Matematica manuale di teoria per tutti i test di ammissione all'università by kimcilcilik

HOEPLI TEST MANUALE DI TEORIA MATEMATICA

www.hoepli.it Seguici su Twitter: @Hoepli_1870 Tutti i diritti sono riservati a norma di legge e a norma delle convenzioni internazionali ISBN EBOOK 9788820363826 Realizzazione digitale: Promedia, Torino

INDICE 1 INTRODUZIONE ALLA MATEMATICA 2 INSIEMI, NUMERI E OPERAZIONI Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave 2.1

Insiemi 2.2 Operazioni tra insiemi 2.3 Proprietà degli insiemi 2.4 Numeri Addizione Sottrazione Moltiplicazione Divisione 2.5 Insiemi numerici Numeri naturali Proprietà delle operazioni in Z Numeri interi e relativi Proprietà delle operazioni in Z Numeri razionali Decimali e frazioni Numeri periodici Numeri irrazionali Numeri reali 2.6 Frazioni e criteri di divisibilità 2.7 Potenze e loro proprietà: notazione esponenziale Proprietà delle potenze Altre proprietà fondamentali Notazione esponenziale o scientifica Scomposizione in fattori 2.8

Logaritmi 2.9 Proporzioni e percentuali 2.10 Minimo comune multiplo, massimo comun divisore Minimo comune multiplo Massimo comun divisore RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE

3 ALGEBRA Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave 3.1 Introduzione 3.2 Monomi e polinomi 3.3 Operazioni tra monomi Addizione algebrica Moltiplicazione tra monomi Elevazione a potenza di un monomio Divisione tra monomi Massimo comun divisore e minimo comune multiplo tra monomi 3.4 Operazioni tra polinomi Somma e prodotto tra polinomi Regola di Ruffini 3.5 Scomposizione in fattori Quadrato di un binomio Cubo di un binomio

Potenza n-esima di un binomio 3.6 Prodotti notevoli Altri prodotti notevoli Differenza di quadrati Somma di cubi Differenza di cubi Quadrato di un trinomio Scomposizione notevole Scomposizione alla Ruffini I prodotti notevoli in sintesi 3.7 Frazioni algebriche RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE

4 RADICALI Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave 4.1 Radicali algebrici e aritmetici 4.2 ProprietĂ e operazioni con i radicali aritmetici 4.3 Razionalizzazione 4.4 Radicali doppi RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE

5 EQUAZIONI Argomenti affrontati nel capitolo

Concetti chiave 5.1 Uguaglianze: identitĂ ed equazioni 5.2 Tipi di equazioni Condizioni di esistenza per equazioni frazionarie 5.3 Metodi risolutivi per equazioni di secondo grado Equazione di secondo grado completa 5.4 Regola di Cartesio Tabella semplificativa regola di Cartesio 5.5 Equazioni di grado superiore al secondo RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE

6 SISTEMI DI EQUAZIONI Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave 6.1 Equazioni a piĂš incognite 6.2 Grado e soluzione di un sistema di equazioni 6.3 Tipi di sistemi 6.4 Metodi risolutivi per i sistemi lineari Metodo di sostituzione Ricapitolando: Metodo di riduzione

Ricapitolando: Metodo del confronto Ricapitolando: Metodo di Cramer Ricapitolando: 6.5 Sistemi di equazioni letterali e frazionarie Sistemi letterali Sistemi frazionari RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE

7 DISEQUAZIONI Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave 7.1 Diseguaglianze e disequazioni ProprietĂ delle disequazioni 7.2 Metodo grafico 7.3 Sistemi di disequazioni di primo grado 7.4 Disequazioni di secondo grado Regole del segno Schema riassuntivo con metodo grafico: 7.5 Disequazioni frazionarie 7.6 Disequazioni con moduli 7.7

Casi particolari: radicali ed esponenziali Disequazioni con i radicali o irrazionali Disequazioni esponenziali RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE

