9788387251604 by keytext

Brunon R. Górecki

Prof. dr hab. Brunon R. Górecki jest wieloletnim pracownikiem Wydziału Nauk Ekonomicznych Uniwersytetu Warszawskiego, gdzie od wielu lat prowadzi wykłady i seminaria z zakresu teorii i praktyki ekonometrii. Kilka lat wykładał ekonometrię na Uniwersytecie w Ibadanie (Nigeria) i Uniwersytecie w Bogocie (Kolumbia). Obecnie pracuje również w Uczelni Warszawskiej, pełniąc funkcje kierownika Katedry Metod Ilościowych. Zajmuje się zastosowaniami modeli ekonometrycznych w problematyce konsumpcji, szczególnie konsumpcji gospodarstw domowych. Przez długi czas uczestniczył w międzynarodowych badaniach poświęconych ekonometrycznym zagadnieniom konsumpcji.

Ekonometria podstawy teorii i praktyki

Ekonometria – podstawy teorii i praktyki Wydawnictwo Key Text

okładka po AW.indd 1

2010-06-30 13:12:25

Spis treści Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Część 1. Klasyczny model regresji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Czym jest ekonometria? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Pojęcie modelu ekonometrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Dane statystyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Metodologia ekonometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 14 16 18 23

2. Podstawy klasycznego modelu regresji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Zapis macierzowy modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Od populacji do próby i od próby do populacji . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Założenia klasycznego modelu regresji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25 26 29 34

3. Metoda najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Estymatory metody najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Własności algebraiczne rozwiązania MNK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35 38 44

4. Wnioskowanie o estymatorach metody najmniejszych kwadratów . . . . . . 4.1. Jeszcze o założeniu normalności zaburzeń losowych . . . . . . . . . . . . . 4.2. Twierdzenie Gaussa-Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Estymator wariancji zaburzenia losowego i błędy standardowe estymatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Rozkład t-Studenta, weryfikacja prostych hipotez i przedziały ufności . 4.5. Istotność równania regresji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Asymptotyczne własności estymatorów MNK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45 46 48 50 55 56 58

5. Interpretacja równania regresji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.1. Interpretacja współczynników regresji i założenie liniowości . . . . . . 59 5.2. Jakościowe zmienne objaśniające – regresory zerojedynkowe, oznaczane również jako zmienne 0–1 lub zmienne binarne . . . . . . . 65 5.3. Restrykcje i modele zagnieżdżone. Łączna istotność zmiennych zerojedynkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.4. Jakościowa zmienna objaśniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.5. Wybór regresorów zgodnie z zasadą „Od ogólnego do szczegółowego”. Skutki pominięcia w równaniu regresji istotnych zmiennych objaśniających; skutki dodania do równania regresji zmiennych nieistotnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.6. Testowanie łącznej istotności podzbioru regresorów . . . . . . . . . . . . . 78 5.7. Testowanie hipotez złożonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6 6. Problemy wynikające z niedoskonałości danych statystycznych . . . . . . . . . 6.1. Współliniowość i jej konsekwencje. Wykrywanie współliniowości i środki zaradcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Obserwacje opuszczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Wykrywanie nietypowych wartości zmiennej objaśnianej i nietypowych wartości zmiennych objaśniających (obserwacje znaczące) . . . . . . . . Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89 89 94 94 96

7. Prognozowanie na podstawie klasycznej metody regresji liniowej . . . . . . . 99 7.1. Prognoza i błąd standardowy prognozy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Literatura uzupełniająca do części I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Część 2. Złagodzenie założeń modelu klasycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8. Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.1. Heteroskedastyczność i autokorelacja zaburzeń losowych w KMRL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.2. Estymatory uogólnionej metody najmniejszych kwadratów . . . . . . . 111 8.3. Testowanie heteroskedastyczności: testy Goldfelda-Quandta, …Breuscha-Pagana oraz White’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.4. Estymacja macierzy wariancji-kowariancji zaburzeń losowych w przypadku heteroskedastyczności. Stosowalna uogólniona metoda najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8.5. Estymator White’a macierzy wariancji-kowariancji dla b wyznaczonego za pomocą MNK – odporny na heteroskedastyczność 122 8.6. Testowanie autokorelacji: testy Durbina-Watsona i Breuscha-Godfreya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8.7. Estymacja macierzy wariancji-kowariancji zaburzeń losowych w przypadku autokorelacji zaburzeń pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . 131 8.8. Estymator Neweya‑Westa macierzy wariancji‑kowariancji dla b oszacowanego za pomocą MNK – odporny na heteroskedastyczność i odporny na autokorelację . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 9. Diagnostyka w klasycznej metodzie regresji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.1. Test White’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.2. Test RESET błędu specyfikacji postaci funkcyjnej równania regresji Ramseya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 9.3. Test niezagnieżdżonych alternatyw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 9.4. Testy stabilności parametrów Chowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 9.5. Test Jarque-Bera normalności zaburzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 9.6. Ocena wyników analizy regresji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Literatura uzupełniająca do części II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Część 3. Szczególnie ważne modele ekonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 10. Ograniczona zmienna objaśniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10.1. Liniowa funkcja prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10.2. Metody logitowa i probitowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7 10.3. Wielomianowa metoda logitowa, metoda tobitowa, modele samoselekcji próby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 11. Modele jednowymiarowych szeregów czasowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.1. Analiza klasyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.2. Szereg czasowy jako realizacja procesu stochastycznego . . . . . . . . . . 168 11.3. Procedura Boxa-Jenkinsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 11.4. Funkcja autokorelacji i cząstkowej autokorelacji szeregu Dow Jones . . 176 11.5. Procesy ARIMA dla danych sezonowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 12. Modele dynamiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.1. Problemy ekonometryczne modeli dynamicznych . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.2. Modele o opóźnieniach rozłożonych (Distributed Lag Models) . . . . . . 186 12.3. Estymacja modeli DL i wybór rzędu opóźnienia . . . . . . . . . . . . . . . . 187 12.4. Modele autoregresyjne i modele autoregresyjne z opóźnieniami rozłożonymi (AutoRegressive Distributed Lag Models – Modele ADL lub ARDL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 12.5. Niestacjonarność i integracja szeregu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 12.6. Test pierwiastka jednostkowego Dickeya‑Fullera (test DF) . . . . . . . . 193 12.7. Rozszerzony test pierwiastka jednostkowego (test ADF) . . . . . . . . . 196 12.8. Kointegracja szeregów czasowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 12.9. Przyczynowość w ekonometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 13. Modele wektorowej autoregresji (VAR) i modele korekty błędem . . . . . . . 205 13.1. Modele wielorównaniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 13.2. Modele wektorowej autoregresji (Vector AutoRegressive Models – VAR) 206 13.3. Model korekty błędem (równowagi) (Error Correction Model – ECM) 219 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 14. Opracowanie projektów badawczych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Literatura uzupełniająca do części III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Aneksy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 A. Elementy algebry macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 B. Wybrane zagadnienia rachunku prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 C. Bazy danych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Literatura uzupełniająca do części III

