Мирјана Стоjсављевић-Радовановић Љиљана Вуковић Јагода Ранчић
МАТЕМАТИКА Збирка задатака за пети разред основне школе
(
2 1 − 16 , : 7 + 11 4 20 4
)
( )
x ⋅ 1 − 1 ≥ 11 + 3 5 2 5
154 000
0
154 001
1
154 002
2
154 010
10
154 020
20
154 067
67
5
ШТА САДРЖИ ОВА КЊИГА ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ Шта знамо о природним бројевима .... 3–5, 13–15 Скуп, обележавање скупа. Венов дијаграм. Подскуп ................................................................ 6–9 Пресек, унија и разлика скупова .................... 9–13 Дељивост у скупу N0 ...................................... 15–17 Дељивост декадним јединицама, дељивост са 2, 5, 3, 9, 4, 25 ...................... 17–22 Прости и сложени бројеви. Растављање бројева на просте чиниоце ....................... 22–24 Својства дељивости ........................................ 24–25 Највећи заједнички делилац. Најмањи заједнички садржалац ............................... 25–28 Примена дељивости ....................................... 28–31 ОСНОВНИ ПОЈМОВИ ГЕОМЕТРИЈЕ Тачке и праве, односи припадања и распореда. Однос правих у равни ................... 33–36, 38–39 Дуж. Мерење дужине дужи. Преношење дужи ............................... 36–38, 46–48 Област. Изломљена линија ........................... 40–42 Кружница и круг ............................................ 42–46 Централна симетрија ..................................... 48–50 Вектор и транслација .................................... 50–52 УГАО Угао. Врсте углова .......................................... 54–55 Једнакост углова. Упоређивање углова ....... 55–57 Сабирање и одузимање углова ........ 58–59, 60–62 Мерење углова ............................................... 59–60 Суседни, упоредни и унакрсни углови. Угао између две праве ................................... 63–64 Углови на трансверзали ................................. 64–66 Углови с паралелним крацима ..................... 66–68 РАЗЛОМЦИ Појам разломка .............................................. 71–73 Проширивање и скраћивање разломака .... 73–75 Упоређивање разломака ............................... 75–76
2
Бројевна полуправа ....................................... 77–78 Децимални запис разломка .......................... 78–82 Упоређивање децималних бројева .............. 83–84 Заокругљивање бројева ........................................ 84 Разломци и децимални бројеви – утврђивање .. 85 Сабирање и одузимање децималних бројева ......................................................... 87–89 Сабирање и одузимање разломака ............ 89–93, 98–100 Бројевни изрази ............................. 93–94, 128–132 Једначине ........................................ 95–96, 132–134 Неједначине .................................... 96–98, 134–135 Примена једначина и неједначина .......... 135–136 Множење и дељење децималних бројева ..................................................... 116–122 Множење разломака. Дељење разломака ............................................... 122–128 Аритметичка средина ................................ 137–138 Размера ....................................................... 138–140 Проценат ..................................................... 140–141 ОСНА СИМЕТРИЈА Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетричност фигуре .................. 102–106 Симетрала дужи. Симетрала угла ............ 106–111 Осна симетрија – утврђивање .................. 111–114 СИСТЕМАТИЗАЦИЈА ТЕМЕ* ................. 32, 52–53, 69–70, 86, 101, 114–115, 142–143 ИСТРАЖИВАЧКИ ЗАДАТАК . 31, 68–69, 100, 142 РЕЗУЛТАТИ И УПУТСТВА ......................... 144–164 * Задаци у оквиру систематизације за свако поглавље подељени су у три нивоа (основни, средњи и напредни ниво) на основу процене и наставничког искуства ауторки, а ослоњени су на образовне стандарде за крај обавезног образовања.
Креативна школа
Мирјана Стојсављевић-Радовановић Љиљана Вуковић Јагода Ранчић
МАТЕМАТИКА Збирка задатака за пети разред основне школе
154 000
0
154 001
1
154 002
2
154 010
10
154 020
20
154 067
67
5
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ ШТА ЗНАМО О ПРИРОДНИМ БРОЈЕВИМА 1
2
Како се број 1 112 102 записује речима? а) Сто једанаест хиљада две хиљаде сто два
б) Милион сто дванаест хиљада сто дванаест
в) Сто једанаест хиљада двеста два
г) Милион сто дванаест хиљада сто два
Настави започето повезивање.
754
Седамдесет пет хиљада пет стотина четири
7 504
Седамсто педесет хиљада пет стотина четири 750 504 Седам хиљада пет стотина четири 75 504
Седамсто педесет четири
7 500 504
Седам милиона петсто хиљада пет стотина четири
7 050 504
3
Запиши претходника и следбеника броја 1 100.
4
У празна поља упиши претходнике и следбенике као што је започето.
256
257
258
3 000 20 011
4 < 3 345?
5
Које се све цифре могу уписати у празно поље тако да важи 3 3
6
На бројевној полуправој одреди све тачке које одговарају бројевима до 8. 0
7
1
5
8
Такмиче се корњача и зец. На основу цртежа израчунај и одговори на питања.
Старт 0
Циљ 1
2
а) Колико јединичних дужи има од старта до циља? б) Ако једној јединичној дужи на цртежу одговара 3 m у природи, колико метара износи растојање од корњаче до зеца? в) Корњачи треба два минута да пређе 1 m. Колико најмање минута треба да спава зец да би га корњача стигла?
3
8
На графикону су приказани одговори посетилаца зоо-врта на питање о томе коју би животињу волели да имају као кућног љубимца. На основу графикона попуни табелу као што је започето.
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Кућни љубимац Број гласова Мачка Пас Папагај Рибице Корњача Хрчак
ј с чка Па пага бицењача рчак Зец а а М Ри Кор Х П
9
10
Деци из једног обданишта постављено је питање о томе колико шоља млека попију у току једног дана. Резултати испитивања дати су у табели. Доврши цртање графикона. Број попијених шоља млека
Број деце
0 1 2 3 4 5 6
6 15 13 10 5 3 1
Зец Број деце 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1
2
3
4
5
У празно поље упиши знак < ако је једнакост тачна, а ако није тачна, упиши знак =.
Историја
275 + 25 = 25 + 275 275 ⋅ 25 = 25 ⋅ 275 275 : 25 = 25 : 275
4
Повежи линијом изразе који имају исту вредност.
(42 ⋅ 16) ⋅ 10
154 – (100 – 54)
(154 – 100) – 54
(155 + 101) + 54
155 + (101 + 54)
42 ⋅ (16 ⋅ 10)
240 : (60 : 2)
(240 : 60) : 2
Број шоља млека Енглески Језик
Географија
б) Процени који је део времена Милена потрошила за израду домаћих задатака из математике, географије и историје заједно. Који је одговор тачан? • 3 укупног времена • 3 укупног времена • 2 укупног времена 5 4 5
12
6
На графикону је дато време које је Милена потрошила за израду домаћих задатака у току прошле недеље. а) Ако је за израду домаћег задатка из математике Милена потрошила два сата, колико је укупно времена те недеље потрошила за израду свих домаћих задатака?
11
8
Српски Језик Математика
13
Израчунај: 52 250 : 25 – 15 ⋅ 101 + 18.
14
Дат је збир 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14.
Покушај да примениш својство дистрибуције у делу задатка под в).
а) Колика је његова вредност? б) Ако сваки сабирак датог збира повећаш за 5, колика је вредност тако добијеног збира? в) Ако сваки сабирак датог збира повећаш два пута, колика је вредност тако добијеног збира?
15
Запиши израз помоћу знакова операција. а) Двоструки збир бројева 23 и 46. б) Разлика броја 1 200 и двоструког броја 120. в) Производ броја 24 и збира бројева 1 230 и 349. г) Збир броја 567 и производа бројева 120 и 20.
16
Израчунај количник збира бројева 51 и 37 и разлике бројева 96 и 85.
17
Попуни табелу. b
1
10
Задатак можеш поступно да решаваш. 1. корак: Израчунај збир. 2. корак: Израчунај разлику. 3. корак: Израчунај количник.
100
1 000
100 000
b + 2 ⋅ (b + 1)
18
Попуни табелу.
a
5
4
2
b
2
8
2
2⋅a+b
19
Израчунај вредност израза 2 ⋅ (x + 4) као што је урађено под а): а) x = 12
2 ⋅ (12 + 4) = 2 ⋅ 16 = 32
б) x = 21
20
Да би попунио албум, Петар треба да залепи 300 сличица. Кесица која садржи пет сличица продаје се по цени од 20 динара. Ако се у свакој кесици налази један дупликат, колико је најмање новца Петру потребно да би попунио албум?
