เผยแพร่ผลงาน คุณครูจันทนา ธรรมสอน by PHUTH

ชุดการเรียนการสอน

เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

วิชาคณิตศาสตรระดั ศาสตร บชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 คุณครูจันทนา ธรรมสอน โรงเรียนกําแพงเพชรพิทยาคม

คํานํา หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ได-กําหนดคุณภาพผู-เรียน ด-าน ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรได-แก2 ใช-วิธีการแก-ป4ญหาที่หลากหลาย ให-เหตุผลประกอบการ ตัดสินใจ ใช-ภาษาและสัญลักษณทางคณิตศาสตรในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอได-อย2าง ถูกต-องและชัดเจน เชื่อมโยงความรู-ต2างๆ ในคณิตศาสตร และนําความรู- หลักการ กระบวนการทาง คณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับศาสตรอื่นๆ และมีความคิดสร-างสรรค แต2การเรียนการสอนคณิตศาสตรยัง ขาดนวัตกรรมที่มีคุณภาพเพื่อใช-เป;นสื่อการเรียนการสอนในการฝ=กทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร ผู-รายงานจึงได-จัดทําชุดการเรียนการสอนเรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องต-น ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 ขึ้น จํานวน 5 ชุด ซึ่งชุดการเรียนการสอนได-ผ2านทดลองใช-ปรับปรุง แก-ไขพัฒนาให-มีประสิทธิภาพใช-เป;นสื่อการสอนไดชุดการเรียนการสอนคณิตศาสตรเรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องต-น ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 สําเร็จ ไปได-ด-วยดี ได-รับความอนุเคราะหให-คําปรึกษาในการจัดทํานวัตกรรม และเป;นผู-เชี่ยวชาญตรวจสอบ ความถูกต-องและความเที่ยงตรงเชิงเนื้อหา การวัดผลประเมินผล จากผู-ช2วยศาสตราจารยอาดุลย จงรักษ มหาวิทยาลัยราชภัฎเพชรบูรณ ดร.สุทธิพงษ ธรรมสอน ผู-อํานวยการเชี่ยวชาญโรงเรียนวชิรปราการ วิทยาคม นางศรัณยา พงศภัสสร ครูชํานาญการพิเศษ โรงเรียนวชิรปราการวิทยาคม นางทัศนีย รักษชน ครูชํานาญการพิเศษ โรงเรียนกําแพงเพชรพิทยาคม และนางปาณิศา ศรีเมือง ครูชํานาญการพิเศษ โรงเรียน โกสัมพีวิทยา และต-องขอขอบคุณ นายอํานวย อภิชาติตรากูล ผู-อํานวยการโรงเรียนกําแพงเพชรพิทยาคม คณะ ครูกลุ2มสาระการเรียนรู-คณิตศาสตร และนักเรียน ได-ให-ความร2วมมือเป;นอย2างดี ผู-รายงานหวังเป;นอย2างยิ่งว2าชุดการเรียนการสอนคณิตศาสตร เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องต-น ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 จะเป;นประโยชนแก2 นักเรียน ครูผู-สอนคณิตศาสตร และผู-เกี่ยวข-องสามารถ นําไปใช-ให-เกิดประโยชนในการเรียนการสอนต2อไป จันทนา ธรรมสอน

สารบัญ หนา คํานํา

ก

สารบัญ

ข

แผนผังลําดับเนื้อหาเรื่องทฤษฎีจํานวนเบื้องต-น

คําชี้แจงการใช-ชุดการเรียนการสอน

ชุดการเรียนการสอนที่ 5………………………………………………………………………………………….. 3 ชุดกิจกรรมการเรียนการสอนที่ 5.1…………………………………………………………………………. 4 แผนการจัดการเรียนรู-ที่ 10…………………………………………………………………………………….. 5 บรรณานุกรม………………………………………………………………………………………………………… 51

แผนผังลําดับเนื้อหาเรื่องทฤษฎีจํานวนเบื้องตน ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

การหารลงตัว

จํานวนเฉพาะ

ขั้นตอนวิธีการหาร

จํานวนคู- จํานวนคี่

ตัวหารร-วมมาก (ห.ร.ม.)

จํานวนเฉพาะสัมพัทธ1

ตัวคูณร-วมนอย (ค.ร.น.)

การหาตัวหารร-วมมาก โดยใชขั้นตอนวิธีของยูคลิด

คําชี้แจงการใชชุดการเรียนการสอน ชุดการเรียนการสอนคณิตศาสตรเรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องต-น ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 แบ2งเป;น 5 ชุด ซึ่งชุดการเรียนการสอนชุดนี้เป;นชุดที่ 5 เรื่อง ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ในชุดการเรียนการสอนจะ ประกอบด-วย 1. แผนการจัดการเรียนรู2. ชุดกิจกรรมการเรียนการสอน ได-แก2 2.1 ใบความรู2.2 เอกสารแนะแนวทาง 2.3 ใบกิจกรรม 2.4 ใบตรวจสอบความรู2.5แบบฝ=กเสริมทักษะ 2.6 แบบประเมินผลการเรียนรู-ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร 2.7 แบบประเมินคุณลักษณะอันพึงประสงค การใชชุดการเรียนการสอน ครูผู-สอนและนักเรียนใช-ชุดการเรียนการสอนร2วมกัน จึงต-องทําความเข-าใจบทบาท ของตนเองเพื่อดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอนให-บรรลุตามจุดประสงคการเรียนรู- และมีประสิทธิภาพ ดังนี้ 1. บทบาทครูผูสอน 1.1 ครูต-องทําความเข-าใจเกี่ยวกับคู2มือการใช-ชุดการเรียนการสอนและแผนการจัดการ เรียนรู- ให-เกิดความเข-าใจ เพื่อที่จะทําให-สามารถนําชุดการเรียนการสอนแต2ละชุดไปจัดกิจกรรมการ เรียนการสอนอย2างมีประสิทธิภาพต2อไป 1.2 ให-คําแนะนําแก2นักเรียนขณะที่นักเรียนทํากิจกรรมในชุดการเรียนการสอน หรือ เมื่อนักเรียนต-องการความช2วยเหลือ 1.3 ประเมินผลการเรียนรู-ของนักเรียนหลังใช-ชุดการเรียนการสอน เพื่อตรวจสอบความ เข-าใจของนักเรียนอีกครั้ง 2. บทบาทของนักเรียน 2.1 นักเรียนศึกษาคําชี้แจงให-เข-าใจก2อนที่จะลงมือปฏิบัติกิจกรรมในชุดการเรียนการ สอนตามลําดับขั้นตอน 2.2 ปรึกษาครูผู-สอนเมื่อมีป4ญหาในการใช-ชุดการเรียนการสอน หรือมีป4ญหา ต2างๆ ในชุดการเรียนการสอน 2.3 นักเรียนทุกคนมีส2วนร2วมในการเรียนรู- (Cooperative Learning) ทํางานร2วมกับผู-อื่น ช2วยเหลือเพื่อนในกลุ2มและกล-าแสดงความคิดเห็น

ชุดการเรียนการสอนที่ 5 เรื่อง ตัวคูณร-วมนอย(The Least CommonMultiple)

ชุดกิจกรรมการเรียนการสอนที่ 5.1 เรื่อง ตัวคูณร-วมนอย(The Least CommonMultiple)

แผนการจัดการเรียนรูที่ 10 รายวิชา คณิตศาสตรเพิ่มเติม รหัสวิชา ค31201 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 หน2วยการเรียนรู-ที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องต-นหัวข-อเรื่อง ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ภาคเรียนที่ 1 เวลา 2 ชั่วโมงผู-สอน นางจันทนา ธรรมสอน ___________________________________________________________________________

1. สาระสําคัญ จํานวนเต็มที่น-อยที่สุดที่หารด-วยจํานวนเต็มสองจํานวนใด ๆ ลงตัว เรียกว2าตัวคูณร-วมนอย (ค.ร.น.) ของจํานวนทั้งสอง

2. ผลการเรียนรู เข-าใจสมบัติของจํานวนเต็มและนําไปใช-ในการให-เหตุผลเกี่ยวกับการหารลงตัวได3. จุดประสงค1การเรียนรู 3.1 ด-านความรู-ทางคณิตศาสตร : เพื่อให-นักเรียน 3.1.1 บอกความหมายของพหุคูณ พหุคูณร2วม และตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ได3.1.2 หา ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ของจํานวนเต็มที่กําหนดให-ได3.1.3 สามารถนําความรู-เรื่อง ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ไปใช-แก-ป4ญหาได3.2 ด-านทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร : เพื่อให-นักเรียน 3.2.1สามารถนําความรู-เรื่อง ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ไปใช-แก-ป4ญหาได3.2.2 สามารถนําความสัมพันธระหว2างตัวหารร2วมมาก (ห.ร.ม.) และ ตัวคูณร2วมน-อย(ค.ร.น.) ไปเชื่อมโยงการแก-ป4ญหาในสถานการณต2าง ๆ ได3.2.3 สามารถในการให-เหตุผลประกอบการแก-ป4ญหาได3.2.4 สามารถสื่อสาร สื่อความหมายทางคณิตศาสตรและนําเสนอได3.3ด-านคุณลักษณะอันพึงประสงค :เพื่อให-นักเรียน 3.3.1มีความสนใจใฝYเรียนรู3.3.2มีความสามารถในการทํางานร2วมกับผู-อื่น 3.3.3 มีระเบียบวินัย และความรับผิดชอบ 4. สาระการเรียนรู บทนิยาม กําหนดให- a, b และ c เป;นจํานวนเต็มบวก 1) ถ-า a | c แล-ว จํานวนเต็มบวก c เรียกว2า พหุคูณของ a 2) ถ-า a | c และ b | c แล-วจํานวนเต็มบวก c เรียกว2า พหุคูณร-วมของ

และ

ตัวอย-างที่ 1 1.1 จงหาพหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 8และ 32 วิธีทํา พหุคูณที่เป;นบวกของ 8 ได-แก2 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, … พหุคูณที่เป;นบวกของ 32 ได-แก2 32, 64, 96, 128, … ดังนั้น พหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 8 และ 32 ได-แก2 32, 64, 96, … 1.2 จงหาพหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 15 และ 20 วิธีทํา พหุคูณที่เป;นบวกของ 15 ได-แก2 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, … พหุคูณที่เป;นบวกของ 20 ได-แก2 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, … ดังนั้น พหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 15 และ 20 ได-แก2 60, 120, … บทนิยาม ให- a และ b เป;นจํานวนเต็มที่ไม2เป;นศูนย เรียกจํานวนเต็มบวก c ที่น-อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว2า ตัวคูณร-วมนอย (ค.ร.น.) ของ a และ b ใช-สัญลักษณ [a, b] แทน ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ของ a และ b

ตัวอย-างที่ 2จงหา ค.ร.น. ของ 18 และ 24 วิธีทํา วิธีที่ 1 หาโดยพหุคูณร-วม พหุคูณที่เป;นบวกของ 18 ได-แก2 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, … พหุคูณที่เป;นบวกของ 24 ได-แก2 24, 48, 72, 96, 120, 144, … พหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 18 และ 24 ได-แก2 72, 144, … พหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 18 และ 24 ที่น-อยที่สุดคือ 72 ดังนั้น ค.ร.น. ของ 18 และ 24 คือ 72 # วิธีที่ 2 วิธีแยกตัวประกอบ จะได- 18 = 2 x 3 x 3 24 = 2 x 3 x 2 x 2 ดังนั้น ค.ร.น. ของ 18 และ 24 คือ 2 x 3 x 3 x 2 x 2 = 72

วิธีที่ 3 ใชการหารสั้น 3 2

ดังนั้น ค.ร.น. ของ 18 และ 24 คือ 3 x 2 x 3 x 4 = 72 ตรวจสอบคําตอบ 72 = 18 (4) + 0 แสดงว2า 18 | 72 72 = 24 (3) + 0 แสดงว2า 24 | 72 นั่นคือ ค.ร.น. ของ 18 และ 24 คือ 3 x 2 x 3 x 4 = 72 บทนิยาม ให- a1 , a 2 , a3 , ... , a n เป;นจํานวนเต็มที่ไม2เป;นศูนย จะเรียกจํานวนเต็มบวก c ที่น-อยที่สุด ซึ่ง a1 | c , a 2 | c , a3 | c , ... , a n | c ว2า , a3 ,..., (a n−1 , a n )] จากบทนิ สามารถแสดงไดวตัวคูณร-ยวาม มนอย (ค.ร.น.) ของ าa1[,aa1 ,2a, 2a,3a, 3...,..., aann] =ใช-[สaัญ1 ,ลัaก2 ษณ ตัว[อย่ 3จงหา ค.ร.น. ของจํานวนต2อไปนี้ a1 ,าaงที 2 , a 3 ,...a n ] แทน ค.ร.น. ของ a1 , a 2 , a 3 , ... , a n 1) [ 18, 36, 40 ] วิธีทํา [ 18, 36, 40 ] = [ 18, [ 36, 40 ] ] = [ 18, 360 ] = 360 หรือ [ 18, 36, 40 ] = [ [ 18, 36 ] , 40 ] = [ 36, 40 ] = 360 ตรวจสอบคําตอบ 360 = 18 (20) + 0 แสดงว2า 18 | 360 360 = 36 (10) + 0 แสดงว2า 36 | 360

