Matemática para o ensino médio - Apostila I by labvirtual.utfpr.pb

Sumário 1 Introdução

2 Uma breve História da Matemática e Curiosidades

3 Noções de Conjuntos

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . George Cantor . . . . . . . . . . . . . . . A Linguagem dos Conjuntos . . . . . . . Representação Matemática de Conjuntos Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . Construção de Conjuntos . . . . . . . . . O Conjunto Vazio . . . . . . . . . . . . . O Conjunto Unitário . . . . . . . . . . . Novos Conjuntos a Partir de Outros . . . 3.9.1 Subconjuntos . . . . . . . . . . . 3.9.2 União de Conjuntos . . . . . . . . 3.9.3 Interseção de Conjuntos . . . . . Conjuntos Finitos . . . . . . . . . . . . . Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . O Conjunto dos Números Naturais N . . Potenciação nos Naturais . . . . . . . . . Igualdade de Conjuntos . . . . . . . . . . 3.14.1 Produtos Notáveis . . . . . . . . Relação de Ordem nos Números Naturais Conjuntos Obtidos por uma Propriedade O Conjunto dos Números Inteiros . . . . Potenciação dos Números Inteiros . . . . 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 8 10 13 17 19 20 21 21 25 28 30 31 36 43 45 47 51 55 57 63

SUMÁRIO

3.19 Números Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.19.1 Igualdade de Números Racionais . . . . . . . 3.19.2 Relação de Ordem em Q . . . . . . . . . . . . 3.19.3 Aritmética dos Números Racionais . . . . . . 3.19.4 Representação decimal dos números racionais 3.20 Exercícios de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21 Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.22 Relação de Ordem no Conjunto dos Números Reais . 3.23 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.24 União e Interseção de Intervalos . . . . . . . . . . . .

4 Funções 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Domínio, Contradomínio e Regra . . . Produto Cartesiano de Conjuntos . . . Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . Grá co de uma Função . . . . . . . . . Discutindo o Domínio de uma Função . Função Crescente e Função Decrescente Função Composta . . . . . . . . . . . . Função Inversa . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 64 65 66 70 74 75 78 81 83

87 99 101 111 117 119 129 132

SUMÁRIO

Capítulo 1 Introdução Prezado colega de pro ssão. Este texto foi escrito por dois professores que atuam nos cursos de engenharias, de Química de Matemática e pretendem apresentar, não uma enciclopédia matemática, mas um texto mais enxuto que possa ser trabalhado durante o ano letivo sem que haja um prejuízo para os alunos no que se refere aos conteúdos que devem ser vistos. Colocamos várias aplicações durante o texto para que possamos convencer os alunos da aplicabilidade da Matemática no mundo que os rodeia. Porém fazemos uma observação importantíssima: as aplicações servem como motivação para introduzir um novo conceito, mas elas não explicam o conceito. Por exemplo, não adiante dizer para que serve a lã e acreditar que sabemos o que signi ca a lã. O mesmo vale para a Matemática! As aplicações e as contas são um fator essencial na Matemática, mas é preciso mais do que isto. Procure ter sempre em mente que não existe uma Matemática para Biologia, para Física, etc. A Matemática é uma Ciência que tem vida própria e é uma ferramenta importantíssima nas demais áreas do conhecimento. Neste primeiro livro abordaremos os tópicos Conjuntos e Funções.

CAPÍTULO 1.

INTRODUÇÃO

Capítulo 2 Uma breve História da Matemática e Curiosidades A palavra matemática tem origem na palavra grega mathemata. Esta palavra era usada para descrever, num sentido bastante amplo, um assunto que estivesse sendo estudado. Atualmente, devido ao enorme desenvolvimento do conhecimento humano, a Matemática compreende assuntos mais especí cos, como Álgebra, Geometria, Aritmética, etc. Embora pareça que a Matemática tenha suas raízes na Grécia Antiga, devido aos nomes como Pitágoras, Tales de Mileto, etc., a História da Matemática nos ensina que povos mais antigos que os gregos já tinham um conhecimento bem organizado da Matemática. Por exemplo, ela já era bem desenvolvida no Egito e na Babilônia. Podemos dizer, numa linguagem acessível ao leigo em Matemática, que ela estuda questões de natureza espacial, algébrica e geométrica. Assim sendo, um matemático estuda os conjuntos numéricos e as operações que pode-se fazer com eles, o tamanho de uma gura geométrica, o cálculo de áreas e volumes destas guras, as relações existentes entre elas, compara as guras buscando características comuns, tenta classi car os objetos de estudo organizando-os de acordo com suas características comuns, etc. Em resumo, a Matemática é uma atividade humana altamente desenvolvida e so sticada que faz parte das nossas vidas, quer seja de uma forma explícita ou implícita, desde contar quantos dedos temos em cada mão até o lançamento de um foguete espacial. 5

6CAPÍTULO 2.

UMA BREVE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E CURIOSIDADES

Mas como surgiu a Matemática? Ela se originou de problemas práticos como contar, medir terras, medir a passagem do tempo, etc. Com o tempo foi necessário desenvolver símbolos para indicar os resultados das contagens feitas pelos nossos antepassados. Quantos animais tinham, quanta terra uma comunidade era dona, quanta produção seria necessária na próxima colheita e assim por diante. Isto levou a ideia daquilo que hoje chamamos de número. Podemos dizer com certeza que conforme o ser humano foi evoluindo, o mesmo se deu com as ideias matemáticas. É possível que inicialmente as pessoas tenham começado a contar quantidades maiores que dois em pares. Quando as quantidades caram maiores passaram a contar em grupos de cinco (número de dedos numa mão) e depois em grupos de dez (número de dedos nas duas mãos).

CURIOSIDADES: 1) Algumas tribos autralianas contam "um", "dois" e "muitos" quando a quantidade é maior do que dois. Existem povos que se mantém isolados do resto do mundo que não possuem palavras para os números. 2) Alguns animais conseguem diferenciar a quantidade de pontos numa imagem. Se você acrescenta um ponto ou retira um, estes animais perceberão que o número de pontos foi alterado. 3) Alguns chipanzés são capazes de somar e subtrair.

Capítulo 3 Noções de Conjuntos 3.1 Introdução Para o Professor 3.1.1: Neste capítulo apresentaremos os fatos básicos da linguagem de conjuntos. Usamos o termo "Linguagem dos Conjuntos" ao invés de "Teoria de Conjuntos", pois não estamos fazendo nenhuma teoria aqui.

Para o Aluno 3.1.2: Neste capítulo apresentamos a Linguagem dos Conjuntos para que você possa começar a se familiarizar com a forma que a Matemática tem de abstrair seus conceitos do mundo físico. É uma linguagem diferente daquela que usamos diariamente, mas com um pouco de prática você verá que ela não apresenta nenhuma di culdade. Um dos objetivos deste capítulo é o de possibilitar que você possa desenvolver sua habilidade de escrever matematicamente por meio de exemplos e de exercícios, que devem ser trabalhados.

3.2 George Cantor George Cantor nasceu em São Petersburgo, em 1845. Seus pais eram de origem dinamarquesa, mas emigraram para a Alemanha. Ainda jovem, Cantor se interessou pelos teólogos medievais, e principalmente, pelos seus argumentos sobre o in nito. 7

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Embora sua tese de doutorado tenha sido na Teoria de Números, ele voltou sua atenção para tentar entender o que signi cava o in nito no contexto matemático e acabou cando conhecido como o pai da Teoria dos Conjuntos. Os trabalhos de Cantor nessa área enfrentaram uma forte resistência por parte do matemático alemão, Leopold Kronecker. Kronecker legou ao mundo matemático a seguinte frase: "Deus criou os inteiros; todo o resto é trabalho do homem." Outro matemático que se posicionou contra as ideias de Cantor foi o matemático francês, Henri Poincaré, que a descreveu como sendo uma "doença." Mas outros matemáticos abraçaram a teoria criada por Cantor. Entre eles se encontra um dos maiores gigantes da Matemática: David Hilbert. Hilbert considerou as ideias de Cantor como sendo uma contribuição vinda para car como parte da Matemática. Sobre isso, ele disse: "Ninguém deve nos expulsar do paraíso criado por Cantor."

3.3 A Linguagem dos Conjuntos A linguagem que usamos na Matemática difere daquela que utilizamos para nos comunicar no nosso dia a dia. Enquanto para nos comunicarmos fazemos uso de gírias e expressões que são entendidas por nossos amigos, a linguagem cientí ca foi desenvolvida para que as pessoas pudessem comunicar suas ideias, descobertas, etc. de modo a serem perfeitamente entendidas. Dito isso, queremos usar no lugar da nossa linguagem cotidiana uma que nos permita estudar várias situações especí cas, estas aparentemente não tendo nada em comum, mas podendo ser melhor entendidas quando usamos uma linguagem técnica. Por exemplo, vamos substituir as palavras

lista, coleção, agrupamento por conjunto. Para que você possa entender o que queremos dizer com isso, vamos apresentar várias situações onde muitos de nós estão acostumados a escutar e falar com nossos amigos, sem perceber que estamos usando a linguagem dos conjuntos mesmo que não tenhamos consciência disto. Vejamos alguns exemplos os quais temos certeza você tem familiaridade ou já escutou.

Exemplo 3.3.1:

1. Os meus amigos no Facebook.

2. A série A do Campeonato Brasileiro de 2019. 3. Neste m de semana vamos à praia. 4. Os brasileiros maiores de 16 anos podem votar. 5. A ruas do centro de Pato Branco estarão interditadas neste nal de semana. 6. O conjunto dos números naturais. Os exemplos continuam e, o próprio estudante conseguiria elaborar outros. O que todos estes exemplos têm em comum? Para responder a esta pergunta, precisamos ter um conhecimento dos termos gurando nos exemplos anteriores como "amigos do Facebook", "a Série A do Campeonato Brasileiro de 2019", "os dias que constituem o nal de semana", "os brasileiros maiores de 16 anos", "as ruas do centro de Pato Branco" e "o que é um número natural". Você poderia estar se perguntando: por que eu preciso saber o que signi cam estas palavras? Para responder a esta pergunta, vamos considerar com um pouco mais de atenção o item 2 do Exemplo anterior. Vamos começar com uma pergunta: como você sabe que o time do Pato Branco não faz parte da Série A do Campeonato Brasileiro de 2019? As pessoas que acompanham o futebol nacional sabem que a Série A do Campeonato Brasileiro de 2019 tem 20 times (guarde esta informação), provavelmente sabem de cor o nome de todos os times e dirão que o time do Pato Branco não faz parte da lista (guarde esta informação). E a Chapecoense? Faz parte, pois está na lista! Mas o que toda esta conversa tem a ver com Conjuntos? Boa pergunta! Como você descobriu que o Pato Branco não faz parte da Série A do Campeonato Brasileiro de 2019 e a Chapecoense faz parte ? Para responder a esta pergunta, podemos fazer uma lista e ver que o Pato Branco não faz parte desta lista e a Chapecoense faz parte. Os tomes do Grêmio, Internacional, Chapecoense, Palmeiras, Flamengo, São Paulo, Atlético-MG, Atlético-PR, Cruzeiro, Botafogo, Santos, Bahia, Fluminense, Corínthians,

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Ceará, Vasco, Fortaleza, CSA, Avaí, Goiás competem na Série A do Campeonato Brasileiro de 2019. Agora observe que a Chapecoense gura nesta lista, enquanto que o Pato Branco não. Simples assim!

Observação 3.3.2: Outras palavras usadas para lista são coleção e agrupamento.

3.4 Representação Matemática de Conjuntos Mais adiante listaremos várias maneiras de produzir conjuntos. Mas no momento, vamos no ater em escrever esta lista usando chaves.Assim é em Matemática, quando possível, para representar uma lista de objetos. Por exemplo, se queremos escrever todos os times participantes da série A de 2019, do campeonato brasileiro, de uma forma matemática, podemos escrever simplesmente Série A de 2019 = {Grêmio, Internacional, Chapecoense, Paraná, ...}. Escrevemos os times participantes da Série A de 2019 entre chaves e separados por vírgula. Vamos ver se você entendeu direito? Nada melhor que praticar: Liste seus melhores amigos, os meses do inverno, seus cantores preferidos, suas músicas favoritas. Vamos ilustrar com mais um exemplo? Meus heróis favoritos são {Mulher Maravilha, Flash, Deadpool, Homem-Aranha, Capitão América}.

Observação 3.4.1:

1. A ordem em que aparecem os objetos separados por vír-

gula no conjunto, não alteram o conjunto. Assim o conjunto {Mulher Maravilha, Flash, Deadpool, Homem-Aranha, Capitão América},

e {Mulher Maravilha, Deadpool, Flash, Homem-Aranha, Capitão América}

são iguais.

11 2. Tanto podemos escrever {1, 2} como {2, 1}, para denotar o conjunto com os números 1 e 2. 3. Podemos pensar no seguinte: se você torce para o Grêmio e para o Palmeiras, você torce para o Palmeiras e para o Grêmio. Não há diferença. 4. Outra coisa que não altera um conjunto é car repetindo os objetos que aparecem entre vírgulas. Ou seja, {1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1}

e {1, 2}

são iguais.

Exemplo 3.4.2: Escreva o conjunto A formado pelas estações do ano. Resolução: Sabemos que as estações do ano são primavera, verão, outono e inverno. Assim A = {primavera, verão, outono, inverno}.

Também B = {verão, primavera, outono, inverno}

e C = {primavera, verão, outono, inverno, primavera, verão}

são iguais a A. O que aprendemos até agora? Já sabemos como escrever listas em Matemática, ou seja, já demos um passo signi cativo na nossa caminhada rumo a novos conceitos. Vamos avançar um pouco mais? Vamos, a partir de agora, usar o termo conjunto ao invés de lista. Por que fazer isto? Porque precisamos usar uma linguagem, como dissemos na introdução deste capítulo, para que todos possam se comunicar satisfatoriamente e devemos gradualmente começar a usar palavras próprias da Matemática e do entendimento de

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

todas as pessoas, possibilitando a comunicação de suas ideias de uma maneira clara, precisa e organizada. Queremos evitar que cada pessoa use seu próprio termo, criando inúmeras palavras com o mesmo signi cado, mas que só a pessoa que está falando compreenda. Pelas mesmas razões, no lugar de está ou faz parte usaremos pertence, isto é, a Chapecoense pertence a Série A de 2019. Observe que não é errado escrever que a Chapecoense está na Série A de 2019, a Chapecoense é um time da série A de 2019 ou a Chapecoense joga na série A de 2019. Nosso objetivo é xar apenas um termo, para englobar todas estas possibilidades. Mais ilustrações, primavera pertence ao conjunto das estações do ano e 1 pertence ao conjunto {1, 2}.

Observação 3.4.3: Outro fato muito importante: só existem duas possibilidades: a Chapecoense pertence à Série A de 2019 ou não pertence. Não existe uma terceira alternativa! Vamos fazer mais uma convenção. Uma vez que sabemos quais são os times que pertencem a Série A de 2019, vamos subtstituir a palavra time por elemento. Assim cada time da Série A de 2019 é um elemento do conjunto Série A de 2019. Então de acordo com a Observação 3.4.3, dado um conjunto e um elemento, só existem duas possibilidades que se excluem mutuamente: ou o elemento pertence ao conjunto ou não pertence ao conjunto. Com isso percebemos que quando nos é dado um conjunto e um elemento, decidiremos se este elemento pertence ou não pertence ao conjunto dado. Geralmente usamos letras maiúsculas para denotar conjuntos e letras minúsculas para denotar elementos. Assim dizemos o elemento x pertence ao conjunto A. Pensando no exemplo dos times, o elemento Chapecoense pertence ao conjunto Série A de 2019. Ao invés de escrevermos pertence, usaremos o símbolo ∈, e para dizer que um elemento não pertence ao conjunto, usaremos o símbolo ∈ / . A frase x pertence ao

conjunto A ca simplesmente x∈A

e x não pertence ao conjunto A ca x∈ / A.

Exemplo 3.4.4: Se A = {a, b, c, d, 2, 4, 5}, então os elementos do conjunto A são a, b, c, d, 2, 4 e 5. Por exemplo, a ∈ A e 3 ∈ / A.

A relação existente entre um elemento e um conjunto, isto é, de um elemento pertencer ou não pertencer a um conjunto é chamada relação de pertinência. Como já mencionamos anteriormente, se x é um elemento e A é um conjunto, então x ∈ A ou x ∈ / A. Neste caso, não é possível acontecer (e não faz sentido dizer) x ∈ A e x ∈ / A.

Exercício 3.4.5: Decida se os elementos dados pertencem ou não ao conjunto. 1. x = 2 e A = {1, 2, 3, 4, 5}. 2. x = 0 e B = {1, 2, 3, 4, 5} 3. x = a e C o conjunto das vogais. 4. x = 7 e D o conjunto dos dias da semana. 5. x = segunda-feira e E o conjunto dos dias da semana. 6. x = junlho e F o conjunto dos meses de verão. 7. x = sapo e G o conjunto dos mamíferos.

3.5 Diagramas de Venn Diagrama de Venn é uma forma de representar gra camente um conjunto. Os diagramas de Venn podem ser representados por círculos, elipses ou curvas fechadas.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Por exemplo, a gura abaixo (uma elipse) A

2 7

1 3

representa o conjunto A cujos elementos são 1, 2, 3 e 7. Poderíamos representar A da forma (um círculo) A

2 7

1 3

Podemos sobrepor diagramas de Venn a m de representar vários conjuntos, como podemos observar na gura A

2 1

a y

b d c

Neste caso, o conjunto A é formado pelos elementos 1, 2, a, x e y , ou seja, A = {1, 2, a, x, y}, e o conjunto B é formado pelos elementos a, b, c e d, isto é, B = {a, b, c, d}. Observe que o elemento a pertence tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.

Observação 3.5.1: Usando diagramas de Venn, as a rmações x ∈ A e x ∈/ A assumem a seguinte representação, respectivamente A

Exemplo 3.5.2: Represente os conjuntos por meio de diagramas de Venn. a) {2, 3, 7}

Resolução: A

7 √

b) {a, c, d, x, 2}

Resolução: a

c d x √ 2

c) {+, −, ×, ÷}

Resolução: − ×

+ ÷

d) {peixe, pato, peru, gato}

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Resolução: A

peru peixe pato gato

Observação 3.5.3: Os diagramas de Venn não são usados apenas na Matemática. Eles são usados, por exemplo, na Estatística, na Linguística e na Ciência da Computação.

Exercício 3.5.4:

1. Crie diagramas de Venn com

(a) exatamente dois números (b) dois mamíferos e três insetos (c) duas letras e três números (d) dois dias da semana e duas estações do ano (e) três meses do ano e quatro letras do seu nome 2. Crie dois diagramas de Venn, cada um com (a) duas letras e dois números, mas eles não têm nenhum elemento em comum (b) duas letras e dois números, mas eles têm só uma letra em comum (c) duas letras e dois números, mas os dois números fazem parte dos dois conjuntos 3. Crie diagramas de Venn com (a) três conjuntos A, B e C de modo que nenhum elemento pertença aos três simultaneamente (b) três conjuntos A, B e C de modo que A e B tenham dois elementos em comum e B e C tenham três elementos em comum (c) três conjuntos A, B e C de modo que A e B tenham um elemento em comum, B e C tenham quatro elementos em comum, mas A e C não têm nenhum elemento em comum

17 O nome Venn é em homenagem a John Venn, nascido em 1834 na Inglaterra. Em 1857, ele foi ordenado padre e em 1862 começou a ensinar lógica e teoria da probabilidade na Universidade de Cambridge. Alguns historiadores a rmam que a origem do conceito dos diagramas de Venn surgiu com Ramon Hull, um lógico e lósofo do século XIII.

