Apostila de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Série Laboratório Virtual e Modelo Multiplicador por grupo Volume 2

Tecnologias educativas [recurso eletrônico]

geometria analítica e álgebra linear

Eliakim Machado Nadia Sanzovo (Organizadores)

Pato Branco UTFPR Câmpus Pato Branco 2017

Reitor: Luiz Alberto Pilatti. Vice-Reitora: Vanessa Ishikawa Rasoto. Diretor do Câmpus Pato Branco: Idemir Citadin. Editor Científico da Editora UTFPR Câmpus Pato Branco: Jorge Jamhour.

Série “Laboratório Virtual e Modelo Multiplicador por grupo” Volume 2

Tecnologias educativas [recurso eletrônico]:

geometria analítica e álgebra linear Eliakim Machado Nadia Sanzovo (Organizadores)

Pato Branco UTFPR Câmpus Pato Branco 2017

© 2015 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Pato Branco. Esta obra está licenciada com uma Licença Creative CommonsAtribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional. Esta licença permite o download da obra e o compartilhamento desde que sejam atribuídos créditos ao(s) autor(es), mas sem a possibilidade de alterá-la de nenhuma forma ou utilizá-la para fins comerciais. Disponível também em: <http://pb.utfpr.edu.br/labvirtual/inicio.html>.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação T255 Tecnologias educativas [recurso eletrônico]: geometria analítica e álgebra linear. / Eliakim Machado, Nadia Sanzovo (orgs.). – Pato Branco: UTFPR Câmpus Pato Branco, 2017. v. 2; iv, 337 p.: Il. – (Laboratório Virtual e Modelo Multiplicador por grupo)

ISBN: 978-85-99584-09-5 1. Tecnologia educacional. 2. Educação – Metodologia. 3. Inovações educacionais. 4. TIC 5. Ensino – Meios auxiliares. I. Machado, Eliakim, org. II. Sanzovo, Nadia, org. III. Título. IV. Série. CDD (23. ed.) 372.3 Ficha Catalográfica elaborada por Maria Juçara Vieira da Silveira CRB9/1359 Biblioteca da UTFPR Campus Pato Branco

Organizadores Eliakim Machado UTFPR/ Pato Branco – Brasil

Nadia Sanzovo UTFPR/ Pato Branco – Brasil

Colaboração Científica Joaquim José Jacinto Escola

Colaboração Técnica Anderson Mendes

UTAD/ Vila Real – Portugal

Bacharelado em Engenharia da Computação

Felix Penna Licenciatura em Matemática

Composição e diagramação final Jorge Jamhour LabEditor – UTFPR Câmpus Pato Branco

UTFPR Câmpus Pato Branco Via do Conhecimento, km 01 Pato Branco – PR 85503-390

Série LABORATÓRIO VIRTUAL E MODELO MULTIPLICADOR POR GRUPO Perspectivas para o desenvolvimento de competências formativas, utilizando as Tecnologias da Informação e da Comunicação – TIC. Organização do e-book:

Eliakim Machado

Organização da série:

Nadia Sanzovo – UTFPR/ Pato Branco – Brasil

Colaboração Científica:

Joaquim José Jacinto Escola – UTAD/ Vila Real – Portugal

Colaboração Técnica (Pesquisa, seleção e lincagem de material Web):

Anderson Mendes – Bacharelado em Engenharia da Computação Felix Penna – Licenciatura em Matemática

Como citar (NBR-6023):

MACHADO, Eliakim; SANZOVO, Nadia. (org.). Tecnologias educativas [recurso eletrônico]: geometria analítica e álgebra linear. Série Laboratório Virtual e Modelo Multiplicador por grupo, v. 2. Pato Branco: UTFPR. 2017. 337 p. ISBN: 978-85-99584-09-5 Disponível em: <http://pb.utfpr.edu.br/labvirtual/inicio.html>. Acesso em: dd mmm AAAA.

Apresentação Pensar a educação em todos os níveis na Sociedade Digital significa fazer mudanças, reestruturações curriculares, de espaços e tempos da aprendizagem, de modo a aproveitar o potencial humano de quem ensina, aprende e investiga, utilizando para tal as melhores pedagogias e tecnologias disponíveis. A emergência de uma nova cultura digital, aliada à evolução tecnológica permite à educação, nesta proposta, educação regular, aliar as possibilidades tanto da educação a distância –EAD – quanto da presencial, em regime colaborativo e em rede.

Este volume e-book – Geometria Analítica e Álgebra Linear – faz parte da Série “LABORATÓRIO VIRTUAL E MODELO MULTIPLICADOR POR GRUPO” que tem por finalidade dar suporte aos estudantes dos cursos que contemplam a disciplina e/ou disciplinas da área de Cálculo em suas matrizes curriculares na graduação. Ele apresenta os conhecimentos mínimos que são considerados essenciais no estudo do tema. Isto não significa que o estudante deva estar restrito somente ao estudo do volume, mas ao contrário, ele é tão somente o ponto de partida na busca de um conhecimento mais amplo e aprofundado sobre o assunto. Assim como os demais volumes da série apresenta uma bibliografia, com indicação de obras impressas e obras virtuais que deverão ser consultadas à medida que se fizer necessário. As listas de exercício, propostas por cada professor, auxiliarão o estudante a tornar-se mais autônomo, responsável, crítico, capaz de desenvolver sua independência intelectual. Caso ela mostre que as competências e habilidades indicadas nos objetivos não foram alcançadas, ele deverá estudar com mais afinco e atenção o tema proposto, reorientar seus estudos ou buscar ajuda dos monitores, professores, especialistas e colegas numa perspectiva de metodologia ativa colaborativa. As “aulas inseridas” facilitam o entendimento do texto – o que é imprescindível quando se almeja a formação de uma visão espacial na Geometria Analítica e, desde que Salman Khan colocou suas vídeo aulas pelo YouTube e se tornou um professor assistido mais de 280 milhões de vezes, a metodologia da sala de aula invertida tem se tornado cada vez mais popular. Oferecer, pois, aos estudantes recursos para que tenham contato com a teoria primeiro, de casa, e deixar para a sala de aula os momentos de discussão e de aprendizado mais profundo pode contribuir para que a aprendizagem seja mais efetiva. Críticas e sugestões hão de surgir e serão sempre bem-vindas para que a obra possa ser atualizada e adaptada às reais necessidades dos estudantes! Pato Branco, outono de 2017. Os organizadores!

Sumário CORPOS ................................................................................................................................... 10 CAPÍTULO 01: MATRIZES .................................................................................................. 11 1.1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................11 1.2 TIPOS DE MATRIZES .....................................................................................................................13 1.3 OPERAÇÕES COM MATRIZES ........................................................................................................17 1.4 MATRIZES INVERTÍVEIS ................................................................................................................21

CAPÍTULO 02: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ................................................. 25 2.1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................25 2.2 EQUAÇÕES LINEARES ...................................................................................................................25 2.3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ..............................................................................................27 2.4 OPERAÇÕES ELEMENTARES..........................................................................................................31 2.5 FORMA ESCADA ..........................................................................................................................32 2.6 TIPOS DE SOLUÇÕES (SPD, SPI E SI) ..............................................................................................36 2.7 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA PELA MATRIZ INVERSA .......................................................................41 2.8 SISTEMAS HOMOGÊNEOS ............................................................................................................42

CAPÍTULO 03: SISTEMAS DE COORDENADAS ............................................................ 45 3.1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................45 3.2 PRODUTO CARTESIANO ...............................................................................................................45 3.3 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO ................................................................46 3.4 SISTEMA DE COORDENADAS NO ESPAÇO .....................................................................................48

CAPÍTULO 04: VETORES .................................................................................................... 50

4.1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................50 4.2 CONCEITOS BÁSICOS....................................................................................................................50 4.3 SEGMENTOS EQUIPOLENTES ........................................................................................................53 4.4 VETOR .........................................................................................................................................55 4.5 SOMA DE VETORES ......................................................................................................................57 4.6 MULTIPLICAÇÃO DE ESCALAR POR VETOR ....................................................................................60 4.7 VETORES COLINEARES .................................................................................................................64 4.8 VETORES COPLANARES ................................................................................................................64 4.9 ÂNGULO ENTRE VETORES ............................................................................................................64

CAPÍTULO 05: VETORES EM R2 E R3 ............................................................................. 66 5.1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................66 5.2 DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR NO PLANO..................................................................................66 5.3 EXPRESSÃO ANALÍTICA EM R2 .....................................................................................................68 5.4 IGUALDADE E OPERAÇÕES ...........................................................................................................69 5.5 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS ...........................................................................................70 5.6 NORMA DE UM VETOR NO PLANO ...............................................................................................71 5.7 DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR NO ESPAÇO ................................................................................72 5.8 EXPRESSÃO ANALÍTICA EM R3 .....................................................................................................73 5.9 IGUALDADE E OPERAÇÕES ...........................................................................................................73 5.10 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS..........................................................................................74 5.11 NORMA DE UM VETOR NO ESPAÇO ...........................................................................................74 5.12 CONDIÇÃO DE PARALELISMO ENTRE VETORES ...........................................................................75

CAPÍTULO 06: DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR .................................... 76

6.1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................76 6.2 RESULTADOS COMPLEMENTARES ................................................................................................76 6.3 CONCEITOS GEOMÉTRICOS DE DEPÊNDENCIA E INDEPENDÊNCIA .................................................78 6.4 CONCEITOS ALGÉBRICOS DE DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA ....................................................79

CAPÍTULO 07: BASE ............................................................................................................ 90 7.1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................90 7.2 OPERAÇÕES SEGUNDO AS COORDENADAS ..................................................................................91 7.3 ANALISANDO A DEPENDÊNCIA PELAS COORDENADAS .................................................................92 7.4 ORTOGONALIDADE ......................................................................................................................96

CAPÍTULO 08: PRODUTO ESCALAR ............................................................................... 98 8.1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................98 8.2 PROJEÇÃO ORTOGONAL ............................................................................................................ 113

CAPÍTULO 09: PRODUTO VETORIAL .......................................................................... 119 9.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................ 119 9.3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO VETORIAL ....................................... 127

CAPÍTULO 10: PRODUTO MISTO ................................................................................. 133 10.1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................... 133 10.2 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO MISTO .......................................... 137

CAPÍTULO 11: RETA ......................................................................................................... 140 11.1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................... 140 11.2 RETAS PARALELAS AOS PLANOS OU AOS EIXOS COORDENADOS............................................... 148 11.3 ÂNGULO ENTRE RETAS............................................................................................................. 154

11.4 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS ......................................................................................... 159 11.5 INTERSEÇÃO ENTRE DUAS RETAS ............................................................................................. 162

CAPÍTULO 12: PLANO ...................................................................................................... 164 12.1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................... 164 12.2 DETERMINAÇÃO DE UM PLANO ............................................................................................... 167 12.3 PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E AOS PLANOS COORDENADOS............................................... 172 12.4 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO .................................................................................... 177 12.5 ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS ................................................................................................. 179 12.6 ÂNGULO ENTRE RETA E PLANO ................................................................................................ 182 12.7 INTERSEÇÃO ENTRE DOIS PLANOS............................................................................................ 186 12.8 INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO .......................................................................................... 187 12.9 INTERSEÇÃO DE PLANO COM OS EIXOS E OS PLANOS COORDENADOS ...................................... 188

CAPÍTULO 13: CÔNICAS .................................................................................................. 190 13.1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................... 190 13.2 TRANSLAÇÃO DE EIXOS ............................................................................................................ 190 13.3 A PARÁBOLA............................................................................................................................ 191 13.4 A ELIPSE................................................................................................................................... 204 13.5 A HIPÉRBOLE ........................................................................................................................... 215

CAPÍTULO 14: ESPAÇOS VETORIAIS ........................................................................... 228 14.1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................... 228 14.2 ESPAÇOS VETORIAIS ................................................................................................................ 228 14.3 SUBESPAÇOS VETORIAIS .......................................................................................................... 235

14.4 COMBINAÇÃO LINEAR ............................................................................................................. 246 14.5 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ................................................................................ 249 14.6 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL ............................................................................................... 253 14.7 MUDANÇA DE BASE ................................................................................................................. 265

CAPÍTULO 15: TRANSFORMAÇÕES LINEARES ........................................................ 274 15.1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................... 274 15.2 RESULTADOS E CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES ........................ 281 15.3 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES ............................................................................... 294

CAPÍTULO 16: AUTOVALORES E AUTOVETORES ................................................... 307 16.1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................... 307 16.2 AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ ................................................................... 312

CAPÍTULO 17: PRODUTO INTERNO ............................................................................ 323 17.1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................... 323 17.2 COEFICIENTES DE FOURIER....................................................................................................... 327 17.3 NORMA ................................................................................................................................... 329 17.4 ÂNGULO ENTRE VETORES ........................................................................................................ 333 17.5 PROCESSO DE ORTONORMALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT ....................................................... 336

CORPOS Definição: Um conjunto đ?•‚ ≠đ?œ™ munido das operaçþes: “+â€? chamada de soma e “⋅â€?, chamada de produto, ĂŠ um corpo se as seguintes propriedades sĂŁo vĂĄlidas: S1)

(� + �) + � = � + (� + �), quaisquer que

sejam

đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ đ?•‚.

Esta

propriedade recebe o nome de associativa da soma. S2) đ?‘Ľ + đ?‘Ś = đ?‘Ś + đ?‘Ľ, quaisquer que sejam đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ đ?•‚. Esta propriedade recebe o nome de comutativa da soma. S3) Existe đ?‘§ ∈ đ?•‚ tal que đ?‘Ľ + đ?‘§ = đ?‘§ + đ?‘Ľ = đ?‘Ľ, qualquer que seja đ?‘Ľ ∈ đ?•‚. O elemento đ?‘§ ĂŠ chamado de elemento neutro da soma. AlĂŠm disso, podemos denotar đ?‘§ = 0. S4) Para qualquer đ?‘Ľ ∈ đ?•‚, existe đ?‘¤ ∈ đ?•‚ tal que đ?‘Ľ + đ?‘¤ = đ?‘¤ + đ?‘Ľ = 0. O elemento đ?‘¤ ĂŠ chamado de oposto aditivo de đ?‘Ľ. AlĂŠm disso, podemos denotar đ?‘¤ = −đ?‘Ľ. P1) (đ?‘Ľ â‹… đ?‘Ś) â‹… đ?‘§ = đ?‘Ľ â‹… (đ?‘Ś â‹… đ?‘§), quaisquer que sejam đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ đ?•‚. Esta propriedade recebe o nome de associativa do produto. P2) đ?‘Ľ â‹… đ?‘Ś = đ?‘Ś â‹… đ?‘Ľ, quaisquer que sejam đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ đ?•‚. Esta propriedade recebe o nome de comutativa do produto. P3) Existe đ?‘&#x; ∈ đ?•‚ tal que đ?‘Ľ â‹… đ?‘&#x; = đ?‘&#x; â‹… đ?‘Ľ = đ?‘Ľ, qualquer que seja đ?‘Ľ ∈ đ?•‚. O elemento đ?‘&#x; ĂŠ chamado de elemento neutro do produto. AlĂŠm disso, podemos denotar đ?‘&#x; = 1. P4) Para qualquer đ?‘Ľ ∈ đ?•‚, com đ?‘Ľ ≠0, existe đ?‘˘ ∈ đ?•‚ tal que đ?‘Ľ â‹… đ?‘˘ = đ?‘˘ â‹… đ?‘Ľ = 1. O elemento đ?‘˘ ĂŠ chamado de inverso multiplicativo de đ?‘Ľ. AlĂŠm disso, podemos denotar đ?‘˘ = đ?‘Ľ −1 . D) đ?‘§ â‹… (đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = (đ?‘Ľ + đ?‘Ś) â‹… đ?‘§ = đ?‘Ľ â‹… đ?‘§ + đ?‘Ś â‹… đ?‘§, quaisquer que sejam đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ đ?•‚. Esta propriedade recebe o nome de distributiva do produto em relação Ă soma. Observação: Denotamos um corpo por (đ?•‚, +,â‹…). Uma terna composta pelo conjunto e suas duas operaçþes.

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CAPĂ?TULO 01: MATRIZES

1.1 INTRODUĂ‡ĂƒO O objetivo deste capĂ­tulo ĂŠ revisar o conteĂşdo matrizes. Vamos estudar os tipos de matrizes, transposição, operaçþes com matrizes e matrizes invertĂ­veis. Basicamente, devemos abordar este conteĂşdo devido ao fato de que podemos simplificar e organizar uma grande variedade de problemas utilizando as matrizes. Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, vamos considerar a tabela abaixo que dispĂľem dados como altura, peso e idade de determinadas pessoas. Altura (đ?‘š)

Peso (đ?‘˜đ?‘”)

Idade (anos)

Pessoa 1

1,70

70

23

Pessoa 2

1,75

60

45

Pessoa 3

1,60

52

25

Pessoa 4

1,81

72

30

Podemos omitir o significado de cada linha e cada coluna, e escrevermos: 1,70 1,75 [ 1,60 1,81

70 60 52 72

23 45 ] 25 30

Uma matriz composta por 4 linhas e 3 colunas. Ainda podemos dizer que esta ĂŠ uma matriz 4Ă—3. Os locais onde aparecem os nĂşmeros dispostos na matriz sĂŁo chamados de entradas da matriz. As entradas podem ser nĂşmeros reais, nĂşmeros complexos, funçþes, ou atĂŠ mesmo matrizes. Alguns exemplos de matrizes sĂŁo:

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[

ln 10 −1

đ?œ‹ 1 4] , [ 0 1010

sin

1−đ?‘– 0 0 ] , [cos 45đ?‘œ + đ?‘– â‹… sin 45đ?‘œ 0 1 −2đ?‘–

đ?‘’ đ?œ‹đ?‘– 0 ]. 1

Note que estamos usando colchetes para denotar as matrizes, mas ainda podemos usar as notaçþes dos seguintes exemplos: 1 −1 1 2 ( ) , ‖1 6 ‖. 1 3 3 5 1 2 Representa-se uma matriz de đ?‘š linhas e đ?‘› colunas (đ?‘šĂ—đ?‘›) por:

đ??´đ?‘šĂ—đ?‘›

đ?‘Ž11 =[ â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1

⋯ �1� ⋹ ⋎ ] = [��� ] . �×� ⋯ ���

Quando nos referirmos a matrizes, usaremos sempre letras maiĂşsculas para denota-las. Por exemplo, denotamos uma matriz đ??´ de đ?‘š linhas e đ?‘› colunas por đ??´đ?‘šĂ—đ?‘› . Para a localização de elementos, dizemos a linha e em seguida a coluna (respeitando esta ordem) deste elemento. Vejamos o seguinte exemplo. 1 4

đ??´2Ă—3 = [

0 −4 ] −3 2

O elemento −4 estĂĄ localizado na primeira linha e na terceira coluna, e escrevemos đ?‘Ž13 = −4.

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Em geral, o elemento đ?‘Žđ?‘–đ?‘— estĂĄ localizado na đ?‘– − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž linha e na đ?‘— − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž coluna. Ainda na matriz đ??´ do exemplo, temos: đ?‘Ž11 = 1, đ?‘Ž12 = 0, đ?‘Ž21 = 4, đ?‘Ž22 = −3 e đ?‘Ž23 = 2. 1.1.1 Definição: Duas matrizes đ??´đ?‘šĂ—đ?‘› = [đ?‘Žđ?‘–đ?‘— ]đ?‘šĂ—đ?‘› e đ??ľđ?‘&#x;Ă—đ?‘ = [đ?‘?đ?‘–đ?‘— ]đ?‘&#x;Ă—đ?‘ sĂŁo iguais se: i. Elas possuĂ­rem o mesmo nĂşmero de linhas (đ?‘š = đ?‘&#x;); ii. Elas possuĂ­rem o mesmo nĂşmero de colunas (đ?‘› = đ?‘ ); iii. Os elementos das entradas correspondentes sĂŁo iguais (đ?‘Žđ?‘–đ?‘— = đ?‘?đ?‘–đ?‘— ). Denotamos a igualdade entre tais matrizes por đ??´ = đ??ľ.

1.2 TIPOS DE MATRIZES Nesta seção, vamos estudar algumas matrizes com caracterĂ­sticas especiais. O que torna essas matrizes especiais, ĂŠ a existĂŞncia de algumas propriedades particulares que podem ser exploradas, seja pelo nĂşmero de linhas e colunas ou pela natureza dos elementos em suas entradas. 1.2.1 Matriz Quadrada: Diz-se que uma matriz đ??´đ?‘šĂ—đ?‘› = [đ?‘Žđ?‘–đ?‘— ]đ?‘šĂ—đ?‘› ĂŠ quadrada se đ?‘š = đ?‘›, isto ĂŠ, se o nĂşmero de linhas ĂŠ igual ao nĂşmero de colunas. Exemplos:

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2 đ??´=[ 3

1 ] e đ??ľ = [−8] sĂŁo matrizes quadradas, pois o nĂşmero de linhas e −6

colunas de đ??´ ĂŠ 2, enquanto o nĂşmero de linhas e colunas de đ??ľ ĂŠ 1. Observação: Dizemos que a matriz com đ?‘š linhas e đ?‘š colunas đ??´đ?‘šĂ—đ?‘š ĂŠ, simplesmente, uma matriz quadrada de ordem đ?‘š. 1.2.2 Matriz Nula: Uma matriz ĂŠ nula se đ?‘Žđ?‘–đ?‘— = 0, para quaisquer đ?‘– e đ?‘—. Exemplos:

0 đ??´ = [0 0

0 0 0 0] e đ??ľ = 0 0 0 [0

sin đ?œ‹ 0 đ?œ‹ cos 0 2 tan 0 0 sĂŁo matrizes nulas, pois para todo đ?‘– e đ?‘— em đ??´ e log 1 0 0101 0 ]

đ??ľ, tem-se đ?‘Žđ?‘–đ?‘— = 0. 1.2.3 Matriz Coluna: Uma matriz đ??´đ?‘šĂ—đ?‘› ĂŠ chamada de matriz coluna se đ?‘› = 1, isto ĂŠ, se o nĂşmero de colunas ĂŠ igual a 1. Exemplos: 1 đ?‘Ľ đ??´ = [ −2 ] e đ??ľ = [đ?‘Ś + đ?‘Ľ ] sĂŁo exemplos de matriz coluna. −10 1.2.4 Matriz Linha: Uma matriz đ??´đ?‘šĂ—đ?‘› ĂŠ chamada de matriz linha se đ?‘š = 1, isto ĂŠ, se o nĂşmero de linhas ĂŠ igual a 1. Exemplos:

đ??´ = [1

đ?‘Ž]; đ?‘Ž ∈ â„œ e đ??ľ = [9] sĂŁo matrizes linha.

Observaçþes:

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01. Denotamos o conjunto de todas as matrizes đ?‘šĂ—đ?‘› com entradas em um corpo (đ?•‚, +,â‹…) por đ?‘€đ?‘šĂ—đ?‘› (đ?•‚). No caso em que đ?‘š = đ?‘›, denotamos đ?‘€đ?‘› (đ?•‚). 02. Consideramos uma matriz đ??´ de ordem đ?‘š. A diagonal da matriz đ??´ ĂŠ formada pelos elementos đ?‘Žđ?‘–đ?‘— , onde đ?‘– = đ?‘—. Na matriz quadrada abaixo destacamos sua diagonal: 1 −5 10 3 ] đ??´ = [−3 −6 4 2 −0,1 đ?‘Ž11 = 1, đ?‘Ž22 = −6 e đ?‘Ž33 = −0,1 formam a diagonal da matriz đ??´. É importante lembrar que somente matrizes quadradas possuem diagonal. 03. O traço de uma matriz quadrada ĂŠ uma função đ?‘‡đ?‘&#x;: đ?‘€đ?‘› (đ?•‚) → đ?•‚ que associa uma matriz quadrada đ??´ de ordem đ?‘› a soma dos elementos da diagonal de đ??´. Isto ĂŠ: đ?‘Ž11 đ?‘Ž21 đ??´=[ â‹Ž đ?‘Žđ?‘›1

đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 â‹Ž đ?‘Žđ?‘›2

â‹Ż đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘› ‌ đ?‘Ž2đ?‘› â‹ą â‹Ž ] ⇒ đ?‘‡đ?‘&#x;(đ??´) = ∑ đ?‘Žđ?‘–đ?‘– . đ?‘–=1 â‹Ż đ?‘Žđ?‘›đ?‘›

1.2.5 Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada Ê chamada de matriz diagonal se ��� = 0 para todo � ≠�, isto Ê, se todos os elementos que não estão na diagonal são nulos. Exemplos:

2 đ??´=[ 0

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−1 0 ]eđ??ľ=[ 0 −3 0

0 3 0

0 0 ] sĂŁo exemplos de matriz diagonal. −đ?œ‹

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1.2.6 Matriz Identidade: Uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal sĂŁo iguais a 1 ĂŠ chamada de matriz identidade. Resumindo, uma matriz diagonal com đ?‘Žđ?‘–đ?‘— = 1, para todo đ?‘– = đ?‘—, ĂŠ chamada de matriz identidade. Exemplos: 1 [1] đ??´= e đ??ľ = [0 0

0 1 0

0 0] sĂŁo exemplos de matriz identidade. đ??´ ĂŠ a matriz 1

identidade de ordem 1, enquanto đ??ľ ĂŠ a matriz identidade de ordem 3. 1.2.7 Matriz Triangular Superior: Uma matriz quadrada cujos elementos abaixo da diagonal principal sĂŁo todos nulos, recebe o nome de matriz triangular superior. Ou ainda, uma matriz ĂŠ triangular superior se đ?‘Žđ?‘–đ?‘— = 0, para todo đ?‘– > đ?‘—. Exemplos:

1 đ??´ = [0 0

−4 3 0

1 1 0 0 1 −5] e đ??ľ = [ 0 0 đ?‘’ 0 0

1 1 1 0

1 1] sĂŁo matrizes triangular superior. 1 1

1.2.8 Matriz Triangular Inferior: Uma matriz quadrada cujos elementos acima da diagonal principal sĂŁo todos nulos, recebe o nome de matriz triangular inferior. Ou ainda, uma matriz ĂŠ triangular inferior se đ?‘Žđ?‘–đ?‘— = 0, para todo đ?‘– < đ?‘—. Exemplos:

1 đ??´=[ 2

1 0 0 ]eđ??ľ=[ 2 5 7 −3 −đ?œ‹

0 0] sĂŁo matrizes triangular inferior. 6

1.2.9 Matriz SimĂŠtrica: Uma matriz quadrada ĂŠ simĂŠtrica se đ?‘Žđ?‘–đ?‘— = đ?‘Žđ?‘—đ?‘– , para quaisquer đ?‘– e đ?‘—. Exemplos:

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đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? đ?‘‘ đ?‘? đ?‘’ đ?‘“ đ?‘” 1 −3 đ??´=[ ] e đ??ľ = [đ?‘? đ?‘“ ] sĂŁo matrizes simĂŠtricas. â„Ž đ?‘– −3 2 đ?‘‘ đ?‘” đ?‘– đ?‘—

1.3 OPERAÇÕES COM MATRIZES Nesta seção vamos estudar as operaçþes: adição, produto por escalar, transposição de matrizes, multiplicação de matrizes e suas decorrentes propriedades. 1.3.1 Adição (soma): Sejam đ??´đ?‘šĂ—đ?‘› = [đ?‘Žđ?‘–đ?‘— ]đ?‘šĂ—đ?‘› e đ??ľđ?‘šĂ—đ?‘› = [đ?‘?đ?‘–đ?‘— ]đ?‘šĂ—đ?‘› matrizes. A matriz soma de đ??´ e đ??ľ, denotada por đ??´ + đ??ľ, ĂŠ uma matriz de ordem đ?‘šĂ—đ?‘› tal que suas entradas sĂŁo resultantes da soma das entradas correspondentes de đ??´ e đ??ľ. Isto ĂŠ, đ??´ + đ??ľ ĂŠ tal que:

(đ??´ + đ??ľ)đ?‘šĂ—đ?‘› = [đ?‘Žđ?‘–đ?‘— + đ?‘?đ?‘–đ?‘— ]đ?‘šĂ—đ?‘› . Exemplo: 1 3

Sejam đ??´ = [

−4 đ?œ‹ ]eđ??ľ=[ 5 2

đ??´+đ??ľ =[

1 ], entĂŁo: −5

1 −4 đ?œ‹ ]+[ 3 5 2

1+đ?œ‹ 1 ]=[ 3+2 −5 1+đ?œ‹ 5

⇒đ??´+đ??ľ =[

−4 + 1 1+đ?œ‹ ]=[ 5 + (−5) 5

−3 ] 0

−3 ]. 0

1.3.1.1 Propriedades: Sejam đ??´, đ??ľ e đ??ś matrizes de mesma ordem đ?‘šĂ—đ?‘›. EntĂŁo as seguintes propriedades sĂŁo vĂĄlidas: i. đ??´ + đ??ľ = đ??ľ + đ??´ (comutatividade); ii. đ??´ + (đ??ľ + đ??ś) = (đ??´ + đ??ľ) + đ??ś (associatividade); iii. đ??´ + 0 = đ??´ (elemento neutro aditivo).

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17

Observação: O elemento 0 que aparece na propriedade iii ĂŠ a matriz nula de ordem đ?‘šĂ—đ?‘›. Podemos ainda denotar esta matriz por 0đ?‘šĂ—đ?‘› . 1.3.2 Multiplicação por escalar: Seja đ??´đ?‘šĂ—đ?‘› = [đ?‘Žđ?‘–đ?‘— ]đ?‘šĂ—đ?‘› uma matriz e đ?‘˜ um nĂşmero (real ou complexo) que chamaremos de escalar. Definimos a multiplicação escalar de đ?‘˜ por đ??´, como sendo a matriz đ?‘˜ â‹… đ??´, de ordem đ?‘šĂ—đ?‘›, tal que:

(đ?‘˜ â‹… đ??´)đ?‘šĂ—đ?‘› = [đ?‘˜ â‹… đ?‘Žđ?‘–đ?‘— ] . đ?‘šĂ—đ?‘› Exemplo: −2 2 Sejam đ??´ = [−3 6 3 0

1 −14] e đ?‘˜ = 4, entĂŁo: 25

−2 2 đ?‘˜ â‹… đ??´ = 4 â‹… [−3 6 3 0

4 â‹… (−2) 4 â‹… 2 4â‹…1 1 −8 8 −14] = [4 â‹… (−3) 4 â‹… 6 4 â‹… (−14)] = [−12 24 25 12 0 4â‹…3 4â‹…0 4 â‹… 25 −8 8 ⇒ đ?‘˜ â‹… đ??´ = [−12 24 12 0

4 −56] 100

4 −56]. 100

1.3.2.1 Propriedades: Sejam đ??´ e đ??ľ matrizes de ordem đ?‘šĂ—đ?‘› e đ?‘˜, đ?‘˜1 e đ?‘˜2 escalares. As seguintes propriedades sĂŁo vĂĄlidas: i. đ?‘˜(đ??´ + đ??ľ) = đ?‘˜đ??´ + đ?‘˜đ??ľ; ii. (đ?‘˜1 + đ?‘˜2 )đ??´ = đ?‘˜1 đ??´ + đ?‘˜2 đ??´; iii. 0 â‹… đ??´ = 0đ?‘šĂ—đ?‘› ; iv. đ?‘˜1 (đ?‘˜2 đ??´) = (đ?‘˜1 đ?‘˜2 )đ??´. Observação: A propriedade iii nos diz que, ao multiplicarmos uma matriz đ??´ de ordem đ?‘šĂ—đ?‘› pelo escalar zero (real ou complexo), vamos obter como resultado a matriz nula de ordem đ?‘šĂ—đ?‘›.

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18

1.3.3 Transposição de matrizes: Dada uma matriz đ??´đ?‘šĂ—đ?‘› = [đ?‘Žđ?‘–đ?‘— ]đ?‘šĂ—đ?‘› , podemos obter uma matriz đ??´â€˛đ?‘›Ă—đ?‘š = [đ?‘?đ?‘–đ?‘— ]đ?‘›Ă—đ?‘š , cujas linhas sĂŁo as colunas de đ??´, isto ĂŠ, đ?‘?đ?‘–đ?‘— = đ?‘Žđ?‘—đ?‘– . đ??´â€˛ ĂŠ chamada de matriz transposta de đ??´. Exemplos: 1 2 4 ′ ], entĂŁo đ??´ = [2 3 −6 4

1 01. Seja đ??´ = [ −1

02. Seja đ??ľ = [0

đ?œ‹

−1 3 ]. −6

0 −đ?‘’], entĂŁo đ??ľâ€˛ = [ đ?œ‹ ]. −đ?‘’

1.3.3.1 Propriedades: i. Uma matriz ĂŠ simĂŠtrica se, e somente se, ela ĂŠ igual a sua transposta, isto ĂŠ, se, e somente se đ??´ = đ??´â€˛. ii. đ??´â€˛â€˛ = đ??´, isto ĂŠ, a transposta da transposta ĂŠ igual a prĂłpria matriz. iii. (đ??´ + đ??ľ)′ = đ??´â€˛ + đ??ľâ€˛, isto ĂŠ, a transposta da soma ĂŠ igual Ă soma das transpostas. iv. (đ?‘˜đ??´)′ = đ?‘˜đ??´â€˛, đ?‘˜ escalar. 1.3.4 Multiplicação de matrizes: Sejam đ??´ = [đ?‘Žđ?‘–đ?‘— ]đ?‘šĂ—đ?‘› e đ??ľ = [đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘ ]đ?‘›Ă—đ?‘? . Definimos a multiplicação đ??´ â‹… đ??ľ = [đ?‘?đ?‘˘đ?‘Ł ]đ?‘šĂ—đ?‘? , onde: đ?‘›

đ?‘?đ?‘˘đ?‘Ł = ∑ đ?‘Žđ?‘˘đ?‘˜ đ?‘?đ?‘˜đ?‘Ł = đ?‘Žđ?‘˘1 đ?‘?1đ?‘Ł + đ?‘Žđ?‘˘2 đ?‘?2đ?‘Ł + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘˘đ?‘› đ?‘?đ?‘›đ?‘Ł . đ?‘˜=1

Observaçþes: 01. SĂł podemos efetuar a multiplicação de duas matrizes đ??´đ?‘šĂ—đ?‘› e đ??ľđ?‘&#x;Ă—đ?‘ se o nĂşmero de colunas da primeira for igual ao nĂşmero de linhas da segunda, isto ĂŠ, se đ?‘› = đ?‘&#x;. A matriz đ??´ â‹… đ??ľ terĂĄ ordem đ?‘šĂ—đ?‘ .

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02. O elemento đ?‘?đ?‘–đ?‘— ĂŠ obtido multiplicando os elementos da đ?‘– − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da đ?‘— − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž coluna da segunda matriz, e somando estes produtos. Exemplos: 2 01. Sejam đ??´ = [4 5

1 1 2] e đ??ľ = [ 0 3

−1 ]. Observe que o nĂşmero de colunas de đ??´ ĂŠ 4

igual ao nĂşmero de linhas de đ??ľ, portanto podemos realizar a multiplicação de đ??´ por đ??ľ. AlĂŠm disso, como temos đ??´3Ă—2 e đ??ľ2Ă—2 , a matriz đ??´ â‹… đ??ľ terĂĄ ordem 3Ă—2. Calculamos entĂŁo đ??´ â‹… đ??ľ:

2â‹…1+1â‹…0 đ??´ â‹… đ??ľ = [4 â‹… 1 + 2 â‹… 0 5â‹…1+3â‹…0

2 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 4 2 4 ⋅ (−1) + 2 ⋅ 4] = [4 5 5 ⋅ (−1) + 3 ⋅ 4

2 ⇒ đ??´ â‹… đ??ľ = [4 5

02.

Considere

1 −2 đ??´=[ 5 0

0 3 4 1

2 −1 ] 0 −5

e

2 4] 7

2 4]. 7

1 đ??ľ = [−1 2

2 0 −2

4 1 ]. −3

Efetuamos

a

multiplicação: 1 â‹… 1 + 0 â‹… (−1) + 2 â‹… 2 1 â‹… 2 + 0 â‹… 0 + 2 â‹… (−2) 1 â‹… 4 + 0 â‹… 1 + 2 â‹… (−3) −2 â‹… 1 + 3 â‹… (−1) + (−1) â‹… 2 −2 â‹… 2 + 3 â‹… 0 + (−1) â‹… (−2) −2 â‹… 4 + 3 â‹… 1 + (−1) â‹… (−3) đ??´â‹…đ??ľ =[ ] 5 â‹… 1 + 4 â‹… (−1) + 0 â‹… 2 5 â‹… 2 + 4 â‹… 0 + 0 â‹… (−2) 5 â‹… 4 + 4 â‹… 1 + 0 â‹… (−3) 0 â‹… 1 + 1 â‹… (−1) + (−5) â‹… 2 0 â‹… 2 + 1 â‹… 0 + (−5) â‹… (−2) 0 â‹… 4 + 1 â‹… 1 + (−5) â‹… (−3)

1+0+4 −2 − 3 − 2 =[ 5−4+0 0 − 1 − 10

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2+0−4 −4 + 0 + 2 10 + 0 + 0 0 + 0 + 10

4+0−6 −8 + 3 + 3 ] 20 + 4 + 0 0 + 1 + 15

20

5 −2 −7 −2 =[ 1 10 −11 10

−2 −2 ] 24 16

5 −2 −2 −7 −2 −2 ⇒đ??´â‹…đ??ľ =[ ]. 1 10 24 −11 10 16 1.3.4.1 Propriedades: i. Em geral đ??´ â‹… đ??ľ ≠đ??ľ â‹… đ??´, mesmo que um dos produtos nĂŁo possa ser realizado; ii. đ??´ â‹… đ??ź = đ??ź â‹… đ??´ = đ??´, onde đ??ź ĂŠ a matriz identidade. Como đ??ź ĂŠ uma matriz quadrada, digamos que de ordem đ?‘›, para que a multiplicação esteja definida, đ??´ deve possuir đ?‘› colunas; iii. đ??´ â‹… (đ??ľ + đ??ś) = đ??´ â‹… đ??ľ + đ??´ â‹… đ??ś; iv. (đ??´ + đ??ľ) â‹… đ??ś = đ??´ â‹… đ??ś + đ??ľ â‹… đ??ś; v. (đ??´ â‹… đ??ľ) â‹… đ??ś = đ??´ â‹… (đ??ľ â‹… đ??ś); vi. (đ??´ â‹… đ??ľ)′ = đ??ľâ€˛ â‹… đ??´â€˛; vii. đ??´ â‹… 0 = 0 e 0 â‹… đ??´ = 0; viii. đ??´ â‹… đ??ľ = 0 nĂŁo implica que đ??´ = 0 ou đ??ľ = 0.

1.4 MATRIZES INVERTĂ?VEIS Nesta seção, temos como objetivo definir matriz inversa, estudar algumas propriedades e mĂŠtodos para a determinação de uma matriz inversa. 1.4.1 Matriz Inversa: Uma matriz quadrada đ??´ de ordem đ?‘› admite uma matriz inversa se, existe uma matriz đ??ľ de ordem đ?‘› tal que đ??´ â‹… đ??ľ = đ??ľ â‹… đ??´ = đ??ź, onde đ??ź ĂŠ a matriz identidade de ordem đ?‘›. Denotamos a matriz đ??ľ inversa de đ??´ por đ??ľ = đ??´âˆ’1 .

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Quando uma matriz nĂŁo possui inversa, dizemos que esta matriz ĂŠ singular. 1.4.2 Proposição: A inversa de uma matriz quadrada ĂŠ Ăşnica. Prova: Seja đ??´ uma matriz quadrada e suponha que đ??´ possui duas matrizes inversas đ??ľ e đ??ś. Como đ??ľ e đ??ś sĂŁo inversas de đ??´, temos por definição que:

đ??´â‹…đ??ľ =đ??ľâ‹…đ??´ =đ??ź

đ??´â‹…đ??ś =đ??śâ‹…đ??´=đ??ź Assim, temos:

đ??ľ = đ??ľ â‹… đ??ź = đ??ľ â‹… (đ??´ â‹… đ??ś) = (đ??ľ â‹… đ??´) â‹… đ??ś = đ??ź â‹… đ??ś = đ??ś

⇒ đ??ľ = đ??ś. Portanto, a matriz inversa de đ??´ e Ăşnica. 1.4.3 Propriedades: i. A matriz identidade đ??ź de ordem đ?‘› ĂŠ invertĂ­vel. ii. Se đ??´ ĂŠ uma matriz invertĂ­vel, entĂŁo đ??´âˆ’1 ĂŠ invertĂ­vel. AlĂŠm disso, (đ??´âˆ’1 )−1 = đ??´. iii. Se đ??´ e đ??ľ sĂŁo matrizes invertĂ­veis, entĂŁo a matriz đ??´ â‹… đ??ľ tambĂŠm ĂŠ invertĂ­vel. AlĂŠm disso, (đ??´ â‹… đ??ľ)−1 = đ??ľâˆ’1 â‹… đ??´âˆ’1 . iv. Se đ??´ ĂŠ invertĂ­vel, entĂŁo đ??´â€˛ ĂŠ invertĂ­vel. AlĂŠm disso, (đ??´â€˛ )−1 = (đ??´âˆ’1 )′. Observação: Algumas das propriedades serĂŁo demonstradas em aula. 1.4.4 Teorema: Seja đ??´ uma matriz quadrada de ordem đ?‘›. Para que đ??´ seja invertĂ­vel ĂŠ necessĂĄrio e suficiente que det(đ??´) ≠0.

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Usamos

o

teorema

acima

para

evitar

que

façamos

cĂĄlculos

desnecessĂĄrios e tentemos determinar a inversa de uma matriz singular. 1.4.5 Algoritmo para calcular a inversa de uma matriz: Seja đ??´ uma matriz

invertĂ­vel.

Determinamos

a

matriz

đ??´âˆ’1

usando

o

seguinte

procedimento: 1. Construir uma matriz ampliada da forma [đ??´|đ??ź]. 2. Usando operaçþes elementares na matriz ampliada, devemos converter a matriz đ??´ na matriz identidade đ??ź. No final do processo obtemos uma matriz ampliada da forma [đ??ź|đ??´âˆ’1 ]. Vejamos um exemplo para determinar a inversa de uma matriz. Exemplo: 0 Consideramos a matriz đ??´ = [1 1 0 det(đ??´) = |1 1

3 2 5

3 1 0 2 −1| 1 5 2 1

1 −1]. Note que: 2 3 2 = 0 − 3 + 5 − 2 + 0 − 6 = −6 ≠0 5

⇒ det(đ??´) ≠0. det(đ??´) ≠0 implica que a matriz đ??´ ĂŠ invertĂ­vel. Agora, usamos o algoritmo para determinar đ??´âˆ’1 . 0 [đ??´|đ??ź] = [1 1

3 1 1 0 2 −1|0 1 5 2 0 0

0 đ??ż1↔đ??ż2 1 [0 0] → 1 1

1 [0 0

−1 0 1 1 |1 0 −3 0 1

0 đ??ż3→đ??ż2+đ??ż3 1 [0 0 ]→ −1 0

đ??ż3→đ??ż1−đ??ż3

→

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2 3 −3

2 −1 0 1 3 1 |1 0 5 2 0 0 2 −1 0 3 1 |1 0 −2 1

0 0] 1 1 0 0 0] 1 −1

23

𝐿2→2⋅𝐿2+𝐿3

→

𝐿1→−3⋅𝐿3+2⋅𝐿1

→

6 [0 0

1 [0 0

0 6 0

2 6 0

−1 0 0 |3 −2 1

0 −9 0|3 −2 1

1 1 1

1 1 1

0 𝐿1→3⋅𝐿1−𝐿2 3 [0 −1] → 0 −1 1 𝐿1→ ⋅𝐿1 6 1 𝐿2→ ⋅𝐿2 6 1 𝐿3→− ⋅𝐿3 2

1 0 0

5 −1] → −1

0 1 0

[

0 6 0

−3 −3 2 0|3 1 −2 1 1

3 1 − 0| 2 6 1 1 0 6 | 2 1 1 1 − − 2 2

1 −1] −1

5 6 1 − = [𝐼|𝐴−1 ] 6 1 2 ]

Desta forma, obtemos: 3 2 1 = 2 1 [− 2 −

𝐴−1

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1 6 1 6 1 − 2

5 6 1 − . 6 1 2 ]

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CAP�TULO 02: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

2.1 INTRODUĂ‡ĂƒO Neste capĂ­tulo estudaremos sistemas de equaçþes lineares. Os principais pontos abordados neste capĂ­tulo serĂŁo: equaçþes lineares, soluçþes de equaçþes lineares, sistemas de equaçþes lineares, solução de sistemas de equaçþes lineares, sistemas de equaçþes lineares com duas ou mais incĂłgnitas, sistemas equivalentes, operaçþes elementares, tipos de sistemas e sistemas homogĂŞneos.

2.2 EQUAÇÕES LINEARES 2.2.1 Definição: Uma equação linear nas incĂłgnitas đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› ∈ đ?•‚, onde (đ?•‚, +,â‹…) ĂŠ um corpo, ĂŠ uma expressĂŁo da forma:

đ?‘Ž1 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?. Onde đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› ∈ đ?•‚ sĂŁo chamados de coeficientes e đ?‘? ∈ đ?•‚ ĂŠ chamado de termo independente da equação. Exemplos: 01. A equação 2đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 = 5 ĂŠ uma equação linear nas incĂłgnitas đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 . 02. As equaçþes đ?‘Ľ1 − 2đ?‘Ľ22 + đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ43 + 12đ?‘Ľ52 − 1 = 0 e √2đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś = cos đ?‘Ľ nĂŁo sĂŁo equaçþes lineares. 2.2.2 Solução de uma equação linear: Uma equação linear đ?‘Ž1 đ?‘Ľ1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘? sobre đ?•‚, com pelo menos um dos đ?‘Žđ?‘– ≠0, sempre possui solução. Uma

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đ?‘› − đ?‘˘đ?‘?đ?‘™đ?‘Ž (đ?‘ 1 , đ?‘ 2 , ‌ , đ?‘ đ?‘› ) ∈ đ?•‚đ?‘› ĂŠ uma solução da equação linear đ?‘Ž1 đ?‘Ľ1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘? se đ?‘Ž1 đ?‘ 1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘ đ?‘› = đ?‘?. Por exemplo, supondo que đ?‘Žđ?‘– ≠0, đ?‘– = 1, ‌ , đ?‘›, temos em particular đ?‘Žđ?‘› ≠0. Logo, como (đ?•‚, +,â‹…) ĂŠ um corpo, đ?‘Žđ?‘› possui inverso multiplicativo đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 . EntĂŁo: đ?‘Ž1 đ?‘Ľ1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘? ⇔ đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Ž1 đ?‘Ľ1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘? ⇔ đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘? − đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Ž1 đ?‘Ľ1 − â‹Ż − đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľđ?‘›âˆ’1 . Portanto (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘›âˆ’1 , đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘? − đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Ž1 đ?‘Ľ1 − â‹Ż − đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľđ?‘›âˆ’1 ) ĂŠ uma solução da equação. Em geral: đ?‘† = {(đ?‘ 1 , đ?‘ 2 , ‌ , đ?‘ đ?‘›âˆ’1 , đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘? − đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Ž1 đ?‘ 1 − â‹Ż − đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘ đ?‘›âˆ’1 ); đ?‘ 1 , ‌ , đ?‘ đ?‘›âˆ’1 ∈ đ?•‚} ⊂ đ?•‚đ?‘› . É o conjunto solução da equação. Exemplos: 01. Considere a equação 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 2. Note que uma solução para esta equação ĂŠ o par (1,0) ∈ â„œ2 . Outra solução ĂŠ o par (0,2) ∈ â„œ2 . É fĂĄcil perceber que existem infinitas soluçþes para a equação 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 2. Fazendo:

2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 2 ⇔ đ?‘Ś = 2 − 2đ?‘Ľ. Portanto, o conjunto solução da equação 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 2 ĂŠ: đ?‘† = {(đ?‘Ľ, 2 − 2đ?‘Ľ); đ?‘Ľ ∈ â„œ} ⊂ â„œ2 . 02. Considere a equação √3đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 − đ?‘’ 3 đ?‘Ľ3 = −2. Fazendo: √3đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 − đ?‘’ 3 đ?‘Ľ3 = −2 ⇔ đ?‘’ 3 đ?‘Ľ3 = 2 + √3đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 ⇔ đ?‘Ľ3 = 2đ?‘’ −3 + √3đ?‘’ −3 đ?‘Ľ1 + 2đ?‘’ −3 đ?‘Ľ2 .

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Portanto, o conjunto solução da equação √2đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 − đ?‘’ 3 đ?‘Ľ3 = −2 ĂŠ: đ?‘† = {(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , 2đ?‘’ −3 + √3đ?‘’ −3 đ?‘Ľ1 + 2đ?‘’ −3 đ?‘Ľ2 ); đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ â„œ} ⊂ â„œ3 .

2.3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 2.3.1 Definição: Um sistema de equaçþes lineares com đ?‘š equaçþes e đ?‘› incĂłgnitas ĂŠ um conjunto de equaçþes do tipo: đ?‘›

∑ đ?‘Ž1đ?‘˜ đ?‘Ľđ?‘˜ = đ?‘?1 đ?‘Ž11 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž12 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?1 đ?‘Ž21 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž22 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?2 { ⇔ â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1 đ?‘Ľ1 + đ?‘Žđ?‘š2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘šđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?đ?‘š

đ?‘˜=1 đ?‘›

∑ đ?‘Ž2đ?‘˜ đ?‘Ľđ?‘˜ = đ?‘?2 . đ?‘˜=1 đ?‘›

â‹Ž

∑ đ?‘Žđ?‘šđ?‘˜ đ?‘Ľđ?‘˜ = đ?‘?đ?‘š {đ?‘˜=1 Onde đ?‘Žđ?‘–đ?‘— (1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘š e 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘›) sĂŁo elementos de um corpo. Exemplos: 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś − đ?‘§ = 0 01. O conjunto de equaçþes { đ?‘Ľ − đ?‘Ś + 2đ?‘§ = 3 ĂŠ um sistema de equaçþes lineares đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 4đ?‘§ = −1 composto por 3 equaçþes e 3 incĂłgnitas. Podemos ainda dizer que este ĂŠ um sistema 3Ă—3. 02. Se uma das equaçþes em um sistema nĂŁo for uma equação linear, entĂŁo este sistema nĂŁo ĂŠ um sistema de equaçþes lineares.

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2.3.2 Solução de um sistema de equaçþes lineares: Considere o sistema de

equaçþes

(đ?‘ 1 , đ?‘ 2 , ‌ , đ?‘ đ?‘› ) ∈ đ?•‚đ?‘›

lineares ĂŠ

đ?‘Ž11 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž12 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?1 đ?‘Ž21 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž22 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?2 { . â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1 đ?‘Ľ1 + đ?‘Žđ?‘š2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘šđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?đ?‘š

solução

do

sistema

se

esta

Uma

đ?‘› − đ?‘˘đ?‘?đ?‘™đ?‘Ž

đ?‘› − đ?‘˘đ?‘?đ?‘™đ?‘Ž

satisfaz

simultaneamente todas as equaçþes deste sistema. Exemplo: 2đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 = 1 A terna (1,2,3) ĂŠ solução do sistema { đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 = −4 . Observe que: 3đ?‘Ľ1 − 2đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 = 2 Tomando (1,2,3) em 2đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 = 1 temos: 2 â‹… (1) + (2) − (3) = 1. A primeira equação ĂŠ satisfeita pela terna. Tomando (1,2,3) em đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 = −4 temos: (1) − (2) − (3) = −4. A segunda equação ĂŠ satisfeita pela terna. Tomando (1,2,3) em 3đ?‘Ľ1 − 2đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 = 2 temos: 3 â‹… (1) − 2 â‹… (2) + (3) = 2. A terceira equação ĂŠ satisfeita pela terna, 2đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 = 1 Logo, por definição, (1,2,3) ĂŠ solução do sistema { đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 = −4 . 3đ?‘Ľ1 − 2đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 = 2 Por outro lado, a terna (−1,2,1) nĂŁo ĂŠ solução do sistema. Embora (−1,2,1) satisfaça a segunda equação, o mesmo nĂŁo ocorre para as outras equaçþes do sistema.

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2.3.2.1 Sistemas Equivalentes: Dois sistemas de equaçþes lineares sĂŁo equivalentes se, e somente se, toda solução de qualquer um dos sistemas tambĂŠm ĂŠ solução do outro. Exemplo: đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 = −4 đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 = −4 2đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ = 1 Os sistemas de equaçþes lineares { 1 e { 3đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 = 9 sĂŁo 2 3 3đ?‘Ľ1 − 2đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 = 2 4đ?‘Ľ1 − 3đ?‘Ľ2 = −2 sistemas equivalentes (verifique!). Indicamos a equivalĂŞncia dos sistemas por: đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 = −4 đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 = −4 { 2đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 = 1 ~ { 3đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 = 9 . 3đ?‘Ľ1 − 2đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 = 2 4đ?‘Ľ1 − 3đ?‘Ľ2 = −2 2.3.3 Sistemas e matrizes: Podemos escrever o sistema de equaçþes đ?‘Ž11 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž12 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?1 đ?‘Ž đ?‘Ľ + đ?‘Ž22 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?2 lineares { 21 1 na forma matricial: â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1 đ?‘Ľ1 + đ?‘Žđ?‘š2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘šđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?đ?‘š đ?‘Ž11 đ?‘Ž21 [ â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1

đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 â‹Ž đ?‘Žđ?‘š2

â‹Ż đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘?1 đ?‘Ľ1 ‌ đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘?2 đ?‘Ľ2 â‹ą â‹Ž ] â‹… [ â‹Ž ] = [ â‹Ž ] ⇔ đ??´ â‹… đ?‘‹ = đ??ľ. đ?‘Ľđ?‘› â‹Ż đ?‘Žđ?‘šđ?‘› đ?‘?đ?‘š

đ?‘Ž11 đ?‘Ž21 Onde đ??´ = [ â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1

đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 â‹Ž đ?‘Žđ?‘š2

â‹Ż đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘?1 đ?‘Ľ1 ‌ đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘?2 đ?‘Ľ2 â‹ą â‹Ž ], đ?‘‹ = [ â‹Ž ] e đ??ľ = [ â‹Ž ]. Dizemos que đ??´ ĂŠ a đ?‘Ľđ?‘› â‹Ż đ?‘Žđ?‘šđ?‘› đ?‘?đ?‘š

matriz dos coeficientes, đ?‘‹ ĂŠ a matriz das incĂłgnitas e đ??ľ ĂŠ a matriz dos termos independentes. Podemos ainda representar o sistema acima pela matriz ampliada: đ?‘Ž11 đ?‘Ž [ 21 â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1

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đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 â‹Ž đ?‘Žđ?‘š2

⋯ �1� ‌ �2� ⋹ ⋎ ⋯ ���

đ?‘?1 đ?‘?2 ]. â‹Ž đ?‘?đ?‘š

29

Note que a matriz ampliada ĂŠ composta pelos coeficientes de cada equação, juntamente com os termos independentes. Exemplo: 2đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 = 1 O sistema { đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 = −4 em sua forma matricial ĂŠ dado por: 3đ?‘Ľ1 − 2đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 = 2 đ?‘Ľ1 2 1 −1 1 [1 −1 −1] â‹… [đ?‘Ľ2 ] = [−4]. đ?‘Ľ3 3 −2 1 2 Ou ainda, podemos escrever a matriz ampliada associada ao sistema: 2 [1 3

1 −1 −1 −1 −2 1

1 −4]. 2

Observação: Note que, escrevemos o sistema de equaçþes lineares: đ?‘Ž11 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž12 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?1 đ?‘Ž đ?‘Ľ + đ?‘Ž22 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?2 { 21 1 â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1 đ?‘Ľ1 + đ?‘Žđ?‘š2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘šđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?đ?‘š Como: đ?‘Ž11 đ?‘Ž21 [ â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1

đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 â‹Ž đ?‘Žđ?‘š2

â‹Ż đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘?1 đ?‘Ľ1 ‌ đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘? đ?‘Ľ2 2 â‹ą â‹Ž ]â‹…[ â‹Ž ]=[ â‹Ž ] đ?‘Ľđ?‘› â‹Ż đ?‘Žđ?‘šđ?‘› đ?‘?đ?‘š

Devido ao fato de que, ao realizarmos a multiplicação đ??´ â‹… đ?‘‹ e usando a definição de igualdade entre matrizes, teremos exatamente o conjunto das equaçþes do sistema.

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30

2.4 OPERAÇÕES ELEMENTARES SĂŁo trĂŞs as operaçþes elementares sobre as linhas de uma matriz. A seguir, veremos estas operaçþes e alguns exemplos. 2.4.1 Permuta das đ?’Š − ĂŠđ?’”đ?’Šđ?’Žđ?’‚ e đ?’‹ − ĂŠđ?’”đ?’Šđ?’Žđ?’‚ linhas (đ?‘łđ?’Š ↔ đ?‘łđ?’‹): Consiste em “trocar de lugarâ€? a đ?‘– − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž linha pela đ?‘— − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž linha. Exemplo: 1 Façamos đ??ż2 ↔ đ??ż3 na matriz [ 4 −3 1 [4 −3

0 −1]. Temos entĂŁo: 4 0 đ??ż2↔đ??ż3 1 [−3 −1] → 4 4

0 4 ]. −1

. 2.4.2 Multiplicação da đ?’Š − ĂŠđ?’”đ?’Šđ?’Žđ?’‚ linha por um escalar nĂŁo nulo (đ?‘łđ?’Š → đ?’Œ â‹… đ?‘łđ?’Š): Consiste em multiplicar a đ?‘– − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž linha de uma matriz por um escalar đ?‘˜ ≠0, onde đ?‘˜ ∈ đ?•‚. Exemplo: 1 0 Façamos đ??ż2 → −3 â‹… đ??ż2 na matriz [ 4 −1]. Temos entĂŁo: −3 4 1 [4 −3

0 đ??ż2→−3â‹…đ??ż2 1 [−12 −1] → 4 −3

0 3]. 4

2.4.3 Substituição da đ?’Š − ĂŠđ?’”đ?’Šđ?’Žđ?’‚ linha pela đ?’Š − ĂŠđ?’”đ?’Šđ?’Žđ?’‚ linha mais đ?’Œ vezes a đ?’‹ − ĂŠđ?’”đ?’Šđ?’Žđ?’‚ linha (đ?‘łđ?’Š → đ?‘łđ?’Š + đ?’Œ â‹… đ?‘łđ?’‹): Pensemos que, para usar esta operação, devemos trocar uma linha da matriz por ela prĂłpria somada com uma linha “mĂşltiplaâ€? de outra linha presente na matriz. Exemplo:

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31

1 0 Façamos đ??ż3 → đ??ż3 + 2 â‹… đ??ż1 na matriz [ 4 −1]. Temos entĂŁo: −3 4 1 [4 −3

0 đ??ż3→đ??ż3+2â‹…đ??ż1 1 0 [ 4 −1]. −1] → 4 −1 4

2.4.4 Definição: Se đ??´ e đ??ľ sĂŁo matrizes đ?‘šĂ—đ?‘›, dizemos que đ??ľ ĂŠ linha equivalente a đ??´, se đ??ľ ĂŠ obtida atravĂŠs de um nĂşmero finito de operaçþes elementares sobre as linhas de đ??´. Podemos denotar đ??´ → đ??ľ ou đ??´~đ??ľ. 2.4.5 Teorema: Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes sĂŁo equivalentes.

2.5 FORMA ESCADA 2.5.1 Definição: Uma matriz đ?‘šĂ—đ?‘› ĂŠ linha reduzida Ă forma escada se: i. O primeiro elemento nĂŁo nulo de uma linha nĂŁo nula ĂŠ 1; ii. Cada coluna que contĂŠm o primeiro elemento nĂŁo nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais Ă zero; iii. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas nĂŁo nulas; iv. Se as linhas 1,2 ‌ , đ?‘&#x; sĂŁo linhas nĂŁo nulas, e se o primeiro elemento nĂŁo nulo da linha đ?‘– ocorre na coluna đ?‘˜đ?‘– , entĂŁo đ?‘˜1 < đ?‘˜2 < â‹Ż < đ?‘˜đ?‘&#x; . A condição (iv) impĂľe a forma escada Ă matriz:

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32

Isto ĂŠ, o nĂşmero de zeros precedendo o primeiro elemento nĂŁo nulo de uma linha aumenta a cada linha, atĂŠ que sobrem somente linhas nulas, se houver. Exemplos: 1 01. [0 0

0 0 1 −1 0 1

0 0] nĂŁo ĂŠ uma matriz linha reduzida Ă forma escada. Note que 0

a condição (ii) nĂŁo ĂŠ satisfeita, pois đ?‘Ž33 = 1 ĂŠ o primeiro elemento nĂŁo nulo da linha 3, mas o restante de elementos da coluna 3 nĂŁo sĂŁo nulos. 0 02. [1 0

2 1 0 −3] nĂŁo ĂŠ uma matriz linha reduzida Ă forma escada, as condiçþes 0 0

(i) e (iv) não são satisfeitas. A condição (i) diz que o primeiro elemento não nulo de cada linha deve ser igual a 1, note que o primeiro elemento não nulo da linha 1 Ê igual a 2. Jå a linha 2 possui elemento não nulo na coluna 1, enquanto a linha 1 possui elemento não nulo na coluna 2, o que não corresponde a condição exigida em (iv). 0 03. [0 0

1 −3 0 0 0 0

0 0 −1

1 0] nĂŁo ĂŠ uma matriz linha reduzida Ă forma escada, as 2

condiçþes (i) e (iii) nĂŁo sĂŁo satisfeitas. Na linha 3, note que o primeiro elemento nĂŁo nulo ĂŠ igual a −1, logo (i) nĂŁo ĂŠ satisfeita. Existe uma linha nula (linha 2) acima de uma linha nĂŁo nula (linha 3), portanto (iii) nĂŁo ĂŠ satisfeita. 0 04. [0 0

1 −3 0 0 0 0

0 2 1 2] ĂŠ uma matriz linha reduzida Ă forma escada. 0 0

2.5.2 Teorema: Toda matriz đ??´đ?‘šĂ—đ?‘› ĂŠ linha equivalente a uma Ăşnica matriz linha reduzida Ă forma escada.

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33

2.5.3 Definição: Seja đ??´đ?‘šĂ—đ?‘› uma matriz e đ??ľđ?‘šĂ—đ?‘› a matriz linha reduzida Ă forma escada linha equivalente a đ??´. O posto de đ??´, denotado por đ?‘?, ĂŠ o nĂşmero de linhas nĂŁo nulas de đ??ľ. A nulidade de đ??´ ĂŠ o nĂşmero đ?‘› − đ?‘?. Observamos que, para determinar o posto de uma matriz, devemos encontrar sua matriz linha reduzida Ă forma escada, assim o posto de đ??´ serĂĄ o nĂşmero de linhas nĂŁo nulas presentes na matriz escada. Para determinar a nulidade, fazemos a diferença entre o nĂşmero de colunas de đ??´ e o posto de đ??´. Exemplos: 1 01. Vamos determinar o posto e a nulidade de đ??´ = [−1 1

2 0 −2

1 3 1

0 5]. 1

Primeiramente, usando operaçþes elementares, vamos determinar a matriz linha reduzida Ă forma escada linha equivalente a matriz đ??´.

1 [−1 1

đ??ż3→đ??ż3+4â‹…đ??ż2

→

2 0 −2

0 đ??ż2→đ??ż2+đ??ż1 1 đ??ż3→đ??ż3−đ??ż1 [0 5] → 0 1

1 3 1

1

2

[0

1

0

0

1

2 2 −4

1 4 0

1 2

1

0 1 5 đ??ż3→8â‹…đ??ż3 0 1 ]→ 2 2 8 11 [0 0

đ??ż1→đ??ż1−2â‹…đ??ż2

→

1 0 đ??ż2→1â‹…đ??ż2 2 [0 5] → 1 0

2 1 −4

0 1 5 đ??ż2→đ??ż2−2â‹…đ??ż3 đ??ż1→đ??ż1−đ??ż3 2 → 0 11 8] [0

2 1

1

0

0

0

1

0

[0

0

1

1 0 5 ] 2 2 0 1

2

0

1

0

0

1

11 8 1 − 4 11 8 ]

−

7 8 1 − . 4 11 8 ] −

E temos a matriz linha reduzida Ă forma escada linha equivalente a đ??´. Por definição, temos que o posto de đ??´ ĂŠ đ?‘? = 3 e a nulidade ĂŠ 4 − 3 = 1.

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34

Note que, se a matriz đ??´ acima for associada Ă matriz ampliada de um sistema, temos: đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś + đ?‘§ = 0 { −đ?‘Ľ + 3đ?‘§ = 5 . đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + đ?‘§ = 1 A matriz escada obtida ĂŠ equivalente a matriz đ??´ e, pelo Teorema 2.4.5, o sistema associado a matriz đ??´ serĂĄ equivalente ao sistema associado a matriz escada. Logo: 7 8 đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś + đ?‘§ = 0 1 { −đ?‘Ľ + 3đ?‘§ = 5 ~ đ?‘Ś = − . 4 đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + đ?‘§ = 1 11 {đ?‘§ = 8 đ?‘Ľ=−

đ?‘Ľ=−

7

7

1

0

0 −

Onde đ?‘Ś = − 4 ĂŠ o sistema associado Ă matriz escada 0

1

0 − . 4

0

1

{

�=

8 1

11

[0

8

8 1

11 8

]

Note que, ao determinarmos a matriz escada equivalente a matriz ampliada do sistema, encontramos a solução de tal sistema.

2 1 02. A matriz đ??ľ = [ 1 4

−1 4 −5 16

1 3 2 ] ĂŠ equivalente a matriz 0 1 0 8 [0

0 1 0 0

14 9 1 9

que ĂŠ a matriz

0 0]

linha reduzida Ă forma escada. Temos o posto đ?‘? = 2 e a nulidade 3 − 2 = 1. Novamente, associando as matrizes a sistemas de equaçþes lineares, temos: 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 3 14 đ?‘Ľ= đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 2 9. { ~{ 1 đ?‘Ľ − 5đ?‘Ś = 1 đ?‘Ś = 4đ?‘Ľ + 16đ?‘Ś = 8 9

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35

Este ĂŠ o caso de um sistema com equaçþes redundantes, ou seja, a terceira e a quarta equaçþes podem ser “desconsideradasâ€?. Isto significa que o sistema inicial ĂŠ equivalente ao sistema:

{

2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 3 . đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 2

Podemos ainda dizer que as duas primeiras equaçþes sĂŁo independentes e as demais sĂŁo dependentes. Observação: É muito importante perceber o que o posto de uma matriz ampliada de um sistema nos fornece o nĂşmero de equaçþes independentes do mesmo.

2.6 TIPOS DE SOLUÇÕES (SPD, SPI E SI) Um sistema de equaçþes lineares pode ser classificado da seguinte maneira: Sistema PossĂ­vel Determinado (SPD): Dizemos que um sistema ĂŠ SPD se este possui solução Ăşnica. Sistema PossĂ­vel Indeterminado (SPI): Dizemos que um sistema ĂŠ SPI quando este possui infinitas soluçþes. Sistema ImpossĂ­vel (SI): Dizemos que um sistema ĂŠ SI quando este nĂŁo possui solução. 2.6.1 Sistema đ?’‚đ?’™ = đ?’ƒ: Se tivermos um sistema de uma equação e uma incĂłgnita đ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘?, sĂŁo trĂŞs as possibilidades: i. Se đ?‘Ž ≠0, entĂŁo a equação possui uma Ăşnica solução, que ĂŠ: đ?‘? đ?‘Ľ= . đ?‘Ž

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36

ii. Se đ?‘Ž = đ?‘? = 0, entĂŁo a equação possui infinitas soluçþes, pois qualquer que seja o valor de đ?‘Ľ, teremos:

0 â‹… đ?‘Ľ = 0. iii. Se đ?‘Ž = 0 e đ?‘? ≠0, entĂŁo a equação nĂŁo possui solução, pois nĂŁo existe valor de đ?‘Ľ que satisfaça:

0 â‹… đ?‘Ľ = đ?‘?. 2.6.2: AnĂĄlise de sistemas de duas equaçþes e duas incĂłgnitas: Façamos

tal

analise

utilizando

exemplos

prĂĄticos,

e

em

seguida

formalizaremos para casos mais gerais. Exemplos: 2đ?‘Ľ + đ?‘Ľ2 = 5 01. Consideramos o sistema { 1 . Note que, cada uma das equaçþes đ?‘Ľ1 − 3đ?‘Ľ2 = 6 representa a equação de uma reta no plano, observe:

A solução deste sistema ĂŠ o par (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ) ∈ â„œ2 que satisfaz as duas equaçþes simultaneamente. Geometricamente, devemos encontrar o ponto do plano que ĂŠ comum Ă s duas retas, ou seja, queremos encontrar a interseção destas retas. É fĂĄcil perceber que a solução serĂĄ (3, −1).

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37

2 1

Note que [

1 −3

5 ] ĂŠ a matriz ampliada do sistema. Agora, vamos 6

“transformar� esta matriz em sua matriz equivalente na forma escada: 1

2 [ 1

1 −3

5 đ??ż2↔đ??ż1 1 ]→ [ 2 6

−3 1

6 đ??ż2→đ??ż2−2â‹…đ??ż1 1 −3 6 đ??ż2→7â‹…đ??ż2 1 ]→ [ ]→ [ 5 0 7 −7 0 đ??ż1→đ??ż1+3â‹…đ??ż2

→

1 0

[

−3 1

6 ] −1

0 3 ] 1 −1

Assim, o sistema equivalente ao sistema inicial, ĂŠ o sistema associado a matriz escada obtida acima. Temos: đ?‘Ľ =3 { 1 . đ?‘Ľ2 = −1 Obtemos a solução đ?‘Ľ1 = 3 e đ?‘Ľ2 = −1. Podemos ainda observar que o posto da matriz ampliada do sistema ĂŠ đ?‘? = 2 e a nulidade ĂŠ 3 − 2 = 1. Este ĂŠ o caso de um sistema possĂ­vel determinado. 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 5 02. Consideramos o sistema { . Note que as duas equaçþes 6đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = 15 representam duas retas coincidentes no plano. Observe:

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38

Geometricamente, qualquer ponto de uma das retas pertence Ă outra. 2 6

A matriz ampliada do sistema ĂŠ [ 1 escada ĂŠ [ 0

1 2

0

5 2 ].

1 3

5 ] e sua matriz equivalente na forma 15

Portanto o sistema equivalente ao sistema inicial ĂŠ:

0

1 5 đ?‘Ľ + đ?‘Ś = { 2 2. 0đ?‘Ľ + 0đ?‘Ś = 0 Logo a segunda equação pode ser desconsiderada, pois nĂŁo estabelecemos nenhuma condição sobre đ?‘Ľ ou đ?‘Ś. Assim, a solução do sistema ĂŠ obtida atribuindo-se valores a uma das incĂłgnitas e em seguida determina-se o valor da outra incĂłgnita. Por exemplo, sem escrevermos đ?‘Ś = 5 − 2đ?‘Ľ, ao atribuirmos valores para đ?‘Ľ, encontramos valores consequentes para đ?‘Ś. Este sistema admite infinitas soluçþes. Este ĂŠ um caso de um sistema possĂ­vel indeterminado.

03. Seja {

2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 5 um sistema 2Ă—2. Geometricamente, tem-se: 6đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = 10

Note que, as equaçþes representam duas retas paralelas, isto Ê, as retas em questão não possuem nenhum ponto em comum. Ainda podemos dizer que

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39

nĂŁo existe (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 tal que đ?‘Ľ e đ?‘Ś satisfaçam as equaçþes simultaneamente. A matriz ampliada do sistema ĂŠ [ [

1 0

2 6

1 3

5 ] e sua matriz escada equivalente ĂŠ 10

1

0 ]. Portanto, temos o sistema equivalente: 0 1 2

1 đ?‘Ľ+ đ?‘Ś=0 { . 2 0đ?‘Ľ + 0đ?‘Ś = 1 NĂŁo existem valores de đ?‘Ľ e đ?‘Ś que satisfaçam a segunda equação. Assim, o sistema inicial nĂŁo possui solução. Este ĂŠ um caso de um sistema impossĂ­vel. 2.6.3 Caso Geral: Consideramos um sistema de equaçþes lineares đ?‘šĂ—đ?‘›: đ?‘Ž11 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž12 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?1 đ?‘Ž21 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž22 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?2 { . â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1 đ?‘Ľ1 + đ?‘Žđ?‘š2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘šđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?đ?‘š Onde os coeficientes đ?‘Žđ?‘–đ?‘— e đ?‘?đ?‘– sĂŁo elementos de um corpo. Este sistema poderĂĄ ter: i. Uma Ăşnica solução (SPD); ii. Infinitas soluçþes (SPI); iii. Nenhuma solução (SI). 2.6.4 Teorema: i. Um sistema de đ?‘š equaçþes e đ?‘› incĂłgnitas admite solução se, e somente se, o posto da matriz ampliada ĂŠ igual ao posto da matriz dos coeficientes. ii. Se as duas matrizes tĂŞm o mesmo posto đ?‘? e đ?‘? = đ?‘›, a solução serĂĄ Ăşnica. iii. Se as duas matrizes tĂŞm o mesmo posto đ?‘? e đ?‘? < đ?‘›, podemos escolher đ?‘› − đ?‘? incĂłgnitas, e as outras đ?‘? incĂłgnitas serĂŁo dadas em função destas.

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Dizemos no caso iii que o grau de liberdade do sistema ĂŠ đ?‘› − đ?‘?. Denotamos o posto da matriz ampliada por đ?‘?đ?‘Ž e o posto da matriz dos coeficientes de đ?‘?đ?‘? . Se đ?‘?đ?‘? = đ?‘?đ?‘Ž , denotamos đ?‘?đ?‘? = đ?‘?đ?‘Ž = đ?‘?. Exemplos: 1 01. Na matriz [0 0

0 1 0

0 3 0 −2] temos đ?‘› = 3 e đ?‘?đ?‘? = đ?‘?đ?‘Ž = đ?‘? = 3, note que đ?‘? = 3 = đ?‘›, 1 2

segue pelo Teorema que a solução do sistema associado a esta matriz serå única. 1 02. Na matriz [ 0

0 1

7 5

−10 ] temos đ?‘› = 3 e đ?‘?đ?‘? = đ?‘?đ?‘Ž = đ?‘? = 2, tambĂŠm đ?‘? = 2 < 6

3 = đ?‘› ⇒ đ?‘? < đ?‘› logo o sistema ĂŠ SPI com grau de liberdade đ?‘› − đ?‘? = 3 − 2 = 1, ou seja, uma incĂłgnita ĂŠ livre e as outras duas dependem desta. 1 03. Na matriz [0 0

0 1 0

7 −10 5 −6 ] temos đ?‘› = 3, đ?‘?đ?‘? = 2 e đ?‘?đ?‘Ž = 3. Note que đ?‘?đ?‘? = 2 ≠0 2

3 = đ?‘?đ?‘Ž ⇒ đ?‘?đ?‘? ≠đ?‘?đ?‘Ž e, portanto, o sistema associado a esta matriz ĂŠ SI.

2.7 SOLUĂ‡ĂƒO DE UM SISTEMA PELA MATRIZ INVERSA Seja đ??´ â‹… đ?‘‹ = đ??ľ a forma matricial de um sistema de equaçþes lineares de đ?‘š equaçþes e đ?‘š incĂłgnitas e suponha que existe a matriz đ??´âˆ’1 inversa de đ??´. Temos que: đ??´ â‹… đ?‘‹ = đ??ľ ⇒ đ??´âˆ’1 â‹… (đ??´ â‹… đ?‘‹) = đ??´âˆ’1 â‹… đ??ľ ⇒ (đ??´âˆ’1 â‹… đ??´) â‹… đ?‘‹ = đ??´âˆ’1 â‹… đ??ľ ⇒ đ??ź â‹… đ?‘‹ = đ??´âˆ’1 â‹… đ??ľ ⇒ đ?‘‹ = đ??´âˆ’1 â‹… đ??ľ. Portanto đ?‘‹ = đ??´âˆ’1 â‹… đ??ľ ĂŠ solução do sistema đ??´ â‹… đ?‘‹ = đ??ľ.

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41

2.8 SISTEMAS HOMOGĂŠNEOS 2.8.1

Definição:

Um

sistema

de

equaçþes

lineares

đ?‘Ž11 đ?‘Ľ1 + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?1 â‹Ž { ĂŠ chamado de sistema homogĂŞneo se đ?‘?1 = â‹Ż = đ?‘?đ?‘› = 0. đ?‘Žđ?‘š1 đ?‘Ľ1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘šđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?đ?‘š Na forma matricial, o sistema đ??´ â‹… đ?‘‹ = đ??ľ ĂŠ homogĂŞneo se đ??ľ = 0, onde 0 ĂŠ a matriz nula de ordem đ?‘šĂ—1 (đ?‘‚đ?‘šĂ—1 ). Observação: Todo sistema homogĂŞneo possui pelo menos uma solução, chamamos esta de solução trivial ou solução nula đ?‘‹0 . Onde: 0 đ?‘‹0 = [ â‹Ž ]. 0 Ou ainda, podemos pensar na solução como sendo a đ?‘› − đ?‘˘đ?‘?đ?‘™đ?‘Ž (đ?‘Ľ1 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› ) = (0,0, ‌ ,0). Exemplos:

01. O sistema {

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś =0 ĂŠ um sistema homogĂŞneo e tem, como Ăşnica solução, đ?‘Ľ+đ?‘Ś =0

a solução (0,0).

02. O sistema {

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś+đ?‘§ =0 ĂŠ homogĂŞneo. Note que (0,0,0) ĂŠ uma solução deste đ?‘Ľ+đ?‘Ś+đ?‘§ =0

sistema, porĂŠm nĂŁo ĂŠ Ăşnica. Pois: 1

1 [ 1

−1 1

1 1

0 đ??ż2→đ??ż2−đ??ż1 1 −1 ]→ [ 0 0 2 đ??ż1→đ??ż1+đ??ż2

→

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1 [ 0

1 0 đ??ż2→2â‹…đ??ż2 1 −1 1 ]→ [ 0 0 0 1 0 0 1 1 0

0 ] 0

0 ]. 0

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�+� =0 Temos o sistema equivalente ao sistema inicial { . Logo: �=0

đ?‘Ľ = −đ?‘§, đ?‘Ś = 0 đ?‘’ đ?‘§ ∈ â„œ. O conjunto solução do sistema ĂŠ đ?‘† = {(−đ?‘§, 0, đ?‘§); đ?‘§ ∈ â„œ}, isto ĂŠ, a cada valor atribuĂ­do para đ?‘§ teremos uma solução. Portanto, este sistema possui infinitas soluçþes, ou seja, este ĂŠ um SPI. Isto acontece, por que se trata de um sistema 2Ă—3, ou seja, um sistema com nĂşmero de incĂłgnitas maior do que o nĂşmero de equaçþes. 2.8.2 Teorema: Se um sistema de equaçþes lineares homogĂŞneo tem mais incĂłgnitas do que equaçþes, entĂŁo existe uma solução nĂŁo trivial. Prova: Seja o sistema homogĂŞneo na forma matricial đ??´ â‹… đ?‘‹ = 0, onde đ??´ ĂŠ uma matriz đ?‘šĂ—đ?‘› com đ?‘š < đ?‘› (isto quer dizer que o nĂşmero de incĂłgnitas ĂŠ maior do que o nĂşmero de equaçþes). Como um sistema homogĂŞneo ĂŠ sempre possĂ­vel, pelo item i do Teorema 2.6.4 temos que đ?‘?đ?‘? = đ?‘?đ?‘Ž = đ?‘?. E como o sistema possui mais incĂłgnitas do que equaçþes, obviamente đ?‘? < đ?‘›, segue entĂŁo pelo item iii do Teorema 2.6.4 que o sistema possui grau de liberdade đ?‘› − đ?‘? e đ?‘? incĂłgnitas dependentes das incĂłgnitas livres, ou seja, este sistema ĂŠ possĂ­vel e indeterminado, portanto possui uma solução nĂŁo trivial. 2.8.3 Propriedade: Se đ?‘‹â„Ž ĂŠ uma solução do sistema homogĂŞneo đ??´ â‹… đ?‘‹ = 0, entĂŁo đ?›ź â‹… đ?‘‹â„Ž tambĂŠm ĂŠ solução, onde đ?›ź ∈ đ?•‚ ((đ?•‚, +,â‹…) ĂŠ um corpo). Demonstração: Para mostrar que đ?›ź â‹… đ?‘‹â„Ž ĂŠ uma solução do sistema homogĂŞneo, basta mostrar que đ??´ â‹… (đ?›ź â‹… đ?‘‹â„Ž ) = 0. De fato: đ??´ â‹… (đ?›ź â‹… đ?‘‹â„Ž ) = đ?›ź â‹… (đ??´ â‹… đ?‘‹â„Ž ) ‌ (1) Da hipĂłtese, sabemos que đ?‘‹â„Ž ĂŠ solução do sistema, ou seja, đ??´ â‹… đ?‘‹â„Ž = 0. DaĂ­, em (1) temos:

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đ??´ â‹… (đ?›ź â‹… đ?‘‹â„Ž ) = đ?›ź â‹… (đ??´ â‹… đ?‘‹â„Ž ) = đ?›ź â‹… 0 = 0 ⇒ đ??´ â‹… (đ?›ź â‹… đ?‘‹â„Ž ) = 0. A igualdade acima nos diz que đ?›ź â‹… đ?‘‹â„Ž ĂŠ solução do sistema, que ĂŠ o desejado. Como vimos anteriormente, o sistema {

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś+đ?‘§ =0 tem como solução đ?‘Ľ+đ?‘Ś+đ?‘§ =0

qualquer đ?‘† = {(−đ?‘§, 0, đ?‘§); đ?‘§ ∈ â„œ}. Note que (−1,0,1) ĂŠ uma solução do sistema, e consequentemente (−2,0,2), (−10,0,10) tambĂŠm. 2.8.4 Propriedade: Se đ?‘‹1 e đ?‘‹2 sĂŁo soluçþes do sistema homogĂŞneo đ??´ â‹… đ?‘‹ = 0, entĂŁo đ?‘‹1 + đ?‘‹2 tambĂŠm ĂŠ solução. 2.8.5 Teorema: Qualquer combinação linear de soluçþes de um sistema homogĂŞneo tambĂŠm ĂŠ solução.

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CAPĂ?TULO 03: SISTEMAS DE COORDENADAS

3.1 INTRODUĂ‡ĂƒO O objetivo deste capĂ­tulo ĂŠ estudar o produto cartesiano entre conjuntos e fazer uma revisĂŁo sobre sistemas de coordenadas no plano e no espaço.

3.2 PRODUTO CARTESIANO 3.2.1 Definição: Sejam đ??´ e đ??ľ dois conjuntos tais que đ??´ ≠đ?œ™ e đ??ľ ≠đ?œ™. Definimos o produto cartesiano entre đ??´ e đ??ľ, denotado por đ??´Ă—đ??ľ, como sendo o conjunto đ??´Ă—đ??ľ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś); đ?‘Ľ ∈ đ??´ đ?‘’ đ?‘Ś ∈ đ??ľ}. Observaçþes: 01. Se đ??´ = đ?œ™ ou đ??ľ = đ?œ™, o produto cartesiano de đ??´ por đ??ľ ĂŠ đ??´Ă—đ??ľ = đ?œ™. Em outras palavras, se um dos conjuntos for vazio, entĂŁo o produto cartesiano entre eles ĂŠ vazio. 02. Se đ??´ ≠đ??ľ, entĂŁo đ??´Ă—đ??ľ ≠đ??ľĂ—đ??´. 03. đ??´Ă—đ??´ = đ??´2 . 04. Se đ??´ possui đ?‘š elementos e đ??ľ possui đ?‘› elementos, entĂŁo đ??´Ă—đ??ľ possui đ?‘š â‹… đ?‘› elementos. 05. Denotaremos a quantidade de elementos de um conjunto đ??´ por đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘‘(đ??´). No caso em que đ??´ possui đ?‘› elementos, temos đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘‘(đ??´) = đ?‘›.

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06. Reescrevemos a observação 04 por: đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘‘(đ??´) = đ?‘š e đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘‘(đ??ľ) = đ?‘› ⇒ đ??śđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘‘(đ??´Ă—đ??ľ) = đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘‘(đ??´) â‹… đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘‘(đ??ľ) = đ?‘š â‹… đ?‘›. Exemplo: Sejam đ??´ = {−1,0,2,3} e đ??ľ = {3,5}. O produto cartesiano đ??´Ă—đ??ľ ĂŠ o conjunto đ??´Ă—đ??ľ = {(−1,3), (−1,5), (0,3), (0,5), (2,3), (2,5), (3,3), (3,5)}. Note que, como đ??´ possui 4 elementos e đ??ľ possui 2 elementos, de acordo com a observação 04, đ??´Ă—đ??ľ possui 4 â‹… 2 = 8 elementos.

3.3 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO O sistema formado por um ponto do plano đ?‘‚ chamado de origem e pelos eixos perpendiculares đ?‘‹ e đ?‘Œ cuja interseção ĂŠ o ponto đ?‘‚, onde ambos os eixos sĂŁo retas que representam o conjunto dos nĂşmeros reais â„œ, recebe o nome de plano cartesiano ou sistema de coordenadas cartesianas no plano.

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O sistema de coordenadas cartesianas no plano ĂŠ o produto cartesiano â„œĂ—â„œ, isto ĂŠ, â„œ2 = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś); đ?‘Ľ ∈ â„œ đ?‘’ đ?‘Ś ∈ â„œ}. Exemplo:

Na representação acima, o ponto đ??´ tem coordenadas đ?‘Ľ = 2 e đ?‘Ś = 3, ou seja, đ??´ = (2,3). O ponto đ??ľ tem coordenadas đ?‘Ľ = −1 e đ?‘Ś = 2, ou seja, đ??ľ = (−1,2). 3.3.1 Quadrantes: Os eixos đ?‘‹ e đ?‘Œ dividem o plano em quatro semiplanos, cada um destes semiplanos recebe o nome de quadrante.

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Considerando um ponto đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) no plano, com relação ao sistema de coordenadas, temos: i. đ?‘ƒ ∈ đ?‘„1 se đ?‘Ľ > 0e đ?‘Ś > 0; ii. đ?‘ƒ ∈ đ?‘„2 se đ?‘Ľ < 0 e đ?‘Ś > 0; iii. đ?‘ƒ ∈ đ?‘„3 se đ?‘Ľ < 0 e đ?‘Ś < 0; iv. đ?‘ƒ ∈ đ?‘„4 se đ?‘Ľ > 0 e đ?‘Ś < 0. v. Se đ?‘Ľ = 0, đ?‘ƒ estĂĄ sobre o eixo Y. vi. Se đ?‘Ś = 0, đ?‘ƒ estĂĄ sobre o eixo đ?‘‹ 3.3.2 Distância entre pontos no plano: Dados os pontos đ??´ = (đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??´ ) e đ??ľ = (đ?‘Ľđ??ľ , đ?‘Śđ??ľ ) no plano. A distância entre os pontos đ??´ e đ??ľ, denotada por đ?‘‘(đ??´, đ??ľ), ĂŠ dada por:

đ?‘‘(đ??´, đ??ľ) = √(đ?‘Ľđ??´ − đ?‘Ľđ??ľ )2 + (đ?‘Śđ??´ − đ?‘Śđ??ľ )2 .

3.4 SISTEMA DE COORDENADAS NO ESPAÇO O sistema formado por um ponto do espaço đ?‘‚ chamado de origem e pelos eixos ortogonais đ?‘‹, đ?‘Œ e đ?‘? cuja interseção ĂŠ o ponto đ?‘‚, onde estes eixos sĂŁo retas que representam o conjunto dos nĂşmeros reais â„œ, recebe o nome de sistema de coordenadas cartesianas no espaço.

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O sistema de coordenadas cartesianas no espaço ĂŠ o produto cartesiano â„œĂ—â„œĂ—â„œ, isto ĂŠ, â„œ3 = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§); đ?‘Ľ ∈ â„œ, đ?‘Ś ∈ â„œ đ?‘’ đ?‘§ ∈ â„œ}. Exemplo:

Na representação acima o ponto đ??´ tem coordenadas đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś = đ?‘Ś0 e đ?‘§ = đ?‘§0 , ou seja, đ??´ = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ). 3.4.1 Octantes: Os eixos đ?‘‹, đ?‘Œ e đ?‘? dividem o espaço em oito semiespaços, cada um destes semiespaços recebe o nome de octante. 3.4.2 Distância entre pontos no espaço: Sejam đ??´ = (đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??´ , đ?‘§đ??´ ) e đ??ľ = (đ?‘Ľđ??ľ , đ?‘Śđ??ľ , đ?‘§đ??ľ ) pontos do espaço. A distância entre os pontos đ??´ e đ??ľ ĂŠ dada por:

đ?‘‘(đ??´, đ??ľ) = √(đ?‘Ľđ??´ − đ?‘Ľđ??ľ )2 + (đ?‘Śđ??´ − đ?‘Śđ??ľ )2 + (đ?‘§đ??´ − đ?‘§đ??ľ )2 .

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CAPĂ?TULO 04: VETORES

4.1 INTRODUĂ‡ĂƒO Neste capĂ­tulo estudaremos vetores atravĂŠs de uma abordagem tendendo Ă geometria. PorĂŠm, no decorrer do semestre, veremos que podemos estudar vetores de uma maneira mais abstrata. A partir de agora, nosso ambiente de estudo serĂĄ o espaço tridimensional, denotado por đ??¸ 3 . Mais tarde veremos que estamos trabalhando no sistema â„œ3 , porĂŠm, por enquanto digamos que este ambiente seja simplesmente đ??¸ 3 .

4.2 CONCEITOS BĂ SICOS 4.2.1 Reta Orientada: Uma reta đ?‘&#x; ĂŠ dita orientada quando nela fixamos um sentido de percurso, considerado positivo, e indicado por uma seta.

O sentido oposto ĂŠ chamado de sentido negativo. 4.2.2 Segmento Orientado: Um segmento orientado ĂŠ determinado por um par de pontos, onde o primeiro ponto ĂŠ chamado de origem do segmento e o segundo ĂŠ chamado de extremidade do segmento.

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Sendo đ??´ a origem e đ??ľ a extremidade, denotamos este segmento orientado por (đ??´, đ??ľ) (note que devemos levar em consideração a ordem em que dispomos os pontos). Geometricamente, este segmento ĂŠ representado por uma seta, de acordo com a figura abaixo.

4.2.2 Segmento Nulo: Um segmento ĂŠ considerado nulo se sua extremidade coincide com a origem. 4.2.3 Segmento Oposto: Sendo (đ??´, đ??ľ) um segmento orientado, o segmento (đ??ľ, đ??´) ĂŠ chamado de segmento oposto de (đ??´, đ??ľ). 4.2.4 Medida de um segmento: Ao fixarmos uma unidade de comprimento padrĂŁo, a cada segmento orientado pode-se associar um nĂşmero real nĂŁo negativo, que ĂŠ a medida do segmento em relação Ă unidade considerada. Chamamos a medida de um segmento de comprimento ou mĂłdulo. Ě…Ě…Ě…Ě…. Denotamos o comprimento do segmento (đ??´, đ??ľ) por đ??´đ??ľ Exemplo: Considere o segmento (đ??´, đ??ľ) e a unidade de medida đ?‘˘ na figura abaixo.

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Neste caso, temos Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ = 4đ?‘˘. Observaçþes: 01. Qualquer segmento nulo tem comprimento igual Ă zero. 02. Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??´, isto ĂŠ, qualquer segmento e seu segmento oposto terĂŁo mesmo comprimento. 4.2.5 Direção e Sentido: Dois segmentos (đ??´, đ??ľ) e (đ??ś, đ??ˇ) possuem mesma direção se, suas retas suporte sĂŁo paralelas ou coincidentes. Ainda podemos dizer que (đ??´, đ??ľ) e (đ??ś, đ??ˇ) possuem mesma direção se đ??´đ??ľ//đ??śđ??ˇ.

Observação: Para compararmos o sentido de dois segmentos, estes devem possuir mesma direção.

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Na figura abaixo, os segmentos (đ??ľ, đ??´) e (đ??ś, đ??ˇ) possuem sentido contrĂĄrio (note que (đ??ľ, đ??´) e (đ??ś, đ??ˇ) possuem mesma direção).

Na figura abaixo, os segmentos (đ??´, đ??ľ) e (đ??ś, đ??ˇ) possuem mesmo sentido.

4.2.6 Definição: Dizemos que os segmentos orientados (đ??´, đ??ľ) e (đ??ś, đ??ˇ) tĂŞm o mesmo comprimento se os segmentos đ??´đ??ľ e đ??śđ??ˇ tĂŞm o mesmo comprimento. Observação: Dois segmentos opostos possuem sentidos contrĂĄrios.

4.3 SEGMENTOS EQUIPOLENTES Dois segmentos orientados (đ??´, đ??ľ) e (đ??ś, đ??ˇ) sĂŁo equipolentes se estes possuem mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento.

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Se os segmentos (đ??´, đ??ľ) e (đ??ś, đ??ˇ) nĂŁo pertencem a mesma reta, para que (đ??´, đ??ľ) seja equipolente a (đ??ś, đ??ˇ) devemos ter (đ??´, đ??ľ)//(đ??ś, đ??ˇ) e (đ??´, đ??ś)//(đ??ľ, đ??ˇ) , isto ĂŠ, đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ deve ser um paralelogramo.

