The VisMath Anthology (FULL BOOK!)

Experience-centered Approach and Visuality In The Education of Mathematics and Physics Élményközpontúság és vizualitás a matematika- és fizikaoktatásban Doživljaji i vizualnost u centru pozornosti u nastavi fizike i matematike

Board of Editors: Javier Barrallo Mateja Budin Anthony Durity Fenyvesi Kristóf Slavik Jablan Klingné Takács Anna Ljiljana Radović Radmila Sazdanović Stettner Eleonóra

Élményközpontúság és vizualitás a matematika- és fizikaoktatásban Experience-centered Approach and Visuality In The Education of Mathematics and Physics

Kiadja a Kaposvári Egyetem /

/ Publisher: Kaposvar University

Nemzetközi Szerkesztőbizottság / / International Board of Editors: Javier Barrallo, Mateja Budin, Anthony Durity, Fenyvesi Kristóf, Slavik Jablan Klingné Takács Anna, Ljiljana Radović, Radmila Sazdanović, Stettner Eleonóra Fordítók / / Translation: Anthony Durity, Fenyvesi Kristóf, John Hiigli, Füri Tamás, Kövér György, Stettner Eleonóra Könyvterv és technikai szerkesztés / SAXON Szász János

/ Book design & technical editing:

Web: www.crossborder.ke.hu This book is published and copyrighted, © 2012, by the Kaposvár University.

All rights reserved. No part of this book shall be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted by any means – electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise – without written permission from the publisher or the authors.

ISBN 978-963-9821-52-1 Készült 2012-ben a Kozo Print Kft. nyomdájában Nyomdavezető: Kovács Zoltán

A kötet megjelenését támogatták /

Supported by:

Natural Sciences Know No Borders HUHR / 1001 / 2.2.1 / 0006

www.elmenymuhely.hu

Bjelovar-Bilogora County

Petar Preradović Secondary Grammar School

TARTALOMJEGYZÉK / SADRŽAJ / TABLE OF CONTENTS

I. TUDOMÁNY HATÁROK NÉLKÜL: KAPOSVÁR – VERŐCE – BJELOVÁR / ZNANOST BEZ GRANICA: KAPOŠVAR - VIROVITICA – BJELOVAR / SCIENCE WITHOUT FRONTIERS FENYVESI Kristóf – STETTNER Eleonóra: Bevezetés, avagy kalandok a tudomány és a művészet határvidékén / Uvod ili avanture na granici znanosti i umjetnosti / Introduction: Adventures On The Borderland Of Science and Art

5

STETTNER Eleonóra: Néhány gondolat a matematika oktatásáról Magyarországon / Nekoliko misli o podučavanju matematike u Mađarskoj / A Few Thoughts On Mathematics Education In Hungary

9

FENYVESI Kristóf – SZABÓ Ildikó: Ozmózis: a matematika és a művészetek formális és informális oktatásának összekapcsolhatósága az ÉlményMűhely eszközeivel / Osmoza: mogućnost povezivanja formalne i neformalne edukacije matematike i umjetnosti sredstvima Zabavne radionice / Osmosis: Connectionship Between the Formal and Informal Education of Mathematics and Arts in the Experience Workshop Math-Art Movement's Approach

17

Iva VATROV: A természettudományok oktatásáról Horvátországban / Studij o edukaciji u području prirodnih znanosti u Hrvatskoj / Science Education In Croatia

29

Slobodanka POLAŠEK: Tavaszi fizikai iskola / Proljetna škola fizike / Project Report Of The Spring School of Physics in Virovitica

39

Jasminka VILJEVAC: A GeoGebra szerepe A természettudomány nem ismer határokat című projektben / GeoGebra u projektu „Prirodoslovlje ne poznaje granice“ / GeoGebra workshops in the Natural Sciences Know No Borders project

49

II. VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS Javier BARRALLO Szaniszló BÉRCZI Robert BOSCH István BÖSZÖRMÉNYI Mateja BUDIN Amina BÜHLER-ALLEN Vladimir BULATOV Anne BURNS Michael BURT Peter CALVACHE J. Scott CARTER Xavier De CLIPPELEIR Bob COECKE Brent COLLINS Francesco De COMITÉ Jean CONSTANT Donald W. CROWE György DARVAS Lynnclaire DENNIS Mark R. DENNIS – Robert P. KING Mirjana DEVETAKOVIĆ – Ljiljana PETRUŠEVSKI – Bojan MITROVIĆ Dániel ERDÉLY Robert FATHAUER Nat FRIEDMAN Mehrdad GAROUSI Paulus GERDES

57 59 62 64 66 70 72 74 76 79 80 82 84 86 89 91 93 95 98 100 103 105 109 112 114 115

3

4

TARTALOMJEGYZÉK / SADRŽAJ / TABLE OF CONTENTS

Johan GIELIS Georg GLAESER Gary GREENFIELD Franz GRUBER Izidor HAFNER George HART Anna HARTKOPF – Andreas Daniel MATT John HIIGLI Jadranka HOFMAN-JABLAN Sándor HORVÁTH Dirk HUYLEBROUCK Slavik JABLAN Sándor KABAI Jay KAPRAFF Louis H. KAUFFMAN Ferhan KIZILTEPE Dmitri KOZLOV Teja KRAŠEK Patrick LABARQUE Haresh LALVANI Jos LEYS Mojgan LISAR Marcella Giulia LORENZI – Mauro FRANCAVIGLIA – Rick DOBLE Elena MARCHETTI – Luisa ROSSI COSTA Kazmier MASLANKA Sabetta MATSUMOTO András MENGYÁN Koji MIYAZAKI István MUZSAI Mike NAYLOR Chris K. PALMER Henk Van PUTTEN

117 119 121 123 125 127 131 135 138 139 141 143 145 147 149 151 153 157 160 163 166 169 170 172 174 175 177 180 183 185 189 193

R. C.-Z. QUEHENBERGER – P. WEIBEL – M. BLÜMLINGER – H. STACHEL, E.v. SAMSONOW – H. RAUCH, H. KATZGRABER – C. MAGNES – N. TASIĆ – K. STUMREICH – R. FRIEMEL

195

Ljiljana RADOVIĆ Peter RAEDSCHELDERS Encarnación REYES Tony ROBBIN Rinus ROELOFS Irene ROUSSEAU Reza SARHANGI János Szász SAXON Radmila SAZDANOVIC Bogdan SOBAN Vera W. de SPINADEL Milena STAVRIĆ – Albert WILTSCHE Lajos SZILASSI Koos VERHOEFF – Tom VERHOEFF Eva VOHLLEBEN László VÖRÖS Günter WALLNER

198 200 202 204 206 208 211 213 216 218 221 223 225 227 229 231 235

Fenyvesi Kristóf – Stettner Eleonóra

5

Bevezetés, avagy kalandok a tudomány és a művészet határvidékén Mindazok, akik szépséget és örömöt lelnek a matematikában és a fizikában, tapasztalatból tudják, hogy a tudományos ismeretek az iskolai példák és a mérnöki problémák megoldásán kívül, sok minden másra is alkalmasak. A matematika és a fizika titkainak a felfedezése révén, a praktikus ismereteken túl, játékokkal és olyan csodálatos eszközökkel is megajándékozhatjuk egymást, amelyekkel korlátainkat meghaladva alkotni, teremteni is tudunk. Segítségükkel hidakat építhetünk a művészet, a tudomány és az oktatás között, elősegíthetjük a kultúrák közötti párbeszédet, interdiszciplináris és multikulturális közösségeket hozhatunk létre.

A matematika és a fizika sokrétű lehetőségeinek a felderítését soha nem lehet elég fiatalon elkezdeni.

Ehhez mindenekelőtt kellő érzékenységgel megáldott kreatív tanárokra, érdeklődő és támogató szülőkre és az ismeretterjesztés iránt elkötelezett szakemberekre van szükség. Olyan emberekre, akik nem csak az érdeklődés felkeltéséhez, hanem annak fenntartásához is értenek. Sok irányban nyitottak, szeretnek tanulni és készen állnak arra is, hogy ismereteiket, felfedezéseiket és élményeiket megosszák egymással és tanítványaikkal: az eljövendő generációk tagjaival.

Könyvünkben az összefoglalását adjuk annak a magyar és horvát diákoknak szóló, élményközpontú megközelítésen és vizuális művészeti ismereteken alapuló nemzetközi matematikai és fizikai oktatási programnak, amelyet 2011-2012 során valósítottunk meg magyarországi és horvátországi helyszíneken.

A program kidolgozását és lebonyolítását a Magyarország-Horvátország IPA Határon Átnyúló Együttműködési Program tette lehetővé, megvalósításában a Kaposvári Egyetem munkatársai és nemzetközi partnerei, a viroviticai Petar Preradović Gimnázium tanárai és Bjelovar-Bilogora megye intézményeinek dolgozói, valamint az ÉlményMűhely Nemzetközi Matematikai-Művészeti Mozgalom szakemberei működtek együtt. A projektpartnereken kívül a kaposvári Táncsics Mihály Gimnázium és a grubisno poljei Bartola Kašic gimnázium diákjai és tanárai vettek részt az országhatárokon, valamint tudományos és művészeti területeken átnyúló rendezvényekben.

Kötetünk első fejezetében körképet adunk a matematika és a természettudományok oktatásának magyarországi és horvátországi helyzetéről. Ezt követően a programunk keretében megvalósított ÉlményMűhely-rendezvényekről, műhelyekről, előadásokról, kiállításokról és a rendezvényeket megalapozó pedagógiai szemléletről nyújtunk részletes összefoglalót.

Projektünk előkészítése, rendezvényeink megtervezése és lebonyolítása során, valamint az azokról szóló információk terjesztése, híradások és a projektünkben résztvevő munkatársaink konferenciaszereplései, tudományos és ismeretterjesztő közleményei révén, az élményközpontú matematika- és fizikaoktatás, valamint a vizuális matematika és vizuális művészetek oktatási alkalmazásának számos nemzetközi szaktekintélyével nyílt alkalmunk kapcsolatba lépni. Kötetünk nemzetközi szerkesztőbizottságának tagjait – Slavik Jablan-t (Matematikai Intézet, Belgrád), Ljiljana Radović-ot (Niš-i Egyetem), Radmila Sazdanović-ot (University of Pennsylvania), Javier Barrallo-t (The University of the Basque Country), Mateja Budin-t (Mathema Institute for popularisation of mathematics) és Anthony Durity-t (Jyväskyläi Egyetem) – is a projekt sikeres megvalósítását kivételes aktivitással támogató szakemberek közül választottuk ki.

A könyv második részében a velük közösen összegyűjtött tudományos, oktatási és művészeti anyagból adunk színes válogatást. Bízunk abban, hogy könyvünknek ez a kivételesen gazdag és sokrétű fejezete – benne a világ minden táján tevékenykedő kollégák legjobb gyakorlataival – projektünk fenntarthatóságát erősíti. Az a szándékunk, hogy kötetünket minél több tanárhoz, szakemberhez és szülőhöz eljuttassuk, s a kiadvány így értékes ötletekkel, ismeretekkel szolgáljon további önálló programok kidolgozásához és kutatások tervezéséhez.

Kiadványunkat három nyelven: magyarul, horvátul és angolul ajánljuk olvasóink figyelmébe.

6

Kristóf Fenyvesi – Eleonóra Stettner

7

Introduction: Adventures On The Borderland Of Science and Art Everyone who finds beauty and joy in mathematics and physics is well aware that knowledge in science can be useful in far more ways than solving problems in school. By revealing the secrets of mathematics and physics, we can invent interesting games or discover amazing tools, which can be useful in engineering, medicine or even in the creation of wonderful artworks. When we build bridges between science, art and education we also promote intercultural dialogue and create interdisciplinary communities.

It is never too early to start the exploration of the richness of mathematics and physics. This require sensitive teachers, interested and supportive parents, and professionals who are themselves devoted to the dissemination of knowledge and information. We need people who not only know how to discover the interests of the student but also know how to maintain and develop their interest. We need teachers who are openminded, love to learn and who are ready to share their knowledge, discoveries and experiences with their colleagues and their pupils: the members of future generations.

In this book, we provide a summary of our international project for Hungarian and Croatian high school students in mathematics and physics, based on experience-centered learning methods and education through visual arts. This program is made possible by the generous support of the IPA Cross-border Cooperation Programme. The events were realized in 2011-2012 in Hungarian and Croatian venues with the leadership of the Kaposvár University and with the cooperation of the Petar Preradović High School (Virovitica, Croatia), Bjelovar-Bilogora County (Croatia), and the members of the Experience Workshop MathArt Movement. In addition to the above mentioned project-partners, the Táncsics Mihály High School (Kaposvár, Hungary) and the Bartola Kašic High School (Grubisno Polje, Croatia), also participated in these ground-breaking events connecting countries and scientific and artistic fields.

In the first chapter of our book we provide a comprehensive overview of education in mathematics and physics in Hungary and Croatia. Then, we provide a detailed report on the workshops, presentations and exhibitions which we organized within the framework of our program. The reader can find detailed descriptions of some of the experience-centered pedagogical methods and practices upon which we base these activities.

During the preparation, planning and execution of our activities in this project we contacted a number of internationally recognized representatives of experience-centered education in mathematics and physics, and recognized artists who have exceptional experience in both theory and practice as it relates to the educational role of visual arts, particularly in the special field of mathematics known as visual mathematics.

We established an International Board of Editors consisting of Slavik Jablan (Mathematical Institute, Serbia), Ljiljana Radović (University of Niš, Serbia), Radmila Sazdanović (University of Pennsylvania, USA), Javier Barrallo (The University of the Basque Country, Spain), Mateja Budin (Mathema Institute for popularisation of mathematics, Slovenia) and Anthony Durity (University of Jyväskylä, Finland). With the essential assistance of this board we established a representative and global collection in the field, which we show in the second part of this book.

We trust that this colorful chapter of our book, containing the best of both visual science and science inspired art from all over the world, will assist us in further defining our goals and developing a sustainable mission.

It is our intention to share this book with as many educators, teachers, and parents as possible. Needless to say we hope that it will be a valuable source of further research and independent art and education programs.

We provide our book in three languages: Hungarian, Croatian and English to our readers.

Stettner Eleonóra

9

Néhány gondolat a matematika oktatásáról Magyarországon

A few thoughts on mathematics education in Hungary The gap between the so called 'elite' and 'mass ' education is very large in our days, in Hungary. On the one hand, there are excellent high schools, study circles and science-camps are available, lead by well-qualified teachers and it has several good effects on the Hungarian results at international scientific student contests. But on the other hand, the education of 'average' students and the development of the everyday problem solving skills are less than satisfactory. In my opinion, the joy of learning mathematics and the sciences is our common value, which should be accessible to all. And I think that the Experience Workshop Math-Art Movement can have a great role in the fostering and disseminating this idea.

Véleményem szerint a magyar matematikaoktatásban napjainkban élesen kettéválik az „elitképzés” és a „tömegképzés”. Kiváló tagozatos gimnáziumaink, tehetséggondozó szakköreink, táboraink vannak, amelyeket jól felkészült tanárok vezetnek.

Ez a nemzetközi versenyeredményeinkben is tükröződik. Ugyanakkor az átlagos tanulók képzése, a mindennapokban használható problémamegoldó gondolkodás fejlesztése sok kívánnivalót hagy maga után. Pedig a matematikai felfedezés örömét, a matematika egész világot behálózó kapcsolatrendszerét megmutatni és átélhetővé tenni mindenki számára alapvető fontosságú feladat.

Sokáig azt gondoltam, hogy a magyarországi matematika oktatás a világ legjobb oktatási rendszere.

Az egyik legjobb vidéki gimnázium matematika tagozatos osztályába jártam, ahova sokkal nagyobb volt annakidején a túljelentkezés, mint az ELTE matematika-fizika szakára, ahova később kerültem.

A középiskolában és az egyetemen is kiváló tanáraink voltak, én szorgalmasan tanultam, abban az időben nem voltak bennem kérdőjelek. Kezdő tanárként a tanult hagyományok talaján álltam. Túlnyomórészt tagozatos osztályokat kaptam, jó verseny és érettségi eredményeket értem el velük.

Később, a matematika tagozatok zárt világából kikerülve, oktatási tapasztalataim, a saját gyerekeimen keresztül szerzett élmények, és a nemzetközi felmérések tapasztalatai megingattak.

Szükség van-e jó hagyományainkat megőrizve új módszerek, látásmódok bevezetésére? A mai válaszom egyértelműen: igen. Ezért is kapcsolódtam be indulásakor azonnal a Nemzetközi ÉlményMűhely munkájába.

A probléma pontos megfogalmazása a „Természettudományok tanítása korszerűen és vonzón” (ELTE, 2011. aug. 23-25.) című konferencia kiadványának előszavában olvasható: „A természettudományok tanítása, ezen belül is a kémia, fizika és újabban már a matematika is az egész világon problémákkal küzd. A diákok érdeklődése elfordul a nehéz tantárgyaktól, a kémia és fizika tanárképzés megszűnőben van, pedig egyre nő a mindennapi életünk szempontjából is fontos tudásanyag. Az interdiszciplináris ismeretek helyet követelnek maguknak, s szinte szétfeszítik a tanterveket. Hogyan szerezhetjük vissza diákjaink

10

Néhány gondolat a matematika oktatásáról Magyarországon

érdeklődését? Mi a megoldás a klasszikus tudományos ismeretek és a modern témák közötti egyensúly megtartására? Hogyan tehető közérthetővé az új felfedezések bonyolult fogalomrendszerű elméleti háttere? Mivel lehetne meggyőzni a többséget, hogy érdemes (és a mindennapi életben is hasznos) természettudományos ismereteket tanulni? Ezek a kérdések foglalkoztatják a felsőoktatásban és középiskolákban oktató tanárokat világszerte.”

Dolgozatom egyrészt rövid, vázlatos helyzetelemzés napjaink matematika oktatásának néhány pontjáról, és egyben a „Natural sciences know no borders” című pályázatunk jelentőségének indoklása.

Elitképzés, tömegképzés A jelen matematika oktatásában törésvonalat érzékelek az elitképzés és a tömegképzés között.

A magyar matematika jó hírneve csaknem egy évszázadra nyúlik vissza. Marx György A marslakók érkezése című könyvében olvashatunk a pályájukat Amerikában kiteljesítő kiváló magyar matematikusokról és természettudósokról. Eredményeik egyik oka, saját véleményük szerint is, a világ legjobbjai közé számító pesti gimnáziumokban zajló magas színvonalú matematika és fizikaoktatás. Abban az időben a tömegképzésről tudtommal felmérések, dokumentumok nem állnak rendelkezésre. Az elitképzés matematikából folyamatosan jó színvonalú.

Erről visszajelzést ad számunkra az évenként megrendezett Nemzetközi Matematikai Diákolimpia is.

A Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát 1959 óta rendezik meg. A 70-es évek közepéig a szocialista országok versenye volt, ma az egész világra kiterjed, a résztvevő országok száma egyre nő. Magyarország az olimpiák történetének összesített eredménye alapján a 3. helyen áll. A mellékletben megfigyelhetjük a magyar matematikus diákok eredményeit. Ezek, ahogy egyre több nemzet kapcsolódik be a versenybe, már nem tűnnek annyira jónak, mint az olimpiák első éveiben, de ennek oka a külföldi versenyzők számának és felkészültségének növekedése.

A magyarországi matematikai tehetséggondozás fontos fóruma az Arany Dániel győri főreáliskolai tanár által 1894-ben középiskolásoknak alapított Középiskolai Matematikai Lapok. A feladatmegoldó pontversenybe ma matematikából, fizikából és informatikából lehet nevezni. A feladatok napjainkban angolul és franciául is megjelennek. A feladatok mellett a folyóiratban ismeretterjesztő, tudományos cikkeket, versenyekről, tehetséggondozó táborokról szóló beszámolókat is találhatunk.

1. táblázat, Forrás: www.komal.hu/hirek/KoMaLMagyarOrokseg1.ppt

11

Az előző táblázat a versenyzők, a feladatok és a megoldások számának változását mutatja a lap indulásának első és utolsó három évét összehasonlítva.

A nemzetközi felmérések tapasztalatai A nemzetközi összehasonlítás lehetősége, a versenyek – például a már említett Matematikai Diákolimpia – kapcsán fennáll, de az átlagos képességű és gyengébb tanulók tudásának, a különböző országok „tömegoktatásának” az összehasonlítására először a nemzetközi mérésekben való részvétel adott lehetőséget, ilyen a PISA, TIMSS, PIRLS. A magyar társadalomra az első PISA eredmények, 2000-ben – emlékszem –, szinte sokkszerűen hatottak. A magyar diákok kissé a középmezőny alatt végeztek, ami összetörni látszott az addig vélt magyar matematikai nagyhatalom képzetet. A TIMSS vizsgálatokban a magyar diákok sokkal jobb eredményeket értek el, egyes osztályokban az élmezőnyben végeztek. Ennek egyik oka valószínűleg az volt, hogy itt a felmérés sokkal jobban a megtanult anyagra támaszkodott, ellentétben a PISA-val, ahol a használható tudást mérik fel. A PISA felmérés feladatai életszerű szituációkban megjelenő szöveges matematika feladatok, célja a munkaerő-piaci, továbbtanulási alkalmasság mérése.

Az említett nemzetközi mérések nem az egyes országok versenyét szolgálják, hanem az eredményeket megfelelően értelmezve információkkal látják el az oktatáspolitikusokat döntéshozó munkájuk segítésére. Ha a magyar diákok matematika eredményét vizsgáljuk 2000-2009 között, az számszerűen alig változott, mégis a mutatónk átlag alattiból átlagossá vált, aminek oka a 2000 óta belépett OECD országok gyengébb teljesítménye.

Kompetenciamérések Az Országos kompetenciamérés az ország szinte minden 4., 6., 8. és 10. évfolyamos tanulójára kiterjedő éves mérési rendszer. A felmérésben a tanulók matematika és szövegértés feladatokat tartalmazó tesztfüzeteket töltenek ki 4x45 percben, valamint szüleik bevonásával önkéntesen válaszolnak egy, a családi hátterüket felmérő kérdőív kérdéseire.

A felmérés nem az adott tanévi tanterv ismeretanyagát kéri számon, hanem azt vizsgálja, hogy a diákok az addig elsajátított ismereteket milyen mértékben tudják alkalmazni a mindennapi életből vett feladatok megoldásában, tehát hasonló a PISA felméréshez.

A kompetenciamérés eredményei az évek során kis mértékben ingadoznak, egyértelmű trend nem figyelhető meg. Érettségi eredményeink A kétszintű érettségi bevezetése 2005-től történt.

Ekkor matematikából az emeltszintű érettségi választható lett, de a felsőoktatási intézmények nem írták elő kötelező bementi feltételként az emeltszintű érettségit, csak többletponttal jutalmazták az emelt szintet választókat. A leendő hallgatók mérlegeltek,

12

Néhány gondolat a matematika oktatásáról Magyarországon

a kapható többletpontok, vagy a középszinten elérhető jobb eredmény kedvezőbb-e számukra.

A 2. táblázat adatai alapján kiszámolható, hogy az utóbbi három évben az érettségizők kevesebb, mint 2%-a választotta emelt szinten a matematikát.

2. táblázat, Saját szerkesztés Adatok forrása: http://www.oh.gov.hu/korabbi-erettsegi/korabbi-erettsegi

3. táblázat Forrás: http://www.oh.gov.hu/korabbi-erettsegi/korabbi-erettsegi

A 3. táblázat a középszintű érettségi matematika átlagait hasonlítja össze a másik két mindenkinek kötelező tantárgy, a magyar nyelv és irodalom és a történelem eredményeivel. A matematika eredmények minden évben lényegesen alacsonyabbak a másik két kötelező tantárgy átlagainál. Még szembetűnőbb a különbség, ha a jegyek eloszlását vizsgáljuk. Ez minden tantárgynál hozzávetőlegesen normális eloszlást követ, vagy a jobb jegyek irányába nő, kivéve a matematikát.

Itt az érettségizők közel 50 %-a ért el évről-évre elégséges eredményt, és innen a jobb jegyek irányába meredek csökkenés tapasztalható, a kb. 10%-os jeles eredményt elérőkig. Ez a tendencia minden évben változatlanul megfigyelhető.

A 4. táblázat a 2011-es emelt szintű matematika érettségi eredményeket mutatja százalékban. A táblázatból látható, hogy akik választották a matematikát emelt szinten, azok már a többi tantárgyhoz viszonyítva is jó eredményt érnek el.

4. táblázat Forrás: http://www.oh.gov.hu/korabbi-erettsegi/korabbi-erettsegi

A tanárképzésről A jó problémamegoldó gondolkodásra nemcsak a matematikusoknak van szüksége, de minden munkakörben és hétköznapjainkban is fontos. Ehhez az oktatás minden szintjén, minden iskolatípusban kiváló matematikaoktatásra lenne szükség.

Véleményem szerint az oktatásban a kulcsfigura a tanár. A jövő nemzedékének matematikatudása a ma

13

végzett tanároktól függ. A bolognai rendszer bevezetésével matematikát tanítani csak mesterszakon végzett tanárnak lehet általános és középiskolában is.

A rendszer első végzett tanárai napjainkra hagyják el az egyetemet, de a kedvezőtlen tapasztalatok alapján a döntéshozók a rendszer átalakítását tervezik. Újra bevezetni szándékoznak az osztatlan, kétszintű, kétszakos tanárképzést. Az egyik indok az, hogy nem igazolódott be az a vélekedés, hogy a mesterképzésre jelentkező hallgató az alapképzés elvégzése után érettebb döntést hoz, mint a 18 éves. A tanár szakokra, különösen a természettudományi és matematika szakok esetén, a jelentkezők száma évről-évre csökkent. Így ahhoz, hogy értelmes, értékelhető eredményekkel rendelkező elemzéseket végezhessünk a matematika tanárok számáról, felvételi eredményeiről még néhány évet várni kell.

Befejező gondolatok Bár az iskolai matematika szakkörök, és az úgynevezett központi szakkörök száma napjainkra csökkent, de a matematikai tehetséggondozásnak, versenyfeladatok megoldásának még elég sok területe megmaradt.

Ilyenek a KÖMAL feladatmegoldó versenyei, az általános iskolások számára készült Abacus folyóirat, az olimpiai felkészítő szakkör, az Erdős Pál Matematikai Tehetséggondozó Iskola Veszprémben, általános és középiskolásoknak szóló matematika versenyek, a tehetséggondozó nyári táborok.

Szendrei Julianna írja a Gondolod, hogy egyre megy? című könyvében (437. oldal): „Sajnos jóval kevesebb lehetőségük van azoknak, akik nem a versenyszintű feladatmegoldást kedvelik. [...] A „matematikai örömökhöz való juttatás” terén kevesebb szervezett lehetőség van, …”

Remélhetjük, hogy az ÉlményMűhely egy ilyen lehetőség?

Irodalom 1. TERMÉSZETTUDOMÁNY TANÍTÁSA KORSZERŰEN ÉS VONZÓAN Motiváció, tehetséggondozás, tanárképzés Nemzetközi konferencia magyarul tanító tanárok számára az ELTE Természettudományi Oktatásmódszertani Centrum és az InfoPark Alapítvány szervezésében Budapest, 2011. augusztus 23-25, az előadások és poszterbemutatók szerkesztett anyaga http://termtudtan.extra.hu/kotet.pdf (2012. 07.01.)

2. Marx György A marslakók érkezése, Akadémiai Kiadó Zrt., Budapest, 2000 3. Szendrei Julianna Gondolod, hogy egyre megy? Dialógusok a matematikatanításról tanároknak, szülőknek és érdeklődőknek Typotex Kiadó, Budapest, 2005 4. Jelentés a magyar közoktatásról 2010, http://www.ofi.hu/kiadvanyaink/jelentes-magyar-111019, (2012. 07.01.)

5. A pedagógusképzés átalakításának szakmai tervezete, http://mathdid.elte.hu/pic/vodon.pdf, (2012. 07. 01.)

6. www.komal.hu 7. www.oh.gov.hu

14

Néhány gondolat a matematika oktatásáról Magyarországon

Sorszám

Év

Város

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Brassó–Bukarest Sinaia Veszprém České Budějovice Varsó–Wrocław Moszkva Berlin Szófia Cetinje Moszkva Bukarest Keszthely Zsolna Toruń Moszkva Erfurt–Berlin Burgasz–Szófia Lienz Belgrád Bukarest London — Washington, D.C. Budapest Párizs Prága Joutsa Varsó Havanna Canberra Braunschweig Peking Sigtuna Moszkva Isztambul Hongkong Toronto Mumbai Mar del Plata Tajpej Bukarest Taejon Washington, D.C. Glasgow Tokió Athén Mérida Ljubljana Hanoi Madrid Bréma Asztana Amszterdam

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

Ország Románia Románia Magyarország Csehszlovákia Lengyelország Szovjetunió NDK Bulgária Jugoszlávia Szovjetunió Románia Magyarország Csehszlovákia Lengyelország Szovjetunió NDK Bulgária Ausztria Jugoszlávia Románia Nagy-Britannia Egyesült Államok Magyarország Franciaország Csehszlovákia Finnország Lengyelország Kuba Ausztrália NSZK Kína Svédország Oroszország Törökország Hongkong Kanada India Argentína Tajvan Románia Dél-Korea Egyesült Államok Nagy-Britannia Japán Görögország Mexikó Szlovénia Vietnam Spanyolország Németország Kazahsztán Hollandia

Résztvevő országok száma

A magyar csapat eredménye

7 5 6 7 8 9 10 9 13 12 14 14 15 14 16 18 17 18 21 17 23

2.

2-3.

1.

1.

2.

2.

2.

2.

3.

3.

1.

1.

1.

2.

2.

3.

1.

7.

3-4.

— 8.

27 30 32 34 38 37 42 49 50 54 55 56 73 69 73 75 82 76 81 82 83 84 82 85 91 90 93 97 104 96 101

17.

6.

3.

4-5.

3.

8.

6.

16.

10.

6.

6.

8-9.

8.

5.

5.

3.

2.

3-4.

11.

9.

21.

12-13.

10-11.

7.

9-10.

17.

16.

10.

19-21.

13.

25-27.

Melléklet, Forrás: Wikipédia A Nemzetközi Matematikai diákolimpiák listája http://hu.wikipedia.org/wiki/Nemzetk%C3%B6zi_Matematikai_Di%C3%A1kolimpi%C3%A1k_list%C3%A1ja 2011.06.30.

15

Redni broj 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

Godina

Grad

1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Brašov-Bukurešt Sinaia Vesprem České Budějovice Varšava–Wrocław Moskva Berlin Sofija Cetinje Moskva Bukurešt Keszthely Žilina Toruń Moskva Erfurt–Berlin Burgas-Sofija Lienz Beograd Bukurešt London — Washington, D.C. Budimpešta Pariz Prag Joutsa Varšava Havana Canberra Braunschweig Peking Sigtuna Moskva Istambul Hongkong Toronto Mumbai Mar del Plata Tajpej Bukurešt Taejon Washington, D.C. Glasgow Tokio Atena Mérida Ljubljana Hanoi Madrid Bremen Astana Amsterdam

Država

Broj država sudionika

Rezultata mađarske ekipe

Rumunjska Rumunjska Mađarska Čehoslovačka Poljska Sovjetski Savez DRNj Bugarska Jugoslavija Sovjetski Savez Rumunjska Mađarska Čehoslovačka Poljska Sovjetski Savez DRNj Bugarska Ausztria Jugoslavija Rumunjska Velika Britanija

7 5 6 7 8 9 10 9 13 12 14 14 15 14 16 18 17 18 21 17 23

2.

2-3.

1.

1.

2.

2.

2.

2.

3.

3.

1.

1.

1.

2.

2.

3.

1.

7.

3-4.

— 8.

SAD Mađarska Francuska Čehoslovačka Finska Poljska Kuba Australija SRNj Kina Švedska Rusija Turska Hongkong Kanada Indija Argentína Tajvan Rumunjska Južna Koreja SAD Velika Britanija Japan Grčka Mexikóo Slovenija Vijetnam Španjolska Njemačka Kazahstan Nizozemska

27 30 32 34 38 37 42 49 50 54 55 56 73 69 73 75 82 76 81 82 83 84 82 85 91 90 93 97 104 96 101

17.

6.

3.

4-5.

3.

8.

6.

16.

10.

6.

6.

8-9.

8.

5.

5.

3.

2.

3-4.

11.

9.

21.

12-13.

10-11.

7.

9-10.

17.

16.

10.

19-21.

13.

25-27.

Fenyvesi Kristóf – Szabó Ildikó

Ozmózis: a matematika és a művészetek formális és informális oktatásának összekapcsolhatósága az ÉlményMűhely eszközeivel

Osmosis: Connectionship Between the Formal and Informal Education of Mathematics and Arts in the Experience Workshop Math-Art Movement's Approach Abstract: The Experience Workshop Math-Art Movement, a movement advocating experience-centered mathematics education, was established in Hungary in 2008. Almost one hundred scholars, artists, engineers, architects, teachers, craftsmen and toymakers that participate in this movement, developed various forms of interactive and playoriented combinations of mathematics and arts. By researching the connections between scientific and artistic education, the Experience Workshop Math-Art Movement's members are contributing to the dissemination of new educational approaches. The Experience Workshop Math-Art Movement organizes math-art festivals, art and science workshops, interactive math-art exhibitions, and conferences. It also contributes to the development of new school curricula. Nearly fifteen thousand students and several hundred teachers and parents have attended the events organized by the movement since its inception. The movement’s publications are becoming popular among a growing circle of experts within the Hungarian art and science education community. This article introduces The Experience Workshop Math-Art Movement’s main educational activities, including the launching of math-art festivals across Hungary, and three good practices, developed in the framework of the CrossBorderScience project.

Hallok róla… és elfelejtem Látom… és emlékszem rá Csinálom… és megértem Kínai bölcsesség

Az ÉlményMűhely – Mozgalom az Élményközpontú Matematika-oktatásért (www.elmenymuhely.hu) 2008ban indult útjára a magyarországi Ars GEometrica művészet- és tudományközi találkozók nemzetközi elismertségnek örvendő tudósai, művészei és pedagógusai összefogásával. Vezetői e cikk szerzői: Fenyvesi Kristóf, a Jyväskyläi Egyetem Művészet- és Kultúratudományok Intézetének kutatója (Finnország), a Bridges Organization (USA) közösségi eseményeinek igazgatója, valamint Szabó Ildikó, a pécsi Apáczai Nevelési és Általános Művelődési Központ 1. számú Általános Iskolájának matematika-fizika tanára.

Immár több mint száz elkötelezett tudós, művész, mérnök, építész, tanár, irodalmár, kézműves és játékkészítő vesz részt a tevékenységünkben, rendezvényeinken gyakran látjuk vendégül a nemzetközi matematikai-művészeti élet legjelentősebb szereplőit.

A tudományos és a művészeti oktatás, ismeretterjesztés összekapcsolhatóságának lehetőségeit kutatva számos új interaktív és játékközpontú eszközt és módszert elevenítettünk fel, fejlesztettünk tovább és dolgoztunk ki az utóbbi években. Magyarországon és a szomszédos országok egyetemein, iskoláiban és közművelődési színterein megrendezett matematikai-művészeti fesztiváljaink, művészeti és tudományos műhelyeink, interaktív kiállításaink, konferenciáink és tudományos, valamint ismeretterjesztő publikációink célja, hogy a gyerekek, szüleik és tanáraik számára tervezett újszerű tartalmak, oktatási eszközök, módszerek és újfajta személyközi együttműködési formák közül, minél több a családok mindennapjainak is a részévé váljon, valamint a

17

18

Ozmózis: a matematika és a művészetek formális és informális oktatásának összekapcsolhatósága az ÉlményMűhely eszközeivel

formális oktatás keretei között, az iskolai és tanárképzési kurrikulumokban is megjelenjen. Ezen a módon igyekszünk aktívan hozzájárulni a terület legjobb gyakorlatainak a széleskörű disszeminációjához.

1. Mindenki tehetséges valamiben: egyenlő hozzáférést, egyenlő esélyeket!

Célunk, hogy megmutassuk: a matematika több is lehet mint szigorú tudomány. A matematika számunkra a közös élmények, felismerések forrása, az örömteli alkotás eszköze. A tehetségpedagógia, valamint a matematikai és a művészeti oktatás jó gyakorlatainak a népszerűsítése terén megfogalmazott koncepcióinkat arra az elgondolásra alapozzuk, hogy a jövő felnőtteinek új típusú készségekre, képességekre, tudásra kell szert tenniük, amihez új típusú oktatási megközelítések kialakítására és alkalmazására van szükség. Ez élményközpontú, az érzékszervek mindegyikét játékba hozó, és a szociális képességeket fejlesztő, a tudományok és a művészetek széleskörű összefüggéseit kutató pedagógiai gyakorlatok kidolgozását igényli, különös figyelemmel a tehetségek felfedezésére és gondozására –, de soha nem szem elől tévesztve az egyenlő hozzáférés és egyenlő esélyek elvét. Mindenki tehetséges valamiben!

– a pedagógus, műhelyvezető, animátor elsődleges feladata, hogy a gyakran rejtőző, szunnyadó tehetséget felkutassa, s az érdeklődés komplex stimulálásával az egyéni tehetségek, képességek kibontakozásához, mindenki számára, egyéni képességeinek és érdeklődésének megfelelő környezetet biztosítson.

2. Szeretnénk-e, hogy a gyerekeink okosabbak legyenek, mint mi magunk vagyunk?

Tehetséggondozó programjaink a nemzetközi szakirodalomban a STEM (Science, Technology, Engineering, Mathematics) integrációjaként hivatkozott komplex gondolkodást az esztétikai, művészeti nevelés eszközeivel egészítik ki. A digitális kultúra, a strukturált információ és hálózatok, a magas fokon szervezett és kontrollált rendszerek, a logisztika és a holisztikus megközelítések korában, egyre inkább egy olyan magasan technicizált környezet vesz bennünket körül, amelynek szinte minden elemében növekvő szerephez jutnak a matematikai ismeretek, a mérnöki tudományok és a művészeti-tudományos design. Ellentmondásosnak tűnik, hogy eközben a matematika és a természettudományok társadalmi megítélése folyamatosan romlik, az egyre szélesebb körben végzett attitűdvizsgálatok világszerte negatív összképet mutatnak. Ezek a negatív tendenciák súlyosan veszélyeztetik a mérnök és természettudományos szakemberek utánpótlását, s ebből fakadóan azt is, hogy képesek legyünk lépést tartani az egyre gyorsuló ütemű és egyre komplexebb infrastruktúrát és egyben közös megértést, globális kooperációt követelő innovációval. Az oktatás egész rendszere, s a tanári szakma, a tanárképzés jelen pillanatban is komoly kihívásoknak néz elébe.