21
Израчунај:
а) 100 + 18 ⋅ 5
22
Израчунај:
а) 2 000 – 25 ⋅ 32 + 450 : 18
23
Реши једначину у скупу природних бројева. а) 74 + x = 238
24
в) (1 002 + 3 202) ⋅ 35 – 2 012.
в) 544 – x = 204
г) x – 325 = 222
б) 11 x = 1111
в) x : 45 = 900
г ) 6 700 : x = 67
в) 454 – x < 240
г) x – 325 > 222
Реши неједначину у скупу природних бројева. а) 212 + x < 221
26
в) 1 013 – 13 ⋅ 20 + 303 : 3.
б) 1 002 + 3 202 ⋅ 35 – 2 012
б) x + 120 = 430
Дупликати су једнаки примерци (исте сличице).
Реши једначину у скупу природних бројева. а) x 25 = 125
25
б) 132 + 8 ⋅ (212 + 38)
в) x = 100.
б) x + 102 > 320
Реши неједначину у скупу природних бројева водећи рачуна о изводљивости операција у N0. а) x 12 > 48
б) 16 x < 480
в) x : 5 ≤ 6
г ) 490 : x > 70
5
СКУП, ОБЕЛЕЖАВАЊЕ СКУПА. ВЕНОВ ДИЈАГРАМ 1
Запиши набрајањем елемената: а) скуп свих једноцифрених бројева б) скуп свих непарних једноцифрених бројева в) скуп свих двоцифрених бројева већих од 11 и мањих од 20.
2
Веновим дијаграмом прикажи скуп C = {22, 2, 34, 3, 4}.
3
*
На основу Веновог дијаграма, уместо напиши знак ∈ или ∉ тако да тврђење буде тачно. B
* *B c B * 10 B * 7 b
b
B 7
B
* *B a B * 1
1
a
3
3
10
c
4
Запиши скуп D чији су елементи парни бројеви друге десетице. Која су тврђења тачна? а) Број 14 је елемент скупа D. б) Број 26 је елемент скупа D. в) Број 8 није елемент скупа D. г) Број 20 није елемент скупа D. д) Број 21 није елемент скупа D.
5
На основу Веновог дијаграма заокружи тачна тврђења у табели. S m t m ∈S d ∉S n ∈S p n
d
t ∈S
p ∉S
k ∉S
k
6
Дат је скуп A = {x | x ∈ N и x < 7}. Опиши речима скуп A навођењем особине коју имају његови елементи.
7
Дат је скуп B = {y | y ∈ N и y < 11, y ≥ 3}. Запиши скуп B набрајајући елементе.
8
Запиши елементе датих скупова.
9
M = {x | x ∈N и x < 2}
R = {x | x ∈N и x > 1 348, x < 1 352}
P = {x | x ∈N и x < 1}
L = {x | x ∈N и x > 18}
Дат је скуп A = {x | x ∈N и x < 3}. а) Запиши скуп A набрајајући елементе. б) Опиши речима скуп A наводећи особине које имају његови елементи. в) Нацртај Венов дијаграм скупа A.
6
ЈЕДНАКОСТ СКУПОВА. ПОДСКУП 1
Дати су изрази: а) 6 – 2
б) 4 + 2
в) 3 ⋅ 2
г) 9 – 1
д) 8 – 4
ђ) 4 ⋅ 2.
Вредности израза под а), б) и г) чине скуп K. Напиши његове елементе. Вредности израза под в), д) и ђ) чине скуп V. Напиши његове елементе. Да ли су ти скупови једнаки?
2
У сваком од скупова A и B недостаје по један елемент. Допиши их тако да скупови A и B буду једнаки. A = {0, 1, ........., 55} B = {11, ........., 1, 0}
3
Поред сваке једнакости упиши реч ТАЧНО ако је једнакост тачна или реч НЕТАЧНО ако једнакост није тачна и објасни зашто је то тако. {34, 43} = {43, 34}
ТАЧНО
Редослед навођења елемената није битан
{m, m} = {m} {a, b, c} = {a, c} {1, 2, 3, 4, 5} = {4, 3, 1, 5, 2} {3, 3, c, 5, 5} = {5, 3, c} {43} = {34}
4
Колико елемената има сваки од датих скупова? A = {10} B = {21, 12} C = {11, 1001, 101, 1} D = {0}
5
Влада је написао бројеве 2, 3 021, 15, 5, 23, 45, 5 567, 81. Одлучио је да их распореди у скупове једноцифрених, двоцифрених, троцифрених и четвороцифрених бројева. Помози му да сваки број упише у одговарајући дијаграм.
Једноцифрени бројеви
6
Двоцифрени бројеви
Скуп {0} није празан скуп јер је 0 његов елемент.
Троцифрени бројеви
Број елемената празног скупа је нула.
Четвороцифрени бројеви
Колико елемента има: а) скуп који чине сви природни бројеви већи од 150, а мањи од 167 б) скуп који чине сви природни бројеви шесте стотине в) скуп који чине сви природни бројеви мањи од 1 000 г) скуп који чине сви природни бројеви већи од 53?
7
7
Дати су скупови A = {2, 4, 6 , 8, 10} и B = {4, 5 ,6}. Поред сваког тврђења напиши да ли је ТАЧНО (<) или НЕТАЧНО (=). Сваки елемент из скупа A јесте паран број. Сваки елемент из скупа A мањи је од 9. Сваки елемент из скупа B јесте паран број. Сваки елемент из скупа B мањи је од 9. Неки елементи из скупа A дељиви су са 4. Неки елементи из скупа A већи су од 10. Неки елементи из скупа B дељиви су са 2.
На свакој од ових застава налази се црвено поље. На некима од њих постоје три боје. На некима се налази круг.
8
За сваки од датих бројева одреди скуп цифара и број чланова тог скупа као што је започето. а) 4 322 A = {4, 3, .....} Скуп A има ........ елемента. б) 1 200 B = ...................... Скуп B ........ в) 2 433 C = ...................... ........ г) 20 002 D = .................... ........ д) 1 111 E = ...................... ........ ђ) 2 100 F = ...................... ........ Који су скупови једнаки?
9
Скупове A и B допуни елементима тако да буду једнаки. A = {3, 6, а, ....., .....}, B = {1, ....., 6, ....., с}
10
11
12
Настави као што је започето. M = {6, 7, 8...} = {x | x ∈N и x >5} P = {12, 13, 14...} = {x | x ∈N ............................} S = {12, 13, 14} = ................................................................... На основу слике заокружи слово испред тачног тврђења. а) 17 ⊂ М б) {21, 17} ⊂ P в) {16, 18} ⊂ М г) {15, 17, 21} ⊂ P
15 21
M
17 16
P
18
Дат је скуп А = {р, о, с, а}. а) Подскупови скупа А који имају два члана су: А1 = {р, о}, А2 = {р, ......}, А3 = {р, ......}, А4 = {о, ......}, А5 = ................, А6 = ................. б) Запиши подскупове скупа А који имају три члана. Колико има трочланих подскупова датог скупа? Трочлани скуп има осам подскупова.
13
Запиши све подскупове скупа T = {8, m, 2}.
14
Сви двочлани подскупови скупа C су: {2, 3}, {2, 5}, {2, 6}, {3, 5}, {3, 6}, {5, 6}. Запиши скуп C набрајањем његових елемената. Запиши све остале подскупове тог скупа.
матичар. енглески мате Џон Вен је био иказ био графички пр Први је употре с. на да ристимо и скупова који ко гов рад на У спомен на ње ављен Кембриџу напр у Универзитету траж. је приказани ви
8
15
Теодора је рођена 19. 10. 1993. године. а) Нека је A скуп цифара дана, B скуп цифара месеца и C скуп цифара године Теодориног рођења. Запиши њихове елементе. б) Колико елемената има скуп B? в) Колико елемената има скуп C? г) Који је од наведених скупова подскуп скупа C?
16
Скуп B је задат особином: Скуп B чине сви природни бројеви мањи од 16, а већи од 11. а) Запиши скуп B набрајањем елемената. б) Нацртај Венов дијаграм скупа B. в) Запиши скуп B навођењем особине коју имају његови елементи и користећи математичке симболе. г) Колико елемената има скуп B?
