX.-Presiones máximas sobre los apoyos.

77.· El trabajo máximo del metal en la sección correspondiente á los apoyos, nos da el valor ele la presión total máxima, ejercida por las cabezas de trasdós é intradós sobre las zapatas y por éstas sobre los salmeres del estribo. Tendremos, pues:

En el trasclós: Sección neta de la cabeza

'l'rabajo positivo máximo del metal R'

= 33110 m/m'. =

7k 90 por m;rn" neto.

Presión total máxima = 33110 X 7k 90 = 201600k. Esta compresión resulta de la superposición ele las causas siguientes: Carga permanente, elevación de temperatura do 30º, viento de 150k, sobrecarga de 300k por m! sobre las palizadas XII, XII ..... á V' (véase cuadro núm. 29).

168

GRANDES VJADUO'l'OS

'l eniendo la placa de apoyo 1 00 ,10 X 1 00 ,00, la presión máxima sobre el salmer será:

261600 110 X 100

-,-~- - - = 23k ,8 por e /ro 2, inferior al producido por la tensión de los tirantes ele anclaclo.

En el intradós: Sección neta ele la cabeza

w_ = I

38500 m/m 2 •

'l'rabajo positivo máximo R'' = 10k ,55 Presión total máxima 385000 X 10,55 = 40S200k . Esta presión resulta de las acciones simultáneas sigui.entes: Carga permanente, descenso ele temperatura de 30°, viento de 150k y sobrecarga de 300k por m!, cx Lend.ida sob:rn el tablero, encima ele las palizadas V, VI.. ..., á XII (véase cuacho mí.m. 30). La presión normal sobre el salmer ele granito será entonces:

406200 R= 110 X 100 = 36",9 por e /m' 2

que es muy poco superior al '/ 10 ele la carga ele rotura del granito; pero téngase en cuenta lo excepcional de la superposición de tan desfavorables circunstancias. En las condiciones normales del puente, es cleci.J:, cuando éste se encuentre vacío, baj o la única acción de la carga permanente, las presiones normales sobre las placas de apoyo serán positivas y tienen por valor:

En el trasdós:

33110 X lrc ,35

= 44700",

que clet~rmina tma compresión media ele contacto entre la placa y el salmer ele

44700 110 X 100

-,---=----:-:=- = 4k ,0G por

e /m 2

•

CALCULO DEL ARCO EYIPOTRADO

169

38500 X 4k ,32 = 166300k

En el intradós:

y la presión correspendiente será,: 16630l) _ kl R= 110 X 100 - 15 '

que no pasan del

1 / 00

.e/ 2 por m :

ele la carga de rotura clel granito.

X .- Peso del arco empotrado.

78. Las dimensiones que hemos adoptado y acabamos ele justificar para toclos los elementos del arco empotraclo producen lor:; pesos siguientes:

2 cabezas de trasdós á 35.673k ... . .. .. ...... ..... . . 2 ídem ícl. intradós á 36.271k .. ... . .. . . . .. ....... . . 2 celosías (una para cada arco) á 14.037k . ... . . . ... . Contravientos ó arriostramiento longitudinal. . ... . . Arriostramientos transversales . ...... . ... .... .... . 8 aparatos de apoyo . . . . .... ...... .. . .. ....... .... . 8 aparato · e.le amarre ...... . ..... . ......... .. . . . . .

7l.346k 72.5"12 28.074 23.199 18.766 12.952 7.172

Peso totcil élel cwco empotrndo .. . . . .... .. . . .

234.Qfük

OAPÍ'l'ULO V CALCULO DEL ARCO ARTICULADO

I. - Consideraciones y fórmu las generales.

79. Ventajas é inconvenientes de los arcos articulados.-A pesar de que las razones naturales que expusimos al principio del capítulo primero hacen supone1· que el empotramiento de los arcos metálicos permitirá obtener una economía de metal análoga á la que se obtiene con el empotramiento ele las vigas rectas, ya sean h orizontales, ya estén verticalmente comprimidas por sus extremos, hasta ahora no creemos que se haya calculado la economía que pudiera obtenerse. El Ingeniero Mr. Probst pretende que es sensible; Eiffel y otros constructores dan la preferencia á la articulación por considerarla más fácil ele montar y más segura de calcular; asimismo nuestro distinguido compañero D. Luis Acosta propone un arco articulado en su elegante proyecto de puente ele Ponteveclra (lámina I, :6.g. 8), sin justificar su preferencia. Ya expusimos en el capítulo primero las ventajas é inconvenientes del arco empotrado: debemos, pues, también resumir las de los arcos articulados.

172

GRANDES VIADUC'l'OS

Desde luego, apoyándose los arcos sobl'0 dos únicas rótulas ó articulaciones fijas en los salmeres ele los estribos; se obtiene la cert,eza ele que la resultante <l.e todas las 1"0accione · ha de pasar por dichos puntos, mientras que en los arcos empotrados y á pesar de todas las investigaciones científicas que hemos expuesto en el capítulo· anterior, fundarlas sobr e la teoría de la elasticidad, no puede existir la misma seguridad ele que los esfuer zos se distribuyen según las hipótesi y resultados del cálculo. Esta misma indeterminación hace más laborioso el cálculo ele los arco· empotrados, mientras que el ele lo · articulac1os, gracias á las teorías <l.e Bresse y al gran número ele puentes que :e l an calculado con esta hipótesis, resulta más fácil, aunque también es penoso. Aseguran además muchos coustructol'0s y es la opinión de Resal, que, siendo necesario emplear el sistema de montaie en voladizo, debe adoptarse la articulación, y aunque hemos demostrado en el capítulo primero que puede efectuarse un montaje de esta clase, en los arcos empotrados, apoyando el arco sobre la cabeza inferior como si fuera una articulación, claro es que nunca será tan cómodo como efectuando el montaje sobre la misma rótula que ha ele servir de apoyo á un arco al'ticulado. Por último, creen mucho: Ingenierns que los arcos articulados 110 requieren tirantes de amarre, siempre incómodos, pero veremos que también pueden necesitarlos lo· al't iculado:. En definitiva, si las ventajas discutibles de estos últimos estuvieran compensadas por un aumento sensible de peso y de costo, no vemos que hubiera razones plausibles para desechar la solución ele arco empotrado, puesto que los viaductos construidos ele este sistema, con gran economía y elegante disposición, evidencian que en todo caso son exageradas las criticas que ha mel'0cido este sistema. Como el único modo de apreciar la preimnta economia de los arcos empotrados consi. 'te en calcular el pe:,;o total ele la:,; dos so-

i '

CALCULO DEL ARCO ARTICULADO

173

J.uciones, no h emos vacilado en e t uc1iar con detalle un arco articulado, sem ej ante al empotrado cal cul ado en el capítulo anterior, pues el aumento de trabajo que rnpresenta e. tará más que su:fici<:~ntemente compensado con la economía que puc1iera obtenerse, que es el principal objetivo que debe per seguir todo Ingeniel'O, y con la satisfacción de haber dilucidado una cu estión aún tan debatida.

80. Disposición adoptada para el arco articulado.-Así como en el arco empotrado es racional dar á la viga curva una altura decrnciente desde los arranques al arno, pues el momento fl.ector alcanza su límite :uperior en los arranque ·, en un areo articulado, el momea to es nulo en la rótula y crece hasta la clave,. iendo en tonces lógica la disposición de media luna adoptada por E iff'el en . us viaductos (lám. I ). P ero quel'iéndose mantener los mismos elemento· de luz y flec]1a que en el arco ar t iculado, preferimos adoptar la disposi ·ión

lo : ~

-.j<

C) I

~·

•

~~:

""'

' ______________ ~ . / ~ , G .------ - --- - -1 18,SO '~_L ~------ _______ • --- -.- -L- 12 0 ~ ___ ___ _ ._______

do altm·a constante ele 3 mctl'Os. que se asemej a ensiblemcnte :í la primera solución ostudiacla (]áJn. I, figura.- 3 y 5), nos permite aprovechar los tramos y palizadas ya calculado.-, y obedece á la di posición rncomenclada por K c.echlin (") para los arco ele flecha

(')

Statir¡ue graphigue, pág. 221.

174

GRANDES VIADUCTOA

meclia; siendo por otra parte más satisfactoria como aspecto que el tipo Ei:ffel , que nunca reunirá concliciones estéticas. Resulta, pues, la clisposición representada por la lám. XXI. Como mantenemos la misma luz ele 120m entre los salmeres. ele estribos, la distancia efectiva entre las rótulas queda reducida á 11Sm,50 y la :flecha ele la :6.brn media, que también es una parábolct, queda reducida á 23m,40. Al plano ele los arcos y montantes de palizaclas se les da el mismo talud ele '/ 1 , adoptado en el caso anterior, y asimismo los dos ünicos cuchillos ó vigas en arco .-e arriostran transversalmente y con contr avientos de trasclós é intraclós. A consecuencia del talud del plano de los arcos, la distancia ele las :fibras medias, que es ele 5m,00 en el vértice, será en las rótulas de:

5,00

1 + ---6

23,40

= sm,90.

81. Condiciones de cálculo. -El arco articulado deberá poder r esistir sin exceder 10" de trabajo por m¡m' á las mismas cargas que el arco empotrado anteriormente calculado, es decir : 1.° Carga permanente ó peso propio ele la obra. 0 2. Sobrecarga estática de 300" por m .2, extendida.en todo ó parte clel tablero. 0 3. Paso ele dos :filas el.e carretas ele 6000k ó de u.os :filas de carros ele 9000k, definidas en el capítulo que precede. 4. 0 Variación ele temperatura ele+ 30°. 5. 0 Acción ele un viento h orizontal de 270k por m.'; obrando simultlmeamente con la variación de temperatura, p ero sin sobrecargas verticales, ó bien acción del viento ele 150k por m. 2, ·que actúe al mismo tiempo que la variación ele temperatura y la sobrecar ga vertical más clesfavórable.

CALCULO DEL ARCO ARTICULADO

175

82. Establecimiento de las fórmulas. -Recordaremos aqtú las fórmulas generales de la deformación (véase capítulo anterior), qu e son:

--~-ie

:r,y,s '

X A ~- ____ _____ ! ______ -- -· ___ _-t______ ___________ _B_: ___J B. (1) u'

(2)

E ~¿

(Y' -

y A)

ry•

dx -

•

N dy EQ •

(2)

r•x'

•

Efl-I (y' - y) ds -

o, (x' -

x A)· .

_fl-_ (x ' - x) ds -

T (_q:,, E) Q dx

0' = 0A

{S'

'l' GE )

v' =v - O (x' - x ) y'

= uA +

+ ih (Y '

- YA)·

ds,

en las que: ii' = de plazamiento horizontal de un punto cualquiera C', cuyas coordenadas son x' é y'; v' = desplazamiento vertical del mismo punto; 0' = desplazamiento angular de la sección C';

¡,

176 111

GRANDES VIADUC'rOS

u A' vA y 0A' las rnism::is cantidades para el origen A; x é y las coordenadas do un punto cua]quiera C sitnado entre el origen A y el punto C', cuyo desplazamiento so estuilia; s la distancia del punto Cal origen A, medida sobre la fibra media; P., N y T el momento fl.eotor, ]a compresión longitudinal y el esfuerzo cortante en el punto C; f, el coeficiente de dilatación del metal; -.: la variación de temperatura. Si el punto C', cuyo desplazamiento buscamos, fnera en particular el extremo articulado B, tendremos para este punto:

= • O·'

= O·' u A = O·' V A = o'

Sustituyendo estos valores en ]as ecuaciones (J ), (:2) y (3) y clespr eciando los términos clel orden del esfuerzo coi:tante '11 , que como ya clijimo. · en el capítulo anterior, son pequen.os con relación á la compresión longitudinal y, ·obre todo, al momento :fl.ector, nos quedarán las expresiones fundamentales del caso particular ele al'Co articulado, y que son: (1') '

(2' ) -Z O 11

= O; u' = O; v' = O.

Por otra parte, pam la articulación A Eituada en el origen tenemos también :

11 11

l; y'

B A

+ / •

- p.. yds EI B-~ A J:iJI

B A

·- N - dx EQ

(Z - x) ds -

(3') 0A - 0B -

B A

o-.:l

•

¡•B ~ ll'ij = 0. A

Efl·I ds = O. 1.i

11 11 11 11 11

83. Reacciones de los apoyos.-A consecuencia do la articulación, los momento. fl.ectores en los apoyos son siemprn evidente-

CALCULO DEL ARCO ARTICULADO

177

mente nulos. Quedan, pues, las reacciones r educidas á dos f uerzas, pasando por los puntos A y B, que á su vez pueclen descomponerse Ón dos reacciones verticales R A y RB y clos reacciones horizontales QA y QB, siendo est as t'tltimas igual es entre sí y de signo contrario, de tal manera que (véase :fig. 74)

El momento :f:lector p. y la compresión longitudinal N en una • sección cualquiera C, se obtienen en función c1e las reacc10nes y de las cargas por las relaciones: u. '

= RA

X -

QA y - (

= R A sen + QA cos r1. t;1.

sen

r1. ( ~ :

P ),

en~las que:

( ~:p) representa la suma de las cargas tales como P , que act.üan sobre el arco desde A á, la sección C que se consiclera; ( ~: m ), la suma ele los momentos ele estas cargas con relación

al punto C; a., la inclinación de la fibra media sobre la horizontal. Poniendo estas expre8iones ele p. y N en la fórmula. (1'), se obtiene una primera relación entre las incógnita. RA y QA y las cargas y dimensiones conocidas; se obtiene una segunda r elación entre las mismas cantidades, aplicando la expresión de¡.,. á. la a.1·ticulación B, en la que¡.,. = O. Con estas dos ecuaciones se determinan las dos incógnitas; pudiéramos emplear las clos relaciones (2') y (3') si se tratara de calcular las deformaciones, pero son int'ttiles para el cálculo de las reacciones. La expresión (1') se transforma en la siguiente (teniendo en cuenta que dx = ds cos a. y dy = ds sen a.): 12

178

GRANDES VIADUCTOS

(a) R A

[JB.xycls -JB EI A

sen

cos• rJ. ds ] _

A B

ds ] - Q

(J.

Jª (~: rn ) yds EI

(~e P ) sen

cos

(J.

rJ.

cos

[Jª

y'ds __ ET

cls

rJ.

+ 3~z = o.

La expresión ele P., aplicada al punto B, es: (b) B

Las integrales

que solo dependen de las dimensiones del

arco_,pueclen transformarse en integrales

tomadas entre el

punto A y el vértice

xyds I

= l

•

sen rJ. cos a ds

•A

Jª cos ds = 2 JAvcos• = O· Jª _ y'cls = 2 Jv y cls , . .._r Ar

yds . I '·

rJ.

llevando estas simplificaciones á (a) y (b) y multiplicando los clos miembros por E, tendremos: (a)

v yds ] RA z. A- I-

- E o-el (b)

[· y•ds QA 2 • A I -

(~: rn ) yds I .

+ 2JvA cos•n

( ~: P

) sen Q

rJ.

cos

ds ]

rJ.

CALCULO DEL ARCO ARTICULADO

179

Estas dos ecuaciones nos dan para valores de las reacciones:

yds e

B (

~A P

) sen a. cos a. ds Q

Js ( y~ds + Js _cos'a. -ds ) A I . A

Análogamente á lo que hemos hecho para el arco empotrado, debemos transformar las integrales

del numerador, de tal

manera que sólo tengamos que integrar en la extensión de la mitad izquierda del arco. Efectivamente, para una fuerza cualquiera P (figura 74), tenemos:

yds

(

yds

=fn - ~Isen a. cos

r1.

\ puestq que para \ todos los puntos situados á la izquierda de la fuerza P, es decir, en la regióneAD te-

nemos~ B

fo (a)

(

P ) sen a. cos a. ds

\ 1

/ y·~A

p =

Para una fuerza P = P i situado á la izquierda del arco

tendremos:

' 1

GRANDES VIADUO'ros

180

J )..

! e ¡v

k--- --- --,>

v~J: ~~

Al_-------_______ ¿ __________ }______ji e

B (~\ 1n) yds

pi l

P. 1

x yds _ P .

•

) _ p ), (Jª yds (J .!_YdsI -Jº x yds I I B A

(ifv

yds

-fD "

J: (~~ p) J

•

se~" cos • ds - P;

1 •

Dsen o. cos a ds ) = _ p . JD A

Jv ydsI

•

yds =

•

x yds ) - P.), ( 2

),fB

fD yds ) I = - •fº..\ ydsI )·

•

sen" r;s " ds_ -

sen a cos a ds Q

P. (l - A)

(b) Para L111a fuerza P d sit uada en D, á la cler eclrn cl~l al'Co,

(~eA m) =

P (x - ),). d

B ( ~Ac m.) yds I JD

,,¡; ::

¡,;

¡·B

Pd.

x yé!!__ -

fB _ycls I

Pd), _

CALCULO DEL .ARCO AR'l'IOUL.ADO

181

· Sea D ' simétrico de D, tendremos:

Af 76. :V -/ ---r--~

r:::+ : ·-=~\<.

A! 1-

_ _______________

zP_____ .... __ ___ ____ :B . ;>-,1

designando por x é y en el segundo miembro de esta ecuación la abscisa y la ordenada e.le un punto cualquiera de .AD'; del mismo modo:

yds _ Jº' yds A - IJD-IB

de donde

•

13 ( ~Ac m) yds _ - - -- - P I

( l JD' - ydsAI

JD'- x ycls ycls - - A Jº'-)

· A

·AI

Se obtiene de la misma manei-a: BD

(1;~ P )

sen I

11.

cosa ds _ JD' sen - -Pd A ~

11_cosa ds Q

= P d (l - >-)

Por lo tanto la expresión general del emptlJe producido por

182

' 11

GRANDES VIADUO'ros

las cargas verticales cnalesquiera Pi y Pu situadas unas á .la izquierda y otras á la derecha del arco, es:

Eo'tl

+~p

[ (l - ),) J

JvAIJ!...df!._ - l ·AI IV yds +JºAIxyds +

vyds - - ), Iº -yds - j'º sen cos ds ] JAI AI !l + ~ p [(l _ A )Jv yds - l Jº'_yds +Jº'xyds + AI AI AI a

), Jº' ydsI _ Jº' sen cos ds ] =---- --=:--::-:c-- - -=-=--~--=-------2 [f vy"ds + Iv cos a ds ] I a.

Q A

haciendo operaciones de simplificación

Eo-:l + 1 P_ I•

[),JvAIycls

•

+ I º xyds _ ),

· AI sen a cos a ds

Jº

yds _ ·AI

]

Jv ydsI +Jº' xy~ _ I d el (l _ ),) J _Jf____!__ _ J sen cos r n

·+ ~p

[ (l - ),)

s ]

QA= - - - - -- [~ I~v- y~ds_ +___ J~v _c_o_s~-a ~d~s- ]_ _ _ __ 1 7

2 A

La misma forma de esta expresión demuestra que los empujes ejercidos poi' dos fuerzas iguales actuando en dos puntos simétricos son iguales, de tal manera que nos-basta calcular el empuje producido por las fuerzas actuando sobre el semiarco izquierdo: La expre ·ión definitiva del empuj e será, por consiguiente, seP~.r a~do la acción de la temperatura:

GALCULO DEL ARCO ARTICULADO Q

f' v y ds

= 2 (

~pi [ ),

J: J: '

y:s -

f'v cos• a. ds

+ •

yts- ]

183

)

[J:~ds

sen acosa ds ]

+ --- - - [-f~.-,:- ,--y•:s · +--JQ--,,:=--·_c_o_s 2 A

2 ;.

ds ].

Para calcular los valores de las int0grales

J~ y J: hay que

proceder por cuaclratm·a como para el arco empotrado. Los elementos de este cálculo se determinan en el cuadro número 33. Hemos dividido la :fibra media en 19 trozos limitados por los montantes del arco. Los valores de x , y, cosa, sen a, I, Q, ·on los que corresponden al medio de los trozos (véase para los detalles el cálculo del arco empotrado en el capítulo anterior). Como la :fibra media es parabólica, sus coordenados están ligadm; por la relación y =

4f ( --t-·

.. .

l -

)

en la que l = 118m 50 ; f = 23,40.

Podemos también medir con su:6.ciente aproximación las coorclena.d as x é y sobre el cliágrama ele la parábola. Los valores ele 6s, que son las longitudes ele los trozos, e han medido sobre este cliágrama. Los valores de sen a y co a pueden medirse, ó calcularse por medio ele la relación: tqa ·

= _!!j¡_ = dx

Los valore· ele I y ele

~c1- 2z~ ) l

(sección bruta, es decir, sin deducción

184

GR.ANDES VI.ADUC'l'Q,'

de agujeros de roblones) se han cleducido de la secciones siguientes, que h emos adoptado después de algún pequ eño tanteo:

CI = 0,129484 Trozo 0-1 . ........ ) ,.. ( ~· = 0,08 1024

3~_0 0

Trozos 1-2; 2-3 ... . ) I 9-10 .... · ......•.

= 0,120223

t.n = 0,055824

li.--- -

3;00

450

Trozos 10-11, 11-121 I y 12-13....... . . .Q

10C )( l oo

_1_2_

45o~ 12

= 0,105462 = 0,049824

Trozos 13-14 y si• i• I 0,092 l 32 guientes hasta la clave ........ .. . _.Q = 0,043824

CALCULO DEL ARCO AR'l'ICULADO

185

El cuadro mím. 33 nos permite calcular los empu,ies producidos por cualquier fuerza aplicada en el extremo de un trozo y por interpolación, el empuje producido por una fuerza en un punto cualquiera del arco .

84. Lineas de influencia del empuje.-Los valores clel empuJe .'e han calculado como para el arco empotrado, para una fuerza de 1 k aplicada sucesivamente en los montantes correspondientes á las riostras transversales. La curva representativa de estos valorei:; es la línea de in-fluen cia del empuje. Cálculo de los valores de QA (ordenadas ele la línea de infl.uencia).-Sustituyendo en la expresión de QA anteriormente calculada:

P¡ -

•

v yds - por su valor 9366 obtenido en el cuadro núm. 33. 1

A -

J: I:

y 2 ds

I cos 2 cx ds Q

íd. íd. 177292

íd.

1056

íd.

íd. íd.

sen cx cosa. ds Q

2 ( 177292

+ 1056)

Los valores de A (abscisas ele las posiciones sucesivas de la fuerza Pi

= l) y los valores de las sumas

correspondientes,

están inscritos en el cuadro mí.ro. 34, deduciéndose de ellos los · valores de qA correspondientes, que nos permite á su vez trazar

186

GRANDES VIADUC'l1 0S

el diágrama de la línea de influ encia del empu,1 e h orizontal, representada en la lám. XXVI.

85.

Línea de influencia de la reacción vertical.-La expresión de

la reacción vertical á la izquierda, producida por una fuerza cualquiera P, ele abscisa ), es, según hemos deducido anteriormente,

R luego R A

= · -~ m A

p- (Z- 'A) y para una f u~rza P = = -z

(l - A)

1kg; RA

2_z

La forma lineal de esta expresión demuestra que la línea de influencia de la reacción vertical, es una recta cuya ordenada en el origen A, es decir, para), = O, es

R A = lk y cuya ordenada en el otro extremo B, es decir, para ),

Zer;

La línea de influencia de las reacciones verticales del apoyo B es una recta simétrica de la correspondiente al apoyo A. E l trazado de ambas, figura en el diágrama de la lám. XXVI. Calcularemos ahora, por medio de estas _lineas de influencia, el empuje y reacción producido por las diferentes cargas y esfuerzos que actúan sobre el arco, procediendo en un todo como lo hemos desarrol]ado en el capítulo anterior. § II.-Carga permanente.

86. Las fuerzas verticales que constituyen la carga permanente son los pesos del tablero superior y de las palizadas, aplicadas en el eje de éstas y el p~so propio del arco que supondremos re-

CALCULO DEL ARCO AR'l'ICULADO

187

partido en un cierto nlÍ.mero de cargas aplicadas en el encuentro de la fibra media y de los montantes correspondientes á las riostras transversales. La carga verticat en cada apoyo, es por razón de simetría:

}]

A V

El empuje es QA

= }]

PqA

representando por qA el valor del empuje producido por una fuerza de 1 k aplicada en el mismo punto que la fuerza P considerada. Los valores sucesivos de qA son las ordenadas ele la línea de influencia del empuje, representado en el dí:ágrama de la lámina XXVI citada. Podemos admitir que las cargas aplicadas en el a-plomo de las palizadas, son iguales á las ca'.culac1as para el arco empotrado, pues aunque las alturas de los montantes de las palizadas difieren algo de aquéllos, la diferi3ncia de peso es insignificante, si se compara con el peso grande de los tramos y calzada, que no sufre variación: tomaremos, pues, los mismos pesos. En cuanto á l9s_pesos de] ~reo propiamente dicho, resultan de la cubicación. El cálculo del empuje ejercido por todas estas cargas se resume en el cuadro núm. 35. Los valores de qA se han medido sobre el cliágrama de la lú,mina XXVI, y también se deducen del cuadro mí.m. 34. De él se deduce en definitiva, que las reacciones del apoyo, bajo la acción de toda la carga permanente, son: Reacción vertical RA Empuje horizontal

= 140200k

QA = 2 X 83690 = 167380

•

GR.ANDES VIADU0'l'0S

188

Conocidas las cargas y las rnacciones del apoyo, se puede trazar el polígono de presiones, análogamente á lo que hemos hecho para el arco empotrado, y sabemos que el momento :fl.ector en un punto cualq1úera, es igual al producto del empuje por la distancia vertical entre el punto y el polígono de presiones. El trazado ele este polígono se representa en la lám. XXVJJ. Lós valores ele las compresiones longitudinales N y ele los esfuerzos cortantes T, se mielen sobrn el polígono auxiliar (para el detalle de estas operaciones, véase el capítulo anterior). Conociendo p., N y T, el trabajo en una sección cualq'niera es:

+ oN

, /v

En el trasdós:

En el intradós:

R = - ~ I

=-r,,

•

+ -Q

Los esfuerzos en las diagonales de la C!3losía, son: ,

'l'

]'=---

sen~

y el trabajo resultante es

'l'

R - - - - -~--=-- (véase el capítulo anterior) . ·wd w tl sen ~ En el cuadro nlÍ.m. 36, se consignan los peT.fi.les del arco en las secciones consideradas y los perfiles ele las cliagonales situadas á v'' la derecha ele estas secciones, así como los elementos

_!;_

Q ,

sen ~

que nos han de servir para calcular · el trabajo

en las cabezas de trasdós y de intradós y en las diagonales. Los momentos :fl.ectores, las compresiones longitudinales y esfuerzos cortantes producidos por la carga permane:p_te se calen-

CALCULO DEL A.ROO .á.R'J.iIOULADO

189

lan á su vez en el cuadr o núm. 37, por medio de los elementos Z (distancias entre el polígono ele presiones y la fibra media) que se mielen en el cliágrama ele la lámina XXVII, al mismo tiempo que los elementos N y 'l. Se clecluce en este mismo cuadro el trabajo en las cabezas y en las diagonales, producido por la carga permanente, que según vemos no excede en las cabezas de 4k ,80 por m/m2 y en l as diago nales sólo llega á 2k 55. ~

ill.- Sobrecarga estática de 300k por m2 •

87. La sobrecarga ele 300k . e transmite al arco por las palizadas. Pero en lugar de calcular, como hemo hecho en el arco empotrado, el trabajo en el trasclós é intradós, producido separadamente por la sobrecarga correspondiente á cada palizada, calcularemo · clirectamen~e para cada sección, en el trasclós é intradó,, la posición y longitud ele superficie cargada que produce el trabajo ;máximo, es clecii·, la obrecarga más desfavorable. Este procedimiento requiere el trazaclo de la línea ele intersección de las reaccione. , que pa amos á explicar. 88. Línea de intersección de las reacciones. -Ouanclo una carga ünica se mueve ele un extremo á otro del arco, las reacciones ele los apoyos ·o encuentran evidentemente en la vertical de la carga, y el lugar geométrico ele estos ptmtos ele encuentr es lo que se llama la línea de -intersección de las reacciones. Por ejemplo, en la figura 78, si AB es la cuercla d el areo. y si la carga móvil se encuentra á una distancia A clel origen A, las reacciones ele lo apoyos se encontrarán en un cierto punto}[ de la vertical de l a carga P, y tendrán por consiguiente las direcciones AM y B I. E ] punto M pertenece al lugar geométrico que se busca.

190

GRANDES VIADUC'l'OS

Para determinarlo, si !Jamamos Z su altura MC por encima de la cuerda, tendremos:

= Q

ele donde Z

RA. · A -Q· ó sea Z

A - - , llamando

r A y qA, las ordenadas ele las líneas ele influencia ya trazadas, que son en la figurar A= TO y qA

NO.

Esta relación nos permite construir gráficamente Z para cada posición ele la carga, y por consiguiente construimos ele este modo la línea entera. También se puede calcular analíticamente para cada valor de x, el valor ele Z correspondiente, pues sabemos qu e:

lk (Z- A) l

ele donde ·

A (l - ),) qA l

A (118,50 - A) :llSr-;O . ,o XqA

Dando á A los valores sucesivos correspondientes á los mon-

CALCULO DEL ARCO AR'l'ICULADO

Hll

tantes l, 2, 3, 4, 5, 6, 8, lO - l2 ..... l8 y á q A los valores conesponclientes inscriptos en el cuadro núm. 34, obtenemos todos l os valores correspondientes de Z que se han reunido en el cuadro siguiente:

Mon• tantes .

26,84

0,642

32,33

Mon• lantes.

qA ---

- ··-

3m,70

0,097

36m,96

7m,ll

0,185

36m,13

32,75

0,752

31,51

IOm,56

0,273

35m,22

38,65

0,839

31,06

14m,02

0,358

34m,50

44,54

0,910

30,55

17m,42

0,439

33m,84

50,43

0,960

30,17

20m,93

0,519

33m,20

56,31

0,986

29,97

89. Determinación de las cargas desfavorables para las cabezas.Consideremos una sección cualquiera O' O'' y sea F la fuerza ex-

[¡

¡; 1 '

\J ;

ílf

,, '

\J ', ',

- -- -·

~ ----C. terior producida en esta sección por una carga cualquiera; esta fuerza F se descompone en un esfuerzo cortante '11 y en una com-

J':

GRANDES VIADUC'l'OS

J92

presión longitudinal N. Si la carga es única, la fuerza ]' es la reacción de uno de los dos apoyos. Sea ola distancia del punto de paso f, al centrn de gravedad G ele la sección, distancia que se cuenta positivamente por encima de G y negativamente por debajo, tendremos: p. = No. Momento fl.ector: Compresión longitudinal = N.

Ft.f 80

!!! l ¡! l 1!l !_!~l ! "

J l J!l !!!

_,~-,~----,-,-;-:-;,-;;;-,""~6~ ""'~""""

EJ trabajo sobr e la fibra extrema del intradós, es:

, R" = I:\,""" = - - v"- p. + N Q o sea 1

v''No I

N Q

Para que e. te trabajo, ea una compresión, R" tiene que ser N V ''1'1 ''0 positivo, es clecii·, que Q ó lo que es lo mismo,

i ,

~IV . ~~

Para que el trabajo producido en C" por una carga sea una com presión, basta, pues, que la fuerza exterior, es decir, la reac-

CALCULO DEL ARCO ARTICULADO

:1.93

ción que atraviesa la sección pas~ en un punto situado por encima de un punto límite m tal que mG

Q Iv''

Si unimos clicho punto m á los arranques A y B, se cletermina sobre la línea de intersección de las reacciones las zonas del arco que hay que cargar para que las fuerzas exteriores correspondientes á cada una ele las cargas, atraviesen la sección por clebajo de rn, es decir, produzcan una compresión en el intradós. El conjunto de estas cargas es, por consiguiente, la carga desfavorable en el intradós de la sección considerada.

Aff 8J. 1 ,i !! ! !! ! ! l ! ! ! J j, ! ¡

------------------------.. ---.. ---------------- ---·----.-' B. En la :fig. 80, se observa que habría que cargar las zonas L'K' y K''L" para obtener una compresión en el intradós ele la sección G, y que toda carga actuando !entre K' y K'' produciría, por el contrario, una extensión, por pasar la fuerza exterior por debajo dem. Se determina clel mismo modo para cada sección un pnnt o n, cuya distancia al centro de gravedad sea nG

= __I_ y ta-1 que Qv'

GRANDES VIADUC'l'O~ toda fuerza exterior que pa ·e pqr encima ele dicho punto ejerza una compresión en el trasclós O' de la sección. Uniendo n á los arranques ::;e determina la zona que hay que cargar para que cada una ele las cargas produzca una compresión en el tra.sclós, y el conjunto ele est~s cargas repres9nta la carga desfavorable en el trasclós para la sección en G. En la figura anterior será, pues, la zona L'K"' la que deb!'l cargarse, pues toda carga actuando entre K'" y L" produce una fuerza ext erior que pasa por debajo den y ejerce: por consiguiente, una extensión en el trasdós. Hemos calculado y consignamos en el cuadrn siguiente los puntos ele paso límites, corresponclient.e. á, los t r e_s tipos de se~ción de las vigas en arco, cuyas secciones y momentos ele iner cia determinamos anteriormente. (Véase fig. 32.) En la lámina XXVIII se ha determinado gráficamente por el procedimiento que acabamos de exponer la. · zonas de sobrecarga desfavorable en el trasclós é intradós. En el cuadro m'tm. 38 consignamos la fuerza tran. mitida por cada pie de palizada cuanclo los semitramo. do derecha é izquierda están cargados á razón ele 300k por m~. Estas cifras son evidentemente las mi ·mas que h emos calculado para el arco empotrado, que figuran en el cuadro núm. :l.:1 , por medio ele la relación 300 X 6mOO

P=-----2

+ l" = 900 ( l' 2

+ l'' 2

) '

en la que l' y l" . on las longitudes de los tramos contiguo á la palizada que se consiclern. El mismo cuadro núm. 38 consigna las ordonaclas qA y rA de las líneas ele influencia ele las reacciones clel apoyo A, de las que se deducen las reacciones parciales QA = PqA y RA = PrA, prou.ncidas separadamente por cada uno ele los pies de palizada. Por sumas parciale · se obtienen las reacciones totales producidas

*1 .l.J. -,, r

·,le _.,

---

:-c-r=>G

- ~24-

t24:

•,.;.

V'~ t,5241 ~ -- -- = -·' ·24-

-i- - ·- ·- ·- ·

vi1,52l;.

,,.--- -.., .

'/1 ··-

y,:7'•/- I+ ~

+-·-·--··

V'~i,3 4-G

;¡' · · - ~:;':36

y___ ~

V'~1, s= G J : !il.,.__

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\'~ l,~_5C

r···,,

•

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o, 0 810 6.

-O, O9 2 2?..

O, ~OGSl

:1e-cc t.::-n,

0, 0 3 830

0, 04-3 7 5

t\ 0 4-92 0 .

' 1~_o_ tu.k .

_· ,cc..:.i .:.,.,-v '\. .-1.,c L '(

' 1,52 4

1,7 14

1, 5 3 G

hg. J-2 .

1, 5 24

f, :i46

1,536

li 3 9 .

1";2:5

1";'4 1

mG.= J{\J'.'

J-

1; 39.

·1'~ 5

1"'; 41

nG= 1.-v'

:.o

ª'

'-'-

•o

t"i

r-:3 i....;

•

o o

•~

t"i

196

GRANDES VIADUC'l'OS

por un grupo cualquiera de cargas y en particular por los grupos que constituyen las sobrecargas ele favorables .

90. Cálculo de los momentos fl ectores y compresiones. -La determinación ele p. y ele N produciendo el trabajo máxi.no podría ha--

'> t

-> 1

-5= 1

-~-,

-xi -xi -xi

-~ ~,,

~ ~ -::~ \j

"' -~ ~

~, X

;: 1

\>_/

-i

O-N~~~~~~~~=~~~~~~~~

fi~ ~ (:) t ' j

•

CALCULO DIDL A.ROO ARTICULA.DO

197

cersa gráficamente por medio ele tantos polígonos funiculares como casos clesfav?rables de sobrecarga, ó sean 19 para el trasdós y otros tantos para el intraclós. Pero r esultaría muy lar go este proceclimiento, siendo más sencillo calcular ¡.,. y N por las relaciones siguientes: ¡.,.

RA x - QA. y - I Pi (x - y),

ó 1-'· = ( RA y N

= (RA -

~ Pi)

X+~ pi y -

1; P ¡) sen a.

(¿A

+ QA cos a.,

en las que x é y son las coordenadas de ]as secciones que se consicleran y P i una cu~lquiera de las fue1·zas que se encuentran á la izquierda de la sección.

91. Trabajo máximo en el trasdós. -Los ca-;os <l.esfavorables de sobrecarga para cada uno de los :l.9 puntos del trasdós, situados en el empalme con los montantes, se representan en la fig. 83 deducida del díágrama de la lámina XXVIII. E l cálculo ele los momentos :flectores y compresiones longitudinales, así como los trabajos conespondientes producidos por estos casos de sobrecarga desfavorable, se consigna y resume en el cuadro núm. 39. 92. Trabajo máximo en el intradós.-Del mismo modo deducimos de la lámina XXVIII los ca.sos ele sobrecarga desfavorable en el intradós que se representan en la fig. 84. 1,

93. Cargas desfavorables y trabajo máximo en la celosia de los arcos.-Si en la lámina XXVIII que contiene el trazado del arco · y el de la línea de intersección ele las reacciones, trazamos la normal A.N desde la articulación más próxima A. á una sección G

GR A NDES VIADUCTOS

198

h asta que corte en N la línea ele inter sección de las 1·éaccitmes, obser vamos fácilmente lo siguiente (véase fig . _85): t oda car ga P t situada en la zona NT ó en la zona SM, ej ercení en la sección K GL un esfuerzo cortante n egativo, es decir , dir igido del trasdós

\:,.1

( "

-;; 1

-§;¡ -~¡

-xi

'"~! -~¡ ~ ~ -~1

t.;

-:::

---

~I ~I

xi >< 1

:;:J

;: 1

o ~N~~ ~ ~~oom~~~ ~ t ~~~~ ~

~r ~

J._ ~

CALCULO DEL ARCO AR'l'ICULADO

199

T \

\ \ \ \

- - - - - - -- - - - - - - - ' Y ]

al intradós, y, por el contrario, toda carga situada en la zona MN ejercerá un esfuerzo cortante po,·itivo ("). 1*) En efeclo, el esfuerzo corlanlc en una sección normal á la fibra u1cclia, es la pruyecciún sobre esla secció n de la · fuerzas que se encucnlran ,¡ la izquierda; ,e com·iene ademá en que este esfuerzo e· po ilivo cuando la dirección ele esla com¡ionenle es del intradó al t1asclós y viceversa, el esfuerzo corlanle es ncgatirn cu;mt.lo la proyección se dirige del Lra dó al in1radós. Si con ·ideramos una carga P0 (véase fig-. 85) sitnada en la zona ~IN es decir, á la derecha ele la sección considerada KL, la resull.anle ele las fuerzas que aclúan it su izquierda no e · otra cosa que la reacción del apoyo izquierdo producida por esla carga P0 • El esfuerzo cortante en KL e,, pues, la proyección sohre KL de la reacción dirigida seg1·m AP 0 '. Se oh·erva 11ue csla proyección es positira, pucslo que AP 0 etit por encima ele la noruwl AN, y lo mismo ocurriría con cualquier c.trg.1 situ~da en la zona ~IN. Por el contrario, una fuerza P P siluacl,1 enlre ' y T produce una rCi.lcción tlirigida según AP P cuya proyección ~ob re KL . e dirige del lrascl:ts al intracl1ís y e,, por lo tanto, negativa. Del mismo modo, una fuerza PP sil nada enlre S y i\l produce 11m1 reacción á la izquierda dirigida egún ,I.P P y l;L~ fuerza situadas iJ la izquierda son e la rc;,cción y la fuerza P p; su resultante e~lá dirigida segliu P P By se obsena que lamhirn en este caso la proyección de esta re ull.ante sobre la sección KL es negativa. Las zonas SM y :-lT ·on, pue, la que hay que cargar para producir un e fuerzo corLanl.e negativo y la zona MN la que debe cargarse para deterlllinar un esfuerzo cortante po itivo. La reunión rte e.si as zona. (SM + NT) + ~l N es el tahlero entero del arco.

200

GRANDES VIADUO'l'OS

De aquí se deduce que la sobrecarga ele la zona MN es el caso desfavorable para el esfuerzo cortante positivo en la sección KL. La sobrecarga complementaria SM + NT será el caso

...

1->

~; ; 1

;;,,,

-x~,i -§; 1

-xi

~,~,

-~ <Ó

<ll

-~ 1

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>I (

1t::,~r~:-t"'.lb :--"'..,~;:~~~ ~;e ~~ í . e

t1~ -,

J_ {.

} Jl _

-·.

~ ,.I

CALCULO DEL ARCO ARTICULADO

201

desfavorable para el esfuerzo cortante negativo, de suerte que:

'r máximo negativo =

T carga total+ 'l' máximo positivo.

La lámina :xzynr nos da para cada Sl:l.cción los casos de sobrecarga que producen los esfuerzos cortantes máximos positivos y negativos, cuyas combinaciones represei;itamos en la :fig. 86. El esfuerzo cortante en un punto cualquiera es:

Calculamos, pues, por medio de esta fórmula para cada sección el esfuerzo cortante á la derecha del montante en el caso de la carga total del tablero, el esfuerzo cortante máximo positivo producido por la sobrecarga parcial má,s desfavorable T por diferencia el esfuerzo cortante máximo negativo: Se resumen estos cálculos en el cuadro núm. 41, que evidencia que el trabajo máximo en las cliagonales de la celosía no excede en ningún punto de - 4" ,33 por m/m2 •

IV.-Sobrecargas dinámicas.

94. El cálculo del arco empotrado nos ha demostrado que, salvo en un muy reducido mí.mero de puntos, los esfuerzos resultantes de las cinco hipótesis de sobrecargas dinámicas son siempre inferiores á los producidos por la sobrecarga estática de 300 k por m 2 repartida en la forma más desfavorable, como acabamos ele hacer para el arco articulado, y que aun en esos escasos puntos el esfuerzo debido á la sobrecarga dinámica es apenas superior al que resulta de la sobrecarga estática. (Véanse cuadros 29, 30 y 31.) Podemos, pues, admitir que lo mismo ha de ocurrir con el arco articulado, y que en resumidas cuentas las pruebas dinámicas ejercen efectos menos desfavorables que las estáticas.

¡ '

' '

GRANDF,S VIADUCTOS

202

Por esta razón consideramos innecesario el cálculo laborioso del efecto produ cido por las :filas de carro.s ó carretas, distribuidos según las cinco hipótesis admitidas en el cálculo del arco empotrado, que por lo demás habría que repetir en todas s1,,1s partes. §

V .-Acción de la variación de temperatura.

95. La expresión general del empuje producido por una variación de temperatura de -r, con r elación á, la· temperatui·a de montaje, h a sido determinada anteriormente, y es:

E6~l

(~ = A

(Jv y"ds1 + •Jv •

cos

2 (J.

ds )

e1i. la que: E = coefií;iente ele elasticidad = 17 X l0 9 ; o= coeficiente de dilatación del m etal = 0,000012; l = cuerda del arco = 11Sm .oO; y 2ds

· I = 1772})2 / • , Véase cuadro núm. 33; cos- a. ds = 1056 '·\

= + 30° ( el signo más corresponde á, una elevación de tem-

perat1ua; el signo - corresponde á un descenso de temper atura). Como la variación de temperatura no determina ninguna reacción vertical, la reacción total queda reducida al empuj e, que es: ~~ A

= -

17 X lün

X 0,000012 X 30 X 118,50 2 (177292 + 1056)

= + 203U- 1¡

CALCULO DEL ARCO ARTICULADO

203

El momento fl.ector, la compresión longitudinal y el esfuerzo cortante en un punto cualquiera son: P·

= -

QA y

N = QA cos

f/.

'l' ·= - QA sen a.

Como se ve, los valores de N y ele 'l' son las proyecciones del empuje h orizontal QA sobre las paralelas á las tangentes y á las nor males á la :fibra media. Pueden , pues, medirse directamente sobre el c1iágrama ele la lámina XXVI. Los valo:i·es de fJ- se calculan multiplicando el empuje QA =

+ 20_3 0 p or la ordenada y del punto que se considera y así obtenemos el cuadro núm. 42, en el <J.Ue se determinan los trabajos del metal en las cabezas de trasdós é intradós_y en las diagonales para una elevación de temperatura; para un descenso de temperatura nos basta cambiar toclos los signos del trabajo. Según se observa en dicho cuadro, el trabajo máximo del metal, produ ciclo por la temperatlna en el arco articulado, es el intradós y en la clave y sólo· alcanza un valor de+ Ok ,95 por m/m 2 • En el arco empotrado (véase cuadro núm. 21) este trabajo es bastante mayor en todas partes, pues alcanza en "el mismo punto 2k ,39 por m¡m2, lo que clemuestrn, qne desde este punto de vista 08 mu ch o más conveniente la solución del arco articulado. §

VI.- Acción de l viento .

96 . Fórmulas. -El cálculo ele la acmon del viento en el arco ar t iculado es el mismo que para el arco empotrado, pues en los dos casos se realiza el empotramiento bajo la acción de las cargas h orizon tales. ;Los resultadoi;l sólo di:fieren por efecto ele la pequeiia c1iferen;

1,.

•

204

GRANDES VIADUCTOS

cia en las superficies expuestas al viento y, sobre todo, á consecuencia ele las modificaciones en las secciones de las cabezas y <telosías del arco. Por lo tanto, el desarrollo de los cálculos es idéntico al del arco articulado que hemos expuesto con detalle en el capítulo anterior, y nos limitaremos ahora á exponer sucintamente los del caso presente. Recordaremcs por de pronto que el efecto del viento se traduce en cada sección del entramado de los dos arcos normal á la :fibra media general en: 1. 0 Un esfuerzo cortante horizontal t. ~o '-' · Un momento :ftector Mf actuando en el plano tangente. 3.

Un momento de torsión Mt actuando ahedec.lor de la tan-

gente á la fibra media general. Siendo las cargas simétricas, el momento de torsión en la clave ó vértice es nulo y el momento de :flexión (Mr)v en este punto tiene por expre ión:

(Mr )v = -

~~( ~~

m'r

6s cosa I

a ( 6s cos• I

m't

6~sen a }

6s sen• r1. G

)

en cuya fórmula I es el momento de inercia de la sección completa (dos árcos) con relación á un ej e situado en el plano medio general ó mediano. Ges un término análogo á un momento de inercia polar. m' r y m' t son los momentos de :flexión y torsión, q Úe · se desarrollarían en cada sección por las fuerzas que acttí.an sob1;e 'el arco, si éste estuviese cortado en la clave; estos momentos 'Se calculan estáticamente, y para una sección C de cool·denadas x é y son:

CALCULO DEL ARCO ARTICULA DO m/ f

= - cos rJ. ~e vp

(X -

205

x) ·-

sen rJ. ~~- P (Y - y).

V ease (68) :6.g. 63.

m't = cos

- sen r1. ~~ P rJ.

(X - ·x)

~cv P (Y - y).

Los e~fuerzos ele I y ele G son como allí vimos:

~1 z2 I=-2

Z2 ( , -'_ (.t-_ 2

wd cos ~ sen ~ t0 m + wd sen;; ~

)

+ -71- t0 'l

cos e

v •

sen-• .,, •'

en las que Q representa la sección bruta ele un arco en la sección consic1erac1a; l la separación media,de los dos arcos en esta sección; wm la sección bruta del montante en la sección consic1erac1a; w~ la sección bruta ele la diagonal de un arco; wc la sección bruta de las diagonales ele un contrayiento superior ó inferior; ~ ~l ángulo de la diagonal de] arco con la fibra media; y el ángulo ele las diagonales ele contraviento con el plano mediano. Conociendo I, G, m'c y m' t se puede calcular el valor del momento de flexión en el vértice (Mr)v por la expresión antes indicada, y conocido éste se deducen los momentos de flexión y de torsión en una sección cualquiera C del arco por las fórmulas: (IMr)c = m' f (Mt)c

m't

+ (Mr)v cos

rJ.

+ (Mr)v sen rJ.

i20G

cm.ANDE. . ' VIADUC'ro

'l'enemos, por último, que el valol' del e:fnerzo cortante t Pr-:

'1 odos los elementos que acabamo · u.e expresar nos permitirán calcular el trabajo del metal bajo fa acción del viento:

.fíj';: 87 ~-- - ---~- - -- - -->i

1u¡-....k 7r-- -------1-- -r·· --~ 1 '

•

.lif-------<- -~-----¼, /

wl--------- L______1-ur,. _¡___

L---------4~---·------ ~

l.º El momento :flectol' (Mr) ejerce en la cabeza de uno de los arco una ten. ión; en la.· del otro arco una compresión. V lVI r

R=-r-,

El trnbajo será : siendo v

7,t

= - - en e l trasclós (vén:o fig. 871. 2

l.1

= -2

en el i11traclé>s

y la expresión de I, siendo wt l/

w l. 2

I=---+-'-,---1_

CALCULO DEL ARCO ARTICULA DO

'207

Por lo, tanto, En el trasclós:

En el intradós: 2. 0

El momento de torsión

(Mt)

ejercen los arcos los esfuer-

zos cortantes + PvY - Pv, cuya expresión es: -

= M/

wm + wd sen:; ~ 2 _ _ __ _ _G_ _ _ __

El trabajo que ele ello resulta en las diagonales es:

R siendo

= --

wc.J

' sen

(.\

la sección de _la diagonal.

