860-3(82) BEN
Benítez Rojas, Julieta Construye límites · fi - 1º ed 1º imp - Buenos Aires Editorial Alfaguara (Prisa Ediciones), 2013. 300p. : 22x35cm.
I. Título - 1. Informativo Argentino
ISBN 950-9681-59-8
Editorial Alfaguara (Prisa Ediciones) Av. L.N. Alem 720 - Buenos Aires, Argentina E-mail: info@alfaguara.com.ar http://www.alfaguara.com/ar Título original: Construye límites · fi Copyright © Texto Julieta Benítez Rojas, 2013 © Alfaguara Editores, 2013 Diseño de tapa: Julieta Benítez Rojas Coordinador de edición: Marcela Luna 1º Impresión: Septiembre de 2013 DERECHOS EXCLUSIVOS DE PUBLICACIÓN Y DISTRIBUCIÓN Prisa Ediciones Av. L.N. alem 720 - Buenos Aires, Argentina Teléfono: (54-11) 4119-5000 Fax: (54-11) 4119-5021 E-Mail: comunicacion@prisa.com http://www.prisa.com Todos los derechos reservados. Queda prohibida la reproducción parcial o total por medio de cualquier medio gráfico o informático sin previa autorización del editor. Hecho el depósito que marca la ley 11.723. Impreso en Argentina.
El número de oro · Definición
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Divina Arquitectura · Partenón · Torre Eiffel
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Maestros Arquitectónicos · El Modulor
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· Historia · fi y la matemática · Sucesión de Fibonacci
· La gran pirámide · Sede ONU New York · Notre Dame · Torre CN
· El hombre de Vitruvio · Fidias · Arquitectura moderna
Proporciones Doradas · Belleza clásica
· Geometría armónica · Escultores de Belleza · Proporciones divinas · Idealización del hombre
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ÍNDICE
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EL NÚMERO DE ORO
fi “Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.” Euclides, “Los elementos” Definición 3 del libro sexto.
Φ = 1+√5 ≈ 1,618033988… 2 También se representa con la letra griega Tau (Τ τ), por ser la primera letra de la raíz griega, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi (Φ,φ) es mucho más común. Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, como la pintura y escultura entre otras, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte. Definición El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación: La longitud total es al segmento a, como a es al segmento b.
Escrito como ecuación algebraica:
a+b = a b a
Siendo el valor del número áureo φ el cociente:
a b
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l número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional.
EL NÚMERO DE ORO
E
Historia A
lgunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para que se pueda afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo. Antigüedad El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides, matemático y geómetra griego, (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera: “Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.” Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro Sexto.
Composición divina - Esquema de la proporción áurea
Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido a que el historiador griego Proclo escribió:
“Eudoxo multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen.” Proclo en un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos
Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave de la física del cosmos. A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se ocupó de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito. Para Platón, cada uno de los sólidos correspondía a una de las partículas que conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el dodecaedro.
Edad Moderna En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publicó De Divina Proportione (La Divina Proporción), donde plantea cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al número áureo: 1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios. 2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad (sic). 3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes. 4. La autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios. 5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro. En 1525, Alberto Durero publicó Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral áurea basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.
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Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir, es un número irracional.
fi y la matemática
φ posee además las siguientes propiedades:
Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:
Aquí k=4, a1=0, a2=1, a3=2 y a4=1. Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden:
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Propiedades y representaciones Ángulo de oro
Razón número áureo. Propiedades algebraicas
Es el único número real tal que:
La expresión anterior es fácil de comprobar:
Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, establecida una verdadera sucesión recurrente de potencias. El caso más simple es: , cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores. Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma donde es cualquier número real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es k=1, a1=1 y a2=2.
En general:
Cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8 (...), 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de, hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea. Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay un parentesco.