17
Испод сваког тврђења напиши реч да ако је оно тачно или реч не ако је нетачно. 3 ∈К
4 ∉К
Ø ∈К
{3} ⊂ К
{Ý} ⊂ К
{3} ∈ К
Ø
4
Ý
К
{3 }
ПРЕСЕК И УНИЈА СКУПОВА 1
Скупови су задати Веновим дијаграмом. Одреди скупове A и B навођењем њихових елемената. Које су једнакости тачне? а) A = {101, 1} б) A = {101, 1, 202, 22} в) A = {202, 22} г) A = {101, 1, 202, 22}
2
A
B 101
B = {2, 11, 0} B = {2, 11, 0} B = {202, 22, 11, 0} B = {202, 22, 11, 2, 0}
2
202
11
22
1
0
На основу Веновог дијаграма одреди пресек скупова A и B. а)
A
3
2
4
B
б)
A
в) 1
A
2
1
3 4 B 2
3
4
На основу слике кажи који елементи припадају скупу E, скупу M и пресеку скупова E и M. Шта је скуп M у односу на скуп E?
Скупове К = {d, 2, 4, b, 6, c} и L = {6, a, c, 8, 2, 1} Марија је представила Веновим дијаграмом, али је заборавила да упише неке елементе. Доврши започето уписивање елемената и помози јој да исправно попуни Венов дијаграм.
B 3
4
E M
К
d
8
L
1
4 b
а
9
5
а) {3, 2}
6
б) {5, 6}
в) {1}
г) {5, 6, 1, 3, 2}
T
S
Скупови S и T представљени су Веновим дијаграмом. Који је скуп њихова унија?
3
д) {5, 6, 1, 3, 5, 6}
2
5 6
1
Доврши Венов дијаграм и упиши елементе скупова. Одреди елементе њихове уније. а) T = {4, m, 9}, S = {m, е, 3} б) T = {4, m, 9}, R = {е, 3} в) T = {4, m, 9}, P = {m, 9} T
S
T
T
7
Елементи скупа A јесу сви природни бројеви мањи од 8 а елементи скупа B сви природни бројеви већи од 4 и мањи од 10. Напиши елементе скупова A, B и A ∪ B.
8
Дати су скупови A = {2, 4, 5, 7, 8}, B = {3, 4, 6, 7, 9, 10} и C = {1, 4, 5, 8, 9, 11}. Одреди елементе скупова A ∩ B, A ∩ B ∩ C, A ∪ B, A ∪ B ∪ C, (A ∩ B) ∪ C, A ∪ (B ∩ C).
9
Запиши елементе скупова E и F ако је: E ∪ F = {1, 2, 3, 4} 1 ∈E, 1 ∈F 2 ∈E ∩ F 3 ∈E, 3 ∉F 4 ∉E.
Задатке овог типа лакше ћеш решавати ако користиш Венове дијаграме.
РАЗЛИКА СКУПОВА 1
Изврши назначене скуповне операције: а) {1, 11, 101, 110, 1 011} \ {10, 101, 1 101} б) {10, 101, 1 101} \ {1, 11, 101, 110, 1 011}.
2
а) Одреди и напиши елементе скупова L, P, R ако је: L – скуп свих једноцифрених парних бројева P – скуп свих једноцифрених бројева већих од 2 R – скуп свих природних бројева већих од 4 и мањих од 11. б) Напиши елементе скупова: L \ R, L \ P, R \ P, R \ L, P \ L, P \ R.
3
Доврши Венов дијаграм и упиши елементе скупова. Одреди елементе њихове разлике. а) T = {а, m, 2}, S = {m, е, 2, 3} T
4
S
б) M = {4, m}, R = {е, 3}
в) L = {4, m, 9}, P = {m, 9}
R
Скупови су дати описно: S = {x | x ∈N0 и x ≤ 4}
P = {x | x ∈N и x < 4}. Запиши скупове набрајањем елемената. а) S б) P в) S ∪ P г) S ∩ P д) S \ P ђ) P \ S
10
P
5
Одреди и напиши елементе скупова ако је: A – скуп двоцифрених бројева чији је збир цифара 4 B – скуп двоцифрених бројева чији је производ цифара 2. а) A б) B в) A ∪ B г) A ∩ B д) A \ B ђ) B \ A
оћи у учењу Венови дијаграми могу ти пом других предмета. ш неке сличности Када треба да уочиш и запамти Венов дијаграм. ш исти и разлике, можеш да кор можеш приказати На пример, на следећи начин ића и цара нов које су особине Милоша Воји а Душанова идб Жен ми пес Душана поменуте у те. ичи разл сличне, а које
Милош Војиновић храбар мудар духовит
Збир цифара броја 35 је 3 + 5 = 8, а производ цифара је 3 5 = 15.
Цар Душан неопрезан осеЋајан лаковеран пожртвован поносан
СКУПОВИ И СКУПОВНЕ ОПЕРАЦИЈЕ 1
Прикажи Веновим дијаграмом дате скупове и одреди њихов пресек, унију и разлику: а) A = {31, 32, 33, 34, 35}, B = {32, 33, 34, 35, 36, 37} б) A = {m, n, p}, B = {g, f, h} в) A = {2, 3, а, b, 5}, B = {а, 2, b}.
2
Скуп A чине сви бројеви мањи од 20 које можеш да поделиш са 2 без остатка, а скуп B сви бројеви мањи од 20 које можеш да поделиш са 3 без остатка. а) Запиши елементе тих скупова. б) Одреди елементе скупа A ∩ B, A ∪ B. в) Прикажи скупове A и B Веновим дијаграмом.
3
За било који скуп A одреди: а) A ∪ A б) A ∪ Ø в) A ∩ A
г) A ∩ Ø.
4
За било који скуп B одреди: а) B \ B в) Ø \ B. б) B \ Ø
5
Скупове F = {101, 102, 103, 104, 1055} и G = {103, 104, 105, 106, 107, 108} прикажи Веновим дијаграмом и провери тачност једнакости (F \ G) ∪ (G \ F) = (F ∪ G) \ (F ∩ G).
6
Одреди елементе скупова A, B и A ∩ B ако је дато: A ∪ B = {Ш, К, О, Л, A} A \ B = {Ш} B \ A = {A, К}.
7
Ако ти је лакше – цртај.
Јована је за свој рођендан направила чоколадну и воћну торту. Позвала је 20 својих пријатеља. Свако од њих пробао је најмање једну торту. Чоколадну торту пробало је њих 15, а обе торте њих шесторо. Колико је њених пријатеља пробало воћну торту? Настави да решаваш задатак у свесци као што је започето. Č
V
Č – чоколадна торта V – воћна торта
Овај задатак можеш решити и применом Веновог дијаграма, тако што ћеш, уместо навођења елемената скупова, као што смо до сада радили, написати њихов број.
11
8
Аутобус са ученицима V1 каснио је у хотел у којем је било предвиђено да ученици вечерају и ноће. За вечеру су могли да добију пљескавицу у лепињи и питу од јабука. Вечерали су сви ученици V1. Петнаест ученика наручило је пљескавицу у лепињи и питу од јабука. Пљескавицу у лепињи наручила су 23 ученика, а питу од јабука тражило је 20 ученика. Колико ученика има у том одељењу?
9
У спортској хали срели су се Аца, Бане, Филип, Игор и Стефан. Сваки од њих тренира кошарку или одбојку, а неки од њих тренирају оба спорта. Ако знаш да: • Филип тренира кошарку, али не тренира одбојку • Аца тренира кошарку и одбојку Кошарка • Стефан тренира одбојку, али не тренира кошарку • Игор иде на тренинге и са Стефаном и са Филипом • Бане не тренира исти спорт као Стефан, распореди дечаке у одговарајуће скупове и одговори на следећа питања. Да ли сваки дечак тренира и кошарку и одбојку? Који дечаци тренирају кошарку, а не тренирају одбојку? Који дечаци тренирају само један спорт?
10
Пита
Одбојка
Од сто наставника у једној основној школи 15 не пије ни кафу ни чај. Само кафу пије њих 45, а само чај пије њих 20. Колико наставника у тој школи пије и кафу и чај?
Пробај и ово 11
Пљескавица
Дати су скупови A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {4, 6, 8, 9, 10} и C = {1, 2, 3, 4, 5}. Допуни започети Венов дијаграм скупова A, B, C. Одреди: A ∩ B ∩ C, A ∩ C, A ∩ B, B ∩ C.
B
A
3 4 2 5 C
Редослед корака при цртању Веновог дијаграма три скупа 1. корак: Н ацртај три скупа, A, B и C, као што су они у претходном задатку. 2. корак: О дреди пресек скупова A, B и C и његове елементе упиши у одговарајући део Веновог дијаграма. 3. корак: О дреди пресеке свака два скупа и у одговарајуће делове Веновог дијаграма упиши њихове преостале елементе. 4. корак: Д одај оне елементе који су преостали у скуповима.
