Математичний гурток в 5-6-х класах by kpschool7

УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ ТА НАУКИ НАУКОВО-МЕТОДИЧНИЙ ЦЕНТР ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ І-ІІІ СТУПЕНЯ ШКОЛА №7

МАТЕМАТИЧНИЙ ГУРТОК В 5-6-Х КЛАСАХ ЯК ОДИН ІЗ ЕЛЕМЕНТІВ СТАНОВЛЕННЯ СТІЙКОГО ІНТЕРЕСУ ДО ВИВЧЕННЯ МАТЕМАТИКИ

м. Кам’янець-Подільський, 2014 рік

Автор: Пушкарук А.М. – вчитель вищої категорії, вчительметодист, відмінник освіти України Рецензенти: Паньков

В.Г.

–

кандидат

фізико-математичних

наук;

Когунь В.П. – вчитель вищої категорії, вчитель-методист.

Пушкарук А.М. Математичний гурток в 5-6-х класах як один із елементів становлення стійкого інтерес до вивчення математики. Кам’я нець-Подільський науково-методичгний центр ЗОШ №7, 2014, - 104 ст..

Ця книжка містить деякий матеріал з математики: історичні відомості, додатковий матеріал з математики, який не вивчається на уроках, цікаві задачі (багато із них з розв’язанням), відомості про видатних математиків, математичні жарти, також презентаціі. Матеріал розподілено по темах за запропонованою програмою для інтегрованого курсу математичного гуртка для 5 – 6 класів. Книжка призначена для вчителів математики, але іі можуть використовувати і учні, які мають бажання розширити свої знання.

ЗМІСТ 1. Вступ. Теоретичні відомості ..................................................... 4 2. Організація роботи математичного гуртка (групи, студіі) у школі .............................................................................. 6 3. Можлива тематика для інтегрованого гуртка з математики для учнів 5 – 6 класів........................................ 8 4. Матеріали для допомоги у підготовці до занять гуртка..... 9 4.1. Вступне заняття................................................................... 9 4.2. Як люди навчились рахувати. ........................................... 11 4.3. Етапи розвитку математики............................................... 14 4.4. Числа – велетні. ................................................................... 23 4.5. Час у різні віки. ................................................................... 30 4.6. Завдання на розрізання та перекроювання фігур (танграм) .............................................................................. 35 4.7. Задачі на зважування та переливання............................... 41 4.8. Магічні квадрати ................................................................. 54 4.9. Задачі, що розв’язуються методом «з кінця» .................. 58 4.10. Математичні софізми ......................................................... 62 4.11. Швидко рахувати – це просто (прийоми усного рахунку) ............................................................................... 70 4.12. Застосування граф для розв’язування логічних задач .... 77 4.13. Принцип Діріхле ................................................................. 85 4.14. Деякі ознаки подільності, які не вивчають у школі ........ 93 4.15. Цікаві задачі на відсотки .................................................... 98 Додатки. Презентаціі до занять: 1. Історія виникнення і розвитку системи числення .............. 2. Круги Ейлера. Застосування до розв’язування задач......... 3. Головоломки з сірниками ...................................................... 4. Застосування теоріі граф для розв’язування задач............. Список використаних джерел ....................................................... 104 3

ВСТУП. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Діяльність дітей в системі додаткової математичної освіти протікає в одновікових або різновікових об'єднаннях за інтересами. Заняття можуть проводитися за програмами однієї тематичної спрямованості або комплексним, інтегрованими програмами. Передбачаються

різні

форми

проведення

занять:

групові,

індивідуальні, з усім складом дитячого об'єднання. Для учнів 10-14 років найбільш поширеною, традиційною і ефективною формою об'єднання дітей за інтересами є гурток (група, студія). Гурток (група, студія) сприяє формуванню та розвитку інтересу учнів до математики, розширює і поглиблює математичні знання, розвиває математичний кругозір, мислення, здібності, дослідницькі вміння школярів, дозволяє надалі зробити правильний вибір професії. У процесі навчальної та позакласної діяльності школяра, велику роль, як відзначають психологи, відіграє рівень розвитку пізнавальних процесів. Розвиток і вдосконалення пізнавальних процесів буде більш ефективним при цілеспрямованій роботі в цьому напрямку, що спричинить за собою і розширення пізнавальних можливостей дітей. Коли дитина займається з-під палиці, вона доставляє вчителеві масу турбот і прикростей, коли ж 4

діти займаються з задоволенням, то справа йде зовсім по-іншому. Активізація пізнавальної діяльності учня без розвитку його пізнавального

інтересу не

тільки важка, але

практично

неможлива. Ось чому в процесі навчання необхідно систематично підвищувати, розвивати і зміцнювати пізнавальний інтерес учнів і як важливий мотив навчання, і як стійку рису особистості, і як могутній засіб навчання, що виховує, його як особистість. У цьому вчителю допомагає правильна організація позакласної роботи математичного гуртка. Пізнавальний інтерес спрямований не тільки на процес пізнання, а й на результат його, а це завжди пов'язано з прагненням до мети, з реалізацією її, подоланням труднощів, з вольовим напруженням.

2. ОРГАНІЗАЦІЯ РОБОТИ МАТЕМАТИЧНОГО ГУРТКА (ГРУПИ, СТУДІЇ) В ШКОЛІ Гуртки (групи, студії) організуються на добровільних засадах для всіх бажаючих школярів. Можливе створення гуртків (груп, студій) за рівнями (для більш сильних і середніх учнів); секціями (навчальнодослідна, оформлювальна, любителів вирішення завдань); з певною тематикою (алгебраїчний, геометричний і т.п.); для підготовки до здачі ЗНО та ін. Гурток (групу, студію) найкраще організовувати з одновікових учнів, проте можливі й різновікові об'єднання. До складу гуртка (групи, студії) входить приблизно 10-15 учнів. На першому занятті слід вибрати старосту, актив і редколегію гуртка (групи, студії). Бажано придумати назву, емблему, девіз. Заняття гуртка (групи, студії) зазвичай проводяться 2-4 рази на місяць. Тривалість занять не повинна перевищувати однієї години. Починати роботу гуртка (групи, студії) краще з початку жовтня, а завершувати наприкінці квітня. У канікули предметні гуртки (групи, студії) проводити не рекомендується. Підсумком роботи гуртка (групи, студії) може стати математичний вечір. 6

ПЛАНУВАННЯ РОБОТИ ГУРТКА (ГРУПИ, СТУДІЇ). План роботи гуртка (групи, студії) зазвичай складається на рік. Форма плану може бути будь-яка. При плануванні роботи гуртка (групи, студії) необхідно відобразити: номер заняття; дату проведення; зміст заняття; прізвища учнів, відповідальних за підготовку; примітки. ПРОГРАМА ГУРТКА (ГРУПИ, СТУДІЇ) Зміст занять. Програма гурткових (групових, студійних) занять складається керівником гуртка (групи, студії) за формою, прийнятою в даній організації (школі, Центрі додаткової освіти і т.д.). Зміст занять варіюється залежно від віку учнів, їх інтересів, основних цілей гуртка (групи, студії).

3. МОЖЛИВА ТЕМАТИКА ДЛЯ ІНТЕГРОВАНОГО ГУРТКА З МАТЕМАТИКИ ДЛЯ УЧНІВ 5 – 6 КЛАСІВ. -

Як люди навчились рахувати.

Етапи розвитку математики.

Час у різні віки.

Задачі на зважування та переливання.

Магічні квадрати.

Задачі, що розв»язуються методом « з кінця».

Швидко рахувати – це просто ( прийоми усного рарунку).

Математичні софізми.

Числа-велетні.

Запис цифр і чисел у інших народів.

Цікаві задачі на відсотки.

Арифметичні ребуси.

Геометричні вправи з сірниками.

Завдання на розрізання та перекроювання фігур (танграм).

Найпростіші графи.

Принцип Діріхле.

Деякі ознаки подільності, які не вивчають у школі.

4. МАТЕРІАЛИ ДЛЯ ДОПОМОГИ У ПІДГОТОВЦІ ДО ЗАНЯТЬ ГУРТКА 4.1 ВСТУПНЕ ЗАНЯТТЯ. Математика – найстародавніша з усіх наук. Поняття числа – одне з основних понять математики – виникло з практичних потреб людини на світанку історіі суспільства. Ще в давні часи математику називали «царицею наук», «ключем до всіх наук». Старогрецький філософ Платон ( 4 ст. до н.е.) вважав математику знаряддям для вивчення філософіі і над дверима «Академіі» - будинку, в якому він займався з своїми учнями, звелів зробити напис: «Нехай сюди не входить ніхто, хто не знає геометріі» А одному з тих, хто бажав стати членом школи, не знаючи геометріі, він сказав: «Іди геть! Ти не маєш знаряддя для вивчення філософіі». Видатні вчені всіх часів надавали математиці величезного значення. «Ніяке людське дослідження не може бути назване істиною, якщо воно не проходить через математичні доведення», - писав видатний італійський художник учений і інженер Леонардр да Вінчі ( 1452 – 1519 ). Видатний італійський фізик, механік, і астроном Галілео Галілей (1564 -1642 ) казав, що справжню філософію «описано у величезній книзі, яка завжди відкрита нашим очам». Ця книга є Всесвіт, який треба навчитись читати, «написано ж іі мовою 9

математики». «Природа розмовляє мовою математики: букви цієї мови – круги, трикутники та інші математичні фігури». Велике значення надавав математиці і видатний ученийенциклопедист М. В. Ломоносов (1711 – 1765). Він писав: «Усе, що без того було темне, сумнівне і неправильне, математика зробила зрозумілим, правильним і очевидним». «Математику вже тому вчити треба, що вона розум до ладу приводить». «Хімія – права рука фізики, математика – її око». Математика допомагає людині в усіх іі справах. Вона потрібна не лише інженерам, конструкторам. Без вимірювань і обчислень не можна зробити й стільця. «Політ – це математика», казав відолий льотчик В.П.Чкалов. Без математики не обійтись і художнику : вона потрібна йому, наприклад, щоб будувати перспективу, додержуватись певного масштабу зображення. У наш час без інформаційних технологій ніхто не уявляє свого життя. Без них неможливий подальший розвиток науки, техніки, економіки. Найпростіші обчислювальні машини було винайдено дуже давно, але лише наприкінці 19 ст. рівень техніки виявився достатнім для налагодження іх фабричного виробництва. Ставали

складнішими

наукові

технічні

проблеми,

ускладнювались математичні формули та рівняння, до яких зводилось

іх

вирішення,

зростала

кількість

потрібних

обчислювальний операцій. Вдосконалювались і обчислювальні пристрої. Тепер вважається цілком доступною задача, яка потребує ста років роботи обчислювача. 10

4.2. ЯК ЛЮДИ НАВЧИЛИСЬ РАХУВАТИ Первісна людина,що багато тисяч тому жила у печерах і не вміла користуватись вогнем,не вміла і лічити. Спочатку люди вміли лічити лише до двох. Кочове плем я бакаріі(у Бразиліі) нещодавно знало лише два числа:»ткале»один,»агахаре»-два. Якщо ім. треба було сказати три, то вони говорили «агахаре-токале», чотири-«ткале-токале».Чисел , більших за шість, вони не знали. Щоб сказати, що якихось предметів більше шести, вони ворушили волосся на голові. Первісні люди, наприклад африканці, лічили по п ять(тобто п ятками), інші лічили по 20(двадцятками), а деякі по 12 (дюжинами). Щоб під час лічби пам ятати, скільки вийшло п ясаків або скільки разів узято по 12 , наші предки робили зарубки на палиці , або в язали вузли на мотузках. Навіть у наш час деякі люди в яжуть вузлики на хусточці – для «пам яті». Окрім зарубок та вузликів була поширена лічба на зернах , камінцях , за допомогою черепашок і т. ін.. Така лічба була звучна для відображення невеликих чисел , та з розвитком землеробства , тваринництва та торгівлі , такі способи лічби стали незручними, і для великих чисел стародавні народи почали вживати спеціальні позначки – ієрогліфи. Ієрогліфічне письмо виникло не менш як 5 тисяч років тому. Числових ієрогліфів було не так вже і багато , бо лічили тільки до тисячі. На старовинних саркофагах , на уламках храмів іноді зустрічаються загадкові написи : деякі з них вчені переклали на сучасну мову і встановили, к жили люди 4000-5000 років тому. 11

Якщо єгиптянину треба було записати число 203413 , він малював дві жаби, три квітки лотоса, чотири згорнутих пальмових листки, дві руки поруч та три палички. Зображення жаби позначало 100000, квітка лотоса – 1000, згорнутий пальмовий листок – 100 і т. ін. Мешканці Вавілону писали паличками на плитках сироі глини, які потім випалювали. Одиницю вони зображували загостреним донизу клином, звідки і пішла назва такого письма – клинопис. Римляни зображували одиницю вертикальною рискою, п ять _ рукою з відігнутим великим пальцем, десять – двома руками. Близько двох тисяч років тому плем я майя в основу системи числення поклало число 20. Числа від 1 до 20 вони означали крапками і рисками. 1

...

....

˙ -

˙˙ -__

˙˙˙ ˙˙˙˙ _-_ _-_

_= _ __

Згодом числа почали позначати не лише ієрогліфами, а й буквами. Математики Середньоі Азіі та Закавказзя, які писали свої праці арабською мовою, сприйняли від індійців, де математичні науки набули великого розвитку, позначки для запису чисел – цифри, а також іхню десяткову систему числення. Ця система завдяки арабським та середньоазіатським ученим поширилась у краіни Європи. Цифри і систему запису чисел, якими користуються тепер, мають назву арабських, хоч правильніше іх називати індійськими, бо саме Індія є батьківщиною позиційноі десяткової нумерації. 12

Індійські цифри в Росіі з явились в 1611 році. До того часу вживали слов янську нумерацію, що складалася з 27 літер алфавіту. Над буквами, що позначали цифри, ставили спеціальну позначку – «титло». На початку 18 ст. внаслідок реформи, запровадженоі Петром 1, індійські цифри і індійська система числення витіснили з ужитку слов янську нумерацію. Тепер народи всього світу користуються арабськими цифрами й арабською системою числення. Мова цифр – міжнародна. ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ 1. У 1 тис. до нашої ери в передмісті Нінелі ( Ассирія ) сталася пожежа. Власник будинку прибіг, коли вогонь вже сягнув даху. Побачивши сусідів, які хотіли гасити пожежу водою, він закричав: -Не лийте воду, бо загин моє найголовніше багатство – моя бібліотека ! Чому він так сказав? (Відповідь: «Книги» ассірійців являли собою глиняні плитки з видавленими на них письменами.) 2. Цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, розмістити в квадратах так, щоб спрадилась рівність. (Відповідь: 6х29=174=58х3 ) 3. Між трьома хлопчиками поділили яблука так, що кожний одержав не більше двох яблук. Яка кількість яблук задовольняє умову задачі? (Відповідь: 3, 4, 5, 6.) 13

4.3. ЕТАПИ РОЗВИТКУ МАТЕМАТИКИ В світі немає місця негарній математиці.. Г.Г.Харлі. Ще за античних часів люди виділили з численних на той час здобутків світового мистецтва і архітектури „сім чудес світу”. Це були єгипетські піраміди, висячі сади Семіраміди у Вавилоні, храм Артеміди у Ефесі, велетенська статуя

Зевса

олімпійському

храмі, Галікарнаський мавзолей у Малій Азії, Родоський колос заввишки 37 метрів та Александрійський маяк на острові Фарос. З цих „чудес світу” до наших днів збереглися лише єгипетські піраміди поблизу Каїра. Їх не змогли зруйнувати ні люди, ні час. „Все боїться часу, а час боїться пірамід” - так стверджує стародавнє східне прислів’я. А першу східчасту піраміду біля Саккара збудував близько 2700 року до н.е. для фараона Джосера зодчий Імхотеп. Імхотеп знав математику, астрономію, механіку, медицину, був філософом і письменником, складав прислів’я і користувався великою повагою і популярністю. Згодом його було оголошено богом, сином єгипетського бога Птаха, а стародавні греки ототожнювали його з Ескулапом. Збудований ним грандіозний ансамбль Джосера - найдавніша 14

монументальна споруда з каменю в історії архітектури Старого Світу. Імхотеп - перший відомий в історії людства вченийматематик. Розміри збудованої Імхотепом піраміди вражають уяву і в наш час: основою її є прямокутник з розмірами 126 х 117 метрів, а висота приблизно60 метрів. Фалес, Анаксімандр і Піфагор першими з греків відвідали стародавній Єгипет. Саме вони вважаються батьками наукового обгрунтування математики. Правда при цьому згадується ще і фракієць Евфорб, але про нього зовсім нічого певного не відомо. Анаксімандр Мілетський (бл.610 -546 до н.е.), учень Фалеса, склав першу географічну карту, спорудив перші у Греціїсонячні годинники і сонячні інструменти. Піфагорієць Гіппократ Хіоський (бл.450 – 430 до н.е.) написав, як вважається, перші „Елементи геометрії”, які до нашого часу не збереглися. Уже в школі Платона (429 -348 до н.е.) геометрія набула цілком завершеного вигляду. В цій же школі набула значного розвитку стереометрія і її застосування до розв’язання практичних задач. У IV ст. до н.е. учень Неокліда Леон написав книгу „Елементи”, дуже цінну за якістю і кількістю доведень. У той же час свої „Начала” або „Елементи геометрії” написали також Ксенократ і Февдієм із Магнзії, але, на жаль, жоден з цих творів до нас не дійшов. А написаний Февдієм вважається найкращим, і саме він використовувався у школі Платона, а в подальшому послужив основою для творчості самого уславленого Евкліда. 15

Фалеса з Мілету (640 – 548 до н.е.) у 582 році було проголошено одним з семи мудреців світу. Шістьма іншими були Біант, Піттак, Клеобул, Паріандр, Хейлон і Солон. Платон стверджував, що Фалес походить від Кадма фінікіянина, який привіз до Греції алфавіт своєї країни. Таким чином, він у власній домівці міг одержати гарну освіту. Геній Фалеса знайшов втілення у найрізноманітніших галузях людської діяльності. Він займався інженерною

справою,

торгівлею,

був

державним

діячем,

математиком, астрономом тощо. Як політик, він виступав за об’єднання всіх іонійських міст у єдиний союз для противаги Персії,

яка

матеріалістичну

той

час

набирала

філософську

школу,

силу. яка

Фалес

заснував

одержала

назву

мілетської, або іонійської. Знаменитими представниками цієї школи в подальшому були Анасімандр, Анаксімен, Анаксагор, Демокрит, Геракліт та інші. Фалес розвинув і поглибив багато тверджень про трикутник і лінії взагалі. Як інженер, Фалес прославився будівництвом стратегічної греблі, яка змінила напрям річки, внаслідок чого утворився брід, через який рушило військо Креза. Тоді греблю було відкрито і води річки знищили цю армію. В молоді літа Фалес займався торгівлею і тому багато подорожував, в тому числі і до Єгипту. Як математик, Фалес викликав захоплення у фараона Амасиса (Яхмоса ХІ), обчисливши висоту піраміди за довжиною її тіні. Особливою заслугою Фалеса вважається те, що він увів у математику ідею доведення. Він був першим математиком, який давав

формулювання

теореми і 16

супроводжував

її

строгим

доведенням. Він довів, що кути при основі рівнобедреного трикутника рівні, що діаметр ділить круг на дві рівні частини, що прямий кут можна вписати у півколо та інше. Як вважають історики, саме Фалес увів у застосування як основні геометричні інструменти циркуль і лінійку. Йому ж приписується і введення 365-денного календаря. Фалес висловив думку про сферичну форму Землі. Він дав назву Мала Ведмедиця сузір’ю, яке фінікійці називали Собачим Хвостом. Слава Фалеса як астронома була зумовлена і тим, що вперше в історії людства ним було передбачено сонячне затемнення, яке відбулося 28 травня 585 року до н.е. У цей же день, за повідомленням Геродота, відбулась битва між лідійцями і мідянами на річці Галіс. Коли „день перетворився на ніч”, воїни так налякалися, що перестали воювати і ворогуючі сторони уклали мирну угоду. Фалес одержував визначні результати у будь-якій справі. Він навіть зробив велику політичну послугу Мілету: відрадив мілетців від союзу, до якого їх запрошував Крез проти перського царя, внаслідок чого вони були помилувані Кіром, коли той переміг лідійців. Розповідають, що Фалес раптово помер у похилому віці під час олімпійських ігор. Історики стверджують, що на його гробниці було викарбовано напис: „Наскільки мала ця гробниця, наскільки велика слава царя астрономів у світі зірок”.