Nem szabad megfeledkeznünk olyan maguktól

19

értetődő, mégis talán meglepő tényekről, hogy azok a tanárszakos hallgatók, akiket ma, 2012-ben tanárnak képzünk, illetve a most pályakezdő pedagógusok, 2040-ben is a legfiatalabb generációkat fogják tanítani.

Az eljövendő generációk tanárainak ezért számos olyan készségre van szükségük, amelyre csak folyamatos önképzéssel, egyéni és közösségi, sőt, a saját diákjaikat is bekapcsoló kutatói tevékenységgel tehetnek szert. Mind a diákokban, mind a tanárokban, mind pedig a szülőkben és a társadalom egészében érdemes ezeket az egyébként súlyos következményeket is magukban hordozó összefüggéseket játékos, vonzó formában tudatosítanunk, s egy olyan 2040-re felkészítenünk a társadalmat, amelyben az emberiség rendelkezésére álló tudástömeg és technológiai apparátus egyre nagyobb mértékben a globális problémák megoldásának kidolgozását és az emberiség kreatív képességeinek kibontakoztatását szolgálhatja.

Munkánk során ezért olyan nemzetközileg is elismert tehetségpedagógusokkal keressük az együttműködést, akik a kor üzenetét alkotó módon megragadva, a kockázatokat és a lehetőségeket egy széles intellektuális spektrumon értékelve, a matematikai, geometriai eredményeket és a műalkotásokat a tudás absztrakt alakzatai és a kreativitás érzékszerveinkkel felfogható formái közötti összekötő hidakként is értelmezik, valamint az oktatás számára is kiaknázható kapcsolódások, átjárók, játékos lehetőségek után kutatnak, művészet- és tudományközi szemléletre alapozott tevékenységük során. Azt sem téveszthetjük ugyanis szem elől, hogy a jövő társadalma számára nem kielégítő, ha a jövő matematikusai, mérnökei és természettudósai csupán kivételesen képzett technikusok lesznek. A legkiemelkedőbb szakembereket és a tevékenységüket támogató és abba participatív technológiák révén aktívan be is kapcsolódó társadalom tagjait, kizárólag magas fokú emberi érzékenységük, humanizmusuk, művészi-kreatív ambícióik és fantáziájuk segítheti abban, hogy a lehető legmagasabb társadalmi hatásfokkal, hosszú távra szóló elképzelések mentén, egymással együttműködve kamatoztathassák a tehetségüket.

3. Szinergiák akcióban!

Az ÉlményMűhely – Mozgalom az Élményközpontú Matematika-oktatásért szakmai eseményeken, konferenciákon és önálló kiadványaiban számol be eredményeiről. Az elmúlt időszakban megrendezett, országos érdeklődésnek örvendő és határon túli programjainkon csaknem 15.000 óvodás, általános és középiskolai tanuló, főiskolás, egyetemista diák, többezer pedagógus és közel ugyanennyi szülő vett részt. Az ÉlményMűhely 2008-ban a Kultúrák Közötti Párbeszéd, 2009-ben pedig a Kreativitás és Innováció Európai Évének hivatalos rendezvénye volt, ugyanebben az évben a Tempus Közalapítvány hivatalos tájékoztatása szerint, programunk bekerült azon hat magyarországi kiemelkedően jó gyakorlat körébe, amelyek a magyar tematikus évet

20

Ozmózis: a matematika és a művészetek formális és informális oktatásának összekapcsolhatósága az ÉlményMűhely eszközeivel

reprezentatív formában is képviselték a program központjában, Brüsszelben. 2010-től kezdődően, minden évben a Kutatók Éjszakája központi rendezvényének főszereplői között szerepelünk.

Az ÉlményMűhely rendezvényei nagy sikert arattak Szlovákiában, Horvátországban és Szlovéniában is.

Tevékenységünket amerikai, belga, finn és norvég szakemberek tanulmányozzák. A közelmúltban Texasban (USA),1 az űrkutatás egyik legrangosabb nemzetközi eseményén, a belga Királyi Akadémián2, a Towson Egyetemen, Baltimore-ban (USA),3 és a 12th International Congress on Mathematical Education (ICME-12) eseményen, Dél-Koreában4 is meghívott résztvevőként mutathattuk be eredményeinket a nemzetközi szakmai közönségnek.

4. Ozmózis: az oktatás formális és informális színtereinek összekapcsolása 2011-ben, az ÉlményMűhely Mozgalom tagságának összefogásával két nemzetközi szerzőgárdával büszkélkedő kiadvány is napvilágot látott. A HIDAK: Matematikai kapcsolatok a művészetben, a tudományban és az élményközpontú oktatásban című kötet (a Kaposvári Egyetem kiadásában), valamint az angol és magyar nyelven is megjelent Vasarely és a matematika című album (a pécsi Vasarely-múzeum hivatalos kiadványa). Ezek a könyvek egyaránt hozzájárulnak annak a minden egyes diákra egyaránt kiterjedő tehetséggondozást kiemelt területként kezelő szemléletváltásnak a megalapozásához, valamint az oktatás formális és informális színtereinek „ozmotikus” összekapcsolásához, amelyre az ÉlményMűhely tanárokból, tudósokból, képzőművészekből, muzsikusokból, kézművesekből, irodalmárokból, filozófusokból, színházi szakemberekből, szülőkből és gyerekekből álló, 2008 óta egyre bővülő közössége szövetséget kötött.

Matematikai-művészeti kiállításunk, az ÉlményMűhely Utazó Galériája 2010-ben jött létre, a Bridges Világkonferencia pécsi kiállításán bemutatkozó világhírű művészek és tudósok donációiból.

Gyűjteményünk az elmúlt két év során 12 alkalommal mutatkozott be Közép-Európában. Gyűjteményünkre alapozva, 2011 szeptemberében egy állandó galériát is sikerült megalapítanunk az egri Eszterházy Károly Főiskola Természettudományi Karán. Célunk további helyi egyetemi és főiskolai műhelygalériák alapítása, amelyekben a pedagógusképzés és a művészetitudományos menedzsment ismeretek oktatásának új formái is lehetővé válnak.

1. 43rd Lunar and Planetary Science Conference (2012), The Woodlands, Texas. Internet cím: http://www.lpi.usra.edu/meetings/lpsc2012/pdf/2611.pdf 2. Math-Art Summit at the Royal Flemish Academy (2012), Brüsszel.

Internet cím: http://etopia.sintlucas.be/3.14/Wiskunst/Wiskunst_Brussels_2012.htm 3. Bridges 2012 World Conference (2012), Towson Egyetem, Maryland.

Internet cím: http://bridgesmathart.org/bridges-2012/2012-speakers-coordinators/ 4. 12th International Congress on Mathematical Education; Activities and Programs for Gifted Students (2012), Szöul, Dél-Korea. Internet cím: http://www.icme12.org/

21

Sikeres, nemzetközi eredményeket is elkönyvelő tehetségfelfedező és -gondozó programokat valósítottunk meg Magyarországon és a szomszédos országok magyarlakta területein, számos hazai és nemzetközi szakmai szervezettel szoros együttműködésben dolgozunk. Célunk, hogy az oktatási innovációs központoktól akár a legtávolabb lévő iskolákat, pedagógusokat, diákokat és szülőket is közvetlenül összekapcsoljuk az élményközpontú matematika- és természettudományos oktatás hazai és nemzetközi élvonalával, termékeny párbeszédet és új művészeti-tudományos színtereket hozzunk létre a közös érdeklődéssel, célokkal rendelkező emberek, közösségek számára, közelítve egymáshoz az azonos területeken tevékenykedő intézmények és szakemberek munkáját is.

5. Hosszú távú fenntarthatóság és szakmai képviselet Egy olyan többszintű és többirányú összefüggésrendszerben törekszünk a programjainkban részt vevő művelődési és oktatási intézményekkel együttműködni, amely magas fokú alkalmazhatósági potenciáljánál, kiterjedtségénél és tartalmi, módszertani sokszínűségénél fogva, aktívan hozzájárul ahhoz, hogy az élményközpontú matematika és természettudományos oktatás helyi hálózatait létrehozzuk és stimuláljuk. A világ több helyszínén párhuzamosan futó projektjeinket igyekszünk összekapcsolni, s ezáltal a lokális kezdeményezéseknek nemzetközi kimeneti lehetőségeket is felkínálni. Az egyes lokális projektjeinkben részt vevő helyi pedagógus kollégákra, művelődési szakemberekre, szülőkre, s a projektjeink keretében vásárolt eszköz-parkra alapozott hosszú távú célunk, olyan önálló elképzeléseket megfogalmazó lokális közösségi bázisok létrehozatala, amelyek aktív, önépítő és önfejlesztő közösségekként funkcionálva, az egyes lokális projekteink lezárulását követően is további önálló projektelképzelésekkel, módszertani programokkal, eszköz-fejlesztéssel, infrastrukturális innovációkkal növelik a hálózatunkban rejlő lehetőségeket.

6. Három jó gyakorlat a magyar-horvát együttműködésen alapuló CrossBorderScience projekt köréből CÉL

ESZKÖZRENDSZER

1. AZ ÉRZÉKELÉS CSATORNÁINAK MEGNYITÁSA

Képzőművészeti alkotások

2. GONDOLKODÁSI FOLYAMAT KIALAKÍTÁSA

Kiállítások

3. MODELLEZŐ KÉPESSÉG FEJLESZTÉSE

Modellező készletek

4. ABSZTRAKCIÓS KÉPESSÉG FEJLESZTÉSE

Tanulói kísérletek

5. VERBÁLIS KÉPESSÉG FEJLESZTÉSE

Személyes kapcsolatok és interakciók a művészek, kutatók, tanárok, diákok, szülők bevonásával

6. FOGALOMRENDSZER KIALAKÍTÁSA 7. KUTATÁS-PROBLÉMAMEGOLDÁS 8. ALKOTÁS: MŰVÉSZETI KOMPOZÍCIÓK ÉS „TUDÁSTÁRGYAK” LÉTREHOZATALA

Az alábbiakban bemutatandó gyakorlatainkat, akárcsak a képzőművészeti összefüggéseket hordozó többi műhelyünket, a táblázatban összefoglalt célrendszer szerint építettük fel.

CILJ

SUSTAV SREDSTAVA

1. OTVARANJE KANALA PERCEPCIJE

Likovna djela

2. STVARANJE PROCESA RAZMIŠLJANJA

Izložbe

3. RAZVOJ SPOSOBNOSTI MODELIRANJA

Kompleti za modeliranje

4. RAZVOJ SPOSOBNOSTI APSTRAKCIJE

Učenički pokusi

5. RAZVOJ VERBALNIH SPOSOBNOSTI

Osobni kontakti i interakcije uz uključivanje umjetnika, istraživača, nastavnika, učenika i roditelja

6. STVARANJE POJMOVNOG SUSTAVA 7. ISTRAŽIVANJE-RJEŠAVANJE PROBLEMA 8. STVARALAŠTVO: STVARANJE UMJETNIČKIH KOMPOZICIJA I „PREDMETA ZNANJA”

22

Ozmózis: a matematika és a művészetek formális és informális oktatásának összekapcsolhatósága az ÉlményMűhely eszközeivel

A./ Kis és nagy méretű matematikai-művészeti kirakók Robert Fathauer-rel: Robert Fathauer 1982ben végzett matematika-fizika szakon a Denveri Egyetemen. 1987-ben doktorált, 1987 és 1994 között a NASA repüléstechnológiai kutatólaboratóriumában dolgozott. Az 1990-es évektől, M. C. Escher ihletésére kezdett el művészi csempézések matematikai alapú tervezésével foglalkozni. 1993-tól tervez a művészet és a matematika megközelítésmódjait egyesítő játékokat és oktatási eszközöket. Gyerekeknek, tanároknak, művészeknek és matematikusoknak szóló műhelyeket és előadásokat tart világszerte. Művészeti tevékenységét Designing and Drawing Tessellations és Fractal Trees című könyveiben is bemutatja.

Robert Fathauer a CrossBorderScience projekt keretében 2011 decemberében látogatott el a Kaposvári Egyetemre. Szemléletmódjával, módszereivel és különleges eszközeivel a diákok és a tanárok is egyaránt megismerkedhettek. Matematikaiművészeti kiállításán az utóbbi húsz év alkotói terméséből válogatott: fraktálokban, csomókban és összetett csempézésekben gyönyörködhettünk. A megnyitón jelenlévő gyerekeket és felnőtteket az alkotó személyesen kalauzolta a számítógéppel előállított különleges alkotások világában és avatta be őket elkészítésük titkaiba. Csempézéseken és fraktálokon alapuló összerakós játékok és műalkotások című előadása már bevezetőt jelentett ahhoz a műhelyhez is, amit Polipok és ráják, a tengerek világa címen tartott, s amelynek keretében a saját maga által tervezett játékos matematikai-művészeti összerakókkal ismertette meg a magyar és horvát gyerekeket és fiatalokat.

A síklefedés számos különböző változatát az ember alkotta tárgyakon és a természetben is tanulmányozhatjuk. M. C. Escher holland művész, olyan csempézéseket is kidolgozott, amelyekben a mintázatok gyík és madár alakú csempékből épültek fel. Az ilyen eljárások műalkotások és összerakós kirakójátékok létrehozatalára is használhatók. Az úgynevezett Penrose-csempék szintén rendkívül érdekesek, mivel azokból végtelen számú, nem ismétlődő mintázatot rakhatunk ki. A természetben is megtalálható fraktálok a matematikai szerkezetek egy másik csoportjába tartoznak. A Robert Fathauer előadásában elhangzottak szerint, a csempézések és a fraktálok kombinációjával rendkívül szép, egyedi mintázatokat alkothatunk. A fraktálkészítés eljárásai, olyan különlegesen összetett csomók tervezésére is alkalmasak, amelyekben a mintázat egy-egy részlete magában hordozza a teljes mintázat egészét. A fraktálelmélet szabályait követve, akár még olyan fákat is rajzolhatunk, amelyeknek az alakját matematikai szabályok határozzák meg. Robert Fathauer Polipok és ráják, a tengerek világa című matematikai-művészeti kirakókészlete is ezeken az elképzeléseken alapul.

A Polipok és ráják, a tengerek világa című kirakókészlet eredetileg kisméretű, tengeri élőlényekhez hasonló alakú, végtelen kombinációban egymáshoz illeszthető elemekből áll. Rendkívül jól használható az oktatásban, mivel az összetett matematikai ismeretek elsajátításán kívül kreativitásra

23

1. Játék, Robert Fathauer Polipok és ráják, a tengerek világa című kirakókészletével a CrossBorderScience projekt keretében Kaposváron, 2011. decemberében.

is késztet. A készlet tervezőjével interneten egyeztetve, a Kaposvári Egyetem tanárai már a műhelyt megelőzően elkészítették egyszerű, vágható színes kartonpapírból a készlet moduláris elemeinek nagyméretű változatát a megfelelő színekben. Miután a diákok a műhely keretében a kisméretű készletekkel játszva felmérték, megismerték a készlet geometriai alaptulajdonságait, kezdetét vehette a játék az óriáskirakóval a Kaposvári Egyetem aulájában.

A műhely keretében a diákok a két különböző csempeformával folytatható csempézések alapvető törvényszerűségeit ismerhették meg. Elsajátították az „él” geometriai fogalmát és azt, hogy az élek milyen szerepet játszanak egy-egy csempeforma jellegének meghatározásában. Kipróbálták a Polipok és ráják, a tengerek világa című kirakókészlet adta lehetséges illesztéseket, szimmetria-kombinációkat. Végül nagyméretű, ötszörös forgásszimmetriával rendelkező szerkezeteket állítottak össze.

B./ Poliuniverzum Játékcsalád Saxon Szász Jánostól: a Saxon Szász János festőművész polidimenzionális síkfestészetének elemeiből álló Poliuniverzum Játékcsalád nem más, mint egy esztétikai-matematikai formarendszer, egy „léptékváltásos szimmetrián” alapuló geometrikus, készségfejlesztő eszköz. A geometrikus alapformákból összeállított színes készlet szinte végtelen logikai összetettséget, bonyolult matematikai és formatani kérdéseket rejt magában, valamint újszerű művészeti látásmódot közvetít gyerekeknek és felnőtteknek egyaránt. A foglalkozás során a műhely résztvevői felfedezték a kicsi-közepes-nagy formák közötti összefüggéseket, a színek közötti éles határvonalakat, és a frissen szerzett tapasztalatokban elmélyülve tanulmányozták a mikrokozmosz és a makrokozmosz egységét, magát a POLIUNIVERZUM-ot: a művészet, a matematika és a filozófia összetett birodalmát.

A játékcsalád színei: piros, sárga, zöld, kék. Formái: háromszög, kör és négyzet, maga a játék pedig a léptékváltásos szimmetriára épül. Ennek a lényege

24

Ozmózis: a matematika és a művészetek formális és informális oktatásának összekapcsolhatósága az ÉlményMűhely eszközeivel

abban áll, hogy az alapformák oldalhosszúságát (illetve a körnél az átmérőt) felezve az alapformákon belül egyre kisebb, más színű formákat kapunk. A játékcsalád egyszerű felépítése – 4 szín, 3 forma – ellenére, a kombinációs lehetőségek száma rendkívül magas.

Elenyésző az esélye például annak, hogy két játékos véletlenül ugyanazt a konfigurációt hozza létre az elemekből.

2. Saxon Szász János Poliuniverzum Játékcsaládjának sokrétű alkalmazása a művész és Dárdai Zsuzsa művészetkritikus vezetésével az ÉlményMűhely keretében.

A készlettel folytatott játékot követően a diákok az általuk legszebbnek tartott kompozíciókat színes papírból is elkészíthetik, s az ily módon létrehozott geometrikus kompozíciókból absztrakt geometrikus művészeti kiállítás is rendezhető az osztályteremben, mégpedig olyan művekből, amelyeknek a tanulók a pontos geometriai szabályszerűségeit, belső törvényszerűségeit is ismerik.

További izgalmas lehetőséget jelent az iskola falain belül létrehozott geometrikus kompozíciók megvalósítása a természetben is, azaz a formák színes virágoskert formájában történő létrehozatala. A meghatározott színű virágpalánták egy tapasztalt kertész segítségével történő elültetése közben a növénytan számos matematikai összefüggése áttekinthető, ökológiai, környezetgazdálkodási, természetvédelmi problémák közös megtárgyalására nyílik lehetőség, a diákok tanárokkal, az iskola vezetőivel és szülőkkel együtt végzett munkája az iskola kertjében pedig páratlan alkalom az iskola közösségének megerősítésére. A folyamat során a diákok fejlesztik a tudásukat, kreativitásukat és képzelőerejüket, mindazon készségeket és képességeket, amelyek nélkül az absztrakt elgondolások és a reális valóság

25

közötti távolság áthidalása, egyes komplex problémák megoldása nem lehetséges.

C./ Anamorfózis az iskolában: az érzékszervi effektusok előállítása játékos alkotó tevékenység révén nagy lehetőségeket rejt a matematika és a természettudományos tárgyak iránti érdeklődés felkeltésében, fokozásában. Az ÉlményMűhely Utazó Galériájának darabjai egytől-egyig újszerű kutatások, alkotói kísérletezések meglepő végeredményeit tárják a kiállítást meglátogató gyerekek, tanáraik és családjaik elé. Orosz István vagy Jan W. Marcus alkotásai az anamorfózisnak, ennek a sajátos effektusnak a pedagógiai alkalmazhatóságára is felhívhatják az érdekes tananyag után kutató pedagógus figyelmét.

Az anamorfózis, olyan felismerhetetlenné vagy „másként felismerhetővé” torzított képet jelent, amely csak egy bizonyos nézőpontból vagy egy a képre helyezett tükörtárgy segítségével válik láthatóvá. Az anamorfózisokkal való ismerkedés során számos tudásterületen tehetünk érdekes felfedezéseket.

Mindezek feltérképezése a pedagógus egyéni céljain és leleményességén múlik, az alábbiakban csak néhányat sorolunk fel.

A matematika tantárgyhoz kapcsolható ismeretek: helymeghatározás a Descartes-féle koordináta rendszerben, valamint polárkoordináták segítségével; különböző vonatkoztatási rendszerek kölcsönösen egyértelmű megfeleltetése (cellák megfeleltetése); szögmérés, koncentrikus körök ábrázolása, egyenlő körcikkekre osztása, stb. A fizika tantárgyban: a geometriai optika témakörbe tartozó fogalmak, mint fényforrás, fénytörés, fényvisszaverődés különböző felületekről, stb. A biológia tantárgyban hasznos megfigyeléseket tehetünk, például a látás és a szem témakörében. A foglalkozások és a tanórák menete a közölni kívánt ismereteknek megfelelően alakítható. Az alábbiakban ismertetett foglalkozási sor, csupán egyetlen a téma számtalan lehetséges feldolgozási módja közül.

Első játék: olvassuk ki az eltorzított feliratot!

Megfigyelések – az olvasás módjával kapcsolatban: balról-jobbra haladva olvasunk és a betűk tükörképét kell elképzelnünk ahhoz, hogy ki tudjuk olvasni a szöveget – az eltorzított kép majdnem szabályos félkör alakban helyezkedik el a papíron, stb.

Második játék: játék a tükrökkel!

Megfigyelések – tükör használatával könnyebben olvasható a szöveg – nem mindegy, hogy milyen alakú tükröt használunk!

– a megfelelő helyre illesztett henger alakú tükörrel egyre pontosabb a kép – Hipotézis megfogalmazása: a tükörképet egy tükörhenger segítségével előállítva, az elrejtett szöveg azonnal felismerhetővé tehető.

26

Ozmózis: a matematika és a művészetek formális és informális oktatásának összekapcsolhatósága az ÉlményMűhely eszközeivel

Harmadik játék: készítsünk tükörhengert!

A tükörhenger elkészítése rendkívül egyszerű: megfelelő sugarú papírhengerre (akár konyhai törlőkendő papírhengerére) öntapadós, papírboltokban beszerezhető tükörfóliát ragasztunk.

A sík papírlap félkör alakú részére helyezve a tükörhengert, a korábbiakban csak elképzelt kép már láthatóvá válik a megfelelően olvasható felirattal és ábrával.

A fenti gyakorlatsorban használható ábra elkészítéséhez az anamorfózist előállító szoftver szabadon hozzáférhető az alábbi internetcímen: http://www.anamorphosis.com/software.html Így a gyakorlatok során használt ábra bármilyen kép felhasználásával előre elkészíthető.

Negyedik játék: figyeljük meg az anamorfózis-készítés technikáját! Keressünk összefüggéseket az anamorfózis-készítés során használt rácshálózatok között!

Mindenki kap egy lapot, melyen előre elkészítettük az anamorfózis megrajzolásához szükséges rácshálózatokat az itt bemutatott ábra és leírás szerint.

A pirossal és kékkel jelzett segédvonalak, azonban nem szerepelnek az ábrákon, hogy a gyerekek saját maguk fedezhessék fel az összefüggéseket.

A diákok a megfelelő segédvonalak berajzolásával könnyen rájönnek, hogy az eredeti rácshoz hogyan készíthető el a torzított rács: a tükörhenger alapját képező körrel koncentrikus köröket rajzolunk, majd azokat a középpontból kiinduló 22,5 fokos szögtartományokra felosztva jönnek létre az ábrán jelzett módon a már eltorzított cellák. Vastag nyíl jelzi a henger alapjának középpontját, a szaggatott vonalak, pedig a körül rajzolt henger alapkörével koncentrikusan megrajzolt első kör sugarai. Az „r” a henger alapkörének sugarát jelöli.

27

Ötödik játék: használjunk lézert!

Az iskolai fizika órákon használt mechanikai készletben található állványra egy lézer fényforrást rögzítünk.

A lézer használatának szabályaira és veszélyeire is felhívva a figyelmet, a fényforrást először a saját, a papírra felülről rátekintő egyik szemünk sugarának megfelelően állítjuk be. A gyerekek megfigyelhetik, hogy a fényvisszaverődés során hová kerülnek az egymással megfeleltethető pontok: a fénypont a hengeren – és képe a rácson. (Cellák megfeleltetése). Ugyanezt – a megfelelő biztonsági szabályok betartásával és folyamatos pedagógusi figyelemmel és segítséggel – kipróbáljuk a gyerekek perspektívájából is.

Hatodik játék: tervezzünk anamorfózist!

Szabályos négyzetrács hálón a diákok elkészíthetik saját alkotásaikat, s a megfelelő cellákat a torzított rácsfelületre másolva előállítható a torzított kép.

A megfeleltetésben ismét segítenek a betűkkel és számokkal meghatározott cellák. Ezután a kijelölt körre helyezve a tükörhengert máris láthatóvá válik abban a tervezett alkotás.

Hetedik játék: készítsünk saját rácshálózatot!

Kiválasztunk egy papírhengert, amelynek felületére tükörfóliát ragasztunk. Rajzolunk egy négyzetes rácshálózatot, s a negyedik játékban leírtak szerint számokkal és betűkkel jelöljük a cellákat.

A papírlapon elhelyezzük a tükörhengert és az alaplapját körülrajzoljuk.

Ezután a fent leírtak szerint elkészítjük a másik kör alakú rácshálózatot. Ebbe kerül az eltorzított kép, amelyet a tükörhengerben fogunk visszatükröződve látni az előre megtervezett formában.

29

A természettudományok oktatásáról Horvátországban

Science Education In Croatia In this study we share the results of a survey about the examination of science teaching conditions in several high schools in Croatia. We used the survey system of the ROSE program (The Relevance of Science Education, Norway).

This way we could compare our results with the results of other European countries.

BEVEZETŐ Ez a tanulmány a Magyarország-Horvátország IPA Határon Átnyúló Együttműködési Program keretében készült. A programban csatlakozó partnerként Bjelovár-Bilogora megye is részt vett.

A tanulmány elkészítése során abból a szempontból elemeztük a középiskolák jelenlegi állapotát, hogy milyen oktatási programok valósulnak meg, mennyire van jelen a természettudomány az egyes programokban, valamint az óraszámokat bizonyos tantárgyak esetében (fizika, kémia, biológia és földrajz).

Bjelovar-Bilogora megyében közvéleménykutatást is végeztünk azon tanárok körében, akik fizikát, kémiát, biológiát és földrajzot oktatnak. Arra voltunk kíváncsiak, hogy milyen gyakorlati tapaszatalatokat szereztek a természettudományok megismertetésében, valamint a jó gyakorlatok alkalmazásában.

A ROSE (The Relevance of Science Education) egy olyan nemzetközi projekt, amelyet egy oslói székhelyű norvég intézet indított útjára. Fő célja a természettudományok oktatása volt. E projekt keretében elkészült egy közvéleménykutatás, amelyet több európai ország diákjai töltöttek ki. A projekt célja rámutatni a természettudomány bizonyos területeinek fontosságára, különösen azokra, amelyek felkelhetik a fiatalok érdeklődését. A tanulmány elkészítése során, mi ugyanezt a tesztet végeztettük el a BjelovarBilogora megyében található középiskolásokkal.

Elemeztük az eredményeket, majd állást foglaltunk a megye jelenlegi helyzetével kapcsolatban, és összehasonlítottuk a saját eredményeinket a ROSE projekt nemzetközi eredményeivel.

Ugyanazt a kérdőívet töltettük ki a tanárokkal is, azzal az utasítással kiegészítve, hogy írják le a tanulók mely témákat szeretik, illetve mely témák iránt érdeklődnek. A tanulmány végén fellelhető néhány példa a pedagógusok jó gyakorlatainak alkalmazására.

Megállapításaink szerint, először is nincs összhangban a nyugdíjba vonuló pedagógusok természetes létszámcsökkenése a fiatal szakképesítést szerzett pedagógusok munkába állásával. Túlzottan sok fiatal szerzett képesítést az alábbi területeken: elektrotechnika és informatika turizmus és vendéglátás kereskedelem

30

A természettudományok oktatásáról Horvátországban

egészségügy és szociális ellátás közgazdaság gépészet, hajógyártás és kohászat.

Míg potenciális hiány keletkezett a következő területeken: erdészet, fafeldolgozás üzleti adminisztráció közlekedés és logisztika mezőgazdaság, élelmiszeripar területe és állatorvosok építészet és geodézia geológia, bányászat, olajipari és vegyészeti technológia.

Másodszor, a kulcsfontosságú ágazatok szükségletei, amelyeknek komoly lehetőségei vannak, mint pl. a bútorkészítés, fafeldolgozás, építőipar és szárazföldi szállítmányozás, nincsenek kielégítve.

Harmadszor, a keresleti és kínálati oldal összehangolatlanságát tetőzi az a probléma, hogy a programonként meghírdetett oktatási tartalmak struktúrájában meglehetősen nagy zűrzavar tapasztalható. Példaként említhetjük a gépészeti oktatás programját, vagy a hajógyártást és kohászatot, ahol az a fajta oktatási program dominál, amelynek keretében a fiatalokat a szolgáltatói, és nem az ipari szakmákra készítik fel.

Negyedszer, ezt az elemzést rendszeresen el kellene végeztetni, mert ezáltal követhető lenne a tudás és a képesség kínálati struktúrája. A helyzetet látva a kvóták pontosabb meghatározásával, új programok bevezetésével és modernizációjával, ahogy a hagyományos oktatási rendszerben, úgy a felnőttképzésben is, csökkenthetőek lennének az egyes szakmák kereslete és kínálata között fennálló aránytalanságok. Továbbá biztosíthatnánk a munkavállalók mobilitását, illetve a nagyobb foglalkoztatás lehetőségét a munkanélküliek körében.

A fent említett következtetések arra utalnak, hogy a hagyományos oktatási rendszereket, és a felnőttképzés területét úgy kell fejleszteni, hogy jobban alkalmazkodjon a gazdaság és a társadalom fejlődésének szükségleteihez.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 1. sz. grafikon a középiskolai tanulók létszámát mutatja Bjelovar-Bilogora megyében: - gimnázium (közép szürke), - négyéves szakközép (sötétszürke), - hároméves szakmunkás (világosszürke)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOS TANTÁRGYAK JELENLÉTE A MEGLÉVŐ OKTATÁSI PROGRAMOKBAN: Gimnáziumi programok Az adatokból kiderül, hogy a gimnáziumi tanulók 19,57 %-a mind a négy év során tanulja a természettudományi tantárgyakat (kivéve az idegennyelvi gimnáziumokat, ahol 3. vagy 4. osztályban választhatnak a tantárgyak közül).

31

Négy – és ötéves szakirányú programok Az egészségügyi ágazatban jónak mondható e tantárgyak jelenléte, akár általános vagy szakirányú oktatásról beszélünk.

A technikusi képzésben jó helyen szerepel a fizika tantárgy. A földrajzot két éven keresztül oktatják, kémiát csak egy évig (kivéve a közlekedési technikusokat, akik az «ökológia a közlekedésben», mint választható tantárgyat tanulhatják, viszont a gépészinformatikai technikusok esetében még ez sem választható).

Az úgynevezett „társadalmi ágazatban” egyáltalán nincs fizika, kémia (kivéve a közgazdászoknál egy évig).

A biológiát csak egy évig tanulják (kivéve a kereskedelmi tanulókat), míg a földrajzot aránylag nagy óraszámban oktatják. A kémia az a tantárgy, amelyik a legkisebb mértékben van jelen, mind az óraszámok, mind a szakmák tekintetében, és csak nagyon kicsit van jobb helyzetben a biológia (kivéve az egészségügyben), mert a szakmák zömében csak egy vagy két évig oktatják őket. A fizika jól szerepel a technikusi képzésben, a földrajz pedig az úgynevezett „társadalmi ágazatokban”.

Hároméves szakképzési programok Bjelovár megyében a hároméves szakképzésre beiratkozott tanulók közül a második osztályban csak a pincérek és a kereskedők tanulnak földrajzot, a gépjármű-vezető tanulók első osztályban tanulnak fizikát, első és második osztályban pedig földrajzot. Az összes többi képzési programban nincs se fizika, se kémia, se biológia, se földrajz.

AZ EREDMÉNYEK ELEMZÉSE Az általunk használt kérdőív nyolc fejezetre oszlik és elsősorban arról gyűjt adatot, hogy milyen a diákok érdeklődése bizonyos természettudományos témák iránt, amelyek részét képezik az oktatási terveknek és programoknak, különösen a gimnáziumokban.

Továbbá, mi a diákok véleménye a jövőbeni munkájukról, a környezeti problémákról, a fizika, kémia, földrajz és biológia tantárgyak tanulásáról, a tudomány és technológia fontosságáról, valamint a diákoknak milyen iskolán kívül szerzett gyakorlati tapasztalataik vannak.

A kérdőívet 319 első és második osztályos diák töltötte ki, közülük 62 gimnazista lány és 28 gimnazista fiú, valamint 109 lány és 120 fiú, akik szakiskolákba járnak. Ezt a kérdőívet 32 tanár is kitöltötte azzal az utasítással, hogy írják le, hogy mi érdekli a diákokat, valamint írják le jó gyakorlatok alkalmazását a természettudományos tantárgyak oktatása során.

Kérdések és válaszok: 1. Úgy gondolja, hogy a jelenlegi oktatási tervekben és programokban megfelelő óraszámban van képviseltetve a természettudomány?

32

A természettudományok oktatásáról Horvátországban

47,8 % igen

52,2 % nem

2. A tanulók kellőképpen motiválva vannak, hogy ezeket a tantárgyakat tanulják?

31,8 % igen

68,2 % nem

3. Rendelkeznek-e megfelelő felszereléssel és eszközökkel, hogy minőségi munkát tudjanak végezni?

65,2 % igen

34,8 % nem

Mi hiányzik: gyakorlati oktatás, órán kívüli foglalkozások, több kísérleti eszköz használata, speciális tantermek és felszerelés, több lehetőség kötetlen beszélgetésekre a diákokkal a tananyaggal kapcsolatban. A kérdőíveken szereplő eredményeket egyes területek alapján elemezték, de a hangsúly két fő fejezetre koncentrálódik: a „Kémia, fizika, biológia és földrajz tantárgyak tanulása”, illetve az „Én és a környezet” fejezetekre.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 2. sz. grafikon „A természettudományhoz köthető tantárgyak érdekesek” állítás értékelését mutatja.

A grafikonon használt különböző színárnyalatok, felülről lefelé: teljesen egyetértek nagyjából egyetértek kevésbé értek egyet egyáltalán nem értek egyet Válaszadók: - gimnáziumi leánytanulók, - gimnáziumi fiútanulók, szakiskolai leánytanulók, szakiskolai fiútanulók, - tanárok

A diákok többsége egyetért azzal, hogy a természettudományhoz köthető tantárgyak érdekesek, kivéve a szakiskolákban tanuló fiúkat. Ha a szakiskolák összetételét vizsgáljuk, akkor ezek technikusi iskolák, ahol zömmel fiúk tanulnak, és nagyobb számban oktatnak fizikát, a többi tantárgy pedig kevesebb óraszámban van jelen, tehát, azokat az óraszámokat kellene megnövelni, amelyek a szakterületükhöz közelebb állnak. A tanárok meg vannak győződve arról, hogy a természettudományhoz köthető tantárgyak érdeklik a diákokat.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 3. sz. grafikon „A természettudományhoz köthető tantárgyak nehezek” állítás értékelését mutatja.

A gimnáziumi tanulók többsége úgy gondolja, hogy a természettudományhoz köthető tantárgyak nehezek, míg a szakiskolákba járó diákok nem tartják nehéznek azokat. Érdemes lenne az okokra is fényt deríteni, mert ezek szerint vagy a szakiskolákban túl kevés az óraszám ezekből a tantárgyakból, és emiatt nem terheli őket ez a feladat, vagy az oktatási programok alkalmazkodnak, és összhangban vannak a szerkezeti tartalmakkal, emiatt pedig a diákok nem nehéz tantárgyként élik meg a felsorolt tantárgyakat. Érdekes, hogy a tanárok is tisztában vannak vele, hogy ezek a tantárgyak bizony nehézségeket okoznak a diákoknak.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 4. sz. grafikon „A természettudományhoz köthető tantárgyak érdekesek” állítás értékelését mutatja.

33

Ezzel az állítással a diákok 50%-a ért egyet, viszont a természettudományok a lányok számára érdekesebbek, mint a fiúknak. Ezzel szemben a tanárok úgy gondolják, hogy ezeknek a tantárgyaknak a tanulása érdekesebb annál, mint ahogy a diákok vélekednek.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 5. sz. grafikon „A természettudományhoz köthető tantárgyak tanulása révén új érdeklődési területet fedeztem fel” állítás értékelését mutatja.

Ennél a kérdésnél csak a gimnazisták és a tanárok látták érdekesnek a felsorolt tantárgyak tanulását.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 6. sz. grafikon „A természettudományhoz köthető tantárgyakat jobban szeretem, mint a többi tantárgyat” állítás értékelését mutatja.

A diákok zöme kevésbé szereti a fizikát, kémiát, biológiát vagy földrajzot, mint a többi tantárgyat, erről csak a tanároknak más a véleménye.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 7. sz. grafikon az „Azt gondolom, hogy mindekinek tanulni kellene az iskolában ezeket a tantárgyakat” állítás értékelését mutatja.

A tanulók 50%-a, és a tanárok 90%-a egyetért azzal az állítással, hogy mindenkinek tanulni kellene ezeket a tantárgyakat, kivéve a szakiskolákban tanuló fiúkat, ahol ez az arány jóval kisebb.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 8. sz. grafikon „Természettudományos ismereteimet a mindennapi életben is hasznosítani tudom majd” állítás értékelését mutatja.

A válaszadók közül a lányok és a tanárok 80%-a gondolja így, míg a fiúk közül kevesebben vélik ugyanezt.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 9. sz. grafikon „Azt gondolom, hogy a természettudományos ismereteim nagyban növelhetik az elhelyezkedésem esélyeit, és az üzleti karrierem alakulását” állítás értékelését mutatja.

A szakiskolákban tanuló fiúk ebben az esetben is a legkevésbé tartják ezt az állítást elfogadhatónak. A fejlett országokban tanuló diákok 50%-a nem ért egyet ezzel az állítással, míg a fejletlenebb országokban tanuló diákoknál ez az arány sokkal magasabb.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 10. sz. grafikon „A természettudományi tantárgyak tanulása során egyre kritikusabb és körültekintőbb leszek.” állítás értékelését mutatja.

Teljesen világossá vált, hogy a diákok számára a természettudományos követelmények nem megoldásra váró problémaként kerülnek bemutatásra.

Ha viszont így lenne, akkor fejleszthetnék kritikai készségüket, valamint kibontakozhatna belőlük a «felfedező».

A cikk horvát nyelvű változatában látható 11. sz. grafikon „A természettudományok tanulása felébresztette bennem a kíváncsiságot olyan dolgok iránt, amelyeket még a tudomány nem tudott megmagyarázni” állítás értékelését mutatja.