ดังนั้น

360 = 40 (9) + 0 [ 18, 36, 40 ] = 360

แสดงว2า 40 | 360 #

2) [ 21, 30, 70 ] วิธีทํา [ 21, 30, 70 ] = [ 21, [ 30, 70 ] ] = [ 21, 210 ] = 210 [ 21, 30, 70 ] = [ [ 21, 30 ] , 70] = [ 210, 70 ] = 210 ตรวจสอบคําตอบ 210 = 21 (10) + 0 แสดงว2า 21 | 210 210 = 30 (7) + 0 แสดงว2า 30 | 210 210 = 70 (3) + 0 แสดงว2า 70 | 210 ดังนั้น [ 21, 30, 70 ] = 210

ตัวอย-างที่ 4จงหาจํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดที่มากกว2า 3 ซึ่งหารด-วย 4, 6 และ 13 แล-วมีเศษ เหลือเป;น 3 วิธีทํา สิ่งที่โจทย1ตองการทราบ จํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดที่มากกว2า 3 ซึ่งหารด-วย 4, 6 และ 13 แล-วมีเศษเหลือเป;น 3 ดังนั้น กําหนดให- x แทนจํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดที่มากกว2า 3 ซึ่งหารด-วย 4, 6 และ 13 แล-ว มีเศษเหลือเป;น 3 โดยขั้นตอนวิธีการหาร สามารถเขียน x ได-ในรูป x = 4k1 + 3 เมื่อ k1 เป;นจํานวนเต็ม .......................(1) x = 6k 2 + 3 เมื่อ k 2 เป;นจํานวนเต็ม .......................(2) x = 13k 3 + 3 เมื่อ k3 เป;นจํานวนเต็ม ........................(3) จากสมการที่ (1) , (2) และ (3) จะได-ว2า x − 3 = 4k1 x − 3 = 6k 2 x − 3 = 13k 3

ดังนั้น 4 | x − 3 , 6 | x − 3 และ 13 | x − 3 ฉะนั้น x − 3 เป;นพหุคูณร2วมของ 4, 6 และ 13 แต2 x เป;นจํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดที่มากกว2า 3 ซึ่งหารด-วย นั่นคือ x − 3 เป;น ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 13 ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 13 คือ 156 x − 3 = 156 จะไดx = 159 ตรวจสอบคําตอบ 159 = 4(39) + 3 159 = 6( 26) + 3 159 = 13(12) + 3

4, 6

และ 13 แล-วมีเศษเหลือเป;น 3

ดังนั้น จํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดที่มากกว2า 3 ซึ่งหารด-วย 4, 6 และ 13 แล-วมีเศษเหลือเป;น 3 # คือ 159 ทฤษฎีบทที่ 10.1ถ-า

และ

เป;นจํานวนเต็มบวกแล-ว

ab = ( a, b)[ a, b ]

ตัวอย-างที่ 5จงหาค2าของจํานวนเต็มบวก x โดยที่ ห.ร.ม. ของ x และ 111เป;น 3 และ ค.ร.น. ของ ของ x และ 111เป;น 1443 วิธีทํา สิ่งที่โจทยกําหนด ( x, 111 ) = 3 และ [ x, 111 ] = 1443 สิ่งที่โจทยต-องการทราบ ค2าของจํานวนเต็มบวก x แนวคิดในการแก-ป4ญหาคือ จากทฤษฎีบท ab = (a, b)[ a, b] จากกําหนด ( x,111) = 3, [ x,111] = 1443, a = x และ b = 111 จะได111x = 3 × 1443 3× 1443 111 x = 39 x =

ดังนั้น ค2าของจํานวนเต็มบวก x คือ 39 ตรวจสอบคําตอบ-หา ห.ร.ม. ของ 39 และ 111 จะได111 = 39(2) + 33 39 = 33(1) + 6 33 = 6(5) + 3 6 = 3( 2) + 0

ดังนั้น ห.ร.ม. ของ

และ 111 คือ - หา ค.ร.น. ของ โดยอาศัยการแยกตัวประกอบจะได39

3 39

และ 111

39 = 3 × 13 111 = 3 × 37

ดังนั้น ค.ร.น. คือ

3 × 13 × 37 = 1443

หรือ ตรวจสอบโดยอาศัยนิยามของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. จะไดดังนั้น 3 | 39 และ 3 | 111 39 = 3 × 13 และ 111 = 3 × 37 นั่นคือ 3 เป;น ห.ร.ม. ของ 39 และ 111 1443 = 39 × 37 และ 1443 = 111× 13 ดังนั้น 39 | 1443 และ 111 | 1443 นั่นคือ 1443 เป;น ค.ร.น. ของ 39 และ 111 # ในกรณี a และ b เป;นจํานวนเต็มที่ไม2เป;นศูนย และ

มีค2ามาก การหา ห.ร.ม.

ของ a และ b ทําได-ไม2ยากนักโดยใช-ขั้นตอนวิธีของยูคลิด แต2การหา ค.ร.น. ของ a และ b โดยวิธีของ การแยกตัวประกอบทําได-ไม2สะดวกนัก อย2างไรก็ตามทฤษฎีบทที่ 10.1 ข-างต-นจะช2วยแก-ป4ญหา ดังกล2าวได-ดังตัวอย2างต2อไปนี้ ตัวอย-างที่ 6 กําหนด a = 442 และ b = 182 จงหา (1) (442,182) (2) [442,182] วิธีทํา (1) โดยใช-ขั้นตอนวิธีของยูคลิด จะได442 = 182( 2) + 78 182 = 78( 2) + 26 78 = 26(3) + 0

ดังนั้น ให-

( 442,182 ) = 26

(2) จากทฤษฎีบท จะได-ว2า ab = (a, b)[ a, b] x = [ 442,182] และ ( 442,182 ) = 26 จะได26 x = 442 × 182 442 × 182 x = = 3094 26 [ 442,182] = 3094

ดังนั้น # ตรวจสอบคําตอบ 26 เป;น ห.ร.ม. ของ 442 และ 182 หรือไม2 แสดงว2า 26 | 442 442 = 26 × 17 แสดงว2า 26 | 182 182 = 26 × 7 ดังนั้น (442,182) = 26 3094 เป;น ค.ร.น. ของ 442 และ 182 หรือไม2 แสดงว2า 442 | 3094 3094 = 442 × 7 แสดงว2า 182 | 3094 3094 = 182 × 17 ดังนั้น [442,182] = 3094

5. การจัดกิจกรรมการเรียนรู ชั่วโมงที่ 1 5.1 ขั้นนํา ขั้นนี้ใช-เวลาประมาณ 5 นาที ซึ่งมีรายละเอียดดังนี้ 5.1.1ทบทวนความหมายของการหารลงตัว a | b ตัวหารร2วมมาก (ห.ร.ม.) และการหา ตัวหารร2วมมาก (ห.ร.ม.) โดยใช-ขั้นตอนวิธีของยูคลิด ด-วยการใช-คําถามนํา

5.1.2ครูตั้งคําถาม “น้ําพุเต-นระบําบริเวณวงเวียนต-นโพธิ์ จะมีน้ําพุอยู2 3 ชั้น ซึ่งในแต2ละชั้นจะ พุ2งน้ําออกมาไม2พร-อมกัน โดยชั้นแรกจะพุ2งออกมาทุก 15 วินาที ชั้นที่สองจะพุ2งออกมาทุก 40 วินาที และชั้นที่สามจะพุ2งออกมาทุก 60 วินาที ถามว2าทุก ๆ กี่นาที ที่น้ําพุทั้งสามชั้นจะพุ2งขึ้นพร-อมกัน” ใหนักเรียนตอบคําถาม โดยการสุ2ม หรือร2วมกันอธิบายแสดงความคิดเห็น พร-อมอธิบายวิธีการหาคําตอบ [ ซึ่งนักเรียนควรตอบว2า 2นาที โดยใช-พหุคูณร2วมของ 15, 40 และ 60 ] 5.1.3ครูแจ-งจุดประสงคการเรียนรู- พร-อมแจกเอกสารชุดการเรียนการสอนที่ 5.1เรื่องตัว คูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) 5.2 ขั้นสอน ขั้นนี้ใช-เวลาประมาณ 45นาที ซึ่งมีรายละเอียดดังนี้ 5.2.1 แบ2งนักเรียนออกเป;นกลุ2มๆ ละ 4–5 คน โดยคละความสามารถ เก2ง ปานกลาง และ อ2อน ( เก2ง 1 คน ปานกลาง 2 คน และอ2อน 1 คน ) ศึกษาพร-อมตอบคําถามในเอกสารชุดการเรียน การสอนที่ 5.1ชุดที่ 1 เรื่องตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) สุ2มนักเรียนบางกลุ2มออกมาเฉลยคําตอบและสรุป ความหมายของพหุคูณ พหุคูณร2วม และตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) โดยเพื่อนกลุ2มอื่นร2วมแสดงความ คิดเห็น และครูช2วยเสริมให-เนื้อหาถูกต-องสมบูรณ 5.2.2ให-นักเรียนแต2ละกลุ2มศึกษาบทนิยาม ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ของจํานวนเต็ม n จํานวน ในเอกสารชุดการเรียนการสอนที่ 5.1ชุดที่ 2 เรื่องตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) และตอบคําถามโดยครูใชคําถามกระตุ-นให-นักเรียนช2วยกันแสดงเหตุผลและความคิดเห็นอย2างเต็มที่ 5.2.3นักเรียนแต2ละกลุ2มร2วมกันแก-ป4ญหาในใบกิจกรรมที่ 10.1 เรื่องจี้หยก ขณะที่นักเรียนทํา ใบกิจกรรม ครูเดินสังเกตพฤติกรรมการทํางานเป;นกลุ2ม และคอยให-ความช2วยเหลือเมื่อนักเรียนมีข-อ สงสัย (ถ-ามี) 5.2.4นักเรียนแต2ละกลุ2มส2งใบกิจกรรมที่ 10.1 เรื่องจี้หยก พร-อมครูสุ2มนักเรียนบางคนในแต2ละ กลุ2มออกมาสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและนําเสนอวิธีการแก-ป4ญหา นักเรียนที่เหลือตรวจสอบ ความถูกต-อง พร-อมครูเสริมให-เนื้อหาถูกต-องสมบูรณ 5.3 ขั้นสรุป ขั้นนี้ใช-เวลาประมาณ 10นาที ซึ่งมีรายละเอียดดังนี้ 5.3.1เพื่อตรวจสอบความเข-าใจของนักเรียนให-นักเรียนแต2ละคนตอบคําถามในใบตรวจสอบ ความรู-ที่ 10.1เรื่องตัวคูณร2วมน-อย ในเอกสารชุดการเรียนการสอนที่ 5.1โดยคําถามมีดังนี้ 1. จงอธิบาย ความหมายของพหุคูณ และพหุคูณร2วมของ a และ b [ แนวคําตอบ กําหนดให- a, b และ c เป;นจํานวนเต็มบวก 1) ถ-า a | c แล-ว จํานวนเต็มบวก c เรียกว2าพหุคูณของ a 2) ถ-า a | c และ b | c แล-วจํานวนเต็มบวก c เรียกว2าพหุคูณร2วมของ a และ b ] 2. จงอธิบาย ความหมายของตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ของ a และ b [ แนวคําตอบ ให- a และ b เป;นจํานวนเต็มที่ไม2เป;นศูนยเรียกจํานวนเต็มบวก c ที่น-อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว2าตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ของ a และ b ใช-สัญลักษณ [a, b] แทน ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ของ a และ b ] 3. จงหา ค.ร.น. ของจํานวนต2อไปนี้พร-อมตรวจสอบความถูกต-อง

