Arte de medir tierra by FUNDACIÓN JUANELO TURRIANO

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ร " R TI E DE MEDIR TIERRAS, y AFORAR. LO'S I"IQUIDOS y SOLIDOS.

POR D. FRANCISCO 17ERDEJOGONZALEZ, Cat~drรกtico

de Matemรกticas en tos Reales Estudios de esta Corte .

EN LA IMPRENTA DE SANCRA.

Con licencia.

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AL EX.MO 'SEÑOR ,

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COÑDE DE TEYA, GRANDE DE ESFANA .~......

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~E1 mejor "elog.io :n~·es.el qu~ ~~

funda 'Cn~ lo ilustre de la prosa':' pia.,. sino eh '-as, ac.ciones y mo. 'l/o de pensC!r.':' elogiar á un Me''c enaf por.que tiene grandes abue'íos, es '.fo mismo ~ue pub¡z~arle tf.estit.uJdo.de mérito:persona!. ,AI mangestar al público mi recono-c~~fo r, ~o, 11 azaré ~l árbol genetllOgtcQ ae , 17: E.., ln7J que diré que sin ·desvanecerse de la ' alt a situacion en ' que la naturale~a le puso, V. E. alarga la

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mano d~ qtt--:.alquiera.q.ue.. con sus escritos.y oqras prodera ser útij d1apatr'iá; mds:'diré'que' V. -E~ no "mlo'protege 10.y1iteratos "sz~ no que, /~s sugiere. , las,1'lJqterias ,sobre qúe con utilidad del p'ztblico puedan , trabajar ; ' ~ 'quando' sea notorio á todos 'este procedlw, este ~~lo por el bien comun rna':' ~di8' '8xtha'/iará que'yo1?tJnga ba~ ·tCO la pi'otcccion de V. E: esia obrit (,1, ,',que sin s~ sombra y ,am~, pai~o no'. ver.ia.,la luz pública.; y . ,este es ·un ;n'!t8.vÓ' 'motivo, para que quede de V. ' B~ reconocido'sÍt ~mas. .atento. servidor Q.,S. M. B. • ' f'\',\

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y lnedir l~n tri.ángulo , entran mi.. diend~ tÍefr1ís J"11adetidcfparticio4 nes, levantando planos , form;an.. do ap~QS ;, t~'stlndb ~etrenos;, y. ~[o Jlt!.lld@ ,!Z.Q§loStlos:Guerpos' 'liJe s~:lG:S ' pY.~~fllt~jl iclit"vista ~1.qu.a1-, si fu.e~

:Tan :1.1n,OS , M~temáticos . CQhSUnla... :

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SiUladyertlr, que /medir en ~Ltetf.e!'lo.nQi ~s· me.dir con el:com.. . .p4:s ~obte la "nj}~$:l',que la tas~cioJ.1 de las tierras sOlO compete á los lab..rad:9res .ªJlcia,nos ,.üistruk!Qs é ilbi~drkg~IJ~~~ en' aa. !calidad· de ellas ~esp~cfÓ -ead~pais ', y por ñinguil m9~i yo 'a,l Agdl11. ensor por i~t€- l,igent~ ..qpe sea en su,.ar.te ;>_y: _qu~ ~

PQr" ~li-h~o- ,~ etparhr1 1as.Jtierrasl! y: lexa.1'l.tªr loS',p1<ln~s)1 es -la parte. de

la agdrn eqsura 'ln as delicada, Y'~n la. que;~na$: ~o. .tleee~it~ l~reuJ1ion pe 1~1 eSF~óu¡'atiya 7 -~a) prá(i:tic.:h:r v .¿Quien

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'\3:1U htillif~{:ébt~~Qsit:i.9ll

dedqft;rre..

, l-~§ "l~ng~úa; lE~hQ· :s.-~F eo;~jiJrrC'"~ TI ' · 1 " 1., 1 .t;.rntfY _~º5; mUCl',(OSt e}femp!J.la.:o.: T:eS ~.:~~e ~~F-0dr~at ~dtarJ .so}bre) loS' dJ~$1:ci<Jntj),s ~nl'~lcD~,dte:n: aJgiln@,s .s~ñÓ'.xes:Agr.imens6tel' s ';éll$US;~mé~ • ... r' '-' , diQ<l.$t,::solQ m_e ~det'endré ell refe>:'

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ferir .d.$igui.ent~..'EJíl .una ~1Uá.Jno il'll1YrqlS~ªnte-,-:d~ 'esta ~Gor~te :,: fué

Hania(j~lui ~Agrimelis.@,r .para ;~e~ . dir LJn~s~iier:ra:s~de :una test.amenta-

!:\a " Jasiq:ue~ d:ebi~n partirsevebúe

v.:ª,Jiusf-her;€cle.t:'CDs;·;·ipero,~c_orrío ~uno ~1~jes·t!es (d.et'ei:rn-tna5e-, v.cinClel1.. una -

de 1as~tierrás_ , ql~e:~e . c.upieron e~ su~ p.a:rt€ ~; f!:lé preciso q~e .para·Ha.. , ti~(~cQioJ.}Jkli." ~Qmprar.dbr ,se!--v01¡ :v~se 'á: lnedi~ da~l(.eferida ~ti~rta: , 7

C0J.1,10 ·ta:rñbieñ~\S'QGediese

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.a~\lel1ás 'irHp.~diacio!1..es nQ ' tilUQie: se _ qt~o,,'Agr®~ng~i) q'Uc" ~el ~q(;}e J:t·'

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IX ~ierras quandó

l1iidió olas las \'par.. ., tJ.ClOnes j recurneron aoeste para que la volviese .á medir; en efecto nuestro buen Geómettra mi. . dió su tkrra:' y\. sacc>_en su me-dida nueve~ fanegas;' sle.ndo> así ,que ,quarido. ..la o miQió ~ l~ ootr.a vez solo sacó~ siete ; ., y como fuese . reconyenldo por: las jp:ar.,. tes ,: sobred a!;difen(ncia t.ari on.Q~ table que se~ encontraba, ' Ina... yormen ~e ~n ;J \in '"\ terreno d_opde el ' valor dt .la , fanega. no_ ha~a7 ha. de - 3ooor·.reales..., _f;esF<1l}ldió~" que de un modo .se media 'en las teStam~ntarí~s , y de .Qtrp pa.- ." ra Itas y entas. :' 0 _ "~~S"I'; ~L/ _o, .·Eue~I'" ~..@-mpl-af . -'}t ¡ ~lguJ1óS Gtro~ que he·.. pre.senciado hici-eton·rehacer ,en luí un .,~e~en;}e¡i10 : , " te ._deseo . :de ~ hac~r~ algun .sepvb J

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Mglicuhmra J; ldestininao

aqu~Hb~ r~t.o&

'que itn~ per1nitert mis ~ tareas literarias' en ,escribir :u n 1rratadQ ~ éfe .íAgrinqe~.sHra. 'Y -~fura';j' pero :t;a r '. q.uet':en¡ tUl áo'r:- to v..01úmeIl r'@q,mpre4'enm.iese: ' d~s' aqúelIas ' 'partes ,t~ asfcle. Arit"!' mética <;:omo.de, Ge0méttÍa, que JO

é'CJIltdb~ly.é117 {r ~-,p·~'rfec{ti~lflafc .Agrimeñisbf', al ¡que ~Je'L sel~ía..

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cil. . ll~varla consigo ': á "qualquie~ l'a'" párte -que fu~se á 'praoticat: stls~.rltedidas- para. clfesát-ar' Hrs-idt~_ .' dfisLque en:eUas le:pucliesenJocur1 rir, y evitárse. al ..mismo .riem. . :POj la · molesti~ .,yü trábajo. lde t_e~ ner que registrar aqu'e1:1as ~@ras hierr éon(j~idas >e-n la' Agrimensura;J quarles sorrr Heredia , ;Vi..; ¡Iajos, Po/anea. y<Moya's 'pues el' rque hlS¿; haya' .Icxati-inadod.caur.. J aten1

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fttendOll :habrá notado ' que' He~ redia es dtü... todo inútil., "Villa!. jos ' es bastante abundante en 10 ,. . que toca a tasaClOnes y noJl,- cia de medidas,l' '.que la lnayor, parte .seran o no ciertas '; pe, t:D eIl 10 correspondiente ' á partir las tierras, uno de los pun. . tos más princip!lles de la Ag:ri~ !<l1Jlensura se ,. desentié'nde ,- en-:un. . todo , ji sólo nos da unaS-_lnas qti<~ sucintas -noticias SObre la ~ l11edida de eltrs, y ' método 'de lévxntar plan:os ; 'Pc51a-nc9 'y 'Mo~ ya en ~us . grantIe's volúmenes tratan muY' por menor: el prii

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ltrl¿rQ deJa distribuci6tP -de las águas~'qlíe prQyeel! "á Madrid.: y el segundo ,de la 'Aritmética es~

peculativa y práctica, pero en e.l arte de ,-la :Agrimensura se H-

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mItan ' tanto m·as que JOS an" , teriores'. .De suette~ que todas las' referidas obras 'no son suficien.. tes á producir. siqill'era ' un- me~' diano ' Agr:itpie{1sor; 'pl1es ·~ conforme he tnal1ife~tado' , ,l<l! .pard.... cion' sle "las ttierras '¡" 'lnétodb de' lavar; .é iluminar 'Ul1 ,plano ,- y otras Ü:lUeha~ qüestriones. íxelati"", vas á la Agrim'enstíra y. aforo, no ' se sac.an,de Iiinguna de' ellos. Pero antes de entrár en tanardua empresa .mé fué. inclispen.'. saBle ~registrar _ ~lg~. l1;;J,b~ buenos Atlt0res de -Arittnética' y Gee>- ' lnet:rÍ'a" ~sÍ. ~sp.añe>les' ¿Q;~110 e~ trañgyrós ;,: para,' tpmir ·de ellos. t?dás: iquellás propo.s~ciones ; ~sÍ, teoncas . e_OínO pr_a ctlcas, qU,e !, mejor ~e atomo.gas~nr al plan 'tqe' m~,.ha;b¡a¡ p~(i)pues.tQ segwit';; ,. . peI

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pero como en la práctica ,de qualquier . arte se Stlele'n seguir algunas reglas, ya sean de convenio , ó por nec.esidad, de las, que los_ Autotes :de Geometría se desentiende'n, 'Y s'Olo las sa~. hel1 los Duenos Agrimensores,. me fué indispensable para pro..; ceder 'contodo elnpeño~Hl1niliari zanneC0n a-1gmnós .de eptos deri~ . tro y fuera efe la. Copte j:entre los qlle -no dexé ' d~ enco11:trar ' algu~' no ' que otror mus:t que . lnedianam~nte iln'pudto : 'enr lá ,p.art~, práGtica.": pero de todos .ellos <quien.n~as llenó mis: 'deséos , .subrniHistrand ~rne algJ1no~.r~conoG.F mÍ.entos:'prácJicÓs, :¡ls,( de la 'fo.gti ... meaS'tira COl1).o. del aforo fué Fer:

r.tando Sanchez Bermejo, Agri: , rnenS<;}f . aproba.dC!> , en esta :_ CQrs, -,.:t.

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te; y a:delnas 'lne lnanifestcY ' al~ - gunas instrUlnentos , ingeniosos para- nledir las tierras, conio fueron u~l - cartaboll de nueva in-venClOll-, supenor a quan,tos acos~ , tumbr'a n usar nuestros_Agrimen.; sores, uná 'p'lanchéta la nia's ~en silla' y econólnica que he visto. , Hecha la coleccion de ma~ . teriales -que deben ' cmnpoller ,es· ta obra 'la ' ol'deno del modo si.:. , •

•

guiente: en b pritnera de las dos partes trato" todas aquellas' proposIciones , de , Arit~nética Geometría, que son indispensables al que pr.etenda ser un buen Agrimensor, tales son las opera'ciones , de los n:úmeros enteros -' 'quebrado,S -' denomÍnados, réglas de tres~ y ,cOlupañías, método de extraer las raices qua~

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drad~ t Y'9tlbk:a éle'- 108Jn{ilÍ1~tdsj y lln~ Ítlllltitud ,de-qü€s~rQnes re1 la:rivas á-Iás.lineas', supedicies y sólidos.' Y en la segu11da pilrte éb'tnp-ieh~nd6. las 'otdenán~as de los- Agrimensores ;"vafias - qtie~J tiones relativas sobre ht cOlnprO-" hacion del ,ca-ttab@ll :1' manejo de) ' . "'ee íine.:. e/1", en é'/l- ttrtelió y 'mlodo dir las ti~rras sea la que · fuere su figura -' y dividirlas en partes iguales; las reglas que se deben observar para que- los apeos sean pennanentes ; método de levantar , é iltllnlna:r' el plano de un terreno; la deseripcion de la plan~ , cheta y sus usos; la reduccion , de unas medidas á otras ; -las reglas para aforar los ' líquidos -' algunos sólidos con varias qües. tiones relativas á ellos ; COIllO se t

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nive1ari. lQs terrenos, ' yaIgllnás reglas para me<;lir grandes distancias y alturas sin aparato alguno " ~e 111áquinas ~ _ ~ ', Tpdp el· trabajo y desvelo qUy m~ ha ocasionado la cOlnp07 sicioll de esta obra, lne servirá ~e satisfaccion,., §i consigo sea útil á.,las pe,rsonas p~r<,l quiel1~s la!esc~ib(). . '1 ¡ J

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1 - i\dtmética es,a<¡ue'1'ramo Mate"l mático: que..tiene _por 'o1?J~td _~atar. de la cantidád; ~e.tlJ. ; q~ntbf-ser~xl'resá Jc<?flt LltÍ~

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-cantip'ád -·~Ptendcimos' toelo aquello, que comparado con su especi~ puede ser iguaf, mayor"c:) ' lilenór; r ·.así los _tiempos, los _núm«ros, .1osp.esos son cantidades; pues 'u urdia j litn.núme.ro _de". terminado_y.,:UITal arro.bar.f>tied~n) strr,jg.uá:;. les, mayores ó.mem:>r~s:qu¿ algünas' por~ dones de su espeoie :.:esto, es ,. una libra comparada con p.tra ~lilira -os iguaLá eHa~ comparada.i foDÍ uma-tanoha, ein~el1ob" .:y comparada con unaJ.onza ';es3.:1lí1ay:or.:.. J "', '3 r-Las ' camiClades") . e·,un :.mfsmo ( gé~ -nero se llaman homoge'n~a'S ,: ir las , q~e son de distintos , géneros_hetet:..ogeneas ; por exeJ?:lplo, seis libras y cinco libras ,>SOl)} cantidades 'homogeneás ';: pero siete -libra..s_ y. quatro ,hombr.es ~on heteróg€. . A neas, '. 2 ' .•PorJ

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neas ., CI'i1l'lo' ~ta'tnlb.ren· rlo',.sólt · seis\ hom-

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4 Llámáse 'número :la relacion que

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tiene una Cantidad con otra de su es~ pecie!;,.áJiquQl\séEa~dado telÍlo breO ele unidad; así'si comparamo's una vara con un pie 'para saber las veces que aquella eonfiene 'á-:,'este :, hallaréirios.' que le contiene tres. v.ecres.;, y.este tres", qüe,es el que ,nOs' dru.:á·feorr~r} bd.bngltucl.r ~e' l<t ,vara . por medio ~: b del pip ., Le !, lo <;p:u:d ia-:! nla.Illol1cnúlÍWro,; y 'el\pie 'se .llama unÍdad{;:, J ' .1", _ ;. , S :. ,E1 nÚlllero"Se' divlae, en- eníero.y quebrado. Número 'entero! ~s ,aque1 que ' €on1iÍe..ne oierto! púine1io <rle 'JV~ces.la uniaa~ iSÍn'! que/resplte T.estr~nlllguna, como ocho', dieZ, &s r ;:y¡quebrado el -que no ptlede'conteRer ningltU1a've~ á 'la unidad po):. .ser mjnor GJue: ella., :cotIlo.Ja ~itad, ~.I;.cio:~ .q.uattGl'-'de'l'llr r to-docque: sedla..es"" cOgÜ'do' por¿:;unirlqd.r .;: ''') '".... -J -'.•:6 < :'D e'iar.'Gdikion 'dejos :..dos. ~l1úme ros, que n-eqI0.S- difinido ,.:reS11lta orro 'CO::n@cido.coÍl.d nambre . de mixto frac:cionario :; t<lll ~ el número ~Íete J fl1.edio~ ~~*~ oEtnÚ11rer('r~csea ¿nteró ~' qileh>rad0 -ci,-f.j¡1'ct:idna.cin <Se' llama_rab'sPlí'pcte guan ', "."~. , . .. do

de medir. Xierras. 3, do ;' nO':laer~1!miná_~'espeCie ';'~Y ' QonctftG .r.... , • "

'luan,do 1a .,d~t~t.l.ill1~~a,,~:~ , d 1 ; .5. :1 ;~. , ,8 , La numer(!/),zon eSl ' Ul1 ,.arufiCl<i> del qual s,e valen 10.5 Aritméticos, 'para ex~ presar- todos , ,los '1;I14mero,s, :Í"ni$iginables desde Céro abiiatmit;Q 'OD ~Qlo d.1~'\Jhnj:t~b . do. número:,.d,é)cifl1a.s ~ ;}'"' up infi.\lir9J nú ~ mito ' de: YO ces! iLaS' c;if-ñ\s 'iU~ ~~ª'tpb~n s~: Ham.ah;gwa1íism.o~ 's.ó n·lás siguieat<es 0, '1 , ~, ~, 4, 5', 6, 7,. 8,; Sh.C-Quocidas ~OI! los nombres de -c~ro f ftnO,. ,dos, tre..s." qU.4-: '.1'.

fro., ci1J¿c.~;..seis. .,.siere ,.,!Af/zQ', nue,'V8.:; )y.J}l~ yaces ' son" Uni¿:l:a.d" ~ .af.P.ena;-cenf.ma_;1~i;:

l1ar..,',..de.c'e.na.::de. 'miJkJn ,lc-C." " -: " ~',

. 9 'r. :Qe las rdie2í ,~i&a~ Ó. ~,guarismos 4e ~ que usa la numeral,;io& ~fa )repr~sentar los.,números, los U1;l;eY'e.últimos º~Íl~ gQ. ,detetm:inado .:v.aloi,¡ ::lo~:.que .ru> ,sucesle <.:on .el. prirliero,; este.. -el¡ .,~! s~tn!JQ1Q º'~ la nada;. pero sin,e91f?3r¡g-<f> -t¡e1}~ l..a -apr.e¡ ciable circunstanda" ( C01Jl9 á su tiempo , ,verémos) de facilitarnos lª e)(presioº, d~ muchos núme.ro~ "qJ.le_~~~l J.lQ) '5J!, s0ª::segUIrla. ' ::;': (J:~l ~:'.¡~ ~::J_.J :', ;'.,S , ) , ~, ::I o :P.a.r,ª- r;F5'12tes~ntar ,:COPJ rt~n ..c{>rt9 número de ~iEras {'¡, ' iria.g~tªl»I~ .'Jjr~r'(le números que S~ il.Q~ pti~d€..tt ,pf0..pop.ei-, convinieron los 'P1iil11e.rQS Aritmét~cQ1) (cuyo sistenaa _ h~l!'L l¡s::g,ªido~ ~tQ9.Qs 1,9'§. ,hombre,s). ,en..c0nt..a.,t\·~por ut'J,idªdes h~ taL,diez :: ,d~sRues., juiJt~!.'ie~~a~ gi~.z... Ull~ A2 . da· L.

"';z:t'l' ;""1.1 ,... ' ,1. " d1ades,« m i,otra,. ~d~ ; '6rd'eni rsttpeviOln,. lá d~ que d~e~~n el nombr~ we-::dec'Cna : ¡"sigui€~ ron ~b'1ltandw por decenas' hastá dfez, lasCo guales . uniendülas 'en una llamar:Qn tentena ÓI centenar ;' 'y ~ 'Cbntinuando ' de este m<;>d~ :de' diez, c~ntenas compusie': l'On útll millar~, :.:y 'de drez)de. estas una- de~ tenti.'{l~ 'miZlq¡r &~. ,)y' así hasta el infinlÍ:to. ,- 1 Í" Ferb siendo tan -'limitado el nú.; mere> ·de- guarismos, y tan vasto el, de ' los diferentes números, no p~dieron meDos{dé-adm!itit:qúc ún 'fl).istrlQ 'guarismo i-€prteSént-á'~ l:rs 'unldades ; -decenas ;&c. , de lo que d€bián , resultar erJiores;qa' l:á mayóf cónsideradou" si algul1 signo particular ', no',diese á conocer 'el grado' de las ;tüiidades' de Cada ~guarism(j}: el sigNO ~e> ,~fue (o~1'O ¡qut:-< referii el ,!i~or 'al h~gár 'q ne oC~lp<tba qUáhdo~.set e9Clnbla, p~mlen do en rpti~ei" 'l úgát ' (aontando de dere'e ha á izqui€rda .segun nuestra mano) las 'luiidade~ ,: en -segundo' las ' dec~nas, en . ¡ ,' . .. ter-c~re (las " ~0nt.er~§ "'Y los mIllares .en quarto &c. De este modo no pl!téde retStt[~a'r I!ér.rófO~tgtitlQ e11');q-u:anto á es~cribides} t il:i':'(e!Í;I<iu~nto ·~ leerlos'; y 'así 1'ara " ~scriliit- ';siet~ únMades nos yaldré;mos 4el gHatisino qqe ex;prese . sIete, y ;1~ ~SG;'iblr~~ósr~e est{!1íno'cl.t}J7 ':' pa:r~' eJ5!f

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i?fes~iJ~~Jtme Y' 'ffit1é~ íJCfflidllti~<', )'~e ~ -l<5i llllSm.O ql.l~:Jd~.!de<;enas ~ y 'x:urCQJ llm ... • ~ .,

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· de . ffl,td!f Tierras. •. 5 dada\fes , nbs .y.aldremos de lQS guarIs'm os

S ;y~ ~ " \pómentlo J e1) '5 eh~'P:r.i.l,.ller luga~; y el: 2 . aIt segul!do "de ~ste modo ,2 S '·pa:.

ra repres~tar quatrocientas 'Veinte f dlt'co unidades -to escFibirémos .asÍ 425, co.Ioeando ell S en primer ,l ugar, el· 2 eñ segundo, y el 4 en t~rcero: e~ número cinco mil se.~ecien~os ochenta J ,qifatro 1.0

pondrém0s de este. mode:> 5784 ~ Y qaárenta de este 40, poniendo cero en lulo gar de las unidades, para que de' esta 'suerte ~1 ' 4 ocupe .el segundo_ lugar y ~valg~ qU,atro decena~: tres mil J cinco 10 .escribirérii<?s 1sí 3005, poni~ndo ' ceros en aquellos h1gares , cl}yas ttmdades faltan: de suáte que mil se escribe ,así 1000: ' 'Veinte J t:res mil ~sÍ 23000 , ,y cien mil de este modo 100000: De todo 'esto se cdeduce la grande utilicJad del cero, y ' que con añadir ' ó quitar á mí número 'u no., dos, tres ?kc. ceros á su derecha, ' -se hace que sea diei:, dento, mil &c. ve:ces" mayor ó menor. . ! 12. Por 10 qpc:. corresponde.á leet: los 'númel'os_no Quede haber la " menor: di·~ou¡ltad , .teñrendo presentes las' -reglas -que ·;¡cabamos de dar para escribirlos; 'p ues de este modo no podemos ignorar ,la denominaciQn que . á las . unidades' de (€ad,a r guariSlT10 ' le corresponde por ellú'gar que ·\ocupan.:. Y así ' este número 2S . di-

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Arte

di'rérilos que es rvttinte)' cinco; este "35'08, tres .mil:fjuinimtof y o~ho ; est,e 7~4 , se~ /!fcie,ntos -rveirJte-.J .qúatro.; -y este 312, tres~ ~iéntos

doce;

13 Si d número que e ha de leer estuviese expresado por muchos guaris. ,mos, se dhridirá prim€ro eh porciones de tres guarismos mn 'una coma, em pezan ~ do por la derecha: luego se subgividirá en. porciones de seis guarismos ;'poniendo ~nt.re la primera y segunda division .un 1, entre la segunda y te!cera un 2.~ entre la tercera ' y quarra ui:r 3 , ,y así sucesivamente: hecha est::a division~ no.,. t~rélUos que en cada porcion' de tres /' guarism.os hay unidades; decenas y <;:en!" tenas; siendo en la primera"porcion unidades simples, en la segunda uni~ades ,'de. millar , en ·la tercera -de millon &c: :, 'e;on.lo que- será sumamente fácil leerlo empezando por b izquierda, y leren.": .do cada . porcion de tres guarismos com@ si e.stuviese sola', y dando á cada una la ·denonlinacion qu.e le corresponde segun manifiesten ' los guarismos que tiene e,ncima, ó la coma 'que tiene deba,xo ; por.que quando el guarismo que/tiene end'ma es 3, tódas las unidades que van leidas s<;>n de trillon , ó lo que es 10 mismo de millon, de 11Jillon, de millon; quando tiene un 2 de biUon, que es lo mismo , ; 'que,

\ .

. y así dirémc>s que dicho númerQ im-' porta seteciéntos (f)chenfa _y nue'Ve mil setecientos quare1'!ta. Y dos trillones, quinientos sesent(j.~ J. siete mil quinien:to$ Q{lhenta y nuc'Vc kilton.es , ~eis. l thil qua1róeientos ·-eZllC/Ui.~1(ltp..)L dos milloJJes, ;oie1Jt o ochenta)'.Jres·mil quinientas sesenta y dos. unMad'es.,, _. ~. . ~: . Eí número que está ,e xpresado ' pe>r ~n ~o10 guarismo se. :mele llaJ1lar ntt-me,'" e ro,_ dirg1"t o. ,'. :..-• 1.,.., _ ~

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por numeras cntu-ros. ., ,:. ,..

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Las operaci9nes de la Arltmética' SOl1. qmatli0, á saber :, adioirfn ó suma, .subs.. t.rci'C cion ;á resta ;. multipli'caciqn, y 'di'Vi-f sion: aunque todas ellas 'se .pueden.;r-e .. ducir, ~ so~as , dps ~ qllle son sumar y r~stáf.:

Dc la' adiciofi Ó sU1J1:a~ ,

Sttm'ar es practicar un'a operaclOn, por la qua1 un solo número exprese el valor de otros muchos hamo· geneos: si los números que se han de sumar estuviesen . expresados por un solo .guarismo, se uniran las unidades de todos· ellos un~s con otras. y estará hecha 'la adicion; pero si los números cu,,: ya adicion se pide, son compuestos, <:$lo. que es, 10 mismo; si constan de mu-: ehos 'gJlar.ismos" se esúiben unos enci..ma de ,otros; de' suerte ,que las unida- ' des de cada especie esten en .u na cblumna, y se principia la adicion por las ímidades sim.p1es , ·teniendo cuidadp de saca,r de cada diez una, que será .decena~ para agregarla á la columna de la~ de~ tenas, escribiendo la resta, si acaso la h~y debaxo de las unidades, y en caso ' :. 14

~ -

,..' ~ /

de medir Tierras. 9 '- de no' haberla 'se pone Cer?: 10 mismo se executará en las decenas, centenas, millares &c. hásta finalizar la Qperacion, cómo se manifiesta en el ' exemplo si-: guiente : ' -. Sean 524, 368 , 1340. Y 23 las can) tida.des.que queremos sumar; ordenadas c'Omo se ve ", r

...

1 (

52 4 368 1.34°

. .' t

Suma 2255 \ .

~rin~ipiarér~lOs

la, suma, por la primera columna donde se hallan las unidades simples, diciendo'; 4',y 8 SOn\12 y .3, 15; llero como 15 unidades comporten una . decena y 5 unidades.; escribirémos las unidades debaxo .de la columna que hemos sumado, y ,la dekena !a unirémos con las uIlidades-:de sa especie, que son las de la segunda colulllila ', :diciendo: 1 que ll~vo y 2 son '3 , Y 6 son 9, Y 4, 1.3 Y 2 , 1 S decenas que coinponen u.na cen. tena y sde~enas: pongamos las decenas en su hIgar .c.orrespondient;, 'la ~en-' B te- .

}

Arte

tena. júntese comias 1lllidades· dé la ter:cera-,columna, que son las de su .especiet continuel~se sun'lalndo las centenas y Jos millares del mismo mOGO que se.. han sumado las otras unidades inferiores,llas1' ta CONcluir la operacion; de donde haIlarémos que la suma de los numeros pro:. puestos es 22 SS unidad~s. ·15 Si despues de haoer sumado los guarismos de la última columna, nos _saliese un número tal que de él hayamos de sacar algJ.~nas unidades de órden supé. rior : por quanto estas' no tiénen ya otras de su espede con quien unirse, las pon .. drémos á continuacion del último guarismo hallado, 'que es ellugai" que le corresponde -para conservar su valor. Ac1arémoslo con un exemplo. Queremos sumar los número 58571 rS:: 242 y 5789. ¡

rs.

'":-,

Op~racion. ~

, J

•

• .J_

.. ,

é / ;;¡

-' Suma

8574 242 ,. 5.y29

146ór,rs·.

-EmpezarémQs la sUIl}a diciettdo. :. 4 y !2 ;-' 501,1- 6 Y-9-, ·1.5;: ~-(jl1ipirémos .el "5 ', en su -lug{ll); X la .deéena~.a uniré111qs · con las ".. de-

de medir Tierras.

1:r

decenas, diciendo: 1 y 7 son 8 y 4, 12 Y 8, 2? -que 60mponen}dos centenas justas; por lo que pondremos cero en lugar de las decenas: las dos centenas sumadas con las de la tercera columna hacen 16 t escribirémos' dtl:baxo lélS 6centenas, y el mil1ar unido con el ·8 y€lS d'e la quarta colmuna suman 14 mi~ llares, que-son quatro millan~s y una de~ -GeÍla de millar ; 'p,ondrémos los millaresen su correspondiente lugar, y á con~i- nuacion sobre la izquierda la <decena de millar, pues esta no tiene con-- quien' juntarse; y ocupan<;i0. el quinto lugar ha ' de conservar el valor que le correspon-' de, co.n 10 que tenemos hallada la _S9:" ma 146'05 rs. .. t

Ex.emplos de sumar. , 8679 r:1457 r.s· 9 634 r :

4B9 tib.' ,. 689 an" 257 lib.. - t - 427 arr .. - 689 lib ,~ . - - 879 arr" I

1435 ~ib ..

1995 arC

De la-substraccion ó resta. 16 Restar -ó substraer un número de otro ~ es hacer una operacion por la qual se halla la diferencia ó ·exceso que , B2 " un

'Arte

un número mayor lleva á' otro inenor de su misma especie. El número. mayor. se llama minuendo, -ef menor 'substraendo, y lo~ que resulta 1~esta Ó diferencia. Aunque no en todos los cas9s el mi.:. nuendo es mayor que el substraendo, pues unas veces es igual y otras menor, la pperacion 'siempre se hace restando <tel. l11q.yor el menor, aunque haya necesidad de cambiar los oficios del" mi~ nuendo y substraendo. ~ Para la substraccion se escriben los númeroscorocando eí minuendo encima 'del !;ubstra~ndo, de suerte que las: unidades . de cada especie se correspondan, y se empieza la operacion rebaxan.do de las unidades de cada guaris~o del minuendo las que tiene su corres~ pondiente.en· eLsubsttae!fdo, escribien40 todas las restas parciales en su lugar correspondiente 'debaxo de una raya; pe- . ro en la substraccion pueden ocurrir tres casos diferentes: , porque puede suced~r que todos ; los gU<lrlsmos-del --]5l'l"inuendo sean m:ayores que sus coirespandient€s. en el 'substraendo; que algunos guaris1I10s del substraendo sean' mayores que sus correspondientes en el minuendo; y ~ue, "eI minuendo téngaf)mUCnQsice.t:QS á s~-:clere.éba.¡ Consíderarémos· cada uno de' , ... estps(~casos: Gon sepa,racion. ~

de medir Tierras.

Ca~o .p;'imero.

_lú

¡>

. 17 Queremos restar de 8765 ,2343" ordenádos los números ,como se ha dicho y se manifiesta en la '

,Operdcion.

8765 'miiuienao. ' .2343 substraendo~

6422 resta~, "r

,¿

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'r: ,J

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¡;

Dir¿m0s ": .de 3 , únida9-es á 'S: unidaaes hay' .2:unidades de dif~rencia ,que la~ ~s cnbll':emos baxo.la raya en su lugar ¡:or:.. respondiente;; pasando á las 'decen~s dif rémos del mismo ¡nodo.: 'de.+ cd'ecen~r á, 6; decenas hay ·'de diferencia 2 dece.! na~ qlie escribirémos en s-u lugar; 'j (;emtinuando ,del mismo modo hal1are~ mos qu.e la diferenda de los. ce'ntenares es 4 centenares.; y- la de "10s !JÚllares 6 millares, ', con: lo que 'resulta que la ' resta ,eatre los números propuestos. e~ 6422 .,,' , unidades. ,: r J

J..

,, >:': _\.

, C~o. sf;gy.~do. . f;-? ·.:f·,....·, . . *. 4 ...1

t " r "_ [~

.......

18 Sea' 4756 el ñúmero que quere, mos

\ '

'f4 .' . ,'Arlé' < ', mas restar de 6584, escritos como ne,.. mos dicho. . c)':, .,", ( ' ',') (.

r. "',

~ ~.

. Operaéion. 8

< -.

\-'

6584 minuelildo.

47 S6 substraendo.

l\8:2. ~L resta. Darémos .principio _á la testa diciendó: d.e 6 unidades, á 4 uniaades no hay lugar; pues tomemos 1:1'1'13: -unidad del 8, que es el guariSl'tIO- de -las., decenas, que colocada en el lugar del 4 valdrá ,10 liuíidades : su~madas 'estas- eón -lasA ' dan 1.4, de las que ya podrémos re~tar las. 6". y.;. la diferenoia 8 t1nidades G}ue re.sulta::.1a . pGmdl-émos ~n su 1uga,ti res·;. H~ctil1;0, :: pasemo~ á 1Q substracdon r de las> .decenas ,. teniend0 pres.ente que, al ~: ~ le ~uitó~ una, unid.ad.,. y que 'por ;' la m~lilQ Stt ha, de.contar por 7", Y la resW: ;2 ~la:' escribirémós donde se debe': pa~ sandQ~ái:substlraer las centenas tenemos eLmi~n.o Gasd rle' ántes,_y asÍ. el 7 en vez .de.)t:estarlo de 5 -10 iestarémos de: 1 S'y hallarémos la resta 8 : des pues re.s tarémos el 4 de los millafes de 5 por la razon ya dicha ~ y tendrémos hecha la SYbstraccion,.de l~ qua! sale la resta 1828. ; 1

(

Ca:"

de medír' Tierra'S.

, 19

Se ' nOhofr.ece'- r~star de ' 36000,

23564, darémos principio á la resta por las unidades; peto desd~ luego l se nos ofrece «!J.~: de ce-to , ' l,m.idades~,. 119J· se pueden-restar 4 ua.idadeg:·, ni -tampoco r.0cl.em~. t.o mar un~ ;uñidad de-üa~ de" cenas del n;lÍnuen9.o porque no las tiene: . en este caso -acúdíréffios al primer guaris-¡. , mo. silg~fioativa¡de la'·izquiérdá_,. ql1<:l es un 6., l€ ltGunarérnas una unidad q101.e:,vale mili:: .esta la -.dist±1buiu:.émos' eJi¡¡;tod@S'jd:us IÍlgares: ~qu€ estan'séfui1ad<iis 'con cero", de~ ~an~o en: el,.::prituero ~c911ta.Ll.do ;por .'la IzqlUerd~) 9°0),-en el seguP·d.o'90 " . y ,en el ter.:Cerijú,[Q ~:::~é . su.erte, que~á-t \ ,.. '.'

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At·t~.,

primer ~laris1110 significativo del mi .. nuensio para rebaxada despues.

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.Exemplos de restar. ' ~

arr.' I:2764arr.

_5 °000

-"'---.~

- 6142

r.:.

De la multiplicacíon. Mult'iplicar 'Un nútner@,.pOr otro

37236 .air; ! j

...

es tomar el uno .de l0s dosltantas ~eces como 'unidades tiene el otro: el- núme~ to que se nÍultipLica :se llama .multipU':' cando .; aquel pgr quien se ' multiplica mul~ip}icador; y' 10 que l:esultá'producto: el multiplicado y ..multipJicador ..se-'Uanian tambien factores del producto. ,De , 'esta difinicion se. infiere que la multipli- \ cacion es una adicion abteviada; de suer~ te, que multiplicar 3 por 4,es lo mismo que sUIll:ar el 3..guatro veCes c.onsig() mismo ;. y áSÍ . t2d~§. .las qüestlones. ..que se. re.s~lelY~g- por la multiplicadon , se. re~ solverian igualmente por la adicion; bien que serian muy >,difusás. . 21 Quancl:b :dos números 'que se ha!l ' de multiplicar son abstractos. , podemos ' cambiarl JelS ' olicios del ,multiplicado "y multipli.ca.do.r " sin qúe 'PQr ,e.stq\ padezc,a . . al~ !

de medi~ Tierras. 17 alteracion ' el número de unidades- del prodücto .; y así el producto c:O 3 por 4 es el' mismo que 'el de' 4' por 3 , porque segun la dihnicion: que acabamos de dar el pr6ductó de 3 por 4 es' igual á la su, ma de 3 ' 3 ; 3 " 3 , Yel de 4 por 3 igual á !a suma de 4:, 4, 4 , ~ descompuestos lbS !IPlúmeros de, este modo se echa ' de , ver 'que si' d.ecada uno , de los sumandQS :3, 3 &c. separamos una unidad, tendrémos todas aqueUas de que se compone un sumando 4; que si continuamos . esta descomposicion , sacarémos de ada uho de los sumandos 3. 3 &c., tantas unidades cotno sumandos 4', 4 &c. haya: de 5t'lerte, que 'tantas unidades ,habrá en los 4 treses , como en los 3 <1,uatros, luego el mismo númere> de umdades dá el producto de 3 por 4 que el de 4 por 3. '-1'oda esto se hact; mas perceptible en la ' ...'

Operadon.

3 multiplicado por .:,. da [3, '3 } 3 , 3] ,

1, 1,I}

~4{ 1, í1 ,,

4 multiplicado p'0 r 4 da 4 4

I ,1 ' 1,1;1,1

Esta propiedád no. es tan limitada que no se extienda á los números concretos;

pe-

18 ,

- Arte '

pero siempre considerandolos cotilo abstractos. . . 22 . pe -todfls , estas canslderaciQ11e.s se infiere, que para que ' en lO's npmeros 'se puedan caml?iar los oficiC9s dellllu,l.tJplicando y multiplicador ~an r Q,e ser -abstractos, y de lo 'contranQ se h(l de .prescindir de su especie; pues en los 'números concretos el :muJti plicando -es ,siempre de '1l:a especie del pr"Qd,ucJ@, como se deduce -de la naturaleza de la m , ' ulti plicacion. , ' 23 En -la multiplicacion de. los 'l)ú:meros , seán abstractos ó coneretQs, pue: den ocurrir tt:es casos diferentes, qué sO'mc l. o Quando los dos números gue se han de multiplica! son digitos: 2. Qualxt0 el uno es digito , y el otro' es compue~ to de mU€P0s, guarismqs -: 3.°, Quando los dos son compuestos .de v,:ario~ guarismos. 0

,Caso primero. 24 Quando los dos números son digitos la operacion se reduce á buscar en la siguiente--(ablw el producté> de' dichos números, y 'así hal~arél}los que 'el pi'O'' dueto ~e 6 p'9r 7 es 4 2 • .

,....

¡' . J .

/1 ,L ... _ji :C;..:. : -• .

..,~u.

"r _1

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de medir' Tierras. 1 2

•. veces,"

vec~s

es .....

5 .... 5 ......... 25 ........ ,... .

2§on •••

5 .... 6 .........

3 ......... 6 4 ......... . 8 5 ..... : •. : '10 .••••..••. 6 . ~ , ...... J.~ ~ ....:: . : . 7 .... !.;'•• i4 ..... : .... 8 ......... 16

2 .......... 2 .......... 2 .......... 2 2

30 ............ .

