Tema v vectores nivelacion fisica uai uney by Ιούλιος Καίσαρας Μπαρέτο Γκαρσία

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

NIVELACIÓN DE FÍSICA SOBRE VECTORES

UNIDADES ACREDITABLES I

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulo:

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son los que están "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:

1) Los ángulos correspondientes son iguales entre sí. 2) Los ángulos alternos internos son iguales entre sí. 3) Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

Ángulos formados paralelas cortadas transversal.

por rectas por una

TEMA V: VECTORES

TIPOS DE ÁNGULOS FORMADOS Ángulos correspondientes entre paralelas.

Ángulos alternos entre paralelas.

Externos

1=7

1=5 2=8 2=6 3=7

Internos

3=5

4=8

4=6

Ángulos contrarios o conjugados.

Ángulos colaterales.

Son suplementarios (suman 180°)

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro. En la figura los ángulos a, c y b, d son opuestos por el vértice. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

Realice las siguientes demostraciones:

1. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 2. Si dos ángulos alternos internos son congruentes entonces los otros dos ángulos alternos internos también lo son. 3. Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal de rectas paralelas, son suplementarios. Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal de rectas paralelas, son suplementarios. 4. Toda transversal forma con dos paralelas ángulos alternos externos congruentes. 5. Toda transversal forma con dos paralelas ángulos alternos internos congruentes 6. La suma de los ángulos interiores de un triángulo, es igual a dos rectos (180º). 7. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, es igual a 90º. 8. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos. 9. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente. 10. La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos rectos (360º).

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES LEY DE LOS COSENOS En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados MENOS el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman, así:

a 2 = b2 + c2 - 2  b  c  Cos A b 2 = a2+ c2 - 2  a  c  Cos B c 2 = a2+ b2 - 2  a  b  Cos C De las anteriores expresiones podemos despejar los ángulos y obtener: b2  c2  a2 Cos A  2b c

a2  c2  b2 Cos B  2ac

a 2  b2  c2 Cos C  2 a b

Esta ley se aplica cuando: Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (L-A-L). Se conocen los tres lados (L-L-L). LEY DE LOS SENOS En todo triángulo oblicuángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos así: Seno A SenoB SenoC   , Donde A, B, C son ángulos y a, b, c lados del triángulo a b c

Esta ley se aplica cuando se conocen: Dos ángulos y un lado (A - L–A). Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L–L–A).

Ejemplos: 0 1) Resuelve el siguiente triángulo: a  2, b  3,   60 . Según la figura:

Solución: Usando la ley del coseno

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES

c 2 = a 2 + b2 - 2ab cos()  c 2  2  + 3 - 223cos60°  2

1  c 2 = 4 + 9 - 12  2  c 2 = 13 - 6  c2 = 7 c=

Determinemos los ángulos  y  .

Para : a 2=b 2+c 2  2 bc cosα   cosα =

b 2 + c 2 - a2 2 bc

3 2 + 7   2 2  cosα = 2 3  7  9+7  4  cosα = 2 3  7  2  cosα  = 2

 2  = cos1    7 = 400 53 36,22 P ara  :

b 2=a 2+c 2  2 ac cos   cos  =

a 2 + c 2 - b2 2 ac

 2 2 +  7   3 2  cos  = 2  2  7  4+7 9  cos  = 2

cos   =

 7 1

2 7

 1    = cos1   2 7   = 79° 6 23,78 Ejercicio: Use la Ley del seno para hallar estos ángulos. Note que la suma de los tres ángulos es 180°. PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES

α+ β + γ = 40 0 53 36,22 + 79° 6 23,78 + 60° = 180°. 2) Resuelva el triángulo presentado en la figura. Dado: α = 35°, β =15° y c = 5. Según la figura:

Solución: De acá tenemos que:

α+ β + γ = 180°  35° + 15° +  = 180°  50°    180°    180°  50°    130° Luego, usando la ley del seno:

sin  sin  sin    a b 5 De aquí, tenemos que:

   

sin  sin  5 sin  5 sin 35 0   a  a  3,74  a. a 5 sin  sin 130 0

   

sin  sin  5 sin  5 sin 15 0   b  b  1,69  b. b 5 sin  sin 130 0

Nota: La fórmula para la ley de senos es:

sin  sin  sin    a b c

en cuenta que no hay diferencia si la tomas así:

y debemos tener

a b c pero no las puedes   sin  sin  sin 

mezclar.

