Judith V. Montilla P.
EJERCICIOS DE ALGEBRA BOOLEANA Estructuras Discretas II
George Boole Matemático británico especializado en temas de lógica, nacido el 2 de noviembre de 1815 y murió el 8 de diciembre de 1864.
Como inventor del álgebra de Boole, marcaría los fundamentos de la aritmética computacional moderna, Boole es considerado como uno de los fundadores del campo de las Ciencias de la Computación. En 1854 publicó “An Investigation of the Laws of Thought” en el que desarrollaba un sistema de reglas que le permitían expresar, manipular y simplificar problemas lógicos y filosóficos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero o falso) por procedimientos matemáticos. Gracias a él se desarrollo toda la matemática que hace posible el funcionamiento de los computadores de hoy en día.
CONTENIDO
1. Demostrar si los siguientes polinomios son equivalentes: P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’) + (y + z’) Q (w, x, y, z) = x + z’ + y Justifique cada paso con la ley que esté utilizando
2. Encuentre el polinomio en Forma Normal Conjuntiva asociado al siguiente polinomio: P (x, y, z) = (x + y’) (x’ + z’) (y’ + z) Justifique cada paso con la ley que esté utilizando
3. Encuentre el polinomio en Forma Normal Disyuntiva asociado al siguiente polinomio: P (x, y, z) = (x + y’)z‘ Justifique cada paso con la ley que esté utilizando 4. Encuentre el circuito lógico asociado al siguiente polinomio P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’)’+ (yz’)’w’
Simplifico P (w, x, y, z) P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’) + (y + z’’) P (w, x, y, z) = wx + (x + z’) + (y + z’’) x’’ = x
1. Demostrar si los siguientes polinomios son equivalentes:
P (w, x, y, z) = (wx + x) + (z’ + z’) + y ley asociativa P (w, x, y, z) = x + (z’ + z’) + y ley asociativa P (w, x, y, z) = x + z’ + y Por lo tanto:
P(w,x,y,z)=wx+(x’’+z’)+(y+z’)
P (w, x, y, z) = Q (w, x, y, z)
P y Q son equivalentes.
Q (w, x, y, z) = x + z’ + y Justifique cada paso con la ley que esté utilizando
2. Encuentre el polinomio en Forma Normal Conjuntiva asociado al siguiente polinomio: P (x, y, z) = (x + y’) (x’ + z’) (y’ + z) Justifique cada paso con la ley que esté utilizando
P (x, y, z) = ((x’.y) + (x.z) + (y.z’))’
Ley de Morgan
P (x, y, z) = (x’. y. 1 + x. z .1 + y. z’ .1)’
Dominación
P (x, y, z) = (x’. y. (z + z’) + x. z. (y + y’) + y. z’. (x + x’))’
(a + a’) = 1
P (x, y, z) = (x’. y. z + x’. y. z’ + x. z .y + x. z. y’ + y. z’. x + y. z’. x’)’
Distributiva
P (x, y, z) = (x’. y. z + x’. y. z’ + x. y .z + x. y’. z + x. y. z’ + x’. y. z’)’
Conmutativa
P (x, y, z) = (x.y.z + x’. y .z’ + x.y’.z + x.y.z’ + x’.y.z’)’
Idempotencia
P (x, y, z) = (x.y.z)’ . (x’.y.z’)’ . (x.y’.z)’ . (x.y.z’)’ . (x’.y.z’)’
Ley de Morgan
P (x, y, z) = ( x’ + y’ + z’) . (x + y’ + z) . (x’ + y + z) . (x’ + y’ + z)
Ley de Morgan
Forma normal conjuntiva P (x, y ,z)= ( x’ + y’ + z’) . (x + y’ + z) . (x’ + y + z) . (x’ + y’ + z)
3. Encuentre el polinomio en Forma Normal Disyuntiva asociado al siguiente polinomio: P (x, y, z) = (x + y’)z’ Justifique cada paso con la ley que esté utilizando
P (x, y, z) = (x + y) z’ P (x, y, z) = xz’ + y’z’ P (x, y, z) = x.z’.1 + y’.z’.1
Ley distributiva Ley de dominación
P (x, y, z) = x.z’(y + y’) + y’.z’(x + x’)
(a + a’ =1)
P (x, y, z) = x.z’.y + x.z’.y’ + y’.z’.x + y’.z’.x’
Distributiva
P (x, y, z) =x.y.z’ + x.y’.z’ + x.y’.z’ + x’.y’.z’
Conmutativa
P (x, y, z) =x.y.z’ + (x.y’.z’ + x.y’.z’) + x’.y’.z’
Asociativa
P (x, y, z) =x.y.z’ + x.y’.z’ + x’.y’.z’
Idempotencia
Forma normal disyuntiva P (x, y ,z) = x.y.z’ + x.y’.z’ + x’.y’.z’
4. Encuentre el circuito lógico asociado al siguiente polinomio: P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’)’ + (yz’)’ w’ Tabla de la verdad.
Circuito Lógico