S .... ·7 ......... 3 S ...... ~....... . , ....,8·;...... ·40 ............ . 5-.... 9 ......... 45 ............ .. 5 .... 10 ••• •.•• 5°.: ........... , .

.2 ti) , ... 6 ........... 3° ..,.......... .. -2 .......... 9 .......... 18, 6 , . ~• ., ......... 42 ... ' ........ . .2 ...... : .. 10 ......... ·206 .... 8 ......... 48 .... _ ...... :

_ _ _ _ _ _---"-' 6 .... 9 "n ..... S4 ...........~.•

ó ....

10 ....... 60 : ....... , .. ~.

:3 •• tl~' 9. ~. 3··· .. · .... 4 ,.......... ,12 1 ... ,7 ...... : .. 49 ............!. ' 3 .... , ... ~. 5 .......... 1.51 .... 8 .... ...... 56 ............... 3 .......... .6........... 18 i .... 9 ." ...... 63 ........, ... : 3 ...... · .. ·7: .. ·.. ,.. · '2.1· 7 .. ~ . .19 ....... ~o .............~ :3 .......... 8 ........... 24 .,--,--__=__ ' _ _ _...,,-_ 3 . ....... ;.. 9 ......... , 27 $ g ......... 64., .......... . 3 ........ 1'0 .~., ••••• :;0 8 .. ,:. 9 72 ........... . _ _ _ _"--_ _ 8 •..:. 10 ....... 80 .............' t . . ..... tl · .3 "'

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4 .. · .... · .. 4 .......... 16¡9- .... -9' ..... :.. : SI ......... :... . 4 ........ ,. ~ ........: . 20 9 .... I-q ....... 90 ............ . 4 .......... 6 .~ ....... 24 1_

o _ _ _ _ __ ._ -'-

7 ............ 28 1\,10 .. ·4 .......... 8 ........~.3210 .. 4 ..........

1? ....... 100 ......... .. 100 ..... 1000 ........ . 4 ........... 9 ......... 36 10 ... 10000 .. 100000 .... . 4 .... : ..... 10 ........ 401 1 0 .. 100000 •• 1000000 .. '

Aunque no es' esta la tabla que regularmente ponen -los:A:utores de ·NitIriétic<\. en sus_.obras, yo' he tenido For mas oportuno' prefe.r ir .ésta á aquella, pues e2 tie-

20 , Arte tiene la apreciable circunstancia de poderse entregar á lá memoria con facilidad, lo que no sucede con la otra. ,)

Caso segundo.,

, 25 ' 'Qt:lando uno de los números .pro.puestos es compuesto de guarismos, ·y el otro digito, se escriben poniendo el mayor sobre el menor, como se manifiesta en la operacion, y se multiplica el numero digitó, 'que es Jel que se considera como ,m.uhiplicador por todos lo.s gual,"Ísmos del .multiplicando, escribiendo los productos parc~ales que resulteLl debaxo una raya, teniendo presente que 10 unidades hacen una decena ',''' 10 de estas , una c~nrena: , &c·. Por exemplo, . quyrémos hallar el pwducto de 5786 por 'S escritos como se ve

._~__ Operacion.

, .. '

.. ' .5;"86

multiplicand~.

~ultiplicador.

28930 producto.

Darémos principió á la operacion didendQ: 5 uni~ades p~~ 6 unidades ha~ cen 301unidildes, que componen 3 de.ce"-~ nas

de medir lIierras. ..2'1 justas: 'p.qnQá~mos cero:!q.eDaX(i) de fas unidades "~o '1 continuandO.' la, ,multi .. 'plicacion . dirémos: 5 ' unidades por 8 . ·decenas ~acen 40 d~cenas , 'que unidas ' .con las_3 decenas que' llevamos del .pro.dueto 'anterior ]lacen 43 ~ Ique ron 4' cen.. ·tenas y 3"' decemas :' ,esá~biFéI}1C)~" las '3 decen~s: en su correspondiente lugar, y las centenas las conservarémQs .para unir,. las.Clon el prodúcto inmediaw.: multipli.canda. las 5.unidades por. 7 centenas; saO. !le .aL.pr.o.du.c~o:.35. Ctmtenas ~ que up.ídas con las_ 4 que llevamo~; ha¡;;en 39¡ cen-tenas; .e sto ·eS,]3 millalies y 9 ceménas, . que' las escribiremos en tercer lugar: del mismo. modo hallarémos qu~ , el produc- . to q.l!.le."li~sulthde mu1tiplic.ar. 'S ,unidades por S millares es 25 millares, qqe su· mados con los 3.• Ihillares" hacen 2'8 millares; esto es, 2 decenas de millar y 8 millares: 'q ue se esérlben .en su correspon. d!ente l'ttgar)}.¡.)I;i lestr}l finaFzada la operaClOn :·donde ha laremos ql-le-el producto ' de los dos húmeros propuestos es 2893°.

·nas

.¡

,Caso tercero.

. 2? Quando el.multipli~~do y mul. tlplicador son compuestos de muchos .guarismos ~ éscriben' conlO ' eli ' el ·casó . anterior, y se multiplica cada guariSffiG , ..' ·.del

-se

2.2

... 'Y ,

.'::.21rté ".\

. '~

$de1llitl:tJ,ltiplicad.(¡)l~r,. Ó ,Cid íqU~ se . ~otiside";.,

.r a !como tal ,:porrod.os {os, del multipli. cando, que es 19 mismo que . executar ,tal'1tas operaciones del caso anterior , co· ·n-¡o ' guarismos.tiene el multipliGador , teniem~o cuidadQ ~ distinguir .10S1productos f, <±t1e. de ·.todas estas o.pera,ciones resultan al1:iempo de ~scribi~loS: unos' en·cima de <?tros', para poderlos sumar.; p0r·q ue el, prun,.er producto que, 'resulta es . .de :umdades" el segundo.de:~ceÍlas &c, .;;ld ,~que se .hará: mas p~.rG€ptlible, .COll , el . " I exemp1O.slgluent:e.' :. :.~. \, ,'. , . Se nos ofrece: ffittltiplicar, 3578 por 437-, considerando el primero como mul-tiplicaqdo ,~y el segundo c@mo multipli-cadOit'" y. escrítos ;como .se ha dich(l),•.: ,~' ~

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Operacio11:. "

-L'~ ..... ¡I( 'multiplicando. - - f~'P' G r.! . maltip:licador. . J.:.l ():!:dY-O'l· f ).J d ; ·~C O(:I··~!. q( .;,_ " ~_, ':

3518 ' 437 ..

.~- ~' /~ ~ (!: ' 25°49 'producto de unida'des~ ~

(--

10734 producto de decenáS. 1431.2> producto.de centenas.

Multiplkarémos las 7 unidades del muI ... ,tiplica:dor por todo el multiplicando, y , el

_de merlir"Tierras.

~I~ escri:bi~

et plloductO:250fl:6 'l!mÍci'ades' 10 rémQ.s ' depaxo ".uni. .úlya : desRU.es.· multiplicarémos las 3 decenas debmwtipi'icador por todmeJ'1l1u1rJ:plicando, y el producto r0734 lo pondrémos debaxo el producto anteriorc,v g~nando siempre un lugar á la izquiet:da, para que de ~ste modo las unidatl-es~e- cada especre esten en una column~ t'YJ dispuestas para poderlas sumar; por el mismo cami:09" haa,lar~élllós :~l'~l'e' dH~r0:doot')'d.e.hniJ1~

tipliCandQ P(!)1i )las~centbi:I~& deL:tmultiplü ca~r pro~úi.ll(~,én ::J 43J¡2 i ~en}enás , que ~@

déjhonr~~ibiede~a:s:d lQs<pt<DG:tt~to.sball;'

~,don~s::,~

éropezandQ!tdl<D.S dU'g;t1¡e~ PiaSi: ~ la *qui-ei:d~ por.:la iJ"aZliYn ya ~ófut; G:isu2t T

mando :ahóta(tprlcis ~st:.(!)s Iptoduc:tos }!larcial~s compom.efll;)'63'S8.6 , ~que, es el pI~.., - dttcto' tot.al::: , . .La:misma¡reglaLs~ ~ Qbse~ll'~ .. fa .,cgJl-<~tr@~lil UmellffiS 'mas compl!1estos • ~

t ~~7i '. -Q:uflna«)jl0.S dos.núnp:er.@scql!le,S€

han de multiplicar, Ój,•.rél~ ·Ull:Q':.'<!ie~ €llos,. tienen algunos ceros á su derecha, se simplifica la operacion multiplicando solamente los guar~mos significativos, y aña~iendo ~l producto que -resulte tantos ceros·a su derecha como tengan los dos factores juntos.' Por exemplo , se nos ofrecen mtiltiplicar los ' números 3500 y 30 : multiplicarémos 35 por 3 ' Y al producto ros añadirémos á su q.erecha ""l-' ... tres .~

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trés ceros·, quelson los qu~ 'tiel1e1110s d6s fáctores, y: tendré~os 105000, verdade- , tó.pmduoto¡ .' ~ . ~ ~ ,1 -,( r-

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La :verdad de esta proposicion se dedúce fácilrnente '·considérando que· 'luando al 3500 se le quitan dos ceros, ó se presónde.de ,ellos, ; 'se hace 1oo..~ece'S. menor (11) :. y For .,la .m'isma razon el -3-0 se ha.. ee tamMen Iq veces menor; pero, 10 por roo produce 'I<:lOÓ; luego ' el producto que resulta' es 1000 yecés menor qu~lo que,.debe; y asLpara compensar esta .cl.,i minudonr es preciso multiplicarlo "-p0~

l~O:OIi,ó¿do que es,. J~ ,mi~m?~, aaa~rt~. ,; ,ertis' a ,sy.cdereth~; . ~r) ~Iut r ;, " ~I

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;- .28 En 'estos' 'exemplos" se manifies-' tan los usos de la multiplicadon. , '.J

De la di'Vision .6 particio1t.· . . 29 ' Di'Vidir un' número, p.or _otra es _.,: D . ver

~6.

:Arté', . , las veces que el segundo está conte~ nido en .el ·p't'iiti~r.o. ll'~e1 húmero, que se divide se llanla di'Videndo; aquel por qtli.eh s€rdivide di~i~or '; y él. núme.ro que expresa -~las ' Vieces que el uno contiene al otro qüóCiente. ;: " Aurlque :ep.dos ¿~sos qJ.le Sfl.;1los'>ofrece practi¿ar--!a: divis10n parac los. usos de' la vida civ-ilT Ho siempre l1evamos~ la mira de sahér las veces que un ..n (un ero cóntiene á otro, como sucede quando dividimos -Uft númho, de reales - entre ' cierto <n(dn~r\o, 'cl.e hólnbres.á partes' iguales: la operaéion se executa como si esta fuese,.JaI mITa; bioo qúe 'ello este caso se consideran los 1l'lúmeros ' .como abstracpues Cie otro modo sería absurdo c parar los hQl'Ilb.res ~ c0n los reales. ' .30 De la naturaleza. de la division se infiere que el qüoeiente--multiplicado por el divisor ha d~ producir eJ di- . videndo; y que quanto menor sea el divisor, siendo uno misl1'l0d dividendo, . 'tanto mayor será el-qij@c:iegte, y recÍ-: procamente. " ~I En. la m111tiplicaciorr dexamos dicho que quando los números son con - . cretas, el producto es de la especie del multiplicárido (22) . .:.A:cerca <dé.•la division no podernos decir que el qiiociente sea ni- dela especie deldhddenoo, nide :T '

ver

.. ,

de medir Tierras. 27'=la del divisór: en unos casos es de la especie del divideL1dO;;;Ly~l'e1íi)otras de la de los dos, y en otros de la de ninguno. La ' qiie~tion" qtle' rda 'ln6ti"<ro á" Yá div.i- , sLon IS la que Jo dete'rm:ina. t '"; Tambien ea 131 :divisi011l r pueáeni; o€Urdr , tres,) casos difenmtes ; lqt.le ¡sarrb - 1:° -La' division de u!1.f[l'Ú¡ner.o mgit@ pe>f'~ otw :''''2.° lLaLde lÍn ,;ITúmer..cL::dom.puestor ; de varios guarismos por un digito . : 3- ~ " La de uñ número compuesto de IÍmchos . - gl:larismo~ pGf otro de la ', misma espea~~ _. <"

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32 ~ Paea dividir ·un número dígito ' por ' otro- tambien, digitp , :se ve , en la tabla! d.e. i la '_ h'lLr1tiplicaci~n. 'que número t ' es aquel qné IJ:?ubúplicad'O'¡ PQr el divi:..·.) S0r - pFofll'lce ( el ',di~ide.rHlo ,') Ó :se 'ace.rbri á-éltodédo posible " y -aqbel es el qüü 1 dente. P.or: ..exemplo: ~uereinos dividir , S por 4, verém0s" gue. es ;r aquel mí; ll'lero'que muhiplibado por' 4- pro_cl.tice '8;t ln~go 2 es "d : q:i:roúente ':' si lQs~ n.úme,.:_ ros quc'rql,1CP.elillos- "dividir uno, por otro fuesen 7, ~.y 3 ' diriamos en este caso, que el dividendd contenia al divisor 2 vec.e's y sobraba una unidad. ,

Arte

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59' I <.1....... " l ' , . ' ; .. .d ,-~ 1>. ~l;l 'oCaso' 'segundo." }- . - <- J

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'. 3.3 Para ' dividir utE 'n úmero compuesto . de muchos guarismos por- uno ~, digi'to colo-carémos el divisor á la derecha "del dividendo sepaJ·ado. con dos ra-:. yas : hecho esto tomarélnos ' el primer " guarismo de la -izquierda del:dividendo, . : v.er~mos quantas veces contiene al divisor: halla'do este'qüociente parcial, 10 es- _ cribirémo.s.dehaxo del divisor, y multiplicandolo despueS por él, pondrémos el producto que'resülte debaxo del guarismo ó guarismos que han servido de primer dividendo, de los quales -hemos de restar dicho próducto escribiendo la ' resta, ' si '-la i1ay, debaxo de u,na raya en su lugal"respe.ctivo', y á su derecha , bax.arém<;>s aquel guarismo que sigue del dividendo, y de este mOGO continuarémos la division hasta finalizarla , ~scr:i hiendo siempre los g~larismos que resulten al qiiociente ,á la' derecha .ciel prime- ' 1:0. Por exemplo:. queremos dividir 7895 por S ; escritos estos números como hemos dicho y. se manifiesta en la I

)

Ope-

29'.

de medir Tierras. J

. Operadon. ,

dividendo 7895 5 ,

I:5 divIsor. ..

..,J. .,

1579 qiiociente•.

28 2S

' 039

35 ó4S 4S

; f/

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T omarémos d primer guarismo de la izquierda del dividendo, que es 7 , Y, yerémos quantas veces contiene al divisor 5 ; hallarém(f}s 'que es una,~ la pon-. drénios debaxo del divisor, y luego la multiplicarémos por él, y el producto S que nos resulta le escribirémos d'ebaxo del 7 , del 'qualle réstarémos, y hallarémás la resta 2, que es lo mismo que decir que el 7 contiene al 5 una vez, y .sobran dos unidades: alIado de esta resta dos baxatémos el gtlarismo que ' sigue al 7, que.es el8, Y tendrémos 28; dividiendo el 28 por 5 sale al qüociente. , S ; ' que multiplicado por el 5 da el pro':~ ) -, duc,

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30 ' .' 'Arft dueto 25; este núrnero.ls> escribirémos debaxo del 28 para restarlo-de él" Y al lado de la resta '3 es~ribirémos el -9, Y tendrémos ' ótro I dividendo parcial 39, que da al qüoCi~nte 7Y sobran 4: baxando al ladó de~este el guarismo 5 que sigue, resulta otro divid,endo 45, que da al qiiqciente 9 y la resta cero; con 10 que esta ~ finalizada la operacion y hallado el qiiociente 1 579¡Si en esta division hubiera habido ' alguna resta, seria señal de 'que el dividendo no contenía un número de veces justas al divisor. ~4 Quando ,al principiar la division el ' primer - guarismo del div~dendo es menor -que el divisor, es necesario tol11<fr dos guarismos,del dividendo, 'c omo si -se ,nos ofreciera dividir 23789' por 7:' en este caso el 2, primer guarismo del dividendo, no contiene al 7 : tomarém.os los dos prime~os que componen 23, Y executada la division como se ha dicho en en e1 'caso anterior, hallarémos el qüodente 3398 , Y 3 de resta, que, se ,'escribe como se. manifiesta en la operacion, poniendo la resta encima dél ,diviso:r,separados con una raya, y á continuadon del qüociente; que quiere decir que' la resta se ha de dividir por el divisor ,'y que no se pyede executar por ser m~nor. que

(le medir rI'.ierras.

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q.ue" él ,,;á !00"ré~ücJ.r~e 'á espeCie infe.,. flOf. .

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OpoeraCion.

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Caso tercero.

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. "35 i Qtiando .1os"- dos núnleros que nos proponemos p~rtir constan de varios guarismos, se escri~en y dividen del mismo modo que en el caso anterior, solo que al principiar la ,operadon se- toman á la izquierda del dividen-' do parcial tantos guarismos por lo menos;., como tiene el divisor. Hecho est0 en vez de buscar, como en los casos anteriores', qU:,Jntas veces en el d.ivideri~ cio parciaL cabe todo el divisor, se bus,ca solamente quantas. veces el , primer guarismo '-de la izquierda del divisO'l:- cabe en el primer guarismo de 1a-izquier: . da

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·.Arte

da del dividendo.(ó en los dos' primeros en caso que haya sido preciso tomar en. el dividendo un guarismo masque slos que ' contiene el divisor); todo esto se manifiesta mejor en el..siguiente exem- 1 po. ,Se nos propoñe 'd.!viahr 448923 por , ' 398-: ordenados los números. cpmo se ha dicho; tomarémos para dividendo parcial los ,tres p!,imeros guarismos de la izquierda de él, por quanto el divi-' sor tiene otros 3 " Y verémos quap.tas veces el4 contiene al3 ~ hallarémos que_ es una sola vez; pondrémos 1 debaxo del divisor; des pues multiplicaré mas este, 1 por todo ,~l divisor, y el producto 39810 -escribirémos debaxo del 448 , Y haciendo la 'substracdon saldrá la resta 50; baxando al lado de esta resta el 9, tendrémos 509 para segundo dividendo parcial. Continuarémos la operacion, diciendo: 5 al 3 le contiene una vez, el qual se pondrá al qüociénte, y de~pues se multiplicará este 1 por todo el divisor; y el producto 398 10 restarémos de 509, y poniendo' á la derecha de la resta III elz del dividendo total, tendrémos 1112 - ., para tercer dividendo parcial ,_y como éste tiene un,! cifra mas ql.l'e el divisor, dirémos: 1 1 al 3 le contiene 3 veces; perO' COIno multiplicando todo el divisor

,por

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de tf1;edir '.Tierras.

por este 3 sale un prod1.!cto mayor que 1 1 12 ,. no se podr.á. poner al qüociente 3, Y así solo pondrémos i , el qual multippcado por todo el divjsQr·d:a. el producto '796 ; Rue re~tido de l ,i{~ sale una ' resta 316, a cuya derecha.-si,pondrá el último guarismo 3 del dividsmdo, y dirémos: 31 , al 3 ' aunque le contiene 8 . veces, y aun mas, como este numero multiplicado por el d!visor 'qa un producto m~or que el,~iv!dendo 3 L63 , so· lo le daremos por quocHmte 7-, que multiplicado por todo el diyisor y restado el producto 2786 que resulta del dividendQ" queda una resta-3r7-; q,ue la es '; cribirémos á la derecha~ del quo¿iente, ' 'segun 9.~leda dich? y ~; ~ánifie~ta ..e~,la .:.opetacron. y aSl d'i~em05 que el quociente de 44.8923 por '399 , es ,I t27 Y sqbran' 377. Lo mismo <ha;l'émos ,con Qtr?S exemplo.,s ma~ com-pv.estos. i 2;.\ " "a '1 !:. "

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36 Los prindpiuites deberán. ,tener present~ q1l.e segun' el método explicado en el exemplo ' mteriar suele ocur:' " rir muchas veces p~ por, qüociente un guarismo mayor del que le corresponde; pero 10 conocerán siempre que el producto de todo el divisor por aquel guarismo resulte mayor que el dividendo parcial, en cuyo caso hasta que la ' práctica les facilite esta operacion deherán ir quitando al expresado guarismo una unidad, hasta tanto que el producto del qüociente por el divisor se pueda restar del dividendo pardal. T ambien .' :1: ocur-

•

dé medir Tierras.

ocurre que por alguna .distracción se pone al .qüo.cieme un guari~mo meno~ que ' el queJJe corresponde; y:. . pa-ra ·conocerlo: tendrán. presente que restado el ·pro-;. --dueto 'del tal guarismo por el divisor del dividendo parcial, debe siemp~e salir la 'restámenol' que el divisor, y nunca igual..; () may_or'; eh este caso debe i-r. aumentando 'el guarismo 'd e' una ó mas unidades, hasta que en efecto salga aq uell~ r~sta menor que el divisor. : 37 ' .Podemos abreviar.la operacÍon, s~ el guarismd que nos resulta al qüocÍenre, -conforme le v.aÍnos p1últiplicando por ca· da ~ua~js.mo del divis?r ,,10 r~st'lP1os s.u:- . ceslyameme del-guarlsmo <lue le corres- . ponde en el ~ividen<io P3.!'Cla1 empeza~-: I do por el pnmero. Por exemplo, que- ' t"emos ·dividir 8976 p@r 34, " ~ . ~ ,_ .... j~,,:' 1)_ J ... i; . .~ J ~:J r t't .1.,,?'

Ope.r:aiiam 8976 21 7

.. : I3 6

l 34-

, 261f

00'0

T omal1do los .dos' prini'eros guarismos del dividendo vemos que al divisor le contiene 2 veces: pondrémos 2 al qüo9iente, y despúesle multiplicarémos por 'e! 34 ,ldicieFlQo! i.2 p-~r : 4,-produceri 8;, y E2 ' en

. 36 : . . 'Arte ' " enryez de sentar el 'Rdebaxa del 9' ,'to.,¡ mo) ro ' hellY<DS"' pl!acticad();¡jhast'aiaguí ' ~ r~starémos. '¡d¡;; él-, ~ i : : tendtémQ~ la:'1TeEt.al i: ) 'qtie S'e_ .escribir.á~ deb:a.X0': ~eF·t!' Gbf-pl t\inuarémos la nn.11tiplica:c~oit ) , dibieIittd· 2 ' veces 3 son 6,. que lo ; ú$t~Fé'mos'lclel . .B Y'bsalet lal l{e~ta o parciah2' ; jU11lundo}ei .2~ con ~e1 I! <:interior te'ndr.émQs ('a~I.,~f1 a~ laMo .de12Ji baxar~mos " ekj ,yt ~IÍdJTétn:OS1 POfl ' ~Ívid~Í1do.. pir((iab2 fr; que éon1:iéJ De al 34 ,6 veces; pi:acti~.anclo .ron 'et .6 !Y- t los :,demasr. gtllar iSinOs , qneAsalieseu~ al . .qiig.&ent~· U® mismo que enr.el' caso!"arrré -rÍor ,,:-hallaréñígi;; eLqiáocientd26¡¿¡.: ;'<'ly.da -resta ,-ro. . Este nnetooó_les el que~'oo~ munmente.se sigue en ,la prá.:tica ';. pero para los prrncipi,!ntes es mas comprehen,¡ ·sible el .otro: ~, 11..'':" ..). < ¡¡ J',,{ L 'le:1 oh 38 Quan4~. en r~I\4iyideÍÍüó; yt,div.i.. , sor hay ceros á su derecha, se abrevia la operacion ..suprimiendo en cada uno igual número de -ceros, y-executando la division der m9df) que de.xamos explicado. Por exeIriplo: '(qu,eremos dividir ,36000 por 9 00 ; r

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tle medir Tierras.

derecha se reduce la operacion á dividir 360 por 9. ':1' '2,,~ 'i:'-::;L:L " 360 I 9 , _. <FI 06'0 ~ 46U o~"~' J'

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El, qüociente 40 que sale ('p,?..r ~ste carnmo es el núméro qu~<..!;}ilclQa SI no hubiéramos ' suprimido, los cei-~ ; pues los l1úmer~.sJg(fubdl1_da='o/ ]9sdr¡i<ilnidades representan ~ambien 360 centenas y , 9 centerlas q~ ly0 El~ndo l:@~-:; qmitamos los ceros se,Itrj~pij'¿r..nian en 3~r:;1 -unidades y 9 unidades; pero 360 c~!~I(!¡as contiene á 9 centenas las mismasl y§ces que 360 lm~dades ,á 9 unidades j' luegQ, !¡ qiiociení:e ha'l de' seJ; '€l,lmisffiQ '~u$,·,'ml"\§Ú primir los\·,eer.bs ;;'. que clesPlies~¡d:e supri- midos. '. . l'Y1Srl 25 lkim~odcnj1trttiJrY1Cf

~0;T!n!Jg5~n ;>Oc¡ ,rr.up el 10q , r,'[~9 1. I) [] J "I.JHáell1"(roadtV'edlSC&Jrci'<frlres J:1~1flhq

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39 Probwqna ,opér~q,on~, es hac;er otra, por la qual nos asegurámos que la primera.<estáhicni hecha !; ~Y"esta segunda operacion es ~o que llamamos prueba. N o ~orqu~ ~ upa fpr.úeba .nos salga bien, di~ (.{}ue es~á. ,bien hecha la "operacion .; puede sei~ 'que up error en la segunda. operaciOIDi. .compense ,otro error padecldo en la pmnera , y en es_te caso saldrá ,b ien la prueba y estará la cuenta err.ada: la ventaja que las pruebas llevan á su favor no es otra que la grande dificultad que se halla en errar - 1 ~'dos . ,

de medir. Tierras.

dos operaciones', contrarias, ' de , tal modo' que el error de la una ..compense .al de la qtFa; .p.ero ~unque esto sea: ,dificil no es imposibTe., .• ' '. 1¿ (. ~ , 4'0 Para prohar la adicion, :se~ lrlf[e} ven ', á, sumar, los>.númeoos ,empezando por la: izquierda , y lasJ5uinas paréiales que se hallan' se restan de, los guaris,. mos. qu~)es correSpond.en e~'~a suma~., si despues de haber·hecho todas las substracciones pardalés i la:.difereI)cÍa es cero , la @peradon está bien he.ch~ La ,!c!~ci(j)n de los números 378 , 654, 789 es ~ :t8"2.I ' , como se maftÍfiest-a en la op'eraci~~ ; en la que se ve ~Hld~ si volvemos ' a Sttmarlos empezandf7'per la izqui-erdai".:didendo: 3' y 6 (sb~::9, Y 7, 16 , que .restado de 18 que hay debaxo, qu'eda por r.esiduo 2 &c.t .;' .sale "la difei'encia .'cern.,i como debe _serlo.;. pues la ~uma d<¡ 'vaJ.'liDs..$lÚmehlS; ~ tmípié.cese.por aa _déDeclla ó .i:zIquier~ ha;,de:'s€1' j lit 'mi~

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. v·.J.L~Bu1;)stt;~cciollI:s.~.J pruelja Lsu~'ando el substra~ndony la ' r.esta para ver si sa'· le e1.minueE.dOl.~, como., debe verificarse;. pues si al menor de dos:rlúmerosGdesig.uales 'S(n añeide hi diferencia. que c ~ay ehlYe~e1fos , .ha; de. igualar con.él otro~ .. : <:~ ~ •. Y as¡ resiande....2538¡· de '57.&6 sal~ la r.esta '3.248 " la qual sumada 'c on el~st:lb~ ~r(lendO' 2538,.da el minuendo 57-S/§., . ¡ - 2Jt;... ",,!..i r. ~.) ,1 \ '.: ~:- _ ~ ;i)

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' Optraeion: ,":i- . 5;'86 ' 2$3 8

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41 ' La prueqa de la multiplicacion se haar dividiendo .el pr.oducto porqual... quiera,-Cie losJclos,fact0res multiplicrando ó .multiplicador , .y,vleqdo si sale.eL otró al qüociente, como debe verificarse. Así multiplicando .53~ 'p~r ,25 sale el productOL3400, que dlV;ldldo por el multiplicador ' 25 , da el.mJ.lltiplicaudo· 536. ~ ~~ ~' ~ ~

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, 'Prueba.

_Operacion. , , 53 6 ,

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000

10 2

1.3400 42 La division sé prueba tambien ' por su contraria; esto es, multiplicando el qüociente ,por el 'divisor, para ver si sale el dividendo, como debe ' verificarse; pues el dividendo puede consi '" derarse como producto d~l divisor por el qüocieÍlte '; y así.dividiendo 8976 por a4 sale el qüociente ,2.6+, que multiplicado por 34 ~ pa , el.dividendo 8976, Si al hacer :la division sobra .algo, es necesario ,añadirlo· al producto del divisor por el 51üociente. I

•

••

Arte

OperaC.ion.

. ~,

Prueba.

897,6 I 34 21 7 26~ I36 '.

090

264 34 e {" "I056

-" 79 2

8976 Tabla de las unidades de álgunas especies, di'Visión J subdi'VÍsion que d.e ellas ; se hace. ¡ ,. ",) ~ ,

Ptzr..a las distancias. .J

•

. ' 1 ..... . . , t 1 vara va e..• L '¡ . , . 0" . " 3 " ples~, .I!' , ,1 pie... ;- '.. ..'_ A~;: . ' ,j "¡ ' . i~-., phllgada~. JI pulgada ... .' •• ~ . '.1••• I2)ine~s: , 1 ' linea...... " '.. '.J, .- ••• 'I~ :puntos'.

Para el peso• .. J

1 1 1

. Ji',

arroba vale. . . . . • . . . 25 libras. libra..... . . . . . . . .. I6 onzas. onza.............. 16 adarmes. adarme............ 16 granos. '

, ... r")

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I 1 1

1 1

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De ,otro

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modo~ ,

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arroba valé... • • '. : • • 25 .libras. libra... : ;'. ~~ .. ' .'.' .' 2 · marcos. marco..... ','.'.,. " ... .. 8, onzas. onz~ ... :-. .. ....' .' .. ' ... ' 8 ,·dragmas. dragma .... '. .. ... .. .. 3' escrupuloso escrupulo.. • ..•. '. '. '. ' ~4 ' granos.

Para el tiempo. !.. -

1 1 1

dia vale.. ~ . . ... '. ' .. hora... . . . . . . . . . . .. 'minuto..• . . '.•. : . ; .. segundo... . ........

24 horas~ 60 minutos. 60 segundos. ·60 terceros.

Para ,las 'momdas; ,'. t.: '~. .. ,1'

'~ dobíon vale-. ,"' . . . ~ "~ . .~ 4 pesos; " . peso........ ...... . 15 reales •

real.............. . 34 mrS~ . . . . .-. . ... '.. 68 ~ /' -3'•••' •••••••••• -. • • •• 102 . . 4-..•..•.••...•..•..'- . .• 136 _S· '. ~ . . ' ........ '. . . . .• I7° 6........ ... ..... ~- .. .. 204 1

.2 ~eales.

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ducado vale. . . . . .

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1Í o

De los queb~ajos en general, y las operalJ.ione$ que ton etlo~ se..practican':l ,

•

....

••

•

. ...

. 43 Por quebrado entendemos una ó ItIucha.s de a'Xuéllas partes iguales en.que supopemos dIvidido un todo que se ha escogido por unid~d. Si .conCebimos una ,\ . arroba dividida en 25 partes iguales, qualesquiera núm~J,'o .~le. ellas que tome'mos, no- siendo tod~s" .será un quebrado de la.armbá. - . .. . . . ' " '. . . , 44 El quebrado. se. representa .gene,rahpente COlil ~ numeros, puestQs.unp.e.n,cima de otro y .separados ¡.::on '.una raya, teniendo por obje.t o :el. de .aba~o ~xpre sar el número. de . partes. ¡gllales, en .que está dividid~ la . lJ.n~qad . ~im,p.le • .por .c;uya razon ·se llan1.a. df11Qmin.ador: (pues. 'al mismo tiempo. l~s. deIlPmin~.; . y , el ,de arriba damos ~ . cono.ce.f A,.u.é. ~úmero- ~e , -!.>" I . . aque.

45,

de medir ' Tierras.

aquellas partes se' toman'; .por ol!l<ya'·ra.'; . ZOl;;J: '..s.e'

Uaima' númér:ador..: éste."yIlelF rdct;¡

nomiQ.auoT juntos se~ila~nan :::t-w:mifZ@$-;d'r.l quebrado, ' Así .esta: ~xpresi(lm: I ~ se lte-'di.. ciena.o tres quar:t0s',' Ó lo_ qli~e.es 10. mis,. roo, tres partes; de ' las quaJes ' contiene quatro la.müdad:.esra. exp!esmn:j; quiere decir. cinco .oct:a'Vos ;' .esta. ~ siete~no'Penos) y. esta :ksiete, decimos, .. l:., '., ~j f) . 45 Quando los ñÉme~o.s--qúe 'repre; -sentan un quel;>rado ~on compu~stos, se -lee¡primero el 'numerador y, tdespues el .denominador., Irc,l.ándoles' ¡pm'¡;,ú1úmo !la deho¡niooci6Ll de a'V@s..' Así.'este-quebra;. 40 H 10 leeremos dici€ndo.,'l dieZ y, /I1.ue~ "Ve treinta J quatro a'Vos. Le mismo' di·rémos de .qualquiera 'otro qUe: ) se nos p.rop0nga: ' . ~ ¡ , i1 ,. " '.' ,í ,. : ',~ ();q . . 46 J' Los quebrados.se.dividén"en1pr-q.. pios é i'mpropiof': quebr~dos lpropro~ so~ todos aquellos cuyo numerador e,s me·nor que el denominador, tales son es2 5 3 8. " ".1 · 1. ,', .í ', 30 120 &c . y tos ..1 , '3' ¡:¡ ~ 4"'9' 5:' '7 " ~6'; 52.' T4'S " . quebrados ImpropIOs son todos aquellos cuyo numeradoves f igúal, ó mayor que el denoininador.:·,-:tale~. §on los siguientes t, t , ¡, 11 ~ '~; , ~, '1 &c. : llaman se jA1pt.o-pib~ porqu.e ~en rigor 'nO'son' gue,pra..dQS-.S.Í!ilO· ~s· en .la f(]),rma: ;:[5on: n11..ni~· (r~~rdñter<1!s 1. o friGcionariQS~ ·· -,,1 ·c:.. '.' .:. J . ~7> ~arasacar. lqs ,enteros :qu.c ~ con,-",

! ..

de·

46 tiéne ' ,tm

.~ : ,~" Arf"t '. '~t1fQnach!>,dmproplo §e ,divNe

eh tnÚlm~raddr :p.or: -e!s¡denolilili1áid0T r,:l.y é1~qiio_é;i,~lite fi€Xpresa,> los:I eriteros.i l pero si')sobra? ~lg(j») ¡se Plome 'el'l 'la', forma' ,de q.úebr~do. , ~ y;'en este"caso el quebrado _. ~se 1iransfonini en un número fracdona~ rio .; pe!o sii en/Ja ~dlivisioI1no resl1ltaure~,.. , ta. :algl,1l1a'1'es Ji}Ú1nerQ ' entero. \:Jr..a' razon de esto es clara; porque ya l:qU~ el de~ nominador dice en qúantas partes ~stá dividida la unidad, y el numerador.' quan~ las de éstas se toman, pol:' Cada vez 'que .el numerado'Fflcomenga ' al,den0minador, hém.osrde"tenet una unirla<d; luago.ha" lIando las v.e.aes ' ~~:1ue le contiene, ~ teri~ 'drémos los 'enteros que incluye. ' Sir.. . ;vanos' d~ exemplo el quebrade>, impro~ _ pio· xI: si 'dividimos ' ,18 numerad(J)f' ¡pGf -4€}eli10mi.naqor,nos sale':el qüocient€\- 4l, l' e~tas' son las-tmidad~s .que c0ntlene di: "cho quebrado. '

Opiracion. , .t-t:

~.,7U"j ~.

.. , 48 ' Se' nos ofrece con 'freqüenciare.. ·dudr un,númet0 entero á quebrado-, 'cú.., yo denommadory.ea.dado Ó un 'núl11'€ro -fraccioq,ar1.o á 1~ espede:de su quelirado. , En

. '

. ' de mtdir Tierras. 47 En qtllinto,:.á ..lo: priimef.@ cs~ JlNÍJ1.piplic~ el mrlJ.n:eeo~ píq:>pU€stQ))"~(jt.J ~l 'qu~

te~P'"r~'~

su :> derroÍninaóQwp y; !állppC'Gtll!fetd )~Um

dar:este·.por"clenotn.in~dol":· '~sí:\ 'paídl :rei"". ducÍr el número B, ~ ter..ci9s:, -muill!iplica~ rémos $; por 3 ;; Yponiendo ,a:1 productG 241Ipof'4denonri~adbr. ~l~tré~, lt€l>lcl.temtrs CJ:t1p 2(1;as Ahlmisfa"de-s; j :(tOl11p{;)hén~ 2·i,;/~tl

q~anw>~ ~lo¡ ~gU?a~, S0'-~m.ltip).,(~a( elf ,é.Q:;' .

te:tr@!. por :~l~ oehc>h1f-ria-Mor 'de¡-;qu~Hfádo~ este producto se suma con .·et. rtúmer-á~ dor_y . á ,~esi:a suma:'Se le '4a 'P 'O); ,denQl)1imidor .er~él: '4IU4IDr.a\ilo~ ¡Así -4>a:tfáJ tOn'\" ei .. ¡.lit: ~~ero; -¡f.atci{¡)'ll'a~dt> ;8- r~1á·'q[yebra':. do, i:rhprúpio mulcip:Diearemps !d '8) pt5r ,e14:y:.aLp¡:oduct~ ,3~ 10 sUD.?-atéinos ,con el numerador 3', y a la ,suma ¡ 3'5 'le darémos. pOli ~denominador r~1.'4, 'Y 'tendré~o~' 7l fqueb~ád()')imprQpjo 3,f 199a1:al(míl. -mero,prQ.puesmb' r _ .J j r; q . '. ~ . 49 U~ québrado 'no"altera su 'Valor lJ.uando, sus' ,do'$! tér-minos se m,ultiplican ó parten por un mismo' .número, :P.ara oonvencernos de esto basta considerar -q ue,qu:im.to meRoreS" seíln~ la'~ p'ártes ',én -que ' esté dividida 'ima unidad, tanto maror nÚlnerose debe tomar de ellas para eomponer' una misma cantidad. Por . ,exempló,. si tenemos elquehrado ~ ', este,nos d,ice''9,tre la f unidad ' ~stá divi~ida -en ~ partes .lg'uales '; .per0 Sl ¡esta. mlsm.a , . uru-

:... "A1'te

J.l.nida¿.la_supontltnos dividida, ell .S partes j.g1l~1.:t6S. ; :pqr lqu~nt(i) _estas partes :valen ~a :mit.ad- m.e1)os·q~e antes " necesitamos al .doble . ~~ ella,s si qU6remos ten6r 'la mis'" roa parte. de la unidad,; esto es , si ántes temamos !, ,ahora. tomarémos ~, canti· c41d~ igu~ál á"la otra: luego &c. Por una .c~nsideracion s~m.eja_nte pro.báliémós 'qtia.e tatn~o,c5i) altera .SU ' ,valor. JUfl.--'\qu.ebradp por dividir sus dos términos por un mismo número. _ - .5P DeJo qhle de:xamos dicho acerca de la,nª't.uralez.~ .de los qu.e.brados, se,i{¡:o .fiete que ·para Jomar una' parte..(];ualquieFa de un ,<luebrado , por 'exemplo ,: la , mitad, tercIO quarto &c. bastará D;1ultJplicar su, denominador por el número que expresa la parte que se quiete tomal; .esto_es.• PQr 2, '3 ,4 &c.__Asi;para tornar la quinta parte del quebrado J multipli'cárémos el 3 por 5 , 'co1) 10 que tend.r:é- ' -mos 1;5 , y este ' quebrado será (la. quinta . :parté. del otro, ~!

