Discurso leído en el acto de recepción... by FUNDACIÓN JUANELO TURRIANO

R E A L

A C A D E M I A

E X A C T A S ,

F Í S I C A S

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C I E N C I A S

N A T U R A L E S

D I S C U R S O LEÍDO EN EL ACTO DE SU RECEPCIÓN PO R EL

E X C M O . SR . D . E D U A R D O T O R R O JA Y M IR ET Y

C O N T E S T A C IO N DEL

E X C M O . SR . D . A L F O N S O P E Ñ A B O E U F EL DÍA 2 9

DE NOVIEMBRE DE

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D I S C U R S O LEÍDO EN EL ACTO DE SU RECEPCIÓN PO R EL

E X C M O . SR . D. E D U A R D O T O R R O J A Y M IRET

CONTESTACION DEL

E X C M O . SR . D. A L F O N S O P E Ñ A B O E U F EL DÍA

DE NOVIEMBRE DE

19 4 4

MADRI D D o m ic ilio

A c a d e m ia :

T E L E F O N O

1944

V ALV ER D E, 12529

C . B e r m e j o , I m p r e s o r . — G a r c í a M o r a t o , i i 8 .— T e l é f o n o

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DISCURSO DEL

E X C M O . S R . D . E D U A R D O T O R R O J A Y M IR ET

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S e ñ o r e s

A c a d é m ic o s ;

s e ñ o r a s

TA N a n tigu a com o la A cad em ia

s e ñ o r e s

m ism a es la costum bre de

em p ezar el discurso, en estas ocasiones, con un as palabras de m odestia, porque la propia de cada elegido le h acía ver sus indudables m éritos m u y por b ajo del honor que a ellos h acía la C orporación y ponían especial em peño en recalcarlo, dando así inconscientem ente una prueba de que los dem ás. A c a dém icos y público, no estaban de acuerdo en este punto con el conferenciante. Pero al pretender y o , com o buen rutinario y sim ple im ita dor, segu ir esta costum bre;Am e encuentro bien em barazado, aun cuando p arezca paradójico; porque ahora en mí la m odes tia sería insincera si tratase de con ven ceros de la escasez de m is m éritos, y a que supondría adm itir, por mi parte, la exis tencia de alguien que pudiera creer fundadam ente en la abu n dancia de ellos. En otros casos decir esto supon dría una crítica para los m iem bros de la A cad em ia qu e intervinieron en la elección; pero,

éste, tan fam iliarm ente especial, todo se exp lica

bu enam ente por la fu erza de la tradición y la costum bre, por el respeto y la adm iración de todos a aquel mi buen padre, que h ace cincu enta y un años, a esta m ism a h ora y en este m ism o sitio, decía: «Llego, no por m erecim ientos propios, sino

por sum a indulgencia vuestra (en mi caso es plenaria), a poseer un puesto que nunca am bicioné; y , por lo m ism o que no logro h o y satisfacer aspiración alguna de mi vida, no existe velo que me im pida ver con claridad la alta distinción con que me habéis favorecido, ni pasión que m enoscabe el sentim iento de gratitud profunda que em barga mi alm a por la ben evolen cia que conm igo h abéis usado.» P alabras claras com o la sinceridad m ism a de un espíritu serenam ente sabio, de un hom bre cristianam ente hum ilde. Perdonad, o, por bien decir, respetad este inciso ofrecido a su venerada m em oria, fuera quizá del protocolo, antes de dedicar el ju sto hom enaje a mi predecesor el E xcm o. Sr. D. M iguel V eg a s y P uebla Collado; porque no se puede separar éste de aquél, com o no puede separarse el hijo del padre, lo mismo si la paternidad viene por la sangre que si viene

por la

ciencia. Entre esos recuerdos, inciertos e indelebles a la vez, que en el fondo todavía inm acu lado de nuestra m em oria dejan los prim eros años de la niñez, quedó para siem pre la visión aleccionadora de una habitación hum ilde en la que dos h om bres, sentados ju n to a una pobre m esa, frente a unas cuarti llas, callaban frecuente y largam ente y aun cerraban los ojos para abstraerse m ejor. Eran ellos dos. Parando extrañado mis ju e g o s para m irarlos, aprendí a reflexionar; y si h o y llego aquí, es aquello lo que me trae. P or aquel entonces preparaba D. M iguel su discurso de entrada en esta A cad em ia tam bién. Porque después de estu diar en la m ayor estrechez económ ica su bachillerato y su carrera, ayu dado solam ente de su inteligencia y de su vo lu n tad, logró term inarla brillantem ente y alcanzar sucesivam ente las cátedras de Z a ra go za y M adrid, a la par que desarrollaba tan

interesantes trabajos científlcos de su especialidad que

pronto fué elegido para el puesto que h o y , por desgracia do blad a, ven go y o a ocupar. D esde que pasó por el aula de mi padre, com prendió éste el v a lo r m oral y científico de su nuevo discípulo, y , com o h acía siem pre en estos casos, le atrajo a colaborar con él, es trechándose así la buena am istad y el m utuo aprecio qu e los un ió siem pre. V egas

fué un científico puro y un

m aestro

com pleto.

G racias a las clases que de él recibí so y h o y Ingeniero y por propia observación puedo señalar lo rectilíneo de su vida corno característica esencial de ella. Firm e en su visión clara, in flexib le en su carácter recto, bond ad oso y h um ilde en su vida íntim a, sólo pensaba en sus h ijos y en sus alum nos. S i el éxito de una vida es un ideal de ju ve n tu d cum plido en la edad m adura, él lo logró com pleto y supo m antenerlo firm e hasta sus últim os días, porque sólo aspiró a ser un buen padre y un buen m aestro, y supo despreciar y aun rehuir todos los h onores y vanidades, m andos y prebendas, que tanto atraen a otros. U tilizan do el encantador sím il del poeta indio, bien puede decirse de él que puso todo su em peño en h acer su vida recta y v a cía com o fla u ta de caña, para que la C ien cia la llenara por entero con su m úsica; y el eco de sus notas claras engarzó en acordes fecund os la generación de sus discípulos. Entre ellos, com o dije, me cuento con orgu llo y m odestia a la vez. E l correr del tiem po se lo llevó de nuestro lado; y h o y, por azorante contrasentido de la vida, ven go a ocupar aquí su sitial, tristem ente vacío; pero su espíritu, el de aquellos que am aron la verdad por encim a de todo y supieron sacrificarle m ansam ente toda una vida, ese, para bien de todos, perdurará con su m em oria en esta C asa, refu gio de sus anhelos, aunque

fuera la H um anidad se deshaga, com o ahora, al em puje m al dito de locas am biciones que, en m om entos com o este, es m ejor olvidar. *

L os Estatutos de esta A cad em ia me m andan leeros un dis curso sobre tem a científico. E s una prueba m ás de que, por lo m enos cuando se hicieron, no se pensaba que pudieran llegar hasta aquí personas com o y o , que no so y, ni he sido, ni pien so ser m ás que un ingeniero constructor, dispuesto siem pre a hurtar en el cam po ajeno y dadivoso de la C iencia algo de lo poco que, con mis m odestos aperos de trab ajo, pueda servirm e para construir mejor. Porque en eso que se ha dado en llam ar, y no sin funda m ento, el A rte de la Construcción, existe siem pre un fondo esencialm ente científico y más particularm ente m atem ático sin el que h o y no puede vivir el técnico. Ello no basta ciertam ente; el ingeniero, para triunfar, nece sita tam bién otras cualidades de artista, de im aginación crea dora, de voluntad, de serenidad y valen tía frente al peligro, de observación, de am or y entusiasm o por su obra y , sobre todo, de sentido constructivo; un verdadero instinto de las form as resistentes, innato o adquirido; y todo ello hace que m uchas veces, en su labor y en su personalidad, aparezca desdibujada su preparación científica. Sin em bargo, se aprecia siem pre m u y acusada en las grandes figuras de la Ingeniería; y la historia de la construcción es, incluso en su form a artística, y m ás en la técnica, un claro reflejo del avan ce científico y cultural de la época. Pero en el período de la C onstrucción que arranca del si glo XIX y continúa h o y en pleno desarrollo, la T écn ica necesita tanto de la C iencia com o de los m ateriales m ism os con los que

con stru ye y sólo es posible g racia s a las enorm es e im previstas posibilidades que le prestan una y otros. Y es interesante ob servar con cuán ta rapidez y aceleración se ha increm entado la aportación científica al A rte de la C on strucción. Seguram en te se pierde en el am anecer de la H um anidad la ap licació n de la M atem ática a la C on strucción, porque no se com prende cóm o h ay a n podido realizarse sin un m ínim o de acerbo m atem ático y sin unos m edios de representación g e o m étrica relativam ente adelantados, m uchas de aquellas obras cu ya contem plación, todavía h o y, nos produce tanta adm i ración y otras de las que, sólo por referencias, entrevem os la perfección de su traza y el arte con que fueron construidas sin dejar lu gar a dudas, com o aquel soberbio tem plo de S alo m ón, por no citar otros, cu y o s enorm es sillares y bien labradas m aderas fueron preparados por los artífices del rey de H iram con tan m aravillosa técnica, que al llegar a Jerusalén encajaron unos en otros com o por arte de m agia, sin necesidad de rela bra, ni m artillo, ni herram ienta algu n a de hierro, hasta form ar la fábrica com pleta del m ás digno edificio que con oció la anti güed ad . Pero es evidente que fuesen cu ales fuesen los conoci m ientos científicos de los antiguos artífices de la piedra y la m adera, nada representaban frente a lo que la C ien cia ha aportado en poco m ás de un siglo para h acer posible el des arrollo de las nu evas

técnicas del hierro y

del

horm igón

arm ado. Este form idable salto se ha debido en gran parte a la teo ría de la E lasticidad y se ha desarrollado todo él en torno y al am paro de esta teoría. Corría el año 1660 cuando H ooke ideó aquella ley que h o y nos parece tan sencilla; «Ut tensio sic vis»; y presintien do acaso en toda su m agnitud el va lo r del h allazg o , tardó diez y seis años en publicarla y aún lo hizo bajo aquel an agram a

«ceiiinosssttuu» que nos recuerda el obscuro encanto de la al quim ia m edieval. G alileo había planteado en 1638 el problem a de la resis tencia de las barras o piezas prism áticas alargadas; pero sin pensar en establecer ninguna hipótesis análoga entre tensión y deform ación. T am poco parece que H ooke intentase sacar partido de su ley para el estudio del problem a de G alileo; Mariotte, casi sim ultáneam ente (1680), intuye el problem a de la flexión y da lugar a que los Bernouilli y Euler desarrollen sus conocidas teorías sobre la flexión y com presión de las barras y la form a de la elástica. Por fin, Coulom b (177 6 ), es decir, un siglo después de H ooke, deja sentada la clásica ley plana de la deform ación y de la tensión y , con ello, las bases de la vie ja y elem ental teoría de la Resistencia de M ateriales, conside rando inclusive ,el esfuerzo cortante, pero sin considerar la consiguiente deform ación. En la prim era m itad del siglo x ix suenan nom bres tan co nocidos todavía h o y com o los de Poisson, N avier, C au ch y, C reen, Stokes, Y o u n g . Puede decirse que es al em pezar la ter cera década del siglo cuando se plantean las bases de la teoría de la Elasticidad en tres dim ensiones con la ley de H ooke g e neralizada. L as m em orias de N avier, de C a u ch y y de Poisson dejaron en realidad claram ente establecidos los conceptos fun dam entales de la teoría de la Elasticidad; y C reen, m u y poco después, introdujo, y a com o básicos, los principios energéticos tan elegantes com o fecundos en esta ram a de la Ciencia. En el tercer cuarto de siglo o poco más, se resuelven los problem as de reparto de tensiones por cargas concentradas en la su p erficie del sólido, con los estudios de Betti, Lord K elvin, Boussinesq, Cerrutti y H ertz. Es la m ism a época en que se descubren las funciones de A ir y y de M axw ell y en la que Saint V en an t, en 1855, resuelve satisfactoria y definltivam en10

te el problem a de la pieza prism ática, incorporando, por asi decir, la R esistencia de M ateriales a la teoria de la Elasticidad. M ientras tanto, los nuevos inventos del vap or y del acero extendían por doquier las redes de sus ferrocarriles; los re cientes C uerpos de O bras P ú b licas con stru ían sus carreteras, puentes y viaductos, con la intensidad de los m ejores tiem pos rom anos, y la creciente densidad de las cap itales obligaba, a aum entar la altura y las cargas de las ed ifica cio n es, al m ism o tiem po que aparecían las gran des naves de tipo industrial. S e em pezaba a-sentir la aprem iante necesidad de aplicar una teoria que perm itiera racion alizar las estructuras y h acer las m ás económ icam ente; sobre todo, las form adas por piezas p rism áticas en lazad as en los diferentes tipos de celosías que aquellos hom bres h ablan ido creando, con gen ial intuición, al form idable em puje de las nuevas necesidades. P ero ellas m ism as no hubieran podido ni siquiera plan tearse sin la iniciación de los adelantos siderúrgicos; y , a su ve z, aqu éllas im pulsaban éstos con acucian te im petuosidad, pues y a se h ab la construido en 1808 un arco de fundición, en 1824 uno de perfiles lam inados y en 1828 el colgante de V ien a. P recisam ente en aquel año de 1855, en que Saint V^enant resuelve el problem a de la pieza prism ática, es cuan do se vier te la prim era lingotada de acero R essem er y , poco después, la de M artin-Siem ens; con ello se desencadena la catarata incohercib le de las constru ccion es m etálicas que a los pocos años co n stru ye el puente de F orth con sus dos luces de 500 m etros, apenas superadas h o y en ese tipo de estructura, y cu lm ina en la célebre cubierta de la sala de m áquinas de la E xposición de P aris y en la torre E iffel, que lanza la m araña gracio sa de sus celosías a 300 m etros de altura en soberbio y gen ial desafío al peso y al viento. 11