12
13 12
На основу Веновог дијаграма одреди елементе скупова: а) R, S, T б) R ∩ S, R ∩ T, T ∩ S в) R ∪ S, R ∪ T, T ∪ S г) R \ S, R \ T, T \ S д) (R ∩ S) ∩ T, (R ∪ S) ∩ T ђ) R \ (T ∩ S), (R ∩ T) \ S, T \ (R ∪ S).
R
S c
a
b 45 3
51 10
T
Скупове M = {k, r, a, l, j, e, v, o}, P = {k, r, a, g, u, j, e, v, c}, S = {b, e, o, g, r, a, d} прикажи Веновим дијаграмом и одреди скуп: а) P \ (M ∪ S) б) (P ∩ S) \ M в) (M ∪ P) \ (M ∩ S).
14
15
Дати осенчени скуп записан је помоћу скуповних операција. Заокружи слова испред тачно записаног скупа. а) (M \ P) ∪ Н б) (M ∪ Н) \ P в) (Н \ P) ∪ M г) (M \ P) ∪ (Н \ P) Запиши осенчени скуп помоћу скуповних операција. а) б) A B A
C
16
M
H
P в)
B
A
B
C
На слици је Венов дијаграм скупова M, P и S. Осенчени скуп је: а) M ∩ P б) M \ (P ∩ S) в) (P ∪ M) \ S г) (P ∩ M) \ S д) M \ S. Који је одговор тачан?
C
S P
M
ШТА ЈОШ ЗНАМО О ПРИРОДНИМ БРОЈЕВИМА 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Систем користимо цифре 0, 1, 2, За писање бројева данас бројевним системом. им ара назива се декадн циф ет дес са а јев бро записа су их пренели еклом из Индије. У Европу Сматра се да су цифре пор м походима. чки и Арапи у својим осваја трговци с Медитерана, као ање бројева користе називају арапским, за пис Осим тих цифара, које се се и римске цифре.
Запиши цифрама број који је: а) за осам већи од пет хиљада двеста три б) за један мањи од двеста тридесет девет хиљада в) непосредни следбеник броја тридесет три хиљаде г) непосредни претходник броја милион и четири хиљаде. У језику математике за састављање различитих бројева користе се цифре. На пример, цифром 3 записује се број три, а број тридесет три записује се помоћу две цифре 3. У зависности од места на којем се налазе, цифре имају различите вредности. То су месне вредности цифара. На пример, бројеви 304 825 и 4 508 320 могу се приказати у табели месних вредности. У броју 304 825 цифра 4 налази се на месту јединица хиљада и има месну вредност 4 000, док се у броју 4 508 320 цифра 4 налази на месту јединица милиона и има месну вредност 4 000 000.
јед милиниц е стоиона тин хиљ а е дес да хиљетиц а е јед да хиљиниц ада е сто тин е дес ети це јед ини це
1
4
3
0
4
8
2
5
5
0
8
3
2
0
13
2
Одреди месну вредност цифре 5 у следећим бројевима: 35 281, 523 197, 1 326 757.
3
Ако цифру десетице у броју 2 150 повећаш за 3, тај број се: а) повећао за 3 б) повећао 3 пута в) повећао за 30 Који је одговор тачан?
г) повећао 30 пута.
4
Када у броју 2 345 цифра јединица хиљада и цифра десетица замене места, добије се број: а) друге хиљаде б) треће хиљаде в) четврте хиљаде г) пете хиљаде. Који је одговор тачан?
5
Одговоре напиши римским цифрама. Ком веку припада: а) 900. година б) 1499. година в) 1501. година г) 2007. година д) 1389. година? Која се позната битка одиграла 1389. године?
Двадесети век завршава се 2000. годином, а XXI век почиње 2001. годином.
Последње две цифре неког броја чине његов двоцифрени завршетак. Он се чита и пише као одговарајући број. На пример:
6
154 000
0
154 001
1
154 002
2
154 010
10
154 020
20
154 067
67
Напиши двоцифрени завршетак датих бројева. 23 143
7
13 240
302
1 000 024
824
23 400
35 000
а) Напиши један петоцифрен број чији је двоцифрени завршетак 77. б) Напиши неки четвороцифрен број чији је двоцифрени завршетак 5.
8
Попуни табелу. Број
143
20 000
1 111 118
450 002
234 567
Збир цифара Производ цифара
Збир цифара броја 72 је: 7 + 2 = 9. Производ цифара броја 72 је: 7 2 = 14.
9
а) Напиши све троцифрене бројеве чији је збир цифара 3. б) Напиши све троцифрене бројеве чији је производ цифара 3.
10
а) Напиши најмањи шестоцифрени број чији је двоцифрени завршетак 28. б) Напиши највећи петоцифрени број чији је збир цифара 21, а двоцифрени завршетак број 28.
14
11
Реши бројевну укрштеницу тако што ћеш у свако поље уписати једну цифру. Водоравно 1. производ бројева 123 и 21 5. највећа цифра 6. двоцифрени завршетак броја 7 002 054 7. најмањи природни број 8. збир цифара броја 345 10. производ цифара 345 11. месна вредност цифре 2 броја 1 327 12. највећи двоцифрени број 13. производ цифара броја 210 135 704 14. најмањи двоцифрени број 16. највећи једноцифрени парни број 17. месна вредност цифре 1 броја 21 870 Усправно 1. најмањи једноцифрени парни број 2. количник бројева 715 и 13 3. решење једначине 100 – x = 16 4. цифра стотина броја 1 375 5. девет хиљада сто двадесет 7. двострука вредност броја 549
1 5 8
2
3
4
6
7
9
10
11
12
13
14 17
15
16 18
9. највећи број друге десетице 10. трострука вредност броја 23 14. половина броја 20 15. две исте цифре 18. цифра десетица броја 144 222 303
ДЕЉИВОСТ У СКУПУ N0 1
У празна поља упиши < ако је тврђење тачно или = ако је тврђење нетачно.
Број 8 је делилац броја 96. Број 21 је делилац броја 12. Број 36 је садржалац броја 9. Број 5 је делилац броја 36. Број 7 се садржи у броју 77.
2
Допуни започете реченице. • Број 42 дељив је бројем 7 јер је 42 = ..... @ ..... • Број 7 је .............................. броја 42. • Запиши помоћу симбола | реченицу: Број 42 дељив је са 7.
3
Испитај дељењем тачност тврђења и напиши одговарајући знак, < или =. а) 3 | 27 б) 81 | 243 в) 53 | 253 г) 7 | 91 д) 100 | 10 Одређивање k и r у формули a = b k + r ако је a = 37 и b = 9 a = 37, b = 9 37 : 9 = 4 – 36 1
k=4 r=1 37 = 9 4 + 1
15
4
Одреди бројеве који недостају у формули a = b @ k + r ако је дато: а) a = 55, b = 5
б) b = 200, k = 4, r = 0
в) b = 7, k = 4, r = 3.
5
Јована је купила 90 бомбона за свој рођендан. У одељењу има 22 другара и сваком је дала исти број бомбона. а) Колико је највише бомбона добио свако од њих? б) Колико је најмање бомбона остало Јовани?
6
Никола купује патике чија је цена 5 750 динара, а у новчанику има само новчанице од 500 динара. Колико му је најмање новчаница од 500 динара потребно да би купио патике?
7
Влада на свом мобилном телефону има кредит од 136 динара. Слање поруке кошта три динара. а) Колико највише порука Влада може да пошаље? Колики му кредит у том случају остаје? б) Колико се дана Влада дописивао ако је сваког дана слао по пет порука?
8
Попуни табелу ако је: a дељеник, b делилац, k количник, r остатак. a
b
k
r
a=b@k+r
42
5
8
2
42 = 5 @ 8 + 2
9
4
77
0
112 13 0
Када поделиш два броја и добијеш остатак нула, закључујеш да је први број дељив другим.
2 006
9
Који број треба поделити бројем 23 да би се добио количник 10 и остатак 22?
10
а) Заокружи бројеве који су делиоци броја 8. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 б) Напиши све делиоце броја 15.
11
Напиши све делиоце: • броја 17 • броја 20. Колико делилаца има број 20?
Сви делиоци неког броја су мањи од тог броја или њему једнаки.
Сваки број дељив је са 1 и самим собом.