3.6 Construção de Conjuntos Por que construir conjuntos? Ora, se não existissem conjuntos, não precisaríamos estudá-los. Você não concorda? É isso mesmo! Quando alguém, em Matemática, desenvolve um novo conceito, ele precisa exibir exemplos deste novo conceito, independente se ele é teórico ou prático. É isso que faremos agora.

Enumeração Enumerar os elementos de um conjunto nada mais é do que escrever um conjunto colocando seus elementos entre chaves e separados por vírgulas, ou seja, fazendo uma lista com todos os seus elementos. Antes de apresentarmos alguns exemplos, para tornar mais claro o que acabamos de dizer, gostaríamos de retomar uma observação importante no que diz respeito à notação de conjuntos.

Observação 3.6.1: Quando usamos chaves para escrever conjuntos, os elementos são separados apenas por vírgulas. Por exemplo, A = {1, 2, 3} é a notação correta enquanto A = {1, 2 e 3} está incorreto. Como prometido anteriormente, vejamos alguns exemplos.

Exemplo 3.6.2:

1. A = {1, 2, 5, P edro, carro}. Neste caso os elementos do con-

junto A são os números naturais 1, 2, 3, o nome próprio Pedro e a palavra

carro.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

2. B = {a, e, i, o, u}. Neste caso, os elementos do conjunto B são as vogais do nosso alfabeto. Observe que no segundo exemplo, podemos dizer que os elementos de B são as vogais no nosso alfabeto ou podemos explicitar os elementos de B , dizendo que os elementos de B são a, e, i, o, u.

Exemplo 3.6.3:

1. A é o conjunto formado por todos os dias da semana.

Resolução: Como os dias da semana são domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta e sábado, temos que A = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado}.

2. B é o conjunto de todas as cidades vizinhas à Pato Branco.

Resolução: As cidades vizinhas às Pato Branco são Bom Sucesso do Sul, Clevelândia, Coronel Vivida, Honório Serpa, Itapejara d'Oeste, Mariópolis, Renascença e Vitorino. Logo B = {Bom Sucesso do Sul, Clevelândia, Coronel Vivida, Honório Serpa,

Itapejara d'Oeste, Mariópolis, Renascença, Vitorino}. 3. C é o conjunto do todos os nomes dos alunos da sua sala de aula. Quando você escreveu a lista de elementos do conjunto C , do exemplo anterior, deve ter percebido que enquanto o professor escrevia na lousa os nomes dos alunos, pode ter repetido alguns nomes.Quando listamos os elementos de um conjunto, escrevemos cada elemento uma única vez. Por exemplo, escrevemos A = {1, 4, 8, 9} e não A = {1, 4, 8, 1, 9, 4}. Agora, volte no exemplo anterior e liste os elementos do conjunto C sem repetições, caso tenham ocorrido.

Exercício 3.6.4: Construa os conjuntos e esboce seus diagramas de Venn 1. as vogais e as consoantes do nosso alfabeto.

19 2. três pássaros diferentes e dois insetos diferentes. 3. dois dias da semana e três números. 4. três letras e cinco cidades do Paraná. 5. quatro letras do seu nome. 6. com as letras da palavra MATEMÁTICA. 7. com as letras do nome do(a) professor(a). 8. as estações do ano e com os dias da semana.

Autoavaliação 3.6.5:

1. Consigo explicar o motivo de usarmos a palavra conjunto ao invés de lista...., /

2. Consigo explicar por que usamos símbolos em Matemática...., /

3. Entendo o que signi ca a Relação de Pertinência...., /

4. Está claro que só existem duas possibilidades com relação ao um elemento e um conjunto: o elemento pertence ao conjunto ou não pertence ao conjunto...., /

5. Sei escrever um conjunto usando a notação matemática. exemplo...., /

Dê um

3.7 O Conjunto Vazio Estamos construindo conjuntos, colocando chaves e entre elas enumerando os elementos e os separando por vírgulas. Mas e se não colocássemos nenhum elemento entre as chaves? Ou seja, se escrevêssemos simplesmente { }. Será que isto é um conjunto? A resposta é sim! É um conjunto que não tem nenhum elemento. A notação que usamos para este conjunto é { } ou ∅. Chamaremos este conjunto de conjunto

vazio. Neste texto usaremos ∅.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Ele faz o papel do número zero no que se refere a contagem de elementos de um conjunto. Enquanto o número zero diz que não temos nada para contar, o conjunto vazio diz que não existe nada.

3.8 O Conjunto Unitário De nição 3.8.1: Um conjunto A é unitário se possui um único elemento. Como exemplos de conjuntos unitários, temos A = {7}, B = {a}. Exemplos de conjuntos não unitários são ∅, pois não possui nenhum elemento e A = {x, y}, com x 6= y pois possui mais de um elemento.

Exemplo 3.8.2: Represente os conjuntos A = {1}, B = {a} usando diagramas de Venn.

Resolução: Esboçando os diagramas de Venn, 1

O conjunto A = {0, 1} não é unitário, pois possui dois elementos. 0 A

Mas atenção! O conjunto B = {1, 1} é unitário, pois tem apenas um elemento, a saber, x = 1.

Exercício 3.8.3: Escreva conjuntos unitários contendo (faça os esboços dos diagramas de Venn):

21 1. Um dia da semana 2. Um mês do ano que tenha a letra v 3. Uma letra do seu nome 4. Um nome de um colega de classe 5. Um super-herói 6. Um inseto 7. Um lme

Autoavaliação 3.8.4:

1. Entendo o que signi ca o conjunto vazio e sei

sua notação...., /

2. Sei o que é um conjunto unitário...., /

3. Consigo dar exemplos de conjuntos unitários...., /

4. Consigo dar exemplos de conjuntos que não são unitários...., /

3.9 Novos Conjuntos a Partir de Outros 3.9.1

Subconjuntos

Nesta seção buscaremos construir conjuntos a partir de outros já conhecidos.

Exemplo 3.9.1: Considere os times da Série A de 2019 da região Sul. A saber Série A de 2019 região Sul = {Internacional, Grêmio, Atlético-PR, Chapecoense, Avaí}. Então você terá um conjunto diferente do conjunto dos times da Série A de 2019. Mas o que mudou? O que eles têm em comum? Observe que os times da Série A de 2019 da região Sul, são também times da Série A de 2019, mas apenas alguns!

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Exemplo 3.9.2: Considere o conjunto A = {1, 2, 5, 78, r, t, x}.

Vamos formar um novo conjunto com alguns elementos do conjunto A. Por exemplo, B = {1, 78}. Perceba que podemos formar muitos conjuntos a partir do conjunto A.

Exemplo 3.9.3: Considere agora o conjunto A dos seus amigos do Facebook. Podemos formar o conjunto dos seus amigos do Facebook que gostam de pizza. Ou o conjunto dos seus amigos do Facebook que gostam de Harry Potter. Com base nos exemplos vistos, é possível formar novos conjuntos a partir de um conjunto dado. Vamos formalizar isto na próxima de nição.

De nição 3.9.4: Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que B é um subconjunto de A se todo elemento de B também é um elemento de A, isto é, se x ∈ B então x ∈ A.

Usamos a notação B ⊂ A para indicar que B é um subconjunto de A, isto é, para indicar que todo elemento de B também é um elemento de A. Esboçando os diagramas de Venn temos

B A

Caso exista um elemento x ∈ B tal que x ∈ / A, então B não está contido em A.

23 Denotaremos por B 6⊂ A. Podemos ilustrar esta situação com diagramas de Venn.

x A

Observação 3.9.5: Quando temos B ⊂ A, mas queremos considerar a possibilidade de B ter os mesmos elementos do conjunto A, usaremos a notação B ⊆ A.

Exemplo 3.9.6:

1. O conjunto B das vogais é um subconjunto do conjunto A

de todo o alfabeto.

Resolução: Basta notar que toda vogal também é uma letra do alfabeto. Disso concluímos que B ⊂ A. Vamos representar A em diagramas de Venn 2. O conjunto B de seus amigos do Facebook cujo nome começa pela letra R é um subconjunto do conjunto A de todos os seus amigos do Facebook.

Resolução: Basta notar que todos os seus amigos do Facebook cujo nome começa com a letra R, também são seus amigos do Facebook. Portanto B ⊆ A. 3. O conjunto B = {1, 2, 7} é um subconjunto do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Resolução: De fato, 1 ∈ B e 1 ∈ A, 2 ∈ B e 2 ∈ A e 7 ∈ B e 7 ∈ A. Em diagramas de Venn temos 3

2 7

4 B

4. O conjunto B = {1, 2, 7} não é um subconjunto do conjunto A = {1, 3, 4, 5, 6, 7}.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Resolução: Note que 2 ∈ B , mas 2 ∈ / A.

1 2

Observação 3.9.7: O conjunto vazio ∅ é um subconjunto de A, para qualquer conjunto A, ou seja, ∅ ⊆ A.

Exercício 3.9.8: Nos itens abaixo, decida se o conjunto B é um subconjunto do conjunto A. 1. B é o conjunto formado pelos dias do m de semana A é o conjunto dos dias da semana.

2. B é o conjunto formado pelos meses que tem dias de verão A é o conjunto formado pelos seis primeiros meses do ano.

3. B = {a, b, 2, 3} A = {a, b, 1, 2, 3}.

4. B = {0, 1, 2} A = {0, 1, 12}.

Autoavaliação 3.9.9:

1. Dados dois conjuntos A e B sei reconhecer se B é um subconjunto de A...., /

2. Sei dar exemplos de um conjunto A e subconjuntos de A...., / 3. Sei que todo conjunto é um subconjunto dele mesmo...., /

3.9.2

União de Conjuntos

Vamos apresentar mais uma opção de como construir conjuntos a partir de outros conjuntos. Se A = {a, f, 4, 7} e B = {4, 5, a, b}, então podemos formar um novo conjunto com todos os elementos dos dois conjuntos, isto é, o conjunto C = {a, b, f, 4, 5, 7}. Em diagramas de Venn

7 A

a 4

5 B

De nição 3.9.10: Sejam A e B dois conjuntos. O conjunto obtido pela coleção de todos os elementos de A e de B é chamado a união de A e B . Usamos a notação A ∪ B para indicar que o novo conjunto foi formado pela união de todos os elementos dos dois conjuntos dados. Geometricamente, temos que A ∪ B é

Exemplo 3.9.11: Seja A o conjunto dos melhores amigos de Paulo e B o conjunto dos melhores amigos de Pedro. Digamos que A = {Pedro, Alex, Dudu, Maria}

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

e B = {Paulo, Dani, Dudu, Mateus, Helena}.

Então a reunião de A e B será o conjunto A ∪ B = {Pedro, Alex, Dudu, Maria, Paulo, Dani, Mateus, Helena}.

Pedro A

Alex

Paulo Dudu

Maria

Helena Dani

Mateus

Vamos agora ilustrar o conceito de união com subconjuntos dos números naturais.

Exemplo 3.9.12: Seja A = {1, 5, 8} e B = {1, 2, 3, 5, 9}. Então a união de A e B será o conjunto A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 8, 9}.

2 A

1 5

9 Observe que tanto os elementos de A, quanto os de B , são elementos de A ∪ B . Hora do experimento 1! Passo 1: Vamos precisar de caderno e lápis. Passo 2: Crie dois conjuntos A e B . Passo 3: Determine A ∪ B e B ∪ A. Passo 4: O que você pode dizer em relação a estes dois conjuntos A ∪ B e B ∪ A?

27 Passo 5: Você acha que isto vale para quaisquer dois conjuntos A e B ? Por quê? Hora do experimento 2! Passo 1: Novamente tenha em mãos caderno e lápis. Passo 2: Crie três conjuntos A, B e C . Passo 3: Determine (A ∪ B) ∪ C e A ∪ (B ∪ C). Passo 4: O que você pode dizer em relação a estes dois conjuntos (A ∪ B) ∪ C e A ∪ (B ∪ C)?

Passo 5: Você acha que isto vale em geral? Por quê? Hora do experimento 3! Passo 1: Continuamos precisando de caderno e lápis. Passo 2: Crie dois conjuntos A e B , de modo que B ⊆ A. Passo 3: Determine A ∪ B . Passo 4: O que aconteceu? Passo 5: Você acha que isto vale para quaisquer dois conjuntos A e B , com B ⊆ A? Hora do experimento 4! Passo 1: Você ainda está com caderno e lápis? Passo 2: Crie um conjunto A. Passo 3: Determine A ∪ ∅. Passo 4: Determine ∅ ∪ A. Passo 5: O que você obteve? Passo 6: Será que isto é válido para qualquer conjunto A?

Exercício 3.9.13: Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c} e C = {1, a}.

1. Forme os conjuntos e esboce os diagramas de Venn (a) A ∪ B (b) A ∪ C

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Autoavaliação 3.9.14:

1. Sei o que é a união de dois conjuntos...., /

2. Sei as propriedades da união de conjuntos...., /

3. Sei que se A e B são conjuntos, então os elementos de A e B pertencem ao conjunto A ∪ B ...., / 3.9.3

Interseção de Conjuntos

Vamos agora voltar ao exemplo dos melhores amigos de Paulo e dos melhores amigos de Pedro. Lembre que A = {Pedro, Alex, Dudu, Maria}

e B = {Paulo, Dani, Dudu, Mateus, Helena}.

Observe que Dudu é tanto o melhor amigo de Paulo, quanto de Pedro. Assim temos que Dudu é melhor amigo de Paulo e de Pedro. Podemos formar o conjunto {Dudu}, este conjunto chamaremos a interseção dos conjuntos A e B , e denotaremos por A∩B . Pedro A

Alex Maria

Paulo Dudu

Helena Dani Mateus

29 Vamos fazer mais um exemplo. Sejam A = {a, b, 2, vaca} e B = {a, 2, 7, π}. Os conjuntos A e B têm elementos em comum? Sim! a e 2. Podemos formar um conjunto com estes dois elementos, digamos C = {a, 2}.

Da mesma forma que anteriormente, chamaremos este conjunto a interseção de A e B e denotaremos C = A ∩ B .

vaca

De nição 3.9.15: Sejam A e B dois conjuntos. O conjunto C formado pelos elementos comuns a A e a B é a interseção de A e B . Podemos usar diagramas de Venn para ilustrar a interseção de dois conjuntos.

A∩B

Hora do experimento 1! Passo 1: Você precisa de caderno e lápis. Passo 2: Crie dois conjuntos A e B tal que A ∩ B = ∅. Hora do experimento 2! Passo 1: Você precisa de caderno e lápis. Passo 2: Crie um conjunto A.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Passo 3: Faça A ∩ ∅. Passo 4: O que podemos concluir? Hora do experimento 3! Passo 1: Você precisa de caderno e lápis. Passo 2: Crie dois conjuntos A e B . Passo 3: Faça A ∩ B e B ∩ A. Passo 4: O que podemos concluir? Hora do experimento 4! Passo 1: Ainda está com caderno e lápis? Passo 2: Crie três conjuntos A, B e C . Passo 3: Faça a interseção dos três conjuntos. Passo 4: Como você fez isto?

Exercício 3.9.16: Escreva A ∩ B e esboce os diagramas de Venn em cada item. 1. A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7}. 2. A = {1, 2, 3} e B = {2, 4, 5}. 3. A é o conjunto das vogais e B o conjunto das consoantes do nosso alfabeto. 4. A = {1, a, 2, b, c, d}, B = {1, 2, a, b}, C = {a, c, d, 3, 4}. Neste caso determine também B ∩ C , A ∩ (B ∩ C), (A ∩ B) ∩ C .

Autoavaliação 3.9.17: /

1. Sei o que é a interseção de dois conjuntos....,

2. Sei qual é a diferença entre união e interseção de conjuntos...., /

3.10 Conjuntos Finitos

31 Você encontra conjuntos nitos no seu dia a dia à toda hora. Por exemplo, um pacote de cheetos, um pacote de pirulitos, um cacho de bananas, uma dúzia de ovos, um pacote de bolachas. Observe que uma dúzia de ovos sempre tem 12 ovos, ou seja, um conjunto com 12 elementos. Já os outros exemplos variam. Assim, um conjunto nito, é um conjunto no qual conseguimos listar todos os seus elementos.

Exemplo 3.10.1: Seja A o conjunto das vogais do nosso alfabeto. Então A = {a, e, i, o, u}.

a e i

o u

Exemplo 3.10.2: Seja A o conjunto das estações do ano. Como as estações do ano são primavera, verão, outono e inverno, segue que A = {primavera, verão, outono, inverno}.

Autoavaliação 3.10.3:

1. Sei o que é um conjunto nito...., /

2. Consigo dar exemplos de conjuntos nitos...., /

3. Consigo dar exemplos de conjuntos que não são nitos...., /

3.11 Aplicações Nesta seção vamos apresentar exemplos de como encontrar o número de elementos

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

de alguns conjuntos. Se A é um conjunto, vamos denotar seu número de elementos por n(A).

Observação 3.11.1: Se A = ∅, então n(A) = 0. CASO 1) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, isto é, eles não têm nenhum elemento na sua interseção. Em símbolos, A ∩ B = ∅. Considere um exemplo desta situação. Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d, e}. Note que os conjuntos A e B são disjuntos, pois não têm elementos em comum. O número de elementos do conjunto A é 3 e o número de elementos do conjunto B é 5. Então A ∪ B = {1, 2, 3, a, b, c, d, e} e o número de elementos do conjunto A ∪ B

é 8. Neste caso n(A ∪ B) = 3 + 5 = 8. Isto sugere o seguinte resultado.

Proposição 3.11.2: Se A e B são conjuntos disjuntos, então n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

O próximo caso trata quando os dois conjuntos têm um ou mais elementos em comum, isto é, não são disjuntos.

CASO 2) Sejam A e B dois conjuntos não disjuntos, ou seja, A ∩ B 6= ∅. Vejamos um exemplo para ilustrar esta situação. Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 5, 7, 8, 9}. Neste caso o conjunto A tem 5 elementos, isto é, n(A) = 5 e o conjunto B também tem 5 elementos, ou seja, n(B) = 5. Agora A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}

tem 8 elementos, pois os conjuntos A e B têm dois elementos em comum, a saber, os elementos 3 e 5. Isto sugere a seguinte fórmula que sabemos ser verdadeira.

Proposição 3.11.3: Sejam A e B dois conjuntos. Então n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).

Veja que esta fórmula abarca o caso quando os dois conjuntos são disjuntos, pois neste caso, n(A ∩ B) = n(∅) = 0.

Exemplo 3.11.4: (Vunesp-SP) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 de História. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e de História é: a) exatamente 16 b) exatamente 10 c) no máximo 6 d) no mínimo 6 e) exatamente 18

Resolução: Incialmente vamos encontrar os conjuntos A e B A é o conjunto dos alunos que gostam de Matemática. Logo, n(A) = 16. B é o conjunto dos alunos que gostam de História. Logo, n(B) = 20.

A classe tem 30 alunos, isto é, o número total de alunos é constituído dos alunos que foram divididos nos conjuntos A e B e que têm uma única preferência ou mais de uma preferência. Portanto, n(A ∪ B) = 30. Falta encontrar n(A ∩ B). Assim temos 30 = 16+20−n(A∩B) ou seja, 30 = 36−n(A∩B). Pondo em evidência n(A ∩ B) temos que n(A ∩ B) = 36 − 30 = 6.

Portanto, 6 alunos preferem Matemática e História. Logo d é a resposta correta.

Exercício 3.11.5: Calcule n(A ∪ B) quando: 1. A = {a, x, v, b} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 2. A = {a, b, c, d, e} e B = {a, e, i, o, u} A situação ca ainda mais interessante quando temos mais de dois conjuntos. Colocaremos uma fórmula para o caso de três conjuntos.

Proposição 3.11.6: sejam A, B e C três conjuntos. Então n(A ∪ B ∪ B) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C).

