Áreas y volúmenes Juan José Isach Mayo 23/05/2006
2 Abstract Con estos apuntes, el alumno podrá practicar de manera autodidacta el cálculo de áreas y volúmenes utilizando el cálculo integral. Obtendremos expresiones que nos permitirán calcular áreas de …guras como la circunferencia, , la elipse, , etc...;así como los volúmenes de un cilindro, cono, esfera, paraboloide, hiperboloide, toro, etc..
Contents I
Áreas y volúmenes
5
1 Cálculo de áreas 1.1 Interpretacion geométrica de
Zb
7 f (x)dx . . . . . . . . . . . . .
7
a
1.2 Área comprendida entre la función y=f(x) y el eje X en [a,b] . 1.2.1 Ejemplos: Área comprendida entre y = f (x) , el eje X en [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Área comprendida entre dos funciones . . . . . . . . . . 1.3.1 Ejemplos: Área comprendida entre dos funciones 1.4 Ejercicios de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución 2.1 De…nición sólido de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fórmula para determinar el volumen de sólidos de revolución 2.2.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ejercicios de volúmenes de sólidos conocidos . . . . . . . . . .
3
9 10 21 22 26 57 57 58 58 59
4
CONTENTS
Part I Áreas y volúmenes
5
Chapter 1 Cálculo de áreas 1.1
Zb
Interpretacion geométrica de
f (x)dx
a
0 8x 2 [a; b]
Si f (x)
Zb
f (x)dx coincide con el área del trapecio
a
mixtilíneo determinado por la grá…ca de la función y = f (x), las rectas verticales x = a, x = b y el eje OX
y
2.0 1.5
A=
Z3
f (x)dx
1
1.0 0.5 0.0 0
Si f (x)
1
0 8x 2 [a; b]
2
Zb
f (x)dx =
a
7
3
x
A siendo A el área del
8
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS trapecio mixtilíneo determinado por la grá…ca de la función y = f (x), las rectas verticales x = a, x = b y el eje OX
y
A=
4 2
Z3
f (x)dx
0
0 1
2
3
x
-2
A=
o Z3
f (x)dx
0
-4 -6 -8
Si f (x)
0 8x 2 [a; c] y f (x)
Zb 0 8x 2 [c; b] ( c 2 ]a; b[ ) f (x)dx a
= A1 A2 siendo A1 el área del trapecio nado por la grá…ca de la función y = f (x), x = a, x = c y el eje OX; y A2 el área del determinado por la grá…ca de la función verticales x = b, x = c y el eje OX
y
A=
4 2
Z2
mixtilíneo determilas rectas verticales trapecio mixtilíneo y = f (x), las rectas
f (x)dx +
0
Z3
f (x)dx
Z3
f (x)dx
2
o 0 1 -2 -4 -6 -8
2
3
x
A=
Z2 0
f (x)dx +
2
1.2. ÁREA COMPRENDIDA ENTRE LA FUNCIÓN Y=F(X) Y EL EJE X EN [A,B]9
1.2
Área comprendida entre la función y=f(x) y el eje X en [a,b]
Remark 1 Consejos a la hora de calcular :el área del trapecio mixtilíneo determinado por la grá…ca de la función y = f (x), las rectas verticales x = a, x = c y el eje OX 1o Dada la función y = f (x) tendremos que determinar si existen o no puntos de corte de la función y = f (x) con el eje OX – Posibilidades Si los puntos de corte de la grá…ca con el eje de las X no pertenecen al intervalo [a; b];tendremos que estudiar el signo de f (x) en [a; b]:Se pueden presentar los dos casos siguientes Si f (x)
Si f (x)
0 8x 2 [a; b] ! A = 0 8x 2 [a; b] ! A =
Zb
a Zb
f (x)dx
f (x)dx
a
Si existen puntos de corte de la grá…ca con el eje de las X pertenecientes al intervalo [a; b]; por ejemplo c; tendremos que estudiar el signo de f (x) en [a; c]; y en [c; b] . Entonces A = A1 + A 2 8 Zc > > > > Si f (x) 0 8x 2 [a; c] ! A1 = f (x)dx > > < a 1) Zb > > > > Si f (x) 0 8x 2 [c; b] ! A2 = f (x)dx > > : c 8 Zc > > > > Si f (x) 0 8x 2 [a; c] ! A1 = f (x)dx > > < a 2) b Z > > > > Si f (x) 0 8x 2 [c; b] ! A2 = f (x)dx > > : c
10
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS
3)
4)
8 > > > > Si f (x) > > <
> > > > Si f (x) > > :
8 > > > > Si f (x) > > < > > > > Si f (x) > > :
0 8x 2 [a; c] ! A1 =
Zc
f (x)dx
a
0 8x 2 [c; b] ! A2 =
Zb
f (x)dx
0 8x 2 [a; c] ! A1 =
Zc
f (x)dx
c
a
0 8x 2 [c; b] ! A2 =
Zb
f (x)dx
c
Siempre es recomendable dibujar la grá…ca en [a; b] Aunque todos estos casos(si no dibujamos la función) se puedan resumir Zc Zb así! A = A1 + A2 = f (x)dx + f (x)dx a
c
Estas posibilidades explicadas aquí, se pueden hacer extensibles en el caso de que tengamos más de dos puntos de corte la grá…ca con el eje de las X
1.2.1
Ejemplos: Área comprendida entre y = f (x) , el eje X en [a; b]
Ejemplo 1) Determina el área comprendida entre la recta y = x X y las rectas x = 4 y x = 5
3;el eje
Determinamos en primer lugar , si existen ptos de corte de la función f (x) = x 3 con el eje de las X dentro del intervalo [4; 5] :Para ello resolvemos y=x 3 el siguiente sistema !, El único punto de corte es el (3; 0) y=0 Observa que 3 2 = [4; 5]
1.2. ÁREA COMPRENDIDA ENTRE LA FUNCIÓN Y=F(X) Y EL EJE X EN [A,B]11
A la vista de la grá…ca; podemos observar que f (x) = x 3 > 0 8x 2 [4; 5]::Por lo tanto #5 " Z5 (x 3)2 (5 3)2 (4 3)2 A = (x 3)dx = = = 32 u2 2 2 2 4
4
Ejemplo 2) Determina el área comprendida entre la recta y = x X y las rectas x = 2 y x = 3
3;el eje
Determinamos en primer lugar , si existen ptos de corte de la función f (x) = x 3 con el eje de las X dentro del intervalo [2; 3] :Para ello resolvemos y=x 3 el siguiente sistema !, El único punto de corte es el (3; 0) y=0 Observa que 3 2 [2; 3]
12
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS
A la vista de la grá…ca; podemos observar que y = x 3 [2; 3]::Por lo tanto " #3 Z3 (x 3)2 (3 3)2 (2 3)2 A= (x 3)dx = = = 2 2 2
0 8x 2 1 2
u2
2
2
Ejemplo 3) Determina el área comprendida entre la recta y = x X y las rectas x = 2 y x = 5
3;el eje
Determinamos en primer lugar , si existen ptos de corte de la función y = x 3 con el eje de las X dentro del intervalo [2; 5] :Para ello resolvemos y=x 3 el siguiente sistema !, El único punto de corte es el (3; 0) y=0 Observa que 3 2 [2; 5]
y=x y=x
A la vista de la grá…ca; podemos observar que
3 3
lo tanto A = A 1 + A2 =
Como A1 =
Z3
(x
3)dx =
2
"
Z3
(x
3)dx +
2
2
(x
3) 2 y
A2 =
Z5
(x
3)dx =
A=
1 2
3
#3
Z5
(x
3)dx
3
=
3)2
(3 2
2
"
0 8x 2 [2; 3] ::Por 0 8x 2 [3; 5]
3)2
(x 2
u2 + 2 u2 =
#5 3
5 2
u2
= 2 u2
3)2
(2 2
=
1 2
u2
1.2. ÁREA COMPRENDIDA ENTRE LA FUNCIÓN Y=F(X) Y EL EJE X EN [A,B]13 Ejemplo 4) Determina el área comprendida entre la parábola y = x2 eje X y las rectas x = 3 y x = 4
4;el
Determinamos en primer lugar , si existen ptos de corte de la función y = x2 4 con el eje de las X dentro del intervalo [3; 4] :Para ello resolvemos y = x2 4 el siguiente sistema !, Los únicos puntos de corte son el (2; 0) y=0 y el ( 2; 0) Observa que 2 y 2 2 = [3; 4]