Перше ім’я жінки, яка зустрічається в історії математики - це Гіпатія Теано, дочка математика Теано. Про неї відомо тільки, що вона була найуважнішим слухачем у школі Піфагора. Вона склала астрономічні таблиці, які на жаль не збереглися. Є відомості, що Гіпатія винайшла ареометр - прилад для визначення густини рідини, астролябію - прилад для визначення широти і довготи у астрономії. Ученість і красномовність Гіпатії принесли їй велику популярність в Александрії та за її межами. Гіпатія не прийняла нової на той час релігії - християнства. Вона стала жертвою релігійного фанатизму християн: під час вуличних заворушень, за вказівкою архієпископа Кирила, вона була по звірячому вбита розлюченим натовпом фанатиків. Щоб замести криваві сліди, апологети церкви вигадали версію, що Гіпатію вбили язичники і що церква у її смерті не винна. Для більшої переконливості церква пізніше оголосила її „святою великомученицею Катериною”. Платон (бл. 428 – 348 до н.е.) - філософ-ідеаліст, учень і друг Сократа. Після смерті вчителя довго подорожував. Математику вивчив у Кірені у Феодора. Близько 389 рік до н.е. повернувся до Афін і відкрив школу, славнозвісну Академію, на фротоні якої був напис: „Хай не входить сюди той, хто не знає геометрії”. Евклід (бл. 330 – 275 до н.е.) - грецький математик. Народився в Афінах, був учнем Платона. Евкліда запросили до Александрії, де він викладав математику в школі при храмі муз (цей храм мав назву „Мусейон”,

звідси

Александрійська

походить

математична

сучасне школа

слово

Евкліда

швидко

головним культурним центром всього еліністичного світу. 18

„музей”). стає

Перші наукові трактати з математики, які дійшли до нашого часу, написані Евклідом. Його головний твір „Начала” вміщує відомості з планіметрії, стереометрії, теорії чисел. Спираючись на свої аксіоми і постулати, Евклід доводить 465 тверджень, більшість з цих доведень до нашого часу вважаються класичними. Ця книга протягом

багатьох

століть

служила

вченим

взірцем

для

наслідування. „Начала” Евкліда витримали понад 500 видань. За своєю популярністю „Начала” Евкліда займають друге місце після „Біблії”. Ератосфен (бл. 276 – 194 до н.е.) родом з міста Кірени на північному узбережжі Африки. Він одержав блискучу і всебічну освіту в Афінах. До числа чисто математичних творів Ератосфена відносяться

„Решето”,

„Про

конічні

перетини”,

„Про

вимірювання”, „Про середні величини”. Розповідають, що на старості Ератосфен втратив зір і тому вкоротив собі життя шляхом добровільного і безперервного голодування. Найславетніший давньогрецький математик, філософ-ідеаліст Піфагор народився в 580 році до н.е. на острові Самос. З цієї причини його називають Піфагором Самоським. З ім’ям Піфагора пов’язано, мабуть, найбільше різних цікавих подій і легенд. Вже навіть саме ім’я цієї видатної людини надзвичайне, бо воно буквально означає: „Той, про кого сповістила Піфія”, тобто народження Піфагора було передбачене заздалегідь. Легендарною особою Піфагора вважали вже у стародавні часи - у 306 році до н.е. йому, як найрозумнішому з греків, поставили пам’ятник на римському форумі перед коміцієм. А вперше слава 19

прийшла до Піфагора, коли він ще був юнаком. У віці 18 років він починає подорожувати і перш за все їде до Мілету, щоб зустрітися з Фалесом. Фалес зустрів його привітно, щиро поділився своїми знаннями, але, жаліючись на старість і слабке здоров’я, порадив їхати

до

Єгипту,

щоб

повчитися

єгипетських

жерців.

Спілкуючись з уславленими жерцями, Піфагор міг стати найбільш близьким до богів і найбільш розумним серед людей. Піфагор провів у Єгипті 22 роки. А в той час, коли Єгипет завоював перський цар Камбіз, Піфагор був серед тих, кого захопили у полон біля стін Великих пірамід . але його слава як мудреця і мага була вже на той час настільки велика, що коли Камбіз дізнався, хто знаходиться серед його полонених, він наказав негайно звільнити Піфагора і вибачився перед вченим. Після полону Піфагор перебуває у Вавилоні ще 20 років і повертається на Самос у віці 56 років. Вважається. Що Піфагор мав привабливу зовнішність, носив довгу бороду, а на голові золоту діадему; він носив східний одяг, який привіз із своїх мандрів. На батьківщині він засновує першу філософську школу і веде повчальні бесіди з учнями. Геометрія в цій школі називалася „наука від Піфагора”.

ІІ. ЦІКАВІ ЗАДАЧІ 1. Помирав старий араб. Все його багатство складалося з 17 прекрасних білих верблюдів. Він зібрав своїх синів та оголосив їм останню волю: „Старший, опора сім’ї, повинен одержати після моєї смерті половину верблюдів. Середньому заповідаю третину, але мій найменший, улюблений, мусить отримати дев’яту частину отари”. Поховавши батька, три брати почали ділити тварин. Але виконати волю батька їм ніяк не вдалося, бо вони не змогли поділити 17 верблюдів на 2, на 3 і 9 частин. Саме тоді через пустелю проходив дервіш. Бідний, він вів із собою чорного верблюда, навантаженого книгами. Брати звернулися до нього. І той сказав: „Виконати волю вашого батька дуже просто. Я дарую вам свого верблюда, а ви спробуйте розділити багатство.” У братів стало 18 верблюдів. І тоді всі проблеми зникли. Старший син одержав половину - 9 верблюдів, середній - 6, молодший - 2. після поділу одна тварина виявилася зайвою - і дервіш сказав: „Віддайте назад мого верблюда за те, що я допоміг розділити багатство. Інакше мені доведеться самому тягнути книги через пустелю”. 2. Задумайте будь-яке тризначне число. Напишіть його два рази поспіль, у рядок. Тепер розділіть його на 7. одержану частку розділіть на 13. і нову частку розділіть на 11. одержалось задумане число. Поясніть, у чому тут фокус.

3. З Кам»янця-Подільського і з Хотина одночасно вийшли назустріч два брати. Початкова відстань між ними була 36 км. Віталій рухався зі швидкістю 5 км/год, а Володимир - 4 км/год. Разом з першим виїхав велосипедом і їх товариш Борис, маючи швидкість,

рівну

сумі

швидкостей

братів.

Зустрівши

Володимира, він привітав його й одразу ж повертався назад. Так він їздив між братами, доки ті не зійшлися. Яку відстань подолав за цей час Борис? 4. У центрі Києва, на Майдані Незалежності, віднедавна височить колона з архангелом Михаїлом наверху. Від підошви пам’ятника по граніту площі відходять символічні промені до всіх обласних центрів України і, звичайно, Сімферополя. Як свідчать цифри на даній точці, відстань від столиці до центру Криму становить точно „число диявола”. Яке це число? 5. На уроці геометрії мова йшла про величину кута. Учитель попросив збільшити кут. Той продовжив кожну із сторін. Викладач зауважив: „Добре. А чи не збільшиш ти кут іще?” На що учень знову продовжив сторони. Коли ж його попросили ще збільшити кут, то почули серйозне: „Далі нікуди: дошка закінчилась”. Тоді вчитель старанно вивів на дошці одиницю, а побачивши на обличчі вихованця здивування, запитав: „Що мало? Можу й збільшити”. І одиниця на дошці видовжилась у кілька разів. А в скільки разів збільшиться кут під лупою?.

4.4. ЧИСЛА-ВЕЛЕТНІ. Усі знають, що тисяча тисяч - це мільйон.

Але

мало

хто

знає

назви

наступних розрядів. Для їх найменувань прийняті латинські назви чисел. Тисяча мільйонів - тобто більйон або мільярд ("бі" латиною - два). Тисяча мільярдів, тобто 1000000000000 - трильйон ("три" - латиною три), далі 1000000000000000 - квадрильйон (квадра - чотири), далі квінтильйон, секстильйон, септильйон, октильйон, нонильйон, децильйон. Кожна наступна одиниця містить тисячу попередніх. Легенда про шахівницю Шахи було вигадано в Індії, і коли індуський цар Шерам побачив їх, то був вражений тим, яка це розумна гра. Дізнавшись, що їх винайшов один із його підлеглих, цар наказав покликали його, щоб особисто нагородили за такий вдалий винахід. Винахідник, якого звали Сету, прийшов до трону володаря. -

Я хочу гідно тебе винагородити, Сету, за чудову гру, -

сказав цар. – Я достатньо багатий, щоб виконати твоє найсміливіше бажання. -

Доброта твоя безмежна, володарю, але дай мені час

подумати над відповіддю. 23

А коли Сету наступного дня знову з`явився до трону, то скромність його дуже вразила царя. - Володарю, - сказав Сету, - накажи видати мені першу клітину шахівниці одне одне пшеничне зернятко. - Звичайне пшеничне зернятко? – здивувався цар. - Так. За другу клітинку – 2 зернятка, за третю – 4, за четверту – 8, за п’яту – 16, за шосту – 32… - Годі, - роздратовано перебив його цар. – Ти отримаєш свої зернятка за всі 64 клітинки! Наступного дня цар поцікавився, чи отримав Сету свою винагороду. Але з`ясувалося, що в усіх коморах царства немає такої кількості зерен. Нема й на всій Землі. І якби навіть цар наказав обернути всі землі царства на поля, висушити моря й океани, розтопити сніги й кригу, що вкривають північні пустелі, а весь цей простір засіяти пшеницею, то все, що зійшло б на цих полях, потрібно було б відати Сету. -

Скажи мені це дивовижне число, - попрохав цар.

Вісімнадцять

квінтильйонів

чотириста

сорок

шість

квадрильйонів сімсот чотири трильйони сімдесят три більйони сімсот дев`ять мільйонів п’ятсот п`ятдесят одна тисяча шістсот п'ятнадцять, о володарю!

Швидке розмноження Стигла макова голівка містить у собі купу маленьких зерняток: із кожного може вирости ціла рослина. Скільки буде маків, якщо проростуть усі до одного зернятка? Одна голівка маку містить близько 3000 зерняток. Що звідси впливає? А, власне, те, що якби довкола макової рослини було достатньо придатної землі, то кожне зернятко проросло б, і наступного літа на цьому місті б було уже 3000 маків. Це ціле макове поле від однієї голівки! Ідемо далі. Кожна з 3000 рослин дасть не менше за одну голівку, що міститиме 3000 зернят. Прорісши, насіння кожної голівки дає 3000 нових рослин, і на другий рік у нас буде менше, ніж 9 000 000 рослин. Дуже легко розрахувати, що на третій рік кількість нащадків одного маку становить уже 27 000 000 000. А на четвертий рік 81 000 000 000 000. На п’ятому році макові стане затісно на земній кулі, бо кількість рослин дорівнюватиме 243 000 000 000 000 000,

тим

часом

як

поверхня

суходолу

становить лише 135 млн. квадратних кілометрів – це приблизно в 2000 разів менше за кількість екземплярів маку. Таким чином, якби всі зернятка маку проростали, то потомство однієї рослини могло б за п’ять років укрити весь суходіл земної кулі густими заростями по дві тисячі рослин на кожному квадратному метрі. Тепер ви знаєте, який числовий велетень ховається в крихітному маковому зернятку! 25

ПОХОДЖЕННЯ ЖИТТЯ Походження життя – це та загадка, відгадавши яку, людство б пояснило одну з найскладніших саморегулюючих систем. Ось як за допомогою математики задають її характеристики. Організм людини складається із 1017 клітин, її мозок містить 1030 елементарних частинок, 10 млрд. її клітин забезпечують приблизно 210 000 000 000 різних станів, а кількість зв’язків між нейронами лише однієї тисячної частини мозку становить 2287 300. Загальна довжина кровоносних судин становить 100 000 км. Кожний еритроцит містить близько 270 000 000 одиниць гемоглобіну тощо. БЕЗКОШТОВНИЙ ОБІД Десятеро юнаків вирішили відсвяткувати закінчення середньої школи, пообідавши в ресторані. Коли всі зібралися й було подано першу страву, юнаки почали сперечатися про те, як сісти довкола столу. Дехто пропонувати сісти за абеткою, інші – за вікном, треті – за успішністю в навчанні, четверті – за зростом тощо. Суперечка затяглася, юшка встигла охолонути, а за стіл так ніхто й не сів. Суперечку залагодив офіціант, що звернувся до них з такими словами: - Друзі, годі вам сперечатися. Сядьте за стіл як хто хоче, і послухайте мене. Усі сіли, як хто захотів, а офіціант вів далі: - Нехай один із вас запише, як ви зараз сидите. 26

Завтра ви знову прийдете сюди й сядете інакше вже в інакшому порядку. Післязавтра знову сядете по0новому й так далі, аж доки не випробуєте всі можливі варіанти. А тоді, коли ви знову сядете так, як ви сидите сьогодні, я врочисто обіцяю, що почну безкоштовно пригощати вас вишуканими обідами. Юнакам пропозиція сподобалась. Вони вирішили щодня збиратися в цьому ресторані й випробувати всі варіанти розміщення

за

столом,

аби

якомога

швидше

скуштувати

безкоштовного обіду. Проте цього обіду їх так і не пощастило дочекатися. І не через те, що офіціант не дотримав своєї обіцянки, а через те, що кількість усіх можливих розміщень за столом становить 3628 800. А це, як легко порахувати, становить майже 10 000 років! Назва числа

Значення числа

Мільйон

1 000 000 = 106

Мільярд

1 000 000 000 = 109

(або більйон) Трильйон

1 000 000 000 000 = 1012

Квадрильйон

1 000 000 000 000 000 = 1015

Квінтильйон

1 000 000 000 000 000 000 = 1018

Секстильйон

1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021

Септильйон

1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1024

Октильйон

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1027

Нонильйон

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1030

Децільйон

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1033

Ундецільйон

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1036

Додецільйон

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1039

РУБРИКА «ЧИ ЗНАЄТЕ ВИ ЩО…» 1. Чи знаєте ви що, числа у яких сума дільників одного дорівнює другому числу називають дружними. 2. Чи знаєте ви що, Алфавітна нумерація, в якій цифрі позначилися буквами існувала в Стародавні Русі. 3. Чи знаєте ви що, Єратосфен вперше обчислив діаметр землі ще в IV віці до нашої ери. 4. Чи знаєте ви що, Карла Гауса – німецького математика називали «королем математики». 5. Чи знаєте ви що, ми з вами вивчаємо Евклідову геометрію. 6. Чи знаєте ви що, Леонард Ейлер жив і працював у Петербурзькій Академії наук. 7. Чи знаєте ви що, теорію ймовірностей започаткували Блез Паскаль та П’єр Ферма започаткували теорію ймовірностей, для розв’язування питань, що виникали в азартних іграх. 8. Чи знаєте ви що, Михайлу Ломоносову належить вислів: «Математику вже тому слід вивчати що вони разом до приводить».

ЦІКАВІ ВПРАВИ ( практична робота). 1. Виразити в роках мільярд хвилин. (Відповідь: приблизно 2000 років.) 2. Пульс здорової людини становить 4200 ударів на годину. Сільки ударів серця відбудеться в такої людини протгот 1 семестру? (Відповідь: приблизно 12 млн. ударів.) 3. Наше серце робить приблизно 70 ударів на хвилину. При кожному воно, як насос, перекачує 100 г крові. Скільки крові перекачає серце за добу? За 1 семестр? (Відповідь: приблизно 10 тис.л., 1 млн.230 тис.л.) ПЕРШ НІЖ ВІДПОВІСТИ – ПОДУМАЙ! З перукарні я вийшов підстриженим під «нулівку» .Іду і радію. А на зустріч приятель .Привітався і питає, посміхаючись: - Що ж ти стільки волосся на голові залишив? Скільки, потвоєму, метрів волосся в тебе залишилось після такої стрижки? - Метр –два, може й набереться,- відповів я, якщо додати усі залишки. - Помиляєшся, й дуже,- розсміявся приятель.- Подумай, перш ніж відповісти на таке, здавалось би, просте запитання. (Відповідь: близько 200 м, коли вважати, що лишилися волосини завдовжки 1 мм, а іх число в середньому становить 200000.)