El signo - corresponde á una tensión; el signo+ á una com presión. 3.0 El momento ele torsión

(Mt) ejerce

en los contravientos

unos esfuerzos suplementarios +p 11 y - p 11 • El esfuerzo + ph. se añade al clel esfuerzo cortante general t y - p 11 se resta clel mismo, ele tal modo que si admitimos que este esfuerzo cortante general t se reparte por igual entre el intradós y el trasclós, tendremos: Esfuerzo cortante en el trasdós: Esfuerzo cortante en el intr·aclós:

'l' = -2 +p h

'l'= -2 -p h

208

GRANDES VIADUC~L'08

Si representamos por

las secciones de las barras de un cua.

uro de contravientos y y el ángulo de las barras con relación al eje, el esfuerzo cortante en estas barras . erá: En el trasdós:

}P'

t 2+Ph sen y

y el trabajo

t 2+Pb

R ' = - -- -

En el intradós:

t 2-pb

~-ph

F''

= - "' ---

, sen y

y el trabajo

= - - -- wc sen y

La expresión de 1\, análoga á la de Pv, es

Con estas fórmulas genera]es, vamos ºá, calcular los esfuerzos del viento, siguiendo el mismo orden y procedimiento que el detallado para el arco empotrado.

97. Cargas del viento de 270k por m2 .- Análogamente á lo que hemos calculado para este último en el cuadro núm. 22, hemos inscrito en el cuaw:o m'un. 43 las cargas del viento de 27Qk por m 2 en los el_e mentos siguiente:: 1. 0 Acción del viento sobre el tablero supm·ior.-Las cargas horizontales son las mi. n;ias que para el arco empotrado; pero las coordenadas X é Y de los puntos de aplicación han variado algo, por ser distintas las coordenadas de la parábola de la :fibra media. 2.0 Acción del viento sobre las palizadas.-Han sufrido alguna variación las coordenadas de los puntos de aplicación y las cifras _

CALCULO DEL ARCO ARTICULADO

209

ele las cargas, porque á causa de la distinta forma del arco son algo menores las palizadas del centro del arco y mayores las de los arranques. 3. 0 Acción del viento sobre el arco.-Asimismo varían los elementos correspondientes al arco por la diferente disposición de sus cuchillos.

98. Cálculo del momento flector en la clave .~Los elementos·m' rm 't I y G que entran en la expresión del momento en la clave (Mr)v (pág. 207) se refieren al medio ele los trozos. Como en el cuadro núm. 44 (análogo al núm. 23 del arco empotrado) calculamos en primer 1ugar los términos m' f y m' t correspondientes á cada montante, es decir, para los extremos de los trozos, para obtener los correspondientes al medio de los trozos, se calcula en las columnas clel mismo cuadro núm. 44 los medios aritméti~os de los primeros. Una vez obtenidos en dicho cuadro los términos m' r y m' t' se calculan en el cuadro núm. 4-5 (análogo al núm. 84 del arco empotrado) lbs demás términos de la expresión del momento flector en el vértice. Los momentos de inercia transversales son I

= -

- , fáciles 2

ele calcular. La expresión ele G puede escribirse: K" h2 en la que los valores de los coeficientes G = K' l 2 K' y K" son:

-~\

= __l

K" VALORES DE

wm wd

= 21

cos ~ sen 2 ~

+ wd sen•~

wc cos y sen 2

K'.-En el bastidor O - 1, que es ele alma llena, 14

210

GRANDES VIADUCTOS

la expresión ele K' es diferente de la expresión anterior, pudiéndose considerar que para este caso K' =

w ),

en la que g es

la relación del coeficiente de elasticidad transversal al coeficiente de elasticidad longitudinal, que es próximamente igual á

siendo w la sección del alma, que es 3 X 0,012 = 0,036 de donde para e-1 trozo O - 1 : K' = 0,006.

•

íd.

íd

•

Inclinación media: sen ~

Montantes.

x 80

0,67; cos ~

de 80

. 80 x 80 D1agcnHles: 4 angulares de , 9

íd

0,00525

= 0,0054

= íl,0064

= 0,74

\' m

(\ w

~ 80 l

= 0,0068

0,00085

0,00076.

= 0,00068

2 . 1 0,0076 X 0,0072 X 0,81 X 0~ ! K' = -3 0,0072! 2 0,0072 + 0,0076 X 0,58

= 0,0076 ¡• de donde

d 90 x 90 • · e , 10 Inclinación: sen ~ = 0,¡:i8; cos ~ = 0,81.

\2 Montantes. ( . 2

cú

. 90 X 90 Diagonales: 4 angulares de - - - - w d

Trozos 3-4 y siguientes.

Trozo2-3.

de 100 X 100 \

de·-90-X-90 -

100 X 100 - -- 10

= 0,58; cos ~ = 0,81.

íd .

Montantes. < 2

Inclinación:• sen~

. '·1d.

Diagonales: 4 angulares de -

Trozo 1-2.

•

¡......

¡....

oq rP> o o

o ·P>

~ o

t-i

t?.l.

~ o

K' /

1d.

íd.

Inclinación media:

Intradós:

sen '/

!:J

80 x80 \

media

K ''

= 0,76

\ K"

= 0,0::,94

= 0,00104

= 0,00136

= 0,0058 (

= 0,'.7J

0,65; coa '/

,' w

0,68; cos '/

íd.

(JlC

de donde: 1 0,0076 \ K" w cos '/ sen•'/ 2 e f 1 - ~ = 0,0076 X 0,69 X 0,72

J = 0,00621

. 90 x 90 ) Trasdos: 4 angulares de - - - - I 9

Trozos 4-5 y 5-6.

Inclinación media: sen '/

Intradós:

Trasdós: 4 angulares de

= O,'i2 = o,o9

90 X 90 ( 9

· lsen '/ Inclinación media: · cos 1

Trozos 2-3 y 3-4.

Intradós:

100 x 100 Trasdós: 4 ang~lar~s ~e ~O

Trozos .0-1 y 1-2.

V A.LORES

o 1-3. o

t_:rj

L-:J

.......

L.:.;

íd.

Inclinación media:

Intradós:

Trasdós: 4 ungulares de

T rozos 10-12 y siguientes:

Inclinación media:

Intradós:

Trasdós: 4 angulares de

Trozos 8-10.

íd.

Inclinación media:

Intradós: ·

sen y

íd.

80 X 80

sen y

80 X 80

sen '(

90 X 90

x 100 Trasdós: 4 angulares de 100 10

Trozos 6-8.

0,04;

COS

COS '(

==0,77

y= 0,73

= 0,0054.

0,68;

, w

= 0,0058

0,70; cos y= 0,71

media = 0,0069

( w media

} K"

0,00085

0,00098

0,00120

p>-

CJJ

1-'-

~ p>-

p>-

o o

t'1 p>-

t_::rj

t::J

t"-i

214

GRANDES VIADUCTOS

Con estos elementos inscritos en el cuadro núm. 45 y los demás que se calculan fácilmente, se deduce el momento fl.ector en el vértice: mt 6sGsen a ) I + 2 -a- +--6~s-~-w (MJv=---~ -:_(_6_s_c_;_s~ ~2~a-.-)- A ( ~V

m'r 6s cosa

30358100 ~ - 18358500 67,02 + 214,20

173230.

99. Momentos de flexión y torsión en un punto cualquiera. -Se eleduce en función ele (Mr)v por las expresiones: ( Mr)c = 1n' e + (Mr)v cos ·a. (M~)c = m'¡

(Mr)v sen a.

Desarrollamos estos cálculos en el cuadi'.o núm. 46 para todas las sec.ciones qne corresponden á los montantes. Trabajo del metal en las cabezas.-Con los momentos transversales calculados en dicho cuadro determinamos el trabajo producido en las cabezas per la acción del viento de 270k por las fórmulas ya inclicadas: En el trasdós:

En el intradós: P ara obtener los trabajos del metal correspondientes al viento de 150k nos bastará, según ya explicamos en el capítulo anterior, multiplicar los coeficientes ele trabajo correspondientes al viento

• CALCULO DEL .A.ROO ARTICULADO

215

de 270k, que son los calculados hasta ahora, por el coeficiente

150 270 = 0,555. En el cuadro núm. 47 r esumimos estos cálculos y vemos que el viento ele 270k llega á producir un trabajo de 4k ,79 en el trasclós y de 5k ,04 por m/m2 en el intradós (en el montante 1), que son superiores á los máximos clol cuadro núm. 26 correspondiente ·al arco empotrado y que son 3 k,47 y 3k ,68 respectivamente.

100. Trabajo del metal en las celosías de los arcos.-Los esfuerzos cortantes suplementarios en los arcos, positivos en un arco y negativ_os en el otro, producidos por la acción del viento, tienen por expresión (véase capítul o anterior):

El trabajo suplementario que resulta es:

R--

•

Pv wd

sen~ ·

En el cuadro núm 48 resumimos el cálculo de estos esfuerMs cortantes pv y trabajo resultante R para un viento ele 270k y para el de 150k, en el arco que recibe directamente la acción del viento. Los coeficientos de trabajo que resultan (máximos 2k ,46 y 1k ,37 para los vientos de 270k y 150k ) clifieren muy poco de sus análogos, deducidos para el ar co empotrado en el cuadro núm. 27, que son 2k ,54 y 1 k ,41.

101. Trabajo del metal en los contravientos.-El esfuerzo cortante . suplementario ph, resultante ele la torsión de los arcos, se añade

: 216

GRANDES VIADUCTOS

al esfuerzo cortante principal

en los contravientos de trasdós

y se resta en los contravientos de intradós (véase capítulo anterior.) Los esfuerzos cortantes totales, son, pues: I t T = 2+Ph·

En el trasdós: En el intradós:

Los esfuerzos en el conjunto de las barras de un mismo cuadro de arriostramiento transversal son: •.

T' FF" F =---y11 sen y I

T" =-~sen y

y el trabajo correspondiente es: R'

-~yR''= w

F" w

en las que wc designe la suma de tas secciones netas de un mismo cuadro. La expresión de ph es, según ya dijimos:

•

wc cos y sen- y

G En el cuadro núm. 49 resumimos el cálculo de los esfuerzos cortantes·ph, de los esfuerzos en las barras F' y]'" y del trabajo del metal R' y R'' producido por el viento de 270 k, No es neces::J,rio estudiar la acción del viento de 150k, pues las cargas verticales no intervienen en estos contravientos; sólo el viento ejerce sus esfuerzos en ellos, y por consiguiente, la hipót~sis de la presión de 270k por m~ es la más desfavorable.

•

CALCULO DEL ARCO AR'l'ICULADO

217

Como vemos en dicho cuadro, el trabajo máximo á que podrán estar sometidas estas piezas es de 8 k,82 por m/m en el trasdós y 8k ,68 en el ii:+tradós·, que son casi iguales á los coeficientes máximos respectivos de 8k ,86 y 8k ,47 que resultan en el cuadro análogo núm. 28 para el arco empotrado . ~

VIL-Cálculo del trabajo total en el arco articulado.

102. Trabajo máximo total en las cabezas del arco.-8uperponiendo, como hemos'.hecho para el arco empotrado, los trabajQs del metal que h emos calculado separadamente, producidos por la carga permanente, la sobrecarga estática (que es la más desfavorable), la variación de temperatura y las acciones del viento, obtendremos en los cuadros números 50 y 51, los trabaj.os máximos totales en las cabezas de trasclós y de intradós, ej ercidos por la acción combinada más desfavorable de las dos hipótesis admitidas, que son: 1.° Carga permanente+ variación de temperatura+ viento de 27Qk. 2.° Carga permanente+ variación de temperatura+ viento ele 150k + sobrecarga estática. La variación ele temperatura y la acción del viento pucliendo ejercerse en uno ú otro sentido, se escogerán los que combinados con la carga permanente y sobrecarga, puedan producir el esfuerzo total máximo. Como se observa en estos cuadros, el trabajo máximo en las 2 fibras extremas de las cabezas es siempre inferior á 10k por m/m (los máximos son 9,73 en el trasdós y 9,67 en el intradós.) Salvo en la primera sección de los arranques, siempre la hipótesis más desfavorable :resulta ser la del viento ele 150k simultaneado con las demás sobrecargas y acciones. 103. Trabajo máximo total en las diagonales y pandeo en las mismas.-El trabajo máximo desarrollado en las banas de la celosía

218

GRANDES V!ADUOTOS

por la sobrecarga de 300k por m~ es compresión ó extensión, según la disposición que se dé á la sobrecarga. Debemos, pues, buscar cuál de estas sobrecargas produce el esfuerzo total máximo, combinando su trabajo positivo y negativo con el de la carga permanente tomado con su signo y los de la variación ele temperatura y acción del viento tomados con el signo más desfavorable. A este efecto, en el cuadro núm. 52, consignamos en lo que á la sobrecarga se refiere los trabajos máximos positivos y negativos calculados en el cuadro núm. 41. El examen ele dicho cuadro demuestra que siempre resulta mayor trabajo con el viento ele 150" combinado con las sobrecargas, siendo el trabajo máximo total ele extensión en todas las diagonales, menos en la diagonal 1-2. Los trabajos máximos quedan comprendidos entre - 6,96 y + 5k ,23, inferiores á los Sk que nos habíamos impuesto como límite. Comparando este cuadro con su análogo núm. 31 correspondiente al arco empotrado, se observa que generalmente las diagonales trabajan menos en el articulado. Veamos ahora cómo resisten estas barras al pandeo á que pueden entregarse si fuera la compresión excesiva. Hay tres tipos de barras: la diagonal 0-1, la 1-2 y la 15-16, sometidas respectivamente á las compresiones máximas de 5k ,23; 2k ,65 y 4 k,47 (estas dos últimas calculadas en la última columna del cuadro núm. 52.) Aplicaremos la conocida fórmula del esfuerzo límite perpendicularmente al plano del alma(*)

El l'

(*) No calcu lamos la resistencia al pandeo en el plano del eje, porq ue como vemos en el cuadro núm. 32, en el que se hace este cálculo para el arco empotrado, siempre es superior c1 esfuerzo límite, al que pueden resistir perpendicularmente al plano del alma.

CALCULO DEL ARCO ARTICULADO

219

'l,endremos: Diagonal 0-1. 100 X 100 ; sección neta wd = 6680 m/m 2 • 10

4 angulares de

•

Longitud libre l = 4,40; compresión máxima Rd = 5k ,23. 1t

F =

El l"

-2

XI X 109

3,14 X 16240 -~ 4,40

= 132350k. .

f =Rd wd =34940.

Esfuerzo real máximo:

De donde se deduce que el coeficiente de seguridad de esta barra, que es ]'

132350 · 34940-

es muy superior á 2, con lo que queda garantida toda tendencia al pandeo. Diagonal 1-2. !)0 X 90 w = 5880· I X 10° = 12200. d ' 10 Longitud lineal: l = 4m ,40; Rd máximo positivo = 2k ,65. 4 angulares de

F = 99430k. f = Rw = 15580k,

Esfuerzo límite: Esfuerzo máximo real: De donde también

7>2.

Diagonal 15-16.

wd = 4608

80x80 9 I° X 10° = 7927

l = 3,50

Rd máximo positivo= 4,47.

4 angulares de

Esfuerzo límite:

F = 1020CX)k.

GRANDES VIADUCT OS

220

Esfuerzo real:

f = Rw = 20600

de ·donde

7 > 2.

-Luego en ninguna diagonal hay el menor peligro de que pandeen. §

VIII.- Estabilidad del entramado.

104. Tendencia del arco al levanfá.miento .-Todas las cargas verticales contribuyendo á la estabilidad del arco, la h ipótesis más desfavorable para su levantamiento será. evidentemente la del viento de 270k , con cuyo efecto no simultanea ninguna sobrecarga. En este caso la presión total del arranque sobre la zapata de apoyo, es la siguiente: Carga permanente (véase cuadro número 37) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 2. Descenso de temperatura (véase cuadro núm. 42) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 3. Acción del viento de 270k (véase cua-

1.°

= + 215()()Qk

= -

= -268S60k

= -

1590k

dro núm. 47.) Levantamiento N =

2392870 ~9cr-= ... . ....... . ... .... . .. .. . .

Esfuerzo de l evantamiento máximo . ...... . .

;

5545)k

Co_mo se ve, esta suma es negativa y existe, por lo tanto, tendencia á levantamiento del arco articulado, según ya anun ciamos al calcula,r este efecto en el empotrado. Amarres.-Debemos, pues, como en aquél, amarrar los arcos á 1 os estribos, para que por ninguna causa pueda separarse nunca el arco de su zapata, lo que pudiera ocasionar un accidente grave. Para ello, y según se detalla en la lám. XXIV, h emos proyec-

CALCULO DEL ARCO ARTICULADO

221

tado dos tirantes de 60 m/m de diámetro en cada arranque, empotrados en la fábrica del estribo, que suj etarán invariablemente la construcción, aun en el caso ele una tempestad ciclónica, como lo es la que produzca una presión horizontal de 270k por m'. En este caso el trabajo máximo ele estos dos·tirantes será: siendo: w

R, =

2826 la sección de cada tirante

55450 N - - = 9k ,81 por /m', 2w - -5632 111

105. Tendencia de los apoyos al deslizamiento.-Calcnlemos en cada una de las dos hipótesis ele viento la tendencia que pueda tener el arco á deslizar sobre los apoyos en su mismo plano, tendremos:

l.. hipótesis 1 2.' hirótesis

p +,: +270k p + -c + l50+S

Carga permanente {véase cuadro número 37) . . .. . . . .. . ............... T = + 2500k Descenso de temperatura (véase· ·cuadro núm. 42) ......... . ..... .... .. T = + 1260k Viento de 270k (véase cuadro núm. 48) pv = 6400k,

= + 2500k = + 1260k

T T

))

Viento de 150k ( Pv X 150) 270 ....

Sobrecarga desfavorable (véase cuadro núm. 41) .. .. .............. . ..

Esfuerzo total de deslizamiento en el plano del arco .................... T

10160k

3550k 11820k

= 19130k

El esfue'rzo de deslizamiento en la dirección del vientQ será para cada arco la mitad del valor de t, calculado en el cuadro número 44, que es en los arranques:

222

GRANDES VIADUC'ros t 2

Para el viento de 270k:

· Para el viento de 150k:

77280

= 38640k .

150 _ k - 21450 . 270

El esfuerzo total de deslizamiento producido por las dos tendencias que acabamos de calcular es la resultante de estos dos esfuerzos, que será:

que nos da las siguientes cifras: Primera hipótesis de viento:

R = \,/ 10160

3864o'

39950K.

Segunda hipótesis de viento:

Estos esfuerzos oblicuos que tienden á sel?arar el arco, quedarán suficientemente anulados con los dos tirantes de amarre de los arcos y con las cuatro grapas que sujetan la zapata al salmer; pero á mayor abundamiento convendrá, y así lo proyectamos, empotrar dicha zapata en el salmer, labrando en éste una caJa que lo sujete lateralmente. (Véase lámina XXIV.)

106, Presiones máximas sobre los apoyos.-Esta presión máxima puede resultar de cualquiera de las dos hipótesis desfavorables. Las calcularemos á continuación:

CALCULO DEL ARCO ARTICULADO l.• hipótesis

p+ Carga perm.anente (véase cuadro número 37) ....................•.... N = Elevación de temperatura (véase cuadro núm. 42) ............• .._ ...... . N = Viento de 270k (lado opuesto al viento) (véase cuadro núm. 47) N Mf 2382870 _ z 3,90 - ........... . N

"'C

+ 270

+ 215000

223

2. ª hipótesis

p+'t+ 150+8 N=

+ 215000

= +

..•..•

Sobrecarga desfavorable (cuadros 39 y40) .....•..•....•...............

+85280

451090

1590

Viento de 150k

+ 1590

= + 268860

= N X ~~

Presiones máximas sobre los apoyos. N

= + 485150

149220

Rótulas del arco.-Esta presión máxima de 485450k ejerce sobre la rótula de acero cuya superficie de contacto es próximamente 170 m/m X 500 = 85000m /m2 un trabajo de R -_

485450 _ 5k 7 . 85000 ' por

m·

Zapata y salrner.-Siendo la base de apoyo ele 'la zapata ele lm,30 X 1m,10 = 1m2,43, la presión máxima sobre el estribo es ele

R = • 485450 = 33k 9 por

e ¡m2

14300 ' ' compresión muy inferior á la resistencia del granito, que es de 300k por e /'m 2 • Cuando el puente se encuentre libre de sobrecargas, es decir,

en condiciones normales, actuando sólo la carga permanente, la compresión sobre el salmer sólo será de:

= -215000 - - = 15k por e ¡ms, 14300

GRANDES VIADUC'l'OS

224

§ IX.-Peso del arco articulado.

Las dimensiones que h emos adoptado y acabamos de justificar para todos los elementos del arco articulado determinan los pesos siguientes, que son los resúmenes del estado detallado de cubicación: • 107.