34

A természettudományok oktatásáról Horvátországban

A tanulók többsége egyetért azzal, hogy a természettudomány felkelti érdeklődésüket olyan dolgok iránt, amelyek egyelőre megmagyarázhatatlanok.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 12. sz. grafikon „A természettudományok tanulása növelte bennem a természet iránti tiszteletet” állítás értékelését mutatja.

A tanulók többsége belátja a természettudomány fontosságát, ami a természettel való együttéléshez, és az ehhez kapcsolódó életmódhoz köthető.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 13. sz. grafikon „A természettudományok tanulása rámutatott a tudomány fontosságára életmódunkon keresztül.” állítás értékelését mutatja.

A válaszadók nagy többsége általánosságban egyetértett ezzel az állítással.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 14. sz. grafikon „A természettudományok tanulásán keresztül megtudhatom, hogyan tudok jobban gondoskodni az egészségemről” állítás értékelését mutatja.

Mindenki egyetért azzal a ténnyel, hogy a természettudományok révén fontos információkhoz jutnak az egészségről.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 15. sz. grafikon „Szeretnék természettudósként vagy hasonló tudományos területen tudósként tevékenykedni” állítás értékelését mutatja.

A válaszadók többségét nem érdekli a tudományos munka, talán egy kicsit nagyobb érdeklődést mutatnak a gimnazisták.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 16. sz. grafikon a „Szeretnék minél több természettudományos tantárgyat az iskolában” állítás értékelését mutatja.

Itt is megegyeznek az eredmények az európai átlaggal: a tanulók nem szeretnének több természettudományos tantárgyat az iskolákban. ÉN ÉS A KÖRNYEZET A cikk horvát nyelvű változatában látható 17. sz. grafikon „A környezeti problémák engem nem érintenek” állítás értékelését mutatja.

A diákokat érzékenyen érintik a környezeti problémák.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 18. sz. grafikon az „Egyetértek a környezeti problémák megoldásával, még akkor is, ha ezért fe kell áldozni sok mindent” állítás értékelését mutatja.

A fiúk kevésbé készek feláldozni dolgokat a környezet megóvása érdekében, mint a lányok.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 19. sz. grafikon a „Személyesen is tudok tenni a környezet állapotáért” állítás értékelését mutatja.

35

A lányok érzékenyebbek a környezeti problémák tekintetében, mint a fiúk, és hajlandóak is pozitív lépéseket tenni a problémák megoldása érdekében.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 20. sz. grafikon „Az embereknek többet kellene tenni a környezetvédelemért” állítás értékelését mutatja.

A tanulók többsége úgy gondolja, hogy mindenkinek többet kellene tenni a környezetvédelemért és tisztában vannak azzal a ténnyel is, hogy jelentős mértékben hozzájárulhatnak környezetük védelméhez.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 21. sz. grafikon az „Azt gondolom, hogy mindenki jelentős mértékben hozzájárulhatna környezete védelméhez.” állítás értékelését mutatja.

És ami nagyon fontos, hogy a tanulók többsége, de főleg a lányok, optimistán néznek a jövőbe: A cikk horvát nyelvű változatában látható 22. sz. grafikon az „Optimista vagyok a jövőt illetően” állítás értékelését mutatja.

VÉGKÖVETKEZTETÉSEK 1. A gimnazisták teszik ki a középiskolás populáció 19,57%-át, és négy éven keresztül tanulják a természettudományos tantárgyakat, a többi diák pedig (80,43%) több vagy kevesebb óraszámban tanulja e tantárgyakat, attól függően melyik területen tanulnak.

A négyéves szakiskolák oktatási programjában különböző mértékben van jelen a természettudomány: Az egészségügyi szakiskolákba a tanulók 7,03%-a jár, és nagyobb óraszámban tanul természettudományos tantárgyakat, Technikai jellegű szakiskolákba a tanulók 16,76%-a jár, közülük négy éven keresztül mindenki tanul fizikát, földrajzot két évig, kémiát és biológiát viszont csak egy évig.

Az úgynevezett „társadalmi ágazatban” tanulók aránya 22,11%, itt egy kicsit nagyobb óraszámban oktatják a földrajzot (két vagy három évig is), biológiát egy évig, a kémia és fizika tantárgyak pedig egyáltalán nincsenek az oktatási programban, tehát a tanulók nem is tanulják őket (kivéve a közgazdász tanulókat, akik 1.osztályban tanulnak kémiát).

A hároméves szakmunkás iskolákban nagyon kis mértékben vagy egyáltalán nincsenek képviselve ezek a tantárgyak: A gépjármű-vezető tanulók a diákok 1,47%-t teszik ki, és két éven keresztül tanulnak földrajzot, egy évig pedig fizikát A pincérek 2,87%-át, az eladók pedig a diákok 7,04%-át teszik ki, és a 2.osztályban csak földrajzot tanulnak A többi szakmát tanuló diákok, akik a teljes középiskolai populáció 23,16%-át teszik ki, egyáltalán nem tanulnak természettudományhoz köthető tantárgyakat.

36

A természettudományok oktatásáról Horvátországban

2. A tanulmány eredménye alapján, amely az IPA IV. Komponense – A humánerőforrás fejlesztés – tisztán kivehető, hogy Bjelovar-Bilogora megyében komoly hiány mutatkozik a közoktatási szektorban, ahol a legnagyobb mértékben a természettudományhoz köthető szakmák hiányoznak: erdészet, fafeldolgozás (biológia, kémia) közlekedés és logisztika (fizika, kémia, földrajz) mezőgazdaság, élelmiszeripar és állatorvosi (biológia, kémia) építészet és geodézia (fizika, kémia) geológia, bányászat, olaj –és vegyipari technológia (fizika, kémia) 3. Az eredmények azt mutatják, hogy a természettudományos tantárgyakat elég nehezen, és nem is szívesen tanulják a diákok, viszont érdekesek. Tisztában vannak vele, hogy ezek az ismeretek segítséget adhatnak a mindennapi életben, felkelti az érdeklődésüket, sokan úgy gondolják, hogy általuk növekszik az elhelyezkedés lehetősége. A természettudományok rávilágítanak arra a tényre, hogy milyen fontos a tudomány. Növelik a természet iránti tiszteletet, ismereteket szereztek arról, hogyan óvhatják még jobban az egészségüket, de nem gondolják úgy, hogy mindenkinek tanulni kellene ezeket a tantárgyakat. A többség nem szeretne kutató lenni, és nem szeretnék nagyobb óraszámban ezeket a tantárgyakat tanulni. A hároméves szakmunkás iskolákban egyáltalán nem folyik természettudományos tantárgyak oktatása, ezért ezt a réteget semmilyen szinten nem érdeklik ezek a tantárgyak, és csak plusz teherként élnék meg. A négyéves szakközépiskolákban a technikai szakokon legtöbbet a fizikát oktatják, ami vagy nehéz, és emiatt nem szeretnének több órát a diákok, vagy ez a tantárgy részét képezi a komplett természettudományos oktatásnak, és emiatt nem szeretnének plusz órákat. Úgy gondolják, hogy a szakmájukon keresztül alaposabban elsajátítíhatják majd az ezzel kapcsolatos ismereteket.

Ahhoz, hogy megfelelő motivációs szintre juttassuk el a diákokat, a tanároknak fel kell mérni a diákok érdeklődési körét bizonyos témákban, és ehhez megpróbálni hozzáigazítani a nevelési tartalmakat, vagy problémákat tartalmazó kérdéseken keresztül eljutni a diákok érdeklődési területéhez, ami kapcsolódhat a tantárgyi témákhoz.

4. A tanulók tisztában vannak a környezeti problémákkal, és azzal is, hogy befolyásolhatják e problémák megoldását. Úgy gondolják, hogy az embereknek többet kellene foglalkozni a környezetvédelemmel, többet tehetnének a környezeti problémák megoldása érdekében, továbbá hajlandóak áldozatot hozni környezetük védelméért. A környezettel kapcsolatos kérdések tekintetében a lányok sokkal érzékenyebbek, mint a fiúk.

Fontos tényező, hogy a fiatalok többsége optimista a jövőt illetően.

37

38

Slobodanka Polašek

Tavaszi fizikai iskola

Project Report Of The Spring School of Physics in Virovitica The Spring School of Physics was the Croatian event of our CrossBorderScience (HUHR/1001/2.2.1/0006) project.

This project event was coordinated by the Kaposvár University and organized by the Petar Preradović High School in Virovitica with the partnership of Bjelovar- Bilogora County. This paper is a project report on the activities of Spring School of Physics, 2012, May 10-11, Virovitica. In this phase of the project we realized 8 workshops in physics and 6 workshops in mathematics and arts. After the workshops an anonymous survey was conducted with the participation of the students about the student's attitude towards physics and mathematics and about the success of our program.

We had more than 300 participants at the events and more than 250 students took part in the survey. Most of them found interesting our approach and found important the application of non-formal methods and approaches in the education of mathematics and physics.

Ez a határokon átnyúló projekt a Kaposvári Egyetem, mint vezető partner, a verőcei Petar Preradovic Gimnázium, továbbá Bjelovar-Bilogora megye, mint társult partner, valamint a grubisno poljei Bartol Kasic Középiskola együttműködése révén valósult meg.

A projekt időtartama 12 hónap volt. A projekt során megvalósult tevékenységekre 39.000 Euró állt rendelkezésre (ebből valamivel több mint 22.000 Eurót a fizika oktatásához használatos eszközök beszerzésére költöttünk). A projekt az Európai Unió pénzügyi támogatásával valósult meg (85%-s támogatás).

A fennmaradó részt Verőce-Drávamente megye finanszírozta. A projekt Verőce-Drávamente megye, és a VIDRA Regionális Fejlesztési Ügynökség hathatós támogatásával jött létre.

A projektteam tagjai horvát részről: Slobodanka Polašek középiskolai tanár, Ivana Bešir középiskolai tanár és igazgató, Jasminka Viljevac középiskolai tanár és Slava Drpić könyvelő voltak. A projekt során komoly támogatást nyújtott Emina Cirikovic, a VIDRA Ügynökség alkalmazottja.

A projekt céljai A természettudományos ismeretek (elsősorban a matematika és fizika) népszerűsítése a határon átnyúló területeken; különféle jó gyakorlatok kipróbálása és átvétele; játékos és egyéb módszerekkel végrehajtott kísérletek; a közösséghez való tartozás érzésének fejlesztése, valamint a tolerancia fejlesztése a határmenti térségben.

Fő program-eseményünk: a Tavaszi fizika műhely Az eseményt 2012. május 10-11-én rendeztük meg a verőcei Petar Preradovic Gimnáziumban. Az első napon egy fizika-versenyre került sor. A versenyen 49 tizedik és tizenegyedik osztályos tanuló vett részt, akik a Verőcéről, Kaposvárról és Grubisno Poljéból érkeztek.

A verseny után Korado Korlević, visnjani származású horvát csillagász egy fotókiállítást nyitott meg, amelynek témája az űrkutatás volt. Abban a különleges

39

40

Tavaszi fizikai iskola

élményben lehetett részünk, hogy egy igazi meteoritot is a kezünkbe foghattunk, a verőcei Zlatko Kovačević segítségével pedig napkitöréseket is megfigyelhettünk.

A rendezvény második napján egy rendhagyó iskolanapot szerveztünk az egész iskola részvételével.

A Tavaszi fizikai műhely megszervezésében az iskola minden dolgozója rész vett.

A megtartott 8 fizikai és 6 matematikai-művészeti tárgyú műhelyen közel háromszázan voltak jelen.

A két órán át tartó workshopok után a Tavaszi műhely több mint 300 résztvevője a Verőcei Színházban folytatta programját.

A fizikai műhelyek címe és előadói: A műhelyek címe Fizika a víz felszínén Jelenségek a vákuumban Játsszunk Isaac Newtonnal Geometriai optika Súrlódási erő Hullámok Gravitációs gyorsulás meghatározása matematikai inga segítségével

Enigmatikus fizika

Előadói dr.sci. Ivica Aviani Hrvoje Mesić, PMF Zagreb Slobodanka Polašek, prof.

Ivana Salajić, prof.

Marko Stipandić, prof.

Lea Mioković, Ivan Kasumović és Josip Živković, valamint a diákok Sara Marija Lovrenović, Dario Barišić és Slaven Nađ, valamint a diákok

Marin Lovreković, Hrvoje Mikec és Tibor Žukina, valamint a diákok

A matematikai-művészeti műhelyek címe és előadói: A workshopok címe Geogebra A molekulától az űrbázisokig Zometool és Styro-block készlet segítségével

Ezt rakd össze! Geometriai testek építése Zometool segítségével Poliuniverzum műhely Geometria 3D-ben Escher-féle periódikus minták a háromdimenziós testek felületén

Előadói Jasminka Viljevac, prof Kabai Sándor, mérnök, Dr. Holló-Szabó Ferenc matematikus (Matematikai Múzeum, Budapest) és mérnök, valamint Szabó Ildikó, matematika-fizika tanár Dr. Vörös László matematikus (Pécsi Tudományegyetem) Saxon Szász János, képzőművész, feltaláló és Dárdai Zsuzsa, művészetkritikus Dr. Nagy Gyula matematikus (Szent István Egyetem) Dr. Eleonóra Stettner matematikus (Kaposvári Egyetem)

Slobodanka Polašek, Ivana Bešir, Vesna Šerepac, Diana Dumenčić, dr. Stettner Eleonóra és Szabó Ildikó köszöntő szavai után közösen meghallgattuk Korado Korlevic horvát csillagász plenáris előadását “Űr-őrség” címmel. Korlevic úr a jelenlévő diákokat arra biztatta, hogy minél többen kapcsolódjanak be kutatócsoportok munkájába.

Radionice iz fizike bile su : Naziv radionice Fizika na površini vode Pojave u vakuumu Igrajmo se s Isaacom Newtonom Geometrijska optika Sila trenja Valovi Određivanje gravitacijskog ubrzanja pomoću matematičkog njihala Enigmatska fizika

Voditelj dr.sci. Ivica Aviani Hrvoje Mesić, PMF Zagreb Slobodanka Polašek, prof.

Ivana Salajić, prof.

Marko Stipandić, prof Lea Mioković, Ivan Kasumović i Josip Živković, učenici Sara Marija Lovrenović, Dario Barišić i Slaven Nađ, učenici Marin Lovreković, Hrvoje Mikec i Tibor Žukina, učenici

Radionice iz matematike bile su: Naziv radionice Geogebra Istraživanja Građe Od Molekule Do Svemirskih Stanica Sa Pomagalima Zometool I Styro-Bock Složi! Gradnja geometrijskih tijela s pomagalima zometool Radionica poliuniverzuma» -radionicu vodio Geometrija u 3D Escherovi periodični uzorci na površinama trodimenzionalnih tijela

Voditelj Jasminka Viljevac, prof Sándor Kabaim, ing. , Dr. Ferenc HollóSzabó matematičar i inženjer i Ildikó Szabó, prof.

Dr. László Vörös (Sveučiliste u Pečuhu) János Saxon Szász, umjetnik i izumitelj i s Zsuzsa Dárdai, kritičarka umjetnosti Dr. Gyula Nagy Dr. Eleonóra Stettner (Sveučilište u Kaposvaru)

41

42

Tavaszi fizikai iskola

Ezt követően egy másik fontos eseményre is sor került „Fizika a színpadon” címmel. Az esemény ideje alatt számos érdekes fizikai kísérletet végeztek a meghívott előadók: dr.sci. Ivica Aviani, a zágrábi Fizikai Intézet kutatója, valamint Hrvoje Mesi fizikus, a zágrábi Természettudományos Főiskola Fizika Tanszékének tanára.

A foglalkozások végén kiosztották az ajándékokat és okleveleket azoknak a diákoknak, akik részt vettek a fizika versenyen.

A Tavaszi fizikai műhely értékelése A foglalkozások megtartása után egy anonim kérdőív kitöltésére kértük fel a verőcei Petar Preradovic Gimnázium tanulóit, valamint a Tavaszi iskola résztvevőit. A kérdőívet Ivana Bezak középiskolai tanár állította össze. Az első nyolc kérdésre 125 diáktól kaptunk választ, akik részt vettek a fizikai műhelyeken.

Az első három kérdésben a diákok véleményét kértük ki azzal kapcsolatban, hogy mennyire érdekes tantárgy számukra a fizika, megfelelő-e a tananyag magyarázatának módszertana, és milyen nehézségekkel szembesülnek a fizika tanulásakor. A következő négy kérdés megválaszolása során a diákok arról fejtették ki a véleményüket, hogy miként érezték magukat a fizikai műhelyeken.

Az utolsó két kérdésben a műhelyeket követő eseményekről kaptunk információkat. Ezekre a kérdésekre összesen 219-en válaszoltak. Ebben az esetben olyan diákoktól is kaptunk választ, akik a matematikai műhelyeken vettek részt. A kapott válaszok és eredmények elemzéséből azt állapíthattuk meg, hogy sikeres volt-e a Tavaszi fizika műhely program, és teljesültek-e a projektben előzetesen megfogalmazott célok.

1. grafikon: Arra a kérdésre, hogy «Érdekes-e a fizika?» a diákok 1 és 5 közötti osztályzatokat adtak, ahol az 5 az érdekes kategóriába, míg az 1 a nem érdekes kategóriába tartozott.

80 diák (64%) számára érdekes a fizika, 34-en gondolták úgy (27,2%), hogy számukra érdekes is, meg nem is, és 11 diák (8,8%) nyilatkozta azt, hogy nem érdekli őket a fizika.

2. grafikon: A tananyag magyarázatára vonatkozó módszertan esetén a válaszok az érdekestől (5) az unalmas irányába (1) haladtak.

A diákok 44%-a válaszolt úgy, hogy a fizika érdekes tantárgy és motiváló hatása van.

A diákok többsége (46 diák, azaz 36,8%) a fizikát nem tartja se érdekesnek, se unalmasnak.

24 diák, azaz 19,2 % a fizikát unalmasnak tartja.

Felvetődik a kérdés, hogy mit lehetne tenni, és hogyan kellene a diákok érdeklődését felkelteni a fizika tanulása iránt?

3. grafikon: A kérdőívet kitöltők közül 39-en (a diákok 31,2 %-a) a fizikát gond nélkül, vagy kisebb nehézségek árán tanulják. A válaszadók kevesebb mint egyharmadának, azaz 38 diáknak (30,4%) közepes nehézséget okoz a fizika tanulása.

Viszont 48 diák (38,4%) kifejezetten nehezen tanulja a fizikát.

4. grafikon: Arra a kérdésre, hogy milyenek voltak a fizika workshopok a következő válaszokat adták a diákok: A legkevesebben, négyen nyilatkoztak úgy, hogy unalmasak voltak (3,2%).

36% érdekesnek és hasznosnak, 31,2% szórakoztatónak, 32 % pedig újnak és másnak vélte.

43

5. grafikon: Arra a kérdésre, hogy hogy érezték magukat a fizika workshopokon, ezeket a válaszokat kaptuk: 6 diák (4,8%) volt csalódott, 67,2%-uk volt elégedett, és izgalmas benyomásokról számolt be.

35 diák (28%) kellemesen csalódott, akik felfedezték, hogy a fizika érdekes is lehet.

6. grafikon: A diákok többségének tetszettek az érdekes bemutatók (32,8%).

A csapatmunkát és a hangulatot a válaszadók 20,8%-a dicsérte.

A feldolgozott példák a válaszadók 19,2%-a szerint voltak érdekesek.

Kicsit kevesebben (16,8%) értékelték érdekesnek a feldolgozott témákat.

A válaszadók kb.egytizede számára volt érdekes az aktív részvétel..

Az utolsó két kérdésre 219 diák válaszolt. A kérdés Korado Korlevic plenáris előadására vonatkozott, amelyet a verőcei színházban tartott.

7. grafikon: A válaszadók több mint fele, 64 diák (51,2%) úgy gondolja, hogy ilyen módszer segítségével jobban megértik a tananyagot. 40 diák pedig (32%) kifejezetten szeretne bekapcsolódni a tananyag feldolgozásába. És amíg 15 diák (12%) gondolja érdekesnek ezt a munkát, de ettől még újat nem tanulnak, addig 6 diák (4,8%) nyilatkozott úgy, hogy úgy tanul többet, ha nincs bevonva a tananyag feldolgozásába.

8. grafikon: 14 diák (6,4%) gondolta azt, hogy ez az előadás nem jelentett semmi újat a számukra.

A többiek úgy gondolják, hogy kivételesen érdekes (45,7%), nagyon hasznos (28,3%), és motiváló hatású (19,6%) volt.

9. grafikon: A színpadon bemutatott kísérletek csak 4 diák (1,8%) számára voltak érdekesek, de nem értették őket.

A diákok majdnem fele, azaz százan (45,7%) jelezték, hogy a kísérletek érdekesek és szórakoztatóak voltak.

83 diák (37,9%) számára pedig a kísérletek az elméleti dolgok gyakorlatba való átültetését jelentették.

A diákok válaszait elemezve, arra a következtetésre jutottam, hogy a fizika, mint tantárgy meglehetős nehézségeket okoz a diákok számára. Ugyanakkor dicséretes, hogy a diákok zöme aktívan szeretne bekapcsolódni a kísérletek folyamatába, szeretnének többet tanulni, és szükség lenne új tartalmak bemutatására nem-formális tanulási módszerek alkalmazásával.

A kérdőív és a verbális kommunikáció alapján a diákok nagyon elégedettek voltak a látottakkal. Összegezve: számos tevékenységen és nem-formális tanulási módszerek segítségével sikeresen valósult meg a matematika és fizika népszerűsítése a határon átnyúló térségben, és sor került a jó gyakorlatok megismerésére is a természettudományok alaposabb tanulmányozása által. Sikerült néhány nevelési célt is megvalósítanunk: megerősítettük a közösséghez tartozás élményét, fejlesztettük a jószomszédi viszonyt, valamint a különbözőségek tiszteletben tartására is sikerrel hívtuk fel a figyelmet. Diákjaink megtapasztalhatták, hogy a természettudomány nem csak közös találkozók érdekes témája lehet, hanem egyben új ismeretek és játékok forrása is.

44

45

46

Tavaszi fizika iskola

47

48

Tavaszi fizika iskola

Jasminka Viljevac

A GeoGebra szerepe “A természettudomány nem ismer határokat” című projektben

GeoGebra workshops in the Natural Sciences Know No Borders project GeoGebra is a mathematical software uniting geometry, algebra and analysis. It was developed by Markus Hohenwarter in 2001. This software has been widely used and developed in Croatia as well. Our workshops, under the title of "Mathematics, Art And GeoGebra" aimed to show the connection between certain geometric shapes and visual arts. The workshops were conducted by Jasminka Viljevac, mathematics and physics teacher of Petar Pedarovic Grammar School.

A horvátországi projektpartner részéről a matematikai műhelyek megvalósítása és szervezése Jasminka Viljevac, a verőcei Petar Preradovic Gimnázium matematika és fizika tanárának irányításával történt.

Ezeknek a műhelyeknek a fő témája a Geogebra matematikai program alkalmazása volt.

A Geogebra egy olyan matematikai szoftver, amely a geometria, algebra és az analízis elemeit ötvözi. Ezt a programot Markus Hohenwarter 2001-ben fejlesztette ki a salzburgi egyetemen a matematikai tanuláshoz.

A Geogebra program egy dinamikus geometriai rendszer, amely pontokat, vektorokat, szakaszokat, egyeneseket, sokszögeket, görbéket és függvény grafikonokat szerkeszt, amelyeket később a felhasználó dinamikusan változtathat, s ezzel megváltoznak az algebrai tulajdonságaik is. Másrészről a paramétereket, egyenleteket, koordinátákat és utasításokat közvetlenül is bevihetjük, és ha ezeken változtatunk, akkor ezeket a változtatásokat is követik a hozzájuk köthető már megszerkesztett geometriai alakzatok. Ez a kétfajta megközelítés a Geogebra program alapvető jellemzője: az algebrai ablakban történő kifejezés megfelel a geometriai ablakban történő kifejezésnek és fordítva.

A GeoGebra egy ingyenes program (freeware), melynek jellemzői: professzionális szintű alkalmazási lehetőségei vannak számos nyelven (természetesen horvátul és magyarul is) tökéletes fordítással rendelkezik jól fedi az általános és gimnáziumi matematikai tananyagot jobban összeköti az algebrát és a geometriát, mint más programok egyszerű a használata diák és tanár számára egyaránt a diákok 5. osztálytól egészen az egyetemig használhatják ezt a programot grafikai megjelenítése magas színvonalú, különösen a vetítések esetében dinamikus rajzot generál a weboldalon (applet) a rajzok más programok és prezentációk alkalmazása során is felhasználhatóak, beleértve a LATEXet is.

49

50

A GeoGebra szerepe a Natural Sciences Know No Borders - A természettudomány nem ismer határokat című projektben

Horvátországban a program megszületése óta alkalmazzák, fejlesztik a Geogebrát, matematika tanárok szemináriumain is népszerűsítik. Fontos megemlíteni, hogy e témában a pázini illetőségű Šime Šuljić professzor tart továbbképzéseket általános és középiskolai tanárok számára. A Geogebra a legelterjedtebb matematikai program Horvátországban, amelyet nagyszámban használnak diákok és tanárok is. Abban bízom, hogy e projekt megvalósítása után a Geogebrát még többen fogják használni magyarországi és horvátországi partnereink közül is.

A „Matematika, művészet, geogebra” című műhelyek valójában összekötötték a klasszikus matematikai problémák megoldását a Geogebra matematikai programmal, a cél pedig az volt, hogy bemutassák, a matematikában is vannak olyan görbék és alakzatok, amelyeket megtalálhatunk a hagyományos és a modern művészetekben is. A diákok végül, tekintettel a 2011 telén megrendezett műhelyek idején már közelgő ünnepre, a matematikai problémák és feladatok megoldásán keresztül karácsonyi díszeket terveztek és kiviteleztek. A feladatokat először számolással, méréssel, rajzolással, varrással majd vágással oldották meg, utána pedig a Geogebra matematikai programmal. Az így szerzett tapasztalatokat és új készségeket a diákok hasznosítani tudják majd új matematikai ismeretek megszerzésében vagy a mindennapi életükben is.

51

Az első műhelyt 2011. november 5-én tartottuk Verőcén. A résztvevők a Petar Preradovic Gimnázium 2. és 3. osztályának matematika tagozatos tanulói voltak.

A „Matematika, művészet, GeoGebra“ című második műhely 2012. december 2-án került megrendezésre Kaposváron a helyi Táncsics Mihály Gimnázium 10. és 11. osztályának tanulói részvételével. Az iskola a Kaposvári Egyetem projektpartnere.

Ahogy Verőcén, a cél itt is az volt, hogy különböző feladatok megoldásán keresztül, matematikai alakzatok segítségével fel kellett díszíteni a karácsonyfát.

Először a diákok megrajzolták, majd kivágták a piros, fehér és zöld színű papírból papírból az f1(x) = 1 + 2 (sin x) és f2(x) = -1 - 2 (cos x) függvények grafikonjait, amelyek ugyanabba a koordináta rendszerbe lettek berajzolva, és az így kapott szalagokat rögzítették a fenyőfához: a csúcs közelébe helyezték a piros szalagokat, aztán következtek a fehérek, majd végül a zöldek – ezzel egyben a magyar zászló színeit is szimbolizálták.

A követekező feladat díszek készítése volt geometriai alakzatok segítségével: kör, háromszög, négyzet, téglalap és trapéz. A diákok megtanulhatták hogyan viszonyulnak egymáshoz a papír szalagból készített és a Geogebra program által szerkesztett ugyanolyan kerületű alakzatok területei. Az elkészített

52

A GeoGebra szerepe a Natural Sciences Know No Borders - A természettudomány nem ismer határokat című projektben

alakzatokat a fenyőfán a csúcsából indulva úgy helyezték el, hogy a legkisebb területűek voltak legmagasabban (háromszögek), a legnagyobbak pedig a fa alsó részén kaptak helyet (kör).

A Bézier-görbéket mindenki szépnek látja, ezért olyan díszeket is készítettünk, amelyek a Bézier görbéken alapulnak. A Bézier-görbe a számítógépes grafikában gyakran használt parametrikus görbe. A számítógépes grafikán belül a Bézier görbe fontos eszköz, amelyet szabadon alakítható sima görbék modellezésére használnak. A rajzoló és képszerkesztő programok, mint például az Adobe Illustrator , Adobe Photoshop vagy a CorelDraw egymáshoz kapcsolt Bézier-görbék kombinációját használják. A Bézier görbék nagyon elterjedtek, és a számítógépes animációban is használják olyan programok, mint például a Adobe Flash , Adobe After Effects és a 3D Max. Mivel minden karácsonyfán van csillag, ezért mi is szerkesztettünk egy szabályos ötszöget és az átlóit, majd készítettünk egy arany színű ötágú csillagot. A Geogebrában eljátszottunk a csillag elkészítésével, amelyet a következő egyenlet paramétereinek segítségével határoztunk meg: 2mx-3(3-x)=m2(x-1).

Különleges dísz készíthető, ha különböző színű papírokból háromszögeket vágunk ki, vagy talán még jobb, ha Sierpinski-négyszöget. A feladat Geogebra segítségével történő megoldása érdekessé teszi az új eszköz készítését. A műhely végén egy érdekes, matematikai alakzatokkal feldíszített karácsonyfát kaptunk, amely a lenti fényképen látható mindazok társaságában, akik részt vettek a munkában, azaz a kaposvári Táncsics Mihály Gimnázium tanulói, valamint a műhely vezetője Jasminka Viljevac Verőcéről.

A grubisno poljei Bartol Kasic Középiskola tanulói, (a projekt partnerei Bjelovár megyéből) csakúgy, mint a verőcei Petar Preradovic Gimnázium tanulói, részt vettek a Tavaszi műhely keretében megtartott Geogebra workshopon is. Ők függvényeket ábrázoltak.

Tanulmányozták a lineáris, négyzetes és trigonometrikus függvények tulajdonságait.

Ezeken a műhelyeken a projektben résztvevők megtanulhatták alkalmazni a Geogebra számítógépes programot geometriai problémák megoldásához, függvény grafikonok rajzolásához, de különböző érdekes tárgyak és díszek készítéséhez is.

53

A műhelyeken részt vett diákjaink együttműködése azt eredményezte, hogy nagyobb aktivitást és részvételt mutattak más matematikai projektek iránt (egyéni és csoportos versenyeken való részvétel, stb.)

Kitűzött célunkat, amit a matematika népszerűsítése érdekében a határ menti térségben tettünk, teljesítettük, továbbá sikerült jó gyakorlatokon keresztül tapasztalatot cserélni a természettudomány és a matematika területén. Sikerült más nevelési célokat is megvalósítani: a közösséghez tartozás érzésének fejlesztését és a jószomszédi viszony elmélyítését. A diákok megtapasztalhatták, hogy a természettudomány témája lehet találkozóknak, s új ismeretek szerzésének és játékoknak, az alkotásnak is az eszköze.

54

A GeoGebra szerepe a Natural Sciences Know No Borders - A természettudomány nem ismer határokat című projektben

55

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

57

Javier Barrallo Professor of Mathematics, The University of the Basque Country, San Sebastián, Spain javier@barrallo.com

Síkmetszet alakzatok A síkmetszet alakzatok geometriai testekből keletkeznek. A testeket két egymásra merőleges tengely mentén, egymástól egyenlő távolságra elmetsszük, a keletkezett síkmetszeteket a szükséges bevágásokkal ellátva összeillesztjük.

Sliceforms Sliceforms are geometrical models constructed by assembling planar sections of a mathematical surface together by means of notches. The first models of second order surfaces were first constructed in Munich following the instructions of the famous mathematician Felix Klein (1849-1925). In 1990, the British mathematician John Sharp popularized Sliceforms in educational environments.

The notches of the Sliceforms are divided in regular intervals. There will be as many notches as pieces that will be assembled in each direction. The notches are usually cut from the midpoint of the sheet in increasing direction for cross sheets and decreasing direction for longitudinal sheets (or vice versa). The intervals and length of the notches may be changed in different ways.

Popular Computer Algebraic Systems (CAS) like Mathematica, Maple, Derive or Sage can be used to calculate accurately the flat sections of any surface to be assembled as a Sliceform. Let’s see a quick example for the Hyperbolic Paraboloid z = 1.75 x*y using notation from Mathematica. First we draw the figure:

58

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

RegionPlot3D [ z < 1.75 x*y, {x,-1,1}, {y,-1,1}, {z,-2,2} ] And then create an array of n flat slices for the surface in X direction: Table [ RegionPlot [ z < 1.75 x*y, {x,-1,1}, {z,-2,2} ], {y,-1,1, 2/(n-1) } ] And the same process for Y direction. Remember to substitute n with the desired number of slices: Table [ RegionPlot [ z < 1.75 x*y, {y,-1,1}, {z,-2,2} ], {x,-1,1, 2/(n-1) } ]

Notches are not printed in this example and will need some more mathematical programming, although they may be calculated easily with a simple geometrical calculation.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

59

Szaniszló Bérczi Eötvös University, Institute of Physics, Budapest, Hungary bercziszani@ludens.elte.hu / planetologia.elte.hu

Négyrétegű összetett síkbeli szimmetria-mintázatok az üzbég Szamarkandból, a hajdani Afrasiab-ból Olyan mintákat figyelhetünk meg, amelyek 4 alrendszerre bonthatók és az egyes részek más-más szimmetriacsoport szerint rendeződnek.

Fourfold layering in composite plane symmetry patterns from Samarkand, once Afrasiab, Uzbekistan Several murals of royal towns preserve worthy cultural and scientific heritage of the societies of ancient Eurasia.

They shed light on the ethnomathematical knowledge of those times. The structural characteristics of multilayered composite plane symmetry patterns have been shown to be important Eurasian artistic heritage (Bérczi, 2004). We can even find fourfold layering in wallpaper patterns painted in Samarkand (whose ancient name was Afrasiab) in Uzbekistan. The archaeological excavations and architectural reconstructions began in Soviet era Uzbekistan and occurred again recently. The murals of the palace of the ancient Afrasiab is an extremely interesting place in ethnomathematical terms in Eurasia.

Plane symmetry patterns that were produced from repeated congruent elements arranged in a regular form have been found from the Neolithic Age (Jablan, 2002). Multi layered composite patterns were described on archaeological finds of ancient Eurasia. Especially those royal tombs of the Scythians, Xiongnu-Huns and Chinese exhibit more than one wallpaper pattern system in one ornamental adornment.

The highest complexity among these old Eurasian multi layered plane symmetry patterns can be found on the dress of the figures painted on the Afrasiab mural. There three merchants bring presents to the princess of Samarkand (Fig. 1.)

Figure 1: The 3 merchants bringing presents to the Princess of Afrasiab. (Samarkand, Uzbekistan)

60

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 2: The merchant with the dress of fourfold layering plane symmetry pattern. (Samarkand, Uzbekistan)

Figure 3: The fourfold layering plane symmetry pattern with the different plane symmetry subsystem patterns differentiated by color.

(Samarkand, Uzbekistan)

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

61

Figure 4: The separated four subsystems: up left: cm (the 3 black arcs in the red dots are important), pm (the leafy branches), p4m (the pearl-rings), and pg (the boar-heads).

The detail of the Afrasian mural we are analyzing consists of 4 different plane symmetry patterns. They can be shown in various forms as separated subsystems (Figs. 3, and 4) The great pearls in the quarters of the ring form a cm subsystem (There the 3 black arcs are important, because they violate the up-down symmetry of these pearls).

The pearl rings form a p4m type subsystem. The leafy branches form a pm subsystem. Finally, the most remarkable figures, the boar-heads form a pg plane symmetry group subsystem.

Central Asian mathematics is best known by Al-Khwarizmi, who originated from Chorezm, a town situated at that time at the southern shoreline of the Aral Sea. However, Central Eurasian mathematics moved to the court of the caliphate, that is why we do not know more about Central Asian mathematics. I hope this short report helps in reviewing the important developments once carried out in the Central Asian states around 500-700 AD. References: Bérczi Sz. (2011): Évezredek etnomatematikája az eurázsiai művészetekben. (Thousand years of ethnomathematics in the Eurasian Ornamental art.) TKTE, Budapest Jablan S. (1995), Theory of Symmetry and Ornament. Beograd, Matematički Institut.

Jablan S. (2002): Symmetry, Ornament and Modularity. World Scientific, Singapore

62

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Robert Bosch Oberlin College, USA bobb@cs.oberlin.edu / www.dominoartwork.com

Az egyszerű zárt görbék művészete Az egyszerű zárt görbe, más szóval Jordan görbe egy olyan vonal, amelynek kezdő és végpontja egybeesik, és nem metszi önmagát. Michelangelo Ádám teremtése című alkotásának egy részletét látjuk egyszerű zárt görbével megrajzolva, majd az Ölelés című alkotást, ahol a hatod rendű forgásszimmetriát is megszemlélhetjük.

A Karma-gömb pedig egy szép térbeli példát mutat.

Simple Closed Curve Artwork Is it possible to place a loop of string on a sheet of paper in such a way that the string resembles a circle? Yes. A square? Yes! But what if we want the string to resemble a portion of Michelangelo’s The Creation of Adam? And what if we want the string to be a simple closed curve, a curve that does not intersect itself and has no endpoints, so that when we trace it, we return to our starting point? Is it still possible? The answer is once again yes. If you examine the Hands (after Michelangelo) curve shown below, you will find that the curve does not intersect itself.

And if you trace it, you will find that you end up where you started. So it is a simple closed curve. Mathematicians call simple closed curves Jordan curves after the French mathematician Camille Jordan (1838-1922). Jordan’s Jordan Curve Theorem states that when a simple closed curve is drawn in the plane, it cuts the plane into two pieces: the part that lies inside the curve, and the part that lies outside it.

From an artistic standpoint, simple closed curves are incredibly rich. When we view Hands from a distance, we may conclude that the hand of Adam and the hand of God have just separated. Perhaps God just finished giving life to Adam. But when we move closer, we notice that the entire image is formed of a single black line (188 feet long) on a 44” by 19.5” white canvas. We may wonder: Are Adam and God really separate from one another?

In Embrace, the simple closed curve is the gap between the steel inside and the brass outside. The two water-jetcut pieces share many features. For example, if we lift up the outside, rotate it 60 degrees about its center, and then place it down on top of the inside, we discover a considerable amount of overlap. In fact, the two pieces differ at their centers and near the edges of the disk. Elsewhere, they are identical. Viewed mathematically, Embrace is a sculptural illustration of the Jordan Curve Theorem. But it is more. When we interact with it, we may become convinced that a union (of objects, or of human beings) can be more beautiful than its individual parts.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

63

A final example is Karma Ball, a simple closed curve hard-carved into the surface of a 3'' diameter ball of maple, the curve a channel that holds a 0.5" diameter ball of steel. One can pick up Karma Ball and maneuver it so that the steel ball rolls through the entire channel and ends up where it started. What goes around comes around.

