Mirjana Stojisavljević-Radovanović Ljiljana Vuković
Matematika Zbirka zadataka
za 8. razred osnovne škole
MATEMATIKA Zbirka zadataka za osmi razred osnovne škole prvo izdanje Autori Mirjana Stojsavljević-Radovanović Ljiljana Vuković Ilustrirao Dušan Pavlić Recenzenti dr. Dragoslav Herceg, redovni profesor, Prirodoslovno-matematički fakultet u Novom Sadu Zorica Jončić, profesorica, XIV. beogradska gimnazija u Beogradu Vesna Stanojević, profesorica, OŠ „1300 kaplara“ u Beogradu Nedeljka Vidović, profesorica, OŠ „Ratko Mitrović“ u Beogradu Darko Medan, profesor, OŠ „Borislav Pekić“ u Beogradu Urednica Svjetlana Petrović Prijevod na hrvatski Jelena Piuković Lektura Željka Zelić Grafičko oblikovanje Jelena Reljić Crteži Mirjana Stojsavljević-Radovanović Priprema za tisak Nebojša Mitić Izdavač Kreativni centar Gradištanska 8 Beograd Tel./faks: 011 / 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 Za izdavača Ljiljana Marinković Tisak Tiraž ISBN Copyrigvt © Kreativni centar 2015
Mirjana Stojsavljević-Radovanović Ljiljana Vuković
Matematika Zbirka zadataka za osmi razred osnovne škole
8
Vodič
Dodatna objašnjenja definicija i pravila
Riješeni zadaci koji pomažu u razumijevanju gradiva
Pokušaj i ovo – Zadaci za dodatni rad
Zadaci osnovne razine*
Zadaci srednje razine
Zadaci napredne razine
* Za određivanje razine najvećeg broja zadataka korišteni su opisi iz dokumenta Opći standardi postignuća – obrazovni standardi za kraj obveznog obrazovanja za predmet matematika. Dokument je objavljen na mrežnoj stranici: www.mpn.gov.rs
Tematski sadržaj Sličnost trokuta Proporcionalnost dužine ..............................................4–6 Talesov poučak ........................................................... 6−11 Sličnost trokuta .......................................................12−20
Linearne jednadžbe i nejednadžbe s jednom nepoznanicom Što smo naučili o polinomima ................................22−23 Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom .......23−26 Rješenja linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom ....................................................27−28 Primjena linearnih jednadžbi ...............................28−34 Rješavanje linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom ..................................... 36–43
Točka, pravac, ravnina Određenost pravca i ravnine. Dva pravca .............. 44–46 Pravac i ravnina ....................................................... 46–49 Dvije ravnine. Ortogonalna projekcija ................... 49–54
Prizma Prizma. Mreža .......................................................... 56–59 Oplošje i obujam prizme .............................59–65, 67–72 Jedinice mjere za obujam tijela. Obujam kocke i kvadra ....................................... 65–67
Linearna funkcija Linearna funkcija ..................................................... 74–75 Graf linearne funkcije.............................................. 76–79 Nultočka, znak, rast i padanje linearne funkcije ................................................................ 80–84 Linearne funkcije – eksplicitni i implicitni oblik ................................................. 85–88
Grafičko prikazivanje podataka Grafičko prikazivanje podataka u obliku dijagrama .............................................. 91–97 Srednja vrijednost i medijana ...............................97−100
Mreža piramide ....................................................108−109 Oplošje i obujam piramide..................................110−122
Sustavi linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice Rješenje sustava od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice – grafički prikaz ........................125−126 Rješavanje sustava od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice – metoda supstitucije, metoda suprotniv koeficijenata ...................................127−132 Primjena sustava linearnih jednadžbi ...............132−138