1.61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890 244970720720418939113748475408807538689175212663386222353693179318006076672635 443338908659593958290563832266131992829026788067520876689250171169620703222104 321626954862629631361443814975870122034080588795445474924618569536486444924104 432077134494704956584678850987433944221254487706647809158846074998871240076521 705751797883416625624940758906970400028121042762177111777805315317141011704666 599146697987317613560067087480710131795236894275219484353056783002287856997829 778347845878228911097625003026961561700250464338243776486102838312683303724292 675263116533924731671112115881863851331620384005222165791286675294654906811317 159934323597349498509040947621322298101726107059611645629909816290555208524790 352406020172799747175342777592778625619432082750513121815628551222480939471234 145170223735805772786160086883829523045926478780178899219902707769038953219681 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El número áureo es la unidad fundamental «ε» del cuerpo de números algebraicos y la sección áurea es su inversa, «ε -1 ». En esta extensión el «emblemático» número irracional «√2» cumple las siguientes igualdades:
Representación mediante fracciones continuas
Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado posible de aproximación mediante racionales. Por ello se dice que es el número más alejado de lo racional o el número más irracional. Este es el motivo por el cual aparece en el teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser.
El número áureo (√5+1)/2 y la sección áurea (√5-1)/2 son soluciones de las siguientes ecuaciones:
Representación trigonométrica
Éstas corresponden al hecho de que el diámetro de un pentágono regular (distancia entre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el pentagrama.
Relación con la sucesión de Fibonacci Si se denota el enésimo número la sucesión de Fibonacci como Fn, y al siguiente número de Fibonacci, como Fn + 1, descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón oscila, y es alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Ejemplo: 3/2 = 1,5; 8/5 = 1,6 y 21/13 = 1,61538461...(lo que se acerca considerablemente al número áureo). Entonces se tiene que:
Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, pero pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson. Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Por ejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios, por ejemplo 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3 - 7 - 10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301... Los cocientes de términos sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercan asintóticamente por exceso y por defecto al mismo límite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 = 1,613636...; 301/186 = 1,6182795.6 A mediados del siglo XIX, el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:
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Representación mediante ecuaciones algebraicas
“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”
Johannes Kepler en “El Misterio Cósmico”
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Sucesión de Fibonacci
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n matemáticas, la muy reocnocida sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233... La sucesión comienza con los números 0 y 1, y a partir de estos, cada término es la suma de los dos anteriores, es la relación de recurrencia que la define.
Leonardo De Pisa · Fibonacci
A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: “Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también” De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad. También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió que la relación entre dos números de la secuencia de Fibonacci sucesivos se acerca a la relación áurea fi cuanto más se acerque al infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite.
- Martin Gardner
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“No existen números carentes de interés, pues de haberlos, el primero de ellos ya sería interesante a causa de esa misma falta de interés”
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DIVINA ARQUITECTURA
DIVINA ARQUITECTURA
fi y la Arquitectura
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a sección áurea se utilizó mucho durante el renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura.En esa época, see consideraba que era la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo. En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos, tanto en su planta como es sus fachadas. En el partenón Fidias lo utilizó en la composición de las esculturas. Los arquitectos slían utilizarla para crear edificios que sean perfectamente simétricos. Acontinuación veremos en que otros monumentos destaca las proporciones del numero áureo.
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Partenón
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l Partenón, templo dedicado a Atenea, la diosa de la sabiduría, guerra, civilización y las artes, construído por Ictino y Calícrates, posee líneas rectas que tienen una ligera convexidad (la arquitectura griega clásica incorporó en el Partenón una ligera convexidad entre las lineas paralelas llamada éntasis para compensar la concavidad creada por las líneas paralelas). Sus formas son convexas para engañar al ojo humano y el número de sus columnas, donde el lado más corto tiene 8 (x) columnas y el mas largo 17 (2x+1). El número áureo está presente en el diseño del Partenón de Atenas. Si tomamos algunas medidas, podremos comprobar que la base frontal es la altura multiplicada por el número áureo (1,61803398). Y si estudiamos otros elementos de la construcción, la divina proporción vuelve a aparecer.
Detalles del Partenón
“La proporción de oro ha inspirado a los pensadores de todas las disciplinas como ningún otro número en la historia de las matemáticas.”
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Mario Livio - Astrofísico
Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, un autor reconocido de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Theeteto de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados “estáticos” y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o reducibles a ellas, “dinámicos”. El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5. Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del Partenón en un rectángulo de módulo \frac {4\fi - 2}{\fi + 1}. Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales. Este rectángulo es descompuesto en seis de módulo y cuatro cuadrados.
Aplicaci贸n de la proporci贸n 谩urea en el Parten贸n
El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores,en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos.