Exemplo 3.11.7: João, Pedro e Paulo são amigos no Facebook e têm 945 amigos. Sabemos que João tem 328 amigos, Pedro tem 501 amigos e Paulo tem 407 amigos.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Sabemos ainda que João e Pedro têm 134 amigos em comum, João e Paulo têm 200 amigos em comum e Pedro e Paulo têm 116 amigos em comum. Quantos amigos eles têm em comum?

Resolução: Vamos denotar por A o conjunto de amigos de João, por B o conjunto de amigos de Pedro e por C o conjunto de amigos de Paulo. Então n(A ∪ B ∪ C) = 945 n(A) = 328, n(B) = 501, n(C) = 407 n(A ∩ B) = 134, n(A ∩ C) = 200, n(B ∩ C) = 116.

Queremos encontrar n(A ∩ B ∩ C). Sabemos que n(A ∪ B ∪ B) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C).

Substituindo os dados acima nesta fórmula, temos 945 = 328 + 501 + 407 − 134 − 200 − 116 + n(A ∩ B ∩ C) ⇒ 945 = 1236 − 450 + n(A ∩ B ∩ C) ⇒ 945 = 786 + n(A ∩ B ∩ C) ⇒ n(A ∩ B ∩ C) = 945 − 786 ⇒ n(A ∩ B ∩ C) = 159.

Portanto João, Pedro e Paulo têm 159 amigos em comum. Vejamos alguns exemplos de vestibulares que são resolvidos usando as fórmulas anteriores.

Exercício 3.11.8: (UFBA) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus, 16 São Paulo e 11 Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:

35 a) 29 b) 24 c) 11 d) 8 e) 5

Exercício 3.11.9: (ENEM) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1 , C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de

cada catálogo, ele veri ca que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1 . Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a: a) 135 b) 126 c) 118 d) 114 b) 110

Exercício 3.11.10: (UFSE) Uma editora entrevistou 200 alunos de uma escola, veri cando se haviam lido os livros A e B . Concluiu-se que 102 alunos leram o livro A, 32 leram ambos e 48 não leram esses livros. Quantos leram somente o livro B ?

a) 152 b) 134 c) 82 d) 50 e) 30

Exercício 3.11.11: (CPCAR) De dois conjuntos A e B , sabe-se que:

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

I. O número de elementos que pertencem a A ∪ B é 45; II. 40 por cento desses elementos pertencem a ambos os conjuntos; III. o conjunto A tem 9 elementos a mais que o conjunto B. Então, o número de elementos de cada conjunto é a) n(A) = 27 e n(B) = 18 b) n(A) = 30 e n(B) = 21 c) n(A) = 35 e n(B) = 26 d) n(A) = 36 e n(B) = 27 Sugestão: Usar regra de 3. Agora introduziremos os conjuntos numéricos.

3.12 O Conjunto dos Números Naturais N No nosso dia a dia usamos, embora às vezes não nos damos conta, um conjunto numérico muito especial. Vamos dar uma pista: os elementos dele são resultados de uma contagem! Não descobriu ainda? Não tem problema! É o conjunto dos

números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}.

Cada elemento deste conjunto é um número natural. Este é o principal conjunto na Matemática e sua função é a de contar objetos. Por exemplo, se você tem um cacho de bananas e deseja contar quantas bananas tem nele, o resultado é um número natural. Guarde esta informação: os números naturais é o conjunto numérico cujos elementos são obtidos através de contagem. Antes de começar o estudo dos números naturais, gostaríamos de apresentar algumas características interessantes sobre eles, que acreditamos poderão ajudá-los a entender melhor este conjunto numérico. 1) Todo número natural possui um sucessor, isto é, depois dele sempre existe um número natural. Além disso, entre um número natural e seu sucessor não existe nenhum outro número natural. Por exemplo, o número natural 3 é o sucessor do

37 número natural 2 e perceba que entre 2 e 3 não existe nenhum outro número natural. Quanto ao sucessor, podemos dizer que ele é único, isto é, todo número natural possui um único número natural como seu sucessor. Você já deve ter percebido que o sucessor de um número natural n é obtido somando-se 1 a ele. Logo, o sucessor do número natural n é n + 1. 2) Todo número natural diferente de 0 possui um antecessor, isto é, se n é um número natural diferente de zero, então existe um número natural antes dele e, além disso, não existe outro número natural entre eles. Por exemplo, 2 é o antecessor de 3 e entre eles não existe nenhum outro número natural. Da mesma forma que acontece com o sucessor, o antecessor de um número natural diferente do 0 é obtido subtraindo-se 1 dele. Então se n é um número natural, n − 1 é o seu antecessor, que você já deve ter descoberto, é único. O sucessor é sempre maior que o seu antecessor. 3) O conjunto dos números naturais, como de todos os conjuntos numéricos que vamos estudar, não possui um maior elemento. Para se convencer disso, pense num número natural que você acredite ser o candidato ao maior número natural. Conseguiu? Pois como vimos, todo número possui um sucessor que é maior do que ele. Então o número natural que você escolheu possui um sucessor que é maior do que ele.

Observação 3.12.1: N não é um conjunto nito. POR QUE PRECISAMOS DO NÚMERO ZERO? Faça para si mesmo as seguintes perguntas: 1) Como você escreveria 502 sem o zero? 2) Como você escreveria cem sem usar o 0? Você poderia inventar, de acordo com a sua criatividade, várias formas para responder estas perguntas. Vamos supor que no primeiro caso, você deixasse um espaço entre o 5 e o 2. Então caria algo como 5 2, certo? Veja que isso não funcionaria com o cem. Percebeu? Tente pensar em outras possibilidades.

HISTÓRIA DO ZERO

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Algumas pessoas consideram a invenção de zero como um acontecimento com a mesma importância do domínio do fogo e da invenção da roda. Diferentemente dos demais números naturais, 0 não foi criado com a função de contar algo, mas sim para marcar o espaço entre grupos de símbolos. Para saber mais sobre o 0, você pode visitar os sites https://www.somatematica.com.br/historia/zero.php https://educação.uol.com.br/disciplinas/matematica/zero-historia-do-número.htm Veja alguns exemplos em que gua o número 0.

Exemplo 3.12.2:

1. Ontem fez 0◦ C na serra gaúcha.

2. A água congela a 0 graus centígrados. 3. Mamãe cortou minha mesada, pois tirei 0 na prova.

Observação 3.12.3:

1. Os números naturais são obtidos de uma contagem, mas

do ponto de vista matemático, são obtidos da seguinte forma: 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1, 6 = 5 + 1, ....

2. Você percebeu alguma coisa de diferente quando escrevemos o conjunto dos números naturais, isto é, quando tentamos listar todos os elementos dele? Dê uma olhada de novo. Lá no nal do conjunto! Percebeu? Usamos três pontos! Isto é muito comum quando temos um conjunto com in nitos elementos, isto é, não importa o nosso esforço, nunca conseguiremos escrever todos os seus elementos. Não está acreditando? Tente escrever todos os números naturais então! Como observamos no ítem 1, quando você pensou que achou o último, digamos que você chegou no um milhão. Então some mais 1 e depois mais 1 e, assim por diante. Este processo nunca termina. 3. Zero é um número natural? Esta é uma pergunta que pode acontecer. A nal de contas, se os números naturais são obtidos como resultados de contagens, como o número zero pode ser o resultado de uma contagem? Bom, algumas pessoas o excluem dos números naturais quando ele pode ser um problema nos cálculos.

39 Já outros preferem considerá-lo como um número natural, pois o conjunto dos números naturais, do ponto de vista matemático, é um conjunto importantíssimo. Portanto, a discussão se o 0 é um número natural, não deve ser o foco da sua atenção. Neste texto, optamos por considerá-lo um número natural. Quando ocorrer uma situação na qual o número 0 não é desejado, usaremos a notação N∗ para denotar o conjunto dos números naturais diferentes de

zero N∗ = {1, 2, 3, ...}

Nosso objetivo aqui é usar N para produzir outros conjuntos. Para isto, vamos de nir algumas características que provavelmente você já encontrou antes. Por exemplo, que característica tem em comum todos os elementos 2, 4, 6, ..., 32? Todos eles são divisíveis por 2! Vamos dar um nome para todos os números que são divisíveis por 2.

De nição 3.12.4: Um número natural é um número par se ele é divisível por 2. Um número natural que não é divisível por 2 é chamado número ímpar. Por exemplo, 2, 12, 1000 são números pares, enquanto 1, 11, 23, 10001 são números ímpares.

Observação 3.12.5:

1. Outra forma de dizer que um número natural n é par

é a seguinte: Um número natural n é par se existe um número natural m tal que n = 2m. Neste caso, dizemos também que n é um múltiplo de 2. De acordo com esta de nição, vemos que 2 é um número par, pois se n = 2, temos n = 2 = 2 · 1 = 2 · m (ou seja, o m que falamos anteriormente é 1). Da mesma

forma, 12 é par, pois se n = 12, então m = 6 e n = 2.6. 2. Não existe nenhum número natural que é par e ímpar, simultaneamente, ou seja, quanto a paridade de um número natural só existem duas possibilidades que se excluem mutuamente: ele é par ou é ímpar. Vamos dar uma de nição de divisão que se aplica a todos os números naturais.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Vamos imitar a de nição que demos de um número par na Observação 3.12.5.

De nição 3.12.6: Se m, n são números naturais, com m 6= 0, dizemos que n é divisível por m se existir um número natural k de modo que n = km. Notação: m|n. Como caso particular, se n é par, escrevemos 2|n.

Observação 3.12.7: Dizer que um número n é divisível por m é o mesmo que dizer que n é um múltiplo de m. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 3.12.8:

1. O número natural 15 é divisível por 3, pois se k = 5 temos

que 15 = 5 · 3. Também podemos dizer que 15 é divisível por 5, pois 15 = 5 · k , com k = 3. Podemos a rmar também que 15 não é divisível por 4. Por quê? 2. O número natural 5 é divisível por 5, pois se k = 1, então 5 = 1 · 5. Como você pode ver, 5 também é divisível por 1. 3. Todo número natural n é divisível por 1. De fato, como n = n · 1, segue que existe n ∈ N, tal que n = n · 1. 4. O número natural 1 só é divisível por 1, ou seja, por ele mesmo. 5. O número natural 0 é divisível por todo número natural n, n 6= 0. Com efeito, como 0 = 0 · n, temos que a de nição é veri cada. 6. Nenhum número natural n é divisível por 0. Nunca se esqueça disto! Euclides, na sua grande obra chamada Elementos de Geometria (que não tratava somente de Geometria!), dedicou três livros aos números naturais e aos números inteiros. Nestes três livros, estão reunidas muitas das propriedades da divisão que conhecemos hoje em dia. Por exemplo, um número natural que só é divisível por 1 e por ele mesmo é chamado de número primo. Os primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Exercício 3.12.9: Encontre mais dez números primos. Se for uma pessoa insistente, encontrará muitos outros números primos. Será que você seria capaz de encontrar todos? Infelizmente você não terá tempo de encontrar todos e nem pense em deixar para seus descendentes esta tarefa, pois Euclides demonstrou que existem in nitos deles! Agora já podemos formar muitos conjuntos. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 3.12.10:

1. A é conjunto de todos os números naturais que são divisí-

veis por 2, ou seja, A é o conjunto dos números pares. Na notação de conjuntos, podemos escrever A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}.

2. B é conjunto de todos os números naturais que são divisíveis por 4. Na notação de conjuntos, teremos B = {0, 4, 8, 12, ...}.

3. C é o conjunto de todos os números naturais divisíveis por 7. Na notação de conjuntos temos C = {0, 7, 14, 21, 28, 35, ...}.

Se você comparar os conjuntos A e B , o que você diria? A resposta é B ⊂ A. E se você comparar A, B e N, eles têm algo em comum? A resposta é B ⊂ A ⊂ N. Hora do experimento 1! Passo 1: Vamos precisar de caderno, lápis e borracha. Passo 2: Some 0+1. Passo 3: Some 0+2. Passo 4: Some 0+3. Passo 5: O que está acontecendo? Passo 6: Quanto é 0+n, para qualquer número natural n? Por quê? Justi que com suas palavras.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Observação 3.12.11: Você percebeu no experimento anterior que usamos a letra n para representar um número natural. Você deve se acostumar a usar letras para

representar números. Nós fazemos isso quando queremos falar de um número, mas de um modo geral. Quando escrevemos n ∈ N não estamos pensando em um número natural particular. Hora do experimento 2! Passo 1: Vamos continuar precisando de caderno, lápis e borracha. Passo 2: Escolha dois números naturais. Quaisquer! Escolheu? Por exemplo 2 e 5. Passo 3: Some os seus números. (No meu caso, farei 2+5). Passo 4: Some os seus números, trocando a ordem. (No meu caso, farei 5+2). Passo 5: O que aconteceu? Passo 6: Será que isto acontece para quaisquer dois números naturais m e n? Diga com suas palavras. Hora do experimento 3! Passo 1: Novamente tenha caderno, lápis e borracha à mãos. Passo 2: Escolha três números naturais. Quaisquer! Escolheu? Eu escolherei 1, 3 e 7. Passo 3: Some (1 + 3) + 7. Passo 4: Some 1 + (3 + 7). Passo 5: O que você conclui disto.

Exercício 3.12.12:

1. Forme conjuntos com 5 números naturais pares.

2. Forme conjuntos com 4 números naturais ímpares. 3. Forme conjuntos com 5 números que são divisíveis por 7. 4. Forme conjuntos com dois números que são divisores de 2 e de 7. 5. Forme conjuntos com dois números que são divisores de 3 e de 6. 6. Se P é o conjunto dos números naturais pares e I é o conjunto dos números

43 naturais ímpares, o que podemos dizer dos conjuntos I ∪ P e I ∩ P ?

Propriedades 1. (m + n) + p = m + (n + p), para quaisquer m, n, p ∈ N (associativa da soma de números naturais) 2. m + n = n + m, para quaisquer m, n ∈ N (comutativa da soma de números naturais) 3. n + 0 = n, para qualquer n ∈ N (existência de elemento neutro aditivo) 4. n − n = 0, qualquer que seja o número natural n. 5. (m + n)p = mp + np, para quaisquer m, n, p ∈ N (distributiva) 6. p(m + n) = pm + pn, para quaisquer m, n, p ∈ N (distributiva) 7. (m · n) · p = m · (n · p), para quaisquer m, n, p ∈ N (associativa da multiplicação de números naturais) 8. m · n = n · m, para quaisquer m, n ∈ N (comutativa da multiplicação de números naturais) 9. 1.n = n qualquer que seja o número natural n.

3.13 Potenciação nos Naturais Seja a ∈ N∗ , isto é, a ∈ N e a 6= 0. Então de nimos a0 = 1, a1 = a an = a ... · a}, se n > 1, | · {z n f atores

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

ou seja, an é o produto de a por ele mesmo n vezes. O número a é a base da potência, n é o expoente da potência e an é a potência

com base a e expoente n. Exemplo 3.13.1: 1. 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 2. 32 = 3 · 3 = 9 3. (177)0 = 1 Vamos listar as propriedades básicas da potenciação dos números naturais. 1. Produto de potências de mesma base Se m e n são números naturais, então am an = am+n

2. Potência da potência Se m e n são números naturais, então (am )n = amn

Exemplo 3.13.2: Veri que as propriedades acima nos seguintes casos 1. a = 2, m = 3 e n = 2 23 22 = 8 · 4 = 32 23+2 = 25 = 32

e (23 )2 = (8)2 = 64 23·2 = 26 = 64

2. a = 3, m = 3 e n = 2 33 32 = 27 · 9 = 243 33+2 = 35 = 243

45 e (33 )2 = (27)2 = 729 33·2 = 36 = 729

Exercício 3.13.3: Veri que as propriedades 1 e 2 de potência nos seguintes casos 1. a = 3, m = 3 e n = 3 2. a = 2, m = 4 e n = 5 3. a = 5, m = 1 e n = 3 4. a = 5, m = 2 e n = 0

3.14 Igualdade de Conjuntos Um conjunto pode ser escrito de muitas formas distintas, então é importante termos uma maneira de decidir se dois conjuntos são iguais.

De nição 3.14.1: Vamos considerar dois conjuntos A e B . Dizemos que os conjuntos A e B são iguais, denotando por A = B , se A ⊂ B e se B ⊂ A. Atenção! Lembre que A ⊆ B , signi ca que todo elemento de A é também um elemento de B , ou ainda, se x ∈ A, então x ∈ B . Dessa forma, A = B signi ca que todo elemento de A é um elemento de B e todo elemento de B é um elemento de A. Ou ainda, que A e B têm os mesmos elementos (mesmo que eles tenham in nitos

elementos).

Exemplo 3.14.2: Considere A = {1, 2} e B = {1, 1, 2, 1, 2}. Note que os elementos do conjunto A são 1 e 2. O mesmo acontece com o conjunto B . Portanto A = B .

Exemplo 3.14.3: Sejam A o conjunto das estações do ano e B = {primavera, verão, outono, inverno}.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Veja que os conjuntos A e B são iguais, apenas os escrevemos de forma diferente.

Exemplo 3.14.4: Os conjuntos A = {1, 2} e o conjunto B = {1, {1, 2}} não são iguais. Os elementos do conjunto A são 1 e 2, enquanto os elementos do conjunto B são 1 e {1, 2}.

Exemplo 3.14.5: Observe os seguintes conjuntos A = {x ∈ N : x − 1 = 0}, B = {1} e C = {x ∈ N : x + 2 = 3}. Temos que A = B = C , pois eles têm os mesmos

elementos.

Exemplo 3.14.6: Os conjuntos A = {1, 3, 5}, B = {1, 5, 3}, C = {1, 3, 5, 1} e D = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 5} ∩ {x ∈ N : x é um número ímpar} são iguais, ou seja, A = B = C = D.

Exemplo 3.14.7: Os conjuntos A = {1, 2} e B = {1, 2, 3} não são iguais, pois embora 1 ∈ A e 1 ∈ B , 2 ∈ A e 2 ∈ B , mas note que 3 ∈ B e 3 ∈ / A. Logo A 6= B . Mas A ⊂ B .

Exercício 3.14.8: Decida se os conjuntos abaixo são iguais ou não. Justi que sua resposta. Esboce os diagramas de Venn. 1. A = {1, 3, 7}, B = {1, 7} 2. A = {1, 3, {1, 3}}, B = {{1, 3}} 3. A é o conjunto dos dias da semana e B = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado}

Autoavaliação 3.14.9:

um conjunto...., /

1. Sei que existem várias maneiras de escrever

2. Reconheço quando dois conjuntos são iguais...., /

47 3.14.1

Produtos Notáveis

Vamos agora estudar alguns resultados envolvendo a soma e multiplicação de números naturais que são muito recorrentes em cálculos simples que você encontrará pela frente. Preste atenção e não esqueça!

Quadrado da Soma Proposição 3.14.10: Se a e b são dois números naturais, então (3.1)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .

Demonstração: Sejam a e b dois números naturais. Então (a + b)2 = (a + b)(a + b)

de nicão de potência

= (a + b)a + (a + b)b

distributiva

= a2 + ba + ab + b2

distributiva

= a2 + ab + ab + b2

comutativa

= a2 + 2ab + b2 .

Exemplo 3.14.11: Se a = 2 e b = 3, então (a + b)2 = (2 + 3)2 = 52 = 25

enquanto que a2 + 2ab + b2 = 22 + 2 · 2 · 3 + 32 = 4 + 12 + 9 = 25.

Exercício 3.14.12: Refaça o exemplo anterior nos casos abaixo. 1. a = 3 e b = 3. 2. a = 3 e b = 4.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Atenção!! (a + b)2 6= a2 + b2 .

