Мирјана Стојсављевић-Радовановић Љиљана Вуковић Јагода Ранчић
МАТЕМАТИКА Уџбеник за пети разред основне школе
0
1
2
O a
2,8 3
(
4
) (
a+ c+e = a+c +e b b d f b d f
(
) (
)
a+ c+e = a+c +e b d f b d f
)
5
ШТА САДРЖИ ОВА КЊИГА
УВОД У ТЕМЕ Природни бројеви и дељивост........................ 6–7 Основни појмови геометрије..............................43 Угао.................................................................... 69 Разломци (I део, II део)............................ 93, 141 Осна симетрија............................................... 127 ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ Шта знамо о природним бројевима............ 8–13 Скуп, обележавање скупа. Венов дијаграм. Подскуп.................................................... 14–19 Пресек, унија и разлика скупова............... 19–22 Дељивост у скупу N0 .................................. 23–25 Дељивост декадним јединицама, дељивост са 2, 5, 3, 9, 4, 25..................................... 25–29 Прости и сложени бројеви. Растављање бројева на просте чиниоце..................... 30–33 Својства дељивости..................................... 34–36 Највећи заједнички делилац. Најмањи заједнички садржалац............................ 36–40 ОСНОВНИ ПОЈМОВИ ГЕОМЕТРИЈЕ Тачке и праве, односи припадања и распореда. Однос правих у равни................. 44–47, 49–51 Дуж. Мерење дужине дужи. Преношење дужи........................ 47–49, 58–61 Област. Изломљена линија......................... 51–54 Кружница и круг......................................... 54–58 Централна симетрија................................... 61–63 Вектор и транслација................................... 64–66 УГАО Угао. Врсте углова....................................... 70–72 Једнакост углова. Упоређивање углова...... 72–76 Сабирање и одузимање углова....... 77–78, 81–83 Мерење углова............................................. 79–81 Суседни и упоредни углови. Угао између две праве................................................. 83–85
Углови на трансверзали.............................. 86–87 Углови с паралелним крацима................... 87–90 РАЗЛОМЦИ Шта знамо о разломцима........................... 94–95 Појам разломка........................................... 95–98 Проширивање и скраћивање разломака. 99–100 Упоређивање разломака......................... 100–102 Бројевна полуправа................................ 102–103 Децимални запис разломка.................... 104–106 Упоређивање децималних бројева......... 107–108 Заокругљивање бројева.......................... 109–110 Сабирање и одузимање децималних бројева ................................................. 110–112 Сабирање и одузимање разломака........ 112–116 Бројевни изрази...................... 116–117, 151–154 Једначине................................. 118–119, 154–157 Неједначине............................ 119–123, 157–159 Множење и дељење децималних бројева................................................. 142–147 Множење разломака. Дељење разломака............................................ 148–151 Аритметичка средина............................. 160–161 Размера.................................................... 161–163 Проценат................................................. 163–164 ОСНА СИМЕТРИЈА Примери осне симетрије........................ 128–129 Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетричност фигуре................ 129–133 Симетрала дужи. Симетрала угла.......... 134–138 ЗАПАМТИ.............. 42, 68, 92, 125–126, 140, 166 И ТО ЈЕ МАТЕМАТИКА............... 41, 67, 91, 124, 139–140, 165 РЕЗУЛТАТИ И УПУТСТВА........................ 167–180
Креативна школа
Мирјана Стојсављевић-Радовановић Љиљана Вуковић Јагода Ранчић
МАТЕМАТИКА Уџбеник за пети разред основне школе
5
УПУТСТВО ЗА КОРИШЋЕЊЕ КЊИГЕ Свако поглавље почиње текстовима који представљају увод у тему коју ћеш обрађивати на наредним часовима. Занимљивости из света науке и спорта о којима се говори у тим текстовима помоћи ће ти да увидиш да је градиво математике повезано са свакодневним животом.
РАЗЛОМЦИ (II ДЕО) Из искуства знате да се неки предмети на топлоти шире, а на хладноћи скупљају. На пример, челична шипка чија дужина износи један метар може се, услед промене температуре, у току дана издужити или скупити за неки део милиметра. Железничка пруга у коју је уграђено неколико хиљада метара такве челичне шипке у току истог дана може се издужити или скупити за неколико центиметара. Посао инжењера јесте да такво ширење или скупљање предвиди како би пруга била безбедна за превоз робе и путника. Да би се саградио мост или нека друга грађевина, да би се пројектовао аутомобил, авион или конструисао мобилни телефон, неопходно је много пута помножити и поделити како децималне бројеве тако и разломке.
Први мобилни телефон произведен је 1973. године. Био је тежак скоро један килограм и користио се само у аутомобилима. С напретком технологије, величина и цена мобилних телефона се смањују. Прва SMS порука послата је 1992. године, а први телефон с дигиталним фотоапаратом појавио се 1997. године. Данас велики број људи користи мобилне телефоне.
Број разговора наведен у рачуну за мобилни телефон корисника Петра Петровића приказан је на графикону. Једну петину свих разговора, на том рачуну, чине: разговори у оквиру мреже разговори ван мреже роминг. Који је одговор тачан?
171
54 45
роминг разговори у оквиру мреже разговори ван мреже
Из овог поглавља научићете: да множите и делите разломке, односно децималне бројеве како се рачуна аритметичка средина шта је то размера два броја.
Свака лекција почиње занимљивим задатком који ће те подсетити на оно што знаш, а у вези је с градивом које учиш.
1
Мама је направила списак кућних послова које обављају Пера и Вера.
- сређује играчке - усисава - брише прашину
- баца ђубре - купује хлеб - усисава - сређује играчке
Које све кућне послове обављају деца? Које кућне послове обављају и Вера и Пера?
Птица ће те подсетити на оно што је важно, а што ти може помоћи да решиш задатак: на правило, поступак, редослед корака у решавању и томе слично.
У зеленом оквиру представљене су математичке дефиниције.
4
x:2=8 Непознати дељеник
Делилац
Количник
Различите тачке A и A1 симетричне су у односу на праву s: • ако та права садржи средиште О дужи AA1 и • ако је нормална на дуж AA1. Права s је оса симетрије. Ако се тачке поклапају, оне су симетричне у односу на било коју праву која их садржи.
A
O
A1
s AA1 ^ s
AO = OA1
Овде се налазе занимљиви задаци који нису искључиво математички. Добро размисли, покушај и – видећеш да је забавно!
s O x \xOs = \sOy Полуправа Os јесте симетрала угла xOy.
тице српске). ди у Речнику Ма ше значења (ви ова. Степен ви угл а ње им н ре пе ме Реч сте сти за а која се кори атуре. Када иц ер ин мп јед те је ње ен ре Степ а за ме ично хладно. але је јединиц амо да је прил целзијусове ск ература 5°, зн рав? мп зд те је је да да ка мо ла каже вог те ење ература човеко мп те је ка на ли оз чило множ Ко матици да би се ује те ис ма зап у 4 ⋅ се 4 ⋅ сти 4 ⋅ 4 Реч степен кори , производ 4 ⋅ бом. На пример ри. броја самим со пен броја чети сте ти пе : се 5 та се као 4 и чи
На местима означеним спајалицом пронаћи ћеш податке из разних области. Сазнаћеш како су се неки појмови развијали кроз историју, како се користе у другим н аукама или у свакодневном говору.
На овим страницама налазе се основни појмови и правила из претходног поглавља које треба да запамтиш.
y
Симетрала угла јесте полуправа која дели тај угао на два подударна угла. Теме угла припада његовој симетрали. Права која садржи симетралу угла јесте његова једина оса симетрије.
Овако су означени делови текста у којима су наведени п оступци, правила, објашњења и решени примери који ће ти олакшати решавање задатака.
0
ЗАПАМТИ ПОЈАМ РАЗЛОМКА бројилац
a b
разломачка црта
Разломци су бројеви облика
a b
(a ∈N0, b ∈N).
именилац
3 Разломак 5 означава 3 дела од 5 једнаких делова.
