MÓDULO - MATEMÁTICAS - 12MO GRADO

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GOBIERNO DE PUERTO RICO DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN Subsecretaría para Asuntos Académicos

MÓDULO PARA REMEDIAR

Matemáticas

Duodécimo grado enero 2020 Nombre del estudiante:

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Número de SIE: Nombre de la escuela: Código de la escuela:

Municipio:

P . O. B o x 1 9 0 7 5 9 , S a n J u a n , P R 0 0 9 1 9 - 0 7 5 9 • T e l . : ( 7 8 7 ) 7 7 3 - 3 0 6 0 / 3 0 6 4

El Departamento de Educación no discrimina de ninguna manera por razón de edad, raza, color, sexo, nacimiento, Condición de veterano, ideología política o religiosa, origen o condición social, orientación sexual o identidad de género, discapacidad o impedimento físico o mental; ni por ser víctima de violencia doméstica, agresión sexual o acecho.

MÓDULO PARA REMEDIAR Matemáticas – Duodécimo grado

Querido estudiante: Hemos trabajado con la ilusión de presentarte este módulo como una herramienta para desarrollar las destrezas que necesitas para la clase de Matemáticas. Encontrarás ejercicios de selección múltiple para que escojas la respuesta correcta. El Departamento de Educación validará tu participación y tu esfuerzo al contestar los ejercicios en este módulo. La puntuación obtenida se sumará a tus notas e informe de progreso académico. Esperamos, que una vez finalices el duodécimo grado, hayas obtenido la misma satisfacción que

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nosotros al crear estos ejercicios para ayudarte.

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Álgebra Aplicar reglas de exponentes Leyes de los exponentes Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.

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En este ejemplo: 8! = 8 × 8 = 64 En palabras: 8! se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

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1. Simplifica: 4x-2 ∙ 2x3 = _____ a 8x

b 8x-5 c 8x-6 d 8x5

!

2. Simplifica: √54đ?‘Žđ?‘Ž" đ?‘?đ?‘? # = _____ !

a 3đ?‘Žđ?‘Ž$ đ?‘?đ?‘? ! √6đ?‘Žđ?‘Ž !

b 3đ?‘Žđ?‘Ž! đ?‘?đ?‘? $ √6đ?‘Žđ?‘Ž !

c đ?‘Žđ?‘Ž% đ?‘?đ?‘? $ √54đ?‘Žđ?‘Ž !

d 3đ?‘Žđ?‘Ž! đ?‘?đ?‘? $ √2đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž 3. Escribe usando exponentes positivos: (6a-1 b3 )-2 = _____ a -36a2b6 &"

b $%'# c

$%

&" '#

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'#

d $%&"

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Identificar los tĂŠrminos, los coeficientes y el grado de un polinomio Combinar tĂŠrminos semejantes Aplicar reglas de exponentes Efectuar sumas, restas y multiplicaciones con polinomios Un polinomio es una expresiĂłn algebraica que muestra la suma de monomios.

Un polinomio estĂĄ en forma estĂĄndar si sus tĂŠrminos se escriben en orden decreciente de grado. Ejemplo: 4đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 5đ?‘Ľđ?‘Ľ − 1 Los grados de los tĂŠrminos estĂĄn en el orden decreciente. 5đ?‘Ľđ?‘Ľ −1 4đ?‘Ľđ?‘Ľ ! TĂŠrmino 2 1 0 Grado

Ejemplo. Suma el polinomio de forma horizontal. (4đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 3đ?‘Ľđ?‘Ľ − 2) + (đ?‘Ľđ?‘Ľ ! − 5) = 4đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 3đ?‘Ľđ?‘Ľ − 2 − 5 Quitar parĂŠntesis ! ! = 4đ?‘Ľđ?‘Ľ + đ?‘Ľđ?‘Ľ + 3đ?‘Ľđ?‘Ľ − 2 − 5 Agrupar tĂŠrminos semejantes ! = 5đ?‘Ľđ?‘Ľ + 3đ?‘Ľđ?‘Ľ − 7 Sumar y restar tĂŠrminos semejantes