8 GEOMETRIA NEL PIANO Argomenti trattati nel capitolo Concetti chiave 8.1 La geometria euclidea 8.2 Angoli e rette 8.3 Triangoli Tipi di triangolo Teorema di Pitagora 8.4 Criteri di congruenza dei triangoli Primo criterio di congruenza Secondo criterio di congruenza Terzo criterio di congruenza 8.5 Quadrilateri 8.6 Circonferenza Luoghi della circonferenza Teoremi fondamentali della circonferenza 8.7 Poligoni inscrivibili e circoscrivibili Teoremi fondamentali

RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE

9 GEOMETRIA SOLIDA Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave 9.1 Parallelepipedi e prismi 9.2 Piramidi 9.3 Coni 9.4 Cilindri 9.5 Poliedri regolari 9.6 Sfera RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE

10TRIGONOMETRIA Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave 10.1 Angoli e radianti 10.2 Funzioni goniometriche: seno, coseno, tangente e cotangente 10.3 Formule goniometriche 10.4 Applicazioni ai triangoli Area di un triangolo qualunque Area di un quadrilatero qualunque Area di un parallelogramma 10.5 Equazioni e disequazioni trigonometriche RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE

11PROBABILITÀ E STATISTICA Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave 11.1 Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni e combinazioni Fattoriali Disposizioni Permutazioni Combinazioni Binomio di Newton Formula di Gauss 11.2 Calcolo delle probabilità 11.3 Probabilità totali e composte 11.4 Statistica e distribuzioni 11.5 Media, mediana e moda RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE

12GEOMETRIA ANALITICA Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave 12.1 Coordinate cartesiane e rappresentazione dei punti nel piano 12.2 Rette e loro equazioni Condizione di parallelismo Condizione di perpendicolarità Retta passante per un punto La retta passante per due punti Distanza di un punto da una retta 12.3 Coniche 12.4 Circonferenze 12.5 Ellissi 12.6 Parabole 12.7 Iperboli

RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE

13FUNZIONI Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave 13.1 Funzioni: generalità e tipi di funzione 13.2 Campo di esistenza di una funzione 13.3 Caratteri di una funzione 13.4 Continuità 13.5 Funzioni inverse RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE

14LIMITI Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave 14.1 Definizione di limite 14.2 Teoremi sui limiti 14.3 Limiti notevoli RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE

15DERIVATE E STUDI DI FUNZIONE Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave 15.1 Definizione di derivata 15.2 Derivate notevoli 15.3 Significato geometrico della derivata 15.4 Regole di derivazione 15.5 Teoremi sulle derivate Teorema di De L’Hôpital Teorema di Rolle Teorema di Lagrange Teorema di Cauchy

15.6 Massimi, minimi, flessi e punti angolosi RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE

16INTEGRALI Argomenti affrontati nel capitolo Concetti chiave 16.1 Definizione di integrale 16.2 Teoremi sugli integrali 16.3 Integrali notevoli 16.4 Regole di integrazione RIPASSO DEI CONCETTI CHIAVE

1 INTRODUZIONE ALLA MATEMATICA La matematica è la scienza con tradizione più antica presso tutte le popolazioni; già gli assiri e i greci ne facevano uso quotidianamente. Senza la matematica nessuna evoluzione è possibile, essendo essa stessa il linguaggio attraverso cui può essere spiegato ogni fenomeno, e non solo di carattere fisico e meccanico. La definizione moderna di matematica è quella di un sistema formale, basato su un insieme di regole che consente, a partire da una serie di proposizioni assunte come vere senza dimostrazione (dette assiomi opostulati) di dimostrarne altre (dette teoremi) relativamente a un insieme di enti perlopiù di natura numerica o geometrica. L’insieme di procedure che, per ogni problema, permettono di giungere alla sua soluzione tramite l’applicazione di un insieme finito di regole precise è detto algoritmo. La matematica si è inizialmente sviluppata come geometria (misurazione di terreni), per poi evolversi in molti campi (per esempio l’astronomia, nata dai rudimentali calcoli basati sull’osservazione degli astri e spesso con scopi tutt’altro che matematici, quali la predizione del futuro), ha gettato le basi della fisica (dapprima della meccanica, successivamente della termodinamica e dell’elettrotecnica), ha dettato le leggi che governano il funzionamento dei computer (l’algebra di Boole e la teoria dei sistemi), studia la nostra società (statistica ed economia) e perché no, ci fa anche divertire sotto forma di matematica ricreativa (chi di noi non ha mai giocato a tetris, a tris oppure all’onnipresente sudoku...). Tornando al programma della prova, gli argomenti di matematica che possono essere oggetto delle domande sono derivabili dal programma del Liceo classico, anche se alcuni argomenti sono studiati e approfonditi solo al Liceo scientifico. A fronte della basilare importanza della matematica, il suo insegnamento è ormai presente in qualsiasi indirizzo di studio ed è per questo che se ne porge una descrizione ad ampio spettro, partendo dalla teoria degli insiemi e arrivando all’algebra differenziale e fornendo gli strumenti per valutare la propria preparazione, ovvero i quiz, ognuno dei quali presenta una soluzione commentata.

