MATEMATIKA
tankönyv az általános iskola ötödik osztálya számára 1. rész első kiadás szerzők Mirjana Stojsavljević-Radovanović, Ljiljana Vuković, Jagoda Rančić fordította Madarász Mária illusztrálta Dušan Pavlić recenzensek dr. Zorana Lužanin, rendkívüli tanár, Természettudományi-matematikai Kar, Újvidék Gordana Nikolić, általános iskolai tanár, Duško Radović Á.I. szerkesztő Svjetlana Petrović a magyar nyelvű kiadás lektora Fülöp Gábor grafikai előkészítés Dušan Pavlić nyomdai előkészítés Nebojša Mitić kiadó Kreativni centar Gradištanska 8 Belgrád Tel/fax: 011/38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 www.kreativnicentar.rs a kiadó nevében Ljiljana Marinković, magiszter nyomtatás Publikum példányszám 2000 copyright ©Kreativni centar, 2010
CIP – Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51(075.2) СТОЈСАВЉЕВИЋ-Радовановић, Мирјана, 1951 Matematika : tankönyv az általános iskolá ötödiik osztálya számára, gyakorlófeladatokkal. Rész 1 / [szerzők Mirjana Stojsavljević-Radovanović, Ljiljana Vuković, Jagoda Rančić ; illusztrálta Dušan Pavlić ; fordította Madarász Mária]. - 1. kiad. - Beograd : Kreativni centar, 2010 (Beograd : Publikum). - 176 str. : ilustr. ; 27 cm Podatak o autorkama preuzet iz kolofona. Tiraž 2.000. ISBN 978-86-7781-784-8 1. Вуковић, Љиљана, 1963 [аутор] 2. Ранчић, Јагода, 1962 [аутор] COBISS.SR-ID 177275916
Szerbia Köztársaság oktatásügyi minisztere 2010. 07. 21-én kelt 650-02-00117/2010-06. számú végzésével jóváhagyta ennek a tankönyvnek a használatát az általános iskola 5. osztályában, a matematika tankönyv-család keretében.
176
MIRŐL SZÓL EZ A KÖNYV? BEVEZETŐ A TANANYAGBA Természetes számok halmaza . . . . . . . . . . . . . . .6 – 7 Halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 – 15 Mértani alakzatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 – 47 Oszthatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 – 81 Szög . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 – 121 TERMÉSZETES SZÁMOK HALMAZA Mit tudunk a természetes számokról? . . . . . . .8 – 13 HALMAZOK A halmaz, a halmaz jelölése, a halmaz eleme . .16 – 17 Halmazábra (Venn-diagram) és a halmaz magadási módjai . . . . . . . . . . .18 – 19 Üres halmaz. Halmazok egyenlősége. A halmaz elemeinek száma . . . . . . . . . . . . .20 – 22 Részhalmaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 – 26 Halmazok metszete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 – 32 Halmazok egyesítése – uniója . . . . . . . . . . . . .33 – 35 Halmazok különbsége . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 – 39 MÉRTANI ALAKZATOK Pont, egyenes, sík és tér . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 – 51 Félsík, félegyenes és szakasz . . . . . . . . . . . . . .52 – 54 Törött vonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 – 61 Tartomány, szög, vonal . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 – 65 Körvonal, kör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 – 69 Körív, húr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70 – 71 Körvonal és egyenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 – 73 OSZTHATÓSÁG Mit tudunk még a természetes számokról? . . .82 – 84 Oszthatóság az N0 halmazban . . . . . . . . . . . .85 – 88
Oszthatóság tízes egységgel, oszthatóság 2-vel és 5-tel . . . . . . . . . . . . . .91 – 93 Oszthatóság 3-mal és 9-cel . . . . . . . . . . . . . . .94 – 96 Oszthatóság 4-gyel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 – 98 Prímszámok és összetett számok. Prímtényezőre bontás . . . . . . . . . . . . . . .101 – 104 A közös osztó, a legnagyobb közös osztó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 – 106 A közös többszörös, a legkisebb közös többszörös . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 – 108 Az oszthatóság alkalmazása . . . . . . . . . . . .114 – 116 SZÖG A szög jelölése, a szögfajták . . . . . . . . . . . .122 – 124 Középponti szög, az ív és a húr. Szögmásolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 – 128 Szögek összehasonlítása . . . . . . . . . . . . . . .131 – 133 Szögek összeadása és kivonása . . . . . . . . . .134 – 135 Szögek mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 – 143 Szögek összeadása és kivonása mértékeik segítségével . . . . . . . . . . . . . . .144 – 145 Pótszögek és kiegészítőszögek . . . . . . . . . .149 – 150 Szomszédos szögek, mellékszögek és csúcsszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151 – 152 Transzverzálison fekvő szögek . . . . . . . . . .155 – 156 Párhuzamos szárú szögek . . . . . . . . . . . . . .157 – 158 JEGYEZD MEG! . . . . . . . . . . . . . . . . .43, 78, 117, 161 EZ IS MATEMATIKA . . . . . . . . . . . . .44, 79, 118, 162 KUTATÁSI FELADAT . . . . . . . . . . . . . . . .45, 119, 163 EREDMÉNYEK ÉS UTASÍTÁSOK . . . . . . . . .164 – 173
3
KÖNYVHASZNÁLATI ÚTMUTATÁS Minden fejezet olyan szövegekkel kezdődik, amelyek az elkövetkező órákon feldolgozandó tananyagot bevezetik. Ezek a tudománnyal és sporttal kapcsolatos érdekességek, amelyek segítenek megvilágítani, hogy a matematika alkalmazása és jelenléte az élet minden területén mennyire gyakori.