Para multiplicar polinomios se multiplica cada tĂŠrmino de un polinomio por cada tĂŠrmino del otro polinomio. Luego, se suma las respuestas y se simplifica. Ejemplo. Halla el producto. (6đ?‘Žđ?‘Ž! )(3đ?‘Žđ?‘Ž$ ) = (6 ∙ 3) ∙ (đ?‘Žđ?‘Ž! ∙ đ?‘Žđ?‘Ž$ ) = 18đ?‘Žđ?‘Ž!($ = 18đ?‘Žđ?‘Ž)

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Los polinomios se suman y se restan simplificando los tĂŠrminos semejantes. La suma y resta de polinomios se puede resolver de forma horizontal y de forma vertical. Al resolver polinomios de forma vertical se alinean los tĂŠrminos semejantes.

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4. Un polinomio de 5.° grado con coeficiente principal 7 y tĂŠrmino constante 6. a 7đ?‘Ľđ?‘Ľ ) + 2đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 6 b 6đ?‘Ľđ?‘Ľ " − đ?‘Ľđ?‘Ľ ) + 5

c 6đ?‘Ľđ?‘Ľ ) + đ?‘Ľđ?‘Ľ # + 7

d 7đ?‘Ľđ?‘Ľ % − 6đ?‘Ľđ?‘Ľ # + 5

5. Selecciona el polinomio que estĂĄ en forma estĂĄndar. a 5 − đ?‘›đ?‘›

b 3đ?‘›đ?‘›$ + 5đ?‘›đ?‘› − 1

c đ?‘›đ?‘› + 4đ?‘›đ?‘›! − 4đ?‘›đ?‘›$ d 10 − đ?‘›đ?‘›

6. ÂżCuĂĄl es el grado del polinomio 5đ?‘Ľđ?‘Ľ $ − 2đ?‘Ľđ?‘Ľ # − 9đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + đ?‘Ľđ?‘Ľ? a1 b2 c3

d4 7. Suma el polinomio: (đ?‘Ľđ?‘Ľ + 2) + (đ?‘Ľđ?‘Ľ + 2)

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a đ?‘Ľđ?‘Ľ + 2 b đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4

c đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 4

d 2đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4

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8. Resta el polinomio: (đ?‘Ľđ?‘Ľ + 2) – (đ?‘Ľđ?‘Ľ # + 2đ?‘Ľđ?‘Ľ + 6) a đ?‘Ľđ?‘Ľ # + đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 2đ?‘Ľđ?‘Ľ b đ?‘Ľđ?‘Ľ # − đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 2đ?‘Ľđ?‘Ľ c −đ?‘Ľđ?‘Ľ # − đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4

d đ?‘Ľđ?‘Ľ # − đ?‘Ľđ?‘Ľ ! − 2đ?‘Ľđ?‘Ľ 9. Multiplica el polinomio: (5đ?‘Ľđ?‘Ľ + 6)(3đ?‘Ľđ?‘Ľ + 2) a 15đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 28đ?‘Ľđ?‘Ľ + 12 b 15đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 34đ?‘Ľđ?‘Ľ + 12 c 15đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 28đ?‘Ľđ?‘Ľ + 8

d 8đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 28đ?‘Ľđ?‘Ľ + 12 Factorizar polinomios Factorizar una expresiĂłn algebraica es hallar dos o mĂĄs factores cuyo producto es igual a la expresiĂłn propuesta.

FactorizaciĂłn de polinomios con factores comunes Ejemplo. 3đ?‘Ľđ?‘Ľ # + 30đ?‘Ľđ?‘Ľ $ + 15đ?‘Ľđ?‘Ľ ! 3đ?‘Ľđ?‘Ľ # = 3 ∙ đ?‘Ľđ?‘Ľ ∙ đ?‘Ľđ?‘Ľ ∙ đ?‘Ľđ?‘Ľ ∙ đ?‘Ľđ?‘Ľ = (3đ?‘Ľđ?‘Ľ ! )(đ?‘Ľđ?‘Ľ ! ) 30đ?‘Ľđ?‘Ľ $ = 3 ∙ 10 ∙ đ?‘Ľđ?‘Ľ ∙ đ?‘Ľđ?‘Ľ ∙ đ?‘Ľđ?‘Ľ = (3đ?‘Ľđ?‘Ľ ! )(10đ?‘Ľđ?‘Ľ) 15đ?‘Ľđ?‘Ľ ! = 15 ∙ đ?‘Ľđ?‘Ľ ∙ đ?‘Ľđ?‘Ľ = (3đ?‘Ľđ?‘Ľ ! )(5) El mĂĄximo factor comĂşn es 3đ?‘Ľđ?‘Ľ ! , por lo tanto, podemos expresar el polinomio como: 3đ?‘Ľđ?‘Ľ ! (đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 10đ?‘Ľđ?‘Ľ + 5) PĂ GINA 7

