Cálculo integral. Área entre curvas

Cálculo integral

Actividad 1. Área entre curvas Unidad 2. Aplicaciones de la integración

Julio César Hernández Cruz al11503387 Desarrollo de software

1.

2.

3.

4.

Dibuja en un esquema la región encerrada por las curvas dadas.

Decide si integrar con respecto a x o y.

Dibuja un rectángulo típico de aproximación, marca su altura y su ancho.

Calcula el área de la región de las siguientes funciones:

y=x 2, y=4 x x=0, x=4 donde se cruzan 2 2 =4 < 4 (2)=8 4

3 4

2

4x x A=∫ [ 4 x−x ]dx = − 2 3 0 2

a).

2 x 2−

∣

0

3 4

∣

x 64 96−64 32 =32− = = ≈10.67 μ 2 3 0 3 3 3

2

y= x+1, y=9−x , x=−1, x=2 2 0+1=1 < 9−0 =9 2 2

A=∫ [9−x −(x+1)]dx −1 2

2

∣

−x 3 x 2 =∫ [−x − x+8]dx= − +8 x 3 2 −1 −1 2

b).

= 3

−2 x 3−3 x 2 +48 x 6 2

(

2

∣

−1

3

−2( 2) −3(2) +48 (2) −2(−1) −3(−1) 2+48(−1) = − 6 6

(

)

−16−12+96 2−3−48 − 6 6 68 49 117 7 = + = = =19.5μ 2 6 6 6 2

=

)

y=x , y =3 x , x+ y=4 y=4−x x=0 y1 =0 , y 2=0 , y 3=4 x=1 y1=1, y 2=3 , y 3=3 x=2 y 1=2 , y 2=9, y 3=2 1 3 3 3 9 < < 4− = 2 2 2 2 2 c).

[0,1] y 1< y 2, [1, 2] y1 < y3 1

2

A=∫ [3 x−x ]dx+∫ [4− x−x ]dx 0

1

1

2

=∫ 2 x dx+∫ 4−2 x dx 0

1

21 0

22 1

= x ∣ +4 x− x ∣ =1+4−3=2μ 2

d).

1 1 y= , y= 2 , x=2 x x x=1 y 1=1 y 2=1 1 2 1 1 4 = > = = 2 3 9 3 9 3 2 4 2 y1 > y2

()

() ()

2

2 1 1 A=∫ − 2 dx=ln∣x∣−(−x−1 )∣1 x x 1 2

=ln∣x∣+

∣

1 ≈1.19−1≈0.19 μ 2 x1 2,

e).

2

y=4 x y= x +3 4 x 2=x 2 +3 3 x 2=3 x 2=1 x=±1 4(0)2 =0 < 0 2+3=3 y 1< y 2 1

1

A=∫ [ x +3−4 x ] dx=∫ [3−3 x 2] dx 2

2

−1

=3 x−x

−1 31 −1

∣

=2−(−2)=4 μ 2

y= x √ x 2 −9 , y=0, x=5 x √ x 2−9=0 x 2=9 x=±3 x √ 4 2−9 > 0 5

16

f). A= x √ x 2 −9 dx= 1 √ u du= 1⋅u ∫ ∫

2

3

=

g).

√u 3

3

16

∣

=

2 3 2

0

∣

3 16 2

0

√ 4096 = 64 ≈21.33 μ 2 3

0

3

y= x 3−x , y=3 x x 3−x=3 x x 3−4 x=0 x (x 2−4)=0 x=0 x=±2 13 −1=0 < 3(1)=3 y1 < y 2 2

2

A=∫ [3 x−( x −x)] dx=∫ 4 x− x 3 dx 3

0

0

=2 x 2−

4 2

∣

x 16 16 =8− = ≈4μ 2 4 0 4 4

y=cos x , y=sec 2 x , x =− π , x= π 4 4 2 cos (0)=0 < sec (0)=1 π 4

h).

π

A= ∫ sec 2 x−cos x dx= tan x−sin x∣−4 π

4

−π 4

=tan π −sin π −(tan − π −sin − π ) 4 4 4 4 ≈1−0.7071−(−1+0.7071) ≈0.29−(−0.29)=0.58μ 2

( )

( )

( )

( )

y=sin x , y=sin (2 x ) , x=0, x=π/2 sin (1)≈0.8414 < sin (2( 1))≈0.9092 y 1< y 2 π/2

A= ∫ sin (2 x )−sin x dx 0

i).

π

∣

cos (2 x ) 2 =− +cos x 2 0 π cos 2 2 cos(0) =− +cos π − − +cos (0) 2 2 2 1 1 1 1 = +0−(− +1)= − =0μ 2 2 2 2 2

( ( ))

( )

(

y=e x , y=x , x =0, x=1 1

j).

e 2 ≈1.65 > 0.5 y 1> y 2 1

1

∣

x2 A=∫ e −x dx=e − 2 0 0 ≈2.72−0.5−1≈1.22μ 2 x

x

)