Desde el montante I al siméCabezas de trico ...................... . 60.650¡ trasdós .... A rranque hasta el montante I. 9.674Í

~~~~~~~~- ~~. ~i~~~

Cabezas de ¡D::~:/~. ~56.826 ¡ intradós ... Arranques hasta el montante I. 9.674 Í Celosías de los dos arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arriostramientos longitudinales 6 contravientos ..... Arriostramientos transversales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aparatos de apoyo y amarre ........................

Peso total del arco articiilado . . . . . . . . . . . .

•

70.324k

66.5()0k 25.292k 23.983k 19.251 k 18.540k 223.890k

CAPITULO VI

SOLUCIOlfji11i! 'VÁRIAS DE ARCOS METÁLICOS

1.-Viaductos enter11mente metálicos de pequeños tramos sobre arcos empotrados.

108. Disposiciones g~nel'ales.-Ya explicamos en el capítulo primero las -r azones que µp$ hacían suponer que la solución más económica que parecía prf!l¡¡¡mtarse era la ele un arco metálico empotrad.o, sirviendo ele apoyo á un viaducto enteramente metálico ele pequ eñas luces, siguie¡i¡fo la <l.isposición ejec utada con éxito en Suiza por el Ingeniero M,r. Probst en los viacluct0s de Jav.roz y Schwarzwasser, y sigüii:indo este criterio y los principios ele aquel Ingeniero hemos proyeptado nuestra primera solución. (Véan se figuras 1, 2 y 3 ele la 14,piina l.) En los capítulos II, ID y IV hemos calculado todos los elementos de la parte met~ílica de esta solución , que representamos en alzado de conjunto y con bastante detalle en l a lámina III. Como se observa, h em os escatimado en lo posibl e la obra ele fábrica, que queda r edu cida á los elementos indispensables para enlazar el terreno escabroso é irregLllar ele aquellas laderas con la parte m etálica proyectad.a. En los alzados de los puentes se ve que con el mismo objeto 15

226

GRA DES VIADUC'l'O

de economía hemo ·uprimiclo la parte cantral d 3 ]a3 p ila :restribos clel arco, puesto que ele nada servirían en el ca o pra ente. Los espesores adoptados y los taludes (en el sentido transvenal del puente el talud es ele 1/12, igual al clel arco y montantes de palizadas) asegnran la estabilidad ele cada una de estas pilas ó estribos. Tambien se ha reducido en lo po ible el volumen de la sillería que se reserva para los paramentos, proyectándose el relleno con mampostería concertada, pues conviene que estos macizos esten formados por hiladas normales á la dirección de las pres10nes . Y a hemos visto en los capítulos III y IV que las presiones máximas que las palizaclas y los arcos ejercen en sus apoyos son c.le-10k ,S·y 36k ,9 por c;m, y por lo tanto, muy inferiores á lo que puede resistir el granito que ha ele constituir las soleras y salmeres de estos apoyos que, como es sabido, sólo rompe bajo presiones superiores á 3QQk por c¡m~. Todas las fábricas se proyectan con morteros ele cemento Portland, con objeto ele suprimir los asientos, que podrían ong1nar graves trastornos en la parte metálica.

109. Precios del acero .-Justificaremos aquí solamente el precio adoptado para la tonelada de acero, puesta en obra, por ser el material que más importancia. tiene en esta construcción, pues para las clemás unidades ele obra se proponen. precios corrientes que se han calculado teniendo en cuenta los precios del proyecto aprobado ele la carretera de que forma parte este viaducto .Y los del puente de Zamora que se está ejecutando. En,muchos proyectos hemos visto que $3 asignan precios dis tintos á los lúenos e.le puentes, según sus clases y partes ele obra en que han ele colocarse; y si bien es verdad que en las fábricas se venden aquellos con alguna cliferencia, según sean, , por ejemplo, chapas gruesas 6 delgadas, viguetas, angularns ó hiarr0s os-

SOLUCIONES VARIAS DE ARCOS METALICOS 227 peciales, es lo cierto que estos precios elementales influyen poco en el coste de la tonelada de puente y que las casas constructoras de obras metálicas suelen calcular sus precios, cualquiera que sea la clase de hierro que se emplea. Así es que por las mismas razones antes apuntadas sólo ac1mitimos un precio único para la tonelada, cualquiera que sea la parte que ocupe en la obra metálica. El precio comunmente aceptado hoy en la mayor parte de los puentes de vigas rectas de alguna importancia es de 500 pesetas tonelada, puesto en obra, pintado y probado; pero nuestro proyecto reune condiciones especiales que nos obligan á modificarlo algún tanto. En primer lugar, la forma curva y parabólica del arco hace más delicada y costosa la ejecución de esta parte de la obra, J:)Ues siendo todas las piezas que lo constituyen de diferente longitud, resulta su despiezo más difícil y la ejecución requiere una precisión absoluta. En segundo lugar, exigimos, según se ve en los pliegos de concliciones, que todos los agujeros de roblones se alisen en un espesor de 3 m/m y además que el roblonado se ejecute con máquina, aun en las uniones del montaje. Estas dos operaciones representan un aumento sensible de mano de obra. Por último, el montaje de todo el puente representa de por sí una partida importante, pues no pudiéndose pensar en establecer andamios de 90 metros de altura sobre un río ·tan caudaloso, será preciso ejecutarlo en voladizo y según un procedimiento análogo al empleado para los montajes de los puentes de San Luis y Oporto. Difícil me hubiera sido, sin haber ejecutado nunca obras ele esta clase y no pudiendo deducirlo de las Memorias y proyectos de obras análogas (pues no se detallan en ninguno el co te de estos montajes), calcular con alguna exactitud el importe de tale operaciones; así es que en mis frecuentes conversaciones con los

•

228

GRANDES VIADUO':L1OS

Ingenieros ele las fábricas que he tenido el gusto y la curiosidad. c1.e visitar en España, Francia, Bélgica y Suiza, procuré dedu cir el precio á que lo calculaban personas más prácticas que yo. De este modo he conseguido reunÍl' elatos bastantes para calcular con suficiente exactitud el precio que pueda servir de base á una subasta. Suponiendo que la obra se ejecute en tma ele las fábricas nacionales, l os el ementos que constituyen el precio cle una tonelada cle acero para el via<l.ucto completamente terminado son los siguientes: /

Precio de una tonelada ele acero laminado ó fonditlo en el taller ... . .. . .... . .... . ...... .. ... .. . . .. . .. ...... . 260,00 . Ejecución en el taller ele toda la obra .. . ....... . .. .. .. . Aumento de obra prouuciclo por el ali ·ad.o ele los agrrje- ( 80,00 ros y roblonado mecánico ........... .. ...... . ...... . 1 'I\·ansport3 de la fábrica á Zamora por ferrocarril .. ... . 55,00 Transporte c1.e Za.mora al emplazamiento (47k encarretera), incluso carga y descarga ..... . .. . ... : . . . . . . . . . . 25,00 Montaje completo en la obra, incluso andamios y toda clase ele aparatos auxiliares.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90,00 Pintura (clos capas de minio y tres de blanco cle zinc puro) .. . ..... .. ... .. .. . .... . .. .. . .. .. . . . . . . . . . . . . . 15,00 Pruebas .... . .. .. . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5,00 TOTAL. . . . • . • . . . • . • . . . . . . . . . . . • . . . . . •

530,00

Este precio es inferior al calculado para otros puentes rncion. temente proyectados, como, por ej emplo, 01 Je Zamora y el de la Barca en Ponteveclra, que consignan ambos 600 pesetas como precio ele la tonelada ele hierro laminado; pero sea porque clescle entonces acá los precios han sufriuo una baj a, sea por otras circunstancias que desconozco, abrigo la convicción cle que por di-

SOLUCIONES V ARIAS DE ARCOS METALICOS 229 cho precio de 530 pesetas (al que hay que añadir el 15 por 100 de contrata, que lo .hace subir á 609,50) habrá fábricas nacionales ó extranjeras que concurran á la subasta, pues se trata ele un peso total ele 450 toneladas, que bien permite la adquisición é instalación ele medios especiales ele montaje. Por lo demás, ya he consignado en mi estudio sobre el acero en los puentes (•) que ho_y tlía los precios de los aceros son iguales á los del hierro laminaJo, y también conviene hacer constar que si bien el despiezo qel arco en el taller será algo delicado, todo el resto ele la obra es ele ejecución corriente, pues he procurado una estereotomía encilla y he huíclo de · todos los hierros especiales, amoldándome á los catálogos de hierros corrientes del comercio. 110. Presupuesto.-Con estos elementos y cubicadas con todo detalle las obras que constituyen esta solución, presentamos á continu ación la valoración general del puente viaducto de Pino.

(*)

R evista de Obraspiíblic11s, números 7, 9 y 10 del año1896.-Tomo l.

•

GRANDES VIADUCTOS

230

PRESUPUESTO GENERAL DE LA PRIMERA SOLUCIÓN (Viadiicto metálico de pequeños tramos sobre arco rnetalico empotrado) Número de unidades.

PRECIO

----

Metro e úbico s.

Pt,ts. Cts.

IMPORTES

- - ~ ---. Totales.

Parciales.

-- Art. 1. -0bras de fábrica. 0

807.490 de excavación en roca

para cimientos ........

3,2:29,96

35 00

940,98

l.t

3. 229 ,96

26.870 mampostería careada en

:garamentos de estrios y muros de sostenimiento á ........... 101.348 mam!rost ería ordinaria hic ráulica en macizos de estribos y muros de sostenimiento á ....... 65.0.00 de pedraplén ........... 356.798 mampostería concertada en paramentos de estribos y macizos de salmeres á .............. 378.528 sillería d es ba stada en ángulos de estribos y estribos salmeres á .... 74.720 sillería recta en las pilas y sol eras para recibir los tramos ............ 290.263 sillería aplantillada en pilas y salmeres estribos, impbstas y pretiles á .................

21 00 2 00

2.128,H J 30, 00

38 00

13.558 ,32

56 60

21.197,3 1.t

77 00

5.753 ,44

86 00

24.,993,57

3.198,59

65.102,G7

1.100.309 'l'O'l'.A.L Dl!JL ART .

l.º

7t .931,2~

~OLUCIONER VARIAS DE ARCOS ME'l1ÁLICOS Número de unidades.

PRECIO w

Touelildas.

Pls.

Ct .

231

lMPORTES

-"-- -- --

Parciales.

'rota.les.

-- -

Art. 2. º-Obras metálicas.

i 73.473 ele acero laminado ó fun elido para los tramos ele vigas ele alma llena á ..... . . . ... . ... .. 40 .700 de acero lamiúado ó func1ido para las palizaclas . ..... . . . , .. , . .... '2 13.927 ele acero laminado ó fun c1iclo para el arco em potrado ele 120 metros ele luz á .... . ........ . 20 .'124 ele func1ición, acero func1ido forj aclo y laminado y plomo para aparatos de apoyo y anclado en los estribos á.

530 00

9U21,61¡ 118.262,61

530 00

26.341,001

530 00 113.38 1,31 124.047, 03 53 0 00

10.665,72

459 .345

'110TAL

DEL ART.

2.0

. 242.309,61

Art. 3. 0 - Afirmado y entarugado.

18.000 metros lineales de enta-

!~ 'l

rugado, sobre el viadueto metálico, coropletamente terminado

tÍ . . . .• .... • •...... . ..

'¡

110 00

19 .soo,ool

, Hl .835.20

4 40

35,2~~

,, 1

8 .000 metros lineales ele firme

completamente terminado, en lo estribo á. I'

1 1

To'l. .A.L 1

DEL .A.RT.

3.º

19.835,:20 f

232

GRANDES VIADlJCTOS

.. PRECIO

IMPORTES

--- - ------

Número de unidades.

Ptas. Cts.

Parciales.

Totales.

Art. 4. 0 - 0brAs accesorias. Puente colgado de erv1cio entTe las dos már genes . . , ... .. ... ,, .. . Rampas de acceso á los salme;ees del arco metálic_o _y al puente de serv1c10 ..... . .. . .... . Perforación de los macizos para anclado de los arcos y amarre ele las palizadas ..... . , ... . . . TOTAL DEL .A.RT.

4.0

6.000 ,00

5.000, 00 11.800,00

800,00 11 800,00

Resumen de la ejecución materiai. Art. 1. 0 -Obras de fábrica .. .. .... . ......... . Art. 2. 0 -Obras metálicas . .. .... . .......... . Art. 3.0 -Afirmado y entarugado ..... . ...... . Art. 4.0 --Obras accesorias ....... . ......... .

71.931,22 :,¿.~2.309,6 '1 19.835,20

11. 800,00

TOTAL DE EJECUCIÓN MATERIAL .••.• • •••

345.876.06

Aumento del 15 por 100 de contrata.......... .

51. 881,40

'l'OTAL: PRESUPUESTO DE CONTRATA ••• • ••

397.757 ,46

SOLUCIONES VARIAS DE ARCOS METALICOS

233

§ II.-Arcos metálicos empotrados con avenidas de fábrica .

. 111. La gran abundancia de piedra en las inmediaciones de la localidad podia hacernos suponer la conveniencí'a de sustituir con piedra parte de la obra metálica, y á este efecto hemos proyectado la segunda solución (fi.g. 5 de la lámina I), que se representa con detalle en la lámina XXIX. ·

•

112. Disposición ganeral.-Con obj eto de suprimir el viaducto de la margen izquiercla hemos corrido hacia ella la situación del arco en 5m,50 de desplazamiento longitudinal, queclanclo así el viaducto de esa orilla rec1ucido á un muro de acompañamiento. Pero como aun así el extremo de dicho muro tiene una altura comprenclida entre 11 y 18m, que obligaría á dar á los muros un espesor en la base de 4m por lo menos (es decir, que se unirían los dos macizos), los hemos sustituído por un canón de 4m de luz (véase la lámina XXIX, secciones del estribo izquierdo), que permite economizar un volumen sensible de fábrica, adoptando para esta bóveda las dimensiones de los pontones oficiales. En la margen derecha, en cambio, el viaducto de fábrica adquiere bastante importancia, puesto que la altura de la pila estribo resulta de 46 metros. Así es que los espe~ores tieñl'n que ser grandes y las luces de los dos arcos que constituyen el viaducto deben tener 15 metros. 113. Decoración. -Como dice muy bien el eminente Reynaud en su her mosa obra de arquitectura, los viaductos, establecidos generalmente fuera de las poblaciones, no reclaman formas decorativas y sólo pueden alcanzar la belleza por el mérito de su disposición. Sin pretender lograr por nuestra parte ese grado de hermosura, hemos sin embargo, procurado que las líneas de la cons-

234

GRANDES VIADUO'l'OS

trucóón satisfagan á la vista por sus prop orciones. Por l o qu e á la ornamentación se refiere, sólo creemos clebe obtenerse con los salientes y líneas de sombra de l os órganos principales, pues en masas tan grandes y con puntos de vista muy lejanos, cualqli.ier detalle minucioso se perdería y hasta creo que habría de perj udicar al aspecto severo y robusto que debe ofrecer nuestra obra. No hemos, pues, limitado á acusar los aristones de las pilas y estribos y de los frentes de las bóvedas con el saliente abenugaclo de los sillares, los perfiles ele las impostas y pretiles también se han dibujado con la mayor sencillez; por último, los perfiles de l os salmeres ele arcos metáli<.;os h an sido compuestos con fuertes ménsulas que rompen la uniformidad ele la pila y enlazan ésta con el estribo, robusteciendo la parte que corresponde al salmer del arco. Por necesidades de la composición este salmer presenta una gran superficie de 50 mª que decoramos con un adorno en bronce representanc.lo el escudo del Cuerpo y las fechas ele comienzo y terminación de las obras.

CÁLCULO DE LAS DIMENSIONES DE LA OBRA DE FÁBRICA

114. Bóveda de 15 metros de luz. -Para)oda esta parte de nuestro estudio nos hemo: atenido al resultado de los cálculos establecidos por nuestro distinguido jefe D. Elzeario Boix en su obra Estabilidad de las construcciones, razón por la que soría ocioso clesanollar las liipótesis y consideraciones que justifican las fór mulas adoptadas. El espesor en la clave do una bóveda de 15 metros de luz, de meclio puente, se deduce siendo A la luz, de la fórmula: Boix:

As¡-

T \J

¡ --

e= 0,15x0,15 V

0,82.

•

SOLUCIONES V ARIAS DE ARCOS ME'I'ALICOS 235 Las fórmulas de Perronnet, Dupuit, Gauthey y CroisetteDesnoyers, ·nos darían respectivamente:

Dupuit:

+ o·,035 A = 0,85; e=020, , V¡-¡;- =077· , ,

Gauthey:

e = 0,33

e = 0,325

Perronnet:

Croisette-Desnoyers:

+ 0,021 A = 0,65;

e = 0,15

+ 0,15 \/-X-= 0,73.

Acloptamos Om,SO de espesor, que es casi el resultado ele la fórmuia de Boix, y daremos á toda la bóveda un espesor constante, pues creemos, como el Sr. Boix (pág. 390 de la segunda edición), que es completamente inútil aumentar progresivamente de espesor, desde la clave hacia los arranques, según hacen muchos constructores (*). Calculemos ahora el espesor que ha de tener el estribo principal en los arranques de salmeres de los arcos metálicos. Los datos son los siguientes: A= 15,00; Luz de la bóveda: Espesor en la clave: e = 0,80; Altura ele arranques sobre la base de estribos: H ·= 15,00. Altura de la rasante del camino sobre esta base: · s = 24,0(). D. Elzeario Boix, en su citado libro, propone para calcular el espesor uniforme de los estribos, la fórmula siguiente: E = 0,40

+ 0,19 A + 0,18 N,

que con los datos del caso presente nos da un resultado de 5,95. (*) Entre otros muchos puentes y ponlone en que horno aplicado esle criterio podemos citar: el puente de Arrionda ·, constituíclo por tres arcos de 20m ,80 de luz, ,·ebajados al 1/6, con un espesor imifonne de bóveda de 1m ,20 y el puente ele Angoyo, que para un medio punto de 1ijm ele luz tiene un espesor tamb ién uniforme ele 1m ,00; en ambas obras hemos efectuado persomtlmcnlc los ele cimbramientos sin que ni en el trasdós ni en el intradós se manifestara el más insignificante desportillo, lo que evidencia la exactitud del rnzonamicato de D. Elzcario Boix.

236

GRANDES VIADUCTOS

Conviene comparar este resultado con el de otras fórmulas tan conocidas, como son las de L eveilléJ Lesguillier· y la de los Ingenieros rusos y alemanes. El Sr. Boix ha transformado estas fórmulas en la for ma siguiente: L eveillé:

E -

(0,60 -/- 0,162 A )

Lesguillier:

! A)

(H + 0,865 - - - -- - -- - - LJ.m52,

s ( e +¡A)

E=\/~ (0,60 + 0,04H) = 4m,65:

Ingenieros rusos y alemanes;

E= 0,355

+ 0,208 A +

0,17 H = 6m,03.

Si el empuj e ele hi.s bóvedas sobrn el estribo pila estuviera contrarrestado parcialmente por un terraplén ado.·ado, como ocurre en la mayor parte de las obras que han serviu.o á Leveillé y L esguillier para determinar empíricamente las fórmulas citadas, q1.úzá nos arriesgaríamos á reducir el espesor á 5,00, acerclmdonos más á los resultados ele estas últimas fórmulas; pero como quiera que el Sr. Boix, en su ya cita<l.o libro, demuestra que en m~1ehos casos los espesores obtenidos con dichas fórmulas ponen á la obra en malas condiciones de resistencia al aplastamiento, parécenos más prudente adotar el espesor ele 6,00 comprendido entre la fór mula de Boix y la de l os Ingenieros alemanes y rusos (•). Taludes de pilas y estribos.-Transversalmente al puente damos á los paramentos ele pilas y estribos el mi ·mo talud de 1/12 que hemos empleado para las palizadas y arcos metálicos.

i*) Como puede parecer algo excesivo esle espe or, debemo · aquí con ignar, que los estribo· del viaducto do Carabit, también somoliclos como el nuestro á empujes do bóvedas de 15 melros de lu z, tiene un espeso r ele 7 m,OO á la .titura e= 24 clol nuestro.

SOLUCIONES VARIAS DE ARCOS METALIOOS

•

237

En el sentido lon,gituclinal del puente reducimos este talud al ' mínimo de 1/50 ó 0;02, que es el aconsejado por Oroisette-Desnoyers en su obra. Espesor de la pila.-Dacla la altura que tiene de 15 metros, no podemos darle menos de, 2m ,00 de espesor en los arranques, con los mismos taludes del estribo pila, admitienclo que se equilibren los empujes horizontales de las dos bóveclas: claro es que este espesor no es suficiente para resistir aisladamente al empuje ele una sola bóveda; pero como los clos han de construirse simultáneamente, no ·creemos necesario forzar más las dimensiones, que nos 3:umentaría el gasto sin utilidad alguna. Estribos de tramos metálicos.-El peso ele la mitad del último ,tramo de 10 metros es ele muy pequeña importancia, comparado con el empuje de la bóveda; como por otra parte el relleno entre tímpanos se ha de ejecutar con pedraplen, que produce empujes mucho menores que las tierras, bastará á todas luces, con el espesor ele 1m,50 (•) que clamo.s en el arranque, con talud interior del ' /5 , hasta encontrar la coronación del estribo, que según la regla establecida por el Sr. Boix, debe encontrarse á una altura de

,0,3 A = 0,3 X 15 = 4m,50 por encima de los arranques del arco. Resulta, pues, que el estribo de los tramos (vease la sección longitudinal del puente, lám. XXIX) debe considerarse como un simple muro de sostenimiento ele 4m,50 de altura, y vemos que la sección que le hemos dado, es un poco mayor que la del '/3 que recomienda e] Sr. Boix para esta clase de muros. },furo? de los tímpanos y acompañamiento.-'J1eniendo en cuenta

(*) Este espesor es inferior al de 2m,70 que resulta aplicando la fórmula propue ·ta por el Sr. Boix en su libro Estabilidad de las constrHcciones de mamposte,·-ia, segunda edición, página 525; pero no cabe dudar que esta fórmula re ·ult.a excesiva para tramo· de pequeñas luces,

238

, GRANDES VIADUCTOS

que todo el relleno ha de efectu arse con pedraplén, podremos dar á los muros ele los tímpanos una sección uniforme, de 1 m,OO en la coronación y talud de '.'a por el paramento interior, espesores que hemos empleado con éxito en puentes de may_o r luz que el actual viaducto y que facilita la construcción, pues ele. adoptarse para los tímpanos las fórmulas del Sr. Boix, r esultaría para el paramento inferior una superficie alabeada difícil de ejec11tar. Salmeres de los arcos metálicos.-La simple inspección ele los planos, basta para evidenciar que con la disposición adoptada para los salmeres de estos arcos y la disposición simétrica en el ]ado opuesto, se consigue que la compresión ele los arcos, que se ·ej erce en una dirección aproximadamente tangente á éstos, se transmita directamente á las rocas q rre constituyen las laderas del emplazamiento. Comparando nuestra disposición en la lám. I con la de los viaductos ele Oporto y Garabit, por ej emplo, se observa desde luego que reunen los estribos que proyectamos mejores condiciones ele r esistencia y estabilidad que aquéllos. Como se ve, suponemos que los cimientos en ro ca de estos estribos han de ej ecutar se en escalones de un ancho mínimo de élos metros. pues siendo esta roca cuarzosa de gran dureza, no será preciso ahondar más las fundaciones para obten er una base segura. Elección de los materiales y clase de obra. - -Y a hemos dicho que á causa de las presiones extraordinarias á que h an de estar sometidos los materiales en estas obras de fábrica, será preferible emplear el granito duro, que se encu entra en las canteras del Gargallón y del Deveso, situados sobre las mesetas en ambas márgenes del Duero y á clistancias r espectivas de 65 ')0 y 4500 metros del emplazamiento del puente. E sta piedra no se presta á graneles filigranas de labra, y eomo por otra parte, tampoco sería de buen efecto ornamentar un

SOLUCJO:NES VARIAS DE ARCOS ME'rALHJOS 23!1

viaducto ele tan gran altura situado en parajes tan abruptos, nos limitamos á acusar con cadenas ele sillería basta aberrugada los ángulos ele !as pilas y estribos, los frentes de las bóvedas y J.os paramentos ele estribos ele los arcos metálicos. De sillería aplantillada, proyectamos so1amente las impostas pretiles y la parte necesaria ele los salmeres ele estos estribos, que por su estereotomía requieren una labra muy precisa, ejecutando de sillería basta to~o el resto ele estos estribos, porque es la parte ele la obra que ha d,e estar sujeta á mayores pres10nes. Los paramentos ele los estribos-pilas y pilas, podrán ejecutarse con mampostería concertada, salvo los aristones, que ya hemos dicho serían de sillería basta, y _ele mampostería ordinaria el mazizo ele estos estribos y pilas así como los tímpanos y muros de acompañamiento. Mciteriales para las bóvedas.-Los frentes ele las bóvedas se proyectan con sillería basta aberrugacla, con objeto ele armonizar el conjunto, pero todo el resto del arco se ha proyectado ele mampostería concertada, cubierta por una contrarosca ele hormigón hidráulico ele 0 00 ,10. Muchos Ingenieros critican ya el abuso de la sillería aplantillada para las bóvedas, pues que produce un aumento sensible ele coste sin ·que sea necesario para su resistencia. Croisette Desnoyers llega hasta aconsejar el empleo de la mampostería ordinaria, que constituye una masa homogénea que asiente por igual (pág. 70 del tomo II), y en verdad que ejecutando esta fábrica con buen mortero ele Portlancl, es seguro que pudiera resistir perfectamente, si bien sería más homogénea aün una bóveda ele hormigón, como las que se han ejecutado recient_emente en Alemania para arcos rebajados _ele graneles luces. Pero si bien esta última clase ele fábrica debe elegu·se, cuando hay dificultad ele encontrar buenos materiales, parece no está o

240

GRANDES VI.A.DUC11 08

tan inclicacla, cuando como en el caso presente, se puede obtener fácilmente buena mampostería concertada(·).

115. Importancia de los morteros en los grandes viaductos.-Tiene en el caso presente suma importancia la elección ele los morteros. Para no exagerar las dimensiones y por ende el costo clel estribo pila, ya hemos visto que hemos calculado su espesor para una altura de 24 metros no más, es decir, considerando que la coronación del salmer del arco metálico es incompresible y sustituye, por decirlo así, al terreno natural. Pero para que esta hipótesis sea verosímil es menester asegu.rar la incompresibilidad clel macizo que constituye el estribo del arco metálico. Esta parte dé la obra, además de estar sometida á la presión de la pila de 24 metros de altura, á la componente vertical del empuj e de la bóveda y á-la compresión producida por el extremo del tramo metálico ele 10 metros de luz, recibe la considerable compresión oblicua ejercida por el arco ele 120 metros ele luz y que, según hemos visto al final del capítulo IV, alcanza la cifra ele 36k ,9 por c¡m". Requiere, por lo tanto, materiales de gran resistencia unidos por morteros que no sólo transformen toda la masa en un monolito, sino que por sí solos presenten tanta resistencia como las piedras que han ele unir. Está, pues, inclicaclísimo el cemento de Portlancl, cuyas ventajas no es preciso enumerar, pues que son conocidas ele todos los Ingenieros. Diremos solamente que en el caso que nos ocupa es preferible el Portlancl ( .. ) á los cementos ele fraguado rápido por las siguientes razones: (*) Veremos, sin embargo, la g1·an economía que 11roducc el empleo del hormigón, (**) Entendemo: por cemento Porllancl, Lodos aquellos comento· que fr.1gu,m entre dos y

diez horas y que hoy dia se fabric1n en Boulogne, SteLLin, Tournai (Bélgi~~J y otro:- muchos puntos. Los Sres. Rezola, que ya fabrican en San SebasLian rep uLadisimos cementos similares .al Zumaya, preparan también la fabricación del Portland. o

SOLU010NES VARIA$ DE ARCOS METALIOOS 241_ l.ª Porque ejecutá:p.dose · todas las obras al. aire 4hre, son mucho más cómodos de manejar y no ~·equiere su empleo precaqción de ningún género. 2,ª Porque debienp_o estar sometida la obra 6. conside:i;ables presiones, los morteros con Portland presentarán. desp1,1és de fraguados mayor resistencia que los f?,bricados con cementos de fra., guaclo rápido, ·

3.ª Encontrándose . la caliza á gran distancia de la obra y e.lada la rebaja considerable de precios que la competencia ha producido en el Portlancl, ya no resulta muy sensible la diferencia entre las cales orilinEJ,ri11s, las _d e Zumaya, y las de Portla:nd, y menos aún en una obra que, en resumidas cuentas, podrá, necesitar de diez á veinte toneladas de cemento á cien pesetas, es decir, un coste de adquisición de mil á dos mil pesetas. Pero no sólo será conveniente el empleo ele morteros ele ce:i.nento en el estribo de arcos metálicos, sino en las ~ilas y estribos-pilas y hasta en los muros ele acompa:ííamiento y bóvedas, pues dadas las considerables alturas y espesores ele algunos ele estos macizos, si se ejecutaran los r ellenos con mortero común, tardarían éstos en fraguar un tiempo incle:finiclo, por lo menos. en aquellar: partes interiores muy alejadas de los agentes atmqsféricos y el empuje ele las barras, sólo encontraría para resistir á sus presiones una masa aún blanda susceptible de gr~ncles asientos y hasta de deformaciones sensibles. Así es que, siguiendo el ejemplo empleado con éxito en otros grandes viaductos ele fábrica, proponemos que los morteros ele todo el resto de la obra sean hidráulicos, de fraguado lento, mezclando un volumen de arena ele 0,90 con 200 kilogramos de cemento Portlancl en las pilas y estribos, reduciendo este último peso á 15 )k por metro cúbico para las bóvedas y demás partes de la obra, con lo que se obtiene un metro cúbico ele mortero. Estas proporciones, que nos clan excelente resultado en las obras del Musel, son iguales á las empleadas en_los viaductos clel .

' .

242 .

GRANDES VIADUCTOS -

ferrocarril de Nantes á Ohateaudun_(•), p or lo que consideramos Innecesaria su justificación. . Prefe~·imos ~l empleo exclusivo del cemento de P ortland al de fas mezclas de Zumaya y cal grasa que se han empleado mucho en España, porque la ec·onomia que con esta mezcla se obtuviera esii:J.significante, y en cambio, la desigualdad ele los Zumayas y h_a sta ele las cales ordi~ar.ias obliga á . grandes precaucion ESs en su ma-· :riipulac~ón, ·difíciles de perseg1;1iT en la práctica, mi~ntras que el Porbland_es má, igual y sa m':tneja con sagur.ida:i completa.

· 116. Presupuesto de la segunda 13oluoión.-Se observa, en resumen, que se ha procurado reducir la obra á sus elementos indispensables y las clases ele fábrica á las más económicas que oFdinariamente se emplean en este género ele construcciones, y, sin embargo, el coste de ejecución material de estas obras de fábrica asciende á 270.75_5,74 pesetas, según se desprende del presupuesto general de la segunda solución, qüe presentamos á continu ación . Para calcular el peso de las partes me~álicas nos ha bastado deducir de los totales ya calculados para la primera soluci_ón, los correspondientes á los tramos y palizadas que se suprimen, que se deducen fácilmente de la cubicación. . .

(*) Pardo: Muterialcs de"construcción, pág. 110:

SOLUCIONES VARIAS DE ARCOS ME'l1ALIOOS 243

PRESUPUESTO GENERAL DE

SECUNDA SOLUCIÓN

(Arco metálico empotrado con avenidas ele fúbrica.) Número de unidades.

PRECIO

-------

Metros c úbi cos.

Ptas. Cts.

---------IMPORTES

Parciales.

-Art. l.º-Obras de fábrica. -

Viaducto ele la margen derecha. 161.950 ele excavación en roca p1;1,ra cimientos á ...... 355.940 pecfraplen .............. 1.024.366 mampostería on1inaria

con mezcla hiclráulica en macizos tí .........• 82.450 mampostería careacla en ~arall!-ento~ d~ muros e so,sten1m10nto y tímpanos á ........... 6\J0 .584 mampostería concertada en paramentos de la pila y pila estribo y bóvedas ele los arcos á . 137.410 sillería basta en los ángulos de pilas y en la hilada de la base de la tla estribo á... . .....• 44 .690 sil ería recta en las impostas de arranqu es y en la caja para recibir los tramos á .......... 178.120 sillería aplantillada en impostas de corona-

Huma y sigue .....

4 00 2 00

647,80 711,88

21 00

21.511,69

35 00

2.885,75

38 00

26.242,19

56 00

7.694,96

. 77 00

3.441,13

63.135,40

Totales.

244

GRANDES VIADUCTOS

Número de unidadc .

PRECIO

____ __ ___ JMPORTES /'-.

Metros cúbico .

Pts.

Cts.

Parciales.

Totales.

Sumas anteriores ....

ción, pretiles y aristones de los arcos á ..... 15.816 hormigón hidráulico en las contrarroscas de las bóverlas á..•.........•

: '

¡ '

' '

1 í 1 ¡

''i 'i

! 1

l ;

86 00 33 00

15.318 ,32 78.97f>,65 521,93 /

Viaducto de la margen izquierda.

t 1

63.135,40

972.546 de excavamon en roca para cimientos á ...... 115.835 pedraplén .............. 250.660 mampostería ordinaria con mortero semihidráuiico para maci' zos á ................. 148.975 ele mampostería careada en paramentos exteriores ~e mm·os y timpanos a ................. 50.688 de mampostería concertada en el cañón de la bóveda á ............ . 78.540 de sillería basta en el frente en el zócalo ele estribo y en la imposta ele arranques del cañón á ...... : ......... 55.662' de sillería aplantillada en la imposta de coronación en ~retiles y en el aristón el arco á... 5.400 de hormigón hiélTáulico 1

Suma y sigue .....

4 00 2 00

3.890.18 231,65

21 00

7.363,86

35 00

5.214.13

38 00

1.926,14

56 00

4.398,24

86 00

4.786,93 27.8'11 '13 78. ~75,65

SOLUCIONES VARIAS DE ARCOS METALIOOS Número de

PRECIO

unidades. w

Metros e úb icos.

Pts.

Cts.

2·45

---------IMPORTES

Parciales.

Totales.

;

-- '

S1,1,mas anteriores .... para la contrarosca de la bóveda. á. ·......... . 68.236lde sillería aplantillada para salmeres del arco metálico en la margen izquierda á .......... .

27.811,13 78.975,65 27.989,33 33 00

178.20

86 00

5.868,30

5.868,40

Estribo salmer del arco metálico. '

1.114/!04 de excavación en roca para cimientos á ... .. . 1.979.512/mampostería concertada en el macizo á ....... . 536.530,de sillería basta_en :paramentos y macizo a .... 559 .060 tle sillería fina aplantillatla en paramentos y ángulos á ........... .

4 00

. 4.576, 16

38 00

75.221 46(

. :

56 00

30.045,68\157 .922,46

86 00

48,079,16}

'l'OT.A.L DEL ART .

1.0

270.755,74

Art. 2.º-0bras metálicas. Toneladas,

121 .488 de acero laminado ó fun dido para los tramos con vigas de alma llena á .. . ......... .... i 530 00 27.011 de acero laminado o fun1 1 .ª.s. 530 00 213.927 de acero laminado ó fnn-

-~~l-i~~~

64.388,641 ' . 78.704,47 14.315,83\

Suma y sigue .....

78.704,47 78.70!i,47

f ~~ .~~~-~- .

¡ 1

246

GRANDES VIADUCTOS

Número de unidades.

PRECIO

Tonel.idas.

Pts.

Cts.

Suma anterior . ....

I MPORTES

Parciales.

Totales.

78 704,47 78.704,47

elido para el arco de 120 metros de luz completamente terminado. á.. ... .. : . . . . . .. . .. . .. 530 oo 11 3.381,:n 124.047,03 20. 124 de fundición, acero fundido forjado y laminado y plomo para apa;ratos él.e apoyo y anclado en los estribos á. 530 00 10.665 .72 'l'OTAL DEL .ART.

202.75] ,50

2.º

Art. 3 . 0 - Afirmado y entarugado. 42,00 metros lineales de firme completamente terminado para la avenida derecha . . . . . . . . . . . . . . 4 40 20,00 metros lineales ele ;firme completamente terminado para la avenida izquierda á . . . ·· . . . . . . . 4 40 126,00 metros lineales de entarugado, para el viaducto metálico á . . .... 11 0 00

184 80 1 1

88,00 13.860,00 13.860, 00

3. . Art. 4. - 0bras accesorias. TOTAL DEL .ART.

14. 13:l,80

Cimbras para dos bóvedas cle15 metros de luz. 2800 00

Suma y sigue . ....

272,80

5.600,00 5.600,00

::,OLUOIONER.VARI.AS DE ARCOS METÁLICOS

PRECIO

Número de unid¡i.des.

Ptas. Cts.

Sel'VlClO .••• •• ••••••••

Perforación de los macizos para anclado de los arcos ............ ... . TOTAL DEL ART .

4.0

JMPORTES -

- -·-- - - -

Parciales.

Totales.

5.600,00'

Suma anterior . ... Puente colgado de servicio entre las dos márgenes ............... . Rampas de acceso á los sa1meres del arco metálic? .Y al puente de

,24'7

6.000,00 , 17.400,00

5.000,00 S0C',00 ·

17.400,00

Resumen de la ejec.ución

materiai. Art. 1. 0 -0bras de fábrica ............ , ..... . Art. 2.0 -0bras m etálicas . ................. . Art. 3.0 -Afirmaclo y entarugado ...... ·...... . A.r~. 4. 0 --0bras accesorias .. . . . ............ .

'l1 0TAL

270 .755,74 202.751,50 14.1-32,80 17.400,00

DE EJECUCIÓN MATERIAL . ••••••••

505 .040,04

Aumento del 15 por 100 de contrata.......... .

75.756,00

TOTAL: PRESUPUESTO DE CONTRATA ••••••

580.796,04

248

G-RANDES VI ADU O'líOS

TERCERA SOLUCIÓN

III.- Arcos metálicps articulados con avenidas de fábrica.,

117. Esta:~;; la disposición más comunmente empleada en arcos imetálicos,,y todas las obras ele puentes contienen numer9sos ejem, plos de o~ras de esta clase, de los que presentamos como modelos ,en la lámina I (figmas 7, 8 y. 9), los alzados de l os püentes del !Cinca (pro'vincia de Huesca), de la Barca (Pontevedra) y de Waslhington (~ueva York). j Del pr~mero, consLnúdo para una . carretera del Estado y de 170 metros' de luz, da bastante8 detalles Oroizette-Desnoyer en su Tratado de puentes. Sólo diremos que su peso se subdiv;ide en:

l '

! i

Hierro laminado.. . . ... . . . ... .. . . . . . 229.820 Eiierro fundido . ... ... . . . ... : . . . . . . . . 117-.380

que corre~onde á un peso por metro lineal de 3.530 k ilogramos ' . ;y ele 588 por metro cuadrado. 1 i 1

118. Puente de la Barca (Pontevedra).-Este puente se encuentra len construcción, y como su proyecto es muy reciente y su autor el distinguido 1ngeniero Jefe D . Luis .A.costa, merece l,e dediqu~mos a~gunas palabras. ¡ Dicho Ingeniero ha considerado preferible la articulación ál 1 empotramiento y ta:rp.bién el empleo del hieno al del · acero. Oonsisfie el arco proyectado en dos cerchas t ubulares y ci1;' cnlares rebajadas al 1/10 de 72,00 metros de luz, sosteniendo los tramos rectos de 4m,oo de longitud cada uno por medio de mon,tantes verticales. El ancho del puente es de 7 metrns. Su peso se subdivide del modo siguiente:

" SOLUCIONES VARIAS DE ARCOS METALI COS 249 /Arco ................... . .. . 120.68Qk ( Hierro la-' Tímpano s, arriostramien 246.46Qk minado.:) tos, etc ......... . ... . : ... . 46.68Qk \ (Tablero . ............. .. ... . 78.:l.0Qk 1 Hierro fundiclo.-Barandillas, etc ................. . . 11.612k 655k Acero fundido (r ótulas de las articulaciones) ....... . TOTAL- ..••.•.•• •• ••••..••• ••••

258.727 1-

que corr esponde á un peso de 3.593k por metro lineal, es decir, de 513 k por metro superficial de tramo. Los detalles ele construcción se h an publicado por la Revista de Obras püblicas el año 1894 y honran sobremanera á nuestro compañero Sr. Acosta, pues no creemos que pueda llevarse más lejos, ni el ~usto e_squisito de los detalles de construcción, ni el escrupuloso y científico desarrollo ele los cálculos.

119. Puente de Washington (Nueva York).-En Les Nouvelles Annales de la constriiction ele Oppermann, Junio 1891, hemos encontrado la obra más notable que se ha ej ecutado de este sistema y cuyo alzado presentamos en la fig. 9 de la lámina I. Para atravesar la ría de Harlem, que separa dos de los barrios más ricos de Nueva York, era menester un gran puente de 722 metros de longitud. Abrióse un concurso por aquel municipio, presentándose multitud de proyectos, los unos proponiendo puentes colgaelos de 240 metros ele luz; otros arcos ele fábrica ó de hormigón Coignet ele 60 á 85 metros de luz cada uno; algunos proponfan el sistema Cantiléver, pero la mayor parte de los opositores proyectaron arcos inferiores de acero, cuyas luces oscilaban entre 139 y 165 metros. (Los planos ele estos proyectos figuran en el número de fa revista francesa antes expresada.) La comisión que componía el juraelo se eleciclió por esta úHi-

• 250

GRANDES -VlADUC'l10S

ma disposición, moclifi.canclo .algunos detalles, y se ha ejecutado, por .último, el puente compuesto por dos .arcos iguales al representado en la lámina I. Lo particular de esta obra es su luz, quo alcanza 155 metros. Hay, además, otro detalle que debe consignaTSe. A 'pesar ele que se ha rebajado al 1/5,5, las palizadas que unen el arco con el viaducto en tramo recto llegan ·á tener hasta cerca él.e 30 metros de altura. Con objeto él.e evitar el flanibaqe (') por compresión se han aniostrado horizontalmente por él.os cuad:i:os que red.ucen su altura libre á 10 metros. 120.

Disposición general de la tercera solución.-Aceptand.o este

sistema para nuestro emplazamiento y tomand.o los tramos iguales á los ele la solución anterior, pero apoyánd.olos sobrn el arco articulad.o que hemos calculad.o en el capítulo V, se obtiene el alzad.o que representa la fi.g. 6 de la lámina I y que con más d.etalle se rnpresenta en la lámina XXX. Con objeto u.e estucliar si pucliera convenir mocli:ficar algo la disposición clel viaducto ele fábrica proyectada en la solución anterior, hornos corrido 5m,50 hacia la margen derecha la situación ele todo ol puente, con lo quo quedan más simétricos los viaductos. Las avoniclas clol viaducto s:i constituyen entonces con clos bóvedas ele 12 metros ele luz y Jas pilas-estribos ele éstas vienen á apoyarse sobre los salmeres do los arcos metálicos. 121.

Cálculo de espesores. -Siguiendo los mismos razonamientos

y empleando las mismas fórmulas que para la bóveda de 15 me-

tros do luz, cuyas dimensiones calculamos anteriormente, obtenemos: (* ) Empico la palal,ra f'ranw,;a.jlr,111l,agc como má · propia, ¡;or no lcncr traducción exacta, pues ni alabeo ni pandeo explican hicn la lorccdura tic las barras somclidas á compresión.

SOLUCIONES V ARIAS DE ARCOS METALI0OS 251 Espesor de la bóveda : A = 12 Perronet e= 0,745 Dupuit e = 0,692 ) rl'érmino medio .. . 0,694 Gauthey e = 0,602 > Espesor uniforme e = 0,669 \ Oroizette adoptado .. .. . . om,70 Boix e= 0,763 Espesor del estribo principal en el arranque de los salmeres del arco metálico. Los datos son los siguientes: H = 16,5; s = 24.

A = 12 : e = 0,70

Obtenemos con las mismas fórmulas antes citadas los r esultados siguientes: Leveillé E= 3,84 Lesguillier E= 4,36 T . . ¡ ermmo meeli o' ..... Ingenieros rusos E = 5,65 Boix E= 5,65

I \

Adoptamos un espesor ele 5m ,50 en el arranque ele los salmeres, que aunque bastante superior á los resultados ele las fórmulas ele Leveillé no consideramos nada exagerado, pues aún es inferior al ele las fórmulas ele Boix y de los Ingenieros rusos y alemanes, si se tiene, sobre todo, en cuenta que, según Boix, este espesor debe ser el 1.1nif'orine, mientras que en nuestro viaducto damos á los paramentos 1.m talud de 1/50, por aconsejárnoslo así l~s . l;menas reglas de construcción y estética. Respecto á todas las demás dimensiones, hemos segnitlo en un todo el criterio y las reglas expuestas al ocuparnos do la.s bóvedas de 15 metros ele luz.

122 . Valoración.-Oon. estos elementos hemos cubicado y valor ado con detalle las obras de fábrica ele esta solución que produce ·el siguiente ·

GRANDES VIADUCTOS

252

PRESUPUESTO GENERAL · oE LA TERCERA SOLUCIÓN

(Arco metálico articidado con avenidas de fábri ca .)

Número de unidades.

PRECIO

IMPORTES

·- · ·- --~ ~--

Metros cúbico s.

Pts.

Cts.

Totales.

Parciales,

-- -

Art. 1. -0bras de fábrica. 0

Viadiicto de la margen derecha. 126 .640 de e:x;ca vación en Toca , ~ara cimientos á . . .... 311.560 pe raplén á ............ 834.300 mamJiostería ordinaria

4 00 2 00

506,56 023,12

hi ráulica para macizos á .. . .. . .. . .. .. .... 21 00 17.520,30 84.595 mampostería careada en paramentos de tírnpanos y muros de soste2 .960,83 nimien to á .... . , .. .... 35 00 603 .648 mampostería concertada en paramentos y bóvedas á .............. . 38 00 22.938,62 150.984 sillería basta en ángulos del estribo ele la pila estribo, en la base de la tla estribo y en los 8.452,30 rentes de la pila á . . . . 56 00 12.800 sillería recta en impostas de arranques y en . la so l era ele apoyo del 985,60 tramo á .. . . ...... . ... 77 00 133.978 sillería fina aplantillada en al'istones ele arco,

Biima y sir;iie . ....

54.987)3:J

.. _. ¡

SOLUCIONES VARIAS DE ARCOS ME'l,ALICOS 253 Número de unidades.

PRECIO

Metros cú.bicos.

IMPORTES

_..,,,..__ __

Pts.

Cts.

Parciales.

Totales.

-- -

Suma anterior . ... impostas de coronación y pretil á............. 13.360 hormigón hiclráulico en las contraroscas de las bóvedas á ............

54.987 .33¡ 86 00 33 00

11.481 ,7\ 65.909,92

449,ss 1

Viáducto de la margen izquierda. 566.890 de excavación en roca ~ara cimiento á ....... 255,700 pe raplén .............. 678.157 mampostería ordinaria hiili·,áulica para macizos a ... .............. 53.270 mampostería careada en paramento de tímpan?s .Y ml~ros de sostenllllento a ........... 440.069 mamposti=:ría concertada en macizos, par amen tos y bóvedas á ....... 98.922 sillería basta en ángu los ele muros de sostenimiento y de estribos y en la base á......... 5.600 sillería recta en la imposta de arranques y en la solera de apoyo del tramo á ........... 87,823 sillería :fina aplantillada en aristones de arco, imposta y pretiles á ...

Suma y sigue . ....

4 00 2 00

2.267,56 511,40

14.241,30

35 00

1.864,45

38 00

16.722,62

56 00

5.539,63

77 00

431,20

86 00

7 552,78

49.130,94 65.909,9.2

254

GRANDES VIADUC~r.10S

___

Número de unidades.

PRECIO ....

Melros e úbico s.

Cts.

Pls.

IMPORTES ____,...__

Parciales .

Totales .

- 1

Suma anterior . ... 6.405 hormigón hidráulico para la contrarosca á ..

-rn.130,94 65,909 ,92 33 00

211,36 49.342,30

Estribo salmer del a1·co metálico (margen derecha,) 983 .1 50 de excavación de · roca

para cimientos á ......

4 00

386.600 mampostería ordinaria

con mezcla hidráulica para macizos á ........ 21 00 356.900 mamposter~a co;11certacla para macizos a ....... . 38 00 218,40'0 sillería basta paraídem á. 5G 00 221.088 sillería fina aplantillada en paramentos á ..... . 86 00

3.932,601 8.139 ,60 \ 57.146.37 13.562, 20 12.240,40 \ 19.271 ,57

E stribo salmer del arco metálico (margen izquierda). 276.732 cle excavación en roca

para cimientos á ......

4 00

1.106,93

300.600 . mampostería ordinaria

con mezcla hidráulica para macizos á ........ 21 00 265 .275 mampo~teria, concertada para 1dem a .......... 38 00 163.232 sillería basta para ídem á. 56 00 162.153 sillería fina aplantillada en paramentos á ...... 86 00 'l'OTAL DEL ART,

1. 0

6.312,60 10.080,45 9.140,99

140.586,13

13.945,16 212.984,72

SOLUCIONES VARIAS DE ARCOS METALICOS 255 . --

••·

Número de unidades.

PHBCIO

To!'.leiadas.

...

-----

Pts.

Cts.

IMPORTES

': Totales.

Parciales.

... ..

: :

. .

121.488 de acero laminado 6 fun -

c1ido para 16s tramos con vigas de celosía á.- ·530 00 ·64.388,64 27.011 ue acero laminado para 78.704,47 las palizadas á ........ 530 00 14.315,83 '' 205.350 ídem. íd. 6 fundido para ... ' , el arco articulado· ·de 120 metros el<? luz completame·n te·termina. doá .............. .- ... ·5?0 00 1:08.835,50 18.450 de fundición, acero fondido forjado 6 lamina. (18.661,70 do y tomo para -aparatos e apoyo y amarre en los estribos· á ... 530 , 00 9.826,20

TOTAL DEL .A.RT. 2. 0 1,

Art. 3. º-Afirmado · y entarugado.

l ..

62,00 metros lineales de firme

· completamente termi- · n?'do :para las dos aven1das a ............... 4 40 126,00 metros lineales de enta~ rugado para el viaducto metálico á ......... 110 00 'l'o·r.A.L DEL .A.RT. 3. 0

197.366,17

272,801

272,80

13.860,00 13.860,00 14.132,80

Art. 4. -0bras accesorias: ·-

Cimbras para tres bóve-

- -

1 1

Art. 2. 0 -0bras metálicas.

GRANDES VIADUC'l'0,8

256

PRECIOS

' Nú'.llero '

-------

rle

unidades.

Pts.

IMPOR'fES

-l.-.-----

Parciales.

Cts.

i Totales. 1

-- -

, das de 12 metros ele luz á ................. 2500 00 Puente colgado de servi, cio entre las dos márgenes á ............... Rampas de acceso á los salmerns del aruo m etálic~ .Y al puente ele serv1c10 .............. Perforación de los ma.ci. zos para anc1aelo ele los arcos .................

7.500,00, i

6.000,00 ' 19;000,00 5 000 ,00 500,00

Resumen de la ejecución material. '

TOTAL DF) EJECUCIÓN MA.TERIAL ..... , .. Aumento elel 15 por 100 ele contrata ........... 'l'o•.rAL PRESFUESTO DE CONTRATA ...........

~9 .000,00

'roTAL D]1L ART. _4.<t

Art. 1. 0 -Obras de fábrica ................. Art. 2. 0 -Obras metá· licas ........ 1: ••• .- • • • • Art. 3.0 -Afirrqaclo y en tarugaclo .... ,......... Art. 4.0 -Obras accesor1as ......... ,.........

' 1

~12.984,72 !

1~7,366,17

~4.132,80 .19.000 ,00

443.483:69 1

'.66.522,54 1

5'10.006,23

SOLUCIONES VARIAS DE ARCOS METALICOS 257 Como se ve, el presupuesto de ejecución material de esta disposición es 61.556 pesetas más económico qu9 el de la solución anterior, obedeciendo esta reducción ele precio, no sólo al m enor coste J.el arco articrrlmb, sino, y sobre todo, á la economía de 57.771 pesetas que se ha obtenido en las obras ele fabrica ele los dos via<l.ucto.s de avenidas con sólo h aber corrido todo el puente 5m,50 hacia la margen derecha, lo que demuestra qrre en obras de . esta clase la variación más insignificante puede determinar economías sensibles en la constnwción.

§ IV.-Viaductos enteramente metálicos de pequeños tramos sobre arcos

articuh.dos (cuarta solución, adoptada). 123. Disposición general.-Por el resultado de las cubicaciones del arco articulado, que hemos calculado en el capítulo V, se observa que esta solución produce una reducción ele peso de 10 toneladas con relación al del arco empotrado, que en el último capítulo, «Conclusiones•, discutiremos y justificaremos. 'l'ambien hemos observado por la_valor ación obtenida en la solución anterior, que la sustitución cl<e los tramos ele liierro por viaductos ele fábrica determina un aumento muy sensible de coste. · Así es que no parece dudoso que la combinación más económica será la ele proyectar un viaducto enteramente metálipo, apoyándose sobr e un arco articulado, y así lo h emos hecho, según se· aprecia con detalle en la lámina XXI. Pero el estudio ele las anteriores soluciones nos induce á mocli:ficar aún la obra de fábrica en lo posible, afinando las disposiciones ,y clases de fábrica para obtener el máximo tle economía, sin perjuicio de la resistencia. Así es que aunque en apariencia las obras de fábrica proyectadas son iguales á las que estudiamos, introducimos variaciones ele 17

•:

GRANDES VIADUO'ros detalle que determinan, como luego veremos, una importante economía. En primer lugar, sustituimos los muros de acompañamiento ele la primera solución por estribos con aletas, que exigen menos volumen ele fábrica y se adaptan perfectamente á la forma clel terreno, reduciéndose también los pretiles é impostas de sillería y proyectamos los paramentos ele frentes, que eran ele mampostería concertada, por mampostería caraada, algo más económica. En segundo lugar, como el arco articulaclo sólo tiene un punto de apoyo en cada salmer, nos permite reducir el saliente ele éste, y en su consecuencia el ele los param(mtos ele estribos y la altura de éstos, eón lo que se ahorra un volumen no despreciable de fábrica. Por último, sustituimos todas las sillerías con que se habían proyectado las pilas y paramentos de estribos salmeres por hormigón hic1.Táulico, constituyendo así verdaderos monolitos ele esta clase ele fábrica; y para demostrar que este cambio no ofrece peligro alguno, calcularemos las presiones á que han de estar sometidas estas fábricas.

124.

Presiones de las fábricas.-Ya vimos al final del capí-

tulo III que las presiones mó.ximas producidas por las palizadas en las pilas son: Palizada 11.-Compresión máxima 26.100k. Siendo la base de la palizada de 53 X 50 c¡m, el trabajo de compresión sobre la pila resulta de 9k ,9 por c¡m•. Palizada 111.-Compresión máxima 39.330k, que sobre tma base de apoyo de ·50 X 73 c/m da un trabajo de 10k ,8 por c¡m. Como hemos dado además á estas pilas mayores dimensiones que las correspondientes á las chapas que sirven de base á las palizadas, aquellas compresiones máximas se repartirán sobre toda , la sección horizontal de las bases.

SOLUCIONES VARIAS DE ARCOS METALICOS

259

Así es que el trabaj o medio ele compresión á qu!=) estarán sometidas estas pilas será de 26100k - -- - = 1k,2 por c¡m~. 140 X 150 c¡m

Pila II

39230 O X 200

F ila III y IV

= 0k ,98 por cm• .

Calculemos ahora las presiones soportadas por los estribos salmeres. E l esfuerzo de compresión máximo producido por el arco articulado es de 485450k (véase el final del capítulo V), quo ·determina una presión sobre la superficie de apoyo ele la zapa.ta de fundición (que tiene 1m,30 X im,10) de

•

485450 _ k . e, 2 R = 130 X 110 - '33 '90 por tm · Si nos referimos, por último, á la base del estribo salmer más · alto, que es el de aguas arriba, margen izq LlÍerda, vemos que sobre ella actúan las siguientes compresiones máximas: Compresión máxima de la palizada . . ...... . . .. .. . Compresión .máxima del arco (que es la componente vertical de la compresión de 485450k tangente al arranque del arco) que es de .... .. .. . . . Peso de la fábrica del estribo, pesando sobre el escalón inferior, que equivale ó un volu~en de 185 metros cúbicos de fábrica, que calculamos á razón de 2500k por m5, que son ...... . . .. ... .. ....... .

39.33Qk

295.000k

462.50l)

- - -- --

La presión total en la hilada inferior es, pu es .. . . . . , .. . . • . • • • ... •. • . . •. • •

79683Qk

y teniendo esta hilada una superficie de de 4m,18 _X 2m:80 117040 c/m el esfuerzo máximo de compresión será de . R

= 796830 _ 'k 8 • e¡ 117040 - {j ' por m · 2

260

GRANDES VIADUCTOS

En resumen; de lo expuesto, las presiones máximas á que están sometidas las fábricas son: Apoyo de la palizada III sobre la pila.... . .. .:.. .. 10k ,08 por c¡rn • Base de la pila IV sobre salmer .. .......... .. . 0k ,98 Apoyo de la zapata del arco metálico ......... . 33k ,90 (•) Base del estribo más alto .................... . 6k,08

125. Resistencia de los hormigoues á la compresión.- Ya hemos estudiado en el párrafo II de este mismo capítulo la gran importancia que tiene la confección de los morteros en esta clase de obras, deduciendo la conclusión de que sólo conviene emplear morteros de cemento Portland. Veamos ahora la resistencia que ofrecen los hormigones á la compresión. Puede admitirse que, ejecu tándose estos hormigones con morteros de cemento Portland, con los que se obtiene una masa perfectamente homogénea y bien trabada, la resistencia á la compre-_ sión de la mezcla es la del elemento menos resistente de los que la constituyen: mo:r>tero y piedra. Se han hecho muchas experiencias entr e ambos elementos y consignaremos en un cuadro las presiones necesarias para aplastar diversas clases de materiales y hormigones que hemos recogido en libros y folletos.

(*) En el puente de hormigón de lnsig Kofen, construido recien temente en Alemania (véase Genie civil de 3 Abril 97), el esfuerzo de compre ión máxima á que está sometido el hormigón

alcanza 36k ,5 por c/m".

SOLUCIONES V ARIAS DE ARCOS ME'I'ALICOS

MATERIALES Y MEZCLAS

Re ·istencia al aplasl..lmiento por·c1m2.

Adobes de tierra .. . ....... Ladrillos recochos del canal de Isabel II . . . . . . . . . Ladrillos bien cocidos de Borgoña. . . . . . . . . . . . . . . . Mor ter os con cemento de Zumaya, de R ezola ('/s Ce?J-ento, 2 /:; arena) á los seis meses.. . . . . . . . . . . . . . Morteros de cemento Lastier;de J?onyeu~ de 1/ s cemento, a los seis meses... Cementos puros de Portland, á los veinte días. . . Mort er os de , . cemento de) a los ,trern- ~ ,., , Portland de ta dias. · · · ,.,Ot ª 1 k ele cernento con 3 litros de are-J , . t 1 vern na y 8 porf ªd?s e , 100 de agua.· ias · · · · · · 311 ·ª Granito de Guadarrama. . . Areniscas duras ........... 200 á

261

OBSERVACIONES

33k Experiencias de Vicat. 49k Id. de D . José Morer. 150k Id. de Olaudel.

128k )

E fi. · 1 h _ 210k \ nsayos O cia ~s e chos en Francia. 230k 1 / k . 28 En~~yos de la As~ma/ cion de Ingemeros austriacos. (Véase \ R evue technique del ~ k 25 Febrero 97). 4 -'0 1 350k Experiencias de Valdés 900k

El hormigón que proponemos se ha de ej ecutar en las proporciones empleadas en los sillares artificiales d el puerto del Musel, que nos dan excelentes resultados y son en volumen para producir un m etro cúbico de hormigón: Qm\90 de piedra machacada, de granito duro. Qm\46 de arena silícea. 200k de cemento Portland de primera calidad(·).

( ) En el ~lusel sólo se empican 185 k. de Porlland por m•.

262

GRANDES VIADUCrros

-Esta pl'Oporción ele cemento es algo superior á la ele '!s en volúmenes, generalmente recomendaela; asi es que el mortero resultante tenclrá una resistencia superior á 300k p or c¡m • y como también el granito eluro ele aquellos parajes es muy pareciclo al del Guadarrama, es seguro que la resistencia c.lel h ormigón super ará á 3QQk. Prescribimos además en el pliego ele coneliciones, que en las inmeeliaciones ele las placas e.le apoyo de palizadas, así como en toelos los paramentos, se eleve la proporción ele cemento por metro cúbico á 300k . Como la presión máxima á que está sometido el hormigón en nuestro proyecto es de 33k ,9, vemos, en definitiva, que el coeficiente de seguridad exceele con mucho de 6, que es la cifra r ec0mendada por los constructores. (Véase Gaztelu, pág. :1.8.)

126. Economía producida por el hormigón. -Para apreciar la economía que se obtiene con la sustitución del hormigón, hemos valorado toda la obra de fabrica en los dos casos, suponiendo primeramente que se constituían las pilas y los paramentos de estribos con sillerías ele clases análogas á, las ac.loJ tac.las para la primera solución, y considerando después toe.las las fábricas ele hormigón. A continuación pi·esentamos los r esúmenes de las dos valoraciones parciales obtenidas .

•

22.884,11 64.030,22

To·rA.L ................ .

24.688,36

3.833,83 4.601,32 1.402,48 1.417,13 1.073,27 804,80 809,00 2.515,91

Pesetas.

Estribos derechos con muros de acompañamiento ............... . Estribo izquierdo con ídem ....... . Pila 1.ª de sillería fina y basta .... . Pila 2.ª ídem íd .. .... . ..... ..... . . Pila 3.ª íclem íd . . ................ . Pila a' ídem íd .. . ................ . Pila l/ ídem íd .................. .. Pilas 4 y 4' ídem íd .............. . Estribo salmer de la margen derecha con sillerías fina, aplantillada, basta y hormigón en el interior (véase lámina XXI) .... .... . Estribo salmer de la margen izquierda con sillerías, etc ........ .

PARTES DE LA OBRA

'J.'OTAL .•• , ••• , •• •• _.,, ••

Estribo derecho con aletas..... . . . . Estribo izquierdo con ídem ....... . Pila 1. ª de hormigón .......... • • .. Pila 2,ª ídem íd ... ......... ..... . . Pila 3." Íllem íd ... ..... .......... . Pila a' ídem íd ................... . Pila b5 ídem íd ....... . ...... .... . Pilas 4- y L.!:' ídem íd ....... ... .... . Estribo salmer de la margen dered1a, todo de hormigón . .. ..... .. . Estribo salmer de la margen izquierda, todo de honµigón ...... .

PARTES UE LA OBRA

34.503,70

~ 12.498,89

m C)J

o o

t-1

P>-

12.551,0ó

ti:j

t:J

m <l

oH o

3,547,47 2,509,29 471,34 485,98 571,25 436,62 440,82 993,04

Pesetas.

GRANDES VIADUC'I'OS

264-

Comparaua la valoración de 64.030,22 pesetas con la de 71.931,22 pesetas u.e las obras de fábrica de la primera solución, se ve que sólo por el hecho de sustituirse el arco empotrado por el articulado y de reducirse el vuelo ele los salmeres se economizan 7.901 pesetas. Y si ahora sustituimos las sillerías u.e pilas y sal:qieres por hormigones se reu.uce el presupuesto casi á la mitad, obteniéndose una economía de cerca de 30.000 pesetas. No caben, pues, vacilaciones y proyectamos definitivamente con hormigón todas las pilas y salmeres, que constituirán asi verdaderos monolitos, sin perjuicio alguno para el aspecto ni para la resistencia de la obra, pues que con el hormigón pueden obtenerse con gran perfección todas las molduras que se hubiesen h echo en la sillería y que, por otra parte, ya demostramos que las presiones que han de sufrir los hormigones, son muy inferiores á su resistencia. Con todas estas modificaciones, el p'resupuesto general de esta solución se reduce á lo siguiente: Pesetas.

Art. 1. -0bras de fábric~.... .... . ............. 34.505,70 \ Tramos y palizauas (igual á los u.o la Art ~ o \ primera solución)... . . . . . . . . . . . . . . . . 118.262,61 · "'· . ( Arco articulado (igual al de la segunda solución). . .. . .. ..................... 118.661,70 Art. 3.0 -A:6.rmado y entarugado (igual al de la primera solución). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.835,20 Art. 4. 0 -0bras accesorias (íuem íJ..). . .. ...... . . . 11.30ll,00 (*) 0

302.565,21 45.384,78 CONTRATA., •. -3-4.,...7-_...,,.9_4_:)_,9_9__

'I'OTAL DE EJECUCIÓN MATERIAL , .. , . •

A u mento del 15 por 10) u.e contrata ............ TOTAL PRESUPUESTO DE

---:--:::-::-=-:-'-::-::c--

(* ) Hemos, sin emhaq;o, reducido á 300 pe ·eta· la partida de 800 pesetas r¡uc lmhía1o os ca lcu lado en 1a primera soluoión para períoracioncs de los macizos, para am· lado de los ,,reos y amarre de la· palizadas, porque, en prin1e r lérmino, con el arco articu lado sólo hay dos Liranles de anclado para cada :1poyo en lu gar ele cuatro que necesita el arco e111polrado, y acle111;'1s porque ejecutándose co n hormigón hiáráulico esto · .ipoyo,, es mutho rná · l'ácil clej:1r en ellos al 111oldear, el hu eco nece ·:1rio para dichos tirante·.

ROLUCIONES-VARIAS DE ARCOS ME'I'ALIOOS 265 Reducido ya á estas cifras el presupuesto de la .obra, vamos á demostrar ahora que de todas las soluciones que puedan adop tarse ha ele ser ésta la más económica.

QUINTA SOLUCIÓN

§ V.-Viaductos metálicos de grandes tramos sobre arcos.articulados,

tipo Eiffel. 127. Merced á la popularidad alcanzada por Eiffel con sus dos graneles viaductos ele Porto y de Garabit, el sistema empleado en estas dos graneles obras parece ser el más conocido, y se h an publicado con profusión extraordinaria todos los detalles de cálculo y ejecució n que los concier nen. Así es que sólo necesitamos clecir a]gunas palabras y representar en las figuras 11 y 12 de la lámina I los alzados ele estas clos obras características. 128. Puente de Oporto sobre el Duero.-En los números ele Septiembre y Octubre del Boletín de la Sociedcid de Ingenieros franceses se ha pubJicado la Memoria de este puente con todos sus planos y cálculos. Dicho trabajo ha sido escrito por el conocido Ingeniero T. Seyrig, entonces empleado en la casa Eiffel. En la lámina OXXVlII de aquella Revista se presentan los alzados ele los siete proyectos que tomaron parte en el concurso abiert!) por el Gobierno portugués. Allí h ay arcos de formas diversas, vigas rectas ele SSm ele luz, bowstrings invertidos de 120 á 150 metros. Se dió la preferencia al presentado por la casa E iffel, quo ejecutó las obras con gran éxito en los años 1876 y 1877.

266

GRANDES VIADUO'J.10S

Los pesos del arco y del tablero y pilas que sobre él ·e apoyan son los siguientes: Ar~os ... .. .. . ......... . T ímpanos ... ........ . .. . 'l'ablero ... ............ . TOTAL • ... • • . . . . . .

700 toneladas. 40 220 960

que, clivicliclo por 160 ele luz, da un peso por metro lineal ele 6.000 kilogramos.

129 . Viaducto de Garabit.-Para atravesar el valle de la Truyere, el primer trazado clel ferrocarril ele Marvejols á Neussargues, necesitaba un gran desarrollo con fuertes pendientes y rampas. El Ingeniero M. Boyer estudió el paso de este valle á una altura ele 110 metros, proyectando un gran viaducto sistema Eiffel, y á pesar de hab er costado esta obra 3.250.000 francos, aún se economizaron bastantes millones sobre el proyecto primitivo, evitándose además los inconvenientes y gastos que á la explotación hubiera originn.do el aumento de longitud y las fuertes pendientes del primer· trazado. A pesar de su importancia no se lúzo esta obra por concurso, contratándola directamente el Gobierno francés por tanto alzado con M. Eiffel en 3.100.000 francos. La disposición general e: la misma que la adoptada · en el puente ele Oporto; la luz aumenta en 5 metros, la flecha también e::; mayor, alcanzando un rebajamiento ele

d·9 . Los tramos del '

viaducto, que tiene una longitud total ele 448 metros, se prolongan en casi toda su longitud. con la misma altura. Por fin, el tablero es intermedio, lo que da mtís estabilidad en ca::;o de violentos huracanes.

SOLUCIONES VARIAS DE ARCOS METÁLICOS

267

El peso es aún más considerable que en Oporto, pues la parte central que se'apoya sobre el arco parabólico pesa: Arco . ...... . . ... ........... . 1.200 toneladas. 170 'l'ablero central y pilas ...... . 280 Dos tramos de 51 m,80 ....... . . To TAL •••••.

.•• ••

-------1.650

que por metro lineal para el espacio salvado 177m,72, da un peso ele 9.300k. También es de hierro dulce con un coeficiente máximo de trabajo ele 6k por m/m". Daremos algunos más datos de pesos que luego ut ilizaremos para el cálculo de nuestra quinta solución(*). Las sobrecargas ele cálculo han siclo, por termino meclio, de 4.800k por metro lineal. El peso propio (incluyendo la vía) de los tramos de 51m,so y 55m,50 de luz es de 3.40ük por metro liaeal. Los pesos de las pilas y cargas que resisten son los siguientes:

Número de las pilas.

Peso de la Peso del tablero sobrecarga Peso g~'opio Peso total que resiste móvil que sobre ella la pila. entre bases. se apoya . la pila. que ,Lctúa. Altura

. Pilamí.m.1. .. 24m,oo 209 .224 1{ 259 .200k

62.816k

531t

Idem id. 2 . ... 36m,oo 190.212k 266 .400k

!J4.367k

550t

Iclem íd. 3 ... . 51m,oo 190.212k 266.400k 133.275k

60Qt

Idem. íd. 4 y 5. 60m,oo 227.740k 259.2QQk 158.447k

645t

Idem sobre arco ........ 12m,oo 109.2Q(Jk 182.20Qk

38.871k

330'·

(*) Estos datos se 11a11 deducido del tomo de Julio ele 1888 de las Memorias de la Socieda•l de Ingenieros civiles jlanceses, en el que M. Ei!Tel publicó con clelallc Loclós los cálcu lo:< y

dibujos ele esta obra notable.

268

GRANDES VIADUO'l'OS

130. Disposición general de la quinta solución.-Oon arreglo á estas disposiciones hemos diseñado en la :6.g. 13 de la lámina I el alzado de nuestra quinta solución. La luz más conveniente para el arco es la ele 100 metros. La distribución de los tramos del viaducto es de dos puentes independientes ele tres -tramos cada uno de 25 metros los extremos y 30 1metros el central. La altura cle las pilas es de 37 metros para las grandes y 10 metros para las pequeñas. E l arco tiene la misma forma y análogas proporciones que el de Garabit, y su flecha, que es ele 1/ , de la luz, está comprendida entre las de los viaductos de Oporto ( 3~7 ) y Garabit ( 2\-) ·

131. Tramos.- Vamos á calcular el costo aproximado de esta solución. Admitiendo el mismo ancho ele tablero y la misma Jisposición de la calzada, podemos calcular el peso del tablero con luces de 25 y 30 metros, comparándolo con el obtenido para los tramos ·de 6 á 10 metros de luz de las soluciones anteriores. Como hemos visto en el capítulo II de este Estudio, los 180 metros de tramos pesaban 173.437k , es decir, 963k por metro lineal. Si adoptamos las fórmulas de peso de Orois~tte Desnoyers (que nos parecen las más justificadas) observamos que, según sus tablas, el peso de metro superficial de tablero para puentes de canetera es de 121.k para luces de 10 metros 226k 30

Puedo admitirse con suficiente aproximación q'u e los pesos

SOLUCIONES VAEIAS DE ARCOS METALICOS 269 de los tramos de esta solución, estarán con los ele las primeras en la misma proporción, puesto que es la proporción de las luces. Luego el peso V por metro lineal de tramo de la quinta solución puede calcularse por medio de la expresión

. 121

963

226

de donde p = 1.798k por metro lineal. El tablero de 160 metros de la quinta solución pesar á, pues: 160 X 1.798

287.68()k.

132. Pilas.-Las pilas tenclrán qne 1~esistir al peso propio de los t ramos que acabamos de calcular, al peso de la calzada, á la sobrecarga máxima de pr ueba y á su peso propio. Los tres primeros elementos dan t-ina ·carga por metro lineal ele

Calzada á razón de 400k por m • en 6 metros de ancho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.400 1{ por metro lineal. Sobrecarga de 300k por m" (es la más importante).............. .......... 1.800k Peso propio del tramo. .......... ...... 1.798k TOTAL ... , .. , • , . • . . • • . . . . • • .

5.998k

Nuestra pila mayor t iene 37 .metros de altura, que es próxi- · mamen te la de la pila núm. 2 del viaducto de Garabit, y para calcular su peso aproximado, admitiremos la hipótesis de que dos pilas metálicas de idéntico sistema é igual altura deben tener pesos p:roporcionales á las cargas que han de resistir . Si, pues, la pila núm. 2 de Garabit, con un peso propio de 94 toneladas, está calculada, según se observa en el cuadro anterior, para una carga de 550 toneladas, puede calcularse el peso que deberá tener la nuestra. En efecto; ésta ha de resistir la carga conospon<liente á 28 mé-

GRANDES VIADUO'J~08

270

tros de tramos, que acabamos de ver producen una carga de 6.0001- por metro lineal, es decir, 168 toneladas, más el peso propio de la pila que llamaremos 1t; luego tendremos: 94 550

168

de donde 1t = 34,6 toneladas. Por igual procedimiento calcularemos la pila sobre arco de nuestra solución, que tiene próximamente la misma altura (l 1 metros) que la del viaducto de Garabit, que con un peso de 39 toneladas resiste una carga de 330. Tendremos, pues, llamando 1t' al peso de nuestra pila sobre arco: 7t '

168 de donde

7t'

1 -

39 330

22,5 toneladas.

133. Arco.-Sobre el arco actúan el peso de 80 metros de tablero, que á razón de 6.000k por metro lineal son 480 toneladas; el peso de la dos pilas pequeñas 2 ,.' = 45 toneladas y el peso propio del arco que llamaremos P . Procederemos del mismo modo que para las pilas, deduciendo· este p eso del que ha resultado para el viaducto de Garabit. Los pesos propios y sobrec~rgas que actúan sobre el arco de este último viaducto se calculan del siguiente modo: Peso propio de dos medios tramos de 51m,80 á razón de .... 3,400k por m. l. (•) Sobrecarga de prueba sobre estos mismos tramos á razón de. 3.900k por m. l.

Suma........ (3.400 + 3.900) X 51 m,80 =

378t ,140

(*J Eslas cifras se han cleducicio de la Memoria de Eiffel antes citada.-Meinoires de la So• cieté des Ingenieurs civils, Julio 1888, pág. '115.

SOLUCIONES VARIAS DE ARCOS ME'l'ALICOS 271 Suma anterior. . (3.400 + 3.900) X 51 m,S0 =

378t ,140

Peso propio de l os tramos centrales (24m,64 X 3) = 73m,92 á razón de . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.900k por m . l. ·sobrecarga de prueba sobre estos mismos tramos á razón de. 4.500k por m. l. 547t ,008 (2.900 + 4.500) X 73 m,92 = Peso pr opio de las dos pilas centrales á razón de 77 t ,542 38.871~una ................. .- ..... . .. . . . .. ... = · P eso propio del arco ....... .. . . .. .. .. . ... . .. . .. .. . 1.055t ,054

Suma... . .. ..

Peso total qtie actúa sobre el arco .. .. .. . .. .. .

2.057t _,944

Suponienclo, pues, que los pesos de dos arcos metálicos semejantes sean proporcionales á las cargas que tienen que resistir, lo que no puede separarse mu cho de la verdad, tendremos:

p 480 + 45 + P

1055 2058

de donde P = 552 toneladas. Ahora bien; Eiffel- calculó un arco, que era de hierro, á razón de 6k por 111 /m", y ya hemos visto que nosotros aclmitimos para el ;acero un trabajo ele Sk; podemos, pues, suponer también que con ello se reduciría el peso de nuestro arco en la misma proporción, . á 552 X 6 = 426 tone1acl as. es el emr, 8

134. Fábricas.-Hemos también -p l'oyectaclo los estribos de esta solución, empleando las clases ele fábricas corrientés, si'bien r educiendo el empleo de la sillería á los elementos inclispensables; inútil nos parece presentar sus planos y cubicaciones, con lo que se alar garía inútilmente este trabajo, clebienclo añadiT que análogam ente á lo hech o en el viaducto ele Garabit hemos aligerado los estribos por medio de bóvedas.

272

GRANDES VIADUCTOS

135. Valoración.-Nos limitamos, pues, á presentar el r esumen de la valoración general, que con estos datos produce la quinta solución:

PRESUPUESTO GENERAL DE

LA.

QUINTA

SOLUCIÓN (TIPO EIFFEL)

- ---~

IMPORTES

Parciales.

Totales.

Pesetas .

Pesetas.

Art. 1. 0 -0bras de fábrica.

Estribo de los tramos en la margen izquierda ............... . ............ 18.7B2,00 Idem íd. íd. derecha ...... ... ........ .. 3.351,00 Estribo del arco ídem izquierela........ 102.845,00 Idem íel. íd. derecha ........... .. ...... 21.427,00 hrPORTA. EL A.RT .

1. 0 • • • • • • • • •

146.355,00

. •

Art. 2. - 0bras metálicas. 287.680 toneladas de acero para l os tramos á 530 pesetas... ....... ... ... . .. 152.470,40 114.200 toneladas ele acero para las cuatro pilas á 530 pesetas ............... 60.526,00 426.000 'toneladas para ·el arco de 100 metros ele luz á 530 pesetas .......... 225.780,00 IMPORTA. EL A.RT . 2.0 • • • • • • • • • • • 438.776,40 0 Art. 3. - Aflrmado y entarugado. 162 m . l. de ehtarugado á 110 pesetas ... 18 m. l. de afirmado á 4,40 peseta8 ... lliPORTA. EL ART.

17.820,00 79,00

3.º .... .. .....

17.879,20

Art. 4. - 0bras accesorJas. Iguales pa,rtidas que para la solución anterior ............................

11.300,00

TOTAL DE EJECUCIÓN MATERIAL •••

614.310,60

Aumento del 15 por 100 de contrata ... TO'l'AL PRESUPUESTO DE CONTRATA •••

91.646,59 705.957,19

SOLUCIONES VARIAS DE ARCOS METALICOS

273

SEXTA SOLUCIÓN

§ VI.-V iaductos metálicos de grandes tramos sobre arcos

empotrados, tipo suizo. Como modelos de esta categorfa de puentes podemos presentar l os viaductos de Kirchenfekl y ele Paelerno (figuras 14 y 15 de la lámina I).

136. Viaducto de Kirchenfeld .- Este viaducto, terminado el año 1883 y construido por el Ingeniero M. Probst, que como hemos dicho, ha sido el promovedor de la reacción en favor de los arcos empotrados, enlaza uno de los nuevos barrios de Berna, con la parte antigua de la capital suiza. El viaducto, que es de hierro en todas sus partes, se compone ~e dos arcos de circulo, rebajados al t/s y de 55 metros de ej e á eje. El p eso total para una longitud de 229 metros es de 1.344 toneladas y siendo el ancho de 13m120, resulta un peso por metro superficial de 444 k ilogramos. Se han observado en esta obra graneles oscilaciones en los tramos cuando pasan vehícul os cargados con cierta velocidad y hasta se llegó á temer por su seguridad. Desde luego se cometió un gran error al proyectarla, confesado por el mismo Ingeniero M. Probst; no se dió talud á l os arcos ni á l as pilas y además los arriostramientos se constituyeron con caj ones con paredes de celosías planas, sistema que, aunque preconizado por Eiffel, es muy elástico y falto de r igidez. Hoy día se están sustituyendo estos arriostramientos por fuer tes barras en 1 1 de cabeza redondeada, parecidos á grandes caniles Vignole, y con ello se espera quitar al puente gran parte de sus movimientos, si bien hubiera sido mucho mejor construirlo con el talud que se recomienda siempre adoptar y que el mismo M. Probst dió á todos sus demás viaductos. 18

274

GRANDES VIADUCTOS

137. Viaducto de Paderno.-Para evitar un muy largo rodeo, en el ferrocarril ele Ponte de San Pietro á Seregno, era menester pasará gran altura sobre el valle del río Adda. Se formularon numerosos proyectos de fábrica y de tramos rectos por los Ingenieros del Gobierno y de la Compañía, habiéndose por fin aceptado el presentado por la fábrica de Savigliano, cel'Ca de Turín. Dicho proyecto, cuyo alzado ·e presenta en la :fig. 15, lámina I, fué redactado por el Ingeniero de aquella fábrica Sr. Rothlisberger, que había sido colaborador de M. Prnbst, en la formación de los proyectos ele arcos empotrados que describimos en el párrafo I de este capítulo. En los años 1887 y 1888 se ejecutaron las obras de fábrica y metálicas de este imponente viaducto, cuyos detalles pueden verse en las Revistas siguientes: 1l Politecn'ico, Mayo y Junio 1889. Nouvelles annales de la construction de Opperman, Agosto 1888 )' Diciembre 1889. Sólo diremo. que el arco se montó sobre una gran cimbra ele madera y que el tramo da paso, no sólo á una vía férrea, sino á la carretera provincial de Come á Bei·gamo. Las sobrecargas de prueba fueron de 3,9 toneladas por metro lineal para el tablero de la canetera, de 5,10 toneladas para la vía férrea. El trabaj o del hierro fué de 6 kilogramos para arcos, vigas y largueros, y de 5 kilogramos para las celosías. El resultado de las pruebas fué excelente. El peso se distribuye del modo siguiente: Arcos con arriostramiento . . .. . .... . 1.320 toneladas. Tablero, incluso zorés de piso . . ... . . 950 P ilas . .. . . ... .. .... .... ... ... . . .. . . 245 Apoyos de acero de arcos y tramos .. 110 To~'AL . ... ...... ... ... .