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En la factorizaciĂłn se buscan los factores de un producto dado. Los factores de una expresiĂłn algebraica son los tĂŠrminos, ya sean nĂşmeros o letras, que multiplicados entre sĂ­ dan como producto la primera expresiĂłn.

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FactorizaciĂłn por el mĂŠtodo de agrupaciĂłn Ejemplo. 3đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 6đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4đ?‘Ľđ?‘Ľ + 8 SoluciĂłn: 3đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 6đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4đ?‘Ľđ?‘Ľ + 8 = (3đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 6đ?‘Ľđ?‘Ľ) + (4đ?‘Ľđ?‘Ľ + 8) Agrupa tĂŠrminos = 3đ?‘Ľđ?‘Ľ(đ?‘Ľđ?‘Ľ + 2) + 4(đ?‘Ľđ?‘Ľ + 2) Factoriza el mĂĄximo comĂşn divisor (MCD) = 3đ?‘Ľđ?‘Ľ(đ?‘Ľđ?‘Ľ + 2) + 4(đ?‘Ľđ?‘Ľ + 2) Factor comĂşn = (đ?‘Ľđ?‘Ľ + 2)(3đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4) Factoriza đ?‘Ľđ?‘Ľ + 2 La forma factorizada es (đ?‘Ľđ?‘Ľ + 2)(3đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4).

FactorizaciĂłn de diferencia de cuadrados Ejemplo. 49đ?‘Ľđ?‘Ľ ! − 81đ?‘Śđ?‘Ś ! = (7đ?‘Ľđ?‘Ľ)! − (9đ?‘Śđ?‘Ś)! = (7đ?‘Ľđ?‘Ľ + 9đ?‘Śđ?‘Ś)(7đ?‘Ľđ?‘Ľ − 9đ?‘Śđ?‘Ś)

FactorizaciĂłn de trinomios cuadrados perfectos Ejemplo. 4đ?‘Ľđ?‘Ľ ! − 12đ?‘Ľđ?‘Ľ + 9 4đ?‘Ľđ?‘Ľ ! − 12đ?‘Ľđ?‘Ľ + 9 = (2đ?‘Ľđ?‘Ľ)! − 2(2đ?‘Ľđ?‘Ľ)(3) + (3)² = (2đ?‘Ľđ?‘Ľ − 3)²

Aplica la fĂłrmula del binomio al cuadrado: (đ?‘Žđ?‘Ž + 2)! = đ?‘Žđ?‘Ž! + 2đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘? ! đ?‘Žđ?‘Ž = 2đ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘?đ?‘? = 3 = (2đ?‘Ľđ?‘Ľ − 3)² 10. Para hallar el producto de (đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4) (đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4) podemos comenzar con el siguiente proceso:

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a đ?‘Ľđ?‘Ľ + đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4 + 4

b đ?‘Ľđ?‘Ľ ¡ đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4 ¡ 4

c đ?‘Ľđ?‘Ľ ¡ đ?‘Ľđ?‘Ľ + đ?‘Ľđ?‘Ľ ¡ 4 + 4 ¡ đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4 ¡ 4

d đ?‘Ľđ?‘Ľ ¡ đ?‘Ľđ?‘Ľ + đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4 + 4 + đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4 ¡ 4

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11. Para hallar el producto de (đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4)! podemos aplicar la siguiente regla: a x2 + 42 b x2 ¡ 42 c x2 + 4 ¡ x + 42 d x2 + 2 ¡ 4 ¡ x + 42