4.5. ЧАС У РІЗНІ ВІКИ Зараз ми зробимо мандрівку в минуле і простежимо, як люди навчились вимірювати час. Первісна людина не знала , чому після дня наступає ніч і навпаки. Минуло багато віків , поки людина встановила міру часу місяць, з якої почалось створення календаря. Протягом тисячоліть у різних народів і в різний час створювались різні календарі, та найчастіше ми зустрічаємо календарі місячні, місячно – сонячні, сонячні. За місячним календарем рік складається з 12 місяців. Місяць 29 або 30 діб, тобто починається завжди під час одного молодика, а час від одного молодика до наступного становить 29 діб 12 годин 44 хвилини 28 секунд. Щоб не пропустити появу нового молодика, жерці жерці підіймалися на високі дахи й, помітивши його появу, через гучні труби сповіщали про це людей. Так починалися календи. У календи кожен боржник повинен був повернути борги. Місячний рік має 354 або 355 діб, він коротший за сонячний на 11 діб, і тому з місячним календрем початок року може припадати на будь-яку пору року. Місячний місяць поділявся на 4 тижні, в яких було 7 – 8 днів. У греків, халдеїв, китайців календар був місячно – сонячним. У ньому, як і в місячному, 12 місяців. Кожен місяць також має 29 або 30 днів, але щоб дати календаря відповідали рухові Сонця, ввели високосні роки, які мали 13 місяців. Така подвійна лічба ускладнювала календар, і від нього змушені були відмовитись. 30

Проте

деяких

мусул

ьманських

краінах

досі

його

використовують. Ще за 5000 років до н.е. єгиптяни змінили місячний календар а сонячний. За сонячним календарем у Єгипті початок повені на Нілі збігався з появою на небі Сиріуса. А цю зорю можна бачити на початку липня. У єгипетському календарі було 365 діб, 12 місяців по 30 днів кожен, а в кінці року вонм додавали ще 5 днів – на честь народженя богів. Дні тижня називались на честь планет: неділя – день Сонця, понеділок – день Місяця, вівторок - -Марса, середа – день Меркурія, четвер – Юпітера, п»ятниця – Венери, субота – Сатурна. Дивний календар був у Стародавньому Римі. Рік складався з 12 місяців і починався з березня. 1-й місяць(березень) – присвячувався богу війни Марсу ( Мартіус); 2-й(квітень) – дістав свою назву від слова «аперіре» - «відчиняти», бо у квітні все розпускається, 3-й і 4-й місяці(травень і червень) навані іменами богинь відродження та розквіту природи – Майі та плодючості – Юнони. Наступні 6 місяців були порядковими числівниками. 11-й місяць(січень) названо на честь бога з двома обличчями – Януса, який охороняв усі входи і виходи міст і будинків. 12-й(лютий) носив ім.»я бога підземного царства Фебруаріус і присвячувався пам»яті померлих. Цей місяць мав 28 діб, усі інші по 29 та по30 днів, бо непарна кількість вважалася щасливою. Всі ці календарі мали свої недоліки, тому у 46 р. до н.е. Гай Юлій Цезар прорів реформу. За реформою початок року був 31

перенесений з березня на січень. Рік складався з 365 днів, за 4 роки набігав зайвий день, який додавали як 366 до лютого. Церковні собори та римські папи не раз обговорювали питання про виправлення юліанського календаря, оскільки іх непокоїло, свято Пасхи, а також інші свята зміщувались до літа. Незручно святкувати Пасху запізнюючись на місяць після справжнього початку весни. У 1582 році папа Григорій 13 ввів новий календар, який виправив усі неточності на той час. Щоб перйти на нього після 4 жовтня 1582 року йде не 5 жовтня, а відразу 15. 24

січня

1918

року

Радянський

Союз

перейшов

на

григоріанський календар, яким ми користуємось і тепер. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ: 1. Вкажіть моменти, коли годинникова і хвилинна стрілки годинника зустрічаються. (Відповідь: Всього 11 зустрічей). 2. У 15 ст. Христофор Колумб відкрив Америку. Дізнайтеся в якому році це відбулося, якщо сума цифр цього року дорівнює 16, а результат від ділення цифри десятків на цифру одиниць дорівнює 4, а остача становить 1 (Відповідь: У 1492 році). 3. За яких умов у сучасному календарі на місяць припадає 5 неділь? (Відповідь:У 29-денному місяці, якщо неділя припадає на 1-е число, у 30- денному, якщо неділя буде 1 чи 2 числа, у 31-денному, якщо неділя буде 1, 2 чи 30 числа. 32

4.6. ЗАВДАННЯ НА РОЗРІЗАННЯ ТА ПЕРЕКРОЮВАННЯ ФІГУР (ТАНГРАМ) Танграм - старовинна китайська гра-головоломка . Назва «Танграм» у Китаі невідома, гра має назву Чи-Чао-Ту (сім хитромудрих фігур). В Оксфордському словнику англійської мови - назва «Танграм"» з'являється з посиланням на авторитетного Генрі Е. Дьюдени, його версію прийняв укладач словника Д. Мюррей. Він виявив, що слово «Танграм» вперше зустрічається в словнику

Вебстера

видання

1864

книзі

«Китайський

філософський і математичний транграм» (1817 р.) слово «Танграм» - трактується, як старовинне англійське слово - означає іграшка головоломка. Вона виникла 4000 років тому. Сутність її полягає в складанні з 7 частин, отриманих розрізанням квадрата певним чином, різних фігурок, а також вигадуванні нових.

МІФ СТВОРЕННЯ Існує цілий ряд версій і гіпотез виникнення гри «Танграм». 1) Найбільш поширеною і відомою є та, що гра «Танграм» налічує близько 4000 років. Думка про танграм, як про найдавнішу головоломкуі є дуже поширеною. Однак, це не так. Міф про це створив С.Лойд. У 1903 році він випустив книгу "Восьма книга Тана", в якій вперше опублікував свою красиву версію про давнє походження гри. Це і по даний час один з найбільших розіграшів в світі головоломок. 2) Місцем де була винайдена гра, безсумнівно є Китай. Дата створення може бути визначена приблизно XVIII століття. Першою відомою стародавньої книгою по танграм є «Складання фігур з семи частин» (Китай 1803 р.). Видана вона була на рисовому папері. Книги, видані в Європі, були лише частково оригінальні, а в своїй основі мали китайські джерела. «У записках покійного професора Челленор, що потрапили в руки автора, - стверджував Лойд, - є відомості про те, що сім книг про танграм, кожна з яких налічує рівно тисячу фігур, були складені в Китаї більше 4000 років тому. Ці книги нині стали настільки великою рідкістю, що за ті сорок років, які професор Челленор провів у Китаї, йому лише раз вдалося бачити перше видання першого з семи томів (збережених повністю) і кілька розрізнених фрагмента другого тому.

У зв'язку з цим доречно нагадати, що частини однієї з книг, надрукованій золотом на пергаменті, були виявлені в Пекіні англійським солдатом, що продав свою знахідку за 300 фунтів стерлінгів одному збирачеві китайської старовини, який люб'язно надав деякі найбільш вишукані фігурки для відтворення в цій книзі» . Згідно з легендою Лойда, Тан був легендарним китайським мудрецем, якому його співвітчизники поклонялися як божеству. Фігури в своїх семи книгах він розташував відповідно з сімома стадіями в еволюції Землі. Його танграми починаються з символічних зображень хаосу і принципу "інь і ян". Потім слідують найпростіші форми життя, у міру просування по древу еволюції з'являються фігури риб, птахів, тварин і людини. По дорозі в різних місцях трапляються зображення того, що створено людиною: знаряддя пра-ці, меблі, одяг та архітектурні споруди. Лойд часто цитує висловлювання Конфуція, філософа по імені Шуфуце, комента-тора Лі Хуанчжан і вигаданого професора Челленор. Лі Хуанчжан згадується у зв'язку з тим, що за переказами він знав усі фігури з семи книг Тана перш, ніж навчився говорити. Зустрічаються у Лойда та посилання на «відомі» китайські прислів'я типу "Тільки дурень взявся б написати восьму книгу Тана"Правила цієї гри прості. До складу кожної фігурки повинні входити всі сім частин; при цьому вони не повинні перекриватися. Нижче представлені деякі фігурки, які можна скласти з 7 шматочків танграма.

ТАНГРАМ В ЛІТЕРАТУРНИХ ТВОРАХ 1.Льюїс Керролл. Всі ми добре знаємо книгу "Аліса в країні чудес" Л. Керролла (Чарльз Доджсон Доджсон). Однак це його не єдиний твір. У книзі "Модна китайська головоломка" він пише, що танграм був улюбленою грою Наполеона, який, втративши трон, у вигнанні проводив довгі години за цією забавою, "вправляючи своє терпіння і винахідливість". Згадка про улюблену гру Наполеона, швидше за все не відповідає дійсності, однак, і немає зворотних доказів, що, в свою чергу дозволяє існувати і такій гарній версії. 1. Едгар А. ПО. Одним з прихильників гри був Едгар А. По. Належав йому танграм зроблений зі слонової кістки, який в даний час зберігається в Нью-Йоркській публічній бібліотеці.Відомий письменник і дипломат Роберт ван Гулик в романі "Вбивають нігтями" побудував весь сюжет книги навколо танграма..

4.7 ЗАДАЧІ НА ЗВАЖУВАННЯ ТА ПЕРЕЛИВАННЯ ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ. Щоб навчитися правильно міркувати, потрібно вирішувати завдання на кмітливість. Одним з класів завдань такого вигляду є завдання на зважування та переливання. У математичній науці завдання на зважування та переливання допомагали людям використовувати науку в повсякденному житті, розвивати логіку і мислення. В результаті опрацювання запропонованого матеріалу учні познайомляться з новими для них задачами на переливання та зважування, навчаться їх розв’язувати. 1.ЗАДАЧІ НА ЗВАЖУВАННЯ Задачі на зважування - досить поширений вид математичних завдань. У таких завданнях той, хто розв’язує задачу повинен локалізувати предмет, що відрізняється від інших по вазі за обмежене число зважувань. Пошук розв’язування в цьому випадку здійснюється шляхом операцій порівняння, правда, не лише одиночних елементів, але і груп елементів між собою. Розв’язуючи такі задачі не забувайте розібрати всі варіанти. Якщо шукаєте фальшиву монету, то корисно поділити всі монети на три кучки, при цьому кількість зважувань зменшується.

ЗАДАЧА. «У Буратіно є 27 золотих монет. Але відомо, що Кіт Базиліо замінив одну монету на фальшиву, і вона по вазі важче справжніх. Як за три зважування на чашкових вагах без гир Буратіно знайти фальшиву монету? « Розв’язання Розділимо монети на 3 купки по 9 монет. Покладемо на чаші вагів першу і другу купки; в результаті цього зважування ми точно дізнаємось, в якій з купок знаходиться фальшивка (якщо ваги покажуть рівність, то вона - в третій купці). Тепер, аналогічно, розділимо вибрану купку на три частини по три монети, покладемо на ваги дві з цих частин і визначимо, в якій з частин знаходиться фальшива монета. Нарешті, залишається з трьох монет визначити важчу: кладемо на чаші вагів по 1 монеті - фальшивою є важча; якщо ж на вагах рівність, то фальшивою є третя монета з частини. ЗАДАЧА. «Серед 101 однакових за виглядом монет одна фальшива, така, що відрізняється

за

вагою.

Як

за

допомогою чашкових вагів без гир за два зважування визначити, легшою або важчою є фальшива монета? Знаходити її не потрібно». 42

Розв’язання Зважуємо 50 і 50 монет, можуть бути два випадки. 1 випадок. Монети мають однакову вагу. Беремо монету, що залишилася, і ставимо її в ліву купку замість однієї з тих, що є там: а) ліва купка важча => фальшива монета важча; б) ліва купка легша => фальшива монета легша. 2 випадок. Монети мають різну вагу. Беремо важчу купку і розбиваємо її на дві купки по 25 монет: а) вага купок однакова => фальшива монета легша; б) вага купок неоднакова => фальшива монета важча. ЗАДАЧА. «Є 8 монет. Одна з них фальшива і легша за справжню монету. Визначить за 3 зважування яка з монет фальшива». Розв’язання Ділимо монети на дві рівні купки – по 4 монети в кожній. Зважуємо. Ту купку, яка легша, знову ділимо на дві однакові купки – тепер по дві монети в кожній. Зважуємо. Визначаємо, яка з них легша. Кладемо на чаші вагів по 1 монеті з цієї купки. Фальшива та, яка легша.

ЗАДАЧА. «Ліса Аліса і Кіт Базиліо – фальшивомонетники. Базиліо робить монети важче справжніх, а Аліса – легше. В Буратіно є 15 однакових на вигляд монет, але якась одна – фальшива. Як двома зважуваннями на чашкових вагах без гир Буратіно може визначити, хто зробив фальшиву монету – Кіт Базиліо або Ліса Аліса?» Розв’язання Буратіно може розділити свої монети на три купки по 7, 4, 4, або по 5, 5, 5, або по 3, 6, 6, або по 1, 7, 7 монет. При першому зважуванні він покладе на ваги дві купки монет однакової величини. Якщо при цьому ваги виявилися в рівновазі, значить, всі монети на вагах справжні, а бракована монета в купці, що залишилася. Тоді при другому зважуванні на одну чашу вагів Буратіно покладе купку з бракованою монетою, а на другу – стільки справжніх монет, скільки всього монет він поклав на першу чашку, і тоді він відразу визначить, легше фальшива монета, чим справжня, чи важча. Якщо ж при першому зважуванні ваги виявилися не в рівновазі, значить, всі монети в купці, що залишилася, справжні. Тоді Буратіно прибере з вагів легку купку, а монети з важкої купки розділить на дві рівні частини і покладе на ваги (якщо в купці було 5 або 7 монет, заздалегідь додасть до них одну справжню монету). Якщо при другому зважуванні ваги виявилися в рівновазі, значить, фальшива монета легша справжніх, а якщо немає, то важча. 44

ЗАДАЧА. «Є 10 монет. Одна з них фальшива і легша за справжню монету. Як, за допомогою

чашкових

вагів

без

гир,

визначити яка з монет фальшива?» Розв’язання Розділимо 10 монет на 2 рівних купки – по 5 монет. Покладемо на чаші вагів. Визначимо, в якій з цих купок знаходиться фальшива монета. Тепер цю купку ділимо на 3 купки – в двох з них по дві монети, в третій одна монета. Зважуємо купки, в яких по дві монети. Якщо ваги покажуть рівність, то фальшивка в третій купці. Якщо покажуть нерівність, то фальшива монета в купці, яка легше. Тепер кладемо на чаші вагів по 1 монеті з цієї купки – фальшивою є легша. ЗАДАЧА. «Є стандартні ваги з чашами та дві гирі: 10 і 2 кг. Як з їх допомогою зважити 3кг слив?» Розв’язання Зважуємо спочатку 2 кг слив. Потім ділимо їх порівну і кладемо на ваги, 1 кг слив отримали. Маючи 1кг і гирю в 2 кг можна відміряти будь-яку іншу кількість кілограмів слив, в тому числі і 3 кг.

2.ЗАДАЧІ НА ПЕРЕЛИВАННЯ Задачу на переливання називають задачею Пуассона, це знаменитий французький математик, механік та фізик. Коли він був ще молодим та вагався у виборі життєвого шляху, приятель показав йому декілька задач, які сам не зміг розв’язати. Пуассон швидко розв’язав всі. Але особливо йому сподобалась задача про дві судини: «Дехто має 12 пінт виноградного соку(пінта це 0,568л) і хоче подарувати половину другу, але у нього лише дві порожні судини: одна -8, друга – 5 пінт. Яким чином налити в більшу судину 6 пінт?». «Ця задача визначила мою долю, - казав Пуассон. –Я вирішив, що обов’язково стану математиком» Задачі на переливання допомагають розвивати логічне мислення,

просторову

уяву,

витримку,

наполегливість

знаходженні оптимального розв’язку. Традиційно в задачах на переливання судини не мають ділень, тобто переливати можна лише до тих пір, поки судина, в яку наливаємо, не заповниться до кінця, або доки зовсім не спустіє судина, з якої переливаємо. Просто так зупинитися на середині або розлити вміст судини на дві рівні частини теж не вийде. ЗАДАЧА. Поряд з лабораторією протікає бурхлива річка. Як за допомогою двох посудин об'ємом 3 і 5 літрів відміряти рівно 4 літри річкової води?

Розв’язання Крок

3л

5л

річка

4 літра можуть поміститися лише в 5-літрову судину. Вони можуть бути отримані після доливання 1 літра до 3, 2 літрів до 2, 3 літрів до 1, або шляхом відливання від 5 літрів 1 літра. Щоб можна було відлити рівно 1 літр, потрібно, щоб в судині призначення було вільне місце рівно для 1 літра, тобто щоб в 3-літровій судині перед цим було 2 літри. Різницю об'ємів судин легко отримати: 2 літра виходять, якщо набрати повну 5-літрову судину і відлити з неї в порожню 3-літрову судину. Після цього їх треба перелити в 3літрову судину, заздалегідь випорожнивши її назад в річку. ЗАДАЧА. «У великого алхіміка є нерозчинна колба, в якій міститься 12 мілілітров сірчаної кислоти, а також дві нерозчинні мензурки об'ємом 5 і 7 мілілітров. Як йому отримати дві порції по 6 мілілітров сірчаної кислоти, необхідних для досвіду? (Кислота розчинить будь-який інший посуд в лабораторії.)» Розв’язання Крок

12ml 12

5ml

7ml

ЗАДАЧА. дня

«Одного

Вінні-Пух

захотів

поласувати медом і пішов до бджіл в гості. По

дорозі

нарвав

подарувати

букет

бджілкам.

квітів,

Бджілки

щоб дуже

зраділи, побачивши ведмедика з букетом квітів, і сказали: «У нас є велика бочка з медом. Ми дамо тобі меду, якщо ти зможеш за допомогою двох судин місткістю 3 л і 5 л налити собі 4 л!» Вінні-пух довго думав, але все-таки зміг розв’язати задачку. Як він це зробив?» Розв’язання Крок

5л

3л

Або Крок

5л

3л

ЗАДАЧА. «Дядько Федір зібрався їхати до батьків в гості і попросив у кота Матроскина 4 л простоквашинського молока. А в Матроскина лише 2 порожніх бідона: трилітровий і п'ятилітровий. І восьмилітрове відро, наповнене молоком. Як Матроскину відлити 4 літри молока за допомогою наявних судин?» Розв’язання Переливаємо з восьмилітрового відра 5 літрів молока в п'ятилітрове. Переливаємо з п'ятилітрового бідона 3 літри в трилітровий бідон. Переливаємо їх тепер у восьмилітрове відро. Отже, тепер трилітрове відро порожнє, у восьмилітровому 6 літрів молока, а в п'ятилітровому - 2 літри молока. Переливаємо 2 літри молока з п'ятилітрового бідона в трилітровий, а потім наливаємо 5 літрів з восьмилітрового відра в п'ятилітровий бідон. Тепер у восьмилітровому 1 літр молока, в п'ятилітровому - 5, а в трилітровому - 2 літри молока. Доливаємо трилітровий бідон з 5літрового і переливаємо ці 3 літри у восьмилітрове відро. У 8літровому відрі стали 4 літри, так само, як і в 5-літровому бідоні. Крок

8л

3л

5л

ЗАДАЧА. «У Карлсона є відро варення, воно вміщає 7 літрів. У нього є 2 порожніх відерка

4-літрове

3-літрове.