Скуп свих делилаца неког броја, на пример броја 48, може се одредити и на овај начин: 1. корак: 1 и 48 су делиоци броја 48, 48 = 1 ⋅ 48 {1, 48} 2. корак: 2 и 24 су делиоци броја 48, 48 = 2 ⋅ 24 {1, 2, 24, 48} 3. корак 3 и 16 су делиоци броја 48, 48 = 3 ⋅ 16 {1, 2, 3, 16, 24, 48} 4. корак 4 и 12 су делиоци броја 48, 48 = 4 ⋅ 12 {1, 2, 3, 4, 12, 16, 24, 48} 5. корак 5 није делилац броја 48 6. корак 6 и 8 су делиоци броја 48, 48 = 6 ⋅ 8 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} 7. корак 7 није делилац броја 48 8. корак 8 и 6 су делиоци броја 48, 48 = 8 ⋅ 6. Како смо бројеве 6 и 8 већ записали као делиоце броја 48, поступак одређивања свих делилаца броја 48 је завршен.
12
Запиши скуп свих делилаца броја: а) 12
16
б) 42
в) 56
г) 102.
13
а) Попуни табелу као што је започето. Број 6
Скуп свих делилаца броја 1, 2, 3, 6
Збир свих делилаца датог броја, изузев њега самог 1+2+3=6
12 28 128 496 б) Број који је једнак збиру својих делилаца, не рачунајући сам тај број, назива се савршеним бројем. Који су од датих бројева савршени?
14
Напиши три троцифрена броја која су садржаоци броја:
а) 2
15
Напиши три садржаоца броја 5 која су мања од 100 и већа од 70.
16
Напиши све садржаоце броја 12 који су мањи од 200 и већи од 100.
17
Који су од бројева 15, 27, 36, 54, 76, 84 садржаоци броја:
18
Који од бројева 12, 15, 18, 25, 32, 44, 50, 63, 91 нису садржаоци броја:
19
Који делилац треба написати уместо Ø? а) D18 = {1, 2, 3, Ø, 9, 18} б) D40 = {1, 2, Ø, 5, 8, 10, 20, 40}
20
Које делиоце треба написати уместо x, y и z? D140 = {1, 2, x, 5, y, 10, 14, 20, z, 35, 70, 140}
21
Запиши три природна броја која имају тачно два делиоца.
22
Колико природних бројева мањих од 15 има тачно три делиоца? Напиши их.
23
Напиши два двоцифрена природна броја која имају тачно четири делиоца.
а) 2
б) 3
б) 3
в) 5
в) 5 а) 2
г) 7
г) 6 б) 3
д) 8.
д) 7 в) 5
ђ) 9? г) 6?
Са D18 означили смо скуп свих делилаца броја 18, а са D40 скуп свих делилаца броја 40.
ДЕЉИВОСТ ДЕКАДНИМ ЈЕДИНИЦАМА. ДЕЉИВОСТ СА 2 И СА 5 1
Које су декадне јединице делиоци датих бројева? Попуни табелу као што је започето. Декадна јединица 10 100 1 000 10 000 Број је дељив Број са 10 000 ако 1 500 да да не не се завршава 420 753 000
с најмање четири нуле.
90 760 000 60 600 600
17
2
а) Природни број n дељив је са 10. Којим још бројевима мора бити дељив број n? б) Природни број n дељив је са 100. Којим још бројевима мора бити дељив број n?
3
Дат је скуп A = {48, 65, 104, 164, 215, 240, 277, 310, 602, 745}. Запиши скупове: а) B = {x | x ∈ A и x је дељиво са 2} б) C = {x | x ∈ A и x је дељиво са 5} в) D = {x | x ∈ A и 10 | x}. Које је тврђење тачно? 1) C ⊂ D 2) B ⊂ D 3) D ⊂ C
4
а) Дељењем провери који су од датих бројева дељиви са 5. 65, 76, 24, 53, 69, 230, 321, 32
Остатак при дељењу са 5 може бити 0, 1, 2, 3 или 4.
б) Користи резултат под а) и попуни табелу као што је започето. Број Дељив са 5 321 32 53 24 65 76 47 98 69 230
да / не да / не да / не да / не да / не да / не да / не да / не да / не да / не
Последња цифра у запису броја
Остатак при дељењу са 5
1
1
5
Које све цифре могу да стоје уместо у датом четвороцифреном броју тако да: а) број 1 23 буде дељив и са 2 и са 5 б) број 1 23 буде дељив са 5, а да не буде дељив са 2 в) број 1 23 буде дељив са 2, а да не буде дељив са 5 г) број 1 23 не буде дељив ни са 2, ни са 5?
6
а) Напиши скуп A свих бројева дељивих са 2 који задовољавају неједнакост: 304 < M < 314. Напиши скуп B свих бројева дељивих са 2 који задовољавају неједнакост: 4 195 < M ≤ 4 202. б) Одреди A ∪ B. в) Који је од бројева из скупа A ∪ B: • дељив са 10 • дељив са 100?
7
а) Напиши најмањи петоцифрени број који је сачињен од цифара 0, 2 и 5 и који је дељив бројем 100. б) Напиши највећи петоцифрени број који је сачињен од цифара 0, 2 и 5 и који је дељив бројем 100.
8
У шестоцифреном броју 15x 31y одреди све цифре x и y тако да добијени број буде дељив и са 2 и са 5.
9
Колико има двоцифрених бројева дељивих са 5?
18
10
За колико најмање треба повећати број 10 203 да би се добио број дељив са: а) 2 б) 5 в) 10?
11
За колико најмање треба умањити број 45 207 да би се добио број дељив са: а) 2 б) 5 в) 10?
12
Коју цифру треба написати уместо да би се добио број који при дељењу са 5 даје остатак 3? а) 2 35 б) 10 00
13
Не сабирајући, утврди да је збир 25 + 50 + 75 + 100 + 110 дељив са 5.
14
Не сабирајући, утврди да је збир 202 + 550 + 751 + 122 + 220 дељив са 5.
Збир је дељив неким бројем ако је сваки сабирак дељив тим бројем. Збир је дељив неким бројем ако је збир остатака свих сабирака при дељењу тим бројем такође дељив тим бројем.
ДЕЉИВОСТ СА 3 И СА 9 1
2
а) Подели: 303 : 3 121: 3 432 : 3 87 : 3 98 : 3. б) Користи резултате добијене под а) и попуни табелу као што је започето. Број
Дељивост броја са 3
Збир цифара броја
Дељивост збира цифара броја са 3
303
да / не
3+0+3=6
да / не
121
да / не
1+2+1=4
да / не
432
да / не
да / не
87
да / не
да / не
98
да / не
да / не
а) Подели: 1 405 : 9
9 864 : 9
216 : 9
97 : 9.
б) Користи резултате добијене под а) и попуни табелу као што је започето. Број
Дељивост броја са 9
Збир цифара броја
Дељивост збира цифара броја са 9
1 405
да / не
1 + 4 + 5 = 10
да / не
9 864
да / не
да / не
216
да / не
да / не
97
да / не
да / не
3
Који су од бројева 23, 33, 45, 57, 69, 71, 92, 108, 195, 275 дељиви са:
4
Који су од бројева 442, 554, 1 221, 1 600, 4 356, 10 770 дељиви са 2, а нису дељиви са 3?
5
Који су од бројева 541, 654, 3 321, 1 635, 43 051, 30 762 дељиви са 3, а нису дељиви са 2?
6
Напиши најмањи троцифрени број и највећи четвороцифрени број који су дељиви са 3 и чије су све цифре различите.
а) 3
б) 9?
19
7
Напиши најмањи четвороцифрени број који је дељив са 9 и који почиње цифром 6.
8
Напиши највећи петоцифрени број који почиње цифром 4 (остале цифре могу се понављати) и који је дељив са 9.
9
Које цифре треба написати уместо Ø да би се добио број дељив са 3? а) 1 32Ø б) 10 0Ø0 в) 2Ø 552
10
Коју цифру треба написати уместо Ø да би се добио број дељив са 9? а) 1 30Ø б) 14 0Ø2 в) 2Ø 800
11
Дати су бројеви: 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189. а) Заокружи жутом бојом бројеве дељиве са 3.
У низу датих бројева заокружен је сваки трећи број, почевши од првог броја дељивог са 3. Заокружени бројеви су садржаоци броја три.
б) Прецртај црвеном бојом бројеве дељиве са 5. Допуни реченицу. У низу датих бројева прецртан је сваки ...................... број, почевши од првог броја дељивог са пет. в) Који су од датих бројева дељиви и са 3 и са 5?
Одреди скуп свих цифара x и y тако да петоцифрени број: а) 32 1xx буде дељив са 3 б) 84 y2y буде дељив са 9. иви са 3 Бројеви ељ
13
а) Упиши одговарајуће бројеве из скупа {95, 315, 59, 1 710, 102, 3 552, 903} у Венов дијаграм.
14
15
Б р ој е в и
Прочитај текст на стр. 28 у уџбенику.
па рни бројеви
Не
б) Зашто се у неке делове Веновог дијаграма не може уписати ниједан број? Објасни.