12. Factoriza: 3đ?‘Ľđ?‘Ľ # − 75= _____ a 3(x2 + 5)(x2 - 5)

b 3x2(x + 5)(x - 5) c 3(x2 +5)(x-2)(x+3) d 3(x2 - 5)2

13. Factoriza completamente: đ?‘Žđ?‘Ž2 + đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘? = _____ a (đ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘?)(đ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘?)

b đ?‘Žđ?‘Ž(đ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘? + 2đ?‘?đ?‘?)

c đ?‘Žđ?‘Ž(đ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘? + đ?‘?đ?‘?) + đ?‘?đ?‘?

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d (đ?‘Žđ?‘Ž − đ?‘?đ?‘?)(đ?‘Žđ?‘Ž − đ?‘?đ?‘?)

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14. Simplifica: (2 + √5)(4 − √5) = _____ a 8 − 2√5

b 3

c 3 + 2√5 d 5√5

15. Simplifica:

)* ! +!,*

* $ ()* ! (%* "

a

)*(*+!)

b

)(*+!)

= _____

*( $

*($

)(* – !)

c *(* ( $) d

)*(* ( !) *(* ( $)

NĂşmeros complejos

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Un nĂşmero complejo es cualquier nĂşmero que puede escribirse como đ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?, donde đ?‘–đ?‘– es la unidad imaginaria y đ?‘Žđ?‘Ž y đ?‘?đ?‘? son nĂşmeros reales.

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Ejemplo 1. Observa los siguientes nĂşmeros complejos. đ?‘˜đ?‘˜ = 7 − 4đ?‘–đ?‘– đ?‘™đ?‘™ = 2 + 8đ?‘–đ?‘–

ÂżCuĂĄl es el producto de đ?‘˜đ?‘˜ ∙ đ?‘™đ?‘™? SoluciĂłn:

(7 − 4đ?‘–đ?‘–) ∙ (2 + 8đ?‘–đ?‘–)

14 + 56đ?‘–đ?‘– − 8đ?‘–đ?‘– − 32đ?‘–đ?‘– ! 14 + 48đ?‘–đ?‘– − 32(−1) 14 + 48đ?‘–đ?‘– + 32 46 + 48đ?‘–đ?‘–

Ejemplo 2. Si đ?‘?đ?‘? = −5 + 4đ?‘–đ?‘– y đ?‘žđ?‘ž = −12 − 19đ?‘–đ?‘–, ÂżcuĂĄl es la diferencia entre đ?‘?đ?‘? y đ?‘žđ?‘ž? SoluciĂłn: (−5 + 4đ?‘–đ?‘–) − (−12 − 19đ?‘–đ?‘–)

(−5 + 4đ?‘–đ?‘–) + (12 + 19đ?‘–đ?‘–)

(−5 + 12) + (4đ?‘–đ?‘– + 19đ?‘–đ?‘–) 7 + 23đ?‘–đ?‘–

16. Expresa de la forma đ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?: 8 + √−8 + 10 − √−72 = _____ a 18 − 4√5đ?‘–đ?‘– b 18 + 4√2

c 18 + 4√5

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d 18 − 4√2đ?‘–đ?‘–

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17. Multiplica: (4 – 5đ?‘–đ?‘– )(4 + 5đ?‘–đ?‘– ) = _____ a 16 − 25 đ?‘–đ?‘–

b 41 c9 d 16 + 25đ?‘–đ?‘–

18. Resta: 10 – 2đ?‘–đ?‘– − 16 − 3đ?‘–đ?‘– a −6 − 5đ?‘–đ?‘–

b 26 + 5đ?‘–đ?‘– ! c 4 + 3đ?‘–đ?‘–

d −16 − đ?‘–đ?‘–

Resolver ecuaciones cuadrĂĄticas Resolver ecuaciones cuadrĂĄticas por el mĂŠtodo de completar al cuadrado.