9 และ 15

[ แนวคําตอบ [ 9, 15 ] = 45 ตรวจสอบคําตอบ 45 = 9 × 5 ดังนั้น 9 | 45 และ 45 = 15 × 3 ดังนั้น 15 | 45 ] 2)6 , 18 และ 32 [ แนวคําตอบ [ 6, 18, 32 ] = 288 ตรวจสอบคําตอบ 288 = 6 × 48 ดังนั้น 6 | 288 288 = 18 × 16 ดังนั้น 18 | 288 และ 288 = 32 × 9 ดังนั้น 32 | 288 ] 5.3.2 ครูสุ2มนักเรียน 2 – 3 คน ให-นําเสนอคําตอบในแต2ละข-อ พร-อมครูตรวจสอบ ความถูกต-องและสรุปคําตอบ ให-นักเรียนแต2ละคนแลกเปลี่ยนกันตรวจ ใบตรวจสอบความรู-ของเพื่อน พร-อมครูเก็บใบตรวจสอบความรู-เพื่อนําไปประเมินผลการเรียนรูชั่วโมงที่ 2 5.4ขั้นนํา ขั้นนี้ใช-เวลาประมาณ 5 นาที ซึ่งมีรายละเอียดดังนี้ 5.4.1ครูยกตัวอย2าง จํานวนเต็มสองจํานวนได-แก2 52 และ 64 ให-นักเรียนตอบคําถามดังนี้ 1) ห.ร.ม. ของ 52 และ 64 คือ …[นักเรียนควรตอบว2า 4 ] ……………………………. 2) ค.ร.น. ของ 52 และ 64 คือ …[นักเรียนควรตอบว2า 832 ] ………………………… 3) ผลคูณของ 52 และ 64 เท2ากับ…[นักเรียนควรตอบว2า 3,328 ] ……………….. 4) ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 52 และ 64 เท2ากับ ..[นักเรียนควรตอบว2า 4 x 832 = 3,328 ] ………………………….. 5) จากข-อ 3) และ 4) สรุปได-ว2า..[ นักเรียนควรตอบว2า 52 x 64 =( 52,64 )[ 52 x 64 ]…………. จากตัวอย2างข-างต-นครูนําเข-าสู2ทฤษฎีบทดังนี้ ทฤษฎีบทที่ 10.1ถา

และ

เปLนจํานวนเต็มบวกแลว

ab = ( a, b)[ a, b ]

5.4.2ครูสรุปในกรณีที่ a และ b เป;นจํานวนเต็มที่ไม2เป;นศูนยและ a , b มีค2ามาก การหา ห.ร.ม. ของ a และ b ทําได-ไม2ยากนักโดยใช-ขั้นตอนวิธีของยูคลิด แต2การหา ค.ร.น. ของ a และ b โดย วิธีของการแยกตัวประกอบทําได-ไม2สะดวก อย2างไรก็ตามทฤษฎีบทที่ 10.1ข-างต-นจะช2วยแก-ป4ญหา ดังกล2าว 5.5ขั้นสอน ขั้นนี้ใช-เวลาประมาณ 50นาที ซึ่งมีรายละเอียดดังนี้ 5.5.1แบ2งนักเรียนออกเป;นกลุ2ม กลุ2มละ 4 – 5 คน (กลุ2มเดิม) 5.5.2นักเรียนแต2ละกลุ2มร2วมกันศึกษาใบความรู-ที่ 10.1 เรื่องความสัมพันธระหว2าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ในเอกสารชุดการเรียนการสอนที่ 5.1(ดังรายละเอียดตัวอย2างที่ 5 และ 6 ในสาระการเรียนรู-)

ในขณะที่นักเรียนศึกษาใบความรู-ครูใช-การกระตุ-นโดยการใช-คําถามนําเพื่อให-นักเรียนเข-าใจการหา ค.ร.น. โดยการหา ห.ร.ม. ก2อน [ ดังทฤษฎีบทที่ 10.1 ถ-า a และ b เป;นจํานวนเต็มบวกแล-ว ab = ( a, b)[ a, b ] ซึ่ง [ a, b] =

ab ( a , b)

5.5.3นักเรียนแต2ละกลุ2มทําใบกิจกรรมที่ 10.2 เรื่องการนํา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไปใช-ใน การแก-ป4ญหาขณะที่นักเรียนร2วมกันแก-ป4ญหา ครูเดินสังเกต การมีส2วนร2วมและความรับผิดชอบของ นักเรียนในการแก-ป4ญหาที่กําหนด พร-อมทั้งให-คําปรึกษาเมื่อนักเรียนมีข-อสงสัย (ถ-ามี) 5.5.4ครูขออาสาสมัครนักเรียน 2 – 3 กลุ2ม (หรือสุ2มนักเรียนบางกลุ2ม) ส2งตัวแทนนําเสนอการ สื่อความหมายทางคณิตศาสตร และกระบวนการแก-ป4ญหาที่แต2ละกลุ2มร2วมกันวางแผน นักเรียนที่ เหลือตรวจสอบความถูกต-อง ครูเสริมความรู-ให-ถูกต-องสมบูรณ พร-อมนักเรียนแต2ละกลุ2มส2งใบกิจกรรม ที่ 10.2 เพื่อใช-เป;นส2วนหนึ่งในการประเมิน 5.6ขั้นสรุป ขั้นนี้ใช-เวลาประมาณ 5 นาที ซึ่งมีรายละเอียดดังนี้ 5.6.1นักเรียนสรุปความหมายของตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ครูเน-นย้ํานิยามของ ห.ร.ม และ ค.ร.น. โดยให-นักเรียนวิเคราะหความแตกต2างของนิยามทั้งสอง 5.6.2นักเรียนแต2ละคนทําแบบฝ=กเสริมทักษะที่ 10.1 เรื่องตัวคูณร2วมน-อน (ค.ร.น.) และแบบฝ=ก เสริมทักษะที่ 10.2 เรื่องตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.)ในเอกสารชุดการเรียนการสอนที่ 5.1เป;นการบ-าน พร-อมส2งครูเพื่อเป;นส2วนหนึ่งของการประเมินผล 6. สื่อการเรียนรู / แหล-งการเรียนรู 6.1 เอกสารชุดการเรียนการสอนที่ 5.1เรื่องตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) 6.2ใบกิจกรรมที่10.1เรื่องจี้หยก 6.3ใบตรวจสอบความรู-ที่ 10.1 เรื่องตัวคูณร2วมน-อย 6.4 ใบความรู-ที่ 10.1 เรื่องความสัมพันธระหว2าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. 6.5 ใบกิจกรรมที่ 10.2 เรื่องการนํา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไปใช-ในการแก-ป4ญหา 6.6 แบบฝ=กเสริมทักษะที่ 10.1 เรื่องตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) 6.7 แบบฝ=กเสริมทักษะที่ 10.2 เรื่องตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) 6.8 แบบเฉลยใบกิจกรรม 10.1 เรื่องจี้หยก 6.9แบบเฉลยใบตรวจสอบความรู-ที่ 10.1 เรื่องตัวคูณร2วมน-อย(ค.ร.น.) 6.10แบบเฉลยใบกิจกรรมที่ 10.2 เรื่องการนํา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไปใช-ในการแก-ป4ญหา 6.11 แบบเฉลยแบบฝ=กเสริมทักษะที่ 10.1 เรื่อง ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) 6.12แบบเฉลยแบบฝ=กเสริมทักษะที่ 10.2 เรื่อง ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) 7. การวัดผลและประเมินผลการเรียนรู เพื่อให-สอดคล-องกับจุดประสงคการเรียนรู- การวัดและประเมินผลการเรียนรู-มีดังนี้ จุดประสงคการเรียนรู-ที่

การวัด

การประเมินผล

ต-องการวัดและประเมินผล ด-านความรู-ทางคณิตศาสตร: 1.บอกความหมายของพหุคูณ พหุคูณร2วม และตัว คูณร2วมน-อย(ค.ร.น.)ได-

วิธีวัดผล: พิจารณาความถูกต-องของคําตอบ ของนักเรียนในใบตรวจสอบความรูที่ 10.1 เรื่อง ตัวคูณร2วมน-อย และ จํานวนคําถามที่นักเรียนตอบไดถูกต-อง เครื่องมือ: - ใบตรวจสอบความรู-ที่ 10.1 เรื่อง ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) 2. หาตัวคูณร2วมน-อย(ค.ร.น.) วิธีวัดผล: ของจํานวนเต็ม ที่กําหนดให-ได- พิจารณาความถูกต-องของคําตอบ 3. สามารถนําความรู-เรื่องตัว ในการทํา คูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ไปใช-ใบกิจกรรมที่ 10.1 เรื่องจี้หยก แก-ป4ญหาได-ใบกิจกรรมที่ 10.2 เรื่องการ นําห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไปใชแก-ป4ญหา -แบบฝ=กเสริมทักษะที่ 10.1เรื่อง ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) -แบบฝ=กเสริมทักษะที่ 10.2เรื่องตัว คูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) เครื่องมือ: -ใบกิจกรรมที่ 10.1 เรื่องจี้หยก -ใบกิจกรรมที่ 10.2 เรื่องการนํา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไปใช-แก-ป4ญหา -แบบฝ=กเสริมทักษะที่ 10.1 -แบบฝ=กเสริมทักษะที่ 10.2 จุดประสงคการเรียนรู-ที่ ต-องการวัดและประเมินผล

ด-านทักษะและกระบวนการ ทางคณิตศาสตร:

การวัด

เกณฑการให-คะแนน: ในแต2ละคําถาม ถ-านักเรียน ตอบได-ถูกต-องจะได-คะแนน 1 คะแนน ถ-านักเรียนตอบไม2ถูก หรือไม2ตอบจะได-คะแนน 0 คะแนน เกณฑการประเมินผล: นักเรียนได-คะแนนตั้งแต2 3 คะแนนขึ้นไป ถือว2าผ2าน เกณฑการให-คะแนน: ตามแบบเกณฑการประเมินผล แบบเกณฑรวมทักษะและ กระบวนการทางคณิตศาสตร (ดังที่แนบมาด-านล2าง) เกณฑการประเมินผล: นักเรียนได-คะแนนตั้งแต2ร-อยละ 60% ขึ้นไปถือว2าผ2าน

การประเมินผล

-แบบฝ=กเสริมทักษะที่ 10.1เรื่องตัว คูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) -แบบฝ=กเสริมทักษะที่ 10.2 เรื่องตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) วิธีวัดผล: เกณฑการให-คะแนน: พิจารณาความถูกต-องของคําตอบ ตามแบบเกณฑการประเมินผล

1. สามารถนําความรู-เรื่อง ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ไปใชแก-ป4ญหาได2. สามารถนําความสัมพันธ ระหว2างตัวหารร2วมมาก (ห.ร.ม.) และตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ไปเชื่อมโยงการ แก-ป4ญหาในสถานการณต2าง ๆ ได3.สามารถให-เหตุผล ประกอบการแก-ป4ญหาได4. สามารถสื่อสาร สื่อ ความหมายทางคณิตศาสตร และนําเสนอได-

ในการทํา -ใบกิจกรรมที่ 10.1 เรื่องจี้หยก -ใบกิจกรรมที่ 10.2 เรื่องการ นําห.ร.ม.และ ค.ร.น.ไปใชแก-ป4ญหา -แบบฝ=กเสริมทักษะที่ 10.1เรื่องตัว คูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) -แบบฝ=กเสริมทักษะที่ 10.2เรื่องตัว คูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) - สังเกตการนําเสนอผลงานหน-าชั้น เรียน และตรวจการวางแผนการ แก-ป4ญหา และสื่อความหมายใน การทํางานจากผลงานที่นักเรียนทํา เครื่องมือ: -ใบกิจกรรมที่ 10.1 เรื่องจี้หยก -ใบกิจกรรมที่ 10.2 เรื่องการ นําห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไปใชแก-ป4ญหา -แบบฝ=กเสริมทักษะที่ 10.1 -แบบฝ=กเสริมทักษะที่ 10.2 ด-านคุณลักษณะอันพึงประสงค: วิธีวัดผล: 1. มีความสนใจใฝYเรียนรูพิจารณาพฤติกรรมหรือการ 2. มีความสามารถในการ แสดงออกของนักเรียนขณะทํางาน ทํางานร2วมกับผู-อื่น ที่มอบหมายโดยมีครูเป;นผู-สังเกต 3. มีระเบียบวินัย และความ หรือนักเรียนประเมินตนเอง รับผิดชอบ เครื่องมือ:แบบประเมินพฤติกรรม ของนักเรียนด-านคุณลักษณะอันพึง ประสงค