Observaçþes: 01. Dois segmentos nulos sempre serĂŁo equipolentes. 02. Denotamos a equipolĂŞncia entre os segmentos (đ??´, đ??ľ) e (đ??ś, đ??ˇ) por (đ??´, đ??ľ)~(đ??ś, đ??ˇ). 4.3.1 Propriedades: Sejam (đ??´, đ??ľ), (đ??ś, đ??ˇ) e (đ??¸, đ??š) segmentos orientados. As seguintes propriedades sĂŁo vĂĄlidas: i. (đ??´, đ??ľ)~(đ??´, đ??ľ) (reflexiva); ii. Se (đ??´, đ??ľ)~(đ??ś, đ??ˇ), entĂŁo (đ??ś, đ??ˇ)~(đ??´, đ??ľ) (simĂŠtrica); iii. Se (đ??´, đ??ľ)~(đ??ś, đ??ˇ) e (đ??ś, đ??ˇ)~(đ??¸, đ??š), entĂŁo (đ??´, đ??ľ)~(đ??¸, đ??š) (transitiva); iv. Dado um ponto đ??ś, existe um Ăşnico ponto đ??ˇ tal que (đ??´, đ??ľ)~(đ??ś, đ??ˇ).

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4.4 VETOR Chamamos de vetor determinado por um segmento orientado (đ??´, đ??ľ) de đ??¸ 3 , o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a (đ??´, đ??ľ) . Se denotarmos este conjunto por đ?‘Łâƒ—, podemos escrever: đ?‘Łâƒ— = {(đ?‘‹, đ?‘Œ); (đ?‘‹, đ?‘Œ)~(đ??´, đ??ľ)}. Ou seja, o vetor đ?‘Łâƒ— ĂŠ o conjunto dos segmentos orientados (đ?‘‹, đ?‘Œ) tais que (đ?‘‹, đ?‘Œ)~(đ??´, đ??ľ). Denotamos o conjunto de todos os vetores por đ?‘‰ 3 .

⃗⃗⃗⃗⃗⃗, đ??ľ − đ??´ Ainda podemos denotar o vetor determinado por (đ??´, đ??ľ) como đ??´đ??ľ ou đ?‘Łâƒ—. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ pode ser determinado por uma infinidade de segmentos Um vetor đ??´đ??ľ orientados, chamados de representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Portanto, um segmento determina um conjunto que ĂŠ o vetor, e qualquer um dos representantes tambĂŠm determinarĂĄ este mesmo vetor.

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As caracterĂ­sticas de um vetor đ?‘Łâƒ— sĂŁo as mesmas para qualquer um de seus representantes, ou seja, todos os representantes possuem mesmo mĂłdulo, mesma direção e mesmo sentido. Observação: Denotamos o mĂłdulo do vetor đ?‘Łâƒ— por ||đ?‘Łâƒ—||.

4.4.1 Igualdade entre vetores: Dois vetores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??śđ??ˇ sĂŁo iguais se, e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ somente se, (đ??´, đ??ľ)~(đ??ś, đ??ˇ). Denotamos a igualdade por đ??´đ??ľ đ??śđ??ˇ . 4.4.2 Vetor Nulo: Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um Ăşnico vetor, chamado de vetor nulo. Denotamos o vetor nulo por ⃗0⃗.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗, o vetor đ??ľđ??´ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ĂŠ oposto de đ??´đ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 4.4.3 Vetor Oposto: Dado um vetor đ?‘Łâƒ— = đ??´đ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ou −đ?‘Łâƒ—. Denotamos o oposto de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ por −đ??´đ??ľ 4.4.4 Norma: A norma de um vetor ĂŠ o comprimento ou o mĂłdulo de qualquer um dos representantes deste vetor. Como vimos anteriormente, denotamos a norma de đ?‘Łâƒ— por ||đ?‘Łâƒ—||.

4.4.5 Vetor UnitĂĄrio: Se ||đ?‘Łâƒ—|| = 1, dizemos que đ?‘Łâƒ— ĂŠ um vetor unitĂĄrio.

4.4.6 Versor: Seja đ?‘Łâƒ— ≠⃗⃗ 0 um vetor. O versor de đ?‘Łâƒ— serĂĄ o vetor unitĂĄrio de mesma direção e sentido de đ?‘Łâƒ—. 4.4.7 Paralelismo: Sejam đ?‘Ľâƒ—, đ?‘Śâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 , dizemos que đ?‘Ľâƒ— e đ?‘Śâƒ— sĂŁo paralelos se um representante de đ?‘Ľâƒ— ĂŠ paralelo a um representante de đ?‘Śâƒ— (logo todos serĂŁo ⃗⃗ ĂŠ paralelos). Denotamos o paralelismo entre đ?‘Ľâƒ— e đ?‘Śâƒ— por đ?‘Ľâƒ—//đ?‘Śâƒ—. AlĂŠm disso, 0 paralelo a qualquer vetor.

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4.5 SOMA DE VETORES Considerando dois vetores đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 , vamos definir uma operação que associa o par de vetores (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—) ao vetor denotado por đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ—, chamado de vetor soma de đ?‘˘ ⃗⃗ com đ?‘Łâƒ—. Note que aqui, a operação ĂŠ +: đ?‘‰ 3 Ă—đ?‘‰ 3 → đ?‘‰ 3 , onde (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—) ↌ đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ—. Tomamos đ?‘˘ ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ e đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??ľđ??ś , isto ĂŠ, tomando đ?‘˘ ⃗⃗ como sendo o vetor determinado pelo segmento đ??´đ??ľ, đ?‘Łâƒ— serĂĄ o vetor determinado pelo segmento đ??ľđ??ś. Note que, đ?‘Łâƒ— pode ser qualquer, porĂŠm tomamos um representante com origem no ponto đ??ľ, isto ĂŠ, a origem do representante de đ?‘Łâƒ— coincide com a extremidade ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ serĂĄ a soma de đ?‘˘ do representante de đ?‘˘ ⃗⃗. O vetor đ??´đ??ś ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—. Em outras palavras ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ?‘˘ đ??´đ??ś ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ—, isto ĂŠ, um representante do vetor soma ĂŠ o segmento orientado (đ??´, đ??ś). A definição de soma pode parecer um pouco confusa, mas veremos que geometricamente tudo fica mais claro. Consideramos a figura abaixo, para uma melhor visualização.

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Observaçþes:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + đ??ľđ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ??´đ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Esta igualdade nos diz que, ao somarmos vetores onde 01. đ??´đ??ľ a extremidade (do representante) do primeiro coincide com a origem (do representante) do segundo, o vetor resultante terĂĄ um representante com a origem do primeiro e a extremidade do segundo. 02. Ainda podemos usar a regra do paralelogramo para determinar a soma de dois vetores. 03. A escolha do representante (đ??´, đ??ľ) do vetor đ?‘˘ ⃗⃗ ĂŠ arbitrĂĄria, mas isso nĂŁo influi na determinação de đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ—. Note que, se escolhermos (đ??´â€˛ , đ??ľâ€˛ ) e (đ??ľâ€˛ , đ??ś ′ ) como representantes de đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—, respectivamente, teremos (đ??´, đ??ľ)~(đ??´â€˛ , đ??ľâ€˛ ), (đ??ľ, đ??ś)~(đ??ľâ€˛ , đ??ś ′ ) e daĂ­ decorrerĂĄ (đ??´, đ??ś)~(đ??´â€˛ , đ??ś ′ ). Para ficar mais claro, faça as devidas representaçþes geomĂŠtricas. 4.5.1 Propriedades: Sejam đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗ ∈ đ?‘‰ 3 , as seguintes propriedades sĂŁo vĂĄlidas: A1. (đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ—) + đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = đ?‘˘ ⃗⃗ + (đ?‘Łâƒ— + đ?‘¤ ⃗⃗⃗) (associativa); A2. đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ— = đ?‘Łâƒ— + đ?‘˘ ⃗⃗ (comutativa); ⃗⃗ ∈ đ?‘‰ 3 ; ∀đ?‘˘ ⃗⃗ = 0 ⃗⃗ + đ?‘˘ A3. ∃0 ⃗⃗ ∈ đ?‘‰ 3 tem-se đ?‘˘ ⃗⃗ + 0 ⃗⃗ = đ?‘˘ ⃗⃗. Observe que todo ⃗⃗ possui origem e extremidade coincidentes. Portanto, representante de 0 tomando đ?‘˘ ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ, para realizarmos a soma de đ?‘˘ ⃗⃗ com ⃗0⃗, tomamos um representante de ⃗⃗ 0 com origem na extremidade đ??ľ de đ?‘˘ ⃗⃗, isto ĂŠ, ⃗⃗ 0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??ľđ??ľ. Logo đ?‘˘ ⃗⃗ +

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⃗⃗ = đ??´đ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + đ??ľđ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ?‘˘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ??´đ??ľ 0 ⃗⃗. Esta propriedade garante a existĂŞncia do elemento neutro para a soma de vetores. ⃗⃗. Tomando đ?‘˘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , seja −đ?‘˘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. A4. ∀đ?‘˘ ⃗⃗ ∈ đ?‘‰ 3 , ∃ − đ?‘˘ ⃗⃗ ∈ đ?‘‰ 3 ; đ?‘˘ ⃗⃗ + (−đ?‘˘ ⃗⃗) = 0 ⃗⃗ = đ??´đ??ľ ⃗⃗ = đ??ľđ??´ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + đ??ľđ??´ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ??´đ??´ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ⃗⃗. Esta propriedade garante a existĂŞncia do EntĂŁo đ?‘˘ ⃗⃗ + (−đ?‘˘ ⃗⃗) = đ??´đ??ľ elemento oposto para a soma de vetores.

A propriedade iv nos permite definir a subtração ou diferença de vetores. Definimos đ?‘˘ ⃗⃗ − đ?‘Łâƒ— em đ?‘‰ 3 como sendo: đ?‘˘ ⃗⃗ − đ?‘Łâƒ— = đ?‘˘ ⃗⃗ + (−đ?‘Łâƒ—), ∀đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 . Vejamos um exemplo onde fazemos o uso de algumas das propriedades. Exemplo: Mostre que đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ— = đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘¤ ⃗⃗⃗ ⇒ đ?‘Łâƒ— = đ?‘¤ ⃗⃗⃗. Em outras palavras, queremos mostrar que vale a “lei do cancelamentoâ€? para vetores. De fato, pela propriedade A4, sabemos que existe −đ?‘˘ ⃗⃗ ∈ đ?‘‰ 3 ; đ?‘˘ ⃗⃗ + (−đ?‘˘ ⃗⃗) = ⃗⃗ 0, e somando −đ?‘˘ ⃗⃗ na equação đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ— = đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘¤ ⃗⃗⃗, temos: đ??´1

−đ?‘˘ ⃗⃗ + (đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ—) = −đ?‘˘ ⃗⃗ + (đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘¤ ⃗⃗⃗) ⇒ (−đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘˘ ⃗⃗) + đ?‘Łâƒ— = (−đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘˘ ⃗⃗) + đ?‘¤ ⃗⃗⃗ đ??´4

đ??´3

⇒ ⃗0⃗ + đ?‘Łâƒ— = ⃗0⃗ + đ?‘¤ ⃗⃗⃗ ⇒ đ?‘Łâƒ— = đ?‘¤ ⃗⃗⃗

∴ đ?‘Łâƒ— = đ?‘¤ ⃗⃗⃗ .

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4.6 MULTIPLICAĂ‡ĂƒO DE ESCALAR POR VETOR Neste momento, vamos assumir que o corpo em questĂŁo ĂŠ (â„œ, +,â‹…), isto ĂŠ, o conjunto dos nĂşmeros reais munido de suas operaçþes usuais soma e produto. O escalar a ser considerado para esta operação ĂŠ đ?‘˜ ∈ â„œ. Definimos a operação que associa o par (đ?›ź, đ?‘˘ ⃗⃗), onde đ?›ź ∈ â„œ e đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 ao vetor đ?›źđ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 , chamada de multiplicação escalar de đ?›ź por đ?‘Łâƒ—. Apesar de estarmos denotando o vetor por đ?›źđ?‘Łâƒ—, ainda podemos escrever đ?›ź ∗ đ?‘Łâƒ—, e dizermos que ∗ ĂŠ uma operação ∗: â„œĂ—đ?‘‰ 3 → đ?‘‰ 3 , onde (đ?›ź, đ?‘Łâƒ—) ↌ đ?›ź ∗ đ?‘Łâƒ— = đ?›źđ?‘Łâƒ—. Observaçþes: Sejam đ?›ź ∈ â„œ e đ?‘˘ ⃗⃗ ∈ đ?‘‰ 3 . EntĂŁo:

⃗⃗, entĂŁo đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗. 01. Se đ?›ź = 0 ou đ?‘˘ ⃗⃗ = 0 ⃗⃗ = 0

02. Se đ?›ź ≠0 e đ?‘˘ ⃗⃗ ≠⃗⃗ 0, temos: i. đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗//đ?‘˘ ⃗⃗; ii. đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘˘ ⃗⃗ tem mesmo sentido se đ?›ź > 0 e sentido contrĂĄrio se đ?›ź < 0; iii. ||đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗|| = |đ?›ź| â‹… ||đ?‘˘ ⃗⃗||, isto ĂŠ, a norma do vetor đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ ĂŠ dada pelo produto usual em â„œ entre o mĂłdulo de đ?›ź e a norma de đ?‘˘ ⃗⃗. 4.6.1 Propriedades: Sejam đ?›ź, đ?›˝ ∈ â„œ e đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 , as seguintes propriedades sĂŁo vĂĄlidas: M1. đ?›ź(đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ—) = đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›źđ?‘Łâƒ—; M2. (đ?›ź + đ?›˝)đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘˘ ⃗⃗; M3. 1 ∗ đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?‘˘ ⃗⃗; M4. đ?›ź ∗ (đ?›˝ ∗ đ?‘˘ ⃗⃗) = (đ?›ź â‹… đ?›˝) ∗ đ?‘˘ ⃗⃗. Observaçþes:

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01. O conjunto đ?‘‰ 3 com as operaçþes soma e multiplicação por escalar acompanhadas de suas propriedades forma um “espaço vetorialâ€?. Em Ă lgebra Linear, veremos a definição geral de um espaço vetorial, para um conjunto e suas operaçþes. 02. Definimos multiplicação por escalar como sendo a multiplicação de um escalar (nĂşmero real) por vetor. Adiante serĂĄ definido o produto escalar entre vetores, que ĂŠ um conceito distinto da multiplicação de escalar por vetor. 03. No conjunto đ?‘‰ 3 munido das duas operaçþes definidas atĂŠ o momento, acompanhadas de suas propriedades, ao fazer cĂĄlculos com vetores, podemos seguir as mesmas “regrasâ€? de cĂĄlculo algĂŠbrico elementar. Por exemplo, na equação vetorial đ?‘Žâƒ— + đ?‘?⃗⃗ = đ?‘?⃗, se desejamos determinar đ?‘?⃗⃗ em função de đ?‘Žâƒ— e đ?‘?⃗, basta somar o oposto de đ?‘Žâƒ— em ambos os lados da igualdade e aplicar as propriedades. Veja: đ??´4

đ??´1 đ?‘’ đ??´2

đ?‘Žâƒ— + đ?‘?⃗⃗ = đ?‘?⃗ ⇒ −đ?‘Žâƒ— + (đ?‘Žâƒ— + đ?‘?⃗⃗) = −đ?‘Žâƒ— + đ?‘?⃗ ⇒

đ??´4

(−đ?‘Žâƒ— + đ?‘Žâƒ—) + đ?‘?⃗⃗ = đ?‘?⃗ − đ?‘Žâƒ—

đ??´3

⇒ ⃗0⃗ + đ?‘?⃗⃗ = đ?‘?⃗ − đ?‘Žâƒ— ⇒ đ?‘?⃗⃗ = đ?‘?⃗ − đ?‘Žâƒ— .

04. Se � ≠0,

⃗⃗ đ?‘Ł đ?›ź

1

= đ?‘Łâƒ—. đ?›ź

Exemplos: 01. Provemos que (−đ?›ź)đ?‘Łâƒ— = −(đ?›źđ?‘Łâƒ—), ∀đ?›ź ∈ â„œ e ∀đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 . Nossa “missĂŁoâ€? ĂŠ provar que o vetor (−đ?›ź)đ?‘Łâƒ— ĂŠ o oposto aditivo de đ?›źđ?‘Łâƒ—, ou seja, devemos mostrar que a soma de (−đ?›ź)đ?‘Łâƒ— com đ?›źđ?‘Łâƒ— resulta no vetor ⃗0⃗. De fato:

(−đ?›ź)đ?‘Łâƒ— + đ?›źđ?‘Łâƒ— = (−đ?›ź + đ?›ź)đ?‘Łâƒ— = 0đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗ 0 ⇒ (−đ?›ź)đ?‘Łâƒ— + đ?›źđ?‘Łâƒ— = ⃗⃗ 0. Portanto, (−đ?›ź)đ?‘Łâƒ— = −(đ?›źđ?‘Łâƒ—).

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02. Provemos que đ?›ź(−đ?‘Łâƒ—) = −(đ?›źđ?‘Łâƒ—), ∀đ?›ź ∈ â„œ e ∀đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 . Novamente, devemos mostrar que o vetor đ?›źđ?‘Łâƒ— ĂŠ o oposto aditivo de đ?›źđ?‘Łâƒ—. De fato:

⃗⃗ = 0 ⃗⃗ ⇒ đ?›ź(−đ?‘Łâƒ—) + đ?›źđ?‘Łâƒ— = 0 ⃗⃗ . đ?›ź(−đ?‘Łâƒ—) + đ?›źđ?‘Łâƒ— = đ?›ź(−đ?‘Łâƒ— + đ?‘Łâƒ—) = đ?›ź0

Portanto, đ?›ź(−đ?‘Łâƒ—) = −(đ?›źđ?‘Łâƒ—). 03. Provemos que (−đ?›ź)(−đ?‘Łâƒ—) = đ?›źđ?‘Łâƒ—, ∀đ?›ź ∈ â„œ e ∀đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 . Sabemos, pelo Exemplo 01, que (−đ?›ź)đ?‘Ľâƒ— = −(đ?›źđ?‘Ľâƒ—). Logo, aplicando este resultado para o vetor (−đ?›ź)(−đ?‘Łâƒ—), temos:

(−đ?›ź)(−đ?‘Łâƒ—) = −[đ?›ź(−đ?‘Łâƒ—)] ‌ (1) Sabemos tambĂŠm, pelo Exemplo 02, que đ?›ź(−đ?‘Łâƒ—) = −(đ?›źđ?‘Łâƒ—). Usando esta informação em (1), temos:

(−đ?›ź)(−đ?‘Łâƒ—) = −[đ?›ź(−đ?‘Łâƒ—)] = −[−(đ?›źđ?‘Łâƒ—)] = đ?›źđ?‘Łâƒ—

⇒ (−đ?›ź)(−đ?‘Łâƒ—) = đ?›źđ?‘Łâƒ— .

04. Provemos que se đ?›źđ?‘Łâƒ— = đ?›˝đ?‘Łâƒ—, com đ?›ź, đ?›˝ ∈ â„œ e đ?‘Łâƒ— ≠⃗0⃗, entĂŁo đ?›ź = đ?›˝. De fato:

đ?›źđ?‘Łâƒ— = đ?›˝đ?‘Łâƒ— ⇒ đ?›źđ?‘Łâƒ— − đ?›˝đ?‘Łâƒ— = ⃗0⃗ ⇒ đ?›źđ?‘Łâƒ— + (−(đ?›˝đ?‘Łâƒ—)) = ⃗0⃗ ⇒ đ?›źđ?‘Łâƒ— + (−đ?›˝)đ?‘Łâƒ— = ⃗0⃗

⃗⃗. ⇒ (đ?›ź − đ?›˝)đ?‘Łâƒ— = 0 ⃗⃗. EntĂŁo a igualdade acima serĂĄ vĂĄlida se đ?›ź − đ?›˝ = Mas, por hipĂłtese, temos đ?‘Łâƒ— ≠0 0. Portanto:

đ?›źâˆ’đ?›˝ =0⇒ đ?›ź =đ?›˝.

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05. Sejam đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗ ∈ đ?‘‰ 3 , de acordo com a figura, construir o vetor đ?‘ ⃗ = 2đ?‘˘ ⃗⃗ − −3đ?‘Łâƒ— + 1 2

đ?‘¤ ⃗⃗⃗.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e đ??´đ??ˇ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , sendo đ?‘€ e đ?‘ 06. O paralelogramo đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ ĂŠ determinado pelos vetores đ??´đ??ľ pontos mĂŠdios dos lados đ??ˇđ??ś e đ??´đ??ľ, respectivamente.

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Temos: a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ˇ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ś ; b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??ľđ??´ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??ˇđ??´ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??śđ??ˇ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??ˇđ??´ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??śđ??´; c) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ś − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??ľđ??ś = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ś + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??śđ??ľ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ; d) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ?‘ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??ľđ??ś = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ?‘ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘ đ?‘€ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ?‘€.

4.7 VETORES COLINEARES Dois vetores đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 sĂŁo colineares se possuĂ­rem mesma direção. Em outras palavras, đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo colineares se tiverem representantes (đ??´, đ??ľ) e (đ??ś, đ??ˇ), respectivamente, pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.

4.8 VETORES COPLANARES Os vetores đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗ ∈ đ?‘‰ 3 sĂŁo coplanares se possuem representantes (đ??´, đ??ľ), (đ??ś, đ??ˇ) e (đ??¸, đ??š), respectivamente, pertencentes a um mesmo plano.

4.9 Ă‚NGULO ENTRE VETORES ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— ≠0 ⃗⃗. O ângulo đ?œƒ entre đ?‘˘ Sejam đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 , com đ?‘˘ ⃗⃗ ≠0 ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— ĂŠ o ângulo formado por (đ?‘‚, đ??´) e (đ?‘‚, đ??ľ) tal que 0 ≤ đ?œƒ ≤ đ?œ‹.

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4.9.1 Propriedades: Conhecendo o ângulo entre vetores, podemos fazer algumas afirmaçþes. Seja đ?œƒ o ângulo entre đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—, temos: i. Se đ?œƒ = đ?œ‹, đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— tĂŞm mesma direção e sentidos contrĂĄrios; ii. Se đ?œƒ = 0, đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— tĂŞm mesma direção e mesmo sentido; đ?œ‹

iii. Se đ?œƒ = , dizemos que đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo vetores ortogonais. Indicamos a 2

ortogonalidade entre đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— por đ?‘˘ ⃗⃗ ⊼ đ?‘Łâƒ—. AlĂŠm disso, quando đ?‘˘ ⃗⃗ ⊼ đ?‘Łâƒ—, a relação 2

2

2

||đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| + ||đ?‘Łâƒ—|| ĂŠ vĂĄlida; iv. ⃗⃗ 0⊼đ?‘˘ ⃗⃗, ∀đ?‘˘ ⃗⃗ ∈ đ?‘‰ 3 ; v. Se đ?‘˘ ⃗⃗ ⊼ đ?‘Łâƒ— e đ?‘š ∈ â„œ, entĂŁo đ?‘˘ ⃗⃗ ⊼ đ?‘šđ?‘Łâƒ—; vi. O ângulo entre đ?‘˘ ⃗⃗ e −đ?‘Łâƒ— ĂŠ o suplemento do ângulo entre đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—, ou seja, se đ?œ™ = âđ?‘›đ?‘”(đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—), entĂŁo đ?œ™ = đ?œ‹ − đ?œƒ.

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CAPĂ?TULO 05: VETORES EM đ?•˝đ?&#x;? e đ?•˝đ?&#x;‘

5.1 INTRODUĂ‡ĂƒO Neste capĂ­tulo, temos como objetivo, relacionar vetores com pontos dos sistemas de coordenadas cartesianas. Observação: Para cada caso, faremos analogia entre vetores no plano e no espaço. Embora estivĂŠssemos acostumados a estudar vetores em đ?‘‰ 3 , neste capĂ­tulo vamos desconsiderar o conjunto đ?‘‰ 3 e em cada definição esclarecemos se um vetor estarĂĄ no plano ou no espaço.

5.2 DECOMPOSIĂ‡ĂƒO DE UM VETOR NO PLANO Dados dois vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 nĂŁo colineares de um plano, qualquer vetor đ?‘Łâƒ— no mesmo plano pode ser decomposto segundo as direçþes de ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 e ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Ł2 Devemos escrever o vetor đ?‘Łâƒ— como sendo a soma de dois vetores com mesmas direçþes de ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 e ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Ł2 Em outras palavras, temos que determinar đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ∈ â„œ tais que đ?‘Łâƒ— = đ?‘Ž1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Ł2 A possibilidade de escrever o vetor đ?‘Łâƒ— como soma de outros dois vetores vem da definição de soma de vetores, que foi vista no capĂ­tulo anterior. Portanto, se vocĂŞ tiver dificuldade em perceber tal fato, tente fazer figuras para chegar a alguma conclusĂŁo. 5.2.1 Definição: Sejam ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 vetores nĂŁo colineares. Quando o vetor đ?‘Łâƒ— estiver representado por đ?‘Łâƒ— = đ?‘Ž1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 dizemos que đ?‘Łâƒ— ĂŠ uma combinação linear de ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 e ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Ł2 O par de vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 ĂŠ chamado de base no plano. AliĂĄs, qualquer conjunto {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 com ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 nĂŁo colineares, constitui uma base no 1 ⃗⃗⃗⃗⃗}, plano. Os nĂşmeros đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ∈ â„œ sĂŁo chamados de coordenadas ou componentes de đ?‘Łâƒ— em relação Ă base {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 Embora estejamos denotando a base por {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 1 ⃗⃗⃗⃗⃗}. 1 ⃗⃗⃗⃗⃗},

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ou seja, usando a notação de conjunto, a ordem em que os vetores aparecem deve ser levada em consideração. O vetor đ?‘Ž1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 ĂŠ chamado de projeção de đ?‘Łâƒ— sobre ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 segundo a direção de ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Ł2 O vetor đ?‘Ž2 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 ĂŠ chamado de projeção de đ?‘Łâƒ— sobre đ?‘Ł2 segundo a direção de ⃗⃗⃗⃗⃗. ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 5.2.2 Base Ortonormal: Uma base {đ?‘’⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ĂŠ dita ortonormal se seus 1 ⃗⃗⃗⃗} vetores sĂŁo ortogonais e se cada vetor ĂŠ unitĂĄrio. Em outras palavras, {đ?‘’⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ĂŠ 1 ⃗⃗⃗⃗} ortonormal se ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’1 ⊼ ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’2 e ||đ?‘’⃗⃗⃗⃗|| ⃗⃗⃗⃗|| 1 = ||đ?‘’ 2 = 1. Exemplo: Consideramos {đ?‘’⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 uma base ortonormal no sistema de coordenadas 1 ⃗⃗⃗⃗} cartesianas â„œ2 e um vetor đ?‘Łâƒ— = 3đ?‘’⃗⃗⃗⃗1 + 2đ?‘’⃗⃗⃗⃗, ⃗ com 2 ou seja, as coordenadas de đ?‘Ł relação Ă base {đ?‘’⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 sĂŁo đ?‘Ž1 = 3 e đ?‘Ž2 = 2. 1 ⃗⃗⃗⃗}

Se tratando de uma base ortonormal, dizemos que os vetores 3đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗1 e 2đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗2 sĂŁo projeçþes ortogonais de đ?‘Łâƒ— sobre ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 e ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 respectivamente. Obviamente, existem infinitas bases ortonormais no plano cartesiano, porĂŠm vamos considerar, a partir de agora, uma base particular.

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5.2.3 Base CanĂ´nica: A base {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗} formada pelos vetores đ?‘–⃗ e đ?‘—⃗ cujos representantes possuem origem no ponto đ?‘‚ e extremidade nos pontos (1,0) e (0,1), respectivamente, ĂŠ chamada de base canĂ´nica do plano.

Dado um vetor đ?‘Łâƒ— = đ?‘Ľđ?‘–⃗ + đ?‘Śđ?‘—⃗, onde đ?‘Ľ e đ?‘Ś sĂŁo as coordenadas de đ?‘Łâƒ— com relação Ă base canĂ´nica {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗}, temos:

5.3 EXPRESSĂƒO ANALĂ?TICA EM R2 Fixada a base canĂ´nica {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗} no plano, existe uma correspondĂŞncia biunĂ­voca entre vetores e pontos do plano, ou seja, podemos associar cada vetor ao par (đ?‘Ľ, đ?‘Ś); đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ â„œ, pois, com relação Ă base canĂ´nica o representante

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do vetor đ?‘Łâƒ— = đ?‘Ľđ?‘–⃗ + đ?‘Śđ?‘—⃗ possui origem em (0,0) e extremidade no ponto đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), quaisquer que sejam đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ â„œ. Define-se vetor no plano pelo par ordenado (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) e o representamos por đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) , que ĂŠ a expressĂŁo analĂ­tica de đ?‘Łâƒ— em â„œ2 . A primeira coordenada đ?‘Ľ ĂŠ chamada de abcissa e a segunda, ordenada. Exemplo: Podemos escrever đ?‘Łâƒ— = −đ?‘–⃗ + đ?‘—⃗ = (−1,1), 2đ?‘–⃗ = (2,0), −đ?‘—⃗ = (0, −1) e đ?‘Łâƒ— = đ?‘Žđ?‘–⃗ + đ?‘?đ?‘—⃗ = (đ?‘Ž, đ?‘?). Particularmente đ?‘–⃗ = (1,0), đ?‘—⃗ = (0,1) e ⃗0⃗ = (0,0). Observação: A escolha da base {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗} ĂŠ proposital para a simplificação da escrita. Por exemplo, quando nos referimos a qualquer ponto đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), este pode ser identificado com o vetor đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ?‘ƒ = đ?‘Ľđ?‘–⃗ + đ?‘Śđ?‘—⃗ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), onde đ?‘‚ ĂŠ a origem do sistema.

5.4 IGUALDADE E OPERAÇÕES 5.4.1 Igualdade: Os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ľđ?‘˘ , đ?‘Śđ?‘˘ ) e đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ľđ?‘Ł , đ?‘Śđ?‘Ł ) sĂŁo iguais se, e somente se, đ?‘Ľđ?‘˘ = đ?‘Ľđ?‘Ł e đ?‘Śđ?‘˘ = đ?‘Śđ?‘Ł . Denotamos a igualdade por đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?‘Łâƒ—. Exemplos: 01. Os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ = (3,5) e đ?‘Łâƒ— = (3,5) sĂŁo iguais, pois đ?‘Ľđ?‘˘ = 3 = đ?‘Ľđ?‘Ł e đ?‘Śđ?‘˘ = 5 = đ?‘Śđ?‘Ł . 02. Para que os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ľ + 1,4) e đ?‘Łâƒ— = (5,2đ?‘Ś − 6) sejam iguais, de acordo com a definição, devemos ter đ?‘Ľ + 1 = 5 ⇒ đ?‘Ľ = 4 e 4 = 2đ?‘Ś − 6 ⇒ đ?‘Ś = 5 .

5.4.2 Operaçþes: Sejam đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ľđ?‘˘ , đ?‘Śđ?‘˘ ), đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ľđ?‘Ł , đ?‘Śđ?‘Ł ) e đ?›ź ∈ â„œ. Definimos: i. đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ľđ?‘˘ + đ?‘Ľđ?‘Ł , đ?‘Śđ?‘˘ + đ?‘Śđ?‘Ł ) (soma); ii. đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?›źđ?‘Ľđ?‘˘ , đ?›źđ?‘Śđ?‘˘ ) (multiplicação por escalar). Resumindo: a soma de dois vetores đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— ĂŠ um vetor cujas coordenadas sĂŁo a soma das coordenadas correspondentes de đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—. A multiplicação do

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escalar đ?›ź ∈ â„œ pelo vetor đ?‘˘ ⃗⃗ ĂŠ um vetor cujas coordenadas sĂŁo a multiplicação (em â„œ) de đ?›ź por cada coordenada de đ?‘˘ ⃗⃗. Exemplo: Sendo đ?‘˘ ⃗⃗ = (4,1) e đ?‘Łâƒ— = (−2,6), temos:

đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ— = (4,1) + (−2,6) = (4 − 2,1 + 6) = (2,7) ⇒ đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ— = (2,7) .

2đ?‘Łâƒ— = 2(−2,6) = (2 â‹… (−2), 2 â‹… 6) = (−4,12) ⇒ 2đ?‘Łâƒ— = (−4,12) .

Observação: As propriedades das operaçþes vistas no capítulo anterior, para as operaçþes, são verificadas para vetores no plano.

5.5 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, um vetor cujo representante ĂŠ o segmento orientado (đ??´, đ??ľ). Seja đ?‘Łâƒ— = đ??´đ??ľ Digamos que, com relação ao sistema de coordenadas â„œ2 , đ??´ = (đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??´ ) e đ??ľ = (đ?‘Ľđ??ľ , đ?‘Śđ??ľ ). De acordo com o que foi visto anteriormente, podemos associar os ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??´ ) e đ?‘‚đ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (đ?‘Ľđ??ľ , đ?‘Śđ??ľ ), respectivamente. Observe pontos đ??´ e đ??ľ aos vetores đ?‘‚đ??´ a figura.

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Note que, temos a soma de vetores:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ??´ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ??ľ ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ??ľ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ??´ = (đ?‘Ľđ??ľ , đ?‘Śđ??ľ ) − (đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??´ )

⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ = (đ?‘Ľđ??ľ − đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??ľ − đ?‘Śđ??´ ) .

Isto ĂŠ, as coordenadas de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ sĂŁo obtidas subtraindo-se as coordenadas correspondentes da extremidade e da origem do segmento representante. Por esta razĂŁo, podemos usar a notação ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ = đ??ľ − đ??´. Observe que, as coordenadas do vetor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ (com relação ao sistema â„œ2 ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ determinado pelo segmento serĂŁo exatamente as coordenadas do vetor đ?‘‚đ?‘‹ orientado (đ?‘‚, đ?‘‹), onde (đ?‘‚, đ?‘‹)~(đ??´, đ??ľ), com origem na origem do sistema de coordenadas. Ora, como este segmento (đ?‘‚, đ?‘‹) ĂŠ equipolente a (đ??´, đ??ľ), podemos toma-lo como um representante do mesmo vetor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ.

5.6 NORMA DE UM VETOR NO PLANO Seja đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ = (đ?‘Ľđ??ľ − đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??ľ − đ?‘Śđ??´ ) um vetor de â„œ2 (note que đ?‘Łâƒ— ĂŠ o vetor definido pelos pontos đ??´ = (đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??´ ) e đ??ľ = (đ?‘Ľđ??ľ , đ?‘Śđ??ľ )). A norma (ou mĂłdulo) do vetor đ?‘Łâƒ— ĂŠ dada por:

||đ?‘Łâƒ—|| = √(đ?‘Ľđ??ľ − đ?‘Ľđ??´ )2 + (đ?‘Śđ??ľ − đ?‘Śđ??´ )2 .

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Observação: VocĂŞ deve perceber que o vetor definido pelos pontos đ??´ e đ??ľ tem como norma ||đ?‘Łâƒ—|| = đ?‘‘(đ??´, đ??ľ). Se đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľđ?‘–⃗ + đ?‘Śđ?‘—⃗, sua norma ĂŠ dada por:

||đ?‘Łâƒ—|| = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 .

Observação: Note que a segunda fĂłrmula ĂŠ obtida fazendo a substituição đ?‘Ľđ??ľ − đ?‘Ľđ??´ = đ?‘Ľ e đ?‘Śđ??ľ − đ?‘Śđ??´ = đ?‘Ś.

5.7 DECOMPOSIĂ‡ĂƒO DE UM VETOR NO ESPAÇO Dados trĂŞs vetores ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł1 đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗2 e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł3 nĂŁo coplanares no espaço, qualquer vetor đ?‘Łâƒ— no mesmo espaço pode ser decomposto segundo as direçþes de ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 e ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Ł3 Devemos escrever o vetor đ?‘Łâƒ— como sendo a soma de trĂŞs vetores com mesmas direçþes de ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 e ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Ł3 Em outras palavras, temos que determinar đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ∈ â„œ tais que đ?‘Łâƒ— = đ?‘Ž1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 + đ?‘Ž3 ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Ł3 5.7.1 Definição: Sejam ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł3 vetores nĂŁo coplanares. Quando o vetor đ?‘Łâƒ— estiver representado por đ?‘Łâƒ— = đ?‘Ž1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗2 + đ?‘Ž3 ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł3 dizemos que đ?‘Łâƒ— ĂŠ uma combinação linear de ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 e đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Ł1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł3 ĂŠ chamada de 3 A tripla de vetores ⃗⃗⃗⃗⃗, base no espaço. AliĂĄs, qualquer conjunto {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 ⃗⃗⃗⃗⃗}, đ?‘Ł3 com ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł3 nĂŁo 1 ⃗⃗⃗⃗⃗, coplanares, constitui uma base no espaço. Os nĂşmeros đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ∈ â„œ sĂŁo chamados de coordenadas ou componentes de đ?‘Łâƒ— em relação Ă base {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗}. 1 ⃗⃗⃗⃗⃗, 3 Embora estejamos denotando a base por {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗}, 1 ⃗⃗⃗⃗⃗, 3 ou seja, usando a notação de conjunto, a ordem em que os vetores aparecem deve ser levada em consideração. 5.7.2 Base Ortonormal: Uma base {đ?‘’⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ⃗⃗⃗⃗} đ?‘’3 ĂŠ dita ortonormal se seus 1 ⃗⃗⃗⃗, vetores sĂŁo dois a dois ortogonais e se cada vetor ĂŠ unitĂĄrio. Em outras

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palavras, {đ?‘’⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ⃗⃗⃗⃗} đ?‘’3 ĂŠ ortonormal se ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’1 ⊼ ⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’1 ⊼ ⃗⃗⃗⃗, đ?‘’3 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’2 ⊼ ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’3 e ||đ?‘’⃗⃗⃗⃗|| ⃗⃗⃗⃗|| 1 ⃗⃗⃗⃗, 1 = ||đ?‘’ 2 = ||đ?‘’ ⃗⃗⃗⃗|| 3 = 1. 5.7.3 Base CanĂ´nica: A base {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗} formada pelos vetores đ?‘–⃗, đ?‘—⃗ e đ?‘˜âƒ—⃗ cujos representantes possuem origem no ponto đ?‘‚ e extremidade nos pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), respectivamente, ĂŠ chamada de base canĂ´nica do espaço.

5.8 EXPRESSĂƒO ANALĂ?TICA EM R3 Fixada a base canĂ´nica {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗ } no espaço, existe uma correspondĂŞncia biunĂ­voca entre vetores e pontos do espaço, ou seja, podemos associar cada vetor Ă ternar (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§); đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ â„œ, pois, com relação Ă base canĂ´nica o representante do vetor đ?‘Łâƒ— = đ?‘Ľđ?‘–⃗ + đ?‘Śđ?‘—⃗ + đ?‘§đ?‘˜âƒ—⃗ possui origem em (0,0,0) e extremidade no ponto đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§), quaisquer que sejam đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ â„œ. Define-se vetor no espaço pela terna ordenada (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) e o representamos por đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) , que ĂŠ a expressĂŁo analĂ­tica de đ?‘Łâƒ— em â„œ3 .

5.9 IGUALDADE E OPERAÇÕES 5.9.1 Igualdade: Os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ľđ?‘˘ , đ?‘Śđ?‘˘ , đ?‘§đ?‘˘ ) e đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ľđ?‘Ł , đ?‘Śđ?‘Ł , đ?‘§đ?‘Ł ) sĂŁo iguais se, e somente se, đ?‘Ľđ?‘˘ = đ?‘Ľđ?‘Ł , đ?‘Śđ?‘˘ = đ?‘Śđ?‘Ł e đ?‘§đ?‘˘ = đ?‘§đ?‘Ł . Denotamos a igualdade por đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?‘Łâƒ—.

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5.9.2 Operaçþes: Sejam đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ľđ?‘˘ , đ?‘Śđ?‘˘ , đ?‘§đ?‘˘ ), đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ľđ?‘Ł , đ?‘Śđ?‘Ł , đ?‘§đ?‘˘ ) e đ?›ź ∈ â„œ. Definimos: i. đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ľđ?‘˘ + đ?‘Ľđ?‘Ł , đ?‘Śđ?‘˘ + đ?‘Śđ?‘Ł , đ?‘§đ?‘˘ + đ?‘§đ?‘Ł ) (soma); ii. đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?›źđ?‘Ľđ?‘˘ , đ?›źđ?‘Śđ?‘˘ , đ?›źđ?‘§đ?‘˘ ) (multiplicação por escalar).

5.10 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS Sejam đ??´ = (đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??´ , đ?‘§đ??´ ), đ??ľ = (đ?‘Ľđ??ľ , đ?‘Śđ??ľ , đ?‘§đ??ľ ), o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ ĂŠ determinado por:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ??ľ − đ??´ = (đ?‘Ľđ??ľ − đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??ľ − đ?‘Śđ??´ , đ?‘§đ??ľ − đ?‘§đ??´ ) . đ??´đ??ľ

5.11 NORMA DE UM VETOR NO ESPAÇO Seja đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ = (đ?‘Ľđ??ľ − đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??ľ − đ?‘Śđ??´ , đ?‘§đ??ľ − đ?‘§đ??´ ) um vetor de â„œ3 (note que đ?‘Łâƒ— ĂŠ o vetor definido pelos pontos đ??´ = (đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??´ , đ?‘§đ??´ ) e đ??ľ = (đ?‘Ľđ??ľ , đ?‘Śđ??ľ , đ?‘§đ??ľ )). A norma (ou mĂłdulo) do vetor đ?‘Łâƒ— ĂŠ dada por:

||đ?‘Łâƒ—|| = √(đ?‘Ľđ??ľ − đ?‘Ľđ??´ )2 + (đ?‘Śđ??ľ − đ?‘Śđ??´ )2 + (đ?‘§đ??ľ − đ?‘§đ??´ )2 .

Observação: VocĂŞ deve perceber que o vetor definido pelos pontos đ??´ e đ??ľ tem como norma ||đ?‘Łâƒ—|| = đ?‘‘(đ??´, đ??ľ).

Se đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = đ?‘Ľđ?‘–⃗ + đ?‘Śđ?‘—⃗ + đ?‘§đ?‘˜âƒ—⃗, sua norma ĂŠ dada por:

||đ?‘Łâƒ—|| = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + đ?‘§ 2 .

Observação: Note que a segunda fĂłrmula ĂŠ obtida fazendo a substituição đ?‘Ľđ??ľ − đ?‘Ľđ??´ = đ?‘Ľ, đ?‘Śđ??ľ − đ?‘Śđ??´ = đ?‘Ś e đ?‘§đ??ľ − đ?‘§đ??´ = đ?‘§.

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5.12 CONDIĂ‡ĂƒO DE PARALELISMO ENTRE VETORES JĂĄ vimos anteriormente, que os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ľđ?‘˘ , đ?‘Śđ?‘˘ , đ?‘§đ?‘˘ ) e đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ľđ?‘Ł , đ?‘Śđ?‘Ł , đ?‘§đ?‘Ł ) sĂŁo colineares (ou paralelos), se existe đ?œ† ∈ â„œ tal que đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?œ†đ?‘Łâƒ—. Isto ĂŠ: đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?œ†đ?‘Łâƒ— ⇒ (đ?‘Ľđ?‘˘ , đ?‘Śđ?‘˘ , đ?‘§đ?‘˘ ) = đ?œ†(đ?‘Ľđ?‘Ł , đ?‘Śđ?‘Ł , đ?‘§đ?‘Ł ) ⇒ (đ?‘Ľđ?‘˘ , đ?‘Śđ?‘˘ , đ?‘§đ?‘˘ ) = (đ?œ†đ?‘Ľđ?‘Ł , đ?œ†đ?‘Śđ?‘Ł , đ?œ†đ?‘§đ?‘Ł ). Mas, pela igualdade entre vetores, temos: đ?‘Ľđ?‘˘ = đ?œ†đ?‘Ľđ?‘Ł đ?‘Ľđ?‘˘ đ?‘Śđ?‘˘ đ?‘§đ?‘˘ { đ?‘Śđ?‘˘ = đ?œ†đ?‘Śđ?‘Ł ⇒ đ?œ† = = = . đ?‘Ľđ?‘Ł đ?‘Śđ?‘Ł đ?‘§đ?‘Ł đ?‘§đ?‘˘ = đ?œ†đ?‘§đ?‘Ł Em outras palavras, dois vetores sĂŁo paralelos quando suas coordenadas sĂŁo proporcionais. Denotamos o paralelismo entre đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— por đ?‘˘ ⃗⃗//đ?‘Łâƒ—.

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CAPĂ?TULO 06: DEPENDĂŠNCIA E INDEPENDĂŠNCIA LINEAR

6.1 INTRODUĂ‡ĂƒO Neste capĂ­tulo, vamos estudar a dependĂŞncia linear entre vetores. Antes de tudo, veremos conceitos geomĂŠtricos de dependĂŞncia e em seguida faremos um estudo dos conceitos algĂŠbricos envolvidos na dependĂŞncia linear.

6.2 RESULTADOS COMPLEMENTARES Nesta seção, enunciaremos alguns resultados complementares que serĂŁo de grande importância para a continuidade de nosso estudo. 6.2.1 Proposição: Sejam đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— vetores nĂŁo nulos. đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— serĂŁo paralelos se, e somente se, existe um escalar đ?œ† ∈ â„œ tal que đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?œ†đ?‘Łâƒ—. Prova: Temos o seguinte: (â‡?) Imediato, pois da definição de multiplicação de um escalar por um vetor, se đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?œ†đ?‘Łâƒ— concluĂ­mos que đ?‘˘ ⃗⃗ ĂŠ paralelo a đ?‘Łâƒ—. (⇒) Queremos provar que se đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo paralelos, entĂŁo existirĂĄ um nĂşmero real đ?œ† tal que đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?œ†đ?‘Łâƒ—. Caso 01: Se đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— possuem mesmo sentido, tomemos đ?œ† =

⃗⃗|| ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘Ł

. Para provar

que đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?œ†đ?‘Łâƒ— ĂŠ equivalente mostrar que đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?œ†đ?‘Łâƒ— possuem mesma direção, sentido e norma. Por hipĂłtese, đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo paralelos, logo possuem mesma direção e consequentemente đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?œ†đ?‘Łâƒ— tambĂŠm, pois đ?œ†đ?‘Łâƒ— e đ?‘Łâƒ— sĂŁo paralelos. Se tomarmos đ?œ† = ⃗⃗|| ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘Ł

> 0, note que isto acarreta a đ?‘Łâƒ— e đ?œ†đ?‘Łâƒ— com mesmo sentido, devido Ă definição

de multiplicação por escalar, com um escalar positivo. Assim, como supomos đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— com mesmo sentido, temos que đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?œ†đ?‘Łâƒ— possuem mesmo sentido. Resta mostrar que đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?œ†đ?‘Łâƒ— possuem mesma norma. De fato:

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||đ?œ†đ?‘Łâƒ—|| = |đ?œ†| â‹… ||đ?‘Łâƒ—|| = |

||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘Łâƒ—||

| â‹… ||đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| â‹…

||đ?‘Łâƒ—|| ||đ?‘Łâƒ—||

= ||đ?‘˘ ⃗⃗|| â‹… 1 = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ⇒ ||đ?œ†đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| .

Portanto, đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?œ†đ?‘Łâƒ—. Caso 02: Se đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— possuem sentidos contrĂĄrios, tomemos đ?œ† = −

⃗⃗|| ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘Ł

.

Novamente, provar que đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?œ†đ?‘Łâƒ— ĂŠ equivalente a provar que đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?œ†đ?‘Łâƒ— possuem mesma direção, sentido e norma. Como, por hipĂłtese đ?‘˘ ⃗⃗//đ?‘Łâƒ— e đ?œ†đ?‘Łâƒ—//đ?‘Łâƒ—, temos đ?‘˘ ⃗⃗//đ?œ†đ?‘Łâƒ—. Como đ?œ† < 0, temos que đ?‘Łâƒ— e đ?œ†đ?‘Łâƒ— possuem sentidos contrĂĄrios, e devido ao fato de termos considerado đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— de sentidos opostos, đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?œ†đ?‘Łâƒ— sĂł podem ser de mesmo sentido. Resta mostrar que đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?œ†đ?‘Łâƒ— possuem mesma norma. De fato:

||đ?œ†đ?‘Łâƒ—|| = |đ?œ†| â‹… ||đ?‘Łâƒ—|| = |−

||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘Łâƒ—|| | â‹… ||đ?‘Łâƒ—|| = |−1| â‹… ||đ?‘˘ ⃗⃗|| â‹… = 1 â‹… ||đ?‘˘ ⃗⃗|| â‹… 1 = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘Łâƒ—|| ||đ?‘Łâƒ—||

⇒ ||đ?œ†đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| .

Portanto, đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?œ†đ?‘Łâƒ—.

6.2.2 Proposição: Se đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— nĂŁo sĂŁo paralelos, entĂŁo đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗ 0 implica que đ?›ź = đ?›˝ = 0. Prova: Suponha que đ?›ź ≠0. Temos:

đ?›˝ đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— = ⃗0⃗ ⇒ đ?‘˘ ⃗⃗ = − đ?‘Łâƒ— . đ?›ź Mas, esta igualdade nos diz que đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo paralelos, o que contradiz a hipĂłtese de que đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— nĂŁo sĂŁo paralelos. Supondo đ?›˝ ≠0, ĂŠ anĂĄlogo ao caso anterior. Portanto, sĂł podemos ter đ?›ź = đ?›˝ = 0 .

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6.2.2.1 CorolĂĄrio: Se đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— nĂŁo sĂŁo paralelos, entĂŁo đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— = đ?›žđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›żđ?‘Łâƒ— implica que đ?›ź = đ?›ž e đ?›˝ = đ?›ż. Prova: De fato:

⃗⃗ ⇒ đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— = đ?›žđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›żđ?‘Łâƒ— ⇒ đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— − (đ?›žđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›żđ?‘Łâƒ—) = 0 ⃗⃗ − đ?›žđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— − đ?›żđ?‘Łâƒ— = 0

⇒ (đ?›ź − đ?›ž)đ?‘˘ ⃗⃗ + (đ?›˝ − đ?›ż)đ?‘Łâƒ— = ⃗0⃗. Mas, pela proposição 6.2.2, como đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— nĂŁo sĂŁo paralelos, a igualdade acima implica que đ?›ź − đ?›ž = 0 e đ?›˝ − đ?›ż = 0. Logo:

đ?›źâˆ’đ?›ž =0⇒ đ?›ź =đ?›ž

đ?›˝âˆ’đ?›ż =0⇒ đ?›˝ =đ?›ż.

E temos o desejado. 6.2.3 Conceitos BĂĄsicos: Inicialmente, fixemos a seguinte linguagem: Um vetor đ?‘˘ ⃗⃗ serĂĄ paralelo a uma reta đ?‘&#x; se existir um representante (đ??´, đ??ľ) de đ?‘˘ ⃗⃗ paralelo a đ?‘&#x; e denotamos đ?‘˘ ⃗⃗//đ?‘&#x;. Um vetor đ?‘˘ ⃗⃗ serĂĄ paralelo a um plano đ?›ą se existir um representante (đ??´, đ??ľ) de đ?‘˘ ⃗⃗ paralelo a đ?›ą e denotamos đ?‘˘ ⃗⃗//đ?›ą. Dois vetores paralelos a uma mesma reta sempre serĂŁo paralelos. Cuidado, dois vetores paralelos a um mesmo plano podem nĂŁo ser paralelos. O vetor nulo serĂĄ paralelo a qualquer reta e a qualquer plano. Agora, novamente estamos trabalhando no espaço, ou seja, em đ??¸ 3 . O conjunto dos vetores de đ??¸ 3 serĂĄ o conjunto jĂĄ visto anteriormente đ?‘‰ 3 .

6.3 CONCEITOS GEOMÉTRICOS DE DEPÊNDENCIA E INDEPENDÊNCIA Vamos analisar cada caso, considerando certa quantidade de vetores.

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6.3.1 Definição: Para cada quantidade de vetores tem-se: i. O conjunto {đ?‘Łâƒ—} composto por um Ăşnico vetor đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 ĂŠ linearmente dependente (LD) se đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗ 0. Se đ?‘Łâƒ— ≠⃗⃗ 0, {đ?‘Łâƒ—} ĂŠ linearmente independente (LI). ii. O conjunto {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} de vetores de đ?‘‰ 3 ĂŠ linearmente dependente (LD) se đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo paralelos. Caso contrĂĄrio, {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ linearmente independente (LI), isto ĂŠ, se đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— nĂŁo sĂŁo paralelos. iii. O conjunto {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} de vetores de đ?‘‰ 3 ĂŠ linearmente dependente (LD) se đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ sĂŁo paralelos a um mesmo plano, ou seja, se đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ sĂŁo coplanares. Caso contrĂĄrio, {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ linearmente independente (LI), isto ĂŠ, se đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ sĂŁo nĂŁo coplanares. iv. Qualquer conjunto {đ?‘˘ ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘˘2 ‌ , ⃗⃗⃗⃗⃗}, đ?‘˘đ?‘› com đ?‘› ≼ 4, ĂŠ linearmente dependente 1 ⃗⃗⃗⃗⃗, (LD). Exemplos: Observe as figuras a seguir e tente associar cada uma com a Definição 6.3.1.

Observação: Se em {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 ‌ , ⃗⃗⃗⃗⃗} đ?‘Łđ?‘› ocorrer ⃗⃗⃗⃗ đ?‘Łđ?‘– = ⃗0⃗, para algum đ?‘–, entĂŁo 1 ⃗⃗⃗⃗⃗, {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗; đ?‘– 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›} ĂŠ LD.

6.4 CONCEITOS ALGÉBRICOS DE DEPENDĂŠNCIA E INDEPENDĂŠNCIA 6.4.1 Definição: Sejam ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł1 đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Łđ?‘› ∈ đ?‘‰ 3 e đ?›ź1 , đ?›ź2 , ‌ , đ?›źđ?‘› ∈ â„œ, com đ?‘› ≼ 1. 2 ‌ , ⃗⃗⃗⃗⃗ Chamamos de combinação linear dos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł1 ‌ , ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Łđ?‘› (com coeficientes đ?›ź1 , ‌ , đ?›źđ?‘› ) o vetor:

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đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?›ź1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 + đ?›ź2 đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗2 + â‹Ż + đ?›źđ?‘› ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Łđ?‘› Se đ?‘˘ ⃗⃗ ĂŠ combinação linear dos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł1 ‌ , ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Łđ?‘› diz-se que đ?‘˘ ⃗⃗ ĂŠ gerado pelos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł1 ‌ , ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Łđ?‘› Observaçþes: 01. Quaisquer que sejam ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł1 ‌ , ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Łđ?‘› o vetor nulo sempre serĂĄ gerado por đ?‘Ł1 ‌ , ⃗⃗⃗⃗⃗. ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Łđ?‘› De fato, sempre ĂŠ possĂ­vel tomar đ?›ź1 = â‹Ż = đ?›źđ?‘› = 0, e teremos: ⃗⃗ = 0 ∗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 0 đ?‘Ł1 + â‹Ż + 0 ∗ ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Łđ?‘› 02. Nem sempre a combinação đ?‘Ľ1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Łđ?‘› resultando no vetor nulo terĂĄ todos os coeficientes iguais Ă zero. Isso dependerĂĄ do conjunto {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Łđ?‘› 1 ‌ , ⃗⃗⃗⃗⃗}. Exemplos: 01. Sabendo que đ?‘˘ ⃗⃗ = 3đ?‘Łâƒ—, vamos escrever duas expressĂľes diferentes do vetor nulo como combinação de đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—. Sabemos que ⃗⃗ 0 = 0đ?‘˘ ⃗⃗ + 0đ?‘Łâƒ—, e esta ĂŠ uma combinação. Como đ?‘˘ ⃗⃗ = 3đ?‘Łâƒ—, temos đ?‘˘ ⃗⃗ + (−3)đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗ 0 e esta ĂŠ outra forma de escrever o vetor nulo. 02. Supondo que {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LI sĂł hĂĄ uma expressĂŁo para o vetor nulo como ⃗⃗ = 0đ?‘˘ ⃗⃗, pela Proposição combinação de đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— que ĂŠ 0 ⃗⃗ + 0đ?‘Łâƒ—. Pois se đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— = 0 6.2.2, đ?›ź = đ?›˝ = 0. 6.4.2 Proposição: O conjunto de vetores {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Łđ?‘› com đ?‘› ≼ 2, ĂŠ LD se, e 1 ‌ , ⃗⃗⃗⃗⃗}, somente se, algum vetor do conjunto for gerado pelos demais. Prova: Analisaremos separadamente ii, iii e iv da definição. Caso i: {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LD ⇔ Um dos vetores ĂŠ gerado pelo outro.

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(⇒) Queremos provar que se {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LD, entĂŁo đ?‘˘ ⃗⃗ ĂŠ gerado por đ?‘Łâƒ— ou đ?‘Łâƒ— ĂŠ gerado por đ?‘˘ ⃗⃗. Se đ?‘˘ ⃗⃗ = ⃗⃗ 0 ou đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗ 0, deve ocorrer đ?‘˘ ⃗⃗ = 0đ?‘Łâƒ— ou đ?‘Łâƒ— = 0đ?‘˘ ⃗⃗. Logo um ĂŠ gerado pelo outro. Suponha agora, đ?‘˘ ⃗⃗ ≠⃗0⃗ e đ?‘Łâƒ— ≠⃗0⃗. Por hipĂłtese, {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LD, logo, devido a definição de LD, existem representantes (đ??´, đ??ľ) de đ?‘˘ ⃗⃗ e (đ??´, đ??ś) de đ?‘Łâƒ— tais que đ??´, đ??ľ e đ??ś sĂŁo colineares (pois os representantes podem ser tomados contidos em uma mesma reta), com đ??´ ≠đ??ľ e đ??´ ≠đ??ś. Se os representantes sĂŁo paralelos, por definição, temos que os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo paralelos, assim existe đ?œ† ∈ â„œ tal que 1

⃗⃗, đ?œ† ≠0) ou đ?‘Łâƒ— = đ?‘˘ đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?œ†đ?‘Łâƒ— (como supomos đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— ≠0 ⃗⃗, portanto um dos vetores ĂŠ đ?œ†

gerado pelo outro. Observe que, o sinal de đ?œ† sĂł irĂĄ influenciar na direção dos vetores, e nada mudarĂĄ sobre o fato de um ser gerado pelo outro. (â‡?) Queremos provar agora que, se đ?‘˘ ⃗⃗ ĂŠ gerado por đ?‘Łâƒ— ou đ?‘Łâƒ— ĂŠ gerado por đ?‘˘ ⃗⃗, entĂŁo {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LD. Suponha que đ?‘Łâƒ— = đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ e que nenhum dos vetores ĂŠ nulo (no caso em que um dos dois fosse nulo, nĂŁo haveria nada o que fazer e jĂĄ concluirĂ­amos que o conjunto {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} seria LD). Seja (đ??´, đ??ľ) um representante de đ?‘˘ ⃗⃗. Da definição de multiplicação de um escalar por vetor, sabemos que đ?‘Łâƒ—//đ?‘˘ ⃗⃗, pois đ?‘Łâƒ— ĂŠ a multiplicação do escalar đ?›ź por đ?‘˘ ⃗⃗. Logo podemos tomar um representante de đ?‘Łâƒ— com origem em đ??´ e extremidade em đ??ś na reta que passa por đ??´ e đ??ľ, ou seja, os ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— = đ??´đ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ambos sĂŁo paralelos a pontos đ??´, đ??ľ e đ??ś sĂŁo colineares. Como đ?‘˘ ⃗⃗ = đ??´đ??ľ uma mesma reta, por definição {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LD. Caso ii: {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LD ⇔ Um dos vetores ĂŠ gerado pelos outros dois. (⇒) Queremos provar que se {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LD, entĂŁo um dos vetores ĂŠ gerado pelos outros. Temos por hipĂłtese que {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LD. Suponha que {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LD, entĂŁo pelo caso anterior temos que đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?›źđ?‘Łâƒ— ou đ?‘Łâƒ— = đ?›˝đ?‘˘ ⃗⃗. Neste caso, đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?›źđ?‘Łâƒ— + 0đ?‘¤ ⃗⃗⃗ ou đ?‘Łâƒ— = đ?›˝đ?‘˘ ⃗⃗ + 0đ?‘¤ ⃗⃗⃗ e estĂĄ provada a afirmação. Suponha que {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LI, faremos a seguinte construção geomĂŠtrica: Tomamos đ?‘ƒ ∈ đ??¸ 3 e os representantes (đ?‘ƒ, đ??´), (đ?‘ƒ, đ??ľ) e (đ?‘ƒ, đ??ś) de đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— e đ?‘¤ ⃗⃗⃗, respectivamente. Em outras palavras, đ?‘˘ ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘ƒđ??´, đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘ƒđ??ľ e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘ƒđ??ś . Note que, đ?‘ƒ, đ??ľ e đ??´ nĂŁo sĂŁo colineares, uma vez que supomos {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} LI e tambĂŠm đ?‘ƒ, đ??´, đ??ľ e đ??ś sĂŁo

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coplanares, devido Ă definição de LD para {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗}. Pelo ponto đ??ś tomamos as retas paralelas a (đ?‘ƒ, đ??´) e a (đ?‘ƒ, đ??ľ), determinando assim os pontos đ?‘€ e đ?‘ . Observe a figura.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗} e {đ?‘Łâƒ—, đ?‘ƒđ?‘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗} sĂŁo LD, e pelo que jĂĄ foi provado no caso i, EntĂŁo, temos que {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘ƒđ?‘€ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ?›˝đ?‘Łâƒ—. Percebe-se que đ?‘¤ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + đ?‘ƒđ?‘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ?›źđ?‘˘ temos đ?‘ƒđ?‘€ ⃗⃗ e đ?‘ƒđ?‘ ⃗⃗⃗ = đ?‘ƒđ?‘€ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ—, ou seja, đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ—. Portanto, đ?‘¤ ⃗⃗⃗ ĂŠ gerado por đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—. (â‡?) Queremos provar que se um dos vetores ĂŠ combinação linear dos outros dois, entĂŁo {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LD. Suponha que đ?‘¤ ⃗⃗⃗ seja gerado por đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—, isto ĂŠ, đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— e que nenhum dos vetores ĂŠ nulo (caso um deles seja nulo, jĂĄ podemos concluir, devido ao caso anterior, que o conjunto {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LD). ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Łâƒ— = đ?‘ƒđ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e đ?‘¤ Tomemos đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?‘ƒđ??´ ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘ƒđ??ś . Se os pontos đ?‘ƒ, đ??´ e đ??ľ forem colineares, ĂŠ claro que os quatro pontos đ??´, đ??ľ, đ??ś e đ?‘ƒ estĂŁo em um mesmo plano, ou seja, os representantes de đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ serĂŁo paralelos ao mesmo plano, logo por definição {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LD. Caso đ?‘ƒ, đ??´ e đ??ľ sejam nĂŁo colineares, estes determinarĂŁo um plano (resultado da geometria elementar).

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⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + đ?‘ƒđ?‘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, logo đ?‘ƒđ?‘€ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = Como supomos đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ—, observe pela figura que đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = đ?‘ƒđ?‘€ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ?›źđ?‘Łâƒ—. DaĂ­, đ?‘€ pertence Ă reta que contĂŠm (đ?‘ƒ, đ??´) e đ?‘ pertence Ă reta que đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘ƒđ?‘ contĂŠm (đ?‘ƒ, đ??ľ), portanto o paralelogramo đ?‘ƒđ?‘€đ??śđ?‘ estĂĄ contido no plano determinado por đ?‘ƒ, đ??´ e đ??ľ. ConcluĂ­mos assim que đ?‘ƒ, đ??´, đ??ľ e đ??ś sĂŁo coplanares e, portanto {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LD. Caso iv: Consulte o livro “Geometria AnalĂ­tica: um tratamento vetorial 2ÂŞ Ed.â€? de Paulo Boulos. Demonstração na pĂĄgina 30. 6.4.2.1 CorolĂĄrio: {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LD se, e somente se, existe đ?›ź ∈ â„œ tal que đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?›źđ?‘Łâƒ— ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— ≠0 ⃗⃗, đ?›ź ≠0 e đ?›˝ ≠0, entĂŁo ou existe đ?›˝ ∈ â„œ tal que đ?‘Łâƒ— = đ?›˝đ?‘˘ ⃗⃗. AlĂŠm disso, se đ?‘˘ ⃗⃗ ≠0 1

�= . �

Prova: Caso ii da Proposição 6.4.2. 6.4.2.2 CorolĂĄrio: Se {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LI e {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LD, entĂŁo đ?‘¤ ⃗⃗⃗ ĂŠ combinação linear de đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—. Prova: Caso iii da Proposição 6.4.2. 6.4.2.3 CorolĂĄrio: Se {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LI, entĂŁo todo vetor đ?‘Ľâƒ— ∈ â„œ3 ĂŠ gerado por đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— e đ?‘¤ ⃗⃗⃗. Isto ĂŠ, qualquer que seja đ?‘Ľâƒ— ∈ â„œ3 , existem đ?›ź, đ?›˝, đ?›ž ∈ â„œ tais que:

đ?‘Ľâƒ— = đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— + đ?›žđ?‘¤ ⃗⃗⃗. Prova: Caso iv da Proposição 6.4.2. 6.4.3 Proposição: O conjunto {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 ‌ , ⃗⃗⃗⃗⃗} đ?‘Łđ?‘› ĂŠ LD se, e somente se, a 1 ⃗⃗⃗⃗⃗, equação đ?›ź1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 + đ?›ź2 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 + â‹Ż + đ?›źđ?‘› ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Łđ?‘› = ⃗0⃗ implicar que pelo menos um dos đ?›źđ?‘˜ ĂŠ diferente de zero. Prova: De fato: ⃗⃗ implica (⇒) Queremos mostrar que se {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Łđ?‘› ĂŠ LD, entĂŁo ∑đ?‘›đ?‘˜=1 đ?›źđ?‘˜ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Łđ?‘˜ = 0 1 ‌ , ⃗⃗⃗⃗⃗} que đ?›źđ?‘˜ ≠0, para algum đ?‘˜ ∈ {1, ‌ , đ?‘– − 1, đ?‘–, đ?‘– + 1, ‌ , đ?‘›}.

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Por hipótese, temos que {𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣𝑛 é LD, logo pela Proposição 6.4.2, 1 … , ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗} algum dos vetores será gerado pelos demais. Suponha que ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖 seja gerado pelos demais vetores do conjunto. Então:

𝑣𝑖 = 𝛼1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + 𝛼2 𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗2 + ⋯ + 𝛼𝑖−1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖−1 + 𝛼𝑖+1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖+1 + ⋯ + 𝛼𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 ⇒ 𝛼1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + 𝛼2 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑖−1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖−1 + (−𝟏)𝒗𝒊 + 𝛼𝑖+1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖+1 + ⋯ + 𝛼𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 = ⃗​⃗ 0 ⇒ 𝛼𝑖 = −1 ≠ 0 ⇒ 𝛼𝑖 ≠ 0 .

Portanto, a equação ∑ 𝛼𝑘 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑘 = ⃗0⃗ implicou que algum dos coeficientes 𝛼𝑘 é diferente de zero. Temos o desejado. (⇐) Queremos mostrar que se a equação ∑ 𝛼𝑘 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑘 = ⃗​⃗ 0 implicar que algum dos 𝛼𝑘 é diferente de zero, então o conjunto {𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣𝑛 é LD. 1 … , ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗} Por hipótese, 𝛼1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + ⋯ + 𝛼𝑖−1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖−1 + 𝛼𝑖 ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖 + 𝛼𝑖+1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖+1 + ⋯ + 𝑎𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 = ⃗0⃗ implica que algum 𝛼𝑘 , com 𝑘 ∈ {1, … , 𝑖 − 1, 𝑖, 𝑖 + 1, … , 𝑛}, é não nulo. Suponha que 𝛼𝑖 ≠ 0. Então:

𝛼1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + ⋯ + 𝛼𝑖−1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖−1 + 𝛼𝑖 ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖 + 𝛼𝑖+1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖+1 + ⋯ + 𝑎𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 = ⃗​⃗ 0 ⇒ 𝛼𝑖 ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖 = −𝛼1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 − ⋯ − 𝛼𝑖−1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖−1 − 𝛼𝑖+1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖+1 − ⋯ − 𝛼𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗. 𝑣𝑛 Como 𝑎𝑖 ≠ 0, existe 𝑎𝑖−1 =

1 𝑎𝑖

tal que 𝑎𝑖 ⋅

1 𝑎𝑖

= 1. Multiplicando a equação por

1 𝑎𝑖

,

tem-se:

𝑣𝑖 = − ⃗​⃗​⃗​⃗

𝑎1 𝑎𝑖−1 𝑎𝑖+1 𝑎𝑛 𝑣1 − ⋯ − ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖−1 − ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖+1 − ⋯ − ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗. ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣 𝑎𝑖 𝑎𝑖 𝑎𝑖 𝑎𝑖 𝑛

Ou seja, ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑖 é combinação linear de ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣1 … , ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣𝑖−1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣𝑖+1 … , ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗. 𝑣𝑛 Mas, pela Proposição 6.4.2,

se

um

dos

vetores

é

gerado

pelo

restante,

temos

que

{𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣𝑖−1 ⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣𝑖 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣𝑖+1 … , ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗} 𝑣𝑛 é LD. Temos o desejado. 1 … , ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗,

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Observação: A proposição a seguir ĂŠ uma maneira alternativa de escrever a proposição vista acima, isto ĂŠ, as proposiçþes serĂŁo equivalentes. É importante enunciĂĄ-la, pois esta serĂĄ bastante usada. 6.4.4 Proposição: {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 ‌ , ⃗⃗⃗⃗⃗} đ?‘Łđ?‘› ĂŠ LI se, e somente se, a equação đ?›ź1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 + 1 ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?›ź2 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 + â‹Ż + đ?›źđ?‘› ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Łđ?‘› = ⃗0⃗ implica que đ?›ź1 = đ?›ź2 = â‹Ż = đ?›źđ?‘› = 0. Exemplo:

Sejam đ?‘Žâƒ— = đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘¤ ⃗⃗⃗, đ?‘?⃗⃗ = 2đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ— − đ?‘¤ ⃗⃗⃗ e đ?‘?⃗ = đ?‘Łâƒ— − 2đ?‘¤ ⃗⃗⃗. Prove que:

{đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LI ⇒ {đ?‘Žâƒ—, đ?‘?⃗⃗, đ?‘?⃗} ĂŠ LI.

Queremos mostrar que se {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LI, entĂŁo {đ?‘Žâƒ—, đ?‘?⃗⃗, đ?‘?⃗} ĂŠ LI. ⃗⃗, e provar que {đ?‘Žâƒ—, đ?‘?⃗⃗, đ?‘?⃗} ĂŠ LI ĂŠ equivalente a Para isto, façamos đ?›źđ?‘Žâƒ— + đ?›˝đ?‘?⃗⃗ + đ?›žđ?‘¤ ⃗⃗⃗ = 0 provar que đ?›ź = đ?›˝ = đ?›ž = 0, devido Ă Proposição 6.4.4. EntĂŁo:

đ?›źđ?‘Žâƒ— + đ?›˝đ?‘?⃗⃗ + đ?›žđ?‘¤ ⃗⃗⃗ = ⃗⃗ 0 ⇒ đ?›ź(đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘¤ ⃗⃗⃗) + đ?›˝(2đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ— − đ?‘¤ ⃗⃗⃗) + đ?›ž(đ?‘Łâƒ— − 2đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = ⃗⃗ 0

⇒ đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›źđ?‘¤ ⃗⃗⃗ + 2đ?›˝đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— − đ?›˝đ?‘¤ ⃗⃗⃗ + đ?›žđ?‘Łâƒ— − 2đ?›žđ?‘¤ ⃗⃗⃗ = ⃗0⃗

⃗⃗. ⇒ (đ?›ź + 2đ?›˝)đ?‘˘ ⃗⃗ + (đ?›˝ + đ?›ž)đ?‘Łâƒ— + (đ?›ź − đ?›˝ − 2đ?›ž)đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = 0 Como, por hipĂłtese {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LI equivale a: đ?›ź + 2đ?›˝ = 0 { đ?›˝+đ?›ž =0 . đ?›ź − đ?›˝ − 2đ?›ž = 0 Note que este sistema ĂŠ homogĂŞneo e possui nĂşmero de incĂłgnitas e equaçþes iguais, logo sua solução ĂŠ đ?›ź = đ?›˝ = đ?›ž = 0. Desta forma, pela Proposição 6.4.4, temos que {đ?‘Žâƒ—, đ?‘?⃗⃗, đ?‘?⃗} ĂŠ LI.

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6.4.4.1 Corolário: Se {𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣𝑛 é LI, então para cada vetor gerado por 1 … , ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗} 𝑣1 … , ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣𝑛 os coeficientes são univocamente determinados, isto é: 𝑥1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + ⋯ + 𝑥𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 = 𝑦1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + ⋯ + 𝑦𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 ⇒ 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 , ∀𝑖. Prova: Façamos:

𝑥1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + ⋯ + 𝑥𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 = 𝑦1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + ⋯ + 𝑦𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 ⃗​⃗ ⇒ 𝑥1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + ⋯ + 𝑥𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 − (𝑦1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + ⋯ + 𝑦𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗) 𝑣𝑛 = 0 ⃗​⃗ ⇒ 𝑥1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + ⋯ + 𝑥𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 − 𝑦1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 − ⋯ − 𝑦𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 = 0 ⃗​⃗ ⇒ 𝑥1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 − 𝑦1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + ⋯ + 𝑥𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 − 𝑦𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 = 0 ⃗​⃗ ⇒ (𝑥1 − 𝑦1 )𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗1 + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 )𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑛 = 0. Como, por hipótese {𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣𝑛 é LI, pela Proposição 6.4.4 qualquer 1 … , ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗} combinação linear dos vetores ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣1 … , ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 resultando no vetor nulo implica que os coeficientes são iguais à zero, isto é, 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 = 0, com 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}. Logo: 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 , ∀𝑖. 6.4.4.2 Corolário: Se 𝑎1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + ⋯ + 𝑎𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 = 𝑏1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + ⋯ + 𝑏𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣𝑛 e 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖 , com 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}, então {𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣𝑛 é LI (1 ≤ 𝑛 ≤ 3). 1 … , ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗} Prova: Se 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ∈ ℜ tais que 𝑎1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + ⋯ + 𝑎𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 = ⃗​⃗ 0, segue que: 𝑎1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + ⋯ + 𝑎𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 = ⃗​⃗ 0 = 0𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗1 + ⋯ + 0𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑛 ⇒ 𝑎1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 + ⋯ + 𝑎𝑛 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑛 = 0𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗1 + ⋯ + 0𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗. 𝑛

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Mas por hipĂłtese, essa igualdade sĂł ĂŠ vĂĄlida de đ?‘Ž1 = 0, đ?‘Ž2 = 0, ‌ , đ?‘Žđ?‘› = 0. Logo, novamente pela Proposição 6.4.4, temos que {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Łđ?‘› ĂŠ LI. 1 ‌ , ⃗⃗⃗⃗⃗} Exemplos: 01. Prove que se {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LI, entĂŁo {đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ—, đ?‘˘ ⃗⃗ − đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LI. Sejam đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ â„œ tais que đ?‘Ľ(đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ—) + đ?‘Ś(đ?‘˘ ⃗⃗ − đ?‘Łâƒ—) = ⃗0⃗, devemos mostrar que os escalares đ?‘Ľ e đ?‘Ś sĂŁo iguais a zero. De fato:

đ?‘Ľ(đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ—) + đ?‘Ś(đ?‘˘ ⃗⃗ − đ?‘Łâƒ—) = ⃗0⃗ ⇒ đ?‘Ľđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Ľđ?‘Łâƒ— + đ?‘Śđ?‘˘ ⃗⃗ − đ?‘Śđ?‘Łâƒ— = ⃗0⃗

⇒ (đ?‘Ľ + đ?‘Ś)đ?‘˘ ⃗⃗ + (đ?‘Ľ − đ?‘Ś)đ?‘Łâƒ— = ⃗0⃗. Temos uma combinação linear de đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— resultando no vetor nulo, e da hipĂłtese {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LI, logo pela Proposição 6.4.4, os coeficientes desta combinação devem ser iguais Ă zero. Assim, temos: đ?‘Ľ+đ?‘Ś =0 { . đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś =0 Um sistema homogĂŞneo com nĂşmero de equaçþes e incĂłgnitas iguais, ou seja, a Ăşnica solução que este sistema admite ĂŠ đ?‘Ľ = 0 e đ?‘Ś = 0. ⃗⃗ implicou em đ?‘Ľ = đ?‘Ś = 0, Portanto, como a combinação đ?‘Ľ(đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ—) + đ?‘Ś(đ?‘˘ ⃗⃗ − đ?‘Łâƒ—) = 0 temos pela proposição 6.4.4 que o conjunto {đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ—, đ?‘˘ ⃗⃗ − đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LI. 02. Na figura, đ??´đ??ľđ??ś ĂŠ um triângulo e đ?‘€ ĂŠ o ponto mĂŠdio de đ??´đ??ľ. Sabendo que đ?‘€đ?‘ ĂŠ paralelo a đ??ľđ??ś, prove que đ?‘ ĂŠ o ponto mĂŠdio de đ??´đ??ś.

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Podemos tratar cada lado do triângulo como sendo representantes de vetores, basta “colocarâ€? orientaçþes nestes segmentos. Por exemplo, como đ??´đ??ľđ??ś ĂŠ um ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , đ??ľđ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ } ĂŠ LI. triângulo, temos {đ??´đ??ľ Como đ?‘€ ĂŠ o ponto mĂŠdio de đ??´đ??ľ, temos:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ??´đ?‘€

1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ đ?‘€đ??ľ ‌ (1) 2

Como, por hipĂłtese, đ?‘€đ?‘ ĂŠ paralelo a đ??ľđ??ś, temos:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‌ (2) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ?›źđ??ľđ??ś đ?‘€đ?‘ Finalmente, como đ?‘ pertence ao lado đ??´đ??ś, temos:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ?›˝đ??´đ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‌ (3) đ??´đ?‘ 1

Note que, nosso objetivo agora ĂŠ concluir que đ?›˝ = . Façamos: 2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + đ??´đ?‘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ?‘€đ?‘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ?‘€đ?‘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ?‘€đ?‘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ đ??´đ?‘ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − đ?‘€đ??´ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + đ??´đ?‘€ đ?‘€đ??´

⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ?‘ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘€đ?‘ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ?‘€. Logo, por (1) e (2):

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1 тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ + тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ ЁЭР┤ЁЭСБ = ЁЭЫ╝ЁЭР╡ЁЭР╢ ЁЭР┤ЁЭР╡ тАж (4) 2 Por outro lado, de (3) vem:

тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ = ЁЭЫ╜(ЁЭР┤ЁЭР╡ тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ + тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ + тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ ЁЭР┤ЁЭСБ = ЁЭЫ╜ЁЭР┤ЁЭР╢ ЁЭР╡ЁЭР╢ ) = ЁЭЫ╜(ЁЭР╡ЁЭР╢ ЁЭР┤ЁЭР╡)

тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ + ЁЭЫ╜ЁЭР┤ЁЭР╡ тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ тАж (5) тЗТ тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ ЁЭР┤ЁЭСБ = ЁЭЫ╜ЁЭР╡ЁЭР╢ Comparando (4) e (5): 1 тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ + тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ + ЁЭЫ╜ЁЭР┤ЁЭР╡ тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ . ЁЭЫ╝ЁЭР╡ЁЭР╢ ЁЭР┤ЁЭР╡ = ЁЭЫ╜ЁЭР╡ЁЭР╢ 2 тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ, ЁЭР╡ЁЭР╢ тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ } ├й LI, a igualdade acima implica que os Como vimos no Exemplo 01, se {ЁЭР┤ЁЭР╡ coeficientes s├гo iguais, ou seja: 1 ЁЭЫ╝=ЁЭЫ╜ЁЭСТЁЭЫ╜= . 2 1

Portanto, ЁЭЫ╜ = e temos o desejado. 2

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89

CAPĂ?TULO 07: BASE

7.1 INTRODUĂ‡ĂƒO No capĂ­tulo anterior, falamos um pouco sobre um conjunto especifico de vetores que formava uma base para determinado “lugarâ€?. Lembre que estudamos vetores no plano e no espaço. No plano, um conjunto composto por dois vetores, onde esse conjunto ĂŠ LI, forma uma base para o plano. Enquanto no espaço, um conjunto composto por trĂŞs vetores, onde esse conjunto ĂŠ LI, forma uma base para o espaço. Neste capĂ­tulo, vamos fazer uma abordagem mais teoria sobre bases do espaço. 7.1.1 Definição: O conjunto ordenado LI, đ??¸ = {đ?‘’⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ⃗⃗⃗⃗}, đ?‘’3 chama-se base 1 ⃗⃗⃗⃗, de đ?‘‰ 3 .

Se đ??¸ = {đ?‘’⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ⃗⃗⃗⃗} đ?‘’3 ĂŠ uma base, podemos dizer, conforme o CorolĂĄrio 1 ⃗⃗⃗⃗, 6.4.2.3 que todo vetor đ?‘˘ ⃗⃗ ∈ đ?‘‰ 3 ĂŠ gerado por ⃗⃗⃗⃗, đ?‘’1 ⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ⃗⃗⃗⃗, đ?‘’3 isto ĂŠ, existem đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ∈ â„œ tais que:

đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?‘Ž1 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’1 + đ?‘Ž2 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’2 + đ?‘Ž3 ⃗⃗⃗⃗. đ?‘’3

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90

A terna (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ) ĂŠ a Ăşnica a satisfazer a equação acima, pois, se supormos đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?‘?1 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’1 + đ?‘?2 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’2 + đ?‘?3 ⃗⃗⃗⃗, đ?‘’3 devido ao fato de que {đ?‘’⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ⃗⃗⃗⃗} đ?‘’3 ĂŠ LI, o 1 ⃗⃗⃗⃗, CorolĂĄrio 6.4.4.1 diz que đ?‘?1 = đ?‘Ž1 , đ?‘?2 = đ?‘Ž2 , đ?‘?3 = đ?‘Ž3 . Cada escalar đ?‘Žđ?‘– ∈ â„œ ĂŠ chamado de coordenada de đ?‘˘ ⃗⃗ em relação Ă base đ??¸. Lembre-se de nunca trocar a ordem dos vetores ou dos escalares. Como (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ) ĂŠ composto pelas coordenadas de đ?‘˘ ⃗⃗ em relação Ă base đ??¸, podemos reescrever o vetor đ?‘˘ ⃗⃗ como sendo, simplesmente:

đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?‘Ž1 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’1 + đ?‘Ž2 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’2 + đ?‘Ž3 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’3 = (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 )đ??¸

⇒ đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 )đ??¸ . Quando trabalharmos com uma grande quantidade de vetores, podemos supor que todos estĂŁo escritos em relação Ă uma mesma base e omitimos o Ă­ndice đ??¸ em (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 )đ??¸ , isto ĂŠ, escrevemos đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ).

7.2 OPERAÇÕES SEGUNDO AS COORDENADAS 7.2.1 Proposição: Sejam đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 )đ??¸ e đ?‘Łâƒ— = (đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?3 ). A soma de đ?‘˘ ⃗⃗ com đ?‘Łâƒ—, em termos de coordenadas, ĂŠ o vetor:

đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž1 + đ?‘?1 , đ?‘Ž2 + đ?‘?2 , đ?‘Ž3 + đ?‘?3 )đ??¸ . Prova: Seja đ??¸ = {đ?‘’⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ⃗⃗⃗⃗}, đ?‘’3 entĂŁo: 1 ⃗⃗⃗⃗, đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 )đ??¸ + (đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?3 )đ??¸ = đ?‘Ž1 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’1 + đ?‘Ž2 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’2 + đ?‘Ž3 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’3 + đ?‘?1 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’1 + đ?‘?2 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’2 + đ?‘?3 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’3 = (đ?‘Ž1 + đ?‘?1 )đ?‘’⃗⃗⃗⃗1 + (đ?‘Ž2 + đ?‘?2 )đ?‘’ ⃗⃗⃗⃗2 + (đ?‘Ž3 + đ?‘?3 )đ?‘’⃗⃗⃗⃗3 = (đ?‘Ž1 + đ?‘?1 , đ?‘Ž2 + đ?‘?2 , đ?‘Ž3 + đ?‘?3 )đ??¸ ⇒đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž1 + đ?‘?1 , đ?‘Ž2 + đ?‘?2 , đ?‘Ž3 + đ?‘?3 )đ??¸ .

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91

7.2.2 Proposição: Sejam đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 )đ??¸ e đ?œ‚ ∈ â„œ. A multiplicação escalar de đ?œ‚ por đ?‘˘ ⃗⃗, em termos de coordenadas, ĂŠ o vetor:

đ?œ‚đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?œ‚đ?‘Ž1 , đ?œ‚đ?‘Ž2 , đ?œ‚đ?‘Ž3 )đ??¸ . Prova: Seja đ??¸ = {đ?‘’⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ⃗⃗⃗⃗}, đ?‘’3 entĂŁo: 1 ⃗⃗⃗⃗, đ?œ‚đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?œ‚(đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 )đ??¸ = đ?œ‚(đ?‘Ž1 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’1 + đ?‘Ž2 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’2 + đ?‘Ž3 ⃗⃗⃗⃗) đ?‘’3 = (đ?œ‚đ?‘Ž1 )đ?‘’⃗⃗⃗⃗1 + (đ?œ‚đ?‘Ž2 )đ?‘’⃗⃗⃗⃗2 + (đ?œ‚đ?‘Ž3 )đ?‘’⃗⃗⃗⃗3 = (đ?œ‚đ?‘Ž1 , đ?œ‚đ?‘Ž2 , đ?œ‚đ?‘Ž3 )đ??¸ ⇒ đ?œ‚đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?œ‚đ?‘Ž1 , đ?œ‚đ?‘Ž2 , đ?œ‚đ?‘Ž3 )đ??¸ . Exemplo: Sendo đ?‘˘ ⃗⃗ = (−1,2,0)đ??¸ e đ?‘Łâƒ— = (3. −3,4)đ??¸ , vamos determinar a tripla de coordenadas do vetor đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = −3đ?‘˘ ⃗⃗ + 2đ?‘Łâƒ— na base đ??¸. Temos: đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = −3đ?‘˘ ⃗⃗ + 2đ?‘Łâƒ— = −3(−1,2,0)đ??¸ + 2(3, −3,4)đ??¸ = (3, −6,0)đ??¸ + (6, −6,8)đ??¸

⇒ đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = (9, −12,8)đ??¸ .

7.3 ANALISANDO A DEPENDĂŠNCIA PELAS COORDENADAS A seguir, veremos um resultado que nos ajudarĂĄ a concluir se um conjunto de vetores ĂŠ LD ou LI em termos de suas coordenadas. 7.3.1 Proposição: Sejam đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 )đ??¸ e đ?‘Łâƒ— = (đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?3 )đ??¸ . O conjunto {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LD se, e somente se, [đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ] e [đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?3 ] sĂŁo proporcionais1, ou equivalentemente, se:

Estamos usando [đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ] e [đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?2 ] para representar sequĂŞncias de nĂşmeros. [đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ] e đ?‘Ž đ?‘Ž đ?‘Ž [đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?2 ] serĂŁo proporcionais se 1 = 2 = 3 = đ?‘˜ ∈ â„œ. 1

đ?‘?1

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đ?‘?2

đ?‘?3

92

đ?‘Ž1 |đ?‘? 1

đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 đ?‘?2 | = |đ?‘?1

đ?‘Ž3 đ?‘Ž2 đ?‘?3 | = |đ?‘?2

đ?‘Ž3 đ?‘?3 | = 0.

Exemplos:

01. Os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ = (3,10,11) e đ?‘Łâƒ— = (4,7, −1) formam um conjunto LI, pois

3 4

â‰

10 7

e isto implica a NĂƒO proporcionalidade das sequĂŞncias [3,10,11] e [4,7, −1]. 1 7 1

02. Os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ = (1,7,1) e đ?‘Łâƒ— = ( , , ) formam um conjunto LD, pois as 2 2 2

1 7 1

1

2 2 2

1 2

sequĂŞncias [1,7,1] e [ , , ] sĂŁo proporcionais, note que

=

7 7 2

=

1 1 2

= 2. Logo, pela

proposição, a proporcionalidade entre as sequĂŞncias das coordenadas equivale Ă dependĂŞncia linear dos vetores, ou seja, o par de vetores forma um conjunto LD. 7.3.2 Proposição: Sejam đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ), đ?‘Łâƒ— = (đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?3 ) e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = (đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?3 ). O conjunto {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LD se, e somente se: đ?‘Ž1 |đ?‘?1 đ?‘?1

đ?‘Ž2 đ?‘?2 đ?‘?2

đ?‘Ž3 đ?‘?3 | = 0. đ?‘?3

Exemplos: 01. Verifique se {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LD ou LI, onde đ?‘˘ ⃗⃗ = (1, −1,2)đ??¸ , đ?‘Łâƒ— = (0,1,3)đ??¸ e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = (4, −3,11)đ??¸ . Usando a Proposição 6.3.2: 1 |0 4

−1 1 −3

2 1 3 |0 11 4

−1 1 = 11 − 12 − 8 + 9 = 20 − 20 = 0. −3

Portanto, {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LD.

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93

02. Sabendo que đ??¸ = {đ?‘’⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ⃗⃗⃗⃗} đ?‘’3 ĂŠ uma base e que ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“1 = 2đ?‘’⃗⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“2 = ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’1 − ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’2 + 2đ?‘’ ⃗⃗⃗⃗3 1 ⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3 = ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’1 + 2đ?‘’ ⃗⃗⃗⃗, 3 mostre que đ??š = {đ?‘“1 , đ?‘“2 , đ?‘“3 } ĂŠ uma base e, em seguida, escreva o vetor đ?‘Łâƒ— = (2, −1,1)đ??¸ na base đ??š. Para mostrar que đ??š ĂŠ uma base, basta mostrar que este conjunto ĂŠ LI. Note que ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“1 = (2, −1,0)đ??¸ , ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“2 = (1, −1,2)đ??¸ e ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3 = (1,0,2)đ??¸ . Usando a Proposição 6.3.2, temos: 2 |1 1

−1 −1 0

0 2 2| 1 2 1

−1 −1 = −4 − 2 + 2 = −4 ≠0. 0

O determinante ĂŠ diferente de zero e equivale a đ??š ĂŠ LI. Portanto đ??š ĂŠ uma base. Agora, queremos escrever o vetor đ?‘Łâƒ— = (2, −1,1)đ??¸ = 2đ?‘’⃗⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’2 + ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’3 na base đ??š. A ideia aqui ĂŠ escrever os vetores de đ??¸ como combinaçþes dos vetores de đ??š. 2đ?‘’⃗⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’2 = ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“1 Podemos associar o sistema {⃗⃗⃗⃗ đ?‘’1 − ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’2 + 2đ?‘’ ⃗⃗⃗⃗3 = ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“2 Ă matriz đ??´ e em seguida usar đ?‘’1 + 2đ?‘’ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗3 = ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3 operaçþes elementares para expressar ⃗⃗⃗ đ?‘’đ?‘– em termos dos vetores de đ??š, onde đ??´ = 2 [1

−1

0

−1

2

1

0

2

⃗⃗⃗⃗ đ?‘“1 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“2 ]. Para isso, vamos reduzir đ??´ Ă sua matriz equivalente linha ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3

reduzida Ă forma escada. Temos:

−1

2

2

⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3

−1

0

1 |0

0

2

−1

−4

0

−1

0

0

−1

1

0

→

đ??ż3→đ??ż3−đ??ż2

1

0

|0 −1 0

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2

−1

đ??ż2→đ??ż2−2â‹…đ??ż1 đ??ż3→đ??ż3−đ??ż1

→

0

2

⃗⃗⃗⃗ đ?‘“1 1 đ??ż1↔đ??ż3 ⃗⃗⃗⃗ |1 đ?‘“2 | →

2 |1

0

2 0 −4

2

⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3

⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3 1 0 đ??ż2↔đ??ż3 ⃗⃗⃗⃗ |2 −1 đ?‘“2 | → ⃗⃗⃗⃗1 đ?‘“ 1 −1

đ??ż2↔đ??ż3

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗3 | → đ?‘“1 − 2đ?‘“ ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“2 − ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3

⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3

1 đ??ż3→− â‹…đ??ż3 4 đ??ż2→−đ??ż2

⃗⃗⃗⃗ đ?‘“2 − ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3 | → ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“1 − ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“2 − ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3

1 |0

0 −1

0

−1

1

0 2

|0 | 0

1 0 0 1

2

2 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3 0 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“1 | 2 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“2 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3

⃗⃗⃗⃗ đ?‘“2 − ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3 | ⃗⃗⃗⃗3 −4 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘“1 − 2đ?‘“ 0

⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3 ⃗⃗⃗⃗2 + ⃗⃗⃗⃗ −đ?‘“ đ?‘“3 1 ⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗ − (đ?‘“ đ?‘“2 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘“3 ) 4 1

| |

94

1 𝐿1→𝐿1−2𝐿3 | → 0 | 0

0 1 0

1 ⃗​⃗​⃗​⃗ − ⃗​⃗​⃗​⃗ 0 ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓3 + (𝑓 𝑓2 − ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓3 ) 2 1 | ⃗​⃗​⃗​⃗2 + ⃗​⃗​⃗​⃗ . 0 −𝑓 𝑓3 | 1 ⃗​⃗​⃗​⃗ − ⃗​⃗​⃗​⃗ 1 − (𝑓 𝑓2 − ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓3 ) 4 1

Desta forma, temos:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑒⃗​⃗​⃗​⃗1 = ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓1 − ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓2 + ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓3 = ( , − , ) ⇒ ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒1 = ( , − , ) 2 2 2 2 2 2 𝐹 2 2 2 𝐹

⃗​⃗​⃗​⃗2 + ⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒2 = −𝑓 𝑓3 = (0, −1,1)𝐹 ⇒ ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒2 = (0, −1,1)𝐹

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⃗​⃗​⃗​⃗1 + ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒3 = − 𝑓 ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓2 + ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓3 = (− , , ) ⇒ ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒3 = (− , , ) . 4 4 4 4 4 4 𝐹 4 4 4 𝐹 Agora, vamos determinar as coordenadas de 𝑣⃗ = (2, −1,1)𝐸 em relação à base 𝐹. Temos: 𝑣⃗ = (2, −1,1)𝐸 = 2𝑒⃗​⃗​⃗​⃗1 − ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒2 + ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒3 1 1 1 1 1 1 ⃗​⃗​⃗​⃗2 + ⃗​⃗​⃗​⃗ = 2 ( ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓1 − ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓2 + ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓3 ) − (−𝑓 𝑓3 ) + (− ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓1 + ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓2 + ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓) 2 2 2 4 4 4 3 1 1 1 = ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓1 − ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓2 + ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓3 + ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓2 − ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓3 − ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓1 + ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓2 + ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓 4 4 4 3 1 1 1 3 1 1 = (1 − ) ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓1 + (−1 + 1 + ) ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓2 + (1 − 1 + ) ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓3 = ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓1 + ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓2 + ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓 4 4 4 4 4 4 2 3 1 1 3 1 1 ⇒ 𝑣⃗ = ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓1 + ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓2 + ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑓2 = ( , , ) 4 4 4 4 4 4 𝐹

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95

3 1 1 ⇒ đ?‘Łâƒ— = ( , , ) . 4 4 4 đ??š

3 1 1

Note que, podemos escrever đ?‘Łâƒ— = (2, −1,1)đ??¸ = ( , , ) . 4 4 4 đ??š

7.4 ORTOGONALIDADE 7.4.1 Definição: Os vetores nĂŁo nulos đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo ortogonais se seus representantes sĂŁo ortogonais. Indicamos a ortogonalidade por đ?‘˘ ⃗⃗ ⊼ đ?‘Łâƒ—. 7.4.2 Proposição: Os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo ortogonais se, e somente se, 2

2

2

||đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| + ||đ?‘Łâƒ—|| .