Por su parte, el horm igón arm ado hace su aparición y des arrolla rapidísim am ente la técnica de sus estructuras. T am bién en ese m ism o año de 1855 aparece el cem ento Portland; en realidad, con los cem entos naturales anteriores, y a se habia pensado en colocar en su interior alam bres o arm aduras que sirvieran para darle m ayor resistencia a tracción, y , cinco años antes, habia llegado a n avegar por algún estanque o río tranquilo el bote construido por L am bot. Inm ediatam ente em piezan a aparecer patentes com o las de C oignet, M onier y H ennebique; todas ellas de hom bres prácticos que dan la idea y crean el m aterial sin conocer todavía sus leyes. H asta 1894 no aparece la obra de B auschinger sobre horm igón arm ado. En 1899 Considere hace sus interesantes publicaciones, y por aquella m ism a época, aparecen las obras clásicas de Melan, M öller, W u n sch , Em perger, etc. Es, en defin itiva, la obra pre sente del horm igón arm ado con su teoría com pletam ente des arrollada y pujante sobre las bases clásicas de la Fíesistencia de M ateriales aplicadas al sólido heterogéneo horm igón-hierro. ¿Qué había ocurrido? Ello es bien digno de señalar. L a teoría había sido creada por hom bres de ciencia con poca o ninguna concom itancia con la técnica de la construcción; hom bres que discutieron, por ejem plo, largam ente sobre la elección de una elasticidad rarioonstante o una m ulticonstante; que buscaron las razones física s de la elasticidad partiendo de la teoría m olecular y de las leyes new tonianas y que, m ientras tanto, se intere.saron bien poco o nada por los problem as prácticos. Por otra parte, los técnicos, con sus m aderas prim ero, sus frágiles fundiciones después, con sus hierros forjados y lam i nados, y

su horm igón arm ado por últim o, presentían las

enorm es posibilidades de las estructuras trianguladas y porticadas e ideaban continuam ente nuevos tipos de celosías y en

tram ad o s. C on un os co n ocim ien tos rudim en tarios de m ecáni c a racion al, a veces sin nin gun o, iban creando los esqu em as estru ctu rales a ctu a les y la n zab a n su s p equeños ferrocarriles sobre ellos, aprendiendo casi solam ente lo m u ch o qu e les en señaban su s propios desastres. E ste ap ren d izaje, este cam po que ellos m ism os iban abrién dose y las posibilidades cada dia m a yo res que la industria m e talú rg ica les iba p roporcionando, les im pulsaba a b u sca r en la C ien cia la ju sta proporción y eñ cacia de sus estructuras. Si bien se m ira, tod as ellas podían calcu larse con sobrada ap ro xi m ación m ediante un os p olígon o s fu n icu lares y , con la entonces y a vieja teoría de C o u lo m b , para determ inar la ten sión m áxim a en su s barras o vig as. E l h orm igón arm ado, por su m onolitis m o, requería ciertam ente a lg o m ás de teoría hiperestática, pero todo ello podía obtenerse arrancan do de las m ism as b a ses en sólido h eterogéneo y aplican do el vie jo teorem a de C lap eyron . T o d o existía, e incluso la teoría de la E lasticidad h ab ía ido m uch o m ás allá; sin em b argo, apenas se utilizaba; pero el cien tífico y el técnico, que h asta entonces hab ían m arch ado por se parado, acabaron por m irarse. Q u izá el científico se asom braba de las obras del técn ico, y éste,

su ve z, com pren día m ejor

qu e nadie la necesidad de salir de su ign oran cia p ara seguir a va n za n d o por el cam ino em prendido y realizar su s sueños queridos. ,Sin em b argo, aquellas teorías m aravillo sas resultaban d em asiado co m p licad as y abstru sas para ser em p leadas por el co n stru ctor del x ix . F u é necesario, de una parte, elevar el nivel del técnico, crear las escu elas de Ingeniería y h acer m ás cien tífica y m ate m ática su enseñanza. E s la época de Perronet. P o r otra parte, la teoría tuvo que b u sca r tam bién cam inos m ás fáciles de a p licació n , au n a trueque de perder en exactitud y profundidad; y se recurrió a soluciones, no rigu rosas, com o 13

las de G rash of, por ejem plo, para desarrollar con sus bases propias los m étodos actu ales de resistencia de m ateriales iso e h iper-estática, com o el de M ohr, y los desarrollados en las obras clásicas de M üller-Breslau, Bresse, W e y ra u c h , Ritter, et cétera. D e esta feliz con ju n ción v iv e h o y todavía, y v ivirá quizá m uch o tiem po, la técnica corriente de las estructuras de cons trucción ; pues, al m ism o tiem po que los m ateriales, el acero lam inado y el horm igón arm ado en este caso, han perm itido el desarrollo de la nueva técn ica, la teoría ha encontrado ca m inos suficientem ente fáciles y cóm od os para poder trab ajar prácticam ente con ellos. Esta últim a condición es esencial; porque no es, com o podría parecer a sim ple vista, una cuestión de com odidad o de pereza en el técnico; es una n ecesidad ineludible de resolver el problem a planteado y de con stru ir la obra en un plazo deter m inado y siem pre corto. S eg u ram en te C a u ch y se extrañ aría sobrem anera si viera cóm o se h a g en eralizad o y cóm o co n tin ú a aplicán dose h o y la m a y o r parte de su teoría, cu an do las bases en que él la fun daba

están totalm ente ab an d o n ad as por la C ien cia y susti

tuid as por las nuevas teorías de la con stitución de la m ateria; porque al técn ico puram ente práctico no le interesa ir m ás a llá en el por qué íntim o de su s h ipótesis, sino, sim plem ente, disponer de un as que le perm itan llegar rápidam ente a resul tados suficientem ente ap ro xim ad o s a la realidad dentro del cam po de aplicación en que él los v a a em plear. En este sentido la R esisten cia de M ateriales, y aun la teo ría de la Elasticidad, son útilísim as, porque las hipótesis se asem ejan su ficien tem en te a la realidad del m aterial dentro de las condiciones norm ales de trabajo; y , al ser lineales las ecu acio n es que ligan tensiones y deform acion es, resulta apli

cable el principio de superposición de efectos, y los cálcu lo s a que cond ucen , en la m ayoría de los casos, son

fáciles

breves; tanto, que los técn icos tienden con frecuen cia a extra polarlos incorrectam ente a otros casos y m ateriales en los que esas h ip ótesis de la^Elasticidad lineal se separan bien sensible mente de las condiciones reales de los m ateriales. D esde ciertos puntos de vista, poco parece lo qu e se ha hecho en el cam po de las estructuras de co n stru cción en los últim os cincu enta añ os si se com para con lo h ech o en los cuarenta anteriores. El em pleo de aceros especiales, el perfec cion am iento de los enlaces con el uso de los m artillos pneu m áticos para el roblonado y el m ás m oderno y revolu cion ario de la sold ad ura eléctrica, la m ayor rigidez de las estructuras y el aband ono de ciertos tipos de celosía y trian gulación , son poca cosa, en el cam po de las estructuras m etálicas, al lado de la creación y el em pleo en gran de de aquellos tip os de es tructura y form as de trabajo que aun h o y seguim os conside rando insustituibles. Y en h orm igón arm ado, salvo los m oder nos pretensados y las gran des estructuras lam inares, la técnica sigue siendo, más o m enos, la m ism a de hace cu aren ta años. Por su lado, estas estructuras su p erficiales o lam inares de horm igón arm ado se han desarrollado p articularm ente en el últim o decenio, tam bién por disponerse a la v e z del m aterial y de la teoría apropiados. T am bién aquí vem os unas prim eras teorías desarrolladas cien tíficam en te en el siglo pasado, pero de escasa aplicación en construcción con los m ateriales entonces existentes. En el cam po de la Elasticidad, y a P oisson y

C a u ch y , en

1828,

habían redactado interesantes m em orias sobre el problem a de las vibracion es en placas planas; pero, en realidad, la teoría de placas puede considerarse arrancando de la m em oria de K irc h h o ff de 1850, en la que sentó su con ocida hipótesis, que 15

los trab ajos de A ro n y L ord R a y le ig h u tilizaro n y co m p leta ron en lo que al régim en de vib ra ció n se refiere. A rra n ca n d o de aquí, se fueron desarrollan do los estudios de p lacas rectan gu la res, de tan ta ap licació n en h orm igón a r m ado, lo m ism o a p o ya d a s sobre m arcos rígidos que sobre a p o y o s aislados o colu m n as con capitel. P ara su reso lu ció n se u tiliza n corrientem ente los desarrollos en serie de las ca rg as, para la m ás fá cil resolución de la ecu a ció n de L ag ra n g e , a la qu e conducen ; y no necesito record ar q u e una so lu ció n prácti ca y de a p licació n cóm od a y sen cilla ha sido estudiada por D. A lfo n so P eña. D e otra parte, el estudio de las m em branas elásticas, sin resisten cia teó rica a la fle x ió n , perm ite la co n stru cción de ele m en tos de m a yo res dim ensiones, en gen eral, qu e la p laca p lan a. C o n o cid a s son las so lu cio n es y los m étodos de cálcu lo sen cillo s de la m em b ran a de revo lu ció n , de la cilindrica y de la h ip erbólica; y

el m ás co m p licad o del co n oid e, resuelto en

E sp añ a. Pero las m em bran as encu entran lim itado su cam po de ap licació n ; pues, para que las h ip ótesis se cu m p lan y

pueda

estab lecerse el equilib rio elástico sin fen óm en os de fle x ió n , las co n d icio n es de borde no son arb itrarias ni co in cid en con

las

co n d icion es reales de la su sten tació n , salvo en determ inados ca so s p articulares. P or esto, los g ran d es elem en tos su p e rficia le s no han sido p osibles h asta qu e las m odernas so lu cio n es de lám in as elásti ca s, con resisten cia a fle x ió n , h an h ech o su aparición . L a gen ial so lu ció n u tiliza d a por F in sterw a ld er en la lám ina cilin d rica o de teja sobre m arco s rígidos en las directrices e x trem as y la exp o sició n de E k stro m sobre la lám in a de re vo lu ció n , entre otras m u ch as, h an abierto an ch o cam p o a estas es tru ctu ras, cu y o s m árgen es de ap licació n han de aum en tar to

d a vía con ia u tiliza ció n de la m em brana h eterogén ea o rigidiz a d a en un o o dos sentidos. L a presencia de flexiones con ejes, seg ú n las tan gen tes a la su p e rficie m edia en este género de lám inas, ob liga, en m u ch o s caso s, a aum en tar el espesor y el peso por fuera de lo p rácticam en te co n ven ien te o p osible, y esa m ism a necesidad de a lig era r cada v e z m ás las co n stru ccion es para resolver los n u evos p roblem as que se nos plantean, m e h izo pensar, com o di cu en ta el año pasado en la R eal A ca d em ia de C ien cias de B a rcelo n a , en la p osibilidad de h acer desaparecer las flexion es lam in ares alterando su s con dicion es en los bordes m ediante la in trod u cción en ellos de arm aduras pretesas y

h o rm ig o

n ad as posteriorm en te al resto de la lám ina. M ediante la m o derna técn ica de los pretensados es fácil p roducir este efecto en m u ch os casos, al m enos para las con dicion es n orm ales de trab ajo de la lám ina, y dar realidad p ráctica a d islocacion es de los tip os estudiados por V o lte rra o S o m ig lia n a y a un a v a riedad de estados de auto-tensión que, al superponerse al esta do p ro d u cid o por la ca rg a , determ inan form as de tra b ajo m ás apropiad as con la co n sigu ien te econ om ía y aum en to de posi b ilid ad es. E l cam p o de estas estru cturas h a de extenderse to d a vía m u ch o, tanto en cu an to a su realiza ció n práctica, com o en lo referente a su estudio teórico y m étodos de cálcu lo ; y los recien tes trab ajos de P ú ch er sobre m em branas, son una b u en a p ru eba de que esta ram a está en pleno desarrollo. Pero no podem os segu ir h o y por esos cam in os trillados q u e trab ajosam en te lo graron enseñarnos los sabios de a yer. El deseo de m ayores econom ías y la necesidad de a lca n za r m a y o re s lu ces en el cam po de la co n stru cción civil y la de a lig e rar al lím ite las de tipo m ecán ico, y m ás en p articular tod avía las de a viació n , ob ligan a considerar estados de equilibrio y resistencia, considerados antes absu rdos o peligrosísim os y 2

que, aún h oy, se toleran difícilm ente en las grandes estructu ras de construcción. Ciertam ente se ha llegado a resultados insospechados ayer en las características resistentes y elásticas de los materiales; pero las exigencias crecen más acelerada mente todavía. Para ciertas estructuras, com o las del avión, la aproxim ación h acia las condiciones de peligro, rotura y desas tre es, aun con los m ateriales actuales, cuestión de vida o m uerte, de ser o no ser. A sí, pues, es necesario afin ar las teorías, aproxim arse a las condiciones de inestabilidad, agotar y hasta sobrepasar los lí mites elásticos, estrujar al límite los coeficientes de seguridad. En construcción, la aprem iante falta de hierro ha inducido y a a algunos organism os de nuestro país, a bajar el coeficiente de seguridad bien por bajo de dos en un m om ento en que los m ateriales presentan frecuentem ente defectos alarm antes. Y en otros tipos de estructura, ciertam ente m ás cuidados, se llega a m ucho más. Es escalofriante pensar que h ay aviones de guerra que trabajan con sólo el i,o 8 de coeficiente de se guridad, y , en ciertos instantes, según parece, se llega hasta bajar de uno respecto a las teorías elásticas clásicas para apro vech ar posiciones de equilibrio m ás allá de las de prim er pan deo, e inclusive para contar con el aum ento de resistencia y límite elástico que presentan los m ateriales en condiciones bre vísim as de carga. L leg ar a esto parece ciertam ente una locura; y , sin em bar g o , al técnico se le piden continuam ente y se le exigen con aprem io y autoridad otras locuras todavía m ayores; porque, al fin y al cabo, si él no las hace, la probabilidad que tenga el aviador de salir con vida del fuego enem igo será todavía menor. En consecuencia, los centros y trabajos de experim entación se m ultiplican y am plían en proporciones de fantasía. Pero no i

basta; cada experiencia, cada ensayo no enseña m ás que un caso, un dato concreto. S ólo la teoría, afianzán dose en ellos, es ca p az de enseñarnos algo m ás allá con carácter de gen era lidad; y h o y el técnico angustiado, sudoroso y jad ean te, llam a con aprem io a las puertas del tem plo de la C ien cia y no se conform a con que los sabios estudien y discutan sus teorías y extiendan su s elucubracion es por los cam pos áridos de las abstracciones, m ientras él lu ch a denodadam ente con la realidad y v e agotarse sus arm as; él necesita con secuen cias prontas y determ inadas. Y en m edio de tan tas desgracias com o vivim o s y cream os, es qu izá una m ás, y no despreciable, esta de que cada v e z de je m o s m enos científicos puros trabajando tranquilos por un cam po en el que no se atisben aplicaciones directas; porque en cuan to se entrevé una, y a no se le deja vivir y se le obli g a a poner todas sus facultades en ob ligada tensión y orienta ción fija , com o un soldado o un esclavo m ás de esta vo rágin e que nos d evora sin que sepam os adonde nos lleva ni tan si quiera para qué la pusim os en m archa. C iertam ente en el cam po de las constru ccion es fija s la evolución es un poco m ás lenta; y , desde lu ego, resultaría más agradecida si la aviació n no se dedicase a destruirlas, antes de tiem po, con catástrofes apocalípticas. Pero aun así y todo, los que vivim o s esa técnica vem os con adm iración y espanto, que, para avan zar, para aprovech ar m ás los m ateriales, para com petir y segu ir a tono la m arch a inevitable del progreso con su cortejo de com plicaciones, se necesita salirse de la E lasticidad clásica. P ara el técn ico esto resulta abrum ador, porque repre senta tener que em plear teorías y m étodos enorm em ente m ás com plicados y prolijos, casi siem pre con una prem ura de tiem po y una carga de responsabilidad que, unidas, constituyen la carga m aldita que pesa sobre el ingeniero y la que, por eso 19