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Ejemplo 1. Observa la siguiente ecuaciĂłn cuadrĂĄtica đ?‘Ľđ?‘ĽÂ˛ − 8đ?‘Ľđ?‘Ľ + 12. Utiliza el mĂŠtodo de completar el cuadrado para resolver la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica. Escribe el resultado en la forma (đ?‘Ľđ?‘Ľ − đ?‘?đ?‘?)! = đ?‘žđ?‘ž. SoluciĂłn: đ?‘Ľđ?‘Ľ ! − 8đ?‘Ľđ?‘Ľ + 12 = 0 đ?‘Ľđ?‘Ľ ! − 8đ?‘Ľđ?‘Ľ = −12 đ?‘Ľđ?‘ĽÂ˛ − 8đ?‘Ľđ?‘Ľ + 16 = −12 + 16 (đ?‘Ľđ?‘Ľ − 4)(đ?‘Ľđ?‘Ľ − 4) = 4 (đ?‘Ľđ?‘Ľ − 4)! = 4 El resultado de đ?‘Ľđ?‘ĽÂ˛ − 8đ?‘Ľđ?‘Ľ + 12 escrito en la forma (đ?‘Ľđ?‘Ľ − đ?‘?đ?‘?)! = đ?‘žđ?‘ž es (đ?‘Ľđ?‘Ľ − 4)! = 4

Ejemplo 2. đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 6đ?‘Ľđ?‘Ľ + 7 = 0 đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 6đ?‘Ľđ?‘Ľ + 7 + 2 = 0 + 2 đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 6đ?‘Ľđ?‘Ľ + 9 = 2 (đ?‘Ľđ?‘Ľ + 3)! = 2 đ?‘Ľđ?‘Ľ + 3 = Âąâˆš2 đ?‘Ľđ?‘Ľ = Âąâˆš2 − 3

{−√2 − 3, √2 − 3}

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19. ÂżQuĂŠ factores faltan para que la ecuaciĂłn sea verdadera? (đ?‘Ľđ?‘Ľ + __)(đ?‘Ľđ?‘Ľ + __) = đ?‘Ľđ?‘ĽÂ˛ − 14đ?‘Ľđ?‘Ľ + 48 a 24 y 2

b −8 y 6 c 6 y 8

d 2 y 24

20. Identifica quĂŠ ecuaciĂłn cuadrĂĄtica corresponde el siguiente grĂĄfico a đ?‘Śđ?‘Ś = đ?‘Ľđ?‘Ľ !

b đ?‘Śđ?‘Ś = −2đ?‘Ľđ?‘Ľ !

c đ?‘Śđ?‘Ś = đ?‘Ľđ?‘Ľ ! − 1

d đ?‘Śđ?‘Ś = 3 đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 1

21. Resuelve la ecuaciĂłn: đ?‘Ľđ?‘Ľ ! + 4đ?‘Ľđ?‘Ľ + 1 = 0 a {−√3 − 2, √3 + 2} b {√3 − 2, √3 − 2}

c {−√3 − 2, −√3 − 2} Š 2019, 2020 Learn Aid LLC

d {−√3 − 2, √3 − 2}

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Ecuaciones e inecuaciones. Pasos para resolver ecuaciones de primer grado 1Âş Quitar parĂŠntesis. 2Âş Quitar denominadores. 3Âş Agrupar los tĂŠrminos en đ?’™đ?’™ en un miembro y los tĂŠrminos independientes en el otro. 4Âş Reducir los tĂŠrminos semejantes. 5Âş Despejar la incĂłgnita. Ecuaciones de 2Âş grado Una ecuaciĂłn de segundo grado es toda expresiĂłn de la forma: ax² + bx +c = 0 con a ≠0. Se resuelve mediante la siguiente fĂłrmula: đ?‘Ľđ?‘Ľ =

−đ?‘?đ?‘? Âą √đ?‘?đ?‘? ! − 4đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž 2đ?‘Žđ?‘Ž

Si es đ?‘Žđ?‘Ž < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

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Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la cual los conjuntos (miembros) se encuentran relacionados por los signos < (menor que), > (mayor que), ≤ (igual o menor que), ≼ (mayor o igual que).

Para solucionar una inecuaciĂłn, es necesario descubrir el conjunto de los valores de la variable que permite verificarla.