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES Ejercicio: I.

A partir de la figura dada determine los elementos restantes del triángulo teniendo en cuenta las condiciones de cada caso y una de las leyes conocidas: a) b) c) d) e) f)

  65 ,   50 , b  12   60 , a  7 , c  7

C 

a=7, b=9, c=12   5630' , b  10 , c  5   120 , a  4 , c  8 c  5, b  3 , a  6

b A



 c

TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados las longitudes de los catetos.

a 2  b2  c 2 . Inversamente: Si en un triángulo cuyos lados miden a, b y c se verifica que: a  b  c . Entonces el triángulo es rectángulo. 2

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

1. Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa:

a 2  b2  c 2  a  b2  c 2 Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES

a 2  3m   4m   a  2

3m2  4m2

 a  5m 2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto:

 c  a 2  b 2 a b c   2 2  b  a  c 2

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?

5m 2  3m 2  c 2  c  5m 2  3m 2  c  4m

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Sea el triángulo rectángulo ABC, en donde

A y B son ángulos agudos y

el ángulo C es rectángulo, y además los lados “ a ” y “ b ” Se llaman catetos y el lado “ c ” se llama hipotenusa. En función del ángulo A, el lado “ a ” se llama cateto opuesto y el lado “ b ” cateto adyacente. Veamos la figura:

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES Luego: El Seno del ángulo x (sen x) en un triángulo rectángulo, es la razón que existe entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c). sen x 

Cateto opuesto a x hipotenusa



a c

El Coseno del ángulo x (cos x) en un triángulo rectángulo, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo x (b) y la hipotenusa (c) de dicho triángulo. cos x 

Cateto adyacente a x b  hipotenusa c

La Tangente del ángulo x en un triángulo rectángulo, es la razón existente entre el cateto adyacente (b) y el opuesto (a) al ángulo. tag x 

Cateto opuesto a x a  Cateto adyacente a x b

La Cotangente del ángulo x en un triángulo rectángulo es la razón existente entre el cateto adyacente (b) y el apuesto (a) al ángulo x. ctg x 

Cateto adyacente a x b  Cateto opuesto a x a

La Secante del ángulo x (Sec x) es la razón que existe entre la hipotenusa (c) y el cateto adyacente (b) a x en un triángulo rectángulo.

sec x 

hipotenusa c  Cateto adyacente a x b

La Cosecante del ángulo x (Csc x) en un triángulo rectángulo es la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto a x.

csc x 

hipotenusa c  Cateto opuesto a x a

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR EN EL PLANO. Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se les denomina componentes. .

Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes rectangulares. En la figura 2 se ilustran las componentes rectangulares del vector rojo.

Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones a x  a cos a y  asen

Teniendo en cuenta que:

a  ax  a y ay tan   ax 2

Las 2 primeras ecuaciones son para hallar las componentes rectangulares del vector a. y las 2 últimas son para hallar el modulo del vector a (por Teorema de Pitágoras) a partir de sus componentes rectangulares. La última ecuación es para hallar la dirección del vector  (ángulo) con la función trigonométrica tangente, a partir de lo cual se halla el sentido. Ejemplo: Una fuerza tiene magnitud igual a 10.0 N y dirección igual a 240º. Encuentre las componentes rectangulares y represéntelas en un plano cartesiano.

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES

   10.0sen 240   8.6 N

Fx  10.0 cos 240 0  5.0 N Fy

El resultado nos lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo igual a 5.00 N y apunta en dirección negativa del eje X. La componente en Y tiene módulo igual a 8.66 y apunta en el sentido negativo del eje Y. Esto se ilustra en la figura:

  8.6  0 0 0 0 Y la dirección es   tan 1    180  59.8  180  239 .8 en sentido Oeste  5.0  Sur (Soroeste).