m ism o, valo ra y m agn ifica a la v e z la gran deza de su em peño y el valo r de su m isión. En efecto, otras teorías se han ido desarrollando y en este afán de h o y se em plean con avidez. A sí, por ejem plo, la teoría desarrollada por la escuela de T refftz, que considera las deform aciones com o función, no sólo de las derivadas prim eras de los recorridos, sino tam bién de derivadas de orden superior de los m ism os, perm ite, por su com pleta generalidad, estudiar los casos de inestabilidad elás tica más allá del primer pandeo o pandeo euleriano y ha en contrado equilibrios estables posteriores y soluciones prácticas m u y útiles en la construcción, lo m ism o para el caso de pie zas prism áticas que de superficies, com o el pandeo de alm a en vigas llenas con o sin m ontantes de rigidización; y se pue de aplicar tam bién al caso de m em branas y aun lám inas cur va s de sim ple o doble cu rvatura com o las cúpulas. L os cálculos a que conduce esta teoría son de gran com plicación y de prim era intención parecen inaplicables a los problem as prácticos; sin em bargo, son m uchos los casos en que a través de unos desarrollos teóricos de gran com plicación m atem ática se puede llegar a fórm ulas prácticas o a tabula ciones o ábacos que perm itan resolver el problem a particular que se plantee con gran facilidad. Por otro lado, la teoría de la plasticidad representa bastante bien lo que le sucede al acero después de alcanzar su límite de fluencia; y h o y se calculan ciertos elem entos m etálicos de las estructuras teniendo en cuenta los aum entos de resistencia que pueden obtenerse de la utilización de este período postelás tico cuando no han de intervenir fenóm enos de fatiga. L a s teorías de T resca y N avier, y las más m odernas de von M isses y N adal, perm iten h o y el estudio de la distribución de tensiones en estos cuerpos que, tras de un com portam iento 20

sensiblem ente elástico, pasan rápidam ente al período plástico cuando el estado de tensión a lca n za unos ciertos límites; y , C olonetti, ha generalizado a estos casos los principios energé ticos de m ínim o trabajo y de los trab ajos virtu ales desarrollan do m étodos de cálculo verdaderam ente prácticos, tanto en el caso de estructuras lineales sim ples com o en las m últiples y trianguladas. En el h orm igón, los fenóm enos son todavía m ás com plejos, porque com o en todo pseudosólido se presentan deform aciones im portantes que no se ajustan a la le y de H ooke y , en ciertos tipos de estructura, la tendencia plástica de estas deform acio nes puede co locar la obra en condiciones desfavorables respecto a la .teoría puram ente elástica, sin serles tam poco aplicables las de la plasticidad perfecta. A sí, por ejem plo, en el caso de un arco im portante y m u y rebajado, la contracción de la directriz aum enta con el tiem po y , en consecuen cia, aum enta el rebajam iento y se pro ducen n u evos aum entos de la com presión y de la deform ación; y , aum entando las deform aciones plásticas y rebajam ientos m ás rápidam ente que las com presiones, van colocan do a la obra, cada v e z m ás aceleradam ente, en condiciones excesivas y peligrosas de trabajo. En las construccion es lam inares, es h o y corriente llegar a esbelteces del quinientos y aún del seiscientosavo y esta carre ra de espesores m ínim os se lim ita por las condiciones de pan deo o inestabilidad; pero, según se ha visto, es el com portam ien to, dijéram os sem iplástico, del h orm igón el que h ace que esta inestabilidad sea m ás grttve, y, por consigu ien te, será necesario com plicar la teoría de la ine.stabilidad elástica para poder par tir de hipótesis anelásticas que se ajusten m ejor a las caracte rísticas propias y al com portam iento real del horm igón. L as com p licacion es de cálculo a que todo esto obliga y que 21

los nuevos recursos de los procesos m atem áticos hacen posible es tal, que se ha planteado repetidam ente la duda de si estas teorías tan com plicadas pueden estar ju stificadas en el cam po real de la construcción; es decir, si el afinam iento que llevan consigo responderá verdaderam ente al fenóm eno real que se presente con los m ateriales de que se dispone, y se ha dejado traslucir algo así com o la pregunta, no siem pre ingenua, de si los m ateriales conocerán realm ente esas teorías tan com plica das y sabrán cum plir las obligaciones que de ellas se deriven; y creo que interesa aclarar bien que esta duda es verdadera mente fundada en lo que a las hipótesis en sí se refiere; pero, en modo alguno, a la m ayor o menor com plicación del proceso m atem ático que de ellas sea necesario derivar para llegar a los resultados. Si se parte de la hipótesis de Elasticidad lineal perfecta y el m aterial no las cum ple, es evidente que, en general, los re sultados no corresponderán con la realidad. Pero si las leyes que rigen el com portam iento del m aterial coinciden con las tom adas com o punco de partida para la resolución del pro blem a, el resultado

final que se obtenga corresponderá a

la solución real, lo m ism o si el proceso m atem ático que co n duzca de las hipótesis a los resultados es sencillo que si es com plicado, tanto si el problem a plantea una sim ple ecuación lineal, com o un com plejo sistem a de ecuaciones diferenciales; si la solución satisface este sistem a, a nadie se le ocurrirá pen sar que la bondad y exactitud del resultado pueda ponerse en duda porque, para llegar a él, h ay a sido necesario utilizar unos recursos m atem áticos más o m enos abstrusos. Pero el verdadero problem a para el técnico está no sólo en encontrar un m étodo de cálculo que, fundado en leyes a las que verdaderam ente responda la naturaleza, le conduzca a un resultado eficaz; sino que, adem ás, le perm ita llegar a él con

la necesaria rapidez y con la m ás com pleta seguridad, elim i nando las probabilidades de error. Indudablem ente, en todo cálculo existe el peligro, tanto m a y o r cuanto más prolijo es, de un error oculto que no se en cuen tre ni siquiera en repetidas y co n cien zu d as com p robacio nes. P or eso es conveniente tener algú n sistem a para com pro bar que la solución a que se llega satisface efectivam ente el problem a inicialm ente planteado y poder así detectar la presen cia de un error o equivocación a corregir; y si el cálculo no tiene estos defectos, su m a y o r o m enor com p licación no restará n in gú n valo r a sus resultados. E l técnico necesita, pues, m étodos de cálculo que le per m itan com probar la resistencia de sus estructuras con su ficien te com odidad y rapidez para cum plir su m isión; pero, cuando estos m étodos rápidos no existen, no tiene m ás rem edio que aceptar la com plicación de cálcu lo que sea, si no puede recu rrir a m étodos experim entales de com probación para llegar a la m eta que se le im pone. D e ningún m odo puede rehuir el problem a, alegando que aquella com p licación puram ente de m ecánica operatoria h a y a de desvirtuar el fenóm eno real, por que com o decía L eonardo de V in ci, en la técnica, «los que censuran la sum a exactitud de las m atem áticas se contentan con ilusiones» y «no existe certidum bre donde no pueda apli carse a lg u n a de ellas». Por ello la técnica actual de la C on strucción , a m edida que se v a proponiendo problem as m ás difíciles y que trata de afi nar m ás, necesita por una parte m ejorar sus m edios de inves tigación para determ inar hasta los m enores detalles las carac terísticas físicas y el com portam iento m ecánico de los m ate riales que em plea; y , por otra parte, ha de ir aceptando, forzo sám ente, m ayores com p licaciones teóricas y nuevos recursos m atem áticos. 23

A n tiguam ente, la construcción de una obra no requería prácticam ente cálculo ninguno; h oy, ciertos proyectos requie ren con frecuencia cientos de páginas de cálculos. H ace poco, teniendo que proyectar un viaducto en sustitución de otro cons truido hacía cincuenta años, tuve la curiosidad de mirar el pro yecto prim itivo, y me quedé ingenuam ente sorprendido al ver que todo su cálculo estaba escrito en perfecta letra inglesa en folio y medio de papel; el nuevo proyecto que y o estudié lle vab a y a unas ciento cuarenta páginas a m áquina de cálculos y com probaciones; y

¡quién sabe dentro de otros cincuenta

años cu ál será el procedim iento de com probación y a qué lí m ites de com plicación y afinam iento se llegará, para la cons trucción de una obra análoga! * * *

V ea m o s en este sentido lo que ocurre en el caso del hor m igón arm ado. E n sus prim eros tiem pos, cuando se form aba su técnica y se m odelaban su s m étodos de cálculo, se hicieron las prim eras investigaciones necesarias para com probar si el m aterial se am oldaba con suficiente aproxim ación a las hipótesis o leyes elásticas; y si se analizan cuidadosam ente los datos obtenidos por aquellos investigadores y los que prepararon la m ism a Instrucción francesa para construcciones de horm igón arm ado, de 1906, se pueden apreciar y a algunas deform aciones no elás ticas y ciertas divergencias respecto a lo que la teoría exigía en sus hipótesis. Sin em bargo, la necesidad obligaba a ir rápi dam ente. Era necesario construir, y qu izá se dió un poco de lado a algunas de estas divergencias, en el buen deseo de poder aplicar al horm igón arm ado la siem pre m aravillosa y atrayen te teoría de la Elasticidad lineal, y m ás en particular, la de la 24

R esisten cia de M ateriales, qu e entonces con stitu ía la m áxim a p erfecció n técn ica y

la m á x im a co m p lica ció n a d m isib le de

cá lcu lo , m u y su p erio r indudablem ente a la que h asta entonces se h ab ía em pleado. E fectiv am en te, la R esisten cia de M ateriales es p erfectam en te ap licab le al h o rm ig ó n arm ado; y el con ju n to enorm e de co n stru ccio n es h ech a s, de en ton ces acá, con el éxito que está a la vista de tod o s, es m ás qu e su ficien te p ara ju stific a r a q u e lla elecció n . No cab e duda qu e el h istorial y b u en com p ortam iento de tan tas co n stru ccio n es corrientes, y a u n de g ran im p ortan cia, qu e se h an p ro yecta d o con b u en a técn ica y con am p lio m ar g e n de estab ilidad, a valan y acon.sejan u n a co n tin u id ad en la tra y e cto ria em pren dida, y qu e las in sustitu ib les ve n ta ja s qu e la h ip ótesis de H oo ke y la de igu ald ad de deform acion es entre las arm ad u ras y el h orm igón co n tigu o representan , h acien do p osible el cá lcu lo de las estru ctu ras con co m od id ad y se g u ri dad, h acen qu e la teo ría clá sica del h o rm ig ó n arm ad o co n ti núe co n sid erán d ose h o y estab lecid a sobre firm es bases y con seg u ro porvenir. P ero a v a n za n d o en la carrera em prendida de lu ces, esbelte ces y ca rg as, se h a llegado a lím ites en los que las deform a cion es no elásticas pueden y a

p roducir fuertes recorridos y

p elig ro s de in estab ilidad; se h a visto qu e el fen óm en o se a g ra v a p eligrosam en te con la in flu e n c ia de estas d eform acion es no elásticas y de estas d ivergen cias de co m p ortam ien to entre el m aterial y la teo ría elástica. P recisam en te este fen óm en o, que a m e n a za b a con la ruina el puente de A llie r, fu é lo que llam ó la aten ció n de F re y ssin e t y le h izo estu d iar a fon d o la cu es tión y d esarro llar su s interesan tísim as in ve stig a cio n es sobre el tem a, qu e h o y son co n ocid as de todos. E stos fenóm enos, c u y o estudio arran ca ap ro xim ad a m en te de 19 2 8 , han dado y a lu g a r 25

en diferentes países a estudios experim entales y m étodos de cá lcu lo particularm ente cuidados, com o son los de F a b er, G lan d w ille, W h itn e y , D isch inger, etc. A q u í y a no se trata de disquisiciones diletantistas desarro llad as en la m esa de trab ajo del h om bre de cien cia y desliga d as del problem a práctico, sino que, por el contrario, parecen m ás bien teorías de visión parcial, sim plistas o provisionales, desarrolladas rápidam ente, sin m irar a sus fundam entos, de ca ra m eram ente al dato experim ental y a la necesidad práctica q u e se le plantea al p royectista con toda la urgen cia y la res ponsabilidad que lleva siem pre co n sigo el problem a de la gran construcción . Y es que en el seno del horm igón se ocultan infinidad de elem entos, rebeldes a la teoría de la Elasticidad, pequeñísim as m asas de a g u a , gas, m icelas, cristales en crecim iento entrecru za n d o , por así decir, sus com plejas leyes. A p en as sabem os, de tod o ello, m ás que los efectos de conjunto que se producen en el m aterial, y estos efectos son de tan varios orígenes, depen d en de tantas variables y son tan diferentes de unos h orm igo nes a otros, que parece difícil llega r a establecer sus le y e s y discrim inar su s causas. S e observa que su co eficien te de dilatación térm ico no es el m ism o que el del hierro, y que, por otra parte, el horm igón su fre retracciones y deform aciones h igroscóp icas que descono ce su com pañero m etálico; ello con duce a la creación de es fu e rzo s internos parásitos o autotensiones im portantes que h an sido investigadas experim entaim ente y estudiadas desde un punto de vista teórico, con gran extensión y acierto, por diferentes autores, entre los que es ju s to citar a Caquot, quien h a obtenido im portantes deducciones sobre lo s fenóm enos de m icro fisu ración interna, de deform ación y deslizam iento fin ito entre el h orm igón y la arm adura.