3 Разломак 5 означава и количник бројева 3 и 5 и пише се:
Разломак је мањи од 1 ако је бројилац мањи од имениоца. 3 5<1
Разломак је једнак броју 1 ако је бројилац једнак имениоцу. 5 5=1
И ТО ЈЕ МАТЕМАТИКА
3 5 = 3 : 5.
2
сатенске траке дужине ПРОШИРИВАЊЕ И СКРАЋИВАЊЕ РАЗЛОМАКА 1 Како ћеш од комада 3 метра ⋅2
одсећи тачно пола метра без мерења? : 25
3= 6 5 10 ⋅2
Разломак је већи од 1 ако је бројилац већи од имениоца. 13 > 1 5 Запис у облику мешовитог 13 3 броја: 5 = 25 . Када пресавијеш траку напола, добићеш трећину метра. Пресавиј траку још једном.
75 = 3 100 4 : 25
Сестра и брат су направили белу кафу у шољама исте величине. Сестра је напунила трећину шоље црном кафом, а брат четвртину. Затим су шоље допунили млеком. Када УПОРЕЂИВАЊЕ је сестра попилаРАЗЛОМАКА једну четвртину, а брат једну трећину беле кафе, поново су допунили млеком идва испили их доисти, краја.већи Ко је • Кадашоље су имениоци разломка је попио• више Када млека? су имениоци и бројиоци два разломка
2
онај разломак чији је бројилац већи. различити, доводимо их на исте имениоце (или исте бројиоце). 4 3 3 Стари арабљански 5 >проблем 5 6 5 3 6 1 5 Један стари Арабљанин имао је три сина. На самрти5је= одредио 10 >које 10 10 и 2 = да 10 се 35 камила • Кадаим суоставља бројиоциу исти, већи је онајнаразломак наслеђе подели следећи начин: да најмлађи син добије половину од 3 1 ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ чијисвих је именилац камила, мањи. средњи трећину, а најстарији деветину. 5 >2 3GH3могли Синови никако да поделеOx. камиле јер број 35дуж није која дељивјениједнака са 2, њиховом збиру. 1. Нацртај дужи EF инису и полуправу Конструиши 4>5 ни са 3, нидуж са 9.која Конструиши је једнака њиховој разлици. Кадија коме су се обратили за помоћ пресудио је тако што им је позајмио једну 2. Нацртај отворену изломљену линију ABCDEF и конструиши њену дужину. камилу и спровео деобу. Сви су били задовољни. САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА 3. Нацртај троугао ABC. Колико је камила добио: Конструиши дуж чија јеисти, дужина једнака његовом обиму и разломака измери јеразличити, у милиметрима. •а) Када имениоци разломака сабирамо • Када су имениоци • су најмлађи син или одузимамо бројиоце. доводимо их на исте имениоце б) Измери његове странице и израчунај обим. • средњи син (проширивањем или скраћивањем). 4 3 7 2 најстарији 5 + 5• = 5 = 1 5 син? 7 3 3 15 12 27 4 + 5 = 20 + 20 = 20 = 120 4 3Преостале 1 камиле узео је кадија. 5–5=5 3 3 15 12 3 Колико? 4 – 5 = 20 – 20 = 20 K
На крају сваке лекције налазе се задаци чијим ћеш решавањем проверити усвојеност новог градива.
Како је могуће да је свакизадатака Арабљанинов син добио више него што је очекивао? На крају књиге дати су резултати већине или упутства Објасни. за њихово решавање која ће ти помоћи да провериш свој рад.
125
5
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ Сигурно се нико од вас не сећа тога када је научио да броји. Покушај да замислиш како би свет изгледао када не би постојали бројеви. Могле би да се користе речи мало, много, не баш много и сличне. Бројеви су један од најгенијалнијих изума свих времена. Можда мислиш да су компјутери, свемирски бродови, м обилни телефони и други изуми бољи и моћнији. Али њих не би било без коришћења б ројева. На сликама су неке од највиших грађевина на свету.
632 m Шангајски торањ Шангај, Кина, 2014
818 m Бурџ Калифа Дубаи, Уједињени Арапски Емирати, 2010
443 m Емпајер стејт билдинг Њујорк, САД, 1931
452 m Куле Петронас Куала Лумпур, Малезија, 1996
539 m ТВ торањ Останкино Москва, Русија, 1967
509 m Тајпеј 101 Тајпеј, Тајван, 2004
520 m Вилис тауер Чикаго, САД, 1974
634 m Toкио Скајтри Токио, Јапан 2012
556 m Лотe светски торањ Сеул, Јужна Кореја 2017
553 m Торањ CN Торонто, Канада, 1975
1. На сликама су приказане неке од највиших грађевина на свету. Дате су њихове висине и године изградње. а) Код највише грађевине упиши број 1, затим 2 код следеће по висини и тако редом, од највише до најниже, то јест до броја 10. б) Напиши редом године подизања ових грађевина, од најстарије грађевине до најмлађе. в) Које ће године најстарија од ових грађевина прославити један век постојања?
2. Једна од највиших зграда на Балкану јесте Пословни центар Ушће. Висока је 134 m и има 25 спратова. Просечна висина једног спрата ове зграде је: мања од 5 m 5m већа од 5 m. Који је одговор тачан?
Западна капија Београда нижа је 19 m од Пословног центра Ушће. Израчунај њену висину.
Београђанка је грађена почетком седамдесетих година ХХ века и дуго је била н ајвиша зграда у овом региону. Њена висина износи једну десетину километра. Израчунај њену висину у метрима.
Источна капија Београда има 28 спратова. Просечна висина једног њеног спрата износи око 3 m. Колика је приближна висина те зграде?
Висина Авалског торња је 205 метара. Колика је разлика у висини између Авалског торња и Пословног центра Ушће? а) Више од 70 m. б) Tачно 70 m. б) Mање од 70 m.
Поређај ове грађевине по висини, од најниже до највише, и напиши њихове називе.
У наредном поглављу обновићемо оно што сте већ учили о природним бројевима, а научићете нешто више о скуповима и скуповним операцијама. Научићете још неке особине бројева, па ћете знати како да: примените правила дељивости одредите највећи заједнички делилац и најмањи заједнички садржалац разликујете просте и сложене бројеве.
ШТА ЗНАМО О ПРИРОДНИМ БРОЈЕВИМА До сада сте учили да бројите, читате, записујете и упоређујете природне бројеве. Савладали сте и операције с њима: сабирање, одузимање, множење и дељење. На наредним странама обновићете градиво из претходних разреда.
•• скуп природних бројева •• рачунске операције •• својства операција ••бројевни изрази •• изрази с променљивом ••једначине ••неједначине
Скуп бројева {1, 2, 3, 4, 5, 6...} назива се скуп природних бројева. Означава се са N. Ако се скупу природних бројева дода број 0, добија се скуп бројева {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}, који се означава са N0.
1
Двособан стан у насељу Природа кошта 10 103 031 динар. Прочитај и запиши речима цену стана.
2
Запиши цифрама дате бројеве: а) петсто два б) две хиљаде дванаест в) четири милиона четири стотине четири. Број 1 је најмањи природни број. Не постоји највећи природни број.
Када нешто пребројаваш, почећеш од броја 1.
3
Поређај дате бројеве од најмањег до највећег: 505, 5 005, 5, 500 005, 55 и 50 005.
4
Напиши број који је: а) за 20 већи од 360 б) за 20 мањи од 360 в) 20 пута већи од 360 г) 20 пута мањи од 360. Сваки природни број има свог следбеника. То је број за један већи. Сваки природни број, осим јединице, има свог претходника. То је број за један мањи.
5
Упореди следеће бројеве: а) 79 и следбеник броја 77 б) 109 и претходник броја 110 в) претходник броја 100 и следбеник броја 101. Скуп природних бројева је уређен. То значи да се за свака два различита природна броја може одредити који је мањи, то јест који је већи.
6
8
Коју цифру треба уписати уместо звездице тако да неједнакост буде тачна? а) 258 < 25 < 260 б) 2 571 < 2 581 < 2 5 1 в) 2 51 < 2 151 < 2 251
*
*
*
За графичко представљање природних бројева користи се бројевна полуправа. e
На слици су полуправа Ox и дуж e, коју користимо као јединицу мере и називамо је јединичном дужи. Од почетне тачке O полуправе Ox јединичне дужи надовезују се једна на другу. Почетној тачки придружен је број 0, крају прве дужи број 1, крају друге број 2 и тако редом... На тај начин добија се бројевна полуправа.