Observação: ⃗⃗ 0 ⊼ đ?‘Łâƒ—, ∀đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 . 7.4.2 Definição: Uma base đ??¸ = {đ?‘’⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ⃗⃗⃗⃗} đ?‘’3 ĂŠ ortonormal se ||đ?‘’⃗⃗⃗⃗|| ⃗⃗⃗⃗|| 1 ⃗⃗⃗⃗, 1 = ||đ?‘’ 2 = ||đ?‘’ ⃗⃗⃗⃗|| đ?‘’1 ⊼ ⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’1 ⊼ ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’3 e ⃗⃗⃗⃗ đ?‘’2 ⊼ ⃗⃗⃗⃗. đ?‘’3 Em outras palavras, đ??¸ ĂŠ uma base ortonormal 3 = 1 e ⃗⃗⃗⃗ se seus vetores sĂŁo unitĂĄrios e dois a dois ortogonais.

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7.4.3 Proposição: Seja đ??¸ = {đ?‘’⃗⃗⃗⃗, đ?‘’2 ⃗⃗⃗⃗} đ?‘’3 uma base ortonormal. Se đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?›źđ?‘’⃗⃗⃗⃗1 + 1 ⃗⃗⃗⃗, đ?›˝đ?‘’⃗⃗⃗⃗2 + đ?›žđ?‘’ ⃗⃗⃗⃗3 = (đ?›ź, đ?›˝, đ?›ž)đ??¸ , entĂŁo:

||đ?‘˘ ⃗⃗|| = √đ?›ź 2 + đ?›˝2 + đ?›ž 2 .

Exemplo: Seja đ??¸ uma base ortonormal e đ?‘˘ ⃗⃗ = (2, −1,3)đ??¸ . Vamos calcular a norma de đ?‘˘ ⃗⃗. Temos:

||đ?‘˘ ⃗⃗|| = √22 + (−1)2 + 32 = √4 + 1 + 9 = √14.

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97

CAPĂ?TULO 08: PRODUTO ESCALAR

8.1 INTRODUĂ‡ĂƒO Neste capĂ­tulo estudaremos o produto escalar entre vetores. É importante que fique claro a diferença entre produto escalar e a multiplicação por escalar vista anteriormente. Antes de iniciarmos, lembre-se da definição de ângulo entre dois vetores, isto ĂŠ, caso os conceitos nĂŁo fiquem claros aqui, revise as propriedades de ângulo entre vetores. Considere a figura abaixo:

Sendo đ?œƒ = đ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—), e o triângulo formado pelos representantes dos vetores đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— e đ?‘˘ ⃗⃗ − đ?‘Łâƒ—, podemos aplicar a Lei dos Cossenos e obter:

2

2

2

||đ?‘˘ ⃗⃗ − đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| + ||đ?‘Łâƒ—|| − 2||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ ‌ (đ??ź)

Por outro lado, se considerarmos uma base ortonormal đ??ľ = {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗}, podemos escrever đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 )đ??ľ , đ?‘Łâƒ— = (đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?3 )đ??ľ e consequentemente đ?‘˘ ⃗⃗ − đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž1 − đ?‘?1 , đ?‘Ž2 − đ?‘?2 , đ?‘Ž3 − đ?‘?3 )đ??ľ . Calculemos a norma de đ?‘˘ ⃗⃗ − đ?‘Łâƒ— em termos de suas coordenadas e em seguida elevamos esta ao quadrado:

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2

||đ?‘˘ ⃗⃗ − đ?‘Łâƒ—|| = (đ?‘Ž1 − đ?‘?1 )2 + (đ?‘Ž2 − đ?‘?2 )2 + (đ?‘Ž3 − đ?‘?3 )2 = đ?‘Ž12 − 2đ?‘Ž1 đ?‘?1 + đ?‘?12 + đ?‘Ž22 − 2đ?‘Ž2 đ?‘?2 + đ?‘?22 + đ?‘Ž32 − 2đ?‘Ž3 đ?‘?3 + đ?‘?32 = (đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;‘ ) + (đ?’ƒđ?&#x;?đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;?đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;?đ?&#x;‘ ) − 2(đ?‘Ž1 đ?‘?1 + đ?‘Ž2 đ?‘?2 + đ?‘Ž3 đ?‘?3 ) đ?&#x;?

đ?&#x;?

⃗⃗|| + ||đ?’— ⃗⃗|| − 2(đ?‘Ž1 đ?‘?1 + đ?‘Ž2 đ?‘?2 + đ?‘Ž3 đ?‘?3 ) = ||đ?’–

2

2

2

⇒ ||đ?‘˘ ⃗⃗ − đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| + ||đ?‘Łâƒ—|| − 2(đ?‘Ž1 đ?‘?1 + đ?‘Ž2 đ?‘?2 + đ?‘Ž3 đ?‘?3 ) ‌ (đ??źđ??ź)

Substituindo (II) em (I), tem-se: đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?

⃗⃗|| + ||đ?’— ⃗⃗|| − 2(đ?‘Ž1 đ?‘?1 + đ?‘Ž2 đ?‘?2 + đ?‘Ž3 đ?‘?3 ) = ||đ?’– ⃗⃗|| + ||đ?’— ⃗⃗|| − 2||đ?‘˘ ||đ?’– ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ

⇒ −2(đ?‘Ž1 đ?‘?1 + đ?‘Ž2 đ?‘?2 + đ?‘Ž3 đ?‘?3 ) = −2||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ

⇒ đ?‘Ž1 đ?‘?1 + đ?‘Ž2 đ?‘?2 + đ?‘Ž3 đ?‘?3 = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ ‌ (8.1 − đ??¸)

Note que esta equação nos permite calcular o ângulo entre os vetores em termos de suas coordenadas em relação Ă uma base ortonormal. Basta tomar ||đ?‘˘ ⃗⃗|| = √đ?‘Ž12 + đ?‘Ž22 + đ?‘Ž32 e ||đ?‘Łâƒ—|| = √đ?‘?12 + đ?‘?22 + đ?‘?32 , e temos (considere đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— nĂŁo nulos):

cos đ?œƒ =

đ?‘Ž1 đ?‘?1 + đ?‘Ž2 đ?‘?2 + đ?‘Ž3 đ?‘?3 √(đ?‘Ž12

⇒ đ?œƒ = arccos [

+ đ?‘Ž22 + đ?‘Ž32 )(đ?‘?12 + đ?‘?22 + đ?‘?32 )

đ?‘Ž1 đ?‘?1 + đ?‘Ž2 đ?‘?2 + đ?‘Ž3 đ?‘?3 √(đ?‘Ž12 + đ?‘Ž22 + đ?‘Ž32 )(đ?‘?12 + đ?‘?22 + đ?‘?32 )

].

8.1.1 Definição: Sejam đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 e đ?œƒ = đ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—). O produto escalar dos vetores đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—, indicado por đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—, ĂŠ o nĂşmero real tal que:

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99

⃗⃗ ou đ?‘Łâƒ— = 0 ⃗⃗, đ?‘˘ i. Se đ?‘˘ ⃗⃗ = 0 ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = 0 ; ii. Se đ?‘˘ ⃗⃗ ≠⃗0⃗ e đ?‘Łâƒ— ≠⃗0⃗, đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ .

Observação: Podemos ainda, pensar no produto escalar como sendo uma operação: â‹…: đ?‘‰ 3 Ă—đ?‘‰ 3 → â„œ (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—) ↌ đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—. 8.1.2 Proposição: Sejam đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 e đ?œƒ = đ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—). ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— ≠0 ⃗⃗, entĂŁo cos đ?œƒ = i. Se đ?‘˘ ⃗⃗ ≠0

⃗⃗⋅đ?‘Ł ⃗⃗ đ?‘˘

;

⃗⃗||||đ?‘Ł ⃗⃗|| ||đ?‘˘

ii. Qualquer que seja đ?‘˘ ⃗⃗ ∈ đ?‘‰ 3 , ||đ?‘˘ ⃗⃗|| = √đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘˘ ⃗⃗; iii. Quaisquer que sejam đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 : đ?‘˘ ⃗⃗ ⊼ đ?‘Łâƒ— ⇔ đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = 0. Prova: i. Se đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo nĂŁo nulos, temos que ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ≠0 e ||đ?‘Łâƒ—|| ≠0, logo existem (||đ?‘˘ ⃗⃗||)

−1

e

1

1 ⃗⃗|| ||đ?‘˘

=

−1

= (||đ?‘Łâƒ—||) . EntĂŁo: ⃗⃗||

||đ?‘Ł

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ ⇒ cos đ?œƒ =

||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—||

ii. Caso 01: Se đ?‘˘ ⃗⃗ = ⃗0⃗, por definição

.

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘˘ ⃗⃗ = 0 . Por outro lado,

||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘˘ ⃗⃗|| cos đ?œƒ = 0 â‹… 0 â‹… cos đ?œƒ = 0 ⇒ ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘˘ ⃗⃗|| cos đ?œƒ = 0 . Como ambos os membros (olhe para a definição) sĂŁo iguais a zero, vale a igualdade:

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ .

⃗⃗, note que đ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘˘ Caso 02: Se đ?‘˘ ⃗⃗ ≠0 ⃗⃗, đ?‘˘ ⃗⃗) = 0 (por que?). Temos: 2

2

2

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘˘ ⃗⃗ = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘˘ ⃗⃗|| cos 0 = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| â‹… 1 = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ⇒ đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘˘ ⃗⃗ = ||đ?‘˘ ⃗⃗||

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100

⇒ ||đ?‘˘ ⃗⃗|| = √đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘˘ ⃗⃗ .

Observe que, ao “passarâ€? a raiz quadrada para o outro membro, terĂ­amos dois possĂ­veis valores, porĂŠm, a norma de đ?‘˘ ⃗⃗ sempre serĂĄ positiva, logo tomamos o valor positivo. iii. Caso 01: Se um dos vetores ĂŠ nulo, a equivalĂŞncia ĂŠ vĂĄlida, pois ambas as afirmaçþes serĂŁo verdadeiras. Caso 02: Se đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo nĂŁo nulos, temos: (⇒) Queremos mostrar que se đ?‘˘ ⃗⃗ ⊼ đ?‘Łâƒ—, entĂŁo đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = 0. De fato, se đ?‘˘ ⃗⃗ ⊼ đ?‘Łâƒ—, đ?œ‹

temos que đ?œƒ = , logo: 2

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos

đ?œ‹ = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| â‹… 0 = 0 ⇒ đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = 0 . 2

(â‡?) Queremos mostrar que, se đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = 0, entĂŁo đ?‘˘ ⃗⃗ ⊼ đ?‘Łâƒ—. De fato, se đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = 0, temos:

||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ = 0. Como đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo nĂŁo nulos, suas normas sĂŁo diferentes de zero, logo podemos multiplicar a igualdade acima por

cos đ?œƒ =

0 ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—||

1

. Portanto:

⃗⃗||||đ?‘Ł ⃗⃗|| ||đ?‘˘

= 0 ⇒ cos đ?œƒ = 0.

Lembrando que da definição de ângulo entre vetores 0 ≤ đ?œƒ ≤ đ?œ‹, e o Ăşnico đ?œ‹

valor de đ?œƒ no intervalo [0, đ?œ‹] que satisfaz cos đ?œƒ = 0 ĂŠ đ?œƒ = . Logo: 2

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101

cos đ?œƒ = 0 ⇒ đ?œƒ =

đ?œ‹ . 2

đ?œ‹

Assim, se đ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—) = , temos por definição que đ?‘˘ ⃗⃗ ⊼ đ?‘Łâƒ—. 2

Observaçþes: 01. Perceba que, se đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = 0, pode ocorrer: ⃗⃗ ou đ?‘Łâƒ— = 0 ⃗⃗; i. đ?‘˘ ⃗⃗ = 0 ii. đ?‘˘ ⃗⃗ ⊼ đ?‘Łâƒ—. 02. Se đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— ≠0, temos que đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo nĂŁo nulos. 03. Se đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— > 0, temos đ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—) = đ?œƒ ĂŠ agudo, pois cos đ?œƒ > 0. Se đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— < 0, esse ângulo ĂŠ obtuso, pois cos đ?œƒ < 0. 8.1.3 Proposição: Seja đ??ľ uma base ortonormal. Se, em relação Ă base đ??ľ, temos đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 )đ??ľ , đ?‘Łâƒ— = (đ?‘?1 , đ?‘?1 , đ?‘?3 )đ??ľ , entĂŁo:

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = đ?‘Ž1 đ?‘?1 + đ?‘Ž2 đ?‘?2 + đ?‘Ž3 đ?‘?3 . Prova: O caso em que đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo nulos, ĂŠ imediato. Se đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo nĂŁo nulos, por definição, temos:

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ ‌ (∗) Por outro lado, pela equação (8.1-E), temos:

||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ = đ?‘Ž1 đ?‘?1 + đ?‘Ž2 đ?‘?2 + đ?‘Ž3 đ?‘?3 ‌ (∗∗) Substituindo (**) em (*), tem-se o desejado:

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102

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = đ?‘Ž1 đ?‘?1 + đ?‘Ž2 đ?‘?2 + đ?‘Ž3 đ?‘?3 . Observação: É fundamental perceber que o produto escalar nĂŁo dependerĂĄ das coordenadas do vetor em relação Ă base, desde que essa seja ortonormal. Se os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo nulos, nĂŁo hĂĄ o que discutir, pois sabemos que o produto escalar đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— serĂĄ igual Ă zero. Se đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— nĂŁo sĂŁo nulos, suponha que đ??¸ e đ??š sejam bases ortonormais. Temos: đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 )đ??¸ = (đ?‘Ž1′ , đ?‘Ž2′ , đ?‘Ž3′ )đ??š đ?‘Łâƒ— = (đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?3 )đ??¸ = (đ?‘?1′ , đ?‘?2′ , đ?‘?3′ )đ??š Logo:

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = đ?‘Ž1 đ?‘?1 + đ?‘Ž2 đ?‘?2 + đ?‘Ž3 đ?‘?3 = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ

⇒ đ?‘Ž1 đ?‘?1 + đ?‘Ž2 đ?‘?2 + đ?‘Ž3 đ?‘?3 = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ ‌ (đ??ź)

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = đ?‘Ž1′ đ?‘?1′ + đ?‘Ž2′ đ?‘?2′ + đ?‘Ž3′ đ?‘?3′ = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ

⇒ ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ = đ?‘Ž1′ đ?‘?1′ + đ?‘Ž2′ đ?‘?2′ + đ?‘Ž3′ đ?‘?3′ ‌ (đ??źđ??ź)

Substituindo (II) em (I), tem-se: đ?‘Ž1 đ?‘?1 + đ?‘Ž2 đ?‘?2 + đ?‘Ž3 đ?‘?3 = đ?‘Ž1′ đ?‘?1′ + đ?‘Ž2′ đ?‘?2′ + đ?‘Ž3′ đ?‘?3′ . Isto ĂŠ, independente das coordenadas, o produto vetorial ĂŠ o mesmo. Em outras palavras, o produto vetorial nĂŁo depende das coordenadas dos vetores, em relação a bases ortonormais. Exemplos:

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103

01. Em relação a uma base ortonormal, sĂŁo dados đ?‘˘ ⃗⃗ = (2,0, −3) e đ?‘Łâƒ— = (1,1,1). Calcule, em radianos, a medida angular entre đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—. Como đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sĂŁo nĂŁo nulos, se đ?œƒ ĂŠ a medida angular entre đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—, esta ĂŠ dada por đ?œƒ = arccos [

⃗⃗⋅đ?‘Ł ⃗⃗ đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Ł ⃗⃗|| ||đ?‘˘

].

Calculando đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—, sabendo que đ?‘˘ ⃗⃗ = (2,0, −3) e đ?‘Łâƒ— = (1,1,1):

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = 2 â‹… 1 + 0 â‹… 1 + (−3) â‹… 1 = 2 − 3 = −1 ⇒ đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = −1 Calculando ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—||, sabendo que đ?‘˘ ⃗⃗ = (2,0, −3) e đ?‘Łâƒ— = (1,1,1):

||đ?‘˘ ⃗⃗|| = √22 + 02 + (−3)2 = √4 + 9 = √13 ⇒ ||đ?‘˘ ⃗⃗|| = √13

||đ?‘Łâƒ—|| = √12 + 12 + 12 = √1 + 1 + 1 = √3 ⇒ ||đ?‘Łâƒ—|| = √3 .

Portanto, ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| = √13 â‹… √3 = √13 â‹… 3 = √39 ⇒ ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| = √39 . Finalmente, temos:

đ?œƒ = arccos [

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—||

] = arccos (

đ?œƒ = arccos (−

−1 √39

) = arccos (−

√39 )⇒ 39

√39 ) đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ . 39

02. Sendo đ??¸ uma base ortonormal, determine đ?‘Ľ ∈ â„œ de modo que os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ľ, 10,200)đ??¸ e đ?‘Łâƒ— = (−10, đ?‘Ľ, 0)đ??¸ sejam ortogonais. De acordo com o item iii da Proposição 8.1.2, dois vetores sĂŁo ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles ĂŠ zero. Portanto, façamos đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—: đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ľ, 10,200) â‹… (−10, đ?‘Ľ, 0) = −10 â‹… đ?‘Ľ + 10 â‹… đ?‘Ľ + 200 â‹… 0 = −10đ?‘Ľ + 10đ?‘Ľ + 0

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104

=0+0=0⇒ đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = 0 . Note que, independente do valor de đ?‘Ľ, o produto escalar de đ?‘˘ ⃗⃗ por đ?‘Łâƒ— resultou em zero. Logo, qualquer que seja đ?‘Ľ ∈ â„œ, temos đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = 0, o que ĂŠ equivalente a đ?‘˘ ⃗⃗ ⊼ đ?‘Łâƒ— para qualquer đ?‘Ľ ∈ â„œ. 03. Determine đ?‘Ś ∈ â„œ de modo que os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘˘1 = (đ?‘Ś, 0,3)đ??¸ e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘˘2 = (1, đ?‘Ś, 3)đ??¸ sejam ortogonais, onde đ??¸ ĂŠ uma base ortonormal. Queremos calcular o valor de đ?‘Ś de modo que os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— sejam ortogonais, mas isto ĂŠ equivalente a determinar o valor de đ?‘Ś que satisfaça đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = 0. Vejamos:

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = 0 ⇔ (đ?‘Ś, 0,3) â‹… (1, đ?‘Ś, 3) = 0 ⇔ đ?‘Ś â‹… 1 + 0 â‹… đ?‘Ś + 3 â‹… 3 = 0

⇔ đ?‘Ś + 9 = 0. Para determinar tal valor de đ?‘Ś, basta resolver a equação đ?‘Ś + 9 = 0. Sua solução ĂŠ đ?‘Ś = −9. Portanto, por iii da Proposição 8.1.2, o valor de đ?‘Ś que torna os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— ortogonais ĂŠ o mesmo valor que torna o produto escalar entre đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— nulo, isto ĂŠ, đ?‘Ś = −9 .

04. Dados os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ = (4, đ?›ź, −1)đ??¸ , đ?‘Łâƒ— = (đ?›ź, 2,3)đ??¸ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ = (1, −3,3)đ??¸ , determine o valor de đ?›ź ∈ â„œ tal que đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?‘Łâƒ— + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ) = 5. Note que:

đ?‘Łâƒ— + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ = (đ?›ź, 2,3)đ??¸ + (1, −3,3)đ??¸ = (đ?›ź + 1, −1,6)đ??¸ ⇒ đ?‘Łâƒ— + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ = (đ?›ź + 1, −1,6) . EntĂŁo:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 5 ⇔ (4, đ?›ź, −1) â‹… (đ?›ź + 1, −1,6) = 5 ⇔ 4(đ?›ź + 1) − đ?›ź − 6 = 5 đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?‘Łâƒ— + đ??´đ??ľ

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105

⇔ 4đ?›ź + 4 − đ?›ź − 6 = 5 ⇔ 3đ?›ź − 2 = 5 ⇔ 3đ?›ź = 7 ⇔ đ?›ź =

7 . 3

8.1.4 Proposição: Quaisquer que sejam đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗ ∈ đ?‘‰ 3 e đ?œ† ∈ â„œ, valem as propriedades: P1. đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?‘Łâƒ— + đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— + đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘¤ ⃗⃗⃗; P2. đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?œ†đ?‘Łâƒ—) = (đ?œ†đ?‘˘ ⃗⃗) â‹… đ?‘Łâƒ— = đ?œ†(đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—); P3. đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = đ?‘Łâƒ— â‹… đ?‘˘ ⃗⃗; P4. Se đ?‘˘ ⃗⃗ ≠⃗0⃗, entĂŁo đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘˘ ⃗⃗ > 0. P5. A propriedade P1 ĂŠ vĂĄlida para uma quantidade finita qualquer de vetores, isto ĂŠ, đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗1 + â‹Ż + ⃗⃗⃗⃗⃗) đ?‘Łđ?‘› = đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Łđ?‘› Exemplos: đ?œ‹

đ?œ‹

6

4

01. Sabendo que đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ sĂŁo vetores unitĂĄrios e que đ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—) = , đ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = đ?œ‹

e đ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = , prove que o conjunto {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ uma base. 2

Para provar que {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ uma base, basta mostrar que este conjunto ĂŠ LI, de acordo com a definição de base. Agora, nossa tarefa ĂŠ mostrar que {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LI. Para isto, façamos uma combinação linear dos vetores do conjunto e igualemos esta combinação ao vetor nulo, ou seja, đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— + đ?›žđ?‘¤ ⃗⃗⃗ = ⃗⃗ 0. Assim sendo, por um resultado jĂĄ visto, mostrar que o conjunto ĂŠ LI, ĂŠ equivalente a mostrar que os coeficientes đ?›ź, đ?›˝, đ?›ž tais que đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— + đ?›žđ?‘¤ ⃗⃗⃗ = ⃗0⃗ sĂŁo todos nulos. Façamos isto:

đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— + đ?›žđ?‘¤ ⃗⃗⃗ = ⃗0⃗ ‌ (đ??ź)

1Âş passo: Façamos o produto escalar de đ?‘˘ ⃗⃗ nos dois membros de (I):

⃗⃗ = 0 ⇒ đ?‘˘ đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— + đ?›žđ?‘¤ ⃗⃗⃗) = đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… 0 ⃗⃗ â‹… (đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— + đ?›žđ?‘¤ ⃗⃗⃗) = 0 đ?‘ƒ5

đ?‘ƒ2

⇒ đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗) + đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?›˝đ?‘Łâƒ—) + đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?›žđ?‘¤ ⃗⃗⃗) = 0 ⇒ đ?›ź(đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘˘ ⃗⃗) + đ?›˝(đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—) + đ?›ž(đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = 0

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106

๐ ท๐ ๐ .

โ

2

๐ ผ||๐ ข โ โ || + ๐ ฝ||๐ ข โ โ ||||๐ ฃโ || cos

๐ ๐ + ๐ พ||๐ ข โ โ ||||๐ ค โ โ โ || cos = 0 โ ฆ (โ ) 6 4

Como, por hipรณtese, os vetores ๐ ข โ โ , ๐ ฃโ e ๐ ค โ โ โ sรฃo unitรกrios, temos:

||๐ ข โ โ || = ||๐ ฃโ || = ||๐ ค โ โ โ || = 1. Substituindo o valor de cada norma na equaรงรฃo (*):

๐ ผ โ 12 + ๐ ฝ โ 1 โ 1 โ

โ 2 โ 2 โ 3 โ 3 +๐ พโ 1โ 1โ =0โ ๐ ผ+ ๐ ฝ+ ๐ พ = 0 โ ฆ (โ ) 2 2 2 2

2ยบ passo: Faรงamos o produto escalar de ๐ ฃโ nos dois membros de (I):

๐ ฃโ โ (๐ ผ๐ ข โ โ + ๐ ฝ๐ ฃโ + ๐ พ๐ ค โ โ โ ) = ๐ ฃโ โ โ โ 0 = 0 โ ๐ ฃโ โ (๐ ผ๐ ข โ โ + ๐ ฝ๐ ฃโ + ๐ พ๐ ค โ โ โ ) = 0 ๐ 5

๐ 2

โ ๐ ฃโ โ (๐ ผ๐ ข โ โ ) + ๐ ฃโ โ (๐ ฝ๐ ฃโ ) + ๐ ฃโ โ (๐ พ๐ ค โ โ โ ) = 0 โ ๐ ผ(๐ ฃโ โ ๐ ข โ โ ) + ๐ ฝ(๐ ฃโ โ ๐ ฃโ ) + ๐ พ(๐ ฃโ โ ๐ ค โ โ โ ) = 0 ๐ ท๐ ๐ .

โ

๐ ผ||๐ ข โ โ ||||๐ ฃโ || cos

๐ ป๐ ๐ .

โ

๐ ๐ 2 + ๐ ฝ||๐ ฃโ || + ๐ พ||๐ ฃโ ||||๐ ค โ โ โ || cos = 0 6 2

โ 3 ๐ ผ + ๐ ฝ = 0 โ ฆ (โ โ ) 2

3ยบ Passo: Faรงamos o produto escalar de ๐ ค โ โ โ nos dois membros de (I):

๐ ค โ โ โ โ (๐ ผ๐ ข โ โ + ๐ ฝ๐ ฃโ + ๐ พ๐ ค โ โ โ ) = ๐ ค โ โ โ โ โ 0โ = 0 โ ๐ ค โ โ โ โ (๐ ผ๐ ข โ โ + ๐ ฝ๐ ฃโ + ๐ พ๐ ค โ โ โ ) = 0 ๐ 5

๐ 2

โ ๐ ค โ โ โ โ (๐ ผ๐ ข โ โ ) + ๐ ค โ โ โ โ (๐ ฝ๐ ฃโ ) + ๐ ค โ โ โ โ (๐ พ๐ ค โ โ โ ) = 0 โ ๐ ผ(๐ ค โ โ โ โ ๐ ข โ โ ) + ๐ ฝ(๐ ค โ โ โ โ ๐ ฃโ ) + ๐ พ(๐ ค โ โ โ โ ๐ ค โ โ โ ) = 0 ๐ ท๐ ๐ .

โ

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๐ ผ||๐ ค โ โ โ ||||๐ ข โ โ || cos

๐ ๐ 2 + ๐ ฝ||๐ ค โ โ โ ||||๐ ฃโ || cos + ๐ พ||๐ ค โ โ โ || = 0 4 2 107

√2 đ?›ź + đ?›ž = 0 ‌ (∆∆∆) 2

đ??ťđ?‘–đ?‘?.

⇒

Juntando (∆), (∆∆) đ?‘’ (∆∆∆) temos o sistema:

√2 √3 đ?›˝+ đ?›ž=0 2 2 √3 . đ?›ź+đ?›˝ =0 2 √2 đ?›ź+đ?›ž =0 2

�+

{

Este sistema admite somente a solução đ?›ź = đ?›˝ = đ?›ž = 0. ⃗⃗ implicou đ?›ź = đ?›˝ = đ?›ž = 0, concluĂ­mos que o Portanto, como đ?›źđ?‘˘ ⃗⃗ + đ?›˝đ?‘Łâƒ— + đ?›žđ?‘¤ ⃗⃗⃗ = 0 conjunto {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LI e, por definição, ĂŠ uma base.

02. Sabendo que đ?‘Łâƒ— = (2,1, −1) forma um ângulo de 60đ?‘œ com o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ = (1, −1, đ?œ” + 2), determinemos o valor de đ?œ”. Sabemos que cos đ?œƒ =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⋅đ??´đ??ľ đ?‘Ł

cos

đ?œ‹

, e đ?œƒ = 60đ?‘œ = . EntĂŁo:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗|| ⃗⃗||||đ??´đ??ľ ||đ?‘Ł

3

đ?œ‹ đ?‘Łâƒ— â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ 1 đ?‘Łâƒ— â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ = ⇔ = ‌ (đ??ź) 3 ||đ?‘Łâƒ—|| ||đ??´đ??ľ 2 ||đ?‘Łâƒ—|| ||đ??´đ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||

Calculando đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2,1, −1) â‹… (1, −1, đ?œ” + 2) = 2 − 1 − đ?œ” − 2 = −1 − đ?œ” đ?‘Łâƒ— â‹… đ??´đ??ľ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −1 − đ?œ” . ⇒ đ?‘Łâƒ— â‹… đ??´đ??ľ Calculando ||đ?‘Łâƒ—||:

UTFPR

108

||đ?‘Łâƒ—|| = √22 + 12 + (−1)2 = √4 + 1 + 1 = √6 ⇒ ||đ?‘Łâƒ—|| = √6 .

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||: Calculando ||đ??´đ??ľ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗|| = √12 + (−1)2 + (đ?œ” + 2)2 = √1 + 1 + đ?œ” 2 + 4đ?œ” + 4 = √đ?œ” 2 + 4đ?œ” + 6 ||đ??´đ??ľ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗|| = √đ?œ” 2 + 4đ?œ” + 6 . ⇒ ||đ??´đ??ľ

Substituindo os valores em (I): 1 −1 − đ?œ” = ⇒ √6đ?œ” 2 + 24đ?œ” + 36 = −2 − 2đ?œ” 2 √6 â‹… √đ?œ” 2 + 4đ?œ” + 6 đ?‘’đ?‘™đ?‘’đ?‘Łđ?‘Ž đ?‘Žđ?‘œ đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ

⇒

6đ?œ”2 + 24đ?œ” + 36 = 4 + 8đ?œ” + 4đ?œ”2 ⇒ 2đ?œ”2 + 16đ?œ” + 32 = 0

⇒ đ?œ”2 + 8đ?œ” + 16 = 0 ⇒ (đ?œ” + 4)2 = 0 ⇒ đ?œ” = −4 đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘–đ?‘§ đ?‘‘đ?‘˘đ?‘?đ?‘™đ?‘Ž.

03. Suponha đ??ľ = (đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗) uma base ortonormal. Vamos provar que o triângulo formado por ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ = (0, −2, −2), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ś = (0, −1, −3) e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??ľđ??ś = (0,1, −1) ĂŠ retângulo (omitimos o Ă­ndice đ??ľ, mas assuma que as coordenadas dos vetores sĂŁo dadas na base đ??ľ).

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109

Para provar que o triângulo đ??´đ??ľđ??ś ĂŠ retângulo, devemos mostrar que dois de seus lados sĂŁo ortogonais, ou seja, devemos mostrar que dois dos vetores que estĂŁo determinando seus lados sĂŁo ortogonais, o que equivale a provar que o produto escalar entre dois dos vetores ĂŠ igual Ă zero. Vejamos:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ś = (0, −2, −2) â‹… (0, −1, −3) = 2 + 6 = 8 ≠0 ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ś ≠0

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘’ đ??´đ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›ĂŁđ?‘œ đ?‘ ĂŁđ?‘œ đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘œđ?‘”đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘–đ?‘ . ⇒ đ??´đ??ľ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ â‹… đ??ľđ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, −2, −2) â‹… (0,1, −1) = −2 + 2 = 0 ⇒ đ??´đ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ â‹… đ??ľđ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ⇒ đ??´đ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊼ đ??ľđ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . đ??´đ??ľ Portanto, o triângulo đ??´đ??ľđ??ś ĂŠ retângulo em đ??ľ. 04. Sendo ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 = (1, −1,0)đ??¸ e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = (1,0,1)đ??¸ , onde đ??¸ ĂŠ uma base ortonormal, determinemos um vetor đ?‘˘ ⃗⃗ ∈ đ?‘‰ 3 que seja ortogonal a ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 e ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Ł2

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110

Seja 𝑢 ⃗​⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐸 ∈ 𝑉 3 , para que 𝑢 ⃗​⃗ seja ortogonal a ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 e ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣2 devemos ter 𝑢 ⃗​⃗ ⋅ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 = 0e𝑢 ⃗​⃗ ⋅ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣2 = 0. Então: 𝑢 ⃗​⃗ ⋅ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ⋅ (1, −1,0) = 𝑥 − 𝑦 = 0 ⇒ 𝑥 − 𝑦 = 0 … (∗)

𝑢 ⃗​⃗ ⋅ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣2 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ⋅ (1,0,1) = 𝑥 + 𝑧 = 0 ⇒ 𝑥 + 𝑧 = 0 … (∗∗) Junto (*) e (**), temos o sistema:

{

𝑥−𝑦 =0 . 𝑥+𝑧 =0

Donde 𝑦 = 𝑥, 𝑧 = −𝑥 e 𝑥 ∈ ℜ é qualquer. Portanto, qualquer vetor da forma 𝑢 ⃗​⃗ = (𝑥, 𝑥, −𝑥)𝐸 é ortogonal a ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 e ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗. 𝑣2 Por exemplo, se 𝑥 = 1, então 𝑢 ⃗​⃗ = (1,1, −1)𝐸 . Observe:

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111

8.1.5 Proposição: 𝐸 = {𝑒⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑒2 ⃗​⃗​⃗​⃗} 𝑒3 é uma base ortonormal se, e somente se, 1 ⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑒⃗​⃗​⃗​⃗ ⋅ ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒 = ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒2 ⋅ ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒2 = ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒3 ⋅ ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒3 = 1 { 1 1 . 𝑒⃗​⃗​⃗​⃗1 ⋅ ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒2 = ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒1 ⋅ ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒3 = ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒2 ⋅ ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑒3 = 0 Exemplo: 2

2

2

Vamos mostrar que ||𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗|| = ||𝑢 ⃗​⃗|| + 2(𝑢 ⃗​⃗ ⋅ 𝑣⃗) + ||𝑣⃗|| . Sabemos por ii da Proposição 8.1.2 que, para qualquer 𝑤 ⃗​⃗​⃗ ∈ 𝑉 3 , tem-se ||𝑤 ⃗​⃗​⃗|| = √𝑤 ⃗​⃗​⃗ ⋅ 𝑤 ⃗​⃗​⃗. Usando este resultado para 𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗, temos:

||𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗|| = √(𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗) ⋅ (𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗). Ou ainda: 2

||𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗|| = (𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗) ⋅ (𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗). Partindo disso, vamos mostrar o desejado: 2

||𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗|| = (𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗) ⋅ (𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗) = (𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗) ⋅ 𝑢 ⃗​⃗ + (𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗) ⋅ 𝑣⃗

=𝑢 ⃗​⃗ ⋅ (𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗) + 𝑣⃗ ⋅ (𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗) = 𝑢 ⃗​⃗ ⋅ 𝑢 ⃗​⃗ + 𝑢 ⃗​⃗ ⋅ 𝑣⃗ + 𝑣⃗ ⋅ 𝑢 ⃗​⃗ + 𝑣⃗ ⋅ 𝑣⃗

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112

2

2

2

2

= ||đ?‘˘ ⃗⃗|| + đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— + đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— + ||đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| + 2(đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—) + ||đ?‘Łâƒ—||

2

2

2

⇒ ||đ?‘˘ ⃗⃗ + đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| + 2(đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—) + ||đ?‘Łâƒ—|| .

8.2 PROJEĂ‡ĂƒO ORTOGONAL Nesta seção, vamos falar sobre o importante conceito de projeção ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ortogonal de um vetor sobre outro. Por exemplo, considere os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?‘‚đ??´ e đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ??ľ nĂŁo nulos que formam um ângulo agudo de medida đ?œƒ, de acordo com a figura.

O ponto đ??ś ĂŠ o pĂŠ da perpendicular a đ?‘‚đ??ś passando por đ??ľ. O vetor đ?‘?⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ??ś serĂĄ o vetor que nos interessa, o qual serĂĄ chamado de projeção ortogonal đ?‘Łâƒ— sobre đ?‘˘ ⃗⃗. É obvio que đ?‘?⃗//đ?‘˘ ⃗⃗, e o vetor đ?‘?⃗ ĂŠ o Ăşnico vetor paralelo a đ?‘˘ ⃗⃗ tal que o vetor soma đ?‘Łâƒ— + (−đ?‘?⃗) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??śđ??ľ ĂŠ ortogonal a đ?‘˘ ⃗⃗. Podemos ainda escrever đ?‘Łâƒ— − đ?‘?⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??śđ??ľ = đ?‘žâƒ—, e assim:

đ?‘?⃗ + đ?‘žâƒ— = đ?‘Łâƒ—

đ?‘?⃗//đ?‘˘ ⃗⃗

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113

đ?‘žâƒ— ⊼ đ?‘˘ ⃗⃗ .

⃗⃗ um vetor. Dado đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 , o vetor đ?‘?⃗ ∈ đ?‘‰ 3 ĂŠ 8.2.1 Definição: Seja đ?‘˘ ⃗⃗ ≠0 chamado de projeção ortogonal de đ?‘Łâƒ— sobre đ?‘˘ ⃗⃗, denotado por đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘˘âƒ—⃗ đ?‘Łâƒ—, se satisfaz as condiçþes: i. đ?‘?⃗//đ?‘˘ ⃗⃗; ii. (đ?‘Łâƒ— − đ?‘?⃗) ⊼ đ?‘˘ ⃗⃗. Como đ?‘?⃗ = đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘˘âƒ—⃗ đ?‘Łâƒ—, reescrevemos as condiçþes i e ii usando esta notação: i’. đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘˘âƒ—⃗ đ?‘Łâƒ—//đ?‘˘ ⃗⃗; ii’. (đ?‘Łâƒ— − đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘˘âƒ—⃗ đ?‘Łâƒ—) ⊼ đ?‘˘ ⃗⃗. Voltando a observar a figura anterior:

No triângulo retângulo đ?‘‚đ??ľđ??ś, note que cos đ?œƒ =

||đ?‘?⃗|| ⃗⃗|| ||đ?‘Ł

ou ||đ?‘?⃗|| = ||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ e

ainda:

||đ?‘?⃗|| = (

||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘˘ ⃗⃗||

) ||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ =

⇒ ||đ?‘?⃗|| =

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||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— ||đ?‘˘ ⃗⃗||

||đ?‘˘ ⃗⃗||

=

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— ||đ?‘˘ ⃗⃗||

‌ (∗)

114

Por outro lado, como đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘?⃗ sĂŁo de mesmo sentido, podemos escrever:

đ?‘?⃗ =

||đ?‘?⃗|| ||đ?‘˘ ⃗⃗||

đ?‘˘ ⃗⃗ ‌ (∗∗)

Substituindo (*) em (**), temos:

( đ?‘?⃗ =

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— ) ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘˘ ⃗⃗||

đ?‘˘ ⃗⃗ = (

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— đ?‘˘ ⃗ ⃗ ⇒ đ?‘? ⃗ = ⃗⃗ ) ( 2 2) đ?‘˘ ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘˘ ⃗⃗||

Logo, podemos escrever uma “fĂłrmulaâ€? alternativa para a projeção ortogonal de đ?‘Łâƒ— sobre đ?‘˘ ⃗⃗:

đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘˘âƒ—⃗ đ?‘Łâƒ— = (

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— ||đ?‘˘ ⃗⃗||

⃗⃗ 2) đ?‘˘

.

Observação: As expressĂľes para đ?‘?⃗ e ||đ?‘?⃗|| ainda nĂŁo podem ser utilizadas para um caso geral, pois sĂł sĂŁo vĂĄlidas para o triângulo đ?‘‚đ??ľđ??ś da figura acima. A seguir, consideramos outra figura e faremos a anĂĄlise.

Na figura acima, a igualdade ||đ?‘?⃗|| = ||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ nĂŁo ĂŠ vĂĄlida, pois a medida do ângulo đ??ľđ?‘‚Ě‚đ??ś ĂŠ đ?œ‹ − đ?œƒ e nĂŁo đ?œƒ. Nas figuras abaixo, observe:

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115

A proposição a seguir fala sobre a unicidade da projeção ortogonal de um vetor sobre outro.

8.2.2 Proposição: Considere o vetor đ?‘˘ ⃗⃗ ≠⃗0⃗. Para todo đ?‘Łâƒ— ∈ đ?‘‰ 3 , existe uma Ăşnica projeção ortogonal de đ?‘Łâƒ— sobre đ?‘˘ ⃗⃗. A projeção de đ?‘Łâƒ— sobre đ?‘˘ ⃗⃗ ĂŠ dada por:

đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘˘âƒ—⃗ đ?‘Łâƒ— = [

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— ||đ?‘˘ ⃗⃗||

⃗⃗ 2] đ?‘˘

.

A norma do vetor projeção Ê dada por:

||đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘˘âƒ—⃗ đ?‘Łâƒ—|| =

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|đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—| ||đ?‘˘ ⃗⃗||

.

116

Prova: De acordo com a definição de projeção ortogonal, dizer que đ?‘?⃗ ĂŠ projeção ortogonal de đ?‘Łâƒ— sobre đ?‘˘ ⃗⃗ ĂŠ equivalente a dizer que đ?‘?⃗//đ?‘˘ ⃗⃗ e que (đ?‘Łâƒ— − đ?‘?⃗) ⊼ đ?‘˘ ⃗⃗. Mas dizer que đ?‘?⃗ ĂŠ paralelo a đ?‘˘ ⃗⃗ ĂŠ equivalente a dizer que đ?‘?⃗ = đ?œ†đ?‘˘ ⃗⃗. Logo podemos escrever (đ?‘Łâƒ— − đ?œ†đ?‘˘ ⃗⃗) ⊼ đ?‘˘ ⃗⃗. Agora, para mostrar que a projeção ortogonal ĂŠ Ăşnica, devemos mostrar que đ?œ† ∈ â„œ ĂŠ o Ăşnico valor a satisfazer (đ?‘Łâƒ— − đ?œ†đ?‘˘ ⃗⃗) â‹… đ?‘˘ ⃗⃗ = 0 (esta igualdade vem do fato de que (đ?‘Łâƒ— − đ?œ†đ?‘˘ ⃗⃗) e đ?‘˘ ⃗⃗ sĂŁo ortogonais). De fato: 2

(đ?‘Łâƒ— − đ?œ†đ?‘˘ ⃗⃗) â‹… đ?‘˘ ⃗⃗ = 0 ⇔ đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— − đ?œ†(đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘˘ ⃗⃗) = 0 ⇔ đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = đ?œ†||đ?‘˘ ⃗⃗||

⇔ đ?œ†=

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— 2

||đ?‘˘ ⃗⃗||

.

E este valor de đ?œ† ĂŠ Ăşnico. Disso decorre que:

đ?‘?⃗ = đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘˘âƒ—⃗ đ?‘Łâƒ— = đ?œ†đ?‘˘ ⃗⃗ = [

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— ||đ?‘˘ ⃗⃗||

⃗⃗ 2] đ?‘˘

⇔ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘˘âƒ—⃗ đ?‘Łâƒ— = [

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—

⃗⃗. 2] đ?‘˘

||đ?‘˘ ⃗⃗||

A norma vem de:

|đ?‘˘ |đ?‘˘ đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—| ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—| ||đ?‘?⃗|| = ||đ?œ†đ?‘˘ ⃗⃗|| = |đ?œ†|||đ?‘˘ ⃗⃗|| = | ||đ?‘˘ ⃗ ⃗|| = ||đ?‘˘ ⃗ ⃗|| = | 2 2 ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘˘ ⃗⃗||

⇒ ||đ?‘?⃗|| =

|đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—| ||đ?‘˘ ⃗⃗||

⇔ ||đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘˘ đ?‘Łâƒ—|| =

|đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—| ||đ?‘˘ ⃗⃗||

.

Exemplos:

01. Sejam đ??ľ = {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗} uma base ortonormal, đ?‘˘ ⃗⃗ = 2đ?‘–⃗ − 2đ?‘—⃗ + đ?‘˜âƒ—⃗ e đ?‘Łâƒ— = 3đ?‘–⃗ − 6đ?‘—⃗. Vamos obter a projeção ortogonal de đ?‘Łâƒ— sobre đ?‘˘ ⃗⃗.

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117

Sabemos que đ?‘?⃗ = đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘˘âƒ—⃗ đ?‘Łâƒ— =

⃗⃗⋅đ?‘Ł ⃗⃗ đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘˘

2

đ?‘˘ ⃗⃗. Vamos determinar cada valor da expressĂŁo.

Temos đ?‘˘ ⃗⃗ = 2đ?‘–⃗ − 2đ?‘—⃗ + đ?‘˜âƒ—⃗ = (2, −2,1)đ??ľ e đ?‘Łâƒ— = 3đ?‘–⃗ − 6đ?‘—⃗ = (2, −6,0)đ??ľ , logo: đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = (2, −2,1)đ??ľ â‹… (3, −6,0)đ??ľ = 2 â‹… 3 + (−2) â‹… (−6) + 1 â‹… 0 = 6 + 12 + 0 = 18

⇒ đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = 18 .

2

2

||đ?‘˘ ⃗⃗|| = 22 + (−2)2 + 12 = 4 + 4 + 1 = 9 ⇒ ||đ?‘˘ ⃗⃗|| = 9 .

Desta forma:

đ?‘?⃗ =

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—

⃗⃗ 2đ?‘˘

||đ?‘˘ ⃗⃗||

=

18 đ?‘˘ ⃗⃗ = 2đ?‘˘ ⃗⃗ = 2(2, −2,1)đ??ľ = (4, −4,2)đ??ľ 9

⇒ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘˘âƒ—⃗ đ?‘Łâƒ— = (4, −4,2)đ??ľ . Para determinar o vetor đ?‘žâƒ— = đ?‘Łâƒ— − đ?‘?⃗ ortogonal a đ?‘˘ ⃗⃗: đ?‘žâƒ— = (3, −6,0)đ??ľ − (4, −4,2)đ??ľ = (3 − 4, −6 + 4,0 − 2)đ??ľ = (−1, −2, −2)đ??ľ

⇒ đ?‘žâƒ— = (−1, −2, −2)đ??ľ . Note que đ?‘žâƒ— ĂŠ, de fato, ortogonal a đ?‘˘ ⃗⃗, pois se fizermos đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— este produto escalar serĂĄ igual Ă zero:

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = (2, −2,1)đ??ľ â‹… (−1, −2, −2)đ??ľ = −2 + 4 − 2 = 0.

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118

CAPĂ?TULO 09: PRODUTO VETORIAL

9.1 INTRODUĂ‡ĂƒO A partir de agora, fixamos nossa base ortonormal đ??¸ = {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗} na origem do sistema cartesiano â„œ3 de modo que os vetores đ?‘–⃗, đ?‘—⃗ e đ?‘˜âƒ—⃗ tenham origem na origem

de

ℜ3

e

extremidade

nos

pontos

(1,0,0),

(0,1,0)

e

(0,0,1),

respectivamente. Assim, escrevemos đ?‘–⃗ = (1,0,0), đ?‘—⃗ = (0,1,0) e đ?‘˜âƒ—⃗ = (0,0,1). Chamamos a base đ??¸ de base canĂ´nica.

9.1.1 Definição: Sejam đ??ľ = {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗} uma base ortnormal, đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 )đ??ľ e đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ś1 , đ?‘Ś2 , đ?‘Ś3 )đ??ľ vetores, tomados nesta ordem, chama-se produto vetorial de đ?‘˘ ⃗⃗ por đ?‘Łâƒ—, representado por đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—, ao vetor:

đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ľ2 đ?‘Ś3 − đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 )đ?‘–⃗ − (đ?‘Ľ1 đ?‘Ś3 − đ?‘Ľ3 đ?‘Ś1 )đ?‘—⃗ + (đ?‘Ľ1 đ?‘Ś2 − đ?‘Ľ2 đ?‘Ś1 )đ?‘˜âƒ—⃗ . Ou:

đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ľ2 đ?‘Ś3 − đ?‘Ľ3 đ?‘Ś2 , −đ?‘Ľ1 đ?‘Ś3 + đ?‘Ľ3 đ?‘Ś1 , đ?‘Ľ1 đ?‘Ś2 − đ?‘Ľ2 đ?‘Ś1 )đ??ľ . Cada coordenada do vetor produto vetorial pode ainda ser reescrita usando os determinantes de ordem 2, da seguinte maneira: đ?‘Ľ2 đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— = |đ?‘Ś 2

đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ1 đ?‘Ś3 | đ?‘–⃗ − |đ?‘Ś1

đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś3 | đ?‘—⃗ + |đ?‘Ś2

đ?‘Ľ3 ⃗⃗ đ?‘Ś3 | đ?‘˜.

Podemos ainda usar um determinante “simbĂłlicoâ€? de ordem 3, cuja primeira linha ĂŠ composta pelos vetores da base ortonormal considerada, isto ĂŠ:

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119

𝑖⃗ 𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗ = |𝑥1 𝑦1

𝑗⃗ 𝑥2 𝑦2

𝑘⃗​⃗ 𝑥3 |. 𝑦3

Exemplo:

O produto vetorial entre 𝑢 ⃗​⃗ = 5𝑖⃗ + 4𝑗⃗ + 3𝑘⃗​⃗ e 𝑣⃗ = 𝑖⃗ + 𝑘⃗​⃗ é dado da seguinte maneira:

𝑖⃗ 𝑗⃗ 𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗ = |5 4 1 0

𝑘⃗​⃗ 𝑖⃗ 𝑗⃗ 3| 5 4 = 4𝑖⃗ + 3𝑗⃗ − 4𝑘⃗​⃗ − 5𝑗⃗ = 4𝑖⃗ + (3 − 5)𝑗⃗ − 4𝑘⃗​⃗ 1 1 0 ⇒𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗ = 4𝑖⃗ − 2𝑗⃗ − 4𝑘⃗​⃗.

Note que, ao fazermos o produto 𝑣⃗×𝑢 ⃗​⃗, ocorre:

𝑖⃗ 𝑣⃗×𝑢 ⃗​⃗ = |1 5

𝑗⃗ 𝑘⃗​⃗ 𝑖⃗ 0 1| 1 4 3 5

𝑗⃗ 0 = 5𝑗⃗ + 4𝑘⃗​⃗ − 4𝑖⃗ − 3𝑗⃗ = −4𝑖⃗ + (5 − 3)𝑗⃗ + 4𝑘⃗​⃗ 4

⇒ 𝑣⃗×𝑢 ⃗​⃗ = −4𝑖⃗ + 2𝑗⃗ + 4𝑘⃗​⃗. Obtemos vetores opostos, isto é, o produto vetorial de 𝑢 ⃗​⃗ por 𝑣⃗ é diferente do produto vetorial de 𝑣⃗ por 𝑢 ⃗​⃗. E vale 𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗ = −(𝑣⃗×𝑢 ⃗​⃗).

9.1.2 Proposição: Seja 𝐸 = {𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘⃗​⃗} uma base ortonormal, 𝑢 ⃗​⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 )𝐸 , 𝑣⃗ = (𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 )𝐸 e 𝑤 ⃗​⃗​⃗ = (𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 )𝐸 vetores de 𝑉 3 . Valem as propriedades: i. 𝑢 ⃗​⃗×𝑢 ⃗​⃗ = ⃗0⃗; ii. 𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗ = −(𝑣⃗×𝑢 ⃗​⃗); iii. 𝑢 ⃗​⃗×(𝑣⃗ + 𝑤 ⃗​⃗​⃗) = 𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗ + 𝑢 ⃗​⃗×𝑤 ⃗​⃗​⃗; iv. (𝑚𝑢 ⃗​⃗)×𝑣⃗ = 𝑚(𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗) = 𝑢 ⃗​⃗×(𝑚𝑣⃗); v. 𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗ = ⃗0⃗ ⇔ {𝑢 ⃗​⃗, 𝑣⃗} é LD ou se um dos vetores é nulo; vi. (𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗) ⊥ 𝑢 ⃗​⃗ e (𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗) ⊥ 𝑣⃗. Prova:

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120

i. Sabemos que 𝑢 ⃗​⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 )𝐸 , logo o produto vetorial 𝑢 ⃗​⃗×𝑢 ⃗​⃗ é dado por:

𝑖⃗ 𝑢 ⃗​⃗×𝑢 ⃗​⃗ = |𝑥1 𝑥1

𝑗⃗ 𝑥2 𝑥2

𝑘⃗​⃗ 𝑖⃗ 𝑥3 | 𝑥1 𝑥3 𝑥1

𝑗⃗ 𝑥2 = 𝑥2 𝑥3 𝑖⃗ + 𝑥1 𝑥3 𝑗⃗ + 𝑥1 𝑥2 𝑘⃗​⃗ − 𝑥1 𝑥2 𝑘⃗​⃗ − 𝑥2 𝑥3 𝑖⃗ − 𝑥1 𝑥3 𝑗⃗ 𝑥2

= (𝑥2 𝑥3 − 𝑥2 𝑥3 )𝑖⃗ + (𝑥1 𝑥3 − 𝑥1 𝑥3 )𝑗⃗ + (𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 𝑥2 )𝑘⃗​⃗

⃗​⃗ ⇒ 𝑢 ⃗​⃗ . ⇒𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗ = 0𝑖⃗ + 0𝑗⃗ + 0𝑘⃗​⃗ = 0 ⃗​⃗×𝑣⃗ = 0 ii. Como 𝑢 ⃗​⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 )𝐸 e 𝑣⃗ = (𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 )𝐸 , temos: 𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗ = (𝑥2 𝑦3 − 𝑥3 𝑦2 )𝑖⃗ − (𝑥1 𝑦3 − 𝑥3 𝑦1 )𝑗⃗ + (𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 )𝑘⃗​⃗ . Por outro lado, temos:

𝑣⃗×𝑢 ⃗​⃗ = (𝑦2 𝑥3 − 𝑦3 𝑥2 )𝑖⃗ − (𝑦1 𝑥3 − 𝑦3 𝑥1 )𝑗⃗ + (𝑦1 𝑥2 − 𝑦2 𝑥1 )𝑘⃗​⃗ = −(𝑥2 𝑦3 − 𝑥3 𝑦2 )𝑖⃗ − [−(𝑥1 𝑦3 − 𝑥3 𝑦1 )]𝑗⃗ − (𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 )𝑘⃗​⃗ = −[(𝑥2 𝑦3 − 𝑥3 𝑦2 )𝑖⃗ − (𝑥1 𝑦3 − 𝑥3 𝑦1 )𝑗⃗ + (𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 )𝑘⃗​⃗] = −(𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗)

⇒ 𝑣⃗×𝑢 ⃗​⃗ = −(𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗) ⇔ 𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗ = −(𝑣⃗×𝑢 ⃗​⃗) .

iii. Sabemos que 𝑢 ⃗​⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 )𝐸 e que 𝑣⃗ + 𝑤 ⃗​⃗​⃗ = (𝑦1 + 𝑧1 , 𝑦2 + 𝑧2 , 𝑦3 + 𝑧3 )𝐸 . Por definição:

𝑖⃗ 𝑢 ⃗​⃗×(𝑣⃗ + 𝑤 ⃗​⃗​⃗) = | 𝑥1 𝑦1 + 𝑧1

𝑗⃗ 𝑥2 𝑦2 + 𝑧2

𝑖⃗ 𝑘⃗​⃗ 𝑥3 | 𝑥1 𝑦3 + 𝑧3 𝑦1 + 𝑧1

𝑗⃗ 𝑥2 𝑦2 + 𝑧2

= 𝑥2 (𝑦3 + 𝑧3 )𝑖⃗ + 𝑥3 (𝑦1 + 𝑧1 )𝑗⃗ + 𝑥1 (𝑦2 + 𝑧2 )𝑘⃗​⃗ − 𝑥2 (𝑦1 + 𝑧1 )𝑘⃗​⃗ − 𝑥3 (𝑦2 + 𝑧2 )𝑖⃗ − 𝑥1 (𝑦3 + 𝑧3 )𝑗⃗

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121

đ?‘–⃗ = â‹Ż = |đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1

đ?‘—⃗ đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2

đ?‘˜âƒ—⃗ đ?‘–⃗ đ?‘Ľ3 | + |đ?‘Ľ1 đ?‘Ś3 đ?‘§1

đ?‘˜âƒ—⃗ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— + đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗ đ?‘Ľ3 | = đ?‘˘ đ?‘§3

đ?‘—⃗ đ?‘Ľ2 đ?‘§2

⇒ đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—(đ?‘Łâƒ— + đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— + đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗ .

iv. Sabemos que đ?‘šđ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘šđ?‘Ľ1 , đ?‘šđ?‘Ľ2 , đ?‘šđ?‘Ľ3 )đ??¸ . Logo:

đ?‘–⃗ (đ?‘šđ?‘˘ ⃗⃗)Ă—đ?‘Łâƒ— = |đ?‘šđ?‘Ľ1 đ?‘Ś1

đ?‘˜âƒ—⃗ đ?‘–⃗ | = đ?‘š | đ?‘šđ?‘Ľ3 đ?‘Ľ1 đ?‘Ś3 đ?‘Ś1

đ?‘—⃗ đ?‘šđ?‘Ľ2 đ?‘Ś2

đ?‘—⃗ đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2

đ?‘˜âƒ—⃗ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—). đ?‘Ľ3 | = đ?‘š(đ?‘˘ đ?‘Ś3

Por outro lado, sabemos que đ?‘šđ?‘Łâƒ— = (đ?‘šđ?‘Ś1 , đ?‘šđ?‘Ś2 , đ?‘šđ?‘Ś3 ), entĂŁo:

đ?‘–⃗ đ?‘š(đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—) = đ?‘š |đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1

đ?‘—⃗ đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2

đ?‘˜âƒ—⃗ đ?‘–⃗ đ?‘Ľ3 | = | đ?‘Ľ1 đ?‘Ś3 đ?‘šđ?‘Ś1

đ?‘—⃗ đ?‘Ľ2 đ?‘šđ?‘Ś2

đ?‘˜âƒ—⃗ âƒ—âƒ—Ă—(đ?‘šđ?‘Łâƒ—). đ?‘Ľ3 | = đ?‘˘ đ?‘šđ?‘Ś3

v. (⇒) Queremos mostrar que se đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— = ⃗0⃗, entĂŁo {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LD. De fato, se đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗ 0, as coordenadas de đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— sĂŁo nulas, isto ĂŠ: đ?‘Ľ2 |đ?‘Ś 2

đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ1 | = 0, | đ?‘Ś3 đ?‘Ś1

đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ2 | = 0 đ?‘’ | đ?‘Ś3 đ?‘Ś2

đ?‘Ľ3 đ?‘Ś3 | = 0.

Estes determinantes serĂŁo iguais a zero se cada coordenada de đ?‘˘ ⃗⃗ ou đ?‘Łâƒ— for nula e, entĂŁo terĂ­amos que um dos vetores ĂŠ nulo. Os determinantes seriam, tambĂŠm, iguais a zero se [đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 ] e [đ?‘Ś1 , đ?‘Ś2 , đ?‘Ś3 ] fossem proporcionais e, neste caso, terĂ­amos {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} linearmente dependente. (â‡?) Caso 01: Queremos mostrar que se đ?‘˘ ⃗⃗ = ⃗⃗ 0 ou đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗ 0, entĂŁo đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗ 0. De fato, suponha đ?‘˘ ⃗⃗ = ⃗⃗ 0, entĂŁo đ?‘˘ ⃗⃗ = (0,0,0)đ??¸ e:

đ?‘–⃗ đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— = | 0 đ?‘Ś1

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đ?‘—⃗ 0 đ?‘Ś2

đ?‘˜âƒ—⃗ ⃗⃗. 0 | = 0đ?‘–⃗ + 0đ?‘—⃗ + 0đ?‘˜âƒ—⃗ = 0 đ?‘Ś3

122

⃗⃗, ĂŠ anĂĄlogo. Para đ?‘Łâƒ— = 0 Caso 02: Queremos mostrar que se o conjunto {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LD, entĂŁo đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— = ⃗0⃗. De fato, se {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LD, entĂŁo đ?‘˘ ⃗⃗ = đ?œ†đ?‘Łâƒ—. Logo se đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ś1 , đ?‘Ś2 , đ?‘Ś2 )đ??¸ , entĂŁo đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?œ†đ?‘Ś1 , đ?œ†đ?‘Ś2 , đ?œ†đ?‘Ś3 )đ??¸ . Portanto:

đ?‘–⃗ đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— = |đ?œ†đ?‘Ś1 đ?‘Ś1

đ?‘—⃗ đ?œ†đ?‘Ś2 đ?‘Ś2

đ?‘˜âƒ—⃗ ⃗⃗. đ?œ†đ?‘Ś3 | = 0đ?‘–⃗ + 0đ?‘—⃗ + 0đ?‘˜âƒ—⃗ = 0 đ?‘Ś3

E temos o desejado. vi. Queremos provar que os o produto vetorial de đ?‘˘ ⃗⃗ por đ?‘Łâƒ— ĂŠ ortogonal a đ?‘˘ ⃗⃗ e a đ?‘Łâƒ—, mas isso equivale a mostrar que (đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—) â‹… đ?‘˘ ⃗⃗ = 0 e (đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—) â‹… đ?‘Łâƒ— = 0. De fato: (đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—) â‹… đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ľ2 đ?‘Ś3 − đ?‘Ľ3 đ?‘Ś2 , −đ?‘Ľ1 đ?‘Ś3 + đ?‘Ľ3 đ?‘Ś1 , đ?‘Ľ1 đ?‘Ś2 − đ?‘Ľ2 đ?‘Ś1 )đ??¸ â‹… (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 )đ??¸ = đ?‘Ľ1 (đ?‘Ľ2 đ?‘Ś3 − đ?‘Ľ3 đ?‘Ś2 ) + đ?‘Ľ2 (−đ?‘Ľ1 đ?‘Ś3 + đ?‘Ľ3 đ?‘Ś1 ) + đ?‘Ľ3 (đ?‘Ľ1 đ?‘Ś2 − đ?‘Ľ2 đ?‘Ś1 ) = đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś3 − đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ3 đ?‘Ś2 − đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś3 + đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 đ?‘Ś1 + đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ3 đ?‘Ś2 − đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 đ?‘Ś1 = 0

⇒ (đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—) â‹… đ?‘˘ ⃗⃗ = 0 ⇔ (đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—) ⊼ đ?‘˘ ⃗⃗ .

De forma anĂĄloga conclui-se que (đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—) ⊼ đ?‘Łâƒ— .

Observação: Note que de (vi) podemos dizer que se {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—} ĂŠ LI, entĂŁo {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—} e {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘˘ ⃗⃗} formam bases para o espaço, pois o vetor obtido pelo produto vetorial de dois vetores ĂŠ ortogonal a estes. Como o vetor đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘˘ ⃗⃗ ĂŠ oposto de đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—, tem-se đ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—, đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘˘ ⃗⃗) = đ?œ‹. Logo đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘˘ ⃗⃗ tambĂŠm serĂĄ ortogonal a đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—. Uma ilustração das bases {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—} e {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘˘ ⃗⃗} ĂŠ dada na figura abaixo:

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123

Considerando a base canĂ´nica đ??¸ = {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗}, observe que:

0 0 1 0 1 đ?‘–âƒ—Ă—đ?‘—⃗ = (1,0,0)Ă—(0,1,0) = | | đ?‘–⃗ − | | đ?‘—⃗ + | 1 0 0 0 0

0 ⃗⃗ ⃗⃗ | đ?‘˜ = đ?‘˜ ⇒ đ?‘–âƒ—Ă—đ?‘—⃗ = đ?‘˜âƒ—⃗ . 1

Analogamente đ?‘–âƒ—Ă—đ?‘˜âƒ—⃗ = −đ?‘—⃗ e đ?‘—âƒ—Ă—đ?‘˜âƒ—⃗ = đ?‘–⃗. Note que, os vetores đ?‘–⃗ e đ?‘˜âƒ—⃗ nĂŁo estĂŁo ⃗⃗}, “um ao lado do outroâ€?, ou ainda, đ?‘˜âƒ—⃗ nĂŁo vem depois de đ?‘–⃗ no conjunto {đ?’Šâƒ—, đ?‘—⃗, đ?’Œ logo o produto vetorial entre eles, resulta no vetor oposto de đ?‘—⃗ e, desta forma, đ?‘˜âƒ—âƒ—Ă—đ?‘–⃗ = đ?‘—⃗. Considerando a figura abaixo:

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124

Se pensarmos em um ciclo, o vetor que “vem depoisâ€? de đ?‘–⃗ ĂŠ đ?‘—⃗, logo o produto vetorial entre đ?‘–⃗ e đ?‘—⃗ resulta no outro vetor da base, que ĂŠ đ?‘˜âƒ—⃗. Analogamente, o vetor que vem depois de đ?‘—⃗ ĂŠ đ?‘˜âƒ—⃗, portanto o produto vetorial entre đ?‘—⃗ e đ?‘˜âƒ—⃗ ĂŠ o outro vetor da base, que ĂŠ đ?‘–⃗. Perceba que đ?‘˜âƒ—⃗ nĂŁo vem depois de đ?‘–⃗, por isso o produto đ?‘–âƒ—Ă—đ?‘˜âƒ—⃗ nĂŁo resulta em đ?‘—⃗. PorĂŠm, observando o ciclo, o vetor que vem depois de đ?‘˜âƒ—⃗ ĂŠ đ?‘–⃗, desta forma o produto đ?‘˜âƒ—⃗ Ă—đ?‘–⃗ resulta no outro vetor da base, que ĂŠ đ?‘—⃗. Ainda podemos dizer que a base {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗} ĂŠ de sentido positivo, de acordo com a ordem circular fixada. No momento em que a ordem circular ĂŠ fixada, pode-se analisar que as bases {đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗, đ?‘–⃗} e {đ?‘˜âƒ—⃗, đ?‘–⃗, đ?‘—⃗} tambĂŠm sĂŁo de sentido positivo. Logo, fazendo o produto vetorial de vetores sucessivos, na ordem apropriada, obtĂŠm-se o terceiro vetor da base.

9.1.3 Proposição: Seja đ??¸ = {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗} uma base ortonormal, đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 )đ??¸ , đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ś1 , đ?‘Ś2 , đ?‘Ś3 )đ??¸ e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = (đ?‘§1 , đ?‘§2 , đ?‘§3 )đ??¸ vetores de đ?‘‰ 3 . Valem as propriedades: 2

2

2

i. ||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘Łâƒ—|| − (đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—)2 (Identidade de Lagrange); ii. Se đ?‘˘ ⃗⃗ ≠⃗0⃗, đ?‘Łâƒ— ≠⃗0⃗ e đ?œƒ = đ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—), entĂŁo ||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| sin đ?œƒ; iii. NĂŁo ĂŠ vĂĄlido (đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—)Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—(đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗). Prova: i. Como đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ľ2 đ?‘Ś3 − đ?‘Ľ3 đ?‘Ś2 , −đ?‘Ľ1 đ?‘Ś3 + đ?‘Ľ3 đ?‘Ś1 , đ?‘Ľ1 đ?‘Ś2 − đ?‘Ľ2 đ?‘Ś1 )đ??¸ , temos: 2

||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—|| = (đ?‘Ľ2 đ?‘Ś3 − đ?‘Ľ3 đ?‘Ś2 )2 + (−đ?‘Ľ1 đ?‘Ś3 + đ?‘Ľ3 đ?‘Ś1 )2 + (đ?‘Ľ1 đ?‘Ś2 − đ?‘Ľ2 đ?‘Ś1 )2 .

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125

Por outro lado, se đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 )đ??¸ e đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ś1 , đ?‘Ś2 , đ?‘Ś3 )đ??¸ , temos: 2

2

||đ?‘˘ ⃗⃗|| â‹… ||đ?‘Łâƒ—|| − (đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—)2 = (đ?‘Ľ12 + đ?‘Ľ22 + đ?‘Ľ32 )(đ?‘Ś12 + đ?‘Ś22 + đ?‘Ś32 ) − (đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1 + đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 + đ?‘Ľ3 đ?‘Ś3 )2 Realizando os devidos cĂĄlculos, constata-se que: 2

2

2

||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘Łâƒ—|| − (đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—)2 . A Identidade de Lagrange ainda pode ser reescrita por:

(đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—) â‹… (đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—) = (đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘˘ ⃗⃗)(đ?‘Łâƒ— â‹… đ?‘Łâƒ—) − (đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—)2 .

2

2

2

ii. Sabemos que ||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘Łâƒ—|| − (đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ—)2 . Por outro lado, da definição de produto escalar đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… đ?‘Łâƒ— = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ e, substituindo na Identidade de Lagrange: 2

2

2

2

2

2

2

2

||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘Łâƒ—|| − (||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| cos đ?œƒ) = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘Łâƒ—|| − ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘Łâƒ—|| cos2 đ?œƒ 2

2

2

2

= ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘Łâƒ—|| (1 − cos 2 đ?œƒ) = ||đ?‘˘ ⃗⃗|| ||đ?‘Łâƒ—|| sin2 đ?œƒ

2

2

2

⇒ ||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—|| = (||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| sin đ?œƒ) ⇒ √||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—|| = √(||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| sin đ?œƒ)

2

⇒ 2 ||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| sin đ?œƒ .

iii. Note que o vetor đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—(đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗) ĂŠ coplanar a đ?‘Łâƒ— e đ?‘¤ ⃗⃗⃗, enquanto (đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—)Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗ ĂŠ coplanar a đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—. Portanto, em geral đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—(đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗) ≠(đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—)Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗.

Lembre-se que √đ?‘Ž2 = |đ?‘Ž| = đ?‘Ž, se đ?‘Ž ≼ 0 (que ĂŠ o caso: ||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—|| ≼ 0 e ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| sin đ?œƒ ≼ 0, pois sin đ?œƒ ≼ 0 para đ?œƒ ∈ [0, đ?œ‹]). 2

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Exemplo: Vamos determinar um vetor unitĂĄrio que seja ortogonal a đ?‘˘ ⃗⃗ = (2, −6,3) e đ?‘Łâƒ— = (4,3,1). Sabemos que o vetor đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— ĂŠ ortogonal a đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— simultaneamente (đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘˘ ⃗⃗ tambĂŠm). Portanto, temos:

đ?‘–⃗ đ?‘—⃗ đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— = |2 −6 4 3

đ?‘˜âƒ—⃗ đ?‘–⃗ 3| 2 1 4

đ?‘—⃗ −6 = −6đ?‘–⃗ + 12đ?‘—⃗ + 6đ?‘˜âƒ—⃗ + 24đ?‘˜âƒ—⃗ − 9đ?‘–⃗ − 2đ?‘—⃗ 3

⇒đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— = −15đ?‘–⃗ + 10đ?‘—⃗ + 30đ?‘˜âƒ—⃗ = (−15,10,30). Para determinar agora um vetor unitĂĄrio Ă đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—, basta determinar o versor de đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—. EntĂŁo:

đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ— ||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—||

=

=

1 ||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—||

1 √225 + 100 + 900

(−15,10,30) =

(−15,10,30) =

= (−

1 √(−152 ) + 102 + 302 1 √1125

(−15,10,30) =

(−15,10,30)

1 (−15,10,30) 35

15 10 30 3 2 6 , , ) = (− , , ). 35 35 35 7 7 7

Portanto, o vetor unitĂĄrio ortogonal Ă đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— simultaneamente ĂŠ:

đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—

3 2 6 = (− , , ) . 7 7 7 ||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—||

9.2 INTERPRETAĂ‡ĂƒO GEOMÉTRICA DO MĂ“DULO DO PRODUTO VETORIAL

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⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— = đ??´đ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , a norma do produto vetorial entre đ?‘˘ Se đ?‘˘ ⃗⃗ = đ??´đ??ľ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— mede a ĂĄrea do paralelogramo đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ. Observe:

Note que, a ĂĄrea do paralelogramo đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ ĂŠ dada por:

đ??´(đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ) = ||đ?‘˘ ⃗⃗||â„Ž ‌ (đ??ź)

Do triângulo retângulo đ??´đ??śđ??¸ tem-se:

sin đ?œƒ =

â„Ž ||đ?‘Łâƒ—||

⇒ â„Ž = ||đ?‘Łâƒ—|| sin đ?œƒ ‌ (đ??źđ??ź)

Substituindo (II) em (I):

đ??´(đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ) = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| sin đ?œƒ.

Por outro lado, jĂĄ foi visto que ||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—|| = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—|| sin đ?œƒ. Logo, segue que:

đ??´(đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ) = ||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—|| .

Exemplos: Para os exemplos a seguir considere đ??¸ = {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗} uma base ortonormal. 01. Dados os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ = (1,2, −1)đ??¸ e đ?‘Łâƒ— = (0, −1,3)đ??¸ , vamos calcular a ĂĄrea do paralelogramo determinado pelos vetores 3đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— − đ?‘˘ ⃗⃗. Sabemos que a ĂĄrea do

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paralelogramo determinado por 3𝑢 ⃗​⃗ e 𝑣⃗ − 𝑢 ⃗​⃗ é dada pela norma do vetor 3𝑢 ⃗​⃗×(𝑣⃗ − 𝑢 ⃗​⃗). Portanto:

𝐴 = ||3𝑢 ⃗​⃗×(𝑣⃗ − 𝑢 ⃗​⃗)|| = ||3𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗ + 3𝑢 ⃗​⃗×(−𝑢 ⃗​⃗)|| = ||3(𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗) + 3[𝑢 ⃗​⃗×(−𝑢 ⃗​⃗)]||

𝑖⃗ = ||3(𝑢 ⃗​⃗×𝑣⃗) + 3 ⋅ (−1)(𝑢 ⃗​⃗×𝑢 ⃗​⃗)|| = ||3 |1 0

𝑗⃗ 2 −1

𝑘⃗​⃗ ⃗​⃗|| −1| − 30 3

= ||3(6𝑖⃗ − 𝑘⃗​⃗ − 𝑖⃗ − 3𝑗⃗) − ⃗0⃗|| = ||3(5𝑖⃗ − 3𝑗⃗ − 𝑘⃗​⃗)|| = ||3(5, −3, −1)𝐸 ||

= |3| ⋅ ||(5, −3, −1)𝐸 || = 3√52 + (−3)2 + (−1)2 = 3√25 + 9 + 1 = 3√35

⇒ 𝐴 = 3√35 .

02. Determine o conjunto de soluções de {

𝑥⃗×(𝑖⃗ + 2𝑘⃗​⃗) = 2𝑖⃗ + 𝑗⃗ − 𝑘⃗​⃗ . Para isto, 𝑥⃗ ⋅ 𝑗⃗ = 1

vamos tomar 𝑥⃗ = 𝑎𝑖⃗ + 𝑏𝑗⃗ + 𝑐𝑘⃗​⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐)𝐸 . Sabemos também que 𝑖⃗ + 2𝑘⃗​⃗ = (1,0,2)𝐸 , 2𝑖⃗ + 𝑗⃗ − 𝑘⃗​⃗ = (2,1, −1)𝐸 e 𝑗⃗ = (0,1,0)𝐸 . Portanto, reescrevemos o sistema: (𝑎, 𝑏, 𝑐)𝐸 ×(1,0,2)𝐸 = (2,1, −1)𝐸 … (𝐼) { (𝑎, 𝑏, 𝑐)𝐸 ⋅ (0,1,0)𝐸 = 1 … (𝐼𝐼) Da equação (I), vem:

𝑖⃗ (𝑎, 𝑏, 𝑐)𝐸 ×(1,0,2)𝐸 = (2,1, −1)𝐸 ⇔ |𝑎 1

𝑗⃗ 𝑏 0

𝑘⃗​⃗ 𝑐 | = (2,1, −1)𝐸 2

⇔ (2𝑏 − 𝑐 ⋅ 0)𝑖⃗ − (2𝑎 − 𝑐)𝑗⃗ + (𝑎 ⋅ 0 − 𝑏)𝑘⃗​⃗ = (2,1, −1)𝐸 ⇔ 2𝑏𝑖⃗ + (𝑐 − 2𝑎)𝑗⃗ + (−𝑏)𝑘⃗​⃗ = (2,1, −1)𝐸 ⇔ (2𝑏, 𝑐 − 2𝑎, −𝑏)𝐸 = (2,1, −1)𝐸

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2đ?‘? = 2 ⇒ {đ?‘? − 2đ?‘Ž = 1 ⇒ đ?‘? = 1 đ?‘’ đ?‘? = 2đ?‘Ž + 1 . −đ?‘? = −1 Assim, đ?‘Ľâƒ— = (đ?‘Ž, 1,2đ?‘Ž + 1). Temos da equação (II): (đ?‘Ž, 1,2đ?‘Ž + 1)đ??¸ â‹… (0,1,0)đ??¸ = 1 ⇔ 1 = 1. E isto nos diz que, para qualquer valor de đ?‘Ž ∈ â„œ, o vetor đ?‘Ľâƒ— = đ?‘Žđ?‘–⃗ + đ?‘—⃗ + (2đ?‘Ž + 1)đ?‘˜âƒ—⃗ ĂŠ solução do sistema. Desta forma, o conjunto solução do sistema ĂŠ {(đ?‘Ž, 1,2đ?‘Ž + 1); đ?‘Ž ∈ â„œ}. 03. Sejam đ?‘˘ ⃗⃗ = (3,1, −1)đ??¸ e đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž, 0,2)đ??¸ . Vamos calcular um valor para đ?‘Ž de modo que a ĂĄrea do paralelogramo determinado por đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ— seja 2√6. Sabemos que đ??´ = ||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—||, entĂŁo:

đ??´ = ||đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—|| ⇔ 2√6 = ||(3,1, −1)đ??¸ Ă—(đ?‘Ž, 0,2)đ??¸ ||

đ?‘–⃗ ⇔ 2√6 = ||||3 đ?‘Ž

đ?‘—⃗ 1 0

đ?‘˜âƒ—⃗ −1|||| ⇔ 2√6 = ||(2 − 0)đ?‘–⃗ − (6 + đ?‘Ž)đ?‘—⃗ + (0 − đ?‘Ž)đ?‘˜âƒ—⃗|| 2

⇔ 2√6 = ||(2, −đ?‘Ž − 6, −đ?‘Ž)đ??¸ || ⇔ 2√6 = √22 + (−đ?‘Ž − 6)2 + (−đ?‘Ž)2 ⇒ 4 â‹… 6 = 4 + đ?‘Ž2 + 12đ?‘Ž + 36 + đ?‘Ž2 ⇒ 24 = 40 + 2đ?‘Ž2 + 12đ?‘Ž

⇒ 2đ?‘Ž2 + 12đ?‘Ž + 16 = 0 ⇒ đ?‘Ž2 + 6đ?‘Ž + 8 = 0 . A solução desta equação ĂŠ đ?‘Ž = −4 ou đ?‘Ž = −2. 04. Calcular a ĂĄrea do triângulo cujos vĂŠrtices sĂŁo os pontos đ??´ = (1, −2,1), đ??ľ = (2, −1,4) e đ??ś = (−1, −3,3).

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130

Note que o triângulo đ??´đ??ľđ??ś tem os lados determinados pelos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??ľđ??ś e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + đ??ľđ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ??´đ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Portanto, vamos determinar cada um desses vetores: đ??´đ??ľ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ??ľ − đ??´ = (2, −1,4) − (1, −2,1) = (1,1,3) ⇒ đ??´đ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,1,3)đ??¸ đ??´đ??ľ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??ľđ??ś = đ??ś − đ??ľ = (−1, −3,3) − (2, −1,4) = (−3, −2, −1) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??ľđ??ś = (−3, −2, −1)đ??¸

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ś = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??ľđ??ś = (1,1,3)đ??¸ + (−3, −2, −1)đ??¸ = (−2, −1,2)đ??¸ . Agora, perceba que a ĂĄrea do triângulo đ??´đ??ľđ??ś ĂŠ igual Ă metade do paralelogramo đ??´đ??ľđ??śđ??¸ determinado pelos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??ľđ??ś . Logo:

đ??´âˆ† =

âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—Ă—đ??ľđ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || ||đ??´đ??ľ 2

‌ (∗)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ă—đ??ľđ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : Fazendo đ??´đ??ľ

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131

𝑖⃗ 𝑗⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = | 1 𝐴𝐵×𝐵𝐶 1 −3 −2

𝑘⃗​⃗ 3 | = (−1 + 6)𝑖⃗ − (−1 + 9)𝑗⃗ + (−2 + 3)𝑘⃗​⃗ = 5𝑖⃗ − 8𝑗⃗ + 𝑘⃗​⃗ −1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = (5, −8,1)𝐸 . ⇒ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝐵×𝐵𝐶

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ : Calculando a norma de ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝐵×𝐵𝐶

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ×𝐵𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ || = ||(5, −8,1)𝐸 || = √25 + 64 + 1 = √90 = 3√10 ||𝐴𝐵

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ×𝐴𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ || = 3√10 … (∗∗) ⇒ ||𝐴𝐵

Substituindo (**) em (*):

𝐴∆ =

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⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗×𝐴𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ || ||𝐴𝐵 2

=

3√10 3√10 ⇒ 𝐴∆ = . 2 2

132

CAPÍTULO 10: PRODUTO MISTO

10.1 INTRODUÇÃO 10.1.1 Definição: Sejam 𝐸⃗​⃗ = {𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘⃗​⃗} a base canônica de 𝑉 3 e os vetores 𝑢 ⃗​⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 )𝐸 , 𝑣⃗ = (𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 )𝐵 e 𝑤 ⃗​⃗​⃗ = (𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 )𝐸 . Definimos o produto misto entre 𝑢 ⃗​⃗, 𝑣⃗ e 𝑤 ⃗​⃗​⃗ como sendo o número real 𝑢 ⃗​⃗ ⋅ (𝑣⃗×𝑤 ⃗​⃗​⃗). Indicamos o produto misto entre 𝑢 ⃗​⃗, 𝑣⃗ e 𝑤 ⃗​⃗​⃗ por (𝑢 ⃗​⃗, 𝑣⃗, 𝑤 ⃗​⃗​⃗). Desta forma, sempre tome cuidado com a ordem em que os vetores aparecem. Já sabemos que:

𝑖⃗ 𝑣⃗×𝑤 ⃗​⃗​⃗ = |𝑦1 𝑧1

𝑗⃗ 𝑦2 𝑧2

𝑘⃗​⃗ 𝑦2 𝑦3 | = | 𝑧 2 𝑧3

𝑦2 ⇒ 𝑣⃗×𝑤 ⃗​⃗​⃗ = (| 𝑧 2

𝑦3 𝑦1 | 𝑖 ⃗ − | 𝑧3 𝑧1

𝑦3 𝑦1 | , − | 𝑧3 𝑧1

𝑦3 𝑦1 | 𝑗 ⃗ + | 𝑧3 𝑧1

𝑦3 𝑦1 𝑧3 | , | 𝑧1

𝑦2 ⃗​⃗ 𝑧2 | 𝑘

𝑦2 𝑧2 |)𝐸 .

E como 𝑢 ⃗​⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 )𝐸 , temos o produto escalar: 𝑦2 𝑢 ⃗​⃗ ⋅ (𝑣⃗×𝑤 ⃗​⃗​⃗) = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 )𝐸 ⋅ (| 𝑧 2

𝑦2 = 𝑥1 | 𝑧 2

𝑦3 𝑦1 𝑧3 | − 𝑥2 | 𝑧1

𝑦3 𝑦1 | , − | 𝑧3 𝑧1

𝑦3 𝑦1 𝑧3 | + 𝑥3 | 𝑧1

𝑥1 ⇒ (𝑢 ⃗​⃗, 𝑣⃗, 𝑤 ⃗​⃗​⃗) = |𝑦1 𝑧1

𝑥2 𝑦2 𝑧2

𝑦3 𝑦1 𝑧3 | , | 𝑧1

𝑥1 𝑦2 𝑦 𝑧2 | = | 1 𝑧1

𝑥2 𝑦2 𝑧2

𝑦2 𝑧2 |)𝐸 𝑥3 𝑦3 | 𝑧3

𝑥3 𝑦3 | . 𝑧3

Exemplo:

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133

O produto misto entre os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ = 2đ?‘–⃗ + 3đ?‘—⃗ + 5đ?‘˜âƒ—⃗ , đ?‘Łâƒ— = −đ?‘–⃗ + 3đ?‘—⃗ + 3đ?‘˜âƒ—⃗ e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = 4đ?‘–⃗ − 3đ?‘—⃗ + 2đ?‘˜âƒ—⃗ ĂŠ dado por: 2 (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = ((2,3,5)đ??¸ , (−1,3,3)đ??¸ , (4, −3,2)đ??¸ ) = |−1 4

3 3 −3

5 3| 2

= 2(6 + 9) − 3(−2 − 12) + 5(3 − 12) = 2 ⋅ 15 − 3 ⋅ (−14) + 5 ⋅ (−9)

= 30 + 42 − 45 = 27 ⇒ (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = 27 .

Observação: Tome cuidado com a ordem em que os vetores aparecem no produto misto. Por exemplo:

(đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗) (đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗, đ?‘˘ ⃗⃗) = đ?‘Łâƒ— â‹… (đ?‘¤ âƒ—âƒ—âƒ—Ă—đ?‘˘ ⃗⃗) (đ?‘Žâƒ— − đ?‘?⃗⃗, 2đ?‘Ľâƒ—, đ?‘Śâƒ— + 3đ?‘Ľâƒ—) = (đ?‘Žâƒ— − đ?‘?⃗⃗) â‹… (2đ?‘Ľâƒ—Ă—(đ?‘Śâƒ— + 3đ?‘Ľâƒ—)). 10.1.1 Proposição: Sejam đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 ), đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ś1 , đ?‘Ś2 , đ?‘Ś3 ) e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = (đ?‘§1 , đ?‘§2 , đ?‘§3 ) vetores. As seguintes propriedades sĂŁo vĂĄlidas: i. (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = 0 se um dos vetores ĂŠ nulo, se dois a dois sĂŁo paralelos, ou se {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} ĂŠ LD; ii. O produto misto independe da ordem circular dos vetores, isto ĂŠ, (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = (đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗, đ?‘˘ ⃗⃗) = (đ?‘¤ ⃗⃗⃗, đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—); iii. (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗ + đ?‘Ąâƒ—) = (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗) + (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘Ąâƒ—); iv. (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘šđ?‘¤ ⃗⃗⃗) = (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘šđ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = (đ?‘šđ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = đ?‘š(đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗). Prova: i. Vamos separar em trĂŞs casos: Caso 01: Suponha que um dos vetores ĂŠ nulo, digamos đ?‘˘ ⃗⃗. EntĂŁo đ?‘˘ ⃗⃗ = (0,0,0) e tem-se:

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134

0 (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = |đ?‘Ś1 đ?‘§1

0 �2 �2

0 �3 | = 0. �3

Caso 02: Suponha dois vetores paralelos, digamos đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—. EntĂŁo đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 ) e đ?‘Łâƒ— = (đ?œ†đ?‘Ľ1 , đ?œ†đ?‘Ľ2 , đ?œ†đ?‘Ľ3 ) e temos: đ?‘Ľ1 đ?œ†đ?‘Ľ (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = | 1 đ?‘§1

đ?‘Ľ2 đ?œ†đ?‘Ľ2 đ?‘§2

đ?‘Ľ3 đ?œ†đ?‘Ľ3 | = 0. đ?‘§3

Caso 03: Suponha {đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗} LD. Sabemos que đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗ ĂŠ ortogonal a đ?‘Łâƒ— e a đ?‘¤ ⃗⃗⃗ e consequentemente serĂĄ ortogonal a đ?‘˘ ⃗⃗, uma vez que đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗ estĂŁo num mesmo plano. Ora, se đ?‘˘ ⃗⃗ ⊼ đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗, entĂŁo đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = 0. Mas đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗), logo (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = 0. Observação: Note que o caso 3 do item i nos diz que se os vetores đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ sĂŁo coplanares, entĂŁo o produto misto entre eles ĂŠ nulo. De forma anĂĄloga, se considerarmos os pontos đ??´, đ??ľ, đ??ś e đ??ˇ, estes pontos pertence a um mesmo plano se os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ś e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ˇ forem coplanares, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ isto ĂŠ, se (đ??´đ??ľ đ??´đ??ś , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ś ) = 0. ii. Observe:

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135

Esta

propriedade

decorre

imediatamente

das

propriedades

de

determinantes (apenas fazemos uma analogia para os vetores đ?‘–⃗, đ?‘—⃗ e đ?‘˜âƒ—⃗. Mas estes poderiam ser quaisquer). Observação: Desta propriedade, resulta que as operaçþes â‹… e Ă— permutam entre si, isto ĂŠ:

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = (đ?‘˘ âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Łâƒ—) â‹… đ?‘¤ ⃗⃗⃗. Chamamos esta consequĂŞncia de propriedade cĂ­clica. Exemplos: 01. Vamos verificar se os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ = (3, −1,4), đ?‘Łâƒ— = (1,0, −1) e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = (2, −1,0) sĂŁo coplanares. Para isto, basta calcular o produto misto entre eles: 3 (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = |1 2

−1 0 −1

4 ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— đ?‘’ đ?‘¤ ⃗⃗⃗ đ?‘›ĂŁđ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ . −1| = 2 − 4 − 3 = −5 ≠0 ⇒ đ?‘˘ 0

02. Qual deve ser o valor de đ?œ‚ para que os vetores đ?‘Žâƒ— = (đ?œ‚, 2, −1), đ?‘?⃗⃗ = (1, −1,3) e đ?‘?⃗ = (0, −2,4) sejam coplanares? Para que os vetores sejam coplanares, devemos ter: đ?œ‚ 2 ⃗⃗ (đ?‘Žâƒ—, đ?‘?, đ?‘?⃗) = 0 ⇔ |1 −1 0 −2

−1 3 | = 0 ⇔ −4đ?œ‚ + 2 + 6đ?œ‚ − 8 = 0 4

⇔ 2đ?œ‚ − 6 = 0 ⇔ 2đ?œ‚ = 6 ⇔ đ?œ‚ = 3 .

03. Verificar se os pontos đ??´ = (1,2,4), đ??ľ = (−1,0, −2), đ??ś = (0,2,2) e đ??ˇ = (−2,1, −3) sĂŁo coplanares. Para verificar se os pontos sĂŁo coplanares, construĂ­mos os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ = (−2, −2, −6), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ś = (−1,0, −2) e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ˇ = (−3, −1, −7) e calculamos o produto misto:

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136

−2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (đ??´đ??ľ đ??´đ??ś , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ˇ) = |−1 −3

−2 0 −1

−6 −2| = 0 ⇒ đ??´, đ??ľ, đ??ś đ?‘’ đ??ˇ đ?‘ ĂŁđ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ . −7

10.2 INTERPRETAĂ‡ĂƒO GEOMÉTRICA DO MĂ“DULO DO PRODUTO MISTO Geometricamente, o mĂłdulo do produto misto (đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗) calcula o volume do paralelepĂ­pedo de arestas determinadas pelos vetores đ?‘˘ ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ˇ, đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ś . Observe a figura:

Sabemos que o volume de um paralelepĂ­pedo ĂŠ dado por â€œĂĄrea da base vezes a alturaâ€?. EntĂŁo:

đ?‘‰ = đ??´đ?‘? â‹… â„Ž ‌ (đ??ź)

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137

Como a ĂĄrea da base ĂŠ o paralelogramo determinado pelos vetores đ?‘Łâƒ— e đ?‘¤ ⃗⃗⃗, sabemos que:

đ??´đ?‘? = ||đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗|| ‌ (∗) Observando o ângulo formado entre đ?‘˘ ⃗⃗ e đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗, temos:

|cos đ?œƒ| =

â„Ž ||đ?‘˘ ⃗⃗||

⇒ â„Ž = ||đ?‘˘ ⃗⃗|||cos đ?œƒ| ‌ (∗∗)3

Substituindo (*) e (**) em (I), temos:

đ?‘‰ = ||đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗||||đ?‘˘ ⃗⃗|||cos đ?œƒ| ⇒ đ?‘‰ = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗||| cos đ?œƒ| ‌ (đ??źđ??ź)

Sabemos ainda que:

đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗) = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗|| cos đ?œƒ ⇒ |đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗)| = ||đ?‘˘ ⃗⃗||||đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗|||cos đ?œƒ| ‌ (∗∗∗)

Comparando (***) e (I), tem-se:

đ?‘‰ = |đ?‘˘ ⃗⃗ â‹… (đ?‘Łâƒ—Ă—đ?‘¤ ⃗⃗⃗)| = |(đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗)| ⇒ đ?‘‰ = |(đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗)| .