64

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

István Böszörményi Sculptor, Pécsi Művészeti Gimnázium és Szakközépiskola, Hungary ujbosze@gmail.com

Klein palack síklapokból A Klein palack 0 Euler-karakterisztikájú, egyoldalú felület, háromdimenziós terünkben csak önátmetsző módon jeleníthető meg. Azt a kérdést vizsgáljuk, hogy előállítható-e síklapokból, hány síklapból építhető fel, és meddig csökkenthető a lapok száma. A jó szemléltető modell fizikai megvalósításának nehézségeiről is szólunk.

Klein Bottles Made of Planes To my students The fundamental questions are always simple. What does that “thingy” look like? That January night, the thingy in question was a unilateral surface constructed of planes. A Klein bottle. I was sure that similar bottles had been built from planes before, but I wanted to see the object. I wasn’t much into research; it seemed easier to toy with the problem. So, I got down to designing Klein bottles by applying the least possible planes. This purpose raised a new question: what is the lowest possible number of planes?

Figure 1: Klein bottle made of 120 faces. A Klein bottle made of 8 faces, following the same principles.

In my experience, a radical reduction of the number of planes cannot be done mechanically. However, the design process, which calls for lots of intuition, yields a look that is drastically different from any conventional representation of the Klein bottle.

Is it possible to define a Klein bottle built out of planes as a polyhedron? Two necessary conditions are not met here. The Klein bottle cannot be constructed without allowing the surface to intersect itself. Furthermore, although being a closed manifold, it does not enclose space, that is, it does not have volume. Still, it is worth having some rules defining polyhedra in effect. Similar to the tori, the Euler characteristic of the Klein bottle is 0.

VIZUĂ LIS MATEMATIKA Ă&#x2030;S FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

65

Figure 2: Klein bottle with 16 vertices 26 edges and 10 faces. Euler characteristic: 0

The time inevitably comes, when in order to get hold of a notion one has to see it in the flesh. Any further understanding is only possible by building models. For this, the spatial coordinates of the planes had to be converted into planar ones by the graphic design program. These values then could be marked onto a graph paper and finally copied to cardboard. The finished model can be held in hand, thus facilitating the process of understanding. However, cardboard is not transparent. We can follow the surfaces for a while into the inside of the object, but in the end we can rely only on our logic. I had to build a transparent model, which turned out to be more difficult than it seemed. I had to cheat (a little) to create these transparent models. The framework holding the foil is not identical with the edge-network of the Klein bottle. The models are built of perforated planes.

Figure 3: A 14-plane object and its faces before construction, and after gluing.

Figure 4: Variations on reducing faces. A 14-, 11-, 9 and a 8-plane Klein bottle.

All images, photos and models were made by the author.

Further images: https://picasaweb.google.com/ujbosze/PALACKPOSTAMessageInABottle#

66

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Mateja Budin Mathema, Institute for popularisation of mathematics, Slovenia info@mathema.si / www.mathema.si

Vizuális matematika gyerekeknek: játék és tanulás Mikor kezdjünk matematikát oktatni és hogyan? Mit tanítsunk? Mit szeretnének a gyerekek tanulni? Milyen játékokat készítsünk nekik? Mikor kezdjenek számítógépet használni? Egyáltalán szükségük van rá?

Milyen matematikai problémákkal kelthetjük fel az érdeklődésüket? Ezekre a kérdésekre keressük a választ különböző korosztályoknak szóló szemléletes geometriai játékokon keresztül.

Visual Mathematics for Children: Play and Learn When to start with math education? How does one start? What mathematical content is acceptable for children?

What content do they prefer? How does one turn mathematical education into a more rewarding experience with gameplay? When are children able to start to use computers? Are computers necessary? Which kind of mathematical problems will stimulate a child’s creativity? Does mathematics always have to be seen as boring?

The simplest geometrical transformations are isometries: distance preserving transformations. The basis of all isometries is mirror reflection, a sense-reversing (orientation-reversing) transformation turning every figure into its mirror image. The first mirror reflection in a vertical line turns left-handed “Little Man” into a right-handed one. In the second step, an even worse thing will happen to him: after the horizontal reflection it will be turned upside down. What will happen to him at the end of his trip through Wonderland? Will he be left-handed or righthanded? Will he be turned upside down or not? How to predict the end of its adventure? Every mirror reflection changes chirality, and every horizontal reflection turns the “Little Man” upside down and vice versa. Count the total number of mirror reflections: if this number is even, the right-handed “Little Man” will remain right-handed; if not, it will become left-handed. If the number of horizontal mirrors is odd, he will finish his trip turned upside down; if not, he will proudly walk out of the game.

And at the end of the game there are only four possibilities: the final position of the “Little Man” will be the same as the initial, or vertically mirror-symmetrical, or horizontally mirror-symmetrical, or the final result will be obtained by a half-turn of the initial figure. What will happen with the “Little Man” if we use only vertical mirrors? Or only horizontal ones? The game becomes much more complicated if we use not only vertical and horizontal mirrors, but mirrors with a slanting mirror axis.

(Fig. 1.)

Figure1: Reflections - reflect a “Little Man” across dashed lines and figure out its position at the end of the game.

A kaleidoscope is a cylinder with mirrors containing loose, colored objects such as beads or pebbles and bits of glass. As the viewer looks into one end, light entering the other creates a colorful pattern, due to the reflection of the mirrors.

In mathematics, kaleidoscopes are different placements of mirrors, usually with the ability to produce patterns: rosettes, friezes or plane ornaments (wallpaper patterns). Since every mirror-reflection preserves distances, the

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

67

results are isometric symmetry groups. Moreover, every isometric symmetry group is a subgroup of a group generated by reflections. Every plane isometry is a product of at most three mirror reflections. A similar fact is true for space groups: every space isometry is a product of at most four reflections. An isometry is even (sense-preserving or orientation-preserving) if it is a product of an even number of mirror reflections; otherwise, it is odd. The entire world of crystals (and crystallographic symmetry groups) is based on these simple geometrical rules, giving finite classes of symmetry groups: 7 symmetry groups of friezes, 17 plane symmetry groups, or 230 space symmetry groups.

In every symmetry group we can start from a “Little Man”- an asymmetrical basic element multiplied by symmetry transformations. However, to produce wallpaper patterns usually we are working in more economical ways: we take some (non necessarily asymmetrical) basic element – a tile and multiply it by symmetries. One such element is a Truchet tile: a square divided by a diagonal into two triangles of different colors. A similar element is a square divided by a middle line into two rectangles of different colors.

Both elements have the nice geometrical properties and they perfectly fit together. (Fig. 2.)

Figure 2: Constructing symmetric patterns from colored Truchet tiles and colored square mid-tiles.

How does one produce rosettes or friezes by cutting a piece of paper? How does one cut a piece of paper in identical parts? Again, we will use mirror reflections, where folding substitutes mirroring.

Figure 3: How to fold paper so that by cutting we get rosettes (flowers) or friezes.

After learning at the age of 5 how to make friezes, one-dimensional symmetry groups, you will be able to produce wallpaper patterns, two-dimensional symmetry groups at the age of 6. Hopefully, if you continue in the same way, at the age of 15 you will be able to derive crystallographic symmetry groups of 18dimensional space!

Figure 4: Some wallpapers, constructed by 3 plates of circles (5 - 6 years old)

68

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 5: Searching for shapes - intersection and overlapping different geometrical shapes (triangles, etc.)

For tilings, there is a simple rule: cover a plane without gaps and overlaps. But what will happen if we permit gaps, overlaps and the intersection of basic figures, when the intersection of two or more identical figures will be a symmetrical figure? Can we make “overlapping friezes” or “overlapping wallpaper patterns”? What will happen if we take a few transparent copies of a same drawing and make a layer from them? Victor Vasarely, probably the most famous Op-artist, discovered the visual effect of transparency as a child, looking in winter through the window of his kitchen covered with ice-flowers.

Take any tile and try to cover a plane? Can you do that with an arbitrary tile? For some tiles, like a square or regular hexagon it is easy to find a solution. Is it this solution unique? The simplest tiling is edge-to-edge, but what will happen if you break this rule? If you shift every successive row or column in the square tiling in the same way, you obtain again a symmetrical tiling, but less symmetrical. What will happen if the shifts are unequal? In wallpaper patterns you can recognize some rosettes (flowers), but how many petals can they have? Two, three, four, six? Why not five? For that you need two basic tiles: kites and darts: your flowers will have five petals, and as the result you obtain an aperiodic tiling, the famous Penrose tiling.

Figure 6: Aperiodic tilings- kites and darts

Figure 7: Early attempts of building uniform polyhedra (4 - 5 years old)

From 2-dimensional space we can jump to the 3D space and play with polyhedra. The simplest one is a cube. You can color its faces, count the number of faces colored by different colors, or follow colored traces of a dice. Then you can use “Zometool” or some other similar set of elements to construct the remaining regular and uniform polyhedra. From tiling sets you can even make a polyhedral hat, different kinds of animals for your geometrical zoo, or letters made from tiles.

Figure 8: Making a hat with the polyhedral tiling (octahedron).

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

69

Since your polyhedra are open, every face is a window giving the same or different view into a polyhedron. How many different views inside the polyhedron does one polyhedron offer? Can you predict this number by recognizing its faces? By looking inside a polyhedron, you can draw what you see and obtain Schlegel diagrams of polyhedra-graphs corresponding to them. If the edges of the original polyhedron have different colors, color the edges of the graph in the same way.

Figure 9: A look through different faces of the same polyhedron - polyhedra and graphs (Schlegel diagrams). Icosahedron in 3 colors (8 years old)

Look at the shadow of a polyhedron on the wall. Put a light inside the polyhedron and look the shadows. Turn the polyhedron and follow the changes of the shadow.

Make a planar net and fold it into a polyhedron from plastic elements. Which nets will give a closed polyhedron? If from your net you cannot obtain a closed polyhedron, add or delete some elements of the net in order to obtain it. Use the models of polyhedra that you already constructed from plastic shapes and try to make their foldable nets.

Sometimes, you will obtain the nets like the figure of a “Little Man”, with head, hands, body and legs. A family of polyhedra, antiprisms, will always give you nets that look like a “Little Man”.

Figure 10: Playing with a “Little man” and composing it into polyhedra, searching for those kind of shapes that children like. Through this game they easily find the nets of different polyhedra (e.g., antiprisms). (from 5 years old)

By using geometrical plane configurations made from beads or pebbles you can count the number of elements producing triangular numbers, square numbers… Construct the tower from brick rods, where rod on each lower level has one brick more. How many bricks has your tower?

Try with rods of odd lengths, where every level has two bricks more. Maybe your tower has the same number of bricks as a square number? Make a multiplication table and color similar results using the same color. Is the colored table always mirror symmetrical with regards to its diagonal line?

Figure 11: Counting and coloring: variations of the colored multiplication table.

Dissect of a polygon and color the pieces using different colors. Can you divide any polygon into congruent parts? What about regular polygons? Can you divide a polygon into parts of the same shape and different sizes? Can you do that with a square? Into how many smaller squares you can divide it?

Believe or not, children from the “Mathema” school from Ljubljana, Slovenia (http://www.mathema.si/) know the answers to all these questions. And we hope that for them mathematics will never be boring.

70

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Amina Bühler-Allen Color Fields USA colorfields2@gmail.com

Színes geometriai csempék A színes mágneses csempékből szép, akár térhatású mintákat is kirakhatunk, emellett geometriai összefüggések felfedezésére is alkalmasak.

Colored Geometric Tiles For many people math is an intimidating subject which is more apt to get a response of fear rather than fascination and enthusiasm. Math concepts are easier to grasp with visual aids and a more comprehensive understanding can be gained by using manipulatives. This allows the observer to play a more active role in the discovery process.

The images shown here are made using magnetic tiles that are colored and cut into geometric shapes. They can be arranged and rearranged into patterns/tessellations. Depending on how color is used, various patterns can appear different. Playing with color can make an object appear as if it were 3-D. Generally, warm colors come forward and cooler colors recede.

I call these Color Fields Tiles. There are tile sets for each symmetry group up to 12-fold symmetry and every group has particular angles and polygons inherent to each. The 4/8 set is based around the square and cutting the square along its diagonal to form an isosceles right triangle. The other shapes include all the Tangram shapes (which I embarrassingly rediscovered), trapezoids, rhombi, and parallelograms. The size progression from one size square to the next size is 1: √2: 2: 2√2. This progression allows for visual investigation of square root relationships and takes the hypotenuse of the isosceles triangle and makes tiles that fit this irrational edge length. Everything fits together.

In each image there are many relationships that can be observed by studying that example. For instance, in the first illustration, 8 triangles are needed to complete 360° (360° ÷ 8=45°). Also it can be seen that the parallelogram has the same area as the right triangle. In the next image, the center square is 1:20 of the overall pattern. It is a selfinflating pattern. What relationships can you find?

Using colorful magnetic geometric tiles as an interactive medium is quite engaging. It is easy to create pleasing works of art quickly through the use of geometry.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

71

72

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Vladimir Bulatov Physicist, mathematician, software developer, USA info@bulatov.org / http://bulatov.org

Mercator vetítés a hiperbolikus geometriában Ezt a módszert először a flamand térképész Mercator használta a föld felszínének síkra vetítésére. Ha hiperbolikus minták vetítésére szeretnénk a módszert alkalmazni, módosításokra van szükség a modell szélén levő túl sűrű mintázat miatt. A képek azonos hiperbolikus kövezések vetítései különböző határpontokból.

Mercator Projection in Hyperbolic Geometry The projection of a map of the Earth's surface onto a plane was invented by Flemish cartographer Mercator. The projection transforms the sphere into infinite vertical bands. The north pole is projected to positive infinity and south pole is send to negative infinity. The equator is transformed into a horizontal line. Areas around the south and north poles are greatly stretched and are distorted.

To visualize hyperbolic geometry we need to use some kind of projection, because the hyperbolic plane is internally curved and can't be placed flat on the euclidean plane. A usual property as a result of the visualization of hyperbolic tilings is the presence of highly condensed areas – limit points, which are actual artifacts of projections.

The natural thing to do is to use a minor modification of the Mercator projection to stretch these condensed areas.

The hyperbolic Mercator projection maps from plane to plane via the explicit formula w = (4/π)arctanh(z), where z and w are complex variables. The 4/π coefficient is chosen for convenient scaling and we have changed the projection orientation – the projection stretches a unit disk of diameter 2 into an infinite horizontal band of width 2 centered around the x-axis. The projection stretches to infinity in the neighborhood of the two points: +1 and -1.

We can transform the tiling to place any selected pair of limit points in the stretched areas. The examples show a few projections of the same tiling with different kinds of limit points placed into the stretched areas. The projected images clearly show the periodicity of the tiling near limit points.

Another useful property of the Mercator projection is that it transforms the whole plane into an infinite horizontal band of width 4 centered around the x-axis. Therefore it works well for the visualization of Kleinian tilings, which in general span the whole plane. Different transformations of the plane before projection give different periodic patterns.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

73

74

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Anne Burns Professor of Mathematics, Long Island University - C.W. Post Campus, USA aburns@liu / anneburns.net

Iterált Möbiusz A komplex síkon alkalmazott Möbiusz-transzformáció egyik tulajdonsága, hogy kör képe kör lesz.

A transzformációt többször egymás után alkalmazva a mellékelt színpompás körökből álló képeket kapjuk.

A transzformáció paramétereinek már egészen kis változtatása is jelentős módosulást hoz létre a képeken.

Iterated Möbius A Möbius Transformation is a function from the complex plane to itself that maps circles (and lines) to circles (and lines). Two or more contracting Möbius Transformations can be composed to form an iterated function system.

Starting with an initial circle and n Möbius Transformations that map an initial circle into n smaller circles inside the initial circle, after k iterations there will be nk circles. Where the original circles are tangent, the images will be tangent. If the original circles overlap, the images will overlap.

The Unit Circle Group is a subgroup of the group of Möbius Transformations. A transformation from this group maps the unit circle onto itself and the interior onto the interior; such a transformation can be written in terms of three real parameters. If the transformation is not the identity, a geometric figure (that is not a circle) inside the unit circle will be mapped to a distorted image somewhere else inside the unit circle. Starting with an initial set of n circles inside the unit circle and n Möbius Transformations that map the unit circle into the n circles, then composing the n transformations with a transformation from the unit circle group to form an iterated function system, some artistic images are created. Each new iteration causes a compounding of the distortion yielding interesting patterns. Changing one of more of the three parameters by even a small amount can drastically change the picture.

More about this subject can be found at http://www.anneburns.net/circles/unitcircle.html and at http://myweb.cwpost.liu.edu/aburns/flash/evmthart.htm

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

75

76

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Michael Burt Prof. Emeritus, Technion, Israel Institute of Technology, Faculty of Architecture & Town Planning, Israel matburt@netvision.net.il / www.professormichaelburt.com

A 3D térkitöltő szoros csomagolás fenomenológiája A térkitöltő poliéderek és a térbeli rács-szerkezetek kapcsolata, csoportosítása.

The Phenomenology of Cellular Close Packing in 3D space Cellular-polyhedral close packing (cell. pack) agglomerations in 3D space are closely associated with 3D networks.

In fact, every pair of dual networks entails two cell.packs and a specific partition surface between the two, defining among themselves the ‘quintuplet’ associated features, which, more than anything else, determine the morphological-structural nature of the perceived space.

When associated with ordered-periodic networks, the cell. packs share in the same symmetry regime and uniform networks (same vertex figures and identical edges) give rise to cell. packs of identical solids, the self-packs.

It should be understood that the mutual relationship of two dual networks and derivation of one from its genetic dual, involves a stereometrical analysis of the genetic dual net and its associated cell.pack.

Also important to note that two different interpretations of the cell.packs within a given network has to lead eventually to two different definitions of its dual network.

The mutual stereometrical relationship between two dual networks dictates the following parametric relations: 1.

2.

Centroids of cell polyhedra within network A are the vertex system of the dual network B. Valency (number of edges in a vertex) of network B, corresponds to the number of faces F of the polyhedral cells within network A.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

77

The mode of deriving network B from network A is by joining every two centroids of neighboring polyhedral cells of A with an edge through a face partition polygon between the two. It implies the following: VA. = SB. ; EA. = FB. ; FA. = EB. ; SA. = VB. , with V; E; F; S standing for Vertices, Edges, Faces and Solids, respectively.

If a network is not uniform and has n different vertex figures, the cell.pack within it’s dual network consists of n different cell polyhedra.

It should be noted that the faces of the polyhedral cell.packs may be plain or hyperbolical or a combination of both.

Any categorization of cell.packs has to follow the categorization already adopted to describe the possible network types, leading to the following: a. b. c. d. e.

Centroidal (relating to spherical nets); a cell.pack with all cells having one vertex point in common.

Centro - linear (relating to Axial nets); a cell.pack with all cells having an edge which is sharing a common axis.

Double - layered honeycombs, related to double-layer networks, the vertices of which are equi-distant from a given plain.

Multi - layer nets cell.packs.

Poly - vectorial nets cell.packs.

It seems that the category of Translation Networks (whether uniform or not) simulating n-dimensional nets, could not be associated with cell.packs, because of their entangled morphological nature (no dual pairs) although these features are not fully explored as yet.

‘Self - packs’ are probably the most intriguing stereometrical features. The number of ‘self-packs’ equals the number of Uniform Nets (excluding the Translation Uni.Net.s), and therefore the total exhaustive enumeration of self - packs and Uni.Net.s in the realm of the theoretically imaginable, pose one and the same problem.

78

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

79

Peter Calvache Senior Scientist at the University of Applied Arts Vienna in the Department of Geometry, CEO of Progressive Mindworks GmbH, Austria petercalvache@gmail.com

Dűne felületek A dűne felület egy háromdimenziós, parametrikus felület.

Kétdimenziós alakzatok halmazából indulunk ki, a harmadik koordinátát, a felület magasságát úgy kapjuk, hogy vesszük a kétdimneziós alakzat határától való minimális távolságot. Az alakzaton kívül levő pontok magasságát -1-gyel szorozzuk, tehát ezek mélyebben lesznek a kiindulási alakzatnál. A dűne felületek gömbön is értelmezhetők, ahogy a mellékelt ábrák mutatják.

Dune Surfaces A Dune Surface is a 3-dimensional parametric surface that is constructed from a given set S of 2-dimensional (planar) shapes.

These shapes may be given as parametric shapes or as polylines, which are simply chains of line segments. The Z-coordinate (or height coordinate) of each point on the Dune Surface is equal to this point’s minimum distance from any shape in S. Therefore, the farther a point on the Dune Surface is from any shape, the higher it is located in respect to the plane on which the shapes all reside.

Likewise, the closer a point is to any shape, the closer it is (vertically) to ground level. The second characteristic of a Dune Surface is that if a point happens to reside outside of any closed shapes in S, its height coordinate is simply inverted (multiplied by -1). These two simple geometric relationships lead to the emergence of quite elaborate “mountain ranges” which closely resemble sand dunes (hence the name Dune Surface).

The Dune Surface’s ridges (maxima) and trenches (minima) are located at the median axes of the surrounding shapes. These comprise all locations that have at least two closest points on the shapes in S. Median axes are often used for topological reconstruction in the context of image recognition. They allow a discrete “topoligical skeleton” to be extracted from images of imperfect fidelity. This is especially relevant in the field of optical character recognition (OCR).

A Dune Surface can also be calculated on the sphere, which can be seen in the images. In such cases, the minimum distances of points to shapes are calculated spherically by means of the great-circle distance.

Three perspectives of a spherical Dune Surface based on the contours of Earth’s continents.

80

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

J. Scott Carter University of South Alabama, USA carter@southalabama.edu / www.jscottcarter.com / www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/carter/

A diédercsoport szemléltetése A csoportelméletben diédercsoportnak nevezzük az olyan csoportokat, amelyeket a síknak egy adott szabályos sokszöget önmagába képező egybevágóságai alkotnak.

Négyzet esetén ez 8 transzformáció, 4 elforgatás a négyzet középpontja körül és 4 tengelyes tükrözés. Ezen 8 elemű csoport művelettábláját látjuk a mellékelt ábrán a szerző kedvenc 4D alakzatával szemléltetve.

Visualizing the Dihedral Group One of my favorite geometrical objects is a four-dimensional figure that has no analogue in three-dimensional space. It is described as a point-set consisting of four coordinates. Each of these variables is allowed to take values between zero and one inclusively. The first variable is no larger than the second while the third is no larger than the fourth. The point-set of two variables inclusively bounded between zero and one in which the first is no larger than the second is a right triangle whose legs have unit length.

So the point set with which I am enamored is a product of triangles. It has six three-dimensional faces each of which is a prism that resembles that glass figure which Newton used to separate light into a rainbow of constituent wave-lengths. In the drawing, ‘Dihedral Table,’ I have emphasized two such prisms that intersect along a triangular face. The principal character in this work is the planar projection of these two prisms. The projection intentionally distorts angles and distances. In addition, after applying a symmetry of the square to this figure, I produced shadows and layers that indicate (sometimes paradoxical) three dimensional information.

Besides being one of my favorite figures, this projection has an important property in that it has no symmetry. So I use this figure to exemplify the transformations that represent symmetry. Let me elaborate.

The mathematical term ‘group’ refers to the set of symmetries an object might possess. A group, then, is a set of geometrical transformations. We can perform such transformations sequentially. The sequential application of a pair of transformations is a transformation. Each transformation has an opposite or ‘inverse’ transformation whose operation undoes the changes that the original transformation performs. The identity transformation leaves an object unchanged. So the sequential application of a transformation and its inverse is the identity. When three or more transformations are performed sequentially, then any two in the sequence can be thought of as a single transformation. It does not matter how neighboring transformations are gathered when three or more are amalgamated. We can, for example, amalgamate the first and second, and then amalgamate the result with the third, or we can amalgamate the second and third and amalgamate the first with the result. Either association will result in the same composite transformation.

On the other hand, the order in which two transformations are performed can result in different results. There is a significant difference between checking if you have the keys and subsequently locking the door and performing the key check after the door is locked.

So transformations of a symmetrical object are an expressions of its symmetries. For example, there are eight different ways to place a square piece of paper upon another of the same size. You will only be certain that you have counted them all after you have marked the square to indicate left and right, top and bottom, front and back.

Even the words, top/bottom, left/right, and front/back are indicative of a breaking of symmetry.

The Roman san-serif font F is the first character in the alphabet that does not possess any of the symmetries that a square has. The font A is symmetric with respect to the vertical while B,C,D, and E all can be depicted with horizontal symmetry. A simple way of breaking the symmetry of a square is to write the letter F upon the square.

You could turn the square over and imagine the mirror image of the F being inscribed upon the back.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

81

By placing the letter F upon the square, you can easily determine the eight symmetries of the square: first rotate the square counterclockwise through angles of zero-degrees, 90-degress, 180-degrees, and 270-degrees. The F lies upon its back, is upside-down, and face first in a push-up position. Then reflect the F in each one of the vertical axis, the horizontal axis, and both of the diagonals. Rather than using an F which I consider a bit mundane, I used the figure that I described in the first few paragraphs.

Thus, to quantify the sequential application of a pair of transformations of the square, I have placed the projection of my favorite figure in each of possible eight positions in a smaller square. The table indicates the result of first performing the transformation in the first column of the table and then following it with the transformation in the first row. My goal in the work ‘Dihedral Table’ is to graphically depict the successive application of a pair of symmetries.

In the background field, the plane has been tiled with regular hexagons. Each of these is also tiled by a set of polygons. The choices of these tilings is also based upon the four-dimension figure that was described above. But this is another story that will remain untold.

82

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Xavier De Clippeleir Designer, Belgium xdc2000@hotmail.com

Az elliptikus hengerek és az átalakuló poliéder Az ihletet a felfedezéshez a lépcsőn „lesétáló” óriásrugó adta. Sokféle módon átalakítható elliptikus hengerekből létrehozott sokszögeket, kockát és más poliédereket láthatunk az ábrákon. A cikkben az átalakítások módjáról és számáról is olvashatunk.

Elliptic Cylinders and Transforming Polyhedra Slinky, the metal spring toy that walks down stairs has been the key inspiration. When squeezed it forms a cylinder with an ellipse as cross-section . The endings remain circular, parallel or anti-parallel.

The truncated parts are assembled to make flexible chains.

Figure 1 shows a closed ring of 12 anti-parallel elliptic parts. The ring rotates into different forms: a square, a circle, a triangle an octahedron and countless others.

Figure 1: Ellipso

After experimenting with many flexible chains I had the idea to build a cube with elliptic cylinders as edges.

The edges are cut at the suitable angle of 35° 16’ to obtain two anti-parallel circular sections. The geometry allows the cube to transform ( Figure 2 ).

Figure 2

Each axe of rotation is parallel to a diagonal of the cube. This observation turned out to be the recipe for the transformation of the other rhombic polyhedra.

The cube rotates into a solid with 12 faces, 24 edges and 14 vertices.

The rhombic dodecahedron ( 12 rhombic faces ) rotates into a cube.

The triacontahedron ( 30 rhombic faces ) rotates into a dodecahedron.

The sphere transforms into a solid similar to the cube.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

The cube and rhombic dodecahedron are space filling solids. They are the basis for transformable grids or lattices.

A cube in the cubical grid has 32 axes of rotation: 24 on the edges plus 8 on the corners parts.

A rhombic dodecahedron in the grid has 62 axes of rotation: 48 on the edges plus 14 on the corner parts.

Notes: 1. The ELLIPTIC CYLINDER was the subject of my Degree work at the Royal College of Art in 1978.

The first prototype of the transforming cube dates from 1977.

2. The ring of 12 elliptic parts is produced by the Swiss toy company NAEF since 1983, named ELLIPSO. In 1992 they produced a small series of the cube ( black and white, 30 cm beach wood ), named RHOMBIC. 3. The rhombic hexacontahedron ( 60 rhombic faces, 120 edges, 240 hinges ) is also a candidate for transformation.

I learned about the polyhedron trough Sándor Kabai and Szaniszló Bérczi at the Bridges Math Art conference in Pécs.

A balsa wood model is being made. I presume it makes the set of edge divided transformable polyhedra complete.

83

84

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Bob Coecke Professor of Quantum Foundations, Logics and Structures, Governing Body Fellow of Wolfson College, Oxford University, UK coecke@cs.ox.ac.uk / www.cs.ox.ac.uk/people/bob.coecke/

A matematika szemléletessége és a valóság A képek szimbolikus rendszereket jelenítenek meg. A harmincas évek közepén Erwin Schrödinger azzal az állítással hozta izgalomba a tudományos közvéleményt, hogy a kvantumelmélet tulajdonképpeni lényege az a mód, ahogyan az összetett rendszerek viselkednek. Ezt nagyon jól ki lehet fejezni képekkel.

Picturalistic1 Maths and Reality Pictures do not constitute some soft form of mathematics but are in fact related to symbolic mathematical structures called monoidal categories, by means of some very high-powered theorems [2]. Some theorems even state that all statements of a certain kind derivable in quantum theory can also be derived pictorially [3]. The area of mathematics which establishes connections of this kind is still relatively young and is becoming more and more important for pure mathematics itself, because of the huge simplifications graphical representation can provide.

But there is much more: the pictures are effectively closer to the truth! Indeed, they paint a picture that’s closer to reality than what their low-level counterparts do.

Around 1935 Erwin Schrödinger stated that the true `soul’ of quantum theory is the manner in which composite systems behave [1]. Expressing this is exactly what pictures do. In Figure 2, wires represent systems, and two wires

Figure 1: Sound and faithful diagrammatic computations.

1 The term 'picturialism' refers to a diagrammatic formalism in the context of quantum computing. It was introduced by Bob Coecke in his article Quantum picturalism published in Contemporary Physics (2010) 51, 59–83.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

85

side-by side represent two systems. The double `cup-shaped wire’ represents the `preparation of two systems in an `entangled state’. It is the fact that the graphical language describing quantum processes contains these cups that captures an important aspect of `true quantumness’.

Figure 2: Foundational representation of quantum processes.

References: [1] E. Schrödinger (1935) Discussion of probability relations between separated systems. Cambridge Philosophical Society 31, 555–563.

[2] P. Selinger (2011) Finite dimensional Hilbert spaces are complete for dagger compact closed categories.

ENTCS 270, 113–119.

[3] P. Selinger (2011) A survey of graphical languages for monoidal categories. In: New Structures for Physics, B. Coecke (ed), 289–356. Springer-Verlag.

86

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Brent Collins Sculptor, 90 Railroad Ave., Gower, MO 64454, USA

Virág szobrok és csavart felületű geometria Collins csavart felületű szobrokkal kísérletezett és felfedezte, hogy alakzatai a virágokra emlékeztetnek. Ezt követően úgy módosította az alakokat, hogy még jobban hasonlítsanak a virágokra. Szobrászként, rendszeres matematikai képzettség nélkül, de jelentős tapasztalati tudással és érzékenységgel, Collins célja a geometriai tartalom esztétikus kifejezése.

Floral Sculptures and Helicoid Geometries Floral aspects began appearing in my recent work without any deliberate intent on my part that I was aware of at the time. Only with the dawning recognition of their nature would I come to consciously focus on creating the suite of sculptures which I now view as mathematical flowers, and will discuss here. I should emphasize that I am a sculptor using traditional methods, and that in referring to these sculptures as mathematical flowers I am implying nothing more mathematically formal in my approach than an intuitively algorithmic deployment of geometries common across our world cultural heritage and known from prehistory.

More particularly the geometric content aesthetically expressed in these “flowers” is exclusively helicoid. Lacking foreknowledge that helical geometries are an optimal means to generate a floral sculptural fabric how did I come to the realization they are? I became aware of their applicable potential in the empirical context of a project to experimentally evolve surfaces of multiply embedded helicoid dimensions as a geometrical class representing nothing outside themselves, and was startled by how evocative of floral forms they could be. With this discovery I reoriented myself and began modulating their format to further enhance a flower-like resonance. Whatever the dynamics of natural selection have been for the evolution of natural flowers in their enormous morphologic diversity and symbiosis with pollinators, I felt I had found an approach through visual mathematics for the creation of sculptures which suggested the blossoms of certain flowers, and were convincing in their aesthetic affinity to them. I wasn’t engaged in portraying the morphology of a particular species of flower or in essentially decorative embellishment, but in creating sculpture of algorithmically rigorous mathematical content whose elegance lies in its floral resonance.

A blossom is a flexible living membrane and much of my sculpture has had a membrane-like quality in being conceived as surfaces in distinction to being substantially volumetric (sculpture must, of course, have some minimum of material thickness to exist in distinction to a theoretic construct which may lack any). Such surfaces in my past work have generally been locally minimized in area relative to their given edge constraints by having their curves in any direction balanced by others in the opposite direction to approximate the zero mean of negative curvature. By contrast the incorporation of certain helically patterned curvatures to create a surface with a floral aspect necessitates having positive curvatures which balloon as well as having a negative curvature in the equestrian saddle-form of area minimization (see images in figures E and F for the clearest illustration of this). The spare elegance of negative curvature becomes too confining an aesthetic optimum, and the more heterogeneous richness of form found in nature must be permitted to reach the closest verisimilitude in visual mathematics to the dimension of floral aesthetics. Moreover, the organic integration of multiple helicoid geometries which achieves this effect also generates a surface whose maximally rich coherence of curvature has no precedent in geometric sculpture I currently know of. This richness of curvature was the sole intent of my original project, before I empirically realized it could potentially lead to engagingly floral sculptures.

The floral aspect of these sculptures is evident even from a cursory glance at the four from the series whose images I’ve chosen. What warrants further description is how their anatomies are algorithmically based on multiply embedded helicoid geometries.

The slender "stems" of my closely related sculptures Blosme 1 and Blosme 2 (Blosme is an archaic spelling; the contemporary English spelling is blossom), are helical bands; and finally the “blossoms” themselves have a global helical movement in continuity with their helical “stems”. These helicoid dimensions have a clockwise chirality in both works; the two differ algorithmically only in having their “blossoms” formed by lateral growth outwards from

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

87

opposite sides of their helical bands or “stems”.

Actually these works are a genre of ruled surface which can be generated by a continuous succession of straight lines spanning the helical linearity of their edges and that formed by angled intersection of the undulating planes which facet their “blossoms”.

The edges of the "stem" of my sculpture Asrolily, show on the left, as well as the longitudinal mid-lines of the opposite convex and concave sides of the surface between these edges, all follow clockwise helical pathways.

Likewise the radial mid-lines of the successive crests and troughs of the sine curvatures on both faces of its “blossom” also follow clockwise helical pathways. In a final touch of consistency the edges which encircle this “blossom” proceed along a clockwise helical pathway. A pinched-off deformation of this encircling edge accommodates the “stem” of this “blossom”, but a linear abstraction of the edge otherwise would be a toroidally warped helix.

Molecular Flower, shown in the last image, is recognizably molecular in its resemblance to diagrams of protein folding. Its configuration can also be viewed as being the skeleton of a flower.

Each of this works’ skeletal segments, as they travel between nodes of multiple intersection, has a helical twist parameter of 180 degrees. The chirality of both this parameter and that of the helical “stem” is counterclockwise. The surface curvature of this ribbonesque skeletal flower is negative. It is necessarily less than exact because of the procrustean deformation which results from keeping each helical segment in strict adherence to the global floral pattern. Only ribbonesque skeletal flowers can have exclusively positive or negative curvature, while a membraneous “blossom” with greater surface area only achieves a maximum richness of sine curvatures when they are both positive and negative in their fluid continuity.

While these mathematical flowers are biomorphic nothing quite like them can be observed in nature, though helical patterns permeate life across a spectrum of scales, and were present at a quite early stage in the molecular configuration which organizes the genetic code. It seems unrealistic to image natural flowers ever evolving a topography closely conforming to that of these aesthetic ones, since reproductive advantage rather than our aesthetics sense underlies natural selection. (Our aesthetic sense has its own evolutionary provenance: appreciation of gender difference correlates with reproductive advantage in a most primal way; less obviously and of more subtle significance, an appreciation of the natural world – both its inorganic grandeur and its life forms in any transient current generation – is a cathartic incentive for the adaptive feature of perceptual intelligence.) The exquisite detail seen in natural flowers with fully opened eyes transcends the dulling effect of thoughtless cliché, and an art of visual mathematics which in some small degree successfully evokes their aesthetics will have meaningful significance. The aesthetic dimension we perceive in natural flowers seems to intrinsically impart a species of comfort. We know there was a density of flower pollen at certain Neanderthal gravesites which suggests gathered bouquets were part of the interment. With our theory of mind enabled by a circuitry of “mirror” neurons we can empathically commune with these long lost relatives, not a separate species but a contributor to the human genome after the African exodus. Organic evolution has created sentience over a continuum of species, which also experience uniquely individualized sensory pain and fear in their vulnerability to injury. Natural flowers might be thought to mutely indict the hubris present in the immiseration of other sentient species to the condition of being our poor relations…under a sky whose visible light is a prelude atmospherically cast with earth’s eventual incineration in the late stellar cycle of its sun, our vision might have a more humane temper…

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Photography by Phillip Geller

88

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

89

Francesco De Comité Associate Professor in computer Science at the University of Sciences and Technology of Lille, France francesco.de-comite@univ-lille1.fr / www.lifl.fr/~decomite / www.flickr.com/fdecomite

Kardioid A kardioid, vagy szívgörbe olyan síkgörbe, amit egy rögzített körön kívül csúszás nélkül legördülő, vele azonos sugarú kör egy rögzített pontja ír le. Az ábrán látható kardioidon alapuló 3D szobrok a kardioidot előállító körök különböző szögű forgatásaival keletkeztek.

Napjaink számítógépes lehetőségei és a 3D nyomtatás segíthetik a matematikusokat és a művészeket, hogy korábban ismeretlen, a valóságban csak nehezen előállítható formákat próbáljanak ki, és így esztétikus alkotásokat hozzanak létre.

Cardioid The cardioid is a curve that has been known about for some time, it can be defined in several ways. It was perhaps my first encounter with sophisticated mathematics.

Pedoe describes a method for constructing a cardioid as the envelope of a set of circles. Draw a circle and choose a point on its circumference. Now draw circles with centers lying on the initial circle, and passing through the chosen point. The envelop of this infinite set of circles is a cardioid.

As an exercise, I first implemented this method in Povray, my favorite ray-tracing software. But the result was desperately flat. I then thought of rotating each circle in the third dimension, with an angle depending on its radius. The function relating the rotation angle to the radius can be arbitrary, and each choice defines a different final shape (in fact, some images were built with parameter values I have lost, and I am unable to reproduce those drawings !)