Допоможіть Карлсону відлити 1 літр варення до чаю в менше (3-літрове) відерко, залишивши 6 літрів у великому (7-літровому) відрі». Розв’язання Крок

7л

4л

3л

ЗАДАЧА. «Тому Сойєру потрібно пофарбувати паркан. Він має 12 л фарби і хоче відлити з цієї кількості половину, але у нього немає судини місткістю в 6 л. У нього 2 судини: одна – місткістю в 8 л, а інша – місткістю в 5 л. Яким чином налити 6 л фарби в судину на 8 л? Яке найменше число переливань необхідно при цьому зробити»? Розв’язання Крок

12 л

8л

5л

ЗАДАЧА. «Губці Бобу терміново потрібно налити з водопровідного крану 6 л води. Але він має лише дві судини: 5-літрову і 7літрову. Як йому це зробити?» Розв’язання Крок

7л

5л

ЗАДАЧА. «Влітку Вінні-Пух зробив запас меду на зиму і вирішив розділити його навпіл, щоб з'їсти половину до Нового Року, а іншу половину - після Нового року. Весь мед знаходиться у відрі, яке вміщає 6 літрів, у нього є 2 порожніх банки - 5-літрова і 1літрова. Чи може він розділити мед так, як задумав»? Розв’язання Крок

6л

5л

1л

ПРАКТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ

Задачі для самостійного розв’язування 1.

Є 68 монет, всі вони різні по вазі. Як за 100 зважувань знайти найлегшу і найважчу?

У вас 10 мішків з монетами, по 1000 монет в кожному. У одному з мішків всі монети фальшиві. Справжня монета важить 1г., фальшива – 1,1г.. Маючи точні ваги, як визначити мішок з фальшивими монетами за допомогою лише одного зважування? А якщо невідомо, скільки мішків було з фальшивими монетами? 3.

На різдвяній ялинці висять

три пари кульок: дві білі, дві блакитні і дві червоні. Зовні кульки

однакового

розміру.

Проте в кожній парі є одна легша і одна важча кульки. Всі легші кульки важать між собою однаково, як і всі важчі кульки. За допомогою двох зважувань на чашкових вагах визначите всі легші і всі важчі кульки.

Є дев'ять мішків: вісім з піском і один – із золотом. Мішок із золотом лише ледве важче. Вам дається два зважування на чашкових вагах, щоб знайти мішок із золотом.

Є 27 тенісних кульок. 26 важать однаково, а 27-й важчий. Яка мінімальна кількість зважувань на чашкових вагах гарантує знаходження важчої кульки?

Відміряйте рівно 4 літри, якщо у вас є 3-літрова банка, 5літрова банка і необмежений доступ до води.

Є 8-літрова судина, заповнена водою, і дві порожні судини – об'ємом 5 і 3 літри. Як розділити воду на дві рівні частини (4 і 4 літри), використовуючи найменшу кількість переливань?

Є 7-літрова судина, заповнена водою, і два порожніх – об'ємом 4 і 3 літри. Поділите воду на 2, 2 і 3 літри, використовуючи мінімальну кількість переливань.

Дано 3 судини: судина А (8-літровий з 5-у літрами води); судина В (5-літровий з 3-мя літрами води); і судина С (3літровий з 2-мя літрами води). Відміряйте 1 літр, переливши воду лише двічі.

10. Відміряйте 6 літрів води, використовуючи 4 і 9-літрові судини. 11. Відміряйте 2 літри води, використовуючи: 1) 4 і 5-літрові судини; 2) 4 і 3-літрові судини.

4.8. МАГІЧНІ КВАДРАТИ Одне

обзотворчого

самих

загадкових

мистецтва

творів

зберігається

Кунстхалле міста Карлсруэ. Мова іде про гравюру Альбрехта Дюрера «Меланхолія I» (1514). Важлива деталь, зображена на гравюрі «Меланхолия I» - складений вперше в європейському

мистецтві

впервые

европейском искусстве магічний квадрат 4 Х 4. Сумма чисел в дудь-якому ряду або столбці дорівнює 34. Два середніх числа в нижньомк ряду вказують дату створення картини 1514 Розмір квадрата 4*4. Він заповнений числами от 1 до 4*4(16) цікавим чином. Учні самі повинні взнати все про магічний квадрат, порахувати, чому дорівнює сума чисел в кожній вертикалі, горизонталі, діагоналі (34). Учитель, в свою чергу, має спитати, чи помітив хто-небудь з них, в яких ще конструкціях зустрічається дана сума (сума зустрічається в кутових квадратах 2Ч2, в центральному квадраті (10+11+6+7), в квадраті з кутових клітинок (16+13+4+1), в квадратах, побудованих «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямокутниках, утворених парами середніх клітинок на протилежних сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Магічні квадрати - це таблиці чисел, в яких сумми чисел в кожному рядку, в каждом столбці і в кожній із двух діагоналей квадрата все рівні між собою.

усякого

магічного

квадрата

шляхом

різноманітних

перестановок чисел, що його складають, можна одержати багато нових магічних квадратів, які мають ті самі властивості. Відомо, що магічних квадратів 2х2 не існує. Магічний квадрат 3х3 тільки один.Магічних квадратів 4х4, як на картинІ Дюрера складено уже 800, а кількість магічних квадратів 5х5 близко чверті міллийона. Кожний елемент магічного квадрата називається клітинкою. Квадрат, сторона якого складаєть з n клітинок містить n! клітинок і називається квадратом n-го порядку. Розглянемо зручний спосіб заповнення магічного квадрата 3го порядку.Наш квадрат разділено на 9 рівних клітинок. Необхідно розставити в цих клітинках числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, щоб сумма чисел в кожному ряду і в кожному стовбчику дорівнювала 15. 1. Добавимо«крильця» в средній столбець і в середню строку. 2. Выділимо по діагоналям клітинки, які ми заповнимо числами. 3. Запишемо в видеілені клітинки числа от 1 до 9. 4. Перенесемо числа з «крилець» у внутрішню частину квадрата, як показано на рисунках 3, 4, 5.

Участникам гуртка пропонується самостійно скласти свій магічний квадрат. 55

МАГІЧНИЙ КВАДРАТ ПІФАГОРА. «Світ побудований на силі чисел» , - був упевнений великий математик минулого Піфагор, що заснував релігійно - філософське вчення, яке проголосило кількісні відношення основою сутності речей. Він вважав, що сутність людини полягає теж у числі - даті народження. Тому за допомогою магічного квадрата Піфагора можна пізнати характер людини, ступінь відпущеного здоров'я і його потенційні можливості, розкрити переваги і недоліки і тим самим виявити, що слід зробити для його вдосконалення. Піфагор, у свій час, довго жив у племені дагонів , які, як кажуть перекази, були не тільки сучасниками, а й старанними учнями стародавніх і таємничих атлантів. Знання, отримані ним у дагонів і відомі раніше тільки вузькому колу обраних, вчений сформулював у своїй таблиці. За теорією дагонів, в даті народження людини закладена інформація про нього і його майбутнього життя. Таблиця Піфагора дозволяє визначити, чим природа нагороджує людину при народженні, в які обставини він потрапить, як складеться його життя. Як відомо, Піфагор вважав число понад усе, він вірив, всі люди при народженні отримують свій номер, який несе повну його характеристику. Використовуючи таблицю Піфагора, ми можемо дізнатися, що ж у нас заклала природа. Візьмемо довільну дату народження людини: 11.07.1953. Тепер, складаємо цифри дня і місяця народження:1 + 1 + 7 = 9. Складаємо цифри року:

1 + 9 + 5 + 3 = 18. 56

Зараз потрібно скласти отримані числа:

9 + 18 = 27.

ОТЖЕ, 27 - наше ПЕРШЕ РОБОЧЕ число . Складаємо цифри нашого ПЕРШОГО РОБОЧОГО ЧИСЛА: 2 + 7 = 9. А 9 - це ДРУГЕ РОБОЧЕ число. Тепер, від ПЕРШОГО робочого числа слід відняти подвоєну першу цифру дня народження: 27 - 2 = 25. 25 – ТРЕТЄ РОБОЧЕ число. Потім, складемо цифри третього робочого числа: 2 + 5 = 7. 7 - це ЧЕТВЕРТЕ РОБОЧЕ число. Наш перший ряд цифр, - дата народження: 11.7.1953 Другий ряд складається з робочих чисел: 27.9.25.7. Тепер, слід підрахувати кількість цифр у двох рядах - 13. Ця цифра вже дає нам перші дані. Ось що вона означає: Я ПРИЙШОВ НА ЗЕМЛЮ В 13-Й РАЗ. А всього, як вважає Піфагор, людина може приходити на землю тільки 15 разів. А потім, людина переходить жити в інший, більш досконале вимір. Отже, малюємо таблицю, в кожен квадрат якої вписуємо однакові цифри з двох рядів чисел. Ось що вийшло: 111 777 22 55 3 99 Таблиця, яку ми склали для прогнозу за принципом Піфагора, називається - психоматриці. .Для того, щоб зрозуміти отриману психоматриці, необхідно звернутися до розшифровки. Завдання. Запропонувати всім учасникам гуртка застосувати властивості магічного квадрата до своєї даті народження, і пізнати свій характер. 57

4.9. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ «МЕТОДОМ З КІНЦЯ» Найпростішим

прикладом

задачі,

розв'язуваної з "кінця" може служити гра в лабіринти, намальовані на папері, які потрібно проходити за допомогою олівця. Багато з цих лабіринтів містять декілька можливих шляхів, і серед них тільки один вірний шлях, який приведе в кінець лабіринту до заповітної мети. Прискорити вирішення такої задачки-лабіринту можна, якщо піти у зворотному

напрямку,

почавши

рух

кінцевої

точки

прорисовуючи шлях до початку лабіринту. Стратегія рішення з кінця дуже зручна. На даному занятті ми в цьому переконаємося. При вирішенні таких завдань необхідно виконувати перевірку. ЗАВДАННЯ 1: «Я задумала число, помножила його на 7, додала 15 і отримала 50. Яке число я задумала?» Розв’язання: Почнемо вирішення завдання з "кінця". У результаті всіх дій ми отримали число 50. Далі від 50 віднімаємо 15 і отримуємо число (35), до додавання 15. Потім число, отримане в першій дії ділимо на сім, тим самим отримуємо дані число 5. Перевірка: 5 • 7 = 35; 35 +15 = 50. Таким чином, користуючись зворотним ходом, ми легко вирішили це завдання. 58

ЗАВДАННЯ 2: «Група туристів вирушила в похід. У перший день вони пройшли 1/3 шляху, в другій - 1/3 залишку, в третій - 1/3 нового залишку. В результаті їм залишилося пройти 32км. Скільки кілометрів був маршрут туристів»? Розв’язання: Так як залишилося 32км, а в третій день туристи пройшли залишок, то 32км становитимуть останнього 2/3 залишку, тоді сам останній залишок буде дорівнює 32: 2/3 = 48 (км). Ці 48км становитимуть 2/3 довжини маршруту, що залишилося пройти після першого дня. Тоді весь маршрут, який залишилося пройти, буде дорівнює 48: 2/3 = 72 (км). Ці 72км складають знову 2/3, але вже всього маршруту туристів, а значить, весь маршрут буде дорівнює 72: 2/3 = 108 (км). Завдання вирішене. Перевірка: 108:3 • 1 = 36 км - пройшли в перший день; 108-36 = 72, 72:3 • 1 = 24 км - у другий день; 72-24 = 48, 48:3 • 1 = 16 км - в третій день; 48-16 = 32 км - залишилося пройти.

Завдання для самостійного розв»язання: ЗАВДАННЯ 3: «Бригада косарів скосила за перший день половину луки і ще 2 га, за другий1/4 частину, що залишилось, і решту 6 га. Знайти площу луки». Відповідь: 20 га.

Розв’язування олімпіадних завдань: ЗАДАЧА 1. «Середній з трьох братів старший від молодшого на 2 роки, а вік старшого брата перевищує суму років двох інших братів на чотири роки. Знайдіть вік кожного брата, якщо разом їм 96 років» Розв’язання: Подвоєний вік старшого брата на 4 роки більше від суми років усіх трьох братів і дорівнює тому 96 +4 = 100 рокам. Отже, вік старшого брата дорівнює 100:2 = 50 рокам. Подвоєний вік середнього брата на 2 роки більше від суми його років і років молодшого брата і дорівнює тому (96-50) +2 = 48. Значить вік середнього брата дорівнює 48:2 = 24 рокам. Тепер залишилося знайти вік молодшого брата: 96-50-24 = 22 роки. Отримуємо відповідь: молодшому - 22, середньому - 24, старшому - 50 ЗАДАЧА 2. «Одного разу купець запропонував неробі заробити. «Як тільки ти перейдеш через цей міст, - сказав він, - твої гроші подвояться. Можеш переходити по ньому скільки хочеш раз, але після кожного переходу віддавай мені за це 24 рублі ». Нероба погодився і ... після третього переходу залишився без грошей. Скільки грошей у нього було спочатку»? Розв»язання: Так як після третього переходу у нероби грошей не залишилося, то після переходу моста втретє у нього було 24 рубля, а до переходу третього мосту - 12 рублів. Тоді після переходу другого мосту у нероби було 12 + 24 = 36 (рублів), а до 60

переходу другого моста - 36: 2 = 18 (рублів). Міркуючи аналогічно, одержимо, що після переходу першого моста у нероби стало 18 + 24 = 42 (рубля), а перед переходом першого моста - 42: 2 = 21 (рубель). Таким чином, у нероби спочатку був 21 рубель.

Домашнє завдання: 1. Батьку і сину разом 65 років. Син народився, коли батькові було 25 років. Якого віку батько і син? Розв’язання: Син народився, коли батькові було 25 років, отже, різниця в їх віці складає 25 років. Тоді 65 - 25 = 40 років - подвоєний вік сина, значить синові 40: 2 = 20 років, а батькові 20 + 25 = 45 років.

2. Одну вівцю лев з'їв за 2 дня, вовк - за 3 дні, собака - за 6 днів. За скільки днів вони разом з'їдять вівцю? Розв’язання 1) Лев з'їв вівцю за 2 дні, отже, за 1 день він з'їв ½ вівці. 2) Вовк з'їв вівцю за 3 дні, значить за 1 день він з'їв 1/3 вівці. 3) Собака з'їла вівцю за 6 днів, значить за 1 день вона з'їла 1/6 вівці. 4) Разом лев, вовк і собака за 1 день з'їдять ½ + 1/3 + 1/6 = 1, тобто 1 вівцю.

4.10. МАТЕМАТИЧНІ СОФІЗМИ З античних часів математику вважають наукою точною, що не терпить помилок, вимагає ясності понять та тверджень, нічого не сприймає без доведень, проголошує красу та велич логічних міркувань. За словами Ж.Фабра "математика - дивовижна вчителька в мистецтві спрямовувати думки, наводити порядок там, де вони не впорядковані, викорчовувати безглуздя, фільтрувати брудне і наводити ясність". Помилки в міркуваннях, найчастіше виникають через порушення законів формальної логіки, основи якої заклав визначний давньогрецький філософ Арістотель Софізми (з грецької -хитрий викрутас, вигадка, хитрий умовивід) - це міркування навмисне побудовані так, що вони містять логічну помилку і, звичайно, приводять до хибних висновків. Засновником школи софістів був давньогрецький філософ Протогор із Адбери (бл. 480 - бл.410 до р. х.). Введення софізмів

сприяло

вдосконавленню

ораторського

мистецтва,

підвищенню логічної культури мислення. Різні приклади софізмів наводить у своїх діалогах Платон (427 -347 до р. х.). Евклід ( 1V ст. До р. х.)створив дивовижний збірник "Псевдарій",який на жаль не дійшов до нас. Це був перший збірник саме математичних софізмів та парадоксів. Вперше аналіз та класифікацію софізмів дав Арістотель у трактаті "Про софістичні спростування". На сьогодні софізми, і зокрема математичні, навчають мислити, доводити й спростовувати, чітко висловлювати свої 62

думки; вони здивовують та захоплюють, дають поштовх для творчості,

пошуку

нового,

відкриттів.

Найчастіше

софізми

виникають, коли міркування порушують закони логіки: закон тотожності, закон суперечності, закон виключного третього, закон достатьньої підстави. Закон тотожності вимагає, щоб одна і та сама думка, яка наводиться в даному умовиводі, при повторенні мала однаковий зміст. При порушенні цього закону виникають помилки. Іноді під час дискусії один з її учасників використовує деяке багатозначне ім'я в іншому значенні ніж його опонент. Суперечка може бути нескінченою. Закон суперечності полягає в тому, що не можуть бути одночасно істиними два протележні висловлювання про один і той самий об'єкт, взятий в один і той самий час і в одному й тому самому розумінні. Закон

виключеного

третього

стверджує,

що

двох

суперечливих висловлювань, де розглядається один і той самий об'єкт в один і той самий час, одне обов'язково істинне. Закон достатньої підстави вимагає, щоб кожна істинна думка була обгрунтована іншими думками, істинність яких доведено. Отож бо помилки йдуть від порушень законів логіки, або інших математичних законів. Софізми - це навмисне розставлені логічні пастки. Наведу приклади деяких математичних софізмів за підрозділами: арифметика, алгебра і початки аналізу, геометрія, логіка.

ПРИКЛАДИ СОФІЗМІВ ІЗ ПОЯСНЕННЯМ ПОМИЛОК АРИФМЕТИКА 1.

3=5 Маємо очевидну рівність 25 - 15 - 10 = 15 - 9 - 6, звідки 5 (5 - 3 - 2) =3 (5 - 3 - 2), або 5 = 3.

5=7 Нехай a = 3/2 b, або 4a = 6b. Тоді 4a = 14a - 10a, а 6b = 21b - 15b, звідки 14a - 10a = 21b - 15b, або 15b - 10a = 21b - 14a, або 5 (3b - 2a) = 7 (3b - 2a), або 5 = 7.

Софізми засновано на типовому випадку замаскованого виконання забороненої дії - ділення на нуль. Заборона ділення на нуль - одне з фундаментальних положень усієї математики

1=2 1 - 3 + (9/4) = 4 - 6 + 9/4, (1 - 3/2) (1 - 3/2) = (2 - 3/2) (2 - 3/2), (1 - 3/2)2 = (2 - 3/2)2, 1 - 3/2 = 2 - 3/2, 1 = 2.

Неправомірне поширення істиності прямої теореми: "Якщо числа рівні, то і квадрати їх рівні" на обернену: "Якщо квадрати двох чисел рівні, то й ці числа рівні". 4.

Скорочення дробів:

16/64 = 1/4 ; 19/95 = 1/5 ; 1998/8991 = 198/891 = 18/81;

Справді

існують

окремі

види

дробів,

яких

можна

закреслювати в чисельнику та знаменнику "зайві" цифри, не змінюючи величини дробу. Скорочення цього типу можливі лише для дробів такого виду: amm...mb / bmm...ma = ab / ba, де a + b = m i a < b. Існує тільки 16 дробів такого виду.