O
Броју 2 бројевне полуправе придружена је тачка A. Број 2 назива се координатом тачке A, што се записује: A(2).
O
Сваком броју из N0 придружујемо само једну тачку на датој бројевној полуправој.
x
O
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
3
4
5
6
7
8
x
A 1
2
7
Бројевима 2, 4, 7 и 9 на бројевној полуправој редом придружи тачке A, B, C и D.
8
На бројевној полуправој одреди тачке и обележи их са првих девет природних бројева који су дељиви са 5. Колики је збир тих бројева?
9
Напиши координате тачака L, M и N.
M
Бројевна полуправа обично се црта хоризонтално. Међутим, она се може цртати и вертикално. Део вертикално приказане бројевне полуправе најчешће се среће код термометара или метарске скале на којој очитаваш своју висину.
L
1
N 0
Својство комутативности За било које природне бројеве a и b важи: a+b=b+a a ⋅ b = b ⋅ a.
10
Израчунај вредност израза: а) 37 + 73 б) 37 – 37 в) 73 + 37 г) 73 – 37 д) 37 ⋅ 73 ђ) 37 : 37 е) 73 ⋅ 37. Који изрази имају исту вредност?
Ова својства називали смо заменом места сабирака и заменом места чинилаца.
9
Својство асоцијативности За било које природне бројеве a, b и c важи: (a + b) + c = a + (b + c) (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c).
11
12
Израчунај: а) (109 + 191) + 119 б) 109 + (191 + 119) в) 225 ⋅ (4 ⋅ 18) г) (225 ⋅ 4) ⋅ 18. Који изрази имају исту вредност?
Ова својства називали смо здруживањем сабирака и здруживањем чинилаца.
Помоћу бројева 10, 20 и 50, заграда и рачунских операција + и ⋅ напиши израз чија ће вредност бити: а) 1 200 б) 1 500 в) 1 010. Бројевни израз састављен је од бројева, рачунских операција и заграда. На пример: 16 + 80 : 4 – 3 ⋅ (20 – 12) Сваки бројевни израз код ког се могу извршити све рачунске операције које се појављују у њему има своју вредност.
13
14
10
Израчунај: а) (12 + 18) : 6 б) 12 + 18 : 6 в) 18 : 6 – 12 : 6 г) 18 – 6 : (12 – 6). Који израз има најмању вредност, а који највећу?
У бројевном изразу прво рачунаш ⋅ и :, а затим + и –. Заграде мењају редослед (приоритет) рачунских операција.
Израз
a+b
a–b
a⋅b
a:b
Назив израза
збир
разлика
производ
количник
a
сабирак
умањеник
чинилац
дељеник
b
сабирак
умањилац
чинилац
делилац
Запиши одговарајући израз и израчунај његову вредност. а) Од броја 500 одузми количник броја 600 и збира бројева 54 и 66. б) Сабери двоструки производ бројева 16 и 38 и троструки збир тих бројева.
Својство дистрибутивности
Ово својство називали смо и множењем збира бројем.
За било које природне бројеве важи: a ⋅ t + b ⋅ t = (a + b) ⋅ t a ⋅ t + b ⋅ t + c ⋅ t = (a + b + c) ⋅ t.
Правило можеш да примениш и за четири сабирка, њих пет или више.
15
Користећи својство дистрибуције, израчунај вредност израза: а) 12 ⋅ 756 + 12 ⋅ 244 б) 311 ⋅ 4 + 311 ⋅ 5 + 311 в) 259 ⋅ 17 + 741 ⋅ 17 + 741 ⋅ 17 + 259 ⋅ 17.
16
Допиши заграде тако да добијеш тачне једнакости. a) 200 + 100 : 4 + 16 = 205 б) 200 + 100 : 4 + 16 = 91 в) 200 + 100 : 4 + 16 = 15
Израз као што је, на пример, 2 ⋅ (x + 4) назива се израз с променљивом. Вредност израза с променљивом зависи од вредности променљиве и за њега можемо да направимо таблицу вредности: x
1
2
3
4
5
2 ⋅ (x + 4)
10
12
14
16
18
...
17
Попуни таблицу вредности за израз 5 ⋅ x + 7 ако променљива x има вредност 0, 1, 10, 11, 100 или 101.
18
Дата је таблица вредности за израз a : 2 – 3 ⋅ b. a
202
344
560
708
870
b
28
57
75
64
145
a:2–3⋅b
17
3
55
162
0
За које вредности променљивих a и b вредност датог израза није тачна?
Формула за израчунавање обима и површине правоугаоника гласи: О = 2 ⋅ а + 2 ⋅ b P=а⋅b Формула за израчунавање обима и површине квадрата гласи: О = 4 ⋅ а P = а ⋅ а
11
19
Одреди површине и обиме датих правоугаоника. Црвени а = 6, b = 4
Плави а = 8, b = 2
Жути а = 3, b = 7
Површина Обим 4
8
2 7
6 3
20
Павле сваког дана убаци у касицу по 100 динара. У недељу, 11. марта, имао је 500 динара у касици. Састави израз и попуни таблицу вредности за суму новца у његовој касици од понедељка, 12. марта, до недеље, 18. марта, ако је број 1 додељен понедељку, број 2 уторку, број 3 среди итд.
21
Који број из скупа {3, 13, 23, 33} треба написати уместо * да би се добила тачна једнакост? а) 20 + * = 43 б) 60 − * = 27 в) * − 11 = 22 Једнакости с променљивом називамо једначинама. На пример: x + 17 = 21, 2 ⋅ x = 66, x : 2 = 14. Решење једначине јесте сваки број који, кад замени непознату у једначини, даје тачну бројевну једнакост.
22
Реши једначину и провери решење. a) x + 65 = 80 б) x − 23 = 61 в) 143 − x = 66 Непознати сабирак рачунаш тако што од збира одузмеш познати сабирак. Непознати умањеник рачунаш тако што на разлику додаш умањилац. Непознати умањилац рачунаш тако што од умањеника одузмеш разлику.
23
Реши једначину. a) 4 ⋅ x = 112 б) x : 312 = 3
в) 636 : x = 12
Непознати чинилац рачунаш тако што производ поделиш познатим чиниоцем. Непознати дељеник рачунаш тако што количник помножиш делиоцем. Непознати делилац рачунаш тако што дељеник поделиш количником.
24
25 12
Михаило је свом псу Божи купио конзерву хране од једног килограма. Колико је хране Божа појео ако му је остало 150 g? Помоћу које једначине можеш да решиш овај задатак? а) x – 150 = 1 000 б) x – 1 000 = 150 в) 1 000 – x = 150
1 kg = 1000 g
У збирци задатака из математике налази се 350 задатака. Анђела је решила 254 задатка. Ако сваког следећег дана реши по осам задатака, колико још дана треба да ради да би решила све задатке из збирке?
26
Обим троугла на слици је 36 cm. Састави једначину и израчунај страницу a.
Обим троугла можеш израчунати помоћу формуле: О=а+b+c
Неједначина
Читамо је:
Решење неједначине у скупу N
x<3
x је мање од 3
1, 2
x≤3
x је мање или једнако 3
1, 2, 3
x>3
x је веће од 3
4, 5, 6, 7...
x≥3
x је веће или једнако 3
3, 4, 5, 6, 7...
Неједнакост с променљивом назива се неједначином. Решење неједначине јесте сваки број који, када замени променљиву у неједначини, даје тачну бројевну неједнакост.
27
Попуни табелу. x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
24 + x а) Реши једначину 24 + x = 32. Заокружи решење у табели. б) Који су природни бројеви решења неједначине 24 + x < 32? Обој поља с тим бројевима у табели. в) Који су природни бројеви решења неједначине 24 + x > 32?
28
а) Реши једначину 18 − x = 12 у скупу N0. б) Који су природни бројеви решења неједначине 18 − x ≤ 12? в) Који су природни бројеви решења неједначине 18 − x > 12?