....:.

Reducir qtttebrados á un 'comun ' de.no. minaaór:

(I!,! ,¡ ¡.

}

f...

.~ SI' Para -reducir los quebrados á un , común oenominádor se multiplican-los ;dos términos de. cada un0, por, el ,.qeno: miFiador. .dél 0trp) :si son:; dos los ,q ue,. •

bra- '

ae medír Tierras.

brados ql,Je hemos de reducir, Ó por el produéto de todos los dynorninadores? si son mu~hos. Própongámonos reduCir á cpmun denominador los dos quebrados ~ y ~ , multiplicando los dos términos del primero por 5 se tranforrna en H. Y multiplicando igualmente los d-os férminos del'segundo por 4 se reduce á ':0; y los dos quebrados ~ y ; quedan reducidos á ~~ Y -lo ·que 'tienen un mismo denominadQr , y -son iguales á los otros cada, uno al suyo (49). \ - 52 Sean ahora i , j , y ~ los quebra~ dos que queremos reducir á una misma denominacion: multiplicando los dos tér'mines del primero por 15 , producto de los den@minadores de 10s1otri3s -dos, se (wnvierte én j~: multiplicando los "dos jt~rmfuo~ del segundo por fO ., producto de los denominadores del primero y tercero se transforma en j~; y multiplicando 'igualmente lbs' dos ténüinos del último por 6, pro~ucto de '{os denom~a- -dores del primero y segundn q,'l1ebrado. -se reduce-,á H.; de suerte, q~e los que... obrados propuest9s' se transforman en

z 5 20 24 1'0, 30' 3";' 1

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Operacion. J

'i.." ~

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15· . 10.

6..

• • 30 ~o "30 '~4

. 53 Para la adicion y substraccion de los quebrados es indispensable reducirlos á una misma denominacion , si' no la tienen; porque los quebrados de diverso . denominador son heterog.eneos, y segun 10 insinuado (I4 y 16) no pueden ¡umarse, ni 'restarse sin reducirlos primero á una misma especie , que es 10 mismo que á 1Jna misma denominacion . . 54 La reduccion de los quebrados .á un C0tnlllll denominador sirv'e! tambiell "para 'exan;¡inar entre ;:tlgllnos quebrados . qual es mayor, que será aquel que tenga -mayor numerador. .

Modo de simplificar los-4.ue~rados. · - 55 · .Pm-a simplifi-car los ~uebrados , Ó lo que es lo mismo, reducirlos. á meno",: res términos, se bus~a el mayor núrñe.ro que mida á.sll's dos términos sin fracdon de la· unidad; se '.dividen por él, Y con 10sqüocientes se forma otro quebrado, que será tanto mas simple, -quanto mayo-!', sea la comun me9ida . .--. . Pa-

. d~ iiudir Tierras·. . . 5r

56 Para hallar la comUl1 medida sie dos 11l1mero.s sé examina si son. pares, pGrque siéndolo (y qu€- se conoce fácil· 1I1eme viendo si el gHaJ"ismo de ·las uni· dQdes es par) es divisible por 2: si sumando los guarismos de éada uno de ellos entre sí, como si expresaran unh' dades de 4na especie, componen un m·ultiplo de g, ·6 10 ;que es lb mismo, un n{¡" meto que contHme al 3 algunas veces., son divisibles por .3 ; si d último gua.. . .rismo de cada uno de ell@s es cero Ó 5, entonces son divisibles :por 5 ; Y por úl· timo,. si los dos húmeros tienen algunos ceroS á ~u derec;:Ha ', '~ se plled~n' 'fuitar igú"al número de dIos en uno y otm término del quebrado, y queda simpli. ·ficado. ) r, " , '" '. ~'I ~, 57' ... Ademas' de estás nglas, 'qge sOn partÍcular.es y s~ fundan efr.l~f .tlat lJJ'-aleza de los números, hay otra general que se reduce ' á .partir 'el ,n úmero por ,él menor , . y s~ s<;>bra algo, se ~parte el menor-poJi.Ja prnnerar.resta; 'Y .de e.ste modQ se continúa partielildo.:' una: r.esta ,por ()tra; . hasta -ha.Jdar un dhdsor ,que .dé -un qi.io~iente just"9,. y est.edivis\l)r~ es,la :mayor c0mun medida; dividiel11dG> p@c 'éllos dos términos del qu-eb~adó saldr~ -dos .qüocientes., ;'que .-harán un qntbra.. . do smiple., Por ~xemplo~ que"t6mos sifn....

mayor

pli-

52 .,' Arte- , -'J - ,' p1i6cát el quebrado 1,;s: ,¡dividiendo- 1 °5 por?s sale ",1 qüociente 'l y la resta"30: div¡di-~l1d0"-7S PQr 30 ; sale .el qüociente .2, y la .testa 1 S:. dividiendo 3e> por 15 sale el qüociente 2, Y la resta cero: el número 1 S que ha dado un qüociente - justo es la mayor CO.Ip.un megida de fos (i0s térmirios del -quebrado .y así djvi,. diendo estos por él salen_lofi qüo~i~lJtes 5 y 7 qu~ forman el qu~brad.o ~ ~ much~ ma~ simple que il, -Y'lde igu(il vator. ~ j

.,.

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Opera.cíQ11. "t....., - " , ~

75 ' .' 75 f3 --l · 15 ~

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,2-

- Ql1ando -el ' nú~~ro- que da e} qüocieJ1~€ ~1qS.1!O es la' unldad:~ ehrónc~s es .in1p.osi~1t! simplifidlr¡el qu~brado ... ;, . -: ,

• f.

I \

f' ..~

Di la ,ad~cion ,de los quebrados. '.

~ 58¿L'P-;ra ~ s'uma~~,q~eprad.os véase si ¡tienen,:. un misin0-=r denoininador '; 'sLlo deij,e~' , síi:inéhs~dós. ¡JJuineradores; ,y á-la ' süma-~ p6Iigas.elel por denqminador" el de:nomiÚa,aoj". coj11u-n';' sáquense3Gs enteros zque 'l)aya,.(4I) y .está heeha· la adidcin; -p.eIQ, lsi_ VO; ti~neÍ1 tl<t1J11lismID.Jüe.nomina-

-.qot'! ~@ti\ÍA<;'"1.seoá ~H~'i y 'hl~goJ ~áme.Q,se -;~1 ~ J del

de medir' Tierras,

5:3

del, modo q LÍe aeabamos .de)decir~ Así la . suma de 10s 'ql~ebradQs' i ,,'%, ¡, que to~ 4QS tienen ' 14..n nlÍsme> deO,o,minador es V, " ó lo qU.e e~ l0 .mismo ~ ,ll,..sacando los ~nieros que CC>Íltiene: .. . Pero si los quebrados ~or sumar fue~ 2 3 S • se.n '3 ,. '4 ' '-7' por . <I.u anto no tienen un mismo denominador los reducirémos á él (52) , y se transformarán en'" i~ ,-H}4 , que por tener .Ulj. ltl1¡'SIIi~ denominador los sUlnarémos como eñ el caso anterior, y así dirémos que su suma es ' V; Ó 2 y H, con saqat: )p~ ~~teros que contiene.

OperafioriO- . [

3 15J' ,

;¡:

..,,-

.R educiéndolosá un comun denominador. .

S6 [ 8. 4 ,

6;1. 'g4

':: \

J' ó .-H

~ r79 84

{f 2 '84' r!. .

Quando los números que se han de sumar·sori ,frac.¡¡:joniarios 6 mixtos sel suman primero.Jos quehrados{ 1 8}; Y de.spueS }9S enteros.J. armacliendo, ~ estos los enteros que hubiesen' pJ;oducido aquellos. ~ , • Sean 8: ~, V t y 7 ~ ,los números qu~ " hemos .de suma 11. : es.críbanse como se manifiesta en,la ~operaci0n , rSúme.n.se -pri~ merp 119~Lq1:le.bl;adus ~ J l. y i xedl1dél1~ ·ú) , do-

Arte

dolos á ·un éomun denominador ántes, y saldrá la shlfna ~~ Ó 1 U (47). escrÍbase el quebrado ~¡ d:ebaxo la éolumna de los quebr~dos, y las unidades que estos producen encima de las unidade~, súmense despues los' enteros, incluyendo aquella unidad" y tendrémes el total Ó swma 25 H. .

Operaciotl. '.

Reducidos á

un comun denominador. . .

./ 16 18 u ] [ '24' ~4 , '24

'46'

o .'i'l; o

1 H' ! .J

De la subsfraccion de los quebrados. ~ __

. S9 - Para restar UllQ de otro d0s quebrados redúzcanse á im COll!1Un denomi". nador si no le tiénen , y. luego réstese eJ. numerador del sutJstraendo de1 del mi-o nuendo, y á' la resta d~sele"por cl~nomi nador el denominador comun ,_y está heéha la subsrrácdoa. Así regfilndo de ¡, ¡, la. .re-st<t e:-s ~; C'@srando .de ¡., -f" la ~,

de medir Tierras,

diferencia es la misma que si se restase de ~~ , ~g (con reducirlos á un comun denominador) que será 4~' Quan'do los números que se han de restar son fraccionarios se restan primero los quebrados y luego ~os enteros, y la suma de estas dos restas es la resta que se busca. Restémos de 2 5 ~, 1 6 ~: la resta de los quebrados ~ y ~ será (reduciéndolos á un mismo denominador primero) -,9E , Y la de los enteros 9 ; Y así di:.., rémos que la diferencia entre lQS -nÚ.me~ ros propuestos es ~ 9

;g.

Op!raci(f)n. ~

25 ! 1 6 7:1

i , "l

, _,-t, l y' J '4

Reducidos á un _c omun denominador~ [

n21

12. ]

'2!

•

d1'fierencla ~. . 9 n' 7

•

60 Quando el -quebrado del míme~ ro substraendo es menor que el -<lel mi~ nuendo se le quita á este pna ijnidad y se le añade á su quebrado, dividiéndola ment~meáté en -tantas partes ~ua1e.5- c,qmo unidad_es tiene el comun del1omi~

(

nª~ ,

. Arte

nador despues de reducir á é110s qú~ brados; y en este caso se pueden restar los quebrados "teniendo presente al restar los enteros, que al minuendo se le ha quitado una unidad, la que se le debe rebaxar. Para aclararlo mejor restémos 'de 35 ~,12 V la resta de los quebrados ! ., y i es la misma que la de io y ~~ (re~ duciéndolos á un mismo denominador), que no podemos- efectüar por ser el sllbs~ traen do mayor que el minuenq.o; pues t@m~m(}s. ima. unidad de 35, que dividida en las partes q1.1e e,xpresa el qenQminador de su quebrado compondrá 30 de estas, que sumadas con las 6 que tiene el numerador suman 36 , Y el quebrado se transformará en ~~: restando de este j~ sal~ ta Sresta j~, que unida con la diferencia 22 que haren los enteros á causa de haberle quitadp la unidad al 35, tenemos que la diferencia entre los nlÍ-' • l · 5 II . ..,. meros 35 s Y I2 6, es 2230'

Operacion. ~

'S ..

z...

22 3 5

-S,e transforman en [';0 y j~ ] ó en ~.~ y j~~ 1. _

• 1.

••

Quan-

~e medirI.ierras . . ' •

S;Z

e 6 1I C i ~uaiidó! el .nún'H~ró ' substraelilci'o no tieRe -quebradQ, la diferelilc1.i entrce' los quebrados es eL quebrado d~l mi: nuend01 ; pero si á este le falraseel quebrado i es preciso .sup9ner tm "su' lugar' ut1la. , unid.ad ~dividida, en, tantas partes '1w .' mb Heníe 'el /dentnninad(i),.r del quebrado' ael'otr'o número, y' de este mollió se ha;;, ce',muy. fádlla substraccion. ' , ;Í,

•

Multi¡lic'llcioñ de lds (qwebrados. .

- . -, '"o ~f'" ,~'62 . Para 'tÍlúltiplicar un quebrado' P(;)f otro /se multiplican ordenadamente , NUmerador por numerador, y denomima- . dor por dClílorpinad9r :: con Jos produc- ' ros '~se;cform'a 'Ul'hÍll!levo quebr:-ado ' ,~ y: :e~ re .es' él(pr109udQ)"que ~e b,.tisc'a'; P-.t:'@pon:,¡ gámoneSl' 'multip)tl.ear:::' 4- por j. i el, 'pió: d~lCtO d y -los nUp:1erarl'Ores es 2 , .:y,;el d~ los denominador~s '9 : y;' formandoi éon ' estoSJdos úlcii:lIí'(;)s , nÚlnerqs, el rqlfebr:a(fo /i",~ éstc diré'mos ,'que 0S el ¡ prooUCC&qlJ;~ re,s uIta d~ multipIiqr ~ por ji :" ., ', 63 Para conv(.mcerríos ~ 9c" que esta operacion está bien hecha, debemos '<;:onsiderar que multiplkar un número quebrado por otro quebrado, e~ t,o mar el uno de ellos tantas veces como unidades ó partes dé la unimad tiene el otro; luego multiplicar ~ por j es lo mismo que, ' - ~." , H , to"

r..l~

5-8.

~.,

Arte

\' .

toma11 los dos tercios de medio, Ó 10 "que " viene á ser 10 inismo , tomar dos veces la tercera parte de un medio: la tercera parte /de un meclio se hal1a multiplicando el 2 por 3 (5 o), dexando el mismo . numerad.o r • con lo que será i,; pero esta; <lantidad se ha·cl.e tomar 2 veces, ó lo 'lue es lo mismo, se ha de sumar dos veces consigo misma, "cón lo que resultará ' i. Luego &c. 64 Quando los -números qt:1e se han de multiplicar son fraccionarios se"reducen los eni:eros\.á la especie de sus quebrados, y luego semultiplicall como quebrados simples. - Por "exemplo :: propongámonos, multiplica,r' úno; por, otro los números fraccion~riQs 37 ? y:' 1:9 ~ ; -redu:c iendo'los ,e nteros á la especie de su quebrado se transfoxman en !z.l y V : el producto de los "numeradores e~ 5925 , Y el de los deno- -.. . . minadores ?8, Y el .quebrado que comp.onen ~e~t<l)s -(Iltim9s- números 59:5 , ó sa-, cañdo los ~ter'p~ que contiel}t! 740 % ', y este es el producto' de los dos ,números propuestos:..J --'

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de medir Tierras.

. Operacion. '

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.' Reduciendo - 1.05 enteros. á . 1 9 'fs' ql:1ebrados jim~opi~s 7j' y 7-J~

,37

•

-65 Quando hay que ..mu!tiplicar· un " entero por un quebrado se le da al en~ tero la forma de .qmei;>rad~ J y se -pr.oce:- , de cómo-: e9- el caso ~ntérior~: Así ..;pa~ ~_ nlUltiplicar 7 por l dar-érpos_ ~l 7 la.'fot~' ma de qpebrado de eSte modo f, que _ multiplicado por í produce ~ Ó 5 ~; pe: ro si un número fuese entero y el otrQ fraccionario, se -le da á -aquel la unida.d p.or denominaqor, y' este sereduce..á ·l~ especie de su quebrado, y se les -aplica la -regla' general. -' .

De la dirvision'-de los. qt!ebrados. . 'J \

66 P.ar~ .divid.ir l!ln; quebr~do~p'pr~otró, . se _,\.I_ ' - ,-_R 2 _' -

v' /

Arte,

se 'trastornan los ' dos téfIninos del qHebra:Qo~divjso.r ,t y cdespuesLse j.nultiplipn numerador .. -p:e)'cjlll!li1i1.i.e.tam)fj~ 'Y ~ deln~mi nado~ po-r deno.ffimador , y el qu~a~@ formado con estos productos es el qi.jo~ ciente. . ::. Propong;ámonbs divi4J~ ~ por i ; trastornanc!o l~os ténniaos-del quebrado divisor se cónvierte en ~:<. multiplicando ahora ordenadamente ~ y; ~:..tendrémos los productos 16 y '3 0, !'íue componen ' el quebrado ~ que es e\ .güociente . Para la demostr.acion de "esto .debemos considerar que~ si: e1::-·divisor confor.me es j, fuera 5 uñidides, el qüociente sería /0 (5-0); pero "el di,,,isor .no es 5 uni- · dades, sino es j .; . esto es, un .númerQ 8 ~e~.s , men~)1; que "S unidade.s '; luego' el q-Üeciente.· ha -de ser;,,8 veces. may(')r qu~ '3~~; :~to ·es ;:.j~ ~ rhiego &€., ", .. ". ':;, 67 Quando .los .doS' números que. se han de di.vidir son' fraccionaríos, se redu~en.1Qs 'enteros á la especie de su qúébradQl.. G48) ~ y s~ divid'en :com0,.quehrado.s pTQpios. Pon ~ ex€mplo'; .propOn.gárhoRos p.artit '345 ; 'For~9 .~ ., xeducien.d o los enteros á la especie 'de su québt.ado se trans. forman en 11¡7 y 3~5, que invirtiendo los térmiJíl.ó$~ dé .este. :ú1tímo~ se .r.edJi.ce .~ -3'h; multiplicando'" ahora ordenadamente tyr,y,rai5GLJflfo~Jpand(): ~b.ri:J@.s :p.rcl$C. [.;~... tos

~6 1

de medir' Tierras.

tos 1,5525 y ~?7S ~1 quep!~~Q . r-M;~; es-i~ s>erá tl:gü6t\i:h\ré0~e'¡ sé ~ Olísc~ '; que sacand(nds"edt'eió~\.q~le cohtIb.d~()~s igual ~ 'l'TO ;>f

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quebrado se le da al entero la fOf¡lha( cf.e.quebra'dó"''P<Duiépdole' íla~!ühidatl po1;\d~ 'lÍ0rn~nador " y ' luego 'se :idivid'en r colno :quebradosl Así la :divtsitlril de 7 "poí"! es ',111 ~mi~ma que ,la kie :. t ~Jlfór f! ; que,ilJ.NiJ;tiendo,.lós ,ténninosr d~l.Js~gi1ñd~ :que.b];~dq,"ó..lo::qtle;l viéne 'á,cser;llb~titll~rfi~ , _.multiptiCancf9 !€l1' cruz'¡ ~ale '. d, qtiQ~iel1l-:28 o' 9 1 , . - , ., te . 33"- ' ~, ,69 ' Si ,el 'cino de:1os dos nUln€fQs fuese; enter@ Jf ~ eh '0tr(i) ·(fIlaccibna:ti0~·~.se redudránf' ~ · ql'reb¡8'd;(!)"s ~? aquel, p'0iU~@'¡ ~..

J.,

dio !,deu~ tlrnid~; ly:·e:st€ ¡.pot::Í'inecl.io~!;diél

d~nomi:naTli0r -eJe s_ü -gll~bradb." i

'-~ ~•.if} .~".r,(

,v .11-.. r 1 "!.r lIi ~If,.. :r>~ ,: ifllB,) ,)I,~ ~ .," ''''.r-''''·'' ? ~ r, ~IC. ,¿ .. 11l1", , v () ,,~. O! 1 e ;;r.· ... rrj·~·I t ~ ... 1 l,_·:)C(1 -,,' '1\;' C' ' ., '{ "(' 1 ¡ <,'v'rT r:,("/ r , lt~ t~ •. .... ~ d r iI .. .t. ..~" V ,t.I

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A.ftt '

lJ.~ IOS..r4~ebrádo~ úJ1np~estos>- ,y rvalua· 1 . ':,~ ~f}4tLd,e)o'SJ _quebrqdos szm¡{es. ,

., ,

70 Ademas de los quebra'dos que acabamos de tratar' hay otros conocidos con el nombre de quebrados complle~ tos por ser parte cj.e ,qtros quebrados, / tales son ~ ,Cle T, ~ de i; estos se redu-, -cen á quebrados comunes ó simples mul~ ,tipJjtaJ¡lqio Grqenadamente nllmera.dorpor numerador, y denóminador por deno- , ~inadQr (62. y 03)-; y así 10s quebr.a_dos prppue~t~§ reducidos ,á' simple..s:son ~

\y; {~. l)

. c¡-

- 7il '(' Pararvaluar un quebrado se multiplica- el :numerador por el número de , unidades menores que. tiene la unidad á Cjl1ien se refi.e re , el quebrado, y el pro..dtlct<;»se pa't te pÓJ: el denomi'nador. ' .Así los .,f de -lJIÍ -real es,lo mismQ que, 3: parl~ ticfó entre 4;" perO;'Q)!UO '3 reales no' 'es divisible por 4 por ser un número menor que éste , es indispensable' reducirlo á otras u.nidades ;nenQres; esto es • á.ma: rªvedises, _que Gomponen 102'Jlllar:ave'\! pi:ses; ldiyidiendo ~sta cantidad por '4íSale , el qüociente 2 5 ~'" y estQs son lds mrs. que valen t de un real. Por el ·mis- ' mo camino -!J.allarémos que ,~ de arroba hacen /10 libras ', 11 onzas, 6; adarmes: y l de vara hacen l. pie y 6 pulgadas.

()pe-

, 3

'6,

m~dir ; T.ierras~

de yar<J.I.b. .... t-J 1

... L-

'.,

J :.e_ ~ "" .... ~_ 72 ~ ,Números 'denominados llamamos t'OdpSi' aqllelios qni.e ~.g€ refier.fnlá :djf.er.en y tes unidac;l.es: .Tales ;sm} g 8~ ;pesos" j'2' ,f~ ;23-lll1fs../J;21acr.abasr12 d,ibras:8 lonzas: &c. ~oh. estqs :númerQs se l1ac.en tambi~i1 , ". las

¡,

.€~ .1.~T'~· .41'# :;:. ';~.. las operaciones de adicion,' suostraccioñ multiplicacion ":¡ \, ·di-y·js~oBl, de las qu~ tratarémos cada una de por sí. . ,:~

;í\

)o" -«!

De la adicion de los mtmeros de1'Zo:ni11'adós: ~

:-. .\ ~ Para la~ ~didon de los ,núrrÚeros.

denom~ffilg.6s s;~) escriben unor ¿~C¿¡!l1a

de otros; de. suerte, qqe las ~uni..dag.es de cada especie 'formen una columna: se ePlpieza Id opéracion por las unia~des inferio}~s reduci~ndo la suma que pro~ duzcan á las 4~ la columna inmediata ' superior pafa '-sumarlas despues con ellas, eSGribie.ndo debaxo de la colum~ na fsumada las restantes. Sirvános de exemplo la suma de loS: núnh!rós 1 S pesos 9 rs.' 12 mrs.; 42 ,_pesos ' 12 rs. 28 mrs. ; y 54 pesos_ 8~'--'3i mrs. La su~ rila de los mrs. es-7.!2 ; que hacen 2 rs. y 4 mrs. "éstos 4 mrs. s~ _es~riben deba~ xo: la suma de los Its. ! irr~luyendo los dos que se .11~~aJ!i :-qé)Ta gJma anterior, es 31 _rs., que componen 2 pesos y 1 real, él' queí'se;,es,cribei. debaxb .los rs.: la suma de los pesos, contando los dos q \:le se Llevaban ', .es ' I I 3 pesos~ Así dirértlos '.que ',la <sntnal .de l~s ,nún:ret0sQ)1liJio ~l4eStbs¿es ..I¡r :jJpesgS J')real y-4mrs.u ?' ,1 .¡::i:JP.;Qlt!lel ~masmo :métodos. hallaríanios qN'e la ,suma, de los ,números x7 ia'lIfObás\ . ,

. \

m~dir/r;1'i~rras. . 6'sí:f 2·Q,.J1bras'; r 8!onzas: ~¡I i2 ~ám:bbas ,. a.9ntt;;''1 bt:.as., !.Íi:l allZá~ ;.J1l4¡anrpbasn,iui&:llllbras-,p 1 ~ bQozasHesI~

r;5~cárJllopasgr.8-{ lilm\Slrnl4tI .'e.y.~ :..b~W! ::J2 .1d:)1sq . ~'¡ H 2O?'3q Qp~,...dcion).[!t·~2!)1 f?A .11Ob

Ol!lZaSl i'd.!J?

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Suma.:.... II3 "!,'~c:::,:m.?;)Í ~'Jf'. ¿ .'.. <.~ .• _~: .

8 onzas.

17 arrobas-,2.<D,'liq,fas 12 .0

lz4 f.~

.>.:

.al fB 20;::;)(, 8 !lO 1.2 . . ..)·1 L J. ¿1 )J:}q t 1

Suma .. S-S~':

---8- -

-" r4' :- .... ,,~~2:;,Jr

De la substraccioñ.

(

e r, cL'ion Q,1 2Gib Ser:' Par.~ la sub~f!rac;cion ~~~scriben

.?','.>' ' , ['~

74 los nÚI'l:1et'es-del rfRfSmo moele-qae para la adiciop;. y se Estan lat ilifer..entéS • unidades &~l substraendo de sús correspondientes:~'en :,b-ll.~~iIehd,áí sentando debaxo tIna raya las restas parciales ~~ y está' he.diada substrácciónrj:!p.e.n:o ~" en ·algun caso alguna! de las 'paxte·s del.'.~u:t:>s: ' traendo es .mayor que su ·~orrespon... '-diente ,e n ¡e(.minuertdQ ~ se t~unª,'unª lJll:'i,. ,dad ,de,Ja:·C;Ql~n.n.a, rinme~iata~ s=:n etlmi.r -;.; nuen1 4

6'6) .7" '; :ikttY':' " .\ ~ndo., y "rdividiéndola en las"-parteS'"~' que "determip.en.da ' natW'a1:eza de (los'" npme'l{)~¡l y:;agregáFl'dos~ta ..1t!mÍ'fu:lendo I parcial, se puede executar la SUbSL<f~C;;" ... ~ion. Así restando' de \ 7,ª~¡ pesos 8 rs. 24 rnrs.; 12 pesos 12 rs. 21 mrs.; sale 1~ resta l .5 pesos' 11 ¡ rs~ 3 ·" IlIrS,; ' y rest~ndo igualmenteae 358 !dias 19 horas 40 minutos; 22.f ~as Z2 horas 55 , minutos, _sale la resta 1'33'"'dias 20 horas "45 mi·nutos. Ve~e los eoc~mplos~ ..' -

- ¿Opiraciun.

. '';S~'()?' ::-. 1

28 pesos ~ 8 rs.

.. ,

---1'2

peso's- l:2--rs.

24 21

mrs. mrs.

Resta .... :. 15 II 3 . ~ ....,~ J:: . ·.~I"l~~~:i.. 35 8 dias 19 horas 40 minutos • . '~ Ji·' "'.2%>4 ,r - :¡Y "2:~.JI' 55

RestaH·JrB.r-"

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OU ' mnltij>1ic:tdon "de 'l05;-riúme.. se eKecutt~ ' de ~;u:ios 'moo1)'S ;' pero noSQtros elegimos arquel

, ·l".QS cdenomil1l~S:

-qu~ se:.reduée;á: .Ifiultiplicar ' ~1ll qurebia-dO!,F0r:. ~tr~, por pafe~rnós- el má"S sen-

ci-

de meiJr.t Tierras.

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cilla i;m Ó~SIDide1 rfilllaar~xnlpcln~iPiosJ

que quedaa ex:pJcadas ~rua:mayO.r itifo dividualid~d. ,c,c.:"W J 01:;: bl i:" l~l-ni'Ht .' 7~ . ,Para" COU1Zertir .en rqu,e,brcrdf.i" un número;" ~nQ"l'lÜnadp .:sev r:cmucec todo :::i , . - ~ e~pet4e ~ed~ ~idad~ inferrepes ql!e: GQntiene l; ¡,~~ W .quJl?msplta.:Se ler;da'd~Dr: d.eboririnadDr (er riúrner:a'qNe ~pres~bs vece~ que~la urudá3 <d'e 'lal"f:especre::mprJ ríot: 200tiepe á.la infer¡rur~y de estOOmo~ do se con~igue ..da'i:á ,cada: llq~> cle.JlpUIÚ~ meros denomipados ;:t t funna,de; <lu~b:tJa¿ dos~ " Ma!.t,life;steDuiS1oüpor.r~ mediozde ~p pxemp"o'~" ,... '. lJ., ~

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01~IJ:O'1~ .J .... ...

-'" Sea "el :riúnreró Bv:pesos iI~ ~ ;rS1I 1 mrs; ..el que. ~ se~ !ha:;,"de"'milsfOl'rnamíen quebrado: "multiplicando los B peSO~FOl! 15 para hacerlos rs., y añadiendo á es\ te producto los 12 rs. salen 132 rs. Y .r ~ 18 mrs.: multiplicando igualmente .los \ 132 rs. por 34 para hacerlos mrs., y añadiendo al produCto los 18 mrs. tendrémos 4506 mrs..-, que es 10 mismo \ que 8 pesos 12 rs. 18 mrs. pero 4506 es :.! 10 mismo que 4506 partes de las ~tlue compenen 510 un peso; lue$o 4506 mrs. "' es lo mismo que ~i~o6. y as! por esta regla se puede conv~rtir en quebrado qualquier número denominado. ' 1 77 Hechos cargo del modo de convertir un núméro denominado en que12 . bra\

1, "

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-Reduccion de 10S{ 252:00 ·1:' ..... lp ); -·re~,¡essóbrantes · r89'00 " "!": 1 r:¡ 1 ' .á matav-cdises•. '" • ,'.": ¡~¡, , J " {2142b~ :rS,36sz$. .J¡" : DivísiOn)par~ rlo .f s ' 03ó60 '· 11 Ú2,1'~ . , '.J . ,' •. • !83 6 .. maraveulses .....~ ~224 ' '.' , .. r

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-' ~ '78'~ Entre'-las~ reglas ~de los, números ~lleItoinirlad0s' hay :una lrtúy fá111.0sa,1 en'. tre'los práctli~osrll~m~da ila 'ff~ncesilla. , y ·..qúe 'solo t iene. lugár quandePunÜc;: de lqs factores contiene arrobas libr_as y~ quap; terones, Ó solamente arrob~s y quarte- ; rones, ó arrobas y libras, no entrando onzas, ni adarmes, á no ser que aque: l:l~as compongan algun quarteron &c. ya , no

\ \

," , "

no tiene lugar,

:?11~t~

:.' ":,

y es necesario acudir á

la ,regla genera,l ,que he)nos e~plicado. Hagámoslo VIas perceptible con el sigui~nte' exemplo : queremos saber quanto 'valén 18 arrobSl.s, 12 libras ~y 2 'quar. de 20 rs. i ,C01l,l0 I terUnes a, preclO una ar· roba tiene 40@ onzas ; Ó 100 quartero-nes, si al 18' lé añadimos 2 ceros á su d~recha estará multiplicado por : 1,00 (1 1), ÓJo que 'es lo mismo,quedará ducido á quarteron_€s, si al,1800 quarte. rones le añadimos los quarterones que .hacen las 12 libras, que son· 48 , Y acle:.. mas los dos qu~ hay de pi~Q, tendrémos todo el número reducido á quarterones, que serán 1~50: si este número lo multiplicamos por 20 r~. Itendrémos 370.00; pero como los 20 .rs. n9 et el precio ,del quarteron , sino de la arroba, el número '.37000 es 100 veces mayo.r de lo qtte del:5é ser, cuyo au_mento)o compeIfsarémos con dividirlo 'por 190, q'ue es lo mismo que separárle- 2 ' ceros á sú. derecha (1 1) ; luego el precio de" -las ' ~ 8 'a,rroo3S, ,12 libras, 2 quarterones -es '37Q rs~ Este es el fundamento- de esta -famosa regla.

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-~ !JtH

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t •. J._ IL' ,i 1 r {.

'de medir 'Tierras.

7I ~

De la dir:tJision.

,"79 'Para la1cllvisionde l~s números de~ nominados se ~onvierten en quebrados (76) y se dividen segun 10 dicho (66). Así si se nos preguntase quanto 'valdrá una vara de tela, en el supuesto de ql1e 8 varas ~ pies- y 6 _pulgadas hubiesen c9~taüo 54' pesqs 6 ,rs.' 12 mrs. : se dexa_ cono'cer que esta qüestion :se redt,lc~ á. dividir el segund0 núm~ro por el primero. Así transformandolos en ql.1ebr.ados tendrémos 27766 pesos ,'' p-artido phI' -3..!J 5''0 36 var:as, igual (§. _pitadQ) á ·~~ti~~, 'que pi:o3060 d uce 6 pesos ,- 2-.r.s.} 1416'21'1 mrs. , yeste es el precio de la vara: ' , -

Ofe-

, .. Art'" " •

. "..

.,;. 4

....

. O;p.erAciotí. l :. . ~999~I~ I 162180

DIVISIO~' para" l~ ,026'I.3() · , " pesos .ro:••••.•~...... 15- ' J

, ~.

i.J

6 pe~os. . .

, . t

Division.p~ra 10S{ ' 23 0L22 1 16~I29S -: maravedlses..... 6793 2 14f6'tQ mis. 0,3060

80 Si alguno- de los dos números que se han de multiplicar ó partir fuese entero Ó fraccionario se le da,rá )a forma ' de quebrado, al primero dándole la unidad por denominadqr, y al segundo reduciéndolo á la especie de su quebrado. ,

De la razon geométrica.

8 1 Q~lando comparamos ' una con otra dos cantidades con la mira de saber .. ' las

.. .

de medir Tierras.

)

73\

contiene 'á ' la ' otra~ llaIT1~llnOS 1'aZ01Z gr;ométrica á esta CQm .. parncion. Así ' si, corpparamos I f2>:' y .;Ji con la· mira de saber las v~es ' ql1C el Ú contiene a14, hallarémos que es 3; y en ·este .caso ' el 12 se llama antece, dente, el 4 conseqiiente y el 3 exponen,. te de la razo.n; bien. que al 12 y .al 2f les llaman tambien términos de' b 'fa~, zon ~; 'é iguallnente €n la compara:don de '3 con 15 , 3 será el antecedente., 1 S el COi1seqüente y ~ el ' exponente de la razono , La razan g.eométrica ,tiene la pél<rt~., cu1a,rid::td de que)nultiplicando el conseqüente por la razon produce el aJ;1t1e,.. cedente, y ademas su exponente no muda de valor por mt,iltiplical" 'Ó part-ir .sus tér.minos por una misma cantidad. . las v:eces que la'

lUla

.De.la proporcion geométrica.,

82 Si ql.Jatro ' cantidades son : tales que la raZQil geométrica de .la ptimera á la segunda 1 sea:,igual á lacle la t~ce- . ra con la quarta, decimos que estas' Caniidade.s . forman' proporcion, geométrica. ·AsÍ las 4 cantidades' 8: 4:~ ' 6: 3'; décimos que estan enproporcion. La proporciolil geométrica se :escrib-e del .pIodo que . ~e ~ manifiestat . '~eL eX:€1l1plo .; lest?

.en

es~

7~"

__ es ,

,\.

4,·t.~ ·

pOl~iendo entre la primera y segun .. ' ~antldad do.s, pu:ut<;>s" ent1;e, la. segun-

da y te-r.cer(l¡ qlJatro¡, y- entre, la tercera y qua:rta~ dos,. y se· lee didend0;' 8.: es á. 4\ como. 6 ~s. Já..3 : el 8, y. el 6 se. l~,aman ant-e.ce-a.entes~.· el 4 y- el 3 c.onsequentes,. d . prltnero. y , último, ext.remos , y el seg,undo\ y ter'cero. medios, y todos, ellos, tirm.Znós.:dClla·propord'o11i... ; E3'- La, pr.opiedad. fundamet1ta.t de; toda, proporcion gé.orhétric~ .es la. de- ser' eL producto, de 10.s· extremos, igu.al al de, los. medios '" C,omo, lo, p\1.e.de ex.a.!l1inarqtJatqu·iera .rriultiFHcando" los' ~~t:remos. _ y. los: medios. en. las, siguientes. propor-· QIones.:<

Propórciones geo-· .Productos de extre-· mé.tricas., . mQs,~'X[, J: medios_., ~

8' :.. 4. . 3 :: 15· 1. :. ",

2, : ,

- '..s9

4, ~9j

-3·:' .,..... .. " ~4· 5:· 25· ..' ... 75 4:: 16., . ~ . .. .. 16, ~ ' :. 27····· ~ ··.54· 6.::

G: '10,.,- 2$ :.

. 8{ Dei esta' propiedad:. ffutdaQJ.el1tal. d~,. toda: propo.rdon geo.métrica. se de:du:-· ~e, que; si en: U1la. pl1o:porcioo conoe.emos . Jos. tres pr.im.ero.s;términos',. haU3-'l1é.mos 'el qua'fto<cJ~.n...m-ultiplicall el segundo. . pbr' el ,,'" o ter!..#-011

·,

11fpdir Tierras. -, 7~ t'-erceró- y 'partir ~l pród~lcto por ~l pn .. mero; en efe~to., SI ea una PfOP0.PCWJl ·co·· nocemos los t érll"linos 7: .2 1 :: 6 , n}-lllti ~ plicandQ 6 por 2.Ltendremos ;1:26 , p,ar. ... tiendo esta canq<i:!~ t10f 7 nos '¡¡al~~:! qüociente lB, Y este es el término que buscamos, y la proporcion ,será ,en~o~ ces 7: 21 :: 6 :: 18 : en efecto, multl};>ltcando los extremos y los medios. 'salen los productos iguales (8 ~Ü. -E n esta ptó ~ piedad de la proporcion geOlnétr~ca se funda la t~oría de fas reglas ete tl-es ( on,\pañías &c., ·como 10 manifestarémos á su úerppo. -, r ',' 85 01611 un-a próporcion 'gep~étd~a; 'q u.alquier'f PQ$Íemós comparar-'d prü:rrer termino C01'1 el ~t'er&ro ,1 .b1:" segundo :Con _el quarto (que es lo que se llama _ , alternar) , é igua!mente el se~und?, co~ ~~. p'ri~ero- y el qu~rto ,C?!) '~l !erce:~ {'que 'es lel' qtle -~c _l1ama ,t,~'1!e:t:(t~r Sl~ que por eso se -altere ta proporc1on:';' dé ' suerte rque"S~ ~ :-4 :~ 6 :',3 -s~rá alternando 8 :_6 :: 4 ~ é ,-invirtiendo 4: 8:: 3<:) 6, c~mó se éom,prueba niuli:iplican~o' ,ex'treme-s , '1 mediQs >á ver si d~n1?r~d4F: tos' igtiálesl. \ " ~ ' " , " :', J

'dd

-J

:s ,

" , 86:, l.~úando tenem6~ lníl~has 'l'aÍ;ó~ 'ilés í'giialeS, la, suma 'ele toaos los antece:' élentes-, la 'de·lds conseqüentes ~ un añt~ ce,denté .fqualquiera y su conseqüente r-

si&m-

7~ .';' 'Arte '.7-. s¡~~l?re ,forman pro})or~ion"ge~métrica. ASl S1 4';""3 :: 8 : 6 :: 12: 9 ' l sera 24 sude. conse· ma .. de antecedente á 18 ,, suma ' qu~n,tes, como 4 es a 3 ;' esto. es, 24: ~~~::_. 4 ';. -8, ~ e.,n ~fec.to- ~9s PtodUCl:os de ~xtremos y medlOs sop 19ü;il~S (4~3)· __

De la 1'egla de tres .. .87

Regla de tres. es aquella gile e11 á hallar el guarro. término 'de una propotclon geometrica siendo conocidos l6s otros tres ~ su fundamento estriba en la propiedad que tiene la pr0porcion ge'-o mérrica, como 10 hemos !llanifest,aQ.,~{?3) de ser ,elpFq¡jl1~to}l fle.)os extre1l}9s fgq-al .al detQs me¡d1Q~:, .~ .>' !.1. : 1"\ (,' . Li regJa. 4~ tre , ~e ¡dlMieLe @!F. SM1.h p7e y copzpuesta_, simp~e e~ ?quella,. en la ;q ual solo. ,entran quatrp cantid~d~s, sien:So tres ~e ,ellas co}}ociflas ~ y CQPtPue~ ~~ . es aq~eU~' en la ~Jual entran ,@~f'J d.~ Jiuatro ;santldaCjh;s~ ~. '~" - ' . io 7:, l De la regla de tres siinpl'e~ 4

~eña

" 8~1. De l~s 4 cantidades "qUi· ha~lí\n. ~1} pn,,-," F~glfl de tr~§: simpl~, ~dos cae e11as se 'llaman pri1-r.cipales y l~s}~tr,as d9S ~H~ !"f1f}tiroa.f? la ,!11isl!la ci.i~~t!oJ{l q1J~ se Ft~uelv~ nos da ~ . conOG~r' ~nas¡ y. otfy.;'. pues hay entre ellas la misma dlstmcl9~ ,que enr-:e la calisa y ~l .ef~c~o. . ",':!.,

"fá

de medir Tierrás. ,

89 La regla 'de tres simple se divide tambien en directá é in<vorsa, la directa es aquella donde- las cantidades principales tienen entre si la mismal razon que las relativ1lS; de suerte ,.' que crcrciendo aquellas crecen estas, y meliguando menguan ; y l-a inversa es aquella donde- las cantidades principales s/e contienen de Ul~ modo inverso que las relativas, ó lo ~ que es lo mismo éreciendo una cantidad principal meRglJa' ,su. relativa ,. y men-' .guando crece"

Qi¡estion primera:. .