ЛОГІКА 1. Купа (парадокс Евбуліда із Мілета, 1V ст. До н.е.). Одне зерно купи не становить, додавши ще зернину, купи знову не матимемо. Як же дістати купу, додаючи кожного разу по одному зерну, з яких ні одне не становить купи? Проблема виникає при спробі знайти відповідь на питання, коли “не купа” переходить в “купу”. Тобто чи існує фіксована кількість елементів коли здійснюється названий перехід. У парадоксі, по суті, використано повну математичну індукцію, яку не можна застосовувати до понять, обсяг яких не чітко визначено, а саме таким і є поняття “купи”. Крім того, в парадоксі ігнорується також об’єктивна закономірність будь-якого явища, в процесі перебігу якого кількісні зміни на певному етапі зумовлюють якісні зміни. При цьому нова якість (“купа”) зовсім не відгороджена від старої якості (“не купи”). 2. Софізм Еватла. Еватл брав уроки софістики у давньогрецького софіста Протагора (бл. 481 - 411 до р. Х.). З цію умовою, що гонорар він сплатить тільки в тому випадку, коли виграє свій перший судовий процес. Але після навчання Еватл не взявся вести жодного судового процесу і тому вважав, що може не платити гонорару Протагорові. Вчитель, погрожуючи подати на Еватла в суд, сказав: - Незалежно від того, присудять судді платити мені гонорар, чи не присудять, ти його обов’язково сплатиш. У першому випадку ти сплатиш за вироком суду, в другому - за нашою домовленістю. На це Еватл, навчений Протагором мистецтву софістики, відповів: 66

- Ні в тому, ні в іношому випадку, гонорару я не буду платити. Якщо мені присудять платити, то я не заплачу відповідно до нашої домовленості, бо програю свій перший судовий процес, у другому випадку я не платитиму відповідно до вироку суду. З погляду традиційної логіки софістичний висновок виник внаслідок порушення закону тотожності. Одну й ту ж домовленість Еватл розглядав у різних відношеннях. У першому випадку Еватл мав виступати на суді юристом, який програє свій перший судовий процес, у другому випадку - відповідачем, якого суд виправдав 3. Цікавий софізм заримував один англійський поет (в рос. перекладі): Их было десять чудаков, Тех спутников усталых, Что в дверь решили постучать Таверны “Славный малый” Пусти, хозяин, ночевать, Не будеш ты в убытке, Нам только ночку переспать, Промокли мы до нитки. Хозяин тем гостям был рад, Да вот беда некстати: Лишь девять комнат у него И девять лишь кроватей. - Восьми гостям я предложу Постели честь по чести, А двум придется ночь проспать 67

В одной кровати вместе. Лишь он сказал, и сразу крик, От гнева красны лица: Никто из всех десятерых Не хочет потесниться. Как охладить страстей тех пыл, Умерить не волненья? Но старый плут хозяин был И разрешил сомненья. Двух первых путников пока, Чтоб не судили строго, Просил пройти он в номер “А” И подождать немного. Спал трейтий в “Б”, четвертый в “В”, В “Г” спал всю ночь наш пятый, В “Д”, “Е”, “Ж”, “З” нашли ночлег С шестого по девятый. Потом, вернувшись снова в “А”, Где ждали его двое, Он ключ от “И” вручить был рад Десятому герою. Хоть много лет с тех пор прошло, Не ясно никому, Как смог хозяин разместить Гостей по одному. Иль арифметика стара, 68

Иль чудо перед нами, Понять, что, как и почему, Вы постарайтесь сами. Поки він розселяв останніх, у першій кімнаті А і Б заснули стомлені і господар не став їх будити Усе це був невеликий острівець галактики софістичнопарадоксальних конструкцій думки, автори яких - невтомні шукачі істини або випадкові мадрівники в логічних лабірінтах. Вже багато віків математичні софізми бентежать людську думку, прокладають шлях до істини в хащах помилок, дають поштовх творчості, заманюють несподіванками, вчать логічному мисленню, привчають до красоти бездоганних доведень.

Для домашнього завдання: 1.Одна гривня не дорівнює 100 копійкам. Розв’язання: 1грн.=100коп. 10грн.=10х100коп. Перемножимо почленно ліву частину на праву 10грн.=100000коп. Поділимо на 10 1грн.=10000коп. Помилка полягає в тому,що порушені правила роботи з нумерованими величинами. Всі діі над величинами необхідно виконувати так само, як і над іх розмінностями. 69

4.11. ШВИДКО РАХУВАТИ – ЦЕ ПРОСТО (ПРИЙОМИ УНОГО РАХУНКУ) ДОДАВАННЯ ТА ВІДНІМАННЯ ЧИСЕЛ.. Якщо

1.1.

багатозначні доданка

обидва

числа,

додаємо

то

доданки

–

до

більшого

спочатку

старший

розряд меншого, потім – менший розряд. Наприклад 349 +29. Говоримо 343 додати 20, буде 363 ще 9 – всього 372. 376 +28. Говоримо 376 додати 20, буде 396 та ще 8 всього 404.

–

Якщо необхідно скласти в сумі де – кілька двозначних чисел, то спочатку складають всі десятки, потім – всі одиниці. 39 + 48 + 13 = (30 + 40 +10) + (9 + 8 + 3) = 80 + 20 = 100 58+43+92 = 193 1.2. Доданки , зменшуване та від’ємник близьких до «круглого числа» Розглянемо випадок, коли додавання спрощується. Якщо один із доданків або обидва близькі до «круглого» числа. Наприклад, необхідно скласти 173 і 59. 59 – це 60 без 1. 173 + 60 = 233, а нам необхідно було додати 59, значить 1 слід відняти, одержимо 232. Точно так 882 + 197. Говоримо так: 197 – це 200 без 3. 882 + 200 = 1082, віднімаємо 3, одержимо 1079. Аналогічно: 298 + 96 = 298 +100 – 4 = 394. 70

Якщо зменшуване або від’ємник близькі до круглих чисел, то спочатку працюємо з цим круглим числом, а потім робимо поправку. 581 – 59 = 581 – 60 + 1 = 522 1020 – 98 = 1020 – 100 + 2 = 922 304 – 97 = (300 - 100) + 4 + 3 = 207 ПРОСТІ ВИПАДКИ МНОЖЕННЯ ТА ДІЛЕННЯ 2.1. Розглянемо випадки множення на 2 та 4. Виконувати множення починаємо із старших розрядів. 1285 * 2. Говоримо: 1000 * 2 = 2000; 200 * 2 = 400. Разом 2400. 80 * 2 = 160, 5 * 2 = 10. 2400 та 170 одержимо 2570 127 * 2 = 100 * 2 + 20 * 2 + 7 * 2 = 254 Множення на 4 зводиться до двократного множення на 2. 165 * 4 = (165 * 2) * 2 = 330 * 2 = 660 93 * 4 = (93 * 2) * 2 = 186 * 2 = 100 *2 + 80 * 2 + 6 * 2 = 372 2.2 Ділення на 2 та 4. Ділення на 2 починаємо з вищих розрядів 364 : 2 = 300 : 2 + 60 : 2 + 4 : 2 = 150 + 30 + 2 = 182. При діленні на 4 ділимо спочатку на 2, потім одержану частину ділимо ще раз на 2: 1836 : 4 = (1836 : 2) : 2 = 918 : 2 = 900 : 2 + 18 : 2 = 459.

2.3. Множення на 5, 50, 25 5 – це 10, поділене на 2. Помножити число на 5, слід помножити його на 10 (тобто приписати 0) і розділити на 2. 1248 * 5 = 12480 : 2 = 6240 4469 * 5 = 44690 : 2 = 22345 Помножити усно число на 50, це все рівно, що помножити число на 100 (тобто приписати два нулі) і поділити на 2. 648 * 50 = 64800 : 2 = 32400 329 * 50 = 32900 : 2 = 16450 25 = 100 : 4 При множенні числа на 25 слід помножити число на 100 (тобто приписати два нулі) і поділити на 4 (поділити на 2 і ще раз на 2). 560 * 25 = (56000 : 2) : 2 = 28000 : 2 = 14000 464 * 25 = (46400 : 2) : 2 = 23200 : 2 = 11600 2.4. Ділення на 5, 50, 25 Частка не зміниться, якщо ділене і дільник помножити на одне і теж саме число. 624 : 5 = (624 * 2) : (5 * 2) = 1248 : 10 = 124,8 844 : 5 = 1688 : 10 = 168,8 340 : 5 = 680 : 10 = 68 218 : 50 = (218 * 2) : (50 * 2) = 436 :100 = 4,36 1285 : 50 = 2570 : 100 = 25,7 751 : 50 = 1502 : 100 = 15,02 285 : 25 = (285 * 4) : (25 * 4) = 1140 : 100 = 11,4 312 : 25 = 1248 : 100 = 12,48 215 : 25 = 860 : 100 = 8,6 72

РІЗНІ ПРИЙОМИ МНОЖЕННЯ НА 9 ТА 11. 3.1. Множення на 9. Множити усно на 9 можна різними способами. 1). Використовуючи розрядні одиниці 24 * 9 = 20 * 9 + 4 * 9 = 180 + 36 = 216 125 * 9 = 100 * 9 + 20 * 9 + 5 * 9 = 900 + 180 + 45 = 1125 2). 9 = 10 – 1. Використаємо розподільний закон множення. 24 * 9 = 1250 – 125 = 1125 46 * 9 = 460 – 46 = 414 3). Щоб помножити число на 9, треба від нього відняти число, яке на 1 перевищує число десятків, і приписати поряд число одиниць, яких не вистачає до 10. 26 * 9 = 234 2 + 1 = 3 26 – 3 = 23 10 – 6 = 4 23 * 9 = 207 2 + 1 = 3 23 – 3 = 20 10 – 3 = 7 47 * 9 = 4232 3.2.Множення на 11 1 спосіб. 11 = 10 + 1 Використовуючи розподільний закон множення, одержимо 36 * 11 = 36 * (10 + 1) = 360 + 36 = 396, тобто до числа дописуємо 0 і до цього числа додаємо дане. 47 * 11 = 470 + 47 = 517 64 * 11 = 640 + 64 = 704 73

2 спосіб. Роздвигаємо цифри двозначного числа і вставляємо між ними їх суму. Одержимо потрібний результат. 36 * 11 = 396; 62 * 11 = 682 Якщо сума цифр двозначного числа саме є двозначною, то її одиниці вставляємо між цифрами даного числа, а десятки додаємо до першої цифри. Наприклад, 67 помножимо на 11. Роздвигаємо цифри 6 і 7 (6…7) і між ними вставляємо 6 + 7 = 13 одержимо 6 (13) 7. Тепер трійку залишаємо до шести. Одержимо 737. 67 * 11 = 737 47 * 11 = 517 64 * 11 = 704 3 спосіб. При множенні багатоцифрових чисел на 11 поступаємо так: остання цифра без зміни, а далі, рухаючись вліво, треба додавати «сусіда справа» 38054627 * 11 == 418600897 Починаючи з кінця 7, 7 + 2 = 9, 2 + 6 = 8, 6 + 4 = 10 (0 пишемо, 1 додаємо до наступної суми), 5 + 4 + 1 = 10(0 пишемо, 1 додаємо до наступної суми), 0 + 5 + 1 = 6, 0 + 8 = 8, 8 + 3 = 11 (1 пишемо, 1 додаємо до наступної суми), 3 + 1 = 4 562445 * 11 = 6186895

ДЕЯКІ ЧУДОВІ ДОБУТКИ При множенні числа, складеного з n шісток, на число, складене з n дев'яток, можна помножити число 6666...6 на 100...000, складене з 1 з n нулями і відняти з отриманого твори 6666...6. Тоді вийде число, в якому(n-1)старших розрядів займають цифра 6, наступний -5, наступні (n - 1) розрядів - цифра 3 і останній 4.Відповідь: 666665333334; в загальному вигляді 666 ... 65 333 ... 34 1) 123456789 • 9 = 1111111101, 123456789 • 18 = 2222222202, 123456789 • 27 = 3333333303 ,... 123456789 • 81 = 9999999909. 2) 666 • 667 = 444 222 66666 • 66667 = 4444422222. У загальному випадку, якщо помножити число, утворене n шістками на число на 1 більше, то отримаємо 2n - розрядне число, в якому старші n розрядів будуть зайняті цифрою 4, решта - цифрою 2: 666…66 х 666..67 = 444…44222…22 . На 143 х 2 = 286 і на 143 х 6 = 858. 5. 8547 • 13 = 111 111, тому при множенні будь-якого однозначного числа на 8547, а потім на 13 вийде шестизначне число, у якого кожен розряд займає цифра, відповідна вибраному однозначному числу

МАТЕМАТИЧНА РОЗВАГА: БЛИСКАВИЧНЕ ДОДАВАННЯ. Ведучий пише на дошці чотирицифрове число ( 1-й доданок) і пропонує одному з присутніх підписати друге чотиризначне число ( 2-й доданок). Потім ведучий пише під ним третій доданой. Четвертий доданок пише знов хтось із учнів і, нарешті, п»ятий доданок знову пише ведучий і відразу підбиває підсумок. Наприклад: 7647 – ведучий 2914 – учень 7085 – ведучий 5431 – учень 4568 – ведучий 27645 Відгадайте секрет блискавичного додавання. ( Секрет полягає в тому, що ведучий цифрами своїх доданків доповнює цифри попереднього доданка до 9. В результаті вихидить 9999 + 9999 = 2000 – 2 Відповіддю буде перший доданок, перед яким треба поставити 2, а останню цифру зменшити на 2).

4.12. ЗАСТОСУВАННЯ ГРАФ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЛОГІЧНИХ ЗАДАЧ Графи

існують

скрізь,

навіть

маленькі діти несподівано стикаються з ними, коли малюють або грають. Вони зустрічаються на картах доріг, сузір'їв, при побудові схем і креслень. Графи лежать в основі багатьох комп'ютерних програм, які роблять можливими сучасну комунікацію і технологічні процеси. Графи сприяють розвитку мислення як логічного, так і абстрактного. При вирішенні завдань, напевно, не раз доводилося зображати об'єкти точками, з'єднувати їх відрізками або стрілками, при цьому для

вирішення

завдання

був

використаний

спеціальний

математичний апарат, а саме була застосована теорія графів. Історично склалося так, що теорія графів зародилася більше 200 років тому саме в ході розв»язування головоломок. Перша робота про графи з'явилася в 1736 році в публікаціях Петербурзької академії наук. Вона належить Леонарду Ейлеру і пов'язана з вирішенням завдання про кенігсберзьки мости. Питання полягало в тому, чи можна здійснити прогулянку так, щоб вийшовши з будинку, повернутися назад, пройшовши в точності по одному разу кожен з семи кенігсберзькими мостів. (Слайд 2). Це завдання можна представити у вигляді геометричної схеми, на якій точки зображують частини суші, а лінії, що їх сполучають - мости. (Слайд 3). 77

Схема такого виду називається графом. Точки - вершини графа, що з'єднують їх лінії - ребра. У перекладі на мову завдання "одним розчерком" це звучить так: "Якщо на малюнку всі точки парні, то такий малюнок можна намалювати однією лінією, не відриваючи олівця від паперу і не проводячи двічі по одній лінії; якщо на малюнку дві непарні точки (якщо є одна непарна точка, то обов'язково є і друга), то такий малюнок також можна намалювати одним розчерком, причому слід починати з однієї непарної точки і закінчувати в іншій непарної точці; якщо ж непарних точок більше двох, то намалювати такий малюнок одним розчерком не вдається. Так обвести однією лінією малюнок (слайд 4) не можна, тому що він містіть відразу 8 непарних точок. Можна виділити (слайд 5) 1.Неорієнтовані граф; 2.Граф з кольоровими ребрами; 3.Орієнтований граф; 4.Граф-дерево або дерево можливостей. Розглянемо застосування всіх видів графів до розв’язування завдання. Неорієнтовані графи. (Слайд 6). У них ребрами є відрізки або частини кривої лінії. Розглянемо задачу: «У шаховому турнірі брали участь 4 людини. Кожен спортсмен зіграв з усіма іншими учасниками змагань по одному разу. Скільки всього було зіграно партій?» (Слайд 7) 78

. Зобразимо учасників турніру точками, а зіграні ними партії відрізками. (Слайд 8). Для того щоб відповісти на питання завдання, треба п підрахувати число проведених відрізків, їх 6, отже, було зіграно 6 партій. Розглянемо ще одну подібну задачу: "На лісовій галявині зустрілися заєць, білка, лисиця, вовк, ведмідь и куниця. Кожен, вітаючись, потис іншому лапу. Скільки всього лапкопотискань було зроблено? (Слайд 9). На графі 15 ребер, отже, було зроблено 15 лапкопотискань. Для того щоб спростити підрахунок ребер графа, можна міркувати так: з кожної з 6 точок виходе 5 відрізків, тому для підрахунку відрізків множимо 5 на 6, отримуємо 30, але при цьому кожний відрізок ми порахуємо двічі (Наприклад, білка - лисиця и лисиця білка). Отже, щоб найти число ребер графа, треба 30 розділити на 2, одержимо 15. Такі міркування будуть особливо корисні, коли граф містить більше число вершин і підрахунок числа ребер становить труднощі . Розглянемо обернене завдання: «Кілька хлопчиків зустрілися на вокзалі, щоб поїхати за місто в ліс. При зустрічі всі привіталися один з одним за руку. Скільки хлопчиків поїхало за місто, якщо всього було10 рукостискань» (Слайд 10). Припустимо, що зустрілися два хлопчика, зобразімо їх точками, а рукостискання лінією, що з'єднує ці точки. (Слайд 11). Учасників змагань зобразимо точками, які назвемо першими літерами імен дітей. Якщо двоє учасників вже зіграли між собою, 79

з'єднаємо точки, що іх зображують відрізками. Отримаємо граф. (Слайд 16).Число ігор, проведених до цього моменту, дорівнює числу ребер, тобто шести. Щоб дізнатися число ігор, які залишилося провести, з'єднаємо лініями іншого кольору (або пунктиром) тих учасників, які ще не грали один з одним. Таких ребер вийшло 4, значить, залишилося провести 4 гри: Борис - Влад, Борис - Даша, Влад - Гриша, Гриша - Аня. (Слайд 16). Застосувати теорію графів можна і при розв»язуванні наступного завдання : «У країні Алфавіт 8 міст: А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З і вісім доріг, які не перетинаються, між містами А і Б, Е і Д, Б і Ж, З і А, В і Г, Г і Д, Ж і З, В і Е. Чи можна по цих дорогах проїхати з А в Г?»(Слайд 17) .Побудуємо за умовою завдання граф, при цьому всі вершини графа відразу відзначати не будемо. Почнемо з побудови ребер графа, враховуючи ту умову, що вони не перетинаються. Побудуємо відрізки АБ і ОД, приєднаємо до відрізка АБ відрізки БЖ і ЗА. Побудуємо відрізок ВГ, що не перетинає жоден з побудованих відрізків і з'єднаємо точки Г і Д, Ж і З, В і Е (не обов'язково відрізками, можна і кривими лініями). За графом видно, що точки А і Г одна з одною не пов'язані, а значить, за вказаними дорогами з міста А в місто Г проїхати не можна. (Слайд 18). Для розв»язування завдань на упорядкування множин будемо застосовувати орієнтовані графи. (Слайд 19). У цьому випадку одну вершину вважають початком ребра, а іншу - кінцем.