Mindegyik lecke egy érdekes feladattal kezdődik, amelyikben arra emlékeztetünk, amit már tudsz, és összefüggésben van az új ismeretekkel.
1
Anya elkészítette a házimunkák listáját. Ezeket Verának és Péternek kell elvégeznie:
– a játékok összeszedése – porszívózás – portörlés
– – – –
szemét kihordása kenyérvásárlás porszívózás a játékok összeszedése
Melyek azok a házimunkák, amelyeket a gyerekeknek kell elvégezniük? ............................................................ .................................................................................................................................................................................................................
Ez a madár figyelmeztet egy fontos szabályra vagy eljárásra, esetleg a lépések sorrendjére, ami segítséget nyújthat a feladat megoldásában.
Piros keretben a matematikai definíciók vannak.
4
EMLÉKEZZ VISSZA, HOGYAN HASONLÍTUNK ÖSSZE SZÖGEKET!
Egy szám osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal.
Kék keretben vannak azok a szabályok, eljárások, magyarázatok és példák, amelyek a feladat megoldását segíthetik.
Ha a 2 tört számlálóját és nevezőjét 4-gyel 3
szorozzuk, akkor a vele egyenlő 8 -et kapjuk. 12
A gemkapoccsal jelölt helyeken különböző dolgokról találsz adatokat. Megtudhatod, hogy hogyan fejlődött ki egy-egy fogalom, miként használják más tudományágakban, vagy a mindennapi beszédben.
⋅4 2 8 = 3 12 ⋅4
HÁROM TARTALMAZ: HAT SZÍNT ÁT – A NAPFÉNY KET ÉS SÁRG PIROSAT, KÉ – T T– ÍN ÍN SZ SZ ALAP KAPOTT EL SS RÉ VE GÁT. KE ÉS HÁROM NARANCSSÁR T, ZÖLDET ÉS IBOLYASZÍN KISÜT A ÁN UT Ő ES ÍNEKET, HA K. EZ A EZEKET A SZ IS LÁTHATJU NAP, AZ ÉGEN Y. SZIVÁRVÁN A G SÉ JELEN RVÁNYT BAN A SZIVÁ VEZIK. A TUDOMÁNY ÍNKÉPNEK NE AK VAGY SZ SPEKTRUMN
Az így jelölt helyek feladat-kidolgozásra, számolásra szolgálnak. JEGYEZD MEG! A szög mérésénél az alap mértékegység a fok. A jele 1°, az olvasata: egy fok. 130°
Az így jelölt oldalakon az előző fejezetben ismertetett alapvető szabályok vannak, amelyeket meg kell jegyezned.
Itt érdekes feladatokra találsz, melyek nem kizárólag a tananyaggal kapcsolatosak. Gondolkozz el, majd oldd meg – meglátod, szórakoztatóak.
40°
A SZÖGEK FAJTÁI hegyesszög
derékszög
tompaszög
egyenes szög
nemkonvex szög
teljes szög
kisebb mint 90°
90°-kal egyenlő
90° és 180° között
180°-kal egyenlő
180° és 360° között
360°-kal egyenlő
EZ IS MATEMATIKA 1
A helyiség padlózatát az ábrán látható módon kell kirakni. a) Színezd megfelelő színnel a nyolcszög, valamint a négyzet alakú lapokat az egész padlózaton! Hány négyzet alakú lapra van szükség? .............................. Hány egész nyolcszög alakú lapra van szükség? ..............................