Arthur Cayley - Matemático
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“Con las teorías matemáticas ocurre como con el resto de las cosas: la belleza puede ser percibida, pero no explicada.” Molduras de la parte superior del Partenón.
Torre Eiffel
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a Torre Eiffel (La Tour Eiffel, en francés), inicialmente nombrada torre de 330 metros (tour de 330 mètres), es una estructura de hierro pudelado diseñada por Maurice Koechlin y Émile Nouguier y construída por el ingeniero francés Gustave Eiffel y sus colaboradores para la Exposición universal de 1889 en París. Situada en el extremo del Campo de Marte a la orilla del río Sena, este monumento parisino, símbolo de Francia y su capital, es la estructura más alta de la ciudad y el monumento que cobra entrada más visitado del mundo, con 7,1 millones de turistas en 2011. Con una altura de 300 metros, prolongada más tarde con una antena a 325 metros, la Torre Eiffel fue la estructura más elevada del mundo durante 41 años. Fue construida en dos años, dos meses y cinco días, y en su momento generó cierta controversia entre los artistas de la época, que la veían como un monstruo de hierro. Inicialmente utilizada para pruebas del ejército con antenas de comunicación, hoy sirve, además de atractivo turístico y como emisora de programas de radio y tv.
Aplicaci贸n de la proporci贸n 谩urea en la Torre Eiffel - Par铆s, Francia.
DATOS TÉCNICOS Dimensiones principales de la Torre Eiffel:
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Cimientos Altura de la base (sobre el nivel del mar): 33,5 metros Longitud de la divergencia interior entre los 2 pilares: 74,24 metros Longitud de la divergencia exterior entre los 2 pilares: 124,9 metros 1ª planta Altura de la primera planta sobre la base: 57,63 metros Altura de la primera planta sobre el nivel del mar: 91,13 metros Lado exterior (al nivel de la planta): 70,69 metros Superficie (al nivel de la planta): 4.200 m² 2ª planta Altura de la segunda planta sobre la base: 115,73 m Altura de la segunda planta sobre el nivel del mar: 149,23 m Lado exterior (al nivel de la planta): 40,96 m Superficie (al nivel de la planta): 1.650 m² 3ª planta Altura de la tercera planta sobre la base: 276,13 m Altura de la tercera planta sobre el nivel del mar: 309,63 m Lado exterior (al nivel de la planta): 18,65 m Superficie (al nivel de la planta): 350 m² Los ejes de sus cuatro pilares forman un cuadrado de 100 metros, que seria el lado pequeño de un rectángulo áureo. Pues poniendo dos rectángulos conseguimos la altura de esta torre.
100 x Φ x 2 ≈ 323,61 metros que es la altura de la torre También se encuentra en las diferentes partes de la torre, vea el gráfico anterior sobre la fotografía, donde el espacio celeste sería igual a uno y fi seria el espacio celeste más el azul.
Detalles de la Torre Eiffel.
“La belleza es la primera prueba: no hay lugar permanente en el mundo para matemáticas feas.” Godfrey Harold Hardy, Matemático inglés.
La gran pirámide
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a Gran pirámide es la más antigua de las Siete maravillas del mundo y la única que aún perdura, además de ser la mayor de las pirámides de Egipto. Fue ordenada construir por el faraón de la cuarta dinastía del Antiguo Egipto Keops. El arquitecto de dicha obra fue Hemiunu. La fecha estimada de terminación de la construcción de la Gran Pirámide es alrededor de 2570 a. C., siendo la primera y mayor de las tres grandes pirámides de la Necrópolis de Giza, situada en las afueras de El Cairo, en Egipto. Fue el edificio más alto hasta el siglo XIV (siendo superado por el chapitel de la Catedral de Lincoln, en Inglaterra) y el edificio de piedra más alto del mundo hasta bien entrado el siglo XIX, siendo entonces superado por la aguja de la iglesia de San Nikolai, en Hamburgo.
Fue construida con unos 2.300.000 bloques de piedra, cuyo peso medio es de dos toneladas y media por bloque, aunque algunos de ellos llegan a pesar hasta sesenta toneladas. Originalmente estaba recubierta por unos 27.000 bloques de piedra caliza blanca, pulidos, de varias toneladas cada uno. Mantuvo este aspecto hasta principios del siglo XIV, cuando un terremoto desprendió parte del revestimiento calizo. Posteriormente, los turcos otomanos utilizaron dicho revestimiento para la construcción de diversas edificaciones en El Cairo.