แบบเกณฑรวมทักษะและ กระบวนการทางคณิตศาสตร (ดังที่แนบมาด-านล2าง) เกณฑการประเมินผล: นักเรียนได-คะแนนตั้งแต2ร-อยละ 60% ขึ้นไปถือว2าผ2าน

เกณฑการให-คะแนน: รายละเอียด ดังตารางแบบ ประเมินพฤติกรรมของนักเรียน เกณฑการประเมินผล: ผลประเมินตั้งแต2 1.5 ขึ้นไป ถือ ว2าผ2าน

ตารางแสดงเกณฑ1การประเมินผลแบบเกณฑ1รวมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร1 ดานการแกปSญหา การใหเหตุผล การเชื่อมโยงความรู และการนําเสนอ คะแนน 4

เกณฑ1การพิจารณา - เข-าใจป4ญหาวิเคราะหสิ่งที่โจทยกําหนดให- และสิ่งที่โจทยต-องการทราบได-

ถูกต-อง และครบถ-วน - เลือกวิธีการที่สามารถแก-ป4ญหาได-ถูกต-อง - การเชื่อมโยงความรู- และสามารถแสดงเหตุผลประกอบได-อย2างเหมาะสม สอดคล-องกับป4ญหา - แสดงลําดับขั้นตอนการนําเสนอวิธีการแก-ป4ญหาอย2างเป;นขั้นตอน ชัดเจน และมี รายละเอียดสมบูรณเข-าใจง2าย - สรุปคําตอบได-ถูกต-อง สมบูรณ 3

- เข-าใจป4ญหาวิเคราะหสิ่งที่โจทยกําหนดให- และสิ่งที่โจทยต-องการทราบไดถูกต-อง แต2ไม2ครบถ-วน - เลือกวิธีการที่สามารถแก-ป4ญหาได-ถูกต-อง - การเชื่อมโยงความรู- และสามารถแสดงเหตุผลประกอบได-เป;นบางส2วน สอดคล-องกับป4ญหา แต2ไม2ครบถ-วน - แสดงลําดับขั้นตอนการนําเสนอวิธีการแก-ป4ญหาอย2างเป;นขั้นตอน แต2ไม2สมบูรณ และแสดงรายละเอียดได-ไม2ชัดเจน - สรุปคําตอบได-ถูกต-อง แต2ไม2สมบูรณ

- เข-าใจป4ญหาสามารถบอกสิ่งที่โจทยกําหนดให- และสิ่งที่โจทยต-องการทราบไดถูกต-องแต2ไม2ครบถ-วน - เลือกวิธีการที่สามารถแก-ป4ญหาได-ถูกต-องเป;นบางส2วนแต2ไม2เหมาะสม - การเชื่อมโยงความรู- และแสดงเหตุผลได-เป;นบางส2วนแต2ไม2สอดคล-องกับป4ญหา - แสดงลําดับขั้นตอนการนําเสนอวิธีการแก-ป4ญหาได- แต2ไม2เป;นขั้นตอน และแสดง รายละเอียดได-ไม2ชัดเจน - สรุปคําตอบได-ถูกต-องบางส2วน หรือสรุปคําตอบไม2ครบถ-วน

คะแนน

เกณฑ1การพิจารณา

- ไม2เข-าใจป4ญหา วิเคราะหสิ่งที่โจทยกําหนด และสิ่งที่โจทยต-องการทราบไม2ไดหรือวิเคราะหได-เป;นบางส2วน - เลือกวิธีการที่สามารถแก-ป4ญหาได-ไม2ถูกต-อง หรือเลือกได-บางส2วนแต2ไม2 เหมาะสม

- สามารถเชื่อมโยงความรู-ได-บางส2วน แต2ไม2สามารถแสดงเหตุผลได- หรือ เชื่อมโยงได-เป;นบางส2วนแต2ไม2สอดคล-องกับป4ญหา - ไม2แสดงลําดับขั้นตอนการนําเสนอวิธีการแก-ป4ญหาและไม2สามารถให-เหตุผล ประกอบการพิสูจนได- สรุปคําตอบไม2ถูกต-อง หรือไม2สรุปคําตอบ

แบบบันทึกผลการประเมินทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร1ดานการแกปSญหา การใหเหตุผล การเชื่อมโยงความรู การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร1และการนําเสนอ ชื่อกิจกรรม......................................................................................... รายละเอียดการทํากิจกรรมงานกลุ2ม / ที่..............

งานเดี่ยว

รายชื่อ 1. 2. 3. 4. 5.

ชื่อ...........................................................................ชั้น..........................เลขที่.................. ชื่อ...........................................................................ชั้น..........................เลขที่.................. ชื่อ...........................................................................ชั้น..........................เลขที่.................. ชื่อ...........................................................................ชั้น..........................เลขที่.................. ชื่อ...........................................................................ชั้น..........................เลขที่..................

ประเมินโดย

ผู-สอน

นักเรียน

ผู-เกี่ยวข-อง(โปรดระบุ.................................)

คําชี้แจง : ให-ใส2เครื่องหมาย ลงในช2องที่ตรงกับคะแนนตามระดับคุณภาพ ดังรายละเอียดในตาราง แสดงเกณฑการประเมินผลแบบเกณฑรวมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร

ข-อที่

คะแนนตามระดับคุณภาพ 4 3 2

น้ําหนัก คะแนน

คะแนนที่ได(คะแนนXน้ําหนัก)

1 2 3 4 5 6 7 คะแนนรวม ร-อยละของคะแนนรวม

คะแนนที่ได-รวม (น้ําหนักคะแนนรวม x 4)

ระดับคุณภาพของผลงาน

ดีมาก

ดี

x 100 =…………………………………………………

พอใช-

ต-องปรับปรุง

ข-อเสนอแนะ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

เกณฑ1ในการตัดสินผลแบ-งระดับคุณภาพเปLน 4 ระดับ ดังนี้ ระดับดีมาก ระดับดี ระดับพอใชระดับต-องปรับปรุง

หมายถึง หมายถึง หมายถึง หมายถึง

ได-คะแนนคิดเป;นร-อยละ 80 ขึ้นไป ได-คะแนนคิดเป;นร-อยละ 60 – 79 ได-คะแนนคิดเป;นร-อยละ 40 – 59 ได-คะแนนคิดเป;นร-อยละต่ํากว2า 40

เกณฑ1การประเมิน นักเรียนตองไดระดับคุณภาพ ดี ขึ้นไปถือว-าผ-าน ______________ ที่มา : ปรับจาก การวัดประเมินผลคณิตศาสตร, 2555 : 122 - 123

ตารางแสดงการประเมินพฤติกรรมตามคุณลักษณะอันพึงประสงค1 แบบประเมินพฤติกรรมของนักเรียน ชื่อ………..…………………………………………………………………ชั้น……………………เลขที่……………………………. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------สถานะของผูประเมินผู-สอน นักเรียน

คําชี้แจง : แบบประเมินพฤติกรรมฉบับนี้ ออกแบบเพื่อให-ผู-สอนประเมินนักเรียนและ/หรือนักเรียนประเมิน ตนเอง โดยพฤติกรรมการเรียนคณิตศาสตรที่นักเรียนแสดงออกในระหว2างการเรียนรู-หรือการทํากิจกรรม จําแนกได-เป;น 4 ระดับ ดังต2อไปนี้ มาก (ระดับคะแนน3 ) หมายถึง นักเรียนแสดงพฤติกรรมที่ประเมินอย2างสม่ําเสมอตลอดเวลา ปานกลาง (ระดับคะแนน 2 )หมายถึง นักเรียนแสดงพฤติกรรมที่ประเมินบ2อยครั้ง น-อย(ระดับคะแนน 1 ) หมายถึง นักเรียนแสดงพฤติกรรมที่ประเมินบางครั้ง ไม2มีการแสดงออก (ระดับคะแนน 0) หมายถึงนักเรียนไม2แสดงพฤติกรรมที่ประเมิน ลงในช-องที่ตรงกับระดับของพฤติกรรมที่นักเรียนแสดงออก ใหใส-เครื่องหมาย พฤติกรรมตามคุณลักษณะ

ระดับของพฤติกรรมที่แสดงออก มาก ปานกลาง น-อย ไม2มีการ (3) (2) ( 1 ) แสดงออก( 0 )

1. ความสนใจใฝYเรียนรู1.1 มีความกระตือรือร-นในการแสวงหาความรู1.2 อภิปรายและซักถามเพื่อให-ได-คําตอบที่ขยาย แนวคิดเดิมของตนเอง หรือศึกษาค-นคว-าเพิ่มเติมจาก แหล2งการเรียนรู-อื่น 1.3 ขวนขวายโจทยที่แปลกใหม2เพื่อฝ=กฝนแก-ป4ญหา โดยใช-วิธีการที่หลากหลาย 2. ความสามารถในการทํางานร2วมกับผู-อื่น 2.1ประพฤติปฏิบัติตนตามข-อตกลงของกลุ2ม 2.2ปฏิบัติตนตามบทบาทและหน-าที่ได-รับมอบหมาย 2.3ให-ความร2วมมือในการทํางานร2วมกับผู-อื่น 2.4 ให-ความยกย2องและรับฟ4งความคิดเห็นของผู-อื่น 3. มีระเบียบวินัย และความรับผิดชอบ 3.1 มีความรับผิดชอบต2องานที่ได-รับมอบหมายและ ปฏิบัติอย2างสม่ําเสมอ 3.2 ส2งงานก2อนหรือตรงกําหนดเวลานัดหมาย คะแนนรวม คะแนนเฉลี่ย

แบบสรุปคุณลักษณะอันพึงประสงค1 ชื่อกิจกรรม............................................................................................................................... วันที่.............................................เดือน..................................พ.ศ........................

ตารางแสดงการแปลผลเชิงคุณภาพตามคุณลักษณะที่นักเรียนแสดงออก ช2วงของค2าเฉลี่ย ระดับพฤติกรรมตามคุณลักษณะ 2.26 – 3.00 มากที่สุด 1.51 – 2.25 ค2อนข-างมาก 0.76 – 1.50 ค2อนข-างน-อย 0.00 – 0.75 น-อยที่สุด จํานวนนักเรียนทั้งหมด.......................คน แสดงระดับคุณภาพของจํานวนนักเรียนในแต2ละรายการประเมิน 1.ความสนใจใฝXเรียนรู ระดับมากที่สุด.............................คน ระดับค2อนข-างมาก..........................................คน ระดับค2อนข-างน-อย.......................คน ระดับน-อยที่สุด................................................คน 2.ความสามารถในการทํางานร-วมกับผูอื่น ระดับมากที่สุด.............................คน ระดับค2อนข-างมาก..........................................คน ระดับค2อนข-างน-อย.......................คน ระดับน-อยที่สุด...............................................คน 3. มีระเบียบวินัยและความรับผิดชอบ ระดับมากที่สุด.............................คน ระดับค2อนข-างมาก..........................................คน ระดับค2อนข-างน-อย.......................คน ระดับน-อยที่สุด...............................................คน ข-อเสนอแนะ/ป4ญหาที่ควรแก-ไข ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ลงชื่อ...............................................................................ผู-ประเมิน ______________ ที่มา : ปรับจากการวัดประเมินผลคณิตศาสตร, 2555 : 197 – 199 8. บันทึกหลังการจัดการเรียนรู 8.1ผลการสอน

8.2ป4ญหาและอุปสรรค

8.3 แนวทางแก-ไข

8.4 กิจกรรมเสนอแนะ

ลงชื่อ

ผู-สอน (นางจันทนา ธรรมสอน)

เอกสารชุดการเรียนการสอนที่ 5.1 เรื่องตัวคูณร-วมนอย(The Least Common Multiple) _____________________________________________________________ ชุดที่ 1 จุดประสงค1การเรียนรู : 1. บอกความหมายของพหุคูณ พหุคูณร2วม และตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ได-

2. หาตัวคูณร2วม( ค.ร.น.) ของจํานวนเต็มที่กําหนดให-ไดคําชี้แจง: ให-นักเรียนแต2ละกลุ2มช2วยกันศึกษานิยาม และตอบคําถามในแต2ละต2อไปนี้ บทนิยาม กําหนดให- a, b และ c เป;นจํานวนเต็มบวก 1) ถ-า a | c แล-ว จํานวนเต็มบวก c เรียกว2า พหุคูณของ a 2) ถ-า a | c และ b | c แล-วจํานวนเต็มบวก c เรียกว2า พหุคูณร-วมของ

