Dibujo tecnico by Juan José Isach Mayo

BLOQUE TEMÁTICO 1

UNIDAD DIDÁCTICA 1.1

ÚTILES DE DIBUJO

PLANTILLAS RECTAS ENUNCIADO

PLANTILLAS RECTAS. Son unas reglas auxiliares del dibujo que se utilizan para el trazado de rectas paralelas y perpendiculares y para el trazado de algunos ángulos.

Con ayuda de la escuadra y el cartabón trazar rectas PARALELAS a una dada.

Son dos: la ESCUADRA y el CARTABÓN. Sus características principales son: LA ESCUADRA. Se trata de un triángulo rectángulo e isósceles.

90º 45º

DATOS

PASO 1

Se dibuja la recta s empleando para ello la hipotenusa de la escuadra.

Sin mover la escuadra se apoya uno de los lados del cartabón, preferentemente la hipotenusa, sobre uno de los catetos libres de la escuadra.

45º s

EL CARTABÓN. Es un triángulo rectángulo. 30º

90º 60º

CARACTERÍSTICAS CONJUNTAS. - No deben tener ningún tipo de graduación. - Los cantos deben ser rectos, sin chaflan ni rebajes.

PASO 2

PASO 3

Considerando el cartabón como plantilla fija, se desliza la escuadra sobre el cartabón la distancia requerida.

Se dibuja la recta s1 que es paralela a la recta s.

NO - El juego está compuesto por una escuadra con una hipotenusa de longitud igual a la del cateto mayor del cartabón

PASO 4

RESULTADO

Se repite la operación de deslizamiento de la escuadra y dibujo de la línea tantas veces como sea necesario. Idéntica longitud

s s1

s1 s2

Página

1.1

BLOQUE TEMÁTICO 1

UNIDAD DIDÁCTICA 1.1

ÚTILES DE DIBUJO DISTINTOS POSICONAMIENTOS DE LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN Líneas horizontales Líneas inclinadas a 45º

Líneas verticales Líneas inclinadas a 45º

PLANTILLAS RECTAS ENUNCIADO

Con ayuda de la escuadra y el cartabón trazar rectas PERPENDICULARES a una recta dada.

DATOS

PASO 1

Se dibuja la recta s empleando para ello la hipotenusa de la escuadra.

Sin mover la escuadra se apoya uno de los lados del cartabón, preferentemente la hipotenusa, sobre uno de los catetos libres de la escuadra.

Líneas horizontales Líneas verticales

Líneas inclinadas a 45º en ambos sentidos

PASO 2

PASO 3

Considerando el cartabón como plantilla fija, se gira la escuadra sobre el cartabón apoyando sobre él el cateto libre de la escuadra.

Se dibuja la recta s1 que es perpendicular a la recta s. s1

Líneas inclinadas a 30º Líneas verticales

PASO 4

RESULTADO

Se desliza la escuadra sobre el cartabón, plantilla fija, y se dibujan las rectas s2, s3,..., a la distancia deseada.

Líneas inclinadas a 60º Líneas verticales

s1 s2

s2 s3

Página

1.2

BLOQUE TEMÁTICO 1

UNIDAD DIDÁCTICA 1.1

ÚTILES DE DIBUJO REDES MODULARES. Las redes modulares se definen como la estructura o soporte básico que permite ordenar las formas y organizar el espacio.

PLANTILLAS RECTAS ENUNCIADO

Construir una malla regular cuadrada.

Las redes modulares que organizan el espacio bidimensional por medio de líneas paralelas equidistantes se llaman MALLAS. MALLAS REGULARES. Son aquellas en las que la unidad elemental que se repite, llamada módulo, es un polígono regular. De entre los distintos tipos de mallas regulares, destacaremos:

DATOS

PASO 1

Se dibuja la recta s empleando para ello la hipotenusa de la escuadra.

Sobre la recta s se marcan con el doble decímetro (o compás) la separación establecida para cada módulo (cuadrado) de la retícula.

MALLA ORTOGONAL, constituida por líneas verticales y horizontales que configuran el cuadrado como módulo.

O su variante, girada a 45°

PASO 2

PASO 3

Colocando el juego de plantillas en su posición básica, se realiza una diagonal a 45°desde el último punto marcado.

Girando la escuadra se realizan las verticales por las marcas.

MALLA ISOMÉTRICA, constituida por líneas que forman 60º y 120º con la horizontal y configuran el triángulo equilátero como módulo.

PASO 4 Volviendo a la posición básica, se dibujan las horizontales por los puntos donde la diagonal corta las líneas verticales.

RESULTADO Se consigue una malla regular cuadrada.

O su variante, girada a 90°

Página

1.3

BLOQUE TEMÁTICO 1

UNIDAD DIDÁCTICA 1.1

ÚTILES DE DIBUJO REDES MODULARES.

ENUNCIADO

Construir una malla regular isométrica.

DATOS

PASO 1

Se dibuja la recta s, y por el procedimiento conocido se realiza una perpendicular cualquiera, que posteriormente es marcada con el doble decímetro.

Se realizan las horizontales, con la posición básica de las plantillas, por las marcas efectuadas.

Con las redes modulares podemos obtener infinidad de diseños geométricos.

PLANTILLAS RECTAS

PASO 2

PASO 3

Considerando la escuadra como plantilla fija, con el cartabón dibujamos una línea inclinada a 60° ubicada donde queramos.

Manteniendo la anterior posición de la escuadra, giramos el cartabón y dibujamos las inclinadas a 120° por donde la anterior corta a las horizontales.

PASO 4 Volviendo a girar el cartabón, se completan las líneas inclinadas a 60°.

RESULTADO Se obtiene una malla isométrica. Para obtener la malla girada 90°, basta empezar el procedimiento dibujando líneas verticales y variar el cartabón.

Página

1.4

BLOQUE TEMÁTICO 1

UNIDAD DIDÁCTICA 1.2

ÚTILES DE DIBUJO

EL COMPÁS ENUNCIADO

EL COMPÁS Es el instrumento imprescindible para el trazado de arcos de circunferencias, amén del transporte de segmentos y de ángulos.

b s=a+b

El compás de Dibujo Técnico debe reunir las siguientes cualidades: Robusta construcción en acero. Los brazos deben estar unidos por un tornillo sinfín con sistema de bloqueo. Ambos brazos deben de ser articulados.

Adición y sustracción de segmentos

r=a-b

DATOS

PASO 1

Los dos segmentos a y b que vamos a sumar o restar.

Se dibuja una linea base, marcándose un punto de origen O.

a b O

PASO 2 (suma) El tornillo sinfín, unido a una rueda, permite la aproximación exacta de los brazos del compás.

RESULTADO (suma)

Medimos con el compás la magnitud del segmento a y lo trasladamos a partir del punto O. Seguidamente hacemos lo mismo con el segmento b.

Obtendremos otro segmento s, suma de los segmentos a y b.

r=a

r=b

s=a+b

La articulación de los brazos permite colocar las puntas siempre perpendiculares al papel.

PASO 2 (resta)

RESULTADO (resta)

Trasladado el segmento mayor b a partir del punto O, en sentido contrario hacemos lo mismo con el segmento a.

Obtendremos otro segmento r, resta de los segmentos a y b.

b El afilado de la punta de la mina de grafito debe realizarse en bisel mediante una lija. O

r=b

LIJA

r=a-b r=a Página

1.5

BLOQUE TEMÁTICO 1

UNIDAD DIDÁCTICA 1.3

ÚTILES DE DIBUJO ENUNCIADO

EL DOBLE DECÍMETRO

20 19 15 16 17 13 14

Construcción del triángulo universal de escalas.

8 9 10 11 12

DATOS

Y una horizontal hacia la derecha.

5 7

13 14

15 16 17 20

EL ESCALÍMETRO Es una regla graduada que contiene distintas escalas métricas. Generalmente tiene forma de prisma triangular, con lo que permite ubicar seis escalas distintas. 0 1 2 3 4

2 0

1 9

1 8

1 7

5 6 7 8 9 1

PASO 1

Trazamos una recta vertical.

Es una regla graduada en 20 centímetros (2 decímetros), de ahí su denominación, que utilizaremos exclusivamente para medir. Deber ser de buen material plástico transparente y tiene una asidero en su parte central.

ÚTILES DE MEDIDA

0 1 1 1

1 6 1 5

1 4 1 3

1 2

1 1 1 0

PASO 2

PASO 3

Medimos con el doble decímetro 10 cm. en la horizontal a partir de la intersección con la vertical la cual, tambien se divide en 10 centímetros.

Desde la división 0 la vertical trazamos un haz de rectas que pasen por la graduación horizontal.

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

1 0

ESCALA Es la proporción que existe entre las medias del dibujo y las medidas reales de lo dibujado. medidas del dibujo Escala = medidas de la realidad Las escalas pueden ser de ampliación o de reducción.Si el dibujo tiene la misma medida que la realidad se denomina escala natural.

Escala natural = 1 : 1

Escalas de reducción Por ejemplo E = 1 : 2

A Escalas de ampliación Por ejemplo E = 2 : 1

11 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

11 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

PASO 4

RESULTADO

Trazamos paralelas por todas las divisiones de la recta vertical.

Estas paralelas van dando escalas de reducción por encima de la base (escala natural E = 1:1) y de ampliación por debajo.

0 1 2

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12

E 1:10 E 2:10 = 1:5 E 3:10 E 4:10 = 2:5 E 5:10 = 1:2 E 6:10 = 3:5 E 7:10 E 8:10 = 4:5 E 9:10 E 1:1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E 11:10 E 12:10

Página

1.6

BLOQUE TEMÁTICO 1

UNIDAD DIDÁCTICA 1.3

ÚTILES DE DIBUJO

ÚTILES DE MEDIDA ENUNCIADO

EL TRANSPORTADOR DE ÁNGULOS Es un instrumento de medida, que como su nombre indica, sirve para medir, generar y transportar ángulos.

Con ayuda de la escuadra y el cartabón trazar los ángulos de 75°, 105°, 120°, 135°, 150° y 210°.

Generalmente es un semicírculo de material plástico transparente graduado en 180° sexagesimales.

100

110

Ángulo 75°

0 14 0

Ángulo 105°

75° = 30° + 45°

105° = 60° + 45°

170

160 180

Para medir un ángulo ya construido hay que hacer coincidir el centro del semicírculo con el vértice de dicho ángulo, y ajustar el cero con uno de los lados, leyendo la medida en el otro lado del ángulo 75°

105°

72°

Ángulo 120° 80

120° = 180° - 60°

Ángulo 135° 135° = 180° - 45°

0 10

110 120 130 140

150 160

17 0 0

Para las construcciones habituales de geometría, y concretamente las realizadas en este manual, no es estrictamente necesario el uso del transportador, puesto que con el auxilio del compás y de las plantillas rectas podemos construir los ángulos normalmente utilizados, como vemos en esta ficha con respecto a la escuadra y el cartabón, y más adelante mostraremos con el compás.

135°

120°

Ángulo 150° 150° = 180° - 30°

Ángulo 210° 210° = 180° + 30°

210°

150°

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1.7

BLOQUE TEMÁTICO 1

UNIDAD DIDÁCTICA 1.4

ÚTILES DE DIBUJO PAPEL Es el soporte del dibujo y debe reunir, entre otras, las siguientes cualidades:

OTROS ÚTILES DE DIBUJO ENUNCIADO

Dibujar un cuadrado conocido el lado.

1. Superficie lisa, algo satinada y con un gramaje suficiente para que le dé la necesaria rigidez. 2. Inalterable a la luz. 3. Debe soportar la humedad ambiental sin alterarse y permitir su plegado sin que se produzcan grietas. 4. Adecuado para la técnica a utilizar: lápiz tinta china, rotuladores, etc.

DATOS

PASO 1

Sobre una recta S, mido con el doble decímetro la longitud AB del lado del cuadrado.

Con ayuda de la escuadra y el cartabón trazamos por el extremo A una recta perpendicular a S.

LÁPIZ O PORTAMINAS Tanto en un caso como en el otro, lo esencial es la calidad y grado de dureza de la barra de grafito que encierran. La mayor o menor dureza de una mina se traduce en un trazo más fino y gris o más grueso y negro. Un lápiz o portaminas 2H y otro 2B nos serán, como mínimo imprescincibles, para dibujar.

Imprescindibles para el dibujo a lápiz. No es necesario si se opta por portaminas de "mina fina".

s B

La complejidad de ciertos problemas hace aconsejable el empleo de minas de color que nos ayuden y clarifiquen las construcciones. SACAPUNTAS O AFILAMINAS

PASO 2

PASO 3

Con centro en el extremo A y radio igual a AB trazamos un arco de circunferencia que corta a la perpendicular anterior en D.

Con ayuda de la escuadra y el cartabón trazamos por el extremo B una recta perpendicular a S.

GOMA DE BORRAR Las que se utilizan para borrar el lápiz deben de ser blandas y no engrasar el papal. PLANTILLAS Además de las ya conocidas, escuadra y cartabón, podemos destacar: 1. Plantillas de curvas para el trazado por puntos. Reciben el nombre de Burmester.

B A

2. Plantillas de rotulación

PASO 4

RESULTADO

Con centro en el extremo B y radio igual a BA trazamos un arco de circunferencia que corta a la perpendicular anterior en C.

Uniendo el punto C con el D, dibujaremos el cuarto lado del cuadrado pedido.

3. Plantillas de símbolos ESTILÓGRAFOS Para el acabado de los dibujos a tinta.

B A

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1.8

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.1

GEOMETRÍA MÉTRICA GEOMETRÍA EUCLIDIANA La geometría Euclidiana se fundamenta en axiomas o verdades tan evidentes que no precisan de demostración.

AXIOMAS FUNDAMENTALES ENUNCIADO

Trazar por un punto P y con ayuda del compás una recta S paralela a otra conocida R.

S R

AXIOMAS DE EXISTENCIA 1. Reconocemos la existencia de infinitos entes llamados puntos, a cuyo conjunto denominaremos espacio. 2. Los puntos del espacio se consideran agrupados en ciertos conjuntos parciales de infinitos puntos llamados planos y los de cada plano en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamados rectas.

DATOS

PASO 1

La recta R y el punto P.

Con centro en un punto de la recta trazamos una circunferencia que pase por P y corta a la recta en A y B.

AXIOMAS DE ENLACE 1. Dos puntos distintos determinan una recta a la que pertenecen. 2. Un plano está determinado unívocamente por tres puntos no alineados. Cuando dos puntos de una recta pertenecen a un plano, todos los puntos de la recta pertenecen a ese plano.

3. Cuando un punto pertenece a dos planos, existe otro punto distinto del anterior que también es común a ambos planos.

AXIOMAS DE ORDENACIÓN 1. De tres puntos distintos de una misma recta, sólo uno de ellos está situado entre los otros dos. 2. Dados dos puntos A y B, se define como segmento AB al conjuntos de los puntos A y B, llamados extremos, y todos los de la recta que contiene a A y B que están situados entre ambos extremos.

PASO 2

3. Cuando una recta R, que pertenece al plano determinado por tres puntos A, B y C distintos y no situados en dicha recta, contiene un punto del segmento AB, también contiene otro punto del segmento AC o del BC. AXIOMAS DE IGUALDAD O CONGRUENCIA

1. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una recta paralela a a quella. (Postulado de Euclides)

Con el mismo radio y centro en el extremo A, trazamos un arco de circunferencia.

1. Dos figuras se llaman iguales o congruentes cuando entre sus puntos homólogos se puede establecer una correspondencia biunívoca de segmentos iguales determinados por los pares de puntos homólogos a cada una de ellas. AXIOMAS DE PARALELISMO

PASO 3

Con centro en el extremo B se traza un arco de radio igual PB.

PASO 4

RESULTADO

Este arco corta en P' a la circunferencia trazada en primer lugar.

La recta PP' es la paralela buscada.

DEFINICIONES FUNDAMENTALES Semirrecta es la porción de recta comprendida entre un punto fijo, llamado vértice, y un punto impropio de la recta. Segmento es la parte de recta comprendida entre dos puntos.

Una recta contenida en un plano divide a éste en dos porciones o semiplanos. A la recta se la denomina borde, origen o contorno del semiplano.

Página

1.1

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.1

GEOMETRÍA MÉTRICA

LA MEDIATRIZ ENUNCIADO

LUGAR GEOMÉTRICO CONCEPTO Se define lugar geométrico como el conjunto de puntos que tienen una misma propiedad.

Dibujar la mediatriz de un segmento AB. B

EJEMPLOS La circunferencia es el "lugar geométrico" de los puntos que equidistan de otro llamado centro.

ci a

DATOS

PASO 1

di st an

Se dibuja el segmento AB de longitud conocida.

Con centro en el extremo A y radio r cualquiera, mayor que la mitad AB/2 del segmento, se traza un arco de circunferencia.

Una recta r paralela a otra recta s se puede definir como el "lugar geométrico" de los puntos que equidistan de la recta s.

r Idéntica distancia

Otros lugares geométricos, objeto de un estudio más extenso en estos apuntes, son: la mediatriz, la bisectriz y el arco capaz LA MEDIATRIZ. La mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular en el punto medio M del segmento

PASO 2

PASO 3

Con centro en el extremo B del segmento se traza otro arco de radio igual al anterior.

