Portafolio calculo by Karen Garcia

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C

Cálculo

PROFESOR(A): Ofelia M Izquierdo Valladares Portafolio ALUMNO: García Gallegos Ana Karen

GRADO Y GRUPO: 3° B CICLO ESCOLAR 2013 - 2014

SEMESTRE “A”

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Parcial l

Relaciones y funciones

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Índice Evaluación de funciones Operaciones de funciones Relaciones y Funciones Guía

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Parcial ll

Limites

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Índice Función por partes Casos de límites Aplicación de definición de límite de una función y sus propiedades Limites al infinito Guía de examen segundo parcial

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Parcial lll

Introducción al cálculo diferencial

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Índice Limites de funciones exponenciales Razón de cambio promedio Razón de cambio instantánea Derivada de una función

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Parcial IV

Introducción al cálculo diferencial e integral

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Índice Trabajo especial

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Instituto de investigación y enseñanza iberoamericano

Cálculo

3°B García Gallegos Ana Karen

Trabajo especial

Semestre A

2013 2014

Calificación

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Índice

Introducción

Máximo y mínimos

Máximo y mínimo absoluto

Máximo y mínimo loca

Ejemplos

Puntos de inflexión y concavidad de la curva

Bibliografía

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Introducción:

El Cálculo Diferencial consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. En una gran cantidad de procesos donde se relacionan dos o más variables, frecuentemente el cambio en una de ellas induce un cambio en el valor de las otras. Para poder comprender y manejar tales procesos, la derivada se ha convertido en herramienta fundamental, puesto que permite tanto determinar cómo predecir el comportamiento de las diversas variables involucradas en un fenómeno. Es importante tener conocimientos puesto que se usa en prácticamente todo por ejemplo, en economía u optimización.

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Máximos y mínimos

Son aquellos puntos en donde la función cambia de ser creciente a decreciente o viceversa, la función también llega al punto más alto, o más bajo. A estos valores se les llama máximos y mínimos respectivamente; y pueden ser relativos o absolutos. Como se observa en la siguiente gráfica:   

Supóngase que la gráfica de cualquier función es la curva mostrada en la y= f(x) En ella, los puntos A y E se llaman máximos; los puntos C y G se llaman mínimos; y los puntos B, D, F y H se llaman puntos de inflexión.

No se puede definir un máximo como el punto más alto de la curva o un mínimo por el punto mas bajo. Como definir un punto máximo y un punto mínimo una definición puede ser, el punto M es máximo con coordenadas (x, y), es decir, para una abscisa x le corresponde la ordenada y. Entonces, se tiene un máximo en dicho punto si para cualquier abscisa alrededor de M le corresponde una ordenada ym menor que la de M. Efectivamente, , para la abscisa x1 le corresponde una ordenada y1 que es menor que y; y para la abscisa x2 le corresponde una ordenada y2 también menor que y.

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

2Por similitud, un punto N de coordenadas (x, y) es mínimo si para cualquier abscisa (x) alrededor de N le corresponde una ordenada yn mayor que la de N. O sea que para una abscisa x1 le corresponda una ordenada y1 mayor que y; y para una abscisa x2 le corresponda una ordenada y2 también mayor que y, con x1 < x < x2.

Una característica importantísima de los puntos máximos y mínimos es que allí la tangente es horizontal, es decir, con pendiente cero

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Máximo o mínimo absoluto

Mínimo absoluto Es el valor de una función que es menor o igual a cualquier valor de la función dada El mínimo absoluto está en menos infinito y ocurre cuando x se acerca a menos infinito también.

Máximo absoluto Valor de una función dada, que es mayor o igual que cualquier valor de la función dada. El máximo absoluto es el infinito y sucede cuando x toma valores infinitos también. El mínimo absoluto está

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Máximo o mínimo local Máximo Local También llamado máximo relativo se refiere al valor de una función que es mayor que los valores de la función en puntos cercanos, pero que no es el mayor de todos los valores.

Mínimo local También llamado mínimo relativo que hace referencia en el valor de una función, que es menor que los valores de la función en puntos cercanos, pero que no es el menor de todos los valores.

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Ejemplo 1 Considere una función f definida en un intervalo siguiente:

Note que , es un máximo relativo y intervalo en que está definida.