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Por ejemplo, tomemos la inecuaciĂłn 3đ?‘Ľđ?‘Ľ − 4 < 8. La resoluciĂłn requiere seguir pasos tal como se hace con las ecuaciones (que son igualdades con nĂşmeros y letras relacionadas entre sĂ­ mediante operaciones matemĂĄticas): 3đ?‘Ľđ?‘Ľ − 4 < 8 3đ?‘Ľđ?‘Ľ < 12 đ?‘Ľđ?‘Ľ < 4

22. Resuelve: 3đ?‘Ľđ?‘Ľ + 3 − 8đ?‘Ľđ?‘Ľ = 7 − 9đ?‘Ľđ?‘Ľ − 12 a đ?‘Ľđ?‘Ľ = −2

b đ?‘Ľđ?‘Ľ = −3 c đ?‘Ľđ?‘Ľ = 2

d đ?‘Ľđ?‘Ľ = 3

23. Simplifica: (3đ?‘Ľđ?‘Ľ − 3đ?‘Śđ?‘Ś) − (đ?‘Ľđ?‘Ľ − 3đ?‘Śđ?‘Ś) = _____ a 2đ?‘Ľđ?‘Ľ − 2đ?‘Śđ?‘Ś b 2đ?‘Ľđ?‘Ľ

c 4đ?‘Ľđ?‘Ľ − 6đ?‘Śđ?‘Ś d 4đ?‘Ľđ?‘Ľ

21. Halla la soluciĂłn de: 2(đ?‘Ľđ?‘Ľ + 1) ≤ đ?‘Ľđ?‘Ľ − 4 a đ?‘Ľđ?‘Ľ ≼ 2

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b đ?‘Ľđ?‘Ľ ≤ −6 c đ?‘Ľđ?‘Ľ ≤ −2 d đ?‘Ľđ?‘Ľ ≼ 6

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Resolver sistema de ecuaciones Para resolver sistema de ecuaciones lo podemos hacer por los siguientes métodos: Por sustitución:

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Por igualación:

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Por reducción:

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Gráficamente:

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22. Resuelve el sistema de ecuaciones:

a đ?‘Ľđ?‘Ľ = −5, đ?‘Śđ?‘Ś = −2 b đ?‘Ľđ?‘Ľ = 5, đ?‘Śđ?‘Ś = −2 c đ?‘Ľđ?‘Ľ = 2, đ?‘Śđ?‘Ś = −5

d đ?‘Ľđ?‘Ľ = −2, đ?‘Śđ?‘Ś = −5 23. Resuelve el sistema de ecuaciones:

a đ?‘Ľđ?‘Ľ = 4, đ?‘Śđ?‘Ś = −3

b đ?‘Ľđ?‘Ľ = −4, đ?‘Śđ?‘Ś = −3 c đ?‘Ľđ?‘Ľ = 4, đ?‘Śđ?‘Ś = 3

d đ?‘Ľđ?‘Ľ = −4, đ?‘Śđ?‘Ś = −3 24. Encuentra los ceros de: f(x) = 2x2 + 10x - 12

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a { -1, 6} b {2, 1} c {1, -6} d {1, 4}

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25. Halla la pendiente de la lĂ­nea que pasa por: (4, 6) y ( -1, -2)

b đ?‘šđ?‘š = c đ?‘šđ?‘š = d đ?‘šđ?‘š =

# $

$ # 1 )

) 1

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a đ?‘šđ?‘š =

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Geometría y Medición

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26. Si el perímetro de un cuadrado es 80cm, halla el área: a 20 cm2 b 80 cm2 c160 cm2 d 400 cm2