Los dos arcos trazados se cortan en los puntos I y J.

I r

r M

90º B

La mediatriz de un segmento se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento.

s di

an ci

ia nc

PASO 4

RESULTADO

Uniendo los puntos I y J, obtendremos la mediatriz del segmento.

El punto M es el punto medio del segmento.

La mediatriz es, también, el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por dos puntos dados A y B.

I r

O3 A

O2 O1

B J

Página

1.2

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.1

GEOMETRÍA MÉTRICA

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES ENUNCIADO

SEMEJANZA. Dos figuras se dice que son semejantes cuando sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos proporcionales a cierta razón que se denomina de semejanza.

Estas dos figuras son semejantes porque se dan las dos condiciones: igualdad de ángulos y proporcionalidad de segmentos.

Estas dos figuras no son semejantes porque si bien se dá la igualdad de ángulos, los segmentos "altura de puerta" tienen una razón de proporcionalidad diferente a la de los demás.

Dividir un segmento AB en 5 partes iguales.

DATOS

PASO 1

Se dibuja el segmento AB de longitud conocida. Construimos el triángulo de Tales haciendo que a' = b' = c' = d' = ....

Por uno de los extremos del segmento se traza una recta cualquiera.

EL TRIÁNGULO DE TALES. Consideremos dos rectas r y s concurrentes en V que son cortadas por un haz de rectas paralelas: t, u, v, .... t

3' b'

a' a 1

PASO 2

PASO 3

Sobre la recta trazada, con ayuda del compás y radio arbitrario, se toman tantas divisiones iguales como en partes hay que dividir el segmento.

Se une la última división 5' con el extremo libre del segmento AB.

2' c'

El ángulo V es común para todos los triángulos y los ángulos 1, 2, 3, ... tienen los lados paralelos, (Son correspondientes).

Ahora bien, en toda proporción, la diferencia entre los antecedentes (numeradores) partido por la de los consecuentes (denominadores) es igual a la razón de semejanza: V1' V2'-V1' V1 V2 -V1

a' b' a b

V2' V3'-V2' V2 V3 -V2

a' c' a c

b' b

c' c

d' d

A partir de esta relación de proporcionalidad deduciremos las construcciones de las láminas siguientes.

1' B

RESULTADO El segmento queda dividido en 5 partes iguales.

5' 4' 3' 2' 1' A

Institut de Formació Professional

MISERICÒRDIA

5' 4'

PASO 4 Para obtener los puntos 1, 2, 3 y 4 sobre el segmento AB, bastará trazar rectas paralelas a B5' por los puntos 4', 3', 2' y 1'.

O lo que es igual: a' a

Escribiendo la razón de semejanza: a' a

Los triángulos 1'V1, 2'V2, 3'V3,.... son semejantes porque tienen los ángulos iguales. En efecto:

V1' V2' V3' V4' V1 V2 V3 V4

Página

1.3

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.1

GEOMETRÍA MÉTRICA

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA CUARTO PROPORCIONAL ENUNCIADO

SEGMENTO CUARTO PROPORCIONAL Dados tres segmentos, a, b y c, se dice que el segmento x es su cuarto proporcional cuando entre los cuatro se establece la siguiente relación de semejanza:

Hallar el segmentox, cuarto proporcional de otros tres dados: a, b y c.

a/b = c/x CONSTRUCCIÓN En el Triángulo de Tales hemos visto la relación de proporcionalidad existente entre los segmentos determinados por las rectas paralelas que cortan los lados de un ángulo cualquiera. a b

DATOS

A partir de un punto A, trazamos dos rectas r y s cualquiera. A partir del vértice trasladamos el segmento b sobre la recta r.

c x

PASO 1

Los segmentos a, b y c.

a b

Para dibujar el segmento x, cuarto proporcional de los otros tres, bastará dibujar el triángulo de Tales con las dimensiones adecuadas. Según posicionemos los segmentos en el triángulo, obtendremos diferentes soluciones en función de cual de los cuatro segmentos sea el incógnita. En sentido estricto, la única solución válida es aquella en la que el segmento incógnita es el cuarto y los tres dados se disponen en el orden del enunciado.

PASO 2

a b

c x

a b

x d

¿2º segmento? a x

PASO 4

RESULTADO

Se traza una paralela a esta recta por el extremo libre del segmento c. En su intersección con la recta r, define el segmento buscado.

El segmento x es el segmento cuarto proporcional de los dados.

c d

a b

c x

¿1er segmento?

x b

d c

b A

¿3er segmento?

Mediante una recta se unen los extremos no comunes de los segmentos a y b.

PASO 3

Sobre la otra recta s y a partir del vértice A, trasladamos consecutivamente los otros dos segmentos: a yc.

¿4º segmento?

c d

a b

Institut de Formació Professional

Página

1.4

MISERICÒRDIA V

BOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.1

GEOMETRÍA MÉTRICA

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA TERCERA PROPORCIONAL ENUNCIADO

SEGMENTO TERCERA PROPORCIONAL.

Hallar el segmento x, tercera proporcional de otros dos dados: a y b.

Dados dos segmentos, a y b, se dice que el segmento x es su tercera proporcional cuando entre los tres segmentos se establece la siguiente relación de semejanza: a/b = b/x CONSTRUCCIÓN. En el Triángulo de Tales hemos visto la relación de proporcionalidad existente entre los segmentos determinados por las rectas paralelas que cortan los lados de un ángulo cualquiera.

DATOS

PASO 1 A partir de un punto A, trazamos dos rectas r y s cualquiera. A partir del vértice trasladamos los segmentos a y b sobre la recta r.

a a b

b x a

Para dibujar el segmento x, tercera proporcional de los otros dos, bastará dibujar el triángulo de Tales con las dimensiones adecuadas. Según posicionemos los segmentos en el triángulo, obtendremos dos soluciones diferentes:

a b

PASO 2

PASO 3

Sobre la otra recta s y a partir del vértice A, trasladamos el segmento b.

Mediante una recta se unen los extremos no comunes de los segmentos a y b.

b x

2ª SOLUCIÓN

b a

1ª SOLUCIÓN

a A

a x

La solución correcta es aquella que dispone los segmentos datos en el orden del enunciado, es decir, el segmento "doble" es el dado en segundo lugar.

PASO 4

RESULTADO

Se traza una paralela a esta recta por el extremo libre del segmento b (de r). En su intersección con la recta s, define el segmento buscado.

El segmento x es el segmento tercera proporcional de los dados.

s a b

b a

b x

a r

b r Página

1.5

BLOQUE TEMÁTICO

UNIDAD DIDÁCTICA 2.1

GEOMETRÍA MÉTRICA

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA MEDIA PROPORCIONAL ENUNCIADO

SEGMENTO MEDIA PROPORCIONAL

Hallar el segmento x, media proporcional de otros dos dados: a y b.

Dados dos segmentos, a y b, se dice que el segmento "x" es su media proporcional cuando entre los tres segmentos se establece la siguiente relación de semejanza: a/x = x/b CONSTRUCCIÓN. En el Triángulo de Tales hemos visto la relación de proporcionalidad existente entre los segmentos determinados por las rectas paralelas que cortan los lados de un ángulo cualquiera.

DATOS

C a x

x b

PASO 1 Trasladamos consecutivamente sobre una recta los dos segmentos dato.

En este caso, dado que tenemos dos segmentos incógnita, no podemos utilizar las propiedades del triángulo de Tales para dibujar el segmento x, media proporcional de a y b. A estos efectos analizaremos la relación existente en un triángulo rectángulo entre la altura y los segmentos que determina sobre la hipotenusa. A

a C

PASO 2

PASO 3

Hallamos el punto medio M del segmento suma CB.

Se traza la semicircunferencia de diámetro igual al segmento suma CB.

1 2 h 2 C

m A

n D

m C

n D D

Consideremos el triángulo ABC que es rectángulo en A ya que está inscrito en una semicircunferencia. Trazemos la altura h sobre la hipotenusa que determina en ésta el punto D. Los triángulos ADB y ADC, rectángulos en D por construcción son semejantes ya que sus ángulos homólogos tienen los lados perpendiculares y consecuentemente son iguales.

a B

PASO 4

El segmento AD = x es la media proporcional de los segmentos dato. En efecto, es la altura del triángulo rectángulo ABC. a x

m h

x b A

De dónde deduciremos que en un triángulo rectángulo la altura es media proporcional entre los segmentos que determina en la hipotenusa.

a C

M D

RESULTADO

Por el punto D levantamos la recta perpendicular a CB que corta a la circunferencia en A.

Escribiendo la razón de semejanza: h n

a B

Página

1.6

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.2

GEOMETRÍA MÉTRICA

ÁNGULOS ENUNCIADO

ÁNGULOS

Transporte de un ángulo.

Dadas dos semirrectas R y S no opuestas (es decir no alineadas) de origen común V, llamaremos ángulo convexo a la interferencia de los semiplanos siguientes: aquel cuyo borde es la recta R y que contiene a la semirrecta S, aR, y aquel cuyo borde es la recta S y contiene a la semirrecta R,aS. aR a'R V R

DATOS

PASO 1

Se dibuja el ángulo a transportar, la recta soporte de uno de sus lados y el vértice "v".

Con centro en el punto V y radio r cualquiera, se traza un arco de circunferencia que corta a los lados del ángulo en los puntos A y B . B

a'S V

aRWaS

a'RWaS a'RWa'S

aRWaS

aRWa'S

Las semirrectas se llaman lados y su origen común vértice. Un ángulo se puede difinir también como la porción del espacio plano limitada por dos semirrectas, R y S, que se cortan en un punto llamado vértice, V. Dos rectas secantes definen, pues, cuatro ángulos convexos, coincidentes con los cuatro semiplanos que interfieren.

PASO 2

PASO 3

Con el mismo radio r, se traza un arco de circunferencia de centro "v" que corta a la recta en el punto "C".

Con centro en el punto A y radio igual a la cuerda AB, se traza un arco de circunferencia.

Los dos semiplanos que define la recta R los llamaremos aR y aR . Los que define la recta S los llamaremos aS y aS . Los ángulos definidos son las interferencias de las regiones aRWaS, aRWaS , aR WaS y aR WaS . Se llaman ángulos adyacentes los pares de ángulos procedentes de la interferencia con un mismo semiplano: aRWaS y aRWaS .

r=A B

Se llaman ángulos opuestos por el vértice los que proceden de la interferencia de semiplanos distintos: aRWaS y aR WaS .

Cada ángulo tiene dos adyacentes y un opuesto. Se llama ángulo cóncavo de otro convexo, al conjunto de los dos adyacentes y el opuesto del ángulo convexo.

PASO 4

RESULTADO Uniendo el punto D con el vértice V, dibujaremos el segundo lado del ángulo igual al del enunciado.

r=A B

Se dice de un ángulo que es recto cuando es igual a su adyacente.

Si el valor de un ángulo es inferior a un recto (90º), se llama agudo. Si su valor es superior, el ángulo se llama obtuso.

D B

R=A

Dos ángulos son complementarios si su suma es un ángulo recto.

Con centro en C y radio igual a AB, se traza un arco que corta al anterior en el punto D.

Se denomina ángulo llano a cada uno de los semiplanos limitados por dos semirrectas opuestas.

Dos ángulos son suplementarios si su suma es un ángulo llano.

C Página

2.1

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.2

GEOMETRÍA MÉTRICA

ÁNGULOS ENUNCIADO

MEDIDA DE LOS ÁNGULOS

Suma de ángulos

Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Un ángulo recto = 90 grados

Cada grado (°) se divide en 60 minutos (') y cada minuto en 60 segundos (").

1° = 60' 1' = 60" 90°

DATOS

PASO 1

El ángulo a y el ángulo b.

Se traza una recta r base de la operación y se marca un punto Y vértice de la suma a obtener.

0°

180°

360° a

SENTIDO DE LOS ÁNGULOS Se considera sentido positivo (+) el sentido antihorario y (-) el horario r

+ PASO 2

PASO 3

Con una apertura arbitraria del compás se trazan sendos arcos iguales por los vértices V y U de los ángulos dato y por el punto Y.

Se transporta el ángulo a, tal y como ya sabemos.

B a

U A

POSICIONES RELATIVAS DE UN ÁNGULO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA Exterior

F Semiinscrito Inscrito Circunscrito

Y E

Interior

PASO 4

C Central A

RESULTADO

Se transporta el ángulo b a partir del punto F, obtenido en el transporte anterior. B

Se traza el lado YG que soluciona la suma de los ángulos.

Ángulo central es áquel cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia. Su valor es proporcional a la longitud del arco AB abarcado por los lados:

U A

b C

G F

de donde resulta:

U A

(360º/2pR)=[Cº/long(AB)] Cº= 180 x long(AB)/pR

F r

Y E

Página

2.2

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.2

GEOMETRÍA MÉTRICA

Ángulo inscrito es áquel cuyo vértice está situado en la circunferencia y sus dos lados son rectas secantes.Su valor es igual a la mitad del ángulo central que abarca su arco.

ÁNGULOS ENUNCIADO

Diferencia de ángulos

Inscrito

a1 a2 O

DATOS

PASO 1

El ángulo a y el ángulo b.

2a1

Se traza una recta r base de la operación y se marca un punto Y vértice de la diferencia a obtener.

A B

En efecto, consideremos el ángulo a1, inscrito en la circunferencia y uno de cuyos lados, el CD, pasa por su centro O.

El triángulo COA es isósceles ya que tiene dos lados iguales, OA=OC=radio. El ángulo central AOD es suplementario del AOC y en consecuencia igual a la suma de los otros dos ángulos interiores del triángulo:

OAC+OCA=a1+a1=2a1 AOD=2a1 Si ninguno de los lados del ángulo inscrito pasa por el centro de la circunferencia, la demostración es inmediata si consideramos el ángulo descompuesto en otros dos, a1 y a2, uno de cuyos lados pasa por el centro de la circunferencia. Ángulo semiinscrito es áquel cuyo vértice está situado en la circunferencia y uno de sus lados es una recta tangente. Su valor es igual a la mitad del central que abarca.

PASO 3 Con una apertura arbitraria del compás se trazan sendos arcos iguales por los vértices V y U de los ángulos dato y por el punto Y.

Se transporta el ángulo mayor b, tal y como ya sabemos. D

E A

C Semiinscrito

RESULTADO Se transporta el ángulo menor a a partir del punto F, en el sentido contrario al anterior.

Se traza el lado YG que soluciona la diferencia de los ángulos.

En efecto, el triángulo AOB es isósceles en O. Tracemos la altura OC a la cuerda AB. Los ángulos TBA (semiinscrito) y BOC son iguales por tener los lados perpendiculares.

U A

El ángulo AOC es igual al BOC ya que OC es la bisectriz del ángulo central. Por lo tanto:

G r

AOB=2a

Y E

Y E Página

2.3

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.2

GEOMETRÍA MÉTRICA

Ángulo circunscrito es el formado por las tangentes a la circunferencia trazadas desde un punto V exterior. V

ÁNGULOS ENUNCIADO

Dibujar la bisectriz de un ángulo V, supuesto que el vértice quede dibujado dentro de los límites del papel.

Circunscrito

a2 b1

DATOS

PASO 1

Se dibuja el ángulo dato de vértice "V".

Su valor es igual a la semidiferencia de los ángulos centrales que abarcan los arcos mayor y menor definidos por los puntos de tangencia. Para demostrarlo basta considerar que el ángulo circunscrito a es igual al semiinscrito a1, exterior al triángulo AVB, menos el semiinscrito a 2 . Consecuentemente: a=(b1-b2)/2 Ángulo interior es el que tiene su vértice en el interior de la circunferencia.Su valor es igual a la semisuma de los centrales correspondientes a los arcos abarcados por él y su opuesto por el vértice. En efecto, si consideramos el triángulo AVC, el ángulo a, interior a la circunfenrencia, es exterior al triángulo y por lo tanto, igual a la suma de los otros dos: a1+a2. Como estos ángulos son inscritos a la circunferencia:

Con centro en el vértice "V" y radio "R1" cualquiera, se traza un arco que corta a los lados del ángulo en los puntos "I" y "J".

V R1 J

PASO 2

PASO 3

Con centro en el punto "I" y radio arbitrario "R", se traza un arco de circunferencia.

Se traza un nuevo arco de centro en el punto "J" y radio "R", idéntico al anterior.

a=(b1+b2)/2 C a1 b2 a2

V a O

V R1

PASO 4

La bisectriz es la recta que une los puntos "V" y "K".

RESULTADO

Los dos arcos se cortan en el punto "K".

