Matematika 8 hrvatski

r1 R R

S1 S

Mirjana Stojisavljević-Radovanović Ljiljana Vuković

Matematika Udžbenik za 8. razre

d osnovne škole

A R

a

v

A1 a

B1

b

C

B C1

a

MATEMATIKA Udžbenik za osmi razred osnovne škole prvo izdanje Autori Mirjana Stojsavljević-Radovanović Ljiljana Vuković Ilustrirao Dušan Pavlić Recenzenti dr. Dragoslav Herceg, redovni profesor, Prirodoslovno-matematički fakultet u Novom Sadu dr. Dragan Blagojević, Matematički institut, SANU Zorica Jončić, profesorica, XIV. beogradska gimnazija u Beogradu Vesna Stanojević, profesorica, OŠ „1 300 kaplara“ u Beogradu Urednica Svjetlana Perović Prijevod na hrvatski Jelena Pinković Lektor Željka Zelić Grafičko oblikovanje Jelena Reljić Crteži Mirjana Stojsavljević-Radovanović Priprema za tisak Nebojša Mitić Izdavač Kreativni centar Gradištanska 8 Beograd Tel./faks: 011 / 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 Za izdavača Ljiljana Marinković Tisak Tiraž ISBN Copyright © Kreativni centar 2015

Mirjana Stojsavljević-Radovanović Ljiljana Vuković

Matematika Udžbenik za osmi razred osnovne škole

8

Tematski sadržaj Uvod u teme Sličnost trokuta .......................................................... 4–5 Linearne jednadžbe i nejednadžbe s jednom nepoznanicom ........................................................ 18–19 Točka, pravac, ravnina ........................................... 48–49 Prizma ..................................................................... 80–81 Linearna funkcija ............................................... 108–109 Grafičko prikazivanje podataka ........................ 128–129 Piramida ............................................................. 154–155 Sustavi linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice ........................................... 180–181 Valjak, stožac, kugla .......................................... 202–203

Sličnost trokuta Talesov poučak ............................................................ 6–8 Sličnost trokuta ....................................................... 9–16

Linearne jednadžbe i nejednadžbe s jednom nepoznanicom Algebarski izrazi ..................................................... 20–23 Ekvivalentne jednadžbe. Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom i njihovo rješavanje ..... 24–31 Primjena linearnih jednadžbi ............................... 32–35 Osnovna svojstva nejednakosti. Nejednadžbe .... 36–39 Ekvivalentne nejednadžbe. Linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom i njihovo rješavanje ..... 40–45

Točka, pravac, ravnina Točka i pravac. Točka i ravnina ............................. 50–53 Dva pravca .............................................................. 54–58 Pravac i ravnina ..................................................... 59–64 Dvije ravnine ......................................................... 65– 68 Ortogonalna projekcija točke i dužine na ravninu .. 69–73 Poliedar .................................................................. 74–77

Prizma Prizma – pojam, vrste, elementi ........................... 82–86 Mreža prizme ......................................................... 87–89 Oplošje prizme ....................................................... 90–95 Obujam tijela. Obujam kocke i kvadra ............... 96–100 Obujam prizme .................................................. 101–104

Linearna funkcija Proporcionalne veličine Linearna funkcija .......................................... 110–112

Graf linearne funkcije ........................................ 113–116 Osobine linearne funkcije ................................. 117–123 Implicitni oblik linearne funkcije ..................... 124–125

Grafičko prikazivanje podataka Tablični prikaz statističkih podataka ............... 130–133 Grafičko prikazivanje statističkih podataka .... 134–143 Srednja vrijednost. Medijana ............................ 144–151

Piramida Piramida – pojam, vrste, elementi ................... 156–159 Izračunavanje osnovnog brida, pobočnog brida, visine pobočke (apoteme) i visine pravilne piramide ......................................................... 160–164 Mreža piramide .................................................. 165–167 Oplošje piramide. Obujam piramide ................ 168–177

