Tema iv numeros complejos uai uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

TEMA II: NÚMEROS COMPLEJOS

UNIDADES ACREDITABLES I

ANTECEDENTES HISTÓRICOS Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como C , siendo R el conjunto de los reales en donde se cumple que

R  C. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i ), o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

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TEMA IV: NĂšMEROS COMPLEJOS

UNIDAD IMAGINARIA

 1. Euler lo representó por el símbolo i que aún se usa en la literatura. Así, la unidad imaginaria es el número  1 y se designa por la letra i. Esto es:  1  i. O sea que i serå aquella cantidad que elevada al El número imaginario mås conocido es

 

2

cuadrado resulta  1. Claramente: i  i  i   1  1. Las leyes formales de operación para i son sencillas. En efecto, utilizando la Ley de los Signos, se tiene: 2

i  +1 = i; i  -1 = -i; -i  -1 = i; i  i = i 2 =  1; i  i  i = i 2  i =  1× i =  i; i  i  i  i=i 2  i 2=  1  1=1.

Con lo anterior se puede construir una tabla de las potencias de la unidad imaginaria:

i1 i3 i5 i7 ď ?

i i i i

1 1 1 1 ď ?

i2 i4 i6 i8 ď ?

ď ?

Esta tabla indica que las potencias impares de i son iguales a  i o  i y que las potencias pares de � son iguales a  1 o  1. Se cumple ademås que: i  1.

0

NOTA: Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuĂĄnto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada. Debemos destacar que el “sobranteâ€? o “restoâ€? que oscilarĂĄ entre 0 y 3 (lo cual es lo que nos importa para realizar los cĂĄlculos como vemos en el ejemplo de abajo).

22

Ejemplos: Hallar i .

SoluciĂłn: Como haciendo la divisiĂłn, tenemos que:

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2

22

4

2

5

, entonces:

Ă LGEBRA

TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS

 

i 22  i 4  i 2  1   1  1  1  1 5

Ejercicio: Demostrar que: i

27

5

 i

RAÍZ CUADRADA DE CUALQUIER NÚMERO NEGATIVO Podemos hallar la raíz cuadrada de cualquier número negativo como el siguiente:

 4  4   1  4   1  2  i.

Ejercicio: Demostrar que: a)  b)

 9  3  i 

5  2

10 i 2

Podemos definir a los números imaginarios de forma general: NÚMEROS IMAGINARIOS Un número imaginario se denota por bi, donde:  

b es un número real i es la unidad imaginaria

Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.

2

Ejemplo: Hallar las raíces de la ecuación x + 9 = 0 Solución: Tenemos que: x +9 =0  x =  9  x    9 2

2

Es decir: x1    9  x1   9   1  x1   9 

 1  3  i

Y

x2    9  x2   9   1  x2   9 

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3

 1  3  i

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NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA Al número z  a+bi le llamamos número complejo en forma binómica. En donde:  El número a es la parte real del número complejo, y se denotará como Re  z   a.

 El número b es la parte imaginaria del número complejo, denotado como Im z   b.

Además: 

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a+0i  a, con

Im z   0. 

Si a = 0 el número complejo se reduce a 0+bi  bi, y se dice que es un número imaginario puro, es decir, Re  z   0.

El conjunto de todos números complejos se designa por C. Se expresa:

C  a  bi / a, b  R Y tenemos que:  

Los números complejos a+bi y  a  bi se llaman opuestos.

Los números complejos z  a+bi y z  a  bi se llaman conjugados.

De lo anterior se concluye que el conjunto de los Números Reales es un subconjunto de los Números Complejos. Demos así la siguiente definición: Definición: (Igualdad de Complejos): Dos números complejos iguales siempre que: Re z1   Re z 2  y Im z1   Im z 2 .

z1 y

z 2 son

Ejemplo: Verificar para cuales valores de x e y los números complejos

z1  2 x  6i y z 2  10  3 yi sean iguales.