Exemplos: 01. Vamos calcular o volume do paralelepĂ­pedo determinado pelos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,0,1), đ??´đ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,1,1) e đ??´đ??ˇ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,3,3). Para calcular tal volume, basta calcular đ??´đ??ľ o produto misto entre os vetores e em seguida tomar o mĂłdulo deste valor. Calculemos:

3

đ?œ‹

Devemos considerar |cos đ?œƒ|, pois poderia ocorrer đ?œƒ ∈ ( , đ?œ‹] e entĂŁo cos đ?œƒ < 0. 2

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1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (đ??´đ??ľ, đ??´đ??ś , đ??´đ??ˇ) = |1 0

0 1 3

1 1| = 3. 3

Agora, temos:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗, đ??´đ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , đ??´đ??ˇ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )| = |3| = 3 ⇒ đ?‘‰ = 3đ?‘˘. đ?‘Ł. . đ?‘‰ = |(đ??´đ??ľ 02. Dados os vetores đ?‘˘ ⃗⃗ = (đ?‘Ľ, 5,0), đ?‘Łâƒ— = (3, −2,1) e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = (1,1, −1), calcule o valor de đ?‘Ľ para que o volume do paralelepĂ­pedo determinado por đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ— e đ?‘¤ ⃗⃗⃗ seja igual a 24đ?‘˘. đ?‘Ł.. Sabemos que o volume do paralelepĂ­pedo ĂŠ dado por đ?‘‰ = |(đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—. đ?‘¤ ⃗⃗⃗)|. Para que o volume seja igual a 24, temos:

đ?‘Ľ |(đ?‘˘ ⃗⃗, đ?‘Łâƒ—, đ?‘¤ ⃗⃗⃗)| = 24 ⇒ ||3 1

5 −2 1

0 1 || = 24 ⇒ |đ?‘Ľ + 20| = 24. −1

Sabemos que, por definição:

|đ?‘Ľ + 20| = {

đ?‘Ľ + 20, đ?‘ đ?‘’ đ?‘Ľ ≼ −20 . −đ?‘Ľ − 20, đ?‘ đ?‘’ đ?‘Ľ < −20

EntĂŁo, temos: Se đ?‘Ľ ≼ −20, entĂŁo |đ?‘Ľ + 20| = 24 ⇒ đ?‘Ľ + 20 = 24 ⇒ đ?‘Ľ = 4 . Se đ?‘Ľ < −20, entĂŁo |đ?‘Ľ + 20| = 24 ⇒ −đ?‘Ľ − 20 = 24 ⇒ đ?‘Ľ = −44 . Desta forma, concluĂ­mos que đ?‘Ľ = 4 ou đ?‘Ľ = 44.

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139

CAPĂ?TULO 11: RETA

11.1 INTRODUĂ‡ĂƒO 11.1.1 Equação Vetorial da Reta: Considere o sistema de coordenadas â„œ3 , a base canĂ´nica {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗}, uma reta đ?‘&#x; passando por um ponto đ??´ ∈ â„œ3 com mesma direção de um vetor nĂŁo nulo đ?‘Łâƒ—. Para que um ponto đ?‘ƒ do espaço pertença Ă reta đ?‘&#x; ĂŠ necessĂĄrio e suficiente que, os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ?‘ƒ e đ?‘Łâƒ— sejam paralelos, isto ĂŠ:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = đ?œ†đ?‘Łâƒ— ⇔ đ?‘ƒ − đ??´ = đ?œ†đ?‘Łâƒ—. đ??´đ?‘ƒ

Podemos ainda reescrever a equação đ?‘ƒ − đ??´ = đ?œ†đ?‘Łâƒ— por:

đ?‘ƒ = đ??´ + đ?œ†đ?‘Łâƒ— ‌ (đ??ź) A princĂ­pio podemos pensar que a equação (I) nĂŁo faz sentido, pois parece ser composta por “um ponto igual a um ponto somado com um vetorâ€?,

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140

porĂŠm a igualdade pode ser “aceitaâ€? devido ao fato de que existe uma correspondĂŞncia biunĂ­voca entre pontos e vetores do espaço. Note que ao ponto đ?‘ƒ corresponde o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ?‘ƒ cujas coordenadas serĂŁo as mesmas coordenadas de đ?‘ƒ em relação ao sistema de coordenadas e, analogamente, ao ponto đ??´ corresponde o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ??´. Se tomarmos, đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§), đ??´ = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) e đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?), reescrevemos (I) como:

(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) + đ?œ†(đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) ‌ (đ??źđ??ź) Qualquer uma das equaçþes (I) e (II) ĂŠ denominada equação vetorial da reta que passa pelo ponto đ??´ e tem a direção de đ?‘Łâƒ—. O vetor đ?‘Łâƒ— ĂŠ chamado de vetor diretor da reta e o nĂşmero real đ?œ† recebe o nome de parâmetro. Note que para cada valor de đ?œ†, obtemos um ponto đ?‘ƒ da reta, ou seja, quando variamos đ?œ† no intervalo (−∞, +∞) o ponto đ?‘ƒ descreve a reta đ?‘&#x;. Exemplo: Vamos encontrar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto đ??´ = (3,0, −5) e tem como vetor diretor đ?‘Łâƒ— = 2đ?‘–⃗ + 2đ?‘—⃗ − đ?‘˜âƒ—⃗ . Sendo đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) um ponto genĂŠrico da reta, temos:

đ?‘ƒ = đ??´ + đ?œ†đ?‘Łâƒ— ⇔ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (3,0, −5) + đ?œ†(2,2, −1) .

A equação vetorial da reta ĂŠ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (3,0, −5) + đ?œ†(2,2, −1). Quando đ?œ† varia de −∞ atĂŠ +∞, đ?‘ƒ descreve tal reta. Por exemplo, se đ?œ† = 2, temos: (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (3,0, −5) + 2(2,2, −1) = (3,0, −5) + (4,4, −1) = (3 + 4,0 + 4, −5 − 1) ⇒ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (7,4, −6). Ou seja, o ponto đ?‘ƒ1 = (7,4, −4) pertence Ă reta đ?‘&#x;.

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141

Por outro lado, como proceder para verificar se um ponto pertence a uma reta? Considerando a reta do exemplo đ?‘&#x;: (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (3,0, −5) + đ?œ†(2,2, −1), o ponto đ?‘„ = (5,2, −6) pertence Ă reta đ?‘&#x;? Para verificar se đ?‘„ pertence Ă reta, basta substituir as respectivas coordenadas de đ?‘„ nas coordenadas do ponto đ?‘ƒ genĂŠrico da construção, isto ĂŠ: (5,2, −6) = (3,0, −5) + đ?œ†(2,2, −1) ⇒ (5,2, −6) = (3 + 2đ?œ†, 2đ?œ†, −5 − đ?œ†)

3 + 2đ?œ† = 5 ⇒ đ?œ† = 1 ⇒ { 2đ?œ† = 2 ⇒ đ?œ† = 1 . −5 − đ?œ† = −6 ⇒ đ?œ† = 1 O valor de đ?œ† ĂŠ Ăşnico, e isto nos diz que o ponto đ?‘„ pertence Ă reta đ?‘&#x;. Por outro lado, tomemos đ?‘€ = (2, −1,3). Este ponto pertence Ă reta? Vamos substituir suas coordenadas na equação de đ?‘&#x;. EntĂŁo: (2, −1,3) = (3,0, −5) + đ?œ†(2,2, −1)

1 2 ⇒ 1 . 2đ?œ† = −1 ⇒ đ?œ† = − 2 {−5 − đ?œ† = 3 ⇒ đ?œ† = −8 3 + 2đ?œ† = 2 ⇒ đ?œ† = −

Obtemos valores distintos de đ?œ†, e isso nos diz que o ponto đ?‘€ nĂŁo pertence Ă reta đ?‘&#x;. 11.1.2 Equaçþes ParamĂŠtricas da Reta: Considere o sistema de coordenadas no espaço â„œ3 e a base canĂ´nica {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗}. Seja đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) um ponto genĂŠrico do espaço e đ??´ = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) um ponto dado, onde đ?‘ƒ, đ??´ ∈ đ?‘&#x; uma reta cujo vetor diretor ĂŠ đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?). Da equação vetorial da reta, temos: đ?‘ƒ = đ??´ + đ?œ†đ?‘Łâƒ— ⇔ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) + đ?œ†(đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?)

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142

⇔ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (đ?‘Ľ0 + đ?œ†đ?‘Ž, đ?‘Ś0 + đ?œ†đ?‘?, đ?‘§0 + đ?œ†đ?‘?) đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 + đ?œ†đ?‘Ž ⇒ {đ?‘Ś = đ?‘Ś0 + đ?œ†đ?‘? ‌ (∆) đ?‘§ = đ?‘§0 + đ?œ†đ?‘? O sistema de equaçþes (∆), com đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? nĂŁo sĂŁo todos nulos (đ?‘Łâƒ— ≠⃗⃗ 0) nos fornece as equaçþes paramĂŠtricas de đ?‘&#x; em relação ao sistema de coordenadas fixado. Exemplo: As equaçþes paramĂŠtricas da reta đ?‘&#x; que passa pelo ponto đ??´ = (3, −1,2) e tem a direção do vetor đ?‘Łâƒ— = (−3, −2,1) sĂŁo: (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (3, −1,2) + đ?œ†(−3, −2,1) đ?‘Ľ = 3 − 3đ?œ† ⇒ {đ?‘Ś = −1 − 2đ?œ†. đ?‘§ =2+đ?œ† Para obter qualquer ponto de đ?‘&#x;, basta atribuir um valor para đ?œ†. Por exemplo, se đ?œ† = −1, temos:

đ?‘Ľ = 3 − 3(−1) = 3 + 3 = 6 đ?‘Ś { = −1 − 2(−1) = −1 + 2 = 1. đ?‘§ = 2 + (−1) = 2 − 1 = 1 Desta forma, temos o ponto đ?‘ƒ1 = (6,1,1) ∈ đ?‘&#x;. Note que o ponto đ??´ ∈ đ?‘&#x; e, obviamente, este ponto satisfaz as equaçþes vetoriais de đ?‘&#x;. Temos: 3 = 3 − 3đ?œ† {−1 = −1 − 2đ?œ† ⇒ đ?œ† = 0 đ?‘›đ?‘Žđ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;ĂŞđ?‘ đ?‘’đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žçþđ?‘’đ?‘ . 2=2+đ?œ†

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143

Por outro lado, o ponto đ??ľ = (1,1, −1) ∉ đ?‘&#x;, pois: 1 = 3 − 3đ?œ† 2 {1 = −1 − 2đ?œ† ⇒ đ?œ† = , đ?œ† = −1 đ?‘’ đ?œ† = −3 (đ?‘Ąđ?‘&#x;ĂŞđ?‘ đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘‘đ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ ). 3 −1 = 2 + đ?œ† 11.1.3 Reta Definida por Dois Pontos: A reta definida pelos pontos đ??´ = (đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??´ , đ?‘§đ??´ ) e đ??ľ = (đ?‘Ľđ??ľ , đ?‘Śđ??ľ , đ?‘§đ??ľ ) ĂŠ a reta que passa pelo ponto đ??´ (ou đ??ľ) e tem a direção ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (đ?‘Ľđ??ľ − đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??ľ − đ?‘Śđ??´ , đ?‘§đ??ľ − đ?‘§đ??´ ). Sendo đ?‘ƒ ∈ đ?‘&#x; um ponto genĂŠrico, a do vetor đ??´đ??ľ equação vetorial da reta definida pelos pontos đ??´ e đ??ľ ĂŠ:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘œđ?‘˘ đ?‘ƒ = đ??ľ + đ?œ†đ??´đ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . đ?‘ƒ = đ??´ + đ?œ†đ??´đ??ľ Exemplo: Vamos construir a equação vetorial da reta đ?‘&#x; que passa pelos pontos đ??´ = (1, −2, −3) e đ??ľ = (3,1, −4). Para construir tal equação, devemos determinar o vetor diretor de đ?‘&#x; a partir dos pontos đ??´ e đ??ľ, isto ĂŠ:

đ?‘Łâƒ— = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ = đ??ľ − đ??´ = (3,1, −4) − (1, −2, −3) ⇒ đ?‘Łâƒ— = (2,3, −1). Tomando đ?‘ƒ ∈ đ?‘&#x;, tem-se:

đ?‘ƒ = đ??´ + đ?œ†đ?‘Łâƒ— ⇔ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (1, −2, −3) + đ?œ†(2,3, −1) ĂŠ đ?‘Ž đ?‘’đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žçãđ?‘œ đ?‘Łđ?‘’đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Žđ?‘™ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘&#x;. E as equaçþes paramĂŠtricas sĂŁo as equaçþes do sistema: đ?‘Ľ = 1 + 2đ?œ† {đ?‘Ś = −2 + 3đ?œ†. đ?‘§ = −3 − đ?œ† Se tivĂŠssemos tomado đ?‘ƒ = đ??ľ + đ?œ†đ?‘Łâƒ—:

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đ?‘Ľ = 3 + 2đ?œ† (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (3,1, −4) + đ?œ†(2,3, −1) đ?‘’ { đ?‘Ś = 1 + 3đ?œ† . đ?‘§ = −4 − đ?œ† Que representam a mesma reta đ?‘&#x;. 11.1.4 Equaçþes SimĂŠtricas da Reta: Considere đ?‘&#x; a reta cujas equaçþes đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 + đ?œ†đ?‘Ž paramĂŠtricas sĂŁo {đ?‘Ś = đ?‘Ś0 + đ?œ†đ?‘?. Supondo que đ?‘Žđ?‘?đ?‘? ≠0, ou seja, nenhuma das đ?‘§ = đ?‘§0 + đ?œ†đ?‘? coordenadas de đ?‘Łâƒ— nula, temos:

đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 + đ?œ†đ?‘Ž ⇔ đ?œ†đ?‘Ž = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ⇔ đ?œ† =

đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ‌ (đ??ź) đ?‘Ž

đ?‘Ś = đ?‘Ś0 + đ?œ†đ?‘? ⇔ đ?œ†đ?‘? = đ?‘Ś − đ?‘Ś0 ⇔ đ?œ† =

đ?‘Ś − đ?‘Ś0 ‌ (đ??źđ??ź) đ?‘?

đ?‘§ = đ?‘§0 + đ?œ†đ?‘? ⇔ đ?œ†đ?‘? = đ?‘§ − đ?‘§0 ⇔ đ?œ† =

đ?‘§ − đ?‘§0 ‌ (đ??źđ??źđ??ź) đ?‘?

Comparando (I), (II) e (III), temos: đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 đ?‘Ś − đ?‘Ś0 đ?‘§ − đ?‘§0 = = . đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? Estas equaçþes sĂŁo denominadas equaçþes simĂŠtricas da reta đ?‘&#x; que passa por đ??´ = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) e tem direção de đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?). Exemplo: As equaçþes simĂŠtricas da reta que passa pelo ponto đ??´ = (3,0, −5) e tem como vetor diretor o vetor đ?‘Łâƒ— = 2đ?‘–⃗ + 2đ?‘—⃗ − đ?‘˜âƒ—⃗ sĂŁo: đ?‘Ľâˆ’3 đ?‘Ś = = −đ?‘§ − 5. 2 2

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145

Observação: Para construir as equaçþes simÊtricas de uma reta definida por dois pontos, basta construir o vetor diretor a partir dos pontos e proceder de forma anåloga à definição. 11.1.5 Equaçþes Reduzidas da Reta: Considerando as equaçþes simÊtricas de uma reta

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ0 đ?‘Ž

=

đ?‘Śâˆ’đ?‘Ś0 đ?‘?

=

đ?‘§âˆ’đ?‘§0 đ?‘?

, podemos isolar as variåveis � e � em

função de đ?‘Ľ. Observe: Da igualdade entre a primeira e a segunda expressĂŁo: đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 đ?‘Ś − đ?‘Ś0 đ?‘? = ⇔ đ?‘Ś − đ?‘Ś0 = (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ) đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Ž

⇔�=

Fazendo đ?’Ž =

đ?’ƒ

đ?’ƒ đ?’ƒ đ?‘Ľ − đ?’™đ?&#x;Ž + đ?’šđ?&#x;Ž ‌ (đ??ź) đ?’‚ đ?’‚

đ?’ƒ

đ?’‚

e đ?’? = − đ?’™đ?&#x;Ž + đ?’šđ?&#x;Ž e, substituindo em (I): đ?’‚

đ?‘Ś = đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘› ‌ (∗)

Da igualdade entre a primeira e a terceira expressĂŁo: đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 đ?‘§ − đ?‘§0 đ?‘? = ⇔ đ?‘§ − đ?‘§0 = (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ) đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Ž

⇔�=

Fazendo đ?’‘ =

đ?’„ đ?’‚

đ?’„ đ?’„ đ?‘Ľ − đ?’™đ?&#x;Ž + đ?’›đ?&#x;Ž ‌ (đ??źđ??ź) đ?’‚ đ?’‚

đ?’„

e đ?’’ = − đ?’™đ?&#x;Ž + đ?’›đ?&#x;Ž e, substituindo em (II): đ?’‚

đ?‘§ = đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘ž ‌ (∗∗)

O sistema formado pelas equaçþes (*) e (**) nos fornece as equaçþes reduzidas da reta passando por đ??´ = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) com vetor diretor đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?).

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146

đ?‘Ś = đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘› { đ?‘§ = đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘ž . Exemplo: Vamos construir as equaçþes reduzidas da reta đ?‘&#x; que passa por đ??´ = (2,1, −3) e tem a direção do vetor đ?‘¤ ⃗⃗⃗ = (2, −1,1). Das equaçþes simĂŠtricas de đ?‘&#x; vem: đ?‘Ľâˆ’2 đ?‘Śâˆ’1 đ?‘§+3 = = . 2 −1 1 Da igualdade entre a primeira e a segunda expressĂŁo: đ?‘Ľâˆ’2 1 = 1 − đ?‘Ś ⇔ 2 − 2đ?‘Ś = đ?‘Ľ − 2 ⇔ −2đ?‘Ś = đ?‘Ľ − 4 ⇔ đ?‘Ś = − đ?‘Ľ + 2 ‌ (∗) 2 2 Da igualdade entre a primeira e a terceira expressĂŁo: đ?‘Ľâˆ’2 1 = đ?‘Ľ + 3 ⇔ đ?‘Ľ − 2 = 2đ?‘§ + 6 ⇔ 2đ?‘§ = đ?‘Ľ − 8 ⇔ đ?‘§ = đ?‘Ľ − 4 ‌ (∗∗) 2 2 De (*) e (**), temos: 1 đ?‘Ś =− đ?‘Ľ+2 2 { . 1 đ?‘§ = đ?‘Ľâˆ’4 2 Que nos fornece as equaçþes reduzidas de đ?‘&#x;: đ?‘ƒ = đ??´ + đ?œ†đ?‘¤ ⃗⃗⃗. Observação: A variĂĄvel đ?‘Ľ nas equaçþes reduzidas faz o papel de variĂĄvel independente na equação da reta. Da mesma forma que deixamos as variĂĄveis đ?‘Ś e đ?‘§ em função de đ?‘Ľ, poderĂ­amos deixar qualquer outra das variĂĄveis como sendo a variĂĄvel livre.

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147

11.2 RETAS PARALELAS AOS PLANOS OU AOS EIXOS COORDENADOS đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 + đ?œ†đ?‘Ž AtĂŠ o momento, quando tĂ­nhamos as equaçþes paramĂŠtricas {đ?‘Ś = đ?‘Ś0 + đ?œ†đ?‘? đ?‘§ = đ?‘§0 + đ?œ†đ?‘? de uma reta đ?‘&#x; passando por đ??´ = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) com a direção de đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?), onde đ?‘Žđ?‘?đ?‘? ≠0, poderĂ­amos escrever as equaçþes simĂŠtricas de đ?‘&#x; como đ?‘§âˆ’đ?‘§0 đ?‘?

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ0 đ?‘Ž

=

đ?‘Śâˆ’đ?‘Ś0 đ?‘?

=

. Eventualmente, pode ocorrer que uma ou duas coordenadas de đ?‘Łâƒ— sejam

nulas e, neste momento, vamos analisar estes possĂ­veis casos. 11.2.1 Uma componente do vetor diretor nula: Consideramos đ?‘&#x; a reta que passa por đ??´ = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) e tem a direção de đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?). No caso em que uma das coordenadas de đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) ĂŠ nula, teremos o seguinte: i. Se đ?‘Ž = 0, entĂŁo đ?‘Łâƒ— = (0, đ?‘?, đ?‘?) ĂŠ um vetor ortogonal ao eixo đ?‘‹ e paralelo ao plano đ?‘Œđ?‘?. Consequentemente, qualquer reta đ?‘&#x; que tenha mesma direção de đ?‘Łâƒ— serĂĄ ortogonal ao eixo đ?‘‹ e paralela ao plano đ?‘Œđ?‘?. As equaçþes paramĂŠtricas e simĂŠtricas serĂŁo respectivamente: đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 đ?‘Ś − đ?‘Ś đ?‘§ − đ?‘§0 . đ?‘Ś = đ?‘Ś + đ?œ†đ?‘Ž 0 { đ?‘’ { 0 = đ?‘§ = đ?‘§0 + đ?œ†đ?‘? đ?‘? đ?‘? Note que, as coordenadas de qualquer ponto đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ?‘&#x; variam somente em đ?‘Œ e đ?‘?, sendo que a coordenada đ?‘‹ se mantĂŠm fixa đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 . Observe a figura:

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ii. Se đ?‘? = 0, entĂŁo đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž, 0, đ?‘?) ĂŠ um vetor ortogonal ao eixo đ?‘Œ e paralelo ao plano đ?‘‹đ?‘?. Consequentemente, qualquer reta đ?‘&#x; que tenha mesma direção de đ?‘Łâƒ— serĂĄ ortogonal ao eixo đ?‘Œ e paralela ao plano đ?‘‹đ?‘?. As equaçþes paramĂŠtricas e simĂŠtricas serĂŁo respectivamente: đ?‘Ś = đ?‘Ś0 đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 + đ?œ†đ?‘Ž { đ?‘Ś = đ?‘Ś0 đ?‘’ {đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 = đ?‘§ − đ?‘§0 . đ?‘§ = đ?‘§0 + đ?œ†đ?‘? đ?‘Ž đ?‘? Note que, as coordenadas de qualquer ponto đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ?‘&#x; variam somente em đ?‘‹ e đ?‘?, sendo que a coordenada em đ?‘Œ se mantĂŠm fixa đ?‘Ś = đ?‘Ś0 . Observe a figura:

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iii. Se đ?‘? = 0, entĂŁo đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž, đ?‘?, 0) ĂŠ um vetor ortogonal ao eixo đ?‘? e paralelo ao plano đ?‘‹đ?‘Œ. Consequentemente, qualquer reta đ?‘&#x; que tenha mesma direção de đ?‘Łâƒ— serĂĄ ortogonal ao eixo đ?‘? e paralela ao plano đ?‘‹đ?‘Œ. As equaçþes paramĂŠtricas e simĂŠtricas serĂŁo respectivamente: đ?‘§ = đ?‘§0 đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 + đ?œ†đ?‘Ž đ?‘Ľ − đ?‘Ľ đ?‘Ś − đ?‘Ś0 . 0 {đ?‘Ś = đ?‘Ś0 + đ?œ†đ?‘? đ?‘’ { = đ?‘§ = đ?‘§0 đ?‘Ž đ?‘? Note que, as coordenadas de qualquer ponto đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ?‘&#x; variam somente em đ?‘‹ e đ?‘Œ, sendo que a coordenada em đ?‘? se mantĂŠm fixa đ?‘§ = đ?‘§0 . Observe a figura:

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150

11.2.2 Duas componentes do vetor diretor nulas: Consideramos đ?‘&#x; a reta que passa por đ??´ = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) e tem a direção de đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?). No caso em que duas das coordenadas de đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) sĂŁo nulas, o vetor đ?‘Łâƒ— terĂĄ a direção de um dos vetores da base canĂ´nica {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗}. Assim: i. Se đ?‘Ž = đ?‘? = 0, entĂŁo đ?‘Łâƒ— = (0,0, đ?‘?) ĂŠ um vetor paralelo ao eixo đ?‘?, ou seja, đ?‘Łâƒ—//đ?‘˜âƒ—⃗. Consequentemente, qualquer reta đ?‘&#x; que tenha a direção de đ?‘Łâƒ— serĂĄ paralela ao eixo đ?‘?. As equaçþes paramĂŠtricas serĂŁo: đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 đ?‘Ś = đ?‘Ś0 . { đ?‘§ = đ?‘§0 + đ?œ†đ?‘? Note que, as coordenadas de qualquer ponto đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ?‘&#x; variam somente em đ?‘?, sendo que as coordenada em đ?‘‹ e đ?‘Œ se mantĂŠm fixas đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 e đ?‘Ś = đ?‘Ś0 . Observe a figura:

ii. Se đ?‘Ž = đ?‘? = 0, entĂŁo đ?‘Łâƒ— = (0, đ?‘?, 0) ĂŠ um vetor paralelo ao eixo đ?‘Œ, ou seja, đ?‘Łâƒ—//đ?‘—⃗. Consequentemente, qualquer reta đ?‘&#x; que tenha a direção de đ?‘Łâƒ— serĂĄ paralela ao eixo đ?‘Œ. As equaçþes paramĂŠtricas serĂŁo: đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 {đ?‘Ś = đ?‘Ś0 + đ?œ†đ?‘?. đ?‘§ = đ?‘§0

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Note que, as coordenadas de qualquer ponto đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ?‘&#x; variam somente em đ?‘Œ, sendo que as coordenada em đ?‘‹ e đ?‘? se mantĂŠm fixas đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 e đ?‘§ = đ?‘§0 . Observe a figura:

iii. Se đ?‘? = đ?‘? = 0, entĂŁo đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž, 0,0) ĂŠ um vetor paralelo ao eixo đ?‘‹, ou seja, đ?‘Łâƒ—//đ?‘–⃗. Consequentemente, qualquer reta đ?‘&#x; que tenha a direção de đ?‘Łâƒ— serĂĄ paralela ao eixo đ?‘‹. As equaçþes paramĂŠtricas serĂŁo: đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 + đ?œ†đ?‘Ž { đ?‘Ś = đ?‘Ś0 . đ?‘§ = đ?‘§0 Note que, as coordenadas de qualquer ponto đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ?‘&#x; variam somente em đ?‘‹, sendo que as coordenada em đ?‘Œ e đ?‘? se mantĂŠm fixas đ?‘Ś = đ?‘Ś0 e đ?‘§ = đ?‘§0 . Observe a figura:

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Observação: Os eixos đ?‘‹, đ?‘Œ e đ?‘? sĂŁo retas particulares. Observemos: a) O eixo đ?‘‹ ĂŠ a reta que passa pelo ponto đ?‘‚ = (0,0,0) e tem como vetor diretor o vetor đ?‘–⃗ = (1,0,0). Portanto: đ?‘Ľ=đ?œ† {đ?‘Ś = 0 . đ?‘§=0 b) O eixo đ?‘Œ ĂŠ a reta que passa pelo ponto đ?‘‚ = (0,0,0) e tem como vetor diretor o vetor đ?‘—⃗ = (0,1,0). Portanto: đ?‘Ľ=0 {đ?‘Ś = đ?œ†. đ?‘§=0 c) O eixo đ?‘? ĂŠ a reta que passa pelo ponto đ?‘‚ = (0,0,0) e tem como vetor diretor o vetor đ?‘˜âƒ—⃗ = (0,0,1). Portanto: đ?‘Ľ=0 {đ?‘Ś = 0 . đ?‘§=đ?œ† Exemplos: 01. Vamos determinar a equação da reta đ?‘Ą que passa pelo ponto đ??´ = (−2,3, −2) e tem a direção do vetor đ?‘Łâƒ— = 3đ?‘–⃗ + 2đ?‘˜âƒ—⃗. Note que o vetor đ?‘Łâƒ— = (3,0,2) tem a segunda componente nula, isto ĂŠ, este vetor ĂŠ ortogonal ao eixo đ?‘Œ e paralelo ao plano đ?‘‹đ?‘?, logo a reta que passa por đ??´ e tem direção de đ?‘Łâƒ— tem as mesmas particularidades de đ?‘Łâƒ— em relação ao eixo đ?‘Œ e ao plano đ?‘‹đ?‘?. A equação vetorial de đ?‘Ą ĂŠ, considerando đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ?‘Ą, đ?‘ƒ = đ??´ + đ?œ†đ?‘Łâƒ— ⇔ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (−2,3, −2) + đ?œ†(3,0,2). Portanto, podemos escrever sua equação na forma:

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đ?‘Ś=3 đ?‘Ą: {đ?‘Ľ + 2 đ?‘§ + 2. = 3 2 02. Determinaremos a equação da reta đ?‘ que passa pelos pontos đ??´ = (1,0,9) e đ??ľ = (4,8,9). Primeiramente, sabemos que o vetor diretor de tal reta serĂĄ đ?‘Łâƒ— = đ??ľ − đ??´, entĂŁo:

đ?‘Łâƒ— = đ??ľ − đ??´ = (4,8,9) − (1,0,9) = (3,8,0) ⇒ đ?‘Łâƒ— = 3đ?‘–⃗ + 8đ?‘—⃗ .

O vetor đ?‘Łâƒ— = (3,8,0) tem a terceira componente nula, isto ĂŠ, a reta đ?‘ que tem a direção de đ?‘Łâƒ— serĂĄ ortogonal ao eixo đ?‘? e paralela ao plano đ?‘‹đ?‘Œ. Sendo đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ?‘ , a equação de đ?‘ ĂŠ, portanto: đ?‘§=9 đ?‘Ľ − 1 đ?‘Ś. (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (1,0,9) + đ?œ†(3,8,0) ⇔ đ?‘ : { = 3 8 03. Estabeleceremos a equação da reta đ?œ“ que passa pelo ponto đ??´ = (0,3, −2) e tem como vetor diretor đ?‘Łâƒ— = 2đ?‘–⃗. Note que đ?‘Łâƒ— = (2,0,0) tem a segunda e a terceira coordenada nula, logo a reta đ?œ“ que tem a mesma direção de đ?‘Łâƒ— serĂĄ paralela ao eixo đ?‘‹. Portanto, sendo đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ?œ“: đ?‘Ľ = 2đ?œ† (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (0,3, −2) + đ?œ†(2,0,0) ⇔ đ?œ“: { đ?‘Ś = 3 . đ?‘§ = −2

11.3 Ă‚NGULO ENTRE RETAS Considere đ?‘&#x;1 a reta que passa por đ??´1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 ) e tem a direção de ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 = (đ?‘Ž1 , đ?‘?1 , đ?‘?1 ) e đ?‘&#x;2 a reta que passa por đ??´2 = (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 ) e tem a direção de đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗2 = (đ?‘Ž2 , đ?‘?2 , đ?‘?2 ). O ângulo entre đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 ĂŠ o menor ângulo entre os vetores os vetores diretores ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 e ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Ł2 Observe a figura:

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Logo, sendo đ?œƒ a medida angular entre đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 , temos:

cos đ?œƒ =

|đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗1 â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗| đ?‘Ł2

đ?œ‹ , đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ 0 ≤ đ?œƒ ≤ . 2 ||đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗||||đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗|| 1 2 đ?œ‹

đ?œ‹

2

2

Observação: Note que đ?œƒ sempre estarĂĄ no intervalo [0, ], pois se đ?œƒ >

entĂŁo tomarĂ­amos o ângulo entre as retas como sendo o suplemento do ângulo de medida đ?œƒ. Exemplo:

Calculemos os ângulos entre as retas đ?‘&#x;1 : {

đ?‘Ľ =3+đ?œ† đ?‘Ľ+2 đ?‘Śâˆ’3 đ?‘§ e đ?‘&#x;2 : = = . Note đ?‘Ś=đ?œ† −2 1 1 đ?‘§ = −1 − 2đ?œ†

que, đ?‘&#x;1 ĂŠ a reta que passa pelo ponto đ??´1 = (3,0, −1) e tem a direção do vetor đ?‘Ł1 = (1,1, −2) e a reta đ?‘&#x;2 passa pelo ponto đ??´2 = (−2,3,0) e tem direção de ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = (−2,1,1). Portanto:

cos đ?œƒ =

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|đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗1 â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗| đ?‘Ł2 ||đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗||||đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗|| 1 2

=

|(1,1, −2) ⋅ (−2,1,1)| ||(1,1, −2)||||(−2,1,1)||

155

=

|−2 + 1 − 2| √12 + 12 + (−2)2 ⋅ √(−2)2 + 12 + 12

đ?œ‹

1

đ?œ‹

2

2

3

=

|−3| √6 ⋅ √6

=

3 1 1 = ⇒ cos đ?œƒ = . 6 2 2

Como đ?œƒ ∈ [0, ], cos đ?œƒ = ⇒ đ?œƒ = . Portanto, o ângulo entre đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 ĂŠ o ângulo de medida đ?œƒ = 60đ?‘œ . 11.3.1 Condição de Paralelismo: Considere as retas đ?‘&#x;1 : đ?‘ƒ = đ??´1 + đ?œ†đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗1 e đ?‘&#x;2 : đ?‘ƒ = đ??´2 + đ?œ†đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗. As retas đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 serĂŁo paralelas se {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 ĂŠ LD, ou 2 1 ⃗⃗⃗⃗⃗} equivalentemente, se ⃗⃗⃗⃗⃗//đ?‘Ł đ?‘Ł1 ⃗⃗⃗⃗⃗. 2 De outra forma: se ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 = (đ?‘Ž1 , đ?‘?1 , đ?‘?1 ) e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = (đ?‘Ž2 , đ?‘?2 , đ?‘?2 ), as retas đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 serĂŁo paralelas se existe đ?›ź ∈ â„œ tal que ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 = đ?›źđ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗. 2 Portanto, đ?‘&#x;1 //đ?‘&#x;2 se: đ?‘Ž2 ≠0

�1 = ��2 ⇔

đ?‘?2 ≠0

đ?‘?1 = đ?›źđ?‘?2 ⇔

đ?‘?2 ≠0

đ?‘?1 = đ?›źđ?‘?2 ⇔

�=

đ?‘Ž1 đ?‘Ž2

�=

đ?‘?1 đ?‘?2

�=

đ?‘?1 đ?‘?2

E temos: đ?‘Ž1 đ?‘?1 đ?‘?1 = = . đ?‘Ž2 đ?‘?2 đ?‘?2 Exemplo: Sejam đ?‘&#x;1 a reta que passa por đ??´1 = (−3,4,2) e đ??ľ1 = (5, −2,4) e đ?‘&#x;2 a reta que passa por đ??´2 = (−1,2, −3) e đ??ľ2 = (−5,5, −4). As retas đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 sĂŁo paralelas, pois seus vetores diretores sĂŁo respectivamente:

đ?‘Ł1 = đ??ľ1 − đ??´1 = (8, −6,2) ⃗⃗⃗⃗⃗

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156

đ?‘Ł2 = đ??ľ2 − đ??´2 = (−4,3, −1) ⃗⃗⃗⃗⃗ Logo: 8 −6 2 = = = −2 ⇒ đ?‘&#x;1 //đ?‘&#x;2 . −4 3 −1 11.3.2 Condição de Ortogonalidade: Sejam đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 retas cujos vetores diretores sĂŁo, respectivamente, ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 = (đ?‘Ž1 , đ?‘?1 , đ?‘?1 ) e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = (đ?‘Ž2 , đ?‘?2 , đ?‘?2 ). As retas đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 serĂŁo ortogonais se ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 ⊼ ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 isto ĂŠ, se: đ?‘Ł1 â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = 0. Ou ainda, se:

đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 + đ?‘?1 đ?‘?2 + đ?‘?1 đ?‘?2 = 0. Denotamos a ortogonalidade entre đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 por đ?‘&#x;1 ⊼ đ?‘&#x;2 . Exemplo: đ?‘Ś=3 đ?‘Ľ đ?‘Ś+1 đ?‘§âˆ’3 Considere as retas đ?‘&#x;1 : {đ?‘Ľâˆ’3 đ?‘§+1 e đ?‘&#x;2 : = = . Os vetores diretores de đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 3 5 4 = 8

−6

sĂŁo, respectivamente, ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 = (8,0, −6) e đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗2 = (3,5,4). DaĂ­, temos: đ?‘Ł1 â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = (8,0, −6) â‹… (3,5,4) = 24 − 24 = 0 ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = 0 ⇔ đ?‘Ł1 ⊼ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 ∴ đ?‘&#x;1 ⊼ đ?‘&#x;2 . 11.3.3 Condição de Coplanaridade: Sejam đ?‘&#x;1 a reta que passa por đ??´1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 ) com vetor diretor ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 = (đ?‘Ž1 , đ?‘?1 , đ?‘?1 ) e đ?‘&#x;2 a reta que passa por đ??´2 = (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 ) com vetor diretor ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = (đ?‘Ž2 , đ?‘?2 , đ?‘?2 ). As retas đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 serĂŁo coplanares se

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157

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ {𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣1 1 𝑣 2 𝐴1 𝐴2 } é LD. Em outras palavras 𝑟1 e 𝑟2 serão coplanares se os vetores ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣2 e ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴1 𝐴2 = 𝐴2 − 𝐴1 estiverem contidos em um mesmo plano. Lembrando que, {𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣2 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴1 𝐴2 } é LD ⇔ (𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣2 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴1 𝐴2 ) = 0, portanto: 1 , ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑎1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑎 (𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝐴 𝐴 ) = | 2 1 2 1 2 𝑥2 − 𝑥1

𝑏1 𝑏2 𝑦2 − 𝑦1

𝑐1 𝑐2 | = 0 ⇒ 𝑟1 𝑒 𝑟2 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑟𝑒𝑠. 𝑧2 − 𝑧1

Observe:

Exemplo:

As retas 𝑟1 :

𝑥−2 2

=

𝑦 3

=

𝑧−5 4

e 𝑟2 :

𝑥+5 −1

=

𝑦+3 1

=

𝑧−6 3

são coplanares. De fato, note que

𝑟1 : (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,0, ,5) + 𝜆(2,3,4) e 𝑟2 : (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−5, −3,6) + 𝜆(−1,1,3). Assim 𝐴1 = (2,0,5) e 𝐴2 = (−5, −3,6), então ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴1 𝐴2 = (−7, −3,1), ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣1 = (2,3,4) e ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣2 = (−1,1,3). Desta forma: 2 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝐴 𝐴 ) = | −1 1 2 1 2 −7

3 1 −3

4 3| = 2 ⋅ 10 − 3 ⋅ 20 + 4 ⋅ 10 = 20 − 60 + 40 = 0 1 ⇒ (𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, 𝑣2 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴1 𝐴2 ) = 0 1 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗, ∴ 𝑟1 𝑒 𝑟2 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑟𝑒𝑠.

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158

11.4 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS Considerando đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 retas do espaço, estas podem ser: 01. Coplanares, isto ĂŠ, đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 situadas em um mesmo plano. Neste caso, đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 poderĂŁo ser: a) Concorrentes: đ?‘&#x;1 ∊ đ?‘&#x;2 = {đ??ź}, isto ĂŠ, đ??ź ĂŠ o ponto de interseção entre đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 .

b) Paralelas: đ?‘&#x;1 ∊ đ?‘&#x;2 = đ?œ™, isto ĂŠ, nĂŁo existe ponto de interseção entre đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 .

Se đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 sĂŁo coincidentes, elas ainda serĂŁo paralelas. 02. Reversas, isto ĂŠ, nĂŁo existe nenhum plano que contenha đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 . Neste caso, sempre temos đ?‘&#x;1 ∊ đ?‘&#x;2 = đ?œ™.

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159

11.4.1 Verificação AlgĂŠbrica: Considere as retas đ?‘&#x;1 : đ?‘ƒ = đ??´1 + đ?œ†đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗1 e đ?‘&#x;1 : đ?‘ƒ = đ??´2 + đ?œ†đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗. 2 Temos que: i. (đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´1 đ??´2 ) = 0 ⇒ đ?‘&#x;1 đ?‘’ đ?‘&#x;2 đ?‘?đ?‘œđ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ . Se existir đ?›ź ∈ â„œ tal que ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 = đ?›źđ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, 1 ⃗⃗⃗⃗⃗, 2 entĂŁo đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 serĂŁo paralelas ou, caso contrĂĄrio, đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 serĂŁo concorrentes. ii. (đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´1 đ??´2 ) ≠0 ⇒ đ?‘&#x;1 đ?‘’ đ?‘&#x;2 đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘Žđ?‘ . 1 ⃗⃗⃗⃗⃗, Exemplos: 01. Vamos estudar a posição relativa entre as retas: đ?‘Ľ = 1 − 3đ?œ† đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − 3 a) đ?‘&#x;1 : { e đ?‘&#x;2 : {đ?‘Ś = 4 − 6đ?œ†; đ?‘§ = −đ?‘Ľ đ?‘§ = 3đ?œ† Note que đ?‘&#x;1 pode ser expressa por

đ?‘Ľ 1

=

đ?‘Ś+3 2

=

�

, logo seu vetor diretor ĂŠ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 =

−1

(1,2, −1) e um ponto de đ?‘&#x;1 ĂŠ đ??´1 = (0,3,0), enquanto đ?‘&#x;2 tem como vetor diretor đ?‘Ł2 = (−3, −6,3) e passa pelo ponto đ??´2 = (1,4,0). ⃗⃗⃗⃗⃗ Observe que ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = −3đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, 1 logo đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 sĂŁo paralelas. Resta verificar se đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 sĂŁo coincidentes ou nĂŁo. Para isto, basta verificar se um ponto de đ?‘&#x;1 tambĂŠm ĂŠ ponto de đ?‘&#x;2 . Como đ??´1 = (0,3,0) ĂŠ um ponto de đ?‘&#x;1 , vamos substituir suas coordenadas em đ?‘&#x;2 : 0 = 1 − 3đ?œ† {3 = 4 − 6đ?œ†. 0 = 3đ?œ†

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160

Obviamente, no sistema acima, obtemos mais de um valor para đ?œ† e isto implica que đ??´1 ∉ đ?‘&#x;2 . Portanto, đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 sĂŁo paralelas tais que đ?‘&#x;1 ∊ đ?‘&#x;2 = đ?œ™.

đ?‘Ľ

đ?‘Śâˆ’1

2

−1

b) đ?‘&#x;1 : =

đ?‘Ľ = 2 − 4đ?œ† = đ?‘§ e đ?‘&#x;2 : { đ?‘Ś = 2đ?œ† ; đ?‘§ = 1 − 2đ?œ†

Temos ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 = (2, −1,1) e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = (−4,2, −2). É fĂĄcil notar que ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = −2đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗1 e, portanto, đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 sĂŁo paralelas. Sabemos tambĂŠm que đ??´1 = (0,1,0). Note que đ??´1 ∈ đ?‘&#x;2 , pois ao substituirmos đ??´1 em đ?‘&#x;2 obtemos đ?œ† =

1 2

nas trĂŞs equaçþes paramĂŠtricas de đ?‘&#x;2 . DaĂ­, conclui-se que

đ?‘&#x;1 = đ?‘&#x;2 pois, se estas sĂŁo paralelas e possuem pelo menos um ponto em comum, entĂŁo todos os outros pontos de qualquer uma das retas tambĂŠm esta na outra.

c) đ?‘&#x;1 :

đ?‘Ľâˆ’2 2

=

đ?‘Ś 3

=

đ?‘§âˆ’5 4

đ?‘Ľ =5+đ?‘Ą e đ?‘&#x;2 : { đ?‘Ś = 2 − đ?‘Ą ; đ?‘§ = 7 − 2đ?‘Ą

Observe que ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 = (2,3,4) e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = (1, −1, −2) e assim

2 1

1

4

3

−2

≠− â‰

implica que ∄đ?›ź ∈

â„œ tal que ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 = đ?›źđ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗. 2 Desta forma đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 nĂŁo sĂŁo paralelas. Agora, devemos verificar se as retas sĂŁo coplanares ou reversas. Para isto seja ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´1 đ??´2 = đ??´2 − đ??´1 = (5,2,7) − (2,0,5) = (3,2,2) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´1 đ??´2 = (3,2,2). EntĂŁo: 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ??´ đ??´ ) = | 1 1 2 1 2 3

3 −1 2

4 −2| = 2(−2 + 4) − 3(2 + 6) + 4(2 + 3) 2

= 2 â‹… 2 − 3 â‹… 8 + 4 â‹… 5 = 4 − 24 + 20 = 0 ⇒ (đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´1 đ??´2 ) = 0 1 ⃗⃗⃗⃗⃗, ∴ đ?‘&#x;1 đ?‘’ đ?‘&#x;2 đ?‘ ĂŁđ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ . Se đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 sĂŁo coplanares e nĂŁo sĂŁo paralelas, temos que đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 sĂŁo retas concorrentes, isto ĂŠ, đ?‘&#x;1 ∊ đ?‘&#x;2 = {đ??ź}.

d) đ?‘&#x;1 : {

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đ?‘Ś=3 e đ?‘&#x;2 : đ?‘Ľ = đ?‘Ś = đ?‘§; đ?‘§ = 2đ?‘Ľ

161

Podemos fazer em đ?‘&#x;1

� 2

= đ?‘Ľ, logo đ?‘&#x;1 : (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (0,3,0) + đ?œ†(1,0,2). Ainda temos

đ?‘&#x;2 : (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (0,0,0) + đ?œ†(1,1,1). É fĂĄcil notar que đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 nĂŁo sĂŁo paralelas, pois ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 = (1,0,2) e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = (1,1,1). Resta verificar se as retas sĂŁo coplanares ou reversas. Fazendo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´1 đ??´2 = đ??´2 − đ??´1 = (0,0,0) − (0,3,0) = (0, −3,0) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´1 đ??´2 = (0, −3,0). EntĂŁo: 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 đ??´1 đ??´2 ) = |1 1 ⃗⃗⃗⃗⃗, 0

0 1 −3

2 ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´1 đ??´2 ) ≠0 1| = −3 ≠0 ⇒ (đ?‘Ł 1 ⃗⃗⃗⃗⃗, 0

∴ đ?‘&#x;1 đ?‘’ đ?‘&#x;2 đ?‘›ĂŁđ?‘œ đ?‘ ĂŁđ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ . Se đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 nĂŁo sĂŁo coplanares, entĂŁo estas sĂŁo retas reversas.

11.5 INTERSEĂ‡ĂƒO ENTRE DUAS RETAS Se considerarmos duas retas coplanares concorrentes, sabemos que existe um ponto de interseção entre elas. Veremos atravĂŠs de um exemplo como determinar o ponto de interseção entre duas retas. Exemplo:

Considere đ?‘&#x;1 : {

đ?‘Ľ = −đ?œ† đ?‘Ś = −3 + 2đ?‘Ľ e đ?‘&#x;2 : {đ?‘Ś = 1 + 2đ?œ†, queremos determinar o ponto đ??ź = đ?‘§ = 3đ?‘Ľ − 1 đ?‘§ = −2đ?œ†

(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) tal que đ??ź = đ?‘&#x;1 ∊ đ?‘&#x;2 , isto ĂŠ, devemos determinar as coordenadas do ponto đ??ź que satisfaz as equaçþes de đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 simultaneamente. Para encontrar tais valores de đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ basta resolver o sistema formados pelas equaçþes de đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 . EntĂŁo: đ?‘Ś = −3 + 2đ?‘Ľ ‌ (đ??ź) đ?‘§ = 3đ?‘Ľ − 1 ‌ (đ??źđ??ź) đ?‘Ľ = −đ?œ† ‌ (đ??źđ??źđ??ź) đ?‘Ś = 1 + 2đ?œ† ‌ (đ??źđ?‘‰) { đ?‘§ = −2đ?œ† ‌ (đ?‘‰)

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162

Da equação (III), podemos tomar đ?œ† = −đ?‘Ľ e substituir em (IV) e (V) e, teremos: đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − 3 ‌ (1) đ?‘§ = 3đ?‘Ľ − 1 ‌ (2) ‌ (∗) đ?‘Ś = 1 − 2đ?‘Ľ ‌ (3) { đ?‘§ = 2đ?‘Ľ ‌ (4) Comparando (1) com (3) e (2) com (2):

2đ?‘Ľ − 3 = 1 − 2đ?‘Ľ ⇒ 4đ?‘Ľ = 4 ⇒ đ?‘Ľ = 1

3đ?‘Ľ − 1 = 2đ?‘Ľ ⇒ đ?‘Ľ = 1 Obtemos um mesmo valor para đ?‘Ľ. Substituindo đ?‘Ľ = 1 no sistema (*): đ?‘Ś = 2(1) − 3 = −1 đ?‘§ = 3(1) − 1 = 2 . đ?‘Ś = 1 − 2(1) = −1 { đ?‘§ = 2(1) = 2 Portanto, đ?‘Ľ = 1, đ?‘Ś = −1 e đ?‘§ = 2 . Assim o ponto de interseção entre đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 ĂŠ đ??ź = (1, −1,2).

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163

CAPĂ?TULO 12: PLANO

12.1 INTRODUĂ‡ĂƒO 12.1.1 Equação Geral do Plano: Considere đ??´ = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) um ponto pertencente a um plano đ?œ‹ e đ?‘›âƒ—⃗ = đ?‘Žđ?‘–⃗ + đ?‘?đ?‘—⃗ + đ?‘?đ?‘˜âƒ—⃗ , onde đ?‘Žđ?‘?đ?‘? ≠0, um vetor normal (ortogonal) ao plano đ?œ‹. O plano đ?œ‹ ĂŠ definido como sendo o conjunto de todos os pontos đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) do espaço tais que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ?‘ƒ ⊼ đ?‘›âƒ—⃗. Em outras palavras, đ?‘ƒ ∈ đ?œ‹ se, e somente:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ?‘ƒ â‹… đ?‘›âƒ—⃗ = 0 ‌ (đ??ź)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś − đ?‘Ś0 , đ?‘§ − đ?‘§0 ), de (I) temos: Como đ?‘›âƒ—⃗ = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) e đ??´đ?‘ƒ đ?‘›âƒ—⃗ â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ?‘ƒ = 0 ⇔ (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) â‹… (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś − đ?‘Ś0 , đ?‘§ − đ?‘§0 ) = 0 ⇔ đ?‘Ž(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ) + đ?‘?(đ?‘Ś − đ?‘Ś0 ) + đ?‘?(đ?‘§ − đ?‘§0 ) = 0 ⇔ đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ − đ?‘Žđ?‘Ľ0 − đ?‘?đ?‘Ś0 − đ?‘?đ?‘§0 = 0 ‌ (∗)

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164

Fazendo đ?‘‘ = −đ?‘Žđ?‘Ľ0 − đ?‘?đ?‘Ś0 − đ?‘?đ?‘§0 e substituindo em (*): đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 ‌ (đ??źđ??ź)

A equação (II) ĂŠ chamada de equação geral do plano đ?œ‹. Observaçþes: 01. Note que as coordenadas do vetor đ?‘›âƒ—⃗ = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) ficam evidentes na equação geral do plano (equação II). 02. Se đ?‘›âƒ—⃗ ĂŠ um vetor normal a đ?œ‹, entĂŁo qualquer vetor đ?‘˜đ?‘›âƒ—⃗, com đ?‘˜ ≠0, tambĂŠm ĂŠ normal a đ?œ‹. 03. Se {đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, đ?‘Ł2 ĂŠ LI e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 sĂŁo paralelos a đ?œ‹, podemos tomar o vetor 1 ⃗⃗⃗⃗⃗} đ?‘Ł1 ⃗⃗⃗⃗⃗2 = đ?‘›âƒ—⃗ como sendo o vetor normal a đ?œ‹. âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Ł

Exemplos: 01. Se o plano đ?œ‹1 tem equação 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − 4đ?‘§ + 5 = 0, perceba que um vetor normal a đ?œ‹1 ĂŠ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›1 = (3,2, −4) e, alĂŠm disso, para qualquer plano đ?œ‹2 que seja paralelo a đ?œ‹1 tambĂŠm podemos tomar ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›1 como sendo um de seus vetores normais. Assim, qualquer plano que seja paralelo a đ?œ‹1 possui equação geral do tipo 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − 4đ?‘§ + đ?‘‘ = 0, onde đ?‘‘ ∈ â„œ ĂŠ o elemento que determina a diferença entre os planos paralelos.

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165

Em geral, se đ?œ‹1 tem equação geral đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘1 = 0, entĂŁo qualquer plano đ?œ‹đ?‘– paralelo a đ?œ‹1 tem equação geral đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘đ?‘– = 0. 02. Vamos determinar a equação geral do plano đ?œ‹ que contĂŠm o ponto đ??´ = (2, −1,3) e tem como vetor normal đ?‘›âƒ—⃗ = 3đ?‘–⃗ + 2đ?‘—⃗ − đ?‘˜âƒ—⃗. Se đ?‘›âƒ—⃗ = (3,2, −1) ĂŠ normal ao plano đ?œ‹, entĂŁo a equação de đ?œ‹ ĂŠ da forma 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − đ?‘§ + đ?‘‘ = 0. Como đ??´ = (2, −1,3) ∈ đ?œ‹, suas coordenadas devem satisfazer a equação de đ?œ‹, isto ĂŠ:

3(2) + 2(−1) − (3) + đ?‘‘ = 0 ⇒ 6 − 2 − 3 + đ?‘‘ = 0 ⇒ 1 + đ?‘‘ = 0 ⇒ đ?‘‘ = −1 . Portanto, a equação geral de đ?œ‹ ĂŠ 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − đ?‘§ − 1 = 0 . Ainda poderĂ­amos determinar a equação do plano usando a equação đ?‘Ž(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ) + đ?‘?(đ?‘Ś − đ?‘Ś0 ) + đ?‘?(đ?‘§ − đ?‘§0 ) = 0. Como đ?‘›âƒ—⃗ = (3,2, −1) e đ??´ = (2, −1,3), temos đ?‘Ž = 3, đ?‘? = 2, đ?‘? = −1, đ?‘Ľ0 = 2, đ?‘Ś0 = −1 e đ?‘§0 = 3. EntĂŁo 3(đ?‘Ľ − 2) + 2(đ?‘Ś + 1) − (đ?‘§ − 3) = 0 ⇒ 3đ?‘Ľ − 6 + 2đ?‘Ś + 2 − đ?‘§ + 3 = 0

⇒ 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − đ?‘§ − 1 = 0. 03. Estabelecer a equação geral do plano mediador do segmento đ??´đ??ľ, onde đ??´ = (2, −1,4) e đ??ľ = (4, −3, −2). O plano mediador de đ??´đ??ľ ĂŠ o plano perpendicular ao segmento đ??´đ??ľ que contĂŠm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, −2, −6) pode ser tomado como vetor seu ponto mĂŠdio. Note que đ??´đ??ľ normal ao plano mediador e o ponto mĂŠdio4 de đ??´đ??ľ ĂŠ đ?‘€ = (3, −2,1) que estĂĄ contido no plano. EntĂŁo, a equação geral do plano ĂŠ dada por: 2đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś − 6đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 ‌ (∗)

4

(

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Se đ??´ = (đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ??´ , đ?‘§đ??´ ) đ?‘Ľđ??´ +đ?‘Ľđ??ľ đ?‘Śđ??´ +đ?‘Śđ??ľ đ?‘§đ??´ +đ?‘§đ??ľ 2

,

2

,

2

e đ??ľ = (đ?‘Ľđ??ľ , đ?‘Śđ??ľ , đ?‘§đ??ľ ), entĂŁo o ponto mĂŠdio do segmento đ??´đ??ľ ĂŠ dado por đ?‘€ =

).

166

Como đ?‘€ = (3, −2,1) estĂĄ contido no plano, substituindo sua coordenadas em (*):

2(3) − 2(−2) − 6(1) + đ?‘‘ = 0 ⇒ đ?‘‘ = −6 − 4 + 6 ⇒ đ?‘‘ = −4. Portanto, a equação geral do plano mediador do segmento đ??´đ??ľ ĂŠ 2đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś − 6đ?‘§ − 4 = 0. Ainda podemos dividir a equação por 2 e obter:

đ?‘Ľ − đ?‘Ś − 3đ?‘§ − 2 = 0. 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e este vetor ainda pode ser tomado como vetor normal Observe que đ?‘›âƒ—⃗ = đ??´đ??ľ 2

ao plano.

12.2 DETERMINAĂ‡ĂƒO DE UM PLANO Embora a equação geral de um plano seja construĂ­da a partir de um ponto e um vetor ortogonal ao plano, existem outras maneiras de determinar um plano, que ĂŠ o que veremos em seguida. 12.2.1 Determinação 01: Consideramos o plano que passa por um ponto đ??´ e ĂŠ paralelo a dois vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 nĂŁo colineares. Neste caso, tomamos o vetor normal ao plano como sendo đ?‘›âƒ—⃗ = âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Ł đ?‘Ł1 ⃗⃗⃗⃗⃗. 2

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167

12.2.2 Determinação 02: Consideramos o plano que passa por dois ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Neste caso tomamos o pontos đ??´ e đ??ľ e ĂŠ paralelo ao vetor đ?‘Łâƒ— nĂŁo colinear a đ??´đ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. vetor normal ao plano como sendo đ?‘›âƒ—⃗ = đ?‘Łâƒ—Ă—đ??´đ??ľ

12.2.3 Determinação 03: Consideramos o plano que passa por trĂŞs pontos đ??´, đ??ľ e đ??ś nĂŁo colineares. Neste caso, tomamos o vetor normal ao plano ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . como sendo đ?‘›âƒ—⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľĂ—đ??´đ??ś

12.2.4 Determinação 04: Consideramos o plano que passa pelas retas concorrentes đ?‘&#x;1 : đ?‘ƒ = đ??´1 + đ?œ†đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗1 e đ?‘&#x;2 : đ?‘ƒ = đ??´2 + đ?œ†đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗. 2 Neste caso, tomamos o vetor normal ao plano como sendo đ?‘›âƒ—⃗ = âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Ł đ?‘Ł1 ⃗⃗⃗⃗⃗. 2

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168

12.2.5 Determinação 05: Consideramos o plano que passa pelas retas paralelas đ?‘&#x;1 : đ?‘ƒ = đ??´1 + đ?œ†đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗1 e đ?‘&#x;2 : đ?‘ƒ = đ??´2 + đ?œ†đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗. 2 Neste caso, tomamos o vetor normal ao plano como sendo đ?‘›âƒ—⃗ = âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—Ă—đ??´ đ?‘Ł1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—Ă—đ??´ đ?‘Ł2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 đ??´2 ou pode-se tomar tambĂŠm đ?‘› 1 đ??´2 .

12.2.6 Determinação 06: Consideramos o plano que passa pela reta đ?‘&#x;: đ?‘ƒ = đ??´ + đ?œ†đ?‘Łâƒ— e contĂŠm o ponto đ??ľ ∉ đ?‘&#x;. Neste caso, tomamos o vetor normal ao ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. plano como sendo đ?‘›âƒ—⃗ = đ?‘Łâƒ—Ă—đ??´đ??ľ

Observação: Nos seis casos, o vetor normal foi determinado fazendo o produto vetorial de vetores que possuĂ­am representantes contidos no plano. Os vetores com representantes contidos no plano que fornecem o vetor normal sĂŁo chamados de vetores base do plano. Exemplos: 01. Determinar a equação geral do plano đ?œ‹ que passa pelo ponto đ??´ = (1, −3,4) e ĂŠ paralelo aos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = (3,1, −2) e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = (1, −1,1). Os vetores base do plano sĂŁo ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 e, portanto, podemos tomar como vetor normal ao plano đ?‘›âƒ—⃗ = âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Ł đ?‘Ł1 ⃗⃗⃗⃗⃗. 2 Façamos:

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1 −2 3 đ?‘›âƒ—⃗ = âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—Ă—đ?‘Ł đ?‘Ł1 ⃗⃗⃗⃗⃗2 = (3,1, −2)Ă—(1, −1,1) = | | đ?‘–⃗ − | −1 1 1

−2 3 1 ⃗⃗ | đ?‘—⃗ + | |đ?‘˜ 1 1 −1

= −đ?‘–⃗ − 5đ?‘—⃗ − 4đ?‘˜âƒ—⃗ = (−1, −5, −4) ⇒ đ?‘›âƒ—⃗ = (−1, −5, −4) .

Portanto, a equação geral do plano cujo vetor normal ĂŠ đ?‘›âƒ—⃗ = (−1, −5, −4) ĂŠ:

−đ?‘Ľ − 5đ?‘Ś − 4đ?‘§ + đ?‘‘ = 0. Para determinar đ?‘‘, basta atribuir as coordenadas de đ??´ = (1, −3,4) na equação do plano, uma vez que sabemos que đ??´ ∈ đ?œ‹. EntĂŁo:

−(1) − 5(−3) − 4(4) + đ?‘‘ = 0 ⇒ −1 + 15 − 16 + đ?‘‘ = 0 ⇒ đ?‘‘ = 2. Temos −đ?‘Ľ − 5đ?‘Ś − 4đ?‘§ + 2 = 0 e, multiplicando a equação por −1:

đ?œ‹: đ?‘Ľ + 5đ?‘Ś + 4đ?‘§ − 2 = 0. 02. Estabelecer a equação cartesiana do plano đ?œ‹ que contĂŠm os pontos đ??´ = (2,1, −1), đ??ľ = (0, −1,1) e đ??ś = (1,2,1). ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Temos ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Neste caso, foi visto que podemos tomar đ?‘›âƒ—⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľĂ—đ??´đ??ś đ??´đ??ľ = (−2, −2,2) e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ś = (−1,1,2) e, portanto: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |−2 2| đ?‘–⃗ − |−2 đ?‘›âƒ—⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľĂ—đ??´đ??ś 1 2 −1

2 −2 −2 ⃗⃗ | đ?‘—⃗ + | | đ?‘˜ = −6đ?‘–⃗ + 2đ?‘—⃗ − 4đ?‘˜âƒ—⃗ 2 −1 1

= (−6,2, −4) ⇒ đ?‘›âƒ—⃗ = (−6,2, −4) .

Temos que a equação geral do plano ĂŠ −6đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − 4đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 e nos resta determinar o valor da constante đ?‘‘. Para isto, basta substituir as coordenadas de qualquer um dos pontos đ??´, đ??ľ e đ??ś na equação, pois sabemos que estes estĂŁo contidos no plano. SubstituĂ­mos đ??ľ = (0, −1,1):

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−6(0) + 2(−1) − 4(1) + đ?‘‘ = 0 ⇒ −2 − 4 + đ?‘‘ = 0 ⇒ đ?‘‘ = 6. Logo −6đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − 4đ?‘§ + 6 = 0 ĂŠ a equação cartesiana do plano que passa pelos pontos đ??´, đ??ľ e đ??ś. Ainda podemos escrever đ?œ‹: 3đ?‘Ľ − đ?‘Ś + 2đ?‘§ − 3 = 0. đ?‘Ľ=4 03. A equação geral do plano đ?œ‹ que contĂŠm a reta đ?‘&#x;: { e o ponto đ??ľ = đ?‘Ś=3 (−3,2,1). Note que podemos reescrever a reta đ?‘&#x;: (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (4,3,0) + đ?œ†(0,0,1) que passa pelo ponto đ??´ = (4,3,0) e tem a direção de đ?‘Łâƒ— = (0,0,1) e, de acordo com a determinação ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Calculando đ?‘›âƒ—⃗: 02, o vetor normal ao pano đ?œ‹ ĂŠ đ?‘›âƒ—⃗ = đ?‘Łâƒ—Ă—đ??´đ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,0,1)Ă—(−7, −1,1) = | 0 đ?‘›âƒ—⃗ = đ?‘Łâƒ—Ă—đ??´đ??ľ −1

1 0 | đ?‘–⃗ − | −7 1

1 0 | đ?‘—⃗ + | 1 −7

0 ⃗⃗ |đ?‘˜ −1

= đ?‘–⃗ − 7đ?‘—⃗ = (1, −7,0) ⇒ đ?‘›âƒ—⃗ = (1, −7,0) .

Desta forma, a equação geral de đ?œ‹ ĂŠ đ?‘Ľ − 7đ?‘Ś + đ?‘‘ = 0. Determinando đ?‘‘ substituindo as coordenadas de đ??´ = (4,3,0) ∈ đ?œ‹ na equação: (4) − 7(3) + đ?‘‘ = 0 ⇒ 4 − 21 + đ?‘‘ = 0 ⇒ đ?‘‘ = 17. Logo đ?œ‹: đ?‘Ľ − 7đ?‘Ś + 17 = 0 ĂŠ a equação geral do plano. 04. Calcular a equação cartesiana do plano đ?œ‹ que contĂŠm as retas đ?‘&#x;1 : {

đ?‘Ľ = −1 + 2đ?œ† đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ + 1 e đ?‘&#x;2 : { đ?‘Ś = 4đ?œ† . đ?‘§ = −3đ?‘Ľ − 2 đ?‘§ = 3 − 6đ?œ†

A reta đ?‘&#x;1 passa pelo ponto đ??´1 = (0,1, −2) e tem como vetor diretor ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 = (1,2, −3) e a reta đ?‘&#x;2 passa pelo ponto đ??´2 = (−1,0,3) e tem como vetor diretor ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = (2,4, −6). Como ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = 2đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗, 1 temos que đ?‘&#x;1 //đ?‘&#x;2 e, neste caso, podemos tomar o vetor normal ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ao plano como sendo đ?‘›âƒ—⃗ = âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—Ă—đ??´ đ?‘Ł1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = đ?‘Ł âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—Ă—đ??´ ⃗⃗: 1 đ??´2 (ou tambĂŠm đ?‘› 2 1 đ??´2 ). Calculando đ?‘›

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2 đ?‘›âƒ—⃗ = âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—âƒ—Ă—đ??´ đ?‘Ł1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 đ??´2 = (1,2, −3)Ă—(−1, −1,5) = | −1

−3 1 | đ?‘–⃗ − | 5 −1

−3 1 | đ?‘—⃗ + | 5 −1

2 ⃗⃗ |đ?‘˜ −1

= 7đ?‘–⃗ − 2đ?‘—⃗ + đ?‘˜âƒ—⃗ = (6,0,2) ⇒ đ?‘›âƒ—⃗ = (7, −2,1) .

EntĂŁo a equação geral do plano ĂŠ 7đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 e para calcular o valor de đ?‘‘ substituĂ­mos as coordenadas de um dos pontos, façamos đ??´1 = (0,1, −2), na equação. Portanto: 7(0) − 2(1) + (−2) + đ?‘‘ = 0 ⇒ −2 − 2 + đ?‘‘ = 0 ⇒ đ?‘‘ = 4. Logo, 7đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + đ?‘§ + 4 = 0 ĂŠ a equação geral do plano que contĂŠm đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 .

12.3 PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E AOS PLANOS COORDENADOS Considere o plano đ?œ‹: đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0, com vetor normal đ?‘›âƒ—⃗ = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?). Vamos analisar os casos em que o vetor normal possui uma ou duas componentes nulas, ou quando a constante đ?‘‘ ĂŠ nula. 12.3.1 Plano que passa pela origem: Se đ?œ‹ passa pela origem, entĂŁo o ponto đ?‘‚ = (0,0,0) pertence a đ?œ‹, logo suas coordenadas satisfazem a equação de đ?œ‹. EntĂŁo:

đ?‘Žâ‹…0+đ?‘?â‹…0+đ?‘? â‹…0+đ?‘‘ =0⇒ đ?‘‘ =0. Se đ?‘‘ = 0, temos đ?œ‹: đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ = 0, ou seja, esta equação representa qualquer plano que passa pela origem. Em outras palavras, qualquer plano que passe pela origem tem o termo constante đ?‘‘ nulo. 12.3.2 Uma componente do vetor normal nula: Se apenas uma das coordenadas do vetor normal đ?‘›âƒ—⃗ = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) ĂŠ nula, o vetor ĂŠ ortogonal a um dos eixos coordenados e, portanto, o plano đ?œ‹ ĂŠ paralelo ao mesmo eixo.

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i. Se đ?‘Ž = 0, entĂŁo đ?‘›âƒ—⃗ = (0, đ?‘?, đ?‘?) ĂŠ um vetor ortogonal ao eixo đ?‘‹, logo o plano đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 que possui đ?‘›âƒ—⃗ como vetor normal ĂŠ paralelo ao eixo đ?‘‹. Isto ĂŠ:

đ?œ‹: đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 ⇒ đ?œ‹ ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘™đ?‘œ đ?‘Žđ?‘œ đ?‘’đ?‘–đ?‘Ľđ?‘œ đ?‘‹. Exemplo: Se đ?œ‹: 2đ?‘Ś + 3đ?‘§ − 6 = 0, temos:

Perceba que as interseçþes com os eixos đ?‘Œ e đ?‘? sĂŁo, respectivamente, os pontos (0,3,0) e (0,0,2), e que nenhum ponto (đ?‘Ľ, 0,0); đ?‘Ľ ≠0 pertence ao plano, pois nĂŁo satisfaz a equação 2đ?‘Ś + 3đ?‘§ − 6 = 0. ii. Se đ?‘? = 0, entĂŁo đ?‘›âƒ—⃗ = (đ?‘Ž, 0, đ?‘?) ĂŠ um vetor ortogonal ao eixo Y, logo o plano đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 que possui đ?‘›âƒ—⃗ como vetor normal ĂŠ paralelo ao eixo đ?‘Œ. Isto ĂŠ:

đ?œ‹: đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 ⇒ đ?œ‹ ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘™đ?‘œ đ?‘Žđ?‘œ đ?‘’đ?‘–đ?‘Ľđ?‘œ đ?‘Œ. Exemplo: Se đ?œ‹: đ?‘Ľ + đ?‘§ − 3 = 0, temos:

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Perceba que as interseçþes com os eixos đ?‘‹ e đ?‘? sĂŁo, respectivamente, os pontos (3,0,0) e (0,0,3), e que nenhum ponto (0, đ?‘Ś, 0); đ?‘Ś ≠0 pertence ao plano, pois nĂŁo satisfaz a equação đ?‘Ľ + đ?‘§ − 3 = 0. iii. Se đ?‘? = 0, entĂŁo đ?‘›âƒ—⃗ = (đ?‘Ž, đ?‘?, 0) ĂŠ um vetor ortogonal ao eixo Z, logo o plano đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘‘ = 0 que possui đ?‘›âƒ—⃗ como vetor normal ĂŠ paralelo ao eixo Z. Isto ĂŠ:

đ?œ‹: đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘‘ = 0 ⇒ đ?œ‹ ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘™đ?‘œ đ?‘Žđ?‘œ đ?‘’đ?‘–đ?‘Ľđ?‘œ đ?‘?. Exemplo: Se đ?œ‹: đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − 4 = 0, temos:

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Perceba que as interseçþes com os eixos đ?‘‹ e đ?‘Œ sĂŁo, respectivamente, os pontos (4,0,0) e (0,2,0), e que nenhum ponto (0,0, đ?‘§); đ?‘§ ≠0 pertence ao plano, pois nĂŁo satisfaz a equação đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − 4 = 0. Observação: Perceba que o plano serĂĄ paralelo ao eixo correspondente Ă coordenada nula do vetor normal. 12.3.3 Duas componentes do vetor normal nulas: Se duas das coordenadas do vetor normal đ?‘›âƒ—⃗ = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) sĂŁo nulas, o vetor ĂŠ paralelo a um dos eixos coordenados e, portanto, o plano đ?œ‹ ĂŠ paralelo ao plano determinado pelos outros dois eixos. i. Se đ?‘Ž = đ?‘? = 0, entĂŁo đ?‘›âƒ—⃗ = (0,0, đ?‘?) ĂŠ um vetor paralelo ao eixo đ?‘?, logo o plano đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 que possui đ?‘›âƒ—⃗ como vetor normal ĂŠ paralelo ao plano đ?‘‹đ?‘Œ. Isto ĂŠ:

đ?œ‹: đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 ⇒ đ?œ‹ ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘™đ?‘œ đ?‘Žđ?‘œ đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ đ?‘‹đ?‘Œ. đ?‘‘

Como đ?‘? ≠0, temos đ?‘§ = − = đ?‘˜ ∈ â„œ. Portanto, qualquer plano cuja đ?‘?

equação ĂŠ da forma đ?‘§ = đ?‘˜ ĂŠ paralelo ao plano đ?‘‹đ?‘Œ. Exemplo: Se đ?œ‹: đ?‘§ = 4, temos:

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O plano đ?‘§ = 4 intercepta o eixo đ?‘? no ponto (0,0,4) e, alĂŠm disso, perceba que qualquer ponto da forma (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, 4) satisfaz a equação deste plano. Um vetor normal a esse plano ĂŠ đ?‘˜âƒ—⃗ = (0,0,1). ii. Se đ?‘Ž = đ?‘? = 0, entĂŁo đ?‘›âƒ—⃗ = (0, đ?‘?, 0) ĂŠ um vetor paralelo ao eixo đ?‘Œ, logo o plano đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘‘ = 0 que possui đ?‘›âƒ—⃗ como vetor normal ĂŠ paralelo ao plano đ?‘‹đ?‘?. Isto ĂŠ:

đ?œ‹: đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘‘ = 0 ⇒ đ?œ‹ ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘™đ?‘œ đ?‘Žđ?‘œ đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ đ?‘‹đ?‘?. đ?‘‘

Como đ?‘? ≠0, temos đ?‘Ś = − = đ?‘˜ ∈ â„œ. Portanto, qualquer plano cuja đ?‘?

equação ĂŠ da forma đ?‘Ś = đ?‘˜ ĂŠ paralelo ao plano đ?‘‹đ?‘?. Exemplo: Se đ?œ‹1 : đ?‘Ś = 3, temos:

O plano đ?‘Ś = 3 intercepta o eixo đ?‘Œ no ponto (0,3,0) e, alĂŠm disso, perceba que qualquer ponto da forma (đ?‘Ľ, 3, đ?‘§) satisfaz a equação deste plano. Um vetor normal a esse plano ĂŠ đ?‘—⃗ = (0,1,0). iii. Se đ?‘? = đ?‘? = 0, entĂŁo đ?‘›âƒ—⃗ = (đ?‘Ž, 0,0) ĂŠ um vetor paralelo ao eixo đ?‘‹, logo o plano đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘‘ = 0 que possui đ?‘›âƒ—⃗ como vetor normal ĂŠ paralelo ao plano đ?‘Œđ?‘?. Isto ĂŠ:

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đ?œ‹: đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘‘ = 0 ⇒ đ?œ‹ ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘™đ?‘œ đ?‘Žđ?‘œ đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ đ?‘Œđ?‘?. đ?‘‘

Como đ?‘Ž ≠0, temos đ?‘Ľ = − = đ?‘˜ ∈ â„œ. Portanto, qualquer plano cuja đ?‘Ž

equação ĂŠ da forma đ?‘Ľ = đ?‘˜ ĂŠ paralelo ao plano đ?‘Œđ?‘?. Exemplo: Se đ?œ‹2 : đ?‘Ľ = 2, temos:

O plano đ?‘Ľ = 2 intercepta o eixo đ?‘‹ no ponto (2,0,0) e, alĂŠm disso, perceba que qualquer ponto da forma (2, đ?‘Ś, đ?‘§) satisfaz a equação deste plano. Um vetor normal a esse plano ĂŠ đ?‘–⃗ = (1,0,0). Observação: Perceba que o plano sempre serĂĄ paralelo ao plano que corresponde Ă s coordenadas nulas do vetor normal.

12.4 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO Considere um ponto đ??´ = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) em um plano đ?œ‹ e os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 = (đ?‘Ž1 , đ?‘?1 , đ?‘?1 ) e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = (đ?‘Ž1 , đ?‘?2 , đ?‘?2 ) nĂŁo paralelos entre si e paralelos a đ?œ‹. Um ponto đ?‘ƒ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗, (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) pertence a đ?œ‹ se, e somente se, o conjunto {đ??´đ?‘ƒ đ?‘Ł1 đ?‘Ł ⃗⃗⃗⃗⃗} 2 ĂŠ LD. Em outras palavras, đ?‘ƒ ∈ đ?œ‹ se, e somente se, existem đ?œ†1 , đ?œ†2 ∈ â„œ tais que:

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⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ?‘ƒ = đ?œ†1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 + đ?œ†2 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 ‌ (đ??ź)

Podemos reescrever a equação (I) em termos de coordenadas: (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś − đ?‘Ś0 , đ?‘§ − đ?‘§0 ) = đ?œ†1 (đ?‘Ž1 , đ?‘?1 , đ?‘?1 ) + đ?œ†2 (đ?‘Ž2 , đ?‘?2 , đ?‘?2 ) = (đ?œ†1 đ?‘Ž1 , đ?œ†1 đ?‘?1 , đ?œ†1 , đ?‘?1 ) + (đ?œ†2 đ?‘Ž2 , đ?œ†2 đ?‘?2 , đ?œ†2 đ?‘?2 ) = (đ?œ†1 đ?‘Ž1 + đ?œ†2 đ?‘Ž2 , đ?œ†1 đ?‘?1 + đ?œ†2 đ?‘?2 , đ?œ†1 đ?‘?1 + đ?œ†2 đ?‘?2 ) ⇒ (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś − đ?‘Ś0 , đ?‘§ − đ?‘§0 ) = (đ?œ†1 đ?‘Ž1 + đ?œ†2 đ?‘Ž2 , đ?œ†1 đ?‘?1 + đ?œ†2 đ?‘?2 , đ?œ†1 đ?‘?1 + đ?œ†2 đ?‘?2 )

đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 + đ?œ†1 đ?‘Ž1 + đ?œ†2 đ?‘Ž2 ⇒ { đ?‘Ś = đ?‘Ś0 + đ?œ†1 đ?‘?1 + đ?œ†2 đ?‘?2 ‌ (đ??źđ??ź) đ?‘§ = đ?‘§0 + đ?œ†1 đ?‘?1 + đ?œ†2 đ?‘?2 O sistema (II) nos fornece as equaçþes paramĂŠtricas do plano. Note que, Ă medida que variamos os parâmetros đ?œ†1 e đ?œ†2 de −∞ a +∞, o ponto đ?‘ƒ descreve o plano.

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178

Exemplo: Determinar as equaçþes paramĂŠtricas do plano que passa pelo ponto đ??´ = (2,1,3) e ĂŠ paralelo aos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 = (−3, −3,1) e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 = (2,1, −2). Seja đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ?œ‹, temos: đ?‘Ľ = 2 − 3đ?œ†1 + 2đ?œ†2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ?‘ƒ = đ?œ†1 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 + đ?œ†2 ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł2 ⇒ { đ?‘Ś = 1 − 3đ?œ†1 + đ?œ†2 . đ?‘§ = 3 + đ?œ†1 − 2đ?œ†2 Para determinarmos pontos quaisquer do plano, basta atribuir valores para os parâmetros đ?œ†1 e đ?œ†2 . Por exemplo, se tomarmos đ?œ†1 = 2 e đ?œ†2 = 3, temos: đ?‘Ľ = 2 − 3(2) + 2(3) = 2 − 6 + 6 = 2 đ?‘Ś = 1 − 3(2) + (3) = 1 − 6 + 3 = −2 đ?‘§ = 3 + (2) − 2(3) = 3 + 2 − 6 = −1. Portanto, đ?‘„ = (2, −2, −1) ĂŠ um ponto do plano que passa por đ??´ e ĂŠ paralelo aos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ł1 e ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘Ł2

12.5 Ă‚NGULO ENTRE DOIS PLANOS Considere os planos đ?œ‹1 : đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘?1 đ?‘Ś + đ?‘?1 đ?‘§ + đ?‘‘1 = 0 e đ?œ‹2 : đ?‘Ž2 đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘Ś + đ?‘?2 đ?‘§ + đ?‘‘2 = 0. Os vetores normais a đ?œ‹1 e đ?œ‹2 sĂŁo, respectivamente, ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›1 = (đ?‘Ž1 , đ?‘?1 , đ?‘?1 ) e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›2 = (đ?‘Ž2 , đ?‘?2 , đ?‘?2 ).

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179

O ângulo entre đ?œ‹1 e đ?œ‹2 tem a mesma medida que o menor ângulo đ?œ‹

formado entre seus vetores normais ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›1 e ⃗⃗⃗⃗⃗. đ?‘›2 Sendo đ?œƒ ∈ [0, ] tal ângulo, temos: 2

cos đ?œƒ =

|đ?‘› ⃗⃗⃗⃗⃗1 â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗| đ?‘›2 ||đ?‘› ⃗⃗⃗⃗⃗||||đ?‘› ⃗⃗⃗⃗⃗|| 1 2

.

12.5.1 Condiçþes de paralelismo entre planos: Sejam đ?œ‹1 : đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘?1 đ?‘Ś + đ?‘?1 đ?‘§ + đ?‘‘1 = 0 e đ?œ‹2 : đ?‘Ž2 đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘Ś + đ?‘?2 đ?‘§ + đ?‘‘2 = 0 planos cujos vetores normais sĂŁo ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›1 = (đ?‘Ž1 , đ?‘?1 , đ?‘?1 ) e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›2 = (đ?‘Ž2 , đ?‘?2 , đ?‘?2 ). Os planos đ?œ‹1 e đ?œ‹2 serĂŁo paralelos se seus vetores normais ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›1 e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›2 forem paralelos. Em outras palavras, đ?œ‹1 //đ?œ‹2 se existe đ?›ź ∈ â„œ tal que ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›1 = đ?›źđ?‘› ⃗⃗⃗⃗⃗. 2 Ou ainda, đ?œ‹1 //đ?œ‹2 se

đ?‘Ž1 đ?‘Ž2

=

đ?‘?1 đ?‘?2

=

đ?‘?1 đ?‘?2

= �.

Se tivermos ainda

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đ?‘‘1 đ?‘‘2

= đ?›ź, entĂŁo đ?œ‹1 = đ?œ‹2 .

180

12.5.2 Condição de ortogonalidade entre planos: Sejam đ?œ‹1 : đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘?1 đ?‘Ś + đ?‘?1 đ?‘§ + đ?‘‘1 = 0 e đ?œ‹2 : đ?‘Ž2 đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘Ś + đ?‘?2 đ?‘§ + đ?‘‘2 = 0 planos cujos vetores normais sĂŁo ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›1 = (đ?‘Ž1 , đ?‘?1 , đ?‘?1 ) e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›2 = (đ?‘Ž2 , đ?‘?2 , đ?‘?2 ). Os planos đ?œ‹1 e đ?œ‹2 serĂŁo ortogonais se seus vetores normais ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›1 e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›2 forem ortogonais (đ?‘› ⃗⃗⃗⃗⃗1 ⊼ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›2 ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›1 â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›2 = 0). Em outras palavras, đ?œ‹1 ⊼ đ?œ‹2 se ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›1 â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›2 = 0.

Exemplos: 01. Determine o ângulo entre os planos đ?œ‹1 : 2đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś + 5đ?‘§ − 8 = 0 e đ?œ‹2 : 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś + 5đ?‘§ − 4 = 0. Os vetores normais de đ?œ‹1 e đ?œ‹2 sĂŁo, respectivamente ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›1 = (2, −3,5) e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›2 = (3,2,5). Para a medida angular entre os planos, basta calcular a medida angular entre seus vetores normais. EntĂŁo:

cos đ?œƒ =

|đ?‘› ⃗⃗⃗⃗⃗1 â‹… ⃗⃗⃗⃗⃗| đ?‘›2 ||đ?‘› ⃗⃗⃗⃗⃗||||đ?‘› ⃗⃗⃗⃗⃗|| 1 2

=

|(2, −3,5) ⋅ (3,2,5)| ||(2, −3,5)||||(3,2,5)||

⇒ cos đ?œƒ =

=

|6 − 6 + 25| √4 + 9 + 25√9 + 4 + 25

=

|25| √38√38

25 25 ⇒ đ?œƒ = arccos ( ) . 38 38

02. Calcule o valor de đ?‘š e đ?‘› para que os planos đ?œ‹1 : (2đ?‘š − 1)đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + đ?‘›đ?‘§ − 3 = 0 e đ?œ‹2 : 4đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś − đ?‘§ = 0 sejam paralelos.

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181

Para que os planos sejam paralelos, basta que seus vetores normais sejam paralelos. Note que, ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›1 = (2đ?‘š − 1, −2, đ?‘›) e ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›2 = (4,4, −1) e, observe que para que đ?‘›1 e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘›2 sejam paralelos deve ocorrer

2đ?‘šâˆ’1 4

2

đ?‘›

4

−1

=− =

. Logo:

2đ?‘š − 1 2 1 = − ⇔ 2đ?‘š − 1 = −2 ⇔ 2đ?‘š = −1 ⇔ đ?‘š = − 4 4 2 1 đ?‘› 1 − = ⇔đ?‘›= . 2 −1 2 1

1

2

2

Portanto, para que đ?œ‹1 e đ?œ‹2 sejam paralelos deve ocorrer đ?‘š = − e đ?‘› = .

12.6 Ă‚NGULO ENTRE RETA E PLANO Sejam đ?‘&#x;: đ?‘ƒ = đ??´ + đ?œ†đ?‘Łâƒ— e đ?œ‹: đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0, onde đ?‘Łâƒ— ĂŠ o vetor diretor de đ?‘&#x; e đ?‘›âƒ—⃗ ĂŠ o vetor normal a đ?œ‹.

O ângulo de medida đ?œ™ entre đ?‘&#x; e đ?œ‹ ĂŠ igual ao complemento do ângulo de medida đ?œƒ entre o vetor diretor de đ?‘&#x; e o vetor normal a đ?œ‹, portanto đ?œ™ + đ?œƒ = entĂŁo sin đ?œ™ = cos đ?œƒ =

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|đ?‘Ł ⃗⃗⋅đ?‘› ⃗⃗|

đ?œ‹ 2

e

, logo:

⃗⃗||||đ?‘› ⃗⃗|| ||đ?‘Ł

182

sin đ?œ™ =

|đ?‘Łâƒ— â‹… đ?‘›âƒ—⃗|

đ?œ‹ , đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?œ™ ∈ [0, ] . 2 ||đ?‘Łâƒ—||||đ?‘›âƒ—⃗||

12.6.1 Condição de paralelismo entre reta e plano: Sejam đ?‘&#x;: đ?‘ƒ = đ??´ + đ?œ†đ?‘Łâƒ— uma reta com vetor diretor đ?‘Łâƒ— e đ?œ‹: đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 cujo vetor normal ĂŠ đ?‘›âƒ—⃗ = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?). A reta đ?‘&#x; ĂŠ paralela ao plano đ?œ‹ se o vetor diretor de đ?‘&#x; for ortogonal ao vetor normal a đ?œ‹ (đ?‘Łâƒ— ⊼ đ?‘›âƒ—⃗ ⇔ đ?‘Łâƒ— â‹… đ?‘›âƒ—⃗ = 0). Em outras palavras, đ?‘&#x;//đ?œ‹ se đ?‘Łâƒ— â‹… đ?‘›âƒ—⃗ = 0.

12.6.2 Condição de ortogonalidade entre reta e plano: Sejam đ?‘&#x;: đ?‘ƒ = đ??´ + đ?œ†đ?‘Łâƒ— uma reta com vetor diretor đ?‘Łâƒ— = (đ?‘˜, đ?‘™, đ?‘š) e đ?œ‹: đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 cujo vetor normal ĂŠ đ?‘›âƒ—⃗ = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?). A reta đ?‘&#x; ĂŠ ortogonal ao plano đ?œ‹ se o vetor diretor de đ?‘&#x; ĂŠ paralelo ao vetor normal a đ?œ‹. Em outras palavras, đ?‘&#x; ⊼ đ?œ‹ se existe đ?›ź ∈ â„œ tal que đ?‘Łâƒ— = đ?›źđ?‘›âƒ—⃗. Ou ainda, đ?‘&#x; ⊼ đ?œ‹ se

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đ?‘Ž đ?‘˜

đ?‘?

đ?‘?

đ?‘™

đ?‘š

= =

= �.

183

12.6.3 Reta contida em um plano: Sejam đ?‘&#x;: đ?‘ƒ = đ??´ + đ?œ†đ?‘Łâƒ— a reta passando por đ??´ cujo vetor diretor ĂŠ đ?‘Łâƒ— e đ?œ‹: đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 o plano cujo vetor normal ĂŠ đ?‘›âƒ—⃗ = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?). Teremos đ?‘&#x; ⊂ đ?œ‹ se: i. đ?‘Łâƒ— ⊼ đ?‘›âƒ—⃗; ii. đ??´ ∈ đ?œ‹. Em outras palavras, đ?‘&#x; estarĂĄ contida em đ?œ‹ se seu vetor diretor for ortogonal ao vetor normal a đ?œ‹ e se đ??´ ∈ đ?‘&#x; tambĂŠm pertencer a đ?œ‹.

Exemplos: đ?‘Ľ = 1 − 2đ?œ† 01. Determinar o ângulo entre đ?‘&#x;: { đ?‘Ś = −đ?œ† e đ?œ‹: đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 5 = 0. đ?‘§ =3+đ?œ† Observe que o vetor diretor de đ?‘&#x; ĂŠ đ?‘Łâƒ— = (−2, −1,1) e o vetor normal a đ?œ‹ ĂŠ đ?‘›âƒ—⃗ = (1,10), portanto o ângulo đ?œ™ entre đ?‘&#x; e đ?œ‹ ĂŠ tal que:

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184

sin đ?œ™ =

|đ?‘Łâƒ— â‹… đ?‘›âƒ—⃗| ||đ?‘Łâƒ—||||đ?‘›âƒ—⃗||

=

3

â‹…

=

√3

2√3 √3

02. Verifique se đ?‘&#x;:

|(−2, −1,1) ⋅ (1,1,0)| ||(−2, −1,1)||||(1,1,0)||

=

đ?‘Ľâˆ’2 3

=

|−2 − 1| √4 + 1 + 1√1 + 1

=

|−3| √6√2

=

3 √12

đ?œ‹ đ?œ‹ √3 √3 √3 ⇒ sin đ?œ™ = ⇒ đ?œ™ = arcsin ( ) = ⇒ đ?œ™ = . 2 2 2 3 3

=

đ?‘Ś+1 −2

=

đ?‘§ −1

e đ?œ‹: 9đ?‘Ľ − 6đ?‘Ś − 3đ?‘§ + 5 = 0 sĂŁo ortogonais.

Para que đ?‘&#x; e đ?œ‹ sejam ortogonais, o vetor diretor de đ?‘&#x; e o vetor normal a đ?œ‹ devem ser paralelos. Temos đ?‘Łâƒ— = (3, −2, −1) e đ?‘›âƒ—⃗ = (9, −6, −3) e, perceba que đ?‘›âƒ—⃗ = 3đ?‘Łâƒ—, isto ĂŠ, đ?‘›âƒ—⃗//đ?‘Łâƒ— e temos que đ?‘&#x; e đ?œ‹ sĂŁo ortogonais. đ?‘Ľ =2+đ?œ† 03. Determine os valores de đ?‘? e đ?‘ž para que đ?‘&#x; ⊂ đ?œ‹, onde đ?‘&#x;: { đ?‘Ś = 1 + đ?œ† e đ?œ‹: đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘§ = −3 − 2đ?œ† đ?‘žđ?‘Ś + 2đ?‘§ − 1 = 0. Note que, um ponto de đ?‘&#x; ĂŠ đ??´ = (2,1, −3), o vetor diretor de đ?‘&#x; ĂŠ đ?‘Łâƒ— = (1,1, −2) e o vetor normal de đ?œ‹ ĂŠ đ?‘›âƒ—⃗ = (đ?‘?, đ?‘ž, 2). Para que đ?‘&#x; ⊂ đ?œ‹, devemos ter đ?‘Łâƒ— ⊼ đ?‘›âƒ—⃗ e đ??´ ∈ đ?œ‹. đ?‘Łâƒ— ⊼ đ?‘›âƒ—⃗ ⇔ đ?‘Łâƒ— â‹… đ?‘›âƒ—⃗ = 0 ⇔ (1,1, −2) â‹… (đ?‘?, đ?‘ž, 2) = 0 ⇔ đ?‘? + đ?‘ž − 4 = 0

⇒ đ?‘?=4−đ?‘ž.

EntĂŁo đ?‘›âƒ—⃗ = (4 − đ?‘ž, đ?‘ž, 2) e đ?œ‹: (4 − đ?‘ž)đ?‘Ľ + đ?‘žđ?‘Ś + 2đ?‘§ − 1 = 0. Devemos ter tambĂŠm đ??´ = (2,1, −3) ∈ đ?œ‹ e, para isto, as coordenadas de đ??´ devem verificar a equação de đ?œ‹, portanto:

(4 − đ?‘ž)(2) + đ?‘ž(1) + 2(−3) − 1 = 0 ⇔ 8 − 2đ?‘ž + đ?‘ž − 6 − 1 = 0

⇔1−đ?‘ž =0⇔ đ?‘ž =1.

Logo đ?‘? = 4 − 1 = 3 ⇒ đ?‘? = 3 .