Valjak, stožac, kugla Valjak – elementi. Mreža valjka .........................141−143 Oplošje i obujam valjka.......................................144−151 Stožac – elementi. Mreža stošca ........................154−156 Oplošje i obujam stošca ......................................156−167 Kugla – elementi. Presjeci kugle i ravnine.........170−171 Oplošje i obujam kugle .......................................172−174
Sistematizacija teme Sličnost trokuta ..............................................................21 Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom .............35 Linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom ..........43 Točka, pravac, ravnina ............................................. 54–55 Prizma ....................................................................... 72–73 Linearna funkcija ..................................................... 88–90 Grafičko prikazivanje podataka ..........................100−104 Piramida ...............................................................123−124 Sustavi linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.....................................................139−140 Valjak ....................................................................152−153 Stožac ...................................................................168−169 Kugla .....................................................................174−175
Piramida
Pokušaj i ovo ..............................5, 11, 18, 20, 28, 33−34, 40–43, 49, 54, 59, 62, 65, 67, 69, 71–72, 87–88, 107, 111−112, 115, 117, 120, 136−138, 143, 147−148, 151, 156, 158, 160, 165−166, 167, 171, 173−174
Uočavanje pravokutniv trokuta kod piramide ...........................................................105−107
Rješenja i upute ...................................................176−198
Sličnost trokuta Proporcionalnost dužine - obnavljanje 1
Dane su dužine a = 0.5 cm, b = 1 cm, c = 0.8 cm, e = 30 m, f = 2 mm. Izračunaj omjere: a) a : c b) b : e c) a : e d) f : b
2
Milan je napravio limunadu s jednom litrom vode i 1 dl limunova soka. Maja je napravila limunadu od 0.5 litara vode i 0.5 decilitara limunova soka. Koliki je omjer vode i limunova soka u Milanovoj, a koliki u Majinoj limunadi?
3
Milena je nacrtala plan svoje sobe u obliku pravokutnika, u omjeru 1 : 30. Ako su dimenzije pravokutnika 10 cm i 12 cm, kolike su stvarne dimenzije Milenine sobe?
4
Nacrtaj dva kvadrata čije su stranice a = 2 cm i a1 = 3 cm. Nacrtaj njihove dijagonale i izračunaj njihov omjer.
5
U tablici su dane duljine stranica dva pravokutnika. a) Popuni tablicu. Pravokutnik
a
b
I.
12 cm
8 cm
II.
15 cm
10 cm
Opseg
Površina
b) Izračunaj omjer odgovarajućih stranica ovih pravokutnika. c) Izračunaj omjer opsega prvog i drugog pravokutnika. d) Izračunaj omjer površina prvog i drugog pravokutnika.
4
6
Udaljenost dva mjesta na geografskoj karti je 8 cm. Koliko je stvarna udaljenost između tih mjesta ako je geografska karta rađena u omjeru 1 : 1 000 000?
7
U kojem je omjeru rađena karta ako je stvarna udaljenost dva mjesta 40 kilometara, a na karti 5 cm.
8
Stranice pravokutnika stoje u omjeru 3 : 4. Ako je kraća stranica 12 cm kolika je dulja stranica pravokutnika?
Jednom centimetru na karti odgovara 1 000 000 centimetara u prirodi.
Ako su stranice pravokutnika a i b, onda vrijedi a : b = 3 : 4.
9
Opseg jednakokračnog trokuta je 108 cm, a omjer osnovice i kraka je 4 : 7. Izračunaj osnovicu i krak.
10
Dužina AB podijeljena je točkom C na dužini AC i CB tako da je AC : CB = 3 : 8. Ako je AC = 6 cm, koliko je AB?
11
Dane su četiri kolinearne točke A, B, C i D kao na slici. D
Iz AB : BC = 1 : 2, 1 BC slijedi AB . 2
Ako je AB : BC = 1 : 2 i BC : CD = 2 : 3, koliko je: a) AB : CD b) AC : CD c) AC : BD?
Iz BC : CD = 2 : 3, slijedi CD 3 BC. 2
A
12
a = 4k, b = 7k
B
C
Neka je dužina a podijeljena na dužine m, n i p, kao na slici, tako da je m : n : p = 3 : 6 : 5. m n Odredi omjere: a) m : n b) m : p d) p : a e) a : (m + p)
p
Jednakosti m : n = 3 : 6 i n : p = 6 : 5 zapisujemo i na sljedeći način: m : n : p = 3 : 6 : 5.
c) a : m f) (m + n) : (n + p)
13
Dužina a podijeljena je na dužine m, n i p, tako da je m : n = 4 : 3 i n : p = 3 : 4. Ako je m = 2 cm, kolike su dužine n, p i a?