У орієнтованому графі всі ребра повинні бути орієнтовані. Розглянемо задачу: «З табору вийшли чотири туриста: Василько, Галя, Толя і Леся. Василь йде попереду Лесі, Толя попереду Галі, а Леся попереду Толі. У якому порядку йдуть діти?» Зобразимо всіх туристів точками, які позначимо першими літерами імен дітей. У задачі розглядається поняття "йти попереду", тому стрілку будемо ставити від того, хто йде попереду, до того що йде слідом за ним. Василь йде попереду Лесі, значить стрілку ставимо від Василя до Лесі. Толя попереду Галі - стрілку ставимо від Толі до Галі. Також ставимо стрілку від Лесі до Толі, оскільки вона йде попереду нього. На графі видно (Слайд 21), що перший йде Василь, за ним Леся, Толя і Галя йде останньою. Задача: «На пришкільній ділянці ростуть 8 дерев: яблуня, тополя, береза, горобина, дуб, клен, листяниця і сосна. Горобина вище листяниці, яблуня вище клена, дуб нижче берези, але вище сосни, сосна вище горобини, береза нижче тополі, а модрина вище яблуні. Розташуйте дерева від найнижчого до найвищого». (Слайд 24). Будемо вирішувати її за допомогою графа. Для цього позначимо всі дерева точками, а точки позначимо першими літерами назви дерев. У задачі розглядаються два відносини: "бути нижче" і "бути вище". У нашому випадку зручніше розглядати ставлення "бути нижче" і вести стрілку від більш низького дерева до більш високого. Якщо в задачі сказано, що горобина вище 81

листяниці, то стрілку ставимо від листяниці до горобини і т.д. Отримуємо граф, на якому видно, що найнижче дерево - клен, потім йдуть яблуня, листяниця, горобина, сосна, дуб, береза і тополя. (Слайд 25). Наступний тип графів, які можна використовувати при вирішенні завдань у основній школі - це граф-дерево або дерево можливостей. Графи такого виду використовуються при вирішенні комбінаторних завдань, коли треба здійснити перебір всіх можливих варіантів. (Слайд 26). Розглянемо задачу: «В їдальні на гаряче можна замовити щуку, гриби і баранину, на гарнір - картоплю і рис, а з напоїв чай і кава. Скільки різних варіантів обідів можна скласти з зазначених страв?»(Слайд 27) Оскільки гарячих страв три, то поставимо три точки. Кожну точку позначимо першою літерою назви страви. Від цих точок проведемо по дві лінії вниз і поставимо точки, тому що гарнірів два. Їх також позначимо першими літерами назв. Від кожного гарніру також проведемо по дві лінії, точки будуть позначати напій. Кожен шлях з цього графу відповідає одному із способів вибору. Число таких шляхів буде відповідати числу точок у нижньому ряду. Порахуємо точки третього ряду на нашому графі. Їх 12, значить, можна скласти 12 різних обідів. (Слайд 28) Розглянемо ще одне, більш складне завдання: «З набірного полотна взяли 2 картки з цифрою 1 і 3 картки з цифрою 5. Скільки різних п'ятицифрових чисел можна скласти з цих карток?» (Слайд 29). 82

За графом видно, що всього таких чисел можна скласти 10, причому всі їх можна легко перерахувати. (Слайд 30). Останній вид графів, які ми розглянемо - це граф з ребрами двох кольорів. (Слайд 31). Ці графи відповідають таким ситуаціям, в яких одні пари елементів безлічі знаходяться між собою в даному відношенні, а інші - ні. Розглянемо задачу: «В одному класі вчаться Іван, Петро і Сергій. Їхні прізвища Іванов, Петров та Сергіів. Встанови прізвище кожного з хлопців, якщо відомо, що Іван не Іванов, Петро не Петров і Сергій не Сергіів і що Сергій живе в одному будинку Петрови».. (Слайд 32). У цій задачі мова йде про два множинах: множині імен і множині прізвищ. У цьому випадку, звичайно, можна розв»язати завдання з використанням таблиці, але для розв»язання завдань з трьома множинами таблиці вже будуть непридатні. У цьому випадку розв»язання задачі можна здійснити за допомогою графів. Позначимо імена хлопчиків точками, точно так само поступимо і з множиною

прізвищ.

Якщо

для

даної

пари

елементів

співвідношення виконується, то з'єднаємо їх червоною лінією, а якщо ні - чорної. (Слайд 33). На графі видно, що Іван не Іванов, Петро - не Петров, Сергій - не Сергіів і не Петров, оскільки Сергій і Петров живуть в одному будинку. Оскільки Сергій - не Сергіів і не Петров, то, значить, він Іванов. Проведемо червону лінію від Сергія до Іванова. Тоді Івановим Петро бути не може - з'єднаємо відповідні точки чорною лінією. Отже, Петро - не Іванов і не 83

Петров, отже, він Сергіів. Залишається, що Іван носить прізвище Петров. Розглянемо завдання, в якій потрібно встановити відповідність між трьома множинами: «Три друга - Альоша, Сергій і Денис - купили цуценят різної породи: цуценя ротвейлера, цуценя коллі і цуценя вівчарки. Відомо, що: цуценя Альоші темніше за окрасом, ніж ротвейлер, Лесі та Гриф; щеня Сергія старше за Гріфа, ротвейлера і вівчарки; Джек і ротвейлер завжди гуляють разом. У кого якої породи щеня? Назвіть клички цуценят».(Слайд 34). Зобразимо умову задачі за допомогою графа. (Слайди 35-37). В результаті отримаємо, що у Сергія щеня породи коллі Лесі, в Альоші щеня вівчарки Джек, у Дениса щеня ротвейлера на прізвисько Гриф.

Домашнє завдання : 1.В шкільній ідальні є три перші страви : борщ, суп і солянка, три другі страви : вареники, гуляш, котлета та три треті страви : чай, компот і сік. Скількома способами можна замовити обід у ідальні? 2.Скількома способами можна посадити трьох учнів на трьох стільцях? 3.Я живу на вул..30 років Перемоги,5, Катя живе через дорогу, на Космонавтів, 9, а Ксюша живе навпроти, на Васильєва,4. Потрібно скласти маршрут для кожної дівчинки до ЗОШ 7, яка знаходиться на вул. Жукова, 7, так щоб вони не перетинались. 84

4.13. ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ При

розв’язуванні

багатьох

задач люди користуються способами міркувань,

які

одержали

«принцип

Діріхле»

назву

(«принцип

висунутих ящиків»). У найпростішій і дотепній формі принцип Діріхле звучить так: »Не можна посадити 7 зайців у 3 клітки так, щоб у кожній клітці було не більше, ніж 2 зайці». А взагалі твердження формулюється так: У п клітках неможливо розсадити п + 1 зайців щоб кожний із них сидів у окремій клітці, тобто знайдеться клітка, де сидить не менше двох зайців. Щоб застосувати принцип Діріхле до розв'язування задачі, ми повинні вказати, що саме будемо розуміти під «клітками» і «зайцями», а також спосіб, за яким будемо розсаджувати «зайців» у «клітки». Як правило, під час розв'язування задач використовують не принцип Діріхле, а деяке його узагальнення: знайдеться клітка, де сидить не менше к + 1 зайців. Дано п кліток і пк+1 зайців, які розміщено у ці клітки. Тоді

роілюструємо

застосування принципу Діріхле

на

розв’язуванні задач, серед яких є арифметичні й геометричні, жартівливі й побутові. Їх можна запропонувати на заняттях гуртка

в 5-6 класах. Учням цікаво в них вибирати щоразу «зайців» і будувати для них відповідні «клітки». Діти люблять гратися! Тому в школярів середніх класів великий інтерес викликають подібні задачі. З їх допомогою вчитель може внести в заняття гуртка елемент розваги, що важливо для учнів 5-6 класів. В той же час такі задачі є змістовними. При їх розв’язуванні школярі звичайно мають значні труднощі. Адже необхідно, поперше, грамотно сформулювати стратегію, а по-друге, довести, що вона справді веде до виграшу. Тому завдання даного типу дуже корисні для розвитку розмовної математичної культури, чіткого розуміння того, що означає розв’язати задачу. Задача 1. У класі навчається 29 учнів. Сашко Петренко зробив у диктанті 1З помилок, і ніхто інший не зробив більшої кількості помилок. Довести, що принаймні три учні зробили однакову кількість помилок. Розв'язання. Приймемо за «клітки» всі можливі варіанти кількості помилок. їх 14, оскільки учні можуть зробити 0, 1, ..., 13 помилок. «Зайцями» вважатимемо учнів, які писали диктант і яких за умовою 29. Кожного з них «садимо» у «клітку», що відповідає кількості зроблених помилок. Зрозуміло, що знайдеться «клітка», в якій «сидять» принаймні три «зайці», а це й означає, що знайдуться три учні, які зробили однакову кількість помилок. 86

Задача 2. У п'ятих класах школи навчається 160 учнів. Довести, що знайдуться 4 учні, у яких день народження припаде на один і той самий тиждень. Розв'язання. У році може бути максимум 53 тижні. їх і приймемо за «клітки», а за «зайців» — учнів. Розсаджуватимемо «зайців» у ті «клітки», що відповідають їх дням народження. Оскільки 160 : 53 = 3

1 , 3

то за принципом Діріхле знайдеться «клітка», у якій принаймні

4 «зайці». Це означає, що знайдеться тиждень, на який припаде день народження відразу у чотирьох учнів. Задача 3. У клітинках таблиці розмірами 3x3 розмішено числа -1; 0; 1. Розглянемо вісім сум: суми всіх чисел у кожному рядку, кожному стовпці і на двох діагоналях таблиці. Чи можуть усі ці суми бути різними? Розв'язання. Нехай «клітками» будуть усі різні значення сум трьох чисел, кожне з яких набуває значення 0, 1 або -1. Зрозуміло, що таких значень 7. Це -3; -2; - 1; 0; 1; 2; З «Зайцями» будуть набори із трьох чисел, що розмішені або в одному стовпці, або в одному рядку, або на одній із двох діагоналей таблиці. Таких наборів 8. Як розсаджуватимемо «зайців»? Кожного «зайця» садитимемо в «клітку», що є значенням суми чисел «зайця». Тоді за принципом Діріхле знайдеться «клітка», де сидять не менше двох «зайців». А 87

це й означає, що знайдуться дві розглядувані трійки чисел, для яких суми рівні. Відповідь Ні. Задача 4. У ящику лежать 10 пар чорних рукавичок і 10 пар червоних одного розміру. Скільки рукавичок потрібно витягнути з ящика навмання, щоб серед них були: а) хоча б дві рукавички одного кольору; б) хоча б одна пара рукавичок одного кольору? Розв'язання. а) Якщо за «клітки» прийняти кольори рукавичок, то взявши три довільні рукавички, ми отримаємо, що в одній із «кліток» знаходяться два «зайці»-рукавички. А це і вимагається в задачі. б) Якщо взяти 20 рукавичок на одну руку, то з них не можна буде вибрати пару рукавичок одного кольору, тому шукана кількість рукавичок не менша ніж 21. Справді, якщо за «клітки» прийняти кольори рукавичок (їх два), а за «зайців» — рукавички, то за узагальненим принципом Діріхле в одній з «кліток» буде не менше 11 «зайців». Це означає, що знайдеться 11 рукавичок одного кольору. Але ми маємо лише 10 пар рукавичок одного кольору. Тому всі вони не можуть бути на одну руку. Отже, серед цих 11 рукавичок знайдеться одна пара рукавичок одного кольору.

Розглянемо,

як

принцип

Діріхле

використовується

до

розв'язування задач на подільність. Такі задачі — класичний приклад застосування принципу Діріхле. Задача 5. Довести, що серед довільних трьох цілих чисел можна знайти два, сума яких ділиться на 2. Розв'язання. Приймемо за «клітки» різні остачі від ділення чисел на 2. Їх усього дві: 0 і 1. «Зайцями» будемо вважати остачі від ділення на 2 трьох даних чисел. їх буде три. Розмістивши «зайців» у «клітки» (кожного «зайця» розміщаємо у «клітку», що дорівнює остачі від ділення його на 2), за принципом Діріхле отримаємо, що знайдеться «клітка» з двома «зайцями», тобто знайдуться два числа, що дають при діленні на 2 однакові остачі. їх сума і ділиться на 2. Задача 6. Довести, що серед довільних семи чисел можна знайти три, сума яких ділиться на 3. Розв'язання. За «клітки» приймаємо різні остачі від ділення на 3. Їх усього три: 0, 1, 2. «Зайцями» вважатимемо остачі від ділення на 3 даних семи чисел. Їх усього 7. Як і в попередній задачі, розмістивши «зайців» у «клітки» і використовуючи узагальнений принцип Діріхле, робимо висновок, що знайдуться три «зайці», що знаходяться в одній із «кліток». А це й означає, що знайдуться три числа, які дають однакові остачі від ділення на 3. Їх сума ділиться на 3. 89

Задача 7. Дано 12 довільних цілих чисел. Довести, що з них можна вибрати два, різниця яких ділиться на 11. Розв'язання. Приймемо за «клітки» різні остачі від ділення чисел на 11. Їх усього 11. За «зайців» приймемо остачі від ділення даних чисел на 11. Їх усього 12. Розміщуючи «зайців» у «клітки» аналогічно до попередніх задач, за принципом Діріхле отримаємо, що знайдеться два «зайці» в одній із «кліток». А це означає, що знайдеться два числа, які дають однакові остачі від ділення на 11. Зрозуміло, що різниця цих чисел буде ділитися на 11. Принцип Діріхле використовується і під час розв'язування задач на зафарбовування. Задача 8. Кожну грань куба зафарбовано у білий або чорний колір. Довести, що знайдуться однаково зафарбовані грані, що мають спільне ребро. Розв'язання. Розглянемо довільну вершину куба. У ній перетинаються три грані. Приймемо за «клітки» кольори, а за «зайців» — грані, що перетинаються в одній вершині. Їх усього три. Тому за принципом Діріхле знайдеться клітка, у якій міститься два «зайці». А це означає, що знайдуться дві грані, які мають спільне ребро (оскільки вони мають спільну точку) і зафарбовані однаково. 90

Задача 9. На шаховій дошці розмірами 8x8 клітинок розставлено 31 фігуру. Довести, що знайдеться вільна фігура, яка складається з трьох клітинок і зображена на малюнку. Розв'язання. Для того щоб не було вільної фігури, складеної з трьох клітинок, у будь-якому квадраті розмірами 2х2 клітинки має розміститися не менше двох фігур. Оскільки можна покрити всю дошку 16-ма квадратиками розмірами 2x2 клітинки, що не перекриваються, то всього фігур має бути не менше 32, а у нас є 31. Отже,

за

сформульованим

принципом

знайдеться

квадрат

розмірами 2x2 клітинки, в якому опиниться лише одна фігура. У ній і міститься вільна фігура, що складається з трьох клітинок. ДОДАТКОВІ ЗАДАЧІ 1. В гуртку 10 школярів. Чи можна стверджувати, що серед цих гуртківців є хоча б 2, які відзначають день народження в одному й тому самому місяці? 2. В шести класах школи навчається 60 учнів. Довести, що хоча б двоє з них святкують день народження в один і той самий тиждень. 3. У школі 740 учнів. Довести, що принаймні троє з них народилися в один і той самий день. 4. У похід пішло 12 туристів. Наймолодшому з них 20 років, а найстаршому - 30. Чи є серед них однолітки? 91

5. В шаховому турнірі кожен шахіст зіграв з кожним по одній партії. Всі отримали принаймні по одній перемозі. Довести, що якісь двоє шахістів у підсумку мають однакову кількість перемог. 6. У вищій лізі першості України з футболу виступає 16 команд. У другому крузі чемпіонату кожні дві команди повинні зіграти між собою один матч. Довести, що завжди є дві команди, які провели однакову кількість ігор чемпіонату. 7. У районі 15 шкіл. Довести, що як би між ними не розподіляли 90 комп'ютерів, обов'язково знайдуться дві школи, які отримали однакову кількість комп'ютерів (можливо — жодного). 8. В таксі їдуть 5 пасажирів. Доведіть, що серед них знайдуться два пасажири, які мають однакову кількість знайомих серед цих 5-ти пасажирів. 9. Одинадцять школярів відвідують п’ять гуртків (деякі з учнів не обов’язково відвідують всі гуртки). Доведіть, що серед них є два учні, А і В, такі, що всі гуртки, які відвідує А, відвідує й В.