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185

12.7 INTERSEĂ‡ĂƒO ENTRE DOIS PLANOS A interseção entre dois planos pode ser uma reta ou, no caso em que os planos sĂŁo paralelos e nĂŁo coincidentes, a interseção ĂŠ vazia. Veremos atravĂŠs de um exemplo como determinar a interseção entre planos. 12.7.1 Interseção vazia: Se tivermos đ?œ‹1 : đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘1 = 0 e đ?œ‹2 : đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘2 = 0, onde đ?‘‘1 ≠đ?‘‘2 , entĂŁo đ?œ‹1 //đ?œ‹2 e, consequentemente, đ?œ‹1 ∊ đ?œ‹2 = đ?œ™. 12.7.2 Interseção nĂŁo vazia: Considere đ?œ‹1 : 5đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + đ?‘§ + 7 = 0 e đ?œ‹2 : 3đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś + đ?‘§ + 4 = 0. Note que os vetores normais a estes planos nĂŁo sĂŁo paralelos, portanto đ?œ‹1 ∊ đ?œ‹2 = đ?‘&#x;, onde đ?‘&#x; ĂŠ uma reta. Juntando as equaçþes: 5đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + đ?‘§ + 7 = 0 { ĂŠ đ?‘†đ?‘ƒđ??ź. 3đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś + đ?‘§ + 4 = 0 Em termos de đ?‘Ľ, a solução deste sistema ĂŠ:

{

đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ − 3 ‌ (∗) đ?‘§ = −9đ?‘Ľ − 13

Perceba que o sistema (*) nos fornece as equaçþes reduzidas da reta đ?‘&#x; = đ?œ‹1 ∊ đ?œ‹2 . Determinando a equação vetorial de đ?‘&#x;: {

đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ − 3 : đ?‘§ = −9đ?‘Ľ − 13

đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ − 3 ⇔ −2đ?‘Ľ = đ?‘Ś + 3 ⇔ đ?‘Ľ =

đ?‘§ = −9đ?‘Ľ − 13 ⇔ −9đ?‘Ľ = đ?‘§ + 13 ⇔ đ?‘Ľ =

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đ?‘Ś+3 −2 đ?‘§ + 13 . −9

186

Temos que đ?‘&#x;: đ?‘Ľ =

đ?‘Ś+3 −2

=

đ?‘§+13 −9

ou ainda podemos escrever a equação da reta

đ?‘&#x;: (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (0, −3, −13) + đ?œ†(1, −2, −9). Perceba que o vetor diretor de đ?‘&#x; ĂŠ đ?‘Łâƒ— = (1, −2, −9). Obviamente, qualquer ponto de đ?‘&#x; tambĂŠm serĂĄ um ponto de đ?œ‹1 e đ?œ‹2 , uma vez que đ?‘&#x; = đ?œ‹1 ∊ đ?œ‹2 .

12.8 INTERSEĂ‡ĂƒO ENTRE RETA E PLANO A interseção entre uma reta đ?‘&#x; e um plano đ?œ‹ pode ser: a prĂłpria reta, no caso em que đ?‘&#x; ⊂ đ?œ‹; vazia, no caso em que đ?‘&#x;//đ?œ‹; um ponto, no caso em que đ?‘&#x; nĂŁo ĂŠ paralela a đ?œ‹. Vejamos atravĂŠs de um exemplo como determinar a interseção de uma reta com um plano. 12.8.1 A interseção ĂŠ a prĂłpria reta: Se tivermos đ?‘&#x;: đ?‘ƒ = đ??´ + đ?œ†đ?‘Łâƒ— e đ?œ‹: đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0, onde đ?‘›âƒ—⃗ = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?), tais que đ?‘Łâƒ— â‹… đ?‘›âƒ—⃗ = 0 e đ??´ ∈ đ?œ‹, entĂŁo đ?‘&#x; ∊ đ?œ‹ = đ?‘&#x;. 12.8.2 A interseção ĂŠ vazia: Se tivermos đ?‘&#x;: đ?‘ƒ = đ??´ + đ?œ†đ?‘Łâƒ— e đ?œ‹: đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0, onde đ?‘›âƒ—⃗ = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?), tais que đ?‘Łâƒ— â‹… đ?‘›âƒ—⃗ = 0 e đ??´ ∉ đ?œ‹, entĂŁo đ?‘&#x; ∊ đ?œ‹ = đ?œ™.

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187

12.8.3 A interseção ĂŠ um ponto: Consideramos đ?‘&#x;: {

đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ + 3 e đ?œ‹: 3đ?‘Ľ + đ?‘§ = 3đ?‘Ľ − 4

5đ?‘Ś − 2đ?‘§ − 9 = 0. O ponto de interseção entre đ?‘&#x; e đ?œ‹ ĂŠ o ponto đ??ź = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) tal que, suas coordenadas determinam a solução do sistema: đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ + 3 đ?‘§ = 3đ?‘Ľ − 4 { ‌ (∗) 3đ?‘Ľ + 5đ?‘Ś − 2đ?‘§ − 9 = 0 Substituindo as duas primeiras equaçþes de (*) na terceira:

3đ?‘Ľ + 5(2đ?‘Ľ + 3) − 2(3đ?‘Ľ − 4) − 9 = 0 ⇔ 3đ?‘Ľ + 10đ?‘Ľ + 15 − 6đ?‘Ľ + 8 − 9 = 0

⇔ 7đ?‘Ľ + 14 = 0 ⇔ đ?‘Ľ = −2 . Temos tambĂŠm đ?‘Ś = −1 e đ?‘§ = −10 . Portanto, o ponto de interseção entre đ?‘&#x; e đ?œ‹ ĂŠ đ??ź = (−2, −1, −10), isto ĂŠ, đ?‘&#x; ∊ đ?œ‹ = {(−2, −1, −10)}.

12.9 INTERSEĂ‡ĂƒO DE PLANO COM OS EIXOS E OS PLANOS COORDENADOS 12.9.1 Interseção entre plano e os eixos coordenados: Considere đ?œ‹: đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0, com đ?‘Žđ?‘?đ?‘? ≠0. Se tomarmos: đ?‘‘

i. đ?‘Ľ = đ?‘Ś = 0, entĂŁo đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 ⇔ đ?‘§ = − , isto ĂŠ, a interseção entre đ?œ‹ e o eixo đ?‘?

đ?‘‘

đ?‘? ĂŠ o ponto (0,0, − ); đ?‘?

đ?‘‘

ii. đ?‘Ľ = đ?‘§ = 0, entĂŁo đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘‘ = 0 ⇔ đ?‘Ś = − , isto ĂŠ, a interseção entre đ?œ‹ e o đ?‘?

đ?‘‘

eixo đ?‘Œ ĂŠ o ponto (0, − , 0); đ?‘?

đ?‘‘

iii. đ?‘Ś = đ?‘§ = 0, entĂŁo đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘‘ = 0 ⇔ đ?‘Ľ = − , isto ĂŠ, a interseção entre đ?œ‹ e o đ?‘Ž

đ?‘‘

eixo đ?‘Ľ ĂŠ o ponto (− , 0,0). đ?‘Ž

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188

12.9.2 Interseção entre plano e os eixos coordenados: Considere đ?œ‹: đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0, com đ?‘Žđ?‘?đ?‘? ≠0. Se tomarmos: i. đ?‘Ľ = 0, entĂŁo đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 e a interseção entre đ?œ‹ e o plano đ?‘Œđ?‘? ĂŠ a reta đ?‘Ľ=0 đ?‘&#x;: {đ?‘§ = − đ?‘‘ − đ?‘? đ?‘Ś; đ?‘?

đ?‘?

ii. đ?‘Ś = 0, entĂŁo đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘§ + đ?‘‘ = 0 e a interseção entre đ?œ‹ e o plano đ?‘‹đ?‘? ĂŠ a reta đ?‘Ś=0 đ?‘&#x;: { đ?‘‘ đ?‘Ž ; đ?‘§=− − đ?‘Ľ đ?‘?

đ?‘?

iii. đ?‘§ = 0, entĂŁo đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘‘ = 0 e a interseção entre đ?œ‹ e o plano đ?‘‹đ?‘Œ ĂŠ a reta đ?‘§=0 đ?‘&#x;: {đ?‘Ś = − đ?‘‘ − đ?‘Ž đ?‘Ľ . đ?‘?

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đ?‘?

189

CAP�TULO 13: CÔNICAS

13.1 INTRODUĂ‡ĂƒO AtĂŠ o momento, estĂĄvamos estudando a geometria analĂ­tica no espaço e havĂ­amos determinado as equaçþes de uma reta e de um plano no espaço. A partir de agora, o espaço considerado serĂĄ o plano e, tomamos como sistema de referĂŞncia o sistema de coordenadas â„œ2 .

13.2 TRANSLAĂ‡ĂƒO DE EIXOS Considere o sistema de coordenadas â„œ2 e um ponto arbitrĂĄrio đ?‘‚′ = (â„Ž, đ?‘˜). A partir do ponto đ?‘‚′ , podemos introduzir um novo sistema de coordenadas com eixos đ?‘‹ ′ e đ?‘Œ ′ paralelos aos eixos đ?‘‹ e đ?‘Œ, respectivamente, cuja unidade de medida ĂŠ a mesma do sistema â„œ2 . Nestas condiçþes, um sistema pode ser obtido do outro fazendo a translação de eixos. Tomando um ponto đ?‘ƒ no plano, temos o que suas coordenadas sĂŁo: đ?‘Ľ e đ?‘Ś em relação ao sistema usual com eixos đ?‘‹ e đ?‘Œ; đ?‘Ľ ′ e đ?‘Ś ′ em relação ao novo sistema com eixos đ?‘‹ ′ e đ?‘Œ ′ . Desta forma, terĂ­amos đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) no sistema usual e đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ ′ , đ?‘Ś ′ ) no novo sistema. Observe:

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Temos que đ?‘Ľ = đ?‘Ľ ′ + â„Ž ⇔ đ?‘Ľ ′ = đ?‘Ľ − â„Ž e đ?‘Ś = đ?‘Ś ′ + đ?‘˜ ⇔ đ?‘Ś ′ = đ?‘Ś − đ?‘˜ sĂŁo as formulas usadas para a translação de eixos.

13.3 A PARĂ BOLA Considere đ?‘‘ uma reta e đ??š ∉ đ?‘‘ um ponto, ambos no mesmo plano. Definimos a parĂĄbola como sendo o lugar geomĂŠtrico dos pontos (do mesmo plano de đ?‘‘ e đ??š) que equidistam da reta đ?‘‘ e do ponto đ??š.

Note que, na figura, todos os pontos que estĂŁo sobre a “curvaâ€? sĂŁo equidistantes de đ?‘‘ e đ??š. Todos os pontos com esta propriedade formam a parĂĄbola.

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Observe na figura abaixo que, para calcular a distância entre o ponto đ?‘ƒ da parĂĄbola e a reta đ?‘‘, basta traçar a perpendicular a đ?‘‘ passando por đ?‘ƒ, o ponto đ?‘ƒâ€˛ ∈ đ?‘‘ ĂŠ o pĂŠ desta perpendicular e, a distância entre đ?‘ƒ e đ?‘‘ ĂŠ a distância entre đ?‘ƒ e đ?‘ƒâ€˛ .

Figura 1

De acordo com a definição, o ponto đ?‘ƒ pertence Ă parĂĄbola se, e somente se:

đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š) = đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ?‘ƒâ€˛ )

Observação: Perceba que đ??š ∉ đ?‘‘, pois se tivĂŠssemos đ??š ∈ đ?‘‘, a parĂĄbola se degeneraria em uma reta. 13.3.1 Elementos da parĂĄbola: Considerando a “figura 1â€?, temos: a) Foco: É o ponto đ??š; b) Diretriz: É a reta đ?‘‘; c) Eixo: É a reta que passa pelo foco (đ??š) e ĂŠ perpendicular Ă diretriz (đ?‘‘); d) VĂŠrtice: É o ponto đ?‘‰ que ĂŠ dado pela interseção entre a parĂĄbola e o eixo. Observe ainda que, đ?‘‰ ĂŠ um ponto da parĂĄbola e, como đ??´ ĂŠ a interseção do eixo da parĂĄbola com a diretriz (pensamos em đ??´ como sendo o pĂŠ da perpendicular sobre a diretriz e que passa por đ?‘‰), temos đ?‘‘(đ?‘‰, đ??´) = đ?‘‘(đ?‘‰, đ??š).

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192

Em seguida, vamos analisar os casos mais simples da parĂĄbola e construir suas equaçþes cartesianas. 13.3.2 Equação da ParĂĄbola com VĂŠrtice na Origem do Sistema: Consideramos os seguintes casos: Caso 01: O eixo da parĂĄbola coincide com o eixo đ?‘Œ.

đ?‘?

Obviamente o vĂŠrtice ĂŠ đ?‘‰ = (0,0) e, se considerarmos o foco đ??š = (0, ), 2

đ?‘?

đ?‘?

2

2

tem-se đ??´ = (0, − ) e a equação da diretriz ĂŠ đ?‘Ś = − . Sendo đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) um ponto arbitrĂĄrio da parĂĄbola, temos que o pĂŠ da đ?‘?

perpendicular Ă diretriz passando por đ?‘ƒ ĂŠ đ?‘ƒâ€˛ = (đ?‘Ľ, − ). Por definição: 2

đ?‘? 2 đ?‘? 2 đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š) = đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ?‘ƒâ€˛ ) ⇔ √(đ?‘Ľ − 0)2 + (đ?‘Ś − ) = √(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ)2 + [đ?‘Ś − (− )] . 2 2

Elevando ambos os membros ao quadrado: đ?‘? 2 đ?‘? 2 (đ?‘Ľ − 0)2 + (đ?‘Ś − ) = (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ)2 + (đ?‘Ś + ) 2 2 đ?‘?2 đ?‘?2 2 ⇔ đ?‘Ľ + đ?‘Ś − đ?‘?đ?‘Ś + = đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘Ś + ⇔ đ?‘Ľ 2 − đ?‘?đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘Ś ⇔ đ?‘Ľ 2 = 2đ?‘?đ?‘Ś 4 4 2

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2

193

∴ đ?‘Ľ 2 = 2đ?‘?đ?‘Ś .

Esta ĂŠ a equação reduzida da parĂĄbola com vĂŠrtice na origem cujo eixo coincide com o eixo đ?‘Œ. Observe que, como đ?‘Ľ 2 ≼ 0 temos 2đ?‘?đ?‘Ś ≼ 0, logo đ?‘? e đ?‘Ś devem possuir sempre mesmo sinal. Se đ?‘? > 0, entĂŁo đ?‘Ś > 0 e isto implica que todos os pontos da parĂĄbola estĂŁo acima da diretriz. Neste caso, dizemos que a parĂĄbola tem concavidade para cima (ou concavidade positiva em relação a Y).

Se đ?‘? < 0, entĂŁo đ?‘Ś < 0 e isto implica que todos os pontos da parĂĄbola estĂŁo abaixo da diretriz. Neste caso, dizemos que a parĂĄbola tem concavidade para baixo (ou concavidade negativa em relação a Y).

O nĂşmero real đ?‘? ≠0 ĂŠ chamado de parâmetro da parĂĄbola. Caso 02: O eixo da parĂĄbola coincide com o eixo đ?‘‹.

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194

đ?‘?

Obviamente o vĂŠrtice ĂŠ đ?‘‰ = (0,0) e, se considerarmos o foco đ??š = ( , 0), 2

đ?‘?

đ?‘?

2

2

tem-se đ??´ = (− , 0) e a equação da diretriz ĂŠ đ?‘Ľ = − . Sendo đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) um ponto arbitrĂĄrio da parĂĄbola, temos que o pĂŠ da đ?‘?

perpendicular Ă diretriz passando por đ?‘ƒ ĂŠ đ?‘ƒâ€˛ = (− , đ?‘Ś). Por definição: 2

đ?‘? 2 đ?‘? 2 đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š) = đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ?‘ƒâ€˛ ) ⇔ √(đ?‘Ľ − ) + (đ?‘Ś − 0)2 = √[đ?‘Ľ − (− )] + (đ?‘Ś − đ?‘Ś)2 . 2 2

Elevando ambos os membros ao quadrado: đ?‘? 2 đ?‘? 2 (đ?‘Ľ − ) + (đ?‘Ś − 0)2 = (đ?‘Ľ + ) + (đ?‘Ś − đ?‘Ś)2 2 2

⇔ đ?‘Ľ 2 − đ?‘?đ?‘Ľ +

đ?‘?2 đ?‘?2 + đ?‘Ś 2 = đ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + ⇔ đ?‘Ś 2 − đ?‘?đ?‘Ľ = đ?‘?đ?‘Ľ ⇔ đ?‘Ś 2 = 2đ?‘?đ?‘Ľ 4 4 ∴ đ?‘Ś 2 = 2đ?‘?đ?‘Ľ .

Esta ĂŠ a equação reduzida da parĂĄbola com vĂŠrtice na origem cujo eixo coincide com o eixo đ?‘‹.

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195

Observe que, como đ?‘Ś 2 ≼ 0 temos 2đ?‘?đ?‘Ľ ≼ 0, logo đ?‘? e đ?‘Ľ devem possuir sempre mesmo sinal. Se đ?‘? > 0, entĂŁo đ?‘Ľ > 0 e isto implica que todos os pontos da parĂĄbola estĂŁo Ă direita da diretriz. Neste caso, dizemos que a parĂĄbola tem concavidade para a direita (ou concavidade positiva em relação a X).

Se đ?‘? < 0, entĂŁo đ?‘Ľ < 0 e isto implica que todos os pontos da parĂĄbola estĂŁo Ă esquerda da diretriz. Neste caso, dizemos que a parĂĄbola tem concavidade para a esquerda (ou concavidade negativa em relação a X).

Exemplos: 01. Determine o foco e construa o grĂĄfico da parĂĄbola: a) đ?‘Ľ 2 = 8đ?‘Ś. Observe que esta ĂŠ uma parĂĄbola cujo eixo coincide com o eixo đ?‘Œ e seu vĂŠrtice ĂŠ a origem do sistema cartesiano. Sua equação ĂŠ da forma đ?‘Ľ 2 = 2đ?‘?đ?‘Ś e temos:

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196

2đ?‘? = 8 ⇔ đ?‘? = 4 > 0 (đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘Žđ?‘Łđ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž).

Mas, de đ?‘? = 4 vem

đ?‘? 2

đ?‘?

= 2. Logo o foco, que ĂŠ da forma đ??š = (0, ), ĂŠ o ponto 2

đ??š = (0,2) . AlĂŠm disso, a equação da diretriz ĂŠ đ?‘Ś = −2. O grĂĄfico:

b) đ?‘Ś 2 = −2đ?‘Ľ. Observe que esta ĂŠ uma parĂĄbola cujo eixo coincide com o eixo đ?‘‹ e seu vĂŠrtice ĂŠ a origem do sistema cartesiano. Sua equação ĂŠ da forma đ?‘Ś 2 = 2đ?‘?đ?‘Ľ e temos: 2đ?‘? = −2 ⇔ đ?‘? = −1 < 0 (đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘Žđ?‘Łđ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ž đ?‘’đ?‘ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Ž).

De đ?‘? = −1, vem

đ?‘? 2

1

đ?‘?

2

2

= − . Logo o foco, que ĂŠ da forma đ??š ( , 0 ), ĂŠ o ponto đ??š =

1

1

2

2

(− , 0). AlĂŠm disso, a equação da diretriz ĂŠ đ?‘Ľ = . O grĂĄfico:

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197

02. Determinar a equação de cada uma das parĂĄbolas: a) VĂŠrtice đ?‘‰ = (0,0) e foco đ??š = (1,0); Perceba que o foco đ??š = (1,0) ĂŠ um ponto do eixo đ?‘‹, logo se trata de uma parĂĄbola eixo coincidente com o eixo đ?‘‹ e sua equação ĂŠ da forma đ?‘Ś 2 = 2đ?‘?đ?‘Ľ. đ?‘?

đ?‘?

2

2

Como đ??š = (1,0) = ( , 0), temos

= 1 ⇔ 2đ?‘? = 4, logo a equação da parĂĄbola com

vĂŠrtice na origem e foco đ??š = (1,0) ĂŠ đ?‘Ś 2 = 4đ?‘Ľ ou đ?‘Ś 2 − 4đ?‘Ľ = 0. A concavidade desta parĂĄbola ĂŠ voltada para a direita. b) VĂŠrtice em đ?‘‰ = (0,0) e diretriz đ?‘Ś = 3; Como a diretriz ĂŠ đ?‘Ś = 3, esta parĂĄbola tem eixo coincidente com o eixo đ?‘Œ e sua equação ĂŠ da forma đ?‘Ľ 2 = 2đ?‘?đ?‘Ś. Desta forma, o foco serĂĄ o ponto đ??š = (0, −3) = đ?‘?

đ?‘?

2

2

(0, ) e temos

= −3 ⇔ 2đ?‘? = −12.

Portanto, a equação da parĂĄbola com vĂŠrtice na origem e diretriz đ?‘Ś = 3 ĂŠ đ?‘Ľ 2 = −12đ?‘Ś ou đ?‘Ľ 2 + 12đ?‘Ś = 0. A concavidade desta parĂĄbola ĂŠ voltada para baixo. c) VĂŠrtice em đ?‘‰ = (0,0), passa pelo ponto đ??´ = (−2,5) e concavidade voltada para cima; Como a concavidade ĂŠ voltada para cima, o eixo da parĂĄbola coincide com o eixo đ?‘‹, logo sua equação ĂŠ da forma đ?‘Ľ 2 = 2đ?‘?đ?‘Ś. Como đ??´ = (−2,5) ĂŠ um ponto da parĂĄbola, suas coordenadas satisfazem a equação da parĂĄbola. Portanto:

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198

4 (−2)2 = 2đ?‘?(5) ⇔ 4 = 10đ?‘? ⇔ 2đ?‘? = . 5 4

E a equação desta parĂĄbola ĂŠ đ?‘Ľ 2 = đ?‘Ś ou 5đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ś = 0. 5

13.3.3 Equação da ParĂĄbola com VĂŠrtice fora da Origem do Sistema: Consideramos os seguintes casos: Caso 01: ParĂĄbola com vĂŠrtice no ponto đ?‘‰ = (â„Ž, đ?‘˜) e eixo paralelo ao eixo đ?‘Œ.

Seja đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) um ponto arbitrĂĄrio da parĂĄbola. Consideramos um novo sistema, de acordo com a figura, com origem đ?‘‚′ em đ?‘‰ e eixos đ?‘‹ ′ e đ?‘Œ ′ . Com relação a este novo sistema, temos đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ ′ , đ?‘Ś ′ ) e a equação da parĂĄbola ĂŠ: (đ?‘Ľ ′ )2 = 2đ?‘?đ?‘Ś ′ Mas, sabe-se que đ?‘Ľ ′ = đ?‘Ľ − â„Ž e đ?‘Ś ′ = đ?‘Ś − â„Ž. Portanto:

(đ?‘Ľ − â„Ž)2 = 2đ?‘?(đ?‘Ś − đ?‘˜) .

Esta ĂŠ a equação da parĂĄbola com eixo paralelo ao eixo đ?‘Œ e vĂŠrtice em đ?‘‰ = (â„Ž, đ?‘˜).

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199

Caso 02: ParĂĄbola com vĂŠrtice no ponto đ?‘‰ = (â„Ž, đ?‘˜) e eixo paralelo ao eixo đ?‘‹.

De forma anåloga ao caso anterior, obtemos a equação:

(đ?‘Ś − đ?‘˜)2 = 2đ?‘?(đ?‘Ľ − â„Ž) .

Esta ĂŠ a equação da parĂĄbola com eixo paralelo ao eixo đ?‘‹ e vĂŠrtice em đ?‘‰ = (â„Ž, đ?‘˜). Exemplos: 01. Determinar a equação da parĂĄbola com vĂŠrtice em đ?‘‰ = (3, −1), sabendo que a equação de sua diretriz ĂŠ đ?‘Ś − 1 = 0. Note que, a equação da diretriz đ?‘Ś = 1 nos diz que a parĂĄbola tem eixo paralelo ao eixo đ?‘Œ e, como đ?‘‰ = (3, −1), sua equação ĂŠ da forma (đ?‘Ľ − 3)2 = 2đ?‘?(đ?‘Ś + 1). AlĂŠm disso, a concavidade da parĂĄbola ĂŠ voltada para baixo. Observe:

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200

Note que,

đ?‘? 2

= −2 ⇔ 2đ?‘? = −8. Portanto, a equação desta parĂĄbola ĂŠ:

(đ?‘Ľ − 3)2 = −8(đ?‘Ś + 1) ⇔ đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ + 9 = −8đ?‘Ś − 8 ⇔ đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ + 8đ?‘Ś + 17 = 0 .

02. Determinar a equação da parĂĄbola com foco em đ??š = (1,2), sendo đ?‘Ľ = 5 a equação de sua diretriz. Como a equação da diretriz ĂŠ đ?‘Ľ = 5, o eixo da parĂĄbola serĂĄ paralelo ao eixo đ?‘Ľ. Graficamente, temos:

Perceba que para determinar o vĂŠrtice, basta determinar o ponto mĂŠdio entre o segmento đ??´đ??š. Como đ??š = (1,2) e đ??´ = (5,2), temos đ?‘‰ = (3,2) e, sua equação ĂŠ da

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201

forma (đ?‘Ś − 2)2 = 2đ?‘?(đ?‘Ľ − 3). Como a concavidade tem abertura no sentido contrĂĄrio da diretriz, a concavidade serĂĄ para a esquerda, logo đ?‘? < 0. Temos đ?‘? 2

= −2 ⇔ 2đ?‘? = −8. Portanto:

(đ?‘Ś − 2)2 = −8(đ?‘Ľ − 3) ⇔ đ?‘Ś 2 − 4đ?‘Ś + 4 = −8đ?‘Ľ + 24 ⇔ đ?‘Ś 2 − 4đ?‘Ś + 8đ?‘Ľ − 20 = 0 .

E esta ĂŠ a equação da parĂĄbola com diretriz de equação đ?‘Ľ = 1 e foco đ??š = (1,2). 13.3.4 Equação da ParĂĄbola na Forma Explicita: Sabe-se que a equação da uma parĂĄbola com vĂŠrtice em đ?‘‰ = (â„Ž, đ?‘˜) pode ser da forma (đ?‘Ľ − â„Ž)2 = 2đ?‘?(đ?‘Ś − đ?‘˜) no caso em que o eixo da parĂĄbola ĂŠ paralelo ao eixo đ?‘Œ e (đ?‘Ś − đ?‘˜)2 = 2đ?‘?(đ?‘Ľ − â„Ž) no caso em que o eixo da parĂĄbola ĂŠ paralelo ao eixo đ?‘‹. Podemos desenvolver estas equaçþes: (đ?‘Ľ − â„Ž)2 = 2đ?‘?(đ?‘Ś − đ?‘˜) ⇔ đ?‘Ľ 2 − 2â„Žđ?‘Ľ + â„Ž2 = 2đ?‘?đ?‘Ś − 2đ?‘?đ?‘˜ 1 2 â„Ž â„Ž2 + 2đ?‘?đ?‘˜ ⇔ 2đ?‘?đ?‘Ś = đ?‘Ľ − 2â„Žđ?‘Ľ + â„Ž + 2đ?‘?đ?‘˜ ⇔ đ?‘Ś = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ+ ‌ (đ??ź) 2đ?‘? đ?‘? 2đ?‘? 2

Fazendo đ?‘Ž =

1 2đ?‘?

2

â„Ž

â„Ž2 +2đ?‘?đ?‘˜

đ?‘?

2đ?‘?

,đ?‘?=− eđ?‘?=

, (I) fica:

đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? .

Esta ĂŠ a equação explicita da parĂĄbola com eixo paralelo ao eixo đ?‘Œ. Analogamente, obtemos:

� = �� 2 + �� + � .

Esta ĂŠ a equação explicita da parĂĄbola com eixo paralelo ao eixo đ?‘‹. A partir de uma equação na forma explicita como proceder para determinar o vĂŠrtice da parĂĄbola? Como determinar a equação da diretriz?

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202

Como determinar o foco? A seguir, vejamos como responder estas perguntas atravĂŠs de um exemplo. Exemplo: Considere a parĂĄbola com equação đ?‘Ś = 4đ?‘Ľ 2 − 16đ?‘Ľ + 15. De alguma maneira, devemos deixar esta equação na forma (đ?‘Ľ − â„Ž)2 = 2đ?‘?(đ?‘Ś − đ?‘˜). Vejamos: đ?‘Ś = 4đ?‘Ľ 2 − 16đ?‘Ľ + 15 ⇔ 4đ?‘Ľ 2 − 16đ?‘Ľ = đ?‘Ś − 15 ‌ (∗) Perceba que 4đ?‘Ľ 2 − 16đ?‘Ľ = 4(đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ). O que devemos fazer para “transformarâ€? a expressĂŁo đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ em um quadrado perfeito? Vejamos: đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ = đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;’đ?’™ + đ?&#x;’ − 4 = (đ?’™ − đ?&#x;?)đ?&#x;? − 4. Logo 4đ?‘Ľ 2 − 16đ?‘Ľ = 4(đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ) = 4[(đ?‘Ľ − 2)2 − 4]. Substituindo em (*): 1 15 1 15 4[(đ?‘Ľ − 2)2 − 4] = đ?‘Ś − 15 ⇔ (đ?‘Ľ − 2)2 − 4 = đ?‘Ś − ⇔ (đ?‘Ľ − 2)2 = đ?‘Ś − +4 4 4 4 4 1 −15 + 16 1 1 1 1 ⇔ (đ?‘Ľ − 2)2 = đ?‘Ś + = đ?‘Ś + = (đ?‘Ś + 1) ⇔ (đ?‘Ľ − 2)2 = (đ?‘Ś + 1) . 4 4 4 4 4 4 Chegamos na forma desejada e a equação nos diz que a parĂĄbola tem vĂŠrtice 1

đ?‘?

4

2

em đ?‘‰ = (2, −1) e 2đ?‘? = ⇔

=

1

.

16

Como đ?‘? > 0, a concavidade da parĂĄbola esta voltada para cima, logo seu foco đ?‘?

1

2

16

ĂŠ o ponto đ??š = (2, −1 + ) = (2, −1 +

15

15

16

16

) = (2, − ) ⇒ đ??š = (2, − ) .

đ?‘?

1

2

16

A equação da diretriz ĂŠ đ?‘Ś = −1 − = −1 −

=−

17 16

⇒đ?‘Ś=−

17 16

⇔ 16� + 17 = 0 .

13.3.5 Determinação de Foco e Diretriz (caso geral): Considere a tabela abaixo como um “esquemaâ€? para lembrar. Abaixo da tabela segue a explicação lĂłgica.

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203

Equação

VĂŠrtice

Foco

Eq. da Diretriz

(đ?‘Ľ − đ?’‰)2 = 2đ?’‘(đ?‘Ś − đ?’Œ)

đ?‘‰ = (đ?’‰, đ?’Œ)

đ?’‘ đ??š = (đ?’‰, đ?’Œ + ) 2

đ?‘Ś =đ?’Œâˆ’

đ?’‘ 2

(đ?‘Ś − đ?’Œ)2 = 2đ?’‘(đ?‘Ľ − đ?’‰)

đ?‘‰ = (đ?’‰, đ?’Œ)

đ??š = (đ?’‰ +

đ?’‘ , đ?’Œ) 2

đ?‘Ľ =đ?’‰âˆ’

đ?’‘ 2

Quando a parĂĄbola possui eixo paralelo ao eixo đ?‘Œ (1ÂŞ linha da tabela), o vĂŠrtice e o foco terĂŁo mesmas coordenadas em đ?‘‹ e a coordenada em đ?‘Œ do foco ĂŠ obtida a partir da coordenada em đ?‘Œ do vĂŠrtice somando a constante

đ?‘? 2

que ĂŠ

a distância entre o foco e o vÊrtice. Logo para obter a diretriz, basta encontrar o ponto que dista

đ?‘? 2

do vĂŠrtice no sentido contrĂĄrio do foco, que seria o ponto

đ?‘?

(â„Ž, đ?‘˜ − ), e traçar a reta perpendicular ao eixo da parĂĄbola que passa pelo 2

đ?‘?

đ?‘?

2

2

ponto (â„Ž, đ?‘˜ − ), ou seja, a reta de equação đ?‘Ś = đ?‘˜ − . Quando a parĂĄbola possui eixo paralelo ao eixo đ?‘‹ (2ÂŞ linha da tabela), o vĂŠrtice e o foco terĂŁo mesmas coordenadas em đ?‘Œ e a coordenada em đ?‘‹ do foco ĂŠ obtida a partir da coordenada em đ?‘‹ do vĂŠrtice somando a constante

đ?‘? 2

que ĂŠ

a distância entre o foco e o vÊrtice. Logo para obter a diretriz, basta encontrar o ponto que dista

đ?‘? 2

do vĂŠrtice no

đ?‘?

sentido contrĂĄrio do foco, que seria o ponto (â„Ž − , đ?‘˜) e traçar a reta 2

đ?‘?

perpendicular ao eixo da parĂĄbola que passa pelo ponto (â„Ž − , đ?‘˜), ou seja, a 2

đ?‘?

reta de equação đ?‘Ľ = â„Ž − . 2

13.4 A ELIPSE Considere dois pontos fixos đ??š1 e đ??š2 em um plano. Define-se elipse como sendo o conjunto dos pontos đ?‘ƒ do plano, tais que, a distância de đ?‘ƒ a đ??š1 somada com a distância de đ?‘ƒ a đ??š2 ĂŠ sempre constante.

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204

Digamos que đ??š1 e đ??š2 sĂŁo tais que đ?‘‘(đ??š1 , đ??š2 ) = 2đ?‘?. Considere um nĂşmero đ?‘Ž ∈ â„œ+ tal que 2đ?‘Ž > 2đ?‘?.

Figura 2

De acordo com a definição, a elipse serĂĄ o conjunto de todos os pontos đ?‘ƒ tais que:

đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š1 ) + đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š2 ) = 2đ?‘Ž . 13.4.1 Elementos da Elipse: Considerando a elipse da “figura 2â€?, definimos: a) Focos: SĂŁo os pontos đ??š1 e đ??š2 ; b) Distância Focal: É a distância entre os focos; c) Centro: É o ponto mĂŠdio đ??ś do segmento đ??š1 đ??š2 ;

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205

d) Eixo maior: É o segmento đ??´1 đ??´2 de comprimento 2đ?‘Ž que contĂŠm os focos da elipse; e) Eixo menor: É o segmento đ??ľ1 đ??ľ2 de comprimento 2đ?‘?, perpendicular ao eixo menor e passando pelo centro đ??ś; f) VĂŠrtices: SĂŁo os pontos đ??´1 , đ??´2 , đ??ľ1 e đ??ľ2 ; đ?‘?

g) Excentricidade: É o número � = . Note que 0 < � < 1. �

Observação: Em toda elipse vale a relação đ?‘Ž2 = đ?‘? 2 + đ?‘? 2 . Observe:

Tal relação ĂŠ obtida a partir do triângulo đ??ľ2 đ??śđ??š2 retângulo em đ??ś. 13.4.2

Equação

da

Elipse

centrada

na

Origem

do

Sistema:

Consideremos os seguintes casos: Caso 01: O eixo maior estĂĄ sobre o eixo đ?‘‹.

Seja đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) um ponto arbitrĂĄrio da elipse e os focos đ??š1 = (−đ?‘?, 0) e đ??š2 = (đ?‘?, 0). Se đ?‘ƒ ĂŠ um ponto da elipse, por definição:

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206

𝑑(𝑃, 𝐹1 ) + 𝑑(𝑃, 𝐹2 ) = 2𝑎

⇔ √[𝑥 − (−𝑐)]2 + (𝑦 − 0)2 + √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎

⇔ √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 = 2𝑎 − √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 . Elevando ambos os membros ao quadrado:

𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2

⇔ 2𝑐𝑥 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 − 2𝑐𝑥

⇔ 4𝑎2 − 4𝑐𝑥 = 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2

⇔ 𝑎2 − 𝑐𝑥 = 𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 . Novamente, elevamos ambos os membros ao quadrado: 𝑎4 − 2𝑎2 𝑐𝑥 + 𝑐 2 𝑥 2 = 𝑎2 (𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 ) ⇔ 𝑎4 − 2𝑎2 𝑐𝑥 + 𝑐 2 𝑥 2 = 𝑎2 𝑥 2 − 2𝑎2 𝑐𝑥 + 𝑎2 𝑐 2 + 𝑎2 𝑦 2 ⇔ 𝑎2 𝑥 2 − 𝑐 2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎4 − 𝑎2 𝑐 2 ⇔ (𝑎2 − 𝑐 2 )𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) … (∗) Mas, temos 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 ⇔ 𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2 e substituindo em (*): 𝑏 2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏 2 .

Multiplicando a igualdade por

1 𝑎2 𝑏2

, temos:

𝑥2 𝑦2 + =1. 𝑎2 𝑏 2

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207

Esta ĂŠ a equação reduzida da elipse centrada na origem e eixo maior sobre o eixo đ?‘‹. Caso 02: O eixo maior esta sobre o eixo đ?‘Œ.

Observe que đ??š1 = (0, −đ?‘?) e đ??š2 = (0, đ?‘?). Com um procedimento anĂĄlogo ao caso anterior, obtemos:

đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 + =1. đ?‘? 2 đ?‘Ž2 Esta ĂŠ a equação reduzida da elipse centrada na origem e eixo maior sobre o eixo đ?‘Œ. Observação: Como đ?‘Ž2 = đ?‘? 2 + đ?‘? 2 , temos que đ?‘Ž2 > đ?‘? 2 , logo đ?‘Ž > đ?‘?. Perceba que, se o termo đ?‘Ž2 aparecer no denominador de đ?‘Ľ 2 na equação reduzida, isto quer dizer que o eixo maior estĂĄ sobre o eixo đ?‘‹. Da mesma forma, se đ?‘Ž2 aparecer no denominador de đ?‘Ś 2 na equação reduzida, isto quer dizer que o eixo maior estĂĄ sobre o eixo đ?‘Œ. Exemplos:

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208

01. Perceba que, na figura abaixo, a equação reduzida da elipse ĂŠ đ?‘Ľ2 9

+

đ?‘Ś2 4

đ?‘Ľ2

đ?‘Ś2

3

22

2 +

=1⇔

= 1.

02. Enquanto a elipse abaixo tem equação

đ?‘Ľ2 4

+

đ?‘Ś2 9

= 1.

03. Encontre a equação reduzida da elipse 9đ?‘Ľ 2 + 25đ?‘Ś 2 = 225, determine seus focos, vĂŠrtices e conclua qual ĂŠ o eixo maior. Para isto, façamos:

9� 2 + 25� 2 = 225 ⇔

1 �2 �2 �2 �2 (9� 2 + 25� 2 ) = 1 ⇔ + = 1 ⇔ 2 + 2 = 1. 225 25 9 5 3

A equação reduzida nos diz que đ?‘Ž = 5 e đ?‘? = 3, logo a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo đ?‘‹. AlĂŠm disso, esta elipse estĂĄ centrada na origem.

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209

Os vĂŠrtices sĂŁo os pontos đ??´1 = (−đ?‘Ž, 0) = (−5,0), đ??´2 = (đ?‘Ž, 0) = (5,0), đ??ľ1 = (0, −đ?‘?) = (0, −3) e đ??ľ2 = (0, đ?‘?) = (0,3). Para determinar os focos đ??š1 = (−đ?‘?, 0) e đ??š2 = (đ?‘?, 0), usamos a relação đ?‘Ž2 = đ?‘? 2 + đ?‘? 2 . Como đ?‘Ž = 5 e đ?‘? = 3: 25 = 9 + đ?‘? 2 ⇔ đ?‘? 2 = 16 ⇒ đ?‘? = 4. Logo đ??š1 = (−4,0) e đ??š2 = (4,0) e graficamente, temos:

04. Uma elipse tem centro na origem do sistema, um dos focos em (0,3) e a medida do eixo maior ĂŠ 8. Determine sua equação. Como um dos focos ĂŠ (0,3), o outro foco serĂĄ o ponto (0, −3), isto ĂŠ, đ??š1 = (0, −3) e đ??š2 = (0,3). AlĂŠm disso, como os focos estĂŁo sobre o eixo đ?‘Œ, consequentemente o eixo maior tambĂŠm estĂĄ. Assim, a equação da elipse ĂŠ da forma

đ?‘Ľ2 đ?‘?2

+

đ?‘Ś2 đ?‘Ž2

= 1.

Sabe-se que a medida do eixo maior ĂŠ 8 = 2đ?‘Ž, entĂŁo đ?‘Ž = 4 e, das coordenadas do foco, temos que đ?‘? = 3. Desta forma:

đ?‘Ž2 = đ?‘? 2 + đ?‘? 2 ⇒ 42 = đ?‘? 2 + 32 ⇔ đ?‘? 2 = 16 − 9 = 7 ⇔ đ?‘? 2 = 7 ⇒ đ?‘? = √7. A equação reduzida da elipse ĂŠ: đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 + = 1. 7 16

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210

13.4.3 Equação da Elipse de Centro fora da Origem do Sistema: Consideramos os seguintes casos: Caso 01: Eixo maior paralelo ao eixo đ?‘‹. Consideramos a elipse centrada em đ??ś = (â„Ž, đ?‘˜).

Sendo đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) um ponto arbitrĂĄrio da elipse, se fixarmos um novo sistema de coordenadas com origem em đ??ś = (â„Ž, đ?‘˜) e considerarmos đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ ′ , đ?‘Ś ′ ) em relação a este novo sistema, temos: (đ?‘Ľ ′ )2 (đ?‘Ś ′ )2 + 2 = 1. đ?‘Ž2 đ?‘? Mas, usando a formula de translação de eixos, sabemos que đ?‘Ľ ′ = đ?‘Ľ − â„Ž e đ?‘Ś ′ = đ?‘Ś − đ?‘˜, logo:

(đ?‘Ľ − â„Ž)2 (đ?‘Ś − đ?‘˜)2 + =1. đ?‘Ž2 đ?‘?2 Esta ĂŠ a equação reduzida da elipse centrada em đ??ś = (â„Ž, đ?‘˜) e eixo paralelo ao eixo đ?‘‹. Caso 02: Eixo maior paralelo ao eixo đ?‘Œ. Consideramos a elipse centrada em đ??ś = (â„Ž, đ?‘˜).

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211

Sendo đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (đ?‘Ľ ′ , đ?‘Ś ′ ) um ponto arbitrĂĄrio da elipse, analogamente ao caso anterior obtemos:

(đ?‘Ľ ′ )2 (đ?‘Ś ′ )2 (đ?‘Ľ − â„Ž)2 (đ?‘Ś − đ?‘˜)2 + 2 =1⇔ + =1. đ?‘?2 đ?‘Ž đ?‘?2 đ?‘Ž2 Esta ĂŠ a equação reduzida da elipse centrada em đ??ś = (â„Ž, đ?‘˜) e eixo maior paralelo ao eixo đ?‘Œ. Para determinar vĂŠrtices e focos, lembrando que đ?’„2 = đ?’‚2 − đ?’ƒ2 , considere a seguinte tabela: Equação

Centro

VĂŠrtices

Focos

đ??´1 = (đ?’‰ − đ?’‚, đ?’Œ) (đ?‘Ľ − đ?’‰)2 (đ?‘Ś − đ?’Œ)2 + =1 đ?’‚2 đ?’ƒ2

đ??ś = (đ?’‰, đ?’Œ)

đ??´2 = (đ?’‰ + đ?’‚, đ?’Œ)

đ??š1 = (đ?’‰ − đ?’„, đ?’Œ)

đ??ľ1 = (đ?’‰, đ?’Œ − đ?’ƒ)

đ??š2 = (đ?’‰ + đ?’„, đ?’Œ)

đ??ľ2 = (đ?’‰, đ?’Œ + đ?’ƒ) đ??´1 = (đ?’‰, đ?’Œ − đ?’‚) (đ?‘Ľ − đ?’‰)2 (đ?‘Ś − đ?’Œ)2 + =1 đ?’ƒ2 đ?’‚2

đ??ś = (đ?’‰, đ?’Œ)

đ??´2 = (đ?’‰, đ?’Œ + đ?’‚)

đ??š1 = (đ?’‰, đ?’Œ − đ?’„)

đ??ľ1 = (đ?’‰ − đ?’ƒ, đ?’Œ)

đ??š2 = (đ?’‰, đ?’Œ + đ?’„)

đ??ľ2 = (đ?’‰ + đ?’ƒ, đ?’Œ) Exemplos:

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212

01. Uma elipse cujo eixo maior ĂŠ paralelo ao eixo dos đ?‘Œ, tem centro no ponto 1

(4, −2), excentricidade đ?‘’ = e eixo menor medindo 6. Determine sua equação. 2

A equação desta elipse serå da forma

(đ?‘Ľâˆ’4)2 đ?‘?2

+

(đ?‘Ś+2)2 đ?‘Ž2

= 1, pois seu eixo ĂŠ paralelo

ao eixo đ?‘Œ. Resta determinar as constantes positivas đ?‘Ž e đ?‘?. 1

đ?‘?

1

2

đ?‘Ž

2

Sabe-se que đ?‘’ = = , logo

=

đ?‘? đ?‘Ž

⇔ đ?‘Ž = 2đ?‘? . TambĂŠm, temos que o eixo menor

mede 6, isto ĂŠ, 2đ?‘? = 6 ⇔ đ?‘? = 3 . Usando a relação đ?‘Ž2 = đ?‘? 2 + đ?‘? 2 :

đ?‘Ž2 = đ?‘? 2 + đ?‘? 2 ⇔ (2đ?‘?)2 = 32 + đ?‘? 2 ⇔ 4đ?‘? 2 = 9 + đ?‘? 2 ⇔ 3đ?‘? 2 = 9 ⇔ đ?‘? 2 = 3 ⇒ đ?‘? = √3. Consequentemente đ?‘Ž = 2đ?‘? = 2√3. EntĂŁo đ?‘Ž2 = 12 e đ?‘? 2 = 9 e a equação reduzida da elipse ĂŠ: (đ?‘Ľ − 4)2 (đ?‘Ś + 2)2 + = 1. 9 12

Ainda podemos desenvolver a equação

(đ?‘Ľâˆ’4)2 9

+

(đ?‘Ś+2)2 12

= 1. Primeiramente,

multiplicamos a igualdade por 36:

36 [

(đ?‘Ľ − 4)2 (đ?‘Ś + 2)2 + ] = 36 ⇔ 4(đ?‘Ľ − 4)2 + 3(đ?‘Ś + 2)2 = 36 9 12 ⇔ 4(đ?‘Ľ 2 − 8đ?‘Ľ + 16) + 3(đ?‘Ś 2 + 4đ?‘Ś + 4) = 36

⇔ 4đ?‘Ľ 2 − 32đ?‘Ľ + 64 + 3đ?‘Ś 2 + 12đ?‘Ś + 12 = 36 ⇔ 4đ?‘Ľ 2 − 32đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś 2 + 12đ?‘Ś + 40 = 0 .

Dizemos que esta ĂŠ a equação explicita da elipse. 02. Dada a elipse de equação 4đ?‘Ľ 2 + 9đ?‘Ś 2 − 8đ?‘Ľ − 36đ?‘Ś + 4 = 0, vamos determinar o centro, os focos, os vĂŠrtices e a excentricidade da mesma.

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213

Para obtermos o centro, devemos fazer manipulaçþes algĂŠbricas em sua equação explicita. Observe: 4đ?‘Ľ 2 + 9đ?‘Ś 2 − 8đ?‘Ľ − 36đ?‘Ś + 4 = 0 ⇔ 4đ?‘Ľ 2 − 8đ?‘Ľ + 9đ?‘Ś 2 − 36đ?‘Ś + 4 = 0 ⇔ 4(đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ) + 9(đ?‘Ś 2 − 4đ?‘Ś) + 4 = 0 ⇔ 4[(đ?‘Ľ − 1)2 − 1] + 9[(đ?‘Ś − 2)2 − 4] + 4 = 0 ⇔ 4(đ?‘Ľ − 1)2 − 4 + 9(đ?‘Ś − 2)2 − 36 + 4 = 0 ⇔ 4(đ?‘Ľ − 1)2 + 9(đ?‘Ś − 2)2 − 36 = 0 4(đ?‘Ľ − 1)2 9(đ?‘Ś − 2)2 ⇔ 4(đ?‘Ľ − 1) + 9(đ?‘Ś − 2) = 36 ⇔ + =1 36 36 2

2

⇔

(đ?‘Ľ − 1)2 (đ?‘Ś − 2)2 + = 1. 9 4

A equação nos diz que o centro da elipse ĂŠ đ??ś = (1,2), đ?‘Ž2 = 9 ⇒ đ?‘Ž = 3 e đ?‘? 2 = 4 ⇒ đ?‘? = 2 . AlĂŠm disso, o eixo maior ĂŠ paralelo ao eixo đ?‘‹. Os vĂŠrtices sĂŁo os pontos đ??´1 = (1 − đ?‘Ž, 2), đ??´2 = (1 + đ?‘Ž, 2), đ??ľ1 = (1,2 − đ?‘?) e đ??ľ2 = (1,2 + đ?‘?), logo: đ??´1 = (−2,2), đ??´2 = (4,2), đ??ľ1 = (1,0) đ?‘’ đ??ľ2 = (1,4). Seus focos, sĂŁo os pontos đ??š1 = (1 − đ?‘?, 2) e đ??š2 = (1 + đ?‘?, 2). Vamos determinar đ?‘?:

đ?‘Ž2 = đ?‘? 2 + đ?‘? 2 ⇔ đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 − đ?‘? 2 = 9 − 4 = 5 ⇔ đ?‘? 2 = 5 ⇒ đ?‘? = √5 .

Logo đ??š1 = (1 − √5, 2) e đ??š2 = (1 + √5, 2). A excentricidade ĂŠ đ?‘’ =

đ?‘? đ?‘Ž

=

√5 . 3

Graficamente, temos:

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214

13.5 A HIPÉRBOLE A hipĂŠrbole ĂŠ o lugar geomĂŠtrico dos pontos de um plano cuja a diferença das distâncias, em mĂłdulo, a dois pontos fixos desse plano ĂŠ sempre constante. Se considerarmos đ??š1 e đ??š2 dois pontos de um plano, a hipĂŠrbole ĂŠ formada pelos pontos đ?‘ƒ tais que a o mĂłdulo da distância de đ?‘ƒ a đ??š1 menos a distância de đ?‘ƒ a đ??š2 ĂŠ sempre constante.

Digamos que đ??š1 e đ??š2 sĂŁo tais que đ?‘‘(đ??š1 , đ??š2 ) = 2đ?‘?. Considere um nĂşmero đ?‘Ž ∈ â„œ+ tal que 2đ?‘Ž < 2đ?‘?.

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215

Figura 3

De acordo com a definição, hipĂŠrbole ĂŠ o conjunto dos pontos đ?‘ƒ tais que:

|đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š1 ) − đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š2 )| = 2đ?‘Ž . Observe que a hipĂŠrbole ĂŠ uma curva composta por dois ramos. A equação acima nos diz que um ponto đ?‘ƒ pertence Ă hipĂŠrbole se, e somente se: đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š1 ) − đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š2 ) = Âą2đ?‘Ž. Quando đ?‘ƒ estiver no ramo da direita, tomamos a diferença como sendo +2đ?‘Ž. Se đ?‘ƒ estiver no ramo da esquerda, a diferença ĂŠ −2đ?‘Ž. Devido ao fato de que: Se đ?‘ƒ estĂĄ no ramo da direita, temos que đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š1 ) > đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š2 ) ⇔ đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š1 ) − đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š2 ) > 0, ou seja, tomamos a diferença como sendo +2đ?‘Ž. Se đ?‘ƒ estĂĄ no ramo da esquerda, temos que đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š1 ) < đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š2 ) ⇔ đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š1 ) − đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š2 ) < 0, ou seja, tomamos a diferença como sendo −2đ?‘Ž. Na “figura 3â€?, considere a reta que passa por đ??š1 e đ??š2 , sendo đ??´1 e đ??´2 os pontos de interseção entre esta reta e a hipĂŠrbole. Consideramos ainda outra reta passando pelo ponto mĂŠdio đ??ś do segmento đ??š1 đ??š2 perpendicular Ă reta que

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216

contĂŠm đ??š1 e đ??š2 . Percebe-se que a hipĂŠrbole ĂŠ simĂŠtrica em relação a estas duas retas. Devido Ă simetria, temos:

đ?‘‘(đ??´1 , đ??š1 ) = đ?‘‘(đ??´2 , đ??š2 ) đ?‘‘(đ??´1 , đ??´2 ) = 2đ?‘Ž. 13.5.1 Elementos da HipĂŠrbole: Considerando a figura abaixo, temos:

a) Focos: SĂŁo os pontos đ??š1 e đ??š2 ; b) Distância Focal: É a distância 2đ?‘? entre os focos; c) Centro: É o ponto mĂŠdio đ??ś do segmento đ??š1 đ??š2 ; d) VĂŠrtices: SĂŁo os pontos đ??´1 e đ??´2 ; e) Eixo Real: É o segmento đ??´1 đ??´2 de comprimento 2đ?‘Ž; f) Eixo ImaginĂĄrio: É o segmento đ??ľ1 đ??ľ2 de comprimento 2đ?‘?. đ?‘?

g) Excentricidade: É o número � = . Note que � > 1. �

Observação: O valor de đ?‘? ĂŠ obtido atravĂŠs da relação đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 , onde đ?‘Ž, đ?‘? e đ?‘? sĂŁo as medidas do triângulo đ??´2 đ??ľ2 đ??ś retângulo em đ??ś. Na figura acima, note que construĂ­mos um retângulo com dimensĂľes 2đ?‘Ž e 2đ?‘? tomando retas passando por đ??ľ1 e đ??ľ2 paralelas ao segmento đ??š1 đ??š2 e retas passando por đ??´1 e đ??´2 perpendiculares ao segmento đ??š1 đ??š2 .

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217

As retas đ?‘&#x; e đ?‘ que contĂŠm as diagonais deste retângulo sĂŁo chamadas de assĂ­ntotas da hipĂŠrbole.

A excentricidade ĂŠ o que influencia na abertura de uma hipĂŠrbole. 13.5.2 Equação da HipĂŠrbole centrada na Origem do Sistema: Consideramos os seguintes casos: Caso 01: Eixo real sobre o eixo đ?‘‹.

Seja đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) um ponto arbitrĂĄrio. Considere a hipĂŠrbole com focos em đ??š1 = (−đ?‘?, 0) e đ??š2 = (đ?‘?, 0). Temos, por definição que, đ?‘ƒ pertence a hipĂŠrbole se: |đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š1 ) − đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š2 )| = 2đ?‘Ž

⇔ |√[đ?‘Ľ − (−đ?‘?)]2 + (đ?‘Ś − 0)2 − √(đ?‘Ľ − đ?‘?)2 + (đ?‘Ś − 0)2 | = 2đ?‘Ž

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218

⇔ |√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 − √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 | = 2𝑎

⇔ |√𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 − √𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 | = 2𝑎 … (∗)

Podemos ter os seguintes casos para (*): a) √𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 − √𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 = 2𝑎:

√𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 − √𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 = 2𝑎

⇔ √𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 = 2𝑎 + √𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 . Elevando ambos os membros ao quadrado:

𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 = 4𝑎2 + 4𝑎√𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2

⇔ 4𝑐𝑥 − 4𝑎2 = 4𝑎√𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 ⇔ 𝑐𝑥 − 𝑎2 = 𝑎√𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 . Elevando novamente ambos os membros ao quadrado: 𝑐 2 𝑥 2 − 2𝑎2 𝑐𝑥 + 𝑎4 = 𝑎2 (𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 ) ⇔ 𝑐 2 𝑥 2 − 2𝑎2 𝑐𝑥 + 𝑎4 = 𝑎2 𝑥 2 − 2𝑎2 𝑐𝑥 + 𝑎2 𝑐 2 + 𝑎2 𝑦 2 ⇔ 𝑐 2 𝑥 2 + 𝑎4 = 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑐 2 + 𝑎2 𝑦 2 ⇔ 𝑐 2 𝑥 2 − 𝑎2 𝑥 2 − 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑐 2 − 𝑎4 ⇔ (𝑐 2 − 𝑎2 )𝑥 2 − 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 (𝑐 2 − 𝑎2 ) … (𝐼) Mas temos, 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ⇔ 𝑏 2 = 𝑐 2 − 𝑎2 e substituindo em (I): 𝑏 2 𝑥 2 − 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏 2 .

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219

Multiplicando a igualdade por

1 đ?‘Ž2 đ?‘?2

, temos:

đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 − = 1. đ?‘Ž2 đ?‘? 2 b) √đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? 2 + đ?‘Ś 2 − √đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? 2 + đ?‘Ś 2 = −2đ?‘Ž: De forma anĂĄloga, tambĂŠm obtemos para este caso

đ?‘Ľ2 đ?‘Ž2

−

đ?‘Ś2 đ?‘?2

= 1.

Portanto:

đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 − =1. đ?‘Ž2 đ?‘? 2 Esta ĂŠ a equação reduzida da hipĂŠrbole centrada na origem com eixo real sobre o eixo đ?‘‹. Caso 02: Eixo real sobre o eixo đ?‘‹.

Observe que đ??š1 = (0, −đ?‘?) e đ??š2 = (0, đ?‘?) e sendo đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) um ponto da elipse, obtemos de forma anĂĄloga ao caso anterior:

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220

đ?‘Ś2 đ?‘Ľ2 − =1. đ?‘Ž2 đ?‘? 2 Esta ĂŠ a equação reduzida da hipĂŠrbole centrada na origem com eixo real sobre o eixo đ?‘Œ. Observaçþes: 01. Perceba que, se đ?‘Ž2 aparecer no denominador de đ?‘Ľ 2 , a equação nos diz que o eixo real da hipĂŠrbole ĂŠ paralelo ao eixo đ?‘‹. Caso đ?‘Ž2 apareça no denominador de đ?‘Ś 2 , a hipĂŠrbole terĂĄ eixo real paralelo ao eixo đ?‘Œ. 02. O termo que acompanha đ?‘Ž2 sempre terĂĄ sinal positivo. Exemplos:

01. A hipÊrbole de equação

đ?‘Ľ2

đ?‘Ś2

3

22

2 −

=1⇔

đ?‘Ľ2 9

−

đ?‘Ś2 4

= 1 estĂĄ representada na figura

abaixo:

Note que đ?‘Ž = 3 e đ?‘? = 2, logo đ?‘? = √đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = √9 + 4 = √13. Desta forma, seus vĂŠrtices sĂŁo đ??´1 = (−3,0) e đ??´2 = (3,0) e os focos sĂŁo đ??š1 = (−√13, 0) e đ??š2 = (√13, 0). Como đ?‘? = 2, temos os pontos đ??ľ1 = (−2,0) e đ??ľ2 = (2,0).

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221

As assĂ­ntotas da hipĂŠrbole sĂŁo as retas que passam pela origem e pelos pontos (3,2) e (3, −2). Vamos construir suas equaçþes. A assĂ­ntota que passa pela origem (0,0) e pelo ponto (3,2) terĂĄ sua equação dada por: đ?‘Ľ |0 3

đ?‘Ś 0 2

1 2 1| = 0 ⇔ 2đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś = 0 ⇔ đ?‘Ś = đ?‘Ľ ⇔ 2đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś = 0 . 3 1

A assĂ­ntota que passa pela origem e pelo ponto (3,2) terĂĄ sua equação dada por: đ?‘Ľ |0 3

đ?‘Ś 1 2 0 1| = 0 ⇔ −2đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś = 0 ⇔ đ?‘Ś = − đ?‘Ľ ⇔ 2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = 0 . 3 −2 1

13.5.3 Equação da HipĂŠrbole centrada fora da Origem do Sistema: Consideramos os seguintes casos: Caso 01: Eixo real paralelo ao eixo đ?‘‹. Considere a hipĂŠrbole centrada em đ??ś = (â„Ž, đ?‘˜).

De forma anĂĄloga aos casos da parĂĄbola e da elipse, obtemos:

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222

(đ?‘Ľ − â„Ž)2 (đ?‘Ś − đ?‘˜)2 − =1. đ?‘Ž2 đ?‘?2 Os vĂŠrtices serĂŁo os pontos đ??´1 = (â„Ž − đ?‘Ž, đ?‘˜) e đ??´2 = (â„Ž + đ?‘Ž, đ?‘˜); Os focos serĂŁo os pontos đ??š1 = (â„Ž − đ?‘?, đ?‘˜) e đ??š2 = (â„Ž + đ?‘?, đ?‘˜); Temos tambĂŠm pontos đ??ľ1 = (â„Ž, đ?‘˜ − đ?‘?) e đ??ľ2 = (â„Ž, đ?‘˜ + đ?‘?); AssĂ­ntota 1: Reta que passa por đ??ś = (â„Ž, đ?‘˜) e (â„Ž + đ?‘Ž, đ?‘˜ + đ?‘?); AssĂ­ntota 2: Reta que passa por đ??ś = (â„Ž, đ?‘˜) e (â„Ž + đ?‘Ž, đ?‘˜ − đ?‘?). Caso 02: Eixo real paralelo ao eixo đ?‘Œ. Considere a hipĂŠrbole centrada em đ??ś = (â„Ž, đ?‘˜).

Obtemos:

(đ?‘Ś − đ?‘˜)2 (đ?‘Ľ − â„Ž)2 − =1. đ?‘Ž2 đ?‘?2 Os vĂŠrtices serĂŁo os pontos đ??´1 = (â„Ž, đ?‘˜ − đ?‘Ž) e đ??´2 = (â„Ž, đ?‘˜ + đ?‘Ž); Os focos serĂŁo os pontos đ??š1 = (â„Ž, đ?‘˜ − đ?‘?) e đ??š2 = (â„Ž, đ?‘˜ + đ?‘?); Temos tambĂŠm pontos đ??ľ1 = (â„Ž − đ?‘?, đ?‘˜) e đ??ľ2 = (â„Ž + đ?‘?, đ?‘˜);

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223

AssĂ­ntota 1: Reta que passa por đ??ś = (â„Ž, đ?‘˜) e (â„Ž + đ?‘?, đ?‘˜ + đ?‘Ž); AssĂ­ntota 2: Reta que passa por đ??ś = (â„Ž, đ?‘˜) e (â„Ž + đ?‘?, đ?‘˜ − đ?‘Ž). Exemplos: 01. Determinar a equação da hipĂŠrbole que tem vĂŠrtices em đ??´1 = (1, −2) e đ??´2 = (5, −2), sabendo que um de seus focos ĂŠ o ponto (6, −2). Percebemos que esta hipĂŠrbole terĂĄ eixo real paralelo ao eixo đ?‘‹, pois as coordenadas de seus vĂŠrtices variam em đ?‘‹. Observe:

Para determinar o centro da hipĂŠrbole, basta encontrar o ponto mĂŠdio do segmento đ??´1 đ??´2 que ĂŠ đ??ś = (3, −2). Podemos ainda determinar đ?‘Ž e đ?‘?, sabendo que: đ?‘Ž = đ?‘‘(đ??ś, đ??´1 ) = 2 ⇒∴ đ?‘Ž = 2 đ?‘? = đ?‘‘(đ??ś, đ??š) = 3 ⇒∴ đ?‘? = 3. O outro foco serĂĄ đ??š1 = (3 − đ?‘?, −2) = (3 − 3, −2) = (0, −2) ⇒ đ??š1 = (0, −2). Assim, os focos serĂŁo đ??š1 = (0, −2) e đ??š2 = (6, −2). Como vale a relação đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 :

đ?‘? 2 = đ?‘? 2 − đ?‘Ž2 = 9 − 4 = 5 ⇒ đ?‘? = √5.

Assim, a equação da hipÊrbole Ê

(đ?‘Ľâˆ’3)2 4

−

(đ?‘Ś+2)2 5

= 1.

Podemos desenvolver a equação:

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224

(đ?‘Ľ − 3)2 (đ?‘Ś + 2)2 (đ?‘Ľ − 3)2 (đ?‘Ś + 2)2 − = 1 ⇔ 20 [ − ] = 20 4 5 4 5 ⇔ 5(đ?‘Ľ − 3)2 − 4(đ?‘Ś + 2)2 = 20 ⇔ 5(đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ + 9) + 4(đ?‘Ś 2 + 4đ?‘Ś + 4) = 20 ⇔ 5đ?‘Ľ 2 − 30đ?‘Ľ + 45 + 4đ?‘Ś 2 + 16đ?‘Ś + 16 = 20

⇔ 5đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ś 2 − 30đ?‘Ľ − 16đ?‘Ś + 9 = 0 .

Esta ĂŠ a equação explicita da hipĂŠrbole. 02. Determinar o centro, os focos, os vĂŠrtices, a excentricidade e as equaçþes das assĂ­ntotas da hipĂŠrbole 9đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ś 2 − 54đ?‘Ľ + 8đ?‘Ś + 113 = 0. Devemos reduzir a equação: 9đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ś 2 − 54đ?‘Ľ + 8đ?‘Ś + 113 = 0 ⇔ 9đ?‘Ľ 2 − 54đ?‘Ľ − 4đ?‘Ś 2 + 8đ?‘Ś + 113 = 0 ⇔ 9(đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ) − 4(đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ś) + 113 = 0 ⇔ 9[(đ?‘Ľ − 3)2 − 9] − 4[(đ?‘Ś − 1)2 − 1] + 113 = 0 ⇔ 9(đ?‘Ľ − 3)2 − 81 − 4(đ?‘Ś − 1)2 + 4 + 113 = 0 ⇔ 9(đ?‘Ľ − 3)2 − 4(đ?‘Ś − 1)2 + 36 = 0 ⇔ 9(đ?‘Ľ − 3)2 − 4(đ?‘Ś − 1)2 = −36

⇔ 4(đ?‘Ś − 1)2 − 9(đ?‘Ľ − 3)2 = 36 ⇔

(đ?‘Ś − 1)2 (đ?‘Ľ − 3)2 − = 1. 9 4

A equação reduzida nos indica que o centro da hipĂŠrbole ĂŠ đ??ś = (3,1) e seu eixo real ĂŠ paralelo ao eixo đ?‘Œ. Temos ainda que đ?‘Ž = 3 e đ?‘? = 2 e, portanto đ?‘? = √9 + 4 = √13.

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225

Seus focos serĂŁo đ??š1 = (3,1 − đ?‘?) = (3,1 − √13) e đ??š2 = (3,1 + đ?‘?) = (3,1 + √13), os vĂŠrtices serĂŁo đ??´1 = (3,1 − đ?‘Ž) = (3,1 − 3) = (3, −2) e đ??´2 = (3,1 + đ?‘Ž) = (3,1 + 3) = (3,4) e a excentricidade đ?‘’ =

đ?‘? đ?‘Ž

=

√13 . 3

Temos ainda os pontos đ??ľ1 = (3 − đ?‘?, 1) = (3 − 2,1) = (1,1) e đ??ľ2 = (3 + đ?‘?, 1) = (3 + 2,1) = (5,1).

AssĂ­ntota 1: É a reta que passa pelo centro đ??ś = (3,1) e pelo ponto (5,4), logo sua equação ĂŠ dada por: đ?‘Ľ |3 5

đ?‘Ś 1 4

1 1| = 0 ⇔ −3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś + 7 = 0 ⇔ 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś − 7 = 0 . 1

AssĂ­ntota 2: É a reta que passa pelo centro đ??ś = (3,1) e pelo ponto (5, −2), logo sua equação ĂŠ dada por: đ?‘Ľ |3 5

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đ?‘Ś 1 1 1| = 0 ⇔ 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − 11 = 0 . −2 1

226

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227

CAP�TULO 14: ESPAÇOS VETORIAIS

14.1 INTRODUĂ‡ĂƒO Neste capĂ­tulo, vamos iniciar a parte de Ă lgebra Linear presente em nossa ementa. Iniciamos nosso estudo com uma abordagem abstrata e mais “generalizadaâ€? de vetores. Embora estejamos acostumados a representar vetores de uma forma geomĂŠtrica, a partir daqui nem sempre serĂĄ possĂ­vel associar figuras aos vetores.

14.2 ESPAÇOS VETORIAIS 14.2.1 Definição: Sejam (đ?•‚, +,â‹…) um corpo e đ?‘‰ um conjunto nĂŁo vazio. Dizemos que o conjunto đ?‘‰, munido das operaçþes soma (+: đ?‘‰Ă—đ?‘‰ → đ?‘‰; (đ?‘˘, đ?‘Ł) ↌ đ?‘˘ + đ?‘Ł) e multiplicação por escalar (â‹…: đ?•‚Ă—đ?‘‰ → đ?‘‰; (đ?‘Ž, đ?‘˘) ↌ đ?‘Ž â‹… đ?‘˘ = đ?‘Žđ?‘˘), ĂŠ um espaço vetorial sobre o corpo đ?•‚ se, para quaisquer đ?‘˘, đ?‘Ł, đ?‘¤ ∈ đ?‘‰ e đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ?•‚, as seguintes propriedades sĂŁo vĂĄlidas: S1) (đ?‘˘ + đ?‘Ł) + đ?‘¤ = đ?‘˘ + (đ?‘Ł + đ?‘¤); S2) đ?‘˘ + đ?‘Ł = đ?‘Ł + đ?‘˘; S3) ∃0 ∈ đ?‘‰; đ?‘˘ + 0 = 0 + đ?‘˘ = đ?‘˘; S4) ∃ − đ?‘˘ ∈ đ?‘‰; đ?‘˘ + (−đ?‘˘) = (−đ?‘˘) + đ?‘˘ = 0; M1) đ?‘Ž(đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ?‘Žđ?‘˘ + đ?‘Žđ?‘Ł; M2) (đ?‘Ž + đ?‘?)đ?‘˘ = đ?‘Žđ?‘˘ + đ?‘?đ?‘˘; M3) (đ?‘Žđ?‘?)đ?‘˘ = đ?‘Ž(đ?‘?đ?‘˘); M4) 1đ?‘˘ = đ?‘˘; 1 ∈ đ?•‚. Ainda podemos nos referir a đ?‘‰ como sendo um đ?•‚ espaço vetorial. Chamamos os elementos do conjunto đ?‘‰ de vetores, enquanto os elementos de đ?•‚ sĂŁo chamados de escalares.

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228

Observaçþes: 01. Sempre que falarmos em espaço vetorial, devemos deixar bem claro qual ĂŠ o corpo considerado. Os escalares presentes nos axiomas sempre serĂŁo elementos do corpo. 02. NĂŁo confunda as operaçþes de đ?•‚ com as operaçþes de đ?‘‰. Em đ?•‚ temos as operaçþes: +: đ?•‚Ă—đ?•‚ → đ?•‚ soma de escalares de đ?•‚. â‹…: đ?•‚Ă—đ?•‚ → đ?•‚ multiplicação de escalares de đ?•‚. Em đ?‘‰ temos as operaçþes: +: đ?‘‰Ă—đ?‘‰ → đ?‘‰ soma de vetores de đ?‘‰. â‹…: đ?•‚Ă—đ?‘‰ → đ?‘‰ multiplicação de um escalar de đ?•‚ por um vetor de đ?‘‰. Perceba que na multiplicação de escalar por vetor no conjunto đ?‘‰, a operação transforma um par (đ?‘Ž, đ?‘˘) ∈ đ?•‚Ă—đ?‘‰ em um vetor đ?‘Žđ?‘˘ ∈ đ?‘‰. Observamos na figura abaixo como as operaçþes funcionam em um espaço vetorial:

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229

Somando-se dois vetores de đ?‘‰, o vetor soma ainda pertence ao conjunto đ?‘‰. Multiplicando um escalar de đ?•‚ por um vetor de đ?‘‰, obtemos um vetor que ainda pertence ao conjunto đ?‘‰. Exemplos: 01. O conjunto â„œ3 = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§); đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ â„œ} onde: Se đ?‘Ł1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 ), đ?‘Ł2 = (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 ) ∈ â„œ3 e đ?‘˜ ∈ â„œ, definimos: đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 = (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś1 + đ?‘Ś2 , đ?‘§1 + đ?‘§2 ) đ?‘˜đ?‘Ł1 = (đ?‘˜đ?‘Ľ1 , đ?‘˜đ?‘Ś1 , đ?‘˜đ?‘Ś2 ). É um â„œ espaço vetorial, ou um espaço vetorial sobre â„œ. Verifique! 02. Em geral, đ?‘‰ = â„œđ?‘› = {(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› ); đ?‘Ľđ?‘– ∈ â„œ} com as operaçþes (definidas abaixo) ĂŠ um espaço vetorial sobre â„œ. Definimos as operaçþes, para đ?‘Ł1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› ), đ?‘Ł2 = (đ?‘Ś1 , đ?‘Ś2 , ‌ , đ?‘Śđ?‘› ) ∈ â„œđ?‘› e đ?‘˜ ∈ â„œ, por:

đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 = (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ś1 , đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘Śđ?‘› ) đ?‘˜đ?‘Ł1 = (đ?‘˜đ?‘Ľ1 , đ?‘˜đ?‘Ľ2 , ‌ , đ?‘˜đ?‘Ľđ?‘› ). 03. Denotamos o conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas reais por đ?‘€2 (â„œ). O conjunto đ?‘€2 (â„œ) com as operaçþes soma e multiplicação por escalar ĂŠ um espaço vetorial sobre â„œ. Vamos verificar! Podemos escrever: đ?‘Ž đ?‘‰ = đ?‘€2 (â„œ) = {[ đ?‘?

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đ?‘? ] ; đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘ ∈ â„œ}. đ?‘‘

230

Tomando

đ?‘Ł1 = [

đ?‘Ž1 đ?‘?1

đ?‘?1 đ?‘Ž ] , đ?‘Ł2 = [ 2 đ?‘‘1 đ?‘?2

đ?‘Ž đ?‘?2 ] , đ?‘Ł3 = [ 3 đ?‘‘2 đ?‘?3

đ?‘?3 ] ∈ đ?‘€2 (â„œ) đ?‘‘3

e

đ?‘˜, đ?‘™ ∈ â„œ,

as

operaçþes usuais são definidas por:

đ?‘ đ?‘œđ?‘šđ?‘Ž: đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 = [

đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2 đ?‘?1 + đ?‘?2

đ?‘?1 + đ?‘?2 đ?‘˜đ?‘Ž ] đ?‘’ đ?‘šđ?‘˘đ?‘™đ?‘Ą. đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘˜đ?‘Ł1 = [ 1 đ?‘‘1 + đ?‘‘2 đ?‘˜đ?‘?1

đ?‘˜đ?‘?1 ]. đ?‘˜đ?‘‘1

Agora, devemos concluir que estas operaçþes verificam as 8 propriedades da definição. Mostremos a primeira propriedade detalhadamente, e as demais serĂŁo mais diretas. S1) Devemos concluir que (đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ) + đ?‘Ł3 = đ?‘Ł1 + (đ?‘Ł2 + đ?‘Ł3 ). De fato: đ?‘Ž (đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ) + đ?‘Ł3 = ([ 1 đ?‘?1 đ?‘Ž đ?‘?1 + đ?‘?2 ]+[ 3 đ?‘‘1 + đ?‘‘2 đ?‘?3

đ?‘Ž + đ?‘Ž2 =[ 1 đ?‘?1 + đ?‘?2

⇒ (�1 + �2 ) + �3 = [

đ?‘?1 đ?‘Ž ]+[ 2 đ?‘‘1 đ?‘?2

đ?‘Ž đ?‘?2 ]) + [ 3 đ?‘‘2 đ?‘?3

(đ?‘Ž + đ?‘Ž2 ) + đ?‘Ž3 đ?‘?3 ]=[ 1 đ?‘‘3 (đ?‘?1 + đ?‘?2 ) + đ?‘?3

(đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2 ) + đ?‘Ž3 (đ?‘?1 + đ?‘?2 ) + đ?‘?3

đ?‘?3 ] đ?‘‘3

(đ?‘?1 + đ?‘?2 ) + đ?‘?3 ] (đ?‘‘1 + đ?‘‘2 ) + đ?‘‘3

(đ?‘?1 + đ?‘?2 ) + đ?‘?3 ] ‌ (∗) (đ?‘‘1 + đ?‘‘2 ) + đ?‘‘3

Note que, as entradas da matriz acima sĂŁo nĂşmeros reais e desta forma, como â„œ

ĂŠ

um

corpo,

vale

Usando

(đ?‘Ľ + đ?‘Ś) + đ?‘§ = đ?‘Ľ + (đ?‘Ś + đ?‘§), ∀đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ â„œ.

esta

propriedade nas entradas da matriz, temos em (*):

(đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ) + đ?‘Ł3 = [

đ?‘Ž + (đ?‘Ž2 + đ?‘Ž3 ) =[ 1 đ?‘?1 + (đ?‘?2 + đ?‘?3 )

=[

đ?‘Ž1 đ?‘?1

(đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2 ) + đ?‘Ž3 (đ?‘?1 + đ?‘?2 ) + đ?‘?3

đ?‘?1 + (đ?‘?2 + đ?‘?3 ) đ?‘Ž ]=[ 1 đ?‘?1 đ?‘‘1 + (đ?‘‘2 + đ?‘‘3 )

đ?‘?1 đ?‘Ž ] + ([ 2 đ?‘‘1 đ?‘?2

đ?‘Ž đ?‘?2 ]+[ 3 đ?‘‘2 đ?‘?3

(đ?‘?1 + đ?‘?2 ) + đ?‘?3 ] (đ?‘‘1 + đ?‘‘2 ) + đ?‘‘3 đ?‘Ž + đ?‘Ž3 đ?‘?1 ]+[ 2 đ?‘‘1 đ?‘?2 + đ?‘?3

đ?‘?2 + đ?‘?3 ] đ?‘‘2 + đ?‘‘3

đ?‘?3 ]) = đ?‘Ł1 + (đ?‘Ł2 + đ?‘Ł3 ) đ?‘‘3

∴ (đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ) + đ?‘Ł3 = đ?‘Ł1 + (đ?‘Ł2 + đ?‘Ł3 ).

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231

S2) Devemos concluir que đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 = đ?‘Ł2 + đ?‘Ł1 . De fato:

đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 = [

đ?‘Ž1 đ?‘?1

đ?‘?1 đ?‘Ž ]+[ 2 đ?‘‘1 đ?‘?2

đ?‘?2 đ?‘Ž + đ?‘Ž2 ]=[ 1 đ?‘‘2 đ?‘?1 + đ?‘?2

đ?‘Ž =[ 2 đ?‘?2

đ?‘?2 đ?‘Ž ]+[ 1 đ?‘‘2 đ?‘?1

đ?‘?1 + đ?‘?2 đ?‘Ž + đ?‘Ž1 ]=[ 2 đ?‘‘1 + đ?‘‘2 đ?‘?2 + đ?‘?1

đ?‘?2 + đ?‘?1 ] đ?‘‘2 + đ?‘‘1

đ?‘?1 ] = đ?‘Ł2 + đ?‘Ł1 đ?‘‘1

∴ đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 = đ?‘Ł2 + đ?‘Ł1 . S3) Devemos mostrar que existe 0 ∈ đ?‘€2 (â„œ) tal que đ?‘Ł1 + 0 = đ?‘Ł1 . De fato, seja 0 = đ?‘š đ?‘› [ đ?‘? đ?‘ž ] ∈ đ?‘€2 (â„œ):

�1 + 0 = �1 ⇔ [

đ?‘Ž1 đ?‘?1

đ?‘š đ?‘?1 ] + [đ?‘? đ?‘‘1

đ?‘› đ?‘Ž1 đ?‘ž ] = [ đ?‘?1

đ?‘?1 đ?‘Ž +đ?‘š ]⇔[ 1 đ?‘‘1 đ?‘?1 + đ?‘?

đ?‘?1 + đ?‘› đ?‘Ž ]=[ 1 đ?‘‘1 + đ?‘ž đ?‘?1

đ?‘?1 ] đ?‘‘1

Devido Ă igualdade de matrizes, temos:

đ?‘Ž1 + đ?‘š = đ?‘Ž1 ⇔ đ?‘š = đ?‘Ž1 − đ?‘Ž1 = 0 ⇒ đ?‘š = 0

đ?‘?1 + đ?‘› = đ?‘?1 ⇔ đ?‘› = đ?‘?1 − đ?‘?1 = 0 ⇒ đ?‘› = 0

đ?‘?1 + đ?‘? = đ?‘?1 ⇔ đ?‘? = đ?‘?1 − đ?‘?1 = 0 ⇒ đ?‘? = 0

đ?‘‘1 + đ?‘ž = đ?‘‘1 ⇔ đ?‘ž = đ?‘‘1 − đ?‘‘1 = 0 ⇒ đ?‘ž = 0 . đ?‘š Logo 0 = [ đ?‘?

� 0 0 0 0 � ] = [0 0] ⇒ 0 = [0 0]. Portanto, constatamos a existência da

matriz 0 ∈ đ?‘€2 (â„œ) tal que đ?‘Ł1 + 0 = đ?‘Ł1 . S4) Devemos mostrar que existe −đ?‘Ł1 ∈ đ?‘€2 (â„œ) tal que đ?‘Ł1 + (−đ?‘Ł1 ) = 0. De fato, seja −đ?‘Ł1 = [

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� �

đ?›˝ ] ∈ đ?‘€2 (â„œ): đ?›ż

232

𝑣1 + (−𝑣1 ) = 0 ⇔ [

𝑎1 𝑐1

𝑏1 𝛼 ]+[ 𝑑1 𝛾

𝛽 0 ]=[ 𝛿 0

𝑎 +𝛼 0 ]⇔[ 1 𝑐1 + 𝛾 0

𝑏1 + 𝛽 0 ]=[ 𝑑1 + 𝛿 0

0 ]. 0

Devido à igualdade entre matrizes, temos:

𝑎1 + 𝛼 = 0 ⇔ 𝛼 = −𝑎1

𝑏1 + 𝛽 = 0 ⇔ 𝛽 = −𝑏1

𝑐1 + 𝛾 = 0 ⇔ 𝛾 = −𝑐1

𝑑1 + 𝛿 = 0 ⇔ 𝛿 = −𝑑1 .

Logo −𝑣1 = [

𝛼 𝛾

𝛽 −𝑎 ]=[ 1 −𝑐1 𝛿

−𝑏1 ]. Portanto, constatamos a existência da matriz −𝑑2

−𝑣1 ∈ 𝑀2 (ℜ) tal que 𝑣1 + (−𝑣1 ) = 0. M1) Devemos concluir que 𝑘(𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝑘𝑣1 + 𝑘𝑣2 . De fato:

𝑘(𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝑘 ([

=[

=[

𝑘𝑎1 𝑘𝑐1

𝑎1 𝑐1

𝑘(𝑎1 + 𝑎2 ) 𝑘(𝑐1 + 𝑐2 )

𝑏1 𝑎 ]+[ 2 𝑑1 𝑐2

𝑏2 𝑎 + 𝑎2 ]) = 𝑘 [ 1 𝑑2 𝑐1 + 𝑐2

𝑘(𝑏1 + 𝑏2 ) 𝑘𝑎 + 𝑘𝑎2 ]=[ 1 𝑘𝑐1 + 𝑘𝑐2 𝑘(𝑑1 + 𝑑2 )

𝑘𝑏1 𝑘𝑎 ]+[ 2 𝑘𝑑1 𝑘𝑐2

𝑘𝑏2 𝑎 ] = 𝑘[ 1 𝑘𝑑2 𝑐1

𝑏1 𝑎 ]+𝑘[ 2 𝑑1 𝑐2

𝑏1 + 𝑏2 ] 𝑑1 + 𝑑2

𝑘𝑏1 + 𝑘𝑏2 ] 𝑘𝑑1 + 𝑘𝑑2 𝑏2 ] = 𝑘𝑣1 + 𝑘𝑣2 𝑑2

∴ 𝑘(𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝑘𝑣1 + 𝑘𝑣2 . M2) Devemos concluir que (𝑘 + 𝑙)𝑣1 = 𝑘𝑣1 + 𝑙𝑣1 . De fato: 𝑎 (𝑘 + 𝑙)𝑣1 = (𝑘 + 𝑙) [ 1 𝑐1

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(𝑘 + 𝑙)𝑎1 𝑏1 ]=[ 𝑑1 (𝑘 + 𝑙)𝑐1

(𝑘 + 𝑙)𝑏1 𝑘𝑎 + 𝑙𝑎1 ]=[ 1 𝑘𝑐1 + 𝑙𝑐1 (𝑘 + 𝑙)𝑑1

𝑘𝑏1 + 𝑙𝑏1 ] 𝑘𝑑1 + 𝑘𝑑2 233

=[

𝑘𝑎1 𝑘𝑐1

𝑘𝑏1 𝑙𝑎 ]+[ 1 𝑘𝑐2 𝑙𝑐1

𝑙𝑏1 𝑎 ] = 𝑘[ 1 𝑙𝑑1 𝑐1

𝑏1 𝑎 ]+𝑙[ 1 𝑑1 𝑐1

𝑏1 ] = 𝑘𝑣1 + 𝑙𝑣1 𝑑1

∴ (𝑘 + 𝑙)𝑣1 = 𝑘𝑣1 + 𝑙𝑣1 . M3) Devemos concluir que (𝑘𝑙)𝑣1 = 𝑘(𝑙𝑣1 ). De fato:

(𝑘𝑙)𝑣1 = (𝑘𝑙) [

𝑎1 𝑐1

(𝑘𝑙)𝑎1 𝑏1 ]=[ 𝑑1 (𝑘𝑙)𝑐1

(𝑘𝑙)𝑏1 𝑘(𝑙𝑎1 ) ]=[ (𝑘𝑙)𝑑1 𝑘(𝑙𝑐1 )

𝑎 = 𝑘 (𝑙 [ 1 𝑐1

𝑘(𝑙𝑏1 ) 𝑙𝑎 ] = 𝑘[ 1 𝑙𝑐1 𝑘(𝑙𝑑1 )

𝑙𝑏1 ] 𝑙𝑑1

𝑏1 ]) = 𝑘(𝑙𝑣1 ) 𝑑1

∴ (𝑘𝑙)𝑣1 = 𝑘(𝑙𝑣1 ). M4) Devemos concluir que 1𝑣1 = 𝑣1 . De fato:

1𝑣1 = 1 [

𝑎1 𝑐1

𝑏1 1𝑎 ]=[ 1 𝑑1 1𝑐1

1𝑏1 𝑎 ]=[ 1 1𝑑1 𝑐1

𝑏1 ] = 𝑣1 𝑑1

∴ 1𝑣1 = 𝑣1 . Como as 8 propriedades foram satisfeitas, concluímos que 𝑉 = 𝑀2 (ℜ) é um ℜ espaço vetorial. 04. O conjunto 𝑉 = 𝑀𝑚×𝑛 (ℜ) das matrizes de ordem 𝑚×𝑛 com entradas reais é um espaço vetorial sobre ℜ. 𝑎11 𝑎21 𝑉 = 𝑀𝑚×𝑛 (ℜ) = {[ ⋮ 𝑎𝑚1

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𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2

⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋱ ⋮ ] ; 𝑎𝑖𝑗 ∈ ℜ, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 𝑒 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛}. ⋯ 𝑎𝑚𝑛

234

05. O conjunto đ?‘ƒ2 (â„œ) ĂŠ o conjunto dos polinĂ´mios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais. đ?‘ƒ2 (â„œ) ĂŠ um espaço vetorial sobre â„œ (verifique). đ?‘ƒ2 (â„œ) = {đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 ; đ?‘Žđ?‘– ∈ â„œ}. Sendo đ?‘?1 (đ?‘Ľ) = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 , đ?‘?2 (đ?‘Ľ) = đ?‘?0 + đ?‘?1 đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘Ľ 2 ∈ đ?‘ƒ2 (â„œ) e đ?œ† ∈ â„œ, definimos as operaçþes em đ?‘ƒ2 (â„œ): (đ?‘?1 + đ?‘?2 )(đ?‘Ľ) = đ?‘?1 (đ?‘Ľ) + đ?‘?2 (đ?‘Ľ) = (đ?‘Ž0 + đ?‘?0 ) + (đ?‘Ž1 + đ?‘?1 )đ?‘Ľ + (đ?‘Ž2 + đ?‘?2 )đ?‘Ľ 2 (đ?‘˜đ?‘?1 )(đ?‘Ľ) = đ?‘˜đ?‘?1 (đ?‘Ľ) = đ?‘˜đ?‘Ž0 + đ?‘˜đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘˜đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 . 06.

O

conjunto

đ?‘‰ = đ?‘ƒđ?‘› (â„œ) = {đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ 2 ; đ?‘Žđ?‘– ∈ â„œ}

dos

polinĂ´mios de grau menor ou igual a đ?‘› (incluindo o grau zero) ĂŠ um â„œ espaço vetorial. Observação: Para nosso curso, vamos assumir que os espaços vetoriais sĂŁo considerados espaços sobre â„œ.

14.3 SUBESPAÇOS VETORIAIS Muitas vezes, conseguimos identificar, dentro de um espaço vetorial đ?‘‰, subconjuntos đ?‘Š ∈ đ?‘‰ tal que đ?‘Š ainda ĂŠ um espaço vetorial. Chamamos estes conjuntos de subespaços de đ?‘‰. 14.3.1 Definição: Sejam đ?‘‰ um espaço vetorial sobre â„œ e đ?‘Š ≠∅ tal que đ?‘Š ⊂ đ?‘‰. Dizemos que đ?‘Š ĂŠ um subespaço vetorial de đ?‘‰ se: i. Para quaisquer đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ đ?‘Š, tem-se đ?‘˘ + đ?‘Ł ∈ đ?‘Š; ii. Para quaisquer đ?‘Ž ∈ â„œ e đ?‘˘ ∈ đ?‘Š, tem-se đ?‘Žđ?‘˘ ∈ đ?‘Š. A definição acima nos diz que, operando dois elementos de đ?‘Š com a soma de đ?‘‰, o elemento resultante ainda serĂĄ um elemento de đ?‘Š e, operando

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um escalar de â„œ com um elemento de đ?‘Š usando-se a multiplicação escalar definida em đ?‘‰, o elemento resultante ainda serĂĄ um elemento de đ?‘Š. Em outras palavras, dizemos que đ?‘Š ĂŠ um conjunto fechado em relação Ă s operaçþes soma e multiplicação escalar e, estas operaçþes estĂŁo bem definidas em đ?‘Š. AlĂŠm disso, nĂŁo hĂĄ a necessidade de verificar as 8 propriedades de espaço vetorial para đ?‘Š, pois se as operaçþes sĂŁo fechadas, operando quaisquer dois elementos de đ?‘Š o resultado ainda ĂŠ elemento de đ?‘Š. Ora, sabemos que đ?‘Š ⊂ đ?‘‰, ou seja, qualquer elemento de đ?‘Š ĂŠ elemento de đ?‘‰ e, como đ?‘‰ ĂŠ espaço vetorial, sabe-se que as 8 propriedades de espaço vetorial sĂŁo satisfeitas. IMPORTANTE: Qualquer subespaço đ?‘Š de đ?‘‰ contĂŠm o vetor nulo de đ?‘‰, pois na condição ii da definição de subespaço, tomando đ?‘Ž = 0 temos đ?‘Ž â‹… 0 = 0 que ainda ĂŠ vetor de đ?‘Š. O fato de que 0 ∈ đ?‘Š, se đ?‘Š ⊂ đ?‘‰ ĂŠ subespaço de đ?‘‰ ĂŠ muito utilizado para verificar se um subconjunto nĂŁo ĂŠ subespaço de certo conjunto. Se tivermos đ??´ ⊂ đ??ľ, onde đ??ľ ĂŠ espaço vetorial, e ocorrer 0 ∉ đ??´ concluĂ­mos imediatamente que đ??´ NĂƒO ĂŠ subespaço de đ??ľ. Tome cuidado, se concluirmos que 0 ∈ đ??´, nĂŁo podemos dizer de imediato que đ??´ ĂŠ subespaço de đ??ľ, pois 0 ∈ đ??´ ĂŠ uma condição necessĂĄria para que đ??´ seja subespaço de đ??ľ, mas nĂŁo ĂŠ suficiente. Logo devemos verificar tambĂŠm i e ii da definição. 14.3.2 Subespaços Triviais: Seja đ?‘‰ um espaço vetorial. Os subconjuntos de đ?‘‰ đ?‘Š1 = {0} (conjunto formado pelo vetor nulo) e đ?‘Š2 = đ?‘‰ sĂŁo subespaços de đ?‘‰ e os chamamos de subespaços triviais de đ?‘‰. Em outras palavras, qualquer conjunto formado pelo vetor nulo de đ?‘‰ ĂŠ subespaço de đ?‘‰. E o prĂłprio conjunto đ?‘‰ ĂŠ subespaço de đ?‘‰. Observação: Sempre que quisermos verificar se đ?‘Š ⊂ đ?‘‰ ĂŠ um subespaço de đ?‘‰, devemos verificar se 0 ∈ đ?‘Š e as propriedades i e ii da definição. Exemplos: 01. Seja đ?‘‰ = â„œ2 = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś); đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ â„œ} espaço vetorial sobre â„œ. Seja đ?‘Š ⊂ đ?‘‰ o conjunto de pontos de â„œ2 contidos na reta đ?‘Ś = đ?‘Ľ, desta forma đ?‘Š = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ); đ?‘Ľ ∈ â„œ}. đ?‘Š ĂŠ subespaço de đ?‘‰.