และ

ตัวอย-างที่ 1 1.1 จงหาพหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 8 และ 32 วิธีทํา พหุคูณที่เป;นบวกของ 8 ได-แก2 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, … พหุคูณที่เป;นบวกของ 32 ได-แก2 32, 64, 96, 128, … ดังนั้น พหุคูณที่ร2วมเป;นบวกของ 8 และ 32 ได-แก2 32, 64, 96, … 1.2 จงหาพหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 15 และ 20 วิธีทํา พหุคูณที่เป;นบวกของ 15 ได-แก2 …………………………………………………………………………. พหุคูณที่เป;นบวกของ 20 ได-แก2 …………………………………………………………………………. ดังนั้น พหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 15 และ 20 ได-แก2………………………………………………………… บทนิยาม ให- a และ b เป;นจํานวนเต็มที่ไม2เป;นศูนย เรียกจํานวนเต็ม c ที่น-อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว2าตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ของ a และ b ใช-สัญลักษณ [a, b] แทนตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ของ a และ หมายเหตุจากบทนิยามจะได-ว2า สําหรับ a, b เป;นจํานวนเต็ม และ

a≠0 [ a , b ] = [ − a , b ] = [ a , −b ] = [ − a , −b ]

เช2น

[ 2,4] = 4 , [9,−6] = 18

และ

b≠0

จะได-ว2า

[ −10,−12] = 60

ตัวอย-างที่ 2 จงหา ค.ร.น. ของ 18 และ 24 วิธีทํา วิธีที่ 1 หาโดยพหุคูณร2วม พหุคูณที่เป;นบวกของ 18 ได-แก2 ……………………………………………………………………………… พหุคูณที่เป;นบวกของ 24 ได-แก2 ……………………………………………………………………………… พหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 18 และ 24 ได-แก2 ……………………………………………………………. พหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 18 และ 24 ที่น-อยที่สุดคือ ………………………………………………..

ดังนั้น ค.ร.น. ของ 18 และ 24 คือ ………………………………………………………………………………. # วิธีที่ 2 หาโดยวิธีแยกตัวประกอบ 18 = ………………………………………………………………………………………………………………….. 24 = ………………………………………………………………………………………………………………….. ดังนั้น ค.ร.น. ของ 18 และ 24 คือ ………………………………………………………………………………. # วิธีที่ 3 หาโดยใช-การหารสั้น …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ดังนั้น ค.ร.น. ของ 18 และ 24 คือ ………………………………………………………………………………. # ตรวจสอบว2า ………………………….เป;น ค.ร.น. ของ 18 และ 24โดย …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… นั่นคือ ค.ร.น.ของ 18 และ 24 คือ............................................................................................. ตัวอย-างที่ 3จงหา [a, b] ในแต2ละข-อต2อไปนี้ 1) a = 12 และ b = 15 วิธีทํา วิธีที่ 1 หาโดยพหุคูณร2วม พหุคูณที่เป;นบวกของ 12 ได-แก2 ….12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, ……. พหุคูณที่เป;นบวกของ 15 ได-แก2 ………………………………………………………………………………. พหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 12 และ 15 ได-แก2 ……………………………………………………………. พหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 12 และ 15ที่น-อยที่สุดคือ ……………………………………………….. ดังนั้น ค.ร.น. ของ 12และ 15คือ ………………………………………………………………………………. #

วิธีที่ 2 หาโดยวิธีแยกตัวประกอบ 12 = ………………………………………………………………………………………………………………….. 15 = ………………………………………………………………………………………………………………….. ดังนั้น ค.ร.น. ของ 12และ 15คือ ………………………………………………………………………………. # ตรวจสอบคําตอบ................................................................................................................................ .............................................................................................................................................................

เอกสารชุดการเรียนการสอนที่ 5 เรื่องตัวคูณร-วมนอย (The Least Common Multiple) ชุดที่ 2 __________________________________________________________________________ จุดประสงค1การเรียนรู :

1. หาตัวคูณร2วมน-อย( ค.ร.น.) ของจํานวนเต็มที่กําหนดให-ไดคําชี้แจง: ให-นักเรียนแต2ละกลุ2มศึกษานิยาม และตอบคําถามในแต2ละข-อต2อไปนี้ บทนิยาม ให- a1 , a 2 , a3 , ... , a n เป;นจํานวนเต็มที่ไม2เป;นศูนย จะเรียกจํานวนเต็มบวก c ที่น-อยที่สุด ซึ่ง a1 | c , a 2 | c , a3 | c , ... , a n | c ว2า ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ของ a1 , a 2 , a3 , ... , a n ใช-สัญลักษณ [ a1 , a 2 , a 3 ,...a n ] แทน ค.ร.น.ของ a1 , a 2 , a3 , ... , a n จากบทนิยาม สามารถแสดงไดว-า [a1 , a 2 , a3 ,...a n ] = [a1 , a 2 , a3 ,..., (a n−1 , a n )] ตัวอย-างที่ 4จงหา ค.ร.น. ของจํานวนต2อไปนี้ 1) [ 18, 36, 40 ] วิธีทํา [ 18, 36, 40 ] = [ 18, [ 36, 40 ] ] = ……………………………………………………………. หรือ [ 18, 36, 40 ] = [ [ 18, 36 ] , 40 ] = ……………………………………………………………. ตรวจสอบคําตอบ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ดังนั้น [ 18, 36, 40 ] = ............................................................................................................... 2) [ 21, 30, 70 ] วิธีทํา [ 21, 30, 70 ] = …………………………………………………………………………………………………… ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ตรวจสอบคําตอบ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ดังนั้น [ 21, 30, 70 ] = …………………………………………………………………………………………

ตัวอย-างที่ 5จงหาจํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดที่มากกว2า 3 ซึ่งหารด-วย 4, 6 และ 13 แล-วมี เศษเหลือเป;น 3 วิธีทํา สิ่งที่โจทยต-องการทราบ ....................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ดังนั้น กําหนดให- x แทน............................................................................................................... ............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................ โดยขั้นตอนวิธีการหาร สามารถเขียน x ได-ในรูป เมื่อ k1 เป;นจํานวนเต็ม .......................(1) x = ………………….. เมื่อ k 2 เป;นจํานวนเต็ม .......................(2) x = ………………….. เมื่อ k3 เป;นจํานวนเต็ม ........................(3) x = ………………….. จากสมการที่ (1) , (2) และ (3) จะได-ว2า ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ตรวจสอบคําตอบ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ดังนั้น จํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดที่มากกว2า 3 ซึ่งหารด-วย 4, 6 และ 13 แล-วมีเศษเหลือเป;น 3 คือ ……………………………………………………… #

ใบกิจกรรมที่ 10.1 เรื่อง จี้หยก กลุ2มที่.............................................ห-อง....................... ชื่อสมาชิก 1……………………………………………………………………………………เลขที่................................... 2……………………………………………………………………………………เลขที่................................... 3……………………………………………………………………………………เลขที่................................... 4……………………………………………………………………………………เลขที่...................................

5……………………………………………………………………………………เลขที่................................... จุดประสงค1การเรียนรู : 1. สามารถนําความรู-เรื่อง ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ไปใช-ในการแก-ป4ญหาไดคําชี้แจง: ให-นักเรียนแต2ละกลุ2มช2วยกันแก-ป4ญหา พร-อมนําเสนอหน-าชั้นเรียน 1. ครูไปเที่ยวประเทศจีน และซื้อสินค-าที่คนไทยนิยมซื้อกลับมาเป;นของฝากได-แก2 จี้หยก มา จํานวนหนึ่ง ถ-าครูแบ2งจี้หยกใส2กล2องดังนี้ ใส2กล2อง ๆ ละ 3 ชิ้น จะเหลือหยก 2 ชิ้น ใส2กล2อง ๆ ละ 4 ชิ้น จะเหลือหยก 2 ชิ้น ใส2กล2อง ๆ ละ 5 ชิ้น จะเหลือหยก 2 ชิ้น ใส2กล2อง ๆ ละ 6 ชิ้น จะเหลือหยก 2 ชิ้น แต2ถ-าครูใส2กล2อง ๆ ละ 7 ชิ้น จะไม2เหลือหยกเลย จงหาว2าครูซื้อจี้หยกมาจํานวนอย2างน-อยกี่ชิ้น วิธีทํา วิเคราะหป4ญหาที่โจทยกําหนด สิ่งที่โจทยกําหนดคือ.................................................................................................................. ................................................................................................................................................................ สิ่งที่โจทยต-องการทราบคือ....................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ดําเนินการแก-ป4ญหา ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ตรวจสอบความถูกต-องของคําตอบ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

ใบความรูที่ 10.1 เรื่อง ความสัมพันธ1ระหว-าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ความสัมพันธระหว2าง ตัวหารร2วมมาก (ห.ร.ม.) และตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) มีรายละเอียด ดังต2อไปนี้ ทฤษฎีบทที่ 10.1ถ-า

และ

เป;นจํานวนเต็มบวกแล-ว

ab = ( a, b)[ a, b ]

ตัวอย-างที่ 6จงหาค2าของจํานวนเต็มบวก x โดยที่ ห.ร.ม. ของ x และ 111เป;น 3 และ ค.ร.น. ของ ของ x และ 111เป;น 1443 วิธีทํา สิ่งที่โจทยกําหนด ( x, 111 ) = 3 และ [ x, 111 ] = 1443 สิ่งที่โจทยต-องการทราบ ค2าของจํานวนเต็มบวก x แนวคิดในการแก-ป4ญหาคือ จากทฤษฎีบท ab = (a, b)[ a, b] จากกําหนด ( x,111) = 3, [ x,111] = 1443, a = x และ b = 111 จะได111x = 3 × 1443 3× 1443 111 x = 39 x =

ดังนั้น ค2าของจํานวนเต็มบวก x คือ 39 ตรวจสอบคําตอบ - หา ห.ร.ม. ของ 39 และ 111 จะได111 = 39(2) + 33 39 = 33(1) + 6 33 = 6(5) + 3 6 = 3( 2) + 0

ดังนั้น ห.ร.ม. ของ

และ 111 คือ - หา ค.ร.น. ของ โดยอาศัยการแยกตัวประกอบจะได39

3 39

และ 111

39 = 3 × 13 111 = 3 × 37

ดังนั้น ค.ร.น. คือ 3 × 13 × 37 = 1443 หรือ ตรวจสอบโดยอาศัยนิยามของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. จะไดดังนั้น 3 | 39 และ 3 | 111 39 = 3 × 13 และ 111 = 3 × 37 นั่นคือ 3 เป;น ห.ร.ม. ของ 39 และ 111 1443 = 39 × 37 และ 1443 = 111× 13 ดังนั้น 39 | 1443 และ 111 | 1443 นั่นคือ 1443 เป;น ค.ร.น. ของ 39 และ 111 # ในกรณี a และ b เป;นจํานวนเต็มที่ไม2เป;นศูนย และ a , b มีค2ามาก การหา ห.ร.ม. ของ a และ b ทําได-ไม2ยากนักโดยใช-ขั้นตอนวิธีของยูคลิด แต2การหา ค.ร.น. ของ a และ b โดยวิธีของ การแยกตัวประกอบทําได-ไม2สะดวกนัก อย2างไรก็ตามทฤษฎีบทที่ 10.1 ข-างต-นจะช2วยแก-ป4ญหา ดังกล2าวได-ดังตัวอย2างต2อไปนี้ ตัวอย-างที่ 7กําหนด a = 442 และ (1) (442,182) (2)

จงหา [442,182]

b = 182

วิธีทํา(1) โดยใช-ขั้นตอนวิธีของยูคลิด จะได442 = 182( 2) + 78 182 = 78( 2) + 26 78 = 26(3) + 0

ดังนั้น ให-

( 442,182 ) = 26

(2) จากทฤษฎีบท จะได-ว2า ab = (a, b)[ a, b] x = [ 442,182] และ ( 442,182 ) = 26 จะได26 x = 442 × 182 442 × 182 x = = 3094 26 [ 442,182] = 3094

ดังนั้น # ตรวจสอบคําตอบ 26 เป;น ห.ร.ม. ของ 442 และ 182 หรือไม2 แสดงว2า 26 | 442 442 = 26 × 17 แสดงว2า 26 | 182 182 = 26 × 7 ดังนั้น (442,182) = 26 3094 เป;น ค.ร.น. ของ 442 และ 182 หรือไม2 3094 = 442 × 7 แสดงว2า 442 | 3094 แสดงว2า 182 | 3094 3094 = 182 × 17 ดังนั้น [ 442,182] = 3094 _____________________ ที่มา :หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตรชั้นมัธยมมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 เล2ม 1, 2552 : 133-134

ญ

ใบกิจกรรมที่ 10.2 เรื่อง การนํา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไปใชในการแกปSญหา

4……………………………………………………………………………………เลขที่................................... 5……………………………………………………………………………………เลขที่................................... จุดประสงค1การเรียนรู : 1. สามารถนําความรู-เรื่อง ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ไปใช-ในการแก-ป4ญหาได2. สามารถนําความสัมพันธระหว2าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไปเชื่อมโยงในการแก-ป4ญหาใน สถานการณต2าง ๆ ได3. สามารถให-เหตุผลประกอบการแก-ป4ญหาไดคําชี้แจง: ให-นักเรียนแต2ละกลุ2มแก-ป4ญหา พร-อมนําเสนอหน-าชั้นเรียน 1. กําหนด

และ

เป;นจํานวนเต็มบวก และ

( a, b)[ a, b] = 10

แล-ว

a + b มีค2าเท2าใด

วิธีทํา สิ่งที่โจทยกําหนดคือ.................................................................................................................. ................................................................................................................................................................ สิ่งที่โจทยต-องการทราบคือ....................................................................................................... ................................................................................................................................................................ วางแผนการแก-ป4ญหา พร-อมอธิบายเหตุผลประกอบ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ดําเนินการแก-ป4ญหา ตามที่วางแผนไว................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ตรวจสอบความถูกต-องของคําตอบ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ดังนั้นคําตอบ a + b = ..........................................................................................................

