NÚMEROS RACIONALES ( Q ).-
1.- FRACCIONES. Fracción es el cociente indicado de dos números enteros. Los términos de una fracción son el denominador, que indica el número de partes iguales en que se divide la unidad, y el numerador, que señala el número de partes iguales que se toman. Si el numerador de la fracción es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número entero y en caso contrario representa a un número fraccionario. Si el valor absoluto del numerador es menor que el valor absoluto del denominador la fracción se llama propia, en caso contrario, se llama impropia. El primer rectángulo lo hemos dividido en cinco partes y hemos sombreado dos. Esto se expresa así:
2 5
En el segundo hemos hecho 10 partes iguales y hemos sombreado 4. Su expresión es:
4 10
2.- FRACCIONES EQUIVALENTES. Dos fracciones son equivalentes cuando al dividir el numerador entre el denominador los cocientes tienen el mismo valor, es decir, representan al mismo número racional. Ejemplo:
3 6 y 4 8
Dividimos 3:4 = 0’75; 6:8 = 0’75
También lo podemos comprobar diciendo que si los productos cruzados son iguales las fracciones son equivalentes.
3 6 , 4 8
3.8 = 6.4 = 24
Comprobar si son equivalentes los siguientes pares de fracciones: a) -
5 20 , 2 8
b)
Las fracciones:
5 35 , 7 49
c)
6 10 , 7 14
d)
3 18 , 5 30
2 4 12 20 son equivalentes y han sido obtenidas 3 6 18 30
multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número. Como los términos son mayores que los de la fracción dada, estas fracciones se han obtenido por amplificación. Las fracciones:
36 18 9 3 también son equivalentes y han sido obtenidas 60 30 15 5
por reducción pues hemos dividido los dos términos por los mismos divisores. A esta operación de obtener fracciones equivalentes por reducción la llamamos “SIMPLIFICACIÓN” de fracciones, y consiste en dividir el numerador y el denominador por el mismo número. Cuando una fracción no se puede simplificar más diremos que es irreducible. Esta operación la podemos hacer en sólo un paso hallando el M . C . D de los dos términos y dividiéndolos por su máximo común divisor. Ejemplo:
Simplificar:
48 60
48 = 24 . 3
M . C . D ( 48, 60 ) = 22 .3 = 12
60 = 22 . 3 . 5 48 : 12 4 60 : 12 5
Ejercicios propuestos: 1.- Escribe 4 fracciones equivalentes a
5 y cuyos términos sean mayores. 2
2.- Escribe todas las fracciones equivalentes de términos menores que 3.- Simplificar por divisiones sucesivas: 4.- Simplificar por el M . C . D:
40 36 , 72 48
60 54 , 75 126
40 240
3.- REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR. Es hallar otras fracciones equivalentes a las primeras y que tengan el mismo denominador. Para buscar el denominador común debemos tomar el menor múltiplo de los denominadores hallando el m . c . m de ellos. Después se divide el mínimo común múltiplo entre cada denominador y el cociente se multiplica por el numerador correspondiente. Ej:
2 3 5 , y 3 4 6
Las fracciones
m.c.m (3,4,6)= 12 12 : 3 = 4;
4.2=8
12 : 4 = 3;
3.3=9
12 : 6 = 2;
2 . 5 = 10
8 9 10 , y son equivalentes con las anteriores y tienen el mismo 12 12 12
denominador.
RECUERDA: - Para reducir fracciones a común denominador: 1º
Se halla el m . c . m de los denominadores.
2º
Se divide el m . c . m entre cada denominador y el resultado de la división se
multiplica por cada numerador. - Para ordenar fracciones previamente se reducen a común denominador y después las ordeno por sus numeradores.
Ejercicios propuestos: 1.- Reduce a común denominador y ordena de menor a mayor: a)
4 1 7 , , 5 3 15
b)
5 3 7 , , 6 4 12
c)
7 5 7 , , 18 9 12
d)
5 7 9 , , 18 24 6
4.- OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES. -SUMA Y RESTA DE FRACCIONES 1º
Cuando las fracciones tiene el mismo denominador: Se suman o se restan los numeradores y se pone por denominador el común.
Ejemplo: 2º
4 8 1 5 18 + + + = 9 9 9 9 9
Cuando las fracciones tengan distinto denominador: Se reducen las fracciones a común denominador. Se suman o se restan las fracciones obtenidas.