Pero, aparte de todo esto y con m ás im portancia que ello, se observan otros fenóm enos anóm alos en el com portam iento del h orm igón bajo la acción de las cargas o esfuerzos perm a nentes. Por una parte, si se som ete una probeta prism ática, de su ficien te longitud respecto a su sección transversal, a com pre sión axil, y se dibujan en un diagram a los puntos que ligan la tensión con la deform ación, este diagram a, bajo la acción de cargas inferiores a las alcan zad as anteriorm ente, es relati vam en te asim ilable a una recta, aun cuando presenta, com o es lógico en esta clase de m ateriales, estrechos ciclos de histéresis; pero, durante la prim era puesta en carga, o para valores de ella superiores a los y a alcan zad os anteriorm ente, el dia gram a es acu sad am en te cu rvilín eo, con co n cavid ad h acia el eje de las d eform acion es y con cu rvatura creciente a m edida que se ap ro xim a la com presión a la carga m áxim a de rotura del m aterial; y no h a y que decir que no es posible llegar a las condiciones del d iagram a rectilíneo sin haber pasado prim era m ente por las correspondientes a esta prim era carga; aparte de que son m u ch as las construccion es en que el peso propio tiene una im portancia fundam ental y no se aplica m ás que una sola vez, en el m om ento del descim bram iento, para conti nuar actuando después constante e indefinidam ente. C iertam ente, en el prim er trozo del d iagram a, para cargas bajas, la cu rva puede asim ilarse a la tan gente o a una secante y adm itir, en esta form a, la ley de H ooke o de p roporcionali dad entre tensiones y deform aciones; pero esto no será adm i sible cuando se quieren estudiar las condiciones de resistencia del m aterial en estados próxim os a la rotura o en aquellos otros en que se quiere trabajar a cargas relativam ente altas, y m enos cuan do h ay a peligro de que estas cargas se produzcan por fenóm enos de inestabilidad. 27

P or otra parte, desde las prim eras investigaciones sobre el com portam iento del horm igón arm ado, se viene observando que éste presenta inexorablem ente resistencias m enores a com presión sim ple o axil que a com presión por flexión en las fi bras extrem as más com prim idas. Claro está, que este fenóm e no no puede observarse más que con cuantías suficientem ente fuertes para producir la rotura del horm igón por com presión antes que la de la arm adura por tracción. En estos casos la diferencia de resistencias es m u y im portante. Me refiero, natu ralm ente, a la resistencia teórica, es decir, a la carga de tra bajo que se obtiene por la aplicación de la teoría clásica de la E lasticidad lineal, o, lo que en este caso es prácticam ente igu al, por la teoría de la Resistencia de M ateriales partiendo de la hipótesis de Coulom b. T an to es esto así, que es corrien te adm itir en las norm as de cálculo del horm igón arm ado, una resistencia m ayor del horm igón a fiexión que a com presión sim ple sin ninguna ju stificación teórica; es decir, sin tratar de explicarse el por qué de fenóm eno tan anóm alo que claram en te delata un defecto en las hipótesis adm itidas. V arios autores han señalado que el fenóm eno puede ser debido a que la ley de reparto de tensiones a lo largo de la sección

som etida a flexión

no sea

lineal;

particularm ente

S ch reyer ha hecho el estudio adm itiendo un a ley de reparto h iperbólica en la zo n a de com presión y ha llegado a resulta dos m ucho m ás am oldados a la realidad que con la hipótesis lineal. Más conocida es quizá la solución adoptada por Em perger y Saliger, quienes consideran una ley trapecial consis tente en cortar la ley triangular de la hipótesis clásica por una paralela a la base, determ inada por la resistencia o carga de rotura a com presión sim ple del horm igón. .Salvo el estudio de S ch reyer, no se ha buscado una ju stificación a estas leyes, o, por m ejor decir, no se ha tratado de ligarla con el diagram a 28

tensión-deform ación en com presión sim ple com o parece ló g i co. T am p o co parece ju stificad o el diagram a hiperbólico de S ch rey er ni su asim ilación al rectángulo envolvente, y a que este diagram a se dedujo de una escasa experim entación en probetas de poca longitud, no som etidas, por consiguien te, a verdadera com presión sim ple a causa del efecto perturbador de la coacción establecida por las superficies de aplicación de la carga. T o d o ello hace pensar en la posibilidad de estudiar el com portam iento a flexión de la pieza partiendo del diagram a real ten sió n -d eform ació n

obtenido

com presión

sim ple,

aun

cuando para ello se presente algu n a dificultad especial; en rea lidad, el problem a debería considerarse com o una am pliación o g en eralizació n del problem a de Saint V en an t partiendo de las nuevas relaciones, no lineales, entre tensiones y deform a ciones; pero atacar el problem a así, en toda su generalidad y com p licación requiere, en prim er lugar, conocer o adm itir de term inadas leyes entre tensiones y deform aciones en el caso gen eral de solicitación triple del m aterial. A u n suponiendo co nocidas experim entalm ente estas leyes, para lo que se reque ría com pletar las experim entaciones hechas (como las de R óss, entre otras), es claro que el planteam iento del problem a sería de una com plicación que considero inabordable h o y por h oy; por otra parte, si en la técnica actual se considera adm isible y conveniente la sim p lificació n de la teoría de S ain t V en an t, parece lógico bu scar aquí hipótesis sim p lificad o ras aun a tru e q u e de perder generalidad en la solución, siem pre que estas hipótesis sean aceptables y co n d u zcan a resultados concordan tes con la experim entación en los casos de piezas prism áticas que interesan en la práctica. Prescindiendo de la in flu en cia de los esfuerzos cortantes p ara el cálcu lo de los longitudinales, com o se hace corriente 29

mente, o sea, tratando de estudiar con exactitud solam ente el problem a de la flexión pura en el que sólo aparecen tensiones norm ales en una sola dirección, podrá establecerse un método de determ inación de las tensiones y las deform aciones en los distintos puntos de la pieza siem pre que se adm ita una deter m inada ley entre las tensiones norm ales y las deform aciones longitudinales y otra ley de distribución de estas últim as den tro de la sección. No disponiendo de una teoría que perm ita determ inar esta segunda ley com o consecuencia de las nuevas hipótesis sobre las características propias del m aterial en lu gar de las elásticas (pudiéram os decir al estilo de Saint V enant), es necesario re currir a la experim entación para su establecim iento. L a hipótesis plana llega a no ser adm isible en el caso de secciones espaciales tubulares, de grande ala, etc., pero para secciones com pactas, las investigaciones hechas hasta la fecha parecen abonar en favor de ella, aun cuando al llegar a cargas altas en el horm igón se puedan producir, com o parece haber observado experim entalm ente B randtzaheg, una ligera cu rva tura de la sección que tiende a dism inuir la deform ación en las fib ras extrem as. De todos m odos, la curvatura es pequeña y puede adm itirse con sobrada aproxim ación a la deform ación plana. P or otra parte, el adm itir otra ley cu rva de deform a ción no representaría una gran com plicación; y la variació n , que puede introducir esta ligera curvatura de la sección, es m ucho m enor que la que representa la cu rvatura del diagra m a tensión-deform ación, siendo ésta m ucho m ás acusada que aquélla en los casos que m ás interesan para este estudio, o sea, en aquellos en que h ay realm ente posibilidad de que el agotam iento resistente de la pieza se p roduzca por rotura a com presión del horm igón. Q ueda, sin em bargo, para arrancar y poder establecer una 30

teoría con cierto carácter de generalidad, una d ificu ltad , y es la varied ad de diagram as tensión-deform ación que se obtiene de un os h orm igones a otros, y , en consecuen cia, la v a ria b ili dad de lo que pudiera llam arse m ódulo de elasticidad instan táneo. No v o y a extenderm e en este tem a en el que tan bri llante aportación ha h echo D. A lfo n so Peña, llegando a esta blecer un m étodo de cálcu lo de la m a y o r elegan cia y aplicación práctica para el cálcu lo y dim ensionam iento de las piezas de h orm igón arm ado, h abid a cuenta de la variació n de este m ó dulo de elasticidad de unos h orm igones a otros. L a confrontación de a lgu n as im portantes series de en sayo s de diferentes investigadores y la experiencia propia me h icie ron pensar en la posibilidad de establecer un diagram a ún ico tensión-deform ación que sirviera para todo género de h orm i gones; y una

llegué a la con clusión de que podía establecerse

le y única, suñcientem ente aproxim ada

dentro

de los

casos prácticos, siem pre que se considerasen la tensión y la deform ación relativas en lu gar de las reales. En efecto, lla m ando tensión relativa el cociente de la tensión real H, o co m presión unitaria en la p ieza trabajando a com presión sim ple, por la resistencia o ca rg a unitaria de rotura R del m aterial para igu al género de solicitación; llam ando, a su vez, deform a ción relativa al cociente de la deform ación actu a l o real en cada m om ento 8, por la deform ación A correspondiente a la carga m áxim a de rotura y , estableciendo el diagram a en estas coordenadas, se llega a obtener una le y prácticam ente única; es decir, una le y aplicable con suficiente aproxim ación a todo género de horm igones. L a s experim entaciones de W alker-S tan ton , E m perger, S ali g e r y otros encajan todos sus resultados, abarcando m ás de diez m il ensayos, dentro de una estrecha zon a, alrededor de la ley única, con pequeña dispersión. 31

P arece que la ley más cóm oda de m anejo y que se aproxi ma m ejor a la realidad es de tipo parabólico de la forma:

Es decir, una parábola de grado n con vértice en el punto co rrespondiente a la carga m áxim a de rotura. El exponento

n que

se ajusta m ejor a la experim entación es 2,33 y prácticam ente todos los puntos o casos se acoplan entre valores de prendidos entre 1,8 y 2,7.

com

Seguram ente un estudio m ás detallado de la cuestión per m itirá establecer la variabilidad de

n en

función de las carac

terísticas del m aterial, tales com o calidad del árido, etc.; pero los errores que se obtienen adoptando un valo r único del ex ponente

n en

los resultados del m étodo que m ás adelante se

desarrolla, son m u y pequeños y , por consiguiente, se puede aceptar esta ley, a mi ju ic io , con carácter de generalidad y aproxim ación práctica.

sobrada para todos

los

ñnes de la técnica

Incluso creo que puede considerarse incluido en esta ley el fenóm eno llam ado deform ación lenta del horm igón; se trata de una deform ación que se produce a lo largo del tiem po bajo la acción de las cargas perm anentes. E sta deform ación, desta cada por prim era vez por F reyssinet en F ran cia y por Faber en Inglaterra, es de carácter plástico en cuanto no se recu pera o desaparece al retirar la carga ni parece producir tam poco fatiga o dism inución de resistencia en el m aterial, pero no sigue ni con m ucho las leyes de la plasticidad perfecta, sino que tiende a estabilizarse y dism inuir con el tiem po. No es éste lugar para entrar en la difícil discusión sobre las causas físicas y quím icas del fenóm eno, en las que parece 32

in fluir la elim inación por efecto de la com presión no y a sólo del a g u a libre intersticial, com o propuso F reyssinet, sino m ás bien del agu a coloidal y de la adsordida por el g el, unida pro bablem ente a deslizam ientos internos en los planos de cristali zación . L as experim entaciones de que se dispone se refieren casi exclu sivam en te a cargas unitarias b ajas respecto a las de rotura, com o corresponde a las tensiones norm ales de trabajo; y acusan, al cabo de tres o cuatro años, deform aciones tres y h asta cuatro veces superiores a las que se obtienen en los prim eros m om entos de aplicación de la carga. Por los exp e rim entos h echos con cargas algo m ás elevadas, y en especial los de D avis, se ve que tam bién aum entan con la com presión u n itaria m ás rápidam ente que ésta y que, por tanto, el diagra m a tensión-deform ación en periodos de cargas igu ales y dentro de igu ales edades del h orm igón es cu rvo, análogam ente al correspondiente a las cargas breves, hasta el punto de que v a rios experim entadores lo consideran proporcional a éste. A d m itiendo esto asi, m ientras nuevas experiencias con ten siones relativas m ás próxim as a la unidad no den nuevos datos sobre ellas, resulta que la le y establecida anteriorm ente se m antiene tam bién para las deform aciones lentas siem pre que, al definir la tensión y la deform ación relativas, se tom en co m o referencia o denom inador los valores de la tensión y de la deform ación de rotura correspondientes a periodos de carga y edades del horm igón igu ales o parecidas a las que se refieran las tensiones y deform aciones de trabajo. En todo caso, si la experim entación dem ostrase que esta correlació n no es exacta, podrían adoptarse valores del expo nente n diferentes para el estudio del fenóm eno en ca rg a breve y en carga duradera. Si quieren tenerse en cuenta, con m ayor aproxim ación qu e la usual, todos los fenóm enos resistentes que entran en

el trabajo de la pieza prism ática de horm igón arm ado, ha de considerarse tam bién la resistencia a tracción el horm igón. L a experim entación de que se dispone en tracción sim ple es m ás escasa y m ucho m ás delicada que la del horm igón en com presión. A d em ás sus leyes son totalm ente diferentes cuando el horm igón está arm ado, que cuando no lo está, y varia tam bién según la cuantia de arm adura longitudinal de que se dis ponga. Y a H ennebique observaba que el horm igón se hace m ás dúctil cuando está arm ado; y esta m ayor ductilidad, o deform abilidad sin agrietam iento a tracción, es tanto m ayor cuanto m ás próxim as están las arm aduras en su seno. El fenóm eno ha recibido especial atención en estos últim os años, con m oti vo del em pleo de aceros de alto lim ite elástico para su empleo a fuertes tensiones dentro del horm igón. Estableciendo tam bién los diagram as tensión-deform ación en valores relativos, com o se ha indicado para el trabajo de com presión,

y utilizando los

datos proporcionados por el

O esterreichschen Eisenbeton A n sch u ss, se ve que los diagra m as resultantes son m ás variables que en el caso de com pre sión, pero com o esta resistencia es m u y pequeña en relación a la de la com presión, la influencia de estos errores puede con siderarse despreciable; por ello, para uniform idad del cálculo, parece adm isible una ley m edia tal com o ésta:

J en la que J,

5 son

§ \"'

S V"

la tensión y la deform ación a tracción, y

R, A los m ism os valores anteriores correspondientes a la m áxi ma carga unitaria de rotura por com presión simple. Esta ley se centra bien en los diagram as que se deducen de la experi m entación antes citada (dando a sus coeficientes los valores

= o ,i6 6 ;