O b2

R1 J

Ángulo exterior es el situado en la parte del plano exterior a la circunferencia. Su valor es la semidiferencia de los centrales que corresponden a los arcos abarcados por sus lados.Si consideramos el triángulo AVD, el ángulo a, exterior a la circunfenrencia, es interior al triángulo y por lo tanto, igual a la diferencia de : a 1 -a 2 . Como estos ángulos son inscritos a la circunferencia: V Exterior a=(b1-b2)/2 C a D

Interior

Página

2.4

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.2

GEOMETRÍA MÉTRICA

ÁNGULOS ENUNCIADO

LA BISECTRIZ

Dibujar la bisectriz de un ángulo V, supuesto que el vértice quede dibujado fuera de los límites del papel.

La bisectriz de un ángulo es la recta que divide al ángulo en dos partes iguales. triz

Bis

DATOS La bisectriz de un ángulo se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo.

a di

cia

ctr

e Bis

Se dibuja la bisectriz del ángulo "a". T

R iz

tr ec

= distancia

PASO 1

Dibujadas las rectas "R" y "S", lados del ángulo, se traza una tercera recta "T" que defina con las anteriores cuatro ángulos:"a", "b", "c", y "d". T

S c

La bisectriz es, también, el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a los lados del ángulo. triz

Bis

PASO 2

PASO 3

Se dibuja la bisectriz del ángulo "b".

Se dibuja la bisectriz del ángulo "c", que corta a la bisectriz del ángulo "a" en el punto "I".

O1 V

a Bi

ect

ctr

Bis

Bi I S

riz

Bis

b Bi

PASO 4

RESULTADO

Se dibuja la bisectriz del ángulo "d" que corta a la bisectriz del ángulo "b" en "J".

La bisectriz es la recta que une los puntos "I" y "J".

Bi Bis C

triz

c Bise

S c

J I

Página

2.5

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.2

GEOMETRÍA MÉTRICA

ÁNGULOS 2

ENUNCIADO

ARCO CAPAZ Es el lugar geométrico de los vértices de un ángulo "V" cuyos lados pasan por dos puntos fijos "A" y "B".

Dibujar el arco cápaz del ángulo "V" conocido que pasa por los puntos "A" y "B".

2 3

DATOS

PASO 1

La posición de dos puntos A y B y el valor del ángulo V, son los datos del problema.

Unimos los puntos A y B y dibujamos la mediatriz del segmento obtenido.

Trataremos de demostrar que el ARCO CAPAZ es una circunferencia que pasa por los dos puntos "A" y"B". En efecto, si la circunferencia dibujada es el lugar geométrico buscado, por definición de arco capaz, los ángulos de vértices "1", "2" y "3" tienen que ser iguales.

Y dado que estos ángulos son inscritos y abarcan el mismo arco "AB", necesariamente son iguales tal y como queríamos demostrar. A los efectos de justificar y recordar la construcción gráfica del arco capaz, que se incluye en esta ficha, consideraremos: 1 V

PASO 2

PASO 3

Construimos el ángulo V con vértice en A y una de sus lados el segmento AB.

Por el punto A trazamos una recta perpendicular al lado del ángulo V dibujado.

O V V

1º. El centro "O" del ARCO CAPAZ tiene que encontrarse en la mediatriz del segmento "AB" dado que se trata de una circunferencia que pasa por dos puntos conocidos "A" y "B". 2º. De otra parte sabemos que todo ángulo central es doble del inscrito que abarca el mismo arco. En consecuencia el valor del ángulo central en "O" es el doble del inscrito, 2V.

PASO 4

RESULTADO

El centro de la circunferencia "ARCO CAPAZ" es el punto O intersección de la perpendicular por A y la mediatriz de AB.

Se dibuja el Arco Capaz.

Una construcción semajante a la que se desarrola en esta ficha, es la siguiente: 1. Trazar por el extremo "A" del segmento "AB" una semirecta "s" que forme con "AB" el ángulo "V".

2. La perpendicular a "s" por "A" corta a la mediatriz de "AB" en el centro "O" del arco capaz.

V V

Página

2.6

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.3

GEOMETRÍA MÉTRICA ENUNCIADO

TRIÁNGULOS. CONCEPTO. Dados tres puntos A, B, C no alineados, llamaremos triángulo a la interferencia de los tres semiplanos aC, aB, y aA limitados por las rectas AB, AC, BC y que contienen respectivamente los puntos C, B y A. a'C

TRIÁNGULOS

Dibujar un triángulo del que se conocen los tres lados. Dibujar el ortocentro del triángulo.

A B

DATOS

a'A

a'B

PASO 1

Las longitudes de los tres lados del triángulo

Se dibuja uno de los tres lados conocidos. Por ejemplo el lado a = BC.

A B

aAWaBWaC C

Los segmentos AB, AC, BC se llaman lados y los puntos A, B, C vértices del triángulo.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS. Los triángulos, en función de la magnitud sus lados se clasifican: Equilátero que es áquel que tiene los tres lados iguales. Isósceles que es el que tiene dos lados iguales y el tercero desigual. Escaleno que tiene los tres lados distintos.

Equilátero

Isósceles

PASO 2

PASO 3

Con centro en el punto B y radio igual a la longitud del lado c se traza un arco de circunferencia.

Con centro en el punto C y radio igual a la longitud del lado b se traza otro arco de circunferencia.

Escaleno

dio =b

Acutángulo, si los tres ángulos son agudos.

Rectángulo, si uno de los tres ángulos es recto.

radio =

En función de la magnitud de sus ángulos los triángulos se clasifican:

Obtusángulo, si uno de sus ángulos es obtuso. a

Dos triángulos son iguales si tienen:

PASO 4

Rectángulo Acutángulo Obtusángulo

CRITERIOS DE IGUALDAD

RESULTADO

En el punto de intersección de ambos arcos se encuentra el tercer vértice A del triángulo.

El ortocentro H es el punto de intersección de las alturas.

1. Los tres lados iguales. 2. Iguales dos lados y el ángulo comprendido.

3. Un ángulo y los lados adyacentes iguales. CRITERIOS DE SEMEJANZA

Dos triángulos son semejantes si: 1. Los tres lados son proporcionales.

2. Dos ángulos son iguales. 3. Tienen un ángulo igual y los lados adyacentes proporcionales.

C Página

3.1

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.3

GEOMETRÍA MÉTRICA

TRIÁNGULOS ENUNCIADO

RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO Las mediatrices de un triángulo son las rectas que bisecan sus lados. LLamaremos cevianas las rectas que unen un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto. Entre ellas cabe destacar:

Dibujar un triángulo del que se conocen dos lados y el ángulo que forman. Dibujar las bisectrices del triángulo.

Las medianas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las bisectrices de cada uno de sus ángulos. Las alturas que son las perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto. PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

DATOS

Punto Ceva es el punto de intersección de las cevianas. Destacaremos:

Se dibuja uno de los dos lados conocidos. Por ejemplo el lado a = BC.

Circuncentro o punto de corte de las mediatrices. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

PASO 1

Dos lados y el ángulo que forman

Incentro o punto de corte de las bisectrices y que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Baricentro o punto de corte de las medianas del triángulo. Coincide con su centro de gravedad. Ortocentro o punto de intersección de las alturas.

PASO 2

PASO 3 Con centro en el punto C y radio igual a la longitud del lado b se traza un arco de circunferencia.

dio

Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un mismo punto, llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (pasa por sus tres vértices).

Sobre el lado a dibujado y vértice en el punto C, se traslada el ángulo C.

LAS MEDIATRICES. Son las rectas perpendiculares a los lados del triángulo en su punto medio. Es decir son las mediatrices de sus tres lados.

2 b

c Mdc

Mdb

B a Mda

PASO 4

RESULTADO

En el punto de intersección del lado del ángulo C y del arco trazado, se encuentra el tercer vértice A" del triángulo.

El radio de la circunferencia circunscrita es la distancia que hay desde el circuncentro a uno de los vértices del triángulo.

Por el procedimiento ya estudiado se trazan las bisectrices de cada uno de los tres ángulos.

Página

3.2

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.3

GEOMETRÍA MÉTRICA

TRIÁNGULOS ENUNCIADO

LAS BISECTRICES. Las bisectrices de un triángulo son las rectas bisectrices de cada uno de sus tres ángulos. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un mismo punto, llamado incentro, y que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo (tangente a sus lados) .

Dibujar un triángulo del que se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Dibujar las mediatrices del triángulo.

DATOS

c Bc

PASO 1

Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos

Se dibuja uno de los dos lados conocidos. Por ejemplo el lado a = BC.

B a

En efecto, las bisectrices de los ángulos A y B se cortan por formar con el lado común AB ángulos cuya suma es inferior a un llano. El punto de corte I equidista de AB y AC por pertenecer a Ba y de BA y BC por pertenecer a Bb. Por lo tanto "I" pertenecerá también a Bc.

El radio de la circunferencia inscrita al triángulo es la distancia que hay entre el incentro y uno de los tres lados; se medirá sobre la perpendicular trazada desde el incentro a cualquiera de los tres lados. A

90º

c 90º

PASO 2

PASO 3

Sobre el lado a dibujado y vértice en el punto C, se traslada el ángulo C.

Con centro en el punto B y radio igual a la longitud del lado c se traza un arco de circunferencia.

I C a

Int

RESULTADO Por el procedimiento ya estudiado se trazan las mediatrices de cada uno de los tres lados.

90º Ext

En el punto de intersección del lado del ángulo C y del arco trazado, se encuentra el tercer vértice A del triángulo.

PASO 4

I2 A

Si consideramos las bisectrices de los ángulos exteriores del triángulo demostraríamos, con un razonamiento semejante, que cada dos bisectrices exteriores concurren con la interior del tercer vértice en un punto denominado exincentro, que es el centro de la circunferencia tangente a un lado y a las prolongaciones de los otros dos.

90º

C Ba

Las bisectrices interior y exterior de un ángulo de un triángulo se cortan perpendicularmente: dado que los ángulos interior y exterior son suplementarios es evidente que sus mitades suman 90'

C Página

3.3

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.3

GEOMETRÍA MÉTRICA

TRIÁNGULOS ENUNCIADO

LAS MEDIANAS. Las medianas de un triángulo son las rectas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado baricentro.

Dibujar un triángulo del que se conocen dos ángulos y el lado adyacente. Dibujar las medianas del triángulo.

DATOS

1 Mc P

PASO 1

Dos ángulos y el lado adyacente

Se dibuja el lado a conocido.

3 B

El segmento de cada mediana comprendido entre su pie y el baricentro es un tercio de la misma. En efecto, tomemos los puntos medios P y Q de GB y GC. En el triángulo ABC el segmento 12 es paralelo a BC e igual a su mitad (Teorema de Thales). Igualmente en el triángulo BGC, el segmento PQ es paralelo a BC e igual a BC/2. Por lo tanto el cuadrilátero 12QP es un paralelogramo y sus dos diagonales se cortan su punto medio G. Obsevando la figura resulta: G1=GQ=CQ y G2=GP=BP Lo que demuestra la hipótesis de partida.

C a

PASO 2

PASO 3

Sobre el lado a dibujado y vértice en el punto C, se traslada el ángulo C.

Sobre el lado a dibujado y vértice en el punto B, se traslada el ángulo B.

3 2

1 C

PASO 4

RESULTADO

En el punto de intersección de los lados no comunes de los ángulos trazados, se encuentra el tercer vértice A del triángulo.

Para dibujar las medianas bastará unir cada vértice con el punto medio del lado opuesto que se hallará trazando previamente las mediatrices.

Página

3.4

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.3

GEOMETRÍA MÉTRICA LAS ALTURAS.

TRIÁNGULOS ENUNCIADO

Se define la altura de un triángulo cómo la recta que trazada desde un vértice, es perpendicular al lado opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado "Ortocentro".

Dibujar un triángulo del que se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. Dibujar las alturas del triángulo.

DATOS

B a

A b Hb

Demostraremos que las alturas de un triángulo se cortan en un punto: para ello tracemos por los vértices A, B y C sendas paralelas a los lados opuestos. Estas rectas se cortan dos a dos, por cortarse sus paralelas, en A', B' y C'. Si demostramos que las alturas del triángulo ABC son las mediatrices del A'B'C' quedará demostrada la existencia del ortocentro. B'

PASO 1 Se dibuja el lado a conocido.

Dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos

Hc a

PASO 2

PASO 3

Sobre el lado a dibujado y vértice en el punto B, se traslada el ángulo B.

Sobre el nuevo lado y en un punto cualquiera X de él, se traslada el ángulo A.

El cuadrilátero ABCC' es un paralelogramo por construcción y por lo tanto:

y en consecuencia: con lo que se demuestra que la altura Ha del triángulo ABC es mediatriz del lado B'C' en el triángulo A'B'C' como queríamos demostrar.

BC=AB' AB'=AC'

BC=AC' De modo análogo si consideramos el paralelogramo AB'BC

PASO 4

RESULTADO

Con ayuda de la escuadra y el cartabón trasladaremos paralelamente esta última recta hasta que pase por el extremo C del lado a.

Con ayuda de la escuadra y el cartabón se trazan las perpendiculares a cada uno de los lados desde el vértice opuesto.

A A

X c

C Página

3.5

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.3

GEOMETRÍA MÉTRICA

TRIÁNGULOS ENUNCIADO

TEORAMA La bisectriz Ba de un ángulo de un triángulo y la mediatriz correpondiente al lado opuesto, Mda, se cortan en un punto de la circunferencia circunscrita al triángulo. 1

Dibujar un triángulo del que se conocen un lado, la longitud de la altura sobre él y el valor del ángulo opuesto.

Mda Ba

O B

DATOS C

PASO 1

Un lado, la altura sobre él y el ángulo opuesto

Se dibuja el lado a conocido.

Dibujamos el triángulo definido por las bisectrices interior y exterior del ángulo A y la mediatriz del lado opuesto BC.

B Ha

Sabemos que las bisectrices interior y exterior de un triángulo se cortan formando un ángulo recto. Por lo tanto el triángulo 1A2 es rectángulo en A y consecuentemente debe quedar inscrito en una semicircunferencia (arco capaz de 90º). Esta semicircunferencia tiene su centro en el punto O, medio del segmento 12 que es la mediatriz del lado BC por construcción, y que pasa por A, no puede ser otra que la circunscrita al triángulo ABC (Arco Capaz del ángulo A asociado al segmento BC. TRIÁNGULO PEDAL El triángulo pedal de uno dado es el que tiene por vértices los pies de las cevianas.

PASO 2

PASO 3

Dibujaremos el "Arco Capaz" del ángulo A que pasa por los puntos B y C.

La paralela a BC que dista Ha corta al arco capaz en A1 y A2.

Si las cevianas son las medianas, el triángulo se llama mediano. Si son las alturas, se llama órtico. A1

90º

Triángulo órtico

Triángulo podar

Dado un triángulo , se llama triángulo podar del mismo, el formado por los pies de las perpendiculares a los lados trazadas desde un punto cualquiera del plano del triángulo.

A partir de la perpendicularidad de las bisectrices de los ángulos adyacentes, podemos concluir: Los lados del triángulo I1I2I3,formado por los exincentros son las bisectrices exteriores del triángulo ABC dado y, las bisectrices interiores de éste son I2 las alturas de aquél.

Podríamos definir el triángulo órtico como el podar de su ortrocentro.

A C

PASO 4

RESULTADO

El triángulo A1BC es una solución al problema..

El triángulo A2BC es la otra solución del problema..

90º

I C

A a

Página

3.6

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.3

GEOMETRÍA MÉTRICA TEOREMA DE CARNOT

TRIÁNGULOS ENUNCIADO

Dibujar un triángulo rectágulo del que se conoce el segmento suma de los catetos y el valor de la hipotenusa

Los simétricos del ortocentro H de un triángulo respecto de sus lados, pertenecen a su circunferencia circunscrita. H''

a H'''

DATOS

H a a

PASO 1

El segmento 12, suma de los catetos y la longitud a de la hipotenusa.

Se dibuja el segmento suma de los dos catetos. El extremo 2 será el vértice de triángulo

Los ángulos BAH' y BCH' son iguales por ser inscritos en la circunferencia y abarcar el mismo arco. Los ángulos BAH' y BCH son iguales por tener los lados perpendiculares. Por lo tanto BCH' y BCH son iguales que es lo mismo que decir que H' es simétrico de H respecto BC. TEOREMA DE SIMSON

Las proyecciones ortogonales Pa, Pb, y Pc de un punto P cualquiera de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, sobre los lados del triángulo, son puntos colineales.

2=B

PASO 2

PASO 3

Por el extremo 1 del segmento trazamos una recta auxiliar que forme 45 con 12

Con centro en el extremo 2, trazamos una circunferencia de radio la longitud a de la hipotenusa

B Pc

w Pa g

b a

C 45º

Los puntos Pa, Pb, P y C son conciclicos en una circunferencia de diámetro PC ya que los triángulos PPaC y PPbC son rectángulos. Los ángulos a=PPaPb y b=ACP son suplementarios ya que son inscritos y sus arcos abarcan toda la circunferencia.

45º 2=B

PASO 4

2=B

RESULTADO

El punto de corte C es un vértice del triángulo

Trazando desde C la perpendicular a 12 queda dibujado el triángulo

Análogamente los puntos Pa, Pc, P y B son concíclicos y los ángulos g=PPAPC y w=ABP suplementarios. Por lo tanto: a+b+g+w =360º C

De otra parte los ángulos b y w son ángulos opuestos del cuadrilátero ABPC inscrito en la circunferencia y en consecuencia son suplementarios: b+w=180º, lo que nos conduce a la conclusión de que La recta que une los puntos Pa, Pb, Pc se llama recta de Simson.