A la vista de la grá…ca; podemos observar que y = x2 4 0 8x 2 [3; 4] : Por lo tanto Z4 4 x3 43 33 2 A = (x 4)dx = 4x = 16 12 = : 25 u2 3 3 3 3 3 3
Ejemplo 5) Determina el área comprendida entre la parábola y = x2 eje X y las rectas x = 1 y x = 3
4;el
Determinamos en primer lugar , si existen ptos de corte de la función y = x2 4 con el eje de las X dentro del intervalo [1; 3] :Para ello resolvemos y = x2 4 el siguiente sistema !, Los únicos puntos de corte son el (2; 0) y=0 y el ( 2; 0) Observa que 2 2 [1; 3] y 2 2 = [1; 3]
14
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS
A la vista de la grá…ca; podemos observar que Por lo tanto A = A1 + A2 =
Z2
(x2
4)dx +
1
Z3
(x2
y = x2 y = x2
0 8x 2 [1; 2] 0 8x 2 [2; 3]
4 4
4)dx
2
Donde
A1 =
Z2
(x2
4)dx =
x3 3
2 1
1
A2 =
Z3 2
=
4x
23 3
13 3
8
=
4
5 3
u2
y (x
2
x3 4)dx = 3
3
4x
= 2
33 3
12
23 3
8
=
7 3
u2
5 7 A = A1 + A2 = u 2 + u 2 = 4 u 2 3 3 Ejemplo 6) Determina el área comprendida entre la parábola y = 6x 8;el eje X y las rectas x = 1 y x = 5
x2 +
Determinamos en primer lugar , si existen ptos de corte de la función y = x2 + 6x 8 con el eje de las X dentro del intervalo [1; 5] :Para ello y = x2 + 6x 8 resolvemos el siguiente sistema !, Los únicos puntos y=0 de corte son el (2; 0) y el (4; 0) Observa que 2 2 [1; 5] y 4 2 [1; 5]
:
1.2. ÁREA COMPRENDIDA ENTRE LA FUNCIÓN Y=F(X) Y EL EJE X EN [A,B]15
x2 + 6x x2 + 6x x2 + 6x
y= A la vista de la grá…ca; podemos observar que y = y= Por lo tanto A = A1 + A2 + A3 donde Z2 ( x2 + 6x 8) dx = A1 =
x3 + 3x2 3
A2 =
( x2 + 6x
8) dx =
4 3
9 0 8x 2 [1; 2] = 0 8x 2 [2; 4] : ; 0 8x 2 [4; 5]
2
=
8x
1
Z4
8 8 8
22 3
u2
1
u2
2
A3 =
Z5
( x2 + 6x
8) dx =
4 3
u2
4
A = A1 + A2 + A3 = 10 u2
Ejemplo 7) Determina el área comprendida entre la grá…ca de la función 5 y = sin x;el eje X y las rectas x = 0 y x = (' 2: 618) 6
16
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS 1.0
y
0.5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-0.5
-1.0
Determinamos en primer lugar , si existen ptos de corte de la función 5 y = sin x con el eje de las X dentro del intervalo [0; ] :Para ello resolvemos 6 y = sin x el siguiente sistema !, Los in…nitos puntos de corte son (2k ; 0) y=0 y el ( + 2k ; 0) con k 2 Z (enteros) 5 5 Como el 0 2 [0; ] y a la vista de la grá…ca y = sin x 0 8x 2 [0; ] 6 6 ; entonces 5
A=
Z6
5
cos 56 + cos 0 =
sin xdx = [ cos x]06 =
1 2
p
3 + 1 u2
0
Ejemplo 8) Determina el área comprendida entre la grá…ca de la función 5 y = cos x;el eje X y las rectas x = 0 y x = (' 2: 618) 6 1.0
y
0.5
-5
-4
-3
-2
-1 -0.5
-1.0
1
2
3
4
5
x
1.2. ÁREA COMPRENDIDA ENTRE LA FUNCIÓN Y=F(X) Y EL EJE X EN [A,B]17 Determinamos en primer lugar , si existen ptos de corte de la función 5 y = cos x con el eje de las X dentro del intervalo [0; ] :Para ello resolvemos 6 y = cos x el siguiente sistema !, Los in…nitos puntos de corte son ( + y=0 2 3 + 2k ; 0) con k 2 Z (enteros) 2k ; 0) y el ( 2 9 = y = cos x 0 8x 2 [0; ] 5 2 Como el 2 [0; ] y a la vista de la grá…ca 5 2 6 y = cos x 0 8x 2 [ ; ] ; 2 6 ; entonces A=
Z2 0
5
cos xdx +
Z6
cos xdx = [sin x]02 + [sin x]
5 6 2
= 1u2 + 12 u2 = 32 u2
2
Ejemplo 9) Determina el área comprendida entre la grá…ca de la función y = ln x;el eje X y las rectas x = 0:5 y x = 2 El único punto de corte de esta grá…ca con el eje de las X es el punto (1; 0)
18
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS ln x 0 8x 2 [0:5; 1] ln x 0 8x 2 [1; 2] Z1 Z2 A = A1 + A2 = ln xdx + ln xdx = : 53972
Como 1 2 [0:5 ; 2] y además
Z
0:5
entonces
1
Si resuelves ln xdx por partes obtendrás Z ln xdx = x (ln x 1) + C
Por lo tanto; si calculas despacito cada integral tendrás Z1 1 A1 = ln xdx = [x (ln x 1)]10:5 = 1 0:5 ln 2
1
=
1 2
0:5
1 2
ln 2 u
2
A2 =
Z2
ln xdx = [x (ln x
1)]21 = 2(ln 2
1) + 1 = 2 ln 2
1 u2
1
A=
1 2
1 ln 2 + 2 ln 2 2
1=
1 3 + ln 2 u2 2 2
Ejemplo 10) Determina el área comprendida entre la grá…ca de la función y = (x 2)2 (x 1);el eje X y las rectas x = 1 y x = 3 La función corta al eje de las X precisamente en x = 1 y x = 2: Si te …jas en la grá…ca podemos a…rmar que la superi…ce pedida es:
y
3 2 1
1 -1 -2 -3
2
3
x
1.2. ÁREA COMPRENDIDA ENTRE LA FUNCIÓN Y=F(X) Y EL EJE X EN [A,B]19
A=
Z3
(x
5x3 + 4x2 3
x4 1)dx = 4
2
2) (x
3
4x
1
2 3
=
u2
1
Si no hubieses dibujado la grá…ca , también puedes considerar que A = A 1 + A2 Z2 Z2 2 A1 = (x 2) (x 1)dx = (x3 5x2 + 8x 4) dx = 1 4
=
1
x 4
A2 =
Z3
2
3
5x + 4x2 3 (x
2
2) (x
4x
1 12
= 1
x4 4
1)dx =
5x3 + 4x2 3
3
=
4x 2
2
A = A1 + A2 =
1 12
+
7 12
=
2 3
u
7 12
2
Ejemplo 11) Determina el área comprendida entre la grá…ca de la función y = (x 2)2 (x 1);el eje X y las rectas x = 0 y x = 3 Calcula también el área comprendida entre la curva anterior y el eje de las X Es fácil ver que la grá…ca corta al eje de las X en los puntos (1; 0) y (2; 0) . Por lo tanto
y
2 1 0 1
2
-1
3
x
-2 -3 -4
A = A1 Z+ A2 + A3 donde 1
2
A1 =
(x 2) (x 1)dx x
0
3
2
5x +8x 4 o A1 =
Z
0
1
(x
2)2 (x
1)dx
20
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS A2 = A3 = A1 = A2 = A3 =
Z
2
Z1 3 2Z
Z
Z1
(x
2)2 (x
1)dx
(x
2)2 (x
1)dx Z
1 2
(x
2) (x
1)dx =
0 2
1
(x3
5x2 + 8x
4) dx =
0
(x3
5x2 + 8x
4) dx =
1 12
(x3
5x2 + 8x
4) dx =
7 12
17 12
u2
u2
3
2
Con lo que: 25 2 u 12 El área comprendida entre la grá…ca de la función y el eje de las X es: Z 2 1 A2 = x3 5x2 + 8x 4 dx = u2 12 1 A=
Ejemplo 12) Determina el área comprendida entre la grá…ca de la función y = (x + 1)(x 2)(x + 4) y el eje de las X Es fácil ver que la grá…ca corta al eje de las X en los puntos ( 1; 0), ( 4; 0) y (2; 0) . Por lo tanto
y 150 100
50
-5
-4
-3
-2
Z1 A = A1 + A2 = (x + 1)(x 4
-1
1
2
2)(x + 4)dx +
3
Z2 1
4
5
x
(x + 1)(x
2)(x + 4)dx
1.3. ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS FUNCIONES Z1 Z1 A1 = (x+1)(x 2)(x+4)dx = (x3 + 3x2 4
81 2 u 4
A2 =
Z2
6x
8) dx =
1 4 x 4
21
+ x3
3x2
4
(x + 1)(x
2)(x + 4)dx =
81 2 u 4
1
A=
1.3
81 2 u 4
+
81 2 u 4
=
81 2 u 2
Área comprendida entre dos funciones
En primer lugar determinaremos los puntos de corte entre ambas funciones y = f (x) resolviendo el sistema formado por ambas expresiones y = g(x) Supongamos que las abcisas de los puntos de corte son c; d; e siendo (c < d < e): A continuación estudiamos en los intervalos [c; d]; [d; e] cuál de las dos ordenadas f (x) o g(x) es mayor; pudiendo darse las siguientes situaciones 1.