1,33 ; n" — 21, 23) Y a cu sa claram ente el fe

nóm eno de ductilidad y pérdida paulatina de resistencia que se observa en el horm igón cuando la deform ación aum enta exce sivam ente y el m aterial se ve obligado por adherencia a seguir en sus alargam ientos a una arm adura bien dispuesta. No tiene, por otra parte, esta expresión m ás valo r que el de perm itir el establecim iento de ecuaciones que den unos valores de la deform ación utilizables para el estudio de las reacciones en sistem as hiperestáticos, con un grado de apro xim ació n m a y o r que el que proporcionan los m étodos corrientes de cálcu lo; pues, para la com probación de la resistencia de secciones, se considera corrientem ente preferible no tener en cuenta estas resistencias a tracción, y a que sus valores son relativam ente aleatorios y a favor de la seguridad. P or últim o, para el acero de construcción , com o es bien sabido, el diagram a tensión-deform ación está com puesto de una parte sensiblem ente recta, cu y a tangente define el m ódulo de elasticidad, y otra parte, que puede considerarse h orizon tal, y que m arca el escalón de fluencia, siguiendo lu ego el período de estricción que y a no interesa al caso; entre las dos prim eras partes rectas indicadas, aparece u n a pequeña zo n a cu rva de transición. Este diagram a podría asim ilarse a un a ram a de h i pérbola m u y agu d a con centro ju n to al punto de intersección de las dos alineaciones rectas indicadas anteriorm ente, y que arrancara, en el origen de tensión nula, tangente a la recta que define el m ódulo de elasticidad inicial; siendo prácticam ente este m ódulo inicial constante, en todos los aceros de construc ción, podrían fijarse los parám etros de esta hipérbola de form a que pasara sensiblem ente horizon tal por el escalón de flu en cia correspondiente a cada tipo de acero. Este diagram a quizá p u diera interesar en piezas m etálicas para el desarrollo de una teoría a n álo ga a la que vam o s a ver para el h orm igón ar-

mado; pero, no parece interesar en este últim o caso, porque estas piezas, al aproxim arse el escalón de fluencia en su arm a dura de tracción, sufren agrietam ientos im portantes que, no solam ente alteran y a el régim en de trabajo norm al, sino que las colocan fuera del cam po adm isible en la práctica, por los peligros de oxidación de la arm adura al entrar la hum edad am biente en estas fisuras, cuando alcan zan y a

una cierta

abertura. P or esta razón, parece preferible seguir adm itiendo un dia gram a discontinuo en el acero, igual al que han aplicado otros autores para el establecim iento y cálculo de piezas m etálicas que entran por flexión en periodo plástico. A si, pues, se consi derará solam ente la prim era ram a del diagram a en el acero com o recta hasta el escalón de fluencia, lim itando el cam po de trabajo de la pieza, al alcan zarse este límite. Aceptando estas leyes para el estudio de las tensiones lon gitudinales con independencia de las cortantes, se puede des arrollar una teoría que, si bien es m ás com plicada que la co rriente, perm ite, sin em bargo, llegar a valores, diagram as y fórm ulas fin ales de utilidad práctica. No v o y a entretener vuestra atención con el problem a téc nico, sino exclusivam ente con la posibilidad de desarrollo de la teoría en una form a general. Com o se ha indicado antes, pa rece aconsejable partir de la hipótesis de deform ación plana, puesto que la experim entación existente da valores sensible m ente correspondientes a esta ley. En todo caso, podría ha cerse el estudio partiendo de una hipótesis de deform ación cu rva fija, o, probablem ente con m ás exactitud, con una cur vatura variable, siguiendo una ley análoga a la que hem os establecido entre las tensiones y las deform aciones relativas; pero no pareciendo que la experim entación existente aconseje introducir esta nu eva com plicación, he partido de la hipótesis 36

de deform ación plana. C laro está que, adm itida la ley fu n d a m ental anterior tensión-deform ación, esto no p ro vo ca una le y de tensión plana com o se deduce en E lasticidad lineal en el problem a de Saint V en an t, sino que aparecerá forzosam ente una le y de tensión curva y de form a y cu rvaturas variables según el grado de agotam iento o de tensión relativa del h or m igón. P or lo dem ás, considerando solam ente los esfuerzos lo n gi tudinales com o en el caso flexión pura o en los asim ilables a él, no es necesario establecer n u evas peticiones de principio para desarrollar las ecuaciones de equilibrio con arreglo a las bases de la M ecánica racional, y lo m ism o sucede en el cam po de la com presión axil y en el com puesto de com presión y flexión; es decir, de flexión o com presión com puestas. De todo lo anteriorm ente expuesto se deduce que para el establecim iento de este m étodo de cálculo de los esfuerzos longitudinales en una p ieza de h orm igón arm ado som etida a flexión o com presión com puestas, puede partirse de las cuatro bases experim entales siguientes; 1.°— ^Mantenimiento de las secciones planas durante la de form ación. 2.°— L e y fundam ental entre la tensión y la deform ación relativas en el horm igón a com presión; H\

I — ^ | = / i

Si »

oblen

( i — A) =

( i — Y¡)«

en la que H es la tensión en el hormigón; R la de rotura a compresión simple; 8 la deformación correspondiente a H; A H

la d eform ación de rotura; h = —

¡a. tensión relativa; 4 =

—

la d eform ación relativa; y ^ un exponente de va lo r constante

que, fijado en 2,33, encaja suficientem ente las diferentes expe rim entaciones. 3 .°— C om o ley aproxim ada en la zon a de horm igón som e tido a tracción en sección arm ada:

R o bien

I —

/ = . (i — r¡)"' — . (i — y¡)«''

en donde x , n', n", son constantes que pueden fijarse, com o pri m era y suficiente aproxim ación, en 0, 1 1 6, 1,33 y 21, 33 res pectivam ente. J es la tensión

a tracción en el horm igón;

y’ = •— ; y Yj, R, los mismos valores indicados anteriormente. K 4C — E l m ódulo de elasticidad E del acero, lo m ism o a tracción que a com presión, se supone constante hasta un cierto lím ite L y nulo a partir de este valor dentro de la zona de com presión única en que puede interesar. Partiendo de estas bases pueden establecerse las ecuacio nes de equilibrio correspondientes. En el caso de flexión com puesta, es decir, con com presio nes y tracciones dentro de la sección, y partiendo de estas le y e s en lu ga r de las clásicas de N avier, se pueden establecer igualm ente las dos conocidas ecuaciones de equilibrio entre la resultante de las tensiones y la fuerza exterior N norm al a la sección y aplicada a una distancia e del punto medio del canto. Estas ecuaciones son:

. de — J O

N í -f- N

. dz

. a — A,

---------- =

J' b^ . H. . z . dz -¡- J ’b,, . J. . z . d z -j-

+ A., . a ( g — r j + A , . s (d — g — r , )

—í

en las que a es la arm adura de com presión, .c la de tracción, A„, A^ sus respectivas tensiones (en va lo r absoluto) r^, recubrim ientos respectivos, b, el ancho de la fibra

los

g la dis

tan cia de la fibra extrem a m ás com prim ida al plano neutro, d el canto total, N la carga ax il total, y e su distancia al pun to m edio de la sección o m itad del canto. L lam an d o R la resistencia confiable del horm igón (para la que pueden tom arse los dos tercios de la m edia a com presión sim ple obtenida por ensayos, al objeto de igu alar los coeficien tes de seguridad a aplicar después al horm igón y al acero), siendo b un cierto ancho m edio y dividiendo la prim era ecu a ción por b d R , la segunda por b d ^ R y haciendo

= — , las

dos ecuaciones anteriores tom an la form a: 1

bd R ^

/ g

bdR { d

—í!d I 2' =

+ O

Í-Sid

~y) +

.72 . O ^

bdR\

P or últim o, adoptando los sím bolos siguientes: P =

!■ ' =

Ni ^2- ¡7~

que llam arem os coeficiente de com presión o sim plem en te compresor. Coeficiente flexor o sim plem ente flexor.

—

<2 b d \l

Cuantía característica de com presión o característica adi cional. Cuantía característica de tracción o característica básica.

O l~£¡d cu y as expresiones desarrollarem os más adelante.

O u =

- : ^ j b , . / i , .Z , .dZ., O

1-dM

z = ~ J b , .72 . í. .

las ecuaciones de equilibrio se reducen a:

P = T(T) - T(W) + ( A J

- |A j

F = P ( 4 ~ t) + tVU) + f (Z) + ( A J +

(^ )

(Y_ p,) +

— T — PÙ

P ara determ inar los seis valores entre paréntesis, puede operarse en la siguiente forma: 40

S e a a el g iro q u e co rre sp o n d e a u n a lo n g itu d de p ie za ig u a l al c a n to d de ta l m o d o q u e: \ .d

sie n d o 8^ la d e fo rm ac ió n lo n g itu d in al o n o rm al a la secció n . H acien d o :

se tien e: A . d

‘

qu e in tro d u cid a en la s le y e s de te n sió n -d e fo rm ac ió n e sta b le c id a s d a: ^2 =

/, = . . [ ( ! -

I — ( i IB íQ ” pe:,)«'

In tro d u cie n d o e sto s v a lo r e s en la s e x p r e sio n e s de T U W Z, sie m p re q u e el a n c b o . ,

cion de

-S'

—

s e a e x p re sa b le a n a litic a m e n te en fun-

p u ed en o b ten erse la s e x p re sio n e s de e sta s

—

fu n c io n e s en fu n ció n de P y

e in te g ra n d o q u e d a n en fu n ció n

P y T. E n tod o c a s o p u ed e h a c e rse la in te g ra c ió n g rá fic a m e n te . E n el c a so m á s c o rrien te de an c h o c o n stan te o sec c ió n r e c ta n g u la r se ob tien en l a s . fó r m u la s y r e su lta d o s sig u ie n te s: In tro d u cie n d o lo s v a lo r e s de y y <j> = p in te g ra n d o y h a c ie n d o o p e ra c io n e s, q u e d a : T =

A j U

o u = 4

« ,=

p « -]

T /

T -

pciri»

Y com o I

ü.- =

-(1

pe:.)

s e tiene 7 ( 1

dZ.

p e:.

y q u ed a:

U =- T

z iA -K -) + i f

+1 2 ^

(j)2

-h

« -f- I «' + 1

i-1

I —

■ ' ÍP-^ +t P

k " -+U 2 9. «

Y +I ^2

+ WTT («" + i) (n" + 2)

(«'

. -------------

i) (k + 2

e x p re sio n e s en la s qu e h a de h a ce rse :

«= 42

2, 33

«' = 1,33

«" =

2, 33

. = o,ii6

P or últim o, las expresiones

-¡-b se deducen inm ediatam en-

te por las con ocidas relaciones geom étricas que dan { g — ra)

p. \ E A L

)

C on todo ello, las ecuacion es de equilibrio se reducen fá cil m ente a; E A

M - t ) Y t

F = P 4 ~

;

) + U . y^ + Z . y^ + «,

- p w j t }4)»(-------I ( T _ I—_

_E l í— tí

7 \T

< I

(t — P«) +

EA _ L < \

S e indica en ellas, dentro del prim er paréntesis, la lim ita ción del va lo r <(> ( i — —

)

que representa la tensión de

la arm adura de com presión, dividida por L, cu yo va lo r se m an-

tiene constante al llegar a la unidad y entrar el material en el escalón de fluencia; de m odo que al ser:

I —

h a y que sustituir su expresión por este últim o valor constan te % que llam arem os

parámetro critico.

A p arte de esto, el cam

po de valid ez de las ecuaciones está lim itado, de una parte, p or la rotura del horm igón, y de otra, porque se alcance en la arm adura de tracción el valor lim ite L. L o prim ero, la rotura del horm igón, se produce para

è =

es decir, para tj) >

fì Y =

—

. X

J£ -= Y i

- I

Lo segundo, el lim ite de fluen cia en la arm adura de trac ción , se a lca n za para:

o sea:

Es corriente, en los problem as de flexión simple o com puesta, considerar el canto útil

c en

v e z del canto total

L as

ecuaciones obtenidas en este caso serian en todo an álogas a las anteriores, sin m ás que sustituir del recubrim iento r^.

por

y prescindir

Así, llam ando P .=

F. =

bcR

bc-^R

qu ed an las ecuaciones siguientes:

P. = T . Y — W - Y +

— -

— Us

ip t< i

(T - PA +

F. = P

(I - T )

O bsérvese que la generalidad de las ecuaciones proviene de que todos sus térm in os son adim ensionales, viniendo los seis sím bolos P, F ,

, w ., p , Y . ligados con los elem entos a

m an ejar corrientem ente por las fórm ulas:

bdR

bd^R

a Jd

L ' T

”

bd '

L R

en las que L y R son valores conocidos para cada tipo de hor m igón. Si en lu gar de flexión com puesta se trata de com presión com p uesta (sin tracciones), puede seguirse la m ism a m archa y llega r a las ecuaciones:

P = T .y- T ' . y+ +

ifli

P« T < 1

«a

F == P

— ?! + U . f — u'. Y* + 4>|i — - 4 x < I +

en las que T '

7 ' - T

+ t)*

(y — I — p . ) « .

U ' representan las m ism as integrales T U ha

lladas anteriorm ente, pero con los lím ites [ f r TT

*■ o

(T — pri Ua +

' e n lu gar de

; porque de este modo representan el area de com presio-

nes a restar, correspondiente a la altura desde la fibra neutra 1= 0

a la cara m enos com prim ida

— i) =

) •

Las

expresiones W , Z, han desaparecido por no existir áreas de tracciones. En la com presión com puesta, la resistencia se agota sola m ente por la condición 4» =

i; aun cuando pueda suceder que

se alcance el límite de fluencia, no sólo en la arm adura más com prim ida a, sino tam bién, aunque m ás raram ente, en la

Puesto que se ha llegado a ecuaciones distintas para flexión y para com presión com puestas, puede hacerse, por separado tam bién, su aplicación a la com probación de secciones en uno y otro género de solicitación. Se trata para ello de determ inar los valores de los coefi cientes flexor y com presor que agotan la resistencia. Esto puede suceder, por rotura del horm igón, es decir, para 4’ = P y = ' o por alcanzarse el valor lím ite o de fluencia en la arm adura de tracción:

Introduciendo su cesiva y separadam ente estos dos valores en las ecuacion es gen erales y prescindiendo de los térm inos de tracción en el h orm igón Y Z, com o es corriente para m ás se gu rid ad , se tiene: P ara rotura del horm igón:

P r = T r . Y+ pR = Pr(-^

í.\( -

-p4x<ii — T/

Y + Ur Y^ - f Ua

I T (T — ?a) +

Y \^ < i

y para la iniciación de la fluen cia en la arm adura s:

Pl — Tl Y“h Fl

< I ~ Us Íi - - £ 2 T

-f- U l . Y^ 4 -r

E n estas ecuaciones

(I —

Y —

(t — P«) +

y UL.son los valores de estas inte

grales para el va lo r particular de 'I' que corresponde al lím ite de flu e n cia en la arm adura de tracción y que vien e dado por la condición

g — g

Eá

X (I —

Y —

p.,

E n com presión com puesta, el agotam iento de resistencia viene dado en todos los casos por alcan zarse la tensión de ro tura del h orm igón en la cara m ás alejada de la Abra neutra;

es decir, por la condición 4> =

i , que ha de introducirse en las

ecuaciones generales obtenidas para com presión com puesta, y qu e tom an con esta sustitución la forma:

Pr= T

— Tr

X <

= PR-(4 - - í ) + U R . f - U í i . f + [ ( 1 - 4 =

I - - L + ÍÍ T t ;

X <

(T — P a )« . 4 -

h — I + pú Us

En la flexió n se ha prescindido del área de tracción, pero podría tenerse tam bién en cuenta sim plem ente con establecer los límites correspondientes de las funciones W , Z. Se han referido las dim ensiones longitudinales de la sección al canto total, pero y a se ha visto que lo m ism o pueden dedu cirse las fórm ulas en función del canto útil c con lo que se llega a las m ism as expresiones sin más que suprim ir en ellas p,. T en iend o en cuenta todo esto pueden sintetizarse las e x presiones obtenidas en las siguientes:

P= Y. Ty-

í T ' para Y < • ) 1 ' + A 'P a r a Y < ii(i_ ^ _ p ,y

X < I

'*a “h 4) — — I — P„

F = P (4 --í)-f-f.U Y -Y ’

U' (para

X <

i) (

Z (paraY<i)í(,_^_p^^)

< I {l — 9a)Ua +

(t —

)

x <

(y — I — pw)«.

en las que p.. desaparece si se refieren al canto total a?; y p,^ desaparece si se refieren al canto útil c\ y en las que, por últi mo, ha de establecerse tam bién el lím ite 4»= i , porque para este valo r lím ite sobreviene la rotura horm igón.