45º

a+g=180º 1

45º 2=B

2=B

Página

3.7

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.3

GEOMETRÍA MÉTRICA

TRIÁNGULOS ENUNCIADO

TEOREMA DE STEINER La recta de Simson correspondiente a un punto P de la circunferencia circunscrita divide en partes iguales a la que une el punto P con el ortocentro cel triángulo.

Dibujar un triángulo dadas la mediana, la altura y la bisectriz correspondientes a un lado.

Ma Ba

PX=XH H R. de

B Pc

DATOS

Pb n

PASO 1

La altura, la mediana y la bisectriz de un ángulo

Simso

Construimos el triángulo rectángulo AMN que tiene por hipotenusa Ma y uno de sus catetos mide Ha.

Ma Ba

Los triángulos HQX y PPaX son iguales por tener iguales los tres ángulos: dos de ellos opuestos por el vértice y los otros dos alternos internos, recordemos que la altura y el segmento PPa son perpendiculares al lado BC y consecuentemente paralelos entre sí.

Ha M

TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. C F a B

a u

hAE

c N

PASO 2

PASO 3

Con ayuda del compás y radio Ba, localizamos sobre MN el punto P. Hemos dibujado en posición y magnitud, las tres cevianas dato.

El punto 1, intersección de la recta bisectriz del ángulo A y la mediatriz del lado opuesto pertenece a la circunferencia circunscrita de centro en O.

b 90º

90º

hAD c

A A E

Tracemos por el vértice A las perpendiculares a los lados AC y AB y sobre ellas trasladamos la longitud de los lados b y c respectivamente. Los triángulos ABD y AEC son iguales ya que tienen, por construcción, dos lados iguales y además los ángulos BAD y CAE también son iguales.

Ma Ha

N M

O N

Área de ABD=ADxhAD=(bxb)/2 Área de AEC=AExhAE=(cxv)/2 Como las áreas son iguales:

PASO 4

b =cxv De forma semejante se tendrá:

RESULTADO

Los puntos B y C son los otros dos vértices del triángulo

Dibujamos el triángulo

a =cxu Expresiones que definen el teorema del cateto: Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. Sumando: 2

a +b =cx(u+v)=c

c.q.d.

Teorema de la altura: La altura es media proporcional entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa. A partir de la semejanza de los triángulos ANC y BNC se obtiene: 2

a =uxv

A Ha

B M

Ba P

O N

B M

Ba P

Página

3.8

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.4

GEOMETRÍA MÉTRICA

CUADRILÁTEROS ENUNCIADO

CUADRILÁTEROS Se llama así aquella figura plana y cerrada con cuatro lados, cuatro vértices y dos diagonales.

Dibujar un rombo del que se conocen las dos diagonales.

Cuadrilátero convexo es aquel que queda contenido en un mismo semiplano respecto de cada una de las rectas que pasan por cualquiera de sus lados, o lo que es lo mismo, el que tiene dos diagonales interiores. Cuadrilátero cóncavo es el que no posee la propiedad anterior. Convexo

Cóncavo

DATOS

PASO 1

Se conoce la longitud de las dos diagonales.

Dibujamos una de ellas, por ejemplo, la diagonal menor AB sobre una recta horizontal. D

C A

Los cuadriláteros se clasifican en: 1. Cuadriláterios simples Paralelogramos, que tienen los lados paralelos e iguales dos a dos.

Trapecios, que tienen dos lados, llamados bases, desiguales y paralelos. Trapezoides, que no tienen ningún lado paralelo. 2. Cuadrilátero completo Cuadrilátero completo, es la figura formada por las cuatro rectas de un cuadrilátero. Posee seis vértices y tres diagonales.

D C al on ag di

Rectas diagonales: r, s, t, que unen pares de vértices opuestos opuestos.

Vértices: A, B, C, D, E, F.

d r

s b

Lados: AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. F

PASO 3 Trasladamos sobre la mediatriz la diagonal mayor CD de forma que su punto medio sea O.

Cuadrilátero completo

PASO 2 Hallamos la mediatriz del segmento AB. Obtenemos el punto medio O de AB.

iá

et ro

3. Cuatrivértice

Lados: AB, BC, CD, AD, AC, DB. C

PASO 4

Cuadrivértice

Cuadrivértice, es la figura definida por cuatro vértices (no alineados tres a tres), cuyos lados son rectas que unen pares de vértices y por tanto posee seis lados que se intersectan en los llamados puntos diagonales.

RESULTADO

Unimos el punto A con el C, éste con el B, ....

R Vértices: A, B, C, D.

Puntos diagonales: R, S, T, que es donde se cortan pares de lados opuestos.

D Página

4.1

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.4

GEOMETRÍA MÉTRICA

CUADRILÁTEROS SIMPLES PARALELOGRAMOS ENUNCIADO

PROPIEDADES

Dibujar un romboide del que se conocen sus lados y uno de los ángulos.

En un cuadrilátero, las rectas que unen los puntos medios de sus lados definen un paralelogramo. En efecto, en el triángulo ABD, el lado 14 es paralelo a BD (Teorema de Thales). Idénticamente en el triángulo BCD, 23 es paralelo a BD. Por lo tanto 14 es paralelo a 23. Análogamente demostraríamos el paralelismo de 12 y 34. 4

DATOS

PASO 1 Trasladamos sobre una recta r y a partir de un punto cualquiera el ángulo A. Obtenemos la recta s, segundo lado del ángulo.

1 3

B 2

Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.

En efecto, una diagonal lo descompone en dos triángulos, cada uno de los cuales tiene la suma de sus ángulos igual a 180º. A

r 1

B C

PARALELOGRAMO

PASO 2

PASO 3

Con centro en A y radio igual al lado a, trazamos un arco que corta a la recta r en D, vértice del cuadrilátero.

Con centro en A y radio igual al lado b, trazamos un arco que corta a la recta s en B, vértice del cuadrilátero.

Es un cuadrilátero que tiene sus lados paralelos y los ángulos opuestos iguales.

s B

Se clasifican en: a a

a a a

Cuadrado, que tienen los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos. Rectángulo, que tiene los lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos rectos.

d ra D radio

Rombo, que tiene los cuatro lados iguales y sus ángulos opuestos iguales.

a a

PASO 4

a b

b a

Romboide, que tiene los lados y los ángulos opuestos iguales dos a dos.

RESULTADO

Por el punto B, trazamos una paralela a AD y por el vértice D una paralela a AB. Ambas paralelas se cortan en C.

En los cuadriláteros, las diagonales se cortan siempre en su punto medio, y en el cuadrado y rombo forman un ángulo de 90º.

Uniendo los cuatro vértices queda dibujado el romboide pedido.

En general la construcción de paralelogramos se reduce a la de los triángulos definidos por los lados y las diagonales. A

Página

4.2

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.4

GEOMETRÍA MÉTRICA

CUADRILÁTEROS SIMPLES TRAPECIOS ENUNCIADO

TRAPECIO Es un cuadrilátero con dos lados paralelos y desiguales denominados bases.

Dibujar un trapecio dadas sus base, su altura y un lado.

La distancia entre las bases se llama altura. CLASIFICACIÓN b a

a c

Trapecio isósceles, que tienen los ángulos iguales dos a dos.

DATOS

PASO 1 Trazaremos dos rectas paralelas r y s, separadas una distancia igual a la altura.

b d Trapecio rectángulo,

que tiene dos ángulos rectos.

Base mayor Base menor Lado

b d c

Trapecio escaleno, que tiene los cuatro ángulos diferentes.

Al igual que ocurre con los paralelogramos los datos para dibujar un trapecio pueden ser objeto de múltiples combinaciones. Será necesario analizarlos y, conociendo las características particulares del trapecio pedido, proceder a su resolución. TRAPEZOIDE Es un cuadrilátero que tiene los cuatro lados y los cuatro ángulos diferentes.

Altura

altura

PASO 2

PASO 3

Trasladamos la base mayor sobre la recta r y con centro en uno de sus extremos, el A, trazamos un arco de circunferencia de radio igual al lado.

El punto de intersección de esta circunferencia con la recta s será un nuevo vértice del trapecio, C. Dibujamos el lado AC.

b C

altura

Al igual que ocurre con los trapecios los datos para dibujar un trapezoide pueden ser objeto de múltiples combinaciones. Será necesario analizarlos y, conociendo las características particulares del trapezoide pedido, proceder a su resolución.

Base mayor

r A

PASO 4

RESULTADO

A partir del vértice C trasladamos la base menor sobre la recta s obteniendo el último vértice D.

Base menor C

El trapecio queda dibujado uniendo los vértices B y D.

r B

r A

Página

4.3

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.4

GEOMETRÍA MÉTRICA

CUADRILÁTEROS SIMPLES TRAPEZOIDES ENUNCIADO

CUADRILÁTEROS CIRCUNSCRIPTIBLES Un cuadrilátero es circunscrito a una circunferencia si todos sus lados son tangentes a ella.

Dibujar un trapezoide del que se conoce una diagonal, dos ángulos opuestos a ella y dos lados opuestos.

Un cuadrilátero es circunscriptible cuando son iguales las sumas de sus lados opuestos. D 3

DATOS

PASO 1 Dibujada la diagonal AB, trazaremos el arco capaz del ángulo 1 que pasa por los extremos A y B.

1 b

diagonal

Efectivamente , sea el cuadrilátero ABCD cuyos lados sean respectivamente tangentes a una circunferencia en los puntos 1, 2, 3 y 4.

El perímetro del cuadrilátero es: A1+B1+B2+C2+C3+D3+D4+A4 Ahora bien, como las longitudes de los segmentos de tangente trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son iguales, A1=A4, B1=B2, C2=C3 y D3=D4

PASO 2

PASO 3

Con centro en A y radio igual al lado a, trazamos un arco que corta al arco capaz en C, tercer vértice del cuadrilátero.

Se dibuja el arco capaz del ángulo 2 que pasa por los puntos A y B.

el perímetro p será:

p= 2A1 +2B1 +2C3 +2D3 pero como

A1+B1= AB y C3+D3= CD semiperimetro = p/2 = AB + CD

B 2

como queríamos demostrar. CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES Un cuadrilátero es inscrito a una circunferencia si todos sus vértices están en ella. Un cuadrilátero es inscriptible si sus ángulos interiores opuestos son suplementarios. A

PASO 4

RESULTADO

Con centro en B y radio igual al lado b, trazamos un arco que corta al arco capaz en D, cuarto vértice del trapezoide.

Uniendo los cuatro vértices queda dibujado el trapezoide pedido.

C 1 a

B D A C

En efecto, el par de vértices opuestos B y D son extremos de un arco capaz , ángulo A, y del que completa la circunferencia, ángulo C.

B 2

B b 2

Página

4.4

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.5

GEOMETRÍA MÉTRICA

POLÍGONOS REGULARES ENUNCIADO

POLÍGONOS Se define el polígono como la superficie plana y cerrada configurada por líneas rectas. POLÍGONOS REGULARES Un polígono regular tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales.

Dibujar un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio conocido. Dibujar un hexágono inscrito en una circunferencia de radio conocido.

POSICIONES RELATIVAS DE UN POLÍGONO Y UNA CIRCUNFERENCIA Se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices estan situados en la circunferencia.

DATOS

PASO 1

Se dibuja la circunferencia de radio r y centro en el punto O.

Se dice que un polígono es circunscrito a una circunferencia cuando sus lados son tangentes a la circunferencia.

Triángulo

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octógono

r 0

PASO 2

PASO 3

Con centro en el punto 2 y radio r, se traza un arco de circunferencia que corta a la dada en el punto 3.

El resto de puntos, situados en la circunferencia, se obtienen trazando arcos de radio r y centro en el punto de intersección obtenido anteriormente.

L10

Eneágono

Decágono

ÁNGULO CENTRAL El valor del ángulo central de un polígono es igual a 360º dividido por su número de lados.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS REGULARES EN FUNCIÓN DEL NÚMERO DE LADOS

Con centro en el punto 1 y radio r (igual al de la circunferencia dato), se dibuja un arco de circunferencia que corta a la dada en el punto 2.

TRIÁNGULO

HEXÁGONO

El triángulo equilátero pedido se obtiene uniendo alternativamente los puntos dibujados.

El valor del ángulo definido por dos lados adyacentes (g) de un polígono es igual a 180º menos el valor del ángulo central. En el triángulo AOB:

El hexágono pedido se obtiene uniendo consecutivamente los puntos dibujados. 1

a+b+b= 180º 2b = 180º - a

De otra parte:

a b A

g = b+b = 2b

b B

g = 180º - a Página

5.1

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.5

GEOMETRÍA MÉTRICA

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES En función del dato consideraremos tres supuestos: 1. Radio de la circunferencia inscrita La circunferencia pasa por los vértices.

POLÍGONOS REGULARES ENUNCIADO

Dibujar un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio conocido. Dibujar un octógono inscrito en una circunferencia de radio conocido.

Este caso es objeto de estudio detallado en las fichas que siguen y se fundamenta en los procedimientos de división de una circunferencia en partes iguales. 2. Radio de la circunferencia circunscrita.

DATOS

PASO 1

Se dibuja la circunferencia de radio r y centro en el punto O.

Se localizan los puntos 1, 2, 3 y 4 de intersección de la circunferencia con sus dos ejes ortogonales.

La circunferencia es tangente a los lados.

Al igual que el supuesto anterior la construcción de polígonos se realiza dividiendo la circunferencia en tantas partes iguales como lados tiene el polígono y, a continuación, trazando por cada una de las divisiones perpendiculares a los radios respectivos.

r O

3. Lado del polígono. Las construcciones del triángulo y cuadrado a partir del lado ya han sido explicadas en las fichas precedentes. Las del hexágono y pentágono se explican en las fichas de este núcleo. Para otros polígonos emplearíamos el método general por semejanza que consiste en dibujar un polígono inscrito en una circunferencia cualquiera y a continuación por semejanza determinar el que tiene como longitud del lado la del dato.

PASO 2

PASO 3

Se unen los puntos 1 y dos con una línea recta.

Se unen los puntos 2 y 3 con una línea recta.

Como ejemplo, dibujaremos un heptágono del que se conoce el lado L7: Heptágono auxiliar

O 3

CUADRADO

OCTÓGONO

Se continúa el trazado uniendo los puntos 3, 4 y 5.

Las bisectrices de los ángulos rectos definen en la circunferencia los puntos 5, 6, 7 y 8 que junto a los cuatro hallados definen los 8 vértices.

L7 1

1 2

6 5

Página

5.2

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.5

GEOMETRÍA MÉTRICA

POLÍGONOS REGULARES ENUNCIADO

SEGMENTO AUREO El segmento áureo x de un segmento AB=a se define como aquél que es media proporcional entre el segmento a y la diferencia a-x. N a

Dibujar un decágono regular inscrito en una circunferencia de radio conocido. Dibujar un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio conocido.

DATOS

PASO 1

Se dibuja la circunferencia de radio r y centro en el punto O. Nos fundamentaremos en que el lado del decágono es áureo del radio

Localizaremos el punto medio M del segmento OA; dibujaremos la mediatriz FG de dicho segmento trazando un arco de centro en A y radio R.

x A

a x = x a-x

Sea el segmento AB=a, por el extremo B trazamos una circunferencia tangente al segmento, de diámetro AB. Uniendo el otro extremo A con el centro de la circunferencia, localizamos el punto M. El segmento áureo buscado es AM=x.

En efecto, teniendo en cuenta el concepto de potencia del punto A respecto de la circunferencia: a2=AB2=AMxAN=x(a+x)=ax+x2 x2=a2-ax=a(a-x)

que es la expresión de la media proporcional. JUSTIFICACIÓN DE LA CONSTRUCCION DEL DECÁGONO En el decágono, el ángulo central tiene un valor de 360º/10=36º y el ángulo definido por dos lados adyacentes vale 180º-36º=144º. 2

A 72º

R-L

R L

PASO 2

PASO 3

Con centro en el punto M y radio R/2, se traza una circunferencia.

El segmento H1 es el lado del decágono. Con radio igual a F1 y centro en el punto 1, se traza un arco que corta a la circunferencia en el punto 2.

r = H1

L10

36º 36º

36º

R/2

5 6

Con estas consideraciones el triángulo AOB es isósceles con lados iguales al radio y ángulo desigual de 36º. Trazando la bisectriz del ángulo B, obtenemos sobre AO el punto C que define el triángulo ABC, isósceles en B con lados iguales al lado del decágono y ángulo desigual de 36º. Ambos triángulos son semejantes: AO/AB=AB/AC

DECÁGONO

PENTÁGONO

Con centro en el punto 2 y el mismo radio se haya el punto 3. Repitiendo el proceso localizaremos en la circunferencia los puntos 4 al 10.