Sustavi linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice Sustav od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice ................................................... 182–185 Rješenje sustava od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice – grafički prikaz ........... 186–188 Rješavanje sustava od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice – metoda supstitucije, metoda suprotnih koeficijenata ................... 189–195 Primjena sustava linearnih jednadžbi .............. 196–199

Valjak, stožac, kugla Valjak – pojam, vrste, elementi ........................ 204–206 Mreža valjka ...................................................... 207– 209 Oplošje valjka. Obujam valjka .......................... 210–214 Stožac – pojam, vrste, elementi ....................... 215–218 Mreža stošca ...................................................... 219–221 Oplošje stošca. Obujam stošca ......................... 222–226 Kugla – pojam, elementi ................................... 227–230 Presjeci kugle i ravnine ..................................... 231–234 Oplošje i obujam kugle ..................................... 235–236 Saznaj i ovo 46, 78, 105–106, 126, 152, 178, 200, 237 Zapamti ....... 17, 47, 79, 107, 127, 153, 179, 201, 238 Rješenja i upute ........................................... 239–251

Vodič Kratki test za provjeru prethodno usvojenih znanja

Ključni pojmovi

Obrada novog gradiva

Dodatna objašnjenja definicija i pravila

Riješeni zadaci koji pomažu u razumijevanju gradiva

UVODNA NAPOMENA Podsjetimo se načina na koji smo u prethodnim razredima označavali dužinu i njenu duljinu.

Dužinu označavamo tako što označimo njene krajnje točke. Na primjer, na slici je dužina AB. a

A

B

U daljnjem tekstu za označavanje duljine dužine koristit ćemo malo latinično slovo ili isti zapis kao i za dužinu. Na primjer, ako duljina dužine AB iznosi 3 cm, to zapisujemo: a = 3 cm ili AB = 3 cm.

Trokut ABC možemo označavati rabeći oznake za duljine njegovih stranica, na primjer a, b, c.

Tada kažemo da je na slici trokut čije su stranice a, b i c.

C a

b A

c

B

Visinu trokuta često označavamo s v, stranicu kvadrata sa a, dijagonalu kvadrata s d i tako dalje, podrazumijevajući da su to oznake za njihove duljine. Kada kažemo da treba izračunati stranice ili visinu trokuta, dijagonalu kvadrata i tome slično, to znači da treba izračunati njihove duljine.

Sličnost trokuta Ako se zapitamo kako bismo danas izmjerili opseg Zemlje, vjerojatno bismo najprije pomislili na suvremenu astronomsku opremu, teleskope, satelite, lasere itd. Činjenica da je opseg Zemlje prvi put približno određen u III. stoljeću prije nove ere, bez suvremenih znanstveno tehnoloških dostignuća, čini nam se nevjerojatnom.

Prije više od dvije tisuće godina grčki matematičar, geograf i putopisac Eratosten stekao je slavu izračunavši opseg Zemlje.

Eratosten je u čuvenoj Aleksandrijskoj knjižnici, čiji je ravnatelj bio, pronašao podatak da se u Asuanu samo u podne najduljeg dana u godini u bunaru može vidjeti Sunčev lik. Koristeći taj podatak, to jest saznanje da su u Asuanu tog dana u to vrijeme sunčeve zrake okomite u odnosu na tlo, Eratosten je došao na ideju da u Aleksandriji istog dana u isto vrijeme izmjeri kut pod kojim sunčeve zrake padaju na Zemlju. Pri tomu je koristio tri pretpostavke: – da je Zemlja okrugla, – da je Sunce od Zemlje toliko udaljeno da se zrake mogu smatrati paralelnim, – da je Aleksandrija na istom meridijanu kao i Asuan.

Da bi izračunao kut pod kojim sunčeve zrake padaju na Zemlju, Eratosten je koristio vertikalno poboden štap i izmjerio je njegovu sjenku, kao što je prikazano na crtežu. Eratosten je izračunao da kut (na slici kut D) koji odgovara sjenci štapa iznosi približno pedeseti dio punog kuta.