2.625

✓

SOLUCIONES VARIAS DE ARCOS :METALICóS 2715

138. Aceptando un término medio, entre las disposiciones empleadas en· los dos puentes que acabamos de describir, hemos clisenado en la fig . J.6 la sexta solución, que puede adoptarse para nuestro viaducto. La luz del arco resulta de 100 metros, su flecha de 3J, es decir, poco menos del 1/ , . E l viaducto se divide, como en la soluéión anterior, en dos trozos de tres tramos cada uno de 25 metros los extremos y 30 metros el tramo central. Dos pequenas pilas metálicas apoyan sobre los riñones del arco. Dos grandes pilas de 30 metros descansan sobre los estribos ele fábrica clel arco. Siguiendo los mismos procedimientos que hemos explicado para la solución anterior, y que resulta inútil ya detallar, hemos deducielo el peso ele las pilas y del arco, _por analogía con las de los pesos de los _m ismos elementos en los puentes de Kirchenfeld y Paderno, y asimismo hemos valorado las obras ele fábrica que h an ele servi.i·le d :i apoyo. El presupuesto de ej ecución material resultante ha siclo de 653.561 pesetas, algo superior al ele la solución anterior, á causa del mayor volumen de los estribos salmeres del arco empotrado. ~

VII.-Viaductos metálicos de grandes tramos sobre arcos articulados, tipo Seyrig .

139. Puente de Trezzo sobre el Adda. -Se construyó el puente repr~sentado por la fig . J 7 de la lámina I para b carretera provincial de Milano-Monza-'l'rezzo-Bergamo al atravesar el río Adda, sobre el que hemos visto que se ha ejecutado también el viaducto ele Paelerno. Consta, como se ve, ele un arco circular ele 62 metros de luz y 26 metros de flecha, cuyas articulaciones extremas están algo disimuladas por las bases ele las pilas metálicas. El piso tiene 7 metros de ancho, de los cuales 5m ,5 son firme sobre palastro ondulado. Los andenes son .de chapa estriada.

¡,

I! 11 li 1

1,. 1,

271:5

GRANDES VIADUCTOS

Las obras empezaron en Abril de 1884 y terminaron en Septiembre de 1886. El costo de todo el puente se subdividió del modo siguiente:

430 to~eladas de hierro laminado y fun dido á 560 liras .. . . . . . ... ........ . . . . 240.000 liras. Obras de fábrica .. . .. .. ... . . . . .. . . ..... . 70.0()0 Madera . . . .... . . . .. ·.. ... .... . . . ....... . l5.ooo TO'L'AL. · • · · · · · · · ··· · ··

325.000

En la Revista 1l Politecnico, año 1896, pág. 619, se critica mucho la disposición empleada en esta obra, poniendo muy de manifiesto su peso con iclerable con relación al ele otros puentes en arco. 140.

Puente de Don Luis en Oporto.-Para comunicar las dos már-

genes escarpadas del Dtnro, en que están establecidos los 150.000 habitantes de Oporto, sólo existía un antigno puente colgado que se •precisaba reemplazar. El Gobierno abrió un concurso entre los constructores, presentándose once proyectos completos de las fábricas más reputadas. En el número de Enero de 1886 del Boletín de la Sociedad ele ln,c;enieros civiles fran ceses, en el que el autor del proyecto escogielo, M. '11• Seyrig, describe su obra y los procedimiento.. em-· pleados para el montaje, so presentan los a,lzados de todos los proyectos. Sorprende desde luego la originalidad de concepción de algunos fabricante ~, y en algunos de los proyectos el desprecio absoluto del efecto estético. No es extraño que se eligiera el proyecto representado por la :6.g. 18 ele la Limina I, que, como se ve, consis te en un gran arco parabólico e.le 172m ,50 e.le 1uz. Aunque en apariencia este arco está empotrado, sólo se apoya

SOLUCIONES V ARIAS DE ARCOS METALIOOS

277

en la pila sobre dos rótulas ele acero situarlas en los extremos del arco ele intradós. Este arco so -tiene dos tableros para dos carreteras. El tablero superior se apoya en pilas metálicas y por medio de palizadas muy sencillas en un plano sobre los rinones del arco. La parte central de este tablero se confunde con el arco. El tablero inferior, dividido en cinco tramos, está colgado del arco por m edio de cuatro luertes varillas de suspensión, pasando la carretera por una gran puerta abierta en el cuerpo de fábrica de las dos pilas. Este pue1;1te, construíd.o de 1883 á 1885 por la fábrica belga ele Valentín y Oompafiía (Willcbroeck), fué montado con gran facilidad. sin cimbras. El autor del proyecto, que dirigió tambien las operaciones d e montaje, M. Seyi'ig, lamenta que no se hubier a permitido entonces el empleo clel acero, que consideraba ind.icaclísimo para el caso y que hubiera permitido una economía ele 30 á 40 por 100 en el peso clel arco. No hemos pocliclo obtener los pesos ele esta obra, lo que nos impide formar jtúcio sobre las v entajas de la disposición empleada con relación á lo..: demás sistema.· conocidos; lo único que sabemos es que costó cerca de u.os millones de francos .

141.-SÉPTil[A SOLUCIÓN

Aunque nmguna ele las dos obras que acabamos de examinar presenb:Ln satisfactor io aspecto, hornos tratau.o de d.isefiar en la :figma 19 de la lámina I la solución que resultaría para el viaducto de Pino, de adoptarse el arco articulado ele gran flecha sin aceptar la f9rma de m edia luna: del sistema Eiffel. A la Yista nos Slltisfacc bastan to menos qne los demás sistemas ele arcos. Entendemos que debe disimularse el sistema. Desde el momento en que 1-;e pre.fiero la articulación, debe ésta acu-

278

GRANDES VIADUCTOS

sarse con franqueza, como lo ha hecho Eiffel en sus do · viaductos. El presupuesto aproximado que hemos calculado de esta séptima solución por el procedimiento ya explicado, resulta ser de 635.432 pesetas, comprendido entr e l os de las dos soluciones anenores.

CAPÍTULO VII SOL UCIONES DIVERSAS DE VIADUC'ros

I.-Octava solución.--Viaductos completamente de fábrica.

142. Obras construidas de este ti po.-Dacla la abundancia ele piedra que hay en las inmediacio nes del viaducto que se trata de proyectar, poclría parecer natural aprovechar este materi~l para construir toda la obra con fábrica ele granito, que es la piedra por excelencia para esta clase de _c onstrucciones. Ni la altura de 90 metros á que ha de estar la ra.sante, ni la longitud ele 190 metros que t iene el viaducto, serían obstáculos para ello, pues con análogas dimensiones se han ej ecutado los viaductos ele Goelzscht!, al y Roquefavour, cuyos alzados r epresentamos en las figuras l y 2 ele la lámina II. Así es que, aunque comprendiendo desde luego que un viaducto ele fabrica habría ele pr oducir un presupuesto muy superior al .ele cualquiera ele las oluciones metálicas estudiadas, h emos querido hacer un anteproyecto con esta disposición que nos permit iera apreciar el anmento de coste que habría ele ocasionar el exclusivo empleo ele la piedra. En la lámina XXXI ::;e representa el alzado y secciones de este anteproyecto.

280

GRANDES VIA DUOTOS

143. Disposición general de la octava solución.-Oomparanclo su alzado, que también representamos en la hímina II, fig. 3, con los dos viaductos ele Goelzschthal y Roquafavour, únicas obras ele fábrica, que conozcamos, que alcancen alturas de 80 metros, se observa desde luego, que las proporciones generales ele nuestro proyecto sólo tienen las indispensables dimensiones para su estabilidad. Con objeto ele bien asegurar la cimentación en seco de las pilas, se precisa que las centrales estén separadas unos 40 metros. Como en la margen izquierda sobre toelo, la parte inferior de la laclera está cubierta ele gruesos bloques, desprenclielos ele los cantiles, es seguro que será necesario la excavación que S3 proyecta en la pila izquiercla, para encontrar el terreno firme, obteniéndose así para las dos centrales la fundación en roca que es menester para aguantar la muy considerable presión que en los cimientos ha ele ej ercer el peso de toelo el viaducto. La gran velocidad que alcanza la corriente del Duero en sus avenidas, obliga á cons1lruir estas pilas con dos tajamares que aminoren el choque impulsivo ele las aguas, y h emos prolongado estos tajamares hasta una altura de dos metros por encima del nivel de la crecida más extraordinaria que se ha conocido en toela aquella región ocurrida en 4 ele Diciembre ele 1860. Sobre estas dos tajamares se elevan en 59 metros ele altura los fustes ele las clos pilas centrales, á las que hemos dado 4 metros de espesor en la coronación y 6m)50 en la, imposta de las taj amares, lo que produce un talud en el sentido normal al río ele

, es decir, ele 0,02, que es el que conviene dar á, esta clase

de obras. (Véase Oroizette-Desnoyers, pág. 110, tomo II.) Observando la sección trasversal de la obra, se ve que los espesores antes indicados, se han dado solamente en un ancho ele seis metros, que es el ancho que damos á, las bóvedas. Pero con objeto de asegurar la estabilidad transversal ele estas pilas, ,·e pro-

SOLUCIONES DIVERSAS DE VIADUCI'OS

2R1

yectan dos contrafuertes con talud de 1 por 20 (0,05 por metro) , que es también el acostumbrado, según el autor antes citado. P ara completar á su vez la estabilidad lateral ele estas pi las, tan extraordinariamente altas, se precisa ade m{1s establecer un piso inferior ele bóvedas, análogamente á lo que se hace en todos los viaductos que pasan de 50 metros ele altura y volteamos, por consiguiente, un arco ele 38 metros entre las dos pilas centrales y dos arcos laterales ele 1Sm,50 que nos permite llegar casi á las· laderas. En el piso superior, la bóveda central tíene 40 111 de luz y 20 metros las cinco bóvedas later ales que se n ece8itan para cubrir el vano que queda. Las pilas laterales, que tienen m enor altura y deben r esistir á presiones equilibradas, no necesitan tanto espesor, razón por la que lo hemos reducido á 1 m ,50 en la imposta de coronación, con los mismos talucles, transversal y lateral que hemos dado á las pilas centrales, pero con contrafuerte~ más delgados. Con objeto ele disminuir la desigualdad ele presiones qú.e ha ele producirse en las pilas centrales, á causa de la diferente hrn que tienen las bóvedas que sobro ellas se apoyan, se han aligerado los tímpanos ele los arcos centra}es, con dobles arcos ele cuatro metros ele luz cada lado, disposición reciente y empleacla c_on éxito en varias obras del extranj ero (puentes de Lavaur, Antoinet te et Castelet, CL'Oizette-D esnoyer s, pág. 534, tomo III y Annales ele la constru ction ele Oppermann, Mayo 1877). Se obtiene así, además, una sensible r educción ele la carga sobro las pilas, á la par que producen estos alip;eramientos una sensación ele ligereza que contribuye á su mejor aspecto. 144. Di mt nsiones.-Aunque tratándose naJa más que ele un anteproyecto, no h emos calculado con detenimiento las dimensiones ele las diferentes partes de esta obra, las que hemos adoptado pueden fácilment e justificarse.

282

GRANDES VIADUCTOS

Para el arco de 40, las. fórmulas más conocidas del esvesor de la clave clan los siguientes resultados, siendo A la luz:

= 0,325 + 0,035 A

Perronet

Dupuit

e= 0,20 V'Y-

Oroizette Desnoyers

= 0,15 + 0,15 V

= 1m,72 = 1m,27 2 R- = 1m ,10

1-i emos adoptado 1 m,25, que consideramos suficiente, pudiendo citar dos puentes de mayor luz que con menos espesor, reunen condiciones perfectas ·de resistencia; el puente ele Ponty-Priclcl sobre el río Taff, tiene 42m,70 de luz y un espesor en la clave ele 0,91; el puente de Oabin J ohn (Estados Unidos), sólo tiene 1m,17 de espesor para una lu~ de 67 111,etros; ambos puentes están rebajados al¼ Aunque para estos puentes de graneles luces se suele aumentar hasta e} doble el espesor ele la bóveda en los rÍJ.'lones, creemos que con 1m,90 bastará, tanto más, cuanto que desde estos ri:i'lones la bóveda se confunde con el macizo de la pila. Para el arco central inferior, que tiene 38 metros de luz, hemos reducido á 1 m ,20 y 1 m ,80 los espe ores en la clave y riñones. Para las bóvedas laterales ele 18m,50 y 20m,00 de luz, se ha adoptado un espesor uniforme de 1 m ,00, que hemos empleado con éxito en varios puentes construíclos en la provincia ele Ovieelo. Por último, para los arcos 'de aligeramiento de 4m,00 de luz, el e ·pesor constante ele la bóveda se reduc.e á 0m,5CJ. 'J.1odas estas bóvedas tienen un ancho uniforme ele Gm,00 y ::;e apoyan sobre estribos de sillería de un metro ele espesor, que continúan también con el mismo ancho ele 6 metrns, pero con taludes paralelos á los de las pilas, que ya hemos visto que son de 1 por 50. En cuanto á las dimensiones transversales y laterales de las pila. , ya hemos dicho que se han adoptado las mínimas que tienen las obras similares clel extranjero, pues un cálculo completo

SOLUCIONES DIVERSAS DE VIADUO'l'OS

283

de la estabilidad de la obra, hubiera sido muy largo é inútil, tratándose, como en el caso presente se trata, de ob-tener un avance ele presupuesto. 145. Clases de materiales.-Ya hemos dicho que la piedra de que se pu ede disponer es granito, de gran r esistencia. Empleamos la sillocía aplantillada para los tajamares y sombreretes ele las pilas, bóvedas de todos los are os, imposta ele coronación y pretil. Se proyecta la sillería recta para los paramentos ele las pilas en un espesor de un metro, las impostas del piso inferior y de los arcos; por último, la sillería basta para el relleno ele la hilada ele la imposta ele las pilas centrales, á la altura ele los sombreretes y para un segnnelo metro ele espesór en la parte ele las pilas que corresponden al ancho de los estribos de las bóvedas. El relleno de las pilas, los tímpanos de los arcos y los muros, • se proyectan de mampostería concertada. 146. Ornamentación.-En una obra ele proporciones tan grandes, sería ele mal efecto emplear una ornamentación delicada. Es á, todas luces preferible y más económico dej ará la obra :u aspecto de robustez, acti:sando no más que los salientes de los contrafuertes y el resal to ele los arcos, que son las partes resistentes del conjunto. Sencillas imposta· de sillería recta, rompen la excesiva uniformielad de las líneas verticales; para armonizar las de los arcos laterales con las bóveelas centrales de distinta luz, hemos proyectado en estos un modillón, que puede considerarse como ar chivolta, y que se desvía horizontalmente á la altura de los rifl.ones del arco central que coincide con la imposta de los arcos laterales. Dejando además aberrugaclos los ángulos de los contrafuertes ele las pilas, se acusará aún más el relieve ele estas líneas, obteniénJose con el conjunto una impresión de solidez en los elementos resistentes y de ligereza en las partes · ecundaria:..

284 147.

GRANDES VIADUCTOS Valoración .-Cubicada esta obra por meclio ele un dibuj o

en escala ele t/, 00 que creemos ínútil reproducir, pues hemos seguido para los detalles el criterio ele los proyectos ele la primera segunda y tercera solución (láminas XXIX y XXX), y aplicando los mismos precios ya cal culados, nos resulta la siguiente valoración:

VALORACION DE LA OCTAVA SOLUCION . PUENTE VIADUCTO DE FÁBRICA

Número de unidades.

Precios de las unidades.

lmporle · parciale s .

~Ietros cúbicos .

Peseta.a.

Pesetns.

•

Art. !.º -Obras de fábrica.

4.744,00 de e~cavac~ón en roca para ci6.59 ] ,54 6.568,50 3, "'.(.\J':l)\.I\J '"\,f rir10.309,65 142,50

m1entos a . ... . .... . .. . ...... sillería aplantillada á .. .. ..... ídem recta á . ..... .. ... .... ... ídem desbastada á. . ...... .. ... mampostería concertada á .. . .. hormigón hidráulico ...... . . ..

4,00 86,00 77,00 56,0 0 38,00 33, 00

'18.9,6,00 566.87:.' ,44 505.774.50 179.424 00 39 1.766.70 4.702,50

2G.816,19 T OTAL DEL ART .

•

1. 0 ••

'l.667.516,14

• •••

Art. 2. - Afirmado . 190,00 metros lineales de firme completamente terminado á . .. .. TOTAL DEL ART .

2.0 ,

, , • • •

4,40

836 ,00 836,00

Art. 3. 0 - 0bras accesorias.

Andamiaje para las cuatro pilas ... . ....... .. .. ... .....

4.000. 00

SOLUCIONES DIVERSAS DE VIADUCTOS Precios de las unidades.

Nú:11ero de

unidades.

Pesetas .

Cimbra del arco central inferior ........... . .. . ·...... . Cimbras de los arcos laterafos inferior es .. . ... . .......... . Cimbra del ar co central super ior (aprovechando- la del inferior) ..... . . . ......... . .. . Cimbras ele los cinco arcos laterales inferiores (ídem íd.) . . Cimbras de los arcos de aligeramiento . . ... . ...... . .. .. . . Tornos y gnias para transportes verticales ele los mate:r iales ...... .. .. . .. . ....... . P uente de servicio para unir las dos márgenes ......... .. ... . Rampas de acceso á las diferentes partes de la obra y al puente de servicio ... ....... .

~85

Importes parcia 1 c s.

Pesetas .

15.000,00 8.000,00 3.000 ,00 11. 000, 00 1.000,00 5.000,00 6.000,00 5.000,00

Resumen del presupuesto de ejecución material. Art.1. 0 -0bras de fábrica . . .. . Art. 2.0 -Afirmaclo .. .... . ... . . Art. 3.0 -...:0bras accesorias . ... .

1.667.516 14 836.00 59.000,00

TOTAL DE EJECUCIÓN MATE RIAL .•••.• • •• •• . · • ···· ..

1.727.352,14

Aumento del 15 por 100 de contrata .... ... . .... . ...... .

259.102,86

'l'OTAL: PRlnSUPUESTO DE OON'rRATA ..••• •• •• • ••

1.986.455,00

286

G-H.ANDES VIADUC'l10S

148. Viaducto de hormigón.- Ya hemos clemostrado en 01 capítulo anterior, que con un buen hormigón de Portlanc1 se puede obtener una fábrica tan resistente casi como con granito, y esto permitiría substituir todas las sillerías y mamposterías proyectadas por hormigón, sin perjuicio ninguno para la resistencia y estabilidad de la obra. Manteniendo, pues, para el viaducto de h ormigón las mismas dimensiones que hemos justificado ya, el presupuesto de este viaducto quedaría reducido á lo siguiente: Pesetas.

4.744,00 metros cúbicos de excavación para cimien18.976,,00 tos á 4,00 .... ... ......... ......... .. . ... .. .. . . 26.816,19 metros cúbic"os de hormigón hidráulico á 33,00 ... .. ·.· ..... .......... ...... .... .... .. . 884.934,27 836,00 180,00 metros-lineales de firme á 4,40 ...... . ..... . Obras accesorias (iguales á las del Presupuesto an59 .000,00 terior) ...... . ...... .. .... . •• ... ... .. •• •••••••• Su:r.lA: PRESUPUES'ro DE EJECUCIÓN MA'rERIAL .....

963.746,00

Es decir, que sólo con esta modificación en las clases de fábrica empleadas y sustituyendo las clásicas sillerías y mamposterías por hormigón hidráulico en todas las partes ele la obra, se obtendría una rnducción de coste de 763.605 pesetas, casi la mitad tlel primer presupuesto. Y no puede objetarse á esto-que no sería posible la ejecución de hormigón de una obra tan colosal; no hay en ello dificultad práctica ninguna; ya se han construído con excelente resultado bóvedas de 67 y 70 metros de luz rebajadas al '/ 10 , y articuladas en la clave y arranque, sometiendo el hormigón á compresiones de 36k por 0 /m', mientras que la compresión máxima .d enuesta solución no excede de 18k por c/m'. Aún creemos que el estudio minucioso de un viaducto de Lor-

._ OLUCIONES DIVERSAS DE VIADUC'I10S

287

migón en nuestro emplazamiento, pudiera permitir algunas reducciones sensibles en el coste de las obras; pero como siempre habría de ser éste muy superior al de las soluciones en arco· estudiados, no hemos creído ele utilidad grande el empreneler este nuevo trabajo.

NOVENA SOLUCIÓN

11.-Puentes viaductos de tramos rectos continuos sobre pilas de fábrica ó metáli cas.

149. Obras construídas de este ti po.-Desde luego se ocurre que puede obtenerse una gran economía, sustituyendo las costosas bóvedas ele sillería por tramos de hierro, apoyaelos sobre pilas de fábrica, y ha sido acloptacla esta solución en multitud de casos, en trazaclos de ferrocarril sobre todo, cuando se trataba de pasar un valle ó un barranco á una gran altura de nivel. En Francia, los viaductos ele La Oere y ele Busseau cl'.A.hun, en Italia el viaelucto de Oastellaneta, en Suiza el de li'riburgo, en Espa:í1a el de Parana (línea de Asturias), son modelo de eslie género, y representamos en la lám. II, figuras 4 y 5, los alzados ele los de Oastellaneta y Friburgo, que por su altura más se apro x iman á las condiciones del que estamos estudiando . .A.un éstos no se encuentran á tan gran altura como el viaducto de Pin<?, ni conocemos ninguna obra de esta clase que alcance los 90 metros de altura de nuestra rasante; péro esto no obsta para que pueda ejecutarse sin dificultad. En la fig. 3 de_la misma lámina, liemos diseñado la distribución de luces más favorable. 150. Tramos metálicos.-Como sería muy costoso el establecer un andamiaje para cada uno de los tramos, es preferible cons-

288

GRANDES VIADUCTOS

truiT éstos contu:iuos, lo que p ermite el montaje por lanzamiento . .Es sabido, por otra parte, qne para obtener la conveniente igualdad en los pesos por metro l:ineal de los tramos extremos y centrales, deben las l ongitudes de éstos estar en la r elación aproximada de 4 / 5 • La distribución de luces más favorable, es pues, la adoptada, que nos da un tramo central de 55m,OO, que no tiene nada de excesivo y casi es corriente hoy día, y dos tramos extremos de 45 metrns. La obra de fábrica queda así reducida á dos pilas y dos estribos, cuyas dimensiones se han calculado por analogía con otras obras análogas. (Véase el final de la lám. II.) Las pilas tienen en la coronación un ancho de 3m,OO, que no puede recluc:irse sin peligro. Los taludes en los p-lanos trasversal y longitudinal del río son de Om,02 y Om,05 por metro, es decir·, de 1 / ., 0 y '/,,,, que son los taludes medios adoptados generalmente, según anteriormente dijimos. En la parte inferior de las pilas, se disponen los tajamares en sen.fofrculo con taludes análogos, y el conjunto, aunque·en apariencia demasiado esbelto, resulta con suficiente resistencia y estabilidad, pues en la base alcanzan las pilas un espesor de 7,00 metros y una distancia entre paramentos de tajamares de 20 metros. Aunque convencidos del costo excesivo de esta solución, para mayor seguridad, la hemos dibujado en mayor escala, aunque consideramos inútil presentar estos planos, lo que nos ha permitido hacer una cubicación exacta. En las pilas y estribos hemos proyectado de sillería los paramentos nada m~s que con un e pesor medio de un metro; el relleno se ha calculado de mamtiostería concertada, pues no hubiera sido prudente ej ecutarlo con mampostería or dinaria, cnyos asientos más desiguales y escasa resistencia hubiera obligaclo á amnentar las dimensiones cle las pilas.

SOLUCIONES DIVERSAS DE VIA.DUOTOS

289

En los detalles del :final de la lám. II, se ve que con objeto de aligerar los estribos y evitar lo empujes de un terraplén de relleno (los murns llegan hasta 15 metros de altura) se han unido los dos muros de acompanamiento por una bóveda de mampostería concertada.

151. Coste de esta solución con pilas de fábrica.-A. pesar del espíritu de economía, con que se h::m proyectado las dimensiones y clase de materiales de pilas y estribos1 b cubicación de estas obras arroja aún un volumen muy considerable que hace subir el costo de estas fábricas tí la cantidad de 878.900 pesetas, según vemos en la valoración que se presenta á continuació:r;i.. Para calcular el costo de los tramos metálicos no se precISa proyectarlos, lo que nos hubiera exigido una perdida considerable de tiempo. Uon el sistema do vigas que hemos proyectado, que es uno de los más económicos, y muy empleado para luces de 40 tí 50 me. tros, y la disposición de piso superior que permite reducir en 5 metros la altura de pilas y estribos, es seguro que pueden calcularse unos tramos que no excedan de los 322 kilogramos de peso por metro superficial que Oroizette Desnoyers ha calculaclo en sus 'l'ablas para tramos ele carreteras de 45 metros de luz (·), pues si bien en estos pesos l}O están comprendidas la placas bombeadas que proyectamos para el piso, en cambio suponemos el puente de acero y aclmitimos un trabajo ele 8 y 10k por .n/m'. Resulta, pues, un peso por metro lineal do 1.932 kilogramos, que no tiene nada de excesivo, es decir, de 280.140 kilogramos para los 145 metros de longitud ele los tres tramos. Hay que añadir fuertes barandillas, ele 1 m ,20 de altura, que podrán pesar unos 40 kilogramos por metro lineal, es <l.ecir, para los dos lados 11.600 kilogramos más ele hierro, y, por último, se (*)

Véase el Tra.tado ele puentes ele Croizellc-Desnoycr., lomo 11, pág. 490.

290

GRANDES VIADUO'l'OS

calcula en 4.800 kilogramos el hierro fundido que h a de invertirne en las placas y rodillos de charnela y clilataciqn. Como la construcción ele estos tramos, y sobre todo el montaj e, han ele ser mucho más fáciles que las soluciones en arco estmliadas, rebajamos á 500 y 320 pesetas los precios de la tonelada u.e acero y hierro fnndiclo respectivamente, que son los conientes para esta clase de obras. Los 190 metros lineales ele afirmado, costarán lo mismo que en la solución anterior, y asimismo añadimos en el art. 4.0 , Obras accesorias, las partidas indispensables. La valoración 1·esulta entonces:

VALOR.AOION GENERAL DE LA NOVENA SOLUOION PUENTE VIADUCTO DE TRAMOS METÁLICOS SOBRE PILAS DE FABRICA

Número de unidades.

Precios de l:ts unid:tdes.

l\lelros cúbicos . .

Importes parciales .

Pesetas.

Art. 1. 0 - 0bras de fábrica. 4.458,0 0 ele e~cavac~ón en roca para cim10ntos a .................. 2.780,61 sillería aplantillada á ..... .... 4.865,75 ídem recta.................... 124,80 ídem desbastada . ..... . .. ..... 7.819,80 mamposter ía concertaJ.a .. ..... 'l'OTAL DEL ART.

4, 00 80,00 77,00 b6,00 38,00

1.º .....

16.632,00 239.132,!i6 374.662,75¡ 6.998,80 297.1~2,40 934.568,41

Art. 2. - 0bras metálicas. 291,740 toneladas ele acero laminado y forjado á ...................

500,00

145.870,00

SOLUCIONES DIVERSAS DE VIADUCTOS Precios de las unidades.

Número de unidades.

toneladas de acero funcliclo ... .

Pesetas.

145.870,00 320,00

1.536,00 147.406,00

2.º .... .

'roTAL DEL ART .

Importes parciale s .

Pesetas.

Swna anterior ......... . ti , 800

291

Art. 3. 0 - Afirmado. 190 00 metros lineales rle firme com-

pletamente terminado á ..... 'l'o·rAL DEL ART .

3. 0 • • • • • •

4,40

836,00 836,00

Art. 4. 0 - 0bras accesorias.

Andamios para lá constru cción cle las pilas ............. : .. . Puente de servicio para unir . las dos márgenes ...... ..... . Rampas de acceso .... .. . ..... . '1'01:1;1-os y g;·úas par a construccion cle pilas ....... .. . . .... .

2.000,00 6.000,00 5.000,00 5.000.00

4.0 • • • • •

18.000,00

'l'o·rAL DE EJECUCIÓN MATERIAL .•.... • . . . . . . ·••

1.100.810,41

Aumento del 15 por 100 ele contrata ........ . ...... .. .. .

165.121, 56

'l'OTAL: PRESU:PUES'J'O DE CONTRA'l'A .......• •. ...

¡1-265.931, 97

TOTAL DEL ART.

292

GRANDES VIADUC'rOS

152. Tramos rectos sobre pilas de hormigón.-Con las dimension es que hemos dado á las pilas de fábrica la compresión máxima sobre su base alcanza la cifra de 19k por c/m', y como ya hemos visto que la resistencia del hormigón hidl'áulico puede ser de 300 k por c¡m•, no hay ningún inconveniente en proyectar estas pilas enteramente de hormigón, con la que se obtendrá una reducción de coste. El presupuesto de ejecución material sería entonces: Pcsct.1s.

Excavación en roca para cimientos . . . . Hi.632,00 15.590,16 metros cúbicos de hormigón á 33,00 ... ........ . . ... .. ... . . ... .. . 514.475,28 Suman las obras de f ábricci . . .. .. . . . .. .... . . Obras metálicas (igual al caso anterior) . .. ... . . . .. . . Afirmado (ídem íd.) . ... . . . . . . ... . . . .. . . . ......... . Obras accesorias (ídem íd.) .. . . . ... . . . . .... . .. .. . .. .

531.107,28 147.406,00 836,00 18.000,00

Total de ejecución material . . ..... .. . . ... . . .

697.348,28

153. Tramos rectos sobre pilas metálicas.-En lugar de pilas enteramente de fábrica, deberían proyectarse ele do luego pilas metálicas, por lo menos en la altura fuera del alcance ele las aguas, y así lo hemos inilicaclo en la misma :6.g. 6 (lámina II). Pero es forzoso aumentar algún tanto el talud transversal de estas pilas, lo que aumenta el espesor del basamento ele fábrica. Adoptamos '/, 0 ele taluu en los dos sentidos, que es el ordinariamente empleado en pilas de esta altm·a, y prolongamos este talud en el basamento. Para obtener el peso ele cada pila seguimos un procedimiento igual al que hemos explicado en el capítulo VI, párrafo VI, al estudiar la solución tipo Eiffel , obteniéndose para cada pila un peso de 53 toneladas.

SOLUCIONES DIVERSAS DE VIADUC'l'OS

•

293

Hemos proyectado primeramente el basamento de la pila con arreglo á la disposición corriente de fábricas, es decir, con un espesor de un metro de sillería basta y todo el resto de mampostería concerta<l.!1, y además como los montantes de las pilas metálicas quedan separados 13m,50 en la base, aligeramos el basamento de fábrica por medio de una bóveda ele 8 metros de luz abierta en su parte central. E l presupuesto de esta solución se reduce entonces á lo siguiente: Pesetas.

3530 m' ele excavación en roca á, 4,0Q .. . 13.120,00 3050 mº de sillería basta á 56,00 ...... . 170.800,00 4470 m• de mampostería concertada á 38,00.. . . . . . . . . . . .. . . . . .. . .. ... . . . . .

Total del ctrt. 1. 0 Obrcts ele fábrica . . . . . . . . . . . . .

432.080,00

291,740 toneladas ele acero parn los tramos á 500,00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.870,00 6,900 toneladas de fundición para apo2.118, ' )0 yos á 320,00 ..... . ..... ·. . . . . . . . . . . . . 106,000 toneladas ele acero para las pilas á 500,00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.000,00

Total del art. 2 .0 Obras metálicas.. .. ... . . ....

200.988,00

Afirmado y obras accesorias (iguales al caso anterior)... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18.886,00

Totcir de ejecu,ción material.. . . . . . . . . . . . . . . . . .

651.904,00

Calculando aproximadamente la compres10n máxima á que está sometido el basamento, aun en el caso más J.esfavorable ele que el puente esté totalmente cargado, se observa que la fábrica

294

GRANDES VIADUCTOS

de este basamento no llega nunca á sufrir una compresión superior á 4k ,50 por c¡m•. No es, pues, necesario construirla con sillerías, ni siquiera con hormigón, bastando ejecutar este basamento, que se encuentra á 60 metros de.la rasante y, PºF lo tanto, fuera del alcance de la vista, con mampostería ordinaria hidráulica, cuya resistencia excede siempre á 100 k por c/m2 • Esta modificación reduce en grán proporción el coste de esta solución, que es entonces: Pesetas.

3530 m• de excavación en roca á 4,00. . . 8520 mº de mampostería ordinaria hidráulica á 21,00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.120,00 178.920.00

Total del art. 1. 0 Obras de fábrica... . . . . . . . . . .

192.040,00

Obras metálicas (igual al caso anterior).. . . . . . . . . . . . 200.988,00 Afirmado y obras accesorias (igual al caso anterior) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 18.836,00

Total de ejecución material .. ... . .- . . . . . . . . . . . . 411.864,00 §

III.-Otras soluciones. DÉCIMA SOLUCIÓN

154. Vigas parabólicas ó bow-string.- En las :fignras 7 y 8 ele la lámina II representamos los dos puentes más notables construidos con arreglo á esta disposición, que son el puente sobre La Rance (Francia) y el puente ele Moerdick (Holanda). Ambos son para ferrocarriles; el primero es de doble vía y pesa 5.500k por metro lineal para 90 metros de luz; el segm1clo es para una sola y pesa 5.000" por metro lineal, que es la cifra

•

SOLUCIONES DIVERSAS DE VIADUO':l1OS

195

que resulta ele las fórmulas y tablas ele Oroizette-Desnoyers para luces de 100 metros. Adoptando esta última disposición de tramos obtenemos el alzado que r epresenta la :fi.g. 9 de la lámina II; empleando las mismas fórmulas de Oroizette-Desnoyers, se deduce q{1e para una carretera el peso de nuestro tramo será ele 750k por metro superficial, es decir, 4386 por metro lineal, y teniendo en cuenta la entrega de los tramos sobre los estribos que ~ebe ser de 2 metros por cada lado, el peso total ele estas vigas será de 455 toneladas. Con estos elementos hemos proyectado y cubicado las obras de fábrica ele esta disposición con las clases de materiales corrientes, análogas á las admitidas en las soluciones segunda y tercera (lámina I, figuras 5 y 6), y obtenemos el siguiente presupuesto: Pesetas.

Viaducto de fábrica de la margen derecha .. . .. . . . . . 157.530,06 Idem íc.l. íd. izquierda .... . .. .. . .. . .. . . ........... . 182.427,00 455,144 toneladas e.le acero para el tramo á 500,00 .. . 227.577,00 13.500,00 Afirmado y entarugado .......................... . 58.000,00 Andamios para el tramo(") .... ..... .. . ........... . 26.000,00 D emás obras accesorias .......... . . ...... ..... ... • .

Total ele ejecución material .. ......... . .

655.034,00

Si análogamente á lo ·que hemos hecho en las soluciones anteriores y teniendo en cuenta que la compresión máxima á que han ele estar sometidas las fábricas no excede ele 18k por c¡m•, proyectamos de hormigón y mampostería ordinaria hidráulica los dos viaductos de acceso, el presupuesto ele ej ecución material se reduce á 582.320 pesetas.

\'1') Téngase en' cuenta que csle Lramo habrá de conslruirs~ forzosamente sobre un :md,Lmio ó cimbra que hemos cubicado con algun:t aproxi1mciún y nos cl,L 160 metros citbicos ele madera.

296

VRANDES VIADUO'l'OS UNDÉOil\lIA SOL UOIÓN

155. Viaducto con tramo tipo americano.-En lati figuras 10 y 11 de la lámina II, presentamos los alzados de dos puentes notables construídos en América: el de Oincinatti, sobre el Ohío, y el de , Kentucky-River, ambos para ferrocarriles y con luces respectivas de 153 y 114m y altura este ültimo ele 81 metros sobre el río. No puede haber inconveniente en construir, por lo tanto, un tramo de 120 metros sobre el Duero, con una altura de 75m sobre el río, y proyectamos en la figura XII de la misma lámina la disposición que nos parece preferible, adoptando el sistema de viga Linville, que está ya reconocida como la más económica para tramos superiores á 60 metros. Empleando el acero y piso entarugado de madera, puecle asegurarse que el piso del metal por metro superficial de tramo no excederá de 700 kilogramos, que da un peso total para los 125 metros de puente de 525 toneladas. El presupuesto de esta solución será entonces, proyectando las avenidas con las clases corrientes de fábrica: Pesetas.

Obras de fábrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obras metálicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Afirmado y entarugado ........ : . . . Obras accesorias (")............ ....

205.300 262.500 14.000 93.000

Total de ejecución material..

574.800

(*) Tambi6n esta solución tiene el inconveniente de necesital' un andamio para 111oni;_1r el tramo; pero todo es cuestión de madera, utili zable en gran parle después de term inado el u1on taje; a ·í es que, suponiendo que el precio ele! metro cúbico de madera sea ele ·J 00 pese i;_1s y el de venta de los restos 50 pesetas (cuidando ele ejecutar el andüm io con maderas del co mercio, sin más que los ensambles indispensables), el cos to resulta ser ele 50 pesetas' por meLL'0 c1·1bico, 1 Yhemos cubicado á gl'a ncle · rasgos para el andamio un volumen de 1.320 metros c,·,hir.os rln madera, es clecil', una partida de 66.000 pesetas.

SOLUCIONES DIVERSAS DE VIADUCTOS

297

Si sustituimos las sillerías y mamposterías concertadas por hormigón y mamposte1·ía ordinaria hidráulica, como h emos h echo para las demás soluciones, el costo de la obra ele fábrica se reduce en 81.000 pesetas, lo que cla entonces un presupuesto de ejecución material de 473.800 pesetas.

DUODÉCIMA SOLUCIÓN

156.

Puente colgado.-Por último, también parece indicada la

adopción de un puente colgado, y á este efecto, hemos dibujado en la :figura 15 de la lámina II, la disposición que pudiera adoptarse, comparada con la de los puentes ele Saint Ilpize y PointBridge (:figuras 13 y 14). No cabe cluclar que de todas las soluciones, sería ésta la más económica; pero debemos examinar si la economía que pudiera obtenerse compensa los inconvenientes que siempre han de ofrecer los puentes colgados, aun cuando se adopten en ellos las disposiciones nuevas que aumentan su rigidez y que justifican el favor de que vuelva á gozar este sistema para ciertos casos determinados. Desde luego se observa que la parte de fábrica ha de ser más costosa que la de las soluciones primera y cuarta, pues el estribo necesita prolongarse hacia arriba en 16 metros do altura y deberán ai'iadirse unos pozos muy bien construídos para. recibir los cables y permitir su visita . Así que el resul tado cle nuestra cubicación nos produce una valoración de 173.800 pesetas empleando sillerías y mamposterías concertadas y 130.500 empl eando hormigones y mamposterías hidráulicas. De los puentes colgados construídos recientemente, el que más se asemeja al caso presente es el ele Lamothe (Croizott'.l-Do:noyers, tomo II, pág. 516) que tiene 117m,50 de luz y un ancho libre de 5m,50. La parte metálica costó 104.000 francos.

298

GRANDES VIADUCrros

No bajará, pues, el costo del tramo de 128 metros proyectado de 115.000 pesetas, que agregadas á las 18.000 pesetas necesarias para afirmado, entarugado y obras accesorias, dan un coste de ejecucjón material de·306.800 pesetas empleando sillerías, y de 263.500 pesetas empleando hormigones y mamposterías Ol'dinarias exclusivamente.

CAPITULO VIII

CONCLUSIONES

157. Importancia del aspecto económico en los proyectos de grandes viaductos.-En todos los trataclos ele puentes que constituyen los libros d.e texto ele nuestra,s Escuelas se enumeran con detalles á veces muy prolijos los viaductos más notables constrníclos con arreglo á todas las disposiciones imaginau.as por los Ingenieros; pero hemos podido observar que casi ningún autor ha hecho una crítica razonada y comparativa ele los costes ele estas obras. Se citan algunas veces el mí.mero de millones que ha costado tal ó cual puente; pero se prescinde de estudiar si pudiera haberse conseguido el mismo efecto con menor desembolso. Entendemos, sin embargo, que el aspecto económico del problema debiera ser quizá el más importante, y del mismo modo que en nuestro librito ele Puentes de hierrn economicos, muelles y faros sobre palizadas y pilotes metálicos, hemos procurado demostrar que pueden ejecutarse los puentes, muelles y faros en el mayor número ele casos con singular economía y sin perjuicio de su resistencia y duración, hemos querido hacer un estudio de todos los sistemas ele viaductos que se adoptan y citan como modelos, para deducir en conclusión cuáles son las disposiciones más económicas y cuáles, por consiguiente, las que debe escoger el Ingeniero cuando trate ele resolver un problema ele esta clase.

300

GRANDES VIADUCTOS

La rutina muchas veces aconsej a la adopción de soluciones conocidas; algunas veces también el afán de originalidad conduce á proyectar clisposiciones nuevas que se justifican con razonamientos más ó menos sublimes ó sofísticos, y de aquí que suelen construirse obras viciosas y general mente de mayor coste que el que debieran tener. Aunque nuestra profesión suele vulgarmente considerarse como el prototipo de los estudios precisos y que supori.e el vulgo que nuestras soluciones están matemáticamente calculadas y cabe difícilmente en ellas variación de importancia, preside, sin embargo, una gran indeterminación en la mayor parte de los problemas que tenemos que resolver. Buena pr ueba de ello, el examen de las dos primeras láminas de este libro, en las que aparecen doce soluciones para el mismo caso con presupuestos que oscilan entre 260.000 y 1.730.000 pesetas. Conviene, pues, para resnmir nuestr o trabaj o, plantear las conclusiones que se deducen ele nuestro estudio.

158 . Conveniencia de la reducción de las obras de. fábrica. -Desrle luego se observa por el examen de las láminas I y II, en que hemos indicado los presupuestos de las doce soluciones examinadas, la extraordinaria economía que produce la reducción de las fábricas al menor volumen posible, sustituyéndose las pilas y avenidas de esta clase por entramados metálicos, hasta donde pueda llegarse, pues· con objeto de evidenciarlo de un modo claro é indiscutible hemos valorado todas estas soluciones. Como el punto de vista económico, según acabamos de indicar, es uno de 10:11 más importantes que debe tener en cuenta el Ingeniero al proyectar un-viaducto., conviene resumir _en un cuach-o los presupuestos de todas las soluciones examinadas para podor apreciar con una simple ojeada las diferencias de coste, que lle-

de las

figuras .

de las

soluciones.

SOLUCfONES ESTUDIADAS

12.ª

Lám.II,:fig.15. Puente colgado ................. 4.º Lám. I, :fi.g. 10. Viaducto metálico de pe¡t eñas luces sobr e arco aTticulac o .... 1.ª Idem, :fi.g. 3. Iclem íd. íd. íd. empotrado ....... 3.ª ldem, :fi.g. 6. Arco metálico articulado con avenidas de fábrica ........... 2.ª Idem, :fi.f 5. Idem id. empotrado ídem id ..... 9.ª (bis) Lám. II, g. 6. 'l'ramos r ectos continuos sobre pilas metálicas ............... 11.ª Idem, :fi.g. 12. Viaducto de tramo r ecto, tipo americano (Linville) .......... 5.ª Lám. I, fig. 13. Viaducto met.{tlico de grandes luces sobr e arco, tipo E1ffel. .. 7.ª Idem, :fi.g. 15. Idem íd. íd. íd. Seyrig ..... . .... 6. ª Idem, fig. 14. Idem id íd. íd. suizo ............ 10.ª Lám. II, fig. 9. Viaducto con vigas parabólicas (bo,v-string).................. 9.0 Idem) fig. 6. '1.'ramos rectos continuos sobre pilas de fábrica ............... · 8.ª Idem, :fi.g. 3. Viaducto completamente de fáI brica ......... :..: . _·_., .. .... . . ..

Número

264.000 303.000 317.000 352.W0 40~.000 412.000 474.000 532.000 551.000 570.000 589.000 697.000 964.000

307.000 333.000 346.000 -:l:43.000 505.000 652.000 575,000 614.000 635.000 654.000 655.000 1.lül.000 · 1.727.000

Pesetas.

Hormigones y mamposlería ordinaria.

Sillerías y 111a111 poslería co ncorwdas.

CON FÁBRICAS DE

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1-'•

1P CT

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(/1

302

GRANDES VIADUC':L10S

De este cuaclTo se deduce, en primer término, que el coste ele las obras aumenta muy sensibl emente á medida que va adquiriendo importancia la obra de fábrica sobre la metálica, de donde se deduce que en los viaductos y aun en aquellas regiones en que la piedra abunda, será siempre muy costoso el empleo ele este material y preferible, por lo tanto, reelucir la obra de fábrica :í, los elementos indispensables para apoyos ele tramos, pilas y arcos.

159. Conveniencia de la substitución de las sillerías y mamposterías concertadas por hormigones y mamposterías ordinarias.-Asimismo con objeto de apreciar claramente la diferencia de coste producido por la substitución ele sillerías y mamposterías concertadas por hormigones y mamposterías ordinarias, hemos valorado todas las soluciones con unos y otros materiales, cuyos presupuestos el.e ejecución materi'.'1.l aparecen comparados en el cuadro anterior. Puede sorprender á primera vista la enorme difer encia que esta substitución de fábricas produce en las valoraciones; pero téngn,Se en cuenta que· en obras el.e estas dimensiones, los volúmenes el.e cualquier apoyo, por elemental que sea, son muy considerables, y que también es grande la diferencia de precios, pues las sillerías cuestan siempre el.e 45 á 90 pesetas, mientras que los hormigones nunca pasan el.e 35 pesetas por metro cúbico y puecl.en reducirse á 20 pesetas. Empleando bueno.s morteros ele cemento Portland, no puecl.e pretencl.erse que sea más resistente la sillería que un buen hormigón, puesto que ya hemos cl.emostracl.o en 1:¡l cap. VI, § II, las grandes ventajas que ofrece el empleo de los morteros ele cemento, y en el§, IV del mismo capítulo, .h emos visto que pueden obtenerse morteros con resistencias á la compresión de 300k por c/m2, es decir, mayor que la resistencia el.e muchas calizas y areniscas y el.e algunos granito .

•

CONCLUSIONES

303

Y a se va, poi: otra parte, generalizando el empleo de los materiales de -pequefias dimensiones; el sillarejo suele casi siempre sustituir á la sillería, pero á nuestro juicio este material resulta casi tan costoso como la sillería, y sólo ofrece la ventaja de su más fácil manejo. Ingenieros hay q:ue aconsejan ya para bóvedas el empleo de la mampostería ordinaria, que constituye una masa homogénea que asiente por igual (Croizette-Desnoyers, pág. 70 del tomo II.) Más homogéneo aún debe ser una masa de hormigón ejecutada con cementos de fraguado l ento, puesto que después de fraguado constituyen estas bóvedas verdaderos monolitos. ¿Es que ofrece alguna ventaja ]a sillería? Casi estamos por afirmar -que no tiene ninguna sobre el hormigón bien ejecutado, pues que ni tiene mayor dureza, ni mayor resistencia á la acción de los agentes atmosféricos. En cambio ofrece los inconvenientes de su coste excesivo y de su difícil manejo, que obliga á emplear á veces varias campanas para voltear las bóvedas ó construir las pilas, con riesgo de ser destruídas por avenidas, mientras que el hormigón siempre se encuentra y se construye con la rapidez que se quiera: reduciéndose así las probabilidades de accidentes. Lo mismo que decimos de las sillerías respecto á los hormigones, podemos decir de las mamposterías concertadas respecto á, las ordinarias. En todas aquellas partes de la obra que no sufran compresiones, superiores á 20k por c¡m• (que son muy excepcionales), una buena mampostería.con mortero de Portland es, á nuestro juicio, tan resistente como la mejor mampostería concertada; su coste es, en cambio, :rp.ucho menor y más rápido de ejecutar. Réstanos examinar la cuestión estética, que quizá supongan algunos incompatible con el empleo exclusivo de hormigones y mamposterías ordinarias. Prescindiremos del empleo de los mármoles artificiales que

•

304

GRANDES VIADucros

con tanta perfección se ej ecutan hoy día, y que se prestan meJor que ninguna sillería á toda clase de adornos y efectos de coloración, sin que pueda obj etársele nigana superioridad recíproca. Pero con el mismo hormigón se puede moldear cuanto se quiera y l, asta colorear los paramentos, como se ha hecho en los puentes recientemente construíclos en Alemania. Por lo demás, en obras ele esta importancia, y como ya h emos dicho, no pueden apreciarse detalles; las proporciones de los elementos y ele las masas bastan para producir el efecto artístico conveniente y con hormigón se pueden obtener perfectamente las fuertes molduras y relieves que se necesitan, sin necesidad de acudir á la imitación ele sillerías, ni simular despiezos. En cuanto á la mampostería, un simple encintado ele Portlancl formando mosaico en el paramento basta para elegantizarla, presentando esta clase ele fábrica tan buen aspecto como la mampostería mejor concertada.

160. Conveniencia del estudio de repetidas soluciones.-Aun en las obras de pequeña importancia, deben muchas veces los Ingenieros estudiar las soluciones posibles, pues seguramente se puede con ello introducir alguna economía sin perjuicio para la obra, pues no suponemos que haya quien pretenda escoger siempre del primer golpe de vista la solución más económica y la mejor. Pero donde principalmente adquiere este estudio singular importancia, es en obras I le grandes dimensiones, como los viaductos, en los que la más insignificante modificación produce diferencias de coste muy sensibles. En primer lugar la determinación del sistema que para cada caso conviene, clebe mmeterse á un concienzudo estudio de los tipos más apropiados, no debiéndose vacilar en proyectar las va·rias soluciones más indicadas, con el detalle suficiente para valorarlas con 10 á 20 por 100 de aproximación. Fijada ya la disposición más conveniente, deben perfilarse to-

305

CONCLUSIONES

dos los detalles, aun l~s qué en apariencia resulten más insignificantes, pues en estos viaductos, el cubo de las fábricas ó el peso de los hierros se r,ifra por miles de metros ó ele toneladas. Bástenos hacer observar las enormes diferencias obtenidas en este estudio, y muy principalmente, los presupuestos de la segunda y tercera solución (lám. XXIX y XXX), en que sólo un corrimiento de 5m,50 en el eje del puente, apenas sensible, produce una diferencia ele precio de más ele 50.000 pesetas. Y no puede ni debe objetarse, que un estudio de esta clase absorbe mucho tiempo, pues nada representan unos meses más de trabajo en un proyecto ele esta clase, en relación con la economía de muchos miles ele duros y á veces de millones, que puede conseguir el Ingeniero con un poco de paciencia. Todo el trabajo de este libro, que hemos terminado á ratos perdidos, representa no más un año· de estudio, y parécenos que el resultado obtenido, que nos permite proyectar por 75.000 duros una obra que se.calculaba en un millón de pesetas, compensa con creces el trabajo que nos ha ocasionado, sobre todo si eon este estudio conseguimos ahorrar tiempo á nuestros compañeros y ahuyentarles de algunas soluciones trompeteadas por la fama y no por eso menos viciosas en un gran número de casos.

161. Inconvenientes de los arcos metálicos de gran flecha.-Entre éstos se encuentran, por ejemplo, los viaductos de Eiffel y similares, que hemos examinado, y cuyos inconvenientes debemos aquí consignar. Si comparamos, por ejemplo, los pesos de las partes metálicas de las soluciones cuarta y quinta, es decir, de la solución adoptada, con la disposición tipo Eiffel, que hem?s calculado con bastante aproximación en el capítulo VI, párrafo V, obtenemos las. cifras siguientes:

GRANDES VIADUC'l'OS

306

PESOS EN TONELADAS Tramos.

Pilas.

Arcos.

Totales.

173

224

447

288

114

426

828

Cuarta solución (adoptada) . ............. .. .. Quinta solución (tipo Eiffel) .. . .......... . ..

Prescindiendo, pues, de las obras de fábrica, que también son más costosas en la quinta solución, se observa, como se ve, que sólo el arco de 100 metros de 'luz tipo Eiffel, pesa casi tanto como todo el metal de la solución adoptada y cerca del doble del peso de nuestro arco, á pesar de tener éste 120 metros de luz. La explicación de esta aparente paradoja es, sin embargo, sencilla, y ya la habíamos previsto en el capítulo I, página 3. Con arcos de gran flecha, los tímpanos, y por ende las pilas, resultan de gran altura y obligan á reducir su número, lo que á su vez lleva consigo la adopción de tramos de gran luz para el tablero y resulta de aquí un círculo vicioso, porque estos grandes tramos pesan mucho y á su-vez requieren pilas · mu_y resistentes. obteniéndose un conjunto muy pesado que obliga á dar al arco gran resisten_?ia, lo que á su vez aumenta el peso propio ele éste y, por lo tanto, impone la adopción de secciones y pesos exagerados, Siempre, pues, que la disposición del terreno lo permita deben emplearse arcos de escasa flecha, aun á trueque de aumentar algo la luz (pues lo que sobre todo debe reducirse es la obra de fábrica), con objeto de conseguir que las pilas son simples palizadas de 20 á 25 metros de altura máxima, y que, por lo tanto, el tablero puede subdividirse en tramos de q á 15 metros. Esta es la razón que justifica la extraordinaria economía ele /

307

CONCLUSIONES

los puentes suizos de J avroz y Schwarwasser (figuras 1 y 2 de la lámina I ) y no el empotramiento de los arcos preconizado por el Ingeniero M. Probst, autor de aquellas interesantes obras.

162. Ventajas del arco articulado sobre el empotrado.-Sobre este par t icular, t ienen razón en cambio los I ngenieros Eiffel, Seyrig, Koochlin y Acosta, que h an dado la preferen cia al arco articulado. En el capítulo I, página 4, indicamos las ventajas que á primera vista parecía ofrecernos el empotramiento de los arcos, que suponíamos debía determinar una economía de metal, análoga á la que ej erce el empotramiento de vigas rectas y columnas. Pero según h emos visto, no se han confirmado estas previsiones, puesto que el resumen de las cubicaciones de ambas soluciones arroja las siguientes cifras:

mum

Arco articulado.

Arco empotrado.

Toneladas.

70,324

71,R46

66,500

72,542

25,292 23,983 19,251 18,540

28,074 23,1!:l9 18,766 20,124

'J.1 0TALES . • . ••. ...•. • • . .•.. _220,890

234,051

Di LOS PISOS Di LOS ARCOS ARTICULA DO

y ~M POTRiDO

Cabezas de trasdós desde el montante 1 al simétrico 1 60,650 .. . ....... . ( Arranques hasta el mon tante 1, 9.674 . . .. ... . . Cabezas de intradós desde¡ ' 1 C b d ) el montante 1 al siméin!~~dós e _ trico, 56,826 .. . ... . . . . ··/ · f Arranques hasta el mon-, tante 1, 9,674 ... . . . . . . Celosías de los dos arcos ....... . . . . . . . Arriostramientos longitudinales ...... A rriostr amientos transversales . ...... Aparatos de apoyo y amarre ...... . .. .

Cab zas d ) tr!sdós . ~

GRANDES VIADUCTOS

308

Obtiénese, pues, una economía de unas diez toneladas (es decir, de un 4 por 100), por medio del arco articulado, que aunque nos ha extrañado, resulta de nuestros cálculos detallados y comprobados. Pudiera atribuirse á una repartición del metal que hiciera el trabajo de éste más igual en el arco articulado que en el empotrado, pero tampoco es así, según se desprende de los cuadros que se presentan al final de esta Memoria y ele los que extractamos los coeficientes de trabajo máximos y mínimos de lfl,s dos soluciones, que son los siguientes:

CABEZAS DE TRlSOÓS CABBZIS 08 INTRADÓS

Arco cmpotracto

Arco Arco arli- empoculado. trado.

DIAGONHKS

Arco Arco arli cmpoculado. tracto.

Arco articulado.

9,52

9,07

4,89

5,00

9,73 10,55

9,67

8,54

7,48

5,37 8,21

4,71 8,40

1,72 4,65

1,11 4,14

- - - - -Coeficientes de trabajo máximo por m¡m2 ••

Primera h~ótesis ele sobrecarga carga permanente, temperatura y viento ele 270k por m •). 8,41 Segunda hipótesis ele sobrecarga (carga permanente, temperatura, viento de 150k y sobrecargas) ............. ., .. 9,29

9,57

Coeficien~es_ de trabajo minimo.

Primera hipótesis de sobrecarga .. .. . .... . . .. . Segunda hipótesis . . ....

5,06 6,54

3,79 6,01

En este cuadro se observa, que si bien en las cabezas de trasdós es algo mayor el trábajo en el arco articulado, en cambio es

•

CONCLUSIONES

309

menor en las cabezas ele intradós, y es mayor ó menor, según los casos, en las diagonales. Puede, por lo tanto, considerarse que la resistencia es sensiblemente igual en los dos arcos. Así es que resulta evidente que el arco articulado es por lo menos tan ligero como el empotrado, y la jnsti:6.cación de esta conclú.sión puede obedecer á las siguientes causas: 1. 0 El empotramiento 'neva consigo, aunque se aumente como hemos hecho la altura del arco en los arranques, una acumulación de ,platabandas en este punto y un sistema cie anclado y amarre ele bastante peso. 2. 0 La forma del arco no es la misma en las clos soluciones, y el haber reducido á 2m la altura en la clave del empotrado, obliga á dar á esta solución una platabanda más que ·e n el articulado (•). 3. 0 Según la teoría, la acción de la temperatura es más desfavorable en el arco empotraclo que en el articulado, por ser los esfuerzos más considerables, sobre todo en arcos ele pequeña flecha. 4.0 No deben asimilarse los dos sistemas de arcos á dos vigas, una empotradá y la otra simplemente apoyada. El trabajo ele un arco es, sobre todo, un trabajo de compresión, sobre el que el sistema ele apoyo tiene escasa influencia, mientras que el trabajo de u.na viga recta es un trabajo de ílexion que se modifica sensiblemente por efecto del empotramiento. Los beneficios que pueda reportar el empotramiento han ele ser, pues, menores en los arcos que en las vigas, rectas, y pueden quedar compensados, hasta con creces, como hemos visto, por las tres causas primeras que hemos indicado .

(*' Si hemos modificaelo algún tanto la forma ele los Llos arcos constituyendo el arriculado con altura constante ele 3m y ul empotrado con ,!.m y 2 en los arranque· y clave respectivamente, ha siclo por obedecer á las teol'Ías ele los aulorc y en particular de Krechlin (Statique _qra:phique, pág. 226 J.

310

GRANDES VIADUC'l'OI::,

No existiendo, pues, economía sensible de peso por causa del empotramiento, y ofreciendo por otra parte los arcos articulados la ventaja de que en ellos hay.seguridad de que las resultantes de presiones pasa~ siempre por las rótulas únicas, mientras que en los empotrados queda siempre cierta incertidumbre y pueden acumularse los esfuerzos en los apoyos de trasdós ó intradós, y . por último, no siendo ·audoso, que el montaje se ha de poder efectuar con más seguridad con las articulaciones, resulta á todas luces preferible emplear este sistema.

163. Arcos semi empotrados y pilas articu ladas. -En el tratado de puentes de Resal (tomo I, pág. 487) propone este Ingeniero como mejor solución el semi empotramiento de los arcos, es decir, calcular y montar éstos como si fueren articulados, :fijando las dos cabezas del arco, después de montado por med:i,o de cuñas que produzcan un empotramiento del entramado. Este sistema ha sido, en verdad, el que se ha adoptado en un gran número de puentes en arco franceses de 30 á 60m de luz, y con él se supone que se han de reducir las deformaciones que permite la libre articulación. Pero éstas no son tan sensibles como parece, pues que en los grandes viaductos articulados de Porto y Garabit, en los que los tramos y pilas están rígidamente unidos al arco, no se han notado flechas peligrosas, ni deformaciones permanentes, ni oscilaciones visibles. Así es que consideramos preferible no disimular las articulaciones ni perturbar después, con acuñados más ó menos perfectos, las condiciones de equilibrio que se han calculado. Por la misma razón, prescindimos de las articulaciones en la base de las palizadas, que preconiza también Resal en su citada obra (tomo I, pág. 426), pues la práctica demuestra y lo hemos comprobado en los viaductos suizos, que los esfuerzos secundarios que supone Resal, que habría de producir el empotramiento

CONCLUSIONES

311

ele estas palizadas en los tableros, y sobre todo en los arcos, no deben ser sensibles, cuando no se nota en ellos la más insigni:fican te deformación. En cambio, las oscilaciones que producirán estas articulaciones, añaclidas á la de los arcos, pudieran determinar una movilidad excesiva de la obra, que debe evitarse.

164. Comparación entre las demás soluciones.-Comparando ahora las cinco so!uciones-representaclas en la lám. II, se observa que desde el punto de vista económico, resultan en el orden sigui~nte: Puente colgado, tramos rectos sobre pilas metálicas, viga americana de gran luz, viga parabólica con avenidas de fábrica, tramos rectos sobre pilas de fábrica y yiaducto enteramente de fábrica. Desde luego debe desecharse siempre para grandes viaductos · esta última solución, que podrá ser hermosa y recordar las históricas construcciones romanas, pero que produciría un coste tan considerable, aun ejecutando toda la obra con hormigón, que no podrá nunca compensar las ventajas de su eterna cluración y economía de conservación. La perfecta calidacl,de los hierros y aceros que hoy día se obtienen y la precisión con que se calculan y ejecutan las obras metálicas más atrevidas, permiten asegurar, que salvo contadísimas excep~iones, no convendrá proyectar viaductos de fábrica, pues el Ingeniero no debe aspirará construir monumentos, sino obras prá,cticas y de utilidad, teniendo siempre presente que es más beneficioso ejecutar ti-es ó cuatro viaductos de hierro, que comuniquen á otras tantas regiones, aunque al cabo de cien años hubiera que reconstruirlos, que un solo viaducto de fábrica imperecedero. La perniciosa influencia de las fábricas se hace sentir también en las soluciones novena y décima, de vigas rectas sobre pilas de fábrica y vigas parabólicas, pues las pilas ó los viaductos que las

312

GRANDES VIADUCTOS

acompañan, hacen ascender su coste á cifras comprendidas entre 1.101.000 y 582.000 pesetas, aunque se ejecuten con hormigones; y esto e_videncia, que en obras de tal importancia, , debe prescindirse de estos sistemas mixtos de fábrica y hierro, reduciéndose las fábricas, como hemos ya dicho, á los elementos indispensables para, los apoyos de extremos, de tramos, pilas ó arcos. Obedeciendo á este criterio, se obtienen las economías que resultan de las soluciones novena y undécima, la primera de tramos rectos continuos sobre pilas metálicas, la segunda con una gran viga ameri,..ana de 120m de luz, pues ~jecutándose las fábricas con honnigón y mampostería hidráulica, se reclucen los presupuestos de estas soluciones á 412.000 y 474.000 pesetas, que son menores que los de los arcos metálicos ele gran flecha tipos Eiffel, Seyrig y Suizo. De esto se cleduce que, cuando por circunstancias especiales no pueda construirse un arco metálico de poca flecha, será casi siempre preferible proyectar ó vigas rectas de varios tramos sobre pilas metálicas, cuando éstas no necesiten alturas ex-t raordinarias, ó vigas americanas de un solo tramo, cuando la rasante se encuentre á más de 80 metros sobre el fondo del valle. Así, por ejemplo, un cálculo aproxim~do que hemos hecho para el viaducto de Garabit, nos permite asegurar que hubieran podido economizarse mil toneladas ele hierro en dich?, obra y una buena parte de fábrica, sustituyendo el arco central y los dos extremos laterales que salvan un vano de 284m por tres tra- . mos de vigas americanas, análogas á las del puente sobre el Kentuc~y-River (lám. II, :6.g. 10), con piso superior, dos ele ellos de 82m de luz y el central de 12 )m, con lo que la altura total de las pilas quedaría reducida á 85m, de los cuales los 10m inferiores de hormigón y los 75m restantes de acero. Calculamos aproximadamente la economía que produciría esta disposición en un millón de pesetas.

Ya hemos visto también que los puentes colgados, son de

CONCLUSIONES

313

todas las soluciones las más económicas; pero á pesar de que con los procedimientos actuales de construcción ha vuelto este sistema á recuperar la fama perdida, creemos q~e no debe adoptarse sino en aquellos casos en que la economía producida, excecla ele 25 á 30 por 100 sobre otra solución más rígida, y como en el caso presente sólo llegaría á 39.000 pesetas, es decir, un 12 por 100 ele nuestro presupuesto, no hemos vacilado en clar la preferencia al arco articulado.

165. Comparación del peso del arco adoptado con los construidos hasta el día.-Demostrada ya la superioridad económica de la disposición general que preconizamos, sobn los demás tipos ele viaductos generalmente empleados, restanos ünicamente, para terminar este estudio, demostrar que el arco articulado que hemos calculado, es uno de los más ligeros ele los proyectados hasta el día, á pesar de las condiciones ele cálculo á que hemos sometido todos sus elementos que garantizan su perfecta estabilidad. Naua mejor para ello que presentar en los dos cuadros siguientes los pesos ele los arcos metálicos más notables superiores á 50 metros de luz, cuyos elatos hemos pocliclo reunir.

-· --~

Vía única Idcm. Idem. Doble vía. ldem. Idem.

Pont-aux-Moines (Orleans) .. Puente de l'Oued-Riou ...... Puente de l'Oued Rouira .... Puente del Loira (Nantes) ... Puente del Erdre (ídem) ..... Puente de Coblentz ........•

110,00

Idem. \

6,00

Puente viaducto de Pino .....

;

· 24,00 120,00

6,00

Puente viaducto de Pino .....

1 - 5~31 21,48 114,00 6,00

Viaducto de Schwartzwnsser.

l 28,33 85,00 13,20

19,70

Viaducto de Kirchenfeld (ídem) ....•......... •••••

85,78

1 4,3

1 5 2-1,00 '

H. F.

l 10 7,20 72,00 120,00

H. F.

l 10,9 7,30 80,00

11,9 I

4,80

lH. F.

(F.

,H.

)H.

\H.F.

4.838 3.575

9.677 6.500

6.000 9.300

960.000 1 €50.000

447.000

430.000

1.344.000

205 .000

370.000

2-16 .000 t 12.000 (

Idem íd. 266.

Cuatro tramos de luces distintas, construído3 ror Eiffe!, con entarugado de madera.

Idem íd. 180 metros. 414 2.483

Idem íd. 167 metros.

Idem íd. 229 metros.

Longitud del viaducto 110 m.

Carro de 9t íd. íd.

Carro de 12t y sobrecarga de 300k por m".

429

44-1

396

489

513

700

Construido por Gouin y Cia.

2.575

5.870

1.863

2.936

3.593

8.406

714

460 1

380

320

)El montaje se hizo en tres meses sin cimbra, por la 588 ) fábrica de El Creusot; costó 25.000 pesetas 685 ¡Tiene el arco 13 cuchillos. ..

9.300

5.060

11 .970

¡ 58'1.300 ~ 88.500

5.110.000 600.000

, Longitud del viaducto 266 m. 6.000 Idem íd. 355 metros.

5 000 !Lleva •demá, un, oomt.,a.

410

4.180

O.:>

1-'

zt':l

o o z o

o 8 o Ul

ol:rj

P>-

¡.¡,,.

1-'

<: ... ¡;; Cuatro arcos. iguales de 60 m.

4.510

3 .520

! 33.000 312.000 . 49.000 381.000 ( 65.000 490.000 } 65.000

201.000

13.'i00

3.b30

lú.000

OBSERVACIONES

Estos puentes están en la Ar. gelia francesa.

67 por 100 del metal de 4 ·800 )Elacero, trabajando á 20k

3.677

7.355

14.400

2.600

2.670

2.670 2 600

2.780

Por vía ó metro cuadrado.

2 780

Por metro lineal.

2.625.000

1.769.000

920.;:i00

441.300

130.000

13!.200

139.000

Totales.

PESOS EN KILOGRAMO

Hierro 229.820 1 ~und. • 17.380 ¡

1:,3 ; H. 1 12( \F.

1 9,2 1

2,9

1 4 1 :i,76 1

1 11

l 10 1 10 1 7.9 1

9,2

1 10 1

Viaducto de Javroz (Suiza) ..

7,00

Puente de la Barca (Pontevedra) ...•...•...........

---Viaductos de carreteras.

12,00

Puente sobre el Erdre (Nantes) ...•....•.............

Idem.

7,37

6,48 82,67

Idem.

Puente de Pesth (Hungría) .. \

87,88

5,13 73,50 16,75

9,00

6,00

7,58

56,86

42,50

37,50-

14,30

9,60

12,00

6,00

5,00

97,00

Idem.

tria) ............ ••••••••'/

Puente de S,ogeóin (Aus-1

86,00

Idern.

80,00

66,00

20 ,0') .

Puente de Arcole (París) ....

'i0,00

ll,00

6m,oo

Puente, de la Cinca (Huesca).

Puentes de carreteras.

170,0')

ldem.

Viaducto de Garabit (ídem) ..

150,00 163,00

Iuem.

158,50

!-16,00

95,00

60,00

50,00

5,42

5m,0O

¡j0ro ,00 50,00

~'lecha.

Luz.

Puente de Oporto (Eiffel, .... Vía única.

Viaducto de Paderno (lfalia).

Viaductos de ferrocarriles.

Puente de San Luis ......... Idem y carr.

Ancho.

PUENT J~S DE FERHOCARJULES

= ¿;· = o

e·

g:,

PESOS DE LOS PUENTES Y VIADUCTOS EN ARCO DE MÁS DE 50 ME'l'ROS DE LUZ ,

' ,

316

GRANDES VIADUC'l'OS

Hemos subdividido las obras en puentes y viaductos para ferrocarriles y carreteras, porque no pueden compararse entre sí ni los pasos ferrocaniles y carreteras, ni los puentes con los viaductos, pues la parte metálica de aquéllos terminaría en el aplomo de los arranques, mientras que en los viaductos se prolonga la obra á derecha é izquierda del arco. Así, por ejemplo, para el v~aducto de Garabit, si se tiene en cuenta su longitud uotal, que es de 266m, resulta que el peso total del viaducto, que es ele 3.200 toneladas, da un peso por metro lineal de 7.143 kilogramos, que no parece muy exagerado comparado con los demás puentes; pero si se considera sólo el peso del arco central y su tablero correspondiente, resulta el peso extraordinario de 9.300 kilogramos por metro lineal. Por estas mismas causas hemos comparado los pesos de nuestro puente, de Pino, con los demás puentes, no entrando en cuenta más que la parte metálica de la tercera solución (lám. I, :fig. 6), que da un peso por metro superficial de puente de 489 kilogramos, que es bastante inferior al de los puentes de Cinca, Arcole, Pesth, Erdre y La Barca, á pesar de que todos éstos tienen luces comprendidas entre 50 y 90m, lo que demuestra la excepcional ligereza de nuestro proyecto. Si comparamos ahora el peso total del viaducto con los tres viaductos suizos de carreteras, de ¡¡treo empotrado, que basta ahora se consideran como modelos de ligereza, observamos también que el peso resultante para el metro superficial de tablero resulta de 414k, que es inferior al de los viaductos de Schiwartzwasser y Kirchenfeld y casi igual al ele J avroz, á pesar de que todos éstos tienen menos luz que el nuestro, y de que hemos admitido esfuerzos de viento superiores á los que han servido para calcular los viaductos suizos. Con esto evidenciamos una vez más la influencia que tiene en el ooste de los puentes metálicos la adopción del acero, que per-

317

CONCLUSIONES

mite elevar el coeficiente Je trabajo รก 10k por m/m y la rmportancia que debe clarse รก los proceclimioHtos ele cรกlculo, que permiten afinar todas las dimensiones ele na obra, sin perjuicio alguno para su estabilidad y resistenc 2

,,Â·

...1

CUADROS RESÚMENES DE LOS

•

1 l l

-CUADRO ;uM. 1 Esfuerzos y trabcijos en ESFUERZOS COHTANTJ~S ~Iáximos totales.

Esfuerzos en las barras .

5160k

832Qk

2870k

5540

7130

12670 ·

-±370

DI~SIGNACfÓN

Carg,1 pcrmancn te.

Sobrecarga móvil.

\ Sobre apoyo O 1.er tramo Sm,OO . ... ( » I

3J60k

de l os tramos.

2.º tramo\ 8m,OO .. . · /

4830

6520

11350

3920

3.er tramo\ 8rn,OO, .. ·

II II

3870 3770

6480 lí130

103:iO 9900

3570 3-1:20

111

4930

6750

11680

4030

III

5460

7510

12970

4480

IV IV

6140 6280

7420 7490

13560 1J770

4680 4750

5320

7290

12610

43-,0

3700

5UO

9170

3160

5000

7420

12420

42\:JO

lt\-)30

7890

12S20

4420

VII

il770

59-!0

97 10

3350

VII

29 10

5190

8100

2800

VIII VIII IX

289() 2820 2980 2870 2930 2988 2900

5140 5380 5880 5380 5380 5380 53ti0

8030 8200 8360 8250 8310 8280 8280

2770 2830 2880 2850 2870 28liú · 2860

1.º tramo\ 1Orn,OO ... / ::>" .o

tramo\ JOm ,OO .. · 1.

6.º tramo\ 7m ,OO ..... ( 0

7. tramo l 7m,OO .... 8.º tramo \ Grn, .OO ... / 9. 0 tramo { (5rn,uo .... 10 tramo( 6m,oo .. . . l 11. tramo { orn,uu . ...

» » » »

X X XI

» »

is celosías de los tramos. ROBLONES

·BARRAS EXTEHIORES

BABR.\S INTERIORES -

Perfiles adoptados (descontando un roblón de 1 'i

Ó 19 m/ m).

Perfiles adoptados (descontando un roblón de

Trabajo [{

17 Ó •1\J

Í m).

Trabajo R

Número, diámelro y sección.

Trabajo R

Llanta de 65 ¡ X 8....... . , W = 384 7k,47 Roblón ele 17 \ u. de 80xlO.¡w _:_ R. de 19 .. .. J - 618 7 ,16

Angular de/ 55X 55X6. w = 522 5k ,5l1 3 ele 17: w = ti81 4k,2 J Roblón de 17 \ A_. ele 65 X/ 65 X 9.... . \w = 728 6 ,Oú 3 ele '19 : w = 849 5 ,14 R. ele 19 ..... R,·, cle ,5 X 9.) 4 ' (j9~ 5 ,38 Idem. Ielem. . ele 19 .... í tu= 504 7 ,77 4 ,20 4 ,91 Iclem. 7 ,08 Iclem. Ielem . 4 ,02 Iclem. 4 ,70 6 ,78 Iclem. Idem . . mín. 4 ,75 5 ,53 Iclem. Ic1em. 8 ,00 Ielem. máx . . cle80x1 O. 1w = 610 7 ,3 • 5 ,57 6 ,15 Ielem. Ielem. .de19 . . .. J 5 ,51 6 4~ Ielem. 7 ,67 Iclem. Ielem. ' 9 (j ,5~ 5 ,59 Iclem. 7 ,7~1 Idem. lclem. máx. máx. 5 ,12 Ielem. 5 ,87 7 ,13 Iclem. Iclem. A. ele 55 x ¡ -1.de 75 X 9. ¡w = 522 (-i ,05 55X6 ..... >W= 522 6 ,05 3 ele 17 : w = ü81 4 ,64 R.. de 17 ... . , mín. IR. ele 17 ..... l IA . de 65 x i.,.cle80x l 0.\w _ 610 7 ,OJ i 65 X 7 . .... 1· w = 728 5 ,83 ::lele19:w=849 5 ,05 R. de 19 .. ... l 1R. ele 19 .... \ 5 ,21 6 ,07 Ielem. 7 ,24 j Ielem. Ielem. A;_. de 55 X / . de 75 X 9. w - 522 6 ,41 1 ::,5 X 6 ..... c.,J = 522 6 ,41 3 ele 17: w =681 4 ,9 1 . de 17.... 1R. ele 17 ..... \

. ele 65 X 8. \ w _ t, ele 17 .... J - 384 7 ,29 7 ,21 Idem. 7 ,37 Iclem . 7 ,50 Ielem. 7 ,4'>~ Irlem. 7 /17¡ Iclem. 7 ,45 Ic1em. 7 451 Iclem. '

Ielem.

5 ,36

Iclem. ..

4 ,11

Iclem. Idom. Ic1em. Ielem. Iclom. Iclem. Idem.

5 ,30 5 ,42 5 ,5·J s ,46 5 ,49 5 ,48 5 /18

Iclem. Iclem. Iclem. Iclem. Iclem. Ielem. Iclem.

4 ,06 4 ,15

4 ,23 4 ,18 !¡ ,21 3 ,761 3 ,1ri rnín. j '

. . ' '

CUADRO NUM. 2 Car,qas verticales r¡ne cictú ,;i n sobre los montcintes mús cargados ele lcis 17alizaclcis. z

Totales máximos

S" §j' "' ...., o "O

C1r¡p

"' o

[ g- permanente o. o

a o

::,

s ~mipesa de a

Total de la caqp

del tablero. pa li zatl a . pcrmancn tr .

Súbrecarga

Sobrecargas móviles.

de 300 k. por me.

Carga permamanente y sobrecargas móviles.

o """

14110k

8830k

11500k

26610"

10-rn

11580

8390

11100

22li80

13290

2700

15990

9730

11400

27390

15320

2700

18020

10380

11800

29820

11920

2320

14240

8li60

10900

25 140

9930

1360

H290

7380

10100

21390

VII

9580

890

10470

6750

10500

20970

VIII

8610

690

9300

6410

9700

19000

8750

400

9150

6320

9800

18950

fi730

300

9030

6260

9800

18830

8700

240

8940

li260

9800

18740

XII

8700

240

8940

6260

9800

18740

8700

2í0

8940

6260

9800

18740

13270k

10540

8\Qk

CUADRO NUM. 3 Empujes horizont1JZes ejerciclos por el viento ele 27 0" en los capiteles de las paliz.aclas.

A I tura NĂşmero Empujll de las de las pal izadas. p a Ji za das . horizontal.

AJ tur a NĂşmero Empuje de las de las horizontal. pal izadas. paliza da s .

7,60

3460k

VIII

7,60

:2250k

10,30

2750

5,35

2280

III

20,00

8470

3,56

22.80

20,00

4000

~,21

2270

ts,'.l5

3110

XII

1,31

2270

VI VII

14,03

2590

XIII

0,86

2270

10,30

2500

CUADRO NUM. 4

P alizada X (3m,5G · · · ·

+ H50 250 + 1100 .

1350

= 1700

750

!140

9030

9150

112\W

Palizada IX Y palizadasde5m,35 ... . .. .. 250

Palizada VI (14m,03) · · . 29 00 --1- 34 50 3520 = 6350

11580

1H10"

18020

2700

i50Qk

8650 15050 835()

Palizadas IV y palizadas de 20'll,ÜÜ. · · · · · · 6400

= 4850

Palizada II y palizadas de 10m ,30 • • · · · · · · · · 1750 + 3100

= 4~00k

Palizada I y palizadas de 7m,GO .. · · · · · · · ·.· · 1650 --l- 1850

Viento de 270 k.

Viento

18830

18950

2139 0

29320

22680

256 10"

10380

10850

. 17640

33070

l 6't30

1861Qk

19580

19890

2 i9 10

38 170

25:lSO

281 10k

~100

1~00

1650

2450

3850

cuadros inferiores.

3 100

cuadros superiores. / 1

2200"

' 2." hipótesis. Esfue,·zos máximos 1." hipótesis. Carga Viento de 150 k. Carga permapente Viento de 270 k. + carga en la ce! isia de mas permanente permanente + carga sobrecarga sola + sobrec:trga (viento de 270 k.) '150 k. máxima . permanente. máxima.

Compresiones máximas en los montantes ele las palizadas.

e:,

10 ,30 25380

20 ,00 38170

14 ,03 24910

i> ,35 19890

3 ,55 : 9580

•• o

g-s N

Allura ai ~ ¡:::; - ·O..., L "'" "'

l"l -o p.~

7m,60 28110

;;; o..

[~ o..

1 '"'::: O~

.J'OO x 8

....

11."3

f S,

X $

luem .

t11f8lll d e ~

t.,=~ 1 , .

21¡,1rn.¼

anafal. de 7¾ 7,i'

,IOQ

.L1.==-,F! -~

7fpo nf!2

ansul de óOJdiJ.

'250X8

~~.~

Jf¡u> n.!1../

Idem.

- -ir;¡ 6VtJ'ldttre.1 .:ú>~

l!!¡,.

ñizo

PER~'ILES

CUADRO N U.M . 5

Idem.

0,000022

0,000119

0,000278

Idem.

0,000059

154700

Idem .

151700

0,005500 137600

0,007744 171300

O,Ol í. 376 234800

Idem.

0,006944 175200k

Momentos Sección .Q Esfuerzo de iner cia Sin deducir Sin deducir lími te . N. rohlones. (Rankme.) roblones.

MONTANTES

•

t:,

7,7

1 6,9

1 6,ü

1 l:i,2

1 6,:t

1 (j ,~ •)

~: 5·