4.14 ДЕЯКІ ОЗНАКИ ПОДІЛЬНОСТІ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ, ЯКІ НЕ ВИВЧАЮТЬ У ШКОЛІ Ознака правило,

що

подільності дозволяє

це

швидко

визначити, чи є число кратним заздалегідь заданому числу, без необхідності виконувати ділення. Розглянемо

кілька

основних

ознак поділу: Ознака подільності на 2 Число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2, тобто є парною. Ознака подільності на 3 Число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3. Ознака подільності на 4 Число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли число з двох останніх його цифр нулі або ділиться на 4. Ознака подільності на 5 Число ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли остання цифра ділиться на 5 (тобто дорівнює 0 або 5). Ознака подільності на 6 Число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться на 2 і на 3. Ознака подільності на 7 Число ділиться на 7 тоді і тільки тоді, коли результат віднімання подвоєною останньої цифри з цього числа без останньої цифри ділиться на 7 (наприклад, 259 ділиться на 7, так як 25 (2 9) = 7 ділиться на 7). 93

Ознака подільності на 8 Число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли три його останні цифри — нулі або утворюють число, яке ділиться на 8. Ознака подільності на 9 Число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9. Ознака подільності на 10 Число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується на нуль. Ознака подільності на 11 Число ділиться на 11 тоді і тільки тоді, коли сума цифр з чергуються знаками ділиться на 11 (тобто 182 919 ділиться на 11, так як 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 ділиться на 11) наслідок факту, що всі числа виду 10. Ознака подільності на 12 Число ділиться на 12 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться на 3 і на 4. Ознака подільності на 13 Число ділиться на 13 тоді і тільки тоді, коли число його десятків, складене з учетверенное числом одиниць, кратно 13 (наприклад, 845 ділиться на 13, так як 84 + (4 5) = 104 ділиться на 13). Ознака подільності на 14 Число ділиться на 14 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться на 2 і на 7. Ознака подільності на 15 Число ділиться на 15 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться на 3 і на 5. 94

Ознака подільності на 17 Число ділиться на 17 тоді і тільки тоді, коли число його десятків, складене із збільшеним у 12 разів числом одиниць, кратно 17 Наприклад, 29053 2905 +36 = 2941 294 +12 = 306 30 +72 = 102 10 + 24 = 34 Оскільки 34 ділиться на 17, то і 29053 ділиться на 17). Ознака не завжди зручний, але має певне значення в математиці. Є спосіб трохи простіше Число ділиться на 17 тоді і тільки тоді, коли різниця між числом його десятків і упятеренним числом одиниць, кратно 17 (наприклад, 32952 3295-10 = 3285 328-25 = 303 30-15 = 15. Оскільки 15 не ділиться на 17, то і 32952 не ділиться на 17 Ознака подільності на 19 Число ділиться на 19 тоді і тільки тоді, коли число його десятків, складене з подвоєним числом одиниць, кратно 19 (наприклад, 646 ділиться на 19, так як 64 + ( 2 червня) = 76 ділиться на 19). Ознака подільності на 23 Число ділиться на 23 тоді і тільки тоді, коли число його сотень, складене з потроєною числом десятків, кратно 23 (наприклад, 28842 ділиться на 23, так як 288 + (3 * 42) = 414 продовжуємо 4 + (3 * 14) = 46 очевидно ділиться на 23). Ознака подільності на 25 Число ділиться на 25 тоді і тільки тоді, коли дві його останні цифри діляться на 25 (тобто утворюють 00, 25, 50 або 75) або число кратно 5. 95

Ознака подільності на 99 Розіб’ємо число на групи по 2 цифри справа наліво (у самій лівій групі може бути одна цифра) і знайдемо суму цих груп, вважаючи їх двозначними числами. Ця сума ділиться на 99 тоді і тільки тоді, коли саме число ділиться на 99. Ознака подільності на 101 Розіб’ємо число на групи по 2 цифри справа наліво (у самій лівій групі може бути одна цифра) і знайдемо суму цих груп з змінними знаками, вважаючи їх двозначними числами. Ця сума ділиться на 101 тоді і тільки тоді, коли саме число ділиться на 101. Наприклад, 590547 ділиться на 101, так як 59-05 +47 = 101 ділиться на 101. Число ділиться на n-у ступінь двійки тоді і тільки тоді, коли число, утворене його останніми n цифрами, ділиться на ту ж ступінь. Число ділиться на n-у ступінь п’ятірки тоді і тільки тоді, коли число, утворене його останніми n цифрами, ділиться на ту ж ступінь. -1 Розіб’ємо число на групи по n цифр справа наліво (у самій лівій групі може бути від 1 до n цифр) і знайдемо суму цих груп, вважаючи їх n-значними числами.

ЗАСТОСУВАННЯ ОЗНАК ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ: Задача1. У книжковому магазині п'ятикласник Мишко попросив у продавця стирачку за 3 гривні, кулькову ручку за 6 гривень, 3 пачки кольорових олівців і 11 зошитів, ціну яких він не знав. Продавець озвучив вартість всієї покупки, вона склала 54 гривні 40 копійок. Мишко заперечив, попросив перерахувати і виправити помилку Задача 2. «Мама принесла дітям три однакових подарунка. Чи може бути, що у всіх подарунках було 25 цукерок? 75 цукерок? 63 цукерки? « Задача 3. «У кожному стійлі корівника 9 корів. Чи може бути, що всього в корівнику 542 корови? 288 корів? » Задача4. «Зібрали 2 ц 2 кг яблук і частина з них розклали в 4 однакових ящика. Чи могло після цього залишитися: 81 кг яблук? 42 кг яблук? Задача5. Не виконуючи ділення, довести, що число7920 ділиться на 60. Задача 6. Як можна видати 78 копійок, маючи лише монети по три та п»ять копійок.

4.15. ЦІКАВІ ЗАДАЧІ НА ВІДСОТКИ Слово відсоток від латинського слова про Centum, що буквально означає «за сотню» або «зі ста». Ідея вираження частин цілого постійно в одних і тих же частках, викликана практичними міркуваннями, народилася ще в давнину у вавилонян. Ряд клинописних табличок присвячений обчисленню відсотків, однак вавилонські лихварі рахували не «зі ста», а «з шістдесяти». Відсотки були особливо поширені в Стародавньому Римі. Римляни

називали

відсотками

гроші,

які

платив

боржник

позичальнику за кожну сотню. Від римлян відсотки перейшли до інших народів Європи. Довгий час під відсотками розуміли виключно прибуток або збиток на кожні сто грошових одиниць. Вони застосовувалися тільки в торгових і грошових угодах. Потім область їх застосування розширилася, відсотки зустрічаються в господарських і фінансових розрахунках, статистиці, науці і техніці. Нині відсоток - це частковий вид десяткових дробів, сота частка цілого (прийнятого за одиницю). Знак % походить, як вважають, від італійського слова Cento (сто), яке в процентних розрахунках часто писалося скорочено CTO. Звідси шляхом подальшого спрощення в скоропису буква т перетворилася на похилу риску (/), виник сучасний символ для позначення відсотка.

Сучасне життя робить задачі на відсотки актуальними, оскільки сфера практичного застосування процентних розрахунків розширюється. Питання інфляції, підвищення цін, зростання вартості акцій, зниження купівельної здатності стосуються кожної людини в нашому суспільстві. Планування сімейного бюджету, вигідного вкладання грошей в банки, неможливі без уміння проводити нескладні процентні обчислення. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ: Задача 1. Що станеться з ціною товару, якщо спочатку її підвищити на 25%, а потім знизити на 25%? Розв'язання. Нехай ціна товару х грн.., тоді після підвищення товар коштує 125% колишньої ціни, тобто 1,25 х;, а після пониження на 25%, його вартість становить 75% або 0, 75 від підвищеної ціни, тобто 0,75 * 1,25 х = 0,9375 х, тоді ціна товару знизилася на 6, 25%, тому що х - 0,9375 х = 0,0625 х; 0,0625 х / х. 100% = 6,25% Відповідь: початкова ціна товару знизилася на 6,25%. Якщо

відомо

процентний

вміст

концентрація знаходиться за формулою:

речовини,

то

його

К = р/100%

де - концентрація речовини; р - процентний вміст речовини (у відсотках).

Задача 2. Є 2 сплави, в одному з яких, міститься 40%, а в іншому 20% срібла. Скільки кг другого сплаву потрібно додати до 20 кг першого, щоб після сплавлення разом отримати сплав, який містить 32% срібла? Розв'язання. Нехай до 20 кг перше сплаву потрібно додати х кг другого сплаву. Тоді отримаємо (20 + х) кг нового сплаву. У 20 кг першого сплаву міститься 0,4.х 20 = 8 (кг) срібла, в х кг другого сплаву міститься 0,2 х кг срібла, а в (20 + х) кг нового сплаву міститься 0,32. (20 + х) кг срібла. Складемо рівняння: 8 + 0,2 х = 0,32. (20 + х); х = 13 1/3. Відповідь: 13 1/3 кг другого сплаву потрібно додати до 20 кг першим, щоб отримати сплав, який містить 32% срібла. Задача 3. До 15 л 10%-ного розчину солі додали 5%-ний розчин солі і отримали 8%-ний розчин. Яку кількість літрів 5%-ного розчину додали? Розв'язання. Нехай додали х л 5%-ного розчину солі. Тоді нового розчину стало (15 + х) л, в якому міститися 0,8.Х (15 + х) л солі. У 15 л 10%ного розчину міститься 15Х 0,1 = 1,5 (л) солі, в х л 5%-ного розчину міститься 0,05 х (л) солі. Складемо рівняння. 1,5 + 0,05 х = 0,08. (15 + х); х = 10. Відповідь: додали 10 л 5%-ного розчину

100

.Задача 4 Зібралиі 100 кг грибів. Виявилося, що їх вологість 99%. Коли гриби підсушили, вологість знизилася до 98%. Якою стала маса цих грибів після підсушування? Розв'язання. Оскільки вологість грибів складає 99%, це означає, що на так звану «суху речовину припадає 1% грибів, тобто 1 кг. Після сушіння вологість складає 98%, тобто на «суху речовину» припадає 2%, тобто 1кг це 0,02 підсушених грибів, 1 кг: 0,02 = 50 кг . Відповідь. 50 кг. Задача 5. Ціна вхідного квитка на стадіон була 1гривня 80 копійок. Після зниження вхідної плати число глядачів збільшилася на 50%, а виручка зросла на 25%. Скільки став коштувати квиток після зниження? Розв'язання. Нехай глядачів, до зниження ціни, на стадіон приходило А чол. і виручка становила 1,8 А грн. Після зниження ціни, ціна 1,8 * р, глядачів стало 1,5 А, виручка становить 1,8 * р * 1,5 * А руб. З іншого боку, виручка підвищилася на 25%, тобто становить 1,25 * 1,8 А. Отримуємо 1,8 * р * 1,5 * А = 1,25 * 1,8 А., Звідки р = 12,5 / 15, тоді квиток коштує 1,8 * 12,5 / 15 = 1,5 грн. Відповідь. 1грн. 50 коп

101

Задача 6 . По дорозі йдуть два туриста. Перший з них робить кроки на 10% коротші і в той же час на 10% частіше, ніж другий. Хто з туристів йде швидше і чому ? Розв'язання. Нехай другий турист робить а кроків, кожен з яких дорівнює в, тоді ав це довжина пройденого шляху. А перший турист тоді пройшов 1, 1 * а * 0,9 * в = 0,99 * ав, що менше ав. Відповідь. Другий турист йде швидше Задача 7. Чисельник дробу збільшили на 20%. На скільки відсотків треба зменшити її знаменник, щоб у підсумку дріб зріс вдвічі? Розв'язання. Нехай даній дріб, новий дріб. , Звідки К = 0,6, що означає, що знаменник потрібно зменшити на 40% Відповідь. 40% Задача 8. Матроскін продає молоко через магазин і хоче отримувати за нього 25 рублів за літр. Магазин утримує 20% вартості проданого товару. За якою ціною буде продаватися молоко в магазині? Розв'язання. . Нехай молоко продає магазин по А руб, тоді після утримання 20% вартості товару, Матроскіну залишається 0,8 * А = 25, звідки А = 31, 25 руб. Відповідь. 31 руб. 25 коп 102

Задача 9

Один покупець купив 25% наявного шматка

полотна, другий покупець 30% залишку, а третій - 40.% Нового залишку. Скільки (у відсотках) полотна залишилося непроданим? Розв'язання. Нехай полотна було х. Перший купив 0,25 х, залишилося (10,25)х полотна, другий покупець купив 0,3 * 0,75 х = 0,225 х, залишилося 0,75 х -0225 х = 0,55 х, третій купив 0,4 * 0525 х = 0,21 х, залишилося 0525 х - 0, 21х = 0315 х, що складає 31,5% від х. Відповідь. 31,5% Задача 10 У басейн проведена труба. Внаслідок засмічення її приток води зменшився на 60%. На скільки відсотків внаслідок цього збільшиться час, необхідний для заповнення басейну Розв'язання. Нехай Х -. Об'єм води, який повинен поступити за час Т при притоці А в од часу, тобто Х = АТ. Оскільки приток зменшився на 60%, тобто став складати 0,4 А, тоді час став ТК. Отримаємо АТ = 0,4 А * КТ, звідки К = 2,5, що становить 250% від часу, необхідного на заповнення басейну до засмічення, тобто часом збільшилася на Відповідь. 150%

150%

Задача 11. 5 літрів вершків з вмістом жиру 35% змішали з 4 літрами 20%-них вершків і до суміші додали 1 літр чистої води. Який жирності вийшла суміш? Розв'язання. 0,35 * 5 +0,2 * 4 = р * (5 +4 +1), звідки р = 0,255, що становить Відповідь. 25,5%

25,5% 103

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ: 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Аменицкий Н.Н. Забавная арифметика. - М. : «Наука» , 1991 Баева Т.Ф. Уроки логічного мислення.-«Абетка», 2001 Балк Г.Д. Математика после уроков. Балк М.Б., - М.: «Просвещение», 1979. Евдокимов М.А. Задачи на резанье .М.:МЦНМО,2002Г. Зайкин М.И. Математический тренинг. Развитие комбинационной способности: книгадля учащихся5-7кл. М. : «Наука»,1996г. Ігнатьєв Є.І. У царстві кмітливості.- М., 1982. Коба В.І. Позакласна робота з математики. К.: Радянська школа, 1996 Конфорович Ф.Г. Математичні вечори у восьмирічній школі. - К.: «Радянська школа», 1974. Кострикина Н.П Задачи повышенной трудности в курсе 45-х классов- М.: «Просвещение», 1986 Паростки продуктивноі освіти: математичний гурток// Математика в школі.- 2009.-№ 11.- с.40-45. Подашов А. П. Вопросы внеклассной работы по математике в школе. – М.: Учпедгиз, 1962. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике: Кн.: для учащихся 5-7 -М.: Просвещение,2002г. Черватюк О.Г. Елементи цікавоі математи. - К.: «Радянська школа , 1968. Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике. - М.: «Просвещение», 1995. Фальке Л.Я.Час занимательной математики. Под ред. – М.: Илекса, 2005 Фридман Л.М. Как научиться решать задачи.М.:Просвещение, 1989г.

Матеріали для гуртка

А.М. Пушкарук.

4 з 16 Перекладіть чотири сірника з шістнадцяти, щоб утворилось три квадрата

Відповідь.

Виправлення на відстані.

 Виправте рівність так,щоб вона стало вірною, не торкаючись жодного сірника (не можна підпалювати, перекладати, пересувати і т.ін.).

3 з 12 Перекладіть 3 сірника з 12 так, щоб утворилось чотири однакових квадрата з трьох.

Відповідь.

Додайте непарну кількість сірників, щоб поділити квадрат 4х4 (16 сірників) на чотири області по 4 клітинки кожна. Гнути, ламати, перехрещувати сірники не можна.

Відповідь.

Квадрат

На рисунку зображений квадрат, викладений з 12 сірників. Його площа дорівнює 9 квадратним сірникам. Викладіть з цих самих 12 сірників фігуру площею 4 квадратних сірника. Ламати, гнути, перехрещувати сірники не можна. Ніяких висячих сірників не має бути. У фігурі мають бути використані всі 12 сірників.

Відповідь.

2 з 18

Переставте 2 сірника з 18 так, щоб замість 8 трикутників фігура стала складатись з 6 трикутників. Мають утворитись тільки трикутники і не має бути сірників, які вільно звисають.

Відповідь.

5 з 24 Приберіть 5 сірників з 24 так, щоб залишилось тільки 6 квадратів. Зараховуються квадрати будь-якого розміру

Відповідь.

3 квадрата Перекладіть 2 з 9 сірників так, щоб одержати три квадрата одного розміру. .

Відповідь.

Головоломка №1

 Дуже легка задачка, справляються навіть першокласники. Такий собі магічний квадрат, треба прибрати 8 сірників, щоб одержати 5 квадратів

 Головоломка №2  В цій задачі Вам потрібно перемістити 4 сірника, щоб одержати 9 квадратів.

Головоломка №3 В цій головоломці, яка з виду нагадує колесо, потрібно перемістити 4 сірника так, щоб одержати 3 трикутника

Головоломка №4  Задачка трохи складніша, треба прибрати шість сірників, щоб одержати три квадрата. Є як мінімум три варіанта розв»язування даноі головоломки .

Головоломка №5  Перемістити три сірника, щоб одержати п»ять однакових квадратів. Не поспішайте дивитись відповідь, подумайте як слід!

Головоломка №6  Перед Вами зображення стрілки, яка дивиться вгору. Шляхом переміщення 4 сірників потрібно зробити 2 точно таких стрілки.

Головоломка №7  А ось невелика задачка з підвохом. Перемістіть два сірника так, щоб одержати шість квадратів!!!

Головоломка №8  В цій головоломці потрібно перемістити два сірника, щоб з даноі фігури одержати шість трикутників. Є  два способи вирішення даноі загадки.

Головоломка №9  Дуже проста головоломка! Перемістіть три сірника так, щоб одержати чотири квадрата.

Головоломка №10  В цій головоломці, перемістіть два сірника так, щоб з пяти квадратів одержати чотири.

Головоломка №11  Як багато сірників в цій головоломці! Переміщенням чотирьох сірників маємо отримати 3 квадрата!

Головоломка №12  Переходимо до головоломок більш складних? Мета цієі головоломки перемістити шість сірників, щоб одержати шість ромбиків.

Головоломка №13  П»ять квадратів, а треба шляхом переміщення чотирьох сірників одержати три квадрата! Як Вам така головоломка?

Головоломка №14

В цій головоломці потрібно перемістити три сірника так, щоб в результаті одержати три квадрата.

Матеріали для математичного гуртка.

Як відомо, уміння розв»язувати задачі є одним з основних показників рівня математичного розвитку, глибини засвоєння учбового матеріалу. Тому всякий екзамен з математики, всяка перевірка знань містить в якості основноі і, напевне, найбільш важкоі частини, роз»язування задач.

Роз»язування текстових задач – це діяльність,яка є складною для більшості учнів. Мета даноі роботи - пошук нових і ефективних, не описаних в підручниках, способів вирішення різних задач, доступних для зоруміння і застосування основною масою школярів.

Рекомендаціі. Для того, щоб навчитися розв»язувати задачі, потрібно розібратися в тому, як вони побудовані, з яких частин складаються. Які інструменти,за допомогою яких, проводиться розв»язування задач.

Щоб легше було розв»язувати задачі треба знати такий алгоритм: 1.Про який процес йде мова в задачі? 2.Які величини характеризують цей процес? 3.Яким співвідношенням пов»язані величини? 4.Скільки різних процесів описується в задачі? 5.Чи є зв»язок між елементами?

Багато математичних задач допомогають розв»язувати спеціальні схеми, які складаються з точок і дуг або стрілок, які іх сполучають. Такі схеми називають графами, точки – вершинами графа, а дуги – ребрами графа.

Визначення:

Граф - це дві непорожніх множини, елементи першоі називаються вершинами, а другоі – ребрами. Кожне ребро з»єднує не більше двох вершин і любу пару вершин з»єднує не больше, ніж одне ребро. Граф зв»язний, якщо з будь-якоі вершини можна пройти в усяку іншу по ребрам. Циклом називається замкнений шлях з ребер, а деревом –зв»язний граф без циклів.

За допомогою графів можна розв»язувати задачі: 1) Логічні; 2) Комбінаторні; 3) Алгебраічні: на рух, на спільну роботу.

Логична задача.

Відомо, що з 6 гангстерів двоє брали участь в пограбуванні. На питання хто брав участь в пограбуванні дали такі відповіді: Дональд: Том і Чарлі. Гаррі: Чарлі і Джордж. Чарлі: Дональд і Джеймс. Джеймс: Дональд і Том. Джордж: Гаррі і Чарлі. Спіймати Тома не вдалось. Хто брав участь в пограбуванні, якщо відомо, четверо гангстерів вірно назвали одного з учасників пограбування, а один назвав невірно обидва імені?