Kao dobar poznavatelj geometrije, Eratosten je na temelju jednakosti kutova D i E zaključio da udaljenost od Aleksandrije do Asuana iznosi pedeseti dio opsega Zemlje (na slici luk L). Da bi izračunao opseg Zemlje, morao je odrediti udaljenost ta dva grada. U izračunavanju te udaljenosti, po predaji, Eratostenu su pomogle kamile, jer one imaju najujednačeniji hod. Na temelju broja kamilinih koraka na putu od Asuana do Aleksandrije Eratosten je izračunao da udaljenost ta dva grada iznosi približno 800 kilometara (u današnjim jedinicama mjere), odnosno da opseg Zemlje iznosi približno 40 000 Aleksandrija kilometara.

D Po suvremenim mjerenjima, opseg Zemlje iznosi v 40 009 153 kilometara, što znači da se Eratostenov proračun ne razlikuje mnogo od točnog. Ako se uzmu L u obzir teškoće pri mjerenju u Eratostenovo vrijeme, Asuan ta pogreška potpuno je zanemariva i ne umanjuje Eratostenovu genijalnost.

E

4

U ovom poglavlju učit ćeš: n o Talesovom poučku i o tomu kako izračunati odsječke na pravcima koji su presječeni paralelnim pravcima n o sličnim trokutima i njihovom koeficijentu sličnosti.

1

2

Koji je omjer jednak omjeru 3 : 4? a) 0.2 : 1.2 b) 15 : 20 c) 1.2 : 1.4 Koje su dužine u omjeru 6 : 7? a) b) 2.4 cm 21 mm 3 cm

d) 1.4 : 1.2

c)

3.5 cm

d) 24 mm

2 cm

28 mm

3.2 cm

3

Izračunaj nepoznati član x razmjera: 3.4 : 5.1 = x : 6

4

Točka M dijeli dužinu AB u omjeru AM : MB = 3 : 5.

Izračunaj dužine MB i AB ako je AM = 6 cm.

5

Koji je trokut sličan trokutu ABC? C

A

62°

38°

B

a) P

S

c) 78°

38° 80° Q

6

b) G 62°

F

70° E

38°

E

Trokuti ABC, A1B1C i A2B2C su slični i AC = 4 cm, BC = 3 cm. Izračunaj stranice: a) trokuta A1B1C ako je A1C = 3 AC 2 b) trokuta A2B2C ako je A2C = 2AC.

7

D

Izračunaj površinu trokuta A1B1C iz prethodnog zadatka.

F

B2 B1 B

C

A

A1

A2

5

Talesov poučak Ô KFEOBLPTU PNKFSB PEHPWBSBKV JI EV JOB OB QSBWDJNB LPKF QSFTKFDBKV QBSBMFMOJ QSBWDJ Ô KFEOBLPTU PNKFSB PEHPWBSBKV JI EV JOB OB QBSBMFMOJN QSBWDJNB J QSBWDJNB LPKJ JI QSFTKFDBKV

1

2

Podjela dužine na tri jednaka dijela

Nacrtaj dužinu a = 7 cm.

Koristi ravnalo i šestar i podijeli dužinu na: a) četiri jednaka dijela b) pet jednakih dijelova.

A

Nacrtaj dužinu AB i podijeli je točkom M tako da vrijedi: a) AM : MB = 2 : 3 b) AB : AM = 4 : 3 c) AB : MB = 7 : 2

B

A

B

A

B

a) Dužinu AB podijeli na pet jednakih dijelova.

A

M

B

b) Dužinu AB podijeli na četiri jednaka dijela.