Observe que se a = 2 = b, então (a + b)2 = (2 + 2)2 = 42 = 16, enquanto que a2 + b2 = 22 + 22 = 4 + 4 = 8. Na dúvida, faça um exemplo para lembrar que (a + b)2 6= a2 + b2 .

Exercício 3.14.13:

1. Veri que que (a + b)2 6= a2 + b2 para os casos

(a) a = 2 e b = 1. (b) a = 2 e b = 3. 2. Calcule (a) (2x + y)2 . (b) (x2 + xy)2 . (c) (x + y1 )2 . (d) ( x1 + y1 )2 .

Quadrado da Diferença Proposição 3.14.14: Se a e b são dois números naturais, então (3.2)

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 .

Demonstração: Sejam a e b são dois números naturais. Então (a − b)2 = (a − b)(a − b)

de nicão de potência

= (a − b)a + (a − b)(−b)

distributiva

= a2 − ba + a(−b) + (−b)(−b)

distributiva

= a2 − ab − ab + b2 = a2 − 2ab + b2 .

a(−b) = −ab e (−b)(−b) = b2

Exemplo 3.14.15: Se a = 3 e b = 1, então (a − b)2 = (3 − 1)2 = 22 = 4

enquanto que a2 − 2ab + b2 = 32 − 2 · 3 · 1 + 12 = 9 − 6 + 1 = 4.

Exercício 3.14.16: Refaça o exemplo anterior nos casos 1. a = 3 e b = 2. 2. a = 1 e b = 2.

Atenção!! (a − b)2 6= a2 − b2 .

Observe que se a = 2 e b = 1, então (a − b)2 = (2 − 1)2 = 12 = 1, enquanto que a2 − b2 = 22 − 12 = 4 − 1 = 3. Na dúvida, faça um exemplo para lembrar que (a − b)2 6= a2 − b2 .

Exercício 3.14.17: (a) a = 6 e b = 4. (b) a = 5 e b = 0. 2. Calcule (a) (2x − y)2 . (b) (x2 − xy)2 . (c) (x − y1 )2 . (d) ( x1 − y1 )2 .

1. Veri que que (a − b)2 6= a2 − b2 nos casos

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Produto de uma soma e uma diferença Proposição 3.14.18: Se a e b são dois números naturais, então (3.3)

(a + b)(a − b) = a2 − b2 .

Demonstração: Sejam a e b são dois números naturais. Então (a + b)(a − b) = a(a − b) + b(a − b)

distributiva

= a2 − ab + ba + b(−b)

distributiva

= a2 − ab + ab − b2

b(−b) = −b2

= a2 −ab //// − b2 //// +ab

− ab + ab = 0

= a2 − b 2

Exemplo 3.14.19: Veri que ambos os lados de (3.3), com a = 3 e b = 1. (a + b)(a − b) = (3 + 1)(3 − 1) = 4 · 2 = 8

enquanto que a2 − b2 = 32 − 12 = 9 − 1 = 8.

Exercício 3.14.20: Refaça o exemplo anterior nos casos 1. a = 4 e b = 3. 2. a = x e b = x2 . 3. a =

1 x

e b = y1 .

Exercício 3.14.21: Calcule 1. (x − 1)2 . 2. (x + x2 )2 .

51 3. (x − x1 )2 . 4. (x − x1 )( x1 − x). 5. (x + y)( x1 − y1 ). 6. (x − y)(x2 + y 2 ).

Projeto: Encontre uma expressão para (a + b)3 . Passo 1: Escreve (a + b)3 = (a + b)2 (a + b). Passo 2: Desenvolva (a + b)2 . Passo 3: Multiplique o resultado que você encontrou no Passo 2 por (a + b). Passo 4: Some todos os termos iguais.

Autoavaliação 3.14.22:

1. Entendo que os números naturais são obtidos pela contagem de um conjunto de elementos...., /

2. Entendo que todo número natural é obtido pela soma de 1 ao anterior a ele...., / 3. Sei de nir número par e número ímpar...., /

4. Sei explicar que um número é divisível por 3...., /

5. Sei que não existe número natural par e ímpar...., /

6. Sei que 0 é um número par...., /

7. Sei a fórmula do quadrado da soma...., /

8. Sei a fórmula do quadrado da diferença...., /

9. Sei a fórmula do produto de uma soma e uma diferença...., /

3.15 Relação de Ordem nos Números Naturais

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Como já dissemos anteriormente, os números naturais são obtidos através de contagem de objetos de um conjunto, ou seja, obtemos 5, tomando o antecessor 4 e adicionamos 1. Essa ideia introduz a ideia de quantidades. Já que 5 é o anterior somado com 1, naturalmente somos levados a dizer que 5 é mais que 4. Ainda para ilustrar: Pedro tem um smartphone, mas Paulo tem um smartphone, um tablet e um iphone. Então sabemos que Paulo tem 3 dispositivos móveis, enquanto que Pedro tem 1. Que relação percebemos entre estas quantidades? Por que podemos dizer que Paulo tem mais dispositivos móveis que Pedro? Porque 3 é mais que 1, ou de outra forma 3 é maior do que 1. Esta importante relação que existe nos números naturais, de comparar dois números naturais nos permite dizer que um número é maior do que o outro, é a relação de

ordem. É ela que vai permitir comparar os números naturais e responder a seguinte pergunta: dados dois números naturais m e n, com m 6= n, qual deles é o maior? Todos sabemos que o número natural 1 é menor do que 5, pois se começamos em 1 precisamos passar por 2, 3, 4 para então chegar no 5. Também podemos dizer que 5 é maior do que 1. Se tivéssemos colocado os números naturais sobre uma reta, poderíamos dizer que se o número natural x se encontra à esquerda do número natural y , então x é menor do que y e, equivalentemente, que y é maior do que x. x

Notação 3.15.1: x é menor do que y ou, equivalentemente, y é maior do que x, será denotado por x < y ou y > x. Vamos dar uma de nição formal do que entendemos por um número ser maior do que outro, ou equivalentemente, um número ser menor do que outro. Mas antes da de nição, mais um exemplo para você se convencer da importância deste conceito. Imagine que você quer chegar no número 20, da Rua Pedro Ramires de Melo. O que te permite chegar no local? Você pode localizar a rua e observar a numeração das casas ou edifícios e ver se você está se aproximando ou se afastando do número 20, isto é, se os números estão cando maiores ou menores. Ou ainda, se às 7 horas da manhã estava fazendo 10◦ Celsius e às 10 horas da

53 manhã está fazendo 17◦ Celsius, você certamente concluirá que está esquentando. Por quê? Porque automaticamente comparamos 10 e 17 e sabemos que 17 é maior do que 10. Viu que bacana! Os números estão em tudo e em toda parte! E fazemos uso de conceitos matemáticos sem nos darmos conta!

De nição 3.15.2: Sejam m, n dois números naturais, com m 6= n. Dizemos que m é menor do que n, se existe um número natural p 6= 0 tal que m + p = n. Analogamente, n é maior do que m se existe um número natural p 6= 0 tal que n − p = m.

Notação 3.15.3: m < n signi ca que m é menor do que n e m > n signi ca que m é maior do que n. Geometricamente, m < n pode ser representado como m+p=n

m m+1

···

m+2

···

m+p−1

Vejamos alguns exemplos para nos acostumarmos com este conceito.

Exemplo 3.15.4:

1. Qual dos dois números naturais é maior: 2 ou 3? A res-

posta, como você já deve saber, é 3, pois se p = 1, então 2 + 1 = 3. 0

4 R

2. Qual dos dois números naturais é maior: 12 ou 3? A resposta é 12, pois se tomarmos p = 9, então teremos 12 − 9 = 3.

3. Observe que o número natural p da de nição é diferente de zero.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Esta relação que de nimos nos números naturais não permite que comparemos um número com ele mesmo, isto é, quem é maior entre 2 e 2? Para sanear este problema vamos de nir a relação maior do que ou igual e menor do que ou igual.

De nição 3.15.5: Sejam m, n dois números naturais, dizemos que m é menor do que ou igual a n se existe um número natural p tal que m + p = n. Notação: m ≤ n. Neste caso p pode assumir o valor 0. Desta forma conseguimos comparar o mesmo número. Note que 2 é menor do que ou igual a 2, pois 2 = 2 + 0. Analogamente temos a seguinte

De nição 3.15.6: Sejam m, n dois números naturais, dizemos que m é maior do que ou igual a n se existe um número natural p tal que m − p = n. Notação: m ≥ n.

Exemplo 3.15.7: Já vimos, no exemplo anterior que 12 > 3. Mas também temos que 12 ≥ 3, pois 12-9=3. Hora do experimento 1! Passo 1: Você precisa de caderno e lápis. Passo 2: Existe um número natural menor que todos os outros números naturais? Justi que sua resposta. Hora do experimento 2! Passo 1: Você precisa de caderno e lápis novamente. Passo 2: Existe um número natural maior que todos os outros números naturais? Justi que sua resposta.

Exercício 3.15.8: Determine A ∪ B e A ∩ B nos casos abaixo. 1. A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 10}, B = {x ∈ N : 5 < x ≤ 13}.

55 2. A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 9}, B = {x ∈ N : 2 ≤ x ≤ 6}. 3. A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 9}, B = {x ∈ N : 1 ≤ x < 3}. 4. A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 9}, B = {x ∈ N : 1 < x < 3}. 5. A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 9}, B conjunto dos números pares. 6. A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 9}, B conjunto dos números ímpares. 7. A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 15}, B conjunto dos números primos.

Autoavaliação 3.15.9:

1. Entendi a importância da relação de ordem no conjunto dos números naturais...., /

2. Sei veri car matematicamente quando um número natural é maior do que outro...., /

3.16 Conjuntos Obtidos por uma Propriedade Já sabemos como escrever um conjunto usando chaves. Por diversas razões, existem situações que não é possível escrever um conjunto listando todos os seus elementos. Por exemplo, levaria muito tempo para escrever uma lista com todos os seus amigos do Facebook. Será que há uma forma resumida de conseguir representar este grupo de pessoas (ou seja, seus amigos do Face)? Para resolver esta di culdade usamos uma propriedade, isto é, especi camos uma condição para que um elemento pertença a um conjunto. Desta forma, passamos a escrever A = {x : x é meu amigo do Face}.

A maneira de ler o conjunto A é: A é o conjunto dos elementos x, tais que x é meu amigo no Face. Veja que conseguimos colecionar no conjunto A todos o seus amigos do Facebook, sem enumerá-los um por um. Vantajoso, não?

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Assim para nos referirmos aos elementos de um conjunto basta dizer qual a propriedade que os elementos dele devem satisfazer, ou seja, damos um propriedade e depois, quando possível, listamos todos os elementos que possuem esta propriedade. No nosso exemplo, a propriedade que a pessoa deve ter para estar no conjunto é que seja meu amigo no Facebook. Poderemos então escrever o conjunto A de duas formas A = {pessoas : pessoa é meu amigo do Face} = {Luluzinha, Belzinha, Marquinhos, ...}.

Vamos indicar por p(x) uma propriedade que queremos que um elemento x satisfaça. Por exemplo, p(x) : x é um número natural maior ou igual a 4 e menor do que 10.

Assim, podemos formar o conjunto A de todos os números naturais que satisfaçam a propriedade p(x), a saber, A = {4, 5, 6, 7, 8, 9}. De uma forma mais geral, escrevemos A = {x ∈ N : p(x)} = {x ∈ N : 4 ≤ x < 10}.

Ok, você pode estar pensando o seguinte: mas escrever os elementos do conjunto A, a saber 4, 5, 6, 7, 8, 9 não é difícil! E de fato não é, porém em outras situações

como A = {x ∈ N : x ≥ 2} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}, a primeira descrição é mais prática! O mesmo ocorre com o exemplo do conjunto das pessoas que são minhas amigas no Facebook. Vejamos mais exemplos para ilustrar o que estamos querendo dizer.

Exemplo 3.16.1: A = {x : p(x)}, onde p(x) : x é um número natural par maior do que 7 e menor do que 14. Ora, os números pares que satisfazem esta propriedade são 8, 10 e 12. Portanto, A = {8, 10, 12}.

Com este novo conceito, conseguimos de nir o conjunto vazio de várias formas. Veja os seguintes exemplos ∅ = {x ∈ N : 0 < x < 1} ∅ = {x ∈ N : x ∈ / N} ∅ = {x ∈ N : 1x = 2}.

Exercício 3.16.2: Escreva os seguintes conjuntos. 1. A é o subconjunto dos números primos maiores do que 2 e menores do que 50 2. B é o subconjunto dos números naturais múltiplos de 3 e menores do que 98 3. C é o subconjunto dos números naturais múltiplos de 2 e 3 menores que 61 4. D é o subconjunto dos números naturais menores do que 7 e maiores do que 10 5. E é o subconjunto dos números naturais divisíveis por 7 e menores do que 150 6. F é o subconjunto dos números naturais com 2 algarismos mas que não aparece o dígito 7 7. G é o subconjunto dos números naturais com 2 algarismos cuja soma dos dígitos é 18

Autoavaliação 3.16.3:

1. Entendo que dada uma propriedade, podemos formar um novo conjunto ...., /

2. Sei que dependendo da propriedade dada, o conjunto formado pode ser vazio...., / 3. Sei de nir o conjunto vazio, usando propriedades...., /

4. Sei dar exemplos de propriedades para formar novos conjuntos...., /

3.17 O Conjunto dos Números Inteiros Já fomos apresentados ao conjunto dos números naturais e qual é sua principal função. Lembra! Se precisar relembrar veja a seção 3.12 na página 36. Embora o conjunto dos números naturais tenha um papel extremamente relevante na Matemática, a subtração de dois números naturais não produz em geral um número

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

natural, ou seja, a subtração não é uma boa operação no conjunto dos números naturais. Por exemplo, tome os números naturais 1 e 2. O que é 1-2? Será que esta pergunta tem alguma relevância? Ora, se temos uma banana num cesto, não temos como pegar duas bananas e perguntar quantas caram no cesto. Vamos considerar outra situação. Se você tem R$ 1,00 (um real) e deseja comprar um chocolate que custa R$ 2,00 (dois reais). Você consegue comprar o chocolate? Por que sim? Por que não? Provavelmente você deve responder que não consegue comprar o chocolate, pois está faltando R$ 1,00 (1 real). Porém se você pedir emprestado R$ 1,00 (um real) para seu colega, você terá R$ 2,00 (2 reais) e comprará seu chocolate, mas você vai estar devendo R$ 1,00 (um real). Você agora passa a ter uma dívida de um real, ou seja, você tem -1 real. Esta é a resposta para nossa pergunta. 1 − 2 = −1.

Agora −1 ∈ / N. Precisamos de um conjunto e de números neste conjunto que possam cumprir a função de contar aquilo que falta, ou seja, um conjunto numérico em que a subtração faça sentido. Para isso, precisaremos de um conjunto maior que o conjunto dos números naturais, isto é, um conjunto que contenha todos os números naturais, mas que também nos permita contar aquilo que não temos. Parece estranho? Considere a reta abaixo. 0

Nela tomamos a origem como sendo o número zero. Suponha que uma pessoa parta da origem para à direita, com passos medindo uma unidade de medida. Como estamos contando passos (1 passo, 2 passos,...) podemos usar os números naturais. 0

Se ela se desloca para à esquerda, também estaremos contando os passos e assim

59 poderemos usar números naturais, mas para indicar o sentido contrário ao inicial, usaremos o sinal de - antes do número.

−6

−5

−4

−3

−2

−1

Então na gura abaixo B −3

−2

A −1

a pessoa A deu 4 passos para à direita e a pessoa B deu 2 passos para à esquerda. Estes números naturais com o sinal - (menos) são chamados números inteiros

negativos. E os números naturais são chamados números inteiros positivos. O conjunto dos números inteiros, denotados por Z, é a união dos números positivos e negativos. Ou ainda, Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.

Os elementos do conjunto dos números inteiros são chamados números inteiros.

Observação 3.17.1: A operação de adição tem as mesmas propriedades que a adição dos números naturais. Hora do experimento 1! Passo 1: Você precisa de caderno e lápis. Passo 2: Escolha um número natural. Passo 3: Some este número com o mesmo número natural, mas com sinal -. Passo 4: O que aconteceu? Quando consideramos um número inteiro n, o número -n é chamado o oposto ou

inverso aditivo de n. E observe que se somarmos n e −n obtemos o número 0, como você deve ter concluído no experimento anterior.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Propriedades da Adição e Multiplicação em Z

Assim como zemos com os números naturais, listaremos as propriedades aritméticas da adição e da multiplicação dos números inteiros. Você perceberá que valem as mesmas propriedades: 1. Associatividade da Adição Para quaisquer números inteiros a, b e c tem-se (a + b) + c = a + (b + c)

2. Comutatividade da Adição Para quaisquer números inteiros a e b tem-se a+b=b+a

3. Existência do Elemento Neutro Aditivo Para qualquer número inteiro a, tem-se a+0=0+a=a

4. Existência do Elemento Inverso Aditivo Para qualquer número inteiro a, tem-se a + (−a) = (−a) + a = 0

5. Associatividade da Multiplicação Para quaisquer números inteiros a, b e c tem-se (ab)c = a(bc)

6. Comutatividade da Multiplicação Para quaisquer números inteiros a e b tem-se ab = ba

7. Existência do Elemento Neutro Multiplicativo Para qualquer número inteiro a, tem-se a1 = 1a = a

8. Distributividade Para quaisquer números inteiros a, b e c tem-se a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc

Relação de Ordem em Z

Para quaisquer números inteiros a, b e c tem-se 1. a ≤ a 2. Se a ≤ b e b ≤ a, então a = b 3. Se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c 4. a2 ≥ 0 5. Se a ≤ b e c ∈ Z, então a + c = b + c 6. Se a ≤ b e c ≥ 0, então ac ≤ bc 7. Se a ≤ b e c ≤ 0, então ac ≥ bc 8. Se a ≤ b e c ≤ d, então a + c ≤ b + d 9. Se 0 ≤ a ≤ b e 0 ≤ c ≤ d, então ac ≤ bd Já sabemos que a adição dos números inteiros é comutativa, isto é, m+n=n+m

quaisquer que sejam os inteiros m, n. Veremos que isto não é verdade com a subtração. Por exemplo, 2 − 1 6= 1 − 2. Percebeu? Portando, dizemos que a subtração não é comutativa. Durante o Ensino Médio, você terá a oportunidade de encontrar outra operação que não é associativa. Espere até o Segundo Ano. Agora vamos colocar algumas propriedades que dizem respeito à multiplicação que envolvem números negativos.

PROPRIEDADES 1. (−m)n = −mn 2. m(−n) = −mn 3. (−m)(−n) = mn

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Assim temos que (−2)3 = −6, (−2)(−3) = 6.

Exercício 3.17.2:

1. Escreva os seguintes subconjuntos dos números inteiros.

(a) A é o conjunto de todos os números inteiros maiores do que -2 e menores do que ou iguais a 7. (b) B é o conjunto dos números pares maiores do que ou iguais a -6 e menores do que 16. 2. Calcule. (a) 2-3 (b) 0-1 (c) -2-3 (d) 2- (-2) (e) 3(2-1) (f) (-3)(2-1) (g) (-3)(1-2) (h) -(2-1) (i) (-3)(-8) (j) (2-3)(5-2) (k) (7-1)(2-5)

Autoavaliação 3.17.3:

1. Entendo o que signi ca o sinal - na frente de

um número natural...., /

2. Sei fazer contas com números negativos...., /

3. Entendo o conceito de ordem nos números inteiros...., / 4. Entendo a função dos números negativos...., /

3.18 Potenciação dos Números Inteiros Só precisamos fazer o estudo para o caso do número inteiro ser negativo, pois quando é positivo, a situação é análoga à potenciação de um número natural. Vejamos alguns exemplos para você entender como surgirão as propriedades da potenciação.

