Investigación de operaciones: Método gráfico y simplex

Investigación de operaciones Actividad 3. Solución a problemas por los métodos: gráfico y simplex Unidad 1. Programación lineal

Julio César Hernández Cruz al11503387 2013. Desarrollo de software

Solución a problemas por los métodos: gráfico y simplex Introducción: Esta actividad consta de 4 ejercicios que te llevarán a la aplicación del procedimiento de resolución de problemas de Programación lineal. Existen dos procedimientos básicos para la solución que son el Método gráfico y el Método simplex, que ya aprendiste durante la unidad 1.

Propósito: Esta actividad tiene la finalidad de que apliques tus conocimientos con respecto al uso de procedimientos de resolución de problemas de Programación lineal por los dos métodos aprendidos hasta el momento: el Método gráfico y el Método simplex. Lo anterior, será resolviendo los siguientes ejercicios, donde a partir de un modelo de programación lineal podrás aplicar ambos métodos y presentar una solución.

Instrucciones: I) Lee cada ejercicio escrito al final de la actividad y resuelva según el método indicado.

Para los ejercicios a resolver por el Método gráfico: 1.- Grafica la región factible y marca con un círculo las soluciones factibles en los vértices (FEV).

2.- En cada solución FEV identifica el par de ecuaciones de fronteras de restricción que satisface.

3.- En cada solución FEV, utiliza este par de ecuaciones de fronteras de restricción para obtener la solución algebraica de los valores de X1 y X2 en vértice.

4.- En cada solución FEV, identifica sus soluciones FEV adyacentes.

5.- En cada par de soluciones FEV adyacentes, identifica, en su ecuación, la frontera de restricción común.

6.- Escribe la solución del ejercicio.

Para los ejercicios a resolver por el Método simplex: 1.- Convierte el modelo de la forma original a la forma estándar.

2.- Crea la tabla simplex y complétala con la forma estándar.

3.- Define la columna pivote o columna de entrada.

4.- Determina la variable de salida.

5.- Completa la tabla simplex con la iteración uno.

6.- Si no hay solución, realiza la siguiente iteración hasta encontrar la solución factible.

Ejercicio 1: Resolver por el Método gráfico: Supón que X1 son muebles de madera y X2 son muebles de metal que se van a producir.

Sea el modelo lineal:

Maximizar Sujeto a

Z =5 x 1+ 4 x 2 3 x1 + 4 x 2≤10 −4 x 1 +3 x 2≤6 3 x 1+ x 2≤7 x1, x 2≥0

3 x 1 +4 x 2=10 →

−4 x 1 +3 x 2=6

→

3 x 1 + x 2 =7 →

x1 A

0

B

10 3

x1 C 0 3 D − 2

E F

x2 5 2 (1) 0 x2 2 (2) 0

x1 x2 0 7 (3) 7 0 3

G=( 1)∩(2) 4 4 4 16 −4 x 1 +3 x 2 =6 → − x 1 + 4 x 2=8 3 3 3 3 25 −2 6 (2)−(1) → − x 1=−2 → x 1= = =0.24 3 25 25 − 3 6 24 −4 + 3 x 2 =6 → − +3 x 2=6 25 25 24 174 6+ 25 25 58 x2 = = = =2.32 3 3 25 G=(0.24, 2.32)

() () ()

( ) ( )

H =(1)∩( 3) (3)−(1) → −3 x 2=−3 → x 2=1 6 3 x 1 +1=7 → x 1= =2 3 H =(2, 1)

Z =5 x 1+ 4 x 2 Z en G 6 58 6 232 262 Z=5 +4 = + = =10.48 25 25 5 25 25

( ) ( )

Z en H Z =5(2)+ 4(1)=10+ 4=14

Ejercicio 2: Resuelve por el Método gráfico. Sea el modelo lineal:

Maximizar Sujeto a

Z =x 1 +2 x 2 x !≤2 x 2≤2 x 1+ x 2≤3 x 1, x 2 ≥0

x1=2 A=(2, 0) (1) x 2=2 B=(0, 2) (2) x1 x2 x 1 + x 2=3 C 0 3 (3) D 3 0 F =(1)∩( 3) 2+ x 2 =3 → x 2=1 F =(2, 1) G=(2)∩(3) x 1 +2=3 → x 1=1 G=(1, 2) Z en F Z =x 1 +2 x 2 =2+ 2(1)=4 Z en G Z =x 1 +2 x 2=1+2( 2)=5