La construcción del L5 se basa en la del L10. Hay que saber que el radio, L5 y L10 forman un triángulo rectángulo de hipotenusa L5 y catetos L10 y R

L10 R

L5 3

2 L10

R/L=L/(R-L) Relación que establece que el lado del decágono es segmento áureo del radio de la circunferencia que lo circunscribe.

O M

6 Página

5.3

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.5

GEOMETRÍA MÉTRICA

PENTÁGONO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO El lado del pentágono es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene por catetos el radio y el lado del decágono.

POLÍGONOS REGULARES ENUNCIADO

Dibujar un pentágono regular conocida la longitud del lado.

R L10 A 72º

DATOS

PASO 1

Dibujaremos el segmento 12 igual al lado. Se dibuja su mediatriz y su punto medio M.

Con centro en el extremo 2 y radio igual al lado se traza un arco que corta a la perpendicular trazada por 2 en el punto A.

C L5 3

9 T

A 7

5 6

Para demostrarlo prolongaremos al lado AB del decágono y sobre él tomaremos la longitud del radio. Obtenemos el punto C. El triángulo OAC es isósceles ya que tiene dos lados, OA y AC, iguales al radio. El ángulo A mide, por construcción, 72º y consecuentemente el lado OC será el lado del pentágono inscrito en la circunferencia. Tracemos desde C la tangente a la circunferencia. El triángulo OTC es rectángulo en T.

L5 L5 1

PASO 2

PASO 3

Con centro en M y radio MA, se traza un arco que corta a la prolongación de 12 en B.

Con centro en el vértice 1 y radio B1 se traza un arco que corta al de centro 2 y radio el lado en 3 y a la mediatriz de 12 en 4. 4

La potencia del punto C respecto la circunferencia es: Pot (C) = CT2 = CBxCA

CT2 = R(R-L10)

Hemos demostrado anteriormente que el lado L10 es segmento aureo del radio y por lo tanto: L102 = R(R-L10)

Expresiones que determinan la igualdad:

B 1

L10 = CT

PASO 4

r = B1

Uniendo los puntos 1, 2, 3, 4 y 5 se obtiene el pentágono.

L10

B 2

RESULTADO

El quinto vértice se obtiene en el punto de intersección de los arcos de radio igual al lado y centros en 1 y 4.

M 1

Y demuestra la hipótesis de partida y justifica el procedimiento de construcción:

L10

R/2

B 1

Página

5.4

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.5

GEOMETRÍA MÉTRICA PENTÁGONO DADO EL LADO

POLÍGONOS REGULARES ENUNCIADO

El lado del pentágono es segmento áureo de su diagonal. Para demostrarlo consideremos el triángulo isósceles 135, cuyos lados son el lado L y la de la diagonal d del pentágono.

Dibujar un eneágono regular inscrito en una circunferencia de radio conocido.

DATOS

PASO 1

Se dibuja la circunferencia de radio r y centro en el punto O.

Se dibuja un diámetro de la circunferencia y se divide en un número de partes igual al de lados del polígono. En nuestro caso 9.

a L

L 1

a 1

1' 2'

O 4'

Por el vértice 3 del pentágono trazamos la paralela 3A al aldo 15. El cuadrilátero 153A es, por construcción, un paralelogramo. Los ángulos a son iguales ya que son opuestos de un paralelogramo y en consecuencia, el triángulo 23A es semejante al 135 ya que ambos son isósceles y tienen un ángulo igual.

5' 6' 7' 8' 9'

d/L=L/d-L Ecuación ésta que confirma la hipótesis

PASO 2

PASO 3

Con centro en el punto 1, extremo del diámetro y radio igual a él, se traza un arco de circunferencia.

Con centro en el otro extremo del diámetro, 9', y el mismo radio se traza otro arco de circunferencia que corta al anterior en el punto I.

3' O 4'

5' 6'

8' 9'

Conocida esta relación y a partir del lado L5 del pentágono podemos determinar la longitud de su diagonal y, por triangulación, dibujar el pentágono.

PASO 4

RESULTADO

Uniendo el punto I con el 2', independientemente del polígono a dibujar, obtendremos en su intersección con la circunferencia el punto 2.

El segmento 12 es el lado del polígono a dibujar. El resto de vértices se obtienen trasladando esta dimensión sobre la circunferencia. 1

1 2

Página

5.5

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.5

GEOMETRÍA MÉTRICA

POLÍGONOS REGULARES ENUNCIADO

OTRAS CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS INSCRITOS Las construcciones de los polígonos inscritos en una circunferencia de radio conocido cuyo número de lados sea un número par y además múltiplo de tres, cuatro o cinco, se fundamenta siempre en la división de la circunferencia en partes iguales mediante el trazado de las bisectrices de los ángulos centrales del triángulo equilátero, del cuadrado, o del pentágono. El resto de polígonos no tienen un método de dibujo exacto y su construcción se basa en el procedimiento aproximado que permite la división de la circunferencia en un número N de partes iguales que se explica en esta ficha.

Dibujar tres eneágonos estrellados de paso 2, otro de paso 3 el último de paso 4.

DATOS

Unimos la segunda división con el punto I para obtener sobre la circunferencia el vértice 2.

1 2

El lado del heptágono inscrito en una circunferencia de radio conocido también puede obtenerse, con bastante exactitud, por el procedimiento empírico descubierto por Durero que se dibuja a continuación:

2' 3'

O 4'

6' 7'

PASO 1

Se dibuja la circunferencia circunscrita y el eneágono inscrito. Utilizaremos el método general. Dividimos un diámetro en 9 partes iguales.

O 6

PASO 2

PASO 3

Tomando este segmento 12 como radio se divide la circunferencia en nueve partes iguales. En función del paso del polígono uniremos los vértices. 5

1 2

Paso 3

4 5

PASO 4

Esta exigencia hace que algunas formas estrelladas no se consideren polígonos estrellados. Tal es el caso de: hexágono de paso 2 ( dos triángulos equiláteros), octógono de paso 2 (dos cuadrados), eneágono de paso 3 (tres triángulos equiláteros) etc.

Eneágono estrellado de paso 4.

4 5

RESULTADO

Eneágono estrellado de paso 3. Realmente no se trata de un polígono estrellado sino de tres triángulos equiláteros girados.

Estos polígonos se caracterizan por necesitar varias vueltas para completar su recorrido. En todos ellos se exige que el punto de partida y el punto final, tras varias vueltas, sea el mismo.

Por ejemplo: Paso 2

POLÍGONOS ESTRELLADOS. Son polígonos que tienen por lados cuerdas de la circunferencia en que estan inscritos de forma que éstas unen vértices no consecutivos. El número de arcos iguales, definidos por los vértices, que hay entre los extremos de un lado se denomina paso.

Eneágono estrellado de paso 2.

4 5

Página

5.6

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.6

GEOMETRÍA MÉTRICA

LA CIRCUNFERENCIA TANGENCIA ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS ENUNCIADO

CONCEPTO

Desde un punto P, trazar las rectas tangentes a una circunferencia de radio dado.

La circunferencia es una curva cerrada plana cuyos puntos equidistan de otro llamado centro. El valor de la equidistancia se conoce como radio.

En el problema propuesto deberemos de considerar, para resolverlo, que los triángulos PTO que se forman son rectángulos en T y por consiguiente están inscritos en una semicircunferencia de diámetro igual a la hipotenusa PO (ángulos inscritos). T

Se llama círculo a la parte del plano interior a la circunferencia.

POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

Tres supuestos se pueden dar:

Se ca nt e

Recta exterior, que no corta a la circunferencia. Recta secante, que corta a la circunferencia en dos puntos. Recta tangente, que toca a la circunferencia en un punto.

nte

n Ta

PROPIEDADES DE LA RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA

DATOS

PASO 1

Se posicionan y dibujan la circunferencia de radio r y el punto P.

Se une el punto P con el centro O de la circunferencia.

Exterior

Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Por un punto de una cirfunferencia, sólo se puede trazar una tangente a ella. Si el punto es exterior, el número de rectas tangentes es de dos. Según esta propiedad para dibujar la recta tangente a una circunferencia conocido el punto de tangencia, bastará trazar el radio OT y la perpendicular al mismo por T.

PASO 2

PASO 3

Hallamos el punto medio M del segmento PO.

Dibujaremos la circunferencia de centro M y radio r = PM = MO = PO/2 que corta a la dato (de radio r) en los puntos T1 y T2.

recta tangente 90º

Por simple deducción podremos afirmar que el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a una recta en un punto T, es la perpendicular a la recta en dicho punto. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

PASO 4

RESULTADO

Los puntos T1 y T2 son los puntos de tangencia. Los unimos con el centro O de la circunferencia.

Exteriores cuando sus círculos no se intersectan.

Las rectas tangentes son PT1 y PT2 que resultan de unir el punto P con los puntos T1y T2. Estas tangentes son perpendiculares a OT1 y OT2.

Interiores cuando la interferencia de sus círculos da como resultado el círculo de menor radio. Secantes cuando las circunferencias se cortan en dos puntos.

Tangentes cuando la interferencia de las circunferencias se produce en un punto es decir, cuando contactan en un único punto.

Página

6.1

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.6

GEOMETRÍA MÉTRICA

PROPIEDAD DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES El punto de tangencia T de dos circunferencias está en la recta que une sus centros.

LA CIRCUNFERENCIA TANGENCIA ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS ENUNCIADO

Enlazar dos rectas s y t, con una circunferencia de radio r conocido.

CONSIDERACIONES TEÓRICAS Recordaremos que la bisectriz de un ángulo se puede definir como el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a los lados del ángulo.

DATOS

PASO 1

Dibujaremos las dos rectas s y t. Supondremos que se cortan en V.

Trazaremos la bisectriz del ángulo V. Si las rectas no se cortaran dentro de los límites del papel, emplearíamos el procedimiento específico.

radio

triz

Bis

O2 V

CIRCUNFERENCIA DE RADIO CONOCIDO TANGENTE A DOS RECTAS El proceso de resolución sigue los pasos siguientes: 1º.- L.G. de los centros de las circunferencias tangentes a dos rectas. (Bisectriz). 2º.- L.G. de los centros de las circunferencias de radio dado tangentes a una recta. (Paralelas).

PASO 2

PASO 3

Trazamos una recta paralela a una de las dato, por ejemplo a la s. La recta dibujada corta a la bisectriz en el punto O.

Por O trazamos las dos perpendiculares a las rectas dato s y t. En el punto de intersección encontraremos los puntos T de tangencia.

3º.- Intersección de los dos L.G.

En el caso general habrá un máximo de cuatro soluciones.

90º O

O Bisectriz

Paralela

90º

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS Las soluciones son las cuatro circunferencias que tienen por centro: el incentro y los tres exicentros del triángulo definido por las tres rectas.

PASO 4

RESULTADO

Con centro en O y radio r trazamos la circunferencia tangente a ambas rectas.

Se resuelve el enlace.

T O

T t

Página

6.2

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.6

GEOMETRÍA MÉTRICA

RECTAS TGS EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS (Ficha 6.3) Consideraremos el problema ya resuelto, y

LA CIRCUNFERENCIA TANGENCIA ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS ENUNCIADO

Dibujar las rectas tangentes exteriores a dos circunferencias.

T T

T O

T T

desplazaremos paralelamente a si mismas las dos tangentes hasta que pasen por el centro O de la circunferencia menor,

DATOS

PASO 1

Trazadas las circunferencias dato de radios r y r', unimos sus centros O y O'.

Con centro en el centro O' de la circunferencia mayor trazaremos una de radio igual a la diferencia r'-r de los radios.

T T

r'r

r r'-

r O

de forma que, por construcción, estas nuevas rectas son tangentes a la circunferencia de radio igual a la diferencia de radios r'-r y centro en el punto O', centro de la mayor.

RECTAS TGS INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS (Ficha 6.4)

PASO 2

PASO 3

Hallaremos los puntos 1 y 2 de tangencia de las rectas que pasan por O y son tangentes a la circunferencia de radio r'-r .

En la intersección de las rectas O'1 y O'2 con la circunferencia dato de radio r', obtendremos dos de los cuatro puntos T de tangencia buscados.

Al igual que en el caso anterior, consideraremos el problema ya resuelto, y

T 1

T O

r'-

T M

desplazaremosmos paralelamente a si mismas las dos tangentes hasta que pasen por el centro O de la circunferencia menor,

PASO 4

RESULTADO

Por el centro O, trazamos rectas paralelas a las TO' y en su intersección con la circunferencia de radio r, hallaremos los otros dos puntos T de tangencia.

Uniendo dos a dos los puntos T, obtendremos las rectas tangentes pedidas.

Este procedimiento de traslación para reducir una circunferencia a un punto lo llamaremos dilatación negativa.

O' T T

de forma que, por construcción, estas nuevas rectas son tangentes a la circunferencia de radio igual a la suma de radios r+r' y centro en el punto O', centro de la mayor.

T T

Este procedimiento dilatación positiva. Página

6.3

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.6

GEOMETRÍA MÉTRICA

CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO TG A UNA RECTA Y QUE PASA POR UN PUNTO (Ficha 6.5) Recordemos el concepto de:

LA CIRCUNFERENCIA TANGENCIA ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS ENUNCIADO

Circunferencia como el lugar geométrico de los puntos 1, 2, 3, 4, ... que son centro de otras circunferencias del mismo radio y que pasan por un punto O, llamado centro.

0 T T

1 2 3

r r'+

PASO 1 Con centro en el centro O' de la circunferencia mayor trazaremos una de radio igual a la suma r'+r de los radios.

DATOS Trazadas las circunferencias dato de radios r y r', unimos sus centros O y O'.

Si la recta s es paralela a t, se puede afirmar que s es el lugar geométrico de los puntos 1, 2, 3, 4, ... que son centro de las circunferencias tangentes a t y radio igual a la distancia entre rectas .

Para resolver el problema enunciado en esta ficha procederemos de la siguiente forma:

PASO 2

PASO 3

Hallaremos los puntos 1 y 2 de tangencia de las rectas que pasan por O y son tangentes a la circunferencia de radio r'+r .

En la intersección de las rectas O'1 y O'2 con la circunferencia dato de radio r', obtendremos dos de los cuatro puntos T de tangencia buscados.

1º.- L.G. de los centros de las circunferencias de radio dado que son tangentes a una recta.

r'+

2º.- L.G. de los centros de las circunferencias de radio dado que pasan por un punto P.

3º.- Intersección de los dos L.G.

Dibujar las rectas tangentes interiores a dos circunferencias.

0' T

CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR UN PUNTO Y ES TG A UNA RECTA EN UN PUNTO DADO (Ficha 6.6) 1º.- L.G. de los centros de las circunferencias que son tangentes a una recta en un punto T. 2º.- L.G. de los centros de las circunferencias que pasan por dos puntos, P y T.

PASO 4

RESULTADO

Por el centro O, trazamos rectas paralelas a las TO' y en su intersección con la circunferencia de radio r, hallaremos los otros dos puntos T de tangencia.

Uniendo dos a dos los puntos T, obtendremos las rectas tangentes pedidas.

3º.- Intersección de los dos L.G. T

O' T

0' T T

Página

6.4

BLOQUE TEMÁTICO 2

GEOMETRÍA MÉTRICA PROPIEDADES DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES. El punto de tangencia T entre dos circunferencias está en la recta que une sus centros.

UNIDAD DIDÁCTICA 2.6

LA CIRCUNFERENCIA TANGENCIA ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS ENUNCIADO

Circunferencia de radio r, tangente a una recta s y que pasa por un punto P.

CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO TG A OTRA CIRCUNFERENCIA Y QUE PASA POR UN PUNTO (Ficha 6.7)

Recordemos el concepto de:

DATOS

Y circunferencia como lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio dado tangentes a otra.

PASO 1 Trazamos una recta t paralela a la dato s. (La recta t es el L.G. de los centros de las circunferencias de radio r tangentes a s)

radio r

su a

m P

re s

t radio r

Para resolver el problema enunciado en esta ficha procederemos de la siguiente forma: 1º.- L.G. de los centros de las circunferencias de radio dado que son tangentes a otra circunferencia.

PASO 2

PASO 3

Con centro en el punto P trazamos una circunferencia de radio r (L.G. de los centros de las circunferencias de radio r que pasan por P).

Los puntos de intersección de ambos lugares geométricos (recta y circunferencia), son los centros de las circunferencias solución.

2º.- L.G. de los centros de las circunferencias de radio dado que pasan por un punto 3º.- Intersección de los dos L.G.

P t

CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR UN PUNTO Y ES TG A OTRA CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA (Ficha 6.8) Para resolver el problema enunciado en esta ficha hallaremos:

1º. El L.G. de los centros de las circunferencias que pasan por los dos puntos P y T. (Mediatriz). 2º. El L.G. de los centros de las circunferencias tangentes en T a la dato. (Recta que une el centro O con T).

PASO 4

RESULTADO

Los puntos de tangencia T con la recta se obtienen trazando la perpendiculares a s desde los centros O y O'.

Se dibujan las circunferencias solución.

3º. Intersección de los dos L.G.

1º.- L.G. de los centros de las circunferencias de radio r' tangentes recta s.

CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO TG A UNA RECTA Y A OTRA CIRCUNFERENCIA (Ficha 6.9) O

O' O

2º.- L.G. de los centros de las circunferencias de radio r' tangentes a la O. 3º.- Intersección de los L.G. T

s Página

6.5

BLOQUE TEMÁTICO 2

GEOMETRÍA MÉTRICA CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO TANGENTE A OTRAS DOS (Ficha 6.10) 1º.- L.G. de los centros de las circunferencias de radio r tangentes a la O'.

UNIDAD DIDÁCTICA 2.6

LA CIRCUNFERENCIA TANGENCIA ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS ENUNCIADO

Circunferencia que pasa por un punto P y es tangente a una recta s en un punto T.

2º.- L.G. de los centros de las circunferencias de radio r tangentes a la O''. 3º.- Intersección de los L.G. Ahora bien, sabemos que el lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio dado tangentes a otra circunferencia es doble:

DATOS

PASO 1 Unimos los puntos P y T.

Una circunferencia de radio suma de radios y, Una circunferencia de radio diferencia de radios.

re st a

La intersección de los dos lugares geométricos dará lugar a un máximo de 8 soluciones en función de las magnitudes y posicionamiento de los datos.:

PASO 2

PASO 3

Dibujamos la mediatriz del segmento PT que es el L.G. de los centros de las circunferencias que pasan por ambos puntos.

Por el punto de tangencia T levantamos una perpendicular a la recta s que será el L.G. de los centros de las circunferencias tangentes a s en T.

1º.- Intersección del L.G. r+r' con el r+r''. 2º.- Intersección del L.G. r-r' con el r-r''. 3º.- Intersección del L.G. r+r' con el r-r''. 4º.- Intersección del L.G. r-r' con el r+r''. P

En el problema planteado tendríamos las siguientes soluciones: Caso 1

90º

s T

PASO 4 Caso 3.

RESULTADO

El punto de intersección de ambos lugares geométricos (mediatriz y perpendicular) es el centro O de la circunferencia solución.

Caso 4

O''

En este ejemplo las soluciones "caso 2" no existirían dado que los L.G. "diferencia" no se cortan.

s T

Página

6.6

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.6

GEOMETRÍA MÉTRICA

LA CIRCUNFERENCIA TANGENCIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS ENUNCIADO

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO MIXTILÍNEO Un ángulo mixtilíneo es aquel que determinan una recta y un arco que son concurrentes.

Circunferencia de radio r' conocido, tangente a otra circunferencia de radio r y que pasa por un punto P.

DATOS

Dibujamos la circunferencia de radio r y posicionamos el punto P.

radio r'

r' r+

rr'

Sea el ángulo mixtilíneo de la figura formado por la recta s y el arco de centro O.

PASO 1 Dibujamos las circunferencias de centros O y radios r+r' y r-r' que son los L.G. de los centros de las circunferencias de radio r' tangentes a la dada.

Tazaremos rectas paralelas a s y círculos concéntricos al que configura el ángulo a una misma distancia. Las intersecciones de rectas y arcos determinan la bisectriz. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO CURVILÍNEO

PASO 2

PASO 3

Con centro en el punto P trazamos una circunferencia de radio r' (L.G. de los centros de las circunferencias de radio r' que pasan por P).

Los puntos de intersección I y J de ambos lugares geométricos (dos circunferencias), son los centros de las circunferencias solución.

Un ángulo curvilíneo es aquel que determinan dos arcos que son concurrentes.

I P

Sea el ángulo curvilíneo de la figura formado por los arcos de centros O1 y O2 .

Los puntos de tangencia T con la circunferencia están en la intersección de ésta con las rectas que unen el centro O con los centros solución I y J.

Las intersecciones de los arcos determinan la bisectriz.

T I

Tazaremos círculos, a una misma distancia, concéntricos a los que configuran el ángulo.

RESULTADO Se dibujan las circunferencias solución.

PASO 4

I P

Página

6.7

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.6

GEOMETRÍA MÉTRICA

LA CIRCUNFERENCIA TANGENCIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS ENUNCIADO

RECTIFICACIÓN DE UNA CURVA En geometría se entiende por rectificación de una curva el dibujo de un segmento de longitud igual a la de la curva. RECTIFICACIÓN DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA MENOR DE 90º 1. Sobre la circunferencia a la que pertenece el arco AB, trazamos el diámetro que pasa por un extremo del arco y sobre su prolongación situamos el punto C que dista de la circunferencia 3/4 del radio. 2. La recta que une C con B, extremo del arco, corta a la perpendicular al diámetro AC, trazada por A, en el punto D.

DATOS

PASO 1

Se dibuja la circunferencia de centro O y radio r y se posicionan los dos puntos P y T.

radio r

Unimos los puntos P y T.

3. El segmento AD representa la rectificación del arco AB, es decir, la longitud de AB.

Circunferencia que pasa por un punto P y es tangente a otra circunferencia de radio r en un punto T.

T D

3R/4

RECTIFICACIÓN DE UN CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIA Además del procedimiento anterior, podemos utilizar el llamado método de Mascheroni:

PASO 2

PASO 3

Dibujamos la mediatriz del segmento PT que es el L.G. de los centros de las circunferencias que pasan por ambos puntos.

Unimos el centro O con el punto de tangencia T. La recta trazada es el L.G. de los centros de las circunferencias tangentes en T a la dato.

1. Sobre la circunferencia a la que pertenece el arco trazamos el diámetro AB que pasa por un extremo del cuadrante.

2. Con centro en los extremos A y B del diámetro dibujado se trazan los arcos de radio igual al de la circunferencia que la cortan en C y D 3. Con centro en B y radio BC se dibuja un arco. 4. Con centro en A y radio AD se describe otro arco que corta al anterior en E. 5. Con centro en D y radio DE se traza un arco que corta a la circunferencia en F. 6. El segmento BF representa la rectificación de un cuadrante de esta circunferencia

PASO 4

RESULTADO

El punto de intersección de ambos lugares geométricos (mediatriz y rectar) es el centro O' de la circunferencia solución.

F E

Página

6.8

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.6

GEOMETRÍA MÉTRICA

LA CIRCUNFERENCIA TANGENCIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS ENUNCIADO

RECTIFICACIÓN DE UNA SEMICIRCUNFERENCIA La longitud de la semicircunferencia es igual a la suma del lado de un triángulo equilátero y del lado de un cuadrado inscritos en la circunferencia.

Circunferencia de radio r' conocido, tangente a una recta s y a una circunferencia de centro O y radio r.

DATOS

PASO 1

Se dibuja la circunferencia de centro O y radio r y la recta dato s.

Las rectas t y u, paralelas a s a una distancia r', son el L.G. de los centros de las circunferencias de radio r tangentes a la recta s.

Otra forma de rectificar la circunferencia es el llamado Método de Kochanski que consiste en: 1. Por el extremo B de la semicircunferencia trazamos una perpendicular al diámetro.

r r'

2. Desde O y respecto al diámetro AB se construye un ángulo de 30º que corta a la perpendicular en C.

s r'

3. A partir de C trasladamos tres veces el radio y determinamos el punto D.

4. El segmento AD es la rectificación de la circunferencia. A

PASO 2

PASO 3

Dibujamos circunferencia de centro O y radio r+r' que es el L.G. de los centros de las circunferencias de radio r' tangentes exteriores a la dato.

Los puntos 1, 2, 3, y 4, intersección de los dos L.G., son los centros solución. Las tangencias T con la circunferencia dato se obtienen uniendo los centros.

O R

r+ t

2 T

RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

s T

Arquimedes relacionó la longitud de la circunferencia L, y su diámetro d, mediante la siguiente expresión:

L= 22d/7 = 3d + d/7

que nos permite rectificar la circunferencia:

RESULTADO Se dibujan las circunferencias solución de centros 1, 2, 3, y 4 y radio r'.

d/7

d/7 d

PASO 4 Los puntos de tangencia T' con la recta s se obtienen trazando las perpendiculares a la recta desde los centros 1, 2, 3 y 4.

Otro procedimiento para rectificar la circunferencia es el que se muestra en el dibujo siguiente

2 T

T' T'

T T'

T' T'

O T

T' T

Página

6.9

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.6

GEOMETRÍA MÉTRICA

LA CIRCUNFERENCIA TANGENCIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS ENUNCIADO

DIVISIÓN DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN PARTES IGUALES En la ficha 5.5, polígonos regulares, se ha explicado el procedimiento para dividir una circunferencia en partes iguales. Veamos a continuación el procedimiento para dividir un arco de circunferencia en partes iguales:

Circunferencia de radio r conocido, tangente a dos circunferencias de centros O' y O'' y radios r' y r''.

1. El arco es menor que 180 a. Trazamos un diámetro CD b. Con centro en C y radio CD trazamos un arco de circunferencia

DATOS

PASO 1

Se dibujan las dos circunferencias dato.

Con centro en O' y radio r-r' se traza una circunferencia, L.G. de los centros de las circunferencias de radio r tangentes a la dato O'.

c. Con centro en D y radio DC trazamos otro arco de circunferencia r

d. Ambos arcos se cortan en P e. Unimos P con los extremos A y B

g. Dividimos el segmento 12 en tantas partes iguales como queramos dividir el arco AB, y trazando desde P las rectas que pasan por esos puntos del segmento obtendremos sobre el arco las divisiones buscadas.

r''

r' r-

f. Estas rectas cortan al diámetro CD en los puntos 1 y 2

O''

C A 1

PASO 2

PASO 3

Con centro en O'' y radio r+r'' se traza una circunferencia, L.G. de los centros de las circunferencias de radio r tangentes a la dato O''.

Los puntos 1y 2, intersección de los dos L.G., son los centros solución. Las tangencias T con las circunferencias dato se obtienen uniendo los centros.

r''

2. El arco es mayor que 180 O'

a. Localizamos el punto P de la misma forma que en el ejercicio anterior

O''

b. La mediatriz de la cuerda AB corta al arco en el punto E

c. La recta PE corta al diámetro CD en el punto F d. La recta PB corta al diámetro CD en el punto G e. Dividimos el segmento FG en tantas partes iguales como queramos dividir el arco AB, y uniendo el punto P con la segunda división, punto 2', obtenemos sobre el arco el punto 1

PASO 4

f. Trasladando sucesivamente la distancia B1 sobre el arco resolveremos el problema 3

RESULTADO

Se trazan las circunferencias radio r y centros 1 y 2.

C T

E F

1 O'

O''

1 T

O''

P T

T T

Página

6.10

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.7

GEOMETRÍA MÉTRICA

POTENCIA ENUNCIADO

POTENCIA Dada una circunferencia y un punto se denomina potencia del punto respecto de la circunferencia al valor constante del producto de las distancias de los segmentos determinados sobre las secantes que pasan por el punto dado y los de intersección con la circunferencia.

Circunferencias tangentes una recta s que pasan por dos puntos A y B del mismo semiplano.

B s

PPR

A' a

DATOS

PASO 1

Los puntos A y B y la recta S.

La recta que une los puntos A y B es el eje radical del haz de circunferencias que pasan por A y B. Dibujamos la mediatriz de AB.

E.R.

B' Que dicho valor es constante se comprueba observando que los triángulos OAB' y OA'B son semejantes pues tienen iguales los ángulos a y el ángulo en O común, por tanto:

OA/OB = OB'/OA'

O lo que es lo mismo: OA x OA' = OB x OB' = Potencia Consideremos la recta tangente a la circunferencia trazada desde el punto O. Los triángulos OTA y OTA' son semejantes ya que tienen un ángulo común, el O, y los a iguales por inscrito y semiinscrito abarcando el mismo arco La relación de semejanza será: OT/OA = OA'/OT

PASO 2

PASO 3

Trazamos una circunferencia cualquiera que pase por A y B. Trazamos la tangente t desde C, Centro Radical de las circunferencias solución y auxiliar.

Se localizan los puntos T' y T'' de tangencia en la recta trazando con centro en C un arco de radio CT.

Igual a:

E.R.

OA x OA' = OT x OT = OT2 = Potencia T

a t

a A'

Consideremos el conjunto de todas las circunferencias que pasan por dos puntos A y B. Su potencia es la misma e igual al producto de OA x OB. Es fácil deducir que las longitudes de todos los segmentos de tangente OT deben de ser iguales. T T T O

PASO 4

T''

RESULTADO

La intersección de las perpendiculares trazadas a s por los puntos T' y T'' con la mediatriz de AB, posiciona los centros O' y O'' buscados.

Se dibujan las dos soluciones.

E.R. A

EJE RADICAL. El E. R. de dos circunferencias se define como el L.G. de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de las dos circunferencias.

O''

B C

T''

O''

T''

Página

7.1

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.7

GEOMETRÍA MÉTRICA

POTENCIA ENUNCIADO

PROPIEDAD DEL E.R. El eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta que une los centros.

Circunferencias tangentes a una circunferencia y que pasan por dos puntos A y B.

Supongamos que el punto P pertenece al E.R. de las dos circunferencias dibujadas.

Por definición de eje radical:

PPC

(d1-R1)(d1+R1)=(d2-R2)(d2+R2) d1 -R1 =d2 -R2 2

DATOS

d12-d22=R12-R22 que es otra expresión de potencia.

PASO 1 C

La circunferencia de centro O y los puntos A y B.

Dibujamos la mediatriz de AB, L.G. de los centros de las circunferencias que pasan por AB, una circunferencia auxiliar y C.R. de las dos y la solución.

E.R. A

E.R.

O2 R2

a/2

Consideremos el punto medio M del lado O1O2del triángulo O1PO2 y apliquemos el teorema del coseno de un ángulo de un triángulo, según el cual: el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso (agudo) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, más (menos) el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

O1MP..... d12=(a/2)2+PM2+2(a/2)MH

PASO 2

PASO 3

O2MP...... d2 =(a/2) +PM -2(a/2)MH

Desde el punto C, centro radical, dibujamos la recta tangente a la circunferencia de centro O1,

Por pertenecer C al E.R., los segmentos de tangente trazados por C a las circunferencias O y O1 deben de ser iguales a CT1, hallamos T' y T''.

Restando: d12-d22=2a(MH) Que es la expresión de la potencia del punto P que por pertenecer, es la hipótesis, al E.R. tiene que ser constante. Para ello MH debe serlo y H tiene necesariamente que ser el pie de las perpendiculares trazadas desde cualquier punto del eje radical a O1O2, es decir el E.R. es perpendicular a la recta que une los centros.

E.R.

El E.R. de dos circunferencia secantes es la recta secante común. El E.R. de dos circunferencias tangentes es la tangente común.

O1 T''

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS. E.R.

T' C

PASO 4

RESULTADO

Unimos T' y T'' con O, y localizamos sobre la mediatriz de AB los centros O' y O''.

Se dibujan las dos soluciones.

A El E.R. de dos circunferencias exteriores es perpendicular a la recta que une los centros.

O'' O'

T''

CENTRO RADICAL El Centro Radical C de tres circunferencias es el punto de intersección de los ejes radicales de las circunferencias tomadas dos a dos.

O1 O'' T''

T' C

Página

7.2

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.7

GEOMETRÍA MÉTRICA

INVERSIÓN ENUNCIADO

INVERSIÓN Llamamos Inversión a la transformación de un punto A en otro A' de tal modo que:

Circunferencias tangentes a dos rectas R y S y que pasan por un punto A.

1. A y A' están alineados con otro punto fijo O llamado centro de la inversión. 2. El producto de sus distancias a ese centro es una cantidad constante que llamaremos potencia de inversión.

PRR

AO x A'O = k T

DATOS

PASO 1

Las rectas R y S y el punto A.

ibujamos el punto A', simétrico del A respecto la bisectriz de RS. El problema a resolver será el PPR: los puntos A y A' y la recta tangente R o S.

Si k>0 diremos que la inversión es positiva y los puntos inversos quedarán a un mismo lado del centro de la inversión.

Si k<0, la inversión es negativa y los puntos homólogos quedan a uno y otro lado del centro. Recordando el concepto de potencia es inmediato concluir: 1. Que dos parejas de puntos inversos son concíclicos. Con esta propiedad podremos hallar el inverso de un punto a partir del centro y una pareja de puntos homólogos.

PASO 2

PASO 3

Trazamos una circunferencia cualquiera que pase por A y B. Trazamos la tangente desde C, Centro Radical de las circunferencias solución y auxiliar.

Se localizan los puntos T' y T'' de tangencia en la recta trazando con centro en C un arco de radio CT1.

2. Que la circunferencia de centro O y radio OT es de puntos dobles, es decir, inversos de si mismos. La llamaremos de autoinversión.

INVERSO DE UN PUNTO B

A O1

Sea una inversión definida por su centro O y un par de puntos homólogos, A y A'. Para hallar el inverso del punto B consideraremos dos casos:

A' T1

T' C

1. Los puntos A, A' y B no están alineados.

T''

A' A

PASO 4

RESULTADO

La intersección de las perpendiculares trazadas a R por los puntos T' y T'' con la bisectriz de RS, posiciona los centros O' y O'' buscados.

Se dibujan las dos soluciones.