~~~

n¡ E; "' "'

10152

Idem.

4873

6832

t;,j

§""""' N

..-: e

11'• :::.

,n ~...,,

~o - ,..._

o"' ::,:,~. o

§"t:r

~~¡;

s.-,

13850

,si

,O 14.00

4 ,1 1650

3 ,6 2450

, 3100

4 ,2 2100

m/m" 4k ,7 2200

Idem.

G032

ne.tal!) .

Sección

Trabajos máximos del meta,l en las val?"zadas.

Id e m .

Idem .

ü0 x 60 8 w = 760

angulares Je

70 x 70 8 w = 1026

angulares de

7U x 70 8 w = 920

Idem. angulares de

GO X 60 8 w = 760 m¡m•

angulares de

Pe r fi 1 (los roblones de '17 m/ m).

CELOSIA

1 ,3

3 ,2

3 ,8

2 ,8

2k ,9

• o

::'.;.~

8 o" o"' ::,:,~-

s -3 ,,._

"·

CUADRO NUM. 6 Elementos lle las diferentes secciones del arco emz10trado.

e:,

o00

cos

- - -- -

- -

sen

y !::,.S

6. s

rJ.

Espesor de platabandas.

3,90

0-1

1- 2

2- 3

3-4

3,67

3,47

3,31

Trasdós e'

lnlrados en

m¡m

60 m/m

5- 6

3,13

2,97

Om",O793 0,3006 2,43

Idem.

---------,-----

1,90 0,609 0,793

0.2662 6,14 4.66 0,583 0,812

0,0673 0,1996 ·9.68 7,12 0.557 0,830

ldem.

O, 1815 13,08 9,32 0,530 0,848

O,OGl3 O,H51 16,48 17,37 0,502 0.8115

0,0553 0,1180 19,90 13,28 0,471 0,882

---1--- --- --- --- - - -

15,3

:l7

·90

58,0

~· A =

lfi,3

58,0

4m,6O

17,3

IOü

376

495

58,O

~· A =

3~,6

143

110

142

431

566

116,O

4m,O4

20,2

196

144

1S93

1024

1392

6O,O

!~A =

52,8

339

254

2035

1455

1958

176,0

116

4rn,O4

22,2

290

207

3798

1928

2706

6O,O

75,0

629

461

6\33

3;{83

4664

236,O

159

111

3m,95

27,2

448

309

7387

3516

5097

li-i,4

~· A =

102.2

1077

770

13820

689~

9761

300,4

\)3

207

139

3m,9:i

33,5

667

·13287

5908

8853

· 71,4

135 ,7

177-i

1215

27207

12807

18614

371,8

109

263

169

20562

8802

13453

65,9

11213

17898

75,1

6-7

2,85

0,0493 0,1028 23,14 15,14 0'441 0,897

3m,25

38,4

889

581

7- 8

2,75

0,0433 0,0772 2·6,05 16,32 0 ,112 0,911

3m,25

42 ,4

1097

687

37:30

2483

76338

32822

49965

512,8

135

378

223

28569

---

-------

2,65

ldem.

0,0715 29,03 17 ,60 0,382 0,924

3m, 16

44,2

1283

778

37i49

13691

22583

73,O

!J - 10 2,55

ldem.

0,066131,9818,76 0,350 O,937

3m,16

47,8

1529

897

48836

168i2

28677

73,0

l;toA -=

308,2

65-í2

4158

162473

63335

101225

658,8

155

504

273

8- 9

l1 2,45

2·1

Idem.

0,06081!4 ,90 19,80 0,317 0,948

3m,ú9

50,8

1773

1006

61875

19912

35105 ~1u

71 ,4

11 - 12 2,35

Idem.

0,0558 37,86 20, 73 O,283 O,959

3m,O9

55,4

2097

1148

79409

23798

43479

71,4

~••A=

414,4

10412

6312

303757 107045

179809

801,6

167

634

314

10 -

4m,6O

'º

xy 6,S

4- 5

x• L.\S y• 6 S 1- 1- - -

12- 13 2,27

O,O493 0,0591 40,81 21,68 O,248 0,969

3m,O4

51,4

2097

1114

856O-i

24160

45476

61,7

13 -14 2,2 0

0,0553 0,0641 43,77 22,24 O,212 0,977

3m,O4

47,4

2075

1054

90809

23445

46141

55,O

14584

8480

480170 154650

271426

918,3

173

745

34~

1- ·

14 - 15 2, 12

15- 16 2,08

0,0594 46, 71 22,82 O,175 O,985

3m,OO

50,5

2359

1 152

110182

26298

53832

54,2

0,0493 0,0495 49,62 23,28 0,137 0,991

3m,OQ

60 ,6

3007

1411

149206

32848

70003

60,8

624 ,3

19950

11043

739558 213796

395261

1033,3

176

857

359

ldem.

~ 16

16- l7 2,04

Idem.

0,0475 52,67 23,63 O,O98 0,995

2m,98

62,7

3296

1482

17l278

35010

77874

60,5

17-18 2,04

Idem.

0,0461 55,55 23,87 O,O59 0 ,998

2m,98

64,6

3589

1542

Hl~343

36808

85657

60,5

251,6

26835

HO67

11H179 285614

558802

1154,3

177

977

369

2m,96

64,9

3798

1556

:17320

91076

60, 1

816,5

30633

15623

133435 322934

619878

1214,4

177

1037

370

18- 19 2, 00

ldem.

0,0456 58,52 23,U8 0,0 10 0 ,999

}.;s ÜBSERVACIÓN. Al dibujar los detalles de los arcos, hemos aumentado algo los espesores de las platabandas de intradós, en los bastidores

O - 1, 1 - 2, 2 - 3 que tienen valores para e" de. 73m/m, 73 y 60 en lugar de los 60, 60 y 4Sm /m indicauos en este cuadro, que hemos creído innecesario corregir, dada la escasa influencia de la variación.

1~ H

\> I"'

2;2l256

M > rn

'º

H[>

rof~

e:,

o00

[C R

CURDRO NUM'.. 7' Cálculo .de.los elementos ele las ~íneas de influencia ele· las reacciones del apoyo izquíerdo del ~treo, empotrado. Posición de la carga P= ·J k.

Número de los mantanles.

Absci:;a , de 1a CJl'ga

...

·-g. N

... o

'§"' QJ

) \ \

( ci

..:::l - o QJ

...

"ó

,,.... o

\ ( \

flA ·

18' lti' 14' 12' 10' 8' ti' 5' 4' 3'. 2' l' O'

62,96 243948 418312 16036 68,92 169174 279312 11930 ~4.75 ll2636 179583 8638 , 80,67 68756 1055,9 5886 86,58 ::isoo8 56005 3758 . 92,45 18665 26288 22:26 98,31 290R 10511 1199 l01,77 4415 ,5720 786 105,23 2780 479 2256 108,62 1017 1163 262 112,02 368 358 117 115,74 47 80 28 119,40 o o o

o 1 2 3 4 5 (i

8 lO

Q,A

4 --

12 14 16 18

1 1

0,60 4,2ti 7,98 lU~8 ¡4;-r, 18,23 21,ti9 . 27,55 :• 3.42 39,33 45,25 51,08 57,04

"ó QJ

I !'

-- -- -.O - 3,Y90 + - .6,8ti0 - ~,962 -10,535 -11 ,li l l -l!:',130 ~ll,ti64 - 9,665 - 6,M5 - 2,857 + 0,,98 4,089

o 1,00000 0,009· U,99860 0,037 O,Y9f43 0,080 0,9818::l 0,138 0,9783'0 0,212 0,9653\l' 0,300 U,94864 0,478 0,91~2 0,677 0,85 l 0,8,6 0,79301 1,051 0,71684 l,184 0,63463 1,256 0,54532

..¡:

1,256 1,184 1,051 0,876 0,6'i7 0,478 0,300 0,212 0,138 0,080 0,037 0,009

6,56, 8,0::!4 f:1,414 · 7.946 o,752 5,124 :J,3()7 2,462 1,63 1 0,957 1 0,452 0,10!":I

0,45468 o,.,65?'i 0,28316 0,2069~1 0,14169 0,08968 0,05136 0,03464 0,02170 0,01217 0,00557 0,00134

CUADRO NUM. 8 Cuadro de las reacciones del apoyo izqitierdo b_ajo la acción d·e la carga permanente.

ORDKK.IDAS D! LIS L!ms DE INFLUENCIA

UESIGNACION de

las cargas.

/ Palizada V VI V.ll Cargas\ Vlll transmi. IX ti das por <, X las XI zadas .••

pali-t

XII

\ Montante

Peso propio del ( · '''º····¡ · '

Xl!I

5 6

Cargas

,!1214

11>

14240k 11290 10470 9300 9150 9030 89-10 8940 8900 5000 5100 4400 3800 3600 3200 4000 4000 4000 4000 .4300 3900 3900

o - 3,99+0,ll= -'-- 6,86+0,45= - 8,96+0,96= -10,54+ 1,64= -11,61+2,46= -12.13+ 3,40= -11,66+5,12= - 9,67+6,'.:"5= - ti,54+ 7,95 = - 2,86+8,41= + o,8u+a,o3= + 4,09+6,57=

H3460k

- 5,65 +0,026 - 8,74 0.125 - 8,84 28 - ó,77 o, 46 - 3,12 o, 6li + 1,19 O, 86. + + 5,41 l, 05 + + 8,83 l, 18 + +10,65 1, 25 +

º·

- 3,88 - 6,41 -'- 8,00 - 8,90 '- 9.15 - 8,73 - 6,54 - 2,92 + 1,41 + 5,55 + 8,83 + 10,66 '

Empujes

+ parciales. Pq m"A)

·P(m'

:_ 6,10+0,45= '--10,20+ 1,46= -12,05+3,21= -11,75+ 4,98= '- 9,77+6,65= - 6,71+7,90= I_ 3,00+8,41 = + 0,78+8,05= + 4,07+6,58==

¡parciales. Momentos

o 0,009 0,037 O, OS o, 14 Q, 21 O, 30 o, 48 o, 68 o, 88 1, 05 1, 18 l, 26

804;)6 + 370k 1411 986,5 2932 92555 4278 62961 6039 21548 7766 10746 4836;') 9387 J0;i49 789!0 11125 9-178.'i

·+ +

o 19788 2820-1 30400 32040 29280 34920 26160 11680 5640 23865 + 34437 + 41574

o 46 163 304 504 674 1200 1920 2720 3520 4515 46020 4914

-236315

78937

â&#x20AC;¢

• JU:\L 9

CUADRO

}l,fo1nentos de ineráa y secciones de las • abezas y clia,r¡onales clel circo empotrado.

mm1s os us mms

Secciones. (Todos los ;tgujcros de roblonos son de 23 m /,. de di::metroJ.

Altura lt

E SPESOR DE PLATABANDA$

Trn~dós

Intradós

Momentos de inercia (descontando agujcros)

v" I

DJAGONALES

4,00

ID/ rn

m/ ,n

100

2,177

l ,U 16

m"!

0,311641

6,99 6,15 0,071610 13,96

e°'lDm•••-t*..!

3,80

.--~---·=··-!

2,112

J :821

7, 38 6 ,36 0,076300 1:i,11

0,286167

e'::;"im"=Jlft'P.I""""" ~qr·~ 1 :¿

1,976

1,682

0,'202417

9,76 8,3 1 0,064\)52 15,40

3..40 3.:/2 3;ll5

48 36 36

~8 48 ;15

1,748 1.812 l, !)o l

1,748 1,492 1,561

0 ,168935 11,1 35029 0,108958

0,35 10,35 0,05%0~ 16,81 _3,42 11.05 0.05405() 18.50 4,33 14;33 0.048008 20;57

2,90

1,661

1,29\J

0,084\JOO

2.80 2,70 2,60 2,50 2.40 2,30 2,24 2,15 2,10 2,07 2,0.:2 2,00 2,00

24 ?4 24 24 24 24 36 36 24 24 24 24 24

1,424 1,374 1,324 1 274 1,224 1,174 1.289 I;n1 0,950 0,937 0.915 o:906 0;905

1 ,424 1, 74 1.324 1,274 l,~24 1,174 1.011 1,111 1,210 1,193 1,165 1,154 1,154

W, 56 20,56 0,037712 26 ,52 0,069279 1 1,38 21,38 0.064261 Idem. Id. o;ov9449 . )2,27 22 27 Idem. Id. l3,24 23'.24 Idem. Id. 0,054825 0,050390 ¡ 14,29 2(29 I dJm. Id. O,Oi6144 . '5,44 25,44 Idem. Id. ~5,74 20.19 0.043160 23,17 0,050084 eo,78 20,78 0,048608 20 57 0,053461 D[ ,70 27,64 0.043160 23.17 0,043784 B2,04 28,07 'Idem. 0,012506 Id. 0,04.0~ lO l ~.64 28,82 Idem. Id. 2,88 29,i4 Idem. 0,039600 Id. 0 2,88 29,14 Idem. 0,0396 rO Id.