B1

U prethodnom razredu naučili smo da je omjer odsječaka koje odsijecaju paralelni pravci na jednom kraku kuta jednak omjeru odgovarajućih odsječaka koje odsijecaju isti paralelni pravci na drugom kraku kuta.

b

B

O

A

A1

a

OA : AA1 = OB : BB1

Talesov poučak O jednakosti omjera odgovarajućih dužina na pravcima koji presijecaju paralelni pravci i omjeru odgovarajućih dužina na paralelnim pravcima govori nam Talesov poučak.

a

A1

A

b

b

O B B1 c

6

a d

A1

B A c

O B1 d

Za dva pravca, a i b, koji se sijeku i dva paralelna pravca, c i d , koji ih sijeku (vidi sliku) vrijedi da je: a) omjer dužina na pravcu a jednak omjeru odgovarajućih dužina na pravcu b OA : OA1 = OB : OB1 OA : AA1 = OB : BB1 b) omjer dužina na paralelnim pravcima c i d jednak omjeru odgovarajućih dužina na pravcu a, odnosno pravcu b AB : A1B1 = OA : OA1 = OB : OB1 Vrijedi i obratno: Ako se pravci a i b sijeku i ako su odsječci koje pravci c i d odsijecaju na njima proporcionalni, onda su pravci c i d paralelni.

U prethodnom razredu učili smo da su trokuti slični kada su im po dva odgovarajuća kuta jednaka. Kako je c ||d trokuti OAB i OA1B1 su slični jer su im odgovarajući kutovi jednaki kao kutovi s paralelnim kracima.

A1

a

B1

A

b

A

a

O O

3

4

5

B

c

B1

b d

Pravci a i b na slici su paralelni.

Ako je OA : OB = 3 : 4, koliko je: a) OA1 : OB1 b) AA1 : BB1 c) OA : AB O d) A1B1 : OB1?

Pravci a i b na slici su paralelni.

Ako je AB : A1B1 = 5 : 8, koliko je: a) OA : OA1 b) OB1 : OB c) AO : AA1?

A1

B c

d

B1

Uputa za dio zadatka pod c): Ako je OA : OB = 3 : 4, onda je OA : AB = 3 : 1.

A1 b

a

B

A

B1 A

b

a

O

A1

B

Izračunaj nepoznanicu dužinu x ako su pravci a i b paralelni. a) b) 12 cm

12 cm

42 cm

a x b

28 cm

x 9.3 cm

18 cm a

b

7

6

7

Pravci a, b i c na slici su paralelni. Ako je OA : OB = 3 : 5 i OB : OC = 5 : 8, odredi: a) OA : OC E b) OD : OE D c) AB : BC b d) DE : DF a e) AD : CF O A B f) BE : CF Pravci a, b i c na slici su paralelni. Ako je AD : BE = 3 : 4 i BE : CF = 4 : 7, koliko je: a) OD : OE b) OE : OF c) OD : OF O d) EF : DE

y

F

Uputa: d) DE : DF = AB : AC e) Primijeni Talesov poučak: AD : CF = OA : OC

c

x

C

F E D a A

y

Uputa: e) AD : CF = 3 : 7

c b B

C

x

Ako dva neparalelna pravca x i y sijeku dva paralelna pravca a i b, onda su: a) odgovarajući odsječci na pravcima x i y proporcionalni b) odsječci na paralelnim pravcima a i b proporcionalni odgovarajućim odsječcima na pravcima x i y. y

a)

m1

m

n1

n

m1

y

m n

a b

n1

m : m1 = n : n1 x

x

y

b)

y

m1 m

m : m1 = p : p1

m p

p1

a b

p1

p x

a

m1

b

x

Provjeri što znaš 1. Podijeli dužinu AB = 9 cm na: a) četiri jednaka dijela b) pet jednakih dijelova.

2. Nacrtaj šiljasti kut aVb i paralelne pravce x i y koji sijeku njegove krake. Ako su točke M i P presjeci pravca x s kracima Va i Vb, a točke S i T presjeci pravca y s kracima Va i Vb i ako je VM : MS= 7 : 11, odredi omjere: a) VP : PT 8

b) MP : ST

Sličnost trokuta Ô KFEOBLPTU LVUPWB TMJ OJI USPLVUB Ô QSPQPSDJPOBMPTU TUSBOJDB TMJ OJI USPLVUB Ô LPFGJDJKFOU TMJ OPTUJ Ô QSPQPSDJPOBMOPTU PQTFHB TMJ OJI USPLVUB 1

Jesu li trokuti na slici slični? Objasni.