The shape is not difficult to describe, once drawn. We can output the information (circle centers, radii, angle) and use it to obtain a real three-dimensional version of the virtual drawing.

The experience of turning this 3D cardioid in your hands is still stronger than seeing it on the screen. Each angle of vision makes it look different, and the observer finds new symmetries each time he moves it.

One of those cardioidal variations made the cover of may 2012 issue of the College Mathematics Journal, and the three-dimensionnal sculpture is part of the cover of Marillion's next CD. Computers in general, raytracing software like Povray and 3D modelers like Blender in particular, with their built-in programming abilities can help mathematicians and artists to test mathematical shapes one could not imagine otherwise. Computation and rendering are fast enough nowadays to allow us to test a great number of hypotheses, and aid in the finding of graphical nuggets. The advent of 3D printing is yet another improvement towards a new discipline we could call experimental mathematics.

Figure 1-2: two variations of the 3D cardioid

90

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 3-4: the same 3D cardioidal sculpture seen from different angles. Quite hard to believe it is the same shape.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

91

Jean Constant NNMC, Past Professor of Visual Communication. Media, Technology consultant. Santa Fe NM, USA jconstant@hermay.org / http://hermay.org

Minta felismerés A tudósok és a művészek egymás jó gyakorlatait hogyan tudják hasznosítani? Az együttműködésre és a párbeszédre épülő műalkotások láthatók a képeken.

Pattern Recognition Mikhail Bongard is a Russian scientist who developed a rational to approach complex problems of visual pattern recognition. Artist-theoreticians, in particular V. Kandinsky, Ittten and Albers formulated a mapping of the creative environment based on a systematic reviewing of the components available to visual communication. How closely Science and Art can benefit from each others best practices is what the following attempted to demonstrate.

Figure 1: Bongard’s problem: circle above triangle / triangle above circle.

A Bongard problem-solving procedure has several stages. Raw data gradually get converted into descriptions. These features constitutes a “vocabulary”: line, segment, curve, horizontal, vertical, black, white, big, small, pointy, round, etc. This descriptive vocabulary matches in many respects the codification established by V. Kandinsky in “Points & Line to Plane” as he recorded some fundamental elements of artistic composition. I revisited the Bongard templates in a monochrome environment to highlight both the singularity of each symbol and their association with each other within the composition (fig. 02).

Figure 2: Monochrome pattern.

92

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Color is defined by light. Scientists such as I. Newton, philosophers such as Goethe and more recently art theoricians Itten and Albers among them, researched light and color properties. Light affects how we see and understand patterns. I added color to the monochrome plates both to increase specific patterns signals and to unite all the elements in one larger esthetic statement (fig.03).

Figure 3: Texture & color pattern

Twenty-two plates were created following this method (fig 04). They were shown to different audiences in different settings. Many agreed that significant similarities emerged between the creative process and Bongard’s methodology and enriched the dialog between art and science. It can only be hoped that further collaborative effort between these two fields of investigation will continue to add to our collective knowledge base and help deepen our understanding of the environment and the perception of it.

Figure 4: Full composition – light – texture – color

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

93

Donald W. Crowe Department of Mathematics, University of Wisconsin-Madison, USA dcrowe1234@yahoo.com

„Masi kesa” kétszínű minták Fidzsi-szigetén Azokat a mintákat nevezzük kétszínű szimmetriájúnak, amelyek két különböző színű, egybevágó minta uniójából állnak. H. J. Woods textiltervező 1936-ban 17 kétszínű sávon és 46 kétdimenziós kétszínű szimmetrián alapuló mintát számolt össze és illusztrált. 1989-90-ben a szerző, Nagy Dénessel közösen rábukkant egy addig ismeretlen kincsre, a tökéletes kétszínű szimmetriájú, fekete-fehér síkmintákra Fidzsin.

The two-color patterns of masi kesa of Fiji We call a plane pattern two-color if it is the union of two congruent patterns, one of one color and one of another.

(Think of an ordinary (infinite) chessboard with its alternate black and white squares.) In 1936 the 17 two-color band patterns and 46 two-color two-dimensional patterns were enumerated and illustrated by the textile designer H. J. Woods under the name counterchange patterns. In 1989-90 the author (with Dénes Nagy) stumbled across a treasure trove of black -white plane patterns with perfect two-color symmetry, in Fiji. Although similar patterns were familiar in museums from the previous century the art of their construction had experienced a recent revival.

The home town of the President of Fiji was Somosomo, island of Taveuni, region of Cakaudrove. The walls of his summer home there, as well as the walls of the Visitor’s Center in Suva, and a life-size manikin in the Fiji museum were covered with Cakaudrove-style white barkcloth (masi) stenciled with black ink so that the black and white parts of the result were exactly equivalent.

Although barkcloth has been used in many places throughout the South Pacific, it was only in Fiji that the designs on it were made with stencils. In Fiji these stencils were originally made from leaves, but in modern times used X-ray film was found to be more durable Note the care taken so that each small white area is

accompanied by a congruent black area. The artist behind much of this revival was Fine Nailevu. At her home in Somosomo she demonstrated the creation of these classical Cakaudrove masi kesa. The photos show the artist and her assistants at work outdoors in Somosomo, as well as several of the two-color strip patterns found in her work and that of others, and one wall of the summer house of the Fijian President Ratu Sir Penaia Ganilau in Somosomo as it appeared in 1990.

Finally, we note that several of the patterns invented by H. J. Woods bear striking similarities to Cakaudrove patterns in museums and in the work of Fine Nailevu. One of these old cloths was on display in the Pitt Rivers museum in Oxford at the time Woods was an undergraduate there. It is inviting to speculate that what he saw inspired his pioneering enumeration of all the mathematical types of two-color patterns.

94

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

(Further discussion, and more photos, can be found at http://vismath6.tripod.com/crowe1/.)

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

95

György Darvas – Klaudia Kozma Symmetrion, Hungary darvasg@iif.hu / http://members.iif.hu/darvasg/

A Möbiusz-szalag szimmetriáiról Miért a Möbius-szalag tette híressé A. F. Möbius német matematikus és fizikus nevét? A válasz valószínűleg a szalag meglepő egyszerűségében, ugyanakkor abszurditásában rejlik. Ezek a tulajdonságok irányíthatták számos művész figyelmét is a Möbiusszalag felé. Kozma Klaudia hatalmas, rugalmas anyagból készült mőbiusz-szalagjai a matematikai alkotás részeseivé avatják műhelyeinek résztvevőit.

About symmetries of the Möbius strip Fame is not always dispensed for the most deserved and greatest achievements. August Ferdinand Möbius (1790 Schulpforta – 1868 Leipzig), German mathematician and physicist, contributed to the advance of mathematics in several fields, like the introduction of homogenous coordinates and the Möbius (or homographic) transformations in projective geometry (so important in architectural design), as well as the Möbius transform of number theory (also important in combinatorics) together with the Möbius function, and the Möbius inversion formula. He wrote important papers contributing to theoretical astronomy, chaired the Department of Astronomy and directed the Observatory in Leipzig. He was considered a pioneer in topology. In spite of the above listed remarkable more genuine

Figure 2: Klaudia Kozma's Moebius & Daniel Aschwanden

scientific achievements it was the Möbius strip (or -band) that brought him fame (which, to be fair, was co-invented independently by J. B. Listing). In a topological sense the Möbius strip belongs to the family of one-sided surfaces.

(This family was extended later by the discovery of the not-as-famous Klein bottle.)

Why did posterity honour just this achievement above all the rest? There is no easy exact answer to this question.

Maybe because it is surprisingly simple to demonstrate its surprisingly simple unique property. In all likelihood it is this simplicity that astounded the non-mathematical public.

The Möbius strip is very simple. While mathematical topology is a difficult to understand topic in mathematics, a Möbius strip can simply and easily be made from a paper band with one creaseless fold and join.

On the same side (because our strip in question has no other), it demonstrates a special symmetry. While double-sided surfaces distinguish directions in the space, the Möbius strip does not: all spatial directions are equivalent for it. Space is isotropic when observed from the surface of a Möbius strip, as against other surfaces.

The surprise accompanied Möbius from science to literature. Although Möbius’ contribution to physics was minor compared to his impact on mathematics, F. Dürrenmatt placed him above two of probably the greatest

96

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

physicists in the history of science. At any rate the astonishment that his best known mathematical novelty caused could be compared with that of those. Möbius plays the central dramatic role between Newton and Einstein in the Physicists by Dürrenmatt.

The heros of Dürrenmatt are the subjects of forces, just like their physical objects, only these forces are social.

Nevertheless, they are as much paradox, like the discoveries of the above-named physicists were in their age. And, of course, as much accidental as surprising. Dürrenmatt appended 21 points to the Physicists. I quote from these points: ‘4. The worst possible turn is not foreseeable. It occurs by accident.

6. The carriers of dramatic action are human beings.

Figure 3: Klaudia Kozma's Moebius

8. The more human beings proceed by plan the more effectively they may be hit by accident.

9. Human beings proceeding by plan wish to reach a specific goal. They are most severely hit by accident when through it they reach the opposite of their goal: the very thing they feared, they sought to avoid (i.e., Oedipus).

10. Such a story, though it is grotesque, is not absurd (contrary to meaning).

11. It is paradoxical.

12. Playwrights, no less than logicians, are unable to avoid the paradoxical.

19. Within the paradoxical appears reality.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

97

20. He who confronts the paradoxical exposes himself to reality.

21. Drama can dupe the spectator into exposing himself to reality, but cannot compel him to withstand it or even to master it.’

Accidental surprise brings about the feeling of the absurd. The strip constructed by Möbius seemed at first sight absurd, at least for laymen. However, it can be realised - therefore it was not absurd, rather paradoxical (cf. 10-11).

That was unavoidable (cf. 12). This paradox keeps the curiosity in the Möbius strip alive. Within that paradoxical (cf.

19.) form there appears reality. Möbius strips have inspired many artists, and further studies by mathematicians during the past one-and-a-half century. Their works have become constituents of reality. We, spectators, have exposed ourselves to this reality (cf. 21).

Figure 4: Klaudia Kozma's Moebius & Sophia Eyb

However easy it is to make a Möbius strip, the process requires the active, teleological participation of a human being. Nature never creates Möbius strips. It is an artificial product. Thus did it become an object of arts. The Möbius strip, then, aligned scientists and artists next to each other on the single side of an endless ring.

Klaudia Kozma is a young artist. Her Möbius strips are made of flexible materials, at human body scale.

Participants in her workshops may bend the strips around themselves, change the shape in a variety of ways, while keeping the surface one-sided. The play with these flexible materials brings about the experience of visual mathematics along with the experience of collective creation.

98

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Linnclaire Dennis The Mereon Institute, Denmark LDennis@mereon.org / www.mereon.org / www.EssenceIllumined.com

Mereon: a kapcsolatok matematikája

Figure 1: Mereon1

Unity, Perspective and Paradox; A dynamic unitive matrix linking natural & social systems, Elsevier (Oxford, England) will be released in the second quarter of 2013. This book introduces the dynamic geometric model known as Mereon, the dynamic structure that is the source of my art.

Mereon defines a ‘QuintEssential’ Jitterbug, a dynamic made famous by R. Buckminster Fuller. A geospherical structure, the boundary of this model also arises naturally in fifteen golden ratio ellipses, it motion defining a spherical knot known as the Mereon Trefoil. The context defines 33 polyhedra, 32 inside, and 1 outside, redefining inclusivity as it shows how singular forms and clusters of the regular Platonic Solids arise with the Kepler Solids. All elements are independent, interdependent and interconnected. This knotting matrix is leading to a new understanding of time, the oft chaotic but ever elegant and exasperatingly fast flow of life. Mereon’s dynamics mimic all biological processes and incredibly, every aspect is ‘pure gold’, every point, all planes, all 3D forms and the Mereon Trefoil Knot secured in the Golden Ratio (http://www.mereon.org/lynnclaire-dennis/). The Mereon team is working with the developer of CymaScope, imaging the Mereon systems unique mathematics as frequencies, bring sound to light in 3D. These spectacular observable experiments are providing stunningly consistent images with Mereon’s well documented dynamics.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 2: Mereon 2

Figure 3: Mereon trefoils

Figure 4: Mereon; sound as light

99

100

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Mark R. Dennis – Robert P. King H.H. Wills Physics Laboratory, University of Bristol, UK mark.dennis@bristol.ac.uk / r.king@bristol.ac.uk / www.phy.bris.ac.uk/people/dennis_mr/index.html /

Csomók és láncok szövése sötét szálakból a fénysugarakban A fényáramban található optikai örvények mentén a fény 0 intenzitású, sötét vonalakat képez. A véletlenszerűen visszavert és szétszórt fény körülöttünk ezekkel a sötét vonalakkal van tele, bár nem látjuk őket. A csomók, fonatok és a komplex függvények közötti kapcsolatok szemléltetésére lézer sugarakat hoztunk létre számítógép által vezérelt hologramok segítségével. A fizikai megvalósításhoz örvénylő csomókkal rendelkező fénymezőket kellett kialakítani.

Weaving dark threads in light beams into knots and links The flow of light through space is similar to water flowing in a river.

Although it usually flows in a particular direction, the light can also flow in whirls and eddies, forming lines in space called `optical vortices' [NB,D1].

Along these vortex lines, the intensity of the light is zero.

The randomly reflected and scattered light all around us is filled with a tangle of these dark lines, even though we cannot see them. By visualizing the connection between knots, braids and complex functions we create laser beams with computer-controlled holograms that have these threads of darkness woven into knots and links.

Physical realisation of such beams requires explicit construction of light fields with vortex knots [D2, PHKD]. First, we weave a braid in 3-dimensional space, where the strands all follow the same trajectory projected into the horizontal plane. In Fig.1., three strands weave out a pigtail braid, projecting to a lemniscate. This information is encoded into the zeros of a 1parameter family of complex polynomials.

Following Alexander's famous theorem that `a panoramic view of a knot is a braid', this complex field is wrapped around the azimuthal coordinate in three-dimensional space, and we map the previous polynomial to another complex polynomial of x, y and z, with knotted or linked zero loops from the braid closure, such as the borromean rings in Fig. 2.

On paraxially propagating the previous function from the z=0 symmetry plane, a new function emerges, with the same zero topology Fig.3. Many such fibred knots and links are possible in fields satisfying optical wave equations in this way, such as the `Turk's head knot' 818 Fig. 4.

These functions can be embedded in laser beams experimentally using a hologram, and measured by a CCD camera scanning through the threedimensional knotted field. An example of an experimental trefoil knot is shown in Fig. 5 (experiments by K O'Holleran, B Jack and M J Padgett of the University of Glasgow).

It is intriguing to speculate whether these knot and link structures might be made visible directly, such as by fluorescent particles in the knotted beam. Since fluorescent light emission can be suppressed by the presence of laser light, so the dark knots could be picked out by the remaining fluorescent glow; such experiments are challenging, but would be visually striking. Even more striking might be to use such a technique to reveal the random tangled threads of darkness that surrounds us in everyday light.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

101

We are grateful to the Leverhulme Trust for its financial support of the research described herein.

MRD is a Royal Society University Research Fellow.

References: [NB] J.F.Nye and M.V.Berry, Dislocations in wave trains, Proceedings of the Royal Society A 336 (1974) 165-90 [D1] M. R. Dennis, K. O'Holleran, and M. J. Padgett, Singular optics: optical vortices and polarization singularities, Progress in Optics 53 (2009) 293-363.

[D2] M. R. Dennis, R. P. King, B. Jack, K. O'Holleran, and M. J. Padgett, Isolated optical vortex knots, Nature Physics 6 (2010) 118-21.

[PHKD] M. J. Padgett, K. O'Holleran, R. P. King, and M. R. Dennis, Knotted and tangled threads of darkness in light beams, Contemporary Physics 52 (2011) 265-79.

102

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Mirjana Devetaković – Ljiljana Petruševski – Bojan Mitrović University of Belgrade, Faculty of Architecture, Serbia http://genericexplorations.blogspot.com/ / https://sites.google.com/site/softwarevolution// mirjana.devetakovic@gmail.com / ljpetrusevski@gmail.com / mitrovic.bojan@gmail.com

Affin formák vizsgálata A képeken látható modelleket a Belgrádi Egyetem Építész Karának első éves hallgatói készítették az affin transzformáció felhasználásával. A modelleket először számítógépen tervezték meg.

Examining an Affine Form Affine Transformations have been introduced to the first year architecture students within the course Mathematics in Architecture 1, which is part of the core B.Arch. curriculum. After getting the usual theoretic explanations of affine transformations illustrated by very general diagrams and matrices, the students then use the Affine Transformations Applet aimed at examining an affine spatial form.

Figure 1: Fragments from the virtual learning environment, supporting the knowledge sharing within the course Mathematics in Architecture 1.

The applet supports a single, iteratively repeated, affine system, combining rotation (Rx, Ry, Rz), translation (Tx, Ty, Tz), and scaling (Sx, Sy, Sz) of an initial cubic element defined by variable width, height and length. Some basic visualization controls, like line weight and transparency are also available, as well as the background and foreground color. Apart from understanding the power of combining the simple transformations (R, T, S) in the process of creation of spatial form, the students are required to visually examine the architectonics of the created form, i.e. its spatial appearance, structure, dynamics, as well as its potential to become an architectural object. At the same time, they share the parameters of the created form, so that it can be recreated by others, further examined and modified.

Figure 2: A physical model of an affine form, a final course submission by student Jelenko Simović (scholar 2011/12)

A range of illustrations created by students, representing spatial forms based on the affine transformation system, has been published in a discussion forum within a virtual learning environment. This way, the specific mathematical knowledge has been activated in a creative process, exhibited within the discussion forum - in this case

103

104

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

there are about 300 submissions. They are archived for future use. Some students decide to transpose the digitally created form into an analogue, physical model, as a final course submission.

The Affine Transformations Applet is one of several explorative tools developed by the Chair for Mathematics, Architectural Geometry and CAAD (Kabinet za matematiku, arhitektonsku geometriju i CAAD), at the University of Belgrade, Faculty of Architecture, and is available online at: http://www.arh.bg.ac.rs/upload/aft/index.html

Figure 3: The Affine Transformation Applet

Figure 4: An affine form based on the submission of student Jovana Jelisavac, scholar 2011/12.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Dániel Erdély Designer and developer, Hungary edan@spidron.hu / www.spidron.hu

Az általános háromszögek érdekes pitagoraszi tulajdonságai Egy háromszöget egy magasságvonalával bontsunk két derékszögű háromszögre. Alkalmazzuk a Pitagorasz-tétel hasonló síkidomokra vonatkozó általánosítását mindkét derékszögű részháromszögre úgy, hogy a másik háromszög legyen a hasonló síkidom. Így egy érdekes összefüggést kapunk a háromszögek területeire, ráadásul egy szép 2D kövezés is kialakul.

Interesting Pythagorean Properties of General Triangles Extensions of some aspects of the Pythagorean Theorem “All we know is that the classical Pythagorean Theorem is about a triangle and three squares constructed on its sides. If the original triangle is a right angle triangle than the equation is true. We know that the areas of the two squares of a rightangled triangle are equal to the square on the hypotenuse.

But it is a lesser-known fact that the validity of the Pythagorean relationship holds also for an endless number of other figures (so long as they are geometrically similar).” Ivan Moscowich: BrainMathics Figure 1: Examples

As any triangle can be bisected into two right-angled triangles and we can choose the area of the complementary triangle of both of them to apply the Pythagorean Theorem, we can get to interesting general conclusions.

We show two cases. The first is a right-angled triangle, the second is a general one.

Figure 2: Right-angled triangle

Figure 3: General triangle

105

106

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 4: Triangles around a right-angled triangle

Figure 5: Triangles around a general triangle

Let’s see the triangles of the general triangle, corresponding to the theorem:

Figure 6: Triangles around one composing triangle

Figure 7: Triangles around other composing triangle

1. If we substract the areas of lower triangles from the upper triangles we always get the area of the original triangle.

Figure 8: The capitals represent the areas of the triangles

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

107

Why? Look at the picture and the following equations: A=B+C E = B + G; B = E – G D = F + C; C = D – F So A = (E + D) – (F + G) 2. If we draw triangles similar to the other right-angled triangle that composes the original triangle around both the right-angled triangles, we always get a shape that tessellates the 2D plane with its mirrored pair.

Let me show some examples:

Figure 9. Tesselation using the right-angled triangle with its “Pythagorean neighbours”, and the mirror image of that figure.

108

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 10: Tesselation using the general triangle with its “Pythagorean neighbours”, and the mirror image of that figure

Figure 11: Another example

This way you can create infinitely many versions. Following the instructions in this paper, you are welcome to make your own designs.

Translated By Balázs Földváry

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

109

Robert Fathauer Owner, Tessellations Company, USA tessellations@cox.net / www.tessellations.com / www.robertfathauer.com

Fraktál kövezések A fraktál kövezések a sík egybevágóságokon alapuló kövezéseihez hasonlítanak annyiban, hogy hézag és átfedés mentesen fedik le a síkot. A kétféle kövezés között azonban lényegesen több különbség található. A fraktálcsempézés sohasem fedi le a teljes síkot, határvonala fraktálgörbe, az egybevágósági transzformácókon kívül itt a hasonlóság is fontos szerephez jut.

Fractal Tiling Fractals and tilings can be combined to form a variety of visually appealing constructs that possess fractal character and also obey many of the properties of tilings. A wide variety of fractal tilings have been discovered that are based on a single prototile. A prototile is a tile to which many or all of the tiles in a tiling are similar; i.e., the same within scalings, translations, rotations, and reflections. The prototiles found to allow fractal tilings are triangular, trapezoidal, kite-shaped, dart-shaped, Vshaped, or more complicated. These fractal tilings obey the main restriction on tilings that the tiles neither overlap nor leave gaps. They also contain an infinite number of tiles, as do conventional tilings. However, they do not cover the entire mathematical plane. The tiles become infinitesimally small near the boundaries of the fractal tilings, and the boundaries are in general fractal curves. The tiles have long and short edges, and the starting point in the construction of these fractal tilings is to arrange a group of tiles such that their long edges are matched up. This starting group usually has some sort of rotational symmetry. The next step is to scale the tiles by the ratio of the lengths of the short and long edges. These scaled-down tiles are arranged around the starting group according to some matching rule. The process is repeated over and over using the same matching rule and ever smaller tiles.

The final fractal tiling will have the same rotational symmetry as the starting group of tiles. More about fractal tiling can be found at the address: http://www.tessellations.com/.

Figure 1: Robert Fathauer: Fractal Tiling 1

110

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 2: Robert Fathauer: Fractal Tiling 2

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

111

Figure 3: Robert Fathauer: Fractal Tiling 3

Figure 4: Robert Fathauer: Fractal Tiling 4

112

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Nat Friedman Department of Mathematics, University at Albany, USA nat.isama77@gmail.com

I-tartók darabolása és egymásra pakolása Ha egy hosszú I-tartót különböző módon kisebb darabokra vágunk és egymásra helyezünk, különböző, érdekes szobrokat kapunk. Például a 2. és 3. ábrán látható építmények a Yosemite Nemzeti Parkban, illetve a svájci hegyekben megfigyelt sziklaképződményekre emlékeztetnek.

Cutting and Stacking I-Beams Cutting an I-Beam A long I-beam can be cut into shorter modules by cutting the I-Beam across the width diagonally at 45 degrees. The length between cuts is equal to the length of the diagonal cut. This results in identical modules with top in the shape of an equal-sided parallelogram.

Stacking Modules

Figure 1: Directional Gaze: Cantilever, 2011, Steel.

On the parallelogram, draw each of two lines connecting midpoints of opposite sides. These lines cross in the center of the original parallelogram and divide the parallelogram into four smaller equal sided parallelograms similar to the original parallelogram. Three modules are stacked as shown in Figure 1.

The lower module “faces” left and the middle module facing right is stacked so the front left small parallelogram of its lower surface is on the rear right small parallelogram of the upper surface of the lower module. Similarly, the top module faces left and is stacked so the rear right small parallelogram of its lower surface is on the front left small parallelogram of the upper surface of the middle module. I think of the I-Beam modules as “gazing” to the left or right, as well as having a cantilever effect; hence the title.

Two other examples of sculptures constructed by stacking IBeam modules are shown in Figures 2 and 3. The sculpture in Figure2 reminded me of rock faces in Yosemite National Park.

The zig-zag pattern of the sculpture in Figure 3 reminded me of the zig-zag train ride up the Eiger mountain in Switzerland.

Figure 2: Yosemite, 2011, Steel.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

113

Figure 3: Eiger, 2012, Steel

Alternate Cutting and Stacking of I-Beams Instead of cutting an I-Beam on the flat side, the I-Beam can be cut diagonally across the flat sides at 45 degrees with the length between cuts equal to the length of the diagonal cut. As before, this results in modules having an equal lateral parallelogram profile, as seen in Figure 4.

Here the upper module is shifted to the left so that its right bottom edge can be joined to the left top edge of the lower module, as also shown in Figure 5.

Additional examples of cutting and stacking I-Beams are discussed in [1] and [2].

References: [1] Nat Friedman, Form, Space, and Light: Cutting and Stacking, Hyperseeing*, Spring 2012, Proceedings of SMI 2012, Shape Modelling International 2012, Texas A&M, College Station, Texas, May 22-25, 2012, Ergun Akleman, Editor.

[2] Nat Friedman, Variations on 45 Degrees and Cutting and Stacking, Hyperseeing*, Summer, 2012, Proceedings ISAMA 2012, DePaul University, Chicago, Illinois, Ergun Akleman, Editor. *Issues of Hyperseeing can be viewed at www.isama.org/hyperseeing/

Figure 4: Torso, 2012, Steel, side view.

Figure 5: Torso, 2012, Steel, alternate view.

114

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Mehrdad Garousi Freelance Fractal Artist, Iran mehrdad_fractal@yahoo.com / http://mehrdadart.deviantart.com

3D fraktálok: Tudatunk kinyíló ablaka Napjaink digitális technikája lehetővé teszi, hogy 4 és magasabb dimenziós fraktálok 3 dimenziós képeit megalkossuk. Ezek egyrészt összekapcsolják a végtelenség és komplexitás fogalmait a szabályosság és önhasonlóság fogalmaival, másrészt tudattágító esztétikát és semmi másra nem hasonlító új világot kínálnak fel a nézőnek.

3D Fractals: a Window to Psychedelism Since the representation of the first fractals using plotters by Mandelbrot in the mid '70s, 2D fractals have continuously played a significant role as one of the most mysterious and complex forms of geometric art in the following four decades. These complex images are two-dimensional representations of shapes which have fractional dimensions mathematically. It should be also mentioned that, along with 2D fractals, there also exist 3D representations of standard fractals like the Menger sponge which are constructed totally on the basis of threedimensional iterations in 3D space. But, these 3D constructed fractals had a solid look about them and a very conventional view and did not contain a compelling amount of pleasing aesthetics. That is until the possibility of experiencing fractals in 4 and higher dimensions and depicting these results as 3D environments opened a new window onto the strange journey of experiencing fractal worlds in high-dimensional environments. These 3D fractals, usually known as Mandelbulbs and Mandelboxes, apart from building bridges between concepts like infinity and complexity to concepts like regularity and self-similarity, also (by tying different dimensions together) create digital worlds resembling nothing less than new forms of digital psychedelism stemming from numbers and formulations. The unknown world of otherworldly and psychedelic aesthetics which was sought by means of purely spiritual art over the centuries nowadays can be surveyed through mathematical rules originating from the underlying layers of pure nature.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

115

Paulus Gerdes Vice-President for Southern Africa, African Academy of Sciences, Senior Advisor for Research and Quality, ISTEG-University, Boane, Mozambique paulus.gerdes@gmail.com / www.lulu.com/spotlight/pgerdes

Sásból szőtt kör alakú kosarak fogazott négyszögmintái Különböző korokban és a világ különböző pontjain a kosárfonók kitalálták, hogy a kör alakú kosarat úgy készítik el, hogy a négyzet alakú alapra kör alakú peremet rögzítenek, végül a négyszög sarkait levágják. A minták ezért a négyzet szimmetriáit öröklik.

Examples of compositions of toothed squares on twill-woven circular baskets Basket weavers in different historic periods and from various quarters of the world have found out that it is possible to make a basket tray by fastening a square mat to a circular rim. At the end of the process the corners of the mat are cut off.

The mat itself is easier to weave if the middle lines of the opposite sides of the square become visible in one way or another.

Photograph 1 shows one way of doing so: around the centre, rings of concentric toothed squares are woven, forming together four quadrants. The use of colours may reinforce the visibility of the middle lines of the square that become the perpendicular diameters of the circle.

Figure 1

Master weavers can explore this basic idea and make compositions of toothed squares, as some basket trays collected during my fieldwork in the Peruvian Amazon and in various parts of Mozambique may illustrate.

A very creative artisan-geometer may break the symmetry of the circle and invent an elliptical structure like Mulaliha, a Makhuwa basket weaver from the North of Mozambique did, as the woven container in Photograph 6 illustrates.

References Gerdes, Paulus (2000), Le cercle et le carré: Créativité géométrique, artistique, et symbolique de vannières et vanniers d’Afrique, d’Amérique, d’Asie et d’Océanie, L’Harmattan, Paris, 301 pp.

Gerdes, Paulus (2009), Geometry and Basketry of the Bora in the Peruvian Amazon, 176 pp. & Supplement: Images in Colour, Lulu, Morrisville NC, 36 pp.

Gerdes, Paulus (2010a), Otthava: Making Baskets and Doing Geometry in the Makhuwa Culture in the Northeast of Mozambique, Lulu, Morrisville NC, 290 pp. & Otthava Images in Colour: A Supplement, 68 pp.

Gerdes, Paulus (2010b), Tinhlèlò, Interweaving Art and Mathematics: Colourful Circular Basket Trays from the South of Mozambique, Lulu, Morrisville NC, 132 pp. (in colour).

116

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 2-3: Bora population (Peruvian Amazon)

Figure 4/a-b: Two basket trays made by the Changana basket weaver Bendzana (Southern Mozambique)

Figure 5: A circular tray made by a Makhuwa basket weaver (Northern Mozambique) Figure 6: An elliptical basket container made by the Makhuwa artisan Mulaliha (Northern Mozambique)

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

117

Johan Gielis University of Antwerp, Department of Biosciences Engineering, Belgium johan.gielis@ua.ac.be

Görbék, felületek és transzformációk A Gielis görbék, felületek és transzformációk egységes leírását szolgáltatják az univerzális természeti alakzatoknak, mint pl. a puhatestűek, csigák, tengeri csillagok, növényi sejtek, ágak, virágok, kristályok, elemi részecskék, galaxisok, tér-idő modellek.

Curves, Surfaces and Transformations Gielis transformations operate on a function f (λ) and all associated curves. For f (λ) constant we obtain transformations of a circle into squares, triangles, hexagons, regular polygons.

Three-dimensional examples include spheres, super-quadrics, cylinders, pyramids, cones, prisms, knots and a variety of complex shapes (which as a consequence are as complex or as simple as a sphere).

Gielis curves, surfaces and transformations achieve something remarkable in the description of natural shapes: they provide for a unified description of natural shapes like mollusks, snails, starfish, plant cells, stems and flowers, crystals, elementary particles, galaxies and even spacetime models of the Big-Bang-type, hence the name Universal Natural Shapes.

Gielis curves and surfaces provide a geometrical framework to help us understand how other organisms, confronted with different environmental conditions, experience the world, with specific geometries as the abstraction of such perception, growing from a central point.

For starfish or flowers, atoms or stars, right angles and distances are measured differently, not in our Euclidean way.

Being a generalization of the Pythagorean Theorem and of conic sections, Gielis curves and surfaces make universal natural shapes commensurable or symmetrical as conic sections, in the spirit of Greek and modern geometry.

118

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

119

Georg Glaeser University of Applied Arts, Department of Geometry, Austria gg@uni-ak.ac.at

A kísérő síkba fejthető felületek A térgörbe kísérő triédere három síkot határoz meg.

Miközben a kísérő triéder mozog a görbén, a három sík mindegyike egy-egy síkba fejthető (0 Gauss-görbületű) felületet söpör. Ilyen felületeket szemléltet az 1-4 ábra.

The Accompanying Developable Surfaces When a plane is transformed without distortion in space, it will produce a single curved surface called a developable surface, a surface with zero Gaussian curvature. A space curve is uniquely determined by the socalled accompanying Frenet frame that moves along the curve. The Frenet frame is is determined by the curve’s tangent and the corresponding osculating plane (shown in translucent green). The tangent surface (Figure 1: Tangent surface of a helix) contains the curve as a regression curve. The normal plane (translucent yellow) is perpendicular to the curve and generates the normal developable surface that does not contain the curve (Figure 2).

The most useful accompanying developable surface is the rectifying surface, generated by the plane perpendicular to the normal translucent red) and the osculating planes (Figures 3 and 4). It again contains the curve. The space curve is a geodesic line on the rectifying surface. The surface made by twisting a rectangular strip of paper is the rectifying surface for the space curve given by the strip’s midline. These considerations are very useful in architectural geometry [1].

[1] H.Pottmann et al: Architectural Geometry. Bentley Institute Press, 2007

120

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

121

Gary Greenfield University of Richmond, USA ggreenfi@richmond.edu

Reakció-diffúzió: A morfogenezis matematikai modelljén alapuló művészet A reakció és diffúzió biológiai folyamatainak számítógépes modellezése Alan Turing ötvenes évekbeli kísérleteivel kezdődött. Majd Conway sejtautomata modelljeiből kiindulva a művészek számára is megnyílt az út, hogy mintázatokat dolgozzanak ki. Az itt bemutatott alkotások, azonban ettől különböznek. Egy "genomot" társítunk minden egyes "sejthez".

Minden sejt meghatározott morfogenetikai tulajdonságokkal és örökítő-képességgel rendelkezik. Ezek a tulajdonságok határozzák meg a végeredményként előálló mintázatokat.

Reaction-Diffusion Art based on a Mathematical Model for Morphogenesis Interest in visualizing reaction-diffusion and applying it to biological modeling traces back to Alan Turing's early efforts at the dawn of computing in the 1950s to model pattern formation by chemical morphogenesis. As computing matured, thanks to Conway's game of Life, cellular automata became popular and many examples of simulating reaction-diffusion and morphogenesis1 by visualizing the states of cells in cellular automata according to various update schemes (including one based on Turing's original model2 ) were proposed. These in turn led to the creation patterns, designs and artworks based on such automata.

The artworks shown here however are of a different nature. A genome is associated to each cell and cells support a number of (virtual) substances called morphogens or transcription factors. A sophisticated calculation based on the cell's genome and the current

levels of all the morphogens is done during each update cycle to determine how those levels change and how morphogens are shared among neighboring cells.3 Visualization occurs by using three of the morphogens to determine values in RGB color space.

By assigning appropriate genomes to regular patterns of cells, a startling variety of designs and patterns can be achieved.

122

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

1 A. Turing, The chemical basis of morphogenesis, Phil. Trans. Roy. Soc. B237 (1952), 37-72.

2 D. Young, A local activator-inhibitor model of skin patterns, in Theory and Applications of Cellular Automata, S. Wolfram (ed.), World Scientific (1986), 320-327.

3 G. Greenfield, Genetic learning for biologically inspired aesthetic processes, Int. J. on Artificial Intelligence Tools 15(4) (2006), 577-598.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

123

Franz Gruber University of Applied Arts Vienna, Department of Geometry, Austria franz.gruber@uni-ak.ac.at

A gömb közelítése a platóni testek sorozatos csonkolásával Egy platóni testből kiindulva, egy lépésben vagy minden csúcsot, vagy minden élet levágunk. A vágások sorrendje, az iterációs lépések száma tetszőleges lehet, ezért ezzel az eljárással sokféle mintázatot kaphatunk.

Approximations of a Sphere by Successive Truncation of the Platonic Solids Inspired by the work of the sculptor Klaus Becker [1] we approximate the inscribed sphere of a platonic solid by applying the following sequence of truncation steps: either cutting all corners or cutting all edges of the parent solid, where the cutting depth is limited by the insphere of the initial platonic solid. Since the initial platonic solid, the truncation order and the number of truncation steps is arbitrary, a various range of patterns arises.

As an example we cut all corners of an octahedron in a first step. This yields a new solid whose edges are truncated in a second step. Finally, in a last step, all corners of the new solid are cut. For the purpose of notation we call the resulting solid O-CEC, which refers to the initial solid (octahedron O) and the applied cutting sequence corners/edges/corners (CEC). In the selection below the initial solids are indicated by T (tetrahedron), H (hexahedron=cube), O(octahedron), I (Icosahedron): [1] Klaus Becker: http://www.youtube.com/watch?v=0OTAxO5K_Ns

124

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

125

Izidor Hafner Faculty of Electrical Engineering, Ljubljana, Slovenia izidor.hafner@fe.uni-lj.si / http://matematika.fe.uni-lj.si/people/izidor/homepage/

Képzeletbeli kvázikristály ékszer Miután 1982-ben felfedezték a mesterséges kvázikristályokat, majd 2010-ben a természetben is megtalálták őket, elméletileg az ikozaéderes szimmetriájú drágakő ékszerek elkészítése is lehetővé vált.

Hypothetical Quasicrystal Jewellery With the discovery of artificial quasicrystals in 1982 [1] and with the discovery of them in the nature in 2010 [2] having icosahedral jewellery made from precious stones became possible. Although, 0.1 mm grains of icosahedrite and even much smaller artificilal quasicryslals are too tiny to be useful in crafts.

Golden rhombic polyhedra can explain aperiodic tiling with icosahedral symmetry.

There are only five convex solids of this type [figure 1]. The prolate and obtuse rhombohedron (PR, OR) were known to Kepler, the (rhombic) dodecahedron of the second kind (RD2) was discovered by Bilinski in 1960, the rhombic icosahedron (RI) was discovered by Fedorov in 1885 and the triacontahedron (RT), was discovered by Kepler in 1611. Only the last one has icosahedral symmetry. Using bricks of five basic types we can build many (non-convex) solids with a high level of symmetry. It is possible to only use rhombohedra since the other solids can be built from them [3].

Figure 1: Five convex golden rhombic polyhedra

126

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Using parts of non-convex rhombic solids having 3-fold or 5-fold symmetry as decorative stones for rings and pendants would increase amount of possible shapes in jewellery:

References: [1] http://en.wikipedia.org/wiki/Quasicrystal [2] http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedrite [3] Izidor Hafner, Golden rhombic polyhedra, Symmetry, Culture and Science Vol. 11, Nos. 1-4, 337-359, 2000

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

127

George Hart Sculptor, USA george@georgehart.com / http://georgehart.com

Számítógépek és szobrászat George Hart, világszerte elismert matematikai szobrász „Számítógépek és szobrászat” címmel tervezett és tartott kurzust a Stony Brook Egyetemen. Ez egy interdiszciplináris kurzus, amely egyesíti a matematika, a művészet, az adat-ábrázolás, a programhasználat, a gyakorlati tevékenységek és a legkorszerűbb nyomtatási technológiák alkalmazásának széles körét.