1 .

Se sabe qqe para mantener 7 caba ..

11'Os se n~cesital1' 200. faJilegas de cebada al año, se pregunta ¿para mantener 35 caballos en los mÍsmos tér.min0s:, quan-tas fanega.s. s,e neéesit~11 ?: . ~ ;: \ : ~ "'La's cantidades principales son aquí 7 caballqg..;y ~3-5 caballos,. y las relativas - 200' • f."uieg~s;:. y el número· de fanegas . que."se. .busca (; luego 7': 35 ::200:: á 10 que. se b4~~fl, que se hallará (84) multiplIcando 35 · por 200 ,. .y el producto 7000 partidoqlQ1'i7 da· éhcttlqciente 1000, Y .estas son ;las fanegas que consumirán . los. 35 (.ca~allQs en el ilfismo. tiempQ.."I .~

Ope"'

Art~

Op~ra~¡()n.

cab,' cab: fan.egasfan.'

35 ,;;

2(;19; ¡QQO

20~

, 700~·1-,7:. .,.· ____ .0000

IOO~

Qüestion .segunda. 90 Si un arriero en 2.8 días anda , 300 leguas, en 7 días ha de andar 7 S le· gu~s en las mismas dr,Clllnstancias,

.opEracion,' días.dias leguas leguas ,.28- : 7 ;: 300 : 7S

~o~

, cl:">.

.dr;o ~ :28 :0 Iffó ' 75 .{DOO

Qü-estion ter.cera. ;

" .'

iV '; ( ,

. j

91 Si urr,¡:úaoo.gama 1·40 tts. al.1)1es,. no hahiendo servido ma~ que 22 dias, ha ganado r02 , j rs .

. .opt-

de medir Tierras.

79-'

Operacion•. días: aias.

rs ..

30 :: .2.2 ;;:

140

ts~.

., i02

880. 22:

so80'lso' . 0080. 102 ~3.

Qi¿estion' qua'rfa .. '

. 9 2 : ' 35°°:pesoS" arazonde 4 po~ 100: al año) de: interes.xeditúan 140 pesos ..

. Operacion .. . roo :: 4 ::. 3500. :: 14.0)

35° 0 \ 4 • 140

Io~'

...t .

Esta>..qü·e stion y las dé su naturaleza se llaman,reglas de.intereS :.su: resoludon se reduce' á' mu1:tiplkar- el capital por- el interes" que' dan 1 OOr , . y separar' de este producto. los dos: guarismos, de. la: de• < ' re-

8~ ~

Ar:t!

rec;:ha, y lo restante el el intel'es que ' se busca: fúndase .esta práctica en que el -divisor siempre es en ' ella ~l número 100 elI),

Si en' qualquiera de .estfls qüest.Íones se aumentan ó disminuyen las cantida· des principales, s;recerán ó menguarán sus rela~vas, y ~sí todas enas ,son reglas de tres( slmp1e':chrecta. ' . r

. Qüestion quinta.

•

20,- hombres hacen un foso en días, se pregunta ¿para. hacerlo en .3 dias quantos h0mbres ban de em· plear? ' _ La misma qüestion nos dice qué -las mismas vect(s que 3 días es contenida en. 12 dias", serán 20 hombres contenidos en los hombres"que se buscan; luego 4 días: 1 2 días:: 20 hombres á los hombres que s,algan) q1Je serán ~o. . . ~ !.

rr') ; ;'L-

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Ope-

(

8:(

de medir: Ti.erras.

Operacioiz: 3 d:: 12 Q.~'::

.20 h.':

r,'

80..hi' ~; : ~~ .,' \ . .

i':,:.)

20 ~_0

~, . .') ~', ',:::1.1 lo h~mbres. Qüestion'..uxta:

, -Si

(Mll

v-iajante . que camina 6 legua5-

pot;-kUá, tarda a 8 dias en llégar- á ' sIl: i

destino, < para llegar eh I'2 dias hahr~ d6 caminar 9 leguas por dia. :Esta üestioll y la anterior son-'inversas; pues crecien-: <io ,laSl c~ntidades: pldncipales ,. ,~enguan ~sÜs.·relat1Vas (89) , y.: 'aLr~v€~. < lf;j ~~!l J f .' :-~ f:_ '.' ". ~::

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r:"':, i..:lt?,- !..:~

Ope-

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. ' Arte

,',

Operaciop_ dias dias leg.s·leg." , 12 , : 18:: 6:9 ,--. I

De la ;¡'Bg~a(de tres' compmsta. 95 Regla ,'de tres compuesta dexamos dicho que es aqtiella en la qual en,. tfan mas de. 4- C.antidades " 'siendo todas ~onQcidas , excepto una ; pero sea el que fuete 'el .número de cantidades que ~n-, tran ~.tJ. una regla de tres wmpL1Je~t:a. ,. siempre se r~duce.po.t me-ctÍo de la 'IntJlt~plicaciem á una. Siinp.1e. . regla,de tre.s "j como tal se, resl1elve: fá~H.tn~nte ' ~ ,ac:;4fe.. moslo con la siguiente

Qüestion pri111.era·. 96 Si 15 hómbres en 12 dias hacen 520 varas de obra, 18 hombres en 6 dias~' ¿quantas harán en los mismos térmioos? . . Pa~a resolver esta qüestion multiplieat:.émos los 15 hombres por los 12 días, con 1.0 que tendrémos 1180, Y considera)' ,I rét.

de meriir' Tierras.

' $3-

rémos que 15 hombres en 12 días producen el mÍsmu u'cled!(i;que sI los hombres fuesen 180 y trabajasen un solq dia; pues de"todOs modos ios."jórb.ams: son 180: .tnílulti~liqúillllOS::.d..((J.. 'Q.1iÍSlIW modo 10s 18 hombres. por los 6 r= t~ndré mas 108,. Y podenros-i::onsic:lef'M' -lgualmente que el tralla4<D fué un ro1o dia y 108 los hombres que trabajaron. Luego I80 hombres: 108 hombres .. 52~ va- / ras .: ..al nÚmel:O :.. de vara6' lq~ .:.se .. busca, que multiplÍcando" ~l ~egundo término por el tercero, y paflieJ1do el producto por el primero conw. en las reglas de tres simples , tendré~-'3"¡'2 varas, que serán las .que harán 106 ' ~üL hombres en 6 días. c'

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homb.' d.' var" homb.' días IS, 12, 520 ~ 18, 6 quantc> .? ., .,' 15 6 l'

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' 60

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108

520' ./

2160

549

S616~1 i8~ 021

312

°3 6 00

Donde se manifiest~ que por compuestas que sean las reglas de esta espe-' cie, siempre se redlJcen á una regla de ' tres simple.

Qüestion segunda. ~7

Si 8 hoÍnbres con 40 rs. cada uno·

8S;

de medtr Tierras.

uno ganan en cierto tiempo 300 rs., 20 hombres con 60·rs:. cada uno ganarán en el mismo , tiempo I I 25 rs. : esta regla se reduce á simple 'multip'licando lós hom-o bres por el número de IS'. que ca~a uno ' puso. : : ; ~~ 1;

Qner-acion. .. . , ~

homb: rs.

8 <"

4°, _ '.'

rs.

homb ..·rs. " 6.0 guanto.

300 x 20 . 60

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° 1:1\ t r" ,'3 2,9: : . 390 ::, I~00 ; ' ÍI25 rs., , i J L~.If:~_ ' ,< - ", ~200 :' r ~ ~ r

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080 : ~ 160 000

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36000~ ,1 32~

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. 98 ' POr' las mismas reglasrhallarémosque si 20 caballos en 6 dias consumen I$'Ó faneg~s de cebada; 9caba~os' el1 '30 días gastar.an 3'37 fanegas y I?1edla. ' -, -

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IS0:: 2jo\\';}~~'J7

fanegas.

DeJa regla de .-companfas/ r::r'

r té.,"

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99 -La regla' de compañías'.es la qHe enseña á partirla-ganancia Ó. pérdida que ciert.os ~sodadas -tuvi:€ron Cen SH <;:ompañía en partes proporcionales á lo que cada · uno puso. Su resolucion se reduce á prac\ ticar tantas tegla~ d~ tres simples, quantos son lós ~socjádos: Q:1anifestémoslo resolviendo lá siguient((. , r

Qüesti911:. primera. 109 Tres hicieron compañía, el primero puso 1 2p j-pesos ~ ,el segundo 340, el tercero I240, al cabo de cierto tiempo ganáron ;s:o pesos, se pr-egunta ¿quanto le toca á cada uno de los' asociados ~ Ya: que las ganancias parciates .B.an de ser proporci0.flales .á lo, que: cada URO . puso: es evidente que 10 que pusieron todos ha de ser á lo que ganaron todos, _ como lo que puso cada uno ~ la gana~-

Cla

de medir. Tierras. 8j1i dG ql1e:-le' cer.tt€Sp~nde. Y·'a9Í 'stlmmdó. )10 ~W~ ··p~1.Siero.:D rt¡.9do S"', ;· tendJ.épro.l\-JJ<7CY.o" d' / .

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y.l:l1lega · JJ)ellt1DR:: Ly.oo:.quef, l\H.ISle~ tOt! ~o!\ ' ~:.á . S0 la> ;-.ga:rl:an:cia. ~i.. bml1? 7'J.a:.cci , que puso d prÍt1lnet<a .. -0$ . ~ :Sll' g:naan.cia

que será 3 t'7 pesos, que es lo que resul~ ta de murltipliéai:: 1.2:o..'por·SQ , ..¡'partir el producto por 17°0. E

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' Ope~acion para el primero.

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Para la parte del segundo, dirémos es á 5Q.,:;l:(')01l0 ,,~:\ que puso es á lo que le corresp~nde, qlle 1l1ultiplican® :: 3. 4©.) 'PDrüSJt(¡Y~Jpañ.t1ÚfJ?@0 l,por J:t?0 o, 1700

hanalémQ~ ~j~S'{lli<p~Q.aní> ".:. ..... e:~ -, ~ /-: t ~ t 7· tu~_:;'I:j.~:~ .:.)J> t' ... . J 't ~ o, r< ~ ff-'1~ -¡!He . Qpe:raOiJJfh;plJira e.l segUllfUif); ~rr.7 0

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17°0: 50 :: 1240: 36 ~8'j n.o,

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er~,tre tres aS@lIiacl.~sJ,!yc~u~s partes \f¡.l'tf~ sen entre sí como los números 5 , 7 , 8, sU1.11ariamos ~ ~stós. 'n~e'rós" , ,qt,!e producirían 20 , Y despues diriamos « S o r . jU~" : ~". : " : ' J,-:, r 20 : !(SRO' :: S 37S parte del 1,20 : T5'O(J"-:: 7 : 525 parte d~l 2.° ~. '20~":l i .Soij-¡:: 8 : 600 parte del 3'° 1

" .. ~~: ' ~a :eg.l~ ~~,~,o~r~al~, d,iv.iden

en St11plé'>;y ~1

cÓmp'Úe$f.a. la..sunple $!s·la que ~

«~ m~rHr ' T/~rrf!st 89 . h~mm ~~pli@d.@ '- t:!n la q1.H!l PO $~ a.;tien" d~ ~1 ti~nlpo~ y ,{unpúesta e5 ag~l~Uª

en la qL1e se ha.c.~ meri.¡;:ion del tiemp~ de 105 impu~stos J de la que PQ tfatO'PQf no estar-en USQ.

- ' De los números 'quadrados y extracdQ1ti ../ .,de la rah quadra!i.a. Llámase quadrado de un;m'tme- ' que resulta de multiplicar dicho número por sí mismo, 25 es el quadrado de S, porque 5 multiplicado por 5 da 25 ; 49 es el quadr.ado de 7 por la misma razon' ¡ y así los quadra~ dos de los números dígitos. . . I03

ro el

p~oducto

3 4 -S

7 8

· son 1

4 9

16 25 36 49 64 8¡

1°4 Raiz quadrada de un nlimerQ se .llama ªque1 número que multiplicadG por sí Hna vez produce el número propuesto: la raiz quadrada de 36 es el 6, pues 6 multip1ic~do por 6 da. 36 :. la raiz qtaadrada de 64 es 8 por la misma' razon, per<;> la raíz quadrada de 70 es mayor que ' 8 Y menor ql!.e 9, y asídirémos' que es

, .

90 . A1't~ 8 Y un quebrado: este quebrado no se ha podido' hallar hasta ahora sino es por aproximadon, á pesar de los grandes esfuerzos que para conseguirlo han hecho _ los Matemáticos. Todos los números que _no tienen raíz quadrada justa se llaman números in-

comensurabtes. 105 Enterados ya de -10 qve entendemos por quadrado, y raiz quadrada de un. número, nos resta saber el modo de extraer estas raíces, para lo qual sea 1296 el número del qual hemos de extraer su raíz quadrada:- en primer lugar divídirémos ~us guarismos de 2 en 2, Y á su derecha pondrémos una separa- cion con dos rayas, donde se habrá de sentar la raíz como se dexa ver en la operado n:: bien que al dhridir los n(uneros podrá ser que. en la pordon de la izquierda haya_un s\>lo guarismo;. en.. segundo lugar-extraerémos la raíz quadrada de la primera porcion 12 , ó del mayor quadraao. que en números enteros contiene el 12 que es 3 , el quallo_sentarémos-en la sepanicion que hay á la derecha del número propuesto; elevarémos dicha raíz al quadrado, ó lo, que es lo mismo, formarémos el quadrado de ella que será 9 , Y este quadrado 9 1<J res~aré'" Il}QS de la pordon 12 de quien se ha t:~tral-

de medir Tierras. 91 traido la raiz. y nos resultará la resta 3; en tercer lugar baxarémos á la derecha de la .resta 3 la pordon siguiente 9 6 , -wn 10 que tendrémos 396,' de este núme- , 1;0 , separarél~los' 'Con ' una coma el guarismo 6 que está á S1:1 derecha, y la parte 32 que queda á la izquierda la dividirémos por el duplo de la raiz hallada que es-'6, y el qiiociente, que tambien es 6 lo pondrém'o~ re!:! su lugar correspondiente' á la derecha del 3 que halHunos primeramente, con 10 que tendrémos condui.- da 1a opera:cion; y así dirémos que la raiz quadrada del número 1296 es 36.' como se phede comprobar quadrando el 36 para ver si produce el nÚl!ler0 propuesto. o.peracion.

., r

39,6 39

16 .

-6

12 96 - . 0000 ", ~, .106 'Quando el númer9 de q'uien se ha <le ,extraer la raiz no 'es quadrado perfettb., al restar. de 'este número el qua:~llrado qu~ da raiz hallad~ queda siem-. ; M2 pre

. 'Arte.·

9~.

pre ;llgul1a resta " y en este caso se pone esta por numerador de. un quebrado-,.. ClIyo denomh'lador sea el doble. ele la raiz~ hallada a¡¡metltada· dti! una unidad" y di,: cho.,q.u ebrado se agreg.a á -,J¡a¡raiz ha11ada~ ac1are.luoslo. con elsiguiente exemplo. . - Extraigamos la Iaiz" quadliada,. del nán1ero 5217' prác:.tieando con éllas linism.as operaciones de} caso 'antc;rior , ten.., drémos la raiz 72 y la. re,sta 83 ~ el dtl¡ plo. de la· raÍZ; 1-2 .es 144,. Y afradiéndo á esta· cantidad una "midad será. 145,. con esta cantidad y la resta 33- c.Ompondrémas el qud>rado. Ns que. lo, añadi,rémos á.1a raÍZ 72 , con 1o. que tendrémos :72 N~. " y esta dirémos- que es la raiz.qua,or,a.. da: d.el ñúmero 5217, bien qlie aproxi- mada.

S 2I 7 49,

Operacibn-.. •

-{~35 '

3'1 ~

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r -

....... i.

~;;,..I~:!r,

1'07

r 14J. . .a _

' . ..sI~4 _ t

')-..) :

Si el.núm.eró euya· raíz

~e. pi_q~ este: cas~ ·al

.tiene mas de 4 guarismos, en div.idid9~ en ,pqrciones de, d,9S g~Ú¡fj~J},1QS r ......::.. reAleJo.,

....

· de medir' tierras, ~a resultan tnas de·dos de·estas porciones, pe· ro su raiz se ~xtrae' del)i10do que. dexamos explicac!9; con splaJa Qif~renci~ que d,espues deJjiU~ª<5sJos-dos pr.!meros guarIsmos de la raíz, haberlos quacllfado y restado·e1quadrado que prod1.l~en·del número. propuesto, se debe baxal! al'lado de la resta- que resulte ~ágBorciof1:. d~ dos gua- ' rismos que sÍgl1en;' se ha· de-se-~arar la última cifra, y lo que qlJ.ed:e;~Jéll izquierqa: se ha de p3i"j:ir p~t el '<iJppl<;>:,~e la Fa.Íz . q:ue componen lo!t. doS" guar..1S1TIOs. q,ue van hallados 'hasta ento,nces.. En virtud. de 1'0 qual halhiréQ.10s que íá raíz quadracl:a del p.AJne.ro: (}7 89<i4) es 82',3, !~l~. vease la t:':." ....r O0) .( ,.,' ~ 1;.

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164

65 6

672 4

. 2469 1646 65 84

--6773 2 9

108 Quando al extraer la raiz quadrada de un número sobra algo se ha de tener cuidádo : lo primero qve. esta resta sea siempre menor que el duplo de la raiz hallada aumentada de una unidad; quando saliere igual ó mayor que dicha cantidad es señal que la raiz hallada es l11enor de lo que debe ser, y entonces es ~, ,Ij pre-

~5~

de medir "Tierras.

_preciso aunaeIÍtarla de al'gnna .unidad : lo' segundo que al multiplicar la rai;z por Sí misma para comprobar la operacion, ?e debe añadir á este produCto '.la resta si acaso la hubiere. 1

.~.

De los números cubos y exfraccion -de su raíz cúbica., 109 Llámase cubo de- un número 'el producto que resulta de multiplicar di~ cho número por sU quadrado ,ó lo' que viene á ser le mismo de multiplicar un número dos veces por sí mismo . ..Así 8 es el cubo de 2 ; porql1'e! ~ -mu!tipli<:.ach por 2 '-produce 4 ,eY ~ste prCíctúcto "que', es ~ elt quadrado del: 2 'mtütiplicadO' por "e! mIsmo 2 produce 8. Y por. la misma razon es 64 el cubo de 4. Y -así (los cubos -de los llÚm~ras dígit~s. ~' !1 - 2 '

!' ..

8 ,

3 4

zp.,

S' ..•.

. son.

6:.q. , 12 5

216

. . _.. '34~ 5~ 729 l'

, úo '':Raíz "CUbica de' un número s.e llama -aquel número que multipliqado por su quadrado produce el púmero propuesto. La r.aÍz ,cúbica de 34:1 es 7, la de, : .." 72 9 '

Ad~

9q)

60Q es .mayor que -8 y menar:qtae·9, 'Y así dirém9s qlle es 8 y un quebrado ': ·este quebrado no se ha podido hallar hasta .aMt!a sino eS por " . . apro:¡UlUaClOil, . 1¡ ¡ Hechos carg~ de 10 que sea 'CU4 he>. y raiz c·ábica de un número, nos res... ta _explicar corno se halla la raiz cúbica en los números compuestos; para lo qt!al nos~ propondrélUos < sacar la raíz c\.1bica del número 195112; dividas!=! en por~ ciones ó periodos de 3 guarismos cida ·uno lendo de derech..1 .á~zquierda (padrá suceder que la porcion de la izquierda tenga dos guarismos ó tal vez uno so .. 10) " y ~ á su derecha hagase ·una separa~ don donde se escribirá la raiz ; he<i:.ho es- . no 4 extr~i,gase la raiz Gú~ica de la pririle~ ta porclOn.:I.95 ,que sera 5, la que se es,., cribirá en su lugar respectivo: tómese .~el cubo de 5 que será 12 5, Y réstese de 496 , Yta resp 7& esc~~bas~., debaxo UIla taya, y.á la derecha. de esta baxese la otra potdon , 112., con 10 .que teIldrémas 70 1 12 ; . de esta .:Cantidad s.eparense l@s dO!J gua-ri.s~os de la d~r~G'ha, y nos quedará solamente 701 ; tomese ahora el quadr.ado del S que es 25 ; Y multipliqtiese por 3- y tendr,émos 75; dividase e170! por 75, Y tendré mas el qüocien .. te 8 qt1;e.'es ~lJ otro gl!uirislUo' de la_raiz que

. 729

es 9, pero fa, d~

/ /

tle,medir Tierras.

":' 97

que se escribirá á la d.erecha, del 5 , Y dirémos que la raiz' cúbica de 195II2 es 58. Ahora se comprueba la operacion cubando el 58 para yer ~i sale el número¡ de quien se extraxo; porque si sale mayor, es señal que.fa raiz ' se ha tomado mayor que lo que debe 'ser, y es preciso en este caso' quitarle algu~ unidad; pero si sale menor; siempre-que la : diferencia que resulta despues de traber hecho la resta sea igual ó mayor-que 3 veces el 'quadrado de la raíz hallada" mas tres veces la raíz; mas una ln;tidad es se, ñaL9.Ue la raíz es pequeña, y es preciso aña.~lr~e alguna unidad. ,,

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: Opt~

, ) Operado».

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~9S 1r¡2 I 58 '. S 12 5 S

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~tr¡pIo del'luadra< -S8 / J :"dd d'e S ,'" 'f,:, 58 :

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Cubo de 58 ...... 195112 ~

112 Quando el número de quien se extrae la raiz no es un cubo perfecto hay siempre alguna resta, y en este.caso tá la raiz hallada se le añade un quebrado' cuyo numerador sea la resta, y el denominador el quadrado de la raiz hallada too,' .. ' ) W ma-

- ..

_r'

de medir Tierras.

<"'9.0

mado 3 veces , .ma~ la simple raiz tomada otras' 3 veceS', nlás 'lln'a unidad que se añade. Como si ¡qúisi~amos extraer la , raiz cúbica de 39898",·Iiiechas todas las operaciones del exrunpló.anterior sale la raiz 34 en números, e!l!eros , Y la resta 594, que nos da á ~QnQ,G~. 9...lIe s:i núm~ r0 propuesto no es .cubo.perfecto , y -que . á la raiz 34 hay pr~clsi~!l de a~~dir-le_ alguna corta cántidad ; 'para ver qual sea qlladremos el 34 y tendrémos I:I 5 6, multiplique~q~ e~ra-"cantidad por 3 y nqs re- sultará él prooudó 3468; añadamoJ<Íoesta cantidad 102 , que es el triplo dp 34, Y ademas una unidad y todo ell~ sumará 3571, con esta cantidad y lª,IS(sta 594 formémos el siguiente 'l1.1ebrado, -N-tr, y esta es la parte que' se ha de 'añadir á 3+ Y así dii"émos ql1~ ·¡a raiz CÚ9i. ca de 39898 es 34 ·U¡8x• ..:

_-- .......

Ope-

' Arte ' . Operacion.

100 r r,

39;898 \ 34-mr

27 , _ 128,98' ~ubo de 3'4 ":'893°4

Rest-a....... :....... 00S94 128 127 triplo del qua·· drado de 3

-;¡-

27. cubo de 3 34 34 13 6 102

IIS6 34 ,4 62 4

.3468 ¡ \

:i,;

.. •

'393°4 cubo de 34.

1'0! /

DE LA GEOMETRIA.

•

· DIFINICIONES.

<'i

1 13 Geometría es la ciencia de la ext-ension. L.a exteilsion en longitud ' se llama

línea.

, La extension en longitud y latitud ·se Hama superficie. \ . . ' " y la extension en longitud, latitu4 y profundad ó grueso, se llama.c'ut'rpQ

o' sólido.

.' .

La' línea' se divide en recta y cur'Va. • La línea recta es el mas corto camillo FIGURA de un 'punto á otro, aunque algunos la l. difinen tambien, dicien~o que es la que tiene todos S1JS puntos en una misma di.reccion. ' y línea -curva es aquella que no tk- FIÓ, 2, ne todos sus puntos en una· misma di:reCClOn. Línea perpendicular es 'aqueUa qUj;! FlG. 3ca,e s0bre otra recta sin ladearse á un la·90 mas que á otro. ' .-

, ,.

. ,'

La-línea perpendicular es la mas corta de todas las que sejJueden tirar desde 7!n pU1'lto á una ,recta.. , . Sobre un punto tomadó. e1} una rec.:,,: "-

FI'!. FlG.

H>2 Arte ta no se pued~ le'Vantar mas de U1M perpendiéular-.. _ .:. J. '-- - ' 4. Línea obliqua es la que cae sobre otra incliná.ií.dóse, mas -á un. ladó' qll é':" á otro. 5· Líneas 'paralelas S011 aquellas que

conservan una misma distancia- en toda su longitud..~ .": '. , .. . ¡

Las perpendiculares. entre dos'par'ale. .. las 1!¡iiden su"distancia J y ásí han de ser iguales. '. FIG. 6.

_Una l41ea Cll,rva que tiene todos sus

puntos á igual distanda de un punto fi. .jOí'C Jlamado centró, se llam<l; circunfe'rencia. t

fT t

~ 114 La superficie- plana que comprehende la circunferencia se llama círculo. U na recta- como A B q~le pasa por .el centro se lláma diámetro. . r' ~ . Una pordon,M. O N de la dí'cunfe.:. ..venda se"Uartiá- ar,co; y la línea M N que junta los extremos del arco se lláma J

... ....

cuerda ó subtensa.. .

.' .-.

- .Las rectas iguales A ,: D' , E que v~n del .centr? á la circunferencia s,e llaman 'radzas. · ",

Todos los diámetros de un círculo ~son iguales,y cada úno se compone de dos rae dios. Una recta cOtilO S A X, ó E Z que encuentra al círculo en un sola punto 'se !tanta tangente.,

Han

(

de medir 'Tierras.

l'(!»3"

(, H tl1'l . c.on/venido JJJ.~, ge~metrf!;S fJ!l -ctii',

rviditi. lCl< .cinqu1Jj-ere.nqia,de,un ,oír¡uIQr.. Jea. gr.muJ.e. ,;C!'.pequeñ(f) ,en. ,'36p' partes 'igu~k~: qu.e 'llaman grados; J' caqa grado lo dl'V:den en 60 partes iguales que llaman rJ1.Z- _ nutas~, . y JcraaaJil'Ja de,t'sta-s. :en.'otra'S 60 .. . tJl"-"

que llaman s¡g1J.ndos;.·· . , ]:".J r ,h/( <f'"A&í pa,d""to,mar:., un flrco dt,,20 gra- ' dos, -;;SLdirvide la , ci1rc1l-1f{erencia en. 360. J'

pa1Jiesdguales:,'] se t@man .2f3 dé

e:~tas: '

".liS _lfotguln.re,ctiliveQ".es,,la-¡abe.rturá FIG. 7. de¡j ~f')!i ? l..íneasa:€ct.aslli¡ A "r~'~' ' ,Ad G 'qttd ~ \J. <wJkHnreruérr,un Pllnt<p) :A' Hatllado~r#--!. Ge·~,F#,ámtghlQ:.":!,J = "',' .; "" ¡¡ ,', i _~'~J, ,-¡,:_ Las~neas 'B , A,) A~ se)laínanJa'!. ,l

dos del angula. ' .c ," .. . ( T odQ .an.gildo se neñal<L~pn.1resc1et.ras ;.. 'V"dQSf.® ¡11!lS Pl.1e.Stas QJlDar~ ~RJ el (yertk'e ~ 7 J ' e~tu:emos dti ·s.usi1ade>s~ pero;:al¡ fl'~oibrarl , se-'61 ~ng;..l,k>.J;se . ~i'€ne' c~idado, (te 0 ho¿n::' J

br.ar en se.gpndo'Jugar 14 1etra,dcü vertice, Y- :así:.e1angulo imsipuado lo.nombr.a~mds, clU:¡iendc~ ! el

'ángulo, JitA ~ }~ <i ~l

~nt"mriaJCr '.El.: ...A r B t 'Ul •" '¡n, ~ _ ~<-U

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(J', 1.,_ ,

-i.,J'I!.Ú,,!J~ rJÍngqlQ.'l'e.c..,t:ilitleo·) se -lJ.'id<Í _ ~pplC,Eb:nÚ?1Jicerc9 Ci~I.:' grad<ilS', qq~ .compTe~

trazado desde- su .1eJike:.c0p:.qlla~quiera ab~rtura de'comp.as. ~l ~l §l-elallCfl '1W'n.,tn~ne 4 q graaos,

, hende un arCO. 1n

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~lc.ángulQ;uI:emtm>:tírQsJltanto.s. ,,1;

1;1

':,.,f,

.lLyr::·:Ehángiuloilie.,1 dimc'en'J1ernq ;..ob,~

164

, 'Arte. .,\

tÍlso y agudo,). ángulo .recto~ es . éCque

f(i)1iman: dos lineas 'q ue' son perpendicu-' lares una'á otra, tales son los ánr;ulos D , CA, Y DCB que ~a perpen.dicula~ D , C forma con la .AB. ; FlG, 8. (. } Ang1ulo .obtuso es aquel que es ma·: yor que el recto como EG~ ~ . . "... , . y ángulo agudo es aquel qu~ €smenor~ que el recto; tales son 10s ángulos) GCA, y ECB ; y así quando, una .lie'C" ta encuentra con otra.., si es perpendicular á ella fOQna dos.ángulos rectos é igua!" les;\pel'GLsi'es·'obliqua,.fprma dos .áhgul(j)s' desiguales uno agudo y otro obl1uso , pe., fO]OS. dos; juntos vai~n tanto-, como 'dos rectos. .' \ .: IIE ·" Lueg:o~Isi ·en :.un circulo se' tiran dds :~iámerrost (;fig~ -6) )AB; Y: OR.peri pendlCu.fares. en.¡ re SI, • resultan . .quatro\ ángulos iguales y Irectos, que -cada iunO! vale 90 grados; . pues tiene por medida; la quarta parte de la circunferencia: ~.ue SOlll90.gr.ados. Y ~ así una 'vez ,que .e~ .an... gulo recto vale 90 grados, eL~oDtluSG y.al~ ará: mas de 90 ~rados ', y :el.'agudrlir:val. dr~menos~ y todels los ángu}os .reótf.>s.&ef' r.án por precision iguates. '.' ' r. .., ~ . . 119 Por la misma rl!ZOll_dirémaslI.ue si ;.Un~_ recta ·ql.la1quiera.Ee i(.fig. 8:) .eat cuentra conotia -AB.f<.uma 'dos .ángulos'; que juntos valérr.á-1edia _oircilIif~relIpia.

de medir' "Tz'erras.

I-~S

Uri ¡espacio cerrado 6 terfi'lina~ F¡a, 9do , por, t(9d~s" partes~) por una Ó ml.l~has lineas,:6e Jlaina:yí'gura. " ,;.:'. 1 " , ~., . ( Quando la ' figura -C.'stá rerm,iriacla pov tina sola línea ,curva., si .esta tiene tbdoS! SlitS puntos á igual' distanéia 9,el ·c entro te-; ,Remos ..,cl .círculo (IIZ!). ' ; ','. 'l\ lUna pordon ;C0ll110 - r,A~NiB 'Com... _ .' preheneHda eIitre .utl \piámetfO' N+vI ~ Y '(" r J la ll1itad de-la ck¿unfel1enda se llama. se. i r ~ () l 120 .

., 1 mZctrcu o. . . ~ < • Una 'por.cion J A~n se llama seg-~ mento, y la p~rte ACB comp~~henrli.. J

{

d.a .€ ntre lós rádlos 'l'~rd arco correspondiertte ,es .un seetor ~de>drcuda,' ( •. J r" .') -: 121 QiIando la línéa est~Lterminac!a)'FLG.l a. por luna 'líne.a aurya, y los:dos diámetros, AH, DE tirados.' por su. centro son des ...

igualés·, lá ~gúra se ll~.úia .O'1JaZo .ó elipse. 'r

_ 1~2'2 Una figura ' t!erm1náda pür tr€SlFIG. n , líneás:recta$ se llama t~iáng~tv! . ',( 1 12, 1 le, El triángllw se considena'pot'raZQllJ14· / de 'Sus lados. ó de -su~ ángulcs; pm: razoá de StlS laa"%é;' se llama: 4rfl/:!-ilriter.o Jq!1andC\ tiep'é lsUS! t2ies_,lados igl!lales 01igUF~ -:I!l9 ~ isosceles quando solo ,tiene~o) hld<?s.ig~~ les' (figura 'i'2 ) 'j' y ,escaleno.qUallldO f redos sus lados son. desiguales (figuras 13' Y '1 4~;' . El Jado inferior AC de un triangulá s~ llama' basqIJ gr' una perp'endidl!\ar c~ !n@

BD, oaxada á la base .~desde

:~cl

Ja6

\l ;::

l . '.

', Arte',

cfrig:ulo "opuesto '.!S€. llama .altura. ' . 1.23 l Por r:azon de los ",álí.lg:tdos -se di~ vide el-triángulo en\\''l'e-qángukJ, qu'e 'es el qué. trem' oh' ángulo,llecto {figura i3), ,en Qbtusángul'o que es el que tiene 'un ángulo obtuso.. (figura I.L¡), y::en- a'Cutáng.u~ gulo que es , el q~e t~ene ~Us.~tl¡es ,ángu:.. 10s:«rgllaÓs.E1ii311rQS~rr.JlJ, U.2 ). ¡(

"í

f,. '- \

F 1 G. 1 5, " ~ 24 ~ I Idámasci!quadrilátl?1'ol únal !figura 16, 17, terminada ..pOI: quairD.. lirieasfreatas. ,', ~_ 18, 19, Una recta AD, que va desde un án"

1 d 1 " dril~ , ~ su opuesto, . gJ.p.o e q:ua · atero.a se 11amadiág(j)rzal.:l i . "... :~ - . t>~Zllalld~lo.s. ~:I!1~01adosde un -~t~a:. , dnlatero SJ211L,p:rrale1os cada , .un:o~·.a .su '" .- ,'-: opuesto, . toma 'el i¡}oinbre dé. pa1!al~ló g1'amo (fig~l'a ' I'5" ~6, .1:7, rIJ~}~:' b!en ~.u.eJ es.to5xtIerremrsus,Dombr.€Sl'pa.r..¡;k:ula - -< res'¿rl¡é,.quaarad:o! ~-figll~ 11) ,j 'ljuadr..iiongo .11 ::., q Q_J ~eli'~%JL.l«4figlltan6J,- rJ)fnWo (íi.gíJr,a .:1 : t: 17) y romoo,yde'(figul'a.' 1 8) 'ppero;' si ~e-l . quadritáteoo,;'solo tiene dos lados parale198, c.ada unID:á su 'opuesto se llama fraJleJjiQ. Qpgll!lrá \r9Y~~ y: rrquandü- n)ngllllil! ~, <tl6 res paral-eJ,ceálDlll1.O t'€ntOlílCieS se!zllama tr~Zíafftda. (digur<1li .'20);2 ' , ).. ': " ",,:¡

20.

;; ,1

•

En ·-, 1C)s.. qluatel<5g,apm5 ~ y .:trapecios

'le llatn@- · has.e. ,~1l.;ladQ i,llfeI.ooJi wÍ11o ~A; B ;, r 'UÍla perp.end.kuJair. <!:omo. C! E ,tira da..; ~~áIbasej ~sde el.lad~ opuesro..seJllá;' iBa olt:r/;to.. ~z!:d l~l 1; !'<.l "-Lv.. e ~ . ! l.

• :¡.:

•

.T0-

de 11udif·Tierras..

Í07

i 2 ~ ', T odar figura tenninad~üpor, ~mas F1(~ . 2 V

de -quatro ,Jíii<iasl 1"€Gtas' se ll!ama. -F0¡fgo~ nO ~J b.i~L·que i e1t. pIDiÍgODQ', se ciivide'-eri

23.

Fmtágo1:IfJ.. 'exagona ,Jreptágeno :'(Jct6gonf~ &c., segun tiene 5 , 6 , 7 , 8 " '&le. lados, la:.figui a: 2,¡ es un 'per,itá-gonp" y. la..figura ". l'i " . ,2--2¡ UD exagono... ,.' J'i";>" I! ~ kl;·, . ¡ .Quamda,el polígono tieáel igual€So'sus . Jados, )Y;Jsu~'ángul!i)s'; ;se di:o€fque res meg.~

:lar : perolei J ~e/ faltÍl alguna 'ld~ <estas cir~ .cllnstancias' ¡eñ·t@Jl~es eS! irr.egulati. l _ ¡j ·:r.-illn el polígQl!l'd rtgruLan CdiguraL2JI; . ..~."\{~ 22)' la .t:eetlaí t{::Al sa llama mriirJ lJbl1qU!Ql y la CB.1fJZdi-o '1!e.ét(}'.. x~ t '. :."iBlí ~t: b.H."'; .J 5h . <~'.ii~, f¡-f-r2sma~'i>lam!DtoHoraq1:tca só- FIG. Z4' lido , '. c!-1-yaa; baSes,.Qpn~tras l.M~ y. Nil:so.ll dos superficies rectilitáeasrdelcjuales<i1i1Íe~ ra~gur.alig~áIe8 yl pa;ra}~l'a~~ L-!- ')N • .2 .::él -,¡}ll Qu~qUl~r.3! JIfipecilhcqlar 11J:WaGG(fles:o. de t!tÍUnhas.b á!.su¿pptItJSl!a[ , q 'áumephrlbwt gacci.<1.n[ cLeres'ta~ 'lI~ Hawm:aIJJ.coaUúrarda]¡ lPttru ma'; iJlBtoda aqtima l'e2"a d§rlcleJi€Ol1CUt;:i rerit-.O:os: Bl!Jlliér-~~liakesq~:t;seruam'a arista ó esquina. ' S¡:~ o en '; -;r~m~ i.d!}nfS(ÓliooJ~ítill~nfe:át¡umHozo FIG. 2). 9:e,~cC):1¡¡1:J:1llÍa'~':)I .cny:ás h-as:es::b puBSt:lSJS()1:1; . ~?~drQulos ~tllalé.slr Jpara-~ciqscsé l1~ml~

ctlzndro :.eL almdiro-fe pod:€limiJs G;)lil'Sl~~ rar':'Qomb mi plfisJ1iI3;.cuy,ªs bhses1:sollJ dos cfrcuJID&.:m;i¡ tl~ ~ ';? -'J!f; r~ ¡ (>...:1.S· ':. H:)

1r,nUa<DJ¡t~ do.mO(m:.'ft~tiN. r-. ftrUtJ>~ .· . I,: 02 cen"

.<, :" ' \Arte

108 1r

centro.s ~ dci las . bases, .seJla1'l1a. exe ~el ci"

lindro., Ni ,fu 'll#V/$''a' del' cilindúl les .t,am", , bien' ~ria perpendiéular , ba~ada . desde una,'hase ., á,Sl?-' 01?liIesta, Ó .á la }\'>m19uga. ,don de . esta,.~ •d ' , ' ..,,~ FIG. 26.J.,-. 1:;28, r ~<t .pi1iéfmide ~ es un sólido: cuya base es lUla superficie quarqui~ra ." yJsus ilarasJ ¡gog; ttÍáú;snlGl.s. qne 1t?,d()~ 00!1C~r~ reR' enllllUpl:!'nto :lJ.amado..;.cus1'lde, Q "fV¡;'r. .. tice de-la pj;rámi~e-,: .Eero' quando la hase de la pirá'l'l1lide" es' :un .o1ncuI0 " ""toma el FIG,,27¡ ' llo.mbr,€; ~de i CiJ)'JÚJi,. 'y¡. en;cest(n aaso ,ia:rec" ' , ra'~ ~~N tUl:á'cla rle5de el dIDspicl.e'.al L;;er{nro de la base se llama exe:rdehc.0'lJO h) ..1 v ~.: , ~ s

.~~ .00'1 -(n ASÍf.encé"lroanoIcOmO ten,la pirámide: " sU)~ltl1ia~e.s.illl}aiépel'pJmdicl1ilaI. ,hada ,deS.

