Universidad Abierta y a Distancia de México Cálculo integral Unidad 3. Métodos de integración Julio César Hernández Cruz al11503387 2012, Desarrollo de software Actividad 7. Resolución de integrales 1. Evalúa las siguientes integrales.
1
∫ x 3−8 dx
x 3−8=( x−2)( x 2 +2 x + 4) 1 A Bx +C = + 2 2 ( x−2)( x + 2 x +4) x−2 x + 2 x+ 4 2 = A( x +2 x + 4)+( Bx +C)( x−2)= Ax 2 + A 2 x + A4+ Bx 2−B2 x +Cx−C2 2 =( A+ B) x +(A2−B2+C )x +(A4−C2) A +B =0 A=−B A2 −B2 +C =0 C= B2− A2=B2+ B2=B4 1 A4 −C2 =1 − B4−( B4) 2=1 B=− 12 1 4 A= C=− 12 12 2 2 2 x +2 x + 4= x +2 x + 4−3+ 3=x + 2 x+1+ 3=( x+ 1)2 +3 1 1 1 x 4 1 dx − ∫ dx− ∫ dx ∫ x 31−8 dx= 12 ∫ x−2 2 12 ( x +1) +3 12 ( x+1)2 +3 x +1−1 dx ∫ ( x+ 1)x 2 +3 dx=∫ ( x+1) 2 +3 1 1 x +1 1 1 4 1 x+ 1 = ln∣x −2∣− ∫ dx + ∫ dx− ⋅ tan−1 2 2 12 12 ( x +1) + 3 12 ( x +1) +3 12 √ 3 √3 1 1 1 1 1 x +1 4 1 x +1 = ln∣x−2∣− ⋅ ln∣( x +1)2 +3∣+ ⋅ tan−1 − ⋅ tan−1 12 12 2 12 √ 3 √ 3 12 √ 3 √3 1 1 3 x +1 = ln∣x−2∣− ln ∣( x +1)2 +3∣− tan−1 1 12 24 √3 12⋅3 2 1 1 3 x +1 = ln∣x−2∣− ln∣ x 2 + 2 x +4∣− √ tan−1 +c 12 24 12 √3
( )
( ) ( )
( ) ( )
(1)
x
1+ e dx ∫ 1−e x x x x x x x x 1+e 1+ e +e −e 1−e +2 e e dx= dx= dx= dx+ 2 ∫ 1−e x ∫ 1−e x ∫ 1−e x ∫ ∫ 1−e x dx x x u=1−e du=−e = x−2 ln(1−e x )+c
(2)
∫ ln (1+ x 2)dx
u=ln (1+ x 2) dv=dx 1 du= 2 x v=x 1+ x 2 2x x2 2 2 2 ln (1+ x )dx=ln(1+ x ) x− x dx=x ln(1+ x )−2 ∫ ∫ 1+ x 2 ∫ 1+ x 2 dx x2 x 2 +1−1 1 = =1− 2 2 1+ x 1+ x 1+ x 2 = x ln (1+ x 2 )−2 x+ 2 tan−1 ( x )+ c
(3)
∫ sin( √ax ) dx √a 2 √x ∫ sin( √ ax)dx=∫ sin (√ ax) 2√√ax⋅2 √ x √2a dx= 2 2 ∫ √ a √ x sin (√ a √ x ) 2√√ax dx ( √ a) ( √ a) 2 a 2 √ a √ x sin(√ a √ x) √ dx= ∫ u sin (u)du ∫ a a 2 √x √ ax=√ a √ x
u=√ ax
du=
(4)
s=u s '=du t ' =sin u t=−cos u ∫ u sin u du=−u cos u +∫ cos u du=−u cos u+sin u 2 = (−√ ax cos( √ ax )+sin( √ ax) ) +c a
x
cosh ( x)=
∫( cosh x+ sec x ) dx ∫ sec x dx=ln∣sec x+ tan x∣
−x
e +e 2
x
−x
∫(cosh x+ sec x ) dx=∫ e +2e
1
∫ e ax = a e ax
1 1 dx+∫ sec x dx=∫ e x +∫ e−x +∫ sec x dx 2 2
1 1 = e x − e−x + ln∣sec x +tan x∣+ c 2 2
(5)