226

Wstęp

Książka zawiera podstawowy kurs teorii i praktyki ekonometrii. Jest przeznaczona dla studentów różnych dyscyplin ekonomicznych poza specjalizacją ekonometrii. Będzie również użyteczna dla ekonomistów prowadzących analizy danych ekonomicznych, a jednocześnie niedysponujących solidnymi podstawami matematycznymi. W podręczniku uwzględnione zostały najnowsze ujęcia ekonometrii, które rozumiemy dwojako. Po pierwsze – jest to nowe ujęcie problemów tradycyjnej ekonometrii. Spośród przykładów odmiennych ujęć tej teorii od spojrzenia tradycyjnego należy wymienić: podstawową myśl filozoficzną współczesnej ekonometrii – „Od populacji do próby i od próby do populacji” (podrozdział 2.2), fundamentalny problem wyboru zmiennych objaśniających (podrozdział 5.5.), zagadnienie błędu standardowego White’a, usuwającego komplikacje wywołane heteroskedastycznością zaburzeń losowych (podrozdział 8.5), czy też nadanie podstawowego znaczenia testom diagnostycznym przy ocenie poprawności szacowanego modelu (rozdział 9). Po drugie – jest to szersze ujęcie modeli dynamicznych wykorzystujących szeregi czasowe, stanowiących dominujący zbiór danych używanych w ekonomii. Analizowane są modele oparte na szeregach stacjonarnych (łącznie z testem pierwiastka jednostkowego) i na szeregach niestacjonarnych (łącznie z problematyką kointegracji). Natomiast modele wielorównaniowe są rozważane jedynie w kontekście modeli wektorowej autoregresji (VAR) lub modeli korekty błędem równowagi (ECM), a nie w kontekście wielkich wielorównaniowych modeli gospodarki. Książka, stawiając pytanie „Dlaczego tak, a nie inaczej estymujemy modele ekonometryczne?” nie zaniedbuje odpowiedzi na pytanie: „Jak je obliczamy?”. Zawiera liczne przykłady (dotyczące Polski, Unii Europejskiej i gospodarki światowej) zastosowania omawianych metod w różnych dziedzinach nauk ekonomicznych. Obliczenia przykładów prowadzono przy użyciu bezpłatnego pakietu ekonometrycznego GRETL. Został on opublikowany przez Free Software Foundation i jest dostępny pod adresem internetowym http://gretl.sourceforge.net. Polskojęzyczna wersja tego pakietu, opracowana przez prof. Tadeusza Kufla, jest udostępniona na stronie internetowej http://www.kufel.torun.pl. Do stosowania tego pakietu pomocna

Wstęp

jest książka T. Kufla, Ekonometria. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem programu GRETL, WN PWN, Warszawa 2004. Niech to będzie jednocześnie okazja dla złożenia najszczerszego podziękowania prof. Tadeuszowi Kuflowi za zgodę na wykorzystanie w niniejszej książce niepublikowanych wcześniej zbiorów danych. Istotnym dopełnieniem podręcznika są trzy aneksy. Pierwszy aneks zawiera niezbędną, ograniczoną jedynie do wątków bezpośrednio stosowanych w trakcie wykładu, wiedzę z zakresu algebry macierzy. Drugi aneks jest poświęcony celowo wybranym fragmentom statystyki matematycznej, które są niezbędne do swobodnego korzystania z tekstu. Trzeci aneks jest zbiorem dostępnych w internecie baz danych ekonomicznych stanowiących materiał nie tylko do sensownego formułowania zadań ćwiczeniowych, lecz także do wykorzystywania w interesujących ekonomistę analizach. Pragnę podziękować mgr. Dariuszowi Szymańskiemu za przygotowanie niektórych przykładów przedstawionych w niniejszym tekście oraz mgr. Tomaszowi Rybnikowi za opracowanie informacji o dostępnych w internecie ekonomicznych bazach danych, które Czytelnik może zastosować przy samodzielnym formułowaniu i rozwiązywaniu zagadnień ekonometrycznych.