por com presión

del

Igualm en te puede gen eralizárselas a los casos de piezas en T , en las que el área de com presiones co ge las alas y una parte del alm a, considerando 7 > 7 > descom puestos en dos áreas parciales con sus anch os y lím ites correspondientes. A h o ra bien, si la pieza está sustentada hiperestáticam ente, es necesario tener en cuenta las deform aciones para la deter m inación de las reacciones hiperestáticas. L o s recorridos de una secció n cu alquiera correspondiente a un punto x y , de la línea m edia, respecto a otra x^ , y^ que se tom e com o fija, vienen

dados, com o

siem pre,

por las

fórm ulas: *1*01 = jl>-dl A A

j'i). .j'. d/ -j-J'K . dx 'o

k A

Yoi =

fí>- . x. d/+ Jk.

en las que X es la deform ación longitudinal (unitaria) de la fib ra m edia, ¡x es el giro relativo de una sección respecto a otra por unidad de longitud de pieza, 4)01 es el recorrido an gu lar de la sección l respecto a la O, y X Y son las p ro yeccio nes de los recorridos lineales sobre los dos ejes respectivos; cuando estos recorridos son conocidos, las ecuaciones anterio-

res han de perm itir la obtención de las reacciones hiperestá ticas. En estas ecuaciones 1 , ¡x, vienen dadas por las fórm ulas;

y estos valores quedan a su v e z ligados, por las ecuaciones generales de equilibrio obtenidas anteriorm ente, con los dos coeficientes, com presor y fle x o r P, F , que dependen exclusi vam ente do las fuerzas exteriores y de las características de la sección. D ada la com plicación de estas ecuaciones generales no puede pensarse en utilizarlas directam ente para la resolución de un problem a concreto; pero puede seguirse con relativa facilidad el procedim iento de aproxim aciones sucesivas

guiente: Supónganse determ inadas, en prim era aproxim ación, las reacciones hiperestáticas por los m étodos usuales, esto es, ad m itiendo que

IFÓT Eü

”n

I" =

M RI

D ivídase la pieza en un núm ero de trozos lo bastante grandes para que a lo largo de cualquiera de ellos las varia ciones de su sección y de sus deform aciones sean su ficien te mente pequeñas. En el centro de cualquiera de estos trozos podrán deter m inarse los valores de P y de F , que se deduzcan con las 50

reacciones hiperestáticas h alladas; con la a yu d a de ábaco s pre parados al efecto, se determ inarán los valo res de 'x, ¡x; y^ en con secuen cia, los de ji, X , Y , que y a no serán los previstos, sino que aparecerán con un as diferencias o errores. C om o segun da aproxim ación pueden introducirse en el sistem a unas ciertas reaccion es hiperestáticas supletorias de co rrecció n o

correctores hiperestáticos previam ente

desconocidos,

pero que pueden determ inarse en prim era aproxim ación por las consideraciones siguientes: A estos errores hiperestáticos corresponderán un os aum entos o increm entos (V P) y (V F) de P y de F en cada punto o trozo y u n as variacion es de >■y [A que en prim era aproxim ación pueden suponerse iguales a las expresiones ( V ) .) = ^ ( V P ) + 4 Í , V F )

( V | .) = 4 t,v P ) + - | t ( v r )

P a ra los va lo res de dX ~dP'

¿>¡x

' W ’ T

¿[X '

en cada tro zo pueden tom arse, de ábacos o tablas preparadas al efecto, los valo res correspondientes a los P y F que ^se han obtenido en el prim er cálculo. L a s expresiones (V P) y (V F) pueden obtenerse directa m ente en función de los correctores hiperestáticos y de las coordenadas del punto com o se h ace en el m étodo clásico, y con ello se dispone de tres ecuaciones lineales en dichos co rrectores de las que pueden deducirse su s valo res y que exp re san la cond ición de que, por efecto de la introducción de esas

fu erzas o correctores, se p ro d u zcan unos recorridos igu ales y con trarios a las diferencias o errores (V $), (V X ), (V Y ), que h a y a n resultado del prim er cálcu lo respecto a lo que exijan las con dicion es de sustentación de la pieza; esto es:

(VF)a/

- ( V X ) = f „ A I"( v p ) r . a / + S, A I' (VF)jz.á/ + + x „ A | ( V P ) a . + x , A |(V F ) a . _ ( V Y ) = F„ A

J(v p )..a /+ L „ 4 f

/ ( V F ) 2r . á / +

+ Y „ A J (V P )a 4 -fS „ A |(V F ) en las que

representan la sum a de las integrales corresp on

dientes a cada trozo con sus lím ites correspondientes. S i los tro zo s se tom an lo suficientem ente cortos para po der adm itir que P y F son constan tes a lo largo de ca d a uno de ellos, las ecuacion es tom an la form a; - ( V 0 ) = ' - . 4 £ (VP)/ + v . | t ( V n /

_ (VX ) =

dX +

(V P) + ^(?F (V F)

(J IX

_ (V Y) = S.

ó |J.

./ +

( VP) + 7 t ( V F ) dF c)P dX dP

ylfl

|2 -(V P ) + - | f ( V F

( V P ) 4-

dX ¿IF

(V F)

E stas e cu a cio n es, u n a v e z p u esta s en ellas las expresion es (V P) y (V F) en fu n ció n de los co rrecto res h ip erestático s des co n ocid o s, resultarán , en g en eral, lineales en ellos, por ser P y F fu n cio n es lineales de las fu e rza s exteriores. S u m a n d o alg éb rica m en te estos va lo re s a los obtenidos an teriorm en te, se tendrán un os va lo res m ás a p ro xim ad o s que perm itirán pasar a u n a tercera co rrecció n y asi su cesivam en te h asta obten er el lím ite de ap ro xim ació n q u e se desee, co n la m ism a o a n á lo g a co m p licación se tiene p ara el cálcu lo

cada caso q u e

qu e

clásico de estas reaccion es h ip eres

táticas. N o se h an con siderado en todo lo exp u esto an teriorm en te m ás que las v a riacio n es in iciales del h o rm ig ó n b a jo la acción de la prim era ca rg a. Y a se indicó qu e al d escargarse la pieza, el d iagram a ten sión -deform ación d eja de ser ú n ico , y durante el período de ca rg a n e g a tiva o d escarga sig u e un a le y m ás ap ro xim ad a a la rectilínea. S ería n ecesario, por co n sigu ien te, para el estudio de este segu n d o fen óm en o, a p licar las le y e s y fórm u las de la elastici dad clá sica para sup erpon er su s efectos (deform acion es y ten siones) a lo s obtenidos con arreglo a esta teo ría qu e se ap ro xi m a a lo qu e le su ced e al h o rm ig ó n en prim era ca rg a solam ente. L a d iferen cia entre a m b os resu ltad os dará el co n ju n to de es fu e rzo s p arásitos qu e qu ed an en la p ieza de h o rm ig ó n arm ado d espués de som etida a un o o v a rio s períodos de ca rg a. Si se adm ite, com o y a se dijo, que a igu ald ad de tiem po las deform acion es lentas son p ro p o rcion ales a las producidas por la ca rg a instan tán ea o b reve, y se adm ite un a le y para su v a ria ció n a lo larg o del tiem po com o la de W h itn e y , por e je m plo, se pueden estudiar tam bién las a lteracion es del régim en de e sfu e rzo s qu e se p roducen en la p ieza b ajo la a cció n del tiem p o por efecto de estas ca rg as duraderas. B a jo su efecto,

varían las deform aciones del h orm igón con el tiem po y , por consiguiente, al variar

varía el parám etro crítico r.

Com o consecuencia de estas variaciones pueden alterarse las reacciones hiperestáticas a lo largo del tiem po, y pueden determ inarse estas variaciones por un método análogo al indi cado en el párrafo anterior. L lam ando (V, (V ,P ), (V ,F ) las variaciones o increm en tos que sufren las tres variables en un determ inado período de tiem po a lo largo del cual las derivadas parciales

d\ dX dX 3 '

c>|x c> a p' ’ 7 F ’ 7 7 ’ 7p" ’ 7 F [X

¡X

tengan variaciones suñcientem ente pequeñas para poder supo ner unos valores m edios constantes de las m ism as, pueden escribirse para cada punto o trozo de la pieza, las expresiones (V//.) = 4 ^ ( Y

+ A ( V ,

P )+ ^ (7 F )

í? |x

<3|x

dIX

(V.,x) = - A ( V . x ) q - A ( v , P ) + 7 - ( V . F )

T om an d o de ábacos o tablas preparados para ello, los valores de las derivadas parciales, e introduciéndolos en las expresio nes de los recorridos totales de un extrem o de la pieza respec to al otro, se tiene:

(V, $) = (V, / (V, X) = S, (V, ¡,)J'yd/+^2„ (V, X)X |X)

(V, Y) = F, == (V, |x)

(V, X)j

L os prim eros térm inos han de ser nulos si la pieza está 54

¡rígidamente em potrada, o ser igu ales a los de las p iezas con quienes enlaza en el extrem o; los segundos térm inos son fu n ciones solam ente de las derivadas parciales antedichas, y de los valo res (V, d), (V, P), (V, F), de los cuales, el prim ero es un dato fija d o por la ley de W h itn e y u otra análoga, y los otros dos pueden ponerse en fun ción de las tres variables o incre m entos de las reacciones hiperestáticas en el extrem o (si las dem ás fu erzas exteriores son independientes

de sus

reco

rridos). Se tendrá, pues, un sistem a de tres ecuaciones que perm i tirá determ inar las variacio n es de las tres reacciones hiperes táticas que se produzcan por efecto de las variacio n es del m ó dulo de deform ación en un determ inado período de tiem po. Del m ism o m odo, en el período siguien te, entrando con estas reaccion es increm entadas, podrán determ inarse las nue v a s variacion es, etc. F n gen eral, bastará descom poner el proceso total de la d eform ación lenta bajo las cargas perm anentes en unos pocos períodos o partes, para cada uno de los cuales podrán prepa rarse los ábacos, de los que pueden tom arse con suficien te aproxim ación todos los datos necesarios

para

h acer

estos

cá lcu lo s en una pieza de determ inadas cuantías características. Fl m odo de operar en esta últim a parte no es m u y elegan te desde el punto de vista m atem ático, pero puede resultar útil en la práctica siem pre que se disponga de estos ábacos o tab las que faciliten los valores que entran en las fórm ulas a em plear. C laram ente se ve, y es qu izá la consecuen cia m ás im por tante que puede sacarse de este estudio, la prolijidad que en el cálculo concreto de una estructura representa la com p lica ción de leyes com o éstas, en lu gar de las clásicas de la Flasticidad lineal. No es posible pretender su aplicación directa a la

técnica y al cálculo de los proyectos de construcción a no ser que se establezcan tablas, ábacos o fórm ulas em píricas, de cóm odo m anejo, cu yo s resultados se acom oden aproxim ada mente a los que se obtengan de teorías así desarrolladas. Pero com o, por otra parte, la técnica actual exige este grado de afinam iento y estudio para continuar avanzando por los cam inos iniciados de las grandes luces y fuertes esbelteces a que ellas obligan, es evidente que será necesario establecer sistem as de trabajo que perm itan obtener resultados avalados por teorías así establecidas sobre regím enes anelásticos o por lo m enos de Elasticidad no lineal. L os resultados que se obtienen de la teoría anteriorm ente expuesta son, por otra parte, alentadores en cuanto que la ex perim entación directa sobre piezas en flexió n que he podido recoger los corrobora com pletam ente. L as flexion es que produ cen la rotura, particularm ente con cuantías críticas o supracríticas, son m u y superiores a las que se deducen de la teoría clásica y superan ligeram ente a las que se obtienen operando com o acaba de hacerse, según correspondería a la aplicación de esta nueva teoría si en v e z de considerarse para agota m iento resistente de la pieza el m om ento en que la fib ra ex trem a alcan za la m áxim a carga de rotura, se considerase aquel en que esta fib ra alcan za la carga fin al de rotura. Es decir, si se considerase el diagram a tensión-deform ación com pleto hasta esta carga fin al de rotura. No parece, sin em bargo, prudente hacerlo así para las apli caciones prácticas, ni tom ar esa resistencia últim a para la aplicación del coeficiente de seguridad, por razones de tipo técnico y práctico, que se salen del m arco de esta exposición; pero sí interesa señalarlo, no sólo por la com probación que ello representa, sino porque es prueba tam bién de que, análo gam ente a lo que ocurre con el horm igón en tracción cuando

está acom pañado de arm aduras, en este caso de com presión por flexión en el que sólo las Abras extrem as trabajan al m á xim o, éstas siguen m ejor su trabajo hasta m ás allá de su carga m áxim a de rotura, sin que aparezcan roturas prem aturas antes de llegar en el diagram a ten sión-deform ación a la tangente h o rizontal, com o sucede a veces en el en sayo a com presión sim ple de probetas sin arm ar. T o d o el estudio se h a referido solam ente al diagram a o es tado de prim era ca rg a breve o perm anente; en los casos de ca rg as repetidas o alternativas, la aparición de los esfuerzos parásitos antes indicados, harán probablem ente im posible la utilización de m ateriales com o los actuales; pero, por lo gene ral, en las gran des construcciones, son las cargas fijas las que predom inan, y en ellas el em pleo de estas teorías anelásticas son, a mi ju ic io , de un porvenir inm ediato, o en realidad perte necen y a al m om ento presente, puesto que se tiende a cons tru ir las estructuras y se calculan h o y con procedim ientos y fórm u las em píricas preparadas de m odo que se ten gan en cuenta con m ayor o m enor aproxim ación los fenóm enos que se acu san por efecto de esta falta de constancia en lo s m ódu los cuan do se trab aja con fuertes ten siones relativas. P or otra parte, los estudios qué he podido realizar partien do de estas teorías, me han dem ostrado la posibilidad de obte ner, por lo m enos en gran núm ero de casos, fórm u las verda deram ente prácticas para su aplicación directa, que perm itan igu al o q u izá m ayor sencillez de com probación tod avía que las fórm ulas usuales. C om o resultados gen erales en este sentido, pueden establecerse los siguientes: L as cuan tías críticas que resultan son siem pre superiores a las que se deducen con los m étodos y teorías clásicos de cálculo del h orm igón arm ado, y m ucho m ás aproxim ados a la realidad experim ental. En general, com o las cuantías prácticas y económ icas son

inferiores a las críticas, basta aplicar la teoría anterior, con vistas solam ente al cálculo de la arm adura; pues y a se sabe de antem ano que el fallo de resistencia tiene que ser, en este g é nero de piezas, por la arm adura y nunca por el horm igón. En estos casos corrientes de cuantías infracríticas, los m om entos que se obtienen se separan tanto m enos de los resultados de la teoría clásica cuanto m enor es la cuantía; aun cuando, en general, la resistencia que se obtiene es superior a la que se deduce de la teoría clásica; sin em bargo, con cuantías fuertes y con cargas perm anentes o duraderas, resulta la arm adura algo sobrecargada, y es necesario aum entar a veces hasta un diez por ciento la que se obtiene de la teoría clásica. C on cuantías supracríticas se obtiene un fuerte aum ento de resistencia sobre la teoría usual, de acuerdo siem pre con la com probación experim ental. F ijándose en el caso más corriente de flexión sim ple en piezas rectangulares, es curioso observar la sencillez de los re sultados siguientes, que pueden com probarse en la teoría an terior. P ara los coeficientes de seguridad clásicos y con errores m enores del 2 por 100, se tiene, trabajando con el acero nor m al, que la cuantía crítica vien e dada por las fórm ulas si guientes: para cargas breves: q (“/o) = para cargas duraderas: q ('Vo) =

R (kg/cm 4

100 R (kg/cm*)

siendo R la carga m áxim a de rotura obtenida directam ente de ensayos a com presión simple. Para cuantías superiores a ésta: A 7 - = o275 / y 7 A R.b.C / R 58

siendo q la cuan tía en por l OO y R la resistencia o carga m áxim a de rotura a com presión

real del m aterial; y para

cuantías inferiores, que suelen ser las económ icas, se tiene: c

para cargas breves: (

3 ,37

L m / R . ú

m b .d

i oq{o/o) + 0,003 R

0 3 , 3 2 K m /r "7 para cargas duraderas: <

M , , = 9 í* (Vo) + 0,003 R O.