2 INSIEMI, NUMERI E OPERAZIONI Argomenti affrontati nel capitolo Insiemi Operazioni tra insiemi Proprietà degli insiemi Numeri Insiemi numerici Frazioni e criteri di divisibilità Potenze e loro proprietà: notazione esponenziale Logaritmi Proporzioni e percentuali Minimo comune multiplo e massimo comun divisore

Concetti chiave •diagramma di Eulero-Venn •elemento di un insieme •insieme •logaritmo •massimo comune divisore •minimo comune multiplo •sottoinsieme Alla fine del capitolo troverai un glossario mirato per il ripasso di questi concetti.

2.1Insiemi Con il termine insieme si indica un raggruppamento di oggetti chiamati elementi dell’insieme. Il fatto chex è un elemento dell’insieme A si indica con la scrittura x ? A Gli elementi non possono comparire più volte e non hanno un ordine di comparizione. Gli elementi caratterizzano l’insieme univocamente: due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi. Il concetto di insieme è primitivo e intuitivo; “primitivo” poiché non può essere derivabile da concetti più elementari e “intuitivo” perché nasce spontaneamente nella nostra mente. Un insieme viene indicato solitamente con le lettere maiuscole dell’alfabeto (esempio: A, B, C, Z, X) e deve essere univocamente determinato. Un insieme può essere definito nei seguenti modi: •in forma tabulare o per elencazione, ovvero vengono elencati tutti gli elementi. La convenzione comune è quella di scrivere l’elenco degli elementi tra parentesi graffe separati da virgole: F = {cane, gatto, elefante} Questo tipo di definizione è utilizzabile solo nel caso di insiemi finiti; per gli insiemi infiniti si fa talvolta uso di puntini di sospensione laddove si ritiene che sia evidente il modo in cui sono stati scelti gli elementi, per esempio: P = {1, 2, 3, 4, 5,...} •per caratteristica: l’insieme è definito come l’unione di tutti gli oggetti che verificano una determinata proprietà P. In tal caso si usa la scrittura {x : P(x)} dove al posto di P(x) può comparire la descrizione di una particolare proprietà. Esempio: F = {x : x è un animale} (F è definito come l’insieme degli x tale che x è un animale). Graficamente gli insiemi si rappresentano con i diagrammi di Eulero-Venn. Un diagramma di Eulero-Venn (spesso semplicemente chiamato diagramma di Venn) è una rappresentazione grafica che consiste nel racchiuderne gli elementi all’interno di una linea chiusa non intrecciata.

Gli elementi si rappresentano sotto forma di punti affiancati da una lettera minuscola per associarvi un nome simbolico. Gli elementi appartenenti all’insieme vengono evidenziati con punti interni alla linea, mentre gli elementi che non appartengono all’insieme con punti esterni. Il diagramma rappresenta un po’ un recinto, disegnato solitamente come un cerchio o un ovale. All’interno si inserisce un pallino per ogni elemento che si vuole rappresentare. Seguendo regole specifiche, in questo tipo di grafico possiamo presentare degli elementi, degli insiemi, l’universo algebrico e le eventuali relazioni che possano esistere fra elementi o fra insiemi: ogni possibile relazione tra elementi dello stesso insieme o di insiemi diversi verrà indicata tramite un archetto che ne indica la relazione esistente.