29
Реши неједначину у скупу N0. а) 6 + x ≤ 10 б) x − 15 < 4 в) 15 − x < 4
30
а) Реши једначину 8 ⋅ x = 88 у скупу N0. б) Који су природни бројеви решења неједначине 8 ⋅ x ≤ 88? в) Који су природни бројеви решења неједначине 8 ⋅ x > 88?
13
СКУП, ОБЕЛЕЖАВАЊЕ СКУПА. ВЕНОВ ДИЈАГРАМ Људе, предмете и појаве свакодневно групишемо или сврставамо по некој заједничкој особини. Предмете које учиш у школи често делиш на лаке и тешке, издвајаш оне који су ти занимљиви.
•• скуп ••елементи скупа ••симболи ∈ и ∉ ••задавање скупа ••Венов дијаграм
У јеловницима су јела сврстана у предјела, главна јела, десерте, салате. Ученици једне школе подељени су у разреде и одељења. Становнике на Земљи можемо груписати по старосном добу, по земљама у којима живе, по образовању, интересовањима и тако даље. Небеска тела Сунчевог система делимо на: планете, сателите, астероиде, комете и метеоре. Као што видите, људи, предмети и појаве могу се груписати на много начина. Можда нисте то очекивали, али у таквим ситуацијама користи се математика.
1
2
Почела је школска година. Треба поспремити радни сто. Напиши називе предмета с радног стола који припадају: а) школском прибору б) играчкама в) прибору за јело. Који су од бројева написаних на балону: а) парни бројеви прве десетице б) мањи од 8, а већи од 3 в) непарни бројеви друге десетице г) бројеви које можеш да поделиш са 3?
7
2 25
11 6 9
4
Пет је непаран број, а четири је паран број.
21 15 3
У претходним примерима издвојени су предмети и бројеви и на тај начин направљени су: скуп школског прибора скуп играчака скуп прибора за јело скупови бројева.
3
Скуп бројева из примера 2б записује се: А = {4, 6, 7}. Колико елемената има скуп А? Наведи бројеве написане на балону који нису елементи скупа А.
Назив скупа
B = {2, 4, 6, 8} Елементи скупа раздвајају се зарезима.
14
За запис скупа користе се велике заграде.
Скупови су најчешће обележени великим словима латинице: A, B, C… На пример: A = {1, 2, 3}, B = {a, b}. Објекти који чине скуп називају се елементима или члановима скупа. На пример: бројеви 1, 2 и 3 јесу елементи скупа A. Реченица Број 1 је елемент скупа А у математици се записује: 1 ∈ А. Ознака ∈ чита се: јесте елемент или припада. Реченица Број 4 није елемент скупа А у математици се записује: 4 ∉ А. Ознака ∉ чита се: није елемент или не припада.
4
Скуп парних бројева прве десетице записујеш: B = {2, 4, 6, 8, 10}. Да ли је број 2 елемент скупа B? Да ли је број 7 елемент скупа B?
5
Дати су скупови М = {101, 111, 101} и S = {110, 101}. За сваку реченицу напиши знак < ако она представља тачно тврђење или знак = ако је тврђење нетачно. 101 ∈ М 101 ∉ S 111 ∈ S 101 ∈ S 110 ∈ М Ознака < чита се: тачно; ознака = чита се: нетачно.
6
а) Запиши елементе скупа М који чине непарни бројеви треће десетице. б) Дати су бројеви: 23, 32, 28, 30, 33, 21. Који од њих припадају скупу М? Одговори употребљавајући симболе ∈ и ∉. Скуп B чине сви парни бројеви прве десетице. B = {2, 4, 6, 8, 10} Тај скуп може се приказати и овако: 4 2 10 8 6 B Овакав приказ скупа назива се Венов дијаграм.
7
Назив скупа B Затворена линија
1
2
Елемент скупа
3
Скуп B задат је Веновим дијаграмом на слици. Запиши скуп B набрајањем елемената. B
98 52
8
Венов дијаграм је графички приказ у којем се: скуп представља затвореном линијом сваки елемент уписује у њену унутрашњост.
8 13
9
Прикажи Bеновим дијаграмом скуп D = {25, 40, 63, 81, 100}. Досад смо научили неколико начина задавања скупова: 1. набрајањем елемената, на пример: А = {1, 5, 6, 9}, B = {а, м, п} 2. записивањем заједничке особине, на пример: скуп C чине сви природни бројеви мањи од 4 скуп D чине називи годишњих доба M b 3. графички, помоћу Веновог дијаграма, на пример: а v
15
У математици се реченица Скуп A чине сви природни бројеви мањи од 4 може скраћено записати и овако: A = {x | x ∈N и x < 4}. Запис A = {x | особина} правилно се чита: A Скуп А
9
{
=
је
|
x
скуп
свих елемената x
}
особина
који (таквих да)
имају особину
а) Примењујући претходну дефиницију, прочитај и напиши речима запис скупа A. A = {n | n ∈N и n < 6} б) Запиши скуп А набрајајући елементе. в) Нацртај Венов дијаграм скупа А.
10
а) Скуп B је скуп свих природних бројева већих од 11 и мањих од 16. Запиши скуп B математичким симболима примењујући претходну дефиницију. б) Запиши скуп B набрајајући елементе. в) Нацртај Венов дијаграм скупа B.
ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. П рикажи Веновим дијаграмом скуп: а) А = {11, 101, 111, 1 011} 2. Д ат је скуп К = {x | x ∈ N и x < 9}. Опиши речима скуп К тако што ћеш навести особине његових елемената. Запиши скуп К набрајајући његове елементе.
ПРАЗАН СКУП. ЈЕДНАКОСТ СКУПОВА. ПОДСКУП SKA
\AR
SUBOTICA
Senta
RU
Ba~ka Topola
Be~ej
J
a
M
~
n
SAD
a
Ba~ka NOVI Palanka
i{
F r u { k a 538 gora
D
N
m
Pan~evo
Dr
[abac
[
Smederevo
o a v q e
Sokobawa
h ija
Vrawe
t o
s Bosilegrad
o Uro{evac
JA
la n
[ar p
o
a in
v
I
an
in
A
o
PRI[TINA
Prizren
S
pl
a
Pirot
Gwilane
e
\akovica
N
a
K
RA BA
ar
ava
Leskovac
Pe}
M
t
Ni{
K
Prokupqe
Kosovska Mitrovica
GO
16
NI[ plica To
Novi Pazar
\eravica
S
Kru{evac
R
Trstenik
ZlatarskoIvawica jez.
A
AL
GA
Kwa`evac
r
Brus
N
BU
Jagodina
Kraqevo
a
r Zaje~ar
Prijepoqe
CR
Kra j i n
m
^a~ak
Negotin Bor
KRAGUJEVAC
Gorwi Milanovac
a
Priboj
bo
Majdanpek
j
i
d i
t
a
Aran|elovac Topola Takovo
la
Dunav
Po`arevac
Smederevska Palanka
m
Lazarevac
Bajina U`ice Ba{ta
Veliko Gradi{te
o
u
Loznica
Z
A
BEOGRAD P
in a
Sava
Vaqevo
а) Запиши скуп C чији су елементи све државе с којима се граничи наша земља. б) Запиши скуп S који чине све суседне државе наше земље чији назив почиње словом М. в) Запиши скуп E који чине све суседне државе наше земље чији назив почиње словом Е.
t
I
Ruma
e
Sava
JA
Tam
S
Vr{ac
a
O [id r Sremska Mitrovica
NI
U
k Zrewanin
V
BOSNA I HERCEGOVINA
Kikinda
B
O
HRV
Sombor
a
AT S K A
B
V
1
MA
••празан скуп ••једнакост скупова ••број елемената скупа ••подскуп ••симбол Ø ••симбол ⊂
K MA
EDO
NIJA
У математици се посматра и скуп с једним елементом, као и скуп без елемената.
Скуп који нема елемената назива се празан скуп и означава се са Ø или {}.