Exemplo 3.18.1:

1. (−2)2 = (−2)(−2) = 4

2. (−2)3 = (−2)(−2)(−2) = −8 Estes dois exemplos ilustram a seguinte propriedade.

Proposição 3.18.2: Se n é um número natural, então: 1. (−x)n = xn se n é par. 2. (−x)n = −xn se n é ímpar.

Exemplo 3.18.3: Calcule e diga quais propriedades foram usadas. 1. (−3)2 + 7 = 9 + 7 = 16 2. (−1)4 − (−1)5 = 1 − (−1) = 1 + 1 = 2

Exercício 3.18.4: Resolva e diga quais propriedades você usou. 1. (−3)3 + (−1)7 2. (−2)5 + (−2)4 + (−2)3 + (−2)2 3. (−2)4 − (3)2

3.19 Números Racionais O conjunto dos números racionais surge diante de uma necessidade prática: como

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

podemos dividir R$100,00 em três partes iguais? Como você pode ver, 100 não é divisível por 3 e, portanto,

100 3

não é um número natural e nem um número inteiro.

Assim concluímos que no conjunto dos números inteiros, a divisão de dois números nem sempre é possível. Para resolver este problema, vamos criar um conjunto com todas as frações da forma pq , onde p, q são números inteiros e q é diferente de zero (q 6= 0). Este conjunto será denotado por Q e será chamado o

conjunto dos números

racionais. Em linguagem simbólica Q=

np q

o : p, q ∈ Z, q 6= 0 .

Os elementos do conjunto Q, a saber, as frações pq , com p, q ∈ Z e q 6= 0, são os

números racionais. Observação 3.19.1:

1. Temos N ⊂ Z ⊂ Q e estas inclusões são próprias, isto é,

nenhum destes três conjuntos são iguais. 2. O adjetivo racional é referência ao fato de qualquer número racional ser uma

razão entre dois números inteiros. Observe que os números inteiros também são números racionais. De fato, tome por exemplo o número inteiro 2. Note que 2 = 21 . Em geral, se m ∈ Z, então m = 3.19.1

m 1

∈ Q.

Igualdade de Números Racionais

Os números racionais 1, 11 , 22 , 33 ,

4 4

são iguais. Por quê? Veja o exemplo abaixo.

Exemplo 3.19.2: Se você tem 1 barra de chocolate é o mesmo que você ter 1 barra de chocolate e dividir ela só com você (ou seja, comê-la sozinho) que é 11 , que ainda é o mesmo que você ter 2 barras de chocolate e dividir elas com seu irmão, que é

2 2

(levando em conta claro, que vocês comerão a mesma quantidade, ou seja cada um vai comer 1 barra de chocolate). Mas e matematicamente, como justi camos isto? Precisamos de uma de nição!

De nição 3.19.3: Dois números racionais ab , dc , com a, b, c, d ∈ Z, b 6= 0 e d 6= 0,

65 são iguais, e denotaremos por c a = b d

se ad = bc.

Exemplo 3.19.4: 2. E por que 2 =

1. Agora sim podemos dizer que 2 1

2 2

= 33 , pois 2 · 3 = 2 · 3.

, como escrevemos na Observação 3.19.1? Boa pergunta!

Convencionamos que se n ∈ Z, então n = n1 . Disto segue que 2 = 12 . Da mesma forma que 0 = 01 . 3.19.2

Relação de Ordem em

Imagine que você participou de uma rifa na escola. A rifa teve dois prêmios. O primeiro foi de R$ 300,00 e teve 7 pessoas contempladas, enquanto que o segundo prêmio foi de R$ 400,00, com 10 pessoas. Você foi contemplado no primeiro prêmio e seu amigo Pedro foi contemplado no segundo prêmio. Vocês ainda não receberam o prêmio, mas você já sabe se você vai ganhar mais que o Pedro? Queremos saber qual dos números racionais

300 7

400 10

é maior?

Para responder a esta pergunta, temos a seguinte de nição.

De nição 3.19.5: Sejam ab e dc números racionais, com a, b, c, d ∈ Z, b 6= 0 e d 6= 0. Dizemos que ab é menor do que dc , e denotaremos por a c < , b d

se ad < bc.

Exemplo 3.19.6: A de nição anterior nos permite concluir que 400 300 < , 10 7

pois 2800 = 400 · 7 < 300 · 10 = 3000. Observe que se você tiver uma calculadora em mãos, você pode efetuar a divisão dos números e compará-los.

CAPÍTULO 3.

3.19.3

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Aritmética dos Números Racionais

Agora vamos relembrar algumas propridades aritméticas dos números racionais. Elas nos ensinarão como fazer contas com frações e se você dominá-las, terá mais facilidade em sua vida acadêmica. Sejam

a b

c d

números racionais. Vamos relembrar as operações entre números

racionais. Em primeiro lugar, lembre que a soma de dois números racionais é de nida da seguinte maneira

ad + bc a c + = . b d bd

Analogamente, temos a subtração a c ad − bc − = . b d bd

A multiplicação de dois números racionais é dada por a c ac · = , b d bd

enquanto que a divisão de dois números racionais é a c ad ÷ = . b d bc

Dado

a b

∈ Q e n ∈ N. A n-ésima

potência do número racional ab é dada por

a n b

De nimos também

a −n b

Seja a > 0 e

m n

∈ Q. A

an . bn

b n a

potência com expoente fracionário é de nida por m

an =

√ n am .

Exemplo 3.19.7: Procure explicar o que está sendo feito em cada um dos passos. 1. ( 32 )−1 =

2 3

2. 2 − ( 32 )2 = 2 − 232 = 2 − 94 = 2

2.9−4 9

18−4 9

14 9

Exemplo 3.19.8: 2.

1 3

−

1 3

1−2 4

4 6

6·1−3·4 3·6

1·4 3·6

4 18

1 3

4 6

6−12 18

−6 18

6·1+3·4 3·6

6+12 18

18 18

= 1.

= − 13 .

= 92 .

1·6 6 ÷ 64 = 3·4 = 12 = 21 . 1 5. − 13 = −1 = −3 = − 31 . 3 2 5

24 54 1

= 42 =

16 . 625

√ 41 = 2.

Hora do experimento 1! Passo 1: Você precisa de caderno e lápis. Passo 2: Escolha um número racional. Passo 3: Qual número você precisa somar ao seu número escolhido para obter o 0. Hora do experimento 2! Passo 1: Você precisa de caderno e lápis de novo. Passo 2: Escolha um número racional. Passo 3: Some o seu número escolhido com o número racional 0. Passo 4: O que aconteceu? Hora do experimento 3! Passo 1: Você precisa de caderno e lápis mais uma vez. Passo 2: Escolha um número racional. Passo 3: Qual número você precisa multiplicar pelo seu número escolhido a m de obter 1. Hora do experimento 4! Passo 1: Você precisa de caderno e lápis novamente. Passo 2: Escolha um número racional.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Passo 3: Multiplique o número escolhido pelo número racional 1. Passo 4: O que aconteceu? Hora do experimento 5! Passo 1: Você precisa de caderno e lápis. Passo 2: Escolha dois números naturais. Passo 3: Decida qual deles é o maior.

Observação 3.19.9: As propriedades listadas para os números naturais e inteiros, são verdadeiras também no conjunto dos números naturais.

Exercício 3.19.10: Calcule e simpli que. 1.

2 3

−

3 2

7 2

1 7

2 3

7 4

3 2

2 3

7. 8.

÷ 45 4 3 2

−3 1 3

9. 5 3

10. 2− 3 4

11.

9−2 4

12.

92 4

13.

27 3 8

69 14.

125 − 3 343

Determine x nas expressões abaixo 1.

x 4

= 2x + 1

1 2

+x=

3 4

3. 3x + 2 =

5x−4 2

4. 35 x + 5 =

x 2

5. 37 x =

1 2

6. 7x − 2 = 52 x 7.

1 6

x 4

Calcule

x y

1 3

x2 y2

1. x = 1, y =

1 2

2. x = 12 , y =

3 5

3. x = 32 , y =

1 3

4. x = 17 , y = 7

nos itens abaixo

CAPÍTULO 3.

Autoavaliação 3.19.11: /

NOÇÕES DE CONJUNTOS

1. Sei dar exemplos de números racionais....,

2. Sei que um número natural é também um número racional...., / 3. Sei que um número inteiro é também um número racional...., / 4. Sei dizer quando dois números racionais são iguais...., /

5. Sei dizer quando um número racional é maior do que outro número racional...., /

6. Sei somar, subtrair, multiplicar, dividir números racionais...., / 7. Sei calcular potências de números racionais...., /

3.19.4

Representação decimal dos números racionais

Sabemos que todo número racional é da forma pq , onde p e q são números inteiros e q 6= 0. Queremos escrever

p q

na forma decimal, isto é, p = a0 , a1 a2 a3 ... q

onde a0 ≥ 0 e a1 , a2 ,... são dígitos pertencentes ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Caso 1: Vamos começar com frações decimais, iso é, frações pq , onde q é uma potência de 10.

Exemplo 3.19.12: São exemplos de frações decimais:

1 10

7 1000

7 103

28047 100

28047 102

Nestes casos, basta dividir por 10, 1000 e 100, respectivamente. Logo obtemos 7 28047 1 = 0, 1, = 0, 007, = 280, 47. 10 1000 100

Caso 2: O denominador tem apenas fatores 2 e/ou 5. Neste caso, é possível transformar a fração numa fração decimal. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 3.19.13:

1 2

1·5 2·5

5 10

= 0, 5. Neste caso, multiplicamos o numera-

dor e o denominador por 5. 2.

1 5

1·2 5·2

2 10

= 0, 2. Neste caso, multiplicamos o numerador e o denominador

por 2. 3.

1 20

1 10·2

1·5 10·2·5

5 10·10

5 100

= 0, 05.

Assim basta multiplicarmos o numerador e o denominador por múltiplos de 2 ou 5, até que o denominador se torne uma potência de 10.

Exercício 3.19.14: Encontre as representações decimais nos itens abaixo seguindo o modelo dos exemplos 1.

7 10

71 20

150 16

7 25

Caso 3: O denominador possui pelo menos um fator diferente de 2 e 5. Neste caso não possuimos uma forma direta de obter a solução e devemos fazer a divisão. O que podemos dizer com certeza é que nos casos 1 e 2 sempre obteremos uma

representação decimal nita de pq , q 6= 0, isto é, quando executarmos a divisão de p por q , o número de casas depois da vírgula é nita. Con ra os exemplos anteriores. As representações decimais dos números naturais podem ser classi cadas como

nitas ou in nitas. Como já dissemos anteriormente, as representações decimais são nitas quando o número de casas depois da vírgula são nitas, caso contrário são in nitas. As representações decimais serão nitas apenas nos casos 1 e 2. O caso 3 sempre fornecerá representações decimais in nitas.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

As representações decimais in nitas de um número racional do caso 3 sempre são periódicas, isto é, quando os primeiros n dígitos depois da vírgula começam a se repetir, inde nidamente, na mesma ordem.

Exemplo 3.19.15:

120 99

= 1, 2121212121...

3 999

= 0, 003003003...

1 3

= 0, 333333...

Exercício 3.19.16: Encontre as dízimas periódicas nos itens abaixo. 1.

1 7

1 12

3 11

10 9

Dada uma representação decimal, é possível encontrar um número racional da qual ela seja uma representação decimal? A resposta é não! Só é possível quando a representação decimal é nita ou é periódica. Vejamos como fazer isto.

Exemplo 3.19.17: Represente o número 0, 33333... na forma pq , q 6= 0. Resolução: Se x = 0, 33333...

então multiplicando ambos os lados da igualdade por 10 obtemos 10x = 3, 33333...

O lado direito pode ser reescrito como 10x = 3 + 0, 33333...

73 ou ainda 10x = 3 + x.

Somando-se −x a ambos os lados temos 10x − x = 3 + x − x,

ou ainda 9x = 3.

Dividindo ambos os lados por 9, temos 1 x= . 3

Seja x uma representação decimal nita ou periódica. Então sempre é possível encontrar um número racional pq , q 6= 0, de modo que p x= . q p q

é chamada fração geratriz.

Exercício 3.19.18: Encontre a fração geratriz de cada uma das representações decimais abaixo 1. 0, 02 2. 0, 111111... 3. 0, 222222... 4. 0, 181818... 5. 0, 118118... 6. 2, 535353...

Exercício 3.19.19: Usando frações geratrizes, calcule 1. 0, 333333... × 0, 515151...

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

2. 0, 282828... × 0, 181818... 3. 0, 777777... × 0, 123123123... 4. 0, 151515... × 0, 181818...

Autoavaliação 3.19.20:

1. Entendo a diferença entre representação de-

cimal nita e in nita...., /

2. Sei encontrar a representação decimal de um número racional pq , q 6= 0...., / 3. Sei o que é fração geratriz...., /

4. Dada uma representação decimal nita ou periódica, sei encontrar a fração geratriz dela...., /

3.20 Exercícios de Revisão Exercício 3.20.1: (PUC-SP) Um número racional qualquer a) tem sempre um número nito de casas decimais. b) tem sempre um número in nito de casas decimais. c) não pode expressar-se em forma decimal exata. d) nunca se exprime em forma decimal exata. e) nenhuma das anteriores.

Exercício 3.20.2: Decida se as seguintes a rmações são verdadeiras ou falsas. 1. O conjunto dos números racionais é de nido por Q=

np q

o : p ∈ Z, q ∈ Z .

2. Entre dois números racionais sempre existe um número racional.

3.20.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

3. O número zero não é um número racional. 4. A divisão de dois números racionais, não nulos, nem sempre é um número racional. 5. O número 0,9999 é igual a 1. 6. Se uma dízima periódica possui in nitas casas decimais depois da vírgula, então o número não é racional.

3.21 Números Reais Já vimos que os números naturais são resultados de contagens, os números inteiros negativos indicam quantidades que faltam ou um sentido contrário e o conjunto dos números racionais é o ambiente que qualquer divisão por um número não nulo é permitida. Aparentemente estes números seriam su cientes para todas as nossas necessidades. Mas isto não é verdade. Considere o quadrado de lado 1 abaixo. D 1 A

C d 1

Então a medida da diagonal d pode ser calculada usando o Teorema de Pitágoras, no triângulo ABC , a saber, d2 = 12 + 12 ⇒ d2 = 2 ⇒ d =

Mas, pode-se mostrar que

√

2 não é nenhum dos números encontrados anterior-

mente. Ele existe, pois é o comprimento da diagonal do quadrado de lado medindo uma unidade.

CAPÍTULO 3.

Se você está interessado em ver como mostrar que

NOÇÕES DE CONJUNTOS

√

2∈ / Q veja a proposição a

seguir, caso contrário, você pode desconsiderar a proposição.

Proposição 3.21.1:

√ 2∈ / Q.

Demonstração: Suponhamos que

√

2 seja um número racional, ou seja,

√ p 2= q

(3.4)

onde p, q ∈ Z, com q 6= 0. Além disso, vamos supor que p e q não tenham nenhum fator em comum, ou seja,

p q

De (3.4) temos que

é uma fração irredutível. √ p = q 2.

(3.5)

Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados de (3.5) ao quadrado, obtendo (3.6)

p2 = 2q 2 .

Note que p2 é um número par, pois é um múltiplo de 2 (por (3.6)). Sabe-se que se um número elevado ao quadrado é par, então ele é par. Assim sendo p = 2k , para algum k ∈ Z. Assim (3.6) torna-se (3.7)

(2k)2 = 2q 2 .

Dividindo ambos os lados de (3.7) por 2, temos q 2 = 2k 2 .

Como antes, concluímos que q 2 é par, e consequentemente, q é par. Assim 2 é um fator comum a p e q , contrariando a nossa hipótese inicial da fração √ Portanto 2 não é um número racional.

p q

ser irredutível.

√

Observação 3.21.2: Na proposição anterior, demonstramos que 2 não é um número racional. Para isso, usamos um método de demonstração chamado prova por

contradição ou redução ao absurdo, que consiste em supor como não sendo verdade o que queremos provar e no decorrer da demonstração chegamos a uma contradição, isto é, um fato que é falso.

3.20.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

Assim vimos que existem números x, tal que x ∈ / Q, ou seja, números que não podem ser representados por frações. Estes são os números irracionais e o conjunto contendo todos estes elementos é chamado o conjunto dos números irracionais.

Observação 3.21.3:

1. A interseção do conjunto dos números racionais com o

conjunto dos números irracionais é o conjunto vazio, isto é, não existe nenhum número simultaneamente racional e irracional. 2. Os números irracionais têm representação decimal in nita não periódica. Por exemplo,

√ 2 = 1, 414213562373095...

O conjunto que se obtém unindo-se o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais é chamado o conjunto dos números reais, denotado por R. Os elementos de R são chamados

números reais.

O conjunto dos números reais pode ser representado geometricamente por meio de uma reta orientada. Escolhemos um ponto sobre esta reta e o chamamos de zero. Os pontos que estão à direita do zero são os números positivos e os que cam à esquerda de zero são os

números negativos.

√ 2

−6

−5

−4

Observação 3.21.4:

−3

−2

−1

−1 2

1 2

3 2

√

1. Se x é um número real positivo, então podemos escrever

x > 0.

2. Se x é um número real negativo, então podemos escrever x < 0. 3. Se x > 0, então −x < 0. 4. Se x < 0, então −x > 0. Isto signi ca dizer que um número real e seu inverso aditivo são equidistantes do zero, ou seja, a distância de x a 0 e a distância de −x a 0 são iguais.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

5. Qualquer número positivo é maior que qualquer número real negativo. 6. Dizemos que um número real x é não negativo, se x ≥ 0. 7. Dizemos que um número real x é não positivo, se x ≤ 0.

Exercício 3.21.5: (FGV-SP) Quaisquer que sejam o número racional x e o irracional y , pode-se dizer que: a) xy é racional. b) y 2 é irracional. c) x + y é racional. √

d) x − y + 2 é irracional. e) x + 2y é irracional.

Autoavaliação 3.21.6:

1. Entendo que existem números que não são

racionais...., /

2. Sei a representação decimal de um número irracional...., /

3. Sei o que é um número real...., /

4. Sei o que é um número positivo...., /

5. Sei o que é um número negativo...., /

3.22 Relação de Ordem no Conjunto dos Números Reais Já sabemos que N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R, mas no conjunto dos números reais destacam-se alguns conjuntos especiais, dos quais falaremos na próxima seção. Para isto precisaremos de uma relação de ordem em R.

De nição 3.22.1: Sejam a, b ∈ R. Dizemos que a é menor do que b e denotamos a < b, se a − b < 0. Analogamente, dizemos que a é maior do que b, e denotamos

3.20.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

por a > b, se a − b > 0.

Exemplo 3.22.2: 2.

3 4

√ 3, pois

1. 2 > 1, pois 2 − 1 = 1 > 0. 3 4

−

√

√ 3−4 3 4

3. − 12 < − 31 , pois − 12 − (− 31 ) =

< 0. −3+2 2·3

= − 16 < 0

A m de dizermos quando dois números reais são iguais, temos a seguinte:

De nição 3.22.3: Sejam a, b ∈ R. Dizemos que a é menor do que ou igual b e denotamos a ≤ b, se a − b ≤ 0. Analogamente, dizemos que a é maior do que ou igual b, e denotamos por a ≥ b, se a − b ≥ 0. Agora vamos ver como se relacionam a adição de números reais e a relação de ordem.

Proposição 3.22.4: Sejam x, y, z, w números reais tais que x ≤ y e z ≤ w. Então x+z ≤y+w

A desigualdade acima pode ser entendida como dizendo que se somarmos duas desigualdades, o sinal de desigualdade permanece inalterado, isto é, ele não se inverte.