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Para quaisquer đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ đ?‘Š e đ?‘Ž ∈ â„œ, tem-se đ?‘˘ + đ?‘Ł ∈ đ?‘Š e đ?‘Žđ?‘˘ ∈ đ?‘Š. Vejamos: Se đ?‘˘ = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ) ∈ đ?‘Š, entĂŁo đ?‘Ľ1 = đ?‘Ś1 . Logo đ?‘˘ = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ1 ). Se đ?‘Ł = (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ) ∈ đ?‘Š, entĂŁo đ?‘Ľ2 = đ?‘Ś2 . Logo đ?‘Ł = (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ2 ). Assim: đ?‘˘ + đ?‘Ł = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ1 ) + (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ2 ) = (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 ). As coordenadas de đ?‘˘ + đ?‘Ł satisfazem đ?‘Ś = đ?‘Ľ, logo đ?‘˘ + đ?‘Ł ∈ đ?‘Š. E tambĂŠm: đ?‘Žđ?‘˘ = đ?‘Ž(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ1 ) = (đ?‘Žđ?‘Ľ1 , đ?‘Žđ?‘Ľ1 ). As coordenadas de đ?‘Žđ?‘˘ satisfazem đ?‘Ś = đ?‘Ľ, logo đ?‘Žđ?‘˘ ∈ đ?‘Š. Como i e ii sĂŁo satisfeitas, concluĂ­mos que đ?‘Š ĂŠ subespaço vetorial de đ?‘‰ = â„œ2 . 02. Qualquer reta que passa pela origem ĂŠ subespaço de đ?‘‰ = â„œ2 . 03. Sejam đ?‘‰ = â„œ3 e đ?‘Š ⊂ â„œ3 um plano passando pela origem. Note que đ?‘Š ĂŠ um subespaço de đ?‘‰ = â„œ3 , pois quaisquer que sejam đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ đ?‘Š e đ?‘Ž ∈ â„œ tem-se đ?‘˘ + đ?‘Ł, đ?‘Žđ?‘Ł ∈ đ?‘Š e alĂŠm disso, como o plano passa pela origem, o vetor nulo de â„œ3 0 = (0,0,0) pertence Ă đ?‘Š.

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04. Sejam đ?‘‰ = â„œ5 e đ?‘Š = {(0, đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 , đ?‘Ľ5 ); đ?‘Ľđ?‘– ∈ â„œ} ⊂ đ?‘‰ o conjunto dos vetores de â„œ5 com primeira coordenada nula. Tomando đ?‘˜ ∈ â„œ e đ?‘˘ = (0, đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 , đ?‘Ľ5 ), đ?‘Ł = (0, đ?‘Ś2 , đ?‘Ś3 , đ?‘Ś4 , đ?‘Ś5 ) ∈ đ?‘Š, temos: đ?‘˘ + đ?‘Ł = (0, đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2 , đ?‘Ľ3 + đ?‘Ś3 , đ?‘Ľ4 + đ?‘Ś4 , đ?‘Ľ5 + đ?‘Ś5 ) ∈ đ?‘Š. Pois a primeira coordenada de đ?‘˘ + đ?‘Ł ĂŠ nula e as demais sĂŁo nĂşmeros reais đ?‘Ľđ?‘– + đ?‘Śđ?‘– , isto ĂŠ, a propriedade de đ?‘Š ĂŠ satisfeita. Temos tambĂŠm: đ?‘˜đ?‘˘ = (0, đ?‘˜đ?‘Ľ2 , đ?‘˜đ?‘Ľ3 , đ?‘˜đ?‘Ľ4 , đ?‘˜đ?‘Ľ5 ) ∈ đ?‘Š. Pois a primeira coordenada de đ?‘˜đ?‘˘ ĂŠ nula e as demais sĂŁo đ?‘˜đ?‘Ľđ?‘– ∈ â„œ. Portanto, concluĂ­mos que đ?‘Š ĂŠ um subespaço de đ?‘‰ = â„œ3 . 05. O conjunto đ?‘Š das matrizes triangulares superiores ĂŠ um subespaço de đ?‘‰ = đ?‘€đ?‘› (â„œ), pois a soma de duas matrizes triangulares superiores ainda ĂŠ uma matriz triangular superior e a multiplicação de um escalar por uma matriz triangular superior ainda ĂŠ uma matriz triangular superior. 2đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś + đ?‘§ = 0 06. Consideramos o sistema homogĂŞneo de equaçþes lineares { đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 2đ?‘§ = 0 đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś − đ?‘§ = 0 na forma matricial:

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2 [1 1

1 đ?‘Ľ 0 đ?‘Ś 2 ] [ ] = [0] ‌ . (∗) −1 đ?‘§ 0

4 1 3

Note que a solução do sistema ĂŠ encontrada no conjunto đ?‘€3Ă—1 (â„œ) das matrizes de ordem 3Ă—1 com coeficientes reais e, desta forma, vamos mostrar que o conjunto đ?‘Š de soluçþes do sistema (*) ĂŠ um subespaço de đ?‘€3Ă—1 (â„œ). đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 Tomando đ?‘˘ = [đ?‘Ś1 ] , đ?‘Ł = [đ?‘Ś2 ] ∈ đ?‘Š e đ?‘˜ ∈ â„œ, resta verificar que đ?‘˘ + đ?‘Ł e đ?‘˜đ?‘˘ sĂŁo đ?‘§1 đ?‘§2 soluçþes do sistema, isto ĂŠ, devemos mostrar que đ?‘˘ + đ?‘Ł, đ?‘˜đ?‘˘ ∈ đ?‘Š, daĂ­ concluĂ­mos que đ?‘Š ĂŠ subespaço de đ?‘€3Ă—1 (â„œ). De fato: đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 đ?‘˘ + đ?‘Ł = [đ?‘Ś1 ] + [đ?‘Ś2 ]. đ?‘§1 đ?‘§2 i. Mostremos que đ?‘˘ + đ?‘Ł ĂŠ solução do sistema (*): 2 [1 1

4 1 3

đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 1 2 đ?‘Ś đ?‘Ś 2 ] â‹… ([ 1 ] + [ 2 ]) = [1 đ?‘§1 đ?‘§2 −1 1

4 1 3

1 đ?‘Ľ1 2 đ?‘Ś 2 ] [ 1 ] + [1 −1 đ?‘§1 1

4 1 3

1 đ?‘Ľ2 2 ] [đ?‘Ś2 ] ‌ (∗∗) −1 đ?‘§2

đ?‘Ľ1 2 4 1 đ?‘Ľ1 0 Como đ?‘˘ = [đ?‘Ś1 ] ∈ đ?‘Š, đ?‘˘ ĂŠ solução do sistema, logo [1 1 2 ] [đ?‘Ś1 ] = [0] e, de đ?‘§1 1 3 −1 đ?‘§1 0 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś forma anĂĄloga, como đ?‘Ł = [ 2 ] ∈ đ?‘Š, đ?‘Ł ĂŠ solução do sistema, logo đ?‘§2 2 4 1 đ?‘Ľ2 0 đ?‘Ś [1 1 2 ] [ 2 ] = [0]. Desta forma, voltando em (**), temos: 1 3 −1 đ?‘§2 0 2 [1 1

4 1 3

đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 1 2 4 đ?‘Ś đ?‘Ś â‹… + = ] ([ ] [ ]) [ 2 1 1 1 2 đ?‘§1 đ?‘§2 −1 1 3 0 2 = [0] ⇒ [1 0 1

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4 1 3

1 đ?‘Ľ1 2 4 đ?‘Ś + ] [ ] [ 2 1 1 1 −1 đ?‘§1 1 3

1 đ?‘Ľ2 0 0 đ?‘Ś = + ] [ ] [ ] [ 2 0 0] 2 đ?‘§ −1 2 0 0

đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 1 0 2 ] â‹… ([đ?‘Ś1 ] + [đ?‘Ś2 ]) = [0]. đ?‘§1 đ?‘§2 −1 0

239

đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś Portanto, đ?‘˘ + đ?‘Ł = [ 1 ] + [đ?‘Ś2 ] ĂŠ solução de (*), logo đ?‘˘ + đ?‘Ł ∈ đ?‘Š. đ?‘§1 đ?‘§2 Temos tambĂŠm: đ?‘Ľ1 đ?‘˜đ?‘˘ = đ?‘˜ [đ?‘Ś1 ]. đ?‘§1 ii. Mostremos que đ?‘˜đ?‘˘ ĂŠ solução do sistema (*): 2 [1 1

4 1 3

đ?‘Ľ1 1 2 đ?‘Ś 2 ] (đ?‘˜ [ 1 ]) = đ?‘˜ ([1 đ?‘§1 −1 1 2 ⇒ [1 1

4 1 3

4 1 3

1 đ?‘Ľ1 0 0 đ?‘Ś 2 ] [ 1 ]) = đ?‘˜ [0] = [0] −1 đ?‘§1 0 0

đ?‘Ľ1 1 0 2 ] (đ?‘˜ [đ?‘Ś1 ]) = [0]. đ?‘§1 −1 0

Portanto đ?‘˜đ?‘˘ ĂŠ solução do sistema (*), logo đ?‘˜đ?‘˘ ∈ đ?‘Š. Como i e ii sĂŁo satisfeitas, temos que đ?‘Š ĂŠ subespaço vetorial de đ?‘€3Ă—1 (â„œ). Contra Exemplos: 01. Sejam đ?‘‰ = â„œ2 e đ?‘Š = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 ; đ?‘Ś = đ?‘Ľ + 1}. đ?‘Š nĂŁo ĂŠ um subespaço vetorial de đ?‘‰.

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Observe que a soma de đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ đ?‘Š ĂŠ o vetor đ?‘˘ + đ?‘Ł ∉ đ?‘Š, para que đ?‘˘ + đ?‘Ł seja um vetor de đ?‘Š, este deveria possuir extremidade sobre a reta de equação đ?‘Ś = đ?‘Ľ + 1. Em outras palavras, a propriedade i da definição de subespaço nĂŁo ĂŠ satisfeita, logo đ?‘Š nĂŁo ĂŠ subespaço vetorial de đ?‘‰ = â„œ2 . TambĂŠm podemos concluir algebricamente que đ?‘Š nĂŁo ĂŠ um subespaço de đ?‘‰ = â„œ2 . Basta observar que o vetor nulo 0 = (0,0) ∈ â„œ nĂŁo satisfaz a propriedade de đ?‘Š, isto ĂŠ, as coordenadas do vetor nulo sĂŁo đ?‘Ľ = 0 e đ?‘Ś = 0, logo đ?‘Ś = 0 ≠0 + 1 = đ?‘Ľ + 1 ⇒ đ?‘Ś ≠đ?‘Ľ + 1. Portanto 0 ∉ đ?‘Š e isto jĂĄ ĂŠ o suficiente para concluir que đ?‘Š NĂƒO ĂŠ subespaço de đ?‘‰ = â„œ2 . 02. Seja đ?‘‰ = â„œ2 , se đ?‘Š for qualquer reta que nĂŁo passa pela origem, entĂŁo đ?‘Š nĂŁo ĂŠ subespaço de đ?‘‰. 03. Sejam đ?‘‰ = â„œ2 e đ?‘Š = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 ; đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 }. đ?‘Š nĂŁo ĂŠ subespaço de đ?‘‰. Observe que 0 = (0,0) ∈ đ?‘Š, pois em 0 = (0,0), as coordenadas sĂŁo đ?‘Ľ = 0 e đ?‘Ś = 0, logo đ?‘Ś = 0 = 02 = đ?‘Ľ ⇒ đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 , isto ĂŠ, 0 = (0,0) satisfaz a propriedade de đ?‘Š. Podemos concluir que đ?‘Š ĂŠ subespaço de đ?‘‰? NĂŁo! Ainda devemos verificar as propriedades i e ii da definição. Tomando đ?‘˘1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), đ?‘˘2 = (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ) ∈ đ?‘Š, temos que đ?‘Ś1 = đ?‘Ľ12 e đ?‘Ś2 = đ?‘Ľ22 , logo:

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đ?‘˘1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ12 ) đ?‘˘2 = (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ22 ). Vamos verificar i da definição, isto ĂŠ, queremos verificar se đ?‘˘1 + đ?‘˘2 ∈ đ?‘Š. Temos: đ?‘˘1 + đ?‘˘2 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ12 ) + (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ22 ) = (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ12 + đ?‘Ľ22 ) ⇒ đ?‘˘1 + đ?‘˘2 = (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ12 + đ?‘Ľ22 ) . Perceba que o vetor đ?‘˘1 + đ?‘˘2 nĂŁo satisfaz a propriedade de đ?‘Š, pois deverĂ­amos ter (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 )2 = đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2 na coordenada em đ?‘Ś (lembrando que para que um vetor (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) pertença a đ?‘Š, suas coordenadas devem satisfazer đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 ), ou seja, o vetor đ?‘˘1 + đ?‘˘2 nĂŁo ĂŠ da forma (đ?‘Ľ, đ?‘Ľ 2 ). Portanto đ?‘˘1 + đ?‘˘2 ∉ đ?‘Š, e assim đ?‘Š nĂŁo ĂŠ subespaço de đ?‘‰ = â„œ2 . 14.3.3 Teorema (Interseção de subespaços): Dados đ?‘Š1 e đ?‘Š2 subespaços de đ?‘‰, a interseção đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 ainda ĂŠ um subespaço de đ?‘‰. Prova: Para provar que o conjunto đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 ĂŠ subespaço de đ?‘‰, devemos mostrar: i. Se đ?‘Ł1 ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 e đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 , entĂŁo đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 ; ii. Se đ?œ† ∈ â„œ e đ?‘Ł ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 , entĂŁo đ?œ†đ?‘Ł ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 . i. Se đ?‘Ł1 ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 e đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 , entĂŁo đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 . De fato: a) Como đ?‘Ł1 ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 , temos que đ?’—đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? e đ?’—đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? . b) Como đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 , temos que đ?’—đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? e đ?’—đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? . Juntando as informaçþes de a e b, como đ?’—đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? e đ?’—đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? e đ?‘Š1 ĂŠ subespaço de đ?‘‰, temos que đ?’—đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? ‌ (∗). Juntando as informaçþes de a e b, como đ?’—đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? e đ?’—đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? e đ?‘Š2 ĂŠ subespaço de đ?‘‰, temos que đ?’—đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? ‌ (∗∗). De (*) e (**), temos que đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Š1 e đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Š2 , logo concluĂ­mos que đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 . ii. Se đ?œ† ∈ â„œ e đ?‘Ł ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 , entĂŁo đ?œ†đ?‘Ł ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 . De fato:

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Como đ?‘Ł ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 , temos que đ?’— ∈ đ?‘žđ?&#x;? e đ?’— ∈ đ?‘žđ?&#x;? . Sabemos que đ?‘Š1 ĂŠ subespaço de đ?‘‰, logo đ??€đ?’— ∈ đ?‘žđ?&#x;? . TambĂŠm como đ?‘Š2 ĂŠ subespaço de đ?‘‰ tem-se đ??€đ?’— ∈ đ?‘žđ?&#x;? . Logo, se đ?œ†đ?‘Ł ∈ đ?‘Š1 e đ?œ†đ?‘Ł ∈ đ?‘Š2 , temos que đ?œ†đ?‘Ł ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 . Assim, concluĂ­mos que đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 ĂŠ subespaço de đ?‘‰. Exemplos: 01. Sejam đ?‘‰ = â„œ3 , đ?‘Š1 = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 ; đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 0} e đ?‘Š2 = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§); 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 0}. Note que đ?‘Š1 = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ, đ?‘§); đ?‘Ľ, đ?‘§ ∈ â„œ} e đ?‘Š2 = {(đ?‘Ľ, −2đ?‘Ľ, đ?‘§); đ?‘Ľ, đ?‘§ ∈ â„œ} sĂŁo planos que passam đ?‘Ľ=0 pela origem e paralelos ao eixo đ?‘? e a interseção đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 ĂŠ a reta { (reta đ?‘Ś=0 sobre o eixo đ?‘?). Como đ?‘Š1 e đ?‘Š2 sĂŁo planos que passam pela origem, sabemos que đ?‘Š1 e đ?‘Š2 sĂŁo subespaços de đ?‘‰ = â„œ3 . Perceba que đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§); đ?‘Ľ = đ?‘Ś = 0} = {(0,0, đ?‘§); đ?‘§ ∈ â„œ} ĂŠ, de fato, um subespaço de đ?‘‰ = â„œ3 . Se đ?‘˘ ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 , đ?‘˘ ĂŠ da forma đ?‘˘ = (0,0, đ?‘§đ?‘˘ ) e se đ?‘Ł ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 , đ?‘Ł ĂŠ da forma đ?‘Ł = (0,0, đ?‘§đ?‘Ł ), logo, sendo đ?‘˜ ∈ â„œ: đ?‘˘ + đ?‘Ł = (0,0, đ?‘§đ?‘˘ + đ?‘§đ?‘Ł ) ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 đ?‘˜đ?‘˘ = (0,0, đ?‘˜đ?‘§1 ) ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 Geometricamente, podemos pensar que quaisquer vetores sobre o eixo đ?‘?, terĂŁo sua soma ainda sobre o eixo đ?‘? e tambĂŠm qualquer mĂşltiplo ainda estarĂĄ sobre đ?‘?. 02. Sejam đ?‘‰ = đ?‘€đ?‘› (â„œ), đ?‘Š1 o conjunto das matrizes triangulares superiores de ordem đ?‘› e đ?‘Š2 o conjunto das matrizes triangulares inferioresde ordem đ?‘›. Obviamente đ?‘Š1 e đ?‘Š2 sĂŁo subespaços de đ?‘‰ = đ?‘€đ?‘› (â„œ). O conjunto đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 serĂĄ o conjunto das matrizes diagonal de ordem đ?‘› e este serĂĄ um subespaço de đ?‘‰ = đ?‘€đ?‘› (â„œ). 14.3.4 Teorema (Soma de subespaços): Sejam đ?‘Š1 e đ?‘Š2 subespaços de đ?‘‰. O conjunto đ?‘Š1 + đ?‘Š2 = {đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ∈ đ?‘‰; đ?‘Ł1 ∈ đ?‘Š1 đ?‘’ đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Š2 } ainda ĂŠ subespaço de đ?‘‰.

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Prova: Devemos mostrar que 0 ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 e: i. Se đ?‘˘ ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 e đ?‘Ł ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 , entĂŁo đ?‘˘ + đ?‘Ł ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 ; ii. Se đ?œ‚ ∈ â„œ e đ?‘˘ ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 , entĂŁo đ?œ‚đ?‘˘ ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 . Mostremos: i. Se đ?‘˘ ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 e đ?‘Ł ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 , entĂŁo đ?‘˘ + đ?‘Ł ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 . De fato, se đ?‘˘ ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 , existem đ?’–đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? e đ?’–đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? tais que đ?‘˘ = đ?‘˘1 + đ?‘˘2 e, analogamente, se đ?‘Ł ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 , existem đ?’—đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? e đ?’—đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? tais que đ?‘Ł = đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 . Assim: đ?‘˘ + đ?‘Ł = (đ?’–đ?&#x;? + đ?’–đ?&#x;? ) + (đ?’—đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;? ). Como đ?‘Š1 e đ?‘Š2 sĂŁo subespaços de đ?‘‰, todas as propriedades de espaços vetoriais sĂŁo vĂĄlidas para suas operaçþes. Assim:

đ?‘˘ + đ?‘Ł = (đ?’–đ?&#x;? + đ?’–đ?&#x;? ) + (đ?’—đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;? ) = (đ?’–đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;? ) + (đ?’–đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;? ) ∈ đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 . Portanto đ?‘˘ + đ?‘Ł ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 , pois ĂŠ formado pela soma de elementos de đ?‘Š1 e đ?‘Š2 . ii. Se đ?œ‚ ∈ â„œ e đ?‘˘ ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 , entĂŁo đ?œ‚đ?‘˘ ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 . De fato, Se đ?‘˘ ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 , existem đ?’–đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? e đ?’–đ?&#x;? ∈ đ?‘žđ?&#x;? tais que đ?‘˘ = đ?‘˘1 + đ?‘˘2 . Assim: đ?‘˜đ?‘˘ = đ?‘˜(đ?’–đ?&#x;? + đ?’–đ?&#x;? ) = đ?’Œđ?’–đ?&#x;? + đ?’Œđ?’–đ?&#x;? ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 . Portanto đ?‘˜đ?‘˘ ∈ đ?‘Š1 + đ?‘Š2 , pois ĂŠ formado pela soma de elementos de đ?‘Š1 e đ?‘Š2 . Desta forma, concluĂ­mos que đ?‘Š1 + đ?‘Š2 ĂŠ subespaço vetorial de đ?‘‰. Exemplos: 01. Sejam đ?‘‰ = â„œ3 , đ?‘Š1 um plano passando pela origem e đ?‘Š2 uma reta passando pela origem contida neste plano, đ?‘Š1 + đ?‘Š2 = đ?‘Š1 . Observe:

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02. Se tivermos đ?‘Š1 = {[ đ?‘Ž đ?‘?

{[

đ?‘Ž 0

0 đ?‘? ] ; đ?‘Ž, đ?‘? ∈ â„œ} e đ?‘Š2 = {[ đ?‘? 0

0 ] ; đ?‘?, đ?‘‘ ∈ â„œ}, entĂŁo đ?‘Š1 + đ?‘Š2 = đ?‘‘

đ?‘? ] ; đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘ ∈ â„œ} = đ?‘€2 (â„œ). đ?‘‘

Neste caso, đ?‘Š1 e đ?‘Š2 sĂŁo subespaços de đ?‘€2 (â„œ), assim a soma đ?‘Š1 + đ?‘Š2 ainda ĂŠ subespaço de đ?‘€2 (â„œ) devido ao Teorema da soma de subespaços. AlĂŠm disso, a soma dos subespaços resultou no prĂłprio espaço vetorial đ?‘€2 (â„œ). 14.3.5 Definição: Seja đ?‘‰ espaço vetorial e đ?‘Š1 e đ?‘Š2 subespaços de đ?‘‰. Quando đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 = {0}, dizemos que đ?‘Š1 + đ?‘Š2 ĂŠ soma direta de đ?‘Š1 com đ?‘Š2 e denotamos đ?‘Š1 ⊕ đ?‘Š2 . Em outras palavras, se a interseção entre đ?‘Š1 e đ?‘Š2 for o conjunto composto pelo vetor nulo. Exemplos: 01. O exemplo 01 anterior ĂŠ um caso onde đ?‘Š1 + đ?‘Š2 nĂŁo ĂŠ soma direta de đ?‘Š1 com đ?‘Š2 , pois đ?‘Š1 ∊ đ?‘Š2 = đ?‘Š2 , isto ĂŠ, a interseção ĂŠ a reta đ?‘Š2 ≠{0}.

02. No exemplo 02 anterior, đ?‘Š1 + đ?‘Š2 ĂŠ soma direta de đ?‘Š1 com đ?‘Š2 , pois đ?‘Š1 ∊ đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘Š2 = {[

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0 đ?‘? ] ; đ?‘Ž = đ?‘? = đ?‘? = đ?‘‘ = 0} = {[ 0 đ?‘‘

0 ]} = {0}. A Ăşnica matriz que satisfaz as 0 245

propriedades de đ?‘Š1 e đ?‘Š2 simultaneamente ĂŠ a matriz nula de đ?‘€2 (â„œ). Logo đ?‘Š1 ⊕ đ?‘Š2 = đ?‘€2 (â„œ).

14.4 COMBINAĂ‡ĂƒO LINEAR 14.4.1 Definição: Sejam đ?‘‰ um espaço vetorial sobre â„œ, đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ∈ đ?‘‰ e đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› ∈ â„œ. Chamamos de combinação linear de đ?‘Ł1 , ‌ đ?‘Łđ?‘› o vetor đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ tal que:

đ?‘Ł = đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ł2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› . 14.4.2 Subespaço Gerado: Sejam đ?‘‰ um espaço vetorial sobre â„œ, đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ∈ đ?‘‰, đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› ∈ â„œ e: đ?‘Š = {đ?‘Ł ∈ đ?‘‰; đ?‘Ł = đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› }. đ?‘Š ĂŠ um subespaço de đ?‘‰ e chamamos đ?‘Š de subespaço gerado por đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› . Em outras palavras, đ?‘Š ĂŠ o conjunto dos vetores de đ?‘‰ tais que estes vetores sĂŁo combinação linear de đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› . Ainda podemos usar a notação đ?‘Š = [đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ] que indica que đ?‘Š ĂŠ o subespaço gerado por đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› . Observação: O conjunto đ?‘Š = [đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ] deve ser o subespaço de đ?‘‰ que possui a menor quantidade de vetores e que contenha {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› }. Por exemplo, se đ?‘Š ′ conter {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› }, este deve satisfazer đ?‘Š ⊂ đ?‘Š ′ . Exemplos: 01. Considere đ?‘‰ = â„œ3 e đ?‘Ł ∈ đ?‘‰; đ?‘Ł ≠0. Observe que [đ?‘Ł] = {đ?‘Žđ?‘Ł; đ?‘Ž ∈ â„œ}, isto ĂŠ, o conjunto gerado por đ?‘Ł ĂŠ a reta que contĂŠm o vetor đ?‘Ł e passa pela origem do sistema.

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02. Sejam đ?‘‰ = â„œ3 e đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ∈ đ?‘‰; đ?‘Ł1 ≠đ?›˝đ?‘Ł2 . Temos [đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ] = {đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ł2 ; đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ∈ â„œ} ĂŠ o plano que passa pela origem e contĂŠm os vetores đ?‘Ł1 e đ?‘Ł2 .

Se tivermos đ?‘Ł3 ∈ [đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ], entĂŁo đ?‘Ł3 = đ?‘?1 đ?‘Ł1 + đ?‘?2 đ?‘Ł2 , logo [đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ] = [đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 ] pois todo vetor que ĂŠ escrito como combinação linear de đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 pode ser escrito como combinação de đ?‘Ł1 e đ?‘Ł2 , pois, se đ?‘Ł = đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ł2 + đ?‘Ž3 đ?‘Ł3 ∈ [đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 ] foi visto que đ?‘Ł3 = đ?‘?1 đ?‘Ł1 + đ?‘?2 đ?‘Ł2 , logo: đ?‘Ł = đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ł2 + đ?‘Ž3 (đ?‘?1 đ?‘Ł1 + đ?‘?2 đ?‘Ł2 ) = đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ł2 + đ?‘Ž3 đ?‘?1 đ?‘Ł1 + đ?‘Ž3 đ?‘?2 đ?‘Ł2 = (đ?‘Ž1 + đ?‘Ž3 đ?‘?1 )đ?‘Ł1 + (đ?‘Ž2 + đ?‘Ž3 đ?‘?2 )đ?‘Ł2 ∈ [đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ].

03. Sejam đ?‘‰ = â„œ2 e đ?‘Ł1 = (1,0), đ?‘Ł2 = (0,1) ∈ đ?‘‰. EntĂŁo

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247

[đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ] = [(1,0), (0,1)] = {đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ł2 ; đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ∈ â„œ} = {đ?‘Ž1 (1,0) + đ?‘Ž2 (0,1); đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ∈ â„œ} = {(đ?‘Ž1 , 0) + (0, đ?‘Ž2 ); đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ∈ â„œ} = {(đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ); đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ∈ â„œ} = â„œ2 = đ?‘‰. Neste caso, đ?‘‰ = [đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ]. Dizemos que o subespaço gerado por đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 [đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ] ĂŠ gerador do espaço vetorial đ?‘‰. Em outras palavras, qualquer que seja (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 , (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ(1,0) + đ?‘Ś(0,1), ou seja, (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ [(1,0), (0,1)], logo đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 gera todos os vetores de â„œ2 .

04. Sejam đ?‘‰ = đ?‘€2 (â„œ) e đ?‘Ł1 = [

1 0

[đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ] = [[1 0

1 0

= {đ?‘Ž [

0 0 1 ],đ?‘Ł = [ ] ∈ đ?‘€2 (â„œ). Temos: 0 2 0 0

0 0 1 ],[ ]] = {đ?‘Žđ?‘Ł1 + đ?‘?đ?‘Ł2 ; đ?‘Ž, đ?‘? ∈ â„œ} 0 0 0

0 0 1 đ?‘Ž ]+đ?‘?[ ] ; đ?‘Ž, đ?‘? ∈ â„œ} = {[ 0 0 0 0 đ?‘Ž 0

⇒ [�1 , �2 ] = {[

0 0 đ?‘? ]+[ ] ; đ?‘Ž, đ?‘? ∈ â„œ} 0 0 0

đ?‘? ] ; đ?‘Ž, đ?‘?, ∈ â„œ}. 0

05. Quais sĂŁo os vetores geradores do subespaço đ?‘Š = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 ; đ?‘Ľ = −3đ?‘§} de đ?‘‰ = â„œ3 ? Para determinar đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ∈ â„œ3 tais que đ?‘Š = [đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ], façamos: đ?‘Š = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 ; đ?‘Ľ = −3đ?‘§} = {(−3đ?‘§, đ?‘Ś, đ?‘§); đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ â„œ} = {(0, đ?‘Ś, 0) + (−3đ?‘§, 0, đ?‘§); đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ â„œ} = {đ?‘Ś(0,1,0) + đ?‘§(−3,0,1); đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ â„œ} = [(0,1,0), (−3,0,1)] ⇒ đ?‘Š = [(0,1,0), (−3,0,1)]. Logo đ?‘Ł1 = (0,1,0) e đ?‘Ł2 = (−3,0,1).

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248

06. O conjunto solução da equação linear đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + 4đ?‘§ = 0 ĂŠ um subespaço de đ?‘‰ = â„œ3 . Observe que:

đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + 4đ?‘§ = 0 ⇔ đ?‘Ľ = 2đ?‘Ś − 4đ?‘§. O conjunto de soluçþes ĂŠ:

đ?‘Š = {(2đ?‘Ś − 4đ?‘§, đ?‘Ś, đ?‘§); đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ â„œ} = {(2đ?‘Ś, đ?‘Ś, 0) + (−4đ?‘§, 0, đ?‘§); đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ â„œ}

= {đ?‘Ś(2,1,0) + đ?‘§(−4,0,1); đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ â„œ} = [(2,1,0), (−4,0,1)] ⇒ đ?‘Š = [(2,1,0), (−4,0,1)] .

O conjunto de soluçþes de đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + 4đ?‘§ = 0 ĂŠ o subespaço gerado por (2,1,0) e (−4,0,1).

14.5 DEPENDĂŠNCIA E INDEPENDĂŠNCIA LINEAR Como vimos no Exemplo 02 anterior, o subespaço gerado por đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 ĂŠ o mesmo subespaço gerado por đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 e, desta forma, podemos pensar no vetor đ?‘Ł3 como sendo supĂŠrfluo para descrever tal subespaço, pois este ĂŠ uma combinação linear de đ?‘Ł1 e đ?‘Ł2 . Em geral, considerando {đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› }, nossa preocupação ĂŠ determinar se existe algum vetor que nĂŁo exista a necessidade de estar no conjunto no caso em que desejamos descrever [đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ]. 14.5.1 Definição: Seja đ?‘‰ um espaço vetorial e đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ∈ đ?‘‰. Dizemos que o conjunto {đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ linearmente independente (LI) se: đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ł2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› = 0 ⇒ đ?‘Ž1 = đ?‘Ž2 = â‹Ż = đ?‘Žđ?‘› = 0. 14.5.2 Definição: Seja đ?‘‰ um espaço vetorial e đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ∈ đ?‘‰. Dizemos que o conjunto {đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ linearmente dependente (LD) se:

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249

đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ł2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› = 0 ⇒ đ?‘Žđ?‘– ≠0, đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘™đ?‘”đ?‘˘đ?‘š đ?‘– ∈ {1, ‌ , đ?‘›}. 14.5.3 Teorema: O conjunto {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ LD se, e somente se, um dos vetores do conjunto for combinação linear dos demais. Prova: (⇒) Queremos mostrar que se {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ LD, entĂŁo um dos vetores ĂŠ combinação linear dos demais. De fato: Se {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ LD, temos por definição que đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› = 0 implica que algum dos đ?‘Žđ?‘˜ ; 1 ≤ đ?‘˜ ≤ đ?‘› ĂŠ nĂŁo nulo. Suponha que em đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘–−1 đ?‘Łđ?‘–−1 + đ?’‚đ?’Š đ?‘Łđ?‘– + đ?‘Žđ?‘–+1 đ?‘Łđ?‘–+1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› = 0, tem-se đ?’‚đ?’Š ≠đ?&#x;Ž. EntĂŁo: đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘–−1 đ?‘Łđ?‘–−1 + đ?’‚đ?’Š đ?‘Łđ?‘– + đ?‘Žđ?‘–+1 đ?‘Łđ?‘–+1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› = 0 ⇒ đ?‘Žđ?‘– đ?‘Łđ?‘– = −(đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘–−1 đ?‘Łđ?‘–−1 + đ?‘Žđ?‘–+1 đ?‘Łđ?‘–+1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› ) ‌ (∗) Como đ?‘Žđ?‘– ≠0, existe đ?‘Žđ?‘–−1 tal que đ?‘Žđ?‘– đ?‘Žđ?‘–−1 = 1. Multiplicando (*) por đ?‘Žđ?‘–−1 :

đ?‘Łđ?‘– = −

A

đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 đ?‘Žđ?‘–−1 đ?‘Žđ?‘–+1 đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ł1 − đ?‘Ł2 − â‹Ż − đ?‘Łđ?‘–−1 − đ?‘Łđ?‘–+1 − â‹Ż − đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 − đ?‘Łđ?‘› . đ?‘Žđ?‘– đ?‘Žđ?‘– đ?‘Žđ?‘– đ?‘Žđ?‘– đ?‘Žđ?‘– đ?‘Žđ?‘–

igualdade

acima,

nos

diz

que

đ?‘Łđ?‘–

ĂŠ

combinação

linear

de

đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘–−1 , đ?‘Łđ?‘–+1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› , ou seja, um vetor do conjunto ĂŠ combinação linear dos demais, que ĂŠ o que querĂ­amos demonstrar. (â‡?) Queremos mostrar que se um dos vetores de {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ combinação linear dos demais, entĂŁo {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ LD. De fato, se um dos vetores de {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ combinação linear, digamos que đ?‘Łđ?‘› seja combinação linear de đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 , entĂŁo:

đ?‘Łđ?‘› = đ?‘?1 đ?‘Ł1 + đ?‘?2 đ?‘Ł2 + â‹Ż + đ?‘?đ?‘›âˆ’1 đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 ‌ (∗) Somando −đ?’—đ?’? em ambos os membros de (*): đ?‘?1 đ?‘Ł1 + đ?‘?2 đ?‘Ł2 + â‹Ż + đ?‘?đ?‘›âˆ’1 đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 − đ?&#x;?đ?’—đ?’? = 0.

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250

Note que, na equação cima, temos uma combinação linear de đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› igual ao vetor nulo, onde o coeficiente de đ?‘Łđ?‘› ĂŠ đ?‘?đ?‘› = −1 ≠0, ou seja, a equação implicou um dos đ?‘?đ?‘– nĂŁo nulo. Logo, por definição, concluĂ­mos que {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ LD, que ĂŠ o que querĂ­amos demonstrar. Equivalente Ă proposição acima: Um conjunto de vetores ĂŠ LI se, e somente se, nenhum dos vetores for combinação linear dos demais. Exemplos: 01. Sejam đ?‘‰ = â„œ3 e đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ∈ đ?‘‰. O conjunto {đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 } ĂŠ LD se, e somente se đ?‘Ł1 e đ?‘Ł2 estiverem na mesma reta que passa pela origem, ou ainda se đ?‘Ł1 = đ?œ†đ?‘Ł2 .

02. Sejam đ?‘‰ = â„œ3 e đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 ∈ â„œ. O conjunto {đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 } ĂŠ LD se, e somente se đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 e đ?‘Ł3 estiverem no mesmo plano que passa pela origem

03. Sejam đ?‘‰ = â„œ2 e đ?‘Ł1 = (1,0), đ?‘Ł2 = (0,1). O conjunto {đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 } ĂŠ LI.

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251

Vamos mostrar que este conjunto ĂŠ LI usando o Teorema anterior, ou seja, façamos uma combinação de đ?‘Ł1 e đ?‘Ł2 igual ao vetor nulo e, se esta implicar que os coeficientes da combinação sĂŁo nulos, concluĂ­mos que {đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 } ĂŠ LI. EntĂŁo: đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ł2 = 0 ⇔ đ?‘Ž1 (1,0) + đ?‘Ž2 (0,1) = (0,0) ⇔ (đ?‘Ž1 , 0) + (0, đ?‘Ž2 ) = (0,0)

⇔ (�1 , �2 ) = (0,0) ⇔ {

đ?‘Ž1 = 0 . đ?‘Ž2 = 0

Portanto, đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ł2 = 0 ⇒ đ?‘Ž1 = đ?‘Ž2 = 0 e, pelo Teorema 14.5.3 segue que {(1,0), (0,1)} ĂŠ LI. 04. Sejam đ?‘‰ = â„œ3 e đ?‘Ł1 = (1,0,0), đ?‘Ł2 = (0,1,0), đ?‘Ł3 = (0,0,1) ∈ đ?‘‰, o conjunto {đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 } ĂŠ LI. De fato:

�1 �1 + �2 �2 + �3 �3 = 0 ⇔ �1 (1,0,0) + �2 (0,1,0) + �3 (0,0,1) = (0,0,0) �1 = 0 ⇔ (�1 , 0,0) + (0, �2 , 0) + (0,0, �3 ) = (0,0,0) ⇔ (�1 , �2 , �3 ) = (0,0,0) ⇔ {�2 = 0. �3 = 0 Como

đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ł2 + đ?‘Ž3 đ?‘Ł3 = 0

implicou

đ?‘Ž1 = đ?‘Ž2 = đ?‘Ž3 = 0,

temos

que

{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ĂŠ LI. 05. Sejam đ?‘‰ = â„œ2 e đ?‘Ł1 = (1, −1), đ?‘Ł2 = (1,0), đ?‘Ł3 = (1,1) ∈ đ?‘‰. O conjunto {đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 } ĂŠ LD, pois: đ?‘Žđ?‘Ł1 + đ?‘?đ?‘Ł2 + đ?‘?đ?‘Ł3 = 0 ⇔ đ?‘Ž(1, −1) + đ?‘?(1,0) + đ?‘?(1,1) = (0,0) ⇔ (đ?‘Ž, −đ?‘Ž) + (đ?‘?, 0) + (đ?‘?, đ?‘?) = (0,0) ⇔ (đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘?, −đ?‘Ž + đ?‘?) = (0,0) đ?‘Ž+đ?‘?+đ?‘? =0 ⇔{ . −đ?‘Ž + đ?‘? = 0

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252

Logo đ?‘? = đ?‘Ž e đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 0 ⇔ đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘Ž = 0 ⇔ đ?‘? = −2đ?‘Ž. Portanto đ?‘Ž ∈ â„œ, đ?‘? = −2đ?‘Ž e đ?‘? = đ?‘Ž com nĂŁo nĂŁo necessariamente nulo, ou seja, a equação đ?‘Žđ?‘Ł1 + đ?‘?đ?‘Ł2 + đ?‘?đ?‘Ł3 = 0 implicou em um dos coeficientes nĂŁo nulo. Portanto {đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 } = {(1, −1), (1,0), (1,1)} ĂŠ LD.

14.6 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL Podemos encontrar dentro de um espaço vetorial đ?‘‰, um conjunto finito de vetores tais que qualquer outro vetor de đ?‘‰ ĂŠ uma combinação linear dos vetores deste conjunto. Em outras palavras, queremos determinar um conjunto de vetores que gera todos os vetores do espaço vetorial đ?‘‰. A ideia aqui ĂŠ semelhante Ă vista em geometria analĂ­tica, onde todos os vetores do espaço podiam ser escritos com combinação dos vetores do conjunto {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗}. E dizĂ­amos que {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗} era uma base para o espaço. 14.6.1 Definição: O conjunto {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ⊂ đ?‘‰ ĂŠ uma base de đ?‘‰ se: i. {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ LI; ii. đ?‘‰ = [đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ]. Em outras palavras, {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ⊂ đ?‘‰ ĂŠ uma base de đ?‘‰ se este conjunto ĂŠ linearmente independente e se qualquer vetor de đ?‘‰ ĂŠ escrito com combinação linear de đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› (se đ?‘‰ ĂŠ igual ao subespaço gerado por đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ). Exemplos: 01. Se đ?‘‰ = â„œ2 e đ?‘’1 = (1,0), đ?‘’2 = (0,1) ∈ đ?‘‰, {đ?‘’1 , đ?‘’2 } ĂŠ base de đ?‘‰ conhecida como base canĂ´nica de â„œ2 . Pois este conjunto ĂŠ LI e qualquer que seja đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ đ?‘‰ = â„œ2 pode

ser

escrito

como

� = (�, �) = �(1,0) + �(0,1) = ��1 + ��2 ⇒ � = ��1 +

đ?‘Śđ?‘’2 ; đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ â„œ, ou seja, todo vetor de đ?‘‰ = â„œ2 ĂŠ combinação linear de đ?‘’1 e đ?‘’2 , logo đ?‘‰ = â„œ = [đ?‘’1 , đ?‘’2 ] = [(1,0), (0,1)]. 02. Se đ?‘‰ = â„œ2 , o conjunto {(1,1), (0,1)} tambĂŠm ĂŠ uma base de đ?‘‰. Note que:

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253

đ?‘Ž(1,1) + đ?‘?(0,1) = (0,0) ⇔ (đ?‘Ž, đ?‘Ž) + (0, đ?‘?) = (0,0) ⇔ (đ?‘Ž, đ?‘Ž + đ?‘?) = (0,0)

⇔{

đ?‘Ž=0 ⇔ đ?‘Ž = đ?‘? = 0 ⇒ {(1,1), (0,1)} ĂŠ đ??żđ??ź. đ?‘Ž+đ?‘? =0

Resta mostrar que {(1,1), (0,1)} ĂŠ um conjunto gerador de đ?‘‰. Seja (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 , temos: (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (đ?‘Ľ, đ?‘Ľ) + (0, đ?‘Ś − đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ(1,1) + (đ?‘Ś − đ?‘Ľ)(0,1) ⇒ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ(1,1) + (đ?‘Ś − đ?‘Ľ)(0,1). Qualquer vetor (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 pode ser escrito como combinação linear de (1,1) e (0,1), mas isto quer dizer que đ?‘‰ = â„œ2 ĂŠ gerado por (1,1) e (0,1), ou seja, đ?‘‰ = [(1,1), (0,1)]. Como {(1,1), (0,1)} ĂŠ LI e đ?‘‰ = [(1,1), (0,1)], temos que {(1,1), (0,1)} ĂŠ uma base de đ?‘‰ = â„œ2 . 03. O conjunto {(0,1), (0,2)} nĂŁo ĂŠ uma base de đ?‘‰ = â„œ2 , pois: đ?‘š(0,1) + đ?‘›(0,2) = (0,0) ⇔ (0, đ?‘š) + (0, đ?‘›) = (0,0) ⇔ (0, đ?‘š + đ?‘›) = (0,0)

⇔ đ?‘š + đ?‘› = 0 ⇔ đ?‘› = −đ?‘š đ?‘’ đ?‘š ∈ â„œ. Como đ?‘š(0,1) + đ?‘›(0,2) = (0,0) implicou đ?‘š ou đ?‘› nĂŁo necessariamente nulos, temos que {(0,1), (0,2)} ĂŠ LD, logo este conjunto nĂŁo forma uma base para â„œ2 . 04. Sendo đ?‘‰ = â„œ3 , o conjunto {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ĂŠ uma base para đ?‘‰, pois: đ?›ź=0 đ?›ź(1,0,0) + đ?›˝(0,1,0) + đ?œ†(0,0,1) = (0,0,0) ⇔ (đ?›ź, đ?›˝, đ?œ†) = (0,0,0) ⇔ {đ?›˝ = 0 đ?œ†=0 ⇒ {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ĂŠ đ??żđ??ź.

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254

AlĂŠm disso, qualquer que seja (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 : (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (đ?‘Ľ, 0,0) + (0, đ?‘Ś, 0) + (0,0, đ?‘§) = đ?‘Ľ(1,0,0) + đ?‘Ś(0,1,0) + đ?‘§(0,0,1) ⇒ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = đ?‘Ľ(1,0,0) + đ?‘Ś(0,1,0) + đ?‘§(0,0,1). Como qualquer (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 ĂŠ escrito como combinação linear dos vetores de {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, temos que â„œ3 = [(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)]. Como {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ĂŠ LI e â„œ3 = đ?‘‰ = [(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)], segue que {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} ĂŠ base de â„œ3 . 05. O conjunto {(1,0,0), (0,1,0)} nĂŁo ĂŠ base de đ?‘‰ = â„œ3 . Note que {(1,0,0), (0,1,0)} ĂŠ LI, mas {(1,0,0), (0,1,0)} nĂŁo gera đ?‘‰ = â„œ3 , isto ĂŠ, â„œ3 ≠[(1,0,0), (0,1,0)]. Sendo (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 , temos: đ?‘Ľ=đ?‘Ž (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = đ?‘Ž(1,0,0) + đ?‘?(0,1,0) = (đ?‘Ž, đ?‘?, 0) ⇔ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (đ?‘Ž, đ?‘?, 0) ⇔ {đ?‘Ś = đ?‘?. đ?’›=đ?&#x;Ž A condição đ?’› = đ?&#x;Ž nos diz que (1,0,0) e (0,1,0) geram apenas os vetores de â„œ3 cujo a terceira coordenada ĂŠ nula, ou seja, (1,0,0) e (0,1,0) nĂŁo geram todos os vetores de đ?‘‰ = â„œ3 , daĂ­ tem-se â„œ3 ≠[(1,0,0), (0,1,0)]. 06. Sendo đ?‘‰ = â„‚, o conjunto {1, đ?‘–} ĂŠ base de đ?‘‰. Note que: đ?‘Ž â‹… 1 + đ?‘? â‹… đ?‘– = 0 + 0 â‹… đ?‘– ⇔ đ?‘Ž = đ?‘? = 0 ⇔ {1, đ?‘–} ĂŠ đ??żđ??ź. AlĂŠm disso, qualquer que seja đ?‘Ľ + đ?‘Śđ?‘– ∈ â„‚, temos:

đ?‘Ľ + đ?‘Śđ?‘– = đ?‘Ľ â‹… 1 + đ?‘Ś â‹… đ?‘–. Isto ĂŠ, đ?‘Ľ + đ?‘Śđ?‘– ĂŠ combinação linear de 1 e đ?‘–, logo đ?‘‰ = [1, đ?‘–]. Como {1, đ?‘–} ĂŠ LI e đ?‘‰ = â„‚ = [1, đ?‘–], temos que {1, đ?‘–} ĂŠ base de đ?‘‰ = â„‚.

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255

1 07. O conjunto đ??´ = {[ 0

0 0 ],[ 0 0

1 0 ],[ 0 1

0 0 0 ],[ ]} ĂŠ uma base do â„œ espaço 0 0 1

vetorial đ?‘‰ = đ?‘€2 (â„œ). De fato: 1 0

0 0 ]+đ?‘?[ 0 0

đ?‘Ž[

đ?‘Ž 0

0 0 ]+[ 0 0

⇔[

� �

0 đ?‘? ]+[ đ?‘? 0

0 0 ]+đ?‘‘[ 0 0

0 0 ]=[ 1 0

0 0 0 0 ]+[ ]=[ 0 0 đ?‘‘ 0

0 ] 0 0 ] 0

0 0 đ?‘? ]=[ ] ⇔ đ?‘Ž = đ?‘? = đ?‘? = đ?‘‘ = 0 ⇒ đ??´ ĂŠ đ??żđ??ź. 0 0 đ?‘‘

đ?‘Ž đ?‘?

⇔[

Sendo [

1 0 ]+đ?‘?[ 0 1

đ?‘Ś ] ∈ đ?‘€2 (â„œ), temos: đ?‘¤ đ?‘Ľ đ?‘§

� � ]=[ � 0

[

1 0

= đ?‘Ľ[

� ⇒[ �

0 0 ]+[ 0 0

0 0 ]+đ?‘Ś[ 0 0

� 0 ]+[ � 0

1 0 ]+�[ 0 1

� 1 0 0 ] = �[ ]+�[ � 0 0 0

0 0 ]+[ 0 0

0 ] �

0 0 0 ]+�[ ] 0 0 1

1 0 ]+�[ 0 1

0 0 ]+�[ 0 0

0 ]. 1

Desta forma, qualquer vetor de đ?‘‰ = đ?‘€2 (â„œ) ĂŠ combinação linear dos vetores de 1 0 0 ],[ 0 0 0

đ??´. Portanto đ?‘€2 (â„œ) = [[ Como 1 0

[[

0 0 ],[ 0 0

đ??´ = {[

1 0

1 0 ],[ 0 1

0 0 ],[ 0 0

1 0 ],[ 0 1

1 0 0 0 ],[ ],[ 0 1 0 0

0 0 ],[ 0 0 0 ]} 1

0 ]]. 1 ĂŠ

LI

e

đ?‘‰ = đ?‘€2 (â„œ) =

0 0 0 ],[ ]], concluĂ­mos que đ??´ ĂŠ base de đ?‘‰ = đ?‘€2 (â„œ). 0 0 1

Observação: Embora existam espaços vetoriais com bases possuindo infinitos elementos (por exemplo, um espaço vetorial de funçþes), nosso estudo engloba somente os casos de espaços vetoriais com bases

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256

contendo um nĂşmero finito de vetores, ou seja, estamos trabalhando com bases finitas. A seguir, veremos uma sĂŠrie de proposiçþes fundamentais para o estudo de bases. 14.6.2 Teorema: Sejam đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› vetores nĂŁo nulos que geram um espaço vetorial đ?‘‰. EntĂŁo, dentre estes vetores podemos extrair uma base para đ?‘‰. Prova: Para construir uma base para đ?‘‰ devemos obter um conjunto que seja LI e gerador de đ?‘‰. Por hipĂłtese, jĂĄ sabemos que đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› geram đ?‘‰ e: Caso o conjunto {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } seja LI, jĂĄ temos o desejado, e o conjunto {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ base de đ?‘‰. Caso o conjunto {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } seja đ??żđ??ˇ, existe algum vetor do conjunto que ĂŠ combinação linear dos demais. Suponha đ?‘Łđ?‘› combinação linear dos demais, assim:

đ?‘Łđ?‘› = đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 . Ora, como đ?‘Łđ?‘› ĂŠ combinação linear de đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 , os vetores đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 ainda geram đ?‘‰. Caso o conjunto {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 } for LI, temos o desejado, pois se đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 geram đ?‘‰ e {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 } ĂŠ LI, isto implica {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 } base de đ?‘‰. Caso o conjunto {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 } for LD, existe algum vetor do conjunto que ĂŠ combinação dos demais. Suponha đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 combinação dos demais, assim: đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 = đ?‘?1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘?đ?‘›âˆ’2 đ?‘Łđ?‘›âˆ’2 . Ora, como đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 ĂŠ combinação linear de đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘›âˆ’2 , os vetores đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘›âˆ’2 ainda geram đ?‘‰. Caso o conjunto {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘›âˆ’2 } for LI, temos o desejado, pois se đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘›âˆ’2 geram đ?‘‰ e {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘›âˆ’2 } ĂŠ LI, isto implica {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘›âˆ’2 } base de đ?‘‰.

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257

Seguindo este processo apĂłs um nĂşmero finito de iteraçþes, sempre conseguimos um subconjunto LI {đ?‘Łđ?‘–1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘–đ?‘&#x; } ⊂ {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› }, com đ?‘&#x; ≤ đ?‘› vetores, que ainda gera đ?‘‰, ou seja, que forma uma base de đ?‘‰. 14.6.3 Teorema: Sejam đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› vetores nĂŁo nulos que geram um espaço vetorial đ?‘‰. EntĂŁo, qualquer conjunto com mais de đ?‘› vetores ĂŠ necessariamente LD (e, portanto, qualquer conjunto LI tem no mĂĄximo đ?‘› elementos). Prova: Como đ?‘‰ = [đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ], foi visto no Teorema 16.6.3 que podemos extrair uma base para đ?‘‰ do conjunto {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› }. Seja {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; }, onde đ?‘&#x; ≤ đ?‘›, tal base. Consideramos agora đ?‘¤1 , ‌ , đ?‘¤đ?‘š vetores de đ?‘‰, onde đ?‘š > đ?‘›. Existem entĂŁo as constantes đ?‘Žđ?‘–đ?‘— , com 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘š e 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘&#x;, tais que (como đ?‘¤đ?‘˜ ∈ đ?‘‰, qualquer đ?‘¤đ?‘˜ pode ser escrito como combinação dos vetores da base {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; }): đ?‘¤1 = đ?‘Ž11 đ?‘Ł1 + đ?‘Ž12 đ?‘Ł2 + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘&#x; đ?‘Łđ?‘&#x; đ?‘¤2 = đ?‘Ž21 đ?‘Ł1 + đ?‘Ž22 đ?‘Ł2 + â‹Ż + đ?‘Ž2đ?‘&#x; đ?‘Łđ?‘&#x; { ‌ (đ??ź) â‹Ž đ?‘¤đ?‘š = đ?‘Žđ?‘š1 đ?‘Ł1 + đ?‘Žđ?‘š2 đ?‘Ł2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘šđ?‘&#x; đ?‘Łđ?‘&#x; Tomemos agora a combinação linear de đ?‘¤1 , ‌ , đ?‘¤đ?‘š e igualamos esta combinação ao vetor nulo de đ?‘‰: đ?‘Ľ1 đ?‘¤1 + đ?‘Ľ2 đ?‘¤2 + â‹Ż đ?‘Ľđ?‘š đ?‘¤đ?‘š = 0 ‌ (đ??źđ??ź) Substituindo (I) em (II), temos: đ?‘Ľ1 (đ?‘Ž11 đ?’—đ?&#x;? + đ?‘Ž12 đ?’—đ?&#x;? + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘&#x; đ?’—đ?’“ ) + đ?‘Ľ2 (đ?‘Ž21 đ?’—đ?&#x;? + đ?‘Ž22 đ?’—đ?&#x;? + â‹Ż + đ?‘Ž2đ?‘&#x; đ?’—đ?’“ ) + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘š (đ?‘Žđ?‘š1 đ?’—đ?&#x;? + đ?‘Žđ?‘š2 đ?’—đ?&#x;? + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘šđ?‘&#x; đ?’—đ?’“ ) = 0 ⇔ (đ?‘Ž11 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž21 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘š1 đ?‘Ľđ?‘š )đ?’—đ?&#x;? + (đ?‘Ž12 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž22 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘š2 đ?‘Ľđ?‘š )đ?’—đ?&#x;? + â‹Ż + (đ?‘Ž1đ?‘&#x; đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž2đ?‘&#x; đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘šđ?‘&#x; đ?‘Ľđ?‘š )đ?’—đ?’“ = 0 ‌ (∗)

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Temos uma combinação linear de đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; igual ao vetor nulo e, como {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; } ĂŠ base de đ?‘‰, este conjunto ĂŠ LI, logo a equação (*) implica que cada coeficiente da combinação ĂŠ igual Ă zero, ou seja: đ?‘Ž11 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž21 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘š1 đ?‘Ľđ?‘š = 0 đ?‘Ž đ?‘Ľ + đ?‘Ž22 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘š2 đ?‘Ľđ?‘š = 0 { 12 1 ‌ (đ??źđ??źđ??ź) â‹Ž đ?‘Ž1đ?‘&#x; đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž2đ?‘&#x; đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘šđ?‘&#x; đ?‘Ľđ?‘š = 0 O sistema (III) ĂŠ um sistema homogĂŞneo com đ?‘š incĂłgnitas (đ?‘Ľ1 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘š ) e đ?‘&#x; equaçþes. Lembrando que đ?‘&#x; ≤ đ?‘› < đ?‘š ⇒ đ?‘&#x; < đ?‘š, ou seja, o sistema tem mais incĂłgnitas do que equaçþes, assim ele nĂŁo admite apenas a solução trivial, isto ĂŠ, existe alguma solução com um dos đ?‘Ľđ?‘– nĂŁo nulo. Resumindo, đ?‘Ľ1 đ?‘¤1 + đ?‘Ľ2 đ?‘¤2 + â‹Ż đ?‘Ľđ?‘š đ?‘¤đ?‘š = 0 implicou algum dos đ?‘Ľđ?‘– ≠0, e por definição, isto quer dizer que o conjunto {đ?‘¤1 , ‌ , đ?‘¤đ?‘š } ĂŠ LD. Portanto, qualquer conjunto com um nĂşmero đ?‘š de vetores, onde đ?‘š > đ?‘›, ĂŠ linearmente dependente. TambĂŠm, qualquer conjunto LI tem no mĂĄximo đ?‘› vetores. 14.6.4 CorolĂĄrio: Qualquer base de um espaço vetorial đ?‘‰ tem sempre o mesmo nĂşmero de vetores. Este nĂşmero ĂŠ chamado de dimensĂŁo de đ?‘‰, e o denotamos por dim(đ?‘‰). Prova: Sejam {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } e {đ?‘¤1 , ‌ , đ?‘¤đ?‘š } bases de đ?‘‰. Como đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› geram đ?‘‰ e đ?‘¤1 , ‌ , đ?‘¤đ?‘š ĂŠ LI, pelo Teorema 16.6.3 temos que đ?‘š ≤ đ?‘›. Como đ?‘¤1 , ‌ , đ?‘¤đ?‘š geram đ?‘‰ e đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ĂŠ LI, pelo Teorema 16.6.3 temos que đ?‘› ≤ đ?‘š. Ora, como đ?‘š ≤ đ?‘› e đ?‘› ≤ đ?‘š, a Ăşnica conclusĂŁo que chegamos ĂŠ a que đ?‘› = đ?‘š, ou seja, as bases possuem a mesma quantidade de vetores. Observação: Se đ?‘‰ = {0}, entĂŁo dim đ?‘‰ = 0. Exemplos:

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01. JĂĄ vimos anteriormente que {(1,0), (0,1)} e {(1,1), (0,1)} sĂŁo bases de đ?‘‰ = â„œ2 . Assim dim(â„œ2 ) = 2. 02. Uma base de đ?‘‰ = â„œ3 ĂŠ {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} com 3 vetores, assim dim(â„œ3 ) = 3. 1 0

0 0 1 0 ],[ ],[ 0 0 0 1

03. Vimos anteriormente que {[

0 0 ],[ 0 0

0 ]} Ê uma base de � = 1

đ?‘€2 (â„œ), desta forma dim[đ?‘€2 (â„œ)] = 4. 04. O conjunto {1, đ?‘–} ĂŠ base de đ?‘‰ = â„‚, ou seja, dim(â„‚) = 2. 14.6.5 Teorema: Qualquer conjunto LI de vetores de um espaço vetorial đ?‘‰ com dimensĂŁo finita pode ser completado de modo que este conjunto se torne uma base de đ?‘‰. Prova: Seja đ?‘‰ tal que dim(đ?‘‰) = đ?‘› e {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; } um conjunto LI, onde đ?‘&#x; ≤ đ?‘› (Devido ao Teorema 16.6.3). Se đ?‘‰ = [đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; ], entĂŁo {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; } forma uma base para đ?‘‰ e temos o desejado (neste caso đ?‘› = đ?‘&#x;). PorĂŠm, pode acontecer đ?‘‰ ≠[đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; ], assim existe đ?‘Łđ?‘&#x;+1 ∈ đ?‘‰ tal que đ?‘Łđ?‘&#x;+1 ∉ [đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; ], logo đ?‘Łđ?‘&#x;+1 nĂŁo ĂŠ combinação linear de đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; e entĂŁo {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; , đ?‘Łđ?‘&#x;+1 } ainda ĂŠ LI. Caso đ?‘‰ = [đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; , đ?‘Łđ?‘&#x;+1 ], entĂŁo {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; , đ?‘Łđ?‘&#x;+1 } forma uma base para đ?‘‰ e temos o desejado. PorĂŠm, pode acontecer đ?‘‰ ≠[đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; , đ?‘Łđ?‘&#x;+1 ], assim existe đ?‘Łđ?‘&#x;+2 ∈ đ?‘‰ tal que đ?‘Łđ?‘&#x;+2 ∉ [đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; , đ?‘Łđ?‘&#x;+1 ], logo đ?‘Łđ?‘&#x;+2 nĂŁo ĂŠ combinação linear de đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; , đ?‘Łđ?‘&#x;+1 e entĂŁo {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; , đ?‘Łđ?‘&#x;+1 , đ?‘Łđ?‘&#x;+2 }

ainda

ĂŠ

LI.

Caso

đ?‘‰ = [đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; , đ?‘Łđ?‘&#x;+1 , đ?‘Łđ?‘&#x;+2 ],

entĂŁo

{đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; , đ?‘Łđ?‘&#x;+1 , đ?‘Łđ?‘&#x;+2 } forma uma base de đ?‘‰ e temos o desejado. Usando este mesmo procedimento, sempre conseguiremos completar o conjunto LI {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘&#x; } atĂŠ que ele tenha đ?‘› elementos e seja uma base de đ?‘‰. 14.6.6 CorolĂĄrio: Se dim(đ?‘‰) = đ?‘›, entĂŁo qualquer subconjunto LI de đ?‘‰, com đ?‘› vetores, forma uma base de đ?‘‰. Prova: Suponha que o conjunto LI de đ?‘› vetores nĂŁo forme uma base de đ?‘‰. EntĂŁo, pelo Teorema 16.6.5, poderĂ­amos completar este conjunto de modo

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a torna-lo uma base de đ?‘‰. Mas aĂ­ terĂ­amos uma base com mais de đ?‘› vetores, o que ĂŠ absurdo, qualquer base de đ?‘‰ deve ter đ?‘› = dim đ?‘‰ vetores (CorolĂĄrio 16.6.4). Observação: O corolĂĄrio acima ĂŠ muito importante, pois, este nos diz que para verificar se um conjunto com đ?‘› vetores ĂŠ base de um espaço, basta constatar que este conjunto ĂŠ LI, ou seja, nĂŁo hĂĄ a necessidade de verificar se este conjunto ĂŠ gerador de đ?‘‰. 14.6.7 Teorema: Se đ?‘ˆ e đ?‘Š sĂŁo subespaços de um espaço vetorial đ?‘‰ de dimensĂŁo finita, entĂŁo dim(đ?‘ˆ) ≤ dim(đ?‘‰) e dim(đ?‘Š) < dim(đ?‘‰). AlĂŠm disso:

dim(đ?‘ˆ + đ?‘Š) = dim(đ?‘ˆ) + dim(đ?‘Š) − dim(đ?‘ˆ ∊ đ?‘Š). 14.6.8 Teorema: Dada uma base đ?›˝ = {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } de đ?‘‰, cada vetor de đ?‘‰ ĂŠ escrito de maneira Ăşnica como combinação linear dos vetores de đ?›˝. Prova: Seja đ?‘Ł ∈ đ?‘‰, entĂŁo existem đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› ∈ â„œ tais que

đ?‘Ł = đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż +

đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› . Suponha que existem đ?‘?1 , ‌ , đ?‘?đ?‘› ∈ â„œ tais que đ?‘Ł = đ?‘?1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘?đ?‘› đ?‘Łđ?‘› . Desta forma, como as duas igualdades valem para đ?‘Ł ∈ đ?‘‰:

đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› = đ?‘?1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘?đ?‘› đ?‘Łđ?‘› ⇔ (đ?‘Ž1 − đ?‘?1 )đ?‘Ł1 + â‹Ż + (đ?‘Žđ?‘› − đ?‘?đ?‘› )đ?‘Łđ?‘› = 0. Como đ?›˝ ĂŠ base, đ?›˝ ĂŠ LI, logo a equação acima implica:

đ?‘Ž1 − đ?‘?1 = 0 ⇔ đ?‘Ž1 = đ?‘?1 . { â‹Ž đ?‘Žđ?‘› − đ?‘?đ?‘› = 0 ⇔ đ?‘Žđ?‘› = đ?‘?đ?‘› Portanto, supondo que existam đ?‘?đ?‘– ∈ â„œ tais que đ?‘Ł = ∑đ?‘?đ?‘– đ?‘Łđ?‘– , a Ăşnica conclusĂŁo que chegamos ĂŠ que đ?‘?đ?‘– = đ?‘Žđ?‘– , ou seja, qualquer đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ ĂŠ escrito de maneira Ăşnica como combinação linear dos vetores de đ?›˝.

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261

Usando a ideia do Teorema 16.6.8 definimos coordenadas ou componentes para vetores em relação a uma base. 14.6.9 Definição: Sejam đ?›˝ = {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } uma base de đ?‘‰ e đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ tal que đ?‘Ł = đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› . Chamamos os nĂşmeros reais đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› de coordenadas do vetor đ?‘Ł em relação Ă base đ?›˝ e usamos a notação: đ?‘Ž1 [đ?‘Ł]đ?›˝ = [ â‹Ž ]. đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ž1 Ou seja, [đ?‘Ł]đ?›˝ = [ â‹Ž ], quer dizer que o vetor đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ ĂŠ escrito como đ?‘Ł = đ?‘Žđ?‘› ∑đ?‘Žđ?‘– đ?‘Łđ?‘– ; đ?‘– ∈ {1, ‌ , đ?‘›}. Escrevemos o vetor usando uma matriz coluna (matriz de ordem đ?‘›Ă—1). Fazendo uma anĂĄlise Ă notação, perceba que qualquer vetor de um espaço vetorial de dimensĂŁo đ?‘› pode ser representado por uma matriz de ordem đ?‘›Ă—1. Exemplos: 01. Sejam đ?‘‰ = â„œ2 e a base đ?›˝ = {(1,0), (0,1)}. Temos: (4,3) = 4(1,0) + 3(0,1). Portanto: [(4,3)]đ?›˝ = [4]. 3 Nota-se, quando nĂŁo mencionamos qual a base considerada, qualquer vetor de â„œ2 ĂŠ dado em relação Ă base canĂ´nica. Isto ĂŠ, sendo (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 : đ?‘Ľ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ(1,0) + đ?‘Ś(0,1) ⇔ [(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)]đ?›˝ = [đ?‘Ś].

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02. Se 𝑉 = ℜ2 e 𝛽′ = {(1,1), (0,1), vamos descobrir quais as coordenadas de (4,3) em relação à 𝛽′ . Tomando uma combinação:

(4,3) = 𝑎(1,1) + 𝑏(0,1) = (𝑎, 𝑎) + (0, 𝑏) = (𝑎, 𝑎 + 𝑏) ⇔ (4,3) = (𝑎, 𝑎 + 𝑏)

⇔{

𝑎=4 ⇔ 𝑎 = 4 𝑒 𝑏 = 3 − 𝑎 = 3 − 4 = −1 ⇔ 𝑏 = −1 . 𝑎+𝑏 =3

Logo (4,3) = 4(1,1) + (−1)(0,1), e isto quer dizer que: [(4,3)]𝛽′ = [ 4 ]. −1 03. Sejam 𝑉 = ℜ3 , 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0} e 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑥 = 𝑦}. Note que 𝑈 e 𝑊 são subespaços de 𝑉 = ℜ3 e: 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0} = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑧 = 𝑥 + 𝑦} = {(𝑥, 𝑦, 𝑥 + 𝑦); 𝑥, 𝑦 ∈ ℜ} = {(𝑥, 0, 𝑥) + (0, 𝑦, 𝑦); 𝑥, 𝑦 ∈ ℜ}

= {𝑥(1,0,1) + 𝑦(0,1,1); 𝑥, 𝑦 ∈ ℜ} = [(1,0,1), (0,1,1)] ⇒ 𝑈 = [(1,0,1), (0,1,1)] .

𝑊 = 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑥 = 𝑦} = {(𝑥, 𝑥, 𝑧); 𝑥, 𝑧 ∈ ℜ} = {(𝑥, 𝑥, 0) + (0,0, 𝑧); 𝑥, 𝑧 ∈ ℜ}

= {𝑥(1,1,0) + 𝑧(0,0,1); 𝑥, 𝑧 ∈ ℜ} = [(1,1,0), (0,0,1)] ⇒ 𝑊 = [(1,1,0), (0,0,1)] .

Temos ainda 𝑈 + 𝑊 = [(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0), (0,0,1)] e dado 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℜ3 : (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑝(1,0,1) + 𝑞(0,1,1) + 𝑟(1,1,0) + 𝑠(0,0,1) = (𝑝, 0, 𝑝) + (0, 𝑞, 𝑞) + (𝑟, 𝑟, 0) + (0,0, 𝑠) = (𝑝 + 𝑟, 𝑞 + 𝑟, 𝑝 + 𝑞 + 𝑠)

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đ?‘?+đ?‘&#x; =đ?‘Ľ ⇒ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (đ?‘? + đ?‘&#x;, đ?‘ž + đ?‘&#x;, đ?‘? + đ?‘ž + đ?‘ ) ⇔ { đ?‘ž + đ?‘&#x; = đ?‘Ś . đ?‘?+đ?‘ž+đ?‘ =đ?‘§ O sistema acima possui infinitas soluçþes, ou seja, qualquer vetor de đ?‘‰ = â„œ3 ĂŠ escrito como combinação linear de vetores de đ?‘ˆ + đ?‘Š, logo, â„œ3 ĂŠ gerado por đ?‘ˆ + đ?‘Š. â„œ3 = đ?‘ˆ + đ?‘Š. O conjunto {(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0), (0,0,1)} nĂŁo fornece uma base para â„œ3 , pois este ĂŠ LD. Como dim(đ?‘ˆ + đ?‘Š) = dim(â„œ3 ) e sabemos que dim(â„œ3 ) = 3, temos dim(đ?‘ˆ + đ?‘Š) = 3. Vamos determinar đ?‘ˆ ∊ đ?‘Š. Veja: đ?‘ˆ ∊ đ?‘Š = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§); đ?‘Ľ + đ?‘Ś − đ?‘§ = 0 đ?‘’ đ?‘Ľ = đ?‘Ś} = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§); đ?‘Ś = đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘§ = 2đ?‘Ľ}

= {(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ, 2đ?‘Ľ); đ?‘Ľ ∈ â„œ} = {đ?‘Ľ(1,1,2); đ?‘Ľ ∈ â„œ} = [(1,1,2)] ⇒ đ?‘ˆ ∊ đ?‘Š = [(1,1,2)] .

Logo dim(đ?‘ˆ ∊ đ?‘Š) = 1. Perceba agora que dim(đ?‘ˆ + đ?‘Š) = dim(đ?‘ˆ) + dim(đ?‘Š) − dim(đ?‘ˆ ∊ đ?‘Š) ĂŠ satisfeita, pois dim(đ?‘ˆ + đ?‘Š) = 3, dim(đ?‘ˆ) = 2, dim(đ?‘Š) = 2 e dim(đ?‘ˆ ∊ đ?‘Š) = 1, logo:

dim(đ?‘ˆ) + dim(đ?‘Š) − dim(đ?‘ˆ ∊ đ?‘Š) = 2 + 2 − 1 = 3 = dim(đ?‘ˆ + đ?‘Š).

04. Sejam đ?‘‰ = đ?‘€2 (â„œ) e a base đ?›˝ = {[ [

1 −5

0 0 ],[ 0 0

1 0 0 0 ],[ ],[ 0 1 0 0

0 ]}. O vetor đ?‘Ł = 1

−2 ] ∈ đ?‘‰ pode ser escrito: −13 1 −2 1 ]=[ −5 −13 0

đ?‘Ł=[

1 0 0 ] + (−đ?&#x;?) [ 0 0 0

= đ?&#x;?[

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1 0

0 0 ]+[ 0 0

−2 0 0 0 ]+[ ]+[ 0 −5 0 0

1 0 ] + (−đ?&#x;“) [ 0 1

0 0 ] + (−đ?&#x;?đ?&#x;‘) [ 0 0

0 ] −13 0 ] 1 264

đ?&#x;? −đ?&#x;? ⇒ [đ?‘Ł]đ?›˝ = [ ]. −đ?&#x;“ −đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?‘Ľ đ?‘§

Em geral, qualquer vetor (matriz) � = [

đ?‘Ś ] ∈ đ?‘€2 (â„œ) pode ser escrito: đ?‘¤

đ?‘Ľ đ?‘Ś [đ?‘˘]đ?›˝ = [ ]. đ?‘§ đ?‘¤ Notamos ainda que qualquer base de đ?‘€2 (â„œ) deve possuir 4 vetores e, desta forma, qualquer vetor de đ?‘€2 (â„œ) pode ser escrito, em relação Ă uma base, como uma matriz coluna 4Ă—1. Em geral, se đ?‘Š = đ?‘€đ?‘› (â„œ); đ?‘› ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;, uma base de đ?‘Š terĂĄ đ?‘› vetores e qualquer vetor 2

de đ?‘Š ĂŠ escrito, em relação Ă base, por uma matriz đ?‘›Ă—1.

14.7 MUDANÇA DE BASE Muitas vezes nos deparamos com algum problema em que o referencial usual pode nĂŁo ser o apropriado para a resolução deste problema. Por exemplo, suponha um problema de fĂ­sica em que o movimento de um corpo ĂŠ descrito por uma elipse cuja equação ĂŠ đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2 − 3 = 0, de acordo com a figura abaixo:

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265

A descrição do movimento ficaria muito mais simples se ao invĂŠs de considerarmos os eixos đ?‘‹ e đ?‘Œ (e a base {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗}), considerĂĄssemos um referencial que se apoia nos eixos principais da elipse, de acordo com a figura:

Neste novo referencial temos a base {đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 } e os eixos đ?‘‹1 e đ?‘Œ1 . A equação da elipse em relação a este sistema ĂŠ 3đ?‘Ľ12 + 2đ?‘Ś12 = 6. Tendo visto a situação acima, devemos nos questionar: Como escolher um novo sistema apropriado? Fixado um novo referencial, como relacionar as coordenadas de um ponto do antigo referencial com as coordenadas no novo? 14.7.1 Mudança de Base: Sejam đ?›˝ = {đ?‘˘1 , ‌ , đ?‘˘đ?‘› } e đ?›˝ ′ = {đ?‘¤1 , ‌ , đ?‘¤đ?‘› } bases de um espaço vetorial đ?‘‰. Dado um vetor đ?‘Ł ∈ đ?‘‰, podemos escrever o mesmo em relação Ă s duas bases, isto ĂŠ:

{

đ?‘Ł = đ?‘Ľ1 đ?‘˘1 + đ?‘Ľ2 đ?‘˘2 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› đ?‘˘đ?‘› ‌ (đ??ź) đ?‘Ł = đ?‘Ś1 đ?‘¤1 + đ?‘Ś2 đ?‘¤2 + â‹Ż + đ?‘Śđ?‘› đ?‘¤đ?‘› ‌ (∗)

Como relacionar as coordenadas de đ?‘Ł em relação Ă đ?›˝: đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 [đ?‘Ł]đ?›˝ = [ â‹Ž ]. đ?‘Ľđ?‘›

UTFPR

266

Com as coordenadas de đ?‘Ł em relação Ă đ?›˝â€˛ :

[�]�′

đ?‘Ś1 đ?‘Ś2 = [ â‹Ž ]. đ?‘Śđ?‘›

Como đ?›˝ = {đ?‘˘1 , ‌ , đ?‘˘đ?‘› } ĂŠ base de đ?‘‰ e os vetores đ?‘¤đ?‘– de đ?›˝â€˛ ainda sĂŁo vetores de đ?‘‰, podemos escrever cada đ?‘¤đ?‘– como combinação linear dos vetores đ?‘˘đ?‘— de đ?›˝, isto ĂŠ: đ?‘¤1 = đ?‘Ž11 đ?‘˘1 + đ?‘Ž21 đ?‘˘2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘›1 đ?‘˘đ?‘› đ?‘¤2 = đ?‘Ž12 đ?‘˘1 + đ?‘Ž22 đ?‘˘2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘›2 đ?‘˘đ?‘› { ‌ (∗∗) â‹Ž đ?‘¤đ?‘› = đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘˘1 + đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘˘2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘›đ?‘› đ?‘˘đ?‘› Substituindo (**) em (*):

đ?‘Ł = đ?‘Ś1 đ?‘¤1 + đ?‘Ś2 đ?‘¤2 + â‹Ż + đ?‘Śđ?‘› đ?‘¤đ?‘› = đ?‘Ś1 (đ?‘Ž11 đ?’–đ?&#x;? + đ?‘Ž21 đ?’–đ?&#x;? + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘›1 đ?’–đ?’? ) + đ?‘Ś2 (đ?‘Ž12 đ?’–đ?&#x;? + đ?‘Ž22 đ?’–đ?&#x;? + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘›2 đ?’–đ?’? ) + â‹Ż + đ?‘Śđ?‘› (đ?‘Ž1đ?‘› đ?’–đ?&#x;? + đ?‘Ž2đ?‘› đ?’–đ?&#x;? + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘›đ?‘› đ?’–đ?’? ) = (đ?‘Ž11 đ?‘Ś1 + đ?‘Ž12 đ?‘Ś2 + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Śđ?‘› )đ?’–đ?&#x;? + (đ?‘Ž21 đ?‘Ś1 + đ?‘Ž22 đ?‘Ś2 + â‹Ż + đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘Śđ?‘› )đ?’–đ?&#x;? + â‹Ż + (đ?‘Žđ?‘›1 đ?‘Ś1 + đ?‘Žđ?‘›2 đ?‘Ś2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘›đ?‘› đ?‘Śđ?‘› )đ?’–đ?’? ⇒ đ?‘Ł = (đ?‘Ž11 đ?‘Ś1 + đ?‘Ž12 đ?‘Ś2 + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Śđ?‘› )đ?’–đ?&#x;? + (đ?‘Ž21 đ?‘Ś1 + đ?‘Ž22 đ?‘Ś2 + â‹Ż + đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘Śđ?‘› )đ?’–đ?&#x;? + â‹Ż + (đ?‘Žđ?‘›1 đ?‘Ś1 + đ?‘Žđ?‘›2 đ?‘Ś2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘›đ?‘› đ?‘Śđ?‘› )đ?’–đ?’? ‌ (∆) Por outro lado, temos de (I) que:

đ?‘Ł = đ?‘Ľ1 đ?’–đ?&#x;? + đ?‘Ľ2 đ?’–đ?&#x;? + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› đ?’–đ?’? ‌ (∆∆) Observe que as equaçþes (∆) e (∆∆) nos fornece o vetor đ?‘Ł escrito como combinação linear dos vetores de đ?›˝, e como as coordenadas em relação a uma

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267

base são univocamente determinadas, cada coeficiente correspondente Ê idêntico, ou seja: �1 = �11 �1 + �12 �2 + ⋯ + �1� �� �2 = �21 �1 + �22 �2 + ⋯ + �2� �� { . ⋎ �� = ��1 �1 + ��2 �2 + ⋯ + ��� �� Na forma matricial: �1 �11 �2 �21 [ ⋎ ]=[ ⋎ �� ��1

�′

Denotando [đ??ź]đ?›˝

đ?‘Ž11 đ?‘Ž21 =[ â‹Ž đ?‘Žđ?‘›1

đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 â‹Ž đ?‘Žđ?‘›2

�12 �22 ⋎ ��2 ‌ ‌ ⋹ ‌

‌ ‌ ⋹ ‌

�1� �1 �2� �2 ⋎ ] [ ⋎ ]. ��� ��

�1� �2� ⋎ ], podemos escrever: ���

′

[đ?‘Ł]đ?›˝ = [đ??ź]đ?›˝đ?›˝ [đ?‘Ł]đ?›˝â€˛ .

Que ĂŠ a formula para mudança de base de đ?›˝â€˛ para đ?›˝. ′

đ?›˝ A matriz [đ??ź]đ?›˝ ĂŠ chamada de matriz mudança de base de đ?›˝â€˛ para đ?›˝. đ?›˝â€˛

Comparando [đ??ź]đ?›˝ com (**), percebe-se que a đ?‘– − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž coluna ĂŠ composta pelas coordenadas de đ?‘¤đ?‘– em relação Ă base đ?›˝. Vejamos um exemplo para esclarecer melhor a ideia de mudança de base. Exemplo: 01. Sejam đ?›˝ = {(2, −1), (3,4)} e đ?›˝â€˛ = {(1,0), (0,1)} bases de â„œ2 . Procuremos a matriz mudança de base de đ?›˝â€˛ para đ?›˝. Vamos reescrever as bases usando uma notação genĂŠrica para seus vetores para que possamos fazer uma analogia com a construção feita anteriormente. Sejam:

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268

𝛽 = {𝑢1 , 𝑢2 }, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢1 = (2, −1) 𝑒 𝑢2 = (3,4). 𝛽′ = {𝑤1 , 𝑤2 }, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑤1 = (1,0) 𝑒 𝑤2 = (0,1). O próximo passo é escrever os vetores de 𝛽′ como combinação linear dos vetores de 𝛽. 𝑤1 = 𝑎11 𝑢1 + 𝑎21 𝑢2 ⇔ (1,0) = 𝑎11 (2, −1) + 𝑎21 (3,4) = (2𝑎11 , −𝑎11 ) + (3𝑎21 , 4𝑎21 ) = (2𝑎11 + 3𝑎21 , −𝑎11 + 4𝑎21 )

⇔ (1,0) = (2𝑎11 + 3𝑎21 , −𝑎11 + 4𝑎21 ) … (𝐼)

𝑤2 = 𝑎12 𝑢1 + 𝑎22 𝑢2 ⇔ (0,1) = 𝑎12 (2, −1) + 𝑎22 (3,4) = (2𝑎12 , −𝑎12 ) + (3𝑎22 , 4𝑎22 ) = (2𝑎12 + 3𝑎22 , −𝑎12 + 4𝑎22 )

⇔ (0,1) = (2𝑎12 + 3𝑎22 , −𝑎12 + 4𝑎22 ) … (𝐼𝐼) De (I) e (II), temos: 2𝑎11 + 3𝑎21 = 1 −𝑎11 + 4𝑎21 = 0 { . 2𝑎12 + 3𝑎22 = 0 −𝑎12 + 4𝑎22 = 1 Cuja solução é 𝑎11 =

4

, 𝑎21 =

11

1

, 𝑎12 = −

11

3 11

e 𝑎22 =

2

.

11

Portanto, temos a matriz mudança de base:

𝛽′

[𝐼]𝛽

𝑎11 = [𝑎 21

4 𝑎12 11 𝑎22 ] = [ 1 11

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3 4 3 − ′ 11] ⇒ [𝐼]𝛽 = [11 11] . 𝛽 2 1 2 11 11 11

−

269

Agora, vamos determinar as coordenadas do vetor đ?‘Ł = (5, −8) em relação Ă 5 base đ?›˝â€˛ . Sabemos que [đ?‘Ł]đ?›˝â€˛ = [ ] e usando a formula de mudança de base: −8

�′

[đ?‘Ł]đ?›˝ = [đ??ź]đ?›˝ [đ?‘Ł]đ?›˝â€˛

4 ⇔ [�]� = [11 1 11

3 11] [ 5 ] = [ 4 ] 2 −1 −8 11

−

4 ⇒ [đ?‘Ł]đ?›˝ = [ ]. −1 Ou ainda: [đ?‘Ł]đ?›˝ = 4đ?‘˘1 − đ?‘˘2 = 2(2, −1) − (3,4). É obvio que poderĂ­amos simplesmente tomar uma combinação arbitrĂĄria (5, −8) = đ?‘Ž(2, −1) + đ?‘?(3,4) e calcular os valores de đ?‘Ž e đ?‘? e entĂŁo o vetor seria đ?‘Ž escrito [(5,8)]đ?›˝ = [ ]. PorĂŠm, quando aumentamos o nĂşmero de vetores, o uso đ?‘? da matriz se tornarĂĄ vantajoso. 14.7.2 InversĂŁo: Fazendo um processo anĂĄlogo ao visto em 14.7.1, mas escrevendo đ?‘˘đ?‘– como combinação linear dos vetores đ?‘¤đ?‘— da base đ?›˝â€˛ encontramos a relação:

[đ?‘Ł]đ?›˝â€˛ = [đ??ź]đ?›˝đ?›˝â€˛ [đ?‘Ł]đ?›˝ .

E esta ĂŠ a formula de mudança de base de đ?›˝ para đ?›˝â€˛ . đ?›˝ A matriz [đ??ź]đ?›˝â€˛ ĂŠ a matriz mudança de base de đ?›˝ para đ?›˝â€˛ .

14.7.3 Relação Entre as Matrizes: A relação entre as matrizes mudança đ?›˝â€˛

đ?›˝

de base de đ?›˝â€˛ para đ?›˝ ([đ??ź]đ?›˝ ) e mudança de base de đ?›˝ para đ?›˝â€˛ ([đ??ź]đ?›˝â€˛ ) ĂŠ:

�′

−1

([đ??ź]đ?›˝ )

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đ?›˝

= [đ??ź]đ?›˝â€˛ .

270

Exemplos:

4

01. No exemplo anterior, obtemos

′ [đ??ź]đ?›˝đ?›˝

=

[11 1 11

−

3

11 2 ],

para encontrar a matriz

11

mudança de base de đ?›˝ para đ?›˝â€˛ basta usar a relação de 14.7.3, isto ĂŠ, devemos ′

đ?›˝ calcular a inversa de [đ??ź]đ?›˝ . Realizando os cĂĄlculos obtemos:

[đ??ź]đ?›˝đ?›˝â€˛ = [ 2 −1

3 ]. 4

02. Considere đ?‘‰ = â„œ2 , as bases đ?›˝ = {đ?‘’1 , đ?‘’2 } canĂ´nica e đ?›˝â€˛ = {đ?‘“1 , đ?‘“2 }, obtida da base canĂ´nica pela rotação de um ângulo de medida đ?œƒ. Dado um vetor đ?‘Ł ∈ â„œ2 tal que: đ?‘Ľ [đ?‘Ł]đ?›˝ = [đ?‘Ľ1 ]. 2 Quais as coordenadas de đ?‘Ł em relação Ă đ?›˝â€˛ , isto ĂŠ, queremos determinar đ?‘Ś1 e đ?‘Ś2 , em função de đ?‘Ľ1 e đ?‘Ľ2 , tais que: đ?‘Ś [đ?‘Ł]đ?›˝â€˛ = [đ?‘Ś1 ]. 2 Observe:

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271

Temos đ?‘Ł = đ?‘Ľ1 đ?‘’1 + đ?‘Ľ2 đ?‘’2 = đ?‘Ś1 đ?‘“1 + đ?‘Ś2 đ?‘“2 e queremos calcular: [đ?‘Ł]đ?›˝â€˛ = [đ??ź]đ?›˝đ?›˝â€˛ [đ?‘Ł]đ?›˝ . đ?‘Ž11 đ?›˝ Ou seja, queremos encontrar a matriz [đ??ź]đ?›˝â€˛ = [đ?‘Ž 21

đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 ] mudança de base de đ?›˝

para đ?›˝â€˛ . Para isso, devemos escrever os vetores đ?‘’1 e đ?‘’2 de đ?›˝ em função de đ?‘“1 e đ?‘“2 . Observe a figura:

Temos đ?‘’1 = cos đ?œƒ đ?‘“1 − sin đ?œƒ đ?‘“2 . E:

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272

Temos đ?‘’2 = sin đ?œƒ đ?‘“1 + cos đ?œƒ đ?‘“2 . Desta forma: [đ??ź]đ?›˝đ?›˝â€˛ = [ cos đ?œƒ − sin đ?œƒ

sin đ?œƒ ]. cos đ?œƒ

Logo: đ?‘Ś [đ?‘Ł]đ?›˝â€˛ = [đ??ź]đ?›˝đ?›˝â€˛ [đ?‘Ł]đ?›˝ ⇔ [đ?‘Ś1 ] = [ cos đ?œƒ 2 − sin đ?œƒ

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đ?‘Ś = cos đ?œƒ đ?‘Ľ1 + sin đ?œƒ đ?‘Ľ2 sin đ?œƒ đ?‘Ľ1 ] [đ?‘Ľ ] ⇔ { 1 . đ?‘Ś2 = − sin đ?œƒ đ?‘Ľ1 + cos đ?œƒ đ?‘Ľ2 cos đ?œƒ 2

273

CAP�TULO 15: TRANSFORMAÇÕES LINEARES

15.1 INTRODUĂ‡ĂƒO Antes de falarmos sobre transformaçþes (aplicaçþes) lineares, vamos relembrar alguns conceitos bĂĄsicos de funçþes (aplicaçþes). Primeiramente, o que ĂŠ uma função? Sempre que nos referimos a uma função matematicamente, devemos considerar dois conjuntos đ??´ e đ??ľ. Uma função ĂŠ definida como sendo uma relação (ou regra) que associa a todo elemento de đ??´ um Ăşnico elemento de đ??ľ. Por exemplo, considere os conjuntos đ??´ = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?} e đ??ľ = {đ?‘‘, đ?‘’, đ?‘Ą, đ?‘&#x;} e seja đ?‘“ uma função que associa todo elemento de đ??´ a um Ăşnico elemento de đ??ľ, denotamos đ?‘“: đ??´ → đ??ľ (lĂŞ-se: đ?‘“ de đ??´ em đ??ľ), tal que đ?‘Ž ↌ đ?‘‘, đ?‘? ↌ đ?‘’ e đ?‘? ↌ đ?‘’. No caso em que đ?‘Ž ↌ đ?‘‘, dizemos que “o elemento đ?‘Ž ∈ đ??´ ĂŠ associado ao elemento đ?‘‘ ∈ đ??ľâ€? ou ainda podemos dizer que đ?‘‘ ĂŠ a imagem de đ?‘Ž atravĂŠs da função đ?‘“, e podemos denotar esta relação entre đ?‘Ž e đ?‘‘ por đ?‘“(đ?‘Ž) = đ?‘‘. De outra maneira, podemos pensar que a função đ?‘“ “transformaâ€? o elemento đ?‘Ž ∈ đ??´ no elemento đ?‘‘ ∈ đ??ľ. AnĂĄlogo Ă đ?‘“(đ?‘Ž) = đ?‘‘, temos đ?‘“(đ?‘?) = đ?‘’ e đ?‘“(đ?‘?) = đ?‘’. Note que os elementos đ?‘?, đ?‘? ∈ đ??´ sĂŁo associados ao mesmo elemento đ?‘’ ∈ đ??ľ. O que devemos tomar cuidado ĂŠ que, por exemplo, o elemento đ?‘Ž ∈ đ??´ sĂł pode ser associado a um Ăşnico elemento de đ??ľ (neste caso, đ?‘‘). Caso tivĂŠssemos đ?‘“(đ?‘Ž) = đ?‘‘ e đ?‘“(đ?‘Ž) = đ?‘&#x;, isto implicaria que a relação đ?‘“ nĂŁo ĂŠ uma função. Como tarefa, represente a função đ?‘“: đ??´ → đ??ľ descrita acima por um Diagrama de Venn. 15.1.1 Definição: Sejam đ?‘‰ e đ?‘Š espaços vetoriais5. Uma transformação linear ĂŠ uma função đ?‘‡ de đ?‘‰ em đ?‘Š, đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š, tal que as seguintes propriedades sĂŁo satisfeitas: P1. đ?‘‡(đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ?‘‡(đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?‘Ł), quaisquer que sejam đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ đ?‘‰;

Quando falarmos somente “tal conjunto ĂŠ espaço vetorialâ€?, jĂĄ estamos assumindo que este ĂŠ um espaço vetorial sobre o corpo (â„œ, +,â‹…). 5

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274

P2. đ?‘‡(đ?œ†đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘Ł), quaisquer que sejam đ?œ† ∈ â„œ e đ?‘Ł ∈ đ?‘‰. Exemplos: 01. Vamos mostrar que a função đ?‘‡: â„œ → â„œ tal que đ?‘‡(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ ĂŠ uma aplicação linear. Note que, neste caso os espaços vetoriais sĂŁo đ?‘‰ = đ?‘Š = â„œ e a função đ?‘‡ transforma um nĂşmero real đ?‘Ľ em seu triplo 3đ?‘Ľ, isto ĂŠ, đ?‘Ľ ↌ 3đ?‘Ľ = đ?‘‡(đ?‘Ľ). Mostremos que đ?‘‡ ĂŠ uma transformação linear. Para isto, devemos mostrar que: P1. Quaisquer que sejam đ?‘?, đ?‘ž ∈ đ?‘‰ = â„œ, a propriedade đ?‘‡(đ?‘? + đ?‘ž) = đ?‘‡(đ?‘?) + đ?‘Ą(đ?‘ž) deve ser verificada. De fato:

đ?‘‡(đ?‘? + đ?‘ž) = 3(đ?‘? + đ?‘ž) = 3đ?‘? + 3đ?‘ž = đ?‘‡(đ?‘?) + đ?‘‡(đ?‘ž) ⇒ đ?‘‡(đ?‘? + đ?‘ž) = đ?‘‡(đ?‘?) + đ?‘‡(đ?‘ž) .

P2. Quaisquer que sejam đ?œ† ∈ â„œ e đ?‘Ľ ∈ đ?‘‰ = â„œ, a propriedade đ?‘‡(đ?œ†đ?‘Ľ) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘Ľ) deve ser verificada. De fato:

đ?‘‡(đ?œ†đ?‘Ľ) = 3(đ?œ†đ?‘Ľ) = đ?œ†(3đ?‘Ľ) = đ?œ†(3đ?‘Ľ) ⇒ đ?‘‡(đ?œ†đ?‘Ľ) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘Ľ) .

Como P1 e P2 sĂŁo vĂĄlidas, temos que đ?‘‡: â„œ → â„œ ĂŠ uma transformação linear. 02. A aplicação đ??š: â„œ → â„œ definida por đ??š(đ?‘Ą) = đ?‘Ą 2 NĂƒO ĂŠ uma aplicação linear. Perceba que, tomando đ?‘Ą1 , đ?‘Ą2 ∈ â„œ, tem-se: đ??š(đ?‘Ą1 + đ?‘Ą2 ) = (đ?‘Ą1 + đ?‘Ą2 )2 = đ?‘Ą12 + 2đ?‘Ą1 đ?‘Ą2 + đ?‘Ą22 . Por outro lado: đ??š(đ?‘Ą1 ) + đ??š(đ?‘Ą2 ) = đ?‘Ą12 + đ?‘Ą22 . Desta forma:

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275

đ??š(đ?‘Ą1 + đ?‘Ą2 ) = đ?‘Ą12 + 2đ?‘Ą1 đ?‘Ą2 + đ?‘Ą22 ≠đ?‘Ą12 + đ?‘Ą22 = đ??š(đ?‘Ą1 ) + đ??š(đ?‘Ą2 ) ⇒ đ??š(đ?‘Ą1 + đ?‘Ą2 ) ≠đ??š(đ?‘Ą1 ) + đ??š(đ?‘Ą2 ). Ou seja, a propriedade P1 da definição nĂŁo ĂŠ satisfeita, o que jĂĄ ĂŠ suficiente para concluir que đ??š nĂŁo ĂŠ uma aplicação linear. 03. Seja đ?‘‡: â„œ2 → â„œ3 definida por đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (2đ?‘Ľ, 0, đ?‘Ľ + đ?‘Ś). Vamos mostrar que đ?‘‡ ĂŠ uma transformação linear. Note que o conjunto de “partidaâ€? ĂŠ o espaço vetorial đ?‘‰ = â„œ2 , logo seus vetores sĂŁo da forma đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), enquanto o conjunto de chegada ĂŠ o espaço vetorial đ?‘Š = â„œ3 com vetores da forma (đ?‘?, đ?‘ž, đ?‘&#x;). Mostremos que đ?‘‡ ĂŠ transformação linear: P1. Sejam đ?‘Ł1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), đ?‘Ł2 = (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ) ∈ đ?‘‰ = â„œ2 . EntĂŁo: đ?‘‡(đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ) = đ?‘‡((đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ) + (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 )) = đ?‘‡(đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? , đ?’šđ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? )

= (2(đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? ), 0, (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? ) + (đ?’šđ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? ))

= (đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;? , 0, (đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? ) + (đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? )) = (đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;? , đ?&#x;Ž, đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? ) + (đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;? , đ?&#x;Ž, đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? ) = đ?‘‡(đ?’™đ?&#x;? , đ?’šđ?&#x;? ) + đ?‘‡(đ?’™đ?&#x;? , đ?’šđ?&#x;? ) = đ?‘‡(đ?‘Ł1 ) + đ?‘‡(đ?‘Ł2 )

⇒ đ?‘‡(đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ) = đ?‘‡(đ?‘Ł1 ) + đ?‘‡(đ?‘Ł2 ) . P2. Sejam đ?œ† ∈ â„œ e đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ đ?‘‰ = â„œ2 . EntĂŁo:

đ?‘‡(đ?œ†đ?‘Ł) = đ?‘‡(đ?œ†(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)) = đ?‘‡(đ?œ†đ?‘Ľ, đ?œ†đ?‘Ś) = (2(đ?œ†đ?‘Ľ), 0, đ?œ†đ?‘Ľ + đ?œ†đ?‘Ś) = (đ?œ†(2đ?‘Ľ), 0, đ?œ†(đ?‘Ľ + đ?‘Ś))

= đ?œ†(2đ?‘Ľ, 0, đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘Ł) ⇒ đ?‘‡(đ?œ†đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘Ł) .

Como P1 e P2 sĂŁo satisfeitas, temos que đ?‘‡ ĂŠ uma transformação linear.

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276

15.1.2

ConsequĂŞncia

da

Definição:

Decorre

da

definição

de

transformação linear que, sendo đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š uma transformação linear, o vetor nulo de đ?‘‰ ĂŠ associado ao vetor nulo de đ?‘Š. Em outras palavras, se đ?‘‡ ĂŠ transformação linear, a imagem do vetor nulo de đ?‘‰ atravĂŠs da aplicação đ?‘‡ ĂŠ o vetor nulo de đ?‘Š, isto ĂŠ, đ?‘‡(0đ?‘‰ ) = 0đ?‘Š (usamos os Ă­ndices đ?‘‰ e đ?‘Š em 0, somente para que fique mais fĂĄcil de visualizar que um dos vetores ĂŠ o vetor nulo do espaço vetorial đ?‘‰ e o outro ĂŠ o vetor nulo do espaço vetorial đ?‘Š). Prova: Queremos mostrar que đ?‘‡(0) = 0, ou seja, partimos de um lado da igualdade e devemos chegar do outro lado. De fato:

�(0) = �(0 + 0). Como, por hipótese, � Ê linear, �(0 + 0) = �(0) + �(0). Então:

đ?‘‡(0) = đ?‘‡(0 + 0) = đ?‘‡(0) + đ?‘‡(0) ⇒ đ?‘‡(0) = đ?‘‡(0) + đ?‘‡(0) ‌ (∗) Note que, đ?‘‡(0) ∈ đ?‘Š e, como đ?‘Š ĂŠ espaço vetorial, sabe-se que existe −đ?‘ť(đ?&#x;Ž) ∈ đ?‘Š tal que đ?‘‡(0) + [−đ?‘ť(đ?&#x;Ž)] = 0. Somando −đ?‘‡(0) em (*): đ?‘‡(0) + [−đ?‘ť(đ?&#x;Ž)] = [đ?‘‡(0) + đ?‘‡(0)] + [−đ?‘ť(đ?&#x;Ž)] ⇔ 0 = đ?‘‡(0) + {đ?‘‡(0) + [−đ?‘‡(0)]} ⇔ 0 = đ?‘‡(0) + 0

⇔ �(0) = 0 .

Portanto, temos o desejado, isto Ê, a igualdade destacada acima nos diz que o vetor nulo de � tem como imagem, atravÊs de � linear, o vetor nulo de �.

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277

IMPORTANTE: O resultado acima nos serĂĄ muito Ăştil para concluir quais aplicaçþes nĂŁo sĂŁo lineares, isto ĂŠ, se đ??š: đ?‘‰ → đ?‘Š for tal que đ??š(0) ≠0, concluĂ­mos de imediato que đ??š nĂŁo ĂŠ uma aplicação linear. PorĂŠm, se ocorrer đ??š(0) = 0, nĂŁo podemos ainda afirmar que esta transformação ĂŠ linear, ainda teremos que verificar as propriedades P1 e P2 da definição. Exemplo: Seja đ?‘‡: â„œ3 → â„œ3 tal que (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ↌ (đ?‘Ľ + 1, đ?‘Ś, đ?‘§), esta aplicação nĂŁo ĂŠ uma transformação linear, pois: đ?‘‡(0) = đ?‘‡(0,0,0) = (0 + 1,0,0) = (1,0,0) ≠(0,0,0) = 0. Temos đ?‘‡(0) ≠0, ou seja, pelo resultado visto acima isto implica que đ?‘‡ nĂŁo ĂŠ linear. A seguir, veremos um resultado que nos auxiliarĂĄ a detectar transformaçþes

lineares.

Digamos

que

este

resultado

“resume�

as

propriedades P1 e P2 em apenas uma condição. 15.1.3 Proposição: Seja đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š uma aplicação. đ?‘‡ ĂŠ uma transformação linear se, e somente se, đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?‘Ł), quaisquer que sejam đ?œ† ∈ â„œ e đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ đ?‘‰. Prova: Devemos mostrar a “idaâ€? e a “voltaâ€? do “se, e somente seâ€?: (⇒) Queremos provar que, se đ?‘‡ ĂŠ linear, entĂŁo vale a igualdade đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?‘Ł). De fato, partimos do lado esquerdo da igualdade đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘ + đ?‘Ł). Mas como đ?‘‡ ĂŠ, por hipĂłtese, linear, ĂŠ vĂĄlido đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?‘Ł) e tambĂŠm, devido ao fato de que đ?‘‡ ĂŠ linear, ĂŠ vĂĄlido đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘˘). EntĂŁo:

đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?‘Ł)

⇒ đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?‘Ł) .

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E temos o desejado. (â‡?) Queremos mostrar que, a igualdade đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?‘Ł) ĂŠ vĂĄlida, quaisquer que sejam đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ e đ?œ† ∈ â„œ, entĂŁo đ?‘‡ ĂŠ uma transformação linear. Em outras palavras, queremos provar que P1 e P2 da definição sĂŁo vĂĄlidas. De fato: Se đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?‘Ł) ĂŠ vĂĄlida para quaisquer đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ e đ?œ† ∈ â„œ, podemos tomar, em particular, đ??€ = đ?&#x;? em đ?‘‡(đ??€đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ??€đ?‘‡(đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?‘Ł), isto ĂŠ:

đ?‘‡(đ?&#x;?đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ?&#x;?đ?‘‡(đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?‘Ł) ⇔ đ?‘‡(đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ?‘‡(đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?‘Ł). ConcluĂ­mos đ?‘‡(đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ?‘‡(đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?‘Ł), quaisquer que sejam đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ đ?‘‰, isto ĂŠ, a propriedade P1 da definição ĂŠ satisfeita. Por outro lado, se đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?‘Ł) ĂŠ vĂĄlida para quaisquer đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ e đ?œ† ∈ â„œ, podemos tomar, em particular, đ?’— = đ?&#x;Ž em đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘ + đ?’—) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?’—), isto ĂŠ:

đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘ + đ?&#x;Ž) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘˘) + đ?‘‡(đ?&#x;Ž) ⇔ đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘˘) + 0 = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘˘). ConcluĂ­mos que đ?‘‡(đ?œ†đ?‘˘) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘˘), quaisquer que sejam đ?‘˘ ∈ đ?‘‰ e đ?œ† ∈ â„œ, isto ĂŠ, a propriedade P2 da definição ĂŠ satisfeita. Portanto, como P1 e P2 sĂŁo vĂĄlidas, temos que đ?‘‡ ĂŠ uma transformação linear. Exemplo: A aplicação đ?‘‡: â„œ2 → â„œ2 tal que (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ↌ (2đ?‘Ľ, đ?‘Ľ + đ?‘Ś) ou đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (2đ?‘Ľ, đ?‘Ľ + đ?‘Ś) ĂŠ uma transformação linear. Tomando đ?‘Ł1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), đ?‘Ł2 = (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ) ∈ â„œ2 e đ?œ† ∈ â„œ, temos: đ?‘‡(đ?œ†đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ) = đ?‘‡(đ?œ†(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ) + (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 )) = đ?‘‡((đ?œ†đ?‘Ľ1 , đ?œ†đ?‘Ś1 ) + (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 )) = đ?‘‡(đ?œ†đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 , đ?œ†đ?‘Ś1 + đ?‘Ś2 ) = (2(đ?œ†đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 ), đ?œ†đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + đ?œ†đ?‘Ś1 + đ?‘Ś2 ) = (2đ?œ†đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 , đ?œ†(đ?‘Ľ1 + đ?‘Ś1 ) + (đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2 )) = (2đ?œ†đ?‘Ľ1 , đ?œ†(đ?‘Ľ1 + đ?‘Ś1 )) + (2đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2 )

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= đ?œ†(2đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ1 + đ?‘Ś1 ) + (2đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2 ) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ) + đ?‘‡(đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘Ł1 ) + đ?‘‡(đ?‘Ł2 ) ⇒ đ?‘‡(đ?œ†đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘Ł1 ) + đ?‘‡(đ?‘Ł2 ). Como đ?‘‡(đ?œ†đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ) = đ?œ†đ?‘‡(đ?‘Ł1 ) + đ?‘‡(đ?‘Ł2 ), segue que đ?‘‡ ĂŠ transformação linear. No prĂłximo exemplo, veremos que podemos associar a qualquer transformação đ?‘‡: â„œđ?‘› → â„œđ?‘š uma matriz de ordem đ?‘šĂ—đ?‘›. Exemplos: 01. Sejam đ??żđ?‘€ : â„œđ?‘› → â„œđ?‘š uma transformação linear e đ?‘€ uma matriz đ?‘šĂ—đ?‘› de modo đ??żđ?‘€ ĂŠ definida por đ?‘Ł ↌ đ?‘€đ?‘Ł ou đ??żđ?‘€ (đ?‘Ł) = đ?‘€đ?‘Ł, onde đ?‘Ł ∈ â„œđ?‘› pode ser tomado como đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1 đ?‘š đ?‘Ł = [ â‹Ž ] e đ??żđ?‘€ (đ?‘Ł) ∈ â„œ pode ser tomado como đ??żđ?‘€ (đ?‘Ł) = [ â‹Ž ]. Assim: đ?‘Ľđ?‘› đ?‘Śđ?‘š đ?‘Ś1 đ?‘Ľ1 â‹Ž đ??żđ?‘€ (đ?‘Ł) = đ?‘€đ?‘Ł ⇔ [ ] = đ?‘€ [ â‹Ž ]. đ?‘Śđ?‘š đ?‘Ľđ?‘› Segue das propriedades de operaçþes com matrizes que, dados đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ â„œđ?‘› e đ?œ† ∈ â„œ, tem-se: đ??żđ?‘€ (đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ?‘€(đ?‘˘ + đ?‘Ł) = đ?‘€đ?‘˘ + đ?‘€đ?‘Ł = đ??żđ?‘€ (đ?‘˘) + đ??żđ?‘€ (đ?‘Ł). đ??żđ?‘€ (đ?œ†đ?‘˘) = đ?‘€(đ?œ†đ?‘˘) = đ?œ†(đ?‘€đ?‘˘) = đ?œ†đ??żđ?‘€ (đ?‘˘). Logo đ??żđ?‘€ ĂŠ transformação linear. 02. Tomando đ??żđ?‘€ : â„œ2 → â„œ3 tal que đ??żđ?‘€ (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ) = (2đ?‘Ľ1 , 0, đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 ), como identificar a đ?‘Ś1 đ?‘Ľ1 đ?‘Ś (đ?‘Ł) matriz đ?‘€? Note que đ?‘Ł = [đ?‘Ľ ] e đ??żđ?‘€ = [ 2 ], e observando a lei de đ??żđ?‘€ , temos: 2 đ?‘Ś3

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đ?‘Ś1 2đ?‘Ľ1 = đ?‘Ś1 2đ?‘Ľ1 đ??żđ?‘€ (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ) = (2đ?‘Ľ1 , 0, đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 ) ⇔ [đ?‘Ś2 ] = [ 0 ] ⇔ { 0 = đ?‘Ś2 đ?‘Ś3 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 = đ?‘Ś3 O sistema na forma matricial ĂŠ: 2 [0 1 2 Ora, podemos identificar đ?‘€ = [0 1

đ?‘Ś1 0 đ?‘Ľ 1 đ?‘Ś 0] [đ?‘Ľ ] = [ 2 ]. 2 đ?‘Ś3 1 0 0], desta forma a igualdade acima ĂŠ escrita 1

como đ?‘€đ?‘Ł = đ??żđ?‘€ (đ?‘Ł), ou ainda, đ?‘Ł ↌ đ?‘€đ?‘Ł. 2 0 đ?‘Ľ 1 đ??żđ?‘€ (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ) = [0 0] [đ?‘Ľ ]. 2 1 1

15.2 RESULTADOS E CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES Agora veremos uma sĂŠrie de resultados e algumas definiçþes de elementos presentes em transformaçþes lineares. O primeiro resultado nos diz que para determinar uma transformação linear, basta saber como esta transformação “funcionaâ€? nos elementos de uma base. 15.2.1 Teorema: Sejam đ?‘‰ e đ?‘Š espaços vetoriais, o conjunto đ?›˝ = {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } uma base de đ?‘‰ e os vetores đ?‘¤1 , ‌ , đ?‘¤đ?‘› ∈ đ?‘Š. Existe uma Ăşnica transformação linear đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š tal que đ?‘‡(đ?‘Ł1 ) = đ?‘¤1 , đ?‘‡(đ?‘Ł2 ) = đ?‘¤2 , ‌ , đ?‘‡(đ?‘Łđ?‘› ) = đ?‘¤đ?‘› . Sendo đ?‘Ł ∈ đ?‘‰, podemos escrever đ?‘Ł = đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› e a aplicação đ?‘‡ ĂŠ dada por đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?‘‡(đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› ) = đ?‘Ž1 đ?‘‡(đ?‘Ł1 ) + â‹Ż đ?‘Žđ?‘› đ?‘‡(đ?‘Łđ?‘› ) = đ?‘Ž1 đ?‘¤1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘¤đ?‘› .

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Prova: Suponha que, alĂŠm de đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š existe outra aplicação đ?‘…: đ?‘‰ → đ?‘Š tal que đ?‘…(đ?‘Ł1 ) = đ?‘¤1 , ‌ , đ?‘…(đ?‘Łđ?‘› ) = đ?‘¤đ?‘› (a ideia entĂŁo ĂŠ concluir que đ?‘…(đ?‘Ł) = đ?‘‡(đ?‘Ł), ∀đ?‘Ł ∈ đ?‘‰, para mostrar a unicidade de đ?‘‡). Sendo đ?‘Ł ∈ đ?‘‰, đ?‘Ł = đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› , pois {đ?‘Ł1 , ‌ . , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ base de đ?‘‰ e, alĂŠm disso, os coeficientes đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› ∈ â„œ sĂŁo Ăşnicos. Aplicando a função đ?‘… em đ?‘Ł ∈ đ?‘‰, temos: đ?‘…(đ?‘Ł) = đ?‘…(đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› ) = đ?‘…(đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 ) + â‹Ż + đ?‘…(đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› ) = đ?‘Ž1 đ?‘…(đ?‘Ł1 ) + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘…(đ?‘Łđ?‘› ) = đ?‘Ž1 đ?‘¤1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘¤đ?‘› ⇒ đ?‘…(đ?‘Ł) = đ?‘Ž1 đ?‘¤1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘¤đ?‘› Temos por hipĂłtese tambĂŠm que đ?‘¤1 = đ?‘‡(đ?‘Ł1 ), ‌ , đ?‘¤đ?‘› = đ?‘‡(đ?‘Łđ?‘› ), logo: đ?‘…(đ?‘Ł) = đ?‘Ž1 đ?‘¤1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘¤đ?‘› = đ?‘Ž1 đ?‘‡(đ?‘Ł1 ) + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘‡(đ?‘Łđ?‘› ) = đ?‘‡(đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 ) + â‹Ż + đ?‘‡(đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› ) = đ?‘‡(đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› ) = đ?‘‡(đ?‘Ł) ⇒ đ?‘…(đ?‘Ł) = đ?‘‡(đ?‘Ł). Logo, para qualquer đ?‘Ł ∈ đ?‘‰, temos đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?‘…(đ?‘Ł). Portanto, concluĂ­mos que đ?‘… = đ?‘‡, e desta forma đ?‘‡ ĂŠ Ăşnica. Exemplos: 01. Qual ĂŠ a transformação linear đ?‘‡: â„œ2 → â„œ3 tal que đ?‘‡(đ?&#x;?, đ?&#x;Ž) = (2, −1,0) e đ?‘‡(đ?&#x;Ž, đ?&#x;?) = (0,0,1)? Sabemos que đ?’†đ?&#x;? = (đ?&#x;?, đ?&#x;Ž), đ?’†đ?&#x;? = (đ?&#x;Ž, đ?&#x;?) ∈ â„œ2 formam uma base para â„œ2 . Assim, tomando đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 um vetor arbitrĂĄrio, este pode ser escrito como (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ(đ?&#x;?, đ?&#x;Ž) + đ?‘Ś(đ?&#x;Ž, đ?&#x;?) = đ?‘Ľđ?’†đ?&#x;? + đ?‘Śđ?’†đ?&#x;? e, aplicando đ?‘‡ nesta igualdade: đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘‡(đ?‘Ľđ?‘’1 + đ?‘Śđ?‘’2 ) = đ?‘‡(đ?‘Ľđ?‘’1 ) + đ?‘‡(đ?‘Śđ?‘’2 ) = đ?‘Ľđ?‘‡(đ?‘’1 ) + đ?‘Śđ?‘‡(đ?‘’2 ). Como đ?‘‡(đ?‘’1 ) = (2, −1,0) e đ?‘‡(đ?‘’2 ) = (0,0,1), temos:

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đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľđ?‘‡(đ?‘’1 ) + đ?‘Śđ?‘‡(đ?‘’2 ) = đ?‘Ľ(2, −1,0) + đ?‘Ś(0,0,1) = (2đ?‘Ľ, −đ?‘Ľ, 0) + (0,0, đ?‘Ś)

= (2đ?‘Ľ, −đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ⇒ đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (2đ?‘Ľ, −đ?‘Ľ, đ?‘Ś) .

Portanto, de acordo com o resultado anterior, a transformação linear procurada ĂŠ đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (2đ?‘Ľ, −đ?‘Ľ, đ?‘Ś) e esta ĂŠ a Ăşnica que satisfaz as “exigĂŞnciasâ€? iniciais. 02. Qual ĂŠ a transformação đ?‘‡: â„œ2 → â„œ3 tal que đ?‘‡(1,1) = (3,2,1) e đ?‘‡(0, −2) = (0,1,0)? O conjunto {(1,1), (0, −2)} ĂŠ uma base para â„œ2 , logo conhecendo a imagem de cada vetor desta base, conseguimos determinar a transformação linear đ?‘‡, de acordo com o teorema acima. Para isto, tomemos (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 que pode ser escrito como:

đ?‘Ľ đ?‘Ś đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (đ?‘Ľ, đ?‘Ľ) + (0, −2 ( − )) = đ?‘Ľ(1,1) + ( ) (0, −2) 2 2 2 đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś ) (0, −2). 2

⇒ (�, �) = �(1,1) + (

Aplicando � na igualdade acima:

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś ) (0, −2)) = đ?‘‡(đ?‘Ľ(1,1)) + đ?‘‡ (( ) (0, −2)) 2 2

�(�, �) = � (�(1,1) + (

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś ) đ?‘‡(0, −2) = đ?‘Ľ(3,2,1) + ( ) (0,1,0) 2 2

= ��(1,1) + (

= (3đ?‘Ľ, 2đ?‘Ľ, đ?‘Ľ) + (0,

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś 4đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ś , 0) = (3đ?‘Ľ, 2đ?‘Ľ + , đ?‘Ľ) = (3đ?‘Ľ, , đ?‘Ľ) 2 2 2

⇒ �(�, �) = (3�,

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5đ?‘Ľ − đ?‘Ś , đ?‘Ľ). 2

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15.2.2 Definição: Seja đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š uma transformação linear. A imagem de đ?‘‡ ĂŠ o conjunto dos vetores đ?‘¤ ∈ đ?‘Š tais que existe algum vetor đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ para o qual đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?‘¤. Denotamos a imagem de đ?‘‡ por đ?‘‡(đ?‘‰), ou seja: đ?‘‡(đ?‘‰) = {đ?‘¤ ∈ đ?‘Š; đ?‘¤ = đ?‘‡(đ?‘Ł), đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ł ∈ đ?‘‰}. 15.2.3 Definição: Seja đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š uma transformação linear. O conjunto dos vetores đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ que sĂŁo associados ao vetor 0 ∈ đ?‘Š ĂŠ chamado de nĂşcleo de đ?‘‡. Em outras palavras, o nĂşcleo de đ?‘‡ ĂŠ o conjunto dos vetores đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ tais que đ?‘‡(đ?‘Ł) = 0. Denotamos o nĂşcleo de đ?‘‡ por ker(đ?‘‡), ou seja: ker(đ?‘‡) = {đ?‘Ł ∈ đ?‘‰; đ?‘‡(đ?‘Ł) = 0}. 15.2.4 ConsequĂŞncias da Definição: Os conjuntos đ?‘‡(đ?‘‰) ⊂ đ?‘Š e ker(đ?‘‡) ⊂ đ?‘‰ sĂŁo, respectivamente, subespaços de đ?‘Š e đ?‘‰. Prova: Faça! â˜ş Exemplos: 01. Seja đ?‘‡: â„œ2 → â„œ tal que (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ↌ đ?‘Ľ + đ?‘Ś ou đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ + đ?‘Ś. Vamos determinar o nĂşcleo e a imagem de đ?‘‡. Por definição, ker(đ?‘‡) = {đ?‘Ł ∈ â„œ2 ; đ?‘‡(đ?‘Ł) = 0}. Tomando đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 , temos: ker(đ?‘‡) = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 ; đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0} = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 ; đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 0} = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 ; đ?‘Ś = −đ?‘Ľ} = {(đ?‘Ľ, −đ?‘Ľ); đ?‘Ľ ∈ â„œ} = {đ?‘Ľ(1, −1); đ?‘Ľ ∈ â„œ} = [(1, −1)] ⇒ ker(đ?‘‡) = [(1, −1)]. Note que o nĂşcleo de đ?‘‡ ĂŠ o subespaço gerado por (1, −1) ∈ â„œ2 e , geometricamente, o nĂşcleo de đ?‘‡ ĂŠ o conjunto de vetores de â„œ2 que estĂŁo sobre a reta đ?‘Ś = −đ?‘Ľ. Observe:

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Por definição, temos que 𝑇(𝑉) = {𝑤 ∈ ℜ; 𝑤 = 𝑇(𝑢), 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 ∈ ℜ2 }. Tomando 𝑢 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℜ2 : 𝑇(𝑉) = {𝑤 ∈ ℜ; 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑤, 𝑜𝑛𝑑𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ ℜ2 } = {𝑤 ∈ ℜ; 𝑥 + 𝑦 = 𝑤} = {𝑥 + 𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℜ} = {(𝑥 + 𝑦) ⋅ 1; 𝑥 + 𝑦 ∈ ℜ} = [1] ⇒ 𝑇(𝑉) = [1]. Ou seja, a imagem de 𝑇 é o subespaço gerado pelo vetor 1 ∈ ℜ.

02. Seja 𝑇: ℜ3 → ℜ3 tal que (𝑥, 𝑦, 𝑧) ↦ (𝑥, 2𝑦, 0) ou 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 2𝑦, 0). Temos que, o núcleo de 𝑇 é: ker(𝑇) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℜ3 ; 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,0)} = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℜ3 ; (𝑥, 2𝑦, 0) = (0,0,0)} = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℜ3 ; 𝑥 = 0, 2𝑦 = 0 ⇔ 𝑦 = 0 𝑒 𝑧 ∈ ℜ} = {(0,0, 𝑧) ∈ ℜ3 ; 𝑧 ∈ ℜ}

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= {đ?‘§(0,0,1); đ?‘§ ∈ â„œ} = [(0,0,1)] ⇒ ker(đ?‘‡) = [(0,0,1)]. Ou seja, o nĂşcleo de đ?‘‡ ĂŠ o subespaço de â„œ3 gerado por (0,0,1). AlĂŠm disso, observe que dim(ker(đ?‘‡)) = 1. A imagem de đ?‘‡ ĂŠ: đ?‘‡(đ?‘‰) = {(đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) ∈ â„œ3 ; đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?), đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 } = {(đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) ∈ â„œ3 ; (đ?‘Ľ, 2đ?‘Ś, 0) = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?)} = {(đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) ∈ â„œ3 ; đ?‘Ž = đ?‘Ľ, đ?‘? = 2đ?‘Ś đ?‘’ đ?‘? = 0} = {(đ?‘Ľ, 2đ?‘Ś, 0); đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ â„œ} = {(đ?‘Ľ, 0,0) + (0,2đ?‘Ś, 0); đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ â„œ} = {đ?‘Ľ(1,0,0) + đ?‘Ś(0,2,0); đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ â„œ} = [(1,0,0), (0,2,0)] ⇒ đ?‘‡(đ?‘‰) = [(1,0,0), (0,2,0)]. Ou seja, đ?‘‡(đ?‘‰) ĂŠ o subespaço gerado de â„œ3 por (1,0,0) e (0,2,0). AlĂŠm disso, observe que dim(đ?‘‡(đ?‘‰)) = 2. 15.2.5 Definição: Seja đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š uma função (nĂŁo necessariamente aplicação linear). đ?‘‡ ĂŠ uma função injetora se dados đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ tais que đ?‘‡(đ?‘˘) = đ?‘‡(đ?‘Ł) implica em đ?‘˘ = đ?‘Ł. Ou equivalentemente, se dados đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ tais que đ?‘˘ ≠đ?‘Ł, entĂŁo đ?‘‡(đ?‘˘) ≠đ?‘‡(đ?‘Ł). Em outras palavras, uma função đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š ĂŠ injetora, se dois elementos com mesma imagem sĂŁo iguais, ou equivalente a isso, a função ĂŠ injetora se quaisquer dois elementos distintos sempre possuem imagens distintas. 15.2.6 Definição: Seja đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š uma função (nĂŁo necessariamente aplicação linear). đ?‘‡ ĂŠ uma função sobrejetora se đ?‘‡(đ?‘‰) = đ?‘Š. Em outras palavras, dizemos que uma função ĂŠ sobrejetora se o conjunto imagem desta função coincidir com seu contradomĂ­nio, ou ainda, đ?‘‡ ĂŠ sobrejetora se ∀đ?‘¤ ∈ đ?‘Š, ∃đ?‘Ł ∈ đ?‘‰; đ?‘¤ = đ?‘‡(đ?‘Ł). Exemplo:

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Seja đ?‘‡: â„œ → â„œ2 tal que đ?‘‡(đ?‘Ľ) = (đ?‘Ľ, 0). Note que, se tomarmos đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ â„œ tais que đ?‘‡(đ?‘Ľ) = đ?‘‡(đ?‘Ś), temos: đ?‘‡(đ?‘Ľ) = đ?‘‡(đ?‘Ś) ⇔ (đ?‘Ľ, 0) = (đ?‘Ś, 0) ⇔ đ?‘Ľ = đ?‘Ś. Como đ?‘‡(đ?‘Ľ) = đ?‘‡(đ?‘Ś) implicou đ?‘Ľ = đ?‘Ś, temos por definição que đ?‘‡ ĂŠ injetora. Vejamos que đ?‘‡ nĂŁo ĂŠ uma função sobrejetora. De fato: đ?‘‡(đ?‘‰) = {(đ?‘Ž, đ?‘?) ∈ â„œ2 ; đ?‘‡(đ?‘Ľ) = (đ?‘Ž, đ?‘?), đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ľ ∈ â„œ} = {(đ?‘Ž, đ?‘?) ∈ â„œ2 ; (đ?‘Ľ, 0) = (đ?‘Ž, đ?‘?)} = {(đ?‘Ž, đ?‘?) ∈ â„œ2 ; đ?‘Ž = đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘? = 0} = {(đ?‘Ľ, 0); đ?‘Ľ ∈ â„œ} = {đ?‘Ľ(1,0); đ?‘Ľ ∈ â„œ} = [(1,0)] ⇒ đ?‘‡(đ?‘‰) = [(1,0)]. Ou seja, a imagem de đ?‘‡ ĂŠ o subespaço gerado por (1,0) ∈ â„œ2 e este vetor nĂŁo gera â„œ2 , logo â„œ2 ≠[(1,0)] = đ?‘‡(đ?‘‰). Logo đ?‘‡(đ?‘‰) ≠ℜ2 , o que implica que đ?‘‡ nĂŁo ĂŠ sobrejetora. A seguir, veremos um resultado que nos serĂĄ muito Ăştil para identificar transformaçþes lineares injetoras. O teorema diz, basicamente, que uma condição necessĂĄria e suficiente para que uma transformação linear seja injetora ĂŠ que seu nĂşcleo contĂŠm somente o vetor nulo. 15.2.7 Teorema: Seja đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š uma transformação linear. ker(đ?‘‡) = {0} se, e somente se đ?‘‡ ĂŠ injetora. Prova: Devemos mostrar a dupla implicação. (⇒) Queremos mostrar que se ker(đ?‘‡) = {0}, entĂŁo đ?‘‡ ĂŠ injetora. Para mostrar que đ?‘‡ ĂŠ injetora, devemos concluir que, tomando đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ tais que đ?‘‡(đ?‘˘) = đ?‘‡(đ?‘Ł) isto implica em đ?‘˘ = đ?‘Ł. De fato, sejam đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ tais que đ?‘‡(đ?‘˘) = đ?‘‡(đ?‘Ł), entĂŁo: đ?‘‡(đ?‘˘) = đ?‘‡(đ?‘Ł) ⇔ đ?‘‡(đ?‘˘) − đ?‘‡(đ?‘Ł) = 0 ‌ (∗)

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287

Como đ?‘‡ ĂŠ linear, −đ?‘‡(đ?‘Ł) = −1đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?‘‡(−1đ?‘Ł) = đ?‘‡(−đ?‘Ł) e tambĂŠm đ?‘‡(đ?‘˘) + đ?‘‡(−đ?‘Ł) = đ?‘‡(đ?‘˘ − đ?‘Ł). Voltando em (*):

đ?‘‡(đ?‘˘) = đ?‘‡(đ?‘Ł) ⇔ đ?‘‡(đ?‘˘) − đ?‘‡(đ?‘Ł) = 0 ⇔ đ?‘‡(đ?‘˘ − đ?‘Ł) = 0. Mas, como đ?‘‡(đ?‘˘ − đ?‘Ł) = 0 (a imagem de đ?‘˘ − đ?‘Ł ĂŠ o vetor nulo), isto implica que đ?‘˘ − đ?‘Ł ∈ ker(đ?‘‡). PorĂŠm, por hipĂłtese, temos que ker(đ?‘‡) = {0}, ou seja, o Ăşnico vetor do nĂşcleo ĂŠ o vetor nulo, logo đ?‘˘ − đ?‘Ł = 0. Assim:

đ?‘˘âˆ’đ?‘Ł =0⇔ đ?‘˘ =đ?‘Ł. Ora, como đ?‘‡(đ?‘˘) = đ?‘‡(đ?‘Ł) implicou em đ?‘˘ = đ?‘Ł, temos por definição que đ?‘‡ ĂŠ uma função injetora. (â‡?) Queremos mostrar que se đ?‘‡ ĂŠ injetora, entĂŁo ker(đ?‘‡) = {0}, ou seja, devemos mostrar que o Ăşnico vetor do nĂşcleo ĂŠ o vetor nulo de đ?‘‰. Seja đ?‘Ł ∈ ker(đ?‘‡), entĂŁo por definição: đ?‘‡(đ?‘Ł) = 0 ‌ (∗) JĂĄ foi visto que uma consequĂŞncia da definição de transformação linear ĂŠ đ?‘‡(0) = 0, isto ĂŠ, a imagem do vetor nulo de đ?‘‰ ĂŠ o vetor nulo de đ?‘Š. Voltando em (*), temos:

đ?‘‡(đ?‘Ł) = 0 = đ?‘‡(0) ⇔ đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?‘‡(0). Mas, por hipĂłtese, temos que đ?‘‡ ĂŠ injetora, logo a igualdade đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?‘‡(0) implica que đ?‘Ł = 0. Portanto, tomando đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ arbitrĂĄrio em ker(đ?‘‡), concluĂ­mos que đ?‘Ł = 0, logo o Ăşnico vetor do nĂşcleo de đ?‘‡ ĂŠ o vetor nulo de đ?‘‰. Assim ker(đ?‘‡) = {0}, e temos o desejado. Exemplo:

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288

Voltando ao exemplo em que đ?‘‡: â„œ → â„œ2 tal que đ?‘‡(đ?‘Ľ) = (đ?‘Ľ, 0), vamos usar o Teorema15.2.7 para mostrar que đ?‘‡ ĂŠ injetora. Veja: ker(đ?‘‡) = {đ?‘Ľ ∈ â„œ; đ?‘‡(đ?‘Ľ) = (0,0)} = {đ?‘Ľ ∈ â„œ; (đ?‘Ľ, 0) = (0,0)} = {đ?‘Ľ ∈ â„œ; đ?‘Ľ = 0} = {0} ⇒ ker(đ?‘‡) = {0} ⇒ đ?‘‡ đ?‘–đ?‘›đ?‘—đ?‘’đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž. O prĂłximo resultado relaciona a dimensĂŁo do nĂşcleo e da imagem de uma transformação linear com a dimensĂŁo do espaço vetorial domĂ­nio. 15.2.8 Teorema: Se đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š ĂŠ uma transformação linear, A seguinte relação ĂŠ vĂĄlida:

dim ker(đ?‘‡) + dim đ?‘‡(đ?‘‰) = dim đ?‘‰. Prova: Seja {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } uma base de ker(đ?‘‡) (isto quer dizer que supomos dim ker(đ?‘‡) = đ?‘› ). Sabemos que ker(đ?‘‡) ⊂ đ?‘‰, logo temos {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ⊂ đ?‘‰ e, desta forma, podemos completar o conjunto {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } atĂŠ que este seja uma base de đ?‘‰. Assim, considere đ?‘¤1 , ‌ , đ?‘¤đ?‘š , đ?‘š vetores tais que {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› , đ?‘¤1 , ‌ , đ?‘¤đ?‘š } seja uma base de đ?‘‰ (assim, teremos dim đ?‘‰ = đ?‘š + đ?‘› ). JĂĄ foi visto em um resultado que se đ?‘‡ ĂŠ uma transformação linear, esta associa certa quantidade de vetores da base de đ?‘‰ Ă mesma quantidade de vetores de đ?‘Š, isto ĂŠ, {đ?‘‡(đ?‘¤1 ), ‌ , đ?‘‡(đ?‘¤đ?‘š )} ⊂ đ?‘Š. Vamos mostrar que este conjunto {đ?‘‡(đ?‘¤1 ), ‌ , đ?‘‡(đ?‘¤đ?‘š )} como đ?‘š vetores forma uma base de đ?‘‡(đ?‘‰). Em outras palavras, queremos mostrar que: i. đ?‘‡(đ?‘‰) = [đ?‘‡(đ?‘¤1 ), ‌ , đ?‘‡(đ?‘¤đ?‘š )]; ii. {đ?‘‡(đ?‘¤1 ), ‌ , đ?‘‡(đ?‘¤đ?‘š )} ĂŠ LI. Mostremos: i. Queremos mostrar que todo vetor đ?‘Ľ ∈ đ?‘‡(đ?‘‰) pode ser escrito como combinação linear dos vetores de {đ?‘‡(đ?‘¤1 ), ‌ , đ?‘‡(đ?‘¤đ?‘š )}. De fato, seja đ?’™ ∈ đ?‘ť(đ?‘˝), entĂŁo existe đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ tal que đ?’™ = đ?‘ť(đ?’—) ‌ (∗). Como đ?‘Ł ∈ đ?‘‰, este vetor pode ser escrito como

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289

uma combinação linear dos vetores da base {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› , đ?‘¤1 , ‌ , đ?‘¤đ?‘š } de đ?‘‰, ou seja, đ?‘Ł = đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› + đ?‘?1 đ?‘¤1 + â‹Ż + đ?‘?đ?‘š đ?‘¤đ?‘š . Logo, reescrevemos (*): đ?‘Ľ = đ?‘‡(đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› + đ?‘?1 đ?‘¤1 + â‹Ż + đ?‘?đ?‘š đ?‘¤đ?‘š ) = đ?‘‡(đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 ) + â‹Ż + đ?‘‡(đ?‘Žđ?‘› đ?‘Łđ?‘› ) + đ?‘‡(đ?‘?1 đ?‘¤1 ) + â‹Ż + đ?‘‡(đ?‘?đ?‘š đ?‘¤đ?‘š ) ⇒ đ?‘Ľ = đ?‘Ž1 đ?‘‡(đ?‘Ł1 ) + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘‡(đ?‘Łđ?‘› ) + đ?‘?1 đ?‘‡(đ?‘¤1 ) + â‹Ż + đ?‘?đ?‘š đ?‘‡(đ?‘¤đ?‘š ) ‌ (đ??ź) Mas, como os đ?‘Łđ?‘– sĂŁo vetores de ker(đ?‘‡), tem-se đ?‘‡(đ?‘Łđ?‘– ) = 0, ∀đ?‘–, logo (I) fica: đ?‘Ľ = đ?‘?1 đ?‘‡(đ?‘¤1 ) + â‹Ż + đ?‘?đ?‘š đ?‘‡(đ?‘¤đ?‘š ). Qualquer que seja đ?‘Ľ ∈ đ?‘‡(đ?‘‰), ou seja, qualquer vetor da imagem ĂŠ combinação linear de đ?‘‡(đ?‘¤1 ), ‌ , đ?‘‡(đ?‘¤đ?‘š ), logo đ?‘‡(đ?‘‰) ĂŠ o subespaço gerado por đ?‘‡(đ?‘¤1 ), ‌ , đ?‘‡(đ?‘¤đ?‘š ). Assim đ?‘‡(đ?‘‰) = [đ?‘‡(đ?‘¤1 ), ‌ , đ?‘‡(đ?‘¤đ?‘š )]. ii. Queremos mostrar que o conjunto {đ?‘‡(đ?‘¤1 ), ‌ , đ?‘‡(đ?‘¤đ?‘š )} ĂŠ LI. De fato, tomemos a equação:

đ?‘˜1 đ?‘‡(đ?‘¤1 ) + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘š đ?‘‡(đ?‘¤đ?‘š ) = 0 ⇔ đ?‘‡(đ?‘˜1 đ?‘¤1 ) + â‹Ż + đ?‘‡(đ?‘˜đ?‘š đ?‘¤đ?‘š ) = 0 ⇔ đ?‘‡(đ?‘˜1 đ?‘¤1 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘š đ?‘¤đ?‘š ) = 0. A igualdade acima, nos diz que o vetor đ?‘˜1 đ?‘¤1 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘š đ?‘¤đ?‘š ĂŠ um vetor de ker(đ?‘‡), pois este tem como imagem o vetor nulo de đ?‘Š. Logo, como đ?‘˜1 đ?‘¤1 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘š đ?‘¤đ?‘š ∈ ker(đ?‘‡), este vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } de ker(đ?‘‡), isto ĂŠ: đ?‘˜1 đ?‘¤1 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘š đ?‘¤đ?‘š = đ?‘?1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘?đ?‘› đ?‘Łđ?‘› ⇔ đ?‘˜1 đ?‘¤1 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘š đ?‘¤đ?‘š − đ?‘?1 đ?‘Ł1 − â‹Ż − đ?‘?đ?‘› đ?‘¤đ?‘› = 0.

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290

A igualdade acima ĂŠ uma combinação linear dos vetores de {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› , đ?‘¤1 , ‌ , đ?‘¤đ?‘š }

igual

ao

vetor

nulo

e

sabe-se

que

o

conjunto

{�1 , ‌ , �� , �1 , ‌ , �� } Ê uma base de �, logo este conjunto Ê LI, e assim a igualdade acima implica:

đ?‘˜1 = â‹Ż = đ?‘˜đ?‘š = đ?‘?1 = â‹Ż = đ?‘?đ?‘› = 0. Desta forma, tomando đ?‘˜1 đ?‘‡(đ?‘¤1 ) + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘š đ?‘‡(đ?‘¤đ?‘š ) = 0, concluĂ­mos que đ?‘˜1 = â‹Ż = đ?‘˜đ?‘š = 0, logo, por definição, temos que {đ?‘‡(đ?‘¤1 ), ‌ , đ?‘‡(đ?‘¤đ?‘š )} ĂŠ LI. Como i e ii sĂŁo vĂĄlidos, concluĂ­mos que {đ?‘‡(đ?‘¤1 ), ‌ , đ?‘‡(đ?‘¤đ?‘š )} ĂŠ uma base de đ?‘‡(đ?‘‰), e este conjunto possui đ?‘š vetores, logo dim đ?‘‡(đ?‘‰) = đ?‘š . Portanto dim đ?‘‡(đ?‘‰) + dim ker(đ?‘‡) = đ?‘š + đ?‘› = dim đ?‘‰, que ĂŠ o desejado. 15.2.9 CorolĂĄrio: Seja đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š uma transformação linear tal que dim đ?‘‰ = dim đ?‘Š. A aplicação đ?‘‡ ĂŠ injetora se, e somente se, đ?‘‡ ĂŠ sobrejetora. Prova: De fato: đ?‘‡ ĂŠ đ?‘–đ?‘›đ?‘—đ?‘’đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž ⇔ ker(đ?‘‡) = {0} ⇔ dim ker(đ?‘‡) = 0 ⇔ dim ker(đ?‘‡) + dim đ?‘‡(đ?‘‰)

= 0 + dim �(�) = dim �(�) = dim � = dim � ⇔ dim �(�) = dim �

⇔ đ?‘‡ ĂŠ đ?‘ đ?‘œđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘—đ?‘’đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž. 15.2.10 CorolĂĄrio: Seja đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š uma transformação linear injetora. Se dim đ?‘‰ = dim đ?‘Š, entĂŁo đ?‘‡ leva uma base de đ?‘‰ em uma base de đ?‘Š. Prova: Queremos mostrar que, se considerarmos {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› }, ao aplicarmos đ?‘‡ aos đ?‘› vetores deste conjunto, o conjunto formado pelos đ?‘‡(đ?‘Łđ?‘– ) serĂĄ uma base para đ?‘Š. De fato: Seja {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } base de đ?‘‰. Façamos: đ?‘˜1 đ?‘‡(đ?‘Ł1 ) + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘› đ?‘‡(đ?‘Łđ?‘› ) = 0 ⇔ đ?‘‡(đ?‘˜1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘› đ?‘Łđ?‘› ) = 0 ⇔ đ?‘˜1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘› đ?‘Łđ?‘› = 0.

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291

Mas como {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ base, em particular ĂŠ LI, logo đ?‘˜1 = â‹Ż = đ?‘˜đ?‘› = 0. Desta forma, a equação đ?‘˜1 đ?‘‡(đ?‘Ł1 ) + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘› đ?‘‡(đ?‘Łđ?‘› ) = 0 implicou đ?‘˜1 = â‹Ż = đ?‘˜đ?‘› = 0, ou seja, {đ?‘‡(đ?‘Ł1 ), ‌ , đ?‘‡(đ?‘Łđ?‘› )} ĂŠ LI. Como {đ?‘‡(đ?‘Ł1 ), ‌ , đ?‘‡(đ?‘Łđ?‘› )} ĂŠ um conjunto LI com đ?‘› vetores e dim đ?‘Š = dim đ?‘‰ = đ?‘›, temos que {đ?‘‡(đ?‘Ł1 ), ‌ , đ?‘‡(đ?‘Łđ?‘› )} ĂŠ base de đ?‘Š. 15.2.11 Definição: Se đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š ĂŠ injetora e sobrejetora (bijetora) dizemos que đ?‘‡ ĂŠ um isomorfismo. Se existe um isomorfismo de đ?‘‰ em đ?‘Š dizemos que đ?‘‰ e đ?‘Š sĂŁo espaços isomorfos. Se đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š ĂŠ um isomorfismo (obviamente dim đ?‘‰ = dim đ?‘Š), existe uma Ăşnica aplicação đ?‘‡ −1 : đ?‘Š → đ?‘‰, que tambĂŠm ĂŠ um isomorfismo. A transformação đ?‘‡ −1 recebe o nome de aplicação inversa de đ?‘‡. Exemplo: Seja đ?‘‡: â„œ3 → â„œ3 dada por đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘Ľ + đ?‘Ś). Vamos mostrar que đ?‘‡ ĂŠ um isomorfismo e em seguida calcular đ?‘‡ −1 . Como đ?‘‰ = đ?‘Š = â„œ3 , temos que dim đ?‘‰ = dim đ?‘Š, logo para mostrar que đ?‘‡ ĂŠ isomorfismo, basta mostrar que esta transformação ĂŠ injetora, ou seja, basta mostrar que ker(đ?‘‡) = {(0,0,0)}. De fato: ker(đ?‘‡) = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 ; đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (0,0,0)} = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 ; (đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś, đ?‘§, đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = (0,0,0)} = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 ; đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = 0, đ?‘§ = 0 đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 0} = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 ; đ?‘Ľ = đ?‘Ś = đ?‘§ = 0} = {(0,0,0)} ⇒ ker(đ?‘‡) = {(0,0,0)}. Portanto, đ?‘‡ ĂŠ isomorfismo. Como đ?‘‡ ĂŠ injetora e dim đ?‘‰ = dim đ?‘Š, sabemos que đ?‘‡ leva uma base de đ?‘‰ = â„œ3 em uma base de đ?‘Š = â„œ3 . Tomando a base {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} de đ?‘‰ = â„œ3 , o conjunto {đ?‘‡(1,0,0), đ?‘‡(0,1,0), đ?‘‡(0,0,1)} serĂĄ uma base de đ?‘Š = â„œ3 .

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đ?‘‡(1,0,0) = (1 − 2 â‹… 0,0,1 + 0) = (1,0,1) đ?‘‡(0,1,0) = (0 − 2 â‹… 1,0,0 + 1) = (−2,0,1) đ?‘‡(0,0,1) = (0 − 2 â‹… 0,1,0 + 0) = (0,1,0). Logo {(1,0,1), (−2,0,1), (0,1,0)} ĂŠ base de đ?‘Š = â„œ3 . Agora calculamos đ?‘‡ −1 : đ?‘Š → đ?‘‰ a inversa de đ?‘‡. Sabemos que đ?‘‡(1,0,0) = (1,0,1), đ?‘‡(0,1,0) = (−2,0,1) e đ?‘‡(0,0,1) = (0,1,0), logo: đ?‘‡ −1 (1,0,1) = (1,0,0) đ?‘‡ −1 (−2,0,1) = (0,1,0) đ?‘‡ −1 (0,1,0) = (0,0,1). Queremos calcular đ?‘‡ −1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§), para isto tomemos (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ?‘Š = â„œ3 , e como {(1,0,1), (−2,0,1), (0,1,0)} ĂŠ base de đ?‘Š = â„œ3 , escrevemos o vetor (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) como combinação dos vetores desta base, isto ĂŠ:

(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = đ?‘Ž1 (1,0,0) + đ?‘Ž2 (−2,0,1) + đ?‘Ž3 (0,1,0). Realizando os cĂĄlculos obtemos:

(�, �, �) =

đ?‘Ľ + 2đ?‘§ đ?‘§âˆ’đ?‘Ľ (1,0,1) + (−2,0,1) + đ?‘Ś(0,1,0). 3 3

Aplicando đ?‘‡ −1 :

đ?‘‡ −1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) =

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đ?‘Ľ + 2đ?‘§ −1 đ?‘§ − đ?‘Ľ −1 đ?‘‡ (1,0,1) + đ?‘‡ (−2,0,1) + đ?‘Śđ?‘‡ −1 (0,1,0) 3 3

293

=

đ?‘Ľ + 2đ?‘§ đ?‘§âˆ’đ?‘Ľ đ?‘Ľ + 2đ?‘§ đ?‘§ − đ?‘Ľ (1,0,0) + (0,1,0) + đ?‘Ś(0,0,1) = ( , , đ?‘Ś) 3 3 3 3

⇒ đ?‘‡ −1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (

đ?‘Ľ + 2đ?‘§ đ?‘§ − đ?‘Ľ , , đ?‘Ś) . 3 3

Portanto a regra da transformação đ?‘‡ −1 : đ?‘Š → đ?‘‰ inversa de đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š ĂŠ đ?‘Ľ+2đ?‘§ đ?‘§âˆ’đ?‘Ľ

đ?‘‡ −1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (

3

,

3

, đ?‘Ś).

15.3 MATRIZES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES JĂĄ foi visto anteriormente, em um exemplo, que conseguĂ­amos associar uma matriz de ordem đ?‘šĂ—đ?‘› a uma transformação linear đ?‘‡: â„œđ?‘› → â„œđ?‘š . Nesta seção, vamos formalizar este resultado para espaços vetoriais quaisquer, conhecendo suas bases. Exemplo: Sejam đ?‘‰ = â„œ2 , as bases đ?›˝ = {(1,0), (0,1)} e đ?›˝â€˛ = {(1,1), (−1,1)} e a matriz đ??´ = [

2 0

0 ]. Queremos determinar a transformação linear đ?‘‡đ??´ : â„œ2 → â„œ2 tal que đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ł) = 1

đ??´đ?‘Ł depende de đ??´, đ?›˝ e đ?›˝â€˛ . đ?‘Ľ Seja đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 e đ?‘‹ tal que đ?‘‹ = [đ?‘Ł]đ?›˝ = [đ?‘Ś] (ou seja, đ?‘‹ ĂŠ a matriz das coordenadas de đ?‘Ł em relação Ă base đ?›˝), đ??´đ?‘‹ = [

2đ?‘Ľ 2 0 đ?‘Ľ ] [đ?‘Ś] = [ ] = [đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ł)]đ?›˝â€˛ (ou đ?‘Ś 0 1

seja, đ??´đ?‘‹ ĂŠ a matriz das coordenadas de đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ł) em relação Ă base đ?›˝â€˛ ). Como [đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ł)]đ?›˝â€˛ = [

2đ?‘Ľ ], temos: đ?‘Ś

đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ł) = 2đ?‘Ľ(1,1) + đ?‘Ś(−1,1) = (2đ?‘Ľ, 2đ?‘Ľ) + (−đ?‘Ś, đ?‘Ś) = (2đ?‘Ľ − đ?‘Ś, 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś) ⇒ đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ł) = (2đ?‘Ľ − đ?‘Ś, 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś).

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294

Se tivéssemos 𝛽 = 𝛽′ , teríamos [𝑇𝐴 (𝑣)]𝛽 = [

2𝑥 2 ]=[ 𝑦 0

0 𝑥 ] [ ] = 𝐴𝑣. 1 𝑦

15.3.1 Transformação através da Matriz: De modo geral, fixamos 𝛽 = 𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛 ′ ⋱ ⋮ ] {𝑣1 , … , 𝑣𝑛 }, 𝛽 = {𝑤1 , … , 𝑤𝑚 } e a matriz 𝐴 = [ ⋮ , associamos 𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑚×𝑛 𝑛

𝑇𝐴 : ℜ → ℜ

𝑚

𝑥1 tal que 𝑣 ↦ 𝑇𝐴 (𝑣), sendo 𝑋 = [𝑣]𝛽 = [ ⋮ ] a: 𝑥𝑛 𝑎11 𝐴𝑋 = 𝐴[𝑣]𝛽 = [ ⋮ 𝑎𝑚1

⋯ 𝑎1𝑛 𝑥1 𝑦1 ⋱ ⋮ ] [ ⋮ ] = [ ⋮ ] = [𝑇𝐴 (𝑣)]𝛽′ . ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 𝑦𝑚

Então 𝑇𝐴 (𝑣) = 𝑦1 𝑤1 + ⋯ + 𝑦𝑚 𝑤𝑚 . Em geral, dada uma matriz 𝐴𝑚×𝑛 , esta pode ser abordada como uma aplicação linear 𝑇𝐴 : ℜ𝑛 → ℜ𝑚 em relação às bases canônicas de ℜ𝑛 e ℜ𝑚 . Exemplos:

01. Seja 𝐴 = [

1 2

−3 5 ] , 𝛽 = {(1,0), (0,1)}, 𝛽′ = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e 4 −1 2×3

𝑇𝐴 : ℜ3 → ℜ2 . Encontremos 𝑇𝐴 . 𝑥 Seja 𝑋 = [𝑦] = [𝑣]𝛽′ ∈ ℜ3 , então: 𝑧

[𝑇𝐴 (𝑣)]𝛽 = 𝐴[𝑣]𝛽′

⇒ [𝑇𝐴 (𝑣)]𝛽 = [

1 = 𝐴𝑋 = [ 2

−3 4

𝑥 𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 5 𝑦 ][ ] = [ ] 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 −1 𝑧

𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 ] ⇔ 𝑇𝐴 (𝑣) = (𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧)(1,0) + (2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧)(0,1) 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧

= (𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧, 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧) ⇒ 𝑇𝐴 (𝑣) = (𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧, 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧) .

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295

02. Agora, dada đ?‘‡đ??´ : â„œ2 → â„œ3 tal que đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (đ?‘Ľ + đ?‘Ś, 2đ?‘Ľ, đ?‘Ś), como encontrar a matriz đ??´ tal que đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ł) = đ??´đ?‘Ł. Aqui, as bases consideradas sĂŁo đ?›˝ = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e đ?›˝â€˛ = {(1,0), (0,1)}. đ?‘Ľ Tomando đ?‘‹ = [đ?‘Ł]đ?›˝â€˛ = [đ?‘Ś], sabemos que: đ?‘Ľ+đ?‘Ś 1 đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ł) = (đ?‘Ľ + đ?‘Ś, 2đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ⇔ [đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ł)]đ?›˝ = [ 2đ?‘Ľ ] = [2 đ?‘Ś 0

1 � 1 1 0] [�] = [2 0] [�]�′ 1 0 1

⇒ [đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ł)]đ?›˝ = đ??´[đ?‘Ł]đ?›˝â€˛ . 1 Logo đ??´ = [2 0

1 0]. 1

Vamos generalizar este caso de encontrar a matriz, dada certa transformação linear. 15.3.2

Matriz

atravĂŠs

da

Transformação:

Seja

�: � → �

uma

transformação linear, đ?›˝ = {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } base de đ?‘‰ e đ?›˝â€˛ = {đ?‘¤1 , ‌ , đ?‘¤đ?‘š } base de đ?‘Š. Os vetores đ?‘‡(đ?‘Ł1 ), ‌ , đ?‘‡(đ?‘Łđ?‘› ) sĂŁo vetores de đ?‘Š, logo: đ?‘‡(đ?‘Ł1 ) = đ?‘Ž11 đ?‘¤1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘š1 đ?‘¤đ?‘š â‹Ž đ?‘‡(đ?‘Łđ?‘› ) = đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘¤1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘šđ?‘› đ?‘¤đ?‘š đ?›˝ A matriz transposta da matriz associada acima, denotada por [đ?‘‡]đ?›˝â€˛ , ĂŠ

chamada de matriz de đ?‘‡ em relação Ă s bases đ?›˝ e đ?›˝â€˛ .

[�]��′

UTFPR

đ?‘Ž11 =[ â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1

â‹Ż đ?‘Ž1đ?‘› â‹ą â‹Ž ] = đ??´. â‹Ż đ?‘Žđ?‘šđ?‘› đ?‘šĂ—đ?‘›

296

EntĂŁo đ?‘‡ passa a ser a aplicação linear associada Ă matriz đ??´ e bases đ?›˝ e đ?›˝â€˛ , isto ĂŠ, đ?‘‡ = đ?‘‡đ??´ . Exemplos: 01. Considere đ?‘‡: â„œ3 → â„œ2 tal que đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (2đ?‘Ľ + đ?‘Ś − đ?‘§, 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + 4đ?‘§). Sejam đ?›˝ = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} e đ?›˝â€˛ = {(1,3), (1,4)}. Queremos encontrar [đ?‘‡]đ?›˝đ?›˝â€˛ . Calculamos đ?‘‡ nos elementos da base đ?›˝: đ?‘‡(1,1,1) = (2,5) = đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;? (1,3) + đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;? (1,4) = đ?&#x;‘(1,3) − đ?&#x;?(1,4) đ?‘‡(1,1,0) = (3,1) = đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;? (1,3) + đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;? (1,4) = đ?&#x;?đ?&#x;?(1,3) − đ?&#x;–(1,4) đ?‘‡(1,0,0) = (2,3) = đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;‘ (1,3) + đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;‘ (1,4) = đ?&#x;“(1,3) − đ?&#x;‘(1,4). Logo a matriz transposta da matriz associada ao sistema ĂŠ a matriz de đ?‘‡ em relação Ă s bases đ?›˝ e đ?›˝â€˛ : [đ?‘‡]đ?›˝đ?›˝â€˛ = [ 3 −1

11 −8

5 ]. −3

Perceba que, se mudarmos as bases, a matriz da transformação em relação Ă s bases tambĂŠm muda. 02. Seja đ?‘‡: â„œ3 → â„œ2 tal que đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (2đ?‘Ľ + đ?‘Ś − đ?‘§, 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + 4đ?‘§). Mas agora, đ?›˝ considere đ?›˝ = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e đ?›˝â€˛ = {(1,0), (0,1)}. Vamos encontrar [đ?‘‡]đ?›˝â€˛ :

đ?‘‡(1,0,0) = (2,3) = 2(1,0) + 3(0,1) đ?‘‡(0,1,0) = (1, −2) = 1(1,0) − 2(0,1) đ?‘‡(0,0,1) = (−1,4) = −1(1,0) + 4(0,1).

UTFPR

297

2 � Logo [�]�′ = [ 3

1 −2

−1 ]. 4

Observação: Se para đ?‘‡: â„œđ?‘› → â„œđ?‘š tomarmos đ?›˝ e đ?›˝â€˛ como sendo as bases canĂ´nicas de â„œđ?‘› e â„œđ?‘š , respectivamente, denotamos a matriz de đ?‘‡ em relação Ă đ?›˝ e đ?›˝â€˛ simplesmente por [đ?‘‡]. Isto ĂŠ: [đ?‘‡]đ?›˝đ?›˝â€˛ = [đ?‘‡]. 03. Seja đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘‰ tal que đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?‘Ł, isto ĂŠ, đ?‘‡ ĂŠ a identidade. Sendo đ?›˝ = {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } e đ?›˝â€˛ = {đ?‘Ł1′ , ‌ , đ?‘Łđ?‘›â€˛ } bases de đ?‘‰, temos: đ?‘‡(đ?‘Ł1 ) = đ?‘Ł1 = đ?‘Ž11 đ?‘Ł1′ + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘›1 đ?‘Łđ?‘›â€˛ â‹Ž đ?‘‡(đ?‘Łđ?‘› ) = đ?‘Łđ?‘› = đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ł1′ + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘›đ?‘› đ?‘Łđ?‘›â€˛ Logo:

[�]��′

đ?‘Ž11 =[ â‹Ž đ?‘Žđ?‘›1

â‹Ż đ?‘Ž1đ?‘› â‹ą â‹Ž ] = [đ??ź]đ?›˝â€˛ . đ?›˝ â‹Ż đ?‘Žđ?‘›đ?‘›

Que ĂŠ a matriz mudança de base de đ?›˝ para đ?›˝â€˛ . 04. Dadas as bases đ?›˝ = {(1,1), (0,1)} de â„œ2 e đ?›˝â€˛ = {(0,3,0), (−1,0,0), (0,1,1)} de â„œ3 , encontremos đ?‘‡: â„œ2 → â„œ3 cuja matriz ĂŠ: 0 [đ?‘‡]đ?›˝đ?›˝â€˛ = [−1 −1

2 0]. 3

Interpretando a matriz, temos: đ?‘‡(1,1) = 0(0,3,0) − 1(−1,0,0) − 1(0,1,1) = (1, −1, −1)

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298

𝑇(0,1) = 2(0,3,0) + 0(−1,0,0) + 3(0,1,1) = (0,9,3). Logo 𝑇(1,1) = (1, −1, −1) e 𝑇(0,1) = (0,9,3). Tomando (𝑥, 𝑦) ∈ ℜ2 , temos que (𝑥, 𝑦) = 𝑥(1,1) + (𝑦 − 𝑥)(0,1) e aplicando 𝑇: 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑇(1,1) + (𝑦 − 𝑥)𝑇(0,1) = 𝑥(1, −1, −1) + (𝑦 − 𝑥)(0,9,3) = (𝑥, −𝑥, −𝑥) + (0,9𝑦 − 9𝑥, 3𝑦 − 3𝑥) = (𝑥, −10𝑥 + 9𝑦, −4𝑥 + 3𝑦) ⇒ 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, −10𝑥 + 9𝑦, −4𝑥 + 3𝑦). 15.3.3 Teorema: Sejam 𝑉 e 𝑊 espaços vetoriais, 𝛼 uma base de 𝑉, 𝛽 uma base de 𝑊 e 𝑇: 𝑉 → 𝑊 uma aplicação linear. Para todo 𝑣 ∈ 𝑉 vale: [𝑇(𝑣)]𝛽 = [𝑇]𝛼𝛽 [𝑣]𝛼 . 𝑎11 𝑎21 Prova: Sejam 𝛼 = {𝑣1 , … , 𝑣𝑛 }, 𝛽 = {𝑤1 , … , 𝑤𝑚 }, [𝑇]𝛼𝛽 = [ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑦1 𝑥1 𝑥 𝑦 [𝑣]𝛼 = [ ⋮2 ] e [𝑇(𝑣)]𝛽 = [ ⋮2 ]. 𝑥𝑛 𝑦𝑚

𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2

⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋱ ⋮ ], ⋯ 𝑎𝑚𝑛

Interpretando a matriz [𝑇]𝛼𝛽 temos: 𝑇(𝑣1 ) = 𝑎11 𝑤1 + 𝑎21 𝑤2 + ⋯ + 𝑎𝑚1 𝑤𝑚 𝑇(𝑣2 ) = 𝑎12 𝑤1 + 𝑎22 𝑤2 + ⋯ + 𝑎𝑚2 𝑤𝑚 ⋮ 𝑇(𝑣𝑛 ) = 𝑎1𝑛 𝑤1 + 𝑎2𝑛 𝑤2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑤𝑚 Como 𝑣 = 𝑥1 𝑣1 + 𝑥2 𝑣2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑣𝑛 , aplicamos 𝑇 linear na igualdade: 𝑇(𝑣) = 𝑥1 𝑇(𝑣1 ) + 𝑥2 𝑇(𝑣2 ) + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑇(𝑣𝑛 )

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299

= 𝑥1 (𝑎11 𝑤1 + 𝑎21 𝑤2 + ⋯ + 𝑎𝑚1 𝑤𝑚 ) + 𝑥2 (𝑎12 𝑤1 + 𝑎22 𝑤2 + ⋯ + 𝑎𝑚2 𝑤𝑚 ) + ⋯ + 𝑥𝑛 (𝑎1𝑛 𝑤1 + 𝑎2𝑛 𝑤2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑤𝑚 ) = (𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 )𝑤1 + ⋯ + (𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 )𝑤𝑚 ⇒ 𝑇(𝑣) = (𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 )𝑤1 + ⋯ + (𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 )𝑤𝑚

⇔ [𝑇(𝑣)]𝛽 = [

𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛

⋮

].

𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛

𝑦1 𝑦2 Mas, ainda temos [𝑇(𝑣)]𝛽 = [ ⋮ ] e como as coordenadas em relação à 𝑦𝑚 uma base são univocamente determinadas, temos:

{

𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑦1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑦2

⋮

… (∗)

𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑦𝑚

E (*) na forma matricial: 𝑦1 𝑎11 𝑦2 𝑎21 [ ⋮ ]=[ ⋮ 𝑦𝑚 𝑎𝑚1

𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2

⋯ 𝑎1𝑛 𝑥1 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑥2 𝛽 ⋱ ⋮ ] [ ⋮ ] ⇔ [𝑇(𝑣)]𝛽 = [𝑇]𝛼 [𝑣]𝛼 . ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛

Exemplo: 1 −1 Seja 𝑇: ℜ2 → ℜ3 tal que [𝑇]𝛼𝛽 = [ 0 1 ], 𝛼 = {(1,0), (0,1)} base de ℜ2 e 𝛽 = −2 3 {(1,0,1), (−2,0,1), (0,1,0)} base de ℜ3 . Queremos determinar a imagem do vetor 2 𝑣 = (2, −3) através de 𝑇. Para isto, escrevemos [𝑣]𝛼 = [ ] e usando a notação −3 do teorema:

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300

1 [đ?‘‡(đ?‘Ł)]đ?›˝ = [đ?‘‡]đ?›źđ?›˝ [đ?‘Ł]đ?›ź = [ 0 −2

−1 5 2 1 ] [ ] = [ −3 ] −3 3 −13

5 [đ?‘‡(đ?‘Ł)] ⇒ đ?›˝ = [ −3 ] ⇔ đ?‘‡(đ?‘Ł) = 5(1,0,1) − 3(−2,0,1) − 13(0,1,0) = (11, −13,2). −13 15.3.4 Teorema: Sejam đ?‘‡1 : đ?‘‰ → đ?‘Š e đ?‘‡2 : đ?‘Š → đ?‘ˆ aplicaçþes lineares. A transformação đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 : đ?‘‰ → đ?‘ˆ ĂŠ uma aplicação linear. AlĂŠm disso, se đ?›ź ĂŠ base de đ?‘‰, đ?›˝ ĂŠ base de đ?‘Š e đ?›ž ĂŠ base de đ?‘ˆ, temos: [đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 ]đ?›źđ?›ž = [đ?‘‡2 ]đ?›˝đ?›ž [đ?‘‡1 ]đ?›źđ?›˝ . Observe que: i. đ?›ź base de đ?‘‰ e đ?›˝ base de đ?‘Š implicam que [đ?‘‡1 ]đ?›źđ?›˝ ĂŠ a matriz de đ?‘‡1 : đ?‘‰ → đ?‘Š em relação Ă s bases đ?›ź e đ?›˝. đ?›˝ ii. đ?›˝ base de đ?‘Š e đ?›ž base de đ?‘ˆ implicam que [đ?‘‡2 ]đ?›ž ĂŠ a matriz de đ?‘‡2 : đ?‘Š → đ?‘ˆ

em relação Ă s bases đ?›˝ e đ?›ž. iii. đ?›ź base de đ?‘‰ e đ?›ž base de đ?‘ˆ implicam que [đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 ]đ?›źđ?›ž ĂŠ a matriz de đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 : đ?‘‰ → đ?‘ˆ em relação Ă s bases đ?›ź e đ?›ž.

Exemplos:

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301

01. Considere as transformaçþes đ?‘‡1 : â„œ2 → â„œ2 tal que đ?‘‡1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (2đ?‘Ľ, 2đ?‘Ś) e đ?‘‡2 : â„œ2 → â„œ2 tal que đ?‘‡2 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś, đ?‘Ś). Note que đ?‘‰ = đ?‘ˆ = đ?‘Š = â„œ2 , logo podemos determinar a transformação composta đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 : â„œ2 → â„œ2 . Façamos: (đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 )(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘‡2 (đ?‘‡1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)) = đ?‘‡2 (2đ?‘Ľ, 2đ?‘Ś) = (2đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś, 2đ?‘Ś) ⇒ (đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 )(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (2đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś, 2đ?‘Ś). Vamos observar as matrizes. Note que, considerando đ?›ź = {(1,0), (0,1)}, e đ?‘Ł = đ?‘Ľ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 , isto ĂŠ, [đ?‘Ł]đ?›ź = [(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)]đ?›ź = [đ?‘Ś] temos:

[�1 (�, �)]� = [

2 Logo [�1 ]�� = [ 0

2� 2 0 � ]=[ ] [ ] = [�1 ]�� [(�, �)]� . 2� 0 2 �

0 ] ĂŠ a matriz de đ?‘‡1 em relação Ă base đ?›ź. Temos tambĂŠm: 2

[�2 (�, �)]� = [

đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś 1 ]=[ đ?‘Ś 0

2 � ] [ ] = [�2 ]�� [(�, �)]� . 1 �

1 2 Logo [đ?‘‡2 ]đ?›źđ?›ź = [ ] ĂŠ a matriz de đ?‘‡2 em relação Ă base đ?›˝. 0 1 O teorema nos diz que obtemos [đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 ]đ?›źđ?›ź fazendo: [đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 ]đ?›źđ?›ź = [đ?‘‡2 ]đ?›źđ?›ź [đ?‘‡1 ]đ?›źđ?›ź = [1 2] [2 0] = [2 4] ⇒ [đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 ]đ?›źđ?›ź = [2 4]. 0 1 0 2 0 2 0 2 Veja que encontraremos a mesma matriz se analisarmos a transformação (đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 )(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (2đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś, 2đ?‘Ś). Seja [đ?‘Ł]đ?›ź = [(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)]đ?›ź : 2đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś 2 [(đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 )(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)]đ?›ź = [ ]=[ 2đ?‘Ś 0

4 đ?‘Ľ ] [ ] = [đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 ]đ?›źđ?›ź [(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)]đ?›ź . 2 đ?‘Ś

2 4 Logo [đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 ]đ?›źđ?›ź = [ ]. 0 2

UTFPR

302

02. Sejam đ?‘‡1 : â„œ2 → â„œ3 e đ?‘‡2 : â„œ3 → â„œ2 cujas matrizes em relação Ă s bases đ?›ź = {(1,0), (0,2)},

1

e

đ?›˝ = {( , 0, −3) , (1,1,15), (2,0,5)} 3

� = {(2,0), (1,1)}

sĂŁo,

respectivamente:

[�1 ]��

1 = [1 0

0 0 đ?›˝ −1] đ?‘’ [đ?‘‡2 ]đ?›ž = [ 0 1

1 −1 ]. 0 0

Queremos encontrar đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 : â„œ2 → â„œ2 , ou seja, queremos (đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 )(đ?‘Ľ, đ?‘Ś). Segundo o teorema, temos que:

[đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 ]đ?›źđ?›ž = [đ?‘‡2 ]đ?›˝đ?›ž [đ?‘‡1 ]đ?›źđ?›˝ = [0 0

1 0 1 −1 1 ] [1 −1] = [ 0 0 0 0 1 1 0

⇒ [đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 ]đ?›źđ?›ž = [

−2 ] 0

−2 ]. 0

Ainda temos que [(đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 )(đ?‘Ł)]đ?›ž = [đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 ]đ?›źđ?›ž [đ?‘Ł]đ?›ź . Seja đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 escrevendo đ?‘Ľ este vetor na base đ?›ź, temos [đ?‘Ł]đ?›ź = [ đ?‘Ś ], logo: 2

đ?‘Ľ đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś [(đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 )(đ?‘Ł)]đ?›ž = [đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 ]đ?›źđ?›ž [đ?‘Ł]đ?›ź = [1 −2] [đ?‘Ś] = [ ] 0 0 0 2 đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś ] ⇔ (đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 )(đ?‘Ł) = (đ?‘Ľ − đ?‘Ś)(2,0) + 0(1,1) = (2đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś, 0) 0

⇒ [(đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 )(đ?‘Ł)]đ?›ž = [

⇒ (đ?‘‡2 ∘ đ?‘‡1 )(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (2đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś, 0). 15.3.5 CorolĂĄrio: Seja đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š uma transformação linear invertĂ­vel com đ?›ź e đ?›˝ bases de đ?‘‰ e đ?‘Š (logo a matriz de đ?‘‡ em relação Ă đ?›ź e đ?›˝ ĂŠ [đ?‘‡]đ?›źđ?›˝ ), đ?›˝ respectivamente, entĂŁo a matriz de đ?‘‡ −1 : đ?‘Š → đ?‘‰ tem em relação Ă đ?›˝ e đ?›ź ĂŠ [đ?‘‡ −1 ]đ?›ź

e:

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303

−1

[đ?‘‡ −1 ]đ?›˝đ?›ź = ([đ?‘‡]đ?›źđ?›˝ ) . đ?›˝ Prova: Para mostrar que a matriz [đ?‘‡ −1 ]đ?›ź ĂŠ a inversa de [đ?‘‡]đ?›źđ?›˝ , basta

mostrar que o produto entre elas ĂŠ a identidade. đ?›˝ Note que [đ?‘‡]đ?›źđ?›˝ ĂŠ a matriz de đ?‘‡ em relação Ă đ?›ź e đ?›˝ e [đ?‘‡ −1 ]đ?›ź ĂŠ a matriz de

đ?‘‡ −1 em relação Ă đ?›˝ e đ?›ź. Note que đ?‘‡ −1 ∘ đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘‰ tem, devido ao Teorema 15.3.4, como matriz em relação Ă đ?›ź: [đ?‘‡ −1 ∘ đ?‘‡]đ?›źđ?›ź = [đ?‘‡ −1 ]đ?›˝đ?›ź [đ?‘‡]đ?›źđ?›˝ ‌ (∗) Mas [đ?‘‡ −1 ∘ đ?‘‡]đ?›źđ?›˝ = [đ??ź]đ?›źđ?›ź ĂŠ a identidade, e em (*): −1

[đ?‘‡ −1 ]đ?›˝đ?›ź [đ?‘‡]đ?›źđ?›˝ = [đ??ź]đ?›źđ?›ź ⇔ [đ?‘‡ −1 ]đ?›˝đ?›ź = ([đ?‘‡]đ?›źđ?›˝ ) . 15.3.6 CorolĂĄrio: Seja đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š uma transformação linear, đ?›ź e đ?›ź ′ bases ′

de �, � e �′ bases de �, podemos relacionar as matrizes [�]�� e [�]��′ por: ′

′

[đ?‘‡]đ?›źđ?›˝â€˛ = [đ??ź]đ?›˝đ?›˝â€˛ [đ?‘‡]đ?›źđ?›˝ [đ??˝]đ?›źđ?›ź . đ?›˝ Onde [đ??ź]đ?›˝â€˛ ĂŠ a matriz da transformação đ??ź: đ?‘Š → đ?‘Š identidade em relação ′

Ă s bases đ?›˝ e đ?›˝â€˛ , isto ĂŠ, ĂŠ a matriz mudança de base de đ?›˝ para đ?›˝â€˛ e [đ??ź]đ?›źđ?›ź ĂŠ a matriz da transformação đ??ź: đ?‘‰ → đ?‘‰ identidade em relação Ă s bases đ?›ź ′ e đ?›ź, isto ĂŠ, ĂŠ a matriz mudança de base de đ?›ź ′ para đ?›ź.

UTFPR

304

Observe que, temos đ??ź: đ?‘‰ → đ?‘‰ e đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘Š, logo podemos fazer a composição đ?‘‡ ∘ đ??ź: đ?‘‰ → đ?‘Š, mas tambĂŠm tem-se đ??ź: đ?‘Š → đ?‘Š

e fazemos a

composição đ??ź ∘ đ?‘‡ ∘ đ??ź: đ?‘‰ → đ?‘Š. Desta forma: ′

′

[đ?‘‡]đ?›źđ?›˝â€˛ = [đ??ź ∘ đ?‘‡ ∘ đ??ź]đ?›źđ?›˝â€˛ ‌ (∗) ′

′

đ?›˝ Mas, pelo Teorema 16.3.4 [đ??ź ∘ đ?‘‡ ∘ đ??ź]đ?›źđ?›˝â€˛ = [đ??ź ∘ đ?‘‡]đ?›źđ?›˝â€˛ [đ??ź]đ?›źđ?›ź = [đ??ź]đ?›˝â€˛ [đ?‘‡]đ?›źđ?›˝ [đ??ź]đ?›źđ?›ź

′

e

voltando em (*): ′

′

′

[đ?‘‡]đ?›źđ?›˝â€˛ = [đ??ź ∘ đ?‘‡ ∘ đ??ź]đ?›źđ?›˝â€˛ = [đ??ź ∘ đ?‘‡]đ?›źđ?›˝â€˛ [đ??ź]đ?›źđ?›ź = [đ??ź]đ?›˝đ?›˝â€˛ [đ?‘‡]đ?›źđ?›˝ [đ??ź]đ?›źđ?›ź ′

đ?›˝

′

′

⇒ [đ?‘‡]đ?›źđ?›˝â€˛ = [đ??ź]đ?›˝â€˛ [đ?‘‡]đ?›źđ?›˝ [đ??ź]đ?›źđ?›ź . 15.3.7 Caso Particular: Se tivĂŠssemos đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘‰ transformação linear e as bases đ?›ź e đ?›˝ de đ?‘‰, vejamos o que acontece: đ?›˝ Suponhamos que conhecemos [đ?‘‡]đ?›źđ?›ź , vejamos como determinar [đ?‘‡]đ?›˝ .

Tratamos đ?›ź e đ?›˝ como bases de đ?‘‰ = đ??ˇđ?‘œđ?‘š(đ?‘‡) e đ?›ź e đ?›˝ como bases de đ?‘‰ = đ??śđ??ˇđ?‘œđ?‘š(đ?‘‡). Temos o esquema:

đ?›˝

Logo, đ??ź: đ?‘‰ → đ?‘‰ tem a matriz [đ??ź]đ?›ź , đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘‰ tem a matriz [đ?‘‡]đ?›źđ?›ź e a composição đ?›˝ đ?›˝ đ?‘‡ ∘ đ??ź: đ?‘‰ → đ?‘‰ terĂĄ a matriz [đ?‘‡ ∘ đ??ź]đ?›ź = [đ?‘‡]đ?›źđ?›ź [đ??ź]đ?›ź , mas tambĂŠm temos đ??ź: đ?‘‰ → đ?‘‰ com đ?›˝ matriz [đ??ź]đ?›źđ?›˝ e fazendo a composição đ??ź ∘ đ?‘‡ ∘ đ??ź: đ?‘‰ → đ?‘‰ temos a matriz [đ??ź ∘ đ?‘‡ ∘ đ??ź]đ?›˝ =

[đ??ź ∘ đ?‘‡]đ?›źđ?›˝ [đ??ź]đ?›˝đ?›ź = [đ??ź]đ?›źđ?›˝ [đ?‘‡]đ?›źđ?›ź [đ??ź]đ?›˝đ?›ź . Logo:

UTFPR

305

[𝑇]𝛽𝛽 = [𝐼 ∘ 𝑇 ∘ 𝐼]𝛽𝛽 = [𝐼 ∘ 𝑇]𝛼𝛽 [𝐼]𝛽𝛼 = [𝐼]𝛼𝛽 [𝑇]𝛼𝛼 [𝐼]𝛽𝛼 ⇒ [𝑇]𝛽𝛽 = [𝐼]𝛼𝛽 [𝑇]𝛼𝛼 [𝐼]𝛽𝛼 … (𝐼) Mas, lembramos que as matrizes mudança de base de 𝛼 para 𝛽 e −1

𝛽 mudança de base de 𝛽 para 𝛼 são inversas, isto é, [𝐼]𝛼 = ([𝐼]𝛼𝛽 ) , logo (I) fica:

[𝑇]𝛽𝛽 = [𝐼]𝛼𝛽 [𝑇]𝛼𝛼 [𝐼]𝛽𝛼 = [𝐼]𝛼𝛽 [𝑇]𝛼𝛼 ([𝐼]𝛼𝛽 )

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−1

𝛽 ⇒ [𝑇]𝛽 = [𝐼]𝛼𝛽 [𝑇]𝛼𝛼 ([𝐼]𝛼𝛽 )

−1

.

306

CAPĂ?TULO 16: AUTOVALORES E AUTOVETORES

16.1 INTRODUĂ‡ĂƒO Agora, vamos considerar transformaçþes lineares cujo conjunto de partida e de chegada sĂŁo um mesmo espaço vetorial đ?‘‰, isto ĂŠ, consideramos transformaçþes đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘‰. Quando estudĂĄvamos funçþes, sabĂ­amos que os elementos đ?‘Ľ ∈ đ??ˇ(đ?‘“) tais que đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ eram chamados de pontos fixos do domĂ­nio da função. Analogamente, considerando đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘‰ uma transformação linear, os vetores đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ = đ??ˇ(đ?‘‡) tais que đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?‘Ł sĂŁo chamados de vetores fixos de đ?‘‰. Exemplos: 01. Seja đ??ź: â„œ2 → â„œ2 tal que (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ↌ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) a aplicação identidade. Neste caso, todo vetor đ?‘Ł ∈ â„œ2 ĂŠ associado a ele mesmo, isto ĂŠ, qualquer que seja đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 , tem-se đ??ź(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś). đ?‘Ľ 02. Seja đ?‘…đ?‘Ľ : â„œ2 → â„œ2 tal que (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ↌ (đ?‘Ľ, −đ?‘Ś), ou na forma matricial, [đ?‘Ś] ↌ 1 0 đ?‘Ľ [ ] [ ]. Quais sĂŁo os vetores de â„œ2 tais que đ?‘…đ?‘Ľ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)? Vejamos: 0 −1 đ?‘Ś đ?‘Ľ=đ?‘Ľ đ?‘…đ?‘Ľ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ⇔ (đ?‘Ľ, −đ?‘Ś) = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ⇔ {đ?‘Ś = 0. Isto ĂŠ,

todo vetor

da

forma

(đ?‘Ľ, 0); đ?‘Ľ ∈ â„œ

ĂŠ levado nele

mesmo e,

geometricamente, estes sĂŁo os vetores que estĂŁo sobre o eixo đ?‘‹. Agora, vamos considerar o seguinte caso: sendo đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘‰, quais sĂŁo os vetores đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ = đ??ˇ(đ?‘‡) tais que đ?‘Ł ĂŠ levado em algum de seus mĂşltiplos, isto ĂŠ, quais sĂŁo os vetores đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ tais que đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘Ł; đ?œ† ∈ â„œ. Observe que os vetores đ?‘Ł e đ?‘‡(đ?‘Ł) serĂŁo de mesma direção, o sentido depende dos valores do escalar đ?œ† ∈ â„œ e, ainda, estes vetores estĂŁo sobre uma mesma reta suporte.

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307

Resumidamente, estamos procurando um vetor đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ e um escalar đ?œ† ∈ â„œ tais que:

đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘Ł ‌ (∗) Note que, đ?‘Ł = 0 satisfaz (*), qualquer que seja đ?œ†, portanto estamos interessados somente nos vetores đ?‘Ł ≠0. Em (*), o escalar đ?œ† ∈ â„œ ĂŠ chamado de autovalor de đ?‘‡ e o vetor đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ ĂŠ o autovetor de đ?‘‡ associado ao autovalor đ?œ†. Em seguida, vamos nos referir Ă s transformaçþes lineares đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘‰ como sendo operador linear. 16.1.1 Definição: Seja đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘‰ um operador linear. Se existirem đ?‘Ł ∈ đ?‘‰; đ?‘Ł ≠0 e đ?œ† ∈ â„œ tais que đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘Ł, đ?œ† ĂŠ um autovalor de đ?‘‡ e đ?‘Ł ĂŠ um autovetor de đ?‘‡ associado a đ?œ†. Observação: đ?œ† pode ser nulo. A Ăşnica restrição que temos ĂŠ que đ?‘Ł ≠0. Exemplos: 01. Seja đ?‘‡: â„œ2 → â„œ2 tal que đ?‘‡(đ?‘Ł) = 2đ?‘Ł ou đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (2đ?‘Ľ, 2đ?‘Ś). Na forma matricial 2 0 đ?‘Ľ đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = [ ] [ ]. 0 2 đ?‘Ś Note que, se đ?œ† = 2, 2 ĂŠ um autovalor de đ?‘‡ e qualquer (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ≠(0,0) ĂŠ autovetor de đ?‘‡ associado ao autovalor 2. Geometricamente.

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308

02. Em geral, se đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘‰ ĂŠ dada por đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?›źđ?‘Ł; đ?›ź ≠0 tem đ?›ź como autovalor e qualquer đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ≠(0,0) ĂŠ autovetor de đ?‘‡ associado a đ?›ź, pois đ?‘‡(đ?‘Ł) ĂŠ sempre um vetor de mesma direção de đ?‘Ł. Nesta transformação, temos os seguintes casos: i. Se đ?›ź = 1, đ?‘‡ ĂŠ a identidade; ii. Se |đ?›ź| < 1, đ?‘‡ contrai o vetor đ?‘Ł; iii. Se |đ?›ź| > 1, đ?‘‡ dilata o vetor đ?‘Ł; iv. Se đ?›ź < 0, đ?‘‡ inverte o sentido de đ?‘Ł.

03. Seja đ??´ = [

2 0

2 ], entĂŁo đ?‘‡đ??´ : â„œ2 → â„œ2 ĂŠ dada por đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ł) = đ??´đ?‘Ł, isto ĂŠ: 1 2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś 2 2 đ?‘Ľ ] [đ?‘Ś ] = [ ] ⇔ đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś, đ?‘Ś) . đ?‘Ś 0 1

đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = [

Para procurar os autovalores e autovetores de đ?‘‡đ??´ fazemos đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘Ł, ou ainda:

đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?œ†(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ⇔ (2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś, đ?‘Ś) = (đ?œ†đ?‘Ľ, đ?œ†đ?‘Ś) ⇔ [

đ?‘Ľ 2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś đ?œ†đ?‘Ľ ] = đ?œ† [đ?‘Ś] = [ ]. đ?‘Ś đ?œ†đ?‘Ś

EntĂŁo, obtemos:

{

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2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = đ?œ†đ?‘Ľ . đ?‘Ś = đ?œ†đ?‘Ś 309

Consideramos dois casos: i) đ?‘Ś ≠0 e ii) đ?‘Ś = 0. i. Se đ?‘Ś ≠0, da segunda equação temos đ?œ† =

đ?‘Ś đ?‘Ś

= 1 ⇒ đ?œ† = 1 . Tomando đ?œ† = 1 na

primeira equação:

2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = đ?‘Ľ ⇔ 2đ?‘Ś = −đ?‘Ľ ⇔ đ?‘Ľ = −2đ?‘Ś .

Logo, para đ?œ† = 1 temos vetores da forma (−2đ?‘Ś, đ?‘Ś); đ?‘Ś ≠0, ou seja, qualquer vetor da forma (−2đ?‘Ś, đ?‘Ś); đ?‘Ś ≠0 ĂŠ autovetor de đ?‘‡ associado ao autovalor đ?œ† = 1. Em outras palavras: đ?‘‡đ??´ (−2đ?‘Ś, đ?‘Ś) = 1(−2đ?‘Ś, đ?‘Ś). Geometricamente, os autovetores de đ?‘‡ associados ao autovalor 1 sĂŁo todos os vetores nĂŁo nulos que estĂŁo sobre a reta đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 0. Logo, todos os vetores de â„œ2 que estĂŁo sobre a reta đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 0 sĂŁo “transformadosâ€? por đ?‘‡ em vetores de mesma direção. ii. Se đ?‘Ś = 0, deve ocorrer đ?‘Ľ ≠0 (pois se đ?‘Ľ = 0, terĂ­amos (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (0,0)) e, da primeira equação, temos 2đ?‘Ľ + 0 = đ?œ†đ?‘Ľ ⇔ 2đ?‘Ľ = đ?œ†đ?‘Ľ ⇔ đ?œ† =

2đ?‘Ľ đ?‘Ľ

= 2 ⇒ đ?œ† = 2 . Portanto,

qualquer vetor da forma (đ?‘Ľ, 0); đ?‘Ľ ≠0 ĂŠ autovetor de đ?‘‡ associado ao autovalor đ?œ† = 2. Em outras palavras. đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ľ, 0) = 2(đ?‘Ľ, 0). Geometricamente, os autovetores de đ?‘‡ associados ao autovalor 2 sĂŁo todos os vetores nĂŁo nulos que estĂŁo sobre a reta đ?‘Ś = 0, isto ĂŠ, sĂŁo os vetores nĂŁo nulos sobre o eixo đ?‘‹. Logo, todos os vetores de â„œ2 que estĂŁo sobre o eixo đ?‘‹ sĂŁo “transformadosâ€? por đ?‘‡ em vetores de mesma direção. 16.1.2 Teorema: Dada đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘‰ transformação linear e đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ um autovetor de đ?‘‡ associado ao autovalor đ?œ† de đ?‘‡. Qualquer vetor đ?‘¤ = đ?‘˜đ?‘Ł ainda ĂŠ autovetor de đ?‘‡ associado a đ?œ†.

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310

Prova: Para mostrar que đ?‘¤ ĂŠ autovetor de đ?‘‡ associado a đ?œ†, devemos mostrar que đ?‘‡(đ?‘¤) = đ?œ†đ?‘¤. De fato, como đ?‘¤ = đ?‘˜đ?‘Ł, temos: đ?‘‡(đ?‘¤) = đ?‘‡(đ?‘˜đ?‘Ł) ‌ (đ??ź) Como đ?‘‡ ĂŠ linear, đ?‘‡(đ?‘˜đ?‘Ł) = đ?‘˜đ?‘‡(đ?‘Ł), logo (I) fica: đ?‘‡(đ?‘¤) = đ?‘‡(đ?‘˜đ?‘Ł) = đ?‘˜đ?‘‡(đ?‘Ł) ‌ (đ??źđ??ź) Como, por hipĂłtese, đ?‘Ł ĂŠ autovetor de đ?‘‡ associado a đ?œ†, temos đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘Ł e substituindo em (II):

đ?‘‡(đ?‘¤) = đ?‘˜đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?‘˜(đ?œ†đ?‘Ł) = đ?œ†(đ?‘˜đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘¤ ⇒ đ?‘‡(đ?‘¤) = đ?œ†đ?‘¤ .

Logo, đ?‘¤ = đ?‘˜đ?‘Ł ĂŠ autovetor de đ?‘‡ associado a đ?œ†. 16.1.3 Definição: Sendo đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘‰ transformação linear e đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ autovetor de đ?‘‡ associado ao autovalor đ?œ†. O conjunto formado pelos autovetores de đ?‘‡ associados ao autovalor đ?œ† e o vetor nulo de đ?‘‰ ĂŠ um subespaço vetorial de đ?‘‰ (mostre). Denotamos este subespaço por: đ?‘‰đ?œ† = {đ?‘Ł ∈ đ?‘‰; đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘Ł, đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?œ† ∈ â„œ}. Chamamos o subespaço đ?‘‰đ?œ† de subespaço associado ao autovalor đ?œ†. Observação: Para mostrar que đ?‘‰đ?œ† ĂŠ subespaço de đ?‘‰, basta mostrar que: i. Para quaisquer đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ đ?‘‰đ?œ† , tem-se đ?‘˘ + đ?‘Ł ∈ đ?‘‰đ?œ† ; ii. Para qualquer đ?›ź ∈ â„œ e đ?‘˘ ∈ đ?‘‰đ?œ† , tem-se đ?›źđ?‘˘ ∈ đ?‘‰đ?œ† .