C B E

D A

a) Koliki su kutovi trokuta A i C? b) Koliki je omjer kateta trokuta A i C? c) Koliki su kutovi trokuta B i E? d) Koliki je omjer hipotenuza trokuta B i E? Koliki je omjer odgovarajućih kateta?

2

U trokutnoj mreži na slici dani su trokuti.

Koliki su unutarnji kutovi svakog od njih?

Jesu li oni slični?

Koliki je omjer odgovarajućih stranica trokuta ABC i DEF? Koliki je omjer odgovarajućih stranica trokuta ABC i MPQ? Q C

A

F

D B

E M

P

9

Dva trokuta su slična ako imaju po dva odgovarajuća kuta jednaka.

Trokuti ABC i A1B1C1 su slični jer je A = A1 i B = B1.

C1

C

E

D

А

А1

B

E

D

Podsjeti se toga da sličnost trokuta ABC i A1B1C1 zapisujemo: ABC a A1B1C1.

B1

Proporcionalnost stranica sličnih trokuta U prethodnom razredu naučili smo da su omjeri odgovarajućih stranica sličnih trokuta međusobno jednaki. U tom slučaju kažemo da su odgovarajuće stranice sličnih trokuta međusobno proporcionalne.

Trokuti na slici su slični jer imaju po dva odgovarajuća kuta jednaka.

D

E

c

a1

b1

a

b

E

D c1

Omjeri njihovih odgovarajućih stranica su jednaki. a : a1 = b : b1 = c : c1 Omjer odgovarajućih stranica sličnih trokuta nazivamo koeficijent sličnosti i označavamo s k: a b c k a1 b1 c1 ili b = b1 k c = c1 k a = a1 k Na primjer: U zadatku 1 koeficijent sličnosti trokuta A i C je k 4 .

3 U zadatku 2 koeficijent sličnosti trokuta DEF i MPQ je k

3

Koliki je koeficijent sličnosti trokuta na slici? a)

3.

7

b) 28 cm

60°

45° 30 cm

10

60°

45° 26 cm

60°

45°

60° 45° 20 cm

4

Koeficijent sličnosti trokuta na slici je 0.4. a) Izračunaj stranice trokuta A1B1C1. b) Izračunaj opsege danih trokuta. Koliki je njihov omjer?

Izračunavanje stranice trokuta podrazumijeva izračunavanje njene duljine.

C

A

C1

15 cm

10 cm

B

13 cm

A1

B1

Proporcionalnost opsega sličnih trokuta Omjer opsega sličnih trokuta jednak je omjeru njihovih odgovarajućih stranica.

Neka su trokuti na slici slični i neka je koeficijent sličnosti k = a : a1.

C1

C

Izračunajmo opseg o trokuta ABC i opseg o1 trokuta A1B1C1: o = a + b + c, o1 = a1 + b1 + b1

A

a

b1

c1

b

c

B

A1

a1

B1

Kako je a = a1 k, b = b1 k, c = c1 k, to je: o = a1 k + b1 k + c1 k o = (a1 + b1 + c1) k o = o1 k Zaključujemo da vrijedi: o : o1 = k 5

Trokuti na slici su slični. Koliki je opseg trokuta DEF? F

C

A

6

16 cm

AB : DE = AC : DF

12 cm

10 cm B

D

24 cm

E

Stranice trokuta ABC su a = 12 cm, b = 18 cm i c = 14 cm.

Ako je opseg njemu sličnog trokuta A1B1C1 jednak 66 cm, izračunaj njegove stranice.

Najprije odredi koeficijent sličnosti.