Computers and Sculpture I have created and taught a course called "Computers and Sculpture" at Stony Brook University [1]. As far as I know it still is the only course on sculpture taught in a Computer Science department anywhere in the world. This undergraduate elective course has several goals: to expose students to the theory and practice of 3D design; to expose students to a wide variety of mathematical artwork by sculptors past and present; to teach students how to see underlying mathematical ideas in sculpture; to explore a range of software tools that can be used for designing sculpture; to present a variety of computer-based technologies for sculpture fabrication; to give students an opportunity to design and build original mathematical artworks.

Figure 1: Students in Computers and Sculpture class after assembling 60-part wood construction

Between ten and twenty-five students take this course each year. Roughly half are computer science majors and the rest come from many other departments across the university. The course is always an experiment, providing opportunities for me to devise new activities and assignments. So there is no one fixed syllabus. The constants in the course include lectures surveying the history of math-based sculpture, many hands-on activities, practice with various software packages (detailed below), and original design projects. The hands-on activities vary but could include cutting Möbius strips, giant Zometool constructions [2], dipping wire knots in soap solution to generate surfaces, and complex modular origami designs. Students are required to create their own artworks using and expanding on the ideas presented in class. They then present their designs to the class for discussion and critique.

Instead of a midterm and final exam, there are a series of projects, with a capstone project at the end of the term.

An important component of the course is the hands-on fabrication of original models. I believe that one must work in depth in three-dimensional space to really understand it. Some of the organized activities use paper, cardboard, pipe cleaners, string, and/or commercial constructions sets such as Zometool, etc. As an introductory activity, I might have the class work together to assemble a geometric construction of my own design, as in Fig. 1, [3]. This provides a teaching opportunity to informally discuss the visual, aesthetic, mathematical, engineering, and economic aspects of creating sculpture. At various points in the semester, I would lead the class in specific constructions, such as how to cut a bagel into linked halves [4] or the creation of orderly tangles from paper [5].

Foundational exercises begin with assignments such as creating paper polyhedra by taping together polygons

128

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

as in Figure 2. This would then be followed with an assignment to build a more complex, original, polyhedral paper model. Another exercise is building the icosahedron structure of Figure 3 from three interpenetrating index cards and a length of string. Afterward, this is labeled with XYZ axes and coordinates for each vertex, e.g., (±1, 0, ± o), which are the basis for creating a software model of the icosahedron. It also presents opportunity to discuss the uses and abuses of the golden ratio (o) in art and correct some of the widely published misconceptions. Figure 4 shows a construction from pipe cleaners, illustrating icosahedral symmetry. One assignment, after discussing the various frieze groups and polyhedral point groups, was for students to design and build an original pipe cleaner construction illustrating a chosen symmetry group.

Figure 2: Paper Platonic solids in open-face style of Leonardo da Vinci

Many different software packages are used in the class, so students get a sense of their varying capabilities and become familiar with processes of exporting from one package and importing into another to access different available operations. Maya [6] is a fundamental tool in the course, as it provides a rich set of general purpose tools and there happens to be a site license for it at the university. A typical foundational exercise with Maya would be for students to create the interlocked cube and octahedron structure shown in Figure 5. This sort of assignment introduces many fundamental operations, such as positioning/scaling/manipulating of faces/edges/vertices, subdivision, smoothing, etc. After disucssing the notion of duality in polyhedra, students are able to generalize from this example and create an analogous structure based on the icosahedron and dodecahedron.

Figure 3: Guide for a paper and string construction of icosahedron vertices on four rectangles in space

VIZUĂ LIS MATEMATIKA Ă&#x2030;S FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

129

Figure 4: Pipe-cleaner construction illustrating icosahedral symmetry Figure 5: Rendering of interpenetrating forms based on cube and octahedron, to be built on a 3D printer.

The course is taught in a computer lab classroom, so I can demonstrate software at the front of the class and students can follow along while working on their own PC. Special purpose software packages used include: Great Stella [7] for creating polyhedral forms and unfolding them to nets that can be printed on card stock, cut out, and assembled.

TopMod [8] for more complex, freeform topological surfaces, often of high genus.

SeifertView [9] for generating knots, relaxing them, and creating surfaces that span them.

Carlo Sequin's software [10] for generating Sherk-Collins towers.

Any text editor can be used in one exercise to type in STL (STereoLithography) files of simple polyhedra. This requires understanding the representation of boundary triangles in terms of the XYZ coordinates of the vertices and editing a document with a structured format like a programming language.

I used Mathematica for a two-week module once, but I found that was not enough time for students to gain a strong command of its capabilities. So I decided it would be better to create a separate, higher-level, full semester course which focuses on algorithms for 3D design using Mathematica. That special topics course is described in [11].

The geometry produced by these programs can be converted to .stl format and fabricated on one of the 3D printers on campus. The course budget allowed for two physical models to be made for each student over the course of the semester. Figure 6 shows some of the 3D printed constructions from one class. Producing these was more difficult than it may look, because often designs appear interesting on the computer screen yet are not suitable for 3D fabrication. Overly thin parts, non-manifold boundaries, backwards-facing elements, and other problems may not be apparent on the screen, yet lead to failed fabrication. Teaching students to be aware of these issues, detect them, and correct them, is an important aspect of this course.

Now that 3D printers are becoming ubiquitous, I expect that a course like this could be replicated in many universities. Another technology I would like to incorporate in the course is laser cutting. Many styles of mathematical art can be cost effectively produced through laser-cutting, so this technology would easily fit into the course. Unfortunately Stony Brook University does not yet have a laser-cutter, so it has not been an option here, but others who may be looking to create similar courses should consider it if available.

Another aim of the course is to provide a glimpse of the wide variety of mathematical sculpture being made today. One of the assignments is for students to pick a sculptor whose work involves mathematical ideas or computer-based fabrication technologies and to give a presentation to the class on the sculptor's work and techniques. I provide a list of possibilities as a start, but students are encouraged to search the internet for other artists whose work interests them. The Bridges Conference gallery page is a good resource for this [12]. This assignment provides a basis for discussion of many styles and techniques. For example, metal casting, ceramics, wood carving, and kintting are outside the range of techniques of my direct expertise, but we could discuss them in these student presentations with the aid of internet images and videos.

130

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

In summary, Computers and Sculpture is an interdisciplinary class touching on topics of math, art, data representation, software usage, hands-on building, and state-of-the-art 3D printing technologies. Student review the course very highly and I have had a great deal of fun teaching it. Since I have left Stony Brook University, the course has been continued by other faculty, and it continues to evolve.

References: [1] G. Hart, Computers and Sculpture, http://www.georgehart.com/sunysb/325/ [2] G. Hart, "Barn Raisings of Four-Dimensional Polytope Projections," in Proceedings of International Society of Art, Math, and Architecture 2007, Texas A&M, May, 2007 [3] G. Hart, "Sculptural Presentation of the Icosahedral Rotation Group," in special issue of CRM-AMS Proceedings & Lecture Notes series, for the Groups and Symmetries Conference, AMS publications, p. 211-214.

[4] G. Hart, Mathematically Correct Breakfast, http://www.youtube.com/watch?v=dN8AwGUaqDA [5] G. Hart, "Orderly Tangles Revisited", Proceedings of Bridges 2005: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, Banff, AB, 2005.

[6] Maya, http://usa.autodesk.com/maya/ [7] Great Stella, http://www.software3d.com/Stella.php [8] TopMod, http://code.google.com/p/topmod/ [9] SeifertView, http://www.win.tue.nl/~vanwijk/seifertview/ [10] Carlo Sequin, http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/SCULPTS/scherk.html [11] G. Hart, "Procedural Generation of Sculptural Forms," in Proceedings of Bridges 2008, Leeuwarden, pp. 209-218 [12] Bridges Conference Gallery page, http://bridgesmathart.org/bridges-galleries/

Figure 6: Student projects fabricated by 3D printing

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

131

Anna Hartkopf − Andreas Daniel Matt Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, Germany hartkopf@mfo.de / matt@mfo.de / www.imaginary.org

Egy algebrai felület művészete Az esszé a SURFER program felhasználásának sokoldalú lehetőségeit mutatja be. A program algebrai formulák vizuális megjelenítésére alkalmas. Segítségével modellezhetjük a valódi világ tárgyait, például gyümölcsöket, tájakat, patchwork ágytakaró mintákat tervezhetünk, numerikus hibák révén létrehozott képeket rajzoltathatunk vele, sőt animációkat is létrehozhatunk.

The art of an algebraic surface "The Programme SURFER,1 developed by the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach for the IMAGINARY exhibition, was used in online picture competitions [1] and as a tool by many artists [2];" some with and others without any mathematical background. In the following we present a selection of artists and their work.

Playing with the programme the users sooner or later get to the point where they want to recreate a special imagined object. Valentina Galata, now student of bioinformatics in Germany specialized in remodelling real world objects with SURFER, a truly complex task. She found equations that create images of fruits, design objects or landscapes. The German artist Hiltrud Heinrich used her pictures in own math art exhibitions. The pictures are of abstract and aesthetic nature. She also replicated the design of the SURFER pictures as patterns for patchwork quilts. Kurt Ballay explores numerical errors and their beautiful outcome by creating a series of artistic images.

Torolf Sauermann, a mathematical artist, explores mathematical properties and adds new effects to the surfaces.

Bianca Violet, mathematician and film editor, created animations with SURFER, that were used at the film LPDJLQH D VHFUHW [3]. Mehrdad Garousi an Iranian artist and scientist is dealing with mathematical and digital forms. In SURFER he found new inspiration for his pictures. He published a paper about the programme and its use in math art [4]

Figure 1: Left: winner image of the SURFER competition with DIE ZEIT in 2008.

Right: Patchwork quilt of an algebraic surface shown at a math art exhibition. Both pictures by Hiltrud Heinrich.

1 SURFER. Visualization of algebraic surfaces in real-time: http://www.imaginary-exhibition.com/surfer - (2007-2012).

132

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

The idea to connect algebraic equations with its visual aspect resulted in a general motivation to explore the connection between “formulae and images” and other art forms: Students at the ITBA University in Buenos Aires developed a plugin, where names and sentences are translated into equations and thus displayed as colourful surfaces [5].

Figure 2: Images of numerical errors in the visualization with SURFER by Kurt Ballay.

Another project called SoundSurfer adds the possibility to generate sound files with SURFER. In Malaga the SURFER images were connected to fine cuisine, were unique algebraic dishes were created and presented in a photo exhibition - some of them were also offered in a restaurant.

Figure 3: An algebraic surface combined with the Droste effect.

Picture by Torolf Sauermann.

Figure 4: An algebraic cappuccino cup and an algebraic spoon, pictures by Valentina Galata.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 5: Melting Chocolate and Buddhist Lads at the Back Seat by Mehrdad Garousi.

References: [1] Ch. Pöppe. Das Ausgedachte in Sichtbares umgerechnet. Spektrum der Wissenschaft, 2008.

[2] IMAGINARY picture galleries. http://www.imaginary-exhibition.com/galerie_view.php?gal=93 [3] LPDJLQH D VHFUHW - a film of art and mathematics on elliptic curves and cryptography. http://www.cim.pt/?q=LPD-UHW. 2010.

[4] M. Garousi. Mathematical Art and Surfer. Proceedings of ISAMA. Chicago. 2011 [5] A. Rincón, M. Merchante. Experiencias en Artes Interactivas: Física – Música – Lingüística - Movimiento corporal. Proceedings of ECIMAG. Buenos Aires. 2012.

Figure 6: Picture of the exhibition “The taste of mathematics” in Malaga.Photographs by Pedro Reyes Dueñas.

133

134

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 7: Mosaic of entries at the Spektrum SURFER competition.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

135

John Hiigli Le Jardin a l'Ouest / Jardin Galerie, USA john@jardingalerie.org / http://www.johnahiigli.com/

Ars Poetica John A. Hiigli művészetében a poliéderek a természet metaforájaként, a tér panorámájaként jelennek meg, a színek pedig a transzcendens jelenlétet fejezik ki. A képek hatásának kulcsa a színrétegek átlátszósága. Az átlátszó festékrétegek egymásra helyezésével, az olajfesték korlátait közelítve éri el az alkotó a kívánt hatást.

Artist Statement Throughout the history of art, geometry has been equated with perfection of natural order, and light has been perceived as the vehicle for spiritual transport. My work continues this tradition, using polyhedra as a metaphor for nature as “spatial panorama”, and color as a mode of transcendence.

In my work transport is defined as movement of the eye through the picture plane. A visual transcendence beyond the limitations of opaque oil paint is achieved through the use of transparent pigments. Thus the viewer is provided a “window of transport” into the nucleus, and thus into infinity.

“Transparency” is the key to the visual effect. The process of layering transparent paint plays with the formal constraints of opaque oil painting. Geometric forms are perceived as flat, like the picture plane and are also perceived as volumetric. Passage or the linkage of planes, which occurs with the layering, allows the viewer to perceive geometries as both self-contained and constantly shifting. Transparency allows the eye to enter to the focal center or nucleus of the polyhedral constructions. The comprehension of form is linear and concrete, yet translucent and tenuous.

These oppositions reveal the structure as process; and process, in turn, is inseparable from time. Time makes the concept of physical and spiritual transport complete!

The work can be characterized as “pragmatic contingency”. Pragmatism suggests the determination of truth or meaning of concepts by the testing of practical results, while contingency refers to a certain acceptance of chance.

The “color” of any particular point on the picture plane is determined not by its “local” or applied color, as in any “opaque” oil painting, but rather by its interaction with all previous and all future “screens” of color, therefore according to its “position” within a hierarchy of screens.

My intent was to shatter the opaque picture plane and break through to a suggestion, at least, of infinity in glorious color, creating images of totality, images that are optical and energetic– not a “signal” or transmitter, or point of reception of “something else”– but objects, states of mind, visions, expressions that stand for what they are in and of their own unique selves.

Transparent painting is not without historical precedent. Orthodox Icon Painters made art in which light technically came from the background, from the gesso. As in my paintings, there was no source of light, which would illumine objects from one side, or from another. Venetian Renaissance Masters experimented with techniques such as under-painting and glazing. Even later Cezanne used transparency in his watercolors, where he applied thin screens (ecrans) of colors over other colors.

136

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

My abstract-geometric paintings feature the exclusive use of only transparent oil colors, including transparent white to achieve a brilliant light and perception of form.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

137

138

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Jadranka Hofman-Jablan Visiting Professor of the Musical Academy, Novi Sad (retired), Serbia jablans@yahoo.com / http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/jadrbookhtml/index.html

Rend a tonalitásban Periodicitás, rend és szimmetria a tonalitásban. A szemléletes ábrák, amelyeken a különböző színek különböző hangközöket jelölnek, segítenek észrevenni a szabályosságokat.

Order in Tonality As the result of tempering it was obtained the sequence of twelve equal semitones, denoted as 0,1,...,11 (mod 12), where the enharmonic tones are treated as the same, and where the unit is a semitone. During the history, from all modes two of them are distinguished: the major and minor. In the sense of their meaning and emotionalsymbolical role they are a well-known example of antisymmetry. According to the notation introduced, C major is represented by the sequence 0,2,4,5,7,9,11, D major by 2,4,6,7,9,11,13, C minor by 0,2,3,5,7,8,10, etc., where all that sequences are periodic mod 12. To every major corresponds the same sequence of intervals (measured from the first tone): 0,2,4,5,7,9,11, and to every minor the sequence 0,2,3,5,7,8,10. The interval i between any two tones is the number of semitones between them, so to the octave corresponds the interval 12, to the perfect fifth the interval 7, to the perfect fourth the interval 5, etc., where all tones and intervals could be reduced mod 12 (so-called vertical reduction). For a reduced interval i, its complement is i'=12-i.

By using this mathematical formalization, we may prove the remarkable fact: the tonal system major - minor is completely invariant with regard to the complementarity of intervals. The basis of all modes is the periodic tone sequence ...0,2,4,5,7,9,11... with the period 12. All particular modes are derived from it by a different choice of the beginning point. If we denote the intervals 6,5,4,3,2,1 by the corresponding colored lines, as the result we obtain the following circle diagram.

From this diagram, we can notice two important properties: (1) the singularity of the interval i=6; (2) the mirror-symmetry of the diagram.

The mirror axis contains the point 2 and passess between the points 7 and 9. We could observe here the tritone triangle with the vertices 2,5,11. Because it represents the center of instability, its vertices are not acceptable for the first tone of any tonality. Among the remaining points we have two pairs of mirror-symmetrical (this means, equivalent) points: 0,4 and 9,7. This means, that we have only two possible nonequivalent beginning points: 0 and 9. Taking the first, we obtain the sequence of the intervals 0,2,4,5,7,9,11 corresponding to all major tonalities, and from the other results the sequence 0,2,3,5,7,8,10, corresponding to all minor tonalities.

In this way, after the mutual identification of complementary intervals (i.e. by reducing all intervals between two tones to the minimal ones), we discover the basic symmetry of the major minor tonal system: its complete invariance with regard to the complementarity of intervals. As the final result, all the important parameters of the tonal system (e.g. number of joint tones for two tonalities, the chord structure of every tonal system, etc.) are symmetrical with regard to the tritone interval i=6. From this basic symmetry results a large number of symmetries in the complete harmony level of the tonal music. So, in the beginning it was the ORDER.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

139

Sándor Horváth “Petru Maior” University of Tîrgu Mureş, Romania shorvath@science.upm.ro

Pszeudoszféra emlékmű Marosvásárhelyen Bolyai János születésének 200. évfordulója alkalmából 2002-ben, Marosvásárhely egy köztéri emlékmű, a Pszeudoszféra tervének elkészítésére hirdetett meg pályázatot. A nyertes terv alkotója az alábbiakban bemutatja az emlékművet, és feltárja a tervezés néhány alapgondolatát. A koncepció lényege, hogy érzékletesen megjelenítse azt a térszemléletünkben bekövetkezett rendkívüli fordulatot, amelyet a Bolyai János felfedezése jelent; valamint, hogy kifejezze a harmóniát, amelyet a Bolyai-féle geometria teremt.

Mathematics possesses not only truth, but supreme beauty – a beauty cold and austere, like that of sculpture,... sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show.

Bertrand Russell (1872-1970)

The Pseudosphere Monument in Tîrgu Mures The 200th birthday of János Bolyai was celebrated in 2002 in Tîrgu Mureş, Romania. On this occasion the mayor’s office announced a tender for a public art memorial, called Pseudosphere, to comemorate the mathematical discovery of János Bolyai. The winning entry was signed by the author of the present essay, who wishes now to introduce the memorial briefly.

The keynote of the concept was to suggest not only the revolutionary discovery but the harmony given by the third type of possible geometry.

The monument consists of three parts. The first, a pedestal – a square based truncated pyramid – suggests the stepped development of science. The six steps symbolize also the first six days of the week.

On the seventh level – the seventh day, the level of scientific discovery – is a frame, made of stainless steel bars. The shape of the frame has the topology of a hyperbolic polyhedron which can be used to cover a hyperbolic 3-space without any gaps. The tubular structure can be viewed also as a symbol of time: the four triangles stand for four seasons and the 12 skewed squares stand for the 12 months.

Finally, in the middle part of Pseudosphere there appears as a bell, to herald the discovery.

The monument possesses a hidden feature: in a subtle way it is “connected” to the Universe. This connection becomes visible every year on November 3, at 12:06 (the moment of astronomical noon time) when the rays of the Sun illuminate an inscription engraved on an incision in a corner of the pedestal: "from nothing I have created a new, different world”, which appears in a letter sent by János Bolyai on November 3, 1823 to his father.

The following is also written on the monument: HOMAGE TO FREEDOM, TO THE UNIVERSALITY OF TRUTH AND TO THE SCIENCE OF SPACE.

140

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

References: [1] Wikipedia. "Pseudosphaera-szobor.", hu.wikipedia.org/wiki/Pseudosphaera-szobor.

[2] Sándor Kabai and Sándor Horváth, Bolyai Memorial in Marosvásárhely demonstrations.wolfram.com/BolyaiMemorialInMarosvasarhely/

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

141

Dirk Huylebrouck LUCA, Department for Architecture, Brussels, Gent, Belgium Huylebrouck@gmail.com / http://etopia.sintlucas.be/3.14/

A Fuller-kupolák kreativitása A Fuller-kupola úgy készül, hogy egy szabályos poliéder éleit részekre osztjuk, a pontokat a poliéder köré rajzolt gömb felületére vetítjük és összekötjük úgy, hogy háromszögrácsot kapjunk. Manapság, a rendelkezésünkre álló szoftverek segítségével a gömb helyett más felületek, például henger és hiperboloid felületére is rávetíthetjük a háromszögek csúcspontjait és így Fuller ötletének továbbfejlesztésével, újabb organikus építményeket hozhatunk létre.

Creativity with Fuller domes In 1926 Walter Bauersfeld built the first spherical dome: the planetarium in Jena, Germany. Still, it was Richard Buckminster Fuller’s merit to have popularized the constructions that would carry his name. He promoted the light yet strong structure, pleasingly formed by (almost) equal triangles, having the maximum volume with respect to the covering area. The domes are sometimes called ‘geodesic’, that is: ‘along the shortest path between two points on a surface’, i.e. along great circles in case the surface is a sphere, thus distributing stress across the structure. They are constructed by subdividing of the edges of a regular polyhedron, projecting them orthogonally onto the circumscribed sphere and connected them to produce a triangular grid. Since the subdivision often starts from an icosahedron, there will be 12 groups of triangles meeting by five and often many more meeting by six.

Mathematicians admire Fullers predilection for the geometric shape, but chemists too, who called the C60 molecule ‘Buckminsterfullerene’.

Figure 1: Construction of a classical Fuller dome

Looking at the many large and/or artistic domes constructed by Fuller, the visual artist may wonder what else can be done in modern times in the field. Fortunately the triangular dome construction can be easily drawn using modern software. It also works with other polyhedrons inscribed in a sphere, such as tetrahedron or the octahedron but then there will be 4 groups of triangles meeting by three (and more meeting by six) or 6 groups of triangles meeting by four (and more meeting by six). The construction even works for sets of triangles with vertices on a cylinder or on a hyperboloid (or even an arbitrary surface), since today’s software allows avoiding Fuller’s tedious spherical geometry computations. When applied for equilateral triangles with vertices on a hyperboloid, the Fuller construction reminds Fields medalist William Thurston’s idea: he found a model for the hyperbolic plane using triangles meeting by seven in some vertices (and more meeting by six) or meeting by eight in some vertices (and more meeting by six). It opens up Fuller’s idea to more ‘organic’ architecture.

142

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 2: The Fuller dome construction starting from a tetrahedron and from an octahedron.

Figure 3: The Fuller construction for a hyperboloid, applied to 18 triangles on a hyperboloid, meeting in groups of eight on the middle rim.

Figure 4: An hour glass Fuller construction with 6 groups of triangles meeting by seven, as required by William Thurston.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Slavik Jablan

143

144

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

145

Sándor Kabai Director of ELTE Mathematical Museum, Budapest, Hungary unico@t-online.hu / www.kabai.hu

A Menger szivacs modellezése Wolfram Mathematica és a StyoBlock rendszer segítségével A cikk a Menger szivacs létrehozásának egy algoritmusát mutatja be. Érdemes megjegyezni, hogy a Menger szivacs egy metszete hatágú csillagokat mutat, amint azt a New York-i Matematikai Múzeum egy modelljén is látni lehet.

Az ott kiállított modellt a könyvünkben is szereplő George Hart tervezte és 3D nyomtatással készítette el.

Modelling Menger Sponges with Wolfram Mathematica and StyroBlock System Introduction The Menger Sponge is usually defined as the three dimensional version of the Sierpinski Carpet, or described by a procedure including such terms as “divide a cube”, “take away cubes”. Actual physical models, however, are generally made by sticking identical cubes together.

Modelling The following procedure can be used to build a physical model: Align a cube to all the vertices and to all the edges of a larger cube with face-to-face connections (20 altogether), thus creating a framed cube, and repeat this operation with the framed cube, and so on. The same algorithm can be followed with computer modelling, as the author did in a the Wolfram Mathematica demonstration. In this demonstration a void within the Menger sponge is also filled. This latter can be called the negative of the Menger sponge, and it can be conveniently modelled with the author's StyroBlock system as shown in the figures.

The cross section of the Menger sponge exhibits six pointed starts, as can be seen in the Museum of Mathematics in New York designed by George Hart and also made with 3D printing.

146

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

147

Jay Kappraff Assoc. Prof. of Mathematics, New Jersey Institute of Technology, USA kappraff@adm.njit.edu

A Brunes csillag Az 1. ábrán látható csillag megtalálható többek között Pompejiben és Hercegovinában is, lévén, hogy egy olyan alapelem, amely gyakorta feltűnik ősi templomokban, megszentelt építményekben. A csillag egyik konstrukciója a 2. ábráról leolvasható. A csillag sok érdekes tulajdonságából látunk néhányat a 3. és 4. ábrán. Például a 4. ábra a piros vízszintes szakasz hét egyenlő részre történő felosztását mutatja.

The Brunes Star The Danish engineer, Tons Brunes, has studied the properties of the eight pointed star shown in Figure 1. He claims to have seen it on tapestries found in Pompeii and Hertzegovina. He felt that it was one of the templates at the basis of ancient temples and other sacred structures. I saw this star made of string in Barcelona at the home of the Spanish architect, Antonio Gaudi, and also on the ceiling of the guest shop at the great Gaudi cathedral, Sagrada Familia. Its structure is both elementary and surprising.

Figure 1

Divide a square into two half squares by a vertical line.

Place the two diagonals in each half-square . Then divide the square into two additional half-squares by a horizontal line, and place the two diagonals into each of these half-squares. Finally place its two diagonals into the original square. What emerges is the Brunes star with its internal structure as shown in Figure 2. The star has been subdivided almost entirely into 3,4,5triangles or fragments of such triangles at four

different scales . The star can also be constructed by taking four string loops subdivided into 12 equal parts.

Each loop can be bent into a 3,4,5-triangle anchored with pins. When these loops are placed properly into a square the star emerges.

Figure 2

148

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 3

Figure 4

This star has many interesting properties described in my book “Beyond Measure”. It gives an approximate squaring of the circle in both length and area. The star with its internal structure also creates equipartitions of horizontal lines at different locations into of 1,2,3,…,11,12 equal parts as shown in Figure 3. The level at which the star equipartitions a horizontal line into 7 equal parts is found at the level of the sacred cut as shown in Figure 4.

Construction: Create a Brunes star with its internal structure and color the regions to bring out its power. Some student designs (by Amakona, Martin, Crosby, and Maldonado) are shown.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Louis H. Kauffman Professor of Mathematics, University of Illinois at Chicago, USA kauffman@uic.edu / www.math.uic.edu/~kauffman

A Reidemeister mozgások Reidemeister a mozgások olyan egyszerű halmazát fedezte fel, amelyekkel megérthetjük a csomók környezeti izotópiáját a háromdimenziós térben. Reidemeister tétele azt mondja, hogy két diagram, akkor és csak akkor ábrázol környezetileg izotóp csomót, ha létezik egy Reidemeister mozgásokból álló sorozat, ami az egyiket a másikba viszi. Az 1. ábrán láthatjuk a Reidemeister mozgásokat.

On the Reidemeister Moves I. Introduction Reidemeister [2] discovered a simple set of moves on link diagrams that captures the concept of ambient isotopy of knots in three-dimensional space. There are three basic Reidemeister moves.

Reidemeister's theorem states that two diagrams represent ambient isotopic knots (or links) if and only if there is a sequence of Reidemeister moves taking one diagram to the other. The Reidemeister moves are illustrated in Figure 1.

Figure 1: Reidemeister Moves

Reidemeister's three moves are interpreted as performed on a larger diagram in which the small diagram shown is a literal part. Each move is performed without disturbing the rest of the diagram. Note that this means that each move occurs, up to topological deformation, just as it is shown in the diagrams in Figure 1. There are no extra lines in the local diagrams.

Diagrams are always subject to topological deformations in the plane that preserve the structure of the crossings. These deformations could be designated as "Move Zero". Can one recognise unknots by simply looking for sequences of Reidemeister moves that undo them? This would be easy if it were not for the case that there are examples of unknots that require some moves that increase the number of crossings before they can be subsequently decreased. Such an demonic example is illustrated in Figure 2.

149

150

VIZUĂ LIS MATEMATIKA Ă&#x2030;S FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 2: A Demon Let's say that an knot can be reduced by a set of moves if it can be transformed by these moves to the unknotted circle diagram through diagrams that never have more crossings than the original diagram. Then we have shown that there are diagrams representing the unknot that cannot be reduced by the Reidemeister moves.

II. Reidemeister's Theorem We now indicate how Reidemeister proved his Theorem.

He uses a single move - the triangle move - in three dimensional space. See Figure 3. He then projects the results of subdivided triangle moves into the plane as shown in Figure 4.

Figure 3: Triangle Move

These shadows of the triangle move in three dimensional space turn out to be generated by the Reidemeister moves.

Figure 4: Shadows

We obtain then Reidemeister's Theorem. If two links are piecewise linearly equivalent (ambient isotopic) in three dimensional space, then there is a sequence of Reidemeister diagram moves taking a projection of one link to a projection of the other.

This gives a combinatorial reformulation of the theory of knots in three dimensional space.

References: 1. L.H. Kauffman, "On Knots", Annals Study No. 115, Princeton University Press (1987) 2. K. Reidemeister, "Knotentheorie", Chelsea Pub. Co., New York, 1948, Copyright 1932, Julius Springer, Berlin.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

151

Ferhan Kiziltepe Mathematician, sculptor. aser@ferhankiziltepe.com / ferkiz@yahoo.com / www.ferhankiziltepe.com

Az ottomán kerámiaművészet és a szimmetria Az elegáns rajzolatú, dinamikusan változó mintájú csempéken a szimmetriacsoportok jól tanulmányozhatók.

A Short Essay on Ottoman Ceramic Art and Symmetry

Figure 1: Rustem Pasa mosque

The Ottoman Empire attached great importance to public works and in addition to the public works undertaken across the empire; the Ottomans also preserved the architectural works from earlier periods, which has ensured the survival of these works to date. In the light of current knowledge, ceramic art as an element of ottoman architecture is a feasible base from which to analyze symmetry groups.

In the voyage of ceramics art, particularly in late 14th and early 15th centuries, major developments in color glazing and sub-glaze painting techniques helped produce the rarest products in the history of world ceramics-making and led to the great value Ottoman ceramic art enjoys today. Ceramic tiles, used as an ornamental element on the exterior façades of architectural structures until the 15th century, started to be used in interior spaces as a result of the architectural changes that came about starting from the early 15th century. This understanding also had an impact on the patterns and the use of tiles. Infinite pattern braids comprised of Figure 2: Rustem Pasa mosque 2 small patterns and panels where a variety of compositions are pictured, all of which used in interior spaces, create a different perception of space. The ornamentation of the elements used in symmetrical order in architectural structures was also planned in accordance with this symmetry. A dynamic mobility in the pattern networks formed by the tiles should also be mentioned.

Figure 3: Topkapi Saray

152

VIZUĂ LIS MATEMATIKA Ă&#x2030;S FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Apart from their analytical value, the visual impression created by the pattern networks while one tries to view them is also highly dynamic. Other groups that constitute the pattern network position themselves in accordance with the symmetry group focused on by the viewer and elegantly draw the general network. This process shows that different movements can form the same pattern network; and at the same time is an imaginary indicator of the interchanges under certain conditions.

Figure 4: Topkapi Sarayi 2

Figure 5: Topkapi Saray, Harem Dairesi

Figure 6: Topkapi Sarayi Harem Dairesi 2

Figure 7: Topkapi Sarayi Harem Dairesi 3

Figure 8: Topkapi Sarayi Harem Dairesi 4

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

153

Dmitri Kozlov Research Institute of Theory and History of Architecture and Town-planning, Russian Academy of the Architecture and Construction Sciences, Russian Federation kozlov.dmitri@gmail.com

Különféle formák kialakítása rugalmas csomókból és láncokból Az összetett, többrétegű csomók különböző kombinációi lehetővé teszik olyan változatos felületek kialakítását, mint az ellipszoid, hiperboloid, tórusz, perecfelület.

Természetesen a csomók rugalmas anyagának fizikai tulajdonságait is figyelembe kell vennünk.

Form-Finding with Resilient Knots and Links Resilient filamentous materials, like steel wire, tend to take the minimum value of their elastic energy. Knots tied with such materials have smooth shapes with physically contacting crossings and tend to coincide with plane. The energetic stability of the resilient knots are closely associated with the values of symmetry of their diagrams. The cyclic shape of the loops provide the best distribution of the elastic energy in the knots.

The principle of cyclic periodicity may be extrapolated from the simplest knots to the more complicated ones to turn them into transformable structures. The spatial transformation of cyclic knots consists in the sliding of the contact crossings along the resilient filaments and in the twisting of the filaments around their central axis. This is because the cross-sections of the filaments must be round.

154

VIZUĂ LIS MATEMATIKA Ă&#x2030;S FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

The quantity of physically contacting crossings depends on the number of waves on the elastic closed filaments that corresponds to the bridge number of knots. The waves stretch the fragments of filaments between the neighboring crossings of the same sign: the over or the under crossings. As a result, the resilient cyclic knots work as tensegrity structures, which are stretched inside the bridges and compressed at the contact points of the crossings.

To transform a structure of the developed cyclic knot it is necessary to reduce the size of its perimeter while keeping the size of the center fixed. The distributed forces applied to the peripheral points of the flat structure cause the increase in elastic energy in the knotted resilient filaments and the structure transcends the plane and takes the form of a spherical segment. If the forcing is continued, the structure successively takes the forms of a hemisphere, a truncated sphere and finally a sphere then the size of the peripheral circumference equals the central one.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

155

156

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

The multi-layered combinations of complicated cyclic knots make it possible to create surfaces of many different forms, such as elliptic and hyperbolic, torus and pretzel ones, forms with different numbers of self-crossings, including knotted and one-sided surfaces.

The form finding properties of the steel wire models of the cyclic knots may be extrapolated to the large-sized structures of resilient materials, as well as to the structures of nanoscale.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

157

Teja Krašek Freelance artist, Slovenia tejak@yahoo.com / http://tejakrasek.tripod.com

A szimmetria szépségének felfedezése Teja Krašek művészeti kutatásai és kreatív munkái különböző szimmetriákhoz kapcsolódnak, például a Penrose lefedésekhez, kvázikristályokhoz vagy az aranymetszéshez. Képzelőerővel, intuícióval kutatja az új kapcsolatokat, struktúrákat.

A Personal Quest for Beauty of Symmetry Among other things, my artistic research and creative work is connected to different kinds of symmetry (symmetry operations), Penrose tilings, Penrose rhombs, quasicrystals, the golden mean as an element of symmetry, Fibonacci sequences, etc. With the help of reflection, imagination and intuition I try to glean new relationships, new levels of structure, new and different kinds of order in these elements and structures. Through some perceptually unstable (ambiguous) compositions I wish to emphasize the principles of the way our cognitive system works - not solely ourvisual apparatus, our brain and mind, but the entire process of perception (as a whole) as well.

Figure 1: 2 in 1 Variation (2010)

In a quasicube shape constitued of Penrose rhombs we can observe thin Penrose rhombs on a smaller scale, Penrose darts, which are part of a P2 tiling, golden mean relations, and perceptual instability.

158

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 2: X (2009)

Ten interlaced pentagonal stars forming a tree-like shape are scaled by the golden mean. They are showing selfsimilarity and forming Penrose rhombs on different scales in the middle. We can observe the richness of golden mean relations in the lines, and in geometrical shapes.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

159

Figure 3: TwinStar (2010)

In the black quasicube constitued of thin and thick Penrose rhombs we can find two interlaced pentagons in which two interlaced pentagrams can be drawn, together forming a double- or a twin-star. While observing the artwork our minds themselves complete the image in parts where the lines are intentionally absent. The image is perceived in various interpretations.

Figure 4: Whirled Heart (2010)

In the mysterious world of chaos and strange attractors a seeker can find very 'heartful' things...

Repetition of geometric shapes in Nature makes one think that in the centre of space, time and matter lies mathematics. We may also think, on the other hand, that the whole of mathematics originates within ourselves, within our minds [1].

Whether mathematics has existed forever, or whether it is but a product of man's thoughts and has therefore existed only since the appearance of mankind is a question to which there is no answer yet. Maybe it is not so important whether mathematical principles exist because we search for them, or because we find them [2].

References: 1. Krašek, M. T., Spreading Symmetry Through Artworks. In Symmetry 2000, Hargittai I., Laurent T.C., Eds. (Wenner-Gren International Series, London: Portland Press, 2002), p. 522.

2. Ibid.

160

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Patrick Labarque Architect, St Lucas Architectuur, Brussel-Gent, retired, Belgium patrick.labarque@base.be

Két rejtvény az egyenes, zárt szalagokról Egy szalag két végét néhány csavarás, vagy csomózás után ragasszuk össze, majd lapítsuk a síkba. Hogy tudjuk megállapítani az így kapott síkbeli szalag csavarásainak számát? És, ha a szalaggal egy test, például egy tetraéder felületét burkoljuk be, akkor is meg tudjuk mondani a csavarások, vagy csomózások számát?

“Two straight closed Ribbon Puzzles” A positive or right twist in a straight ribbon has the same sense of rotation as a normal screw. In the opposite case it has a negative or left twist. The signed sum of all twists gives the twist number1 of the ribbon. It can be zero, negative or positive. Sticking the ends of a straight ribbon to each other results in a closed straight ribbon.

A closed straight ribbon can be twisted and/or knotted or not (see fig.1 left). Its twist number cannot change without cutting the ribbon. It’s a topological invariant. The twists number of a closed ribbon can only be a multiple of half twists. Closed ribbons with an odd number of half twists are Moebius like strips with only one edge and one side. Two sided closed ribbons have an even number of half twists, and they have two edges.

Figure 1: Straight closed two sided ribbons in 3D and their flattened 2D ribbon diagrams.

Any closed 3D ribbon can be flattened into a 2D ribbon diagram (see fig 1 right). With an appropriate width such flattened ribbon can always be drawn so that it has at most two layers at a crossing or fold.

When a ribbon crosses entirely over another part of the ribbon it gives a rhombic double layer. It has four edgecrossings and we call it a full crossing. A fold in a ribbon produces a triangular double layer . We call it a half crossing and it has only one edge-crossing.