3,55

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3 4 5

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7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ·17 18 19

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Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem.

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0,007890

0,6:í.

198, 0

Idom.

O,G2

204,4

0,006240

O,!i5

2-1.6,5

Idem. Idem. Idem.

0,62 0,61 0,59

258,5 262,7 271,6

0,004608

0,65

333,9

Idem. Idem. Idem. °ldem. Idem. Idem. Idem. Iclem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem.

0,64 0,63 O,G2 0,61 0,59 0,59 O,:i7 0.56 o;55 0,55 0,54 0,54

339,1 :~34,5 350,0 355,8 367,8 367,8 380.7 387;5 394,ti 3U4,6 401,9 401,9

Idem.

.,, .,.,..~~

........ .JIL. :,-ttS X e-

,, ..., .._-tt.'!:.15.!!!!:..

9-'

Idem. Idem. Idem.

¡ ·~¡

,..

1 • ............

'I!-'

e;.::rc:mn•-~· . •·---...S-ua--..i: lv'

---------',rtv·!

(Todos los agujeros de rohlones son de 23 "'/m).

Secciones (des:ontundo agujeros)

PERlnLES

.Q.

e''

,¡'

Secciones (descontando aiujeros ro Iones)

24 24 2'1 24 24 ~4 36

36 36 36 36 36

9, 56 15,30 0,043 160 23, 17

•

·-

.JI.-. _8o-x8o-

-,rti

[dem. Idem. Idem.. Idem. Idem. Idem. Iclem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem.

. ,

' CUADRO ÚM, 10. Cálrnlo del ti-abajo prnclw.:ido por la carga permanent CARGA PERMANENTE

las cabezas y diagonales del arco empotrado. QA

157874k) CABEZAS

u, o

"'"'o· ::,

p. = Q

v" I

N Qx1ou

Trasdó ·

Intradós

w sen ~

«•d sen ~

---

v" P. r x 10u

DIAGONALES

+ 20\:J700 + 206100 +

- 1,58

1,39

2,93

1,35

k 4,32

'198,0

+ + + +

2,12

10700

6/19

6,15

13,96

13100

7,38

6,30

13 .11

1,17

l ,OO

2,12

0,95

3, 12

204,4

4500

\:J,7(5

8)1

15,40

1,00

0,85'

3,00

2,00

3,85

246,5

192ü00

7500

10,35

16 ,8 1

0, 75

0,75

3,24

2.49

3,99

258 ,5

39~00

184600

900

l 3,42

11 ,05

18, 50

0,53

0,44

3,42

2,89

3,8G

262 ,7

·+

0,23

0,15

23700

183000

+ +

4500

14,33

20, 57

0,34

3,76

3,42

4,10

. 277,6

1,22

6 -

0,02

3200

17Ll 'iOO

1700

19 .56

15,30

23, 17

0,06

4,0\:J

4,03

4,15

333,5

·3800

20 .56

20,56

26, b2

4,(i8

4,68

4,GH

339,1

2600

tl,38

;>1,38

íclem.

0,34

4,53

-f,87

4,19

331,5

3100

22,27

-22,27

íclem.

O, 18

0,18

4·,~3

4,71

4,35

350,0

3500

23,24

íclem.

O, li6

0,66

4·,41

5,07

3,75

355,8

2:.00

24,29

24 ,29

íclem.

. 0, 58

0, 58

4,41

4,99

3,86

367,8

42li0

25,'14

25,44

íclem.

1.00

1,00

4,31

5,:31

3,31

367,8

1800

25, /4

20,19

23,17

0,89

0,70

3,77

4,66

3,07

380,7

5000

20,78

20 ,57

(l,\J4

0,94

3,29

4,23

2,35

387,5

1000

;>1 ,70

27,64

23, 17

0,85

1,09

3,71

4,56

2, 62

394,6

5800

:22,04

28,07

íclem.

1,08

1,37

3,67

4,75

2,30

394,6

!i 00,

22, 64

28,82

íclem.

0,89

1, 14

:\67

4,56

2,53

401,9 401 ,9

l, 43

22580ú

1,00

157900

O 65

102600

19j000

3 -

O 46

7:2600

4. -

0,25

5 -

•

+ 0,10 +

176500

15800

171000

+ +

0,05

7900

171000

0,18

28400

166200

o, 15

'23700

.Hi6200

1:!

0,2.::i

39500

162600

0,22

:H700

1li2700

íl, ~9

45800

159900

0,25

· 3\:J500

160000

1ü

0,3 1

49000

158300

0,25

39500

158-hJO

0,32

50500

157,00

6~00

22,88

29, 14

íJ.em.

1, 15

1,47

3,65

4,80

2,18

0,'26

12600

15787!1

22,88

29,14

íclem.

0,97

l ,2i

3,68

4,ti5

2,44

_.. _

+ + +

2,68 1,11 1,94

0,57

1,29 0,87

1,09 1,25

0,9:l 1,55

0,69 1,94

0,39 2,29

0,16 2,49

X' IX' VIIL' VII' Vl' V·

XIII' . XII' XI'

XII XIII

- IX X

VIII

VII

kilograrnci;¡

7650 - 6,10x í650= - 4G665 ...¡ 0,02oX7650=' +

-Idem Idem Idem Idem Idem

= = = = = 5400 5400 5400 5400 5400 5400 5850 6300 7650

51100 5400 5400 5400 5400

+ 6,58X íd . = -1 35552 + 8,ü5x íd. = +43470 + 8,4l x ·íd . = +454,4 +- 7,90x íd . = +42660 + G,65x íd. = +3;,ülG + 4,98x íd. = + 2li892 + 3,21x íd . = + 18THI + l,46 x id.= + 9108 + 0,-16x íd. = + 3519

kilogramos

1638 +0,952x5850=

4940

+ 6750 6370 5670 4614 3564 2486 1638 088 199

+ 2450

1512 1095 = 740 = -+ 4tiC = + 281 = + 120 = + 30

= + = +

= -i-- 1966

íd.= + 4304 íd . = + 4304 íd.= + 3888 íd. = + 3134 íd. = + 2950 5400x2950 5400=3•134 5rn0-3888 5400-4304 ~400- 4660 5400-4940 5850- 5569 6300-6180 7650-76:i0

+o.863x +0,í!:li x • 0,í20x +0.636,x: +0,546X

0,46x5400= + 2486 + 0,ül4 x 5400= + 4940

+ +

+ + + + +

5,26 6,82 8,01 9,19 10,08 10,82 11,46 12,46 17,68

14,80 7,80 2,86 0,66 3,26

25,M

43,04

81,54

233,32

metros

ZA= QA

fJ·

Punto de paso á la .izquierda

· HJ9 + 0,996x7650= + 7620 í881+0,981x6300= + 6180 -

- 9,í7x5400= - 52758 0,!i6x íd. = + 3564 - G.7lx íd. = - 36234 + 0.86x íd.=+ 46l4 3,00x íd . = -16:200 + 1,05X íd.= + .5678 + 0,i8x id =-: + 4212 + l,18x íd.= + 6370 + 4,07x íd. = +2iUi8 + 1,25x íd. = ..... 6750

900 = 5400 -ll ,75x5400= ~63450

x . 900 = 5850 -l2,05x 5850= -':0492 + 0,28x 5850=

x 900= 6300 -10,20x6 00= -642601 + 0,125x6300= +

x 900

kilogramos

?_+2 ~ x

REÚCIONES DEL APOYO IlQUIERDO Cargas transmitidas Pali zadas. ¡por las pali zadas sobre cada arco' Mo111eúto de empotramiento Empujes horizontales Reacciones verticales p P. =m p Q q p R =R P A A A A A A .

1.vlomentos fie<:tores, compresiones longi tudinales y esfuerzos cortantes producidos en el arco empotrado por la sobrecar,qa estática de 300k por ni'.

CUADRO NÚM. ll.

1 7

1 ยก

ยก 1 1

12. Trabajo del metal en las secciones de las cabezcis actiiando por medio de cada iina de

·co empotrn,do, por efecto de la soureccwgci estática ele 300k porm', s palizcidas (kilogramos por m/ m~).

SECCIONES DE LA CA PALIZADAS

EZA DE TRASDÓS DEL ARCO' 10

V VI VII VIII IX X

X[ Xll Xlll

xm· XII' XI' X' lX' VIII' VII' VI' V'

k -0,2~ - 0,364 -0,409 -0,361 -0.281 -0,164 - 0,023 +0,1;¿;¿ 0,241 0,332 0,378 0,381 0,34U 0,288 0,214 O,H7 0,076 0,026

k -0,048 + 0,055 +0,053 -0, 142 -O,l:¿8 0,064 -0,33l -0,280 -0,139 -0,308 -0,309 -0,2l0 - 0,256 -0.2i6 -0,208 -0,163 -0,197 -0,161 -0,048 - 0,08± -0,080 ---- O,!Htl + 0,029 +o,078 O,lHJ O, 160 0,184 O, l\:19 0,251 0,265 0,245 O,;J06 0,309 0,259 0,317 0,316 0,293 0,299 1 0,250 0,212 0,25-l 0,248 0,160 0,190 0,183 0,113 0,132 0,127 0,060 0,070 0,066 0,025 0,018 0,023

--- -

Compresiones máximas .. + 2,554 + 2,092 +2,110 + l,788

+0,062 +0,059 0,186 0,199 ·0,009 1 0,231 0,031 - 0,135 - · 0,193 -J,065 - 0,169 - 0,096 -0,130 -0,089 -0,037 - 0,029 + 0,052 0,033, o,096 -0,130 -0,188 o, 128 -0,204 0,156 - 0,230 0,174 0,188 0,150 -0,144 0,115 - 0,504 0,083 - 0,057 0,047 -0,027 0.026

+ 1,597

+ 0,070 0,214 0,480 0,263 0,074 -0_.039 -0,09~ -0,069 -0,027 + o,uzo 0,069 0,087 0,121 0,114 0,091 0,069 0,041 0,028

+ 0,066 0,196 0,444 0,510 0,267 0,098 - 0,012 - o,orn - 0,034 - 0,010 + 0,020 0,031 0,067 0,008 0,055 0,044 0,028 0,026

---1---1--+ 1,515 + 1,746

Tensiones máximas ... . . + l,829 -1,296 -1 ,274 -0,798 +0,664 -O,:ó'79

- u,0 1· -0,051 - o,on. 1 - 0,04~ - O,OJ + 0,00~ 0,0141 0,01

0, 057 0, 152 0,3;:,2 0,572 0,683 0,386 0,157 0,031 -0,053 - 0,084. - 0,091

-o,om 0,053 -0,036 -0,U25 -0,010 0,001 +0,020

- - ---

+ 0.053 +o ,orn 0,1 32 o, 10\.l 0,3u5 0,259 0,500 0,428 0,829 0,723 0,572 O 78.J. 0,281 0,367 0, 147 0,095 0,007 - 0,031 -- 0,102 -0,099 - 0,130 - o, 157 - 0,14.9 - 0,188 -0,103 -0,144 -0,079 0,120 -0,060 - 0,091 -0,036 0,057 - 0,012 -0,024 + 0,018¡ + 0,015

- - - - --

+ 0,043 + 0,036 O,OGl 0,087 O,l5C 0,212 0,271 0,358 0,489 0,620 0,950 0,772 0,601 0,766 0,299 0,406 0,055 0,131 - --0,076 -0,047 -0,163 -0,166 - 0,217 - 0,241 - 0,178 -0,206 -0,153 -0,179 -0,119 - 0,144 - 0,079 -0,096 - 0,035 - :0,052 + 0,014 +0,001

+ 0,025 0,033 0,092 0,162 0,310 0,506 0,745 0,4.66 0,210 0,(,38 - 0,081 - o, 152 - 0,153 - 0,138 -0,114 -0,078 -0,038 + o,óo8

+ 0,022 0,'Jl9 0,05\:1 0,113 0,236 0,410 0,613 0,656 0,3-!8 0. 126 - 0,024 -0, 131 - 0,133 -0,134 0,115 - 0,080 -0,046 + o,oou

+0,019 O 005 0,029 0,066 0,165 0,307. 0,489 0,788 0,,173 0,217 0,044 - 0,090 - 0,107 -0,121 -0,111 -0,079 - 0,04 1 + 0:009

- -- --+ 0,017 -0,008 o + 0,022 + 0,095 +0,209 + 0,3fü + 0,639 +0,636 +0,340 + 0,13.2 -0,030 -0,073 -0,100 -0,101 -0,073 - 0,039 + o, con

+ 0,014 - 0,020 - 0,027 -O,Ol7 + 0,030 + O,ll9 +o 239 + 0,489 + 0,793 +o, .m +o,236 + 0.045 - 0,U2:! - 0,068 -0,082 - 0,062 -0,035 + O,OlO

+0,011 -0,02f, -0,046 -0,053 __: 0,02~ + 0,049 + 0,03, +0,356 +0,635 +0,6K + 0,356 + o 137 + 0,049 - O,U22 - 0,053 -o,orn - 0.025 +o,o n

+ 2,410 +2,785 + 2,887 +2885 + 3,089 +2,595 +2,6 ll +2,611 +2,463 +2,452 +2,376 - o,rn.J - o,7o5 - 0,880 -1,080 - 1,13 1 -0,7ü4 - o,657 - o,548 - o,424 -o,333 - 0,292

CUADRO Traba,.jo del metal en las secciones de las cabezas de intradós ele! actuando por medio de cadx una de

~M. 13. ~o einpotmdo, por efecto de la sobrecarga estática de 300k por ni•, valizadas (kilogramo vor m/m~.

SECCIONES DE LA CA 1i SEZA DE INTRADÓS DEL ARCO

PALIZADAS

-- -- - -

9 '

- -

-- --

-- - -

V VI

vu 11 11

I!11 11' 1,

VIII IX X XI XII XIII XIII' XII' XI' X'

IX' VIII ' VII' VI' V

+o,328 +0,437 +0,484 +0,450 +0,397 +0,310 +0;200 + 0,079 --=-0,025 -0,113 - 0,169 -0,194 -0,194 - 0,170 -0,130 -0,091 - 0,048 -0,019

+0,156 + 0,010 1 . + 0,3151 +0,227 + 0,399 +0,366 +0,387 +0,402 +0,358 +0,394 +0,293 +o,345 + 0,209 +0,268 +0,108 + 0,164 +0,016 + 0,069 -0,061 - 0,016 -0,114 - 0,079 - 0, 138 -0,112 -0,14.7 -O,l92 -0,134 -0,120 -0,102 - 0,095 - - 0,072 - 0,070 -0,040 - 0,039 -0,017 -0,018

-0,019 +0,072 + 0,287 +0,370 + 0,394 +0,37 1 + 0,312 +0,211 +0,125 +0,037 - 0,029 - -0,071 -0,100 - O 098 - 0,082 - 0,061 - 0,036 - 0,019

-0,0451 -0,058 - 0,049 -0 ,053 -0,05 -0,144 +0 ,137 +0,270 +0,343 +0,348 +0,339 +0,275 +0,203 +0,130 + 0,06'1 + 0,021 -0,037 -0,038 - 0,038 - 0,033 -0,021 - 0,017

-0,HlO -0,141 -0,161 -0,321 +0, 159 -0,020 +0,287 +0,162 +0,350 +0,282 +0,371 +o,355 + 0,827 +0,353 + 0,269 + 0,326 +0,19G + U,276 +0,128 + 0,218 +0,078 + 0,170 + 0,016 + 0,098 --0,006 +0,057 -0,017 + 0,029 - 0,019 + o_.012 - 0,015 11_ _0 -0,018 1 - 0,015

-0. 162 -0,372 -0,278 +0,009 +0,222 +0,372 +0 ,424 +0,424 +o ,390 + 0,330 + 0,275 + 0,181 + 0,120 + 0,075 + 0,0401 0,012 - 0,0161

0,047 - 0,043 - 0, 116 - 0,094 .... 0,276 -0,229 o- 0,4f-8 - 0,384 o-0,415 -0,663 ,,___ __ 0,074 -0,264 -+0,29:1 -0, 199 +0,073 + 0,39: 11-0,349 +0,285 +0,44 ' 0,443 + 0,42-! +0,43: 0,4.li6 + 0,484 +0,394 0,443 + 0,484 0,407 + 0,459 + 0,34l: + 0,244 0,303 + o.355 0,226 + 0,211 +o,17 0,157 + o, 192 + O,llí 0,096 + 0,122 + 0,01C + 0,021 0,04 1 + 0.054 - 0,01· O01 0 - 0,008 - 0,l~ - 0,32·1 --0,531 -0,191 +0,081

Compresiones máximas .. +2,685 +2,242 +2,245 :i--2.179 -1- 2,130 +2,181 +2,338 + 2,874 +3,oaTensiones máximas ...... -1,153 - 0,826 - 0,678 -0,545 -0,373 -0,349 -0,546 -0,886 -1 ,2

-0,038 -0,071 - 0,181 - 0,310 - 0,555 -0,480 -0, 123 +0,2,n +o,381 + 0,481 +0,511 + o,5oo + o,396 + 0,312 + 0,225 +0,143 + 0,066 -0,005

-0,033 -- 0,021 -0,049 -0,017 - 0,132 -- 0,060 - 0,238 -0,116 -0,448 - 0,2-18 - 0,728 -0,429 -0,257 - 0,335 + 0,075 - 0,030 +0,323 +ü,1 97 +0,452 + 0,314 + o,517 + 0,405 +0,529 +0,431 +o,432 + o, 360 + 0,3±5 +0,2\J6 + 0,253 + 0,218 +0, 167 +0,143 -f- 0,077 -f-0,06L -0,008 ¡ - - o

-0,017 -0, 003 -0,028 - 0,066 ¡- 0,172 - 0,326 -0,527 -0,1 82 + O,UJ6 + 0,254 +0,355 +o,404 + 0,3!9 +0,292 + O218 + 0,146 + O,OiO

- 0,018 -0,0U - 0,017 + 0,0:34 -0,009 +o,on -0,0 16 +0.043 - 0, 121 - 0,028 -0,188 - o, 154 -0,4!:17 -0,33-í -- 0,476 - 0,683 -0.068 -0,2:30 -+ 0,213 + 0,09.G + 0,378 + 0,290 +o.474 +0,422 + 0,419 + 0,386 +0 ,362 +o ,3-!5 + 0,281 + 0,275 +o, 189 +0.187 + 0,092 +0 ,091 o o o

- 0,010 - 0,006 + 0,051, -t- 0,066 + 0,08'1 -1- O, 120 + 0,102 +0,151 -0,063 + 0,151 -0,030 + 0,092 -0,l70 -0,009 -0,488 -0,290 -0,441 - 0,660 - 0,067 -0,246 + 0,175 +0,038 +0,3-!3 +0,245 + 0,345 + 0,273 +0,318 + 0,275 +0,2ül + 0,237 + 0,180 +0,14.0 + 0,091 +0,086 o + 0,001

-0 .003 +0,073 +O, 146 + 0,200 +0;236 + 0,183 + 0, 12;3 -0, 117 -0,45-l -0,45'1 -0;117 +0,123 + 0,183 +0,236 + 0,200 + 0,1-17 + 0,073 +9,009

-3,130 +3,203 +3,246 +3,174 + 2,455 + 2,174 + 2,434 + 2,214 +2,013 + 1,874 + 1,922 1,396 -1,658 -1,763 -l,880 - 1,256 -1,321 -l,484 ¡ ·-1,443 - l ,20b -1,212 - 1,148

l' '

CUADRO ÍTM. 14. Esfuerzos cortantes y trabajo del metal en las clia,c;onales del are-0 npotrado, por efecto de la sobrecarga estática de 300k por m\ actuando por medio de cada ima de lf! palizadas (kilogramos por m¡m'). NÚMEROS P ALIZAD AS

2-3

1-2

0-1

- - - -- - -- - - - - - - - -

V VI VII

vm lX X XI XII

xm XIII' XII' XI' X IX' Vlll' VIL' Vl'

V' li

- - - - - - - - - - ~=~ Esfuerzos cortantes positivos.. + 17840 E sfuerzos cortantes negativos. - 16800 l

Valores de wd

sen

m/m" ................ . ......

Tensiones máximas por

+ 3,532

3640 2640 1800 890 40 8 10 1420 1850 2020 2000 1740 14~0 10-10 700 360

+ 18"i60 - 15190

+ 135!10 - 13630

- --

---

204,4

-- -

Compresion es m áx imas por

rno _ 120 130 47li0 510 500 3,80 + 3920 + 4060 :ti90 2940 3100 1970 2950 2340 1090 1280 1500 180 400 640 5!:JO 360 -=:--110 - 1200 960 _ 710 -- 1G20 - HOO 1150 - 1'320 - 1620 - 1400 - 1820 - 1640 - 1420 - 1610 - 1460 - 1310 - 1320 - 12~0 - 11 00 900 820 980 610 560 660 2(]0 330 310 20 80 - 80 -

-=~1--- --- ~=~

198,0

P , ••••••• ,

5-6

3,835

7-8

~ ~~~

10-11 ,1 11-12

12-13

13-14 14-15

k k 70 70 - 300 - 270 - 660 600 - 1020 940 - 1560 - 1420 - 2140 - 1980 2480 - 2600 1880 + 2140 1330 1600 820 1100 440 700 390 170 - -180 O 50 - 110 130 ----4-,-0 110 50 70 40 20 10

15-16

16-17

17-18

18-19

:• 500 2489 1610 690 270 1040 1660 2060 2220 2170 1890 15!0 1110 750 380 100

4-5

---

k k 140 GOOO !480 _+_4_6-20-

k 5850 4360 3350 2340 1440 500 480 - 1260 - 1870 - 2280 - 2420 - 2310 - 2020 lo40 - llíO 800 400 100 -

3-4

· E LOS MONTANTES

246,5 1 - --

+ 3,350

+ 14570 - 12160

+ 10690 - 11200 262,7

- - - - --

+ 3,766

+ 2,808

120 - - 4'i0 - 1000 + 3260 2520 1720 860 160 150 90-0 - ]160 - 1240 - 1140 970 730 5~ 260 60

--- + 11640 + - 9560 -

---

258,5

271,6 - --

+ 3,162

~ ,_ ,_ ,,_ ,,_

110 44 0 960 340 2700 1920 1100 39:J · 200 660 9!0 1060 1000 860 650 450 2-W 60

110 100 -- 430 - 400 - 920 - 860 - 1420 - 1340 + 286ú + ;;020 2100 2300 1320 15!0 620 860 40 - ·-- 280 - 430 190 - 730 - 500 - 870 670 - 840 680 - 740 62'0 570 - 480 ·- 400 340 210 180 50 .. 50

k go 90 1 - 380 360 1 - 810 760 1 - 1270 - 1200 1 - 1890 - 1790 1 + 2500 + 2700 1780 2000 1120 1360 ·540 800 60 310 ----280 60 470 260 520 - 360 500 - 370 - 400 320 280 230 160 130 40 -30

---1--- --- -

80 330 700 [100 1670 2300 2:U0 1600 1060 580 200 ·--60 180 240 220 170 - 100 _ , 20

·-

60 250 530 840 1280 1800 2360 2420 1880 1400 960 620 380 180 70 20 -10

5o 220 480 760 1160 1650 2180 2720 2140 1640 1200 840 540 320 160 80 20 10

50 180 400 660 1020 H60 l~0 2480 2400 1900 1460 1070 730 460 260 150 50 10

40 160 350 560 880 1280 1740 2220 2720 2180 1700 1290 920 600 360 220 90 20

---1--- ---1---1--- -

8540 ~ 9500 + 69!0 + 8000 + 6000 + 7170 + 5680 + 7120 + 6160 + 7930 + 6!J50 + 8490 + 7380 IJOOO i- 76ao - 7720 - 6410 - 7090 - 5960 - 7170 - 6150 - 8020 - 7150 + 9220 - 8230 + 9950 -

333,9 -

- -- , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ __ ,__.__ - -

339,1

334,5

1--- - - -

• 350,0

355,8

---1-- -

367,8 -

367,8

380.7

387,5

394,6

4.01,9

401,9

•

- - - - - - - - - - - - - - - - --

+ 2,852 !l- 3,225 +2,321 +2,800 •t-2,135 +2,637 +2,089 + 2,711 +2,387 + 3,129 + 2,742 + 3,412 +2,966 >- 2,587 -2,582 -2,244 -2,522 -2,192 -2,647 -2,357 -3,108 -2,813 -3,638 -3,307 --3,999

m¡m•a. - 3,326 - 3,105 - ·3,360 - 3,143 - 2,942 - 2,597 - 3,005

CUADRO NUM . 15 Carqas transmitidas al arco empotrado por las palizadas en las cinco hipรณtesis de sobrecarga mรกxima.

Palizadas.

โ ข

Primer ca o. k

10100

3200

150

8500

8350

600

3700

+ 3000

3700

700

9400

900

8800

o o o o

8800

5000

700

5700

o o o o

700

5000

5700

o o o o o o o o

8800

900

.o9

9400

3700

3000

3700

700

900

XII XIII XIII' XII'

10100

. VI'

o o

9400

VIII' VII'

Quinto caso.

4500

IX'

Cuarto caso.

caso.

8500

10100

Tercer

o o o

V VI VII VIII IX

XI'

Segundo caso.

3200

4500

5100

4500

600

4500

5100

8500

150

8500

8350

o o

3200

3200 10100

10100

10100 1

:, .1

I¡

:¡

CUADR 1

16. iolígonos auxiliares de los tres primeros casos de sobrecarga dinámica.

R,eacciones y elementos para la construcción de los polígonos de las" presiom

':I TERCER CASO

SEGUNDO CASO

PRIMER CASO

Palizadas.

m,A

1 !

p. A

P·A

11·A

J:?,A

QA,

..---

11 1,

;¡

6,10

-J.- 0,(126

- 10,20

+ O,125

VII VIII IX X XI XII XIII

-12,05

+ O,O28

l 1i

10061)

400

313!

8500 + 102425 +

2380

+ + + + +

809

o o

3200 -

32640

4500 -

52875

9,77 +

0,66 + 0,863

3700 -

36149

6,70

O,86

3 00

+ +

+ 0,797

1,05 + 0,72O

9-iOO

900 -

63074

+ + +

2070 2442 8084

2700 +

945

411:

3191

o o o o

7491 611

o +

150 -

1808 +

o -

o o

70840 + 10384 + 3203 + ; 8800

5000

27J(

1,28

700

+ +

6400

+ (1,454

203511

1,18

+ 0,366 + 0,280 + 0,203

o o o

9400 +

o o

3700

.\ 500 + 221110 +

8500 +27285

6,58 + 8,05

+ +

4606 o

896 o

5000

8800

+ + +

+ +

8,41 7,90

0,86

IX' VID'

6,65

0.66 -i-- 0,137

4,98 +

VII'

+ 3,21 + O,28 + 0,048

o o o

+ 1,46 + 0,125 + 0,019

3200

+ 0,004

101 00

1,05

O,46 + O,O86

0,46 -j 0,026

900

2849 32900

896 +

382

6rno +

2270

+ 74260 + 7569

+ 24605 +

9í5 8084

+ -i-

152 +

143

5rn

+ 2589 + : 7492 + 648 + ¡ 5597

900

23178

7296

..L.

37506

729ü

+ · 2588

+ +

70840 +

10384

+ 1 3203

' : 1

' :

311 2 ' 1

1 1

7569 + 74260

...)... 1

'9l 5 + . 1

2380 +

408 +

150 +

482 +

4672 +

400 +

'i646 +

263 +

2988 -

8084 +

GOO

3000 + 24605 + -

l984 276

-t , 1

252 191)8 i 441 5.2

+¡

' 1

10384

387 -

507

6864 +

+ 2070 + 2442

1908 + 94.00 +

~15

+ o,~-rn

1980

2700 +

1,28

29310 +

900 -

5700

5591

27ü

8084

5700

1050 -

63074 +

1038!1

4:l

8800

31,

+ +

6864

+.3000

+ o+

700

600 + 9400

8800

4,07

o o

o o:

;

+ 0,78 + 1,18 + .O,636

XI' X'

263

61600

0,46 + 0,914

111

+ +

10100 -

-11,75 +

+ Xill'• + XII' +

!i:

+ 0,996 + 0,981 + 0,952

CUADRO NÚM. 17

Esfiierzos y trabajos prodiicidos en el arco einpotraiJJ; Semi-arco izquierdo

nor la primera hipótesis de sobt·ecarga dinámica. targado, QA=34264k DIAGONALES

CABEZAS

Secciones.

fJ,=QA Z

I Q

v" -

v'¡¡.

v"¡¡.

Ix 106

nx10u

Trasdós

Intradós

wsen~

m 9,00

- 308300

k 55100

k 14300

6,99

6,15

13,96

k - 2,15

k 1,90

k + 0,77

-- 1,38

k + 2,G7

198,0

k + ~,83

- 6,95

- 238·100

54600

16000

7,38

6,36

13,11

- 1'76

1,51

+ 0,72

1,04

+ 2,n

204,4

+ 3,27

-4,95

169600

48200

9400

9,76

8,31

15,40

- 1,66

1,41

+ 0,74

0,92

+ 2,15

246,5

+ 2,32

- 3,75

-128400

48000

11000

10,35

16,81

- '1, 33

'1,33

+ 0,81

0,52

+ 2,14 ·

:!58 ,5

+ 2,84

-2,42

82900

46000

9800

13,42

11,05

18,50

- 1,11

0,92

0,26

+ 1 .77

352,7

+ 2,57

-1,25

42800

45600

11400

14,33

20, 57

- 0,61

0,61

--¡- 0,96

+ 0,33

+ 1,55

271,6

+ 3,10

41200

5400

19,56

15,30

22,17

+ 0,91

333,9

+ 1,80

0,37

+ 1,09

+ 1,46

+ 0,72

339,1

+ 2,27

+ 0,88

+ 1,04

+ 1,92

+ 0.76

334,5

+ 1,30

1,22

+ 1;22

1,03

+ 2,25

0,19

350,0

+ 1,82

0,85

+ 0,52

17800

41100

6700

20,56

26, 52

+ 1,20

41100

39100

3900

21,38

idem.

+ 0,88

+ 1,60

54800

38900

5200

22,27

ídem.

+2,06

70600

37500

3000

23,27

ídem.

t t

1,64

+ 1,6!¡

+ 0,99

+ 2,63

0,65

355,8

+ 1,07

+2,43

83300

37300

4400

24,29

ídem.

+ 2,02

+ 0,99

+ 3,01

1,03

:i67 ,8

+ 1.62

+2,80

95900

34600

3200

25,44

21,44

ídem.

2,44

+ 2,44

0,92

+ 3,36

1,52

367,8

+ 1,18

+2,58

88400

34700

3000

25,74

20,19

23,17

2,28

-1-

1,78

0,80

+ 3,08

0,98

380,7

+ 1,14

+ 2,40

82200

34700

1600

20,78

20,57

t t t

4,71

+ 1,71

+ l),31

+ 2,42

1,00

387,5

+ 0,62

+2,35

80500

34700

400

21,70

2764

23,17

+ 1,75

+ 2,23

0,80

+ 2,55

1,43

39·í ,6

+ 0,16

+2,35

80500

33600

7700

22,04

28,07

ídem.

1,77

+ 2,26

+ 0.78

+ 2,55

'1,48

39i,6

+ 3,04

+ 1,72

58900

33800

6400

22,64

28,82

ídem.

+ 1,33

+ 1,70

+ 0,78

+ 2,11

0,92

40y,9

+ 2,57

+ 1,20

+ +

41100

33900

10100

22,88

29,14

ídem,

0,94

+ 1,20

+ 0,79

4,73

0,41

401,9

+ 4,06.

+ 0,37

12700

22,88

29,H

ídem,

0,22

+ 0,37

+ 0,79

+ 1,08

0,42

34264

0,37

, 1

Rt.1

CUADRO NÚM. 18 Esfuerzos y tmbajos producidos _e?~ _el. arco empotrado Pº: la serruncla hipótesis de sobreca_rf}_a d~námica. Semiarco derecho cargado: Q A '

o 1 2 3 4

-5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

+ 7,70 ++ 263800 198700 + 5,80 + 4,20 + 143900

fJ-

+ +

2,80 1,65 + + 0,60 + - 0,30 - 0,98 - 1,50 - 1,85 - 2,18 - 2,32 - 2,35 - 2,32 - 2,15 - 1,85 - 1,45 - 1,00 - 0,32 + 0,37

+32800 33200 . 33600 34000 95900 34300 56500 34600 20600 10300 34900 33600 35100 51400 35300 63400 35400 74700 35500 79500 35600 80500 35600 79500 35500 73500 35500 35400 69400 49700 35200 34300 35000 34600. 11000 12700 34264

'l.'

, 6

I X 10

k -14000 - 12900 - 11900 - 10700 - 9700 - 8400 - 7200 - 6100 5000 - 3800 - 2500 - 1300 O 1300 + 2600 + 4000 + 5300 + 0700 7300

34264k .

y ele w sen B son iguales á los del cuadro anterior.)

QA Z

Secciones.

_T 11

(Los valores ele+ y

k . + +

1,84 1,47 1,40 0,99 0,76 0,30 0,20 0,69 1,-tO

v' 'p.

I X 10

. k

1,62 1.26 + 1,20 0,99 + 0,62 + 0,30 + - 0,16 _.... 0,69 - 1,10 - 1,41 - 1,41 - · 1,74 - 1,74 - 1,93 - 1,93 - 2,05 - 2 05 - 2,04 - 1'.61 - 1,52 - 1,53 - 1,38 - 1,75 - 1,10 - 1,40 - 0,78 - 0,99 - 0,25 - 0,32 + 0,29 0,37

+ +

N·

Qx 10

CABEZAS

+ 0,44 0,46 + 0,52 0,57 0,63 0,71 0,77 0,93 0,94 0,94 0,94 0,9-1 0,94 0,82 0,73 0,82 0,82 0,81 0,80 0,79

+ +

+ + + +

+ -

+ + +

' k 1,16 0,82 0,68 0,42 0,01 0,41 + 0,93 1,62 + 2,04 2,35 2,68 + 2,87 + 2,99 2,-'!3 + 2,26 · 2,57 + 2,22 1,80 o'.o3 1,12 0,55 1,08 + 0,42

Diagonales

R,¡

2,30 1,91 1,92 1,56 1,39 1,01 0,57 0,24 0,16 0,47 0,80 0,99 111 1'22 ú'80 o:56 O 28

+ +

+ + +

+ + + +

+ + +

+ +

k 2,77 2,64 2,93 2,77 2,55 2,28 2,40 2,07 1,67 1,83 0,89 0,48 O 0,49 1,01 1,58 2,09 2,69 2,93

CUADRO NUM. 19. Esfuerzos y trabajos producidos en_eLarco JirrJP.Q.tJ'g,g,_o_p_or Jg, ter9er_g,_]J,jp9ü1s_i§ jj~ so_brecg,rga dinámica.

Parte central cargada: QA (Los valores de

•

Secciones.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18 19

rn +2,50 + 1,45 +0,55 -0,10 - 0,58 - 0,90 -1,10 -1,17 -1,05 - 0,83 - 0,55 - 0,18 +0,22 + 0,22 0,33 + 0,60 0,90 + 0,88 1,00 +0,94

+ +

(.l=QA

' T' T,,

+ 142300 82500 + 31300 - 5700 - 33000 -- 51200 - 62600 - 66600 - 59800 - 47200 - 31300 - 10200 + 12500 12500 18800 + 34100 + 51200 + 50100 + 56900 53500

+ +

1 y

sen í3 , son iguales 4Jos _del cuªdro anterior.) v'p.

k -13800 - 11900 - 9900 - 7900 - 5900 .....:. 3700 - 1700 400 + + 300 5100 + 4500 6600 200 2000 -j · 3300 + f1600 - 1000 1300 - 2200

+ 61800

62000 62500 62700 62900 li3100 63100 63100 63300 63200 61900 61800 58900 58900 58600 58500

57:lUO

57200 56900 b6910

56910k.

+ + +

v" p.

Ix10" Ix 10" ~Jx10" k + 0,99 0,61 + 0,31 - 0,06 -0,44

k + 0,88 + 0,f.>2 + 0,96 -- 0,06 - 0,36

-1,22 - 1,37 - 1,28 -1,05 - 0,73 - 0,25 0,32 + 0,32 _ + 0,39 + 0,74 + 1,13 1,12 + ·1;30 + 1,22

- 0,96 - 1,37 -1,28. - 1,05 . - 0,73 - 0,28 + 0,32 0,26 - 0,39 - 0,94 1,44 + 1,44 + 1,66 1,56

-u,n· -o,n-

CABEZAS

Diagonales

R''

k -2,73 -2,43 - 2,44 -2 ,04 -1,55 -1,00 - 0,57 0,14 1,00 1,79 + 1,60 +2,42 - 0,07 0,76 + 1,28 2,21 - 0.39 0,52 - 0,88

+ 0,86. + 0,02 + 1,85 o,8r 1,42 + 0,29 0,96 1,27 1,05 0,99 1.16 0,72 1,300,57 l,,58 1,40 1,67 L\30 1,67 0,39 1,67 0,62 1,64 0,91 1·,54 0,39 1,56 0,88 1)67 _ 1,35_ 1,21 -- · 1,60 1,36 2,10 1,33 2,46 1,33 2,46 -· l,32 --- -2,62 1,32 2,54

+ 0,70 + 1,11 + 1,52 +2,03 +2,36 3,04 +2,95 +2,72 +2,37 1,89 1,24 1'09 + 0,8:l 0,42 - C,11 - 0,11 ~ 0,34 -0,24

+ + + + + +

CUADRO NUM. 20 Trabajos ejercidos en el arco empotrado por la cuarta y qiiinta hipótesis de sobrecarga dinámica .

Secciones.

CUARTO CASO DE SOBRECARGA

QUINTO CASO DE SOBRECARGA

CARGA COlhPLETA

EX'.rRElllOS CARGADOS

Intradós

Trasdós

R' k

o 1 2 3 4 5 li

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

-----------CABEZAS

CABEZAS ~

R" k

+ 0,92 + 1,51 1,41 0.87 1,47 1,00 1,72 1,04 1,78 1,13 1,96 1,34 1,87 1,48 2,34 1,70 2,80 1,76 1,78 2,16 2,03 1,83 1,8-i 2,02 1,47 2,25 1,45 1,86 1,26 1,62 1,14 1,99 'l,27 5,74 0,88 2,14 0,71 2,28 2,16 0,84

Diagonales

k + 0,06 + 0,63 -O,ti1 +o,o7 + 0,02 + 0,82 - 0,60 +0,20 - 0,37 0,49 + 0,18 + 1,14 -1,18 - 0,65 + 0,39 +o,42 - 0,95 +0,12 -1,13

Diagonales

Intradós

0,93 0,55 0,27 0,05 0,41 0,77 1,30 1,40 1,37 + 1,16 0,92 + 1,69 + 0,37 + 0,19 0,02 - 0,11 -0,19 - 0,32 - 0,34 - 0,38

+ 1,53 + 1,12 + 0,77 + 0,61 +0,26 - 0,07 - 0,52 - 0,70 - O,ló - 0,56

+ + + + + +

Trasdós

--·

-U,34

- 0,05 + 1,23 0,36 0,44 0,72 +o,85 + 0,99 1,05 1 + 1,08

+ +

k +2,79 3,06 1,83 +2,11 + 1,57 + 1,82 - 0,03 + 0,06 - 1,37 -1,30 -1,42 -1,28 -1,11 - 1,41 - 0,89 -1,79 - 0,56 - 0,40 - 0,25

-1

....!

CUADR Es fuerzos y traba,.jos producidos por un aumenf

UM. 21 temperatura de 30° en el arco empotrado.

14665k. DIAGONALES

CABEZAS H

Secciones.

p.=

QA Z

V' I

V" -I-

X <1 '--' -¡::

m + 18,65

+ 273400

k + 11500

k 9100

6,99

6,15

13,96

k tl,91

+ 15,84

232200

11800

8800

7,38

6,36 .

13,11

ifl,71

+13,17

193100

12100

8400

9,76

. 8,31

15,40

tl,88

159600

12300

8000

10,35

16,81

ifl,65

128500

12600

7600

13,42

11,05

18,50

99100

12800

7200

14,33

72000

13100

6700

19,56

+ 10,89 + 8,77 + 6,76 + 4,91 + 3,48

51000

13300

6300

2,15

31000

13500

0,94

13800

0,16

V" ¡1. I x 10•;

k 1,68

Qxl O6

Trasdó,

Intradós

w sen~

0,16

k 2,07

k 1,52

198,0

k 1,80

1,4.8

·0,15

1,86

1,33

204,4

1,80

1,60

0,19

2,00

1,41

246,5

2,07

1,65

0,21

1,86

1,44

208,5

2,07

tl,72

+ + + +

1,42

0,23

1,95

1,19

262,7

2,00

20,57

t l,42

1,42

0,26

1,68

1,16

271 ,6

1,96

15,30

2R,17

tl,41

1,10

0,30

1,71

0,80

333,9

2,23

20,50

20,56

26,52

+l,O5

1,05

0,35

+ +

1,40

0,70

_339,1

2,14

5800

21,38

Idem.

+0,67

0,67

0,35

1,02

0,32

334,5

1,94

13700

5400

22,27

Iclem.

t0,31

+ 0,31

0,36

0,67

+ 0,05

350,0

1,89

2;;00

13800

4900

23,24

Idem.

-0,05

0,05

0,37

0,32

0,42

355,8

-- 1,74

1,16 -

16900

14000

4400

24,29

Idem.

-0,41

0,41

0,37

0,04

+ 0,78

367,8

1.62

2,02 -

29600

14200

3900

25,44

I dem.

-0,75

0,75

0,38

0,37

1,13

367,8

1,43

2,78

40800

14300

3400

25,74

20,19

23,17

-1,05

0,82

0,33

0,72

1,15

380,7

1,29

3,42

50100

14400

2800

20,78

20,57

-1,04

1,04

0,30

0,74

l,34

387,5

1,09

3,94

57800

14500

2300

~l ,7O

27,64

23,17

-1,25

1,fiO

0,34

ü,91

l,94

394,6

0,91

4,34

63600

14600

1700

22,04

28,07

Iclem.

-1,40

1,79

0,34

1,06

2,13

394,6

0,67

4,63 -

67900

14600

·1200

22,64

28,R2

Idem.

-1,54

1,96

0,34

l,2O

2,30

401,9

0,48

4,81

70500

14600

600

22,88

29,14

Iclem.

-1,61

2,05

0,34

1,27

2,39

401,9

0,24

4,87

71400

14665

22,88

29,14

Iclem,

- 1,63

2,05

0,34

1,29

2,39

4 5 6

CUADRO NUM. 22 Cargas del viento ele 270k por m~ sobre el tablero suverior, sobre las palizadas y sobre el arco empotrado. COORO!NlO!S D,L PUNTO BE !PLIC!CIÓN

Fuerzas Altura del punto Distancia horizontal horizontales de dilicación encima del punto ele aplicación al e la cuerda p origen A del arco

XII

Cargas del viento \ XIIl XI ele 270k sobre el X

. tablero aplica-¡ IX

das en los pl~- VIII nos de ~as pali- VII zadas numeras. VI \ V

1=i XII

Cargas del viento de 270k sobre~ IX las palizadas VIII números ..... . . . VII

I iI ! '

Cargas del viento\ de 270k sobre los arcos empo- ;

trados en los/

montantes números .........

18 16 14 12 10

8 6 5 4 3 2 1

2270 2270 2270 2280 2280 2250 2500 2590 3110

26,64 Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Iclem.

m 57,00 51,00 45,00 39,00 33,00 27,00 21,00 14,00 7,00

m 25,37 25,19 24,70 24,02 23,13 22,00 20,65 18,79 16,63

m 57,0tl 51,00 45,00 39,00 33,00 27,0ü 21,00 14,00 7,00

m 23,94 23,47 22,55 21,15 19,29 16,98 14,22 12 37 10:36 18,24 5,96 3,29 0,48

m 57,04 51,08 45,25 29,33 33,42 27,55 21,69 18,23 14,77 11,38 7,98 4,38 0,60

210 200 300 450 640 1280 1720 3060 4950 k

3370 3380 3500 3530 3660 3770 3140 2390 2470 2540 2800 3180 780

CUADRO NUM. 23

Cálculo de los valores de los momentos de /lesión y torsión en los montantes del arco empotrado, prodncidos por el vr n~o de 27 0k_por m!.

m'r=-cosCJ.~:P (X-x)senCJ.~: P(Y -y) ni'i=-senCJ.~: P(X·~x)+cosCJ. o z - · e:;. o 8 ::, o o ~ é

1 1

situadas cos

sen ex

á la izqui~rda

de las secciones.

I P (Y-y)

yIP

,; -s p

~PX

IP(X - x)

f}."

"'oe>

- --1

-- --

lll

19 18

60,00 57,0 t

24,00 23.9!

1,000 0,999

5L06

23,76

0,997

Esfuerzo co rtante t.

0,079

t:S

m 23 94 25,37 2G,64

57,0i G7,00 57,0U

8ü680 S330 fi0'170

. 139000

o o

7480

192220 11970 12~390

9 180

333580 o

31G250.

111

t:S

t--1

t--l

"Ó

1 ~

o o

k 3370 ~10 2270

111

'a:!

o o

o 0,039

Cargas del viento

~~P ~Y -y). (1)

t--l

MOJl1EN'l'OS

MOMENTOS

en los extremo · de los trozo ·.

en el medio de los trozos.

m' f

o o

17330

7460

590

17280

Números de los trozos.

"Ó

o o

1370 -

m'i

o o

18-18

6090

'16-18

17870

m' t

m' f

17900

6100 ~

5 1 ns

¡ 48,16

0,993

23 ,47

Of988

n,01

o, 118

0,153

¡ --

!15,25

42,2!)

0,981

22,55

0,973

:>1,91

()

5850 3380 200 2270

23, 47 51,08 25, 19 51,00 26,64 · :il,00

137300

1 í6rno 79330 5040 ü0470

269920

il400

333580 172650 10:200 11 5770

291320 o

263840

27480

632200 o

48790

632200 158370 14500 10"2150

11 iOO o

O,l9J

0,230

14l34 80

5850 o

11700 3500 300 2270

22,55 24 .70 26,64

291320 7d\J30 7410 60470

45,25 45,00 45,00

3893 -rn

39,3J

3-0,38

33, \2

27,55

1li,98

21,6\1

0,2ü6

o,3oo l\

17770 3530 450 2280-

0,334

'15,65

14,22

0,931

0,366 /

0,918

0,397

0,1104

0,890

30610 3770 . 1280 22jQ

16,98 22,00 :.!6,li4

27.5, 21; uu 27,00

,, 730480 6't010 28160 59'.140

8,2'1:

0,839

0,544

7,98

5,96

0,821

O/ i70

0,596

0,621

fi5780 25-rn

8,24

11 ,3\

1211010 :.I0930

58320 2800 4950 3110

ti, 96 16,63 26,61

7,78 7,00 7,00

1231940 16690 82320 82850

69180 3180

3,~o

4,26

1413800 10460

72360

142-1260

.529-t?O +

1onso

2li960

5300

751 490

15-1730

47470

71170

10020

100830

198í0 -

106130

7120

1'1 220

15055')

35590 -

161770

11820

10520

ü2290

906220 o

698~90

..L

2U7J30

60050

16570

199870

55 150 -

216-'tíO

4900

874210

;¿i73 l O

92320

29030

264550

83200 -

293580

9120

348-HO

113920

4U350

328580

116380 -

3G8030

2480

1151520 122320 173680 21120 75240

93330G

436900

161700

G3570

406750

159900 -

470320

1800

1370200 o

8 13310

516890

1p3440

83660

483690

209180

567350

15740

1370200 103360 289300 34:,60 60750

9333~0

636030

261 530

123530

574970

271580 -

698500

10050

822270

7't7100

3057~0

156300

664920

339\:l30 -

sz1 no -

55li800

519760

593290

r 81

59990

493760

210720

11 ,38

14,77 14 00 14 ,00

67900

rn759o

10.36 18.7\J 26,64

3270

803080

_J 1

47660 3470 3060 i590

10589 20 25590 57500 69900

21140

5020

1151520 o

459630

45270 2390

ü8730

120800

1029360 ' 205f-i0

0,516

34600

18,28

0,856

563470

4100 -

463540

12 ,37

10, 36

0,784

730480 o

34520

96770

21,69 21,00 21,00

l !i,77

0,48

58 .\3í0 7UGOO 14800 607i0

1080

14,22 20,li5 26,64

0,803

33,42 · 33,00 1 33 ,00 1

9120

487570

882590 4 'tli50 35520 G6600

0,487 \ I

3,29

J 9,29 23,13 26,64

3 '17GO

90li220 138830 17550 88920

0,455

0,87!1

0,60

58-13 110 o

8825\:lO o

12,37

438130 74660 10810 60740

39 ,33 39 ,00 39 ,00

375840

37910 o

18,23

4,2fi

21,15 24,02 2li,6í

30610 o

O 427 \

24030 3f-i60 640 2280

2403 0 o

37910 3140 1720 2500

43,;130

----

18,19

0,9\ 3

19,29

30 ,49

2-1,62

0,954

20,29

0,964

21,15

14-16

71300

+ 10600

1:2- 14

161800

+ 11900

10-12

293600

9100

8-10

470300

1800

6-8

69.3500 - 10100

5-li

918500 - 31 300

4-5

- 1109900 - 47300

3-4

- 1330900 - 58300

2-3

- 1575700 - 74800

1-2

- 1882100 - 79700

0-1

- 2!36 lOO - 94 600

;

--- ·

----

17770 o

._>\)8820

•J7600

)4730

343510

1569370 o

342111

1569370 68110 469370 36120 52500

825270

900830

410230

228580

787300

438700 - 101:i880 -

28470

1726100 43570

703940

1065730

483780

291620

912240

G49920 - 12038ü0 -

66140

1769670 36480 751380 428!¡0 36260

634780

+ ·1250470

li30410

408750 1049170

680260 -

1457920 -

49850

465390

+ 1448860

726050

504080 1189430

825790 - 1693510 -

99740

294710

+ 1698200

952520

706970 1363650 1012130 - 2f\70 620 -

69610

565160

88't350

18852.iO 28900

191 4150 223í0 34650 1186200 21770

+ 1389530

19\J2910 13550

. 43420

+ 1963 040

1089391)

862880 1539020 121 9020 - 2401900

¡1

2006460

i i

12Q630

úM. Cálculo del momento flector en la clave MOMEN1'0S

en el medio de los Lrozo .