Exemplo 3.22.5: Como −1 ≤ 2 e 3 ≤ 5, então −1 + 3 ≤ 2 + 5. Observação 3.22.6: É verdade que se x + z ≤ y + z para quaisquer números reais x, y, z, então x ≤ y. Em particular, se x + z = y + z, então x = y . Esta propriedade

é conhecida como a Lei do Cancelamento da Adição. A relação entre a multiplicação e a relação de ordem é mais sensível. Para ver isso, considere o exemplo abaixo.

Exemplo 3.22.7: Note que −2 ≤ 1 e −3 ≤ 1, mas não é verdade que (−2)(−3) ≤ 1.1, pois no lado esquerdo da desigualdade temos 6 e do lado direito temos 1 e sabemos

que 6 é maior do que 1.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Não pense que devemos mudar o sentido da desigualdade, pois isso não funcionaria também em outros casos. O que temos com certeza é o seguite resultado.

Proposição 3.22.8: Se x, y, z, w são números reais tais que 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ z ≤ w, então xz ≤ yw

Em palavras, se você multiplica desigualdades de mesmo sentido, com todos os números sendo positivos, a sentido da desigualdade é conservada. Vamos listar mais algumas propriedades da relação de ordem em R. Sejam a, b e c números reais. Tem-se que 1. Vale uma, e somente uma, das três possibilidades: a < b, a > b ou a = b. Exemplo: Sejam a = 1 e b = 2. Então a = 1 < 2 = b. 2. Se a ≤ b e b ≤ a, então a = b. 3. Se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c. Exemplo: Sejam a = 1, b = 2 e c = 3. Temos a = 1 ≤ 2 = b, b = 2 ≤ 3 = a e também a = 1 ≤ 3 = c. 4. Se a ≤ b, então a + c ≤ b + c. Exemplo: Sejam a = 1, b = 2 e c = 2. Agora a = 1 ≤ 2 = b. E a + c = 1 + 2 = 3 ≤ 4 = 2 + 2 = b + c.

5. Se a ≤ b e c ≥ 0, então ac ≤ bc. Exemplo: Sejam a = 1, b = 2 e c = 2. Agora a = 1 ≤ 2 = b e c = 2 ≥ 0. E ac = 1 · 2 = 2 ≤ 4 = 2 · 2 = bc.

6. Se a ≤ b e c ≤ 0, então ac ≥ bc. Exemplo: Sejam a = 1, b = 2 e c = −2. Agora a = 1 ≤ 2 = b e c = −2 ≤ 0. E ac = 1 · (−2) = −2 ≥ −4 = 2 · (−2) = bc.

3.20.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

7. Se 0 < a ≤ b, então 0 <

1 b

≤ a1 .

Exemplo: Sejam a = 2 e b = 7. Agora 0 < a = 2 ≤ 7 = b e 0 <

1 7

≤ 12 .

Autoavaliação 3.22.9:

1. Sei dizer quando um número real a é menor do que um número real b...., /

2. Consigo listar as principais propriedades da relação de ordem em R...., /

3.23 Intervalos Agora sim estamos prontos para falar em intervalos, que são subconjuntos importantíssimos do conjunto dos números reais.

Exemplo 3.23.1: Sejam a, b ∈ R com a ≤ b. Então podemos formar o subconjunto I de R consistindo de todos os números reais x tais que a < x e x < b, isto é, I = {x ∈ R : a < x < b},

que denotaremos por I = (a, b) ou I =]a, b[ e chamaremos de intervalo aberto em a

e em b. Esboçamos geometricamente com uma bolinha aberta em a e em b, signi cando

que a ∈ /I eb∈ / I. a

Exemplo 3.23.2: Esboce o intervalo I = (1, 5). Resolução: 0

Temos que 2 ∈ I ,

3 2

∈ I,

1 5 2

∈ I,

2 √

3 ∈ I , mas note que 1 ∈ / I, 5 ∈ / I, 0 ∈ / I (pois

0 < 1). Observe que o intervalo I possui in nitos números reais.

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Exemplo 3.23.3: Sejam a ∈ R. Então podemos formar o subconjunto I de R consistindo de todos os números reais x tais que a ≤ x, isto é, I = {x ∈ R : a ≤ x},

que denotaremos por I = [a, +∞) e chamaremos de intervalo fechado à esquerda. Neste caso, observe que a ∈ I e assim esboçamos I com uma bolinha pintada (fechada) em a. a

Exercício 3.23.4:

1. Escreva um intervalo fechado em a e b, com a ≤ b, na

notação de conjuntos e esboce geometricamente na reta R. 2. Escreva um intervalo fechado em a e aberto em b, com a ≤ b, na notação de conjuntos e esboce geometricamente na reta R. 3. Escreva um intervalo aberto em a e fechado em b, com a ≤ b, na notação de conjuntos e esboce geometricamente na reta R. 4. Escreva um intervalo fechado à direita, na notação de conjuntos e esboce geometricamente na reta R.

Observação 3.23.5:

1. ∅ é considerado como um intervalo aberto e fechado.

Podemos escrever ∅ = (0, 0). 2. (−∞, +∞) =] − ∞, +∞[= R a reta toda, é também considerado um intervalo aberto e fechado. 3. Um ponto é um intervalo fechado, chamado intervalo degenerado. De fato, dado a ∈ R, temos que a = [a, a]. 4. Os intervalos da forma [a, b], (a, b], [a, b), (a, b) são limitados e os da forma [a, ∞), (a, ∞), (−∞, a), (−∞, a] são ilimitados.

3.20.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

Autoavaliação 3.23.6:

1. Sei dizer o que é um intervalo...., /

2. Sei dizer os tipos de intervalos...., /

3. Sei dizer quando um número real x pertence ou não a um intervalo...., /

3.24 União e Interseção de Intervalos Nesta seção vamos fazer um estudo dos intervalos de números reais do ponto de vista de conjuntos. Vamos começar com a união de intervalos.

União de Intervalos Para começar, considere os intervalos de números reais I = (0, 5] e J = [−1, 1). Queremos determirnar qual será o subconjunto dos números reais formado pela união destes dois intervalos. Veja a gura abaixo onde representamos em duas retas reais estes intervalos. −1

−1

O que será a união destes dois intervalos? A resposta é o conjunto de todos os pontos "coloridos" da gura abaixo. Por quê? Como a união de dois conjuntos é o conjunto formado pelos pontos que estão em pelo menos um dos conjuntos, a união é formada pelos pontos "coloridos" da gura abaixo −1

Em símbolos, teríamos L = I ∪ J e em notação de conjuntos I ∪ J = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 5}

CAPÍTULO 3.

Observação 3.24.1:

NOÇÕES DE CONJUNTOS

1. A união de dois intervalos não precisa ser um intervalo.

Para ver isso, considere os intervalos I = [0, 1] e J = [2, 3] cuja união (repita o processo acima) é o conjunto [0, 1] ∪ [2, 3], ou na reta real é o conjunto −1

que você pode notar, não é um intervalo. De fato, veja que 1 2

1 2

≥0e

1 2

< 3, mas

∈ / I ∪J

2. Podemos fazer a união de dois ou mais intervalos. Veja nos exercícios a seguir.

Interseção de Intervalos Considere os dois intervalos I = [0, 1) e J = [ 21 , 2] de R. Como zemos no caso da união, vamos representar estes intervalos na reta real. −1

−1

A interseção destes dois intervalos é o intervalo constituído de todos os pontos "pintados" de verde da gura abaixo, pois a interseção de dois conjuntos nada mais é do que o conjunto formado por todos os pontos que são comuns aos dois conjuntos. Veja a gura abaixo −1

Veja que o ponto 1 foi "pintado" no segundo intervalo, mas não foi no primeiro. Por isso ele foi excluído. Em notação de intervalos, temos que I ∩ J = [ 21 , 1) e em notação de conjuntos I ∩ J = {x ∈ R :

Observação 3.24.2:

1 ≤ x < 1} 2

1. A interseção de dois intervalos não vazios é um intervalo.

3.20.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

2. A interseção de dois intervalos pode ser o conjunto vazio. Para ver isso, considere I = [0, 1] e J = [2, 3] e suas respectivas representações na reta real. −1

−1

Note que não tem nenhum ponto "pintado" em comum nas duas retas reais. Portanto, temos I ∩ J = ∅. 3. Como no caso da união de conjuntos, podemos fazer a interseção de dois ou mais conjuntos.

Exercício 3.24.3:

1. Determine as uniões e interseções dos intervalos. Esboce

os intervalos na reta real e escreva a resposta na notação de conjuntos. (a) (1, 6) ∩ (2, 7) (b) (−2, 2] ∪ [−3, 1) ∪ [7, 8) (c) (−1, 4) ∩ [4, 5] (d) (−1, 4) ∪ [4, 5] (e) ∅ ∩ [1, 3) (f) ∅ ∪ [1, 3) (g) R ∩ [−2, 3] (h) R ∪ [−3, 2] (i) (−3, 5) ∩ [1, 7) ∩ (0, 4] (j) (1, 2) ∪ {(0, 5] ∩ [1, 6)} (k) (1, 2) ∩ {(0, 5] ∪ [1, 6)} 2. Escreva os seguintes intervalos na notação de conjunto e determine pelo menos 5 elementos de cada intervalo (conjunto). Esboce os intervalos e os elementos que você determinou. a) (1, 2)

b) [−1, 3)

c) [0, 21 ]

CAPÍTULO 3.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

3. Escreva os seguintes intervalosna notação de conjunto a) 0

−4

−3

−2

−1

−4

−3

−2

−1

−4

−3

−2

−1

Autoavaliação 3.24.4: intervalos...., /

1. Consigo determinar a interseção de dois

2. Consigo determinar a união de dois intervalos...., /

Capítulo 4 Funções 4.1 Domínio, Contradomínio e Regra Seja A o conjunto dos seus colegas de sala. Escreva o conjunto A. Vamos escrever um conjunto A apenas para ilustrar:

A = {Kaka, Mara, Alex, Dudu, Gugu, Nati, Pedro, Paulo}.

Agora veja que a cada pessoa do conjunto A podemos associar o número de seus amigos no Facebook. Assim, podemos dizer que Kaká tem 350 amigos, Mara tem 550 amigos, Alex tem 600 amigos, Dudu tem 100 amigos, Gugu tem 230 amigos, Nati 87

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

tem 700 amigos, Pedro tem 350 amigos e Paulo tem 350 amigos. Kaká

350

Mara

550

Alex

600

Dudu

100

Gugu

230

Nati

700

Pedro

350

Paulo

350

Observe que a cada elemento do conjunto A associamos um número natural. Assim criamos um regra associando a cada elemento do conjunto A um elemento do conjunto N.

Esta é a ideia do conceito de função, você tem dois conjuntos A e B e uma regra dizendo como associamos elementos do conjunto A a elementos do conjunto B . Note ainda que esta regra não pode ser de qualquer forma. Observe que a cada elemento do conjunto A foi associado um único número, ou seja, Kaká tem 350 amigos. Note que Kaká não pode ter 350 amigos e 351 amigos simultaneamente. Assim a cada

elemento do conjunto A associamos um único elemento do conjunto B . Vale a pena ressaltar que tanto Kaká quanto Paulo têm o mesmo número de amigos, a saber 350 amigos, o que pode de fato acontecer, veja que isto não é um problema. Mas observe também que todas as pessoas do conjunto A tem um número de amigos associado a ela, na pior das hipóteses alguém não terá amigos, ou seja, 0 amigos. Uma forma de representar uma função entre o conjunto A e o conjunto B matematicamente é escrevendo f : A → B . Geometricamente, representamos por meio de

89 diagramas de Venn. f

O primeiro conjunto é chamado domínio ou conjunto de partida e o segundo conjunto é chamado de contradomínio ou conjunto de chegada. O domínio será denotado por Dom(f ).

Observação 4.1.1:

1. Gostaríamos de dizer que nem tudo é função, ou seja, nem

toda regra origina uma função. Vejamos um exemplo de uma relação entre dois conjuntos que não é uma função. 0

A 1

Neste caso, o domínio da função f é o conjunto A = {1, 3}, o contradomínio da função f é o conjunto B = {0, 3, 4, 5}. Repare que o número natural 3 está associado a dois elementos distintos do conjunto B, a saber, aos números naturais 3 e ao 4. Para uma relação ser uma função, precisamos que cada elemento do conjunto A esteja associado a um único elemento do conjunto B e que todo elemento do conjunto A esteja associado a algum elemento do conjunto B . 2. Note que para termos uma função, precisamos inicialmente de dois conjuntos e "alguma coisa" que associe a cada elemento do conjunto A um único elemento do conjunto B . Vamos chamar esta "alguma coisa" de lei de correspondência

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

ou regra. Vejamos um exemplo para ilustrar o que estamos querendo dizer. B

Neste exemplo, o domínio da função f é o conjunto A = {1, 2, 3} e o contradomínio da função f é o conjunto B = {4, 5, 6} e a regra é tal que associa 1 ao 4, 2 ao 5 e 3 ao 5, neste caso, escrevemos f (1) = 4, f (2) = 5 e f (3) = 5. O conjunto formado por f (1), f (2) e f (3) é o conjunto imagem de f , denotado por Im(f ) ou f (A). Assim Im(f ) = {f (1), f (2), f (3)} = {4, 5}. Neste exemplo particular, observe que a imagem não é igual ao contradomínio, ou seja, Im(f ) 6= B . 3. Como destacamos no item anterior, uma função é conhecida por três características: o domínio, o contradomínio e a regra. Assim para que possamos dizer que duas funções são iguais, devemos ter estas três condições iguais. Assim, dadas duas funções f : A → B e g : C → D, dizemos que as funções f e g são iguais e denotamos por f = g , quando A = C (elas têm o mesmo domínio), B = D (elas têm o mesmo contradomínio) e f (x) = g(x), para qualquer x ∈ A = C (elas têm a mesma regra).

De nição 4.1.2: Seja f : A → B uma função. A imagem de f é o conjunto Im(f ) = {f (x) : x ∈ A}.

Notação 4.1.3: A notação para o conjunto imagem de f é Im(f ) ou f (A).

Exemplo 4.1.4: Considere A = {2, 5, 7} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 15}, dois conjuntos, e a seguinte lei de correspondência: a cada elemento do conjunto A será associado o seu dobro, ou seja, duas vezes ele. Assim 2 será associado a 4, 5 será associado a 10 e 7 será associado a 14. B A

2 5 7

Temos que A = {2, 5, 7} é o domínio da função f , B = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 14, 15} é o contradomínio de f e a regra f que associa f (2) = 4, f (5) = 10 e f (7) = 14. Note que neste exemplo a Im(f ) é o conjunto formado por Im(f ) = {f (2), f (5), f (7)} = {4, 10, 14}. Observe que Im(f ) é um subconjunto do contradomínio B , ou seja, Im(f ) ⊆ B . B 4

10 14

Im(f )

Os elementos 4, 10, 14 são chamados as imagens dos elementos do domínio 2, 5, 7, pela regra f , respectivamente.

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

Exemplo 4.1.5: Considere a função f : {1, 2} → {3, 4}. A

Considere agora a função g : {1, 2} → {3, 4, 5} A

3 1

4 2

Observe que embora Dom(f ) = {1, 2} = Dom(g) e f (1) = 3 = g(1), f (2) = 4 = g(2) (ou seja, elas têm mesmo domínio e regra), f 6= g , pois o contradomínio de f , a saber {3, 4}, é diferente do contradomínio de g , dado por {3, 4, 5}.

Em geral, quando for possível, escrevemos a lei de correspondência em símbolos matemáticos. Vejamos um exemplo de como obter uma fórmula para a lei de correspondência.

Observação 4.1.6: No exemplo anterior, a lei de correspondência associava o número ao seu dobro. Sabemos que se x é um número, então o dobro de x é 2x. Então a lei de lorrespondência associa x a 2x. Geralmente, usamos as letras minúsculas f , g , h para denotar a lei de correspondência e se x é um número (pertencente ao domínio), f (x) denota o elemento que a regra associou, f (x) pertence ao contradomínio. No

nosso exemplo, x foi associado a 2x e daí podemos escrever a lei de correspondência como f (x) = 2x. Vale a pena observar, que neste caso escrevemos f : A → B, onde f (x) = 2x

93 para dizer que f é uma função com domínio A, contradomínio B e com regra f (x) = 2x.

Exemplo 4.1.7: Considere a função f 1

3 4 2 7

Observe que o domínio de f é dado por Dom(f ) = {1, 2}, o contradomínio é dado por {1, 3, 4, 7} e a regra de f é f (1) = 3 e f (2) = 4. Observe que neste caso podemos dizer que, f : {1, 2} → {1, 3, 5, 7} é de nida por f (x) = x + 2. Note ainda que a imagem de f é Im(f ) = {3, 4} ⊂ {1, 3, 4, 7} = B .

Exercício 4.1.8:

1. Decida quais dos diagramas são funções. Justi que sua res-

posta. Em caso a rmativo, encontre o domínio, o contradomínio e a imagem.

(a)

CAPÍTULO 4.

(b)

(c)

(d)

1 a 2 3 b 4

FUNÇÕES

95 (e) 3

4 b 5 c 6 d 7

(f) A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 5}. Lei de correspondência: x está associado a todos os números naturais maiores do que ele. (g) A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}. Lei de correspondência: x está associado a um único número natural menor do que ele. (h) A = {1, 3, 5, 7}, B = N. Lei de correspondência: x está associado a um número natural dado por x5 + x4 − x2 + 49. 2. Encontre a lei de correspondência, o domínio, o contradomínio e a imagem. (a) −7 −6

−2 −3 −1 0 0 1 1 3 2 4 3 6 9

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

R: f (x) = 3x (b) −2

R: f (x) = x + 2 (c) A

R: f (x) = x2

−2

−1

97 (d) A

−2

−3

−1

R: f (x) = 2x + 1 (e)

−10

−2

−8

−1

8 10

R: f (x) = x3

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

(f) A

−2

−1

R: f (x) = x (g)

−5

−2

−3

−1

3 5

R: f (x) = 0

Autoavaliação 4.1.9:

1. Entendo que uma função não é apenas a lei de correspondência ou a regra...., /

2. Sei nomear os conjuntos que aparecem numa função...., /

3. Reconheço as três características que de nem uma função...., / 4. Sei dar exemplos de funções...., /

5. Sei dizer quando duas funções são iguais...., / 6. Sei o que é a imagem de um elemento x...., / 7. Sei o que é a imagem de uma função...., /

4.2 Produto Cartesiano de Conjuntos Quando o conjunto de partida ou o contradomínio de uma função tem in nitos elementos, a representação por diagramas de Venn não é possível. Para entender essa impossibilidade, imagine f :R→R

de nida por f (x) = x2 . Sabemos que R tem in nitos elementos e sendo assim, nunca conseguiríamos escrever todos os elementos do conjunto dos números reais dentro de um diagrama de Venn. Nosso objetivo é o seguinte: dada uma função f : A → B , construir uma representação grá ca que nos permita visualizá-la geometricamente. Para fazermos isso, precisamos de um novo conjunto que chamaremos de produto cartesiano. Vejamos como construir este novo conjunto. Sejam A = {a, b} e B = {1, 3, 5} dois conjuntos. Qualquer um dos elementos (a, 1), (a, 3), (a, 5), (b, 1), (b, 3) e (b, 5) é chamado par ordenado. Por que par ordenado? Bom, é um par de objetos, pois temos dois elementos. Por exemplo em (a, 1), guram os dois objetos a e 1. É ordenado, pois estes objetos estão ordenados, ou seja, em primeiro o objeto a, que é a primeira coordenada do par

100

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

ordenado e em segundo o objeto 1, que é a segunda coordenada do par ordenado. A medida que formos avançando, veremos que existe diferença entre os pares ordenados (a, 1) e (1, a), ou seja, a ordem que aparecem as coordenadas é importante.