EJERCICIOS RESUELTOS DE LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO 1.

Suponga que se tiene tres cargas puntuales localizadas en los vértices de un triángulo recto, como se muestra en la figura:

Solución:

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES Datos e incógnitas

q1 = -80 C

New  m 2 k  9  10 c2 9

q2 = 50 C q3 = 70 C

F q3   ?

AC = 30cm AB = 40cm

Transformaciones q1 =  80 C

10 6 C  80  10  6 C 1C

q2 = 50 C

10  6 C  50  10  6 C 1C

q3 = 70 C

10  6 C  70  10  6 C 1C

1m  0,3m 100 cm 1m AB = 40cm   0,4m 100 cm AC = 30cm 

Hallemos la separación entre q3 y q1 se obtiene usando el Teorema de Pitágoras: 2

CB = AC + AB  CB = ( 0,3 m)2 + ( 0,4 m)2 2

 CB = 0,09 m2  0,16 m2 2

 CB = 0,25 m2  CB= 0,25 m2  CB= 0,5m

Las direcciones de las fuerzas sabemos coinciden con las líneas que unen a cada par de cargas puntuales.

 La fuerza que

q1 ejerce sobre q3 , F13, es de atracción.  La fuerza que q2 ejerce sobre q3 , F23 , es de repulsión.

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES Análisis Vectorial

Las fuerzas

F13 y F23 tienen las direcciones que se indican en la figura de abajo:

Calcular la fuerza sobre la carga

q3 debida a las cargas q1 y q2 .

Las magnitudes de tales fuerzas son:

F13 = 9 x109

New  m 2 80 x10 - 6 C  70 x10 - 6 C C2 0.5 m2

F13 = 201,6 New New  m 2 50 x10 - 6 C  70 x10 - 6 C F23 = 9 x10 C2 0.3 m2 9

F23 = 350 New Conviene disponer ejes coordenados xy tal como se indica en la figura, con el origen en la carga donde deseamos calcular la fuerza resultante, en este caso en

q3 .

Llamando F q3  a la fuerza resultante sobre q3 , entonces: PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES

F q3 = F13 + F23.

Luego, en términos de componentes

x e y:

F q3 x = F13x + F23x F q3 y = F13 y  F23 y De acuerdo con la figura:

Luego:

 0,4  F13x = F13 cos θ  F13x =201,6 New     0,5   F13x = 161,3 New;  0 ,3  F13 y = F13senθ  F13 y = 201.6 New     0 ,5   F13 y = 121 New;

F23x = 0 New;

F23 y = F23  350 New. De acá tenemos:

F q3 x = 161,3 New + 0 New = 161,3 New; PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES

F q3 y = 350 New  121 New = 229 New;

La magnitud de la fuerza neta F q3  se obtiene de aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo resultante:

F q3  = F q3 x + F q3  y 2

F q3  = 161,3 New + 229 New 2

F q3  = 26017 ,69 New 2 + 52441 New 2 2

F q3  = 78458 ,69 New 2 2

F q3  = 78458 ,69 New 2 F q3  = 280 New

El ángulo de esta fuerza se obtiene de

tgθ 

F3 y F3 x

 tgθ 

229 New 161.3 New

 tgθ  1.42

  = arctg 1.42     54,8 0

Con sentido Este-Norte (Noreste).

CAMPO ELÉCTRICO E

F q

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

E

kQ r2

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES Donde:

E : Campo eléctrico, intensidad del Campo eléctrico. F : Fuerza eléctrica. q : Carga, magnitud de la carga colocada en el Campo eléctrico.

Se dice que existe un campo eléctrico en una región del espacio en la cual una carga eléctrica experimentará una fuerza eléctrica. La magnitud de la intensidad del campo eléctrico ( E ) se da por la fuerza ( F ) por unidad de carga ( q ).