2.
Si f (x) Si f (x) Si f (x) Si f (x)
g(x) 8x 2 [c; d] g(x) 8x 2 [d; e] g(x) 8x 2 [c; d] g(x) 8x 2 [d; e]
!A=
Ze
(f (x)
g(x))dx
c
!A=
Zd
(g(x)
f (x))dx +
c
Ze
(f (x)
d
g(x))dx También puedes considerar A =
Zd
(f (x)
c
3.
Si f (x) Si f (x)
g(x) 8x 2 [c; d] g(x) 8x 2 [d; e]
! A =
Ze g(x))dx + (f (x) g(x))dx d
Zd
(f (x)
g(x))dx +
c
Ze
(g(x)
d
f (x))dx También puedes considerar A =
Zd c
(f (x) g(x))dx+
Ze d
(f (x)
g(x))dx
8x
1 4
=
22
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS Si f (x) Si f (x)
4.
g(x) 8x 2 [c; d] g(x) 8x 2 [d; e]
!A=
También puedes considerar A =
Ze
Ze
(g(x)
f (x))dx
c
(f (x)
g(x))dx
c
Es obvio, que todas estas situaciones están supeditadas a conocer las grá…cas de las funciones en el intervalo [c; e]: Ahora bien, si las grá…cas no deseasemos dibujarlas bastaría con indicar Zd Ze que A = (f (x) g(x))dx + (f (x) g(x))dx c
d
Estas posibilidades explicadas aquí, se pueden hacer extensibles en el caso de que tengamos dos o más puntos en común para las dos grá…cas
1.3.1
Ejemplos: Área comprendida entre dos funciones
Ejemplo 13) Determina el área comprendida entre la parábola f (x) = x2 4 y la recta g(x) = x + 2 Los puntos de corte entre ambas grá…cas se determinan resolviendo el sistema y = x2 4 ! ( 2; 0) y (3; 5) y =x+2
1.3. ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS FUNCIONES
es
Como 8x 2 [ 2; 3]: se veri…ca que g(x)
A=
Z3
x+2
2
(x
2
4) dx =
Z3
23
f (x) entonces lo que nos piden
1 x + x + 6 dx = x2 + 6x 2 2
2
1 3 x 3
3
= 2
125 2 u 6
Ejemplo 14) : Determina el área comprendida entre la parábola f (x) = x2 + 4 y la recta g(x) = x + 2 Los puntos de corte entre ambas grá…cas se determinan resolviendo el sistema y = x2 + 4 ! ( 2; 0) y (1; 3) y =x+2
es
Como 8x 2 [ 2; 1]: se veri…ca que f (x)
A=
Z1 2
2
x +4
(x + 2) dx =
Z1
x
2
g(x) entonces lo que nos piden
x + 2 dx =
1 3 x 3
1 2 x + 2x 2
2
Ejemplo 15) : Determina el área comprendida entre la parábola f (x) = 3x2 2x 1 y la recta g(x) = x 1
1 2
9 = u2 : 2
24
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS
Los puntos de corte entre ambas grá…cas se determinan resolviendo el sistema y = 3x2 2x 1 ! (0; 1) y (1; 0) y=x 1
es
Como 8x 2 [0; 1]: se veri…ca que g(x)
A=
Z1 0
x
1
(3x
2
2x
1) dx =
Z1 0
f (x) entonces lo que nos piden
2
3x + 3x dx =
3x2 x + 2
1
3
0
1 = u2 : 2
Ejemplo 16) : Determina el área comprendida entre las parábolas f (x) = 3x2 2x 1 , g(x) = x2 6x 1
Los puntos de corte entre ambas grá…cas se determinan resolviendo el sistema y = 3x2 2x 1 !, (0; 1)y( 2; 15); y = x2 6x 1
1.3. ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS FUNCIONES
25
18
y 16 14 12 10 8 6 4 2 -2
es
-1
-2
1
Como 8x 2 [ 2; 0]: se veri…ca que g(x)
A=
Z0 2
x
2
6x
1
(3x
2
2x
1) dx =
2
3
4
x
f (x) entonces lo que nos piden Z0
2x
2
4x dx =
2 3 x 3
0
2x
2
Ejemplo 17) Determina el área comprendida entre las grá…cas de las funciones f (x) = sin x , g(x) = cos x y las rectas verticales x = y 2 x= 2 h i El único punto de corte entre ambas grá…cas en el intervalo ; se 2 2 determinan resolviendo el p sistema 2 y = sin x !,( ; ) y = cos x 4 2
2 2
8 = u2 : 3
26
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS 9 f (x) =
8x 2 [
; ]: se veri…ca que g(x) 2 4 8x 2 [ ; ]: se veri…ca que f (x) g(x) 4 2 A = A1 + A2 Como
A1=
Z4
(cos x
Z2
(sin x
;
=
p
sin x] 2 =
p
sin x) dx = [sin x + cos x] 4
entonces
2 + 1 u2
2
2
A2=
cos x) dx = [ cos x
2
1 u2
4
4
p A = 2 2u2
1.4
Ejercicios de áreas
1 Exercise 1.4.1 Calcular el área comprendida entre la curva y = x3 el eje 4 X y las rectas x = 0; x = 2 1 Dibujamos la grá…ca de la función y = x3 en el intervalo [0; 2] 4
y
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0
0.5
1.0
1.5
1 Grá…ca de y = x3 4
2.0
x
1.4. EJERCICIOS DE ÁREAS A=
Z
0
2
1 3 x4 x dx = 4 16
27
2
=1 0
Exercise 1.4.2 Calcular el área comprendida entre la parábola y = x2 4x+ 3 el eje X Determinamos los puntos de corte entre la parábola y el eje X:Para ello, resolvemos el siguiente sistema. y = x2 4x + 3 x=3!y=0 ! 0 = x2 4x + 3 ! y=0 x=1!y=0
y
3
2
1
0 1
2
3
4
x
-1
Grá…ca de y = x2
4x + 3
Como la párábola corta al eje de las x en los puntos de abcisas x = 1; x = 3 y además y 0 8x 2 [1; 3]; entonces: A=
Z
3
x2
4x + 3 dx =
1
x3 + 2x2 3
3
3x
= 1
4 2 u 3
También podías haber calculado dicha área (sin necesidad de dibujar) así: A=
Z
3
x2
4x + 3 dx
1
Exercise 1.4.3 Calcular el área comprendida entre la curva y = sin x el eje X en el intervalo [0; 2 ]
28
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS Dibujamos la grá…ca de y = sin x en [0; 2 ]
y
1.0
0.5
0.0 1
2
3
4
5
6
x
-0.5
-1.0
Grá…ca de y = sin x en [0; 2 ]
Determinamos los puntos de corte de la función dada con el eje de las X en el intervalo [0; 2 ]: y = sin x ! sin x = 0 ! x = 0 + k con k 2 Z y=0 Los únicos puntos de corte de la grá…ca del sin x con el eje de las X en [0; 2 ] son los puntos de abcisas x = 0; x = ; x = 2 Como sin x 0 8x 2 [0; ] y sin x 0 8x 2 [ ; 2 ]; entonces el área pedida es: A=
Zpi
sin xdx
0
Z2pi sin xdx = [ cos x]pi 0
2 [ cos x]2pi pi = 4u
pi
Nota: También podías haber considerado que : Z pi 2 A=2 sin xdx = 2 [ cos x]pi 0 = 2( cos + cos 0) = 4u 0
Exercise 1.4.4 Área de la …gura comprendida entre la curva y = las rectas x =
1; x = 1 y y = 0
Dibujamos la curva y =
1 1 + x2
1 y 1 + x2
1.4. EJERCICIOS DE ÁREAS
29
y
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
1 > 0 8x 2 <; entonces: A la vista de la grá…ca, como 1 + x2 Z 1 1 A= dx = [arctan x]1 1 = = u2 2 1 + x 4 4 2 1 1 Nota: Como la función y = es par, también podíamos haber 1 + x2 determinado el área de la siguiente manera: Z 1 1 A=2 dx = 2 [arctan x]10 = 2 = u2 2 1 + x 4 2 0 Exercise 1.4.5 Área de la …gura comprendida entre la curva y = e y las rectas x = 0; x = y y = 0 8 x < e 4 >0 8x 2 [0; ] se veri…ca que y : sin x 0 Como e
x 4
+ sin x > 0 en [0; ] como se observa en su grá…ca
y 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0
1
2
3
x
x 4
+ sin x
30
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS entonces: Z A=
pi
e
x 4
+ sin x dx =
0
h
4e
x 4
cos x
ipi
=6
4e
4
u2
0
Exercise 1.4.6 Calcular el área de la …gura comprendida entre la curva y = 1 y las rectas x = e; x = e2 ;y y = 0 x ln x + El dominio de f1g 8 de…nición de esta función es D(f ) = < > < 0<x<1! 1 <0 x ln x Además; Si 1 > : x>1! >0 x ln x 1 Como > 0 en [e; e2 ] al ser e > 1; entonces podemos a…rmar que el x ln x área pedida es:
Z
e
e2
2 1 dx = [ln jln xj]ee = ln ln e2 x ln x
ln jln ej = ln 2
Exercise 1.4.7 Área de la …gura comprendida entre la curva y = (x las rectas x = 1; x = 3 y y = 0 2)3
Dibujamos en primer lugar la función y = (x
y
2)3 y
8 6 4 2 0 1
-2
2
3
4
x
-4 -6 -8
La grá…ca de la función corta al eje de las X en el punto Q(2; 0) y además: (x (x