Solución: Debe cumplirse que las partes reales y complejas de los números deben ser iguales, es decir:

2 x  10  x 

 10 6  x  5 y 6  3 y   y  2  y 2 3

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4

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TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS

PLANO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS O DIAGRAMA DE ARGAND El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una función en el plano complejo.

Definición (El Plano Complejo):El plano complejo es un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas con la particularidad que en el eje X o de las abscisas se representará la parte real del complejo (EJE REAL), y en el eje Y o de las ordenadas se representará la parte imaginaria del mismo (EJE IMAGINARIO).

NOTAS: En el plano complejo los números imaginarios pueden ser representados como puntos o como vectores. Además, la suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos.

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.  El eje X se llama eje real y el eje Y se llama eje imaginario.

El número complejo z  a+bi se representa: 1. Por el punto su afijo.

a, b 

que se llama

2. Mediante un vector de origen 0,0  y extremo a,b .

 Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X .  Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, Y .

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5

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TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS

En este sentido, los Números Complejos se pueden expresar de varias formas: 1. FORMA BINÓMICA: Es la manera como se han presentado hasta ahora: Ejemplos:

1 1 z1=2+3i; z 2=  i; z3=  i  9; 3 2

z 4= 2;

z5=10i.

2. FORMA CANONICA O DE PAR ORDENADO: Se colocan, entre paréntesis y separadas por una coma, primero la parte real y segundo la parte imaginaria del complejo en cuestión.

Ejemplos: z1=2,3;

1  1  z 2= ,1; z3= 9, ; z 4=2,0 ; z5=0,10 .

2  3 

Nota: En los ejemplos anteriores que z 4 es real y que z5 es imaginario puro.

3. FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR (Será explicada más adelante).

Ejercicio: Representar los números complejos anteriores, tanto en forma binómica como en forma canónica o como par ordenado.

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS Sean z1  a+bi y z 2  c+di dos numero complejos, entonces se pueden realizar las siguientes operaciones: 1. SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS: La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.  

a+bi +c  di =a+c +b+d i a  bi -c+di =a -c +b -d i Ejemplo: Sean z1  5+2i, z 2  -8+3i y z3  4-2i, hallemos z  z1  z 2  z3 .

z  5+2i   -8+3i -4-2i = 5 -8 -4   2+3+2 i = -7+7i

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TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS





Ejercicio: Dados z1  3+5i; z 2  4i; z3  i  2; z 4   3,0  y z4  0, 3 .

Halla el resultado de:

z  z1  z 2  z3  z 4  z5 .

2. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS: El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i  1.

2

z1  z 2  a+bi   c  di =ac  db +ad+bc i Ejemplo: Sean z1  5+2i y z 2  2  3i, hallemos z  z1  z 2 .

z  5+2i   2-3i = 5  2-2  -3+5  -3  2  2 i = 10  6 + 15  4 i = 16 - 11i Ejercicio: Dados z1  3,2  y z 2   2,5, halla el valor de

z  z1  z2 .

CONJUGADO DE UN COMPLEJO: Llamaremos conjugados a dos complejos z que tengan sus partes reales idénticas pero sus partes denotados como z y imaginarias opuestas. Esto será: z  a+bi y z  a  bi.

Ejemplos: En forma binómica:

z 3  5i 2i 3i 8

En forma canoníca:

z

z

3  5i 2i  3i 8

z

 3,1   ,5

 3,1   ,5

e,0  0,0 

e,0  0,0 

0, 3  0, 3 

PROPIEDAD DE LOS COMPLEJOS CONJUGADOS: Al multiplicar dos complejos conjugados, el resultado es un número real positivo.

Ejemplo: Si

z  2  i, halla el producto de z  z .