Si q es (+): E y F la misma dirección.

tendrán Si q es (-) la fuerza (F) estará dirigida opuestamente a E.

Ejercicios:

1) ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico a una distancia de 2m de una carga de  12 C ? Solución: Datos e incógnitas

E ? r  2m New  m 2 C2 Q  12C k  9  10 9

Transformación Q  12 C 

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

10 6 C  12  10 6 C 1C

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES Análisis vectorial

Luego:

E

2 6 kQ New 9 New  m 12  10 C  E  9  10  27  10 3 . 2 2 2 r C C 2m

2) Dos cargas puntuales Q1=  6C y Q2=  6C , están separadas 12 cm, como se muestra en la figura:

Determínese el campo eléctrico en el punto A y en el punto B. Solución: Datos e incógnitas EA  ? EB  ?

d  12cm k  9  10 9

New  m 2 C2

Q1=  6C Q2=  6C

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES Transformación

Q1  6C 

10 9 C  6  10 9 C 1C

Q2  6C 

10 9 C  6  10 9 C 1C

Nota: Realizar las transformaciones de las distancias. Análisis Vectorial Esta dado en la figura del enunciado. Calculemos el Campo eléctrico en punto A: El campo eléctrico en A debido a Q1 : E1 

2 9 kQ1 New 9 New  m 6 x10 C  9 x 10  3,38 x10 4 . (Izquierda) 2 2 2 r C C 0,04m

Y en punto A: El campo en A debido a Q2 : E2 

2 9 kQ2 New 9 New  m 6 x10 C  9 x 10  8,43 x10 34 . (Izquierda) 2 2 2 r C C 0,08m

Puesto que los vectores tienen la misma dirección y sentido, la intensidad resultante en A es: E A  E1  E2  3,38 x10 4

New New New  8,43 x10 34  4,22  10 4 . (Izquierda) C C C

El campo B ejercido por Q1 y Q2 , se sigue del análisis vectorial:

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES Luego: E1 

2 9 kQ1 New 9 New  m 6 x10 C  9 x 10  6,66 x10 3 . 2 2 2 r C C 0,09m 

E2 

2 9 kQ2 New 9 New  m 6 x10 C  9 x 10  2,4 x10 3 2 2 2 r C C 0,15m 

La ∑ vectorial del campo eléctrico E :

E

 

New C New   E2  sin 37 0  2,4  10 3  sin 37 0  1,44  10 3 C 3 New E1 y  666  10 C

 E2 x   E2  cos 37 0  2,4  10 3  cos 37 0  1,92  10 3

  E2 y E   y   

 

De donde se puede comprobar que:

 

E

 5,220 10 3

New y así: C

 Módulo: 2

New    2 2 3 New  E  E x  E y    1,92  10 3    5,220  10  C   C   E  5,56  10 3

New C

 Dirección:  3 New    5,220  10  C   R  arctg   3 New    1,92  10  C  

 R  69,80 0.  Con sentido Este-Norte (Noreste).

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I

TEMA V: VECTORES

VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ángulos Funciones Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

0°

90°

180°

270°

360°

0 1 0 No 1 No

1 0 No 0 No 1

0 -1 0 No -1 No

-1 0 No 0 No -1

0 1 0 No 1 0

VALORES NOTABLES Ángulos

30º

45º

60º

Razones Seno

1 2

Coseno

3 2

Cotangente Secante

3 3 3

3 3 2

Cosecante

2 2 1

Tangente

2 1 2 3

3 3 2

2 2

3 3

Sistema Sexagesimal (DEG): Es el sistema cuyas unidades de medidas van de 60 en 60. La unidad del sistema sexagesimal en la medida de ángulos, es el grado (° sexagesimal), el cual se define como la medida central del ángulo subtendido por un arco de círculo igual a 1/3600 ava parte de la circunferencia de un círculo. 1 ava parte de un grado; 60 1 1 Un segundo (”) es la ava parte de un minuto, o sea ava parte de un grado. 3600 60

Un minuto ( ̓ ) es la

PROFESOR: JULIO C BARRETO G

TRAYECTO I