Trozos.

m' f

cos

(J.

1n' t

18-1 8'

sen , _

Separación media de los Altura de los ,ll'COS arco ·

m 5,92

értice del arco empotrado (viento de 2 70k). ~

24 .

Sec ción bruta

K''

5,00

2,00

25,00

4,00 0,0493

+ ~

Q 11

......

c..,

0,6163

0,0194

!),61

17900

+ 6100

5,96

0,079

0,9 97

5,04

2, 02

25,40

4, 08

Idem.

0,6261

0,0197

9,49

23,90

169900

14-16

71200 + 10600

6,00

0,153

0,988

6,1li

2, 10

:2 6,63

4,4 1 Idem.

Idem.

0,6564

0,0207

9,03

44, 35 -

6429 00

12-1 4 -

161800 + 11900

6,08

0,2 30

0,972

5,35

2,24

28, 62

5,02

Idem.

Idem .

Iclem.

0,7055

0,0225

8,38

62, 15 -

1335900

10-12 -

293600

9100

6,18

0,300

0,954

5,G2

2, 40

31,58

5,76 0,0433

Idem.

0,6837

0,0251

8,62

73,87 -

2530800

8-10 -

470300

+ 1800

6,32

0,366

0. 931

5,96

2, GO

35,52

6,76

Iclem.

Idem.

Iclem.

0,7690

0,0328

7,65

8 1,16 -

3597800

6-8

698500 - - 10100

6,50

0,427

0,9 04

6, 39

2,80

40,83

7,84 0,04 63

Idom. · Idem.

0,9452

0,0369

6,22

84,62 -

43~4700

5-6

918500 -31::JOO

3,95

0,471

0,882

6,7:l

2,97

!i 5,97

8,8 ~ 0,0553

Idem .

Idem.

1,2710

0,0406

2,74

50,42 -

4- 5

-1 10\!900 -47300

3,95

0,502

0,865

7, 10

3, 13

50,H

9, 80 0,061 3

Idem.

l ,51151

0,05 52

2,21

3-4

- 1330900 -58000

4,01

0,530

0,848

7,44

3,31

55,35 I0,9Li 0,0673

Idem.

1,8625

0,0623

2-:1

- 1575700 -74800

li,04

O/i5 7

0,830

7,8 1

3;47

6 1,00 12,04 0,0733

0,00102

2,2 356

1-2

- ·]882100 - 7!1700

4, 60

0,583

0,812

8,23

3,67

67.73 13,4 7 0,0858

. 0,001 22

0-1

-:2236300 -94600

.!J ,60

0,6 09

0,7 93

8, 68

3/17

75,34 15,21

Idem.

Iclem.

Idem.

(")

g¡ ~

16-18

Idem.

C> c..,

C> c.., ......

c.., ~

"'R

.'C>~"'t:l

(")

t:l

"'R

0,00090

...... C> c..,

Q "' ~

(")

....,~-

C> c..,

m 1,000

Qli I= -

<;;

+ +

9,61

1,89

145800

9,46

470100

8,92

6,79

+ 739600

8, 14

14,29

+ +

672200

8,22

22,16

146 100

7, 12

29,70

8S4700

5,62

36,13

25 16700 -

1578 100

2,42

23,75

48,8-í -

2452900 -

2310100

1,9-1

2-i ,5.1

' 1,82

38,79 -

2422200 -

2249800

1,55

20,56

0,0902

1,5 0

:16,12 -

2363500 -

2701800

1,24

20,12

2,9056

0,0902

1,29

29,73 -

2427900 -

2369500

1,05

17,33

3,232 1

0,10 07

1,13

27,81 -

2527000 -

2630800

0,90

16,94

- 2735~200 - 12521 000

+ 66,16

+ 23~,18

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 o

. 13

18 17 16 15 14

montantes.

de los

Números

1n't

o 0, 6090 5020 10620 7120 11880 + 4900 9120 - 2460 1800 - 15740 - 10050 - 34210 - 28470 - 66140 - 49850 - 99740 - 59610 -129630

in'f

o o 17870 34600 71170 - 206130 - 161770 - 216440 - 293580 - 568930 - 470320 - 567350 - 699500 - 821220 -1015880 -1203860 -1457920 -1693510 -2070620 -2457200

+ + + + + + +

en lo s montant es .

MOMENTOS

(Mr )e = 1n' f

(J.

1,000 0,999 0,997 0,993 0,988 0,981 0,973 0,964 0,954 0,943 0,931 0,918 0,904 0,890 0,874 0,856 0,839 0,821 0,803 0,784

cos r:1.

o 0,039 0,079 0,118 0,153 o,rn3 0,230 0,266 0,300 0,334 0,366 0,397 0,427 0,455 ü,487 0,516 0,544 0,570 0,596 0,621

sen

+ (Mr) v cosa. r:1.

132630 132400 132000 131170 130250 129190 127980 12666() 125190 123600 121870 120010 118160 115040 113640 111380 109000 106600 104080

+ -132760

(Mr ) cos

(Mt) e =

r:1.

+ -

+ + + + -l

132760 132630 114530 97410 60000 24120 33580 83450 166920 243740 246720 445480 578490 703060 899840 1090920 1345540 1584510 1964020 2297820

Momento de flexió l_!:

(Mr) v sen

o 5180 10490 15970 20320 25630 30530 35310 39850 44340 48590 52710 56690 59330 64-650 69510 72220 75860 79130 82440

(Mr) sen

1n' t

42410

58720

+ 19520

-- 24060

+ 40210 + 48970 + 41880 + 50390 + 36970 + 46640 + 25120 + 36180 2370 + + 22370

+ 32750

5180 + + 16580 + 20690 + 30940

Momento de torsión.

ARCO EMPOTRADO - VIEN'rü DE 270k Cálculo ele los momentos (lectores y de torsión en las secciones correspondientes á los montantes.

CUADRO NÚM. 25.

OUAD Trabajo del metal en las cabezas Secciones.

Momento ílector

Montante s.

DISTA CIAS DE CABEZAS

SECCIO NES NETAS

26.

lij;v(.

reo emvotrctdo por efecto del viento.

l.1

Trasdós

Intradós

Trasdós

l.1

m 9,17

0,0331

0,0385

1,51

1,60

lnlraclós

2 wt lt ' + w1 l.1

wt l/+ wi l/

R' TRABAJO EN EL TRASDÓS

Viento de 270• .

Viento de 150• .

'.rR.ABAJO EN EL lNTRADÓS

Viento de 270• . Viento ele 150• .

3,47

k 1,93

k 3,68

k 2,02

2297820

m 8,65

1964020

8,20

8,70

0,0352

0,0411

1,50

1,59

2,95

1,64

3,12

1,73

1584510

7,76

8,25

0,0297

0,0352

1,85

1,97

2,93

1,63

3,12

,1,73

1346540

7,38

7,85

ídem.

0,0297

2,14

2,28

2,83

1,57

3,07

1090220

7,04

7,50

0,0243

ídem.

2,45

2,61

2,67

1,48

2,85

·170 '· 1,58

899840

6,70

7,15 .

ídem.

0,0243

2,87

3,06

2,58

1,43

2,75

1,53

703060

6,42

6;84

0,0188

ídem.

3,36

3,58

2,36

1,31

2,52

1,40

578490

6,IS

6,60

ídem.

0,0188

4,02

4,29

2,33

1,29

2,48

1,38

445480

5,97

6,38

ídem.

4,16

4,45

1,85

1,03

1,98

1,10

346720

5,76

6,16

ídem .

ídem.

4,31

4,61

1,50

0,83

1,60

0,89

243740

5,59

5,97

ídem.

4,44

4,74

1,08

0,60

1,16

0,64

166920

5,43

5,81

ídem.

4,57

4,89

0,77

0,43

0,82

0,45

88460

5,29

5,o6

ídem.

4,59

5,02

0,46

0,23

0,44

0,25

33580

5,17

5,52

ídem.

0,0243

4,16

4,44

0,14

0,08

0,15

0,08

+ +

24120

5,07

5,42

0,0243

ídem.

3,79

4,05

0,09

0,05

0,10

0,06

60000

4,98

5,33

ídem.

0,0188

4,38

4,69

0,26

0,14

0,28

0,15

+ +

97410

4,92

5,26

ídem .

ídem.

4,44

4,75

0,43

0,24

0,46

0,26

114530

4,87

5,20

ídem.

4,49

4,79

+ + + +

0,51

0,28

0,55

0,31

132630

4,84

5,18

ídem.

4,51

4,82

0.60

0,33

0,64

0,36

132760

4,83

5,17

ídem.

4,52

4,84

+ +

0,60

0,33

0,64

0,36

14 15 16 17 18 19

+ +

•

14 15 16 17 18

11 12 13

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-47190 100169 0,1007 dem. 0,092 19520 -24060 ~00082 0,0623 dem. 0,0552 +22370 2370 100063 0,)406 0,0369 36180 dem. 25120 Idem. 0,0329 46640 Idem. 36970 0,0285 Idem. 50390 41880 0,0251 41970 Idem. 40280 0,0225 42410 Idem. 32750 0,0207 Idem. 30960 20690 0,0197 16580 Idem. 5187 0,0194

Montantes.

Momentos de torsión

Secciones.

8,91 8,45 8,00 7,61 7,27 6,92 6,63 6,39 6,42 5,96 5,78 5,62 5,47 5,35 5,24 5,16 5,09 5,04 _5,02

Ancho medio

+ -

k 4550 1990 2530 2530 · 27@ 4270 3200 5720 5250 6640 6070 6910 6160 6350 5210 4860 3370 2880 840

K' P =MlV ' t G

350,0 355,8 367,8 367,8 380,7 387,5 394,6 394,6 401,9 401,9

~~lg

198,0 204,4 246,5 258,5 262,7 271,6 533,9

1 sen~

+ +

0,90 0,41 · 0,62 0,65 0,07 1,16 1,07 1,94 1,76 2,32 2,16 2,54 2,27 2,42 2,02 1,92 1,32 1,05 0,34

+ + -

0,50 0,23 0,34 0,36 0,04 0,64 0,59 1,08 0,98 1,29 1,20 1,41 1,25 1,34 1,12 1,07 0,73 0,60 0,19

Viento de 270k Viento de 150k

R d (arco de adelante).

Trabajo del metal en las diagonales del arco empotrado por ef'ec to del viento.

CUADRO NUM. 27

CUAD! Trabajo del metal en los arriostrarnientos longitudinales ó cont

Trozos.

Esfucrz os Momentos de torsión corlanlcs

Es fu crzor corlanlcs Esfuerzo coradicionales tanto Lota!

0-1

k 72360

- 47190

0,00122

1-2

69180

+ 19520

2-3

58320

3-4.

CONTHAVI

sen

F'=

4 sen y

c:1da anguhtr).

Idem.

0,0902

3,80 +1000

35590 0,62

14350

-24060

0,00102

0,0623

3,55 -1400

27760 0,65

10680

55780

+22370

0,00090

0,0552

3,4.0 +1240

29130 0,65

11200

4-5

47660

2370

Idem.

0,0406

3,22

24000 0,62

9680

5-6

45270

36180

0,0369

3,05

2690

25320 0,66

PERFILES

(un roblón de 23 m/ m en

k 13240

CONTRA YJENTOS DE INTRADÓS

OS DE THASDÓS

0,1007

170

ientos del arco empotrado po1· efecto del viento de 27 Qk por m!

Esfuerzo cu las bari~

k k 4,00 -2290 + 33890 0,64 ID

UM. 28

Esfuerzo en Esfuerzo las barras cortante tota l sen y e T'' ¡r'= - - 'l.''' 4 scn y

PERFILES

(un roblón ele 23 m/m en cada angular).

k k k 100 X 100 100 X 100 0 ,001670 0,001670 7,93 38470 0,68 14140 ang. de 10 10 Idem. I dem. Idem. 8,59 33590 0,66 12720 Idem. 90x90 90x90 0 ,001332 I dem 0,001332 8,02 30560 0,69 11070 ]dem 9 9 80x80 0,001152 I dem 9650 Idem. 8,41 26650 0,68 Idem. 9 80 x80 Idem. Idem. 0,001152 8,40 2366 ') 0,67 8830 ]clcm 9

Idem.

8,86 19950 0,65

']_11

7670

I dem.

ng. ele

10210

Idem.

k 8,47

7,62 8,31 8,37 7,66 6,66

T" 2 sen y

2 sen y

8930

80xü8 0,002304 5,25 9 Idem. 3,88 I dem.

6170

Idem.

2,68

5190 0,66

3930

Idem.

1,70

3,17

2790 0,65

2150

Idem.

0,93

Idem.

1,77

970 0,64

760

Idem.

0,33

Idem.

0,17 -480 0,63

390

I dem.

Idem.

0,17

6-8

37910

25120

0,0328

2,90

2000

20960 0,66

15870

ang. de

8-10

30610

36970

0,0285

2, 70

3150

18460 0,66

13980

ang. de

10-12

24030

41880

0,0251

2,50

3750

15760 0,63

1251 )

80x80 0,002304 6,07 12150 0,68 9 Idem. 5,42 8270 0,67 Idem.

12-14

17770

40210

0,0225

2,.50

3700

12590 0,62

10150

Idem.

Irlem.

-1:,41

14-16

11700

32750

0,0207

2)5

3060

8910 0,61

7300

Iclem.

113-18

5850

20690

0,019v

2,07

1960

4890 0,60

4080

Idem.

18-18'

5180

0,0194

2,00

480

480 0,60

400

Idem.

lll

90x90 !:)

0,002664 7,06 16960 0,70 12110 2 ang. de

•

CUADB rrM. 29 Trabajo total del metal.-Cabei (Los trabajos máxim Variación Seccione,.

Carga permanente.

o 1 2 3 4 5 6 7 p

9 10 11

12 13 14 15 16 17 18 19

+ 1,35 0,95 2,00 2,49 2,89 3,42 4,03 4,68 4,87 4,71 5,07 4,99 5,31 4,66 4,23 4:,56 4,75 4,56 4,80 4,65

rciales est án subrayados.) ' TRABAJO TOTAL MÁXIMO

ACCIÓN DEL VIE TO Sobrecarga estática

SOBRECARG

ó de 300k por m~

trasdós del arco empotrado.

VILES

DINÁM ICAS

Carga permanente

tempera tura 270k porm2 150k porm2 Compresión. Extensión. primer caso . segundoc

1,86 2,00 1,86 1,95 1,68 1,71 1,40 1,02 0,67 0,32 0,04 0,37 0,72 0,74 0,91 1,06 1,20 1,27 1,29

2,95 2,~3 2,83 2,67 2,58 2,36 2,33 1,85 1,50 1,08 0,77 0,42 0,14 0,09 0,26 0,43 0,51 0,60 0,60

1,64 1,63 1,57 1,48 1,43 1,31 1,29 1,03 0,83 0,60 0,43 0,23 0,08 0,05 0,14 0,24 0,28 0,33 0,33

+ i,07 + 3,47 + 1,93

+ 2 ,55

- 1,83 - 1,30 -1,27 - 0,80 - O,li6 - 0,28 - 0,23 1,92 - 0,10 2,09 - 0,20 2,41 - 0,45 2,79 - 0,71 2,89 - 0,88 2,89 -1,08 3,09 - 1,13 2,60 - 0,76 :c!,61 - 0,66 2,61 - 0,55 2,46 - 0,42 2,45 - 0,33 2, 38 - 0,29

+ 2,09 + 2,11 + 1,70 + 1,60 + 1,51 + 1,75 + +

+ + + + + + + + + + +

k -

+ + + + + + + + + +

+ + + + +

1,38 1,04 0,9.i 0,52 0,20 0,33 0,91 1,46 1,92 2,25 2,63 3,01 3,36 3,08 2,42 2,55 2,55 2,1 1 1,73 1,08

+ i,. + 1,g + 1,g + 1,/i + 1,3 + 1,0 + 0,5 + 0,2 -

0,1 0,4 o,s 0,9 1,1

l ,~ 0,8 0,5 0,2

+ o,o + 0,5 + o,o

k 1,81 1,42 1,27 0,99 0,72 0,57 0,18 0,30 0,39 0,62 0,91 0,39 1,88 1,67 1,60 2,1 0 2,'1 6 2,46 2,62 2,54

+ 0,9 2 0,87 1,00 1, 04 1,13 1,34 1,48 1,70 1,76 1 ,78 1,83 2, 02 2,25 1,86 1,62 1, 99 2,27 2, 14 2 ,28 2, 16

k -:- 0, 93 - 0,55 - 0,27 + o;o5 + 0, 41 + 0,77 + 1.30 + 1,40 + 1,37 + 1,16 + 0,92 + 1,69 + 0,37 + 0, 19 + 0,02 - 0, 11 - 0,1 9 - 0,32 -0,34 - 0, 38

permanente

Carga + temperntura viento de J50 k + sobr ecarg a.

rer caso. cuarto caso. quinto caso.

temperatura viento de 2'10 k

k 6,89 5,76 6,93 7,18 7,51 7, 68 8 ,10 8,4 1 7,74 6,88 6,47 5,80 6, 10 5,52 5, 06 5,73 6,2 11 6,27 6 67 6,54

máx imo negativo.

2.' bipólesia.

, l.' hipUesls .

TRABA J O TOTAL

' ,1 l

. "

' ' i

k 7,90 · 6,54 7,74 7,71 7,92 8,04 . 8,80 9,29 9, 0I 8,62 8,78 8,47 9,27 8,55 7,62 8,22 8,66 8,50 9 ,02 8,81

1." hipótesis. 2.• hipótesis.

k - 4, 19

- 4,, 48 ;

1 1

: i ¡

' ' I '

' ''

' 1, ¡;

i 1

' 1

1 i

•

CUAD' rrM. 30 intradós clel arco empotmdo.

'J'rubajo total ·del metal; - Cab (Los trabajos parci1 '

VIENTO DE

, Variación de permanente. t~mpe1~1 tura

SOBRECARGA

estática de 300•.

Secciones. ,.

-k + 4,32 3,12 3,85 3,99 3,86 4,10 4,15 4,68 4,19 4 ,35 3,75 3,8ti _3,31 3,07 2,32 2,62 2,30 2,53 2,18 2 ,H

'I 11

:¡

" "'111 Ir 1

H 1 1

TRAµAJO TOTAL

15Uk

Compresión. Extensión.

Primer caso.

Seguod caso.

ere e r caso.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

í+ I .

! '! l l

' '.

¡ 1

l l ¡

. í

i '

k + 3,68 3,12 3,12 3,07 2,85 2, 75 2,52 2,48 1,98 1,60 1, 16 0,82 0.44 0,15 0,10 0,28 0,46 0,55 0,64 0,64

+ ::l,02 1,73 1,73 1,70 1,58 1,53 1,40 1,38 1,10 0,89 0,64 0,45 0,25 0,08 0,06 o, 15 U,26 0,31 0,36 0,35

k + 2,69 +2,24 + 2,25 +2,18 +2,13 _+ 2, 18 -t 2, 34 2,87 + 3,04 + 3,13 3,20 + 3,25 + 3,17 +2,45 + 2 17 -t2,43 + 2,21 2,01 1,87 + 1.92

+ +

k - 1,15 - 0,83 -0,68 - 0,55 - 0, 37 - 0,35 - 0,55 - 9,89 - 1,25 :-- 0,40 -1,69 -1,76 -1,89 .- 1, 26 -1,32 -1,48 - 1,44 -1,21 - 1,21 - 1,15

k 1, O, 0, o,

+2,67 + 2,23 + 2,15 +2,14 1,77 + 1,55 + o,, + 0,91 + o,' + 0,72 + 1,1 0,76 2,r - - 0,19 + •)' ~, - 0,65 + 2,¡ -1,03 + 2,1 - 1,52 · + 2.~ - 0,98 + 2,.\ - 1,00 + 2j + 2.f - ~,43 ,--2... - 1,48 + 2, ~ - 0,92 + 1~t - 0,41 1,1 0,42 + O,!.

k 0,02 1 0,29 , 0,70 tj-1 ,11

1,52 +w ~ 2,03

r 2,36

3,04 '--·

2,95 2,72 2,37 it-1 ,89 il:- 1,24 rt-1 ,09 ,._ 0,82 t 0. 42 - ,0,11 --; 0. 11 - 0.34 - 0,2!¡ t-

TR=BAJO 'l'OTAL

positlvo.

Cuarto caso .

Quinto caso.

k + 1,51 1,41 · 1 47 '. 1,72 1,78 1,96 1,84 2,34 2_,8 O 2,14 2,03 1,84 1,47 1,45 1,26 1,14 0,74 0,8R 0,7'1 O,t:14

k + i,53 + 1.,1'.2 -j- 0,77 0,6 1 + 0,26 - 0,07 - 0,52 - 0,70 . - 0,15 '-· 0, 56 - 0,34 - 0,05 1,23 + 0,36 0,44 0,72 0,85 0,99 1,05 \ 1,08

+ +

+ + t + +

Carga permanente + temperatura + viento de 270 k

. Carga permanente · + temperatura ' + viento ,de 150 k + sobrecarga.

k· + l~,55

8,42

;

--k 1,52 1 33 ' l,4i 1,44 l,~9 i ,16 0,¡30 0,70 ·0,32 0,05 0,42 0,78 1,13 1,15 1,3 í 1,94 2.13 2,30 2,39 2,39

9,52 : 7,57 8,38 8,50 7,90 8,01 7,47 7,86 (3,,49 6,00 f>,33 5,46 4,88 4 .37 . 3,7\J 4,84 4,89 5,38 5,21 5,117

2.• hi pó.tesis.

hipótesis.

l.'

270k

. MJ\.Xl'i\10

DIN AMIGAS

li1

0\'ILES

Carga

111

SOBRECARG

ximos están subrayados.)

f:" hi¡\ótesis. 2..'ª hipótesis.

; 1

' 1

1 1

1 1, '

., -

:- 0,38 ,

1 ~

'':

9,,24 9,31 8,76' 8.97 8,71 . .. 9,80 8 65 1 ' 8,rn ~,01 · 8,34 1,86 ' 6,75 0,01 7,,28 · 6,9; 7 15 '. 6,80 7,11

k 0;88 .

' t

f .,

,·

1,1:

. 1

'•

• ~

'1,

1 1

. 'i

' 1

----

•I

' I

. .

. CUAD UM. 31.

1, 1

Trabajo total del metal igonales del arco empotrado. (Los trabajos parcir e: .;· ~

ACCIÓN DEL VIENTO

SOBRECARGA

estática ó de 300• por m2

o:,

• 1,

,,11

Variación de permanente. temperatura

SUBRECAR ~,\MICA

270k

lf>Ok

ComprQsión. Extensión.

Primer caso.

Segunc caso.

er e e r C,1S0.

Cuarto caso.

Q U i ll t O

k + 0,06 + 0,63 - 0,61 + 0,07 + 0,08 +0,82 - 0,60 +0,20 - 0.37 + 0,49 +0,18 +1.,14 -1,18 - 0,65 + 0,39 + 0,42 - 0,95 t 0,12 ' - 1,13

k +2,79 + 3,06 +- 1,83 +2,11 + 1,57 + 1,82 -0,03 + 0,06 -1,37 -1,30 -1,,42 -1,25 -1,11 - 1,41 - 0,89 -- 1,79 -0,56 - 0,40 -- 0,25

CJSO.

k -t 1,80 1,80 2,07 2,07 2,00 1,96 2,23 2,14 1,94 1,89 1,74 1,62 1,-rn 1,29 1,09 -0,91 0,67 0,48 0,24

-+-

k 0,90 + 0,41 0,6.2 0,65 0,07 1,16 1,07 1,94 1,76 2,1l2 2,16 2,54 ' 2,27 2,42 '2,02 1,92 1.32 1,08 0,34

k k 0,50 + 3,53 0, 23 +:-i,83 O 31 + 3,35 0.36 + 3,77 0,04 + 2,81 0,64 + 3,16 0,59 + 2,85 1,08 + 3,23 0,98 +2 32 1,29 2,80 1,20 + 2,13 1,41 + 2,64 1,25 + 2,09 1,34 + 2.71 1,12 +2.3\J 1,07 + 3.12 0,73 + 2,74 0.60 3,41 0,19 + 2,97

k 3,33 3,lu 3,36 3,14 2 ,94 2,60 3,00 2,fJ9 2,58 2,24 2.52 7 i.19 -2,65 -2,3ti - 3, 11 - 2,81 - 3,64 - 3,31 - 4,00

k + 2;83 + 3,27 + 2,32 +2,84 + 2,57 + 3,10 1,80 + 2,27 + 1,30 + 1,83 + 1,07 + 1,62 - 1,18 -1,14 -0,62 . - 0,16 - 3,04 - 2,57 - 4,06

k 2,' 2,6 2,! 2,' 2,l 2,2 2,4 2.( 1,6 1,1 08 0,4

k - 2,73 - 2,43 - 2.44 - 2,04 - 1,55 - 1.00 - 0,57 t 0,14 t 1,00 + 1,79 t 1,50 t 2,42 0,07 t 0,76 t 128 t 2,21 - 0,3!) + 0, 52 - 0,83

+ + + + + +

o,4 1,0 1,5 2,0 2,6 2,9

C orga permanente

Carga permanente + temperaturl\ + viento de 270 k.

+ + + + + +

+ -

k 4,82 4,89 3,80 4,66 2,30 4,34 3,87 5,37 4,57 5,30 5,15 5,08, 5,25 4,4 0 5,05 3,22 4,28 1,72 3,07

Trabajo total

2. • hipótesis .

1. • hipótesis.

-k 0-1 + 2, 12 1-2 +2 ,68 2-3 + 1,11 3-4 + 1,94 4-5 + 0,23 5-6 + J.22 6-7 - 0,57 7-8 + 1,29 8-9 - 0,87 9-1 0 + 1,09 10-11 -1 ,25 11-12 ·+ 0.92 12-13 - 1,55 13-14 + 0,69 14-15 - 1,94 15-16 + 0,39 16-17 -2,29 17-18 + 0,16 18-19 - 2,49

TRADAJO TOTAL MÁXIMO

MÓVIL

Carga

x_imos están subrayados.)

máximo positivo .

+ temperatura + viento de 150 k + sobrecarga.

+ + + +

+ -

+ +

· -

+ 1,

+ -

7,95 8,54 6 87 8, 14 5,08 6,98 6,39 7,74 6,37 7,07 6,71 6,59 6,88 6,03 7,26 5,49 7;33 4,65 6 ,9l

,. (+

5,10)

4,37) · 1

' 1

' • 1, 1,

7-8 8-9

6-7

3-4 4-5 5-6

2-3

1-2

0-1

"'"' ¡=¡

~-o

... . ,

.,.,

t""

~"' 8'

rx .

10°

Ielem.

8,14 · Idem. '50800 Iclem íd ....... .. .... -14,5011 Iclem. 5,08 . · Iél:em.· 31-770 Itlem ~d.-...... •..._-. ~, .-. 4;{')0 -Idem. _6,98 · Idem:. · ·43600 -Iclem 1el .............. 4 50 · Idem. 80 5,1.0 0,004608 · 2350(1 . :4 ang. e:l:e ·'_BO X . . ..~3 ,.•9¿)Í _r,927 , _· . 9 25700 7,74 · Ielem. Iclem ~d .............. . 1~,80 I· Iclem. 4,37 Iclem . . 20100 I~em 1d . .. : ... ; .. ··-: . . : 1 . . ... . '

8,54

144900

Ielem.

227000

'. -

. .

., .:n• El =_-¿-,-

-·--- .

92000

87300

Idem. · 164800 · ldem.

·- · al'plano del f je.

PERPENDJCULAR111ENTE

2 q)rnpa$ de165 X 9.. \ ·1 .. 4 an~. ele _90; 90 ... )5,50 40980

Perfiles. . .'

67-400 Idem íel, ......_, .. : .. . ¡5,5011 Ielem. 2 chapas ele 12b X 9 . ·) / · 6,87 0,006240 42900 ,1 ang. de 80; 80 ... )4,80\ . 19915 .

+7,95 ü,007890 62700

Trabajo máximo Sección neta Esfuerzo positivo Lolal .. por m¡m•de · secció n f -· wd neta.

Iclem.

7310

Ielem. I.elem. Iclem.

7322

Iclem.

10430

t•

41t!EI

339400

322200

Iclem. 242400 Iclem.

213100

Idem.

231100

IX 1ou F=

EN EL PLANO DEL EJE ;

Cálcitlo de la resistencia al -pandeo de las diagonales del arco empotrado.

CUADRO NUM. 32

11 1

CU ADJ uM. 33 Elemen tos de las difere, ciones del arco articulado

- -----:--------:-----;-----~~-....,. ......------

- - . - - - - - -.-- - -;-----;-------;-;-----COORDENADAS

ESPISOR DE PU UBiHDA

¡;

Intradós

e''

m/m 36

ID/m 36

---COB

36,3

0,58

O,i

4,21

35,0

58,0 75,4

2-3

8,83

6,44

0,56

0,f

J,ll

34,2

73,7

3-4

12,29

8,68

0,53

O,E

4,11

34,2

73,7

15,72

10,75

0,51

0,8

3,96

32,9

71,0

19,17 22,39 25,34 28,29

12,68 14,33 15,72

0,47

0,t

3,96

0,44 0,41

O,i

3,25 3,25 3,17 3,17

32,9 27,0 27,ü

7l,O 58,2

0,0558

0,1202

,,-

0,1015

0,0498

0,0921

0,0438

31,25

17,00 18,16

31,22 37,17

19,21 20,14

40,11 43,05 46,01 48,95 51,90

20,95 21,64 22,22 22,68 23,03

17-18

54,84

. 23,26

18-19

57,78

23,37

0,38

0,( O,:,/

0,9

0,35 .0,32 0,28 0,25

" 3,0:1: O,::i,

0,21

),9

o,~8

0,9

0,14

0,9

o, e

0,10

0,9

0,06

0,9

0,02

1,l

3,JO 3,10 3,0:1: 2,98 2,98 2,94

26,4 26,4 29,4 29,4 28,8 33,0 32,3 32,3

58 2 • 56,8 56 8 • 62,2 62 2 • 69,0 69 4 ' 68,0

•º

68 67 ,1

2,()4

31,9 31,9

2,94

31,!:l

67,1

-- - - - - - - - --

"'R.

L.-- - - - _ _ _ _ ,

4,70

"'R 1

0,1

10-11 11-12 12-13 13-14 14-15 15-16 16-17

sen a

re,

0,61

L),1295

5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 11

1,41 4,05

0,0810

4-5

y6 s

{.\ s - 1-

ng1ludes

1,85 5,40

0-1 1-2 11

Trasdós

"'1:1

de los medios de los trozos en los medios de los tr

Trozos. 1:

INCLINACIONE

51 142 -193 220 413 297 717 354 1064 417 1481 387 424 2292 449 479 3220 565 592 4377 603 714 5694 718 732 l --7-14_4_ 735 742 8621 745 9366

72 28 95 35 765 577 - 860- - - -6334 1944 1417 97 2804 54 3648 2578 130 6452 31 5560 3805 161 12012 29 7996 5288 190 20010 5546 23 8863 22 10737 6665 235 39410 7633 20 12700 18 14969 8699 273 67086 10854 19 17639 17 22022 11923 309 106747 12633 15 24202 15 30738 15451 338 161687 15954 11 33014 9 35855 16602 358 230556 16927 6 38126 4 40691 17259 368 309373 1 43075 17411 369 352448 177292-

36 49 51 53 53 55 46 48 48 49 *56 57 57 67 65 67 66 66 67 1056 28

CUADRO NUM. 34 Gálciilo de las ordenadas q A de la línea de infiiwncia del einvuje horizontal en el arco articulado.

g·

ºº

~- ~ : -~ ; .P. :o • u,

Jº A

Jº

y ds

"'~ CD

xy ds [O

1 1

"'R

: 3

1,1

: o

~ ~

3,70

k 0,097

7,11

193

860

0,185

10,56

413

2804

0,273

14,02

710

6452

130

0,358

17,42

1064

12012

161

0,439

20,93

1481

20010

190

0,519

26,84

2292

39410

235

0,642

32,75

3220

67086

273

0,752

106747

309

0,839

38,65

4377

44,54

5694

161687

338

0,910

50,43

7144

23)556

358

0,960

56,31

8621

309373

368

0,986

XI XII :XIII·

V VI VII VIII IX .

' Suma y sigue.

de las palizadas.

Número

90300

14240 11290 10470 , 9300 9150 9030 8940 8940 8940

Cargas ·

0,17 , 0,34 0,50 0,63 0,74 0,84 0,91 0,96 · 0,97

Ordenadas de la línea de influenria.

•

57100

2420 3840 5240 5860 6770 7590 8130 8580 8670

Px qA

Empuje,; parciales

TOTALES.

1 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16 18

Suma anterior.

de los montantes.

Número

140200

90300 4600 4600 3300 3200 3100 3000 3900 4600 4400 4100 3700 3700 3700 ,

·cargas

0,10 0,18 0,27 0,36 0,44 0,52 0,64 0,75 0,84 0,91 0,96 0,97

Ordenadas

'83690

460 590 86) 1120 1320 2030 2940 3300 3460 3370 3550 3595

57100

Px qA

Em pujes parciales

Cálciilo ele los ernpiijes parciales prodiicidos en el arco articulado por la cargci permanente.

CUADRO NUM. 35

111

. .

. I

CUAD

h¡as y diagonales del arco cirticiü ado.

Momentos de inercia y secciones de u,

"'"9. o::,

ESPESOR

PERFILES DE LAS CABEZAS

de las platabandas.

f).

Todo · los agujero~ de roblones son de 23 m/ m de diámetro.

-o

Trasdós

lntradós

e''

lt' 111 11, 11,

---

(Los agujeros son de 23 m¡m)

sen~

l wd sen~

m/ rn

36 .

1,536

1 536

o, 10li5 0-!9200 14,4 10 14,410 20,325

\4 ang. en cruz de lOO x l 100 x 12 menos dos 0,006680 roblones ............

0,58

258,1 293,2

Idem.

Iclem.

Idem.

I<lem. dern.

Idem. Ic.lem. Idem. 4 ang. de 90x90 X 10. 0,005880 Idem. 0,60 Ic.lem. Iclem. -Idem. 4 ang. de 80 X 80 X 9. 0,004608

I<lem.

Idem.

I<lem dem.

Idem. Idem. I dem.

Idem.

Iclem ..

Idem.

Idem. dern.

Idem. Idem. Iclem.

Ic.lem.

Idem.

0,62

350,0

Idem.

Idem .

Idem. dern.

Idem. Idem.

Idem.

0,67

323,9

Idem.

Ide~. ilem.

Idem. Idem. Idem.

Idem.

0,68

319, 1

Iclem.

Idem.

Iclem.

Idem.

Iden~ ldern.

Iclem. Iclem. Idem.

Idem .

Idem.

Iclem.

Idem.

I<lem.

Iclem. dem.

Iclem. Idem.

Idem.

Iclem.

Idem.

1,345

1,715

ij53i52 14,589 18,59 1 22 ,856

Idem.

Ic.lern.

Idem, fi!em.

Idem. Iclem. Iclem.

Iclem.

Idem.

Llem.

Iclem.

Idem.

Iclem'. ~dem.

Iclem. Idem. Iuem.

Idem.

2í

Idem.

1,524

0,08 101 138304 10,801 18,801 26 ,107

Idem.

•

Idem.

Idem\ ndem.

Iclem. Idem. Iclem.

Iclem.

Idem.

0,69

Idem.

Idelll; ldem.

Idem. Idem. Idem.

Idem.

314,5

Idem.

Iclem.

Idem.

Idem1, ldern.

Idem. Idem. Idem.

Idem.

0,70

310,0

Idem.

Idem: ldem.

Idem. Idem. Idem.

Idem.

Iclem.

Idem.

I<lem.

Idem.

Idem

ldem. Iclem.

Idem.

0,71

305,6

Idem.

Idem. ldem.

Idem. Idem. Idem.

Idem.

Iclem.

4 5 6 7 8 9 10

l!-·---·

: 9o : .:12S

'I'1

:.------

~-------

:, 12.f

i 1

1 1

1 1 1 1 1

i 1 1

• 1

1 1 1

: 1 1

-*-·-·+-·-·l~' ,(i •~ 1

: 1 1

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1 1

1 1 1

1.J"

1.4sox.1.2:

• •••

.25

"{iº·----•

:: 1

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1 1

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23---

l : I

--- •

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.:.JI ,nr¡

~---

i ,23

i.---

r.l"e"

m,-'L.)t

S'OO - --~ .

o, 0922'

ldem.

Idem.

Secciones

PERFILES

Idem, i!em.

v'' -I-

Idem.

v' -I-

Idem.

¡¡ojOl'OS

Idem.

111

CELOSIAS

Idem.

5"oo ~------------+i

ti one s jaorcia ronlando

Alma llena ...........

l:l

111

Momen de iner de ·con~ aguj er

m/m :1

oL 36.

. . »

36 1,6

Idem.

. .

1 !

1 l

QUAI M 37 .

Cálciilo del trabajo vrodiicido por la carga perm,a.ri Carga p erman

las cabezas y diagonales del arco articiilado. 1

16738Qk .

::=

Mon laulcs.

p.=

QA Z

2-:

. m

,. '

!>< 10

215000

2500

N Qx 106

•

Trasdós

Intradós

R ''

•

1 wd

sen ~

r::I.'

sen~

•

+ 0, 17

22500

2123 00

5500

14,41

14 ,41

20,3:

0,41

4,32

+4,73

+ 3,91

258

1,42

+ 0,22

36800

202000

2400

ídem .

· ídem .

ídem

0,53

4, 11

4 ,M

3,58

293

0,70

+ 0,30

50200

200500

1500

ídem .

ídem

0,72

4,08

4,80

3,36

362

0, 54

+ 0,30

50200

1925 00

4500

ídem.

íd em.

, ídem.

0,72

0, 72

3,91

4,_63

3,19

Idem .

1,63

+ 0,27

4fi200

·191200

500

ídem .

íd em .

ídem.

0,65

3,82

4,54

3,24

350

0,18

+ 0,25

41900

184600

6500

ídem.

ídem .

ídem.

0,60

3,75

4,35

3,15

324

2, 11

-1- 0,22

36800

185000

500

ídem .

ídem.

ídeI(l.

0,53 '

0,53

3,76

4,29

3,23

319

1,16

+ 0,25

41900

179500

7100

ídem.

íd em .

ídem.

0,60

3,65

4,25

8,05

Idem .

2,26

+ 0, 15

+ +

25100

179500

1500

ídem.

ídem .

ídem.

0,35

0,38

3,65

-'i,01

3,29

Idem .

0,48

+ 0, 18

-t 30100

175000

8000

14,59

18,59

22,$

0,44

0, 33

4, 00

4,44

3,67

Idem .

2,55

+ 0, 10 + + 0,10 +

16700

1, 5000

1600

ídem.

ídem .

idem.

0,24

0, 31

4,00

4,24

3,69

I dem .

0,51

16700

171500

8000

íde'm .

ídem.

0,24

0,31

3,92

4, 16

3,61

Idem .

2,55

0, 16

0,16

4,48

4 ,64

4,32

Idem .

0,54

0,16

4,41

4,57

4,25

315

2,36

0,32

+ 0,05

8400

171500

1700

18,80

26,U

-1-

8\00

1 (59000

75 00

íd em.

169250

1000

íde m .

ídem .

ídem.

4,41

Idem.

167800

7000

ídem.

4,38

310

2 ,1 7

0,3 1

4,38

4,07

4, 69

Idem .

0,22

0,13

4,36

4, 49

4,23

305

2,02

0, 22

4,37

4,15

4,59

0,05

o o

- 0,1 0

16700

167800

700

id em .

ídem .

ídem.

+ 0,04

6700

'167000

6600

ídem.

ídem,

- 0,07

11700

167400

ídem .

ídem;.

ídem .

- 0,3 1

0,13 - 0,22

v"p.

I x 106

v'¡i.

CE L OS Í AS

TRABAJO

en las cabezas.

CUADRO NUM. 38 R eacciones varciales producidas en el arco articitlado por la sobrecarga estática de 300 1• por 1n2 • ORDENADAS

Palizadas.

nMCl1lNES PARCIHBS Abscisa d e la s líne as de la Carga de inílueucia de las car ga reacciones. p Q =Pq R =Pr A A A A ). rA qA .

-k - - -

p).

7650

0,17

0,95

13ll0

7270

6,25 47812

6300

0,34

0,89

· 2140

5600

13,25 93476

VII

5850

0,50

0,83

2930

4860

20,25 118462

VIII

5400

0,63

(1,73

3400

4210

z6 ,25 141750

5400

0.74

0,73

4000

3940

32,25 174150

5400

0,84

~,68

4540

367C

38,25 206550

XI XII

5400

0,91

0,63

4910

3400

44,25 238950

5400

o,96

0,58,

5080

3130

50,2!$ 2il350

XIII

5400

0, 97

0,53

5240

2860

56,25 303850

X III'

5400

O 97

0,47

5240

2540

XII' XI' X'

5400

0,96

0,42

5180

2270

5400

0,9 1

0,37

49 10

2000

5400

0,84

0,32

4540

1730

IX'

5400 0,74

0,27

4000

1460

VIII'

51100

0,63

0,22

3400

il.190

VII'

5850

0,50

0,17

2930

990

6300

0,34

0,11

2140

690

7650

0,17

0,05

1300

380

' -

CUAD

'r~Í,

2 recarga estática de 300 '' por m en. el trasdós del arco articulado.

Cálcitlo del trabajo máximo producido por las hipótesis más desfavorablf u,

"'e, e,

Cargas á la izquierda de la sección

5· ::,

sen ex. cos (1.

P 1.

iP. l

39 ,

•

REACCIONES

~P.) l

á la izquierda.

(Cuadro número 38,

- - --- - - -- --

¡.1.

v' I

1 fl

Trabajo máximo en el trasdós

85280

•

13140

78840

14,41

:20,33

1,83

18950

92740

45460

Idem.

2,25

Idem. )8.J.00

36090

132300

39330

Idem.

2,71

13950

131290 ]dcrn.

Idem.

16lil20

35790

Idem.

3,09

I<l.em.

Idem.

Idem. Idcm.

I<l.em.

183550

35580

Idem.

3,37

0,460 0,888

Pal. V +VI+ VII.

19800

249750 !dcm.

Idem.

203900

32710

Idem.

3,60

15,05

0,430 0,902

Idem.

Idcm.

Idem.

210850.

32620

Idem.

3,70

26,84

lG, 40

0,400 0,916 Pal. V +VI-j-VII+ VIII.

25200

391500 ldcm.

Idem.

218030

30330

Idem.

3,76

29,75

17,60

0,370 0,928

Idem.

Idem. Idrm.

Idem.

215640

30380

Idem.

3,72

32,75

18,72

0,335 0,941

Pal. V á IX.

30600

565füíO !3G40

38950

209370

341150

U,59

22,80

3,84

35 ,70

19,71

0,300 0,954

IJ.em.

Idem.

!dcm.

Idem.

200700

34600

Idem.

3,72

38,68

20,58

0,265 0,963

Pal. V á X.

36000

7722QO lclom.

Ic1em.

194000

31180

Idem.

Idem .

3,59

41,57

21,32

0,231 0,971

Idem.

38880

41490

171500

39020

18,80

26,11

4,24

44,54

.21,96

0,195 0,980

Pal. V á XI.

41400

10111 go ldcm.

Idem.

161360

4J500

Idem.

Idem .

4,17

'17,48

22,48

0,156 0,987

Idem.

Idem. ldem.

Idem.

141400

38388

Idem.

3,66

15 10

50,43

22,89

0,118 0,992

Pal. V áXII.

46800

12825UO 14060

43760

120660

-i.3350

Idem.

3,40

53,27

23,17

0,080 0,995

Pal. VII á XII.

3~850

1151 210 4:J53ü

32880

97800

45:JOO

Idem.

3,02

56,31

23,25

0,0~0 0,998

Pal. IX á Xill.

27000

11948~(

39200

33810

99900

39000

Idem.

2,90

59,25

23 ,40

Pal X á XIII.

21600

102070(

39740

21600

90780

39740

Idem.

Iclem.

2,74

0,622 0,785

)

3,70

2,83

0,597 0,803

7,11

5,28

0,571 0,820

Palizada V.

10,56

7, 60

0,547 0,837

14,02

9,77

17,42

o o

o ¡¡280

52200

O 10910

50 140

7650

47810 13640

Idem.

0,520 0,855

Pal. V y VI.

11,74

0,490 0,871

20,93

13,62

23.85

1,000

o +

--------

P¡

Cargas á la izqu iercla de la sección

16 Pal. V + ..... + IX .. 17 Pal. V+ ..... +x .. 17 P l. V+ ..... + XI.

VIII .. . ... . ......

o o Idem. 1 Id em. 2 Idem. 3 Idem. 4 Idem . 5 Idem. 6 7 Idem. 8 Idem. 9 Idem. 10 Idem . 11 Idem. 11 Idem. 12 Idem. 13 I<lem 14 Pal. V ..J.. VI+ VII. 15 Pal. V+ VI + ...... +

e:, ("

8¡::;·

CUADRO NUM. 40

- -

43 1J:ll) ~2170 41530 46460

3(1640 249750 400 10

Idem. Idem.

38880

Idem. Idem.

44060

Idem. Idem

48970

Jdem.

25200 26600 H8000 41400

97850 91210 84900 75550

f12200 o 344fl0 - 4'!870 30250 - 8858u 26310 -128840 ldem. -153\:UO '2264.0 -180520 Id em. -1931 20 IJe m -197030 192í0 -206180 Idem. --20il070 Idem. -194700 16110 -191200 Idem. -177020 Idem . -159.:230 132ti0 -148570 30990 -119370

á la: izq ui erda

o 67280 60910 57510 5351 0

~ P.). 1

25200 391500 30600 565650 36000 7722011 41-tOO 1011150

19800

Idem. Idem. Idem . Idem. Idem. Idem . Idem. Idem. Idem. Idem . Idem. Idem. Ídem. Idem .

~ P.1

UEACCIONES

Idem. Idem. Jdem. Idem. Idem. Idem . Idem. Idem.

11:6440

!dem. Idem .

3,00 2,82 2,72 2,40

3,3 11

2,06 2,59 3,06 3,43 3,72 3,87 3,93 3,94 3,90 4 72 ' . 4,51 4,24 4,08 3,72.

Trabajo máximo en el intradós

Idem. Idem . . Idem. Idem.

18,80 26,11

Idem. Idem. Idem . Idem.

18,59 22,86

Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem .

14,41 20,33

))

T -- -

v' '

44240 Idem. Idem. 42440 Idem . Idem. 42970 Idem . Idem.

85280 69480 64430 591 80 59430 53740 5:-rnoo b3900 !17630 48000 47900 41920 41710 41470 35558 41840

Cálculo clel tr.1,bajo máximo produ,cido vor las hipótesis más desfavorables de sobrecar.r;a estática de 300k por m" en el intradós del arco articulado. (Los valores ele x , y, sen a y cos a. son iguales :i los del cuadro anterior.)