љиви са 9 де
д
12
Напиши скуп свих цифара које могу заменити тако да четвороцифрени број 3 00 буде дељив: а) са 2 б) са 3 в) са 5 д) и са 2 и са 3 ђ) и са 2 и са 9 е) и са 3 и са 5
Број дељив и са 2 и са 3 дељив је са 6.
г) са 9 ж) и са 5 и са 9.
Израчунај количник k и остатак r при дељењу броја 87 658 бројем 3. Остатак броја 87 658 при дељењу са 3 може се наћи и на други начин. 1. корак: 8 + 7 + 6 + 5 + 8 = 34 2. корак: 34 : 3 = 11 – 33 1 Остатак при дељењу броја 87 658 са 3 је 1. Остатак броја при дељењу са 3 исти је као и остатак збира његових цифара при дељењу са 3.
20
16
а) Колики је остатак при дељењу бројева 3 647 021 и 20 010 122 са 3? Примени правило о збиру њихових цифара дато у претходном тексту. б) Одреди остатке при дељењу тих бројева бројем 9. Примени претходни поступак.
17
У петоцифреном броју 10 a8b одреди све цифре a и b тако да добијени бројеви буду дељиви и са 9 и са 5.
18
Да ли је збир 21 + 45 + 56 + 126 + 235 + 303 + 450 дељив бројем 3? Утврди не рачунајући вредност збира.
Остатак при дељењу са 9 може бити: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8.
Цифра b може бити 0 или 5.
ДЕЉИВОСТ СА 4 И СА 25 1
а) Напиши све бројеве треће десетице који су дељиви са 4. б) Напиши све бројеве треће стотине који су дељиви са 25.
2
Који су од бројева 28, 38, 46, 50, 62, 75, 164, 325, 1 100, 2 175, 200 272 и 300 300 дељиви: а) са 4 б) са 25 в) и са 4 и са 25?
3
Напиши три троцифрена броја различитих цифара која су дељива: а) са 4 б) са 25 в) и са 4 и са 25.
4
Напиши све бројеве x за које важи 125 ≤ x < 182 и који су дељиви са:
5
Коју цифру треба написати уместо Ø да би се добио број дељив са 4? а) 1 32Ø б) 10 0Ø0 в) 2Ø 564
6
Одреди све вредности цифре c тако да дати број буде дељив са 25. а) 2 7c0 б) 50 6c5 Сад р ж ви са 4 љи Упиши бар један број у сваки део Веновог дијаграма.
б) 25.
Нула је дељива сваким бројем.
н Пар
са 5
броја 3
Бројеви де
ци ао
7
а) 4
и
и
бр в ојеви дељи
8
Напиши најмањи четвороцифрени број који је састављен од различитих цифара и дељив је са 4.
9
Напиши највећи петоцифрени број дељив са 25.
10
Напиши два троцифрена броја која при дељењу са: а) 4 дају остатак 1 б) 25 дају остатак 3.
11
Који најмањи број треба додати датом броју да би се добио број дељив са 4? а) 134 б) 1 201 в) 200 023
12
а) Напиши три троцифрена броја која су дељива и са 4 и са 10. б) Напиши три троцифрена броја која су дељива и са 3 и са 25.
21
13
Напиши бројеве који се налазе између бројева 145 и 230 и који су дељиви: а) и са 4 и са 5 б) и са 9 и са 25.
14
Примењујући правила дељивости, утврди који су од бројева 108, 166, 356, 432, 588, 742 дељиви са: а) 4 б) 8 в) 6.
15
Коју цифру треба написати уместо Ø у шестоцифреном броју 635 02Ø да би се добио број дељив са: а) 4 б) 25 в) 8 г) 12 д) 75?
16
Које цифре можеш написати уместо Ø у шестоцифреном броју 264 0Ø4 тако да добијеш број дељив са: а) 12 б) 18 в) 36?
17
Од цифара 3, 4, 0, 2 састави све троцифрене бројеве у којима се те цифре појављују само једном и који су дељиви са: а) 4 б) 12 в) 15 г) 20.
Број је дељив са 8 ако је дељив са 4 и ако је његов количник при дељењу са 4 паран број.
Број је дељив са 8 ако је његов троцифрени завршетак дељив са 8.
Одредимо цифре a и b у петоцифреном броју 57 a4b тако да он буде дељив и са 3 и са 4. Испиши све добијене бројеве. 1. корак: Одреди цифру b тако да тражени број буде дељив са 4, то јест тако да његов двоцифрени завршетак буде 40, 44 или 48. b=0 57 a4b b=4 b=8 2. корак: Одреди цифру a тако да број буде дељив и са 3, то јест тако да збир цифара траженог броја буде дељив са 3. 5 + 7 + a + 4 + 0 = 16 + a 57 a40
5 + 7 + a + 4 + 4 = 20 + a
a=2 a=5 a=8
57 a44
5 + 7 + a + 4 + 8 = 24 + a a=0 a=3 57 a48 a=6 a=9
a=1 a=4 a=7
Добијени петоцифрени бројеви су: 57 240, 57 540, 57 840, 57 144, 57 444, 57 744, 57 048, 57 348, 57 648, 57 948.
18
У шестоцифреном броју 923 6xy одреди све цифре x и y тако да добијени бројеви буду дељиви: а) и са 3 и са 25 б) и са 4 и са 9.
ПРОСТИ И СЛОЖЕНИ БРОЈЕВИ 1
Који су бројеви прости?
13 23
2
33 26
5
235
Сети се правила дељивости.
69
Напиши све просте бројеве који су делиоци броја: а) 20
22
47
б) 58
в) 135
г) 196
д) 256
ђ) 340
е) 520.
3
Дати су бројеви 1, 7, 10, 15, 25, 36, 37, 41, 49 и 50. а) За сваки дати број напиши колико има делилаца. б) Који је од датих бројева прост? в) Који је од датих бројева сложен?
4
а) Колико има простих парних бројева? б) Колико има једноцифрених простих бројева? в) Колико има једноцифрених сложених бројева? Напиши их.
5
Напиши све просте бројеве k за које важи да је 50 < k < 80.
6
Напиши све сложене бројеве седме десетице.
7
Користећи Ератостеново сито, одреди све просте бројеве од 150 до 250.
8
Од цифара 2, 3, 5 и 7 састави све сложене бројеве четврте стотине у којима се те цифре појављују само једном.
9
Напиши све просте бројеве друге стотине који су састављени од различитих цифара, а цифра јединица им је 9.
10
Коју цифру треба написати уместо тако да се добије прост број? а) 1 б) 1 в) 11 г) 11
Сви прости бројеви већи од 2 су непарни.
РАСТАВЉАЊЕ БРОЈЕВА НА ПРОСТЕ ЧИНИОЦЕ 1
Сваки број из скупа {14, 34, 51, 74, 106} напиши у облику производа два природна броја већа од 1.
2
Сваки од бројева 36, 42, 56, 98 напиши у облику производа два природна броја већа од 1. На колико начина то можеш да учиниш?
3
Број 54 напиши као производ: а) два природна броја б) три природна броја
4
Настави започето повезивање.
42 36 81 56 48
в) четири природна броја. 2@2@2@7 2@2@2@6 2@3@7 2@2@3@3
5
Сваки од бројева 20, 32, 72, 88, 144, 225 напиши у облику производа три природна броја већа од 1. На колико начина то можеш да урадиш?
6
Напиши број у облику производа простих бројева. а) 26 б) 66 в) 84 г) 126 д) 184
7
Растави број на просте чиниоце. а) 45 б) 75 в) 85 г) 55 д) 105
8
ђ) 165
24 = 2 2 6 или 24 = 2 3 4
е) 365
Растави број на просте чиниоце. а) 63 б) 93 в) 123 г) 153 д) 333
23
9
Растави број на просте чиниоце.
а) 91
б) 119
в) 133
г) 161
10
Растави број на просте чиниоце.
а) 99
б) 143
в) 187
г) 363
11
Који број треба написати уместо x да би се добила тачна једнакост? а) 156 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ x б) 450 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ 5
12
Растави број на просте чиниоце.
а) 276
б) 420
13
Растави број на просте чиниоце.
а) 968
б) 2 568
14
Поред сваког броја дато је онолико празних поља колико тај број има делилаца. Попуни поља. а) 997 б) 998 в) 999
15
Растави број и напиши га у оном облику у којем је написан број под а). а) 16 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24 б) 32 в) 64 г) 128 д) 256 ђ) 1 024
16
Не рачунајући вредност производа, утврди да је производ 33 ⋅ 15 ⋅ 12 дељив са: а) 3 б) 5 в) 4.