O conjunto de todos esses pares ordenados é chamado o produto cartesiano de A

e B e será denotado por A × B . Assim A × B = {(a, 1), (a, 3), (a, 5), (b, 1), (b, 3), (b, 5)}.

Observação 4.2.1:

1. Note que os pares ordenados são formados da seguinte

forma: a primeira coordenada é um elemento do conjunto A e a segunda coordenada é um elemento do conjunto B . 2. Os conjuntos A × B e B × A, em geral, são diferentes. Note que (a, 1) ∈ A × B e (a, 1) ∈ / B × A, pois observe que B × A = {(1, a), (1, b), (3, a), (3, b), (5, a), (5, b)}.

Agora vamos generalizar o conceito. Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Então o conjunto A × B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}

é chamado o produto cartesiano de A e B . O elemento (a, b) é chamado de

par ordenado, a é a primeira coordenada e b é a segunda coordenada do par ordenado. Convencionamos que A × ∅ = ∅, ∅ × B = ∅ e ∅ × ∅ = ∅.

Observação 4.2.2: Quanto ao número de elementos do conjunto A × B temos n(A × B) = n(A)n(B).

Para ilustrar esta fórmula, veja o exemplo discutido no início da seção. Temos que n(A) = 2, n(B) = 3 e n(A × B) = 6.

Exercício 4.2.3: Determine A × B e B × A. A × B = B × A? Justi que. Determine n(A × B) e n(B × A) nos itens abaixo.

101 1. A = {2, 4, 6}, B = {x, y, z}. 2. A = {1}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. √ √ √

3. A = {x ∈ R : x < 2 e x > 3}, B = { 2, 3, 5}. 4. A = { 12 , 13 , 41 , 15 }, B = {2, 3, 4, 5}. 5. A = B = {1, 2, a, b, 3, c}

Exercício 4.2.4: Decida se cada um dos itens abaixo é verdadeiro ou falso. Justi que sua resposta. 1. Os pares ordenados (1, 2) e (2, 1) são iguais. 2. R × ∅ = R. 3. Dados quaisquer dois números reais, sempre é possível formar um par ordenado com eles. 4. Se A = {1} e B = {2}, então n(A × B) = 2.

Autoavaliação 4.2.5:

1. Entendo porque o par (a, 1) é chamado

ordenado...., /

2. Entendo que os pares ordenados (1, 2) e (2, 1) são objetos diferentes...., /

3. No par ordenado (a, 1) sei o nome dos elementos a e 1...., / 4. Sei descrever o conjunto A × B ...., /

5. Sei dizer quantos elementos tem o conjunto A × B ...., /

4.3 Plano Cartesiano

102

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

Sejam A = B = R e f : R → R uma função. Lembre que, para cada x ∈ R, f (x) também é um número real (f (x) pertence ao contradomínio da função f , a saber B = R). Assim, uma função fornece, para cada elemento x no seu domínio, um

elemento f (x) no seu contradomínio (chamado a imagem de x) e consequentemente temos um par ordenado (x, f (x)) ∈ R × R. Se A = B = R, então o plano cartesiano R × R, denotado por R2 , é o conjunto formado pelos pares ordenados, onde ambas as coordenadas são números reais. Em notação de conjunto R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}.

Vamos representar geometricamente este objeto matemático da seguinte forma. Na reta real ordenada abaixo escolha o ponto 0 e o denote por O. Este ponto O é a origem do plano cartesiano. 0

Agora trace pelo ponto O uma reta real ordenada, formando um ângulo de 90◦ com a reta anterior, como na gura abaixo.

Pelo fato das duas retas serem perpendiculares entre si, o plano cartesiano também é chamado sistema cartesiano ortogonal. A reta real horizontal é chamada eixo das abscissas ou eixo x e a reta vertical é chamada eixo das ordenadas ou eixo y . Estes dois eixos são chamados eixos

103

coordenados. Observe que traçando estas duas retas, dividimos o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. Observe a gura abaixo. y eixo das ordenadas ou eixo y

2◦ quadrante

1◦ quadrante

eixo das abscissas ou eixo x x

0 3◦ quadrante

4◦ quadrante

Observe que qualquer ponto do eixo das abscissas é da forma (x, 0) (ou seja, a segunda coordenada é sempre nula) e qualquer ponto do eixo das ordenadas é da forma (0, y) (isto é, a primeira coordenada é sempre 0). y (x, y), x ≤ 0, y ≥ 0

(0, y)

(x, y), x ≥ 0, y ≥ 0

(x, 0) 0 (x, y), x ≤ 0, y ≤ 0

x (x, y), x ≥ 0, y ≤ 0

Podemos traçar retas pontilhadas verticais e horizontais nos números inteiros pertencentes a estas retas, teremos um reticulado no plano. Com este reticulado, somos capazes de marcar os pontos do plano cartesiano, ou seja, os pares ordenados com

104

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

coordenadas inteiras. y 2

−2

−1 0

−1 −2

Exemplo 4.3.1: Marque o ponto (2, 3) no plano cartesiano. Resolução: Observe na gura abaixo o sistema cartesiano ortogonal, com as retas pontilhadas. Assim nosso plano cartesiano ca dividido em quadrados de lado medindo uma unidade de medida. No par ordenado (2, 3), a primeira coordenada 2 é marcada na reta horizontal (eixo x). Neste ponto, podemos traçar uma reta pontilhada vertical, conforme a gura. y 3 2 1 −3

−2

−1 0

−1 −2 −3

A segunda coordenada 3 é marcada na reta vertical (eixo y ). Neste ponto podemos

105 traçar uma reta pontilhada horizontal, conforme gura. y 3 2 1 −3

−2

−1 0

−1 −2 −3

O ponto do plano dado pela interseção destas duas retas é o par ordenado (2,3), conforme podemos observar na gura. y

P=(2,3)

3 2 1 −3

−2

−1 0

−1 −2 −3

Observe que o ponto P é um ponto do primeiro quadrante. A primeira coordenada do ponto, 2, é a abscissa do ponto e a segunda coordenada do par ordenado é a

ordenada do ponto.

106

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

Em geral, dado um par ordenado (a, b), a primeira coordenada é a abscissa do ponto e a segunda coordenada é a ordenada do ponto.

Hora do experimento 1! Passo 1) Tenha em mãos papel e lápis! Passo 2) Esboce o ponto (−1, 2) no plano.

Hora do experimento 2! Passo 1) Tenha em mãos papel e lápis! Passo 2) Esboce os pontos (2, −1), (2, 0), (2, 1), (2, 32 ), (2, 2), (2, 3), (2, 4) no plano. Passo 3) Esboce os pontos (2, y) no plano, para qualquer valor de y .

Hora do experimento 3! Passo 1) Tenha em mãos papel e lápis! Passo 2) Esboce os pontos (−2, 2), (−1, 2), (0, 2), ( 31 , 2), ( 12 , 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2) no plano. Passo 3) Esboce os pontos (x, 2) no plano, para qualquer valor de x.

Exemplo 4.3.2: Esboce a região {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3} no plano.

Resolução: Observe primeiramente que os pontos (x, y) do plano, com 0 ≤ x ≤ 2

107 são os pontos da região esboçada na gura abaixo. y

2 1 −2

−1 0

−1 −2

De fato, observe que pontos da forma (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), ... são pontos da região. Observe que um ponto do plano (logo, ele tem duas coordenadas) pertence a região, se x (ou seja, a primeira coordenada) varia de 0 à 2 (inclusive podendo ser 0 e 2). Note que o y (a segunda coordenada do ponto da região) não tem nenhuma limitação, ou seja, pode assumir qualquer valor em R. Observe que esta região se estende verticalmente nos dois sentidos. Por outro lado, os pontos do plano (x, y), com 0 ≤ y ≤ 3 são os pontos conforme a gura.

2 1 −2

−1 0 −1 −2

108

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

Note novamente, que nesta segunda situação, não temos nenhuma restrição para a primeira coordenada x. Já a segunda coordenada y varia entre 0 e 3 (podendo assumir estes valores). Observe que a região se estende horizontalmente nos dois sentidos. Assim os ponto do plano (x, y) satisfazendo 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3, são os pontos da interseção das duas regiões anteriores, conforme ilustra a gura. y

2 1 −2

−1 0

−1 −2

Observe que os pontos dos segmentos de reta de (0, 0) até (2, 0) e de (0, 0) até (0, 3) pertencem ao conjunto. Hora do experimento! Passo 1) Tenha em mãos papel e lápis! Passo 2) Esboce a região {(x, y) : 0 < x < 2, 0 < y < 3} no plano. Passo 3) O que mudou em relação ao exemplo anterior?

Exercício 4.3.3: (a) (1, 7) (b) (3, 0) (c) (0, 2) (d) (−4, 5)

1. Represente os seguintes pontos no plano cartesiano.

109 (e) (−1, −1) (f) (3, −6) (g) (0, 0) (h) (0, −4) 2. Esboce os seguintes subconjuntos do plano. (a) {(x, y) : x = 1} (b) {(x, y) : y = 0} (c) {(−1, y) : y ∈ R} (d) {(x, −3) : x ∈ R} 3. Esboce as seguintes regiões no plano cartesiano. (a) {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2} (b) {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2} (c) {(x, y) : −2 ≤ y ≤ 0} (d) {(x, y) : 3 ≤ x ≤ 4, −1 ≤ y ≤ 3} 4. Descreva as seguintes regiões em notação de conjuntos. (a) y 2 1 −2

−1 0 −1 −2

2 x

110

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

(b) y 2 1 −2

−1 0

2 x

−1 −2

−1 0 −1 −2

(d) y 2 1 −2

−1 0 −1 −2

Exercício 4.3.4: Decida se cada um dos itens abaixo é verdadeiro ou falso. Justi que sua resposta.

111 1. O subconjunto de R2 {(1, y) : y ∈ R}

é uma reta vertical ao eixo x que passa pelo ponto (1, 0). 2. O ponto (0, 2) pertence ao eixo x. 3. O par ordenado (0, 0) pertence ao eixo x e ao eixo y . 4. Um ponto do segundo quadrante tem as duas coordenadas negativas. 5. O ponto (−1, 1) pertence ao segundo quadrante. 6. Os pontos (1, 1) e (1, 3) estão sob a reta paralela ao eixo x e que passa pelo ponto (0, 1). 7. O plano cartesiano tem in nitos pontos. 8. Os eixos x e y são perpendiculares. 9. Os pontos (1, 1), (2, 2) e (3, 3) estão sobre uma mesma reta.

Autoavaliação 4.3.5:

1. Entendo que os pontos do plano são representados por duas coordenadas...., /

2. Sei representar pontos no plano...., /

3. Sei esboçar regiões no plano...., /

4. Dado um par ordenado (a, b) ∈ R × R, sei dizer em que quadrante ele se encontra...., / 5. Sei o nome dos eixos coordenados...., /

4.4 Grá co de uma Função

112

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

Considere a função f : N → R dada por f (x) = x2 , isto é, f associa ao número natural x, o seu quadrado. Por exemplo 0 7→ 02 = 0 1 7→ 12 = 1 2 7→ 22 = 4

e assim por diante. Então, podemos formar o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x, x2 ). A saber A = {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), ...}.

Observe que podemos representar este conjunto geometricamente, conforme a gura. y

2 1 −1 0

−1

O conjunto A é chamado o grá co de f e é denotado por Gr(f ) e a representação geométrica de Gr(f ) é chamada o esboço do grá co de f . Em símbolos, podemos escrever Gr(f ) = {(x, x2 ) : x ∈ N}. Em uma situação geral, sejam A, B conjuntos quaisquer em R e seja f : A → B uma função. O conjunto Gr(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ A} é chamado o grá co de f .

113

Observação 4.4.1:

1. Qualquer par ordenado que pertence ao grá co de uma

função f : A → B tem a seguinte característica: a primeira coordenada x é um elemento do domínio A da função f e a segunda coordenada f (x) é um elemento da imagem de f , que está contido no contradomínio B , ao qual x está associado via função f . Lembre ainda que chamamos o elemento f (x) imagem do elemento x. 2. Observe que se tratando de funções de R em R, ou seja, f : R → R, o grá co de f pode ser esboçado no plano cartesiano. Nesta situação, esboçamos os pontos

do domínio x no eixo das abscissas (eixo x) e os pontos da imagem de f , f (x) no eixo das ordenadas (eixo y ).

Exemplo 4.4.2: Esboce o grá co de g : R → R dada por g(x) = x2 . Começamos fazendo uma tabela Tabela 4.1: Atribuindo alguns valores para x x

-3 -2 -1 0 1 2 3

g(x) = x2 g(−3) = (−3)3 = 9 g(−2) = (−2)2 = 4 g(−1) = (−1)2 = 1 g(0) = 02 = 0 g(1) = 12 = 1 g(2) = 22 = 4 g(3) = 32 = 9

Observe que os elementos que estão na coluna da esquerda são os elementos do domínio de g e os da coluna da direita são os elementos do contradomínio, que foram associados aos elementos do domínio através da função g . Assim, observe que os pares ordenados (0, 0), (1, 1), (−1, 1), (2, 4), (−2, 4), (3, 9), (−3, 9) são alguns elementos do conjunto Gr(g).

114

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

Já sabemos esboçar estes pontos no plano cartesiano, observe a gura y 4 3 2 1 −3

−2

−1 0

3 x

−1

Agora note, que diferentemente da função f : N → R, dada por f (x) = x2 , o esboço do grá co deste exemplo, onde g : R → R, dada por g(x) = x2 será uma curva contendo estes pontos, conforme ilustra a gura. g(x) = x2

g(x) 4 3 2 1 −2

−1 0

No próximo capítulo veremos com mais detalhes, porque o esboço do grá co de g ca uma curva neste formato. No momento, o importante é você se convencer que

em Dom(g) = R temos muito mais pontos que Dom(f ) = N, por isso no caso de f o esboço do grá co é formado por pontos e o esboço do grá co de g é uma curva.

115

Atenção! É muito importante ressaltar que as funções f e g são diferentes! Pois a função f tem domínio N, enquanto que a função g tem domínio R. Assim elas têm domínios diferentes e portanto são funções diferentes (mesmo que tenham a mesma regra!). E observe que seus grá cos e esboços de grá cos são diferentes também, veja na gura a seguir.

−2

f (x)

g(x)

−1 0

−2

−1 0

g(x) = x2

Hora do experimento 1! Passo 1) Tenha em mãos papel e lápis! Passo 2) Escreva o grá co de f : {−1, 0, 12 , 1, 2, 23 , 3} → R, onde f (x) = x − 1. Passo 3) Esboce o grá co de f . Hora do experimento 2! Passo 1) Ainda precisamos de papel e lápis! Passo 2) Escreva o grá co de f : R → R, onde f (x) = x − 1. Passo 3) Esboce o grá co de f . Passo 4) Compare os resultados obtidos nos experimentos 1 e 2. Hora do experimento 3! Passo 1) Novamente, tenha em mãos papel e lápis! Passo 2) Escreva o grá co de f : {−1, − 21 , 0, 31 , 21 , 1, 32 , 34 , 3} → R, onde f (x) = x + 1. Passo 3) Esboce o grá co de f .

116

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

Hora do experimento 4! Passo 1) Mais uma vez, papel e lápis a postos! Passo 2) Escreva o grá co de f : R → R, onde f (x) = x + 1. Passo 3) Esboce o grá co de f . Passo 4) Compare os resultados obtidos nos experimentos 3 e 4.

Exercício 4.4.3: Decida se os seguintes itens são verdadeiros ou falsos. Justi que sua resposta. 1. Toda função possui um grá co. 2. Uma função pode ter mais de um grá co. 3. A primeira coordenada de um par ordenado do grá co de uma função é um ponto de seu domínio. 4. O grá co de uma função f é constituído de todos os pares ordenados da forma (x, f (x)), onde x pertence ao domínio de f .

5. O grá co de uma função f é constituído de alguns pares ordenados da forma (x, f (x)), onde x pertence ao domínio de f .

Autoavaliação 4.4.4:

1. Entendo que os conceitos de "grá co de uma função" e "esboço do grá co de uma função" não são a mesma coisa....,

2. Entendo que o esboço de grá co de uma função é uma maneira de visualizar o grá co dela...., /

3. Sei descrever os pontos do grá co de uma função...., /

4. Quando fazemos o esboço do grá co de uma função no plano cartesiano, sei onde representar os pontos do domínio e do contradomínio...., /

117

4.5 Discutindo o Domínio de uma Função Sabemos que uma função é constituída de três ingredientes: uma regra ou lei de correspondêndia, um domínio e um contradomínio. Aqui não nos preocuparemos com o contradomínio, pois ele sempre será o conjunto dos números reais. O que esperamos fazer nesta seção é o seguinte: dada uma fórmula, encontrar o maior conjunto possível onde tenhamos com isso uma função e este conjunto se torne o domínio. Vejamos um exemplo para deixar mais claro o que acabamos de falar.

Exemplo 4.5.1: Consideremos a seguinte fórmula: x1 . Encontre um domínio para que esta fórmula seja a regra de uma função.

Resolução: Devemos ter x 6= 0, pois não é possível dividir por zero. Então um domínio possível seria o conjunto {1, 2}. Note que faz sentido calcular

1 x

nos números

naturais 1 e 2. Mas estamos interessados em achar o maior conjunto possível onde possamos calcular x1 . Você não terá muita di culdade em concordar que este conjunto deve ser R∗ , isto é, o conjunto de todos os números reais exceto o 0.

Exemplo 4.5.2: Encontre o domínio da regra f (x) =

√

x−1+

1 x+1

Resolução: Sabemos que a raiz quadrada só existe se o número real for maior do que ou igual a 0. Assim devemos ter x − 1 ≥ 0, ou equivalentemente, x ≥ 1. Assim sendo, qualquer número real maior ou igual do que 1 pode ser usado na expressão x − 1 que se encontra dentro da raiz quadrada. Mas fórmula que estamos estudando

possui um segundo termo, a saber,

1 x+1

. Como no numerador temos o número real 1,

não temos com o que se preocupar. Já no denominador não podemos ter o 0, logo devemos ter necessariamente que x + 1 6= 0, ou seja, x 6= −1. Mas −1 já foi excluído. Assim, o domínio procurado é {x ∈ R|x ≥ 1}. Geometricamente, podemos representar os números reais maiores do que ou iguais

118

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

a 1 como na gura abaixo −3

−2

−1

Já os números reais diferentes de -1 podem ser representados por −3

−2

−1

E o domínio procurado é a interseção destes dois conjuntos −3

−2

−1

Exercício 4.5.3: Encontre o domínio para: √

1. x + x + 1 2. 3.

√

x+1+

√1 x+1

√

−x + 1

1−x x+3

Exercício 4.5.4: Decida se os seguintes itens são verdadeiros ou falsos. Justi que sua resposta. 1. Fórmulas diferentes podem ter o mesmo domínio. 2. O domínio para a fórmula x2 + x + 1 é o conjunto dos números reais. 3. O domínio para a fórmula

√

x2 + 1 + (x − 1) é o conjunto dos números reais.

4. O domínio de qualquer fórmula é o conjunto dos números reais.

Autoavaliação 4.5.5:

1. Entendo que uma função e uma fórmula são objetos matemáticos distintos...., /

2. Sei determinar um domínio para uma fórmula conhecida...., /

119

4.6 Função Crescente e Função Decrescente Lembrete: Quando uma quantidade y varia em função de outra x, escrevemos

y = f (x),

isto é, y é função de x. Antes de de nirmos função crescente e função decrescente, vamos considerar dois exemplos que nos são bastante familiares.