2
На часу физичког васпитања наставник је записао следеће податке у табелу. Дисциплина: трчање на 50 метара Име Милена Јована Весна Ивана Сенка Гоца
3
Време (у секундама) 13 10 11 11 10 13
Запиши скупове чији су чланови ученице које су 50 метара претрчале за: а) тачно 10 секунди б) тачно 11 секунди в) тачно 12 секунди г) више од 12 секунди.
Скуп А чине цифре броја 325, а скуп B чине цифре броја 532. Напиши елементе тих скупова. Којим скуповима припада елемент 5? Да ли сваки елемент скупа А припада и скупу B? Да ли сваки елемент скупа B припада и скупу А? Скупови A и B су једнаки ако имају исте елементе, то јест ако сваки елемент скупа А припада скупу B и ако сваки елемент скупа B припада скупу А. Пишемо: А = B.
4
Који су од датих скупова једнаки? А = {5, 6, 9} B = {5, 9, 6} C = {5, 6, 6} D = {5, 5, 6, 6, 9, 9} E = {6, 6, 9, 9, 9}
Скупови А и B нису једнаки ако неки елемент из скупа А не припада скупу B, односно ако неки елемент из скупа B не припада скупу А. Пишемо: А ≠ B.
Редослед навођења елемената у скупу није битан. Елементи скупа могу се наводити произвољним редом. На пример: {а, b, c} = {а, c, b} = {b, a, c}. Сваки елемент скупа наводи се само једном. На пример: {1, 3, 5, 3, 7} = {1, 3, 5, 7}. Број елемената скупа јесте број његових различитих елемената. На пример: број елемената скупа А = {0, 1, 2} јесте три. Ако скуп има један елемент, кажемо да је једночлан, ако има два елемента, кажемо да је двочлан, а ако има три елемента, кажемо да је трочлан итд.
5
а) Скуп А чине сви природни бројеви већи од 150 и мањи од 200. То се може записати овако: А = {151, 152, 153 ... 199}. Колико елемената има скуп А? б) Скуп B чине сви природни бројеви већи од 150. То се може записати овако: B = {151, 152, 153...}. Колико елемената има скуп B?
17
Када скуп има велики број елемената, за записивање његових елемената често се користи знак …
Музички састав који чине три члана (трочлани скуп) назива се трио.
На пример: скуп парних природних бројева прве стотине записујемо {2, 4, 6, …, 98, 100}; скуп свих природних бројева већих од 1000 записујемо {1001, 1002, 1003, …}.
6
Користећи знак …, испиши дате скупове. Скуп B чине сви природни бројеви већи од 1 100, а мањи од 1 500. Скуп C чине сви природни бројеви шесте стотине. Скуп D чине сви природни бројеви мањи од 1 000. Скуп А чине сви природни бројеви већи од 53.
7
а) Запиши скуп L који чине називи музичких инструмената са слике. б) Нацртај Венов дијаграм скупа L. в) Запиши скуп А који чине називи жичаних инструмената са слике. г) У Веновом приказу скупа L затвореном линијом и здвој елементе скупа А. Сви елементи скупа А припадају скупу L. Скуп А је подскуп скупа L.
Скуп А је подскуп скупа B ако сваки елемент скупа А припада и скупу B. Реченицу Скуп А је подскуп скупа B краће записујемо: А ⊂ B. Ако А није подскуп скупа B, онда се то записује: А ⊄ B.
Графички приказ Ако скупови А и B нису празни и А ⊂ B, тада се линија која одваја елементе скупа А налази унутар затворене линије која представља скуп B.
B А
Сваки елемент скупа А је и елемент скупа B. Неки елемент скупа B је и елемент скупа А.
8
18
Дат је скуп А = {1, 3, 5}. Запиши све његове подскупове који имају: а) 0 елемената (празан скуп) б) 1 елемент (једночлани подскупови) в) 2 елемента (двочлани подскупови) г) 3 елемента (трочлани подскупови).
Ако желиш да нагласиш да је неки скуп C непразан, његов Венов дијаграм можеш приказати овако:
C
Три подскупа имају по два члана.
Празан скуп је подскуп сваког скупа (краће се пише: Ø ⊂ А). Сваки скуп је подскуп самог себе (краће се пише: А ⊂ А).
9
На основу Венових дијаграма утврди која су тврђења тачна. А⊂B C⊂А B⊂А B⊂C C⊂D D⊂А
B 4
А
1
D 5
C
2 3
6
ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. Скуп D чине сви парни бројеви треће десетице, а скуп К цифре броја 242 240. а) Напиши скупове D и К. б) Да ли су скупови D и К једнаки? Објасни. в) Колико елемената има скуп D, а колико скуп К? 2. Дат је Венов дијаграм. На основу дијаграма напиши: а) елементе скупа А б) елементе скупа B. Које је тврђење тачно? B⊂А А⊂B А=B
А
7 3
4 1
B 2
3. Вера је рођена 19. 11. 1993. године. а) Напиши скуп V који чине цифре Вериног датума рођења. б) Колико елемената има скуп V? в) Напиши све једночлане и двочлане подскупове скупа V.
ПРЕСЕК И УНИЈА СКУПОВА 1
Мама је направила списак кућних послова које обављају Пера и Вера.
- сређује играчке - усисава - брише прашину
••пресек скупова ••унија скупова ••симбол ∩ ••симбол ∪ ••везници и, или
- баца ђубре - купује хлеб - усисава - сређује играчке
Које све кућне послове обављају деца? Које кућне послове обављају и Вера и Пера? Пресек скупова А и B јесте скуп свих елемената који припадају и скупу А и скупу B. Тај скуп означавамо са А ∩ B. Елементи који припадају скупу А и скупу B називају се заједничким елементима. Одређивање пресека скупова јесте скуповна операција.
19
Графички приказ Ако А ∩ B није празан скуп, тада се А Венови дијаграми та два скупа цртају тако да се делом поклопе, као што је приказано на слици. Осенчени део представља скуп А ∩ B. На пример: А = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 4, 5}
B
1
А
3
2 4
5
За опис пресека датих скупова користи се везник и.
B
А ∩ B = {2, 4}
2
Дати су скупови А = {2, 4, 6, 8}, B = {1, 2, 3, 4} и C = {6, 8}. Одреди пресек скупова: а) А и B б) А и C в) B и C. Нацртај Венов дијаграм.
Ако је A ∩ B = Ø, онда Венов дијаграм можеш да нацрташ овако:
B
А
Редослед корака при цртању Веновог дијаграма скупова који имају непразан пресек На пример: А = {2, 3, 8} и B = {3, 4, 8, 9}. 1. корак
2. корак
3. корак
Елементи скупа А ∩ B = {3, 8} уписују се у заједнички део скупова А и B. А B 3
Елемент 2 уписује се у скуп А, а не у скуп А ∩ B.
Елементи 4 и 9 уписују се у скуп B, а не у скуп А ∩ B.
А 2
8
3 4
Скуп S називамо унијом скупова А и B.
А 2
8
Изврши скуповне операције: а) {5, 6} ∩ {3, 5, 8, 9} б) {10, 25} ∩ {0, 1, 2, 5} Елементи скупа А јесу цифре броја 495, а скупа B цифрe броја 2 409. Напиши скуп S чији су елементи све цифре којима су записана оба броја.
B
3
3 8
B 4 9
в) {3, 5, 6} ∩ {5, 6}.
Унија скупова А и B јесте скуп свих елемената који припадају скупу А или скупу B. Тај скуп означавамо са А ∪ B. Сви елементи скупа А припадају унији и сви елементи скупа B припадају унији. Одређивање уније скупова јесте скуповна операција.
Графички приказ Осенчени део Веновог дијаграма представља скуп А ∪ B. На пример: А = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 4, 5}
А ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} А ∩ B = {2, 4}
20
А
А
B
1 3
2 4
5
B
За опис уније датих скупова користи се везник или.
5 6
Изврши скуповне операције: {5, 6} ∪ {3, 5, 8, 9} {3, 5, 6} ∪ {6, 5}
{3, 5, 6} ∪ {7, 8}
{10, 25 } ∪ {0, 1, 2, 5}.
На основу дијаграма напиши елементе скупова М, P, М ∩ P и М ∪ P. М P 7
1
3 0
7
Изврши назначене операције: {1, 2} ∩ {1, 2} {1, 2} ∪ {1, 2}
{1, 2} ∪ Ø
{1, 2} ∩ Ø.
ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. С купови М и P дати су Веновим дијаграмом. Напиши елементе скупова M, P, M ∪ P и M ∩ P. M
2 10
1 0
4
P
3
2. Дати су скупови А = {11, 23, 55, 4} и B = {21, 22, 23, 44, 55}. Запиши елементе скупа А ∩ B и A ∪ B.
РАЗЛИКА СКУПОВА 1
Јелена на плажи користи: наочаре за сунце, пераја, маску за роњење, душек и лопту. Михаило на плажи користи: качкет, лопту, душек и водени пиштољ. Које предмете користи само Јелена? Које предмете користи само Михаило?
2
Дати су скупови A = {6, 16, 61, 66} и B = {16, 61, 666}. Запиши скуп C чији су елементи бројеви који припадају скупу А, а не припадају скупу B.
••разлика скупова ••симбол \ ••речцa не
Скуп C назива се разликом скупа А и скупа B.
Разлика скупова А и B јесте скуп свих елемената који припадају скупу А, а не припадају скупу B. Тај скуп означавамо са А \ B. Одређивање разлике скупова јесте скуповна операција.
21
Графички приказ
А
B
Осенчени део представља скуп А \ B. На пример: А = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 5}
А
А \ B = {1, 3} А
1
2 4
3
B 5
B 5
За опис разлике датих скупова користи се речца не.
На основу слике запиши скупове A, B, А \ B и B \ А набрајањем елемената. А
B 1
4 3
4
2 4
3
B \ А = {5}
3
1
7
5
Дати су скупови А = {2, 3, 8} и B = {2, 4, 8, 9}. а) Одреди скупове А \ B и B \ А. б) Образложи зашто је 3 ∈ А \ B.
5
Дати су скупови C = {11, 15, 20, 25} и D = {15, 20, 30}. Запиши елементе скупова C \ D и D \ C.
6
Одреди скуп: а) {1, 0, 10} \ {10}
б) {2, 1, 5} \ {3, 4}
в) {2, 5} \ {2, 5, 3}
ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. Одреди: {1, 11, 21} \ {1, 21} и {1, 21} \ {1, 11, 21} 2. На основу Веновог дијаграма одреди: A ∩ B, A \ B, B \ A и A ∪ B. А
7 3
22
B 4 1 2
г) {5, 6, 7} \ Ø
д) Ø \ {3, 8}.
ДЕЉИВОСТ У СКУПУ N0 1
••дељеник ••делилац ••количник
а) Колико је посада учествовало на такмичењу у веслању ако се пријавило: 76 такмичара у категорији двојац без кормилара 64 такмичара у категорији четверац без кормилара 108 такмичара у категорији осмерац? б) Ако се пријави 96 такмичара, у којој се категорији они не могу такмичити под условом да сви учествују? 1) осмераца 2) четвераца 3) двојаца
••остатак •• дељивост бројева
Четверац без кормилара чини посада од четири члана. Све посаде могу бити с кормиларем или без њега, а само осмерац обавезно има кормилара и то је посада од девет чланова.
раве од 32 до 40 У трци на 2 000 m веслачи нап уту. завеслаја у мин арем на светском У категорији двојац с кормил ну (Енглеска) наш тим Ито у ине првенству 2006. год освојио је златну медаљу.
2
У одељењу има 23 ученика. Наставник математике жели да организује квиз. Екипе чине по 4 ученика, а одређују се извлачењем имена из шешира. а) Колико највише екипа може да учествује у овом квизу? б) Колико ученика из одељења није распоређено ни у једну екипу? (Ти ученици биће водитељи квиза.)
3
Скочко прави само скокове дужине 3 јединичне дужи полазећи од нуле. а) Да ли Скочко може да скочи на број 12? Ако може, колико ће скокова Скочко направити?
0 1 2 3 4 5 6 7 б) Да ли Скочко може да скочи на број 14?
4
8
9
*
10
11
У претходним разредима научили смо да број 12 можемо поделити бројем 3, а број 14 не можемо.
12
13
14
15
Подели и напиши одговарајуће бројеве уместо . 48 : 4 48 = 4 ⋅
35 : 9
*+0
35 = 9 ⋅
102 : 3
*+8
102 = 3 ⋅
281 : 18
*+*
281 = 18 ⋅
*+*
Количник и остатак при дељењу два броја одређују се на следећи начин: Дељеник
Делилац
Количник
376 : 12 = 31 –3 6 16 Остатак 1 2 4 На основу претходног поступка дељења број 376 можемо записати овако: 376 = 12 ⋅ 31 + 4.
23
Дељење броја a бројем b јесте одређивање бројева k и r тако да је a = b ⋅ k + r и r < b (a, k, r ∈N0, b ∈N). Дељеник
a=b⋅k+r
Количник
Делилац
5
Колики се остатак добија при дељењу? a) 124 : 3
Дељеник
б) 4 592 : 3
Делилац
Остатак
При дељењу са 3 остатак може бити 0, 1, 2, то јест остатак је увек мањи од делиоца.
в) 2 004 : 3
Количник
1 245 : 15 = 83 –120 45 –45 Остатак 0 На основу претходног поступка дељења број 1 245 може се записати овако: 1 245 = 15 ⋅ 83. Број 1 245 је дељив бројем 15 јер је остатак 0. Број a је дељив бројем b ако је у једнакости a = b k + r остатак r = 0, то јест a = b k. Реченица Број b је делилац броја a краће се записује: b | a. Она значи још и: број a је дељив бројем b број b је чинилац броја a број b се садржи у броју a број a је садржалац броја b. На пример, реченица Број 8 је делилац броја 56 краће се записује: 8 | 56. Она значи још и: број 56 је дељив бројем 8 број 8 је чинилац броја 56 број 8 се садржи у броју 56 број 56 је садржалац броја 8.
6
Која су тврђења тачна? 5 | 15 8 | 24 4 | 14
20 | 10
1 | 20
16 | 16
20 | 1
Одређујемо све делиоце броја 12. То су бројеви: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Они чине скуп који се назива скупом делилаца броја 12 и обележава се: D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Скуп делилаца било ког броја n означава се са Dn. Број 0 не припада скупу природних бројева. Производ нуле и било којег броја је нула, то јест 0 ⋅ b = 0. Број нула је дељив свим природним бројевима, то јест 0 : b = 0, где је b ∈N. Нулом не можемо да делимо. За сваки природни број важи да је дељив јединицом и самим собом.
24
7
Одреди скуп делилаца броја: а) 8 б) 15.
8
Одреди количник и остатак и запиши у облику једнакости a = b ⋅ k + r. а) 214 : 50 б) 372 : 6 в) 1 434 : 36
ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. Одреди количник и остатак и запиши у облику једнакости a = k ⋅ b + r. а) 281 : 7 б) 510 : 15 в) 1 730 : 24 2. Напиши скуп делилаца D16 за број 16. 3. Користи запис 18 | 36 и напиши пет садржалаца броја 18.
ДЕЉИВОСТ ДЕКАДНИМ ЈЕДИНИЦАМА. ДЕЉИВОСТ СА 2 И СА 5
•• дељивост природних бројева са 10, 100, 1 000… •• дељивост природних бројева са 2 •• дељивост природних бројева са 5
1
Мома жели да купи фото-апарат чија је цена 10 000 динара. Ако у новчанику има седам новчаница од 1 000 динара, колико му је за ту куповину још потребно новчаница од: а) 500 динара б) 200 динара в) 100 динара?
2
Који су од бројева 20, 23, 200, 450, 3 000, 4 302, 12 300, 66 000, 810 008 дељиви са: 10, 100, 1 000? Декадне Која је последња цифра у запису бројева дељивих са десет? јединице су 10, 100, 1 000, Које су последње две цифре у запису бројева дељивих са сто? 10 000... Које су последње три цифре у запису бројева дељивих са хиљаду? Природни број је дељив декадном јединицом ако се завршава с најмање онолико нула колико их има декадна јединица.
3
Којим су декадним јединицама дељиви следећи бројеви: 1 710, 100 800, 230 000, 3 505 000 и 203?