Literatura uzupełniająca do części III

226

Część I Klasyczny model regresji liniowej

1.1. Czym jest ekonometria?

Wprowadzenie

1.1. Czym jest ekonometria? Ekonometria jest nauką zajmującą się ilościowym (liczbowym) opisem, na podstawie danych statystycznych, prawidłowości ekonomicznych, postulowanych przez teorię ekonomii lub sugerowanych przez sensowne hipotezy ekonomiczne. Hipoteza to przypuszczenie wymagające sprawdzenia. Na przykład: Czy wykształcenie przysparza tyle samo złotówek miesięcznej płacy kobietom, co mężczyznom? Czy w każdym wieku awansuje się jednakowo szybko? Czy kobiety w młodym wieku awansują szybciej od mężczyzn? Czy krańcowa skłonność do konsumpcji w Polsce jest taka sama jak w Stanach Zjednoczonych? W zbiorze metod ilościowych – obok matematyki, statystyki i badań operacyjnych – ekonometria jest ważnym i użytecznym narzędziem wspomagającym prowadzenie analiz ekonomicznych. Można powiedzieć, że ekonometria pomaga poznać przeszłość i teraźniejszość, a także określać przyszłość wydarzeń ekonomicznych. Ważnym problemem staje się sposób rozpoznawania teraźniejszości i przyszłości. Badania ekonometryczne są przeprowadzone na podstawie sformułowań teorii ekonomii lub wyraźnie określonych hipotez, dotyczących procesów lub zjawisk ekonomicznych, które mają być przedmiotem badania i weryfikacji empirycznej. Teoria jest modelem opisowym całej rzeczywistości gospodarczej lub jej części, zawiera również zbiór reguł wiążących podstawowe wielkości ekonomiczne. Model ekonometryczny jest liczbowym przedstawieniem opartym na zaobserwowanych danych sformułowanej w teorii prawidłowości. Jednorównaniowym modelem ekonometrycznym nazywamy równanie, w którym występuje: a) zmienna objaśniana, b) zmienne objaśniające – kształtujące procesy ujęte w teorii lub w postawionych hipotezach,

2.1. Zapis macierzowy modelu

Podstawy klasycznego modelu regresji liniowej

2.1. Zapis macierzowy modelu Przyjmijmy, że w populacji (teoretycznie nieskończonej) dla każdej obserwacji zachodzi liniowa zależność między zmienną objaśnianą y oraz K zmiennymi objaśniającymi x1, x2, x3, …, xK.

yi = b1 + b2 x2i + b3 x3i + ... + bK xKi + fi

(2.1)

Dla dodania stałej w równaniu (2.1), pierwszej zmiennej objaśniającej x1 nadaje się stale wartość „1”, a więc x1 = 1. Symbolem bk (k – małe) będziemy oznaczać parametr o numerze k, a więc stojący przy k-tej zmiennej objaśniającej (k = 2, …, K). Po prawej stronie równania dodane jest zaburzenie losowe fi, którego rolę wyjaśniliśmy w podrozdziale 1.2. Równanie (2.1) jest równaniem regresji w populacji. Wiąże ono zmienną objaśnianą ze zmiennymi objaśniającymi dla i-tej obserwacji. Jeśli zapiszemy równania dla 1-szej, 2-giej i dalszych obserwacji, to utworzą one układ równań (2.2): yi = b1 + b2 x2i + b3 x3i + ... + bK xKi + fi

y1 = b1 + b2 x21 + b3 x31 + ... + bK xK1 + f1

y2 = b1 + b2 x22 + b3 x32 + ... + bK xK2 + f2

(2.2)

ggggggggggggggggg yn = b1 + b2 x2n + b3 x3n + ... + bK xKn + fn R V S b1 W Sb W 2 Jeśli zdefiniujemy wektor parametrów b = S W , to możemy wprowadzić Sh W S W S bKW zapis równania dla i-tej obserwacji postaci: T X

yi = xli b + fi

i = 1, 2, ..., n ,

(2.3)

gdzie xli = 71 x2 i ... xKi A jest wektorem wierszowym zmiennych objaśniających dla i-tej obserwacji.

3.1. Estymatory metody najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów

Rozważania zamieszczone w tym rozdziale bazują na teorii sformułowanej na początku XIX wieku przez słynnego matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa. Do współcześnie stosowanej postaci teorię tę rozwinął w końcu XIX w. rosyjski matematyk Andriej Markow. Częste odwoływanie się do sformalizowanej teorii Gaussa i Markowa przydało metodzie najmniejszych kwadratów nazwę metody „klasycznej”. W niniejszym rozdziale wyprowadzimy estymatory tej metody i określimy ich własności.

3.1. Estymatory metody najmniejszych kwadratów Z rozdziału 2 wiemy, że regresję w populacji możemy opisać równaniem:

y = E ` y Xj + f = Xb + f .

(3.1)

Odpowiednik tego równania w próbie ma postać:

y=S y + e = Xb + e.

(3.2)

e = y – Xb.