Exemplo 4.6.1: Imaginemos que você coloque uma latinha de refrigerante na geladeira a uma temperatura ambiente de 25◦ C. O que vai acontecer? Enquanto o tempo vai passando, a temperatura da latinha (e do líquido na latinha) vai baixando. O que signi ca a expressão "o tempo vai passando"? Seja t a variável que representa o tempo. Assim a expressão "o tempo vai passando" signi ca que os valores que atribuímos a variável t cam cada vez maiores. Assim, no instante que colocamos a lata na geladeira, é o instante t = 0. Depois de 1 minuto, a temperatura é menor do que 25◦ C. Passado mais um minuto (ou seja, no instante t = 2), a temperatura caiu mais um pouco. Perceba que quanto mais tempo a lata car na geladeira, menor será a temperatura. Este é um exemplo de uma função decrescente, isto é, a medida que o tempo vai passando (ou seja, a variável tempo t vai aumentando), a temperatura T vai diminuindo.

120

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

Gra camente, teríamos algo parecido com T (t)

f 0

onde P = (0, 25). Observe no esboço do grá co que quando o tempo aumenta, a temperatura diminui.

De nição 4.6.2: Sejam A e B subconjuntos de R. Uma função f : A → B é decrescente se x1 ≤ x2 , então f (x1 ) ≥ f (x2 ), para quaisquer x1 e x2 ∈ A. Note que a desigualdade se inverte quando aplicamos f . Veja o esboço do grá co anterior, para comparar o desenho com a parte algébrica.

Exemplo 4.6.3: Veri que que as seguintes funções são decrescentes. 1. f : R → R, dada por f (x) = 2.

Resolução: Sejam x1 , x2 dois números reais tais que x1 ≤ x2 . Então f (x1 ) = 2 e f (x2 ) = 2.

Portanto f (x1 ) = f (x2 ) e em particular f (x1 ) ≥ f (x2 ). Logo a função f é decrescente.

121 Geometricamente f (x)

f (x1 ) = f (x2 ) = 2

f (x) = 2

2. f : R → R, dada por f (x) = −x.

Resolução: Sejam x1 , x2 dois números reais tais que x1 ≤ x2 . Então −x1 ≥ −x2 . Agora f (x1 ) = −x1 e f (x2 ) = −x2 .

Portanto f (x1 ) = −x1 ≥ −x2 = f (x2 ). Como o cálculo de f inverteu a desigualdade, concluímos que a função f é decrescente. Geometricamente f (x)

f (x1 )

f (x2 )

f (x) = −x

122

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

Exemplo 4.6.4: Vamos considerar agora a variação da temperatura T , durante um período do dia, digamos das 7 horas às 15 horas. Vamos supor que às 7 horas a temperatura seja de 15◦ C , e que, a temperatura comece a subir até que, às 15 horas, atinja 25◦ C . Teríamos um esboço de grá co semelhante a T (t)

P 0

onde P = (7, 15) e Q = (15, 25). Observe que a primeira coordenada do ponto P é 7 e denota o tempo, já a segunda coordenada é 15 e denota a temperatura. Veja que quando o tempo passa, os valores da variável t cam cada vez maiores. Estes valores estão na primeira coordenada. A medida que o tempo passa, a temperatura também aumenta, isto é, se t1 ≤ t2 , então T (t1 ) ≤ T (t2 ). Em outras palavras, quanto maior for o valor da variável t, maior será a temperatura. Isto motiva a de nição de função crescente, que modela matematicamente situações como a que acabamos de descrever.

De nição 4.6.5: Sejam A e B dois subconjuntos dos números reais. Uma função f : A → B é crescente se dados x1 , x2 números reais tais que x1 ≤ x2 , então f (x1 ) ≤ f (x2 ).

Dizemos que uma função crescente preserva o sinal de desigualdade, isto é, se temos uma desigualdade e sabemos que uma função é crescente, então podemos aplicar a função de ambos os lados da desigualdade e esta se manterá.

123 Nosso primeiro exemplo é de uma função que é crescente e decrescente.

Exemplo 4.6.6:

1. A função f (x) = 2 é crescente e decrescente. Para você se

convencer disso, note que não importa que x1 ≤ x2 ou que x1 ≥ x2 , pois o valor da função sempre será dois. Lembre que ≤ signi ca menor do que ou

igual, isto é, x1 ≤ x2 implica f (x1 ) = f (x2 ). Em particular, f (x1 ) ≤ f (x2 ). Analogamente, x1 ≥ x2 implica f (x1 ) = f (x2 ) e em particular f (x1 ) ≤ f (x2 ). Portanto f é crescente e decrescente. 2. As funções f : R → R, da forma f (x) = ax + b

com a 6= 0, chamadas funções a ns, são crescentes se a > 0 e decrescentes se a < 0. a é chamado o coe ciente angular ou inclinação da função f . Vejamos

alguns exemplos para ilustrar esta a rmação. Considere f : R → R, dada por f (x) = x (a = 1 > 0) e g : R → R, dada por g(x) = −x (a = −1 < 0). y = −x

y=x f (x) = x

1 −2

−1 0

1 1

−2

−1 0

−1

−2

função crescente a > 0

g(x) = −x

função decrescente a < 0

Considere f : R → R, dada por f (x) = x + 1 (a = 1 > 0) e g : R → R, dada

124

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

por g(x) = −x + 1 (a = −1 < 0). f (x) = x + 1

y =x+1

−2

y = −x + 1

−1 0

−2

−1 0

−1

−2

função crescente a > 0

g(x) = −x + 1

função decrescente a < 0

3. Uma boa forma de perceber se uma função é crescente ou decrescente é por meio do esboço do seu grá co. Vejamos alguns exemplos de funções crescentes e de funções decrescentes. No decorrer do ensino médio você as encontrará. São crescentes: y = x3 y = ex

4 f (x) = x

1 −2

−1 0 −1 −2 −3 −4

f (x) = ex

x −2

−1 0 −1 −2 −3

125 y = ln(x) 2 f (x) = ln(x)

1 0

−1 −2

São decrescentes:

y = −ex

y = −x3

1 −2

−1 0

−1

−4

−1 0

−1 −2

−2 −3

−2

−3 f (x) = −x3

−4 f (x) = −ex

126

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

y = −arctg(x) 2 1 −2

−1 0

−1

x f (x) = −arctg(x)

−2

Exercício 4.6.7:

1. Esboce cinco grá cos diferentes de funções crescentes e cinco

grá cos diferentes de funções decrescentes. 2. Quais das funções abaixo são crescentes e quais são decrescentes? Por quê? (a) f : R → R, dada por f (x) = x (b) f : R → R, dada por f (x) = −x + 1 (c) f : R → R, dada por f (x) = −x − 1 (d) f : R → R, dada por f (x) = 5x − 10 3. Nos esboços dos grá cos abaixo, reconheça quais funções são crescentes e quais são decrescentes. (a) y = f (x) f

3 2 1 0

127 (b) y = f (x)

f 0

(d) y = f (x)

f x

128

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

(e) y = f (x) 2 1 −2

−1 0

−1 −2

Exercício 4.6.8: Decida se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. 1. Existem funções que são simultaneamente crescentes e decrescentes. 2. Existem funções que não são crescentes, nem decrescentes. 3. A função f : R → R, dada por f (x) = x2 é crescente. 4. A função f : R → R, dada por f (x) = −x é decrescente. 5. A função f : R+ → R, dada por f (x) =

√

x, é crescente.

6. A função f : R → R, dada por f (x) = 12 x + 3, é decrescente. 7. A função f : R+ → R, cujo grá co está esboçado abaixo, é crescente y = f (x) 2 1 0

129

Autoavaliação 4.6.9:

1. Entendo que os conceitos de função crescente e função decrescente estão presentes no dia a dia...., /

2. Sei citar outras situações do dia a dia que descrevem funções crescentes e decrescentes...., /

3. Sei a de nição de função crescente e função decrescente...., /

4. Sei reconhecer se uma função é crescente ou decrescente pelo seu grá co...., /

5. Sei reconhecer se uma função a m é crescente ou decrescente pelo seu coe ciente angular ou inclinação...., /

4.7 Função Composta Considere os seguintes diagramas de Venn. A

b 2 c

z 3

Note que f (a) = f (b) = f (c) = 2, f (d) = 3 e g(1) = g(2) = x, g(3) = z . O que desejamos é encontrar uma função h:A→C

usando as funções f e g . Observe que 1. f (a) = 2 e g(2) = x. Então poderíamos de nir h(a) = x.

130

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

2. f (b) = 2 e g(2) = x. Então poderíamos de nir h(b) = x. 3. f (c) = 2 e g(2) = x. Então poderíamos de nir h(c) = x. 4. f (d) = 3 e g(3) = z . Então poderíamos de nir h(d) = z . Primeiramente calculamos f num ponto do conjunto A e depois calculamos g na imagem da f (naquele ponto). Assim, h é a função de A em C chamada a função

composta de g e f . Note que, em a, h(a) = g(f (a)) = g(2) = x.

De nição 4.7.1: Sejam A, B e C subconjuntos de R e sejam f : A → B e g : B → C duas funções. A função h:A→C

dada por h(x) = g(f (x)),

para todo x ∈ A, é chamada a função composta de g e f .

Notação 4.7.2: A notação da função h composta de g e f é h = g ◦ f .

B g

f x

f (x)

C g(x)

h=g◦f

Exemplo 4.7.3: Lembre que R+ = {x ∈ R : x ≥ 0}. Se f : R → R é dada por f (x) = x − 1 e g : R → R+ é dada por g(x) = x2 + 1, então a função composta de g

131 ef é h(x) = g(f (x)) = g(x − 1) = (x − 1)2 + 1 = x2 − 2x + 1 + 1 = x2 − 2x + 2.

Vamos calcular h(1), usando a regra obtida anteriormente. h(1) = 12 − 2 · 1 + 2 = 1.

Por outro lado, f (1) = 1 − 1 = 0 e g(0) = 02 + 1 = 1. Logo pela de nição de função composta g(f (1)) = g(0) = 1.

Observação 4.7.4: Em geral, temos que g ◦ f 6= f ◦ g. Exemplo 4.7.5: Seja f : R → R, dada por f (x) = x + 1 e g : R → R, dada por g(x) = x2 . Temos que g ◦ f 6= f ◦ g .

Resolução: De fato, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

e (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 ) = x2 + 1.

Então, se x = 1, temos (g ◦ f )(1) = 12 + 2 · 1 + 1 = 4

e (f ◦ g)(1) = 12 + 1 = 2.

Portanto g ◦ f 6= f ◦ g.

Exercício 4.7.6: Determine o domínio de f , g, f ◦ g, g ◦ f e determine f ◦ g, g ◦ f , quando for possível.

132

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

1. f (x) = 2x, g(x) = 3x2 . 2. f (x) = x2 , g(x) = x2 + x − 5. 3. f (x) =

√

x, g(x) = x2 + x + 1.

4. f (x) =

1 x2 +1

5. f (x) =

x+1 x−1

, g(x) = x2 + x + 1.

, g(x) = x2 − 1.

6. f (x) = x + x1 , g(x) = 7. f (x) =

x2 +1 x

√

1 + x.

, g(x) = 1 + x1

Exercício 4.7.7: Decida se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. 1. Dadas duas funções f e g , sempre é possível obter g ◦ f e f ◦ g . 2. O domínio de g ◦ f é o mesmo de f . 3. O domínio de g ◦ f é o mesmo de f ◦ g . 4. Se f e g são funções, então f ◦ g = g ◦ f . 5. O contradomínio de f ◦ g é sempre igual ao domínio de g ◦ f . 6. A composta de duas funções crescentes é uma função crescente.

Autoavaliação 4.7.8:

1. Sei determinar a função composta de duas

funções...., /

2. Sei o domínio e o contradomínio da função composta, em termos das funções originais...., /

4.8 Função Inversa

133 Consideremos o processo de fazer suco de laranja. Você tem laranjas e uma máquina f para espremer as laranjas e assim obter o suco de laranja. Veja o diagrama abaixo que descreve o processo.

laranjas

suco de laranja

Este processo não é reversível, isto é, não existe uma máquina que transforme suco de laranja nas laranjas, das quais o suco foi feito. Vamos considerar outro processo. Suponha que você tem 1 litro de água. Então se você colocá-lo no congelador, ele vai passar para o estado sólido. O congelador faz o papel da máquina f do exemplo anterior. Assim temos o seguinte diagrama

água

gelo

Este processo é reversível, pois se retirarmos o gelo do congelador e colocá-lo à temperatura ambiente, ele voltará ao litro de água que tínhamos inicialmente. Vamos

134

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

chamar de g o processo de descongelar. g

gelo

água

Podemos compor os diagramas anteriores num único diagrama, como a seguir f

água

gelo

água

g◦f

Veja que neste diagrama escrevemos o símbolo g ◦ f (lembre da função composta). Este símbolo deve ser lido da direita para à esquerda da seguinte forma: primeiro congelamos a água e depois a descongelamos. Observe que neste processo de considerar a água, congelá-la e depois descongelála, retornamos a água da qual partimos. Assim aplicamos f e em seguida g , e g desfez o que f havia feito. Vamos modelar este exemplo para o contexto matemático.

De nição 4.8.1: Sejam A e B dois subconjuntos de R, f : A → B e g : B → A duas funções tais que f ◦ g : B → B é tal que para todo x ∈ B (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x

e g ◦ f : A → A é tal que para todo y ∈ A (g ◦ f )(y) = g(f (y)) = y.

135 Então g é a função inversa de f e f é a função inversa de g . Neste caso dizemos que f e g são funções inversíveis. Se f é uma função inversível, representamos sua inversa por f −1 e escrevemos f ◦ f −1 = Id = f −1 ◦ f

onde Id é a função identidade.

Observação 4.8.2:

1. A função identidade Id : A → A, é dada por Id(x) = x,

para todo x ∈ A, ou seja, a função identidade leva todo elemento do domínio nele mesmo, no contradomínio. 2. O símbolo f −1 representa a inversa da função f . O −1 em f −1 não é um

expoente.

Exemplo 4.8.3: A função f : R → R, dada por f (x) = 2x + 1, é inversível, com função inversa f −1 : R → R, dada por f −1 (x) =

x−1 2

Resolução: Precisamos veri car que f (f −1 (x)) = x e que f −1 (f (x)) = x. Mas x−1 f (f −1 (x)) = f 2

x−1 =2 2

! +1=x−1+1=x

e f −1 (f (x)) = f −1 (2x + 1)) =

(2x + 1) − 1 2

! =

2x =x 2

Disto concluímos que as funções dadas são uma inversa da outra.

Observação 4.8.4:

1. Como você pode perceber durante a solução do exemplo

anterior, para veri car que f (f −1 (x)) = x, colocamos o f −1 (x) no lugar do x que aparece na regra de f (x). Para veri car que f −1 (f (x)) = x substituímos f (x) no lugar do x na regra de f −1 (x).

2. No exemplo anterior, para f : R → R, dada por f (x) = 2x + 1, é possível determinar f −1 . De fato, queremos encontrar f −1 (x) tal que f (f −1 (x)) = x = f −1 (f (x)).

136

CAPÍTULO 4.

FUNÇÕES

Vamos usar a primeira igualdade para tentar encontrar f −1 (x). Com efeito, x = f (f −1 (x)) = 2f −1 (x) + 1,

ou ainda, 2f −1 (x) = x − 1.

Multiplicando por 12 , temos f −1 (x) =

x−1 . 2

3. Nem sempre é possível determinar f −1 desta forma. Nem toda função possui uma inversa, como podemos veri car no exemplo abaixo.

Exemplo 4.8.5: Sejam A = {1, 2, 3} e B = {7, 11}. A função f : A → B dada por 1 2 3

7 11

não é inversível.

Resolução: Com efeito, se existisse f −1 : B → A tal que (f −1 ◦ f )(x) = x, para todo x ∈ A, então 1 = (f −1 ◦ f )(1) = f −1 (f (x)) = f −1 (7)

e 2 = (f −1 ◦ f )(2) = f −1 (f (2)) = f −1 (7),

isto é, f −1 (7) assumiria dois valores distintos, mas isso não é permitido pela de nição de função. Portanto não existe f −1 .

137

Exercício 4.8.6: Decida se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. 1. Toda função é inversível. 2. A inversa da função f : R → R, dada por f (x) = x + 1, é f −1 : R → R, dada por f −1 (x) = −x − 1. 3. O domínio de uma função e sua inversa são iguais. 4. Toda função a m é inversível. 5. A função 1

2 3 4

a e i o u

tal que f (1) = a, f (2) = e, f (3) = i e f (4) = o é inversível.

Exercício 4.8.7:

1. Encontre a inversa de cada uma das funções e o seu domínio.

(a) f (x) = 2x + 3 (b) f (x) =

x+4 x−4

3x+1 x+3

(d) f (x) =

x+3 2

2. Encontre (g ◦ f )−1 em cada um dos itens abaixo. (a) f (x) = x + 3, g(x) = x + 1 (b) f (x) = x + 2, g(x) = (c) f (x) =

x+1 x−1

, g(x) =

x+1 x

x−1 x+1

138

CAPÍTULO 4.

Autoavaliação 4.8.8:

FUNÇÕES

1. Entendo o que signi ca o conceito de função

inverssa...., /

2. Sei que -1 no símbolo f −1 é apenas uma notação para denotar a inversa de f ...., /

3. Sei encontrar a inversa de f , quando possível...., /

Referências Bibliográ cas [1] Carl B. Boyer História da Matemática Monogra a, 2012.

139

Índice Remissivo abscissa, 106

divisão

agrupamento, 10

de números racionais, 66

antecessor, 37

divisível, 40

associativa, 43

domínio, 89

base, 44

eixo x, 102

coleção, 10

y , 102

comutativa, 43

coordenado, 103

conjunto, 11

das abscissas, 102

de chegada, 89 de partida, 89 dos números inteiros, 59 dos números irracionais, 77 dos números naturais, 36 dos números racionais, 64 dos números reais, 77 nito, 31 unitário, 20

das ordenadas, 102 elemento neutro, 43 esboço do grá co, 112 expoente, 44 fração geratriz, 73 frações, 64 função composta, 130

vazio, 19

decrescente, 120

conjuntos

identidade, 135

disjuntos, 32

inversa, 135

iguais, 45

inversível, 135

contradomínio, 89 diagrama de Venn, 13 distributiva, 43

grá co, 112 igualdade 140

141

ÍNDICE REMISSIVO

de números racionais, 65

natural, 36

igualdade de conjuntos, 45

negativo, 77

igualdade de funções, 90

par, 39

imagem, 90, 102

positivo, 77

imagem do elemento, 91

primo, 40

interseção, 29

racional, 64

intervalo

real, 77

degenerado, 82

ímpar, 39

ilimitado, 82

número de elementos de um conjunto, 32

limitado, 82

número real

intervalo aberto em a e em b, 81

não negativo, 78

intervalo fechado à esquerda, 82

não positivo, 78 ordenada, 106

lei do cancelamento da adição, 79

origem, 102

lei de correspondência, 89

par ordenado, 99, 100

maior do que, 53, 78

pertence, 12

maior do que ou igual, 54 maior do que ou igual a, 79 menor do que, 53, 65, 78 menor do que ou igual, 54 menor do que ou igual a, 79 multiplicação de números racionais, 66 múltiplo, 39 número

plano cartesiano, 102 potência, 44 com expoente fracionário, 66 de número racional, 66 de um número racional, 66 primeira coordenada, 99, 100 produto cartesiano, 99, 100 prova por contradição, 76 quadrante, 103

inteiro, 59

redução ao absurdo, 76

inteiro negativo, 59

regra, 90

inteiro positivo, 59

relação de ordem, 52

irracional, 77

representação decimal, 70

142

ÍNDICE REMISSIVO

nita, 71 in nita, 71 segunda coordenada, 100 sistema cartesiano ortogonal, 102 soma de números racionais, 66 subconjunto, 22 subtração de números racionais, 66 sucessor, 36 união, 25