2)3 < 0 si x 2 [1; 2[ 2)3 0 si x 2 [2; 3]
1.4. EJERCICIOS DE ÁREAS
31
Por lo que, el área pedida es: Z 2 Z 3 3 A= (x 2) dx+ (x 2)3 dx = 1
o también A =
+
4
2
Z
2
2)4
(x
1
2 3
(x
2) dx +
Z
2)4
(x 4
3 2
1 1 1 = + = u2 4 4 2
3
(x
2)3 dx
2
1
Nota: También podías haber observado que la grá…ca es impar1 respecto de x = 2; con lo que podías haber calculado el área así: Z 3 1 1 (x 2)3 dx = 2 A=2 = u2 4 2 2 Exercise 1.4.8 Área de la …gura comprendida entre la curva y = y la recta y = 0
x2 + 2x
En primer lugar determinamos los puntos de corte entre la parábola y = x2 + 2x y el eje de las X y = x2 + 2x x=0!y=0 ! x2 + 2x = 0 ! y=0 x=2!y=0 Mira la grá…ca
y
1
-1
1
2
3
x
-1
-2
-3
x2 + 2x > 0 8x 2 [0; 2] entonces el aréa pedida es: Z 2 2 x3 23 4 A= x2 + 2x dx = + x2 = + 22 = u2 3 3 3 0 0
Como
1
f (2 x) = (2 x 2)3 = x3 f (2 + x) = (2 + x 2)3 = x3 = f (2
x)
32
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS
Exercise 1.4.9 Área de la …gura comprendida entre la curva y = x2 + x y la recta y = 0
6
En primer lugar determinamos los puntos de corte entre la parábola y = x + x 6 y el eje de las X y = x2 + x 6 x= 3!y=0 ! x2 + x 6 = 0 ! y=0 x=2!y=0 Mirá la grá…ca 2
y
6 4 2
-4
-3
-2
-1
1
2
-2
3
x
-4 -6
Como x2 + x 6 < 0 8x 2 [ 3; 2] entonces el aréa pedida es: Z 2 2 x3 x2 125 2 + 6x = u A= x2 + x 6 dx = 3 2 6 3 3 o también así: A =
R2
3
(x2 + x
6) dx =
125 6
u2
Exercise 1.4.10 Área comprendida entre el eje de las X y la curva y = cos 2x en [0; ] Dibujamos la grá…ca de y = cos 2x en [0; ]
3 Como esta grá…ca corta al eje de las X en los puntos P ( ; 0) y Q( ; 0) 4 4 y además: 3 cos 2x 0 8x 2 [0; ] [ [ ; ] 4 4 3 cos 2x < 0 8x 2] ; [ 4 4
1.4. EJERCICIOS DE ÁREAS
33
Entonces el área pedida es:
A=
Z
4
Z
cos 2xdx
0
Z o también así: A = 4
4
3 4
cos 2xdx +
4
cos 2xdx = 4
0
Z
sin 2x 2
4
pi
cos 2xdx
3 4
= 2 u2
0
p
Exercise 1.4.11 Área comprendida entre la curva y =
1 el eje de x 2
las X y las rectas x = 3; x = 4 El dominio de esta función es D(f ) =]2; +1[ y además: 8x 2]2; +1[ se veri…ca
p
1 <0 x 2
Por lo que el área pedida es: A=
Z
3
4
1 p dx = x 2
o también así:A =
Z
3
Z
4
p 1 dx = 2 x x 2
3
p
p
1 dx x 2
4
2
4 3
=2
p
2
1
u2
Exercise 1.4.12 Área comprendida entre la parábola y = 2x2 + 5 y la recta y =x+6 En primer lugar determinamos los puntos de corte de ambas funciones ( 1 11 y = 2x2 + 5 x= !y= ! 2x2 +5 = x+6 ! 2x2 x 1 = 0 ! 2 2 y =x+6 x=1!y=7
Dibujemos ahora las dos grá…cas
34
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS
Viendo la grá…ca, fíjate que los puntos de la recta siempre quedan por 1 encima de la párabola en [ ; 1]. Por lo que; para calcular el área compren2 dida entre ambas grá…cas lo calcularemos así:
A=
Z
1 1 2
x+6
2
(2x + 5) dx =
o también así A =
Z
Z
1 2
1 2
2x + x + 1 dx =
2 3 x2 x + +x 3 2
1 1 2
[x + 6
(2x2 + 5)] dx
4 Exercise 1.4.13 Calcula el área comprendida entre la curva y = y la x recta y = x 5
En primer lugar determinamos los puntos de corte de ambas funciones ( 4 4 x= 1!y= 4 y= ! = x 5 ! x2 +5x+4 = 0 ! x x= 4!y= 1 x y= x 5 Dibujemos ahora las dos grá…cas
1 1 2
=
9 2 u 8
1.4. EJERCICIOS DE ÁREAS
35
Viendo la grá…ca, fíjate que los puntos de la hipérbola siempre quedan por encima de larecta en [ 4; 1]. Por lo que para calcular el área comprendida entre ambas grá…cas lo calcularemos así:
A=
Z
1 4
4 x
h 5) dx = 4 ln jxj +
( x
o también así A =
Z
1 4
4 x
( x
x2 2
+ 5x
5) dx =
Z
i 1
4
1
= 4
15 2
8 ln 2 u2
4 + x + 5 dx x
Exercise 1.4.14 Área comprendida entre la parábola x = y 2 y la recta y = x 2
En primer lugar determinamos los puntos de corte entre la parábola y la recta x = y2 x=4!y=2 ! x = (x 2)2 ! x2 5x + 4 = 0 ! y=x 2 x=1!y= 1 Mira sus grá…cas
36
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS
y
3 2 1 0 1
2
3
4
5
x
-1 -2
Fíjate que la recta corta al eje de las X en (2; 0). p y= p x Además la parábola tiene dos ramas! Cuyas grá…cas son: y= x
y 2.0
0
y
1.5
1
2
3
4
x
5
0.0 -0.5
1.0
-1.0 0.5
-1.5 0.0 0
1
2
3
Grá…ca de y =
4
p
x
5
x
-2.0
Grá…ca de y =
p
x
Observarás que el área es: A = A1 + A2 donde: A1 es el área comprendida entre la rama positiva de la párabola en [0; 4] y el eje de las X menos el área comprendida entre la recta y = x 2 y el eje de las X en [2; 4]
1.4. EJERCICIOS DE ร REAS
A1 =
Z
4p
37
xdx
0
Z
4
(x
2)dx =
2
10 2 u 3
A2 es el รกrea comprendida entre la rama negativa de la pรกrabola en [0; 1] y el eje de las X (fucsia) mรกs el รกrea comprendida entre la recta y = x 2 y el eje de las X (azul) en [1; 2]
A2 =
Z
0
1
p
xdx
Z
1
2
(x
2)dx =
7 2 u 6
38
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS Con lo que el área total es: A=
10 7 9 + = u2 3 6 2
Este problema es mucho más complejo que los demás , debido a que la parábola dada no es una función. Con un poco de vista, el alumno puede considerar que el área solicitada es la misma que el área comprendida entre y = x2 y la recta x = y 2. (y = x + 2) .Ambas curvas consideradas, ahora, son las correspondencias inversas de las curvas dadas inicialmente. Así pues; vamos a calcular el área comprendida entre las curvas y = x2 y la recta x = y 2 y comprobar que coincide con la que pide el enunciado inicial del problema. En primer lugar, determinamos los puntos de corte y = x2 x=2!y=4 ! x2 = x + 2 ! x2 x 2 = 0 ! y =x+2 x= 1!y=1 Mira sus grá…cas Dibujemos las dos funciones
Observa que en el intervalo [ 1; 2] los puntos de la recta están por encima de los puntos de la párabola. Por lo tanto, el área buscada es ésta: Z 2 2 1 1 3 9 A= x + 2 x2 dx = x2 + 2x x = u2 2 3 2 1 1
1.4. EJERCICIOS DE ÁREAS
39
Nota :Para entender este procedimiento, tan sólo has de considerar las correspondencias inversas de las funciones dadas inicialmente en el ejercicio Nota 2:Para resolver el siguiente ejercicio, has de hacer lo mismo que antes. Es un consejo personal Exercise 1.4.15 Área comprendida entre la parábola x = y 2 recta y = x 2
2y + 2 y la
El área solicitada es la misma que el área comprendida entre la párabola y = x2 2x + 2 y la recta x = y 2 (y = x + 2) En primer lugar, determinamos los puntos de corte y = x2 2x + 2 x=0!y=2 ! x2 3x = 0 ! y =x+2 x=3!y=5 Mira sus grá…cas Dibujemos las dos funciones
Observa que en el intervalo [0; 3] los puntos de la recta estánR por encima de los puntos de la párabola. Por lo tanto, el área buscada es ésta: (3x x2 ) dx = 3 2 1 3 x x 2 3 A=
Z
0
3
x+2
x
2
2x + 2
dx =
Z
0
3
3x
x2 dx =
3 2 x 2
1 3 x 3
3
= 0
9 2 u 2
40
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS
Exercise 1.4.16 Área comprendida entre las parábolas y = x2 + 2x + 2 e y = x2 + x + 5 Determinemos los puntos en común y = x2 + 2x + 2 ! 2x2 + x 3 = 0 ! y = x2 + x + 5 Dibujemos las dos grá…cas en [ 23 ; 1]
x = 23 ! y = x=1!y=5
5 4