Similarmente, en

Como

Ahora:

, cuya representación gráfica es la

es el máximo valor que toma la función en el

es un valor mínimo relativo y

es el mínimo absoluto de la función

, entonces

si y solo si

o sea si

, ó,

Luego, los valores críticos de f son: x=0, x=1, y x=-1 6

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Ejemplo 2 Considere la función f definida por Su representación gráfica es la siguiente:

Puede observarse que cuando x toma el valor de En este caso .

Como

Luego

entonces la función tiene un valor máximo.

es precisamente el vértice de la parábola con ecuación:

entonces

, de donde

Por lo tanto el valor crítico de f es

si y solo si

, o sea, si

Note que aunque se indefine en , como este valor no pertenece al dominio de f, entonces no es valor crítico de dicha función. 7

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Ejemplo Ejemplo 1: Hallar los valores máximos y/o mínimos de la función y =x2 -4x +7. Solución: Graficando la función anterior se obtiene la parábola de la figura, en la cual se ve que tiene solamente un mínimo. Lo anterior deberá confirmarse aplicando el procedimiento. Derivando la función e igualando a cero:

Resolviendo 2x - 4 = 0, se llega a que x = 2. Este es el valor crítico. En este momento se sabe que en x = 2 hay un máximo o un mínimo, pero no se sabe cuál de los dos. Dando primero un valor un poco más pequeño que x = 2, por ejemplo, con x = 1 y sustituyendo en la derivada:

luego con un valor un poco mayor que x = 2, por ejemplo con x = 3 y sustituyendo en la derivada:

Como la derivada cambió de signo de negativo a positivo significa que existe un mínimo en el valor crítico que se analiza, es decir, hay un mínimo en x = 2.

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Ejemplo Para la función f con ecuación , se tiene que ,y si ; sin embargo, en no hay ni un valor máximo ni un valor mínimo, como puede observarse en la siguiente representación gráfica de la función.

Reciben el nombre de valores extremos de una función f los valores máximos relativos y los valores mínimos relativos de f. Dada una función f cuyo dominio es el intervalo k, un valor será un valor crítico de x para la función f si: a.

no existe ó c. c es un extremo del intervalo k.

En este último caso, si si

entonces "a" y "b" son valores críticos. Si

entonces "a" es un valor crítico. Si

, o si

entonces "b" es un

valor crítico. Si , entonces ni "a" ni "b" son valores críticos (note que los valores extremos de un intervalo abierto no son elementos del intervalo).

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Ejemplo Investigar los máximos y mínimos de la función y =x3 -3x2 -9x +15 Solución: Derivando e igualando a cero se obtiene:

Resolviendo la ecuación anterior:

3x2 -6x -9 =0 x1 = 3 x2 = - 1

Se sabe en este momento que uno de esos dos puntos es un máximo y el otro es mínimo, pero no se sabe cuál es cada uno. Para investigarlo son los pasos siguientes. Analizando el valor crítico x1 = 3. Tomando primero un valor un poco menor, por ejemplo x = 2 y sustituyéndolo en la derivada:

Analizando el valor crítico x2 = - 1. Tomando primero un valor un poco menor, por ejemplo x = -

2 y sustituyéndolo en la derivada:

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Puntos de inflexión y concavidad de la curva Un punto de inflexión es aquel en donde cambia el sentido de la curvatura. La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente: Definición de concavidad Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Note que es la función derivada

la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo y cóncava hacia abajo en el intervalo

entonces

Luego,

, y, y,

. 11

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Como ellos negativa.

, entonces es positiva. Además

es creciente en los intervalos es decreciente en el intervalo

Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo intervalo

, pues en pues en el

y cóncava hacia abajo en el

Ejemplo La representación gráfica de la función

Se dice que intervalo

es la siguiente:

es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si existe un tal que

hacia abajo sobre

, y la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre

, y cóncava

, o viceversa.

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C 4 SUR NO. 1907 COL EL CARMEN, SEMESTRE A

Bibliografía

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/11%20maximos%20y%20minimos.pdf http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/aplicacionesderivada/html/node3.html http://www.bunam.unam.mx/mat_apoyo/MaestrosAlumnos/mApoyo/02/Unidad_3/a28u3t03p11. html http://biblio3.url.edu.gt/Publi/Libros/2013/Mate-Calculo/02.pdf http://jairoescobarcun.blogspot.mx/2010/11/calculo-diferencial-historia-y.html http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/a/absolutemaximum.htm http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/aplicacionesderivada/html/node5.html