B B' 2. Los puntos A, A' y B están alineados. Hallamos M y M' cualquiera y procedemos como en el caso anterior con M, M' y B. M'

A O1

O''

M O

A' B'

A' T1

C T''

T'' Página

7.3

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.7

GEOMETRÍA MÉTRICA

INVERSIÓN ENUNCIADO

INVERSA DE UNA RECTA 1. Si la recta pasa por el centro de inversión O, la inversa es la propia recta R.

Circunferencias tangentes a dos rectas R y S y una circunferencia.

2. Si la recta no pasa por el centro O, la inversa es una circunferencia que pasa por O y tiene su centro en la perpendicular trazada por O a la recta. B

CRR DATOS

PASO 1

La circunferencia de centro O y las rectas R y S.

M A

B' O

Dilatamos la circunferencia hasta transformarla en un punto y las dos rectas trazando las rectas paralelas a una distancia igual al radio. S s

Sea O el centro de la inversión, R la recta y A-A' un par de puntos inversos.

Dibujamos el inverso B' de un punto cualquiera B de R. Hallamos el inverso M' de M, pie de la perpendicular trazada desde el centro de inversión a la recta R. El ángulo OMB es, por construcción, de 90º en M. El ángulo M'B'B es también un ángulo recto ya que ambos son inscritos y abarcan el mismo arco. En consecuencia el triángulo OB'M' es rectángulo en B' y por lo tanto incribible en una circunferencia de diámetro OM'.

PASO 2

PASO 3 Se deshace la dilatación , dibujamos las circunferencias y localizamos los puntos de tangencia.

INVERSA DE UNA CIRCUNFERENCIA

T1 Q1

2. Si la circunferencia no pasa por O, su inversa es otra circunferencia homotética con ella y centro de homotecia en O.

Resolvelmos el caso PRR ya estudiado. El punto es el centro de la circunferencia y las rectas, r y s, paralelas a las rectas dato.

Idéntico razonamiento podríamos realizar con otro punto cualquiera de la recta para llegar a la conclusión de que la circunferencia de diámetro OM' es la figura inversa de la recta R.

1. Si la circunferencia pasa por el centro de inversión, su inversa es una recta que no pasa por O y es perpendicular a la definida por O y el centro de la circunferencia (teorema recíproco del anterior).

O''

C T''

T''

PASO 4

RESULTADO

Si al realizar la dilatación, las tangentes las dibujamos hacia el exterior, con un procedimiento análogo obtendríamos otras dos soluciones.

Si el punto de intersección de las dos rectas es interior a la circunferencia dato, el número de soluciones es de ocho.

P1 O

Por homotecia..... H=OP2/OP1

Por inversión....... P=OP1 x OQ1 Multiplico............. HxP = OP2 x OQ1 Que demuestra que los puntos P2 y Q1 son inversos de razón HxP. R Página

7.4

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.7

GEOMETRÍA MÉTRICA ENUNCIADO

CIRCUNFERENCIA Y RECTA INVERSAS Dadas una recta y una circunferencia siempre existen dos inversiónes, una positiva y otra negativa, que transforman la recta en circunferencia. Circunferencia inversa de R

INVERSIÓN

Circunferencias que pasando por un punto P sean tangentes a una recta y a una circunferencia. P

PRC A'(+)

CI(+) A'(-)

CI(-)

DATOS

PASO 1

El punto P, la recta R y la circunferencia de centro O.

Consideraremos la inversión de centro P y potencia la de P con relación a la circunferencia de centro O. La inversa de la circunferencia es ella misma.

CIRCUNFERENCIA INVERSA DE UNA RECTA QUE NO PASA POR C

Circunferencia de autoinversión

Ya hemos demostrado que si la recta pasa por el centro de la inversión, su transformada es la propia recta y que si la recta no pasa por C, la inversa es una circunferencia que pasa por C y tiene su centro en la perpendicular trazada desde C a R.

Consideraremos, ahora, dos supuestos: 1. La recta R corta a la circunferencia de autoinversión. R

Circunferencia inversa de R

A=A'

PASO 2

PASO 3

Hallamos la circunferencia inversa de una recta, la dato R, que no pasa por el centro de inversión.

Las soluciones serán las circunferencias inversas de las rectas tangentes comunes a la circunferencia dada y la transformada de la recta R.

C Circunferencia de autoinversión

B=B'

de T3' Circunferencia autoinversión

P T 7'

Circunferencia de autoinversión

Los puntos A y B son dobles en la inversión por pertenecer a la circunferencia de autoinversión.

T6' P

T 5'

Circunferencia de inversa de R

T4'

T2'

A' R

T1'

T 8'

Dibujamos la circunferencia que pasa por A, B y el centro de la inversión C. 2. La recta R no corta a la circunferencia de autoinversión.

Circunferencia de inversa de R

A' A

PASO 4

RESULTADO

Para dibujar la figura inversa de la recta T'1T'2 es suficiente hallar los inversos de estos puntos y dibujar la circunferencia que pasa por P, T1 y T2

De las cuatro posibles soluciones se han dibujado dos. T8

P P

Circunferencia inversa de R

T1 Circunferencia de autoinversión

Hallaremos el inverso de P, pie de la perpendicular trazada desde el centro de la inversión a R. Para ello trazamos la tangente desde P a la circunferencia de autoinversión y desde el punto de tangencia la perpendicular a CP, cuyo pie nos da P'.

T1'

Circunferencia de inversa de R

O1 T2' R

A Página

7.5

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.7

GEOMETRÍA MÉTRICA

INVERSIÓN ENUNCIADO

CIRCUNFERENCIA INVERSA DE OTRA Sabemos que si la circunferencia no pasa por el centro de inversión, la figura inversa es otra circunferencia homotética con la dato.

Circunferencias tangentes a dos circunferencias O' y O" y que pasan por un punto P.

Consideraremos dos supuestos: 1. La circunferencia dada corta a la de autoinversión.

PCC

A=A'

DATOS

PASO 1

Las circunferencias de centros O' y O'' y el punto P.

Consideremos la inversión de centro P y potencia la de P respecto la circunferencia de centro O". Dibujamos la circunferencia de autoinversión.

C O

Circunferencia de autoinversión

P 1

B=B'

O' 2

Circunferencia de autoinversión

O''

Los puntos A y B son dobles en la inversión y por ellos pasará la circunferencia transformada de la de cento O. Localicemos el inverso del punto P donde la circunferencia dato corta a la recta CO sobre la que sabemos que se ubica el centro de la circunferencia buscada. Para ello levantamos por P la perpendicular a CO hasta que corte en T a la circunferencia de autoinversión. Trazando por T la tangente a esta circunferencia localizaremos en su intersección con CO el puntro P'.

PASO 2

PASO 3

Dibujemos la inversa de la circunferencia O'. Los puntos 1 y 2 son dobles. Hallemos A inverso de A'.

Dibujada la circunferencia O''', inversa de la O', se trazanlas rectas tangentes comunes a O'' y O''' cuyas circunferencias inversas serán las soluciones.

Circunferencia de autoinversión 90º

La circunferencia buscada pasa por A, B y P'.

P 1

T1 T5 A'

90º

O' A

2. La circunferencia no corta a la de autoinversión. Circunferencia de autoinversión

Circunferencia inversa de la O'

O' A T3

2 O''

T8 T2

T7 O'' T6 T4

T' C

O' P'

PASO 4 Hallamos el inverso P' de P trazando desde P la tangente a la circunferencia de autoinversión y desde aquí la perpendicular a CO. Como ambas circunferencias tienen que ser homotéticas con centro de homotecia en C, trazamos la tangente desde C a la circunferencia de centro O. Por P' trazamos una paralela a AT que corta a la tangente trazada desde C en T', punto desde el que trazamos una paralela a TO que nos localiza el centro O'de la circunferencia buscada.

RESULTADO

Hallamos los inversos T1' y T2' de los puntos T1 y T2, una de las circunferencias solución ha de pasar por T1', T2' y P.

Dibujamos las cuatro las soluciones.

P P T1'

T1'

1 T1 A'

T2'

O' T 5'

T3' T7'

T 2'

T4' T6' O''

T8'

O''

Página

7.6

BOLQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.8

GEOMETRÍA MÉTRICA

CURVAS TÉCNICAS: EL ÓVALO ENUNCIADO

EL ÓVALO Como consecuencia de las tangencias entre circunferencias se pueden generar determinadas curvas cerradas uniendo arcos de circunferencias tangentes.

Construcción del óvalo, dado el eje mayor.

Una de ellas se obtiene al resolver la tangencia entre cuatro circunferencias, iguales dos a dos.

DATOS

PASO 1

El eje mayor AB.

Se divide el eje mayor en tres partes iguales, obteniéndose los puntos 1 y 2 sobre el eje.

Si nos quedamos con los cuatro arcos de las circunferencias tangentes entre sí, obtenemos una curva que se denomina óvalo.

PASO 2

PASO 3

Con centro en el punto 1 se traza una circunferencia de radio 1A.

Con centro en el punto 2 se dibuja la misma circunferencia. En la intersección de ambas circunferencias maracamos los centros O1 y O2.

El óvalo es una curva cerrada y plana, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares y compuesta por cuatro arcos de circunferencia iguales dos a dos.

En los ejes de simetría se encuentran los centros de los arcos que componen el ovalo.

PASO 4

RESULTADO

Desde O1 y O2 trazamos rectas que pasen por 1 y 2 y corten a las circunferencias en los ptos. de tangencia T1' y T2', y T1 y T2.

Completamos el óvalo trazando los arcos T1'-T2' con centro en O1; el T1-T2 con centro en O2; el T1T1' con centro en 1 y el T2-T2' con centro en 2.

C O2

T1 T1'

O4 D

T2'

T1'

T2'

T1'

T2'

Página

8.1

BOLQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.8

GEOMETRÍA MÉTRICA

CURVAS TÉCNICAS: EL ÓVALO ENUNCIADO

EL ÓVALO ÓPTIMO Dados los dos ejes del óvalo existen infinitas soluciones del mismo, que abarcarían desde el óvalo mínimo de sólo dos centros en el eje menor.

Construcción del óvalo, dado el eje menor.

DATOS

PASO 1

El eje menor CD.

Hallamos la mediatriz del eje menor CD y su punto medio O.

Hasta el óvalo máximo, de sólo dos centros en el eje mayor.

Existe un óvalo, de entre todas las posibilidades, denominado óvalo óptimo, compuesto por arcos que pasan por el incentro del triángulo rectángulo formado por ACE, siendo E un vértice del rectángulo que circunscribe al óvalo y que tiene la propiedad de guardar la máxima relación entre los dos radios del óvalo, por lo que es mínimo el cambio de curvatura.

PASO 2

PASO 3

Trazamos la circunferencia de centro O y que pasa por A y B, encontrando sobre la mediatriz los centros del óvalo O1 y O2.

Desde los extremos del eje menor C y D dibujamos rectas que pasen por O1 y O2, sobre las cuales estarán los puntos de tangnecia.

O1 E

PASO 4

RESULTADO

Desde C y D trazamos los arcos de radio CD, obteniendo sobre las rectas diagonales los puntos de tangencia T1-T2 y T1'-T2', respectivamente.

Completamos el óvalo trazando los arcos T1-T1' con centro en O1 y el T2-T2' con centro en O2.

T1 O1

T1'

T2'

T1 O

T1'

T2'

Página

8.2

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UNIDAD DIDÁCTICA 2.8

GEOMETRÍA MÉTRICA

CURVAS TÉCNICAS: EL ÓVALO ENUNCIADO

EL OVOIDE El ovoide es una curva cerrada y plana, con un sol eje de simetría, compuesta por dos arcos de circunferencia iguales y dos desiguales

Construcción del óvalo óptimo, dados los dos ejes.

CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE DADOS SUS DOS EJES 1. Se dibuja una circunferencia de diámetro igual al eje menor CD.El centro de esta circunferencia es O1 y la semicircunferencia superior es uno de los arcos del ovoide. El cuadrante superior se hace coincidir con el extremo A del eje mayor AB. Se dibuja este eje.

DATOS

PASO 1

El eje mayor AB y el eje menor CD.

Unimos los extremos de los ejes A y C y prolongamos el eje menor a partir de C. Con centro en O trazamos el arco OA hasta encontrar R en la prolongación. R

2. El cuadrante inferior de la circunferencia de diámetro igual a CD es el centro O4 y BO4 el radio del otro arco.

3. Con centro en el extremo C se localiza el punto E que dista BO4 deél 4. Se traza la mediatriz del segmento EO4 y en el punto de intersección con el eje menor localizaremos el centro O3. El centro O2 se halla por simetría

D O3

PASO 2

PASO 3

Con centro C y radio CR obtenemos S sobre AC. Hallamos la mediatriz m del segmento AS que corta a los ejes en los centros O1 y O4. O4 T3

1. Se dibuja una circunferencia de diámetro igual al eje menor CD.El centro de esta circunferencia es O1 y la semicircunferencia superior es uno de los arcos del ovoide. Los otros tres centros se localizan en los cuadrantes de esta circunferencia.

O4 D

PASO 4

RESULTADO

Dibujamos las rectas que unan los cuatro centros encontrados O1, O2, O3 y O4. Desde O2 trazamos el arco de radio O2D entre T1' y T2'. Lo mismo desde O4.

Completamos el óvalo trazando los arcos T1-T1' con centro en O1 y el T2-T2' con centro en O3.

D=O3

3. Idénticamente se obtiene el arco de centro C y el punto de tangencia T3 A

2. Con centro en O2 y radio CD se dibuja un arco de circunferencia y se localiza el punto T4 de tangencia.

4. El último arco tiene centro en O4 y radio O4T3 = O4T4

CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE DADO SU EJE MENOR

C=O2

Obtenemos O3 sobre el eje mayor mediante una semicircunferencia de centro O y radio OO1. De igual modo obtenemos O2 sobre el eje menor.

m O1

T1' T3

O4 D

T2'

T1'

O4 D

T2'

Página

8.3

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UNIDAD DIDÁCTICA 2.8

GEOMETRÍA MÉTRICA

CURVAS TÉCNICAS: EL OVOIDE ENUNCIADO

OTRAS CURVAS TÉCNICAS Son las volutas, las espirales y las hélices.

Trazado práctico del ovoide.

La Voluta es una curva formada por arcos de circunferencia tangentes entre sí, siendo los centros sucesivos de estos arcos los vértices de un polígono determinado.

DATOS

PASO 1

El eje mayor AB.

Dividimos el eje mayor AB en seis partes iguales. A

A 1 2 3

La espiral es una curva abierta y plana, generada por un punto que se desplaza uniformemente a lo largo de una recta, a la vez que ésta gira alrededor de uno de sus extremos con velocidad angular constante.

4 5

El paso de una espiral es la distancia longitudinal con que se desplaza el punto en una vuelta completa

Prodeso de trazado de una espiral de Arquímedes:

PASO 2

PASO 3

1. Se dibuja una circunferencia de radio igual al paso de la espiral.

Por la división número 2, que coincide con el primer centro O1 del ovoide, trazamos una perpendicular al eje mayor AB.

Con centro en O1 trazamos la semicircunferencia de radio O1B que permite encontrar sobre la perpendicular los centros O2 y O3

2. Se divide la circunferencia y el radio en el mismo número N (12) de partes iguales.

3. Se dibujan las N (12) circunferencias concentricas y los N radios

2 O1

4. La curva se dibuja uniendo los puntos definidos por la intersección de los radios y las circunferencias.

2 O1

9 10

B 0

PASO 4

RESULTADO

Ladivisión 5 será el centro O4, que unimos con O2 y O3 para hallar los puntos de tangencia. Con centro en O2 se traza el arco T4T2. Igual desde O3.

Completamos el ovoide trazando el arco T3-T4 con centro en O4.

4 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

PASO

La hélice cilíndrica es una curva abierta generada en el espacio por un punto que se desplaza con movimiento uniforme a lo largo de una recta directriz que pertenece a la superficie exterior de un cilindro mientras éste gira uniformemente alrededor de su eje de revolución. El paso es la distancia que hay entre dos espigas consecutivas sobre la recta generatriz. Su trazado se explica en la ficha 6 de esta unidad didáctica

1 O2

2 O1

4 O4

5 T3 B

5 T4

T4 B

Página

8.4

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UNIDAD DIDÁCTICA 2.8

GEOMETRÍA MÉTRICA

CURVAS TÉCNICAS: LAS CURVAS CÍCLICAS ENUNCIADO

CURVAS CÍCLICAS Se denominan cíclicas o cicloidales las curvas planas que describe un punto de la periferia de un círculo móvil (ruleta o circunferencia generadora) cuando éste gira sin resbalar sobre una línea recta o sobre un camino circular (directriz).

Trazado de la ciloide nornal dado el radio de la ruleta y la directriz

P6 P7

P1 P

CICLOIDE NORMAL Es la curva plana que describe un punto fijo de la ruleta cuando rueda sin resbalar sobre una recta directriz. Su trazado se explica y desarrolla en esta misma ficha. EPICILOIDE

DATOS

PASO 1

Se dibuja la ruleta de radio dado y se rectifica la circunferencia sobre una recta paralela a la directriz con origen en el centro O de la ruleta

Se divide la circunferencia y su rectificada en partes iguales, 8 en el ejemplo, y se dibujan las circunferencias de centros 1, 2, 3, ... iguales a la ruleta.

