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PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

TEMA V: VECTORES

UNIDADES ACREDITABLES I

ANTECEDENTES HISTÓRICOS El álgebra lineal hace su aparición en la Matemática específicamente en el siglo XVII, con trabajos de dos matemáticos franceses como lo son Pierre Fermat (1601-1665) y René Descartes, pero debemos tener en cuenta que su estudio estuvo limitado hasta el final del siglo XVIII, al plano y al espacio ya que la extensión a espacios vectoriales de dimensión n  3 tiene lugar en la primera mitad del siglo XIX. Giuseppe Piano (lógico y matemático italiano, 1858-1932) define en 1888 de manera axiomática los espacios vectoriales de cualquier dimensión y Otto Teoplitz (matemático alemán, 01/08/1881-15/02/1940), extiende a los espacios vectoriales más generales sobre cuerpos cualesquiera, los principales teoremas del álgebra lineal.

El álgebra lineal ocupa un lugar importante en la matemática debido a sus aplicaciones a diferentes ramas de la matemática y de la física, teniendo en cuenta que se adapta particularmente al cálculo automático, de ahí la importancia que ocupa fundamentalmente en el análisis numérico y en la investigación de operaciones. Por esto es de vital importancia que todo estudiante a nivel universitario, debe adquirir el conocimiento básico del algebra lineal.

VECTORES Y EL ESPACIO n-DIMENSIONAL Antes que todo llamaremos espacio n -dimensional R n al conjunto de ternas ordenadas a  (a1 , a 2 ,, a n ) donde a1 , a 2 ,, a n son números reales.

DEFINICIÓN: Un vector es cualquier punto de R n y, en general se designa con una letra negrita a , b, c, x , y,, o también en mayúsculas por P , Q, R, (Los físicos los designan con  una letra y una flecha arriba como por ejemplo a ).

El opuesto de un  a  (a1 ,a 2 ,,a n ) .

a

vector

es

el

vector

 a,

que

viene

definido

El vector cero es el vector 0 dado por el punto (0,0,,0).

Se llama longitud, magnitud o módulo de un vector a  (a1 , a 2 ,, a n ) al número real:

a

a1  a 2    a n .

2

2

2

Es evidente que a  0 y a  0 si y sólo si a  0.

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TRAYECTO I

ÁLGEBRA

por

TEMA V: VECTORES OPERACIONES CON VECTORES ADICIÓN DE VECTORES Dados dos vectores a  (a1 , a 2 ,, a n ) y b  (b1 , b2 ,, bn ) de R n , la suma de a  b es el vector definido por a  b  (a1  b1 , a 2  b2 ,, a n  bn ).

DIFERENCIA DE VECTORES Sean los vectores a y b, le diferencia es el vector a  b  a  (b), donde  b es el vector opuesto de b el cual ya fue definido.

PRODUCTO POR UN ESCALAR Si k es un número real y a  (a1 , a 2 ,, a n ) es un vector, el producto de un vector por un escalar k a se define como el vector k a  (ka1 , ka 2 ,, ka n ).

EJEMPLOS: Sean los vectores a  (1,2,0) y b  (0,1,1). Entonces

a  b  (1,2,0)  (0,1,1)  (1  0,2  1,0  1)  (1, 1,1).  a  (1,2,0)  (1,(2),0)  (1,2,0).

b  a  (0,1,1)  (1,2,0)  (0  1  1  2,1  0)  (1,3,1). a  (1) 2  (2) 2  (0) 2  1  4  0  5.

EJERCICIO: Dados los tres vectores a  (5,2,6), b  ( 2,8,7), c  (9,7,4) y el escalar k  5 calcular: a  b,  b, a  b, a  (b  c ), ka , kb, kc , a , b , c PROPIEDADES DE LOS VECTORES La adición de vectores cumple con las siguientes leyes: Dados tres vectores a , b y c tenemos que:

A 1  a  b  b  a (Ley conmutativa) A 2  (a  b)  c  a  (b  c) (Ley asociativa) A 3  Para todo vector a existe un vector nulo

0 tal que 0  a  a  0  a (Elemento neutro o

nulo de la adición) A 4  Existe un vector  a para todo vector a tal que a  (a)  0 (Elemento opuesto)

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ÁLGEBRA

TEMA V: VECTORES La multiplicación de un escalar por un vector cumple las siguientes leyes: Dados dos vectores a , b y dos escalares k1 , k 2 en R tal que se cumple:

M 1  k1 (k 2 a )  ( k1k 2 )a  k1k 2 a M 2  (k1  k 2 )a  k1 a  k 2 a (Ley distributiva) M 3  k1 (a  b)  k1a  k1b (Ley distributiva) M 4  1a  a (Elemento neutro del producto) VECTOR UNITARIO Se llama vector unitario a un vector u cuya longitud es igual a la unidad. En general, el símbolo ua servirá para denotar un vector unitario de la misma dirección y el mismo sentido que el vector a , diferente de cero. Es claro que tal vector unitario se obtiene al multiplicar a por a 1 , es decir, u a  . Este proceso se llama normalización. a a EJERCICIO: Verificar que en realidad el vector ua es un vector unitario.

Recordemos que se dice que un vector a tiene igual dirección y sentido que otro vector b, diferente de cero, si para cualquier k  0, es a  kb. En caso que se cumpla que a  kb, b  0 y k  0, entonces se dice que a tiene igual dirección que b pero sentido opuesto. En el primer caso los físicos dicen que los vectores son paralelos y en el segundo que son antiparalelos.

Además, para que un vector quede unívocamente determinado es necesario tener su dirección, sentido y longitud.

OBSERVACIÓN: Un espacio n -dimensional o también llamado euclidiano se clasifican así: R 1 = espacio unidimensional, línea recta real.

R 2 = espacio bidimensional, pares ordenados.

R 3 = espacio tridimensional, terna ordenadas. .......

R n = espacio n-dimensional, n-adas ordenadas o n -uplas.

ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO Para encontrar el ángulo entre dos vectores distintos de cero usamos la fórmula: (u1v1 u 2 v 2    u  v 

Cos φ 

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TEMA V: VECTORES Dados los vectores son u  u1 , u2  y v  v1 , v2 como producto punto o producto interno de dos vectores.



y donde u1v1  u2 v 2 se denota

EJEMPLOS: 1) Halla el ángulo que forman los vectores u  (3,2,6) y v  (4,5,1) Solución: Calculemos lo siguiente:

u.v  12  10  6  4 || u || 9  4  36  49  7 ; || v || 16  25  1  42 Luego, cos  

u.v 4  . || u || . || v || 7 42

Buscando con la calculadora el ángulo cuyo coseno es

4 7 42

, se obtiene el siguiente

ángulo:   84,94º

2) Halla el valor de a para que los vectores u  (2,1,5) y v  (a,2,6) , sean perpendiculares.

Solución: Para que sean perpendiculares, el producto escalar ha de ser nulo, por tanto,

(2,1,5).(a,2,6)  0   2a  2  30  0 Y de aquí se obtiene a  16.

El producto punto para R n se denota u  v  u1v1  u2 v 2  ...  un v n las propiedades que cumple son: Donde c es un escalar y que u, v , w son vectores cualesquiera en R n .

1) u  v  v  u (Ley de simetría) 2) u  (v  w )  u  v  u  w (Ley distributiva) 3) c u  v   cu  v  u  cv u  v  4) v  v  0 y v  v  0 si sólo si v  0 (El producto interno es positivo) 5) v  v  v

2

(Definición de norma de un vector)

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TEMA V: VECTORES DESIGUALDAD DE CAUCHY – SCHWARZ La desigualdad de Cauchy – Schwarz dice que | u  v |  || u || || v || donde | u  v | es valor absoluto de u  v donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el ángulo entre dos vectores en R n así: Cos φ 

u  v u v

Esta fórmula nos define ángulos entre dos vectores, si u  v  0 se dice que los ángulos son ortogonales.

LA DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO Dice si u y v son vectores entonces || u  v ||  || u ||  || v ||.

EL TEOREMA DE PITÁGORAS Este dice si u y v son vectores entonces || u  v ||2  || u || vectores ortogonales. ¿Será cierto que: || u  v ||2  || u ||

2

2

 || v || 2 solo para

 || v || 2 ?

Dar una interpretación geométrica.

EJERCICIOS: 1. Dados los vectores u  (2,1,3) y v  ( 4,2,2), hallar u , v y el ángulo que forman los vectores u y v .

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ Sea e1 , e 2 , e 3  una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextrógira y los vectores u  u1e1  u2 e 2  u3 e3 y v  v1e1  v 2 e 2  uv3 e3 .