2. ให- n เป;นจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุด ซึ่งหาร 90 มีเศษเหลือ 6 และเมื่อหาร 150 มี เศษเหลือเป;น 3 ถ-า a = (n,56) และ b = [n,56] จงหาค2าของ a − b วิธีทํา สิ่งที่โจทยกําหนดคือ.................................................................................................................. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ สิ่งที่โจทยต-องการทราบคือ.......................................................................................................

ตอบ........................................................................................................................................................ เหตุผล.................................................................................................................................................... 3) (a, b) | [a, b] ตอบ........................................................................................................................................................ เหตุผล.................................................................................................................................................... ชื่อ........................................................................................ชั้น.........................เลขที่.....................

แบบฝ\กเสริมทักษะที่ 10.1 เรื่อง ตัวคูณร-วมนอย(ค.ร.น.) คําชี้แจง: จงแสดงวิธีทํา 1. จงหาตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ของจํานวนต2อไปนี้

1) 65 และ 91 วิธีทํา .................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ตรวจสอบคําตอบ ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 2) 336 และ 448 วิธีทํา .................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ตรวจสอบคําตอบ ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 2. จงหาจํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดที่หารด-วย5, 7 และ 15 แล-วมีเศษเหลือเป;น 3 ทุกจํานวน วิธีทํา .................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ตรวจสอบคําตอบ ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... สรุปคําตอบ.............................................................................................................................. 3. น-องแก2นแก-วมีเงินจํานวนหนึ่ง ไปเที่ยวงานนบพระเล2นเพลงถ-าน-องแก2นนําเงินจํานวนนี้ไปซื้อตุpกตา จํานวนหนึ่ง ซึ่งตุpกตาราคาตัวละ 45 บาท จะเหลือเงิน 8 บาท แต2ถ-าเปลี่ยนใจนําเงินจํานวนนี้ไปซื้อ บัตรไข2มัจฉากาชาดจํานวนหนึ่ง บัตรราคาใบละ 20 บาท จะเหลือเงิน 3 บาท จงหาว2าน-อง แก2นแก-วมีเงินอย2างน-อยกี่บาท วิธีทํา.......................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. ตรวจสอบคําตอบ ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. สรุปคําตอบ.............................................................................................................................. ................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ชื่อ........................................................................................ชั้น.........................เลขที่.....................

แบบฝ\กเสริมทักษะที่ 10.2 เรื่องตัวคูณร-วมนอย(ค.ร.น.) คําชี้แจง: จงเลือกคําตอบที่ถูกต-องโดยกาเครื่องหมาย Xตรงกับข-อที่ถูกต-อง

1. กําหนด (a,28) = 4 และ ก. 20 ค. 60 2. ให-

แล-ว ข. 30 ง. 140

[ a,28] = 140

[a,60]

มีค2าเท2าใด

เป;นจํานวนเต็มบวก ซึ่ง ห.ร.ม. ของ n และ 42 เท2ากับ 6 ถ-า 42 = nq 0 + r0 เมื่อ 0 < r0 < n ......................(1) n = r0 (2) + r1 เมื่อ 0 < r1 < r0 ......................(2) r0 = r1 (2) ......................(3) โดยที่ q 0 , r0 และ r1 เป;นจํานวนเต็ม แล-ว ค.ร.น. ของ n และ 42 มีค2าเท2าใด ก. 200 ข. 210 ค. 220 ง. 230 n

3. ให- n เป;นจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุด ซึ่งหาร 60 มีเศษเหลือเป;น 4 และเมื่อหาร 112 มีเศษ เหลือเป;น 8 ถ-า a = (n,42) และ b = [n,42] แล-ว a + b เท2ากับเท2าใด ก. 2 ข. 8 ค. 168 ง. 170 4. ถ-า

เป;นจํานวนเต็มบวก โดยที่ ( 350, 245 + a ) มีค2าเท2าใด ก. 14 ค. 56 a

(225, a ) = 15

ข. ง.

และ [225, a] = 735 แล-ว

49 225

แบบเฉลย เอกสารชุดการเรียนการสอนที่ 5.1 เรื่องตัวคูณร-วมนอย (The Least Common Multiple) ชุดที่ 1 ____________________________________________________________ จุดประสงค1การเรียนรู :

1. อธิบายความหมายของพหุคูณ พหุคูณร2วม และตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ได2. หา ค.ร.น. ของจํานวนเต็มที่กําหนดให-ไดคําชี้แจง: ให-นักเรียนแต2ละกลุ2มช2วยกันศึกษานิยาม และตอบคําถามในแต2ละต2อไปนี้ 1) ถ-า 2) ถ-า

a|c a|c

บทนิยาม กําหนดให- a, b และ c เป;นจํานวนเต็มบวก แล-ว จํานวนเต็มบวก c เรียกว2าพหุคูณของ a และ b | c แล-วจํานวนเต็มบวก c เรียกว2าพหุคูณร2วมของ

และ

ตัวอย-างที่ 1 1.1 จงหาพหุคูณร-วมที่เปLนบวกของ 8 และ 32 วิธีทํา พหุคูณที่เป;นบวกของ 8 ได-แก2 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, … พหุคูณที่เป;นบวกของ 32 ได-แก2 32, 64, 96, 128, … ดังนั้น พหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 8 และ 32 ได-แก2 32, 64, 96, … 1.2 จงหาพหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 15 และ 20 วิธีทํา พหุคูณที่เป;นบวกของ 15 ได-แก2 ……15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, ………. พหุคูณที่เป;นบวกของ 20 ได-แก2 ……20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, ………….. ดังนั้น พหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 15 และ 20 ได-แก2……60, 120, ……………………………………. บทนิยาม ให- a และ b เป;นจํานวนเต็มที่ไม2เป;นศูนย เรียกจํานวนเต็ม c ที่น-อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว2าตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ของ a และ b ใช-สัญลักษณ [ a, b] แทนตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ของ a และ หมายเหตุจากบทนิยามจะได-ว2า สําหรับ a, b เป;นจํานวนเต็ม และ

a≠0

และ

b≠0

จะได-ว2า

[ a , b ] = [ − a , b ] = [ a , −b ] = [ − a , −b ]

เช2น

[ 2,4] = 4 , [9,−6] = 18

[ −10,−12] = 60

ตัวอย-างที่ 2 จงหา ค.ร.น. ของ 18 และ 24 วิธีทํา วิธีที่ 1 หาโดยพหุคูณร2วม พหุคูณที่เป;นบวกของ 18 ได-แก2 ……18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, …………….. พหุคูณที่เป;นบวกของ 24 ได-แก2 ……24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, ………….. พหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 18 และ 24 ได-แก2 …..72, 144, ……………………………………..

พหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 18 และ 24 ที่น-อยที่สุดคือ …..72…………………………………… ดังนั้น ค.ร.น. ของ 18 และ 24 คือ ……72……………………………………………………………………# วิธีที่ 2 หาโดยวิธีแยกตัวประกอบ 18 = ……2 x 3 x 3 ……………………………………………………………………………… 24 = ……2 x 2 x 2x 3 …………………………………………………………............ ดังนั้น ค.ร.น. ของ 18 และ 24 คือ…..2 x 3 x 3 x 2 x 2 = 72 ………………………………….. วิธีที่ 3 หาโดยใช-การหารสั้น 3 2

ดังนั้น ค.ร.น. ของ 18 และ 24 คือ 3 x 2 x 3 x 4 = 72 ตรวจสอบคําตอบ 72 = 18 (4) + 0 แสดงว2า 18 | 72 72 = 24 (3) + 0 แสดงว2า 24 | 72 นั่นคือ ค.ร.น. ของ 18 และ 24 คือ 3 x 2 x 3 x 4 = 72

ตัวอย-างที่ 3จงหา [a, b] ในแต2ละข-อต2อไปนี้ 1) a = 12 และ b = 15 วิธีทํา วิธีที่ 1 หาโดยพหุคูณร2วม พหุคูณที่เป;นบวกของ 12 ได-แก2 …12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, …….. พหุคูณที่เป;นบวกของ 15 ได-แก2…15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, ………………….. พหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 12 และ 15 ได-แก2 …60, 120, ………………………………………. พหุคูณร2วมที่เป;นบวกของ 12 และ 15 ที่น-อยที่สุดคือ …..60…………………………………… ดังนั้น ค.ร.น. ของ 12 และ 15 คือ ………..60………………………………………………………………#

วิธีที่ 2 หาโดยวิธีแยกตัวประกอบ 12 = …….. 3 x 2 x 2 …………………………………………………………………………….. 15 = …….. 3 x 5 ……………………………………………………………………………………. ดังนั้น ค.ร.น. ของ 12 และ 15 คือ … 3 x 2 x 2 x 5 = 60 ………………………………………….# ตรวจสอบคําตอบ

60 = 12 x 5 ดังนั้น

12 | 60

60 = 15 x 4 ดังนั้น

15 | 60

2) a = −12 และ b = 15 วิธีทํา จาก [12,15] = [−12,15] ดังนั้น [ −12,15] = ….. 60 …………………………………………………………………………………# ตรวจสอบคําตอบ 60 = ( −12) × ( − 5) ดังนั้น − 12 | 60 60 = 15 × 4 ดังนั้น 15 | 60 3) a = 12 และ b = −15 วิธีทํา จาก [12,15] = [12,−15] ดังนั้น [12,−15] = ….. 60 …………………………………………………………………………………# ตรวจสอบคําตอบ 60 = 12 × 5 ดังนั้น 12 | 60 60 = ( −15) × ( −4) ดังนั้น − 15 | 60 4) a = −12 และ b = −15 วิธีทํา จาก [12,15] = [−12,−15] ดังนั้น [ −12,−15] = ….. 60 ……………………………………………………………………………..# ตรวจสอบคําตอบ 60 = ( −12) × ( −5) ดังนั้น − 12 | 60 60 = ( −15) × ( −4) ดังนั้น − 15 | 60