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27. El perímetro del cuadrado ABCD es 24cm. Halla la medida de la diagonal en forma simple: a 6√2 b 6√3

c √72

d √108 PÁGINA 22

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28. Dado dos ángulos complementarios, uno mide (2x + 10) y el otro (x + 20), calcula el valor de x: a x = 10 b x = 20 c x = 50 d x = 60 29. Halla la medida del ángulo MKJ = ____ a 25o b 84o c100o d 110o 30. Halla la medida de: ∡ 1 = _____ y ∡ 3 = _____ a ∡1 = 35o, ∡ 3 = 35o

b ∡ 1 = 35o, ∡ 3 = 145o c ∡1 = 145o, ∡ 3 = 35o d ∡1 = 55o, ∡ 3 = 145o

31. La recta que pasa por el centro de la circunferencia uniendo dos puntos de ella se llama _____. © 2019, 2020 Learn Aid LLC

a cuerda b diámetro c tangente d secante PÁGINA 23

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32. La recta que solo tiene un punto en comĂşn con la circunferencia se llama _____. a diĂĄmetro b cuerda c secante d tangente

33. El perĂ­metro del trapecio isĂłsceles es de 92 cm. Halla đ?‘Ľđ?‘Ľ = _____ a 10.7 b 20 c 26.7 d 40

34. Halla el ĂĄrea y perĂ­metro de la figura sombreada: a A = 40 m2 , P = 60 m 2 b A = 120 m , P = 32 m

c A = 60 m2 , P = 40 m

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2 d A = 16 m , P = 20 m

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MÓDULO PARA REMEDIAR Matemåticas – DuodÊcimo grado

35. Usa el Teorema de PitĂĄgoras. Halla đ?‘Ľđ?‘Ľ = _____ a đ?‘Ľđ?‘Ľ = 3 b đ?‘Ľđ?‘Ľ = 4

c đ?‘Ľđ?‘Ľ = 5

d đ?‘Ľđ?‘Ľ = 6

EstadĂ­stica y Probabilidad

Medidas tendencia central La media es el promedio de todos los datos.

Ejemplo. Encuentra la media de los nĂşmeros 11, 16, 9, 15, 5, 18. SoluciĂłn: Tenemos seis nĂşmeros en el grupo de datos. AsĂ­, encontramos la media de la siguiente manera:

La mediana es el valor del medio del conjunto de datos, ordenado en orden ascendente. Ejemplo 1. Encuentra la mediana de los siguientes nĂşmeros 11, 21, 6, 17, 9.

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La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en el conjunto de datos.

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Solución: Primero ordenamos los números en orden ascendente. 6, 9, 11, 17, 21 La mediana es el valor que queda en el centro del conjunto de datos. La mediana es 11. Hay dos valores mayores que 11 y dos valores menores que 11. Cuando se tiene un número par de datos, la mediana es igual a la media aritmética de los dos números centrales.

Ejemplo 2. Encuentra la mediana de los números 2, 17, 1, -3, 12, 8, 12, 16. Solución: Primero ordenamos los números en orden ascendente. −3,1,2,8,12,12,16,17 La mediana es el valor que se encuentra en el centro del conjunto de datos. Por tanto, se ubica entre 8 y 12:

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Medidas de dispersión En estadística, las medidas de dispersión describen cuán lejos se esparce los datos de la medida del centro. Hay tres tipos principales de dispersión: El rango es la diferencia entre el valor más alto y el más bajo en los datos. Ejemplo. Encuentra el rango de los datos siguientes: 223,121,227,433,122,193, 397, 276, 303,199,197,265, 366, 401, 222 PÁGINA 26

MÓDULO PARA REMEDIAR Matemáticas – Duodécimo grado

Solución: Ordena los datos de menor a mayor. 121,122,193,197,199, 222, 223, 227, 265, 276, 303, 366, 397, 401, 433 Rango = 433 − 122 = 311

La varianza es la media de los cuadrados de la distancia de cada elemento de los datos (xi) está de la media.

La desviación estándar la raíz cuadrada de la varianza.

36. La moda es... Notas de Matemática Frecuencia

4

5

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2

4

1

3

2

a La nota 7. b La nota 4. c La nota 8. © 2019, 2020 Learn Aid LLC

d La nota 5.

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MÓDULO PARA REMEDIAR Matemáticas – Duodécimo grado

37. La mediana es... Notas de Matemática Frecuencia

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1

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2

4

5

7

8

10

2

4

1

3

2

a El 12. b El 4. c El 2. D El 1.

38. La media es... Notas de Matemática Frecuencia La media es... a 6.5 b 6.7 c 7.2

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d 5.6

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