A kutatási feladatok megoldásához olyan adatokra is szükséged lehet, amelyeket más könyvekben vagy az interneten is megtalálhatsz. Előfordulhat, hogy a tanár vagy a szülő segítségére lesz szükséged.
KUTATÁSI FELADAT Igornak 9 képecskéje van. Mindegyik képen egy ország zászlója, neve és fővárosának neve van. Segíts Igornak megoldani a következő feladatokat!
Japán (Tokió)
Szerbia (Belgrád)
Itália (Róma)
Németország (Berlin)
Kína (Peking)
Oroszország Lengyelország Franciaország Magyarország (Moszkva) (Varsó) (Budapest) (Párizs)
Határozd meg, a következő halmazoknak mely országok az elemei! 1) a zászlójukon kék szín van: ............................................................................................................................................................................................................................................................................................
A könyv végén találhatod a feladatok többségének megoldását, vagy a feladatmegoldáshoz szükséges utasításokat. Ezek segítségével ellenőrizheted a munkád pontosságát.
5
TERMÉSZETES SZÁMOK Valószínűleg senki közületek nem emlékszik arra, mikor is tanult meg számolni. Most próbáld meg elképzelni, milyen is lenne a világ, ha nem ismernénk a számokat. Azokat a szavakat használhatnánk, hogy: sok, kevés, nem épp sok .... és még hasonlókat. A számok minden idők legáltalánosabb találmánya. Lehet, hogy azt gondolod, hogy a komputer, az űrhajó, a mobil telefon és még más találmányok hasznosabbak és hathatósabbak, de ezek nem is léteznének a számok nélkül. A KÉPEKEN A VILÁG TÍZ LEGMAGASABB ÉPÜLETE LÁTHATÓ.
443 m Empire State Building, New York, USA, 1931
428 m Menara tévétorony, Kuala Lumpur, Malaysia, 1996
520 m Sears torony, Chicago, USA, 1974
452 m Petronas ikertorony, Kuala Lumpur, Malaysia, 1996
450 m John Hancock Center, Chicago, USA, 1969
539 m 508 m 468 m 421 m 555 m Osztankinó Tajpej 101, Pearl tévétoJin Mao toCN torony, tévétorony, Tajpej, Tajrony, Sanghaj, rony, Sanghaj, Toronto, KaMoszkva, van, 2004 Kína, 1995 Kína, 1997 nada, 1975 Oroszország, 1967 1. A képeken a világ tíz legmagasabb épülete látható. Az adatok között van a magasságuk és a felépítésük éve. a) A legmagasabb épület mellé írd be az 1-es számot, majd a következő mellé a 2-est, és így tovább sorjában, a legalacsonyabbig, amely a 10-es számot kapja! b) Írd a vonalra sorban az évszámokat, kezdve a legidősebb épület átadásától a legutóbb felépített épület átadásáig! ..................................................................................................................................................................................................... c) Mikor, melyik évben fogja a felsorolt épületek között a legidősebb létezésének századik évfordulóját ünnepelni? .......................................
6
HALMAZA 2. A Balkán legmagasabb épülete a Száva-torkolatnál levő üzletközpont, az Ušće. 134 m magas, és 25 emeletes. Ebben az épületben átlagban egy emelet magassága: • kevesebb mint 5 m •5m • több mint 5 m. Húzd alá a helyes választ!
Belgrád Nyugati Kapuja a Balkán legmagasabb épületénél 19 m-rel alacsonyabb. Számítsd ki a magasságát! .............................................................................................................................
A Beograđanka a múlt század hetvenes éveiben épült, és sokáig ennek a régiónak a legmagasabb épülete volt. A magassága a kilométer egytized része. Számítsd ki a magasságát méterben! .........................................................................................................................................................
Belgrád Keleti Kapuja 28 emeletes épület. Egy emeletének átlagmagassága 3 m. Mennyi az épület magasságának a megközelítő értéke? ..................................................................................................
Sorakoztasd fel ezeket az épületeket magasságuk alapján a nevük segítségével a legmagasabbtól a legalacsonyabbig! ....................................................................................................................................................................