Gli insiemi possono essere di diverse tipologie, infatti si definisce:

•insieme finito, l’insieme che possiede un numero determinato e limitato di elementi; •insieme infinito, l’insieme che possiede un numero di elementi infiniti; •insieme vuoto, è l’insieme che non possiede elementi e si indica con la scrittura Ø o “{ }”; •insieme ambiente o universo, è l’insieme che contiene tutti gli insiemi compreso l’insieme vuoto. Spesso si indica con la lettera U. Graficamente si indica con un rettangolo. Negli insiemi si utilizzano dei simboli che hanno specifici significati •? simbolo di inclusione A ? B si legge “A è incluso in B”; •? simbolo di inclusione A ? B si legge “A include B” o “B è incluso in A”; •? simbolo di inclusione stretta; •? simbolo di inclusione stretta; •n simbolo di intersezione A n B si legge “A è intersecato a B”; •? simbolo di unione A ? B si legge “A è unito a B”; •? simbolo di appartenenza a ? A si legge “l’elemento a appartiene all’insieme A”; •? simbolo di non appartenenza a ? A si legge “l’elemento a non appartiene all’insieme A”; Se A è un insieme qualsiasi (non vuoto né insieme universo), vale pertanto: Ø ? A ? U. Dati due insiemi A e B diremo che A è sottoinsieme di B e scriveremo A ? B, oppure B ? A se ogni elemento di A è anche elemento di B. Può capitare di considerare insiemi i cui elementi siano a loro volta degli insiemi; per esempio un insieme di rette è costituito per l’appunto da rette, le quali sono insiemi di punti. In questo caso si usano i terminiclassi o famiglie di insiemi.

Due insiemi si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune.

Si dice partizione dell’insieme A una classe di sottoinsiemi di un insieme A, i quali siano non vuoti, disgiunti e con unione tutto l’insieme A.

2.2Operazioni tra insiemi Le principali operazioni tra insiemi sono: •l’unione di due insiemi A e B; si indica con A ? B ed è data dall’insieme formato da tutti gli elementi che appartengono all’insieme A o all’insieme B o a entrambi: A ? B = {x : (x ? A) ? (x ? B)}

Nell’esempio grafico A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, appartengono all’unione degli insiemi Ae B gli elementi A ? B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Se l’insieme A è sottoinsieme di B ovvero risulta che A ? B, allora l’unione A ? B = B. •l’intersezione di due insiemi A e B; si indica con A n B ed è data dall’insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia all’insieme A sia all’insieme Bcontemporaneamente: A n B = {x : (x ? A) ? (x ? B)}

Nell’esempio grafico A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, appartengono all’intersezione dell’insieme A e B gli elementi A n B = {3, 4, 5}. Se l’insieme A è sottoinsieme di B, cioè risulta che A ? B, allora l’intersezione A n B = A. Se gli insiemi A e B sono disgiunti allora A n B = Ø. •la differenza A-B (si legge A meno B) è l’insieme formato dai soli elementi di A che non appartengono a B: A-B = {x : (x ? A) ? (x ? B)}

Nell’esempio grafico, appartengono all’insieme differenza degli insiemi A e B gli elementi A–B = {5, 6, 7, 8, 9} A–B è l’insieme di tutti e soli gli elementi che appartengono ad A ma non a B. Se B è un sottoinsieme di A, si dice complementare di B rispetto ad A l’insieme A–B, che si indica anche con CAB = A–B. L’insieme prodotto di due insiemi A e B è formato dalle coppie ordinate (a, b), con a ? A e b ? B: A × B = {(a, b) : a ? A, b ? B} Il prodotto di un insieme per se stesso si indica con A2.

Nell’esempio grafico, è mostrato il piano cartesiano e il reticolo composto dagli elementi dell’insieme Y = {a, b, c} e quelli dell’insieme X = {1, 2, 3}, quindi X × Y = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}. I punti P(x, y) sul piano cartesiano rappresentano un insieme prodotto dell’insieme dei punti dell’asse x con quelli dell’asse y.