(3.3)

Przypomnijmy, że w równaniu (3.2) S y oznacza wektor wartości teoretycznych (wyliczonych) z regresji w próbie, a e jest wektorem reszt. Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów, którą w skrócie będziemy oznaczać MNK, służy właśnie do wyznaczenia nieznanego wektora b, który to wektor traktujemy jako wektor estymatorów dla wektora parametrów b. MNK polega na wyprowadzeniu b z warunku minimalizacji sumy kwadratów reszt określonych przez (3.2), a więc:

Oznaczmy przez S minimalizowaną sumę kwadratów reszt, która jest skalarem. Możemy napisać:

4.1. Jeszcze o założeniu normalności zaburzeń losowych

Wnioskowanie o estymatorach metody najmniejszych kwadratów

4.1. Jeszcze o założeniu normalności zaburzeń losowych Dla dalszych rozważań wróćmy do szóstego założenia klasycznego modelu regresji (podrozdział 2.3) o tym, że zaburzenia losowe mają n‑wymiarowy sferyczny rozkład normalny, co zapisaliśmy formalnie jako:

f ~ N(0, v2I)

(4.1)

Jest to założenie o fundamentalnym znaczeniu dla rozważań nad klasycznym modelem regresji liniowej. Zauważmy, że zaburzenie losowe ujmuje sumaryczny wpływ wszystkich pominiętych w równaniu regresji zmiennych. Uzasadnienie dla przyjęcia rozkładu normalnego wynika z centralnego twierdzenia granicznego, które luźno formułując określa, że jeśli mamy dużą liczbę niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach o tej samej średniej i wariancji, to rozkład ich sumy zmierza do rozkładu normalnego. Jeśli liczba tych zmiennych nie jest bardzo duża i nie są one dokładnie niezależne, to ich suma może być bliska rozkładu normalnego. Konsekwencje tego założenia są dalekosiężne dla rozważań nad własnościami statystycznymi klasycznego modelu regresji liniowej (patrz Aneks B). Po pierwsze, funkcja liniowa zmiennych o rozkładzie normalnym ma również rozkład normalny. Stąd wynika, że zmienna objaśniana y i estymatory bk mają również rozkłady normalne. Po drugie, założenie normalności umożliwia korzystanie z testów statystycznych opartych na rozkładach związanych z rozkładem normalnym takich jak |2, t‑Studenta i F. Przyjęcie założenia o normalności zobowiązuje nas do sprawdzania, czy w małych próbach założenie to jest spełnione. W dalszej części książki omówimy testy sprawdzające założenie normalności w estymowanym modelu.

5.1. Interpretacja współczynników regresji i założenie liniowości

Interpretacja równania regresji

5.1. Interpretacja współczynników regresji i założenie liniowości Model regresji liniowej zapisaliśmy w postaci macierzowej jako: y = Xb + f

lub dla i-tej obserwacji:

yi = xli b + fi = b1 + b2 x2i + ... + bk xki + ... + bK xKi + fi i = 1, 2, ..., n,

gdzie wśród regresorów wyróżniliśmy jeden z elementów, a mianowicie bkxki. Warunkowa wartość oczekiwana zmiennej objaśnianej przy danych wartościach zmiennych objaśniających zgodnie z równaniem (2.9) wynosi

E ` yi xli j = b1 + b2 x2i + ... + bk xki + ... + bK xKi

i = 1, 2, ..., n. Weźmy pochodną cząstkową warunkowej wartości oczekiwanej po xki:

2E ` yi x li j = bk . 2xki

(5.1)

A więc bk mierzy oczekiwaną zmianę yi jako efekt zmiany xki o jedną jednostkę, gdy wartości innych zmiennych objaśniających modelu pozostają niezmienione. Warunek ten zwany jest warunkiem ceteris paribus (z łac. – w tych samych, niezmienionych warunkach). W modelu regresji wielorakiej pojedynczy współczynnik ma jedynie sensowną interpretację ekonomiczną przy warunku ceteris paribus.

6.1. Współliniowość i jej konsekwencje. Wykrywanie współliniowości…

Problemy wynikające z niedoskonałości danych statystycznych

Dotychczas przyjmowaliśmy, że dane statystyczne służące do estymacji modelu nie budzą naszego niepokoju, że są poprawne ze względu na wymogi modelowania. Niniejszy rozdział ukazuje jednak istnienie dużych zagrożeń dla budowy modeli, wynikających z niedostatków danych statystycznych.

6.1. Współliniowość i jej konsekwencje. Wykrywanie współliniowości i środki zaradcze Współliniowość oznacza dokładną lub bardzo wysoką korelację między regresorami. Dokładna korelacja jest błędem ekonometryka, który do zbioru zmiennych objaśniających wprowadził regresor lub regresory, będące kombinacją liniową innych regresorów. Jeśli na przykład dla wyjaśnienia mechanizmu zakupu dóbr trwałych w gospodarstwie domowym, zgodnie z hipotezą dochodów permanentnych Miltona Friedmana, za regresory wstawimy trzy wielkości: 1) dochody, 2) dochody permanentne (dochody trwale uzyskiwane) i 3) dochody tranzytywne (przechodnie, okazjonalne), to z definicji suma dochodów permanentnych i tranzytywnych jest równa kategorii dochodów, co spowoduje, że kolumny obserwacji na trzech kategoriach dochodów są dokładnie liniowo zależne. Typowym jednak przypadkiem współliniowości jest wysoka korelacja między regresorami, co utrudnia, a niekiedy uniemożliwia wydzielenie indywidualnego wpływu każdej ze zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą. W sytuacji współliniowości poszczególna zmienna wywiera swój własny wpływ na zmienną objaśnianą, jak również przenosi wpływ wszystkich innych zmiennych z nią skorelowanych. Na przykład przy szacowaniu płacy jako funkcji wykształcenia, płci, wieku, stażu pracy możemy oczekiwać, że wiek badanej osoby i jej staż pracy wykażą silną dodatnią korelację. Współliniowość nie jest więc cechą populacji, a cechą próby, w której zmienne są zbyt silnie ze sobą powiązane liniowo. Współliniowość wywiera negatywny wpływ na oszacowanie modelu i dlatego jest zjawiskiem niebezpiecznym. Gdy pojawia się współliniowość to