Cito ésto, solam ente com o ejem plo de la posibilidad de en contrar fórm ulas de m anejo práctico sencillísim o que perm itan aplicar cóm odam ente los resultados de una teoría relativam en te com plicada para su aplicación directa por el técnico práctico com o es la anterior; y , en todo caso, siem pre se puede disponer de ábacos preparados al efecto que relacionen directam ente el fle x o r y el com presor, para obtener las condiciones de a g o tam iento de resistencia de la pieza, lo m ism o si se trata de una pieza de sección rectan gu lar que en T ; por consiguien te, la com probación a fle x ió n o com presión

com puestas de una

pieza de este género puede h acerse tam bién rápidam ente con un cortísim o núm ero de operaciones aritm éticas. No concedo, sin em bargo, a las leyes y m étodos expuestos m ás im portancia que la de iniciar un posible cam ino de g en e ralización sobre la Resistencia de M ateriales clásica. El cam ino a recorrer es largo, en realidad indefinido; pero.no cabe duda de que en esta ram a de la técn ica, com o antes señalé, se afina cad a día m ás a tru eque de m ayores com p licaciones y perfec cion am ientos en las teorías; y no es posible vo lver la es palda a ello ni bu scar razones en contra, sobre todo si después de la com p licación de las teorías se encuentran fórm u las prác

ticas o m étodos de trabajo que perm itan obtener el resultado con relativa sim plificación, aun cuando ésta no sea tan grande ni tan cóm oda com o la que se obtiene en las teorías elabora das en el siglo pasado, cu ya eficacia no hem os apreciado bas tante hasta el m om ento en que se han visto las com plicaciones de estas otras; por ello debem os un agradecim iento m áxim o a aquellos genios de la Ciencia que, m uchas veces sin pensar en las aplicaciones prácticas, nos proporcionaron esta m agnífica, eficaz y cóm oda herram ienta con la que sigue trabajando h o y el Ingeniero. Y no tenem os ciertam ente idea de la preparación científica que necesitará el Ingeniero futuro ni del grado de com plica ción de las teorías y de los recursos m atem áticos que habrá de utilizar para el proyecto de ciertas obras; porque, cuanto m ás se quiere en la práctica aproxim arse a las condiciones de rotura para obtener un m ayor aprovecham iento de los m ate riales, más im portancia tendrá, no sólo encajar en fórm ulas e hipótesis estos estados de tensión anelásticos, sino tam bién el llegar a conocer lo más íntim am ente posible las causas intrín secas de la rotura o de la plasticidad y el por qué de la resis tencia y de la cohesión. Ello ha obligado, y a h oy, a enlazar estos estudios con los de la constitución de la m ateria y a bus car las leyes estadísticas que rigen los fenóm enos resistentes, entre otros, com o tan brillantem ente ha expuesto en recientes cursos el Profesor T erradas, m aestro m áxim o en todas estas cuestiones físicas y m atem áticas relacionadas con los proble m as de la construcción. Mi aportación a todas e.stas m aterias no puede ni siquiera considerarse modesta; es nula. Pero, com o Ingeniero, no tengo m ás rem edio que interesarm e por ellas y pedir de vosotros, los que sabéis hacerlo y lo estáis haciendo, que nos sum inistréis las nuevas teorías y m étodos de trabajo y cálculo que hagan 6o

a va n za r m ás y m ás la técn ica de la constru cción para poder atender debidam ente las exigen cias cada v e z m ayores que so bre los Ingenieros carga la sociedad m oderna. Si mi presencia aquí logra h acer el papel de m endigo que a fuerza de pedir una lim osna sirve para h aceros com prender m ejor el va lo r de vu estra fortuna, que en este caso es sabidu ría, me daré por satisfecho. He dicho.

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Mí aportacióií « corísíderarse, modesí!

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DISCURSO DE CONTESTACIÓN PO R EL ACADÉMICO NUMERARIO

E X C M O . SR . D. A L F O N S O P E Ñ A B O E U F

S e ñ o r a s

-A . C A B A IS

s e ñ o r e s

de oir el discu rso de D. E d u ard o T o rro ja , lleno de

erudición cien tífica, pletòrico de co n ocim ien to, y con tan ele va d o s co n cep to s en el cam p o de la técn ica del in gen iero, que acred ita de m odo bien patente el acierto de esta R eal A c a d e m ia al llam arle a su seno. E l apellido T o rro ja está vin cu lad o desde h ace m u ch o s años a esta ilustre C orp oración . E l inolvidable D. E du ardo, padre del actu a l, era geóm etra de los m ás em inentes, que ha dejado en la U n iversid ad im borrab le recuerdo, y

a qu ien tu ve el

h o n o r de co n ocer, en los últim os años de su vida y los prim e ros de la m ía; y los dos h erm an os D. José M aría, Inspector g e n e ra l de Ingenieros de C a m in o s ,'q u e ostenta la M edalla a c a d ém ica h ace un cu arto de sig lo , y D. A n to n io , Ingeniero de M inas y C ated rático de la U n iversid ad de B arcelo n a, elegido recien tem en te, form an con el nuevo u n a dinastía m u y fecu n da, que segu ram en te será co n tin u ad a. E l electo A ca d ém ico vien e a ocu p ar la v a ca n te de D. M iguel V e g a s, aq u el h om b re ejem p lar que h asta h ace poco fué nues tro V icep resid en te, an alista y g eóm etra co n o cid o en todo el m u ndo científico y del qu e co n servam o s no sólo la ad m iració n por sus interesantísim as obras de texto y de con sulta, sí que tam bién verdadera gratitu d por h aber sido nuestro m aestro en

aquella cátedra de A n alítica de la U niversidad Central, que tantos alum nos ha tenido en largo período reciente. El Ingeniero D. Eduardo T o rro ja se atribu ye en su ante rior discurso el papel de técnico constructor exclusivam ente, pero en rigor no es esa su verdadera significación, aunque por el criterio que tenem os de la construcción m oderna no sea este título profesión modesta; educado desde su infancia en el m ás elevado am biente m atem ático, es en realidad el tipo de ingeniero-hom bre de ciencia, que se dedica a la construcción. M ucho se ha debatido y tratado en los oportunos Congre sos sobre cuál debe ser el alcance de la dotación científica que han de tener los ingenieros m odernos, y aunque no pocos apegados a la cóm oda rutina consideran que la form ación del técnico profesional debe ser rápida y ágil en su ejecución, lo cierto es que si se aspira, com o es natural, a producir avances sucesivos y a lograr nuevas form as, es indispensable poseer tan am plio equipaje científico que las más elevadas teorías de la Física necesitan entrar en ju e g o y éstas tienen que m ane ja rse con el conocim iento adecuado para entender de m odo com pleto en la m ateria y plantear el problem a con pleno do m inio de su alcance. Los efectos de vibración en las estructuras, las cargas di nám icas y alternativas, el com plicado proceso del pandeo en las superficies y otras varias causas análogas que antiguam en te no se tenían en cuenta por la preponderancia aplastante de la m asa, m odernam ente en virtud de la ligereza de las cons trucciones y por la m ayor utilización de la materia, suscitan problem as de tal com plejidad, que requieren am pliar de m odo m u y notorio los program as de m atem áticas que hasta el pre sente tienen las E scuelas técnicas, m u y lejos, por tanto, de considerar excesivas las m atem áticas de aplicación. En cuanto se plantea un problem a elástico o de deform a 66

ción, cu yo desarrollo no está encajado en estudios anteriores, surgen siem pre cuestiones de análisis, generalm ente en d eriva das parciales, de tal com p licación, que se necesita por una parte un gran conocim iento en el m anejo del cálculo y no poca habilidad, adem ás, para ver la form a de reducir a térm inos m ás asequibles las naturales dificultades de integración y de determ inación de las constantes. Y m ucho m ás, si para pro yecta r elem entos m óviles se hacen entrar, com o es necesario, las fu erzas de inercia y los fenóm enos vibratorios. En realidad, el cuadro m atem ático de las E scu elas de In genieros es actualm ente deficiente y prueba de ello la dan los ingenieros destacados form ados por sí solos después de una carrera de fatigados esfuerzos. P ues Eduardo T o rro ja pertenece a esta categoría, y , abu n dando en dicho criterio, es bien sabido que no por su previo estudio durante el período de la carrera pudo alca n zar tal nivel, sino por consecuen cia de sus posteriores investigacion es y com o co n secuen cia de su espíritu m atem ático acrecentado sucesivam ente. A d em ás de sus p ublicaciones de carácter especulativo son notables las obras, de origin al estructura, que ha producido el nuevo A cad ém ico: entre ellas destacan, principalm ente, las b ó vedas en form a de lám ina cilindrica polilobular, cu y o estudio técnico fué prem iado por esta R eal A cad em ia. S u intervención, no ún ica, pero sí eficaz, en la construcción y p royecto refor m ado del arco del V iad u cto sobre el Esla, en el que obtuvo exacta confirm ación experim ental de sus estudios respecto a la form a de la directriz. Y tam bién las cubiertas de las tribunas del nuevo H ipó drom o de M adrid, de com posición sum am ente original, y las estructuras de cúpulas y bóvedas para varios edificios de ser vicios m unicipales... y num erosos proyectos, m uch os de ellos 67

ejecutados en la esfera de actuación particular, dotados todos de form as singulares con positiva personalidad. L ab or intensa que llena m agnífico álbum y que perm ite ser todavía m u y a u m entada, por la relativa ju ven tu d de nuestro querido com pa ñero y su infatigable laboriosidad. Desde hace seis años es P rofesor de la E scuela de Ingenieros de Cam inos; en la de A rquitectura explicó varios cursos poco tiem po después y es, actualm ente. Jefe del Laboratorio C entral de m ateriales de construcción de la prim era de estas E scuelas, donde, en su doble aspecto de Catedrático e investigador, pres ta relevantes servicios a la Patria. D edicam os, por tanto, al Sr. T orroja, en este acto de su in greso com o num erario en la Corporación, todo el elogio que a su m eritísim a labor corresponde. V am os ahora a com entar, siquiera sea brevem ente, el su g estivo tem a de su discurso.

L a técnica de la construcción es arte y ciencia a la vez. A n tiguam ente era sólo un arte, y el trazado de las form as y el proyecto de la estructura se hacía por un conjunto de reglas, de índole parecida a la de los dibujos de los arcos de fábrica, análogam ente a lo que se hacía para la com posición de los ele m entos arquitectónicos y por el empleo de los m ódulos o ín dices, de los que son ejem plo los de la arquitectura clásica. A m edida que ha ido progresando el conocim iento de los rhateriales con el trabajo fecundo de los físicos por una parte, y la gran experim entación de los laboratorios, por otra, se ha conseguido entrar cada v e z m ás de lleno el estudio de las teo rías físicas de la constitución de la m ateria en la técnica de las construcciones, de tal m odo, que h o y día el ingeniero cons tructor tiene m ucho más de hom bre de ciencia que de artífice. 68

T o d o s nosotros, aun los que q u izá de m odo optim ista, to davía no nos consideram os com o viejos, conservam os el re cuerdo no lejano del m odo de p ro yecta r los arcos de piedra de los puentes antiguos, que tan d ecorativos son en las poblacio nes, y que no llevaban m ás cálculo de estabilidad que la arbi traria cu rva de las presiones, trazad a de m odo cap rich oso por el extrem o del tercio central de arran q ues, com o regla sim plísi m a legada de las artes antiguas. Y , de modo an álogo, los arcos por tranquil para las escaleras y las zap atas de repartición para los pilares, así com o las arch ivoltas de las iglesias y casi todas las obras de Estereotom ía.

Sin embargo, en la época presente, el estudio de una cons trucción lleva un copioso cálculo de estabilidad estática y elás tica que hace mejorar, de modo muy notorio, el aprovecha miento de la materia y la mejor distribución de ella, con cono cimiento de más tranquilizadora seguridad. No obstante, estam os aún bastante lejos del lím ite teórico de agotam iento de la resistencia, pues prescindiendo de casos tan sin gulares com o el citado por el Sr. T o rro ja, de los aviones de guerra, en los que se ha llegado al lím ite inconcebible del coeficiente de trabajo m u y próxim o a la unidad, exp licab le por el grave riesgo que por las dem ás causas h a de sufrir el apa rato y para ponerse a tono con ellas, lo cierto es que en las dem ás construccion es, aunque sean de n aturaleza dinám ica, el coeficien te de seguridad rara v e z es inferior a 2, y en las m ás frecuentes llega a pasar de 3.