Se llama producto cruz o producto vectorial de u y v , se representa por u  v , al vector u  v  u2 v 3  u3 v 2 e1  u3 v1  u1v 3 e 2  u1v 2  u2 v1 e 3  e1 e 2 e 3     det u1 u2 u3  Definición de determinan te de una matriz. v v v 3  2  1  u u3   u u3   u u1  e1  det 1 e 2  det 1 e 3 Metodos de los cofactores.  det 2 v 3 5 1  v2 v2   v 2 Cv 3BARRETO   vG PROFESOR: JULIO ÁLGEBRA

u  v  u2 v 3  u3 v 2 e1  u3 v1  u1v 3 e 2  u1v 2  u2 v1 e 3

TEMA V: VECTORES

 e1 e 2 e 3     det u1 u2 u3  Definición de determinan te de una matriz. v v v 3  2  1  u u3   u u3   u u1  e1  det 1 e 2  det 1 e 3 Metodos de los cofactores.  det 2  v2 v2   v2 v3   v1 v 3 

Las propiedades del producto cruz son: Sean los vectores u, v , w y un escalar c en los números reales: 1. u  v  v  u  (Ley anticonmutativa).

2. uv  w   u  v  u  w (Ley distributiva).

3. c u  v   cv  u  v  cu 4. u  u  0 EJEMPLOS: 1) Calcula el producto vectorial de los vectores u  (1,7,3) y v  (5,0,4).

Solución: Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo: u  1, 7 , -3

v  -5, 0, 4

Luego,

 7 -3 -3 1 1 7    (28, 11, 35) u  v   , ,  0 4 4 5 5 0   2) Dados los vectores u  (3, 2, 5) y v  (4, 1, 6), halla un vector perpendicular a ambos y el área del paralelogramo que determinan.

Solución: Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial: u  (3, 2, 5) v  (4, 1, 6)

Luego,

 2 5 5 3 3 2   (7, 2, - 5) u  v   , ,   1 6 6 4 4 1 El producto vectorial puede obtenerse también desarrollando el siguiente determinante:

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TEMA V: VECTORES i

j k

u  v  3 2 5  12i  20 j  3k  8k  5i  18 j  7i  2 j  5k  (7,2,5) 4 1 6

El área del paralelogramo que determinan es el módulo del producto vectorial: Área = || u  v || 7 2  2 2  (5) 2  78 O bien, Área =

78 u 2

3) Halla un vector w cuyo módulo sea 4 y además perpendicular a u  (2,0,1) y v  (3,1,2).

Solución: Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a  0 1 1 2 2 0   (1,1,2) . Lo dividimos por su , , cada uno de ellos, por tanto, u  v    1 2 2 3 3 1   módulo para obtener un vector de módulo unidad: u  v  (1,1,2) . Es perpendicular a u y a v.

|| u  v || 12  (1) 2  (2) 2  6 ;

uv 1  (1,1,2)   1 ,  1 ,  2  6 6 6 || u  v ||  6

El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado:

 1 1  2   2 6  2 6  4 6   w  4 , ,    , , 3 3   6 6 6  3 VERSOR Representación gráfica del versor asociado a un vector: 





u u u

u



u

1 



u

u u

VECTOR PROYECCIÓN 



Se necesita obtener la proyección del vector a en la dirección del vector b . Ello se 

simboliza: Proy a b

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TEMA V: VECTORES 



a



Proy a  k b b





Proy b a

b

b

PROPIEDADES   Sea x  Proy a, entonces verificar geométrica y algebraicamente se cumple que:  b

   ii. a  x   b

  i. x b

    a iii.  a  x   x

EJERCICIOS: 1. Los vectores a  i  2k , b  2i  j  k y c  i  2 j  2k están expresados en una base ortonormal. Calcula: a  b; a  (c  a) y a.(a  b).

Solución: a  b  2i  5 j  k ; a  (c  a)  8i  10 j  4k ; a.(a b)  0 2. Demuestre

que

sí

u

y

v

son

vectores

cualesquiera,

se

tiene

que

(u  v )  (u  v )  2(u  v ).

3. ¿Es cierto que (u  v )  w  u(v  w ) ? Para cualesquiera trío de vectores u, , v , y w .

Falso: Sugerencia, use los vectores u  (1,00), v  (1,0,0) y w  (0,1,0).

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS  

  

Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial Limusa, S. A de C. V. Noriega Editores. México.

Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y la programación lineal. Colección de Universitaria. Volume 1. Spanish Edition. ISBN10: 1506029175.

ISBN-13: 978-1506029177.

Año 2015. https://www.createspace.com/5230822 Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.

Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial Reverté.

Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F

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