Ejercicio 3: Resolver por el método simplex. Sea el modelo lineal:

Maximizar Sujeto a

Z =−x 1+ x 2 +x 3 Z x4 x5 x6

x ! +2 x 2− x 3≤20 −2 x 1 +4 x 2 +2 x 3≤60 2 x 1+3 x 2+ x 3≤50

Z Z

x1 x2 x3 x4 x5 x6 + x1 −x 2 −x 3 x1 + 3 x 2 −x 3 + x 4 −2 x 1 + 4 x 2 + 2 x 3 + x5 2 x1 + 3 x2 + x3 x6

R = 0 =20 =60 =50

x 1, x 2, x 3≥0 Base

Z x4 x5 x6 Base

Z x2 x5 x6 Base

Z x2 x3 x6 Base

Z x4 x3 x6

Z x1 1 0 0 0

1 1 -2 2

Z x1

x2 x3 -1 2 4 3

1 0 0 0

Z x1 1 0 0 0

0 0 -1 3

0 0 -1 3

x4

-1.5 0.5 -0.5 0.5 4 -2 2.5 -1.5

x2 x3 0 1 0 0

x2 x3 1 4 2 1

x5

0 1 0 0

x2 x3

1 1.5 0 0 0.5 1 0 -4 0 0 0.5 0

Z x1

x4

-1 -1 2 1

0 0 1 0

0 0 1 0

x4

-0.25 0.25 -0.5 -0.25

x4

0 1 0 0

Solución optima cuando: Z =30, x 3=30

x5

x5

x5

x 6 total El menor de dividir total / col, siempre que ambos sean positivos

0 0 1 0

0 0 0 1

0 20 60 50

x 6 total

0 0 1 0

0 0 0 1

0.375 0.125 0.25 -0.625

0.5 0.5 0.5 -0.5

10 10 20 20

20/2 10 15 15 50/3 16.666666667

=valor columna – (-1) * valor obtenido =valor columna / valor obtenido =valor columna – 4 * valor obtenido =valor columna – 3 * valor obtenido

-20 5 8

x 6 total

0 17.5 =valor columna – (-1.5) * valor obtenido 0 12.5 =valor columna – (-0.5) * valor obtenido 0 5 =valor columna / valor obtenido 1 7.5 =valor columna – 2.5 * valor obtenido

x 6 total 0 0 0 1

30 =valor columna – (-0.25) * valor obtenido 50 =valor columna / valor obtenido 30 =valor columna – (-0.5) * valor obtenido 20 =valor columna – (-0.25) * valor obtenido

50 -10 -30

Ejercicio 4: Resolver por el método simplex. Sea el modelo lineal:

Maximizar Sujeto a:

Z =2 x 1− x 2+ x 3 3 x 1 + x 2 + x 3≤6 x 1−x 2 + 2 x 3≤1 x 1+ x 2−x 3≤2

Z x4 x5 x6

x 1, x 2, x 3≥0

Z x4 x5 x6

Z x4 x1 x6

Z x4 x1 x2

Z x1 x2 1 -2 0 3 0 1 0 1

1 1 -1 1

Z x1 x2 1 0 0 0

0 0 1 0

-1 4 -1 2

Z x1 x2 1 0 0 0

0 0 1 0

x3

x3

x3

-1 1 2 -1

3 -5 2 -3

0 1.5 0 1 0 0.5 1 -1.5

x4 x5 0 1 0 0

x4 x5 0 1 0 0

x4 x5

Z x1 Z −2 x 1 3 x1 x1 x1

0 0 1 0

2 -3 1 -1

x 6 Total 0 0 0 1

x 6 Total 0 0 0 1

0 6 1 2

x6

x6

2 1 2

2 3 1 1

=Z−(−2)⋅x 1 =x 4 −3⋅x 1

2.5 1 1.5 0.5

=Z−(−1)⋅x 2 =x 4 −4⋅x 2 =x 1−(−1)⋅x 2

x 6 Total

0 1.5 0.5 1 -1 -2 0 0.5 0.5 0 -0.5 0.5

Solución optima cuando: x 1=1.5, x 2=0.5, x 3=0 y Z =2.5

x2 x3 x4 x5 + x 2 −x 3 + x2 + x3 + x4 −x 2 +2 x3 + x5 + x 2 −x 3

=x 6−1⋅x 1

0.75 0.5

R =0 =6 =1 =2