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TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS

Resolución:

z.z  2  i 2  i   4  ( 1)    2  2 i  5

z.z  5

Por lo tanto:

Vamos a probar ahora la propiedad para cualquier par de complejos conjugados (Fórmula): Si tenemos que z  a+bi y z  a  bi, entonces:





z.z  a  bia  bi  a 2  (b 2 )  a.(b)  b.a i

 z.z  a

   0i

z.z  a 2  b 2   a.b  a.b i 2

 b2



z.z  a 2  b 2 (Fórmula)

3. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS: El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

a+bi ac  bd  bc  ad  = + i c  di c 2  d 2  c 2  d 2  Ejemplo: Sean z1  3+2i y z 2  1  2i, calcule z 

z = 

z1 . z2

3+2i 1  2i

3  1  2   2   2  1  3   2   i + 2 2 2 2  1   2  1   2  3   4   2  6  + i 1 4  1 4 

3 4 8 + i 5 5 1 8  + i 5 5 

NOTA: Para dividir números complejos multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Realice la demostración de esta fórmula.

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TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS

Ejercicios: Halla el valor de: 

z  3  2i 2i



z  27  8i 5  6i NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el

origen de coordenadas y su afijo. Se designa por z . Es dado por: r  z 

a2  b2 .

Ejemplo: Halla el módulo de z  3  4i.

Solución: De la fórmula tenemos que:

z  Por lo tanto:

(3) 2  4 2 

9  16 

25

z 5 ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real.

Se designa por Arg  z . El argumento de un complejo puede tomar infinitos valores que se diferencian entre sí por un número enteros de vueltas:

Arg  z     2k , con k  Z .

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TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS

Llamaremos argumento principal al que está comprendido entre 0,2  , o sea una vuelta; y se calcula usando cualquier función trigonométrica como por ejemplo: Sen 

a a b b b b    arcSen , Cos     arcCos , Tg     arcTg . r r a a r r

b prescindiendo de los a signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta: Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de

 0 0 , si b  0 y a  0   , en el cuadrante I   90 0 , si a  0 y b  0   b   180 0   , en el cuadrante II   arctg     180 0 , si a  0 y b  0 a  180 0   , en el cuadrante III  270 0 , si a  0 y b  0  0  360   , en el cuadrante IV Ejemplos: Halla el argumento de los siguientes complejos:

z1   2  2 .i

z2  7  5.i

Solución: 2

Argumento de z1:

Tg 

Por lo tanto:  

3  2k 4

Argumento de z2:

Tg 

 2

   arcTg  1

o

bien :   135 º 2k (360 º )

5    arcTg 0,714286 7

Por lo tanto:   1,8809 rad  2k

o

bien :   215,5376 º 2k (360 º )

FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO

En la figura:

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y

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Se tiene que: Sen  b

Y también: Cos  a 



de

donde

de

donde

b   .Sen ;

a   .Cos .

Ahora, como z=a+i b, sustituyendo obtenemos: z   .Cos     .Sen  .i ,

Lo cual organizándolo nos queda: z  .Cos  i.Sen , y ahora sacando el factor común resulta: z   Cos   i.Sen   , y por último llamando a la expresión Cos  i.Sen = Cis se tiene la “Forma Trigonométrica o Polar de Z”:

z  .Cis Ejemplo 1: Convierta de la forma polar a la forma binómica: z  2120º Solución: Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonométrica. Tomando en cuenta que: z  rα  r cos α  isenα . Así, z  2  cos120 0  isen120 0  z  2  cos120 0  2  isen120 0  1 De aquí que la parte real es dada por: a  2  cos120 0  2      1.  2  3   3.

Y la parte imaginaria es: b  2  sen120 0  2    2   Por tanto, el número complejo en forma binómica es dado por: z  1  3i

NOTA: Reales e imaginarios puros de módulo unidad:

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TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS

z =1180º = −1

z =10º = 1

z =1270º = −i

z =190º = i

Ejemplo 2: Pasar a la forma polar: z  1  3i Solución: Notemos que su modulo y argumento viene dados por:

12  



z



  arcTg



2

3  z  1  3  z  4  z  2.

 3     60 0.   1 

Y por tanto nos queda que: z  260º

NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES, CONJUGADOS, OPUESTOS E INVERSOS

NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES: Dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo argumento.

 r  r r  r        2k NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS: Dos números son conjugados si tienen el mismo módulo y opuestos sus argumentos.

complejos

r  r  r conjugado r        2k

NÚMEROS COMPLEJOS OPUESTOS: Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.

r  r  r opuesto r           2k Representaciones de los opuestos y conjugados:

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TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS

NÚMEROS COMPLEJOS INVERSOS: El inverso de un número complejo no nulo tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento su opuesto.