Es la curva plana que describe un punto fijo de la ruleta cuando rueda sin resbalar por el exterior de una circunferencia directriz.

Ruleta

R O Directriz

La relación entre los radios de las circunferencias ruleta (r) y directriz (R) determina diferentes tipos de epicicloides, siendo las más conocidas:

Cardioide (R=r), Nefroide (R=2r) y Natural (R=4r)

1 2

1 0=8

d/7 d/7

Cardioide (R=r)

Nefroide (R=2r)

Epicicloide Natural (R=4r)

PASO 2

PASO 3

El primer punto de la cicloide es P=O=8. Por la división 1 de la circunferencia se traza una paralela a la directriz que corta a la circunferencia 1 en P1

Por la división 2 de la circunferencia se traza una paralela a la directriz que corta a aquella en P2. Por la división 3 de la circunferencia ...

En la ficha siguiente, 8.6, se explicará la construcción de una epicicloide.

1 1

P=0=8

HIPOCILOIDE Es la curva plana que describe un punto fijo de la circunferencia directriz cuando rueda sin resbalar por el interior de una circunferencia directriz. Al igual que en el caso de las epicicloides, en las hipocicloides la relación entre los radios de las circunferencias ruleta (r) y directriz (R) determina diferentes tipos curvas.

PASO 4

RESULTADO

Los puntos 4, 5, 6,... se obtienen de manera análoga

Completamos el óvalo trazando los arcos T1-T1' con centro en O1 y el T2-T2' con centro en O3.

En la ficha siguiente, 8.6, se explicará la construcción de una hipopicicloide. La hipocicloide Natural es aquella en la que la relación de radios es de 1/4.

3 P2

6 7

P5 P2

P6 2

P4 P5 P6 P7

1 P=0=8

Página

8.5

BOLQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.8

GEOMETRÍA MÉTRICA

ENUNCIADO

DIBUJO DE LA EPICICLOIDE La forma de la epicicloide, como ya se ha dicho, depende de la relación entre los radios de las circunferencias ruleta y directriz. Vamos a dibujar una epicicloide en la que la relación de estos radios es de 1/3, lo que supone que la ruleta habrá dado una vuelta completa cuando haya recorrido 1/3 de la circunferencia directriz o, lo que es lo mismo, se haya desplazado un ángulo de 360º/3=120º. Dividiremos este ángulo en 4 partes para posicionar las ruletas después de haber girado 90º, 180º, 270º y 360º lo que nos permitirá localizar las 4 posiciones del punto de 1 tangencia de la primera ruleta con la directriz.

120º Directriz R=3r)

Trazado de la hipocicloide normal dados los radios de la circunferencia generadora y la circunferencia directriz. La relación de radios en la hipocicloide normal es r/R=1/4

DATOS

PASO 1

Se dibuja la ruleta de radio r tangente a la circunferencia directriz de radio R=4r en el punto 1.

El arco de la directriz que tiene la misma longitud que la ruleta es: 360 x r/R, en nuestro caso 90 que dividiremos en 4 partes iguales.

Ruleta (r)

Dibujadas las circunferencias ruletas, dibujaremos la circunferencia que define los extremos de los diámetros perpendiculares a los ejes radiales dibujados que nos permitirça localizar los puntos 2, 3, 4 y 5 de la curva.

Circunferencia de cuadrantes

CURVAS TÉCNICAS: LAS CURVAS CÍCLICAS

PASO 2

PASO 3

Dibujaremos las cuatro teóricas posiciones de la ruleta al deslizarse tangente a la circunferencia directriz.

Dibujaremos los puntos P1, P2, P3 y P4 que corresponden a la posiciçon del punto 1 después de deslizarse 1/4, 1/2, 3/4 y una vuelta P4

5 2

1 P2 P1

Circunferencia de centros

Circunferencia de centros 4

Circunferencia de cuadrantes

Circunferencia de centros

5 2 1

PASO 4

RESULTADO

Uniendo los puntos obtenidos dibujaremos un cuadrante de la hipocicloide. P4

Por simetría se completa el trazado de la curva P4

P2 P1

Página

8.6

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.9

GEOMETRÍA MÉTRICA LAS CURVAS CÓNICAS

LA ELIPSE ENUNCIADO

Son aquellas que resultan de la sección producida por un plano sobre una superficie cónica de revolución completa. Se puede definir también como el lugar geométrico de los puntos del plano en los que la relación de distancias a un punto fijo, llamado foco, y a una recta fija, llamada directriz, es constante. Esta relación de distancias se llama excentricidad.

Construcción de la elipse por puntos, dados sus dos ejes.

En función de la posición relativa del plano con la superficie cónica se producen tres tipos de curvas:

DATOS

PASO 1

Los dos ejes de la elipse. El eje mayor AB y el eje menor CD.

Obtenemos los focos F y F' como consecuencia de la definición como lugar geométrico de la elipse, puesto que CF (o CF') es igual al semieje mayor.

ELIPSE (Excentricidad<1)

Si el plano corta a todas las generatrices.

HIPÉRBOLA (Excentricidad>1) Si el plano es paralelo a dos generatrices.

PASO 2

PASO 3

A partir de uno de los focos hacia el origen O marcamos una serie de puntos (1, 2...) y trazar los arcos A1 y 1B desde los focos F y F' respectivamente

Se invierte el trazado de arcos, estos es, desde F se dibuja el arco 1B y desde F' el arco 1A, obteniéndose cuatro puntos de la elipse.

r=1

1 2 3

PARÁBOLA (Excentricidad=1)

Si el plano es paralelo a una generatriz. D

PASO 4

RESULTADO

Se repiten las mismas operaciones con los restantes puntos.

Se traza la elipse a mano alzada por los puntos obtenidos, más los cuatro puntos extremos de los dos ejes.

1 2 3

D Página

9.1

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.9

GEOMETRÍA MÉTRICA

LA ELIPSE ENUNCIADO

LA ELIPSE Es una curva cerrada y plana, lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos fijos, denominados focos, es constante e igual al eje mayor.

Construcción de la elipse por haces proyectivos, dados sus dos ejes.

PF + PF' = k (constante)= 2a C

c a

a2=b2+c2

DATOS

PASO 1

Los dos ejes de la elipse. El eje mayor AB y el eje menor CD.

Trazamos el rectángulo EFGH que contiene a los dos ejes, y dividimos el semieje AO y el lado AE en el mismo número de partes.

2c 2a

ELEMENTOS Eje mayor, real o principal, (AB=2a) es la intersección del plano de la cónica con el que conteniendo al eje de la superficie de revolución es ortogonal a áquel.

2 O

Eje menor, imaginario o secundario, (BC=2b) perpendicular al mayor.

1 A

Distancia focal, (FF'=2c) que es la distancia entre los focos. Circunferencia principal, es el lugar geométrico de los puntos de intersección de las tangentes a la elipse con las perpendiculares trazadas desde los focos a cada una de ellas. Es la podaria de los focos. Tiene su centro en el centro de la elipse y su diámetro es el eje mayor. Circunferencia focal, es el lugar geométrico de de los simétricos del otro foco respecto de las tangentes a la elipse. Tiene su centro en el centro de la elipse y su radio es el eje mayor. Directriz es una recta, perpendicular al eje mayor, tal que la relación de distancias desde cualquier punto de la elipse a un foco y a la directriz es constante e igual a c/a. Es la polar de los focos.

PASO 2

PASO 3

Desde el extremo C del semieje menor trazamos una recta hasta el punto 1 del lado AE y desde el extremo D otra hacia 1 de AO.

La intersección de ambas es un punto de la elipse y se repite la operación tantas veces como divisiones hayamos efectuado.

1 A

OTRA CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE Se deriva del concepto proyectivo de la elipse al considerarla como el resultado de la transformación afín de una circunferencia.

PASO 4

RESULTADO

El mismo proceso se realiza en el cuadrante inferior del rectángulo, invirtiendo los puntos de origen de los haces de rectas.

Se completa la elipse, con igual procedimiento, en los otros dos cuadrantes. El método es igualmente válido si los datos son dos diámetros conjugados.

C 3 2 1 A

Página

9.2

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.9

GEOMETRÍA MÉTRICA

LA HIPÉRBOLA ENUNCIADO

LA HIPÉRBOLA Es una curva abierta, plana y con dos ramas, lugar geométricode los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante.

Construcción de la hipérbola por puntos, dado el eje real y los focos.

PF' - PF = k (constante) = 2a P

A O B a b c

DATOS

PASO 1

El eje real de la hipérbola, de extremos A y B, y los dos focos F y F'.

A partir de un foco, en este caso F, marcamos una serie de puntos auxiliares cualesquiera (1,2...).

c2=a2+b2

2a 2c ELEMENTOS

Eje mayor, real o principal, (AB=2a) es la intersección del plano de la cónica con el que conteniendo al eje de la superficie de revolución es ortogonal a áquel.

4 3 2 1

Eje menor, imaginario o secundario, (BC=2b) perpendicular al mayor. Distancia focal, (FF'=2c) que es la distancia entre los focos. Circunferencia principal, es el lugar geométrico de los puntos de intersección de las tangentes a la hipérbola con las perpendiculares trazadas desde los focos a cada una de ellas. Es la podaria de los focos. Tiene su centro en el centro de la hipérbola y su diámetro es el eje mayor. Circunferencia focal, es el lugar geométrico de de los simétricos del otro foco respecto de las tangentes a la hipérbola. Tiene su centro en el centro de la hipérbola y su radio es el eje mayor.

PASO 2

PASO 3

Tomando con el compás la medida 1A trazamos sendos arcos haciendo centro respectivamente en F y F'.

Encontraremos cuatro puntos de la hipérbola trazando arcos de radio 1B en F y F' y buscando la intersección con los arcos anteriores.

r = 1A

r = 1A A

r = 1B F

4 3 2 1

r = 1B A

4 3 2 1

Directriz es una recta, perpendicular al eje mayor, tal que la relación de distancias desde cualquier punto de la hipérbola a un foco y a la directriz es constante e igual a c/a. Es la polar de los focos. Asíntotas de la hipérbola son las rectas tangentes a la curva en el infinito. Si las asíntotas forman 45º con los ejes, la hipérbola se denomina equilátera.

ínt ota

Las asíntotas son las diagonales del rectángulo que tiene por lados los ejes real e imaginario.

A a c b

r = 4B r = 3B

r = 4A

r = 2B

r = 2A

C Circunferencia Principal

RESULTADO Una vez obtenidos todos los puntos de ambas ramas de la hipérbola se dibuja la curva a mano alzada.

r = 3A

Circunferencia Focal

PASO 4 Encontraremos tantos puntos de la hipérbola como operaciones dibujemos, idénticas a la ya descrita, tomando las distancias 2A,2B,3A,3B...

F 4 3 2 1

4 3 2 1

Página

9.3

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.9

GEOMETRÍA MÉTRICA

LA PARÁBOLA ENUNCIADO

LA PARÁBOLA Es una curva abierta, plana y de una sola rama, lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija d, llamada directriz, y de un punto fijo F, que se denomina foco.

Construcción de la parábola por puntos

PF = PB d P

DATOS

PASO 1

La directriz, el eje de la parábola y en él el foco F y el punto A, perteneciente a la parábola y equidistante de D y F.

A partir del punto A marcamos una serie de puntos auxiliares cualesquiera 1, 2...

F 1

ELEMENTOS

Eje de la parábola, es la intersección del plano de la cónica con el que conteniendo al eje de la superficie de revolución es ortogonal a áquel. Circunferencia principal, es el lugar geométrico de los puntos de intersección de las tangentes a la parábola con las perpendiculares trazadas desde el foco a cada una de ellas. Es la podaria del foco. Es la recta perpendicular al eje por el vértice A.

PASO 2

PASO 3

Se trazan paralelas a la directriz por los puntos marcados anteriormente.

Trazamos arcos de radio 1D desde el foco F y su intersección con la paralela que pasa por el punto 1 pertenece a la parábola

Circunferencia focal, es el lugar geométrico de de los simétricos del otro foco respecto de las tangentes a la hipérbola. Es la directriz de la parábola que también se define como: Directriz es una recta, perpendicular al eje mayor, tal que la relación de distancias desde cualquier punto de la parábola al foco y a la directriz es constante e igual a la unidad. Es la polar del foco.

Parámetro (2p) es la longitud del segmento determinado por la parábola sobre la perpendicular al eje trazada por el foco. Si el eje OX coincide con el eje de la parábola, el semiparámetro es el valor de la ordenada del punto de la curva cuya abcisa es el foco.

F 2

A r = 1D

PASO 4

RESULTADO

El mismo proceso se realiza con tantos puntos como hayamos marcado.

Se dibuja la parábola a mano alzada por los puntos encontrados y por el punto A.

Parámetro = 2p

r = 3D D

A r = 2D

F 1

Página

9.4

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.9

RECTAS TANGENTES A UNA CÓNICA

GEOMETRÍA MÉTRICA ENUNCIADO

FUNDAMENTOS Nos basaremos en el concepto de: Circunferencia focal como el lugar geométrico de los simétricos del otro foco respecto a las tangentes a la cónica.

Construcción de la recta tangente a la hipérbola desde un punto exterior a ella.

F' A

TANGENTES TRAZADAS DESDE UN PUNTO DE LA CÓNICA 1. Se traza la circunferencia focal de F' 2. Se localiza el punto F", en la intersección de F'P con la circunferencia 3. La mediatriz de FF" es la tangente buscada. 4. Es fácil ver que la tangente también coincide con la bisectriz del ángulo exterior que definen los radios vectores del punto P. F''

DATOS El eje real de la hipérbola, de extremos A y B, los dos focos F y F' y el punto P.

PASO 1

A partir de un foco, en este caso F', dibujamos la circunferencia focal. Su radio será AB=2a.

Circunferencia focal de F'

F' A

B P

En la parábola es la bisectriz de ángulo FPB. d P

PASO 2

PASO 3

Con centro en P y radio PF se traza una circunferencia que corta a la focal en 1 y 2.

Las mediatrices de los segmentos F1 y F2 son dos de las tangentes buscadas.

F A

F' A

TANGENTES TRAZADAS DESDE UN PUNTO EXTERIOR DE LA CÓNICA

1. Con centro en el punto P, se traza la circunferencia de radio PF que corta a la focal de F' en F" (también corta en F''' que no está dibujado y daría como resultado la otra tangente a la cónica desde P). 2. La mediatriz del segmento FF'' (y la del FF''') son las tangentes a la curva. 3. El punto de tangencia es el de intersección de la recta tangente con las rectas F'F'' (y con F'F'''). PF

PASO 4

RESULTADO

Los puntos de tangencia los obtendremos en los de intersección de las tangentes con las rectas F'1 y F'2.

Si realizamos la construcción con la circunferencia focal de F, el resultado es idéntico

F'' T

3 T1

T1 1

P F

F' A

2 4

Circunferencia focal de F

T2 Página

9.5

BLOQUE TEMÁTICO 2

UNIDAD DIDÁCTICA 2.9

GEOMETRÍA MÉTRICA

RECTAS SECANTES A UNA CÓNICA ENUNCIADO

TANGENTES A LA CÓNICA PARALELA A UNA DIRECCIÓN Vamos a dibujar la recta tangente a una elipse, paralela a una dirección dada. Sea la elipse de la que se conoce su eje mayor y la posición de los focos. Conocemos también la dirección de la tangente.

Construcción de tangente a la parábola paralela a una dirección dada.

1. Dibujamos la circunferencia focal de F' cuyo centro está en F' y su radio es 2a.

DATOS

PASO 1

La directriz, el eje de la parábola y en él el foco F. También se facilita como dato la dirección d de la tangente .

Dibujamos la circunferencia focal de la curva que en el caso de la parábola degenera en la directriz, por el foco trazamos la perpendicular a la dirección d

2. Por F trazamos la recta perpendicular a la dirección d dada que corta a la circunferencia focal en F'' y F'''. 3. Las mediatrices de los segmentos FF'' y F F''' son las rectas tangentes a la elipse.

90º

4. Los puntos de tangencia T se encuentran en la intersección de estas tangentes con las rectas que unen el foco F' con F'' y F'''. F"'

PASO 2

PASO 3

La perpendicular trazada a la dirección d por el foco corta a la circunferencia focal (directriz) en F''

La mediatriz del segmento FF" es la recta tangente a la parábola paralela a la dirección d

de '''

90º d

T F A F

90º

F' B

5. El ejercicio se puede terminar dibujando la cónica:

F"'

F''

r at

i ed

M iz de FF '''

90º d

PASO 4

C T

Se dibuja la parábola por puntos

A F

RESULTADO

El punto de tangencia T lo encontraremos en la intersección de la recta tangente con la paralela al eje trazada por F". B

90º

T D

D F''

A T

D F''

Página

9.6