'de ."a~ la .was~~·~' k '" i,.J,.,I:Jq' j :.¿' , ,¡; (..'1:..1. , 129 a ef/,er...af.es;t¡l n~ 86> wE! i. 1feJl1~rnM deí:pebruim ~peÍ'ii:cier~'ir~'1i ~~u~ tie.:n~úk!ldqs:Aus puntos; ía:-,;,.tgoaE~ drstdm!laJ clb ..J, ~

~ ¡e!DC:l.l&pl

8 F' JG. Z;

L~ '

.1.

UÍli1?úrritO.¡'ÚX<Q;lcsJl~6;r~rtI:tPrJ ;t,la5Jre~ tass:.<i:mtl{))G{d~ (i}&.~ lillM¡¡se Ualll<l{1 ; ~U:H

', '( t

.diD.d He?la; esfupt~;LflQR:se¡ll¡una.dMmf-i' tro Ó ~xe.." ' .r~i~ .. ,.//:·LO !;,!Ü,,~ .D1'[ cs oUl11uín'tnlo~~mbpaS'aHiilir el,:;cren" troedel1alJ esfera.w llapla ufr(u1'() 'máxím~ FtU'olsino,.pasa Po§ ·~1 , cénll!f9 ,clrimltlPOPi

entoll«e.s ¡s.e:±lam.a¡cihrnloime.n.&~, : <:"

, \ :,~\,~

201) ELt:ÍEculó 2~JnGl2&'Y.irla ua1t!sfer.a en dos 'partes,iguales que se llalnm'em'ih pifosso.. :¡/miej.y-trC(¡S¡;oy.reli aímli~11Ühor ~ n~ ~O b

de metlh. ~Tierras. 109 la'. di~L~de en dós F'aFtes- d~s¡guale.s, que U!n.}l. S€JUaII1Q' .gegm,mt&':mayol'.,, Y" la·. otra segmento~ menor.. ' ,:

1.3°,. Un s6Hdc(ACB' , parecido áFlG.29_ un eono, cuyo vert1.Cé e sea el centro de . la; esfera ': y.su base· ~B 'la sllperfiCie de

up segmento . esfé~ic().., . s.e.llama s_ectór de~' eSfera:. -. '. . . 131' Uhsó}ídÜ' semejante á· un J)ue-, FlG; 30. vó Como· AMEN, ó á una· cebolla <:::0'mo -PRQS, se llama elip~o¡-de Ó - esferol. ':". r.: ¡Jc.;~ El pti.mero.se llama e~fer(jide p1:olo~ _ g--ado. " y.' el' segtínd{) e~ferúide' apJanttdo_~) , .,.En· el1 'esferGide ,J fiea · 'proldlig-ádó c.i aplanado , ,si~m2re: l~ay. ,~9,.s exes que se cortan en angulos .~GtosJ,Amo mayor.yl otro !l1enO~, ~! mayor es ,AB,;;."ó -PQ, y (thnenor·,M N o R5., " . ... ',- 1 í .¡

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QUESTIÓNES GEOMETRICAS~"~ "'r)'" -~.... ' .. _ O~~'''r~r~'r ~~ ~'};'" rt ( ':-,.L Qüútión' .pr~inerw. >" ~¡J _)- '; t _a¡i(.t:;

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. ' r'~2~'.'rrYadauna frectJa-AB 'lé'Va-ntar~ ' ::J "

~-una jfi'}endic-Ular d'p'tluato D. . ',,': 01' :<B@rp lúri- , raai€).I~~]jir{'ario ( 'Haciel'lddFm.

centre. €'n éJ;) ·señálense SOBre

la recta· A:: 13, Y á' igual distándia de -éLdest -punteS: m y 11., Y desde estos puntos con otra abertura de compás .mayc)f¡ qp.e la primera l. señalense dos ar~os que S(;\.,corten en ·~'"~'9 C;

3 l.

4rle ,

II0

C;, por este PlJnt0 y ~l pqnto D 'tírese-la tecta CD , 'y ssta es]1~· perp~.f,I.Q.jwlar qU.e se pide. ' , ,l

-, . ~ .-'

Qüestion' 1 I.

.í~r

....... ,

133 Di;Vidir una '(e6ft!, AB en dos. partes" iguale,s . co1~ 1;[:11:4 p~rp.e'l1diG..1J¿lar. ~

Con una abertura de compás, a:r~i~ haria ., pe"rq mayor' qu~ la mitad de AB, haciendo centro en lqs puntos extreÍnosF'IG. 32. A Y B, tracense unos arcos de círculo, que se corten 'en. los,,pJ;ll).tos C y P ; .p.or. estGs pU!1tos tirese·{a l'~.ci:ª CD.:..q ue curn¡. ~le C911 la~ cQndkiQn.es g.e)a~qijest¡Qn. ....

Qüestiflft 11l. t

. 1 . . ..

..:,.

r, f ,

FlG'33 • . 134

Desde Unpt{l1fQ e,juefa.de ;una recta AB , ba.r:ár á ella una perpendiculaf' : - ~ -;' '-;:-'. 'f ...t- . .... ,~

'""' .,' l

•

':" " C

__..........;

Desde el punto dado con una abertura de co~ás tracese u,n arco mIZ que corte l~ recta A B en los puntos m y n; desde- ~~o~ p~~t.osJ_c-0~ ·~tr:rab~tur~rma yor q!1'e h .1p~ta'9, 'iIe- ~a ~§!'"ta, 1'ñ n traóen.;. se dos afCO~ qlJl.e·: s~ s::ortelJ.· elfl tm ,pUnto D; tin~se la r€ct~ GD, y esta será la,per·;.. pendic.u lai q!le ,s~ p:hl~.

de medir Tierras. Qüe.st'iOn'

II 1

IV:

~~ ~ 5'\ . Le~ant~zr 'Ün~ perfe11dicular á FlG . 34· 'una -recta AB eri uno de sus extremos B . . {Desde el punto B · con ' u,n a abertura' d~ compás qUaiPq~'iÍera l pero que sea ¡ieq(jeñlá-;tOlnenS'e. las Gi'flco Rades .iguales.]hn,,:. m ñ ,·rt-p;-&C;COB tina ·ab.ertu:-' fa '-de compas riguál á Br .naéiqndo· centro·en €il punto q trac€se uJ:? arco ,; y cohotí'..o .radiQ igl:1al á Bp descle el punto B traces e otro arco qU€ 'corte €l prÍIpéro eH tm pun~o CJ,t!res~ .1á . ~B, Y ~sta es la perpendlclJar 'lue 'se'1 nde. ,; . . '

)

Q't'iesfioñ V. .

....

': i-3l~ \ Dado ?:t!n 4ngulo.B;A· C, cons- FIG. 3). t'tttir J9 tfó'QU? .!f8i seá il.u,afr. .. .- ."; ., . - ! . "Ylfeseul\la f~é.fá: mdéfinld.~ etc, y ha-. ~iendo centrc! €IÍ' los puntos A y .a~ con

un radió afbitratio tracense los· afC0S- m' n. y r S-; (c0i1vÍli.-~i8~tia mn 1émH('}-Fadio;, haciendG centro en s tracese un arco t o In punto r, tir. .e~~ la r~cta .a r , y result~rá .~l ángulo bac.lgllal á BAC.' ' . ' ( i . , .\~ '\"~ \...:~ .~ <] ue cortará:a.1\ 1>]{m16f5. el1 .

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Arte

IV,

Qüe.Sti{tNi. V~: ,

::fra. J6. ·· 13'7 Por un punto D :tirar una tn!C" fa De que sea paralela á otra r.ecia .AB•.~ Por el puntQ D drense dQS rectas· D q~le corten la AB~n lQS p.ulil~ tos F y H;. desde el pJ;l.ntQ F .con'un ra, dio igual .á DH -tracese un. arco -on., i desde el punto D eón \1olÍl ,radio ¡gual .á HF., .tracese otro arco pq que cortará al . primero en C; tírese la recta CD ~ 'y .eS ta es paralela. ~lla j\K r

ti" DF

•

.Qüestion VIL ,.

Fra. 31.

138 Sobre .una rectá AB construir un triángulo equilátero.. . '

•?'2. -

Con' t.).n radio ~gual ,á la ,AB desde el punto A traces.e un arco., y 'C()fl el mis. ' IDa ra9,io desde el punto B .tr;¡cese otr.(} q.ue cortará e1 .prim~fQ en .un punto Ci tir.~nse las rectas CA y CB, y qúeda constru.idQ~el ~tl'~ng~]p equil~~ero .AGB.• ~

W ~. !.

FIG.

r I

Qji.estion IV III.

3S. •.139 .Dados los tres

t •

lp.dos...de. 1I.n~,trián~.

gulo ABe constr.uir otro igual á ¡J. -' . Tracese una recta ac igua'! AC ,S

, con un radio igual .AB haciendo centro .~

.... -\ e ',./

xl3.-

de medir Ti.erras.

en a tracese un ~rco '; y con otro radto iguai á Be de~de ~l púnll!) J¡ traces e otro an;o que corte al primero en un punto b,. tir(!nse fas ,J,'eJCtas < ba .,~ bc-; y teúQl·élllQ.sTel túángulo abé,igual ABe. ' . '. r

J ( ' , . tI!

Qiiestian LX

., '1 .•

t :

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J.!:;

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en. u.n -trláJigt.tlo ,~B'). C . el lado AC , j.' los ángulos e'n fA J Q~ 1 C(}'fls-truir 'otro triángulo igual á. él. t - Tracese u~ rect,a ac ~gual á 4C" hagas.e-el . ángulo eq.a igual al ángulQ en ; A (l'36) ., y: el angti~§) ~en e igual aL :áhgu- ) 10 en e, j ( la·s.rectas.'ab 'yJcb~ q;ue :' ler,... _ minan .estos ángulos. terminarán el trián-.: > gulo a b c iguai al otro. ' 1;40

. CQnocier.tJlQ

Qüestion X. :1~ I.. °1._ . ~í,¡.~ .I.-.~ Hallar el centro tle .....-':

tf/f. círculo A B ·,DI ' -. i - ' . . ' - '" ' i .. Tómense en su.circunferenciaJQs tres'FlG. 39. puñtos A, B , D , Y tiren se las' .cuerdas": A.B~t y. '.Bp,; . Cl.iVidase" dtdfci 1!1lla4eiejlas .Of. ~r ( , e.n d?s paitesrigu~les- (.:J'33)~on ilás.1)ell'·{ pendJcularesMN"', íPGJ;, Y~. el ~p)Up1i.(!) l ~G.;. donde estas se encuentran e.s el centl:.@.· ' 141

. r

,y~) A!: I_ ,'"

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. ,142

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Q1;1estion. XI. ~,b : >El. ~~~

•

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J. ><'

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D euto ,Un' "eírculo cuyodiámetr& pies de.teríninar su circunfer..én-

La razon que" tiene el" diámetro de un círculo con su éircunferencÍa segun tfrquiinedes, 'es la de 7 á '22. Luego: pará \halla\r la circunferencia: pedida, forruarém~s , una regla de 3 diciendo: si 7 d.an 22, 21 quanto darán: mUltiplicando. 22 por 2 :1 sal~' el prodm:Jo 4~z que' divi5iiddi-pof'1 da ,~l qüoC'iemt:e ·66'.pf$!S; y esta eS"la: cÍrcun'Íerel'I cÍa pedict,a; si dada la:drcunferencÍa se pidiese el diámetro, se invertirá la proporcÍQl1 didendb: 22 es á 7, como la circunferencÍa al diámetro. .-."'. ' ;.'. ~ _... c~.

Qüestion X' ÍI. ' .. .....' 143 Di"Vidir una recta A B eñ·'1uan. tas partes iguates se quiera, por;exemplo .

en . )cinvo. ~. ~ ~~ t ~ 'l ::Firese 'la indefinidi MN ,ti desde el punto ,.J:~U" r,tom~nse~ con un compás las -cinco partes iguales ,N o, o}:>, pq &c:, ~obr.e. :SN tracese el triángulo equílátero c;.SN (138), Y á los puntos de division tirense ~as rectas Cr, Cq, Cp &c.; ton un radio igual á la AB desde el punto J

41..

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FIG.40' ?

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di mcdir'Tierfas.

Qbqcese (.;un:~ a:rto -iI?OB ~; Yj tire.se,la .rt!C'{ ta DE que será igual á.;b .,;i\tBlL1'iqaOOCl! dividida en las partes iguales que se pi:: , . den en los pt.Ültos tu.;' &¿~ () -,', 1, ',. '. ';',,\

tQiiúti01t. XIJL r-

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n~'i"'''';~~_

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á'44J ::, Dáda /una:.> recta,. AB."co.nit'ruir

, ~¡

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un ,quadradb.l! " - ,~" r , ~=.:! ,,:, ' Z ' ;~, En uno.' de sus ,extremos A levant€se.tErQ, 4f., la perpepd,iéular ~ AC. igual á la ABi' ( 135); cQÍl una'abe¡;tura (le 'cómpás igual á ' esta.' r.ect3Jiclr~s<fe "los ípunt:0s 'G-y B tr~t~ .:i 't ~ Gense ,.:;\U.(iJS .arcps:que' se, corten €nJr~; ,tI-'!" vense .las '·rect.as CD ' y ' DE, Y qmeda cogs.trurclo- el ·quaaradQ. ¡ ' " - . ' . ' ,. ,,~ l'

Qüe..~t~on ~ ,l. .

I.v;.

~ ~t.., .. 't..

•

~ ~ "'_"' ,~' . .i!j

I _

14S Trazar un pentágono regúlar en un.:círcúl.ó~ . '. , . ' ~ \~ -" ~- ... ,. ;;- _. . , T-irerue" los ' diámétios AB y. ,EDJ'~~. 42 • . que se corten en ángulos' rectos, J<xliv.h. , clase . (i}D-:por:znt.JiO"e.q ,cl p'IlH11td JE,1vHesde .este. pUÍítq.q:on, d iniel'y:alo Afi~::t'.ra;.¡. ~es-e! e·b 2~ltdGf/A.t0M:JH y ~ .slu'f((:uerdaaA~ ,s€- ajustará'-'dnc~~:eces:e.n:la drtunferen-' cia "cotl) lo~ qu-e\ queda!,á trÍlzado el [pen~ ttágono,.ycsi~adi unQ~ de ;fonwws t:or.re-s:: pondientes.;á':h1$>cuerd4s AG; :ADf, &t<é. ¡l~ Q.iy¡dimos~el! rdos' palr't;,.es~iigpal:eST s ,y~~il·a}.\ ~:

, P.2

mos

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..Ar# ,.

m0S :iec~as !; 1;.enorémo&ír.azado ~un~ p~li!' g.onol:d~~ 10UáQo..s. '.: l~; <;. 2 '.• JI' ~:i U f'~ 1 • ~ ~ ¡ . .t ')' '-'IJ{, ?:...f ,.;. ..1 ;. ¡.': t fl:) t;bi n'1.!1l .Jo

Qiiestion>Xv. , . 1 p;;

-146 DeWtto¡(fé un-'aírcu]o trazar un exágono regular. ' . ' , FIG. 43' '\ • r<cimeS~ ··,'eh-tadiori\Ao.\ de1i ci~cp10, y este se ajustará 6 veces en.la .circurlfe-,· •• t. ,' renda'. ,' y' tirando las" :rectas .AB ,: ~C ~c., que.dará tr,azado el exageno. '. Si se ! tir.anilas cuerdas IAC , C!Ji: ., ~ Y~ ¡,

AE, ,lepdrémos

.un. triángillo , equiláte) ro :. J lsi.'djyidimos<en dos pm;tes: iguales lds arcos AB., Bf2 '&c.;)' ~ 'tira:rnbs las.: rectas' correspondientes, nos l'eSU\ltará,una figura de 12 lados. '. , : ~ ~:: ':'\ '-d'~ü

Qüef~ion

~ • • " • . l'

FIG.44.

XVI. .~

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":,\l"~'

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Medir un triángulo .ABe, .cu-; Jcl':.bas.e &<le es de' iii¡ies , r- -¡dt~ il.ltura . I47

BD_á( t18 : )~ . tr ;'!'j' '. ~.) í •. ,_'r ~.j ~, ' (. ; ¡Méai1)'~ ~lJ1Iil~ JmperñcieI es [vqr( €fiIan~s) veces'tén e11a1leabe ólir~BU-pe1ifiai~ mem<:>fJ qúe' se'h.a '.tom.ad.~ po~ú1l1tidad;;; esta un1:v da~ és¡arbihiaria., y. ,aSJ!oo)uflQS casos;J se ~ , . toma leJ , €stadal 'quadracl0" enI otros, 'lID bJ¿

v:m.l,':)}f..ep <otrp.5 d pj~¡,rta (qu@.s~iQnt ;pjt.o-j

:pÍl~ftt~ ,n.áni~sta qll.le .en. este1casoJámri",~

claúif-es- ~l p.ie ~ Iyt]así 'par~ ouinp..ljlé ·,.on~l1-á~ t' ,'!:

mul-

·,de medir' Tierras. lIt .la ,altura 1.8 por 7 mitad de .1<r base ',. 'y el' producto 126 .5Gn los pies ,sllperficiaJ.es ;qub :contieJie)el triálÍgulo. T amhieL1 se puede''tned,ir ·. m1!l1tipli-. nlurripliqu~se

cando la mitad de la altura por la base; y toda la altura por la bas~, y tomar la mit~~ de estt';. producto. . r.

Q'l'iestion XVIL . 148 Medir un llaralelogramo ABc-'FIG.45. D que tiene 20 pies de altura)' 16 de base. .

.Multipliquense 105"20 ¡>-ies de alrura por 19s 16 de la base, y el prodHcto 32cY son los pies quadrados s~pef;ficiales ql1e tiene. .. ~. • l. Si , el paralelogramo, por medir fue~e un qlladrado, como en este la base y altura son iguales, basta muhiplicar ella...: do por sí mismo •. ' : . o

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Qüestion' XVÍII.

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f.-.~

Medir ;un -tr-npecio,;ABCD "cu~FIG. 46. ya base menor 'AB' tiene 13Q EJes ,. ~a' ma~ yor PC5opiés,y la altura'BB24pies'J Sllmense 305 ,y 15(1)+ que S(ID. los ' pi~~ . 1,,149

que tienen las bases, y la mitad de esta suma gue es 40 .pie.s multiplíquese por la alturé\.24 ' Y el producto 960 son los pies -~••• ~ --"

SLL-

liS Arte superficiales que tiene el trapecio. 'Esft! es . la figura qu,e, con , mas freqiiencia tie" 1le que m.f(;(i1Zun Agrimensor; especialmeu.4 te quando hace uso. del cartabon. ~ [._.,.

' FIG.47'.

.'Z'f..

Qüestion XIX

rs o Medir unafigura AReDE terminada por,-muchos lados. ", Desde uno.de sus ángulos E tirense 4 los ángulos opuestos ,las diago"nales EB y ,EC. con lo que quedará div.idida la figura en triángulos; mldase cada uno de -< e.stos triángulos de por sí tomarido por base qualqttiera de sus lados; sumeÍlse ' las superficies _que 'produzcan ;y la suma será la superficie de la figura propuesta. Tambien esta medida es' dd mayoL uso quando se mide 'sin cartabon como se V64 rá á su.tiempo. ; '. Quando la figura por medir está ter", minada por alguna línea curva irregular, entonces es preciso dividida en muchos ' triángulos. teniendo cuidado que los que estan hácia· la 'curv,atura de' la find.e ;seall muy péqueños"para que sus lados se confundan sensiblemente con la curva, y se puéda tomar uno por otro. "

o' J_'¡'¡ , ,~:1(l~.' _ ~I'~,'

lIg-,

de medír Tierr.as. f

Qiiestíon XX. -

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~!í 'lr~, .~ I

...,;{

~l I:S'j Medir 'un círculo ADB, cuyo FIG; 4S. diámetrp AB tiene :~8. pies. .. -: ' . ·Quadrese er dl-ametro (103).' y el· quadrado 784 ml!1tipliqi.1ese' por 11 !;con l lo que tendréinos €l producto 8624;' partaSe este prodttcto por 14, yel qüocien •. te 616 son los pies superficiales 'GJue tiene el círculo propuesto. ' Por la misma regla se mide el semi· círculo ~ solo que de este último resultase ha de' tomar la mitad. ' Si la superficie por medir fuese un sector circular DCB , cuyo arGO BD tenga 2Q pies, se multiplica el radio CB de Í 4 pies por 1 ° qm~ ¡;!S la mitad del a-reo, -y el ptoducto 140 es la superficie del se~·

-do

tbr.

Si tuviesemos,que medir la superficie de un segmento DOB ~ medirémos primero la-del sector DCB, medirémos tambien el triángulo BpC.; -restarémos una de otra estas superficies, y la diferencia res-la superficie -del segfnento.

Qüestion XX 1. 152 Medir una -elipse ' ú 'o'Valo ,.cuyoFu;. 49. txe maJor ~ tien,e 14 pies ,y el exe menoi"DE" f!, pies. '-. . (.¡-¡ :. ,Ha~

120

4rt~

Hallese ,la superficie de un círculo

que tenga porA}áilletfQ el e:xe mayor A B de 14 pies, que será 154 pies su perfi. . ciales (151); he~hq esto fórmese la 'si:' gl1iente propordon; 14 p.ies .que t:iene el , e,xe In<\yQr , 'es á 8,píes que tiene ~l exe lpeqbr, corno ISi4 ; á la, superficie,deJfl . elipse, qQe prc:¡.cticando lo dicho (84) sa"; le,88 , Y estos soft los pies superficiales que, tiene.

","

~;r<~'. r..iQ'[,'ie~tion Fl~.

;0.

X XII.. 1. ~

153· Medir un prisma AB , .quya .al~ , tura es 12 pi-es, y su base un .quadrilongQ que tiene .10 Jie.s de largo J 7 de .ancho. MultIphquese -el 10 por 7 , Y el proquctb 70 será la s\lper-ficie de la base' ( 148); lnl1~tipliqu~se esta superficie porlos 12 pies de 'la altura! y el producto~ 840 son los' pies cúbicos que tiene el '." prisma. .. Si el·:sólido q~le se ha de me<,lir fu~ s~ un cilindro ~e medirá como 'el prism~; est9. ~s,..s~ multiplicará el número de pies ) supe-rnciales ,dé la base por los pies linea-;;, les de la altura. ' .r

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.Qjiestion 'lCJ(I I L . . '

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1 S4

Medir una'pirámi{ie SAll JUJ!a.~ al-

de medir Tierras. I·~t \ altura es de "'9 pies', J su base unpara-} lelogramo que,:; tiene 8 pies de .largo J 6 de ancho. ' , q Multiplíquese el 8 por 6 , Y el prod llcto 48 son los' pies superficiales de la; bas~~ multipliquese el 48 por el tercio. de la altura ;' 'e stoes :por 9, ples , y 'el pro:. ductO ~I44 son los pIes CUblCOS que tiene la pirámide. Si el sólido por medir fuese un cono, se medirá como la pirámid&, . multiplicando su base p0r el tercio de la altura. .

Qüestion XX!V.

ISS Hallar la solidez. de una esfera FlG. 52. ABJ'que tiene 6 pies de diámetro. Tómese el- cubo de 6 que es 216, Y , multipliquese por 1 J, Y el producto 2376 partase por/ 21 , quedará el qüociente 1 J 3 lr, y estos son ,los pies cúbicos que tiene la esfera. - .

Qüestion X

xv:

Í S6 Medir un esferoide prolongado FIG. ;j~ AB, cuyo exe malor .tiene 12 pies)' el

menor 7. _ Hallese la superficie del círculo cor:'respondiente al exe menor (151) que será 38 -4 pies; multiplíquese esta cantidad por los dos 'tercios del exe mayor ·, est() ~ C! . es ,

.~_. ,,-:';t}...

~&te

1"2'2:

6S por 8., ,y ,~el prod~e.to 308 'que, te-sulr-an." S.@-l1 ,ras pi~s CtibtcIDS, 'l.ue- ' e.0)íl'~ie.-;' ne el esferoide. '. . Si el esfel"oide ·fll~e. aplanado C0:,mo una ·cebolla;;. se naul-ttiplic<li, la superficie del círculo coues.pondiente al e:x¡e; mayor ' pc»l' -los dqs' tercios del menor. .'. . "" r

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~.' P:A·R l',E De

SEG tTNDA~ ~

{t¡, agrÍ1r~msu1'a j

aforo . .

Antes de tratar .est~,.materia, " on;iene qlle ,el.AgrlmenSor..1 ~ep~, ~as; sig.uient1es 0r,: denanzá's , tOll1;Jdas , litt-!!r~lmentre> de ¡la obra intitul~da 'Oríge.n at! tas. Aguas de Madrid, que, en 172~7 pl.lblkq DQl1 ~uan Claudio Aznar y Polanco. . I

l_.·.....

.1':'

- De las OrlJéft'l1nzcis'; ptoM1'{inenc¡~ J' ex-m.. ciones, :que,las iJusPi~iá$ . {k -.tQ¡fa.s ilas tiudades, <villas y lugáre$ ¡le f~tós reY1fos, de,ben mandar se les ,gu.ar4e á los ·GeÓme:. tras Agrimensores qtte, ~tn.ideI1 l!ls ner:edd.., des y términos en nombr~ rú'-s. M. , , J' su Supremo 9' -Real Consejo' , de Castilla. ORDENANZ.t\ FRIJ«FJRA,

-~.:t57

'. .-

Que atendiendo '~ Jo referJ<it0'; débé sér el Agtünens1:>r ~o p>rimero, muy -especulativo -y'práctico, 'par~ que las medidas que executare de qualqai~r 'fi~ur~ sea,n exactame.nte hechas como ma.n da el arte; estable.. y fiel -en. la medida ·da marco J sin aumentarle, ni disminuirle Q2 una

Arte

.1 24

una vez elegJdo el largo que ha de tener seg\,In c.ostqmbre de la tierra, éqinó~ en t<:do 10 demas que fuere de .su obligaClOno

11.

\ 1 58 ~ Que

qualquier Agrimensor tenga fac.ultad -de nombrar un Escribano p_arfl . que este haga. las citaciones á l'ai personas que tienen -las' tierras linderos á.. las heredades que fuere á medir, por si se ' quieren hallar. presentes á la, dicha medida, y no tengan aisculpa si en al-o gün tiempo.le's sobreviniefe algwn 'p,er:juicio ,. alegaI:1do no supierop-., ni cono~ c~er~n . al Geómetra q~le hizo la l1ledida si ~ra de cien da y contieneia, ú otros lJ.lotiyos .qJ.le la' m.alicia de ~algufl,os suel~ al~gar. . ", ,_' . .,. <"' .' ' ,

.\.

TII. . ',' _ ',....

. .. 159 Que el Agrimensor siendo nombrado para que puda los términos de las jurisdiciones de las ciudades, viUas ó lugaf~s; 1Jlbó.;tes 'ó :dehesa!i , 'pú~da ped.ir·le rn~lesJJen lo,§ :d,~pa$:hos:nec;.esario$ ¡Pá..T T''l que 19 execl,l-te , "J..no·habiendQlos" trie pe. opligaéion .a.d.a r ,cueJJia 'a~ GOJ).fieJo A~l:-l({le¡J;astiItª p$l~a qJle. remita~ de~rij,: ~~P::ª{ªJ1~ª1l<tQd9 1e;KeetJte; ,+!';¡ i. S~ B h 1:':.: ¿

o: ·,~l. ";j IV.

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de medir Tierras . -r*f"'" ' ~. -

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160 Que la deélaradon que el Geó..l metra diere de las hanegas que hubiere mecLido en qualesquier heredades, ha 'de ir Íinl'lida "de' su .man? solameflte ; 'ymo e~ ne~esar1o . que -la auto.;ti:ce"Es~rlbaIio algiH1Q¡;para .que' hága fe én Jtc.quallquter . 4 ribunal, sino ..,en ,~aso -de pedido las p.artes q1.Je lo 'al!ltorke; 10 qHe ha de ser á:.costa d€ los duepos que.. 10. !piden. " , ¿

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Tiene¡obligacion eCGeómetra medidor ,á- tener ,tíntlo para. e:x.er:cer ~r di· ~ho .e!TIplep. ,~pá este fin ;h~ ; @F5Ku4!n,.a! Gonsejo ' Real!..de"<3as'tilJla,,.. d.a Iíl d:¡}:tP€DU .cio~,para'-4ite,. , se 1d apn!lebe.rpDr'e1 maes:.. tro' de .MatenÍátidls-:de, lo.s c¡awal:lero,s pa:ges. de, S.~M ';, fci,::;¡maestrQu mac~Qr (del las obra.§ ~I;eale~, ' ,ó .a-lg~no d~.10s '~ing¡enietQs ~ili.tate!!iJ:dekl\d~(1 ~ára- 8J.10, Jpallaud-rue idoneo le ' den $u',áprobaciQo-~q!.':'J eb N.,isr ta de élla le mande el Consejordespachar título en forma, p1lta-;que pueda exercer en qualquier parte el arte de ,Geometría €f.j)nJ.~§r.;pnf~roin~l'n:i~,.:Yúi!~~ion~s:¡ ~ue

l~~!~s!~~ ¡~9Jl'~>!¡~~~<JÍ,jlpSJ ~¡~l:Ji<gJ;:~S~l&t

!lrj~S-, ~'Q~tal~~, ry.; .~e!tt~b tl'1i!t~~'§1~1,~; l1l¡l¡v:.iterg -!i ~:1

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: .:. ".L4rte

126

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se7t privativo á los dernas titulos dé otras , partes, aunque sean despachados por las ciu~ades capitales que tienen voto en Cortes. ~r' ;~ _ , r" '- r r!, ( .. ~ .. / ~ ~L;- ~ V f, . •

L. . .

los ~úeces- "dé :q1!Ia'les-ql!l:iet'

Ófi.1'62 ) .Que,

(;itwilim..;- vili~(t)J4~gáreSj qe(~st0s lley-nOS,

púed~n '-<i>bl~ga1?: á·-tos;veci1ll0s á qúe 'mÍ.! , dan ~us 'tiertas ~y .heredades antes ~ue ningun Escribano Qt<org.1;t~ oarta de' ven.;. ta 'de J.üngtg1'<l~ de ~ll.as ¡ ~ faltandó ·este)vequisito, 'sin embargo de que _no esté . puesto en ~ostumbre en aquella parte~ como asimismo que no consientan que ha:gal1'ajústes 10s" :v~~i):10s ~on los segado-res:,,, á,.trrozos , <> por Ipeda~os " por ser brngJ.1aVle l>~r~diq:io :át4o>j:segador~s, y.

,en

h~n~frdol igr4nQ,e ~ ,; 10sr, tap'p~dor€s; ¿pue&

- camo bitQs'Jiabel1l ¡las h~n~g..a:s:.que tienen de~ rirerra por las: que;;fhatI sembrado ~o ~. ~o mas 'óJinenosl1 i~([)"nQ~e:n. ~ª~iert~ cien,,: (l'j,.ar.l:as:que' h-anJae ~e:gªh" .'Y <van '.se~ros

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slJbFe¡.él:-ail1St~ rJl.Q~· p~bii~:tf-a~aja:dor~l -van !inc~r.tó~t' t '0. 4 11 ' j ~ fL , .. : ( ....:...,)•• : '! ! .... -: :;'-J.J b ~ Ir_ .1'''..J ~ ,\.) :,0- .: .. ' "t~-:r ~ . ) t,i; O

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g~dO:Jiil áQtes-qirétcumpla.{l, su~tieni-~o ,.d~

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, m~(j.f~ l.Q.s

mediy Tierras.

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t~f~itJ:(j)S: d~ ,l~, j:tl¡;l~iliciQl1J;que 4 ~~~p~S\ÜKaIg.Q. , p" f~_j¡:;qf1.CJj ': ',J:'.~·a - r .)~ ,',:¡'j ; :: .;.:. _I ':'I!! .. ' ;;.: sI. ',.) noi::"¡;'¡f, ')

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. cle~1al'adW,Fr~eNJednfd1)ta~tsiÍl>Jm:a.& ave) , i'lgua-d?~fjfu~l1;.lte ~~ti~:af ,ág~t;lé~tte~? les :de:tHéS'6t défrsu' iralif<ly([) la ,lós:1ofífalel¡bs ó: s~gad:ores 'por ' razon d€ I® hánegas d,é tien;a que;lml,bieseli sega(fo; y si- dlabltldQr pidi~i ;l:se J Vfl~lvtl :á ;the(4k'.coa t>:!fOO ~~gr:inie:.t1s':>"It · a.t:¡Oni pa.il.a.dbf; ~p'ai ",cerl~q.t¡f~ ,}iUttiedlda :q'u@ ~a _~'KeUf1tade no e:s ' jpstlaj ~ haga primer€; ei}ú6z.se' les ' p'a'gue ·á los .segadores .en la- qUé fuere álcan~ad(j P.'>t :(16 ser tazón cl€tén~rlo~ ,;~ ~ 'inQtí~para qU€ 105' trábajadoFes gasten la , ~; hati 'gana'dO:(~~tm 1á'1,dr@fert a cio1rqu~ les hacen; y si 'Vuelta hacer la di ..

•

' .

':r 28 ' . ArÚ : dic~~"itÍ€d¡da s~gtmda veZ'

con el Gep4 metra acompañado, ·se haila-que la de..i ~ c1aracion dada de la medida antecedente está"' bi_~n hecha ', y , conviene con la del acompañado media hanega de tierra mas '.ó· m.enos ,ha de 'hacer el Juez que .\ el dueña de la~ tierras. pag!1~' al GeóPJ.e;, t;raisolo\PQf laLdetlen-clon' a razoq.·de 34' mTs:l'pOt' cad~ hanega ~ de -las que.lmbie-' se medido; y. si las medidas no conviniesen f , y .no,hubiese tantas comQ se lesp.4gó~ á . los _ segadores,;. €n ftal. caso ~se le. ha de condenar"al medidor prim,e m .ál ql:lepague lo que importa el tres tan'- to del importe de las :hanegas que salieron demas, como tambien ha de peF4er ~ -lo ",'íúe ha llevado PQr ' medir~<ls; y qu.e , adem.a~ dY l.est0j ,q.lled~ llepr.obado J ' y: :p.o...B1:l;ega yoly¡er á ex~cutar ninguna me'! . ~~'ila! en aq.uena júrisdicion ;' y sic;sacase l1}enqs hanegas, sie mo.dQ 'que ·los sega.. 4o.res"'fqesen damnific;ados, está¡obligado ~1-t11~(Ud0.r á 'p,agarlos . e1)lilJ;port~ ·¡deJas h~'J;ileg.as <;lue sacó de ·meno.s'; cDmo 'asi-~ plisnw ~l i!lter~s qU~J¡hupiejle .'llevado por ra?ion .de la medida" para que se... 'pan que l}O se han d~ pONer á me.c!idQres Jos, que 110 lOfentie1!lden y tiep~.n .pr,ácti; c~ ~!1 'ello .. , p<;>t ser un. a~te; á quien¡le: fi~ su acjert~ l'.l~ par.t~s .intet~s4das. - - ...,'1

)!~9

de medir Tierras. r

·X. '"'

- 166 Qll;e por quahto ~n\lnúch:is par~ tes se acostumbra pagar -las hanegas me· didas por mita.d, ú por di as entre los dq~~ \ ños y los segadores, por cuya razon-, y para, su, claridad;· se~ han de medili srem .. t pre las ql1e flieren , y solo'se' podl\á es.cu,.r sar en caso que antecedentemente es ten: medidas por Agrimensor aprobado pprJ el Real Consejo; y si los segadores quil" sieren~ aunque preceda este requisito ci¡ue se midfl, ha de ser ,de cuenfa de · ellos, pagar al Geómet'rasu "trabajo, y medida á lo que ajustaren, y el Juez les ·pued.a obligar á ello. ~ . . .

XI.

('1

167 .Que, todas ' las 'cabezas,de ,parti ~ do tengan. obligacion á .tener un Agri mensor con título despachado por.,el Consejo en ~ la furnia arriba akha, para que pueda él, y no otro. extraño, aun~ qü.e, teriga título., m~dir en la\Qicha-jiirisdicio'n qúanto se -ofreciere, _así de -los propios del Concejo . como -de' sus. ved:- . " . HOS , y pagandole por cada haI}ega de las que midiese á un real de v,elloIl, luego que dé la :decl,aracion firmada de su mano solamente. ., 4

-XII.

..Arte' XII.

,.. ".)

168

Que todas las.c Justicias de' las Y" lugares ,de éstos ferROS' y señoríos de España" no consientan qure(á ¡os Geómetras ' que 'tuvieren titulo dfS.IDachado p0r el Real Consejo eJ.? ,la, fe'¡¡ffi':l l1éíer.i-da ¡en la~ ordehanza , V. se.les.l Feparta 'adeala ninguna de pecho? repac."'J cimiento de akavala, ni qnintas de solda- ' do ., alojamiento's, ni .otro tributo-alguno! de los que suelen repartir, á los vecinos der,las referidas poblaciones, sino que ~ sel les llaga observar y 'gllardar <las 'pr~enii Rencias y. exenciones que les estan' co'n-: cecUd'!,s de tien,H)Q iqmemorial á esta parte por los Señores Emperadores,RoJIla..,. nos, y Reyes Católkos de España, como profesores de un arte tan noble y liberal (i:omo 1ó'es -la' Geometría\, uriarde l~s( partes prindpa1e~ de .1 las Mate-!uáti. citI.d~des·,;¡ry.ill8s

cás. ;" , , ) Eyn De '.la agrimen'Sura" . .. ;1 ..

1;'

-t.

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" . Enterádos de las. partes. .de A!itmétiGa y ·GeometrÍa que dehen saberun.Agri.., mensor y Aforador, \!Íos ,resta ha.cer ~pli-, cadon de ellas .en. los terienos, manifestando como se iniden fas tierras, se le'vanta. el 'plan..de..ellas, y s~ hacen. las par-. <tidones J' apeos. J"!. ".,. ) "1. r _ ,i

, ...

de medir Tierras. . r"3'I Q9. El lnmen, Agrimens6r. Ue1De;¡teIle~ .el may 01". cuidado ;, ~ei' que lGS instnmqnep.::J tos : de IqU€( ¡sé •vale tpara. su · Ialiter!Seall' exact.os' i1 pues rde 10 '\J.c>nt'J!ario ie ,apiQv~.-) / _char.ápoco su ciencia :'estQs instrumentoSi RO son otros que el eartabq~l ~ esquao/a,. la cuerda.ó eadeqa, y ,:unas agllJastde hier:; . . ,. no d e1ga'4s J -~ ~ ,.:r I '~l '. __ . ,) -~' - , " I70' - La.cacten.amr.ve (paIia :medir.::."!a.~ líneas en,; el. te'rr-eno : esta suele' s€r"' d'(} alambre,gruesu, ;Giiv.idid'a 'en pies., y mar~ ~ados estos de I Q..'efil I Ó. 81mqlle , alg'b'lDo~ la dividrenren.::.es.tadales). ':AlgtmoS( :A.gri~~ i

. m:ero.s.óres.l:se_ ~aleni d'e~ C'I!l.epdas~.rle . caña.mu ó -)espait~ ,1'>¡iem¡J ~s1iasú S'(l)l1c det'idtrJlilsa'S'i, ¡p~rq~e' comel 'dlóéy l~ ; ~JUmedad ~lar' • .g«n o 'encogerr, y las' mechclas hechas C0U .eUas siempre tienem ,al~un ftefetto~[J~ 1JP

El Agrimens0r..~ de:bej~vat·,con- ¡.. ~ .~)'i . sigQ: un- Reoo.' q l!e:.le ayullle á:tirar lacólleb . ' :da,;_y si \ est~··fu~s.e un- Glis.cípblCl . spyol¿;:, ú 0tro gué t,IlJa {llgu'n ~OnOci.áli€ntó em el ~rte ,"'Se'mara todo meJof. · _. ,_ :•• ....j " .~ rt . ALtiralD.la<~lll·erda la C0g.e. el A grrmeri} :So.r ,le, l1Ll ,abo y :él'.;protrdevdtrn y:y ~es" -te- va~ s~pre,: q,el3-n1Íe-.b el;i$..g.rimetm.sm'l1 "

I7I f

.p.rodl!1npsiél't;lpre::ttilJleJ h) í€uer~a, 4f.af::dl:e.