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La primera aparición del número de oro en la arquitectura fue construida hacia el año 2600 a.C en la pirámide de Keops. Erodeto, famoso historiador griego del siglo quinto antes de cristo cuenta que los sacerdotes egipcios le había mostrado el hecho de que las dimesiones de la pirámide eran tales que el cuadrado de la altura total era exactamente igual al área de una de las caras, este dato atribuible a un exceso de meticulosidad del arquitecto egipcio no es en sí una casualidad, pero analicemos las características geométricas que se deducen, y podemos descubrir con asombro que los egipcios hace tres mil años ya conocían y aplicaban la divina proporción. Erodeto, famoso historiador griego del siglo V a.C. cuenta que los sacerdotes egipcios le había mostrado el hecho de que las dimesiones de la pirámide eran tales que el cuadrado de la altura total era exactamente igual al área de una de las caras, este dato atribuible a un exceso de meticulosidad del arquitecto egipcio no es en sí una casualidad, pero analicemos las características geométricas que se deducen, y podemos descubrir con asombro que los egipcios hace tres mil años ya conocían y aplicaban el número áureo.
El número de oro aparece, no una vez sino hasta tres veces en relaciones numéricas entre distintos elementos de la pirámide. Así la razón entre la altura de una cara y la mitad del lado de la base es 1,618; es decir, el número de oro. Pero no acaban aquí las sorpresas, el cociente entre el área total y el área lateral de la pirámide es también el número de oro. Y por si fuera poco, el cociente entre el área lateral y el área de la base sigue siendo el número áureo.
Carl Friedrich Gauss- Matemático
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“Los encantos de esta ciencia sublime, la matemática, sólo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella.”
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Sede ONU New York
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a Organización de las Naciones Unidas o simplemente Naciones Unidas, es la mayor organización internacional existente. Se define como una asociación de gobierno global que facilita la cooperación en asuntos como el Derecho internacional, la paz y seguridad internacional, el desarrollo económico y social, los asuntos humanitarios y los derechos humanos. La ONU fue fundada el 24 de octubre de 1945 en San Francisco (California), por 51 países, al finalizar la Segunda Guerra Mundial, con la firma de la Carta de las Naciones Unidas. Desde su sede en Nueva York, los Estados miembros de las Naciones Unidas y otros organismos vinculados deliberan y deciden acerca de temas significativos y administrativos en reuniones periódicas celebradas durante el año. La ONU está estructurada en diversos órganos, de los cuales los principales son: Asamblea General, Consejo de Seguridad, Consejo Económico y Social, Secretaría General, Consejo de Administración Fiduciaria y la Corte Internacional de Justicia. La figura pública principal de la ONU es el Secretario General. El actual es Ban Ki-moon de Corea del Sur, que asumió el puesto el 1 de enero de 2007, reemplazando a Kofi Annan.
En la actualidad, la ONU posee 193 estados miembros, prácticamente todos los países soberanos reconocidos internacionalmente, más tres miembros en calidad de observadores; la Ciudad del Vaticano, la Orden Soberana y Militar de Malta y el Estado de Palestina. Otros estados independientes de facto como la República de China-Taiwán o Kosovo no forman parte de las Naciones Unidas debido a que son considerados territorios en disputa. La sede europea de la Organización de las Naciones Unidas se sitúa en Ginebra, Suiza. Los idiomas oficiales de la ONU son seis: árabe, chino mandarín, español, francés, inglés y ruso.
En la arquitectura del siglo XX encontramos el número de oro en las construcciones de muchísimos arquitectos que se beneficiaron de las numerosas posibilidades arquitectónicas que brindaban los nuevos materiales. Ejemplos son las obras de Zvi Hecker, Frank Lloyd Wright y, sobre todo, Le Corbusier que no sólo inventó el modulor, una nueva unidad de medida basada en la del cuerpo humano, sino que aplicó la razón áurea en muchísimas de sus creaciones, como por ejemplo el edificio de las Naciones Unidas en Nueva York, que dispone de tres rectángulos áureos en su fachada. La relación entre la anchura del edificio en comparación con la altura de cada diez pisos es de oro.