Роз»язання:

Застосуємо графи, сполучаючи точки з іменами гангстерів, названих в припущеннях, відрізками. Получимо рисунок: Джордж

Чарлі

Дональд

Гаррі Том

Джеймс

Нам потрібно знайти дві такі точки, на яких разом приходиться 4 відрізка, але які відрізком не сполучені. Аналізуючи рисунок, бачимо, що це точки, які відповідають іменам Чарлі і Джеймс. Джордж

Чарлі

Дональд

Гаррі Том

Відповідь:

Джеймс

В пограбуванні брали участь Чарлі і Джеймс.

Комбінаторна задача. У кажного з чотирьох друзів є в лісі свій намет. Вони вирішили встановити між собою зв»язок за допомогою дротяного телефона. Питання: яку наименшу кількість ліній з дроту ім прийдеться провести, щоб кожен з них міг порозмовляти з кожним?

Розв»язання: 1

Відповідь: ім прийдеться провести не менше шести ліній з дроту.

Задача на рух. Турист проіхав на велосипеді 28км по шосе і 25км по грунтовій дорозі, витративши на весь шлях 3 години 30 хвилин. З якою швидкістю іхав турист по грунтівці, якщо відомо, що по шосе він іхав в 1,4 рази швидше?

Послідовно даючи відповіді на запитання слайда 6, аналізуємо умову задачі і схематично його записуємо за допомогою графа. Такий граф називаеться мережевим. Цим способом можна вирішувати текстові задачі, величини яких зв»язані співвідношенням А=В×С,тобто задачі на рух, на спільну роботу, заповнення басейна водою – як раз ті, які викликають найбільші труднощі у школярів

Граф: S ш =28 км

Sг = 25 км

20 V ш =1,4х км/год

Vг = х км/год

Vш= 1,4 V

tш

+ tг = 3,6 год

tш =

25 tп = x

Розв»язання. Нехай швидкість, з якою турист іхав грунтівкою, дорівнює х км/год. Тоді, згідно умови задачі швидкість, з якою він рухався по шосе, дорівнює 1,4 х км/год. Час, затрачений ним на рух по шосе, дорівнює 28:1,4х=20:х год, а час руху по грунтівці (25:х) год. За умовою задачі іх сума дорівнює 3,6 год.

Складемо рівняння: 20 25 + = 3,6 , x x x = 12,5. Отже, турист іхав грунтівкою зі швидкістю 12,5 км/год.

Відповідь: турист іхав грунтовою дорогою зі швидкістю12,5 км/год.

Задача на спільну роботу. Два экскаватори, працюючи разом, виконують деякий об»єм земляних робіт за 3 години 45 хвилин. Один екскаватор, працюючи самостійно, зможи виконати цей об»єм роботи на 4 години швидше, ніж другий. Скільки часу потрібно кажному екскаватору для виконання того ж об»єма земляних робіт самостійно?

Розв”язання: Туз знадобиться той алгоритм, який був на початку роботи: 1.Про який процес йде мова в задачі?- Про роботу. 2.Які величини характеризують цей процес?Робота, продуктивність, час. 3.Яким співвідношенням пов»язані ці величини?А=k*t. 4.Скільки різнихх процесів описується в задачі?Два: роботи двох екскаваторів окремо та іх спільноі роботи. 5.Чи є зв»язок між елементами ? –Так, це зв»язок між часом виконанням роботи першого і другого екскаватора.

Мережевий граф в даному випадку буде виглядати так: А=1

1 1

t1 = х + 4

х+4

t 1= t2 + 4

1 2

t 2= х

3 K = K1 +K

t= 3

А=1

1 1

t1 = х + 4

х+4

t1= t2 + 4 К

1 2

t 2= х

3 K = K1 +K

t= 3

Рівняння до задачі складемо по нижньому,

«горизонтальному» ребру. Складемо рівняння: 1 1 4 х + х + 4 = 15 Його коренями будуть числа 6 і -2,5, останнє з яких відкидаємо тому, що час - величина додатня.

Отже, час, за який перший екскаватор виконує цей об»єм роботи, дорівнює 6 годинам, а другий екскаватор виконає за 10 год. Відповідь:6 год, 10 год.

Висновок: За допомогою графів легше розв»язувати складні задачі.

Дякуємо за увагу! Бажаємо успіху!

Придумайте і розв”жіть подібні задачі.

«Історія виникнення та розвитку систем числення" Матеріали для гуртковоі роботи. А.М. Пушкарук.

Найпростіша і сама давня – так звана унарна система числення. В ній для запису будь-яких чисел (тобто кодування) використовується один символ: палочка, вузлик, зарубка, камінчик … Довжина запису при такому кодуванні прямо пов»язана з його величиною, що ріднить цей способ з геометричним уявленням чисел в вигляді відрізків. Самі того не розуміючи, цим кодом користуються малюки, показучи на пальцях свій вік. Саме унарна система числення до цих пір вводить дітей в світ лічби. У разних народів існували різні системи числення.

Історія системи рахунку на Русі В давнину на Русі широко застосовувались системи числення, які віддалено нагадували римськую. За іх домогою збирачі податків заповнювали квитанціі про сплату подати (ясака) и робили записи в податному зошиті. Наприклад, 1232 р. 24 коп. зображується так:

Славянська СС.

Системи числення.        

Десяткова система числення. Дванадцяткова система числення. П»ятерична система числення. Двадцатерична система числення. Алфавітні системи числення. Шестдесятична система числення Римська система числення. “Машинні” системи числення.

Десятична система числення. Мова чисел, як і будь-яка інша, має свій алфавіт. В цій мові чисел, якою ми зазвичай користуємось, алфавітом служать десять цифр – від 0 до 9. Це десяткова система числення. Системою числення ми будем називати спосіб подання числа символами деякого алфавіта, які називають цифрами. Причина, за якою десяткова система числення стала загальноприйнятою, зовсім не математична. Десять пальців рук – ось апарат для лічби, яким людина користується з доісторичних часів. Древнє зображення десяткових цифр не випадкове : кожна цифра означає число по кількості кутів в ній. Наприклад, 0 – кутів немає, 1 – один кут, і т. д. Написання десяткових цифр зазнало суттєвих змін. Форма, якою ми користуємося, встановилася в XVI столітті. Історично десяткова система числення склалась і розвинулась в Індии. Європейці запозичили індийску систему числення у арабів, назвавши іі арабською. Ця історично неправильна назва утимується і тепер. Створення і розвиток десятковоі системи числення стало одним з найважливіших досягнень людськоі думки (поряд з винаходом писемності). Однак десятковою системю числення люди користувались не завжди. В разні історичні періоди багато народів використовували інші системи числення.

Дванадцятична система числення. Досить широке разповсюдження мала дванадцяткова система числення. Походження іі також анатомічне. Подумайте, де у людини зручно рахувати до 12? Рахували фаланги пальців на руці крім великого. 4 пальці по три фаланги всього 12. Елементи дванадцятичноі системи числення збереглись в Англіі в системі мір (1 фут = 12 дюймів) і в грошовій системі (1 шилінг = 12 пенсам). Де ви ще зустрічали лічбу по 12? Нерідко і ми стикаємся в побуті з дванадцятковою системою числення: чайні и столові сервізи на 12 персон, комплект носових хусточок – 12 штук.

Пятерична система числення. За свідоцтвом відомого дослідника Африки Стенли, у деяких африканських племен була розповсюджена пятерична система числення. Довгий час користувались пятеричною системою числення і в Китаі. Очевидний звязок цієі системи з будовою людськоі руки.

Двадцятерична система числення. У ацтеків и майя – народів, що населяли протягом багатьох століть великі області Американського континенту і які створили там одну з найбільших культур, в тому числі і математичну, була прийнята двадцятерична система числення. Також двадцятерична система числення була прийнята й у кельтів, що населяли Західну Європу починаючи з другого тисячоліття до нашоі еры. Основу для лічби в цій системі числення складали пальці рук і ніг. Деякі сліди двадцатеричноі системи числення кельтів збереглись у французькій грошовій системі: основна грошова одиниця, франк, ділиться на 20 (1 франк = 20 су)

Алфавітні системи числення. Алфавитні системи числення уявляють особливу группу. В них для запису чисел використовувався буквений алфаіт. Прикладом алфавітноі системи числення являеться слав»янська. У одних слав»янських народів числові значення букв встановлювались в порядк слідування букв слав»янського алфавіта, у інших, в зокрема у давньо руських, роль цифр грали не всі букви, а тілько ті, які є в грцькому алфавіті. Над буквою, яка означала цифру, ставився специальный знак – “титло”. Славянська система числення збереглась в богослужебних книгах. Алфавітна система числення була разповсюджена у древніх армян, грузин, греків (іоническая система числення), арабів, евреів, та інших народів Ближнього сходу. Але в древньоармянському и древньогрузинському алфавітах було значно більше букв, ніж в древньогрецькому Це дозволило ввести особливі позначення для чисел 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000. Числові значення слідували порядку букв в армянському і грузинському алфавітах. Алфавітна нумерація була поширена до XVIII ст., хоча арабська нумерація вживалась в окремих випадках значно раніше (в грузинській літературі такі випадки походять до X- XI ст.; в пам»ятниках армянськоі математичноі літератури вони встановлені пока тілько до XV ст). В Арменіі алфавітна нумерація вживається і тепер для позначення глав в книгах, строф в віршах і т. п. В Грузіі алфавітна нумерація вышла з ужитку.

Шестидесятерична система числення Особливий інтерес представляє так звана “вавілонська”, чи шестидесятерична система числення, яка існувала в Древньому Вавілоні. Думки істориків про те, як саме виникла ця система числення, розходяться. Існує дві гіпотези. Перша виходить з того, що відбулось об»єднання двох племен, одне з яких користувалось шестеричню, друге – десятичной. Шестидесятерична система числення в даному випадку могла виникнути в результаті своєрідного політичного компромісу. Суть другоі гіпотези в тому, що древні вавілоняни вважали тривалість року 360 діб, что зв»язано с числом 60. Відлуння використання цієі системи с числення дійшли до наших днів. Наприклад, 1 год = 60 хвилинам. В цілому шестидесятерична система числення громіздка и незручна. В Древньому Вавілоні приблизно за сорок століть до нашого часу створилась помістна (позиційна) нумерація, тобто. такий спосіб зображення чисел, при якрму одна і та сама цифра може означати разные числа в залежності від місця,яке вона займає. Наша сучасна нумерація також помістна: в числі 52 цифра 5 означає п»ятьдесят, тобто 5*10, а в числі 576 ця ж цифра означає пятьсот, тобто. 5*10*10. В вавілонській помістній нумераціі ту роль, яку у нас грає число 10, грало число 60.

Римска система числення. Ця система числення з»явилась в Древньому Римі. Перші двінадцать натуральних чисел в римській системе записуються так: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII. Приклади запису чисел XXVIII – 28, MCMXXXV – 1935. З цими числами дуже важко проводити арифметичні діі. З цієі причини в наш час римська система числення використовуєтьмся там, де це дійсно зручно: в літературеі(нумерація глав), в оформленні документів (серія паспорта, цінних паперів та ін.), в декоративних цілях – на циферблаті годинника, в ряді інших випадків.

“Машинні” системи числення. Перед математиками і конструкторами в 50-х встала проблема знайти такі системи числення, які б відповідали вимогам, як розробників ЕОМ, так і тим,хто забеспечує програмне заспечення. Одним з підсумків цих досліджень стала значна зміна уявлень про системи числення і про методи обчислень. Виявмлось, що арифметичний рахунок, яким людина користується з древніх часів, може вдосконалюватися, подеколи дуже неочікуванно і на диво ефективно. Спеціалісти виділили так звану “машину” групу систем числення і розробили способи перетворення чисел цієі группи. До “машинних” систем числення відносяться:  Двоічна  Восьмерична  Шестнадцатерична Офіційне народження двоічноі арифметики пов»явязано з іменем Г.В. Лейбница, яких надрукував в 1703 р. статтю, в якій він розробив правила правила виконання арифметичних дій над двоічними числами. о двоичной

Дякуємо за увагу!

Круги Ейлера.

Презентація для математичного Гуртка.

Задача №1:

100 турістів, які ідуть в закордонну подорож, німецькою мовою володіють 30 людей, англійською - 28, французькою - 42. Англійською і німецькою одночасно володіють 8 людей, англійською і французькою 10, німецькою та французькою - 5, всіма трьома мовами - 3. Скільки туристів не володіють жодною мовою?

Розв»язання:

Виразимо умову задачі графічно. Позначимо колом тих, хто знає англійську, іншим колом - тих, хто знає французьку, і третім колом - тих, хто знають німецьку. французька німецька

англійська

Всіма трьома мовами володіють три туристи, в спільну

частину кругів вписуємо число 3. французька

німецька

Англійською та французькою володіють

англійська

10 людей, а 3 з них володіють ще й німецькою. Отже, англійською і французькою володіють 10-3=7 людей. В загальну частину англійського і французького кругів вписуємо цифру 7.

Ангійською і німецькою володіють 8 чоловік, а 3 з них володіють ще й французькою. Отже, англійською і німецькою володіють 8-3=5 чоловік. В загальну частину англійського і німецького кругів вписуємо 5.

французька

німецька 20 5

2 3

13 англійська

Німецьку і французьку знають 5 людей, а 3 з них знають ще й англійську. Отже, німецьку і французьку знають 5-3=2 чоловіка.

В загальну частину німецького і французького кругів вписуємо цифру 2.

Відомо, що німецьку знають 30 людей, але 5+3+2=10 з них знають і інші мови, отже, тільки німецьку знають 20 людей. Англійску знають 28 чоловік, але 5+3+7=15 знають і інші мови , отже, тільки англійську знають 13 чоловік. Французьку знають 42 людини, але 2+3+7=12 чоловіка володіють і іншими мовами , отже, тільки французьку знають 30 чоловік. За умовою всього 100 туристів. 20+30+13 +5+2+3+7=80 туристів знають хоча б одну мову, тому, 20 чоловік не знають жодноі мови

Відповідь:

20 чоловік.

Рисунки, подібні тим, що ми малювали при рорзв»язуванні цієі задачі , називають «кругами Ейлера». Один з видатних математиків Петербургськоі академіі Леонард Ейлер написав більше 850 наукових праць. В одній з них і з»явились ці круги. Ейлер писав тоді, що «вони дуже підходять для того, щоб полегшити наші міркування». Поряд з кругами в подібних задачах застосовують прямокутники і інші фігури.

Задача №2: В ясельній групі 11 діток люблять манну кашу, 13 –гречану і 7 малюків – перлову. Четверо люблять і манну, і гречану, 3 – манну і перлову, 6- гречану і перлову, а двоє з задоволенням ідять всі три види каші. Скільки дітей в цій групі, якщо в ній немає жодноі дитини , яка не любить кашу?

Розв»язання: манна

перлова

11 6

31 4 2

2 13 гречана

64 5

Відповідь:

6+1+2+2+0+4+5=20 дітей

Задача №3: В одній сем»і було багато дітей. 7 з них любили капусту, 6 – моркву, 5 – горох, 4 – капусту і моркву, 3 – капусту і горох, 2 – моркву і горох, 1 – і капусту, і моркву, і горох. Скільки дітей було всім»і?

Розв»язання: капуста

морква

5 1 горох

6 1 Відповідь: 10

чоловік.

Задача №4:

В групі 29 студентів. Серед них 14 любителі класичноі музики, 15 - джазу, 14 – народноі музики. Класичну музику і джаз слухають 6 студентів, народну музику і джаз – 7, класику і народну – 9. П»ятеро студентів слухають всяку музику, а решта не люблять ніякоі. Скільки іх?

Розв»язання: джаз

15 7 72

61 5

14 4

класична музика

14 3

народна музика

Відповідь:

29-7-2-1-5-3-4-4=3(чоловіка) – не люблять ніяку музику.

Задача №5: Учні 5 и 6 класів відправились на екскурсію. Хлопців було 16, учнів 6 класу – 24, п»ятикласниць стільки, скільки хлопчиків з 6 класу. Скільки всього дітей побували на екскурсіі?

Розв»язання: 16

хлопчики 5 клас

хлопчики 6 клас

дівчатка 5 клас дівчатка 6 клас

Відповідь: 40 чоловік.

Задача №6: На полу кімнати площею 24 м² лежать три ковра. Площа одного з них -10 м², другого – 8 м², третього – 6 м². Кажні два ковра перекриваються по площі 3 м², а площа ділянки підлоги, покритоі всіма трьома коврами, складає 1 м². Знайдіть площу ділянки підлоги: а)покрытоі першим і другим коврами, але не покритого третім ковром; б)покритого тільки першим ковром; в)не покритого коврами.

Розв»язання:

Відповідь: а) 10м²; б)5 м²; в) 24-10-5-1=8 м²

5 32

1 6

3 2 1

Задача №7

1. З 100 туристів 75 знали німецку і 83 знали французьку. 10 чоловік не знали жодноі ні німецькоі, ні французькоі. Скілько туристів знали обидві мови?

Розв»язання: німецька

французька

100-10=90

Одержимо рівняння: 75+83-х=90 158-х=90 х=68

Відповідь:

68 людей знали обидві мови

Задача для самостійного розв»язування:

1. З 40 опитаних людей 32 люблять молоко, 21 – лимонад, а 15 – і молоко, і лимонад. Скільки чоловік не люблять ні молоко, ні лимонад?

Відповідь: 2 чоловіка

Задача для самостійного розв»язування: 2. В неділю 19 учнів нашого класу побували в планетаріі, 10 – в цирку і 6 – в музеі. Планетарій та цирк відвідали 5 учнів; планетарій і музей – троє, в цирку і музеі був один учень. Скільки учнів в нашому класі, якщо ніхто не встиг відвідати всі три місця, а троє взагалі нікуди не ходили?

Відповідь: 20 человек

Задача для самостійного розв»зування: 3. В дитячому таборі відпочивало 70 дітей. З них 20 займаються в драмгуртку, 32 - в хоровому, 22 - в спортивному. В драмгуртку 10 дітей з хора, в хорі 6 спортсменів, в драмгуртку 8 спортсменів, а 3 спортсмена відвідують і драмгурток, і хор. Скольки дітей не співають в хорі, не цікавляться спортом і не займаються в драмгуртку? Скілько дітей зайняті спортом?

Відповідь: 10 дітей, 11 спортсменів.

Задача для самостійного розв»язування: 4.З співробітників фірми 16 побували у Франціі, 10 – в Італіі, 6 – в Англіі. В Англіі і Італіі – п»ятеро, в Англіі і Франціі – 6, в усіх трьох краінах – 5 працівників. Скільки людей відвідало і Італію, і Францію, якщо всього в фірмі працює 19 чоловік, і кожен з них побував хоча б в одній з названих краін? Відповідь: 7 співробітників