4
а) Дељењем провери који су од датих бројева дељиви са 2. 62, 73, 56, 24, 30, 235, 69, 321, 47, 98 б) Које су последње цифре датих бројева? в) Која је последња цифра за сваки од датих бројева који су дељиви са 2?
Број 203 није дељив са 10 јер му последња цифра није нула. Број 1 710 није дељив са 100 јер му последње две цифре нису нуле.
Број дељив са 2 јесте паран број. Број који није дељив са 2 је непаран број.
Број је дељив са 2 ако је његова последња цифра 0, 2, 4, 6 или 8.
25
5
Која су тврђења тачна? 2 | 455 10 | 9 000 100 | 6 700 2 | 784
6
Напиши скуп свих цифара које могу да замене a) 2 | 5 32 б) 2 | 5 32 в) 2 | 532.
7
У самопослузи је 300 кесица бомбона од 250 g препаковано у кесе од 500 g. Колико је кеса од 500 g потребно да би се препаковале све бомбоне?
8
а) Дељењем провери који су од датих бројева дељиви са 5. 55, 81, 34, 93, 340, 525, 622 б) Која је последња цифра свакoг од датих бројева који су дељиви са 5?
*
2 | 22 3 456 | 2
*
250 | 10 1 000 | 7 505 000
*
* у датом четвороцифреном броју тако да важи:
Број је дељив бројем 5 ако му је цифра јединица 0 или 5.
9 10
Који су бројеви дељиви са 5? 172 1 455 21 347 1 000
33 333
97 980
7 645
76 554
Дат је скуп A = {23, 32, 340, 35, 66, 1 005, 80, 112, 85}. Напиши елементе скупа: a) D – који чине сви бројеви из скупа A дељиви са 2 б) P – који чине сви бројеви из скупа A дељиви са 5 в) C – који чине сви бројеви из скупа A дељиви са 10 г) D ∩ P. Ако је број дељив са 2 и 5, онда је дељив и са 10. Важи и обрнуто. Сваки број дељив са 10 дељив је и са 2 и са 5. ељиви са 2 Бројеви дељ ив
и
Бр о ј
ид ев
5 са
Бројеви дељиви са 10
11
*
Које све цифре могу да стоје уместо у датом четвороцифреном броју тако да: а) број 2 35 буде дељив и са 2 и са 5 б) број 2 35 буде дељив са 5, а да не буде дељив са 2 в) број 2 35 буде дељив са 2, а да не буде дељив са 5 г) број 2 35 не буде дељив ни са 2, ни са 5?
* * * *
ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. Дати су бројеви 25, 40, 85, 100, 102, 150, 256, 500, 880, 1 000 и 1 002. Који су од датих бројева дељиви са: а) 2 б) 5 в) 10 г) 100 д) 1 000? 2. Напиши све бројеве: а) четврте десетице дељиве са 2 б) друге стотине дељиве са 5 в) треће хиљаде дељиве са 100. 3. Које све цифре можеш да напишеш уместо тако да троцифрени број 50 : а) буде дељив са 2, а да не буде дељив са 5 б) буде дељив са 5, а да не буде дељив са 2 в) буде дељив и са 2 и са 5 г) не буде дељив ни са 2 ни са 5?
*
26
*
ДЕЉИВОСТ СА 3 И СА 9 1
У табели су приказани резултати које је наш познати кошаркаш Пеђа Стојаковић остварио у NBA лиги у сезони 2003–2004. године.
•• дељивост природних бројева са 3 •• дељивост природних бројева са 9
Пеђа Стојаковић, сезона 2003–2004 Поени остварени из слободних бацања 392 Поени остварени из игре – двојке Поени остварени из тројки
28 m
850 720 6m 15 m
Колико је пута Пеђа Стојаковић погодио кош да би остварио: а) 850 поена из двојки б) 720 поена из тројки? Колико је укупно пута погодио кош у тој сезони?
Нека кошаркашка правила: линије доноси један поен. 12 cm од коша; погодак с те m 5 се ази нал ања бац на – Линија за слобод да убаци лопту у кош тројку, играч NBA лиге треба ег – Да би постигао такозвану варен у игри (с растојања мањ ост к ода коша или већег. Пог с растојања од 7 m 24 cm од ана двојка, доноси два поена. од 7 m 24 cm од коша), такозв љена је од коша 6 m 75 cm. Eвропи линија за тројку уда у ма ени тер им ашк арк кош – На
2
Подели дате бројеве са 3. 102, 91, 186, 222, 89 а) Који су од њих дељиви са 3? б) Израчунај збир цифара датих бројева. Који су од тих збирова дељиви са 3? Број је дељив са 3 ако је збир његових цифара дељив са 3.
3
Примени наведено правило и одреди који су од датих бројева дељиви са 3. 324, 392, 675, 851, 975, 1 377, 3 273, 4 351, 10 003, 21 343
4
Подели дате бројеве са 9. 99, 136, 47, 207 а) Који су од њих дељиви са 9? б) Израчунај збир цифара датих бројева. Који су од тих збирова дељиви са 9?
Број 392 није дељив са 3 јер му збир цифара (14) није дељив са 3.
Број је дељив са 9 ако је збир његових цифара дељив са 9.
5
Напиши три четвороцифрена броја дељива са 9.
27
6
а) Који су бројеви у табели дељиви са 3? б) Који су бројеви у табели дељиви са 9? 9 921
3 472
10 101
7 550
52 296
10 602
5 076
60 304
5 217
Број 52 296 није дељив са 9 јер му збир цифара није дељив са 9.
ељиви с
Бро ј
ид
а3
ев
Број дељив са 9 дељив је и са 3. Постоје бројеви који су дељиви са 3, а који нису дељиви са 9. Скуп бројева дељивих са 9 јесте подскуп скупа бројева дељивих са 3.
Бројеви дељиви са 9
ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. Дати су бројеви: 51, 72, 83, 105, 109, 135, 199, 222, 225, 381, 383, 387, 1 011, 1 017, 17 991, 17 996. Који су од њих: а) дељиви са 3 б) дељиви са 9 в) дељиви са 3, а нису дељиви са 9? 2. Напиши пет троцифрених бројева који су: а) дељиви са 3 б) дељиви са 9 в) дељиви са 2 и са 3 г) дељиви са 2 и са 9.
ДЕЉИВОСТ СА 4 И СА 25 1
Јован је рођен 29. 2. 2004. године. По који пут ће Јован 2020. године прославити свој рођендан ако га слави сваке преступне године? Који је одговор тачан? а) 2 б) 3 в) 4 г) 12
2
а) Напиши све бројеве из табеле који су дељиви са 4. 1 21 41 61 81
2 22 42 62 82
3 23 43 63 83
4 24 44 64 84
5 25 45 65 85
6 26 46 66 86
7 27 47 67 87
8 28 48 68 88
9 29 49 69 89
10 30 50 70 90
11 31 51 71 91
12 32 52 72 92
б) Напиши три двоцифрена броја која нису дељива са 4. в) Напиши све бројеве из табеле дељиве бројем 25. г) Напиши три двоцифрена броја која нису дељива са 25.
28
•• дељивост природних бројева са 4 •• дељивост природних бројева са 25
13 33 53 73 93
14 34 54 74 94
15 35 55 75 95
16 36 56 76 96
17 37 57 77 97
18 38 58 78 98
19 20 39 40 59 60 79 80 99 100
Број 36 дељив је са 2. Kоличник 18 је такође дељив са 2, па је број 36 дељив са 4. На тај начин може се проверити дељивост било ког броја са 4.
Последње две цифре неког вишецифреног броја чине његов двоцифрени завршетак. Он се чита и пише као одговарајући број. На пример: 356
3
56
300
0
302
2
Подели дате бројеве са 4. 104, 100, 226, 1 096 а) Који су од тих бројева дељиви са 4? б) Одреди двоцифрени завршетак за сваки од датих бројева. Који су од тих двоцифрених завршетака дељиви са 4?
Број 100 је дељив са 4 и са 25. Његов двоцифрени завршетак je 00.
Вишецифрени број је дељив са 4 ако је његов двоцифрени завршетак број дељив са 4. Вишецифрени број је дељив са 25 ако је његов двоцифрени завршетак број дељив са 25.