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,r~~~a ~y.. esté. b~en ciraÍlt~· ; -asÍ. q~ando ' tlenejql!le.pas'a,r 'por enCIma' de algun.barranco ó . zQfI¡ja ~.lhay;'.JileceSida;cL ~de ·.sost~ ..11 , . . d/ .. rf · .,. ......-llena: .patt'a '.que 00 pan ee (:ru s~1acorÉe.

r:-!

Ten:..

I '3"Z ,'¿,V,: ', ,:21rtc" ;,· renaida-1~:d:uerda>con1o_se ' ha

dicho, el peG)liL -que Meva ~as~agujas hierro' da-, 'Va: una 'en la. tier~a roen ' eLmismo ,puntQ donde relíl~1Íó la ouerda i 'Y" e'clfa. á'anaár . inmediatamente' llevandose ' cons¡go, la cadena: el Ag.r.ilmensor -llega con el otf()) extrérrio ~d~lJla;; ~uer.d!:1'"'t 1';v:..!a': c olocadon(!ie :r está clavada la varilla, y el-peon. clava otÍ'al en lJeb:otro extremo ': ·.concinúant de eSte'! modo ' hasta medir .,',lal d[sta1l1'úa,' .te~ niendo cuidado el A:gr.1q¡ensO'l' de recogeli todas las agujas quétlva 'davando el p~; pues Estas .4-arLá cunaeen er.númef.O ioo:cuerdasi..qlile; s.e:.,hañ 7t.Í.r.auo."Eni'estas medidas )cG),Thvioo.€~ qutr~eh Agrimensor llev.e hlgnria rvará ~ividhlda -en ' pies p:rr~ medir áque1las~ llistancia~ qtrepllJr su r-pe~queúeelnose1>ueden medir cOJ:.lla cuerda. 54.·'fl rrr2r.'" }B~~·~a.ili:ab'On es 'UFl 'ci~i:ndro 'f'trdke de rdosf o;-;tces' ~eOOs :de. grueso;; ' y:ic~mo in~di~ rpieJ:cl~ ·,_diámetl!.0 , : én~ 1ll1i~ de~;u~ bases neva' ~ós nendiduras :y ldeoigue se cortan en angulos -tfeclbs ~ en:'sU'!cenrrf;) e.~ Este- íristrt}'lil"ler.lto. :se;1<l:'0ld>oa:.pól,. -mediD 9-~ e~un! tornillo q;Ó1DF~ um:ai v~nli ~NM de_cunos' 5:; li'icls\ d:e~g}.o ~ y::npl gnaesa re.:..

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. FIG.

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gWlaJ; p.aTa·.queJ.lílo:'seJ'dmble¡gt!-á¿quabdíle;

, va en ,su ext~éIno;M ima p.úhta, d~ fhler,. ro JbleJ). : agúda para· 'ula¡várla~; etr '" tierra qUCl1I'lrle .sei.há,de.hacep-usQ 4e;.é1. (, v" '7

~·..El .. fl~· ....

cartabol'l:ha de' ser d:éfuna.madera ..

l .

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¡puy

. de medir Tierras: 1 as muy sólida, como encina, box &c. ', pa- . ra' que 110 tome. v:icio y s~- eche á perder; pero lo mejor será hacerlo de bronce si se puede con unas pínulas · en" la :P..trecdon de.dos diámetros que s.e cortan'.per,,, pendicularmente como se representa ,en }a-,figura SS ',.·el qual se caloc.a tali11bieIÍ FIG. H' como. el otro sobre -su pie p017 medio de 1m 'tornillo. N ó .hay duda qu~ _este carta bon es preferible al otro ,. por- -poderse ~vidir ~ejor , y no esta! tan suieto ,á: 1~ mtempene. , El manejo de este in,strumento se . manifiesta en las qüestion'es siguientes~ <

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Q~e.stion. primera. :'

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173 Comprobar el cartabun. . , En~;lm cari1po desperado colóquese _el. 'calitabon p.l1~cürahdo, que')'€sté ,bien hot:izontal ó á nivel, 'Y mirando p.or sus

h'e ndiduras señalense á grandes distancias lOS _ ~latro ~puntos M, N,. P ,: Q ,hagase.. FIG. 56. le dar un quarto Acle conversion al rede.::, - dor de su centrb " de súerte que el punto b venga á parar á c, el punto c- á a &;c. ·; y si 'initando. '~e~pues·\j?or laS -hen- .. u:'l ' dlduras estas se dtr1g1~sen a los puntos M ',' N ,. P, ,Q ' el cartabon está bien dividÍp:(')-; perQ de 10' contrario es,defectuoso., 'y' es 'pre,ci~ó_ abandon'adQ ., YJhac:e<¡:' a tto: :':'J! . Qües-

134

-, " Arte Qüestion 11. , " !

. 174 Dada una recta CB én .el terre~ no , Je'Vantarle una 'perpendicular en el punto C. ' FIG. n. Colóquese el car.tab0n en , ~l pun!o C . de ~I;11odo que su, hendidura ' -a;b coincida cpn CB ; 'Y !TIidmdopor Já .hendidura ed imaginese' la 'Visual en, y esta será la perpendicul~,i que se pide. I

' Qüe~tion 11iI. .J;'

" ~7S -ÍJesd; un punto e 'en el terrC4 •

.' - no baxar una perpendicular' CO á unif, recta AB. FIG. 58. Colóquese'el cartab6n, de 'modo qúe la hendidura ab cbincida con la. recta AB, Y corrase á lo largo de esta recta hasta que la hendidura edse dirija al puno! to C, y tirando en esta direccion [a recta CO, estª será la perpendicular que se -pide. ;, , ,Qüestion . IV. J ." ... 1 .' " "1

FIG. 59'

I76 Tirar por un punto Cuna rtofa' CN que sea paraJila á otra recta OM ' Desde el punto dado G baxese una perpendicular CO 'á la. recta OM (75)1 colóqwese e~ . ~artaboÍl en e, de lTIodq que

111 edir

'Ti erras-o

135

que la hendidura de coincida cbn"CQ ; 1-por la otra . hendidura ab imaginese la_1 rec,ta CN "y esta es la paralela. que se pide. ' Qiiestio~ V. lo

171 Medir un terreno con el auxZlio dd 'Car,tábon. ~. . , En una de las· lindes. del terreno, la FlG. 60. que sea mas. derecha como Mm por exem- pIo, colóquese el caitabon .en un punto , A ,/de modo que una de sus hmldiduras 91inci'da con la recta Mm ~ y mirando~ por la otra hendidura. tlirijase l.ma visual á un , objeto K.Ceste podrá tomarse en la linde opues~~ Ll ó fuera de la tierra á c:Iua1quiera distancia, guaNto mas desviado mejor) .~ á Jo ().argo de la qual se lleva el cartaboll; hecho esto se' pasa el.car-' tabon á otro punto B :r procurando que así en esta estacion com@ en. las demas e.l.ue se hicienm , la una de las Jj~mdidu ras coincida con, la VIsual AK, Y mirando pnr" la otra hendidura imaginese la Fecta Nn,. midanse' las rectas Mm, : Nn', y AB, Y supongámos que -AB tiene, 12 estada les ,Mm 30; Y Nn 40, Gomo· ~R figura MN mn es un trapecio, lo 'm e'- ' · , d~rémos del ?'I~do q~le d(}xamos dicho' , (I49); esto es ', súmaréníos 40' con 30 , Y de la ~uma 70 tomarémos su mitad qu~,

136 ' Arte ,es 3S , esta caÍltid'ad 3S la~~uhiplicaré- , mos por 12 que es la altura dd trapecio, y el producto 420 son los estada les que contieile el trapecio MNnm ', cuya .c~n~ tidad la senta(á el Agrimensor en un libro de mellloria que para ello debe lle~ val' consigo.... ., , " - " , Hecho esto pasará el cartabon á ' otro. punto C enIos términos' que queda dicho , esto es , que una de sus hendiduras coincida con la visual AK , 'é imaginará. otra visual Pp; medirá 1a parte BC que supondrémos de Io ' e~tacl.ales , y la rect.a Pp.quesupondrémos tener 48; es claro que NPpn es otro trapeciQ que ' lo medirémos sumando 48 y 4 0 , Y multiplicando 44 que es su nútad por la altura 10 , y el producto 440 son los estadales que tiene el segundo trapeciO' que se apuntará en el libro : despues se pasa'rá el cartabon á otro punto D en que se tirará otra recta Qq, con lo que resultará un tercer trapecio PQqp, cuyas bases opuestas tendrán la una 56 estadales. l,a otra 4& , Y la alttlra de él 1 S , que multi plicando este número por 52 mitacl de la suma de l~ base, sale el producto 780 estadales, que son los que contiene el tercer trapecio. Continuando la medida: del modo que queda explicado hallarémos que el

tra-

de medir Tierras~

. T37

t-i4pecÍ@.;Q¡- itJ.iene §60 estadales 'Rs~¡77d.; St 663 ', Tu 462 '; Y ,Vr,Qé4Vsunraí1dd todas estas partidas sale la suma 4399 estadales ,.~ . ésta '~s ' lá"medida ' del terreno , que desp~es lo. reducirá el ~grimen: sor .á fanegas., dandQ á ca~a:, una el núme.1l@ cié éstacl.~les qU€ 1e'conespo.nda segun práctÍ<:;:a del páfS. '<" ..•• • "'", :..! . '1," : 178' Aunque este íriéródo : dié 'medir Fro, 61 • . sea .bas~alll.te general esped~lm~nte en los terreNo,s de grande e~tensión , ~omo son montes. dehesas-&c .• no!.és 61 único -: en otreas 0Ga&ione'¿~s@ divide- 61 ' terrého" de modo que' r~§ulten' triá.ng~19s, ~y -'tiapeci~s comó 'cN .la figtlra ,... ~ahi1oqtiáhe tira prímeram.€l1te una diagona1-AB que sirve d~. b.ase;' y en .segundo .1ugar lse ba": xal} á €~l<á 'pot ijt nlér~o explié:a~0 E!i75»

l~s perpelÍtliGUlárés · Chi.~

Dn ~· <E9, Gp; '

, Hq des'de r.1?5-á'tlgulos 4 )esqtíflll.a~f! <;ie ' la fi] g~.lfa; es eVl~ente que en este cáso 'e1 ter,:,' reno. queda dividido. eh ti'iángu1ós' y trapeao.s ql!e se mé4lUr'áí(del1iio~0 que dé:x;amos exp1icad6{ 117 'y Íi44) ;y 'júilt'~ri:; do, déJipues ,! odas 'las superfities qúe·-déJ;:i .estas .partés teEiQr-émos -l{l ;'lnedid'a' aé~ to. .... do el terreno. Me parece haber ,dicho 10 \ suficiente . 10.S· dos niétoctos-que dexo explicado.s acerca de medir y quadrar ' lds tertéñosG cQÍílJ ~l aQx11íei 1d.€l cartabo.H para q!-\(~~,.elC.l!p.ratJd9@ "lAgrim~Iisdr-·' sepi\

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Arte , ';. n~atzei:Jts<a,cqn gFl,td.encta, en qiJaP;tls_meglJa.5rt?t1#q~1!, QC~~nl}t!. So -:, <.~ ,' t·, ) . J l ... o

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.~7.9 ~~_, Am~$!Jq~l~ yl Agrimensor prirlla ti'er'.(a _ todo al rededor; notand.º toq<lS Ja.s entra,1:' ',:, .. , das y j sillda.s..qtl?y·tuyi~rt';.,~ y "ponien.dQ ,e~ cada una de eU~s_ un coto, il10s que dlngirá , lflS ' visl.!ª¡~s qu.e tiene el cartabon ci.p;i~u s,L)~j m!¡~~l1 ,:sle,he recorrer

qt]~n9g! {<;)1]Jl~Jg~~trfl.l1~dos.9 t.riáI1gulos~ p!:Je~ ~~~ . . . ~~~e .ílJlQdo,k s~!drá!l_'rnas_ (¿:xa~, t~p:~qi~J:l¡:~eb~ 'l tenet

pre§eJ.1te·1é}'u:.e la. it:r,~g~llat¡¡da.d :de. las tierras, .causa ,de nQ es~~.r l-ªsJJflQes en l1n,e i recta"obl,jgan y aun .s,~ p~fmit,e ql,l~ ~1. Ag:i.zue.D,sór

'tos.;

~QmPJ~~I1ga:~$~t¡o ,:k ~lJ !UeqJg?- .alg~' na pÓ.r~Iq>.q. d~ ?rx~ q§:i,:~á(Hlmedl~'~a,. 'Y

e~ pre9S(í) para~omps:lqsa( este ªumentQ que cui5ie ele perqer otro tanto por otro lado; ~o!TI0 ~~se , ve en el ú,ltillJ.o trapeciQ Fra. 60. dS.py.~~t<! P-gt;t!;¡ .qu~ en. la parre LK. h.e.lJ}P~ Jgjn;a4E'r<. llP pqcQ }er,rep,o d~ la tkr~a in~€djat~, Pf'XO lo· p.emQs c(¡).mpe..ns.a-. do pe.~é\i(}nd.(')" 9~ro téllJto há-cia K1. . I

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41d'7Ver.t.ene,ia,segunda."

ir )'" -~; :"':: ~ .... :-~ ,. #~~:. .., , {~-ª9 . Q1j;¡,n~~Á el t~rJ1enO¿(qne ¡se ha J-.

ae·,.Jl1edjr .~s ~gpna tigura. ~e las.,quer,hemos

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.. . ¡;fe dlr Tierr~~. " ___ "1,39 mos consí4~t'ádo en :las questlones geqIhetricás ,¡'está pot d~p1as usar .deh~átt;.íl.! bQn, sino"es ,¡neditla deso.€ hiego,Jpof lá> regra que le cott~sponda~ de estas ,figuras~ suelen ser los solares de las ~asas , los jardines y huertas cercadas; y en e-stas posesiod~s: <!leimfe tina éoi:ta ,c;andd.td' de terreno tiené un valór"c'éñsideráble>, sel üe-· ben , nacet· -las llnedidá~ (en l.ugat; dé Cadena) COR unas v~ras largas divididas en pies', que ' para ' jestos casos ·,debe',tenet el Agrimen.sor. - ~. ~ " '- ~} :,¡ j, .. ,J;'

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Ad1>erf.enciá ;. té¡"tef-;a~~ ';' • '.'

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. ,I8r Quañdo el -Agrimensor 'tientO que medir un ,terr~no' qualquiera ,. si es para' compra '6" atfendát¡Ilré~to) deb~ , in:' c1uir ~ii( su medida la mitad': d-e' las lindes} perQ sí la~'riiés!i~á fuese"par-i 'sega-dd~€s ~ solo debe medir: la parté qué esté s_e}11.J. b~a~á- ~'t1e es,lo .J que, se' ha . de rseg~r.: 1

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Reducir unasfigúraf ')á ' ptfils¡J f;:-~:

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......

. ~ '182 Construir ·dos quddriidos qUé tengtln sus. superficIes éñ razon d.e ~ á 5 ' é-sfo e~ ,'V¡uc isp"¡h uno tfént,,!}, pies', el~ otro ' . !..,'"'''' ,.. , .. )G. ~ "....; ~ ~ t el1ga- S-,, pJeSi "S% Ti.J

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, ~,' ..-~~;;1rf.e.

FIG.62 . . {)~1ii~@Sh; ;\.tná.i¡Je,.cta ind~4niQ~L:AB ,:,,· ~ t

t.Qmq,~l§!'l 't~ll~ :~lg~ a.R~~ h:k'eqU~;j:éngª r..o ~y

\;;:;-(11

" ..,- r...,-el;; <.J-<i l.' .0tra -¡,p'lF>"~ 'U';o (q~lfl> 1 '{J¡f";~:"'¡ -- .- . ' ~ ~~. ~iP ""t '"i(,..;

tepg,~~i$ l, ·e.'~' ~i~~s"p.arte~' : di~ipras~ r

la A}3).~f1:ld}J.s;-,p~tes !gpaks en. el , Funto ) ~; y S;hl:f!~ié'_este < p1:lp.t~i.s::_01il}91 s:entrp (; <,;:on ) UlM<t-4iQ'~.¿\¡ tiªG~_f!~ eJ ~~l\l)kjr;~::Mlo!~JJ:S;r. e~ ~~1vWllllt'~1 Ji..1.éV~_Q.t.ese.;l~,.peJ.p~n.di}:\lJ.:U 1

~~)d4ámett¡<;> , A,,13:' :' q~_~ eJi}.c~lAtr<t,la l circunferS!'nciar'~IÍ:e¡ pU,J.í1to,D , t,i,r-eJ1~~ las ..

D ,E

~uer~a~A:P~' .Y P~'<.}'íJQs quadr;,ados,tt:a, zados sobre estas líneas tendr~): :l"t~fRZ8ª que se pide. En ve~,;~~)q'WdMdo~ t~~ p~9rian trazar dos círculos, Ó dos triángulos equilá- . te...t;9~ ; '9-, el1 g5!.B.~f'~l gpal~quiera fi~ias

~l~ ~qp€1l_~~"ql1~ ;19S, G~9.me~r~s 11~,m~n ~er>

ll1Hja:m~~C€i4:~Jffi1 t.Qgq~ ·Slq.tit:!H~~JqJJ~ rtie· rl~)fig~~te§:s t!§::á:Ji1gl}~Q§. ~) J.,l?fPIF,orsiq lla'~, fe~'lSJ.!..S¡_}~~<tSi¡s;§)r:h.€s;pplJ.~~n~~p) ·~ ste1l¡l. pt~ l~rtI.,grtr.ft tr.~~)~d$ll ~g~r~; 4:O'J P,~r~ J9 ' d:oo qUl.F!t~S;.§leJp ~gllf::.azqy._€i§edi!~ &~1f..r~P.lt~ Si ~se

quisie!a que··]as figuras tuvie-

sen qt{~¡1l)a¡oFj~'.E.1WI,NlÜyri! 'tl¡)mRJ ~ uno

á 3 , c!e 4 ,á 7 , &c. tastaria tQmar las partes ~E, Y J?;lh~R~ J¡~€}l!~~dida, y hacer lo mismo <¡ue se h~ dicho .

• ~;'(,~83\ ~ '~..f.9~~ ~~l!~í3t!1t{S~ ·:,P!:I. (~j"yna!S~r 14s

f%t;.rtslfl~~. <i'?.f!.q)f~~lA ~lj~\.~.Q¿ ~\~?ltl,ª~ {t\~~cWa. SSlr*! t:oJf..~W:l@i~~üta;·~,¡;r~§J<,1~é1{~ ~

qüestion en este caso, es i~p~l!~Qit:l - i~.!:' sG (a{s-

de 1)iedfir. Tierrás.

141-

(despues de ~ech.a toda .1~. preparation de la figura como ~dexo explIcado) tomar sobre A D una parte D .M igual á la esca,la . ó lado de la. figura conocida:' y tirar por el punto M . una, recta MN paraldi al.diámetro que corte á la BD 'en el pun-~ ~to N, Y la D N 'es ,el lado ó escala de l~ figura.qué sé pide, y que indispensablemente tendrá .con la .otra la, razon que, se,pide. ; 'o."" . \ Qüestion JI. . . . "

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1~4. Redu~ir á q~a~ra.do ~naf!Jf,ura qutitquz,era. ' '. '.' .' . '.". \" . ~, t -

.' Sea" el ' cal1)po 'ABCD~M la .figuu'FIG.63' que se, quiere .redudr.á qll1adr~do~ liI'l!Ída:- . se ' su ,superfiqe por las:.·reglas que de.xamos est§l.bleciaas • y supongamos 'que ':es de:'8flho'oo ,:pies ' supe'rficiales', extraigase la 1!aiz q uadracj.a de este número que és 9bo, cónstruyase un quadddó BGHG qu~ renga,90o pies por. ládo, y 'este qua-; drado sera el que se pIde. Por medio:'de 'esta regla podemos reducir á quadrado. qualquiera superficie po.r. irre.g.úlar ,·que sea ,. pues Ierdo 't;l' éa'rtifi;d0 se redpce ~búsca.t·~str sUl\~rfi~ie :en pi~s'" v;aras', estada,les: &c~ :~ 'extraer ~a>t;a~z qu.adrad'a ;; y fonnar·..despues un 'q.uad'rádo qlle tenga por lado el número cl¿:.NnÍt tta9-eA'.t.ll:Jcff.m.a'íBfodu.cicl.ddadaiz. 'f : ..~., ó; I

! { ~

Qüe s'-

Qüestion 111.

1 gS !In caballtrg quiere construir-un jardin quadrado que comprehenda 1000'00 pies 'Superficiales. se pregunta ¿ quantós pies ha de tener por lado?

Extraigase la rruz quadrada'de

100000

que será 31<> ~1~, y este será el lado del quadrado que ha de terminar el jardin•

. Qüestion IV. ,

Un hortelano .quiere construir una huerta en.fo.rma rectangular que ten ga 60,0000, pies de suelo J' soo pies de ancho; se pregunta ¿ quantos pies ha de te-o ner de largo? _.' . Pártase. el 600000 por 3'00 , y el qüc). 186

• <

dente 1.200 son los. pies que ' debe tener. de "largo la huerta ~ para que contenga la superficie que se pide. . -

Qüestion

v.,

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187 ' Un labrador quiere hacer una cerca en forma circular ~ y que contenga 75~ pies super.ficiales, se pregunta ¿que diámetro se 'J~ ha de dar á ~a tal pose· sion.? - ~., - ";- . Fórmese ia .si~ient:<llropor~ion s si . - 154-

_ de medir ,Tierras. -143 154 dan 196,7546 ¿€luanto darán? qLie multiplica'l1dO'¡H segundo' término por el tercero, y partiendolo por el primero sale el qmirto término 96°4, extraigase la raiz quadrada de este número que será,98 , Y este es. el número de pies que ha de dar al diámetro de la cerca pa..ra que su.superficie sea 7546, como se pue· de com.p:robar: ,, Por estas mismas reglas_se resolve;' rá!l todas -las qüestiones- de -esta, naturaleza. . ' . ;' . . ~. iQi¡estion~- VI. " ( •

•

(' • • ;

.....

188 -Un albanU' qtf.iere enlosar ' con baldosas de un pie. en quadro una sala dt figura recta¡gular que tiene 40 pies de largo y 24 ~cho ; se pregunta ¿ quanfas baldosas M(sita ? -~4!jPlíFq,: ~e lo largo de la sala por lo a~ ~ producto 960 son las báldosas dé~ n quadro que necesita para la sala. . ~ Si el 'e mialdosado se hubiere de hacer C0n otra especie de losas. en este (aso, es indispensable medir los pies superficiales que contiene c~da oaldosá, y dividir por esta cantidad la superficie de la pieza que se quiere embaldosar', y €l E]Nociente manifiesta el nwmero de losas que se. necesitan.

, Arte

: r"

De la partición~ de las tierras:

"f .

189 El punt9 mas arduo, mas dificil, yen el que mejor se manifiesta el desin~_ '.teres, pericia y conciencia dé "un. Agri~ mensar es en la particion de las tierras~ operado n donde las mas veces se 'camina quasi á ciegas, y son necesarias innumerables t:entativas para encontrar con 19S verdaderos resultados ;. origen de los grandes desaciertos , que ' en esta part~ (una de las mas' esenéiales de la agrim'eq~ sura) se cometel~, ya sea porque el AgH: 1l1ens.or yo posée los conocimientos pre~ . cisos. para tan .penosa e,xecucion; ó ya s,ea por no tener aql:1el grado · de paden- , da que es indispens~ble . a. dar á cada ' uno 10 que es liufo, sin perjudicar á nin':'. guna de las partes. -_ Pero si es difiCil la. execucion de esta ope~a,~ion ,. no Jo es. menos el quererla sujetar á reglas - ciertas ' , especialÍnente qp~ndo ~JtU . práctica '. depende. de regla~, q1,l~a variedad corre parejas con la 'diver=:sL~.ilej. de figuras que suelen tener lo§ ter.. re.IJ.os: sin . embargo procuraré explicar.. P1~ con la maybr claridad y generalidad, refiriendome áJa particion de un· terre~ no: ~k alguna irregularidad;<€lil!:la inteligencia, que lo que d~xere ..de esta s.e apli-

. de medir Tierras. 145 .aplicará á qua1q.uÍera otro tenga la forma que tuviere; explicando desplles algunas ;particiones particulares dé terrenos pe:qlleños. como 10 manifiestan.las siguienSes qü~stiones . .

'. Qüestion primer..a. ~J';

Conocida la supetftqie de una ..dehesa AMVK , di'Vidirlaen quantaspar:' ,tes iguales se quiera, por exemplo en 8~ ~ Su pongamos qu.e -eL tefFeno .propues· FIG. 64Ito sea de 40 fanegas, y que cada -fanega :Comprehenda 400 .estadales .de á. 10 pies ~ !cad.á uno; es evidente,. que e~ este caso _á c.ada una de las sue.rte.s~ 6::partes .tocará ,S fanegas" Ó 2000 estadales superficiales. Su.p,ongamos adema:.s de esto que las rpartidones se'Jian de hacer. con rectas ;:par.ale.las.. á ~ la linde AM.,, ·á; causa de que -todas participen ~de bue.no y_mal terre-no -; porque podemos figurarnos . qu~ el -t,e rreno" pr01;u:esto ,.estáL en tIa ~alda de -únos cerros, rque la,parJe' tAK pot cor;respoudeli' á ;unai v.ega~ es mas, f:é;;riL que .la patte .opuesta,MV: .' _.' ¡J' ; ,: .' ~ . P"at:a dar . prinCipio ,á· la ~p,eraciQtl -Jmaginarémos una recta AM a- la largó ¡ de ¡ 'la!.:liñ~e AXZM tiradarde ml c@.QfQ'p.. ~ro.id..a.d~,' :ql"lé qU~Ild;o no 'coiJ;}dda ~cón ella, por nQ .s~r)te:c~ada ::lilrld,e:;:Ja.. coja .<!e:tal . -o'{: T ' mo· •. ¡90 '

. 146

Arte -

modo , que el terreno que gane en z ·sea igual al que pierde en- x -(las torhlO's ida-:o. des de las lindes obligan las mas ~eces ·~1 ' Agrimensor . á proceder. de este modo) .: y midas e la línea AM que supondrémos es de 100 estadales, partanse los 2000 ' estadales que tócan a cad~ una de las suertes por 100 , Y saldrá el qüociente '20 ; eh los puntos A y M levantense las p.erpendiculares AB y MN de 20 estadales -de lafgo cada una; pero de tal mo,. de> ,que quando no coincidan con la linde- correspondiente por la irr.egularidad de ~sta; la corten, de modo que' ga!l en..á un lado. todo el terreno que píerden á ,o tro: y tirese la. recta BN , CQn lo que tendrémos demarcada una de las parte,s ,q ue se-piden que será AXZMNB. ' Para hallar otra ,partkion , midase' l~ recta BN , ó si éonviené sola..: }á' parte sn' , y supongamoS' que es de..96 estadai.. :les, partase 20 9.;0\ por gó,y sa,1:d:ráq~l qüo(dente 22 ~_; YJenAos. puntos S; y O se>·gt1ll' lo 'p iaa1m'las cJrc'unstaJ.:!cÍas 'lev.antero~se fas'.Yét-p-e-ndieHlar,es; ~Sy ), l1' o. de 2:2 '~ estadales cada una, y tll'adas de¡: llaI..mo.,. -d0 ' q\l'e'~ quahdQ no. G:oincid~ 'con las Jindes .; pieiiaán ~tanto terreno pOT- un la.do. ~I'(;Q~ :g41IÍán. pur fotro " . y .tiratldo,la ,rééta-:O.ebCl.;líl:OS :resultará fi9u.arrsublie de 'la:s :..<!J.ue(se pid~ni qlÍle ·será::SboN:. ODJ'¡ ';1

....

Pro~

de medir ' Tierras. J 47 Procediendo del mismo modo con las dernas parles.., quedará nuestra dehesa dividida en los términos que se pide. Verificada' la division de ella, echarr suertes los interesados sobre la parte que to ~ ca á' cada uno. qHe es el mejor medio de 'q ue todos queden,.contentos. . "'. ,:),.'1-' . ,~Me parece 'h~bérdiGho lo suficient~ para que el Agrimensor sepa conducir-,é se en las párticiones, aunque sean mas co~ptlestas_ q.ue. la que he tomado por exernplo; sin embarg~ me. e~tenderé al,,; _ go mas, explicandp algunas divisrones particulares de ·terre.nos 'qlje nunca daña rá á un Agrimensqr el saberlos: cuyo objéto _serál1l~s siguientes qüestiones; - ~ , 4

Qüestion 11. ,

. I9I' Di"'Oidir .im triángulo ABe en dos partes iguales. . Divídase la base AC en dos partes FIG. 6). iguales en el punto D , Y tírese lá recta , . BD, <I.ue dividirá el tiiangulo en las dos partes Iguales que se piden. . ''''. " _Si se: quisiera dividir. en tres:partes iguales, entonces se dividirá 'la' bas~ .eLi otras tres' iguales en los puntos E y F , Y tirando las rectas BE y BF quedaría ré;. suelta la q~estion. ~ . ~

-l. 1

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Ir,.

~- .. ' Arte

...;;;;..,.,-.. . '

" Qüestio11; 111.

192 Di'Vidir un triángulo ABe ,con una recta DE tirada desde un punto D " tomado en uno de sus lados, FIG", 66. Divídase la' base AC elr dos partes el punto F, Y tirese !a BF; tl.iguales rese tambien la FD , Y por el puntD ~ la BE paralela á' la .:pF , tirese la En. y esta diyidirá el "triángulo en las dos par~ tes iguales que se piden. . '\ :

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,' , Qi¿est~on IV. ' ."

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....

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192 'Di'Vidir un quadrilátero AECE. en' da~ partes iguales con una recta tirada desde un juntaD, ' ,) FIG,67' Tirese la diagonal AC; y por el punto E Ta: E K ' paraléla·.á ·AG, que encuen· ' tre la base BC prolongada en el punto ,¡ : ' ~.'; ·dividase la' BK por meaio eh el punto G ,cy tírese la DG; por el puntol( tirese. la: AH paralela á DG, Y por lús puntos H y D la recta DH" y e:;ta dhri-dirá el-qu'a driláteio en las dos partes igua~ les que; se piden. -. . '.1" " Si por la misma regla dividimos ca., da .umade estas 'partes iguales ' en otras dos, quedará el quadrilát.ero dividicio en 'quatro partes iguales; pero este modo de '~" , '"-'par .'... "'~~'""

, de medtr §[}erras. f49 pa'1'tfiD a¡as:tjenrll$~' res: mejhn pr~_tlca,1l1Q so ~ br.e (.eíbipap.eh ¡j€sp1¡les ~d~, hab':;l1"le~a:m:ri..~ do

d plano de ~llas.

.25-Ir;L'Jt l~1'1;-,q

.,;~,' . . Qii~sji91J " V. ,', (\\"'.y.J" -.' / I93 Dirvi3ir un.tJ"dpeciQ ABCD en tres partes iguales. . .:' ~ Di~~da~e; ~a:da t1llnQ;de é'l9st1i(1<,>s~ 2:B y FIG. 68. ':De em ltres r !jl>.:!>l}t€S.jglJ.~re.s"C¡ada muo':.,'1 ljl ~

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tihmse las .. i';ectas EG" EK :con; lo que: quedará div·iclrida la fi,g.ura ,del rbcido que

se -pide 'J~' ';; ,.; "iJ "<1' v·... .I ,.... 'v;) ."--.." ') .S.L (,'{~ " t':; ' .: Q}ie-stio;n . VL ,·).~ :ú l1~n~ü;p ..

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Ver,

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_ "",.,' f' ¡rr' r,! 'J": ..,,,, r -'le,. . . "'-. ....... r. - ,'1? ... r . 194 r Di'Vidir un.~q.u.a(:lt;iláter.o. DCABtFlG. 69· en ,tres partes iguales' con rectas -tiradás} por dos puntos E .y F. <. r.~ . <.Tirese lar di~golilal DB, 'Z P01; elp;U11f.r .li _

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to e iI:a~CG j panalelai á'DB:qneenauel!í're elJaoqJ:AB pl.101on'l3íldo en,.e~ ,punto G;l div.idasetlaxe.cta AG' en tres Fartes igrua~) les -en los puntos B, é.I, }01liI:ense.lass.e c..; ras DH y DI; por el punt0 D tires e la DE, Y por el P\u!to H')l~ HK paralelas , á DE, Y tírese la KE, el quadrilátero DKE-At,ser"á. una 1 cl.e11as..p.artes.{1pe ~~pi" ~.. . . .~ "';~i d.Cn, ~ .: .'\.-. ... " ', . (' ~ , <1:': _ "--;. Para las otras dos partes tirese la DE,:¡. yIp~t: el PJ;lii1~0.J 'Ja ¡Lvpa~l~l~ á~:F ·;. ti- ... 0, rese ~ cL·F ,~ t f. éstª,·G9P~J¡l:lkrª-.la· ~~v¡s.ioª1 flll del ·lno-;1· Didp! .: I"i' 'lc'~'r .. ~{!ó .~~~. sp, ;y-r7 ~ " ' J.'J ~" .. ," ~, j, •.w', 1 .... Por

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rartes iguales.

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Método de

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a:T\.ambiéln~s:patté 'deb'tte 'de' 'lai Á,g ri:

t:{l~murn. rel ,1ev:aÍltat l0s,::phln6s 'plos- ~~ toqos qúe para; elf6-rnos ·subl11ihistra. l~ G~@metría -práctica , son .. t;¡!¡,tly f d1vets<D'~;

pero cQmo la mayor parte de ellos _re,..· qliieren instfl'l,m'dnws' hi!ujk ostosos, y di· versQ estudio del que necesita,un Agri~ .~jJ ·~!'l mensóf ¡HIte ·Ceñiré ,á" ex:plicai:-" solo'~ ono. ( que por su sencillez, .y .el ,poco Ó ningull

aparato de instrumentos que xequier,e ._ preferido á qu.alquiefa' otro; d que (locplicaré, ies0lviend:o',la síguiél'!tei qüestion';al'Ulque..mas adelante explicaré 0firo por medio de la planchetá,.el qtie) tambien es sencillo. ,

m€íU:..b1igID ~

(

2,,~ri•.L·;>. <..,:: . .

(~ Qüestion..

,I~

'O! " ~I

•

t-=f.

~LI9S Le'Vanfar el-plano de .!erre-no ABCDE &c. de poca ó mucha ext'en~ .J

1 -

SlOn.

Fra. 70. -

< El geómetra que se propoge leva~. ta.t'-et. plarro cl:e: 1m terrenb , .~ebe ell prF mer lugar recorrerlo tog,o al t¡~ded0r·.po :.o . men-

, de mediq-i"Tierrtls¡ :151 niendoc'eñ cada.uno d~ susJlngufQs Ó rin~ cOlles.¡'1COllllO.A , B., G&c,;¡>llTI¡ CG:to, tÚ mas /tilien u.:I1á , vara ~gru€sa b.J..~n d rech~ 'fj perpendicblar aL terr~no (lQ q.we,se, c.on":: .; sigue fácilmente .por medi,ü de un p10¿ mo pendiente de . un hilo) .: hech,? esto 1;Ohlaiá:c.d~sde, c-acl~ litllO. -d~..los- ámigulos . s@!b>re' los ~aclíos·ld01;atiigu1"a las'.iP.attea:Em¡ Btil,!€P..;·Cq.j 1)..1" ~ ]).s:A&~.( i.gljhle:s5 ~ntr~ st, y que 'fengatufI\ njÍmer~~det¡er~iF1at

dó dé pies,; ova1'as Ó estadales _segun sean . dellárg.oJoda.dos: de ..Ja.6guJ~a (y S1l1pOfu gamGs2qlJL\:qeI1f..la mll e~tra; sept011:iat'Q.n:de -if.a esta;~es~ cada lUlIllaroo ;l.as'rpattes;Ji':Il.Sb :mtadas~'; imagmrolseI.las fi!mbuw {JM;:'1J~ tu &c. (qU€. s.ed..fama¡n 16s -abr¡;aztider'ós)~ mida-use 1"Odas l ~stas:Iineas., i.l-iguMnlítO.~ .que 10.1 lados cre.J!adig¡urit,~ls.llpODg:al1lOS .q\¡~tieneill 1>UO 110:; : 1 O:J:.íDQ r:; n5 ~r~

I:i 5.)) 2~:; lE'{ 2A1B~1. í;·grie:;..L4(1) teitada~es.OJ (lhfI~br.A' -, ;,l1ÍII:31. 2,~r. L¡. zr-Sf' t "t~J:.J ~ fil.:,:'¿, "'J') r. .¡ UD•. , . y r r ro' r .. ~ r f"~ :..JJ.l v..,.¡/l"'-.I ...., .JaXli.. .... .. . • !. .Y ~ .:; .; .... .:..' '-')'.l...;..i 'J:J2:} ", 'i t - :e~ 1'.; . ~ ;~ l~I~ ... "L .. f. ~,r..oü 'ir i..