แบบเฉลย เอกสารชุดการเรียนการสอนที่ 5.1 เรื่องตัวคูณร-วมนอย (The Least Common Multiple) ชุดที่ 2 _________________________________________________________________________ จุดประสงค1การเรียนรู : 1. หา ค.ร.น. ของจํานวนเต็มที่กําหนดให-ไดคําชี้แจง: ให-นักเรียนแต2ละกลุ2มศึกษานิยาม และตอบคําถามในแต2ละข-อต2อไปนี้ บทนิยาม ให- a1 , a 2 , a3 , ... , a n เป;นจํานวนเต็มที่ไม2เป;นศูนย จะเรียกจํานวนเต็มบวก c ที่น-อยที่สุด ซึ่ง a1 | c , a 2 | c , a3 | c , ... , a n | c ว2า ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ของ a1 , a 2 , a3 , ... , a n ใช-สัญลักษณ [ a1 , a 2 , a 3 ,...a n ] แทน ค.ร.น.ของ a1 , a 2 , a3 , ... , a n ตัวอย-างที่ 4จงหา ค.ร.น. ของจํานวนต2อไปนี้ 1) [ 18, 36, 40 ] วิธีทํา [ 18, 36, 40 ] = [ 18, [ 36, 40 ] ] = ……[ 18, 360 ] = 360 …………………….. หรือ [ 18, 36, 40 ] = [ [ 18, 36 ] , 40 ] = ……[ 36, 40 ] = 360 …………………….. ตรวจสอบคําตอบ นํา 18 ไปหาร 360 จะได- 360 = 18 x 20 36 ไปหาร 360 จะได- 360 = 36 x 10 และ 40 ไปหาร 360 จะได- 360 = 40 x 9 ดังนั้น [ 18, 36, 40 ] = ………..360 ………………………………………………………………………..# 2) [ 21, 30, 70 ] วิธีทํา [ 21, 30, 70 ] = [ 21, [30, 70] ] = [ 21, 210 ] = 210 ……………………………….. ตรวจสอบคําตอบ นํา 21ไปหาร 210 จะได- 210 = 21 x 10 30ไปหาร 210 จะได- 210 = 30 x 7 และ 70 ไปหาร 210 จะได- 210 = 70 x 3 ดังนั้น [ 18, 36, 40 ] = ………..210 ……………………………………………………………………….. ดังนั้น [ 21, 30, 70 ] = ………..210 ……………………………………………………………..#

ตัวอย-างที่ 5จงหาจํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดที่มากกว2า 3 ซึ่งหารด-วย 4, 6 และ 13 แล-วมีเศษ เหลือเป;น 3 วิธีทํา สิ่งที่โจทยต-องการทราบ จํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดที่มากกว2า 3 ซึ่งหารด-วย 4, 6 และ 13 แล-วมีเศษเหลือเป;น 3 ดังนั้น กําหนดให- x แทนจํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดที่มากกว2า 3 ซึ่งหารด-วย 4, 6 และ 13 แล-วมีเศษเหลือเป;น 3 โดยขั้นตอนวิธีการหาร สามารถเขียน x ได-ในรูป x = 4k1 + 3 เมื่อ k1 เป;นจํานวนเต็ม .......................(1) x = 6k 2 + 3 เมื่อ k 2 เป;นจํานวนเต็ม .......................(2) x = 13k 3 + 3 เมื่อ k3 เป;นจํานวนเต็ม ........................(3) จากสมการที่ (1) , (2) และ (3) จะได-ว2า x − 3 = 4k1 x − 3 = 6k 2 x − 3 = 13k 3

4, 6

และ 13 แล-วมีเศษเหลือเป;น

x = 159 ตรวจสอบคําตอบ 159 = 4(39) + 3 159 = 6( 26) + 3 159 = 13(12) + 3

ดังนั้น จํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดที่มากกว2า 3 ซึ่งหารด-วย 4, 6 และ 13แล-วมีเศษเหลือเป;น 3 คือ 159 #

แบบเฉลย ใบกิจกรรมที่ 10.1 เรื่องจี้หยก _________________________________________________________________________ กลุ2มที่.............................................ห-อง....................... ชื่อสมาชิก 1……………………………………………………………………………………เลขที่................................... 2……………………………………………………………………………………เลขที่................................... 3……………………………………………………………………………………เลขที่................................... 4……………………………………………………………………………………เลขที่................................... 5……………………………………………………………………………………เลขที่................................... จุดประสงค1การเรียนรู : 1. สามารถนําความรู-เรื่อง ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ไปใช-ในการแก-ป4ญหาไดคําชี้แจง: ให-นักเรียนแต2ละกลุ2มช2วยกันแก-ป4ญหา พร-อมนําเสนอหน-าชั้นเรียน 1. ครูไปเที่ยวประเทศจีน และซื้อสินค-าที่คนไทยนิยมซื้อกลับมาเป;นของฝากได-แก2 จี้หยก มาจํานวนหนึ่ง ถ-าครูแบ2งจี้หยกใส2กล2องดังนี้ ใส2กล2องละ 3 ชิ้น จะเหลือหยก 2 ชิ้น ใส2กล2องละ 4 ชิ้น จะเหลือหยก 2 ชิ้น ใส2กล2องละ 5 ชิ้น จะเหลือหยก 2 ชิ้น ใส2กล2องละ 6 ชิ้น จะเหลือหยก 2 ชิ้น แต2ถ-าครูใส2กล2องละ 7 ชิ้น จะไม2เหลือหยกเลย จงหาว2าครูซื้อจี้หยกมาจํานวนอย2าง น-อยกี่ชิ้น วิธีทํา วิเคราะหป4ญหาที่โจทยกําหนด สิ่งที่โจทยกําหนดคือ จี้หยกจํานวนหนึ่งนํามาบรรจุใส2กล2อง ดังนี้ ใส2กล2องละ 3 ชิ้น จะเหลือหยก 2 ชิ้น ใส2กล2องละ 4 ชิ้น จะเหลือหยก 2 ชิ้น ใส2กล2องละ 5 ชิ้น จะเหลือหยก 2 ชิ้น ใส2กล2องละ 6 ชิ้น จะเหลือหยก 2 ชิ้น แต2ถ-าครูใส2กล2องละ 7 ชิ้น จะไม2เหลือหยกเลย สิ่งที่โจทยต-องการทราบคือจํานวนจี้หยกที่ครูซื้อมาอย2างน-อยกี่ชิ้น

ดําเนินการแก-ป4ญหา สมมติให- ในกล2องแต2ละใบมีจี้หยก x ชิ้น และ m, n, p, q, r เป;นจํานวนเต็ม ดังนั้นจากสิ่งที่โจทยกําหนด และขั้นตอนวิธีการหาร พบว2า x = 3m + 2 หรือ x − 2 = 3m

ดังนั้น

3| x −2

x = 4n + 2 หรือ x − 2 = 4n x = 5p + 2

ดังนั้น

4| x−2

หรือ

x − 2 = 5 p ดังนั้น 5 | x − 2

x = 6q + 2

หรือ x − 2 = 6q ดังนั้น 6 | x − 2 จะเห็นว2า x − 2 หาร 3, 4, 5 และ 6 ลงตัว(นิยามการหารลงตัว) ฉะนั้น x − 2 เป;น ค.ร.น. ของ 3, 4, 5 และ 6 (นิยามตัวคูณร2วมน-อย) ค.ร.น. ของ 3, 4, 5 และ 6 คือ 60 ถ-าครู นําจี้หยกใส2กล2อง กล2องละ 7 ชิ้น จะไม2เหลือจี้หยกเลย ดังนั้น วิธีการหาจี้หยกที่ซื้อมาทั้งหมดคือ หาจํานวนเท2าของ 60 แล-วบวก 2 ซึ่งจํานวนที่หาไดนี้เป;นจํานวนที่หารด-วย 7 ลงตัว จะได( 60 x 3 ) + 2 = 182 ซึ่ง 7|182 ตรวจสอบความถูกต-องของคําตอบ 182 = (3 x 60) + 2 แสดงว2า 3 หาร 182 แล-วมีเศษเหลือ 2 182 = (4 x 45) + 2 แสดงว2า 4 หาร 182 แล-วมีเศษเหลือ 2 182 = (5 x 36) + 2 แสดงว2า 5 หาร 182 แล-วมีเศษเหลือ 2 182 = (6 x 30) + 2 แสดงว2า 6 หาร 182 แล-วมีเศษเหลือ 2 182 = (7 x 26) แสดงว2า 7 หาร 182 แล-วมีเศษเหลือ 0 ดังนั้น จํานวนจี้หยกที่ครูซื้อมาอย2างน-อยที่สุด 182 ชิ้น #

แบบเฉลย ใบกิจกรรมที่ 10.2 เรื่องการนํา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไปใชในการแกปSญหา __________________________________________________________________________

กลุ2มที่.............................................ห-อง....................... ชื่อสมาชิก 1……………………………………………………………………………………เลขที่................................... 2……………………………………………………………………………………เลขที่................................... 3……………………………………………………………………………………เลขที่................................... 4……………………………………………………………………………………เลขที่................................... 5……………………………………………………………………………………เลขที่................................... จุดประสงค1การเรียนรู : 1. สามารถนําความรู-เรื่อง ตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ไปใช-ในการแก-ป4ญหาได2. สามารถนําความสัมพันธระหว2าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไปเชื่อมโยงในการแก-ป4ญหาใน สถานการณต2าง ๆ ได3. สามารถให-เหตุผลประกอบการแก-ป4ญหาไดคําชี้แจง: ให-นักเรียนแต2ละกลุ2มแก-ป4ญหา พร-อมนําเสนอหน-าชั้นเรียน 1. กําหนด a และ

เป;นจํานวนเต็มบวก และ

( a, b)[ a, b] = 10

แล-ว

a+b

มีค2าเท2าใด

วิธีทํา สิ่งที่โจทยกําหนดคือ จํานวนเต็มบวก a และ b โดยที่ (a, b)[ a, b] = 10 สิ่งที่โจทยต-องการทราบคือ a + b มีค2าเท2าใด ดําเนินการแก-ป4ญหา พร-อมอธิบายเหตุผลประกอบ จากโจทยกําหนดให- (a, b)[ a, b] = 10 ดังนั้น ab = 10 เพราะจากทฤษฎีบท 10.1 ab = ( a, b)[ a, b ] จะได-ค2าของ a, b เป;นดังนี้ a = 1 และ b = 10 หรือ a = 2 และ b = 5 เนื่องจาก a และ b เป;นจํานวนเต็มบวกดังนั้นจะได-ผลบวกของ a และ b ดังนี้ ถ-า a = 1 และ b = 10 จะได- a + b = 1 + 10 = 11 ถ-า a = 2 และ b = 5 จะได- a + b = 2 + 5 = 7 ตรวจสอบความถูกต-องของคําตอบ ถ-า a = 1 และ b = 10 ซึ่ง (1,10) = 1 และ [1,10] = 10 ดังนั้น (a, b)[a, b] = 1 × 10 = 10 ถ-า a = 2 และ b = 5 ซึ่ง (2,5) = 1 และ [2,5] = 10 ดังนั้น (a, b)[a, b] = 2 × 5 = 10 ดังนั้นคําตอบ a + b มีค2าเท2ากับ 7 หรือ 11 #

2. ให- n เป;นจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุด ซึ่งหาร 90 มีเศษเหลือ 6 และเมื่อหาร 150 มีเศษเหลือเป;น 3 ถ-า a = (n,56) และ b = [n,56] จงหาค2าของ a − b วิธีทํา สิ่งที่โจทยกําหนดคือ n เป;นจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุดซึ่ง n หาร 90 มีเศษเหลือ 6 และ เมื่อ n หาร 150 มีเศษเหลือเป;น 3 ให- a = (n,56) และ b = [n,56] สิ่งที่โจทยต-องการทราบคือ ค2าของ a − b ดําเนินการแก-ป4ญหา พร-อมแสดงเหตุผลประกอบ จาก n เป;นจํานวนเต็มบวก ซึ่ง n หาร 90 มีเศษเหลือ 6 จะได90 = nk1 + 6 ; k1 เป;นจํานวนเต็ม (เหตุผล ขั้นตอนวิธีการหาร) ……(1) และ n เป;นจํานวนเต็มบวก ซึ่ง n หาร 150 มีเศษเหลือ 3 จะได150 = nk 2 + 3 ; k 2 เป;นจํานวนเต็ม (เหตุผล ขั้นตอนวิธีการหาร) ……(2) จาก (1) จะได- 84 = nk1 (นํา -6 บวกทั้งสองข-าง) ……(3) และ (2) จะได- 147 = nk2 (นํา -3 บวกทั้งสองข-าง) ……(4) จาก (3) และ (4) จะได- n | 84 และ n | 147 ดังนั้น n เป;น ห.ร.ม. ของ 84 และ 147 (เหตุผล นิยามของตัวหารร2วมมาก) ดังนั้น n = (84,147 ) = 21 นั่นคือจาก a = ( n,56) = ( 21,56) = 7 b = [ n,56] = [ 21,56] = 168