1 1   rα  r -α

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA

MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:  Su módulo es el producto de los módulos.  Su argumento es la suma de los argumentos.

Es decir:

rα  r  r  r    Ejemplo:

6450  3150  6  3450 150  18600

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TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS

PRODUCTO POR UN COMPLEJO DE MÓDULO 1 Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del origen.

rα 1  r   Representaciones:

DIVISIÓN DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:  Su módulo es el cociente de los módulos.  Su argumento es la diferencia de los argumentos.

Es decir:

rα  r    r  r     Ejemplo:

6450 3150

6    2300  3 450  300

POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:  Su módulo es la potencia n−ésima del módulo.  Su argumento es n veces el argumento dado.

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rα n  r n n Ejemplo:

2   2 4

300

4

 161200

4300

FÓRMULA DE MOIVRE

cos  isen n  cosn   isenn  Ejemplo:

cos  isen 4  cos4   isen4  RAÍZ DE NÚMEROS COMPLEJOS Raíz enésima de complejos en forma polar:

n

r

Tenemos que la raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que: Su módulo es la n raíz enésima del módulo. r  n r

Su argumento es:

 

  2k n

, con k  0,1,2,3, n  1.

Así: n

r  n r   2 k n

Ejemplo: Hallar

6

1 i

Solución: Sea

z  1  i, tenemos que su módulo es:

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TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS

z  12  12  2 Además, su argumento es:

1 1

  arctag   450 Por tanto, tenemos que:

z

 2

450

Luego: 6

 2

k

De donde:

z  6

 2 

12

2

Y obtenemos:

k  0  k  1  450  360 0 k k  2   6 k  3  k  4 k  5 

 2   67 30 z   2    127 30 z   2    187 30 z   2    247 30 z   2    307 30 z   2  1  7030 z1 

12

0

12

2

67 0 30

2

0

3

12

3

0

4

12

4

0

5

12

5

0

6

7 0 30

12

6

1270 30 1870 30 2470 30

3070 30

Es decir:

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TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS

EJERCICIOS DE NÚMEROS COMPLEJOS 37

1. Hallar i .

2. Halla el valor de “z”, donde z  2.i1942  3.i 2003  5.i821  3.i 2225  2.i 59  5.i 3. Hallar las raíces de la ecuación x  x  1=0.

2





4. Verificar para cuales valores de x e y los números complejos z1  x  4  8i y 2

z 2  4 x   x  y i sean iguales.

5. Verificar para cuales valores de x e y los números complejos z1   x  y   xi y z 2  6   y  2 i sean iguales.

1 1   6. Sean los números complejos: z1= 2,3; z 2= ,1; z3= 9, ; z 4=2,0 ; 2 3   z5=0,10 . Representarlos en el plano complejo. Expresarlos en forma binómica.

7. Sean z1  5+2i, z 2  8  3i y z3  4-2i. Hallar: a) z  z1  z 2  z3 . b) z  z2  z3 . c) z 

z1   z3 . z2

8. Pasar a la forma polar y trigonométrica: z  1  3i.

9. Escribir en forma binómica: z  2600 10. Calcular todas las raíces de la ecuación: x 6  1  0.

11. Determina las soluciones de x  5

2  2 .i  0 .

4

12. Determina 81Cis40º .

13. Realiza las siguientes operaciones:

3 

3

a) b)

200

2 600

1  i 10

c)

1  3i 

d)

3

6

1  i 3 i

5 14. Resuelve la siguiente raíz 10  10i , expresando los resultados en forma polar.

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TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS

15. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 2i y su conjugado.