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gUr? aib pape1; ~o <fue~~ecutará, del mu-

'clb.siguien'te. : ~

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2OLU~trc eIJpa:pekJea qu~) se fru:mi €hcl:i-:i lmxo'~s~ ;·tri¡rar,m.rraíJr~Ct1a MN"la lioe, s€'~'.d.j¡~

~d"~ien;l:ietio·tlttm.érQ

'.de Hal't~ igu~1tes~

1!(ui .exem pIQl'!err .:'6'c:b r pata _qnt! sirva ,de escala; .. á...la;· qtúlLse r,etieI1em. ~Gdas las 11", i1oa~ d:e J? .iiguva.;;Hecho 'est0 ·se,-tira 'UJJI:l 31ec.fW !ab ,.áJqt1:ie-Il)se1daIil14"() ~partas ;: cl:e. rla

eSu:tiláwm!láák ~)J.LUIll cbmp'ás!!.(pOi:> te'&

•

ller,'lIAQ -:estadttl:e-s eir.1ádo} rA~ e~2tér.re~· l(f)~;: con.tina ahertura .que co~t5!nga, 1.0 p~rttes. de Ja~scaJ.a .¡ haciéndOc"ce.!1tw ;'tm b.'Jf!Se.1 1)t:a~aeup. tUÍJo1!lo .qUfD corte hit red¡! ab en el punto I : eon otra al;lertrita:¡llIf.tl compás;;que ,contenga.tantAs pait~S d€ la _ escala, como ~litadales .tenñunm haciend() centro en el Pttnto. l . traéese un arco que corte al círculo en · el pu~ro 2; por este punto y el punto b tir.esf!I;i}recta. b2C , y densele 50 p~tes de la . estala por tener otros tantos éstadales. ená"ao Be en el terrel!0' Desde " el punto .c. con u~ intervalo de 10 partes, tracese . otro" círculo que corte la' 't ecta .bc .e-,;..:- el punto 3 j Y desdé este pu~t.o.como centro con un Intervalo de 18arar.tes de: la...eScala (porque ,.. .. ·'.J·-l pq

• r.

de medir Tierras. , :JJ3 pq en el terreno tenia 18 estadales) tra- Gese , otro arco' que cortará :al CÍrCulo en, el"punto 4; ,p or este' puntó, y el pulitó, é tirese la recta c4d' á la, 'que se ' le daran .tantas partes como estadales tuvo eD en el terreno que serán-46 j, continúese prac~ ticand0 las mismas reg1a~ hasta ' eerrar la figu~a. y tendFémo~, en el papel lma figura semejante 'á la ·del. te'íiren0 ,.1a qual se podrá medir en el papef por medio dé la escala reduciendola á triágulos (1 So) . . Por las mismas reglas .' se determina y señala en los planos el. curso de lun camino, cerca, canal, rio &c. i 196 T anibien se' -podra levantar el' plano de un terreno con ,e1 'au:Jci'lio del cartabon , si al mismo úempo que se mi~ , de la tierra. , .el 'Agrimensor tiene cuidado de apuntar todas las líneas que va midiendQ; ya sea que la divida en trapecios .\. Ó triángulos (177 y 178) pues 'por medio de una es.;:a1a le será muy facil trasladarla al papel, pero este método no es tan Seguto y sencillo como ef que he explicado; pero debo advertir que al medir" los lados, y especialménte los abra zaderos debe hacerlo con la mayor exac" titud" pues un pequeño error en las medidas puede manifestarnos una figura algo difer:ente de 10 que en sí es. . 197 Levantado el plano del terreno, Vy )

154 -. - Arte. ~, . y . puestó en limpio' se señala11 en· él l~s' part~únas princip?les '.q ue cqntiene', 'co· mO-'son el.riq "camino ~"casa :, 'l'\10nte', .po!· blacIó>n ; viña., olivar &c. ~ , , Pero como la expresion de estas par... t~s. l1p_p~ede hacerse .bien ~ si .el Agrimen. 501' 'P0 tIcn-e· algul1 conOCImIento del lav~dº .' de los 1 plan.os y colores que para ello_se qsan., ¡tengo' por oportuno d<lf las .siguientes no!i~ias. < -

pe. la. ,delineacion f la<1J.ado de los 'I 11'. _ "1:. ') flanos. "

•

198. Los ' colores simples que para cllp l§~_&l.~~'p_SQn los siguientes. Iinta .de '. china, cannin:, g-utag41nba , -~er de gris lí~ quidQ , indigo.$. añilflnQ ,J extractó de r-e." .g aliz,a. ~';). i _ , ', r J¡ Lfl tip.ra·(lé· china es ~ma past~ .lfl.e~ , gr~ que VIene 'de aquel reyno i · la me':, jor-es :de 11n I;;Qlor negro con visos de·morado, .se" 9éslie en una tacita ó:; c.0J3.,ha, con agtJ3 I~OP11lj]. ,.,..cargandola ~as, ó me.,. nos seg1l11.; eÓp el fin ":con ,que se1hat'e; ~irve para,. tir~.r las líneas en los_planos: .y ~~ñ1es que nó representan un grueso de cal ~ canto, y tambien para wmbrear, y .dibbar,las· montañas, obser~ando 'g-tl'e en estas 'l? párte. -OF~lestr.( al s01, sea $ie Ulr ¡

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- El

de medir Tierras. iSS , El carmi-n 'es de color róxo~ y el mejor es el que viene de J;>aris.en polv.o muy fino" y se deslie con goma. Este color sirve para tirar las líneas que representanun grueso de cal y canto, y lavar las , obras de esta materia. La gtitagamba es un~ ' goma resinosa que se trae de la India; la mejor es de un amarillo subido, suavé y- ·sin arrugas. Desliese del mismo modo que la tü;mt de china, y es de gran uso en los diseños ,de fortificacion, particularmente para lavar proyectos, y todas las obras que se . ha.!=en para un sit!Q , dmrQ trinchera, paralelas &c. , El verde gris liquide>, ~ ó color de agua, para que sea bueno ha-de tener un color azul celeste que no'lire á verde.,De este se ,lisa para represéntar las aguas , echandolo en. una taza ó concha, y de': ' xandolo -por algun tiempo ' al ,viento quando ' esté üiuy claro, ó añadiendole agua quando esté,1!luy cargado. Este-color se hace dd modo siguiente: mezclense dos onzas de cardenillo ~ media de cristal tártaro, el grueso de una aYella~ na de goma ara biga , un. po~o de piedra alumbre, y dos quaruUos de agua, y puesto todo ello á hervir en una olla nueva á fueg>o' lento ~,hasta. que sé haya consumido -la mitad" se colará desp~es V2 de

156

Arte

de frio por un papel de estraza &c. , y recogiendolo en una vasija de vid-rio se pondrá al sol; Cl,lyos rayos contribuyen á que tenga mejor color. . El añil fino ó índigo es de co101' azul turquí, y se desUe ,del mismo modo que 'el cat'mil]. Sirve para lavar todo lo que es fierrQ, vidrio, pizarra &e: , lSargan-dolo mas ó menos s€gun el fin para que se hace. El extracto' de regaliza se deslíe en agua goma, tiene ~l color de madera, y sirve en el diseño para lavar las obras de cárpinteria. Aunque ·mezclando el ama· ' rillo y roxo , tambien producen color de madera que se e_mplea para el mismo fin; pero si en la. mezcla se echa un poco de carI11in, se tiene el color de arena. El amarillo" roxo y negro hacen ,mepclados color de tierra; y así la gutagamba, un pOfo de -carmin, y una corta , pordon de tinta de china hacen un cplor ~.dequ,C!do para l~va~ los fosos secos, ,camIllos e.s~arpados; y tierras de,labor. ' . La me~cla de añil J amarilla forman" el verde, y así el índigo, añil y color·de -agua haetm UI\ buen verde, advirtiendo que si se qui€re muy subido se echa po ~ .co: al1J.flrillO, y mqcho sL se quie.re ver- _ de. dar,o ó verdegay, el qual . sih,re pan ,representar los jardines, hile:r:tas, ái:'bo:,

les,

dé medir. Tierras..

157= les, matas, y todo lo que ha Ele :ser d~ campo'-') (',, ', ~ r , El azul y ~oxo hacen color ,de púr-' pura', si el azul predomina resulta: el de violeta, y si sobresale el f0XO se tiene el color motado, de suerte que el carmin rnez~laqo con el índigo, ó con el colorde agua !produeen dichos <;,olbrés. La tinta de ch~a, y carmin para tira~ líneas hade ser mas , fuerte qu~ para el lavado. f 1,

' ""

" , _'

De las'plumas ,pinceles, '''vasijas J' papel para los planos. _ • '

199 ' Las mejores plumas _para tirar las líneas en ' los' planos son las claras y menos duras. Quand'q las líneas son muy gruesas, como lás de los márcos de los planos', se,/usan las plumas de cisne, y se cortan haciendolas tres ó quatro puntos, pero qua nao las líneas han de ser muy delgadas, ,se gastan ph}mas de cuenro, aunque algunos las trazan con_"los tiralíneas de los estuches. ', ' ,. ... 1,, _ Los pinée1es para lavar los planos deben ser suaves, de una sofa punta no muy , larga, y que no se enrosqtle. El diáiÍletro~ de los pequeños ser.á de (;) a 12 puntos, t Y el de,-los -grandes de dos á tres ' tí.:. neas; lo§.·pequeílos sirven para tomar co..:- ' '. ( ' ' 10-

1J8, 'o. _, ~rN ' lo,res, y lo~ Igr~q4~~1 R,no~ lexty~d~rlos Ó desvanecerlos, 1l1ojandolos para e~to e.on ag~la CWnW1. 'J J ...:,~",,\t r: '-, ~ " , ,;Las v~sij~s'r para IQs c,QJ~tes son unas. , tacitas pequeñas hechas ~á .p¡:.opósito, aiul,que ' algunos stfel~n . ,gastar com:has de I}.1<J.r.... ,

¡' ¡

,J.' .J j

El pap~l: q:u~ ~~,~~sa p¡t:ra el ~ise.aQ ~yJ lavado de ,, ~os planos tiene dífereptes marcas· y t:,uuaños • el mejor es el mas b lanco" batido y engomado. . '

" <, De la. toeduc:c{on de -las 11J,edidas. 1..

Es tan grande la variedad de medidas que se usa en España para medir las tierras, que sería un proc~der al infi~i~o .quer~rla? referir tod,a s, mayor: ln~ñt~ quando me hallo lent~l'51dQ ,de. <a.ue en ,algunq,s pueblos aun si~pdo de coxta vecindad admiten varias l11edidas segun que las tierras estan situa9,as en vega, ladera. Ó ~Qnte; por cuyara~QI1 me abstendré de .aumentar este ~ volúmen con tina reii¿i~~ p'r~lixa é inexáéi:a 's~guJ~ 19 -}?-ractíca nuestro Vitlajos ', yen su 'lugar -subs.tituiré el método de reducir unas medidas - á orras por medio . de ,varias qüestion t;s,~ que ~ne pare,c:e será lo bastante , partl que, el sabi0 ·Agrim~nsor sepa manejarse. . en las medidas qUé' se le úfre.' 200

•

de medir :'¡:'ierras. '-I~ Qff-e~fese 1p!~c'fi~ai: l\3n"qüal<fúi~':p~~s~1t'\ necesiaa¿btte\-g.]:ªdi1~;F de r.í\iéw'\'Stl. ~'ade..:t mr,. 'm¡,~rd:~\.\;),~F~~/ ' p'orqtl~~,i &s>~\evjMeí\te"\ que,:d l:A grim~nsdrc- 'que\)'pasa"á':,m,édi! á: tln ' ptwolQ :qu4l1q\l~€fa '; 4a"'lPl'hn,ér.a di};¡· . gencia \gue .d~DéJ?r~~tiGa:r e~ 'eIÍt-er"'éli'~ae: bS/, n\J.edidásl,.! Qíte' 1~nr· el.r s·€'4rsaT.f~1si:n¡¡ñ'arse de-¡l(i)' tl.ll e Jl¡.ili\ajósr·o ' q~alquier:&i'r6 .A-ui.? t,or:. le /idigf.r{; ¡PÓft1ti€\1estos, p-hedéa; pa j cle'eer ceql1ivot~d@n ,(6. 'ha1?ét~va¡{i~d6/ ~ás' mepid'as desde aqú€l.-tienipo; ~ ,t¡ ;':," •

~LLY '~sí·. di~, éJü~ ,--sr;~-lmhtaHal~:sü perq~

fidad}q.tle~11WIha~ 're:€tl'(qll~ ~9!é15qt'íe 'tids ne 12 pies por lado) le consideramos dílI v idido en 576 :pirtes; 'el', :e'Stadal su per~cia1 de MadrisJ. (que es de. 1 o ~ pies por lado) (.temdr,á,¡ 44'!- de .estasÚmisfhas paHes, y ,al ' ecstadal 'sUf1>e.rfiGi~b d@ ¿·~ .d~'1>IeS'>p'6); Qque , es ", e~ : ~tl.e~ s€ aCQStinñtita'J6:Rt~'

laaG>

mayor .'parte d'e,:;' C~St.~.na/,')l,a"}llú~·~~:t.~~ corresp0Nclen 400 de-d10has pártes~ l.,u e-

gd ¡ \1a,' n::á<1J.ccib{l ;de 'estos -esfadales d~ , d·tu;.[,ra¡ . / ~ practilQae',;¡foo

UITOS ,, ~ 'otros ,se.' rí3

;1'1

...

•

.::tres'

simp}~ (teg!:a á :l¿ '90mQrl1ci ~' íi1<l'nfii~(§s,s tólnJas ~igl1ie1i,~6S)+'est.iópes?:;J c".n 2')r;,t)~1 - s '.. :)') I}: J1"' ¡¡'~ ,,' -) < l.~.:':::' 1 v~ l.' 1) .t Or~

,;1 :. '.

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([¿üestion primera. -' -.' , b

'~l ~:, ,.., ..J . .

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~' ~l

201 Un Agrimensor de Madr-idl,;"q'iM tiene su cuerda di'1Jidida en estadales de ¡¡ 10 i pies, pasá á medir al partido de AI-

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cq.

------~--------------------~-----

~~o. , .~.'1 \ ' ·.4r~e..... '. ~arff . "t'..(!,0J!:d.e :lOS.'Nt..4 .4{des' rf.P1:t de'(Í"IO'pies,

J'.. 4.)1/9 jff1Z/g4 ~Il le dA.rZ. qUfltroc~e.ntQs .de

estos,'Ll' ;habie11!{.o,J¡,.!-ch,o. la medida por ,su cuerda le:, salieron 2012 estadales' de á 1 o ~ pies " se"pregunt{l ¿ quantas J~negas _ y esta4,aJe.s._de.. á ;Ibp,ies cad4uno hacen?

, . l?í.a~? .re.~01~er, e:s!a!;qüestion.. fdirémos;~ ¿ quautos, estada1es de á 1'0 ,pies darán? qué practi-: cando 10 dioho (84) ·salen 2.218 ·No e~ta· dales de á 10 pies, que divididos p.or 400 para .s~c-ªr ~~S; faQ.~gas q:ue contienen, sale

S~4oo l dan' 441) ~0,!2.i estadales

atgüp~ep,t((JS

les" . OÍ" • . . ' ,j(

.J,'

Qüestion 11.

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•. 2q.~ í

4:.~anegas y 18 -l,;'o

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estada~' '

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U:1!- Agrimens.or midíent{o una

ti('P..rq ~ªcó 78<;;)0

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r.~

estadajes de á 10 pin, J quige:; /aber . . quan.tas-:.jqnegas de ..á, .600 estada,les reales componen. ' .

Fórmese Jma ~egla de tres diciendm si 576 dan 400 ': 78bó ¿ quantos estadales reale~-ohal'áfl' ? Resolyiendo,esta regla segUQJ ~0,.il1sir!uado (84) salen 54 16 '~~t estadales reale~ ., y dividitmdo esta cánti-~ dad por 600 , que es el número de estadales reales que correspondea á la fanega f real, sale el qüociente 9 fanegas 16 'H~ es".' ta4aJ'es. , ....

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Agrimensor- .quietre . reducí~ 8246 estadales de á 10 pies a' e.stadale~} .J uelO ¡¡pus. _ r. i~

.; 203 _Un l'

Á'

Resl!lelvaseJ la ,:9üesti~Ilf~ dioiendo: si ~4.J. .dam, 400, 8246. ¿q1!Ié rtúmer:o qe es~ tadales de á lO"~ pies ' darán.?! ,Exe(mtan-; do lo dicho (84) $alen i479 !~f estadales de á la ~ pies, que si se divide 'por 4°0,1 salen 1 8 faneg~s 279 ~~i e:stadales: '! L Si en qu,alqufera dehS'",tres« ijüestio~ . lÍes de reduccion que iV'an. explidrdas ~ se. invierte la proporciovl (8S)'. la primera nos enseñará.la reducdon de .los .esta..;: dales. de 'lo pi~s á ~ estadales de ' lO} :pies;. la segunda 1a:' de .estadale~ . de l J2 'pies .á" estadales. de 1 o Fies '; y la, ter~era d.a: .re~. duc€ion ' de-restadalies. creIo.i- pit';~ ~'..esta: ciales de. 10 pies. . Me pare€e he .dicho lo suficiente SQ-bre esta materia, y asi' tengo por escusa~ do el :e..1teIltdenme·' mas. l 1 . - .. ¡ . '1. "

J .. .... I

·--"l~_;

De los apeos ó des-líndes.

'!jolJL

lfl

f:J

, 204 Hacer , el apeo de una tierra, NO es . .otra 'cosa qme seiíalar. sus lirnri'tes;

, esto se ptactka de varios ¡nodos; por:'; . que' unos se, contentan ' c<in! solo . traza];

X-.

1.111

102

Arte ,

un surco todo al rededor, otros con poner en los ángulds de la .tierra unos simples cotos ó mojones compuestos de una simple' piedra, y e¡;t~ : inuy pegúe,ñ a, or!gen de las lTltllchas ¡tIerras que en el dta se hallan perdidas, y sin recurs~ de , en.,. contrar las' ~sini- eitlibam-go 1de r l"b::marlecer SB.S escriturás : p0.r~tie es, ~vi4ente " q\U~ s,¡ 'a'lgtl}1ó: d'e'¡los. dueños.: de las tierras cohtiguas no ,tienen conciencia, desd'e 11!lego' éJ.,tiita los cotos ó borra el 'surco, ponie.ndo los límites" ~ .no poniendolos, donde.' ~e';, acorrloda '; de S1.'ler:te rque si el du~íiQ-deJa ' tieHa está ausente" á es' omi· . so 'eri-c.e}ar sús intereses, pierde ,la iieF~ fa ,.hoy 'un ,poco, y mañana toda:. .otros for~ah( lindes teniendo cui~ado de de,., xar ¡todo aJMxcdedor una lista de! tierra siru labralf. ,>'qde, ~on el tiempo yar cr4alldo yerba" y consolidandose ,á modo de ' uh prado, y sin duda es un buen, preser,. vativo;, p~ro no poi esto'está · e~erita de , fJue la maFd~ ,del hOlpbl1e Ja rtaestruyaJ pues hoy qUIta .;un po.oo<,. JJ '11.'l.éJ.ñal'1a ~Ia destru ye toda; y así á mí me parece que ' el medi@', 'más .'eficaz d'€ C011Séryar una tierra' es hacer en cada uno de sus ánglh los'¡ó ',cornijáles entrantes 1- ' salient,es r'un bóyo de <los' á ,tres pies de ¡,prof7wnd'O i y echar ; tmhcama uno de ellos rdos .0 tres " 'esp~ertas:d$e guijo, gtanzas;de?Gat; Ó ~~:s f¡ bIen , _"

de met!Jr Tlerras.

'jQ-'3 ¡bien' de escbrÍ.a-rle fragua; ¡eerrarlos, co.1?car .sobre cada ~no ~l cOi? ,.,de,i pieeka .Q .de,. otra ql!lalqu¡er 1,',l1l..ate.a '~ trazar LJ'l'l ,s"t1r~o ,de uno, á: oírlo j medir susncl,ist,an"'·c ias respecrivas , y expresado todo en la ·escritura, igualmente que ~a noticia de ílM. tierras . C(1)l~ !:quiencQnfina ~l nOJife.;., J;nediódia, .odeitteí y i 0G.cidente. ; y sir f5l '. dueño' de la tiex:ra híciesetlevantar ~plarita .de eHa. sení mucho '1l¡lejbr ., plles állÍ' 1 ~e 'verá patentemfmte 'su hglilra ; la que per'derá precisamente si..alguno de sus ~.otos fuese . FUuda~i.o .;!.; yl~ :€tl" - es.te : lC.as~ . es lnul' fácil volverlo á su r~spectivo lugar'''~b.us} '~andQ ;el· pat.ag~:d.,dqdé. s-€:nallam last€sco...rias 'enteúadas;-19 'qué será fácil con sor@' . ~er el plan -de h{ti~l'fa .(:1ff). Lo que ..c1igo> :resp~ct6 _de!nna ctitrra s:e <!:plic'l á.un{ter:. ·rel10'grand€ p~~iguí:l1ple~lt¡eJ al1!éi:m~Jil.o 'de IJ¡¡I].J pbleIDJÓ-¡ ~lA H • . k L ( 'i ~I)" '.J\ ,)) • . ¡ ..... r.' lr.:j? ~) !"> "1') ' J X,''''' "·"'''1··t 'b t:¡'Iua - n'~ ,'" .... ~,..~

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'O*Y 'J La maf¡.éi; <die; los -Il~n;b~~s lIega á · ril · pui'lt?:,. <fu~ sin~e:mba.r,gó: ~~ l,'q~é lasj '1éyes"g@1

,re~oo.'pxohlb.em:

-[a¡:tr;{ny;)¡'!ñJtaQl0n ,;).que.Jes¡( un d a E~J.1a d~ ; perdet) La propiedad de la tierra si esto 10 hfce. ce su-pr:~ pia autoridad, y un otro tanto m'as el' qu'e 'no es dueño, como pu~d~_ verse en ,la primera, y otras • del lib, 4!' titU+O\ I3' de la recopilacioD, todavía h,ay muc·bos que se introducen en tierras agenas., 'o'usurPállJpme dtl<:elfas.-rbmpilmde.l{is li~des. • t

.cl~~P9~IOy¡io l~!l tlj)~ a'·_~.a,:x..

. .:-r

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'i6í4'

.-~)',

' Arte'

Quando 1:ma tlerra con el transcurso deLti~mpo (s2,llega á p'erder;nQ" ha~' otr:Q recllt.s0~ .par.-:restautarla en . todt1;o pat.!.. -te', <qme ¡eS eFqllé el Juez pida las 'esctiJ- ruras de .1as tierras confinante's ; si medi'das 'estas se ' halla 'tienen mas tierra.de :aq~lellaiql(e ,e.~l"¡::esa J~. escv~tlura: ' ¡€;, ~eña~ _que e~ .ellas se hrulla mc1md'a 1a.twrra""O :algl1na parte'~ ded1ai J porque puede ser ~que J á estas les hayan quitado'alguna..par,te por. otro lado: pero si para restaurar , ,la ,ti~rra por este medio se han de sus,citar pleytos, ~l()...;ntejor . de. todo. es aban-doriarla! l o 'h: ':. " ' . f). ' . ' \ ', ; !, '. . { :' -,PataJleV~ntár. iá,planta: ~de Ul:t.terren'G> rCc>n la mayO'! ,semcillez por no, haber ne.!. !(:esidad ,de carta'bon" ni (de otro"instm;. .mento' a1glJii.:ro.:, "'es muy suficiente ',el "que ~ex(i), inshmadt,¡¡ Gr-,9 S,) f,! ~pellQ uom'O'puede ocurrir que haya a1gun AgrimemsQr _:o$ -SeiÍl!>f) de tierras qlle.quiera gastar su di-

!!~r~_ ~J tene~Jllgu~~to deJ~s

(que, qsa : ~a-G.eQruetría~pr~~~ica; t~ngo por

!OpOf.t,t!;IJ.0 ·;; ioe~uit uno¡~(de:"ell(¡)s,~f&o1)acld~ ícomebnü.:ll1bre .d-e: 1 'P1an~hetarl" lexpl~Gall'"

rdó"aunqáfe '~íl r.breved~cl 'Su :ic;ol1s~~d.. .

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' Lá plap1cheta ..se:, c01l}p0q.e,· de una

de medir Tierras. - i65 'una· tabla quaarada ó rectangular como ' - ,MN" de una alidada ó' regla gruesa pa~ 17a dirigir las visuales á los objetos, cu-ya posicion conviene) qeterminar, y de ~ l1n armazon de tres pies, sobre el que se coloca, asegurandola pór medio de un tornillo para.su liSO. ~, De todos quantos ;rilstrumentos se eono€en en el dia para levantar :planQs, ,,'es sin duda alguna la plancheta, quando no el mas ex-acto el mas;sencillo y usual. Explicaré SllS 'Usos por medio de al' gun exemplo. Propónesenos levantar el ' plano"cle una PQsesion ABCDEA; pon"gaseen la plancheta ,u n pliego' de papel · blanco ~, sujetandolo con un bastidor que para' eUo lleva, ó pegandolo con engrudo; midase despues uno _, de los. ladqs del ' ter.reno·, por. exem pIo AB wn La ' mayor exactitud por media: de una cuell· da .ó 'de, otro modo: én todos l<Ds .ángulos como C, TI , E &c. colóquense unas · miras; despues ·tire~e 'en 'la plantheta Una recta ah á quien se ,darán ,tantas partes' de "la escata, .comó ~pi€s i varas' ó'estac[ales tu·v,0' la , re'cta AB ,(la q'tla-t: suele 'Mamarse - base): colóquese la plandletia :en el ex!trel110 A de hr base; de sueI't~ qúe lós -Pl.!l1tos,.A .y a rcaigan tl'llo ..so.bre @tro, y la recta AB coincida con 'ah: dirijanse cdespues p:br~ :eL cailtb ' de; la Iegla',~v.arias ' <¡J tec-

. i60

Arte

que vayan desde el punto a á to·dos los ángulos del terreno, como E, D, -c &c., y tirense en el papel las rectas ·ae • .ad ~ ae; mudese la plancheta alextremo B de la base, y colóquese de modo lque el punto P caiga sobre el punto B, Y las rectas ab" y AB coincidan '.' y desde -el punto b dirifase á los puntos E, D, e .&c. la regla mirando 5iempre por SJl ' canto, y tírense fn el papel las rectas pe, .' bd, be &c. ~ que cortarán á las anteriores ·en los' puntos e, d, e, y tirandq por úl- . .ttimo las rectased, de quedará estampada en el papel una .figura abedea en todo .seluejante á la del terrenQ, cuya _superfi..cie se medirá con la escala, div:-idiendo·la e? triángulos .con tanta y aun m~s preclslún que es. el terreno. Es tan sen:cillo este método': que ,con solo saber me-dir un triángulo, puede qualquiera me·.dir los campos de may(j)r extensiGn. . , ~ectas,

Del q{oro•.

.206 Morar los líquidos., es .saber ~.que

cantidad de -ellos"se .contiene en una -vasija determi~da, como un tonel, cu.ba , tenaja &c. , y los que s.e dedican, á. practicar estas me¡¡jid~s se llaman Afo-

!r-adores. .

¡.

1 ._

El'. Mora.doL· de1Je~ ante,ct:odas co.sas · te-

de medir' Tierras.

167

tener: 1lu la" noticia exacta del. número de quani,líos que coptiene un pi~ cúbico de :}Iitor; pues por lo regu'lar es el pie ,cúh>i).. eo la cantidad que se toma por unidad en las medidas de 105 líquidos. He visto varios- Autores que tratan··s..obre la cabirlad del pie cúbico de Castilla ,;; y alnQ, tar l\ls diferencias. tan s;onsiderables que hay entre·' ellos~ me veo obligado, á creers qÍ1e n'irigull(J) hizo la medi?a con la ~s crupulosidad que se requiere .. Don :IeoGOro lAnienllans, en su tratado. de Gobierno, Polítoco; asegura que · el pie. cÚ':': bi€o de Castilla-cabe 42 quartillos ~ Don Juan Polanco en,sl1' tratado sobre el OrÍgen de las aguas de Madrid, afirma que dicho pie cabe 46 .quartillo~. Pero . Fernando Sanchez de' Bermejo, Agrimensor y Aforador aprobado en esta Corte ~ 11<;vado del zelo grande ' que siempre ha manifestado por el exacto (onocimiento de las medidas , m~ndó hacer una me& dida de J;¡.oja de lata, y que su cabidad inteliÍor t,uviese: vri : pie cúbico medidó cop. el, mayDI" .rigor;.. y poraa par re eXf terlorrlo'ireforzó .con varÍasrb.arras de ·la misnla lnateria, para evitar que qtÍandQ se llenase- de ~agu;:¡. el peso de esta le hides~ ·c·p~mdea;r ~ dicho pie )fné..collducido por '!Bermejo atl (wntiaste <d'l!>nd€'"" asegu,; ,!ado'~xa~tameÍ1te entr~ qHatro tablas pa~ ra

·t6-,8

Arte

J'a evit-ar. el. que alterase su figura, fué ~meclida iSU cablclad ,,c on todo rigor; ~a .que se halló, ser de 46 quartillos,y medio ,yun diez y siete ayo de otro, como ,cons.t,a por testimonio 'que de ello tomo el re;{erido Bermejo. el .que Jle tenido en'mi , ..pod~el·, igualmente que el pie cúbico: ,CUr ~yps cloClillnentos ,podrá ver el que quisie~ .re ~nte.rarse por menor de ello. . Enterados de que el pie cúbíco de Castilla contiene 46 guartillos y medio "1 ' .un diez y siete ayo de ,otro quartillo , SQlo no.s resta eX'Plicar. .el modo de hacer los aforos, maniEestan.dolo con la resolu.,d on de-va.rías qi.i.e.stiolles..

, . 207 Medir la cantidad de agua q~ contiene un estanque que tiene I2 pies de largo, 8 de ,ancho)' 3 de profundo. . . Multipliquese I2 por 8 , Y el pro ,: :dueto 96 multiplíquese pG>r los 3 piesqu€ tiene de prefundidad , y este, segundó producto 288 :son los pies cúbicos qua ~bfltiene nuestro 'estanque. Si 105. 288 pies los hacemos guartillos/multiplican:, dolos por 46 i Y un. diez y . siete av.@ . d~ otro quartill0, ó solamente POru ¡(j{ des" / preciando el quebrad<D menor por 'ser ll'luy.:. pequeño) ! Y el resultadoJ_lo _par1ii; mos

tle medir 'Tierras.,-.J

169 -

32.'(que'son los quar~i11ó~ que cl1n~iene, uUtb (rrbb:á) n.9>sJ¡fesu~tará q!ie

mos por

, dJcho estanque cunfHme.J4'l8:i arrobas de agua. ~ ~ C.. r,,, 3 Question 11.. 'i'{ "¡ ~ . r 1 • "~ #

;.)

...

aSfLpJde_la cantidf!,d•.'de <1Jino-COnt F1G'·72. {enida m"un tone1rcititzdidCQ , -cuya'¡ altura es ,H pie$ '~ J el dicvtl'l,e.tro de~ ~Ut;, JJ.ate - 208.

ae,

14.

" ., ..)

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r~.); ~:' ~".:

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, Multipliquese el diametro por si m¡s~ mo, y el producto 196 mulüpliq.uese, por 11, Y este último ¡producto partase_Jpdr 14, y el qÜc>dente 'I,S~-'<pÍ(¡UJ~Sl11Jt~ €S,,'l a sl1!perJicie' del cÍr.Gulo de·la base. .de nues:, tro t~nel (1 S1); multiptlquepse Jos l S;" pies por los 8 , con lo que tendremos 1232 pies cúbicos" que multiplicados por 46~, y ,p.art~do, e~' producto por -3~, haBa. rémos' que la cabidad~'€l ):0.ReLe,S ~ 17.9Q~~ rarrobas !de vinp; '~ 1 ~- ,;'b ... rrL '~.IJ ~_: r ':'

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Qüestion 111. '

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20 9' Medir.la ca~titjad dél "Vino qu'e FlG. 71. cabe un, ton,!l redondo ~ cu)'as .:b;úes son . ,dos círculos desiguales J que el mayor tiene 14 pies de diámetro J el menor 7, Y la .altura del tonel es 12-pies. " Hallese la superficie del círculo mayor por la regla dada ,(,15'1) que será

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154

7 J S4

:Arfé '"

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. " h 1,1 1 ' l ' ti ple~; . a'{J!ese 1 1gl~a . mel}te a' s'~J?er ~ l .

ele~dét; ~egiitl(;[~(§. ~1~d6) ql1~ ser-a: r.38-i~

j.i{u~t?*li!CJ.u~1e.?Irn:Q!LporJ otrsn :estos

rüos

" números, y de1'pro~ucto 5929 extraig~ se la raiz quadi'a\ia ( 10 5}q ue es 77; súmense las ,bases 154 ' ~8 ~ , Y ~a raíz. 7~, •~. ') ~ Y' la;sum'a :269 .~ :qlIe :1?r~dblc€p "mu1;l,Phquese}patt"4 EJ,u'e\'e's .la: 1í~cera parte :tle lá ~:lt't ra~;cle} 1iO'ln~i. ¡I'o/.\':hl 'f>roductq . I07g son '" los pies cúbicos 9..ue contienen, sean de agua ~ó 'de-v1mo r que 'se reduéir,án á arro,baS' ;. ' n1U~tlp'ndancil.ol<.?tY 'por' '46, ~, y par~ llre11lcta ~lf p!"odmctr6cpqr -;3'2 ¡té'Onl@Jo. hettlos práGtic;rclqJe~(.lo5'-eKétltLplps 'an!er~oF reslf ~A resrll ' éspecili deJtohe1es llamaIl'):())S A~~fiifetr~s ,<\cuná :t(.únrcad(/de ~ases'p'ara'~

lelas). ," . . ,:~; ",;

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° ' "EÍlJerados ya de .laf'operaciones

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qt'le 'd~bé.q. p-raotioa~ p-aFallillerlir rel;cio)1tJ.\-vundad.~~ Jr/0 hléridr-émos} 4ificl1ttacl. alguna en medir la tuba(:: porque! sil. esta tiene todos sus diámetros iguales , ó lo que es 10 mismo es cilí~d'i·l.s:a, s~ mide .-~el modo que queda explIcado en) la ques.t\ . ¡)~r:: ti9n"' ahteribr~ '(2,o'8);, peró' si :'el ~áme ,tro del','qredt<:> de' d1a es\ rn..a,ybr que, 'los ~ ~ de lQS extremos como sucede en la ma'yor. ,p~rte ~de" las cubas, es evidente que coú suponerla cortada 'por su lt1ayor cír,curofq1ll'ecfará'dividida:>en dos :C9ll0S trun-

lcados iPiuáks 1, ¡ V Jasí con medir el. Urno de o

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' ellos

d,e med.ir' Tierras. .

"171

;ellos: P?r t~s:J:r~g1.as €S:table,c~~as én b. J qlie.Sti01H€fQeJ"a.( 2Q9},l y "9.t!pl!car,,e:l;r.e, sultado ,. rt~fJ.jfré1pé\s )~ (,cantiJ~d 9;e- la concavidad de la cuba; sip embargo de lo ,dicho ~ tengo por ~~;)flverii~.nte e~ten· .d~r~~ 1'11f~ je,!'~ 'tst<J.)llát,eria: 4a.nd9., solu: .~lOn.. a la\ &lglin~nt~ 1~ '.J~ L · "J1j.t ;, ." ~ .:! ' ~ t:: . r . . . ~ ~ ~ :a ~~J. ~ .... ~ 111. " Qües..tion ':¡T(.~ vb c:Jí, c.) i • ,_

....

~'-'.,

, 21 L Medit .la. éabidad de una cubá, FIG. rCUJ!a. . }ongit1f..d~ f.sJ.d'e~ 14<pies" ,c·k'diám-e-tro .mayor:,iá}el de. rtJ..n/medWi rle.. ,.,8:Fi(J~,':, X. :e:.l diámetro <menor 4~c6 pie.s .. ?:.J f.,f ·¡:,n. Hallese , la"s.t;1perfici~ ,del ,~ír~ulo ~a.:- . yor (1,5-1 }qüe' ~erá- 5~ }1 ;1.], .por .la rhi~. ·ma 'r,egla : hallese la ~ del. ~lr<;1;llQ menor

74.

1.:

_que será 28 T'\; mJ.!1tipliq:1Jen~ J.1l~a p-0J' otra _e5t.as dos st.ipe~fl~ie,s.·, (~y ·teFlc1Lré.JXH~.s el produE:to,..l~7t¡68.~:; e.:x~a\gaseJa: ll.ait .qua.:" d~ada ' de. e~te . nÚIl].,qo~~ 'que I p.e>r qu'anto es, Ó. tIene la forma de quebr.a do , la ex':.. traetémos primero la d~l , numeradOl: q1fe será (I,OS) .p·8 .; y.despues la del deno11'!inador' que. . será 14', de !lU0fte que la raiz ~~l quebrado propuesto es W; sJ.l'" mando este número con las dos superfi· des S0 T\ .y 281,¡:, ó lo que es 10 mismo 7-?¡t y.J;?¡, tendréplOs la suma 1~:8; multiplicando esta. última cantidad por'. el ter, do de..14 pies que es 10 que la.cuba tie-

ji ' .' .J:\ i72 . ," · ".n.rle tk de largo ; -'sa~e' el p~Qdlfeto5 42 fpies 'cúbito!Pqtt€' I se~ h~r~-1í! ,aftbbas ' l!l1uíttipli-'" (;~md\91~s ';p'Qr '46~1, ::y ·partiendo el 'pi-o~ duéto por .3 2 • f.. ~ ':)" .' L, ' ( . •• 212 La maybí" parte d~ los Autores, 'Y 'cfttr.e" ellus" ~Dlancó .y : ~a ~ign~Jil otros muy dlferentés""~ '}~ié(dd@s .aae:rca de' medir la cuba; sin duda que á todos se les olvidó<~ , n6. ,supihon que toda pirámide truncada de bases paralelas se <'''' ,;)r'1 COln:p0he de ' tres pirámides que todas -,fi€·I1ení ·lúla ,mis:ma: aítul.:a',\ J 'que \le1' una ,\lliétl~ ptiri.B~se .,.lá\'b'as~ l.maJoir deI.t.t'())lJ~o, la o!ra l~ ~a~~.:~~l1{)F\\ Y''l~ rer.cera,iúla ~~~. ptO}>@Í'Gl.Qñal -~\.ltte las ·~d6'sl_.bases d{fl:tt(;)ll(tur; ' ~¡;¡y'a P'f(}yu!dad .se e~~lend::e

'igualí11c?~t@

a) ~Qh.oftrUFlCl~clo : l éAprilJ.1~

~C:J! d.er ¡.Iós.íd'C!)~ •.i\'tf¡tki>J.!es tttados . .se<: · n:ra~; .c!le::;ta'{veF'd~:cD;;~p.tlfes -dke' ¡que

ale¡lQ vara -nl~~ft' "1a...éúlYag¡ :~g<i;" sum¿if 'las su pem.cles <de .lQ~' dos;CÍt..tu1os ', .mayor y menor;c y -:la mitad de e'Stlrsúm~ne multlp1iitti:e por :lQ)a.rgú ,de-, lª .cUba. ( S~ ( aplicamGJsks{¡as -Feg1as áJa ~edi~ii:m,:cle~nlú~ste( ~t1b~ ~ 'iVe:iémos ~llreíJsier.l'dQ i lnsi: stfpetfiáes;. de '1-os ..citadós clr~111os:- ';' hrpna ~dé:so ~_ pies ,-y -la otra de '28 ~'V pies: 'la initad -de,'su su·(ma es 39-¡4;r; y el producto r-e est!l :can-ticrad.p.ó{li4 es,J5·sd pi~s;~oánti~a?, m.ay'9r --que.~larq4ci;he.i:tms:Sa'ca:dd?p<:>r 1nuestro

fié··t0d@c,' fJde ,Sue~¡(dlEle haf un:efror .d e)iJ !~

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pIes,

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de m!dir Tierras. :173 pies, y este será tanto mayor, quant<? mayor sea la diferencia que se' halle en· tre los diámetros -de los dos Circulos, eu'yas superficies se miden. . El segundo de los referidos Autores se acerca mas al verdadero resultado: di-elio Autór 'aconseja que se sume el diá: ·metro mayor <:on-el menor., y de esta suma ?e, tome la mitad que se quadre di.oha cantidad, y el quadrado se multipli-que por 10 largo de la cubar ;'y este' úl-tim¡tG "produotú se' vuelv:a á 'mult:iplicat lpor -H-' ,':y 10' que 'resulte son los pies cúrThicos-que contiene;. y así 'practicando es-tas reglas con nues'tra cuba " cuya longitUd es .l'4 pies, uno de los diámetros mt:-_ -~ores 6. pies, y el mayor -8, pies tendré-' -m os el' resultado 539 pies, que solo di-fiere del verdadero resultaqo en 3 j pies, -y por.consiguiente es .mejor que el que -sigue Polanco; y por su sencillez podrá usarse en- aguellas medidas que no ~ean ;>de la mayor consideracion . ._ . ( Todas estas medidas deben hacerse :sin.lleltar ~en cuenta el grueso dé las 'ma-der.as; p1,leS en 10safQros no se miden las . -solideces de las vasijas, sÍno es la 'anti. -dad de ljcor que .contienen. ... r.,

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174

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Arte. ' .. \ .'