ดังนั้น ดังนั้นคําตอบ

a − b = 7 − 168 = −161 a − b = −161

3. กําหนดให- a, b, c เป;นจํานวนเต็มที่ไม2เป;นศูนย จงพิจารณาว2าข-อความต2อไปนี้ ถูกหรือผิดพร-อมให-เหตุผล 1) ถ-า ab > 0 แล-ว [a, b] ≤ ab ตอบถูก เหตุผล เนื่องจาก ab เป;นตัวคูณร2วมของ a และ b ซึ่ง ab เป;นจํานวนเต็มบวกค2าหนึ่ง แต2 [ a, b] เป;นตัวคูณร2วมของ a และ b ซึ่ง [ a, b] เป;นจํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุด ดังนั้น [ a, b] ≤ ab

2) ถ-า

c|a

และ

ตอบ ผิด เหตุผล เช2น ให[ 2,4] = 4

แต2

c|b

แล-ว

[ a, b] ≤

ab c

c = −2 , a = 2 , b = 4 จะได- − 2 | 2 และ − 2 | 4 2× 4 2× 4 = −4 ทําให- [2,4] > −2 −2

3) (a, b) | [a, b] ตอบ ถูก เหตุผลเนื่องจาก a, b เป;นจํานวนเต็มที่ไม2เป;นศูนยพร-อมกัน จึงสมมติให- a ≠ 0 จะได- (a, b) | a และ a | [a, b] ดังนั้น ( a, b) | [ a, b] (สมบัติการถ2ายทอด)

ซึ่ง

แบบเฉลย แบบฝ\กเสริมทักษะที่ 10.1 เรื่องตัวคูณร-วมนอย(ค.ร.น.) _____________________________________________________________________ คําชี้แจง: จงแสดงวิธีทํา 1. จงหาตัวคูณร2วมน-อย (ค.ร.น.) ของจํานวนต2อไปนี้ 1) 65 และ 91 วิธีทํา 65 = 5 x 13 91 = 7 x 13 ∴ค.ร.น.ของ 65 และ 91 คือ 5 x 7 x 13 = 455 ตรวจสอบคําตอบ 455 = 65(7) + 0 ดังนั้น 65|455 455 = 91(5) + 0 ดังนั้น 91|455 ดังนั้น ค.ร.น.ของ 65 และ 91 คือ 455

2) 336 และ 448 วิธีทํา ใช-ทฤษฎีบท (a, b)[ a, b] = ab หา ห.ร.ม. ของ 336 และ 448 โดยใช-ขั้นตอนวิธีของยูคลิด จะได448 = 336(1) + 112 336 = 112(3) + 0 ∴ห.ร.ม. ของ 336 และ 448 คือ 112 336 × 448 [336 , 448] = = 1,344 ดังนั้น 112

∴ ค.ร.น.ของ 336 และ 448 คือ 1,344 ตรวจสอบคําตอบ 1,344 = 336(4) + 0 ดังนั้น 336|1,344 1,344 = 448(3) + 0 ดังนั้น 448|1,344 ดังนั้น ค.ร.น.ของ 336 และ 448 คือ 1,344

2. จงหาจํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดที่หารด-วย5, 7 และ 15 แล-วมีเศษเหลือเป;น 3 ทุกจํานวน วิธีทํา ให- x แทนจํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดที่หารด-วย5, 7 และ 15 แล-วมีเศษเหลือเป;น 3 ทุกจํานวน จะไดx = 5k1 + 3 ; k1 เป;นจํานวนเต็ม …………….(1) x = 7 k 2 + 3 ; k 2 เป;นจํานวนเต็ม …………….(2) x = 15k 3 + 3 ; k 3 เป;นจํานวนเต็ม …………….(3) จาก (1) , (2) , (3) จะได- x − 3 = 5k1 x − 3 = 7k 2 x − 3 = 15k 3

ดังนั้น สรุปได-ว2า ดังนั้น จะได-

5 | x − 3,

x −3

7 | x − 3 และ 15 | x − 3

เป;น ค.ร.น. ของ

5, 7

และ 15

[ 5, 7, 15 ] = 105

x − 3 = 105 x = 105 + 3 = 108

ตรวจสอบคําตอบ 108 = 5(21) + 3 108 = 7(15) + 3 108 = 15(7) + 3 ดังนั้น จํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดที่หารด-วย5, 7 และ 15 แล-วมีเศษเหลือเป;น 3 ทุกจํานวน ได-แก2 108 # 3. น-องแก2นแก-วมีเงินจํานวนหนึ่ง ไปเที่ยวงานนบพระเล2นเพลง ถ-าน-องแก2นนําเงินจํานวนนี้ไปซื้อ ตุpกตาจํานวนหนึ่ง ซึ่งตุpกตาราคาตัวละ 45 บาท จะเหลือเงิน 8 บาท แต2ถ-าเปลี่ยนใจนําเงิน จํานวนนี้ไปซื้อบัตรไข2มัจฉากาชาดจํานวนหนึ่ง บัตรราคาใบละ 20 บาท จะเหลือเงิน 3 บาท จงหา ว2าน-องแก2นแก-วมีเงินอย2างน-อยกี่บาท วิธีทํา ให-น-องแก2นแก-วมีเงินจํานวน x บาท น-องแก2นแก-วซื้อตุpกตาจํานวนหนึ่ง ตัวละ 45 บาท จะเหลือเงิน 8 บาท จะไดx = 45(k1 ) + 8 ; k1 เป;นจํานวนเต็ม ..............(1) น-องแก2นแก-วซื้อบัตรจับไข2มัจฉากาชาดจํานวนหนึ่งราคาใบละ 20 บาท จะเหลือเงิน 3 บาท จะได- x = 20(k 2 ) + 3 ; k 2 เป;นจํานวนเต็ม ..............(2) จาก (1) จะได- x − 8 = 45(k1 ) ..............(3) (2) จะไดx − 8 = 20(k 2 ) − 5 ..............(4)

ดังนั้น จากสมการ (3) จะได- 45 | x − 8 ---------------(5) และจาก (5)จะได- 45 | 20k 2 − 5 [นํา x − 8 ซึ่งเท2ากับ 20k 2 − 5 มาแทนใน (5)] หาจํานวนเต็มบวก k 2 ที่ทําให- 45 หารลงตัว [ k 2 = 1,2,3,4,5,...] และ 20k 2 − 5 มีค2าน-อยที่สุด เมื่อ k2 = 7 ดังนั้น x − 8 = 20k 2 − 5 x − 8 = 20(7) − 5

x − 8 = 135 x = 135 + 8 = 143

ดังนั้น แก2นแก-วมีเงินจํานวน ตรวจสอบคําตอบ

143 บาท

143 = 45(3) + 8 143 = 20(7) + 3

ดังนั้น แก2นแก-วมีเงินจํานวน

143 บาท

แบบเฉลย แบบฝ\กเสริมทักษะที่ 10.2 เรื่องตัวคูณร-วมนอย(ค.ร.น.) _________________________________________________________________________ คําชี้แจง: จงเลือกคําตอบที่ถูกต-องโดยกาเครื่องหมาย X ตรงกับข-อที่ถูกต-อง 1. กําหนด (a,28) = 4 และ ก. 20 ค. 60 2. ให-

โดยที่

q 0 , r0

แล-ว ข. 30 ง. 140

[ a,28] = 140

[a,60]

มีค2าเท2าใด

ก. ค.

และ 200 220

เป;นจํานวนเต็ม แล-ว ค.ร.น. ของ ข. 210 ง. 230

และ 42 มีค2าเท2าใด

เป;นจํานวนเต็มบวก โดยที่ ( 350, 245 + a ) มีค2าเท2าใด ก. 14 ค. 56 a

(225, a ) = 15

ข. ง.

และ [225, a] = 735 แล-ว

49 225

แบบเฉลย แบบฝ\กเสริมทักษะที่ 10.2เรื่องตัวคูณร-วมนอย(ค.ร.น.) 1. ค.

2. ข.

3. ง.

4. ก.

5. ข.

แนวทางการคิด 1. กําหนด (a,28) = 4 และ [ a,28] = 140 แล-ว [a,60] มีค2าเท2าใด วิธีทํา หาค2า a จากทฤษฎีบท 10.1 ab = ( a, b)[ a, b ] จากโจทยกําหนด (a,28) = 4 และ [ a,28] = 140 จะไดa x 28 = 4 x 140 4 x140 a= = 20 28

ดังนั้น # [ a,60 ] = [ 20,60] = 60 2. ให- n เป;นจํานวนเต็มบวก ซึ่ง ห.ร.ม. ของ n และ 42 เท2ากับ 6 ถ-า 42 = nq 0 + r0 เมื่อ 0 < r0 < n ......................(1) n = r0 (2) + r1 เมื่อ 0 < r1 < r0 ......................(2) r0 = r1 (2) .....................(3) โดยที่ q 0 , r0 และ r1 เป;นจํานวนเต็ม แล-ว ค.ร.น. ของ n และ 42 มีค2าเท2าใด วิธีทํา จากโจทยกําหนด และขั้นตอนวิธีของยูคลิด จะได-ว2า r1 | r0 แสดงว2า (n,42) = r1 = 6 จากขั้นที่ (3) จะไดr0 = 6(2) = 12 จากขั้นที่ (2) จะไดn = 12( 2) + 6 = 30 ดังนั้น ค.ร.น.ของ n และ 42 จะได(30,42)[30,42] = 30 x 42 30 x 42 30 x 42 [30,42] = = = 210 (30,42) 6

นั่นคือ ค.ร.น. ของ n และ 42คือ 210 # 3. ให- n เป;นจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุด ซึ่งหาร 60 มีเศษเหลือเป;น 4 และเมื่อหาร 112 มีเศษ เหลือเป;น 8 ถ-า a = (n,42) และ b = [n,42] แล-ว a + b เท2ากับเท2าใด วิธีทํา จาก n เป;นจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุด ซึ่งหาร 60 มีเศษเหลือเป;น 4 และเมื่อหาร 112 มี เศษเหลือเป;น 8 ดังนั้น n เป;นจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุด ซึ่งหาร 60 – 4 = 56 ลงตัว และ n เป;นจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุด ซึ่งหาร 112 – 8 = 104 ลงตัว

ดังนั้น จะไดและ ดังนั้น

(56 , 104 ) = 8

a = (n,42) = (8,42) = 2 b = [ n,42] = [8,42] = 168

a + b = 2 + 168 = 170

4. ถ-า

เป;นจํานวนเต็มบวก โดยที่ (225, a) = 15 และ [225, a] = 735 แล-ว ( 350, 245 + a ) มีค2าเท2าใด วิธีทํา จาก ab = ( a, b)[ a, b ] และจากโจทยกําหนด (225, a) = 15 และ [225, a] = 735 ดังนั้น

15 x 735 = 49 225 ( 350, 245 + a ) = (350,245 + 49) = (350,294 ) = 14

ดังนั้น

5. นาฬิกาปลุกสามเรือนตั้งเวลาปลุกไว-ทุก ๆ 10 นาที 15 นาที และ 20 นาที ถ-าตั้งเวลานาฬิกา ปลุกทั้งสามเรือนพร-อมกันในเวลา 8.00 น. นาฬิกาทั้งสามเรือนจะปลุกพร-อมกันครั้งแรกในเวลาใด วิธีทํานาฬิกาทั้งสามเรือนจะปลุกพร-อมกัน เมื่อพหุคูณร2วมน-อยที่สุด ดังนั้น หา ค.ร.น. ของ 10, 15 และ 20 จะได-[ 10, 15, 20 ] = 60 นาฬิกาทั้งสามเรือนจะปลุกพร-อมกันเมื่อเวลาผ2านไป 60 นาที หรือ 1ชั่วโมง นั่นคือ นาฬิกาทั้งสามเรือนเริ่มตั้งปลุกพร-อมกันในเวลา 8.00 น. ดังนั้นจะปลุกพร-อมกันครั้งแรกใน เวลา 9.00 น. หรือ ใชพหุคูณร-วมดังนี้ พหุคูณที่เป;นจํานวนเต็มบวกของ 10 ได-แก2 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, … พหุคูณที่เป;นจํานวนเต็มบวกของ 15 ได-แก2 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, … พหุคูณที่เป;นจํานวนเต็มบวกของ 20 ได-แก2 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, … ดังนั้น พหุคูณร2วมที่เป;นจํานวนเต็มบวกที่น-อยที่สุดคือ 60 นั่นคือ นาฬิกาทั้งสามเรือนเริ่มตั้งปลุกพร-อมกันในเวลา 8.00 น. ดังนั้นจะปลุกพร-อมกันครั้งแรกใน เวลา 9.00 น. #