Fíjate que los puntos de la párábola y = x2 + x + 5 quedan por encima de los puntos de la párabola y = x2 + 2x + 2 en el intervalo [ 23 ; 1] Así pues ; el área buscada es : Z 1 Z 1 125 2 2 2 x + x + 5 (x + 2x + 2) dx = 2x2 x + 3 dx = u A= 3 3 24 2
2
Exercise 1.4.17 Área comprendida entre las parábolas x = y 2 x = y 2 + 4y
6y + 8 e
Para dibujar la función , nos valdremos de las siguientes transformaciones 1a x = y 2 6y + 8 ! x = (y 3)2 1 ! (y 3)2 = x + 1 Como (y 3)2 = x + 1 no es una función, pvamos a descomponer esta y = 3 + px + 1 parábola en dos ramas que si lo son! y=3 x+1 a 2 2 2 x = y + 4y ! x = (y 2) + 4 ! 4 x = (y 2)2
1.4. EJERCICIOS DE ÁREAS
41
2)2 = 4
Como (y
x no es una función, pvamos a descomponer esta y = 2 + p4 x parábola en dos ramas que si lo son! y=2 4 x
y
5 4 3 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1
Los puntos en común de ambas parábolas son P (3; 1) y Q(0; 4) El área se puede calcular así: Z
1
4 2
y + 4y
y
2
6y + 8
dx =
Z
4
2y 2 + 10y
8 dy = 9 u2
1
Fíjate que los límites de integración , así como la variable que aparece en el integrando es y
Nota: Otra manera de calcular el mismo problema El área que nos piden coincide con el área comprendida entre las parábolas y = x2 6x + 8 e y = x2 + 4x Calculemos los puntos de corte de las dos parábolas y = x2 6x + 8 ! x2 6x + 8 = x2 + 4x y = x2 + 4x x=1!y=3 2x2 10x + 8 = 0 ! x=4!y=0 Dibujemos las dos grá…cas en [1; 4]
42
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS
Fíjate que en el intervalo [1; 4] los puntos de la parábola y = x2 + 4x están por encima de los puntos de y = x2 6x + 8:Por lo tanto; el área solicitada es Z 4
[ x2 + 4x
(x2
6x + 8)] dx que coincide con :
1
Z
4
2x2 + 10x
2 3 x + 5x2 3
8 dx =
1
4
= 9 u2
8x 1
Exercise 1.4.18 (Selectivo Junio 2003) Dibujad la recta de ecuación y = 2 x y la curva de ecuación y = sin x cuando x . Indicad, por 2 2 cálculo integral, el área limitada entre la recta y la curva. Z 2 Calculad la integral del producto de estas dos funciones, es decir x sin xdx; indicando los pasos utilizados x y = sin x
1 2
1
1 3p 1 3 2
1 4p 1 2 2
x y=
2
x
1 6 1 2
1 2 1
0 0 0
1 2
0 1
1 6 1 2
1 4p 1 2 2
1 3p 1 3 2
1 2
1
1.4. EJERCICIOS DE ÁREAS
Las grá…cas de la recta y = puntos de coordenadas:
43
2
x y de la curva y = sin x se cortan en los
P ( ; 1) ,O(0; 0) y Q( ; 1) 2 2 El área comprendida entre la recta y = Z A=2
2
sin x
2
x dx = 2
2
x y la curva y = sin x es:
cos x
1
x2
0
2
= 2(
0
Calculemos ahora: Z 2 x sin xdx
1 + 1) 4
Esta integral, se resuelve por el método de integración por partes. ¿En qué consiste este procedimiento? Como d(u v) = udv + vdu Despejando udv udv = d(u v) vdu Si integramos ahora: Z Z udv = d(u v)
Z
vdu = u v
Z
vdu
44
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS Aplicando este procedimiento para Z resolver la integral dada; tendremos:: Z 2 2 2 x cos x + cos xdx = [ x cos x + sin x] + C x sin xdx = 2
Exercise 1.4.19 Área de la circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 2 La ecuación de todos los puntos de la circunferencia de centro el origen y radio 2 es x2 + y 2 = 22 Si te …jas en el dibujo dicha super…cie sabemos que ha de valer A = 2 :r = :22 = 4 u2 2
y
1
-2
-1
1
2
x
-1
-2
Para calcular esta super…cie utilizando el cálculo integral; tendremos presente que: p Area del c{rculo = 4 Area comprendida entre la f uncion y = 4 x2 las rectas verticales x = 0; x = 2 y el eje OX Así pues; calculemos esta última Z2
p
4
0
2
u = x ! Zdu = dx
sin xdx = dv ! v =
sin xdx =
cos x
x2 dx
1.4. EJERCICIOS DE ÁREAS
45
Para resolver esta integral tenemos que realizar el siguiente cambio de variable x = 2 sin t dx = 2 cos t dt Al mismo tiempo que realizamos el cambio de variable; hemos de cambiar los límites de integración Observa que: Si x = 0 ! 0 = 2 sin t ! t = 0 Si x = 2 ! 2 = 2 sin t ! sin t = 1 ! t = Z2
p
Z2 p x2 dx = 4
4
0
0
Z2 4 sin2 t 2 cos t dt = 4 cos2 t dt =3 0
Z2 Z2 1 + cos 2t 1 2 4 cos t dt = 4 dt = 2 t + sin 2t 2 2 0
2
0
2
=
0
1 = 2 2 + sin 22 = u2 2 Z2 p 4 x2 dx = u2 entonces; Como 0
Area del c{rculo = 4
Z2 p 0
3
Recuerda que cos2 t =
1 + cos 2t 2
4
x2 dx = 4 u2
46
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS
Exercise 1.4.20 Área de la elipse centrada en el origen y de semiejes 4 y 3 La ecuación de todos los puntos de la elipse anterior es! Su grá…ca es la siguiente
y
x2 y 2 + =1 42 32
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-1
-2
-3
Para calcular esta super…cie utilizando el cálculo integral; tendremos presente que: 3p Area de la elipse = 4 Area comprendida entre la f uncion y = 16 x2 4 las rectas verticales x = 0; x = 4 y el eje OX
1.4. EJERCICIOS DE ÁREAS
47
Así pues; calculemos esta última 3 4
Z4
p
x2 dx
16
0
Para resolver esta integral tenemos que realizar el siguiente cambio de variable x = 4 sin t dx = 4 cos t dt Al mismo tiempo que realizamos el cambio de variable; hemos de cambiar los límites de integración Observa que: Si x = 0 ! 0 = 4 sin t ! t = 0 Si x = 4 ! 4 = 4 sin t ! sin t = 1 ! t = 3 4
Z4
p
3 x2 dx = 4
16
Z2 p 16 0
0
Z2 16 sin t 4 cos t dt = 12 cos2 t dt =4 2
0
Z2 Z2 1 1 + cos 2t 2 12 cos t dt = 12 dt = 3 t + sin 2t 2 2 0
0
1 = 3 2 + sin 2 Z4 3 p Como 16 4
2 2
2
2
=
0
= 3 u2
x2 dx = 3 u2 entonces;
0
3 Area de la elipse = 4 4
Z4 p 0
4
Recuerda que cos2 t =
1 + cos 2t 2
4
x2 dx = 12 u2
48
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS
Razonando de manera análoga, intenta demostrar que el área de una x2 y 2 elipse de semiejes a y b ( 2 + 2 = 1)viene determinada por la relación a b a b u2
A=
Exercise 1.4.21 (Selectivo Juny 2002) Área comprendida entre la grá…ca de la circunferencia x2 + (y 5)2 = 25 si y 5 las rectas x = 5; x = 5 y el eje Ox La ecuación de todos los puntos de la circunferencia de centro el punto (0; 5) y radio 5 si y 5 es p y = 5 + 25 x2 Si te …jas en el dibujo dicha super…cie sabemos que ha de valer A = 25 52 + 5 10 = :52 + 50 = 50 + : u2 2 2 2
Para calular esta super…cie utilizando el cálculo integral; tendremos presente que: p Area pedida = 2 Area comprendida entre la f uncion y = 5 + 25 x2 las rectas verticales x = 0; x = 5 y el eje OX Así pues; calculemos esta última Z5 0
5+
p
25
x2 dx
1.4. EJERCICIOS DE ÁREAS
49
Para resolver esta integral tenemos que realizar el siguiente cambio de variable x = 5 sin t dx = 5 cos t dt Al mismo tiempo que realizamos el cambio de variable; hemos de cambiar los límites de integración Observa que: Si x = 0 ! 0 = 5 sin t ! t = 0 Si x = 5 ! 5 = 5 sin t ! sin t = 1 ! t = Z5
5+
p
x2
25
dx =
Z2
5+
0
0
p
25
2
25 sin2 t 5 cos t dt =
Z2 Z2 25 (cos t + cos2 t) dt =5 = 25 (cos t + cos2 t) dt = 0
Z2 25
0
cos t +
1 + cos 2t 2
dt = 25 sin t +
0
= 25 1 +
Como
Z5
5+
p
25
4
+
2 2
sin 4
!