A következő fejezetben felfrissítjük a korábban tanultakat a természetes számokról. 7
MIT TUDUNK A TERMÉSZETES SZÁMOKRÓL? Eddig megtanultatok számolni, olvasni és írni és összehasonlítani a természetes számokat. Elsajátítottátok a számtani műveletek végzését a természetes számokkal: az összeadást, a kivonást, a szorzást és az osztást. A következő néhány oldalon az előző osztályokban tanultakat ismételjük át.
Az {1, 2, 3, 4, 5, 6 .....} halmazt a természetes számok halmazának nevezzük. Jelölése N. Ha a természetes számok halmazát a 0-val bővítjük, akkor a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 .....} halmazt kapjuk, amelynek a jele N0.
1
Hogyan írjuk le szavakkal az 1 112 102 számot? Karikázd be a helyes választ: a) száztizenegyezer-kétezer-százkettő
HA VALAMIT SZÁMLÁLSZ, AZ ELSŐ SZÁM AZ 1.
b) egymillió-száztizenkétezer-száztizenkettő c) száztizenegyezer-kétszázkettő d) egymillió-száztizenkétezer-százkettő.
2
Folytasd a megfelelők összekötését: hetvenötezer-ötszáznégy
754 7504
hétszázötvenezer-ötszáznégy hétezer-ötszáznégy
750 504 75 504
hétszázötvennégy
7 500 504
hétmillió-ötszázezer-ötszáznégy
7 050 504
Az 1 a legkisebb természetes szám. Nincs legnagyobb természetes szám.
3
Írd a vonalra az 1100-at megelőző és az azt követő természetes számot! ................,
1100, ................
Minden természetes számot követ egy természetes szám. Ez az 1-gyel nagyobb szám. Az 1 kivételével minden természetes számot megelőz egy természetes szám. Ez az 1-gyel kisebb szám.
8
4
5
Az üres mezőkbe írd be a megelőző és a követő számot, mint ahogy az első sorban látod!
256
257
258
3000 20 011
£4 < 3345
Mely számjegy írható a négyzetes mezőbe úgy, hogy az egyenlőtlenség 3 3 igaz legyen? Válasz: a következő számjegyek írhatók: ...........................
egyenlőtlenség így olvassuk
az egyenlőtlenség megoldása az N halmazban
x<3
x kisebb mint 3
1, 2
x≤3
x kisebb vagy egyenlő 3-mal
1, 2, 3
x>3
x nagyobb mint 3
4, 5, 6, 7...
x≥3
x nagyobb vagy egyenlő 3-mal 3, 4, 5, 6, 7...
A természetes számok halmaza rendezett halmaz. Ez azt jelenti, hogy bármelyik két szám közül meg tudjuk határozni, melyik a kisebb és melyik a nagyobb.
6
A számegyenesen keresd meg az összes pontot, amelyekhez a 8-ig terjedő természetes számokat társítjuk! 0
1
5
8
A természetes számok grafikus megjelenítéséhez a számegyenest használjuk. 1
7
2
3
4
5
A teknős és a nyúl versenyez. Az ábra alapján számolj, majd válaszolj a kérdésekre: 0
1
2
cél
a) Hány egységszakasz van a rajttól a célig? .......... b) Ha az egységszakasznak a számegyenesen a természetben 3 m felel meg, mekkora a teknős és a nyúl közötti távolság? ................... c) A teknős 2 perc alatt tesz meg 1 m utat. Legalább hány percig szundikál a nyúl, ha a teknős utolérte? ................................
9
8
Egy állatkertben feltették a látogatóknak azt a kérdést, melyik állatot szeretnék otthon kedvencként tartani. A válaszokat grafikon segítségével ábrázoltuk. A grafikon alapján töltsd ki a táblázatot a már kitöltött sor mintájára!