14
Neka je dužina a podijeljena na dužine m, n i p, tako da je m : n : p = 6 : 8 : 3. Ako je n = 4 cm, izračunaj m, p i a.
Pokušaj i ovo
Neka je dužina AD podijeljena točkama B i C tako da je AB : BC = 2 : 3 i AC : CD = 4 : 5. A B C Koliki je omjer: a) AC : BD b) BC : BD
D c) AD : CD?
Rješenje AB : BC = 2 : 3, AC = 5k AC : CD = 4 : 5, AC = 4m V(5k, 4m) = 20 k m (k i m su uzajamno prosti brojevi) AC = 20 k m, AB = 8 k m, BC = 12 k m, CD = 25 k m AB : BC = 8 : 12, AC : CD = 20 : 25 a) AC : BD = 20 : 37
b) BC : BD = 12 : 37
c) AD : CD = 45 : 25 = 9 : 5 5
15
Dužina AB podijeljena je točkama P i Q tako da je AP : PB = 2 : 5 i AQ : QB = 3 : 2. Koliki je omjer: a) AP : AQ b) AQ : PQ c) QB : AB?
3k A
2k Q
16
Dužina AB podijeljena je točkama P i Q tako da je AP : PB = 1 : 6 i PB : PQ = 4 : 3. Koliki je omjer: a) AB : AQ b) PQ : AP?
17
Dana je dužina AB = 12 cm. Konstruiraj točke M i P na dužini AB tako da je AM : MB = 3 : 2 i AP : PB = 4 : 3. a) Odredi omjere AM : AP i MP : PB. b) Kolike su duljine dužina AM, MP i PB?
Talesov poučak 1
Ako su pravci a i b na slici paralelni, izračunaj nepoznatu dužinu x. a) b) a b
2
5 cm
7 cm
a x
8 cm
b
x
3 cm
2 cm
3 cm
Neka su pravci a i b paralelni. Izračunaj nepoznatu dužinu x.
32 cm
a 20 cm b x
3
10 cm
Ako je AC __ DE i ako je AC = 32.4 cm, AB = 16 cm i AD = 9.4 cm, izračunaj DE. C
E
A
6
D
B
DB = AB – AD = 6.6 cm
B
4
Neka su pravci a i b paralelni. Izračunaj nepoznatu dužinu x ako su podaci na slici dani u centimetrima. a) b) a x b
10.5
x 15
12.6
b
8.4 a
16
5
5.6
Neka je četverokut ABCD paralelogram i neka je CF __ DB. Odredi omjere: a) AB : AF b) EB : CF D
C E
A
6
F
B
Pravci a i b na slici presječeni su paralelnim pravcima PQ i RS. Ako je OQ = 5 cm, OP = 6 cm, PQ = 4 cm, OS = 2.5 cm, izračunaj RS i OR. b Q
R O
a
7
S
P
Kraci kuta xVy presječeni su paralelnim pravcima AC i BD. Ako je VD = 18 cm, CD = 4 cm, VA =12 cm i AC = 6 cm, izračunaj VB i BD. D
y
C V
A
B
x
8
Nacrtaj dužinu AB i podijeli je na: a) pet jednakih dijelova b) sedam jednakih dijelova.
9
Nacrtaj dužinu AB. Ako ona prikazuje opseg pravilnog šesterokuta, konstruiraj taj šesterokut.
10
Nacrtaj proizvoljnu dužinu AB. Konstruiraj dužinu CD tako da je: a) CD = 1.5AB b) CD = 3 AB c) CD = 5 AB d) CD = 0.8AB 2 7
Pogledaj zadatke 1 i 2, str. 6 u udžbeniku.
Uputa za dio zadatka pod b): CD : AB = 3 : 7 Dužinu AB treba podijeliti na sedam jednakih dijelova. 7
11
Dužinu AB podijeli točkom M u omjeru: a) AM : MB = 3 : 4 b) AB : MB = 7 : 2
c) AM : AB = 3 : 8.
12
Nacrtaj dužinu MN duljine 6 cm. a) Konstruiraj točku P na toj dužini tako da je MN : MP = 5 : 2, a zatim izračunaj MP i NP. b) Konstruiraj točku Q na toj dužini tako da je MQ : QN = 4 : 1, a zatim izračunaj MQ i QN.