Ejemplo:
5 3 10 9 1 – = = 6 4 12 12 12
m . c . m( 6, 4 ) = 12
(12 : 6 = 2; 2 . 5 = 10
12 : 4 = 3; 3 . 3 = 9)
Ejercicios propuestos: 1.- Haz las siguientes sumas y restas y simplifica todo lo que puedas el resultado: a)
4 5 8 + + = 9 12 3
b)
4 6 8 7 + + + = 10 10 10 10
c)
3 4 1 + + = 15 10 25
d)
e)
18 13 = 5 9
f) (
7 4 2 5 + + + = 9 6 3 12 5 18 12 4 )–( )= 9 10 7 5
2.- Un pescadero ha vendido por la mañana los dos novenos del pescado que tiene y por la tarde los 5 novenos. ¿Qué fracción del pescado que tenía ha vendido? 3.- Un obrero debía realizar un trabajo en 5 días. Después de trabajar 2 días. ¿Qué fracción del trabajo le queda por hacer? 4.- Un frutero vende, 3 octavos de la fruta que tiene, a un cliente. A otro le vende los 5 octavos. Calcula: La fruta que ha vendido y la que le queda por vender.
-MULTIPLICACIÓN DE DOS O MÁS FRACCIONES El resultado de multiplicar dos o más fracciones, es otra fracción que tiene como numerador el resultado de multiplicar los numeradores y en el denominador, el producto de los denominadores. Ejemplo:
3 5 3 .5 15 . = = 4 7 4 .7 28
-DIVISIÓN DE DOS FRACCIONES Para ello multiplicamos la primera fracción por la segunda invertida, es decir, realizamos su producto cruzado.
4 3 4 5 20 : = . = 9 5 9 3 27
Ejemplo:
Como podemos observar para dividir fracciones se multiplican en cruz.
- POTENCIA DE UNA FRACCIÓN
a b
n
an n b 4
2 4 16 2 Ejemplo: 4 81 3 3
a b
n
b a
2 Ejemplo: 3
4
3 2
n
4
Ejercicios propuestos:
1.- Se han comprado 6 docenas de lapiceros a euros costaron todos los lápices? 2.-Si tengo una deuda de 16 € y pago los
3 de euro cada lapicero, ¿cuántos 10
3 de ellos, ¿cuántos euros debo todavía? 4
5.- PRIORIDAD DE OPERACIONES. Siempre que tengamos operaciones combinadas con números racionales, hay que realizarlas en el orden siguiente: 1º.- Paréntesis y corchetes de dentro hacia fuera. 2º.- Potencias y raíces. 3º.- Multiplicación y división en el orden en que aparecen. 4º.- Suma y resta en el orden en que aparecen.
6.-FRACCIONES POSITIVAS Y NEGATIVAS. Igual que hacíamos con los números naturales, podemos ampliar las fracciones que conocemos hasta ahora, de términos positivos, en la forma siguiente: Las fracciones que hemos estudiado las consideramos positivas:
2 2 =+ 3 3
Pero por cada fracción positiva, podemos añadir su opuesta: -
OBSERVA Y RECUERDA
3 3 ; 4 4
que:
y que: -
4 4 es la opuesta de + . 5 5 2 2 2 5 5 5
Con las fracciones positivas y negativas se opera del mismo modo que lo hacíamos con los números enteros positivos y negativos: Dos fracciones del mismo signo se suman y se pone el signo de ellas al resultado. Si tiene distinto signo se restan los valores absolutos y se pone el signo de la mayor. Ejemplos: (+
3 5 8 ) + (+ ) = + 4 4 4
(+
3 5 2 ) + (- ) = 4 4 4
(-
5 2 7 )+(- )=7 7 7
(-
2 7 5 )+(+ )=+ 5 5 5
En la multiplicación y la división la regla de los signos se aplica de la misma forma que con los números enteros. Ejercicios propuestos: 1.-
Realiza las siguientes operaciones: a) b)
7 4 2 + +(- )= 9 5 3
7 5 –(- )= 9 6
c) ( + d) e)
4 3 1 5 )+(- )+(- )–(+ )= 5 4 2 6
3 2 5 . (- ) : ( - ) = 5 3 6
5 1 2 1 = 6 4 3