7.1. Prognoza i błąd standardowy prognozy

Prognozowanie na podstawie klasycznej metody regresji liniowej

7.1. Prognoza i błąd standardowy prognozy Oszacowany na podstawie szeregów czasowych model może być wykorzystany dla celów prognozowania (predykcji). Predykcją ekonometryczną nazywamy wnioskowanie w przyszłość na podstawie modelu ekonometrycznego. Niech poniższa linia oznacza oś czasu, na której jest zaznaczony przedział próby dla t = 1, 2, ..., T oraz przyszły w stosunku do przedziału próby moment czasu, na który wyznaczana jest prognoza, zwany okresem prognozy T + S. Wielkość S nazywamy horyzontem prognozy. t=1

T przedział próby

T+S

Oś czasu

okres prognozy

Dla podkreślenia, że obserwacje w modelu dotyczą kolejnych jednostek czasu, zamiast indeksu i = 1, 2, ..., n wprowadzamy indeks t = 1, 2, ..., T. t-ta obserwacja na zmiennej objaśnianej jest równa:

yt = xtlb + ft,

(7.1)

gdzie xlt jest wektorem wierszowym t-tej obserwacji na kolejnych zmiennych objaśniających, a więc xlt = [1, x2t, x3t, …, xKt]. Przyjmijmy, że prawidłowość opisana równaniem regresji w próbie obowiązuje również w okresie prognozy, a więc:

yT + S = xlT + S b + fT + S ,

(7.2)

gdzie xlT+S jest wektorem wierszowym wartości, jakie przyjmują zmienne objaśniające w okresie prognozowanym: xlT+S = [1, x2,T+S, x3,T+S, …, xK,T+S]. Wielkość yT + S nazwiemy pojedynczą realizacją zmiennej prognozowanej.

Literatura uzupełniająca do części I

107

Część II Złagodzenie założeń modelu klasycznego

8.1. Heteroskedastyczność i autokorelacja zaburzeń losowych w KMRL

Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów

109

Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów (UMNK) zwana jest w języku angielskim Generalised Least Squares (GLS).

8.1. Heteroskedastyczność i autokorelacja zaburzeń losowych w KMRL W licznych praktycznych zastosowaniach modelowania ekonometrycznego nie jest spełnione założenie 5 KMRL o sferyczności zaburzeń, a więc o tym, że warunkowa macierz wariancji-kowariancji wektora zaburzeń f przy danej macierzy X ma postać:

var_f Xi = E _ffl Xi = var _fi = E_ffli = v2 I .

(8.1)

Przypomnijmy sobie, że założenie sferyczności zaburzeń oznacza: Po pierwsze, wariancje kolejnych zaburzeń (elementy stanowiące diagonalną macierzy jednostkowej I) są takie same dla wszystkich obserwacji. Sytuację tę nazywamy homoskedastycznością zaburzeń lub jednorodnością zaburzeń. Wariancje fi mogą się jednak zmieniać wraz z numerem obserwacji i sytuację tę nazywamy heteroskedastycznością lub niejednorodnością zaburzeń. Po drugie, elementy pozadiagonalne, które są kowariancjami zaburzeń dla różnych obserwacji są równe zero, a więc zaburzenia są ze sobą nieskorelowane. Sytuację tę nazywamy brakiem autokorelacji zaburzeń. Niespełnienie założenia o homoskedastyczności lub braku autokorelcji powoduje, że estymatory MNK są nadal nieobciążone i zgodne, ale przestają być estymatorami najbardziej efektywnymi, co oznacza, że ich błędy standardowe nie są najmniejsze z możliwych. Zanim podamy ekonomiczne przykłady ilustrujące takie sytuacje, zauważmy, że na ogół heteroskedastyczność występuje w modelach szacowanych na

135

9.1. Test White’a

Diagnostyka w klasycznej metodzie regresji liniowej

Diagnostyką nazywamy sprawdzanie poprawności specyfikacji równania regresji. Jest to ważny etap modelowania, następujący po oszacowaniu równania regresji. Sprawdzeniu temu służą testy zwane testami diagnostycznymi lub testami specyfikacji. Niektóre z nich omówiliśmy już poprzednio, jak na przykład testy t‑Studenta weryfikacji istotności pojedynczych zmiennych objaśniających, test łącznej istotności równania regresji, test pominiętych zmiennych, zaprezentowany w rozdziale 5, czy też wreszcie testy heteroskedastyczności i autokorelacji przedstawione w rozdziale 8. Na szczególną uwagę zasługują test White’a i test Ramseya zwany testem RESET.