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Notre Dame
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a Catedral de Notre Dame de París, situada en IV distrito, es una de las catedrales francesas más antiguas de estilo gótico. Se empezó a construir en el año 1163 y se terminó en el año 1345. Dedicada a María, Madre de Jesucristo (de ahí el nombre Notre Dame, Nuestra Señora), se sitúa en la pequeña Isla de la Cité en París, Francia, que está rodeada por las aguas del río Sena. La catedral surge íntimamente ligada a la idea del esplendor gótico, a efecto claro de las necesidades y aspiraciones de la sociedad de la época, a un nuevo enfoque de la catedral como edificio de contacto y ascenso espiritual. La arquitectura gótica es un instrumento poderoso en el seno de una sociedad que ve, en el inicio del siglo XI, transformarse la vida urbana a un ritmo acelerado. La ciudad resurge con una extrema importancia en el campo político, en el campo económico (espejo de las crecientes relaciones comerciales), ascendiendo también, por su lado, la burguesía adinerada y la influencia del clero urbano. El resultado de esto es una sustitución también de las necesidades de construcción religiosa fuera de las ciudades, en las comunidades monárquicas rurales, por el nuevo símbolo de la prosperidad urbana, la catedral gótica. Y como repuesta a la búsqueda de una nueva dignidad creciente en el seno de Francia, surge la Catedral de Notre-Dame de París.
“¿Por qué son bellos los números? Es como preguntar por qué es bella la novena sinfonía de Beethoven. Si no ves por qué, nadie te lo puede decir. Yo sé que los números son bellos. Si no lo son, entonces nada lo es.” Paul Erdös - Matemático Húngaro
“La proporción de oro ha inspirado a los pensadores de todas las disciplinas como ningún otro número en la historia de las matemáticas.”
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Mario Livio - Astrofísico
La proporción áurea puede verse en el diseño de la Catedral de Notre Dame en París. Los masones comenzaron la construcción de Notre Dame en el año 1163 y no terminaron el edificio hasta casi 200 años más tarde. Los cimientos se construyeron en los de un templo romano para Júpiter y muestra varios ejemplos de la proporción áurea, más fáciles de ver en la fachada occidental de la catedral, tanto en la estructura general como en numerosas subestructuras. Es frecuente que las fachadas de las catedrales góticas se organicen mediante tres cuerpos superpuestos, sobre los cuales se individualizan las dos torres. En la catedral de Notre Dame de París se utiliza la divina proporción en la relación entre los tres cuerpos citados: entre el primero y el segundo, entre el segundo y el tercero y, en este último, entre la longitud de las finas columnillas y el resto de su alzado. También aparece en el último tramo de las torres: el segmento mayor está contenido en una de las torres y el espacio entre ambas y el menor en la otra torre. En el rosetón de Notre-Dame de París se observa la simetría pentagonal.
Aplicaci贸n de la proporci贸n 谩urea en la Catedral de Notre Dame Par铆s, Francia.
Torre CN, Toronto
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a Torre Nacional de Canadá (Canadian National Tower), o en otros casos, llamada Torre CN (CN Tower como es conocida internacionalmente) es una estructura no sostenida por cables en tierra firme, la cuarta más alta del mundo (tras el Burj Khalifa, el Tokyo Sky Tree y la Torre de televisión de Cantón), con una altura de 553,33 metros. Fue la más alta desde 1975 a 2010. Cuenta con un observatorio ubicado a los 447 m, siendo éste el tercero más alto del mundo también. Es considerada como una de las Siete Maravillas del Mundo moderno por parte de la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles. Se encuentra en el centro de la ciudad de Toronto, principal ícono de la ciudad junto con otra gran atracción túristica: el Rogers Centre, casa de los Toronto Blue Jays. La torre es la principal postal de la ciudad, atrayendo más de 2 millones de turistas cada año. La altura total de la torre, la cual es la estructura independiente más alta del mundo, es de 553,33 metros (1.815,39 pies), y la altura de la plataforma de observación, con su restaurante giratorio es de 342 metros (1.122 pies), con una proporción de 1,617, una imagen estéticamente agradable.