A closed ribbon can have different 2D ribbon diagrams but as long as we don’t cut the ribbon its twist number remains the same.

In preparation for the wrap puzzle we start first with a flattened ribbon puzzle without knots.

1 In knot/link theory the twist number is called the “linking number”. Don’t confuse the twist number with the “twist” (Tw) in the Calugareanu-White-Fuller theorem.

2 We exclude the singular case when a straight closed unknotted and untwisted ribbon is folded into a rectangular double layer. It’s not a crossing, as it has no edge crossings.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

161

Figure 2: What is the twist-number of each of the 16 ribbons?

We can find the answer by actually making the ribbons with a strip of paper. We then stretch the ribbon and bring all twists in the front part. This is called “bringing the ribbon in braid position”. After a second stretch we only have positive or negative twists in the front part, as left and right twists cancel out each other. It is now possible to find the twist number by counting the number of positive or negative twists.

But if the ribbon is knotted we can’t bring it in braid position by stretching. So we have to find another way that can be used also for knotted two or one sided ribbons.

First we give an orientation to the edges of the flattened ribbon. For a one sided ribbon the orientation of opposite edges is always the same. For a two sided ribbon we give the opposite edges the same orientation3 . We then give a plus or minus sign to an edge crossing following the convention4 of figure 3.

Figure 3: Convention for the sign of an edge-crossing.

Next we assign a twist value to each of the two kinds of ribbon crossings as follows: - A half crossing has a value of +½ or ½ dependent on the sign of its only edge crossing.

- A full crossing has a value of +1 or 1 dependent on the sign of one of its four edge crossings (as opposite edges have the same orientation, all edge crossings in a full crossing have the same sign).

Finally we add the twist values of all ribbon crossings to get the twist number of the ribbon. Figure 4 illustrates the consistency of the above conventions.

Figure 4: Changing a full crossing (left) into two half crossings (right) with the same partial twist number. The dark grey parts have been given a half turn around the horizontal axis. The twist number of this one sided ribbon is -1/2.

3 With this convention we can treat a full crossing in a one or two sided ribbon in the same way.

4 This convention ensures also that a right twist is positive and a left twist negative.

162

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

We are now ready to solve the following wrap puzzle.

Figure 5: Wrapping a straight closed ribbon around a tri rectangular tetrahedron with proportions 1x1x2.

Which one of the 16 drawings has a ribbon that is:

1) nor twisted nor knotted?

2) twisted and not knotted?

3) knotted and not twisted?

4) knotted and twisted?

5) ... ?

Bibliography: S. Jablan, R. Sazdanović, LinKnot- Knot Theory by Computer, Series on Knots and Everything Vol. 21, World Scientific, Singapore, 2007.

E. Conley, E. Meehan, R. Terry, Flat folded Ribbons, Smith College, Northampton, after 2009.

C. Feist, R. Naimi, Topology explains why Automobile Sunshades fold oddly, The College Mathematical Journal Vol. 40, The Mathematical Association of America, 2009.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

163

Haresh Lalvani Lalvani Studio, NYC, USA hlalvani@gmail.com / www.lalvanistudio.com

Xurf portrék A tükröző felületet lézerrel felvágták, minden darabját a tér különböző irányába állították. A kép így összetörik, megsokszorozódik, elfordul, kicsinyítődik, nagyítódik, invertálódik, torzul egy tükröző felületen belül. Az összetört tükör átrendezi az emberi arcot és környezetét, a kubisták módszerére emlékeztető módon.

Xurf Portraits “The ancients [1] fractured god into a thousand gods in order to understand god. To understand light you have to fracture it into a thousand colors. Haresh Lalvani has fractured structure into a thousand facets in order to understand form.” William Katavalos [2] Artists often use the mirror to explore selfreflection and self-portraiture. When they do so, they are relying on plane geometry of the mirror and physics of reflection. When the geometry of the mirror is transformed, so is the artist’s perceived reality. The curved mirrors in circuses have delighted audiences for years via this type of perceptual transformation.

The four XURF Portraits [3] shown here are all produced by a far more complex transformation than a single-piece mirror sculpture. Each sculpture in this series [4] starts off from a flat laser-cut mirrored stainless sheet pattern comprising of facets and is morphed into three dimensions by the artist at Milgo-Bufkin, the factory where this work is being produced.

The morphing process re-orients each facet differently in three-dimensional space yet it maintains the integrity of the surface as one single piece. Each facet mirrors its environment interactively in unexpected and subtle ways. Each facet reflects differently from others, and an image is fractured, multiplied, rotated, zoomed, transposed, inverted or morphed, all within a one-piece mirror surface. The reflections change as you come closer, walk away, or move in front of this fractured looking-glass.

Remarkably, the optics of a fractured mirror reconfigures the human face and surroundings in a manner reminiscent of what the cubists had achieved on canvas a hundred years ago through their mind’s eye.

164

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 1: CALLISTO, Mirrored Stainless Steel, Laser-cut, 4 feet dia., wall mounted.

(The Philoctetes Center, New York, 2008, in the exhibit ‘Self-Reflection,The True Mirror’, curator Hallie Young). Photo: Bruce Gitlin.

Figure 2: SELF-PORTRAIT (in CALLISTO) (Haresh Lalvani solo exhibition 2POINT5D+, De Castellane Gallery, Brooklyn, NY, 2010, curator Core.Formula). Photo: Hans De Castellane.

Figure 3: DEBORAH BUCK (in HYPERION 1). (Haresh Lalvani solo exhibition, xTRAD, Buck House, New York, 2011).

[1] For example, the ancient Greeks and Hindus.

[2] William Katavolos is an architectural futurist and Co-Director, Center for Experimental Structures, School of Architecture, Pratt Institute, New York.

[3] We have been using the term XURF (from eXpanded sURFace) for a new technology jointly developed with Milgo. XURF was invented by the artist in 1998 and has been in continual development with Milgo since then (US Patent 8,084,117 B2) for applications to art, design and architecture. The XURF Portraits began in 2008. The largest XURF sculpture is currently being planned for an outdoor installation in a sculpture park of an educational institution.

[4] The series comprises several other sculptures including HYPERION 1 which was used for portraits in Figs.3-5.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 4: RUTH LYNFORD (in HYPERION 1). (Haresh Lalvani solo exhibition, xTRAD, Buck House, New York, 2011).

Figure 5: MIGUEL (in HYPERION 1). (Haresh Lalvani solo exhibition, xTRAD, Buck House, New York, 2011).

165

166

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Jos Leys Mathematical Imagery, Belgium jos.leys@pandora.be / www.josleys.com

Mandelbrot emlékére Mandelbrot 2010-ben távozott el közülünk. Sok tudományos felfedezése közül leginkább a róla elnevezett halmazokról emlékezünk rá. Az eredeti Mandelbrothalmaz 2 dimenziós, de egy komplex függvénnyel az egyes pontokhoz mélységet rendelve, 3 dimenzióssá alakíthatjuk. Ezekkel a 3 dimenziós, részlet gazdag képekkel fejezzük ki tiszteletünket Mandelbrot professzor iránt.

A tribute to Benoît Mandelbrot Benoît Mandelbrot passed away in 2010. He made many contributions to science but will most certainly be best remembered for his discovery of the Mandelbrot set. This is the set of points in the complex plane that do not escape to infinity under the iterated transformation z→z2 +c.

The Mandelbrot set is easy to draw, and zooming in on its boundaries in order to explore the intricate patterns hidden there has been a pastime for many amongst us.

Many programs exist for this exploration, restricted only by numerical accuracy, and the patience of the user.

The set lives in a 2D plane, but 3D views are possible by defining a depth function for points outside of the set. This requires a function that gives an estimate of the distance from a point to the border of the set. This distance can be given for instance by 0.5|z|logf()f(z)|dz| where z is the value when the iteration stops, and dz is the derivative which is also calculated iteratively.

This produces an alternative view of the set that is very good at showing all the intricacies of the many patterns hidden in the nooks and crannies in the vicinity of the set’s border.

The figures are a tribute to professor Mandelbrot, who gave us a gem of a mathematical object, a gem that we can explore without end!

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

167

168

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

169

Mojgan Lisar Art therapist and Artist, The Netherlands mojganlisar@hotmail.com Tazhib és matematika A Tazhib klasszikus perzsa művészeti forma, amit a kalligráfia mellett alkalmaztak a könyvek díszítésére. A hagyományos perzsa Tazhib-ban számos matematikai ötletre, elképzelésre bukkanunk, olyanokra, mint például a szimmetria, a logaritmus, az archimedeszi spirál, a sokszögek és a csillag sokszögek.

Elements of Mathematics in Tazhib Tazhib (Illumination) is classical Persian art used for the decoration of treatises and books, which has played, along with calligraphy, a fundamental role in structural design. This art has an intertwining relationship with calligraphy. In medieval Persia, the highly refined art of Tazhib was developed and its tradition continues even today.

In traditional Persian Tazhib, one can find mathematical ideas and concepts such as symmetries, logarithms and Archimedean spirals, polygons and star polygons.

In the beginning, Tazhib symbols were used as signs for categorizing verses and chapters in literature. Over time, along with the changes in calligraphy, a new order of execution and presentation for illuminative art has been created. This was especially true with the rise of lithography and cursive writing, which played a role in Iranian national writing.

The root of this art, which has a fundamental connection with the portrayal of vegetables and plants, can be found in pre-Islamic Persia, especially in the decorative art created during the Sassanid dynasty.

The following is some Tazhib artwork, created by the author, which carries some elements of mathematics.

133 170

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Marcella Giulia Lorenzi − Mauro Francaviglia − Rick Doble Lorenzi: artist and researcher, University of Calabria / Francaviglia: professor of mathematical physics, University of Torino / Doble: photographer. mauro.francaviglia@unito.it / marcella.lorenzi@unical.it / rick_doble@yahoo.com

A „fotódinamizmus” geometriája a futurista művészetben és a digitális fényképezésben A futurizmus elnevezésű művészeti irányzat meghatározó személyiségei 1909-ben többek között azt tűzték ki célul, hogy ábrázolhatóvá tegyék a mozgást. A futurizmus öröksége napjaink művészetében is fontos. A digitális fényképészet lehetővé teszi a művészeknek, hogy ott folytassák, ahol a futuristák „abbahagyták”, felfrissítsenek egy innovatív látásmódot.

The Geometry of “Photodynamism” in Futuristic Art and Digital Photography 20th century physics changed our perception of the world and new mathematics emerged: this revenge of time and dynamism against space and staticness also influenced art (space-rigidity cancelled out by Impressionism, Cubism merging single views in an extra spatial dimension).

Photography was able to capture just an instant in time; cinema put these in motion.

Futurism (1909) aimed at creating new forms of imagery to express movement: abolishing perspective in a simultaneous vision. A temporal dimension adds to artworks and obliges the mind to reconstruct time from a single shot – its Aesthetic of Velocity had strict relations with photography; Bragaglia’s Photodynamism claims that artworks “should show the continuity of motion”. In its algebra of movement rigid motions are inserted in photography, introducing absolute and relative motion through a technology requiring an increasing number of shots “to capture dynamism in frozen time”.

Futurism’s heritage is important to contemporary art. Digital photography lets artists pick up from where futurists left off, helping to refresh an innovative vision. In the technique painting with light the digital camera is used as a brush: the artist chooses a subject with (multicolored) lighting to generate a light pattern; the camera is set in motion to create the desired shapes or in an erratic way to create unexpected patterns.

Bragaglia’s algebra is in this way revisited. Photography defines two kinds of motion: subject and camera movement (implicitly based on Galilean Relativity, corresponding to interchanging two frames); the resulting image is obtained by superposition.

Combining movements the artwork becomes an algebraic combination of motions. If these are rigid enough the composition algebra is Euclidean, but whenever subjects do not move rigidly larger groups of transformations enter. An exploding firework will generate dilatations; even more complicated topological transformations are obtained when shooting at

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

133 171

subjects evolving in a quite more complicated way. “Painting with Light” corresponds then to the creative way in which motion is inserted into artworks from the point-of-view of the artist without being already present in the subject. This new art born with the advent of digital photography leads therefore to dynamic abstract imagery, representing in a sense a modern way to implement Bragaglia’s ideas.

133 172

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Elena Marchetti − Luisa Rossi Costa Department of Mathematics, Milan Polytechnic, Italy elena.marchetti@polimi.it / luisa.rossi@polimi.it

Márvány díszítés a körök elforgatásával Milánó szinte minden történelmi korban fontos művészeti központ volt. 1386 körül kezdték el építeni a Duomo Katedrálist. A katedrális tanulmányozása lehetőséget ad arra, hogy ne csak a művészeti alkotások széles választékát fedezzük fel, hanem a matematikai alapú díszítéseket is. Ebben a cikkben a ciklois, epiciklois és ipociklois által létrehozott mintákkal foglalkozunk.

Decorate the marble turning the circle Milan is nowadays considered the capital of fashion and design, but it is also rich in artistic monuments. Capital of the Roman Empire (285-402), important town in the Lombard period (568774), and crucial cultural point in the Middle Ages and Renaissance, Milan discloses its historical background in an important artistic Cathedral, the Duomo (Figure 1).

The construction of the Duomo started around 1386 and was completed in the second half of the last century. The Cathedral provides an occasion to discover not only a big variety of artworks, but also many mathematical details. We will focus on some decorations related to cycloid, epicycloid and ipocycloid.

Figure 1

The cycloid is the curve traced by a point P on the edge of a circle (radius r) rolling along a straight line, without slipping or stopping.

It’s possible to detect the form of the cycloid in the dark, following the path of a lighted spot, fixed on the edge of a wheel, when a bicycle moves along a straight line at uniform angular speed.

In the XVI century, the most important period for the Differential Calculus, mathematicians and physicians like Galilei, Bernoulli, Leibniz and Newton, investigated the numerous properties of the cycloid. In the Calculus of Variations the curve comes out as solution of the brachistochrone problem: the cycloid minimizes the travel time of a bead that moves, frictionless and influenced only by the gravity, along a curve connecting two points not on a vertical line.

- The epicycloid is described by a point P on the edge of a circle γ of radius r , rolling around a circle γ−’ having radius a, a ≥ r.

Different forms of the curve depend on the ratio q = a / r : - if q = 1 the curve is known as cardioid, - if q = 2 the curve is known as nephroid (Fig.2, Fig.2a),

Figure 2, Figure 2a

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

133 173

if q = 4, 8, 20 you can find the corresponding lines in the following illustrations of Duomo decorations (Fig. 3, Fig.3a, Fig.4, Fig.4a),

Figure 3, Figure 3a

Figure 4, Figure 4a

if q = 3 / 2, the form is evident in some of the Duomo windows (Fig.5, Fig.5a).

Figure 5, Figure 5a

The hypocycloid is described by a point P on the edge of a circle γ of radius r, rolling inside a circle γ’, having radius a, r ≤ a / 2.

Different forms of the curve depend on the ratio q = a / r, q > 2: if q = 4 the hypocycloid is known as astroid, easy to find in Duomo rosewindows (Fig.6, Fig.6a), Figure 6, Figure 6a

- if q = 5 the line is related to the form of a starfish, - if q = 8 / 3 the line corresponds to other Duomo rose-windows (Fig.7, Fig.7a).

We underline that, if q = 2, the resulting curve degenerates in a diameter of γ’.

Figure 7, Figure 7a

133 174

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Kazmier Maslanka Artist, USA kazmandu@aol.com / www.kazmaslanka.com

Az ortogonális tér költészete Számtalan fizikai törvényt szemléltethetünk a derékszögű koordináta rendszerben. De hogyan szemléltessünk egy matematikai költeményt? Kazimier Maslanka Prométeusz episztolája Jóbhoz című versében az istenfélő emberek szenvedése úgy fejezhető ki, hogy az istenük gőgjét osztjuk istenük nagylelkűségével. Ez Newton 2. törvényének, vagy Ohm törvényének megfelelő összefüggés, tehát a derékszögű koordinátarendszerben történő szemléltetése is hasonló.

The orthogonal space poem The orthogonal space poem is one of the simplest mathematical structures one can use for mathematical poetry. The structure can be seen in numerous contexts in the discipline of the sciences. Examples in physics would include Newton’s second law “F = ma”, Ohms Law “E = IR”, the kinematical properties of “d = vt”, “p=mv” and E = Fd. Please notice all of the equations are in the form of ‘a’ equals ‘b’ multiplied by ‘c’ or “a = (b)(c)”. This wonderful equation states that the value of one particular concept is equal to the product of two values held by two other concepts. When this equation is depicted in a Cartesian coordinate system you can see that the latter two concepts exist in an orthogonal or perpendicular space.

The orthogonal space poem possesses the exact same form as our scientific equations however; our intention is poetic as opposed to scientific.

In 2008 the mathematical poem titled “Prometheus’s Epistle To Job” was nominated for a Pushcart Prize in poetry by the San Francisco Poetry Journal, ZYZZYVA. Since this mathematical poem is an orthogonal space poem it works well to use as an example of mathematical poetry.

In this poem Prometheus expresses to Job that the suffering of pious people is equal to the arrogance of their God divided by the level of ostentatious generosity imparted by their God. Let’s see how this poem relates to an orthogonal space using a Cartesian coordinate system. First let us put the mathematical poem in the same mathematical form as the former physics problem by solving the equation for “The arrogance of their God”. After we solve it we have "The arrogance of their God" is equal to the “ostentatious generosity of their God” multiplied by the “suffering of the pious people”.

Now let us visualize how it looks on a Cartesian system. We can assign one axis to be an axis of “Ostentatious Generosity” and the other axis to be an axis of “The Suffering of Pious People” Now we can see that the green area is the orthogonal space or “The amount of Deific Arrogance that Prometheus declares the pious people experience. See Figure 1.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

133 175

Elisabetta A. Matsumoto Princeton Center for Theoretical Science, Princeton University, USA sabetta.matsumoto@gmail.com / wwwphy.princeton.edu/~ematsumo

Minták a hengeren A természetben a rend és a káosz egyaránt jelen vannak.

A különálló szövetek és szervek rendszerét például rugalmasságuk segíti abban, hogy együttesen, szerves egészként funkcionáljanak. Használjuk ki tehát a rugalmasságot a nanoanyagok mintázatának tervezése során. Erre láthatunk példákat az ábrákon.

Patterns on a Roll Ordered regularity is a seemingly manmade phenomenon. The perfect right angles that divide up a city into a grid almost contradict the playful puffiness of a cloud or the chaotic turbulence of a river. Yet hidden almost everywhere in nature and its mathematics we find order. Think beyond the crystal, with its atoms living in neat rows of identical neighbours. What is the difference between a cube of ice and a glass of water? Order.

The entire nanotechnology industry harnesses the natural ability of different types of matter to order itself and directs them to form complex materials with specific properties. Biology is the true genius behind the design of functional ordered structures. These mechanisms must be robust – after all you are different from all other people but your cells and organs perform the same functions. Chemistry governs much of cellular functionality. But how do tissues and whole organ systems organize and function as a whole? One answer is elasticity.

Imagine being able to take advantage of elasticity to design and pattern nanomaterials.

Start with a thin sheet of rubber and cut out circular holes on a lattice. Upon mechanical compression, the holes snap shut to form a diamond plate pattern with long-ranged order.

Indeed a whole zoo of patterns can be formed from a single sheet by changing the magnitude and direction of the compression. Yet the goal of reliably creating increasingly complex patterns on ever smaller substrates with even finer features constantly recedes into the distance.

The next step is to change the topology of the membrane, from flat to cylindrical.

The additional symmetry afforded us by the periodicity of the cylinder combined with the long-range elastic interactions between the slits leads to an extended library of motifs. By capitalizing on the periodicity of the cylinder, one can upgrade from the “sheet-at-a-time” contact printing method for flat membranes to continuous-feed printing. Thereby previously unachievable patterns can be transferred to arbitrarily long flat substrates with possibly interesting optical properties.

176 133

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

133 177

András Mengyán Artist, designer and professor, Hungary amengyan@t-online.hu / www.andrasmengyan.com

A polifonikus vizuális tér A következő kérdésekre keressük a választ: lehetséges-e egyidejűleg befogadni és megérteni a természet sokarcúságát, minőségi változásait, valamint az érzékelt környezet komplexitását? Van-e vizuális eszköz, amivel ki tudjuk fejezni az egyidejű érzékelést? Háromdimenziós lehetőségeink megfelelőek-e mindezek befogadására?

Polyphonic Visual Space I have been attempting to find the answers to three questions: How is it possible (if it is possible at all) to comprehend simultaneously the multifaceted nature and qualitative changes and aspects of a perceived environment? - and Whether there is any means of visually expressing this simultaneous perception?

Whether our three dimensional base is adequate to comprehend all of these?

I have been taking the investigation from our perception point of view.

I take our perception as a complex process, which is active, kinaesthetic and occur by the internal and external stimulus in our central nerve system.

During our existence all of our sensors are active (otherwise we are not able to survive) and register the events surrounding us at the same time. Let us take a walk in a town to investigate this phenomenon. During our walk the events that are surround us are continuously changing and we are in motion, we perceive only the stimulus by sequences. However, during our walk we perceive large number of sequenced stimulus. It means that we perceive our surrounding holistically and by sequences and our brain integrates and supplements the missing information. For an overlook of a town, we need thousands and thousands of sequences, we get a qusi complex image about it where our motion is a natural part of the sequences. This supposes vision in motion and multiple-view-points of vision.

Examples and our experiences show that our biological apparatus is capable of apprehending and understanding the changes of the events happening in space and time simultaneously and one after the other.

The term Polyphony from a visual point of view means: interaction of the related elements and events at the same time and/or after one another.

Given that the greatest variety of things happen simultaneously in time and space and these continually change, the approach I take for taking into account the relation of the parts in time and space - that is thinking in terms of relationships and alternatives - is predestined.

The weighing up of the possibilities of providing an answer led me to a sort of solution, which in short I refer to as: I had to create such visual situations in my works that are situated in space and allow each of their elements to be visible from any viewpoint at the same time and after one another. Another important aspect was to generate motion by suitably organizing the elements. This lead to me to use of fragmented forms and transparency in my works.

178 133

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

133 179

133 180

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Koji Miyazaki Emeritus Professor, Dr. Engineering, Kyoto University, JAPAN miyazakiijok@gmail.com

A lehetetlen poly-kocka 3, 4, 5 dimenziós verziói A cikk részletes ábrasorozattal illusztrált leírást ad a lehetetlen 3, 4, 5 dimenziós poly-kockák konstrukciójáról.

Az eljárás általánosítható és n dimenzióba is kiterjeszthető.

Impossible Polycube four-dimensional version A four-dimensional impossible polycube may be derived by forcibly deforming the symmetric projection into 3space of a 4-polycube (Figs.1, 2). The model can be constructed in 3-space, but it would be impossible to realize in 4-space.

The central portion and the origin of the construction is derived by contracting the four-dimensional impossible 4-bar, or Scott Kim’s four-dimensional version of the Penrose tribar, consisting of four five-dimensional prisms whose bases are all 4-cubes (Fig.3). In 2-space, this central portion is subsequently surrounded by either an overlapping pattern of regular octagons and squares or by a tessellation by two kinds of rhombi gathering around a square, which is a projection of a regular tetrahedron (Fig.4). In 3-space, it appears as an overlapping stacking of rhombic dodecahedra (Fig.5), or as a stacking of two kinds of rhomboids gathered around a regular tetrahedron, which in turn is derived from a polyoctet, a three-dimensional space-filling by regular octahedra and tetrahedra (Fig.6).

Figure 1: Symmetric projection of a four-dimensional regular tetrahedron made of five three-dimensional regular tetrahedra into a regular pentagon (top) and of a 4-cube made of eight 3-cubes into a regular octagon (bottom), as line patterns in 2-space (left) and solid models in 3-space (right). CG: Motonaga Ishii.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

133 181

Figure 2: Typical symmetric projections into 3-space of a 4-cube: A rhombic dodecahedral projection embedded in a 3-polycube with its principal diagonals (left) and a projection as part of a polyoctet (right).

Figure 3: Construction of the central portion of an impossible 4-polycube in 2-space. From left to right: The line pattern of a fourdimensional impossible 4-bar; the line pattern and solid model of the central portion derived by contracting the 4-bar. The shaded polygons highlight a 4-cube, four of which are gathering around the central dark square, which is a projection of a regular tetrahedron.

Figure 4: Extended patterns of the impossible 4-polycube on 2-space shown as a line pattern in which regular octagons and squares are overlapping (left) and solid model in which two kinds of rhombi gather in a radial fashion around the central square (right).

Figure 5: Construction of the central portion of an impossible 4-polycube in 3-space. On the left, a line pattern of Kim’s four-dimensional version of the Penrose tribar, a different projection of which can also be seen in Fig.3. On the right, the central portion derived by contraction of Kim’s pattern. The central dark portion represents a regular tetrahedron.

182 133

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 6: An impossible 4-polycube in 3-space derived from a polyoctet. A small regular tetrahedron is hidden at the center. The green and yellow rhomboids are congruent and so are the blue and red ones. This construction can be expanded infinitely in the same manner. CG: Paul Patrashcu.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

133 183

István Muzsai Architect DLA MOME, Hungary muzsai@theycom.hu / www.theycom.hu

Szupermolekula, avagy a C60 Fullerénbe írt dodekaéder, ikozaéder és rombikus triakontaéder, avagy 3D dupla kupolahéj sugárszerkezettel A címben említett poliéderek kapcsolatainak elemzése a Mathematica program és a Zometool modellező készlet felhasználásával.

Nesting C60 Fullerene , Dodecahedron, Icosahedron and Rhombic Triacontahedron way to golden rhombic Zonohedral spacefilling Buckminster Fuller architect’s heritage must be exemplary for every progressive researcher-Architect.

What size of dodeca- ,icosa and rhombic triacontahedron1 can be fitted in the ’Buckyball’ (truncated icosahedron) , if it’s edge length is2 ?

A very elegant proportion is obtained if vertices of the dodecahedron are fitted to the centres of hexagonal faces of the fullerene: the edge length of the dodecahedron is f, and the edge length of its dual, the icosahedron, is f2 , where f is the golden ratio (or golden mean) Figure 1: C60 is represented with blue edges, rhombic triacontahedron with red edges, icosahedron with green surfaces, dodecahedron with pink surfaces. Golden rhombohedra are over the C60's hexagonal faces, at the vertices of the inscribed RT and dodecahedron. If a RT is placed in the C60, so that its three-fold vertices coincide with the centres of the hexagonal faces of the C60, then the five-fold vertices of RT are located above the pentagonal faces of C60. Each such vertex of RT forms a pentagonal pyramid with the edges of the pentagon.

If we mirror the sides of pyramid relative to the edges of pentagon, then we get rhombi with diagonal proportions equalling square root two. Together with the centre of hexagonal face of C60 (or a vertices of RT or dodecahedron), 3 vertices of these rhombi are atthe vertices of an acute golden rhombohedron , giving cluster of 20 A6 golden rhombohedra altogether.

1 marked with red on Mathematica model (courtesy to S.Kabai) and modelled with black nodules in ZomeTool.

2 M Ya Amusia et al 2005 J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 38 L169 doi:10.1088/0953-4075/38/10/L06

184 133

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 2: a Zome Tool model

The hexagonal face of the C60 can be regarded as a polygon that divides a large golden rhombohedron (e) into two congruent parts. The relationship of the edges of the large rhombohedron and the small rhombohedron: e/e1 = 2 f2 = 5.23607

Figure 3: Blue edge: C60, red edge: RT, big golden rhombohedron (e) and little rhombohedron (e1). The small rhombohedron is one of 20 rhombohedra forming a rhombic hexecontahedron (RH), which fits into the large rhombohedron.

This frame model can be used for dome structure, floating emergency building/construction or space capsule (Bérczi Sz.). De facto it is works as an extremely solid double shelled 3D sphere frame with tetrahedrical flexible fixtures and 12 sluices or opeions.

The following problem is arising: if all the 4 nested polyhedra are 3D hyperplane sections of a polychoron, and furthermore a golden rhombohedral cluster appears on the Triacontahedron’s vertexes. What type of dual with higher dimension can have the C60 molecule, and if it does not have, how can it catalyze to a higher dimensional hypercube lattice? According to Sándor Kabai, this solid shows connections towards to the Enneacontahedron, which polihedron appears between Russell Towle’s quasicrystalline zonohedral spacefillings. Endohedral fullerenes promise important applications in quantum computing, magnetic resonance imaging and nuclear magnetic resonance analysis examining its new effect, the distortion of the giant resonance (2) by the C60 fullerene.

Figure 4: Cluster of RHs and RTs around the surface of C60

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

185

Mike Naylor Norwegian Center for Mathematics Education, Norway abacaba@gmail.com / mike-naylor.com

Meztelen geometria: a matematika és az emberi test Napjainkban is használatosak az emberi testrészekhez kapcsolódó mértékegységek, mint a láb, arasz, öl, stb.

Emberi alakokkal újrateremtett geometriai ábrákat láthatunk, sokszögeket, poliédereket, fraktálokat kövezéseket.

Naked Geometry: Mathematics and the Human Form Hands and feet, paces and faces, polygons and legs - these are among the many body references used in measurement and geometry to this day. We often think of geometric forms in relation to our bodies, and recreating geometric figures with humans is a reminder of this human connection to mathematics.

The human form introduces a set of constraints that is exciting to work with. Finding arrangements of human figures to produce mathematical shapes and structures develops ideas both from geometry and anatomy. Further, the symmetries and asymmetries of the human body present challenges and opportunities for creativity and understanding.

Nearly every topic in mathematics provide rich ideas for exploration with the human form; areas such as polyhedra, tessellations, fractals and topology are particularly exciting.

Polyhedra are 3-d forms composed of polygons.

Constructing polyhedra using human bodies introduces a unique set of constraints that can teach us much about hidden properties and connections between these elegant geometric forms. The set of 5 Platonic solids shown here, for example, were built using the same set of human figures with pairs of figures aligned on the x-, y- and z-axes.

Construction of these models requires careful attention to the symmetries of these forms.

186

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUĂ LIS MATEMATIKA Ă&#x2030;S FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

187

Fractals can be made by repeating a set of instructions at smaller and smaller scales. They are fascinating figures and are especially surprising when created with human figures, resulting in images that are at once familiar and strange. The fractal image evokes the idea that our ancestry stretches into the past like a tree.

Tessellations, or tiling patterns come in many arrangements and finding different ways to create them with human forms is challenging and instructive. Human figures introduce new symmetries into the patterns and often result in pleasing surprises. This 6.3.4.3 tessellation (so named because each vertex is the meeting point for a 6-gon, 3-gon, 4-gon and 3-gon) starts in the center with a hexagon of alternating male and female figures, but continuing the pattern results in the surrounding hexagons becoming composed solely of male or female figures. What will happen if the pattern is continued? Mathematical art is full of such surprises.

Topology, the study of relationships, has many interesting forms that can be demonstrated with human figures. This figure demonstrates all possible connections between pairs of points in a set of 5 points, and creates a pentagram inscribed in a pentagon, a sacred symbol of the Pythagorean society.

Creating mathematical artwork with the human form reinforces a fundamental idea: mathematics is a part of us, and we are a part of mathematics. Many other images and ideas can be found at http://www.nakedgeometry.com.

188

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

189

Chris K. Palmer Artist, USA chris@shadowfolds.com / www.shadowfolds.com

Rekurzív spirális térkitöltő görbék A hagyományos kelta spirálok inspirálta spirál kompozíciókat mutat be a cikk.

Recursive Spiral Space Filling Curves On exposure to an antique HP pen plotter at the San Francisco hackerspace NoiseBridge (www.noisebridge.net) I remembered stories told to me by my friend Douglas McKenna about his days as a postscript programmer making programs to plot illustrations for Mandelbrot’s famous book about fractals. I also fondly remembered Douglas’s art and work [1] with space filling curves from the old days and still are fun to do on pen plotters because the pen never has to pick up, the art comes from one continuous line. I was inspired to produce some continuous curves to drive the pen plotter.

The first place I looked was to tradition, specifically Celtic spiral work. In my favorite book on the subject Celtic Art: the Methods of Construction by George Bain [2] traditional examples of what he calls a two-coil spiral had the properties of a single continuous line I was after. [3] They consist of one spiral rotated and copied around a circle's center as a starting point and then joined to make one spiral that starts and ends on the opposite sides of a circle.

Figure 1b-d: la Circle

1b One-

1c Two-

1d Two-Coil. More

Throughout the section on spirals, figures show circles which are used to compose arrangements of spirals for rosettes or friezes which are then filled in and transitioned to each other [4]. None of these arrangements have one continuous line so using my knowledge of spiral tilings [5] I composed some simple arrangements using this rule: Begin on one side of the bounding circle, travel through the inner circles each from one side to the opposite then out to the opposite side of the bounding circle (transition curves cannot produce kinks at the start or end of the inner circles). The first and simplest one is shown in Figure 2a, Figure 2b shows the recursive principle that is made

190

Figure 3

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUĂ LIS MATEMATIKA Ă&#x2030;S FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

191

possible when the rule is followed; the motif from Figure 2a is inserted into itself. Others composed and selected from many possibilities for aesthetic qualities of balance, and smoothness of curve transitions are shown in Figure 3 (in the rightmost column) along with construction drawings. All of the elemental motifs in Figure 3 can be inserted into each other as shown in Figure 4. Figures 5 and 6 show some of the multitude of possible compositions with recursive arrangements and combinations of the elemental motifs.

Figure 4

192

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 5

References: [1] http://www.mathemaesthetics.com [2] Celtic Art The Methods of Construction by George Bain, Dover edition 1973 [3] Ibid., p.61 plates 1-2, p.63 plates 5-6 [4] Ibid., p. 64 plate 8 [5] http://www.shadowfolds.com/whirl_spools_paper/ScurlsBridges9.pdf http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/palmer/index.html

Figure 6

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

193

Henk van Putten Sculptor, India (originally from The Netherlands) agnusandhenk@auroville.org.in / www.henkvanputten.com / www.artstable.eu

Korlátozás vagy kibővítés?

Az ideális az lenne, ha lenne egy egyszerű, erős, megfelelő alakú, jól elkészített és érdekes szerkezetünk. Ha ugyanazt a munkát más-más anyagból készítjük el különböző lesz az alkotás kisugárzása, szinte megváltozik az alkotás. A képeken látható művek nyolcad, negyed és félkör alakú, téglalap keresztmetszetű darabokból és különböző anyagokból készült alkotások.

Limitation or addition?

It is said, especially in constructive art, that "less is more".

The ideal would be a simple strong shape, well made and of interesting construction. For the past forty years I have been trying to make such works. But always a little devil deep within me was dissatisfied.

By using all kinds of materials I tried to make the work more interesting for myself. There can be no doubt that the same work when made in wood or marble or steel, is of different radiance and therefore almost a new work.

Let me give an example: "Borsalino" (the title refers to an Italian hat). Picture no 1 shows it in solid bronze.

It is an assemblage of nine pieces, six eighth-part circles and three semicircles. Glueing the nine pieces together results in a smooth shape. I made it in wood, aluminium, stainless steel and then all of a sudden I Figure 1: Borsalino, a ‘zero’ form

found the shape too solid, too dense, not spacious enough. Thus I constructed all nine pieces from steel rods, just the outlines, leaving the surfaces open. Joining the 9 elements together resulted in the shape you see in Picture 2. This shape, however, looks rather complicated.

Not "less" but "more"! The onlooker has to make an effort to discover the essence of the construction. Only at a certain angle can one see the image as shown in picture 2, which was, of course, taken from this specific viewpoint to clearly show the ‘plan’ underlying the work.

When creating a new sculpture, I look for new and interesting ways to arrange the all-time basic geometrical forms. By manipulating these given elements in a certain way, surprising and interesting new shapes can be created. For this to be possible, all the elements should Figure 2: Borsalino, a ‘plus’ form

194

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 3

Figure 4: Knot, a ‘plus’ form

have planes of similar form and size. For instance, if the circle elements were cut from a ring with a rectangular cross section, it is only possible to fit two elements together in two ways: continuing the circle, or, by turning one of the elements a half-turn, reversing the circle form. But by using a square cross section, one can join them in 4 ways: a quarter turn will also make them fit. During the design of the Borsalino, I discovered one more "fitting" possibility: if the eighth-part circles are of a certain diameter it is possible to reverse the whole element (see the sketch, picture 3). This optimal fittings process enabled me to build ‘the knot’, the kernel of the Borsalino sculpture (picture 4). Only three semicircle elements would be needed to complete the sculpture into the Borsalino shape.

Since the discovery of this optimal fitting element, I use these proportions always in my new works.

Even if the sculpture is not as “severe” looking as this one, but rather “playful”, the overall harmony of the piece is more perfect. The sculpture “Contrapunctus No 14, a completion” (picture 5) is made of 33 pieces. 21 eighth-part circles, 10 semicircles and two quarter circles.

Here the reversing of the eighth-part circle elements is visible everywhere. The continuation of the squared shape seems endless.

Figure 5: Contrapunctus, a ‘zero’ form

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

195

Quantum Cinema AR_Group: R. C.-Z. Quehenberger, P. Weibel, M. Blümlinger, H. Stachel, E.V. Samsonow, H. Rauch, H. Katzgraber, C. Magnes, N. Tasić; K. Stumreich, R. Friemel University of Applied Arts, Quantum Cinema, Vienna, Austria reniquehenberg@yahoo.com

Az ikozaéder csoport új, 3D szemléltetése Az újonnan felfedezett politóp az epitaéder bemutatása, az ikozaéder csoport további elemeinek újszerű 3 dimenziós ábrázolása.

Visualisation of the icosahedral Group in a new 3D representation We would like to introduce a newly discovered polytope, the epitahedron [1], which can be assigned as a 3-D cell of 5-D space. The lengths of their edges as well as the volumes of the epitahedra – E- (concave) E+ (convex) and both together, EE (E- : E+ = E+ : EE ) – conform to the golden ratio, thus the epitahedron tiles space in the golden ratio analogous to the Penrose Tiling in the 2D plane.

With seven faces, E± is topologically homeomorphic with one of the 34 topologically distinct convex heptahedra, with 4,3,3,3,3,3,3 faces, 6 vertices and 11 edges. Its dual E7 corresponds to the hexahedron with 5,4,4,3,3,3 faces, 7 vertices and 11 edges in the proportion of the golden ratio, and it uses the seven vertices of the icosahedron not used by E+.

The decoration is taken from the Penrose Kites and Darts decoration, since the faces of E± are the obtuse and the acute triangles are derived from the Robinson triangle decomposition of the Penrose Pattern, along with a trapezoid composed from these two types.