2.3Proprietà degli insiemi Se A, B e C sono insiemi, si ha: •proprietà commutativa dell’unione e dell’intersezione: A?B=B?A AnB=BnA

•proprietà associativa dell’unione e dell’intersezione: (A ? B) ? C = A ? (B ? C) (A n B) n C = A n (B n C) •proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione e dell’intersezione rispetto all’unione: A ? (B n C) = (A ? B) n (A ? C) A n (B ? C) = (A n B) ? (A n C) Inoltre, se A e B sono sottoinsiemi di un insieme E si hanno le due leggi di De Morgan: CE (A ? B) = CEA n CEB CE (A n B) = CEA ? CEA

2.4Numeri Tutti i numeri che si utilizzano in matematica appartengono a degli insiemi con particolari proprietà, per questa ragione è utile vedere quali siano gli insiemi numerici e quali le loro proprietà principali. Con i numeri è possibile svolgere delle operazioni, da quelle più semplici a quelle più complesse. Le operazioni fondamentali sono: addizione (+), sottrazione (–), moltiplicazione (·), divisione (:) Per ognuna delle operazioni è possibile definire delle proprietà:

Addizione •Commutativa: •Associativa:

a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

Sottrazione •Invariantiva:

a - b = (a - c) - (b - c); a - b = (a + c) - (b + c)

Moltiplicazione •Commutativa:

a·b=b·a

•Associativa:

(a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c

•Distributiva rispetto alla somma:

a · (b + c) = a · b + a · c

Divisione •Invariantiva:a :

b = (a : c):(b : c) = (a · c):(b · c)

•Distributiva rispetto alla somma:

(a + b) : c = (a : c) + (b : c)

2.5Insiemi numerici Numeri naturali I numeri naturali costituiscono il più semplice degli insiemi numerici, composto da quei numeri interi maggiori o uguali a 0. L’insieme viene indicato con la lettera N (Naturali) e a esso appartengono infiniti numeri da 0 all’infinito. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,... n} Si possono rappresentare i numeri come punti su una retta orientata (che ha una sola direzione) e ordinata (i numeri sono in ordine dal più piccolo al più grande). Rappresentazione grafica:

Proprietà delle operazioni in N L’addizione ammette la proprietà associativa e commutativa; è un’operazione interna, perché sommando qualsiasi numero appartenente a N si ottiene come risultato (somma) un numero ancora appartenente a N. Esempio:2 + 3 = 5 (2, 3, 5 ? N) ; 14 + 800 = 814 (14, 800, 814 ? N) La sottrazione è un’operazione esterna, perché sottraendo un numero naturale a un altro non sempre il risultato (differenza) appartiene a N. Esempio:10 – 6 = 4 (4, 6, 10 ? N); 7 – 10 = -3 (7, 10 ? N; -3 ? N) La moltiplicazione è un’operazione interna, perché moltiplicando qualsiasi numero appartenente a N si ottiene come risultato (prodotto) un numero ancora appartenente a N. Esempio:5 · 4 = 20 (5, 4, 20 ? N); 7 · 11 = 77 (7, 11, 77 ? N) La divisione è un’operazione esterna, perché dividendo due numeri appartenenti a N, non sempre il risultato (quoziente) appartiene ancora a N. Esempio:10 : 2 = 5 (2, 5, 10 ? N); 10 : 4 = 2,5 (4, 10 ? N; 2,5 ? N)

Numeri interi e relativi I numeri interi formano un insieme più esteso di numeri rispetto a quello dei naturali, infatti comprende tutti i numeri naturali oltre ai numeri relativi (cioè negativi e interi). L’insieme si indica con la lettera Z (dal tedesco “Zahl”, ovvero numero). Si dirà quindi che l’insieme N è incluso in Z o analogamente che Z include N. N?Z Z = {-n, ...,-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,... n} Rappresentazione grafica:

Proprietà delle operazioni in Z Nell’insieme (o campo) dei numeri interi è possibile operare sempre l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e solo in alcuni casi la divisione, quindi le prime tre operazioni sono dette interne mentre la divisione non lo è.