13 14 15 16 17 18

·O 1 2 3 4 5 6 .7 8 9 10 11

1:::1

0,622 0,597 0,571 0,547 0,520 0,490 0,460 0,430 0,400 0,370 0,335 0,300 0,265 0,231 0,195 0,156 O.l \8 0,080 0,040 o

o 0,785 o 0,803 7650 0,820 0,837 Idem 0,855 13!:150 Id em 0,871 0,888 19800 0,902 Idem 0,916 25200 o,g28 Idem 0,941 30600 0,954 Idem 0,96:3 36000 Idem 0,971 0,980 41400 0,987 ldem 0,992 46800 0,995 Id em 0,998 l')2200 1,000 Idem

~pi

QA = RA=

~~- sena cosa

+ + -

+ -

+ + -

1750 18\:lO 4\:lO 2~80 350 21 80 2\:lO 2180 160 2210 420 2230 190 2540 160 2580 10 2690

k 8,'l

Esfuerzo cor tant e T

SOBREGAfü

u:,

cornm 6728Qk 5220')k

Idem Idem Idem

~P.l

ldem 192i0 ldem 16110

ldem 13250

Idem

Id em Idem 38880

Idem 33640

Idem

44.060

Idem 22290 25690 20080 23210 21210 23750 21810 23810 23060 263l0 22640

ldem 17010 2Hl20 19780 2t960 27:.:70 82510 3-1290 39200 43740 53fil0 48970

'.!9560

18310

QA k + 11820 128 l0 8570 9bl0 6880 7990 6290 7440 6260 7590 · 7050 9050 8830 10670 10200 12120 11390 12920 11880 13250

'I'

+ 3,30 :¿,51 8,44 2,4!:I 2,80 2,04 2,37 2,00 2,42 2,25 2,8g 2,82 3,40 3,23 3,82 3,53 4,00 3,64 258 293 362

306

Idem

310

Idem

3l5

Idem Idem Idem Idem Idem Idem

350 324 319

Idem

))

w d sen~

Tr ab;1j o máximo

POSITIVO

(SOBRECARGAS PARCIALES)

ESFUEI\ZO CORTANTE MÁXIMO

-3,34 -4,03 -3,77 - 4,33 -4,01 -4,06

-3,53

-2,6!-I -2,37 -2,95 -2,75

-2,88

-2,85 -3,06 -3,27 - 3,32 -2,67 -2,71

))

---

---i26go -11060 -10460 - 9020 - 9160 - 7640 - 8170 - 7150 - 84-lO - 7430 - 9260 - 8630 -11060 - 10480 -12800 -11960 -13970 -12930 -14570 -13250

Trabajo máximo H

'l'

Esfuerzo cortante máximo negativo (sobrecargas parciales)

Cálculo del trabajo máximo prodiicido por las hipótesis más desfavorables de sobrecarga estática en las diagonales de la celosía del arco articulado.

CUADRO NÚM. 41

::::

12 13 14 15 16 17 18 ·19

-JO 11

1 ·2 3 4 5 6 7 8 9

";?.

2,83 5.28 7,60 9,77 11 ,74 13,62 15,05 16,40 17,60 18,72 19,71 20,58 21,32 21,96 22,48 22,89 23,17 23,35 23,40

- 5740 -1 0740 15430 19810 23830 27650 30550 33290 35730 38000 400-10 41780 43280 4'1580 456 30 415470 470-'lO 47400 47500

1590 163 0 1b70 1700 1740 1780 1810 '184 0 1870 1900 ]920 1940 1960 1980 1990 2010 2020 2020 :-2030 2030

= o.

26, 11

Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem.

18,80

Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem.

'18,80

22, 86

18,59

Idem. Idem. Idem. Idem.

14,59

Idem. Idem. Idem. Iclem. Idem. Idem. Idem. Idem.

Iclem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem.

Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. I dem. Idem. Idem.

Idem. I dem. Idem. I<lem. Idem. Idem. Idem. Idem.

20,33

))

+0, 19 0,19 0,26 0,32 0,38 0,43 0,48 0,52 0,55 0,75 0,79 0,82 0,87 0,89 0,9 1 0,93 0,94 0,94 0,95

))

- 0,05 - 0,12 - 0,1 9 -0,25 - 0,31 - 0,36 -0.40 -0,44 -0,48 - 0,51 - 0,51! -0,57 - 0,76 - 0,79 -0,81 - 0,82 - 0,83 - 0,84 - 0,8-í

Q ))

Jnlradós

Trasdós

14,41

))

v" I

14,4 1

((

v' I

TRABAJO EN LAS CABEZAS

QA =+2ü30k

- 1::.!f.iO -1210 - 1160 - 1110 -1050 - 990 - 930 - 870 - 810 - 750 - 680 - 620 - 5.\ 0 - 470 ,- 400 - 320 - 240 - 170 85 o

'l'

306

Iclem.

3 10

Idem.

315

Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem.

350 324 310

Idem.

258 293 362

1 wd sen ~

0,31 0,34 0,40 0.38 0,35 0,30 0,28 0,26 0,24 0,22 0,20 0,17 0, 15 0,13 0, 10 0, 07 0,05 0, 03

))

TRABA.JO EN LA CELOSÍA

Cálciilo del trabajo del metal producido p01· iina elevación de 3 O grados de temperatura en el arco articulado.

CUADRO NUM. 42

....

CUADRO NUM. 43 Cargas del viento de 270k por rn9 sobre el tablero superior, sobre las palizadas y sobre el arco empotrado.

-COORDBNADAS D!L PUNTO DR 1PLIC1CIÓN

Fuerzas Altura del punto Distancia horizontal del punto horizontales de ªJi'icación encima de aplicació n al e la cuerda origen A p del arco

XIII

½Y

Cargas del viento de 270k sobr!3 el , X tablero . aplica- , IX das en los pl~- J VIII nos de ~as pah- VII zadas numeros. VI \ V

\~H

Cargas del viento ~ de 270k sobre IX las p a lizada s VIII números.. . . .. . VII

f ,, 1

17 18 16 14 12

Cargas del viento\ 10 de 270k sobre : s-: los arcos arti- J 6 culados en lo s 5 númontantes 4 meros ......... 3 2 1 / \

k 2270 2270 2270 2280 2280 2250 2500 2590 3110

m 26,04: Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem.

m 56,25 50,'25 44,25 38,25 32,35 26,25 20,25 13,25 6,25

k 100 150 260 420 610 1260 1700 2610 5030

m 25,00 24,80 24,30 23,60 22,65 21,40 20,10 18,10 15,80

m 56,25 50,25 44,25 38,25 32,25 26,25 20,25 13,25 6,25

k 3920 3940 4000 4080 4160 4280 3460 2590 2630 2710 2820 3780 :1950

m 23,35 22,89 21,96 20,58 18,72 16,40 13,62 11,74 9,77 7,60 5,28 2,83

m 56,31 50,69 44,54 38,65 32,75 26,84 20,93 17,42 14,02 10,56 7,11 3,70

CUADRO NUM.

Cálwlo de los montantes de fiexión y torsión en los 11wntantes del arco articulado, 1n·od1widos por_ el viento m' r

N1'11nero de las seccioncs.

ORDENADAS

Carga, del Yienlo

de la sección

situadas á la izquillnla de las secciones.

sen ex

59,25

2~,40

l ,001)

56,31

23,33

0,998

0,040

53,37

23,17

50,43

22 .89

0,992

47,48

44,54

o, 118

0,987

0_156

21,96

0,980

O,l95

0,971

0.231

39:?0 100 2270

0,954

19,'71

35,70

0,9 '¡)

18,72

32,75

29,75

26 ,8í

0,300

0,335

0,3i0

0,928

17,60

16,40

6~90 39.rn 150 2270

12650 4000 260 2270

50,43 50,25 Idem.

22,89 24,80 26,04

o A.poyo

3)0

•

5,28

2,83

0,837

o,5n)

O,S71

0,820

0,597

0,803

o 0,785

0,62l

9160

Idem.

~ 1

:::.

1 ~

1n' f

en el medio de los trozo .

Números de los Lro~os .

rn' (

•

408920

50510

3947.20

ü4710

•

m' t

18-18 16-18

18900

14-1 6

76200

+ 10000

12-1 4

174000

+ 10400

10-12

31 5200

36860

9090

1080

36560

4350 -

37640

4740

600620

73740

21510

3400

72780

11500 -

76180

10010

563430

l 10930

27800

5530

108710

21630 -

11.\240

6170

7!17310

167170

49050

11670

16232')

38620 -

173890

10430

222600 7 1.t1880 ..L '

62320

17150

214360

58990 -

231510

3330

96360

30300

28í96(

89600 -

31 52i0

6770

353120

125710 -

964480

1225450 126710 o

25%0 4160 611 '.'!'2~0

612680 7i880 13820 59370

.-80980

763750 o

541360

18,72 22,6:i 26,04

32,,5 32,25 Idern.

16,40 21 ,40 ~6,04

13,62 20,10 26,0t

f,900

26,84 26,2~ Idem.

763750 701\JO 269li0 58590

lil4040

555700

2590

11,74

17,24

51050 2630 2610 :L5\JO

9.27 18 .10 26,04

U,02 13 25 Idem.

IO!l6290 25700 4i240 67\fiO

:18880 2710

7,oo

'l 0,56

1236670 :?OGOO

61590 2820 5030 3110

5,28 15,80 26,04

7,11 6,25 Idem.

1257270 14890 79i70 80980

3,70

1432610 7870

56~!)20

1 850190

375260

119230

42450

395570 -

6800

6480

1225450 1'3ti24U 182770 19670 73530

982050

472840

169610

67640

1454890 o

885990

568900

213710

88960

1!!5-l890 114880 305450 :33080 59060

!:)73008

688830

275520

1661910 o

8539m

807970

323050

222390

:363790

l 6619 líl 72420 496960 34.420 50300

-+-

1819380 597530 45120

447490

186i500 :36870 7e9180 34~80 34320

325200

498760

205320

932070

1!)70270 28620

1998890 . 20050 31 í40 1227290 19HO

2069820 10290 14rn4so

8-14170

715720

+ +

438800

174950 -

506440 -

5340

52111)

227560

610070 -

13850

131340

621320

~96200 -

752660 -

20680

167340

71748

371670 -

884820

48620

432850

975210

243510

310720

510890

1148780

8494 10

477850 - ·1092920 -

45000

982200

&97370 - 1292!)40 -

864d0

737630 - 15603 o

77090

891330 - 1812230

621770

+ '1348500

660fJ40

431680 1128700

437900

+ 15fi0990

764300

532210 1280020

127030

268440

+ 1801380

985510

732700 14'16520 1075440 - 2179220 -

89930

208110 1130791)

8959 '0 1632880 1293830 - 252d860 -

163040

2080110

14-íorno o

298680

5300

8-10

5oorno

6-8

752700 - 20700

5-6

988900 - 46800

4-:>

11 92900 - 65700

3-4

- 1426700 - 81800

2-3

_ 1683300 l-'102 100

1-2

- 1995700 - 108500

0-1

- 2354000 - 126500

1065880 30410

z,83

484970

926770

77280 1

-;:;¡

en los extremo de los trozo .

317200

612680 o

H};iO

-;:;¡

L-l "d

354060

·-

Idem.

R t"1

lllOUENToS

5890

25960 o

72550 2i80

L-'l "d

!lü4480 ·J5'7690 10101 O 16070 511670 ..L 1 872i0

38,65 I 38,25 Idem.

20.58 23;60 26,0i

75330 o

4594:10

20,93 20)5 Idcm.

9,60

t~ "d

ll10ll1ENTOS

r:,

----

o, 490

0,520

18860

674360 178160 1l 51 O 100150

91 !J-í!JO 47120 3:i170 (i5100

0,855

oIJ)

1470 -

6'74360 o

40800 3.\60 1,00 2500

9,77

18270

28370

~1194\:lO o

¡::,

590

40800 o

7360

459430 83070 9UIO fi93i0

19:80 4080 420 2280

(")

18360

277790

306160 87840 6320 59110

44,5i 44,25 Jdem

21 .96 24 30 26 ,04

p (Y-y ).

30131 (i0 o

0,460

7, 11

l: p (X - a:)

335700

21790

0,288

0,871

1439~0

220,rn 5630 127690

13,62

11 ,74

7440

284370

20,93

)

354060 198690 7540 114070

r1.

1531.\0 90190 3720 59110

0.430 ) ,

144740

153140

0,'-102

J0,56

a; l:

'SPX

+ cos

91530 2fí00 59110

56,31 &6,25 Idem.

33010 o

0,400

0,916

m 23 35 25,00 26,04

15,05

P (X - x)

r1. ~:

por m'.

o o

23,81

·J4,02

sen

= -

118 í60

l:PY

l: p (Y -y)

y l: p

33010 4280 1"260 2250'

17,42

P (Y - y); rn\

19180 o

r1. ~:

12650 o

'11

~~ P (X - x ) - sen

6290 o

0,2li5

0,963

20,58

38,68

0,080

22,48

21 ,32

41,57

Esfuerzo corlante f.

0,995

r1.

Montan tes

cos

cos ex

= -

ie 270"

CUAD Cuadro del momento fiector en la clav MOMENTOS

en el medio de los trozos. -

Tl'OZOS.

/).S

12-14 -

+ 5900 76200 + 10000 174000 + 10400

10-12 -

315200

14-16 -

8-10 -

cos

(1.

18900

506400 -

16-18 -

r1.

m' t

m'r

18-18'

sen

Altum Sepal'ación media de los constante de los arcos arco

m 5,88

1,00

m 5,00

3,00

5,88

0,08

0,99

5,04

Idem.

l{JM.

49.

.rtice del arco articulado (viento de 270k por m') .

- - -:r-25,00

Secci ó bruta

4,00 0,0438

_25,4 Idem.

Idem.

l=2

+ ~

;§_

";'¡'

Q 11

c.,

c., H

C">

oCJ) ¡:,

-- - 1,00068

0,00085

0,548

0,025

10,73

Idcm.

Idem.

0,55!:i

0,025

10,47

CJ)

(t)

...., (>

c.,

¡:,

m (t) l:'

c.,

r::,

Cll,.

(> c.,

Q g: ¡:,

¡:,

o 18,8 1 -

o 197900

+ + + + +

+ 10,73

1tl000

10,37

367700

10,07

ó,87

538600

8,06

11,91

7,13

19,24

o +

1,50

5,96

0,16

0,99

6,15

Iclem.

26,5 Idem. Idem.

Idcm.

Idem.

0,580

0,026

10,17

36,l:i7 -

. 775000

6,08

0,23

0,97

5,34

Idem.

28,5 Idem. 0,0493

!dom.

Iclem .

0,7 10

0,027

8,31

51,79 -

1445900

6800 6,20

0,30

0,95

5,Gl

Idem.

31,5 Idem.

Idem.

Idom.

Iclem.

0,784

0,029

7,5 1

64, 14 -

2367200

5300 6,34

0,37

0,93

5,96

Idem.

35,5 ldem. 0,0558

Idcm.

0,00098

0,990

0,033

5,96

71,08 -

3018100

376700

5,54

26,30

436200

•

6-8

752700 - - 20700 6,50

0,43

0.90

6,38

Idem.

40,7 Idem.

Idem.

Iclem.

0,00120

1,135

0,039

5,15

171,67 -

3876400 _,,.. 1483600

4,64

30,82

5-6

988900 -

46800 3,96

0,47

0,88

6,7d

Idem.

46,0 Idem.

Iclem.

I<lom.

0,00094

0,283

0,039

2,7-2.

47,22 -

2689800 -

2233300

2,39

22,43

- 1192900 -

65700 3,9!:i

0,51

0,86

7,10

Idem.

50,4 Idem.

Idem.

l /1 06

0,042

2,42

48,08 -

2886800 -

3158900

2,08

2,í,5,1

4-5 3-4

-1426700 -

81800 4,11

0,53

0,85

7,45

Iclem.

55,5 Idem. Idem.

Jdem.

0,00 104

1,548

0,047

2,26

46,34 -

2224300 -

3790600

1,92

24,56

2-3

-1686300 - 102100 4,1 1

0,56

0,83

7,82

I clem.

61,2 Idem.

Idem.

1,00076

Idem.

1,707

0,056

2,00

41,10 -

3372600 -

lf196300

1,66

23,02

1-2

- 1995700 - 108500 4,21

0,58

0,81

8,32

Idem.

67,6 Idem. Idem.

1,00085

0,00136

1,875

0,070

1,82

34,88 -

3632200 -

3784500

1,47

20,23

0-1

-2354000 - 126500 4,70

0,61

0,79

8' 66~

Idem.

75,0 Idem. Idem.

1,00600

Iclem .

:-3,038

0,462

1,22

6,23 -

2871900 -

788100

0,96

3,80

. 1

. '

19 18 17 16 15 14 "13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

montantes.

de los

Números

1n' r

o o

+ + -

3330 67ti0 6480 - 5340 - 13850 - 20680 - 48620 - 45000 - 86480 - 77090 -127030 - 89930 -163040

+ 5890 4740 + + 10010 6170 + + 10430

1n\

o o

= m,' f

en l os montan te s.

18860 37640 76180 - 114240 - 173990 - 231510 - 315240 - 395570 - 506440 - 610070 - 752660 - 884820 - 1092920 - 1292940 - 1560380 -1812230 -2179220 -2528860

M.0:l<lENTOS

( Mf ) v

sen a.

cos a.

o 1,000 0,040 0,998 0,080 0,995 0,992 . 0,118 0,156 0,987 0,185 0,980 0,231 0,971 0,265 0,963 0,300 0,954 0,335 0,941 0,370 0,928 0,400 0,916 0,430 0,902 0,460 0,888 0,490 0,871 0,520 0,855 0,547 0,837 0,820 -0,571 0,597 0,803 0,622 0,785

cos a.

+ (Mr )

r1.

173230 172880 172360 171840 170980 169770 168210 ln6820 16526{) 163010 160760 158680 156250 153830 150880 148110 144930 142050 139100 135990

(Mr) cos

+ (Mf )

+ +

+ + + +

o 6930 19750 25180 37030 39950 50450 49230 58730 51550 58760 53440 53870 39070 39880 · 3600 17670 28120 13490 55290

Mo mento de to rsión.

173230 172880 + 153500 134200 94800 -l + 55530 + 5780 64690 149980 232560 -. 345680 451390 - 596410 730990 · - 942040 - 1144830 - 1415390 - 1670180 ·_ 2040120 ....: 2392870

Momento de flexión.

sen a.

o +

r1.

6930 13860 20440 ' 27020 33780 40()20 45900 51970 58030 64100 69290 74490 79680 84-880 90080 94760 98910 103420 107750

(Mr) sen

( Mt ) = in' t

ARCO ARTICULADO - VIENTO DE 270k fie Cálculo de los momentos de xión y de torsión en las /iBCCiones correspondientes á los montantes.

CUADRO NÚM. 46.

â&#x20AC;¢

CUA 1. 47. T rabajo del metal en las cabez

• ' Secciones.

Momento flector;

Montante ·.

SECCIONES NETAS

DISTANCIAS 01'~ CABEZAS . Trasdó

Intradós

Trasdós

lntradj

l.1

. w . 1

¡rticiüado por efecto del viento. l.1

lt 1¡1+ w.1 l.1 2

wt l/ + wi l/

T RABAJO EN EL rnTRAD ÓS

TRABAJ O I~N EL TRASDÓS

Viento de 270K.

Viento de 270K. Viento de 150" .

Vientb de 150K . 1

5,04

2,80

4,32

2,40

3,86

2,14

2392870

media 8,90

8,90

2040120

8,23

8,63

0,0246

0,024

2,35

2,47

4,78

2,66

1670180

7,82

8,22

ídem.

íd~n

2,47

2,59

4,12 -

2,29

1415390

7,42

7,83

ídem.

íclen

2,59

2,73

3,66

2,03

1144830

7,06

7,48

ídem.

íd~o

2,71

2,87

3,10

1,72

3,28

1,82

942040

6,72

7,15

ídem.

íden

2,84

3,02

2,67

1,48

3,84

1,58

7309H0

6,41

6,85

ídem.

íúoo

2,95

3,16

2,16

1,20

2,31

1,28

596410

6,16

6,6 1

ídem.

ídmi

3;07

3,29

1,83

1,01

1,99

1,09

7 8

451390

5,99

6,39

ídem.

íd®

3,17

4,39

1,43

0,79

1,53

0,85

345680

5,73

6,19

ídem.

íd$

a,27

3,54

1,13

0,63

1,24

0,69

9 10

232560

5,55

6,01

ídem.

0,019

3,83 ,

4,15

0,89

0,43

ü,96

0,53

149980

5,38

5,85

idem.

íden

3,94

4,29

0,59

0,33

0,64

0,35

64690

5,23

5,71

ídem.

íde!i

4,04

4,41

0,25

ü,14

0,28

0,15

5780

5,10

5,58

0,0191

íden

-~,67

5,11

0,03

0,02

0,03

0,02

+ +

55530

5,00

5,48

ídem.

íclen

4:,76

5,21

0,26

0,14

0,20

0,16

94800

4,91

5,40

ídem.

ídell

·b,83

5,31

0,45

0,25

0,50

0,28

+ +

134200

4,84

5,33

ídem .

ide1

-:l: ,89

5,38

0,65

0,36

0,72

0,40

153500

4,79

5,29

ídem.

ídro

-:l: ,92

5,44

0,74

),41

0,83

0,46

172880

4,76

5,2(:5

ídem.

ícl$1

b,95

5,47

0.87

0,48

0,94

0,51

173230

4,75

5,25

ídem.

íclel

.J.,96

5,49

0,86 _

0,48

0,95

0,52

15 16 17

. .

14 15 16 17 18 19

12 13

8 9

1 2 3 4 5 6 7

Secciones. Montantes.

0,006 0,462 -55290 + 13490 0,00085 0,070 28120 0,00076 0,056 17670 0,00068 0,047 0,)42 3600 Iclem. 0,039 39880 Iclem. 31070 Iclem. Idem. 53810 Idem. Idem. 0,033 55440 Idem. 58760 Idem . Idem. 0,029 51550 Idem. 58730 Idem. Idem. 0,027 49230 Idem. 50450 Idem. Idem. 0,026 B9950 Idem. 37030 Idem. Idem. 0,025 25180 Idem. 19750 Idem. Idem. 6930 Idem. Idem.

Momentos de torsión

8,90 8,43 8,02 7.62 7;27 6,93 6,63 6,33 6,19 5,96 5,78 5,61 5,47 5,34 5,24 5,15 5,08 5,04 5,01

Ancho medio

6400 1380 3060 1950 420 4820 3590 5990 7070 7220 6990 7720 6780 6780 5480 4990 3480 2710 940

P V =M t l - G

• 258 293 362 Idem. 350 324 319 Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. Idem. 315 Idem. 310 Idem. 306

1 sen~

+ +

•

0,36 0,90 0,71 0,15 1,69 1,16 1.91 2;26 2,30 2,23 2,4:6 2,16 2,16 1,73 1,57 1,08 0,84 0,29

0,20 0,50 0,39 0,08 0,94 0,64 1,06 1,25 1,28 1,24. 1,37 1,20 1,20 0,96 0,87 0,60 0,47 0,16

Viento de 270k Viento de 250"

Rd (arco de adelante).

Trabajo del metal en las diagonales del arco articulado por efecto del viento.

CUADRO NUM. 48

----

CUAD UM.

Trabajo del metal en los arriostramientos longitudinales ó co1 ntos del arco articulado por efecto del viento de 27 Qk por mi CONTRA YIENTOS DE INTRADÓS ;

CONTRA1 ' DE TRASDÓS

Trozos.

Esfuerzos ' !,<!omentos de torsión cortantes

Esfuerzos cortantes Esfuerzo coradicionales tante total

37070 0,68

13630

Id.

-1570

29220 0,68

10740

0,047

Id.

+1170

30610 0,65

11750

0,042

Id.

240

25770 0,64

10070

0,039

Id:

2880

27100 0,6-3

10750

0,00136

1-2

72550

+ 13490

Idem.

0,070

Id.

2-3

61590

- 28120

0,00104

0,056

3-4

58880

.Idem.

4-5

51050

5-6

48460

+ 37180

2870

29270 0,67

6-8

40800

31070

0,00120

0,039

Id.

8-10

33010

55440

0,00098

0,033

• Id.

4940

21440 0,65

10-12

25960

51550

0,00085

0,029

Id.

4540

17020 0,64

12-14

19180

49230

Idem.

0,027

Id.

4650

13740 0,62

14-16

12650

39950

Idem.

0,026

Id.

3920

10250 0,61.

1.8-1.8'

6290

P ERl!'lLES

nroblón de 23 m/ men

i;ada angular).

Esfuerzo en Esfuerzo las barras cortante sen 1 total e T'' F '= -· 4 sen y T"

PERFILES

(un roblón de 23 m/m en cada angular).

;

k k k k 100 X 100 ' 100 X 100 7,83 0,001670 ang. de 13070 0,73 38160 7,84 0,001670 g. ele 10 10 Idem. Idem. 7,49 Idem. 8,16 35490 0,71 12500 Idem. 90x90 90X90 0 ,001332 8,68 Idem 0,001332 8,07 32370 0,70 11560 dem 9 9 Idem. : Idem. 7,80 Idem. 8 ,82 28270 0,68 10390 Idem. 80X80 0 ,001152 8,07 Idem 9300 Idem. 7,56 2529') 0,68 Idem. 9 Iclem, Idem. 6,92 7970 Idem. 8,07 21350 0,67 Idem, 1

I 2 sen y

1.6-1.8

4 se1

790

-55290

Idem.

= _2'. k 13090

0-1

39880

0,71

0,462

360Q 0,00094

sen. y

k m 3,00 - 490

k 75330

17670

Esfuerzo en las bari

. '

! '

d 100x 100 0,00334 5,29 17530 0,72 12170 2 ang. de 9o x9Ó ©,002664 4,57 e ·9 9 80x8ü q,002304 90x90 3,58 0,002664 6,19 11570 0,70 8260 2 ang. d~ 1649( ng. de 9,. ,, 9 ' : Idem. 2,52 Iélem. 1330 ng. de 80 X 8D 0,002304 5,77 7940 0,68 5840 9 Iclem. 1 Idem. 1,44 3310 Idem. 4,81 4440 0,67 Idem. 1108( ! Idem. 0,79 Ia.em. 1.820 Idem. 3,65 2400 0,66 Idem. 84()(

1766(

ng.

251.80

Idem.

0,025

Id.

2570

5710 0,61

468(

Idem.

6930

Idem.

0,025

Id.

710

710 0,60

59(

Idem.

2,03

570 0,66

Idem.

0,26

760 0,65

i ú tem.

Idem.

430

!Idem.

Id.ero.

590

0,26

0,19

•

. \

12 13 14 15 16 17 18 19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

•

Secciones.

4,73 . 4,64 4,80 4,63 4,54 4,35 4,29 4,25 4,01 4,44 4,24 4,16 4,li4 4,57 4,41 4,38 4,07 4,49 4,15

0,48 0,51 0,54 0,57 0,76 0,79 0,81 0,82 0,83 0,84 0,84

0,H

0,05 0,12 0,19 0,25 0,31 0,36 0,40

Variación de temperatura

Carga permanente

+ 4,79 4,12 3,66 3,10 2,67 2,10 1,83 1,43 1,13 0,89 0,59 ·0,26 0,03 0,26 0,45 0,65 0,74 0,87 0,86

27Qk +

•

0,25 0,36 0,41 0,48 0,48

0,H

2.66 2;29 2,03 1,72 1,48 1,20 1,01 0,79 0,63 · 0,49 0,33 0,14 0,02

15Qk

ACCION DEL VIENTO

+ 1,83 2.26 2;7l 3,09 3,37 3,60 3,70 3,76 3,72 3,84 3,72 3,59 4,2~ 4,17 3,66 3,40 3,02 2,90 2,74

Sobrecarga estática hipótesis.

Mín.

Máx.

k 9,57 8,88 8,65 7,98 7,52 6,87 6,52 6,12 5,62 5,84 5,37 4,99 5,43 5,62 5,67 5,85 5,64 6,20 5,85

p +,: + 270k

f.&

Mín.

k 9,27 9,31 9,73 9,69 9 ,70 9,51 9,40 9,24 8,8.4 9,28 8,83 8,46 9,ti6 9,li7 . 9,13 8,96 8,33 i;, 71 8,21

+ 150k+ S

Máx.

+'t

2.• hipótesis.

TRABAJO TOTAL MÁXIMO

Trabajo total del metal en las cabezas de trasdós del arco articiilado.

CUADRO N.UM. 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ·

Secciones.

3,91 3,58 3,36 3,19 3,24 3,15 3,23 3,05 3,29 3,67 3,69 3,61 4,32 4,25 4,41 4,38 4,69 4,23 4,59

+ o, 12 0,19 0,26 0,32 0,38 0,43 0,4t3 0,52 0,55 0,75 0,79 0,82 0,87 0,89 . 0,91 0,93 0,94 0,94 0,95

Variación de temperatura

Carga. permanente

+ 5,04 4,32 3,86 3,28 2,84 2,31 1,99 1,53 1,24 0,96 O64 ' 0,28 0,03 0,29 O,bO 0,7~ 0,83 . 0,94 0,95

27Qk

+ 2,80 2,40 2,14 1,82 1,58 1,28 1,09 0,8f:> 0,69 0,53 0,35 0,15 0,02 o, 16 0,28 0,40 0,46 0,51 0,52

15Qk

ACCION DEL VIENTO DE

+ 2,06 2,59 3,06 3,43 3,72 3,87 3,93 3,94 3,90 4,72 4,51 4,24 4,08 3,72 3,34 3,00 2,82 2,72 2,40

Sobrecarga estática

Mní.

Mín.

k 8,89 8,76 8,8.2 8,76 8,92 8,79 8,73 8,36 8,43 9,67 9,34 8,82 9,2n 9,02 8,94 8;71 8,91 8,40 8,46

Máx.

+ +

2. • hipótesis. 150k 't

8,07 8,09 7,48 6,79 6,46 5,89 5,70 5,10 5,08 5,38 5,12 4,71 5,22 5,43 5.82 6,03 6,46 6,19 6,49

+ 't + 270k

Máx ..

1.• hipótesis.

TRABA.JO TOTAL MÁXHW

Trabajo total del metal en las cabezas de intradós del arco articulado. .,,

CUADRO NÚM . . 51

. "' CD cr.

;:;-

t:,

p 't

Variación , Carga de permanente tempera tura 1 •

CUADRO NÚM. 52

27Qk

15Qk

ACCION DEL VIENTO

-S

- 3,r:

:_ 4,33 - 4,01 -4,46

- 2,85 - 3,06 - 3,27 - 3,32 -2,67 - 2)4 -2,28 -- 2,69 - 2,37 - 2,95 - 2,75 -3,53 - 3,34 .. - 4,03

Compresión. Extensión.

estática.

SOBRECARGA

-··

+ -

2,09 1,94 1.65 2,16 :l;22 3,57 2,35 4,78 3,02 5,00 3,17 4,88 · 2 85 4,22 1,99 3,32 1,11 2,34

+ i70k

1." hipótesis.

---

+ -

k 5.23 4,60 4,60 5,41 4,14 · 5,79 3,78 6,46 4,37 6,\16 4,83 7,45 5,23 7,48 5;06 7.17 1,75 6,67

p+'t + Hí0k+S

2." hipótesis.

TRABAJO TOTAL MÁXIMO

----------- ----··-- ·- __. ____ ..-~---- .. Tra~ajo total del metaZ en las diaqonales del arco articulado.

3,30 · 1-2 1 1,42 ,+ 0.31 + 0.36 + 0,20 2,51 0,50 0,90 o,34 0,70 2-3 3,44 i 0,39 0,71 0,40 3-4 : - 0,54 2,49 · Q,08 o, 15 ¡ _ 1 63 0,38 4-5 . ' 2,80 0,94 1,69 \ 0,35 5-6 ,- 0,18 2,04 0,64 '! 6-7 , _ 211 1, 1ti 0,30 2.37 1,06 1,91 0,28 1 7-8 :_ o'rn2,00 1,25 . 2 .26 · -2\15 , 0,26 8-9 2,42 ' 1,28 2,30 o,~4 9-10 - 0,48 - 2,25 2,23· . 1,24 0.22 10-11 - 2 55 ' 2,8~ 1,37 2,46 0,20 11-12· ': - 0,51 2,82 1,20 2,16 0,17 12-13 ' - 2,55 3,40 2.115 - -·· ·1 ;20 o;-t 5 ·13-H . - 0,54 3,23 0,96 1,73 0,13 14-15 -2,:lG 3,82 0,87 1.57 0,10 . 15-16 -- 0,32 · 3,53 0,60 1,08· 0,07 "16-17 -2,17 4,00 0,67 0.,84 0,05 17-18 - 0,22 3,64 0,16 0,29 0,03 18-1!:J -2,02 ... .. ·-- ·-- --~- --

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. .

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•

·4,47

2, 65

Trabajo total máximo positivo.

â&#x20AC;¢

OBRAS DEL MISMO AUTOR El tranvía de vapor de Torre la vega á lnfiesto y Covadonga. - Estudio sobre los tranvías de vapor . Puentes de hierro económicos, muelles ·Y faros sobre palizadas y pilotes metálicos. Obra premiada con la cruz de Qarlos HI; 258 páginas de texto, con 37 figuras intercaladas y 31 láminas en tomo separado. -Precio: 15 pesetas en rústica, 18 encuadernada. Estudio sobre el empleo del acero en los puentes, publicado en el Boletín dela Revista áe Obras públicas, números 7, 9 y 10 de 1896 . Tomo I. EN PREPARACIÓN Cálculos y proyectos de tramos metálicos de 5 á 30 metros de luz para carreteras y ferrocarriles económicos. El hormigón y sus nue·v as aplicaciones en las obras públicas y construcciones civiles.

•'\,''

Biblioleca de la Revisla de Ob,as pubiicas

GRANDES VIADUCTOS.

SOLUCIOIIES DIVERSAS DE ARCOS METÁLICOS, COMPARADOS COI! LOS MAYORES VIADUCTOS CONSTRUIDOS. FIG.• 7.-PUENTE SOBRE EL CINCA (HUESCA) 1866

FIG.• 8.-PUENTE DE LA BARCA (PONTEVEDRA)

FIG.ª U.-VIADUC1,'0 DE KIRCHENFELD (BERNA) 1886

En construcción.

Longitud, :2a9m.-Coste, 1,077.500,

FIG.• !.ª-VIADUCTO DE JAVROZ (SUIZA) 1879. Coste,

Tomo I

ESCA.LA DE 1,1000.

:195.000 francos.

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FIG.• 9.-PUENTE DE WASHINGTON (NUEVA-YORK)

FIG.• 16.-VIADUCTO DE PADERNO (ITALIA) 1887 Longitud, 304m.-Coste1 .r.978.000 liras. , - -- -·-·· JJ,25

· 33. 23 -

.1J,2S

-- .... ,-,......

--•-.JJ,2.5 -

-------- J3,2.,- -···-····· ....

FIG.• 2.-VlADUCTO SCHWARZWASSER (SUIZA) 1882. Coste, 279.500 .trancos

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FIG." !0.-PUENTE-VIADUCTO DE PINO, SOBRE EL DUERO 4 _:i. solución (adoptada).-Presupuesto, 30:z.565,21 ptas. ---·--· JCpm, -

r-4<h' ~ D.ov:~ou-,

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'.3/•~~-· FIG.ª 3.-PUENTE-VlADUCTO DE PINO, SOBRE EL DUERO t':! ,il, JO

z.ª soluci6n.-Presupuesto, 345.876,06 pesetas,

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FIG.• 16.-PUENTE-VIADUCTO DE PINO, SOBRE EL DUERO

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6.ª solucj6n.-Presupuesto, 693.561 ptas. -- J¡).()Q -

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30,00 -

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....

•

F!G.' !!.-PUENTE EIFFEL DE OPORTO (PORTUGAL) 1878.-LONGITUD, 366m.

FIG.• 4.-PUENTE DE SAN LUIS (ESTADOS UNIDOS) 1876

FIG.• 17.-PUENTE DE TREZZO (ITALIA) 1886 ·-- ---- 62,tJ()

ZJ,H

····- ---··-· 23,15 -

------ -

FIG.• 12.-VIADUCTO DE GAR.\lllT (FRANCIA) 1886.-LONGlTUD, 66óm. Coste,

FIG.ª ó.-PUENTE VIADUCTO DE PINO, SOBRE EL DUERO 2,ª

f.- -1

soluoldn.-Presupaesto, 505.040,04 ptas.

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3 .:250.000 francos.

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FIG.• 18.-PUENTE SEYRIG DE DON LUIS EN OPORTO (PORTUGAL) lllM. Lon8itud., 39.rm.-Coste, .2.000.000 lranoo•. · Jt,:0,1

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FIG.ª 13.-PUENTE-VIADUCTO DE PINO, SOBRE EL DUERO FIG.• 6.-PUENTE-VIADUCTO DE PINO, SOBRE EL DUERO

FIG.• 19.-FUENTE-VIADUCTO DE PINO, SOBRE EL DUERO

5.• aoluci6n.-Presupuesto, 654,310,60 ptas.

3.ª soluclón.-Presupuesto, 443-483,69 ptas. J1,l,(IO

1·---- -- --2s;oo

30,00

•

7.ª solucl6a.-Presupuesto, 6'¡5-432 ptas..

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Biblio1eca de la Revista de Obras públicas ~~

Lamina III

GRANDES VIAOUCTOS .

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SOLUCIÓN-VIADUCTO ENTERAM[NTI METÁLICO SOBRE ARCO IMP0TRA!JO

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Frente del estribo.

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frente del estribo derecho.

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Frente del estribo izquierdo

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S ección por M.N.

Sección por a.b.

S ección por P.QKS.

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Sección. por a .b.

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JA SOLUCJÓN·V!ADUCTO ENTERAM[NTf METÁLICO SOBRE ARCO EMPOTRA!JO. Vista de a 11as abaJO.

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frente del estribo izquierdo.

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Sección por M.N.

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eca de la Revis t a d e Obras públi c a s --GRANDES

Tomo I

VIAD U CTO S;

CONJUNTOS DE LOS TRAMOS CON VIGAS DE ALMA LLENA

Lúmina I\' ·

Escala 1:200

, Oiasrama de la dis1ribución dejun1as en el alzado ~eneral de la vi a. 1:fflU'l'OSflll d<'JI•

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LI T.- M EN DEZ;-I SABEL LA CATÓLICA 25-MADRID

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Biblio1eca de la Revista de Obras públicas- GRANDES VIADUCTOS .

Tomo I Lámina V

DETALLES DE LOS TRAMOS CON VIGAS DE ALMA LLENA

Alzado de una Vi,~a Extremo de la viga.

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1e ca de la Revis1a de Obras públicas-9_RA~_DES VIADUCTOS .

Tomo T Lámina VI

CONJUNTO Y DETALLES DE LOS TRAMOS CON VIGAS EN CELOS/A.

Diasrama de la dis1ribución dejun1as en el alzado general de la visa.

Iarguur;s dl! OIUU/ltJ' - - + -- ~,280_ .L,__j;_/JL-+ J.,,(}O _...J.__T;@_-+--~-@__-+ _ _MP _ _,..-- MO_.¡...__ 6,00 - - , - - - - 6,00 --,-- __t,oo - + -Mf!_ r¡-- ·¡,,00_ _ 4--- _ _ 6,UO _ _ _,___ _ _ 4 00 - - - J . . - - 6,00 _ _ --+- !J dUlplll estriada,. _ _ _yoo + - , - - §.;l§J1 -~--r - - #flí!._-- ~ -+-- - - ~sso 1 _ _ 6.oo 1 -+--- 6:oo 1 __IXJliL 1_ _ .lor9ruros. - - t-_§,625 __J_.¡.._.- _ _¡§200 _ _ , 1 _ _ 6.oo J___¡._ _ _¡§7So - - -:-:+-I --_M!L__L _Af!§!L ~~º-1---¡ .j_ ¡ _--1 .4@.¡ _I-,_fü)Ot--i--r-+_jj,_ ' 1 _§,JJO _ _Mi _§,Ofl__ ff"lfJM.

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AIza do de un 1ra mo de. 6 r:r1 oo Escala 1:40

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Escala 1:20 ,

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LlT.-MENDEZ;-ISABEL LA CATÓLICA 25-MADRID

Bi b l i o 1e e a de I a Re v is 1a de Obr as p ú b l I e a s-GRAN D ES VI A D (J CTO S .

Torn. o I Lún1 ina VIl

CALCULO GRÁFICO DE LOS TRAMOS

De1er mi n a e i ó n de I os fo e os. ---6,UO--

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Biblio1eca de la Revista de Obras públicas -

Tomo f

GRANDES VIA DUCTOS .

.Esoal,m

de, nwmentos

Lá mi na v1Il.

i!5'fnv p or Kilcgr(l;-mel/'o

CALCULO 6R.ÁFICO DE LOS TRAMOS- DETERMINACION IJE LAS LINEAS DE INFLUENCIA ( EsC,tI,ÚI/ de-esjuer,:,os cortantes 25'¡,w por Kii<J9ranw.

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Esctúas tk lDsmullle/ÚOsf /,ectom6 fXdo,JJrlllUJS-ntdros J¿¡ cw los <!ffúo'%-os co.rtanle,r(/úloJ'.ramos J Fig ~A- Úll'!Ja,JJer~ ÜJ(J(J.&) . SOO

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LIT.-MENDEZ;:-ISABEL LA CATÓLICA 25-MADRID

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Bi b l io 1eca de l a Revi s ta d e Ob r as p ú bl i c a s -GRANDES V IAD U CTOS~

Tumo

Lámi n a L,

DETERMINACIÓN DE LOS MOMENTOS MÁXIMOS

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r Láminél X

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DETERMINAC/ ÓN DE LOS ESFU ERZOS CORTANTES MAXIMOS .

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LIT.-MENDEZ;-ISABEL LA CATÓLICA 25-MADRID

Tomo I LJmin H Xl

Bi bfio1e c a d a fa Rev ist a de Ob1'as pública s - GR.ANDES VIADUCTOS .

DETALLES DE LAS PALIZADAS.

Palizadas. VI

Palizadas. v y v' Secciones de los moñ1an1es.

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Tipo n.º4 fa/1zatlas/X-X XJ-XII-XIIIysimétricas yó.

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Tomo r L i mina XIT

Bibl io1 eca de la Revis 1a de Obras p ubl ic as-GRANDES VIADUCTOS.

CÁLCULO GRÁFICO Of LAS PALIZADAS.

Alzado general de las palizadas. 1

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Biblio1eca de la Revis1a de Obras públicas-GRANDES VIADUCTOS .

Tomo I · Lámina XIII

AIz a do de un s emI a r eo.

LIT.-MENDEZ;-ISABEL LA CATÓLICA 25-M -A DR I D

a Revista de Obras públicas-· GRANDES VIADUCTOS

ARR/OSTRAMIENTOS Y CONTRAVIENTOS Dfl ARCO EMfOTRADO.

Arrios1ramien1os 1ransversales de los arcos.

Tomo

Escala 1.~oo

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Con1ravien1os ó Arrios1ramien10s lon~itudinales Desarrollo del

Arrios1ramien1os .lon~itudinales Desarrollo del in1rados .

LIT.-MENDEZ:-ISABEL LA CATÓLICA 25 - MADRID

Lámina XN

Biblio1eca de la Rev 1 st.s de Obras públicas -

GRANDES VIADUCTOS.

Tomo l

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Lámina X V

Arriostramiento transversal n ~ 3. Sección lr.ansversal C.D.E.F.

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Detalles del arco empotrado en los arranques.

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Arriostramiento transversal n .º f SECCIÓN POR A.B.

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NOTA: los rabiones son de 22 %? en aj,¡jerps de 23 '%, salvo en /o.s angulares de borde de las almas, Cl!JDS roblones son de 77%,. La separación de los roblones corrienfs3 en las cabrn:as es de 5,5 d =

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5,50 X 22-: /2/o/m LIT.-MENDEZ;-ISABEL LA CATÓLICA 25~MADRID

las cofas de !onfitud se han medido á calculado apraximadarnerrfe, no san par' lo tan fo cotas de sjecur:ián.

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Tomo

f ib li o1eca

de la Revista de Obras públicas /

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Arriostram,ento transversal n .0 18.

Detalles del arco empofrada en los riñones J en la clave

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G_R._A_N_D_E_s_v_r_A_o_u_c_T_o_s.

Lámina XVI

Alza do en la clave

Sección por q.r.

Escala 1:40

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CALCULO GRÁFICO DEL ARCO EMPOTRADO.

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LIT.-MENDEZ ;-ISAt3E!... LA CATÓLICA 25 - MADRIO

Bib 1io1eca de la Revista de Ob ras públicas-GRANDES VIADUCTOS .

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Jisml,n, de Lap1mas o~' oof Jlºr t-r1Itd Id,, lo1~9i ill,d.es o...oo:'.f por niefn

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Cálcu lo de compresiones lon~ilmdina les

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Carga µ·ermanen1e

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LI T.- MEN DEZ;-I SABE L LA CATÓ LI CA 25 - MA D R I D

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CALCULO DEL ARCO EMPOTRADO. . . sobrecarg.a

300· K.

Tomo I Lámina XlX

por m~

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---

Po l i~ onos auxil iares. ......................

Cálculo tle compresiones longitudinales y esfuerzos cortantes.

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Sobrecar:sa de

Escala tkuufa.xa.s oolóó_por wn,eluda,.

300 Kgs.porm1 folijono óe presiones. Calculo de los momentos flectores. = Esmla de /fJl~[jilttde.r o':'t•(l.f'.f jl{IF metro.

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LIT.-MENDEZ ;-ISABEL LA CATÓLIC.A. 25 - MADRID

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Biblio1eca de la Rev i s1a de Obras públicas

GRANDES VIADUCTOS.

CÁLCULO GRÁFICO DEL ARCO EMPOTR

Tomo

no.

Lámina XX.

CJlr:fllo óe los momentos/lectores f/ 02.ºy J _ercaso de sobrecarga.) y variacion óe temperatura.

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Cálculo óe compresiones /ongilflÓiila!es y esfuerz cortantes.

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LIT.-MENDEZ;-ISABEL L A CATÓL ICA 25-MADRID

GRANDES

Biblioteca de la Revis1a de Obras públicas

DUCTOS.

Tomo l L¡j nii rn:1 :XXl

4.ª SOLUCIÓN ADOPTADA.-VIADOCTO ENTERAMENTE METÁLICO SOBRE ARCO ARTICULADO. Al.za do Visla clcagu.is abajo.

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Bi blio1eca de la Revista de . Obras públicas

GRANDES VIADUCTOS .

Tom o1. Lamina _L'UI

DETALLES DEL ARCO ARTICULAD-O..

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LITcMCNDll d SABE:L LA CATÓLICA - 25-MADR/D .

iblio1eca de la Revis1a de Obras publicas

To1no I

0RANPES VIADUCTOS.

Lámina .:XXJlI.

DETALLES DE L08 ARR/08TRAMIENT08

Escala. de 1:200, Desar~ollo del trasdos y cont~avientos.

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Nº2

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N?O l - - - u.~1 - ~ - -~

Desarrollo del intrad.os y contravientos.

L/TcMCNDCZ d S AB E:L LA CATÓLICA-25-MADR/D .

Biblio1eca de la Revista de Obras públicas

Viga de anclado y de arriostra.mient Trasversal n. O. o.

GRANDES VIADUCTOS.

Tomo

Lámina XXIV

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Sección por a b DETAlLES DEL ARCO ARTICULADO EN LOS ARRANQUES

Escala de 140

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Desarrollo del trasdos en los

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Detalles del anclado y apoyo.

LITs/llCHDCl d $A~CL LA CATÓLICA·Z5-MAOl! / O.

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B i b I i o 1e e a d e I a Re v is t a d e Ob r a s pú b I i e a s -- GR A N D E S V I A D U CT OS .

Desarrollo del trasdos en la clave del arco.

Tomo f

Lámina XXV

DETALLE DEL AROO ARTICULADO EN LOS RIÑONES Y EN LA OLAVE - - - - - --- - - - - - - - -- .5'."'.9.9 '

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iio1e ca de la Revis1a de 0-bras ·públicas

Tomo 1 Lárnjn.a XXVI

- GRANDES VIADUCTOS

CÁLCULO GRÁFICCD DEL ARCO ART!C{JI ADO. · Elementos jeúmetricos y lineas de ínflue 1eia.

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Biblio·1eca de la Revis1a de Obras públicas

Tomo 1 LBmin:i XX.'Vll

6RANDES VIADUCTOS.

Trazado de las tangentes. Escala de l<lllfjiUule.s = o,mPP.f J ill' metro..

Linea de las presiones de la car~a permanente. Escala,, M las Wllfjiúules

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Compresiones longitudinales y esfuerzos·cortantes

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de la Revis1a de Obras públicas

GRANDES VIADUCTOS.

CALCULO GRÁFICCO JJEL ARCO ARTICULAJJO -Sobrecarga está1ica de3oo K.~tporm~ 1º Casos de sobrecarsa desfavorables en el tras dos.

Tomo I Lirntina _XXVITI 1 1

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2° Casas de sabrecarj,a desfavorables en el intrados.

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li blio1eca de la Revisia de Obras

GRANDES VIADUCTOS

Tomo I

2A SOLUCION ARCO EMPOTRADO CON AVENIDAS DE FABRICA. Alzado

Lámina XXIX

Visla de a3uas abajo.

Escala de, J:l,oo iO

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84 SOLUCION VIADUCTO [NTfRAMINTE DE FABRICA .

o!e ca de l a Revista de Obras públÍcas-GRANDES VIADUCTOS.

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Secci nes transversales.

Tomo T Lámina X)CX

Sección por C. -

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SPcción por B.

Alzado ~eneral ¡e

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Escala de 1:500.

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Seccidn transversal de la boveda central.

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