9.1. Test White’a Test ten, jak już wspomnieliśmy w rozdziale 8, można traktować jako ogólny test niewłaściwej specyfikacji równania regresji. Sprawdza on hipotezę: 1. Czy równanie regresji ma poprawną specyfikację matematyczną? Błąd niepoprawnej specyfikacji oznacza, że niektóre lub wszystkie zmienne y lub X powinny być transformowane, a więc przedstawione jako funkcje potęgowe, logarytmiczne, odwrotności lub inne funkcje wyjściowych zmiennych. 2. Czy występuje homoskedastyczność zaburzeń losowych? 3. Czy zmienne objaśniające ze zbioru X nie są skorelowane z zaburzeniem losowym f? Występowanie takiej korelacji wywołuje obciążoność i niezgodność estymatorów MNK. Małe wartości statystyki White’a wskazują, że żaden z tych trzech przypadków nie jest naruszony, jednak niespełnienie któregokolwiek z nich prowadzi do dużej wartości statystyki. Test White’a nie podpowiada, jak należy zmodyfikować równanie regresji, aby warunki te były spełnione. Uzyskanie poprawnego modelu wymaga w takiej sytuacji dalszych żmudnych zabiegów, popartych dobrym przygotowaniem ekonomicznym w zakresie istoty modelowanego zagadnienia.

Podsumowanie

153

Część III Szczególnie ważne modele ekonometryczne

155

Podsumowanie

Ograniczona zmienna objaśniana

W badaniach ekonometrycznych spotykamy sytuacje, gdy nie tylko zmienne objaśniające mają charakter jakościowy i w związku z tym w równaniu regresji są przedstawiane za pomocą zmiennych zerojedynkowych, co prowadziło do modeli opisanych w podrozdziale 5.2. Często również zmienna objaśniana jest zmienną typu jakościowego i zdarza się, że przyjmuje ona tylko dwie wartości. Z sytuacjami takimi mamy do czynienia przy wyjaśnianiu powodów, dla których niektórzy kończą studia wyższe, a inni nie kończą, lub niektóre kobiety podejmują pracę zawodową, a inne nie podejmują, lub niektóre rodziny korzystają z internetu, a inne nie, lub mają własny dom, a inne go nie mają. We wszystkich przedstawionych sytuacjach zmienna objaśniana jest zmienną binarną, przyjmującą wartość 1 gdy badane zjawisko występuje oraz 0 gdy nie występuje. Metodami estymacji tego rodzaju modeli są dwie równoważne metody: metoda logitowa i metoda probitowa.

10.1. Liniowa funkcja prawdopodobieństwa Wstępem do rozważań nad metodą logitową i probitową jest liniowa funkcja prawdopodobieństwa. Dla jej omówienia posłużmy się przykładem korzystania przez badaną osobę z internetu. Oznaczmy zmienną yi = 1 gdy i-ta osoba (i = 1, 2, …, n) korzysta z internetu oraz yi = 0, gdy nie korzysta. Załóżmy rozsądnie, że wykorzystywanie internetu zależy od zarobków badanej osoby, jej płci, wieku i poziomu wykształcenia. Przyjmijmy, zgodnie z konwencjonalnym zapisem, że liczba tych zmiennych wynosi K. Przyjmijmy, że chcemy zastosować klasyczny model regresji. Wówczas równanie regresji dla posługiwania się internetem przez i-tą osobę przyjmie postać: yi = b1 + b2x2i + b3x3i + … + bK xKi + fi lub krócej yi = xli b + fi,

i = 1, 2, 3, …, n; (10.1)

167

Podsumowanie

Modele jednowymiarowych szeregów czasowych

11.1. Analiza klasyczna Rozważane dotychczas modele regresyjne miały na celu ustalenie struktury zjawiska, uzależniając tę strukturę od zbioru zmiennych objaśniających. Znajomość zmiennych objaśniających była niezbędna dla opisu i prognozowania. Doświadczenie podpowiada, że nie zawsze znamy wartości tych zmiennych dla okresu prognozowanego. Dla względnie prostych w swej strukturze zjawisk budowa modelu regresji wielorakiej wydaje się zabiegiem niepotrzebnym. W takich sytuacjach możemy korzystać z modeli opartych na analizie jednowymiarowego szeregu czasowego. Klasyczna analiza statystyczna sprowadzała się do dekompozycji szeregu na elementy składowe, jak na przykład:

yt = Tt + St + Ct + ft,

(11.1)

gdzie: yt – badane zjawisko w czasie t, Tt – składnik trendu w czasie t, St – składnik sezonowy w czasie t, Ct – składnik cykliczny w czasie t, ft – składnik losowy w czasie t. Niekiedy była to dekompozycja z elementami multiplikatywnymi:

yt = Tt # St # Ct # ft.

(11.2)

Czasem stosowane są specjalne metody analizy, jak na przykład wyrównywanie wykładnicze (Exponential Smooting).