Provjeri što znaš 1. Trokuti ABC i A1B1C1 su slični. Izračunaj koeficijent sličnosti ako je: a) a = 12.5 cm; a1 = 2.5 cm b) b1 = 18 cm; b = 24 cm 2. Koliki su opsezi sličnih trokuta ABC i A1B1C1 ako je: a = 10.5 cm; c = 14 cm; a1 = 15 cm; b1 = 18 cm?

11

4MJ OPTU USPLVUB Ê 1PV DJ Ô TMJ OPTU USPLVUB Ê QSPQPSDJPOBMOPTU PEHPWBSBKV JI TUSBOJDB Ô TMJ OPTU USPLVUB Ê QSPQPSDJPOBMOPTU EWJKV PEHPWBSBKV JI TUSBOJDB J KFEOBLPTU LVUPWB [BIWB FOJI OKJNB 1

1 cm

Nacrtaj dva trokuta u kvadratnoj mreži, kao na slici. a) Izračunaj stranice trokuta na slici. b) Izreži dane trokute i preklapanjem utvrdi da su im odgovarajući kutovi jednaki. c) Jesu li omjeri njihovih odgovarajućih stranica jednaki?

F C

Na slici su trokuti ABC i A1B1C1, za čije stranice vrijedi: a a1 Jesu li ti trokuti slični?

C1

C b A

B

c

b b1

E

D

2.

3

c c1

a1

b1

a

B

A

A1

B1

c1

Rješenje Koristeći šestar, provjerimo jesu li odgovarajući kutovi jednaki: A = A1 i B = B1.

C 1

C a

b A

c

a1

b1

B

A1

B1

c1

Zaključujemo da su trokuti ABC i A1B1C1 slični.

Dva trokuta su slična ako su omjeri odgovarajućih stranica jednaki.

AB : A1B1 = AC : A1C1 = BC : B1C1 ABC a A1B1C1

12

C

A

C1

B

A1

B1

* Ova lekcija nije predviđena nastavnim planom i programom, pa njezina obrada nije obvezna.

2

Koja su dva trokuta na slici slična? a) b) 2.5 cm

3 cm

2.5 cm

3 cm

4 cm

c)

3 cm

2.5 cm

3.5 cm

3.5 cm 2 cm

3.2 cm

2.4 cm

2 cm

2.4 cm

2.4 cm

3

2 cm

2.8 cm

Pokaži da su trokuti ABC i DEF slični.

Koliki je njihov koeficijent sličnosti?

2.8 cm

C

F

2 cm

3 cm

2.5 cm

E

2.4 cm A

B

3 cm

3.6 cm D

4

Nacrtaj trokute ABC i A1B1C1 tako da je: b1 = 0.5b; c1 = 0.5c; D1 = D. Koristeći šestar, pokaži da je E1 = E. Jesu li trokuti ABC i A1B1C1 slični?

C

Dva trokuta su slična ako su jednaki omjeri dviju odgovarajućih stranica i ako su jednaki kutovi između njih.

AB : A1B1 = AC : A1C1 i A = A1 ABC a A1B1C1

5

C1

A

A

24 cm

60° 32 cm

F

B

60°

36 cm

24 cm

Q

24 cm

B1 H

Kojem je od danih trokuta sličan trokut ABC? C

A1

B

18 cm

D

60° G

60°

28 cm

30 cm

M P

E

L

Provjeri što znaš 1. Jesu li trokuti ABC i A1B1C1 slični ako je: a) a = 12 cm, b = 15 cm, c = 20 cm, a1 = 14.4 cm, b1 = 18 cm, c1 = 24 cm b) a = 12 cm, b = 15 cm, c = 20 cm, a1 = 9.6 cm, b1 = 12 cm, c1 = 16 cm c) a = 12 cm, b = 15 cm, a1 = 9.6 cm, b1 = 12 cm, J = J1 = 45q d) b = 8 cm, c = 16 cm, b1 = 9 cm, c1 = 20 cm, E = E1 = 30q?

13

A

r1 R R

K1

S1 v s K

8

4 cm

5 cm 6 cm