СВОЈСТВА ДЕЉИВОСТИ 1
Не рачунајући збир бројева 36 и 48, утврди којим је од бројева 2, 3, 4, 5, 6, 7 дељив тај збир.
2
Не рачунајући разлику датих бројева, утврди која су тврђења тачна. а) 2 | (81 – 26) г) 5 | (195 – 77)
б) 3 | (57 – 36) д) 6 | (312 – 186)
Разлика није дељива неким бројем ако је тим бројем дељив само умањеник или само умањилац.
в) 4 | (164 – 88)
3
Којим је једноцифреним бројевима дељив производ бројева 36 101?
4
Напиши број 64 као збир два броја која су дељива са:
5
Напиши број 60 као разлику два броја која су дељива са:
6
Напиши број 324 као производ два броја која су дељива са:
7
Не рачунајући производ 55 36 101 12, одреди све његове просте делиоце.
8
Који су производи дељиви бројем 9? а) 17 72 56 б) 15 56 35 в) 33 17 77
9
Испитај да ли је вредност датог израза дељива неким од бројева 4, 5 и 25 не рачунајући његову вредност. а) 96 35 + 25
10
а) 3
г) 56 77 33
б) 26 50 + 78 14
б) 7 | ( – 357).
б) 8
а) 5
Напиши један природан број уместо тако да важи тврђење: а) 5 | (563 + )
24
а) 4
в) 16.
б) 15
в) 20.
б) 6
в) 9.
д) 35 33 15
11
Напиши на линији један број треће десетице тако да тврђење не буде тачно. а) 2 | (51 + ...... + 78)
б) 3 | (400 – 253 + .......)
12
Који се природни број може написати уместо тако да важи тврђење 11 | ( 121)?
13
Напиши на линији један број треће десетице тако да тврђење не буде тачно. 10 | (........ 155 – 120)
14
На 30 полица налази се по 28 књига. Да ли се те књиге могу распоредити на: а) 18 полица
15
б) 20 полица
в) 32 полице
г) 35 полица? О томе када је производ дељив неким бројем прочитај на стр. 36 у уџбенику.
Не рачунајући вредност производа, утврди да је производ 12 ⋅ 28 ⋅ 30 дељив са: а) 8 б) 16 в) 9 г) 20 д) 21.
НАЈВЕЋИ ЗАЈЕДНИЧКИ ДЕЛИЛАЦ 1
Напиши скупове свих делилаца датих бројева и представи их Веновим дијаграмом. а) 4 и 12 б) 12 и 18 в) 24 и 36 г) 15 и 45
2
Одреди највећи број који се садржи у бројевима: а) 5 и 20 б) 6 и 12 в) 3 и 15 г) 9 и 27 д) 4 и 9
3
Погледај текст о цртању Веновог дијаграма за делиоце два броја на стр. 37 у уџбенику.
ђ) 7 и 15.
Одреди највећи број који се садржи у бројевима: а) 10 и 15 б) 6 и 9 в) 8 и 18 г) 15 и 20 д) 20 и 16
ђ) 14 и 21
4
Одреди највећи заједнички делилац бројева:
б) 18, 24
5
Заокружи слово испред тачног тврђења.
6
Настави да повезујеш као што је започето. НЗД (100, 1 000) НЗД (10 000, 1 000) НЗД (10, 100) НЗД (10 000, 100 000)
7
8
Израчунај: а) НЗД (30, 24) д) НЗД (20, 35)
б) НЗД (36, 45) ђ) НЗД (36, 54)
а) 20, 30
а) НЗД (7, 49) = 7
в) 15, 50, 75.
б) НЗД (28, 35) = 28
10 100 1 000 10 000 100 000
в) НЗД (60, 72) е) НЗД (77, 98)
е) 12 и 15.
НЗД (10, 100) = 10 јер је број 10 делилац броја 100.
г) НЗД (96, 108) ж) НЗД (56, 96).
а) Одреди НЗД (42, 63). б) Попуни празна поља тако да добијеш тачне једнакости. 42 = НЗД (42, 63) @
9
63 = НЗД (42, 63) @
Израчунај: а) НЗД (15, 20, 60) б) НЗД (12, 32, 44) в) НЗД (36, 72, 108) г) НЗД (81, 108, 225) д) НЗД (35, 56, 105) ђ) НЗД (25, 50, 175) е) НЗД (60, 75, 150) ж) НЗД (70, 84, 112).
25
Неке проблемске задатке можеш да решаваш применом највећег заједничког делиоца.
10
Две вреће јабука, једну од 36 kg сорте делишес и другу од 42 kg сорте јонатан, треба препаковати у мање вреће тако да у свакој буде иста количина јабука а да се сорте не помешају. Израчунај највећу количину јабука коју треба ставити у сваку мању врећу.
11
Столар Јован је од две даске дужина 105 cm и 90 cm изрезао најмањи број дасака једнаких дужина. а) Колика је дужина једне такве даске? б) Колико је дасака добио од сваке од датих дасака?
12
Колач је испечен у плеху дужине 56 cm и ширине 48 cm. Треба га исећи на највеће могуће једнаке комаде квадратног облика. Колико је комада колача исечено?
13
Јелена има два вунена конца дужине 132 cm и 168 cm. Треба да их исече на једнаке делове највеће могуће дужине како би направила ресе на свом шалу. а) Колика је дужина једне ресе? б) Колико реса Јелена може исећи од конца дужине 132 cm? в) Колико реса Јелена може исећи од конца дужине 168 cm? г) Колико је укупно реса Јелена исекла?
14
Џак црвеног кромпира од 45 kg и џак белог кромпира од 60 kg треба препаковати у мање кесе у које стаје иста количина, а да се врсте не помешају. а) Израчунај највећу количину кромпира коју можеш ставити у сваку кесу. б) Колико је таквих кеса добијено овим препакивањем?
1. корак: Одређивањем НЗД (132, 168) добићеш највећу дужину ресе на коју можеш исећи оба конца. 2. корак: Погледај како је урађен задатак 8 б), стр. 25. Добићеш резултат под б) и в). 3. корак: Сабери резултате добијене под б) и в).
15
Који је највећи број којим треба поделити бројеве 75 и 99 да би остаци при дељењу тих бројева били 3?
16
Одреди x тако да је НЗД (12, x) = 6 и 20 < x < 50.
17
Који је највећи број којим треба поделити бројеве 103 и 124 да би остаци при њиховом дељењу били, редом, 3 и 4?
18
а) Одреди НЗД (260, 624). б) Колико се пута НЗД (260, 624) садржи у броју 260 и у броју 624? Примени Еуклидов алгоритам.
60 kg
НАЈМАЊИ ЗАЈЕДНИЧКИ САДРЖАЛАЦ 1
Напиши првих 10 садржалаца броја 6. Запиши првих осам садржалаца броја 8. Који су од тих бројева заједнички садржаоци за бројеве 6 и 8?
2
Напиши пет бројева у којима се садрже бројеви 2 и 3.
3
Напиши три броја у којима се садрже бројеви 3 и 5.
4
Који је број најмањи заједнички садржалац за бројеве: а) 2 и 10 б) 2 и 8 в) 3 и 15 г) 7 и 28 д) 20 и 40?
26
45 kg
5
Који је број најмањи заједнички садржалац за бројеве: а) 2 и 5 б) 7 и 8 в) 3 и 10 г) 15 и 16 д) 20 и 9?
6
Настави да повезујеш као што је започето. НЗС (100, 1 000) НЗС (10 000, 1 000) НЗС (10, 100) НЗС (10 000, 100 000)
7 8 9
100 000 10 000 1 000 100 10
Које је тврђење тачно? а) НЗС (8, 12) = 12 б) НЗС (8, 12) = 24 Одреди НЗС за бројеве: а) 15 и 20 б) 10 и 32 Израчунај: а) НЗС (45, 30) д) НЗС (96, 120)
в) 9 и 30
НЗС (10, 100) = 100 јер је број 100 садржалац броја 10.
в) НЗС (8, 12) = 32
г) 24 и 33
б) НЗС (50, 80) ђ) НЗС (24, 50)
г) НЗС (8, 12) = 36
д) 18 и 27.
в) НЗС (72, 108) е) НЗС (84, 112)
г) НЗС (120, 320) ж) НЗС (55, 132).