x2 dx = 25 1 +
t sin 2t + 2 4
= 25 1 +
4
4
2
=
0
u2
u2 entonces;
0
Area pedida = 2
Z5
5+
p
25
x2 dx = 50 1 +
4
u2 = 50 +
25 u2 2
0
Exercise 1.4.22 Área comprendida entre la grá…ca de la circunferencia x2 + (y 5)2 = 25 si y 5 las rectas x = 5; x = 5 y el eje Ox 5
Recuerda que cos2 t =
1 + cos 2t 2
50
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS
La ecuación de todos los puntos de la circunferencia de centro el punto (0; 5) y radio 5 si y 5 es p 25 x2 y=5 Si te …jas en el dibujo dicha super…cie sabemos que ha de valer A = 25 52 = 50 :52 = 50 : u2 5 5 2 2 2
Para calular esta super…cie utilizando el cálculo integral; tendremos presente que: p Area pedida = 2 Area comprendida entre la f uncion y = 5 25 x2 las rectas verticales x = 0; x = 5 y el eje OX Así pues; calculemos esta última Z5
5
p
25
x2 dx
0
Para resolver esta integral tenemos que realizar el siguiente cambio de variable x = 5 sin t dx = 5 cos t dt Al mismo tiempo que realizamos el cambio de variable; hemos de cambiar los límites de integración Observa que:
1.4. EJERCICIOS DE ÁREAS
51
Si x = 0 ! 0 = 5 sin t ! t = 0 Si x = 5 ! 5 = 5 sin t ! sin t = 1 ! t = Z5
p
5
x2
25
dx =
Z2
5
0
0
Z2 25 (cos t cos t
5
p
25
cos2 t) dt =
0
1 + cos 2t 2
dt = 25 sin t 2 2
sin
= 25 1
Como
25 sin2 t 5 cos t dt =
Z2 cos t) dt = = 25 (cos t
0
Z5
25
6
2
0
Z2 25
p
2
4
4
x2 dx = 25 1
!
= 25 1
4
sin 2t 4
t 2 4
2
=
0
u2
u2 entonces;
0
Area pedida = 2
Z5
5
p
25
x2 dx = 50 1
4
u2 = 50
25 u2 2
0
x2 (y 5)2 = Exercise 1.4.23 Área comprendida entre la grá…ca de la elipse + 4 9 1 si y 5 las rectas x = 2; x = 2 y el eje Ox
Aquí tienes su representación grá…ca 6
Recuerda que cos2 t =
1 + cos 2t 2
52
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS
La ecuación de todos los puntos de la elipse de centro el punto (0; 5) y ejes 2 y3 respectivamente si y 5 es p 3 4 x2 y =5+ 2 Si te …jas en el dibujo dicha super…cie sabemos que ha de coincidir con la suma de un rectángulo de base 4 u y altura 5 u más la mitad de la super…cie de una semielipse de semiejes 2 y 3 respectivamente (recuerda que el área de una elipse de semiejes a y b es A = a b) La super…cie pedida es: A=4 5+
2
3 2 = 20
:3 = 20 + 3 :u2
Para calcular esta super…cie utilizando el cálculo integral; tendremos presente que: p 3 4 x2 Area pedida = 2 Area comprendida entre la f uncion y = 5+ 2 las rectas verticales x = 0; x = 2 y el eje OX Así pues; calculemos esta última Z2
p 3 4 x2 5+ 2
dx
0
Para resolver esta integral tenemos que realizar el siguiente cambio de variable
1.4. EJERCICIOS DE ÁREAS
53
x = 2 sin t dx = 2 cos t dt Al mismo tiempo que realizamos el cambio de variable; hemos de cambiar los límites de integración Observa que: Si x = 0 ! 0 = 2 sin t ! t = 0 Si x = 2 ! 2 = 2 sin t ! sin t = 1 ! t = p 3 4 x2 5+ 2
Z2
dx =
0
Z2
5+
0
Z2
2
7
(10 cos t + 6 cos t) dt = =
0
Z2
Z2
4 sin2 t 2
!
2 2 cos t dt =
(10 cos t + 6 cos2 t) dt =
0
(10 cos t + 3 + 3 cos 2t) dt = 10 sin t + 3t + 3
0
2
= 7
p 3 4
sin 2 3 10 + +3 2 2
Recuerda que cos2 t =
1 + cos 2t 2
!
= 10 +
sin 2t 3
3 u2 2
2 0
=
54
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS
Como
Z2
p 3 4 x2 5+ 2
dx = 10 +
3 u2 entonces; 2
0
Area pedida = 2
Z2
p 3 4 x2 5+ 2
dx = 2 10 +
3 2
u2 = 20 + 3 u2
0
Exercise 1.4.24 Área comprendida entre las curvas y = x3 y = [ 1; 2]
p 3
x en
Calculamos si ambas funciones tienen puntos en común dentro del intervalo [ 1; 2]. Para ello, resolvemos el sistema: p y =p x3 ! x3 = 3 x Elevando al cubo, tendremos: 3 y= x x=0 x9 = x ! x9 x = 0 ! x(x8 1) = 0 ! 8 x 1=0!x= 1 Las dos grá…cas se cortan en los puntos P (0; 0) , Q( 1; 1) y T (1; 1)
HemosZ de calcular tres áreas: p 0 p x4 3x 3 x 3 3 A1 = (x x) dx = 4 4 1 p Z 1 p 3x 3 x x4 3 3 A2 = ( x x ) dx = 4 4 0
0
1 3 1 + = u2 4 4 2 1 3 1 1 = = u2 4 4 2 =
1 0
1.4. EJERCICIOS DE ÁREAS A3 = u2
Z
2
(x
1
3
p 3
x4 x) dx = 4
55 p 3x 3 x 4
2 1
16 = 4
p 632 4
1 3 + = 4 4
9 2
3 2
p 3
2
El área solicitada es: A=
1 1 9 + + 2 2 2
3p 11 3 2= 2 2
3p 3 2 u2 2
Nota: Teniendo presente que las abcisas de los puntos en común de ambas funciones comprendidos entre 1 y 2 son : 1; 0; 1:Podías haber calculado el área pedida Z 0de la siguiente manera: p 3 x) dx A1 = (x3 1 Z 1 p 3 x) dx A2 = (x3 0 Z 2 p 3 A3 = (x3 x) dx 1
56
CHAPTER 1. CÁLCULO DE ÁREAS
Chapter 2 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución 2.1
De…nición sólido de revolución
De…nition 1 Llamaremos sólido de revolución al cuerpo que se obtiene al hacer girar una región plana en torno a su eje de rotación que está …jo.