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
a háziállat macska kutya papagáj halacskák teknős hörcsög nyúl
s g úl k a a áj cskkutyapag acskáteknőörcsö ny a m h p hal
9
Egy óvodában azt kérdezték a gyerekektől, hogy hány csésze tejet isznak naponta. A válaszokat a következő táblázatban látjuk rendszerezve. a megivott csésze tej száma
a gyerekek száma
0 1 2 3 4 5 6
6 15 13 10 5 3 1
a gyerekek száma 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
10
1
2
3
4
5
a megivott csésze tej száma
6
A kördiagramon látjuk, hogyan osztotta be Marika a házi feladat kidolgozására szánt időt a múlt héten.
földrajz történelem
angol nyelv magyar nyelv matematika
a) Marikának a matematika házi feladatok kidolgozásához a múlt héten 2 órára volt szüksége. Mennyi időt töltött az összes házi feladat kidolgozásával? ............................................ b) Becsüld fel, a házi feladatokra szánt idő hányad részét teszi ki az az idő, amit a matematikára, földrajzra és történelemre fordított Marika? Karikázd be a helyes választ! 3 • a teljes idő 5 része;
10
szavazatok száma 8
3 • a teljes idő 4 része;
2 • a teljes idő 5 része;
11
A kifejezés mellé az üres mezőbe írd be a ⳕ jelet, ha az egyenlőség igaz, és a ⊥ jelet, ha hamis! 275 + 25 = 25 + 275 275 – 25 = 25 – 275 275 ⋅ 25 = 25 ⋅ 275
A FELCSERÉLHETŐSÉG vagy KOMMUTATÍV tulajdonság. Bármelyik két, a és b természetes számra igaz, hogy: a+b=b+a a⋅b=b⋅a
275 : 25 = 25 : 275
12
EZT A TULAJDONSÁGOT AZ ÖSSZEADANDÓK ÉS A TÉNYEZŐK FELCSERÉLHETŐSÉGÉNEK NEVEZZÜK.
Kösd össze vonallal azokat a kifejezéseket, amelyeknek egyenlő az értékük! (42 ⋅ 16) ⋅ 10
100 – (101 –54)
(100 – 101) – 54
42 ⋅ (16 ⋅ 10)
240 : (60 : 2)
13
(155 + 101) + 54
155 + (101 + 54)
A CSOPORTOSÍTHATÓSÁG vagy az ASSZOCIATÍV tulajdonság. Bármelyik a, b és c természetes számra igaz, hogy: (a + b) + c = a + (b + c) (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
(240 : 60) : 2
EZT A TULAJDONSÁGOT AZ ÖSSZEADANDÓK ÉS TÉNYEZŐK CSOPORTOSÍTHATÓSÁGÁNAK NEVEZZÜK.
Számítsd ki! 52 250 : 25 – 15 ⋅ 101 + 18 = ................................................................................................................
A számkifejezés számokból, számtani műveletekből és zárójelekből áll. Minden számkifejezésnek van számértéke, amit úgy kapunk meg, hogy elvégezzük a számkifejezésben levő műveleteket.
14
Helyezz el a számkifejezésbe zárójeleket úgy, hogy az értéke az adott legyen! a) 200 + 100 : 4 + 16 = 205 b) 200 + 100 : 4 + 16 = 91 c) 200 + 100 : 4 + 16 = 15
A SZÁMKIFEJEZÉSBEN ELŐBB A • ÉS : SZÁMOLJUK KI, MAJD A + ÉS A – MŰVELETET. A ZÁRÓJELEK MEGVÁLTOZTATJÁK A MŰVELETEK SORRENDJÉT.
11
kifejezés
a+b
a kifejezés neve összeg
15
a–b
a⋅b
a:b
különbség
szorzat
hányados
a
összeadandó vagy tag
kisebbítendő
tényező
osztandó
b
összeadandó vagy tag
kivonandó
tényező
osztó
Adott a következő összeg: 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14. a) Mennyi az értéke? Az összeg értéke:................... b) Ha mindegyik összeadandót 5-tel növeljük, mekkora lesz akkor az összeg? Az összeg értéke:................... c) Ha az eredeti összeg mindegyik összeadandóját megkétszerezzük, mekkora lesz akkor az összeg? Az összeg értéke: ...................
A DISZTRIBUTÍV TULAJDONSÁG Bármelyik két természetes számra igaz: a ⋅ t + b ⋅ t = (a + b) ⋅ t a ⋅ t + b ⋅ t + c ⋅ t = (a + b + c) ⋅ t A szabályt 4, 5 vagy több összeadandó esetén is alkalmazhatod.
16
EZT A TULAJDONSÁGOT AZ ÖSSZEG EGY SZÁMMAL VALÓ SZORZÁSÁNAK SZABÁLYAKÉNT FEJEZTÜK KI. ALKALMAZD EZT A SZABÁLYT A 15. C) FELADATNÁL!