13
Na polupravcu OA konstruiraj točku A tako da je: b) OA : AA1 = 3 : 2 a) OA : OA1 = 3 : 2
14
c) OA1 : AA1 = 3 : 2.
Ako je BC __ DE i AC : CE = 3 : 1, nađi omjere: a) AB : AD b) AE : CE c) BC : DE. E C
A
15
B
D
Izračunaj nepoznatu dužinu y na slici ako jeDE __ AB i AD : DC = 2 : 3. C 18 cm D
E
A
16
y B
Kraci kuta D presječeni su paralelnim pravcima BC i DE. Izračunaj AD i BC, ako je AC : AE = 4 : 5, BD = 12 cm i DE = 18 cm. E C D
A
17
B
D
Neka su stranice AC i AB i visina CD trokuta ABC jednake 15 cm, 20 cm i 12 cm. Ako je DE __ AC, izračunaj DE. C E
A
8
D
Izračunaj AD, a zatim primijeni Talesov poučak. B
18
Ako je AA1 = 16 cm, BB1 = 12 cm, AC = 20 cm, izračunaj duljine dužina BC i A1B1. B1 A
B
C
A1
19
Pravci a i b na slici su paralelni. Ako je CS : CM = 5 : 8, napiši omjere: a) PD : DS b) MP : CD. M
y
C a x
20
S
b D
P
Dužina EC jednaka je trećini dijagonale paralelograma ABCD. Odredi omjere: a) AE : EC b) DE : EF c) DC : AF. D
C E
A
F
B
21
Presječna točka dijagonala jednakokračnog trapeza dijeli dijagonalu u omjeru 3 : 2. a) Koliki je omjer osnovica trapeza? b) Kada krake jednakokračnog trapeza produljiš do njihovog presjeka, dobit ćeš dva jednakokračna trokuta. Koliki je omjer kraka jednakokračnog trapeza i kraka većeg jednakokračnog trokuta?
22
Točka E je polovište stranice AB kvadrata ABCD. Ako je CG __ DE, odredi omjer dužina: a) AF : FC b) EF : GC. C
D F A
23
B
E
G
Produlji krake pravokutnog trapeza i njihov presjek označi s E. Izračunaj CE i DE. D
6 cm
C
6 cm A
18 cm
B
9
24
Osnovice jednakokračnog trapeza su a = 8 cm i b = 6 cm. Izračunaj duljine odsječaka dijagonala ako je dijagonala d = 12 cm.
25
Osnovice jednakokračnog trapeza su a = 15 cm i b = 7 cm i krak c = 10 cm. Izračunaj udaljenost od vrha kraće osnovice trapeza do presječne točke pravaca kojima pripadaju kraci trapeza. Dane su dužine a, b i c. Konstruiraj dužinu d tako da je: a) a : b = d : c b) a : c = b : d. Rješenje Zadajmo najprije dužine a, b, c.
a b c
a) Prvi korak Nacrtajmo proizvoljni kut xVy. Prenesimo dužine a i b na krak Vx tako da je VA = a i VB = b.
y
V
x
B
A
C y
Drugi korak Prenesimo dužnu c na krak Vy tako da je VC = c.
V
Treći korak Spojimo točke B i C jer dužini b odgovara dužina c. Nacrtajmo pravac koji sadrži točku A i paralelan je s BC. Taj pravac siječe krak Vy u točki D. V Dužina VD je tražena dužina d, to jest d = VD.
x
B
A D
C y
x
B
A
Konstrukcija dužine d zasnovana je na Talesovom poučku. Kako je AD __ BC, na temelju Talesova poučka slijedi: OA : OB = OD : OC, odnosno: a : b = OD : c Iz a : b = VD i iz zahtjeva zadatka a : b = d : c slijedi da je: OD = d. b) Nacrtajmo proizvoljni kut xVy. Prenesimo dužine a i c na krak Vx i dužinu b na krak Vy tako da je VA = a, VC = c i VB = b.
B
Spojimo točke B i A jer dužina b odgovara dužini a. Nacrtajmo pravac koji sadrži točku C i paralelan je s AB. Taj pravac siječe krak Vy u točki D. Dužina VD je tražena dužina d, to jest d = VD.