185

Podsumowanie

Modele dynamiczne

Większość z dotychczas rozważanych modeli była oparta na danych przekrojowych. Oznaczało to, że zmienna objaśniana była zależna od równoczesnych obserwacji na zmiennych objaśniających. Relacje ekonomiczne bardzo często przebiegają w czasie, co oznacza, że w równaniu regresji zmienna objaśniana może zależeć nie tylko od równoczesnych, ale i od opóźnionych (minionych) obserwacji na zmiennych objaśniających, jak też od opóźnionych obserwacji na zmiennej objaśnianej. Modele tego rodzaju zwane są modelami dynamicznymi, gdyż wyznaczane są na podstawie szeregów czasowych dla obserwacji pochodzących z różnych okresów. Można wyróżnić co najmniej trzy podstawowe powody, dla których w badaniach ekonomicznych występują opóźnienia w reakcjach. Po pierwsze – są one wynikiem opóźnień reakcji psychicznych podmiotów gospodarczych. Z reguły, ludzkie przyzwyczajenia i nawyki wywołują pewną bezwładność zachowań, która powoduje, że zmiany na przykład dochodów lub cen nie wywierają natychmiastowych reakcji rynkowych. Potrzebny jest pewien upływ czasu dla wykształcenia się nowych przyzwyczajeń postępowania. Po drugie – przystosowanie się podaży do zmian rynkowych następuje z opóźnieniem, wymuszonym warunkami technologicznymi uruchamiania nowych inwestycji, produkcji, importu itp. Po trzecie – działają czynniki instytucjonalne, takie jak umowy dostaw, warunki długookresowych kontraktów, terminy wchodzenia w życie nowych przepisów itp. Z tych i wielu podobnych powodów opóźnienia odgrywają w procesach ekonomicznych ważną rolę. Są one powodem wprowadzenia do rozważań teorii ekonomii pojęcia krótkiego i długiego okresu.

12.1. Problemy ekonometryczne modeli dynamicznych Szacowanie modeli na podstawie szeregów czasowych tworzy nowe, niespotykane przy danych przekrojowych problemy. Wynikają one z niebezpiecz-

13.1. Modele wielorównaniowe

Modele wektorowej autoregresji (VAR) i modele korekty błędem

205

13.1. Modele wielorównaniowe W zastosowaniach empirycznych często modelowany fragment rzeczywistości ekonomicznej, na skutek swojej złożoności, wymaga dla pełniejszego opisu nie pojedynczego równania, a kilku, kilkunastu, a czasem (jak to ma miejsce w modelach makroekonomicznych) kilkudziesięciu równań. Lata 60.–80. XX wieku zwane „złotym wiekiem ekonometrii” były okresem budowy modeli makroekonomicznych o coraz większej liczbie równań. Pierwszy, bardziej rozbudowany model makroekonomiczny gospodarki USA Kleina‑Goldbergera z 1955 roku zawierał 20 równań, tak zwany Brookings Model z 1965 roku miał już 160 równań, a druga jego wersja z 1970 roku posiadała aż 200 równań. W Polsce modelowaniem wielorównaniowym gospodarki zajmował się przede wszystkim zespół W. Welfego [Welfe 1992] z Uniwersytetu Łódzkiego i W. Maciejewskiego z Uniwersytetu Warszawskiego. W badaniach fragmentów gospodarki na szczeblu mezoekonomicznym lub mikroekonomicznym często zachodzi konieczność korzystania z modeli wielorównaniowych. Dla potrzeb estymacji modeli wielorównaniowych powstały specjalne metody ekonometryczne, jak na przykład podwójna metoda najmniejszych kwadratów, potrójna metoda najmniejszych kwadratów, metoda zwana metodą pozornie niezależnych regresji czy wreszcie dla modeli dynamicznych – metoda VAR (metoda wektorowej autoregresji), czy metoda korekty błędem równowagi. Na przykład badania budżetów gospodarstw domowych dostarczają corocznie około 30 tysięcy obserwacji o dochodach i wydatkach indywidualnych rodzin. Wielorównaniowe modele popytu, uzależniające wydatki go-

223

Podsumowanie

Opracowanie projektów badawczych

Już przy pisaniu pracy dyplomowej lub magisterskiej podejmowany jest wysiłek samodzielnego opracowania projektu badawczego. Istotnym problemem jest wybór tematu. Ważkim pytaniem, które należy sobie zadać jest pytanie: „Co mnie interesuje?”. Wybór interesującego tematu istotnie poprawia samopoczucie piszącego i wzmaga wysiłek badawczy, przyczyniając się odniesienia sukcesu. Jeśli jednak zaczynamy pracę nad tematem, którym nie jesteśmy zafascynowani, to powinniśmy pamiętać, że zainteresowanie wzrasta wraz z postępami w studiowaniu literatury, formułowaniu hipotez badawczych i poszukiwaniu danych. Czas poświęcony na tym etapie dociekań na pewno nie będzie zmarnowany. Korzystajmy intensywnie z pomocy opiekuna naukowego. Badania o charakterze naukowym stają się coraz powszechniejszym zajęciem ekonomistów uczestniczących przy podejmowaniu decyzji ekonomicznych na różnych szczeblach zarządzania i w różnych dziedzinach działalności gospodarczej, społecznej czy politycznej. Zadaniom takim towarzyszy konieczność pisania raportów z badań, wykorzystujących dane empiryczne. W zależności od celu opracowania i audytorium, do którego jest ono adresowane, może mieć ono różnorodne formy. Niezależnie jednak od szczegółowych uwarunkowań większość sprawozdań badawczych powinno zawierać następujące elementy: 1. Wprowadzenie 2. Przegląd literatury 3. Teoria ekonomiczna 4. Dane statystyczne 5. Model 6. Wyniki estymacji 7. Wnioski 1. Wprowadzenie. Przy pisaniu pracy dyplomowej lub magisterskiej pamiętajmy o napisaniu krótkiego streszczenia zamierzonej pracy, w którym określony byłby cel pracy, główne hipotezy – będące przedmiotem