Aplicaci贸n de la proporci贸n 谩urea en la Torre CN Toronto, Canad谩.
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MAESTROS ARQUITECTÓNICOS
MAESTROS ARQUITECTÓNICOS
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Le Corbusier Charles Édouard Jeanneret-Gris, más conocido, a partir de la década de 1920, como Le Corbusier (La Chaux-de-Fonds, Romandía, Suiza; 6 de octubre de 1887 – Provenza-Alpes-Costa Azul, Francia; 27 de agosto de 1965), fue un teórico de la arquitectura, arquitecto, diseñador y pintor suizo nacionalizado francés. Es considerado uno de los más claros exponentes del Movimiento Moderno en la arquitectura (junto con Frank Lloyd Wright, Oscar Niemeyer, Walter Gropius, Alvar Aalto y Ludwig Mies van der Rohe), y uno de los arquitectos más influyentes del siglo XX. Le Corbusier escribió varios libros en los que expuso sus ideas en forma complementaria a sus propios proyectos. La Segunda Guerra Mundial redujo sus posibilidades de proyectar, lo que hizo que dedicara más atención a la teoría. Entre los años 1942 y 1948 desarrolló el Modulor, un sistema de medidas en el que cada magnitud se relaciona con las demás según la Proporción Áurea y a la vez se corresponde con las medidas del cuerpo humano. El Modulor es aplicable al diseño funcional y estético en arquitectura y en objetos anatómicos en general. Con el Modulor retomó el antiguo ideal de establecer una relación directa entre las proporciones de los edificios y las del hombre.
“La arquitectura es poner orden ¿Qué hay que poner en orden? Funciones y objetos.” Le Corbusier - Arquitecto
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El modulor Le Corbusier interpreta de esta manera las tensiones relativas al ansia de un momento particular: el nuevo presagio de destrucción bajo la sombra siniestra del hongo atomico de Hiroshima; con una Europa liberada renaciendo de sus cenizas, tratando de reconstruirse para tener la certeza del presente y para confiar todavia en el hombre, en su capacidad para de recuperar la esperanza y en definitiva, para renacer. “El tiempo indicaba la exigencia del regreso del hombre, a su medida, para reencontrar la matriz de una proporcionalidad exacta de relaciones sociales, para reencontrar la incógnita que desde siempre resuelve la ecuacion del mundo” Es precisamente en aquel tiempo que Le Corbusier presenta en el modulor los resultados de tantos años de estudio de un trazado proporcional establecido por la medida humana, a usar como instrumento clarificador en fase de proyecto. Entendido como grille de proportion, el modulor esta formado por los prncipios de la seccion aurea replanteada en la propia e inmutable definicion de “expresion fundamental de un universo unitario…, proporcion basilar, que resuena en las cosas mas pequeñas y en las mas grandes, que armoniza cada cosa con el todo”.
El modulor es por tanto “una gama de dimensiones armónicas a la escala humana, aplicable universalmente a la arquitectura y a la mecanica”, representa un sistema “en el que se pretenden conciliar los deseos de orden y proporcion tipicos del renacimiento, basados en trazados reguladores geometricos y en series matematicas que comportan composiciones musicales, con la nueva cultura moderna de la construccion industrializada. Le Corbusier queria superar la dislocacion producida por el abstracto sistema metrico decimal, recuperando antropomorfismo de los sistemas de medidas tradicionales”.Desde 1947 esta invención fue dada al conocimiento pblico por Le Corbusier, pero el primer libro del tema: “Le Modulor” aparece en 1948. El segundo volumen fue publicado en 1954. El libro “Modulor I” cuenta sin pedanteria la historia de la invencion, tal como se extiende de 1942 a 1948; termina con verificaciones matematicas y geometricas que implican, en aquel momento, una tolerancia de 1/6000. - La “grille” proporciona tres medidas: 113, 70, 43 (en cm), que estan en relacion (aurea) 43+70=113, 113-70=43. Adicionadas dan: 113+70=183 (la altura del hombre promedio segun L.C.); 113+70+43=226 (hombre con el brazo arriba).