4
5
Који су бројеви дељиви са 4, а који са 25? 4 116 71 004 425 108 788 500 Који је од датих бројева дељив и са 4 и са 25? Напиши скуп свих цифара које могу да замене у четвороцифреном броју тако да важи: а) 4 3 4 2 б) 4 5 20 в) 4 1 76 г) 25 2 3 0 д) 25 6 12 ђ) 25 7 2 5.
* *
6
* *
*
453 275
*
Број 425 није дељив са 4 јер његов двоцифрени завршетак 25 није дељив са 4.
Ако је двоцифрени завршетак броја 00, 25, 50 или 75, онда је тај број дељив са 25.
*
Одреди све двоцифрене завршетке ab у петоцифреном броју 12 3ab, 62 < ab ≤ 80, али тако да тај број буде дељив сa: а) 4 б) 25.
ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. Који су од датих бројева дељиви са: а) 4 б) 25? 17 144, 356 200, 7 920, 89 196, 72 275, 544 850, 3 791 536, 917 225 2. Напиши све бројеве који су већи од 2 299 и мањи од 2 341, а дељиви су: а) са 4 б) са 25 в) и са 4 и са 25. 3. Напиши скуп цифара које могу да замене у петоцифреном броју тако да важи: а) 4 21 23 б) 4 13 2 2 в) 4 51 20 г) 25 31 4 0 д) 25 77 5 5.
*
*
*
*
*
а. ини фебруар има 29 дан је преступна. У тој год ина . год а ина врт год . чет 20 ка Сва една је 20 ина била је 2016, а нар сту Последња преступна год ђу њима су пре пне завршавају векови. Ме се а им кој није ине год су Изузетак На пример: 1900. година су дељиве бројем 400. е кој ине год оне о сам . преступна година. преступна, док је 2000
*
ФЕБ ‘1
6 ПУ СЧ 1 2 3 4 5П 6С Н 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 192021 22 23 24 25 2627 28 29
29
ПРОСТИ И СЛОЖЕНИ БРОЈЕВИ
••прости бројеви ••сложени бројеви ••Ератостеново сито
Пре више од тридесет год ина научници су се запита ли какав би то био универ језик у читавом свемиру зални који би могла да разуме ју ванземаљска интелиген бића. Закључили су да би тна то морали бити бројеви. Један од чувених низова бројева: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… назива се Фибоначи низ. Правило по којем се јев бројеви у њему ређају при лично је једноставно: сва следећи добија се сабира ки њем претходна два. На при мер: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21… Сада мож сами да одредите следећ ете е чланове Фибоначијевог низа. Ако пажљиво избројимо љуспе на једној од шишаркиних спирала, доб ићемо неке од бројева из Фибоначијевог низа, на пример 8, 13 или 21. И сунцокрет је „познавал ац“ математике. Бројеви његових семених плодов а одговарају члановима Фибоначијевог низа: 55, 89, 144 итд. До сада није пронађена ниједна појава у природи коју бисмо мог ли да опишемо низом бројева 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… који су дељиви само јединицом и сами собом. Зато су научници изабрали баш те бројеве као поруку Земљана. Сигнал има су помоћу моћних радио-телескопа послати далеко у свемир. Сада ослушкујемо и још чекамо одговор на нашу поруку.
1
Којим бројевима можеш поделити број 11?
2
Дати су бројеви: 1, 2, 3, 4, 8, 12, 19, 24. За сваки од тих бројева напиши све његове делиоце. Напиши оне бројеве који имају: а) само један делилац б) само два делиоца в) више од два делиоца. Прост број је природни број који има само два делиоца: 1 и сам тај број. Сложен број је природни број који има више од два делиоца. Број 1 не убрајамо ни у просте ни у сложене бројеве.
3
30
Који је од датих бројева прост, а који сложен? 9 21 97 19 121 61 224
Бројеве 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… називамо простим бројевима.
Број 3 је прост број, а 12 је сложен број.
Поступак за одређивање свих простих бројева који се налазе између два природна броја назива се Ератостеновим ситом. Тај поступак је добио име по грчком математичару, астроному и географу Ератостену. Одређујемо све просте бројеве мање од 20. 1. корак Пишемо све бројеве од 1 до 20. Прецртавамо број 1 јер није ни прост ни сложен број. 2. корак Заокружујемо први прост број, а то је 2, и прецртавамо све сложене бројеве дељиве са два (парне бројеве). 3. корак Заокружујемо прост број 3 и прецртавамо све сложене бројеве дељиве са три. Међу тим бројевима постоје и бројеви који су већ прецртани јер су дељиви и са 2 и са 3. То су бројеви 6, 12 и 18. 4. корак Заокружујемо прост број 5 и проверавамо да ли су у датом низу бројева већ прецртани сви бројеви дељиви са 5. Заокружујемо све преостале бројеве који нису прецртани.
Сви бројеви дељиви са 4 су већ прецртани јер су сложени и дељиви са 2.
Заокружени бројеви у датом низу бројева мањих од 20 jeсу прости бројеви: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Поступак прецртавања сложених бројева у Ератостеновом ситу завршавамо у кораку у ком заокружујемо прост број који, помножен самим собом, даје број већи од највећег броја у ситу. Сви преостали непрецртани бројеви су прости бројеви.
4
Напиши све бројеве од 21 до 50. Заокружи све просте бројеве и прецртај све сложене бројеве користећи Ератостеново сито.
У овом ситу прецртавај бројеве који су дељиви, редом, бројевима 2, 3, 5 и 7.
У датој таблици бројева од 1 до 100 заокружени су сви прости бројеви. Прецртан је број 1 и прецртани су сви сложени бројеви.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1. Који су од датих бројева прости, а који сложени? 8 25 83 31 169 79 288 2. Користећи Ератостеново сито, одреди све просте бројеве од 100 до 150.
31
РАСТАВЉАЊЕ БРОЈЕВА НА ПРОСТЕ ЧИНИОЦЕ
••чиниоци броја ••прости чиниоци броја ••растављање броја
1
Напиши просте бројеве мање од 20.
2
Од шест плочица облика квадрата састави правоугаоник. Колико различитих правоугаоника можеш да направиш?
Правоугаоници су различитих димензија, а исте површине.
Број 6 напиши као производ два чиниоца на два начина.
Правоугаоници обележени словима A и B, као и правоугаоници обележени словима C и D, једнаких су страница, али су у различитим положајима. Њихове површине су једнаке.
B 6=6⋅1 A C 6=1⋅6
6=3⋅2
D 6=2⋅3
3
Од 12 плочица облика квадрата састави све правоугаонике различитих страница. Нацртај сваки такав правоугаоник као што је показано у претходном примеру.
4
Број 12 напиши у облику производа на три начина. Напиши број 12 у облику производа простих бројева.
5
Који су бројеви написани као производи простих чинилаца? a) 121 = 11 ⋅ 11 б) 27 = 3 ⋅ 9 в) 35 = 5 ⋅ 7 г) 34 = 2 ⋅ 17 Када се неки број раставља на просте чиниоце, на пример број 30, могу се применити следећи кораци: 1. корак Б рој 30 је дељив са 2. 30 = 2 ⋅ 15 2. корак Б рој 15 није прост број и дељив је и са 3 и са 5. 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 3. корак Бројеви 2, 3, 5 jeсу прости бројеви. Краћи запис претходног поступка: 30 2 15 3 5 5 1 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5
32
МАТЕМАТИКА
Уџбеник за пети разред основне школе Аутори Мирјана Стојсављевић-Радовановић Љиљана Вуковић Јагода Ранчић Илустровао Душан Павлић Уредник Свјетлана Петровић Лектор Ивана Игњатовић Графичко обликовање Душан Павлић Припрема за штампу Љиљана Павков Издавач Креативни центар Градиштанска 8 Београд Тел./факс: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 www.kreativnicentar.rs За издавача мр Љиљана Маринковић Штампа Година штампе Тираж copyright © Креативни центар 2018
Министар просвете, науке и технолошког развоја Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника за наставу математике у петом разреду основне школе решењем број
А
B