The fact that the faces of two intersecting epitahedra E+ in an icosahedron form a dodecahedron at the centre, and that the dodecahedron itself can be confined by 12 epitahedra, comprises a certain “hyper-Platonic” trait. [3] Inscribed in the icosahedron, a member of the epitahedra family (E+, E-, E7) is capable of uniquely marking the rotational position of the icosahedron.

Kostant uses the C60 fullerene (well known in chemistry) to visualise some special properties of the icosahedral group and some group theoretical constructions of it by means of a truncated icosahedron, its 60 vertices and the fact, that they are grouped into twelve pentagons.[4] He visualises some of his results in group theory with help of the five sets of three orthogonal golden rectangles inside the icosahedron, accordingly with the vertex denotation uvu-1v-1 etc.

By inscribing an E+ into an icosahedron, these results can be visualised without any naming at all. The position of the peak C of E+ “marks” Kostant’s pentagon and the position of the trapezoid gives an unused co-neighbour of the peak – marking a vertex inside Kostant’s pentagon. E-, EE/2 and E7 can also be used for this purpose. Adding an Eor E7 with a different peak position to an E+ gives an easy possibility to visualise 660 elements out of the PSl(2,11) group investigated by Kostant.

For Bengtsson’s mutually unbiased bases (MUBs), E+ can be used to visualise the six distinct MUBs for the case N=5 [6] – because the normals on the seven faces give six distinct directions. [5] The internal properties of epitahedra system as well as their practical usability (hyperspace element, group theory, MUB theory, geometry) may lead to a correct visualisation of elementary particle descriptions in a digital space configuration of a higher order – as a kaleidoscope of the golden number.

[1] Greek: ἐπιτά as distinct from ἑπτά, seven, cf.: ἐπι-τάφιος, belonging to the grave, and ἐπι-τάφιος, extremely expensive, its transcendental meaning reflects its properties as a 5D space cell; E± found by Renate Quehenberger (2006) and named by Raoul Quehenberger (2011) [2] constructed by Hans Katzgraber, Nov. 2011 [3] found by Christian Magnes, 2011 [4] Bertram Kostant, The Graph of the Truncated Icosahedron and the Last Letter of Galois, NOTICES OF THE AMS, September 1995 [5] Ingemar Bengtsson, MUBS, POLYTOPES, AND FINITE GEOMETRIES1 Stockholm University, Alba Nova Fysikum, Stockholm USITP 04-4 June 2004

196

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Visualisation of the icosahedral Group in a new 3D representation (Table/Picture in doc-Format) Path on Icosahedron: I_dent N_eighbor C_o-neighbor O_pposite

QC_Images: All graphics are devoloped during the Quantum Cinema Project; Artist /CAD modelling and animated graphics: Christian Magnes, Programming: Hans Katzgraber

Figure 2: Examples of digitally animated 3D geometry: Hyper-Platonic solids: Epita-Icosahedron and Epita-Dodecahadron [QC_3D Animated Geometry, artist: C. Magnes]

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

197

198

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Ljiljana Radović University of Niš, Faculty of Mechanical Engineering, Department of Mathematics, Serbia ljradovic@gmail.com

Díszítések rekonstrukciója Gyakran szükséges régészeti leletek esetén a teljes díszítés rekonstrukciója a megmaradt darabok alapján. A minta helyreállítására gyakran sikerrel alkalmazhatjuk a minták geometriai sajátosságait, a szimmetriát, periodicitást, antiszimmetriát, modularitást.

Reconstruction of ornaments In many cases, working with archaeological material, it is necessary to make a reconstruction of complete ornaments from fragments preserved in bone, on stone, ceramics or textile.

One of the possible ways is the use of symmetry where the complete ornament is extrapolated using plane symmetry groups and periodicity.

But, the theory of symmetry does not offer a simple enough explanation of how the ancient antisymmetric ornaments were constructed.

Basic design concepts and construction methods are generally derived from common crafts such as weaving, carpet-making, painting and textile manufacturing.

A large number of antisymmetric (black and white) rosettes and most of the antisymmetric friezes and plane antisymmetric ornaments can be derived in a very simple way, using just one basic element: the Truchet tile (a black-white square) or a full set of tiles derived from a square by all of its black-white colorings.

Modularity in art occurs when several basic elements (modules) are combined to create a large number of different structures. Using the modularity from every set of modules by their recombination a large collection of different ornaments can be obtained. Therefore, having a larger amount of archaeological material we may try to find the same modules occurring in different pieces and thus prove the modular basis of the ornaments in question.

The other similar antisymmetric prototiles are obtained when some simple tile, a square, rectangle or triangle, is divided in 2 or more parts. From this division, by a systematic coloring, a full set of antisymmetric tiles is derived. If a basic tile is divided in n subregions, that complete set consists of 2n two-colored tiles.

A series of interesting ornaments of that kind was found in the authors’ attempts to make a symmetric reconstruction of the patterns of the carpets from Pirot (Serbia) or much older Turkish carpets. In both cases we were able to recognize a simple set of two-colored rectangular or square elements (i.e., the complete set of antisymmetric prototiles) used as the modules. In that sense, the patterns and the details of the kilims from Pirot or Turkish carpets could be considered as a treasure preserving some much older knowledge, originating even from prehistoric times.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

199

In those and in similar Neolithic patterns we can recognize a higher level of antisymmetric organization: instead of using a particular disjoint element arranged according to the laws of antisymmetry, here we have a complete counterchange – the perfect twocolored ornaments where the figure (black part) is congruent with the ground (white part), covering a plane without gaps or overlaps.

Patterns with antropomorphic and zoomorphic counterchanging congruent tiles were created by M.C. Escher, but a large number of such geometric ornaments can be found in the Neolithic ornamental art or Precolumbian art.

Together with the counterchanges, the border of the figure/ground in the preceding image can be recognized as a Peano curve.

200

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Peter Raedschelders Belgium peter.raedschelders@scarlet.be / http://www.raedschelders.webs.com/

Szupermodulusz nyomatok Excel programban először egy 3D képet hozunk létre, majd ebből a „matematikai tájból” egy topográfikus térképet készítünk 2D-ben. A képletek és a paraméterek változtatásával színpompás, izgalmas szimmetriájú ábrákat kapunk.

Supermodulus-Prints A fractal is created by only one formula and by iteration, which means that a process is repeated over and over again. Supermodulus-prints also uses one formula with mathematical abstract design as result. In order to make it as simple as possible the very common Microsoft Excel-program was used. For making a 2D-pattern, a 3D-pattern had to be defined. So some kind of landscape with mountains was created. The second step was to make a topographical map of this mathematical landscape. With Excel this is very easy to do. The problem was to find a good mathematical formula which creates nice landscapes.

After several attempts the results stayed simple until it was decided to use the modulus-function. (MOD-function in the English version of Excel). Suddenly complicated images occurred. Therefore these prints are called “Supermodulus-prints”.

The procedure is quite simple: a 50 x 50 table was created. In each of the 2500 cells the modulus function was calculated. For example MOD( x2 + y2 ; m) with x and y the position of the cell and m a constant number.

As long as m was small the graph was very simple but very soon interference-patterns occurred. The results was certainly not as spectacular as fractals but interesting enough to continue further investigations. Sometimes an extreme small change in one of the parameters resulted in a huge change in the patterns.

For further information, please contact: peter.raedschelders@scarlet.be. The Excel-file will be sent to you, so you can make you own Supermodulus-print.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

201

202

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Encarnación Reyes Universidad de Valladolid, Departamento Matemática Aplicada, ETS Arquitectura, Spain ereyes@maf.uva.es

A sík lefedése hétszög csoportokkal Hét, vagy többoldalú szabályos sokszögekkel az euklideszi sík nem fedhető le hézag- és átfedés-mentesen.

Ha egy szabályos hétszöget bizonyos oldalaira tükrözünk, az ábrákon látható gyűrűszerű alakzatokat, klasztereket kapunk.Ezekből különböző szimmetriák alkalmazásával érdekes minták állíthatók össze.

Tiling The Plane With Clusters Of Heptagons Historically, the use of the regular heptagon has been neglected by both the mathematical and artistic community.

This is due to its non constructibility with the Euclidean straightedge and compass, among other reasons.

Concerning the geometry of tessellations, tiling the plane with a single convex polygon of seven or more sides has been proved to be impossible. Due to the fact that the interior angle of the regular heptagon, H7, is 5π/7, which is no divisor of 2π, it is impossible to form a monohedral mosaic with it. However, by joining several regular heptagons, it is possible to build aggregates of this polygon to make a tiling of the plane. In this context, such combinations are named by the author as “Clusters of regular heptagons”.

The clusters have been obtained by means of axial symmetry applied to one side of an initial regular heptagon, H7, and continuing the process just to get a closed aggregate formed by the juxtaposition of regular heptagons.

The closed sets obtained, in accordance with this criterion, will be named “Side by Side Clusters of regular heptagons”.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

203

The family so obtained is composed of one cluster formed by six heptagons, six clusters formed by ten, two clusters formed by twelve, six clusters formed by fourteen and two clusters formed by eighteen regular heptagons.

The clusters will be denoted by means of the nomenclature: Sa-b, S for Side, a refers to the number of heptagons of the aggregate and number b serves to list the clusters of the same class.

“Side by Side” Clusters can be combined to cover the plane generating astonishing tessellations by using transformations (rotation and symmetries) and, of course, as usual, two translations of independent vectors.

In the first column we show some examples of monohedral mosaics, whereas in the following ones, some other tilings -generated by two, three or four clusters- are built. The last one presents rotational symmetry.

The notation for the mosaics is MSa-b, where M indicates Mosaic or M(Sa-b +MSc-d), when more than one cluster is used.

204

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Tony Robbin USA tonyrobbinart@gmail.com / http://tonyrobbin.net

Kvázikristály Cherry Valley-ben A kvázikristályok úgy töltik ki a teret, hogy mintázatuk nem ismétlődik. A síkban ilyen például a Penrose csempézés. A Cherry Valley szoborkiállításra 2012-ben készítettem egy térbeli kvázikristályt. A burkolata triakontaéder, amit egy szabályos dodekaéder és egy szabályos ikozaéder egyesítéséből hoztam létre. Ebben egy rombikus ikozaéder, azon belül, pedig egy rombikus dodekaéder található. Az alakzat szimmetriái az árnyékon is jól tükröződnek.

A Quasicrystal for Cherry Valley Quasicrystals fill space with a non-repeating pattern; parts repeat, but not at regular intervals. In two dimensions, the pattern might be a Penrose tessellation, although other similar patterns could also be in this category. In three dimensions, the units are two skewed cubes, and in a lattice structure these can be made with rods and dodecahedral nodes. All the rods are of the same length; all the nodes are the same and in the same orientation; all the faces of the lattice are the same rhomb, and can be filled with identical plates.

For the Cherry Valley Sculpture Exhibition of 2012, I made a quasicrystal sphere. It has a triacontahedral hull – a 30 sided figure that derives from the fusion of a regular dodecahedron and a regular icosahedron. Nested inside my hull is a rhombic icosahedron and nested inside that is a rhombic dodecahedron.

Even though all the parts are standard, the sculpture has 2-fold symmetry (of squares), 3-fold symmetry (of triangles and hexagons), and 5-fold symmetry (of star pentagons), depending on the location of the viewer. This wonderful complexity of aspect is also apparent in the shadows that the sculpture casts.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

205

206

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Rinus Roelofs Sculptor, The Netherlands rinus@rinusroelofs.nl / www.rinusroelofs.nl

Csomó a hengerben Első közelítésben az 1. ábrán látható képre gondolhatunk, ha a címet olvassuk. A második ábra nem tűnik csomónak, de ha elvágjuk, a keresztmetszet már érdekes csomót mutat. A szobor, számítógépes grafikai modellezés után, fából is elkészült.

A knot in a cylinder When someone is asked to make a knot in a cylinder, most probably he will come up with something that looks like the object in Figure 1. Several sculptures are based on this idea and I think the most well known are the works of Tajiri. But this is not the only possible answer to the question. The object shown in Figure 2 may not look like a knotted cylinder but when we cut away a part of the object we can get a look at the cross-section. And then it is clear that when we follow the entire skin of the cylinder starting at the bottom part, going up to the top part, describes a nice knotted surface.

The realization of the final wooden sculpture is done by milling. Layer by layer cross-sections of the object were milled and after that glued together to make this version of a knot in a cylinder.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

207

208

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Irene Rousseau Artist, USA mosaicartforms@comcast.net / www. irenerousseau.com

A művészet mint az univerzális energia és a strukturális rend metaforája Rousseau festményei olyan szerkezeti bizonytalanságokat próbálnak megragadni, amelyekkel a valóságban is találkozunk.

Art as a Metaphor for Universal Energy and Structural Order Elements of Composition: Structure and Uncertainty 1-We live in a world of patterns Mathematical patterns can be found everywhere. In nature we recognize patterns manifest themselves in different ways and by repeating and growing or decreasing patterns are generated. Some patterns use symmetry while others combine translation, rotation and reflection. In tessellation a single cell is repeated without change. The honeycomb is a hexagonal repeating pattern. Fractal patterns exhibit selfsimilarity through magnification or scaling. Natural systems such as weather are chaotic in their behavior never exactly repeating, but they have order and regularity though consisting of similar elements.

2-The Elusive Behavior of Color Color is a perceptual experience. Perceptual experiences exist in our brain. Color depends on the absorption of certain wavelengths of light and the reflection of others. A given color also depends on the Figure 1: “Curved Space: fragments towards infinite smallness” context in which it is presented. Our perception of color and shape depends on such factors as luminance and the detection of edges, shadows, and the resolution. For example, when there are differences in luminance and the definition of edges, the shapes seem to jiggle. The shapes seem to be unstable, as they shimmer and “float”. By creating an interplay of light and color that is fragmented, the forms seem to be unstable creating a visually dematerialized space.

We find early examples of this effect in Byzantine mosaic tesserae and modern artists using dashes of painted color such as in the works of Signac, Seurat and Monet.

During the Byzantine era, the medium of mosaic (tiny cubes of glass) pieced together in a tiled pattern became a vehicle for the artistic representation of dematerializing space through the play of light. Fragmented pieces and broken color visually resulted in an uncertain, unstable space as it visually dematerialized the form. Dematerialized space exemplified the religious ideal of a transcendental space standing outside of time. The Byzantine mosaicists and contemporary painters both want to dematerialize structures to achieve an atmosphere. It is no coincidence that they arrived at similar solutions. Though the impetus for the expression served different ideals.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 2: “Honeycomb Lattice”

Figure 3: “Visual Polyphony”

209

210

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 4: “Tiled Space: patterns of change”

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

211

Reza Sarhangi President, Bridges Organization and Professor, Department of Mathematics, Towson University, USA gsarhangi@towson.edu / www.BridgesMathArt.org

Háromszög modularitás a perzsa csempézésben Az ábrák alapján követhetjük, hogy a bemutatott két iráni minta, hogy rakható ki a kiterjesztett modularitás elve alapján. Az alapmotívum két, illetve egy háromszög, amelyek mindegyike kis háromszögekből és rombuszokból áll, az első esetben ellentétesen színezve.

Triangular Modularity in Persian Tilling The first two figures present a construction method, which is an extension of the modularity concept using two triangles that each have been composed from smaller triangles and rhombuses in three colors. The actual tiling adorns a wall of the Bibi Zinab Mausoleum in Isfahan, Iran. Notice that except for the corners, the two compound triangles (girih modules) are in opposite colors. Using these two girih modules in a rotational fashion results in the pattern in this artwork.

The second two figures are also based on an extension of the modularity concept using one single triangle, which is formed from smaller triangles and rhombuses in three colors; however, the number of required colors to make the tiling is two. The actual tiling of this pattern has decorated a wall of the Jâme Mosque, Natanz, Iran.

212

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

213

János Szász SAXON Freelance artist, Hungary saxon@poly-universe.com / saxon-szasz@invitel.hu / www.poly-universe.com

Lábatlan szék a poliuniverzumban A fraktálszerű alkotások, a sakk, a szék, valamint a szék lábainak síkmetszetei kapcsán, el kell gondolkoznunk a véges és a végtelen problémáján.

Footless Chair in The Poly-Universe This poly-dimensional space-construction fires your imagination. At first sight, it looks like an unimaginable crystal structure, in which microscopic systems are connected step by step, in an indirect way to macroscopic worlds. In order to have a clearer insight into the interconnectedness of spaces or structures on various levels, I placed identically formed chess pieces on a poly-dimensional field consisting of squares (Figure 2). The proportion of the pieces should follow the different sizes of the planes. Then I constructed two wooden stools of sixteen legs each, continuing the splitting of the legs mentally (4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384... 4n-1, 4n ) up to infinity.

The infinite-legged chair is a concomitant of the poly-dimensional chess board and figures. It would not be possible to break out of the parameters of our present world unless our thoughts rested on such an object. In a physical sense, the infinite number of legs is not a very reassuring idea, since the segmentation of

Figure 5: Dimension Chess 1998, oil on wood,152×200×152 cm

Figure 1: Poly-dimensional Space 2000

214

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

the plane involves a smaller and smaller surface for the legs to support themselves on, and reaching infinity (n → ∞) the plane crumbles (Tn = [4/9]n) and the legs rest on an infinite number of points with no dimension.

Thus, getting at the infinite-legged chair we can speak about the singularity of the chair, that is, about a legless chair, or as I named it, footless chair.

Let us examine the plane sections of the footless chair in our logical experiment, and let us work with the square again. The direction of progress is inwardbuilding (interior = taking some of the area away, leaving a gap), that is, diminution of the plane, since the aim is to decompose the form. We mark the corners as connecting points again, in each of which we leave the smaller black squares obtained from the 1:3 proportion of the sides of the previous scale. We follow the same procedure several times.

It is obvious that in the first square there are four smaller T1 = 4/9 elements left, and four more elements in each of them, up to infinity... In the meantime the area of the starting square (T0 = 1) has been diminished T3 = 1 – (5/9) – (5/9) × (4/9) – (5/9) × [(4/9) × (4/9)] = 0.087792... times in three steps, while the number of squares will be D3 = 64. Furthermore, the number of squares can be calculated by the formula Dn = 4n and provided n → ∞, the remaining form will be a cloud of dust made up of infinitesimal granules, invisible to the naked eye. In this fierce fight our black square has whitened, losing the last bits of its area.

Figure 3: Footless Chair 1998, oil on wood, 30×30×∞ cm

Figure 4: Immaterial Transit 1997

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 5: SAXON Szász János, Immaterial Transit 1997, oil on wood, 152x152 cm

215

216

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Radmila Sazdanović University of Pennsylvania radmilas@gmail.com / http://www.math.upenn.edu/~radmilas/

A mozaik-rejtvény A lefedés alakzatok ismétlődő mintázatba rendezése, rések és átfedések nélkül. A hiperbolikus sík végtelen sokféle módon fedhető le egybevágó alakzatokkal. A 2. ábrán a Poincare körmodellen látunk egy hétszögekből álló hiperbolikus lefedést. A következő két ábra pedig azt mutatja meg, hogy a Vörös tenger gyöngye című alkotás (1. ábra), hogyan szerkeszthető meg a lefedés alapján.

The Tessellation Puzzle According to the Oxford English Dictionary, a tessellation is an arrangement of shapes closely fitted together, especially of polygons in a repeated pattern without gaps or overlapping. The word comes from Latin tessellare, to pave with tesserae (tiles). How does the image in Fig. 1 fit into this definition? What are the tiles? Which space are we tessellating and what are the rules?

Figure 1: Red Sea Pearls by R. Sazdanović 2011

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

217

To answer the last question first, the space we are tiling is a hyperbolic plane – quite different from the Euclidean plane, yet at small scales very similar. In Fig.1. we have used the Poincaré disk model of the hyperbolic plane, a unit disk whose boundary circle represents infinity.

The theory of tessellating the hyperbolic plane is much richer than that of the Euclidean plane [1]: there are infinitely many different tessellations and they can be determined, although not uniquely, by something called the Schlafli symbol. The Schlafli symbol of the tessellation hidden in Fig.1. is (7,7,7,7), which means that each vertex of the tessellation has precisely four heptagons adjacent to it (see Fig. 2).

Figure 2: Tessellation (7,7,7,7) of the hyperbolic plane realized in the Poincare disk model.

Figure 3: Fundamental domain (tile) of tessellation (7,7,7,7) is a quadrilateral bounded by yellow lines.

Figure 4: The pattern consists of circles of various sizes and colors.

How did we construct Red Sea Pearls (Fig. 1) from Fig. 2? The first step is straightforward for mathematicians interested in differential geometry. It consists of finding the smallest tile, formally referred to as the fundamental domain, by studying the symmetries of the given tessellation (see Fig. 3). Red Sea Pearls is obtained by choosing a specific pattern to be printed on the smallest tile (see Fig. 4). This pattern consists of disks of different sizes, white or different shades of red. The tiles are then arranged according to the symmetries of the underlying tessellation (7,7,7,7).

This determines the final appearance of the tessellation.

Red Sea Pearls shows how, in creating tessellations, mathematics and art interact to produce a piece which engages the creator's and viewer's analytical and creative sides.

References [1] J.H. Conway, H. Burgiel, C. Goodman-Strauss,’The Symmetries of Things’ AK Peters/CRC Press 2008.

[2] R. Sazdanovic and M. Sremcevic, Tessellations of the Euclidean, Elliptic and Hyperbolic Plane, Symmetry: Art and Science, 2 (2002) 229–304.

[3] R. Sazdanovic and M. Sremcevic, ’Hyperbolic Tessellations by tess, Symmetry: Art and Science (The Quarterly of ISIS Symmetry), 1-4 (2004) 226–229.

[4] R. Sazdanovic and M. Sremcevic, ’Tessellations of the Euclidean, Elliptic and Hyperbolic Plane’, MathSource, Wolfram research 200 http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/4540/ [5] I. Knezevic, R. Sazdanovic, and S. Vukmirovic ’Basic Drawing in the Hyperbolic Plane’, MathSource, Wolfram research 2002 http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/4260/

218

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Bogdan Soban Free generative artist, Slovenia bogdan@soban-art.com / www.soban-art.com

CREATOR – szabálytalan formákat létrehozó matematika A geometriai absztrakció nagyon népszerű módszer a művészek számára önmaguk kifejezésére. De az az igény mindinkább fontossá vált, hogy olyan programot fejlesszünk ki, amely ugyan absztrakt képet készít, de emlékeztet arra, ahogy a művész a közönséges ecsettel fejezi ki képzeletét. Erre fejlesztettem ki egy programot.

CREATOR – Math Produces Irregular Shapes I have been developing my Generative Art Project, writing programs which use math to produce geometrical abstractions. Images are composed of colored points, lines, curves and polygons. The composition, colors and other elements of the image are selected randomly. In the beginning I was satisfied with the results but all the images were recognizable as simple computer products. Naturally geometrical abstraction is a very popular way for the artist to express himself in the world. But the idea to develop a program which could create an abstract image that recalls the artist's imagination realized with a common brush was more and more present. How to do this using math which is perfectly exact? The solution was found in connection with mathematical formulas (algebraic, trigonometric and logarithmic expressions) and variables produced by a drawing process.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

219

220

VIZUĂ LIS MATEMATIKA Ă&#x2030;S FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Putting together all my previous experience I developed in the year 2004 a Visual Basic program (80 KB of source code and 240 KB of exe version), a typical modular structure with no use of any library routines and which can be run on any MS Windows version. The program consists of five functional parts or sections, which are executed during every program cycle. In the first section the gene code is defined. The gene code consists of about 60 different variables, which get their random values and have an important influence on the final result. In the second section the main controlling parameters (procedure path, type of primary coloring algorithm, type of secondary coloring algorithm, the drawing mode etc) are randomly defined. The third part has 240 coloring algorithms (primary) and the fourth part has additional 20 coloring algorithms (secondary). The result of both levels of coloring algorithm becomes the color of the elaborated pixel. The last section has a function to draw pixels on the selected position on the screen. So the program can create 4.800 different image types. Repeating the same type the program generates images, which are always different but recognizable as members of the same group.

A typical formula to define the pixel color: ba = Log(Abs(ob67 + x)) * Log(Abs(rmin * Cos(ba + r5))) * Log(Abs(y + Tan(rmax))) The demo version of CREATOR is available for download from www.soban-art.com/hyperp02.exe. Naturally all generated images are not aesthetically pleasing and some of them look geometrical. After finding a beautiful one it is possible to repeat the same type and to save the best one on disc C: or D: under the name Tyyyymmddhhmmss.bmp.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

221

Vera W. de Spinadel Full Emerit Professor at the University of Buenos Aires, Argentina vspinade@fibertel.com.ar, / http://www.maydi.org.ar

Fraktál művészet és színezési algoritmusok Amikor a 80-as, 90-es években a matematikai képletek már nem hoztak létre lényegesen új fraktálokat, akkor fordult a matematikusok figyelme a különböző „színezési algoritmusok” felé. Az „orbit traps” a színezési algoritmusok legnagyobb halmaza. A komplex sík különböző alaptartományaiból kiindulva, rendkívül meglepő ábrákat kapunk. Ezekből látunk a képeken néhányat.

Fractal art and coloring algorithms An object is called a fractal when its border, its surface or its internal structure shows a self-similar constitution. The name fractal was introduced by the polishmathematician Benoît B. Mandelbrot in the ´70s. They appeared when studying the behavior of nonlinear iterative equations by using computer software even in such simple cases as the quadratic one which produces Mandelbrot´s set depicted in Figure 1.

After a first period during the ´80s and ´90s of the creative production of fractal images, considering all sorts of nonlinear equations, the mathematical formulas did not produce on the computer screen “relevant” new fractals.

Then, some mathematicians began to consider the possibilities of interpreting the old formulas through “color algorithms”.

Orbit traps are one of the largest sets of coloring algorithms because they provides an enormous variety of options. The idea is to choose a region T of the complex plane (computer screen), start at a point z0 and analyze the relationship between the zn values and T, stopping the iteration when the zn falls inside the trap, and coloring based on the distance to T. Mathematicians and programmers began with regions like triangles, ellipses, astroids or rectangles situated at different zones of the complex plane and the figures obtained were really astonishing.

222

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

For example, Javier Barrallo and Vera W. de Spinadel (2001) have obtained the following artistic designs in black and white (Figs. 2, 3, 4. 5, 6 and 7). All of them correspond to the quadratic transformation, where a special technique has been used to get white and black images.

More exotic artistic designs were obtained by the same authors, using colored images that are shown in the following figures: Figs. 8, 9.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

223

Milena Stavrić − Albert Wiltsche Graz University of Technology, Institute of Architecture and Media, Austria. mstavric@tugraz.at / wiltsche@tugraz.at / www.iam.tugraz.at

A sík díszítések térbelivé alakítása A síkbeli mintából úgy készítünk térbelit, hogy egy, vagy több térbeli geometriai felületet használunk, mint például a hengeres, vagy hiperbolikus paraboloid. Parametrikus programozással lehetőség adódik arra is, hogy a díszítések alakját lépésről lépésre megváltoztassuk, miközben a felület topológiáját megtartjuk. Az így kapott díszítéseket az építészetben homlokzati elemként is lehet használni.

Spatializing Flat Ornaments The seventeen different and well known wallpaper groups are the starting point of the design of three-dimensional ornaments. Two-dimensional ornamental patterns have been of great interest in different cultures throughout the centuries. There also exists a long mathematical tradition in investigating this topic.

Ornamental patterns consist usually of the same cell which reproduces itself over the whole. There exists also the possibility to generate special pattern-cells which belong to different wallpaper groups. So it can be employed and assembled in different ways.

There are different possibilities to spatialize a two-dimensional ornament. One possible way is to produce single or different modular pattern-parts and to assemble them into a complex ornamental structure. To spatialize the two-dimensional parts one or more different geometric surfaces can be used. Depending on the strategy cylindrical surfaces or hyperbolic paraboloids are mostly suitable. If the parts are programmed parametrically it is possible to change the shape of the ornament step by step by preserving the topology.

224

VIZUĂ LIS MATEMATIKA Ă&#x2030;S FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

To get a material thickness we can simply extrude the spatial ornaments in an appropriate direction.

A further way to spatialize an ornament is mapping it onto a double curved surface which can be accomplished by means of the uv-parameter-plane.

This kind of generation provides in every case unique parts where each is different.

The construction of modular ornamental parts provides the advantage of keeping the costs down when fabrication is needed. Simultaneously it offers a big variation in design. Ornaments on a double curved surface are however unique and are of big interest for designers. Spatialized ornaments can be used as facade elements and more generally in the architectural context.

See Figure 1-5

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

225

Lajos Szilassi Mathematician, Hungary. szilassilajos@t-online.hu / http://hu.wikipedia.org/wiki/Szilassi_Lajos

Poncelet záródási tétele 200 év távlatából Egy fiatal francia hadmérnök Jean-Victor Poncelet 1812-ben a borogyinói csatában orosz fogságba került. Szenvedései közepette geometriával kezdett foglalkozni, többek között megvetve a projektív geometria alapjait.

Ekkor született a nevéhez fűződő un. záródási tétel, miszerint ha van olyan zárt töröttvonal, melynek minden csúcsa egy körre (vagy ellipszisre) illeszkedik, valamint minden éle érint egy másik kört vagy ellipszist, akkor a külső kör bármely ponja lehet egy ugyanilyen tulajdonságú sokszögnek az egyik csúcsa. A sokszög csúcsainak a számát növelve egyre nehezebb feladat két olyan kört találni, még számítógéppel „kitapogatva” is amely eleget tesz ezeknek a feltételeknek. Ebben rejlik az itt bemutatott képek matematikai értéke: ez a 60 ill. 128 oldalú Poncelet-poligon emlékeztet bennünket arra, hogy szörnyű körülmények közepette is születhetnek örök értékű csodálatosan szép matematikai eredmények.

Poncelet’s Closure Theorem after 200 years Napoleon’s army suffered a decisive defeat in 1812 close to Moscow. This is why the 24 years old French military engineer Jean-Victor Poncelet became the prisoner of war in Saratov after walking 800 km in the very cold winter of 1812-13. He started to think of his recent university studies and turned his attention towards the wonderful world of mathematics to easy his physical pain, although he had no opportunity to visit libraries or meet fellow thinkers. Among many things, he created the term of ideal points, he devised a special projection, the polarity, thus laying the foundations of the projective geometry. The closure theorem named after him was discovered during his imprisonment, too. He published it in1822, after returning home.

I would like to show an example of the use of this theorem in commemoration of the terrible events taking place 200 years ago.

Let k and t be circles, where t is inside k. Draw a chord A0A1 of the circle k starting from any point A0 of circle k, which is a tangent to circle t. Draw another chord A1A2 starting from A1 having the same property. We can continue this procedure to produce a broken line A0 A1 A2 …An consisting of different segments. According to Poncelet’s theorem, if A0 = An for any n, then the broken line will also close after the same number of steps when started from any point of circle k.

If the radius of each circle is selected randomly, then we can calculate the distance d of the centers of circles only in case of n=3 and n=4. If n>4, then we have to use trial and error method with the help of a computer. The problem becomes more and more difficult by the increase of n, when we face a characteristic property of chaos theory: the points A0 and An might be very far from each other even when the change in d is very small.

This mathematical feature is hidden in the illustration, where a 60-sided and 128-sided Poncelet polygon can be seen.

226

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

227

Koos Verhoeff − Tom Verhoeff Eindhoven University of Technology, Department of Mathematics and Computer Science T.Verhoeff@tue.nl / wiskunst.dse.nl

Ferde illesztésű fraktál fák A ferde illesztésű bináris fák néhány példányának elkészítését írjuk le. A felhasznált alapelem, amelynek különböző méreteit illesztjük össze és a többgenerációs eredmények az ábrákon láthatók.

Mitered Fractal Trees Take an upright beam with a 1:√2 rectangle as cross section. Cut it at 45° to obtain a square cut face P1 P2 P3 P4 at the bottom. At the top, cut it twice, from opposite sides, at 45°, creating a `roof' consisting of two smaller square panels P6 P7 P10 P9 and P8 P5 P9 P10. Using this piece, you can construct all kinds of fractal binary trees: take a version of the piece scaled down by a factor √2 and glue its base onto one of the roof panels (four possibilities; eight if you also allow reflection). Do the same for the other panel, and repeat for the roofs of the smaller pieces.

The picture at the top shows a bronze mitered fractal tree with twelve generations, involving 212 - 1 = 4095 pieces.

No two branches point in the same direction, giving it a chaotic appearance.

The bottom picture shows a wooden mitered fractal tree, constructed from a beam with a square cross section. It has nine generations, involving 29 - 1 = 511 pieces. The cuts are now 1:√2 rectangles. The roof is rotated over 90° degrees compared to the piece shown above. In the resulting tree, each branch points in one of only six directions, giving it a highly organized appearance.

228

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

229

Eva Vohlleben Muthesius Kunsthochschule Kiel, Germany eva_wohlleben@yahoo.de / www.korpuskel.de

A művészet és a kutatás találkozása (forma és módszer kölcsönhatása) Egyes térbeli papírmodellek készítése során felmerülő elméleti megfontolások.

Art and Research Interactions between Shapes and Methods A three-dimensional object is not fully perceived until you start interacting with it. A spatial object has this advantage over the uniplanar, in that it can be manipulated by hand which includes viewing it from different perspectives all at once.

Seeing an object from different angles can be confusing, since some projections may seem contradictory. Full understanding of the 3D object may require opening the mind to various options, seeing the pieces and putting them together.

Research in science always carries a risk of failure. Those unwilling to take risks will reproduce known concepts. The attempt to paint a good picture leads to a boring picture. Art is often though of being all about beauty and appeal. No! Art is like throwing ourselves into the unknown, letting the method shape the idea.

The figures show paper models of "corpuscle" compounds. At the base of research is curiosity – to see how structure evolves from almost nothing: a number, space and time. Creating flexible, hands-on models is the key, unlike the traditional polyhedra or 3D-printed art. The choice of materials is crucial as they may need to be distorted and manipulated, but the main idea is to build a coherent structure, consisting of corpuscules, with a clear logic behind yet with potentially surprising level of flexibility and range of motions. The paper models illustrate how corpuscles can evolve from flat to 3D and back, continuously changing their shape and volume. The flexibility of a each unit depends on the overall design. The design makes "little corpuscles" move simultaneously, according to some unknown music, rhythm and choreography.

230

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

231

László Vörös University of Pécs, Hungary voros.laszlo@gmail.com / http://pmmik.pte.hu/felhasznalo/Voros_Laszlo_dr_/publikaciok/

A hatdimenziós kocka árnyékának művészete A több-dimenziós kockák 3-dimenziós modelljeit és azok 2-dimenziós árnyékait sokféleképpen szerkeszthetjük meg. A modellek megfelelő kombinációja térkitöltő mozaikokat alkothat. A modellek árnyékai és a mozaikok metszetei végtelen lehetőséget nyújtanak síklefedő mozaikok létrehozására. A 2-dimenziós kép gyakran lehetetlen alakzatokat mutat, amelyeket 3-dimenzióban nem lehet megépíteni.

Art in Shadow of the Six-dimensional Cube A three-dimensional model of greater than three-dimensional cubes can be constructed on a rotational axis and on the joining central point in symmetrical form, as a so-called zonotope. An orthogonal projection of this kind of model of the six-dimensional cube shows an image, similar to the projection of the cube in the direction of its diagonal, perpendicular to the plane of the image. The appropriate projection of any derived lower-dimensional cube maps to a network of triangles, joined by their sides, in this method. The wireframe, axonometric shadows of a cube can be visually interpreted in two ways. The lacking eighth of a cube shown in isometric-axonometric projection as a solid, is perceived either as a negative or a positive form. These Figure 1: The model of the 6-dimensional cube phenomena are known in psychology through the experiments of Necker and Koffka.

Numerous works of art were created with this perception and interpretation phenomenon and the above discussed geometrical base structure. Two-dimensional images often show "impossible" forms, seen as non interpretable in three dimensions. We even tend to perceive objects that can definitely be reconstructed as "impossible", in cases of more complex geometrical structures, more so if the applied light effects and "distractional" portrayal tools encourage us to do so. Apparent instances can be the works of Victor Vasarely, but for us it's natural, to refer to the pictures of Tamás F. Farkas as well. Regarding the works of these artists, we can associate with Reuterswärd's and Robert Penrose's triangle and connected to this with the "impossible" staircase constructed together with Lionel Penrose. These structures were constructional bases of several pictures of M. C. Escher.

Based on all this, a spatial reconstruction maintaining the topology of the forms made up of cubes, like those hinted by the related pictures, is possible. New images can evolve by geometrical transformations of the created reconstructions.

232

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 2: Derived parts of the model

Figure 3: Spatial reconstruction of a picture of Victor Vasarely: Duo-2 1967

Figure 4: Tessellation of the reconstruction of Vasarely's picture

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

233

Figure 5: Spatial reconstruction of a cover-picture of Tamás F. Farkas

Figure 6: Spatial reconstruction and tessellation based on Tamás F. Farkas's picture: Tibet I. 1997

Figure 7: Impossible patterns with Penrosetriangles

Figure 8: Spatial reconstruction based on our models

234

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Figure 9: Parts of our two-sided impossible staircase

Figure 10: Picture of a network of our impossible staircases

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Günter Wallner University of Applied Arts Vienna, Department of Geometry, Austria wallner.guenter@uni-ak.ac.at

Elektromos mezők Az ábrákon több pontszerű töltés által létrehozott elektromos mezőt szemléltetünk elektromos erővonalakkal, amelyek néha szalagszerű formát öltenek.

A sárga pont pozitív, a piros negatív töltést jelképez, és több töltés mezőjének megrajzolásakor természetesen figyelembe vettük a szuperpozíció elvét.

Electric Fields Within the area of influence of a static electrical charge any other electrical charge experiences a force, described by the electric field. This force acts in a similar way to the gravitational force between two masses, except that two charges can either attract or repel each other: like charges repel and unlike charges attract one another. The electric field of an isolated positive charge points radially away from the charge while the electric field of a single negative charge points toward the charge.

Using the law of superposition the electric field of any number of charges is given by the vector sum of the individual fields.

Since an electric field can be considered as a vector field, common vector field visualization techniques like streamlines or streamribbons can be used to depict the disturbances in the field. Both methods have been used to generate the images on this page. Yellow spheres depict positive charges and red spheres constitute negative charges. Each streamline runs from a positive to a negative charge or to infinity and visualizes the trace of a charged particle moving through the field. An introduction to electric fields can, for example, be found in [1] and vector field visualization is treated in [2].

[1] Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics, 3rd Edition, Benjamin Cummings, 1999 [2] Johnson , Christopher R. and Hansen, Charles D., Visualization Handbook, 1st edition, Academic Press, 2004

235

236

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

237

Figure: SAXON Szรกsz Jรกnos, Rota-Rota Square2002, oil on wood, 110x120 cm