Literatura uzupełniająca do części III

227

Aneksy

A. Elementy algebry macierzy

Elementy algebry macierzy

229

Macierzą nazywamy zbiór liczb rzeczywistych uporządkowanych w wierszach i kolumnach. Pojedynczą liczbę nazywamy skalarem lub elementem macierzy. R V S a11 a12 a13 g a1n W Sa a a g a W 2n W S 21 22 23 S W A a a a a g (A.1) = 31 32 33 3n . S W h W h S h h S W S am1 am2 am3 g amn W T X A jest macierzą złożoną z m wierszy i n kolumn. Każdy element macierzy jest liczbą rzeczywistą. Liczby m oraz n nazywamy wymiarami macierzy, a macierz A zapisujemy często jako Am # n. Za pomocą macierzy będziemy zapisywać zbiory danych statystycznych, użytych przy budowie modeli ekonometrycznych. Każdy wiersz macierzy jest wówczas jedną obserwacją na zmiennych modelu, a każda kolumna tworzy zbiór wszystkich obserwacji na wybranej zmiennej. Oznaczając przez xik i-tą obserwację na k-tej zmiennej objaśniającej macierz obserwacji na zmiennych objaśniających zapiszemy: R V S1 x12 x13 g x1K W S1 x x g x W 22 23 2K W S S (A.2) X = 1 x32 x33 g x3K W. S W h W Sh h h S W S1 xn2 xn3 g xnK W T X W macierzy tej pierwsza kolumna jest kolumną jedynek. Potrzebę takiego zapisu wyjaśnia klasyczny model regresji liniowej.

A. Wybrane zagadnienia rachunku prawdopodobieństwa

Wybrane zagadnienia rachunku prawdopodobieństwa

243

Wartość oczekiwana zmiennej losowej Średnią lub wartością oczekiwaną zmiennej losowej jest Z ] / x f _ xi, gdy x zmienna dyskretna, ] x E _ xi = [ ] y x f _ xi dx, gdy x zmienna ciągła, ]x \ gdzie f(x) jest funkcją gęstości zmiennej x.

(B.1)

Średnią często oznaczamy przez n. Jeśli y = a + bx, to

E(y) = E(a + bx) = a + bE(x).

(B.2)

Wariancja zmiennej losowej Z 2 gdy x zmienna dyskretna, ]/ _ x - ni f _ xi, ] x (B.3) var _ xi = E 9_ x - ni2 C = [ 2 ] y _ x - ni f _ xi dx , gdy x zmienna ciągła. ]x \ Jeśli y = a + bx, to

var(y) = var(a + bx) + b2var(x).

(B.4)

Oczekiwaną wartością wektora lub macierzy jest wektor lub macierz wartości oczekiwanych. Zapiszmy n-wymiarowy wektor zmiennych loso-

253

A. Bazy danych

Bazy danych opracował Tomasz Rybnik

1. Baza CIA – The World Factbook 2000–2006 (https://www.cia.gov/library/ publications/the-world-factbook/index.html) Bogate źródło informacji o krajach całego świata (geografia, demografia, ustrój, gospodarka, komunikacja, transport, wojsko). Dane w formie raportów – należy je konwertować do bardziej użytecznych postaci. Baza jest oprócz tego darmowa. 2. Bazy OECD a) OECD Patent Database (http://www.oecd.org/document/41/0,3343, en_2649_34451_40813225_1_1_1_1,00.html#rawdata) – dane patentowe (również dane „surowe”). Dostępne dla analityków i badaczy (sposób wnioskowania podany na stronie). b) OECD Factbook 2009 Economic, Environmental and Social Statistics (http://www.oecdbookshop.org/oecd/display.asp?CID=&LANG=en &SF1=DI&ST1=5KZC21TB940R) – bardzo wiele informacji (ponad 100 wskaźników) o krajach OECD i wybranych innych krajach. Informacje te można zobaczyć na stronie: http://www.oecdbookshop.org/oecd/ display.asp?CID=&LANG=en&SF1=DI&ST1=5KZC21TB940R#TableOfContents Baza dla roku 2009, płatna (35 euro), możliwość konwertowania danych do formatu Excela. Darmowy Factbook na wykresach: http://stats.oecd.org/nawwe/ factbook09/default.html c) Baza OECD do porównań międzypaństwowych: http://stats.oecd. org/index.aspx d) Bazy danych PISA (Programme for International Student Assessment) – „jakość studentów” (oceniana za pomocą różnych kryteriów) w wielu różnych krajach (43 w roku 2000, 41 w roku 2003 i 57 w roku 2006, niebawem również dane dla 2009). 4500– –10 000 studentów w każdym kraju. Baza darmowa – dane w formacie SPSS-a bądź SAS-a. Dostępna na http://www.pisa.oecd.org/pages/ 0,3417,en_32252351_32236130_1_1_1_1_1,00.html

Brunon R. Górecki

Ekonometria podstawy teorii i praktyki

Ekonometria – podstawy teorii i praktyki Wydawnictwo Key Text

okładka po AW.indd 1

2010-06-30 13:12:25