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311

16.2 AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ O mĂŠtodo que estĂĄvamos usando para determinar autovalores e autovetores

era

um

tanto

quanto

“incerto�,

pois

dependendo

da

transformação, fica muito difĂ­cil identificar quais sĂŁo os valores de đ?œ† e consequentemente os autovetores. PorĂŠm, nosso trabalho pode ser mais efetivo utilizando matrizes associadas as transformaçþes. Dada uma matriz đ??´đ?‘› (quadrada, de ordem đ?‘›), estaremos nos referindo a autovalor e autovetor de đ??´ como sendo o autovalor e autovetor da transformação linear đ?‘‡đ??´ : â„œđ?‘› → â„œđ?‘› associada Ă matriz đ??´ em relação Ă base canĂ´nica, isto ĂŠ, đ?‘‡đ??´ (đ?‘Ł) = đ??´đ?‘Ł. Desta forma, para encontrar autovalores đ?œ† ∈ â„œ e autovetores đ?‘Ł ∈ â„œ2 de đ??´, devemos determinar đ?œ† e đ?‘Ł ≠0 que satisfaçam a equação:

đ??´đ?‘Ł = đ?œ†đ?‘Ł . Caso tenhamos đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘‰ e fixada uma base đ?›˝, veremos que para determinar os autovalores e autovetores de đ?‘‡ basta determinar os autovalores đ?›˝ e autovetores da matriz [đ?‘‡]đ?›˝ .

16.2.1 PolinĂ´mio CaracterĂ­stico: Consideramos a equação matricial đ?‘Ž11 đ?‘Ž12 â‹Ż đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ľ1 đ?‘Ž21 đ?‘Ž22 â‹Ż đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘Ľ2 đ??´đ?‘Ł = đ?œ†đ?‘Ł e sejam đ??´ = [ â‹Ž â‹Ž â‹ą â‹Ž ] e đ?‘Ł = [ â‹Ž ]. JĂĄ vimos que, para đ?‘Žđ?‘›1 đ?‘Žđ?‘›2 â‹Ż đ?‘Žđ?‘›đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› determinar os autovalores e autovetores de đ??´, devemos resolver a equação:

đ??´đ?‘Ł = đ?œ†đ?‘Ł ⇔ đ??´đ?‘Ł = đ?œ†đ??źđ?‘Ł ⇔ đ??´đ?‘Ł − đ?œ†đ??źđ?‘Ł = 0 ⇔ (đ??´ − đ?œ†đ??ź)đ?‘Ł = 0 đ?‘Ž11 đ?‘Ž21 ⇔ ([ â‹Ž đ?‘Žđ?‘›1

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đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 â‹Ž đ?‘Žđ?‘›2

â‹Ż đ?‘Ž1đ?‘› 1 0 â‹Ż đ?‘Ž2đ?‘› 0 1 â‹ą â‹Ž ] − đ?œ† [â‹Ž â‹Ž â‹Ż đ?‘Žđ?‘›đ?‘› 0 0

đ?‘Ľ1 â‹Ż 0 0 đ?‘Ľ â‹Ż 0 0 2 ]) [ â‹Ž ] = [ ] â‹ą â‹Ž â‹Ž đ?‘Ľ â‹Ż 1 0 đ?‘› 312

�11 �21 ⇔ ([ ⋎ ��1

đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 â‹Ž đ?‘Žđ?‘›2

đ?‘Ž11 − đ?œ† đ?‘Ž ⇔ [ 21 â‹Ž đ?‘Žđ?‘›1

â‹Ż đ?‘Ž1đ?‘› đ?œ† 0 â‹Ż đ?‘Ž2đ?‘› 0 đ?œ† â‹ą â‹Ž ] − [â‹Ž â‹Ž â‹Ż đ?‘Žđ?‘›đ?‘› 0 0 đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 − đ?œ† â‹Ž đ?‘Žđ?‘›2

â‹Ż â‹Ż â‹ą â‹Ż

đ?‘Ľ1 0 â‹Ż 0 đ?‘Ľ2 0 â‹Ż 0 ]) [ â‹Ž ] = [ ] â‹Ž â‹ą â‹Ž đ?‘Ľđ?‘› 0 â‹Ż đ?œ†

đ?‘Ľ1 đ?‘Ž1đ?‘› 0 đ?‘Ľ đ?‘Ž2đ?‘› 0 2 ] [ â‹Ž ] = [ ]. â‹Ž â‹Ž đ?‘Žđ?‘›đ?‘› − đ?œ† đ?‘Ľđ?‘› 0

Como este sistema ĂŠ homogĂŞneo, se o determinante da matriz dos đ?‘Ž11 − đ?œ† đ?‘Ž coeficientes [ 21 â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1

đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 − đ?œ† â‹Ž đ?‘Žđ?‘š2

â‹Ż đ?‘Ž1đ?‘› â‹Ż đ?‘Ž2đ?‘› ] for diferente de zero, a Ăşnica â‹ą â‹Ž â‹Ż đ?‘Žđ?‘šđ?‘› − đ?œ† đ?‘Ľ1 0 đ?‘Ľ2 0 solução para o sistema serĂĄ a solução trivial [ â‹Ž ] = [ ], ou seja, a solução ĂŠ o â‹Ž đ?‘Ľđ?‘› 0 vetor nulo e como estamos procurando autovetores, precisamos determinar vetores nĂŁo nulos. Assim, deve ocorrer que o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero (pois, o determinante igual a zero, nos diz que uma linha ĂŠ combinação linear das demais, isto ĂŠ, o sistema terĂĄ mais incĂłgnitas do que equaçþes, o que implica que este possui infinitas soluçþes): đ?‘Ž11 − đ?œ† đ?‘Ž det [ 21 â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1

đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 − đ?œ† â‹Ž đ?‘Žđ?‘š2

â‹Ż đ?‘Ž1đ?‘› â‹Ż đ?‘Ž2đ?‘› ]=0 â‹ą â‹Ž â‹Ż đ?‘Žđ?‘šđ?‘› − đ?œ†

⇔ det(đ??´ − đ?œ†đ??ź) = 0. Observe que det(đ??´ − đ?œ†đ??ź) ĂŠ um polinĂ´mio de grau đ?‘› em đ?œ†, isto ĂŠ, đ?‘Ž11 − đ?œ† đ?‘Ž đ?‘?(đ?œ†) = det(đ??´ − đ?œ†đ??ź) = | 21 â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1

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đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 − đ?œ† â‹Ž đ?‘Žđ?‘š2

â‹Ż â‹Ż â‹ą â‹Ż

đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ž2đ?‘› |. â‹Ž đ?‘Žđ?‘šđ?‘› − đ?œ† 313

Chamamos đ?‘? de polinĂ´mio caracterĂ­stico da matriz đ??´. Logo, para determinar os autovalores da matriz đ??´, basta determinar as raĂ­zes do polinĂ´mio caracterĂ­stico, pois, determinar đ?œ† ∈ â„œ tal que đ??´đ?‘Ł = đ?œ†đ?‘Ł ĂŠ equivalente a determinar đ?œ† ∈ â„œ tal que đ?‘?(đ?œ†) = 0. Exemplos: 4 01. Sendo đ??´ = [−1 0

2 1 1

0 0], queremos determinar đ?‘Ł ∈ â„œ3 e đ?œ† ∈ â„œ tais que đ??´đ?‘Ł = 2

đ?œ†đ?‘Ł. De acordo com o que foi visto anteriormente, devemos calcular đ?œ† ∈ â„œ tal que:

đ?‘?(đ?œ†) = det(đ??´ − đ?œ†đ??ź) = 0. 1 Sendo đ??ź = [0 0

0 0 1 0], temos: 0 1

4 2 đ??´ − đ?œ†đ??ź = [−1 1 0 1 4−đ?œ† = [ −1 0

2 1−đ?œ† 1

0 1 0] − đ?œ† [0 2 0

0 0 4 2 1 0] = [−1 1 0 1 0 1

0 4−đ?œ† 0 ] ⇔ đ??´ − đ?œ†đ??ź = [ −1 2−đ?œ† 0

0 đ?œ† 0 ] − [0 2 0 2 1−đ?œ† 1

0 0 đ?œ† 0] 0 đ?œ†

0 0 ]. 2−đ?œ†

Logo đ?‘?(đ?œ†) = det(đ??´ − đ?œ†đ??ź) = 0 se, e somente se: 4−đ?œ† | −1 0

2 1−đ?œ† 1

0 0 |=0 2−đ?œ†

⇔ (4 − đ?œ†)(1 − đ?œ†)(2 − đ?œ†) − (2)(−(2 − đ?œ†)) = 0

⇔ (4 − đ?œ†)(1 − đ?œ†)(2 − đ?œ†) + 2(2 − đ?œ†) = 0 ⇔ (2 − đ?œ†)[(4 − đ?œ†)(1 − đ?œ†) + 2] = 0

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314

⇔ 2 − đ?œ† = 0 đ?‘œđ?‘˘ (4 − đ?œ†)(1 − đ?œ†) + 2 = 0. Das informaçþes acima, jĂĄ temos que um autovalor ĂŠ đ?œ†1 = 2 , mas ainda falta analisar (4 − đ?œ†)(1 − đ?œ†) + 2 = 0. EntĂŁo: (4 − đ?œ†)(1 − đ?œ†) + 2 = 0 ⇔ 4 − 4đ?œ† − đ?œ† + đ?œ†2 + 2 = 0 ⇔ đ?œ†2 − 5đ?œ† + 6 = 0

5 + √1 6 = = 3 ⇒ đ?œ†2 = 3 2 2 ⇔ . 5 − √1 4 đ?œ†3 = = = 2 ⇒ đ?œ†3 = 2 2 2 { đ?œ†2 =

Logo, as raĂ­zes de đ?‘? sĂŁo, đ?œ†1 = đ?œ†3 = 2 e đ?œ†2 = 3. Assim, os autovalores de đ??´ sĂŁo đ?œ† = 2 e đ?œ† = 3. Conhecendo os autovalores, conseguimos determinar os autovetores correspondentes. Resolvendo a equação đ??´đ?‘Ł = đ?œ†đ?‘Ł para: đ?‘Ľ i. đ?œ† = 2 ⇒ đ??´đ?‘Ł = 2đ?‘Ł, tomando đ?‘Ł = [đ?‘Ś] temos: đ?‘§ 4 đ??´đ?‘Ł = 2đ?‘Ł ⇔ [−1 0

2 1 1

đ?‘Ľ 0 đ?‘Ľ 4 0] [đ?‘Ś] = 2 [đ?‘Ś] ⇔ [−1 đ?‘§ 2 đ?‘§ 0

2 1 1

2� 0 � 0] [�] = [2�] 2 � 2�

4đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ 2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 0 ⇔ { −đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 2đ?‘Ś ⇔ { −đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 0 . đ?‘Ś + 2đ?‘§ = 2đ?‘§ đ?‘Ś=0 Substituindo đ?‘Ś = 0 em −đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 0 tem-se đ?‘Ľ = 0. Logo os autovetores associados ao autovalor 2 sĂŁo os vetores đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 tais que đ?‘Ľ = đ?‘Ś = 0 e đ?‘§ ≠0, isto ĂŠ, đ?‘Ł = (0,0, đ?‘§); đ?‘§ ≠0. Logo: đ?‘‰đ?œ†=2 = {(0,0, đ?‘§); đ?‘§ ∈ â„œ} = {đ?‘§(0,0,1); đ?‘§ ∈ â„œ} = [(0,0,1)] ⇒ đ?‘‰đ?œ†=2 = [(0,0,1)]. O subespaço đ?‘‰đ?œ†=2 associado ao autovalor 2 ĂŠ o subespaço gerado por (0,0,1). đ?‘Ľ ii. đ?œ† = 3 ⇒ đ??´đ?‘Ł = 3đ?‘Ł, tomando đ?‘Ł = [đ?‘Ś] temos: đ?‘§

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315

4 đ??´đ?‘Ł = 3đ?‘Ł ⇔ [−1 0

2 1 1

đ?‘Ľ 0 đ?‘Ľ 4 0] [đ?‘Ś] = 3 [đ?‘Ś] ⇔ [−1 đ?‘§ 2 đ?‘§ 0

2 1 1

3� 0 � 0] [�] = [3�] 2 � 3�

4đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 0 ⇔ { −đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 3đ?‘Ś ⇔ {−đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = 0. đ?‘Ś + 2đ?‘§ = 3đ?‘§ đ?‘Śâˆ’đ?‘§ =0 Da primeira e da segunda equação, nota-se que đ?‘Ľ = −2đ?‘Ś e da terceira, đ?‘§ = đ?‘Ś. Logo, os autovetores de đ??´ associados ao autovalor 3 sĂŁo os vetores đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 tais que đ?‘Ľ = −2đ?‘Ś, đ?‘§ = đ?‘Ś e đ?‘Ś ≠0, isto ĂŠ, đ?‘Ł = (−2đ?‘Ś, đ?‘Ś, đ?‘Ś); đ?‘Ś ≠0. Logo: đ?‘‰đ?œ†=3 = {(−2đ?‘Ś, đ?‘Ś, đ?‘Ś); đ?‘Ś ∈ â„œ} = {đ?‘Ś(−2,1,1); đ?‘Ś ∈ â„œ} = [(−2,1,1)] ⇒ đ?‘‰đ?œ†=3 = [(−2,1,1)]. O subespaço đ?‘‰đ?œ†=3 asociado ao autovalor 3 ĂŠ o subespaço gerado por (−2,1,1).

02. Seja đ??´ = [

−3 −1

4 ], vamos determinar os autovalores de đ??´. 2

Primeiramente, vamos determinar o polinĂ´mio caracterĂ­stico que ĂŠ đ?‘?(đ?œ†) = det(đ??´ − đ?œ†đ??ź). Para isto: −3 −1

đ??´ − đ?œ†đ??ź = [

1 4 ]−đ?œ†[ 0 2

0 −3 − đ?œ† ]=[ 1 −1

4 −3 − đ?œ† ] ⇒ đ??´ − đ?œ†đ??ź = [ 2−đ?œ† −1

4 ]. 2−đ?œ†

Logo: −3 − đ?œ† đ?‘?(đ?œ†) = det(đ??´ − đ?œ†đ??ź) = det [ −1

4 −3 − đ?œ† ]=| 2−đ?œ† −1

4 | 2−đ?œ†

= (−3 − đ?œ†)(2 − đ?œ†) + 4 = −6 + 3đ?œ† − 2đ?œ† + đ?œ†2 + 4 ⇒ đ?‘?(đ?œ†) = đ?œ†2 + đ?œ† − 2.

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316

Sabemos que os autovalores de đ??´ serĂŁo as raĂ­zes de đ?‘?, assim:

đ?‘?(đ?œ†) = 0 ⇔ đ?œ†2 + đ?œ† − 2 = 0 ⇔ đ?œ† =

−1 Âą √1 + 8 −1 Âą 3 = . 2 2

As raĂ­zes de đ?‘? sĂŁo đ?œ† = 1 e đ?œ† = −2. EntĂŁo os autovalores de đ??´ serĂŁo 1 e −2. Agora, procuramos os autovetores associados a estes autovalores, para isto, devemos resolver a equação đ??´đ?‘Ł = đ?œ†đ?‘Ł para: đ?‘Ľ i. đ?œ† = 1 ⇒ đ??´đ?‘Ł = 1đ?‘Ł e tomando đ?‘Ł = [đ?‘Ś]:

−3 −1

đ??´đ?‘Ł = 1đ?‘Ł = đ?‘Ł ⇔ [

đ?‘Ľ −3đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = đ?‘Ľ −4đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 0 4 đ?‘Ľ ] [đ?‘Ś] = [đ?‘Ś] ⇔ { ⇔{ . −đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = đ?‘Ś −đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 0 2

Das duas equaçþes, temos đ?‘Ľ = đ?‘Ś e, portanto, os vetores associados ao autovalor 1 sĂŁo os vetores đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 tais que đ?‘Ľ = đ?‘Ś e đ?‘Ľ ≠0, ou seja, temos que đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ľ); đ?‘Ľ ≠0. Logo: đ?‘‰đ?œ†=1 = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ); đ?‘Ľ ∈ â„œ} = {đ?‘Ľ(1,1); đ?‘Ľ ∈ â„œ} = [(1,1)] ⇒ đ?‘‰đ?œ†=1 = [(1,1)]. đ?‘Ľ ii. đ?œ† = −2 ⇒ đ??´đ?‘Ł = −2đ?‘Ł e tomando đ?‘Ł = [đ?‘Ś]: −3 −1

đ??´đ?‘Ł = −2đ?‘Ł ⇔ [

đ?‘Ľ −2đ?‘Ľ 4 đ?‘Ľ −3 ] [đ?‘Ś] = −2 [đ?‘Ś] = [ ]⇔[ −2đ?‘Ś 2 −1

−2đ?‘Ľ 4 đ?‘Ľ ] [đ?‘Ś ] = [ ] −2đ?‘Ś 2

−3đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ −đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 0 ⇔{ ⇔{ . −đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = −2đ?‘Ś −đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 0 Em ambas as equaçþes đ?‘Ľ = 4đ?‘Ś e, portanto, os autovetores associados ao autovalor −2 sĂŁo os vetores đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ; đ?‘Ľ = 4đ?‘Ś đ?‘’ đ?‘Ś ≠0, ou seja, đ?‘Ł = (4đ?‘Ś, đ?‘Ś); đ?‘Ś ≠0. Logo:

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317

đ?‘‰đ?œ†=−2 = {(4đ?‘Ś, đ?‘Ś); đ?‘Ś ∈ â„œ} = {đ?‘Ś(4,1); đ?‘Ś ∈ â„œ} = [(4,1)] ⇒ đ?‘‰đ?œ†=−2 = [(4,1)]. Observe geometricamente:

3 03. Seja đ??´ = [√ 1

−1 ], vamos determinar os autovalores de đ??´. √3

đ?‘?(đ?œ†) = det(đ??´ − đ?œ†đ??ź) = det ([√3 1

= |√3 − đ?œ† 1

−1] − đ?œ† [1 0 √3

0 −đ?œ† ]) = det [√3 1 1

−1 ] √3 − đ?œ†

−1 | = (√3 − đ?œ†)2 + 1 = 3 − 2√3đ?œ† + đ?œ†2 + 1 √3 − đ?œ† ⇒ đ?‘?(đ?œ†) = đ?œ†2 − 2√3đ?œ† + 4.

Note que o polinĂ´mio caracterĂ­stico nĂŁo admite raiz real, ou seja, nĂŁo existe đ?œ† ∈ â„œ tal que đ?‘?(đ?œ†) = 0, logo a matriz đ?‘‡ nĂŁo admite autovalores. Consequentemente, a transformação linear associada Ă matriz đ??´ nĂŁo admite autovalores nem autovetores, logo qualquer vetor đ?‘Ł ≠0 ĂŠ tal que đ?‘‡(đ?‘Ł) ≠đ?œ†đ?‘Ł. Geometricamente, đ?‘‡ nĂŁo preserva a direção de nenhum vetor.

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318

Observação: Devido ao fato de estarmos considerando somente espaços vetoriais reais, concluĂ­mos que a transformação associada a matriz acima nĂŁo possui autovalores nem autovetores. PorĂŠm, se estivĂŠssemos trabalhando com espaços vetoriais sobre o corpo â„‚, qualquer polinĂ´mio admite raĂ­zes complexas, logo os autovalores seriam complexos, e assim toda transformação de um espaço vetorial complexo admite autovalores e autovetores. Em seguida, vamos determinar o polinĂ´mio caracterĂ­stico de uma transformação linear, isto ĂŠ, basta associar a tal transformação linear sua representação matricial. 16.2.2 PolinĂ´mio CaracterĂ­stico de uma Transformação: Seja đ?‘‡: đ?‘‰ → đ?‘‰ uma transformação linear e đ?›˝ uma base de đ?‘‰. JĂĄ foi visto anteriormente que đ?›˝ uma transformação linear pode ser escrita por [đ?‘‡(đ?‘Ł)]đ?›˝ = [đ?‘‡]đ?›˝ [đ?‘Ł]đ?›˝ , logo:

[đ?‘‡(đ?‘Ł)]đ?›˝ = đ?œ†[đ?‘Ł]đ?›˝ ⇔ [đ?‘‡]đ?›˝đ?›˝ [đ?‘Ł]đ?›˝ = đ?œ†[đ?‘Ł]đ?›˝ ⇔ [đ?‘‡]đ?›˝đ?›˝ [đ?‘Ł]đ?›˝ − đ?œ†đ??ź[đ?‘Ł]đ?›˝ = 0

đ?›˝

⇔ ([đ?‘‡]đ?›˝ − đ?œ†đ??ź) [đ?‘Ł]đ?›˝ = 0

đ?›˝

⇔ det ([đ?‘‡]đ?›˝ − đ?œ†đ??ź) = 0 .

A Ăşltima igualdade vem do fato de que đ?‘?(đ?œ†) = 0 onde đ?‘? ĂŠ o polinĂ´mio đ?›˝ caracterĂ­stico da matriz [đ?‘‡]đ?›˝ e este ĂŠ chamado de polinĂ´mio caracterĂ­stico da

transformação linear đ?‘‡ e as raĂ­zes deste polinĂ´mio serĂŁo os autovalores de đ?‘‡. Para determinar um autovetor de đ?‘‡ correspondente ao autovalor đ?œ† basta đ?›˝ resolver a equação [đ?‘‡(đ?‘Ł)]đ?›˝ = đ?œ†[đ?‘Ł]đ?›˝ ou, equivalentemente, [đ?‘‡]đ?›˝ [đ?‘Ł]đ?›˝ = đ?œ†[đ?‘Ł]đ?›˝ .

Veremos que o polinĂ´mio caracterĂ­stico de uma transformação ĂŠ o mesmo, independente da base considerada. De fato, seja đ?›ź outra base, đ?›˝

sabemos que se [đ?‘‡]đ?›˝ ĂŠ a matriz de đ?‘‡ em relação Ă base đ?›˝ e se [đ?‘‡]đ?›źđ?›ź ĂŠ a matriz de đ?‘‡ em relação Ă base đ?›ź estas matrizes se relacionam da seguinte maneira:

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319

−1

[đ?‘‡]đ?›źđ?›ź = [đ??ź]đ?›˝đ?›ź [đ?‘‡]đ?›˝đ?›˝ ([đ??ź]đ?›˝đ?›ź ) . Assim:

đ?›˝

đ?›˝

đ?›˝

det([đ?‘‡]đ?›źđ?›ź − đ?œ†đ??ź) = det ([đ??ź]đ?›ź [đ?‘‡]đ?›˝ ([đ??ź]đ?›ź )

đ?›˝

đ?›˝

đ?›˝

−1

−1

đ?›˝

đ?›˝

−1

− đ?œ†[đ??ź]đ?›ź đ??ź([đ??ź]đ?›ź ) )

đ?›˝

đ?›˝

đ?›˝

= det ([đ??ź]đ?›ź ([đ?‘‡]đ?›˝ − đ?œ†đ??ź) ([đ??ź]đ?›ź ) ) = det[đ??ź]đ?›ź det ([đ?‘‡]đ?›˝ − đ?œ†đ??ź) det([đ??ź]đ?›ź )

đ?›˝

đ?›˝

đ?›˝

−1

đ?›˝

−1

đ?›˝

= det ([đ?‘‡]đ?›˝ − đ?œ†đ??ź) [det[đ??ź]đ?›ź det([đ??ź]đ?›ź ) ] = det ([đ?‘‡]đ?›˝ − đ?œ†đ??ź) â‹… 1 = det ([đ?‘‡]đ?›˝ − đ?œ†đ??ź)

đ?›˝

⇒ det([đ?‘‡]đ?›źđ?›ź − đ?œ†đ??ź) = det ([đ?‘‡]đ?›˝ − đ?œ†đ??ź) = đ?‘?(đ?œ†). Ou seja, o polinĂ´mio caracterĂ­stico ĂŠ o mesmo para ambas as matrizes. Exemplos: 01. Seja đ?‘‡: â„œ2 → â„œ2 definida por đ?‘‡(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (−3đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś, −đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś), vamos procurar os autovalores e autovetores de đ?‘‡. Note que a matriz de đ?‘‡ em relação Ă base canĂ´nica ĂŠ: [đ?‘‡]đ?›źđ?›ź = [−3 −1

4 ]. 2

Para determinar os autovalores de đ?‘‡, basta determinar os autovalores da matriz [đ?‘‡]đ?›źđ?›ź , isto ĂŠ, devemos encontrar as raĂ­zes do polinĂ´mio caracterĂ­stico đ?‘?(đ?œ†) = det([đ?‘‡]đ?›źđ?›ź − đ?œ†đ??ź). Veja que: −3 − đ?œ† −1

đ?‘?(đ?œ†) = det([đ?‘‡]đ?›źđ?›ź − đ?œ†đ??ź) = det ([

4 −3 − đ?œ† ]) = | 2−đ?œ† −1

4 | 2−đ?œ†

= (−3 − đ?œ†)(2 − đ?œ†) + 4 = −6 + 3đ?œ† − 2đ?œ† + đ?œ†2 + 4

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320

⇒ đ?‘?(đ?œ†) = đ?œ†2 + đ?œ† − 2. Agora, os autovalores serĂŁo os valores de đ?œ† tais que:

đ?‘?(đ?œ†) = 0 ⇔ đ?œ†2 + đ?œ† − 2 = 0 ⇔ đ?œ† =

−1 Âą √1 + 8 −1 Âą 3 = 2 2

⇒ đ?œ†1 = 1 đ?‘’ đ?œ†2 = −2. Agora, para os autovalores acima, devemos resolver a equação đ?‘‡(đ?‘Ł) = đ?œ†đ?‘Ł ⇔ [đ?‘‡(đ?‘Ł)]đ?›ź = đ?œ†[đ?‘Ł]đ?›ź ⇔ [đ?‘‡]đ?›źđ?›ź [đ?‘Ł]đ?›ź = đ?œ†[đ?‘Ł]đ?›ź e como đ?›ź ĂŠ base canĂ´nica, tomando đ?‘Ł = đ?‘Ľ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 temos [đ?‘Ł]đ?›˝ = [đ?‘Ś], assim [đ?‘‡]đ?›źđ?›ź [đ?‘Ł]đ?›ź = đ?œ†[đ?‘Ł]đ?›ź ‌ (∗). Agora, resolvemos (*) para: i. đ?œ† = 1:

[đ?‘‡]đ?›źđ?›ź [đ?‘Ł]đ?›ź = 1[đ?‘Ł]đ?›ź ⇔ [−3 −1

đ?‘Ľ −3đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = đ?‘Ľ −4đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 0 4 đ?‘Ľ ] [đ?‘Ś] = [đ?‘Ś] ⇔ { ⇔{ . −đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = đ?‘Ś −đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 0 2

Das duas equaçþes temos que đ?‘Ľ = đ?‘Ś, logo os autovetores de đ?‘‡ associados ao autovalor 1 sĂŁo os vetores (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 ; đ?‘Ś = đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘Ľ ≠0, isto ĂŠ, os autovalores de đ?‘‡ associados a 1 sĂŁo os vetores da forma (đ?‘Ľ, đ?‘Ľ); đ?‘Ľ ≠0. Logo: đ?‘‰đ?œ†=1 = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ľ) ∈ â„œ2 ; đ?‘Ľ ∈ â„œ} = {đ?‘Ľ(1,1); đ?‘Ľ ∈ â„œ} = [(1,1)]. ii. đ?œ† = −2:

[đ?‘‡]đ?›źđ?›ź [đ?‘Ł]đ?›ź = −2[đ?‘Ł]đ?›ź ⇔ [−3 −1

đ?‘Ľ −3đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ −2đ?‘Ľ 4 đ?‘Ľ ] [đ?‘Ś] = −2 [đ?‘Ś] = [ ]⇔{ −2đ?‘Ś −đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = −2đ?‘Ś 2 −đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 0 ⇔{ . −đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 0

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321

Das duas equaçþes obtemos đ?‘Ľ = 4đ?‘Ś, logo os autovalores de đ?‘‡ associados ao autovalor −2 sĂŁo os vetores (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ â„œ2 tais que đ?‘Ľ = 4đ?‘Ś e đ?‘Ś ≠0, isto ĂŠ, sĂŁo os vetores da forma (4đ?‘Ś, đ?‘Ś); đ?‘Ś ≠0. Logo: đ?‘‰đ?œ†=−2 = {(4đ?‘Ś, đ?‘Ś); đ?‘Ś ∈ â„œ} = {đ?‘Ś(4,1); đ?‘Ś ∈ â„œ} = [(4,1)]. 16.2.3 Multiplicidade de um Autovalor: A multiplicidade de um autovalor de uma matriz (ou transformação) coincide com a multiplicidade da raiz

correspondente

do

polinĂ´mio

caracterĂ­stico

desta

matriz

(

ou

transformação).

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322

CAPĂ?TULO 17: PRODUTO INTERNO

17.1 INTRODUĂ‡ĂƒO Neste capĂ­tulo, estudaremos conceitos de comprimento e ângulo entre vetores. Anteriormente, definimos na Geometria AnalĂ­tica o produto escalar entre vetores. Com o produto escalar ainda podĂ­amos determinar medida angular e calcular a norma de vetores do plano e do espaço. A partir daqui, vamos generalizar estas ideias para vetores de qualquer “naturezaâ€?. 17.1.1 Definição: Seja đ?‘‰ um espaço vetorial real. Definimos um produto interno sobre o espaço vetorial đ?‘‰ como sendo uma função ⌊, âŒŞ: đ?‘‰Ă—đ?‘‰ → â„œ que a cada par de vetores đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ∈ đ?‘‰ associa um nĂşmero real denotado por ⌊đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 âŒŞ, isto ĂŠ, (đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ) ↌ ⌊đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 âŒŞ, satisfazendo: P1. ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ ≼ 0, ∀đ?‘Ł ∈ đ?‘‰; P2. ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ = 0 ⇔ đ?‘Ł = 0; P3. ⌊đ?œ†đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 âŒŞ = đ?œ†âŒŠđ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 âŒŞ, ∀đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ∈ đ?‘‰ đ?‘’ ∀đ?œ† ∈ â„œ; P4. ⌊đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 âŒŞ = ⌊đ?‘Ł1 , đ?‘Ł3 âŒŞ + ⌊đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 âŒŞ, ∀đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 ∈ đ?‘‰; P5. ⌊đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 âŒŞ = ⌊đ?‘Ł2 , đ?‘Ł1 âŒŞ, ∀đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ∈ đ?‘‰. 17.1.1.2 Interpretando cada propriedade: Caso vocĂŞ tenha dificuldade para interpretar cada propriedade, seguem as explicaçþes: P1 nos diz que o produto interno de qualquer vetor por si mesmo sempre serĂĄ um nĂşmero real positivo. P2 nos diz que se o produto interno de um vetor nulo por si mesmo serĂĄ igual Ă zero. P3 nos diz que o produto interno de um vetor đ?œ†đ?‘Ł1 obtido de uma multiplicação por escalar por outro vetor đ?‘Ł2 ĂŠ igual ao produto (usual em â„œ) de đ?œ† pelo nĂşmero ⌊đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 âŒŞ.

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323

P4 nos diz que o produto interno entre um vetor soma đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 e um vetor đ?‘Ł3 ĂŠ igual Ă soma do produto interno entre đ?‘Ł1 e đ?‘Ł3 e do produto interno entre đ?‘Ł2 e đ?‘Ł3 . P5 nos diz que podemos comutar o produto interno, ou seja, a ordem do produto interno nĂŁo importa. Exemplos: 01. Considere o espaço vetorial đ?‘‰ = â„œ3 . Definimos um produto interno em â„œ3 como sendo o produto escalar usual, visto em geometria analĂ­tica, isto ĂŠ, sendo đ?‘Ł1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 ), đ?‘Ł2 = (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 ) ∈ â„œ3 , temos: ⌊đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 âŒŞ = đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś1 đ?‘Ś2 + đ?‘§1 đ?‘§2 . Passamos a chamar este produto escalar de produto interno usual do â„œ3 . Vejamos que, de fato, este ĂŠ um produto interno. Para isto, devemos provar que as 5 propriedades da definição sĂŁo satisfeitas. EntĂŁo: P1. Seja đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 nĂŁo nulo. Temos:

⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ = ⌊(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§), (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)âŒŞ = đ?‘Ľ â‹… đ?‘Ľ + đ?‘Ś â‹… đ?‘Ś + đ?‘§ â‹… đ?‘§ = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + đ?‘§ 2 ≼ 0 ⇒ ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ ≼ 0 .

P2. Seja đ?‘Ł = (0,0,0) o vetor nulo de â„œ3 . Temos:

⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ = ⌊(0,0,0), (0,0,0)âŒŞ = 0 â‹… 0 + 0 â‹… 0 + 0 â‹… 0 = 0 ⇒ ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ = 0 .

P3. Sejam đ?œ† ∈ â„œ e đ?‘Ł1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 ), đ?‘Ł2 = (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 ) ∈ â„œ3 . Temos: ⌊đ?œ†đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 âŒŞ = ⌊đ?œ†(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 )âŒŞ = ⌊(đ?œ†đ?‘Ľ1 , đ?œ†đ?‘Ś1 , đ?œ†đ?‘§1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 )âŒŞ = đ?œ†đ?‘Ľ1 â‹… đ?‘Ľ2 + đ?œ†đ?‘Ś1 â‹… đ?‘Ś2 + đ?œ†đ?‘§1 â‹… đ?‘§2 = đ?œ†(đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś1 đ?‘Ś2 + đ?‘§1 đ?‘§2 ) = đ?œ†âŒŠđ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 âŒŞ

⇒ ⌊đ?œ†đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 âŒŞ = đ?œ†âŒŠđ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 âŒŞ .

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324

P4. Sejam đ?‘Ł1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 ), đ?‘Ł2 = (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 ), đ?‘Ł3 = (đ?‘Ľ3 , đ?‘Ś3 , đ?‘§3 ) ∈ â„œ3 . Temos: ⌊đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 âŒŞ = ⌊(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 ) + (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 ), (đ?‘Ľ3 , đ?‘Ś3 , đ?‘§3 )âŒŞ = ⌊(đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś1 + đ?‘Ś2 , đ?‘§1 + đ?‘§2 ), (đ?‘Ľ3 , đ?‘Ś3 , đ?‘§3 )âŒŞ = (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 )đ?‘Ľ3 + (đ?‘Ś1 + đ?‘Ś2 )đ?‘Ś3 + (đ?‘§1 + đ?‘§2 )đ?‘§3 = đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 + đ?‘Ś1 đ?‘Ś3 + đ?‘Ś2 đ?‘Ś3 + đ?‘§1 đ?‘§3 + đ?‘§2 đ?‘§3 = (đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ3 + đ?‘Ś1 đ?‘Ś3 + đ?‘§1 đ?‘§3 ) + (đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 + đ?‘Ś2 đ?‘Ś3 + đ?‘§2 đ?‘§3 ) = ⌊đ?‘Ł1 , đ?‘Ł3 âŒŞ + ⌊đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 âŒŞ

⇒ ⌊đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 âŒŞ = ⌊đ?‘Ł1 , đ?‘Ł3 âŒŞ + ⌊đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 âŒŞ . P5. Sejam đ?‘Ł1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 ), đ?‘Ł2 = (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§3 ) ∈ â„œ3 . Temos: ⌊đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 âŒŞ = ⌊(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 âŒŞ = đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś1 đ?‘Ś2 + đ?‘§1 đ?‘§2 = đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ś2 đ?‘Ś1 + đ?‘§2 đ?‘§1

= ⌊đ?‘Ł2 , đ?‘Ł1 âŒŞ ⇒ ⌊đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 âŒŞ = ⌊đ?‘Ł2 , đ?‘Ł1 âŒŞ . 02. De modo anĂĄlogo define-se o produto interno usual no â„œđ?‘› , isto ĂŠ, sendo đ?‘Ł1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› ), đ?‘Ł2 = (đ?‘Ś1 , đ?‘Ś2 , ‌ , đ?‘Śđ?‘› ) ∈ â„œđ?‘› definimos: ⌊đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 âŒŞ = đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1 + đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› đ?‘Śđ?‘› . Usamos

o

produto

interno

para

definir

os

conceitos

de

perpendicularidade ou ortogonalidade entre vetores. 17.1.2 Definição: Seja đ?‘‰ um espaço vetorial com produto interno ⌊, âŒŞ. Dizemos que os vetores đ?‘Ł, đ?‘¤ ∈ đ?‘‰ sĂŁo ortogonais em relação ao produto interno ⌊, âŒŞ se ⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ = 0. Denotamos a ortogonalidade entre đ?‘Ł e đ?‘¤ por đ?‘Ł ⊼ đ?‘¤.

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325

17.1.2.1 Propriedades: Seja đ?‘‰ um espaço vetorial com produto interno ⌊, âŒŞ, as seguintes propriedades sĂŁo vĂĄlidas para a ortogonalidade: i. 0 ⊼ đ?‘Ł, ∀đ?‘Ł ∈ đ?‘‰; ii. đ?‘Ł ⊼ đ?‘¤ ⇒ đ?‘¤ ⊼ đ?‘Ł, ∀đ?‘Ł, đ?‘¤ ∈ đ?‘‰; iii. Se đ?‘Ł ⊼ đ?‘¤, ∀đ?‘¤ ∈ đ?‘‰, entĂŁo đ?‘Ł = 0; iv. Se đ?‘Ł1 ⊼ đ?‘¤ e đ?‘Ł2 ⊼ đ?‘¤, entĂŁo đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ⊼ đ?‘¤, ∀đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘¤ ∈ đ?‘‰; v. Se đ?‘Ł ⊼ đ?‘¤, entĂŁo đ?œ†đ?‘Ł ⊼ đ?‘¤, ∀đ?‘Ł, đ?‘¤ ∈ đ?‘‰ đ?‘’ đ?œ† ∈ â„œ. Prova: Para demonstrar cada propriedade, basta usar a definição de ortogonalidade e as propriedades de definição. i. Note que ⌊0, đ?‘ŁâŒŞ â‰? ⌊0 â‹… đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ â‰? 0⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ = 0 ⇒ ⌊0, đ?‘ŁâŒŞ = 0 ⇔ 0 ⊼ đ?‘Ł, ∀đ?‘Ł ∈ đ?‘‰. đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘˘đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘Ž

ii. đ?‘Ł ⊼ đ?‘¤ ⇔ ⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ = 0 ⇔

⌊đ?‘¤, đ?‘ŁâŒŞ = 0 ⇔ đ?‘¤ ⊼ đ?‘Ł.

iii. Sabe-se que đ?‘Ł ⊼ đ?‘¤, ∀đ?‘¤ ∈ đ?‘‰, mas por i acima, o Ăşnico vetor que ĂŠ ortogonal a todo vetor đ?‘¤ ∈ đ?‘‰ ĂŠ 0 ∈ đ?‘‰, logo đ?‘Ł = 0. iv. Note que ⌊đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 , đ?‘¤âŒŞ = ⌊đ?‘Ł1 , đ?‘¤âŒŞ + ⌊đ?‘Ł2 , đ?‘¤âŒŞ, mas por hipĂłtese đ?‘Ł1 ⊼ đ?‘¤ e đ?‘Ł2 ⊼ đ?‘¤,

logo

⌊đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 , đ?‘¤âŒŞ = ⌊đ?‘Ł1 , đ?‘¤âŒŞ + ⌊đ?‘Ł2 , đ?‘¤âŒŞ = 0 + 0 = 0 ⇒ ⌊đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 , đ?‘¤âŒŞ = 0,

o

que

equivale a đ?‘Ł1 + đ?‘Ł2 ⊼ đ?‘¤. v. Note que ⌊đ?œ†đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ = đ?œ†âŒŠđ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ, mas por hipĂłtese đ?‘Ł ⊼ đ?‘¤, logo ⌊đ?œ†đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ = đ?œ†âŒŠđ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ = đ?œ† â‹… 0 = 0 ⇒ ⌊đ?œ†đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ = 0, o que equivale a đ?œ†đ?‘Ł ⊼ đ?‘¤. 17.1.3 Teorema: Considerando đ?‘‰ um espaço vetorial, se {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ⊂ đ?‘‰ um conjunto de vetores nĂŁo nulos, dois a dois ortogonais, isto ĂŠ, ⌊đ?‘Łđ?‘– , đ?‘Łđ?‘— âŒŞ = 0, ∀đ?‘– ≠đ?‘—, entĂŁo {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ LI. Prova: Para mostrar que {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ LI, devemos mostrar que a equação đ?‘˜1 đ?‘Ł1 + â‹Ż đ?‘˜đ?‘› đ?‘Łđ?‘› = 0 implica em đ?‘˜1 = â‹Ż = đ?‘˜đ?‘› = 0. De fato, tomemos đ?‘˜1 đ?‘Ł1 + đ?‘˜2 đ?‘Ł2 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘–−1 đ?‘Łđ?‘–−1 + đ?‘˜đ?‘– đ?‘Łđ?‘– + đ?‘˜đ?‘–+1 đ?‘Łđ?‘–+1 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘›âˆ’1 đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 + đ?‘˜đ?‘› đ?‘Łđ?‘› = 0 e façamos o produto interno dos dois membros da igualdade (que sĂŁo vetores iguais) por algum dos đ?‘Łđ?‘– de {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› }: ⌊đ?‘˜1 đ?‘Ł1 + đ?‘˜2 đ?‘Ł2 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘–−1 đ?‘Łđ?‘–−1 + đ?‘˜đ?‘– đ?‘Łđ?‘– + đ?‘˜đ?‘–+1 đ?‘Łđ?‘–+1 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘›âˆ’1 đ?‘Łđ?‘›âˆ’1 + đ?‘˜đ?‘› đ?‘Łđ?‘› , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ = ⌊0, đ?‘Łđ?‘– âŒŞ.

Usando as propriedades da definição de produto interno (observe que ⌊0, đ?‘Łđ?‘– âŒŞ = 0, pois o vetor nulo ĂŠ ortogonal a qualquer vetor):

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326

⌊đ?‘˜1 đ?‘Ł1 , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ + â‹Ż + ⌊đ?‘˜đ?‘–−1 đ?‘Łđ?‘–−1 , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ + ⌊đ?‘˜đ?‘– đ?‘Łđ?‘– , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ + ⌊đ?‘˜đ?‘–+1 đ?‘Łđ?‘–+1 , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ + â‹Ż + ⌊đ?‘˜đ?‘› đ?‘Łđ?‘› , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ = 0 ⇔ đ?‘˜1 ⌊đ?‘Ł1 , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘–−1 ⌊đ?‘Łđ?‘–−1 , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ + đ?‘˜đ?‘– ⌊đ?‘Łđ?‘– , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ + đ?‘˜đ?‘–+1 ⌊đ?‘Łđ?‘–+1 , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘› ⌊đ?‘Łđ?‘› , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ = 0 Agora, note que em todos os produtos ⌊đ?‘Łđ?‘— , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ; đ?‘– ≠đ?‘— obtĂŠm-se ⌊đ?‘Łđ?‘— , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ = 0, uma vez que os vetores de {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } sĂŁo dois a dois ortogonais, logo reescrevemos a igualdade acima:

đ?‘˜1 â‹… 0 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘–−1 â‹… 0 + đ?‘˜đ?‘– ⌊đ?‘Łđ?‘– , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ + đ?‘˜đ?‘–+1 â‹… 0 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘› â‹… 0 = 0 ⇔ đ?‘˜đ?‘– ⌊đ?‘Łđ?‘– , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ = 0. Como đ?‘Łđ?‘– ≠0, temos que ⌊đ?‘Łđ?‘– , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ > 0, logo a Ăşnica possibilidade que torna a igualdade acima vĂĄlida ĂŠ đ?‘˜đ?‘– = 0. Perceba que este processo pode ser repetido para đ?‘– = 1,2, ‌ , đ?‘› e assim cada coeficiente da equação đ?‘˜1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘˜đ?‘› đ?‘Łđ?‘› = 0 serĂĄ nulo, ou seja, o conjunto {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } de vetores nĂŁo nulos, dois a dois ortogonais, ĂŠ LI. Lembre-se que, na geometria analĂ­tica, tudo ficava muito mais simples quando trabalhĂĄvamos com a base canĂ´nica {đ?‘–⃗, đ?‘—⃗, đ?‘˜âƒ—⃗} e isto vem do fato de que os vetores desta base sĂŁo dois a dois ortogonais. A seguir veremos que, para espaços vetoriais quaisquer, ĂŠ possĂ­vel trabalhar com bases tĂŁo simples quanto a base canĂ´nica do â„œ3 17.1.4 Definição: Seja đ?‘‰ um espaço vetorial e đ?›˝ = {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ⊂ đ?‘‰ uma base de đ?‘‰. Diremos que đ?›˝ ĂŠ uma base ortogonal se ⌊đ?‘Łđ?‘– , đ?‘Łđ?‘— âŒŞ = 0, đ?‘– ≠đ?‘—, isto ĂŠ, se seus vetores sĂŁo dois a dois ortogonais.

17.2 COEFICIENTES DE FOURIER

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327

Sendo đ?›˝ base ortogonal de um espaço vetorial đ?‘‰, veremos uma tĂŠcnica para encontrar coordenadas de vetores de đ?‘‰ em relação Ă đ?›˝. Seja đ?‘‰ um espaço vetorial com produto interno ⌊, âŒŞ, đ?›˝ = {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } uma base ortogonal de đ?‘‰ e đ?‘¤ ∈ đ?‘‰ um vetor qualquer. Vamos calcular as coordenadas de đ?‘¤ em relação Ă base đ?›˝, isto ĂŠ, devemos determinar đ?‘Ľ1 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› ∈ â„œ tais que đ?‘¤ = đ?‘Ľ1 đ?‘Ł1 + đ?‘Ľ2 đ?‘Ł2 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› đ?‘Łđ?‘› . Vejamos como determinar a đ?‘– − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž coordenada de đ?‘¤ em relação Ă đ?›˝, isto ĂŠ, vamos determinar đ?‘Ľđ?‘– . Para isto, fazemos o produto interno dos dois membros de đ?‘¤ = đ?‘Ľ1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Łđ?‘– + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› đ?‘Łđ?‘› por đ?‘Łđ?‘– : ⌊đ?‘¤, đ?‘Łđ?‘– âŒŞ = ⌊đ?‘Ľ1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Łđ?‘– + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› đ?‘Łđ?‘› , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ ⇔ ⌊đ?‘¤, đ?‘Łđ?‘– âŒŞ = đ?‘Ľ1 ⌊đ?‘Ł1 , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘– ⌊đ?‘Łđ?‘– , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› ⌊đ?‘Łđ?‘› , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ = đ?‘Ľđ?‘– ⌊đ?‘Łđ?‘– , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ

⇒ ⌊đ?‘¤, đ?‘Łđ?‘– âŒŞ = đ?‘Ľđ?‘– ⌊đ?‘Łđ?‘– , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ ⇔ đ?‘Ľđ?‘– =

⌊đ?‘¤, đ?‘Łđ?‘– âŒŞ . ⌊đ?‘Łđ?‘– , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ

Assim, obtemos a đ?‘– − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž coordenada đ?‘Ľđ?‘– de đ?‘¤, em relação Ă base ortogonal đ?›˝, tomando o quociente entre o produto interno de đ?‘¤ pelo đ?‘– − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘œ vetor đ?‘Łđ?‘– da base e o produto interno do đ?‘– − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘œ vetor đ?‘Łđ?‘– da base por si mesmo. ⌊đ?‘¤,đ?‘Łđ?‘– âŒŞ

Chamamos a coordenada đ?‘Ľđ?‘– = ⌊đ?‘Ł

đ?‘– ,đ?‘Łđ?‘– âŒŞ

de coeficiente de Fourier de đ?‘¤ em relação đ?‘Łđ?‘– .

Exemplo: Seja đ?‘‰ = â„œ2 com seu produto interno usual e đ?›˝ = {(1,1), (−1,1)} base de đ?‘‰. Note que đ?›˝ ĂŠ uma base ortogonal, pois: ⌊(1,1), (−1,1)âŒŞ = −1 + 1 = 0 ⇒ (1,1) ⊼ (−1,1). Vamos determinar as coordenadas do vetor (2,3) ∈ â„œ2 em relação Ă đ?›˝, isto ĂŠ, vamos determinar đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ â„œ tais que (2,3) = đ?‘Ľ1 (1,1) + đ?‘Ľ2 (−1,1). Para isto, façamos o produto interno dos vetores de đ?›˝ em ambos os membros de (2,3) = đ?‘Ľ1 (1,1) + đ?‘Ľ2 (−1,1): Por (1,1), temos:

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328

⌊(2,3), (1,1)âŒŞ = ⌊đ?‘Ľ1 (1,1) + đ?‘Ľ2 (−1,1), (1,1)âŒŞ = đ?‘Ľ1 ⌊(1,1), (1,1)âŒŞ + đ?‘Ľ2 ⌊(−1,1), (1,1)âŒŞ = đ?‘Ľ1 ⌊(1,1), (1,1)âŒŞ + đ?‘Ľ2 â‹… 0 = đ?‘Ľ1 ⌊(1,1), (1,1)âŒŞ ⇒ ⌊(2,3), (1,1)âŒŞ = đ?‘Ľ1 ⌊(1,1), (1,1)âŒŞ

⇔ �1 =

⌊(2,3), (1,1)âŒŞ 2 + 3 5 5 = = ⇒ đ?‘Ľ1 = . ⌊(1,1), (1,1)âŒŞ 1 + 1 2 2

Por (−1,1), temos:

⌊(2,3), (−1,1)âŒŞ = ⌊đ?‘Ľ1 (1,1) + đ?‘Ľ2 (−1,1), (−1,1)âŒŞ = đ?‘Ľ1 ⌊(1,1), (−1,1)âŒŞ + đ?‘Ľ2 ⌊(−1,1), (−1,1)âŒŞ = đ?‘Ľ1 â‹… 0 + đ?‘Ľ2 ⌊(−1,1), (−1,1)âŒŞ = đ?‘Ľ2 ⌊(−1,1), (−1,1)âŒŞ ⇒ ⌊(2,3), (−1,1)âŒŞ = đ?‘Ľ2 ⌊(−1,1), (−1,1)âŒŞ

⇔ �2 =

⌊(2,3), (−1,1)âŒŞ −2 + 3 1 1 = = ⇒ đ?‘Ľ2 = . ⌊(−1,1), (−1,1)âŒŞ 1+1 2 2

5

Assim, escrevemos [(2,3)]đ?›˝ = [21]. 2 5

Perceba que o coeficiente de Fourier de (2,3) em relação à (1,1) Ê e em relação 2

1

Ă (−1,1) ĂŠ . 2

17.3 NORMA Como jå foi visto, em alguns espaços vetoriais, não conseguimos descrever geometricamente seus vetores. Assim, como podemos falar de norma (comprimento) de vetores sem uma representação geomÊtrica? Veremos a seguir que, a partir de um produto interno podemos definir norma de vetores, independente de sua natureza.

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329

17.3.1 Definição: Seja đ?‘‰ um espaço vetorial com produto interno ⌊, âŒŞ. Definimos a norma (ou comprimento) de um vetor đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ em relação ao produto interno ⌊, âŒŞ como sendo ‖đ?‘Łâ€– = √⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ. Quando ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ = 1, dizemos que đ?‘Ł ĂŠ um vetor unitĂĄrio. A partir de qualquer vetor đ?‘Ł ∈ đ?‘‰, nĂŁo nulo, podemos determinar o vetor 1

unitĂĄrio đ?‘˘ = ‖đ?‘Łâ€– đ?‘Ł ∈ đ?‘‰, chamado de versor de đ?‘Ł. Note que, de fato, o vetor đ?‘˘ ĂŠ unitĂĄrio, pois: ‖đ?‘Łâ€– 1 1 1 ‖đ?‘Łâ€– = đ?‘Łâ€– = | | ‖đ?‘Łâ€– = = 1. ‖đ?‘Łâ€– ‖đ?‘Łâ€– ‖đ?‘Łâ€– ‖đ?‘Łâ€–

‖�‖ = ‖

Exemplos: 01. Seja đ?‘‰ = â„œ3 e ⌊, âŒŞ o produto interno usual de â„œ3 , entĂŁo se considerarmos đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 , a norma deste vetor ĂŠ dada por:

‖đ?‘Łâ€– = √⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ = √⌊(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§), (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)âŒŞ = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + đ?‘§ 2 ⇒ ‖đ?‘Łâ€– = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + đ?‘§ 2 .

Tomando đ?‘¤ = (1,2, −1) ∈ â„œ3 , vamos determinar a norma deste vetor:

‖đ?‘¤â€– = √⌊đ?‘¤, đ?‘¤âŒŞ = √⌊(1,2, −1), (1,2, −1)âŒŞ = √(1)2 + (2)2 + (−1)2 = √1 + 4 + 1

= √6 ⇒ ‖đ?‘¤â€– = √6. Note que, como ‖đ?‘¤â€– = √6 ≠1, đ?‘¤ nĂŁo ĂŠ um vetor unitĂĄrio. PorĂŠm, foi visto que podemos determinar, a partir de đ?‘¤, um vetor unitĂĄrio, veja:

�=

đ?‘¤ 1 1 2 1 1 2 1 (1,2, −1) = ( , = ,− ) ⇒ đ?‘˘ = ( , , − ). ‖đ?‘¤â€– √6 √6 √6 √6 √6 √6 √6

Veja que � Ê unitårio, pois:

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330

‖đ?‘˘â€– = √(

1 √6

2

) +(

2 √6

2

) + (−

1

2

1 4 1 1+4+1 6 = √ = √1 = 1 ) =√ + + =√ 6 6 6 6 6 √6

⇒ ‖đ?‘˘â€– = 1. 17.3.1.1 Propriedades: Seja đ?‘‰ um espaço vetorial com produto interno ⌊, âŒŞ, as seguintes propriedades sĂŁo vĂĄlidas: i. ‖đ?‘Łâ€– ≼ 0, ∀đ?‘Ł ∈ đ?‘‰; ii. ‖đ?‘Łâ€– = 0 ⇔ đ?‘Ł = 0; iii. ‖đ?œ†đ?‘Łâ€– = |đ?œ†|‖đ?‘Łâ€–, ∀đ?œ† ∈ â„œ đ?‘’ ∀đ?‘Ł ∈ đ?‘‰; iv. |⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ| ≤ ‖đ?‘Łâ€–‖đ?‘¤â€–, ∀đ?‘Ł, đ?‘¤ ∈ đ?‘‰ (Desigualdade de Schwarz); v. ‖đ?‘Ł + đ?‘¤â€– ≤ ‖đ?‘Łâ€– + ‖đ?‘¤â€– (Desigualdade Triangular). Prova: De fato: i e ii. Por definição, ‖đ?‘Łâ€– = √⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ e jĂĄ foi visto que ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ > 0; ∀đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ e caso đ?‘Ł = 0 tem-se ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ = 0. Assim, provamos i e ii. iii. Por definição, ‖đ?œ†đ?‘Łâ€– = √⌊đ?œ†đ?‘Ł, đ?œ†đ?‘ŁâŒŞ ‌ (∗) Mas jĂĄ foi visto em propriedades anteriores que ⌊đ?œ†1 đ?‘˘, đ?œ†2 đ?‘¤âŒŞ = đ?œ†1 ⌊đ?‘˘, đ?œ†2 đ?‘¤âŒŞ = đ?œ†1 đ?œ†2 ⌊đ?‘˘, đ?‘¤âŒŞ e usando esta propriedade em (*):

‖đ?œ†đ?‘Łâ€– = √⌊đ?œ†đ?‘Ł, đ?œ†đ?‘ŁâŒŞ = √đ?œ†2 ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ = √đ?œ†2 √⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ = |đ?œ†|‖đ?‘Łâ€– ⇒ ‖đ?œ†đ?‘Łâ€– = |đ?œ†|‖đ?‘Łâ€– .

iv. Note que, se đ?‘Ł = 0 ou đ?‘¤ = 0 (pode ser tambĂŠm đ?‘Ł = đ?‘¤ = 0) temos ⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ = ‖đ?‘Łâ€–‖đ?‘¤â€– = 0 e vale a igualdade ⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ = ‖đ?‘Łâ€–‖đ?‘¤â€–. Suponha agora đ?‘˘ ≠0 e đ?‘¤ ≠0, para qualquer đ?‘Ą ∈ â„œ sabemos que ⌊đ?‘Ąđ?‘Ł + đ?‘¤, đ?‘Ąđ?‘Ł + đ?‘¤âŒŞ ≼ 0, isto ĂŠ: ⌊đ?‘Ąđ?‘Ł + đ?‘¤, đ?‘Ąđ?‘Ł + đ?‘¤âŒŞ ≼ 0 ⇔ ⌊đ?‘Ąđ?‘Ł + đ?‘¤, đ?‘Ąđ?‘ŁâŒŞ + ⌊đ?‘Ąđ?‘Ł + đ?‘¤, đ?‘¤âŒŞ ≼ 0 ⇔ ⌊đ?‘Ąđ?‘Ł, đ?‘Ąđ?‘ŁâŒŞ + ⌊đ?‘¤, đ?‘Ąđ?‘ŁâŒŞ + ⌊đ?‘Ąđ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ + ⌊đ?‘¤, đ?‘¤âŒŞ ≼ 0 ⇔ đ?‘Ą 2 ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ + đ?‘ĄâŒŠđ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ + đ?‘ĄâŒŠđ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ + ⌊đ?‘¤, đ?‘¤âŒŞ ≼ 0

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331

⇔ ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞđ?‘Ą 2 + 2⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞđ?‘Ą + ⌊đ?‘¤, đ?‘¤âŒŞ ≼ 0. Temos entĂŁo um trinĂ´mio de grau 2 que deve ser positivo, qualquer que seja đ?‘Ą ∈ â„œ. Note que o coeficiente ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ de đ?‘Ą 2 ĂŠ sempre positivo, qualquer que seja đ?‘Ł ∈ đ?‘‰, isto ĂŠ, ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ > 0. Se pensarmos na função positiva đ?‘“(đ?‘Ą) = ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞđ?‘Ą 2 + 2⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞđ?‘Ą + ⌊đ?‘¤, đ?‘¤âŒŞ, com ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ > 0, ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ > 0 indica que o grĂĄfico desta função terĂĄ concavidade para cima e como esta deve ser positiva, seu grĂĄfico deve estar localizado acima do eixo đ?‘‹, ou seja, o discriminante ∆ deve ser negativo ou nulo (nĂŁo existĂŞncia de raĂ­zes reais ou duas raĂ­zes coincidentes). Logo: ∆≤ 0 ⇔ (2⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ)2 − 4⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞâŒŠđ?‘¤, đ?‘¤âŒŞ ≤ 0 ⇔ 4⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ2 − 4⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞâŒŠđ?‘¤, đ?‘¤âŒŞ ≤ 0 ⇔ 4⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ2 ≤ 4⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞâŒŠđ?‘¤, đ?‘¤âŒŞ ⇔ ⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ2 ≤ ‖đ?‘Łâ€–2 ‖đ?‘¤â€–2

⇔ ⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ2 ≤ (‖đ?‘Łâ€–‖đ?‘¤â€–)2 ⇔ √⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ2 ≤ √(‖đ?‘Łâ€–‖đ?‘¤â€–)2 ⇔ |⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ| ≤ ‖đ?‘Łâ€–‖đ?‘¤â€– .

v. Queremos mostrar que ‖đ?‘˘ + đ?‘Łâ€– ≤ ‖đ?‘˘â€– + ‖đ?‘Łâ€–. Vamos separar em casos: a) Se đ?‘˘ = 0, temos ‖đ?‘˘ ‖ = 0, logo: ‖đ?‘˘ + đ?‘Łâ€– = ‖0 + đ?‘Łâ€– = ‖đ?‘Łâ€– = 0 + ‖đ?‘Łâ€– = ‖đ?‘˘â€– + ‖đ?‘Łâ€–. A igualdade ĂŠ vĂĄlida e, alĂŠm disso, se tivĂŠssemos đ?‘Ł = 0 e tambĂŠm đ?‘˘ = đ?‘Ł = 0, ainda seria vĂĄlida a igualdade. b) Se đ?‘˘ ≠0 e đ?‘Ł ≠0, façamos: 2

‖đ?‘˘ + đ?‘Łâ€–2 = (√⌊đ?‘˘ + đ?‘Ł, đ?‘˘ + đ?‘ŁâŒŞ) = ⌊đ?‘˘ + đ?‘Ł, đ?‘˘ + đ?‘ŁâŒŞ = ⌊đ?‘˘ + đ?‘Ł, đ?‘˘âŒŞ + ⌊đ?‘˘ + đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ

= ⌊đ?‘˘, đ?‘˘âŒŞ + ⌊đ?‘Ł, đ?‘˘âŒŞ + ⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ + ⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ = ‖đ?‘˘â€–2 + 2⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ + ‖đ?‘Łâ€–2 ⇒ ‖đ?‘˘ + đ?‘Łâ€–2 = ‖đ?‘˘â€–2 + 2⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ + ‖đ?‘Łâ€–2 ‌ (∗)

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332

Lembrando que đ?‘Ľ ≤ |đ?‘Ľ|, ∀đ?‘Ľ ∈ â„œ (um nĂşmero real sempre ĂŠ menor ou igual ao seu valor absoluto), assim ⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ ≤ |⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ|. Mas, pela desigualdade de Schwarz ainda sabe-se que |⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ| ≤ ‖đ?‘˘â€–‖đ?‘Łâ€–, portanto: ⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ ≤ |⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ| ≤ ‖đ?‘˘â€–‖đ?‘Łâ€– ⇒ ⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ ≤ ‖đ?‘˘â€–‖đ?‘Łâ€– ⇔ 2⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ ≤ 2‖đ?‘˘â€–‖đ?‘Łâ€– ‌ (∗∗) Voltando em (*) e usando (**): ‖đ?‘˘ + đ?‘Łâ€–2 = ‖đ?‘˘â€–2 + 2⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ + ‖đ?‘Łâ€–2 ≤ ‖đ?‘˘â€–2 + 2‖đ?‘˘â€–‖đ?‘Łâ€– + ‖đ?‘Łâ€–2 = (‖đ?‘˘â€– + ‖đ?‘Łâ€–)2

⇒ ‖đ?‘˘ + đ?‘Łâ€–2 ≤ (‖đ?‘˘â€– + ‖đ?‘Łâ€–)2 ⇔ √‖đ?‘˘ + đ?‘Łâ€–2 ≤ √(‖đ?‘˘â€– + ‖đ?‘Łâ€–)2

⇔ |‖� + �‖| ≤ |‖�‖ + ‖�‖| ⇔ ‖� + �‖ ≤ ‖�‖ + ‖�‖ .

17.4 Ă‚NGULO ENTRE VETORES Usando os conceitos vistos atĂŠ aqui, vamos determinar o ângulo entre dois vetores quaisquer, independendo de sua natureza. Para definir ângulo entre dois vetores, vamos considerar um espaço vetorial đ?‘‰ munido de um produto interno. Considere đ?‘Ł, đ?‘¤ ∈ đ?‘‰ vetores nĂŁo nulos, entĂŁo a desigualdade de Schwarz pode ser manipulada da seguinte maneira:

|⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ| ≤ ‖đ?‘Łâ€–‖đ?‘¤â€– ⇔

Agora

lembremos

que

|⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ| |⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ| ≤1⇔| | ≤ 1 ‌ (đ??ź) ‖đ?‘Łâ€–‖đ?‘¤â€– ‖đ?‘Łâ€–‖đ?‘¤â€–

∀đ?œ™ ∈ [0, đ?œ‹]

tem-se

|cos đ?œ™| ≤ 1,

ou

seja, ⌊đ?‘Ł,đ?‘¤âŒŞ

considerando desigualdade (I), existe um ângulo đ?œƒ ∈ [0, đ?œ‹] tal que cos đ?œƒ = ‖đ?‘Łâ€–‖đ?‘¤â€–. Desta forma:

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333

đ?œƒ = arccos

⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ . ‖đ?‘Łâ€–‖đ?‘¤â€–

Assim, definimos đ?œƒ = đ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘Ł, đ?‘¤). Note que, da maneira como o ângulo foi definido, podemos falar naturalmente das noçþes de ortogonalidade, pois se ⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ = 0 temos cos đ?œƒ = 0, đ?œ‹

isto ĂŠ, đ?œƒ = . 2

Exemplo: Considere đ?‘‰ = đ?‘€2 (â„œ) com o produto interno: đ?‘Ž đ?‘?

â&#x;¨[

đ?‘? đ?‘? ],[ đ?‘‘ đ?‘&#x;

đ?‘ž ]â&#x;Š = đ?‘Žđ?‘? + 2đ?‘?đ?‘ž + 3đ?‘?đ?‘&#x; + đ?‘‘đ?‘ . đ?‘ 1 −1 2 ],đ?‘Ł = [ 0 1 −1

Vamos calcular o ângulo entre os vetores đ?‘˘ = [

1 ] ∈ đ?‘€2 (â„œ). Por 1

definição, temos:

���(�, �) = arccos

⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ ‌ (∗) ‖đ?‘˘â€–‖đ?‘Łâ€–

Calculemos separadamente cada valor de (*) e depois voltamos nesta equação. Calculando ⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ: ⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ = â&#x;¨[1 0

−1 2 ],[ 1 −1

1 ]â&#x;Š = 1 â‹… 2 + 2(−1 â‹… 1) + 3(0 â‹… (−1)) + 1 â‹… 1 = 2 − 2 + 1 1 = 1 ⇒ ⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ = 1 ‌ (đ??ź)

Calculando ‖�‖:

‖đ?‘˘â€– = √⌊đ?‘˘, đ?‘˘âŒŞ

⇔ ‖[

UTFPR

1 0

−1 1 −1 1 ]‖ = √â&#x;¨[ ],[ 1 0 1 0

−1 ]â&#x;Š = √12 + 2(−1)2 + 3(0)2 + 12 1 334

1 = √1 + 2 + 1 = √4 = 2 ⇒ ‖[ 0

−1 ]‖ = 2 1

⇒ ‖đ?‘˘â€– = 2 ‌ (đ??źđ??ź)

Calculando ‖�‖:

‖đ?‘Łâ€– = √⌊đ?‘Ł, đ?‘ŁâŒŞ

⇔ ‖[

2 −1

1 2 ]‖ = √â&#x;¨[ 1 −1

1 2 1 ],[ ]â&#x;Š = √22 + 2(1)2 + 3(−1)2 + 12 1 −1 1

= √4 + 2 + 3 + 1 = √10 ⇒ ‖[

2 −1

1 ]‖ = √10 1

⇒ ‖đ?‘Łâ€– = √10 ‌ (đ??źđ??źđ??ź)

Substituindo (I), (II) e (III) em (*):

���(�, �) = arccos

⌊đ?‘˘, đ?‘ŁâŒŞ 1 1 = arccos ⇒ đ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘˘, đ?‘Ł) = arccos . ‖đ?‘˘â€–‖đ?‘Łâ€– 2√10 2√10

17.4.1 Definição: Seja đ?‘‰ um espaço vetorial com produto interno ⌊, âŒŞ e đ?›˝ = {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ⊂ đ?‘‰ uma base de đ?‘‰. Diz-se que đ?›˝ ĂŠ uma base ortonormal se đ?›˝ for ortogonal e cada um de seus vetores for unitĂĄrio, isto ĂŠ, đ?›˝ ĂŠ ortonormal se: 0, đ?‘ đ?‘’ đ?‘– ≠đ?‘— ⌊đ?‘Łđ?‘– , đ?‘Łđ?‘— âŒŞ = { . 1, đ?‘ đ?‘’ đ?‘– = đ?‘— Observe que, se đ?›˝ = {đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› } ĂŠ base de đ?‘‰ temos que đ?‘¤ ∈ đ?‘‰ pode ser escrito como đ?‘¤ = đ?‘Ľ1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› đ?‘Łđ?‘› , se đ?›˝ for ortonormal, cada coordenada đ?‘Ľđ?‘– ĂŠ dada por:

UTFPR

335

đ?‘Ľđ?‘– =

⌊đ?‘¤, đ?‘Łđ?‘– âŒŞ ⌊đ?‘¤, đ?‘Łđ?‘– âŒŞ = = ⌊đ?‘¤, đ?‘Łđ?‘– âŒŞ ⇒ đ?‘Ľđ?‘– = ⌊đ?‘¤, đ?‘Łđ?‘– âŒŞ . ⌊đ?‘Łđ?‘– , đ?‘Łđ?‘– âŒŞ 1

Exemplo: Seja đ?‘‰ = â„œ2 e đ?›˝ = {đ?‘’1 , đ?‘’2 } a base canĂ´nica, isto ĂŠ, đ?‘’1 = (1,0) e đ?‘’2 = (0,1). Note que đ?›˝ ĂŠ uma base ortonormal, logo se đ?‘Ł ∈ â„œ2 escrevemos: đ?‘Ł = đ?‘Ľ1 đ?‘’1 + đ?‘Ľ2 đ?‘’2 ‌ (∗) Mas đ?‘Ľ1 = ⌊đ?‘Ł, đ?‘’1 âŒŞ e đ?‘Ľ2 = ⌊đ?‘Ł, đ?‘’2 âŒŞ e em (*) temos:

đ?‘Ł = ⌊đ?‘Ł, đ?‘’1 âŒŞđ?‘’1 + ⌊đ?‘Ł, đ?‘’2 âŒŞđ?‘’2 ⇔ [đ?‘Ł]đ?›˝ = [

⌊đ?‘Ł, đ?‘’1 âŒŞ ]. ⌊đ?‘Ł, đ?‘’2 âŒŞ

17.5 PROCESSO DE ORTONORMALIZAĂ‡ĂƒO DE GRAM-SCHMIDT Considerando uma base qualquer de um espaço vetorial, veremos que existe um processo para encontrar uma base ortonormal a partir desta base dada. Antes de iniciarmos o processo de ortogonalização de Gram- Schmidt, veremos alguns conceitos e resultados necessĂĄrios para sua determinação. 15.5.1 Definição: Seja đ?‘‰ um espaço vetorial com produto interno ⌊, âŒŞ e đ?‘† = {đ?‘”1 , ‌ , đ?‘”đ?‘&#x; } um subconjunto de đ?‘‰. Dizemos que đ?‘† ĂŠ um conjunto ortonormal se seus vetores sĂŁo dois a dois ortogonais (đ?‘”đ?‘– ⊼ đ?‘”đ?‘— , đ?‘– ≠đ?‘— ⇔ ⌊đ?‘”đ?‘– , đ?‘”đ?‘— âŒŞ = 0, đ?‘– ≠đ?‘—) e todos unitĂĄrios (‖đ?‘”đ?‘– ‖ = 1, đ?‘– = 1, ‌ , đ?‘&#x;). Em outras palavras: 1, đ?‘ đ?‘’ đ?‘– = đ?‘— đ?‘† ĂŠ đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Žđ?‘™ ⇔ ⌊đ?‘”đ?‘– , đ?‘”đ?‘— âŒŞ = { . 0, đ?‘ đ?‘’ đ?‘– ≠đ?‘—

UTFPR

336

Note que, no caso đ?‘– = đ?‘— temos 1 = ⌊đ?‘”đ?‘– , đ?‘”đ?‘– âŒŞ = ‖đ?‘”đ?‘– ‖2 ⇒ ‖đ?‘”đ?‘– ‖ = √1 = 1 ⇒ ‖đ?‘”đ?‘– ‖ = 1 e esta ĂŠ a condição de que qualquer vetor do conjunto ĂŠ unitĂĄrio. Exemplo: Considerando o espaço vetorial â„œ3 e seu produto interno usual, vamos mostrar que o conjunto đ?‘† = {(1,0,0), (0,0,1)} ĂŠ ortonormal. Chamemos os vetores de đ?‘† de đ?‘”1 = (1,0,0) e đ?‘”2 = (0,0,1), entĂŁo: ⌊đ?‘”1 , đ?‘”2 âŒŞ = ⌊(1,0,0), (0,0,1)âŒŞ = 0 ⇒ ⌊đ?‘”1 , đ?‘”2 âŒŞ = 0 ⇔ đ?‘”1 ⊼ đ?‘”2 .

‖đ?‘”1 ‖ = √⌊đ?‘”1 , đ?‘”1 âŒŞ = √⌊(1,0,0), (1,0,0)âŒŞ = √1 = 1 ⇒ ‖đ?‘”1 ‖ = 1 ⇒ đ?‘”1 đ?‘˘đ?‘›đ?‘–đ?‘ĄĂĄđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ.

‖đ?‘”2 ‖ = √⌊đ?‘”2 , đ?‘”2 âŒŞ = √⌊(0,0,1), (0,0,1)âŒŞ = √1 = 1 ⇒ ‖đ?‘”2 ‖ = 1 ⇒ đ?‘”2 đ?‘˘đ?‘›đ?‘–đ?‘ĄĂĄđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ. Como đ?‘”1 e đ?‘”2 sĂŁo unitĂĄrios ortogonais entre si, por definição o conjunto đ?‘† ĂŠ ortonormal. Note que:

⌊đ?‘”đ?‘– , đ?‘”đ?‘— âŒŞ = {

đ?‘– = đ?‘— ⇒ ⌊đ?‘”đ?‘– , đ?‘”đ?‘– âŒŞ = ‖đ?‘”đ?‘– ‖2 = 1 . đ?‘– ≠đ?‘— ⇒ ⌊đ?‘”đ?‘– , đ?‘”đ?‘— âŒŞ = 0

15.5.2 Proposição: Seja đ?‘‰ um espaço vetorial com produto interno ⌊, âŒŞ. Todo subconjunto ortogonal de đ?‘‰ ĂŠ necessariamente LI. Prova: Seja đ?‘† = {đ?‘”1 , ‌ , đ?‘”đ?‘&#x; } ⊂ đ?‘‰ um conjunto ortogonal. Queremos mostrar que đ?‘† ĂŠ LI, isto ĂŠ, devemos mostrar que:

đ?‘Ľ1 đ?‘”1 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘&#x; đ?‘”đ?‘&#x; = 0 ⇒ đ?‘Ľ1 = â‹Ż = đ?‘Ľđ?‘&#x; = 0. Tomemos đ?‘Ľ1 đ?‘”1 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘– đ?‘”đ?‘– + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘&#x; đ?‘”đ?‘&#x; = 0 e façamos o produto interno de đ?‘”đ?‘– em ambos os membros da igualdade, isto ĂŠ: ⌊đ?‘Ľ1 đ?‘”1 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘– đ?‘”đ?‘– + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘&#x; đ?‘”đ?‘&#x; , đ?‘”đ?‘– âŒŞ = ⌊0, đ?‘”đ?‘– âŒŞ = 0

UTFPR

337

⇔ đ?‘Ľ1 ⌊đ?‘”1 , đ?‘”đ?‘– âŒŞ + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘– ⌊đ?‘”đ?‘– , đ?‘”đ?‘– âŒŞ + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘&#x; ⌊đ?‘”đ?‘&#x; , đ?‘”đ?‘– âŒŞ = 0 ⇔ đ?‘Ľđ?‘– ⌊đ?‘”đ?‘– , đ?‘”đ?‘– âŒŞ = 0 ⇔ đ?‘Ľđ?‘– = 0. Como đ?‘Ľ1 đ?‘”1 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘&#x; đ?‘”đ?‘&#x; = 0 implicou em đ?‘Ľđ?‘– = 0, podemos repetir este procedimento para đ?‘– = 1,2, ‌ , đ?‘&#x; e assim obtemos que đ?‘Ľ1 = đ?‘Ľ2 = â‹Ż = đ?‘Ľđ?‘&#x; = 0, ou seja, đ?‘† = {đ?‘”1 , ‌ , đ?‘”đ?‘&#x; } ĂŠ LI. 15.5.3 Proposição: Seja đ?‘† = {đ?‘”1 , ‌ , đ?‘”đ?‘&#x; } um subconjunto ortonormal do espaço vetorial đ?‘‰ com produto interno ⌊, âŒŞ. EntĂŁo, para qualquer đ?‘˘ ∈ đ?‘‰, o vetor đ?‘Ł = đ?‘˘ − ⌊đ?‘˘, đ?‘”1 âŒŞđ?‘”1 − ⌊đ?‘˘, đ?‘”2 âŒŞđ?‘”2 − â‹Ż − ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘&#x; âŒŞđ?‘”đ?‘&#x; ĂŠ ortogonal a todo vetor do subespaço gerado pelos vetores de đ?‘† ([đ?‘”1 , ‌ , đ?‘”đ?‘&#x; ]). Prova: Note que, para mostrar que đ?‘Ł ĂŠ ortogonal a todo vetor do subespaço gerado [đ?‘”1 , ‌ , đ?‘”đ?‘&#x; ], basta mostrar que đ?‘Ł ĂŠ ortogonal a qualquer combinação linear de đ?‘”1 , ‌ , đ?‘”đ?‘&#x; . Resumindo: Tomando đ?‘¤ = đ?‘Ľ1 đ?‘”1 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘&#x; đ?‘”đ?‘&#x; ∈ [đ?‘”1 , ‌ , đ?‘”đ?‘&#x; ], devemos mostrar que ⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ = 0. Antes disso, vamos “conferirâ€? que đ?‘Ł ĂŠ ortogonal a cada um dos đ?‘”đ?‘– ∈ đ?‘†. Veja: ⌊đ?‘Ł, đ?‘”đ?‘– âŒŞ = ⌊đ?‘˘ − ⌊đ?‘˘, đ?‘”1 âŒŞđ?‘”1 − ⌊đ?‘˘, đ?‘”2 âŒŞđ?‘”2 − â‹Ż − ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘– âŒŞđ?‘”đ?‘– − â‹Ż − ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘&#x; âŒŞđ?‘”đ?‘&#x; , đ?‘”đ?‘– âŒŞ = ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘– âŒŞ − ⌊đ?‘˘, đ?‘”1 âŒŞâŒŠđ?‘”1 , đ?‘”đ?‘– âŒŞ − ⌊đ?‘˘, đ?‘”2 âŒŞâŒŠđ?‘”2 , đ?‘”đ?‘– âŒŞ − â‹Ż − ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘– âŒŞâŒŠđ?‘”đ?‘– , đ?‘”đ?‘– âŒŞ − â‹Ż − ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘&#x; âŒŞâŒŠđ?‘”đ?‘&#x; , đ?‘”1 âŒŞ = ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘– âŒŞ − ⌊đ?‘˘, đ?‘”1 âŒŞ â‹… 0 − ⌊đ?‘˘, đ?‘”2 âŒŞ â‹… 0 − â‹Ż − ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘– âŒŞ â‹… 1 − â‹Ż − ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘&#x; âŒŞ â‹… 0

= ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘– âŒŞ − ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘– âŒŞ = 0 ⇒ ⌊đ?‘Ł, đ?‘”đ?‘– âŒŞ = 0 ⇔ đ?‘Ł ⊼ đ?‘”đ?‘– . Podemos repetir este processo para đ?‘– = 1,2, ‌ , đ?‘&#x; e concluĂ­mos que đ?‘Ł ⊼ đ?‘”đ?‘– , đ?‘– = 1, ‌ , đ?‘&#x;. Assim, đ?‘Ł ĂŠ ortogonal a qualquer vetor de đ?‘†. Agora, mostremos que đ?‘Ł ĂŠ ortogonal a qualquer combinação linear dos đ?‘”đ?‘– . Tomando đ?‘¤ ∈ [đ?‘”1 , ‌ , đ?‘”đ?‘› ] (o mesmo vetor descrito acima) temos:

UTFPR

338

⌊đ?’—, đ?’˜âŒŞ = ⌊đ?’– − ⌊đ?’–, đ?’ˆđ?&#x;? âŒŞđ?’ˆđ?&#x;? − â‹Ż − ⌊đ?’–, đ?’ˆđ?’“ âŒŞđ?’ˆđ?’“ , đ?’™đ?&#x;? đ?’ˆđ?&#x;? + â‹Ż + đ?’™đ?’“ đ?’ˆđ?’“ âŒŞ = đ?’™đ?&#x;? ⌊đ?’–, đ?‘”1 âŒŞ + â‹Ż + đ?’™đ?’“ ⌊đ?’–, đ?‘”đ?‘&#x; âŒŞ − đ?’™đ?&#x;? ⌊đ?’–, đ?’ˆđ?&#x;? âŒŞâŒŠđ?’ˆđ?&#x;? , đ?’ˆđ?&#x;? âŒŞ − â‹Ż − đ?’™đ?’“ ⌊đ?’–, đ?’ˆđ?&#x;? âŒŞâŒŠđ?’ˆđ?&#x;? , đ?’ˆđ?’“ âŒŞ − â‹Ż − đ?’™đ?&#x;? ⌊đ?’–, đ?’ˆđ?’“ âŒŞâŒŠđ?’ˆđ?’“ , đ?’ˆđ?&#x;? âŒŞ − â‹Ż − đ?’™đ?’“ ⌊đ?’–, đ?’ˆđ?’“ âŒŞâŒŠđ?’ˆđ?’“ , đ?’ˆđ?’“ âŒŞ = đ?‘Ľ1 ⌊đ?‘˘, đ?‘”1 âŒŞ + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘&#x; ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘&#x; âŒŞ − đ?‘Ľ1 ⌊đ?‘˘, đ?‘”1 âŒŞ â‹… 1 − â‹Ż − đ?‘Ľđ?‘&#x; ⌊đ?‘˘, đ?‘”1 âŒŞ â‹… 0 − â‹Ż − đ?‘Ľ1 ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘&#x; âŒŞ â‹… 0 − â‹Ż − đ?‘Ľđ?‘&#x; ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘&#x; âŒŞ â‹… 1 = đ?‘Ľ1 ⌊đ?‘˘, đ?‘”1 âŒŞ + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘&#x; ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘&#x; âŒŞ − đ?‘Ľ1 ⌊đ?‘˘, đ?‘”1 âŒŞ − â‹Ż − 0 − â‹Ż − 0 − â‹Ż − đ?‘Ľđ?‘&#x; ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘&#x; âŒŞ = đ?‘Ľ1 ⌊đ?‘˘, đ?‘”1 âŒŞ + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘&#x; ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘&#x; âŒŞ − đ?‘Ľ1 ⌊đ?‘˘, đ?‘”1 âŒŞ − â‹Ż − đ?‘Ľđ?‘&#x; ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘&#x; âŒŞ = đ?‘Ľ1 ⌊đ?‘˘, đ?‘”1 âŒŞ − đ?‘Ľ1 ⌊đ?‘˘, đ?‘”1 âŒŞ + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘&#x; ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘&#x; âŒŞ − đ?‘Ľđ?‘&#x; ⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘&#x; âŒŞ = 0 + 0 + â‹Ż + 0 = 0 ⇒ ⌊đ?‘Ł, đ?‘¤âŒŞ = 0 ⇔ đ?‘Ł ⊼ đ?‘¤. Assim, mostramos que para qualquer đ?‘˘ ∈ đ?‘‰: đ?‘&#x;

đ?‘&#x;

đ?‘Ł = đ?‘˘ − ∑⌊đ?‘˘, đ?‘”đ?‘– âŒŞđ?‘”đ?‘– ⊼ đ?‘¤ = ∑ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘”đ?‘– . đ?‘–=1

đ?‘–=1

Ou seja, đ?‘Ł ∈ đ?‘‰ ĂŠ ortogonal a qualquer vetor do subespaço [đ?‘”1 , . . , đ?‘”đ?‘&#x; ] (ortogonal a qualquer combinação linear de đ?‘”1 , ‌ , đ?‘”đ?‘&#x; ). 17.5.4 Teorema (ortonormalização de Gram-Schmidt): Todo espaço vetorial đ?‘‰ de dimensĂŁo finita đ?‘› ≠0 admite uma base ortonormal. Prova: Vamos demonstrar este teorema em etapas, tomando dimensĂľes 1,2,3, ‌ , đ?‘›. 1

i. Se dim � = 1, considere {�} uma base de �, então o vetor �1 = ‖�‖ � Ê unitårio e ainda forma um conjunto {�1 } ⊂ � LI, ou seja, este conjunto forma uma base ortonormal para �.

UTFPR

339

�

ii. Se dim đ?‘‰ = 2, considere {đ?‘˘1 , đ?‘˘2 } uma base de đ?‘‰. Façamos đ?‘”1 = ‖đ?‘˘1 ‖ e este 1

ĂŠ um vetor unitĂĄrio. Agora, usando a Proposição 17.5.3, podemos determinar a partir de đ?‘˘2 o vetor đ?‘Ł2 = đ?‘˘2 − ⌊đ?‘˘2 , đ?‘”1 âŒŞđ?‘”1 que ĂŠ ortogonal a đ?‘”1 e assim o vetor đ?‘Ł

�2 = ‖�2 ‖ ainda Ê ortogonal a �1 e Ê unitårio. Logo {�1 , �2 } forma uma base 2

ortonormal de �, pois �1 ⊼ �2 e ‖�1 ‖ = ‖�2 ‖ = 1. �

iii. Se dim đ?‘‰ = 3, considere {đ?‘˘1 , đ?‘˘2 , đ?‘˘3 } uma base de đ?‘‰. Façamos đ?‘”1 = ‖đ?‘˘1 ‖ e 1

este ĂŠ um vetor unitĂĄrio. Agora, usando a Proposição 17.5.3, podemos determinar a partir de đ?‘˘2 o vetor đ?‘Ł2 = đ?‘˘2 − ⌊đ?‘˘2 , đ?‘”1 âŒŞđ?‘”1 que ĂŠ ortogonal a đ?‘”1 e đ?‘Ł

assim o vetor �2 = ‖�2‖ ainda Ê ortogonal a �1 e Ê unitårio. Novamente, usando 2

a

Proposição

17.5.3,

podemos

determinar

a

partir

de

�3

o

vetor

đ?‘Ł3 = đ?‘˘3 − ⌊đ?‘˘3 , đ?‘”1 âŒŞđ?‘”1 − ⌊đ?‘˘3 , đ?‘”2 âŒŞđ?‘”2 que ĂŠ ortogonal a đ?‘”1 e đ?‘”2 e assim o vetor đ?‘Ł

�3 = ‖�3 ‖ ainda Ê ortogonal a �1 e �2 . Desta forma, o conjunto {�1 , �2 , �3 } Ê uma 3

base ortonormal de đ?‘‰. iv. Se dim đ?‘‰ = đ?‘›, considere {đ?‘˘1 , đ?‘˘2 , ‌ , đ?‘˘đ?‘› } uma base de đ?‘‰. Note que, para determinar os primeiros vetores đ?‘”1 , đ?‘”2 , đ?‘”3 , ‌ o procedimento ĂŠ anĂĄlogo aos outros casos e assim, ao chegarmos no đ?‘› − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘œ vetor đ?‘”đ?‘› , devemos escolher đ?‘Ł

�� = ‖�� ‖, onde: �

đ?‘Łđ?‘› = đ?‘˘đ?‘› − ⌊đ?‘˘đ?‘› , đ?‘”1 âŒŞđ?‘”1 − ⌊đ?‘˘đ?‘› , đ?‘”2 âŒŞđ?‘”2 − â‹Ż − ⌊đ?‘˘đ?‘› , đ?‘”đ?‘›âˆ’2 âŒŞđ?‘”đ?‘›âˆ’2 − ⌊đ?‘˘đ?‘› , đ?‘”đ?‘›âˆ’1 âŒŞđ?‘”đ?‘›âˆ’1 . Este processo ĂŠ chamado de processo de ortonormaliazação de GramSchmidt que, nos permite a partir de uma base qualquer de um espaço vetorial đ?‘‰, determinar uma base ortonormal de đ?‘‰. Exemplo: Seja đ?‘‰ = â„œ3 e đ?›˝ = {(1,0,0), (0,1,1), (0,1,2)} uma base de â„œ3 . A partir dos vetores đ?‘˘1 = (1,2,0), đ?‘˘2 = (0,1,1), đ?‘˘3 = (0,1,2), vamos determinar uma base ortonormal de â„œ3 .

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340

𝑢

Tomamos o primeiro vetor 𝑔1 = ‖𝑢1 ‖: 1

𝑔1 =

(1,0,0) (1,0,0) (1,0,0) 𝑢1 𝑢1 1 0 0 = = = = =( , , ) ‖𝑢1 ‖ √〈𝑢1 , 𝑢1 〉 √〈(1,0,0), (1,0,0)〉 1 1 1 √12 √1

⇒ 𝑔1 = (1,0,0) . 𝑣

Tomamos o segundo vetor 𝑔2 = ‖𝑣2 ‖, onde: 1

𝑣2 = 𝑢2 − 〈𝑢2 , 𝑔1 〉𝑔1 = (0,1,1) − 〈(0,1,1), (1,0,0)〉(1,0,0) = (0,1,1) − 0 ⋅ (1,0,0) = (0,1,1) − (0,0,0) = (0,1,1) ⇒ 𝑣2 = (0,1,1). Logo:

𝑔2 =

(0,1,1) (0,1,1) (0,1,1) 𝑣2 𝑣2 = = = = ‖𝑣2 ‖ √〈𝑣2 , 𝑣2 〉 √〈(0,1,1), (0,1,1)〉 √12 + 12 √2

⇒ 𝑔2 = (0,

1

,

1

√2 √2

).

𝑣

Tomamos o terceiro vetor 𝑔3 = ‖𝑣3 ‖, onde: 3

𝑣3 = 𝑢3 − 〈𝑢3 , 𝑔1 〉𝑔1 − 〈𝑢3 , 𝑔2 〉𝑔2

= (0,1,2) − 〈(0,1,2), (1,0,0)〉(1,0,0) − 〈(0,1,2), (0,

= (0,1,2) − 0(1,0,0) − (

= (0,1,2) − (0,

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3

√2

,

3

+

2 √2

) (0,

1

,

1

√2 √2

,

1

√2 √2

)〉 (0,

) = (0,1,2) − (

3 √2

1

,

1

√2 √2

) (0,

1

,

)

1

√2 √2

)

3 3 3 3 ) = (0,1,2) − (0, , ) = (0,1 − , 2 − ) 2 2 2 2 √2 √2 √2 √2 ⋅

1

1

1

⋅

1

341

1 1 ⇒ đ?‘Ł3 = (0, − , ). 2 2 Logo:

đ?‘Ł3 đ?‘Ł3 đ?‘”3 = = = ‖đ?‘Ł3 ‖ √⌊đ?‘Ł3 , đ?‘Ł3 âŒŞ

1 1 1 1 (0, − , ) (0, − , ) 2 2 2 2 = 2 2 √⌊(0, − 1 , 1) , (0, − 1 , 1)âŒŞ √(− 1) + (1) 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 (0, − , ) (0, − , ) 2 2 2 2 = √2 (0, − 1 , 1) ⇒ đ?‘” = (0, − √2 , √2) . = = 3 1 2 2 2 2 1 √ √2 4

Desta forma, {đ?‘”1 , đ?‘”2 , đ?‘”3 } = {(1,0,0), (0,

1

,

1

) , (0, −

√2 √2

√2 √2 , )} 2 2

ĂŠ uma base ortonormal

de â„œ3 . 17.5.5 Definição: Seja đ?‘‰ um espaço vetorial com produto interno ⌊, âŒŞ. Dado đ?‘ˆ ⊂ đ?‘‰ um subespaço de đ?‘‰, o conjunto đ?‘ˆ ⊼ ĂŠ um subespaço de đ?‘‰, onde: đ?‘ˆ ⊼ = {đ?‘Ł ∈ đ?‘‰; ⌊đ?‘Ł, đ?‘˘âŒŞ = 0, ∀đ?‘˘ ∈ đ?‘ˆ} = {đ?‘Ł ∈ đ?‘‰; đ?‘Ł ⊼ đ?‘˘, ∀đ?‘˘ ∈ đ?‘ˆ}. đ?‘ˆ ⊼ ĂŠ chamado de complemento ortogonal de đ?‘ˆ. Exemplo: Sejam đ?‘‰ = â„œ3 e đ?‘ˆ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, 0); đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ â„œ}, vamos determinar o conjunto đ?‘ˆ ⊼ . Sabemos que:

đ?‘ˆ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, 0); đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ â„œ} = {(đ?‘Ľ, 0,0) + (0, đ?‘Ś, 0); đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ â„œ} = {đ?‘Ľ(1,0,0) + đ?‘Ś(0,1,0); đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ â„œ} = [(1,0,0), (0,1,0)] ⇒ đ?‘ˆ = [(1,0,0), (0,1,0)].

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342

Um vetor đ?‘Ł = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ â„œ3 pertence a đ?‘ˆ ⊼ se e somente se, đ?‘Ł ⊼ đ?‘˘, ∀đ?‘˘ ∈ đ?‘ˆ e, em particular, đ?‘Ł ⊼ (1,0,0) e đ?‘Ł ⊼ (0,1,0) (đ?‘Ł ĂŠ perpendicular aos geradores de đ?‘ˆ), logo:

đ?‘Ł ⊼ (1,0,0) ⇔ ⌊đ?‘Ł, (1,0,0)âŒŞ = 0 ⇔ ⌊(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§), (1,0,0)âŒŞ = 0 ⇔ đ?‘Ľ = 0

đ?‘˘ ⊼ (0,1,0) ⇔ ⌊đ?‘Ł, (0,1,0)âŒŞ = 0 ⇔ ⌊(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§), (0,1,0)âŒŞ = 0 ⇔ đ?‘Ś = 0 .

Logo

đ?‘Ł = (0,0, đ?‘§); đ?‘§ ∈ â„œ

e

assim

đ?‘ˆ ⊼ = {(0,0, đ?‘§); đ?‘§ ∈ â„œ} = {đ?‘§(0,0,1); đ?‘§ ∈ â„œ} =

[(0,0,1)] ⇒ đ?‘ˆ ⊼ = [(0,0,1)], e assim, uma base para đ?‘ˆ ⊼ ĂŠ {(0,0,1)}.

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REFERÊNCIAS BOLDRINI, J.L. Álgebra Linear. HARBRA. São Paulo, 1986. BOULOS, P. Geometria Analítica, Um Tratamento Vetorial. Pearson. São Paulo, 2006. CALLIOLI, C.A. Álgebra Linear e Aplicações. Atual Editora. São Paulo, ano. WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. Pearson. São Paulo, 2000.

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