10
V
y
D
A
C
x
26
Ne izračunavajući duljinu dužine, konstruiraj dužinu x tako da je: a) x : 3 cm = 5 cm : 12 cm b) 42 mm : x = 24 mm : 20 mm
27
Dane su dužine a, b i c. Konstruiraj dužinu x tako da je: a) x : a = b : c b) a : x = b : c.
28
Dane su dužine a i b. Konstruiraj dužinu x tako da je: a) a : b = x : a b) a : b = b : x.
29
Dane su dužine m, n i p. Konstruiraj dužinu x tako da je: a) x = m ⋅ n p
b) x
m2 p
Pogledaj riješen primjer.
a) Iz x = m ⋅ n slijedi da je x : m = n : p. p m2 slijedi da je x : m = m : p. p
b) Iz x
30
Ne izračunavajući duljinu dužine, konstruiraj dužinu x tako da je: x = 4 cm b) a) x = 5 cm + 2 cm 2.5 cm + 3 cm 3 cm 2 cm 6 cm
31
Dane su dužine a, b i c. Konstruiraj dužinu x tako da je: a) x = a + b b) x = a b+c c b c
32
Dan je kvadrat stranice a. Konstruiraj kvadrat stranice a1 tako da je a : a1 = 3 : 4. Koliki je omjer njihovih površina? Koliki je omjer njihovih opsega?
Pokušaj i ovo 33
Pravci a, b i c na slici su paralelni. Ako je CS : CM = 2 : 3 i CS : CQ = 1 : 3, napiši omjere: a) PD : DS y M b) MP : CD R C c) DS : DR S a b c d) CD : RQ D e) MS : SQ Q P x f) MP : RQ
34
Neka je CD __ EF __ AB, DC : EF = 4 : 3 i EF : AB = 1 : 2. Koliki je omjer: a) DP : FP b) PB : EP c) DC : AB d) DP : PA. B
D
F
P A
C
Pogledaj riješen primjer, str. 5.
E
11
35
Četiri paralelna pravca na slici odsijecaju na pravcima x i y odsječke a, b, c, m, n i p. Ako je a : b = 4 : 5 i b : c = 4 : 3, koliko je: n a) m : n m b) m : p c) (m + n) : m d) (n + p) : p a e) (m + p) : (n + p)?
y
p
x
c
b
Sličnost trokuta 1
Na kojim su slikama dani trokuti slični? a) b)
c)
d)
36°
m
m
c
m 25° 50°
50°
Kolika je stranica BC trokuta ABC ako su trokuti ABC i DEF slični? F C 25,2 cm
A
3
D
E
B
35 cm
D
E
D
E
42 cm
Izračunaj stranice RP i QR trokuta PQR ako je ΔABC a ΔPQR. C R 4 cm
A
12
D
3 cm
92°
72°
c
2
80°
65°
m
30°
2,5 cm
E
B
P
D
2,4 cm
E
Q
30°
60°
4
Ako su jednakokračni trokuti ABC i EDF slični, izračunaj stranicu DE trokuta DEF. D C
E
2 cm
A
5
D
E
3,6 cm
B
E
D
1,5 cm
F
Izračunaj hipotenuzu GL i katetu HL trokuta GHL ako je ΔMPQ a ΔGHL. L Q 25 mm
M
D
P
20 mm
G
D 30 mm
H
6
Odredi visinu tvorničkog dimnjaka čija sjenka ima duljinu 20 m, ako u istom trenutku vertikalni štap duljine 2.5 m na istoj horizontalnoj podlozi baca sjenku duljine 2 m.
7
Mjesto B nalazi se na nepristupačnom terenu. Koliko je kilometara mjesto B udaljeno od mjesta D? A 4 km C 5,2 km
11,7 km D
B
8
Ako su pravci AB i CD paralelni, dokaži da su trokuti BOA i DOC slični. a) b) D D B
B O
O A
9
C
A
Pravac koji sadrži težište T trokuta ABC i paralelan je s BC, siječe stranice AB i AC u točkama D i E. Dokaži da je ΔABC a ΔADE. Koliki je koeficijent sličnosti?
C
Težište trokuta dijeli svaku težišnicu u omjeru 2 : 1.
13
a
a
a
K
K
K r
S
S
S