Numeri razionali L’insieme dei numeri razionali è un insieme ancora più esteso che include i numeri interi Z e quindi anche i naturali N. Fanno parte di questo insieme tutti i numeri esprimibili attraverso un rapporto o frazione, tranne quelli in cui il denominatore sia 0. L’insieme si indica con la lettera Q. N?Z?Q Q = {x : x = a/b, a ? N, b ? N, b ? 0} Q = {..., -3, -2, -1, -0,5, 0, 1, 2, 2/5, 3, 4...} Rappresentazione grafica:

Un numero razionale si esprime tramite una frazione, ovvero un rapporto tra numeratore e denominatore. Le frazioni possono essere:

Proprie:

numeratore < denominatore

Esempio 1/2 = 0,5

Improprie:

numeratore > denominatore

Esempio 5/4 = 1,25

Apparenti:

quando semplificando si ha un numero intero

Esempio 10/5 = 2

Prive di significato:

quando il denominatore = 0

Esempio 8/0

Indeterminate:

quando numeratore = denominatore = 0

Esempio 0/0

Equivalenti:

quando semplificando si ottiene

Esempio 1/4 = 4/16 lo stesso risultato = 0,25

Decimali e frazioni Un numero razionale può essere espresso quindi sia attraverso una frazione di numeri che attraverso un numero decimale. Esiste una regola per passare da un modo all’altro con semplici passaggi. Basta moltiplicare e dividere per la cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali. Esempio:13,25 = 13,25 · 100/100 = 1325/100 = 53/4 0,025 = 0,025 · 1000/1000 = 25/1000 = 1/40

Numeri periodici Alcune frazioni hanno come risultato un numero con delle cifre (una o gruppi di cifre) che si ripetono continuamente infinite volte. Questi numeri sono detti periodici. Esempio:1/3 = 0,33333333333... con infiniti 3 che si ripetono. Si dice che vale 0,

con 3 periodico

6/7 = 0,857142857142... Il risultato è 0,

con “857142” periodico

Tutti i numeri periodici sono numeri razionali. Esistono delle regole pratiche che permettono di trasformare un numero periodico in una frazione equivalente. Al numeratore si scrive la differenza tra il numero privato della virgola e il numero senza le cifre dopo la virgola. Al denominatore si scrive il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre totali che costituiscono il periodo. Esempio:0, 0, 1,

= (3 - 0)/9 = 3/9 = 1/3

= (857142 - 0)/999999 = 857142/999999 = 6/7 = (16 - 1)/9 = 15/9

Nel caso di numeri periodici misti, si procede con una regola leggermente diversa. Sono misti i numeri periodici che presentano un periodo non subito dopo la virgola. In tal caso si procede scrivendo una frazione che ha come numeratore la differenza tra il numero privato della virgola e il numero privato della virgola e del solo periodo. Al denominatore invece tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo formato dalle cifre comprese tra la virgola e la prima cifra del periodo. Esempio:1, 1 = (113 - 11)/90 = 17/15

Numeri irrazionali I numeri irrazionali sono tutti quei numeri che non possono essere espressi sotto forma di frazione, ovvero i numeri illimitati non periodici. A questa categoria appartengono numeri come p (pi greco), e (numero di nepero) o . In matematica, risulta pratico o necessario ricondurre questi numeri a un numero di cifre finite, attraverso una approssimazione. Il numero p è spesso approssimato a 3 o 4 cifre significative (3,1416), mentre il numero di nepero è spesso indicato con tre cifre significative (2,718). Anche i numeri irrazionali hanno quindi delle caratteristiche e quindi possono essere a tutti gli effetti inseriti in un insieme, che spesso viene indicato con la lettera I.