Ejemplos: Los sólidos de revolución más conocidos son: 1. El cilindro recto, que se obtiene al hacer girar un rectángulo sobre uno de sus lados. 2. El cono recto, que se obtiene al hacer girar un triángulo sobre uno de sus lados. 3. El tronco de cono, que se obtiene al hacer girar un trapecio isósceles sobre su eje de simetría. 4. La esfera, que se obtiene al hacer girar un círculo sobre uno de sus diámetros. 5. El toro, que se genera al hacer girar un círculo sobre un eje exterior a él El casquete esférico, la zona esférica, elipsoide, paraboloide, hiperboloide, etc, etc,etc... 57
58CHAPTER 2. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
2.2
Fórmula para determinar el volumen de sólidos de revolución
Recuerda que el volumen engendrado al girar alrededor del eje de las X la super…cie comprendida entre la curva y = f (x) y el eje de las X en [a; b] se calcula con la relación: Z b
V =
(f (x))2 dx
a
2.2.1
Ejemplos
Ejemplo 1 Volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje de las X el área comprendida entre la parábola y = x2 + 4 y el eje de las X Como la parábola f (x) = x2 + 4 corta al eje de las X en los puntos P ( 2; 0) y Q(2; 0). Mira su grá…ca
y
4 3 2 1
-2
-1
el volumen que nos piden es Z 2 2 V = x2 + 4 dx = 2
0
1 5 x 5
1
8 3 x 3
+ 16x
2
x
2 2
=
512 15
u3
Ejemplo 2 Volumen del sólido engendrado al girar alrededor p del eje de las 2 X el área comprendida entre la parábola y = x e y = x Determinamos los puntos de corte de ambas grá…cas, resolviendo el sistema p y =p x2 x=0!y=0 ! x2 = x ! x4 = x ! x(x3 1) = 0 ! y= x x=1!y=1 Observa sus grá…cas
2.3. EJERCICIOS DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS CONOCIDOS
59
y 2.0 1.5 1.0 0.5
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
x
El volumen pedido será:
V =
Z
0
1
h p
x
V =
2.3
2
x
h
x2 2
2 2
x5 5
i
dx =
Z
1
(x
x4 )dx
0
i1 0
=
3 10
u3
Ejercicios de volúmenes de sólidos conocidos
Exercise 2.3.1 Volumen del cilindro de altura 5 y radio 7
Este sólido se engendra al girar alrededor del eje x el área comprendida entre la recta y = 7 y el eje de las X en el intervalo [0; 5]
60CHAPTER 2. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
El volumen será: V =
Z
5
0
72 dx = 49 [x]50 = 245 u3
Exercise 2.3.2 Volumen del cilindro de altura h y radio r Este sólido se engendra al girar alrededor del eje X el rectángulo de vértices O(0; 0); Q(h; 0); P (h; r) y R(0; r) En de…nitiva, se engendra al girar alrededor del eje X el área comprendida entre la recta y = r y el eje de las X en el intervalo [0; h] El volumen será: V =
Z
0
5
r2 dx = r2 [x]h0 = r2 h u3
Exercise 2.3.3 Volumen del cono de altura 10 y radio 3 1 3
r2 h r=3 Como en este ejercicio los datos son ! V = 31 32 10 = 30 u3 h = 10 Ahora vamos a determinarlo, utilizando el cálculo integral Sabemos que dicho volumen es V =
2.3. EJERCICIOS DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS CONOCIDOS
61
Este sólido se engendra al girar alrededor del eje X el triángulo determinado por los puntos O(0; 0); P (10; 3) y (10; 0) O(0; 0) O(0; 0) Hemos de calcular la recta que pasa por ! 3 P (10; 3) m = 10 3 x Dicha recta tiene de ecuación y = 10
y
3
2
1
0 0
El volumen será: Z 10 V = 0
1
2
2 3 x 10
3
dx =
4
9 100
5
6
7
h 3 i10 x 3
0
=
8
9
9 1000 3 100
10
x
= 30 u3
Exercise 2.3.4 Volumen del cono de altura h y radio r
62CHAPTER 2. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Sabemos que dicho volumen es V = 31 r2 h Ahora vamos a determinarlo, utilizando el cálculo integral Este sólido se engendra al girar alrededor del eje X el triángulo determinado por los puntos O(0; 0); y Q(h; 0) y P (h; r) En de…nitiva, es el volumen engendrado al girar sobre el eje de las X; el área comprendida entre la recta s (que pasa por O y por P ) y el eje de las X en [0; h] Hemos de calcular la recta, s ,que pasa por
O(0; 0) !s P (h; r)
Dicha recta, s , tiene por ecuación f (x) = hr x El volumen será: Z h h ih 2 3 2 r r 2 x3 V = x dx = = hr 2 h3 = h h2 3 0
0
1 3
O(0; 0) m = hr
r2 h u3
Exercise 2.3.5 Volumen del tronco de cono de altura h y radios r y R (con r < R) Este sólido se engendra al girar alrededor del eje X el trapecio determinado por los puntos O(0; 0); Q(h; 0) , P (h; R) y T (0; r) En de…nitiva, es el volumen engendrado al girar sobre el eje de las X; el área comprendida entre la recta s (que pasa por T y por P ) y el eje de las X en [0; h]
2.3. EJERCICIOS DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS CONOCIDOS
63
T (0; r) T (0; r) !s P (h; R) m = Rh r R r Dicha recta, s , tiene por ecuación ! f (x) r = h x Aisalando f (x) Hemos de calcular la recta, s ,que pasa por
f (x) =
R r x h
El volumen será: Z h Z h 2 R r x + r dx = V = h 0 h i0h R r 2 x3 R r x2 2 = + 2r h 2 + r x = h 3 0
= h
1 3
(R
+r
R r 2 h
x2 + 2r Rh r x + r2 dx = h i R r 2 h3 R r h2 2 + 2r + r h = h 3 h 2
r)2 + r (R r) + r2 = h 31 R2 + 31 Rr + 13 r2 = V = 31 h (R2 + r2 + Rr)
Exercise 2.3.6 Volumen del casquete esférico de altura h y radio de la esfera R Dicho volumen es el volumen engendrado p al girar sobre el eje de las X; el área comprendida entre la función y = R2 x2 y el eje de las X en [R h; R]
64CHAPTER 2. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
V =
V = h R2 x
Z
R
p
R h iR x3 3 R h
R2 =
x2 h
2
dx =
Z
R
(R2
x2 ) dx
R h
R3
R3 3 1 3 h 3
Rh2 2 V = 3h (3R
R2 (R
h)
(R h)3 3
i
=
h)
Exercise 2.3.7 Volumen de la zona esférica de altura h y radios a y b (con a > b) siendo el radio de la esfera R Dicho volumen coincide con el volumen engendrado al girar alrededor del p 2 2 x (semicircunferencia eje X;la super…cie acotada por la curva y = R de centro 0 y radio R) en p el intervalo [z; z + h] y el eje de las X siendo p z = R2 a2 y z + h = R2 b2 : Mira el grá…co correspondiente:
2.3. EJERCICIOS DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS CONOCIDOS V =
Z
65
z+h
(R2
x2 )dx =
R2 h
zh2
z2h
z
Si sacamos factor común
V =
Como z =
p
R2
V =
1 h obtendremos: 3
h (3R2
3hz
3z 2
h2 )
a2
1 3
h 3R2
V = V =
1 3
1 3 h 3
1 3
1 3
h
h
p 3h R2 a2 3 (R2 p 3h (R2 a2 ) + 3a2
a2 ) h2
b2 + a2 h2 + 3a2 2h V = 13 h 23 b2 + 32 a2 + 12 h2 V = 16 h (3b2 + 3a2 + h2 ) 3h
h2 1
h2
Exercise 2.3.8 Volumen del elipsoide engendrado al girar la elipse 9x2 + 16y 2 = 144 una vuelta completa alrededor del eje de las X
Se trata de la elipse centrada en el origen y de semiejes 4 y 3 x2 y 2 144 9x2 La ecuación la elipse anterior es! 2 + 2 = 1 ! y 2 = 16 4 3 Su grá…ca es la siguiente 1
2