434359050938321243743333870516657149005907105670248879858043718151261004403814 880407252440616429022478227152724112085065788838712493635106806365166743222327 767755797399270376231914704732395512060705503992088442603708790843334261838413 597078164829553714321961189503797714630007555975379570355227144931913217255644 012830918050450089921870512118606933573153895935079030073672702331416532042340 155374144268715405511647961143323024854404094069114561398730260395182816803448 252543267385759005604320245372719291248645813334416985299391357478698957986439 498023047116967157362283912018127312916589952759919220318372356827279385637331 265479985912463275030060592567454979435088119295056854932593553187291418011364 121874707526281068698301357605247194455932195535961045283031488391176930119658 583431442489489856558425083410942950277197583352244291257364938075417113739243 760143506829878493271299751228688196049835775158771780410697131966753477194792 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Los cinco puntos de la nueva arquitectura En 1926 Le Corbusier presenta un documento donde expone en forma sistemática sus ideas arquitectónicas: los llamados «cinco puntos de una nueva arquitectura» representan una importante innovación conceptual para la época, aprovechando las nuevas tecnologías constructivas, derivadas especialmente del uso del hormigón armado (hasta entonces este material se usaba en viviendas y monumentos disfrazándosele de piedra esculpida con molduras): 1. Los «pilotis»: para Le Corbusier, la planta baja de la vivienda, al igual que la calle, pertenecía al automóvil, ya sea para circulación o aparcamiento, por este motivo la vivienda se elevaba sobre pilotis dejando toda la planta baja libre para permitir el movimiento de los vehículos. 2. La terraza-jardín: para Le Corbusier la superficie ocupada en planta por la vivienda debía de ser devuelta a la a la naturaleza en forma de jardín en la cubierta del edificio, conviertiendo el espacio sobre la vivienda en un ámbito aprovechable para el esparcimiento, que además permitía mantener condiciones de aislamiento térmico sobre las nuevas losas de hormigón. 3. La planta libre: aprovechando la acción conjunta de las losas de hormigón y los pilares metálicos, estos últimos tienen un consumo de suelo en la vivienda despreciable comparado con los muros de carga tradicionales o los pilares de ladrillo u hormigón. De esta forma, se mejora el aprovechamiento funcional y de superficies útiles, liberando a la planta de condicionantes estructurales. 4. La ventana longitudinal: por el mismo motivo del punto anterior, también los muros exteriores se liberan, y las ventanas pueden abarcar todo el ancho de la construcción, mejorando la relación con el exterior. 5. La fachada libre: complementario del punto anterior, los pilares metálicos se retrasan respecto de la fachada, liberando a ésta de su función estructural.
Su arquitectura resulta ser altamente racionalista, depurada (con el uso de materiales sin disimularlos; nota la posible belleza de las líneas depuradas, sin adornos, sin elementos superfluos) y con un excelente aprovechamiento de la luz y las perspectivas de conjunto, dando una sensación de libertad (al menos para el desplazamiento de la mirada) y facilidad de movimientos. Hoy en día la obra y el pensamiento de Le Corbusier siguen vigentes tanto en la práctica como en la enseñanza y en la teoría de la arquitectura. Como una de las figuras clave de la arquitectura moderna, la continuación del movimiento tiene en él y en sus obras un referente directo. Como uno de los precursores del brutalismo, sus trabajos posteriores han servido de base a corrientes arquitectónicas apoyadas en la tectónica y en diferentes enfoques regionalistas. Si bien para muchas figuras del pensamiento arquitectónico contemporáneo, la modernidad es un movimiento obsoleto, y por lo tanto las obras y premisas de su arquitectura no deben continuarse, hay un grupo importante de arquitectos (llamados neomodernos o simplemente modernos) que continúan haciendo arquitectura en el espíritu de Le Corbusier. Introdujo la proporción áurea en muchas de sus obras, por ejemplo se puede apreciar en el módulo de la Capilla de Notre Dame.
Diseño Editorial: Julieta Benítez Rojas Tipografía: ITC Officina Serif - 10/12 Colores: C 60 | M 0 | Y 10 | K 0 C 50 | M 0 | Y 30 | K 0 C 0 | M 0 | Y 0 | K 100 Papel Boreal Blanco 106gr. Se realizaron 5000 copias de este ejemplar. Este libro se terminó de imprimir en el mes de Octubre de 2013, en Buenos Aires, Argentina.