10
Која су тврђења тачна? а) НЗС (6, 10) = 30 б) НЗС (4, 8) = 32
11
Одреди најмањи заједнички садржалац бројева:
12
Израчунај: а) НЗС (2, 3, 5) д) НЗС (2, 7, 5)
б) НЗС (3, 4, 5) ђ) НЗС (5, 10, 25)
в) НЗС (2, 6, 8) е) НЗС (9, 18, 6)
13
Израчунај: а) НЗС (12, 30, 15) д) НЗС (15, 30, 70)
б) НЗС (24, 14, 10) ђ) НЗС (14, 35, 84)
в) НЗС (22, 33, 44) г) НЗС (18, 27, 36) е) НЗС (60, 90, 105) ж) НЗС (100, 120, 150).
14
а) Одреди НЗС (25, 45).
в) НЗС (12, 10, 20) = 240 а) 9, 36
б) 18, 24
г) НЗС (5, 7, 9) = 315 в) 7, 12, 28.
г) НЗС (9, 11, 3) ж) НЗС (11, 8, 22).
б) Попуни празна поља тако да добијеш тачне једнакости. НЗС (25, 45) = 25 @
НЗС (25, 45) = 45 @
15
Две неонске рекламе укључују се истовремено. Једна трепне на сваких 9 секунди, а друга на сваких 15. Колико ће секунди проћи док обе рекламе не трепну истовремено?
16
Петар и Аца истовремено стартују у вожњи бицикла на кружној стази у парку. Петар обиђе стазу за осам минута, а Аца за шест минута. а) Колико минута треба да прође да би се Петар и Аца поново срели на месту с којег су пошли? б) Колико је кругова обишао Петар, а колико Аца, пре него што су се поново срели?
Неке проблемске задатке можеш да решиш применом најмањег заједничког садржаоца.
1. корак: Одређивањем НЗС (8, 6) добићеш време до првог поновног Петровог и Ациног сусрета на месту с којег су пошли. 2. корак: Погледај како је урађен претходни задатак. Добићеш резултат под б).
27
17
Обим предњег точка трактора је 225 cm, а задњег 375 cm. Колику најмању дужину пута треба да пређе возило да би се оба точка окренула цео број пута?
18
Одреди x тако да је НЗС (30, x) = 30.
19
Који је најмањи број који при дељењу са 3 и 5 даје остатак 1?
ПРИМЕНА ДЕЉИВОСТИ 1
Који су од бројева 12, 15, 32, 48, 64, 96, 102, 105, 200 садржаоци броја: а) 2 б) 3 в) 4 г) 6 д) 12 ђ) 8 е) 5?
2
Запиши два узастопна садржаоца броја 53 између којих се налази број 250.
3
Који од бројева 7, 17, 81, 35, 44, 92, 126 нису садржаоци броја: а) 7 б) 14 в) 3?
4
Одреди све садржаоце броја x који су мањи од 200 и већи од 110 ако је: а) x = 15 б) x = 12 в) x = 18.
5
Из скупа {1, 2, 3, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 24, 26, 32, 33, 48} издвој скуп делилаца броја 96.
6
Запиши скуп цифара којима можеш заменити у троцифреном броју 18 тако да важи 12 | 18.
7
Одреди цифре које могу да замене x и y у петоцифреном броју 47 x5y тако да он буде дељив са 15.
8
Одреди НЗС и НЗД за бројеве:
а) 15, 25 и 45
9
Одреди НЗС и НЗД за бројеве:
а) 150 и 450
10
Одреди:
а) НЗД (60, 84)
б) 20, 50 и 60 б) 200 и 700
в) 18, 42 и 16
г) 16, 24, 36 и 54.
в) 180, 420 и 360.
б) НЗС (60, 84).
Најмањи заједнички садржалац може се одредити, ако је познат НЗД, коришћењем једнакости: a b = НЗД (a, b) НЗС (a, b). На пример, за бројеве 60 и 84 примени следећи поступак: 1. корак: Одреди НЗД (60, 84). 2. корак: НЗС (60, 84) = (60 ⋅ 84) : НЗД (60, 84)
11
а) Одреди x тако да је НЗД (6, x) = 6 и x < 40. б) Одреди x тако да је НЗС (45, x) = 45.
12
Одреди три узастопна природна броја чији је производ 210.
13
Одреди три узастопна непарна броја чији је производ 315.
14
Који је најмањи број, различит од јединице, који при дељењу са 15 и 18 даје остатак 1?
28
На пример, три узастопна природна броја јесу: 2, 3, 4.
• На пример, три узастопна непарна броја јесу: 9, 11, 13. • На пример, три узастопна парна броја јесу: 4, 6, 8.
15
Напиши све природне бројеве мање од 20 који се могу изразити у облику производа два проста броја.
16
Израчунај НЗД и НЗС за највећи двоцифрени и највећи троцифрени број.
17
Напиши све вредности цифре x троцифреног броја 28x тако да тај број буде дељив са: а) 2 б) 3 в) 4 г) 5.
18
Одреди највећи четвороцифрени број с различитим цифрама који је дељив бројевима 9, 2 и 5.
19
Звездице у седмоцифреном броју 3 7 32 замени истом цифром тако да број буде дељив са 3. Које све цифре можеш да напишеш уместо ?
20
Ана, Милица и Милена тренирају одбојку. Први заједнички тренинг имале су 3. септембра. Ана тренира сваког четвртог дана, Милица сваког другог дана, а Милена сваког трећег дана. Колико ће пута у септембру све три девојчице тренирати заједно? Наведи датуме. Пон.
Ут.
Сре. Чет.
Пет. Суб. Нед. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
21
Три аутобуса се крећу различитим маршрутама, а полазе са исте почетне станице. Први пређе пут од почетне до крајње станице и назад за 1 h, други за 1 h 15 min, а трећи за 2 h. С почетне станице у 5 h пошла су сва три аутобуса. У колико сати су сва три аутобуса поново пошла с почетне станице?
22
Претпоставимо да у неком удаљеном делу свемира постоји звезда са четири планете које круже око ње. Прва планета направи један круг око звезде за три земаљске године. Другој планети за то је потребно пет земаљских година, трећој осам, а четвртој 12. Претпоставимо да у једном тренутку планете заузимају положај као на слици. После колико ће година планете први пут поново заузети тај положај?
Овакав положај планета назива се конјункција.
а и, према нета Сунчевог систем Јупитер је највећа пла 63 месеца. же њима, око њега кру најновијим истражива славни рова месеца открио је Четири највећа Јупите ро ско илео Галилеи пре италијански научник Гал . четири стотине година тима или су имена по личнос Галилејеви месеци доб опа Евр , Ија имед, Калисто, из грчке митологије: Ган ). о де Галиле (снимци свемирске сон
29
23
Једна популација цврчака излази из земље сваких 13 година, а друга сваких 17 година. а) Колико година прође између два заједничка појављивања тих популација цврчака изнад земље? б) Да ли један човек може два пута видети ту појаву? је једну и животни циклус тра Цврчци су инсекти чиј земљом. де део живота прово под годину или више. Већи о чине, њихово заједничк Иако цврчци нису штето у. езд нај аву пр ља појављивање представ
24
Ђорђе има подлогу за слагање коцкица. Подлога је облика правоугаоника ширине 12 cm и дужине 20 cm.
а) Којом врстом коцкица Ђорђе може да покрије целу подлогу? 1)
2)
3)
4)
б) Ђорђе жели да прекрије плочу коцкицама квадратне основе. • Колика је највећа могућа страница једне такве коцкице? • Колико је таквих коцкица потребно?
25
На трци Формуле 1 два болида стартовала су истовремено. Први један круг пређе за 80 секунди, а други за 90 секунди. а) После колико су се секунди оба болида први пут нашла на месту с којег су пошла? б) Колико је то минута? рмулу 1 Један круг стазе за Фо 1 m. 38 4 оси изн ј у Мађарско а, гов кру 70 и воз се о Укупн . km 6 30 што је отприлике
26
Игор и Душко тренирају трчање на 10 000 m. Игор претрчи један круг на атлетској стази за 75 секунди, а Душко за 80 секунди. а) Ако стартују истовремено, после колико ће минута опет заједно прећи стартну линију? б) Колико ће кругова претрчати Игор, а колико Душко, до првог поновног сусрета на старту? в) Да ли ће пре првог сусрета на старту Игор још једном престићи Душка? г) Колико је приближно трајала трка? • Мање од 30 минута. Дужина једног круга • Тачно 30 минута. атлетске стазе је 400 m. • Више од 30 минута.
Пробај и ово 27
Примењујући правила дељивости, утврди да ли је тачно тврђење: а) 212 + 3 ⋅ 4 б) 312 + 5 ⋅ 15 в) 918 + 3 ⋅ 15 г) 420 - 3 ⋅ 4.
28
Колико делилаца има производ 16 ⋅ 21? Запиши их не рачунајући вредност производа.
30
А
B