' . Es preciso tener en cuenta que para llegar al aquilatamiento de la resistencia, en condiciones de cierta garantía, se nece sita un gran conocimiento de las condiciones en que se com porta la materia, y, además, se precisa contar con una hom oge neidad de constitución que es muy poco constante en los sólidos naturales, y aunque mejorada notablemente en los artificiales, 69

requiere m u y esm erada fabricación al efecto. A u n dentro de esa relativa constancia de las propiedades físicas de los mate riales, h a y que tener presente que el m odo hasta ahora asequi ble de conducir los cálculos, se basa en los principios de la teo ría de la Elasticidad, ram a inm ensa de la Ciencia que presenta tal generalidad, que sólo en casos singulares permite resolver el problem a de orden práctico, siendo preciso ir por degenera ciones sucesivas a llevar en cada aplicación unas sim plificacio nes susceptibles de m anejo algorítm ico. A sí, por ejem plo, la ecuación general de Elasticidad es siem pre la m ism a, una función que enlaza las cargas externas e internas del cuerpo con los recorridos o deform aciones de los puntos respectivos. Pero esta

función,

desconocida

form a, por lo general, es en realidad com plejísim a, porque si bien se considera siem pre com o dependencia única entre el vector tensión y la deform ación o recorrido, es evidente que adem ás deben entrar, com o variables, otras varias que pueden alterar el equilibrio físico, com o son el estado de tem peratura, el higrom étrico y el potencial elástico previo. Planteada de ese m odo general la ecuación diferencial de dependencia, no habría posibilidad de aplicación. Por eso, en casi todos los casos, se prescinde de varias variables de orden físico, pero es porque en los cuerpos de corriente em pleo suele haber inalterabilidad de ellas o, por lo menos, escasa influencia en el cam po restrin gid o de su actuación norm al. Pero bien de todos conocidos, aunque sean superficialm ente, son algun os cuerpos com o el lacre y las resinas, en los que su estado de elasticidad es de tal m odo variable con la tem peratura, que si a ellos se aplicaran los principios elásticos no podría por m enos de tenerse en cuen ta esta variable térm ica que^ habría de ligarse con la tensión y la deform ación. E n estos cuerpos, una barra de dim ensiones pequeñas y .70

en las que la relación entre la longitud y la sección no sea desproporcionada (esbeltez no superior a lo ), los fenóm enos m ecánicos de fle x ió n y de com presión o tracción dan una sensación de casi perfecta elasticidad a tem peraturas corrien tes del am biente (inferiores desde luego a 40°), pero si las car ga s actúan durante largo tiem po, o si se aum enta la tem pera tura, se aprecia una evidente deform ación prolongada, con caracteres de acusada plasticidad. En otros cuerpos es por im bición en líquidos que se obtienen an álo go efecto-, y esto hace com prender que, sólo en condiciones restringidas, pueden para estos m ateriales tener aproxim ación en las aplicaciones de la práctica, la ecuación de elasticidad, tal com o ordinaria m ente se desarrolla, y es que el régim en elástico en m uchos cuerpos es indudablem ente caso particular de un estado m u ch a m ás com plicado y m ás general, que es el de la plasticidad re lativa, teoría que hasta ahora sólo tiene realizados estudios incipientes; pero que perm ite ver el error que en algunos casos se com etería si sólo se atribu yera el desarrollo en form a lineal de las ecuaciones de elasticidad dando únicam ente apli cación por los desarrollos analíticos de T a y lo r o de M ac-L au rin, al prim er térm ino de la serie, que es lo frecuente y casi ún ica m anera de actuar hasta el presente.

Bien por el m ejor estudio científico o por deducciones ob tenidas por m étodo e.xperimental, se podrá conseguir con el tiem po una m ás exacta aplicación de las ecuaciones que en lazan las tensiones interiores con las deform aciones concor dantes, y entonces esos prim eros térm inos que ahora se aplican, serán la norm al sim p lificación obtenida por estados p articu la res de las otras variables físicas. Esto dará desarrollo a la teoría de la plasticidad relativa, con caracteres más generales que la anterior, pero en la que

todavía queda un am plísim o cam po de investigación, de in m ensa dificultad. Pues aun con el sim ple concepto teórico de los sólidos isó tropos perfectam ente elásticos, el estudio de la elasticidad en los cuerpos de tres dim ensiones y todavía en los de dos, com o son las placas, m em branas, superficies vibrantes, etc., la apli cación del A n álisis m atem ático es, en general, de inabordable desarrollo; m otivo que ha hecho observar el problem a con pun tos de vista especiales en cada caso, y que la determ inación de la ley, entre cargas internas y deform aciones, constituyen ver daderas conquistas de la ciencia con soluciones que han reve lado la fuerza de genio extraordinaria de m atem áticos tan des tacados com o Lorenz, Saint-V enant, H erz, C au ch y, Boussinesq y otros sabios de universal reconocim iento, que dan nom bre a sus respectivas investigaciones. ' Para las aplicaciones constructivas el sólido de tres dim en siones ha sido esquem atizado y sim plificado en sus líneas, dando lu gar a la estructura constructiva, y la elasticidad triple ha degenerado entonces en elasticidad lineal porque puede considerarse que el cuerpo queda concentrado en su línea di rectriz para los efectos m ecánicos. Es ésta una form a de consi derar polarizados los esfuerzos y las reacciones elásticas y es el últim o grado, por decirlo así, de sencillez analítica, que ha form ado la teoría de la resistencia de m ateriales y la m ecánica aplicada en las construcciones, ciencia básica del ingeniero. Pero todavía, dada la naturaleza de los m ateriales, se ha hecho m ás sencilla su adaptación, por dos leyes aceptadas com o pri m era aproxim ación: la de conservación de la deform ación pla na y la de proporcionalidad, llam ada ley de H ooke, citada re petidam ente en el anterior Discurso. La prim era de estas leyes es de gran aproxim ación en los m ateriales rígidos, pero deja de serlo en aquellos cuerpos com o 72

las gom as, en los que el recorrido o deform ación de los puntos es gran de, relativam ente. L a segu n d a le y se acepta generalm ente para estas m aterias de gran rigidez, pero se observa con gran dificu ltad en la trac ción de cuerpos pétreos. * * *

El fecundo trabajo realizado m odernam ente por los labo ratorios h a h echo conocer los m ateriales de constru cción con m u ch a m a y o r precisión que lo eran hasta el siglo pasado, ha ciendo ver sus notorias discrepancias con el concepto teórico de la isotropía y de la perfecta elasticidad. L os m ateriales de fabricación artificial, com o el h orm igón, que tan extenso cam po de aplicación tiene en la técnica m oder na, son los que m ejor se conocen desde el punto de vista físico, y tantos y tan copiosos son los estudios realizados en los últi m os veinte años, que su técnica puede considerarse com o una de las m ás avan zad as en la hora actual. P recisam ente por este conocim iento se ha llegado a la con clusión de que no pueden aplicarse, en aprovech am ientos más am biciosos, las sim ples leyes elásticas, com o las de H ooke, y todavía h a y que profundizar, com o lo ha h ech o F reyssinet, en el estudio físico para encontrar el concepto de com posición in terna del m aterial y la verdadera ley del reparto de las tensio nes interiores por efecto de carga o de accion es higrom étricas y térm icas. En esta difícil cuestión ha trabajado nuestro nuevo A c a dém ico, D. Eduardo T o rro ja, y en el discurso que a cab a de leer se presenta el desarrollo de cálculo con el que puede enfo carse la le y de distribución de tensiones m u ch o m ás ap ro xim a da con la experim entación, que la de H ooke considerada hasta ahora. En el horm igón arm ado y en m asa h abía anom alías que no

satisfacían al riguroso estudio. Se sabía, ciertam ente, que la ap titud a los esfuerzos de com presión y de tensión no era la mis m a, ni con m ucho. Q ue el coeficien te de elasticidad lineal no era independiente del estado de carga, y que, en rigor, más que coeficiente num érico debe ser una función. Q ue los des garram ientos por cargas tangenciales no eran tam poco concor dantes con las aptitudes de tensión. Q ue las adherencias con las arm aduras tenían cierta sem ejan za con las cargas de des garram iento, aunque eran diferentes de ellas. Y todo esto se regulaba en el estudio técnico de la práctica m ediante una serie de coeficientes que habían sido sugeridos por experim entaciones obtenidas en los estados restringidos de cargas. , P ara la seguridad o ficia l de em pleo de estas estructuras se han dictado en todos los países las respectivas instruccionesj que difieren m u y poco unas de otras y en las que de modo sistem ático se proscribe el em pleo de horm igón a tensión, no teniéndole en cuenta en el cálculo de resistencia. De igual modo tiene lu gar la arbitrariedad de no atender de por sí solas a las cargas tangenciales del horm igón, y aun que no se atreven a suprim ir su influencia porque siem pre en tra en ju e g o en los corrientes regím enes de flexión, se lim ita, de un modo quizá excesivam ente prudente, su influencia en el cuadro de reacciones internas. Eduardo T orroja, alejándose de la ley de H ooke, que des-; de luego no tiene confirm ación experim ental m ás que en una región m u y restringida de algunos cuerpos, adapta el fenóm e no de flexión en el horm igón a una ley con form a de parábola de grado «, variab le con el sentido de la carga y distinta en la com presión y en la tensión. Esta ley es m ucho m ás concor dante con las deform aciones observadas y perm ite un m ejor aprovecham iento del m aterial y de m ayor exactitud en las de

form aciones, que es, en sum a, progreso en el estudio y eco n o m ía en el sistem a. C laro es, que la sustitu ción de una ley tan sencilla com o la de proporcionalidad por otra, aunque el tipo parabólico sea, en general, bastante cóm odo, da lu gar a una com plicación m ucho m ayor en los cá lcu lo s de las tensiones y sobre todo en el m a nejo, que debe ser expedito, para fija ció n de las secciones; pero para los caso s corrientes de flexión en perfiles rectan gu lares, y a se ha dem ostrado en esos cálcu lo s desarrollados, que no es nada prolijo, y , adem ás, si el resultado de un estudio arroja e x presiones an alíticas por com plicadas que sean, que reflejen el sentido físico del problem a, siem pre cabe m edir la relativa in fluen cia de los térm inos, porque en cu alqu ier caso la supresión consciente de aquéllos, m enos influyentes, da un grado de aproxim ación m u y superior al arbitrario concepto de em plear un prudente co eficien te de seguridad.* * *

D ecíam os, al principiar este discurso, que la T é c n ica de la construcción era ciencia y arte. Y a hem os visto el considerable avance que en esta ram a del saber se ha producido por las investigaciones de orden cientí fico , en las que aún queda m ucho cam ino por recorrer y g ra n des posibilidades de aquilatar la m asa con estudios m ás apro xim ad os al lím ite de fatiga y con conocim iento m ás adecuado de las propiedades físicas del m aterial em pleado. Pero el concepto de arte en la construcción siem pre debe rá perdurar afortunadam ente. El estudio de la form a es de tal modo fundam ental que sólo de por sí con stituye posibilidad de éxito. Bien sabido es que el problem a planteado en una co n stru c ción estática o dinám ica es en su conjunto indeterm inado:

puede resolverse de m últiples m aneras y antes de aplicar el cálculo es preciso hacer el trazado virtual de las directrices. En este proceso previo, el arte y la sensibilidad personal ju e g a n un papel preponderante, pero luego h ay que dar íorm a corpórea a la estructura, fijar sus dim ensiones para que satisfagan impe riosas necesidades m ateriales y el cálculo, apoyado en las pro piedades físicas de la m ateria, tiene que entrar de lleno, en su doble aspecto de determ inación de reacciones y deform acio nes, que deben dar un m ínim o en el trabajo interior elástico si se quiere llegar al m ayor aprovecham iento del material. L os m ateriales de construcción, com o así todos los cuerpos de la naturaleza, son heterogéneos y su aptitud es m u y distin ta para unos esfuerzos o para otros, y del m ism o m odo los fa bricados artificialm ente. En los m etálicos, por ejem plo, .su g é nero de solicitación m ás adecuado es el régim en de tensión absoluta, exaltándose aún m ás esta facultad si se descom ponen en fibras com o los cables. Por el contrario, en los pétreos, es el régim en de com presión el que resiste con m ejor aprove cham iento. U na construcción salva vanos, cubre espacios, transmite cargas y , en sum a, puede cum plir esos fines con form as dis tintas. E l ideal es llegar a este resultado del m odo m.ás aéreo y m ás económ ico, con el m ínim o de trabajo. Pero no se puede plantear la form a com o un problem a de m áxim o y m ínim o, porque tiene m uchas más variables que las precisas para la resolución analítica. El genio del artista da a veces una solución intuitiva in superable y así se ve en algunos casos cóm o los trazados de bóvedas y cúpulas de Leonardo de V in ci, h echos con tal per fección que pueden ponerse com o ejem plo, no sólo por la be lleza de su línea, sino tam bién porque constituyen envolventes de com presión perfectam ente ajustadas al sistem a de cargas. 76

L a N atu raleza ofrece m aravillosos ejem plos, com o la cá sca ra de h uevo, cap az de soportar varios kilogram os, con espesor m enor de una décim a de m ilím etro, los panales de abejas que tienen espléndida estabilidad estática, los cap arazones de los m oluscos, las cristalizacio n es de los cu erp os, y , en general, cu an tas form as ofrece el m undo m ineral y anim al, de adm ira ble arm onía en su com p osición. En época no lejan a, durante el siglo x ix , se hicieron por prim era vez, y luego se han im itado, los ingeniosos trazados para cubrir espacios form ando con m alla de cuerda el sistem a d e equilibrio por tracción y solidificada esta retícula por lech a da de y eso , se tiene la figu ra invertida de la superficie a d ecu a da para constituir con m ateriales pétreos el sistem a de equili brio de com presión sim ple. Si en una construcción se realizara este desiderátum de que todos los elem entos trabajaran en el régim en m ás ad ecu a do a su constitución, se llegaría evidentem ente al m áxim o de la econom ía, al m ínim o de la m ateria y a la m ayor perfección en la distribución de los esfuerzos. En la gran m ayoría de los casos, los elem entos resisten a esfuerzos com binados, y desde luego, el de m enor ap ro vech a m iento es el de flexión, en el que cam bian de sentido las ten siones, dando com o siem pre escaso rendim iento en las zonas de pequeña tensión y desarrollo inevitable de ca rg as tan gen ciales, para las que los m ateriales corrientes tienen escasa aptitud. ' De un m odo general, puede afirm arse que si pudiera esta blecerse una condición de notoria econom ía en el plantea m iento de la form a, la ecuación debería interpretar el siguiente criterio: M áxim o de com p resión o tracción. M ínim o de flexió n .

F ácilm ente se com prende que en algunos casos es casi im posible prescindir de las flexiones, pero, com o concepto ge neral, bien podem os establecer este principio, de plena confir m ación. L a habilidad del proyectista estriba principalm ente en este efecto y las líneas estructurales de una construcción serán tan to m ás acertadas, si por el conocim iento de las cargas solici tantes, com o datos, se conducen las fibras resistentes para que envuelvan los esfuerzos sim ples de un m ism o signo. Pero no debem os olvidar que en los esfuerzos de com pre sión nace un fenóm eno perturbador: el pandeo, que es, por decirlo así, un lím ite que la N aturaleza pone a las exageracio nes de la esbeltez y que suele ser la causa de efectos m ás per niciosos para los inconscientes en el atrevim iento. Y a se ve, pues, el am plio cam po que tiene la T écn ica de la construcción y la necesidad de in vocar frecuentem ente el au xi lio de los hom bres de ciencia en la resolución de los arduos problem as que la edificación m oderna requiere, pero sólo para su planteo y para la determ inación de las líneas estructurales necesita el ingeniero ir dotado de elem entos cu yo concepto g e neral debe dominar. En pocos años, el progreso en esta ram a de la ciencia ha sido enorm e y es de esperar que surja con rápido em puje cuan do, pasada esta locura que envuelve al m undo, cese el afán vesánico de destruir ciudades y venga con la penitencia el m ag n ífico albor de la reconstrucción. He dicho.

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