Como (z + h) = R2 b2 : 2 Desarrollando, + h2 = R2 b2 (*) p tendremos z + 2hz 2 2 2 Como z = R a entonces, z = R2 a2 y sustituyendo ambas expresiones en (*), obtendremos: p p R2 a2 + 2h R2 a2 + h2 = R2 b2 ! a2 + 2h R2 a2 + h2 = b2 p p b2 + a2 h2 Aislando R2 a2 obtenemos que: R2 a2 = 2h
66CHAPTER 2. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
y
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-1
-2
-3
El volumen del elipsoide engendrado al girar la elipse alrededor de su eje mayor es:
V =
Z
4 2
y dx = 4 Z Como
Z
4
9x2
144 16 9x2
4
144
Fíjate que V = 48 u3 =
3 3 x 16
dx = 9x
9x
4 3
4
3 3 x 16
9x2
144 16
0
16 V =2
dx = 2
Z
dx = 48
+ C entonces:
4
= 48 u3 0
4 32 u3
Exercise 2.3.9 Volumen del elipsoide engendrado al girar la elipse 16x2 + 9y 2 = 144 una vuelta completa alrededor del eje de las X Se trata de la elipse centrada en el origen y de semiejes 4 y 3 x2 y 2 144 16x2 La ecuación la elipse anterior es! 2 + 2 = 1 ! y 2 = 9 3 4 Su grá…ca es la siguiente
2.3. EJERCICIOS DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS CONOCIDOS
y
67
4
2
-3
-2
-1
1
2
3
x
-2
-4
El volumen del elipsoide engendrado al girar la elipse alrededor de su eje menor es: Z 3 Z 3 Z 3 144 16x2 144 16x2 2 V = y dx = dx = 2 dx 9 9 3 3 0 Z 144 16x2 16 3 dx = 16x 27 x + C entonces: Como 9 V =2 Fíjate que V = 64 u3 =
16x2
144 9 4 3
3
= 64 u3 0
42 3 u3
Remark 2 Al hacer girar una elipse sobre uno de sus ejes, siempre obtenemos un elipsoide. Ahora bien, son diferentes sólidos en función de cual sea su eje de giro. De los dos elipsoides posibles, tendrá mayor volumen el que se obtenga por rotación de la elipse sobre su eje menor. (Mira los dos ejercicios anteriores) Exercise 2.3.10 Demuestra que el volumen del elipsoide engendrado al girar x2 y 2 la elipse 2 + 2 = 1 (a > b) una vuelta completa alrededor del eje de las X a b 4 es igual a ab2 3 Nota: La elipse gira sobre su eje mayor
68CHAPTER 2. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Como y 2 = V = Z
Z
b2 2 (a a2
x2 ) ; entonces:
a 2
y dx = a
Z
a
b2 2 a 2 aa
x
2
dx = 2
Z
0
a 2
b a2 2 a
b2 2 2 Al ser (a x2 ) dx = ab 2 a2 x 31 x3 + C 2 a Entonces: Z a 2 b2 1 3 b 2 2 2 dx = 2 a x a x x V =2 2 a2 3 0 a
a
= 0
x2 dx
4 2 ba 3
Exercise 2.3.11 Demuestra que el volumen del elipsoide engendrado al girar x2 y 2 la elipse 2 + 2 = 1 (a > b) una vuelta completa alrededor del eje de las X b a 4 2 es igual a ab 3 Nota: La elipse gira sobre su eje menor Como y 2 = V = Z
Z
a2 2 (b b2
x2 ) ; entonces:
b 2
y dx = b
Z
b
a2 2 b 2 bb
x
2
dx = 2
a2 2 2 (b x2 ) dx = ab2 b2 x 31 x3 + C 2 b Entonces: Z b 2 a a2 2 2 2 b x dx = 2 bx V =2 2 b2 0 b
Al ser
Z
0
b 2
a b2 b2
1 3 x 3
b
= 0
x2 dx
4 2 ab 3
Nota: Si obtenemos un elipsoide por rotación de una elipse sobre uno de sus ejes; podemos concluir que el volumen de este elipsoide es cuatro tercios de pi por el semieje de rotación por el cuadrado del otro semieje Exercise 2.3.12 Volumen del sólido engendrado al girar la super…cie comprendida por la hipérbola 9x2 16y 2 = 144 en [ 5; 5] una vuelta completa alrededor del eje de las X
2.3. EJERCICIOS DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS CONOCIDOS
69
Se trata de la hipérbola centrada en el origen y de semiejes 4 (real en el eje de las X) y 3 (imaginario en el eje de las Y ) Transformando la ecuación; tendremos: y2 9x2 144 2 = 1 ! y = 16 32
x2 42 Su grá…ca es la siguiente
y
2 1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
x
-2 -3 -4
El volumen del sólido engendrado al girar la super…cie comprendida por la hipérbola 9x2 16y 2 = 144 en [ 5; 5] una vuelta completa alrededor del eje las X Z de 5 9x2 144 V =2 dx 16 4 Z 9x2 144 3 3 x 9x + C entonces: Como dx = 16 16 V =2
3 3 x 16
5
9x
= 4
39 8
u3
Exercise 2.3.13 Volumen del sólido engendrado al girar la super…cie comprendida por la hipérbola b2 x2 a2 y 2 = a2 b2 en [ c; c] (c > a) una vuelta completa alrededor del eje de las X Se trata de la hipérbola centrada en el origen y de semiejes a (real en el eje de las X) y b ((imaginario en el eje de las Y )) Transformando la ecuación; tendremos:
70CHAPTER 2. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN x2 y 2 b2 2 2 = 1 ! y = (x a2 ) a2 a2 b2 El volumen del sólido engendrado al girar la super…cie comprendida por la hipérbola b2 x2 a2 y 2 = a2 b2 en [ c; c] (c > a) una vuelta completa alrededor del eje de las X Z c 2 b 3 2 3 (x2 a2 ) dx = 23 b2 c 3caa2 +2a V =2 2 a a Z 2 b 2 Como (x2 a2 ) dx = ab 2 13 x3 a2 x + C entonces: 2 a V =2
b2 a2
1 3 x 3
c
a2 x
= a
2 2 c3 b 3
3ca2 + 2a3 3 u a2
Nota: Si aplicasemos esta relación al ejercicio anterior, podríamos calcular su volumen directamente8Veámoslo < a=4 3 2 3 Datos hipérbola anterior b = 3 !Como V = 23 b2 c 3caa2 +2a ;entonces: : c=5 V =
2 2 53 3 3
39 3 (5) 42 + 2 (4)3 = 42 8
u3
Exercise 2.3.14 Volumen del sólido engendrado al girar la super…cie comprendida por la hipérbola 16y 2 9x2 = 144 en [ 5; 5] una vuelta completa alrededor del eje de las X Se trata de la hipérbola centrada en el origen y de semiejes 4 (imaginario en el eje de las X) y 3 (real en el eje de las Y ) Transformando la ecuación; tendremos: y2 32
x2 9x2 + 144 2 = 1 ! y = 16 42
Su grá…ca es la siguiente
2.3. EJERCICIOS DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS CONOCIDOS
y
71
4 2
-6
-4
-2
2
4
6
-2
x
-4 -6
El volumen del sólido engendrado al girar la super…cie comprendida por la hipérbola 16y 2 9x2 = 144 en [ 5; 5] una vuelta completa alrededor del eje Zde5 las X2 es: 9x + 144 V =2 dx 16 0 Z 9x2 + 144 3 3 Como x + 9x + C entonces: dx = 16 16 V =2
5
3 3 x + 9x 16
= 0
1095 8
u3
Exercise 2.3.15 Volumen del sólido engendrado al girar la super…cie comprendida por la hipérbola b2 y 2 a2 x2 = a2 b2 en [ c; c] (c > 0) una vuelta completa alrededor del eje de las X Se trata de la hipérbola centrada en el origen y de semiejes a (real en el eje de las Y ) y b (imaginario en el eje de las X)) Transformando la ecuación; tendremos: y 2 x2 a2 2 2 = 1 ! y = (x + b2 ) b2 a2 b2 El volumen del sólido engendrado al girar la super…cie comprendida por la hipérbola b2 y 2 a2 x2 = a2 b2 en [ c; c] (c > 0) una vuelta completa alrededor del eje de las X Z c 2 a 2 2 V =2 (x2 + b2 ) dx = 23 a2 c c +3b b2 2 0 b Z 2 a 2 Como (x2 + b2 ) dx = ab2 13 x3 + b2 x + C entonces: 2 b V =2
a2 b2
1 3 x + b2 x 3
c
a
2 2 c2 + 3b2 3 ac u = 3 b2
72CHAPTER 2. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Nota: Si aplicasemos esta relación al ejercicio anterior, podríamos calcular su volumen directamente.8 Veámoslo < a=3 2 2 Datos hipérbola anterior b = 4 !Como V = 23 a2 c c +3b u3 ;entonces: b2 : c=5 V =
:
2 2 52 + 3 (4)2 1095 35 = 2 3 8 (4)
u3