Numeri reali L’insieme dei numeri reali è un insieme ancora più esteso, comprende infatti i numeri razionali e quindi anche gli interi e i naturali, e si indica con la lettera R (o, più spesso, con ). In questo insieme è possibile compiere delle operazioni che erano impossibili nel campo dei numeri visti in precedenza. Riassumendo si può scrivere che: N ? Z ? Q ? R Ed R è l’insieme più vasto che verrà in questo volume considerato. Basti sapere che un insieme ancora più esteso e che comprende anche i numeri reali è detto campo o insieme dei complessi e si indica con la lettera C. N?Z?Q?R?C

2.6Frazioni e criteri di divisibilità Un’espressione del tipo a/b, con a e b interi positivi, prende il nome di frazione. Il termine a si dice numeratore e b denominatore. Se a = 0, la frazione è pari a 0. Se b = 0, la frazione non ha significato (divisione per zero). Se a < b, la frazione si dice propria, ovvero è minore di 1. Nel caso contrario essa si dice impropria. Se a è multiplo di b, la frazione si dice apparente. Per esempio, 1/3 è una frazione propria, 4/3 è una frazione impropria e 6/3 è una frazione apparente. L’uguaglianza tra due frazioni, a/b = c/d si dice proporzione. I termini a e c sono detti antecedenti, mentreb e d sono detti conseguenti. Inoltre a e d sono detti estremi, mentre b e c sono detti medi. Vale la relazionebc = ad, ovvero il prodotto dei medi è pari a quello degli estremi. Tra due insiemi di numeri vale proporzionalità diretta se è costante il loro rapporto. Tra due insiemi di numeri vale proporzionalità inversa se è costante il loro prodotto. Quando dividendo un numero a per un altro numero b, si ottiene un numero intero, si dice che a è divisibileper b. In particolare, si hanno i seguenti criteri di divisibilità: 1.un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è divisibile per 2; 2.un numero è divisibile per 3 se è divisibile per 3 la somma delle sue cifre; 3.un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 5 oppure 0; 4.un numero è divisibile per 9 se è divisibile per 9 la somma delle sue cifre; 5.un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle sue cifre di posto dispari e la somma di quelle di posto pari è 0 oppure è divisibile per 11. Un numero divisibile solo per se stesso e per 1 si dice numero primo.

2.7Potenze e loro proprietà: notazione esponenziale Si chiama potenza di un numero reale a, con esponente n, il prodotto di a per se stesso, eseguito n volte: andove “a” è la base della potenza e “n” è l’esponente.

Proprietà delle potenze an · am = an+m

(an)m = a(n · m) an · am = (a · b)n

Esempi:25 · 26 = 25 + 6 = 211

(113)5 = 113 · 5 = 1115 53 · 23 = (5 · 2)3 = 103

Altre proprietà fondamentali a0 = 1

per qualsiasi valore di “a” tranne lo 0

a1 = a

esempio: 231 = 23; (–5)1 = –5 esempio:

Notazione esponenziale o scientifica Le potenze sono utilissime per scrivere numeri molto grandi o molto piccoli in maniera semplice e pratica per poter svolgere le operazioni, per questa ragione vengono spesso utilizzate nelle scienze applicate come la fisica, la chimica ecc. Esempio:100 000 000 000 = 100 miliardi si può scrivere come 10 11 ovvero 10 moltiplicato per se stesso 11 volte. 0,00000001 = 1/10 000 000 = 1 deci-milionesimo si può scrivere come 1/107 = 10-7 760 000 000 = 7,6 · 108 0,00000124 = 1,24 · 10-6 Applicando le proprietà delle potenze è possibile compiere operazioni in maniera semplificata. Esempio:3 · 108 · 5 · 103 = 3 · 5 · 108 + 3 = 15 · 1011 = 1,5 · 1012 In generale quando un numero è rappresentato nella forma h · 10n, si dice che è rappresentato in notazione esponenziale. Se 1 = h < 10 si parla di notazione scientifica (ed n è detto ordine di grandezza); se 0 = h < 1, allora si parla invece di notazione esponenziale normalizzata.

Scomposizione in fattori Scomporre un numero in fattori primi significa trovare tutti i numeri primi divisori del numero stesso. Un numero può essere quindi scritto come prodotto dei suoi divisori primi. Per scomporre un numero bisogna procedere dividendo per il numero primo più piccolo e continuare fino a che non può essere più diviso. Per procedere in questa operazione possono essere utili i criteri di divisibilità mostrati in precedenza. Esempio:il numero 132 può essere diviso nel seguente modo:

132

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