..Qüestion

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l'IG.75' ' 213 Medir una tinaja, Buya altura interior es 9 pies, J el diámetro por su -parte 'mas ancha es de 8 pies. ' La ti,naja es un sólido tan irregular que ne> puede la Geometría establecer reglas ciertas para medir su cabidad ,. y así 'esta se ha de hal1ar por, aproxlmacion. ·Polanco para medirla la considera divi·dida por el niayor diámetro. en .dos partes, y ~ada uI!.a de ellas~ la mide. <;té' por ~í ·como. SI fuera una medIa 'cuba'; pero_, de ,este modo resultan dos error.es de la mar . yor consideracion, el unp pof,:!ue' dichas partes "no se semejan en n;¡da a una me.dia cuba, ó.lo que es lo mismo ~. un co,no truncado; y 10 segundo_porque la regla que establece dicho Autor para pedir la semicuba, ó cono truncado es ,er.ronea. siendolo tanto mas guanto lo es la diferencia que hay entre los_diámetros .mayor y menor, ' Ash yo soy de parecer -que la tinaja se mida ' como si fuera. úu esferoide ( 156), por ser esta la figurá geométrica á quien mas se semej.a, pues aunque el resultado no sea exacto por la irregularidad del cuerpo, 'siempre se acercará al verdadero, tanto que Ja diferen- :. cía que hayga se pueda despreciar, que,.' dan ..

de medir 'Tierras.-

175.

dando al .cargo del práctico Aforador añadir ó 'qtritar al resultac!o ·a1guna cantidad, segun que la ,irregularidad de ICJ. tinaja ló requiera, o las circunstancias 10 exijan. y así para medir nuestra tinaja quadrese el diámetro de 8 pies, y su ·; quadrado 64 multipliquese por 11 con lo que saldrá el.pmc!-ucto 7°4, pawlse est~ producto por 1'4, y el qü~ciente 5°.\ será< la superficie del cÍrcu10 mayor que conteng-a su 'barriga; multipliquese di-ch~ superficie por 6, que es los ' dos' ter~ dos_de"su altura (§. citado) , 'y ,el producto .3P1 ~ .'será.n ·10s pies cúbkes de vino, ú ott~ licor' que 'contiene la tína-:ja que' se harán atwQas multiplicandolos , per 46 i , y partiendo 'el·.producto por 3.2. 't( ; EIi los ' aforos.que se hacen de los vino~ es costl!1mbre febaxar la guarta ,ó quinta parte ,de la cantidad de las vasi~ jas por razon .de ·lasneces y vacío que siempre se dexa en ellas para que fer. mente con d.es.ahó.go. .

-' Qü,estion VI. '. ;' -\

~ ~I4 ', Un labrador para regar una he~ ,"edad quiere const!,uir un estanque que 'quep(t~ , 1 PO}) -piéS ,.cúbicos de agua, y. que tenga la figura de un cubo:." esto ,es , que su

'~" ,- ~

~~~;~y- :'

" ' .....

...

1'76 . Arte . .-;. su longitud, latitud y prqfundiaad sean iguales, se pregunta ¿ quanto han ,de tener, dichas dimensiones.? Ji , Extraigase la raiz ' cúbica de 1000. - .que será 10 , y dirémos que ca<fr una de las dimensiones del estanque ha de ser de lo pies, y de -este modo cabrá 1000' pies ctlbicos . . , Qües#on VI1. ) .2 15 Un caballero quiere hacer- un es· tanque de figura rectangular en uno at sus jardines, que su. cabidad sea 600'pies cúbicos, y tenga 3 pies. de hondo y 10 de ancho, se pregunta ¿ quanto ha de tener ___ de largo? .. . Multipliquese.3- pies de hondo <Jue tIepe por los 10 de ancho, y se tendra el producto ao;. partanse 10~ 600 p~es por 50, Y el q-qoClente 20 seran los pIes que se ha,n de dar de larg0 al )estanque pa" ra que quep~ 'los 600 pies. • . c!

'Qüestion 'V IIL

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216 Un l-zOrteía1'lO para benificio de Su hue1'ta quiere fabricar, un estanque en ella, de figura circular que tenga 4-pies de hondo ,y su cabidad sea 3°184 pies cúbicos') se pregunt¡;r. ¿ qual ha de ser el diámetrfJ, det estanque? .. ' . " " ',,'. Pa-

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de medir 'Tierras. I77 Para resolver esta: qüesti0n p'artarise ~os 3CH84 por los 4 pies .que ha de tener, €l. estanque de hondo, con lo que se ten.,. ~rá el qüociel1te 7}46 que sqn ~~s ; R~e'S. superficiales del crn~u10 cuyo dlametro se busca : hecho esto fórmese la siguien" te regla de 3,; .si 154 dan 196 , 7546 ¿ quanto2 que practicando lo dicho (84) será eLqu,arto .término de, esta ' p~€>po sicion 9.6 °4;' 'per0 como esta cantidad es el quadrado del diámetro que buscamos, ' extraerémos su raíz quadrada que será 981, y est0s són los ,pies que debe ten e! de diámetro el' e.stanque .para que.l que'!, pan los: 3°184- pieJi . cúbicos. . . . :.. - ..... ',-

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Qüestion ~

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~\J j.I!i;:;,)HaZiar.. los¡.pi:e.sJ c~í,bi'Co~ que ''Con .. ti:ene.un mon:bon:Jde?trig'o de base ciftc'ul-q~; el:qulll, tie:rve __6tpiés: de.taJt..o i l}tl.'el ídiame.:;, tro -de la .base es de 14, '" El monton de trigo en la forma diena. tiene 'la- figura de un cono recto; luego }se debe' medir c01p.o tal (154), y así halles,e ,e n primer lugar la superficie de sit base, e15 1), que quadrando el diáme, tro, y multiplicandolo por H será 154 pies superficiales; multipliques e esta can: tidad-por el te!ci0 de la altura que es 2 y el producto 3oB',son ·Jos 'pJes. cú." Pies, ". Z " ~ ~ b'1-'. .:) y

J78

Arte .

, bicos que contiene el, montan de trigo; y .si sup'iesem~:á. pun~oji.xo qu~htGsrpíes. cúbicos<, o ·p~i:tes. de pje.<u(Jmtiene. un~ fa.,. nega de.trigo ó de otr<;l s,emiUa.qualquiera, podriam0s determinaiJas fanegas que se contenían en UIil montaIa ' como eJ €x- / presé\do. ~(j>rr solo, dividir 10$ pies 'ct!biCos que ;contiene ]por 1os>ql1e:~onfit:!neJa' ~~.; nega ¡ así si,en.el ·exemplo,propuesto:ad,. mítimos q11e' la fanega C011.1prdrenda' 3 pies _cúbicos, el montan tendrá 192 ~ fa". - negas; ó.lo que e.s 10 mÍsmo , 1:0_2 , fane .. gas' y 8~'ceiemines.) <Confieso' qtre .m¿ cInt:. he' parado ea .exa-J..'nina:r los pi ::cuhicds de trigo que. contiene l~ (a'neg~ r.el qo~ quisiese exercitarse en estas medidas poI drá examinarlo'; :ya sea m)diendo inmediatamente la media f~nega ; ó ya sea formando ·tia ino.Ein~m(j-e~dm.'d.ól, de'1rigo, y. fuidJendolo~'tlesWtB~del modo qmel'd:é~ xo, insintl.a~o len ,la qüe~tibn; 'bien qrte de estos dos métodos el ,primero 'me· pa~ rece el mas exacro. " .1.' , . ..;.\ l -:, El ,ql!le0seJhalle _énter~~o ·,aedos pies cúbico(gt!€ '~ólItiene una- _fanegaftte . tri¿: go , podrá.. examina!, éon. faéjljda,d la Bin", , ,tidad de este genero que' cQntiene un si~ ~q;' pues siendo las cabidades de estos porJo ,regalar d~ fig&lTa es€erka'.., ó esfe-.: ' roid~~J debenm€dirs€ \Contó laquellós 'só~

licl.'0s:.(rr5s ; 1.([s. 6).~

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Qües-

de medir Tierras.

179

.: Q"üéstion. ~ ' 1'8 ... Dada' una eSftra', cuyo dt-ámetr~ 2[ pulgadas ~ ,'h¡;¡r:r,r,'ofra' que sea quatro 'Vccés.,m4J'lJr..,. ,., .. ' \ ' J., J - !~ ':.Ear~ resower-~st~i.qü:estiPh: tomese el cubo. de . ',2,1... qm.e'serf '-92'61 ,"y .Q.€Spues fórmese la : sr-gUltetlte r~ide tres'; ~1 ,'{ .'.' 2

-¡c.a. ,de

dan -4 , 92t)¡ quantº darán, quepracti ... cando lo-~icho' (8.4) .será 37944; ,d e es~ ta cantidadextr~igaseia. tai~ clÍbica (1-1IJ que será 33, Y4m(~ue.$e,~~er~a:mochQ'. ~ 33 j " y este e~ el ~úm~ro de pulgadas que ha a-e tener eltdVametro;de la segunda esfera para ser quatr.o" veces mayor que -la otra. . ~ {J. ._~~ L

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. Qüe stion XI. 4"'\(, 'J d

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;-t.: ~t.;\ ..!~~ ', r~!)':;~i.

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1 r'e li¿ -r '_~_

219 Medir.una 'Viga que tiene 3 pies de tab,Zd', .2 { de cantv ~ :y.rjo'¡d~ llarlo. .' ~~. ¡ Mulfipli9.~ltm'S'e : ufl:Os ... po.t'. Qtf(?s". l~

11l1mt!fos qU$!: e~.2r~11 Sl:lS.

dimenSIones, y 'el p~od?t.1fO ·'45ti--SC;¡i,. flQs.r1p~es' cúb>kos qu-e coot!~ne· (15'3); s'1:se'qu"llere-su P€:' so, es .preciso saber -gl!la:I).-t0 p€sa UN pie cúhic~ de la J11l~sma.. madera, y multiplicar por dicho peso :~l , núm~·ro del piés cúbicos que contiene la viga. ¡

. .

. ~

Qües-

, Qües{ioJi. XII. '-

. la solidez de. una.piedra q~¡,e . tiene ,9 pies de laigo', ó"de tizon 6 de ancho,y 3 de gr.Ue~~, á alt,o,.,- \J'. ':..

\ ' .220 . : H-allar

~ MultiplíqueSe.el 9 p0r·'él 6; Y e1.produeto '54 .qpe:re~?lta~" mu,~tipliquese ' p01' 3, y ' este último product9 '· r62 ~son, -los pies c~bjcos que contiene la piedra (r 53} Si suponemos 'que sea berroquena, y: qUel cada pie .pese.:I40 ,libras., el pes0 :10 ~ tal 'de lJi: piedra.será 9b7 arrobas Y'5: li,~ -1Dras: " '. - - . . . - '. Por 'estas-mismas' reglas se puede hall:a,r el pes.o de.qualguiera ,cue.rp.o .en co;, , nociendo - lo que pesa un pie . cúbl!:~ jd-~ su misma materia. '" -.. 7

.,' " , '" ......)

• .:.. ......... -- ',J,' .• "'"

De las,'excarvaciones y desmontes. .. r-. .. . . "'(\ , El, que ,,refie:xtone, sobr~ d~S"1lÍlti:mas :qjie~tiQnes:re_~ha1:áJ :~e:..v.er 1 'güe.. ,eLa-r:t[e de , ~f.<prb n.:Qi isé~ limi ta[á:m~dir. 1.os :liqll4.diJs.; ,

1·

.S~' ~~tri~l'Hi€íh~s(-a lC:lS2ctl~rp®..s·-sólidp~ ), " C>r ll)(i)

Fie9:ras; ,_ macJ!~~s &,:~; " .é ' ig.l1al/Jlei'l!~

1i~ie l~§ t¡ff~~V~(ÚQfl~.s Q desmoDtes\, de ,cw:~?~ !-»~~tiqit!U_~),propopg(])l trf}l,t ar 1-en ,Jas ~J.g}lH;nt~ '<1n~~tlottes~j~')(l () rí:. ,ú ·wc¡- 'l!~:'\ ":: f "'fl . . ' ~t ¡l·"!-¡ r l ' :-".1 " \ .,¡-g~T f" " ;; ~ lJ"'- ,Iu} -:J~). 'J.lJ.~

Qües.\

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de medir 'Tierras. t'~'ll'-lrrit~

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I,g'ir L.

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i ; .. ~ 8'~ : Qüesti?wpr'imer4. , ( l t: .. ('. !1_;LI':"4~ ).Jf'"\·~~í, ~~.,. , , '. .22i Un asmtista se prapone'ahrir-:un foso ~n forrrza ,"reetangular' que tenga d'(Ji largo ~80pies"J de ,;anc~o '5b ,:"-21 de pito","

fUf!'do~ ú:;.¡{J,just,arl(iJ Lm6~ 1nlfr/:l<'"{)e.dislfs - Z'~;. ;da :ii(iúbkcm~ 'serpregun'ta ,[q11:anto', slflC" '

_ ha de dar por él? '. '. ".::!·-:.:'¡::;~l { ,,! -<J Para resolver esta qüestion es indispensable medicprimé.t:o.1<?fi pies cúbicos que contiene el foso, para 10 qual (~3) nl1dtJp.ljqÍlen~€·I1.'1JJioS';-,¡)ot. ,C):ttosJ lot ~tres númefQSj 80',. 50' ; 'j ~2 ~ ~ X.. e1 .\ prodlll:ctó '480~o .ro·plo;;;pies · c;ú~l~~s'.:que 'cPl'ltier:lei m1}ltipliquens,e estos. P!e~ ,po"r ,1<;>'5 6 'mara"" ) 'y,éaises q.ue. :val~ .~ cada lipo, y ,el prOGue'-: to' 288cr0cj~ sQnJ~s "rnáJr~v€tdi~.e~ que (mes,", t4' e~.,fQ,sQ ; qlJ~.sJ se pa rt!elll\p0r 34'.hacel! 847 0 reales y 20 ma:ay.ed!ses·. ·.~; , I.~ ,.,.,~'.' 2:_'''''''";'

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pre.g.un:Bdr¿;'CÍ ~:c~~11Ie ~ :co'rr.~"SjJo1:J¡d'C! PIJgap-.. "a..J 4iJrt·e' (¡f, a :c '~ \cub.~"o'co;1"1 . ~ .. )r

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,~ .Arfé' ...,,' . , Multipliquense entre sí los números '~ 2',3, Y748. ~-~'ihllrodm:to~4488 son lo!) pies cúbicos qye cqntiene la zanja, re~u.zéa:nse '~á. .111'a:r~ved.ls~s · los (S'óo reales que son '5 IO<¿>'o' luaravedises, par'tas'e este n{troellQ RQf JQs pies cúbicps., 1)'.el rqüo \.. €iejlte¿' i:Ji:.j'~~* Só)l .~ los' niaráy,~ises ..qu~ l..S.2:

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vale¿ ca"dél,pie:., ~'<.lmF· cop.~, cQrtá.difeiepúa es .,II .j marave~ises. ' .(. \ . -

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Q'Üe.stion -11L · . '" ." ( ~,(\) l;;.p -.;. t! , (le lJ:'" 'I J , _, ~ ;; l,':;"-f1.23 0: Uu .hortclqtt<1]¡afc-ervad6prsu .hum .. taXJJ;VJ!n...a zanja que:.tien~ dc/Jargll~ 3rej&/.ij pies; 'de:h()mjo ?f,' ,j:rk¡anch€J>por la-part¡C d'E'-ar,riha:4,pies, ypor la de aba;xo 2 -; pe:.. r-o'lwmoi kstCl:- ~anj:a ' la 'ajwtase á 3 reaiu 67JldaJ lOS? pi-es-,; .quiefle (sa!tu,¡::clo: pr-itnelf'o qmJwto_~.p'iertiene de le,~cat:¡)'éOOi:.@n ~\ j ll@ ,;se-:. gundo quant()l:lJe..- oue,s,t.a.¡ v!. '{ "J~t, :~ ;.;....~? Súmense los números 4 y 2 gue expresan , el uno' 10 que'. l:'( zanja tIene de l '

ancho en la parte superior, y el-otro en

/ la\inferi{!)T " ~rl,i. ma.tatl dw,~stal:Suma: que €s.•3" ínultipliquese. por;l0knám.-eros.,3-¡ji3GaD..' 9u~ ' eXpliesan·lo: lango .y honda .d e la !ZanJa, y se tendra ~700Q, ' 'lue son los pie.~ cúbicos de. eXGavaCÍ'olli ~ para . hallar anQra,'d preqQ -de .\ooaa la ¡obra fórmese la, ~'ti€me,,!€gla }de',t~e:s\, 1 'Si ;1qQ valyn 3. reales ~ 270QQ quanto vafdrán -: qú~ exe-

ca-

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de medir

Tierras~

- ~S',3:

eutando 10 dicho (84) s~le~l;o. reales,. f esta .es.-la 'carrcidad :ql([e' e~ hor~elano debe 1_ .\ I pag~ .por- ~ :DaIQ-ja;¡ "': -;.' . . . . . ¡ T

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. ~ . ~ ',. Q.ue~ttOn IV. ~'¿ 2'2'4'

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sen(Jr ti? 'lJbfa pl!rafaJJ1;ic.ar .

tJ:na:·;casa aju'8if6. emt Jim'os7irestagistas.~l desmortt,~.ae;.ith ' sola~, dé Jig~1(fl rer;tang,1{-. '\ .lar en ibs mar-o.'Vedtses .cada.. ~fPuerta. ter. . l"er4; Id ,longitud del solaf! ·znedido par. . 9tf kase~ horizo~tal. ~ra 'fle' f>,c ipies -;~ki. la- FIG. 76. titUtLlje,. '68 ;1MprY'lt¡, PPWuffd¡z{jl/:dtCflja mt!f~ !U'ar.ta, por"1u;e ~n-ridMS pdrtes¡. tmiarB.pis; e.iz .afrt¡I,S: '5 ,. en., ·(!Jtr.as-~ ) ~c,:-, ;: ti:(JJe~.e m~ do s..e kallabp:n hasta w a#u1Sas,?§ 'P:r~fun. didqrjes \ dijer..e:ntes, se rpr.e>gunt-q ¿~quantéJ ~'al.e lait1I2t'.a<¡jáiJio-n ?.:.f;Jrfr. .::o.{.·o ,,:o '1

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guri 'fas .~;~0t>setvadoqes·. heclaas; 'por ';J~ !

Asemtista'-nibdesmont.es ,~ llffil.¡:vara,;cábi. ea '-de tierra.:o , · que ni sea'"J~u~y esponjosa nj ;IJ}uy: IIp.PelmIcl}l ;~i.k1íle! ; <::ew<:or.ta dife}, :f41da fio'~.esp:U€.litas ;:;1¡e,t:t;et:a$ ~·~y:.'a¡hpara

medir nuestro desmonte y

tasarJn~\ ltef,.I

Illalféri:wstp>rÍl1il'epm~nte'i1iOdas.~las preifundirlades ;~,ifeÍ'etl\t~ que. "contenga ;~ O JÍ'do . menos} la: may'<iIr.J ~~r~é: de'~fllas; bque ~ p-ondrel1lIUs:s®rt)iasr sl>gmemJtr€S;;,:.'1 ~ :.." ': ¡ '. r"_ ') ~0';;, rz 01J;[; J l!;'CU; ~::) .. --".' ¿;!; .. i;; f.... J"J 4

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r84

".:..';. ,.'

' Arte , . .~ B:P"1" '59 sum,arán 'estas ::; p;c'• .p.ar~es, y su suma 47 'se

, 13: .. :) ~H ., , e . . . . . 4 ~ partIra,por l'..0, que ~x:: D. . . . . 5 presa las profundidades E. . . . . 6 - diferen'tes que se han F . . . " . 2 , tomado', y ' el qüocienG'J\ " ~' \. " 3 1 t~ 4./ri que es lo que. se H.' A'\'¡ ~ :; 2 i '(. ' -ll~ma. altJ.J:ra media' se J"t'~:: ,, ~ .':'~ '5 ,j " ,ha\cle\m?ltiplicaT,por la K. ' . j . ' . ' 'oi " sUper.ficIe de la base, que es. 10 qu~ res,ulta de . l1~ultipli'car los ' 89. pies de la,rgo por los .68 de ,ancho, est~ I es ,. pot.5440 , . !y'i ~¡ pt<?'cl.U,Ct€) .2 55,68: es. I

•

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'.'O\,

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~hn(l.Í11ej;'Q 'lde pies cúbicos qu,e . ~9Ptíene €lndé.Smonte~ ;Par{ detenni.l'l'a.r~ su. pl'edo

3) si

fÓiI~le.s~ lQ'¡ siguiente:regla 'de 27'pies. c~bl'C2s;. prodEcel!- ·:,60 eSpJ;Jerf~s/ ,25568,

pIes

quanta§, .pr0ducl~an ,. que-

CÚbICOS

F-r'aºl!i~ml0 ':lo;qichU! (84P"seJ1!áJa

S-GB17 i~ esPll.ealtas;;, 'Y 1:0mo.dada'J ;eS:RUerta~ vruC' z.

máralV..e~isest;>ni.ulciplkando \tt~a ?última:

Qantidad 'por,2 , . ,se, :tel'ldrá,. el. núme.ro. de que..d ~ señor; qe obra '.debe dcar t'á las , destagistas_~ 1<\ q~ad:,es.. 1 13 635 ~~

tnara1(edise~,

maravedi~e~ ,.6 33~2 ¿feale.s-Y;7 ~j~

mara"i ~' Oi _.<.J"! 1. ~_~"."~" «_ • _ > . v I"';'¡r L "'. ..... ., .:' "No' hay ,btra.,rcgla para··;medir.esta especie de :desmontes ~que lá que dexo €xplic~da- ., ¡ tque:" se': recluo€ á"bus,c ar,' una altura Ó prof1:1íliIclide<il:~ m€día .en.tl1e_varias alturas que se toman (quamo mayor sea L~ . el ..J i

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Ve\llI~e& ...

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de medir Tierras. ' 185 el númerO' de estas, tantó l)1ase xacta es la medida) , y á multiplicarla por la superficie de la base; .y el preducto son ! los pies cúbicos que contiene. ' -, En las aberturas de caminos, aflanamientos de tierras, y plantas' de edificios . . . se 'ofrecen excavaciones .de esta naturale-' .. ¡rT za :'su medida 1'10 es para todos, por requerir conocimient0s geométricos que la mayor parte de los destagistas las ignoran; motivo para"que muchos de es-. tos se .pierdan en esta especie de trabajos; y que no sucederia, si los que -se destinan á semejantes ajustes tienen la moldtia de impemer-se bien á fondo en !este tratado? pües de este modo siempre serán sus tfa~ . tos sobre seguro. . 225 He dichd en el discursO de ~ ... fa obra quanto me ha parecido debe sa'; ber ,un buen rAgrimensor y Afor,!dor para presentarse á medir con desemba... razo enqualquiera 'parte que fuese lla,. mado, ya sean superficies, líquidos ó.só" lidos; pero no he dicho aun nada sobre si en las tierras s~ debe medir toda ' la superncie tirando' fa cuerda, de modo que ciñendose á la tierra participe de to;o das las irregularidades que esta presenta (especialmente en terrenos desiguales), ó solamente la ;base horizontal.: yo soy de opi~lion qtleilas tien-a~ siempre debeI1 Aa me- , .,

l .

l86

Arte

medirse por la base horizontal, y no de otrQ modo: la Tazon que para ello expong<iY es, que ep. ningun terrenó -por irregular que sea se ' puede fahrkar ma", . yor édificio , ni: plantar mayor número de plantas .que las que quepanefl su baFIG. 77- se; pa-ra convencemos de ello repn!sente ABe d perfil de "una tierra .cQlocada en la falda de .un cerro; si AB representa la longitud de la tierra, y desde el punto B baxamos la BC perpendicular á.la horizontal AC, es evidente que si sobre AB se quiere 'fabricar una caSa, ,es .. ta no tendrá mas. longillúd qlTe lo que _permita: la base AC ~ y si sobre AB se quieren plantar l)nOS olivos ú ' o~ras plantas qualesquiera, debiend0 estas .conservar': una cierta distancia entre sÍ, nunca c.a brán en EA oras plantas qu~ en la AC: . luego en ningun: te Freno por irregular que sea se 'debe tomar mayor parte.:que la que produzca su base -horizontal. ' ~ 226 Si á vista de estas consideraciones hacemos un pa.ralelo entre la plan:' .cheta·, y ,. e1 c.:artabon,' hallarémos que Qquella debe ser preferida á este: lo primeró, porque todos los terrenos los reduce á un plano, y así no da mas super:ticÍé. q~w la que corresp~nde á la qase; por (cl.lya :rflZQn 'los tenenos medidoS. 'COlil piahw~t~ si~ínpre' dan mel}osLsupe¡ficie , .1 !L que

de medir' Tierras.

,; 187

que si se n:i~eq cq~ Gart~~on;. lo segundo, pórque no habiendó necesIdad de medir, mas de ,una linea (205)', la"ope- .' :.;11 racion s'e hace con menos trabajo y en menos tie}TIPO; de suerte gue mientras que con el <:artabon s·e mide una tierra" ,con fla plandleta se puede medir uU' término; lo tercero, porque la planche-' ta aun antes de dár la superfiCie presenta el plano de la tierra tan semejante á. ella. guanto se puede desear, lo que no ha.:. ~e . e1 cartabon; pues aun -el plano levantádo con ~este, 'si el .terreno no es suma-, mente' Hano ,'jamas se parece al original por mas -que Billajos lo ,abone; pero sin; . embargo de 10 expuesto, d Agrimensor puede seguir ,a quel método. -que le 'dicte su conciencia, ó 'sea mas, ,c onforme a' la práctica ,d el país donde mida. , Porque no .quede cosa que desear en esta materia me resuelvo á fina~izarla con un tratado de ruvelacion "pues nunca .estará .por dt\:mas eLqueJun Agrimen-.. S0r 6 labrador haG.endado sepa el méto~o de nivelar los terrenbs, ya sea para . regar sus' heredades ,_ abrir zanjas pará~ c.onducir las aguas, ó dirigir los encaña- : dos. 'í "

Aa2

. ..

188

Arte De la -ni.=vel~cion. :\

¿-o.'~.P.:'

, FIG. 78. 227 , El nivel que comunmente se usa para nivelar los terrenos se compone de un tubo AB re curvo en sus extremos, en los quales se. <,;olo~an dos vasos de cristal , estos tienen comunicacion Hno con ·otro , . de suerte que echando agua ó mas bien vino en el tubo sube en los dos vasos hasta nivelarse ;. y la linea que se dirige por la superficie del agua en uno y. o~o vaso es la ·que 'se ,llama línea .

de111lvel.

Este instrumento se cóloca sobre un armazon 'de tres pies quando se quiere hacer uso de él. _ Para hacernos--- cargo de los usos de este instrumento, propon:gamonos nive·~ , lar la línea DE,. ,"uya longitud sea de 700 á 750 pies; esto es, saber guanto el punto D dista mas Ó nienos que el punto E del c~ntro _de latierr;.a; ya sea con la J;llira de -conducir las aguas de un lugar á otro, ó para' regar"un 'terreno, En el extreI?o E ~ por exemplo , -cóloquese una mira Sn, que po es otra cosa que un reglo n de 6 á 7 pies·con una tabla H, la qual corre con libertad de. arriba á abaxo, y se sujeta por medio de un tornillo: dicha tabla es la mitad negra ~ , y la otra mitad blanca, para que de es· ,

de medir Tierras..

'189

te !n6db'sé pueH<tn dirigir ;lnefor'.l-as vi~

súales·;·· ~.( " , ";' . ~ En el otro extremo D ,se coloca el nivel ~ ,Y !11:irando~po! las;s~J?er.fi~ies d~l agua de los dos vasQs ; ,se tf1.nge a la IDlra la visual HAn ; se fixa ia tabla H por medio. de Shl tQ.vuillo,-Y 1tnmie.tldo desptres las alturas 1>S, En,rs'€'restan uua ídeotra~ y la diferenda es lo .que ,uh punto está mas·· dist.ante que otro dél tentro de la tierra, Y que ·~tJmumnente se' llama el desniveL ,- 2zR ,.) Qlúnd(i) la distancia '<que se haFIG. 79. de nivelar 'es de 'I'o bó}á .1600. :pies ~ se . coloca el nivel en 'un _pulllto D q1rce esté con corta diferencia en medio ,. y en los. , extremos M y N se ponen dos miras M O~ NP; mirando por la slL,perfrcie. cid agua en los vasos se'dirigen á la!i miras 'la'S vi" suales' AP, BO; despues se "aníden las' alturas MO , 'NP; s'e restan l!lfla de otra, y la difercmda es el desnivel de los' pun-r- t::: fe tos M y N. .' ,'" .. 2~9 J Quand(j la distal? cía ' qye. S~' ha FlG. So.' . de Il1'Ve1ar es.mayor-ql!llJI6óo pH~S se' répite la operacion dQs . 6 'mas veceS, te... niendo.c11'idadb de f01'fmar una tabla con, dos .eólumnas; en la una de estas se sien--:' ta todo lo que se sube en pies y pulg~das &c., y ~n la .otra <.10.que' se-bax<t,~des:-pu~es. se f .liuí11an· ~10s nÚJIl'f er9S 'que ' se' han; ~scrito en cad~ una:de las. d0S cólumnas;" -, p se·

. se 7r~S.tian(esta.s ¡St~tna.s ;ry,¡-hl dife.r~t1.oia~! d-a á conocer 'lo que un punto está mas JP<l<: xo qué.otro ., 'Y- PQr .consiguiente, si las aguas puedencondlJ,cirse. ' . -' 230 H~mos diclio que nivelar dos. puptbs .en Ja superficie de la 't ierra, era halq,r. quanto:tcil.:\:1llQ :.distaQ<} jmas que el otrocde1 ce.ntro ! úle--eUa; :¡;1Qdo qtU~ 5.01Cl FIG. 81. es líriea ·de '1'iivelqverdadero un .ar.CQ AS. ~oncéntrico \c9n lin cÍli<i:ule máxImo de la rier.ra ; pues este 'Solo es .el que tiene .¡,t .•~ ~ . sus puoro.sá íiguaLdistarí~ia detpunto C;' " y ,ott:a,s.: .gualés.qt.iiera ·linea COll'lO Ja; ql:le) hemos tirádo;con el.nivel ~ pór e.xemplo) . DB i, 'se llaman línea de nl'VeZ :aparente;' pnes es evidente que esta' linea tiene ,el ext!emo D. m~s' prÓ:xImo. ,al ,centlro -de léll t-ierra tO'd:ci lo -q:tiJ.e;-vale ·.lta ~parte BE; '.y 'asÍ todáS láHin.e.as 'qtle' da e¡G-ivel .,~ n:,eces.ital'l: vna -ciel'ta.correccion, pues en rigor no S011' ..' Gtra cosa, que unas líneas. á quien los Ma- ' temáticos llaman tangentes; la 'correc~.l " dOllll.qU,e ¡se lts 'debé hacer.para lredu.eirlas á nive.1:-verdad5!ro q :>.nl'ando desde 3 Q o. v.<lra~ hasta: 2400.0", la 'l11~u;mesta la adjunta t.abra que 'Se 'compbne -de dos 'Colum- ' nas.;. ·en la primera estan .las dista!).cias · q.ue· se han. nivelacl.() , ~ ,y en la-.seguncla Jo que, s~. tes ad:~e~l.re.baxar eíl .pies, p.uJga~ . d?s-; l:¡'oeas ', y,;qvtebtacl.o'tcl!e línea para te- .' ner el' vétda<d:éro ·nivel.'· '. ! f , c_.:· Ta' 1'1'9

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... . . . <. 23 I ' . .EI que reflexIone. sobre las cor· rectiones .que . se. deqen ,hacet: ,á la nhrelacion,.advertiráintnediatamente. que est~sr son muy pequeñas, _y qua§i podrán , d~spreciarse' en las. dis~andas . cortas ; pero en las distancias de . mucha .considera-" cion es inchlspensable . lle,~arlas .en ~ctiel1ta para,corregir.la .nivelaciGn; pues COilforme no:. d.o .manifiesta . la. tabla elill'tlifia ~

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d.is-

de medir. 'Tierras¡

193

distarrcia: de ~40QO varas; que', vienen á' Hacer 4', legua~' españolas' eon' corta dife": renda:, s.e levanúa .una, linea que ~e dirige, con d nivel cerca de 9 pies; luego si en, una nivelacion de 4 leguas , poco mas ó menos, no se hiciese .correccion, ó solo nos dirígiesemos per' la líriea que da re! , . nivel, el un extreinó de,es'ta ; qua! sería aquel qpe se finaüza la nivelacioll, estaría '9 pies mas alto que el otro punto aesde el qual se principia á nivelar-; por cuya ,razon, el €fue se ve comprometi do en nivelar un terreno ' de triucha ex- _ terision, especialment6 si es pará condu-. ~iraguas ·,. debel}aceda con la mayor exac. titud, repitiendo la operacion dos ó mas veces hasta s~tisfacerse de que ' está bien; empezando una vez por un e.x~remo,-y etra vez po:r otrp" teniendo cUIdado d~ .hacer Iá (;órr&c;~on qlJ.e le .cor.nesponda. segun lo insinúa la', tabla; evitando de este modo. el que le pueda suceder lo que á otros muchos, que desplJ.es de haber ga~tad.o_Ó.. p~cho~gastár Sl,lmas considerables, po:. corisiguieron su ' imento ~ c.;allsa~ de l~: poca. 'exactitud' que , guarda:' rQn én la nivelacion. _ Ente~ados del modo de nivelar una lÍflea 6n el terreno, aunque sea de grande extension 1>p.odem@s manifestar eomo s~ mide una. dlstafl~ia. qualquiera en el -, Eb ter-

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194 '

terreno qt1aado .nos' e.s.;ÍJ11po.sible: andar.. la to.da ávGa<~sa; de la , i<l}'túpos~eio.l} de..al~ gu,n :do ~ pa~ntlanó &c., .como' lo ,niani.::t tiesta la siguiente : ' ' ·Aü 7_ "

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Q~'lestion.

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medir mecanica1)unte, .mí por su grande exfension 'Como por estor"';Varlo,un rio.. cau." datoso. , ,:.,,~ ( :..,;, ~.d J.¡ • ~ ':' 1 .. FIG. 82, ' ;o Irriaginese,;una;re:cta:1!AB em.un ' p~ ra:ge 11:ano ~ ·J<f.'-qiI~}¡ 'se rpÍIeda 'llU~dif! ' cGln J

todo rigor, nive1andola;primer,o' si 'fué .,¡ se net~saflio, y sqporigát.n0s que ,tiene ' 2o® estadales { quanto mas larga es ' mu-cho mejor) , y; des9-e sus:,'extrernos ima... gillense . las. visuales AG) . .:y: BC. que fa.F.,~ men -con' la -,kB eL trlá,ngulo ACB:: ·i.dés.~ de los puntos A y . B- tomense sobre_loS' lados .':. .del. triángulo las partes iguales Aq-, Ap, Bn, Bm., 'de un número .de esta-daJ:es determinado por ~ eKemplo 'de 40'~ estadales, y ·tirense las:r6Gtas pq., lnh qcie J se~ mooiran.:c0n todo;'figbr , y su:pongamos. p_~ de -48 .estad~lt~s(, y -mn de 54. . -' . ', Tornada esta noticia tracese en- 'liri pliego de papél 'una reqa 'cd;, á 'guien . le darál~ . tan,taS" partés" de :Ull,!- es:cai.a c". co-

-de medir Tierras.

}9S

cótn.9 ,estad3les tiuyo, la'hase:}..B; con un ' ~adio _que QOfltepga' 4<Dr'~a.rt~s l.de la! ~s\}a~ la ,. -haáendo -c<:;.rftJ.:O en -dos .p.:1!llltos a y:. b-=, tracense dQs,drc,ulos que cOrJarán á-lª ab en' los puntos t 'y o ; " co~n otro radio de 48 partes desde.: el ;pun~o :t como cen~ ~f0 i tfaces~_¡ JY1 ,á teo -<que :oortará- al cÍrqüó ;:;,en: ,un ,punto x,-; .'ji>Qr¡ e..ste pll'J~tO ' y cd PllptO :1ft ldrflse ila l1Jeé./ia..ind'efinida aXC,j con otra abt:¡rtnr31 de wmpás de 54 .partes de la eseala ,. haciendn cenfrro en o, tracese, un arco SIue cortará al círculo en un punto,s , y tir.ese l~ ( r;ect:a h.rc 'qué encontrará á la ac en ~n pJunto C; midase quantas partes de la eScala tiené la ac, y otros tantos estadales tendrá la AC en el terreqo. . • El método es sencillo, pero muy delicado, y. requiere mucha exactitud en , su exeCUClon. 233 Por las mismas reglas podríamos medir tambien las alturas; pero estas. se miden mas facilmente por medio de dos , reglas, por..... exem.plp: propongamonos FIG. 83' medir la altura FC de una torre; tomense dos palitos de madera muy derechos ', y que unó sea mas largo que otro; colóquense á alguna distancia de la tQrre bien perpendiculares al horizonte; pero de tal inodo que la visual DF tirada por encima de ellos se dirija á la t Bb2 par-

196 .. ;' 'A rfi "~\ '" \ . patte :.paas e1€vada ~ del edifi~io : ~itnagi ... n'ese' li :lf(!)dzóntal .J)1:j "y mi.cla¡ns-e' laS' l'ectaS r Dn,. :EnÁy .J3CJ ,':y supongamos que Dn. tiene '6 pi~si ~.JEFl 4 ·.pies; y Be 50 . pies: hecho-esto 'fdrmese licl sigui.ente regla de tres; si 6 dañ 4, 5o quanto? que pnlcticando' lo ·dicho .(84) serán 33 pies y ~; y esto ~s , lo que:, el edificio tie" ne de~alto_dlesde , eLpun.!9:..h hasta ~ F, ; 'a~a~ diendo" á 'esta cantidadJ~ que tiene de largo el palo AD que 10 podemos- con... siderar"de 5 pies,. te.n~~~os ,1a altura Fe ,de-,la¡, torre d.e: 38 !j , pres. : " . ? . , ~ ., '1 '1 ~" (" 1.

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Indice. '

-De la adlcibn~e If!s 0}úeb)':l1do't. fJ De la substraccion de las qitebradqs. 54 .pe jfl W1¡tltitJJjfa~f.qrz . tir, ]Q~ 8.u.ebnujO$,' ¡.S7 íJi>]~ Iazri:ilio1i ílltJs"quilfraJiós. · ! ,.' .. 59 De los quebrados compuest(Js ', y 'Va. luaci'ón de -Zos queqr.ados 'simples. 62 Pe", la adiqiQn d~. l.qs ..mtmfrq~ d~1Jo- .',.f;fJJ_LlJ0 ;11J \1. . . , ~!I,n~. :.;,_ '.• If.·, ~ , ".-:,1

mm,a..I<ftQ,{ ••~ .... ~ , • i" u4 De /d c subs-¡;'"ctMio'1i J¡~'_1t6/'1M:InW(k . -:;;denominadgS:-----=-. J~s De la multiplicacion ¡le"'~,s·. n'Úfn(r...(Js . . R denominados. , .,\ )\1' . " , . , , 66 De IflJdl'1:)i.sron ,af r/.fis' .nú'!Jif1rj),S"denQit ', _ g minados. · , ~,C ' I ' ,l '1 , .7 1 De ta. :-r.a~o# g.t'()méfJric.á~' 'J';)' 'o 'o. ..., 7:?De la proporcion geométr:ica~ ' " 73 De 1tN:cf?g.}a 'dé, tre.s tS,im;p,M•., '\ .~. 79 (Be la regla de tres compuesf-a.; . -. () .82 De la'~:eg{p, "de\ á,Jl1p.tT,m'tJs~\.)·.j :.. . 8'9 ~e los números. A,uadrados. y ex.~ '\· • trbl'C.cion.M-e)a<r·a1;¡;,'q'14a~ta4a:- ::: · :..8'9 JJe los: nÍtllrler.Gs ·f. .Cu.b'O¡ ;,".y: ,c,xtrae- " \ .• don de su'raíz, .cú!;ic'a.J ,.~ " "" " 93 De 1'CJ¡: Ge.O$11;P.t:ri6l,1: .difin¡~¡otzes.~_ ": ,\:¡: °I Q!lestione s g eom.étricas." """ ... (. " ,¡ 09 L

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-D~- 1~ · agr¡1Tl~fl~Yta. , .y.. aforo•.. ; rr

Indice.

199

lJe la agrimemura. De la reduccion de unas figuras 谩 otras. De ~a particion de las tierras. Modo de le'Vantar el plano de un terreno. ' De la delineacion, y la'Vado efe- los planos. De las plumas, pinceles, 'Vasijas, y papel para la'Var los. planos. De la reduccion de las medidas. De los apeos 贸 deslindes. De- la yldncheta. Del ajoro. De las exca'Vaciones y 'desmontes: De la ni'Velacion. Tabla de las difereneias del ni'Vel aparente. al 'Verdadero.

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