Írd fel a kifejezést műveletjelek segítségével! a) A 23 és 46 összegének kétszeresét: .............................................................. b) Az 1200 valamint a 120 kétszeresének a különbségét: ..................................................................... c) A 24 valamint az 1230 és a 349 összegének a szorzatát: .............................................................. d) Az 567 valamint a 120 és a 20 szorzatának összegét: ..................................................................
17
17. Számítsd ki az 51 és 37 összegének, valamint a 96 és 85 különbségének a hányadosát! ..................... A FELADATOT FOKOZATOSAN, RÉSZEIRE BONTVA IS MEGOLDHATOD: 1. LÉPÉS: SZÁMÍTSD KI AZ ÖSSZEGET! 2. LÉPÉS: SZÁMÍTSD KI A KÜLÖNBSÉGET! 3. LÉPÉS: SZÁMÍTSD KI A HÁNYADOST!
12
18
19
Töltsd ki a táblázatot! 1
b
10
100
1000
Töltsd ki a táblázatot!
100 000
b + 2 ⋅ (b + 1)
a
5
4
2
b
2
8
2
2⋅a+b
20
Számítsd ki a 2 ⋅ ( x + 4 ) kifejezés helyettesítési értékét, úgy, ahogy már elkezdtük! x = 12
2 ⋅ (12 + 4) = .........................................
x = 21
....................................................................
x = 100 ....................................................................
21
A 2 ⋅ ( x + 4 ) egy változós kifejezés. A változó különböző értékeit behelyettesítve kiszámíthatjuk a kifejezés behelyettesítési értékét. Ehhez táblázatot is használhatunk: x 2 ⋅ (x + 4)
...
1
2
3
4
5
10
12
14
16
18
Számítsd ki az adott téglalapok területét és kerületét! piros a = 6, b = 4
kék a = 8, b = 2
sárga a = 3, b = 7
terület a⋅b kerület 2⋅a+2⋅b 4
2 8
7
6 3
22
Peti képecskéket gyűjt egy albumba, amelybe 300 kép fér. Egy csomagolásban 5 képecske van, és 20 dinárért árulják. Ha minden csomagolásban egy másodpéldány is akad, legalább mennyi pénzre van szüksége, hogy az albumot megtöltse? MÁSODPÉLDÁNYNAK NEVEZZÜK AZT A KÉPECSKÉT, AMILYENBŐL MÁR VAN.
A válasz: .......................................................................
13
TARTALOM TERMÉSZETES SZÁMOK HALMAZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Mit tudunk a természetes számokról? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 HALMAZOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 A halmaz, a halmaz jelölése, a halmaz eleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 Halmazábra (Venn-diagram) és a halmaz megadási módjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 Üres halmaz, halmazok egyenlősége, a halmaz elemeinek száma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 Részhalmaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 Halmazok metszete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 Halmazok egyesítése – uniója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 Halmazok különbsége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 Jegyezd meg! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 Ez is matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 Kutatási feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 MÉRTANI ALAKZATOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 Pont, egyenes, sík és tér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 Félsík, félegyenes és szakasz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 Töröttvonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 Tartomány, szög, sokszög . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 Körvonal, kör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 Körív, húr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70 Körvonal és egyenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 Jegyezd meg! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 Ez is matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 OSZTHATÓSÁG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 Mit tudunk még a természetes számokról . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 Oszthatóság az No halmazban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 Oszthatóság tízes egységgel. Oszthatóság 2-vel és 5-tel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 Oszthatóság 3-mal és 9-cel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 Oszthatóság 4-gyel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 Prímszámok és összetett számok. A számok prímtényezős felbontása. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 Közös osztó és a legnagyobb közös osztó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 Közös többszörös, és a legkisebb közös többszörös . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109 Az oszthatóság alkalmazása – gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
174
Jegyezd meg! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 Ez is matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 Kutatási feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 SZÖG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 A szög jelölése. Szögfajták . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 Középponti szög, körív, húr. Szögmásolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129 Szögek összehasonlítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 Szögek összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 Szögek mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 Szögek összeadása és kivonása – számolás a szögmértékekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144 Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146 Pótszögek és kiegészítő szögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149 Szomszédos szögek, mellékszögek és csúcsszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151 Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 Transzverzálison fekvő szögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155 Párhuzamos szárú szögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157 Gyakorlófeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 Jegyezd meg! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161 Ez is matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162 Kutatási feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163 EREDMÉNYEK ÉS UTASÍTÁSOK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164
175