Flores Chevalier Karla Lorena

Instituto de Investigación y Enseñanza Iberoamericano A.C

Portafolio Digital Calculo Karla Lorena Flores Chevalier 3º “B” Ingenierías

Primer Parcial Relaciones y funciones GuĂ­a de primer parcial

Segundo Parcial Aplicaci贸n de la definici贸n de limites Limites en el infinito

Funci贸n por partes Casos de limites Gu铆a del segundo parcial

Tercer Parcial Limites de funciones exponenciales Razón de cambio promedio

Razón de cambio instantánea Identidades trigonométricas fundamentales

Derivada de funciones Guía de examen 3

Cuarto Parcial

Trabajo especial de investigaci贸n

Introducción Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango.

Se dice que y es función de x cuando a cada valor de la variable x corresponden uno o varios valores determinados de la variable y.

El estudio de las funciones es un tema muy amplio que requiere especial énfasis en la definición propia de lo que es una función. Sin embargo, dentro de los temas planteados, existen algunos temas como la clasificación de las funciones, que pretenden servir de conocimiento general en diversas aplicaciones.

Índice

Máximos y Mínimos de una función ………………………………….…P.4 Ejemplos analíticos de cómo hallar puntos máximos y mínimos……..P.5 Puntos de inflexión y concavidad…………………………………………P.8

Máximos de una Función.

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(x o) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))

Mínimos de una Función.

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(x o) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b).

Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).

Ejemplos Analíticos de cómo hallar puntos máximos y minimos de una función Calcular los máximos y mínimos de las funciones: 3

1 f(x) = x − 3x + 2 2

f'(x) = 3x − 3 = 0

x=−1

x=1

Candidatos a extremos: − 1 y 1. f''(x) = 6x f''(−1) = −6 < 0

Máximo

f''(1) = 6 > 0

Mínimo

3

f(−1) = (−1) − 3(−1) + 2 = 4 3

f(1) = (1) − 3(1) + 2 = 0 Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

2

Candidatos a extremos: − 1 y 1.

f"( − 1) = 6 > 0

Mínimo

f"(1) = − 6 < 0

Máximo

f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2 f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2

Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2)

3

Candidatos a extremos: − 2, 0 y 2.

4

f(−2) = (−2) − 8 · ( − 2)² + 3 = − 13 4

f(0) = 0 − 8 · 0² + 3 = 3 4

f(2) = 2 − 8 · 2² + 3 = − 13 Máximos: ( − 1, − 13) , ( 2, − 13)Mínimo(0, 3)

4

Candidato a extremo: 7/5.

5

Candidatos a extremos: 1 y â&#x2C6;&#x2019; 7/2.

Puntos de Inflexión de una función y concavidad de la curva Un punto de inflexión es aquel donde la función derivada tiene un máximo o mínimo, es decir, un punto singular. Se dice que la función tiene un cambio en la concavidad.

Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que ésta cambia de signo. Es decir, estudiar los máximos y mínimos de la primera derivada, para ello se deriva la primera derivada (segunda derivada) y se anula. En los puntos donde la segunda derivada se anule y cambie de signo, la función tendrá un punto de inflexión y su derivada un máx o un mín. En la gráfica, en x = 0 la función tiene un punto de inflexión y en el su derivada tiene un mínimo en (0,c).

Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función es cóncava positiva y donde es negativa concavidad negativa. Un punto de inflexión es donde la función cambia de concavidad.

4

2

2

2

En F(x) = x - 4·x = x ·(x - 1) puede observarse que su derivada: 3 2 F'(x) = 4·x - 8·x = 4·x·(x - 2) presenta un máximo y un mínimo en x = ± √(2/3). Es aquí donde la función presenta puntos de inflexión.

Ejemplos: 1.

El punto

es un punto de inflexiรณn de la curva con ecuaciรณn es positiva si

arriba para

, y cรณncava hacia abajo para

Grรกficamente se tiene:

2.

, y negativa si

, pues

, de donde f es cรณncava hacia .

Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación

Se tiene que

por lo que

Resolvamos las desigualdades

3

3. f(x) = x − 3x + 2 f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

f'''(x) = 6 f'''(0) = 6 ≠0 .

Por tanto, en x = 0 hay un punto de inflexión.

3

f(0) = (0) − 3(0) + 2 = 2 Punto de inflexión: (0, 2)

4.

Conclusión

El concepto de función matemática simplemente función, es sin duda, el más importante y utilizado en Matemáticas y en las demás ramas de la Ciencia. No fue fácil llegar a él y muchas mentes muy brillantes han dedicado enormes esfuerzos durante siglos para que tuviera una definición consistente y precisa.

El estudio de las propiedades de las funciones está presente en todo tipo de fenómenos que acontecen a nuestro alrededor. Así, podemos nombrar fenómenos sociales relacionados con crecimientos demográficos, con aspectos económicos, como la inflación o la evolución de los valores bursátiles, con todo tipo de fenómenos físicos, químicos o naturales, como la variación de la presión atmosférica, la velocidad y la aceleración, la gravitación universal, las leyes del movimiento, la función de onda de una partícula a escala cuántica, la desintegración de sustancias radiactivas o la reproducción de especies vegetales y animales. Casi todo es susceptible de ser tratado a través del planteamiento y estudio de una o varias funciones que gobiernan los mecanismos internos de los procesos en todas las escalas y niveles.

Otra cosa bien distinta y mucho más difícil, es determinar cuáles son las funciones que intervienen en cada proceso en concreto. Esta, en suma, es la tarea de los científicos: descubrir la dinámica rectora de cada fenómeno y expresarla en términos de una función.

Referencias http://dieumsnh.qfb.umich.mx/diferencial/funciones.htm http://www.acienciasgalilei.com/mat/fun-gra-htm/gra-fun-45-46.htm http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm http://www.vitutor.com/fun/5/i_e.html A. Baldor (1974) Algebra Elemental ( Pรกg. 282) http://fp.educarex.es/fp/pruebas_acceso/gs_contenidos_matematicas/U6_Funciones.pdf