16. Calcula la siguiente operación, dando el resultado en forma polar.

2  3i   3  2i  3  2i   2  i  17. Calcula el valor de cociente, y representa los afijos de sus raíces cúbicas.

i 7  i 7 2i 18. Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:

   8 cos  isen  2 2  19. Expresa en función de

cos

y

sen  :

a) cos5a b) sen5a 20. Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de: a) 4  4i b)  2  2i 21. Calcular todas las raíces de la ecuación: x  32  0 5

22. Expresa en función de cos y sen  : a) cos3a b) sen3a 23. Sabiendo que: z1  1  i, z 2  1  i. Calcular el valor de z E  3 1  z2

9

 z    2 2    z1 

5

24. Hallar el valor de “ b ” para que el siguiente cociente :

3  2bi ; sea un número 4  3i

real.

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25. Calcular las raíces del siguiente número complejo W  3

5  3i.

26. Demostrar que:

1  i 31  icos  isen   2

2e

7      12  

i

27. Graficar Rez 2   0.

PROBLEMAS DE NÚMEROS COMPLEJOS 1. Calcula k para que el número complejo que obtenemos de la siguiente división esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

2i k i

SOLUCIÓN: k  3

2. Halla el valor de k para que el cociente

2  ki sea: k i

a) Un número imaginario puro. b) Un número real.

SOLUCIÓN: k  0, k   2 3. Se considera el complejo 2  2 3i, se gira 45° alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj.

Hallar el complejo obtenido después del giro.

SOLUCIÓN: z  41055 4. Hallar las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 190°.

SOLUCIÓN:  3 1    3 1 3 1 3 1 z1   , , z 2  0,1, z3    , , z 4    , , z5  0,1z 4   ,  2 2 2 2 2 2 2 2       

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5. Determina el valor de a y b para que el cociente

a  2i sea igual a: 3  bi

 2

3150

SOLUCIÓN: a  8, b  5 6. ¿Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i?

SOLUCIÓN:  1,2  7. Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2).

SOLUCIÓN: z1  2,0, z2  0,2, z3   2,0, z4  0,2 8. La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y polar.

UNA FÓRMULA MARAVILLOSA Relaciona los números imaginarios (i = raíz cuadrada de (–1)), con las potencias (número e y logaritmos neperianos) y con las funciones trigonométricas. Permite recordar, sin esfuerzo, fórmulas trigonométricas como la del seno o coseno de una suma de ángulos, del ángulo doble o mitad, y calcular, con facilidad, derivadas de funciones trigonométricas.

ei  cos  isen

Esta es la Fórmula de Euler: Y cuando    , tenemos que:

ei  1 o bien ei  1  0 Para finalizar, se enunciará la opinión que emitió alrededor de la cuarta década del siglo XX el eminente científico John von Neumann acerca de los números complejos: “Hace 150 años, uno de los problemas más importantes de la ciencia aplicada -de la que dependía el desarrollo de la industria, comercio y gobierno- era el problema de salvar vidas en el mar. Las estadísticas sobre esas pérdidas eran terribles.

El dinero y los esfuerzos empleados en resolver el problema eran también terríficos, los matemáticos desarrollaban una herramienta que salvaría más vidas que las que esperaba salvar el grupo de excéntricos inventores. Esa herramienta se llegó a conocer como la teoría de Funciones de Variable Compleja.

Entre las muchas aplicaciones de esta noción puramente matemática, una de las más fructíferas es la Teoría de la Comunicación por Radio.”

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TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS  

    

Baldor, A. “Álgebra”. Distribuidora Cultural Venezolana S.A. Barreto, J. (2014). La recta numérica y el plano cartesiano: Un estudio desde los números naturales hasta los números complejos. Colección de Secundaria. (6). https://www.createspace.com/5137020 Churchill, R. (1992). Variable Compleja y Aplicaciones. Quinta Edición. McGrawHill, México.

Edminister, J. (1981). Circuitos eléctricos. Serie de Compendios Schaum, McGrawHill/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A. Mendiola, E. “Matemáticas 4to. Año”. Editorial Biosfera S.R.L. Capítulo VII Jiménez, J y Salazar, J. “Matemáticas Primer Año, Ciclo Diversificado.”. Ediciones CO-BO. Caracas.

Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.

Editorial Reverté.

INTERNET: http://www.vitutor.com/di/c/a_11.html#

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